Mat 10, Grundbog/Web

Lennart Børsting, Kenneth Riis Poulsen, Jakob Thomsen og Kaj Østergaard

MAT10 MAT 10

Alinea 0 97887x

xxxxxx

alinea.dk

Matematik · 10. klasse · Elevbog · Web

Alinea

3. Sammenhænge – funktioner

MAT10 Matematik · 10. klasse · Elevbog

Alinea

MAT 10, Grundbog Grundbog 10. klasse En titel i grundsystemet MAT 10.

Tilhørende titler: MAT 10, Web MAT 10, Lærervejledning © Alinea 2020

2

Forfattere: Lennart Børsting, Kenneth Riis Poulsen, Jakob Thomsen og Kaj Østergaard Redaktion: Susanne Schulian Fagkonsulent: Kaj Østergaard Design-indhold/omslag: Andreas Schnalke Illustrationer/grafik: Andreas Schnalke Fotos: Andreas Schnalke: Side 6, 11, 28, 30, 34, 46, 48, 54, 86, 104, 106, 110.

Analfabeten der kunne regne, omslagsdesigneren, Eric Thunfors, Side 9.

HARIBO Lakrids A/S, grafisk designer, Bo Hasle Buur: Side 115 Michael Jensen: Side 18, 19, 33, 66, 76, 88, 91, 107, 108.

Lennart Børsting: Side 21, 27, 78, 79, 80, 81, 85, 98, 103.

Ida Maria Schouw Andreasen: Side 31, 34.

Kenneth Riis Poulsen: Side 42.

Shutterstock: Side 8, 15, 18, 19, 21, 32, 35, 41, 42, 44, 45, 49, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 61, 64, 67, 68, 69, 75, 78, 89, 90, 95, 96, 99, 105, 109, 112, 115.

Trykt hos Livonia Print

1. udgave, 1. oplag 2020 ISBN 978-87-23-53-0455 www.alinea.dk Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node.

Forlaget har forsøgt at indhente tilladelse hos rettighedshavere til gengivelse af tekst og billeder i denne udgivelse.

Rettighedshavere, som mod forventning har krav på honorar, bedes kontakte forlaget.

Alinea støtter børn og unge Alinea er en del af Egmont, som er Danmarks største mediekoncern. Egmont har fortalt historier i over 100 år og laver film i Oscarklasse og fortæller historier gennem nyheder, bøger og magasiner. Egmont er en dansk fond, som hvert år giver næsten 100 millioner til børn og unge, der har det svært.

Indhold 1. Tal og regn med tallene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2. Flade og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3. Funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Procent og brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

5. Ă˜konomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6. Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7. Geometrisk konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

8. Ligninger og formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9. Geometri i kunst og kultur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10. Sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3

Til eleven 4

Velkommen til MAT 10.

MAT 10 består af en grundbog og et website. Inden du går i gang, er det en god ide, at du sætter dig godt ind i, hvordan bogen og websitet er bygget op.

MAT 10 Grundbog er opdelt i 10 kapitler med hvert sit matematiske emne.

Emnerne kan du se i indholdsfortegnelsen.

Alle kapitlerne har samme opbygning: Intro

Flere aktiviteter

Viden om

Redegørelse I introen og de efterfølgende aktiviteter til kapitlet vil du arbejde med undersøgelser og eksperimenterende aktiviteter. Du skal arbejde sammen med en eller flere af dine klassekammerater. Det er sjældent opgaver med et facit.

Du skal begrunde, argumentere, ræsonnere og løse problemstillinger i samarbejde med andre. Det er vigtigt at turde fejle i denne proces.

Klassesamtalerne i aktiviteterne er en slags nøglespørgsmål, hvor du sætter ord på den matematik, som du har arbejdet med. Ord, som du senere kan bruge i din redegørelse.

Viden om er skrevet i et matematisk sprog og er en opsamling af den matematik, som du har arbejdet med. Siderne er gode til at få et overblik og kan senere bruges som opslagsværk.

Redegørelsen skal hjælpe dig til at udarbejde en portfolio, der kan bruges til B-prøven. Her kan du øve dig i at formulere dig i et matematisk sprog i relation til din hverdag.

MAT 10 Web følger den samme opbygning som bogen. Her kan du hente forskellige ressourcer til bogen. Det er fx film, vejledninger, kopiark til aktiviteterne i bogen, GeoGebra-filer, regnearksfiler, spil og meget mere.

Der er også supplerende opgaver, som enten kan besvares skriftligt eller ved hjælp af indtaling – du vælger selv. Det giver mulighed for, at du og dine klassekammerater kan se hinandens besvarelser og diskutere jeres besvarelser med hinanden.

Efter hver aktivitet i bogen skal du fortsætte på web. Her finder du Test dig selv, som er en lille test i basisviden, og du selv får feedback på. Hvis du ikke synes, at du har helt styr på basisviden, kan du se vejledningsfilmen og derefter tage testen igen.

