А.А. Сапожников
Решение контрольных и самостоятельных работ по алгебре и началам анализа за 10 класс к пособию «Дидактические материалы по алгебре и начала анализа для 10 класса» Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбург. М.: Просвещение, 1999.
ВАРИАНТ 1. С-1 π π 4π ; 144°= ⋅ 144 = . 3 180 5
1.
60°=
2.
3π = 135 °; 4
5π 5 ⋅ 180 0 = = 50 0 . 18 18
3. π 49π ; sin 49 0 ≈ 0,7547 ; cos 49 0 ≈ 0,6560 ; ⋅ 49 = 180 180 π ⎛ 7 ⎞ 4567 π б) 76 0 ,7 ′ = ⋅ ⎜ 76 + ⎟ = ; 180 ⎝ 60 ⎠ 10800
а) 49°=
sin 76 0 ,7 ′ ≈ 0,9728 cos 76 0 ,7 ′ ≈ 0,2315 . 4. а) 0,8600 ≈ 490 ; б) 1,2369 ≈ 710 .
С-2 4
sin α − 2 sin
1.
( sin
2
2
α cos α + cos 4 α
(sin α + cos α ) 2
2
α − cos 2 α
)
(sin α + cos α ) 2
2
= 1 − sin 2α ;
= (sin α − cos α ) 2 = 1 − sin 2α
2. а) cos 700 0 tg 380 0 = cos 20 0 tg 20 0 = sin 20 0 > 0 ; б) cos(−1)sin (−2 ) = − cos(1)sin (2 ) < 0 .
cos(α ) =
3.
2 5
, 0<α<
1 1 π , tgα = ; sin (α ) = 2 2 5
С-3 1. π⎞ ⎛π⎞ 1 ⎛ π⎞ ⎛ ⎛ 23π ⎞ а) sin ⎜ − ⎟ = − sin ⎜ 4π − ⎟ = − sin ⎜ − ⎟ = sin ⎜ ⎟ = ; 6 6 6 ⎠ ⎝6⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 1 б) ctg − 600 0 = −ctg − 120 0 = − . 3
(
2
)
(
)
2.
1 ⎛ 3π ⎞ 1 + ctg (π + α )tg ⎜ − α ⎟ = 1 + ctgα ctgα = . sin 2 α ⎝ 2 ⎠
3.
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ cos(2α + π ) = cos 2 ⎜ α − ⎟ + cos(α + π )sin ⎜ α + ⎟ . 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ π⎞ ⎛ sin 2 α − cos 2 α = − cos 2α = cos(2α + π ) ; cos 2 ⎜ α − ⎟ = sin 2 α ; 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ cos(α + π ) sin⎜ α + ⎟ = − cos α ⋅ cos α = − cos 2 α . 2⎠ ⎝
С-4 1. 2.
3.
4 sin 37 0 30 ' cos 37 0 30 ' sin 15 0 = 2 sin 75 0 sin 15 0 = sin 30 0 =
1 . 2
7 3π < α < 2π ; , 25 2 336 24 = cos 2α tg 2α . sin α = − , sin 2α = − 625 25 cos α =
(sin α − cos α )2 − 1 + 4 sin 2α =
− sin 2α + 4 sin 2α = 3 sin 2α .
С-5 1.
абсцисса : cos
π 3 π 1 = ; ордината : sin = . 6 2 6 2 Y -1 Р Х
-1 0
-1
2.
а) II ;
б) IV.
3
2 sin x = 1 , x = (− 1)k
3.
π + πk . 6
С-6 а) f (x ) =
1. б) 2. 3.
4
3 2
x −4
; ОДЗ x 2 − 4 ≠ 0 , x ≠ ±2 ;
1⎤ ⎡1 ⎛ ⎞ 4 x 2 − 1 = f (x ) ; ОДЗ 4 x 2 − 1 ≥ 0 , x ∈ ⎜ − ∞;− ⎥ ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ . 2⎦ ⎣2 ⎝ ⎠
(
) ( x)
f (x ) = (x − 1)4 ; f (2 ) = 1 , f 1 + x =
4
= x2 .
С-7 1.
f (x ) = x 4 − 2 x 2 − sin 2 3 x ; f (− x ) = (− x )4 − 2(− x )2 − sin 2 (− 3 x ) = x 4 − 2 x 2 − sin 2 3 x = f (x ) .
2.
f (x ) = x 3 − 3 x + sin 2 x ; f (− x ) = (− x )3 − 3(− x ) + sin (− 2 x ) = − x 3 + 3 x − sin 2 x = − f (x ) .
С-8 1.
а) cos177 0 = − cos 30 ; б) sin 35210 = − sin 79 0 = − cos110 ; 45π 3π π в) ctg = ctg = tg . 7 7 14
2.
sin (2 x + 4π) − 2 sin (x + π) cos(x − π ) = sin 2 x − 2 sin x cos x = 0
3.
а) sin
2x 2π π⎞ ⎛1 , Т= 3π ; б) cos 7 x , Т= в) tg ⎜ x + ⎟ , Т= 3π . 3 7 8⎠ ⎝3
С-9 1.
А
а) убывает на обл. опр;
Б 1⎤ ⎛ ⎡1 ⎞ б) возрастает: x ∈ ⎜ − ∞; ⎥ ; убывает x ∈ ⎢ ;+∞ ⎟ . 4⎦ ⎣4 ⎠ ⎝
5
1.
1 sin x . 2 π 3π ⎡ π ⎤ ⎡π ⎤ + 2πn ⎥ . возрастает: ⎢− + 2πn; + 2πn ⎥ ; убывает: ⎢ + 2πn; 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y=
cos 1 ∨ cos 3 ;
2.
cos 570 > cos1710 .
С-10 y = 2 x − x 2 ; а) (1;1).
1. б)
в) 2 x − x 2 < −3 ; x 2 − 2 x − 3 > 0 ; (x − 3)(x + 1) > 0 ;
x ∈ (− ∞;−1) ∪ (3;+∞ ) .
2. 1 y = sin x − 1 ; 3
π + 2πn − точки максимума ; 2 π x = − + 2πn − точки минимума ; 2 1 2 ⎞ ⎞ ⎛ π ⎛π Экстремумы: y ⎜ + 2πn ⎟ = − ; y ⎜ − + 2πn ⎟ = −1 . 2 3 2 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 1 π y ' = cos x = 0 x = + πn ; n ∈ Z ; 3 2
6
x=
С-11 обл.опр: x ∈ [− 10; 10] ; обл. зн.: x ∈ [−3;7 ] ;
функция возрастает на: [− 10;−6] ∪ [− 3;6] ; функция убывает на: [− 6;−3] ∪ [6;10] ; y > 0 при x ∈ [− 10;3) ∪ (3;10] ; y < 0 , x ∈ (− 3;3) ; у + 0 при х = -3 и х = 3; y max = y (−6 ) = y (6 ) = 7 ; y min = y (0 ) = −3 .
C-12 1. 1 π πn ; ОДЗ: cos 2 x ≠ 0 ; x ≠ + , n ∈ z , значит, функция cos 2 x 4 2 π πn . определена всюду на IR, кроме точек x = + 4 2 f (x ) =
2.
y = 2 sin 3 x .
а) x ∈ R ; б) y ∈ [−2;2] ; в) x =
πn ; n∈ z ; 3
π 2 + πn ; n ∈ z , 6 3 ⎛ ⎛ π 2 ⎞⎞ ⎛π ⎞ = 2 sin ⎜⎜ 3⎜ + πn ⎟ ⎟⎟ = 2 sin ⎜ + 2π ⎟ ; 6 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
г) точка максимума x =
значит y max
точки минимума x = −
π 2 ⎞ ⎛ π + πn , n ∈ z , значит, y max = 2 sin ⎜ − + πn ⎟ . 6 3 ⎠ ⎝ 2
7
С-13 1.
⎛ ⎛ 3 ⎞⎟ π 3 ⎞⎟ 5π а) arcsin ⎜ − = − ; б) arccos ⎜ − = ; ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 6 ⎛ π π 3 3 ⎞⎟ ⎛π⎞ = sin ⎜ ⎟ = . в) arctg 1 + arccos 1 = + 0 = ; г) sin ⎜ 2 arccos ⎟ ⎜ 4 4 2 2 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2.
а) arcsin(− 0,9 ) ≈ −1,1198 ; б) arccos 0,179 ≈ 1,3908 ; в) arctg
1 ≈ 0,3082 . π
С-14 1.
3 5π π 2πn ,x=m ; + 2πn ; б) sin 3 x = −1 , x = − + 6 2 6 3 π⎞ 7π ⎛ в) tg ⎜ x − ⎟ = 3 , x = + πn . 12 4⎠ ⎝
а) cos x = −
С-15 а) -1
Х
-1 0
-1
8
Y
б)
в) Y 2 Y
1
1
X 0 0
2 3
1
1
X
-2
С-16 а) sin x ≤
π 3 ⎡ 4π ⎤ + 2πn; + 2πn ⎥ ; , x ∈ ⎢− 3 2 ⎣ 3 ⎦
⎛ π πn π πn ⎞ б) tg 3 x > 3 , x ∈ ⎜ + ; + ⎟. ⎝9 3 6 3 ⎠
С-17 а) 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 ; Д=1+8=9 , cos x =
cos x =
1+ 3 = 1 или 4
1− 3 1 2π = − , x = 2πn ; x = ± + 2πn . 4 2 3
б) 2 cos 2 x + 2 sin x = 2,5 ;
2 sin 2 x − 2 sin x + 0,5 = 0 ; Д = 1−1 = 0 ; 4 1 π sin x = , x = (− 1)n + πn . 2 6
9
С-18 а) sin x = − 3 cos x ; tgx = − 3 , x = −
π + πn . 3
б) sin 2 x − 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 ; tg 2 x − 4tgx + 3 = 0 ; tgx = 1 , x =
π + πn ; tgx = 3, x = arctg 3 + πn . 4
С-19 π ⎧ ⎪x + y = 2 ; ⎨ ⎪sin 2 x + cos 2 y = 1 ⎩
π ⎧ ⎧ ⎪⎪ x = 2 − y ⎪⎪ y = ; ⎨ ⎨ ⎪cos y = ± 2 ⎪ x = ⎪⎩ 2 ⎪⎩
π πn + 4 2 . π πn − 4 2
С-20 а) 1 − cos 2 x = sin 2 x ; 2 sin 2 x − sin 2 x = 0 ; sin x(sin x − cos x ) = 0 ;
sin x = 0 или sin x = cos x ; x = πn , x = б) sin x cos 2 x + cos x sin 2 x =
π + πn . 4
1 1 π πk ; sin 3 x = ; x = (− 1)k . + 2 2 18 3
С-21 1.
f (x ) = 3 − 2 x , ∆f (x0 ) = 3 − 2 x0 − 2∆x + 2 x0 − 3 ;
∆f (x0 ) = −2∆x , ∆x = 0,2 , ∆f (x0 ) = −0,4 .
10
2.
∆f (x0 ) ∆x 2 + 2∆xx0 − ∆x = = ∆x+2x0 −1; ∆x ∆x ∆f (x0 ) x0 = 0 , ∆x = 0,1 , = −0,9 ; ∆x ∆f (x 0 ) ∆x = 0,001 , = −0,999 ; ∆x ∆f (x0 ) ∆x = 0,00001 , = −0,99999 ; ∆x ∆f (x0 ) x0 = 0 , lim = 2 x0 − 1 = −1 . ∆x ∆x → 0 f (x ) = x 2 − x
С-22 1.
x(t ) = t 2 + 5 , V = 2t , V (2) = 4 м/с.
2. а) f (x ) = 4 − 7 x , f ′(x ) = −7 ; б) f (x ) =
3 3 , f ′(x ) = − 2 . x x
С-23 а) f (− 1) = 3 , g (− 1) -неопред.; б) да; в) для f (x ) не сущ.
lim g (x ) = 1 . x → −1
С-24 1. а) lim y = lim 13 f ( x ) − g ( x ) = 3 lim f ( x ) − lim g ( x) = 9 + 1 = 10 ; x→2
x→2
x→2
x→2
б) lim y = lim (3 f ( x) g 2 ( x)) = 3 lim f ( x) ⋅ lim g 2 ( x) = 3 ⋅ 3 ⋅ 1 = 9 . x→2
2)
x→2
(
x→2
)
x→2
а) lim 3 x3 − x 2 + 3 = 3 lim x3 − lim x 2 + 3 = 3 ⋅1 − 1 + 3 = 5 ; x →1
б) lim
3x + 1
x→2 x 2
+1
=
x →1
3 lim x + 1 x →2
lim x 2 + 1
x →2
=
x →1
3⋅ 2 +1 2 =1 . 4 +1 5
11
С-25 1.
1
а) f (x ) = x 5 − 2 x , f ' (x ) = 5 x 4 −
2 x (x
f ' (x ) = 2.
2
) − 2 x ⋅ (x 2 − 1)
+1
(x + 1) 2
2
=
x
; б) f (x ) =
2x + 2x
x2 −1 x2 +1
4x
(x + 1) = (x + 1) 2
2
2
2
,
.
f (x ) = 3 x − 4 x 3 , f ' (x ) = 3 − 12 x 2 ; f ' (1) = −9 , f ' (5) = −297 ; f ' (x ) = 3 − 12 x 2 , f ' (x + 2 ) = 3 − 12(x + 2 )2 .
3.
f (x ) = 6 x − 3 x 2 ; f ' (x ) = 6 − 6 x > 0 , x < 1 .
С-26 1. 2.
f (x ) = 100 x10 − 10 x100 ; f ' (x ) = 1000 x 9 − 1000 x 99 ; f ' (1) = 0
а) f (x ) = x 2 − 3 x + 1 ; f ' (x ) = 2 x − 3 , f ' (x ) = 0 , при 2 x − 3 = 0 ; 1 x =1 ; 2
f ' (x ) > 0 при x > б) f (x ) =
3 1 3 1 = 1 ; f ' (x ) < 0 при x < = 1 ; 2 2 2 2
x−3 2x + 5 − 2x + 6 11 = , f ' (x ) = ; 2x + 5 (2 x + 5)2 (2 x + 5)2
f ' (x ) = 0 не существует; f ' (x ) > 0 всегда, значит, не существует х, при которых f ′( x) < 0 .
С-27 1.
f (x ) =
3x + 1 2
9x − 1
; ОДЗ: 9 x 2 − 1 ≠ 0 ; x ≠ ±
1 , 3
1 1 1 1 значит, x ∈ (−∞;− ) ∪ ( − ; ) ∪ ( ; ∞). 3 3 3 3
12
2.
f (x ) = 3.
x , g (x ) = x −1
x ; f (g (x )) =
x x −1
, g ( f (x )) =
x . x −1
а) f (x ) = (4 − 3 x )100 , f ' (x ) = −300 (4 − 3 x )99 ; б) g (x ) = x 2 + 1 , g ' (x ) =
2x 2
=
2 x +1
x 2
.
x +1
С-28 а) f (x ) = sin 2 x − cos 3 x , f ' (x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 3 x ;
π⎞ 1 1 ⎛ б) f (x ) = tgx − ctg ⎜ x + ⎟ , f ' (x ) = ; + 2 4 ⎝ ⎠ cos x sin 2 ⎛ x + π ⎞ ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝ в) f (x ) = sin 2 x , f ' (x ) = 2 sin x cos x .
С-29 1.
f (x ) =
x 4 − 3x 2 ; функция непрерывна при x ∈ (− ∞; 0) ∪ (0;2 ) ∪ (2;+∞ ) . x(x − 2 )
2. а) 2 x 2 − 8 > 0 , x 2 > 4 ; (x − 2 )(x + 2) > 0 ;
x ∈ (− ∞; − 2 ) ∪ (2;+∞ ) ;
б)
-2
(x − 2)(x + 4)(x − 6) ≤ 0 ;
2
х
3x + 2
2⎞ ⎡ x ∈ ⎢− 4;− ⎟ ∪ [2;6] . 3⎠ ⎣
-4
-2/3
2
6
х
13
x 2 − 11x − 26 >0; x+4 (x − 13)(x + 2) > 0 ; x+4 x ∈ (−4;−2) ∪ (13;+∞ ) .
в)
-4
-2
13
х
С-30 1. f (x ) = x 3 + 27 = 0 , x = −3 ; f ' (x ) = 3x 2 , f ' (− 3) = 27 – тангенс угла наклона касательной. 2.
f (x ) = 5 −
1 2 9 1 x , f (3) = 5 − = ; 2 2 2
f ' (x ) = − x , f ' (3) = −3 ; y=
1 − 3(x − 3) = −3 x + 9,5 . 2
С-31 1. 2.
1 + 0,0008 ≈ 1 + 0,0004 = 1,0004 .
1,00007 500 ≈ 1,035 .
С-32 1. S (t ) = 16t − 2t 3 , V (t ) = 16 − 6t 2 ; a (t ) = −12t , V (2 ) = −8 , a (2 ) = −24 . 2.
14
gt 2 , L' (t ) = V0 − gt ; L' (t ) = 60 − 10t = 0 , t = 6; 2 L(t ) = 6 ⋅ 60 − 5 ⋅ 36 = 180 м. L(t ) = V 0 t −
С-33 9 9 > 0 ; x ∈ (−3;3) , значит функция f ( x) , f ' (x ) = 1 − x x2 возрастает при x ∈ (−3;3) ; убывает при x ∈ (−∞;−3) ∪ (3;+∞ ) .
1. f (x ) = x +
2.
y = x 3 − 6 x 2 − 15 x − 3 ; y ' = 3 x 2 − 12 x − 15 , y ′ = 0 при x 2 − 4 x − 5 = 0 ; x = 5 x = −1 ; y − (1) = 1 − 6 + 15 _ 3 = 5 -max;
y (5) = 125 − 150 − 75 − 3 = −103 -min.
С-34 1.
f (x ) =
1 1 1 x − x 3 , f ' (x ) = − 3 x 2 ; f ′( x) при x = ± – экстремумы; 3 3 3
1⎤ ⎡1 ⎛ ⎞ ⎡ 1 1⎤ функция возрастает: x ∈ ⎢− ; ⎥ ; убывает: x ∈ ⎜ − ∞;− ⎥ ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ . 3⎦ ⎣3 ⎝ ⎠ ⎣ 3 3⎦
С-35 1.
y = 3 x 2 − 10 x + 3 ; вершина пораболы 10 5 xв = = – минимум; 6 3 1 ⎛5⎞ y в ⎜ ⎟ = −5 ; 3 ⎝3⎠
⎛
5⎤
⎝
⎦
функция убывает при ⎜ − ∞; ⎥ ; 3
⎡5 ⎣3
⎞
функция возрастает при ⎢ ;+∞ ⎟ . 2.
⎠
а) x 2 − 17 x − 18 ≤ 0 ; x ∈ [−1;18] ; б) 9 x 2 − 12 x + 4 > 0 ;
Д = 36 − 36 = 0 , значит, 9 x 2 − 12 x + 4 всегда 4
больше нуля.
15
С-36 2x − 3 −1, 2+ x 2x + 4 − 2x + 3
f (x ) = f ′(x ) =
(x + 2 )
2
=
7
( x + 2 )2
;
возрастает при x ∈ (−∞; − 2) ∪ (2; ∞) ; ОДЗ: x ∈ (−∞; − 2) ∪ (2; ∞) ; множество значений: y ∈ (−∞;1) ∪ (1; ∞) ; экстремумов нет.
С-37 1.
x4 − 8 x 2 ; y ' = x 3 − 16 x ; y ′ = 0 при x = 0, x = ±4 ; 4 1 3 y (0 ) = 0 , y (− 1) = − 8 = −7 ; y (2 ) = 4 − 32 = −28 ; 4 4 наибольшее значение y = y (0) = 0 ; y=
наименьшее значение y = y (2 ) = −28 .
2.
Введем функцию f ( y ) = x 2 + y 2 , тогда из условия x + y = 10 получаем, что f ( y ) = (10 − y ) 2 + y 2 = 2 y 2 − 20 y + 100 ; f ′( y ) = 4 y − 20; Найдем критические точки f ( y ) : f ′( y ) = 0 при 4 y − 20 = 0 ; y = 5 ; f (5) = 50 − 100 + 100 = 50 – минимум, тогда x = 10 − y = 5 , а искомое разбиение : 10 = 5 + 5.
С-38 1.
sin α =
2 5
,
1 π , tgα = −2 ; < α < π ; cos α = − 2 5
π ⎞ tgα − 1 − 3 ⎛ tg ⎜ α − ⎟ = = = 3. 4 ⎠ 1 + tgα − 1 ⎝
16
2.
sin (α + β ) + sin (α − β ) 2 sin α cos β = = 2tgα . cos α cos β cos α cos β
3.
cos 75 0 + cos 15 0 = 2 cos 45 0 cos 30 0 = 2 ⋅
1 2 . = 2 2
С-40 1.
⎛ 3 ⎞⎟ 5π а) 2 arccos⎜ − = ; ⎜ 2 ⎟ 3 ⎝ ⎠ π π π 1 б) arcsin . − arctg − 3 = − = − 4 3 12 2
( )
2.
3π ⎞ π 3π π ⎛ а) sin ⎜ x − + 2πn = + 2πn ; ⎟ = −1 ; x = − + 2 5 10 5 ⎠ ⎝ б) cos(2 x ) = sin x ; 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 , Д=1+8=9; π π −1 + 3 1 sin x = = и sin x = −1 ; x = (− 1)k + πk и x = − + 2πn . 6 2 4 2 3. а) cos 2 x ≤ −
4π 2π 1 2π ⎡π ⎤ , + 2πn ≤ 2 x ≤ + 2πn ; x ∈ ⎢ + πn; + πn ⎥ ; 3 2 3 3 ⎣3 ⎦
π⎞ π ⎛ ⎛ ⎞ б) tg ⎜ x + ⎟ > 3 , x ∈ ⎜ πn; + πn ⎟ . 3 6 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
С-41 ⎧sin x + cos y = 1 ⎧sin x = 1 − cos y ⎪ ⎪ ; ⎨ 2 3 ⎨ 3; 2 cos sin 1 − 1 − cos 2 y + 2 cos y + sin 2 y = + = x y ⎪ ⎪ 2 ⎩ 2 ⎩ 3 1 ⎧ 2 ⎧ 2 2 ⎪sin y − cos y + 2 cos y = ⎪2 cos y − 2 cos y + = 0 ; 2; ⎨ 2 ⎨ ⎪sin x = 1 − cos y ⎪sin x = 1 − cos y ⎩ ⎩
17
π ⎧ ⎪⎪ y = ± 3 + 2πn . ⎨ ⎪ x = (− 1)k π + πk 6 ⎩⎪
1 ⎧ ⎪⎪cos y = 2 ; ⎨ ⎪sin x = 1 2 ⎩⎪
С-42 1. а) 2 x 2 − 3 x − 5 ≤ 0 , Д=9+40=49; 5⎤ 5 3±7 ⎡ ; x1 = x 2 = −1 ; x ∈ ⎢− 1; ⎥ . x= 2 2⎦ 4 ⎣ б) x 2 + 4 x + 1 > 0 , Д/4=4-1=3;
(
) (
)
x = −2 ± 3 ; x ∈ − ∞;−2 − 3 ∪ − 2 + 3 ;+∞ . 2.
а) (x + 2 )3 (x − 3)2 (x + 4 ) ≤ 0 ; x ∈ [−4;−2] ∪ {3};
–
+
+
16 2
x −9
−
9 2
x − 16
2
(x
7 x − 175 2
)(
2
− 9 x − 16
)
2
(x
x − 25 2
)(
2
− 9 x − 16
)
<0;
3
-2
-4
б)
+ Х
16 x 2 − 256 − 9 x 2 + 81
(x
2
)(
2
− 9 x − 16
)
<0;
< 0;
-5
< 0;
-4
-3
3
( x − 5)( x + 5) < 0; x ∈ (−5;−4 ) ∪ (−3;3) ∪ (4;5) . ( x − 3)( x + 3)( x − 4)( x + 4)
С-43 а) y = 2 x 6 + 20 x ; y ' = 12 x 5 + б) y = x ctgx ; y ' = ctgx −
18
x sin 2 x
10 x
;
;
4
5
х
x ; y' = 7
в) y = tg
1 7 cos 2
(
;
x 7
)
г) y = cos x 2 , y ' = − sin x 2 2 x ; д) y =
1 x
9
−
3 x
3
, y' = −
9 x
10
+
9 x4
.
С-44 1.
f (x ) = cos(x + 3) ; f ' (x ) = − sin (x + 3) ; f ' (− 3) = − sin 0 0 = 0 – тангенс угла наклона. 2. π а) 1,0007 300 ≈ 1,23 ; б) sin ≈ 0,157 . 20
С-45 1.
f (x ) = x 3 + 3 x − 5 ;
f ' (x ) = 3 x 2 + 3 ; Экстремумов нет, всегда возрастает. 2.
y = 4x +
9 9 ; y' = 4 − x x2
y ′ = 0 при x = ±
3 ; 2
19
⎛1⎞ ⎛3⎞ y ⎜ ⎟ = 2 + 18 = 20 , y ⎜ ⎟ = 6 + 6 = 12 ; ⎝2⎠ ⎝2⎠ 9 y (4 ) = 16 + = 18,25 ; наибольшее значение: y (4 ) = 18,25 ; 4 ⎛3⎞ наименьшее значение: y ⎜ ⎟ = 12 . ⎝2⎠ 3.
S (t ) = 2t 3 − 2t + 3 ; S ' (t ) = 6 t 2 − 2 ; S ′′ (t ) = a = 12t ; F = ma = 12 ⋅ 5 ⋅ 3 = 180 H .
ВАРИАНТ 2. С-1 5π 14π π π ⋅ 75 = ⋅ 168 = ; 168 0 = . 180 12 180 15
1.
75 0 =
2.
5π 17 π = 150 0 ; = 85 0 . 6 36
3.
310 =
5183π 31π ; ; sin 310 ≈ 0,595 ; cos 310 ≈ 0,857 ; 86 0 23 ' = 180 10800
sin 86 0 23' ≈ 0,998 ; cos 86 0 23' ≈ 0,017 . 4. а) 0,54 ≈ 30 0 56 ' ; б) 1,4327 ≈ 82 0 5 ' .
С-2 (sin 4 α + 2 sin 2 α cos 2 α + cos 4 α) + sin 2 α + cos 2 α = 2 ;
1.
2.
(sin
2
α + cos 2 α
)
2
+1 = 2 .
а) sin 300 0 cos 400 0 < 0 ; б) sin (− 1) cos(− 2 ) > 0 .
3.
20
sin α =
2 6 1 π , < α < π ; cos α = − . 5 2 5
С-3 17 π π 1 = cos = ; б) tg 600 0 = −tg120 0 = ctg 30 0 = 3 . 3 3 2
1.
а) cos
2.
1 ⎛ 3π ⎞ 1+ tg (π + α ) ctg ⎜ − α ⎟ = 1 + tg 2 α = . ⎝ 2 ⎠ cos 2 α
3.
π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ sin (π − a ) cos⎜ + α ⎟ − sin 2 ⎜ α + ⎟ = 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝
sin 2 α − cos 2 α = − cos 2α = cos(π − 2α ) .
С-4 1.
4 sin 7 0 30 ' cos 7 0 30 ' sin 75 0 = 2 sin 15 0 cos 15 0 = sin 30 0 =
2.
sin α =
3.
(sin α + cos α )2 + 1 − sin 2α = 1 + sin 2α + 1 − sin 2α = 2 .
1 . 2
336 24 7 π , 0 < α < ; cos α = , sin 2α = ; 25 2 25 625 527 527 625 527 ; ctg 2α = − . cos 2α = − ⋅ =− 625 625 336 336
С-5 1. см.рис.
⎛
абсцисса : cos⎜ −
⎝
3 π⎞ 1 ⎛ π⎞ . ⎟ = ; ордината : sin ⎜ − ⎟ = − 3⎠ 2 2 ⎝ 3⎠ Y -1
X
-1 0
-1
1
P
21
2. а) II; б) III 3.
см.рис;
3 cos x = 1,5 ; cos x =
x=±
1 ; 2
π + 2πn . 3
С-6 1. а) f (x ) =
5 2
3x − 2 x
; ОДЗ: 3x 2 − 2 x ≠ 0 ; x ≠ 0 , x ≠
2 , значит, 3
⎛ 2⎞ ⎛2 ⎞ x ∈ (− ∞;0 ) ∪ ⎜ 0; ⎟ ∪ ⎜ ; ∞ ⎟ ; ⎝ 3⎠ ⎝3 ⎠
2⎤ ⎡2 ⎛ ⎞ б) f (x ) = 9 x 2 − 4 ; ОДЗ: 9 x 2 − 4 ≥ 0 ; x ∈ ⎜ − ∞;− ⎥ ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ 3⎦ ⎣3 ⎝ ⎠
2. 3.
22
f (x ) = (x + 1)6 ; f (1) = 64 ; f
(
)
x − 1 = x3
C-7 1.
f (x ) =
1 − x2 1 + x2
; f (− x ) =
1 − (− x )2
1 + (− x )2
=
1 − x2 1+ x2
= f (x ) .
2.
g (x ) = 7 x 3 + sin
x ; 2
x⎞ ⎛ ⎛ x⎞ g (− x ) = 7(− x )3 + sin ⎜ − ⎟ = − ⎜ 7 x 3 + sin ⎟ = − g (x ) . 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
С-8 1. а) tg139 0 = −tg 410 ; б) cos 27430 = − cos 430 ; в) sin
49π π = − sin . 5 5
2.
π⎞ ⎛ cos⎜ 4 x + ⎟ + 2 sin (2 x − π ) cos(2 x + π ) = − sin 4 x + 2⎠ ⎝ + 2 cos 2 x sin 2 x = 0 . 3.
4π π 3x , Т= ; б) f (x ) = tg 5 x , Т= ; 2 3 5 x в) f (x ) = sin , Т= 6π . 3
а) f (x ) = cos
С-9 1. а) см.рис 4 f (x ) = − x возрастает на обл. опред.
б) см.рис
f (x ) = 3 x + x 2
убывает при x ∈ (−∞;−1,5] ; возрастает при x ∈ [−1,5;+∞ ) .
23
1 x cos ; 2 2 возрастает: [− 2π + 4πn;4πn] ; убывает: [4πn;2π + 4πn] .
2. f (x ) =
3. sin 1 ∨ sin 3 ; sin 1 > sin 3 .
C-10 1. y = 3x + x 2 ;
3 – точка минимума; 2 б) см.рис; в) x 2 + 3 x > 4 ;
а) x = −
x 2 + 3x − 4 > 0 ; x ∈ (− ∞;−4 ) ∪ (1;+∞ ) . 2.
1 cos x + 1 ; 5 x = 2πn – точка максимума; x = π + 2πn – точка минимума; 1 4 y ( 2πn) = 1 ; y (π + 2πn ) = . 5 5 y=
24
С-11 обл.опр [− 6;10] ; обл.зн [− 3;6] ; возрастает при x ∈ [−6;−2] ∪ [5;10] ; убывает при x ∈ [−2;5] ; наименьшего значения у = –3 функция достигает при х = 5; наимбольшего значения у = 6 функция достигает при х = 10; точка максимума х = –2; точка минимума х = 5; экстремумы: y min = −3; y max = 4 ; функция равна 0 при х = –6; х = 1; х = 8.
С-12 1. f (x ) = x≠
1 ; ОДЗ: 2 0 2 sin 3 x
<
α
<
π 2
;
πn 3
1 cos 2 x 2 см.рис а) x ∈ R π πn ⎡ 1 1⎤ б) y ∈ ⎢− ; ⎥ ; в) + =x; 2 2 4 2 ⎣ ⎦
2. y =
г) x = πn – точка максимума;
x=
π + πn – точка минимума; 2
экстремумы: y (πn ) =
1 ; 2
1 ⎛π ⎞ y ⎜ + πn ⎟ = − . 2 ⎝2 ⎠
C-13 1.
π ⎛ 1⎞ а) arcsin⎜ − ⎟ = − ; б) arccos (−1) = π ; 2 6 ⎝ ⎠ π π 3π в) arctg (− 1) + arcsin (− 1) = − − = − ; 4 2 4 1⎞ π 1 ⎛ г) cos⎜ 2 arcsin ⎟ = cos = . 2⎠ 3 2 ⎝
25
2.
а) arcsin 0,8≈0,9273; б) arccos(-0,273)≈1,8473; в) arctg π ≈ 1,26 .
С-14 а) tgx = − 3 ; x = −
π + πn ; 3
б) cos 2 2 x = 1 ; cos 2 x = ±1 ; x =
πn ; 2
π⎞ 1 π π ⎛ в) sin ⎜ x + ⎟ = ; x = − + (− 1)k + πk . 4 4 4⎠ ⎝ 2
С-15 а) см.рис.
