Læring og undervisning

Den grundlæggende ide i MAT 10 er, at elever lærer matematik ved at undersøge relevante problemstillinger og ved at indgå i dialog med hinanden og læreren, hvor de reflekterer over deres egne og klassekammeraternes erfaringer og opdagelser. Udgangspunktet for læringen er således altid en konkret aktivitet, hvor eleverne i fællesskab udforsker en matematisk problemstilling. Problemstillingen er formuleret, så den leder hen mod en central faglig pointe, som formuleres af læreren og klassen i fællesskab ved afslutningen af aktiviteten (fællesgørelsen). Det er vigtigt, at den faglige pointe relateres direkte til elevernes erfaringer fra undersøgelsen.

De indledende undersøgelsesaktiviteter suppleres af opgaver på websitet, hvor eleverne arbejder videre med det faglige stof. Opgaverne på web er inddelt i fire kategorier: • supplerende opgaver, der understøtter bogens aktivitet • tekstforståelse, der øver eleven i at afkode teksten i opgaver • skriftlighed, der øver eleven i at kommunikere skriftligt om, hvordan de er kommet frem til en løsning, ofte med begrundelser og ræsonnementer. Den faglige skrivning knytter sig til arbejdet med de matematiske kompetencer • mundtlighed, der øver eleven i at kunne anvende matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer

På web findes også vejledningsfilm, hvor centrale faglige emner uddybes samt en test, hvor eleverne kan teste deres viden inden for de faglige områder (se også s. 24).

Faglige pointer som styrende for undervisningen og elevernes læring

Hver intro og aktivitet i grundbogen er styret af en faglig pointe. En faglig pointe er det centrale matematiske indhold, som eleverne skal tilegne sig. Det kan være en matematisk sammenhæng eller definitionen af et matematisk begreb.

Den faglige pointe er en hjælp til læreren: • ved forberedelse af undervisningen • ved gennemførelsen af de forskellige faser i undervisningen • ved evaluering af undervisningen

Læreren kan bruge den faglige pointe til at fastholde fokus igennem hele processen, hvor eleverne arbejder med problemstillingen. Ved opstarten, hvor problemstillingen overdrages til eleverne, bruger læreren problemstillingen til at ’lede’ eleverne hen mod den faglige pointe. I dialogen med eleverne, mens eleverne arbejder med problemstillingen, bruger læreren nøglespørgsmålene, som er ’afledt’ af den faglige pointe. Til sidst ved fællesgørelsen, hvor elevernes erfaringer skal ’samles’ til fælles viden og sammenholdes med den institutionaliserede (for læreren) kendte viden, er den faglige pointe ’resultatet’ af arbejdet med aktiviteten. Læreren kan også bruge den faglige pointe til at bestemme indholdet og formen på evalueringen således at det indhold, der er centralt i undervisningen, også er centralt ved evalueringen.

Problemstillingen formuleres af læreren – helst helt eksplicit ved fx at skrive den på tavlen, så eleverne kan se den under hele arbejdet – og bruges af elever og lærer til at styre elevernes undersøgelse hen imod den faglige pointe. Problemstillingen er med til at sikre, at der undervisningsdifferentieres, ved at eleverne oplever klassefællesskabet, idet de alle arbejder med samme spørgsmål, samtidig med at forskellige elever naturligvis vil arbejde med spørgsmålet med forskellige redskaber og på forskellige niveauer. I side-til-side vejledningen til hver aktivitet er der givet et forslag til en problemstilling.

Eleverne skal naturligvis også blive opmærksom på den faglige pointe. Det sker oftest ved klassesamtalen, hvor læreren samler op og formulerer pointen eksplicit for eleverne, fx ved at skrive den på tavlen. Det er afgørende, at eleverne bliver opmærksomme på, at pointen udtrykker et helt centralt fagligt indhold, som har været målet med arbejdet.

Kompetencer

De matematiske kompetencer er et af de fire kompetenceområder i Fælles Mål. Det matematiske kompetencebegreb stammer fra den såkaldte ’KOM-rapport’, som blev skrevet i 2002 af Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen. Kompetencerne er en an- den (ny) måde at beskrive faglighed i matematik, eller med andre ord hvad det vil sige at ’beherske’ matematik.

