Opgave 7.25 a) p1 ⋅ x er indtjening for vare A, p2 ⋅ y er indtjening for vare B. v1 ⋅ x og v2 ⋅ y er de samlede udgifter for henholdsvis vare A og B. b) Ved indsættelse fås D(x,y) = –0,0025x2 + 20x + 70y. Ved at isolere y i ligningen 100000 = –0,0025x2 + 20x + 70y fås andengradsudtrykket y = 0000357x2 – 0,286x + 1428,57 y (250,2437.5)
2500
1500 N(100000)
1000
Toppunkt
500 x 0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
c) Alle niveaukurver har toppunkt på linjen x = 4005,6. Når t vokser, svarer det til at parablen (niveaukurven) forskydes lodret opad. Den maksimale værdi optræder, hvor parablerne lige slipper polygonområdet. Det sker i skæringspunktet mellem de to skrå linjer (sammenlign fx parablens og linjernes tangenthældning i punktet). Der skal produceres 250 af vare A og 2437 (afrundet) af vare B.
Opgave 7.26 a) Ved at opskrive ellipsens ligning får vi: ( x − 400 ) 100
2
2
+
( y − 600 ) 200
2
2
= 1.
Ved at reducere dette, får vi det ønskede udtryk − x 2 + 800 x − 0,25 y 2 + 300 y = 240000. b) Da ellipsen ligger inden for polygonområdet findes størsteværdien for f(x,y) i punktet (400,600) – ellipsens centrum, og størsteværdien bliver f(400,600) = 250000.
Opgave 7.27 a) En udregning af D(x,y) = (–4x + 800 – 200) x + (–y + 300 – 100) y giver det ønskede
216
Hvad er matematik? A, opgavebog
Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 216
2
( x − 75 ) 25
2
( y − 100 )
+
50
2
2
= 1,
hvilket netop er ligningen for ellipsen med centrum i (75,100) og med halvakser på 25 og 50. c) D a centrum ligger i polygonområdet, så opnås det største dækningsbidrag i ellipsens centrum. Altså ved salg af 75 styk vare A og 100 styk vare B.
Opgave 7.28
Maks
2000
b) Ligningen med niveaukurven N(30000) kan omskrives til
a) x er antal solgte A-varer, mens y er salget for B. Salget af både x og y aftager lineært med følgende to funktoner: px = −
1 250
x + 40 og py = −
1 125
y + 56
D(x,y) udregnes som: D ( x, y ) = −
1 250
x + 40 − 12 x + ( −
1 125
y + 56 − 32) y
12 og 32 er de variable enhedsomkostninger, som trækkes fra. Ved reduktion fås det ønskede udtryk. b) Det er klart, at både x og y skal være 0 eller positive, da det jo er salget af hver vare. 3x + 3y ≤ 10500 udtrykker begrænsningen på produktion af vare A idet de 175 timer svarer til 10500 minutter. 1,5x + 6y ≤ 15000 udtrykker begrænsningen på produktion af vare B, idet de 250 timer svarer til 15000 minutter. c) V ed hjælp af kvadratkomplettering kan niveaukurverne omskrives til formen ( x − 3500) 250
2
+
( y − 1500)
2
125
= 67000 − t.
Ved sammenligning med ellipsens ligning ( x − c) a
2
2
+
( y − d) b
2
2
=1
ses, at der er tale om en ellipse med centrum i (3500,1500) og halvakser a = 250 ⋅ (67000 − t ) og b = 125 ⋅ (67000 − t )
© 2014 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København
25/08/14 11.23