IDETTÆNKENDEKLASSERUMMATEMATIK14praksissertilbedrelæringBuildingThinkingClassroomsPeterLiljedahl AKADEMISK FORLAG
Det tÆnkende klasserum i matematik 14 praksisser til bedre lÆring
Til enhver lærer, der har mod på forandringer.
Peter Liljedahl Det tÆnkende klasserum i matematik 14 praksisser til bedre lÆring Forord af Line Maj Møller og Dorte Læssøe Ivarsen Efterskrift af Tracy Johnston Zager Illustrationer af Laura Wheeler Oversat af Conni Hesel Rickmann Akademisk Forlag
Det tænkende klasserum i matematik. 14 praksisser til bedre læring Peter BogenLiljedahleroversat
Denne bog er beskyttet i henhold til gældende dansk lov om ophavsret. Kopiering må kun ske i overensstemmelse med loven. Det betyder for eksempel, at kopiering til undervisningsbrug kun må ske efter aftale med Copydan Tekst og Node, se:
Thomsen, gra liokus.net
GraIllustrationer:Forlagsredaktion:Fagkonsulent:Oversættelse:www.tekstognode.dk/undervisning.ConniHeselRickmannDorteLæssøeIvarsenLeneKamukLauraWheelerskversioneringfraoriginalen:Anne-Mette
fra engelsk efter Building Thinking Classrooms in Mathematics. Grades K-12. 14 Teaching Practices for Enhancing Learning Copyright © 2021 by Corwin Press, Inc. This translation is published by arrangement with Corwin Press, Inc., a SAGE Publications, Inc. Copyrightcompanyfor den danske udgave © 2022 Akademisk Forlag, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof Forlag A/S, et selskab i Egmont
for, at vores papir kommer fra bæredygtigt drevne FSCcerti cerede skove og andre ansvarlige kilder. Akademisk Forlag støtter børn og unge Akademisk Forlag er en del af Egmont, der som Danmarks største mediekoncern har bragt historier til live i mere end 100 år. Egmont er en dansk fond, som hvert år uddeler næsten 150 millioner kroner til børn og unge, der har det svært.
Omslag: Henriette Mørk Tryk: Livonia Print 1. udgave, 1. oplag, 2022 ISBN: FSCwww.akademisk.dk978-87-500-5948-6®-mærketerdinsikkerhed
FORORD 12 INTRODUKTION 17 Eleverne tænker ikke selvstændigt 23 Institutionelle normer 27 Henimod det tænkende klasserum 28 Bogens opbygning 32 KAPITEL 1: OPGAVER I DET TÆNKENDE KLASSERUM 34 Praksis 35 Problemet 40 Henimod det tænkende klasserum 41 FAQ 46 Opsamling 51 Makrotiltag 51 Mikrotiltag 51 Refleksionsspørgsmål 52 Kom godt i gang 52 KAPITEL 2: GRUPPEDANNELSE I DET TÆNKENDE KLASSERUM 54 Praksis 55 Problemet 56 INDHOLD OPGAVE
KAPITEL 4: INDRETNING I DET TÆNKENDE KLASSERUM 86
Henimod det tænkende klasserum 59 Villighed til at samarbejde 62 Overskridelse af sociale barrierer 62 Øget vidensmobilisering 63 Større begejstring for at lære matematik 64 Mindre socialt stress 64 FAQ 65 Opsamling 70 Makrotiltag 70 Mikrotiltag 70 Refleksionsspørgsmål 71 Kom godt i gang 71
Praksis 73 Problemet 73 Henimod det tænkende klasserum 74 FAQ 80 Opsamling 82 Makrotiltag 82 Mikrotiltag 82 Refleksionsspørgsmål 83 Kom godt i gang 83
Praksis 87 Problemet 87 Henimod det tænkende klasserum 88 FAQ 93 Opsamling 95 Makrotiltag 95 Mikrotiltag 95 Refleksionsspørgsmål 95 Kom godt i gang 96
KAPITEL 3: ELEVERNES ARBEJDSRUM I DET TÆNKENDE KLASSERUM 72
KAPITEL 5: BESVARELSE AF SPØRGSMÅ L I DET TÆNKENDE KLASSERUM 98 Praksis 99 Problemet 99 Tæt-på-spørgsmål 100 Stop-med-at-tænke-spørgsmål 102 Bliv-ved-med-at-tænke-spørgsmål 103 Henimod det tænkende klasserum 103 FAQ 107 Opsamling 111 Makrotiltag 111 Mikrotiltag 111 Refleksionsspørgsmål 111 Kom godt i gang 112 KAPITEL 6: MÅ DEN VI GIVER OPGAVER PÅ I DET TÆNKENDE KLASSERUM 114 Praksis 115 Problemet 115 Henimod det tænkende klasserum 117 Hvornår vi giver opgaven 117 Hvor vi giver opgaven 119 Hvordan vi giver opgaven 120 FAQ 126 Opsamling 131 Makrotiltag 131 Mikrotiltag 131 Refleksionsspørgsmål 131 Kom godt i gang 132 KAPITEL 7: LEKTIER I DET TÆNKENDE KLASSERUM 134 Praksis 135 Problemet 135 Ikke lavet det 136 Snydt 136 Fået hjælp 138 Forsøgt selv 138
Praksis 161 Problemet Henimod det tænkende klasserum Brugen af udvidelser til at opretholde flow Brugen af hints til at opretholde flow 172 Brugen af skift i måden at arbejde med opgaven på for at opretholde flow 173 FAQ 176 Opsamling Makrotiltag Mikrotiltag Refleksionsspørgsmål Kom godt i gang
157
162
149
Henimod det tænkende klasserum 140 FAQ 143 Opsamling 145 Makrotiltag 145 Mikrotiltag 145 Refleksionsspørgsmål 146 Kom godt i gang 146 KAPITEL 8: ELEVERNES SELVSTÆNDIGHED I DET TÆNKENDE KLASSERUM 148
182
155
158 KAPITEL
162
157
181
HINTS
181
150
158
181
Praksis Problemet Henimod det tænkende klasserum FAQ Opsamling Makrotiltag Mikrotiltag Refleksionsspørgsmål Kom godt i gang 9: OG UDVIDELSER DET TÆNKENDE KLASSERUM
150
163
157
I
181
160
KAPITEL 10: KONSOLIDERING AF LÆRING I DET TÆNKENDE KLASSERUM 186 Praksis 187 Problemet 187 Henimod det tænkende klasserum 188 FAQ 195 Opsamling 199 Makrotiltag 199 Mikrotiltag 199 Refleksionsspørgsmål 199 Kom godt i gang 200 KAPITEL 11: ELEVERNES NOTER I DET TÆNKENDE KLASSERUM 202 Praksis 203 Problemet 203 Henimod det tænkende klasserum 209 FAQ 217 Opsamling 221 Makrotiltag 221 Mikrotiltag 221 Refleksionsspørgsmål 221 Kom godt i gang 222 KAPITEL 12: HVAD DER EVALUERES I DET TÆNKENDE KLASSERUM 224 Praksis 225 Problemet 226 Henimod det tænkende klasserum 227 Rubrics-tilgangen 227 Udarbejdelsen af rubrics 234 Brugen af rubrics 236 FAQ 237 Opsamling 241 Makrotiltag 241 Mikrotiltag 241 Refleksionsspørgsmål 241 Kom godt i gang 242
KAPITEL 13: FORMATIV EVALUERING I DET TÆNKENDE KLASSERUM 246 Praksis 247 Problemet 248 Henimod det tænkende klasserum 249 FAQ 258 Opsamling 265 Makrotiltag 265 Mikrotiltag 265 Refleksionsspørgsmål 265 Kom godt i gang 266 KAPITEL 14: KARAKTERER I DET TÆNKENDE KLASSERUM 268 Praksis 269 Problemet 270 Pointsamlingsparadigmet 271 Dataindsamlingsparadigmet 274 Henimod det tænkende klasserum 275 At sammensætte en karakter 278 FAQ 283 Opsamling 293 Makrotiltag 293 Mikrotiltag 293 Refleksionsspørgsmål 293 Kom godt i gang 294 KAPITEL 15: FORENINGEN AF DE 14 PRAKSISSER TIL DET TÆNKENDE KLASSERUM 295 Forskningen 296 Skab tænkende klasserum 297 Værktøjssæt #1 299 Værktøjssæt #2 300 Værktøjssæt #3 302 Værktøjssæt #4 303 Fra kollektiv synergi til individuel viden og kunnen 304 10
Skab flere tænkende klasserum 309 Værktøjssæt #1 310 Værktøjssæt #2 311 Skoven for bare træer 312 FAQ 313 Refleksionsspørgsmål 315 EFTERSKRIFT 316 TAK 319 DET TÆNKENDE KLASSERUM I DANMARK 320 OM FORFATTEREN 322 LITTERATUR 323 Litteratur til den danske udgave 326
Vores oplevelse er, at det er umuligt at læse bogen (eller blot høre om Lilje dahls arbejde) uden at blive nysgerrig og få lyst til at afprøve praksisserne.