Til hver aktivitet er der også flere supplerende opgaver, der handler om den samme matematik, som i bogens aktivitet. Desuden er der opgaver i tekstforståelse, skriftlighed og mundtlighed i matematik.

Det er her, du kan finde en oplæsning og fortolkning af Viden om.

På MAT 10 Web kan du også hente et samtaleark og et oplæg til selve udformningen af redegørelsen. Det findes både i en PDF-udgave og en Word-udgave, som du kan skrive og redigere i.

Så begynd din matematikundervisning med at orientere dig både i MAT 10 Grundbog og MAT 10 Web.

God fornøjelse

5

3.

Funktioner

28

Intro – Kikkerten

I skal se på væggen igennem et rør, rullet af et A4-papir.

I skal undersøge sammenhængen mellem afstanden til væggen og længden af synsvidden.

Hent vejledning på MAT10 Web.

Elevroller i gruppen: 1 der måler 1 der noterer

I skal forberede en præsentation af jeres undersøgelse for klassen.

2 der sætter labels op 1 der kigger

I præsentationen skal I beskrive sammenhængen mellem afstanden til væggen og synsvidden.

I kan vise jeres præsentationer i et digitalt værktøj eller på A3-ark.

Præsentationen må højst tage 1-2 minutter.

Efter præsentationerne diskuteres i gruppen Sammenlign de andre gruppers beskrivelse af sammenhængen mellem afstanden til væggen og synsvidden med jeres egen. a. Hvilke ligheder er der? b. Hvilke forskelle er der? c. Hvordan kan I forbedre jeres beskrivelse?

3. Sammenhænge – funktioner

Brug din viden Brug jeres beskrivelse af sammenhængen til at beregne: a. Hvor stor er synsvidden, når afstanden til væggen er 0? b. Hvor lang er afstanden til væggen, når synsvidden er 1 m? c. Hvor stor er afstanden til væggen, når synsvidden er 100 m? d. Undersøg hvordan synsvidden ændrer sig, når man fordobler afstanden til væggen. Hvordan ændrer den sig, når man 3-dobler afstanden? 4-dobler? ....?

Klassesamtale Beskriv sammenhængen mellem afstanden til væggen og synsvidde – gerne på flere forskellige måder.

I dette kapitel skal du …

Lære om sammenhænge mellem to talstørrelser – som vi også kalder variable.

Disse sammenhænge kaldes funktioner.

Du skal beskrive sammenhænge ved hjælp af disse fire repræsentationsformer: Sproglig beskrivelse

Forskrift f(x) = 4x

Prisen for kartofler er 4 gange antallet af kilogram.

Graf

Tabel y

1 x 1

x

0

1

2

3

n

f(x)

0

4

8

12

4n

29

1. Stabling af krus

30

Krus kan stables på flere måder. I får udleveret 10 ens krus, som kan stables.

Højden af stablen er afhængig af antallet af krus og den måde, I vælger at stable krusene på. a. I skal undersøge, hvilken sammenhæng der er mellem antallet af krus og højden på stablen. b. Hvordan kan I finde ud af, hvor høj stablen vil blive, hvis I ikke har krus nok til at udføre stablingen?

Produkt Beskriv sammenhængen mellem antallet af krus og højden på stablen ved forskellige måder at stable krusene på. I skal bruge så mange forskellige repræsentationsformer som muligt. Se side 29.

Klassesamtale Ved nogle stablinger af krus kan sammenhængen mellem antal krus og højden af stablen beskrives med forskrifter som f(x) = ax + b og f(x) = ax.

Funktionen f(x) = ax + b kaldes en lineær funktion, og f(x) = ax kaldes ligefrem proportionalitet. f(x) = ax er et specialtilfælde af f(x) = ax + b.

Hvilken betydning har a og b i forskrifterne for funktionerne, som beskriver stablingen af krus? Hvilke forskelle og ligheder er der mellem de to typer af funktioner? Læs mere på MAT10 Web.

Udfordring Undersøg hvilken betydning krusets højde har. Hvor meget højere bliver stablen, hvis I anvender krus, der er 5 cm højere end det krus, I brugte tidligere?

Hvad betyder det, hvis kruset er halvt så højt?

3. Funktioner

2. Gå en graf Mie 10 meter

meter

Hans 10 8

8

6

6

4

4

2

2

0

0 0

2

4

6 8 10 sekunder

0

4

6

8 10 sekunder

Peter

10

meter

meter

Anja

2

8

10 8

6

6

4

4

2

2

0

31

0 0

2

4

6

8 10 sekunder

0

2

4

6

8 10 sekunder

Placér 6 kegler med 2 m mellem hver, så der er 10 m mellem de to kegler, der er længst fra hinanden. I skal desuden bruge et ur (som viser sekunder) og en mobiltelefon til at filme jeres gåtur. Se film på MAT10 Web. a. Hent graferne på MAT 10 Web. Gå en tur mellem keglerne, så det passer med Graf 1.

Når I mener, at jeres gåtur passer med grafen, skal I filme en videooptagelse af gåturen. Fortsæt med de øvrige grafer.

