Eksempel: Integration ved substitution – ubestemt integral Vi vil udregne det ubestemte integral ∫ x · e –x dx. 1 Vi bemærker, at stamfunktionen til den ene faktor x, dvs. ⋅ x 2 , er nært beslægtet med 2 1 2 kan repareden indre funktion i den anden faktor, idet en konstant faktor, her ,⋅ xnemt 2 2 res. Det er tegnet på, at vi kan få integralet til at gå op. Vi substituerer derfor u = x , og du dermed er = 2 x , dvs. du = 2x · dx. 2
dx
∫ x⋅e
− x2
2
dx = ∫ e− x ⋅ x dx
Byt rundt på faktorerne 1
= 1⋅∫ e
= 1 ⋅ ∫ e− u du Substituer x 2 = u samt 2x · dx = du 2
= − 1 ⋅ e− u + k
=−
− x2
2
2 1 − x2 ⋅e 2
x ⋅ 2 x dx Gang med 2 og divider med 2 (sæt 2 ⋅udenfor) for at få 2x
+k
Udfør integrationen
Substituer tilbage med u = x 2
Det ubestemte integral er altså givet ved
Øvelse 2.30
2
∫ x⋅e
− x2
dx = − 1 ⋅ e− x + k . 2
2
Kontroller integration: Gør prøve ved at differentiere
1 Kontroller integrationen ∫ x ⋅ e− x dx = − ⋅ e− x + k ved hjælp af integrationsprøven, dvs. 2 2 1 vis ved differentiation af stamfunktionen= − 2 ⋅ e− x , +atk vi netop finder integranden 2 –x x·e . 2
2
Praxis: Integration ved substitution – det ubestemte integral Antag, at vi skal integrere et produkt af formen ∫ f(G(x)) · g(x) dx, hvor den ene faktor f (G(x)) er en sammensat funktion, og hvor det gælder, at den indre funktion er stamfunktion til den anden faktor g(x), dvs. G ′(x) = g(x). Så foregår integrationen ved følgende procedure: → u: Udskift G(x) = u, hvor G(x) er en stamfunktion 1. Substituer G(x) ← til g(x). → du: 2. Substituer g(x) dx ←
Udskift g(x) · dx med differentialet du
3. Beregn integralet:
∫ f(u) du
4. Substituer tilbage:
Udskift u = G(x)
Bemærk, at det kan være nødvendigt at omskrive integranden ved at gange og dividere med den samme konstant (som vist i eksemplet ovenfor) for at nå frem til et produkt, der opfylder betingelsen.
96
9788770668781_indhold.indb 96
12/08/2019 12.40