Man kan uden videre kaste sig ud i de første tre: problemløsningsopgaver løst omkring vertikale whiteboards i tilfældigt sammensatte grupper. Og så er man i gang med at gøre op med det, rigtig mange lærere i dag oplever som uhensigtsmæssige institutionelle normer.
FORORD 12
Af Line Maj Møller, cand.pæd. i matematikdidaktik, matematikvejleder og lærer på Stormarkskolen og Byskolen i Nakskov, og Dorte Læssøe Ivarsen, cand.pæd. i matematikdidaktik og lektor på læreruddannelsen på Professions højskolen Absalon. Peter Liljedahl besøgte første gang Danmark i 2019 på Danmarks Matematikvejleder Netværks konference i Odense, hvor han holdt et inspireren de oplæg. Siden da har hans tilgang til undervisning vakt stadigt voksende nysgerrighed og interesse i Danmark. Hans bog Building Thinking Class rooms in Mathematics er nu oversat til dansk og dermed tilgængelig for alle os i Danmark med interesse for udvikling af matematikundervisning. Og vores første erfaringer med Det tænkende klasserum i matematik i en dansk folkeskole var overbevisende: Det går virkelig godt!!! Vi lavede opgaven med ”antallet af 7-taller i talrækken fra 1-100” (og derefter 1-1000), og de kla rede frustrationen til UG og kom også igennem alle grupper ... For det første er eleverne topbegejstrede – de prøvede det tænkende klasserum første gang torsdag i sidste uge, og de talte ikke om andet hele fredagen ifølge deres lærere. Det var den sjoveste og mest spændende matematiktime, de havde prøvet ... og de var i sandhed seje – begge klasser.
På baggrund af 15 års forskning påviser Liljedahl, at alt for få elever tænker selvstændigt i matematikundervisningen. Og med stor respekt for praksis giver han yderst håndgribelige bud på, hvordan man som lærer kan justere faktorer, som har betydning for, hvor aktivt og selvstændigt eleverne tænker. Han har i sit forskningsvirke været særligt optaget af at øge elever nes matematiske problemløsningsevne og læringsmuligheder gennem øget kreativitet, engagement og selvstændig tænkning.
Vi er særligt begejstrede for, hvad arbejdet på lodrette flader har at til byde undervisningen. Vores elever og studerende er blevet mere initiativrige og involverede; de kommunikerer, diskuterer, ræsonnerer og samarbejder i langt højere grad end ellers, og som lærer har man et fantastisk overblik over arbejdet i rummet. Man opdager lettere, når grupper er på afveje eller har opdaget noget særligt, der kan markeres og fremhæves til nytte for de øvrige gruppers arbejde.
Fælles Mål for matematik i folkeskolen rummer matematiske kompeten cer, der svarer rigtig godt til Liljedahls bud på, hvordan der bør tænkes ma tematik. Bogen her giver konkrete bud på arbejdsformer, der understøtter undersøgende matematik på en måde, der naturligt bringer de matematiske kompetencer i spil med et eksplicit fokus på problembehandling. Og hans fokus på kreativitet taler direkte ind i det 21. århundredes krav til undervis ningen (Berthelsen, 2017).
I undervisningsvejledningen til faget matematik i folkeskolen (Børne- og Undervisningsministeriet, 2019, s. 74) kan man læse om kompetenceori enteret undervisning, der skal sigte efter, at eleverne ”rækker ud over” de færdigheder og den viden, som de kan bruge rutinemæssigt. Desuden står der, at lærerens rolle netop ikke går ud på at fortælle eleverne, hvordan de kan løse et bestemt problem ved at bruge nogle bestemte metoder. Liljedahls opgør med imitation taler således direkte ind i de fokusområder, som alle rede gør sig gældende i dansk sammenhæng. Bogen er skrevet med respekt for og på basis af mange timers undersø gelse af praksis. Den henvender sig til lærere i matematik og til lærerstude
Bogen er i dette lys blandt andet et opgør med det, Liljedahl beskriver som imitation (engelsk: mimicking), hvor eleverne afkoder lærerens forkla ring eller metodeanvisning til en given opgave og derefter imiterer den i ar bejdet med lignende opgaver. Han har observeret, at succeskriteriet i højere grad blev evnen til at kopiere en metode end at opnå egentlig forståelse for et matematisk indhold. Eleverne fik måske løst lignende opgaver, men havde svært ved at overføre deres viden til andre opgavetyper. Her opstår behovet for aktiv og selvstændig tænkning. Netop i arbejdet med problemløsning bliver det aktuelt og relevant, idet eleverne her arbejder med problemer eller matematiske spørgsmål, som ikke kan besvares udelukkende med rutine metoder og gennem imitation.
13
1. Danmarks Matematikvejleder Netværks webinarer kan ses her: https://www.matnet.dk/webinarer/ Webinaret med Liljedahl kan også ndes her: https://www.youtube.com/watch?v=OcVpQwJW47U&t =743s
En stor gruppe lærere er allerede i gang med at omsætte tankerne bag det tænkende klasserum til praksis. Og der er mulighed for sparring i Face bookgruppen Building Thinking Classrooms, som i skrivende stund har knap 30.000 medlemmer. Du kan også finde inspiration på Twitter under #buildingthinkingclassrooms, #thinkingclassrooms, #VNPS eller #peterlil
Din rejse er kun lige begyndt med læsningen af denne bog. Der er inspi ration til at ændre praksis, så dine elever kommer til at tænke mere selvstæn digt og får mulighed for at udvikle matematisk forståelse frem for blot at imi tere dig eller huske regler udenad uden at forstå, hvorfor de kan anvendes.
Bogens praksisser kan også udfordre tankegangen bag både lektier, op samling og evaluering. De kan give afsæt for udviklende diskussioner af forskellige fagsyn i skolernes fagteams og på læreruddannelsen. Og de er oplagte for studerende at arbejde med i forbindelse med praktik.