Produkt Hvordan er sammenhængen mellem grafen og gåturen?

• Hvornår er grafens hældning størst?

•H vornår er grafen vandret? Hvornår stiger grafen – og hvornår falder den?

Klassesamtale En graf kan beskrive en situation fra den virkelige verden.

Forklar, hvordan forskellige situationer fra den virkelige verden kan aflæses på grafen. Fx personen står stille, personen går tilbage mod den første kegle osv.

Udfordring Giv opgaver til hinanden.

• Beskriv med ord en gåtur og lad en kammerat tegne grafen.

• Tegn en graf og lad en kammerat beskrive og gå gåturen.

3. Hvilken telefon lader hurtigst op?

32

I skal sammenligne, hvor hurtigt tre mobiltelefoner lader op.

Mobiltelefonerne skal ikke være helt afladet. a. Undersøg, hvor mange procentpoint batteriernes opladning stiger, når de oplades i 3 minutter. Fortsæt opladningen, mens I sammenligner jeres data. b. Foretag endnu en eller to målinger med yderlig opladning på 3 minutter.

Produkt I skal præsentere resultatet af jeres undersøgelse. I skal bruge mindst to repræsentationsformer (se s. 29). I kan bruge disse hjælpespørgsmål:

• Hvordan kan man se, hvilken telefon der er hurtigst til at lade op?

•G iv et bud på, hvor lang tid de tre telefoner skal bruge på at lade op fra 0% til 100%.

• Er det muligt at forudsige eller beregne, hvornår de tre telefoner vil være 100% opladet?

• Lader

telefonerne lige hurtigt op gennem hele opladningen?

Klassesamtale Beskriv og sammenlign opladningen af forskellige mobiltelefoner.

Hvilke repræsentationsformer er mest velegnede til en beskrivelse og sammenligning?

Udfordring Opstil en funktionsforskrift, som bedst muligt beskriver opladningen af din telefon.

3. Funktioner

4. Hvor svært kan det være at ramme?

33

I skal stille skraldespanden midt i klasselokalet. Bliv ved jeres pladser i lokalet.

I skal hver kaste en papirkugle og forsøge at ramme skraldespanden.

Hvordan skal I kaste papirkuglen? a. Tegn en skitse af papirkuglens bane. I skal overføre jeres skitse til et koordinatsystem, og det punkt, hvor I slipper papirkuglen, er placeret på y-aksen, og bunden af skraldespanden er på x-aksen. b. Hvilke punkter skal I bruge, for at kunne tegne papirkuglens bane? c. Forklar, hvad der har betydning for, hvordan papirkuglens bane ser ud.

Produkt I skal undersøge mere om grafen, der beskriver papirkuglens bane.

Indsæt jeres punkter i GeoGebra-filen på MAT 10 Web og tegn ved hjælp af skyderne grafen igen. I kan nu aflæse forskriften og udfylde tabellen med flere værdier. Sammenlign jeres forskrifter og tabeller i klassen.

Hvad er særligt ved denne forskrift?

Klassesamtale Er grafen for andengradsfunktionen en god beskrivelse af papirkuglens bane?

Hvilke punkter på papirkuglens bane er specielt interessante, når I skal tegne en graf, der beskriver banen?

Udfordring I skal undersøge, om kast, som rammer spanden fra samme afstand, kan have forskellige baner.

5. Lyt til din matematiklærer

.

34

I skal se filmen på MAT10 Web. I den fortælles om to muligheder at få lommepenge på: Den ene mulighed er, at dine forældre vil give dig lommepenge.

De vil give dig 500 kr. hver måned. Din lærer mener, at du skal vælge en anden mulighed. Din lærer giver dig 5 kr. Dine forældre skal hver måned give dig det samme beløb, som du har. Den første måned bliver det 5 kr., og du har nu 10 kr.

Næste måned 10 kr., og du har nu 20 kr. osv. a. Hvilken af de to muligheder vil I vælge?

Gæt og vælg ud fra, hvad I mener, er det bedste valg. b. Udfyld tabeller for 12 måneder og tegn graferne for de to muligheder.

Produkt Brug jeres grafer til at sammenligne de to muligheder.

• Hvornår kan det bedst betale sig at vælge mulighed 1? Hvornår mulighed 2?

• Er der et tidspunkt, hvor de to muligheder vil give det samme beløb?

Klassesamtale Hvordan kan man regne ud, hvor mange penge man har efter 30 måneder ved mulighed 1 og 2?

Brug forskellige repræsentationsformer til at sammenligne de to situationer.

Den første mulighed kan beskrives med en lineær funktion. Den anden mulighed giver ikke en ret linje, men den kan beskrives med en anden type funktion.

Denne type funktion kaldes en eksponentiel funktion. Beskriv forskelle og ligheder på de to typer af funktioner.

Udfordring Hvor lang tid vil der gå, før I bliver millionærer, hvis I vælger mulighed 2?