б) см.рис. Y 1
0
-1
-1
в) см.рис. Y -1
X
-1 0
-1
26
1
X
С-16 5π 3 ⎛ 5π ⎞ ; x ∈⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ ; 6 2 ⎝ 6 ⎠ x ⎛ π 3π 3π x ⎤ ⎛ ⎤ + πn⎥ ; x ∈ ⎜ π + 2πn ; + 2πn ⎥ . б) tg ≤ −1 ; ∈ ⎜ − + πn;− 2 ⎝ 2 4 2 2 ⎦ ⎝ ⎦
а) cos x > −
С-17 а) 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 ; Д= 1 + 8 = 9 ; 1 sin x = ; sin x = −1 ; 2 π π x = − + 2πn ; x = (− 1)k + πk . 2 6 1 1 5 2 2 б) 2 sin x − 2 cos x = ; 2 cos x + 2 cos x + = 0 ; cos x = − ; 2 2 2 2π x=± + 2πn . 3
С-18 а) sin 2 x = − cos 2 x ; tg 2 x = −1 ; x = −
π πn + ; 8 2
б) sin 2 x + 2 sin 2 x + 3 cos 2 x = 0 ; cos x ≠ 0 ;
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0; tg 2 x + 4tgx + 3 = 0 ; tgx = −3
tgx = −1
π x = arctg (− 3) + πn ; x = − + πk . 4
С-19 ⎧⎪ x − y = π ⎧⎪ x = π + y ; ⎨ ; ⎨ ⎪⎩cos x − cos y = 3 ⎪⎩cos(π + y ) − cos y = 3 5π ⎧ ⎧x = π + y y=± + 2πn ⎪ ⎪ ⎪ 6 . ; ⎨ ⎨ 3 ⎪cos y = − ⎪ x = π ± 5π + 2πn 2 ⎪⎩ ⎩ 6
27
С-20 а) 1 + cos 2 x = sin 2 x ;
cos x(cos x − sin x ) = 0 tgx = 1 ;
1 + 2 cos 2 x − 1 = 2 sin x ⋅ cos x ; cos x = 0 ; x=
π + πn ; 2
x=
π + πn ; 4
π π πk + (−1) k + . 8 8 2 π б) sin 3 x sin x + cos 3 x cos x = −1 ; cos 2 x = −1 ; x = + πn 2 объединяя полученные результаты получим: x =
С-21 1.
см.рис.
f (x ) = 4 − 3x ; ∆f (x 0 ) = −3∆x ;
x 0 = −1 , ∆x = 0,3 ; ∆f (x 0 ) = −0,9 . 2.
f (x ) = x 2 + x ;
∆f (x0 ) = ∆x 2 + 2 x0 ∆x + ∆x / ∆x = ∆x + 2 x + 1 ∆x ∆f (x 0 ) x0 = 0 , ∆x = 0,1 ; = 1,1 ; ∆x ∆f (x 0 ) ∆x = 0,001 , = 1,001 ; ∆x
(
∆x = 0,00001 lim ∆x→0
)
∆f (x 0 ) = 1,00001 ; ∆x
∆f (x 0 ) = 2 x 0 + 1 = 1 , так как x 0 = 0 . ∆x
С-22 1.
x(t ) = 100 − t 2 ; V (t ) = −2t ; V (4) = −8 м/с.
2. а) f (x ) = 5 − 6 x ; f ' (x ) = −6 ; б) f (x ) = −
28
1 1 ; f ' (x ) = . x x2
С-23 а) f(1)=1, g(1)=2; б) для f существ, для g нет; в) lim x→1 g (x ) = 2 , для f несущ .
С-24 1.
а) lim y = 3 lim f ( x) − 2 lim g ( x) = −3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 5 = −16 ; x → −3
x → −3
x → −3
2
б) lim y = 2 lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = 2 ⋅ 4 ⋅ 5 = 40. x → −3
2.
x → −3
(
3
x → −3
)
а) lim x − 4 x − 3 = −1 + 4 − 3 = 0 ; x → −1
б) lim
x→2
4x + 1 2
x −1
=
9 = 3. 3
С-25 1.
б) f (x ) = 2.
2
а) f (x ) = 2 x 7 + 4 x ; f ' (x ) = 14 x 6 +
x2 +1 2
x −3
; f ' (x ) =
x
;
2x 3 − 6x − 2x 3 − 2x
(x
2
)
−3
2
=
(x
− 8x 2
)
−3
2
.
f (x ) = 2 x 2 + x 3 ; f ' (x ) = 4 x + 3 x 2 ; f (2 ) = 8 + 12 = 20 ; f (4 ) = 16 + 3 ⋅ 16 = 64 ; f (x − 3) = (x − 3)(− 5 + 3 x ) .
3.
f (x ) = 4 x + 2 x 2 ; f ' (x ) = 4 + 4 x ≤ 0 ; x ≤ −1 .
С-26 1. 2.
f (x ) = 50 x 5 + 5 x 50 ; f ' (x ) = 250 x 4 + 250 x 49 ; f ' (− 1) = 250 − 250 = 0 .
а) f (x ) = x 2 + 3 x − 3 ; f ' (x ) = 2 x + 3 ; f ' (x ) = 0 при x = −1,5 ;
f ' (x ) > 0 при x > −1,5 ; f ' (x ) < 0 при x < −1,5 .
29
б) f (x ) =
2x − 3 2x + 4 − 2x + 3 7 ; f ' (x ) = = 2 x+2 (x + 2 ) ( x + 2 )2
f ' (x ) = 0 нет решений; f ' (x ) > 0 при x ∈ (−∞;−2) ∪ (−2; ∞ ); f ' < 0 ни при каких х.
С-27 1.
f (x ) =
4x − 1 2
; ОДЗ: 1 − 16 x 2 ≠ 0 ; x = ±
1 − 16 x 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ x ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ ∪ ⎜ − ; ⎟ ∪ ⎜ ; ∞ ⎟ . 4⎠ ⎝ 4 4⎠ ⎝4 ⎠ ⎝
1 , значит, 4
2.
f (g (x )) =
x +1 x +2
; g ( f (x )) =
x +1 . x+2
3.
а) f (x ) = (3 − 2 x )160 ; f ' (x ) = −320(3 − 2 x )159 ; б) g (x ) = 1 − x 2 ; g ' (x ) =
−x 1− x2
.
С-28 а) f (x ) = cos 2 x − sin 3 x ; f ' (x ) = −2 sin 2 x − 3 cos 3 x ; б) f (x ) = ctgx + tg (x − π / 4 ) ; f ' (x ) = −
1 2
sin x
+
1
cos (x − π / 4) 2
в) f (x ) = cos 2 x ; f ' (x ) = −2 sin x cos x .
С-29 1.
f (x ) =
x 4 + 3x 3 ; ОДЗ: x ≠ 0 , x ≠ −2 , значит, промежутки x(x + 2 )
непрерывности: x ∈ (−∞;−2 ) ∪ (−2;0 ) ∪ (0; ∞ ) .
30
;
2. а) 3 x 2 − 27 < 0 ; (x − 3)(x + 3) < 0 ; x ∈ (− 3;3) ; (x − 1)(x + 3)(x − 5) ≥ 0 ; б) 2x + 1
-3
-1/2
3
-3
1
5
х
х
⎛ 1 ⎤ x ∈ (− ∞;−3] ∪ ⎜ − ;1⎥ ∪ [5;+∞ ) ; ⎝ 2 ⎦ x 2 − 9 x − 22 >0; x+5 (x − 11)(x + 2) > 0 ; x+5 x ∈ (− 5;−2 ) ∪ (11;+∞ ) .
в)
-5
-2
11
х
С-30 1. f (x ) = x − 27 ; f (x ) = 0 при x=3, значит, х = 3 – точка пересечения 3
графика с осью абсцисс; f ' (x ) = 3x 2 , f ' (3) = 27 – тангенс угла наклона касательной в этой точке. 2.
f (x ) = 2 − x 2 ; f (−3) = −7 ; f ' (x ) = −2 x , f ' (− 3) = 6 ; уравнение касательной y = −7 + 6(x + 3) = 6 x + 11 .
С-31 1. 2.
1 − 0,0016 ≈ 1-0,008=0,992. 0,9996 300 ≈ 0,88 .
31
С-32 1. S (t ) = 12t − 3t 3 , V (t ) = 12 − 9t 2 ; a (t ) = −18t , V (1) = 3 , a (1) = −18 . h(t ) = 40t − 5t 2 ; h ' (t ) = 40 − 10t = 0 ; h ' (t ) = 0 при
2.
t = 4 , h(4 ) = 160 − 80 = 80 м – наибольшая высота, которой достигнет тело.
С-33 1. f (x ) = x +
4 4 ; f ' (x ) = 1 − 2 > 0 ; f ' (x ) = 0 при x ∈ [−∞;−2] ∪ (2; ∞ ) , x x
значит, на этих промежутках данная функция возрастает; f ' (x ) < 0 при x ∈ (−2;2 ) , значит, на этих промежутках данная функция убывает. y = x 3 − 6 x 2 − 15 x + 7 ; y ' = 3x 2 − 12 x − 15 = 0 ;
2.
x 2 − 4 x − 5 = 0 ; x min = 5 x max = −1 .
C-34 f (x ) = 48 x − x 3 ; f ' (x ) = 48 − 3 x 2 ; f ′( x) = 0 при x = ±4 – экстремумы;
функция возрастает при x ∈ [−4;4] ; убывает при x ∈ (−∞;−4] ∪ [4;+∞ ) .
С-35 1.
32
y = 2x 2 + 5x + 2 ; x1 = −2 , x 2 = −
см.рис;
Д=25-16=9;
1 ⎛ 1 ⎞ ; нули: (− 2;0 ) , ⎜ − ;0 ⎟ , (0;2 ) ; 2 ⎝ 2 ⎠
5 5⎤ ⎡ 5 ⎞ ⎛ убывает: ⎜ − ∞;− ⎥ ; возрастает: ⎢− ;+∞ ⎟ ; x = − -min 4 4 4 ⎣ ⎠ ⎝ ⎦ 2.
а) x 2 + 15 x − 16 ≥ 0 ; (x + 16)(x − 1) ≥ 0 ; x ∈ (− ∞;−16] ∪ [1;+∞ ) ;
б) 4 x 2 + 12 x + 9 ≤ 0 ; (2 x + 3)2 ≤ 0 ; неравенству удовлетворяет только 2 x=− . 3
C-36 см.рис x+3 +1 y= 1 − 2x 1 ОДЗ: x ≠ 2 1 2 экстремумов нет возрастает: x ≠
С-37 1. y = 2 x − 8 x ; x ∈ [−2;1] ; y = 8 x 3 − 8 ; y ′ = 0 при y = 1 ; y (1) = −6; y (−2) = 48; значит, y = 6 – наименьшее значение функции; 4
'
y = 48 – наибольшее значение функции. 2. Введем функцию f (x ) = x 2 y , тогда из условия x + y = 18 , где х и у искомые неотрицательные слагаемые, получаем f (x ) = x 2 (18 − x) = 18 x 2 − x 3 ; f ′(x ) = 36 x − 3 x 2 , найдем критические
точки функции f (x ): f ′( x) = 0 при 36 x − 3x 2 = 0 ; x = 0 – посторонний
корень, т.к. x > 0 по условию, значит, х = 12; f (12) = 864 – максимум, тогда у = 18 – х = 18 – 12 = 6, а искомое разбиение: 12 + 6 = 18.
33
С-38 1. cos α = tgα =
2 5
, 0<α<
π 1 ; sin α = , 2 5
π ⎞ tgα + 1 3 1 ⎛ ; tg ⎜ α + ⎟ = = ⋅2=3. 2 4 ⎠ 1 − tgα 2 ⎝
2.
sin α cos(π + α ) cos(π − 2α ) cos α sin α cos 2α 1 = = tg 4α . cos 4α cos 4α 4
3.
sin 75 0 − sin 15 0 = 2 sin 30 0 cos 45 0 = 2 ⋅
1 2 2 ⋅ = . 2 2 2
С-39 а) см.рис; y = sin 3 x , x ∈ R ; ⎛ πn ⎞ нули: ⎜ ;0 ⎟ ; ⎝ 3 ⎠
⎡ π 2πn π 2πn ⎤ возрастает: ⎢− + ; + ; 3 6 3 ⎥⎦ ⎣ 6 ⎡ π 2πn π 2πn ⎤ убывает: ⎢ + ; + ; 3 2 3 ⎥⎦ ⎣6 π 2πn + ; 6 3 π 2πn min: x = − + . 6 3
max: x =
б) см.рис; x , x ∈ R , y ∈ [−1;1] ; 4 нули: (2π + 4πn;0 ) ;(0;1); возрастает: [−4π + 8πn;8πn ] ; убывает: [8πn;4π + 8πn] ; min: x = 4π + 8πn ; max: x = 8πn . y = cos
34
в)
y = tgπx ; 1 + n , y∈R ; 2 возрастает на обл. опр.; нули: x = n ; экстремумов нет. x≠
С-40 1.
⎛ 2 ⎞⎟ 3π = а) arccos ⎜ − ; ⎜ 2 ⎟ 4 ⎝ ⎠ б) arcsin
1 2
− arctg (− 1) =
π π π + = . 4 4 2
2.
3π ⎞ 3π 4π ⎛ а) cos ⎜ x + ⎟ = −1 ; x = π + 2πn − = + 2πn ; 7 7 7 ⎠ ⎝ б) cos 2 x = cos x ; 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 ; Д=1+8=9;
cos x = 1 , x = 2πn ; cos x = −
1 2π , x=± + 2πn . 3 2
3. а) sin 2 x ≥
5π 1 ⎡π ⎤ + πn ⎥ ; , x ∈ ⎢ + πn; 12 2 ⎣12 ⎦
π⎞ π ⎛ ⎞ ⎛ б) tg ⎜ x + ⎟ > 1 , x ∈ ⎜ πn; + πn ⎟ . 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
С-41 ⎧⎪sin x + cos y = 0 ; ⎨ 2 ⎪⎩cos x + sin 2 y = 1,5 π ⎧ ⎪⎪ y = ± 3 + πn ; ⎨ ⎪sin y = ± 1 2 ⎩⎪
⎧⎪sin x = − cos y ; ⎨ ⎪⎩1 − cos 2 y + sin 2 y = 1,5
1 ⎧ ⎪cos 2 y = − 2 ⎨ ⎪sin x = − cos y ⎩
π 2π ⎧ ⎧ ⎪⎪ y = ± 3 + 2πn ⎪⎪ y = ± 3 + 2πn и ⎨ . ⎨ ⎪ x = − 1k π + πk ⎪ x = (− 1)k +1 π + πk ⎪⎩ 6 6 ⎩⎪
( )
35
С-42 1.
а) x 2 − 3x − 10 ≤ 0 ; ( x + 2)( x − 5) ≤ 0 ; x ∈ [− 2;5] ; б) x 2 − 6 x + 1 > 0 ; ( x − (3 − 2 2 )) ; x + (3 − 2 2 )) > 0 ;
(
) (
)
x ∈ − ∞;3 − 2 2 ∪ 3 + 2 2 ;+∞ . 2.
а) (x − 1)(x + 2 )2 (x − 4 ) ≤ 0 ; x ∈ {−2} ∪ [1;4] ; б)
12
x2 − 4
7
−
x2 −9
12 x 2 − 108 − 7 x 2 + 28
(x
)(
2
2
−4 x −9
2
(x
x − 16 2
)(
− 4 x2 − 9
)
-2
1
-3
-2
)
≥ 0;
-4
x ∈ (−∞;−4] ∪ (−3;−2) ∪ (2;3) ∪ [4;+∞ ) .
С-43 а) y = x 7 − 4 x , y ' = 7 x 6 −
2 x
;
x
б) y = xtgx , y ' = tgx +
; cos 2 x 1 x в) y = ctg , y ' = − ; x 3 3 sin 2 3 г) y = sin x 3 , y ' = 2 x cos x 2 ;
36
1 x
4
−
1 x
8
х
≥0;
( x − 4)( x + 4) ≥0 ; ( x − 2)( x + 2)( x − 3)( x + 3)
д) y =
4
≥0;
, y' = −
4 x
5
+
8 x9
.
2
3
4
х
С-44 1.
f (x ) = sin (x − 3) ; f ' (x ) = cos(x − 3) ; f ' (3) = 1 – тангенс угла наклона касательной. 2. 0,0004 а) 0,9996 = 1 − = 0,9998; 2 π б) sin ≈ sin 0,031416 ≈ 0,031 . 100
С-45 1.
см.рис; y = x3 − 3x + 5 ; x∈R , y∈R; y ' = 3 x 2 − 3 , y ′ = 0 при x = ±1 – критические точки. возрастает: x ∈ (− ∞ ;−1) ∪ (1;+∞ ) ;
убывает: x ∈ (−1;1); x=1-min, x=-1=max.
2.
4 4 ; y ′ = 0 при x = ±2 ; ; y ' = 1− x x2 y (1) = 5 , y (2) = 2 + 2 = 4 , y (4) = 5 ; y ( −2) = −4 ; max: x=1, x=4; min: x= –2. y=x+
3.
S (t ) = 3t + 2t 3 ;
S ' (t ) = 3 + 6t 2 ; S ′′(t ) = 12t ; F = ma = 12 ⋅ 3 ⋅ 4 = 144 H.
37
ВАРИАНТ 3 С-1 π π 8π 16π ⋅ 64 = ; 160° = ⋅ 160 = . 180 180 9 45
1.
64° =
2.
3 3π = 108°; 1 π = 135° + 180° = 315°. 5 4
3.
α=
180 ⋅ (10 − 2) = 144° = 0,8π. 10
4.
α=
π π 3π − = ; sin α = sin 54° ≈ 0,809; 2 5 10
tg α ≈ 1,3764.
С-2 4 5
sin α = –
2.
16sin4 α – (sin2 α – 3cos2 α)2 = 24sin2 α – 9; (4sin2 α – sin2 α + 3cos2 α)(4sin2 α + sin2 α – 3cos2 α) = = 15sin2 α – 9cos2 α = 24sin2 α – 9.
3.
а)
sin
180° < α < 270°;
4π π tg > 0; б) 5 7
cos α = –
3 ; 5
1.
ctg α =
3 . 4
sin 3 cos 4 < 0.
С-3 1.
а) tg (–390°) = –tg 30° = –
2.
sin (180° – α) –
1 3
; б) cos
cos 2 (180 o + α) cos(α − 270 o )
11π 3π 2 = cos =− . 4 4 2
= sin α +
cos 2 α = sin α
1 1 – sin α = . sin α sin α 3. sin 105° cos 15° + sin 15° sin 165° + tg 225° = = cos2 15° + sin2 15° + tg 45° = 2. = sin α +
38
С-4 1.
4 ; 90° < α < 180°; 5 24 а) sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α = − ; 25 sin α =
cos α = –
3 4 ; tg α = – 5 3
3 3 4 4+3 3 3 1 − =− ; cos α – sin α = − 10 10 10 2 2 1 + tgα 1 3 1 в) tg (45° + α) = =− ⋅ =− . 1 − tgα 3 7 7 б) sin (60° – α) =
2.
1 1 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ + x ⎟ cos x – cos ⎜ + x ⎟ sin x = ; sin ⎜ + x − x ⎟ = . 2 2 ⎝6 ⎠ ⎝6 ⎠ ⎝6 ⎠
С-5 1.
абсцисса : cos
2 3π =– ; 4 2
ордината : sin
2 3π =– 4 2
Y P
-1
X
-1 0
1
-1 2.
а)
II
;
б)
IV.
3.
1 1 π ⎛ 3π ⎞ sin ⎜ + x ⎟ = − ; cos x = ; x = ± + 2πn. 2 2 3 ⎝ 2 ⎠
39
С-6 f(x) =
1. 2.
⎡x ≥ 0 ; ОДЗ: ⎢ 2 ; x∈ 2x − 5 ⎢⎣2 x − 5 ≠ 0
x
2
f(x) = 2sin 3x + 1; ⎛π⎞ б) f ⎜ ⎟ = 3; a) f(0) = 1; ⎝6⎠
в)
⎡ ⎞ 5 ⎞⎟ ⎛⎜ 5 ∪ ; + ∞⎟ . ⎢0; ⎟ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎢⎣ ⎠
⎛ π⎞ f⎜− ⎟ = 1 – 2 . ⎝ 4⎠
3.
С-7 3(− x )2 3x 2 3x 2 ; f(–x) = = = f(x). Четная 4 cos(− x) 4cosx 4 cos x б) ϕ(x) = 2x5 + 3ctgx; ϕ(–x) = 2(–x)5 + 3ctg (–x) = –2x5 –3ctg x = ϕ(х). Нечетная. а)
40
f(x) =
С-8 1.
а) sin (–1470°) = –sin 30° = – б) cos (–690°) = cos 30° =
1 ; 2
3 ; 2
в) tg (–1320°) = –ctg 30° = – 3 . 2.
⎛π ⎞ 2 cos⎜ − α ⎟ cos α sin 2α ⎝2 ⎠ = = 4 ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ cos α − sin 4 α cos(π + α) sin 3 ⎜ + α ⎟ − sin( π − α) cos 3 ⎜ + α ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ sin 2α 2
2
2
2
(cos α − sin α)(cos α + sin α)
sin 2α
= cos
2
α − sin
2
= tg 2α/ α
3.
⎛ 2x π ⎞ ⎛ x π⎞ a) f(x) = cos ⎜ + ⎟ ; Т = 6π; б) f(x) = tg ⎜ + ⎟; ⎝3 4⎠ ⎝ 3 3⎠
Т = 1,5π
С-9 1. а) возрастает при x ∈ (–∞; 0); убывает при x ∈ (0; +∞);
б) убывает на всей области определения.
41
2. 3.
x ∈ [–π; 0];
x ∈ [π; 2π];
cos 3 ∨ cos 6,
cos 3 < 0,
x ∈ [3π; 4π]. cos 6 > 0, значит, cos 6 > cos 3.
С-10 1.
1 2 5 x – 2x – 2 2 a) x = 2 – точка минимума; 9 y = – – экстремум; 2 б) см. рис. в) x2 – 4x – 5 ≤ –5; x(x – 4) ≤ 0; x ∈ [0; 4].
y=
2.
y = 3sin x + 2; xmax = xmin = –
π + 2πn; 2
π ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ + 2πn; экстремумы: y ⎜ + 2πn ⎟ = 5 ; y ⎜ − + 2πn ⎟ = −1. 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
С-11
42
С-12 1. π 3 x ≠ + πn ; 2 2
f(x) = 1,5tg 1,5x; ОДЗ: cos 1,5x ≠ 0;
x≠
π 2πn . + 3 3
2.
f(x) = 4sin
1 x; 2
а) x ∈ R; б) y ∈ [–4; 4]; в) x =2πn; г) xmax = π + 4πn; xmin = –π + 4πn; y (π + 4πn ) = 4 ; y (− π + 4πn ) = −4.
С-13 1.
⎛ π π 3 ⎞⎟ arcsin ⎜ − = – ; б) arctg 3 = ; ⎜ 2 ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ 2 3π 2 ⎞⎟ ⎞⎟ ; в) sin ⎜ arccos⎜ − = = sin ⎟⎟ ⎜ ⎜ 4 2 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ 2π 3 ⎞⎟ ⎞⎟ = 3. г) tg ⎜ 2 arcsin⎜ − = –tg ⎜ 2 ⎟⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠⎠ ⎝
а)
2. a) в)
arcsin (–0,7825) ≈ –0,8987; б) ⎛ π⎞ arctg ⎜ − ⎟ ≈ –1,0039. ⎝ 2⎠
arccos (0,1524) ≈ 1,4178;
43
С-14 π x = – 2 + 2πn;
а) sin x = –1
б) cos x = 1; x = 2πn; в) г) д)
π πn + ; 6 2 1 1 sin 5x cos x – cos 5x sin x = ; sin 4x = ; 2 2
tg 2x = – 3 ;
x= −
π πk x= (–1)k 24 + 4 .
π⎞ π⎞ 2 ⎛ ⎛ ; cos ⎜ 2 x + ⎟ cos x + sin x sin ⎜ 2 x + ⎟ = 4 4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π⎞ 2 ⎛ cos ⎜ x + ⎟ = ; 4⎠ 2 ⎝
x=±
π π – + 2πn. 4 4
С-15 π 1 а) sin x = ; x = (–1)k 6 + πk; 2
в)
44
sin x >
1 2
б)
π sin x =1; x = 2 + 2πn;
5π ⎛π ⎞ x ∈ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ . 6 ⎝6 ⎠
С-16 2 ; 2 3π ⎡π ⎤ x ∈ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎥ . 4 ⎣4 ⎦
а) sin x ≥
1 ; 2 2π ⎛π ⎞ x ∈ ⎜ + πn; + πn ⎟ . 3 ⎝3 ⎠
б) cos2x < –
в) tg x ≥ – 3 ; π ⎞ ⎡ π x ∈ ⎢− + πn; + πn ⎟ . 2 ⎠ ⎣ 3
С-17 а)
4sin2 x – 1 = 0;
б)
4sin2 x – 4sin x + 1 = 0;
в)
2sin2 x + 5cos x + 1 = 0; 2cos2 x – 5cos x – 3 = 0; cos x = 3
sin x =±
решений нет;
1 ; 2 sin x =
1 ; 2
cos x = –
π x = ± 6 + πk; π x = (–1)k 6 + πk.
1 2π + 2πn. x=± 2 3
45
С-18 а)
sin 2x + cos 2x = 0;
π⎞ ⎛ sin ⎜ 2 x + ⎟ =0; 4⎠ ⎝
б) 1 – 2sin 2x = 6cos2 x; sin2x – 4sin x cos x – 5cos2 x = 0; tg2 x – 4tg x – 5 = 0; x = arctg 5 + πn; tg x = 5; π x = – + πn. tg x = –1; 4
x=–
π πn + . 8 2
cos x ≠ 0;
С-19 ⎧⎪ x + y = π ; ⎨ ⎪⎩sin x + sin y = 3
⎧x = π − y ⎧⎪ x = π − y ⎪ ; ⎨ ⎨ 3; ⎪⎩sin(π − y ) + sin y = 3 ⎪sin y = 2 ⎩
⎧ k π ⎪⎪ y = ( −1) 3 + πk . ⎨ ⎪ x = π − ( −1) k π − πk 3 ⎩⎪
С-20 а)
3 sin x + cos x = 2 ;
π⎞ 2 ⎛ ; sin ⎜ x + ⎟ = 6 2 ⎝ ⎠
π π – + πk. 4 6 б) (cos x + sin x)2 = cos 2x; cos 2 x + sin 2 x + 2 sin x cos x = 1 − 2 sin 2 x ; sin x(cos x + sin x ) = 0 ; sin x = 0; x = πn; π cos x + sin x = 0; x = – + πn. 4
x = (–1)k
С-21 1.
f(x) = 3x + 2;
46
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 3( x + ∆x) + 2 − 3 x − 2 = = 3. ∆x ∆x
2.
f(1) = 1; f(x0 + ∆x) = 2,56; ⎧1 = k + b ; ⎨ ⎩2,56 = 1,6k + b
0,6k = 1,56; k = 2,6 – угловой коэффициент; b = –1,6; y = 2,6x – 1,6 – уравнение секущей.
С-22 1.
x(t) = 2t2 + 3;
2.
f(x) =
2 ; x
v(t) = x′(t) = 4t; f′(x) = –
2 x2
v(2) = 8 м/с.
.
С-23 ⎧⎪ x 2 , x <1 f(x) = ⎨ ; ⎪⎩− x + 3, x ≥ 1 a) возрастает при x ∈ (0; 1); убывает x ∈ при (–∞; 0) ∪ (1; +∞) б) lim f(x) = 1; x → −1
в) нет, не существует, т.к. в этой точке не существует производной.
С-24 1.
f(x) = 2x; a) (1,95; 2,05); б) (1,995; 2,005).
47
2. ⎛1 ⎞ 1 lim ⎜ f ( x ) − 2 g ( x) ⎟ = lim f ( x ) − 2 lim g ( x) = 4 + 1 = 5 ; x → 2⎝ 2 x→2 ⎠ 2 x→2 б) lim (3f(x) g(x)) = 3 lim f ( x) ⋅ lim g ( x ) = 3 ⋅ 8 ⋅ ( −0,5) = −12 ;
a)
x→2
x→2
x→2
lim f ( x ) + 2
в)
lim
x→2
f ( x) + 2 8+ 2 = x →2 = = 10. 4 g ( x ) + 3 4 lim g ( x) + 3 4 ⋅ (−0,5) + 3 x →2
С-25 3 2 x – 1; f′(x) = 3x2 + 3x; f ′( x) = 0 при x = 0 и x = –1. 2
1.
f(x) = x3 +
2.
f(x) = (3 + 2x)(2x – 3) = 4x2 – 9;
3.
ϕ(x) =
f′(x) = 8x;
⎛1⎞ f′ ⎜ ⎟ = 2. ⎝4⎠
2x ; 1− x 2 − 2x + 2x
2 = ; (1 − x) 2 (1 − x ) 2 б) ϕ′(x) > 0, при x ≠ 1. a) ϕ′(x) =
С-26 1. 2.
f(x) = 10x9 – 9x10; f′(x) = 90(x8 – x9); f′(–1) = 180. 3 2 y(x) = x + 4x – 3x; y′(x) = 3x2 + 8x – 3 ≤ 0; 1⎞ ⎛ ( x + 3)⎜ x − ⎟ ≤ 0 ; 3⎠ ⎝ 1⎤ ⎡ x ∈ ⎢− 3; ⎥ . 3⎦ ⎣
3.
g(x) = (x – 1) x + 2 ; g′(x) = x + 2 + g′(–1) = 1 +
48
−2 = 0. 2
x −1 2 x+2
;
С-27 ⎡16 − x 2 ≥ 0 16 − x 2 ; ; ОДЗ: ⎢ x−2 ⎢⎣ x ≠ 2
x ∈ [–4; 2) ∪ (2; 4].
1.
y=
2.
ϕ(x) = (5 + 6x)10; ϕ′(x) = 60(5 + 6x)9; ϕ′(–1) = 60(5 – 6)9 = –60.
3.
f(x) = x + 4;
g(x) = x – 4.
С-28 1. а)
f′(x) = –6sin 2x;
f(x) = 3cos 2x;
б) ϕ(x) = 4tg 3x;
ϕ′(x) =
12 cos 2 3 x
;
⎛ 2π ⎞ f′ ⎜ − ⎟ = –3 3 . ⎝ 3 ⎠ ⎛ π⎞ ϕ′ ⎜ − ⎟ = 12. ⎝ 3⎠
1 sin 2x; g′(x) = cos x + cos 2x; g′(x) = 0 при 2 2 2cos x + cos x – 1 = 0; 1 π cos x = –1; x = π + 2πn; cos x = ; x = ± + 2πn. 2 3 g(x) = sin x +
2.
С-29 x 2 ( x − 3) <0 x −1 x ∈ (1; 3)
а)
0
1
3
х
-1
1
х
2
б) (x + 2) x − 1 > 0;
x ∈ (–2; –1) ∪ (1; +∞);
-2
С-30 2
f(x) = 4 – x ; a) f(–2) = 0; f′(x) = –2x; f′(–2) = 4; y = 4x + 8 – уравнение касательной.
49
б)
1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 8, так как касательная пересекает ось абцисс в точке 2 –2, ось ординат в точке 8. в) S =
С-31 а)
16,96 ≈ 4,1183; б)
2 1,00110
≈
2 2 = ≈ 1,98. 1 + 0,001 ⋅ 10 1,01
С-32 1. x(t) = 3t3 + 9t2 + 7;
v(t) = x′(t) = 9t2 + 18t; v(2) = 36 + 36 = 72 м/с.
2. s(t) = (2 + 5t)(2 + 6t); v(t) = S′(t) = 10 + 30t + 12 + 30t = 22 + 60t; v(3) = 22 + 180 = 202 см/с.
С-33 3 f(x) = x2 + 3x + 6; f ′( x) = 2 x + 3 ; f ′( x ) > 0 при x > − ; 2 3 f ′( x) < 0 при x < − , значит, 2 3⎤ ⎛ ⎡ 3 ⎞ возрастает при x ∈ ⎢− ; + ∞ ⎟ , убывает при x ∈ ⎜ − ∞; − ⎥ 2⎦ ⎝ ⎣ 2 ⎠ б) ϕ(x) = x3 + 2x – 1; ϕ′(x) = 3x2 + 2; ϕ′(х) > 0 при любых х, значит ϕ(х) возрастает всюду на R. в) g(x) = x3 – 3x2 + 5; g′(x) = 3x2 – 6x g′(x) > 0 при x ∈ (−∞;0) ∪ ( 2; ∞);
а)
50
g′(x) < 0 при x ∈ (0;2) , значит, возрастает при x ∈ (–∞; 0) ∪ (2; +∞) убывает при (0; 2).
C-34 4
2
3
a) f(x) = x – 8x ; f′(x) = 4x – 16x; f′(x) = 0 при x = 0 и x = ±2; xmax = 0; xmin = ±2; y(0) = 0; y(±2) = –16; xmax = 4; xmin = –4; 1 4 x 4 б) ϕ(x) = + ; ϕ′(x) = − 2 ; ϕ′(x) = 0 при x = ±4; 4 x 4 x ϕmax(4) = 2; ϕmin(–4) = –2.
C-35 2
2
2
4
f(x) = –x (x – 4) = 4x – x
f′(x) = 8x – 4x3; f′′(x) = 0 при x = 0 и x=± 2 возрастает при (–∞; – 2 ] ∪ [0;
2 ];
убывает при [– 2 ; 0] ∪ [ 2 ; +∞); min: y(0) = 0 max: y(± 2 ) = 4; нули: x = 0, x = ±2; y > 0 при x ∈ (–2; 0) ∪ (0; 2); y < 0 при x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞).
C-36. f(x) = 4x4 –
16 3 x; 3
f′(x) = 16x3 –16x2; f′′(x) = 0 при x = 0 и x = 1; 16 4 min y(1) = 4 – = – 3 3 возрастает при x ≥ 1, убывает при x ≤ 1.
51
C-37 1. 5 ⎤ ⎡ 3 f(x) = –cosx – x, x ∈ ⎢− π; π⎥ ; 2 ⎦ ⎣ 2 π f′(x) = sin x – 1; f′′(x) = 0 при x = + 2πn; 2 π ⎛π ⎞ f ⎜ + 2πn ⎟ = − – 2πn; 2 ⎝2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ 3 max: y ⎜ − π ⎟ = π ; ⎝ 2 ⎠ 2
5 ⎛5 ⎞ min: y ⎜ π ⎟ = − π . 2 ⎝2 ⎠
2.
⎧⎪a + b = 15 ⎧⎪b = 15 − a ; ; ⎨ ⎨ ⎪⎩ y = a 2b ⎪⎩ y = 15a 2 − a 3 y′ = 30a – 3a2 ; у′(x) = 0 при a = 0 и a = 10; а = 0 не подходит, так как по условию а > 0, значит, искомая сумма. 10 + 5 = 15.