At være matematisk kompetent er ifølge KOM-rapporten ’indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, der rummer en bestemt slags matematisk udfordring’. Det centrale er, at eleven kan ’handle hensigtsmæssigt’ i forhold til ’matematiske situationer’. Eleven handler, når han/hun, på baggrund af viden, færdigheder og personlig stillingtagen, ’gør noget’ i en situation med matematisk indhold. Hjælpemidler

I løbet af skoleforløbet skal eleven lære at handle i stadig mere komplekse situationer og med brug af mere avancerede matematiske begreber og metoder. Der indgår næsten altid matematiske kompetencer, når man arbejder med matematik, og ofte kan man argumentere for, at de fleste af kompetencerne indgår. Det er imidlertid ofte hensigtsmæssigt at udpege en eller to kompetencer, som der er særlig fokus på i en undervisningssituation.

Repræsentation og symbolbehandling Problembehandling

tankegangRæsonnement og

I faghæftet for matematik er de oprindelige otte kompetencer samlet til seks.

Modellering

Kommunikation

Nedenfor er der beskrivelser af, hvordan de seks kompetencer kan fremtræde i en 10. klasse (udsagnsordene markeret med fed skrift er de ord, der er specielt fokus på i 10. klasse, jf læseplanen) og konkrete eksempler fra elevbogen.

Problembehandling Eleverne opstiller, løser, præciserer, afgrænser og omformulerer egne eller andres problemer. Det kan for eksempel være udarbejdelse af en metode til at afgøre hvilken af to brøker, der er den største (Grundbog side 48). Læreren kan stimulere elevernes arbejde med problembehandlingskompetence ved at stille spørgsmål til specialtilfælde og til eventuelle formuleringer, som ikke er helt præcise. Kan jeres metode bruges til alle brøker, fx negative eller uægte brøker? Er der nemmere metoder, som kun kan bruges i specielle tilfælde?

Modellering

Eleverne opstiller, afgrænser, tolker, analyserer og vurderer matematiske modeller og ’oversætter’ mellem model og virkelighed. Der kan for eksempel være opstilling og vurdering af en model, som beskriver opladningen af en mobiltelefon, ved at afbilde sammenhængen mellem tiden og hvor meget mobiltelefonen er opladet i et koordinatsystem (Grundbog side 32). Væsentlige problemstillinger er for eksempel, hvor godt modellen beskriver situationen fra virkeligheden? Hvilke alternative modeller man kan vælge? Hvilke fordele og ulemper der er ved de forskellige modeller i fx præcision og overskuelig beskrivelse af virkeligheden? Gælder modellen altid, i eksemplet med mobiltelefonopladning fra 0% til 100%, eller kun i nogle tilfælde, for eksempel fra 20% til 80%?

Tankegang og ræsonnement Eleverne udvikler og vurderer ræsonnementer og matematiske beviser. Det kan for eksempel være udviklingen af et argument for, at vinkelsummen i en firkant er dobbelt så stor som vinkelsummen i en trekant (Grundbog side 20). Det centrale spørgsmål i forbindelse med ræsonnementer er ofte hvorfor, det forholder sig sådan, men herudover også hvad det er, vi gerne vil bevise, hvad er præmissen, hvad er argumentet, og hvad er konklusionen?

Repræsentation og symbolbehandling Eleverne opstiller, anvender, sammenligner og reducerer udtryk med variable, herunder med digitale værktøjer. Det kan for eksempel være opstilling og løsning af ligninger ud fra en konkret situation som ’kopgåder’ (Grundbog side 88).

Kommunikation

Eleverne udtrykker sig skriftligt, mundtligt og visuelt og fortolker andres skriftlige og visuelle kommunikation i fx medier. Det kan fx være fortolkning af en artikel om udviklingen i brugen af rusmidler ud fra statistiske data (Grundbog side 69). Læreren kan stimulere elevernes kommunikationskompetence ved at stille spørgsmål og give eksempler, der får dem til at præcisere deres faglige sprog og ved at arbejde med at afkode andre elevers kommunikation samt kommunikation fra kilder i omverdenen, fx medier.

Hjælpemiddel Eleverne kender, anvender og vælger begrundet analoge og digitale hjælpemidler. Det kan fx være sammenligning af et regneark og en direkte formel i et CAS-værktøj til at beskrive udviklingen af saldoen på en konto i banken og derefter et begrundet valg i en given situation (Grundbog side 58). Læreren kan for eksempel spørge til fordele og ulemper ved forskellige (digitale) hjælpemidler, både i forhold til brugervenlighed for den der behandler problemstillingen og for den, der skal afkode arbejdet.