1. Trigonometriske funktioner
2.3 Trigonometriske grundligninger Ligninger på formen sin(x) = k eller cos(x) = k hvor k er et tal i intervallet [ –1;1], kaldes trigonometriske grundligninger. Disse løses naturligvis let med solve-kommando i et værktøjsprogram, dog skal man være opmærksom på antallet af løsninger! Derfor er det en god idé altid at tegne grafen for den trigonometriske funktion for at få overblik.
Eksempel: Løsning af trigonometrisk grundligning sin(x) = k, hvor k er en konstant Vi vil løse ligningen sin(x) = 0,65. Vi tegner først grafen for både venstresiden og højresiden i ligningen: y f(x) = sin(x)
sin g(x) = 0,65
1
x –2p
–p –1
x1 = 0,71 x2 = 2,43
2p
3p
x2 = p– x1
k
x1 = sin –1 ( k)
4p
Heraf følger, at der i det viste interval [–2p ;4p ] er hele 6 løsninger – og hvis vi udvider visningen, vil der blot dukke endnu flere løsninger op! Hvis vi ser på de løsninger, som det grafiske billede viser, så opdager vi, at løsningerne vises i par. Det første par af løsninger ligger i intervallet [ 0;2p ]. Disse kan på grund af funktionens symmetriske egenskaber, jfr. formlerne, vi undersøgte i øvelse 1.14 – og som vi kender fra sinus-fælden – beskrives ved:
–1 x1 = sin (0,65) = 0,71 og x2 = p – x1 = 2,43
De andre par af løsninger opstår på grund af funktionens periodiske egenskaber, dvs. de to fundne løsninger kan umiddelbart give samtlige andre løsninger, fordi disse netop optræder med en periodes mellemrum. Vi skal altså bare lægge et helt antal perioder (n positiv) til eller trække et helt antal perioder fra (n negativ) de løsninger, der ligger i intervallet [ 0;2p ]:
x1 = 0,71 + n · 2p og x2 = p – x1 = 2,43 + n · 2p
hvor n er et helt tal. På bogens website ligger en vejledning til de gængse værktøjsprogrammer, i hvordan ligningen løses. Hvis vi fx bliver bedt om kun at bestemme løsningerne i intervallet [ 0;2p ], kan vi sætte en begrænsning på solve-funktionen, hvilket fx kan se således ud: solve (sin(x) = 0.65, x) 0 ≤ x ≤ 2 · p → x = 0.707584 eller x = 2.43401 Konklusion: Løsningen er x1 = 0,71 og x2 = 2,43.
59
9788770668781_indhold.indb 59
12/08/2019 12.39