3a. Lineære første ordens differentialligninger
y · e – k · x = c
y·e
–k · x
·e
k·x
=c·e
k·x
y = c · ek · x
Gang med samme tal ek · x på begge sider
0 k·x y·e = c·e
Sæt funktionen lig med en konstant c
Anvend potensregel: a x · a –x = a0 Anvend potensregel: a0 = 1
Hermed har vi regnet os frem til den løsning, der er formuleret i sætningen.
Øvelse 3.21
Fuldstændig og partikulær løsning – 1
a) T egn linjeelementer til differentialligningen f ′( t) = 0,036 · f(t). Overvej indretningen af grafvinduet. b) V ælg forskellige startværdier, og undersøg, om der matematisk set er forskellige typer af løsningskurver. Kommenter dette, når differentialligningsmodellen beskriver et befolkningstals udvikling. c) B enyt sætning 1 til at bestemme en forskrift for den løsning f , hvorom der gælder, at f(0) = 17,4 mio.
Øvelse 3.22
Fuldstændig og partikulær løsning – 2
a) T egn linjeelementer til differentialligningen, der er givet på formen y ′= –y . Overvej indretningen af grafvinduet. b) V ælg forskellige startværdier, og undersøg, om der er forskellige typer af løsningskurver. c) Benyt sætning 1 til at bestemme en forskrift for den løsning f, hvis graf går gennem (1,1).
Eksempel: Diskret og kontinuert vækst Under emnet eksponentielle vækstmodeller i Hvad er matematik? 1 oversatte vi den sproglige formulering:
En population P vokser med 3% pr. tidsenhed
t til formlen P = P0 · 1,03 , hvor P0 angiver begyndelsesværdien og t angiver tiden. Her under emnet differentialligninger vil vi oversætte den sproglige formulering til differentialligningen:
P ′= 0,03 · P
der har P = P0 · e
0,03 · t
som løsning.
0,03
Men 1,03 og e er ikke identiske, så hvordan skal det forstås? Forskellen bunder i forskellen på diskret og kontinuert vækst. I det første tilfælde er modellen bygget
157
9788770668781_indhold.indb 157
12/08/2019 12.40