rym10

Н.А. Панов, С.А. Шабунин

Домашняя работа по физике за 10–11 класс к задачнику «Физика. Задачник. 10–11 кл.: Пособие для общеобразоват. учреждений / А.П. Рымкевич. — 7-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2003»

МЕХАНИКА Основы кинематики Механическим движением называется изменение положения тела с течением времени. Кинематика, как раздел механики, исследует движение тел, не рассматривая его причин. Одним из самых важных частных случаев механического движения является поступательное движение. При нем любая ось, проведенная через тело, остается параллельной самой себе. Для удобства описания поступательного движения используется понятие материальной точки. Материальной точкой называется тело, размерами которого при решении данной задачи мы можем пренебречь. Материальная точка — это модель, и в природе их не существует. Не следует забывать, что одно и то же тело в одних условиях можно рассматривать как материальную точку, а в других нельзя. Например, при движении Земли вокруг Солнца Землю можно считать материальной точкой, а при движении пешехода по ней, конечно, нельзя. Описывая движение, физики используют понятие системы отсчета. Чтобы ввести систему отсчета необходимо задать тело отсчета, систему координат, связанную с этим телом и устройство для измерения времени. Радиус-вектором материальной точки называется вектор, начало которого находится в начале координат выбранной системы отсчета, а конец в нашей материальной точке. Траекторией тела назовем линию, которую описывает конец радиусвектора при движении. Пусть материальная точка в момент времени t1 находилась в точке A, в момент времени t2 переместилась в точку B. В таком случае можно ввести понятие перемещения. Перемещением s назовем вектор, начало которого лежит в точке A, а конец в точке B. Тогда, если радиус-вектор в момент времени t1 равен rA , а в момент t2 равен rB , то s = rB – rA . Пусть вектор s имеет координаты (х, y, z) в выбранной системе отсчета. Тогда проекция его на ось Х будет равна х, на ось Y будет равна y, на ось Z будет равна z. Другим важным понятием механики является путь. Путем называется длина траектории. Не следует путать путь и перемещение. Даже по своей сути это различные физические величины: путь — это скаляр, а перемещение — вектор. Для примера рассмотрим следующую ситуацию. Человек кидает вверх мяч, а после ловит его. При этом путь мяча не равен нулю, а перемещение равно нулю. 2

y A S RB 0

RA B

х

Вернемся к рассмотренному выше движению тела из точки A в точку B. Введем скорость движения. Скоростью v называется отношение перемещения ко времени, которое тело двигалось v =

s . t2 − t1

Простейшим случаем механического движения является равномерное прямолинейное движение. При таком движении тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения. Скорость v в этом случае постоянна. При прямолинейном движении вместо радиус-вектора r мы можем использовать всего одну его координату, например х, если направим ось X, вдоль перемещения. Тогда проекция скорости v на ось X vх будет выражаться формулой vx =

x2 − x1 , t2 − t1

где х2 — конечное положение тела в момент времени t2, х1 — начальное положение тела в момент времени t1. Другим важным случаем механического движения является равноускоренное движение. При таком движении изменение скорости v за любые равные промежутки времени постоянно. В общем случае ускорение a будет выражаться формулой a =

v2 − v1 , t2 − t1

где v2 — конечная скорость в момент времени t2, v1 — начальная скорость в момент времени t1. При равноускоренном движении ускорение a есть величина постоянная. Перемещение s при равноускоренном движении будет выражаться формулой s = v0t +

at 2 , 2

где v0 — начальная скорость тела, a —ускорение, t — время движения. Если движение происходит вдоль оси X, то зависимость координаты тела от времени будет выражаться формулой x = x0 + v0t +

at 2 , 2

3

где х0 — начальная координата тела. Также можно доказать, что проекции перемещения Sх, начальной vх1 и конечной vх2 скорости и ускорения связаны формулой vx22 − vx21 = 2 ax sx . При криволинейном движении тело всегда движется с ускорением; даже если скорость по модулю постоянна, меняется ее направление. Рассмотрим теперь движение по окружности радиуса R с постоянной по модулю скоростью v. При таком движении скорость всегда направлена по касательной к траектории. Назовем периодом T время оборота на 360°, частотой ν величину обратную периоду: ν = 1/T. Скорость v связана с периодом и частотой формулами v =

2 πR = 2 πRν . T

Ускорение при равномерном движении по окружности называется центростремительным и обозначается aц. Как следует из названия, это ускорение направлено в центр окружности. Оно будет выражаться формулой aц =

v2 . R

Приведем также формулы для вычисления aц через период T и частоту ν: aц = 4 π 2ν 2 R = 4 π 2

R T2

.

Как известно, движение нельзя рассматривать безотносительно системы отсчета. Пусть тело A в одной системе отсчета движется со скоростью v. Пусть также другое тело B в этой же системе отсчета движется со скоростью v0. Если мы перейдем в систему отсчета, связанную с телом B, то в этой системе тело A будет двигаться со скоростью v′ = v – v0. Следует отметить, что любое тело в системе отсчета, связанной с самим собой покоится. № 1. Движение стрелы считать поступательным нельзя, а движение груза можно. № 2. Обод движется непоступательно, а кабины для пассажиров движутся поступательно. № 3. а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) да. № 4. а) нет; б) да; в) да; г) нет. № 5. а) да; б) нет. № 6. Да, так как поезд рассматривается как целое. № 7. О(0; 0); В(0; 60); С(80; 60); D(80; 0). Е(20; 40). K(– 5; 20); L(– 10; – 10); M(30; – 5). № 8. Выполните это задание самостоятельно. № 9. Путь пройденный автомобилем, больше пройденного вертолетом, а перемещение их обоих одинаково. № 10. При поездке в такси мы оплачиваем путь, а на самолете перемещение. 4

№ 11.

S

Путь мяча 3 м + 1 м = 4 м, а перемещение 3 м – 1 м = 2 м. № 12. Путь пройденный автомобилем l = πR, модуль перемещения S = 2R.

l πR π = = S 2R 2

№ 13. Проекция вектора r1 , на ось Х: 6 м – 2 м =4 м, на Y: 8,5 м – 8,5 м = 0; вектора r2 на ось Х: 6 м – 2 м = 4 м, на Y: 6 м – 4 м = = 2 м; вектора r3 на ось Х: 4 м – 8 м = – 4 м, на Y: 1,5 м – 1,5 м = 0; вектора r4 на ось Х: 11 м – 8 м = 3 м; на Y: 2 м – 6 м = – 4 м; вектора r5 на ось Х: 7,5 м – 7,5 м = 0; на Y: 10 м – 7 м = 3 м. № 14. Движение начинается в точке А, заканчивается в точке В. Точка А имеет координаты (20; 20), В – (60; – 10). Проекция перемещения на ось Х: 60 м – 20 м = 40 м; на ось Y: – 10 м – 20 м = – 30 м. Для нахождения перемещения воспользуемся теоремой Пифагора. Тогда модуль перемещения равен 40 2 км 2 + ( − 30) 2 км 2 = 50 м. № 15. Материальная точка движется из точки А в точку D. Точка А имеет координаты (2; 2), точка D ⎯ координаты (6; 2). Модуль перемещения: 6 м – – 2 м = 4 м. Проекция перемещения на Х: 6 м – 2 м = 4 м, а на Y: 2 м – 2 м = 0. Пройденный путь: (10 м – 2 м) + (6 м – 2 м) + (10 м – 2 м) = 20 м. у, м № 16. S

Дано: х1 = 0; у1 = 2 м; х2 = 4 м; у2 = 1 м. Найти: S; Sх; Sy.

х, м

Решение. Sх = х2 − х1 = 4 м − 0 = 4 м; Sу = у2 − у1 = −1 м − 2 м = −3 м S = S x2 + S y2 = 42 км 2 + ( − 3)2км 2 = 5 м.

Ответ: Sх = 4 м, Sу = −3 м, S = 5 м. 5

№ 17.

S2

S2

S

Дано: S1 = 40 км; S2 = 30 км. Найти S, l. № 18.

Решение. По теореме Пифагора S = S12 + S22 = 402 км 2 + 302 км 2 = 50 км.

l = S1 + S2 = 40 км + 30 км = 70 км. Ответ: S = 50 км, l = 70 км.

S

S2

α

β S1

Дано: α = 135°; S1 = 2 км; S2 = 1 км.

Решение. S = S1 + S2 . По теореме косинусов: S = S12 + S22 − 2S1S2cosα = = 22 км 2 +12 км 2 - 2× 2 км ×1 км × cos135o =

2 км 2 ≈ 2,8 км. 2 Найдем угол β, который является углом между перемещением и направлением на север. = 5 км 2 + 4 ⋅

sinβ =

Найти: S 6

S1sin

( −( π 2

π 2

−α

S

Тогда β = 30°. Ответ: S = 2,8 км, β = 30°.

)) = 2 км ⋅ sin45o ≈ 0,5. 2,8 км

№ 19. S// β

S2

А β

α

S3

γ S S/

S1 О Дано: α = 45°; S1 = 400 м; S2 = 500 м; S3 = 600 м.

Решение. 1) Из геометрических соображений β + γ = 90°, значит SiN β = coS γ, coS β = SiN γ. 2) Пусть перемещение S происходит из точки О в точку О/. Тогда точку, в которой S пересечет S2 на/

//

/

зовем А. Пусть также S = OA , S = AO . /

//

Отсюда имеем: S = S + S . 3) S1coS α + S/SiN β + S//coS γ = S2; S1coS α + SSiN β = S2; SSiN β = S2 − S1coS α. (1) 4)

S3

S //

=

S3 + S1sinα из подобия треугольников. S

Учитывая, что S3 = S//SiN γ = S//coS β, получим ScoSβ = S3 + S1SiN α. (2) 5) Разделим уравнение (1) на уравнение (2). S − S cosα 500 м − 400 м ⋅ 0,71 tg β = 2 1 ≈ ≈ 0,37; S3 + S1sinα 300 м + 400 м ⋅ 0,71 Отсюда β ≈ 20°. S − S cosα 500 м − 400 м ⋅ 0,71 6) S = 2 1 ≈ ≈ 617 м. sinβ 0,35 Найти: S .

Ответ: S = 617 м, β ≈ 20°. 7

№ 20. Дано: v1 = 20 м/с; v2 = −15 м/с; v3 = −10 м/с; х01 = 500 м; х02 = 200 м; х03 = −300 м; t1 = 5 с; t2 = 10 c; х/ = −600 м; х// = 0; t3 = −20 c.

Решение 1) х1 = х01 + v1t = 500 + 20t; х2 = х02 + v2t = 200−15t; х3 = х03 + v3t = −300 − 10t. 2) х1(t1) = 500 м + 20 м/c ⋅ 5 c = 600 м; х2(t2) = 200 м − 15 м/c ⋅ 10 c = 150 м; S(t2) = ⏐v2t2⏐ = 15 м/c ⋅ 10 c = 150 м. x / − x03 −600 м − ( − 300 м) 3) х/ = х01 + v3t/; t / = = = −30 с. −10м с

v3 //

x − x01 0 − ( − 500 м) = = −25 с. v1 20м с 5) х2(t3) = 200 м + (−15 м/с) ⋅ (−20 с) = 500 м Найти: х1(t1), Ответ: х1(t1) = 600 м, х2(t2) = 150 м, S(t2) = 150 м, х2(t2), S(t2), t/, t//, t/ = 30 c, t// = −25 c, х2(t3) = 500 м. х2(t3). № 21.

4) х// = х01 + v1t//; t // =

– 270

x1(0)

0

х2(0)

х, м

Дано: Решение. 1) v1 = 12 м/с, v2 = −1,5 м/с; v1 ⎯ нах1(t) = −270+12t; правлено вправо, v 2 ⎯ влево. х2(t) = −1,5t. 2) х1(tв) = х2(tв); −270 + 12tв = −1,5tв; 13,5tв = 270; tв = 20 с. 3) хв = х1(tв) = −270 м + 12 м/с ⋅ 20 с = −30 м. Ответ: v1 = 12 м/с, v2 = −1,5 м/с, хв = −30 м, tв = 20 с. Найти: v1 ,v2 , хв, tв. № 22. По графику видно, что начальные координаты I тела : 5 м, II: 5 м,

III: — 10 м. Скорости движения I: v1 = 5 м − 5 м = 0 , II:

−15 м − 5 м v2 = = −1м/с, 20 с

20 с 0 − ( − 10 м) III: v3 = = 0,5 м/с. Уравнения дви20 с

жения: I: х1 = 5; II: х2 = −t + 5; III: х3 = 0,5t − 10. Т.к. движение равномерное вдоль оси Х, то найденные нами скорости v1, v2, v3 являются проекциями на ось Х. 8

По графикам уравнения движения тел II и III видно, что они пересекутся в точке х = – 5 м в момент времени t = 10 с. Найдем это из уравнений движения. х2(t) = х3(t); – t + 5 = 0,5t − 10; t = 10 с; х2(t) = х2(10) = −10 м + 0,5 м/с ⋅ 10 с = −5 м. № 23. x, м 200 100 0 -100

0

5

10

15

20

25

30

-200 t, с

Решение. Дано: х1(t) = 5t; х1(t) = х2(t); 5t = 150 − 10t; t = 10 с. х2(t) = 150 − 10t. х = х1(t) = 5 м/с ⋅ 10 с = 50 м. Найти: х, t. Ответ: х = 50 м, t = 50 с. № 24. Начальные координаты тела I: х10 = 20 м, тела II: х20 = −20 60 м − 20 м = 2м с , 20 с 60 м − ( − 20 м) v2 = = 4м с . Тогда уравнения движения 20 с

м. Скорость тела I: v1 = тела II:

имеют вид: х1(t) = х10 + v1t = 20 + 2t; х2(t) = х20 + v2t = −20 + 4t. Точки пересечения графиков с осью Х показывают соответствующую координату в момент времени t = 0, то есть начальную координату. Точки пересечения графиков с осью t показывают моменты времени, когда тело имеет координату х = 0. №, 25. 600 400 200 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40 t, с

Дано: v1 = 10 м/с; v2 = 20 м/с; ∆х = 2000 м. Найти: хв, tв.

Решение. х2 = v2t = 20t; х1 = ∆х + v1t = −200 + 20t; х2(tв) = х1(tв);

v2tв = ∆х + v1tв; tв =

∆x 200 м = = 20 с. v2 − v1 20 м с - 10 м с

хв = х2(tв) = v2tв = 20 м/с⋅ 20 с = 400 м. Ответ: хв = 400 м, tв = 20 с. 9

№ 26 (н). Дано: S, х10 = 0, v1х, v2х.

Решение. 1) Х1(t) = v1хt; х2(t) = v2хt + S; х1(t) = х2(t); v1хt = v2хt + S; v1x S 2) t = S; ; 2) х = х1(t) = v1хt = v1x − v2 x v1x − v2 x x v 3) x1/ = v1xt / , t / = 1 ; x2/ = v2xt / + S = 2x + S. v1x v1x

Найти: t, х, х 2/

№

t, с

х, м

х2/ , м 100 0 810 – 526 825

1 20 200 2 37,6 700 3 0 0 4 47,2 – 849 5 – 37 – 629 № 27 (н). Дано: х1 = х01 + v1хt; Решение. х1(t) = х2(t); х01 + v1хt = х02 + v2хt; х2 = х02 + v2хt. x −x v1x t = 01 02 ; х = х1(t)=х01 + ( x01 − x02 ) . Найти: х, t. v2 x − v1x v 2x − v1x № t, с х, м 1 42 200 2 7,3 17,8 3 11,3 12,5 4 53,7 263 5 – 5,7 0 № 28. а) точка; б) окружность; в) циклоида № 29. Да, если он движется в противоположном направлении со скоростью, равной по модулю скорости эскалатора. № 30. Скорость жабы относительно течения больше нуля, а кувшинки, на которой сидит Дюймовочка, равна нулю. Отсюда следует, что рано или поздно жаба догонит кувшинку. № 31. Переведем максимальную скорость автомобиля «Жигули» в систему СИ: 150 км/ч ≈ 41,7 м/с. Так как 41,1>30, то автомобиль может быть в покое относительно воздуха, если движется по ветру со скоростью 30 м/с. 10

№ 32. Дано: v1 = 36 км/ч = Решение. v / = v + v = 10 м/с + 4 м/с = 14 м/с. 2 1 2 = 10 м/с; v2 = 4 м/с // v2 = v1 − v2 = 10 м/с − 4 м/с = 6 м/с. /

//

Найти: v 2 , v 2 . № 33. Дано: v = 18 км/ч = 5 м/с. Найти: / // / vx ,vx , vx1 ,vx//1

/

//

Ответ: v 2 = 14 м с , v 2 = 6 м с . Решение. В системе отсчета, связанной с трактором, Х1 скорость верхней части гусеницы vx/ = 5 м/с, нижней vx// = −5 м/с. В системе отсчета Х, связанной с землей, Х скорость верхней части гусеницы vx/ 1 = 2v = 10 м/с, нижней гусеницы vx//1 = 0.

№ 34. Дано: Решение. vп/ = vэ + vп ; vэ = 0,75 м/с; l l 20 м t= / = = = 20 с. vп = 0,25 м/с, + + 0 ,25 м/c v v , 0 75 м/c v э п п l = 20 м Найти: t. Ответ: t = 20. № 35. Дано: v1 = 72 км/ч = 20 м/с; Решение. v/ = v1 + v2; v2 = 54 км/ч = 15 м/с; l = tv/ = t(v1 + v2) = t = 14 с. =14⋅(20 + 15) = 490 м Найти l. № 36. Дано: l l l l = ; t // = Решение. t / = = vл =n vт

Найти:

v л + vт

t

/

t //

t/ t //

=

l (n +1)vт l (n −1)vт

При N = 11 № 37. Дано: t1 = 1 мин.; t2 = 3 мин.

Найти: t.

=

(n + 1)vт

l = vэ + vп

t/ t //

=

l l t1

(n − 1)vт

;

n −1 t / 2 −1 1 ; При N = 2 // = = 2 +1 3 n +1 t 11 − 1 5 = . 11 + 1 6

Решение. l = vэt1 = vпt2; э = t=

vл + vт

+

l t2

=

l l ; vп = ; t1 t2

t1t2 1 мин ⋅ 3 мин = = 0 ,75 мин. t1 + t2 1 мин + 3 мин

Ответ: t = 0, 75 мин. 11

№ 38. v1

v2

р1

0

n3

х

Дано: Решение. Перейдем в систему отсчета, связанную с v1 = 20 м/с; грузовой машиной. В этой системе отсчета v2 = 16,5 м/с; v / = 0 , v / = v − v = 20 м/с − 16,5 м/с = 3,5 м/с; 2 1 1 2 v3 = −25 м/с; / v3 = v3 − v2 = – 25 – 16,5 = – 41,5 м/с. х1 = −15 м; x −x x −x х2 = 20 м. Время обгона t = 2 1 = 2 1 ; v1′ v1 − v2 Найти: l.

l = (х2 − х1) + t x3/ = (x2 − x1) + ⎛

= (x2 − x1) ⎜1 + ⎝

v2 − v3 (x2 − x1 ) = v1 − v2

v2 − v3 ⎞ v1 − v3 = ⎟ = ( x2 − x1 ) v1 − v2 ⎠ v1 − v2 ⎛ 20 м/с − ( − 25 м/с) ⎞ ⎟ = 450 м. ⎝ 20 м/с − 16 ,5 м/с ⎠

= (20 м − ( − 15 м)) ⎜ № 39. Дано: τ = 1 мин = = 60 сек; vт = 2 м/с.

Решение. 1) l0 = τ(vл − vт); 2) l/(t) = – l0 + t(vл + vт); l/(t) = vтτ + vтt; l/(t) = l//(t); −τ(vл − vт) + t(vл + v1) = vтτ + vтt; t = τ; t/ = t + τ = 2τ = 2⋅1 мин = 2 мин; 3) l = vтt/ = 2vтτ = 60 c⋅2 м/c⋅2 = 240 м. Ответ: t/ = 2 мин, l = 240 м.

Найти: t/, l. № 40 (н). Дано: Решение. S, v1, v2. ⎛ v2 + v1 + v2 − v1 ⎞ S S 2 Sv ⎟ = 2 22 Найти: t1 – t2. t = v − v + v + v = S ⎜⎜ 2 2 ⎟ v2 − v1 2 1 2 1 ⎝ ⎠ v2 − v1 t2 =

2S ⎛ ⎞ ; t1 − t 2 = 2 S ⎜ v2 − 1 ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ v2 ⎝ v2 − v1 v2 ⎠

№ 41 (н). Дано: Решение. vх = 12 см/мин, По теореме Пифагора vy = 5 см/мин. 2 2 2 v = vx + v y = 12

Найти v. 12

( см/c )2 + 22 ( см/c )2 =13 см/мин.

Ответ: v = 13 см/мин

№ 42(41).

vy

у

α v

х

vx

Дано: Решение. 1). По теореме Пифагора vy = 20 м/с; 2 2 v = vx2 + v 2y = 202 ( м/c ) + ( −10 ) ( м/c ) = 10 5 м/c ≈ 22 м/c; vх =−10 м/с. 2) tg α =

vx 10 м/c 1 ⎛ 1⎞ =− = − ; α = arctg ⎜ − ⎟ ≈ −27°. vy 20 м/c 2 ⎝ 2⎠

Найти:v, α. Ответ: v ≈ 22 м/c, α = −27°. № 43(42). Дано: Решение. vх = 4 м/с; v l 1 м/c ; S = vtt = т l = t= ⋅ 800 м = 200 м. vт = 1 м/с; vk vk 4 м/c l = 800 м. Найти: S. Ответ: S = 200 м. № 44(43). Дано: Решение. Смотри рисунок в задачнике. l = 100 мм = l 1 t = ; ( d 2 − d1 ) = v1t ; = 10 см; v2 2 v2 = 25 см/мин; d −d d −d 4,2 cм − 3,8 cм ⋅ 25 см мин = v1 = 2 1 = 2 1 v2 = d = 38 мм = . 2t 2l 2 ⋅ 10 cм = 3,8 см; = 0,5 см мин. d2=42мм=4,2 см. Найти: v1. Ответ: v1 = 0,5 см мин . № 45(44). α

S

v

v1 v2

13

Дано: v2, v1, S. Найти: α, t, v.

Решение. 1) SiN α =

v2 v , т.е. α = aRcSiN 2 ; v1 v1

2) v = v1 cos α = v1 1 − sin 2 α = v1 1 − 3) t =

v22 v12

= v12 − v22 ;

S S = . 2 v v1 − v22

α 19,5 72,6 27 7,72 0

№ 1 2 3 4 5 № 46.

v, м/с 5,66 0,656 3,72 12,1 4,7

t, м/с 38,9 131 6,98 39,3 8

v1 v

β

β α α v2

Дано: Решение. v1 = 90 км/ч = По теореме косинусов v2 = v 2 + v 2 − 2v v cos α 1 2 1 2 = 25 м/с; 2 2 v = v1 + v2 − 2v1v2 cos α = v2 = 10 м/с; α = 45°. = 252 ( м с ) + 102 ( м с ) − 2 ⋅ 25 м с ⋅ 10 м с ⋅

2 ≈ 2

≈19,3 м/с; По теореме синусов: Найти: v, β. 14

v2 v v ; sinβ = 2 sinα ≈ 0,36; = sinβ sinα v

β = aRcSiN 0,36 ≈ 21°. Ответ: v ≈19,3 м/с, β ≈ 21°.

№ 47. Дано: v = 2,4 м/с; v1 = v2 = v3 = = 1 м/с. Найти:

Решение. Смотри рисунок в задачнике 1) v i/ = v i − v где i = 1, 2, 3. 2) Т.к. v1 и v2 имеют компоненты только по оси Х, то v1/ = v1 − v = 1 м/с − 2 , 4 м/с = 1,4 м/с;

v1/ ,v2/ ,v3/ ,

v 2/ = − v 2 − v = − 1 м/с − 2 , 4 м/с =

v1/x , v1/y , v2/ x , v2/ y ,

v3/ x ,

v3/ y

3,4 м/с.

3) Т.к. v , v1 , и v2 не имеют компонент по оси Y, то / / v1/x = − v / = −1, 4 м/с; v 2 x = − v 2 = − 3 , 4 м/с;

v 1/ y = 0 ; v 2 y = 0 .

4) v3/ = v32 + ( −v )2 = v32 + v2 = (1 м/с )2 + ( 2,4 м/с )2 = = 2,6 м/с. v3/ x = −v = −2,4 м/с; v3 y = v3 = 1 м/с. № 48(н). Дано: t1 = 5c, Решение. v1 = s1 = 40 м = 8 м / c . t1 5с s1 =40м, t2 = 10с, s2 = 100м, t3 = 5c 100 м 20 м s s = 10 м / c . v 3 = 3 = = 4 м / c. v2 = 2 = s3 = 20м t2 t3 10 с 5с Найти: s s + s 2 + s3 4 0 м + 1 00 м + 20 м = = 8 м / c. v= = 1 v1- ? v2- ? t t1 + t 2 + t 3 5 с + 10 с + 5 с v3 - ? v- ? Ответ: v1 = 8м/с, v2 = 10м/с, v3 = 4 м/с, v = 8 м/с. № 49(48). Дано: l l ; t2 = ; Решение. 1) t1 = v1 = 10 м/с; 2v1 2v2 v2 = 15 м/с; l 1 2v v 2 ⋅ 10 м/с ⋅ 15 м/с vср =

t1 + t2

=

1 1 + 2v1 2v2

=

1 2

v1 + v2

=

10 м/с + 15 м/с

= 12 м/с.

2) Докажем, что среднее арифметическое v1 и v2 больше, чем средняя скорость vср. Вычтем из среднего арифметического среднюю скорость: v1 + v2 2v1v2 ( v1 + v2 ) − 4v1v2 v12 + v22 − 2v1v2 ( v1 − v2 ) = >0 − = = 2( v1 + v2 ) 2( v1 + v2 ) 2 2( v1 + v2 ) v1 + v2 2

Значит

v1 + v2 2v v > 1 2 . Это подтверждается и численv1 + v2 2

ными расчетами Найти: vср.

2

v1 + v2 10 м/с + 15 м/с = = 12,5 м/с > 12 м/с. 2 2

Ответ: vср = 12 м/с. 15

№ 50(49). 1) Найдем среднюю скорость шарика на участке АВ. За время движения о А до В камера сделала 6 снимков. Это значит, что прошло времени

6 = 0,12 с. Длина коробка на фотографии 50

5 мм, его реальная длина 50 мм; это значит, что все линейные размеры необходимо увеличить в

50 = 10 раз. Расстояние между А и В 5

по фотографии 1,2 см, значит реальное расстояние между А и В 1,2⋅10 = 12 см. Средняя скорость на АВ

12 = 100 см/с. 0,12

2) Найдем мгновенную скорость в точке С. Т.к. по горизонтальному участку мы можем считать движение равномерным, то мгновенная скорость в точке С равна средней на всем горизонтальном участке. На горизонтальном участке камера сделала 4 снимка, т.е. времени прошло

4 = 0,08 с. 50

Расстояние по фотографии 1,6 см, т.е. реальное расстояние 1,6 – – 10 = 16 см. Скорость в точке С будет равна № 51(50). Дано: a = 200 м/с2; v = 10 м/с. Найти: τ. № 52(51). Дано: t1 = 10 с; v1 = 0,6 м/с; v2 = 3 м/с. Найти: t2. № 53(52). Дано: a = 0,3 м/с2; v0 = 4 м/с; t = 20 с. Найти: v. № 54(53). Дано: v1 = 12 м/с; v2 = 20 м/с; а = 0,4 м/с2. Найти: ∆t. 16

16 = 200 см/с. 0,08

Решение. 0 = v – аτ; τ =

v 10 м/с = = 0,05 с. a 200 м/с 2

Ответ: τ = 0,05 с. Решение. a=

v1 v2 v 3 м/с = ; t2 = 2 t1 = ⋅ 10 с = 50 с. t1 t2 v1 0 ,6 м/с

Ответ: t = 50 c. Решение. v = v0 + at = 4 м/с + 0,3 м/с2 ⋅ 20 с = 10 м/с. Ответ: v = 10 м/с. Решение.

v2 = v1 + а∆t; ∆t = Ответ: ∆t = 20 c.

v2 − v1 20 м/с − 12 м/с = = 20 с. a 0 ,4 м/с 2

№ 55(54). v, м/c 150 100 50 0 0

20

40

60

80

100

120

140 t, с

Решение. vх(t0) = 0,8⋅5 = 4 м/с. Ответ: vх(t0) = 4 м/с.

Дано: vх = 0,8t, t0 = 5 с Найти: vх(t0). № 56(55). v, м/c 30 20 10 0 -10 0

20

40

60

80

100

120

140

-20 t, с

Дано: ∆t = 20 с; v0 = 72 км/ч = 20 м/с; v1 = 54 км/ч = 15 м/с. Найти: vх(t).

Решение. 1) v1 = v0 + ах∆t; a x =

v1 − v0 ∆t

2) vх(t) = v0 + ахt = v0 − (v0 − −v1)

t 20 м/с − 15 м/с = 20 м/с − t = 20 − 0 , 25t . 20 с ∆t

№ 57(56). По графику видно: 1) начальная скорость v0 = vх(0) = 1 м/с; 2) скорость в начале четвертой секунды v(3) = 2,5 м/с; 3) скорость в конце шестой секунды v(6) = 4 м/с. Выпишем зависимость vх(t). ax =

v( 6 ) − v0 4 м/с − 1 м/с 2 = = 0 ,5 м/с . vх(t) = v0 + ахt = 1 + 0,5t. 6 6с

№ 58(57). 10 м/с − 0 м/с = 1,25 м/с2; v0 = 0; vх(t) = 1,25t. 8с 20 м/с − 5 м/с 2 II: график a x = = 5 м/с ; v0 = 5 м/с; vх(t) = 5 + 5t. 3с 0 м/с − 20 м/с 2 III: график a x = = – 4 м/с ; v0 = 20 м/с; vх(t) = 20 − 4t. 5с

I: график ax =

17

№ 59(58). v, м/c

40 20

0 -0,5 -20

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

-40 t, c

Решение. 1) По рисунку в задачнике видно, что v0 направлено по оси Y, (т.е. v0 положительно), а против оси Y, т.е. а отрицательно. vу = v0 − аt = 30 − 10t; vу(t1) = vу(2) = 30 м/с − 10 м/с2⋅2 с = 10 м/с; vу(t2) = vу(3) = 30 м/с − 10 м/с2⋅3 с = 0; vу(t3) = vу(4) = 30 м/с − 10 м/с2⋅4 с = −10 м/с Найти: v(t), vу(ti) Ответ: v(t) = 30 − at, vу(t1)=10 м/с, при i = 1, 2, 3. vу(t1) = 0, vу(t1) = −10 м/с. № 60(59). Дано: v0 = 30 м/с; а = 10 м/с2; t1 = 2 с; t2 = 3 с; t3 = 4 с

м /c 1 , 5

1

0 ,5

0 0

1

2

3

-0 ,5

-1

-1 ,5 t, с

м /c 1 ,5

1 0 ,5

0 0

0 ,5

1

1 ,5

2

- 0 ,5

-1 - 1 ,5 t, с

18

⎧⎪1 м/с2 , при 0 ≤ t ≤ 1,

а) ах = ⎨

2

⎪⎩−1 м/с , при 1 < t ≤ 3

⎧t, при 0 ≤ t ≤ 1, ⎩1 − ( t − 1 ), при 0 < t ≤ 3.

; vх ( t ) = ⎨

2 ⎪⎧1 м/с , при 0 ≤ t ≤ 1,

б) ах ( t ) = ⎨

⎪⎩−2

№ 61(60). Дано: а1 = 2а2.

2

м/с , при 1 < t ≤ 2.

Решение. S1 =

⎧t при 0 ≤ t ≤ 1 ⎩1 − 2( t − 1 ), при 1 < t ≤ 2

; vх ( t ) = ⎨

a1t 2 t2 t2 S = 2a2 ; S2 = a2 ; 1 = 2 . 2 2 2 S2

v1 = а1t = 2а2t; v2 = а2t; Найти:

S1 , S2

v1 v2

Ответ:

v1 =2. v2

S1 v =2, 1 =2. S2 v2

№ 62(61). Шарик движется равноускоренно, т.к. через равные промежутки времени пройденный путь пропорционален квадратам чисел 1, 4 = 22, 9 = 32, 16 = 42. Время, за которое шарик прошел 16 см равно 4⋅0,2 = 0,8 с; 16 =

а

0 ,8 2 2

. Отсюда а = 50 дм/с2 = 5 м/с2.

При первой вспышке v(0) = 0. При второй вспышке v(0,2) = 1 м/с. При третьей вспышке v(2⋅0,2) = 2 м/с. При четвертой вспышке v(3⋅0,2) = 3 м/с. При пятой вспышке v(4⋅0,2) = 4 м/с. № 63(н). Дано: s = 10м Решение. v = 20 км/ч at 2 200 1ì / ñ2 ⋅ ( 1ñ )2 x = s + vt − = −10v + ì / ñ ⋅ 1ñ − = −5 ì . t = 1c 2 36 2 2 a = 1 м/с Найти: x - ? Ответ: x = -5м. № 64(63). Дано: at 2 2l 2 ⋅ 30 м = 10 с. а = 0,6 м/с2; Решение. l = 2 ; t = a = 0 ,6 м/с 2 l = 30 м. Найти: t. Ответ: t = 10 с. № 65(64). 2 2 2 Дано: Решение. 1) l = at1 ; a = 22l ;2) 9 l = at 2 ; 9 l = 2 l t 2 ; t1 = 3 с. 2 2 2 2 t t 1

Найти: t2.

1

t2 = 3t1; t2 = 3⋅3 с = 9 с. Ответ: t2 = 9 с. 19

№ 66. Дано: at 2 Решение. V = at; S = . а1t. 2 Найти: S, v.

v, м/с 2,29 7,61 8,35 715 23,7 85,8

№ 1 2 3 4 5 6 № 67. Дано: t = 10с; S = 5 км = = 5⋅103 м.

S, м 4,24 35,8 36,3 0,414 226 2230

Решение. S=

a 2 2 S 2 ⋅ 5 ⋅ 103 м t ; a= 2 = = 100 м/с2; 2 t (10 с )2

v = at =

2 St t

2

=

2S 2 ⋅ 5 ⋅ 103 м = = 1000 м/с. t 10 с

Найти: а; v. Ответ: a = 100 м/с2, v = 1000 м/с. № 68. Решение. Дано: а = 616 км/с2 = at 2 2l = 6,16⋅105 м/с2; l = 2 ; t = a ; l = 41,5 см = v = at = 2al = 2 ⋅ 6 ,16 ⋅ 105 м/с ⋅ 0 ,415 м ≈ 7 ,15 ⋅ 102 м/с. = 0,415 м. Найти: v. Ответ: v ≈ 7 ,15 ⋅ 102 м/с. № 69. l at12 = ; v1 = at1 ; 1) 2 2

3)

v12 v22

l v12 at 2 v2 = l = 2 ; v2 = at2 ; l = 2 2 2 ; 2) 2 2a ;

1 v = ; 2 = 2 ≈ 1,41. v1 2

№ 70. Дано: v0 = 72 км/ч = = 20 м/с; t = 5 с. Найти: S. 20

Решение. 0 = v0 – аt; a =

v0 ; t

vt 1 1 at 2 = v0t − 0 = v0t = ⋅ 20 м/с ⋅ 5 с = 50 м. 2 2 2 2 Ответ: S = 50 м. S = v0t −

№ 71. Дано: Решение. S1 = 1215 м; at 2 v12 v12 v1 = 270 км/ч = S1 = 2 ; v1 = a1 ( t1 ) ; S1 = 2a ; a1 = 2S 2 1 = 75 м/с; 2 v 2 S S2 = 710 м; S1 = 1 t12 ⇒ t1 = 1 ; 4 S1

v2 = 230 км/ч≈ ≈63,9 м/с.

v1

2) 0 = v2 – a2t2; S2 = v2t2 − a2 =

a2t22 v22 v22 v2 = − = 2 ; a2 2a2 2a2 2

v 2S v22 ; t2 = 2 = 2 ; 2S2 a2 v2 2

3)

a1 v12 S2 ( 270 км/ч ) 710 м = = ⋅ ≈ 0,81 ; a2 v22 S1 ( 230 км/ч )2 1215 м

t1 S1v2 230 км/ч ⋅ 1215 м = = ≈ 1,46 . 270 км/ч ⋅ 710 м t2 S 2v2

Найти:

t1 a1 ; t2 a2

Ответ:

a1 t ≈ 0 ,81, 1 ≈ 1,46 . a2 t2

№ 71. Дано: Решение. v1=15 км/ч; at12 v12 v12 v12 v1 v2=90 км/ч; 1) 0 = v1 – аt1; t = a ; S1 = v1t1 − 2 = a − 2a = 2a ; S1 = 1,5 м. v2 2a = 1 . S1

2) Пользуясь аналогичными формулами найдем 2a =

Найти S2. № 72. Дано: a1 = 5 м/с2 v = 30 м/с t2 = 10c Найти: s - ?

3)

v22 S2

v12 v22 ; = S1 S2

2

⎛v ⎞ ⎛ 90 км/ч ⎞ S2 = ⎜ 2 ⎟ S1 = ⎜ ⎟ ⋅ 1,5 м = 54 м. ⎝ 15 км/ч ⎠ ⎝ v1 ⎠

Решение. 1) v = a1t1 <=> t1 = 2) 0 = v − a 2t 2 <=> a 2 = s = s1 + vt 2 −

v t2

v a1t 2 = 6c => s1 = 1 = 90 м 2 a1

= 3м / с2

a 2t22 = 240 ì . Ответ: s = 240м. 2

21

№ 73. Дано: ам = 3ав.

Решение. ⎛ vм ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ vв ⎠при

⎛ vм ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ vв ⎠при

Найти:

l =const

⎛ а l⎞ =⎜ м ⎟ ⎜ аl ⎟ ⎝ в ⎠при

⎛ vм ⎞ ⎟ ⎝ vв ⎠при

Ответ: ⎜

⎛ vм ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ vв ⎠при

t =const

⎛ vм ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ vв ⎠при

l =const

№ 74. Дано: τ = 10 с; vх = 6t; х(0) = 0; vх(0) = 0. Найти: х(t); х(τ). № 75.

t =const

⎛а t⎞ =⎜ м ⎟ ⎝ авt ⎠при

t =const

=3; t =const

= 3 ≈ 1,7 . l =const

⎛v ⎞ = 3, ⎜ м ⎟ ⎝ vв ⎠при

≈ 1,7. l =const

Решение. 1) ах = 6 м/с2; 2) x =

axt 2 = 3t 2 ; 2

3) х(τ) = х(100) = 3⋅102 = 300 м. Ответ: x = 3t 2 , х(τ) = 300 м.

x, м 15 10 5 0 0

Дано: х = 0,4t2; τ = 4 с.

2

6 t, c

Решение. 1) x =

4

at 2 a , значит = 0,4; а = 0,8 м/с2 2 2

2) v(t) = at = 0,8t; 3) S = х(τ) = 0,4 м/с2⋅(4 с)2 = 64 м. Найти:v(t), S.

Ответ: x =

S = 64 м. 22

at 2 , 2

№ 76. Дано: τ = 5 с; х = – 0,2t.

Решение. Это равноускоренное движение с ускорением — 0,2 х 2 = – 0,4 м/с2 х(τ) = −0,2⋅52 = −5 м; S(τ) = х(τ) = 5 м.

Найти: х(τ); S(τ). Ответ: х(τ) = −5 м, S(τ) = 5 м № 77(н). Дано: at 2 Решение. 1) s1 = s − v1 t + v1 = 5м/с 2 a = -0,2 м/с2 2 2 s at v = 1,5 м/с 2) s2 = v2t + s = v1t + v2t => t = = 20c. v1 + v2 2 s = 130м s1 = 70 м,s2 = s − s1 = 60 м. Найти: t, s1, s2-? Ответ: t =20с, s1 =70м, s2=60м. № 78(77). Дано: Решение. l = 100 м; at 2 l at 100м 0,3м/с2 ⋅ 20с l = v0t + ; v0 = − = − = 2 м/с t = 20 с; t 2 2 20 2 а = 0,3 м/с2. vк = v0 + at = 2 м/с + 0,3 м/с2⋅20 с = 8 м/с. Найти: v0, vк Ответ: v0 = 2 м/с, vк = 8 м/с. № 79. Дано: v −v Решение. 1) vк = v0+at; a = ђ 0 ; t = 20 с; t l = 340 м; at 2 t 2 vђ − v0 t ( vђ + v0 ) vк = 19 м/с. = v0t + = 2) l = v0t + ; 2 2 2 t 2l 2 ⋅ 340м − 19м/с= 15 м/с; v0 = − Vk = 20 с t vђ v 2vђ 2l 2 ⎛ l⎞ a= − 0 = − = ⎜ vђ − ⎟ = 2 t⎝ t t t t⎠

3)

=

Найти: а, v0. № 80.

2 ⎛ 340м ⎞ ⎜19м/с − ⎟ = 0,2 м/с. 20с ⎝ 20с ⎠

Ответ: а = 0,2 м/с2, v0 = 15 м/с. а1

х3

х1

v02

х2 23

Дано: х1 = -0,4t2; х2 = 400-0,6t; х3 = -300. Найти: x0i, v0i, ai, i = 1, 2, 3.

Решение. xi = x0i + v0it + 1) х01 = 0; v01 = 0;

ai 2 t 2

a1 2 = −0 , 4 , значит а1 = – 0,8 м/с . 2

Движение велосипедиста равноускоренное, в отрицательном направлении оси Х. 2) х02=400 м; v02 = -0,6 м/с; a2 = 0 , значит а2=0. 2

Движение пешехода равномерное, в отрицательном направлении оси Х. 3) х03 = -300 м; v03 = 0; a3 = 0 , значит а3 = 0. Бензовоз покоится.

2

№ 81. v, м/c 20 10 0 -10

0

1

2

3

4

-20 -30 -40 t, c

Дано: х1 = 10t+0,4t2; x2 = 2t-t2; x3 = -4t+2t2; x4 = -t-6t2 Найти: vxi(t), i = 1, 2, 3; vх1 = 2-2t.

Решение. xi = v0i +

ai 2 t ; vxi = v0 + ait 2

1) v01 = 10 м/с; а1 = 0,8 м/с2; vх1 = 10+0,8t. Движение равноускоренное. 2) v02 = 2 м/с; а2 = –2 м/с2; vx2 = 2 – 2t Движение равнозамедленное. 3) v03 = - 4 м/с; а3 = 4 м/с2; vх3 = - 4+4t. Движение равнозамедленное. 4) v04 = - 1 м/с; а4 = - 12 м/с2; vх4 = - 1-12t. Движение равноускоренное.

№ 82. Пользуясь результатами задачи 57 получим:

I график: X (t ) = 24

1,25 2 t = 0,625t 2 2

5 2

II график: X (t ) = 5t + t 2 = 5t + 2,5t 2 4 2

III график: X (t ) = 20t − t 2 = 20t − 2t 2 № 83(н). Дано: Решение. S1, S2, S3. ⎧ a1t1

⎪ S1 = 2 (1)

Найти: t1, ⎪ t2, v, а1, а2. ⎪

a2t22 (2) ⎪ S2 = vt2 − 2 ⎪⎪ ⎨v = a1t1 (3) ⎪t = t + t (4) 1 2 ⎪ ⎪0 = v − a2t2 (5) ⎪ ⎪ ⎪⎩

1) Выразим из уравнений (3) и (5) t1 и t2. Получим t2 =

v v , t1 = . Подставляя эти результаты в уравнения a2 a1

(1) и (2), получим: S1 =

v2 v2 v2 v2 ; S2 = = a1S1; = S2a2 или 2a1 2a2 2 2

Значит a1S1 = a2S2. Учитывая a1 =

v v S S имеем 1 = 2 , a2 = t1 t2 t1 t2

Используя уравнение (4), получим: Отсюда выражаем t1 = 2) t2 = t − t1 =

S2 t. S1 + S2

S1 S = 2 . t1 t − t1

S1 t. S1 + S2

3) Подставляя t1 в уравнение (1) найдем a1 = 4) Учитывая (6), получим a2 =

2S1 t12

S1 a1 . S2

5) Подставляя а2 и t2 в уравнение (2) найдем 1⎛ at 2 ⎞ v = ⎜S + 2 ⎟ . t ⎜⎝ 2 ⎟⎠

25

№ 84. v,м/с 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2 -3

5

10

15

t, c

Дано: t1 = 4 с; а1 = 1 м/с2; t2 = 0,1 мин = = 6 с; l3 = 20 м.

Решение. 1) На первом участке:

v1x = a1t = t; l1 =

a1t12 1м/с 2 ⋅ (4с)2 = = 8 м. 2 2

2) На втором участке: v2x = a1t1 = 1 м/с2 ⋅ 4 с = 4 м/с; l = v2xt2 = a1t1t2 = 1 м/с2 ⋅ 4 с ⋅ 6 с = 24 м. 3) На третьем участке: 2l3a3 = v 22x ; a3 =

v22x (4м/с)2 = = 0,4 м/с2. 2l3 2 ⋅ 20м

v3x = v2x-a3t = 4-0,4t, 0 = 4-0,3t3, t3 = 10 с. ⎧t, при t ≤ 4 c

4) vx(t) = ⎪⎨4, при 4c– < t ≤ 10c . 5) v– р

⎪4 − 0,4t, t > 10c ⎩ l1 + l2 + l3 8 м + 24м + 20м = = = 1,6 м/с. t1 + t2 + t3 4с + 6с + 10с

Найти: vср, vх(t).

⎧t, при t ≤ 4 c ⎪

Ответ: vср = 1,6 м/с, vх(t) = ⎨4 , при4c < t ≤ 10c

⎪4 − 0 , 4t, при t > 10c ⎩

№ 85. Дано: vср = 72 км/ч = 20 м/с, t = 20 мин = 1200 с, t1 = 4 мин = 240 с.

Решение. Воспользуемся методическим указанием, приведенным в сноске. Тогда получим по формуле для площадей трапеции и прямоугольника: S = v

v = vср 1 1−

Найти v. 26

.

t1 2t

= 20 м/с⋅

Ответ: v ≈ 22,2 м/с.

t + (t − t1) = vсрt; 2

1 1−

240 c 2⋅1200c

≈ 22,2 м/с.

v, м/с

t – t1

v vcp

t, с № 86. Дано: x1 = 2t + 0,2t2; x2 = 80 – 4t; τ = 5 c.

Решение. 1) Движение первого автомобиля равноускоренное, второго автомобиля равномерное. 2) x1(tB) = x2(tB); 2tBt0,2tB2 = 80 – 4tB; 0,2tB2 + 6t – 80 = 0; t1 =

t2 =

−3 − 5 = –40 c; 0,2

−3 + 5 = 10 c; tB = t2, т.к. t1 < 0. 0,2

xB = x2(tB) = 80 м – 4 м/с ⋅10 с = 40 м. 3) x1(τ) = 2 м/с ⋅5 с + 0,2 м/с2⋅(5 с)2 = 15 м; x2(τ) = 80 м – 4 м/с ⋅5 с = 60 м; R = |x1(τ) – x2(τ)| = |15 м – 60 м| = 45 м. 4) x2(t′) = 0, т.е. 80 – 4t′ = 0; t′ = 20 c; x1′ = x1(t′) = 2 м/с ⋅20 с + 0,2 м/с2⋅(20 с)2 = 120 м. Найти xB, tB, R, x1′. Ответ: хв = 40 м, t в = 10 c, R = 45м, x1′ = 120 м. № 87. Дано: a t2 Решение. 1) X1(t) = x1 + 1 = 6,9 + 0,1t2; а1 = 0,2 м/с2; 2 v02 = 2 м/с; 2 at а2 = 0,4 м/с2; X2(t) = x2 + v02t + 2 = 2t + 0,2t2; 2 х1 = 6,9 м; 2) X1(tB) = X2(tB); х2 = 0. 6,9 + 0,1tB2 = 2t + 0,2t2; 0,1t2 + 2t – 6,9 = 0; −1− 1,3 −1+ 1,3 t1 = = – 23 c; t2 = = 3 c. 0,1 0,1 tB = t2, т.к. t1 < 0. xB = X1(tB) = 6,9 м + 0,1 м/с2⋅(3 с)2 = 7,8 м. Найти Х1(t), Ответ: X1(t) = 6,9 + 0,1t2; X2(t) = 2t + 0,2t2; X2(t), xB, tB. xB = 7,8 м; tB = 3 с. 27

№ 88. Дано: х1 = 15 + t2; x2 = 8t.

Решение. 1) Движение первого мотоциклиста равноускоренное, второго равномерное. 2) x1(tB) = x2(tB); 15 + t2 = 8t; t2 – 8t + 15 = 0; t1 = 3 c; t2 = 5 c. Значит, мотоциклисты встретятся дважды: в момент tB1 = t1 и tB2 = t2. 3) xB1 = x2(tB1) = 8 м/с⋅3 с = 24 м. xB2 = x2(tB2) = 8 м/с⋅5 с = 40 м. Ответ: xB1 = 24 м; xB2 = 40 м.

Найти хВ; tB. № 89. Дано: Решение. 1 ν1 = 30 об/мин = 0,5 об/с; 1 Ti = ; 1) Т1 = = 2 с; ν2 = 1500 об/мин = 25 об/с; νi 0,5c −1 ν3 = 8400 об/мин = 140 об/с; 1 ν4=96000 об/мин=1600 об/с. 2) Т2 = 25c −1 = 0,04 с; 3) Т3 = 4) Т4 = Найти Ti, где i = 1, 2, 3, 4. № 90. Дано: согласно таблицам Т ≈ 27 суток = 648 ч. Найти ν. № 91. Дано: d = 300 мм = 0,3 м; vmax = 35 м/с; ν1 = 1400 об/мин ≈ ≈23,3 об/с; ν2 = 2800 об/мин ≈ ≈46,7 об/с. Найти v1, v2. 28

1 140c −1 1

≈ 0,007 с;

1600c −1

= 6,25⋅10–4 с.

Ответ: Т1=2 с; Т2=0,04 с; Т3 ≈ 0,007 с; Т4 = 6,25⋅10–4 с.

Решение. ν=

1 1 ≈ 1,46⋅10–3 ч-1. = T 684ч

Ответ: ν ≈ 1,46⋅10–3 ч-1 Решение. 1) v1 = 2πν1 d = πdν1 ≈ 2

≈ 3,14⋅0,3 м⋅23,3 с-1 ≈ 21,9 м/с < vmax , значит, допустима. 2) v2 = πdν2 ≈ 3,14⋅0,3 м⋅46,7 с-1 ≈ ≈ 44,0 м/с > vmax , значит, недопустима. Ответ: v1 ≈ 21,9 м/с; v2 ≈ 44,0 м/с.

№ 92. Дано: 1 l Решение. Т = ; t = ; ν = 1500 об/мин=25 об/с; v ν l = 90 км = 9⋅104 м; 9 ⋅ 104 м ⋅ 25об/с t l N= = ν = =4,5⋅104 об. v = 180 км/ч = 50 м/с. T v 50м/с Найти N. Ответ: N = 4,5⋅104 об. № 93. Дано: 1 Решение. v = 2πνR; ν = ; Т = 4 с; T R = 2 м. 2πr 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2м v= = 3,14 м/с. ≈ T

Найти v. № 94.

4с

Ответ: v = 3,14 м/с.

Дано:

d2 = 2. d1

Решение. v = πd1ν1 = πd2ν2;

Найти

ν2 . ν1

Ответ:

№ 95. Дано: v = 9,53 см/с; R1 = 2,5 см; R2 = 7 см.

ν 2 d1 1 = = ν1 d 2 2

ν2 1 = ν1 2

Решение. v = 2πν1R1 = 2πν2R2; ν1 =

v 9 ,53см/с ≈ 0,61 об/с; ≈ 2πr1 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 ,5см

ν2 =

v 9,53см/с ≈ 0,22 об/с. ≈ 2πr2 2 ⋅ 3,14 ⋅ 7см

Т1 =

1 1 1 1 = ≈ 1,64 с; Т2 = = ≈ 4,55 с. ν1 0 ,61с −1 ν 2 0,22−1

Найти ν1, Т1, Ответ: ν1 ≈ 0,61 об/с; Т1 ≈ 1,64 с; ν2, Т2. ν2 ≈ 0,22 об/с; Т2 ≈ 4,55 с. № 96. r R 60°

29

Дано: Т = 27 ч = = 86 400 с; α = 60°; R = 6400 км = = 6,4⋅106 м. Найти v.

Решение. ⎛π ⎞ − α ⎟ = RcoSα; ⎝2 ⎠

1) R = RSiN ⎜ 2) ν =

1 ; T

3) v = 2πνR = =

2πRcosα 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6,4 ⋅ 106 м ⋅ cos60o ≈230 м/с. ≈ T 86400c

Значит, скорость самолета должна быть больше 230 м/с, что вполне возможно при современной технике (существуют и сверхзвуковые самолеты). Самолет должен лететь с востока на запад. № 97. Дано: R = 6400 км = = 6,4⋅106 м; h = 230 км = = 2,3⋅105 м; Т = 88,85 мин = = 5331 с. Найти v. № 98. Дано: R2 = 4R1; T2 = 8T1.

Решение.

v=

2π(R + h) 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6,4 ⋅ 106 + 0,23 ⋅ 106 м ⋅ cos 60o ≈ ≈ T 5331c

≈ 7,8⋅103 м/с.

Ответ: v ≈ 7,8⋅103 м/с Решение. v1 = 2πR1/T1; v2 = 2πR2/T2 = 2π⋅4R1/(8T1) = πR1/T1; v2 πR T 1 = 1⋅ 1 = . v1 T1 2πR1 2

Найти

v2 . v1

№ 99. Дано: l2 = 3l1; 1 T2 = T1. 60

Найти 30

v1 . v2

Ответ:

v2 1 = 2 v1

Решение.

v1 = 2π

l l1 l 3l ; v2 = 2π 2 = 2π 1 = 2π 1 = 2π 20T1 T1 T2 60T1

v1 l1 20T1 = 20 = ⋅ v2 T1 l1

Ответ:

v1 = 20 v2

№ 100. Дано: ν1 = 1200 об/мин; R1 = 8 см; R2 = 32 см; R3 = 11 см; R4 = 55 см.

Решение. 1) v1 = 2πR1ν1 = v2 = 2πR2ν2; R1ν1 = R2ν2;

ν2 = ν1 r1 ; r2

2) v3 = 2πν2R3 = v4 = 2πν4R4; ν2R3 = ν4R4;

ν1 r1r3 = ν4R4; r2

ν4 = Найти ν4. № 101. Дано: d1 = 600 мм; d2 = 300 мм; d3 = 120 мм; ν = 1200 об/мин = = 20 об/с.

r1r3 8см ⋅ 11см ν1 = ⋅ 1200об/мин = r2 r4 32см ⋅ 55см

=60 об/мин. Ответ: ν4 = 60 об/мин. Решение. 1) v3 = πd3ν = v2 = πd2ν2; ν2 = 2) v = πd1ν2 = π ≈3,14⋅

Найти v. № 102. Дано: dп = 70 см = 0,7 м; z1п = 48; z2п = 18; N = 1 об/с; Dк = 50 см = 0,5 м; z1к = 48; z2к = 15.

d3 ν d2

d1d3 ν≈ d2

600мм ⋅ 120мм ⋅20 об/с ≈1,5⋅104 мм/с = 300мм

= 15 м/с. Ответ: v = 15 м/с. Решение. 1) z1пN = z2Nν

vп = πdпν = πdпN

z1п 48 ≈ 3,14⋅0,7 м⋅1 об/с⋅ ≈ z2 п 18

≈ 5,9 м/с. 2) Аналогично

vк = πdкN

z1к 48 ≈ 3,14⋅0,5 м⋅1 об/с⋅ ≈ 5,0 м/с. 15 z2 к

Ответ: vп ≈ 5,9 м/с; vк ≈ 5,0 м/с.

Найти vп, vk. № 103. Дано: R = 800 м; v = 20 м/с.

Решение.

Найти ац.

Ответ: ац = 0,5 м/с2.

ац =

v 2 (20м/с)2 = 0,5 м/с2. = R 800м

31

№ 104. Дано: v = 2 км/с; R = 6,96⋅105 км.

Решение. 1) v = 2π

R R 6,96 ⋅ 105 км ; T = 2π ≈ 2⋅3,14⋅ ≈ 2км/с T v

≈ 2,2⋅106 c ≈ 25 суток. 2) а = Найти Т, а. № 105. Дано: d = 600 мм = = 0,6 м; Т = 0,046 с.

= 5,7 мм/с2. Ответ: Т = 25 суток; а = 5,7 мм/с2 Решение. 1) v = π 2) а =

Найти v, a. № 106. Дано: R = 40 м; g = 9,8 м/с2. Найти v. № 107. Дано: d = 7,5 м; ν = 93,8 об/мин≈ ≈ 1,56 об/с.

v2 (2км/с) 2 ≈ 5,7⋅10–6 км/с2 = = R 6,96 ⋅ 105 км

0,6м d ≈ 3,14⋅ ≈ 41 м/с 0,046с T

v 2 2v 2 2π2 d 2 2π2 d 2 ⋅ 3,142 ⋅ 0,6м ≈ = = 2 = 2 ≈ R d (0,046с) 2 T d T

≈ 5,7⋅103 м/с2 = 5,7 км/с2. Ответ: v ≈ 41 м/с; а = 5,7 км/с2. Решение. g=

v2 ; v= R

Rg = 40м ⋅ 9,8м/с2 ≈ 20 м/с.

Ответ: v ≈ 20 м/с. Решение.

а=

2v 2 ; v = πdν; d

a=

2π2 d 2ν 2 = 2π2dν2 ≈ 2⋅3,142⋅7,5⋅(1,56-1)2 ≈ d

≈367 м/с2. Ответ: a ≈367 м/с2.

Найти а. № 108. Дано: v = 72 км/ч = 20 м/с; ν = 8 с–1.

Решение.

а=

v2 v ; v = 2πRν; R = ; R 2πν

a = 2πνv ≈ 2⋅3,14⋅8с-1⋅20 м/с ≈ 103 м/с2. Найти а. 32

Ответ: a ≈ 103 м/с2.

№ 109. Дано: R1 = 2 R2 .

Решение. 1) ai =

⎛a ⎞ ⎛R ⎞ v2 =⎜ 1 ⎟=2; ; α= ⎜ 2⎟ a Ri ⎝ 1 ⎠v =const ⎝ R2 ⎠

( )

2 2π 2 Ri 2 R ; ai = ( 2π ) i 2 = 2 Ri ; T RT T i

2) vi = 2π

⎛ a2 ⎞ ⎛R ⎞ 1 =⎜ 2⎟= . ⎟ ⎝ a1 ⎠T =const ⎝ R1 ⎠ 2

β= ⎜ Найти: α, β. № 110. Дано: R2 = 8R1; 1 ν2 = n1. 40

Ответ: α = 2, β =

1 . 2

Решение. 1) v1 = 2nR1n1; v 2 = 2 πR 2 ν 2 = 2 π ⋅ 8 R1 2)

a1 =

v12 R1

1 40

ν1 = 2π

R1 5

ν1 ;

v2 1 = ; v1 5

= 4n 2 n12 R1;

R v22 n2 = 4n2 n22 R2 = 4n2 1 ⋅ 8R1 = 4n2n12 1 ; 2 R2 200 40 a2 1 = . a1 200 v 1 a 1 Ответ: 2 = , 2 = . v1 5 a1 200 a2 =

Найти: v2 a2 , . v1 a1

№ 111. Дано: S , t, d

Найти: ν, a.

Решение. S = vt ; ν =

Ответ: n=

2v 2 2S 2 v S = 2 . = ; a= d πd πdt t d

S 2S 2 , a= 2 . ndt t d

Основы динамики Динамика исследует причины движения тел. Известно, что любое тело изменяет свою скорость в результате взаимодействия с другими телами. Сила есть характеристика взаимодействия. Обычно сила обозначается буквой F . Если на тело действует несколько сил, 33

то они складываются как векторы. Сумма всех сил F1, F2 , F3... , действующих на тело, называется равнодействующей R . R = F1 + F2 + F3 + ...

Присущее всем телам свойство сохранять свою скорость с течением времени называется инертностью. Масса есть характеристика инертности. Обычно масса обозначается буквой m. Масса — суть скаляр, сила — суть вектор. В основе динамики лежат три закона Ньютона. Они ниоткуда не выводятся и в этом смысле аналогичны аксиомам в геометрии. Первый закон Ньютона утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых, если на тело не действуют никакие внешние силы, оно движется равномерно и прямолинейно. Такие системы отсчета называют инерциальными. Второй закон Ньютона утверждает, что, если на тело массой m действует сила F , то ускорение тела a будет равно a =

F . m

Третий закон Ньютона утверждает, что, если на тело A со стороны тела B действует сила FBA , то на тело B со стороны тела A действует сила FAB , причем FBA = – FAB . Теперь рассмотрим некоторые конкретные виды сил. 1. Сила упругости. Эта сила возникает при деформации тела. Свойство силы упругости F таково, что при небольших деформациях ∆x , F пропорционально ∆ x и направлена против деформации. Коэффициент пропорциональности k носит название коэффициента жесткости. Таким образом, F = −k ∆ x 2. Гравитационная сила. Известно, что все тела притягиваются друг к другу с силой F пропорциональной массе каждого тела m1 и m2 и обратно пропорциональной квадрату расстояния R между телами. Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной и обозначается G. F =G

m1m2 R2

.

Из опыта известно, что G = 6,672⋅10 –11 Н⋅м2/кг2. Из-за малости G гравитационные силы не заметны в повседневной жизни, но именно они управляют движением таких объектов, как планеты. Необходимо отметить, что масса, входящая в закон Ньютона и масса, входящая в закон всемирного тяготения — это различные по своей природе величины: первая характеризует инертность, вторая — гравитационное притяжение. Ускорение свободного 34

падения g на высоте H над поверхностью Земли определяется формулой g = G

M

( R0 + H )2

,

где R0 — радиус Земли, M — масса Земли. Ускорение свободного падения g не зависит от массы притягиваемого тела, поэтому все тела падают с одинаковым ускорением. На поверхности Земли, где Н равно нулю, g≈9,8 м/с2. На небольших высотах мы можем пренебречь изменением g. Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью v0. В этом случае закон движения будет описываться следующей систеgt ⎧ ⎪ y = y0 + v0 tsinα − 2 , ⎪ x = x0 + v0t cosα ⎩

мой уравнений ⎨

где x, y — координаты тела по соответствующим осям, t — время. Ось Y направлена вверх. Из этих формул можно получить значение для дальности и времени полета, высоты подъема и т.д. Эти формулы выводятся в процессе решении задач. Если тело движется в вертикальном направлении, то следует полагать α = 90°. 3. Вес тела. Весом тела P называют силу, которая давит на опору или растягивает подвес. Эта сила вообще приложена не к телу, а к опоре или подвесу; на тело же действует нормальная реакция опоры или сила натяжения нити. По третьему закону Ньютона модули веса тела и нормальной реакции опоры или силы натяжения нити равны. Вес тела может быть равен силе тяжести, а может быть и не равен. Например, если тело лежит на горизонтальной плоскости, то вес тела равен силе тяжести, а если на наклонной, то нет. 4. Сила трения. Силой трения FТР называют силу, которая препятствует движению, т.е. направлена против скорости. Рассмотрим сухое трение. Пусть к покоящемуся телу приложена сила F . Если F<Fтр max, то тело не придет в движение. Fтр max — это максимальная сила трения покоя, Fтр max = µN, где µ−коэффициент трения, N−сила нормальной реакции опоры. Это явление трения покоя. Если F>Fтр max, то тело придет в движение. При этом на тело будет действовать сила трения скольжения, которая равна Fтр = Fтр max = µN. № 112. а) сила тяжести и сила Архимеда; б) сила тяжести, сила Архимеда и сила реакции опоры.

35

№ 113. Сила тяжести и сила трения. № 114. Компенсируются сила тяжести, сила Архимеда и сила натяжения нити. Если мальчик отпускает нить, то сила ее натяжения становятся равные нулю, и остальные силы не скомпенсированы. № 115. Нет, из-за того, что всегда наличествует сила трения. № 116. Во время толчка на вагон действует сила взаимодействия с тепловозом сила трения, после толчка только сила трения. В момент толчка вагон приобретает некоторую скорость, а после будет замедляться под действием силы трения. № 117. а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет. № 118. а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) нет. № 119. а) равномерно; б) замедленно; в) ускоренно; г) поворачивает. № 120. Дано: Решение. R2 = 2 R1 . Шарики не скользят, если m1 a y 2 = m 2 a y 2 ; a y1 =

v12 = 4π 2 ν 2 R1. R1

Аналогично ay1 = 4n2n2R2. m2 ay1 R1 1 = = = . m1 ay2 R2 2

Найти: m2 . m1

Ответ:

m2 1 = . m1 2

№ 121. m Дано: Решение. mT a = mВna; mВ = T = 100 = 20 т . n mT = 100 т ;n = 5. 5 Найти: mВ . Ответ: mВ = 20 т . № 122. Решение. Дано: r1 = 2r2

m1 ∝ r13 ; m2 ∝ r23 = 8r13 . a2 1 = . a1 8 Результат от начальных скоростей не зависит, т.к. при переходах из одной инерциальной системы в другую ускорение не меняется. Тогда имеем: r13a1 = 8r13a2 ;

36

Ответ: a2 = 1 .

