Тогда 22x + 24x = 12; z = 22x уравнение принимает вид z + z2 = 12, решая его, имеем z1 = 3, z2 = –4, т.к. 22x > 0, то решение нашего уравнения является решением 22x = 3, т.е. x = log2 3 . (3 x + 4)( x − 5) + 5 = x .
б)
Уравнение
равносильно
системе:
⎧(3 x + 4)( x − 5) = ( x − 5) , ⎪ Решим первое уравнение: ⎡3xx=−5,4 = x − 5, тогда ⎨( x − 5) ≥ 0, ⎣⎢ ⎪⎩(3 x + 4) ≥ 0. 2
1 1 и x2 = 5; x2 = 5 подходит, а x1 = − не подходит, т.к. 2 2 1 (x – 5) при x = − < 0. Ответ: x = 5. 2 2x = –1, x1 = −
ПС–16
⎧x < 3 ⎧log x < 1, 2 ⎪ 1. а) log x < 1; ⎨log 3 x > −1. Решим эти неравенства: ⎨ 1 , т.е. 3 ⎩ 3 ⎪x > 3 ⎩ ⎛1 ⎞ x ∈ ⎜ ; 3⎟ ; ⎝3 ⎠ 16 ≥ 2; 2(log4 x)(2 – log4 x) ≥ 2; z=log4 x, тогда z(2 – z) ≥ 1 x решим это неравенство. Получим, что оно выполняется только при z=1, тогда x = 4.
б) log4 x2 ⋅ log4
⎧
⎧⎪3 y + х = 10 ; − log3 x y =9 ⎩⎪3 ⋅ 3
y
х = 10 3. ⎨3y −+log ; x=2 ⎨
⎩
3
{
⎧3 y + х = 10 ⎧10 x = 10 ; ⎨ y = log (9 x) ; xy == 12 . ⎨ y х 3 = 9 3 ⎩ ⎩
Ответ: (1; 2). ПС–17 1. y = 3xe2–x. Найдем экстремумы: y′=3e2–x+3x(–1)e2–x; y′=0=3e2–x–3xe2–x; 1–x=0; x = 1. Тогда на (–∞; 1] функция возрастает, а на [1; +∞) убывает; x = 1, y = 3e — максимум. 2. Найдем точки пересечения линий (1, e) (0, 1), тогда S = S1 – S2. S1 — площадь под y = e на [0, 1]. S2 — площадь под y = ex на [0, 1]. 1
S1 = e. S2 = ∫ e x dx = e − 1 , тогда S = 1. 0
ПС–18 3 dx 1 3 d (2 x + 3) 1 1 1 = ∫ = ln(2 x + 3) = ln 9 − ln 5 = ln 1,8 ; 2 1 2x + 3 2 2 2 1 1 2x + 3 3
1. а) ∫
105