Også andre lærere, som vi har fulgt, har fundet det overskueligt at komme i gang med de nye praksisser. De har oplevet begejstring, interesse og større arbejdsglæde hos både sig selv og deres elever. Lærernes begejstring knytter sig ofte til elevernes øgede engagement og evne til at håndtere frustration, når de ikke lige har et umiddelbart løsningsforslag til et problem. Derud over oplever de, at det faglige hierarki ændrer sig. Princippet om tilfældigt sammensatte grupper skaber ny dynamik i klassens sociale liv. Elever, som tidligere har haft stor succes med at imitere læreren, bliver pludselig udfor dret i en ramme, hvor læreren ikke længere anviser og forklarer, men blot præsenterer et problem. Og elever, som tidligere fremstod som fagligt ud fordrede, kan pludselig træde ind i en mere initiativrig rolle, der viser deres matematiske færdigheder og kompetencer og giver ligeværdig plads til deres løsningsforslag. Det får eleverne til at samarbejde på nye måder og tænke mereBogenskreativt.praksisser vil desuden være et kærkomment afsæt for samarbej de mellem matematikvejleder og matematiklærer og for co-teaching mellem fagkollegaer. Brug dem som fokuspunkter i et udviklingsarbejde, hvor I støt ter hinanden i den nye og anderledes lærerrolle. Bogens indledende praksis ser er knyttet til konkrete greb, der er relativt nemme at implementere. Den måske største udfordring er i praksis at træde mere i baggrunden og bevidst undlade at hjælpe og anvise, samtidig med at alt i ens undervisersjæl har lyst til at vise eleverne vejen. Det kræver øvelse at lære, hvornår et spørgsmål skal besvares, og hvornår man bare skal smile til elevgruppen og gå væk. Netop her er co-teaching særdeles nyttigt.
rende, men også undervisere i andre fag og på andre uddannelser vil kunne finde masser af inspiration til nye undervisningspraksisser.
14
15
jedahl. Danmarks Matematikvejleder Netværk har tillige et webinar1 med PeterInternationaltLiljedahl. har bogen indtil nu solgt 100.000 eksemplarer og er over sat til seks sprog. Vi glæder os til at følge det tænkende klasserums udvikling i Danmark og håber, at denne bog vil sætte tankerne i gang hos dig.
1. Bogens empiri er fra det canadiske skolesystem, hvor K-12 er betegnelsen for skoleforløbet fra kindergarten til og med high school. For at gøre bogen mere læsevenlig er de canadiske betegnelser for klassetrin oversat til tilsvarende trin på dansk. I Canada begynder eleverne i kindergarten i elementary school, når de er 4-5 år gamle, og de er typisk 6 år, når de begynder i grade 1 (o.a.)
17INTRODUKTION
Jane Hej. Jeg er interesseret i at implementere problemløsning i matematik i mine 7. og 8. klasser. Har du lyst til at hjælpe mig?
Jane vidste dengang tre ting om mig. For det første at jeg var optaget af problemløsning. Min forskning drejede sig på daværende tidspunkt om kreativitet i problemløsning, og jeg havde afholdt workshops for lærere i hendes skoledistrikt om netop dette. Dernæst vidste Jane, at jeg arbejdede på min ph.d., ikke længere underviste og derfor havde masser af tid. For det tredje kendte hun min e-mailadresse. Jeg er ikke klar over, hvordan Jane havde kendskab til nogen af delene, da jeg hverken havde mødt eller hørt om hende før. Ikke desto mindre modtog jeg en dag i 2003 en mail fra hende:
Grundlaget for de mange års klasserumsforskning, som denne bog bygger på, blev til i mit møde med matematiklæreren Jane. Jeg mødte hende før ste gang i 2003, hvor hun allerede havde undervist i matematik i 15 år i udskolingen.1 Selvom hun havde det godt med at undervise i faget, var der en ny læseplan på vej, og rygtet sagde, at den ville have et stærkt fokus på problemløsning og undervisning gennem problemløsning. Jane havde trods sine mange år som lærer ingen erfaring med dette. Derfor besluttede hun sig for at komme læseplanen i forkøbet, lære noget om problemløsning og begynde at eksperimentere med det i undervisningen.
................................INTRODUKTION
Hvis 6 katte kan dræbe 6 rotter på 6 minutter, hvor mange katte er så nødvendige for at dræbe 100 rotter på 50 minutter? (Carroll, 1880)
Den følgende eftermiddag mødte jeg forventningsfuldt op ved Janes lokale med et stort smil på læben. Jane, som tydeligvis havde arbejdet sammen med forskere før, var ikke helt så entusiastisk. Jane Hør her, før vi begynder at tale om problemløsning, vil jeg gerne lige have et par ting på det rene. For det første skal du ikke vise din begejstring herinde. Jeg vil ikke undervise sammen med dig og heller ikke engang forberede mig sammen med dig. Det eneste, jeg ønsker, er egentlig nogle gode problemløsningsopgaver, som jeg kan bruge i matematik i 7. og 8. klasse. Jeg er ikke engang klar over, hvorfor vi har det her møde.
Det var ikke ligefrem, hvad jeg havde forventet. Faktisk var det så langt fra som overhovedet muligt. Men jeg ville ikke lade mig afskrække, og efter et kvarters diskussion nåede vi frem til en form for aftale. Jeg ville give Jane nogle opgaver, hun kunne prøve af, og hun ville til gengæld lade mig observere undervisningen, mens hun gjorde det. Men også dette havde hun regler for: Jane Du skal blive siddende ved det bord (hun pegede ned på et bord bagerst i lokalet). Du må ikke tale med eleverne, og du må slet ikke tale til mig.
Hermed begyndte vi altså vores såkaldte samarbejde.
Skønt! Jeg havde ikke været i et klasserum i nogle år og savnede at under vise. For mig var dette en mulighed for et gensyn med skolen som institution og for at arbejde med problemløsning med elever. Peter Jeg vil meget gerne hjælpe. Lad os mødes og tale nærmere om det. Jeg kan komme over på din skole i morgen. Hvor kan jeg finde dig, og hvornår har du fri?
18 DET TÆNKENDE KLASSERUM I MATEMATIK
Den første problemløsningsopgave, jeg gav Jane, var fra Lewis Carroll, som jeg havde brugt mange gange med mine elever i 8. og 9. klasse. Jeg vidste, at dette var en god opgave. Konteksten var motiverende, løsningen ikke tri viel, og det krævede ikke avanceret matematik at løse den. Mine egne elever syntes, at det var sjovt at diskutere de forskellige svar, de kom frem til, da jeg brugte opgaven.
19INTRODUKTION
Dagen efter sad jeg i Janes klasse og så hende skrive opgaven op på tavlen, så hendes elever kunne gå i gang med at løse den. Før jeg gengiver, hvad der herefter skete, minder jeg lige om, at Jane havde været lærer i 15 år, men al drig tidligere arbejdet med problemløsning i undervisningen. Hendes elever sad ved borde placeret i rækker med nogle af dem sat sammen to og to, så eleverne havde en sidemakker (se figur i.1). Eleverne havde ikke faste plad ser og sad derfor med dem, de havde lyst til. En typisk lektion foregik ifølge Jane sådan, at hun begyndte med at gennemgå lektierne. Herefter gennem gik hun noget nyt på tavlen, viste, hvordan man skulle løse opgaverne, mens eleverne noterede det i deres hæfter. Henimod slutningen af timen bad Jane eleverne om at lave, hvad jeg kalder nu-skal-I-selv-prøve-opgaver, som hun efter nogle minutter gennemgik med dem. Efter nogle stykker gav hun nye lektier for i grundbogen, arbejdsbogen eller på kopiark, og eleverne kunne så arbejde med dem i resten af timen. Kort sagt var dette en helt typisk ma tematiktime i en typisk klasse. I øvrigt var jeg på besøg i maj, kun seks uger før Medsommerferien.disseinformationer in mente, hvordan tror du så, at Janes første for søg med en problemløsningsopgave gik? Det var en katastrofe! Så snart Jane bad eleverne om at løse opgaven på tavlen, røg en masse hænder i vejret, og Jane begyndte at gå rundt i klassen. Hun gik fra elev til elev og hjalp dem, der havde spørgsmål til, hvad de egentlig skulle gøre, om de gjorde det rigtigt, og om de havde fundet frem til det korrekte svar. Ret hurtigt mistede nogle af eleverne modet og gav op, og så brugte Jane lige så meget tid på at opmuntre dem til at fortsætte, som hun brugte på at hjælpe de elever, der stadig arbejdede med opgaven. Figur i.1 Elever arbejder med en opgave i det traditionelle klasserum Kilde: skynesher/iStock.com
Jeg endte faktisk med at sidde tre hele dage i Janes klasser og se hende un dervise i form af førnævnte faste rutine med at gennemgå lektier, forklare og vise noget nyt, bede eleverne tage noter, give nu-skal-I-selv-prøve-opgaver og nye lektier. Nogle gange underviste hun de elever, som havde forsøgt sig med problemløsning, andre gange andre elever. Henimod slutningen af den tredje dag blev jeg ramt af to åbenbaringer. For det første gik det op for mig, at jeg på intet tidspunkt havde set eleverne tænke selvstændigt i løbet af de tre dage, jeg havde observeret klasserne. I hvert fald ikke den form for selv stændig tænkning og refleksion, som vi ved, er nødvendig for, at eleverne klarer sig godt i matematik fremadrettet. Det betyder ikke, at der ikke var aktivitet i undervisningen. Eleverne arbejdede fra begyndelsen til slutningen af timen. De tog noter, svarede på spørgsmål, udfyldte kopiark og begyndte på lektierne. De var i gang hele tiden – de tænkte bare ikke selvstændigt.