Найти:

a2 . a1

a1

№ 123. Дано:

Решение. 3

ρ1 = 11,3 ⋅10

кг

4 3 4 πr ρ1a1 = πr 3ρ2 a2 ; ρ1a1 = ρ2 a2 ; 3 3

;

м3 кг ρ2 = 7 ,8 ⋅ 103 3 м

Найти:

8

a2 ρ1 11,3 ⋅103 кг м 3 = = ≈ 1,45. a1 ρ 2 7 ,8 ⋅103 кг м3 a Ответ: 2 ≈ 1,45. a1

a2 . a1

№ 124. Дано: v11 = 3 м/с; v12 = 1 м/с; v21 = −1 м/с; v22 = 1 м/с.

Найти: m2 . m1

№ 125. Дано:

Решение. v −v v −v 1) a1 = 22 11 ; a2 = 22 21 ; ∆t ∆t 2) m1a1 + m2a2 = 0;

m2 a1 v −v 1 м с−3 м с = = 12 11 = = 1. m1 a2 v22 − v21 1 м с − ( −1 м с ) 3) Обе тележки сменили направление движения на противоположное. До и после столкновения они движутся равномерно и прямолинейно, если принебречь силами трения. m Ответ: 2 ≈ 1. m1

m1 = 400 г ;m2 = 600 г v1 = 3 м/с;

Найти: v2 .

Решение. m1v1 = m2v2 ;

m1 400 г = 3 м с⋅ = 2 м с. m2 600 г Ответ: v2 = 2 м с . v2 = v1

37

№ 126. Дано: m1 = 60 т; v11 = 0,3 м/с; v12 = 0,2 м/с; v2 = 0,4 м/с;

Решение. m1 ( v12 − v11 ) = m2v2 ;

m2 = m1 ⋅

v12 − v11 0,2 м с − 0,3 м с = 60 т ⋅ = 15 v2 0 ,4 м с

Ответ: m2 = 15 т. Найти: m2 . № 127. а) Сила передаваемая футболистом; сила тяжести; сила трения. Максимальная сила передаваемая футболистом. б) Сила тяжести; сила трения. Максимальная сила тяжести. Силы трения и тяжести сонаправлены. в) Сила тяжести; сила трения., но силы трения и тяжести направлены противоположно. г) Сила реакции опоры; сила трения; сила тяжести. Максимальная сила реакции опоры. № 128. а) Сила тяжести и сила реакции опоры. Они равны по модулю но противоположны по направлению. б) Сила руки, сила тяжести и сила реакции опоры. Последние две силы скомпенсированы. в) Сила трения, сила тяжести. Они направлены противоположно, сила тяжести больше силе трения. № 129. а) Сила тяжести и сила реакции опоры. Они скомпенсированы. б) Сила инерции, сила тяжести и сила реакции опоры. Они скомпенсированы. в) Сила тяжести и сила реакции опоры. Они скомпенсированы. г) Сила тяжести, сила реакции, сила инерции. Они скомпенсированы. № 130. а) Сила тяжести и сила реакции опоры. Они скомпенсированы. б) Сила инерции, сила тяжести и сила реакции опоры. Они скомпенсированы. в) Сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения покоя и сила тяги двигателя. Первые две скомпенсированы, а сила тяги двигателя несколько больше силы трения покоя. г) Сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения, сила тяги двигателя. Сила реакции опоры меньше силы тяжести. 38

д) Сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения покоя и сила тяги двигателя. Они не скомпенсированы. е) Сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения (о дорогу, то 2 мощных колодок о колесо). Первые две скомпенсированы. № 131. а) равномерно прямолинейно; б) горизонтально с ускорением; в) ускоренно опускается, горизонтально равномерно; г) ускоренно поднимается, горизонтально равномерно. № 132. Пузырек начинает двигаться равномерно и прямолинейно, если векторная сумма силы Архимеда, тяжести и сопротивления станет равна нулю. № 133.

R

F1

α ,

F2

Дано: F1 = 10 H F2 = 14 H

Найти: Rmin ,Rmax .

Решение. 1) R = F1 + F2 ; R = F12 + F2 2 − 2 F1F2cos ( π − α ) = F12 + F2 2 + 2 F1F2cosα .

2) Rmin =

−1 ≤ cosα ≤ 1, то

Т.к. F12

2

+ F2 − 2F1F2 = ( F2 − F1 ) = 2

= F1 − F2 = 14 Н − 10 Н = 4 Н; Rmax = F12 + F22 + 2 F1F2 = ( F2 + F1 )2 = = F1 + F2 = 14 Н + 10 Н = 24 Н; Отсюда имеем, что F2 − F1 ≤ R ≤ F1 + F2 ; 4 H ≤ R ≤ 24 H

Таким образом а) нет; б) да; в) да; г) да; д) нет. № 134.

39 F

F 0

Из рисунка видно, что R = F1 + F2 + F3 Рассмотрим проекции на оси координат. (1) x : 2 Fcosα = F ; ( 2 ) y : Fsinα = Fsinα Равенство (2) имеет место при любой силе F и угле α . Равенство (1) ⎯ только, когда выполнено соотношение 2 соs α = 1; т.е. при N = 60º Таким образом, ответ задачи — да. № 135. F

α

1

α F Дано: F = 200 H; n = 60o.

F 2

3

Решение. 1) R = F1 + F2 + F3 2) В проекциях на x: Rx = Fcosα + F + Fcosα =

оси

координат:

1⎞ ⎛ = F (1 + 2cosα ) = 200 H ⋅ ⎜ 1 + 2 ⋅ ⎟ = 400 H; 2⎠ ⎝ y : R y = Fsinα − Fsinα = 0.

3)

R =

R x 2 + R y 2 = R x = 400 H .

Найти:

Ответ: R = 400 H.

№ 136. Дано:

Решение. Rx = Fx ; R y = mg − Fx ;

R.

Fx = 300 H ; Fy = 500 H ; m = 90кг;

40

R= =

Rx 2 + Ry 2 =

(

Fx 2 + ( m g − Fy ) = 2

3 0 0 2 H 2 + 9 0 к г ⋅1 0 м с 2 − 5 0 0 H

)

2

= 500 H .

Найти:

Ответ: R = 500 H.

R.

№ 137. Дано: F1 = 550 Решение. Rx = F2 − F1 = 555 кН − 550 кН = 5 кН ; кН; Ry = F3 − F2 = 162 кН − 150 кН = 12 кН ; F2 = 555 кН; F3 = 162 кН; R = Rx 2 + Ry 2 = 52 кН 2 + 12 2 кН 2 = 13 кН . F4 = 150 кН. Ответ: R = 13 кН. Найти: R . y № 138.

х

α T

F mg

Дано:

m = 1,6кг; F = 12 H ;

Решение. T + F = mg = 0 . В проекциях на оси координат ⎧ x : F − Tsinα = 0 ⎧Tsinα = F ; ⎨ ⎨ ⎩ y : Tcosα − mg = 0. ⎩Tcosα = mg T =

F 2 + m g 2 = 12 2 Н 2 + 1, 6 2 кг 2 ⋅ 10 2

(м с )

2 2

= 20 H .

НайОтвет: T = 20 H. ти: T № 139. Дано: Решение. F1 = ma1; m = F1 ; F2 = ma2 ; a2 = F2 ; m a1 F1 = 15 F2 60 кН кH; 2 2 a2 = a = ⋅ 0 ,5 м /с = 2 м /с . F1 1 15 кН F2 = 60 кH; а1 = 0,5 м/с2. Найти: Ответ: a 2 = 2 м/с 2 . a2 . 41

№ 140. Дано:

Решение. F1 = ma1; m = F1 ;

F1 = 60 кН;

a1

a 2 м с2 F2 = ma 2 = F1 2 = 60 кН ⋅ = 150 кН . a1 0,8 м с 2

a1 = 0,8 м с 2 ; a2 = 2 м с 2 .

Ответ: F2 = 150 кН.

Найти: F2 .

№ 141. Дано:

Решение. ma1 = m2 a2 ;

m1 = 4 кг ; m 2 = 10 кг ;

a2 =

a1 = 2 м / с 2 ;

Найти: a2 . № 142. Дано:

m1 40 кг ⋅ 2 м с 2 = 0,8 м с 2 . a1 = 10 кг m2

Ответ: a 2 = 0,8 м с 2 . Решение.

F = m0 a0 = ( m0 + ∆m ) a;

m0 = 4 т ;

2

a 0 = 0 ,3 м с ;

∆m =

a = 0 ,2 м с 2 ;

⎛ 0 ,3 м с 2 ⎞ m0 ( a0 − a ) ⎛a ⎞ = m0 ⎜ 0 − 1⎟ = 4 т ⋅ ⎜ − 1⎟ = 2 2 ⎜ ⎟ a a ⎝ ⎠ ⎝ 0 ,2 м с ⎠

т. Найти: ∆m. Ответ: ∆m = 2 т. № 143. Будем считать по формуле F = ma, выражая то, что необходимо узнать. № 144. Дано: Решение. m = 60 т = 6 ⋅ 10 4 кг; F = 90 кH = 9 ⋅ 10 4 H .

Найти: a. № 145. Дано: m1 = 2 т; m2 = 8 т; F2 = 2 F1. Найти: a2 . a1

42

a=

F 9 ⋅ 10 4 Н = = 1,5 м /с 2 . m 6 ⋅ 10 4 кг

Ответ: a = 1,5 м/с 2 . Решение. F1 = m1a1; F2 = m2a2 ; F2 = m2 a2 ; a2 F2 m1 2т 1 = ⋅ = 2⋅ = . a1 F1 m2 8т 2

Ответ:

a2 1 = . a1 2

F1

m1a1

№ 146. v Дано: m = 0,5 Решение. 1 ) a = ; t кг; t = 0 ,02 с; v 2) F = ma = m = 0 ,5 кг ⋅ 10 м/c = 250 Н . t 0 ,02 с v = 10 м/с. Ответ: F = 250 Н. Найти: F . № 147. Дано: v2 at 2 v l = ; l = ; Решение. 1) v = at ; t = ; l = 5 м; 2a 2 a m = 42,5 кг; v 2 = 2al ; F = 19,6 кН = F F 2) F = ma; a = ; v 2 = 2 l ; = 1,69 ⋅104 Н. m m v=

Ответ: v ≈ 68 м / с.

Найти: v . № 148. Дано: a1 = 0,4м/с 2 ; a2 = 0,1м/с2 ;

2 Fl 2 ⋅ 1,96 ⋅ 10 4 кН ⋅ 5 м = ≈ 68 м / с . m 42 ,5 кг

Решение. F m1 = ; a1

F = m1a1;

1)

F = m2 a2 ;

F m2 = ; a2

⎛ ⎞ 2) F = ( m1 + m2 ) a = a ⎜ F + F ⎟ ; 1 = 1 + 1 ; ⎝ a1

a2 ⎠

a

a1

a2

aa 0 , 4 м/c 2 ⋅ 0 ,1 м/c 2 a= 1 2 = = 0 ,08 м/с 2 . a1 + a 2 0 ,4 м/c 2 + 0 ,1 м/c 2

a.

Найти: № 149. Дано:

l1 = 40cм=0,4м; l2 = 20cм=0,2м; ∆m = 200г=0,2кг;

Ответ: a = 0 ,08 м/с 2 . Решение. 1) ma1 = F ; ( m + ∆m ) a2 = F ; a1 2 a l a t ; l2 = 2 t 2 ; 1 = 1 ; 2 2 l2 a 2 a1 ∆m l1 ∆ m l1 m a 3) =1+ = ; ⋅ 1 = 1; = − 1; a2 m l2 m + ∆ m a2 m l2

2) l1 =

m=

Найти: m. № 150. Дано: m = 2кг;

∆m 0 ,2 кг = 0 ,4 м = 0 ,2 кг . − 1 0 ,2 м − 1

l1 l2

Ответ: m = 0,2 кг. Решение.

1)

На

каждом

участке

43

Найти:

0 ÷ 5с, 5с ÷10 с,10с ÷ 20с

Fx .

найдем ускорение по формуле ax =

∆vx . ∆t

10 м с − 0 = 2 м с2 ; 5 с−0 10 м с − 10 м с = 0; 5 ÷ 10 c : a x = 10 с − 5 с 0 − 10 м с 10 ÷ 20 c : a x = = − 1 м/с 2 ; 20 с − 10 с 2) Т.к. Fx = max , то на каждом из участков мы будем иметь: 0 ÷ 5c : Fx = 2 ⋅ 2 = 4 H ; 0 ÷ 5 c : ax =

5 ÷ 10c : Fx = 2 ⋅ 0 = 0; 10 ÷ 20c : Fx = 2 ⋅ (− 1) = −2 H .

№ 151. Да возможно, если закрепить одно из полушарий к чемулибо (стене, например). Тогда понадобится 8 лошадей. № 152. Они одинаковы по модулю, противоположны по направлению, согласно третьему закону Ньютона. № 153. В первом случае ничего, во втором он начнет двигаться в противоположном направлении. № 154. Когда человек в лодке давит на ее борт, она не придет в движение, т.к. и на человека действует такая же сила. Когда он толкает лодку стоя на берегу, он действует еще и на землю. № 155. Сила действия на волосы равна силе действующей на руку. № 156. В обоих случаях нет. № 157. Дано: Решение. g = 10м/с; По третьему закону Ньютона ∆F1 = ∆F2 ; V = 0 , 2дм 3 = = 2 ⋅ 10

44

−4

3

∆F1 = ρ gV = 10 м/c 2 ⋅ 103 кг/м 3 ⋅ 2 ⋅ 10 −4 м 3 = 2 H;

м ;

ρ = 10 3 кг/м 3 .

F1 = 4 H + ( −2 H ) = 2 H; F2 = 8 H + 2 H = 10 H.

Найти: F1 ,F2 .

Ответ: F1 = 2 H, F2 = 10 H.

№ 158. Дано: 3

Решение. 1) По третьему закону Ньютона −∆F1 = ∆F2 ρ m 2) ∆ F1 = ρ в gV = ρ в g = в gm . ρ ρ

3

ρв = 10 кг/м ; m = 54г=5,4× ×10-2кг; 3

ρ = 2,7×10 кг/м

3) ∆ m g = ∆ F 2 + ∆ F1 = 2 ρ в g m ; ρ

∆m = 2

3

ρв 10 м /c m = 2⋅ ⋅ 5 , 4 ⋅ 10 − 2 кг = 4 ⋅ 10 − 2 к ρ 2 , 7 ⋅ 10 3 м /c 2

Ответ: ∆m = 4 ⋅ 10−2 кг .

Найти: ∆m. № 159. Дано: -2

∆l1 = 2cм=2×10 м; F1 = 20 H ; -2

∆l2 = 6см=6×10 м;

F2 = k ∆l2 = F1

k=

F1 ; ∆l1

∆l2 ; ∆l1

20 H 2 ⋅ 10−2 м

F2 = 20 Н ⋅

Найти: k , F2 .

F1 = k ∆l1;

Решение.

k=

= 103

H ; м

6 ⋅ 10−2 м

= 60 Н . 2 ⋅ 10−2 м H Ответ: k = 10 3 , F2 = 60 Н. м

№ 160. Дано: ∆l1 = 1 мм = 10

2

Решение. −3

м;

k = 100 кH/м = 105 H/м. Найти: F .

№ 161. Дано: g = 10м/с 2 ; k = 0 ,5кH/м=5×102 Н/м; m = 200г=0,2кг.

Найти: ∆l.

F = k ∆l = 105 кH/м ⋅ 10−3 м = 100 Н .

Ответ: F = 100 Н. Решение. k ∆l = mg ; ∆l =

mg 0,2 кг ⋅ 10 м/с 2 = = 4 ⋅ 10−3 м=4мм. 2 k 5 ⋅ 10 Н/м

Ответ: ∆l = 4мм.

45

№ 162. Дано:

Решение. 1) k1 =

l10 = 360мм=0,36м; l1 = 230см =0,23м;

≈ 3,3 ⋅ 104

F1 = 4,35кH = 4,35 ⋅ 103 H ; l20 = 442мм=0,442см;

k2 =

2)

l2 = 273см =0,273м; F2 = 4, 4кH = 4 ,4 ⋅ 103 H;

F1 4 ,35 ⋅ 103 Н = ≈ l10 − l1 0 ,36м − 0 ,23м

H = 33кН/м; м

F2 4,4 ⋅ 103 Н = ≈ l20 − l2 0,442м − 0 ,273м

H = 26кН/м. м Ответ: k1 ≈ 33кН / м , k2 ≈ 26кН/м. ≈ 2 ,6 ⋅ 104

Найти: k1, k2 . № 163. Дано: ∆l1 = 5см;

Решение. k2∆l2 = k1∆l1;

∆l2 = 1см;

k2 = k1

k1 = 100кH/м;

∆l1 5см = 100кН/м ⋅ = 500Н/м. ∆l2 1см

Ответ: k2 = 500Н/м. Найти: k2 . № 164. По графику видно, что удлинение х2 вдвое больше удлинения х1 при одной силе F. Т.к. k1 =

F , x2

k2 =

F , то x2

k2 x1 1 = = . k1 x2 2

№ 165.

По графику видно, что ∆l = 1,4м-1м=0,4м. k =

F 4Н = = 10H/м. ∆l 0 , 4м

№ 166. Если проволока при приложении силы F удлинилась на ∆l, то каж-

дая из ее половинок удлинилась на Т.к. k =

46

F , то ∆l

k' =

F ∆l 2

=

∆l из соображений симметрии. 2

2F = 2k. ∆l

№ 167. Дано: k1 , k 2 .

Решение.

F = k1∆l1 = k2∆l2 = k ( ∆l1 + ∆l2 ) ;

k1 = k=

F F ; k2 = ; ∆l1 ∆l2

F 1 ∆l1 ; = ; ∆l1 + ∆l2 k1 F

1 ∆l2 = ; k2 F

1 ∆l1 + ∆l2 ∆l ∆l 1 1 kk = = 1+ 2 = + ; k= 1 2 . k F F F k1 k2 k1 + k2

Найти:

Ответ: k =

k.

№ 168. Дано:

k1k2 . k1 + k2

Решение. k ∆l = ma;

k = 100кH/м,

∆l =

2

a = 0,5м/с ;

ma 2 ⋅ 103 ⋅ 0 ,5 = = 10−2 м=1см . k 105

m = 2 т = 2 ⋅ 103 кг

Найти: ∆l. № 168. Дано:

Ответ: ∆l = 1см. Решение. 3

m1 = 8 т = 8 ⋅ 10 кг;

F =G

m1m2

4

m2 = 20 т = 2 ⋅ 10 кг R = 100м;

6,67 ⋅10−11

R2

=

Н ⋅ м2 8 ⋅103 кг ⋅ 2 ⋅104 кг кг 2

1002 м2

≈

≈ 1,07 ⋅ 10−6 H

Найти: F .

Ответ: F ≈ 1,07 ⋅ 10 −6 H.

№ 170. Дано:

Решение. Т.к. нам необходимо оценить порядок силы m = 10000T = взаимодействия будем считать G = 10−10 H ⋅ м 2 /кг 2 . r = 100м = 102 м

= 107 кг;

Найти: F .

F ≈G

m2 r2

= 10 −10

( ) (10 )

Н ⋅ м 2 10 7

Ответ: F ≈ 1 H.

кг 2

2

2 2

кг

2

м2

= 1 H.

47

№ 171. Дано: M 3 = 6 ⋅ 10 кг; M л = 7 ,4 ⋅ 1022 кг;

= 6,67 ⋅ 10−11

Н⋅м

R = 3,8 ⋅ 10 м;

Найти: F . № 172. Дано:

⋅

6 ⋅ 1024 кг ⋅ 7 ,4 ⋅ 1022 кг

(

3,8 ⋅ 108

)

2

м2

≈ 2 ⋅ 1020 H.

Ответ: F ≈ 2 ⋅ 10 20 H. Решение. F = G

R1 = 2 R; R2 = 5 R;

F2 = G

Найти:

mM R2

№ 173. Дано:

=G

2

G

mM r2

R

mM 36 R

Решение. F = G

F F1 = ; 100 R2 = 640км;

mM

2

2

;

; F1 = G

mM R12

F1 1 = ; F 4

=G

mM 4R2

;

F2 1 = . F 36

F1 1 F2 1 = , = . F 4 F 36

Ответ:

F2 . F

=G

mM R32

mM 100 R32

; F1 = G

mM r2

=

F ; 100

; r 2 = 100 R32 ;

r = 10 R3 = 6400 км ⋅ 10 = 64000 км. Все расстояние считается от центра Земли. Ответ: r = 64000 км.

Найти: r. № 174. Дано:

Решение. G

l = 60 R3 ; M 3 = 81М

R2

2

кг 2

8

F1 , F

M 3M л

Решение. F = G

24

M 3m r

2

=G

M лm

(l − r )

2

; M лr 2 = M з (l − r ) ; 2

r = 81(l − r ) ; r = 81l + 81r 2 − 162lr ; 2

2

2

2

80r 2 − 162lr + 81l 2 = 0; r1 = 0,9l ;

r2 = 1,125l > l.

Значит r2 не подходит, хотя силы и равны в этой точке, но они одинаково направлены. r = 0,9l = 0,9 ⋅ 60R3 = 54R3.

Найти: r.

48

Расстояние считается от центра Земли. Ответ: r = 54 R3 .

№ 175. Дано:

F2

(m + ) =G R

m m 2 2 2

3 4

Ответ: F2 = F1.

№ 176. Дано:

Решение. g = G

g ′ = 9,8м/с R=

R3 ; 2

g′ = G

Найти:

M

( R + R3 )

2

M R32

;

=G

;

M

( )

2 3 R 2

4 M 4 = G 2 = g ≈ 4 ,36 м/с 2 . 9 R 9

Решение. M =

2

g = 3,72м/с ; R = 2420км = 2 ,42 ⋅ 106 м

=

Найти: M . № 178. Дано: 2

g3 = 9 ,8м/с ; Rм = 0 ,53R3 ; M м = 0 ,11М 3 ;

(

gR 2 M = g =G 2; G R

3,72 м/с 2 ⋅ 2 , 42 ⋅ 106

)

2

м2

Н⋅м 2 6 ,67 ⋅ 10 −11 2 кг

≈ 3, 271023 кг .

Ответ: M ≈ 3,2 ⋅ 10 23 кг . Решение. g3 = G gм = G =

Найти:

R2

Ответ: g ′ ≈ 4 ,36 м/с2 .

№ 177. Дано:

gм.

m2

3 m2 3 G = F1 . 4 R2 4

=

Найти: F2 .

g.

F1 = G

Решение.

F1;

Mм Rм

0,11

( 0,53)

2

2

=G

M R3

2

; gм = G

0,11M 3

( 0,53R3 )

2

=

Mм

Rм 2

0 ,11

( 0,53)

2

; G

M3

R32

=

g ≈ 0,4 g = 3,92 м/c2 .

Ответ: g м ≈ 3,92м/с2 .

49

№ 179. Дано:

Решение.

R1 = 328Rс ; M1 = 50М с ;

g1 = G

R2 = 0,016Rc ; M 2 = 0,31M c ;

M1

R12

g2 = G

M2

R2

2

50 3282

=

gc ≈ 0,00046 gc ;

0,31 0,016 2

M =ρ

Решение.

3

g =G

= 6,1 ⋅ 106м;

M R

2

=

Найти: g .

4π 3 R ; 3

4 4 πGρR ≈ ⋅ 3,14 ⋅ 3 3

⋅6 ,67 ⋅ 10−11

Н ⋅ м2 кг 2

5,2 ⋅ 103 кг/м3 ⋅ 6 ,1 ⋅ 106 м ≈ 8,9 м/с 2

Ответ: g ≈ 8,9м / с2 .

№ 181. Дано:

Решение. Fз = mg з = 750 кг ⋅ 9,8 м/с 2 = 7350 H.

m = 750 кг; g з = 9,8м/с2 ;

Fл = mg л = 750 кг ⋅1,6 м/с 2 = 1200H.

2

g л = 1,6м/с ;

Ответ: Fз = 7350 H, Fл = 1200H.

Найти: Fз , Fл .

№ 182. Дано: m = 80 кг; 2

−3

∆g = 0,1 cм/с = 10 м/с

Найти: ∆F . № 183. Дано:

Решение. ∆F = m∆g = 10 −3 м/с 2 ⋅ 80 кг = 8 ⋅ 10 −2 H. Ответ: ∆F = 8 ⋅ 10−2 H.

4

m = 90 т = 9 ⋅10 кг;

g1 = 9 ,77 м/с 2 ;

Решение. ∆F = m(g1 − g 0 ) = 9 ⋅ 10 4 кг ⋅

(

g 0 = 9 ,81 м/с ;

Найти: ∆F .

)

⋅ 9,81 м/с 2 − 9,77 м/с 2 = 3,6 ⋅ 10 3 H = 3600

2

50

g c ≈ 1200 g c .

Ответ: g1 ≈ 0,00046 gc , g 2 ≈ 1200 g c .

Найти: g1, g 2 . № 180. Дано: ρ = 5200 кг/м ; R = 6100 км =

=

Ответ: ∆F = 3600 H.

№ 184. Дано: a = 20 м/с2; g = 10 м/с2 ; m = 80 кг

Решение. P = m(a + g ) = 80 кг ⋅ 20 м/с 2 + 10 м/с 2 = 2400 H

(

)

Ответ: P = 2400 H.

Найти: P. № 185. Дано:

⎛ ⎝

v

v⎞

Решение. 1) a = ; 2) P1 = m ( g + a ) = m ⎜ g + ⎟ ; t t

v = 7 м/с; t = 15 c; m = 80 кг;

⎠

v 7 м/с ∆P1 = P1 − mg = m = 80 кг ⋅ ≈ 37,3 H; t 15 с

3) P2 = m ( g − a ) = m ⎛⎜ g − v ⎞⎟ ; ⎝

t⎠

v 7 м/с ∆P2 = P2 − mg = −m = −80 кг ⋅ ≈ −37,3 H. t 15 с Ответ: ∆P1 ≈ 37,3 H; ∆P2 ≈ −37,3 H.

Найти: ∆P1, ∆P2 .

№ 186.

1) P1 = m ( g + a1 ) = 2mg ; a1 = g ; 2) P2 = m ( g − a2 ) = № 187. Дано: m = 70 кг ; 2

mg g ; a2 = . 2 2

Решение. P = m(g + a ) = 70 кг 8,38 м/с 2 + 1,62 м/с 2 = 700 H

(

a = 8,38 м/с ;

)

g = 1,62 м/с 2 ;

Найти: P. № 188.

Ответ: P = 700 H. В

R

a g

R

a A g 51

Решение.

Дано:

m = 40 кг; R1 = 20 м; R2 = 10 м;

v1 = 10 м/с; v2 = 5 м/с.

⎛ ( 5 м/с )2 ⎞⎟ = 300 H. = 40 кг ⋅ ⎜10 м/с2 − ⎜ 10 с ⎟ ⎝ ⎠

Ответ: P1 = 600 H, P2 = 300 H.

Найти: P1, P2 . № 189. Дано:

F1 = 1 МH = 106 H;

Решение. 4 F + F2 4 ⋅ 10 6 Н + 0,94 ⋅ 10 6 Н ∆g = 1 = ≈ m 3 ⋅ 10 5 кг

F2 = 940 кH = 0,94 ⋅ 106 H

≈ 16,5 м/с 2 .

m = 300 т = 3 ⋅ 105 кг;

Найти: ∆g . № 190. Дано: ∆t = 1 с;

Ответ: a ≈ 16,5 м/с 2 .

v2 = 10 м/с.

Решение. v 2 − v1 50 м/с − 10 м/с ∆g = = = 40 м/с 2 . ∆t 1с

Найти: ∆g .

Ответ: ∆g = 40 м/с 2 .

№ 191. Дано:

Решение.

v1 = 50 м/с;

R = 800 м;

v = 200 м/с.

Найти: ∆g .

52

1)

⎛ v2⎞ P1 = m ( g + aц ) = m ⎜ g + 1 ⎟ = ⎜ R1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ (10 м/с )2 ⎞⎟ = 600 H. = 40 кг ⋅ ⎜ 10 м/с 2 + ⎜ 20 м ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ v2 2 ⎞ 2) P2 = m ( g + aц ) = m ⎜ g − ⎟= ⎜ R2 ⎟⎠ ⎝

∆g =

(200 м/с )2 = 5 0 м/с 2 . v2 = R 800 м

Ответ: ∆g = 5 0 м/с 2 .

№ 192. Да, перегрузки, когда отталкивается от Земли, невесомость, когда не касается Земли. № 193. г). № 194. Дано: mM mM ; Решение. F = G 2 ; F1 = G 2 R = 327 км =

= 3,27 ⋅10 м; 6

( Rз + R )

Rз

5

Rз = 6,4 ⋅10 м

F − F1 = F

mM G 2 Rз

−G G

mM

(

1

Rз + R

mM Rз 2

⎛ ⎛ Rз ⎞ ⎜ 1 =1− ⎜ ⎟ =1− ⎜ R ⎝ Rз + R ⎠ ⎜1+ R з ⎝ 2

)

2

=

Rз 2

−

1

(

Rз + R

1

)

2

=

Rз 2 2

2 ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 1 ⎟ ≈ 0 ,09 ⎟ =1− ⎜ 5 ⎜ 1 + 3,27⋅10 м ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ 6 ,4⋅106 м ⎠ ⎝

или 9%. Космонавт находится в невесомости, т.к. его ускорение было равно ускорению корабля. Найти: F − F1 . F

Ответ:

F − F1 ≈ 0 ,09. F

№ 195. Это возможно, только придав весам некоторое ускорение. № 196. Можно, т.к. человек работая молотком, сообщает ему некоторое ускорение, которое может быть весьма велико в момент удара. № 197. Т.к. на Земле есть атмосфера, и на тело всегда действует сила вязкого трения. № 198. Дано: R = v2 Решение. g = ; v = gR = 40 м/с 2 ⋅ 10 м = 20 40 м; R g = 10 м/с. м/с.

Найти v. Ответ: v = 20 м/с. № 199. Будет считать, что расстояние от конца вытянутой руки до пола 1,5 м. S=

gt 2 ; t= 2

2S 2 ⋅ 1,5 м 2 = ≈ 0,5 с. v = gt = 10 м/с ⋅ 0,5 с = 5 м/с. g 10 м/с 2

53

№ 200. По фотографии найдем количество клеточек: 16. Значит тело протекло S = 16⋅5 см = 80 см. Камера сделала 5 снимков. Значит время полета t = (5 − 1)⋅0,1 с = 0,4 с. S=

gt 2 ; 2

g=

2S t

2

№ 201. Дано: t2 = 2t1.

=

2⋅8 м

( 0 ,4 с )

2

= 10 м/с2.

Решение.

S1 =

1)

gt12 gt 2 ; S2 = 2 ; 2 2

S 2 t22 ( 2t1 ) = = 2 =4. S1 t12 t1 2

2) v1 = gt1; v2 = gt2; Найти:

Ответ:

S2 v2 , S1 v1

№ 202. Дано: Н = 57,5 м.

v2 gt2 2t1 = 2. = = v1 gt1 t1

S2 v = 4 , 2 = 2. S1 v1

Решение. 1) H =

2H gt 2 = ; t= 2 g

2 ⋅ 57 ,5 м 10 м/с2

≈ 3,4

с; 2) v = gt = 2Hg = 2 ⋅ 57,5 м ⋅ 10 м/с 2 ≈ 34 м/с. Найти: t, v. Ответ: t ≈ 3,4 с, v ≈ 34 м/с. № 203. Дано: 2 H1 gt 2 ; v = gt1 = 2 gH1 ; Решение. 1) H1 = 1 ; t1 = Н1 = 5 м; 2 g Н2 = 2 м. H 5м v2 2gH g 2) v=at; H2 = = 1 = H1; a = g 1 =10 м/с2 ⋅ = 25 2a

2a

a

м/с2; t=

Найти: t, a.

54

H2

2м

2 2 gH1 H 2 v 2 =0, = = H2 = 2 м⋅ 10 м/с 2 ⋅ 5 м a g H1 gH1

4 с. Ответ: а = 25 м/с2, t = 0,4 c.

м.

№ 204. Дано: τ = 1 с; h = 80

Решение.

gt 2 2h ; ; t= 2 g ⎛ 2h ⎞ v0 = g( t − τ ) = g ⎜⎜ − τ ⎟⎟ = 2 gh − g τ . ⎝ g ⎠ h=

gτ 2 gτ 2 = 2 gh τ − = τ ⎜⎛ 2 gh − gτ ⎟⎞ = 2 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎛ ⎞ 10 м/с 1 с ⋅ ⎟ = 35 м. = 1 c ⋅ ⎜⎜ 2 ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 80 м − ⎟ 2 ⎝ ⎠ Ответ: l = 35 м. l = v0 τ +

l.

Найти: № 205. Дано: τ = 2 с; l = 60 м.

Решение. 1) l = v0 τ + 2) v0 = gt / ; t / = 3) t = t / + τ =

gτ 2 1 l gτ ; v0 = (l − g τ2 2) = − ; τ τ 2 2

v0 τ l = − ; g gτ 2

l τ l τ 60 м 2с + = 4 − +τ= + = gτ 2 gτ 2 10 м/с2 ⋅ 2 с 2

с. t.

Найти: № 206. Дано: τ = 1 с; N.

Найти S.

∆t.

Ответ: t = 4 с. Решение. v0 = (N − 1) τg;

g τ2 g τ2 ⎛ 1⎞ = (n − 1) g τ2 + = ⎜ n − ⎟ g τ2 ; 2 2 2⎠ ⎝ 1 Ответ: S = (n − ) gτ 2 . 2

S = v0τ +

№ 207. Дано: у0 = 20 м; τ = 1 с.

Решение. 1) 0 = у0 − v0τ −

Найти: v0;

Ответ: v0 = 15 м/с, ∆t = 1 с.

gτ 2 ; 2

10 м/с2 ⋅ (1 с ) gτ 1 1 v0 = ( y0 − ) = (20 м − ) = 15 м/с; τ 2 1c 2 2 y0 2 ⋅ 20 м 2) ∆ t = −τ= − 1 c = 1 с. g 10 м/с 2 2

55

№ 208. Решение. Дано: gt 2 gt 2 gt 2 gt 2 1) h1 = ; h2 = v0t + ; h2 − h1 = v0t + − = v0t . h1; 2 2 2 2 h2. h −h gt 2 2h1 g . ; t= ; v0 = ( h2 − h1 ) v0 = 2 1 ; 2) h1 = 2 2h1 g t Найg . Ответ: v0 = ( h2 − h1 ) ти v0. 2h1

№ 209. Дано: t = 60 с.

2

g⎛t⎞ g 10 м/с 2 Решение. h = ⎜ ⎟ = t 2 = ⋅ (6 с )2 = 45 2 ⎝2⎠ 8 8

м; 1 t = 10 м/с 2 ⋅ 60 с = 30 м/с. 2 2 Ответ: v0 = 30 м/с, h = 45 м. v0 = g

h.

Найти: v0, № 210. Дано: v

Решение ⎧ ⎫ gt 2 = − h vt ⎪⎪ ⎪⎪ v 2 gv 2 v 2 2 ⎨ ⎬ => h = − 2 = g 2g 2g ⎪0 = v − gt <=> t = v ⎪ g ⎪⎭ ⎩⎪ h g => Ë = Ë = 6. hÇ

Найти:

Ответ: hË = 6.

hË −? hÇ

hÇ

№ 211. Дано: h2 = 4h1.

Найти:

56

gÇ

Решение. h1 =

v2 . v1

v12 v2 h v2 v h ; h2 = 2 ; 1 = 12 ; 2 = 1 = 2. 2g 2 g h2 v2 v1 h2

Ответ:

v2 =2 v1

№ 212. Дано: v0 = 2 м/с; t1 = 1 c; t2 = 5 с.

Решение. 1) x1 = v0t −

gt 2 gt 2 ; x2 = −v0t − ; 2 2

2) r (t ) = x1 − x 2 = v0 t −

gt 2 gt 2 + v0 t + = 2v0 t . 2 2

3) r(t1) = 2⋅2 м/с⋅1 с = 4 м 4) r(t2) = 2⋅2 м/с⋅5 с = 20 м. Ответ: r(t) = 2v0t, r(t1) = 4 м, r(t2) = 20 м.

Найти: r(t), r(t1); r(t2). № 213. Дано: v2 v2 Решение. h1 = 1 ; h2 = 2 ; v2 = 1,5v1. 2g 2g

h2 v22 = = 1,52 h1 v12

=

2,25. h Найти: 2 h1

Ответ:

h2 = 2,25. h1

№ 214. Дано: v0 = 800 м/с; t = 6 с.

Решение. 1) v = v0 − gt = 800 м/с − 10м/с2⋅6 с = 740 м/с; 2) 2 gt 2 10 м/с 2 ⋅ ( 6 с ) = 800 м/с ⋅ 6 с − h = v0 t − = 4620 м. 2 2 Реальные величины меньше из-за наличия трения. Найти: h, Ответ: v = 740 м/с, h = 4620 м.

v. № 215. Дано: v0 = 30 м/с; v1 = 10 м/с.

Решение. v 2 − v 2 (30 м/с )2 − (10 м/с )2 = 40 м. 1) h = 0 1 = 2g 2 ⋅ 10 м/с 2 2) v1 = v0 − gt1; t1 = −v1 = v0 − gt2 ; t2 =

t2.

Найти: h, t1,

v0 − v1 30 м/с − 10 м/с = 2 с; = g 10 м/с2

v0 + v1 30 м/с + 10 м/с = 4 с. = g 10 м/с2

Ответ: h = 40 м, t1 = 2 с, t2 = 4 с. 57

№ 216(н). Дано: v2 = 3v

Решение.

⎧ ⎫ gt 2 ⎪⎪h = vt − ⎪⎪ v 2 gv 2 v 2 2 ⎨ ⎬ => h = − 2 = g 2g 2g ⎪0 = v − gt <=> t = v ⎪ g ⎪⎭ ⎩⎪

Найти: h1 −? h2

2 => h1 = v2 = 9. 2

h2

v1 h Ответ: 1 = 9. h2

№ 217. Дано: v0 = 20 м/с.

Решение. 1) y (t ) = v0t −

gt 2 = 20t − 5t 2 ; 2

2) v0 + v02 − 2 gh v − v02 − 2gh gt 2 ; t2 = − v0t + h = 0; t1 = 0 ; 2 g g

3)

При

h

=

15

20м/с− (20м/с) − 2 ⋅10м/с ⋅15м = 10 =1 с; 2

2

t1 =

t2 =

58

20 м/с +

(20 м/с )2 − 2 ⋅10 м/с 2 ⋅15 м 10

= 3 с.

м

Найти:

При

у(t)

t1 =

h

20 м/с −

=

(20 м/с)

2

20

м

2

− 2 ⋅ 10 м/с ⋅ 20 м

10

=

=2с t2 =

20 м/с +

(20 м/с )2 − 2 ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 20 м

= 2 с. 10 Отсюда получаем, что h = 20 м ⎯ максимальная высота. Значит, на высоту h = 25 м тело не поднимется. И действительно, при h = 25 м

v02 − 2 gh = (20 м/с )2 − 2 ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 25 м = −100<0, а под корнем не может стоять отрицательное число.

№ 218. Решение. Дано: 1) За начало отсчета принимаем точку бросания. у0 = 25 м; v0 = 20 gt 2 y ( t ) = v t − = 20t − 5t 2 1 0 м/с. 2

2) За начало отсчета принимаем поверхность g 2

Земли. y2 (t ) = y0 + v0t − t 2 = 25 + 20t − 5t 2

c.

τ.

Найти: у1(t), y2(t), № 219. Дано: v = 10 м/с α =45°

3) Меч упадет на Землю у2(t) = 0, т.е. 25 + 20t − 5t2 = 0; t2 − 4t −5 = 0; t1 =2 с − 3 с = −1 c; t2 = 2 с + 3 с = 5 Т.к. t1<0, то τ = t2 = 5 с. Ответ: y1(t ) = 20t − 5t 2 , y2 (t ) = 25 + 20t − 5t 2 , τ = 5 с.

Решение. Угол в 45 градусов означает, что горизонтальная и вертикальная составляющая скорости равны. vx = v v y = gt => v = gt <=> t =

Найти: t - ?

v = 1c. g

Ответ: t = 1с. 59

№ 220. Дано: v1 = 2 м/с; v2 = 4 м/с; 0,1 с; l = 10 см = м. Найти: r. № 221. Дано: h = 20 м; S = 6 м.

Решение. r = l + v1t + v2t = 0,1 м + 0,1 с⋅2 м/с + 0,1 с⋅4 с

t = = = 0,7 м = 70 см. 0,1

Ответ: r = 70 см. Решение. 1) h =

gt 2 ; 2

t=

2h 2 ⋅ 20 м = 2 с; = g 10 с

10 м/с 2 S g = 3 м/с. =S = 6м⋅ t 2h 2 ⋅ 20 м Ответ: t = 2 с, v0 = 3 м/с.

2) v0 =

Найти: t, v0. № 222. Дальность удвоится, время не изменится. № 223. Дано: gt 2 2h1 2h1 ; Решение. 1) h1 = 1 ; t1 = ; S = v1t1 = v1 1 h2 =

2

2

h1

.

g

2) Аналогично S = v 2 3) Найти:

Ответ:

v2 v1

№ 224. Дано: Н = 1 м; h = 64 см = = 0,64 м.

v02 ; v0 = 2 gH ; 2g

gt 2 2h ; ; t= 2 g

3) S = v0t = 2 gH м. 60

h1 = 2 ≈ 1,41. h2

v2 ≈ 1,41. v1

Решение. 1) H = 2) h =

2 h2 g

2 h2 v g ⋅ = 1; 2 = 2h1 g v1

v2 v1

g

2h = 2 hH = 2 1 м ⋅ 0,64 м = 1,6 g

Найти S. № 225. Дано: h = 5 м; v0 = 6 м/с.

Ответ: S = 1,6 м. Решение. g 2

1) h = t 2 ; t =

2h ; g

2) vx = v0 ; v y = gt = 2 gh ; v = vx2 + v 2y = v02 + 2 gh = =

( 6 м/с )2 + 2 ⋅ 10 м/с2 ⋅ 5 м ≈ 11,7 м/с;

tgα =

vx = vy

v0

2 gh

=

6 м/с

= 0,6. α =

2 ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 5 м

= arctg0,6. Найти: v; α. № 226. Дано: v = 10 м/с. Найти

Ответ: v ≈ 11,7 м/с, α = arctg0,6. Решение. h=

2v 2v 2 2 ⋅ (10 м/с ) gt 2 = vt ; t = ; h = = 2 g g 10 м/с2

2

= 20 м.

Ответ: h = 20 м.

h. № 227. Дано: v = 10 м/с; у0 = 20 м.

Решение. 1) x(t) = v0t = 10t; 2) y (t ) = y0 −

gt 2 = 20 − 5t 2 ; 2

t=

3)

x ; v0

2

y (x) = y0 −

2 g⎛ x ⎞ 10 ⎛ x ⎞ x2 ; ⎜ ⎟ = 20 − ⎜ ⎟ = 20 − 2 ⎝ v0 ⎠ 2 ⎝ 10 ⎠ 20

4) 0 = y0 −

2 y0 gtп2 2 ⋅ 20 м ; tп = = = 2 с; 2 g 10 м/с 2

5) S = v0 t = 10 м/с ⋅ 2 с = 20 м. Найти: x(t); y(t), tп, S, y(x).

Ответ: x(t) = 10t, y (t ) = 20 − 5t 2 , tп = 2 с, S = 20 м, y (x) = 20 −

x2 . 20

61

№ 228. Дано: T = 12 с.

Решение. 1) h =

v02sin 2α 2g t 2

t 2

v02sin 2α = g 2

2) 0 = v0sinα − g ; v0sinα = g ;

t2 ; 4

t 2 g 2 gt 2 10 м/с 2 ⋅ (12 с )2 = = = 180 м. 4 2g 8 8 Ответ: h = 180 м.

3) h = Найти h. № 229. Дано: v = 20 м/с; α = 50°.

Решение. 1) vsinα −

2vsin 2α 2 ⋅ 20 м/с ⋅ sin50o gt = 0; t = = ≈ 2 g 10 м/с2

3 с;

(

20 м/с ⋅ sin50o v 2sin 2α 2) h = = 2g 2 ⋅ 10 м/с2

3) S = vcosαt = v =

Найти: t, h,

2

≈ 12 м.

2vsinα v 2sin2α = cosα = g g

( 20 м/с )2 ⋅ sin ( 2 ⋅ 50o ) 10 м/с 2

≈ 40 м.

Ответ: t ≈ 3 c, h ≈ 12 м, S ≈ 40 м.

S. № 230. Дано: h, v0, α Найти: H, t, S, v.

)

Решение. 1) Без сопротивления воздуха v = v0; H=

v02sinα ; 2g t 2

3) g = v0sinα; t =

sinα ; g

4) S = v0cosα⋅t № H, м t, c s, м 62

1 31,8 4,5 87,6

2 35,2 4,8 84,8

3 28,5 4,2 88,3

4 12,7 1,6 44,1

5 19,1 4 76,5

6 51 6 0

v, м/c

31,6

№ 231. Дано: α = 45°

31,6

31,6

31,6

S. № 232(н). Дано: α = 30° v = 140 м/с

31,6

Решение. h=

v02sin 2α ; S = v0cosα ⋅ t ; 2g

2v sinα 2v 2sinαcosα t= 0 ; S= 0 . g g

Найти:

27,4

;

Т.к. α = 45°, то cosα = siNα, S = 4h. Ответ: S = 4h. Решение. vx = v cos α = 121,1м / с v y = v sin α = 70 м / с 0 = v sin α − gt' <=> t' =

t v sin α = = 7c => t = 14c. 2 g

s = v cos α ⋅ t = 1697 м.

Найти vx, vy, t, s - ?

Ответ: vx =121,1м/с, vy =70м/с, t =14с, s =1697м.

63

v

№ 233. Дано: v1 = v2 = = v3 = v4 =

Решение. gt 2 ; 2

1) х1 = 0; у1 = vt − 2) x2 = vt ; y2 = −

gt 2 ; 3) x3 = 0; 2

4) x4 = −vt; y4 = −

y3 = −vt −

gt 2 ; 2

gt 2 ; 2

5) r12 (t ) = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = ⎛ gt 2 gt 2 ⎞ = (vt)2 ⎜ vt − + ⎟ = 2vt ; ⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎝ r23 (t ) =

( x3 − x2 )2 + ( y3 − y1 )2 = 2

⎛ gt 2 gt 2 ⎞ = (vt ) + ⎜ −vt − + ⎟ = 2vt . ⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎝ 2

Аналогично r12 = r23 = r34 = r41 = фигура ромб. 6) r23 (t ) = y3 − y1 = − vt −

2vt . Значит, эта

gt 2 gt 2 − vt + = 2vt ; 2 2

r24 (t ) = x4 − x2 = −vt − vt = 2vt .

r24 = r13 , значит эта фигура прямоугольник. Как

известно из геометрии, если четырехугольник одновременно является ромбом и прямоугольником, то этот четырехугольник — квадрат. Ответ: по квадрату. № 234.

у у0

S 64

х

Дано: Решение. у0 = 20 м; gt 2 1 y ( t ) = y0 + v0sinα t − = 20 + 10 ⋅ t − 5t 2 = α = 30°; 2 2 v0 = 10 3 м/с. = 20 + 5t − 5t 2 ; x(t ) = v0cosα t = 10 ⋅ t ≈ 8,7t ;

1)

2 x 5x 5x2 − ≈ 20 + 0,57 x − 0,066 x 2 ; 2) t = ; y = 20 + 8 ,7 8 ,7 8 ,7 2

3) х(2) = 8,7⋅2 = 17,4 м; у(2) = 20 + 5⋅2−5⋅22 = 10 м; с,

4) у(τ) = 0; −5τ2 + 5τ + 20 = 0; τ1 ≈ −1,6 с; τ2 ≈ 2,6

т.к. τ1<0, то τ = τ2 = 2,6 с 5) S = х(τ) = −8,7⋅2,6 ≈ 22,6 м. Найти: Ответ: x(t) ≈ 8,7t; y(t) = 20 + 5t−5t2, x(y) ≈ 20 + x(t); y(t), x(y), 0,57x− x(2), y(2), τ, – 0,066x2, S. x(2) = 17,4 м, y(2) =10 м, τ = 2,6 с, S ≈ 22,6 м. № 235. Будем считать, что траектория между двумя первыми вспышками, была достаточно прямолинейной. В этом приближении косинус начального угла равен: cosα = синус того же угла sinα =

3 см

( 3 см )

2

+ ( 4 см )

4 см

( 3 см )

2

+ ( 4 см )

2

=

2

=

3 ; 5

4 . 5

Подсчитаем число клеточек вдоль оси Х от первой вспышки до последней. Это число равно 24. Значит шарик пролетел S = 24⋅5 см = 120 см = 1,2 м. S=

2v02sinαcosα . Значит v0 = g

gS 10 м/с 2 ⋅ 1,2 м = ≈ 3,5 м/с. 3 4 2sinαcosα 2⋅ ⋅ 5 5

S 1,2 м = ≈ 0,57 с. Подсчитаем число вспышек Тогда t = v0cosα 3,5 м/с ⋅ 0 ,6

камеры. Оно равно 11. Отсюда ∆t = № 236. Дано: М, R.

0,57 с = 0,057 с. 10

Решение.

65

Найти: g,

1) g = G

v.

2) g =

M

;

R2

v2 ; v = gR . R

g, м/c2 3,7 8,8 3,8 24,9 10,4 10,2 14,1

№ 237. Дано: Мз = 6,0⋅1024 кг; R = 3,8⋅108 м.

Найти v. № 238. Дано: Мз = 6⋅1024 кг; Rз = 6400 км = = 6,4⋅106 м; R = 600 км = = 0,6⋅106 м.

v, км/c 3 7,3 3,6 42,2 25,1 15,6 17,6

Решение. Н⋅м2

6,67 ⋅1011 2 ⋅ 6 ⋅1024кг GMз M v2 кг G 2з = ; v = = ≈ R R R 3,8 ⋅108 м

≈ 1000 м/с. Ответ: v = 1000 м/с. Решение. G

=

6,67 ⋅ 1011

( 6,4 ⋅10

6

Mз

( Rз + R )

Н⋅м2 кг 2

2

=

v2 ; v= ( Rз + R )

⋅ 6 ⋅ 1024 кг 6

м + 0,6 ⋅ 10 м

)

GM з = (R з + R )

3

≈ 7,6⋅10 м/с.

2 π (R + Rз ) 2 π (R + Rз ) ;T= ≈ T v 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6,4 ⋅ 10 6 м + 0,6 ⋅ 10 6 м ≈ ≈ 5,6 ⋅ 103 = 93 7,6 ⋅ 10 3 м/с мин. Найти: v, Т. Ответ: v ≈ 7,6⋅103 м/с, Т ≈ 93 мин.

66

v=

(

)

№ 239. Дано: R = 9400 км

v2 M M =G 2; v= G ; R R R

Решение.

= = 9,4⋅106 м; Т = 7 ч 40 мин = = 2,76⋅104 с.

2πR R = 2πR ; v GM

T=

M = =

4π 2 R 3 T 2G

T 2 = 4π 2 R3

=

(

4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 9 , 4 ⋅ 106 м

( 2,76 ⋅10 с ) 4

1 ; GM

2

)

3

Н ⋅м 2 ⋅ 6 ,67 ⋅ 10 −11 2 кг

≈ 6 ,5 ⋅ 10 23 кг.

Найти: М. Ответ: М ≈ 6,5⋅1023 кг. № 240. Дано: Решение. R1 = 21600 v12 M GM ; ; v12 = =G км; 2 ( R1 + R ) ( R1 + R ) R1 + R ) ( R2 = 600 км; R = 6400 2) Аналогично v 22 = GM ; (R 2 + R ) км.

1)

2 3) v22 = R1 + R ; v2 = R1 + R =

R2 + R

v1

=

Найти: № 241. Дано: Мв 0,815Мз.

Найти: vв vз

v2 . v1

v1

R2 + R

6400 км + 600 км 1 = . 21600 км + 6400 км 2

Ответ:

v2 1 = . v1 2

Решение. =

vв ~ M в ; vв = vз

Mв = Mз

Ответ:

vз ~ M з ;

0 ,815 ≈ 0,903.

vв ≈ 0,903. vз

67

№ 242(н). Решение. Дано: v = 1км/с mv 2 mM v 2r = F = G 2 <=> M = = 6 ⋅ 10 24 кг . 5 r = 3,9⋅10 2 r G м Найти: M Ответ: M =6⋅1024 кг. ? №243 Дано: Решение. Согласно формуле, выведенной в заТ1 = 88 4π 2 R13 4π 2 R23 даче 239: T12 = . ; T22 = мин= GM GM =5289 с; 2 2 Тогда R1 = 3 GMT 1 ; R2 = 3 GMT2 . Т2 = 91 2 2 4π 4π мин= =5460 с. GM 2 / 3 Отсюда ∆R = R2 − R1 = 3 2 T2 − T12 / 3 ≈ 4π

≈

(

3

6 ,67 ⋅ 10−11

× ( 5460 с )

Н⋅м 2 кг 2

⋅ 6,0 ⋅ 1022 кг

4 ⋅ 3,14 2/ 3

− ( 5280 с )

(

2/ 3

)

×

)>0.

Значит, расстояние увеличилось, а значит, скорость уменьшилась, т.е. ∆ v = v 2 − v1 < 0 . Ответ: ∆R > 0, ∆v < 0. № 244. Из-за трения покоя. № 245. Сила трения покоя зависит от ускорения автомобиля. а) равна нулю; б) против ускорения; в) равна нулю; г) к центру окружности; д) против ускорения. № 246. Сила, действующая на яблоко, больше силы трения покоя яблока, на коробку конфет меньше. № 247. Дано: Решение. mamax = µmg; amax = µg = 0,3⋅10 м/с2 = 3 м/с2. µ = 0,3. Найти: Ответ: amax = 3 м/с2. аmax.

68

т;

№ 248. Дано: m0 = 180

Решение. Fc = µ2mg; Fтр = µ1m0g; Fтр = Fc; µ1m0g = µ2mg;

µ 0,2 m = 1 m0 = ⋅ 180 т = 600 0 т . µ1 = 0,2; µ2 0 , 006 µ2 = 0,006. Найти m. Ответ: m = 6000 т. № 249. Дано: Решение. 0,6 Н m = 200 г = 0,2 F = µmg; µ = F = = 0,3 . кг; mg 0,2 кг ⋅ 10 м/с 2 F = 0,6 Н. Наити µ. Ответ: µ = 0,3. № 250. Дано: Решение. F = 0,5 кН = F = µmg; m = F = 500 Н = 500 кг. =500 Н; µ = µ g 0,1 ⋅ 10 м/с 2 0,1. Найти m. Ответ: т = 500 кг. № 251. Дано: Решение. m = 23 т = 2,3⋅104 2,3 ⋅ 10 3 Н F F = µ mg ; = µ = = кг; mg 2,3 ⋅ 10 3 кг ⋅ 10 м/с 2 F = 2,3 кН 0,01. =2,3⋅103 Н. Найти: µ Ответ: µ = 0,01. № 252. Дано: Решение. 1) ( F1 + mg ) = µF ; m = 50 г = 0,05 F + mg 1,5 Н + 0,05 кг ⋅ 10 м/с 2 кг; = 10 Н. F= 1 = µ 0,2 F1 = 1,5 Н; µ = 0,2. 2) ( F2 − mg ) = µF = F1 + mg ;

Найти: F2, F.

F2 = F1 + 2mg = 1,5 Н + 2 ⋅ 0,05 кг ⋅ 10 м/с 2 2,5 Н. Ответ: F2 = 2,5 Н, F = 10 Н.

=

69

№ 253. Решение. Дано: m1 = m1 = m= F = 3µmg = 3⋅0,3⋅1 кг⋅10 м/с2 = 9 Н. = 1 кг; µ = 0,3. Найти m. Ответ: F = 9 Н. № 254. Дано: Решение. m = 2 кг; µmg 0,3 ⋅ 2 кг ⋅10 м/с2 =0,06 м. mg = k ∆ l ; µ ∆ l = = k = 100 k 100 Н/м Н/м; µ = 0,3. Найти: ∆l. Ответ: ∆l = 0,06 м. № 255. Раньше упадет коробок, который падает плашмя, т.к. существует сила вязкого трения, которая пропорциональна площади. № 256. Раньше упадет монета, т.к. коэффициент вязкого трения пропорционален отношению площади к массе. Они упадут одновременно, т.к. кружок не «трется» о воздух. № 257. Т.к. на луне нет атмосферы. № 258. Т.к. сопротивление пропорционально площади. № 259. Т.к. сопротивление пропорционально площади. № 260. Решение. Дано: 2 v1 = 72 F ⎛v +v ⎞ 2 2 F1 = k ( v1 − v2 ) ; F2 = k ( v1 + v2 ) ; 2 = ⎜ 1 2 ⎟ = км/ч = F1 ⎝ v1 − v2 ⎠ = 20 м/с; 2 v2 = 15 = ⎛⎜ 20 м/с +15 м/с ⎞⎟ = 49. ⎝ 20 м/с −15 м/с ⎠ м/с. F Найти: Ответ: 2 = 49. F2 F1 . F1

№ 261. Дано: m = 50 кг; S = 20 м; t = 10 с. Найти: F, µ.

70

Решение. 1) ma = µmg; a = µg. 2)

S =

at 2 µ g 2 2S 2 ⋅ 20 м = t ; µ= 2 = 2 2 2 gt 10 м/с 2 ⋅ (10 с )

3) F = µmg = 0,04 ⋅ 50 кг ⋅10 м/с 2 = 20 Н. Ответ: F = 20 Н, µ = 0,04.

= 0,04.

№ 262. Дано: v0 = 12 м/с; µ = 0,4.

Решение. 1) a = µg; 2) 0 = v0−at = v0−µgt; t =

v0 1 м/с = 3 с. = µg 0,4 ⋅ 10 м/с 2

Найти t. Ответ: t = 3 с. № 263. Дано: Решение. 1) a = µg; vmax = 30 v2 v2 2) l = 0 = 0 ; v0 = 2lµg = км/ч ≈ 2a 2µg ≈ 8,3 м/с; = 2 ⋅12 м ⋅ 0,6 ⋅10 м/с2 = l = 12 м; µ = 0,6. = 12 м/с. v0>vmax, значит не нарушил. Найти: v0. Ответ: v0 = 12 м/с. № 264. Если тянуть лист достаточно плавно, то сила инерции будет равна силе трения покоя и меньше максимальной силы трения покоя, а, значит, стакан с водой будет двигаться вместе с листом. Если же рывком потянуть за лист, то сила инерции превзойдет силу трения покоя, и лист будет «выдернут» из-под стакана с водой. Если коэффициент трения µ = 0,3, то минимальное ускорение, с которым нужно тянуть лист, чтобы его «выдернуть» будет равно: amin = µg = 0,3⋅10 м/с2 = 3 м/с2. Если стакан пуст, то результат будет тем же, т.к. сила трения пропорциональна массе стакана. № 265. Решение. Дано: а1 = 1,6 м/с2; 2 а2 = 2 м/с2. 1) a1 = µ min g ; µ min = a1 = 1,6 м/с = g

10 м/с2

= 0,16; 2) a2 = µ max g ; µ max =

Найти: µmax.

a2 2 м/с2 = = g 10 м/с2

= 0,2. 3) Значит, истинное значение µ заключено в пределах 0,16≤µ≤0,2. Ответ: µmin = 0,16, µmax = 0,2. µmin;

71

№ 266. Водитель при подъезде к крутому повороту должен сбавить скорость, т.к. сила инерции, возникающая в этом случае, пропорциональна квадрату скорости. При большей скорости сила инерции может превзойти максимальную силу трения покоя, действующую в перпендикулярном движении автомобиля направлении, и машину занесет, что может привести к аварии. При гололеде, листопаде или в сырую погоду, коэффициент трения о дорогу уменьшается, а значит, уменьшается сила трения покоя; поэтому водитель должен быть особенно внимательным. № 267. 2 Дано: Решение. 1) µ1mg=m v1 ; v1= µ1gR = 0,4⋅10м/с2 ⋅16м = R = 16 R м, 8м/с. = µ1 v2 1 0,4, 2) µ2mg = m 2 ; v2 = µ 2 gR = ⋅ 0,4 ⋅10 м/с2 ⋅16 м = 4 R 4 = µ2 м/с. 1 µ1. v 4 3) 2 = µ 2 = 1 = 1 . v1 µ1 4 2

Найти v 1 Ответ: v1 = 8 м/с, v2 = 4 м/с, 2 = . v2 2 v1 v1, v2, . v1 № 268. Решение. Дано: v = 36 км/ч = v2 (10 м/с )2 = 40 м. v2 µ mg = m ;R= = 10 м/с, µ = 0,25. µg 0,25 ⋅ 10 м/с 2 R Найти R. Ответ: R = 40 м. № 269. Решение. Дано: ν = 78 об/мин v2 µ g = ; v = 2πrmaxν; µg = 4π2ν2rmax; µ = = rmax = 1,3 об/с, 1 rmax = 7 см = 4 ⋅ 3,142 ⋅ (1,3 ) 2 ⋅ 0 ,07 м 4π 2 ν 2 rmax c ≈ 0,47. = ≈ = 0,07 м. 2 g

Найти µ.

72

Ответ: µ ≈ 0,47.

10 м/с

№ 270. Дано: m = 400 г = 0,4 кг, F1 = 1H, F2 = 2H.

Решение. 1) 0 = F1 – µmg; µ =

F1 mg

2) ma = F2 – µmg 1 1 a= (F2 – F1) = (2 Н – 1 Н) = 2,5 m 0,4 кг м/с2. Ответ: a = 2,5 м/с2.

Найти а. № 271. Дано:m = 15 т = Решение. ma = F – µmg; F = m(a + µg) = =1,5⋅104 кг, = 1,5⋅104 кг⋅(0,7 м/с2 + 0,03⋅10 м/с2) = 1,5⋅104 а = 0,7 м/с2, µ = 0,03. H= = 15 кН. Найти F. Ответ: F = 15 кН. № 272. Решение. Дано: F = 650 кН = F 6,5 ⋅ 10 5 Н 5 ma = F – µ mg ; a = – µ g = =6,5⋅10 Н, m 3,25 ⋅ 10 6 кг m = 3250 т = – = 3,25⋅106 кг, − 0,005⋅10 м/с2 = 0,15 м/с2. µ = 0,005. Найти а. Ответ: a = 0,15 м/с2. № 273. Дано: v Решение. 1) а = m = 1 т = 103 t кг, ⎞ ⎛v 2) ma = F – µmg; F = m(a + µg) = m ⎜ + µg ⎟ = v = 30 м/с, ⎝t ⎠ t = 20 c, ⎞ ⎛ 30 м/с µ = 0,05. = 103 кг⋅ ⎜ + 0,05 ⋅ 10 м/с 2 ⎟ = 2⋅103 H = 2 ⎠ ⎝ 20 с кН Найти F. Ответ: F = 2 кН. № 274. Дано: Решение. ma = F – µmg а = 0,1 м/с2, 3 ⋅105 Н F m = =2⋅106 = µ = 0,005, 2 2 µ a + g 0 , 1 м/с + 0 , 005 ⋅ 10 м/с F = 300 кН = 3⋅105 кг = = 2000 т. Н. 73

Найти m. № 275. Дано: k = 0,11, µ = 0,06.

Ответ: m = 2000 т.

Решение. 1) F = kmg 2) ma = F – µmg = kmg – µmg a = kg – µg = (k – µ)g = (0,11 – 0,06)⋅10 м/с2 = 0,5 2 м/с . Найти а. Ответ: a = 0,5 м/с2. № 276. 1) На участке ВС |∆v| = 10 м/с – 0 м/с = 10 м/с ∆v 10 м/с = = 0,125 м/с; ∆t = 120 с – 40 с = 80 c; a = ∆t 80 с a µ = = 0,0125 g 2) На участке АB Fт = µmg = 0,0125⋅4000 кг⋅10 м/с2 = 500 H 3) На участке OB |∆v| = 10 м/с – 0 м/с = 10 м/с ∆v 10 м/с = 0,5 м/с2 ∆t = 20 c – 0 c = 20 c; a = = 20 с ∆t Fт = m(a + µg) = 4000 кг⋅(0,5 м/с2 + 0,0125⋅10 м/с2) = 2500 H № 277. Решение. ma = T – mg Дано: Т = 15 1,5 ⋅ 10 4 Н T a= –g= – 10 м/с2 = 20 м/с2. кН = m 500 кг =1,5⋅104 Н, m = 500 кг. Найти а. Ответ: a = 20 м/с2. № 278. Дано: Решение. m = 1 т = 103 ma = T – mg; T = m(a + g) = 103 кг(25 м/с2 + кг, + 10 м/с2) = 3,5⋅104 H. 2 а = 25 м/с . Найти Т. Ответ: T = 3,5⋅104 Н.

