Hvad er matematik? 3

Page 157

3a. Lineære første ordens differentialligninger

y · e – k · x = c

y·e

–k · x

·e

k·x

=c·e

k·x

y = c · ek · x

Gang med samme tal ek · x på begge sider

0 k·x y·e = c·e

Sæt funktionen lig med en konstant c

Anvend potensregel: a x · a –x = a0 Anvend potensregel: a0 = 1

Hermed har vi regnet os frem til den løsning, der er formuleret i sætningen.

Øvelse 3.21

Fuldstændig og partikulær løsning – 1

a) T egn linjeelementer til differentialligningen f ′( t) = 0,036 · f(t). Overvej indretningen af grafvinduet. b) V ælg forskellige startværdier, og undersøg, om der matematisk set er forskellige typer af løsningskurver. Kommenter dette, når differentialligningsmodellen beskriver et befolkningstals udvikling. c) B enyt sætning 1 til at bestemme en forskrift for den løsning f , hvorom der gælder, at f(0) = 17,4 mio.

Øvelse 3.22

Fuldstændig og partikulær løsning – 2

a) T egn linjeelementer til differentialligningen, der er givet på formen y ′= –y . Overvej indretningen af grafvinduet. b) V ælg forskellige startværdier, og undersøg, om der er forskellige typer af løsningskurver. c) Benyt sætning 1 til at bestemme en forskrift for den løsning f, hvis graf går gennem (1,1).

Eksempel: Diskret og kontinuert vækst Under emnet eksponentielle vækstmodeller i Hvad er matematik? 1 oversatte vi den sproglige formulering:

En population P vokser med 3% pr. tidsenhed

t til formlen P = P0 · 1,03 , hvor P0 angiver begyndelsesværdien og t angiver tiden. Her under emnet differentialligninger vil vi oversætte den sproglige formulering til differentialligningen:

P ′= 0,03 · P

der har P = P0 · e

0,03 · t

som løsning.

0,03

Men 1,03 og e er ikke identiske, så hvordan skal det forstås? Forskellen bunder i forskellen på diskret og kontinuert vækst. I det første tilfælde er modellen bygget

157

9788770668781_indhold.indb 157

12/08/2019 12.40


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.
Hvad er matematik? 3 by Alinea - Issuu