1. Trigonometriske funktioner
3.1 Hookes lov – svingning af en fjeder Formlerne for de afledede trigonometriske funktioner har vidtrækkende konsekvenser i fysik. De trigonometriske funktioner bruges til at beskrive harmoniske svingninger af lodder, penduler m.m. Du kan på bogens website hente en animationen af skitsen her: P
m
Når du trækker cirkelpunktet P jævnt rundt på cirklen, vil loddet svinge harmonisk op og ned, dvs. det vil følge en sinus-svingning. Hookes lov, der er empirisk begrundet, siger, at den samlede kraft, der påvirker loddet med massen m, er proportional med og modsat rettet udsvinget fra ligevægtsstillingen (ud for cirklens centrum). Dvs.:
0
C
s
F = – k · s(t)
Newtons anden lov siger, at kraft er lig med masse gange acceleration, og accelerationen er ændringen i hastighed v pr. tidsenhed, dvs. lig med v ′ (t). Men hastigheden er lig med ændringen i vejlængden, vi bevæger os pr. tidsenhed, dvs. lig med s′ (t), så alt i alt giver Newtons anden lov:
F = m · a = m · v ′ (t) = m · s′′ (t)
hvor s′′ (t) betyder s(t) differentieret to gange. Der må derfor gælde:
m · s′′ (t) = –k · s(t)
k s′′′′(t) ( t ) = − ⋅ s( t ) m
Divider med m
t ) = − ω 2 ⋅ s( t ) s′′((t)
Kald
k for w m
Sætningen herunder fortæller, at sinus-funktionen er en løsning til denne ligning.
Sætning 3: De anden afledede af sinus og cosinus sin′′(t) = –sin(t) og cos′′(t) = –cos(t)
Øvelse 1.19 Bevis sætningen.
Øvelse 1.20
Den dobbelt afledede af sinus
Vis derefter at den harmoniske svingning s(t) = A · sin( w · t) opfylder ligningen 2 s′′ (t) = – w · s(t).
63
9788770668781_indhold.indb 63
12/08/2019 12.39