74

№ 279. Дано: h = 10

Решение. 1) ma = mg – Fc v2 v2 v2 2) h = ;a= ; 3) m = mg – Fc; 2a 2h 2h 2 ⎛ ⎛ v 2 ⎞⎟ ⎜10 м/с 2 − (13 м/с ) Fc = m ⎜⎜ g − = 65 кг ⎜ 2 ⋅ 10 м 2h ⎟⎠ ⎝ ⎝

м, m = 65

кг, v = 13 м/с.

⎞ ⎟ ≈ 100 ⎟ ⎠

H. Ответ: Fc ≈ 100 Н.

Найти Fc. № 280. Дано: h = 25 м, t = 2,5 c.

Решение. 1) Fт = mg; 2) ma = mg – Fc; Fc = m(g – a) 2h ⎞ at 2 2h ⎛ 3) h = ; a = 2 ; Fc = m ⎜ g − 2 ⎟ 2 t t ⎠ ⎝ Fc

4) 1−

=

Fт 2 ⋅ 25м

10м/с2 ⋅ (2,5 м/с)2

2h m⎛⎜ g − 2 ⎞⎟ 2h t ⎠ ⎝ =1− 2 = mg gt

= 0,2 .

Найти F Ответ: c = 0,2. Fc Fт . Fт № 281. Дано: Решение. m m, k, a, ρ1, ma = – mg + ρ2Vg + kx; V = ρ2. ρ1 x=

Найти x.

⎞ m⎛ 1⎛ ρ2 ρ2 ⎞ ⎜ ma + mg − mg ⎟ = ⎜ a + g − g ⎟ . ρ1 ρ1 ⎠ k⎝ k ⎠ ⎝

Ответ: x =

ρ ⎞ m⎛ ⎜⎜ a + g − 2 g ⎟⎟. k⎝ ρ1 ⎠

№ 282.

x y m

α 0

75

Дано: Решение. 1) Рассмотрим движение груза вверх. Запишем l = 13 м, для этого случая второй закон Ньютона: h = 5 м, m = 26 кг, 0 = N + F1 + mg . µ = 0,5. Спроектируем это уравнение на оси координат: y: 0 = N – mgсоsα; x: 0 = F1 – Fтр – mgsinα Учтем также соотношения: Fтр = µN; h ; cosα = l Тогда получим:

sinα =

l 2 − h2 . l

⎧ N = mgcosα ⎨ ⎩ F1 = µN + mgsinα

F1 = mg(µcosα + sinα) = 26 кг ⋅10 м/с 2 13 м

=

mg ⎛ 2 2 ⎞ ⎜µ l − h + h⎟ = ⎠ l ⎝

⎛ 0,5 ⋅ (13 м )2 − (5 м )2 + 5 м ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

=

220 H. 2) Аналогично: 0 = N + F 2 + mg . y: 0 = N – mgcosα; x: 0 = Fтр – F2 – mgsinα l 2 − h2 h ; cosα = l l mg ⎛ 2 2 ⎞ F2 = µmgcosα – mgsinα = ⎜µ l − h − h⎟ = ⎠ l ⎝ Fтр = µN; sinα =

=

26 кг ⋅ 10 м/с 2 13 м

⎛ 0,5 ⋅ ⎜ ⎝

(13 м )2 − (5 м )2

− 5 м ⎞⎟ = 20 ⎠

H. Найти F1,

F2. № 283.

Ответ: F1 = 220 Н, F1 = 20 Н. N

y

76

F

x

F тр mg

0

α

Дано: α = 20°, µ = 0,05, m = 600 кг.

Найти F.

Решение. 0 = F + N + F тр + mg

x: 0 = F – mgsinα – Fтр; y: 0 = N – mgcosα Fтр = µN; F = mgsinα + µmgcosα = mg(sinα + µcosα) = = 600 кг⋅10м/с2⋅(sin20° + 0,05⋅cos20°) ≈ 2,4⋅103H = = 2,4 кН. Ответ: F ≈ 2,4 кН.

№ 284.

x

y F

h

l

α

m

0 Дано: l = 1 м, h = 20 см = 0,2

Решение.

m = 200 г = 0,2

tgα =

м, кг F=1H

l 2 − h2 h ; sinα = l l

1) cosα = h 2

l − h2

2) Воспользуемся результатом задачи № 283: F = mg(µcosα + sinα). Тогда имеем: ⎛ F ⎞ 1 F µ=⎜ − sinα ⎟ = − tgα = ⎝ mg ⎠ cosα mgcosα

= =

Fl mg l 2 − h 2

−

h l 2 − h2

1

(1 м )2 − ( 0,2 м )2

=

⎛ Fl ⎞ − h⎟ = ⎜ ⎠ l 2 − h 2 ⎝ mg 1

⎛ ⎞ 1 Н ⋅1 м − 0 ,2 м ⎟ ≈ 0 ,3 ⎜ 2 ⎝ 0,2 кг ⋅ 10 м/с ⎠

77

Найти µ. № 285.

Ответ: µ ≈ 0,3. x y

m

α Дано: l = 50 см = = 0,5 м, h = 10 см = = 0,1 м, m = 2 кг. =

Решение. 1) sinα =

h ; cosα = l

l 2 − h2 ; l

2) 0 = F 1 + mg + N + F тр x: 0 = – F1 – mgsinα + Fтр; y: 0 = N – mgcosα Fтр = µN; F1 = Fтр – mgsinα = mg(µcosα – sinα) = mg µ l 2 − h2 − h .

(

l

)

3) Аналогично: F2 = Fтр – mgcosα = mg(µcosα – – sinα) = mg ⎛⎜ µ l 2 + h 2 + h ⎞⎟ . l ⎝

⎠

4) Отсюда: ∆F mg F1= µ l 2 + h2 + h − µ l 2 + h2 + h = l

= Найти ∆F. № 286.

(

)

78

–

Ответ: ∆F = 8 Н. F

N

y F m

F2.

F2

2mgh 2 ⋅ 2 кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 0,1 м = 8 H. = 0,5 м l

N

Дано: α, F1,

=

F m

Решение. 1) 0 = F 1 + N + mg + F тр x: 0 = F1 + Fтр – mgsinα; y: 0 = N – mgcosα; Fтр =

µ.

Найти

µN; тогда получаем F1 + mg(µcosα – sinα) = 0; 2) 0 = F 2 + N + mg + F тр x: 0 = F2 – Fтр – mgsinα; y: 0 = N – mgcosα; Fтр = µN; F2 – mg(µcosα + sinα) = 0; 3) F2 – F1 – 2mgµ cosα = 0; F2 – F1 = 2mgµ cosα; 4) F2 + F1 – 2mg sinα = 0; F2 + F1 = 2mg sinα 5) µ=

№ 287. Дано: α = 30°.

F2 + F1 tgα = ; F2 − F1 µ

µ=

F2 − F1 tgα . F2 + F1

Ответ:

F2 − F1 tgα . F2 + F1

Решение. 1) 0 = F + N + F тр + mg x: 0 = F – Fтр – mg sinα; y: 0 = N – mg cosα; Fтр = µN; F = mg (µcosα + sinα); 2) Пусть F — функция от µ. Тогда F(µ0) = mg, т.е. µ0 cosα + sinα = 1; µ0 =

1 − sinα 1 − sin30° ≈ 0,58. = cosα cos30°

Ответ: µ0 ≈ 0,58.

Найти µ0. № 288.

N

F

y

x

F тр

α

mg

0

79

Дано: l = 5 м; h = 3 м; m = 50 кг; a = 1 м/с2; µ = 0,2.

Решение. 1) 0 = N + F 1 + F тр + mg x: F1+Fтр–mg sinα = 0; y: N–mg cosα=0; Fтр=µN; F1 = mg (sinα – µcosα) = mg h − µ l 2 − h 2 = l

2

50 кг ⋅ 10 м/с ⎛ ⎜ 3 м − 0,2 5м ⎝

=

(

)

( 5 м )2 − ( 3 м )2 ⎞⎟ ⎠

=

220 H; 2) 0 = F 2 + N + F тр + mg x: F2 – Fтр – mg sinα = 0; y: N–mgcosα=0; Fтр=µN; F2 = mg (µcosα + sinα) =

(

mg h + µ l 2 + h2 l

50 кг ⋅ 10 м/с 2 ⎛ ⎜ 3 м + 0,2 5м ⎝

=

)=

( 5 м )2 − ( 3 м )2 ⎞⎟ ⎠

=

380 H; 3) ma = F 3 + N + F тр + mg x: ma=F3–Fтр–mg sinα; y: 0=N –mg cosα; Fтр= µN; F3 = ma + mg (µcosα + sinα) = = ma + +

Найти F1, F2, F3. 1)

(

mg h + µ l 2 + h2 l

50 кг ⋅ 10 м/с 2 ⎛ ⎜ 3 м + 0,2 5м ⎝

N

F2

F тр

α

80

2

( 5 м )2 − ( 3 м )2 ⎞⎟ = 430 Н. ⎠

Ответ: F1 = 220 Н, F2 = 380 Н, F3 = 430 Н.

y

0

) = 50 кг⋅1 м/с +

mg

x

2)

N

F2

y

x

F тр mg

α 0 3)

а

N

F3

y

x

F тр mg

α 0 № 289.

а

N

F

y

x

F тр

α

mg

0

81

Дано: m = 4 т = 4⋅103 кг;

а = 0,2 м/с2; sinα = 0,02; µ = 0,04.

Найти F. № 290.

Решение. 1) Пользуясь указанием к решению, будем считать, что cosα = 1. 2) ma = F + N + F тр + mg x: ma = F – Fтр – mg sinα; y: 0 = N – mg cosα; Fтр=µN; F = ma +mg (µcosα + sinα) ≈ ma + mg (µ+sinα)= =4000 кг⋅0,2 м/с2 + 4000 кг⋅10 2 м/с ⋅(0,04+0,02) = = 3200H = 3,2кН. Ответ: F = 3,2 кН. N

F тр

y F а

α 0

82

mg

x

Дано: m = 3000 т= =

Решение. ma = F + mg + F тр + N

x: – ma = – F – mg sinα + Fтр; y: 0 = N – mg cosα; Fтр=µN; a =g sinα – µ g cosα+ F ≈ 10 м/с2⋅0,003 –

3⋅106

кг; sinα 0,003; µ 0,008.

=

m

2

– 0,008⋅10 м/с + +

=

F 3 ⋅ 10 6 кг

F 6

3 ⋅10 кг

= – 0,05 м/с2 +

.

1) При F = 300 кН = 3⋅105 Н; 6 a = – 0,05 м/с2 + 3 ⋅ 106 Н = 0,05 м/с2.

3 ⋅ 10 кг

2) При F = 150 кН = 1,5⋅105 Н; 5 a = – 0,05 м/с2 + 1,5 ⋅ 106 Н = 0 м/с2.

3 ⋅ 10 кг

3) При F = 90 кН = 9⋅104 Н; 4 a = – 0,05 м/с2 + 9 ⋅ 1 0 Н = – 0,02 м/с2. 3 ⋅106 кг

Это значит, что тело покоится. Ответ: 1) 0,05 м/с2, 2) 0 м/с2, 3) −0,02м/с2. y

Найти а. № 291.

N

F тр

F а

x

α

mg

0

83

Дано: m = 300

Решение. 1) ma1 = F–Fтр=F–µ mg; a1=

кг;

F F –µg; V0=a1τ = τ– m m

sinα = µgτ. 0,02; 2) ma = F + N + F тр + mg τ = 5 c; x: ma = F + mg sinα – Fтр; y: 0 = N – mg cosα; Fтр = F = 180 µ N ; H; F µ = 0,04. ma = F + mg (sinα – µcosα); a = + g (sinα – m µcosα); V=V0+aτ =

F F 2F τ–µgτ+ τ + g (sinα – µcosα)τ ≈ τ m m m

– – 2µgτ + g sinατ = Найти

2 ⋅ 180 Н ⋅5 c − 2⋅0,04⋅10 м/с2⋅5 с+ 300 кг

+ 10 м/с2⋅0,02⋅5 с = 3,0 м/с. Ответ: V = 3,0 м/с

V. № 292(н).

x

y F

α

m

0 Дано: m = 2кг α = 30° µ =0,3

Решение.

Найти F - ?

=> µ( F sin α + mgco s α ) + mgco s α = F cos α µco s α + sin α => F = − mg = 21Н . µ sin α − co s α

Fтр + mg sin α = F cos α N = F sin α + mgco s α Fтр = µN = µ( F sin α + mgco s α )

Ответ: F = 21Н. № 293.

y F

84

x

Выведем формулу для коэффициента трения µ. 0 = N + mg + F тр x: 0 = mg sinα – Fтр; y: 0 = N – mg cosα; Fтр = µN; 0 = mg sinα – µ mg cosα; µ = Учитывая tgα =

sin α = tgα. cos α

h h , получим µ = . b b

Эксперимент выполните самостоятельно. № 294. y Fт

x

Дано: α = 30°; µ = 0,2.

α

m

Решение. ma = mg + N + F тр

x: ma = mg sinα – Fтр; y: 0 = N – mg cosα; Fтр = µN; ma = mg sinα – µ mg cosα;a = g (sinα – µcosα); ⎛1

a = 10 м/с2 ⋅ ⎜⎜ − 0,2 ⋅ ⎝2

Найти а.

3⎞ 2 ⎟ ≈ 3,3 м/с . 2 ⎟⎠

Ответ: a ≈ 3,3 м/с2.

№ 295.

y N

l x

α

h

mg

85

Дано: h; l = nh.

Решение. 1) ma = N + mg ; x: ma=mg sinα; y: 0=N – mg cosα; a = g sinα; sinα =

2) l =

V22 V2 g ; V2 = 2la = 2nh = 2hg ; h = 1 ; n 2a 2g

V1 = 2 gh ; l=

3)

h 1 g = ;a= ; l n n

V2 =1; V1

at22 ; 2

t2 =

2l 2h =n ; a g

h=

gt12 ; 2

t2 =

2h ; g

t2 =n. t1

Найти

V2 ; V1

Ответ:

V2 t = 1; 2 = n V1 t1

t2 . t1

№ 296. Дано: m = 24 т = = 2,4⋅104 кг; R = 100 м; V1 = 18 км/ч = = 5 м/с; V2 = 2V1. F Найти F1; 2 . F1 № 297.

Решение. F1 = m

V12 ( 5 м/с ) = 2,4⋅104 кг⋅ R 100 м

F2 = m

V22 V2 F = 4m 1 = 4F1; 2 = 4. F1 R R

Ответ: F1 = 6⋅103 H,

R

86

m

F2 = 4. F1

2

= 6⋅103 H;

Дано: m = 2 т = 2⋅103

Решение.

кг;

ma ц = N + mg ; aц =

R = 40 м; V = 36 км/ч=10 м/с.

= 2⋅103 кг⋅ ⎜10 м/с2 −

⎛ ⎜ ⎝

⎛ V2 V2 ⎞ ; N = m ⎜⎜ g − ⎟⎟ = R ⎠ R ⎝

(10 м/с)2 ⎞⎟ 40 м ⎟ ⎠

=

= 1,5⋅104 H=15 кН. Ответ: N = 15 кН.

Найти N. № 298.

R

m

Дано: m = 50

Решение.

кг; R = 4 м; V = 6м/с. Найти N. № 299.

⎛V 2 ⎞ mV 2 = N – mg; N = m ⎜⎜ + g ⎟⎟ = R ⎝ R ⎠

⎛ ( 6 м/с )2

=50 кг⋅ ⎜ ⎜ ⎝

4м

⎞ + 10 м/с 2 ⎟ = 950 H. ⎟ ⎠

Ответ: N = 950 H.

m

R

R m

Дано: R = 1м; m = 0,4 кг.

Решение. 1)

mV 2 = T1 – mg; V = 2πRν; T1 = m(g + 4π2Rν2); R

87

Т2.

Найти Т1,

2)

⎛V 2 ⎞ mV 2 = T2 + mg; T2 = m ⎜⎜ − g ⎟⎟ = m(4π2Rν2 – R R ⎝ ⎠

g);

3) При ν = 0,4 с – 1 Т1 ≈ 0,4 кг⋅(10 м/с2 + 4⋅3,142⋅1 м⋅(0,4 с – 1)2) ≈ ≈6,56 Н;Т2 ≈0,4 кг⋅(4⋅3,142⋅1 м⋅(0,4 с – 1)2 – 10 м/с2) ≈ ≈1,44 Н; При ν = 0,5 с – 1 Т1 ≈ 0,4 кг⋅(10 м/с2 + 4⋅3,142⋅1 м⋅(0,5 с – 1)2) ≈ 8 Н; Т2 ≈ 0,4 кг⋅(4⋅3,142⋅1 м⋅(0,5 с – 1)2 – 10 м/с2) ≈ 0 Н; При ν = 1 с – 1 Т1 ≈ 0,4 кг⋅(10 м/с2 + 4⋅3,142⋅1 м⋅(1 с – 1)2) ≈ 20 Н; Т2 ≈ 0,4 кг⋅(4⋅3,142⋅1 м⋅(1 с – 1)2 – 10 м/с2) ≈ 12 Н. № 300.

y

α

m

α Дано: R = 40 м;

α = 40°.

Решение. ma = N + mg x: m

Найти

V2 = Ncos(90° – α); y: 0 = Nsin(90° – α) – mg; R

mV 2 V2 = Nsinα; mg = Ncosα; = tgα; R gR

V= V.

x

gRtgα = 10 м/с 2 ⋅ 40 м ⋅ tg40° ≈ 20 м/с.

Ответ: V ≈ 20 м/с.

№ 301.

y N

α R

Fт

0

x m

88

Дано: R = 100 м;

µ = 0,4.

Решение. ma = mg + N + F тр ; x:

mV 2 =Fтр; y: 0=N – mg; Fтр = R

µN; V=

µgR =

tgα = Найти V; α. № 302.

Fтр N

0,4 ⋅ 10 м/с2 ⋅ 100 м = 20 м/с;

= µ = 0,4; α = arctg 0,4 ≈ 20°.

Ответ: V = 20 м/с, α ≈ 20°. y

α x

T

0 Дано: l = 60 см

Решение.

=0,6 м; α = 30°.

x:

=

Найти V. № 303.

m

ma = T + mg ; V2 mV 2 = Tsinα; y: 0 = Tcosα – mg; = tgα; glsinα lsinα

V = g ⋅ l ⋅ sinα ⋅ tgα = 10 м/с2 ⋅ 0,6 мsin30°tg30° ≈ ≈1,3 м/с. Ответ: V ≈ 1,3 м/с.

O O ′

A

89

Дано: d = 5 см = 0,05 м; l = 8 см = 0,08 м; α = 40°.

Решение. ma = T + mg ;

x:

mV 2 = Tsinα; y: mg = Tcosα; R = l⋅sinα; R+d

V2 = tgα; V = 2π(lsinα + d)ν g ( l ⋅ sinα + d )

4π2(l⋅sinα + d)ν2 = g tgα; ν = ≈

Найти ν.

1 g ⋅ tgα ≈ 2π l ⋅ sinα + d

1 10 м/с 2 ⋅ tg40° ≈ 1,4 Гц. 2 ⋅ 3,14 0,08 м ⋅ sin40° + 0,05 м

Ответ: ν ≈ 1,4 Гц.

№ 304. Решение. Дано: α = 60°; ma = F + mg ; m = 100 г = 0,1 x: F = 0; кг; 2 2 0,1 кг ⋅ ( 2 м/с ) + y: F = mV + mg cosα= V = 2 м/с; l=40 0, 4 м l см= + 0,1 кг⋅10 м/с2⋅cos60° = 1,5 H. = 0,4 м. Найти F. Ответ: F = 1,5 Н. № 305. Решение. Дано: m1 = 0,3 ⎧m1a = m1g − T ; (m1 + m2)a = (m1 – m2)g; ⎨ кг; ⎩m2 a = T − m2 g; m2 = 0,2 m −m a = 1 2 g ; a = 0,3 кг − 0,2 кг ⋅10 м/с2 = 2 м/с2; кг. m1 + m2

0 ,3 кг + 0 , 2 кг

⎛

⎞

T = m2a + m2g = m2⋅ ⎜ m1 − m2 + m1 + m2 g ⎟ = m1 + m2

= Найти а, Т.

90

⎝ 2m1m2 2 ⋅ 0 ,2 кг ⋅ 0 ,3 кг g= ⋅ 10 м/с 2 m1 + m2 0 ,2 кг + 0 ,3 кг

Ответ: a = 2 м/с2, T = 2,4 Н.

⎠

= 2,4 H.

№ 306. Дано: m, 2m.

Решение. 1) 0 = Т1 – mg; T1 = mg; 2) 0 = T2 – 2mg; T2 = 2mg; ⎧ ma = T3 − mg ; 0 = 3T3 – 4mg; T3 = 4 mg. 2 ma = 2 mg − T ; 3 3 ⎩

3) ⎨ Т3.

Найти Т1, Т2,

Ответ: T1 = mg, T2 = 2mg, T3 = 4 mg. 3

№ 307. Решение. Дано: 1) m1a = T – m1g; m2a = m2g – T; (m1 + m2)a=(m2– t = 2 c; S = 1,2 м; m1)g; m1 = 0,3 m − m2 a= 1 g; кг; m1 + m2 m2 = 0,34 a 2S m − m 2S 2) S = t 2 ; a = 2 ; 1 2 g = 2 ; кг. 2 m1 + m2 t t 2S m1 + m2 2 ⋅ 1,2 м 0,3 кг + 0,34 кг 2 = ⋅ = 9,6 м/с . g= 2 ⋅ t m2 − m1 ( 2 с )2 0,34 кг − 0,3 кг

т=

Найти g. Ответ: g = 9,6 м/с2. № 308. Решение. Дано: m1=27,2 =2,27⋅104 кг; m2 = 15,3 т = = 1,53⋅104 кг; а = 0,6 м/с2. Найти F, T.

⎧ m2 a = T − m2 g; ⎨ ⎩ m1a = F − T − m1 g;

H.

(m1 + m2)a = F – (m1 + m2)g; F=(m1+m2)(a+g)=(2,72⋅104+1,53⋅104)(0,6⋅10)≈ ≈ 4,5⋅105H; T = (a + g)m2 = (0,6 + 10)⋅1,53⋅104 ≈ 1,6⋅105

91

№ 309. Дано: m1 = 100 т = 105 кг; m2 = 50 т = 5⋅104 кг; а = 0,1 м/с2; µ = 0,006.

Решение. ⎧ m1a = F − T1 − µm1g; ⎪ 1) ⎨ m2a = T1 − µm2 g − T2 ; ⎪ m a = T − µm g; 2 2 ⎩ 2

2) (m1 + 2m2)a = F – µg(m1 + 2m2); F = (m1 + 2m2)(a + µg)=(105 кг+2⋅0,5⋅105 кг)⋅ ⋅ (0,1 м/с2 + 0,006⋅10 м/с2) = 3,2⋅104 H; 3) T2 = m2(a + µg) = 5⋅104 кг⋅(0,1 м/с2 + + 0,006⋅10 м/с2) = 8⋅103 H; 4) T1 = m2(a + µg) + T2 = 2m2(a + µg) = = 2⋅5⋅104кг⋅(0,1 м/с2 + 0,006⋅10м/с2) = =1,6⋅104H. Ответ: F = 3,2⋅104 H, T1 = 1,6⋅104 H, T2 = 8⋅103 H.

Найти F, T1, T2.

№ 310. Дано: Решение. m1 = 400 г = 0,4 ⎧m a = T − µm1g ; 1) ⎨ 1 кг; ⎩m2 a = m2 g − T ; m2 = 100 г = 0,1 + m2)a=(m2 – µm)g; (m 1 кг; ⎛ ⎞ 1 a l = 80 см = 0,8 м; µ= ⎜ m2 − ( m1 + m2 ) ⎟ ; m1 ⎝ g⎠ t = 2 с. Найти µ. 2S 1 ⎛ 2S ⎞ 2) a = 2 ; µ = ⎜⎜ m2 − ( m1 + m2 ) 2 ⎟⎟ = m gt ⎠ t 1⎝ =

⎞ 1 ⎛ 2 ⋅ 0,8 м ⎜ 0,1 кг − ( 0,4 кг + 0,1 кг ) ⎟= 2⎟ 2 0,4 кг ⎜ 10 м/с 2 с ⋅ ( ) ⎝ ⎠

= 0,2;

92

№ 311. Дано: n, a, k, m, µ.

Найти Tk.

Решение. Уравнение, описывающее движение k-го вагона: ma = Tk – Tk + 1 – µmg, или (µg + a)m = Tk – Tk + 1; для последнего вагона будем считать Tn + 1 = 0. Складывая уравнения для каждого вагона, получим: T1 = n(µg + a). Тогда T2 = (n – 1)(µg + a). Продолжая аналогичные рассуждения Tk=(n – k)(µg + a). Ответ: Tk = (n – k)(µg + a).

№ 312. Дано: m = 1 кг; µ = 0,2.

Решение. См. рисунок в задачнике. ⎧ma = FН1 − mg; ⎪ 1) ⎨ma = FН2 − FН1 − µmg; ⎪2ma = 2mg − F ; Н2 ⎩

2) 4ma = mg(1 – µ); g 10 м/с 2 (1 − µ) = (1 − 0 ,2) = 2 м/с2; 4 4 ⎛ 1 − µ ⎞ mg + 1⎟ = 3) FН1 = m(a + g) = mg ⎜ (5 − µ ) = 4 ⎝ 4 ⎠

a=

1 кг ⋅ 10 м/с2 (5 − 0 ,2) = 12 H; 4 1− µ ⎞ ⎛ 4) FН2 = 2m(g – a) = ⎜ g − g ⎟= 4 ⎠ ⎝

=

= 2m = 2mg H. a.

Найти FН1, FН2, № 313. Дано: m1, m2.

3 + µ mg 1 кг ⋅ 10 м/с2 = (3 + µ) = (3 + 0,2) =16 4 2 2

Ответ: a = 2 м/с2, FН1 = 12 H, FН2 = 16 H.

Решение.

93

Найти FН, a.

1) m1 a = F H + m1 g + N 1; m2 a = F H + m2 g + N 2 ;

x1: m1a = FH – m1g sinα; x2: m2a = m2g sinβ – FH; 3) (m1 + m2)a = (m2 sinβ – m1 sinα)g; a=

m2sinβ − m1sinα g; m1 + m2

4) FH = m1(a + g sinα). № a, м/c2 FH, H

1 0,6 5 0,8 2

2 0,65 0,82

3 4,05

4 -1,7

5 2,95

6 3

7 0

8 0

1,09

2,2

1,3

0,8

1,4

1,8 6

Законы сохранения Импульсом тела p называется произведение массы тела m на его скорость v : p = m v . Через импульс второй закон Ньютона может быть записан в виде F ∆t = ∆ p , где F — сила, действующая на тело за время ∆t, ∆ p — изменение импульса тела. Отсюда следует, что если на тело или систему тел не действуют внешние силы, то импульс этого тела или системы тел сохраняется. Это утверждение называется законом сохранения импульса. Работой A силы F по перемещению s называется произведение Fs cosα, где α — угол между векторами F и s . Кинетическая энергия Eк характеризует движущееся тело, она выражается формулой: Eк =

mv 2 2

,

где m ⎯ масса тела, v ⎯ скорость тела. Потенциальная энергия Eп характеризует взаимодействие тел. Полной энергией E называется сумма потенциальной энергии Eп и кинетической энергии Eк. Можно доказать следующую формулу, которая называется законом изменения энергии: Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2 − A , где Eк1 ⎯ начальная кинетическая энергия, Eп1 ⎯ начальная потенциальная энергия, Eк2 ⎯ конечная кинетическая энергия, 94

Eп2 ⎯ конечная потенциальная энергия, A ⎯ работа внешних сил. Если A = 0, то полная энергия сохраняется. Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2 или E1 = E2 , где E1 ⎯ начальная полная энергия, E2 ⎯ конечная полная энергия. Это утверждение называется законом сохранения энергии. Не следует забывать, что работа A равна нулю не только, когда равны нулю сила F или перемещение s , но и когда α = 90°, т.к. cos 90°=0. Если тело массы m поднято на небольшую высоту h над поверхностью Земли, то оно обладает потенциальной энергией Eп = mgh, где g ⎯ ускорение свободного падения. Пружина жесткости k, сжатая или растянутая на ∆x обладает по2

тенциальной энергией: E п = k∆х . 2

Мощностью N называется отношение работы A ко времени t,за которое она совершена: N = A/t. Коэффициентом полезного действия η называется отношение полезной работы Aп к работе затраченной Aз: η = Aп/Aз. Коэффициент полезного действия всегда меньше 1. № 314. Дано: Решение. 4 m1 = 10 т = 10 кг; p1 = m1v1 = 10 4 кг ⋅10 м/с = 10 5 кг⋅м/с; v1 = 36 км/ч = 10 м/с; p2 = m2 v2 = 103 кг ⋅ 25 м/с = 2,5 ⋅104 3 m2 = 1 т = 10 кг; кг⋅м/с. v2 = 25 м/с Найти p1, p2 Ответ: p1 = 105 кг⋅м/с, p1 = 2,5⋅104 кг⋅м/с. № 315. Решение. Дано: m1 = 160 г; m1v1 = m2v2 ; m2 = 8 г ; mv 8 г ⋅ 600 м/с v1 = 2 2 = = 30 м/с. v2 = 600 м/с m1 160 г Найти v1

Ответ: v1 = 30 м/с.

95

№ 316. Дано: ρСТ , ρСВ

pСТ = ρСТ ⋅ V ⋅ v ;

Решение.

pСВ = ρСВ ⋅ V ⋅ v ;

pСТ ρСТ . = pСВ ρСВ

Найти: pСТ pСВ

Ответ:

pСТ ρСТ . = pСВ ρСВ

№ 317. Решение. Дано: m = 2000 т = p1 = mv1 , p 2 = mv 2 ; 6 = 2 ⋅ 10 кг, ∆p = p2 − p1 = m ( v2 − v1 ) = v2 = 72 км/ч = 20 = 2 ⋅ 106 кг ( 20 м/с − 10 м/с ) = 2 ⋅ 107 кг⋅м/с. м/с, v1 = 36 км/ч = 10 м/с Найти ∆p Ответ: ∆p = 2⋅107 кг⋅м/с. № 318. Решение. 1) Дано: m = 100 г = ∆p1 = mv − 0 = 0 ,1 кг ⋅ 10 м/с = 1 кг⋅м/с =0,1кг, ∆p1 = F1 ⋅ t1 ; v = 10 м/с, ∆p mv 0 ,1 кг ⋅ 10 м/с F1 = 1 = = = 20 Н t1 = 0 ,05 с, t1 t 0,05 с t2 = 0,01с. 2) 2 ∆p2 = mv − ( −mv ) = 2mv = 2 ⋅ 0,1 кг ⋅ 10 м/с =

кг⋅м/с ∆p2 = F2t2 ;

F2 =

Ответ: ∆p1 = 1 кг⋅м/с, ∆p2 = 2 кг⋅м/с, F1 = 20 Н, F2 = 200 Н.

Найти: ∆p1 , ∆p2 , F1 , F2 .

№ 319. Дано: m = 400 г

0,4кг; v = 25 м/с; t1 = 0,025 с; t2 = 0,04 с;

Найти: F1 , F2 96

∆p2 2mv 2 ⋅ 0,1 кг ⋅10 м/с = = = 200 Н. t2 t2 0,01 с

Решение. =

F1 =

2mv 2 ⋅ 0,4 кг ⋅ 25 м/с = = 800 Н t1 0 ,025 с

F2 =

mv 0 ,4 кг ⋅ 25 м/с = = 250 Н. t2 0 ,04 с

Ответ: F1 = 800 Н, F2 = 250 Н.

№ 320. Дано:

Решение. a 2

2

x = 5 − 8t + 4t , m = 2 кг

1) x = x0 + v0t + t 2 ; значит v0 = −8 м/с; a = 8 м/с2; v = v0 + at = −8 + 8t ; p ( t ) = mv ( t ) = 2 ( −8 + 8t ) = −16 + 16t ; 2) p( 2) = −16 +16 ⋅ 2 = 16кг⋅м/с; p( 4) =−16+16⋅ 4 = = 48 кг⋅м/с; 3) F = ma = 2 кг ⋅ 8 м/с = 16 Н; Ответ: p(2) = 16 кг⋅м/с, p(4) = 48 кг⋅м/с, F=16 H.

Найти: р(2),р(4), F № 321. Дано:

m = 100 г

=

0,1кг, v = 20 м/с, α = 60°.

Решение. ∆px = mvsiNα−mvsiNα = 0, ∆py = mvcosα−(−mvcosα) = 2mvcosα, ∆p =

∆px2 + ∆py2 = ∆py = 2mvcosα =

= 2⋅0,1 кг⋅20 м/с⋅cos60° = 2 кг⋅м/с. Ответ: ∆p = 2 кг⋅м/с.

Найти: ∆p. № 322.

p(T/2 )

p(T/4)

p(0) = p(T)

97

Дано: m = 1 кг, v = 10 м/с

⎛T ⎞

⎛T ⎞

Решение. 1) ∆p ⎜ ⎟ = p ⎜ ⎟ − p ( 0 ) ; ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎛T ⎞ ∆p ⎜ ⎟ = mv 2 + mv 2 = mv 2 = 1 кг ⋅ 10 м/с ⋅ 2 ≈ ⎝4⎠

≈14 кг⋅м/с; ⎛T ⎞

⎛T ⎞

⎛T ⎞

2) ∆p ⎜ ⎟ = p ⎜ ⎟ − p ( 0 ) = 2 p ⎜ ⎟ ; ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛T ⎞ ∆p ⎜ ⎟ = 2mv = 2 ⋅ 1 кг ⋅ 10 м/с = 20 кг⋅м/с; ⎝2⎠ 3) ∆p (T ) = p (T ) − p ( 0 ) = 0 ; ∆p (T ) = 0 .

НайT ти: ∆p ( ) , 4 T ∆p ( ) , ∆p (T ) 2

№ 323(н). Дано: m1 = 2кг m2 = 6кг v = 2 м/с Найти: v’ - ? № 324(н). Дано: m =50кг v = 0,2 кг M = 200кг

Найти: v’ - ? № 325(н). Дано: m1 = 20т m2 = 30т v1 = 0,3 м/с v2 = 0,2 м/с Найти v-?

98

⎛T ⎞

⎛T ⎞

Ответ: ∆p ⎜ ⎟ ≈ 14 кг⋅м/с, ∆p ⎜ ⎟ = 20 кг⋅м/с, ⎝4⎠ ⎝2⎠ ∆p (T ) = 0.

Решение.

m1v − m2v = ( m1 + m2 ) v' <=>

v' = v

m1 − m2 = 1м / с. m1 + m2

Ответ: v’ = 1 м/с. Решение.

mv = ( m + M )v' <=>

v' =

m v = 0,04 м / с. m+M

Ответ: V = 0,04 м/с. Решение. m1v1 + m2v2 = ( m + M )v <=>

m1v1 + m2v v = 0,24 м / с. m+M Ответ: v = 0,24 м/с. v=

№ 326(324). Решение. MV = mv + mv = 2mv Дано: M = 200 кг, m 0 ,02 кг = 2 ⋅ 500 м/с ⋅ = 0,1 м/с. V = 2v m = 20 г = 0,02 M 200 кг кг, v = 500 м/с Найти: V Ответ: V = 0,1 м/с. № 327(325). Дано: Решение. M = 200 ( M + m )V = MV ′ + mv ; кг, ( M + m)V − mv = V + V − v m ; V = V′ = ( ) M M 1м/с, 50 кг m = 50 кг =2,25 При v=−4 м/с, V ′ = 1 м/с + (1 м/с − ( −4 м/с) ) 200 кг Найти м/с. V′ 50 кг При v = 2 м/с, V ′ = 1 м/с + (1 м/с − 2 м/с) = 0,75 200 кг

м/с. При v = 6 м/с, V ′ = 1 м/с + (1 м/с − 6 м/с)

50 кг = −0,25 200 кг

м/с. № 328(326). m Дано: Решение. M∆V = −mvcosα ; ∆V = − vcosα = M = 750 т = M =7,5⋅105 кг, 30 кг =− ⋅ 103 м/с ⋅ cos600 = 0,02 м/с. 5 α = 600, 7 ,5 ⋅ 10 кг m = 30 кг, 3 v = 1 км/с = 10 м/с Найти ∆V Ответ: ∆V = 0,02 м/с. № 329(327). Дано: mv = mv′cos45o + mv′ cos 45o ; Решение. v = 10 м/ o v = 2v′sin45 = v′ 2 с 10 м/с v v′ = ≈ ≈ 7 м/с. o 2sin45

v′

Найти

2 ⋅ 0,71

Ответ: v ′ ≈ 7 м/с.

99

№ 330(328). Дано: m1 = 20 кг, m2 = 60 кг, v2 = 1 м/с.

Решение. ( m1 + m2 ) v1 = m2v2 ; v1 =

m2 60 кг v2 = ⋅ 1 м/с = 0 ,7 м/с. m1 + m2 20 кг + 60 кг

Найти v1 . Ответ: v1 = 0,7 м/с. № 331(329). Дано: Решение. m = 20 мг = 2⋅10-5 A = mgh = 2 ⋅ 10−5 кг ⋅ 10 м/с2 ⋅ 2 ⋅ 103 м = 0 ,4 Дж. кг, h = 2 км = 2⋅103 м. Найти А Ответ: А = 0,4 Дж. № 332(330). Дано: Решение. 3 A = mgh = ρVgh = ρ l Sgh = ρ = 7 ,8 ⋅ 103 кг/м , = 7,8 ⋅103 кг/м3 ⋅ 5 м ⋅10−2 м 2 ⋅12 м ≈ 4,7 ⋅103 l = 5 м, 2 S = 100 см = 10 Дж. 2 2 м , h = 12 м. Найти А Ответ: А ≈ 4,7⋅103 Дж. № 333(331). Решение. Дано: m = 2 кг, h = 1 м, A = mh ( a + g ) = 2 кг ⋅ 1 м 3 м/с2 + 10 м/с2 = 26 Д 2 a = 3 м/с . ж.

(

Найти А № 334(332). Дано: h = 5 м, 3 V = 0,6 м , ρк = 2500

кг/м3,

)

Ответ: А = 26 Дж. Решение. A = hgV ( ρк − ρв ) =

(

= 4 ,5 ⋅ 104 Дж.

ρв = 1000

кг/м3. Найти А № 335(333). Дано: F = 200 Н, l = 10 м, α = 45o Найти А 100

)

= 5 м ⋅ 10 м/с2 ⋅ 0 ,6 м3 2500 кг/м3 − 1000кг/м3 =

Ответ: А = 4,5⋅104 Дж. Решение. A = Flcosα = 200 Н ⋅ 10 м ⋅ cos45o ≈ 1420 Дж.

Ответ: А ≈ 1420 Дж.

№ 336(334). Дано: α = 4o , 4 m = 10 т = 10 кг, l = 100 м. Найти: А № 337(335). S1 = A1 mgS1 S1 = = = A2 mgS2 S2

№ 338(336). Дано: m = 100 г = 0,1 кг, h = 5 м.

Найти:

⎛ ⎝

π⎞

Решение. A = mglcos ⎜ α + ⎟ = −mglsinα = 2 ⎠

4

= −10 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ sin4o ≈ −7 ⋅ 105 Дж.

Ответ: А ≈ −7⋅105 Дж. gt 2 gt 2 gt 2 3 gt 2 , v0 = gt ; S2 = v0t + ; = gt 2 + = 2 2 2 2 gt 2 2 3 gt 2

=

1 . 3

2

Решение. 1) A1 = −mgh = −0,1 кг ⋅10 м/с2 ⋅ 5 м = −5 Дж; 2) A2 = mgh = 0,1 кг ⋅ 10 м/с2 ⋅ 5 м = 5 Дж; 3) A3 = mg ( h − h ) = 0 . Ответ: А1 = −5 Дж, А2 = 5 Дж, А3 = 0.

A1 , A2 , A3

№ 339(337). Дано: M = 8 кг, m = 400 г/м = = 0,4кг/м, h = 10 м. Найти: А № 340(338).

h 2

⎛ ⎝

Решение. A = Mgh + mhg = gh ⎜ M +

m ⎞ h⎟ = 2 ⎠

0,4 кг/м ⎛ ⎞ = 10 м/с2 ⋅ 10 м ⎜ 8 кг + ⋅ 10м ⎟ = 1000 Дж. 2 ⎝ ⎠

Ответ: А = 1000 Дж. F

β α F

101

Дано:

Решение. 1) A1 = F1lcosβ = F1l

F1 = 30 Н, F2 = 40 Н,

=l

l = 10 м.

F12 F12

+ F2

2

= 10 м ⋅

2) A2 = F2lcosα = l = 10 м ⋅

F1 F12 2

+ F2 2

( 30 Н ) ( 30 Н )2 + ( 40 Н )2 F2 2

F12 + F2 2

( 40 Н )2 ( 30 Н )2 + ( 40 Н )2

=

= 180 Дж.

=

= 320 Дж.

3) A = F12 + F2 2 l =

Найти: A1 , A2 , A № 341(339). Дано: m1 = 3m2 ,

( 30 Н )2 + ( 40 Н )2 ⋅ 10 м = 500 Дж.

Ответ: А1 = 180 Дж, А2 = 320 Дж, А = 500 Дж.

Решение.

1 v1 = v2 3

E1 =

m1v12 , 2

2

E2 =

m2v22 3m1 ⎛ v1 ⎞ E1 = ⎜ ⎟ = , 2 2 ⎝3⎠ 3

E2 1 = . E1 3

Найти:

E2 E1

Ответ:

№ 342(340). Дано: v = 7 ,8 км/с

=

Решение.

кг Найти: E № 343(341). Дано: m = 4 кг, v1 = 2 м/с, v2 = 8 м/с

Найти: A 102

(

3 3 mv 2 6,6 ⋅ 10 кг 7 ,8 ⋅ 10 м/с = E= 2 2

3

= 7,8⋅10 м/с, m = 6 ,6 т = 6,6⋅103

E2 1 = . E1 3

)

2

≈ 2 ⋅ 104 Д

ж. Ответ: Е ≈ 2 ⋅ 10 4 Решение. ⎛ mv 2 mv 2 ⎞ m A = −∆EК = − ⎜ 2 − 1 ⎟ = − v22 − v12 = ⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

(

=−

(

)

)

4 кг 2 2 ⋅ ( 8 м/с ) − ( 4 м/с ) = −120 Дж. 2

Ответ: A = −120 Дж.

№ 344(342). Дано: m1 = 18m2 ,

Решение. p1 = m1v1 = 18m2

1 v1 = v2 6

p2 = m2v2 , p1 = 3 p2 ,

p1 = 3; p2

1 v 2 = 3m2 v2 , 6

m1 2 18m2 1 2 1 m2v22 v1 = ⋅ v2 = ⋅ , 2 2 36 2 2 m v2 E 1 E2 = 2 2 , 1 = . E2 2 2

E1 =

Найти:

Ответ:

p1 E1 ; p2 E2

№ 345(343). Дано: p = 8 кг⋅ м/с2, E = 16 Дж

p1 E 1 = 3, 1 = . p2 E2 2

m

v2 v E m Решение. p = mv ; E = v 2 ; = 2 = ; p mv 2 2 E 16 Дж = 4 м/с; v = 2 = 2⋅ p 8 кг ⋅ м/с

p p2 ( 8 кг ⋅ м/с) = = = 2 кг. v 2E 2 ⋅16 Дж 2

m=

Найти:

v ,m

Ответ: v = 4 м/с, m = 2 кг.

№ 346(344).

α T

m

103

Дано:

m = 100 г = 0,1

кг,

l = 40 см = 0,4

м, α = 60 0 .

⎧ mv2 ⎪ = Tsinα ; ⎨ lsinα ⎪mg = Tcosα ⎩

Решение.

mv 2 mglsinα tgα = = 2 2 1 = ⋅ 0 ,1 кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 0 , 4 м ⋅ sin60o ⋅ tg60o = 0 ,3 Дж. 2

Eк =

Найти: Eк Ответ: Eк = 0,3 Дж. № 347(345). Решение. Дано: 3 E 104 Дж m = 2mт = 2 ⋅ 10 кг, E = mgh ; h = = = 0,5 м. mg 2 ⋅ 103 кг ⋅ 10 м/с2 E = 10 кДж = 104 Дж. Найти: h Ответ: h = 0,5 м. № 348(346). Решение. Дано: m = 300 кг, E = mgh = 300 кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅1,5 м = 4,5 ⋅ 103 Дж. h = 1,5 м. Найти: E Ответ: E = 4,5⋅103 Дж. № 349(347). Решение. Дано: h1 = 6 м, 1) ∆E1 = mgh2 = 0,2 кг ⋅10 м/с2 ⋅ 8 м = 16 Дж; m = 200 г = 0,2 кг, 2) ∆E2 = mg ( h1 − h2 ) = 0,2 кг ⋅10 м/с2 ⋅ ( 6 м − 8 м) = –4 h2 = 8 м. Дж; 3) ∆E3 = mgh1 = 0,2 кг ⋅ 10 м/с2 ⋅ 6 м = 12 Дж. НайОтвет: ∆E1 = 16 Дж, ∆E 2 = −4 Дж, ти: ∆E1,∆E2 ,∆E3 ∆E = 12 Дж. 3

№ 350(348). Решение. Дано: l = 2 м, l 2м m = 100 кг. = 1000 Дж. A = mg = 100 кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 2

2

Найти: A Ответ: A = 1000 Дж. № 351(349). По графику находим, что Fx = 800 Н при X = 8 см = 0,08 м. Отсю-

да E = 1 Fx X = 0,5 ⋅ 800 Н ⋅ 0,08 м = 32 Дж. Физический смысл tgα ⎯ 2

104

коэффициент жесткости. Физический смысл площади треугольника под участком ОА графика ⎯ потенциальная энергия пружины. № 352(350). Решение. Дано: 1 l = 3 см = 0,03 м, E = Fl = 0,5 ⋅ 20 Н ⋅ 0,03 м = 0,3 Дж. F = 20 Н. 2 Найти: E Ответ: E = 0,3 Дж. № 353(351). Дано: Решение. 2 k = 40 кН/м = Н 2 4 ⋅ 104 ⋅ 5 ⋅ 10−3 м 4 kl м =4⋅10 Н/м, = = 0,5 Дж. A= 2 2 l = 0 ,5 см = 5⋅10-3 м. Найти: A Ответ: A = 0,5 Дж. № 354(352). Решение. Дано: l1 = 4 мм = 0,4 l2 kl 2 kl 2 E E1 = 1 , E2 = 2 ; 2 = 22 ; см, E1 l1 2 2 E1 = 0 ,02 Дж, ( 4 см )2 = 2 Дж. l2 l2 = 4 см. E2 = E1 22 = 0 ,02 Дж ⋅ 2

(

)

( 0,4 см )

l1

Найти: E2 № 355(353). Дано: F0 = 0 , F1 = 10 Н, F2 = 20 Н, F3 = 30 Н

Ответ: E2 = 2 Дж. Решение.

F1 = k ∆x1 ,

1)

∆x1 =

F1 , k

∆x2 =

F2 , k

1 1 F12 ; F1∆x1 = 2 2 k

A1 =

2)

F2 = k∆x2 ,

(

)

1 1 F22 − F12 ( F2∆x2 − F1∆x1 ) = 2 2k 1 3) Аналогично: A3 = F32 − F22 2k

A2 =

(

)

A2 F22 − F12 ( 20 Н ) − (10 Н ) = = =3, A1 F12 (10 Н )2 2

4) Отсюда

2

A3 F32 − F22 ( 30 Н ) − ( 20 Н ) = = = 1, 25 . A2 F22 ( 20 Н )2 2

2

105

Найти:

№ 356(354). Дано:

A A2 = 3 , 3 = 1,25 . A1 A2

Ответ:

A3 A2 ; A2 A1

Решение. A =

k = 500 Н/

=

Н,

2 3 ⋅ ( 40 Н ) 3Fmax = = 1,2 Дж. 8k 8 ⋅ 500 Н/м 2

м. Найти: A № 357(355). Дано: m = 0,5 кг, v = 4 м/с.

2 2 ( F / 2 ) = Fmax Fmax ⎛ 1⎞ − max ⎜1 − ⎟ = 2k 2k 2k ⎝ 4 ⎠ 2

Fmax = 40

Ответ: A = 1,2 Дж. Решение. h=

v2 2g

, 2

v2 ( 4 м/с) = −4 Дж; = −0,5 кг ⋅ 2 2 = − A = 4 Дж; ∆EК = A = −4 Дж.

A = −mgh = −m

∆E П

Найти: A, ∆EП ,∆EК

№ 358(356). Дано: h = 2 м, m = 400 г = 0,4 кг. Найти: EК № 359(357). Дано: m = 100 г = 0,1 кг, v = 10 м/с. Найти: EП № 360(358). Дано: m = 3 кг, h1 = 5 м, h2 = 2 м. Найти: EК

106

A = −4 Дж;

Ответ:

∆E П = 4

Дж;

∆E К = −4 Дж.

Решение. EК = mgh = 0 ,4 кг ⋅ 10 м/с ⋅ 2 м = 8 Дж. Ответ: E К = 8 Дж. mv 2 0,1 кг ⋅ (10 м/с ) = = 5 Дж. 2 2 2

Решение. EП =

Ответ: EП = 5 Дж. Решение. EК = mgh1 − mgh2 = mg ( h1 − h2 ) = = 3 кг ⋅ 10 м/с ⋅ ( 5 м − 2 м ) = 90 Дж.

Ответ:

EК

= 90 Дж.

№ 361(359). Дано: v0 = 10 м/с

mv02 = 2mgh ; 2

Решение. v02 (10 м/с ) = 2 ,5 м. = 4 g 4 ⋅ 10 м/с 2 2

h=

Найти: h № 362(360). Дано: m = 50 г = 0,05 кг, v0 = 30 м/с, t = 2 с.

Ответ: h = 2,5 м. Решение. 1) EК =

(

m ( v0 − gt )2 = 2

)

2 0,05 кг 30 м/с − 10м/с 2 ⋅ 2 с = 2 ,5 Дж; 2 mv 2 m 2) EП = 0 − EК = v02 − v02 − g 2t 2 + 2 gtv0 = 2 2 mgt = ( 2v0 − gt ) = 2 0,05 кг ⋅ 10 м/с2 ⋅ 2 с = 2 ⋅ 30 м/с − 10 м/с2 ⋅ 2 с = 20 Дж. 2

=

(

)

(

Найти: E П , EК .

№ 363(361). Дано: ∆h =10м ∆h =h

Найти: v0 № 364(362). Дано:

)

Ответ: E П = 20 Дж, EК = 2,5 Дж. mv02 = mg ∆h <=> v0 = 2 g ∆h Решение. 2 a )v0 = 14 ,1м / с;б )v0 = 2 gh

Ответ: v0 = 14 ,1м / с , v0 = 2 gh . mv02 mv 2 = mgh + ; v = v02 − gh . 2 2

v0 , h

Решение.

Найти: v

Ответ: v = v 02 − gh .

№ 365(363). Дано: v0 = 600 м/с, m = 10 г = 0,01 кг, E = 450 Дж.

Решение. 2 2E 2E v02 = vx2 + v 2y ; E = mv x , v x2 = , v 2y = v02 − ; m 2 m

2E

ctg α =

vx m = = 2E vy v02 − m

Найти: α .

1 mv02 2E

= −1

1 0 ,01 кг ⋅600 м/с 2⋅450 Дж

−1

≈ 0 ,57 ; α = arctg 0,57 ≈ 60o . Ответ: α = 60 o .

107

№ 366(364). Дано: m = 25 кг, l = 2,5 м, T = 550 Н

Решение. mgh = T = mg +

mv 2 , 2

mv 2 h h⎞ ⎛ = mg + 2mg = mg ⎜1 + 2 ⎟ , l l⎠ l ⎝

⎞ 2 ,5 м ⎛ l⎛ T 550 Н ⎞ h= ⎜ − 1⎟ = − 1⎟ = 1,5 м. ⎜ 2 ⎝ mg 2 ⎝ 25 кг ⋅ 10 м/с 2 ⎠ ⎠

Ответ: h = 1,5 м.

Найти: h № 367(365).

l T h Дано: m ,α

mg

Решение. h = l − lcosα = l (1 − cosα ) ; mgh =

mv 2 ; 2

mv 2 h = mg + 2mg = 2 l l (1 − cos α ) = mg + 2mg = mg ( 3 − 2cos α ) . l

T = mg +

Ответ: T = mg(3 − 2cos α).

Найти: T № 368(366).

h

N2 mg N1 mg

108

Дано:

Решение. 1)

m, h = 3R,

.

mgh =

2 mv12 ; N1 = mv1 + mg = mg + 2mg h = mg + 6mg = 7mg ; 2 R R

2) N2 =

mgh = mg 2 R +

mv22 − mg = 2mg − mg = mg R

mv22 ; 2

;

Ответ: N1 = 7mg , N 2 = mg.

Найти: N1 ,N 2

№ 369(367). Дано: Решение. m. T2 =

mv22 mv2 ; + 2mgR = 2 2

T1 =

mv12 + mg ; R

mv22 − mg ; R

∆T = T2 − T1 = −2mg +

mv22 mv12 − = −2mg − 4mg = −6mg . R R

Ответ: ∆T = −6mg .

Найти: ∆T .

№ 370(368). Дано: k , ∆l , m. Найти: v. № 371(369).

2 2 k ∆l ; Решение. k ∆l = mv ; v =

2

2

m

Воспользуемся формулой, выведенной в задаче 368: v = k ∆l m

а) Т. к. v ∝ ∆l , то скорость увеличится в 2 раза. б) Т. к. v ∝ k , то скорость увеличится в 2 ≈ 1,4 раза. в) Т. к. v ∝ 1 , то скорость уменьшится в m

v.

2 ≈ 0,71 раза.

№ 372(370). Дано: 2 2 k 2 x − 2 gx . Решение. mv + mgx = kx ; v = m, k , x. m 2 2 Учитывая результаты задачи 368, получаем, что эти скорости будут несколько различаться. Найти: k 2 . Ответ: v=

m

x − 2 gx

109

№ 373(371). Дано: 1 Решение. mg ( h + x ) = Fx ; m = 60 к 2

г,

h = 4 м, x = 1 м.

Найти:

⎛ h⎞ ⎛ 4 м⎞ F = 2mg ⎜1 + ⎟ = 2 ⋅ 60 кг ⋅ 10 м/с2 ⎜1 + ⎟ = 6000 Н. x⎠ ⎝ ⎝ 1м ⎠

Ответ: F = 6000 Н.

F

№ 374(372). Дано: l = 1 м, Fmax = 26 Н, k = 2,5 кН/м=

= 2,5 ⋅ 103 Н/м, m = 50 г = 0,05 кг. Найти: F № 375(373). Дано: k = 100 Н/м, m = 800 г = 0,8 кг, l = 10 см = 0,1 м, µ = 0,25. A Найти: 1 A2 № 376(374). Дано: m = 15 т = =1,5⋅104кг, a = 1,4 м/с2, l = 10 м, µ = 0,02 .

Найти: A1,A2,Eк .

110

Решение. mgl =

F2 ; 2k

F = 2kmgl = 2 ⋅ 2 ,5 ⋅ 103 ⋅ 0 ,05 ⋅ 10 ⋅ 1 = 50

Н. F > Fmax , значит леска разорвется. Ответ: леска разорвется.

Решение. A2 =

F12 2k

=

A1 = µmgl ,

F = µmg ,

2 2 2

µmg , 2k

A1 µmg 0,25 ⋅ 0 ,8 кг ⋅ 10 м/с2 1 = = = . A2 2kl 2 ⋅ 100 Н/м ⋅ 0 ,1 м 10

Ответ:

A1 1 = . A2 10

Решение. 1) ma = F − µmg ; F = m(a + µg ); A1 = Fl = m ( a + µg ) l = 1,5 ⋅ 104 кг ⋅

(

)

⋅ 1,4 м/с2 + 0,02 ⋅ 10 м/с2 ⋅ 10 м = 2,4 ⋅ 105 Дж.

2) A2 = −µmgl = = −0,02 ⋅ 1,5 ⋅ 104кг ⋅ 10 м/с2 ⋅ 10 м = −3 ⋅ 104 Дж

3) Eк = A1 + A2 = 2,4 ⋅ 105 Дж – 3 ⋅ 104 Дж=2,1⋅105 Дж. Ответ: A1 =2,4⋅105 Дж, A2 =−3⋅104 Дж, Eк =2,1⋅105 Дж.

№ 377(375). Дано: Решение. 1) По графику видно, что скорость в нулеm = 20 вой момент времени v0 = 10 м/с , а в момент времени т= t = 20 с скорость v = 20 м/с. 2 2 =2⋅104 2) По этим данным найдем ∆Eк = mv − mv0 = m v2 − v02 = кг, 2 2 2

(

t = 20

с,

4

(

)

)

2 ⋅ 10 кг ( 20 м/с )2 − (10 м/с )2 = 3 ⋅ 106 Дж. 2 v − v0 ; F = m ⎜⎛ v − v0 + µmg ⎟⎞ ; 3) ma = F − µmg ; a = t ⎝ t ⎠ ⎛ v − v0 ⎞ A = Fl = ml ⎜ + µg ⎟ ⎝ t ⎠ =

µ = 0,05

.

4) Перемещение троллейбуса l будет равно площади под графиком. Вычислим ее, пользуясь известной из геометрии формулой для площади трапеции. l = v − v0 t ; Тогда A = m v − v0 t ⎛⎜ v − v0 + µg ⎞⎟ = 2 ⋅ 104кг ⋅ 2 ⎝ 2 ⎠ 20 м/с + 10 м/с ⎛ 20 м/с − 10 м/с ⎞ ⋅ ⋅ 20 с ⋅ ⎜ + 0,05 ⋅10 м/с2 ⎟ = 2 2 ⎝ ⎠

2

6 ⋅106 Дж

Найти:

A, ∆Eк

Ответ: A = 6 ⋅ 10 6 Дж, ∆Eк = 3 ⋅ 10 6 Дж.

№ 378(376). Дано: m=2т

Решение. 1) A = −µmgl = =

3

2 ⋅ 10 кг, l = 50

м,

= −0,4 ⋅ 2 ⋅ 103 кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 50 м = −4 ⋅ 105 Дж.

2) Eк = A = −4 ⋅105 Дж.

µ = 0,4 .

Найти: A, Eк

Ответ: A = −4 ⋅ 10 5 Дж, Eк = −4 ⋅ 105 Дж.

№ 379(н). Решение. Дано: h =1,4м mv 2 mv 2 mgh mgh = ; = Fl => F = = 900кН . m = 6т; l 2 2 l=10см Ответ: F = 900кН. Найти: F - ?

111

№ 380(378). Дано: m = 1500 т = 1,5 ⋅ 106 кг, F = 150 кН

Решение. Fl =

= 1,5 ⋅ 105 Н, l = 500 м. Найти: v № 381(379). Дано: l = 36 м, v1 = 10 м/с, v2 = 8 м/с.

mv 2 ; 2

2Fl 2 ⋅1,5 ⋅105Н ⋅ 500 м = = 10 м/с. m 1,5 ⋅106кг

v=

Ответ: v = 10 м/с. Решение. 1)

(

v12 − v 22 (10 м/с )2 − (8 м/с )2 = = 0,05 . 2 gl 2 ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 36 м m m 2) ∆E = v12 − v22 ; E1 = v12 2 2 µ=

(

∆E E1

Найти: µ,

=1−

v22

v12

)

=1−

Ответ: µ = 0,05 ,

∆E

)

m 2 v1 − v 22 = µmgl ; 2

E1

( 8 м/с )2 (10 м/с )2 ∆E E1

№ 382(380).

= 0 ,36 или 36% .

= 0,36 или 36% .

N F

y

тр

M α x

112

0

mg

Дано:

Решение. 1) M a = M g + F тр + N ; x : Ma = Mgsinα − Fтр ; y : 0 = N − Mgcosα ;

M ,m

Fтр = µN ; a = g (sinα − µcosα )

2) Результат расчета ускорения для груженого вагона не зависит от массы M. Это значит, что он будет и для негруженого таким же. Это же значит, что их начальные скорости в начале горизонтального участка пути будут одинаковы и равны некоторому значению V0 . 2 2 3) MV0 = µMgL ; L = V0 .

2

2µg

2 L 4) Аналогично l = V0 . Отсюда L = l или = 1 ,

l

2µg

т.е. тормозные пути обоих вагонов будут одинаковы. Найти:

L =1. l

Ответ:

L l

№ 383(381). Решение. Дано: l , α, µ mv 2 mglsinα =

Найти:

2

+ µmglcosα ; v = 2 gl ( sinα − µcosα ) .

Ответ: v = 2 gl ( sinα − µcosα ) .

v

№ 384(382). Дано: Решение. h=2

м, ,

cosα =

b =5м S = 35

м. µ

Найти: № 385(383). Дано: M , m, h,

b 2

h + b2

mgh = µmg h2 + b2 cosα + µmgS ;

;

h = µb + µS ; µ =

h 2м = = 0,05 . b + S 5 м + 35 м

Ответ: µ = 0,05 .

Решение. µmgl = Mgh; µ =

M h . m l

113

Найти: µ

г,

Ответ: µ =

M h . m l

№ 386(384). Дано: Решение. m = 10 к mgh = Aтр ; h = 5 м.

Amin = Aтр + mgh = 2mgh = 2 ⋅ 10 кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 5 м = 1000

Дж. Ответ: AmiN = 1000 Дж. Найти: Amin . № 387(385). Дано: Fx 1 . Решение. Fx = µmgl ; µ = m, F , x, l. 2mgl 2 Найти: µ. Fx . Ответ: µ = 2mgl № 388(386). Решение. Дано: m = 5 т = 5⋅103 ∆EП = mgh = 5 ⋅ 103 ⋅ 10 ⋅ 4 = 2 ⋅ 105 Дж; кг, 5 ⋅ 103 2 m 2 2 l = 200 м, ∆EК = 5 − 152 = −5 ⋅ 105 Д v2 − v1 = 2 2 h = 4 м, ж; v1 = 15 м/с, AC = −µmglcosα ≈ −µmgl = v2 = 5 м/с, = −0,09 ⋅ 5 ⋅ 103 кг ⋅ 10 м/с2 ⋅ 200 м = −9 ⋅ 105 Дж; µ = 0,09. AТ + AC = ∆E П + ∆E К ;

(

)

(

)

AТ = ∆EП + ∆EК − AC = 2 ⋅ 105 Дж − 5 ⋅ 105 Дж + + 9 ⋅ 105 Дж = 6 ⋅ 105 Дж; FТ =

Найти: ∆EП , ∆EК , AC , AТ , FТ .

114

Н.

AТ 6 ⋅ 105 Дж = = 3 ⋅ 103 Н. 200 м l

Ответ: ∆EП = 2⋅105 Дж, ∆EК = −5⋅105 Дж, AC = −9⋅105 Дж, AТ = 6⋅105 Дж, FТ = 3⋅103

№ 389(387). Дано: m = 80 кг, l = 200 м, v = 50 м/с.

Решение. mgl =

Найти: A

Ответ: A = −6 ⋅ 10 4 Дж.

⎛ v2 ⎞ m 2 v − A ; A = − m ⎜ gl − ⎟ = ⎜ 2 ⎟⎠ 2 ⎝

⎛ ( 50 м/с )2 ⎞⎟ = −6 ⋅ 104 Дж. = −80 кг ⋅ ⎜10 м/с 2 ⋅ 200 м − ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

№ 390(388). Решение. Дано: m =9,6 г = mv12 mv02 m 2 2 9,6 ⋅ 10−3 кг −3 A v v = − = − = ⋅ 1 1 0 =9,6⋅10 2 2 2 2 кг, 2 2 ⋅ ( 746 м/с ) − ( 825 м/с ) ≈ −600 Дж; v0 = 825 м/с , mv 2 mv 2 m 2 2 9 ,6 ⋅ 10−3 кг ⋅ A2 = 2 − 1 = v2 − v1 = v1 = 746 м/с, 2 2 2 2 v2 = 675 м/с ⋅ 6752 − 7462 ≈ −480 Дж. , l = 100 м. Найти: Ответ: A1 ≈ −600 Дж, A2 ≈ −480 Дж. A1 , A2 . № 391(389). Дано: mv02 mv 2 3 Решение. + = − + mgh A ; m = 2 т = 2⋅10 2 2 кг, m 2 2 A= v − v0 − mgh = v0 = 50 м/с, 2 h = 420 м, 2 ⋅ 103 кг = ( 30 м/с )2 − ( 50 м/с )2 − v = 30 м/с.