20 DET TÆNKENDE KLASSERUM I MATEMATIK
Imens sad jeg ved mit bord bagerst i lokalet uden at sige noget. Mens jeg sad der og observerede, tænkte jeg: "Det var så det.” Nu ville Jane smide mig ud af klassen, og dette ville blive enden på vores korte, men spektakulært dårligeEftersamarbejde.omkring25 minutter skiftede Jane gear og satte eleverne i gang med en anden aktivitet. Hun kom hen til mig og sagde: ”Giv mig en ny opgave.” Jeg var både chokeret og imponeret. Der var mere i Jane end først antaget. Jeg gav hende derfor endnu en opgave, og dagen efter var jeg tilbage ved mit bord og så Jane forsøge sig med de samme elever og en ny opgave. Det gik endnu dårligere. Eleverne var hurtigere til at give op, og Jane brugte mere tid på at opmuntre dem end på at hjælpe. Henimod slutnin gen af aktiviteten gik Jane hen til mig og bad om endnu en opgave. Denne kvinde var virkelig sej. Gennem de sidste 18 år har jeg arbejdet sammen med hundredvis af lærere, men ikke siden Jane har jeg mødt en lærer med så stort et mod og så stor vilje og beslutsomhed til at fortsætte, trods det at tingene ikke lykkedes. Derfor gav jeg Jane en tredje opgave, og dagen efter var jeg tilbage i Denneklassen.dagvar den værste. Eleverne havde absolut ingen tro på projektet, og i 25 minutter sad de bare og småsnakkede uden at beskæftige sig med opgaven. Jane bevarede dog gejsten, og i samtlige 25 minutter gik hun rundt i klassen og forsøgte at sætte noget i gang. Da hun bagefter kom hen til mig, sagde hun: ”Jeg tror, vi er færdige her.”
Jeg var helt enig. Alle i klasserummet led. Eleverne var frustrerede. Jane var udmattet, og jeg var skuffet. Det var på tide at stoppe, men jeg ønskede at forstå, hvorfor de opgaver, som jeg tidligere selv havde haft så stor succes med at arbejde med, ikke fungerede. Derfor spurgte jeg Jane, om jeg måtte blive resten af dagen og se hende undervise. Det gik hun med til med tilfø jelsen: ”Du kender reglerne.”
21INTRODUKTION
eleverneforudsætningtænkningSelvstændigerenforlæring,oghvisikketænker,lærerdeikke.
Hun sad fast i en ond cirkel af ikke-selvstændig tænkning, og det er et stort problem. Selvstændig tænkning er en forudsæt ning for læring, og hvis eleverne ikke tænker, lærer de ikke.
Som aktiviteten var udformet, bevirkede den, at eleverne ikke behøvede at tænke selvstændigt, og dermed blev Jane nødt til at tilrettelægge sin undervisning efter, at eleverne ikke kunne eller ville tænke selv. Men hvad havde hun af valgmuligheder?
For det andet indså jeg, at Jane forberedte sin undervisning ud fra den antagelse, at eleverne enten ikke kunne eller ikke ville tænke selvstændigt. Jane var i en vanskelig position – hun stod i et lokale fuld af elever, som ikke tænkte selv, og samtidig skulle hun leve op til fagets mål og standarder. Dette er ikke usædvanligt. Hver eneste dag står lærere over hele verden i præcis det samme dilemma. Selv lærere, som normalt regnes for at være gode læ rere, som er fagligt dygtige og går op i, hvordan deres elever klarer sig og ønsker det bedste for dem, kender til dette dilemma. Jane blev i øvrigt både på sin skole og i distriktet anset for at være en meget dygtig lærer. Hendes elever klarede sig godt i test, og ingen af dem virkede til at falde igennem. Jane ønskede at gøre sit bedste for eleverne og var villig til at arbejde hårdt for at nå sine mål. Alligevel befandt hun sig i dette dilemma, så hvad skulle hun stille op? Hun gjorde, hvad mange af os gør. Hun tilrettelagde sin un dervisning, så hun kunne komme igennem det faglige indhold så hurtigt og effektivt som muligt, uden at hendes elever behøvede at tænke selvstændigt. Her følger et eksempel. Jeg observerede en aktivitet i Janes undervisning, som løseligt kan beskrives som ’tandstikproblemet’ – en figurfølgeopgave. Målet med opgaven var, at eleverne skulle konstruere en række af kvadrater ud af tandstikker og registrere, hvor mange tandstikker der skulle til for at lave rækken med 1, 2, 3 og så videre kvadrater. Ud fra disse data skulle eleverne herefter regne sig frem til, hvor mange tandstikker der skulle bruges til henholdsvis 10, 20 og 100 kvadrater i figurfølgen, og dernæst formulere en matematisk genera lisering med deres egne ord. Dette er en god opgave, der muliggør selvstæn dig tænkning, hvis eleverne kan gå undersøgende til værks. I Janes klasse blev opgaven imidlertid stillet i form af et sæt instruktioner på et kopiark fra et læremiddel. Dermed blev denne ellers vidunderlige opgave, som egner sig til at opdage, repræsentere og begrunde mønstre samt arbejde med ge neraliseringer, reduceret til en ren instrumentel tilgang. Dette medførte, at samtlige elever var færdige med opgaven inden for cirka 20 minutter og uden egentlig selvstændig tænkning.
Jeg undrede mig over, om dette var et problem specifikt i Janes under visning og besøgte derfor en anden lærer på skolen. Der oplevede jeg det samme. Jeg observerede en tredje lærer, og det var det samme. I alt observe rede jeg fem forskellige lærere på skolen, og alle steder fandt jeg det samme
22 DET TÆNKENDE KLASSERUM I MATEMATIK
Overalt så jeg det samme. Eleverne tænkte ikke selvstændigt, og lærerne forberedte sig ud fra antagelsen om, at eleverne enten ikke kunne eller ville tænke selv. Figur i.2 Eleverne tænker ikke selvstændigt Kilder: Goldfaery/iStock.com og Courtney Hale/iStock.com
– elever, der ikke tænkte selvstændigt, og lærere, som baserede deres under visning på antagelsen om, at eleverne enten ikke kunne eller ville. Der var altså tale om et problem på den givne skole.
Efterfølgende ønskede jeg at afdække, om dette var et særligt problem for denne skole, og derfor tog jeg kontakt til undervisere, jeg kendte, og bad dem anbefale mig nogle lærere, som de havde hørt skulle være gode. Disse lærere kontaktede jeg og bad om lov til at observere deres undervisning. De fleste indvilligede, så jeg besøgte mange forskellige klasser på vidt forskellige skoler. Under disse besøg spurgte jeg tilsvarende de pågældende lærere, om de kendte nogle særligt gode lærere andre steder, og på den måde bevægede jeg mig fra klasse til klasse og skole til skole og besøgte en masse gode lærere.
