3.10 Binomialkoefficienten og Pascals trekant Pascals trekant er opkaldt efter den franske matematiker Blaise Pascal (1623 - 1662) og er en geometrisk opstilling af tal i en trekantsform. Trekanten er bygget op süledes, at der øverst i trekanten stür et ettal, og hver rÌkke herunder starter og slutter ligeledes med et et-tal. De resterende tal fremkommer ved at tage summen af de to tal, der stür umiddelbart over. (ses figuren) En af egenskaberne ved Pascals trekant er, at hvis vi angiver rÌkkerne, og tallene i rÌkkerne, pü en bestemt müde, sü kan vi direkte aflÌse binomialkoefficienterne ud af Pascals trekant. Figur 1: Pascals trekant
Hvis vi angiver den øverste rĂŚkke som đ?‘› = 0 den nĂŚste rĂŚkke som đ?‘› = 1 og sĂĽ videre, og derefter tager hvert tal i rĂŚkken og benĂŚvner fra venstre mod højre som đ?‘&#x; = 0, đ?‘&#x; = 1 og sĂĽ videre, sĂĽ har vi Pascals trekant bygget op af binomialkoefficienter. 0. rĂŚkke n = 0 1. rĂŚkke n = 1 2. rĂŚkke n = 2 3. rĂŚkke n = 3
r=0r=1
Vi kunne ogsĂĽ tilsvarende have bygget trekanter op direkte af binomialkoefficienterne đ??ž(đ?‘›, đ?‘&#x;) pĂĽ denne mĂĽde:
Hvis man for eksempel skal bestemme hvor mange gange man kan udtage 2 elementer af en større gruppe pĂĽ 4 elementer, skal vi altsĂĽ bestemme binomialkoefficienten đ??ž(4,2). Hvis vi bruger Pascals trekant, skal vi altsĂĽ ned til rĂŚkke 4:
Vi ser altsĂĽ, at đ??ž(4, 2) = 6 ud fra sammenligning af de to rĂŚkker i trekanterne.
Š L&R Uddannelse • Vognmagergade 11 • DK-1148 Kbh. K
LÆSEPRĂ˜VE - foreløbig udgave