Didaktiske og pædagogiske intentioner

Konstruktivisme er en teori om viden og læring. Den beskriver, hvad viden er, og hvordan man lærer. Det centrale i konstruktivismen er sammenhængen mellem perception (forståelse), erkendelse og virkelighed. Indtil forrige århundrede var det en udbredt opfattelse, at viden var noget, der kunne overføres. Jean Piaget, der af mange regnes for konstruktivismens fader, var af den opfattelse, at verden ikke kunne iagttages, med mindre den iagttagende allerede havde dannet sig nogle strukturer, som det nye kunne forbindes med.

Format er inspireret af dette læringssyn og giver den enkelte elev mulighed for aktivt at konstruere sin viden ud fra egne iagttagelser og erfaringer. Format skaber matematiske udfordringer på flere niveauer, således at aktiviteterne passer til den enkelte elevs potentiale for læring og udvikling. Dette sker ved, at metoder, materialer og resurser tilpasses den enkelte elev, samtidig med at evalueringer sikrer og dokumenterer, at den enkelte elev når de mål, der sættes, såvel nationalt som af den enkelte lærer.

Format inddrager Lev Vygotskys teori om nærmeste udviklingszone, som tager udgangspunkt i forholdet mellem børns udvikling og læring. En central pointe er, at den optimale læring finder sted, når eleverne udfordres på et niveau, der ligger mellem det, de kan klare med voksenhjælp, og det, de kan gøre selvstændigt.

I Format er Vygotskys begreb omsat til følgende tre udviklingszoner: • Kan endnu ikke (det assisterende udviklingsniveau), hvor eleven ikke kan løse opgaven eller skal have meget vejledning og voksenhjælp. • Kan næsten (det potentielle udviklingsniveau), hvor eleven enten selv, eller med støtte fra en jævnaldrende eller voksen, kan løse opgaven. • Kan (det aktuelle udviklingsniveau), hvor eleven selv mestrer opgaven.

Disse tre udviklingszoner og målene for matematikfaget danner baggrund for evalueringshæftets vurdering af elevernes færdigheder. Evalueringernes primære formål er løbende og fremadrettet at følge op på de individuelle læringsforløb ved at bestemme de enkelte elevers faglige niveau og give anvisninger til, hvad de hver især skal arbejde med i det efterfølgende værkstedsforløb.

På baggrund af dette er alle værkstedsaktiviteter opdelt i tre niveauer, så alle elever, uanset evalueringsresultat, kan udfordres og arbejde indenfor deres individuelle potentielle udviklingsniveau. Med udgangspunkt i elevernes resultater i færdighedsevalueringerne, arbejder de hver især med værksteder på et af de tre niveauer, der er anvist i de enkelte værksteder.

Dele af Rita Dunns forskning om læringsstile danner udgangspunkt for variationen af opgavetyper i elevbogen. Hvert kapitel indeholder opgaver, der er udarbejdet i forhold til hver af læringsstilenes fire perceptionelle forcer:

Variationen i opgaverne har til formål at tilgodese flest mulige elevers læring af elevbogens nye stof. Derudover er formålet at præsentere eleverne for og lære dem flere forskellige metoder til at tilegne sig nyt stof. I hvert kapitel i elevbogen findes mindst to opgaver, hvor eleverne primært bliver udfordret auditivt, visuelt, taktilt eller kinæstetisk.

Opgaverne i elevbogen er desuden udarbejdet med udgangspunkt i læringsstilenes organisatoriske elementer. Det betyder, at eleverne møder forskellige opgavetyper, hvor de skal arbejde alene, parvis, i grupper eller hele klassen i fællesskab. Antallet af deltagere fremgår af ikonerne ved de enkelte opgaver i elevbogen.

