Ser vi et øjeblik bort fra fortegnet, svarer cosinus og sinus til de to kateter i en retvinklet trekant med hypotenusen 1. Der gælder derfor også den følgende vigtige sammenhæng.
Sætning 1: Pythagoras’ sætning for sinus og cosinus 1
(cos(t) ) 2 + ( sin(t)) 2 = 1
sin(t)
cos(t)
Eksempel: De omvendte funktioner til sin og cos De omvendte funktioner, sin –1 og cos –1 til sinus og cosinus spiller en vigtig rolle i matematisk analyse, og de har bla. af den grund fået særskilte navne: arcussinus og arcuscosinus (der skrives kort som arcsin og arccos). Vi kender de omvendte opera–1 tioner fra trekantsberegninger, hvor vi erindrer, at sin kan give problemer og få os i sinusfælden, fordi der er to mulige løsninger til en ligning, hvor sinus indgår. Dette er et generelt problem for sinus og cosinus , hvilket vi ser nærmere på i næste afsnit: En given y-værdi i intervallet mellem –1 og +1 kan stamme fra mange forskellige π π –1 og x-værdier. Man har da vedtaget, at funktionen sin hører til stykket fra − til 2 2 –1 at funktionen cos tilsvarende hører til stykket fra 0 til p : y y = sin(x) 1 y
–1 –2p
–p
1
x
p
–1
sin (y)
2p
–1 y y = cos(x)
1
–1 cos ( y)
–2p
–p
–1
y
1
x
p
2p
–1
Øvelse 1.15
Monotoniforhold for sin og cos
a) Begrund ud fra definitionen på enhedscirklen, at sinus er voksende på stykket π π fra − til . Begrund tilsvarende ud fra definitionen på enhedscirklen, at 2 2 cosinus er aftagende på stykket fra 0 til p. b) T egn graferne for sinus og arcussinus i samme koordinatsystem. Hvad er sammenhængen mellem de to grafer? c) Gentag punkt b) med cosinus og arcuscosinus. d) Giv en begrundelse for, at arcussinus og arcuscosinus har samme monotoniforhold som sinus og cosinus.
58
9788770668781_indhold.indb 58
12/08/2019 12.39