(

)

)

(

(

(

)

)

(

2

)

(

)

−2 ⋅ 103 кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 420 м = −107 Дж.

Найти: A

Ответ: A = −107 Дж.

115

№ 392(390). Дано: m = 100 кг, h = 8 м, l = 100 м, v = 10 м/с.

Решение. F=

mgh = − Fl +

mv 2 ; 2

⎞ m ⎛ v2 ⎜ − gh ⎟ = ⎟ l ⎜⎝ 2 ⎠

=

2 ⎞ 100 кг ⎛ (10 м/с ) ⎜ − 10 м/с 2 ⋅ 8 м ⎟ = −30 Н. ⎜ ⎟ 100 м 2 ⎝ ⎠

Найти: F Ответ: F = −30 Н. № 393(391). Решение. Дано: v = 2340 км/ч = 650 N = vF = 650 м/с ⋅ 2,2 ⋅ 10 5 Н = 1,43 ⋅ 108 м/с, Вт. F = 220 кН = 2,2⋅105 Н. Найти: N Ответ: N = 1,43 ⋅ 108 Вт. № 394(392). Решение. Дано: v = 900 км/ч = 250 N 3 ⋅ 107 Вт = = 3 ⋅ 104 Н. F= м/с, 4v 4 ⋅ 250 м/с N = 30 МВт = 3⋅ 107 Вт. Найти: F Ответ: F = 3 ⋅ 10 4 Н. № 395(393). Решение. Дано: v = 30 м/с, N = v µ F = 30 м/с ⋅ 0,2 ⋅ 100 Н = 600 Вт F = 100 Н, µ = 0,2 . . Ответ: N = 600 Вт. Найти: N № 396(н). Дано: 2S 2S Решение. 1) a = 2 ; v = at = ; m , S ,t , µ t t Найти: mv 2 ; 3) AТР = µmgS; 2) Eк = v, Eк , AТР , N 2 1 4) N = ( AТР + Eк ) . t

116

№ 397(395). Дано: Решение. N = Fv; N = 72 кВт = 4 = 7 ,2 ⋅ 10 Вт F = mg ( sinα + µcosα ) = mg sinα + µ 1 − sin 2α ; m = 5т =

(

= 5 ⋅103 кг, sin α = 0,2 , µ = 0,4

v=

=

N

(

mg sinα + µ 1 − sin 2α

)

)

=

7 ,2 ⋅ 104 Вт

(

10 м/с ⋅ 5 ⋅ 103 кг 0,2 + 0,4 1 − 0,22

)

≈ 2, 4 м/с.

Ответ: v = 2,4 м/с. Найти: v № 398(396). Дано: Решение. m =1т mv 2 v + µmgl ; N = F ; Fl = = 2 2 3 = 10 ⎞ mv ⎛ v 2 ⎞ v ⎛ mv 2 кг, N= ⎜ + µmg ⎟ = ⎜ + µg⎟ = ⎟ 2 ⎜ 2l ⎟ 2 ⎜⎝ 2l l = 300 ⎠ ⎝ ⎠ м, 2 ⎞ 103 кг ⋅ 30 м/с ⎛ ( 30 м/с ) v = 30 м ⎜ = + 0 ,03 ⋅ 10 м/с 2 ⎟ = 27000 Вт. ⎜ 2 ⋅ 300 м ⎟ 2 /с, ⎝ ⎠ µ = 0,03 Ответ: N = 27000 Вт. Найти: N. № 399(н). Дано: Решение. v ,S ,m ,n , F . v v2 v2 ; 2) v = at ; t = ; 1) S = ; a = Найти: 2a 2S a 2 a ,t , Eк , A, N . mv ; 4) A = nFS ; 3) Eк = 2

5) N =

A t

.

№ 401(399).

l h α

0

117

Дано: l = 1 м, h = 0,6 м

,

µ = 0,1.

Решение. FТР = µmgcosα = µmg

(

=

Найти:

mgh mgh 1 = = = 2 2 A l2 mg h + µ l − h 1+ µ 2 −1

(

)

1

(1 м )2 1 + 0,1 −1 ( 0 ,6 м )2

h

≈ 0 ,88 .

Ответ: µ = 0,88.

№ 402(н). Дано: m = 3600 т = = 3,6 ⋅ 10 6 кг, l = 10000

км

)

A = mgh + FТРl = mg h + µ l 2 + h 2 ; η=

η

l 2 − h2 ; l

Решение. A1 = µ1mgl; A2 = µ 2 mgl ;

7

= 10 м, µ1 = 0,007 , µ 2 = 0,0061 , η = 90% = 0,9.

∆A = η( A1 − A2 ) = (µ1 − µ 2 )mgl = = ( 0,007 − 0 ,0061) ⋅ 3,6 ⋅ 106 кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅ ⋅0 ,9 ⋅ 107 м ≈ 3 ⋅ 1011 Дж.

Найти: ∆A . № 403(н). Дано: S = 1м2 s = 20cм2 v = 2 м/с

Ответ: ∆A = 3⋅1011 Дж. Решение. за время t: V = svt V = Sv' t

=> v' = v

s = 0,004 м / с S

dv / dt = Sv' = 0 ,004 м3 / с.

Найти: v’ - ? dv/dt - ? 118

Ответ: v’ = 0,004 м/с, dv/dt = 0,004 м3/с.

№ 404(402). Решение. Дано: v1 = 10 с v1 S1 = v 2 S 2 ; м/с, d1 = 4d 2

v1d12 = v2 d 22 ;

v2 = v1

d12 d 22

= 16v1 = 16 ⋅ 10 см/с = 160 см/с = 1,6 м/с.

Ответ: v2 = 1,6 м/с. Найти: v2 . № 405(403). Решение. Дано: V = 500 м3, π t = 1 час = 3600 nV = vtd 2 ; 4 с, n = 10 , 4nV 4 ⋅10 ⋅ 500 м3 ≈ v= ≈ 4,9м/с. 2 2 d = 0,6 м. πtd 3,14 ⋅ 3600 с ⋅ ( 0,6 м) Ответ: v = 4,9 м/с.

Найти: v. № 406(404).

V v

O

O ″

v Переходя в систему, связанную с центром масс мяча, можно считать, что на мяч налетает поток воздуха со скоростью V , движущийся в противоположном мячу направлении. Тогда в точке О′ скорость воздуха будет равна V + v , а в точке О′′ V − v . В точке О′ скорость больше, а значит давление меньше, чем в точке О′′, где скорость меньше. № 407(н). По закону Бернулли в узком сечении давление меньше, следовательно баржи будут устремляться в сторону меньшего давления и смогут столкнуться. 119

м.

№ 408(406). Дано: Решение. t = 1 сут. = 1) Пусть m — масса некоторого малого = 86400 c, объема воды, который вытекает за малое вреS = 4 мм2 = = 4⋅10-6 м2, mv 2 ρ = 1000 кг/м3, мя. mgh = 2 ; h = 80 см = 0,8 v = 2 gh ;

2) V = Svt = St 2 gh = = 4 ⋅ 10−6 м3 ⋅ 2 ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 0 ,8 м ⋅ 86400 с = 1,38

м3.

Ответ: V = 1,38 м3. Найти: V № 409(407). Согласно уравнению Бернулли в точке С скорость меньше, а значит давление больше, т.е. давление может стать таким, что будут выходить пузырьки воздуха. В точке В скорость больше, а значит давление меньше, и жидкость будет подниматься по трубочке. № 410(н). По закону Бернулли давление в узких местах ниже, чем в широких, а значит фильтр будет наоборот засасываться внутрь.

Механические колебания и волны Говорят, что некая физическая величина x совершает колебания, если зависимость x(t), где t — время, есть периодическая или приближенно периодическая функция. Назовем периодом колебания такое время T, что для всех T имеет место равенство x(t) = x(t + T); очевидно, что таких T бесконечно много, поэтому мы будем выбирать из всех T минимальное положительное число. Частотой ν называется величина, обратная периоду: ν = 1/T. Циклической частотой ω называется частота ν, умноженная на 2π: ω = 2πν. Колебание называется гармоническим, если x(t) является гармонической функцией x(t)=Acos(ωt + ϕ), где A называется амплитудой, а ϕ начальной фазой колебания. Гармонические колебания совершает груз массой m на пружине жесткости k. Можно доказать, что в этом случае

120

1 k k , ν= , T = 2π m . 2π m m k

ω=

Также гармонические колебания совершает грузик на нити длины l, если угол отклонения нити от вертикали невелик. Можно доказать, что в этом случае ω=

g l

, ν= 1

2π

g , T = 2π l , l g

где g — ускорение свободного падения. Выше приведены формулы для расчета частот, на которых в отсутствие затухания будет колебаться маятник, когда на него не действуют внешние силы. Такие колебания называются свободными, а эти частоты собственными. Если на колебательную систему, например шарик на пружинке, действует периодическая сила с частотой νВ (эта сила называется вынуждающей), то такие колебания называются вынужденными. При вынужденных колебаниях маятник колеблется с частотой νВ. Если νВ будет равна частоте свободных колебаний ν, можно наблюдать явление резонанса. Оно состоит в значительном росте амплитуды колебаний. Рассмотрим теперь волновое движение. Волна является распространяющимися со скоростью v колебаниями. Пусть ν — частота этих колебаний. Назовем длиной волны λ расстояние между соседними максимумами. Несложно доказать следующую формулу v=λν. При нормальных условиях скорость звука, т.е. скорость распространения звуковых волн, в воздухе 330м/с, в воде 1400м/с. № 411(409). n 32 Дано: Решение. T = t = 8 c = 0 ,25 с, ν = = = 4 Гц. t = 8 с, n=32 t 8c n 32 Найти: Т , ν. Ответ: T = 0,25 c, ν = 4 Гц. № 412(410). Дано: t 1 Решение. ∆n = ν кt − = ⎜⎛ ν к − ⎟⎞ t = υк = 600 Гц, T ⎝ T⎠ T = 5 мс = 1 ⎛ ⎞ 4 = ⎜ 600 Гц − ⎟ ⋅ 60 с = 2 ,4 ⋅ 10 . = 5 ⋅ 10−3 с, 5 ⋅ 10−3 с ⎠ ⎝ t = 1 мин = Т.к. ∆n >0, то больше колебаний делает комар. 60с. Ответ: комар. Найти: ∆n

121

№ 413(411). Дано: a = 1 мм = 10

– 3

Решение. S = 4an ; n = νt ;

м,

S = 4aνt = 4 ⋅ 10−3 м ⋅ 103 Гц ⋅ 0,2 с = 0,8

υ = 1 кГц = 103 Гц, м. t = 0,2 с. Ответ: S = 0,8 м. Найти: S . № 414(412). Дано: ν1 = 420 ⎛ν S S ν ⎞ Решение. ∆n = ν 2 − ν1 = S ⎜ 2 − 1 ⎟ = v2 v1 v Гц, ⎝ 2 v1 ⎠ ν 2 = 300 Гц, ⎛ 300 Гц 420 Гц ⎞ = 500 м ⋅ ⎜ − ⎟ = −5000; v1 = 7 м/с, 7 м/с ⎠ ⎝ 6 м/с Значит, при полете за нектаром пчела соv2 = 6 м/с, вершает больше колебаний крыльями. S = 500 м. Ответ: пчела. Найти: ∆n № 415(413). а) Приподнять гирю и без начальной скорости отпустить; б) Толкнуть гирю в нижней точке подвеса. № 416(414). Решение. Дано: m = 640 г=0,64 кг, kx 2 mv 2 = ; k = 0,4 кН/м=400 2 2 Н/м, 0,64 кг m x= v= ⋅ 1 м/с = 0,04 м. v = 1 м/с. k

400 Н/м

Найти: x. Ответ: x = 0,04 м. № 417(415). 2 Дано: mv 2 kx 2 x2 ⎛ x⎞ = ; m = k 2 = k⎜ ⎟ = ; Решение. k = 0,5 кН/м = 500 2 2 ⎝v⎠ v Н/м, 2 ⎛ 0 ,06 м ⎞ x = 6 см = 0,06 м, = 500 Н/м ⋅ ⎜ ⎟ = 0 ,2 кг. ⎝ 3 м/с ⎠ v = 3 м/с. Ответ: m = 0,2 кг. Найти: m № 418(416). Дано: k x2 k x2 x 1 k x Решение. 1 1 = 2 2 ; x2 = 1 x1 = 1 ; 2 = . k = 4k 2

Найти: x2 x1

122

2

1

Ответ:

x2 1 = . x1 2

2

k2

2

x1

2

№419(н) Дано: m = 100г

Решение. Из рисунка A = 0 ,5 м

T = 0 ,8c => ω =

2π 1 = 7 ,8 T с

F = 3,125 Н

Найти: A, T, w, F- ? № 420(419) Дано: k = 250 Н/

м,

n = 20 , t = 16 с.

1 с

Ответ: A = 0 ,5 м , T = 0,8c, ω = 7 ,8 , F = 3,125 Н

Решение. T = 2π m=

t m ;T = ; n k

kT 2 4π2

=

kt 2 4π2n2

≈

250 Н/м ⋅ (16 с ) 4 ⋅ 3,142 ⋅ 202

2

= 4 кг.

Ответ: m = 4 кг. Найти: m № 421(420). Дано: 1 k 1 k Решение. ν1 = ; ν2 = ; m = 100 г = 2π M 2π M + m 0,1кг, ν M +m m n= 1 = = 1+ ; n = 1,41 M

ν2

n2 = 1 +

Найти: M № 422(421) Дано: 1 l2 = l1 4

m m 0 ,1 ; M= 2 = ≈ 0 ,101 кг. M n − 1 1, 412 − 1

Ответ: M = 0,101 кг. Решение. k1 l2 l = ; k2 = 1 k1 = 4k1; k2 l1 l2 ν1 ∝ k1 ; ν 2 ∝ k2 = 2 k1 ;

Найти: ν2 . ν1

M

Ответ:

ν2 = 2. ν1

ν2 = 2. ν1

123

№ 423(н). Дано: m = 400г k = 250Н/м A = 15см Найти: E-?v? № 424(423). Дано: l2 = 3l1.

Найти:

Решение. kx 2 mv 2 k = <=> v = x m 2 2 E = 2 ,8 Дж v = 3,8 м / с E=

Ответ: E = 2,8Дж, v = 3,8м/с.

Решение. ν1 ∝ Ответ:

ν2 . ν1

№ 425(424). Дано:

1 1 1 ν 1 . ; ν2 ∝ = ; 2 = l1 3 l2 3l1 ν1

ν2 1 = . ν1 3

n1 = 10

Решение. 1)

n2 = 30

2)

,

t l t2 = 2π 1 ; l1 = g 2 2 ; n1 g 4n1 π

t l = 2π 2 ; n2 g

l2 = g

t2 4n22 π 2

;

3)

2

2 l2 n12 ⎛ n1 ⎞ ⎛ 10 ⎞ 1 = 2 =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = . l1 n2 ⎝ n2 ⎠ ⎝ 30 ⎠ 9

Найти: l2 l1

№ 426(н). Дано: l1 1 = l2 3

A1 =2 A2 Найти: E2 −? E1

124

Ответ:

l2 1 = . l1 9

Решение. E прямо пропорциональна квадрату амплитуды и обратно пропорциональна длине, следовательно E2 = 12. E1 Ответ: E2 = 12. E1

№ 427(425). Решение. Дано: l = 80 см = t l = 2π ; 0,8 м, n g t = 1 мин = 60 4π2n2 4 ⋅ 3,142 ⋅ 342 с, g= 2 l= ⋅ 0,8 м ≈ 10,3 м/с2. 2 t n = 34 . ( 60 с)

Найти: g. Ответ: g ≈ 10,3 м/с. № 428(426). а) Увеличивается длина подвеса. Значит, возрастет период. Значит, часы будут отставать. б) Уменьшится ускорение свободного падения. Значит, возрастет период. Значит, часы будут отставать. в) Уменьшится эффективное ускорение свободного падения, это уменьшение связано с вращением Земли вокруг своей оси. Значит, возрастет период. Значит, часы будут отставать. № 429(427). Решение. Дано: n1 = 50 , l t t l 1) l2 = l1 + ∆l ; = 2π 2 ; = 2π 1 ; n2 g n2 = 30 , n1 g ∆l = 32 с t l + ∆l ; = 2π 1 м= n2 g =0,32 м. 2) t / ⎛⎜ t ⎞⎟ = l1 + ∆ l = 1 + ∆ l = n1 ; n 2 ⎜⎝ n1 ⎟⎠

l1

l1

n2

2

∆l 0 ,32 м ∆l ⎛ n1 ⎞ = ≈ 0 ,18 м. = ⎜ ⎟ − 1; l1 = 2 2 l1 ⎝ n2 ⎠ 50 ⎛ n1 ⎞ − 1 − 1 ⎜n ⎟ 30 ⎝ 2⎠ 3) l2 = l1 + ∆l = 0 ,18 м + 0,32 м = 0 ,5 м.

( )

Найти:

Ответ: l1 ≈ 0,18 м, l1 = 0,5 м.

l1 ,l2

125

№ 430(428). По графику видно, что амплитуда колебания 1 вдвое больше амплитуды колебания 2; период колебания 1 также вдвое больше периода колебания 2; отсюда имеем, что частота колебания 1 вдвое меньше частоты колебания 2. № 431(429). По графику видно, что период равен 0,2 с; значит,

частота равна

1 = 5 Гц; амплитуда равна 10 см. 0,2 c

№ 432(430). в); г); д); ж). № 433(431). Потому, что усилие можно передавать малыми порциями, пользуясь явлением резонанса. № 434(432). Нет. Точки должны быть в фазе с собственными колебаниями автомобиля. № 435(433). От частоты собственных колебаний батута. № 436(434). Период собственных колебаний автомобиля больше, если масса автомобиля больше, это значит, что частота меньше при большей массе. «Частота» же выбоин больше при большей скорости. Это значит, что машину будет больше трясти при меньшей скорости. № 437(н). Дано: Решение. T = 1,6c При совпадении частот, то есть 2 l = Tv <=> v = 0, 75 м / с . l = 60см

Найти: v. № 438(435). Дано: v = 6 м/с λ =3м

Ответ: v = 0,75м/с. Решение.

Найти: T,

Ответ: T = 0,5c, w = 12,1 1/c.

λ = vT <=> T =

λ v

= 0,5c => ω =

2π 1 = 12,1 T c

w. № 439(436). Дано: t = 10 с, n = 20 , λ = 1,2 м. Найти: v

126

Решение. λ =

t nλ 20 ⋅ 1,2 м v; v = = = 2 ,4 м/с. t 10 с n

Ответ: v = 2,4 м/с.

№ 440(437). Решение. Дано: T = 50 с, nλ ; v= λ = 0,5 м, t t = 5 с, 50 с T ⋅ 0,5 м = 100 м. l = vT = n λ = 20 ⋅ n = 20 . 5с t Ответ: l = 100 м. Найти: l № 441(н). Дано: c Решение. c = ν λ<=>λ= = 1, 2 м с = 2,4 м/с ν ν = 2 Гц следовательно для данных значений l соотl = 10, 60, 90, ветственно получаем 120, 140 см ∆ϕ = π/6, π, 3π/2, 2π, 7π/8. Найти: ∆ϕ Ответ: ∆ϕ = π/6, π, 3π/2, 2π, 7π/8. № 442(438). Дано: c 340 м/с ≈ 79 Гц; Решение. c = ν1λ1 ; ν1 = = λ1 = 4,3 м, λ1 4 ,3 м c 340 м/с λ 2 = 25 см, c = ν 2 λ 2 ; ν2 = = = 1360 Гц. λ 2 0,25 м c = 340 м/с. Найти: Ответ: ν1 ≈ 79 Гц, ν2 = 1360 Гц. ν1 , ν 2 . № 443(439). Дано: c 340 м/с ≈ 3,8 м; Решение. λ1 = = ν1 = 90 Гц, ν1 90 Гц c 340 м/с ν 2 = 9000 λ2 = = ≈ 0 ,038 м = 3,8 см. ν 2 9000 Гц Гц, c = 340 м/с. Найти: Ответ: λ1 = 3,8 м, λ 2 = 3,8 см. λ1 , λ 2 .

№ 444(440). Дано: t = 15 с, c = 340 м. Найти: l. № 445(441).

Решение. l = сt = 340 м/с ⋅ 15 с = 5100 м. Ответ: l = 5100 м. l α

h

127 α

Дано: α = 73o ,

Решение. h = ct; l = vt ;

c = 340 м/с.

v = c ⋅ ctg α = 340 м/с ⋅ ctg 73o ≈ 100 м/с.

Найти: v. № 446(442). Дано: t = 2 с, T = 36 с, c = 340 м/с. Найти: v № 447(443). Дано: t = 45 с, c1 = 340 м /с, с.

l v = ctg α; = ctg α; h c

Ответ: v = 100 м/с. Решение. vT = (v + c )t ; 340 м/с ⋅ 2 с ct v= = = 20 м/с. (T − t ) 36 с − 2 с Ответ: v = 20 м/с. Решение. c2T = c1 (T + t ) ; T = t L = c2T = t

c2 =1400 м/ м = = 20 км.

c1 ; c2 − c1

c1c2 1400 м/с ⋅ 340 м/с = 45 с ⋅ ≈ 2 ⋅104 1400 м/с − 340 м/с c2 − c1

Ответ: L = 20 км. Найти: L. № 448(н). Частота не изменится, длина волны увеличивается приблизительно в 4 раза. № 449(445). Комар, т.к. он «пищит» выше. № 450(446). Работающая в холостую дрель делает больше оборотов в единицу времени, поэтому звук, создаваемый ей, будет выше. № 451(447). 2l 2 ⋅ 68 м Дано: c = 340 Решение. t = = = 0 ,4 с. м/с, c 340 м/с l = 68 м. Найти: t . Ответ: t = 0,4 с. № 452(448). Дано: 2h = ct; Решение. c = 1400 м/с, ct 1400 м/с ⋅ 0,6 с h= = = 420 м. t = 0,6 с. 2 2 Найти: h. 128

Ответ: h = 420 м.

№ 453(449). Из-за многократного отражения звука.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Основы молекулярно-кинетической теории Основным положением молекулярно-кинетической теории является утверждение, что все тела состоят из мельчайших частиц (молекул, атомов и т.д.), которые движутся и взаимодействуют между собой. Доказательствами молекулярного строения вещества являются дробление тел, плавление, испарение, диффузия, броуновское движение и т.д. Молярной массой M вещества называется масса такого количества молекул данного вещества, которое содержится в углероде 12 C массой 12 г. Молярную массу вещества можно узнать по таблице Менделеева, сложив атомные массы всех атомов, входящих в молекулу этого вещества. При этом молярная масса будет измеряться в г/моль. Для перевода в систему СИ это значение следует умножить на 10–3. При этом молярная масса измеряется в кг/моль. Так, например, молярная масса водорода H 2 равна 2 г/моль=2⋅10–3 кг/моль. 1

В одном моле любого вещества содержится N A = 6,022 ⋅1023 моль– молекул. Число N A называется постоянной Авогадро. Масса од-

ной молекулы m0 выражается формулой m0=

M . NA

Количеством вещества ν называется отношение числа молекул N к числу Авогадро N A : ν=

M . NA

m . M Идеальным газом называется газ, в котором молекулы движутся свободно и взаимодействуют между собой и со стенками сосуда только при столкновениях. Модель идеального газа удовлетворительно описывает достаточно разреженные газы. Если m — масса вещества, то ν =

Среднеквадратичной скоростью молекул дующая физическая величин v 2 =

v2

называется сле-

v12 + v22 + v32 + ... , N

129

где v1 , v2 , v3 , … ⎯ скорости молекул: первой, второй, третьей, и так далее до N. Отметим, что средняя скорость молекул равна v2 .

нулю и не равна

Концентрацией молекул n называется отношение числа молекул

N в объеме V к этому объему V: n =

N . V

Давление p можно выразить следующей формулой p = 1 m0 n v 2 . 3

Это уравнение носит название основного уравнения молекулярно кинетической теории (МКТ) газов. Это уравнение можно переписать в виде p = 1 ρ v 2 = 2 n Eк , 3

3

где ρ ⎯ плотность газа, Eк =

m0 v 2 2

энергия молекулы газа. Средняя кинетическая энергия Eк

⎯ средняя кинетическая связана с температурой T

газа формулой Eк = 3 kT , 2

где k ⎯ постоянная Больцмана. Она численно равна k=1,38⋅10–23 Дж/К. Можно доказать следующую формулу: p = nkT. Из нее следует уравнение Менделеева-Клапейрона pV = m RT ,

M Дж ⎯ универсальная газовая постоянная. моль×К При неизменной массе и составе газа pV = const . Если же постоT

где R = kN A = 8,31

янна еще и температура, то pV = const (изотермический процесс), если давление постоянно, то ли объем постоянен, то

V =const (изобарический процесс), есT

p =const (изохорический процесс). T

Водяной пар всегда присутствует в атмосфере Земли, как малая примесь, но он во многом определяет погоду. Влажность воздуха можно характеризовать парциальным давлением пара p или плотностью пара ρ (абсолютная влажность). Насыщенным паром называется пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью. При определенной температуре существует такое давление, при котором водяной пар становится насыщенным. Такое давление pнас называется давлением насыщенного пара. Это давление можно найти по таблице в задачнике. Относительной влажностью ϕ назы130

вается отношение парциального давления пара p к давлению насыp . Если ρнас — плотность насыщенного щенного пара pнас: ϕ = пара, то ϕ =

ρ ρ нас

pнас

.

В жидкостях имеет место явление поверхностного натяжения. Оно состоит в том, что жидкость стремится уменьшить свою энергию, минимизировав поверхность. Как известно, из всех тел заданного объема минимальной поверхностью обладает шар. Именно поэтому жидкость в невесомости приобретает шарообразную форму. Сила поверхностного натяжения F, действующая на тело длины l, выражается формулой F = σl, где σ ⎯ коэффициент поверхностного натяжения. Пусть имеется твердое тело длинной l с площадью поперечного сечения S, которое под действием силы F удлинилось на ∆l. Тогда имеет место формула σ = Eε , где σ = F −напряжение в теле, E — константа, которая называется S

модулем Юнга, ε = № 454(450). Дано: m = 5,4 кг, −2

µ = 2,7 ⋅ 10 кг/мо

ль.

∆l — относительное удлинение. l

Решение. ν=

5,4 кг m = = 2 ⋅102 моль. µ 2,7 ⋅10−3 кг/моль

Найти: ν. Ответ: ν = 2⋅102 моль. № 455(451). Дано: Решение. ν = 500 моль, m = µν = 500 моль ⋅ 4,4 ⋅ 10 −2 кг/моль = 22 −2 µ = 4,4 ⋅ 10 кг/мо кг. ль. Ответ: m = 22 кг. Найти: m . № 456(452). Дано: Решение. m = ρV = µν ; µ = 0,2кг/моль, µν 0,2 кг/моль ⋅ 100 моль V= = ≈ 0,0015 ρ = 13600 кг/м3, ρ 13600 кг/м 3 ν = 100 моль. м3. Найти: V Ответ: V ≈ 0,0015 м3.

131

№ 457(453). Дано: Решение. µ1 = 0,207 m1 = ρ1V1 = µ1ν; m2 = ρ 2V2 = µ 2 ν; кг/моль, V1 µ1 ρ 2 207 кг/моль 7 ,8 ⋅ 103 кг/м3 ≈ = = ρ1 = 11,3 ⋅ 10 3 кг/м3 V2 µ 2 ρ1 119 кг/моль 11,3 ⋅ 103 кг/м3 , 1,2; = 0,119 µ2 m1 µ1 207 кг/моль = = ≈ 1,7. кг/моль, m2 µ 2 119 кг/моль 3 3 ρ 2 = 7,8 ⋅ 10 кг/м . V m V1 m1 Ответ: 1 = 1,2 , 1 . = 1,7 . , . V2 m2 V2 m 2 № 458(454). Решение. Дано: 3 VN 2 = 2 м , 1) При постоянном давлении и объеме 1 моль любого газа занимает объем V0 , который не зависит от сорта газа.

Найти:

2) ν =

VN 2 V0

; VH 2 = νV0 = V N 2 = 2 м3.

3) Аналогично V0 2 = 2 м3. Ответ: VH 2 = V N 2 = 2 м3.

Найти: VH 2 , VN 2 .

№ 459(455). Дано:

Решение. 23

N A = 6 ,04 ⋅ 10 мол –1

ь ,

m1 =

µ1 = 2 ⋅ 10−3 кг/моль

µ1 2 ⋅ 10−3 кг моль = ≈ 3,3 ⋅10−27 кг; N A 6,04 ⋅ 1023 моль-1

m2 =

, µ 2 = 1 ⋅ 10−3

кг/моль. Найти: m1 ,m2 . № 460(456). Дано: µ = 44 г/мол

ь, m = 1 г.

132

кг.

µ2 1 ⋅ 10−3 кг моль = ≈ 1,7 ⋅ 10−27 кг. N A 6,04 ⋅ 1023 моль-1

Ответ: m1 = 3,3⋅10 – 27 кг, m1 = 1,7⋅10 – 27

Решение. N = NA

m 1г = 6,04 ⋅ 1023 моль ⋅ ≈ 1,37 ⋅ 1022 . µ 44 г/моль

Найти: N Ответ: N ≈ 1,37⋅1022. № 461(457). Решение. Дано: m 135 г m = 135 г, N = N A = 6 , 04 ⋅ 10 23 кг ⋅ ≈ 3 ⋅ 10 24 . µ 27 г/моль µ = 27 г/моль. Найти: N Ответ: N ≈ 3⋅1024. № 462(458). Дано: Решение. m S = 20 см2=0,02 м2, N = NA ; – 6 h = 1 мкм=10 µ м, N m = ρSh ; N = ρ A Sh = ρ = 10,5 ⋅ 103 кг/м3 µ , 6,04 ⋅10−23 моль-1 = 10,5 ⋅103 кг/м3 ⋅ ⋅ 0,02 ⋅10−6 ≈ µ = 108 г/моль. 108 г/моль

Найти: N № 463(459). Дано: N A , ρ, µ, m, V

≈ 1,2⋅1020. Ответ: N ≈ 1,2⋅1020. Решение. m ρV 1) N 2 = N A ; 2) m = ρV ; N 3 = NA ; µ µ 3) Для единичного объема N1 численно выражается формулой для N3 при V = 1 м3, т.е. N1 =

Найти:

Ответ: N 1 = ρ N A , N 2 = m N A , N 3 = ρ V N A .

N1 , N 2 , N 3

µ

№ 464(460). Дано: n1 = 3 ⋅ 1016 м –3

, 2

ρ NA . µ

18

n =8,5 ⋅10 м –3, µ1 =201 г/моль, µ 2 = 71 г/моль.

Решение. 1) n1 = n1 = N Aρ1

ρ1 =

µ

µ

m N1 ; N1 = N A ; m1 = ρ1V ; µ1 V

1 ; M1

n1µ1 3 ⋅ 1016м −3 ⋅ 201 г/моль = ≈ 10−5 г. NA 6 ⋅ 1023моль-1

2)

Аналогично

nµ 8,5 ⋅ 1018м −3 ⋅ 71 г/моль ≈ 10−3 г. ρ2 = 2 2 = NA 6 ⋅ 1023моль-1

133

Найти: ρ1 , ρ 2 . № 465(461). Дано: d = 2,3 ⋅ 10−10 м, µ = 2 г/моль, m = 1 мг =10 – 3 г.

Ответ: ρ1 ≈ 10 −5 г, ρ 2 ≈ 10 −3 г. Решение. N = NA

m m ; l = Nd ; l = dN A = µ µ

= 2 ,3 ⋅ 10−10 м ⋅ 6 ⋅ 1023 моль-1 ⋅

10−3 г = 6 ,9 ⋅ 1010 м = 2

= 6,9 ⋅ 107 км. Эта величина на два порядка больше расстояния от Земли до Луны. Ответ: l = 6,9⋅107 км.

Найти: l № 466(462). Дано: m = 200 г=0,2 кг, t = 20 сут=1,728⋅10 6 с, µ = 1,8 ⋅10 −2 кг/мол ь.

Решение. m0 = n=

µ m mN A = ; N= ; NA µ m0

N mN A 0 ,2 кг ⋅ 6 ⋅ 1023 моль-1 = = ≈ t µt 1,8 ⋅ 10−2 кг/моль ⋅ 1,728 ⋅ 106 с

≈ 3,9 ⋅ 1018 c-1 .

Найти: n Ответ: n ≈ 3,9⋅1018 с – 1. № 467(463). Решение. Дано: h = 10 м, mN A mN A S = 20 км2= 2 ⋅ 1013 V = Sh ; ; n= = 2 µV µSh м, m = 0,01 г=10 – 5 N = nV = mN AV0 = 0 µSh кг, 3 −6 V0 = 2 см = 2 ⋅ 10 0,01 г ⋅ 6 ⋅ 1023 моль −1 ⋅ 2 ⋅ 10−6 м-3 6 = = 10 . м3, 59 г/моль ⋅ 2 ⋅ 1013м 2 ⋅ 10 м µ = 59 г/моль. Ответ: N = 106. Найти: N № 468(464). Дано: Решение. ρ = 2200 кг/м Пусть в кристалле содержится N молекул. 3 m m , V = 2 Nd 3 ; N = N A ; m = ρV ; V = ; ρ µ µ=

134

Найти: d

N= d3 =

m

µ

NA ; m =

Nµ Nµ = 2 Nd 3 ; ;V= NA ρN A

µ µ ; d=3 2ρN A 2ρN A

№ 469(465). Дано: Решение. p2 = 4 p1 1 1 p1 = ρv12 ; p 2 = ρv22 ; 3 3 Найти: v Ответ: 2 = 2. v2 v1 v1 № 470(466). Решение. Дано: µ µ 2 = 32 г/моль, m01 = 1 ; m02 = NA µ 1 = 2 г/моль.

v2 = v1

p2 = 4 =2. p1

1 µ2 ; p1 = m01nv 2 ; NA 3

m 1 p µ 32 г/моль p2 = m02 nv 2 ; 2 = 02 = 2 = = 16 . 3 p1 m01 µ1 2 г/моль

Найти:

p2 p1

№ 471(467). Дано: 1 V2 = V1 3

p2 p1 № 472(468). Дано: v = 500 м/с, 1,35 ρ= кг/м3. Найти: p

Найти:

Ответ:

p2 = 16. p1

Решение.

p1 =

1N m0v 2 ; 3 V1

p2 =

1N m0v 2 ; 3 V2

p2 V1 = =3. p1 V2

Ответ:

p2 = 3. p1

Решение. 1 1 2 p = ρv 2 = ⋅ 1,35 кг/м3 ⋅ ( 500 м/с ) ≈ 1,1 ⋅ 105 Па. 3 3

Ответ: p ≈ 1,1⋅105 Па.

135

№ 473(469). Дано: m = 6 кг, V = 5 м3, p = 200 кПа

Решение. 1 1m 2 p = ρv 2 ; p = v ; 3V 3 v=

=

3 pV 3 ⋅ 2 ⋅ 105 Па ⋅ 5 м3 = ≈ 700 м/с. m 6 кг

=2⋅105 Па. Найти: v Ответ: v ≈ 700 м/с. № 474(470). Дано: Решение. 5 1 µ 2 3 pN A p = 0 ,2 Мпа= 2 ⋅ 10 p= n v ; n= = 3 N µv 2 A Па, v = 700 м/с, –3 3 ⋅ 2 ⋅ 105 Па ⋅ 6 ⋅ 1023 моль-1 = ≈ 2 ,3 ⋅ 1025 м −2 2 −2 µ = 2,8 ⋅ 10 кг/моль 2 ,8 ⋅ 10 кг/моль ⋅ ( 700 м/с ) . Найти: n . Ответ: n ≈ 2,3⋅1025 м3. № 475(471). Дано: 1 µ 3 pN A Решение. 1) p = ρ1 1 v12 ; v1 = = µ1 = 2,8 ⋅ 10−2 кг/мол 3 NA ρ1µ1 ь, 3 ⋅ 10100 Па ⋅ 6 ⋅ 1023 моль-1 = = 490 м/с. µ 2 = 3,2 ⋅ 10−2 кг/мо 1,25 кг/м3 ⋅ 2 ,8 ⋅ 10 −2 кг/моль ль, 1 µ 3 pN A ρ1 = 1,25 кг/м3, 2) p = ρ2 2 v22 ; v2 = = 3 NA ρ 2µ 2 ρ 2 = 1,43 кг/м3, p = 10100 Па. 3 ⋅ 10100 Па ⋅ 6 ⋅ 1023 моль-1 = ≈ 460 м/с. 3 −2 1,41 кг/м ⋅ 3,2 ⋅ 10 кг/моль

Найти: v1 , v 2 . № 476(472). Дано: p = 20 кПа,= 2 ⋅ 104 Па, n = 3 ⋅1025 м – 3.

Найти: E

136

Ответ: v1 = 490 м/с, v2 ≈ 460 м/с. Решение. 2 p = nE ; 3 E=

3 p 3 ⋅ 2 ⋅ 104 Па = = 10−21 Дж. 2n 2 ⋅ 3 ⋅ 1025 м-3

Ответ: Е = 10 – 21 Дж.

№ 477(473). Решение. Дано: E2 = 2 E1

p1 =

, 1 V2 = V1 3

p 2 m 2 3m 2m E1 ; p 2 = E2 = ⋅ 2 E1 = 6 p1 ; 1 = 3 V1 p2 3 V2 3 V1

3.

. Найти:

Ответ:

p1 p2

№ 478(474). Дано: E = 6 ,21 ⋅ 10

p1 =3. p2

Решение.

−21

Д

ж.

E=

3 kT ; 2

T=

2 E 2 6 ,21 ⋅ 10−21 Дж = = 300 К. 3 k 3 1,38 ⋅ 10−23 Дж/К

Ответ: Т = 300 К.

Найти: T № 479(475). Дано: E2 = 2 E1 ,

3 2

Решение. E1 = kT1 ; E2 = 2 E1 =

3 kT2 = 3kT1 ; 2

T2 = 2T1 = 2 ⋅ 200 К = 400 К.

T1 = −73o С=200

К. Найти: T2 № 480(476). Дано: T1 = 7o С=280К, T2 = 350С=308 К. Найти:

E2 − E1 E1

№ 481(477). Дано: T = 290 К, p = 0,8 М Па= =8⋅105 Па

Ответ: T2 = 400 К. Решение. E2 − E1 E2 308 = −1 = − 1 = 0,1 или 10%. E1 E1 280

Ответ:

E2 − E1 = 0,1 или 10%. E1

Решение. 3 3 – 21 Дж; E = kT = ⋅1,38 ⋅10−23 Дж/К ⋅ 290 К ≈ 6⋅10 2 2

p = nkT ; n = p = kT

8 ⋅ 105 Па 1,38 ⋅ 10−23 Дж/К ⋅ 290 К

≈ 2 ⋅ 1026 м

–

3

. 137

Ответ: Е ≈ 6⋅10 – 21 Дж, п ≈ 2⋅1026 м – 3.

Найти: E ,n

№ 482(478). Решение. Дано: p = 100 кПа=105 p = nkT; Па, p 105 Па T= = ≈ 72 К. 25 – 3 − 23 n = 10 м . nk 1,38 ⋅ 10 Дж/К ⋅ 1025 м3 Найти: T № 483(479). Дано: p Решение. p1 = n1kT1; n1 = 1 ; p2 = n2kT2; p1 = 101325 kT1 Па, T1 = 288,15 К, n = p 2 ; n1 = p1 T2 = 101325 Па 216,65 К ≈ 3,927 . 2 kT2 n2 T1 p2 288,15 К 19399 Па p1 = 19399 Па, T2 = 216,65 К.

Найти:

n1 n2

№ 484(480). Дано: µ = 2 ⋅10−3 кг/мо ль, T = 270 С=30 0К.

Ответ:

Решение.

138

v1 v2

3 ⋅1,38 ⋅10−23 Дж/К ⋅ 300 К ⋅ 6 ⋅1023 моль-1 2 ⋅ 10−3 кг/моль

м/с. Ответ: v = 1930 м/с. Решение. v12 v 22

Найти:

m0v 2 3 µ 2 µ ; v = 3kT ; = kT ; m0 = NA NA 2 2

3kTN A = µ

v=

=

Найти: v № 485(481). Дано: µ1 = 2 г/моль, µ2 = 32 г/мол.

n1 ≈ 3,927. n2

=

µ1 v12 3 µ v2 3 = kT ; 2 2 = kT NA 2 2 NA 2 2

µ 2 v1 µ2 32 г/моль ; = = =4. µ1 2 г/моль µ 1 v2

Ответ:

v1 = 4. v2

≈ 1930

№ 486(482). Дано: v = 830 м/с, µ = 2,8⋅10 – 2 кг/моль.

2 Решение. µ v = 3 kT ;

NA 2

2

2 ,8 ⋅ 10−2 кг/моль ⋅ ( 830 м/с ) µv 2 = ≈ 776 3 N Ak 3 ⋅ 6 ⋅ 10−23 моль-1 ⋅ 1,38 ⋅ 10−23 Дж/К 2

T=

К. Найти: T Ответ: Т ≈ 776 К. № 487(483). Дано: Решение. o T1 = −30 С=243 mv12 = 3kT1 ; К,

mv22 = 3kT2 ;

v2 T 303 К = 2 = ≈ 1,1 . v1 T1 243 К

T2 = 30o С=303

К. Найти:

v2 v1

№ 488(484). Дано: m = 1 кг, T ,v.

v2 ≈ 1,1 v1

Ответ: Решение. m = Nm0 ;

m0 = N=

3kT v2

m0v 2 3 = kT ; 2 2

;

m mv 2 = m0 3kT

.

2 Учитывая m = 1 , получим N = v .

3kT

Найти:

Ответ:

N

№ 489(485). Дано:

v2 N = 3 kT

.

Решение.

m = 1,75 ⋅ 10−12 кг

mv12 3 = kT 2 2

, −2

µ = 2,9 ⋅ 10 кг/м

оль.

mv12 =

;

µ 2 3 v2 = kT ; 2N A 2

µ 2 v2 ; NA

v2 mN A = = v1 µ

1,75 ⋅ 10−12 кг ⋅ 6 ⋅ 1023 моль-1 2,9 ⋅ 10−2 кг/моль

≈ 6 ⋅ 106

. 139

Найти: v2

Ответ:

v1

v2 v1

≈ 6⋅106.

№ 490(н). Решение. Дано: −2 m Pµ ρ µ = 2 ,9 ⋅ 10 кг/м PV = RT <=> P = RT <=> T = = 300 K µ µ Rρ оль 3 P = 124кПа E = kT <=> E = 6, 2 ⋅10 −21 Дж 3 2 ρ = 1,6 кг/м P 1 Найти: n, E, v , = 3 ⋅ 10 25 3 P = nkT <=> n = м kT T-? m v 2 µv 2 2 EN A E= 0 = <=> v 2 = => 2 2N A µ v=

2 EN A

= 480 м / с

µ № 491(н).Из-за особенностей распределения молекул по скоростям. № 492(487). Дано: Решение. 1) ∆l = 2πυr2t ; µ = 0,108 r 2) r2 = vЭt , t = 2 , ∆l = 2πυ r22 / v , кг/моль, vЭ υ = 45 с – 1, 2 -1 2 2πυ r2 2 ⋅ 3,14 ⋅ 45 c ⋅ ( 0,16 м ) ∆l = 1,12 см = ≈ ≈ 646 vЭ = ∆l 0,0112 м = 0,0112 м, r1 = 1,2 см = м/с; 3kT 3kN AT 3RT 0,012 м, 3) vT = = = = m µ µ r2 = 16 см =0,16 0 м, T = 1500 К. Дж 3 ⋅ 8,31 ⋅ 1500 К моль⋅К ≈ ≈ 590 м/с. 0 ,108 кг/моль

Ответ: vЭ ≈ 646 м/с, vТ ≈ 590 м/с. Найти: vЭ ,vТ № 493(488). Дано: Решение. pV = νRT ; p = 200 кПа pV 2 ⋅ 105 Па ⋅ 0 ,04 м3 ν= = ≈ 4 моль/ = 2 ⋅ 105 Па, RT 8,31 Дж ⋅ 240 К моль⋅К T = 240 К, V = 40 л = 0,04 м3. Найти: ν Ответ: ν = 4 моль. 140

№ 494(489). Дано: m mRT Решение. pV = RT ; p = = V = 20 л = 0,02 µ µV 3 м, Дж 2 ⋅ 8,31 ⋅ 285 К моль⋅К µ = 2 ,9 ⋅ 10−2 кг/м = ≈ 8,2 ⋅ 106 Па. 3 −2 ⋅ ⋅ 2 , 9 10 кг/моль 0 , 02 м оль, T = 120 С=285 К, m = 2 кг. Найти: p Ответ: p ≈ 8,2⋅106 Па. № 495(490). Дано: Решение. m RT m1 V = 25 л=0,025м ; 1) p1V = RT , p1 = 3 , V µ1 µ1 m1 = 20 г=0,02 RT m2 2) Аналогично: p2 = ; кг, V µ2 m2 = 2 г=0,002 кг, µ1 = 4⋅10 – 2 кг/моль, 3) µ 2 = 4 ⋅10−3 кг/м Дж оль, RT ⎛ m1 m2 ⎞ 8,31 моль⋅К ⋅ 301 К P = P1 + P2 = + = × ⎜ ⎟ T = 301 К. V ⎝ µ1 µ2 ⎠ 0,025 м3 0 ,02 кг 0 ,002 кг ⎞ ⎛ 5 ×⎜ + ⎟ = 10 Па. ⎝ 4 ⋅ 10-2кг/моль 4 ⋅ 10-3кг/моль ⎠

Найти: p. № 496(491). Дано: V = 64 м3, µ = 1,6 ⋅10−2 кг/м оль, p = 105 Па, T = 273 К.

Ответ: p = 105 Па. Решение. pV =

m=

m RT ; µ

µpV = RT

1,6 ⋅ 10−2 кг/моль ⋅ 105 Па ⋅ 64 м3 8,31

Найти: m

Дж моль⋅К

⋅ 273 К

≈ 45 кг.

Ответ: т ≈ 45 кг.

141

№ 497(492). Дано: µ = 2,9 ⋅ 10−2 кг/мо ль, V1 = 1,45 м3, T = 200 С= 293 К, P = 100 кПа = 105

Па,

ρ = 861 кг/м3.

Решение. m pV1 = RT ; µ m µpV1 V2 = = = ρ ρRT =

⋅ 293 К

Решение. p1V =

ль,

m m RT ; p2V = RT ; µ1 µ2

p2 µ1 4 ,4 ⋅ 10−2 кг/моль = = = 22. p1 µ 2 2 ⋅ 10−3 кг/моль p Ответ: 2 = 22. p1

µ 2 = 2 ⋅10−3 кг/мол

ь.

142

Дж ⋅ 8,31 моль⋅К

Ответ: V2 = 2⋅10 – 3 м3.

µ1 = 4 ,4 ⋅ 10 кг/мо

p2 p1

Дано: υ1 = 1 моль, T1 = 260 К, T2 = 390 К, υ2 = 2 моль. Найти:

861 кг/м

3

м.

−3

№ 499(494).

2,9 ⋅ 10−2 кг/моль ⋅ 105 Па ⋅ 1,45 м3

3

Найти: V2 № 498(493). Дано:

Найти:

m=

P

Решение. 1) pV = υ1 RT1 = RT1 ; 2) pV = υ 2 RT2 = 2RT1 ; 3) pV = υ1 RT2 = 1,5RT1

µpV1 ; RT

≈ 2⋅10

–

3

№ 500(495). Дано: T = 15o С=288

К,

Решение. m (1 − α ) m p1V = RT ; p2V = R (T − ∆T ) µ µ

α = 0,4 ,

p2 (1 − α )(T − ∆T ) ⎛ ∆T ⎞ = = (1 − α ) ⋅ ⎜1 − ⎟= p1 T T ⎠ ⎝

o

∆T = 8 С=8К

.

8K ⎞ ⎛ = (1 − 0 ,4 ) ⎜1 − ⎟ ≈ 0 ,6 . 288 K⎠ ⎝

p2 p1 № 501(496). Дано: µ1 = 32 г/мо ль, µ2 = 16 г/мол ь.

Найти:

Ответ:

p2 ≈ 0,6. p1

Решение. 1) pV = 2) pV =

m RT , µ1 p = ρ1 RT ; µ1

m RT , µ2 p = ρ2 RT ; µ2

3) ρ1 = µ1 = 32 г/моль = 2 . ρ2

Найти: ρ 1

ρ2

№ 502(н). Дано: ρ=1,29 кг/м3 Найти: µ?

µ2

16 г/моль

Ответ: ρ 1 =2 ρ2

Решение. pV =

ρ ρ m RT <=> P = RT <=> µ = RT µ µ P

н.у.: P = 105 Па, T≈293K µ=

1, 29 8,31⋅ 293 ≈ 0,03кг / м3 105

Ответ: µ =0,03 кг/м3. № 503(498). Дано: T = 750 К, p = кПа= 9,12 ⋅106 Па,

Решение. 9120

µ = 4 ,4 ⋅ 10−2 кг/моль.

ρ= =

µp = RT

4,4 ⋅ 10−2 кг/моль ⋅ 9,12 ⋅ 106 Па 8,31

Дж моль⋅К

⋅ 750 К

≈ 64 кг/м3 .

143

Ответ: ρ ≈ 64 кг/м3.

Найти: ρ № 504(499). Дано: p = 105 Па, T = 273 К, µ1 = 2 ,8 ⋅ 10

−2

Решение. p1V = p 2V =

кг/мо

m1 m µ p RT ; 1 = 1 1 ; µ1 V RT

m2 m µ p RT ; 2 = 2 2 ; p = p1 + p2 ; µ2 V RT

m1 + m2 m1 m2 1 = + = ( µ1 p1 + µ 2 p2 ) ; V V V RT m m p1 m1 ; p1 = p2 1 ; p1 = p − p2 = p2 1 ; = m m p 2 m2 2 2

ль,

ρ=

−2

µ2 = 4,4 ⋅10 кг/мол

ь, m1 = 56 г= 5,6 ⋅10−2

⎛m ⎞ m + m2 p = p2 ⎜ 1 + 1⎟ = 1 p2 ; m2 ⎝ m2 ⎠

кг, m2 = 44 г= 4,4 ⋅10−2 к г.

p2 = ρ= =

m2 m1 p ; p1 = p − p2 = p; m1 + m2 m1 + m2

p ( µ1m1 + µ2m2 ) = RT ( m1 + m2 ) 105 Па

8,31

Дж моль⋅К

(

(5,6 ⋅10−2 кг + 4,4 ⋅10−2 кг )

×

× 2 ,8 ⋅ 10 −2 кг/моль ⋅ 5 ,6 ⋅ 10 −2 кг +

)

+4 , 4 ⋅ 10 −2 кг/моль ⋅ 4 , 4 ⋅ 10 −2 кг = 1,5 кг/м 3 .

Найти: ρ. № 505(500). Дано: S = 20 м2, h = 2,5 м, T1 = 288 К, T2 = 298 К, µ = 2 ,9 ⋅ 10−2 К, p = 100 кПа=105

Па.

3

Ответ: ρ = 1,5 кг/м . Решение. pSh =

m m − ∆m RT1 ; pSh = RT2 ; µ µ

mT1 = (m − ∆m )T2 ; m(T2 − T1 ) = ∆mT2 ; ⎛ T ⎞ pShµ ∆m = m ⎜1 − 1 ⎟ ; m = ; T RT1 2⎠ ⎝ ∆m =

=

pShµ ⎛ T1 ⎞ ⎜1 − ⎟ = RT1 ⎝ T2 ⎠

105 Па ⋅ 20 м 2 ⋅ 2 ,5 м ⋅ 2 ,9 ⋅ 10−2 кг/моль 8,31

Дж моль⋅К

⎛ 288 К ⎞ × ⎜1 − ⎟ ≈ 2 кг. ⎝ 298 К ⎠

144

⋅ 288 К

×

Найти: ∆m № 506(501). Дано: µ = 2,9 ⋅ 10−2 кг/мо ль, V = 0,1 м3, T1 = 340 К, T2 = 290 К, p = 100 кПа=105 Па.

Ответ: ∆т ≈ 2 кг. Решение. 1) pV =

m1 µpV ; RT1 ; m1 = µ RT1

m′ m′ pµ m + m1 ;. ≤ρ RT2 ; ρ = = ′ RT2 V µ V 2) Найдем то m , при котором m + m1 = ρV ; m = ρV − m1 ; pV ′ =

m= =

µpV ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟= R ⎝ T2 T1 ⎠

2 ,9 ⋅ 10−2 кг/моль ⋅ 105 Па ⋅ 0 ,1 м3 8,31

Дж моль⋅К

×

1 ⎞ ⎛ 1 −2 ×⎜ − ⎟ = 1,8 ⋅ 10 кг = 18 г. ⎝ 290 К 340 К ⎠ 3) Значит ∆m < 18 г.

Найти: m № 507(502). Дано: p1 = 0,2 МПа,

Ответ: т = 18 г. Решение.

T1 = 15o С=288К,

V1 = 5 л, p2 = 0 ,1 МПа, T2 = 273 К.

Найти: V2 № 508(503). Дано: T1 = 50o С=323К, T2 = 250o С=523К, V1 = 0 ,75 л, V2 = 0 ,12 л, p1 = 80 кПа.

Найти: p2

V2 = V1

p1V1 p2V2 ; = T1 T2

p1 T2 0,2 МПа 273 К = 5 л⋅ ⋅ ≈ 10 л 0,1 МПа 288 К p2 T1

. Ответ: V2 ≈ 10 л. p1V1 p 2V2 ; = T1 T2

Решение. p 2 = p1

V1 T2 = V2 T1

= 80 кПа ⋅

0,75 л 523 К ⋅ ≈ 810 кПа. 0,12 л 323 К

Ответ: p2 ≈ 810 кПа.

145

№ 509(н). Дано: P = 405,2Па T = 300K S = 20см2 t = 20 мин m = 8,4 кг

Найти: v - ? № 510(505). Дано: T1 = 50o С=323К,

m mRT RT <=> V = Pµ µ l V mRT = 1,3 м / с. v= = = t St StPµ PV =

Ответ: v = 1,3 м/с. Решение. p1V1 p2V2 ; = T1 T2

1 V1 , 17 P2 = 50 P1 . V2 =

T2 = T1

Найти: T2 № 511(506). Дано: T2 = 2T1 ,

P2V2 1 = 323 K ⋅ 50 ⋅ = 950 K. PV 17 1 1

Ответ: T2 = 950 К. Решение.

p2 − p1 1 = 25% = . 4 p1

Найти:

Решение.

5 p2 − p1 p2 1 = − 1 = ; p2 = p1 = 1, 25 p1 ; 4 p1 p1 4 p1V1 p2V2 = T1 T2

;

V2 p1 T2 = = 1,25 ⋅ 2 = 2 ,5. V1 p2 T1

Ответ: V2 = 2,5.

V2 . V1

V1

№ 512(507). Дано: 1 1 = P2V2 . Т.к. увеличение объема Решение. PV PПР = 110 ,6 к T1 T2 не должно превышать 4%, можно считать Па, T1 = 7o С=280 V2 ≈ V1 . P1 T1 К, Тогда = ; P2 T2 P1 = 108 кПа,

0К,

146

T2 310 К P1 = ⋅108 кПа ≈ 120 кПа> PКР . 280 К T1

T2 = 37o С=31

P2 =

α = 4% . Найти: P2 .

Значит, опасность разогрева существует. Для ее предотвращения необходимо спустить часть воздуха.

№ 513(508). Дано:

Решение.

1 V2 = V1 , 2 ∆P = P2 − P1 = 120 к

Па, T −T τ = 2 1 = 10% = 0 T1

PV 1 1 = P2V2 ; P = P + ∆P ; 2 1 T1 T2

T2 = τT1 + T1 = ( τ + 1) T1 ;

PV P + ∆P 1 1 = ( P1 + ∆P )V1 ; ; P1 = 1 2 ( τ + 1) T1 T1 2 ( τ + 1) P1 =

∆P 120 кПа =100 кПа. = ( 2τ + 1) 2 ⋅ 0,1 + 1

Ответ: P1 = 100 кПа Найти: P1 . № 514(509). Истечение жидкости прекратиться, когда давление в баке сравняется с атмосферным. Для свободного вытекания жидкости необходимо открыть пробку. № 515(510). Решение. Дано: 1 1) PlS = P1 ( l + ∆l1 ) S ; ∆l1 = − l , 3 P1 l 1 1 3 = = = = = 1,5 ; 1 P l + ∆l1 1 + ∆l1 1 − 1 2 ∆l2 = l . 3 l 3

2) PlS = P2 ( l + ∆l2 ) S ; P1 = P2

Найти: P1 P2 , . P P

№ 516(511). Дано: V1 = 8 л, V2 = 5 л, ∆P = 60 кП

Ответ:

1 1+

∆l2 l

=

1 1+

1 3

=

3 = 0,75 . 4

P1 P = 1,5, 2 = 0 ,75. P P

Решение.

PV1 = (P + ∆P )V2 ; P(V1 − V2 ) = ∆PV2 ; V2 5 P = ∆P = 60 = 100 кПа. 8−5 V1 − V2

а. Ответ: P = 100 кПа. Найти: P. № 517(512). Дано: Решение. P2 = 1,5P1 P1V = P2 (V − ∆V ) ; , P1V = 1,5P1 (V − ∆V ) ; V = 1,5V − 1,5∆V ; ∆V = 30 0,5V = 1,5∆V ; V = 3∆V = 3 ⋅ 30 мл = 90 мл. мл. 147

Найти:

Ответ: V = 90 мл.

V.

№ 518(513). Дано: V = 0,5 л, V1 = 0,3 л,

Решение.

P0 (V − V1 ) = P (V − V1 + ∆V ) ;

( P0 − P ) (V − V1 ) = P∆V ;

5

P0 = 10 Па,

∆V =

P = 80 кПа=0,8⋅105

Па.

=

Найти: ∆V . № 519(514). Дано: ρ = 103 кг/м3, h = 6 мм, V1 = 10 м3, p0 = 10 5 Па.

0,8 ⋅ 105 Па

( 0,5 л − 0,3 л ) = 0,05 л.

Решение.

( p0 + ρgh )V1 = p0V2 ; V2 = V1

⎛ p0 + pgh pgh ⎞ = V1 ⎜1 + ⎟= p0 p0 ⎠ ⎝

⎛ 103 кг/м3 ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 6 м ⎞ 3 = 10 мм3 ⎜1 + ⎟ = 16 мм . 5 ⎜ ⎟ 10 Па ⎝ ⎠

№ 520(515). Дано: P0 = 105 Па,

Решение. P0V0 = ( P0 + ρgh )V ; V = V0

N= –

P0 ; P0 + ρgh

Vmax Vmax P0 + ρgh = = V V0 P0

Vmax ⎛ ρgh ⎞ ⎜1 + ⎟= V0 ⎝ P0 ⎠ =

10.

148

105 Па − 0,8 ⋅ 105 Па

Ответ: ∆V = 0,05 л.

Найти: V2 .

ρ = 103 кг/м3, h = 50 см = 0,5 м, 3 V0 = 5 мм = 5⋅10 3 3 см , Vmax = 1 см2. Найти: N .

P0 − P (V − V1 ) = P

⎛ 103 кг/м3 ⋅ 10 м/с2 ⋅ 0,5 м ⎞ ⎜1 + ⎟=2 ⎟ см ⎝ 105 Па ⎠

1 см3 −3

5 ⋅ 10

3⎜

№ 521(516). Дано: S = 24 см2

Решение. ⎛V ⎞ + ∆l1 ⎟ S ; P0V = P1V + P1∆l1S ; S ⎝ ⎠ ∆l1S V ; F1 = ( P0 − P1 ) S = P0 S = P1 = P0 V + ∆l1S V + ∆l1S

1) P0V = P1 ⎜

=

= 24⋅10 – м, V = 240 см3

3 2

, P0 = 100 кП

а, ∆l1 = 2 см,

= 105 Па ⋅ 2 , 4 ⋅ 10−3 м 2

2 см ⋅ 24 см 2 240 см3 + 2 см ⋅ 24 см 2

= =40

Н. 2) Проводя аналогичные выкладки, получим: F2 = P0 S ∆l2 S

V + ∆l 2 S

∆l2 = −2 см.

=

= 105 Па ⋅ 2 , 4 ⋅ 10−3 м 2

−2 см ⋅ 24 см 2 240 см3 − 2 см ⋅ 24 см 2

= – 60

Н. Знак минус показывает, что сила F2 направлена противоположно силе F1 . Найти: F1, Ответ: F1 = 40 Н, F2 = −60 Н. F2. № 522(н). Дано: Решение. Введем обозначения: V’ = 3л m0 – масса воздуха, который был в баллоне с саV = 45л мого начала, n =9 m’ – масса воздуха, добавляемого в баллон за 1 t’ = 1c с, P0 m – масса воздуха, который находится в баллоне в конце. m m m' Найти:t-?. PV = 0 RT ; nP0V = RT ; PV ' = RT 0

µ

µ

0

µ

t m − m0 nPV V (n − 1) µ − PV 0 µ N= = = 0 = = 120 t' m' PV V' 0 'µ => t = 120c = 2 мин. Ответ: t = 2 мин.

149

№ 523(518). Дано: h , P2 = nP1

.

Решение. P1S

h ⎛h ⎞ = PS ⎜ − ∆h ⎟ ; 2 ⎝2 ⎠

h ⎛h ⎞ = PS ⎜ + ∆h ⎟ ; 2 ⎝2 ⎠ h − ∆h P1 h + 2∆h = 2 = ; h P2 + ∆h h − 2∆h 2 nh − 2n∆h = h + 2∆h ; (n − 1)h = 2(n + 1)∆h ; n −1 ∆h = h . 2(n + 1) P2 S

Найти:

∆h .

№ 524(519). Дано: h = 60 см=0,6

м, т.≈

Ответ: ∆h = h

n −1 . 2(n + 1)

Решение. 2 3

1) P0S h = PS ( h − l ) ;

P0 = 76 см.рт.с

2 h ; P = P0 3 (h − l)

≈105 Па, ρ = 1,36 ⋅ 104 кг/

2) P0 = P + ρgl ;

м3.

P0 =

2 h + ρgl ; P0 3 h−l

3P0 h − 3P0l = 2 P0 h + 2ρglh − 3ρgl 2 ;

3ρgl 2 − 3(P0 + ρgh )l + P0h = 0 ; l1 =

3 ( P0 + ρgh ) − 9 P02 + 6 P0ρgh + 9ρ2 g 2 h 2 6ρg

=

= 0,12 м; l2 =

Найти: l . 150

3 ( P0 + ρgh ) + 9 P02 + 6 P0ρgh + 9ρ2 g 2h 2

не подходит, значит, l = l1 = 0,12 м. Ответ: l = 0,12 м.

6ρg

>h⎯

№ 525(н). Дано:

Решение.

h = 40

P0 = P1 + ρg ∆h

∆h = 5

P01 = P2 + ρg( ∆h + 1 )

см см P0 750 рт.ст.

= мм

Найти: P 01.

m RT µ S ⋅h m RT P2 = µ S ⋅( h −1) ∆h ⋅ h h + ρg( ∆h + 1 − P01 = P0 ) = 778 мм.рт.ст. h −1 h −1 P1 =

Ответ: P 01 =778 мм.рт.ст.

№ 526(521). Дано: µ = 2 ,9 ⋅ 10−2 кг/моль

, P0 = 105 Па,

P = 0,17 Мпа =

Решение.

( P + P0 )V = ρ=

5

= 1,7 ⋅ 10 Па, T = 0°С = 273 К.

=

m RT ; µ

µ ( P + P0 ) RT

=

(

2 ,9 ⋅ 10−2 кг моль 1,7 ⋅ 105 Па + 105 Па 8,31

Дж моль⋅К

⋅ 273 К

)≈

≈ 3,45 кг/м3. Найти: ρ.

Ответ: ρ ≈ 3,45 кг/м3.

151

№ 527(522). Дано: T2 = 27° C=300 К, T2 = 77° С=350 К, V1 = 6 л.

Решение. V1 V2 ; = T1 T2

Найти: V2 .

V2 = V1

№ 528(523). Дано: T1 = 20o С=293

К,

T2 350 К = 6 л⋅ = 7 л. T1 300 К

Решение. 1) P0V =

m1 RT1 ; µ

m2 RT2 ; T1ρ1 = T2ρ2 ; µ ρ2 T1 = ; ρ1 T2

α = 0,2 .