Værkstederne er ligeledes bygget op omkring læringsstilenes perceptuelle forcer. Det betyder i praksis, at eleverne også her får mulighed for at arbejde med udgangspunkt i forskellige læringsstile. Alle værksteder er markeret med ovenstående symboler, så både læreren og eleverne kan se og vælge de værksteder, som bygger på den enkelte elevs fortrukne måde at arbejde og lære på. For at sikre, at eleverne også lærer at tilegne sig stof på andre måder end sin foretrukne, bør det velkendte stof repeteres ved hjælp af en eller flere af de tre andre perceptuelle forcer.

Værkstedsaktiviteterne er ligeledes udarbejdet med baggrund i udvalgte organisatoriske elementer, hvilket betyder, at eleverne har mulighed for enten at arbejde alene, parvis, eller i små og større grupper. Antallet af deltagere fremgår tydeligt af værkstedskortene.

I KOM-rapporten fra 2020 bruges en matematisk kompetence i betydningen ekspertise, altså det at kunne anvende og handle med den matematiske viden, man har opnået. Kompetencer er mere end færdigheder, idet man for at handle kompetent fx skal vide, i hvilke situationer færdighederne skal inddrages som matematiske værktøjer. Det kan illustreres ved at se på forskellen mellem at kunne løse en ligning ved hjælp af givne regler og at kunne opstille en ligning, som optræder skjult i en given kontekst. Den matematiske kompetenceudvikling er ligesom udviklingen af sociale kompetencer en læringsproces, der udvikles over tid, og som aldrig slutter. En person vil altså aldrig blive fuldstændig matematisk kompetent.

Matematikkompetencer skal ses som et værktøj til en mere uddybende tilgang til faget og til en forståelse af, hvordan undervisningen kan planlægges og gennemføres. KOM-rapportens oprindelige otte kompetencer er i Forenklede Fælles Mål sammenskrevet til seks kompetencer: Ræsonnements- og tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen, modelleringskompetencen, repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen, kommunikationskompetencen og hjælpemiddelkompetencen. Delkompetencerne skal ikke ses isoleret, idet der i en opgave som regel fokuseres på flere kompetencer ad gangen. Herunder følger kompetencernes beskrivelse fra Vejledning for faget matematik med efterfølgende eksempler.

Ræsonnements- og tankegangskompetence handler om at stille, genkende og besvare spørgsmål, som er karakteristiske for matematik, samt at kunne opstille og følge matematiske ræsonnementer. Matematik er opbygget af forudsætninger, definitioner, sætninger og ræsonnementer, som tilsammen danner et matematisk sprog. Eleverne skal i 5. klasse fx undersøge højder i trekanter og formulere regler ud fra undersøgelserne.

Problembehandlingskompetence handler om at kunne opstille og løse matematiske problemer. Et matematisk problem er i denne forbindelse et problem, der ikke kan løses med rutineprægede færdigheder, men som kræver undersøgende virksomhed. Noget kan være et matematisk problem for én elev, men er det ikke nødvendigvis for en anden. Eleverne skal i 5. klasse fx undersøge magiske kvadrater, hvor summen af tre tal (både negative og positive hele tal) både vandret, lodret og diagonalt skal give samme sum.

En matematisk model er en matematisk beskrivelse af virkeligheden. Matematisk modelleringskompetence handler derfor om at kunne opstille matematiske modeller af virkeligheden samt at kunne analysere og fortolke foreliggende modeller. Eleverne skal i 5. klasse fx vurdere og opstille modeller af, hvad det koster at bage et brød ud fra egne undersøgelser af opskrifter og priser.

Mange matematiske begreber og sammenhænge kan beskrives med forskellige repræsentationer. Et antal kan fx beskrives ved hjælp af et tal, et regnestykke, en tabel eller i sproglig form. I matematik er brugen af symboler en speciel vigtig repræsentation. Det handler om at kende og kunne betjene sig af forskellige repræsentationsformer, at kunne vurdere og derudfra vælge en relevant repræsentationsform i en given sammenhæng samt at kunne oversætte mellem forskellige repræsentationsformer. Afkodning og brug af matematisk symbolsprog er et centralt delelement i denne kompetence. Eleverne skal i 5. klasse fx anvende skyderværktøjet i GeoGebra til at bestemme en variabel sidelængde i regulære polygoner.