Hvad med mulighed 1?

3. Funktioner

6. Klassens længste guirlande

35

Byens erhvervsliv vil gerne betale for produktion af en 250 m lang guirlande til gågaden. Simon vil gerne have, at hans klasse byder ind på opgaven. Ikke alle i klassen har ikke lyst til at hjælpe, så han vil prøve at overtale så mange som muligt.

Der er 25 elever i hans klasse. a. Brug et regneark og opstil en tabel, som viser, hvor mange meter hver elev skal producere, afhængigt af, hvor mange han får overtalt.

Antal elever Antal meter guirlande hver elev skal lave

1

2

3

250

125

83,33

4

10

25

Produkt I skal bruge jeres tabel til at tegne en graf, der viser sammenhængen mellem antal elever og antal meter guirlande, hver elev skal producere.

Hvad betyder det for antallet af meter guirlande hver elev skal lave, • hvis der er dobbelt så mange elever til at lave den?

• hvis der er halvt så mange elever til at lave den?

Klassesamtale Hvordan vil I kunne skrive forskriften for funktionen, hvis antallet af meter guirlande er a, og antallet af elever er x? Vil det give mening, hvis x var 0?

Den sammenhæng, som I har arbejdet med, kaldes omvendt proportionalitet.

Prøv at argumentere for navnet ud fra jeres produkt og jeres viden om ligefrem proportionalitet.

Udfordring Find andre situationer, der kan beskrives med omvendt proportionalitet, og opstil deres forskrift på formen f(x) = xa .

Hvad er a i de forskellige situationer?

Viden om funktioner Definition En funktion er en sammenhæng mellem to variable, der kan beskrives med tal.

De to variable kaldes den uafhængige variabel, x, og den afhængige variabel, y.

Repræsentationsformer En funktion kan repræsenteres på fire forskellige måder: Sproglig beskrivelse, en tabel, en graf og en forskrift..

36 Forskrift

Sproglig beskrivelse Vindruer koster 18 kr./kg. Funktionen f beskriver sammenhængen mellem vægten af vindruer i kg, x, og den samlede pris, f(x).

f (x) = 18x

Graf

Tabel

Pris i kroner 50 40

x

0

1

2

5

10

30

f(x)

0

18

36

90

180

20 10 Vægt i kg 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Lineære funktioner Nogle funktioner er rette linjer, når de tegnes i et koordinatsystem. De kan alle skrives på grundformen f(x) = ax + b, hvor a er linjens hældningskoefficient og b er y-værdien til linjens skæring med y-aksen.

Hældningskoefficient (stigningstal) En lineær funktions hældningskoefficient, a, er y-tilvæksten, når x-tilvæksten er 1.

Skæring med y-aksen En lineær funktion skærer y-aksen i punktet (0,b).

3. Funktioner

Eksempel y

Funktionen f(x) = 2x + 3 har hældningskoefficienten 2 og f(x) = 2x + 3 6 skærer y-aksen i punktet (0,3).

5 4

2

(0,3) 3 2 1 –2 –1

x 0 1

2

3 4

–2

37 Eksempler på lineære funktioner Konstant: f(x) = k

Ligefrem proportionalitet: f(x) = ax y

y f(x) = 3

4

10

3

9

2

8

1

–4 –3 –2 –1 0 1 2

7

x 3

4

f(x) = 3x

6

5

5 4 3 2 1 –2 –1

Lineær funktion: f(x) = ax + b

6

5

5

4

4

3

3

f(x) = –x + 3

–2

3

4

x 2

3

4

f(x) =

2

1 0 1

2

5

y

6

–2 –1 –1

0 1

Stykkevis lineær funktion: f(x)

y

2

x

5

1 –1 –1

 x + 2, for 0 ≤ x ≤ 3  5, for 3 ≤ x ≤ 5  x

0 1

2

3

4

5

Ikke-lineære funktioner Nogle funktioners grafer er ikke rette linjer. Det gælder fx eksponentielle funktioner, andengradsfunktioner og omvendt proportionalitet.

Eksponentiel funktioner Eksponentielle funktioner kan skrives på grundformen f(x) = b · ax, hvor a og b er positive tal.

En eksponentiel funktion skærer y-aksen i punktet (0,b).

Eksponentielle funktioner, hvor a > 1, er voksende.

Eksponentielle funktioner, hvor a < 1, er aftagende. y

38

Eksempel Funktionen f(x) = 2 · 1,2x skærer y-aksen i punktet (0,2).

Når x-tilvæksten er 1, bliver y-værdien 1,2 gange større.

(5;4,98)

6

(0,2)

4,15 · 1,2 = 4,98

(4;4,15)

4

(1;2,4)

x

f(x)

2,00 · 1,2 = 2,4

0

1

2

3

4

5

2,00

2,40

2,88

3,46

4,15

4,98

a kaldes fremskrivningsfaktoren. x

–4

0

–2

2

4

6

8

y

Andengradsfunktion

8

f(x) = 2x2 + x – 3 Andengradsfunktionen kan skrives på grundformen

6

f(x) = ax2 + bx + c. Grafen for funktionen vender grenene opad, når a er større end 0, og nedad når a er mindre end 0.