I kraft af at det var ’den gode lærer’, der var fællesnævneren for mine observationer, var skolerne kendetegnet ved stor diversitet. Jeg besøgte klas ser på tværs af alle trin fra 0. klasse til gymnasiet. Jeg var på skoler, der lå i områder med både lav og høj socioøkonomisk status. Jeg var i fransktalende såvel som engelsktalende klasser og på offentlige skoler såvel som private. I alt var jeg i 40 forskellige klasserum fordelt på 40 forskellige skoler, og overalt fandt jeg det samme – eleverne tænkte ikke selvstændigt, og lærerne forberedte deres undervisning baseret på antagelsen om, at eleverne enten ikke kunne eller ville tænke selvstæn digt. Ligesom Jane blev samtlige lærere opfattet som gode lærere. De havde styr på deres fag og gik op i, at eleverne lærte det, de skulle. Men som Jane var de fanget i den samme onde cirkel – de havde elever, der ikke tænkte selvstændigt, og de skulle samtidig igennem fagets indholdsområder. Ligesom Jane benyttede de sig af grundbøger og læremidler, der var designet til at facilitere ikketænkning i undervisningen. Dette var hverken Janes problem eller Janes skoles problem, men et institutionelt problem (se figur i.2).
For nu slår du dig som læser måske til tåls med mit udsagn om, at eleverne ikke tænker selvstændigt, og det kan ligefrem være, at du nikker genken dende til situationen i dine egne klasser. Måske er du ivrig efter at komme videre i bogen og nå frem til forslag til, hvordan du kan ændre på dette og skabe tænkende klasserum. I så fald kan du springe frem til afsnittet ’Insti tutionelle normer' (side 27). Hvis du derimod ønsker en mere udfoldet be skrivelse af, hvad jeg mener med ikke-selvstændig tænkning, og hvor meget af dette, jeg observerede i de 40 klasser, kan du læse det her. Efter at have besøgt de 40 klasser var det i første omgang en fornemmelse, jeg havde af, at eleverne ikke tænkte selvstændigt. Jeg kunne på ingen måde hverken kvalificere eller kvantificere, hvad jeg så og ikke så. Selvom det viste sig at være sandt, var det altså blot en fornemmelse i begyndelsen. Mit første forsøg på præcist at beskrive, hvad jeg observerede, kom til senere gennem en serie af forskningsprojekter om elevadfærd (studenting behavior). Udtrykket ’studenting’ blev opfundet af Fenstermacher (1986) og svarer til, hvad der for læreren hører til undervisning. Som lærere foreta ger vi os en masse ting, der skal facilitere elevernes læring, men også ting, der måske ikke har noget med dette at gøre. Vi registrerer fravær, håndterer forstyrrelser og afbrydelser i klassen, skriver informationsbreve, indsamler sedler, svarer på beskeder på Aula, og vi hjælper naturligvis også eleverne med at udvikle deres færdigheder og lære det faglige. Alle disse forskellige aktiviteter hører hjemme under paraplybetegnelsen ’undervisning’, og for Fenstermacher er ’studenting’ – altså alt det, man gør som elev – en analog til dette: … Det at være elev er meget mere end at lære at lære. I skolen er det at agere som elev også et spørgsmål om, hvordan man kommer ud af det med sine lærere; fungerer sammen med sine medelever; omgås rollen som elev i forhold til sine forældre og håndterer alle de ikke-faglige aspekter af skolelivet. (1986: 39) [Lige så vel som det er et spørgsmål om at] få lærerne til ”flippe ud”; gennemskue, hvordan man opnår en bestemt karakter; hvordan man ”vinder over systemet”; håndterer kedsomhed, så det ikke er alt for synligt for lærerne; forhandler sig til de bedste aftaler i forhold til lektier og skriftlige opgaver; finder den rette balance mellem skole og fritid og gennemskuer, hvad en kommende test vil og ikke vil indeholde. (1994: 1)
23INTRODUKTION
Eleverne tÆnker ikke selvstÆndigt
’Studenting’ er alt erhvorafkontekst,ielevernedet,gørenlærings-nogetlæring.
Forsker Med hvilket formål? Lilian For at se, om de kan, og for at lære af deres fejl, hvis de ikke kan.
For mig var begrebet ’studenting’ derfor den perfekte ramme for at be gynde at tænke over, hvad eleverne gør, hvis de ikke tænker. Jeg besluttede derfor at begynde at forske i elevadfærd i relation til det, vi kan betegne aktivitetskontekster i matematikundervisningen.
24 DET TÆNKENDE KLASSERUM I MATEMATIK
En nu-skal-I-selv-prøve-opgave er en opgave, som lærere beder elever lave, lige efter at de har vist dem, hvordan noget skal gøres. For eksem pel kan vi vise eleverne, hvordan man multiplicerer med tocifrede tal. Efter både at have forklaret det og regnet et par eksempler på tavlen, ser vi typisk ud over klassen og siger: ”Nu skal I selv prøve” og skriver et nyt regnestykke op på tavlen. Herefter venter vi 4 minutter og 22 sekunder, som er den gennemsnit lige mængde tid, lærere giver elever til nu-skal-I-selv-prøveopgaver, inden opgaven løses i plenum. Efterfølgende giver vi i mange tilfælde eleverne endnu en nu-skal-I-selv-prøve-opgave.
Under mine besøg i de 40 førnævnte klasser var nu-skal-I-selv-prøveopgaver en grundlæggende og central del af hver eneste lektion, jeg obser verede, og for mange af lærerne var disse opgaver essensen af, hvad det vil sige at Nårundervise.jegspurgte lærerne, hvilken elevadfærd de forventede under arbej det med opgaverne, var svaret altid det samme.
Lilian Jeg forventer, at mine elever skal prøve selv.
Grundlæggende er ’studenting’ derfor alt, hvad eleverne gør i en lærings kontekst, hvoraf noget af det er læring, og meget af det ikke er.
Vi forventer, at eleverne prøver – og lærer af det. Nu-skal-I-selv-prøve-op gaver er en form for selvevaluering, hvor elever og lærere får afklaret, om lærerens instruktion var vellykket. Det er ret ligetil. Men hvad gør eleverne egentlig? Hvordan agerer de som elever i denne specifikke læringskontekst? Det viser sig, at nogle af eleverne opfører sig, som vi forventer, men kun 20 % af dem. Resten gør ikke. I et studie af elevadfærd på tværs af adskillige for læreAt
væreAtelev
En aktivitetskontekst skal forstås som en velafgrænset faglig aktivitet, der finder sted i løbet af en lektion. De aktivitetskontekster, som jeg først un dersøgte forskningsmæssigt, var de såkaldte nu-skal-I-selv-prøve-opgaver, brugen af noter og måden at give lektier for. Jeg gennemgår resultaterne fra undersøgelserne af brugen af lektier og noter i henholdsvis kapitel 7 og 11. Her præsenterer jeg resultaterne af undersøgelsen af, hvordan eleverne agerer under arbejdet med nu-skal-I-selv-prøve-opgaver.
skellige klasser fandt vi en række former for adfærd2 i relation til nu-skal-Iselv-prøve-aktivitetskonteksten (Liljedahl & Allan, 2013b). Du kan overveje, om du genkender disse.
1.Dovner den af I samtlige klasser var der en del elever, som ikke engang forsøgte at lave opgaverne. I stedet brugte de tiden på at sidde med deres mobiltelefoner, snakke med andre elever, der også dovnede den af, eller bare på at sidde og lave ingenting. Da de e erfølgende blev interviewet, var det tydeligt, at de elever, der dovnede den af, enten ikke vidste, hvad der foregik, eller var helt ligeglade med det.
2.Laver overspringshandlinger
I lighed med de elever, der dovnede den af, forsøgte disse elever heller ikke at løse opgaverne, men i modsætning til førstnævnte gik de i gang med overspringshandlinger i form af mere legitim elevadfærd, såsom at spidse blyanter, fylde vand asker, gå på toilettet eller bruge lang tid på at lede e er nødvendigt udstyr i tasken. Da disse elever blev interviewet, gav de udtryk for, at de enten ikke vidste, hvordan de skulle løse opgaverne, eller ikke gad, fordi de vidste, at læreren jo alligevel ville gennemgå det, hvis de bare ventede et par minutter.