PV 0 =

2) (1 − α )Vρ1 = Vρ 2 ; ρ2 = 1−α ; ρ1 3)

T1 T 293 К = 1 − α ; T2 = 1 = ≈ 366 К. 1 − α 1 − 0,2 T2

Ответ: T2 ≈ 336 К. Найти: T2 . № 529(524). Решение. Дано: T2 = 1,4T1

, ∆V = 40

см3.

Найти: V1 .

152

V + ∆V V1 V1 + ∆V ; V1 = 1 ; ∆V = 0,4V1 ; = T1 T2 1,4 V1 =

∆V 40 см3 3 = = 100 см . 0,4 0,4

Ответ: V1 = 100 см.

=

№ 530(525). Дано: Решение. lS (l + ∆l )S T = 3°С

= ; l (T + ∆T ) = (l + ∆l )T ; T T + ∆T lT + l∆T = lT + ∆lT ; l∆T = ∆lT ;

=280 К,

∆T = 20

К,

∆l = l

l = 14 см

∆T 20 К = 14 cм ⋅ = 1 см. T 280 К

. Ответ: ∆l = 1 см.

Найти:

∆l .

№ 531(526). Дано: ∆T = 3 К,

Решение.

V V + ∆V = ; ∆V T T + ∆T = 1% = 0,01 V∆T = ∆VT ; V

.

T = ∆T

Найти: T . № 532(527). PV =

m

µ

RT ;

VT + V∆T = VT + ∆VT ;

V 3К = = 300 К. ∆V 0,01

Ответ: T = 300 К. µP R

= ρT ;

Т.к.

процесс

изобарический,

то

µP = const , а, значит, ρT = const. R

№ 533(528). Дано: µ1 = 3,2 ⋅ 10−2 кг/м3, −2

µ 2 = 2 ,8 ⋅10 кг/м

, T2 = 273 К.

3

Решение. P0V = P0V =

m

µ1 m

µ2

RT1 ; RT2 ;

P0V T1 = ; Rm µ1

P0V T2 T1 T2 ; ; = = Rm µ 2 µ1 µ 2 T1 =

µ1 3,2 ⋅ 10−2 кг/м3 T2 = ⋅ 273 К = 312 К. µ2 2 ,8 ⋅ 10−2 кг/м3

Найти: T1. Ответ: T1 = 273. № 534(529). Для того, чтобы они не нагревались, поглощая солнечное излучение, в них не повышалось давление, и они не рвались. 153

№ 535(530). Сначала стакан был нагрет, и давление в нем было атмосферным. После охлаждения давление уменьшилось и стало меньше атмосферного. Поэтому оторвать стакан от стола трудно. № 536(531). Дано: Решение. P1 P2 T1 = 27o С=300 К, = ; P1 = 75 кПа,

T1

T2 = −13o С=260

P2 = P1

К.

T2

T2 260 К = 75 кПа ⋅ = 65 кПа. T1 300 К

Найти: P2 . № 537(532). Дано: T1 = 7o С=280 К, P1 = 80 кПа, P2 = 100 кПа.

Ответ: P2 = 65 кПа.

Найти: T2 . № 538(533). Дано: T1 = −13o С=260

Ответ: T2 = 350 К.

К, P1 = 160 кПа, P0 = 100 кПа, T2 = 37o С=310

К.

Решение. P1 P2 ; = T1 T2 T2 = T1

P2 100 кПа = 280 К ⋅ = 350 К. 80 кПа P1

Решение. P1 + P0 P2 + P0 = ; T1 T2 P2 = =

T2 ( P1 + P0 ) − P0 = T1

310 К (160 кПа + 100 кПа ) − 100 кПа = 210 кПа. 260 К

Ответ: 210 кПа. Найти: P2 . № 539(534). Решение. Дано: P1 P2 ∆T = 140 К, P2 = 1,5P1 . ; = T T + ∆T 1 1,5 ; = T T + ∆T

Найти: T 154

0,5T = ∆T ; T = 2∆T = 2 ⋅ 140 К = 280 К. Ответ: T = 280 К.

№ 540(535). Дано: 2 S = 2,5 см

=

T0

2 ,5 ⋅ 10−4 м2,

=

Па, T0 = −3o С = 270 К.

Найти: T . № 541(536). PV =

T

2) F = (P − P0 )S ; P = P0 + F / S ;

Fтр = 12 Н, P0 = 100 кПа

Решение. 1) P0 = P ;

105

⎛ ⎞ 3) T = T0 P = T0 ⎜1 + F ⎟ = 270 К⋅ P0

⎝

SP0 ⎠

⎛ ⎞ 12 Н ⋅⎜1 + 5 ≈ 400 К. −4 2 ⎟ ⎝ 10 кПа ⋅ 2 ,5 ⋅ 10 м ⎠

Ответ: T = 400 К.

m RT ; µ1

а) m1 = m2 = m ; V1 > V2 ; P1 =

α α mR T ; P2 = T ; α = ; V1 V2 µ1

В обоих случаях графиком зависимости будет прямая, но для любого T выполнено неравенство: P1(T ) ≤ P2 (T2 ) . б) m1 > m2 ; V1 = V2 = V ; P1 = α m1T ; P2 = α m2T ; α =

R ; Vµ1

В обоих случаях графиком зависимости будет прямая, но для любого T выполнено неравенство: P1(T ) ≥ P2 (T ) . В обоих случаях P1(T ) = P2 (T ) возможно лишь при T = 0 . Т.к. абсолютный нуль недостижим, то знаки " ≤" и " ≥" можно заменить на " <" и " >" соответственно. № 542(537). Дано: Решение. νR α1 ,α 2 . 1) PV1 = νRT ; P = T ; P = tgα1 ⋅ T . V1

Найти: V2 . V1

Отсюда следует, что V1 ≈ ctgα1 . 2) Аналогично V2 ≈ ctgα 2 . V ctgα 2 3) 2 = . V1 ctgα1 V ctgα 2 . Ответ: 2 = V1 ctgα1

155

№ 543(538). T ; V 2) V = V0 + kT ;

1) P = α

3) P =

αT α ; = V0 + kT k + V0 T

Значит P (T ) есть функция возрастающая. Отсюда P(T2 ) > P(T1 ) . № 544(539). Участок АВ — изохора, ВС — изобара, CD — изотерма, DA — изобара.

P B

P

A

D

0

D

V C

B

D

A

B

0

T

T

№ 545(540). 1 ÷ 2 — не меняется; 2 ÷ 3 — растет; 2 ÷ 3 — уменьшается. Найдем растет или уменьшается объем на участке 3 ÷ 4: T P (T ) = P0 + kT ; V (P, T ) = α ; V (T ) = αT = α . P0 + kT k + P0 P T

Учитывая P0 < 0 растет. 3 ÷ 4 растет. № 546(541). Т.к. в первом случае испаряющиеся воды не уносятся с руки, а теплый воздух из легких увеличивает температуру. № 547(542). Из-за сильного испарения эфира. № 548(543). Решение. Дано: o T = 14 С По таблице 5 находим, что при T = 14o С , P = 1 кПа. Pнас = 1,6 кПа > P . Значит, пар не является насыщенным. 156

№ 549(544). Решение. Дано: o T = 25 С По таблице 5 находим, что при T = 25o С , 3 ρ = 23 г/м . ρ нас = 23 г/м3 = ρ . Значит, пар является насыщенным. № 550(545). Решение. Дано: V = 5 л = 0,005 m 0 ,05 3 м3, m = 50 мг = ρ= = = 10 г/м ; V 0,005 0,05 г. По таблице 5 находим, что плотности насыщенного пара ρ = 10 г/м3 соответствует тем-

пература T = 11o С. Ответ: T = 11o С.

Найти: T . № 551(546). Решение. Дано: S = 10 см2=10 – 3 1) По таблице 5 находим, что плотность м2, o насыщенного пара при T = 20o С ρ = 17,3 г/м3. T = 20 С, h = 15 см = 0,15 2) m = ρSh = 17,3 г/м 3 ⋅ 10 −3 м 2 ⋅ 0,15 м ≈ м. ≈ 2,6 ⋅ 10 −3 г = 2,6 мг. Найти: m . Ответ: m ≈ 2,6 мг. № 552(547). Дано: Решение. 1) По таблице 5 находим, что плотность наV = 2 л=0,002 м3, сыщенного пара при T = 20o С ρ1 = 17 ,3 г/м3, а T1 = 20o С, при T = 5o С ρ = 6,8 г/м3. T2 = 5o С.

2

2)

(

)

m = V ( ρ1 − ρ2 ) = 0,002 м3 17 ,3 г/м3 − 6 ,8 г/м3 ≈

Найти: m .

≈ 0,02 г = 20 мг. Ответ: m ≈ 20 мг.

157

№ 553(548). Дано: ρ = 0,02 г/м3 2 ⋅ 10

−5

Решение. P=

3

ρ 2 ⋅ 10−5 кг/м3 Дж ⋅ 8,31 ⋅ RT = µ 0 ,2 кг/моль моль ⋅ К

кг/м , ⋅293 К = 0,24 Па. T = 20o С = 293 К, µ = 0,2 кг/моль. Найти: P . Ответ: P = 0,24 Па. № 554(549). ρ ρ Дано: T1 = 0o С = 273 К, Решение. P2 = 2 RT2 ; P1 = 1 RT1 ; µ µ P1 = 24,7 кПа, ρ2 P2T1 123 кПа ⋅ 273 К = = ≈ 4 ,34. ρ1 PT 24 ,7 кПа ⋅ 313 К 1 2

T2 = 40o = 313 К, P2 = 123 кПа.

ρ2 . ρ1 № 555(550). Дано: T1 = 5 o С = 278

Найти:

К, T2 = 50o С

323 К.

=

Ответ: Решение. Пользуясь

ρ2 ≈ 4,34. ρ1

результатом

549,

запишем

ρ2 P2T1 ; Т.к. m0 n1 = ρ1 , то m0n2 = ρ 2 , где = ρ1 PT 1 2

m0 − масса молекулы воды, то n2 = P2T1 . n1

P1T2

По таблице 5 находим, что давление насыщенного пара при T1 = 5o С P1 = 0,93 кПа, а

при

T2 = 50o С

P2 = 12,3

кПа.

n2 12,3 ⋅ 278 = ≈ 11. n1 0,93⋅ 323

n2 Ответ: n2 ≈ 11. . n1 n1 № 556(551). В трубке начнется выделение пара и уровень в ней понизится. № 557(552). Нельзя, из-за того, что пары воды увеличивают атмосферное давление.

Найти:

158

№ 558(553). Дано: Решение. Вода кипит при условии, что в ней моo гут образоваться пузырьки насыщенного пара. По T = 19 С таблице 5 найдем давление насыщенного пара при . температуре T = 19o С. P = 2,2 кПа. Эта величина и будет давлением, при котором вода закипит при температуре T = 19o С. Найти: Ответ: P = 2,2 кПа. P. № 559(554). В такой кастрюле повышается температура кипения за счет повышения давления. № 560(555). Не правильно, т.к. белые клубы при выдохе на морозе — это сконденсировавшиеся капельки воды или даже кристаллики льда. № 561(556). Из-за сильной конденсации воды на холодных очках. № 562(557). Из-за того, что практически вся испарившаяся вода конденсируется в воздухе. № 563(558). В комнате эти клубы холоднее окружающего воздуха и они опускаются. На улице, наоборот, они теплее окружающего воздуха и поэтому поднимаются. № 564(559). Холодная труба будет запотевшей из-за сильной конденсации. № 565(560). Иней — это замерзшие пары. Он образуется на внутренней поверхности стекол, т.к. там плотность насыщенных паров много больше плотности насыщенных паров на улице. № 566(561). Дано: Решение. По таблице 5 находим, что давление наo T = 19 С сыщенных паров при T = 19o С Pнас = 2,2 кПа. , P = 1,1 P 1,1 кПа ϕ= = = 0,5 = 50%. кПа. Pнас 2,2 кПа Найти: Ответ: ϕ = 50%. ϕ.

159

№ 567(562). Дано: Решение. V = 4 м3 m , T = 16o С, 1) ρ = ; V m = 40 г. 2) По таблице 5 находим, что плотность насыщенного пара при T = 16o С ρ нас = 13,6 г/м3.

3) ϕ = Найти:

ϕ.

ρ m 40 г = = ≈ 0,74 = 74% . ρнас V ⋅ ρнас 4 м3 ⋅ 13,6 г/м3

Ответ: ϕ ≈ 74%.

№ 568(563). Решение. Дано: T1 = 18o

По таблице 5 находим, что плотность насыщенного пара при T1 = 18o С ρ1 = 15,4 г/м3, а при T2 = 10o С

С, T2 = 10o С.

3 ρ 2 = 9,4 г/м3 ; ϕ = ρ2 = 9,4 г/м 3 ≈ 0,61 = 61%.

ρ1

15,4 г/м

Ответ: ϕ ≈ 61%.

Найти: ϕ.

№ 569(564). Решение. Дано: T1 = 16o

С, T2 = 12o С,

ϕ1 = 65% = = 0 ,65

.

По таблице 5 находим, что плотность насыщенного пара при T1 = 16o С P1 = 1,81 кПа, а при T2 = 12o С P2 = 1,4 кПа; P = ϕ1P1 ; ϕ2 =

P P 1,81 кПа = ϕ1 1 = 0,65 ⋅ ≈ 0 ,84 = 84%. 1,4 кПа P2 P2

Найти: Ответ: ϕ2 ≈ 84%. ϕ2. № 570(565). Дано: Решение. T1 = 16o

С, T2 = 8o С, ϕ1 = 55% = = 0 ,55.

160

По таблице 5 находим, что при T1 = 16o С давление насыщенного пара при P1 = 1,81 кПа, а при T2 = 8o С P2 = 1,06 кПа.; P = ϕ1P1 ;

ϕ2.

Найти:

ϕ2 =

P P 1,81 кПа = ϕ1 1 = 0 ,55 ⋅ ≈ 0 ,94 = 94%; P2 P2 1,06 кПа

ϕ2 ≈ 94% < 100%, значит, роса не выпадает. № 571(566). Решение. Дано: V = 10 л 1) По таблице 5 находим, что при T = 20o С плот= ность насыщенного пара ρ нас = 17,3 г/м3. =0,01 m м3, 2) ρ = ; m = 0,13

г, T = 20o С. ϕ.

Найти:

V ρ m 0,13 г 3) ϕ = = = ≈ 0 ,75 = 75%. ρнас V ρнас 0,01 м3 ⋅ 17 ,3 г/м3

Ответ: ϕ. ≈75%.

№ 572(567). Дано: Решение. По таблице 5 находим, что при T1 = 20 °С T1 = 20o С, плотность насыщенного пара ρ1 = 17 ,3 г/м3, ϕ = 60% = 0,6 , а при T1=8 °С ρ 2 = 8,3 г/м3; V = 1 м3, m = V ( ϕρ1 − ρ2 ) = 1 м3 0 ,6 ⋅ 1,73 г/м3 − 8,3 г/м3 ≈ 2г. T2 = 8o С.

(

)

Найти: m. Ответ: m = 2 г. № 573(568). Дано: Решение. 1) По таблице 5 находим, что при m = 0,4 г. температуре T = 17o С плотность насыщенного T = 290 К=17 m 0,4 г пара ρ нас = 14,5 г/м3. Vнас = = ≈ 0,028 ° С, V = 40 К= ρ 14,5 г/м3 нас 3 =0,04 м . м3. Т.е. необходимо изотермически сжать. 2) ρ =

m 0 ,4 г = = 10 г/м3. По таблице 5 наV 0 ,04 м3

ходим, что плотности ρ = 10 г/м3 соответствует

Найти: Vнас.

температура Tнас = 11o С. Т.е. необходимо изохорически охладить. 3) Можно также совместить охлаждение и сжатие. Tнас, Ответ: Tнас = 11o С, Vнас = 0,028 м3. 161

№ 574(569). Решение. Дано: o По таблице T = 16 С

6

(TС −TВЛ =16 − 8 = 8 C) o

С, o

TВЛ = 8 С,

находим,

что

ϕ = 30% ,

т.е. показания волосяного гигро-

метра правильные.

ϕГ = 30%

Найти:

ϕ.

Ответ: ϕ = 30%.

№ 575(570). Дано: Решение. По таблице 6 находим, TВЛ = 10o С, ϕ = 60% = 0,6 , TС − TВЛ = 14 − 10 = 4o C .

(

o

TC = 14 С.

Найти: P, ρ.

162

)

что

По таблице 5 находим, что при температуре TC = 14o С давления насыщенного пара Pнас = 1,6 кПа, а плотность ρ нас = 12,1 г/м3, P = ϕPнас = 0,6 ⋅ 1,6 = 0,96 кПа, ρ = ϕρ нас = 0,6 ⋅ 12,1 = 7 ,26 г/м3. ϕ,

Ответ: ϕ = 60%, P = 0,96 кПа, ρ = 7,26 г/м3.

№ 576(571). Дано: Решение. o T = 4 С, 1) Если при T = 4o С влажный и сухой термометр o давали равные показания, то давление было равно T1 = 10 С, давлению насыщенного пара. o T2 = 16 С. По таблице 5 найдем это значение: P0 = 0,81 кПа. 2) По таблице 5 найдем давление насыщенного пара при T1 =10o С: P1 = 1,23 кПа,

а при T2 =16o С: P2 = 1,81 кПа. 3) ϕ1 = P0 = 0,81 кПа ≈ 0,66 = 66%. P1

1,23 кПа

По таблице 6 находим T1 − T1′ = 3o С. Значит, показания влажного термометра T1′ = 10 с − 3 с = 7o С.

4)

ϕ2 =

P0 0,81 кПа = ≈ 0,45 = 45%. P2 1,81 кПа

По таблице 6 находим T2 − T2′ = 6o С. Значит, показания влажного термометра ' o T2 = 16 с − 6 с = 10 С. Найти: T1′ ,T2′ .

Ответ: T1′ = 7o C , T2′ = 10o C.

№ 577(572). Из-за разности атмосферного давления и давления в пузырьке. № 578(573). Решение. Дано: σ = 40 мН/м= F = 2σl = 2 ⋅ 4 ⋅ 10 – 2 Н/м ⋅ 3 ⋅ 10 – 2 м = −2 = 2,4 ⋅ 10 – 3 Н = 2,4 мН; = 4 ⋅ 10 Н/м, A = 2σ∆S = 2σl∆x = l = 3 см= 3 ⋅ 10−2 м, = 2 ⋅ 4 ⋅ 10 −2 Н/м ⋅ 3 ⋅ 10 −2 м ⋅ 2 ⋅ 10 −2 м = ∆x = 2 см= 2 ⋅ 10−2 м. = 4,8 ⋅ 10−5 Дж = 48 мкДж. Найти: F, A. Ответ: F = 2,4 мН, A = 48 мкДж.

163

№ 579(574). Решение. Дано: −2 1) Спичка будет двигаться из-за σ1 = 73 мН/м= 7,3⋅10 x Н разности поверхностных натяжений. /м, 2) F = l (σ 1 − σ 2 ) = 4 ⋅ 10 −2 м ⋅ σ 2 = 40 мН/м= 4 ⋅ 10−2 Н/м, ⋅ 7,3 ⋅ 10 −2 Н/м − 4 ⋅ 10 −2 Н/м = l = 4 см = 4 ⋅ 10−2 м. = 1,32 ⋅ 10−3 Н = 1,32 мН. Найти: F. Ответ: F = 1,32 мН. № 580(575). Дано: Решение. mg = πdσ ; d = 1,2 мм=

(

= 1,2 ⋅ 10−3 м, σ = 7,3 ⋅10 −2 Н/м.

Найти: m. № 581(н). Дано: d = 2мм n = 40 m = 1,9г

Найти: σ № 582(577). Дано: n1 = 40 , n2 = 48 .

σ2 . σ1 № 583(578). Дано: ∆l = 31 мм, d = 34 мм, k = 0,5 Н/м.

Найти:

Найти: σ. 164

m=

πdσ g

≈

)

3,14 ⋅ 1,2 ⋅ 10 −3 м ⋅ 7,3 ⋅ 10 −2 Н/м 10 м/с 2

≈ 2,8 ⋅ 10−5 кг = 28 мг.

Решение.

σ=

F mg = = 0, 074 Í / ì . 2π r n ⋅ 2π r

Ответ: σ = 0,074 Н/м. Решение. m m = πdσ 1 ; = πdσ 2 ; n1 n2

σ 2 n1 40 = = ≈ 0,83 . σ 1 n2 48 σ Ответ: 2 = 0,83. σ1

Решение. k∆l = 2πdσ ;

k∆l 0,5 Н/м ⋅ 31 мм ≈ ≈ 0,073 Н/м. 2πd 2 ⋅ 3,14 ⋅ 34 мм Ответ: σ = 0,073 Н/м.

σ=

≈

№ 585(579). Из-за того, что коэффициент поверхностного натяжения на границе лист — вода различен. Если образуются шарики, вода не смачивает лист, а если лист покрыт равным слоем воды, то смачивает. № 585(580). Тем, что вода не смачивает перья гуся. № 586(581). Чтобы краска смачивала систему. № 587(582). Потому, что вода из-за поверхностного натяжения непрерывно поднимается сквозь поры в ткани, которые можно рассматривать, как капилляры. № 588(583). Решение. Дано: d = 0,5 мм=5 mg = πσd ; ⋅ 10−4 м,

σ = 7 ,3 ⋅ 10−2 Н/м.

Найти: m. № 589(584). Дано: ρ = 103 кг/м3, d = 0,2 мм= 2 ⋅10−4 м,

σ = 7 ,3 ⋅ 10−2 Н/м.

m=

πσd 3,14 ⋅ 7 ,3 ⋅ 10−2 Н/м ⋅ 5 ⋅ 10−4 м ≈ ≈ g 10 м/с 2

1,15 ⋅ 10−5 г =11,5 мкг. Ответ: m = 1,15 мкг. Решение.

ρgdhx = 2σx ; 2σ 2 ⋅ 7,3 ⋅ 10 −2 Н/м = 3 = ρgd 10 кг/м 3 ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 2 ⋅ 10 − 4 м = 7,3 ⋅ 10−2 м. Ответ: h = 7,3 ⋅ 10−2 м. h=

Найти: h. № 590(585). На вершине горы, т.к. там ускорение свободного падения меньше.

165

№ 591(586). Дано: ρ1 = 1000кг/м3,

Решение.

σ 1 = 7 ,3 ⋅ 10−2 Н/м, ρ 2 = 800 кг/м3,

h1 ∝

σ1 ; ρ1

σ 2 = 2 ,2 ⋅ 10−2 Н/м.

h2 ∝

σ2 ; ρ2

h2 σ 1 ρ 2 2,2 ⋅10 −2 Н/м ⋅1000 кг/м3 = = ≈ 0,38 h1 σ 2 ρ1 7,3 ⋅10 −2 Н/м ⋅ 800 кг/м3

h1 h . Ответ: 1 ≈ 0,38. h2 h2 № 592(587). Дано: Решение. ρ = 800кг/м3, ρghπR 2 = 2πσR ; h = 1,2 см=0,01 2σ 2 ⋅ 2,2 ⋅10−2 Н/м −4 = R= ≈ 4,6 ⋅ 10 2 м, ρgh 800 кг/м3 ⋅10 м/с2 ⋅ 0,012 м σ = 2,2 ⋅ 10−2 Н/м. м = = 0,46 мм. Найти: R. Ответ: R = 0,46 мм. № 593(588). Дано: Решение. = r = 0,5 мм πr 2 hρg = 2 πrσ; −4 5 ⋅ 10 м, h = 11 мм = 2σ 2 ⋅ 2 , 2 ⋅ 10−2 Н/м ρ= = = −2 4 − 1,1 ⋅ 10 м, σ = 2,2 мН/м rgh 5 ⋅ 10 м ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 1,1 ⋅ 10−2 м = = 800 кг/м3. −2 = 2,2 ⋅ 10 /м. Найти: ρ. Ответ: ρ = 800 кг/м3. № 594(589). Дано: Решение. 4 ρ = 1,36 ⋅ 10 кг/м π 2 3 , d = 3 мм = d hρg = πdσ ; 4 −3 3 ⋅ 10 м, 4σ 4 ⋅ 0 ,51 Н/м = ≈ h= σ = 510 мН/м = d ρg 3 ⋅ 10−3 м ⋅ 1,36 ⋅ 104 кг/м3 ⋅ 10 м/с 2 = 0,51 Н/м. ≈ 0,005 м = 5мм.

Найти:

166

Ответ: h = 5мм. Найти: h. № 595(590). Уменьшится, из-за уменьшения поверхностного натяжения. № 596(591). Дано: Решение. ρ1 = 103 кг/м3, 1) π r12 h1' ρ1g = 2πr1σ 1 ; ∆h1 = 2,6 см = 0,026 м, π r22 h1'' ρ1g = 2πr2σ1 ; σ 1 = 7 ,3 ⋅ 10−2 Н/м,

∆h2 = 1 см = 0,01 м,

ρ 2 = 0,8 ⋅ 103 кг/м3.

h1' =

2σ 1 2σ1 ; h1'' = ; ρ1g r1 ρ1gr2

∆h1 = h1'' − h1' =

2σ1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟. ρ1g ⎝ r1 r2 ⎠

2σ2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟. ρ2 g ⎝ r1 r2 ⎠ σ1 σ2 ; 3) Отсюда получаем = ∆h1ρ1 ∆h2ρ2

2) Аналогично: ∆h2 =

σ 2 = σ1

∆h2ρ2 = ∆h1ρ1

= 7 ,3 ⋅ 10−2 Н/м ⋅

0 ,01 м ⋅ 0 ,8 ⋅ 103 кг/м3 0 ,026 м ⋅ 103 кг/м3

≈

≈ 2,25⋅10 – 2 Н/м. Ответ: σ2 ≈ 2,25⋅10 – 2 Н/м.

Найти: σ2. № 597(592). Из-за анизотропии свойства теплового расширения. № 598(н). Да, так как аморфные тела всегда изотропны. № 599(н). См. ответ. № 600(595). а) Сжатие; б)изгиб; в) растяжение; г) кручение; д) сжатие и кручение; е) сдвиг. № 601(596). Кручение и изгиб. № 602(597). Изгиб и кручение. 167

№ 603(598). Чтобы, не хуже перенося деформации, велосипед весил меньше. № 604(599). Дано: Решение. d = 2 мм 4mg 4 ⋅ 10 ⋅ 10 = 2 ⋅ 10−3 м, m = 10 кг. σ= ≈ ≈ 3, 2 ⋅ 107 Па 2 −3 π d ⋅ ⋅ 3 14 2 10 , Найти: σ № 605(600). Решение. Дано: d 2 = 3d1. 1 1 σ d2 1 σ1 ∝ 2 ; σ 2 ∝ 2 ; 2 = 12 = . σ1 d 2 9 d2 d1

(

σ2 σ1 № 606(601). Дано: l = 5 м, S = 100 см2 = 0,01 2 м, F = 10 кН = 104 Н, ∆l = 1 см = 0,01 м. Найти: σ, ε. № 607(602). Дано: l = 2 м, σ = 35 МПа

=

3,5 ⋅ 107 Па, E = 70

=

Найти:

ГПа

7 ⋅ 1010 Па. Найти: ∆l, ε. № 608(603). Дано: E = 210 ГПа= 2,1 ⋅1011 Па, ε = 0,001 . Найти: σ.

168

Ответ:

)

σ2 1 = . σ1 9

Решение. F 104 Н = = 106 Па; S 0,01 м 2 ∆l 0 ,01 м ε= = = 0,002. . l 5м σ=

Ответ: σ = 106 Па, ε = 0,002 Решение.

σ = Eε ; ε =

σ 3,5 ⋅ 107 Па = = 5 ⋅ 10−4 ; E 7 ⋅ 1010 Па

∆l = lε = 2 м ⋅ 5 ⋅10 −4 = 10 −3 м.

Ответ: ∆l = 10−3 м, ε = 5 ⋅ 10−4. Решение. σ = εE = 0,001⋅ 2,1 ⋅1011 Па = 2,1 ⋅108 П а. Ответ: σ = 2,1 ⋅ 108 Па.

№ 609(604). Дано: E1 = 100 ГПа, E2 = 210 ГПа.

Найти:

Решение. ε1 E1 = E 2 ε 2 ;

ε1 . ε2

ε1 = 2,1. ε2

Ответ:

№ 610(605). Дано: l = 3 м, E = 210 ГПа = 11 2,1 ⋅10 Па, S = 1 мм2 = 10 – 6 м2, . F = 210 Н.

ε1 E2 210 ГПа = = = 2,1. ε 2 E1 100 ГПа

Решение. F = Eε ; S F 210 Н ε= = = 10−3 S ⋅ E 2 ,1 ⋅ 1011 Па ⋅ 10−6 мм-6

∆l = lε = 3 ⋅ 10−3 м = 3 мм.

Ответ: ε = 10 −3 , ∆l = 3 мм.

Найти: ε, ∆l. № 611(606).

По графику определяем E =

= 2 ⋅ 1010 Па. № 612(607). Дано: l = 4 м, S = 0 ,5 мм2=5⋅10−7 м2,

σ 3 МПа = = 20000 МПа= ε 1,5⋅10−4

Решение. ∆l F ∆l ; F = 2SE = = 2E S l l

= 2 ⋅ 5⋅10−7 м2 ⋅2,1 ⋅ 1011 Па ∆l = 2 мм = 2 ⋅ 10−3 м, 2 ⋅ 10-3 м E = 2,1 ⋅1011 Па. ⋅ = 4м

Найти: F. № 613(608). Дано: d1 = 0,2 м м, d 2 = 0,4 мм.

Найти: ε1 . ε2

= 52,5 Н. Ответ: F = 52,5 Н. Решение. ε1 ∝

1

1

d1

d2

; ε2 ∝ 2

Ответ:

; 2

ε1 d 22 ( 0 ,4 мм ) = = = 4. ε 2 d12 ( 0 ,2 мм )2 2

ε1 = 4. ε2

169

№ 614(609). Дано:

Решение.

1 l2 = l1 , 2 S2 = 2S1 .

1)

F F = Eε1 ; = Eε 2 ; S S1 2

ε 2 S1 1 = = ; ε1 S2 2

2) ε1 = Найти: ε2 , ε1

Ответ:

∆l1 . ∆l2

№ 615(610). Дано: l2 = 2l1 , d 2 = 2d1 .

∆l1 ∆l ∆l l 1 ∆l 1 ; ε2 = 2 ; 2 1 = ; 2 = . l1 l2 l2 ∆l1 2 ∆l1 4 ε 2 1 ∆l2 1 = , = . ε1 2 ∆l1 4

Решение. F ∆l =E 1; S1 l1 F ∆l =E 2 ; S2 l2 ∆l2 S1 l2 = ; ∆l1 S2 l1 S1 = S2 =

π

d12 ;

4

π 4

d 22 ;

∆l2 d12 l2 = =2. ∆l1 d 22 l1 ∆l2 ∆l1

Найти: .

Ответ: ∆l 2 = 2.

№ 616(611). Дано: d = 0,12 мм

∆l1

Решение. π S = d2 ;

=

1,2 ⋅ 10−4 м, F = 7,5 Н.

4 F 4F σ= = 2 ≈ S πd

4 ⋅ 7,5 Н

(

−4

Па. Найти: σ. 170

)

314 , ⋅ 1,2 ⋅10 м

Ответ: σ. = 6,6 ⋅ 108 Па.

2

≈ 6,6 ⋅108

№ 617(612). Дано: d = 2 мм = 2 ⋅ 10−3 м, m=2Т = 2 ⋅ 103 кг, σ = 5 ⋅ 108 Па.

Решение. σ= N=

;

4mg 2

πd σ

≈

4 ⋅ 2 ⋅ 103 ⋅ 10

(

)

3,14 ⋅ 2 ⋅ 10−3 ⋅ 5 ⋅ 108

≈ 13.

Ответ: N ≈ 13.

Найти: N. № 618(613). Дано: ρ = 1,13 ⋅ 104 кг/м3,

Решение. ρghS = σS ;

σ = 1,5 ⋅ 107 Па. Найти: h. № 619(614). Дано: m1 , l1 , m2 ,

4mg

πd 2 N

h=

σ 1,5 ⋅ 107 Па = ≈ 135 м. ρg 113 , ⋅ 104 кг/м3 ⋅ 10 м/с2

Ответ: h = 135 м. Решение. m1g = SE

l1 − l0 ; l0

m2 g = SE

l2 − l0 ; l0

m2 l2 − l0 ; = m1 l1 − l0

m2l1 − m2l0 = m1l2 − m1l0 ; l0 =

Найти: l0 .

m2l1 − m1l2 . m2 − m1

Ответ: l0 = m2l1 − m1l2 . m2 − m1

Основы термодинамики № 620(615). Дано: ν = 10 моль; T = 270 C = = 300 K.

Решение. U=

3 Дж 3 νRT= ⋅10 моль ⋅ 8,31 ⋅ 300 К ≈ 3,74 ⋅104Дж. 2 моль ⋅ К 2

Ответ: U ≈ 3,74⋅104 Дж.

171

№ 621(616). Дано: m = 200 г; М = 4 г/моль; ∆Т = 200С = 20K.

Найти: ∆U № 622(617). Дано: М1 = 4 г/моль; М2 = 40 г/моль

Решение. ∆U =

3 m ⋅ R∆T = 2 M

3 200 г Дж = ⋅ ⋅ 8,31 ⋅ 20 К ≈ 1,25 ⋅105Дж. 2 4 г/моль моль ⋅ К Ответ: ∆U ≈ 1,25⋅105 Дж.

Решение. U1 =

3 m ⋅ RT ; 2 M1

U2 =

3 m ⋅ RT ; 2 M2

U1 M1 40 г/моль = = = 10. 4 г/моль U2 M2

Найти: U1 . U2

Ответ:

U1 = 10. U2

№ 623(618). Изменение внутренней энергии идеального газа прямо пропорционально температуре. Значит: а) увеличится; б) уменьшится; в) не изменится. № 624(619). Решение. Дано: V = 60 м3; 3 m U = ⋅ RT ; p = 100 кПа = 2 M 105Па. m pV =

U=

Найти: U

172

M

RT ;

3 3 pV = ⋅ 105 Па ⋅ 60 м3 = 9 ⋅ 106 Дж. 2 2

Ответ: U = 9⋅106 Дж.

p1;

№ 625(620). Дано: p1 = 1,2 V2 =

1 V1 3,6

.

Решение. 3 m RT1 ; 2 M

1) U1 = ⋅ p1V1 =

3 m RT1 ; U 1 = p1V1 . M 2

m 3 3 m ⋅ RT2 ; p 2V2 = RT2 ; U 2 = p 2V2 . 2 M M 2 U 2 P2V2 1,2 p1V1 1 3) = = = . U1 PV p1V1 ⋅ 3,6 3 1 1

2) U 2 =

Найти: U2 U1

Ответ:

1 U2 = . U1 3

№ 626(621). Они одинаковы, т.к. внутренняя энергия пропорциональна температуре. № 627(622). Решение. Дано: S = 1дм2 = 10– A = p∆V = pS∆l ; 2 2 м; mg p = p0 + ; m = 10 кг; S p0 = 100 кПа; A = p0 S∆l + mg∆l = ( p0 S + mg ) ⋅ ∆l = ∆l = 20 см = 0,2

(

)

= 105 Па ⋅10 −2 м 2 + 10 кг ⋅10 м 3 ⋅ 0,2 м = 220 Дж.

Найти: А.

Ответ: А = 220 Дж.

173

№ 628(н). Дано: ν = 4 моль P = 3p n =3 T1 = 250K

Решение.

A = (V2 − V1 )(3 p − p ) = 2V ⋅ 2 p в 1 точке :3 p ⋅ V2 = ν RT1 <=> V2 =

ν RT 3p

2ν RT => A = ⋅ 2 p = 11кДж. 3p

Найти: А Ответ: А = 11кДж. № 629(624). Дано: Решение. ν, ∆Т. pV1 = νRT1 ; pV2 = νRT2 ; A = p(V2 − V1 ) = νR(T2 − T1 ); ∆T = T2 − T1; A = νR∆T . Найти: Ответ: A = νR∆T . А. № 630(625). Дано: Решение. М1 = 2 Пользуясь результатом задачи № 624, полуг/моль; чим: М2 = 32 m m 2 г/моль 1 A M A1 = R∆T ; A2 = = . R∆T ; 2 = 1 = г/моль. A1 M 2 32 г/моль 16 M M 1

Найти: A2 A1

№ 631(н). Дано: m = 200г ∆T = 20K P = Const Найти: A, Q - ?

2

Ответ: A2 = 1 . A1

16

Решение. m 0, 2 R∆T = 8,31⋅ 20 = 1,2кДж. µ 29 ⋅10−3 5m Q = ∆U + A = R∆T = 2,8кДж. 2µ A = P∆V =

Ответ: A = 1,2 кДж, Q = 1,8 кДж. 174

№ 632(627). Дано: Решение. 1) Пользуясь результатом задачи № 624, ν = 800 моль; получим, что ∆T = 500 K; Дж Q = 9,4 МДж = A = υR∆T = 800 моль ⋅ 8,31 ⋅ 500 К ≈ 3,3 ⋅ 106Д моль ⋅ К = 2) ∆U = Q − A = 9,4 ⋅ 106 Дж − 3,3 ⋅ 106 Дж = 6,1 ⋅ 106 Дж 9,4 ⋅10 6 Дж; Найти: A, ∆U Ответ: А ≈ 3,3⋅106 Дж, ∆U = 6,1⋅106 Дж. № 633(628). Дано: Решение. 1) c P ∆T = ∆U + p∆V ; cV ∆T = ∆U . cР = 1,05 Дж/ ( кг ⋅ К ) ; Отсюда находим, что c P > cV . cV = 0 ,75 Дж/ ( кг ⋅ К ) ; m = 1 кг; ∆T = 1 K ;

2) A = νR∆T =

m R∆T = M

1

M = 2 ,8 ⋅ 10−2 кг/моль.

=

Найти: A. № 634(629). Дано:

Ответ: А ≈ 297 Дж.

cР = 900 Дж/К; m = 160 г = 0,16 кг; M = 3,2 ⋅10−2 кг/моль;

T1 = 27o = 300 K ; T2 = 2T1 .

2 ,8 ⋅ 10−2 кг/моль

c P m(T2 − T1 ) = ∆U +

m R(T2 − T1 ); M

m ⎞ Дж ⎛ ⋅ 0,16 кг − ∆U = T1⎜ cPm − R⎟ = 300 К ⋅ (900 ⋅К кг M ⎝ ⎠ −

0,16 кг 3,2 ⋅ 10−2 кг/моль

⋅ 8,31

Дж ) ≈ 3⋅104 Дж. моль ⋅ К

m RT1 = M

0,16 кг 3,2 ⋅10-2 кг

⋅ 8,31

Дж ⋅ 300 К ≈ 1,2 ⋅104 Дж; моль ⋅ К

Q = cP mT1 = 0,16 кг ⋅ 900

A., Q, ∆U

Дж ⋅ 1 К ≈ 297 Дж. моль ⋅ К

Решение.

A=

Найти:

⋅ 8,31

Дж ⋅ 300 К ≈ 4,3 ⋅ 104Дж моль ⋅ К

Ответ: А ≈ 1,2⋅104 Дж, Q ≈ 4,3⋅104 Дж, ∆U ≈3⋅104 Дж.

175

№ 635(630). Дано: cР , M

Решение.

Q Mc P = . A R Q Mc P = . Ответ: A R

Найти: Q . A

№ 636(631). Дано: Дж cР = 1,01 ⋅ 10 ; кг ⋅ К 3

M = 2 ,9 ⋅ 10−2 кг/моль;

Решение. m R∆T; cV m∆T = ∆U ; M m ( cP − cV ) m∆T = R∆T ; cV = c P − R ; M M 2) QP = cP m∆T ; QV = cV m∆T ;

1) cPm∆T = ∆U +

QP = QV

cP cP −

1 ,0 1

QP . QV

R М

=

1 ,0 1 ⋅ 1 0 3

=

Найти:

m R∆T ; M

Q = c P m∆T ; A =

Дж к г ⋅К

Дж 8 ,3 1 Дж м о л ь ⋅К − ⋅103 к г ⋅К 2 ,9 ⋅1 0 − 2 к г / м о л ь

Ответ: QP ≈ 4. QV

№ 637(632). Решение. Дано: ν, ∆T ; Согласно задаче № 624 A = νR∆T ; 5 3 Q = ∆U + A = νR∆T + νR∆T = νR∆T . 2 2 Найти: 5 Ответ: Q = υR∆T . Q. 2

176

≈ 1,4 .

№ 638(633). Дано: Q

Решение. 1) Согласно задаче № 624 A = νR∆T ; 5 2) Согласно задаче № 632 Q = νR∆T ; 2 3) ∆U = 3 νR∆T ; 2

4) A = 2 ; Q 5 5) Найти: A ; Q

∆U . Q

∆U 3 = . Q 5

Ответ:

№ 639(634). Дано:

A 2 ∆U 3 = ; = . 5 Q 5 Q

Решение. 1) c P m∆T = Q; Согласно

M = 4 ⋅ 10−3 кг/моль

Q=

задаче

№

632

5 R 5 5 m . νR∆T ; cP m∆T = ⋅ R∆T ; c P = ⋅ 2 M 2 2 M

2) Дж

8 , 31 5 Дж м оль ⋅ К . ⋅ ≈ 5 , 2 ⋅ 10 3 3 − 2 4 ⋅ 10 кг/м оль кг ⋅ К Ответ: c P = 5 ⋅ R , cPHe ≈ 5,2⋅103 Дж/(кг⋅К). 2 M

сPHe =

Найти: c P , c PHe

№ 640(635). Из-за того, что происходит процесс изобарического расширения. № 641(636). Из-за того, что воздух охлаждается, и водяные пары конденсируются. Воздух же охлаждается из-за процесса изобарического расширения. № 642(637).

P

B

177

A V

Первый процесс является изотермическим, второй — адиабатическим. Тогда график будет иметь вид: № 643(638). Дано: Решение. m = 2 кг; 1) По графику находим T1 = 300 K; T1′ = 420 K; T2 = 340 K; T2′ = 420 K.

2) По графику находим Q1 = 60 кДж; Q2 = 80 кДж.

3) c1 = =

Найти: T1 , T1′ , T2 , T2′ , c1 , c2 .

(

)

60 кДж кДж = 0,25 ; 2 кг ⋅ ( 420 К − 300 К) кг ⋅ К

c2 =

=

Q1 = m T1′ − T1

Q2 = m T2′ − T2

(

)

80 кДж кДж = 0,5 . 2 кг ⋅ (420 К − 300 К) кг ⋅ К

Ответ: T1 = 300 K , T1′ = 420 K , кДж T2′ = 420 K, T2 = 340 K, с1 = 0,25 , кг ⋅ К

кДж с2 = 0,5 . кг ⋅ К

№ 644(н). Дано: Решение.

178

θ

mPb + m Al = m1

Найти:

c Pb m Pb ( T1 − T ) + c Al m Al ( T1 − T ) = = cB mB ( T − T2 ) + C( T − T2 ) кДж кг ⋅ K кДж c Pb = 0 ,13 кг ⋅ K 10400 m Pb + 71200 m Al = 5028 ,5 c AL = 0 ,89

=> mPb = 92 г ,m Al = 58 г.

Ответ: mPb = 92 г,m Al = 58г. № 645(640). Дано:

Решение.

( c1m1 − C )( t − t1 ) = c2m2 ( t2 − t ) ;

C = 63Дж/К ; m1 = 250;

г = 0 , 25 кг;

c1 = c2

t1 = 120 C; m2 = 500 г = = 0,5 кг ;

= 380

c2 = 380 Дж/ ( кг ⋅ к) ; t = 33oC;

2,2 ⋅103

Найти: c1 № 646(641). Дано: V = 200 л; t1 = 10o С; t2 = 60o C;

m2 t2 − t C ⋅ + = m1 t − t1 m1

Дж 0,5 кг 100o − 33o 63 Дж/К ⋅ ⋅ + ≈ кг ⋅ К 0,25 кг 33o −12o 0,25 кг

Дж . к ⋅ кг

Ответ: c1 ≈ 2,2 ⋅10 3

Дж . к ⋅ кг

Решение. 1) V1 + V2 = V ; 2) cV1ρ ( t − t1 ) = cV2ρ ( t2 − t ) ; V2 = V1 ⋅

t = 40o C;

V1 + V1 ⋅

3) V1 = V ⋅

t − t1 ; t2 − t

t − t1 = V; t2 − t

V1 ⋅

t2 − t1 = V; t2 − t

t2 − t 60oC − 40oC = 200 л ⋅ o = 80 л; t2 − t1 60 C − 10oC

4) V2 = V − V1 = V = 200 л ⋅

t2 − t1 − t2 + t t − t1 =V = t2 − t1 t2 − t1

40oС − 10oС 60oС − 10oС

= 120

л.

179

Ответ: V1 = 80 л, V1 = 120 л.

Найти: V1,V2.

№ 647(642). Дано:

Решение.

Дж с1 = 4 , 2 ⋅ 10 ; кг ⋅ К 3

t1 = 10o С;

1) c1m1 (t3 − t1 ) = c2m2 (t2 − t3 ); 2) c1m1 (t − t3 ) + c2 m2 (t − t3 ) = c2 m2 (t 2 − t );

t2 = 100o C;

c1m1 (t − t3 ) = c2m2 (t2 + t3 − 2t );

t3 = 40o C;

3) t − t3 = t2 + t3 − 2t ; t3 − t1

t2 − t3

4) Перейдем к числам для удобства решения. t − 40 100 + 40 − 2t = ; 40 − 10 100 − 40

t − 40 = 70 − t ; 2t = 110; t = 55o C.

Ответ:

Найти: t

t = 55o C.

№ 648(643). Дано:

Решение.

c = 4,2 ⋅ 10 Дж/ ( кг ⋅ К ) ; 3

P = 21 кВт = 2,1 ⋅104 Вт ; η = 80% = 0,8; V = 200 л = 0,2 м3 ; ρ = 103 кг/ м3 ; ∆t = 24o C; q = 36 МДж/м3 =

ρVc∆t = P Дж 1000 кг/м3 ⋅ 0,2м3 ⋅ 4,2 ⋅ 103 ⋅ 24o кг ⋅ К = = 2,1 ⋅ 104Вт

1) Pτ = mc∆t = ρVc∆t; τ =

= 360oC;

2) ηqV = Pτ; Pτ 2,1 ⋅ 104 Вт ⋅ 360oС = = 0,7 м3. ηq 0,8 ⋅ 3,6 ⋅ 107 Дж/м3

= 3,6 ⋅ 107 Дж/м3 ;

V=

Найти: τ ,V

Ответ: τ = 360°С, V = 0,7 м3.

№ 649(644). Дано:

Решение. o

m = 2 кг; t = 100 C; q = 2,3 МДж/кг;

180

∆U = qm = 2,3

МДж ⋅ 2 кг = 4,6 МДж. кг

Найти: ∆U . № 650(н). Дано:

Ответ: ∆U = 4,6 МДж. Решение.

V = 3л

Q1 = λV

T1 = 10°C T2 = 100°C

Q2 = cBmB (T2 − T1 ) + C(T2 − T )

VΓ = 60 л

η = 1−

С = 100 Дж / К

Q2 = 53%. Q1

λ = 36МДж / м3

Найти: η - ? № 651(646). Дано:

Ответ: η = 53%. Решение.

Дж q = 2,3 ⋅ 10 ; кг

m1с(t − t1 ) = qm2 + m2c(t2 − t );

m1 = 1,5кг ;

m2ct − m1ct1 = qm2 + m2ct2 − m2ct ;

6

c = 4200

Дж , кг ⋅ К

t1 = 15o С; t2 = 100o C;

(m1 + m2 )ct = qm2 + c(m1t1 + m2t2 ); qm2 + c(m1t1 + m2t 2 ) ≈ 89°С. t= (m1 + m2 )c

m2 = 0 , 2 кг .

Ответ: t ≈ 89°С.

Найти: t № 652(647). Дано: 6

Решение.

q = 2 ,3 ⋅ 10 Дж; m = 600 г = 0,6 кг ;

1) (mc + C )(t − t0 ) = ηK1Tα ;

t = 100 C; η = 35% = 0,35;

T=

t0 = 100°C; K1 =2 г/мин = = 2⋅10–3 кг/мин; С = 100 Дж/кг; α = 2,9⋅107 Дж/кг. Найти: T , K 2 .

2) K 2∆tq + C∆t = K1α∆t ;

(mc + C )(t − t0 ) ≈ 12 мин;

K 2 = K1

ηK1α

α q

−

C = 1,5 ⋅10 − 4 кг/с. q

Ответ: Т ≈ 12 мин, К2 = 1,5⋅10–4кг/с. 181

№ 653(648). Дано:

Решение.

(m1c1 + m2 c2 )(t − t1 ) + mq = ηNτ; (m c + m2c2 )(t − t1 ) + mq = N= 11

Дж q = 2 ,3 ⋅10 ; кг m1 = 400 г = 0 ,4 кг ; 6

t = 1000 C; c1 = 880

m2

=

2

ητ

Дж ; кг ⋅ К

кг;

c2

= 3,5⋅103 Вт. =

Дж ; 4200 кг×К

t = 10°C; η = 40% = 0,4; τ = 10 мин = 600 с; m = 20 г = 0,02 кг; Найти: N Ответ: N = 3,5⋅103 Вт. № 654(649). Дано: Решение. V = 2 ,8 л = 0 ,0028 м3 ;

C1ρV ( t − t1 ) + ∆mq = C2 m ( t2 − t ) ;

C1 = 4200 Дж/ ( кг ⋅ К ) ;

∆m =

o

t1 = 20 C; q = 2 ,3 ⋅ 106 Дж/кг ;

C2m(t2 − t ) − C1ρV (t − t1 ) = q

460

=

3

ρ = 1000 кг/м ; С2 = 460 Дж/ ( кг ⋅ К ) ; m = 3 кг ;

−

o

t2 = 460 C; t = 60o C.

Найти: ∆m . № 655(650). Дано: t1 = 10o C; t2 = 100o C; t = 50o C; Дж ; кг×К Дж q = 2,3 ⋅106 . кг

C = 4200

)

Дж кг ⋅К

⋅ 0 ,0028 м3

2 ,3 ⋅ 106

(

Дж кг

⋅

)

⋅1000 кг/м3 60o С − 20o С ≈ 3 ⋅ 10−2 м. –2

Ответ: ∆m ≈ 3⋅10 кг. Решение. cm(t − t1 ) = ∆mq + c∆m(t 2 − t ); c ( t − t1 ) ∆m = = m q + c1 ( t2 − t )

=

0,07. 182

4200

(

Дж ⋅ 3 кг ⋅ 460 o С − 60 o С кг ⋅ К − Дж 2,3 ⋅10 6 кг

4200 Дж 2 ,3 ⋅ 106 кг

Дж кг ⋅К

(

⋅ 50o С − 10o С

Дж ⋅ 4200 кг ⋅К

(

)

⋅ 100o С − 50o С

)

≈

Найти:

∆m . m

Ответ:

№ 656(651). Дано:

∆m ≈ 0 ,07. m

Решение.

m = 600; г = 0,6 кг; L = 25 кДж/кг.

∆U = Lm = 0,6 кг ⋅ 2,5

кДж = 15 кДж. кг

Ответ: ∆U = 15 кДж.

Найти: ∆U . № 657(н). Дано: T0 =273K

Решение. cà mà ∆T = λë më

Найти: T-?

∆T =

λ ë më

λρ

= ë ë = 125 K cà mà cà ρ à Ответ: T = 400K.

№ 658(653). Дано:

Решение.

mα = M ( tпл − t1 ) C1 + M ( t − tпл ) С2 + ML;

α = 107 Дж / кг; η = 40% = 0 , 4; M = 200 кг; t1 = −100 C; t2 = 200 C;

m=

M ⎡⎣C1 ( tпл − t1 ) + C2 ( t − tпл ) + L ⎤⎦ α

≈ 22

кг.

tпл = 00 С; Дж ; кг×К Дж c2 = 4200 ; кг×К c1 = 2100

L = 3,3 ⋅ 105 Дж/кг;

Ответ: m ≈ 22 кг.

Найти: m. № 659(654). Дано:

Решение. ηmα = M [c(tпл − t ) + L ];

7

α = 2 ,9 ⋅ 10 Дж/кг; η = 50% = 0 ,5;

M = ηm

3

m = 2 т = 2 ⋅ 10 кг; t = 20o C; tпл = 1400o С; L = 8,2 ⋅ 104 Дж/кг;

c = 460 Дж/(кг ⋅ К).

⋅

460

Дж кг ⋅К

(

α = 0 ,5 ⋅ 2 ⋅ 103 кг ⋅ c ( tпл − t ) + L 2,9 ⋅ 107

Дж кг o

)

⋅ 1400o С − 20 С + 8, 2 ⋅ 104

Дж кг

≈

≈ 4 ⋅10 4 кг = 40 т.

183

Ответ: M = 40 т.

Найти: M . № 660(655). Дано: С = 100 Дж / кг; Дж c1 = 4200 ; кг ⋅ К Дж c2 = 230 ; кг ⋅ К t = 32 0 C ;

Решение.

( C + m1c1 )( t − t1 ) = m2 ( c2 ( tпл − t ) + L ) ; L=

1 ( C + m1c1 )( t − t1 ) − c2 ( tпл − t ) = m2

1 ⎛ Дж Дж ⎞ + 0 ,33 кг ⋅ 4200 ⎜100 ⎟⋅ 0 ,35 кг ⎝ К кг ⋅ К ⎠ Дж ⋅ 32o С − 7o С − 230 ⋅ 232o С − 32o С ≈ кг ⋅ К Дж кДж ≈ 6 ⋅ 104 = 60 . кг кг =

(

t1 = 7 0 C ; tпл = 232o С;

)

(

)

m1 = 330 г = 0 ,33 кг m2 = 350 г = 0 ,35 кг

Найти: L.

Ответ: L ≈ 60

№ 661(656). Дано:

кДж . кг

Решение.

N ρV = ( C2 ( tпл − t ) + C1 ( t2 − tпл ) + L ) =

m = 2 00г = 0 ,2кг; o

= mC1 ( t1 − t2 ) ;

t1 = 25 C;

С1 = 4200Дж/ ( кг×К ) ;

N=

3

V = 6 ,4 см ;

m C1 ( t1 − t2 ) − L − C1 ( t2 − tпл ) − ρV

−С1 ( tпл − t ) ≈ 9.

ρ = 9 ⋅10−4 кг/см3 ; С2 = 2100Дж/ ( кг×К) ; tпл = 0o С; L = 3,3⋅105 Дж/кг;

Ответ: N ≈ 9.

Найти: N . № 667(662). Решение. Дано: h, c, k ;

kmgh = mc∆t ; ∆t =

∆t.

184

Найти:

kgh . c

Ответ: ∆t =

kgh . c

№ 668(663). Первый, т.к. вся его потенциальная энергия перешла в тепловую форму. № 669(664). Дано: Решение. v = 200 м/с; k = 78% = 0 ,78; Дж c = 130 . кг×К

mc∆t = k

mv 2 ; 2

kv 2 0,78 ⋅ ( 200 м/с ) = = 120 K . Дж 2c 2 ⋅ 130 2

∆t =

кг ⋅К

Ответ: ∆t = 120 K.

Найти: ∆t. № 670(665). Дано:

Решение.

v = 50 м/с; h = 500м; Дж c = 430 . кг×К

mgh = k

mv 2 + mc∆t ; 2

2 2 gh − v 2 2 ⋅ 10 м/с ⋅ 500 м − ( 50 м/с ) = = 8 ,7 K . Дж 2c 2 ⋅ 430 2

∆t =

кг ⋅К

∆t.

Ответ: ∆t = 8,7 K.

Найти:

№ 671(666). Дано: Решение. l , α , k , c. 1) mgl = mgl (1 − cosα ) + Q; Q = mgl cosα ; kgl cosα 2) mc∆t = kQ = kmgl cosα ; ∆t = . c

∆t.

Найти:

Ответ: ∆t =

kgl cosα . c

№ 672(667). Решение. Дано: c, v,2v;

v 1) 2mv − mv = 3mv; v ' = ; 3 2) Q +

Q=

( )

3m v'

2

2

=

4mv 2 mv 2 + ; 2 2

2

5mv 3m v 2 5mv 2 mv 2 7 2 − ⋅ = − = mv ; 2 2 9 2 6 3

3) 3mc∆t = Q =

7 mv 2 7 2 mv ; ∆t = . 3 9c

185

∆t.

Ответ:

Найти:

∆t =

7 mv 2 . 9c

№ 673(668). Дано:

Решение.

Дж t0 = 127 C; c = 130 ; кг×К o

α

t = 327o C; L = 2,5 ⋅ 104 Дж/кг;

α = 80% = 0,8.

v=

2 ⋅ (c(t − t 0 ) + L )

α

≈ 357 м/с.

Ответ: v ≈ 357 м/с.

Найти: v. № 674(669). Дано: v , m, M , α = 3,8 ⋅ 106

mv 2 = cm(t − t0 ) + Lm; 2

Решение. Дж . кг

E Найти: k . Q

Ek =

E mv 2 mv 2 ; Q = αM ; k = . Q 2 2Mα

1) При v = 680 м/с; m = 6,2 кг; M = 1кг Ek 6 ,2 кг ⋅ ( 680 м/с ) = ≈ 0 ,38 = 38%. Q 2 ⋅ 1 кг ⋅ 3,8 ⋅ 106 Дж 2

кг

2) При v = 700 м/с; m = 8 г; M = 1,6 г 8 г ⋅ ( 700 м/с ) Ek = ≈ 0 ,32 = 32%. Q 2 ⋅ 1,62 г ⋅ 3,8 ⋅ 106 Дж 2

кг

№ 675(670). Рабочая смесь. № 676(671). Дано: Tи = 117o С = 390 К ; Tx = 27o C = 300 K ; t = 1c; Q = 60 кДж.

Найти: η , Qx , N .

186

Решение. T −T 390 К − 300 К η= н x = ≈ 0,23; Tн 390 К Qx = (1 − η )Qx = (1 − 0,23) ⋅ 60 кДж = 46 кДж

Q − Qx 60 кДж − 46 кДж = = 14 кВт. t 1с Ответ: η = 0,23, Qx = 46 кДж , N = 14 кВт.

N=

№ 677(672). Дано: Q = 1 кДж = 1000 Дж, A = 300 Дж, Tx = 280 К.

Решение. η=

ηTн = Tн − Tx ; Tн =

Найти: η, Tн. № 678(н). Дано: TX=293K TH=473K Q1=80 кДж Найти: η, Q2, h-?

A 300 Tн − Tx ; η= = = 0,3; Q 1000 Tн

Tx 280 = = 400 K . 1 − η 1 − 0,3

Ответ: η = 0,3, Tн = 400 К. Решение.

η = 1− η=

TX = 38% TH

A mgh Q η = <=> h = H = 7,6 м. QH QH mg

QX = QH (1 − η ) = 49600 Дж. Ответ: h = 7,6м.

№ 679(674). Дано: v = 108 км/ч = 30 м/с;

Решение. l ηVρα ηvVρα t= ; N= = = v t l

V = 3,7л = 3,7 ⋅ 10−3 м3 ;

=

3

ρ = 700 кг/м ;

0,25 ⋅ 30 м/с ⋅ 3,7 ⋅10−3 м3

5

l = 100 км = 10 м; η = 25% = 0,25; α = 4,6 ⋅107 Дж/к

Найти: N . № 680(675). Дано:

l = 80 км; t = 1час = 3600с; N = 70 кВт = 7 ⋅ 10 4 Вт; η = 25% = 0,25; ρ = 800 кг/м α = 4,2 ⋅ 107 Дж/кг; n = 40 л/100 км;

Найти: ∆V

105 м

⋅

700 кг/м3 ⋅ 4,6 ⋅107 Дж/кг ≈ 9000Вт ≈ 9кВт

Ответ: N = 9 кВт. Решение. ηρVα = Nt ; V =

Nt

ηρα

= 0,03 м 3 = 30 л;

V − n ) = −(V − ln) = l 40 л ⎞ ⎛ = − ⎜ 30 л − 80 км ⋅ ⎟ = 2 л. 100 км ⎠ ⎝ ∆V = −l(

Ответ: ∆V = 2 л. 187

№ 681(676).

N

F

F m g

m = 4 ,6 ⋅ 103 кг;

Решение. 1) ma = F + mg + F тр + N ;

sinβ = 0 ,025;

x : ma = F − Fтр − mgsinβ;

Дано:

t = 40 c;

y : 0 = N − mgcosβ;

3

ρ = 700 кг/м ; l = 200м; α = 4 ,6 ⋅ 107 Дж/кг µ = 0 ,02; η = 20% = 0, 2;

Fтр = µN ; ma = F − mg (sin β + µ cos β ).

Учитывая β < 0,1, получим F = m(a + g sin β + gµ ). 2 2) l = at ; a = 22l ;

2

t

2l 3) A = Fl = ml ⎛⎜ 2 + g sin β + µg ⎞⎟; t ⎝ ⎠ ⎛ 2l ⎞ 4) ηVρα = ml ⎜ 2 + g sin β + µg ⎟; ⎝t ⎠ V=

Найти: V .

188

ml ⎛ 2l ⎞ −4 3 + gsinβ + µg ⎟ ≈ 10 м = 0,1 л. ηρα ⎜⎝ t 2 ⎠

Ответ: V = 0,1 л.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА Электрическое поле Электрическое поле и электрический заряд ⎯ первичные понятия, которые не определяются аналогично понятиям точки и прямой в геометрии. Неподвижный заряд создает вокруг себя электрическое поле. Если замкнутая система обладала зарядом q, то при любых изменениях в ней заряд q сохраняется. Это фундаментальное утверждение носит название закона сохранения заряда. Точечным зарядом называется заряд исчезающе малых размеров. Из эксперимента известно, что два точечных заряда q1 и q2 на расстоянии r взаимодействуют с силой F, значение которой определяется законом Кулона: F =k

где k = 9⋅109

Н×м 2 Кл 2

q1q2 r2

,

⎯ коэффициент пропорциональности. Когда заря-

ды одноименные, то они отталкиваются, когда разноименные ⎯ притягиваются.

Силовой характеристикой электрического поля является вектор напряженности E . Рассмотрим некоторый заряд q, внесенный в электрическое поле E . Тогда на него будет действовать сила F , которая определяется формулой: F = qE . Это формула может служить определением вектора напряженности электрического поля. Для графического представления электростатического поля пользуются понятием линий напряженности. Эти линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Касательная в каждой точке линии напряженности направлена также, как и вектор E . Если имеется N зарядов, каждый из которых создает свое поле E1 , E2 ,…, E N , то полная напряженность в любой точке пространства E определяется как векторная сумма этих напряженностей (принцип суперпозиции): E = E1 + E2 + ... + EN .

Для точечного заряда q значение напряженности E в точке, удаленной от него на расстоянии r, выражается формулой: E=k

q r2

.

Проводником называется тело, содержащее свободные заряды. Если мы сообщим проводнику некоторый заряд q, то он распределится по поверхности, а внутри проводника поле будет равно нулю. 189

Поверхностной плотностью σ называется отношение заряда к площади поверхности проводника S: σ =

q . S

Поле заряженного проводящего шара снаружи от него совпадает с полем точечного заряда, а внутри него равно нулю. Поле бесконечной заряженной проводящей плоскости с поверхностной плотностью заряда σ определяется формулой: σ , E= 2ε 0 где ε0 = 8,854⋅10–12 Ф/м ⎯ электрическая постоянная. Диэлектриком называется тело, в котором отсутствуют свободные заряды. При помещении диэлектрика в электрическое поле происходит его поляризация, при этом поле E в диэлектрике уменьшается в ε раз: E=

E0 , ε

где E0 ⎯ напряженность поля вне диэлектрика, ε ⎯ диэлектрическая проницаемость. При перемещении заряда q в электрическом поле E на расстояние ∆l = l2–l1 совершается работа A: A = qE∆l = qE ( l2 − l1 ) . Изменение потенциальной энергии ∆WP равно:

∆WP = − A = −(qEl2 − qEl1 ) = WP1 − WP 2 .