Kommunikationskompetence handler om at kunne udtrykke sig og forstå andres kommunikation om matematikholdige emner, herunder mundtlige, skriftlige og visuelle kommunikationsformer. I Format er bøgerne på mellemtrinnet engangsbøger. Det har den fordel, at eleverne kan og skal skrive direkte i bøgerne. Elevbogen er ikke blot en facitliste, men har fokus på, at eleverne kan notere processen. Eksempler på elevernes proces er deres noter, skriblerier, tegninger og selvproducerede matematiktekster. Eleverne skal i 5. klasse fx med egne notater mundtligt kunne forklare, hvordan de adderer, subtraherer og multiplicerer med decimaltal. I 5. klasse er den skriftsproglige kommunikation fx rettet mod at svare i en konkluderende hel sætning med fornuftigt valg af antal decimaler og enhed.

Hjælpemiddelkompetence handler om at have kendskab til og kunne anvende forskellige hjælpemidler samt at kunne vælge et relevant hjælpemiddel til arbejdet med en given matematisk problemstilling. Hjælpemidler indbefatter både digitale hjælpemidler (som fx regneark og geometriprogrammer), mere traditionelle matematiske værktøjer (som fx lommeregner, passer, lineal, målebånd, meterhjul) samt konkrete materialer (som fx centicuber, geobrikker, vægte og tidsmålere). Eleverne skal fx i 5. klasse anvende flytningsværktøjer i GeoGebra, for at fremstille tessellationer.

Ifølge John Hattie skaber synlige læringsmål bedre faglige resultater, bl.a. fordi eleverne gennem synligheden gøres opmærksom på deres egen læringsproces. Eleverne ved, hvor de er på vej hen, og undervisningen understøtter vejen dertil.

I Format 5 er de faglige læringsmål gjort synlige i en forenklet og børnevenlig udgave i begyndelsen af hvert kursus i elevbogen. Det er dog læreren, der formulerer klassens endelige læringsmål i forhold til den pågældende elevgruppe. På format.alinea.dk findes læringsmålene som PDF-filer, der kan printes ud i A3-format og hænges op som plakater i klassen, således at de er synlige for eleverne under hele arbejdet med kurset. Synlige læringsmål giver eleverne mulighed for kontinuerligt at orientere sig om, hvad der forventes af dem, og hvad målet er med undervisningen. Da mål, vurdering og feedback desuden hænger uløseligt sammen, kan læringsmålene også bruges ved lærerens feedbacksamtaler med den enkelte elev. Læringsmålene kan også gøre det muligt for den enkelte elev at vurdere sig selv: Hvad var mit mål? Hvad har jeg lært? Og hvad er mit næste skridt? Dette kan udføres ved hjælp af refleksion og samtale, fx med en klassekammerat eller i mindre grupper.

Læreren kan så ofte, som det ønskes, henvise til de enkelte mål undervejs i processen. Det anbefales at genopfriske de relevante læringsmål med eleverne, hver gang der arbejdes med den matematiske opmærksomhed.

Jeg skal kunne anvende negative tal i hverdagen.

Jeg skal kunne dele med 10, 100 og 1 000.

Jeg skal kunne ordne og omskrive decimaltal og brøker.

Jeg skal kende til procent fra hverdagen.

Fælles Mål er en målsætning om, at alle elever skal blive så dygtige som muligt. Eleverne i en klasse befinder sig på mange forskellige faglige niveauer, ligesom de har forskellige forudsætninger for at løse de givne opgaver. Elever, som har svært ved at løse opgaverne, kan træne og dermed blive mere sikre i arbejdet med kopiark eller træningshæfte 1, der indeholder flere opgaver af samme type som dem i elevbogen. I lærervejledningen henvises også til forskellige hjælpemidler og supplerende kopiark, der kan støtte eleverne yderligere. I de forskellige spil kan niveauet ofte hæves eller sænkes. Fx kan terninger udskiftes med en anden type, eller spilleregler kan ændres, så der fx spilles med åbne kort, eller eleverne kan spille to og to sammen.

