2. Integralregning
Øvelse 2.19
Gæt stamfunktioner
I det følgende er F en stamfunktion til f. Kan du gætte en stamfunktion? f(x)
0
5
3x2 + 2x
5x4 – 4x3 + 2
10x4
x6
x12
ek·x
3 · x–1
–3 · x–4
F(x)
Øvelse 2.20
Stamfunktioner til potensfunktioner – er der et system?
a) Opstil en tabel over stamfunktioner til potensfunktioner: f(x)
x–3
x–2
x–1
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
F(x) b) Hvilke andre funktioner kan du gætte stamfunktioner til?
De tre øvelser giver ideen til den vigtige sætning om antallet af stamfunktioner til en funktion f:
Sætning 1: Samtlige stamfunktioner til en given funktion f a) A ntag, at F1(x) er en stamfunktion til f(x). Så er enhver funktion på formen F(x) = F1(x) + k, hvor k er en konstant, også en stamfunktion til f(x). b) Antag F1(x) og F2 (x) begge er stamfunktioner til f(x). Så findes der en konstant k, så F2 (x) = F1(x) + k. Dvs. at forskellen mellem to stamfunktioner til en bestemt funktion f er en konstant.
Praxis: Den kanoniske stamfunktion Når en funktion f er repræsenteret ved en regneforskrift, fx f(x) = 3x2 + 4x + 5, bestemmes samtlige stamfunktioner ved først at bestemme den stamfunktion, der udspringer af regneforskriften, i dette tilfælde: F(x) = x 3 + 2x 2 + 5x , og dernæst at lægge en konstant k til. Stamfunktionen F(x) = x 3 + 2x 2 + 5x uden konstant kalder vi af og til for den kanoniske stamfunktion.
87
9788770668781_indhold.indb 87
12/08/2019 12.40