Потенциал ϕ ⎯ энергетическая характеристика электрического поля, он определяется формулой: ϕ=

WP . q

Эквипотенциальные поверхности ⎯ это такие поверхности, в каждой точке которых потенциал постоянен. Потенциал поля ϕ в некоторой точке пространства, созданный N зарядами, равен алгебраической сумме потенциалов ϕ1, ϕ2,…, ϕN, созданных отдельными зарядами (принцип суперпозиции): ϕ = ϕ1 + ϕ2 + … + ϕN. Потенциал поля точечного заряда q на расстоянии r от него определяется формулой: ϕ= k

q . r

Напряжением U между точками A и B называется разность потенциалов: U = ϕ1 – ϕ2, 190

где ϕ1 — потенциал в точке A, ϕ2 — потенциал в точке B. Напряжение U связано с напряженностью E электрического поля следующей формулой: E=

U . ∆l

Конденсатором называется устройство, способное накапливать заряд. Емкость конденсатора C определяется как отношение заряда q на его обкладках к приложенному напряжению U: C=

q . U

Емкость не зависит от заряда и напряжения на нем, а определяется его геометрическими свойствами (формой и размером) и родом среды. Для плоского конденсатора емкость равна: C=

ε 0εS , d

где ε ⎯ диэлектрическая проницаемость среды между обкладками, S ⎯ площадь обкладок, d ⎯ расстояние между обкладками. Энергия заряженного конденсатора W определяется формулой: W=

qU q 2 CU 2 = = . 2 2C 2

Плотность энергии ω электрического поля E выражается формулой: ω=

№ 682(677). Дано: q1 = q2 = = 10 нКл = 10–8 Кл; r = 3 см = =3⋅10–2 м. Найти F.

ε0 ε E 2 . 2

Решение: q1 q 2 Н ⋅ м2 10−8Кл ⋅ 10−8Кл F=k = 9 ⋅ 109 ⋅ = 2 2 Кл 2 r 3 ⋅ 10−2м

(

)

−3

= 10 Н = 1 мН. Ответ: F = 1 мН.

№ 683(678). Решение. Дано: q1 = 1 мкКл = 10–6 Кл; q1 q2 q1 q2 q2 = 10 нКл = 10–8 Кл; F = k 2 ; r = k F = r F = 9 мН = 9⋅10–3 Н. = 9 ⋅ 109

Найти r.

Н ⋅ м2 10−6Кл ⋅ 10−8Кл Кл2

9 ⋅ 10−3Н

= 0,1 м = 10 см .

Ответ: r = 10 см. 191

№ 684(679). Дано: Решение. q1, q2, q1 q2 q’1 = 4q1, F1 = k r 2 ; 1 q’2 = q2, q' q'2 4q q 1 F1 = F2. F2 = k =k 12 2 ; 2 r2

r2

F1 = F2 ; k

q1 q2 r12

=k

4q1 q2 r2 2

;

r2 = 4 = 2. r1 Ответ: расстояние между зарядами надо увеличить в r Найти 2 . r1 2 раза.

№ 685(680). А

А

Т1

Т1

y

F кл В

В −q F кл

+q

Т2

Т2 Т2 F кл

Т2 С

С

+q

+q

F кл mg

Дано: m = 0,2 г = = 2⋅10–4 кг; r = 3 см = = 3⋅10–2 м; q1 = q2 = = 10 нКл = а) = 10−8Кл;

q1, q2 — одноименные; б) q1, q2 — разноименные. 192

mg

Решение. Запишем второй закон Ньютона для первого и второго шариков: Fкл + Т1 − Т2 − mg = 0; (1.a) (2.a) −Fкл + T2 − mg = 0. Из (2.а) выражаем Т2: q1 q 2 Т2 = Fкл + mg = k + mg = r2 = 9 ⋅ 109

Н ⋅ м 2 10−8Кл ⋅ 10−8Кл ⋅ + 2 ⋅ 10−4кг ⋅ 10 м/с 2 = −2 2 Кл 2 3 ⋅ 10 м

(

)

= 3 ⋅ 10 −3 Н = 3 мН . Подставим выражение для Т2 в (1.а) и выразим Т1.

Fкл + Т1 − Fкл – mg − mg = 0 T1 = 2mg = 2⋅2⋅10–4 кг⋅10 м/с2 = 4⋅10–3 Н = 4 мН. б) Запишем второй закон Ньютона для первого и второго шариков: Т1 − Fкл − Т2 − mg = 0; (1.б) Fкл + Т2 − mg = 0. (2.б) Из (2.б) выражаем Т2: q1 q2 Т2 = mg – Fкл = mg − k = 2 ⋅ 10 −4 кг ⋅ 10 м/с 2 − 2 r −9 ⋅ 109

Н ⋅ м 2 10−8Кл ⋅ 10−8Кл ⋅ = 10−3Н = 1 мН. −2 2 Кл 2 3 ⋅ 10 м

(

)

Подставим выражение для Т2 в (1.б) и выразим Т1. Т1 − Fкл − mg + Fкл – mg = 0; T1 = 2mg = 2⋅2⋅10–4кг⋅10 м/с2 = 4⋅10–3 Н = 4 мН. Найти: Т1, Т2. Ответ: а) Т1 = 4 мН; Т2=3 мН; б) Т1 = 4 мН; Т2=1 мН. № 686(681).

Дано: r = 10 см = 0,1 м; F = 0,23 мН = = 2,3⋅10–4 Н; е = 1,6 ⋅ 10 −19 Кл

Решение. F=k N=

q q r

2

q r = e e

=k

q2 r

2

; q =r⋅

F ; k

F 0,1м 2,3 ⋅ 10−4 Н = = 1011 . 19 2 − k 1,6 ⋅ 10 Кл 9 Н⋅м 9 ⋅ 10 2 Кл

11

Найти: N. № 687(н). Дано: m = 100г q1 = 20 кКл l = 30 см

Ответ: N = 10 . Решение: Первоначальная сила натяжения нити T1 = mg. Для уменьшения Т вдвое: T=

1 q1q2 mg = mg − 2 4πε 0 l 2

=> q2 =

mg 4πε 0l 2 = 0, 25 ì êÊë. q1 2

Аналогично для второго случая q2 = 0,5 мкКл, для третьего q2 = -1,5 мкКл. Найти q2 - ?

Ответ: q2 = 0,25 мкКл, 0,5 мкКл, -1,5 мкКл 193

№ 688(н). Сила электрического отталкивания: q q (1,6⋅10-19)2 1 F =k 1 2 =9⋅910 =8⋅10-23 1 2 2 r r r2

Сила гравитационного притяжение: F2 =γ

m2 (9,110 ⋅ −31)2 1 =6,7⋅10−11 =7⋅10−71 2 2 r r2 r

Следовательно сила притяжение меньше силы отталкивания в 1048 раз. № 689(684). Дано: Решение. q, 4q, r. q1 q2 4q2 F =k 2 =k 2 ; r r q1 + q2 q + 4q 5 q1′ = q2′ = = = q; 2 2 2 F =k k

Найти x.

4q 2

r

2

q1′ q2′ x2 =k

=k

25q 2 4 x2

25q 2 4x2

;

5 4

; x = r = 1,25r .

Ответ: x = 1,25r.

№ 690(685).

q1

F 23

q3

Дано: q1 = 10 нКл = = 10–8 Кл, q2 = 16 нКл = = 1,6⋅10–8 Кл, r1 = 7 мм = = 7⋅10–3 м, q3 = 2 нКл = = 2⋅10–9 Кл, r2=3 мм=3⋅10-3м, r3=4 мм=4⋅10-3м.

Решение.

Найти F.

Ответ: F = 2 мН.

194

q2

F 13

Так как r1 = r2 + r3, то заряд q3 лежит на прямой, соединяющей заряды q1 и q2. F = F13 − F23 = k

9

F = 9 ⋅ 10

Н ⋅ м2 Кл2

q1 q3 r22

−k

q2 q3 r32

⎛ q q ⎞ = k q3 ⎜ 12 − 22 ⎟ . ⎜r r3 ⎟⎠ ⎝ 2

⎛ ⎜ 10−8Кл ⋅ 2 ⋅ 10 Кл ⋅ ⎜ ⎜ 3 ⋅ 10−3м ⎝

= 2 ⋅ 10−3Н = 2 мН.

−9

(

⎞ 1,6 ⋅ 10−8Кл ⎟ − = 2⎟ 4 ⋅ 10−3м ⎟ ⎠

) ( 2

)

№ 691(686). A

D

+q

B Fca

q/2

q/2

A Fcb

B

C Fca Fcb

−q

B

C

−q

+q

Дано: Решение. + q, –q, q/2, DА = АС=СВ = r. FC = FCA + FCB = =k

q r

q 2 2

+k

q r

q 2 2

=k

q2 ; r2

FD = FDA − FDB = =k

q r

q 2 2

−k

q

q 2

( 3r )

2

=k

4q2 ; 9r 2

FC 1 9 = = = 2,25 . FD 4 / 9 4

Найти

FC . FD

Ответ: в точке С в 2,25 раза больше.

№ 692(687). r −x

x q1

F 23

q3

F 13

q2

195

Дано: q1=90 нКл= =9⋅10–8 Кл, q2=10 нКл= = 10–8 Кл, r = 4 см = = 4⋅10–2 м.

Решение. r r F13 = − F23 ; F13 = F23

Пусть x — расстояние от заряда q1 до заряда q3, (r−x) — расстояние от заряда q2 до заряда q3. q1 q3

F13 = k q1 x2

=

x

2

( r − x)

q2

(r − x)

q q q q ; F23 = k q2 q3 ; k 1 3 = k 2 3 ; 2 2 2

(r − x )

x

; q1 ( r − x ) = q2 x 2 ; 2

2

2

q1 r − 2 q1 rx + q1 x2 = q2 x2;

( q1 − q2 ) x2 − 2 q1 rx + q1 r 2 = 0 ; Решая последнее квадратное уравнение, получаем выражение для x: x= x1 =

r q1 − q2

(q

1

±

)

q1q2 ;

4 ⋅ 10−2м 9 ⋅ 10−8Кл − 10−8Кл

(9 ⋅10

)

−8

Кл + 9 ⋅ 10−8Кл ⋅ 10−8Кл =

−2

= 6 ⋅ 10 м = 6 см

x2 =

4 ⋅ 10−2м −8

9 ⋅ 10 Кл − 10−8Кл

(9 ⋅10

)

−8

Кл − 9 ⋅ 10−8Кл ⋅ 10−8Кл =

= 3 ⋅ 10−2м = 3 см

В случае x1 = 6 см силы F13 и F23 являются сонаправленными. Поэтому этот случай не удовлетворяет условиям задачи. Ответ: q3 надо расположить в 3 см от q1 и в 1 см от q2.

Найти x.

№ 693(688). +q

2

3

+q F3

+q

1

4

F1

F4

−q

+q 6 −q F3 F5

5

F6

−q

F2

F2 F5

F5

F F1

196

F4

Дано: q, a.

Решение. F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = k

q2 a2

;

Из геометрического построения сил и их результиq2 рующей (см. рис.) видно, что F = 4 F1 = 4k 2 . a Найти: F.

2

Ответ: F = 4k q 2 . a

№ 694(689).

r−x

x q1

q3

F23

q2

F13

Решение. Дано: q1 = 40 нКл = r r = 4⋅10–8 Кл; F13 = − F23 ; F13 = F23 . q2 = −10 нКл = Пусть x — расстояние от заряда q1 до заряда q3, = −10–8 Кл; (r — x) – расстояние от заряда q2 до заряда q3. r = 10 см = q q q q F13 = k 1 2 3 ; F23 = k 2 3 ; = 0,1м. 2 x

(r − x)

k

q1 q3 x2

=k

q2 q3

(r − x)

2

;

q1 x2

=

q2

(r − x )2

;

q1 r 2 − 2 q1 rx + q1 x 2 = q 2 x 2 ;

( q1 − q2 ) x2 − 2 q1 rx + q1r2 = 0 ; x=

0,1 м −8

4 ⋅ 10 Кл − 10−8Кл

( 4 ⋅10

−8

x=

( q1 − q2 ) ( r

)

q1 ± q1q2 = .

)

Кл + 4 ⋅ 10−8Кл ⋅ 10−8Кл =

= 0,2 м = 20 см; r – x = 10 см – 20 см = −10 см. Заряд q3 найдем из условия: F21 = F31 ; k

q1 q2 r

2

q3 = q2

Найти: x, q3.

=k x2 r2

q1 q3 x2

;

= 10−8Кл ⋅

( 0,2 м )2 ( 0,1 м )2

= 4 ⋅ 10−8Кл = 40 нКл

Ответ: надо взять q3 = 40 нКл и поместить его в 20 см от заряда q1 и в 10 см от заряда q2. 197

№ 695(690). F

F1

F1

F

F2

F

+q3

+q3

F2

+q2

+q1

Дано: q1 = q2 = 25 нКл = −8

= 2,5 ⋅ 10 Кл;

r1 = 24 см = 0,24 м; q3 = 2 нКл = = 2 ⋅ 10−9 Кл

;

r2 = r3 = 15 см = = 0,15 м; а) q1, q2 — одноименные; б) q1, q2 — разноименные.

+q1

−q2

r r r Решение. а) F = F1 + F2 ; F1 = F2 = k q1 2q3 r2

Из геометрических соображений: F = 2 F1cosα ; sinα =

⎛ r ⎞ r1 ; cosα = 1 − sin 2α = 1 − ⎜ 1 ⎟ 2r2 ⎝ 2r2 ⎠

F = 2⋅k

q1 q3 r22

F = 2 ⋅ 9 ⋅ 109

⎛ r ⎞ ⋅ 1− ⎜ 1 ⎟ ⎝ 2r2 ⎠

2

2

Н ⋅ м 2 2,5 ⋅ 10−8Кл ⋅ 2 ⋅ 10−9 Кл ⋅ × Кл 2 ( 0,15 м )2 2

⎛ 0, 24 м ⎞ −5 × 1− ⎜ ⎟ = 2,4 ⋅ 10 Н = 24 мкН б) ⎝ 2 ⋅ 0,15 м ⎠ F = 2 F1sinα = 2k

F = 9 ⋅ 10 9

q1 q3 r22

⋅

q q r1 = k 1 3 3 r1 2r2 r2

Н ⋅ м 2 2,5 ⋅ 10 −8 Кл ⋅ 2 ⋅ 10 −9 Кл ⋅ × Кл 2 (0,15м )3

× 0,24 м = 3,2 ⋅ 10 −5 Н = 32 мкН.

Найти: F.

Ответ: а) F = 24 мкН: б) F = 32 мкН.

№ 696(691). α y T

F

F mg

F

198

F

F

x

F

⎧T cosα − mg = 0 , ⎨ ⎩ F − T sinα = 0

где F — сила взаимодействия зарядов. Выразим Т из первого уравнения и подставим его во второе. T=

F mg ; F − mgtgα = 0 ; tgα = cosα mg

а) Так как F12 = F21 = F и силы тяжести одинаковы (m1 = m2), то и отклонения нитей также будут одинаковыми. F F б) Если же m1>m2, то ; tgα1 < tgα 2 ; α1 < α 2 . < m1 g m2 g Таким образом, угол отклонения второго шарика больше. № 697(н). α y T

F

F mg

F

F

F

x

F

⎧ Tcosα = F => mg = Ftg α ⎨ ⎩Tsinα = mg F =k

q2 l

2

<=> q = l

mg = 1,3 мкКл. ktg α

Ответ: q = 1,3 мкКл. № 698(693). Дано: F 4 ⋅ 10−7 H В –9 E = = = 200 . Решение. q = 2 нКл = 2⋅10 Кл, 9 − q 2 ⋅ 10 Кл м F = 0,4 мкН = 4⋅10–7 Н Найти Е. В Ответ: E = 200 . м № 699(694). Дано: q = 12 нКл = 1,2⋅10–8 Кл, Е = 2 кВ/м = 2⋅103 В/м

Найти F.

Решение. F = qE = 1,2 ⋅ 10 −8 Кл ⋅ 2 ⋅ 10 9

В = 24⋅10–6 м

Н = 24 мкН. Ответ: F = 24 мкН. 199

№ 700(695). Дано: e = 1,6⋅10–19 Кл; Е = 10 кВ/м = 104 В/м; m = 9,1⋅10–31 кг

Решение. qE = ma ; a=

a=

Найти а.

qE eE = m m

1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 104 В/м 9,1 ⋅ 10−31кг

= 1,76 ⋅ 1015м/с 2 .

Ответ: a = 1,76⋅10–15 м/с2.

№ 701(696). Дано: Решение. q = 36 нКл = 2 =3,6⋅10–8 Кл; q 3,6 ⋅ 10−8Кл 9 Н⋅м = r1 = 9 см = 0,09 м; Е1 = k r 2 = 9 ⋅ 10 Кл 2 ⋅ ( 0,09 м )2 1 r2=18 см=0,18 м. = 4 ⋅ 104 В/м = 40 кВ/м

Е2 = k

q r22

= 9 ⋅ 10 9

Н ⋅ м 2 3,6 ⋅ 10 −8 Кл ⋅ = Кл 2 (0,18 м )2

= 10 4 В/м = 10 кВ/м Ответ: Е1 = 40 кВ/м, Е2 = 10 кВ/м.

Найти Е1, Е2.

№ 702(697). a)

А +q1

C

B

D

EAC +q2

EBC

x EAD EBD

б) А

C

А

−q 1

C EAC EBC

А

−q 1

200

D

EBC EAC −q2 EBD

+q1 в)

г)

B

C EAC

B

EAD D

+q2 EAD B

x

x EBD

D

EBC −q2 EAD EBD

x

Решение. Дано: АС = 6 см = 0,06 м; q Н ⋅ м2 4 ⋅10−8Кл ⋅ = 105В/м EAC = k 12 = 9 ⋅109 СВ = BD=3 см = AC Кл2 ( 0,06 м)2 =0,03 м 2 −8 q1 = 40 нКл = 4 ⋅ 10 −8 КEВC = k q2 = 9 ⋅ 109 Н ⋅ м ⋅ 10 Кл = 105В/м ВC2

q2 = 10 нКл = = 10−8Кл;

а) + q1 , + q2 ; б) + q1 , − q 2 ;

EAD = k

q1 AD

2

Кл 2

= 9 ⋅109

( 0,03 м )2

Н ⋅ м2 4 ⋅10−8Кл ⋅ = Кл2 ( 0,12 м )2

= 0,25 ⋅105В/м q1

в) − q1 , + q2 ;

EBD = k

г) − q1 , − q 2

= 105В/м

BD 2

= 9 ⋅109

Н ⋅ м 2 4 ⋅10−8Кл ⋅ = Кл 2 ( 0,06 м )2 а)

EC = EAC − EBC = 105 В/м − 105 В/м = 0

E D = E AD + E BD = 0,25 ⋅ 10 5 В/м + 10 5 В/м = = 1,25 ⋅ 10 5 В/м = 125 кВ/м

б) EC = EAC + EBС = 105 В/м + 105 В/м = = 2 ⋅ 10 5 В/м = 200 кВ/м ED = EAD − EBD = 0 ,25 ⋅ 105 В/м − 105 В/м =

= −0,75 ⋅ 105 В/м = −75 кВ/м

в) EC = − EAC − E BС = −105 В/м − 105 В/м = = −2 ⋅ 10 5 В/м = −200 кВ/м E D = E BD − E AD = 10 5 В/м − 0,25 ⋅ 10 5 В/м = = 0,75 ⋅ 10 5 В/м = 75 кВ/м

г) EC = EВC − EАС = 105 В/м − 105 В/м = 0 ED = − EAD − EBD = −0,25 ⋅ 105 В/м − 105 В/м = = −1, 25 ⋅ 105 В/м = −125 кВ/м.

Найти: ЕC, ЕD

Ответ: а) ЕС = 0, ЕD = 125 кВ/м; б) ЕС = 200 кВ/м, ЕD = –75 кВ/м; в) ЕС = –200 кВ/м, ЕD = 75 кВ/м; г) ЕС = 0, ЕD = –125 кВ/м. 201

№ 703(698). E2

E

E1

E1

E E2

+q1

Дано:

−q2

+q2 +q2

Решение.

q1 = q2 = = 0,1 мкКл = = 10−7 Кл;

r r r а) E = E1 + E 2 ; q1

; r =6 см = 0,06 м; r12 r1 = r2 = 5 см = E = 2 E1 cos α ; =0,05 м; а) q1, q2 – одно- sin α = r ; 2r1 именные; б) q1, q2 – разно2 ⎛ r ⎞ именные cosα = 1 − sin2α = 1 − ⎜ ⎟ ; E1 = E 2 = k

⎝ 2r1 ⎠

E = 2k

q1 r12

2

⎛ r ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ 2r1 ⎠

E = 2 ⋅ 9 ⋅ 109

Н ⋅ м2 Кл 2

⋅

2

10−7 Кл

⎛ 0,06 м ⎞ × 1− ⎜ ⎟ = 2 ⎝ 2 ⋅ 0 ,05 ⎠ 0,05м ( )

= 5,76 ⋅ 105В/м = 576 кВ/м .

б) E = 2 E1sinα = 2k E = 9 ⋅109

Найти E

q1 r12

⋅

q r = k 13 r 2r1 r1

Н ⋅ м2 10−7Кл ⋅ ⋅ 0,06 = 4,32 ⋅105В/м = 432 кВ/м . Кл2 ( 0,05 м)3

Ответ: а) Е = 576 кВ/м; б) Е = 432 кВ/м.

№ 704(699). a −x

x q1

202

E1

E2

q2

Решение.

Дано: q1 = q ; q 2 = 4q ;

а; а) q1>0, q2>0; б) q1q2<0

r r E1 = − E2 ;

Е1 = Е2.

Пусть x — расстояние от q до точки, где Е = 0, (а – х) — расстояние от 4q до точки, где Е = 0. q E1 = k 2 ; x E2 = k

k

q x

1

4q

( a − x )2

=k

2

=

;

4q

( a − x )2

;

4

; x (a − x )2 а2 – 2ах + х2 = 4х2; 3х2 + 2ах – а2 = 0; 2

Найти: x

x1 =

− a + 2a a = , 3 3

x2 =

− a − 2a = − a, a − x2 = 2a. 3

a − x1 =

2a ; 3

Ответ: а) на расстоянии

a 2a от q и от 4q; 3 3

б) на расстоянии а от q и на расстоянии 2а от 4q. № 705(700). a)

q

б) r

E

E

q

E’ r E’

203

Дано: q Е = 40 кВ/м = Решение. а) Е1, 2 = Е ± Е ′ = Е ± k 2 r 4⋅104 В/м; 2 −8 q = 27 нКл = E = 4 ⋅104В/м + 9 ⋅109 Н ⋅ м ⋅ 2,7 ⋅10 Кл = 7 ⋅104В/м = 70 кВ/м 1 Кл2 ( 0,09 м)2 2,7⋅10–8 Кл; r = 9 см = Н ⋅ м2 2,7 ⋅10−8Кл 0,09 м E2 = 4 ⋅104В/м − 9 ⋅ 109 ⋅ = 104В/м = 10 кВ/м Кл2

( 0,09 м)2 ⎛

q ⎞ 2⎟ ⎝ r ⎠

2

б) Е1 = Е2 = Е 2 + Е ′2 = Е 2 + ⎜ k

2

2 В⎞ ⎛ Н ⋅ м 2 2,7 ⋅ 10−8Кл ⎞ ⎛ ⎟ = ⋅ E1 = E2 = ⎜ 4 ⋅ 104 ⎟ + ⎜ 9 ⋅ 109 м⎠ ⎜ ⎝ Кл 2 ( 0,09 м )2 ⎟⎠ ⎝

= 5 ⋅ 104 В м = 50кВ м .

Найти: Е1, Е2.

Ответ: а) Е1 = 70 кВ/м, Е2 = 10 кВ/м; б) Е1 = Е2 = 50 кВ/м.

№ 706(701). α y T

F

x

mg

Дано: q1 = q, 9 q2 = q, 10

α1 = 45°.

Решение. ⎧T cosα − mg = 0 . Выражаем T из первого уравнения и ⎨ ⎩ F − Tsinα = 0 mg ; F − mg tgα = 0 ; cosα F qE qE qE tgα = = ; α = arctg ; α1 = 45 0 ⇒ =1; mg mg mg mg

подставляем во второе. T =

α2 = arctg

9qE = arctg 0,9 ; ∆α = α1 − α 2 = 45o − arctg 0 ,9 = 3o . 10mg

Найти: ∆α. Ответ: ∆α = 3o. 204

№ 707(702). E3

E2 E E3

E2

E1 1 +q

3 +q E1

Дано: a, + q, +q –q.

Решение.

r r r r E = E1 + E2 + E3 ; r r r q q E1 = E 2 = E3 = k 2 = k r q 3

(

)

2

= 3k

q a2

;

r q E = 2 ⋅ E1 = 6k 2 . a

Найти: E.

Ответ: E = 6k

q a2

.

№ 708(703). Дано: Решение. m, q, E, g. ⎧⎪ma x = qE

; ⎨ ⎪⎩ma y = mg E ax = q ; a y = g ; m x=

a x t 2 qEt 2 2mx = ⇒ t2 = ; 2 2m qE 2 mx

gt 2 g qE mg y ( x) = = = = x. 2 2 2 qE a yt 2

Найти: Y(x).

Ответ: y (x ) =

mg x. qE

№ 709(704). Проверить, заряжена ли гильза, можно поднесением какого-либо заряженного тела. Знак заряда можно узнать по взаимодействию гильзы с поднесенным телом определенного знака. № 710(705). Положительный. 205

№ 711(706). Если листочек незаряженной металлической фольги находится на заземленном стальном листе, то при поднесении к нему заряженной палочки на нем индуцируется заряд противоположного знака много больший, чем если бы листочек находился на стекле. Поэтому листочек, находящийся на стальном листе, притянется к заряженной палочке. № 712(707). + + +

+ + +

r1

r2

− − −

+ + +

В случае, когда заряды разноименно заряженные, так как в этом случае r1 < r2. № 713(708). Соединить эти шары, затем поднести заряженную палочку. После этого шары разнести. Оба шара будут заряжены одинаковыми по модулю и противоположными по знаку зарядами. № 714(709). Не останется. № 715(710). В обоих случаях уменьшилась, но во втором случае больше. № 716(711). Палец человека является заземлением. Поэтому при поднесении пальца к гильзе часть индуцированного заряда стекает в землю, и сила притяжения увеличивается. № 717(712). На шаре А индуцируется отрицательный заряд. Поэтому, когда отодвинули шар А, на нем заряд также будет отрицательным. На шаре В индуцируется положительный заряд, который может либо превысить отрицательный заряд на шаре В до поднесения палочки (в этом случае шар В останется положительно заряженным), либо быть равным (в этом случае шар В станет нейтральным), либо быть меньшим (в этом случае шар В останется отрицательно заряженным). 206

№ 718(713). Дано: R = 3 см = 3⋅10–2 м, q = 16 нКл = =1,6⋅10–8 Кл, а = 2 см = 2⋅10–2м, b = 4 см = 4⋅10–2 м.

Решение. a < R ⇒ E1 = 0; b > R ⇒ E2 = k E2 = 9⋅109 (Н⋅м2)/Кл2 ⋅

1,6 ⋅ 10

−19

q b2 K‘

( 4 ⋅10−2 “ )

2

=

= 9⋅104 В/м = 90 кВ/м σ=

q S

=

q

4πR

2

–6

№ 719(714). Дано: Решение. E = k σ, r = d.

Найти Е.

q S

1,6 ⋅ 10−19 Кл

(

4 ⋅ 3,14 ⋅ 3 ⋅ 10−2 м 2

)

2

≈

2

≈ 1,4⋅10 Кл/м = 1,4 мкКл/м . Ответ: Е1 = 0, Е2 = 90 кВ/м, σ = 1,4 мкКл/м2.

Найти Е1, Е2, σ.

σ=

=

=

q πd

Ответ: Е =

2

;

q

(

d 2

q d2

+d

)

2

=k

4q 9d 2

;

= σπ ⇒ E = k

4 1 4 σ . ⋅ σπ = σπ = 9 4π ε 0 9 9ε 0

σ . 9ε 0

№ 720(715). Поверхностная плотность заряда увеличится. № 721(716). Дано: σ 3,54 ⋅ 10−7 K ‘/“ 2 2 = Решение. Е = = σ = 354 нКл/м = 2ε0 2 ⋅ 8,85 ⋅ 10-12 K ‘2 / (H ⋅ “ 2 ) –7 2 = 3,54⋅10 Кл/м . = 2⋅104 В/м = 20 кВ/м. Найти Е. Ответ: Е = 20 кВ/м. № 722(717). Диэлектрик (в данной задаче стекло) уменьшает электрическое поле. Поэтому при помещении стекла между электрометром и заряженной палочкой стрелка отклонится — показания электрометра уменьшатся. Если же убрать палочку, а стеклянную пластинку оставить, то заряд на электрометре сохранится — стрелка не отклонится. Если же убрать пластину, а палочку оставить, то стрелка отклонится в сторону большего заряда. 207

№ 723(718). Дано: Е2 = 60 В/м, ε1 = 3,5, ε2 = 7, ε3 = 6.

Решение. Е0 = ε2Е2 = 7⋅60 В/м = 420 В/м; E 420 B/м = 120 В/м; Е1 = 0 = ε1 3,5 Е3 = E0 = 420 B/м = 70 В/м. ε3

6

Найти Е0, Е1, Е3. Ответ: Е0 = 420 В/м, Е1 = 120 В/м, Е3 = 70 В/м. № 724(719). Дано: σ = 40 нКл/м2 = = 4⋅10–8 Кл/м2, ε = 2,5. Найти Е.

Решение. E=

σ 4 ⋅ 10−8 Kл/м 2 В = = 900 . 2εε 0 2 ⋅ 2 ,5 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 Кл 2 / (Н ⋅ м 2 ) м

Ответ: Е = 900 В/м.

№ 725(720). Дано: Решение. ε = 2,5, q2 F=k 2 ; r = 6 см = εr =6⋅10–2 м, −4 F = 0,4 мН = q = r Fε = 6 ⋅ 10−2 м ⋅ 4 ⋅ 10 H ⋅ 2 ,5 = –4 k H ⋅м 2 =4⋅10 Н. 9 ⋅ 109 2 Кл

Найти q.

= 2⋅10–8 Кл=20 нКл. Ответ: q = 20 нКл.

№ 726(721). Дано: Решение. ε = 81. q2 q2 q2 q2 q F = k 12 ; F = k 2 ; k 12 =k 22 ; 2 = ε = 81 = 9 . q1 r r εr εr 2 q Найти 2 . Ответ: заряд надо увеличить в 9 раз. q1

№ 727(722). Дано: Решение. ε = 2,1. qq qq qq qq r , ≈ 145 , F=k 1 2 2 ; F=k 1 22 ; k 1 2 2 =k 1 22 ; 1 = ε = 21 r1 εr2 r1 εr2 r2 Ответ: уменьшить в 1,45 раза. r Найти 1 . r2 208

№ 728(723). Решение. Дано: r = 3 см = 3⋅10–2 м, H⋅м 2 9 ⋅ 109 2 ⋅ 4 ⋅ 10−9 Кл q = 4 нКл = 4⋅10–9 Кл, E = k q ; ε = k q = Кл =2. −2 2 4B Е = 20 кВ/м = Er 2 εr 2 ⋅ ⋅ ⋅ 2 10 3 10 м м = 2⋅104 В/м. Найти ε. Ответ: ε = 2.

(

)

№ 729(724). Дано: Решение. ε = 2,1, r1 = 29 см = q q q q ;k 2 =k ; Е1 = k 2 ; Е2 = k = 0,29 м, 2 r1 r1 εr2 εr22 Е1 = Е2. r 0,29 м = 0,20 м = 20 см. r2 = 1 = ε 2,1 Найти r2. Ответ: r2 = 20 см. № 730(725).

α

β y

y T2

T1 F1

x

F2

mg

Дано: α = 60°, β = 50°.

x

mg

Решение. ⎧T cos α − mg = 0 ⎪1 2 ; ⎨ α ⎪ F1 − T1sin = 0 2 ⎩ mg

Т1 =

cos

α 2

; F1 – mg tg

α =0. 2

Аналогично получаем для случая β: F2 – mg tg

β = 0. 2

Из последних двух формул получаем: 209

F1tg

β α = F2tg ; 2 2

F1= k

k

(

r12

q

=k

2

)

α 2 2lsin 2

ε=

Найти ε.

q2

α 2 β sin 2 2

sin 2

(

q2

)

α 2 2lsin 2

β ⋅ tg = k 2

α 2 β ⋅ tg 2

⋅ tg

=

ε

(

;F2= k q

2

)

β 2 2lsin 2

q2

=k

εr22

ε 2lsin

⋅ tg

sin 2 30o ⋅ tg30o sin 2 25o ⋅ tg25o

(

q2

)

β 2 2

;

α ; 2

= 1,7 .

Ответ: ε = 1,7.

№ 731(726). Fa=-ρ2Vg Fкл=qE

mg

Дано: m = 0,18 кг = 1,8⋅10–4 кг, ρ1 = 1800 кг/м3, ρ2 = 900 кг/м3, Е = 45 кВ/м = 4,5⋅104 В/м.

Решение. mg – qE –ρ2Vg = 0; m m V= ; mg – qE – ρ2 g = 0; ρ1 ρ1 ⎛ ρ ⎞ mg ⎜1 − 2 ⎟ ρ1 ⎠ ⎝ = q= E ⎛ 900кг/м3 ⎞ ⎜1 − 3⎟ ⎝ 1800 кг/м ⎠ = 4,5 ⋅ 104 В/м

1,8 ⋅ 10−4 кг ⋅ 10

= Найти q. 210

м с2

= 2⋅10–8 Кл = 20 нКл. Ответ: q = 20 нКл.

№ 732(727). Решение. Дано: q=20 нКл =2⋅10–8 Кл, –8 ϕ1 = 700 В, ϕ2=200 В, А1 = q(ϕ1 – ϕ2) = 2⋅10 Кл(700 В – 200 В) = –5 = 10 Дж = 10 мкДж ϕ3 = –100 В, А2 = q(ϕ3 – ϕ4) = 2⋅10–8 Кл(–100 В – 400 В) = ϕ4 = 400 В. = –10–5 Дж = –10 мкДж. Найти А1, А2. Ответ: А1 = 10 мкДж, А2 = –10 мкДж. № 733(728). Дано: Решение. Е = 1 кВ/м = 103В/м, q = –25 нКл = F = qE∆d = –2,5⋅10–8 Кл⋅103 В/м⋅2⋅10–2 м = –8 = –2,5⋅10 Кл, = –5⋅10–7 Дж = –0,5 мкДж –2 ∆d = 2 см = 2⋅10 м. ∆W = –A = 0,5 мкДж U = E∆d = 103 В/м⋅2⋅10–2 м = 20 В. Ответ: Найти A, ∆W, U. А=–0,5 мкДж, ∆W=0,5 мкДж, U=20 B. № 734(729). Решение. Дано: 3 ∆ϕ = 1 кВ = 10 В, А = 40 мкДж = 4⋅10–5 Дж. A 4 ⋅ 10 −5 Дж =4⋅10–8Кл = 40 нКл. q= = ∆ϕ 10 3 В Найти q. Ответ: q = 40 нКл. № 735(730). Дано: Е = 60 кВ/м = = 6⋅104 В/м, |q| = 5 нКл = = 5⋅10–9 Кл, d = 20 см = =0,2 м, α = 60°.

Решение.

1) q = 5⋅10–9 Кл A = qEdcosα = 5⋅10–9 Кл ⋅ 6⋅104 В/м × × 0,2 м ⋅ cos60° = 3⋅10–5 Дж = 30 мкДж ∆W = –A = –30 мкДж U=Edcosα=6⋅104 В/м ⋅ 0,2 м ⋅ cos60° = 6000 B = = 6 кВ 2) q = –5⋅10–9 Кл А = –30мкДж; ∆W = 30мкДж; U = 6кВ. Найти A, ∆W, U. Ответ: 1) А=+30 мкДж,∆W=–30 м кДж, U=6 кВ; 2) А = –30 мкДж, ∆W = 30 мкДж, U = 6 кВ. 211

№ 736(731). Решение. Дано: е = −1,6⋅10–19Кл, ϕ1 = 200В, T = A = e ( ϕ1 − ϕ2 ) = −1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ ( 200В − 300В ) = ϕ2 = 300В, = 1,6 ⋅ 10−17 Дж, ∆W = −А = −1,6⋅10–17Дж. V0 = 0 mV 2 = e(ϕ 1 − ϕ 2 ) ; 2

V=

(

)

2 ⋅ −1,6 ⋅ 10−19Кл ( 200В − 300В) 2e ( ϕ1 − ϕ2 ) = = m 9,1 ⋅ 10−31кг

= 5,9⋅106 м/с = 5,9 Мм/с. Найти Т, ∆W, V. Ответ: Т = 1,6⋅10–17Дж, ∆W = −1,6⋅10–17Дж, V = 5,9 Мм/с. № 737(н). Дано: q = 5 мкКл l = 18 см Q = 20мкКл

Решение. По определению потенциала поля: ϕ = A/ q. Потенциал поля заряженного шара: ϕ=k

Найти A - ?

Q Qq => A = k = 5 Äæ . r l

Ответ: A = 5 Дж.

№ 738(732). Решение. Дано: e = −1,6⋅10–19Кл, V1 = 10Мм/с = 107м/с, mV2 2 mV12 V2 =30Мм/с=3⋅107м/с, e∆ϕ = 2 − 2 ; m = 9,1⋅10–31кг m ∆ϕ = V2 2 − V12 2e 2 9,1 ⋅ 10 −31 кг ∆ϕ = ⋅ ⎛⎜ 3 ⋅ 10 7 м/с − −19 2 − 1,6 ⋅ 10 Кл ⎝

(

(

Найти ∆ϕ. 212

(

)

)

) (

)

2 − 10 7 м/с ⎞⎟ = −2,27 ⋅ 10 3 В = −2,27 кВ. ⎠ Ответ: ∆ϕ = −2,27кВ.

№ 739(733). Решение. Дано: m = 6,7⋅10–27кг, q = 3,2⋅10–19Кл, mV 2 V = 20 Мм/с = q∆ϕ = 2 ; 2⋅107м/с

(

7 −27 mV2 6,7 ⋅10 кг ⋅ 2 ⋅10 м/с ∆ϕ = = 2q 2 ⋅ 3,2 ⋅10−19Кл

Найти ∆ϕ.

)

2

=

= 4,2⋅106 В=4,2 МВ. Ответ: ∆ϕ = 4,2 МВ.

№ 740(734). Решение. Дано: q m1 =4, 1 =2 T1 = A1 = q1∆ϕ ; m2 q2

T2 = A2 = q 2 ∆ϕ ; T1 q1 = = 2; T2 q 2 q1∆ϕ =

m1V12 ; 2

q2 ∆ϕ =

m2V2 2 ; 2

V2 = V1

Найти

q2 m1 ⋅ = 2. q1 m2

T1 V2 Ответ: , . T2 V1 кинетическая энергия α — частицы в 2 раза больше, а скорость – в 2 раз меньше.

№ 741(735). Решение. Дано: U = 2 кВ = 2⋅103В, ∆d = 10 см=0,1 м. U 2 ⋅ 103 В В кВ E= = = 2 ⋅ 104 = 20 . ∆d 0,1м м м Найти E. Ответ: E = 20 кВ/м.

213

№ 742(736). Решение. Дано: Е = 60кВ/м = а) α = 0°; =6⋅104В/м, d = 10 см = 0,1 м U = ±Ed = ±6⋅104В/м⋅0,1м = ±6⋅103В = ±6 кВ б) α = 90°; U = 0; в) α = 45°; U = ±Edcosα=±6⋅104В/м⋅0,1м⋅cos45° = = ±4,2⋅103В = ±4,2 кВ. Ответ: Найти ∆ϕ. а) U = ±6 кВ, б) U = 0, в) U = ±4,2 кВ. № 743(737). Дано: Решение. АВ = 8см = 8⋅10–2м, U = E∆d = E ⋅ AB⋅ cosα = α = 30°, Е=50кВ/м=5⋅104В/м = 5 ⋅ 104 В/м ⋅ 8 ⋅ 10−2 м×cos30o = = 3,5 ⋅ 102 В = 3,5кВ . Найти U. Ответ: U = 3,5 кВ. № 744(738). Решение. Дано: d = 4,8 мм = =4,8⋅103м, q E = mg ; m = 10 мг = 10–8кг, U U = 1 кВ = 103В, E= ; –19 d E = −1,6⋅10 Кл U q = mg ; d mgd ; q = U N=

Найти: N.

q e

=

mgd 10−8кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 4,8 ⋅ 10−3м = = 3000 . eU 1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 103В

Ответ: N = 3000.

№ 745(739). Нет; нет; да. № 746(740). Одинаковы. № 747(741). В точке С напряженность и потенциал больше. 214

№ 748(742). +50 В

а) -50 В

0В

б) Е х , кВ /м 2

x, м

-2 в)

ϕ, В 50

0,05

0,1

x, м

-50

№ 749(743). Дано: ϕА = 60В, ϕВ = –60В, d = 8см = 0,08м, d1 = 2см = 0,02м

Решение. ∆ϕ ϕA − ϕB 60В − ( −60В ) = = = 1500 В/м = d d 0,02м = 1,5 кВ/м ϕ 60В EAC = A = = 3000 В/м = 3 кВ/м d1 0,02м E=

∆EAC = EAC − E = 3 кВ/м − 1,5 кВ/м = 1,5 кВ/м

ECB =

ϕA 60 В = = 103В/м = 1 кВ/м d − d1 0,08 м − 0,02 м

∆E CB = ECB − E = 1 кВ/м − 1,5 кВ/м = −0,5 кВ/м . Найти ∆ЕАС, ∆ЕСВ. Ответ: ∆ЕАС = 1,5 кВ/м, ∆ЕСВ = −0,5 кВ/м. 215

№ 750(744). Решение. Дано: S = 401см2 = 4,01⋅10–2м2, σ E= ; q = 1,42 мкКл =1,42⋅10–6Кл ε0 q σ= ; S E=

q = Sε 0

1,42 ⋅ 10−6 Кл 4,01 ⋅ 10−2м 2 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12

Кл 2 Н⋅м 2

=

= 4 ⋅ 106 В / м = 4000кВ / м .

Найти Е.

Ответ: Е = 4000 кВ/м.

№ 751(745). Решение. Дано: ε = 7, εε U d = 4мм =4⋅10–3м, σ ; σ = ε0E = 0 = E= U = 3,8 кВ = 3,8⋅103В ε0 d =

Найти σ.

7 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12

Кл2 Н⋅м2

⋅ 3,8 ⋅103В

4 ⋅10−3м

=

= 5,9 ⋅ 10−5Кл/м2 = 59 мкКл/м2 . Ответ: σ = 59 мкКл/м2.

№ 752(746). Решение. Дано: С1 = 0,5 мкФ = 5⋅10–7Ф, q =q ; C U = C 2U 2 ; С2 = 5000 пФ = 5⋅10–9Ф 1 2 1 1

U2 C1 5 ⋅10−7Ф = = = 100 . U1 C2 5 ⋅10−9Ф

Найти:

U2 . U1

Ответ: на второй конденсатор надо подать напряжение в 100 раз больше, чем на первый.

№ 753(747). Решение. Дано: С1 = 200 пФ = 2⋅10–10Ф, С2 = 1 мкФ = 10–6Ф, q1 q 2 q 2 C 2 10 −6 Ф = ; = = = 5000 . U1 = U2 C1 C 2 q1 C1 2 ⋅ 10 −10 Ф Ответ: на втором конденсаторе заряд в q Найти 2 . 5000 раз больше. q1 216

№ 754(748). Решение. Дано: U = 1,4 кВ = 1,4⋅103В, q 2,8 ⋅ 10−8Кл −11 q = 28 нКл = 2,8⋅10–8Кл C = U = 1,4 ⋅ 103В = 2 ⋅ 10 Ф = 20 пФ . Найти С. Ответ: С = 20пФ. № 755(749). Дано: С=58 мкФ = =5,8⋅10–5Ф, U = 50В Найти q. № 756(750). Дано: С = 100 пФ = 10–10Ф, U = 300 B, q1 = 50 нКл = = 5⋅10–8Кл Найти q.

Решение. q = CU = 5,8 ⋅10−5Ф ⋅ 50 В = 2,9 ⋅ 10−3Кл = 2,9 мКл .

Ответ: q = 2,9 мКл. Решение. q = CU = 10 −10 Ф ⋅ 300 В = 3 ⋅10 −8 Кл = 30 нКл . Так как q1>q, то этот конденсатор нельзя использовать для накопления заряда q=50 нКл. Ответ: нельзя.

№ 757(751). Решение. Дано: d1 S1 εε S =2, = 3. C1 = 0 1 ; d2 S2 d1 C2 =

εε 0 S 2 ; d2

C2 εε 0 S2 d1 S d 1 = ⋅ = 2 1 = ⋅ 3 = 1,5 . C1 d 2 εε 0 S1 S1d 2 2

Найти

C2 . C1

Ответ: увеличится в 1,5 раза.

№ 758(752). Решение. Дано: ε1 = 2,2, εε S C1 = 1 0 ; ε2 = 6 d ε ε S C ε 6 C2 = 2 0 ; 2 = 2 = ≈ 2 ,73 . C1 ε1 2 ,2 d Ответ: увеличится в 2,73 раза. C Найти 2 . C1 217

№ 759(753). Дано: U1 = 400 B, U2 = 50 B, q1 = q2

Решение. q1 = q2; C1U 1 = C 2U 2 ; C1 =

ε0S εε S ; C2 = 0 ; d d

ε0S εε S U1 = 0 U 2 ; d d ε=

Найти ε.

U1 400В = =8. U2 50В

Ответ: ε = 8.

№ 760(754). Сблизить пластины, ввести диэлектрик; раздвинуть пластины. № 761(н). Дано: d = 20см l = 1мм

Решение. C=

ε ε0S

= = l l 2 ⋅ 8,85 ⋅10 −12π ⋅ 0, 01 = = 560 пФ 0, 001 Ответ: с = 560пФ.

Найти с. № 762(755). Дано: S = 520 см2 = 5,2⋅10–2м2, С = 46 пФ = 4,6⋅10–11Ф

Решение. C = ε S d= 0 = C

Найти d. № 763(756). Дано: S = 50 см2 = =5⋅10–3м2, ε = 7, Е = 10 МВ/м = = 107В/м Найти q. 218

d 2

ε ε 0π ( ) 2

ε0S ; d

8,85 ⋅ 10−12

Кл 2 Н⋅м 2

⋅ 5,2 ⋅ 10−2м

4,6 ⋅ 10−11Ф

=

= 0,01 м = 1 см. Ответ: d = 1см. Решение. q = CU =

εε 0 S U ; U = Ed ; d

q = εε 0 SE = 7 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12

= 3,1 ⋅10−6 = 3,1мкКл .

Ответ: q = 3,1 мкКл.

Кл 2 Н ⋅ м2

⋅ 5 ⋅ 10−3м 2 ⋅ 107 В/м =

№ 764(757). Решение. Дано: а) Конденсатор отключили от источника питания. В d2 =3 силу закона сохранения заряда q1 = q2, т.е. заряд на d1 пластинах после отключения питания сохраняется. ε0S ε S U1 = ε 0 SE1 ; q2 = C2U 2 = 0 U 2 = ε 0 SE2 . d1 d2

q1 = C1U1 =

Отсюда

U 2 d2 E q = = 3, 2 = 2 = 1 U1 d1 E1 q1

б) Конденсатор остался подключенным к источнику питания. Напряжение на конденсаторе поддерживается на постоянном уровне за счет источника питания, т.е. U1 = U2 ε0S ε S U1 = ε 0 SE1 ; q2 = C2U 2 = 0 U 2 = ε 0 SE2 . d1 d2

q1 = C1U1 =

Отсюда Найти q2 U 2 E2 . , , q1 U1 E1

q2 C2 d1 1 E2 d1 1 = = = ; = = . q1 C1 d 2 3 E1 d 2 3

Ответ: а)

№ 765(н). Дано: r = 10мм d = 1мм ε = 2,1 U = 2,4 кВ

q2 U E q 1 U E 1 = 1 , 2 = 3 , 2 = 1 ; б) 2 = , 2 =1, 2 = . q1 U1 E1 q1 3 U1 E1 3

Решение. εε 0 S εε 0 πr 2 = = 5,8пФ d d q = cU = 0 ,014 мкКл qU E= = 0,017 кДж 2

c=

ρ = 0 ,54 Дж / м3

Найти c,q,E,ρ - ?

Ответ:

c = 5,8пФ, q = 0,014 мкКл, E = 0,017 кДж, ρ = 0,54 Дж / м3 .

№ 766(759). Дано: С = 800 мкФ = 8⋅10–4 Ф, U = 300 B, t = 2,4 мс = 2,4⋅10–3 с.

Решение. CU 2 8 ⋅ 10−4 Ф ⋅ (300 В) 2 W= = = 36 Дж; 2 2

Найти W, P.

Ответ: W = 36 Дж, Р = 15 кВт.

Р=

W 36 Дж = = 15⋅103 Вт = 15 кВт. −3 t 2,4 ⋅ 10 с

219

№ 767(760). Решение. Дано: 2 U2 ⎛U2 ⎞ CU 12 CU 22 W2 U 22 2 = 4. ⎜ ⎟ W = ; W = ; = = 1 2 U1 ⎜ U ⎟ =4 =16. W1 2 2 U 12 ⎝ 1⎠ W2 Ответ: энергия увеличится в 16 раз. Найти . W1 № 768(761). Решение. C Дано: 2 =9, C1 CU 2 CU 22 C1U12 C2U 22 U1 W1= 1 ; W2= ; = ; = C2 = 9 = 3 . W1=W2. U 2 2 2 C1 2 2 Найти

U1 . U2

Ответ: на конденсаторе меньшей емкости (С1) надо подать в 3 раза большее напряжение.

№ 769(762). Решение. Дано: С = 10 мкФ = 10–5 Ф, 2 4 ⋅ 10−6 Кл q = 4 мкКл = 4⋅10–6 Кл. W= q = −5

(

2C

Найти W.

2 ⋅ 10 Ф

)

2

=8⋅10–7 Дж=800 нДж.

Ответ: W = 800 нДж.

№ 770(763). Дано: СU 2 ε 0 S (Ed ) 2 ε 0 SE 2d = = Решение. W = S = 200 см2 = 2 2d 2 = 2⋅10–2 м2, 2 2 Кл 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 2 ⋅ 10−2 м2 ⋅ 5 ⋅105 В/м ⋅10−2 м d = 1 см =0,01 м, 2 Н×м = Е = 500 кВ/м = W = 2 5 = 5⋅10 В/м. –4 = 2,2⋅10 Дж = 220 мкДж. Найти W. Ответ: W = 220 мкДж.

(

)

№ 771(764). Дано: Решение. d = 2 мм = W CU 2 εε 0 SU 2 –3 ω = ; W = ; V = Sd; = = 2⋅10 м, 2 2d V U = 200 B, 2 2 −12 Кл ε = 2,2. εε 0 SU 2 εε 0U 2 2,2 ⋅ 8,85 ⋅10 Н×м2 ⋅ (200 В) ω= = = = 2d ⋅ Sd 2 ⋅ (2 ⋅10−3м)2 2d 2 Найти ω. 220

= 9,7⋅10–2 Дж=97 мДж. Ответ: ω = 97 мДж.

№ 772(765). а) Конденсатор отключен от источника напряжения. ε S εε S U q1 = q2; C1U1 = C2U2; 0 U 1 = 0 U 2 ; U2 = 1 ; ε d d W1 1 1 1 U1 W1 = q1U1; W2 = q2U2 = q1 = . 2 2 2 ε ε Таким образом, энергия поля заряженного конденсатора после заполнения пространства между его пластинами маслом уменьшится в ε = 2,5 раза за счет того, что часть энергии расходуется на поляризацию диэлектрика. б) Конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного напряжения. q q q1 q2 U1 = U2; 1 = 2 ; = ; q2 = εq1; C1 C 2 ε 0 S / d εε 0 S / d

W1 =

1 1 1 q1U1; W2 = q2U2 = εq1U1 = εW1. 2 2 2

Таким образом, энергия поля конденсатора увеличится в ε = 2,5 раза. Энергия пополняется за счет источника напряжения. № 773(766). а) Конденсатор отключили от источника напряжения. ε S ε S U d1 = 2; q1 = q2; C1U1 = C2U2; 0 U 1 = 0 U 2 ; U2 = 1 ; d2 2 d2 d1

W1 =

W 1 1 1 U q1U1; W2 = q2U2 = q1 1 = 1 . 2 2 2 2 2

Энергия уменьшилась в 2 раза. W W1 W W W ω1 = 1 = 1 ; ω2 = 2 = = 1 = ω1; ω1 = ω2 V1 Sd1 V2 2Sd 2 Sd1 Плотность энергии не изменилась. б) Конденсатор остался присоединенным к источнику постоянного напряжения. q q q1 q2 U1 = U2; 1 = 2 ; = ; q2 = q1 d1 = 2q1; C1 C 2 ε 0 S / d1 ε 0 S / d 2 d2

W1 =

1 1 1 q1U1; W2 = q2U2 = 2q1U1 = 2W1 2 2 2

Энергия увеличилась в 2 раза. W W W 2W 4W1 ω1 = 1 = 1 ; ω2 = 2 = 1 = = 4ω1 V1 Sd1 V2 Sd 2 Sd1 Плотность энергии увеличилась в 4 раза. 221

№ 774(767). Решение. Дано: С = 20 мкФ = CU 22 CU12 − ∆W = W2 – W1 = ; = 2⋅10–5 Ф, 2 2 U2 U2 = 2U1; = 2, U1 3 C ⋅ 4U12 CU12 ∆W = = CU12; − ∆W = 0,3 Дж. 2 2 2

U1 = W1 = Найти U1, W1.

222

2 ∆W 2 ⋅ 0,3 Дж = = 100 B; 3C 3 ⋅ 2 ⋅ 10-5Ф

СU12 2 ⋅ 10−5Ф ⋅ (100 ⋅ В) 2 = 0,1 Дж. = 2 2

Ответ: U1 = 100 B, W1 = 0,1 Дж.

Законы постоянного тока Током называется направленное движение заряженных частиц. Силой тока I называется изменение заряда ∆q за время ∆t: I = ∆q/∆t. Считается, что ток переносится положительно заряженными частицами. В самых распространенных проводниках — металлах — ток переносится отрицательными электронами, значит направление тока противоположно направлению движения электронов. Для постоянного тока I = const. Пусть сопротивление участка цепи R, напряжение на его концах U. Тогда сила тока выражается законом Ома: I=

U . R

R1

R2

П оследовательное соединение.

При последовательном соединении проводников сопротивлением R1, R2,…, Rn суммарное сопротивление R определяется формулой R = R1 + R2 + … + Rn. В этом случае сила тока через каждый элемент цепи одинакова. R1

R2 П араллельное соединен ие

При параллельном соединении проводников сопротивлением R1, R2,…, Rn суммарное сопротивление R определяется формулой 1 1 1 1 . В этом случае напряжение на каждом эле= + + ... + R R1 R2 Rn менте цепи одинаково. Сопротивление R отрезка провода длины l и площади поперечного сечения S определяется формулой R=ρ

l , S

где ρ ⎯ удельное сопротивление ⎯ постоянная, зависящая от рода вещества.

При протекании по проводнику сопротивления R тока I, ток совершает работу A, которая выражается формулой A = I2R∆t, 223

где ∆t ⎯ время, которое течет ток. Учитывая закон Ома, A = UI∆t = = U2∆t/R, где U напряжение на концах проводника.

Электрической мощностью P называется следующая физическая величина P = A/∆t. Мощность P можно рассчитывать по формулам P = I2R = IU = U2/R. Пусть у нас имеется цепь, состоящая из источника ЭДС ε с внутренним сопротивлением r и резистора сопротивления R. Сила тока I в этой цепи будет определяться законом Ома для полной цепи: ε I= . R+r № 775(н). Дано: с = 100 мкФ U = 500В t = 0,5c

Решение. q = cU ⎫ cU ⎪ = 0,1A. q ⎬ => I = t I= ⎪ t ⎭

Найти I - ?

Ответ: I = 0,1A.

№ 776(768). Дано: R = 84 Ом, S = 1 мм2 = 10–6 м2, ρ = 42⋅10–8 Ом⋅м. Найти l.

Решение. l RS 84 Ом ⋅ 10−6м 2 R=ρ ;l= = 200 м. = ρ S 42 ⋅ 10−8Ом ⋅ м

№ 777(769). Дано: S l1 =2, 2 =2 l2 S1 Найти

R1 . R2

Ответ: l = 200 м. Решение. l lS l R R1 = ρ 1 ; R2 = ρ 2 ; 1 = 1 2 = 2⋅2 = 4. S1 S 2 R2 l 2 S1 Ответ: сопротивление уменьшится в 4 раза.

№ 778(н). Дано: Решение. E l = 5м j = λE = U = 12В ρ j=

Найти j-? 224

U = 4 ,8 А / мм 2 . lρ

Ответ: j =4,8 А/мм2.

№ 779(н). Дано: Решение. l = 5 км l ⎫ ⎪⎪ R=12Ом R = ρ S

ρ l2 R = ρ пл = 300кг. V m ⎬⎪ m S= = l ρплl ⎪⎭

Найти m- ?

Ответ: m = 300кг.

№ 780(771). а) U = IR = 5 A ⋅ 30 Ом = 150 В < 220 B. Нельзя. б) U = IR = 0,2 A ⋅ 2000 Ом = 400 В > 220 B. Можно. № 781(772). Решение. Дано: l S = 1,4 мм2 = U IR Iρ S ρ –6 2 = = =I ; Е = = 1,4⋅10 м , l l l S I = 1 A, −8 ρ = 2,8⋅10–8 Ом⋅м. Е = 1 А ⋅ 2,8 ⋅ 10 Ом ⋅ м = 2⋅10–2 В/м = 20 мВ/м. −6 2 1,4 ⋅ 10 м

Найти Е.

Ответ: Е = 20 мВ/м.

№ 782(773). Дано: l1 = 2м, S1 = 0,48 мм2 = = 4,8⋅10–7 м2, ρ1=12⋅10–8Ом⋅м, l2=1 м, S2 = 0,21 мм2 = = 2,1⋅10–7 м2, ρ2 = 42⋅10–8 Ом⋅м, I = 0,6 A. Найти U.

Решение.

U=IR=I(R1 + R2) = I ⎛⎜ ρ1 l1

S1

⎝

+ ρ2

l2 ⎞ ; ⎟ S2 ⎠

⎛ 2м U = 0,6 A ⎜12 ⋅ 10−8 Ом ⋅ м + 4 ,8 ⋅ 10−7 м 2 ⎝

+ 42 ⋅ 10−8 Ом ⋅ м ⋅

⎞ ⎟ = 1,5 B. 2,1 ⋅ 10 м ⎟⎠ 1м

-7 2

Ответ: U = 1,5 B.

№ 783(774). U R= ; I

I1=I2=I3=I; R1 : R2 : R3=

U1 U 2 U 3 : : =U1 : U2 : U3=1 : 2 : 3. I I I

225

№ 784(775). Решение. Дано: U = 24 B, U U + U 2 U − U3 24 B − 4 B I = 12 = 1 = 2 A; = = R1 = 4 Ом, R12 R1 + R2 R1 + R2 4 Ом + 6 Ом R2 = 6 Ом, U3 = 4 B. U 4B R3 = 3 = = 2 Ом; I 2A U1 = IR1 = 2 A ⋅ 4 Ом = 8 В; U2 = IR2 = 2 A ⋅ 6 Ом = 12 В. Найти I, Ответ: I = 2 A, R3 = 2 Ом, U1 = 8 B, U2 = 12 B. R3, U1, U2. № 785(776). Дано: R1 = 240 Ом, U1 = 120 B, U = 220 B, S = 0,55 мм2 = = 5,5⋅10–7 м2, ρ = 110⋅10–8 Ом⋅м.

Решение. I=

U1 U 2 U − U1 ; = = R1 R2 R2

R2 = ρ

l ; S

U1 U − U1 = S; R1 ρl

l = (U − U1 )R1S = U1ρ

(220 B − 120 B) ⋅ 240 Ом ⋅ 5,5 ⋅ 10−7м 2

= Найти l.

№ 786(777). Дано: U = 45 B, U1 = 30 B, R1 = 20 Ом, а) Ra=6 Ом, Ia=2A, б) Rб = 30 Ом, Iб = 4 А, в) Rв = 800 Ом, Iв = 0,6 А.

Найти I, R2.

226

120 В ⋅ 110 ⋅ 10−8Ом ⋅ м

= 100 м.

Ответ: l = 100 м. Решение. U = U1 + U2; U2 = U – U1 = 45 B – 30 B = 15 B; I=

U1 30 B = 1,5 A; = R1 20 Ом

R2 =

U 2 15 B = = 10 Ом I 1,5 A

Под пунктом а) у реостата маленькое сопротивление (Ra < R2), под пунктом в) у реостата малая сила тока (Iв < I). Поэтому нам подходит реостат под пунктом б). Ответ: б).

№ 787(778). Дано: S1 = 0,6 мм2 = = 6⋅10–7 м2, n1 = 2, S2 = 0,85 мм2 = =8,5⋅10–7 м2, n2=4, l1 = l2 = l = 1 км = = 103 м, ρ1 = 12⋅10–8 Ом⋅м, ρ2 = 1,7⋅10–8 Ом⋅м, I = 0,1 A. Найти U.

Решение. R1 = ρ1 l = 12⋅10–8 Ом⋅м × n1 S1 ×

103 м 2 ⋅ 6 ⋅ 10−7 м 2

R2 = ρ2 =5 Ом;

= 100 Ом

103 м l = 1,7⋅10–8 Ом⋅м × = 4 ⋅ 8,5 ⋅ 10− 7 м 2 n 2S2

R1 R2 100 Ом ⋅ 5 Ом =0,1 A ⋅ = 0,48 B. 100 Ом + 5 Ом R1 + R2 Ответ: U = 0,48 B.

U=IR=I

№ 788(779). Лампочка не загорится, вольтметр будет показывать около 2 В, а амперметр — нуль. № 789(780). Решение. Дано: R = 385 Ом, Uш IaR niR I = 3,8⋅10–4 A, Rш = I = I − I = I − ni ; ш a n = 10, −4 10 ⋅ 3,8 ⋅ 10 A ⋅ 385 Ом I1 = 3 A, = 0,049 Ом; R1 = I2 = 10 A. 3 А − 10 ⋅ 3,8 ⋅ 10−4 А R2 = Найти R1, R2.

10 ⋅ 3,8 ⋅ 10−4 A ⋅ 385 Ом 10 А − 10 ⋅ 3,8 ⋅ 10−4 А

= 0,015 Ом.

Ответ: R1 = 0,049 Ом, R2 = 0,015 Ом.

№ 790(781). Решение. Дано: Rобщ = Rg + R; R = 2,3 Ом, U U U=1,4⋅10–3 B, ⎛U ⎞ –R= – R = ⎜ − 1⎟ R; Rg = Rобщ – R = n = 10, I nu / R ⎝ nu ⎠ U1 = 5 B, ⎛ ⎞ 5B − 1⎟⎟ ⋅ 2,3 Ом = 820 Ом; R1 = ⎜⎜ U2 = 15 B. −3 ⎝ 10 ⋅ 1,4 ⋅ 10 B ⎠ ⎛ ⎞ 15 B − 1⎟⎟ ⋅ 2,3 Ом = 2460 Ом. R2 = ⎜⎜ −3 ⎝ 10 ⋅ 1,4 ⋅ 10 B ⎠

Найти R1, R2. Ответ: R1 = 820 Ом, R2 = 2460 Ом. 227

№ 791(782). Решение. Дано: R = 200 Ом, 1) Вольтметр. I = 100 мкА = U 2B Rобщ = Rg + R; Rg = Rобщ – R = 1 – R = − 4 – = 10–4 А, I 10 A U1 = 2 B, – 200 Ом = 19800 Ом = 19,8 кОм. I1 = 10 мА = U IR 10−4A ⋅ 200 Ом = 10–2 А. =2,2 Ом. 2) Амперметр. Rш= ш = = −2 −4 I1 − I

Iш

10 А − 10 А

Найти Rg, Rш. Ответ: Rg = 19,8 кОм, Rш = 2,2 Ом.