3.Bluffer Nogle elever foregav at være i gang med opgaverne, mens de i virkeligheden ikke lavede noget. At blu e indbefatter eksempelvis at se interesseret op på tavlen, bladre i grundbogen, se ud, som om man tænker, og lade, som om man skriver noget ned, men det er alt sammen spil for galleriet. Som eleverne, der lavede overspringshandlinger, skjulte disse elever sig altså bag legitim elevadfærd. Forskellen er, at blu erne – i modsætning til eleverne, der lavede overspringshandlinger – gemte sig bag adfærd relateret til selve opgaveløsningen. Da vi interviewede dem, fandt vi, at disse elever enten heller ikke vidste, hvordan de skulle løse opgaverne, eller ikke gad, fordi læreren alligevel ville vise det kort e er.
4.Imiterer I modsætning til de tre ovennævnte grupper af elever forsøgte disse elever at løse opgaverne og færdiggjorde dem o e også. Dette gjorde de ved at imitere lærerens fremgangsmåde én-til-én fra opgave2. For en grundigere analyse af psykologien bag disse og bag elevadfærd i øvrigt henvises til Allan (2017).
25INTRODUKTION
Disse fem former for elevadfærd var til stede, hver eneste gang vi observe rede elever i en nu-skal-I-selv-prøve-kontekst.
eksemplerne på tavlen. Hvis lærerens forudgående opgaveeksempler ikke svarede fuldstændigt til den opgave, de skulle løse, var de o e på afveje eller gik helt i stå. Da vi e er observationerne interviewede lærerne i de klasser, vi havde været i, understregede de alle sammen, at de ikke bare ville have deres elever til at imitere speci kke fremgangsmåder. Ironisk nok sagde 100 % af de elever, der gjorde dette, at det netop var, hvad de troede, deres lærere ville have dem til. De opfattede lærerens gennemgang af opgaveeksempler som en opfordring til at imitere.
5.Forsøger selv Den sidste gruppe af elever forsøgte selv at løse opgaverne. De koncentrerede sig og arbejdede med opgaverne baseret på deres egen matematikfaglige forståelse. Nogle af eleverne nåede frem til det korrekte resultat; andre gjorde ikke. Uanset hvad k de afprøvet deres forståelse og k feedback på dette, præcis som det var lærernes intention med opgaverne.
Derudover var fordelingen af, hvor mange elever, der udviste en given adfærd, overraskende ens i hver af de 10 klasser, hvor vi foretog disse undersøgelser (se figur i.3). I alle til fælde udgjorde elever, der imiterede, mere end halvdelen af eleverne i klas sen, mens elever, der dovnede den af, lavede overspringshandlinger og bluf fede tilsammen udgjorde ca. en fjerdedel af alle elever. Kun 20 % af eleverne forsøgte selv at løse opgaverne, sådan som lærerne havde tænkt sig. Da jeg som tidligere nævnt altså fik fornemmelsen af, at eleverne ikke tænkte selv stændigt, var det, jeg så dermed, at de dovnede den af, lavede oversprings handlinger, bluffede og imiterede – og intet af dette er udtryk for tænkning. Da jeg kombinerede mine data fra ovenstående forskningsundersøgelser med data fra observationer af elevadfærd relateret til brugen af noter (kapi tel 11) og lektier (kapitel 7) og med data fra andre aktivitetskontekster, gav det et klart billede af, hvor meget ikke-tænkende elevadfærd der faktisk er til stede i en enkelt lektion. Resultaterne var foruroligende. I en typisk ma tematiktime udviste 75-85 % af eleverne ikke-tænkende adfærd i 100 % af tiden. Resten af eleverne udviste ikke-tænkende adfærd i det meste af timen, bortset fra 8-12 minutter. Dette udgjorde mine baselinedata i den videre forskning – en baseline, jeg naturligvis håbede, jeg ville kunne forbedre.
26 DET TÆNKENDE KLASSERUM I MATEMATIK
27INTRODUKTION
Figur i.3
Fordeling af typer af elevadfærd ved nu-skal-I-selv-prøve-opgaver
Imiterer(n= er (n = 2 den af(n=
17) Blu
foregårretningsgivendenormerinstitutionelleerihøjgradfor,hvordanklasserumserud,oghvadderidem,ogdeharstortsetikkeforandretsig,sidenvilevedeiindustrisamfundet.
) Forsøgerselv(n= 6)springshand-Laverover-linger(n= 4) Dovner
Institutionelle normer
På min rejse gennem disse 40 forskellige klasser på 40 forskellige skoler begyndte andre mønstre også at træde frem. Overalt, hvor jeg kom, uafhæn gigt af klassetrin og demografi, var der flere ligheder mellem klasserumme ne end forskelle. Og der var også flere ligheder end forskelle, når det kom til, hvad der foregik i klasserne. Naturligvis var der visse forskelle, men hoved parten af det, jeg så, var det samme. Der var borde, der som regel var vendt mod en tydelig front i rummet, hvor lærerens bord var placeret. Eleverne sad ned, mens læreren stod op. Eleverne skrev på horisontale flader, mens læreren skrev på vertikale flader. Og timerne fulgte som regel den samme struktur begyndende med en lærerstyret aktivitet i form af instruktion eller noter, og måske blev der skiftet til en større eller mindre gruppediskussion, men det kulminerede altid i en eller anden form for individuelt arbejde. Selv i de få mere pro gressive klasserum, jeg observerede, var både de fysiske omgivelser og timernes struktur ens. Det, der adskilte sig her, var varigheden og karakteren af de aktiviteter, som fandt sted midt i lektionerne.
Disse normative strukturer, der gennemsyrer klasse rum i Nordamerika og over hele verden, er så fast forank rede, at de ikke bare kan beskrives som klasserumsnor mer (Cobb, Wood & Yackel, 1991; Yackel & Cobb, 1996), men må betegnes som institutionelle normer (Liu & Liljedahl, 2012), idet
3) De
Denne antagelse blev afsæt for min forskning, og i de følgende 15 år sam arbejdede jeg med flere end 400 lærere på forskellige klassetrin i forsøget på at få eleverne til at tænke mere selvstændigt. I teams med 8-18 lærere arbej dede vi i to-ugers cyklusser med bevidst at nedbryde institutionelt norma tive strukturer for at se, om det ville øge elevernes selvstændige tænkning.
Overalt, hvor jeg kom, så jeg ikke-selvstændigt tænkende elever og som re sultat deraf lærere, der planlagde deres undervisning ud fra antagelsen om, at elever ikke kan eller vil tænke selvstændigt. Samtidig så jeg gennemgå ende klasserum med flere ligheder end forskelle, og jeg begyndte derfor at overveje, om der var en sammenhæng. Kunne det forholde sig sådan, at de institutionelle normer, der gennemsyrer alle skoler, faktisk er med til at mu liggøre og fremme den ikke-tænkende adfærd, som jeg observerede? Hvis dette var tilfældet, ville vi jo være nødt til at ændre de institutionelle normer fundamentalt for at få eleverne til at tænke selv.
Henimod det tÆnkende klasserum
Vores mål var ret simpelt – at øge antallet af elever, som tænker selv, og at øge antallet af minutter, hvor de gør det. Grundlæggende ville vi forbedre de førnævnte baselinedata. Og vi var villige til at bryde med enhver klas serumsnorm for at opnå det. Vores eneste begrænsninger var, at vi ville ar bejde i selve klasserummet og følge skemaets ringetider. Udover det var der ingen normer, vi ikke var villige til at udfordre.