C-38 1.
1 − cos 2α 1 sin 2 α ctg ctgα = tgα . ⋅ α = cos 2 α 2 cos 2 α 2. sin 4 α + 2 sin α cos α − cos 4 α = cos 2α ; tg 2α − 1
sin 2α − (sin 2 α + cos 2 α)(cos 2 α − sin 2 α) = tg 2α − 1 =
sin 2α − cos 2α sin 2α − cos 2α = ⋅ cos 2α = cos 2α . tg 2α − 1 sin 2α − cos 2α
3.
1 – sin4 22,5° + cos4 22,5° = 1 + cos 45° =
52
2+ 2 . 2
C-39 1.
2.
f(x) = x2 – 2|x| f(–x) = (–x)2 – 2|–x| = = x2 – 2|x| = f(x), значит, f(x) четная.
x y = 2sin 2 нули функции: x 2sin = 0 при x = 2πn 2 max: x = π + 2πn; y ( π + 2πn) = 2 ; min: x = –π + 2πn; y ( −π + 2πn) = −2.
C-40 1. sin x tg x + 3 sin x + tg x + 3 = 0; (tg x + π tg x = – 3 ; x = – + πn; sin x = –1; 3 2. 2sin 2x + 1 ≤ 0
sin 2x ≤ –
1 ;x∈ 2
3 )(sin x + 1) = 0 π x = – + 2πn. 2 π ⎡ 5π ⎤ ⎢− 12 + πn; − 12 + πn ⎥ . ⎣ ⎦
1 sin 2x + sin x; f′(x) = 2 –cos 2x + cos x; f′ (x) = 0 при 2 2 2cos x – cos x – 3 = 0; 3 cos x = – не имеет решения; cos x = –1; x = π + 2πn. 2
3. f(x) = 2x –
53
C-41 π ⎧ ⎪x − y = 2 ; ⎨ ⎪sin 2 x − sin 2 y = 2 ⎩
π ⎧ ⎪y = x − 2 ; ⎨ ⎪sin 2 x + sin( π − 2 x ) = 2 ⎩
⎧ k ⎪⎪ x = (−1) ⎨ ⎪ y = (−1) k ⎩⎪
π πk + 8 2 . π πk π + − 8 2 2
C-42 a) (2x2 + x + 3)(x2 – 3x) > 0;, поскольку 2 x 2 + x + 3 > 0 при любом х, имеем: x(x – 3) > 0; x ∈ (–∞; 0) ∪ (3; +∞); x 4 ( x 2 – 16) x 4 ( x − 4)( x + 4) б) ≥ 0; ≥0; x( x − 2) x2 − 2x
-4
0
2
4
x ∈ (–∞; –4] ∪ (0; 2) ∪ [4; +∞). в) (x – 5) x 2 – 4 ≤ 0;
х
x ∈ (–∞; –2] ∪ [2; 5].
C-43 1.
y′ =
a) y = tg 3x;
; cos 2 3 x cos x – (sin x) x ; y′ = 2 x y′ = 2sin x cos x; y′ = –9sin 3x(cos 3x + 6)2.
б) y = x cos x; в) y = sin2 x; г) y = (cos 3x + 6)3 2.
f(x) =
f′(x) =
3x 2 + 4 + 6cos πx 2x −1 6 x( 2 x − 1) − 6 x 2 − 8
f ′(1) =
54
3
(2 x − 1) 2 6 − 6 −8 ( 2 − 1) 2
− 6π sin πx =
− 6π sin π = −8 .
6x 2 − 6x − 8 ( 2 x − 1) 2
− 6π sin πx ;
C-44 1. y = x2 – 3x + 2; y′ = 2x – 3; y1 = x02 – 3x0 + 2 + (2x0 – 3)(x – x0) – уравнение касательной. 2x0 – 3 = –1; x0 = 1; y1 = 1 – x. 2. x(t) = 3sin 7t;
v(t) = 21cos 7t; a(t) = –147sin 7t.
C-45 1.
⎧⎪a + b = 8 ⎧⎪a = b − 8 ; y′= 4b3 – 48b2 + 128b = 0; ⎨ ⎨ 4 2 2 ⎪⎩ y = a b ⎪⎩b − 16b3 + 64b 2 = y b(b2 – 12b + 32) = 0 ⎧b = 0 ⎧b = 8 ⎧b = 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨a = 8 ; ⎨a = 0 ; ⎨a = 4 , значит, 4 + 4 = 8 – искомое разбиение. ⎪ y = 0 ⎪ y = 0 ⎪ y = 256 ⎩ ⎩ ⎩ 2.
f(x) = x2(2x – 3) = 2x3 – 3x2; f′(x) =6x2 – 6x = 0; x = 0 и x = 1; f(0) = max = 0; f(1) = min = –1; 3 нули: x = 0 и x = ; 2 f′(x) возрастает при x ∈ (–∞; 0] ∪ [1; +∞); убывает при x ∈ [0; 1].
55
ВАРИАНТ 4 C-1 π π 14 17 ⋅ 56 = π , 170° = ⋅ 170 = π. 45 180 180 18
1.
56° =
2.
5π = 150°; 6
3.
3π ; 4
4.
π–
2
1 π = 390°. 6
π . 2 3π 2π = α; α = = 72°; cos α ≈ 0,3090; 5 5
tg α ≈ 3,0777.
C-2 cos α = –
1.
24 , 25
90° < α < 180°; sin α =
7 , 25
tg α = –
7 . 24
⎞ ⎛ cos 2 α (tg α – sin α) ⎜ + ctgα ⎟ = sin2 α; ⎟ ⎜ sin α ⎠ ⎝ 2 ⎛ 1 cos α + cos α ⎞⎟ (sin α − sin α ⋅ cos α)⎜ = ⎜ ⎟ cos α sin α ⎝ ⎠ = cos α – cos2 α + 1 – cos α = sin2 α. 3. 3π π а) cos tg < 0; б) sin 4 cos 5 < 0. 5 9 2.
С-3 1. а) ctg (–420°) = –ctg 60° = –
3 3π 2 ⎛ 21π ⎞ ; б) sin ⎜ − = . ⎟ = sin 4 2 4 3 ⎝ ⎠
cos 2 (α − 90 o )
sin 2 α 1 = . cos α cos α
2.
sin (90° + α) –
3.
sin 32° sin 148° – cos 32° sin 302° + ctg 225° = 1 + ctg 45° = 2.
56
sin(α + 270 o )
= cos α +
С-4 1.
cos α = –
180° < α < 270°; sin α = –
3 ; 5
tg α =
3 4
7 ; 25
а)
cos 2α =
б)
sin (30° + α) =
в)
2.
4 ; 5
3 4 3 3 −4−3 3 1 sin α = − − = ; cos α + 2 2 10 10 10 3 1− 4 = 1⋅4 = 1. tg (45° – α) = 3 4 7 7 1+ 4
1 1 ⎞ ⎞ ⎛π ⎛π ⎛π⎞ cos ⎜ + x ⎟ cos x + sin ⎜ + x ⎟ sin x = ; cos ⎜ ⎟ = . 2 2 ⎠ ⎠ ⎝3 ⎝3 ⎝3⎠
С-5 1.
sin
2 5π 5π – ордината точки P =– ; 4 4 2
cos
2 5π 5π =– – абсцисса точки P . 4 4 2 Y -1
X
-1 0
P
2.
а)
III ;
б)
1
-1
I.
57
3.
1 ⎛π ⎞ cos ⎜ + x ⎟ = − ; 2 ⎝2 ⎠
sin x =
1 ; 2
x = (–1)k
π + 2πk. 6
С-6 f(x) =
1. 2.
−x 2
3x − 6
;
⎡x ≤ 0 ОДЗ: ⎢ 2 ; x ∈ (–∞; – 3 ) ∪ (– 3 ; 0]. ⎢⎣ x − 3 ≠ 0
f(x) = 3cos 2x – 1; ⎛π⎞ б) f ⎜ ⎟ = –1; a) f(π) = 2; ⎝4⎠
3.
58
в)
5 ⎛ π⎞ f⎜− ⎟ = – . 2 ⎝ 3⎠
С-7 3
а) f(x) = 2x + tg x; f(–x) = 2(–x)3 + tg (–x) = –2x3 –tg x = –f(x) , значит, f(x) нечетная; 2(− x )4 2x4 2x 4 б) ϕ(x) = ; ϕ(–x) = = = ϕ(x), значит, ϕ(x) четная. cos x cos(− x) cos x
С-8 1.
а) sin (–1860°) = –sin 60° = – б) cos (–420°) = cos 60° =
2.
3 ; 2
1 ; в) ctg (–930°) = –ctg 30° = 3 . 2
⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ cos ⎜ + α ⎟ sin 3 ( π − α) − cos(π + α) sin 3 ⎜ − α⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎛π ⎞ 2 sin α sin ⎜ − α ⎟ ⎝2 ⎠ =
sin 4 α − cos 4 α = –ctg 2α. sin 2α
⎛ 3x π ⎞ 3. a) f(x) = sin ⎜ + ⎟; ⎝ 4 3⎠
Т=
8π ; 3
⎛ 3x π ⎞ б) ϕ(x) = tg ⎜ − ⎟; ⎝ 5 6⎠
Т=
5π . 3
С-9 1. а) убывает при x∈ (–∞; 0) возрастает при x∈(0; +∞)
б) убывает на области определения.
59
y = 2sin x – 1; убывает при ⎛ π 3π ⎞ ⎛ 5π 7 π ⎞ ⎛ 9π 11π ⎞ x ∈⎜ ; ⎟ ∪ ⎜ ; ⎟ ∪ ⎜ ; ⎟. ⎝2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠
2.
sin 2 > 0,
3.
sin 4 < 0, значит, sin 2 > sin 4.
С-10 y=–
1.
1 2 3 x +x+ 2 2
a) х = 1 – точка максимума;
у (1) = 2 – экстремум функции; б)
в) 2.
–x2 + 2x + 3 ≥ 3;
x(x – 2) ≤ 0
y = 3cos x – 2 хmax = 2πn; y ( 2πn) = 1; y (π + 2πn ) = −5.
С-11
60
x ∈ [0; 2] хmin = π + 2πn;
С-12 1.
f(x) = 2 – ctg
2.
f(x) = 3cos
а) x ∈ R ;
x x ; ОДЗ: sin ≠ 0; 2 2
x ≠ 2πn
x ; 2
x = 0 при x = π + 2πn; 2 y ( 4πn) = 3; y (2π + 4πn ) = −3 .
б) y ∈ [–3; 3];
в) cos
г) хmax = 4πn; хmin = 2π + 4πn;
С-13 1.
⎛ 1 ⎞ π ⎟⎟ = ; arctg ⎜⎜ ⎝ 3⎠ 6
а)
π ⎛ 1⎞ arcsin ⎜ − ⎟ = – ; б) 6 ⎝ 2⎠
в)
⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ tg ⎜⎜ arccos⎜ − ⎟ ⎟⎟ = – 3 ; ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝
г)
⎛ ⎛ 3 ⎞⎟ ⎞⎟ 1 cos ⎜ 2 arcsin⎜ − =– . ⎜ 2 ⎟⎟ ⎜ 2 ⎝ ⎠⎠ ⎝
2. a) б) в)
arcsin (–0,9317) = –1,1991; arccos (0,3745) = 1,1869; ⎛ 3π ⎞ arctg ⎜ − ⎟ = –1,3617. ⎝ 2 ⎠
61
С-14 а) в) г)
cos x = –1;
x =π + 2πn; б)
sin x = 1;
x=
π + 2πn; 2
π πn ; + 18 3 1 1 π 2πn cos 5x cos 2x + sin 5x sin 2x = ; cos 3x = ; x= ± + ; 2 2 9 3
tg 3x = –
3 ; 3
x= −
3 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ 2 x + ⎟ cos x – cos ⎜ 2 x + ⎟ sin x = ; 2 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ π π x = – + (–1)k + πk. 3 3
д)
3 π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = ; 3⎠ 2 ⎝
С-15 а) cos x =
1 2
x=±
π + 2πn; 3
cos x =1; x = 2πn;
б)
в)
cos x >
1 ; 2
π ⎞ ⎛ π x ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ . 3 ⎠ ⎝ 3
62
С-16 а) cos x ≥
π ⎡ π ⎤ x ∈ ⎢− + 2πn; + 2πn ⎥ ; 4 4 ⎣ ⎦ π ⎞ ⎛ 5π x ∈ ⎜− + πn; − + πn ⎟ ; 12 12 ⎠ ⎝
2 ; 2
б) sin 2x < –
1 ; 2
π ⎛ π ⎞ x ∈ ⎜ − + πn; + πn ⎟ . 2 ⎝ 4 ⎠
в) tg x > –1;
С-17 π + 2πn и 3 2π x=± + 2πn; 3 1 π sin x = – ; x = (–1)k+1 + πk; 2 6 2cos2 x + 5cos x – 3 = 0; 1 ; 2
а)
4cos2 x – 1 = 0;
б)
4sin2 x + 4sin x + 1 = 0;
в)
2sin2 x – 5cos x + 1 = 0; −5 − 7 cos x = = –3 нет решений; 4 1 π cos x = ; x = ± + 2πn. 2 3
cos x = ±
x=±
С-18 а)
sin 2x –
3 cos 2x = 0;
π⎞ ⎛ sin ⎜ 2 x − ⎟ =0; 3⎠ ⎝
x=
π πn + ; 6 2
б) 1 + 2sin 2x + 2cos2 x = 0; sin2x + 4sin x cos x + 3cos2 x = 0; cos x ≠ 0; tg2 x + 4tg x + 3 = 0; π tg x = –3; x = arctg (–3) + πn; tg x = –1; x = – + πn. 4
С-19 π ⎧ ⎪x + y = ; 2 ⎨ ⎪sin x + sin y = −1 ⎩
π ⎧ ⎪x = − y ; 2 ⎨ ⎪sin y + cos y = −1 ⎩
⎧ ⎛ π⎞ 2 ⎪sin⎜ y + ⎟ = − ⎪ ⎝ 4⎠ 2 ; ⎨ π ⎪ ⎪⎩ x = 2 − y
63
π ⎧ k +1 π + πk ⎪⎪ y = − 4 + (−1) 4 . ⎨ ⎪ x = 3π + (−1) k + 2 π − πk 4 4 ⎩⎪
С-20 а)
3 sin x – cos x = 2;
π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ = 1; 6⎠ ⎝
б) (cos x – sin x)2 = cos 2x; (cos x – sin x)(cos x – sin x – cos x – sin x) = 0; π ⎡ ⎡cos x = sin x ⎢ x = + πn . ; 4 ⎢ ⎢ ⎣sin x = 0 ⎣⎢ x = πn
С-21 1. f(x) = 2x + 3; f ( x + ∆x ) − f ( x ) 2( x + ∆x ) + 3 − 2 x − 3 = = 2. ∆x ∆x
2.
1 ; f(x0 + ∆x) = 1,62; 2 ⎧1,62 = k ⋅ 1,8 + b ⎧1,12 = 0,8k ⎧k = 1,4 ⎪ . ; ⎨ ; ⎨ ⎨1 ⎩0,5 = k + b ⎩b = −0,9 ⎪2 = k + b ⎩ Ответ: k = 1,4 – угловой коэффициент; y = 1,4x – 0,9 – уравнение касательной.
64
f(x0) =
x=
2π + 2πn; 3
С-22 1.
x(t) = 3t2 + 2;
2.
f(x) = 2 x ;
v(t) = 6t; 1
f′(x) =
x
v(3) = 18 м/с. .
С-23 ⎧⎪0,5 x 2 , x ≥ −1 f(x) = ⎨ ; ⎪⎩ x + 3, x < −1 a) возрастает при x ∈ (–∞; –1) ∪ (0; +∞); убывает при (–1; 0); 1 б) lim f(x) = ; x →1 2 в) нет, т.к. в точке x = –1 не существует производной.
С-24 1.
a)
59 61 <x< ; 30 30
б) 1 2.
a) в)
299 1 . <x<2 300 300
⎛1 ⎞ lim ⎜ f ( x ) − 2 g ( x) ⎟ = 6; б) 2 ⎠
x →3⎝
lim
x →3
lim (2f(x) g(x)) = –18;
x →3
f ( x) − 2 4 = = 2. 2 g ( x) + 5 5 − 3
С-25 f′(x) = 6(x2 – x); f′ (x) = 0 при x = 0 и x = 1.
1.
f(x) = 2x3 – 3x2 + 1;
2.
f(x) = (1 + 2x)(2x – 1) = 4x2 – 1;
f′(x) = 8x;
⎛1⎞ f′ ⎜ ⎟ = 4. ⎝2⎠
65
3. 6x ; x +1 6x + 6 − 6x 6 a) ϕ′(x) = ; б) ϕ′(x) > 0, = ( x + 1) 2 ( x + 1) 2
ϕ(x) =
при x ≠ –1.
С-26 1.
f(x) = 8x9 – 9x8; 3
f′(x) = 72(x8 – x7);
2
f′(–1) = 144. 2
2.
y(x) = 2x – 9x + 12x + 7; y′(x) = 6x – 18x + 12 ≥ 0; x2 – 3x + 2 ≥ 0; x ∈ (–∞; 1] ∪ [2; +∞).
3.
g(x) =
x − 3 (x + 2); g′(x) = x − 3 +
x+2 2 x−3
; g′(4) = 1 +
3 = 4. 1
С-27 ⎡ x 2 − 25 ≥ 0 x 2 − 25 ; ОДЗ: ⎢ ; x+7 ⎣⎢ x ≠ −7 x ∈ (–∞; –7) ∪ (–7; –5] ∪ [5; +∞).
1.
y=
2.
ϕ(x) = (2x + 3)12;
3.
f(x) = x – 7;
ϕ′(x) = 24(2x + 3)11;
ϕ′(–2) = –24.
f(g(x)) = x, значит, g(x) = x + 7.
С-28 1.
а)
f(x) = 2sin 5x;
б) ϕ(x) = 3ctg 2x; 2.
66
⎛ π⎞ f′ ⎜ − ⎟ = 5; ⎝ 3⎠ 6 ⎛ π⎞ ϕ′(x) =– ; ϕ′ ⎜ − ⎟ = –6. 2 sin 2 x ⎝ 4⎠
f′(x) = 10cos 5x;
1 1 cos 2x; .f′(x) = –sin x + sin 2x f′ (x) = 0 при 4 2 sin x (cos x – 1) = 0; x = πn.
f(x) = cos x –
С-29 а)
x 2 ( x + 2) <0; x +1
x ∈ (–2; –1);
-2
-1
0
х
-1
1
3
х
2
б) (x – 3) x − 1 < 0;
x ∈ (–∞; –1) ∪ (1; 3).
С-30 f(x) = x2 – 4; f′(x) = 2x; a) f(–2) = 0; f′(–2) = –4; y = –4(x + 2) = –4x – 8 – уравнение касательной; б) см. рис; 1 в) S = ⋅ 8 ⋅ 2 = 8. 2
С-31 а)
9,72 ≈ 3,1177; б)
3 1,002 – 20
≈ 3 ⋅ (1 + 0,002 ⋅ 20) = 3,12.
С-32 1.
x(t) = 4t3 + 5t2 + 4;
v(t) = 12t2 + 10t;
2.
R = 4 + 2t2; S(t) = π (16 + 4t4 + 16t2); S′(t) = 16πt3 + 32πt; S′(2) = 192π см/с.
v(3) = 138 м/с.
67
С-33 2
а) f(x) = –x + 4x – 3; возрастает при х∈(–∞; 2) убывает при х∈ (2; +∞) б) ϕ(x) = x3 + 4x – 7 ϕ′(x) = 3x2 + 4 > 0 при любых х, значит, ϕ(х) возрастает на R; в) g(x) = 2x3 – 3x2 + 1; g′(x) = 6(x2 – x); возрастает при x ∈ (–∞; 0) ∪ (1; +∞); убывает при x ∈ (0; 1).
C-34 a) f(x) = 2x4 – 4x2 + 1; f′(x) = 8(x3 – x); f(x) = 0 при x = 0 и x = ± 1; хmax = 0; хmin = ± 1; у(0) = 1; у(±1) = –1; 1 9 x 9 б) ϕ(x) = + ; ϕ′(x) = − 2 ; ϕ′(x) = 0 при x = ± 6; хmax = 6; хmin = –6; 4 x 4 x 3 3 ϕ(6) = + = 3 ; ϕ(–6) = –3. 2 2
C-35
f(x) = (x2 – 2)2 = x4 – 4x2 + 4; f′(x) = 4(x3 – 2x); f′(x) = 0 при x = 0 и x = ± 2 ; хmax = 0; хmin = ± 2 ; f(0) = 4; f(± 2 ) = 0; убывает при x ∈ (–∞; – 2 ) ∪ (0;
2)
возрастает при x ∈ (– 2 ; 0) ∪ ( 2 ; +∞)
68
C-36 8 3 x; 3 f′(x) = 8x3 + 8x2 = 8x2(x + 1); f′(x) = 0 при x = 0, x = –1; хmin = –1; 8 2 f(–1) = 2 – = – ; 3 3 возрастает при х∈ (− 1;+∞ ) ; убывает при х∈ (− ∞;−1) .
f(x) = 2x4 +
C-37 1.
f(x) = sin x + x; x ∈ [− π; π] ; f′(x) = cos x + 1; f′(x) = 0 при x = π + 2πn; наибольшее значение f (π) = π ; наименьшее значение f ( −π) = −π .
2. ⎧⎪a + b = 20 ⎧⎪b = 20 − a ; y′ = 60a2 – 4a3; у′ = 0 при ; ⎨ ⎨ ⎪⎩ y = a 3b ⎪⎩ y = 20a 3 − a 4 ⎧a = 15 ⎧a = 0 ⎪ ⎪ ; Ответ: 15 + 5 = 20. ⎨b = 20 и ⎨b = 5 ⎪ y = 16875 ⎪y = 0 ⎩ ⎩
C-38 1. 2.
1 + cos 2α
tgα = ctg2 α tg α = ctg α. 2 sin 2 α 2 sin 2α + sin 4α = tg 2α cos α; 2(cos α + cos 3α)
sin 2α(1 + cos 2α) sin 2α(1 + cos 2α) = = tg 2α cos α. cos α + cos 3α 2 cos 2α cos α 4 0 4 0 3. 1 – sin 15 – cos 15 = 1 1 = 1 − (sin 2 15 0 + cos 2 15 0 ) 2 + 2 sin 2 15 0 cos 2 15 0 = sin 2 30 0 = . 2 8
69
C-39 1. y = 2cos
2. f(x) = 0,5x2 + |x|; 1 f(–x) = (–x)2 + |–x| = 2 1 = x2 + |x| = f(x), значит, f(x) четная 2
x ; у = 0 при 2
x =π + 2πn хmax = 4πn; хmin = 2π + 4πn; y ( 4πn) = 2 ; y (2π + 4πn) = −2 .
C-40 1.
3 tg x sin x – 3 tg x + sin x – 1 = 0; ( 3 tg x +1)(sin x – 1) = 0; π ⎡ ⎡ 3 ⎢ x = − + πn 6 ⎢tgα = − . 3 ; ⎢ ⎢ π ⎢ x = + 2πn ⎢⎣sin x = 1 ⎢⎣ 2
2.
2cos 3x + 1 ≤ 0;
cos 3x ≤ –
1 ; 2
⎡ 2π 2πn 4π 2πn ⎤ x∈ ⎢ + . ; + 9 3 ⎥⎦ 3 ⎣ 9
1 sin 2x – cos x + 2x; f′(x) = cos 2x + sin x + 2; f′(x) = 0 при 2 3 sin x = – не имеет решений; sin x = −1 , 2 sin 2 x − sin x − 3 = 0 ; 2 π значит, x = − + 2πn . 2
3.
70
f(x) =
C-41 π π ⎧ ⎧ ⎪x = − y ⎪x + y = 2 2 ; ⎨ ⎨ ⎪cos 2 x − cos 2 y = − 3 ⎪cos(π − 2 y ) − cos 2 y = − 3 ⎩ ⎩ ⎧ π 3 ⎧ ⎪⎪cos 2 y = ⎪⎪ y = ± 12 + πn 2 ; . ⎨ ⎨ ⎪x = π − y ⎪ x = π m π − πn ⎪⎩ ⎪⎩ 2 12 2
C-42 a) (3x2 + 2x + 5)(x2 + 4x) < 0; так как 3 x 2 + 2 x + 5 > 0 прилюбом х, то (x2 + 4x) < 0; x ∈ (–4; 0); x 4 ( x 2 – 9) б) ≤ 0; ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 5; x 2 − 5x
-3
0
3
5
х
x 4 ( x − 3)( x + 3) ≤ 0; x( x − 5) x ∈ [–3; 0) ∪ [3; 5). в) (x + 5) x 2 – 16 ≥ 0;
x ∈ [–5; –4] ∪ [4; +∞).
-5
-4
4
х
C-43 1. a) y = ctg 2x, y′ =
−2 sin 2 2 x
; б) y = x sin x, y′ =
sin x 2 x
+ (cos x) x ;
в) y = cos2 x; y′ = –2cos x sin x; г) y = (sin 2x – 5)3; y′ = 3 ⋅ 2cos 2x(sin 2x – 5)2 = 6cos 2x(sin 2x – 5)2.
71
2.
f(x) =
2x 2 − 3 πx + 8sin ; 4x + 3 2
f′(–1) =
f′(x) =
16 x 2 + 12 x − 8 x 2 + 12 (4 x + 3) 2
+ 4π cos
πx ; 2
16 − 8 − 12 + 12 =8. 1
C-44 1. y = –x2 + 3x – 2, y′ = –2x + 3; –2x0 + 3 = 1, x0 = 1, y0(1) = 0, значит в точке (1,0) касательная параллельна прямой у = х.
x(t) = 2cos 4t;
2.
cos4t < 0;
v(t) = –8sin 4t; a(t) = –32cos 4t > 0 при π πn ⎤ ⎡ 3π πn ;− + t ∈ ⎢− + . 8 2 8 2 ⎥⎦ ⎣
C-45 ⎧⎪a + b = 12 ⎪⎧b = 12 − a ; ⎨ ; y′ = 108a2 – 12a3; у′ = 0 при ⎨ 3 3 4 ⎪⎩ y = a ⋅ 3 ⋅ b ⎪⎩ y = 36a − 3a ⎧a = 0 ⎧a = 9 ⎪ ⎪ и . 12 b = ⎨ ⎨b = 3 ⎪y = 0 ⎪ y = 6561 ⎩ ⎩
1.
Ответ: 9 + 3. 2.
f(x) = x2(x + 3) = x3 + 3x2; f′(x) = 3x2 + 6x = 0; f′(x) = 0 при x = 0 и x = –2; хmin = 0; хmax = –2; f(0) = 0; f(–2) = –8 + 12 = 4; возрастает при x ∈ (–∞; 2) ∪ (0; +∞) убывает приx ∈ (–2; 0) нули: x = 0 и x = –3.
72
ВАРИАНТ 5 С-1 π 2π π 7π ⋅ 72 = ; 140° = ⋅ 14 = . 180 5 18 9
1.
72° =
2.
11π = 165°; 12
3.
4.
23π = 517,5°. 8
π ⋅ 79 ≈ 1,3781; sin 79° ≈ 0,9816, cos 79° ≈ 0,1908; 180 38°22′ ≈ 0,6696; sin 38°22′ ≈ 0,6187, cos 38°22′ ≈ 0,7856. 79° =
a) 0,7575 ≈ 43°24′;
б) 2,0365 ≈ 116°41′.
С-2 1.
1+
sin 4 α + sin 2 α cos 2 α 2
cos α cos 200o tg300o
2.
а)
3.
cos α = –
sin 400o
2 5
=
1 2
cos α
>0;
;1+
sin 2 α 2
cos α
= 1 + tg 2α =
1 cos 2 α
.
б) cos 2 tg 4 < 0.
; α ∈ III четверти; sin α = –
1 5
;
tg α =
1 . 2
C-3 1.
a) sin 1050° = – sin 30° = –
3.
б) cos
3 23π π ; = cos = 6 6 2
1
. 3 3π ⎞ ⎛ ⎛π ⎞ sin 2 ⎜ + α ⎟ − cos 2 ⎜ α − ⎟ 2 ⎠ cos 2 α − sin 2 α ⎝ ⎝2 ⎠ = = sin2 α cos2 α. 2 2 π⎞ ⎞ α − α ctg tg 2 ⎛ 3π 2⎛ tg ⎜ + α ⎟ − ctg ⎜ α − ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝
в) tg 2130° = –tg 30° = –
2.
1 ; 2
cos(− α ) ⎛ 3π ⎞ ⎛π ⎞ cos α = tg α ctg α = 1. = tg⎜ − α ⎟ctg⎜ − α ⎟ ; ⎛π ⎞ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ cos α sin ⎜ + α ⎟ ⎝2 ⎠
73
C-4 1 − sin 2 22o30′
1.
2
o
2 cos 15 − 1
=
cos 2 22o30′ o
cos 30
=
2 +1 1 . (1 + cos 45°) = 6 3 2
2
⋅
5 3π 12 12 ; π<α< ; sin α = − ; tg α = ; 13 2 13 5 2tgα 24 ⎛ 144 ⎞ 119 ; tg 2α = cos 2α = − = : ⎜1 − ⎟= 169 5 ⎝ 25 ⎠ 1 − tg 2α cos α = −
2.
=−
25 24 120 ⋅ =− . 119 5 119
ctg2 α (1 – cos 2α)2 – cos2 2α = 4sin4 α ctg2 α – cos2 2α = = sin2 2α – cos2 2α = – cos 4α.
3.
C-5 Y
см. рис;
1.
3 23π π = cos = ; 6 6 2 23π π 1 = –sin = – . ордината: sin 6 6 2
-1
абсцисса: cos
2.
а)
I;
б)
IV.
X
-1 0
3. 1 π⎞ 1 ⎛ cos ⎜ x + ⎟ = − ; 4 4 4 ⎝ ⎠ π⎞ ⎛ cos ⎜ x + ⎟ = −1 ; 4⎠ ⎝
x=
74
3π + 2πn. 4
1
P -1
С-6 1.
2.
a)
f(x) =
б)
f(x) =
5x − 4 x2 − 7 x + 6
1 2
x −4
;
ОДЗ: x2 – 7x + 6 ≠ 0; x ≠ 6 и x ≠ 1;
; ОДЗ: x2 – 4 > 0; x ∈ (−∞; − 2) ∪ (2; ∞).
3
f(x) = x + 3x – 1 f(–2) = –8 – 6 –1 = –15; f(x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 1 + 3) – 1 = x3 + 3x2 + 6x + 3.
3.
С-7 1. f(x) = 2.
x 3 sin x tg 2 x
; f(–x) =
(− x )3 sin (− x ) = x3 sin x = f(x), значит, f(x) четная. tg 2 (− x)
tg 2 x
g(x) = |x| cos 2x sin3 3x; g(–x) = |–x| cos (–2x) sin3 (–3x) = = –|x| cos 2x sin 3x = –f(x), значит, g(x) нечетная.
С-8 1.
а) cos 235°17′ = –sin 34°43′; б) 29π π в) tg = tg . 7 7
sin 5040° = sin 0° = 0;
2.
sin (–60°) + cos 690° + tg (–600°) = –
3 3 + − 3 =− 3. 2 2
75
⎛ x π⎞ a) tg ⎜ − ⎟ , Т = 2π; б) y = cos2 2x – sin 4x; ⎝2 5⎠ π y1 = cos 2 2 x; T1 = 2 , значит, T = π . π 2 y 2 = sin 4 x; T2 = 2
3.
С-9 1. а) f(x) = x + 1 возрастает на области определения, то есть при x ∈ ( −1; ∞) ;
1 x−2 убывает на области определения, то есть = −1 + x −1 x −1 при x ∈ ( −∞;1) ∪ (1; ∞ ) . б) f(x) = –
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ f(x) = tg ⎜ 2 x − ⎟ ; ОДЗ: cos ⎜ 2 x − ⎟ ≠ 0; 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ возрастает на области определения.
2.
3.
sin 40°, cos 40°, sin 70°, cos 70°. Ответ: sin 70°, cos 40°, sin 40°, cos 70°.
С-10 1. y = 5x – 2x2 –2;
y ∈ (–∞; 2.
xmax =
5 ; 4
9 ]. 8
2π ⎞ ⎛ f(x) = 3cos ⎜ x − ⎟; 7 ⎠ ⎝
2π ⎞ ⎛ f ′( x) = −3 sin ⎜ x − ⎟; 7 ⎠ ⎝ f ′( x) = 0 при x =
x=
76
9π + 2πn ; 7
2π + 2πn и 7
x≠=
3π πn ; + 8 2
x max =
9π 2π + 2πn ; x min = + 2πn ; 7 7
⎞ ⎛ 2π экстремумы: f ⎜ + 2πn ⎟ = 3 ; ⎠ ⎝ 7
⎞ ⎛ 9π + 2πn ⎟ = −3 . f⎜ ⎠ ⎝ 7
С-11
С-12
1.
⎡ ⎛ π⎞ ⎢sin⎜ x − ⎟ ≠ 0 4⎠ 1 ⎝ ; ; ОДЗ: ⎢ f(x) = ⎢ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ tg⎜ x − ⎟ ⎢cos⎜ x − ⎟ ≠ 0 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎢⎣ ⎝
2.
π⎞ ⎛ f(x) = sin ⎜ 3x − ⎟ ; 7⎠ ⎝
хmax =
3π 2πn + ; 14 3
хmin = −
⎡ ⎢x ≠ ⎢ ⎢x ≠ ⎢⎣
π + πn 4 . 3π + πn 4
5π 2πn + . 42 3
77
3.