№ 792(783). 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 кОм. № 793(784). Дано: Решение. R2 = nR1. Rобщ1 = R1 + R2 = R1 + nR1 = R1(n + 1); U U RR R ⋅ nR nR = ; Rобщ2= 1 2 = 1 1 = 1 ; I1= R1 + R2 R1 + nR1 n + 1 Rобщ1 R1 (n + 1) I2 = Найти

U Rобщ2

=

U (n + 1) I 2 U (n + 1)R1 (n + 1) (n + 1) 2 ; = . = nR1 nR1 ⋅ U n I1

2 I2 . Ответ: I 2 = (n + 1) . I1 I1 n

№ 794(785). Решение. Дано: N = 4, R1 U1 = 3 B, R= n +R2; I1 = 0,3 A, U U = R ; U = 5,4 B. I = 1 R +R n

I=

U1 nU 1 = ; R1 / n R1

R2= =

2

U R1 n

+ R2

=

nU1 ; R1

R1 ⎛ U ⎞ U ⎛U ⎞ − 1⎟ = 1 ⎜ − 1⎟ = ⎜ n ⎝ U1 ⎠ nI1 ⎝ U1 ⎠

3 B ⎛ 5,4 B ⎞ − 1⎟ = 2 Ом. ⎜ 4 ⋅ 0,3 A ⎝ 3 B ⎠

Найти R2. Ответ: R2 = 2 Ом. 228

№ 795(786). Дано: Решение. R. U I1 = (рис. 79 а) в задачнике); 3R I2 = =

U R 2

+R

=

2U (рис. 79 б) в задачнике); 3R

I 2 2U 3R = =2. ⋅ I 1 3R U

Найти

I2 . I1

Ответ:

I2 = 2. I1

№ 796(787). Первая лампа будет гореть ярче других, так как через нее течет больший ток. а) При выключении первой лампы другие гореть не будут; при выключении второй (или третьей) оставшиеся будут гореть одинаково ярко. б) При закорачивании первой лампы оставшиеся будут гореть в полный накал; при закорачивании второй (или третьей) первая лампа будет гореть в полный накал. № 797(788). Решение. Дано: U = 90 B, R1 = R2 = R, R2 R3 4R2 R3 = 4R1 = 4R, Rобщ = R1 + R + R = R + 5R = 1,8 R; 2 3 I = 0,5 A U 90 B = 100 Ом; U = IRобщ = 1,8IR; R = = 1,8 I

1,8 ⋅ 0,5 A

R1 = R2 = R = 100 Ом; R3 = 4R = 400 Ом; U1 = IR1 = 0,5 A ⋅ 100 Ом = 50 В; U3 = U – U1 = 90 B – 50 B = 40 B; I1 =

U1 50 B = 0,5 A; = R1 100 Ом

I3 =

U3 40 B = 0,1 A. = R3 400 Ом

Найти R1, R2, Ответ: R3, U1, U3, I1, I3. R1 = R2 = 100 Ом, R3 = 400 Ом, U1 = 50 B, U3 = 40 B, I1 = 0,5 A, I3 = 0,1 A. 229

№ 798(789). Дано: Решение. R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, R ( R + R + R ) 1 Ом ⋅ (2 Ом + 3 Ом + 4 Ом) =0,9 Ом а) R= 1 2 3 4 = R3 = 3 Ом, R1 + R2 + R3 + R4 1 Ом + 2 Ом + 3 Ом + 4 Ом R4 = 4 Ом. (R + R )(R + R ) (1 Ом + 2 Ом) (3 Ом + 4 Ом) б) R= 1 2 3 4 = = 2,1Ом R1 + R2 + R3 + R4

1 Ом + 2 Ом + 3 Ом + 4 Ом

R (R + R + R ) 4 Ом ⋅ (1 Ом + 2 Ом + 3 Ом) в) R= 4 1 2 3 = =2,4 Ом R1 + R2 + R3 + R4 1 Ом + 2 Ом + 3 Ом + 4 Ом

Найти R.

г) R=

R2 (R1 + R3 + R4 ) 2 Ом ⋅ (1 Ом + 3 Ом + 4 Ом) =1,6 Ом = R1 + R2 + R3 + R4 1 Ом + 2 Ом + 3 Ом + 4 Ом

д) R=

(R1 + R4 )(R2 + R3 ) (1 Ом + 4 Ом)(2 Ом + 3 Ом) =2,5 Ом = R1 + R2 + R3 + R4 1 Ом + 2 Ом + 3 Ом + 4 Ом

е) R=

R3 (R1 + R2 + R4 ) 3 Ом ⋅ (1 Ом + 2 Ом + 4 Ом) =2,1 Ом. = R1 + R2 + R3 + R4 1 Ом + 2 Ом + 3 Ом + 4 Ом

Ответ: а) 0,9 Ом; б) 2,1 Ом; в) 2,4 Ом; г) 1,6 Ом; д) 2,5 Ом; е) 2,1 Ом.

№ 799(790). Решение. Дано: I3=2A; R1=2Ом; U1 = U3 = I3R3=2A⋅15Ом=30В; R2=10Ом; U 30 В I2 = 2 = = 3А ; R3=15Ом; R2 10О м R4=4Ом I1 = I4 = I2 + I3=3 A+2 A=5 A; U1 = I1R1 =5 A⋅2 Ом=10 В; U4 = I4R4 = 5 А⋅4 Ом = 20 В; U = U1 + U2 + U4 = 10 В + 30 В + 20 В = 60 В. Найти I1, I2, Ответ: I1 = 5 A, I2 = 3 A, I4 =5A, U1 = 10 B, I4, U1, U2, U3, U4, U. U2 = 30 B, U3 = 30 B, U4 = 20 B, U = 60 B. № 800(н). Дано: U = 100В r= 21 Ом Найти R- ?

Решение.

R=r+

r ⋅ 3r + r = 2, 75r = 57, 75Î ì r + 3r

Ответ: R = 57,75Ом. 230

№ 801(792). H2

H1 R

Решение. Схема приведена на рисунке. Iр=I2 − I1=0,5А-0,35А=0,15А

Дано: U = 6 B, R = 30 Ом, U1=3,5 B, I1=0,35 A, U2=2,5 B, I2=0,5 A Найти Rр.

Rp =

U1 3,5 B = ≈ 23 Ом. I p 0,15 A

Ответ: Rр = 23 Ом.

№ 802(793). Дано: U 3,5 B Решение. R1 = 1 = = 12,5 Ом ; U1 = 3,5 B, I1 0,28 A I1 = 0,28 A, P = U I = 3,5 B ⋅ 0,28 A = 0,48 Вт ; 1 1 1 U2 = 220 B, R2 60 Вт U 2 P2 = 60 Вт I = = = 0,27 А ; P = 2 ; 2

U2

2

220 В

R2

U 2 2 ( 220 B ) = ≈ 810 Ом . 60 Вт P 2

R2 =

Найти R1, Ответ: R1 = 12,5 Ом, Р1 = 0,98 Вт, I2 = 0,27 А, P1, I2, R2. R2 = 810 Ом. № 803(794). 2 Дано: U 2 ( 220 B ) Решение. а) P = = ≈ 600 Вт . U = 220B, R1 80,7 Ом R1=R2=80,7 Ом а) одна спираль б) R = R1 + R2 = 2 R1 ; б) две спирали ( 220 B )2 ≈ 300 Вт . U2 U2 = = последовательно P = R 2 R1 2 ⋅ 80,7 Ом в) две спирали 2 параллельно RR R U2 U 2 2 ⋅ ( 220 B) в) R = 1 2 = 1 ; P = = 2 = ≈ 1200 Вт . R2 + R2

Найти Р.

2

R

R1

80,7 Ом

Ответ: а) 600 Вт; б) 300 Вт; в) 1200 Вт. 231

№ 804(н). Дано: Решение. R1=360Ом Q =RI2 =UI R2 =360Ом => вторая, в 1,5 раза больше. Найти I, U1, U2, R2, P2. Ответ: вторая в 1,5 раза больше. № 805(796). Дано: n = 10, Решение. R1=0,5 кОм= U nU U 2 = U − U 1 ; I 2 = I1 = 1 = 1 ; = 500 Ом, R1 / n R1 U1 = 120 B, nU P = U 2 I 2 = (U − U1 ) 1 = ( 220 B − 120 B) ⋅ 10 ⋅ 120 B = 240 Вт . U = 220 B R1

Найти Р.

500 Ом

Ответ: Р = 240 Вт.

№ 806(797). Потому что сопротивление лампы мощностью 40 Вт больше, чем сопротивление лампы мощностью 100 Вт. P1 = I12 R1 = I 2 R1 ; P2 = I 2 2 R2 = I 2 R2 ; P1 > P2 ⇒ R1 > R2 .

№ 807(798). Дано: Решение. ∆l = 0,1l U2 U2 , P2 = ; P1 = R1

R2

l ρ P2 R1 s = = l −∆ P1 R2 ρ l s

Найти

l l , . = = 11 l −∆l l − 01 ,l

Ответ: увеличится в 1,1 раза. P2 . P1

№ 808(799). Дано: U = 380 B, I = 20 A, m = 1 т=1000 кг, h = 19 м, t = 50 c Найти η. 232

=

Решение. mgh ; t mgh ⋅ 100% = ⋅ 100% ; UIt

Pзатр = UI ; Pпол = η=

Pпол Pзатр

η=

1000 кг ⋅ 10 м/с 2 ⋅ 19 м ⋅ 100% = 50% . 380 В ⋅ 20 А ⋅ 50 с

Ответ: η = 50%.

№ 809(н). Дано: U, I, n, F, V Найти P, N, η.

Решение. P = nUI ; N = FV ; N FV η = ⋅100% = ⋅100% P nUI

№ 810(801). Чтобы ограничить габариты плитки, не увеличивая мощность. № 811(н). Решение. Дано: P, m, t1, t2, τ Найти A, Q, η. A = Pτ;

Q = cm ( t2 − t1 ) ; η=

№ 812(803). Дано: ρ = 42⋅10-8Ом⋅м, S = 0,84 мм2 = 8,4⋅10-7м2, U = 220 В, V =2 л=2⋅10-3м3, D = 1000 кг/м3, t1 = 200C, t2=1000C, τ = 10 мин=600 с, η = 80%, с = 4200Дж/кг°С

cm ( t2 − t1 ) Q ⋅100% = ⋅100% A Pτ

Решение. Aзатр =

η= l=

cDV ( t2 − t1 ) ρl U 2 Sτ

⋅ 100%

ηU 2 Sτ cDV ( t2 − t1 ) ρ ⋅ 100% 80% ⋅ ( 220 B ) ⋅ 8,4 ⋅ 10−7м 2 600 с 2

l= ×

Найти l.

U2 U2 τ= Sτ; ρl R

4200

(

Дж кг ⋅ 1000 кг ⋅°С м3

)

⋅ 2 ⋅ 10−3м3

×

1

10000С − 200С 42 ⋅ 10−8Ом ⋅ м ⋅ 100%

=

=69 м. Ответ: l = 69 м.

233

№ 813(н). Дано: R, m, t1, U, τ r Найти t2, m1.

Решение. 1)

U2 U 2τ τ = cm ( t2 − t1 ) ; t2 = + t1 R cmR

2)

U2 τ = cm (100 − t1 ) + rm1 , R

где r ⎯ удельная теплота парообразования. m1 =

U2 R

τ − cm (100 − t1 ) r

t2, °C

№ 1 2 3 4 5 6

№ 814(805). Дано: ε = 1,5 В, I = 0,2 A, t = 1 мин = 60 с Найти А.

m1, г 85

92 272 79 42 17 Решение. A = qε = Itε = 0,2 A ⋅ 60 c ⋅1,5 B = 18 Дж . Ответ: 18 Дж.

№ 815(806). Решение. Дано: ε 12 B ε=12В, I= = = 2 А, U = IR = 2 A ⋅ 5 Ом = 10 В. r=1 Ом, R + r 5 Ом + 1 Ом R = 5 Ом Найти Y, U. Ответ: I = 2 A, U = 10 B. № 816(807). Дано: Решение. ε, R = r ε ε I= = ; R + r 2r ε ε U = IR = ⋅r = . 2r 2 ε Найти U. . Ответ: U=

234

2

№ 817(808). Дано: ε = 4,5 В, U=4 B, I=0,25 A Найти r.

Решение. I=

ε ; r = ε − IR = ε − U = 4,5 B − 4 B = 2 Ом . I I 0,25 A R+r

Ответ: r = 2 Ом.

№ 818(809). ε − U 30 B − 28 B Дано: ε ε Решение. I = ; I= = =1 А ; = ε = 30 В, r 2 Ом R+r U +r I r = 2 Ом, А = q ε = It ε = 1 A ⋅ 300 c ⋅ 30 B = 9000 Дж = 9 кДж ст U = 28 B, А = UIt = 28 B ⋅ 1 A ⋅ 300 c = 8400 Дж = 8,4 кДж t = 5 мин = внеш = 300 с Авнутр. = Аст − Авнеш = 9 кДж − 8,4 кДж = 0,6 кДж Найти I, Aст, Авнеш, Авнутр.

Ответ: I = 1 A, Aст = 9 кДж, Авнеш = 8,4 кДж, Авнутр = 0,6 кДж.

№ 819(810). Показания амперметра увеличатся, а вольтметра ⎯ уменьшатся. № 820(811). Решение. Дано: R=2 Ом, ε ε − IR ε εI 1,1 B⋅ 0,5 A ; r= ; I3 = = I= = = 5,5 A . ε=1,1 В, R+r I r ε − IR 1,1 B − 0,5 A⋅ 2 Ом I = 0,5A Найти I3. Ответ: I3 = 5,5А. № 821(н). Решение. Дано: I1 =0,5A ε ε I1 = =U I2 = 0,9A R1 + r 1 +r U1 = 4В I1 U2 = 3,6B ε ε I2 = =U R2 + r 2 +r I2

U2 +r I1 U − U2 I = 2 <=> r = 1 = 1Î ì I 2 U1 + r I 2 − I1 I1 ε = U 2 + I 2 r = 4 ,5 B

Найти ε, r.

Ответ: r = 1 Ом, ε =4,5В. 235

№ 822(813). Дано: Решение. R1 = 16 Ом, I1 = 1 A, ⎧I = ε 1 R +r R2 = 8 Ом, ⎪ 1 ; ⎨ ε I2 = 1,8 A ⎪I = ⎪⎩

2

R2 + r

ε = I1 (R1 + r ) ; I2 = r=

Найти ε, r.

I1 ( R1 + r ) R2 + r

I1R1 − I 2 R2 1 A ⋅ 16 Ом − 1,8 А ⋅ 8 Ом = = 2 Ом ; I 2 − I1 1,8 А − 1 А

ε = I1 (R1 + r ) = 1 А ⋅ (16 Ом + 2 Ом ) = 18 В . Ответ: ε = 18 В, r = 2 Ом.

№ 823(814). Дано: Решение. I1 = 30 A, P1 = 180 Вт, ⎧ ε ⎪ I1 = R + r = I2 = 10 A, 1 ⎪ P2 = 100 Вт ⎪

⎨ ⎪I = ε = ⎪ 2 R2 + r ⎪ ⎩

ε=

I2 =

r=

ε=

Найти ε, r. 236

;

ε P1 I12

+r

;

ε P2 I 22

+r

P1 + I1r ; I1 P1 + I1r I1 P2 I22

P1 I1

−

+r P2 I2

I 2 − I1

;

=

180 Вт 30 А

−

100 Вт 10 А

10 А − 30 А

= 0,2 Ом .

P1 180 Вт + I1r = + 30 А ⋅ 0,2 Ом = 12 В . I1 30 А

Ответ: ε = 12 В, r = 0,2 Ом.

№ 824(815). Решение. Дано: U = 6 B, U1 = 3 B 1) Резисторы соединены последовательно. ε=U=6 B. εR ⎧ ⎪ U1 = I1R1 = R + r ; ⎨ ε ⋅ 2R ⎪U 2 = I 2 R2 = 2R + r ⎩ r=

( ε − U1 ) R = (U − U1 ) R ;

U2 =

U1

U1

2εR

(U −U1 ) R 2R +

=

U1

2U 2+

U −U1

=

U1

2⋅6 B 2+

6 B−3 B 3B

=4B.

2) Резисторы соединены параллельно. εR ⎧ ⎪ U1 = I1R1 = R + r ⎪ R ⎨ ε⋅ ; 2 ⎪U 2 = I 2 R2 = R ⎪ +r 2 ⎩ ε − U R ( (U − U1 ) R ; 1) r= = U1 U1 U2 =

R 2 U −U1 R

ε R ( + 2

)

U

= 1+

U1

(

2 U −U1

U1

)

=

6B

1+

2( 6B− 3B ) 3B

=2B.

Найти U2. Ответ: 1) 4 В; 2) 2 В.

№ 825(816). Дано: ε = 40 В, r = 0,04 Ом, ρ = 1,7⋅10-8Ом⋅м, S = 170 мм2= = 1,7⋅10-4м2, l = 50 м, I = 200 A

Решение. Rпр = ρ

I=

2l 2 ⋅ 50 м = 1,7 ⋅ 10 −8Ом ⋅ м ⋅ = 10−2 Ом ; S 1,7 ⋅ 10 −4м 2

ε Rсв + r

Rсв =

;

ε 40 B −r = − 0,04 Ом = 0 ,16 Ом ; 200 A l

Uсв = IR св = 200 А ⋅ 0,16 Ом = 32 В; Uг = Uсв − IRпр = 32 В − 200 А ⋅ 10-2 Ом = 30 В; P = Uг ⋅I = 30 В ⋅ 200 А = 6000 Вт = 6 кВт. Найти Uг, Uсв, Р. Ответ: Uсв = 32 В, Uг = 30 В, P = 6 кВт. 237

№ 826(н). Решение. Дано: n = 50 R = 300 Ом R Rобщ = U = 128 В n r = 0,1 Ом U nU r’ = 0,4 Ом I = Rобщ = R = 20 A I=

ε <=> ε = 130 B Rобщ + r + r'

RI = 120 B n P = UI = 2,4 Вт

U2 =

Найти I, ε, U2, P- ?

Ответ: I =20А, ε =130В, U2 = 120В, P =2,4Вт.

№ 827(н). Дано: Решение. r, n, U, P, l, S, ρ U Найти I, Rл, Uл, P = ⋅I ; Pл, Uзаж, Uвнутр, ε. n nP ; I= U 2ρl Rл = ; S U л = IRл Pл = U л I ; U заж = U + U л ; U внутр = Ir; ε = U внутр + U заж

№ 1 2 3 4 5 238

I, A 2,5 0,5 42,5 5,6 26,8

Rл, Ом 2,8 0 0,5 0,17 1,6

Uл, B 7,1 0 21,6 1 43,3

Pл, Bт Uзаж, B Uвнутр, B 18,1 227 0,48 0 220 0 920 242 3,40 5,3 4 0,78 1160 423 5,64

ε, B 228 220 245 5 429

№ 828(818). Решение. Дано: R1 = 3 Ом, R2 = 12 Ом, P1 = I12 R1 = Р1 = Р2

ε 2 R1

;

ε2R2

;

=

ε 2 R2

;

=

R2

P2 = I22R2 = ε 2 R1

( R1 + r )2 ( R2 + r )2

( R1 + r )2 ( R2 + r )2 R1

;

( R1 + r )2 ( R2 + r )2 r 2 (R2 − R1 ) = R1 R2 2 − R2 R12 = R1 R2 ( R2 − R1 ) ; r = R1 R 2 = 3 Ом ⋅12 Ом = 6 Ом ;

η1 =

P1 ⋅ 100% ; P1П

Р1П = η1 =

ε2 ; R1 + r ε 2 R1 2

⋅

R1 + r 2

⋅ 100% =

( R1 + r ) ε 3 Ом = ⋅ 100% ≈ 33% ; 3 Ом + 6 Ом Р η 2 = 2 ⋅ 100% ; Р2П Р2П =

R1 ⋅ 100% = R1 + r

ε2 ; R2 + r ε 2 R2

R +r R2 ⋅ 2 2 ⋅ 100% = ⋅ 100% = R2 + r ( R2 + r ) 2 ε 3 Ом = ⋅ 100% ≈ 67% . 3 Ом + 6 Ом Найти r, η1, η2. Ответ: r = 6 Ом; η1 = 33%; η2 = 67%. η2 =

239

№ 829(819). Дано: U 6,3 B Решение. R1 = 1 = = 21 Oм ; ε = 2 В, I1 0 ,3 A r = 1 Ом, U2=ε–U1 =9 B – 6,3 B = 2,7 B U1 = 6,3 B, U 2 ,7 B R= R = = 3 Ом I1 = 0,3 A. 3 ⋅ 0,3 A

3I1

I2 =

ε R+

R1 2

+r

=

9B 3 Ом +

21 Ом 2

+ 10 Ом

≈ 0 ,62 А

P1 = U1I1 = 6,3 B ⋅ 0,3 A = 1,89 Вт 2

2 ⎛ I2 ⎞ ⎛ 0 ,62 A ⎞ P2 = ⎜ 2 ⎟ R1 = ⎜ ⎟ ⋅ 21 Ом = 2,02 Вт ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ P2 2 ,02 Вт = ≈ 1,1 . P1 1,89 Вт

Найти

Р2 . Р1

Ответ: увеличилось в 1,1 раза.

№ 830(820). Дано: r, ε, R = 3r.

Решение. I1 = I2 =

ε ε ε = = R1 + r 9r + r 10r

ε ε ε I2 ε 10r = = ; = ⋅ =5 R2 + r r + r 2r I1 2r ε

Сила тока увеличится в 5 раз. U 2 I 2 R2 r 5 = = 5 ⋅ = ≈ 0 ,56 9r 9 U1 I1R1

Напряжение уменьшится в

9 = 1,8 раза. 5

P2 U 2 I 2 5 25 = = ⋅5 = ≈ 2,8 9 P1 U1I1 9 I U P Найти 2 , 2 , 2 . I1 U1 P1

Мощность увеличится в 2,8 раза. Ответ: I2 = 5, I1 U2 ≈ 0,56, U1 P2 ≈ 2,8. P1

240

Магнитное поле Движущиеся заряды (проводники с током) создают вокруг себя магнитное поле и посредством этого поля взаимодействуют друг с другом. Для описания взаимодействия магнитного поля одного заряда на другой вводят характеристику, называемую вектором магнитной индукции B . Направление магнитной индукции совпадает с направлением от южного полюса S к северному N магнитной стрелки, помещенной в данное магнитное поле. Если у нас имеется проводник с током, то направление вектора магнитной индукции определяется правилом буравчика (правилом правого винта), суть которого состоит в следующем: если ввинчивать буравчик с правой резьбой по направлению тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика укажет направление вектора магнитной индукции. Для графического представления магнитных полей используют линии магнитной индукции. Линиями магнитной индукции называют линии, проведенные так, что вектор B в каждой ее точке направлен по касательной к ней. Магнитным потоком (потоком магнитной индукции) сквозь некоторую поверхность с площадью S называется величина Φ = BScos α , где α — угол между направлением вектора магнитной индукции B и нормалью к поверхности. Сила FA , с которой магнитное поле действует на проводник с током, помещенный в это поле, называется силой Ампера. Закон Ампера утверждает, что значение силы FA , действующей на малый отрезок длины ∆L проводника с током I, находящегося в магнитном поле B , определяется формулой: FA = IB∆lsin α , где α — угол между направлением вектора магнитной индукции и отрезком проводника.

Направление этой силы находится по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы нормальная составляющая вектора магнитной индукции B входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению электрического тока, то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы Ампера. 241

Из закона Ампера определяется модуль вектора магнитной индукции. Он равен отношению максимальной силы Fm , действующей со стороны магнитного поля на отрезок проводника с током, к произведению силы тока I на длину этого F отрезка ∆L: B = m . Следует помнить, что сила Ампера I∆l максимальна, когда вектор магнитной индукции перпендикулярен проводнику. Сила Fл , действующая со стороны магнитного поля на электрический заряд q, движущийся в магнитном поле B со скоростью v , называется силой Лоренца. Модуль силы Лоренца равен: Fл = qvBsin α , где α — угол между векторами v и B . Направление этой силы находится по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы составляющая вектора магнитной индукции B , перпендикулярная скорости заряда, входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению движения положительного заряда (против направления движения отрицательного заряда), то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы Лоренца. Все вещества, которые помещаются в магнитное поле, намагничиваются и затем уже сами создают собственное поле. Вследствие этого вектор магнитной индукции B в однородной среде отличается от вектора магнитной индукции B0 в вакууме. Отношение

B = µ характеризует магнитные свойства среды и наB0

зывается магнитной проницаемостью. № 831(821).

«N» — за плоскость чертежа. № 832(822).

« + » — справа. № 833(823).

Решение. Дано: S = 1 см2 = 10 – 4 м2, M 2 ⋅ 10−6 H ⋅ м −2 М = 2 мкН⋅м = 2⋅10 – 6 Н⋅м, B = IS = 0,5 А ⋅ 10−4 м 2 = 4 ⋅ 10 Тл . I = 0,5 A. Найти В. Ответ: В = 4⋅10 – 2 Тл. 242

№ 834(824).

Решение. Дано: M S = 400 см2 = 4⋅10 – 2 м2, ; B= В = 0,1 Тл, IS М = 20 мН⋅м = 2⋅10 – 2 Н⋅м. M 2 ⋅ 10−2 H ⋅ м I=

Найти I.

=

BS

0,1 Тл ⋅ 4 ⋅ 10−2 м 2

=5А .

Ответ: I = 5 A.

№ 835(825).

Дано: n = 200, a = 10 см = 0,1 м, b = 0,5 см = 0,05 м, В = 0,05 Тл, I = 2 A. Найти Mmax.

Решение. В=

M max M max = ; ISn Iabn

Mmax = BIabn= 0,05 Тл ⋅ 2 А ⋅ 0,1 м ⋅ 0,05 м ⋅ 200 = 0,1 Н⋅м. Ответ: Mmax = 0,1 Н⋅м.

№ 836(826).

Дано: L = 8 см = = 0,08 м, В = 0,2 Тл, I = 4 A, а) квадратный контур; б) круговой контур.

Решение. ⎛l⎞ ⎝ ⎠

2

а) Mmax = BIS = BI ⎜ ⎟ 4 2

⎛ 0 ,08 м ⎞ −4 ⎟ ≈ 3,2 ⋅ 10 Н ⋅ м = 0,32 мН ⋅ м ⎝ 4 ⎠

Mmax=0,2Тл⋅4А⋅ ⎜

⎛ l ⎞ ⎟ ⎝ 2π ⎠

2

б) Mmax = BIS = BIπ ⎜

2

⎛ 0,08 ⎞ ⎟⎟ ≈4,1⋅10 – 4 Н⋅м= ⎝ 2 ⋅ 3,14 ⎠

Mmax=0,2Тл⋅4А⋅3,14 ⎜⎜ Найти Mmax.

=0,41мН⋅м. Ответ: а) Mmax = 0,32 мН⋅м; б) Mmax = 0,41 мН⋅м.

№ 837(827).

Дано: Решение. Ф = BS S = 60 см2 = 6⋅10 – 3 м2, Ф = 0,3 мВб = 3⋅10 – 4 Вб. Ф 3 ⋅ 10−4 Вб В=

Найти В.

S

=

6 ⋅ 10−3 м 2

= 0,05 Тл = 50 мТл.

Ответ: В = 50 мТл.

243

№ 838(828).

Дано: S = 50 см2 = 5⋅10 – 3 м2, В = 0,4 Тл; а) α = 0°; б) α = 45°; в) α = 60°.

Решение. Ф = BS coSα а) Ф = 0,4 Тл ⋅ 5⋅10 – 3 м2 ⋅ coS 0 = = 2⋅10 – 3 Вб = 2 мВб б) Ф = 0,4 Тл ⋅ 5⋅10 – 3 м2 ⋅ coS 45° = = 1,4⋅10 – 3 Вб = 1,4 мВб в) Ф = 0,4 Тл ⋅ 5⋅10 – 3 м2 ⋅ coS 60° = = 10 – 3 Вб = 1 мВб. Ответ: а) 2 мВб; б) 1,4 мВб; в) 1 мВб.

Найти Ф. № 839(829).

а), б), в), г), з) — указать направление силы Ампера; д) — определить направление тока в проводнике; ur е), ж) — определить направление магнитного поля В . Fa S В Fa

В

N

S

N

а)

б)

S

I Fa

В

I

N

В в)

г)

В

N

244

Fa

Fa

S Fa д)

I В е)

N I

Fa

В

В S Fa = 0, т.к. Fa || I

з)

ж)

№ 840(830).

Дано: L = 5 см = 0,05 м, F = 50 мН = 0,05 Н, I = 25 A, α = 90°.

Решение. F=IBL⋅SInα;

Найти В.

Ответ: В = 0,04 Тл.

B=

F 0,05 H = = 0,04 Тл . Ilsinα 25 A ⋅ 0,05 м ⋅ sin 90°

№ 841(831).

Решение. F = BILSInα= = 0,01 Тл ⋅ 50 А ⋅ 0,1 м ⋅ SIn90° = 0,05 H.

Дано: В = 10 мТл = 0,01 Тл, I = 50 A, L = 0,1 м, α = 90°. Найти F.

Ответ: F = 0,05 H.

№ 842(832).

Решение. BIL = mg;

Дано: L = 20 см = 0,2 м, m = 4 г, = 4⋅10 – 3 кг, I = 10 A.

B=

mg 4 ⋅ 10−3 кг ⋅ 10 м/с 2 = = 0,02 Тл = Il 10 А ⋅ 0,2 м

= 20 мТл. Ответ: В = 20 мТл.

Найти B. № 843(833).

α

245 y T

Дано: L, m, I, α.

Решение. FA = BIL;

FA BIl = tgα ; = tgα ; mg mg

mg ⋅ tgα . Il mg ⋅ tgα . Ответ: B = Il

B= Найти В. № 844(834).

Дано: L = 8 см = 0,08 м, I = 50 A, В = 20 мТл = =0,02Тл, R=10 см=0,1м. Найти А.

Решение. A = ФI = BSI = BLRI A = 0,02 Тл ⋅ 0,08 м ⋅ 0,1 м ⋅ 50 А = = 0,008 Дж. Ответ: А = 0,008 Дж.

№ 845(835).

Вниз. № 846(836).

В точке С потенциал меньше, чем в точке D. № 847(837).

Дано: q = 1,6⋅10 – 19 Кл, В = 0,2 Тл, v = 10 Мм/с = 107 м/с. Найти FЛ.

246

Решение. FЛ = qvB = = 1,6⋅10 – 19 Кл ⋅ 0,2 Тл ⋅ 107 м/с = = 3,2 ⋅ 10 – 13 Н = 0,32 пН. Ответ: FЛ = 0,32 пН.

№ 848(838).

Решение.

Дано: v = 10 Мм/с = 107 м/с, R = 1 см = 0,01 м, q = 1,6⋅10 – 19 Кл, m = 9,1⋅10 – 31 кг.

FЛ=FЦC; qvB= m B=

v2 ; R

mv 91 , ⋅10−31кг ⋅107 м/с = ≈ qR 1,6 ⋅10−19 Кл ⋅ 0,01 м

≈ 5,6⋅10 – 3 Тл = 5,6 мТл. Ответ: В = 5,6 мТл.

Найти В. № 849(839).

Дано: B = 0,01 Тл, R = 10 см = 0,1 м, q = 1,6⋅10 – 19 Кл, m = 1,67⋅10 – 27 кг.

Решение. FЛ = FЦC; qvB = m v=

Найти v.

v2 R

qBr 1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 0 ,01 Тл ⋅ 0,1 м = ≈96000 м/c. m 1,67 ⋅ 10−27 кг

Ответ: v = 96 м/c.

№ 850(840).

Дано: В = 10 мТл = =10 – 2 Тл, Wк = 30 кэВ = = 4,8⋅10 – 15 Дж, q = 1,6⋅10 – 19 Кл, m = 9,1⋅10 – 31 кг.

Решение. qvB = m R=

=

v2 mv mv 2 2Wк ; R= ; Wк = ; v= m 2 R qB

2mWк m 2Wк ⋅ = = qB m qB

2 ⋅ 9 ,1 ⋅ 10−31 кг ⋅ 4 ,8 ⋅ 10−15 Дж 1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 10−2 Тл

=5,8⋅10–

2

Найти R.

м=5,8см. Ответ: R = 5,8 см.

247

№ 851(841).

Дано: mv2 mv а) vp = vα ; Решение. qvB = R ; R = qB ; б) Wp = Wα , mα ⋅ vα ⋅ q p ⋅ B mα q p 4 R mα = 4mp, = = =2 а) α = R q α ⋅ B ⋅ m p ⋅ v p m pq α 2 p qα = 2qp. б)

mα ⋅ vα ⋅ q p ⋅ B Rα v = = 2 α 4; Wα = Wp Rp qα ⋅ B ⋅ mp ⋅ vp vp

2 mp m α vα2 m p v p vα 1 1 1 Rα = ; = = = ; = 2⋅ =1. vp mα 4 2 Rp 2 2 2

Найти

R α Ответ: а) 2; б) 1. . Rp

№ 852(842).

Дано: В = 4 мТл = = 4⋅10 – 3 Тл, q = 1,6⋅10 – 19 Кл, m = 9,1⋅10 – 31 кг. Найти Т.

mv 2 qBR 2ππ ;v= ; = R m T 2πm 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 кг = T= = qB 1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 4 ⋅ 10−3 Тл = 8,9⋅10 – 9 с = 8,9 нс. Ответ: Т = 8,9 нс.

Решение. qvB =

№ 853(843).

Решение. Дано: Е = 1 кВ/м = 103 В/м, E 103 В / м = 106 м / с . В = 1 мТл = 10 – 3 Тл. Fэл = FЛ; eE = evB; v = B = −3 Найти v.

248

Ответ: v = 106 м/с.

10 Тл

№ 854(844).

Дано: B, R, U.

Решение. A = Wк; qU =

mv2 ; 2

FЛ = FЦС; qvB = m v=q

v2 ; R

BR ; m

q q 2 B2 R 2 = 2⋅ ; m m 2U q 2U = 2 2. m B R

Найти

q . m

Ответ:

q 2U = . m B2R2

№ 855(н).

Дано: α =60º r = 5см T=60мкс

Решение.

Найти v, B.

Ответ: v = 6 км/с, B =0,6мкТл.

T=

2πm 2πm <=> B = = 0,6 мкТл qB qT

Fл = qvB sin α

⎫ qBr ⎪ 3 mv 2 sin 2 α ⎬ => v = m sin α = 6 ⋅10 м / с ma = ⎪ r ⎭

№ 856(846).

Дано: 1) В0 = 0,4 мТл = 4⋅10 – 4 Тл, В = 0,8 Тл; 2) В0 = 1,2 мТл = 1,2⋅10 – 3 Тл, В = 1,2 Тл. Найти µ.

Решение. B 0 ,8Тл = = 2000 B0 4 ⋅ 10−4 Тл B 1,2Тл 2) µ = = = 1000 . B0 1,2 ⋅ 10−3 Тл

1) µ =

Ответ: 1) 2000; 2) 1000. 249

№ 857(847).

Дано: В0 = 2,2 мТл = 2,2⋅10 – 3 Тл, В1 = 0,8 Тл, В2 = 1,4 Тл.

Решение. Ф1 = В1S; Ф2 = В2 S В 1,4Тл Ф2 = 2 = = 1,75 . В1 0,8Тл Ф1

Найти

Ф2 . Ф1

Ответ: увеличится в 1,75 раза.

№ 858(н).

Дано: В0=2 мТл=2⋅10–3 Тл, S=100 см2=0,01 м2, В=0,8 Тл. Найти Ф.

250

Решение. Ф = ВS = 0,8 Тл ⋅ 0,01 м2 = = 8⋅10 – 3 Вб = 8 мВб. Ответ: Ф = 8 мВб.

Электрический ток в различных средах Экспериментально было доказано, что носителями тока в металлах являются электроны. В отсутствии электрического поля электроны движутся хаотически, и ток в проводнике не возникает. Под действием внешнего электрического поля движение электронов становится упорядоченным, и в проводнике возникает электрический ток. Сила тока I в проводнике выражается формулой: I = envS , где e — заряд электрона, v — скорость упорядоченного движения электронов, S — площадь поперечного сечения проводника. Если измерять сопротивление металлического проводника при различных температурах, то можно заметить, что сопротивление линейно растет с увеличением температуры. Зависимость сопротивления R от температуры t выражается формулой: R = R0 (1 + αt ) , где R0 — сопротивление проводника при температуре 0°C, α — температурный коэффициент. Аналогичный вид имеет формула и для удельного сопротивления ρ: ρ = ρ0 (1 + αt ) ,

где

°

ρ0 — удельное сопротивление проводника при температуре 0 C.

В области низких температур сопротивление металлического проводника скачком падает до нуля. Это явление называется сверхпроводимостью. Собственная проводимость полупроводников (проводимость чистых полупроводников) осуществляется перемещением свободных электронов (электронная проводимость) и перемещением связанных электронов на вакантные места−дырки (дырочная проводимость). Проводимость полупроводников сильно зависит от наличия примесей в нем. Примеси, которые отдают лишние валентные электроны, называются донорными. В таком полупроводнике электроны являются основными носителями тока, а дырки−неосновными, а сам полупроводник называется полупроводником n-типа. Примером такой примеси служит мышьяк для 251

кремния. Примеси, которым не хватает валентных электронов, называются акцепторными. В таком полупроводнике дырки являются основными носителями тока, а электроны−неосновными, а сам полупроводник называется полупроводником p-типа. Примером такой примеси служит индий. Полупроводники нашли широкое применение в радиотехнике. На основе полупроводников изготовляют диоды, транзисторы, термисторы, фоторезисторы и др. Чтобы создать ток в вакууме, необходим источник создания носителей тока. Действие такого источника основывается на явлении термоэлектронной эмиссии, которое заключается в том, что сильно нагретые тела испускают электроны. Рассмотрим систему из двух электродов, один из которых нагрет до температуры, достаточной для термоэлектронной эмиссии. Вокруг нагретого электрода формируется так называемое электронное облако. Если мы подключим к отрицательному полюсу источника тока нагретый электрод (катод), а к положительному−холодный (анод), то в результате между электродами возникнет электрическое поле, напряженность E которого направлена к нагретому электроду. Под действием этого поля часть электронов из электронного облака движется к холодному электроду, в результате чего в цепи возникает ток. Если же теперь поменять полюсы источника тока, то под действием созданного электрического поля электроны будут двигаться к нагретому катоду, раннее покинув его. Ток в цепи не возникнет. Таким образом, мы имеем одностороннюю проводимость. На основе только что описанной системы изготавливают вакуумные диоды. Носителями тока в растворах или расплавах электролитов являются положительно и отрицательно заряженные ионы. В таком случае проводимость называется ионной. Если сосуд с раствором или расплавом электролита включить в цепь, то положительные ионы будут двигаться к катоду, а отрицательные−к аноду. Движение ионов в растворе или в расплаве электролита сопровождается переносом вещества и выделением его на электродах. Процесс выделения вещества на электродах называется электролизом. Масса m вещества, выделившегося на электроде при электролизе, согласно закону Фарадея, прямо пропорциональна заряду q, прошедшему через раствор или расплав электролита: m = kq = kIt , где I — сила тока в цепи, t — время прохождения тока, k — электрохимический эквивалент данного ве252

щества. Электрохимический эквивалент вещества зависит только от рода вещества и выражается формулой: k=

1 M , eN A n

где e — заряд электрона, N A — число Авогадро, M — молярная масса вещества, n — валентность вещества.

При нормальных условиях газ является диэлектриком. Если же газ начать нагревать или облучать ультрафиолетовыми, рентгеновскими или другими лучами, то некоторая часть молекул газа распадется на положительные ионы и электроны. Это объясняется тем, что при одном из вышеописанных воздействий на газ молекулы начинают достаточно быстро двигаться для того, чтобы при столкновениях распасться. В результате газ становится проводником с ионно-электронной проводимостью. Протекание тока через газ называется газовым разрядом. Различают самостоятельный и несамостоятельный газовый разряд. Если при прекращении действия ионизатора (нагревание, излучения) прекратится и газовый разряд, то такой разряд принято называть несамостоятельным. Если же при прекращении действия ионизатора я и газовый разряд не прекратится, то такой разряд принято называть самостоятельным. Самостоятельный разряд возникает при очень больших напряжениях на электродах. Под действием созданного между электродами высокого электрического поля E электроны приобретают кинетическую энергию, пропорциональную длине их свободного пробега L: mv 2 = eEl . 2 Если эта энергия будет превышать работу, необходимую для того, чтобы ионизовать атом газа, то при столкновении этого электрона с атомом будет происходить ионизация, в результате которой из атома вырвется еще один электрон. В результате число таких электронов возрастаетобразуется электронная лавина. Описанный выше процесс ионизации называется ионизацией электронным ударом.

253

№ 859(849).

Дано: I = 0,32 A, e = 1,6⋅10 – 19 Кл, t = 0,1 c.

Решение.

Найти N.

Ответ: N = 2⋅1017.

q ; e q It 0,32A ⋅ 0,1c = 2 ⋅ 1017 . I = ; q = It; N = = e 1,6 ⋅ 10−19 Кл t N=

№ 860(850).

Дано: S = 5 мм2 = 5⋅10 – 6 м2, I = 10 A, n = 5⋅1028 м – 3, е = 1,6⋅10 – 19 Кл. Найти v.

Решение. I = neSv I 10 A = = neS 5 ⋅ 1028 м −3 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 5 ⋅ 10−6 м 2

v=

= 2,5⋅10 – 4 м/с = 0,25 мм/с. Ответ: v = 0,25 мм/с.

№ 861(851).

Дано:

Решение.

d d2 = 1 . 2

I = neSv; v = S=

I ; neS

πd 2 4I ; v= ; 4 neπd 2 2

Найти

v2 . v1

v2 4I neπd12 ⎛ d1 ⎞ = ⋅ =⎜ ⎟ =4. v1 neπd 22 4I ⎝ d2 ⎠ v Ответ: 2 = 4. v1

№ 862(852).

Дано: n = 1028 м – 3, Е = 96 мВ/м = =9,6⋅10 – 2 В/м, е = 1,6⋅10 – 19 Кл.

Решение. I = neSv; v =

S

v= 4

Найти v.

254

I U El E = = = neS RneS ρ l ⋅ neS enρ −2

9,6 ⋅10 В/м 1,6 ⋅10−19 Кл ⋅1028 м−3 ⋅12 ⋅10−8 Ом ⋅ м

м/с=0,5мм/с. Ответ: v = 0,5 мм/с.

=5⋅10-

№ 863(853).

Дано: S = 25 мм2 = = 2,2⋅10 – 5 м2, I = 50 A, ρ = 8900 кг/м3, NA = 6,02⋅1023 моль– 1, М = 63,5⋅10 – 3 кг/моль. Найти v.

Решение. I = neSv; n = ρ =

NA I IM v= = ; v= neS eS ρN A M

50A⋅ 63,5⋅10−3кг/моль −19

, ⋅10 16

Кл ⋅ 2,5⋅10−5м2 ⋅ 8900кг/м3 ⋅ 6,02 ⋅1023моль−1

=

= 1,5⋅10 – 4 м/с = 0,15 мм/с. Ответ: v = 0,15 мм/с.

№ 864(854).

Дано: α = 0,004 К – 1, R2 = 2 , t1 = 0°C. R1

Решение. R 2 − R1 = αt 2 R1 t2 =

Найти t2.

R2 − R1 2 R1 − R1 1 1 = = = = 250°С. αR1 αR1 α 0 ,004 K −1

Ответ: t2 = 250°C.

№ 865(855).

Дано: I1 = 14 мА = 0,014 А, I2 = 10 мА = 0,01 А, U1 = U2, t1 = 0°C, t2 = 100°C.

R − R1 = αt 2 ; Решение. 2 R1 α=

1 1 − I 2 I1 t2 I1

Найти α.

=

1 1 − 0 ,01 A 0 ,014 A 100°C 0 ,014 A

U I2

− U I1

U I1

= αt 2

= 0 ,004K −1 .

Ответ: α = 0,004 К – 1.

№ 866(856).

В момент включения сила тока во много раз больше номинальной, так как сопротивление холодной нити мало. № 867(857).

В момент включения мощного приемника резко увеличивается сила тока, а, следовательно, и падение напряжения.

255

№ 868(858).

Дано: α = 0,0093К – 1, t1 = 0°C, t2 = 30°C.

Решение. Р2 − Р1 = Р1

1 1 − R2 R1 1 R1

=

R1 − R2 R1 = −1 R2 R2

R2 − R1 R 1 Р −Р = αt 2 ⇒ 1 = ; 2 1 ⋅ 100% = R1 Р1 R2 1 + αt2 ⎛

⎞ 1 αt 2 − 1⎟ ⋅ 100% = − ⋅ 100% ≈ −11,4% . + + 1 αt 1 αt 2 2 ⎝ ⎠

= ⎜ Найти

Ответ: уменьшится на 11,4%. Р2 − Р1 ⋅100% . Р1

№ 869(859).

Дано: U1 = 220 B, P1 = 100 Вт, U2 = 2 B, I2 = 54 мА = =0,054 А, α = 0,0048 К – 1.

Решение.

Найти t.

Ответ: t = 2500°С.

2

R1 − R2 U2 U 2 ( 220 B ) = αt ; P1 = 1 ; R1 = 1 = = 484 Ом R1 R2 100 Вт P1 U2 2B = = 37 Ом I 0,054 A R − R2 484 Ом-37 Ом t= 1 = ≈ 2500°С . αR2 0 ,0048 К −1 ⋅ 37 Ом R2 =

№ 870(860).

Дано: α = 0,006 К – 1, t2 = 50°C, t1 = 20°C.

Решение. ρ1 = ρ0(1 + αt1); ρ2 = ρ0(1 + αt2); ρ0 = ρ2 =

Найти ρ2.

ρ1 ρ ; ρ2 = 1 (1 + αt2 ) 1 + αt1 1 + αt1 12 ⋅ 10−8 Ом ⋅ м

1 + 0 ,006 К

−1

⋅ 20°С

(1 + 0,006 К – 1 ⋅ 50°С) ≈

≈ 1,4⋅10 – 7 Ом⋅м. Ответ: ρ2 = 1,4⋅10 – 7 Ом⋅м.

№ 871(861).

Дано: nэ = 3⋅1019 м – 3, ρ = 5400 кг/м3, М = 0,073 кг/моль. 256

Решение. n = ρ

NA ; M

nэ nэ M 3 ⋅ 1019 м −3 ⋅ 0 ,073 кг/моль = = ≈ n ρN A 5400 кг/м 3 ⋅ 6 ,02 ⋅ 1023 моль −1

≈ 6,7⋅10–10.

Найти

nэ . n

Ответ: 6,7⋅10 – 10.

№ 872(862).

Так как количества вещества индия и мышьяка равны, то образуется одинаковое количество свободных электронов и дырок. В этом случае образуется собственная электропроводимость. При увеличении концентрации индия будет дырочная проводимость, мышьяка — электронная. № 873(863).

Фосфор, мышьяк, сурьму. № 874(864).

Дано: R = 1 кОм =103 Ом, U = 20 В, I1 = 5 мА =5⋅10 – 3 А, I2 = 10 мА =10 – 2 А.

Решение. I1 = I2 =

U U ; R2 = − R R2 + R I2

R1 = R2

Найти

R1 . R2

U U ; R1 = − R R1 + R I1

Ответ:

U I1

U I2

20 B

−R −R

=

− 103 Ом

5⋅10−3 A 20 B − 103 Ом 10−2 A

=3.

R1 = 3. R2

№ 875(865).

При росте освещенности увеличивается проводимость фоторезистора, т.е. сопротивление уменьшается. Таким образом, чем меньше сопротивление, тем больше освещенность. Из графика видно, что R2 < R1. Поэтому к освещенному фоторезистору относится первый график, к затемненному — второй. Закон Ома справедлив только при постоянной освещенности. Сопротивление освещенного фоторезистора в 3 раза меньше сопротивления затемненного. № 876(866).

Дано: R1 = 25 кОм = =2,5⋅104 Ом, R = 5 кОм = =-5⋅103 Ом, U1 = U2 = U, I2 = 4I1.

Решение. ⎧U = I1 (R1 + R) R +R ; 1= 1 ⎨ U = I ( R + R ) = 4 I ( R + R ) R2 + R ) 4( 2 2 1 2 ⎩

R2 =

R1 − 3R 2 ,5 ⋅ 104 Ом − 3 ⋅ 5 ⋅ 103 Ом = = 4 4

= 2,5⋅103 Ом = 2,5 кОм. 257

Найти R.

Ответ: R2 = 2,5 кОм.

№ 877(867).

Дано: U1 = 0,5 B, I1 = 5 мА = 5⋅103 А, U2 = 10 B, I2 = 0,1 мА = 10 – 4 А.

Решение.

Найти R1, R2.

Ответ: R1 = 100 Ом; R2 = 100 кОм.

U1 0,5 B = = 100 Ом I1 5 ⋅ 10−3 A U 10 B R2 = 2 = −4 = 105 Ом = 100 кОм. I 2 10 A

R1 =

№ 878(868).

Дано: Iэ = 12 мА = 1,2⋅10 – 2 А, Iб = 600 мкА = 6⋅10 – 4 А. Найти IК.

Решение. IК=Iэ–Iб=1,2⋅10 – 2 А–6⋅10–4 А = = 1,14⋅10 – 4 А = 11,4 мА. Ответ: IК = 11,4 мА.

№ 879(869).

Решение. Дано: Авых = 6,9⋅10 – 19 Дж, 2 mvmin 2Авых 2 ⋅ 6,9 ⋅10−19Дж Авых = ; vmIn = = = m = 9,1⋅10 – 31 кг. m 2 9,1⋅10−31кг = 1,2⋅106 м/с = 1,2 Мм/м. Найти vmIn. Ответ: vmIn = 1,2 Мм/с. № 880(870).

Дано: Авых = 1,6⋅10 – 19 Дж,

Решение.

v2 =2, v1

Авых =

m = 9,1⋅10 – 31 кг.

v1 =

Найти v1, v2.

258

mv 22 mv12 m(2v1 ) 2 mv12 3mv12 − = − = 2 2 2 2 2

2 Aвых 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 Дж ≈ = 3m 3 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 кг

≈ 0,34⋅106 м/с = 0,34 Мм/с v2 = 2v1 = 0,68 Мм/с. Ответ: v1 = 0,34 Мм/с, v2 = 0,68 Мм/с.

№ 881(871).

Дано: v = 8 Мм/с = 8⋅106 м/с, m = 9,1⋅10 – 31 кг, е = 1,6⋅10 – 19 Кл.

Решение.

U=

Найти U.

mv 2 2

eU =

mv 2 9,1 ⋅ 10−31кг ⋅ (8 ⋅ 106м/с) 2 = = 182 В 2e 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 Кл

Ответ: U = 182 B.

№ 882(872).

Дано: U = 16 кВ = =1,6⋅104 В, L = 30 см = 0,3 м, е = 1,6⋅10 – 19 Кл, m = 9,1⋅10 – 31 кг.

Решение. eU = v=

mv 2 ; 2 2eU l m ; t = =l 2eU m v

t = 0,3 м ⋅

Найти t.

9,1 ⋅ 10−31кг 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 1,6 ⋅ 104 В

=4⋅10–9 с=4 нс.

Ответ: t = 4 нс.

№ 883(873).

Решение. Дано: L=1 см =10 – 2 м, mv2 2eU U m 2eU v eU = ; v= ; еЕ = m ; e = U = 440 B, 2 m t l t m e = 1,6⋅10 – 19 Кл, −31 – 31 2 ⋅ 9 ,1 ⋅ 10 кг m = 9,1⋅10 кг. t = ml ⋅ 2eU = l 2m = 10−2 м = −19 eU

m

eU

1,6 ⋅ 10

Кл ⋅ 440 В

−9

= 1,6 ⋅ 10 с = 1,6 нс .

Найти t.

Ответ: t = 1,6 нс.

№ 884(874).

y + v

–

v0

E

y x 259

Дано: Wк = 8 кэВ = = 12,8⋅10 – 16 Дж, х = 4 см = 0,04 м, d = 2 см = 0,02 м, y = 0,8 см = 0,008 м, m = 9,1⋅10 – 31 кг, е = 1,6⋅10 – 19 Кл.

Найти U.

Решение. Wк = t=

mv02 4; v0 = 2

2Wк 2Wк 4; x = v0t = ⋅t m m

m eE eU ⋅ x ; еЕ = ma; a = = m md 2Wк

y=

at 2 eU m eUx 2 = ⋅ ⋅ x2 = 2 4dWк md 2Wк

U=

4dyWк

ex

2

=

4 ⋅ 0 ,02 м ⋅ 0,008 м ⋅ 12,8 ⋅ 10−16 Дж 1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ ( 0,04 м )2

=

= 3,2⋅103 B = 3,2 кВ. Ответ: U = 3,2 кВ.

№ 885(875).

Дано: U = 5 кВ = 5⋅103 В, х = 5 см = 0,05 м, Е = 40 Кв/м = 4⋅104 В/м, m = 9,1⋅10 – 31 кг, е = 1,6⋅10 – 19 Кл.

Решение. mv 2 2eU x m ; v= ; x=vt; t= = ⋅x 2 v 2eU m eE eE = ma; a = ; m

eU =

y=

y=

Найти y.

at 2 eE 2 m Ex 2 x ⋅ = = 2 2m 2eU 4U

4 ⋅ 104 В / м ⋅ (0,05 м) 2 4 ⋅ 5 ⋅ 103 В

=0,005 м=0,5 см.

Ответ: y = 0,5 см.

№ 886(876).

При добавлении соли в раствор накал лампы увеличится, так как сопротивление раствора соли в цепи уменьшится. № 887(877).

а), б) — не изменится; в), г), д), е), и) — увеличится; ж), з) — уменьшится. № 888(878).

При последовательном соединении в ваннах выделится одинаковое количество меди (IA = IB = I, m = kIt). При параллельном соединении в ванне А выделится больше меди, так как в А больше концентрация раствора медного купороса, а, следовательно, меньше сопротивление и больше сила тока.

260

№ 889(н).

Дано: i(t) ZnSO4 t =90c i =0..3A Найти M.

Решение. 1µ Q F z it Q = = 135Кл 2

M=

M=

1 µ it 1 65 ⋅10−3 = 135 = 45 мг. F z 2 96840 2

Ответ: M =45мг. № 890(880).

Дано: t = 20 мин = 1200 с, I = 0,5 A, m1 = 70,4 г = 0,0704 кг, m2 = 70,58 г = 0,07058 кг.

Решение. m2 – m1 = kIt k=

m2 − m1 0 ,07058 кг − 0 ,0704 кг = = It 0 ,5 А ⋅ 1200 с

= 3⋅10 – 7 кг/Кл. Ответ: х = 3⋅10 – 7 кг/Кл.

Найти k. № 891(881).

Решение. Дано: m1 = 10 г = 0,01 кг, k1 = 0,36⋅10 – 6 кг/Кл, m1 = k1q; k2 = 0,18⋅10 – 6 кг/Кл. m = k q = k m1 2 2 2 k1

m2=0,18⋅10–6кг/Кл ⋅ Найти m2.

0,01 кг 0,36 ⋅10−6кг/Кл

=5⋅10–3кг=5г.

Ответ: m2 = 5 г.

№ 892(н).

Дано: j = 0,5 А/дм2 d = 70мкм η = 85%

Решение. 1µ 1µ Qη <=> ρV = jStη <=> F z F z 1µ ρd = jtη <=> F z M=

t=

Найти t- ?

ρdFz 10 ,5 ⋅103 ⋅ 70 ⋅10−6 ⋅ 96480 = = 4 ,3часа. ηµj 108 ⋅10−3 ⋅ 50

Ответ: t =4,3часа. 261

№ 893(883).

Дано: Решение. k1 = 1,12⋅10 – 6 кг/Кл. k = M1 ; M2 k2 = = 1 neN A

k2 =

neN A

197 ⋅10−3 кг/моль 108 ⋅10−3 кг/моль

M2

M1 k1eN A

⋅ eN A

=

M2 ; k1 M1

−6 , ⋅10−6 кг/Кл = 2,04⋅10 кг/Кл . ⋅112

Ответ: k2 = 2,04⋅10 – 6 кг/Кл.

Найти k2. № 894(884).

Дано: n1 = 3, n2 = 2, M1 = 0,056 кг/моль, М2 = 0,024 кг/моль. Найти

m2 . m1

Решение. m1 = k1 It =

M1 M2 It ; m2=k2 It= It n1eN A n 2eN A

m2 = M 2 n1 = 0,024 кг/моль ⋅ 3 = 1,53. M1n2 0 ,056 кг/моль ⋅ 2 m1

Ответ:

m2 = 1,53. m1

№ 895(885).

Дано: t = 40 мин = = 2400 с, I = 4 A, k=0,33⋅10–6 кг/Кл, n = 2, M=0,0635 кг/моль.

Решение. m = kIt = ν1 = =

m It = = M neN A 4 A ⋅ 2400 c

2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 6,02 ⋅ 1023 моль −1

ν2 =

Найти ν1, ν2.

M It ; neN A

= 0,05моль

m kIt 0,33 ⋅10−6 кг/Кл ⋅ 4 A ⋅ 2400 c = = = 0,05моль. M M 0,0635 кг/моль

Ответ: 0,05 моль.

№ 896(886).

Решение. Дано: m = kIt U = 5 B, I = 40 кА = 4⋅104 А, m 103кг =268817,2c≈3,1суток t= = − m = 1 т = 103 кг, kI 0,093⋅10 6кг/Кл ⋅ 4 ⋅104 А –6 k=0,093⋅10 кг/Кл. A = UIt = 5 В ⋅ 4⋅103А ⋅ 268817,2 с ≈ ≈ 5,4⋅109 Вт⋅с = 15⋅106 Вт⋅ч = 15 МВт⋅ч. Найти t, A. Ответ: t = 3,1 суток, А = 15 МВт⋅ч. 262

№ 897(887).

Дано:

Решение. m1=k1q1; m2=k2 q2;

U1 = 14 , U2

A1=q1U1; A2=q2U2;

k1 = 0,093⋅10 – 6 кг/Кл, k2 = 0,33⋅10 – 6 кг/Кл, m1 = m2. Найти

q 2 k1 ; = q1 k 2

A1 q1U1 k2U1 0 ,33 ⋅ 10−6 кг/Кл ⋅ 14 ≈ 50 . = = = A2 q2U 2 k1U 2 0,093 ⋅ 10−6 кг/Кл

А1 . А2

А1 = 50. А2

Ответ:

№ 898(888).

Решение. Дано: А = Uit; m = kIt m = 1 т = 103 кг, U = 0,4 B, m 103кг m –6 A U , 0 4 B ; = = ⋅ ≈ = It k = 0,33⋅10 кг/Кл. k k 0,33 ⋅ 10−6 кг/Кл Найти А.

≈ 12⋅103 Вт⋅с ≈ 330 кВт⋅ч. Ответ: А = 330 кВт⋅ч.

№ 899(889).

Дано: V = 2,5 л = =2,5⋅103м3, t = 25°C = 298 K, p = 100 кПа = =105 Па, U = 5 B, η = 75%

Решение. m VM pVM VM ; p RT ; m = p = kq ; q = M RT kRT RT VMU Aпол VMU ; η= Апол=qU= p ⋅100% = p ⋅100% kRTAзатр Азатр kRT pV =

А затр =

=

Найти Азагр.

pVMU ⋅ 100% = kRT η

105Па ⋅ 2,5 ⋅ 10−3м3 ⋅ 0,002 кг/моль ⋅ 5 В 0,0104 ⋅ 10−6кг/Кл ⋅ 8,31

Дж моль⋅K

⋅ 298 К ⋅ 75%

⋅

⋅ 100% = 1,3⋅105 Дж = 0,13 МДж. Ответ: Азатр = 0,13 МДж.

№ 900(890).

Дано: Решение. h = 50 мкм = m = kIt; m = 5⋅10 – 5 м, t= ; j = 2 кА/м2 = kI = 2⋅103А/м2, m = ρV = ρSh; I = j⋅S k = 0,18⋅10 – 6 кг/Кл. ρh 7,2 ⋅ 103кг/м3 ⋅ 5 ⋅ 10−5м t= = -6 3 kj

0,18 ⋅ 10 кг/Кл ⋅ 2 ⋅ 10 А/м 2

= 16,7 мин .

263

Найти t.

Ответ: t = 16,7 мин.

№ 901(891). h h h k = = I ρSh = m jt j ⋅ ρ ⋅ kI

S kI

№ 902(892).

Дано: t = 1 ч = 3600 с, j1 = 1 А/дм2 = 100 А/м2, j2 = 0,5 А/дм2 = 50 А/м2, k1 = 0,62⋅10 – 6 кг/Кл,

Решение. h k = ; gt ρ h=

k jt ; ρ

h1 =

0,62 ⋅ 10−6 кг/Кл 7 ,3 ⋅ 103 кг/м3

⋅

k2 = 1,12⋅10 – 6 кг/Кл, ρ1 = 7,3⋅103 кг/м3, ρ2 = 10,5⋅103 кг/м3.

⋅ 100 А/м2 ⋅ 3600 с = 31⋅10 – 6 м = 31 мкм. h2 =

Найти h1, h2.

= 19⋅10 – 6 м = 19 мкм. Ответ: h1 = 31 мкм, h2 = 19 мкм.

1,12 ⋅ 10−6 кг/Кл 3

10 ,5 ⋅ 10 кг/м

3

⋅ 50 А/м2 ⋅ 3600 с =

№ 903(893).

Дано: Решение. t = 1 c, q eN . N — максимальное число I = = N0 = 109 см – 3 = 1015 м – 3, n t t S = 100 см2 = 10 – 2 м2, пар ионов, образующихся в 1 м3 за 1 с. –2 d = 5 см = 5⋅10 м, eN Sd N = N0V = N0Sd; I n = 0 = е = 1,6⋅10 – 19 Кл. t =

Найти In.

264

1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 1015 м −3 ⋅ 10−2 м 2 ⋅ 5 ⋅ 10−2 м = 1с

= 8⋅10 – 8 A = 80 нА. Ответ: 80 нА.

№ 904(894).

Дано: W = 2,5⋅10 – 18 Дж, d = 5 мкм = =5⋅10 – 6 м.

Решение. W = eU = eEd; Е = W = ed

1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 5 ⋅ 10−6 м

≈

≈ 3,1⋅106 В/м = 3,1 МВ/м W=

Найти E, v.

2,5 ⋅ 10−18 Дж

mv 2 ;v= 2

2W = m

2 ⋅ 2 ,5 ⋅ 10−18 Дж 9 ,1 ⋅ 10−31 кг

≈

≈ 2,3⋅106 м/с = 2300 км/с. Ответ: E = 3,1 МВ/м, v = 2300 км/с.

№ 905(895).

Решение. Дано: d = 10 см = 0,1 м, U W = eEL = e l ; U = 600 B, d W = 1,7⋅10 – 18 Дж. Wd 1,7 ⋅ 10−18 Дж ⋅ 0,1 м l=

Найти L.

eU

=

1,6 ⋅ 10−19 Кл ⋅ 600 В

≈ 1,8⋅10 – 3 м=1,8 мм.

Ответ: L = 1,8 мм.

№ 906(896).

Дано: U = 6 кВ=6⋅103 В, Е = 3 МВ/м = 3⋅106 В/м.

Решение. 3 U=Ed; d =U = 6⋅106 B =

E 3⋅10 В/м

–3

=2⋅10 м=2мм. Ответ: d = 2 мм.

Найти d. № 907(897).

До отключения конденсаторов заряд накапливается на них и после того, как конденсатор зарядится полностью, он разряжался. При этом мы наблюдали мощные искры через заметные промежутки времени. № 908(898).

Дано: t = 1 мс = =10 – 3 с, q = 20 Кл, U = 2 ГВ = 2⋅109 В, n = 5. Найти I, P, W.

Решение. I=

q 20 Кл = t 10−3с

= 2⋅104 А = 20кА

P = UI = 2⋅109 B ⋅ 2⋅104 A = 4⋅1013 Вт = 40 ТВт W = P ⋅ nt = 40 ТВт ⋅ 5 ⋅ 1 с = 200 ГДж. Ответ: I = 20 кА, Р = 40 ТВт, W = 200 ГДж.

№ 909(899).

Внизу напряженность поля больще за счет конвекции. 265

№ 910(900).

Дано: Решение. N n=2,7⋅1022м–3. n1 = . Найдем полное число молекул в объеме V=1 V

3

м =1000 л. В одном литре газа содержится

1 22 , 4

моль вещества. Следовательно, в 1 м3 содержится 1000 ≈ 44,6 моль газа. 22, 4

N = νNA = 44,6 моль ⋅ 6,02⋅1023 моль – 1 ≈ 2685⋅1022 n1 = 2685⋅1022 м – 3; α= Найти α.

n 2 ,7 ⋅ 100% = ⋅ 100% ≈ 0,1%. 2685 n1

Ответ: α = 0,1%.

№ 911(901).

Дано: Решение. 3 W = 2,5⋅10 – 18 Дж. W = кТ ; 2

T=

Найти Т.

266

2W 2 ⋅ 2,5 ⋅10−18 Дж = = 1,2⋅105 К. 3k 2 ⋅1,38 ⋅10−23 Дж/К

Ответ: Т = 1,2⋅105 К.

Электромагнитная индукция Явление электромагнитной индукции заключается в том, что при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную некоторым контуром, в нем возникает ЭДС индукции ε, выражаемая законом Фарадея (законом электромагнитной индукции): ε=−

∆Φ , ∆t

где ∆Ф — изменение магнитного потока, ∆t — промежуток времени, за которое это изменение произошло.

Знак «минус» отражает правило Ленца, которое утверждает, что при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, в последнем возникает индукционный ток такого направления, что магнитное поле этого тока противодействует изменению магнитного потока. В большинстве задач этот знак может быть опущен. Явление самоиндукции заключается в том, что при изменении тока в цепи возникает ЭДС, противодействующая этому изменению. Магнитный поток Φ через поверхность, ограниченную контуром, прямо пропорционален силе тока I в контуре: Φ = LI, где L — коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью. Индуктивность зависит от формы и размеров контура и магнитных свойств среды, в которой он находится. Тогда ЭДС самоиндукции выражается через изменение силы тока в цепи ∆I следующей формулой: ε = −L

∆I , ∆t

где ∆t — время, за которое это изменение произошло.