28 DET TÆNKENDE KLASSERUM I MATEMATIK
For at give et eksempel på hvor langt vi var villige til at gå, vil jeg fremhæ ve otte lærere, som jeg samarbejdede med tidligt i forskningsprojektet. De underviste i to uger i klasserum helt uden møbler. Indretningen er et eksem pel på en vedholdende institutionel norm, og vi ville se, hvad der skete, hvis vi ændrede den fuldstændigt. Jeg lærte tre ting af dette eksperiment. For det første øgedes elevernes selvstændige tænkning markant. Der var både flere elever, der tænkte selv, og de gjorde det i længere tid. Trods det positive re sultat fandt jeg for det andet ud af, at lærere ikke bryder sig om at undervise
de definerer skolen som institution. Disse normer er i høj grad retningsgi vende for, hvordan klasserum ser ud i dag, og hvad der foregår i dem, og de har stort set ikke forandret sig, siden vi levede i industrisamfundet. Jo, bordene ser anderledes ud, og vi har bevæget os fra sorte til grønne tavler og videre til whiteboards og smartboards, men eleverne sidder stadig ned, og læreren står fortsat op. Og selvom der har fundet en masse innovation sted i forhold til didaktik, teknologi og måder at evaluere eleverne på, er skolens fundamentale strukturer stadig de samme.
Vi gik derfor i gang med forskningen med entusiasme, og næsten med det samme begyndte vi at se positive ændringer i elevernes tækning. Lærerne gav tilbagemeldinger om stor succes, og når jeg besøgte klasserum og samlede data, fandt jeg selv enorme forbedringer i elevernes selvstændige tænkning. I vores begejstring for at skabe forandringer glemte vi imidler tid at fokusere på, hvilke ændringer der gav hvilke resultater. Vi forsøgte så mange ting på en gang, at vi mistede kontrollen over årsag og virkning – di daktik og tænkning. Vi var nødt til at være mere systematiske med vores eksperimenter. Derfor måtte vi udvælge én variabel, eksperimentere med den i en to-ugers periode og derefter måle effekten på elevernes selvstændige tænkning gennem netop denne variabel. Men hvad skulle variablerne være?
Dette gav lærerne mulighed for, at noget nyt kunne finde sted. Jeg vender tilbage til dette i kapitel 15.
Årsagen til, at undervisning i klasserum uden møbler havde en effekt på ele vernes tænkning, var ikke, at disse klasserum i sig selv fremmede selvstæn dig tænkning, men snarere at de ikke aktiverede vaner for ikke-tænkning.
29INTRODUKTION i klasserum uden møbler. Denne erkendelse var vigtig og kom til at forme strukturen for meget af min forskning fremadrettet. Der er ingen mening i at forske i en praksis, som lærere ikke er villige til at implementere – uanset hvor gode resultaterne er. Dette begrænsede derfor rækkevidden af, hvad vi var villige til at prøve af i undervisningen. Ikke fordi vi ikke var villige til at bevæge os ud, hvor det kunne blive ubehageligt, men fordi der var grænser for, hvad der var rimeligt. Den tredje ting, jeg lærte, var, at resultaterne ofte kom før forklaringer ne. Det skulle vise sig at holde gennem hele forskningsprojektet og gør sig også gældende den dag i dag. Viden om, hvad der virker, går altid forud for forståelsen af, hvorfor det virker. Som forsker, der er vant til at begynde med teorier og herefter efterprøve dem, var dette nyt og ukendt land. I ek semplet med klasserum uden møbler tog det mange måneders interview med elever i forskellige kontekster, før jeg overhovedet begyndte at få en forståelse af, hvorfor de manglende møbler havde indflydelse på elevernes tænkning. Det viser sig, at når elever går ind i et klasserum, der til forveks ling ligner alle andre klasserum, de har været i, så antager de, at timen vil forløbe som alle andre timer, de har deltaget i. Og derfor bringer de deres vaner og normative elevadfærd med ind i klasserummet. Hvis elevadfær den ikke er kendetegnet ved selvstændig tænkning, vil de derfor heller ikke tænke selv i denne time. Når eleverne derimod går ind i et rum, som ser markant anderledes ud, end de er vant til, vil de lægge deres vaner og nor mer fra sig og være åbne for at agere anderledes – i hvert fald i begyndelsen.
Det oplagte valg var listen af aktivitetskontekster, som jeg allerede havde undersøgt i forskningen i elevadfærd såsom nu-skal-I-selv-prøve-opgaver, noter, gennemgang af stof, lektier, gruppearbejde og så videre. Men listen
over, hvad der har indflydelse på tænkning i klasserummet, rækker langt ud over afgrænsede sekvenser i en enkelt lektion. For eksempel har jeg allerede vist, at det gør en forskel, hvordan rummet ser ud, når eleverne træder ind i det. Det samme gør måden, vi stiller og besvarer spørgsmål på, hvilke opga ver vi bruger og så videre.
Faktorerneundervisningspraksis.blevhermedde variable, som vi systematisk eksperimente rede med i vores forsøg på at øge elevernes selvstændige tænkning. Vi ledte 1. Opgavetyper 2. Gru eda else 3. Elevernes arbejdsrum 4. Indretning 5. Besvarelse af spørgsmål 6. Måden at give opgaver på 7. Lektier 8. Elevernes selvstændighed 9. Hints og udvidelser 10. Konsolidering af læring 11. Elevernes noter 12. Hvad der evalueres 13. Formativ evaluering 14. Karakterer
30 DET TÆNKENDE KLASSERUM I MATEMATIK
I forsøget på at nå frem til en liste af variable, som har indvirkning på ele vernes selvstændige tænkning i klasserummet, tilbragte jeg adskillige måne der med at besøge klasser, som jeg – på det tidspunkt – endnu ikke havde udført eksperimenter i. Jeg ledte efter en måde, hvorpå jeg kunne opdele undervisningen i faktorer, som hver især kunne fungere som variable i vores stræben efter at forbedre elevernes selvstændige tænkning i klasserummet. Heraf opstod en liste med 14 faktorer: Denne liste er omfattende. Alt, hvad vi som matematiklærere gør i klasse rummet, er en udøvelse af en eller flere af disse faktorer, idet de netop er praksisser. Det vil sige, at måden, vi udøver dem på, er med til at forme vores unikke
Det viste sig ikke at være så svært at finde praksisser, der fremmede mere selvstændig tænkning end de institutionelt normative praksisser. Sidstnævnte var langt fra optimale, og der er mange måder at udøve hver af de 14 faktorer på, så de genererer mere selvstændig tænkning. I de fleste tilfælde begyndte vi forskningen med at udøve en praksis, som var det stik modsatte af, hvad normen var. Hvis normen eksempelvis var, at eleverne sad ned, bad vi dem om at stå op, hvis normen var, at vi besvarer elevernes spørgsmål, stoppede vi med at svare på spørgsmål og så videre. I nogle tilfælde førte tilgangen med at gøre det modsatte af normen til den optimale praksis, og i alle tilfælde ge nererede det mere selvstændig tænkning end i vores baselinedata.
31INTRODUKTION efter tilgange for hver enkelt faktor, som genererede mere selvstændig tænk ning end de institutionelt normative praksisser, jeg havde observeret. Mel lem disse praksisser ledte vi igen efter dem, der frembragte mest tænkning, hvilket vi endte med at betegne optimal praksis for selvstændig tænkning Dem fandt vi. Langsomt i begyndelsen, men i løbet af de næste 15 år duk kede de op.
Derfor delte jeg disse lokale optimale praksisser med andre lærere i an dre kontekster med helt andre elevsammensætninger og bad dem afprøve dem for at se, hvordan disse praksisser fungerede for dem. Vi kørte derefter to-ugers cyklusser med afprøvning af praksisser blandt disse lærere, indtil vi fandt frem til den praksis, som gav mest selvstændig tænkning og kunne overføres på tværs af lærere, kontekster og elevsammensætninger. Herefter bad jeg en ny gruppe lærere afprøve den givne praksis i seks til otte uger for at se, om den havde en længerevarende effekt og ikke bare var noget, der virkede, fordi det var nyt for eleverne. Hvis praksissen bestod denne sidste prøve, var den nu, hvad jeg ville kalde en optimal praksis for selvstændig tænkning inden for den faktor, vi havde eksperimenteret med.