Y 1
−
sin t ≤ –
1 3
1
Х
1 1 1 ; t ∈ [–π + arcsin + 2πn; –arcsin + 2πn]. 3 3 3
С-13 1.
⎛ 3 ⎞⎟ 5π = а) arccos ⎜ − ; б) sin (arcsin 0,1) = 0,1; ⎜ 2 ⎟ 6 ⎝ ⎠ π 3π в) arctg (–1) + arccos (–1) = – + π = ; 4 4 π 1 г) cos (3arctg ) = cos = 0. 2 3 2. a) в)
arcsin (0,897) ≈ 1,113; б) arctg (–4) ≈ –1,3258.
arccos (–0,773) ≈ 2,4544;
С-14 5π 5π π⎞ ⎛ + 2πn; б) sin ⎜ x − ⎟ = 1; x = + 2πn; 6 6 3⎠ ⎝ π⎞ 1 πn ⎛ tg ⎜ 3x + ⎟ = ; 3x = πn; x = . 3 6 3 ⎝ ⎠
а) cos x = – в)
78
3 2
x=±
С-15 а)
б)
в)
cos x ≤ –
7π 3 ⎡ 5π ⎤ + 2πn ⎥ . ; x ∈ ⎢ + 2πn; 6 6 2 ⎣ ⎦
С-16 ⎛ π 2πn 5π 2πn ⎞ x∈ ⎜ + ; + ⎟. 3 9 3 ⎠ ⎝9 π⎞ 4π ⎛ ⎡π ⎞ + πn ⎟ б) tg ⎜ 2 x + ⎟ ≥ – 3 ; 2x ∈ ⎢ + πn; 6⎠ 3 ⎣2 ⎠ ⎝ ⎡ π πn 2π πn ⎞ + ; x∈ ⎢ + ⎟. 3 2 ⎠ ⎣4 2
а) cos 3x <
1 ; 2
С-17 а) ctg x = –4 – 3tg x, ctg2 x + 4ctg x + 3 = 0;
tg x ≠ 0; ctg x = –3 x = –arctg 3 + πn π ctg x = –1 x =– + πn. 4
79
4sin4 x – 5sin2 x + 1 = 0; π 1 sin2 x = 1; x = + πn; sin2 x = ; 2 4 б)
π + πk и 6 π x = (–1)z+1 + πz. 6
x = (–1)k
С-18 π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 3 sin ⎜ x − ⎟ + 3cos ⎜ x − ⎟ = 0; cos ⎜ x − ⎟ ≠ 0; 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ ⎛ tg ⎜ x − ⎟ = – 3 ; x = πn; 3⎠ ⎝ б) 2sin2 x + 2sin x cos x = 1; cos x ≠ 0; tg2 x + 2tg x – 1 = 0; x = arctg (± 2 ) + πn. tg x = –1 ± 2 ; а)
С-19 1 ⎧ ⎪⎪sin x cos y = − 4 ; ⎨ ⎪cos x sin y = 3 ⎪⎩ 4 π ⎧ x + y = (−1)k + πk ⎪⎪ 6 ; ⎨ π ⎪ x − y = − + 2πn ⎪⎩ 2
1 ⎧ ⎪⎪sin( x + y ) + sin( x − y ) = − 2 ; ⎨ ⎪sin( x + y ) − sin( x − y ) = 3 ⎪⎩ 2 π π π k ⎧ − + + πn x = (−1) k ⎪⎪ 12 4 2 . ⎨ ⎪ y = (−1) k π + π + πk − πn ⎪⎩ 12 4 2
С-20 а) sin x + sin 5x = sin 3x + sin 7x; sin 3x cos 2x – sin 5x cos 2x = 0; π πn или sin x cos 4x = 0; cos 2x = 0 x = + 4 2 π πn sin x = 0; x = πn; cos 4x = 0; x = + . 8 4 б) sin x sin 2x cos 3x + sin x cos 2x sin 3x = 0; sin x(sin 2 x cos 3 x + cos 2 x sin 3 x) = 0 ;
sin x = 0;
x = πn ;
80
sin 5x = 0; 5 x = πn ; x =
πn πn . Ответ: . 5 5
С-21 1. 2 4 x + 2; f(1) = ; 3 3 −11 30 19 f(1, 1) = + = ; 15 15 15 1 –f(x0) + f(x0 + ∆x) = – ; 15 2 f(x0 + ∆x) – f(x0)= – ∆x. 3
f(x) = –
2.
f(x) = 1 – 3x – 2x2; ∆f ( x0 ) 1 − 3x0 − 3∆x − 2∆x 2 − 2 x02 − 4∆xx0 − 1 − 3x0 − 2 x0 = = ∆x ∆x ∆f ( x 0 ) = –3 – 4x0 –2∆x; x0 = 1, ∆x = 0,1; = –7,2; ∆x ∆f ( x 0 ) x0 = 1, ∆x = 0,002 = –7,004; ∆x ∆f ( x 0 ) = –7,00002; x0 = 1, ∆x = 0,00001 ∆x ∆f ( x 0 ) lim = –7 (при x0 = 1). ∆x →0 ∆x
С-22 1.
2.
x(t) = t2 + 4; v(t) = 2t. Импульс при t = 4, m = 2 равен 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 16.
а) f(x) = 6 x ;
f′(x) =
3 x
; б) f(x) = 4 – x2;
f′(x) = –2x.
С-23 1.
a) f ( −2) = −1;
2.
f(x) =
f (4) = 1; б)
lim f(x) = –1;
x → −2
lim f(x) = –2
x → −4
9 − x2 = – x – 3, при x ≠ 3 (3 – x) < 0,001; δ = 0,001. x−3
81
С-24 1. a) y = f(x) – 2g2(x); lim y = lim f ( x) − 2 lim g 2 ( x) = 5 − 8 = −3 ; x→3
x→3
x →3
f ( x) − g ( x) , предела не существует, т.к. знаменатель б) y = 2 f ( x) − 5 g ( x) стремиться к 0. a) lim (1 – 3x3 + 4x4) = 1 + 24 + 64 = 89;
2.
x → −2
б) lim
x →3
2x + 9
x2 − x − 1
=
15 = 3. 5
С-25 1. a) f(x) = x9 – 3x5 – б) f(x) =
2.
x
+ 2;
4
f′(x) = 9x8 – 15x4 +
12
x5
;
4 − x2 − 6x − 4x 2 − 8 + 2x 2 − 2x2 − 6x − 8 ; f ′( x) = = . 3 + 2x (3 + 2 x) 2 (3 + 2 x) 2
f(x) = (x + 1) x f′(2) =
2+
f′(x) =
3 2 2
x−2 +
f′(x – 2) = 3.
3
f(x) = 3x – x3;
x+
x +1
2 x 5 13 f′(4) = 2 + = ; 4 4
x −1 2 x−2
;
.
f′(x) = 3 – 3x2 ≥ 0 при x ∈ [–1; 1].
С-26 1.
f(x) =
f′(t2) =
x −1 x +1
f′(x) = 2( x + 1)–2 ⋅
;
1
t (t + 1) 2
1 2 x
=
1
x ( x + 1) 2
;
.
2. a) f(x) = 9x3 + x; f′(x) = 27x2 + 1 > 0 всегда, значит, f ′( x) = 0 и f ′( x) < 0 не имеют решений;
82
б) f(x) =
x 2 + 15 2 x 2 + 2 x − x 2 − 15 x 2 + 2 x − 15 ; f′(x) = = = 0 ; f ′( x) = 0 x +1 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2
( x + 5)( x − 3)
= 0 x = –5 и x = 3; ( x + 1) 2 f′(x) > 0 при x ∈ (–∞; 5) ∪ (3; +∞); f′(x) < 0 при x ∈ (–5; –1) ∪ (–1; 3).
при
С-27 1.
a) f(x) = 3 x − 1 ; б) f(x) =
1 2
x − 6x + 9
ОДЗ: 3 x – 1 ≥ 0; x ≥ ; ОДЗ: x2 – 6x + 9 ≠ 0;
1 ; 9
x ≠ 3.
2+3 x 2 + 3x 2 + 3x ; g(f(x)) = ; g(x) = x ; f(g(x)) = . 1− x 1− x 1− x
2.
f(x) =
3.
a) f(x) = (x7 – 3x4)120 б) g(x) =
x2 − 1 ;
f′(x) = 120(7x6 – 12x3)(x7 – 3x4)119; x g′(x) = . 2 x −1
С-28 ⎛x ⎞ a) f(x) = tg ⎜ + 10 ⎟ ; ⎝3 ⎠
1 ; x ⎞ 3 cos ⎜ +10 ⎟ ⎠ ⎝3 б) f(x) = cos (3 – 2x); f′(x) = 2sin (3 – 2x); sin(2 x + 5) + 2cos(2x + 5) tg x. в) f(x) = tg x sin (2x + 5); f′(x) = cos2 x f′(x) =
2⎛
С-29 1.
f(x)=
x2 − 4 ( x − 1)( x 2 − 3 x − 4)
;
ОДЗ (x – 1)(x2 – 3x – 4) ≠ 0; x ≠ ± 1 и x ≠ 4, значит, промежутки непрерывности: x ∈ (−∞;−1) ∪ (−1;1) ∪ (1;4) ∪ (4; ∞).
83
a) x2 + 5x + 4 < 0;
2.
(x + 1)(x + 4) < 0;
-1
-4
x ∈ (–4; –1); ( x − 2)( x + 2) 2 ( x − 7) <0; б) x 2 − 16
-4
-2
2
4
7
х
х
x ∈ (–4; –2) ∪ (–2; 2) ∪ (4;7); 4x2 − 9x + 2 − 2x2 − x + 6 x − 2 2x − 3 ; ≥ в) ≥ 0; x + 2 4x −1 ( x + 2)(4 x − 1) 2 x 2 − 10 x + 8 ≥ 0; ( x + 2)(4 x − 1)
x ∈ (–∞; –2) ∪ (
( x − 1)( x − 4) ≥ 0; ( x + 2)(4 x − 1)
-2
1/4
1 ; 1] ∪ [4; +∞). 4
1
4
С-30 у(x) = –
1.
1 ; x
у(–1) = 1;
у′(x) =
1 x2
;
Yкас = 1 + x + 1 = x + 2 – уравнение касательной.
84
у′(–1) = 1;
х
y = cos
2.
yкас =
1 1 x x ; y(π) = ; y′ = – sin ; 3 2 3 3
3 3 1 1 – (x – π) = – x+ + 2 6 6 2
y′(π) = –
3 ; 6
3π – уравнение касательной. 6
С-31 35,91 ≈ 6(1 – 0,0025 ⋅
1. 2.
1 )= 5,9925. 2
1,000081000 – 0,99996200 ≈ 1 + 0,00008 ⋅ 1000 – 1 + 0,00004 ⋅ 200 = = 1,08 – 0,992 = 0,088.
С-32 1 3 t; v(t) = 17 – 4t + t2; 3 a(t) = –4 + 2t; a(3) = 2; F = ma = 3 ⋅ 3 = 6 н.
1.
s(t) = 17t – 2t2 +
2.
h(t) = h0 + v0t –
gt 2 = 2 + 4t – 5t2 ; v(t) = 4 – 10t; 2 4 8 8 4 4 – 10t = ; = ; = 10t; t = 3 3 30 15 16 16 48 − 16 32 ⎛ 4⎞ h⎜ ⎟= 2 + – 5 ⋅ =2+ =2 м. 15 225 45 45 ⎝ 15 ⎠
С-33 f(x) = 2x – 3x – 12x; f′(x) = 6(x2 – x – 2); f′ (x) = 0 при x = 2 и x = –1; f (x) возрастает при x ∈ (–∞; –1) ∪ (2; +∞); убывает при x ∈ (–1; 2). 3
1.
2
2. f(x) = 2 x – x; f′(x) =
1
x
– 1; f′ (x) = 0 при x = 1; x = 1 – точка max.
C-34 f(x) = x (x – 6) = x – 12x + 36x ; f′(x) = 4(x3 – 9x2 + 18x); f′ (x) = 0 при x = 0, x = 3 и x = 6; xmin = 0; xmin = 6; xmax = 3; f(0) = 0; f(3) = 81; f(6) = 0; f(x) убывает при x ∈ (–∞; 0) ∪ (3; 6]; возрастает при x ∈ (0; 3) ∪ (6; +∞). 2
2
4
3
2
85
C-35 1.
y=–
1 2 5 x + 2x + ; 2 2
xв = 2; yв = 4,5; возрастает при x ∈ (−∞;2); убывает при x ∈ ( 2; ∞); x ∈ R; y ∈ (–∞; 4,5]; 1 2 5 x – 2x – = 0; 2 2 нули: x = 5, x = –1. D = 1 – 3 < 0, значит, х ∈ R; 4 2 2 б) 9x – 18x + 4 ≤ 5x – 6x + 11; 4x2 – 12x – 7 ≤ 0; 7 1 ⎡ 1 7⎤ x1 = , x2 = – ; x ∈ ⎢− ; ⎥ . 2 2 ⎣ 2 2⎦
a) 3x2 – 2x + 1 > 0
2.
C-36
y = x4 – 2x2 + 1 y′ = 4x(x2 –1); y′ = 0 при x = 0 и x = ±1 убывает при x∈ (–∞; –1) ∪ [0; 1]; возрастает при x∈ [–1; 0] ∪ [1; +∞); min: (±1; 0); max: (0; 1).
86
C-37 f(x) = 3x5 – 5x3 + 1; x ∈ [–2; 2]; f′(x) = 15x2(x2 – 1); f(x) = 0 при x = 0 и x = ±1; f(0) = 1; f(1) = –1; f(–1) = 1; f(–2) = –55; f(2) = 57; наименьшее значение функции –55; наибольшее значение функции 57. 1.
2.
⎧⎪a + b = 6 ; ⎨ ⎪⎩ y = a 2b
⎪⎧b = 6 − a ; ⎨ ⎪⎩ y = 6a 2 − a3
y′ = 12a – 3a2; у′ = 0 при
⎧a = 0 ⎧a = 4 ⎪ ⎪ b и 6 = ⎨ ⎨b = 2 . ⎪ y = 0 ⎪ y = 32 ⎩ ⎩ Ответ: 4 + 2.
C-38 1.
sin α =
3 ; 5
π < α <π; 2
4 3π ; π<β< ; 5 2 4 3 cos α = – ; sin β = – ; 5 5
cos β = –
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α = –
2.
3.
12 12 + = 0. 25 25
⎛ 3π ⎞ − 2α ⎟ cos 2 ⎜ 2 2 ⎝ 2 ⎠ + ⎛⎜ 2 cos 2 α − 2 sin 2 α ⎞⎟ = sin 2α + 4cos2 α = 4. 2 2 2⎠ cos 2 α cos ( π − α ) ⎝ sin 22°30′ =
1 − sin 45 o = 2
cos 22°30′ =
2+ 2 ; 2
tg 22°30′ =
2− 2 2+ 2
2− 2 ; 2
.
87
C-39 πn – нули; x ∈ R; y ∈ [–1; 1] 2 π ⎞ ⎛ π возрастает при x ∈ ⎜ − + πn; + πn ⎟ ; 4 ⎠ ⎝ 4 3π ⎛π ⎞ + πn ⎟ убывает при x ∈ ⎜ + πn; 4 ⎝4 ⎠ y = sin 2x; у = 0 при x =
a)
x=–
π + πn – min; 4
x=
π + πn – max. 4
π⎞ 5π ⎛ б) y = cos ⎜ x + ⎟ ; у = 0 при x = + πn – нули; 7⎠ 14 ⎝ π ⎡ 8π ⎤ + 2πn; − + 2πn ⎥ ; возрастает при x ∈ ⎢− 7 ⎣ 7 ⎦
6π ⎡ π ⎤ убывает при x ∈ ⎢− + 2πn; + 2πn ⎥ ; 7 ⎦ ⎣ 7 6π π x = – + 2πn – max; x = + 2πn – min; x ∈ R; y ∈ [–1; 1]. 7 7
88
⎛ x π⎞ в) y = tg ⎜ − ⎟ ; ⎝3 4⎠
π ⎛ x π⎞ нули: tg ⎜ − ⎟ = 0 при x = + 3πn; 3 4 12 ⎝ ⎠ 9π y ∈ R; x ≠ + 3πn; возрастает на области определения. 4
C-40 1.
⎛ 2 π 3 ⎞⎟ π ⎛ 1 ⎞ 2π а) arccos ⎜ − ⎟ = ; б) arcsin = ; в) arctg ⎜ − =− . ⎜ ⎟ 2 4 3 6 ⎝ 2⎠ 3 ⎝ ⎠ 2. π π π π π⎞ ⎛ a) 2cos ⎜ 2x − ⎟ = 2 ; 2x – = ± + 2πn; x = ± + + πn; 4 4 8 8 4 ⎠ ⎝ 1 1 б) cos2 x – sin 2x = – ; cos 2x – sin 2x = –1; 2 2 2 2 1 , ϕ = arccos ; sin 2x – cos 2x = 1; sin (2x – ϕ) = 2 5 5
x=
2 2 1 1 πk + arccos + (–1)k arcsin . 2 2 5 2 5
3. π πn ⎞ ⎛ π πn x ∈ ⎜− + ;− + ⎟. 8 2 ⎠ ⎝ 4 2 π⎞ 1 13π ⎛ ⎛ 5π ⎞ б) sin ⎜ x − ⎟ > ; x∈ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ . 2 4 12 12 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a) tg 2x < –1;
89
C-41 π ⎧ ⎪⎪ x + y = 3 ; ⎨ ⎪sin 2 x + sin 2 y = 1 ⎪⎩ 2
π ⎧ ⎪x = 3 − y ⎪ ; ⎨ ⎪1 − cos⎛⎜ 2π − 2 y ⎞⎟ + 1 − cos 2 y = 1 ⎪⎩ ⎝ 3 ⎠
⎧ π ⎛π ⎞ 1 ⎧ ⎪cos cos⎜ − 2 y ⎟ = ⎪y = ⎪ 3 3 ⎝ ⎠ 2; ⎪ ⎨ ⎨ ⎪x = π − y ⎪x = ⎪⎩ 3 ⎩⎪
π + πn 6 . π − πn 6
C-42 1.
a) x2 – 4x + 3 ≤ 0;
x ∈ [1; 3]; б) x2 – 6x + 9 > 0;
(x – 3)2 > 0; х ≠ 3.
2. a)
( x − 1)( x – 2) 2
б)
( x − 3) 3
≤ 0;
2 3 + > 4; x −1 x − 2
4 x 2 − 17 x + 15 < 0; ( x − 1)( x − 2) x1 =
17 − 7 5 = , x2 = 3; 8 4
x ∈ [1; 3).
1
2
3
2 x − 4 + 3x − 3 − 4 x 2 + 12 x − 8 >0; ( x − 1)( x − 2)
1
5/4
2
3
⎛ 5⎞ x ∈ ⎜1; ⎟ ∪ (2; 3). ⎝ 4⎠
C-43 6
a) y = x – 3x + 2x – 3; y′ = 6x – 12x3 + 6x2; 3 − 2x 3 − 2x − 4x 3 − 6x б) y = (3 – 2x) x ; y′ = ; −2 x = = 2 x 2 x 2 x в) y = sin 2x; y′ = 2cos 2x; 1 ⎛1 ⎞ г) y = tg ⎜ x −1⎟ ; y′ = ; ⎞ ⎝3 ⎠ 2⎛ 1 3 cos ⎜ x −1⎟ ⎝3 ⎠ 17 д) y = (2x – 1) ; y′ = 34(2x – 1)16.
90
4
3
х
5
х
C-44 1.
f(x) = 3x – x2; f(1) = 2; f′(x) = 3 – 2x; f′(1) = 1; y = 2 + x – 1 = x + 1 – уравнение касательной. 1 = 0,999; 2 50 б) (1,0003) ≈ 1 + 0,0003 ⋅ 50 = 1,015.
2.
3.
a)
0,998 ≈ 1 – 0,002 ⋅
x(t) = t3 – 2t2 + 3t; v(t) = 3t2 – 4t + 3; v(2) = 12 – 8 + 3 = 7; a(t) = 6t – 4; a(2) = 8.
C-45 1.
y = 4x –x4; y′ = 4 – 4x3; y′ = 0 при x = 1 у возрастает при х∈ (–∞; 1); убывает при х∈ (1; +∞); x = 1 – max; у(1) = 3; нули: x = 0 и x = 3 4 .
2.
f(x) =
1 2
x +1
; x ∈ [–1;
−2 x 1 ; f ′( x) = 0 при x = 0; ]; f′(x) = 2 2 ( x + 1) 2
1 ⎛1⎞ 4 ; f⎜ ⎟ = ; 2 ⎝2⎠ 5 наибольшее значение функции f(0) = 1
f(0) = 1;
f(–1) =
наименьшее значение функции f(–1) =
1 . 2
91
ВАРИАНТ 6 С-1 π 7π π ⋅ 42 = ; 130° = ⋅ 13. 180 30 18
1.
42° =
2.
7π = 105°; 12
3.
a) 57° =
4.
a) 0,8796 ≈ 50°24′; б) 2,3422 ≈ 134°12′.
21π = 945°. 4
π57 ; sin 57° ≈ 0,8387; cos 57° ≈ 0,5446; 180 б) 88°55′ ≈ 1,5519; sin 88°55′ ≈ 0,9998; cos 88°55′ ≈ 0,0192.
С-2 cos 4 α + sin 2 α cos 2 α
1.
1+
2.
а)
3.
tg α = 3; 1 ctg α = , 3
2
sin α
sin 110o cos 220o ctg330o
>0;
=
1 2
sin α
; 1 + ctg 2α =
1 sin 2 α
.
б) sin 2 ctg 4 > 0.
α ∈ I четверти; 3 sin α . = 3, sin2 α = 9 – 9sin2 α; sin α = 10 1 − sin 2 α
C-3 1.
92
3 3 43π 5π ; б) cos ; = cos =– 2 6 6 2 1 в) tg 1590° = tg 150° = – . 3
a) sin 2280° = sin 120° =
2.
ctg(270o − α) 2
o
⋅
ctg 2 (360o − α ) − 1 o
1 − tg (α − 180 ) ctg(180 + α) = tg 2α ctg 2α = 1.
=
ctg 2α − 1 = ctgα 1 − tg α tgα
2
⋅
sin (−α ) ⎛ 3π ⎞ ⎛π ⎞ sin α = ctg ⎜ + α ⎟ tg ⎜ + α ⎟ ; = tg α ctg α = 1. 2 2 π ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sin α cos ⎜ + α ⎟ ⎝2 ⎠
3.
C-4 1 − sin 2 15o cos 2 15o 1 + cos 30o 2 + 2 . = = = π π 2 2 2 2 cos 2 − 1 cos 8 4
1.
2.
3.
π < α < π; 2 3 7 24 7 ; sin 2α = – ; ctg 2α = . cos α = − ; cos 2α = − 5 25 25 24
sin α =
4 ; 5
cos2 2α + (1 + cos 2α)2 tg2 α= cos2 2α + 4cos4 α tg2 α = = cos2 2α + sin2 2α = 1.
C-5 1.
3 43π 5π = cos =– ; 6 6 2 43π 5π 1 ордината: sin = –sin =– . 6 6 2 абсцисса: cos
Y -1
X
-1 0
1
P -1
2.
а)
III;
б)
I.
93
3. π⎞ ⎛ 4 2 sin ⎜ x − ⎟ = 4; 4⎠ ⎝
π⎞ 2 ⎛ ; sin ⎜ x − ⎟ = 4 2 ⎝ ⎠ π π x = + (–1)k + πk. 4 4
С-6 1.
2. 3.
94
a)
f(x) =
б)
f(x) =
1 − 8x x2 − 5x + 6
1 16 − x 2
;
;
ОДЗ: x2 – 5x + 6 ≠ 0; ОДЗ: 16 – x2 > 0;
x ≠ 2 и x ≠ 3;
x ∈ (–4; 4).
f(x) = 2x3 – x + 5; f(–1) = 4; f(x–1) = (x – 1)(2x2 – 4x + 2 – 1) + 5 = 2x3 – 6x2 + 5x + 4.
С-7 1. f(–x) = 2.
f(x) =
sin x cos 2 xtgx x2
sin (− x ) cos 2 (− x) tg (− x) (− x) 2
=
sin x cos 2 xtgx x2
= f(x), значит, f(x) четная.
g(x) = x |x| sin 5x tg 3x; g(–x) = |–x| (–x) sin (–5x) tg (–3x) = = –x |x| sin 5x tg 3x = –g(x), значит, g(x) нечетная.
С-8 1.
sin 312°19′ = –cos 42°19′ ; 33π π в) ctg = ctg . 8 8
2.
cos (–30°) + sin 660° + ctg (–510°) =
3.
a)
y = tg (1 – 3x);
б)
y = sin4 x + cos4 x = 1 –
а)
Т=
б)
cos 5042° = cos 2°;
3 3 − + 3= 3. 2 2
π ; 3
1 sin2 2x; 2
T=
π . 2
С-9 1⎤ ⎛ 1. а) f(x) = 1− 2 x ; убывает на области определения, т.е. при x ∈ ⎜ − ∞;− ⎥ ; 2⎦ ⎝ x+2 1 ; убывает на области определения, т.е. = 1+ б) f(x) = x +1 x +1 при x ∈ (− ∞;−1) ∪ (− 1; ∞ ) . 2.
3.
⎛π x⎞ ⎛ x π⎞ f(x) = tg ⎜ − ⎟ ; ОДЗ: cos ⎜ − ⎟ ≠ 0; 3 2 ⎝ ⎠ ⎝2 3⎠ убывает на области определения.
x≠
5π + 2πn ; 3
cos 10°, cos 70°, cos (–20°) = cos 20°, sin 15°. Ответ: sin 15°, cos 70°, cos 20°, cos 10°.
95
С-10 1. y = 3x – x2 + 1;
2.
xв =
3 13 9 9 11 ]. ; yв = − + 1 = ; y ∈ (–∞; 4 2 2 4 4
π⎞ ⎛ f(x) = sin ⎜ 2 x + ⎟ ; 7⎠ ⎝
⎛ 9π ⎞ ⎛ 5π ⎞ + πn; − 1⎟ ; max: ⎜ + πn; 1⎟ . min: ⎜ − ⎝ 28 ⎠ ⎝ 28 ⎠
С-11
–5
С-12
1.
96
1 ; f(x) = tg3x
⎡ ⎢x ≠ ⎡sin 3x ≠ 0 ОДЗ: ⎢ ; ⎢ ⎣cos 3x ≠ 0 ⎢ x ≠ ⎢⎣
πn 3 . π πn + 6 3
2.
⎛x π ⎞ f(x) = cos ⎜ − ⎟ ⎝ 3 12 ⎠
возрастает при π ⎤ ⎡ 11π x ∈ ⎢− + 6πn; + 6πn ⎥ ; 4 ⎦ ⎣ 4 убывает при 13π ⎤ ⎡π x ∈ ⎢ + 6πn; + 6πn ⎥ . 4 ⎦ ⎣4
3.
cos t > –
2π 1 ⎛ 2π ⎞ + 2πn; + 2πn ⎟ ; t ∈ ⎜− 3 2 ⎝ 3 ⎠
Y
−
1 2
X
С-13 1.
π ⎛ 1⎞ а) arcsin ⎜ − ⎟ = – ; б) cos (arccos (–0,3)) = –0,3; 2 6 ⎝ ⎠ 1 π π π в) arctg (– 3 ) + arctg =– + =– . 3 6 6 3 1 г) sin (3arcctg ) = sin π = 0. 3 2. a) в)
arcsin (–0,736) ≈ –0,8271; б) arctg (3,7) ≈ 1,3068.
arccos (–0,997) ≈ 3,0641;
97
С-14 а)
sin x = –
2 ; 2
x = (–1)k+1
π⎞ 3 ⎛ cos ⎜ x + ⎟ = ; 6⎠ 2 ⎝ π⎞ ⎛ в) tg ⎜ 2 x − ⎟ = 3 ; 3⎠ ⎝
б)
π + πk. 4
x =– x=
π 5π ± + 2πn; 6 6
π πn + . 3 2
С-15 а)
б)
в)
sin x ≤ –
π ⎡ 5π ⎤ + 2πn; − + 2πn ⎥ . x ∈ ⎢− 6 6 ⎣ ⎦
1 ; 2
С-16 а) sin 2x >
98
2 ; 2
3π ⎛π ⎞ x ∈ ⎜ + πn; + πn ⎟ ; 8 ⎝8 ⎠
1 π⎞ ⎛ б) tg ⎜ 3x − ⎟ < ; 4⎠ 3 ⎝
5π ⎛ π ⎞ + πn ⎟ ; 3x ∈ ⎜ − + πn; 12 ⎝ 4 ⎠ ⎛ π πn 5π πn ⎞ x ∈ ⎜− + ; + ⎟. ⎝ 12 3 36 3 ⎠
С-17 а) tg x + 3ctg x = 4; сtg x ≠ 0; tg2 x – 4tg x + 3 = 0; tg x = 3; x = arctg 3 + πn; π tg x = 1; x = + πn; 4 б) 2cos4 x – 3cos2 x + 1 = 0; π πn 1 . cos2 x = 1; x = πn; cos2 x = ; x = + 2 4 2
С-18 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ а) sin ⎜ x + ⎟ + cos ⎜ x + ⎟ = 0; 6⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ π⎞ 5π ⎛ tg ⎜ x + ⎟ = –1; x = – + πn . 12 6⎠ ⎝
π⎞ ⎛ cos ⎜ x + ⎟ ≠ 0; 6⎠ ⎝
5 sin 2x + 2 = 0; 5sin 2x + cos 2x = 5; 2 5 sin (2x + ϕ) = ; 26 5 ϕ = arccos ; 26 5 ϕ 1 πk + x = – + (−1)k arcsin . 2 2 2 26 б)
sin2 x –
С-19 1 ⎧ ⎪⎪cos x cos y = 2 ; ⎨ ⎪sin x sin y = − 1 2 ⎩⎪
⎧cos( x + y ) + cos( x − y ) = 1 ; ⎨ ⎩cos( x + y ) − cos( x − y ) = −1
99
π ⎧ ⎪ x + y = + πn ; 2 ⎨ ⎪ x − y = 2πk ⎩
⎧ ⎪⎪ x = ⎨ ⎪y = ⎩⎪
π πn + + πk 4 2 . π πn + − πk 4 2
С-20 а) cos x + cos 5x = cos 3x + cos 7x; cos 3x cos 2x – cos 5x cos 2x = 0; cos 2x (cos 3x – cos 5x) = 0; cos 2x sin 4x sin x = 0; π πn πn ; sin 4x sin x = 0; sin 4x = 0; x = ; cos 2x = 0; x = + 4 2 4 б) cos x cos 2x cos 5x – cos x sin 2x sin 5x + sin x sin 7x = 0 π πn + . cos x cos 7x + sin x sin 7x = 0; cos 6x = 0; x = 12 6
С-21 1.
f(x) =
1 x–2; 2 1 ∆x; 2 ∆x = 0,2 ∆f(x0)= 0,1.
f(x0 + ∆x) – f(x0) = x0 = 5 2.
f(x) = 2 + 3x – ∆f ( x0 ) = ∆x
x2 ; 2
2 + 3 x0 + 3∆x −
x02 + ∆x 2 + 2 x0∆x x2 − 2 − 3 x0 + 0 2 2 = 3 – ∆x – x ; 0 ∆x 2
∆f ( x 0 ) = 3,95; ∆x ∆f ( x 0 ) = 3,999; x0 = –1, ∆x = 0,002; ∆x ∆f ( x 0 ) = 3,999995; x0 = –1, ∆x = 0,00001; ∆x ∆f ( x 0 ) = 4. x0 = –1; lim ∆x →0 ∆x
x0 = –1, ∆x = 0,1;
100
С-22 1.
x(t) = 2t2 – 1; v(t) = 4t; Импульс при t = 2 и m = 3 равен 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 кг ⋅ м/с.
2.
а) f(x) = 4 x , f′(x) =
2
б) f(x) = x2 + 3;
;
x
f′(x) = 2x.
С-23 1.
a) f(–3) = 1; f(2) = 2;
2.
f(x) =
б) lim f(x) = 1
lim f(x) = –1.
x → −3
x→2
x2 − 4 = x + 2, x ≠ 2; |x – 3| < 0,001; δ = 0,001. x−2
С-24 1.
a) lim y = lim f 2 ( x) − 3 lim g ( x) = 4 − 9 = −5 ; x→−1
x→−1
б) lim y =
x→−1
x → −1
2.
a) б)
x → −1
lim f ( x) − lim g ( x) x → −1
lim f ( x) + lim g ( x)
x→−1
x → −1
=
2−3 1 =− . 2+3 5
lim (1 – 3x2 + 4x4) = 1 – 12 + 64 = 53;
x→2
lim
x → −3
3x − 5 x2 + x + 1
=
−14 = –2. 7
С-25 1.
a) f(x) = x7 + 2x5 +
f′(x) = 7x6 + 10x4 – б) f(x) =
f′(x) =
4 x2 8 x3
– 1;
;
3 − x2 ; 4 + 2x
− 8x − 4 x2 − 6 + 2 x2
(4 + 2 x) 2
=
− 2x 2 − 8x − 6
(4 + 2 x) 2
.
101
f(x) = x x + 1 ;
2.
f′ (0) = 1;
f(3) = 2 +
x 2 x +1
;
3 3 x −1 =2 ; f(x – 1) = x + . 2⋅2 4 2 x
f′(x) = 1 – 9x2; f′ (х) <0 при x ∈ (–∞; –
f(x) = x – 3x3;
3.
f′(x) = x + 1 +
1 1 ) ∪ ( ; +∞). 3 3
С-26 x +1
f(x) =
1.
x −1
f′(x) =
;
1
f′(t4) =
2
2
t (t − 1) 2
(
)
x −1
2
=–
1 x ( x − 1) 2
;
.
a) f(x) = 3x3 – x;
2.