Энергия магнитного поля W выражается формулой: W=

LI 2 . 2

№ 912(902).

а), г) — определить направление индукционного тока; б), д) — определить направление движения проводника с током в маг267

нитном поле; в) — определить положение магнитных полюсов; е) — какого направления индукционный ток возникает в рамке, вращающейся по часовой стрелке; ж) — определить знаки на клеммах соленоида. № 913(903).

а), г) — не будет; б), в), д) — будет. № 914(904).

У первого и второго — время падения одинаковое, у третьего — меньше. При приближении третьего магнита к замкнутому соленоиду в последнем возникает индукционный ток, создающий свое магнитное поле, тормозящее движение маятника. № 915(905).

Против движения часовой стрелки; по часовой стрелке. По часовой стрелке; против часовой стрелки. № 916(906). При вращении магнита в витке проволоки меняется индукционный ток, а, следовательно, и магнитное поле, созданное этим током. В результате виток начинает вращаться в ту же сторону, что и магнит. № 917(907). При покачивании стрелки одного гальванометра вместе со стрелкой колеблется катушка, находящаяся в постоянном магнитном поле. В результате в катушке возникает индукционный ток, который и показывает второй гальванометр. № 918(908). Потому что в латуни возникает индукционный ток, создающий магнитное поле, которое препятствует изменению магнитного поля стрелки. № 919(909).

Ускорение больше при меньшем сопротивлении и большей скорости. № 920(910).

По линейному закону. № 921(911).

Дано: ∆t = 5 мс = 5⋅10 – 3 с, Ф1 = 9 мВб = 9⋅10 – 3 Вб, Ф2 = 4 мВб = 4⋅10 – 3 Вб. Найти ε. 268

Решение. ε=

∆Ф Ф2 − Ф1 9 ⋅ 10−3 Вб − 4 ⋅ 10−3 Вб = = = ∆t ∆t 5 ⋅ 10−3 с

= 1 В. Ответ: ε = 1 В.

№ 922(912).

Решение.

Дано: n = 2000, ε = 120 B. Найти

ε=

∆Ф ∆Ф ε 120 B N; = = = 0,06 Вб/c . ∆t N 2000 ∆t

Ответ: 0,06 Вб/с.

∆Ф . ∆t

№ 923(913).

Дано: S = 50 см2 = =5⋅10 – 3 м2, В1 = 0,2 Тл, В2 = 0,3 Тл, ∆t = 4 мс =4⋅10 – 3 с, ε = 10 В. Найти n.

Решение. ε=

∆Ф (B − B1 )Sn ∆BS n= n= 2 ∆t ∆t ∆t

n=

ε∆t 10 B ⋅ 4 ⋅ 10-3c = =80. (B2 − B1 )S (0 ,3 Тл − 0,2 Тл) ⋅ 5 ⋅ 10−3м 2

Ответ: n = 80.

№ 924(914).

Дано: R=5см=5⋅10 – 2 м, Решение. ∆Ф = 18,6 мВб = 1,86 ⋅10−2 Вб ε ∆Ф E= ; ≈ E= = –2 = 1,86⋅10 Вб, α 2πr∆t 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 ⋅10−2 м ⋅ 5,9 ⋅10−3 с –3 ∆t = 5,9 мс = 5,9⋅10 с. ≈ 10 В/м. Найти Е. Ответ: Е = 10 В/м. № 925(915).

Дано: ε ∆Ф q Решение. ε = ; I= = R = 0,03 Ом, ∆t R ∆t ∆Ф = 12 мВб = 1,2⋅10 – 2 Вб. ε∆t ∆Ф 1, 2 ⋅ 10−2 Вб = 0,4 Кл. q= = = R

Найти q.

R

0 ,03 Ом

Ответ: q = 0,4 Кл.

№ 926(916).

Дано: B = 0,1 Тл, R = 3,4 см = 3,4⋅10 – 2 м, S = 1 мм2 = 10 – 6 м2, ρ = 1,7⋅10 – 8 Ом⋅м.

Решение. ε=

S

I= q=

Найти q.

ε ε εS ∆Ф BπR 2 = ; I = = 2πR = ; 2πρR D ρ⋅ ∆t ∆t 2

ε∆tS BπR ⋅ ∆t ⋅ S BRS q = = ; q= 2πρR ∆t 2πρR 2ρ ∆t

0 ,1 Тл ⋅ 3,4 ⋅ 10−2м ⋅ 10−6 м 2 2 ⋅ 1,7 ⋅ 10−8 Ом ⋅ м

= 0,1 Кл.

Ответ: q = 0,1 Кл. 269

№ 927(917).

Решение.

Дано: L = 10 см = 0,1 м, S = 1,4 мм2 = 1,4⋅10 – 6 м2,

∆Ф

∆Ф =10 МВб/с=10–2 Вб/с, ∆t

ρ = 2,8⋅10 – 6 Ом⋅м. Найти I.

I=

10−2Вб/с ⋅14 , ⋅10−6м2 ε ∆t ∆ФS =5 А . ;I= = l = R ρ ∆tρ⋅ l , м 2,8⋅10−8Ом⋅ м⋅ 01 S

Ответ: I = 5 A.

№ 928(918).

Дано: L = 0,25 м, В=8 мТл=8⋅10–3Тл, v = 5 м/с, α = 60°. Найти ε.

Решение. ε=

∆Ф B∆Scosα Bv∆t ⋅ l ⋅ cosα = = = Bvlcosα ∆t ∆t ∆t

ε=8⋅10 – 3 Тл ⋅ 5 м/с ⋅ 0,25 м ⋅ сoS60°= = 5⋅10–3В=5мВ. Ответ: ε = 5 мВ.

№ 929(919).

Дано: L = 1 м, α = 30°, ε = 1 В, В = 0,2 Тл.

Решение.

Найти v.

Ответ: v = 5,8 м/с.

∆Ф B∆Scosα Bv∆t ⋅ l ⋅ cosα = = = Bvlcosα ∆t ∆t ∆t ε 1B ≈ 5,8 м/с. v= = Blcosα 0,2 Тл ⋅ 1 м ⋅ cos30° ε=

№ 930(920).

Дано: L = 1 м, R = 2 Ом, В = 0,1 Тл, ε = 1 В, v = 4 м/с, I = 0.

Решение. ε 1B = 0,4 А = R 2 Ом ε ε − ε1 б) Проводник движется вправо I = общ = R R ∆Ф B∆S ε1 = − =− = −B ⋅ l ⋅ v ∆t ∆t ε + Blv 1 B + 0,1 Тл ⋅ 1 м ⋅ 4 м/с = 0,7 А I= = R 2 Ом

а) Проводник покоится I =

в) Проводник движется влево εобщ

ε − Blv 1 B − 0,1 Тл ⋅ 1 м ⋅ 4 м/с = 0,3 А = R 2 Ом ε 1B = 10 м/с. = г) I = 0; ε = BLv; v = Bl 0,1 Тл ⋅ 1 м I=

270

R

=

Найти I, v.

Ответ: а) I = 0,5 A; б) I = 0,7 A; в) I = 0,3 A; г) v = 10 м/с и направлена влево.

№ 931(921).

Решение. Дано: I = 5 A, Ф 5 ⋅ 10−4 Вб = 10 – 4 Гн = 0,1 мГн. Ф = 0,5 мВб = 5⋅10 – 4 Вб. L = I = 5 А Найти L. Ответ: L = 0,1 мГн. № 932(922).

Дано: L = 0,2 мГн = 2⋅10 – 4 Гн, I = 10 A. Найти Ф.

Решение. Ф = LI = 2⋅10 – 4 Гн ⋅ 10 А = = 2⋅10 – 3 Вб = 2 мВб. Ответ: Ф = 2мВб.

№ 933(923).

Дано: ∆I = 2 A, ∆t=0,25 c, ε = 20 мВ= = 2⋅10 – 2 В. Найти L.

Решение. L=

∆Ф ε∆t 2 ⋅10−2 B ⋅ 0,25c =2,2⋅10–3Гн=2,5мГн.. = = 2A ∆I ∆I

Ответ: L = 2,5 мГн.

№ 934(924).

Решение. Дано: ∆Ф L∆I 0, 4 Гн ⋅ 5 А L = 0,4 Гн, ∆I = 5 A, ε= = = = 100В . ∆t ∆t 0 ,02с ∆t = 0,02 c. Найти ε. Ответ: ε = 100 В. № 935(925).

Для того, чтобы уменьшить ЭДС самоиндукции. № 936(926).

а) Накал лампочки на мгновение уменьшается; б) накал вновь становится полным; в) накал лампочки на мгновение увеличивается.

271

№ 937(927).

Решение.

Дано: L = 0,6 Гн, I1 = 20 A, I2 =

W1 =

I1 . 2

LI12 0 ,6Гн ⋅ (20 А) 2 = = 120 Дж . 2 2 2

⎛I ⎞ W1 LI 2 2 = 1 ⋅ 2 =⎜ 1 ⎟ =4. W2 2 LI 2 ⎝ I 2 ⎠

Энергия уменьшится в 4 раза. W Найти W1, 1 . W2

Ответ: W1 = 120 Дж,

W1 = 4. W2

№ 938(928).

Дано: L = 0,5 Гн, W = 1 Дж.

Решение.

Найти I.

Ответ: I = 2 A.

W=

LI 2 2W 2 ⋅ 1Дж = = 2А . ; I= 0,5Гн L 2

№ 939(929).

Дано: I = 10 A, Ф = 0,5 Вб.

Решение. LI 2 ; 2 Ф L= ; I

W=

W=

Найти W.

ФI 2 ФI 0,5Вб ⋅ 10 А = = = 2 ,5Дж . 2I 2 2

Ответ: W = 2,5 Дж.

№ 940(н).

Дано: R = 8,02 Ом L = 25 мГн U = 55B ∆t = 12мс Найти ε, W.

272

Решение. LI 2 LU 2 = = 0 ,6 Дж 2 2R2 ∆Φ L∆I LU ε= = = = 14 B ∆t ∆t ∆tR ∆W =

Ответ: W = 0,6Дж, ε =14B.

№ 941(н).

Дано: L = 240 мГн I = 11,4A ε = 30B

Решение. LI 2 = 91мс 2 L∆I ∆Φ L∆I ε= = <=> ∆t = = 91мс ∆t ∆t ε

W=

Найти W, ∆t. Ответ: W = 15,6 Дж, ∆t = 91мс.

273

Электромагнитные колебания Рассмотрим колебательный контур, состоящий из конденсатора емкости C и катушки индуктивности L. Если в начальный момент времени конденсатор С имеет заряд q0, то в контуре возникнут электромагнитные колебания. Заряд q на конденсаторе изменяется от времени t по гармоническому закону: q (t ) = q0cos ωt , где q0 — амплитуда колебаний заряда, ω — собственная частота колебаний.

Период T собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре выражается формулой Томсона: T = 2π LC . Частота ν электромагнитных колебаний равна: ν=

1 1 . = T 2π LC

Переменным электрическим током называется ток I, который изменяется во времени по гармоническому закону: I (t ) = I 0cos ωt , где I0 — амплитуда колебаний тока, ω — частота переменного тока. В случае переменного тока напряжение U прямо пропорционально силе тока I: U = ZI, где Z — коэффициент пропорциональности, называемый импедансом. Его можно записать в виде: Z=

X R2 + X C2 + X L2 ,

где XR = R — активное сопротивление, X C =

1 — емкостное сопроωC

тивление, X L = ωL — индуктивное сопротивление. Отметим, что переменный ток в отличии от постоянного течет через конденсатор. При высоких частотах ω емкостное сопротивление падает почти до нуля, а индуктивное значительно возрастает. При низких частотах соответственно наоборот. Средняя за период мощность P в цепи переменного тока определяется формулой:

274

U0I0 , 2 где I0, U0 — амплитуды силы тока и напряжения соответственно. Отметим, что мощность выделяется только на активном сопротивлении. Пусть у нас имеется нагрузка сопротивлением R. Действующим (эффективным) значением силы переменного тока IД называется величина, при которой на нагрузке R при постоянной силе тока IД выделяется мощность, равная средней мощности нашего P=

переменного тока. Можно доказать, что I Д =

I0 . Аналогичным 2

образом дается определение действующего (эффективного) напряжения: U UД = 0 . 2

Трансформатор — это устройство, предназначенное для преобразования напряжения переменного тока. Он состоит из магнитного сердечника, первичной и вторичной обмоток. Пусть первичная обмотка содержит n1 витков, а вторичная — n2. Если мы подадим на первичную обмотку напряжение U1, то во вторичной обмотке индуцируется напряжение U2. Они связаны следующей формулой: U1 n1 . = U2

n2

№ 942(932).

Решение.

Дано: q1 =2. q2

U1 U2

= q1 / c = q1 = 2 . q2 / c

q2

Напряжение уменьшилось в 2 раза I1 I2

= U1 / R = U1 = 2 . U2 / R

U2

Сила тока уменьшилась в 2 раза W1 W2

2

2 ⎛ ⎞ = q12 / (2c) = ⎜ q1 ⎟ = 4 .

q2 / (2c)

⎝ q2 ⎠

Суммарная энергия уменьшилась в 4 раза. Найти

U1 I1 W1 , , U 2 I 2 W2

Ответ:

U1 I W = 2, 1 = 2, 1 = 4. U2 I2 W2

275

№ 943(933).

Дано: ∆U = 20 B, I2 = 2. I1

Найти U.

Решение. ⎧U 2 − U1 = ∆U ⎪ ⎨U 2 I 2 ⎪U = I = 2 1 ⎩ 1

;

U2=2U1; 2U1–U1=∆U; U1= ∆U=20 B. Ответ: U1 = 20 B.

№ 944(934).

Дано: L = 0,2 Гн, I0 = 40 мА = = 4⋅10 – 2 А, I 1 = . I0 2

Найти WC, WL.

Решение.

(

)

−2 LI 2 LI02 0,2Гн ⋅ 4 ⋅10 А WL = = = 2 8 8

2

= 4⋅10–5Дж = 40 мкДж

2 2 2 WC = W – WL = LI 0 − LI 0 = 3 ⋅ 0,2Гн ⋅ ( 4 ⋅ 10−2 А) =

2

8

8

=1,2⋅10–4Дж = 120 мкДж. Ответ: WL = 40 мкДж, WC = 120 мкДж.

№ 945(935).

Дано:С=400 пФ = Решение. =4⋅10 – 10 Ф, C 4 ⋅ 10−10Ф CUm2 LIm2 ⋅Um = ⋅ 500 В = 0,1 А . ; Im = = L=10 мГн=10–2 Гн, L 2 2 10−2 Гн Um = 500 B. Найти Im. Ответ: Im = 0,1 A. № 946(936).

Решение. WC + WL = W; WC = WL; 2WC = W Дано: Im = 1,4 мА = U m 280 B CU 2 CU m2 = 1,4⋅10 – 3 А, 2 2 = 2 ; U = 2 = 2 ≈ 200 B; 2WL = W Um = 280 B, LI2 LI2m I 1, 4 ⋅ 10−3 A WL = WC. 2 = ; I= m = ≈ 10 – 3 A = 1 мА. 2

Найти I, U.

276

2

2

Ответ: I = 1 мА, U = 200 B.

2

№ 947(937).

Решение. WmL = WmC Дано: L=31 мГн=3,1⋅10 – 2 Гн, LI2m CU 2m εε S LI2 εε SU 2 ; C= 0 ; m = 0 m = S = 20 см2 = 2⋅10 – 3 м2, d 2 2 2 2d d = 1 см = 10 – 2 м, 2 −2 −4 2 LI ⋅ d 3,1 ⋅10 Гн ⋅ (2 ⋅10 А) ⋅10−2 м Im = 0,2 мА = ε= m 2 = = ε0SUm 8,85 ⋅10−12 Кл ⋅ 2 ⋅10−3 м2 ⋅ (10 В)2 =2⋅10 – 4 А, 2 Н×м Um = 10 B. = 7. Найти ε. Ответ: ε = 7. № 948(н). 2 Дано: LI2 CU 2 CU C, L, U, U. Решение. W = 2 ; 2 = 2 ; I = Найти I, W, Li 2 2WL WC, WL, I. ;I= WL = W – WC; WL =

2

C Cu 2 U ; WC = L 2

L

№ 949(939).

Дано: q = 10 – 6 coS104πt.

Найти I(t), T, ν, qm, Im.

Реш. I=q′(t)=– 10–6 ⋅ 104π ⋅ SIn104πt=–10–2π ⋅ SIn104πt Im = 10 – 2πA = 31,4 мА; ω = 104π 2π 2π = = 2⋅10 – 4 с = 0,2 мc ω 104 π 1 1 = 5⋅103 Гц = 5 кГц ν= = T 2 ⋅ 10−4 c

T=

qm = 10 – 6 Кл = 1 мкКл. Ответ: I(t) = – 10 – 2π ⋅ SIn104πt, T = 0,2 мс, ν = 5 кГц, qm = 1 мкКл, Im = 31,4 мА.

№ 950(940).

Дано: С = 1 мкФ = =10 – 6 Ф, L = 4 Гн, qm = 100 мкКл= =10 – 4Кл.

Найти q(t), I(t), U(t), Im, Um.

Реш. q = qm coSω0t; ω0 = 1 = LC

1 10−6Ф ⋅ 4Гн

= 500 с−1

q(t) = 10 – 4coS 500t I(t)=q′(t)=–10–4 ⋅ 500SIn 500t=–0,05SIn 500t U(t) = UmcoS 500t 2 CUm LI2 L 4Гн = m ; Um= ⋅ Im = ⋅ 0,05А = 100В 2 2 C 10−6Ф

U(t) = 100coS 500t. Ответ: q(t) = 10 – 4coS 500t; I(t) = – 0,05 SIn 500t; U(t) = 100 coS 500t; Im = 0,05 A; Um = 100 B. 277

№ 951(941).

Дано: С = 0,4 мкФ = =4⋅10 – 7 Ф, ν = 50 кГц = =5⋅104Гц, qm = 8мкКл = =8⋅10 – 6Кл

Решение. q(t) = qm coS ω0t; ω0=2πν=2 ⋅ 3,14 ⋅ 5⋅104 Гц=105π с–1 q(t) = 8⋅10 – 6 ⋅ coS 105πt; I(t) = q′(t)=–8⋅10–6 ⋅ 105π ⋅ ⋅ SIn105πt =– 0,8πSIn105πt ≈ – 2,5SIn105πt Im = 2,5 A; 1 1 1 ; L= 2 = 5 ≈ −1 2 LC ω0C (10 ⋅ 3,14 ⋅ c ) ⋅ 4 ⋅ 10−7 Ф

ω0 =

≈ 2,5⋅10 – 5 Гн = 25 мкГн CU m2 LI m2 L 2 ,5 ⋅ 10−5 Гн ; Um= = ⋅ Im = ⋅ 2 ,5 А = 20В C 2 2 4 ⋅ 10−7 Ф

U(t) = Um coS ω0t = 20coS 105π t. Ответ: q(t) = 8⋅10 – 6coS 105πt; U(t) = 20 coS 105πt; I(t) = – 2,5 SIn 105π t; Um = 20 B; Im = 2,5 A; L = 25 мкГн.

Найти q(t), U(t), I(t), Um, Im, L. № 952(942).

Дано:

Решение.

q q= m . 2

q=qm coSω0t=qm coS2π coS2π

t ; T

q 1 t = = ; T qm 2

t π t 1 = ; = . T 3 T 6 t t 1 Найти . Ответ: = . 6 T T

2π

№ 953(943).

Решение. Дано: Um = 100 B, U = Um coSω0t; ω0 = 2πν; ν = 5 МГц, U = Um coS2πνt U = 71 B. u ; coS2πνt = Um

2πνt = aRccoS arccos

t=

Найти t. 278

u Um

2πν

=

Ответ: 25 нс.

u Um arccos

71B 100B 6

2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 ⋅ 10 Гц

= 25⋅10 – 9c = 25 нс.

№ 954(н).

Дано: n =3

Решение. WC + WL = W

u t Найти , . Um T

Cu 2 Cu 2 CU m2 + = ; 2 2n 2 u = Um

n =0,866. n +1

U = Um cos

2π t T

arccos n t n +1 = =0,833. 2π T u t = 0,866, = 0,833. Ответ: T Um

№ 955(н).

Дано: C = 800пФ L = 2мкГн ε =9

Решение. T = 2π LC =250нс ν=

1 =4 МГц. T

Найти T, ν. Ответ: T =250нс, ν =4 МГц. № 956(946).

Дано: L1 = 0,1 мкГн = =10 – 7 Гн, L2 = 10 мкГн = =10 – 5 Гн, С1 = 50 пФ = =5⋅10 – 11 Ф, С2 = 5000 пФ = =5⋅10 – 9 Ф.

Найти ν1, ν2.

Решение. ν1 = ν1=

1 1 = Т1 2π L1C1 1 −7

2 ⋅ 3,14 10 Гн ⋅ 5 ⋅ 10

−11

≈7,1⋅105

Ф

Гц=710кГц ν2=

1 1 1 = ν2= ≈ −5 Т 2 2π L2C2 2 ⋅ 3,14 10 Гн ⋅ 5 ⋅ 10−9 Ф

≈ 7,1⋅107 Гц = 71 МГц. Ответ: ν1 = 710 кГц, ν2 = 71МГц.

279

№ 957(947).

Решение. Дано: C = 50 пФ = ω 1 = ν= =5⋅10 – 11 Ф, 2π 2π LC ν = 10 МГц = 107 Гц. 1 L= = 2 (2πν) C

1

(2 ⋅ 3,14 ⋅ 10 Гц) 2 ⋅ 5 ⋅ 10−11Ф 7

=

= 5,1⋅10 – 6 Гн = 5,1 мкГн. Ответ: L = 5,1 мкГн.

Найти L. № 958(948).

Дано:

Решение.

С2 = 25 , С1

ν=

L2 1 = . L1 16

Найти

ν1 . ν2

ω 1 = 2π 2π LC

2π L2C2 ν1 1 25 5 L2C2 ⋅ = = = = 1,25 . = 1 16 4 L1C1 ν2 2π L1C1

Ответ: уменьшится в 1,25 раза.

№ 959(949).

Дано: Решение. ∆С = 0,08 мкФ = С2 – С1 = ∆С; 2 2 =8⋅10 – 8 Ф, ⎛ ⎛ ν ⎞2 ⎞ ⎛ν ⎞ ⎛ν ⎞ С2 = ⎜ 1 ⎟ ; С2 = С1 ⎜ 1 ⎟ ; С1 ⎜ ⎜ 1 ⎟ − 1⎟ = ∆С ν1 = 3. ⎜ ⎝ ν2 ⎠ ⎟ С1 ⎝ ν2 ⎠ ⎝ ν2 ⎠ ⎝

ν2

С1 = Найти С1.

∆С ⎛ν ⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ν ⎟ ⎝ 2⎠

=

2

−8

8 ⋅ 10 Ф

−1

32 − 1

⎠

=10–8Ф=0,01 мкФ.

Ответ: С1 = 0,01 мкФ.

№ 960(н).

Дано: ∆С, Т2 = nT1. Найти С1.

280

Решение. T = 2π LC ; n =

Т2 = Т1

С2 С1

C2 = n2C1; C2 – C1 = ∆C; C1(n2 – 1) = ∆C; C1 =

∆С n2 − 1

№ 961(951).

Дано: ω2 =3. ω1

Решение. Ф1 = BS coS ω1t; Ф2 = BS coS ω2t = BS coS 3ω1t ε=

dФ ; e1 = – BSω1SInω1t = – ε1SInω1′t dt

e2 = – 3BSω1SIn3ω1t = – ε2SInω2′t ω′2 3ω ε 3BS ω1 = 1 =3; 2 = = 3. BS ω1 ω1′ ω1 ε1

Найти

ω′2 ε 2 , . ω1′ ε1

Ответ: частота и ЭДС переменного тока увеличатся в 3 раза.

№ 962(952).

Дано: S = 200см2 = =2⋅10 – 2м2, ν = 8 с – 1, В = 0,4 Тл. Найти Ф(t), e(t), εm.

Решение. Ф(t) = Ф0SIn2πνt = BS SIn2πνt Ф(t) = 0,4⋅2⋅10 – 2SIn2π⋅8t = 0,008SIn16πt e(t) =

dФ = 0,008⋅16πcoS16πt = 0,13πcoS16πt dt

εm = 0,13π B = 0,4 B. Ответ: Ф(t) = 0,008SIn16πt, e(t) = = 0,4coS16πt, εm = 0,4 B.

№ 963(953).

Дано: Ф(t) = 0,01⋅SIn10πt.

Решение. Фm = 0,01 Вб; e(t) = Ф′(t) = 0,1π coS 10πt ν=

ω 10π = 5 c – 1; εm = 0,1π B = 0,314 B. = 2π 2π

Найти e(t), ν, Фm, em. Ответ: e(t) = 0,1π coS 10πt, ν = 5c – 1, Фm = 0,01 Вб, εm = 0,314 B. № 964(954).

Дано: S = 500 см2 = 5⋅10 – 2 м2, ν = 20 с – 1, В = 0,1 Тл, εm = 63 B. Найти n.

Решение. εm = nBS⋅2πν; n= =

εm = 2πνBS

63B 2 ⋅ 3,14 ⋅ 20c

−1

⋅ 0,1Тл ⋅ 5 ⋅ 10−2 м 2

≈ 100 .

Ответ: n = 100.

№ 965(955).

а) Параболу; б) синусоиду. 281

№ 966(956).

Будет; не будет. № 967(957).

εm = 50 B; Т = 0,4 с; ν =

1 1 = = 2,5 с – 1; Т 0,4с

e(t) = εmcoS2πνt = 50coS5πt № 968(958).

Дано: t1 = 10 мс = 10 – 2 с, t2 = 15 мс = 1,5⋅10 – 2 с, t3 = 30 мс = 3⋅10 – 2 с, Um = 200 B, T = 60 мс = 6⋅10 – 2 с.

Решение. U(t) = UmcoS

2π 100πt t = 200coS Т 3

U1 = 200⋅coS

100π ⋅ 10−2 = 100 B 3

U2 = 200⋅coS

100π ⋅ 1,5 ⋅ 10−2 =0B 3

U3 = 200⋅coS 100π ⋅ 3 ⋅ 10 3

Найти U1, U2, U3.

−2

= −200 B .

Ответ: U1 = 100 B, U2 = 0 B, U3 = 200 B.

№ 969(н).

Дано: I = 6A φ = π/6 Найти I0,Iд.

Решение. I = I 0 sin ϕ <=> I 0 = 12 A Ig =

I0 2

= 8,5 A.

Ответ: I 0 = 12 A, I g = 8,5 A. № 970(960).

Дано: Решение. U Ug = 430 кВ = 4,3⋅105 В. U g = m ; Um = 2

Найти Um.

282

2 Ug =

≈ 6,1⋅105 B = 610 кВ. Ответ: Um = 610 кВ.

2 ⋅4,3⋅105 B ≈

№ 971(961).

Решение.

Дано: R = 50 Ом, ν = 50 Гц, Ug = 220 B.

Ug =

Um

2

; Um =

2 Ug= 2 ⋅220 B ≈ 310 B

U(t) = UmcoS 2πνt = 310coS100πt I(t) =

Um 310 coS100πt = coS100πt = 6,2 coS100πt. R 50

Найти U(t), I(t). Ответ: U(t) = 310coS100πt; I(t) = 6,2 coS100πt. № 972(962).

Дано:

Решение.

U U= m . 2

U(t) = UmcoSϕ;

Um = UmcoSϕ 2

1 π 2π 4π 5π , ϕ ∈ [0; 2π]; ϕ = ; ; ; . 2 3 3 3 3 π 2π 4π 5π ; ; . Ответ: ; 3 3 3 3

coSϕ = Найти ϕ.

№ 973(963).

Дано: Решение. Ug = Uопр. U 2π Ug = m ; Um= 2 Ug; (t)= 2 UgcoS t ; 2

T

π 1 2π 2π 2π T Uопр= 2 UgcoS t ; coS t = ; t = ; t= . T T T 2 4 2 t T Найти . Ответ: t = . T 2

№ 974(964).

а) При увеличении частоты переменного тока накал лампочки увеличивается, так как увеличивается сила тока (I ∼

1 = ωC). ХС

б) При увеличении емкости конденсатора накал лампочки тоже увеличивается, так как увеличивается сила тока (I ∼

1 = ωC). ХС

283

№ 975(965).

Решение.

Дано: С = 4 мкФ = =4⋅10 – 6 Ф, ν1 = 50 Гц, ν2 = 400 Гц.

ХС =

1 1 1 = ; ХС1 = ≈ ωС 2πνС 2 ⋅ 3,14 ⋅ 50Гц ⋅ 4 ⋅ 10−6 Ф

≈ 800 Ом = 0,8 кОм ХС2 =

Найти ХС1, ХС2.

1 2 ⋅ 3,14 ⋅ 400Гц ⋅ 4 ⋅ 10−6 Ф

≈ 100 Ом=0,1 кОм.

Ответ: ХС1 = 0,8 кОм, ХС2 = 0,1 кОм.

№ 976(966).

Дано: ν = 50 Гц, U = 220 B, I = 2,5 A.

Решение.

Найти С.

Ответ: С = 36 мкФ.

U 1 1 U 1 ; ХС = ; = ; = 2πνС I ωС 2πνС I I 2,5 A =3,6⋅10 – 5 Ф = 36 мкФ. С= = 2πνU 2 ⋅ 3,14 ⋅ 50Гц ⋅ 220В

ХС =

№ 977(967).

а) Если поместить в катушку железный сердечник, то увеличится L, а, следовательно, уменьшится сила тока на лампочке и индуктивности (I ∼

1 1 = ) и накал лампочки. ХL ωL

б) При уменьшении частоты сила тока в цепи увеличится (I ∼

1 1 = ), а, следовательно, увеличится накал лампочки. Х L ωL

№ 978(968).

Дано: L = 0,2 Гн, ν1=50 Гц, ν2 = 400 Гц. Найти XL1, XL2.

Решение. XL = ωL = 2πνL XL1 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 50 Гц ⋅ 0,2 Гн ≈ 63 Ом XL2 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 400 Гц ⋅ 0,2 Гн ≈ 500 Ом. Ответ: XL1 = 63 Ом, XL2 = 500 Ом.

№ 979(969).

Дано: ν = 50 Гц, U = 125 B, I = 2,5 A.

Решение.

Найти L.

Ответ: L = 0,16 Гн.

284

U U ; XL = ωL = 2πνL; = 2πνL I I U 125B = = 0,16 Гн. L= 2πνI 2 ⋅ 3,14 ⋅ 50Гц ⋅ 2 ,5 А

XL =

№ 980(970).

а) Первый увеличится, второй уменьшится; б) первый уменьшится, второй увеличится. № 981(971).

а) Не изменились; б) увеличились от 0 до некоторого значения; в) уменьшились. № 982(972).

Решение. Дано: ω 1 1 1 ν = 400 Гц, ν= = = ; С= = L = 0,1 Гн. 2π 2π LC (2πν) 2 L (2 ⋅ 3,14 ⋅ 400Гц) 2 ⋅ 0 ,1Гн = 1,6⋅10 – 6 Ф = 1,6 мкФ. Найти С. Ответ: С = 1,6 мкФ. № 983(н).

Дано: C, L. Найти ν.

Решение. ν =

1 ω = 2π 2π LC

№ 984(974).

Потому что частота вращения гидротурбины намного меньше частоты вращения паровой турбины. № 985(975).

Недопустимо, так как катушка может перегореть. № 986(976).

Решение. Дано: n1 = 840, u 220B 1 u1 n1 u 660B k= 1 = = ; = ; n2=n1 2 = 840 ⋅ =2520. U1 = 220 B, u2 660B 3 u2 n2 u1 220B U2 = 660 B. Найти k, n2. Ответ: k=

1 , n2 = 2520; в первичной обмотке провод имеет 3

большую площадь поперечного сечения.

285

№ 987(977).

Решение. Дано: n = 11, ⎧ U1 = n1 U1 = 220 B, ⎪⎪ U 2 n 2 ; ⎨ U U2 = 12 B, n ⎪ 1 = 1 U = 4,4 B. ⎪⎩ U 2 + U n 2 + n n2 =

U2 n1; U1

U1 = U2 + U

U2

n1

n +n U1 1

U2 U +U n2 + n = n1 2 ; U1 U1 ⎛ U + U U2 ⎞ − n1 ⎜ 2 ⎟=n; U1 ⎠ ⎝ U1 U n1 =n U1

n1 = n n2 = Найти n1, n2.

U1 220B = 11⋅ = 550; U2 4 ,4B

U2 12В n1= ⋅550≈30. 220В U1

Ответ: n1 = 550, n2 = 30.

№ 988(978).

Дано: Решение. k = 10, ε U k= 1 = 1; U1 = 220 B, ε2 ε2 R2 = 0,2 Ом, U1 RH = 2 Ом. ε 2 = ; k

ε2 = U2 + I2R2 = U2 +

U2 R2 = RH

U U (R + R2 ) = U2 ⎛⎜1 + R2 ⎞⎟ = U2 RH + R2 ; 1 = 2 H k R

RH RH ⎠ H U1RH 220B ⋅ 2Ом U2 = = = 20В . k (RH + R2 ) 10(2Ом + 0,2Ом) ⎝

Найти U2. 286

Ответ: U2 = 20 B.

№ 989(979).

Показания первого вольтметра практически не изменятся, второго ⎯ уменьшатся. Показания первого и второго амперметров увеличатся. № 990(980).

Дано: n2 = 99, Ф = 0,01 SIn 100πt.

Решение. e(t)=nФ′(t)=99⋅0,01⋅100coS100πt = 311coS100πt εm = 311 B;

Найти e(t), εg.

Ответ: e(t) = 311coS 100πt, εg = 220 B.

ε m 311B = = 220B . 2 2

εg =

№ 991н().

Дано: U1 = 220B U2 = 20B r = 1 Ом I2 = 2A

Найти n, η.

Решение. I2 =

n=

ε ε = <=> ε = U 2 + I 2 r, R + r U2 + r I2

220 U1 U1 = = = 10. ε U 2 + I 2 r 22

n' =

U1 = 11. U2

η=

n = 90 ,9%. n'

Ответ: n = 10, η = 90,9%.

287

Электромагнитные волны Электромагнитными волнами называются распространяющиеся в пространстве электромагнитные колебания. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света в вакууме с = 2,9979⋅108 м/c. При решении задач можно считать, что с = 3⋅108 м/c. Скорость распространения электромагнитных волн c, длина λ и частота ν волны связаны формулой: с = λν. Плотность энергии электромагнитной волны ω определяется как удвоенная плотность энергии электрического поля: ω = ε0εE2, где ε0 — электрическая постоянная, ε — диэлектрическая проницаемость среды, E — напряженность электрического поля волны. Плотность потока излучения электромагнитной волны I связана с плотностью энергии ω формулой:

I = cω. № 992(981).

Можно. Система отсчета должна двигаться со скоростью электронного пучка. № 993(982).

Направление линий магнитной индукции будет противоположным. № 994(983).

Нельзя. Если система отсчета будет двигаться со скоростью упорядоченного движения электронов, то положительные ионы движутся со скоростью, равной по модулю и противоположной по направлению скорости системы отсчета. Таким образом, положительные ионы в этой системе отсчета будут создавать магнитное поле (В ≠ 0). Направление линий магнитной индукции остается прежним, так как результирующая скорость электронов и ионов остается постоянной.

288

№ 995(984).

Потому что при газовом разряде возбуждаются средние и длинные волны. № 996(985).

Дано: λ = 300 м, с = 3⋅108 м/с. Найти Т.

Решение. с = λν =

λ 300м λ ;Т= = = 10 – 6 с = 1 мкс. с 3 ⋅ 108 м/с Т

Ответ: Т = 1 мкс.

№ 997(986).

Дано: Решение. ν = 75 МГц = 7,5⋅107 Гц, с 3 ⋅ 108 м/с 8 λ = = =4м с = λν; с = 3⋅10 м/с. ν 7 ,5 ⋅ 107 Гц Найти λ. Ответ: λ = 4 м. № 998(987).

Решение. Дано: 8 λ1 = 24 м, с с = λν; ν = ; ν1 = 3 ⋅ 10 м / с = 12,5⋅106 Гц = 12,5 МГц λ2 = 26 м, λ 24м с=3⋅108 м/с. 3 ⋅ 108 м / с = 11,5⋅106 Гц = 11,5 МГц. ν2 = 26м

Найти ν1, ν2.

Ответ: 11,5 — 12,5 МГц.

№ 999(988).

Увеличивается. № 1000(989).

Дано: c с ω 1 1 L=1 мкГн=10–6Гн, Решение. ν = λ ; ν = 2π = 2π LC ; λ = 2π LC λ = 1000 м, 2 2 ⎛ λ ⎞ 1 ⎛ ⎞ 1000м 1 с = 3⋅108 м/с. = С= ⎜ ⎟ ⋅ = ⎜ ⎟ ⋅ −6 8 ⎝ 2πc ⎠

L

⎝ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 3 ⋅ 10 м/с ⎠

10 Гн

–6

Найти С.

= 0,28⋅10 Ф = 0,28 мкФ. Ответ: С = 0,28 мкФ.

№ 1001(н).

Дано: λ1 = 25м λ2= 31м

Решение. C λ2 => n =

λ C1 = ( 1 )2 = 1,54. λ2 C2

289

Найти n.

Ответ: n = 1,54.

№ 1002(н).

Дано: ∆I = 1A ∆t 0,6c ε = 0,2 мВ С = 14,1 нФ

Решение.

Найти λ.

Ответ: λ = 2450м.

∆Φ L∆I ε∆t = <=> L = ∆t ∆t ∆I ; c c λ = = 2π = c LC 2π = 2450 ì . ν ω ε=

№ 1003(990).

Дано: С1=200пФ= =2⋅10–10Ф, С2 = 1800 пФ = = 1,8⋅10 – 9Ф, L=60мкГн= =6⋅10–5Гн, с = 3⋅108 м/с. Найти λ1, λ2.

Решение. с 1 = ; λ = 2πc LC λ 2π LC

ν=

λ1 =2⋅3,14⋅3⋅108 м/с⋅ 6 ⋅10−5 Гн ⋅ 2 ⋅10−10Ф = 206м λ2=2⋅3,14⋅3⋅108м/с⋅ 6 ⋅10−5 Гн ⋅1,8 ⋅10−9Ф = 619м . Ответ: 206 — 619 м.

№ 1004(991).

Решение. Дано: I(t) = 0,1coS6⋅105πt, ω = 2πν = 6⋅105π; ν = 3⋅105 Гц c = 3⋅108 м/с. с 3 ⋅ 108 м/с = 1000 м. λ= = 5 ν

Найти λ.

3 ⋅ 10 Гц

Ответ: λ = 1000 м.

№ 1005(н).

Дано: Q = 20 нКл I = 1A

Решение.

Найти λ.

Ответ: λ = 38м.

290

Q Q => T = 2π I I Q λ = cT = 2π c = 38 ì . I ∆t =

№ 1006(992).

Решение. Дано: λ1 = 300 м, с 3 ⋅ 108 м/с = 106 Гц; ν1 = = ν2 = 2000 Гц, λ1 300м 8 c = 3⋅10 м/с. 6 ν n = 1 = 10 Гц = 500 . ν2

Найти n.

2000Гц

Ответ: n = 500.

№ 1007(993).

Дано: L=1,2 Тм= =1,2⋅1012 м, c = 3⋅108 м/с. Найти ∆t.

Решение. 12 ∆t = 2l = 2 ⋅ 1,2 ⋅810 м = 8000 c = 2 ч 13 мин 20 c.

c

3 ⋅ 10 м/с

Ответ: ∆t = 2 ч 13 мин 20 с.

№ 1008(994).

Дано: Решение. L = 36000 км = 3,6⋅107 м, c = 3⋅108 м/с. 2l 2 ⋅ 3,6 ⋅ 107 м = t= = 0,24 c. 8 c

Найти t.

3 ⋅ 10 м/с

Ответ: t = 0,24 с.

№ 1009(995).

Дано: t = 200 мкс = =2⋅10 – 4 с, c = 3⋅108 м/с.

Решение.

Найти L.

Ответ: L = 30 км.

l=

ct 3 ⋅ 108 м / с ⋅ 2 ⋅ 10−4 с = = 3⋅104 м = 30 км. 2 2

№ 1010(996).

Дано: L1 = 300 м, I1 = 40 мВт/м2 = =4⋅10 – 2 Вт/м2, L2 = 120 км = =1,2⋅105 м.

Найти I2.

Решение. 2

I1 ⎛ l2 ⎞ =⎜ ⎟ ; I 2 ⎝ l1 ⎠ 2

2

⎛ l1 ⎞ –2 2 ⎛ 300м ⎞ ⎟ = ⎟ =4⋅10 Вт/м ⋅ ⎜⎜ 5 ⎟ ⎝ l2 ⎠ ⎝ 1,2 ⋅ 10 м ⎠

I2=I1 ⎜

= 2,5⋅10 – 7 Вт/м2 = 0,25 мкВт/м2. Ответ: I2 = 0,25 мкВт/м2. 291

№ 1011(997).

Дано: Решение. ω = 4⋅10 – 11 Дж/м3, I = ωc = 4⋅10 – 11 Дж/м3⋅3⋅108 м/с = c = 3⋅108 м/с. = 1,2⋅10 – 2 В/м2 = 12мВт/м2. Найти I. Ответ: I = 12 мВт/м2. № 1012(998).

Дано: I = 6 мВт/м2 = =6⋅10 – 3 Вт/м2, c = 3⋅108 м/с.

Решение.

Найти ω.

Ответ: ω = 2⋅10 – 11 Дж/м3.

I = ωc I 6 ⋅ 10−3 Вт/м 2 = = 2⋅10 – 11 Дж/м3. c 3 ⋅ 108 мс

ω=

№ 1013(999).

Решение. Дано: Е = 5 В/м, I ω= ; c = 3⋅108 м/с. c ω = ε0Е2; I = ε0Е2; c 2

I=ε0cЕ =8,85⋅10 Найти I.

–12

Кл 2

8

2

Н×м 2 ⋅3⋅10 м/с⋅(5 В/м) =

= 0,066 Вт/м2 = 66 мВт/м2 Ответ: I = 66 мВт/м2.

№ 1014(1000).

Решение. Дано: Р = 100 кВт = 105 Вт, ω = ε0Е2; S = 2,3 км2 = I Р ω= = ; =2,3⋅106 м2, c cS 8 c = 3⋅10 м/с. Р = ε0Е2 cS

Е=

P = ε0cS

= 4 В/м. 292

105 Вт Кл2 8,85 ⋅10−12 Н×м2

8

= 6 2

⋅ 3 ⋅10 м/с ⋅ 2,3 ⋅10 м

Найти Е.

Ответ: Е = 4 В/м.

№ 1015(1001).

Дано: t = 1 c, L = 30 км = =3⋅104 м, c = 3⋅108 м/с. Найти N.

Решение. l=

ct ct 3 ⋅ 108 м/с ⋅ 1с ; N= = = 5000. 2l 2 ⋅ 3 ⋅ 104 м/с 2N

Ответ: N = 5000.

№ 1016(1002).

Дано: λ = 15 см = 0,15 м, N = 4000, t = 1 c, τ = 2 мкс = = 2⋅10 – 6 с. Найти n, Lmax.

Решение. Lmax = n=

ct 3 ⋅ 108 м/с ⋅ 1с = = 3,75⋅104 м = 37,5 км 2N 2 ⋅ 4000

τ cτ 3 ⋅ 108 м/с ⋅ 2 ⋅ 10−6 с = = 4000. = T λ 0,15м

Ответ: n = 4000, Lmax = 37,5 км.

№ 1017(1003).

Дано: Решение. t = 2 мс = 2⋅10 – 3 с. ct 3 ⋅ 108 м/с ⋅ 2 ⋅ 10−3 с Lmax = = = 2

Найти Lmax.

2

= 3⋅105 м = 300 км. Ответ: Lmax = 300 км.

№ 1018(н).

Дано: n, λ, P1, τ, S. Найти: 1) W1, 2) P, 3) y, 4) k, 5) I, 6) ω.

Решение. 1) W1 = P1τ 2) P = W1n 3) y = cτ y λ P1 5) I = S I 6) ω = c

4) k =

293

Световые волны Свет — это электромагнитная волна, воспринимаемая человеческим глазом. Длины волн света лежат в диапазоне от 380 нм до 760 нм. Скорость распространения света в вакууме равна с=2,9979⋅108 м/c, а в среде она меньше этого значения. Свет в однородной среде распространяется прямолинейно. Это утверждение носит название закона распространения света в однородной среде. Пусть свет падает на плоскую границу раздела двух сред. Часть света отразится, а другая часть света пройдет сквозь границу. При отражении луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости, причем угол падения равен углу отражения (закон отражения света). Напомним, что углы отражения и падения отсчитываются от нормали к отражающей поверхности. Вернемся к той части света, которая прошла сквозь границу раздела двух сред. Введем следующие обозначения: α — угол между падающим лучом и нормалью, β — угол между преломленным лучом и нормалью. При преломлении луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости, причем угол падения и угол преломления удовлетворяют закону Снеллиуса (закону преломления света): sin α n2 = =n, sin β n1

где n1 и n2 — показатели преломления первой и второй среды соответственно, n−относительный показатель преломления двух сред. Если в задачах в качестве первой среды берется воздух, то можно считать, что n≈n2. Если скорость распространения света в среде v, то показатель преломления среды n может быть выражен формулой: n=

c . v

Если угол преломления равен 90°, то закон преломления света переходит в следующую формулу: 294

sinα 0 =

n2 , n1

где α0 — угол полного отражения. При угле падения α>α0 преломления не наблюдается, весь падающий свет отражается (явление полного отражения).

Дисперсией называется явление зависимости показателя преломления света от частоты. Источники света называются когерентными, если они излучают свет с постоянной частотой и постоянным сдвигом фаз. Явление интерференции состоит в сложении двух волн от когерентных источников, в результате которого наблюдается усиление или ослабление интенсивности полученной волны. Если λ−длина волны, то максимум интерференционной картины определяется условием: ∆ = 2m

λ λ , а минимум — ∆ = ( 2 m+ 1) . Здесь ∆ — оптическая раз2 2

ность хода. Дифракцией называется явление огибания волнами препятствий. Для наблюдения дифракции световой волны можно воспользоваться дифракционной решеткой−пластинкой, на которой нанесены непрозрачные штрихи. Периодом дифракционной решетки d называется расстояние между двумя последовательными штрихами. Разность хода ∆ равна: ∆ = d sinϕ , где ϕ — угол между лучом и перпендикуляром к решетке.

Световые волны являются поперечными, а, значит, могут быть поляризованы. Свет, в котором вектор E колеблется вдоль одного направления, называется плоскополяризованным. № 1019(1005).

Дано: c=3⋅108 м/с; l=1.496⋅1011 м.

Решение. t=

Найти t.

l 1, 496 ⋅ 1011 м = ≈ 500с = 8мин20с . c 3 ⋅ 108 м/с

Ответ: t=8мин20с.

№ 1020(1006).

Решение. Дано: t=4,3года≈ 8 8 ≈1,356⋅10 с; c=3⋅10 м/с. l = ct = 3 ⋅ 108 м/с ⋅ 1,356 ⋅ 108 с = 4 ,07 ⋅ 1016 м

Найти l.

Ответ: l=4,07⋅1016м. 295

№ 1021(1007).

Дано: N=720, l=8633м, v=12,67с-1.

Решение. 2l 1 ; = c 2 Nv

c = 4lNv = 4 ⋅ 8633м ⋅ 720 ⋅ 12 ,67 с −1 = 3 ,15 ⋅ 108 м/с .

Найти с.

Ответ: с=3,15⋅108м/с.

№ 1022(1008).

Дано: n=28, l=23000м, N=200, v=914,3с-1

Решение. 2l n 2lNv 2 ⋅ 23000м ⋅ 200 ⋅ 914 ,3с −1 = = = ;c = . 28 c Nv n

= 3,004 ⋅ 108 м/с

Найти: с.

Ответ: с=3,004⋅108м/с.

№ 1023(1009).

Если угол между отраженным и падающим лучами составляет 70°, то луч падает на плоское зеркало под углом № 1024(1010).

B С D F E A

O

№ 1025(1011).

З1

32

296

70o = 35o . 2

№ 1026(1012).

β

α α

Дано: α = 20 o

β

Решение. β — угол между нормалью к поверхности зеркала и вертикалью. 1) Отраженные лучи направлены вертикально вверх. 2β + α = 90o β=

90o − α 90o − 20o = = 35o 2 2

2) Отраженные лучи направлены вертикально вниз. 2β − α = 90o ; β=

Найти β .

90o + α 90o + 20o = = 55o . 2 2

Ответ: 1) β = 35o ; 2) β = 55o .

№ 1027(1013).

При удалении человека от озера изображение солнца будет приближаться к берегу. № 1028(1014).

Дано: ∆l = 80см =

Решение. ∆h = ∆l⋅tgα = 297

= 0,8м; α = 25° Найти ∆h.

= 0,8м⋅tg25°≈0,37м = 37см. Ответ: ∆h = 37см.

№ 1029(1015).

Не будет. № 1030(н).

Дано: Н, α, β

Решение. ⎛ ⎛ tgβ ⎞ tgβ ⎞ h ⎜1 − ⎟ = − H ⎜1 + ⎟ α tg tgα ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ sinβcosα ⎞ ⎛ sinβcosα ⎞ h ⎜1 − ⎟ = − H ⎜1 + ⎟ sinαcosβ ⎝ ⎠ ⎝ sinαcosβ ⎠ sinαcosβ-sinβcosα sinαcosβ+sinβcosα h = −H ; sinαcosβ sinαcosβ

hsin ( β − α ) = − Hsin ( α + β ) ; h=

Найти h.

Hsin ( α + β ) sin ( β − α )

Ответ: h =

;

Hsin ( α + β ) sin ( β − α )

.

№ 1031(1017).

Дано: с=3⋅108м/с; n=2,42

Решение.

Найти ν.

Ответ: ν=1,24⋅108 м/с.

v=

c 3 ⋅ 108 м/с = = 1,24 ⋅ 108 м/с . n 2 ,42

№ 1032(1018).

Решение

Дано: n1=1,36; n2=1,63. Найти:

v1 n2 1,63 = = = 1, 2 . v2 n1 1,36

v1 . v2

Ответ: в спирте в 1,2 раза больше.

№ 1033(1019).

Потому что показатель преломления воздуха над костром изменяется по некоторой зависимости от температуры. № 1034(1020).

Из-за преломления света в воздухе. 298

№ 1035(1021).

Дано: α=60°; β=36°.

Решение.

Найти n.

Ответ: n=1,47.

n=

sin α sin 60 o = ≈ 1,47 . sin β sin 36 o

№ 1036(1022).

Дано: α=45°; n1=1,6; n2=2,42.

Решение. n=

sinα ⎛ sinα ⎞ ; β = arcsin ⎜ ⎟; sinβ ⎝ n ⎠

⎛ sin45o ⎞ ⎛ sinα ⎞ β1 = arcsin ⎜ ⎟ = 26o ; ⎟ = arcsin ⎜⎜ ⎟ n 1 , 6 ⎝ 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ sin45o ⎞ ⎛ sinα ⎞ β2 = arcsin ⎜ ⎟ = 17o ; ⎟ = arcsin ⎜⎜ ⎟ n 2 , 42 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠

γ1 = α − β1 = 45o − 26o = 19o ; γ 2 = α − β2 = 45o − 17o = 28o .

Найти γ1, γ2.

Ответ: γ1=19°, γ2=28°.

№ 1037(1023).

Дано: β=60°; n=1,33

Решение. n=

( ) = cosα ; o sin ( 90 − β ) cosβ

sin 90o − α

(

)

α = arccos ( ncosβ ) =arccos 1,33 ⋅ cos60o = 48,3o .

Найти α.

Ответ: α=48,3°.

№ 1038(1024).

Дано: α1=40°; n1=1,33; n2=1,6; β1=β2.

Решение. n1 =

sinα1 ; sinβ1

n2 =

sinα 2 sinα1 sinα 2 = ; sinβ1 =sinβ 2 ; ; sinβ 2 n1 n2

⎛n ⎞ ⎛ 1,6 ⎞ α 2 = arcsin ⎜ 2 sinα1 ⎟ = arcsin ⎜ ⋅ sin40o ⎟ = 50,6o . 1 33 n , ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎠

Найти α2.

Ответ: α1=50,6°.

№ 1039(1025).

При n=1 или α=0. 299

№ 1040(1026).

Решение.

Дано: n1=1,33; n2=1,6; α=35°. Найти β.

⎛n ⎞ sinα n2 ⎛ 1,33 ⎞ = ; β = arcsin ⎜ 1 sinα ⎟ = arcsin ⎜ sin35o ⎟ = 28,5o . sinβ n1 ⎝ 1,6 ⎠ ⎝ n2 ⎠

Ответ: β=28,5°.

№ 1041(1027).

Дано: n=1.33; α=78,1°.

Решение.

Найти β.

Ответ: β=47,4°; а)б) – не зависит.

n=

sinα ⎛ sin78,1o ⎞ ⎛ sinα ⎞ o ; β = arcsin ⎜ ⎟ = arcsin ⎜ ⎟ = 47,4 . n sinβ ⎝ ⎠ ⎝ 1,33 ⎠

№ 1042(1028).

Дано:

Решение.

α =2, β

n=

α

n=1,6.

α

sinα sinα 2sin 2 cos 2 α = = = 2cos . α sinβ sin α 2 sin 2

2

n 1,6 α = 2arccos = 2arccos ≈ 74o . 2 2

Найти α.

Ответ: α=74°.

№ 1043(1029).

Решение.

Дано: n=1,6; o

α + β = 90 .

Найти α.

n=

sinα sinα sinα = = =tgα ; α = arctgn = arctg1,6 = 58o sinβ sin 90o -α cosα

(

Ответ: α=58°.

№ 1044(н).

Решение. Дано: n =1,33 sinα sin(α ) n= = ϕ = 10◦ sinβ sin ( α + 10° ) => α = 39°

Найти α.

Ответ: α =39º.

№ 1045(1031).

300

)

За счет преломления. № 1046(1032).

Будет смещаться вправо параллельно первоначальному положению. № 1047(1033).

β

Воздух Вода

d

α l Решение.

Дано: h=40см=0,4м; β=45°; n=1,33

χ = htgβ − htgα = h ( tgβ-tgα ) ; n=

⎛ sin45o ⎞ sinβ ⎛ sinβ ⎞ ; α = arcsin ⎜ ⎟ = 32 ,1o ; ⎟ = arcsin ⎜⎜ ⎟ sinα 1 , 33 ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠

(

)

χ = h ( tgβ - tgα ) = 0 ,4м 1 − tg32 ,1o = 0 ,15м = 15см

Найти χ.

Ответ: χ=15см.

№ 1048(1034).

α

Воздух Вода

h

β l1

∆h

l2

Решение. Дано: l = l1 + l2 = htgβ + ∆htgα ∆h =0,5 м; h=2м; α=70°, ⎛ sin70o ⎞ sinα ⎛ sinα ⎞ = arcsin n= ; β = arcsin ⎜ ⎜ ⎟ ≈ 45o ; n=1,33 ⎟ ⎜ 1,33 ⎟ sinβ ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠ l = 2м ⋅ tg45o + 0 ,5м ⋅ tg70o ≈ 3,4м .

301

Найти l.

Ответ: l=3,4м.

№ 1049(1035).

№ 1050(1036).

Воздух Вода D

B

α γ

d

x β C

A

Решение. ⎛ sin60o ⎞ sin α ⎛ sinα ⎞ n= ; β = arcsin ⎜ ⎟ ≈ 32 ,8o ⎟ = arcsin ⎜⎜ ⎟ 1 , 6 sin β ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠

Дано: α=60°; d=2см=0,02м; n=1,6

ВС =

=

Найти х.

d d ; x = DC = BCsinγ = ⋅ sin ( α − β ) = cosβ cosβ

0 ,02м cos32 ,8o

(

)

sin 60o − 32 ,8o = 1,1 ⋅ 10−2 м = 1,1см

Ответ: х=1,1см.

№ 1051(1037).

Дано: α, γ, d

Решение. Смотрите рисунок к задаче № 1036. DC =

Найти а.

dsin ( α − γ ) d ; a = DC = BCsin ( α − γ ) = cosγ cosβ

Ответ: a =

dsin ( α − γ ) cosβ

.

№ 1052(1038).

Перемещался параллельно своему первоначальному положению, удаляясь от фонаря. № 1053(1039).

а)

302

б)

1

1

2’ 1’

2

1’

2 2

’

а) зеркало; б) призма. № 1054(1040).

№ 1055(1041).

Увеличивается. № 1056(1042).

Дано: α0=34°

Решение.

Найти n.

Ответ: n=1,8.

sinα 0 =

1 1 1 ; n= = ≈ 1,8 sinα0 sin34o n

№ 1057(1043).

Дано: n=1,6

Решение.

Найти α0.

Ответ: α 0 = 39 o .

sinα0 =

1 1 1 ; α0 = arcsin = arcsin ≈ 39o n 1,6 n

№ 1058(1044).

ϕ α

β’ β α’

Дано: α=50°, ϕ=60°,

Решение. n=

⎛ sin50o ⎞ sinα sinα ⎞ ; β = arcsin ⎛⎜ = arcsin ⎜ ⎟ ≈ 28,6o ⎟ ⎜ 1,6 ⎟ sinβ ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠

303

n=1,6

α' = ϕ + β ≈ 60o + 28,6o ≈ 88,6o ; n =

sinα' sinβ'

⎛ sinα' ⎞ ⎛ sin88,6o ⎞ β' = arcsin ⎜ ⎟ ≈ arcsin ⎜ ⎟ ≈ 42,2o . ⎜ 1,6 ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Найти β′.

Ответ: β' = 42,2°.

№ 1059(1045).

Дано: ϕ=20°, n=1,6

Решение. а) n =

sinα ; sinβ

α=ϕ=20°; ⎛ sin20o ⎞ ⎛ sinα ⎞ β = arcsin ⎜ ⎟ = 13o ⎟ = arcsin ⎜⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ 1,6 ⎠

б) n =

sinα ; α=ϕ=80°; sinβ

⎛ sin80o ⎞ ⎛ sinα ⎞ β = arcsin ⎜ ⎟ = 20o . ⎟ = arcsin ⎜⎜ ⎟ 1 , 6 ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠

Найти γ1, γ2.

Ответ: а) 13°; б) 20°.

№1060(н).

Дано: F =10см k = 1,5 n = 1,60

Решение.

Найти r - ?

Ответ: r = 10см.

1 1 1 1 1 = ( n −1)( + ) = ( n −1)( + ) F r1 r2 r kr k +1 1 = ( n −1)( ) => r = 10см F kr

№1061(н).

Дано: D = 5 дптр k =2

Найти r1, r2.

304

Решение. D = ( n −1 )(

1 1 1 1 − ) = ( n −1 )( − ) r1 r2 r kr

D = ( n −1 )(

1 ) => r = 6см => 2r = 12см. 2r

Ответ: r1 = 6см, r2 = 12см.

№1062(н).

Дано: D d F

Решение.

Найти l - ?

Ответ:

D d = <=> DF − Dl = ±Fd F ( F −l ) DF ± Fd (D±d ) <=> l = =F D D ±

l=F

(D±d ) . D

№1063(н).

Решение. Рассеивающая линза.

F Собирающая линза. №1064(н).

F

305

Дано: D = 10 дптр l = 12,5 см

Решение. 1 = 10см D F < l < 2F F=

1 1 1 Fl = + <=> a = = 50см. F l a l−F

Найти l’ - ?

F С F Ответ: действительное, увеличенное перевернутое. l’ = 50см.

№1065(н).

Дано: d = 25см d’ = 1м r = 20см

Решение.

Найти n.

Ответ: n =1,5.

1 1 1 r = ( n − 1 )( + ) <=> n = +1 F r r 2F 1 1 1 dd ' = + <=> F = = 20см F d d' d + d' 20 + 1 = 1,5 n= 40

№1066(н).

Дано: d = 4см n =5

Решение.

Найти D.

Ответ: D = 5дптр.

306

D=

1 1 1 n −1 = − = = 5дптр. F d nd nd

№1067(н).

Дано: F d

Решение.

Найти Г

Ответ:

d' d 1 1 1 d d = + <=> = 1 + <=> F d d' F d' F Γ= d−F Γ=

Γ=

F d −F

№1068(н).

Дано: F = 12см n =3

Решение.

Найти d.

Ответ: d = 16см.

1 1 1 1 ( n +1) = + <=> = 16см F d nd F nd

307

№1069(н).

E

B D

K

A F

Дано: D = -3дптр

Найти d - ?

С

О

Решение. Рассмотрев получившуюся картину лучей, получим, что FC =CO => FD =DO, из подобия ∆FCD и ∆FOE => FD =следовательно ∆KOD = ∆OBE с коэффициентом подобия 2. То есть OD =BD, что может быть только в том случае, если точки A и F совпадают. А значит d = F = 1/D = 33см. Ответ: d = 33см.

№1070(н).

Дано: d = 40см n=4

Решение.

Найти D.

Ответ: D = -7,5.

1 1 n (1 − n ) (1 − n ) = − = <=> D = = −7 ,5. F d d d d

№1071(н).

Дано: 4F

Найти n.

308

Решение. 1 1 1 1 1 1 1 = − <=> = − <=> n = − . F 4 F 4 Fn 1 4 4n 3 1 Ответ: n = − . 3

№1072(н).

Решение.

Дано: mF

1 1 1 1 m +1 m =− + <=> = <=> d = F . k = m + 1. F mF d d mF m +1 m Ответ: d = F ,k = m + 1. m +1

Найти d, k. №1073(н).

Решение.

Дано: L = 90см F = 20см

1 1 1 = + F d L−d ( L − d )d L ± L2 − 4 FL <=> d 2 − Ld + Fl = 0 <=> d = L 2 d = 60смили d = 30см. F=

Найти d.

Ответ: d = 60см или d = 30см.

№1074(н).

Дано: L = 3м n=5

Решение.

Найти D, d.

Ответ: D = 2,4дптр, d = 0,5м.

L 1 1 1 = + = 0 ,5 м. ; d( n + 1 ) = L <=> d = F d nd n +1 D = 2, 4дптр.

D=

№1075(н).

1' 1'

фокальная плоскость

1

1

F

-F F

2' фокальная плоскость

2

F

2' 2

При определении хода лучей использовались такие их свова: 1)

луч, проходящий через центр линзы не претерпевает никаких изменений.

2)

параллельные лучи после прохождения через линзу пересекаются в фокальной плоскости.

309

№1076(н).

F

O

A

F'

A'

№1077(н).

S' F

S

№1078(1046).

a) F

б)

A O

F

F

A'

О A

A'

F

в) О

А

A' F

F № 1078(1046).

Решение. Дано: λ1 = 0,76 мкм = с 3 ⋅ 108 м/с –7 ν = = =3,9⋅1014 Гц=390 ТГц 1 = 7,6⋅10 м, λ1 7 ,1 ⋅ 10−7 м λ2 = 0,4 мкм = с 3 ⋅108 м / с =4⋅10 – 7 м. = 7,5⋅1014 Гц = 750 ТГц. ν2 = = −7 λ2

Найти ν1, ν2.

310

4 ⋅ 10 м

Ответ: ν1 = 390 ТГц,ν2 = 750 ТГц.

№ 1079(1047).

Дано: ν = 600 ТГц = =6⋅1014 Гц, L = 1 м.

Решение.

Найти n.

Ответ: n = 2⋅106.

n=

L Lν 1м ⋅ 6 ⋅ 1014 Гц = 2⋅106. = = c λ 3 ⋅ 108 м/с

№ 1080(1048).

Дано: λ1=0,7 мкм = = 7⋅10 – 7 м, n=1,33. Найти λ2.

Решение. λ2 =

λ1 7 ⋅ 10−7 м = =5,3⋅10–7м=0,53 мкм n 1,33

№ 1081(1049).

Дано: λ1 = 0,46 мкм = =4,6⋅10 – 7 м, n = 1,33.

Решение. λ2 = nλ1 = 1,33⋅4,6⋅10 – 7 м = = 6,1⋅10 – 7 м = 0,61 мкм Ответ: λ2 = 0,61 мкм.

Найти λ2. № 1082(1050).

Решение. Дано: nк = 1,6444, sin α nф = 1,6852, n = sin β ; α = 80°. ⎛ sin 80° ⎞ ⎛ sinα ⎞ ⎟⎟ ≈36,8°; β = aRcSIn ⎜ ⎟ ; β1=aRcSIn ⎜⎜ ⎝ n ⎠