Grafen for en andengradsfunktion kaldes en parabel. x En andengradsfunktion skærer y-aksen i punktet (0,c).

4 2 0

–2

2

4

Eksempel Et boldkast kan beskrives med en andengradsfunktion.

Grafen for andengradsfunktionen til venstre skærer y-aksen i punktet (0;1,7).

Det betyder, at bolden forlader hånden 1,7 meter over jorden.

Boldkastet på grafen er 26,6 meter langt.

y 10 8 6 4 2 –4

–2

(0;1,7) 0 2

(26,6;0) 4

6

8

10 12 14 16

18 20 22 24 26 28 30

x

3. Funktioner

Omvendt proportionalitet

Omvendt proportionalitet har grundformen f(x) = xa y

Ved omvendt proportionalitet gælder, at • når x-værdien fordobles, halveres y-værdien, 5 • når x-værdien halveres, fordobles y-værdien, 4 f(x) = x3 • når x-værdien bliver tre gange så stor, bliver 3 y-værdien en tredjedel gange så stor osv.

2 1 –8

–6

–4

x 0

–2

–1

2

4

6

8

–2 –3

39

–4 –5

Eksempel Sara har 3 km til skole. Sammenhængen mellem Saras gennemsnitsfart, x, målt i km/t og hvor lang tid det tager Sara at transportere sig til skole, f(x), målt i timer, er omvendt proportional.

Transporttid i timer 7 6 5

x

4

f(x) = x3

3 2

1

f(x)

Gennemsnitsfart i km/t 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,5

1

5

10

20

25

6

3

0,6

0,3

0,15

0,12

Redegørelse

40

Du skal sammen med en kammerat skrive en redegørelse på 2-5 sider, som indeholder nogle af de problemstillinger, der er arbejdet med her i kapitlet.

Det er vigtigt, at du kan anvende og bruge indholdet, når du skal fremlægge din redegørelse. Du bliver bedømt på, hvordan du fremlægger indholdet i redegørelsen, og ikke hvordan den ser ud.

Temaerne i kapitlet er: I ntro – Kikkerten 1. Stabling af krus 2. Gå en graf 3. Hvilken telefon lader hurtigst op?

4. Hvor svært kan det være at ramme?

5. Lyt til din matematiklærer 6. Klassens længste guirlande

Klassesamtale Beskriv med egne ord, hvad kapitlet handler om. Hvilken matematik har I arbejdet med? Hvilke produkter har I lavet? Skriv noter, tag fotos og vælg vigtige og væsentlige matematiske udtryk, som giver mening for jer.

Brug samtalearket og skabelonen på MAT 10 Web.

3. Funktioner

Du skal vise og forklare Vælg to af de temaer, som du har arbejdet med i kapitlet. Tag udgangspunkt i dig selv.

Hvilke to temaer indeholder de undersøgelser, som du gerne vil vise og forklare.

Du skal vise og forklare i 10-15 min.

• Hvordan løste du problemstillingerne?

• Hvilke af de fire repræsentationsformer anvendte du, og hvordan brugte du dem?

• Hvilke hjælpemidler har du brugt, og hvordan (it-programmer m.m.)?

• Hvilken faglig viden brugte du i undersøgelserne (pointer fra klassesamtalerne)?

Matematik fra din egen hverdag Beskriv et eksempel fra din egen hverdag, hvor du har mødt eller brugt den matematik, som du har arbejdet med i emnet. Det kan være i dit brobygningsforløb, på dit job, til sport, derhjemme, på ferie eller lignende.

Øvelse

Beskriv forskellige sammenhænge fra din hverdag med funktioner. Det kan være: •D u har købt 2 liter sodavand og vil dele den med nogle venner.

Hvor meget sodavand kan I få hver?

• Du skal stable stole. Hvor høj bliver stablen?

• Du skyder bolden over hækken. Hvor lander den?

•D u lejer et elløbehjul. Det koster 10,50 kr. i startgebyr og 1,50 kr. pr. minut.

Hvad koster turen?

• Det er fredag og du vil købe vej-selv-slik. Hvor meget koster det?

• Find selv på flere eksempler.

Hvilken sammenhæng er der? Hvordan kan du bruge funktioner til at svare med?

Hvilke repræsentationsformer vil du bruge?

41

4.

Procent og brøk

Intro – Hvor møder I procent og brøk?

42

Brøker, procenttal og decimaltal er forskellige måder at skrive det samme tal på.

Man møder dem mange steder i hverdagen. På MAT10 Web kan I finde nogle fotos, hvor der er procenttal.

• Overvej, om I kan erstatte procenttallet med en brøk.

• Vil det give en anden betydning?

• I skal forklare, hvorfor I tror, man har brugt procenttal og ikke brøker i de viste eksempler.