Flere opgaver indeholder åbne spørgsmål sidst i opgaven, hvor eleverne selv skal finde eller vælge, hvilke og hvor mange oplysninger de vil bruge i deres beregninger. På den måde kan eleverne arbejde på hvert sit niveau. Dette er også en mulighed i de opgaver, hvor svaret er givet, og eleverne skal finde en opgave, der passer til. Hvad nu, hvis-opgaverne lægger et ekstra niveau på en eksisterende opgave, der især vil udfordre og motivere de dygtigste elever.

Den sidste opgave i hvert kapitel Find på opgaver om … er opgaver, der giver eleverne mulighed for at udfordre sig selv både fagligt og kreativt. Eleverne skal opstille egne opgaver til hvert af de fire læringsmål, som de har arbejdet med i kapitlet. Eleverne skal her med lærerens hjælp udfordre sig selv. At udfordre sig selv betyder bl.a., at der skal stilles forskellige krav til forskellige elever. Nogle elever vil have brug for inspiration fra tidligere opgaver i kapitlet for at kunne løse opgaven. Eleverne bør opfordres til at vise en (for den enkelte) svær eller særlig smart måde at opstille opgaven på, som fx en omvendt version af en lignende opgave i bogen. Det er lærerens ansvar at vurdere, hvorvidt de enkelte elever har brug for inspiration og henvisning til tidligere opgaver, skal støttes i at udfordre sig selv eller skal huskes på, at de selv skal kunne løse opgaven. I side til side-vejledningen findes der eksempler på, hvordan læreren kan stille spørgsmål, der kan lede eleverne på vej.

Det er vigtigt at vise forskellige løsninger for hele klassen, så eleverne kan inspirere hinanden med sjove, kreative eller svære løsninger. Det gør dem i stand til at genkende mulighederne og kravene, når de støder på samme type opgaver i efterfølgende kapitler. I træningshæfte 2 er der mulighed for at vælge et niveau, der ligger højere end elevbogen. I træningshæfte 1 findes tilsvarende opgaver, som er på samme eller lidt lavere niveau end opgaverne i elevbogen. Derudover giver værkstedsdelens målrettede faglige værksteder, der indeholder tre niveauer, også gode muligheder for at differentiere undervisningen.

Elever på alle klassetrin skal i gennemsnit bevæge sig 45 minutter hver dag. Bevægelse kan indgå i undervisningen på forskellige måder. Format 5 indeholder bevægelsesaktiviteter, som knytter sig til det matematikfagligt indhold, fx bevægelse TIL læring, hvor bev ægelse bruges som motivation. Det gælder opgaver, som fx Spørg, svar og byt, Find og byt, Find en der …, Ligningsstafet, Rap til uligheder, Stå på række efter tal og brøkers værdi, Postløb med decimaltalsstykker, En sand og to falske samt hentelegen Find opgaven, der passer, hvor bevægelsen er lagt TIL det faglige, og hvor konkurrence og variation bruges som motivation til færdigheds- og træningsopgaver.

I Format 5 præsenteres eleverne desuden for bevægelse MED læring. Eleverne skal løse opgaver, hvor bevægelsen skaber sanseindtryk, som er MED til at øge eleverne forståelse, og som på den måde lagres bedre i arbejdshukommelsen. Det sker bl.a. gennem opgaver, som fx Beregn rumfang under bord, Byg trekanter med børn som højde, Byg en kubikmeter, Beregn højder udendørs, Vis på hvor mange måder, I kan danne par, Tag fotos og vis optælling af kombinationer, Løb i koordinatsystem, Mål og omskriv længder, Udfør tidsrekorder samt Løb i koordinatsystemet.

Endelig findes der i Format 5 også bevægelse FOR læring. Det gælder de opgavetyper, hvor eleverne skal skaffe informationer, være undersøgende og inddrage verden udenfor, som fx Udfør skitræningsundersøgelser og find deskriptorer, Vurder, hvor sandsynligt det er … samt projektopgaverne i slutningen af hvert kapitel.

