Ligningen s′′ (t) = – w 2 · s(t) er en såkaldt 2. ordens differentialligning. Disse behandles i kapitel 6, hvor vi undersøger svingninger mere generelt. I studieretningskapitlet om fysik, som du kan finde på bogens website, kan du også læse mere om anvendelsen af harmoniske svingninger. I opgavebog 3 ligger der opgaver i tilknytning til afsnit 3.
4. Harmoniske svingninger y
P
P0
w·t
ϕ A
B 1 –2p
–p
Fasebegrebet stammer fra astronomien. Månens faser afspejler månens periodiske forandringer på himmelbuen, der netop kan knyttes til en harmonisk svingning.
Vi vil nu se lidt nærmere på de harmoniske f(t) = A · sin( w · t + ϕ ) + B svingninger:
–1 –1
h(x) = A · sin( w · x + ϕ ) + B
hvor A kaldes for amplituden, w kaldes vinkelhastigheden, ϕ kaldes begyndelsesfasen, og B kaldes ligevægtsværdien. Man kan tænke på grafen for den harmoniske svingning som frembragt af en x jævn cirkelbevægelse med radius A og 1 2p 3p 4p p et centrum, der er løftet stykket B. nymåne sidste kvarter fuldmåne
T il tiden t = 0 har cirkelbevægelsen begyndelsesfasen ϕ svarende til retningspunktet P0. Herefter bevæger cirkelpunktet P sig med den konstante vinkelhastighed w , så fasen, dvs. retningsvinklen til tiden t er givet ved: fase = w · t + ϕ
første kvarter nymåne
H øjden over ligevægtsværdien er da givet ved A · sin( w · t + ϕ ), og den samlede højde, dvs. udsvinget y, er givet ved:
y = A · sin( w · t + ϕ ) + B divideret med vinkelhastigheden w giver tiden t, som overføres Centervinklen P 0P til x-aksen. Højden over x-aksen overføres til y-aksen. Grafen udfoldes nu på sædvanlig vis. På bogens website kan du hente såvel en konstruktionsforklaring som en animation af den ovenstående udfoldning med skydere, der viser, hvad der sker, når vi ændrer på konstanterne A, B, w og ϕ .
64
9788770668781_indhold.indb 64
12/08/2019 12.39