1 1 1 1 − − − 2 2 x 2 2 x
f′(x) = 9x2 – 1; f′(x) = 0 при x = ±
1 ; 3
1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ f′(x) >0 при x ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ ∪ ⎜ ; ∞ ⎟ ; f′(x) < 0 при x ∈ ⎜ − ; ⎟ . 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 3⎠ x2 − 8 ; x +1
б) f(x) =
f′(x) =
x2 + 2 x + 8
( x + 1) 2 f′(x) > 0 всегда, кроме x = –1.
;
С-27 a) f(x) = 4 − 2 x ;
1.
б) f(x) =
2.
1 2
x − 3x + 2
f(x) =
; ОДЗ: x2 – 3x + 2 > 0; x ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞).
1+ x ; g(x) = x ; 1 − 2x
f(g(x)) =
102
⎧⎪4 − 2 x ≥ 0 ОДЗ: ⎨ ; x ∈ [0; 4]; ⎪⎩ x ≥ 0
1+ x 1− 2 x
; g(f(x)) =
1+ x . 1 − 2x
a) f(x) = (x5 – 2x2)191;
3.
б) g(x) =
1 − x2 ;
f′(x) = 191(5x4 – 4x)(x5 – 2x2)190; −x g′(x) = . 1 − x2
С-28 f′(x) = 4sin (3 – 4x); 2 б) f(x) = tg (2x – 7); f′(x) = ; cos 2 ( 2 x − 7) в) f(x) = sin x cos (2x – 3); f′(x) = cos x cos (2x – 3) – 2sin x sin(2x – 3). a) f(x) = cos (3 – 4x);
С-29 1.
f(x)=
x2 − 4x 2
( x + 1)( x − 4 x + 3)
;
⎧⎪ x + 1 ≠ 0 ОДЗ: ⎨ 2 ⎪⎩ x − 4 x + 3 ≠ 0
x ≠ ±1 x≠3
; и x ≠ 3,
значит, f(x) непрерывна при x ∈ (− ∞;−1) ∪ ( −1;3) ∪ (3; ∞) . 2.
a) x2 – 3x + 2 > 0 (x – 2)(x – 1) > 0; x ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞).
б)
x2 − 9
<0;
( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 2) 3 <0; -3 -1 ( x − 3)( x − 3) x ∈ (–3; –1) ∪ (–1; 2). 4 x 2 − 15 x + 9 − 2 x 2 − x + 15 x − 3 2x − 5 в) ≤0 ≤ x + 3 4x − 3 ( x + 3)(4 x − 3) 2 x 2 − 16 x + 24 ≤ 0; ( x + 3)(4 x − 3) x ∈ (–3;
х
2
1 ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 2)3
2
3
х
( x − 6)( x − 2) ≤0; ( x + 3)(4 x − 3)
3 ) ∪ [2; 6]. 4
-3
3/4
2
6
х 103
С-30 3 ⎛π⎞ ; y = sin 2x; y ⎜ ⎟ = ⎝6⎠ 2
1.
y′ = 2cos 2x;
⎛π⎞ y′ ⎜ ⎟ = 1; ⎝6⎠
π 3 + x – – уравнение касательной. 6 2 1 2 2 y = ; y(–2) = –1; y′ = – 2 ; y′(–2) = – ; x 2 x 1 1 y = –1 – (x + 2) = – x –2 – уравнение касательной. 2 2
y= 2.
С-31 49,07 ≈ 7(1 + 0,0014 ⋅
1.
1 )= 7,0049; 2
1,000063000 – 0,999986000 ≈ 1 + 0,00006 ⋅ 3000 – 1 +
2.
+ 0,00002 ⋅ 6000 = 1,18 – 0,88 = 0,3.
С-32 s(t) = 4t + t2 –
1.
a(t) = 2 – t; 2.
1 3 1 t; v(t) = 4 + 2t – t2; 6 2 F = (2 –2) 4 = 0 Н.
gt 2 = 4 + 3t – 5t2; 2 3 3 9 9 27 347 3 v(t) = 3 – 10t = ; t = ; h( )=4+ – = +4= м. 20 2 20 20 80 80 80 h(t) = h0 + v0t –
С-33 1. f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x; f′(x) = 6(x2 + x – 2); f′(x) = 0 при x = –2 и x = 1, значит, f(x) возрастает при x∈(–∞; –2) ∪ (1; +∞); убывает при x∈(–2; 1). 2.
104
f(x) = 2x – x ;
f′(x) =2 –
1 2 x
; f′(x) = 0 при x =
1 – точка min. 16
C-34 2
4
f(x) = 2x – x + 3; f′(x) = 4(x – x3); f′(x) = 0 при xmin = 0 и xmax = ±1; y(±1) = 4; y(0) = 3; у возрастает при x ∈ (–∞; –1) ∪ (0; 1); убывает при x ∈ (–1; 0) ∪ (1; +∞).
C-35 1.
1 2 3 x + x + ; xв = 1; yв = 2; 2 2 у возрастает при x ∈ (− ∞;1);
y=–
убывает при x ∈ (1; ∞ ); нули x2 – 2x – 3= 0; x = 3, x = –1.
2.
a) 2x2 – x + 1 < 0 D = 1 – 8 < 0, значит, решений нет; б) 16x2 + 6x + 3 ≥ 7x2 – 6x – 1;
9x2 + 12x + 4 ≥ 0; (3 x + 2)2 ≥ 0 , значит, x ∈ R .
105
C-36 3
2
y = 2x – 6x + 4; y′ = 6(x2 –2x) = 0; y′ = 0 при x = 0, x = 2 у возрастает при x ∈ (–∞; 0) ∪ (2; +∞); убывает при x ∈ (0; 2) хmax = 0; y (0) = 4; хmin = 2; y (2) = –4.
C-37 f(x) = x5 + 20x2 + 3; x ∈ [–1; 1]; f′(x) = 5(x4 + 8x); f′(x) = 0 при x = 0 и x = –2; f(–1) = 22; fmin(0) = 3; fmax(1) = 24, значит, наибольшее значение f(1) = 24; наименьшее значение f(0) = 3.
1.
2.
⎧⎪a + b = 8 ; ⎨ ⎪⎩ y = a 2 + b3
⎧⎪a = 8 − b ; ⎨ ⎪⎩ y = b3 + b 2 − 16b + 64
y′ = 3b2 + 2b – 16; y′ = 0 при b = –
⎧b = 2 8 не подходит; ⎨ , значит, 3 ⎩a = 6
8 = 2 + 6 – искомое разбиение.
C-38 1.
106
3 3π 4 π ; < α <2π; cos β = – ; < β < π; 5 2 5 2 4 3 sin α = – ; sin β = ; 5 5 12 12 24 cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β = – − =− . 25 25 25
cos α =
(2 cos α − 2 sin α) sin (π – 2α)–sin ⎛⎜⎝ 32π − 4α ⎞⎟⎠ = 2
2.
2
2
2
2
= 4cos2 2α sin2 2α – cos2 4α= – cos 8α. 3.
cos 15° =
1 + cos 30o = 2
sin 15° =
2− 3 ; 2
3+2 ; 2
tg 15° =
2− 3 2+ 3
.
C-39 a)
x ; x ∈ R; y ∈ [–1; 1]; 2 нули: x =π + 2πn; хmax = 4πn; хmin = 2π + 4πn; y ( 4πn) = 1; y (2π + 4πn) = −1; у возрастает при [− 2π + 4πn; 4πn] ; y = cos
убывает при
[4πn; 2π + 4πn] ;
2π ⎞ ⎛ б) y = sin ⎜ x − ⎟; 5 ⎠ ⎝ x ∈ R; y ∈ [–1; 1]; 2π 9π π хmax = + 2πn ; хmin = − + 2πn ; нули: x = + πn; 10 10 5 ⎛ 9π ⎞ ⎛ π ⎞ y⎜ + 2πn ⎟ = 1; y⎜ − + 2πn ⎟ = −1; 10 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ у возрастает при 19π ⎛ π ⎞ + 2πn; + 2πn ⎟ ; ⎜− 10 10 ⎝ ⎠ убывает при 19π ⎛ 9π ⎞ + 2πn; + 2πn ⎟ . ⎜ 10 10 ⎝ ⎠
107
в)
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ y = tg ⎜ 3x + ⎟ ; ОДЗ cos ⎜ 3x + ⎟ ≠ 0; 4 4⎠ ⎝ ⎠ ⎝ π πn x≠ ; + 12 3 π πn y ∈ R; нули: x = – + ; 12 3 возрастает на области определения.
C-40 1.
2.
⎛ 3 ⎞⎟ 5π π ⎛1⎞ π = а) arccos ⎜ − ; б) arcsin ⎜ ⎟ = ; в) arctg (− 1) = − . ⎜ 2 ⎟ 6 2 6 4 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ π π x ⎛ x π⎞ =– + (–1)k + πk; a) 2sin ⎜ + ⎟ = 1 ; 2 3 2 3 6 ⎝ ⎠ 2π k π x =– + (–1) + 2πk ; 3 3 3 б) cos2 x + sin 2x = ; cos 2x + 2sin 2x = 2; 2 2 2 ; ϕ = arccos ; sin (2x +ϕ) = 5 5 2 ϕ 1 πk x =– + (–1)k arcsin + . 2 2 2 5
3. a) tg
x > 1; 2
⎛π ⎞ x ∈ ⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟ ; ⎝2 ⎠
π⎞ 2 ⎛ б) cos ⎜ x + ⎟ < ; 3 2 ⎝ ⎠
108
17 π ⎛ π ⎞ + 2πn ⎟ . x ∈ ⎜ − + 2πn; 12 12 ⎝ ⎠
C-41 2π ⎧ π π 2π ⎧ ⎧ ⎪x = 3 + y ⎪⎪ y = ± 3 − 3 + 2πn ⎪⎪ x − y = 3 ⎪ . ; ⎨ ; ⎨ ⎨ ⎪2 cos⎛⎜ π + y ⎞⎟ cos π = 1 ⎪ x = π ± π + 2πn ⎪cos x + cos y = 1 ⎪⎩ ⎪⎩ 3 2 ⎪⎩ 3 3 2 ⎝3 ⎠
C-42 a) x2 – 6x + 8 > 0; x ∈ (–∞; 2) ∪ (4; +∞); б) x2 – 12x + 36 ≤ 0; D = 0 (x – 6)2 ≤ 0; х = 6.
1.
2.
а)
( x − 1) 2 ( x + 2)3 ≥ 0; x−3
-2
1
3
х
x ∈ (–∞; –2] ∪ {1} ∪ (3; +∞); б)
2 x + 4 + 3x + 3 − 2 x 2 − 6 x − 4 < 0; ( x + 1)( x + 2)
2 3 + <2; x +1 x + 2 2x2 + x − 3 >0; ( x + 1)( x + 2) 3⎞ ⎛ ⎜ x + ⎟( x − 1) 2⎠ ⎝ > 0; ( x + 1)( x + 2)
-2
-3/2
-1
1
х
3 x ∈(–∞; –2) ∪ (– ; –1) ∪ (1; +∞). 2
C-43 7
5
a) y = x – 2x + 3x – 3; б) y = (1 + 3x) x ; в) г)
y = cos 5x; ⎛1 ⎞ y = ctg ⎜ x + 5 ⎟ ; ⎝2 ⎠ 24
д)
⎛1 ⎞ y = ⎜ x − 6⎟ ; ⎝3 ⎠
y′ = 7x6 – 10x4 + 3; 1 + 3x +3 x ; y′ = 2 x y′ = –5sin 5x; −1 y′ = ; ⎛x ⎞ 2 sin 2 ⎜ + 5 ⎟ ⎝2 ⎠ 23
⎛1 ⎞ y′ = 8 ⎜ x − 6 ⎟ . ⎝3 ⎠
109
C-44 1.
f(x) = 3x + 2x2; f(1) = 5; f′(x) = 3 + 4x; f′(1) = 7; y = 5 + 7(x – 1) = 7x – 2 – уравнение касательной.
2.
a)
1,002 ≈ 1 + 0,001= 1,001;
б) 0,9999760 ≈ 1 – 0,00003 ⋅ 60 = 0,9982. 1 2 t – 7t; v(t) = 3t2 + t – 7; 2 v(3) = 23; a(t) = 6t + 1; a(3) = 19.
x(t) = t3 +
3.
C-45 1.
x4 ; x ∈ R; y ∈ (–∞; 12]; 4 3 y′ = 8 – x ; y′ = 0 при x = 2, значит, хmax = 2; y(2) = 12; у возрастает при x ∈ (− ∞;2 ) ; убывает при x ∈ (2 ; ∞ ); y = 8x –
нули: x = 0 и x = f(x) =
2.
3
2x 2
x +1
f′(x) =
32 . , x ∈ [− 2; 0,5];
2 x2 + 2 − 4 x2
x = ± 1; f(–2) =
( x 2 + 1) 2
=
− 2x2 + 2 ( x 2 + 1) 2
; f ( x) = 0 при
−2 −4 ⎛1⎞ 4 = –1, значит, наибольшее ; f ⎜ ⎟ = ; f(–1) = 2 5 5 ⎝ ⎠ 2
⎛1⎞ 4 значение функции f ⎜ ⎟ = , наименьшее значение функции f ( −1) = −1. ⎝2⎠ 5
110
ВАРИАНТ 7 С-1 π 11π ⋅ 66 = ; 180 30
1.
66° =
2.
5π = 50°; 18
3.
a) 71°4′ ≈ 1,2462;
156° =
29π =1740°. 3 sin 71°4′ ≈ 0,9494; cos 71°4′ ≈ 0,314; cos 29°17′ ≈ 0,8718; sin 29°17′ ≈ 0,4898.
б) 29°7′ ≈ 0,5111; 4.
π 13π ⋅ 156 = . 180 15
a) 0,0367 ≈ 2°6′;
б) 2,0033 ≈ 114°47′.
С-2 1.
cos α(1 + cos–1 α + tg α)(1 – cos–1 α + tg α) = 2sin α; (cos α + 1 + sin α)(cos α − 1 + sin α ) 1 + 2 sin α cos α − 1 = = 2sin α. cos α cos α
2.
a)
3.
tg α = –2 sin α
sin100o cos100o tg 200o ctg300o
> 0; б) sin 1 cos 3 tg 5 > 0.
cos α > 0, значит, α ∈ IV четверти; −2 1 ; cos α = . = –2; sin2 α = 4 – 4sin2 α; sin α = 2 5 5 1 − sin α
C-3 1.
a) cos 1755° = cos 45° = в) ctg
2.
2 ; б) sin 2160° = sin 0° = 0; 2
39π 3π = ctg = –1. 4 4
(sin 160° + sin 40°)(sin 140° + sin 20°) + (sin 50° – sin 70°) ⋅ ⋅ (sin 130° – sin 110°) = 1 + 2sin 20° sin 40° + 1 – 2sin 50° sin 70° = = 2 – 2cos 60° = 1.
111
sin(α + π) cos(3π − α) 1 ; + = 3π ⎞ ⎛ ⎛π ⎞ cos α sin ⎜ α + ⎟ cos⎜ + α ⎟ − 1 2 ⎠ ⎝ ⎝2 ⎠
3.
tg α +
sin 2 α + sin α + cos 2 α cos α 1 = = . sin α + 1 (cos α)(sin α + 1) cos α
C-4 1 − sin 2 67o30′
1.
2
o
2 cos 75 − 1
=
1 + cos135o 2 cos150
o
=−
2− 2 2 −2 = . 1 2 3 4: ⋅ 3 2
8 4 2 1 π ; sin 2α = – ; ; < α <π; cos α = – 3 2 3 9
2.
sin α =
cos 2α =
8 2 ⋅7 56 2 4 2 7 ; sin 4α = – =− ; tg 2α = – ; 9 81 81 7
tg 4α =
2 tg 2α 1 − tg 2 2α
=−
8 2 ⎛ 32 ⎞ − 8 2 49 − 56 2 ⋅ = . : ⎜1 − ⎟ = 7 17 17 7 ⎝ 49 ⎠
⎞ 1 + ctg 2αctgα ⎛⎜ 1 − tg 2α ⋅ ctgα ⎟ sin α cos α = = 1+ ⎟ ⎜ 2 tg α tgα + ctgα ⎠ ⎝ sin α cos α 1 1⎞1 ⎛ 1 = ctgα . = ⎜1 + ctg 2α − ⎟ sin 2α = 2 2⎠2 2 sin 2 α ⎝ 2
3.
C-5 1.
Y
tg α = 3; 2
α = arctg 3 + πn; 2
sin α = 9 – 9sin α; sin α = ±
-1
3
; 10 1 8 −4 cos α = ± ; cos 2α = – = . 10 5 10
X
-1 0
-1
112
1
2.
a) cos α – sin α = − б) tg
6 π⎞ 6 ⎛ ; sin ⎜ α − ⎟ = − ; 5 4⎠ 5 2 ⎝
α ∈ IV;
α = 3; α = 2arctg 3 + 2πn; α ∈ II. 2
3. y = cos 4 x − sin 4 x = (cos 2 x + sin 2 x )(cos 2 x − sin 2 x) = cos 2 x .
С-6 1.
а) f(x) =
3x − 2 2
x −x−2
⎧⎪3 x − 2 ≥ 0 ; ОДЗ: ⎨ 2 ⎪⎩ x − x − 2 ≠ 0
;
⎧x ≠ 2 ⎪ 2 ⎨ ⎪x ≥ 3 ⎩
x ≠ −1
⎡2 ⎞ , значит, x ∈ ⎢ ; 2 ⎟ ∪ (2 ; ∞ ) ; ⎣3 ⎠
x−2 ; 5 − 2x ( x − 2) 5 ≥ 0 ; x ∈ [2; ). ОДЗ: 5 − 2x 2 ⎧⎪ x 2 − 1 x ≥ −1 f(x) = ⎨ ; ⎪⎩ x + 1 x < −1 a) f(0) = –1; f(2) = 3; f(–1) = 0;
б) f(x) =
2.
f(–2) = –1;
113
б)
С-7 а) y = 2sin x cos 2x tg 3x; y(–x) = 2sin (–x) cos (–2x) tg (–2x) = = 2sin x cos 2x tg 2x = y(x) ⇒ четная; б) y = x2 cos x ctg 3x; y(–x) = (–x)2 cos (–x) ctg (–3x) = 2 = –x cos x ctg 3x = –y(x) ⇒ нечетная; π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ в) y = 2cos ⎜ x + ⎟ sin x y(–x) = 2cos ⎜ − x ⎟ sin (–x), значит, у 6 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ни четная, ни нечетная; г) y = 3x2 + 2sin 5x cos x; y(–x) = 3(–x)2 + 2sin (–5x) cos (–x) = 2 ни нечетная. = 3x – sin 5x cos x , значит, у ни четная,
C-8 1.
a) sin 311°17′ = –cos 41°43′; б) sin 4160° = –cos 20°; 33π π в) tg = –ctg . 5 10
2.
sin (–30°) + cos (660°) + tg (–510°) = –
1 1 1 1 + + = . 2 2 3 3
π⎞ π ⎛ a) f(x) = tg ⎜ 2 x − ⎟ ; T= ; 7⎠ 2 ⎝ T = π; так как f1(x) = sin2 x б) f(x) = sin2 x + tg x; f2(x) = tg x
3.
114
T = π; T = π.
C-9 1.
a) f(x) = 4 − x 2 f(x) возрастает при x ∈ (–2; 0); убывает при x ∈ (0; 2); 1 ; б) f(x) = 1 − x +1 f(x) возрастает при x∈ (–∞; –1) ∪ (0; +∞); убывает при x∈ (–1; 0).
2.
f(x) = x5 + x;
f′(x) = 5x4 + 1 > 0 всегда.
3.
sin 1, sin 2, sin 3, sin 4. Ответ: sin 4, sin 3, sin 1, sin 2.
С-10 f(x) = |x2 – 3x + 2|;
1.
x2 – 3x + 2 = 0; x = 2 и x = 1; хmax =
xв =
3 ; 2
yв =
9 9 1 1 − +2 = − = ; 4 2 4 4
3 ⎛3⎞ 1 ; хmin = 2; хmin = 1; f ⎜ ⎟ = ; f ( 2) = 0 ; f (1) = 0 ; 2 ⎝2⎠ 4
⎡ x 2 − 3x + 1 ≥ 0 ⎛ ⎞ 3 − 2 5 ⎤ ⎡3 + 2 5 |x2 – 3x + 2| ≥ 1; ⎢ ; + ∞⎟ . ; x ∈ ⎜ − ∞; ⎥∪⎢ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎢⎣ x − 3 x + 3 ≤ 0 ⎝ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎠
2.
f(x) =
π⎞ ⎛ 3 sin 2x – cos 2x – 1 = 2sin ⎜ 2 x − ⎟ – 1 ⎝ 6⎠
f(x) ∈ [–3; 1]
xmax =
π + πn 3
xmin = –
π + πn 3
115
C-11
С-12 ⎧ ⎛ π⎞ ⎪cos⎜ 2 x − ⎟ ≠ 0 6⎠ ⎪ ⎝ x 1 x ⎪ ; f(x) =tg + ; ОДЗ: ⎨cos ≠ 0 π⎞ 2 2 ⎛ ⎪ tg⎜ 2 x − ⎟ ⎪ ⎛ π⎞ 6⎠ ⎝ ⎪sin ⎜ 2 x − ⎟ ≠ 0 6⎠ ⎪⎩ ⎝
1.
2.
⎛x π ⎞ y = cos ⎜ − ⎟ ; ⎝ 2 12 ⎠ π ⎛x π ⎞ xmax = + 4πn; cos ⎜ − ⎟ = 1; 6 ⎝ 2 12 ⎠
13π ⎛x π ⎞ + 4πn; cos ⎜ − ⎟ = –1; xmin = 6 ⎝ 2 12 ⎠ у возрастает при π ⎛ 11π ⎞ x ∈ ⎜− + 4πn; + 4πn ⎟ 6 ⎝ 12 ⎠ 13π ⎛π ⎞ + 4πn; ⎟ . убывает при x ∈ ⎜ + 4πn; 6 ⎝6 ⎠
116
π ⎧ ⎪ x ≠ 3 + πn ⎪ ⎨ x ≠ π + 2πn . ⎪ π πn ⎪x ≠ + 12 2 ⎩
3.
С-13 π π π – arcsin 1 = − = − ; 4 2 4 2 б) arcsin (sin 110°) = arcsin (sin 70°) = 70о; 1 1 7 в) cos (2arccos ) = 2 ⋅ – 1 = – . 3 9 9
а) arccos
1.
1
2.
arcsin (–1) < arctg (–1).
3.
a) arcsin (–0,3217) ≈ –0,3275; б) arccos (–0,7991) ≈ –2,4966; в) arctg (3,257) ≈ 1,2729.
C-14 a) tg x = −
1 3
;
x=–
π + πn; 6
2 π⎞ ⎛ ; б) sin ⎜ x + ⎟ = 5 2 ⎝ ⎠ π π x = – + (–1)k + πk; 5 4 π⎞ ⎛ в) cos ⎜ 3x − ⎟ = –1; 6⎠ ⎝ 3x –
π = π + 2πn ; 6
x=
7 π 2πn + . 18 3
117
C-15 Y -1
X
-1 0
1
-1
cos 2t(sin t – 3 cos t) = 0; π πn π t= + ; t = + πk; 4 2 3
cos 2t(sin t –
3 cos t) > 0;
π 5π 7π ⎛π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 4π ⎞ + 2πn; + 2πn ⎟ ∪ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ . x ∈ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ ∪ ⎜ 4 3 4 4 3 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
C-16 a) sin
2 x ≤− ; 2 2
⎛x ⎞ б) tg ⎜ −1⎟ ≤ –1; ⎝3 ⎠
π ⎡ 3π ⎤ + 4πn; − + 4πn ⎥ . x ∈ ⎢− 2 ⎣ 2 ⎦ π x ⎛ π ⎤ ∈ ⎜ − + 1 + πn; − + 1 + πn ⎥ ; 4 3 ⎝ 2 ⎦ 3π ⎛ 3π ⎤ x ∈ ⎜− + 3 + 3πn; − + 3 + 3πn ⎥ . 4 2 ⎝ ⎦
C-17 2
2
a) cos x – 3sin x – 3 = 0;
sin x + 3sin x + 2 = 0; π sin x = –2 – решений нет; sin x = –1; x = – + 2πn; 2 б) sin 2x = 2 3 sin2 x;
sin x = 0;
cos x = 3 sin x ; ctg x = 3 ; π x = + πn. 6
118
x = πn;
C-18 a)
cos 2α 1 − tgα ; = 1 + sin 2α 1 + tgα
(cos α − sin α )(cos α + sin α) (sin α + cos α)
2
=
(cos α − sin α) cos α 1 − tgα = ; (cos α + sin α) cos α 1 + tgα
α α α 1 + cos 2 cos 2 + sin α 2α 2 4 = ctg 2 α . 2 = ctg = б) ; α α α 4 1 − cos 4 2 sin 2 2 sin − sin α 2 4 2 2 sin
С-19 1 ⎧ ⎪cos( x + y ) = − 2 ; ⎨ ⎪sinx + sinα = 3 ⎩
1.
2π ⎧ + 2πn ⎪x + y = ± 3 ; ⎨ ⎪sinx + siny = 3 ⎩
2π ⎧ ⎪ x = 3 − y + 2πn ⎪ ; ⎨ ⎪sin ⎛⎜ 2π − y ⎞⎟ + siny = 3 ⎠ ⎩⎪ ⎝ 3 ⎧ ⎪⎪ y = ⎨ ⎪x = ⎪⎩
π 3 ⎛π ⎞ sin cos⎜ − y ⎟ = ; 3 2 ⎝3 ⎠ π − 2πk 3 ; π + 2πk + 2πn 3
2.
2π π 3 ⎧ ⎛π ⎞ − sin cos⎜ + y ⎟ = ⎪ x = − 3 − y + 2πn 3 3 2 ⎪ ⎝ ⎠ ; ; ⎨ ⎪siny − sin ⎛⎜ 2π + y ⎞⎟ = 3 cos⎛ π + y ⎞ = −1 ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎩⎪ ⎝3 ⎠ 2π ⎧ + 2πk ⎪y = . 3 ⎨ ⎪ x = −2πk + 2πn ⎩
119
C-20 π πn sin3 xcosx - sinxcos3x ; =0; ОДЗ: x ≠ + 6 3 cos x cos 3 x πn π πn sin 2x = 0 x = , но x ≠ + , значит, x = πn; 2 6 3 cosx π = 1; ОДЗ: x ≠ + πn; б) tg x + 1 + sinx 2 a) tg x = tg 3x ;
sinx + sin 2 x + cos 2 x =1; cos x(1 + sin x) cos x = 1; x = 2πn;
1 = 1; cos x
⎛π ⎞ sin 3x – sin ⎜ − x ⎟ = 0; ⎝2 ⎠ π πn π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ; sin ⎜ 2 x − ⎟ cos ⎜ x + ⎟ = 0; x = + 8 2 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝
в) sin 3x = cos x;
x=
π + πk. 4
C-21 1.
f(x) = x2 – 3x; f(x0 + ∆x) – f(x0) = = x0 + ∆x2 + 2x0∆x – 3x0 – 3∆x – x02 + 3x0 = (∆x)2 + 2x0∆x – 3∆x; 1 1 3 5 a) x0 = 3; ∆x = – ; ∆f = – 3 + = − ; 2 4 2 4 б) x0 = –2; ∆x = 1; ∆f = 1 – 2 ⋅ 2 – 3 = –6.
2.
f(x) = x3 – 5x ∆f = (x0 + ∆x)(x02 + (∆x)2 + 2x0∆x – 5) – – x0 + 5x0 = x0(∆x)2 + 2x02∆x + ∆xx02 + (∆x)3 + 2x0(∆x)2 – 5∆x = = ∆x3 + 3x0(∆x)2 + 3x02∆x – 5∆x; ∆f = (∆x)2 + 3x0∆x + 3x02 – 5. ∆x
2
3
C-22 1.
x(t) = 3 – 2t + t2 ; v(t) = –2 + 2t; 3⋅ 36 v(4) = 6; E = = 54 Дж. 2
2.
a) f(x) = 7 – 5x; f′(x) = –5; б) f(x) = x2 – 4x – 7; f′(x) = 2x – 4.
120
C-23 1. 2.
1 1 f (1) = − ; б) lim f ( x ) = ; lim f ( x) = −1,5 . x → −1 2 x →1 2
1 a) f (−1) = − ; 2
x2 − 6 x + 5 x − 1 = , x ≠ 5; 2( x − 5) 2 |x – 5| < 0,002; δ = 0,002.
x −1 − 2 < 0,001; 2
f(x) =
C-24 1.
1 1 ; lim g ( x) = − ; x →3 2 3 lim f ( x ) 3 1 3 a) lim y = x→3 − lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = − + = − ; x →3 x →3 lim g ( x ) x→3 2 6 4 lim f ( x ) =
x →3
x →3
3 lim f ( x ) − lim g 2 ( x ) б) lim y =
x →3
x →3
2.
x →3
2 lim f ( x) x →3
3 1 − 25 = 2 9 = . 1 18
1 1 ⎞ 9 9 13 ⎛ a) lim ⎜1 − x + x 2 − x3 ⎟ = 1 − 3 + − 9 = −11 + = − ; x →3⎝ 2 3 ⎠ 2 2 2 4x + 8 б) lim =0. x → −2 2 x 2 + x − 1
С-25 1.
а) f(x) = x7 – 3x5 +
1
x
б) f(x) = (x + 5) x ; 2.
f(x) =
3 − 2x ; x+5
f′(–4) = –13; 3.
f(x) =x +
f′(x) = 7x6 – 15x4 –
– 2;
f′(x) =
f′(x) = x +
x+5 2 x
−2 x − 10 − 3 + 2 x
f′(8) = –
1 ; 13
1 ; x
f′(x) = 1 –
( x + 5)
2
f′(x2 – 5) = – 1
x2
13
x4
1 2 x3 / 2
;
. =−
13 ( x + 5) 2
;
.
≥ 0 при x ∈ (–∞; –1] ∪ [1; +∞).
121
C-26
( )
( x)
f(x) = 100 x 10 – 10 f′(x) = 500(x4 – x49);
1.
2. a) f(x) = 2x4 – x2;
100
= 100x5 – 10x50; f′(1) = 0.
f′(x) = 2x(4x2 – 1); f′′(x) = 0 при x = 0 и x = ±
1 1 f′(x) > 0 при x ∈ (– ; 0) ∪ ( ; +∞); 2 2 1 1 f′(x) < 0 при x ∈ (–∞; – ) ∪ (0; ); 2 2
б) f(x) =
x 2 − 12 ; x−2
f′(x) =
-1/2
2 x 2 − 4 x − x 2 + 12 ( x − 2) 2
0
=
1 ; 2
1/2
х
x 2 − 4 x + 12 ( x − 2) 2
f′(x) > 0 всегда, кроме x = 2.
C-27 ⎧⎪ x ≥ 3 ⎡x ≥ 3 ; ОДЗ: ⎨ , значит, x ∈ [3 ; 4 ) ∪ (4 ; ∞ ) ; ⎢ ⎪⎩ x − 3 ≠ 1 ⎣ x ≠ 4 x − 3 −1 ⎡x ≥ 0 1 ; x ∈ [0; 4). б) f(x) = ; ОДЗ: ⎢ ⎢⎣2 − x > 0 2− x
1. a) f(x) =
1
2. f(x) = x3 + 2x; g(x) = sin x; f(g(x)) = sin3 x + 2sin x; g(f(x)) = sin(x3 + 2x). a) f(x) = (5x4 – 4x5)101;
3.
б) g(x) = 3 x 2 − 6 x ;
f′(x) = 101(20x3 – 20x4)(5x4 – 4x5)100; 3x − 3 . g′(x) = 3x 2 − 6 x
C-28 2 ⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x ⎞ a) f(x) = cos ⎜ f′(x) = – sin ⎜ −1⎟ ; −1⎟ ; 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ б) f(x) = sin x cos 2x + cos x sin 2x = sin 3x; f′(x) = 3cos 3x; в) f(x) = cos x cos 2x – tg 3x; 3 . f′(x) = –sin x cos 2x – 2sin 2x cos x – cos 2 3x
122
C-29 1. f(x) =
3x − 8
; ОДЗ:
x( x 2 − 7 x + 6) ≠ 0
x3 − 7 x 2 + 6 x x≠0 x≠6 на x ∈ ( −∞ ; 0) ∪ (0 ; 1) ∪ (1 ; 6) ∪ (6 ; ∞)
, значит, f(x) непрерывна
( x − 2)( x + 8)( x − 9)
≥ 0; x2 − 4 ( x − 2)( x + 8)( x − 9) ≥0; ( x − 2)( x + 2) x ∈ [–8; –2) ∪ [9; +∞);
2. а)
x ≠1
-8
-2
2
9
х
б) (x2 – 16) x + 3 < 0;
( x − 4)( x + 4) x + 3 < 0 ; ОДЗ x ≥ –3; x ∈ (–3; 4).
-4
-3
4
х
C-30 1.
y′ = yкас =
x ; 2
2 ⎛π⎞ ; y⎜ ⎟ = 2 ⎝2⎠
1 x cos ; 2 2
y′ ⎜ ⎟ =
y = sin
⎛π⎞ ⎝2⎠
2 ; 4
π⎞ 2 2⎛ 2 4 2 − 2π x+ – уравнение касательной. + ⎜x− ⎟ = 2 4 ⎝ 2⎠ 4 8
2. y = x2 – 2x; x0 = 2; y(2) = 0; y′ =2x – 2; y′(2) = 2; yкас = 2x – 4 – уравнение касательной.
C-31. 1.