Sproget er vigtigt for udvikling af begrebsforståelsen inden for de enkelte faglige områder. Mange af opgaverne i Format 5, Elevbog/Web er tilrettelagt, så eleverne arbejder parvis eller i grupper med aktiviteter og spil, hvor dialog, samarbejde og kommunikation er nødvendig. For at sikre, at eleverne arbejder med de relevante faglige begreber, stilles der i visse opgaver krav om, at de benytter bestemte begreber i de mundtlige forklaringer. Mundtlige forklaringer kan optages på mobiltelefon eller tablet, så eleverne lærer at udtrykke sig præcist ved hjælp af de relevante begreber.

Matematikholdige tekster i Format 5, Elevbog/Web består af flere dele, som fx forklarende tekst, regnehistorier, ordforklaringer, opgaver, skemaer, tabeller, diagrammer, figurer, fotos, tegninger m.m. Alle disse dele er forskellige repræsentationer af matematikken. Matematik kan i sig selv være abstrakt, og derfor arbejder eleverne i Format 5 med matematik i forskellige repræsentationer.

For at lette den faglige læsning i Format 5, Elevbog/ Web er læseretningen i de enkelte opgavers elementer søgt ensrettet fra venstre mod højre. Hver opgave er i overskrifterne formuleret kortfattet, men tydeligt instruerende og i hele sætninger. En tydelig, ensartet struktur og opbygning af kapitlerne sikrer genkendelighed og læsbarhed for eleverne.

Eleverne bør undervises i, hvordan informationerne er organiseret i de forskellige tekstdele, så det bliver en viden, de også kan anvende, når de læser andre tekster af samme type. I arbejdet med Format vil det være en fordel allerede fra begyndelsen at arbejde med bogens struktur, ikoner og præsentation af de enkelte dele. Helt konkret kan man tale med eleverne om, hvad kapitlerne har til fælles, som fx farver, ikoner, opbygning af siderne, hvilke illustrationer der typisk indeholder information, som skal bruges til løsning af opgaven, hvilke der viser, hvordan et spil spilles, og hvilke der viser arbejdsprocessen, som det fx gælder ved projekterne i form af tegneserier osv.

Flere opgaver i Format, som fx Spørg, svar og byt er inspireret af Cooperative Learning. Cooperative Learning (CL) er et etableret struktureringsredskab, der målrettet bruger kommunikation som læringsredskab. Her imødekommes børns naturlige behov for social kontakt bevidst i læringssituationer ved hjælp af særlige strukturer, hvor eleverne arbejder i teams. Nøglen til CL er fire principper, der sikrer, at flest mulige elever er aktive samtidig, at de arbejder sammen, at de hver især påtager sig ansvar, og at de bidrager lige meget til arbejdet.

• Samtidig interaktion • Positiv indbyrdes afhængighed • Individuel ansvarlighed • Lige deltagelse

I Format introduceres regnehistorier som en mundtlig hverdagsfortælling, der både indeholder informationer og en formuleret opgave, som eleverne skal finde en matematisk løsning på. I arbejdet med at finde frem til en løsning kan eleverne anvende hovedregning, konkrete tællematerialer, skriblerier og tegninger, som kan hjælpe dem med at konkretisere og visualisere problemet. Der arbejdes hen imod, at eleverne i løbet af mellemtrinnet, når de er parate til det, beskriver deres tankegang med fx regneudtryk og løsninger med benævnelser.

I Format 5 vil eleverne blive præsenteret for flere regnehistorier både i elevbogen, evalueringshæftet og via de mange regnehistoriekort i Format 4-6, Materialekasse, der bruges under værkstedsarbejdet. Her kan eleverne arbejde med regnehistorier på tre niveauer.

Eleverne bliver introduceret for et værktøj til støtte i arbejdet med regnehistorier. Eleverne bliver desuden med en skriveramme guidet gennem fem trin.