3a. Lineære første ordens differentialligninger
I dette tilfælde med et radioaktivt stof repræsenterer tallet c antallet af radioaktive atomer til tiden t = 0. Derfor skriver vi også:
N
1. I et radioaktivt henfald er aktiviteten, dvs. antal henfald pr. tidsenhed, proportional med antallet af kerner: dN = −k ⋅ N
N(t) = N0 · e – k · t
hvor N0 angiver antal radioaktive atomer til tiden 0. Fra Hvad er matematik? 1, kapitel 4, hvor vi undersøgte de eksponentielle modeller, ved vi, at der til enhver sådan eksponentielt aftagende funktion knytter sig en halveringstid T1 .
dt
N0
2. I et radioaktivt henfald fra en isotop, der kun ændres ved at den henfalder, aftager antallet af kerner eksponentielt:
N = N0 · e
–k · t
2
På bogens website findes en interaktiv udgave af illustrationen. t
k = 0,16 0
Øvelse 3.2
1
Beregning af henfaldskonstanter
a) Hvad er den præcise definition på halveringstiden? b) V is, at T1 =
ln ( 21 )
2
−k
, og at k =
− ln ( 21 ) T1
=
2
ln(2) . T1 2
c) I skemaet over uran-serien kan du finde alle halveringstiderne. Beregn henfaldskonstanterne for nedenstående radioaktive stoffer:
Stof
T1
U-238
4,47 mia. år
Bly-210
22,3 år
2
k
Gennem mere end 2000 år – og altså også i Vermeers samtid – har kunstnere anvendt et pigment kaldet blyhvidt i deres maling. Blyhvidt er en forbindelse af bly og ilt, som fremstilles ud fra bly, der igen er udsmeltet af blymalm. Brydes en klump malm fri i en blymine, så vil denne ligeledes indeholde uran, der er udgangspunktet for dannelsen af bly – samt alle de øvrige stoffer i serien, blandt andet de langtlevende Radium-226 (halveringstid 1,6 x 103 år) og Bly-210 (22,3 år). Dette skulle vise sig at få afgørende betydning i afsløringen af falskneriet. Udregningerne i det følgende er flere steder tilnærmet, idet vi forenkler modellen og kun tager hensyn til de vigtigste bidrag.
133
9788770668781_indhold.indb 133
12/08/2019 12.40