16,08 ≈ 4(1 + 0,005 ⋅
1 ) = 4,01. 2
2. 1,00004100 + 0,99996100 ≈ 1 + 0,00004 ⋅ 100 + 1 – 0,00004 ⋅ 100 = = 1,004 + 0,996 = 2.
123
C-32 1.
s(t) = 2t + t ; v(t) = 2 +
2.
ϕ = 3t – 0,01t2; a) ϕ′(7) = 2,86;
1 2 t
; a(t) = –
1 4t 3 / 2
ϕ′(t) = 3 – 0,02t; б) 3 – 0,02t = 0;
;F=–
1 5 ⋅5 = − Н. 4⋅8 32
t = 150.
C-33 7 , значит, 9 7 7 у возрастает при x ∈ (–∞; – ) ∪ (1; +∞); убывает при x ∈ (– ; 1). 9 9
1. y = 3x3 – x2 – 7x; y′ = 9x2 – 2x – 7; у′ = 0 при x1 = 1 и x2 = –
x2 4 + ; 9 x2 2x 8 f′(x) = − ; f ′( x) = 0 при 9 x3 f(x) =
2.
2x4 = 72;
x4 =36; x = ± 6 ;
x = ± 6 – точки минимума.
С-34 1
2
; f′(x) =
2
>0 при x > 1; f ′ (x) < 0 при х < 1, ( x − 1) ( x − 1)3 значит, f(x) возрастает при х∈ (1;∞); убывает при х∈ (–∞; 1); экстремумов нет. f(x) = –
С-35 f(x) = 5x2 – 3x – 8; xв = xmin = 0,3; f в = f min =0,45 – 0,9 – 8 = –8,45, x ∈ R, f ( x ) ∈ [− 8,45 ; ∞ ) ;
1.
f(x) возрастает при х∈ (0,3;∞); убывает при х∈ (–∞; 0,3). 5x2 – 3x – 8 = 0; нули: x = –1 и x = 1,6.
124
1 ); 2 б) x2 –12x + 36 ≤ 0; (х – 6)2 ≤ 0, значит, x = 6.
a) 2x2 + 5x + 2 < 0; x ∈ (–2; –
2.
C-36 =
6( x − 1) x 2 + 15
;
f′(x) =
6 x 2 + 90 − 12 x 2 + 12 x ( x 2 + 15) 2
f ′(x) = 0 при xmax = 5 и xmin = –3
f(5) =
=
− 6( x 2 − 2 x − 15) ( x 2 + 15) 2
;
24 ; 40
−24 = –1; f′(x) возрастает при x ∈ (–3; 5); 24 убывает при x ∈ (–∞; –3) ∪ (5; ∞); нули: x = 1. f(–3) =
125
C-37 f(x) = x3 – 2x2 + 8x – 2; x ∈ [–4; 2]; f′(x) = 3x2 – 4x + 8; 3 х2 – 4 х + 8 = 0; Д = 16 – 96 = – 80 < 0, значит, экстремумов нет; наибольшее значение – f(2) = 14; наименьшее значение – f(–4) = –130. 1.
2.
BC = 8 см; AB = 256 − 64 = 8 3 см; Пусть KL = x, тогда NM = x x x BM = ; CM = 8 – ; 2 2 x LC = 4 – ; 4 LM sin 60° = ; MC LM = 4 3 − x = 8,
3 x 3 3 2 ; S = 4 3x − x = 0 ; S′ = 0 при x ; S′ = 4 3 − 2 4 4
LM = 4 3 – 2 3 = 2 3 см; KL = 8 см.
C-38 5 12 π π ; sin β = ; 0 < α < ; < β < π; 13 13 2 2 12 5 25 144 sin α = ; cos β =– ; cos (α + β) = – – = –1. 13 13 169 169
cos α =
1.
2. ⎛ 3π ⎞ 8sin2(π – α) sin2 ⎜ + α ⎟ –1 = 8sin2α cos2α – 1 = 2sin22α – 1 = –cos 4α. ⎝ 2 ⎠
3. cos α = –
1 3
1 + 1/ 3 α = sin = 2 2
126
0 < α <π
⇒
2 α ; tg = 3 2
α ∈ II четверти; sin α = sin
α 2
α 1 − sin 2 2
=
2 3
3= 2.
8 ; 3
C-39 π⎞ ⎛ a) f(x) = cos ⎜ 2 x − ⎟ ; 3⎠ ⎝ x ∈ R y ∈ [–1; 1]; π⎞ ⎛ cos ⎜ 2 x − ⎟ = 0; 3⎠ ⎝ нули: x =
5π πn + ; 12 2
π + πn; 6 ⎛π ⎞ f ⎜ + πn ⎟ = 1 ; 6 ⎝ ⎠
x max
2π + πn; 3 ⎛ 2π ⎞ f⎜ + πn ⎟ = −1 ; 3 ⎝ ⎠
x min
π ⎛ π ⎞ f (х) возрастает при x ∈ ⎜ − + πn; + πn ⎟ ; 6 ⎝ 3 ⎠ π π 2 ⎛ ⎞ + πn ⎟ . убывает при x ∈ ⎜ + πn; 3 ⎝6 ⎠ б) x 1 y = + sin ; 2 2 ⎡ 1 3⎤ x ∈ R; y ∈ ⎢ − ; ⎥ ; ⎣ 2 2⎦
x 1 =– ; 2 2 π x = (–1)k+1 + 2πk; 3 возрастает: [–π + 4πn; π + 4πn]; убывает: [π + 4πn; 3π + 4πn] 3 1 min: (–π + 4πn; – ) max: (π + 4πn; ) 2 2 нули:
sin
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ в) 3 – tg ⎜ x − ⎟ = f(x) ОДЗ: cos ⎜ x − ⎟ ≠ 0 5 5⎠ ⎝ ⎠ ⎝ π⎞ 7π ⎛ y∈R x≠ + πn нули: tg ⎜ x − ⎟ = 3 10 5⎠ ⎝
x≠
7π + πn 10
127
x=
π + arctg 3 + πn 5
возрастает на всей области определения.
С-40 1.
1 π π ⎛ 1⎞ а) arccos (–1) = π; б) arcsin ⎜ − ⎟ = – ; в) arctg = . 6 3 6 ⎝ 2⎠
2.
⎛x ⎞ 1 a) sin2 ⎜⎝ 3 + π ⎟⎠ = 2 ;
3.
a) tg 2x > –
2 x 3π 3πn + ; =± x= ; 3 2 4 2 8sin2 x + 2sin x – 3 = 0; б) 8cos2 x – 2sin x = 5; 3 3 x = (–1)k+1 arcsin + πk; sin x = – ; 4 4 1 π x = (–1)n + πn. sin x = ; 2 6 1 3
;
sin
⎛ π πn π πn ⎞ ; + x ∈ ⎜− + ⎟; ⎝ 12 2 4 2 ⎠ π π ⎛ 5π π ⎞ − + 2πn; − − + 2πn ⎟ ; 2x ∈ ⎜ − 3 4 3 4 ⎝ ⎠
π⎞ 1 ⎛ б) cos ⎜ 2 x + ⎟ < ; 4⎠ 2 ⎝ 7π ⎛ 23π ⎞ x ∈ ⎜− + πn; − + πn ⎟ . 24 ⎝ 24 ⎠
C-41 1 ⎧ ⎪cosxsiny = ; 2 ⎨ ⎪sin2 x + sin2 y = 0 ⎩
128
⎧sin ( x + y )cos( x − y ) = 0 ⎪ ; 1 ⎨ ⎪cosxsiny = 2 ⎩
⎧sin ( x + y )cos( x − y ) = 0 ; ⎨ ⎩sin ( x + y ) − sin ( x − y ) = 1
⎧sin ( x + y ) = 0 1. ⎨ ; ⎩sin( x − y ) = −1
⎧ x + y = πn ⎪ ; π ⎨ ⎪ x − y = − 2 + πk ⎩
⎧cos( x − y ) = 0 2. ⎨ ⎩sin( x + y ) = 0
то же самое.
π πk πn ⎧ ⎪⎪ x = − 4 + 2 + 2 ; ⎨ ⎪ y = π + πn − πk 4 2 2 ⎩⎪
C-42 1.
a)
⎛ 3 − 53 ⎞⎟⎛⎜ 3 + 53 ⎞⎟ x2 – 3x – 11 > 0; ⎜ x − x− > 0; ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎠⎝ 2 ⎟⎠ ⎝
⎛ ⎜ ⎝
⎞ 3 − 53 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 + 53 ∪ ; + ∞⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ б) x2 + 7x + 12 ≤ 0; x1 = –4, x2 = –3; (х + 4)(х + 3) ≤ 0; x ∈ [–4; –3]. x ∈ ⎜ − ∞;
2.
a)
( x − 3) 4 ( x + 5)5 1 ≤ 0 ; x ∈ [–5; ) ∪ {3}. 2 2x −1
-5
1/2
3
х
12 x + 3 + 10 x + 5 − 16 x 2 − 12 x − 2 3 5 б) + <2 <0; 2x + 1 4x + 1 (2 x + 1)(4 x + 1) − 16 x 2 + 10 x + 6 >0 (2 x + 1)(4 x + 1)
8x2 − 5x − 3 >0; ( 2 x + 1)(4 x + 1)
3⎞ ⎛ ( x − 1)⎜ x + ⎟ 8 ⎝ ⎠ >0; ( 2 x + 1)(4 x + 1) 3⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ x ∈ ⎜ − ∞; − ⎟ ∪ ⎜ − ; − ⎟ ∪ (1; +∞). 2⎠ ⎝ 4 8⎠ ⎝
-1/2
-1/4
-3/8
1
х
129
C-43 8
6
3
a) y = x – 3x + 2x – 7; б) y = x 3 + x ; в) y = sin
x ; 5
π⎞ ⎛ г) y = tg ⎜ 2 x − ⎟ ; 4⎠ ⎝ 35
y′ = 8x7 – 18x5 + 6x2; x y′ = 3 + x + ; 2 x+3 x 1 y′ = cos ; 5 5 2 y′ = ; π⎞ ⎛ cos 2 ⎜ 2 x − ⎟ 4⎠ ⎝ 34
⎞ ⎛1 д) y = ⎜ − 3 x 2 ⎟ ; ⎠ ⎝7
⎞ ⎛1 y′ = –210x ⎜ − 3 x 2 ⎟ . ⎠ ⎝7
C-44 1.
f(x) = x2 – 2x + 3; f(0) = 3; f′(x) = 2x – 2; f′(0) = – 2; y = 3 – 2x
2.
a)
1,00004 ≈ (1 + 0,00002)1/2 ≈ 1,00001;
б) 1,00003500 ≈ 1 + 0,00003 ⋅ 500 = 1,015.
x(t) =
3.
1 1+ t = 1− ; 2+t t+2
a(t) = –
2 (t + 2)
3
;
v(t) = v(2) =
1 ; 16
C-45 1.
f(x) = x4 – 8x2 f′(x) = 4x(x2 – 4); нули: x = 0 x = ± 8 f′(x) = 0 x = 0 x = ±2; max: (0; 0) min: (±2; –16) x∈R y ≥ –16 x ∈ (–∞; –2] ∪ [0; 2]; убывает: возрастает: x ∈ [–2; 0] ∪ [2; +∞]
130
1 (t + 2) 2
a(2) = –
; 1 . 32
2.
π ] f′(x) = 2sin x cos2 x – sin3 x = 0 2 2sin x – 3sin3 x = 0 sin x = 0 x = πn 2 1 π 2 ; (т.к. x ∈ [0; ] ); cos x = sin2 x = ; sin x = 3 3 2 3 f(x) = sin2 x cos x x ∈ [0;
⎛ 1 ⎞ 2 ⎟⎟ = f(xmax) = f ⎜⎜ arccos 3 3 3 ⎝ ⎠
⎛π⎞ f(xmin) = f(0) = f ⎜ ⎟ = 0 ⎝2⎠
ВАРИАНТ 8 С-1 4π π ⋅ 48 = ; 15 180
1.
48° =
2.
3π = 33°45′ ; 16
188° =
47π π ⋅ 188 = . 45 180
22π =440°. 9
3.
a) 23°6′ ≈ 0,4119; sin 23°6′ ≈ 0,4003; cos 23°6′ ≈ 0,9164; б) 83°53′ ≈ 1,4640; sin 83°53′ ≈ 0,9943; cos 83°53′ ≈ 0,1063.
4.
a) 0,0995 = 5°42′;
б) 3,1012 = 177°41′.
С-2 2
–1
1. sin α(1 + sin α + ctg α)(1 – sin–1 α + ctg α) = 2sin α cos α; (sin α + 1 + cos α) ⋅ (sin α – 1 + cos α) = (sin α + cos α)2 – 1 = 2sin α cos α.
sin 200o cos 20o
2.
a)
3.
tg α = 3
tg300o ctg100o
< 0; б) cos 1 sin 3 tg 5 < 0.
α ∈ III четверти sin2 α = 9 – 9sin2 α; 3 1 ; cos α = – . sin α = – 10 10
C-3 1.
a) sin 1935° = sin 135° = в) cos
2 ; б) tg 1395° = tg 45° = 1; 2
71π π 2 = cos = . 4 4 2
131
2.
(cos 70° + cos 50°)(cos 310° + cos 290°) + (cos 40° + cos 160°) ⋅ ⋅ (cos 320° – cos 380°) = 1 + 2cos 70° cos 50° + 1 – 2cos 40° cos 20° = = 2 + 2(sin 20° sin 40° – cos 40° cos 20°) = 2 – 2cos 60° = 1.
3.
⎛ ⎞⎞ ⎞ ⎛π ⎛ 3π ⎛π ⎞ + α⎟ ctg⎜ + 2α⎟ ⎟ = tg (2π – α) – ctg ⎜ − 2α⎟ ; tg (π – α) ⎜ 1 + tg⎜ ⎠⎠ ⎠ ⎝2 ⎝ 2 ⎝2 ⎠ ⎝ – tg α(1 + ctg α tg 2α) = –tg α – tg 2α.
C-4 5π 5π − cos 2 2 2 8 = 4 =− 2 ⋅ =− . o o o 2 2 2 1 + cos 150 sin 75 − 1 − cos 75 2− 3
1 − 2 cos2 1. 2.
3.
cos α =
1 ; 3
sin α < 0, значит, α ∈ IV четверти;
sin α = –
8 ; 3
sin 2α = –
2 8 7 ; cos 2α = – ; 9 9
sin 4α =
56 2 ; 81
tg 2α =
2 8 ; 7
ctg 4α =
1 − tg2 2α 49 − 32 7 17 = ⋅ = . 2 tg2α 49 4 8 56 2
1 − ctg 2αtgα = tgα + ctgα
1−
(cos 2 α − sin 2 α ) sin α ⋅ 2 sin α cos α cos α = sin α cos α + cos α sin α
2 cos 2 α − cos 2 α + sin 2 α =
132
2 cos 2 α sin α + cos 2 α cos α ⋅ sin α 2
=
cos α sin α 2 cos 2 α
=
1 tgα . 2
C-5 1.
Y
1 ctg α = ; 2 1 1 2 cos α = − cos2 α ; 4 4 1 cos α = ± ; 5 2 sin α = ± ; 5 4 sin 2α = . 5
2.
-1
0
1
-1
a) sin α + cos α = – 1,3; π⎞ 13 ⎛ ; sin ⎜ α + ⎟ = − ⎝ 4⎠ 10 2 α 1 = ; 2 2 1 α = 2arctg + 2πn; 2
X
-1
IV четверть;
б) ctg
I четверть.
3.
y = sin 3 x cos x + sin x cos 3 x = sin x cos x(sin 2 x + cos 2 x) = 1 = sin x cos x = sin 2 x . 2
133
С-6 1. а) f(x) =
x+2 2
x + 5x + 4 x ∈ [− 2 ; − 1) ∪ (− 1 ; ∞ );
б) f(x) =
; ОДЗ:
x ≥ −2 x + 5x + 4 ≠ 0
, значит ,
3x − 7 3x − 7 7 ≥ 0 ; x ∈ (–∞; –2) ∪ [ ; +∞]. ; ОДЗ: x+2 3 x+2
⎪⎧1 − x 2 x < 1 f(x) = ⎨ ; ⎪⎩ x − 1 x≥1 a) f(0) = 1; f(1) = 0;
2.
x ≥ −2, x ≠ −1
2
f(–1) = 0;
f(2) = 1;
б)
С-7 а) y = 2sin x cos 3x tg 5x; y(–x) = 2sin (–x) cos (–3x) tg (–5x) = = 2sin x cos 3x tg 5x = y(x) ⇒ четная; б) y = x3 sin (x + |x|); y(–x) = (–x)3 sin (–x + |–x|) = 3 = –x sin (|x| – x), значит, у ни четная, ни нечетная; π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ в) y = tg ⎜ x − ⎟ ; y(–x) = tg ⎜ − x − ⎟ , значит, у ни четная, ⎝ ⎠ ⎝ 3 3⎠ ни нечетная; г) y = ctg x+ xcos2 x y(–x) = ctg (–x) + (–x)cos2 (–x) = = –ctg x – xcos2 x = – у (х), значит, у нечетная.
134
C-8 1.
a) cos 393°17′ = cos 33°17′; б) tg 4020° = tg 60° = 3 ; 63π 3π = cos . в) cos 11 11
2.
cos (–60°) + sin (690°) + tg (–600°) =
3.
⎛ x π⎞ a) f(x) = cos ⎜ + ⎟ ; ⎝ 3 9⎠ б) f(x) = cos2 x – ctg x;
1 1 – – 3 =– 3 . 2 2
T =6π;
f1 ( x ) = cos2 x f 2 ( x ) = ctgx
T =π ⇒ T = π. T =π
C-9 1. a) f(x) = x 2 − 1 ; 1 б) f(x) = 1 + x −1
возрастает: x ≥ 1
убывает:
x ≤ –1;
убывает: (–∞; 0] ∪ (1; +∞); возрастает:
2.
f(x) = 3 – 3x – 2x3
3.
sin
[0; 1). f′(x) = –3 – 6x2 < 0 всегда.
1 3 , sin , sin 3, sin 4,5; 2 2 Ответ: sin
3 1 , sin , sin 3, sin 4,5. 2 2
С-10 1.
y = |x2 – 6x + 5| = 0; у = 0 при x = 5 и x = 1; хв = 3; значит, х max = 3; х min = 5; х min = 1. 2 2 ⎪⎧ x − 6 x + 5 ≤ 3 ⎪⎧ x − 6 x + 2 ≤ 0 ⎪⎧ x ∈ ( 3 − 7 ; 3 + 7 ) . ; ⎨ ; ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩ x − 6 x + 5 ≥ −3 ⎪⎩ x 2 − 6 x + 8 ≥ 0 ⎪⎩ x ≤ 2, x ≥ 4
135
Итого: x ∈(3 – 7 ; 2] ∪ [4; 3 + 7 ). 2.
π⎞ ⎛ f(x) = 3 sin 3x + cos 3x + 5 = 2sin ⎜ 3x + ⎟ + 5; ⎝ 6⎠ ⎛ π 2πn ⎞ ⎛ 2π 2πn ⎞ y⎜ + + ⎟ = 7 ; y⎜ − ⎟ = 3 ; y ∈ [3; 7] 3 ⎠ 3 ⎠ ⎝9 ⎝ 9 2π 2πn π 2πn + хmax = + хmin = − 9 3 9 3
C-11
136
С-12 1.
f(x) = ctg 2x +
1 ; ⎛ x π⎞ ctg⎜ − ⎟ ⎝ 2 3⎠
⎧ ⎪sin2 x ≠ 0 ⎪ ⎪⎪ ⎛ x π ⎞ ОДЗ: ⎨cos⎜ − ⎟ ≠ 0 ; ⎪ ⎝ 2 3⎠ ⎪ ⎛ x π⎞ ⎪sin⎜ − ⎟ ≠ 0 ⎪⎩ ⎝ 2 3 ⎠
πn ⎧ ⎪x ≠ 2 ⎪ 5π ⎪ + 2 πn . ⎨x ≠ 3 ⎪ 2π ⎪ ⎪ x ≠ 3 + 2 πn ⎩
⎛ x π⎞ y = cos ⎜ + ⎟ ; ⎝ 4 5⎠ у возрастает при 4π ⎡ 24π ⎤ x ∈ ⎢− + 8πn;− + 8πn ⎥ ; 5 ⎣ 5 ⎦ убывает при 16π ⎡ 4π ⎤ x ∈ ⎢− + 8πn; + 8πn ⎥ ; 5 ⎣ 5 ⎦
2.
хmax = −
4π 24π ⎛ 4π ⎞ + 8πn хmin = − + 8πn y ⎜ − + 8πn ⎟ = 1 5 5 ⎝ 5 ⎠
⎛ 24π ⎞ y⎜ − + 8πn;− 1⎟ = −1 5 ⎝ ⎠ 3.
137
С-13 π π = – = 0. 4 4 2 б) arccos (cos (–12°)) = arccos (cos (12°)) = 12°; 1 1 7 = . в) cos (2arcsin ) = 1 – 2 ⋅ 4 16 8 а) arcctg 1 – arccos
1.
1
π = arctg 1. 4
2.
arccos 1 = 0 <
3.
a) arcsin (0,9898) ≈ 1,4279; б) arccos (–0,3737) ≈ 1,9538; в) arctg (–5,72) ≈ –1,3977.
C-14 a) tg x = – 3 ;
⎛π ⎞ б) cos ⎜ − x⎟ = –1; ⎝3 ⎠
x=–
π + πn; 3 2π x=– + 2πn; 3
3 x π 2π 2π π ⎛ x π⎞ ; = – + (–1)k + πk; x =– в) sin ⎜ + ⎟ = + (–1)k + 2πk. ⎝ 2 5⎠ 3 5 3 2 2 5
C-15 Y
sin 2t( 3 sin t + cos t) = 0; πn ; sin 2t = 0; t= 2
3 sin t + cos t = 0; 5π + πn; ctg t = – 3 ; t = 6
-1
X
-1 0
1
sin 2t( 3 sin t + cos t) ≤ 0; -1
3π 5π ⎡ π ⎤ ⎡π ⎤ ⎡ ⎤ + 2 πn⎥ ∪ ⎢π + 2πn; + 2 πn ⎥ . x ∈ ⎢− + 2 πn; 2 πn⎥ ∪ ⎢ + 2 πn; 2 6 ⎣ 6 ⎦ ⎣2 ⎦ ⎣ ⎦
138
C-16 πn ⎞ ⎛ π πn π x ∈ ⎜− + + ; ⎟; ⎝ 6 3 12 3⎠
a) tg 3x < 1;
11π ⎡ 7π ⎤ 2x∈ ⎢− + 2 πn; + 2 πn⎥ ; 12 12 ⎣ ⎦ 11π ⎡ 7π ⎤ x ∈ ⎢− + πn; + πn⎥ . 24 ⎣ 24 ⎦
π⎞ 2 ⎛ ; б) cos ⎜ 2 x − ⎟ ≥– ⎝ 6⎠ 2
C-17 2
2
a) sin x – 3cos x – 3 = 0; cos x + 3cos x + 2 = 0; cos x = –2; решений нет; cos x = –1 x = π + 2πn; б) 2sin2 x –
3 sin 2x = 0;
π⎞ 1 ⎛ sin ⎜ 2 x + ⎟ = ; ⎝ 6⎠ 2
3 sin 2x + cos 2x = 1; x=–
π π πn + (–1)k + . 12 12 2
C-18 a)
cos 2α 1 + tgα ; = 1 − sin 2α 1 − tgα
(cos α + sin α )(cos α − sin α ) (cos α − sin α ) 2 б)
=
(cos α + sin α ) cos α 1 + tgα ; = (cos α − sin α ) cos α 1 − tgα
α − sin2 sin 2α − 2 sin α cos α − 1 2 α 2 = − tg2 α . ; = − tg = sin 2α + 2 sin α 2 cos α + 1 2 2 α cos 2
С-19 ⎪⎧sin( x + y ) = 1 ; ⎨ 2 2 ⎩⎪sin x + cos y = 1
π ⎧ π πk ⎧ ⎪⎪ x = 2 + πn − y ⎪⎪ y = 4 + 2 . ; ⎨ ⎨ ⎪ x = π + πn − πk ⎪cosy = ± 1 ⎪⎩ ⎪⎩ 4 2 2
C-20 a) tg 3x = tg 5x;
πn sin3 xcos5x - cos5xsin3x , = 0 ; sin 2x = 0; x = 2 cos 3 x cos 5 x
139
πn + πn не проходит через ОДЗ, значит, x = πn; 2 1 б) sin4 x + cos4 x = sin 2x; 1 – sin2 2x – sin 2x = 0; 2 но
−2±2 3 ; sin 2 x = −1 − 3 – 2
sin2 2x – 2sin 2x –2 = 0; sin 2 x =
посторонний корень; sin 2x = –1 + 3
x = (–1)k
arcsin( 3 − 1) πk . + 2 2
⎛π ⎞ sin x – sin ⎜ − 3 x ⎟ = 0; ⎝2 ⎠ π⎞ π⎞ π πn 3π ⎛ ⎛ sin ⎜ 2 x − ⎟ cos ⎜ x − ⎟ = 0; x = + и x= + πn. 4 4 8 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
в) cos 3x = sin x
C-21 1. f(x) = x2 + 2x; ∆f = x02 + 2x0∆x + (∆x)2 + 2x0 + 2∆x – x02 – 2x0 = 2 = 2x0∆x + (∆x) + 2∆x; 1 3 a) x0 = 2; ∆x = –1; ∆f = –5; б) x0 = –3; ∆x = ; ∆f = –1 2 4 2.
f(x) = x3 + 4x; ∆f = (∆x + x0)((∆x)2 + x02 + 2x0∆x + 4) – x03 – 4x0 = = (∆x)3 + 2x0(∆x)2 + ∆xx02 + 4∆x + x0(∆x)2 + 2∆xx02 = ∆f = (∆x)2 + 3x0∆x + 3x02 + 4. = (∆x)3 + 3x0(∆x)2 + 3∆x(x0)2 + 4∆x; ∆x
C-22 1.
x(t) = 2 – 4t + 3t2 ;
2.
a) f(x) = 2 – 7x;
v(t) = –4 + 6t;
f′(x) = –7; б) f(x) = x2 + 3x – 2;
C-23 1.
a) f(–3) = 0; f(0) – не определено; б) lim f ( x) = 1 ; lim f ( x) = 1 . x → −3
140
v(1) = 2; E =
x →0
2 ⋅ 22 = 4 Дж. 2
f′(x) = 2x + 3.
2.
1 x2 + 8x + 7 = ( x + 7) , 3( x + 1) 3 |x + 1| < 0,006; δ = 0,006.
x+7 − 2 < 0,002; 3
x ≠ –1;
f(x) =
C-24 f ( x) 1 1 + 2 f ( x ) g ( x) = − − 3 = −3 ; g ( x) 6 6 lim f ( x) 1 1 lim y = x→ 2 + 2 lim f ( x) ⋅ lim g ( x ) = − − 3 = −3 ; x→2 x→2 x→2 lim g ( x) 6 6
1.
a) y =
x →2
2 lim f ( x) − lim g ( x ) x→2
б) lim y =
2.
x→2
не существует.
6 lim f ( x ) + lim g ( x )
x→2
x →2
x→2
(
)
a) lim 1 − x + 2 x 2 − 3 x3 =1 – 4 + 32 – 192 = – 163; x→4
б) lim
3x − 9
x → −3 2 x 2
− x +1
=
9 −18 =− . 18 + 3 + 1 11
С-25 1.
а) f(x) = x8 – 2x6 – x5 + 9; б) g(x) = x x + 1 ;
2.
f(x) =
2x + 3 ; 3x + 5
f′(–3) =
3.
1 ; 16
f(x) = 2x + x2 < 2;
4 ; x
f′(x) = 8x7 – 12x5 –
g′(x) = x + 1 + f′(x) =
f′(6) =
10 − 9 (3x + 5)
1 ; 529
f′(x) = 2 –
x ∈ (– 2 ; 0) ∪ (0;
2
=
x 2 x +1 1
(3 x + 5)2
f′(x2 – 1) = 4
x2
5 2 x7 / 2
;
. ; 1 2
(3 x + 2) 2
.
< 0 при
2 ).
141
C-26 f(x) = 40
1.
( )
( x) 4
f ′ x = 80 2.
( x ) ; f′(x) = 80x – 80x ; 9 x − 80( x ) .
8
4
–8
40
9
f′(1) = 0;
a) f(x) = 8x4 – x2; f′(x) = 2x(16x2 – 1); f′(x) = 0 при x = 0 и x = ±
1 ; 4
-1/4
х
0
1/4
1 1 f′(x) > 0 при x ∈ (– ; 0) ∪ ( ; +∞); 4 4 1 1 f′(x) < 0 при x ∈ (–∞; – ) ∪ (0; ); 4 4 б) f(x) =
x 2 + 21 x−2
f′(x) =
2 x 2 − 4 x − x 2 − 21 ( x − 2)
2
f′(x) = 0 при x = 7 и x = –3 f′(x) > 0, x ∈ (–∞; –3) ∪ (7; +∞);
=
x 2 − 4 x − 21
( x − 2) 2
;
f′(x) < 0, x ∈ (–3; 2) ∪ (2; 7).
C-27 x ≥ −2, x ≠ 14 ⎧ x ≥ −2 ; ОДЗ: ⎨ + ≠ x 2 16 ⎩ ⎡x ≥ 0 1 б) f(x) = ; ОДЗ: ⎢ ; x ∈ [0; 25). ⎣⎢5 − x > 0 5− x 1
1.
a) f(x) =
2.
f(x) = x4 – 2x; g(x) = cos x + 1; f(g(x)) = (cos x + 1)4 – 2cos x – 2;
3.
a) f(x) = (7x3 – 3x7)173;
x+2 −4
б) g(x) = x3 − 3x ;
g(f(x)) = cos(x4 – 2x) + 1.
f′(x) = 173(21x2 – 21x6)(7x3 – 3x7)172; 3x 2 − 3 . g′(x) = 2 x3 − 3 x
C-28 ⎛ 3x ⎞ a) f(x) = sin ⎜ +1⎟ ; ⎝ 7 ⎠
142
f′(x) =
3 ⎛ 3x ⎞ cos ⎜ +1⎟ ; 7 ⎝ 7 ⎠
б) f(x) = cos x cos 3x + sin x sin 3x = cos 2x; f′(x) = –2sin 2x; ⎛π ⎞ в) f(x) = ctg ⎜ − x ⎟ + sin x sin 2x = tg x + sin x sin2x; ⎝2 ⎠
f′(x) =
1 cos 2 x
+ cos x sin 2x + 2cos 2x sin x.
C-29 1. f(x) =
2x − 3 3
; ОДЗ:
2
x ( x 2 − 5 x + 6) ≠ 0
x − 5x + 6 x x≠0 x≠2 при x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 2] ∪ (2; 3) ∪ (3; ∞). 2. а)
( x − 1)( x − 3)( x − 5)
x≠3
, значит, f(x) непрерывна
≤ 0;
x2 + 2x
–
–
+ -2
3
1
+
–
+
0
5
х
x ∈ (–∞; –2) ∪ (0; 1] ∪ [3; 5]; б) (x2 – 9) x + 2 < 0; ( x − 3)( x + 3) x + 2 < 0 ; x ∈ (–2; 3).
-3
х
3
-2
C-30 1.
yкас = 2.
f(x) = cos
x ; 2
2 ⎛π⎞ ; f ⎜ ⎟= 2 ⎝2⎠
f′(x) =–
1 x sin ; 2 2
2 ⎛π⎞ ; f′ ⎜ ⎟ = − 4 ⎝2⎠
2 2⎛ π⎞ 2⎛ π ⎞ − ⎜x− ⎟ = − ⎜ x − − 2 ⎟ – уравнение касательной. 2 4 ⎝ 2⎠ 4 ⎝ 2 ⎠ y = 0,5x2 – 2x + 2; x0 = 0; y(0) = 2; y′ = x – 2; y′(0) = –2;
yкас = 2 – 2х – уравнение касательной
143
C-31 1 12 ⎞ 12 ⎛ . = 9⎜1 + ⎟=9 150 8100 ⎝ 8100 ⋅ 2 ⎠
81,12 = 9 1 +
1.
2. 1,000007100 – 0,999999700 ≈ 1 + 0,000007 ⋅ 100 + 1 – 0,000001 ⋅ 700 = = 1,0007 + 0,9993 = 2.
C-32 s(t) = 3t –
1.
1 ; t+2
s′(t) = v(t) = 3 + a(t) = – F(1) =
2 (t + 2)3 −2 ⋅ 4 (1 + 2)
3
1 (t + 2) 2
;
; F = ma, =−
8 (н). 27
a) ϕ = 2t – 0,04t2 ; ω = 2 – 0,08t; б) 2 – 0,08t = 0; t = 25 (c).
2.
ω(2) = 1,04;
C-33 1. f(x) = x3 + 3x – 8; f′(x) = 3x2 + 3 > 0 всегда, значит, f′(x) возникает на R.
f(x) =
2.
x2 9 + ; 4 x2
f′(x) =
x 18 − ; 2 x3
f′′(x) = 0 при x4 = 36;
x = ± 6 ; xmin = ± 6 – точки минимума.
