0. Hvad er matematik?
Solen er sĂĽ langt borte, at strĂĽlerne er parallelle. Hvis vi lyste pĂĽ bolden med en lygte, ville lyskeglen kunne frembringe alle typer keglesnit som skygger for bolden!
Parablen som skyggeďŹ gur.
RĂŚsonnement ud fra geometrisk ďŹ gur
Hyperblen som skyggeďŹ gur.
Vi vil her koncentrere os om ellipsen og vil nu bevise den centrale sÌtning om ellipsens brÌndpunkter. I beviset für vi brug for følgende: Hvis man trÌkker en tangent fra et ydre punkt til en cirkel, er der to muligheder, og de to tangentstykker er lige lange. Hvis man trÌkker en tangent fra et ydre punkt til en kugle, er der uendeligt mange muligheder, men igen er tangentstykkerne lige lange.
P
P
C
C
Ă˜velse 0.1 Prøv selv at argumentere for dette ud fra tegningen og ved brug af en kongruenssĂŚtning.
Vi deďŹ nerer en ellipse som et plant snit i en cylinder. To kugler med samme diameter som cylinderen lĂŚgges henholdsvis over og under ellipseplanen. Røringspunkterne kaldes for brĂŚndpunkter og F1 betegnes F1 og F2 (se ďŹ gur a). F1 F2 F2 MĂĽlet er at bevise, at summen af brĂŚndpunktafstandene PF1 + PF2 er konstant for en ellipse (se ďŹ gur b). Lad P vĂŚre et punkt pĂĽ ellipsen. Tegn de to tangentstykker til den øvre kugle (se ďŹ gur c): Figur a Figur b s $ELS DEN LODRETTE TANGENT LANGS CYLINDERm ADEN der gĂĽr fra P til skĂŚringspunktet med ĂŚkvator Q1. s $ELS TANGENTEN LANGS ELLIPSEPLANEN $A KUGLEN TANGERER ELLIPSEPLANEN I brĂŚndpunktet F1, vil dette tangentstykke derfor gĂĽ fra P til F1.
Q1
Q1
F1
F1 P
F2
P
F2
P
Q2
Figur c
Figur d
Matematisk bevis
15
MateB_0.indd 15
25-07-2012 16:17:17