1. Trigonometriske funktioner
Vi kan nu sammenfatte vores undersøgelser om sinus- og cosinus-funktionerne:
Praxis: Grundlæggende egenskaber for sinus og cosinus
p
1. D e to grafer er ens i form, og den eneste forskel er, at den ene er forskudt 2 i forhold til den anden: y g(x) = cos(x)
1
f(x) = sin(x) x
–2 p
p
–p –1
2
p
2p
3p
4p
2. Definitionsmængderne for de trigonometriske funktioner er de reelle tal, mens deres værdimængder begrænser sig til [ –1;1], fordi de er defineret ud fra enhedscirklen. 3. Både cos og sin er periodiske funktioner med perioden 2· p , dvs.: cos(x + n · 2 · p ) = cos(x) og sin(x + n · 2 · p ) = sin(x), for alle hele tal n.
Cosinus- og sinusfunktionerne kan altså bringes til at beskrive den samme bevægelse, men pr. tradition bruger vi som oftest sinusfunktionen til at beskrive forskellige fænomener, fordi den er lidt simplere i udgangspunktet. Fx er sin(0) = 0, dvs. grafen for funktionen går gennem punktet (0,0), så det er let at se forskydninger i både vandret og lodret retning. Man kalder også disse trigonometriske funktioner for harmoniske funktioner eller harmoniske svingninger på grund af deres periodiske og symmetriske egenskaber.
Øvelse 1.14
Overgangsformler mellem sinus og cosinus – 2
I Hvad er matematik? 1, kapitel 6 fandt vi følgende formler, idet vi husker, at 180° = p radianer:
1a) cos(p – x) = –cos(x)
og
1b) sin(p – x) = sin(x)
2a) sin(–x) = –sin(x)
og
2b) cos(–x) = cos(x).
a) K ontroller hver af disse formler ved at tegne grafer for henh. højresiden og venstresiden. b) A rgumenter for formlerne ved en passende figurbetragtning. Formlerne 2a) og 2b) udtrykker funktionernes og deres grafers symmetriske egenskaber. c) Hvad menes med symmetri i disse tilfælde? d) Argumenter for, at formlen cos(–x) = cos(x) også kan udtrykkes cos(2 · p – x) = cos(x)
57
9788770668781_indhold.indb 57
12/08/2019 12.39