Efter præsentationerne diskuteres i gruppen I skal give flere eksempler på anvendelse af procenttal og brøker i hverdagen.

Giv eksempler på situationer, hvor I vil vælge en brøk frem for procenttal.

4. Procent og brøk

Brug din viden Du skal anvende procent- og brøkstrimler, som findes på MAT10 Web. Fortæl en historie fra din hverdag,, der kan passe til hver enkelt strimmel. Forklar, hvordan du vil finde de manglende tal på strimlerne. Du kan vælge at indtale historien på MAT10 Web og derefter drøfte din historie med en kammerat.

Klassesamtale Forklar, hvordan man kan omskrive brøker til procenttal, og hvordan man kan omskrive procenttal til brøker. I kan bruge denne strimmel eller en GeoGebra-fil, som I finder på MAT10 Web.

0

? ?

1 2

? ?

0

20%

?%

60%

1 1

100%

11 10

1 = 1 10

?

?

125%

I dette kapitel skal du …

Du skal anvende og regne med procenttal, brøker og decimaltal.

Procentstrimlerne og brøkstrimler og decimaltalstrimler kan bruges til finde ud af, hvilke regneudtryk der skal anvendes i en beregning.

Strimlerne kan også bruges til at se og vurdere, om resultatet kan passe.

Procentstrimmel

0%

25%

50%

75%

1 2

3 4

100%

125%

Brøkstrimmel

0

1 4

1 1

1 41

Decimaltalstrimmel

0

0,25

0,5

0, 75

1

1, 25

43

1. Hvad kan bedst betale sig?

For det dyreste par fratrækkes 50 kr. og derefter 50% For det billigste par fratrækkes 50% og derefter 50 kr.

44

En skobutik giver en speciel form for rabat, når man køber to par sko. a. I skal undersøge, om kunden får størst rabat på det billigste eller på det dyreste par sko. I skal begrunde jeres svar.

Produkt Lav en præsentation, hvor I viser, hvornår kunden får størst rabat på de dyreste sko, og hvornår kunden får størst rabat på de billigste sko.

I kan selv vælge, hvilken repræsentationsform I vil bruge.

Klassesamtale Forklar, hvad forskellen er på at få 50% i rabat og 50 kr. i rabat.

Giv eksempler på situationer, hvor I sparer mest: • ved at få først 50% og derefter 50 kr. i rabat på det dyreste par sko.

• ved at få først 50 kr. og så 50% i rabat på det billigste par sko.

• Hvad koster de to par sko, hvis man får lige stor rabat på begge par?

Udfordring Pr = ( P − 20) ⋅

100 − 20 100

hvor Pr er prisen med rabat, og P er den oprindelige pris.

En anden skobutik giver den samme form for rabat, men kun 20 kr. og 20%. a. F orklar, hvorfor prisen for det dyreste par sko efter rabat kan beregnes med formlen til venstre. b. Opstil et lignende udtryk for prisen efter rabat for det billigste par sko.

4. Procent og brøk

2. Hvor meget længere?

I har sikkert hørt det før. I skal helst gå 10000 skridt om dagen. Men du og din makker vil nok ikke gå lige langt. I skal begge tage udgangspunkt i jeres egen gennemsnitlige skridtlængde. a. Hvor langt har I hver især gået, når I har taget 10 000 skridt? b. Hvor stor er forskellen på den distance, I har gået i procent?

Produkt I skal lave en kort præsentation, hvor I sammenligner jeres skridtlængde med klassens længste og klassens korteste skridtlængde.

Hvor meget er din skridtlængde kortere end den længste skridtlængde i klassen? Hvor mange procent er din skridtlængde kortere end den længste skridtlængde i klassen?

Hvor meget går den elev med den længste skridtlængde længere end dig, når I begge går 10000 skridt?

Hvor mange procent går den elev med den længste skridtlængde længere end dig, når I begge går 10000 skridt?

Klassesamtale Hvordan beregner I forskellen i procent på to tal?

Hvor meget længere går en person med 4% længere skridtlængde, når de begge går 10000 skridt?

Udfordring Albert og Viktor skal begge gå 10000 skridt. Alberts skridtlængde er 8% længere end Viktors. Hvorfor er Viktors skridtlængde ikke 8% kortere end Alberts?

45

3. Procenter og brøker på spil

46

På MAT10 Web finder I fire hjørnebrikker med kronebeløb og pilekort med procenttal, brøker og decimaltal. I skal placere pilekort på spillepladen, så der dannes korrekte regneudtryk fra hjørne til hjørne i pilenes retning.

Begynd med at lægge decimaltal-pilene.

I skal skiftes til at placere et pilekort. Den ene af jer placerer et kort og forklarer makkeren, hvorfor kortet passer netop der.

Hvis I er uenige, skal I gøre opmærksom på det. I skal herefter afgøre, hvor kortet skal placeres. Det er vigtigt, at I begge forstår beregningen ved hvert kort.