Grupper af lærere afprøvede hver praksis gennem to uger. Hvis den gav gode resultater, justerede vi den, og lærerne fortsatte herefter med at bruge den. Hvis en praksis hen ad vejen viste sig at være mindre effektiv end en anden, vi havde afprøvet, blev den droppet, og vi forsøgte noget andet og så fremdeles. Efter at have afprøvet en række praksisser ville vi til sidst nå til det punkt, hvor enhver ændring af praksis, vi foretog, gjorde den mindre effektiv. På dette punkt havde vi nået, hvad jeg betegnede som en lokal op timal praksis; det vil sige, at den var optimal for den pågældende lærer i den specifikke kontekst og med den specifikke elevsammensætning. Selvom disse praksisser var af generel interesse for undervisning, var de ofte for bundet med aspekter ved den pågældende lærers personlighed, vaner og normer. Jeg ønskede derimod med udgangspunkt i de 14 faktorer at finde frem til praksisser, der ville virke for enhver lærer i enhver kontekst.
32 DET TÆNKENDE KLASSERUM I MATEMATIK
Bogens opbygning
Hvert kapitel afrundes med en kort opsamling af de omtalte makro- og mikrotiltag efterfulgt af refleksionsspørgsmål. Spørgsmålene kan bruges som afsæt for diskussion, hvis du for eksempel læser bogen som led i et ud viklingsarbejde, eller hvis du indgår i et teamsamarbejde med andre lærere. Hvis du selv læser bogen, kan spørgsmålene også give anledning til reflek sioner over, hvad du har læst i hvert kapitel, og hvordan indholdet kan om
Noget af det, du læser om i afsnittene praksis og problemet i de respek tive kapitler, vil antageligt virke som en didaktisk forstyrrelse, fordi du må ske kommer til at læse om problemer med praksisser, du selv bruger. Dette kan virke udfordrende og give anledning til spørgsmål. Tilsvarende kan det måske være vanskeligt at forestille sig nogle af de resultater, der beskrives i afsnittene henimod det tænkende klasserum, og det kan give anledning til spørgsmål om, hvordan du selv kan implementere ændringerne. Derfor følger der i hvert kapitel et afsnit, som kaldes FAQ – ofte stillede spørgsmål. I disse afsnit forsøger jeg at besvare de spørgsmål, som jeg har oplevet, at lærere ofte stiller. Jeg håber, det er nogle af de samme spørgsmål, der dukker op under din læsning.
I de følgende kapitler kan du læse om de 14 optimale praksisser for selv stændig tænkning, som fremkom af forskningen i hver af de førnævnte 14 faktorer. Alle kapitler er bygget op på samme måde, og hvert kapitel begynder med en kort beskrivelse af den faktor, kapitlet handler om, hvorfor det er vigtigt, og hvad kapitlet indeholder. Herefter følger en udforskning af praksis, det vil sige den institutionelt normative praksis for denne faktor, og problemet med denne. Disse indledende afsnit efterfølges af hovedbestanddelen af kapitlet, som jeg har kaldt henimod det tænkende klasserum. Her får du indsigt i den optimale praksis for selvstændig tænkning inden for den givne faktor, og hvordan denne praksis adresserer nogle af de problemstillinger, der er rejst i de indledende afsnit. Der er desuden mere specifikke vejledninger i forhold til klassetrin eller elevsammensætning, hvor der måtte være behov for nuan ceringer. Det er også i denne del, du får konkrete anvisninger til, hvordan du kan implementere den givne praksis. Under vores forskning i den optimale praksis for selvstændig tænkning for hver faktor opstod der en række af, hvad jeg vil kalde, mikrotilgange. Dette er små tiltag, som forbedrede eller gjorde det nemmere at implementere den optimale praksis. De kaldes mi krotiltag i kontrast til de makrotiltag, som udgør de optimale praksisser for selvstændig tænkning i hvert kapitel. Dette er ikke for at sige, at mikrotilta gene er mindre vigtige. I mange tilfælde gør de hele forskellen, i forhold til hvor let eller vanskeligt det er at implementere ændringerne i dit klasserum.
Bogen er skrevet sådan, at du kan læse hele bogen, før du går i gang med arbejdet med at skabe et tænkende klasserum med dine elever. Hvis du ønsker at bruge bogen på denne måde, giver kapitel 15 dig det forskningsba serede overblik over, hvilke praksisser der skal implementeres samtidig, og hvad der er den optimale rækkefølge for implementeringen af de forskellige tiltag. Hvis du derimod ønsker at arbejde mere trinvist, efterhånden som du læser, kan bogen også understøtte dette. I så fald foreslår jeg, at du læser kapitel 1-3 og derefter implementerer alle disse tre kapitlers optimale praksis ser for selvstændig tænkning. Herefter kan du implementere hver praksis, efterhånden som du har læst om den. Som en hjælp til processen sluttes hvert kapitel af med afsnittet kom godt i gang, hvor du finder ideer til op gaver, som kan fremme elevernes selvstændige tænkning i dit klasserum.
33INTRODUKTION sættes til praksis i klasserummet. Nogle af spørgsmålene er ligeledes formu leret, så de kan medvirke til at forstyrre nogle af dine grundantagelser om at undervise i matematik, der måske er en af kilderne til, hvad der udfordrer dig og undrer dig under læsningen.
Ovenstående betyder ikke, at du nødvendigvis skal implementere hver enkelt optimale praksis som angivet i de enkelte kapitler. Disse praksisser er tænkt som et didaktisk design, der kan danne grundlag for undervisningen sammen med din eksisterende viden og erfaring. Alt det, du allerede kan som lærer, er fortsat både relevant og nødvendigt for at kunne få hver af disse optimale praksisser til at fungere i din klasse. Mikrotiltagene kan være en hjælp. Og efterhånden som du inddrager hver enkelt praksis i netop din kontekst og med din særlige elevsammensætning, vil du finde på nye tiltag, som gør det muligt at forbedre hver enkelt praksis endnu mere. God fornøjelse.
Med forord af Dorte Læssøe Ivarsen, cand.pæd. i matematikdidaktik og lektor på læreruddannelsen og Line Maj Møller, cand.pæd. i matematikdidaktik, lærer og matematikvejleder.
NATIONALT CENTER FOR UDVIKLING AF MATEMATIKUNDERVISNING
Peter Liljedahl giver konkrete nye bud på klasserummets indretning, gruppedannelse, brug af whiteboards, måder at stille spørgsmål og opgaver, give lektier for og evaluere på. Og du skal ikke ændre alt i din undervisning på én gang. Bogen guider dig igennem fire faser, der gradvist kommer til at ændre og styrke dine elevers læring i matematik.
WWW.AKADEMISK.DK
I matematik er der en tendens til, at læreren viser eleverne, hvordan de kan løse opgaverne. Det tilskynder eleverne til at kopiere lærerens fremgangsmåde frem for at tænke selv. Denne bog præsenterer 14 praksisser, der ændrer undervisningen og får eleverne til at tænke selvstændigt, arbejde undersøgende og diskutere mulige løsninger sammen.
»Peter Liljedahls bog har tiltrukket sig betydelig opmærksomhed ikke blot inden for matematikdidaktisk forskning, men i høj grad også blandt matematiklærere i mange lande. Bøgerne repræsenterer et nybrud i forhold til praksis og den rolle, som elevernes tænkning tillægges ved planlægning og gennemførsel af matematikundervisning.«
Peter Liljedahl er professor på Faculty of Education, Simon Fraser University i Vancouver. Han er præsident for Canadian Mathematics Education Study Group og International Group for the Psychology of Mathematics Education samt medlem af British Columbia Mathematics Teachers Association. Han har skrevet en lang række bøger og har modtaget priser for sine bidrag til styrket læring i matematik. Hans forskning er tæt knyttet til praksis i grundskolen og på gymnasiet.