С-34 1
2
>0 при x ∈ (−∞ ; 3) , значит, f(x) ( x − 3) ( x − 3)3 возрастает при x ∈ (−∞ ; 3) ; убывает при x ∈ (3 ; ∞) экстремумов нет. f(x) =
144
2
; f′(x) =–
С-35
1. f(x) = 3x2 – 4x – 7; 2 xв = xmin = ; 3 4 2 1 f(x)в = 3 ⋅ – 4 ⋅ – 7 = –8 ; 9 3 3 ⎡ 1 ⎞ x ∈ R, f (x ) ∈ ⎢− 8 ; ∞ ⎟ ; ⎣ 3 ⎠
2⎞ 2 ⎛ f(x) возрастает при x ∈ ( ; ∞ ) ; убывает при x ∈ ⎜ − ∞ ; ⎟ ; 3 3⎠ ⎝ 2
3x – 4x – 7 = 0; 2.
x1 = −1⎫ ⎪ 7 ⎬ – нули функции. x2 = ⎪ 3⎭
a) x2 – 9x – 22 ≤ 0 D = 81 + 88 = 169 x ∈ [–2; 11] б) x + 8x + 16 > 0; D = 64 – 64 = 0; x = –4; x ∈ (–∞; –4) ∪ (4; +∞). 2
C-36 f(x) =
4( x − 1) 2
; f′(x) =
4 x 2 + 32 − 8 x 2 + 8 x 2
2
=
x +8 ( x + 8) f ′ (x) = 0 при xmax = 4; xmin = –2
− 4( x 2 − 2 x − 8) ( x 2 + 8) 2
=0;
145
12 1 12 = ; f(–2) = – = –1; 24 2 12 f(x) возрастает при x ∈ (–2; 4); убывает при x ∈ (−∞ ;−2) ∪ (4 ; ∞) ; x = 1 – нуль функции. f(4) =
C-37 1.
f(x) = x3 – 2x2 + 8x – 2; x ∈ [1; 4]; f′(x) = 3x2 – 4x + 8; D= 16 – 96 < 0 ⇒ экстремумов нет; f(4) = 62 – наибольшее значение функции; f(1) = –5 – нименьшее.
2.
AB = 24;
CB = 12 3 ;
Пусть KL = x, значит, NM = x; CN =
x ; 2
x KN ; cos 30° = ; 2 AN x KN = 36 – 3; 4 AN = 12 –
S=6 3x–
x2 3 ; 4
xв =
6 3 −2 3
=12; KN = 3 3 см;
C-38 1.
146
1 ; 3 π 0<α< ; 2 sin α =
sin β =
2 ; 3
3π < β < 2π; 2
KL = 12 см.
cos α =
2 2 ; 3
sin β = –
5 ; 3
1 2 5 8 2 2 10 2 + 2 10 sin (α – β) = ⋅ + ⋅ = + = . 3 3 3 3 9 9 9 2.
sin2 (π – α) cos2(π + α) – =
3π ⎞ ⎛ 1 1 sin2 ⎜⎝ 2α + 2 ⎟⎠ = sin2 α cos2α – cos2 2α = 4 4
1 1 cos4α sin2 2α – cos2 2α = – . 4 4 4
3.
cos α = –
2 ; 5
π < α <2π ;
1 + cosα α = cos = 2 2 tg
1− 2
2 5 =
10 α 1 = −1 = −1 = 2 3 2α cos 2
3 ; 10 7 . 3
C-39 ⎛ x π⎞ a) f(x) = sin ⎜ + ⎟ ; ⎝2 3⎠ x ∈ R; f(x) ∈ [–1; 1]; ⎛ x π⎞ sin ⎜ + ⎟ = 0 при ⎝2 3⎠ 2π + 2πn – нули 3 функции; π 5π ⎞ ⎞ ⎛π ⎛ 5π хmax = + 4πn ; хmin = − + 4πn ; f ⎜ + 4πn; ⎟ = 1 ; f ⎜ − + 4πn ⎟ = −1 ; 3 3 ⎠ ⎠ ⎝3 ⎝ 3 π ⎞ ⎛ π f(x) возрастает при x ∈ ⎜ − + 4πn; + 4πn ⎟ ; 3 ⎠ ⎝ 4 x =–
⎛π убывает при x ∈ ⎜ + 4πn; ⎝3
7π ⎞ + 4πn ⎟ . 3 ⎠
147
б)
x ∈ R; y ∈ [1: 3]; нулей нет; π f(x) возрастает при (πn; +πn); 2 π убывает при ( + πn; π + πn); 2 π π хmax = π+ πn; f ( π+ πn) = 3; 2 2 хmin = πn; f (πn) = 1. 1 ⎞ ⎛π в) f(x) = + tg ⎜ − x ⎟ 3 ⎠ ⎝3 f(x) = 2 – cos2x ;
5π + πn; убывает на всей области определения; 6 экстремумов нет; 1 π 1 ⎞ ⎛π нули: tg ⎜ − x ⎟ = − ; x = + arctg + πn. 3 3 3 ⎠ ⎝3 y ∈ R; x ≠
С-40 1.
148
⎛ ⎛ 3 ⎞⎟ 5π 2 ⎞⎟ π π = = – ; в) arctg 3 = . а) arccos ⎜ − ; б) arcsin ⎜ − ⎜ 2 ⎟ 6 ⎜ 2 ⎟ 4 3 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
π⎞ 3 π⎞ 3 ⎛ ⎛ 2. a) cos2 ⎜ 3x − ⎟ = ; cos ⎜ 3x − ⎟ = ± ; 4 3 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π π π 5π x = ± + πn и x = ± + πn; 9 18 9 18
б) 4sin2 x + 4cos x = 5; 4cos2 x – 4cos x + 1 = 0; cos x = a) tg
3.
x ≤– 3; 2
1 π ; x =± + 2πn. 2 3
2π ⎤ ⎛ x ∈ ⎜ − π + 2πn; − + 2πn ⎥ ; 3 ⎦ ⎝
2 π⎞ 11π ⎞ ⎛ ⎛ 5π ; 2x ∈ ⎜ б) sin ⎜ 2x − ⎟ > + 2πn; + 2πn ⎟ ; 6 12 12 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 11π ⎛ 5π ⎞ + πn; + πn ⎟ . x ∈⎜ 24 ⎝ 24 ⎠
C-41 ⎧⎪tgxtg 2 y = 1 ⎧cos( x + 2 y ) − cos( x − 2 y ) = cos( x + y ) + cos( x − 2 y ) ; ⎪⎨ ⎨ ⎪⎩ 3sin2 x − 3cos2 y = 0 ⎪⎩ 3sin 2 2 x − 3cos2 y = 0
π ⎧ ⎪ x − 2 y = + πn 2 ⎨ ⎪ 3sin(4 y + π + 2πn) − 3cos2 y = 0 ⎩
3sin4 y + 3cos2 y = 0
(
)
;
cos2 y 2 3sin2 y + 3 = 0
⎧cos2 y = 0 ⎪ ; π ⎨ ⎪ x = 2 + πn + 2 y ⎩
π πk ⎧ ⎪y = + 4 2 ; ⎨ ⎪ x = πn + πk ⎩
⎧ 3 ⎪⎪sin 2 y = − 2 ; ⎨ ⎪ x = 2 y + π + πn 2 ⎩⎪
πk ⎧ k +1 π ⎪⎪ y = (−1) 6 + 2 . ⎨ ⎪ x = (−1) k +1 π + πk + π + πn ⎪⎩ 3 2
C-42 ⎛ 5 − 53 ⎞⎟ 1. a) x2 – 5x – 7 < 0; ⎜ x − ⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 5 − 53 ; ⎜ 2 ⎝
x ∈⎜
5 + 53 ⎞⎟ ; 2 ⎟⎠
⎛ ⎞ ⎜ x − 5 + 53 ⎟ < 0 ; ⎜ 2 ⎟⎠ ⎝
б) x2 + 6x + 9 ≥ 0
(х + 3)2 ≥ 0; x ∈ R .
149
2.
( x − 8)3 ( x + 3)8 ≥0; 3x + 1 1 x ∈ (–∞; – ) ∪ [8; +∞); 3 a)
б)
-3
-1/3
8
х
10 x − 5 + 18 x − 6 − 18 x 2 + 15 x − 3 <0; (3x − 1)(2 x − 1)
5 6 + < 3; 3x − 1 2 x − 1
(x − 2)⎛⎜ x −
7⎞ ⎟ 18 x − 43x + 14 18 ⎠ ⎝ >0; >0; 1 ⎞⎛ 1⎞ (3 x − 1)(2 x − 1) ⎛ ⎜ x − ⎟⎜ x − ⎟ 3 ⎠⎝ 2⎠ ⎝ 2
1/3
7/18
1/2
2
1⎞ ⎛ 7 1⎞ ⎛ x ∈ ⎜ − ∞; ⎟ ∪ ⎜ ; ⎟ ∪ (2; + ∞ ) . 3 ⎠ ⎝ 18 2 ⎠ ⎝
C-43 a) y = 3x – 7x3 +
1 8 x + x9; 4
б) y = x x + 5 ; в) y = cos 0,3x; ⎛π ⎞ г) y = ctg ⎜ − 3 x ⎟ ; ⎝7 ⎠ д) y = (5x2 – 1)8;
y′ = 3 – 21x2 + 2x7 + 9x8;
x ; 2 x+5 y′ = –0,3sin 0,3x; 3 y′ = ; ⎞ 2⎛ π sin ⎜ − 3 x ⎟ ⎝7 ⎠ y′ = 8(10x)(5x2 – 1)7 = 80x(5x2 – 1)7. y′ = x + 5 +
C-44 1.
f(x) = x2 – 3x – 3; f (0) = –3; f ′(x) = 2x – 3; yкас = –3 –3 х – уравнение касательной.
2.
a)
150
1 = 0,999999; 4 б) 0,99997350 ≈ 1 – 0,00003 ⋅ 350 = 0,9895.
0,999996 ≈ 1 – 0,000004 ⋅
f ′ (0) = –3;
х
3.
x(t) = a(t) =
2+t 2 = 1− ; 4+t t+4 −4 (t + 4)3
;
v(t) =
v(1) =
2 ; 25
2 (t + 4) 2
a(1) = –
; 4 . 125
C-45 1. f(x) = 2x2 – x4 = 0; x = 0; x = ± – нули; f′(x) = 4x(1 – x2) = 0 x = 0; x = ±1 max (±1; 1) min (0; 0) возрастает: x ∈ (–∞; –1] ∪ [0; 1]; убывает: [–1; 0] ∪ [1; +∞) x∈R y≤1
2.
πx πx f(x) = cos2 4 sin 4 ;
x ∈ [–2; 2];
πx πx πx ⎞ π ⎛ f′(x) = ⎜ − 2cos sin 2 + cos 3 ⎟ ; f′′ (x) = 0 при 4 4 4 ⎠4 ⎝ πx πx πx cos 4 = 0 x = 2 + 4π cos2 4 – 2sin2 4 = 0 πx 1 πx ⎛ 1 ⎞1 1 ⎟ + 4πn ; x = 4(–1)k arcsin ⎜⎜ ± sin2 4 = ; sin 4 = ± 3 3 ⎟⎠ π 3 ⎝ ⎛4 1 ⎞ 2 ⎟= ; наибольшее значение f ⎜⎜ (−1) k arcsin ⎟ π 3⎠ 3 3 ⎝
⎛4 ⎛ 1 ⎞⎞ 2 ⎟⎟ = − . наименьшее значение f ⎜ (−1) k arcsin⎜⎜ − ⎟ ⎟ ⎜π 3 ⎠⎠ 3 3 ⎝ ⎝
151
ВАРИАНТ 9 С-1 1.
180° = 18° + 2α;
α = 81° =
9π ; 20
18° =
π . 10
2. а) при повороте на 360° = 60 мин. при x = – 72° x = 12 мин. вперд; б) 360° – 72° = 228°; 228° + 360° ⋅ 11 = 4248°. 3.
4.
3x + 7x + 17x + 21x = 360°; x =7,5°; 3x = 22°30′; 7x = 52°30′; 17x = 127°30′; 22°30′ ≈ 0,3927.
⎪⎧α + β = 1 ; ⎨ ⎪⎩α = β2
β2 + β – 1 = 0;
α = 35°25′;
21x = 157°30′.
β=
− 1+ 5 ; 2
α=
6−2 5 = 3− 5 ; 2
β = 21°53′.
С-2 1 + sin α 1 − sin α = 2 tgα ; − 1 − sin α 1 + sin α
1.
1 + sin 2 α + 2 sin α − 1 + sin 2 α − 2 sin α 1 + sin α − 1 + sin α = = 2 tgα . cos α cos α 2.
a)
cos1700o tg3400o sin 5000o
< 0; б) sin 7 cos 9 tg 11 > 0.
2 sin 2 α (sin α + cos α) 2 − 1 2 sin 2 α cos α ⋅ tgα = = = tgα - sinαcosα sin α − sin α cos 2 α tgα - sinαcosα 2 sin α cos α = 2ctg α; = 1 − cos 2 α 2 1 ; cos α < 0, значит, α ∈ II четверти; cos α = – ; 2ctg α = –1 sin α = 5 5 3.
152
C-3 1. tg 31° tg 33° tg 35°... tg 59° = tg 45°; tg 31° ctg 31° ... tg 43°ctg 43° = 1.
3π ⎞ ⎛ π α ⎞ ⎛π α⎞ ⎛ sin ⎜ α − ⎟ tg⎜ + ⎟ − cos αtg⎜ + ⎟ 2 ⎠ ⎝4 2⎠ ⎝4 2⎠ ⎝ = = + α 1 sin 5π ⎞ ⎛ 1 + cos⎜ α − ⎟ 2 ⎠ ⎝
2.
cos α ⋅ =− 1 + sin α
α α α α α 1 + 2 sin cos cos + sin cos α 2 2 = 2 =− 2 2 =− ⋅ α α α 1 + sin α 1 + sin α 1 - tg cos − sin 2 2 2
1 + tg
= –1. 3.
π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ sin ⎜ 2ϕ − ⎟ cos (3ϕ + π) = sin (2ϕ – π) sin (π –3ϕ) – sin ⎜ + ϕ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cos 2ϕ cos 3ϕ = –sin 2ϕ sin 3ϕ + cos ϕ; cos(2ϕ – 3ϕ) = cos ϕ.
C-4 1.
π 2π 4π cos cos = cos 20° cos 40° cos 80° = 9 9 9 1 1 1 ⎛1 ⎞ = (cos 60° + cos 20°) cos 80° = ⎜ cos 80o + (cos 60o + cos100o ) ⎟ = 2 2 2 ⎝2 ⎠ cos
=
1 1 1 ⎛1 o o⎞ 1 ⎜ cos 80 + − cos 80 ⎟ = . 2 ⎝2 4 2 ⎠ 8
2.
6 3 ⎞ 2 tg2α - 3 2 sin 2α − 3 cos 2α ⎛ = ⎜ tgα = 3 tg2α = = =− ⎟= 4 sin 2α + 5 cos 2α ⎝ 1- 9 4 ⎠ 4 tg2α + 5 3 − −3 −9 = 2 = = cos 8α . 4 −3+5 3.
cos4 2α – 6cos2 2α sin2 2α + sin4 α = 1 – 8cos2 2α sin2 2α = = 1 – 2sin2 4α.
153
C-5 1.
2
(cos t – sin t)(1 + cos t + sin t) = 0 π cos t – sin t = 0 t = + πn 4 1 + cos t + sin t = 0 2 ⎛ π⎞ sin ⎜ t + ⎟ =– 4 2 ⎝ ⎠
Y
-1
-2
X
-1 0
π π – + πk 4 4 π 5π 3π t ∈ [0; 2π]: t = ; ; π; . 4 4 2
1
-1
t = (–1)k+1
-2
2. π⎞ π⎞ π⎞ π π ⎛ ⎛ ⎛ cos ⎜ sin ⎟ > sin ⎜ cos ⎟ , т.к. cos > 0 ⇒ sin ⎜ cos ⎟ < cos , a 7⎠ 7⎠ 7⎠ 7 7 ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ π π π⎞ ⎛ ⎛ ч.т.д. cos ⎜ sin ⎟ > cos = cos > sin ⎜ cos ⎟ 7⎠ 7 7 7⎠ ⎝ ⎝
3. а)
б)
С-6 x ≥ −1, x ≠ 0, x ≠ 3 ⎧x ≠ 0 ⎪ , ; ОДЗ: ⎨2 − x + 1 ≠ 0 1. а) f(x) = x(2 − x + 1 ⎪ x ≥ −1 ⎩ значит, x ∈ [− 1; 0 ) ∪ (0 ; 3) ∪ (3 ; ∞ ) ;
3 x 2 + 4 x − 5 x3
154
2
⎧⎪ x ≥ 0 ⎡ 81 ⎤ б) f(x) = 9 − 2 x ; ОДЗ: ⎨ ; x ∈ ⎢0; ⎥ . ⎪⎩9 − 2 x ≥ 0 ⎣ 4⎦
x > −1 ⎧| x | f(x) = ⎨ ⎩ 2 − 3 x x ≤ −1
2.
a) f(–2) = 8;
f(–1) = 5;
f(3) = 3;
⎧⎪ x 2 , x > 1 f(x2) = ⎨ ; ⎪⎩2 − 3 x 2 , x ≤ −1
б)
С-7 1. а) да;
2.
б)
f1(x) =
да. f (− x) + f ( x) f ( x) − f ( − x) ; f2(x) = 2 2
пусть существуют
2 представления f(x) = f1(x) + f2(x) = g1(x) + g2(x), где f1(x) и g1(x) – четные, g2(x) и f2(x) – нечетные; f1(x) – g1(x) = g2(x) – f2(x) ⇒ слева четная функция; справа нечетная ⇒ f1(x) = g1(x); g2(x) = f2(x).
C-8. 1.
3т
155
а) f(x) =|sin x| + tg 2x; f1(x) = |sin x| T1 = π; π ⇒ T = π; f2(x) = tg2x; T2 = 2 2π π⎞ ⎛ б) f(x) = cos ⎜ 2 x − ⎟ ; T= . 3 2 ⎝ ⎠ a) f(x) = sin x2, пусть T – период ⇒ sin x2 = sin(x + T)2,
2.
3.
что неверно; 1 б) f(x) = cos x cos 2 x = (cos x(1 + 2) + cos x(1 − 2 )) ; 2 2π T1 = f1 ( x) = cosx(1 + 2 ) 1+ 2 ; , значит, f(x) не является f 2 ( x) = cosx(1 − 2 ) T = 2π T = nT 2 1 2 1− 2 переодической.
C-9 ⎧⎪ x 2 + 2 x, x ≤ 0 ; ⎧ x в = −1 a) f(x) = ⎨ ⎨ ⎪⎩ x 2 − 4 x, x > 0 ; ⎩ x в = 2 f(x) убывает при x∈(–∞; –1) ∪ (0; 2); возрастает при x∈(–1; 0) ∪ (1; +∞). 1 1 б) f(x) =x + f′(x) = 1 – 2 > 0 при x2 > 1, значит, x x f(x) возрастает при x∈(–∞; –1) ∪ (1; +∞); убывает при x∈(–1; 0) ∪ (0; 1). 2. а) возрастает; б) нет; в) возрастает; г) убывает; 1.
д) возрастает; е) нет. 3. sin 1, cos 1, tg 1, ctg 2. Ответ: ctg 2, cos 1, sin 1, tg 1.
С-10 f(x) = |x4 – 5x2 + 4|; y = x4 – 5x2 + 4;
1.
y′ = 2x(2x2 – 5) = 0 при xmax = 0 и xmin = ± у = 0 при хmin = ±1; хmax = ±2.
156
5 ; 2
2.
π + 2πn, n ∈ N ∪ {0}; 2 ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ xmax = –2 ± ⎜ − + 2πn ⎟ ; xmin = –2 ± ⎜ − + 2πk ⎟ k ∈ N; ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
а) f(x) = sin |x + 2|; |x + 2| =
б) f(x) = cos 4x + cos 2x –
1 − tg 2 x
= 1 + tg 2 x = cos 4x + cos 2x – cos 2x = cos 4x; πn π πn ; xmin = − + . xmax = 2 4 2
C-11
y = x3 – 3x ; x = 0 x = ± 3 – нули функции; y′ = 3(x2 – 1) = 0 при x = ± 1; у возрастает при (–∞; –1) ∪ (1; +∞); убывает при [–1; 1]; хmax = –1; хmin = 1.
157
С-12 2
f(x) = sin x – 2sin x + 3; π min: sin x = 1 x = + 2πn 2 π max: sin x = –1 x = – + 2πn 2
1.
f(x) = 2 f(x) = 6, значит, f(x) ∈ [2 ; 6].
2.
3. Y
-1
X
-1 0
1
-1
tg 2t − 5 2
tg t − 3
≥ 2;
tg 2t − 2tg 2t + 1 2
tg t − 3
≥ 0;
tg 2t − 1 tg 2t − 3
π π ⎛ π ⎤ ⎡π ⎞ t ∈ ⎜ − + πn; − + πn ⎥ ∪ ⎢ + πn; + πn ⎟ . 3 4 4 3 ⎝ ⎦ ⎣ ⎠
158
≤0;
С-13 а) sin(arccos 0,28) = 1 − 0,0784 = 0,96;
1.
б) arcsin sin 10 = –arcsin sin(10 – 3π) = 3π – 10.
arcsin x + arccos x =
2.
x = sin(
π ; 2
arcsin x =
π – arccos x; 2
π – arccos x). 2
a) cos(5arccos 0,7321) ≈ –0,8223; б) sin(4arcsin (0,0237) + arccos 0,67) ≈ 0,8025.
3.
C-14 1 ; 2 1 tg 3x = ; 3
a) 4sin x cos x = –1; sin 2x = – б)
tgx + tg2 x 1 ; = 1 - tgxtg2 x 3
π πk ; + 12 2 π πn ; x= + 18 3
x = (–1)k+1
π⎞ 1 π⎞ 1 ⎛ ⎛ в) cos⎜ 3 x − ⎟ = ; cos⎜ 3 x − ⎟ = ± ; 14 ⎠ 2 14 ⎠ 2 ⎝ ⎝ π π 2π π x=± + + 2πn ; x=± + + 2πn . 9 42 9 42
C-15
cos t tg 2t ≤ 0; π 3π 3π ⎛ π ⎞ ⎡π ⎞ ⎛ 5π ⎤ + 2πn⎥ . x ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ ∪ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎟ ∪ ⎜ + 2πn; 4 2 4 4 2 4 ⎝ ⎠ ⎣ ⎠ ⎝ ⎦
159
C-16 π⎞ ⎛ tg⎜ x + ⎟ + tg2 x π⎞ 1 1 7⎠ ⎛ ≤ a) ⎝ ; tg⎜ 3 x + ⎟ ≤ ; π⎞ ⎛ 7⎠ 3 3 ⎝ 1 - tg2 xtg⎜ x + ⎟ 7⎠ ⎝ 5π ⎛ 3π πn π πn ⎞ + ; + x ∈ ⎜− + πk , значит, ⎟ , но по ОДЗ x ≠ 14 3 26 3 ⎠ ⎝ 7 π π ⎛ 9π ⎞ ⎛ 5π ⎞ + πk ; + πk ⎟ ∪ ⎜ + πk ; + πk ⎟ ∪ x ∈⎜− 126 4 ⎝ 42 ⎠ ⎝ 42 ⎠ 43 85π ⎛π ⎞ ⎛ 19π ⎞ ∪ ⎜ + πk ; π + πk ⎟ ∪ ⎜ + πk ; + πk ⎟ 126 126 ⎝4 ⎠ ⎝ 42 ⎠ б) sin2 x ≥
1 2
⎡ 2 ⎢sin x ≥ 2 ; ⎢ ⎢ − 2 ⎢sin x ≤ 2 ⎣
3π ⎡π ⎤ x ∈ ⎢ + πn; + πn ⎥ . 4 ⎣4 ⎦
C-17 a)
2 sin
x = 2πn ;
x + 1 = cos x; 2 x = (–1)k+1
б) sin x sin 3x =
1 ; 2
sin
x x ⎛ ⎞ ⎜ 2 sin + 2 ⎟ = 0 ; 2 2 ⎝ ⎠
π + 2πn ; 2 cos (2x) – cos 4x = 1;
cos 2x(1 – 2cos 2x) = 0; x =
π πn + ; 4 2
x=±
π + πn . 6
C-18 2
2
a) 4cos x + sin x cos x + 3sin x = 3; cos x(cos x + sin x) = 0; π π x = + πn x = – + πn ; 2 4 б) sin5 x – sin4 x cos x = 2sin3 x cos2 x; sin3 x(sin2 x – sin x cos x – 2cos2 x) = 0; x = πn; cos x ≠ 0; tg x = 2; x = arctg 2 + πk; tg2 x – tg x –2 = 0; π tg x = –1; x = – + πk . 4
160
С-19. ⎧⎪tgxtg2 y = 1 ; ⎨ ⎪⎩sin2 x = 3cos2 y
⎪⎧cos( x − 2 y ) = 0 ; ⎨ ⎪⎩sin2x = 3cos2 y
π ⎧ 3 cos 2 y + sin 4 y = 0 ⎪ x = 2 y + + πn 2 ; ; ⎨ ⎪sin(4 y + π) = 3 cos 2 y cos 2 y ( 3 + 2 sin 2 y ) = 0 ⎩ π πk ⎧ π πk ⎪ y = (−1)k +1 + ⎧ ⎪ ⎪y = − + 6 2 . 4 2 ; ⎨ ⎨ π ⎪ x = (−1) k +1 + πk + π + πn ⎪ x = πn + πk ⎩ ⎪⎩ 3 2
C-20 a) sin 3x sin3 x + cos 3x cos3 x =
1
; 2 2 sin 3x sin x + cos 3x cos x – sin 3x cos2 x sin x – 1 ; – cos 3x cos x sin2 x = 2 2 1 1 ; cos 2x – (cos 2x + sin 3x cos 2x sin x – cos 3x cos x cos 2x) = 2 2 2 1 1 1 cos 2x + (cos 2x cos 4x) = ; 2 2 2 2 π 1 ; cos 2x = ; x = ± + πn; 8 2 2 б) sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x; 2sin 2x cos x + sin 2x – cos x – 2cos2 x = 0; 2cos x(sin 2x – cos x) + sin 2x – cos x = 0; (sin 2x – cos x)(2cos x + 1) = 0; cos x(2sin x – 1)(2cos 3x + 1) = 0; π x = + πn; 2 π x =(–1)k + πk; 6 2π + 2πz. x=± 3
2cos3 2x =
1
161
C-21 f(x) = –
1.
16 ; x
g(x) = x2 – 1; x0 = 2; ∆x = 0,1;
16 16 16 + =− + 8 ≈ −0,38 ; x0 + ∆x x0 2,1 ∆g (x0) = –2∆xx0 + ∆x2 = 0,01 – 0,4 = –0,39, значит, ∆g(2) < ∆f(2); 16 + 8 ≈ 0,73; x0 = 2 ∆x = 0,2 ∆f = – 2,2 ∆g (x0) = 0,04 – 0,8 = –0,76, значит, ∆f(2) > ∆g(2). ∆f(x0) = −
2.
f(x) = x3 – 2x2 + 4x – 3 ∆f(x0) = x03 + (∆x)3 + 3x0(∆x)2 + 3x02∆x – 2x02 – 2(∆x)2 – 4x0∆x + + 4x0 + 4∆x – 3 – x03 + 2x02 – 4x0 + 3; ∆f ( x0 ) = (∆x)2 + 3x0∆x + 3x02 – 2∆x – 4x0 + 4; ∆x ∆f ( x0 ) lim = = 3x02 – 4x0 + 4. ∆x → 0 ∆x
C-22 1.
m = 3 – 2t; x(t) = t2 + 3t + 1; m(1) = 1; v(t) = 2t + 3; a(t) = 2; F = 2 Н.
2.
a) f(x) = 4 x – x3; б) f(x) =
f′(x) =
x−2 1 =1– ; x −1 x −1
2
x
– 3x2;
f′(x) =
1 ( x − 1)2
.
C-23 1.
a) (–2; 1) (3; 3)1); б) в)
2.
x →3
y ∈ (–2; 2] ∪ {3}.
f(x) =
x +1− 4 x +1 − 2
= x +1 + 2 ,
x + 1 − 2 < 0,1;
162
lim f ( x ) не существует; lim f ( x ) = 1 ;
x → −2
x ≠ 3;
x ∈ (2,61; 3,41), значит, δ = 0,39.
C-24 lim f 2 ( x ) − lim g ( x)
a) lim y =
1.
x →1
x →1
x →1
3 lim f ( x ) + 4 lim g ( x) x →1
=
x →1
4 +1 5 = ; 6−4 2
2
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ б) lim y = ⎜ lim f ( x) + lim g ( x) ⎟ + ⎜ lim f ( x) − lim g ( x) ⎟ = x →1 x →1 x →1 ⎝ x →1 ⎠ ⎝ x→1 ⎠
= 2 lim f ( x) + 2 lim g 2 ( x) = 2( 2 + 1) = 6 . x →1
x →1
x3 − 8 = lim x 2 + 2 x + 4 = 12 ; x→2 x − 2 x→2
a) lim
2.
б) lim
x→2
3x − 2 − 2 3x − 6 3 = lim = . x → 2 ( x − 2)( 3 x − 2 + 2) 4 x−2
С-25 а) f(x) = x3 − x − 3x18 ;
1.
б) g(x) = (x2 + 3x) x ;
2.
f′(x) =
3 1 x− − 54 x17 ; 2 2 x
g′(x) = (2x + 3) x +
x 2 + 3x 2 x
.
⎧⎪ x 2 , xx x≥0 f ( x ) − f ( 0) f(x) = ⎨ = lim = lim x = 0 . = x|x|; lim 2 x →0 x →0 x x →0 x ⎪⎩− x , x < 0
C-26 2
a) f(x) = (x – 2) (x + 4); f′(x) = 2(x – 2)(x + 4) = 0; x = 2 x = –4; f′(x) > 0; x ∈ (–∞; –4) ∪ (2; +∞); f′(x) < 0 x ∈ (–4; 2); 2x − 1 б) f(x) = ; ( x − 1)2
f′(x) =
2( x − 1) 2 − 2( x − 1)(2 x − 1)
f′(x) > 0 f′(x) < 0
( x − 1) 4 x < 0; x > 0, x ≠ 1.
=
2x − 2 − 4x + 2 ( x − 1) 4
=
− 2x ( x − 1) 4
= 0 при x = 0;
163
C-27 1
a) f(x) =
1.
⎧⎪ x 2 − 7 ≥ 0 ; ОДЗ: ⎨ ⎪⎩2 − x 2 − 7 > 0
;
2 − x2 − 7
⎧⎪ x 2 ≥ 7 ; ⎨ 2 ⎪⎩ x < 11
x ∈ (– 11 ; – 7 ] ∪ [ 7 ; 11 ); б) f(x) = x − x − 2 x ;
⎧x ≥ 0 ⎪⎪ ОДЗ ⎨ x − 2 x ≥ 0 ; ⎪ ⎪⎩ x − x − 2 x ≥ 0 x ∈ {0} ∪ [4; +∞). 2.
1 x −1 = ; x x
⎧x ≥ 0 ⎪ 2 ⎧x ≥ 0 ; ⎨ ; ⎨x ≥ 4x ⎩ x( x − 4) ≥ 0 ⎪ 2 ⎩x ≥ x − 2 x ≥ 0
1 x ; = 1− =− 1 x −1 x −1 1− x 1 1 f(f(f(x))) = – = x ; f(f(f(f(x)))) = 1 – ; 1 x 1− −1 x 1 1 fn(x) = 1 – , n =3k – 2; fn(x) = x; n = 3k; fn(x) = – ; n = 3k – 1 x x −1 ОДЗ: для f : x ∈ (−∞;0) ∪ (0; ∞ ) ; для fa : x ∈ (− ∞;0) ∪ (0;1) ∪ (1 ; ∞ ). f(x) = 1 –
f(f(x)) = 1 –
1
3. a) f(x) = 3 x3 + 2 x 2 − 12 = б) f(x) = (x3 – x x )9;
9 x2 + 4 x
; 2 3x3 + 2 x 2 − 12 3 f′(x) = 9(3x2 – x )(x3 – x x )8. 2
C-28 a) f(x) = sin 2x cos 3x + cos 2x sin 3x = sin 5x; f′(x) = 5cos 5x; tgx − tg( x − 1) б) f(x) = = tg1 ; f′(x) = 0; 1 + tgxtg( x − 1) в) f(x) = sin3 2x + cos3 2x; f′(x) =6(sin2 2x cos 2x – sin 2x cos2 2x).
164
C-29 x2 − a 2
lim
1.
x→a 3 a2
2. a)
x− a
≤ 8;
x→a
a ≤ 4, значит, 0 < a ≤ 4.
x 4 − 3x 2 + 2 6x2 − x − 1
= lim ( x + a )( x + a ) = 4 a a ≤ 32 ;
≤0;
( x 2 − 2)( x 2 − 1) ≤0; 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ x − x + ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 ⎠⎝ 3⎠ ⎝
( x − 2 )( x + 2 )( x − 1)( x + 1) ⎛ 1 1⎞ ≤ 0 ; x ∈⎜− ; ⎟ . 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ ⎝ 3 2⎠ ⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟ 2 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ +
–1
− 2
б)
+
–
+
–
−
1 3
1 2
+
– 1
Х
2
1 2 3 + < ; x+2 x+3 x+4
x 2 + 7 x + 12 + 2 x 2 + 12 x + 16 − 3 x 2 − 15 x − 18 <0; ( x + 2)( x + 3)( x + 4) 4 x + 10 <0; ( x + 2)( x + 3)( x + 4) x ∈ (–4; –3) ∪ (–
5 ; –2). 2
-4
-3
-5/2
-2
х
C-30 1.
f(x) =
x;
f′(x) =
1 2 x
= tg 60° = 3 ; x =
1 1 ⎛1⎞ ; f⎜ ⎟= , 12 ⎝ 12 ⎠ 2 3
⎛ 1 1 ⎞ ⎟. значит искомая точка ⎜⎜ ; 12 2 3 ⎟⎠ ⎝
2.
f′(x) = –
2 ⎛x π ⎞ f(x) = cos ⎜ − ⎟ ; f(π) = ; 3 12 2 ⎝ ⎠ 2 2 2 1 ⎛x π ⎞ sin ⎜ − ⎟ ; f′(π) = – ; yкас = – (x – π) – ур. кас. 3 6 2 6 ⎝ 3 12 ⎠
165
C-31
( 4,0008 −
1.