Når I har lagt decimaltal-pilene, skal I lægge procent-pilene, så regneudtrykkene er korrekte, når de læses fra hjørne til hjørne i pilenes retning.

Når I har lagt procent-pilene, skal I lægge brøk-pilene, så regneudtrykkene er korrekte, når de læses fra hjørne til hjørne i pilenes retning.

4. Procent og brøk

Produkt

For hvert sæt af pile, decimaltal, brøk og procent, skal I vælge to beløb og to pile som herover (de røde).

Undersøg, om regneudtrykkene stadig er korrekte, hvis I halverer de to kronebeløb.

Undersøg, om regneudtrykkene stadig er korrekte, hvis I halverer de to decimaltal.

Undersøg, om regneudtrykkene stadig er korrekte, hvis I halverer de to kronebeløb.

Undersøg, om regneudtrykkene stadig er korrekte, hvis I halverer de to procenttal.

Undersøg, om regneudtrykkene stadig er korrekte, hvis I halverer de to kronebeløb.

Undersøg, om regneudtrykkene stadig er korrekte, hvis I halverer de to brøker.

Klassesamtale

ælg to pengebeløb og find decimaltaltal-pile, brøk-pile og procent-pile, V som kan stå mellem dem. Prøv med forskellige pengebeløb.

Formuler regler for, hvilke forskellige pile der kan stå mellem de samme pengebeløb.

Udfordring

Se på to decimaltal-pile, som peger hver sin vej mellem to pengebeløb.

Beskriv sammenhængen mellem de to tal, der står på pilene.

Forklar, hvorfor der er denne sammenhæng.

Beskriv tilsvarende sammenhængen mellem to procent-pile og brøk-pile.

47

4. Tal på linje

48

I skal tegne en linje eller lægge en snor på gulvet og klippe talkortene ud. Hent kortene på MAT10 Web. Placér talkortene 0 og 1 på tallinjen og læg de øvrige talkort i en bunke.

I skal placere talkortene 12 og 41 i rigtig rækkefølge mellem 0 og 1. a. Forklar, hvilken brøk der er størst.

I skal nu skiftes til at trække et kort fra bunken og placere det på tallinjen. b. Sammenlign rækkefølgen af jeres kort på tallinjen med en anden gruppe.

Er I enige?

Produkt Giv en forklaring på, hvordan I kan finde ud af, om en brøk er større end en anden brøk.

Kan I finde flere forskellige metoder til at afgøre, hvilken brøk der er størst?

Klassesamtale Hvordan kan I finde ud af, om en brøk er større end en anden?

Hvordan kan I se, om en brøk er større end 1, mindre end 1 eller lig med 1?

Udfordring

1+ 1 2 1 = = .

4+2 6 3 Så 13 er større end 41 , men mindre end 12 .

Jeg regner

Pelle påstår, at når der er to brøker på tallinjen, kan man altid finde en brøk, der kan placeres imellem dem ved at lægge deres tællere sammen og lægge deres nævnere sammen.

Se eksempel med 1 og 41 .

2

I skal undersøge, om Pelles metode altid virker.

4. Procent og brøk

5. Robotten Knostylte

En robotproducent har fået til opgave at producere små menneskelignende robotter, der kan luge ukrudt. Han skal kunne fremstille dem i forskellige størrelser, men det er vigtigt, at han overholder proportionerne mellem de forskellige dele.

Hans robotudvikler har valgt, at der skal tages udgangspunkt i højden.

Robottens øvrige mål kan beregnes ud fra det følgende: • Hovedhøjden er 91 gange højden.

• Skulderbredden er 32 af højden.

• Livvidden er 61 af højden.

• Fodlængden er 91 af højden.

• Rækkevidden fra ”fingerspids” til ”fingerspids” er 2,5 gange højden.

• Benlængden er 81 gange højden.

Der skal produceres to robotter. Den ene skal have højden 30 cm og den anden skal have højden 120 cm. a. Sammenlign forholdet mellem robottens legemsdele og de tilsvarende forhold på jeres egen krop.

Produkt Tegn en skitse med mål af de to robotter.

Hvorfor navngav forskerne denne menneskelignende robot Knostylte?

Klassesamtale I skal med eksempler forklare, hvordan I beregner en brøkdel af et tal.

I kan fx forklare, hvordan I har beregnet de forskellige mål på robotterne.

Udfordring I skal beskrive hinanden på samme måde, som de to robotter.

Prøv også beskrive, hvordan I ville se ud, hvis alle forholdstallene på jeres krop var 0,5.

49

Viden om procent og brøk Procent Procent betyder hundrededele eller ’ud af hundrede’. 20% betyder 20 hundrededele, 20 100 , eller 20 ud af hundrede.

50

Man kan beregne hvor stor en procentdel en talværdi er af en anden talværdi ved at dividere de to talværdier med hinanden.

I 10. A udgør pigerne 12 ud af 21 elever.

12 = 0,57 = 57% 21 Andelen af piger i 10. A er 57%.

Man kan beregne forholdet mellem to talværdier ved at dividere de to talværdier med hinanden.

I 10. A er der 12 piger og 9 drenge.

Forholdet mellem antallet af piger og drenge i 10. A er 12 = 1,33 : 1

Man kan lægge en procentdel til en talværdi ved at gange med 1 plus procentsatsen.

En vare koster 125 kr. Prisen stiger med 25%.

Ny pris: 125 kr. · (1 + 0,25) = 156,25 kr.

Man kan trække en procentdel fra en talværdi ved at gange med 1 minus procentsatsen.

En vare koster 125 kr. Prisen falder med 25%.

Ny pris: 125 kr. · (1 – 0,25) = 93,75 kr.

Ved beregning af stigning/fald i procent, skal man dividere forskellen med den ’oprindelige’ talværdi.

En vare er nedsat fra 299 kr. til 249 kr.

Forskellen på de to priser er 299 kr. – 249 kr. = 50 kr.

Den oprindelige pris er 299 kr.

Varen er nedsat: 299 – 249 ≈ 0,17 =17%.

9

299

4. Procent og brøk

Når en talværdi vokser med den samme procentsats flere gange, beregnes slutværdien ved at gange med 1 plus procentsatsen flere gange.

På en ø er der ca. 5400 kaniner. Antallet af kaniner vokser med 2% om året.

Efter 4 år er der cirka: 5400 · (1 + 0,02) · (1 + 0,02) · (1 + 0,02) · (1 + 0,02) = 5400 · 1,024 = 5845 kaniner på øen.

Når en talværdi falder med den samme procentsats flere gange, beregnes slutværdien ved at gange med 1 minus procentsatsen flere gange.

På en ø er der ca. 2500 rådyr. Antallet af rådyr falder med 3% om året.

Efter 3 år er der cirka: 2500 · (1 – 0,03) · (1 – 0,03) · (1 – 0,03) = 2500 · 0,973 = 2282 rådyr på øen.

Brøk Brøkstregen betyder division, så 25 er

En brøk er et tal, der kan skrives som et forhold mellem to hele tal, a og b. b skal være forskellig fra 0.

det samme som 2:5.

Brøker kan bruges på to forskellige måder: 1. Som del af en helhed

3 af figuren er farvet blå.

5

2. Som et tal, der kan placeres på en tallinje

–1

–

2 5

0

1 3

1 2

3 4

1

Sammenhæng mellem procent, brøk og decimaltal 38 = 0,38 Eksempel: 38% = 100

5 4

3 2

2

51

Redegørelse

52 Du skal sammen med en kammerat skrive en redegørelse på 2-5 sider, som indeholder nogle af de problemstillinger, der er arbejdet med her i kapitlet.

Det er vigtigt, at du kan anvende og bruge indholdet, når du skal fremlægge din redegørelse. Du bliver bedømt på, hvordan du fremlægger indholdet i redegørelsen, og ikke hvordan den ser ud.

Temaerne i kapitlet er: Intro – Hvor møder I procent og brøk?

1. Hvad kan bedst betale sig?

2. Hvor meget længere?

3. Procenter og brøker på spil 4. Tal på linje 5. Robotten Knostylte

Klassesamtale Beskriv med egne ord, hvad kapitlet handler om.

Hvilken matematik har I arbejdet med?

Hvilke produkter har I lavet? Husk også at medtænke de ting, der er på MAT10 Web. Skriv noter, tag fotos og vælg vigtige og væsentlige matematiske udtryk, som giver mening for jer. Brug samtalearket og skabelonen på MAT10 Web.

4. Procent og brøk

Du skal vise og forklare Vælg to af de temaer, som du har arbejdet med i kapitlet. Tag udgangspunkt i dig selv.

Hvilke to temaer indeholder de undersøgelser, som du gerne vil vise og forklare.

Du skal vise og forklare i 10-15 min.

• Hvordan løste du problemstillingerne?

• Hvilke beregninger, regler m.m. har du brugt?

• Hvilke hjælpemidler brugte du, og hvordan (it-programmer m.m.)?

• Hvilken faglig viden brugte du i undersøgelserne (pointer fra klassesamtalerne)?

Matematik fra din egen hverdag Beskriv et eksempel fra din egen hverdag, hvor du har mødt eller brugt den matematik, som du har arbejdet med i emnet. Det kan være i dit brobygningsforløb, på dit job, til sport, derhjemme, på ferie eller lignende.

53

Øvelse

Du skal vurdere, i hvilke af disse situationer 50% kan være en stigning, et fald eller en andel? Hvis 50% er urealistisk, hvad kunne procentdelen så være?

Er der situationer, hvor det er bedre at bruge brøk?

1. Antallet af elever i en klasse sættes op.

2. De unge ryger mindre, end de gjorde for 5 år siden.

3. Der er rabat på medlemskab til fitnesscentret.

4. Fedtindholdet i et rugbrød reduceres.

5. Andelen af elever med briller i en klasse.

6. Din hunds vægttab.

7. Dit karaktergennemsnit stiger.