0,9998
)
40
≈ (2(1 + 0,0001) – 1 + 0,0001)40 ≈
≈ 1 + 0,0001 ⋅ 40 ⋅ 3 ≈ 1,012. 2.
sin 64° = sin 60°cos 4° + cos 60°sin 4° ≈ 0,866 +
1 ⋅ 0,0698 = 0,9009. 2
C-32 1 3 t + 4t2 + 5t; v(t) = –t2 + 8t + 5; a(t) = –2t + 8; 3 а) t = 4; б) v(4) = 21 м/с.
1.
s(t) = –
2.
s(t) =
1 (t − 2)2
; v(t) =
−2 (t − 2)3
; a(t) =
6 (t − 2)4
;
F=
6m (t − 2)4
.
C-33. 1.
f(x) = 3x3 – 2x2 + 3x – 2; f′(x) = 9x2 – 4x + 3; D = 4 – 27 < 0 ⇒ f(x) всегда возрастает. 4
2.
f(x) = tg3 x – tg x – 3; ОДЗ: x ≠
π + πn 2
±1 1 ; = 0 ; f ′(x) = 0 при tg x = cos 2 x 3 π π π x = ± + πn; хmin = − + πn ; хmax = + πn . 6 6 6 f′(x) = 3tg2 x
1
cos 2 x
−
С-34 f(x) = =
166
( x − 2)(6 + x ) ( x − 1)
2
; f′(x) =
(6 + x + x − 2)( x − 1) 2 − 2( x − 1)( x − 2)( x + 6)
( x − 1)(2 x 2 + 2 x − 4 − 2 x 2 − 8 x + 24) ( x − 1)
4
( x − 1) 4 =
20 − 6 x ( x − 1)3
= 0;
=
x=
3 x − 10
10 – max 3
убывает:
( x − 1)3 (1;
>0;
3 3 ]; возрастает: (–∞; 1) ∪ [ ; +∞). 10 10
С-35 1.
h(x) = –6x2 + x + 1; xв =
1 = хmax; 12
1 1 1 1 + +1 = 1 ; x ∈ R, y ≤ 1 ; 24 12 24 24 1 1 возрастает: x ≤ ; убывает: x ≥ ; 12 12 −1 − 5 1 1 = и ; x2 = − . нули: x1 = − 12 2 3 hв = –
2.
5x2 + 8x – 4 ≥ 0 x ∈ (–∞; –2] ∪ [ 3.
2⎞ ⎛ ( x + 2)⎜ x − ⎟ ≥ 0 ; 5⎠ ⎝
2 ; +∞). 5
x3 + 3x2 + 3x + 1 > 0; (x + 1)(x2 – x + 1 + 3x) > 0; (x + 1)(x + 1)2 > 0; (x + 1)3 > 0.
167
C-36
f(x) =
x2 + 2 x 2
x + 2x + 2 4x + 4
= 1−
2 2
x + 2x + 2
;
= 0 при ( x 2 + 2 x + 2) 2 x = –1; f(x) возрастает при x > –1; убывает при x < –1; −1 xmin = –1; –f(–1) = = −1 . 1
f′(x) =
C-37. f(x) =
1.
x=±
2x 2
x +1 1 2
xmin = –
;
;
xmax =
Пусть LK = x LM = y; тогда из подобия: 3− y x 4y ⇒ x=4– ; = 3 4 3
S′ = 4 –
168
2
( x + 1)
2
=
1 − 2 x2 ( x 2 + 1)2
= 0 при
⎛ 1 ⎞ 2 ⎟⎟ = – наибольшее значение; ; –f ⎜⎜ 2 ⎝ 2⎠ 3
1
⎛ 1 ⎞ −2 ⎟⎟ = ; –f ⎜⎜ − – наименьшее значение. 2⎠ 3 2 ⎝
1
2.
S = xy = 4y –
2x2 + 1 − 4x2
f′(x) =
4 y2 ; 3
8 3 y = 0 при y = 3 2
X = 2; S = 3 М2.
С-38
3 4 3 , cos β = , tgγ = ; 5 5 4 π π 3π ; 0<α< , 0<β< , π<γ< 2 2 2 4 3 3 4 9 9 − sin 2 γ ; sin γ = − , cos γ = − ; cos α = , sin β = , sin 2 γ = 5 5 5 5 16 16 sin (α + β + γ ) = sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ + + cos α cos β sin γ − sin α sin β sin γ =
1.
sin α =
3 4 4 4 3 4 4 4 3 3 3 3 16 ⎛ 9 ⎞ 27 117 =− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − . ⋅⎜ ⎟ + =− 25 ⎝ 5 ⎠ 125 125 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2.
sin 2 2α + 4 sin 4 α − 4 sin 2 α cos 2 α = tg 4α ; 4 − sin 2 2α − 4 sin 2 α 4 sin 4 α 4 sin 4 α = = tg 4α . 2 2 2 2 4 cos α − sin 2α 4 cos α 1 − sin α
(
3.
а)
tg 7 0 + tg 68 0 0
1 − tg 7 tg 68
0
1+ = tg 75 0 =
)
1
3 +1 3 ; = 1 3 −1 1− 3
б) cos160 cos 590 − sin 160 sin 590 = cos 750 =
=
2 3 2 1 ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2
6− 2 . 4
С-39 а)
см.рис;
π⎞ ⎛ f (x ) = sin⎜ 2 x + ⎟ = 0 при 2⎠ ⎝ π πn -нули; x=− + 4 2 x ∈ R , f ( x) ∈ [−1;1] ;
169
π ⎛ ⎞ ⎛ π ⎞ убывает при x ∈ ⎜ πn; + πn ⎟ ; возрастает при x ∈ ⎜ − + πn; πn ⎟ ; 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠
xmax = πn , xmin = −
π + πn ; 2
б)
⎛ x π⎞ f ( x) = cos⎜ − ⎟ ; ⎝2 8⎠ см.рис.
5π + 2πn -нули; 4 x ∈ R , f ( x) ∈ [−1;1] ; возрастает при
x=
π ⎞ ⎛ 7π x ∈⎜− + 4πn; + 4πn ⎟ ; 4 4 ⎠ ⎝
9π ⎛π ⎞ + 4πn ⎟ убывает при x ∈ ⎜ + 4πn; 4 ⎝4 ⎠
π 7π + 4πn ; xmin = − + 4πn ; 4 4 в) см.рис; π⎞ ⎛ f (x ) = tg ⎜ 3x − ⎟ ; 7⎠ ⎝ π x= + πn -нули; 21 3π πn x≠ + , f ( x) ∈ R ; 14 3 возрастает на обл. опр; экстремумов нет.
xmax =
С-40 1.
⎛
3⎞ 5⎠
⎝
б) arctg 2 + arctg
170
⎛
3⎞ 5⎠
⎛
4⎞ 5⎠
а) sin ⎜ 2 arcsin ⎟ = 2 sin ⎜ arcsin ⎟ cos⎜ arccos ⎟ =
⎝
1 2
2+
= A,
⎝
24 ; 25
1
1−1
2
= tgA ⇒ A =
π . 2
2.
а) cos x cos 2 x cos 4 x =
1 ; 8
sin x ≠ 0 , x ≠ πL ; 8 sin x cos x cos 2 x cos 4 x = 1 ; sin 8 x = sin x ; sin x 7x 9x π 2πκ 2πn sin cos =0; x= , x= + ; n ≠ 7 πZ ; k ≠ 9 p + 4 ; 7 9 9 2 2 б) cos 2 2 x + cos 2 4 x − sin 2 6 x − sin 2 8 x = 0 ; cos 4 x + cos 8 x + cos12 x + cos16 x = 0 ; cos10 x cos 6 x + cos10 x cos 2 x = 0 ; cos10 x cos 4 x cos 2 x = 0 ; π πn π πn π πn + , x= + , x= + . x= 20 10 8 4 4 2 3.
а) sin x < cos x ; π π⎞ ⎞ ⎛ 3π ⎛ sin ⎜ x − ⎟ < 0 ; x ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ ; 4⎠ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎝
⎛
б) sin x⎜ cos x +
1⎞ 1⎞ ⎛ ⎟ ≤ 0 ; sin x⎜ cos x + ⎟ = 0 при x = πn ; 2⎠ 2⎠ ⎝
⎝ 2π ⎡ 2π ⎤ ⎡ − 2π ⎤ x=± + 2πk , значит x ∈ ⎢ + 2πn; π + 2πn ⎥ ∪ ⎢ + 2πn; 2π + 2πn ⎥ . 3 ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦
С-41 ⎧2 cos x = 3tgy ⎪ ⎨2 cos y = 3tgz ; ⎪2 cos z = 3tgx ⎩
⎧4 cos 2 x = 9tg 2 y ⎪⎪ 2 2 ⎨4 cos y = 9tg z ; ⎪ 4 cos 2 z = 9tg 2 x ⎩⎪
Пусть cos 2 x = a , cos 2 y = b , cos 2 z = c ;
1− b ⎧ ⎪4 a = 9 ⋅ b 9 − 9b ⎪ 1− 4⋅9 9 1− b 9 1− c ⎪ 4b ; = 9⋅ ; a= ⋅ ; c= ; ⎨4b = 9 ⋅ − 9 9b 4 9 b + 4 b 4 b + 9 c ⎪ 4b ⎪ 1− a ⎪4c = 9 ⋅ a ⎩
36(1 − b ) = 52b 2 − 36b + 117b − 81 ; 52b 2 + 117b − 117 = 0 ;
171
3 ; b2 = 3 , постор. корень, т.к. cos 2 γ ≤ 1 ; 4 9 9 3 9 1 4 3 = = ; a= ⋅ ⋅ = ; с= 3 4 4 3 4 4 ⋅ + 9 12 4 4 ⎧ 3 ⎪cos x = ± 2 ⎪ ⎪⎪ 3 ; ⎨cos y = ± 2 ⎪ ⎪ 3 ⎪cos z = ± 2 ⎩⎪
b1 =
π π 5π 5π ⎛π ⎞ ⎛ 5π ⎞ + 2πn; + 2πn ⎟ ; ⎜ + 2πk ; + 2πk ; + 2πk ⎟ ; ⎜ + 2πn; 6 6 6 6 ⎝6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ π π 7π 7π ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ + 2πn;− + 2πn ⎟ ; ⎜ − + 2πn; + 2πn; + 2πn ⎟ ; ⎜ + 2πn; 6 6 6 6 ⎝6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ π π π 7π ⎛ 7π ⎞ ⎛ 5π ⎞ + 2πn;− + 2πn; + 2πn ⎟ ; ⎜ + 2πn;− + 2πn; + 2πn ⎟ ; ⎜ 6 6 6 6 6 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π 5π 5π 7π ⎛ 7π ⎞ ⎛ π ⎞ + 2πn; + 2πn;− + 2πn ⎟ ; ⎜ − + 2πn; + 2πn; + 2πn ⎟ . ⎜ 6 6 6 6 ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
С-42 1.
а) x 2 − 12 x + 32 ≥ 0 ; x = y ≥ 0 ; y 2 − 12 y + 32 ≥ 0 ;
y ∈ [0;4] ∪ [8;+∞ ) ; x ∈ (−∞;−8] ∪ [−4;4] ∪ [8;+∞ ) ;
б) 1 +
2.
(
(x − 2)(x + 1) > 0 ; 4 + x2 − x − 6 4 > 3− x; > 0; (x + 2) x+2 x+2 x ∈ (−2;−1) ∪ (2;+∞ ) ;
а)
–
–
+ –2
172
)
12 7 − < 0 , ОДЗ: x ≠ 0 ; x 2 − 7 x + 12 < 0 ; x ∈ (3;4) . x2 x
–1
+ 2
Х
(x − 2)(x − 4)(x − 7 ) > 1 ; (x + 2)(x + 4)(x + 7 ) (x − 2)(x 2 − 11x + 28) − (x + 2)(x 2 + 11x + 28) > 0 ; (x + 2)(x + 4)(x + 7 )
б)
− 26 x 2 − 112 13x 2 + 56 >0; <0; (x + 2)(x + 4)(x + 7 ) (x + 2)(x + 4)(x + 7 ) –
–
+ –7
x ∈ (−∞;−7 ) ∪ (−4;−2 ) .
–4
+ Х
–2
С-43 а) y =
1.
1 2 3 1 4 9 − − + + ; y' = − 2 3 x x2 x3 x x x4 x 2 +1 1 = 1x + ; y' = 2 x x
б) y =
(
(
2
−
2 x3
2 x+
)
1
1
=− x
x2
3
1+
1
.
x2
в) y = 2 − x cos x + 2 x sin x ;
)
y ' = x 2 − 2 sin x − 2 x cos x + 2 sin x + 2 x cos x =
(
2
)
= x − 2 sin x + 2 sin x = x 2 sin x ;
(
г) y = x 3 − x 2 2.
)
66
(
)(
; y ' = 66 3 x 2 − 2 x x 3 − x 2
)
65
.
f (x ) = x 3 + x − 2 ; f ' (x ) = 3x 2 + 1 ; g (x ) = 3x 2 + x − 3 ; g ' (x ) = 6 x + 1 ; f ' (x ) − g ' (x ) = 3 x 2 − 6 x > 0 ; x ∈ (− ∞;0 ) ∪ (2;+∞ ) .
С-44 1.
f (x ) = − x 2 − 2 x ; f ' (x ) = −2 x − 2 ; y кас = − x 2 0 − 2 x 0 − 2(x 0 + 1)(x − x 0 ) = −2(x 0 + 1)x + x 2 0 ;
1 = −2(x 0 + 1) + x 2 0 ; x 2 0 − 2 x 0 − 3 = 0 ; x 0 = 3 , x 0 = −1 ;
y1 = −8 x + 9 , y 2 = 1 – уравнения касательных.
173
(
4,000008 − 0,999996 ≈ 1 + 0,0004 = 1,0004 ;
2.
а)
)
100
≈ (1,000002 + 0,000002 )100 ≈
б) sin 32 0 = sin 30 0 cos 2 0 + cos 30 0 sin 2 0 ≈
= 0,0302 + 0,4997 = 0,5299 . S (t ) =
3.
t t2 + 4
; V (t ) =
t = ±2 , но t ≥ 0 ⇒ t=2;
a(t ) = − a(2 ) = −
(
2t t 2 + 4
)
2
(
8
(t
2
)(
+4
+ 4t t 2 + 4 4 − t 2
(t
2
)
+4 4
4 ⋅ 64 + 8 (8) (0) 4
t 2 + 4 − 2t 2
=−
)
);
4 1 =− ; 64 16
3 Н. F =− 16
С-45 1.
x 3 − 6 x + 12 = 0 ; x 3 = 6 x − 12 ; см.рис. 1 корень.
174
2
1 ⋅ 0,9994 + 0,866 ⋅ 0,0349 = 2
=
(t
4 −t2 2
+4
)
2
= 0 при
Пусть основание а, а сторона – в;
2.
H = b2 −
1 a2 a2 , S = a b2 − ; a + 2b = P ; 4 2 4
1 2 2 a4 ; b= a b − 4 16
S2 =
P' =1 +
− S 2 8 / a3 + a / 2 4
64 S a6
4
+
S2 a
2
+
a2 4
4S 2 a2
+
= 0; −
4S 2 a 2 a2 ; a+2 + =P; 4 4 a2
a 8S 2 + 3 = 2 a
4S 2 a
2
+
a2 ; 4
8S 2 4 S 2 a 2 64 S 4 2S 2 a ; − 2 = 0; − 2 = 2 + 4 4 a a a6 a 2
64 S 4 − 2S 2 a 4 = 0 ; a 4 = 32S 2 ; a = 2 2 S ; в=
4 S 2 8S + = 8S 4
S 5S + 2S = . 2 2
ВАРИАНТ 10 С-1 1.
2.
α = 36 0 , 360 0 − 2α = 2β , β = 144 0 ; π 4π π π ⋅ 36 = ; 144 0 = ⋅ 144 = . 36 0 = 180 5 180 5 360° - 60 мин.; x° - 24 мин. а) x = 144 0 ; б) x = 360 0 − 144 0 = 216 0 ; 216 0 + 360 ⋅ 11 = 4176 .
2π π . ⋅ 40 = 180 9
3.
8 x + 13 x + 23 x + 28 x = 360 0 ; x = 5 ; 8 x = 40 0 =
4.
⎧⎪ x + y = 4 1 ; y 2 + y − 4 = 0 ; Д=17; y12 = − 1 ± 17 ⋅ , но ⎨ 2 2 ⎪⎩ x = y
(
y >0⇒ y =
)
− 1 + 17 ; y = 89 0 28 ' , x = 139 0 43 ' . 2
175
С-2 1 + sin α 1 − sin α 1 + sin α − 1 + sin α 2 sin α − = −2tgα ; = = −2tgα . 1 − sin α 1 + sin α − cos α − 1 − sin 2 α
1.
2.
а)
cos 1100 0 sin 2200 0
<0;
tg 2980 0
б) sin 6 tg 8 cos 10 < 0 .
2 + tgα ctgα α + tg ctgα
3.
(sin α + cos α )
2
− sin α =
2 sin α cos α + 1 − sin α = 1 + 2 sin α cos α
= 1 − sin α tgα = 2 , sin α < 0 ; sin 2 α = 4 − 4 sin 2 α ; sin α = − 1 − sin α =
5+2 5
2 5
.
С-3 1. ctg13 0 ⋅ ctg17 0 ⋅ ctg 210. . . ctg 77 0 = tg130 ⋅ ctg13 0 ⋅ ctg17 0 ⋅ tg17 0. . . ctg 45 0 = 1 .
2.
π⎞ ⎛ ⎛ 5π ⎞ + 6α ⎟ cos⎜ 2α − ⎟ + sin (3π − 4α ) − cos⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 4 sin (5π − 3α ) cos(α − 2π ) sin 2α + sin 4α + sin 6α = = 4 sin 3α cos α 2 sin 3α(cos α + cos 3α ) 2 cos 2α cos α = = = cos 2α . 4 sin 3α cos α 2 cos α
π⎞ ⎛ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ 3. cos⎜ 4t + ⎟ cos(t − π ) − cos⎜ + 3t ⎟ = sin ⎜ − 4t ⎟ sin (t + π ) ; 2⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ sin 4t cos t − sin 3t = cos 4t sin t ; 1 (sin 5t + sin 3t ) − sin 3t = 1 (sin 5t − sin 3t ); 2 2
176
С-4 8π π sin 7 =− 7 =−1 . π π 8 8 sin 8 sin 7 7 sin
1.
π 2π 4π cos cos cos = 7 7 7
2.
tgα = 3 , sin 2 α = 9 − 9 sin 2 α ; sin α = ±
6 8 4 =− ; , cos 2α = − 10 10 5 3 sin 2α − 4 cos 2α ⎛ 9 4 ⎞ ⎛ = ⎜ + ⎟ :⎜− 4 − 5 cos 2α − sin 2α ⎝ 5 5 ⎠ ⎝
3 10
, cos α = ±
1 10
;
sin 2α =
3⎞ 13 5 13 =− . ⎟=− ⋅ 5⎠ 5 23 23
(1 + tg 2α )2 − 2tg 2 2α − sin 4α − 1 =
3.
1 + tg 2 2α
=
(1 − tg
2
)
2α + 2tg 2α cos 2 2α 2
1 + tg 2α
− sin 4α − 1 =
= cos 2 2α − sin 2 2α + sin 4α − sin 4α − 1 = cos 4α − 1 .
С-5 1.
см.рис.
(cos t + sin t )(1 + cos t − sin t ) = 0 ; t=−
π + πn 4
2 ⎛ π⎞ sin ⎜ t − ⎟ = , 2 ⎝ 4⎠ π π t = − + πn + (− 1)k 4 4 3π π t ∈ [0;2π] , t = , t= , t=π, 4 2 7π t= . 4
177
⎡ π⎤ cos(sin 1) > sin (cos 1) , x ∈ ⎢0; ⎥ ; sin (cos 1) < cos 1 ; ⎣ 2⎦ sin 1 < 1 ⇒ cos(sin 1) > cos 1 > sin (cos 1) .
2.
3.
см.рис. а)
б)
С-6 1 2 1 x − x + 2x 3 2 3 а) f (x ) = ; x 4 − x −1
(
1.
)
⎧x ≠ 0 ⎪ ОДЗ: ⎨4 ≠ x − 1 ; x ≥ 1, x ≠ 17 , значит, x ∈ [1;17 ) ∪ (17 ; ∞) ; ⎪x ≥ 1 ⎩ б) f (x ) = 3 − 4 x
⎧⎪ x ≥ 0 ⎡ 9⎤ ; x ∈ ⎢0; ⎥ . ⎪⎩3 ≥ 4 x ⎣ 16 ⎦
ОДЗ: ⎨
⎧⎪2 x 2 + 1, x < 3 2. ; f (x ) = ⎨ ⎪⎩3 x − 7, x ≥ 3 а) f (− 3) = −16 ; f (2) = 9 , f (5) = 8 ; f x 2 + 4 = 3 x 2 + 5 ;
(
178
)
б) см.рис.
С-7 1. 2.
а)да;
б)нет.
f (x ) + f (− x ) f (x ) − f (− x ) – четная; – нечетная; 2 2 f (x ) + f (− x ) f (x ) − f (− x ) ⇒ + = f (x ) ; 2 2 единственность: пусть f (x ) = g 1 (x ) + ϕ1 (x ) = g 2 (x ) + ϕ 2 (x ) ; где gi (x ) - четная, ϕi (x ) - нечетная i = 1,2 ⇒; g 1 (x ) − g 2 (x ) = ϕ 2 (x ) − ϕ1 (x ) , а это возможно только при g 1 ( x ) = g 2 ( x ) и ϕ 2 ( x ) = ϕ1 ( x ) .
С-8 1.
2.
а) f (x ) = cos x + ctg
f 2 (x ) = ctg
x ; f 1 (x ) = cos x , T1 = π ; 3
x , T2 = 3π , значит периуд f ( x ) :T = 3T . 3
179
⎛ ⎝
б) f (x ) sin ⎜ 3 x − а) f (x ) = sin
3.
sin
x = sin
π⎞ 2π 3 . ⎟; T = 9⎠ 3
x ; Пусть Т – период; ⇒ f (x ) = f (x + T )
x + T , чего очевидно не может быть
(легко видеть при -Т<х<0), значит, f (x ) не периодична; б) f (x ) = cos x + cos 2 x ; f 1 (x ) = cos x , T1 = 2π
f 2 (x ) = cos 2 x , T2 = 2 2π ; не существует n ∈ N T1 = 2 2 πn ,
значит, f (x ) не периодична.
С-9 ⎧⎪ x 2 + 4 x, x ≤ 0
а) f (x ) = ⎨
1.
⎪⎩ x 2 − 2 x, x > 0
f (x ) возрастает при x ∈ ( −2 ; 0) ∪ (1 ; + ∞) ; убывает при x ∈ (−∞;−2] ∪ [0;1] ; б) f (x ) =
2x 1+ x2
; f ' (x ) =
− 2x 2 + 2
(x + 1) 2
2
f (x ) возрастает при x ∈ [− 1;1] ; убывает при x < −1, x > 1 . а) f (x ) = 3 x , g (x ) = 2 x ; б) f (x ) = 2 x , g (x ) = 3 x ;
2.
в) f (x ) = 4 x + x ; g (x ) = 4 x ; г) f (x ) = 4 x + sin x ; g (x ) = 4 x .
sin2, cos2, tg2, ctg3;
3.
Ответ: sin2, cos2, tg2, ctg3.
С-10 1.
см.рис.
f ( x) = x 4 − 10 x 2 + 9 ; x min = ±1 x max = ± 5 ;
x max =0; x min = ±3 .
180
2. а) f (x ) = 2 cos x − 1 ; f ( x) = 2 при x − 1 = 2πn + 2π ; x = 1 ± 2πn, n ∈ N ; x max = 1 ± 2πn ; x min = 1 + π + 2πn ; x min = 1 − π + 2πn . 2tgx б) f (x ) = sin 3x + sin 2 x − = sin 3x ; 1 + tg 2 x π 2πn π 2πn ; x min = − + . + 6 3 6 3
x max =
C-11 см.рис. y = x 4 − 2x 2 ; нули: x = 0 , x = ± 2 ;
(
)
y ' = 4 x x 2 − 1 = 0 при x mах =0, x min =±1 y (±1) = −1 , y (0 ) = 0
у убывает при x < −1, x ∈ [0;1] ;
возрастает при x ∈ [−1;0] ∪ (1; ∞)
С-12 1.
f (x ) =
2tgx 1 − tg 2 x
+
1 − tg 2 x 1 = tgx + ctgx = tgx + ; 2tgx tgx
π ⎧ x ≠ ± + πn ⎧tgx ≠ ±1 ⎪ 4 ⎪ π ⎪ , значит, x ∈ R , кроме ; ОДЗ: ⎨tgx ≠ 0 ; ⎨ x ≠ πn 4 ⎪cos x ≠ 0 ⎪ π ⎩ ⎪ x ≠ + πn 2 ⎩ f ( x) ∈ (− ∞ ; 2] ∪ [2 ; ∞ ). ,
181
см.рис
2.
3.
см.рис. ctg 2 t − 5 ctg 2 t − 3
<2
π ⎧⎪ctgt ≠ ± 3 ⎧⎪t ≠ ± + πn ОДЗ: ⎨ ;⎨ 6 ⎪⎩sin t ≠ 0 ⎪t ≠ πn ⎩ − ctg 2 t + 1 ctg 2 t − 3
<0;
ctg 2 t − 1 ctg 2 t − 3
>0;
π π ⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ ⎞ t ∈⎜− + πn;− + πn ⎟ ∪ ⎜ − + πn; πn ⎟ ∪ ⎜ πn; + πn ⎟ . 4 6 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ ⎠
С-13 1)
а) cos(arcsin (− 0,96)) = 1 − 0,96 2 = 0,28 ;
б) arccos(cos 10 ) = 4π − 10 .
π ; x = ctg (arcctgx ). 2
2)
arctgx + arcctgx =
3)
а) sin (7 arcsin (0,1235)) ≈ 0,7622 ;
182
б) cos(4 arccos 0,12 + arcsin 0,3375) ≈ 0,9906 .
С-14 πk 3 k +1 π ; x = (− 1) + ; 6 2 2 tg 5 x − tg 2 x π πk б) = −1 ; tg 3 x = −1 ; x = − + ; 12 3 1 + tg 2 x tg 5 x а) 4 sin x cos x = − 3 ; sin 2 x = −
⎛
в) sin ⎜ 9 x +
⎝
3π πn 1 3π πn π⎞ π πn ; 9x = + ; x= ; x= + . + ⎟= 84 18 28 2 7⎠ 252 18 2
С-15 см.рис
tgt cos 2t ≥ 0 ; π 5π π ⎛ π ⎤ ⎡π ⎞ ⎡ 3π ⎤ t ∈ ⎜ − + 2πn;− + 2πn ⎥ ∪ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎟ ∪ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎥ . 2 4 4 2 4 4 ⎝ ⎦ ⎣ ⎠ ⎣ ⎦
С-16 2π ⎞ ⎛ tg 3x − tg ⎜ x − ⎟ 7 ⎠ 2π ⎞ ⎛ ⎝ а) > 3 ; tg ⎜ 2 x + ⎟> 3 ; 7 ⎠ 2π ⎞ ⎛ ⎝ 1 + tg 3x tg ⎜ x − ⎟ 7 ⎠ ⎝ 3π ⎞ ⎛ π ⎛ π πn 3π πn ⎞ 2 x ∈ ⎜ + πn; + πn ⎟ ; x ∈ ⎜ + ; + ⎟; 21 14 ⎝ ⎠ ⎝ 42 2 28 2 ⎠ ⎡ 1 3π 2 2⎤ ⎡π ⎤ б) cos 2 x ≤ ; cos x ∈ ⎢− + πn⎥ . ; ⎥ ; x ∈ ⎢ + πn; 2 4 4 2 2 ⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥
183
С-17 π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ 2 cos 2 ⎜ x + ⎟ + 3 sin ⎜ − x ⎟ + 1 = 0 ; 6⎠ ⎝ ⎝3 ⎠ π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 cos 2 ⎜ x + ⎟ + 3 cos⎜ + x ⎟ + 1 = 0 ; 6⎠ ⎝ ⎝6 ⎠ π 1 π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cos⎜ x + ⎟ = −1 cos⎜ x + ⎟ = − ; 6⎠ 2 6⎠ ⎝ ⎝ π 2π 5π x= + 2πn ; x=± + 2πn − ; 3 6 6 б) sin 2 x − sin 3 x = 0 ; π 2πn x 5x . sin cos = 0 ; x = 2πn ; x = + 5 5 2 2
а)
С-18 ⎛
а) 3 sin ⎜ x −
⎝
π⎞ π⎞ ⎛ ⎟ = 2 cos⎜ x + ⎟ ; 4⎠ 3⎠ ⎝
3 2 3 2 sin x − cos x = cos x − 3 sin x ; 2 2 3 2 −2 3 3 2+2 3 2+2 sin x = cos x ; tgx = ; 2 2 3 2 −2 3 x = arctg
3 2+2
+ πn ; 3 2 −2 3 π⎞ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛π ⎞ б) cos 2 ⎜ x + ⎟ − 2 sin ⎜ x + ⎟ cos⎜ x + ⎟ − 3 cos 2 ⎜ − x ⎟ = 0 4 4 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ tg 2 ⎜ x + ⎟ − 2tg ⎜ x + ⎟ − 3 = 0 sin 2 ⎜ x + ⎟ ≠ 0 4⎠ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ tg ⎜ x + ⎟ = 3 ; tg ⎜ x + ⎟ = −1 ; x = arctg 3 − + πn ; x = − + πn . 4 4⎠ 4⎠ 2 ⎝ ⎝
184
С-19 1 ⎧ ⎪cos x sin y = 2 ; ⎨ ⎪⎩sin 2 x = − sin 2 y
⎧sin (x + y ) cos(x − y ) = 0 ⎪ ; ⎨ 1 ⎪⎩cos x sin y = 2
π πk ⎧ π + x= + ⎧ ⎧sin (x + y ) + sin (x − y ) = 1 ⎪ x = + y + πk ⎪⎪ 4 2 1. ⎨ ; ⎨ ; ⎨ 2 ⎩ x + y = πn ⎪⎩ x = πn − y ⎪ y = πn − π − ⎪⎩ 2 4
πn 2 ; πk 2
π ⎧ ⎪(x − y ) = + πk тоже самое. 2 ⎨ ⎪⎩ x + y = πn
2.
С-20 а) cos x cos 2 x cos 4 x =
sin x ≠ 0
1 ; 8
x ≠ πk ; sin 8 x = sin x ; x =
2πn ; n ≠ 7L ; 7
π 2πp 7x 9x cos ; x= + , но x ≠ πk ; p ≠ 9 z + 4 ; 9 9 2 2 б) sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x + sin 5 x = 0 ; 2 sin 3 x cos 2 x + 2 sin 3 x cos x + sin 3 x = 0 ; sin 3 x(2 cos 2 x + 2 cos x + 1) = 0 ; sin
x=
⎛ −1± 5 ⎞ πn ⎟ + 2πn . ; 4 cos 2 x + 2 cos x − 1 = 0 ; x = ± arccos⎜ ⎟ ⎜ 4 3 ⎠ ⎝
С-21 1)
f (x ) =
2 − x2 2 2 2 ∆x ; g (x ) = ; ∆f (x 0 ) = ; − =− x 0 + ∆x x 0 2 + ∆x x 8
∆g (x 0 ) =
2 − x 2 0 + 2 x 0 ∆x − ∆x 2 − 2 + 4∆x − ∆x 2 = 8 8
∆g ( x 0 ) =
2 − ( x 0 + ∆x) 2 2 − x 02 4∆x + ∆x 2 − =− ; 8 8 2
185
∆x = 0,1 ∆f (x 0 ) ≈ −0,048 ; ∆g (x 0 ) ≈ −0,051; ∆f ( x 0 ) > ∆g ( x 0 ) ; ∆x = 0,3 ∆f (x 0 ) ≈ −0,13 ; ∆g (x 0 ) ≈ −0,16 ; ∆f ( x 0 ) > ∆g ( x 0 ) . f (x ) = x 3 + 2 x 2 − 5 x + 6 ;
2.
∆f (x 0 ) = ∆x 3 + 3 x 02 ∆x + 3 x 0 ∆x 2 + 2∆x 2 + 4 x 0 ∆x − 5∆x ;
∆f (x 0 ) = ∆x 2 + 3 x 02 + 3 x 0 ∆x + 2∆x + 4 x 0 − 5 ; ∆x lim
∆x →0
f (x 0 ) = 3 x 02 + 4 x 0 − 5 . ∆x
С-22 1.
m(t ) = 2 + t ; x(t ) = t 2 − t ; V (t ) = 2t − 1 ; Vm = 2t 2 + 3t − 2 ;
2.
а) f (x ) = x 2 − 2 x ; f ' (x ) = 2 x −
F = 4t + 3 ; F (1) = 7 Н.
б) f (x ) =
1 x
;
1 1 x+2 = 1+ ; f ' (x ) = − . x +1 x +1 (x + 1)2
С-23 1. 1 ). 2 б) lim f (x ) не существует ; lim f (x ) = 1 ; в) y ∈ (− 1;2,5)
а) (-1;0); (2; x → −1
2.
f (x ) =
x→2
x+4 x + 5 −1
= x + 5 + 1,
x ≠ −4 ;
f (x ) − 2 =
x + 5 − 1 < 0,2 ;
x ∈ (− 4,36;−3,56 ) ; δ = 0,36.
186
С-24 lim f (x ) = 3 ; lim g (x ) = −2 ;
1.
x→2
x→2
f (x ) + g 2 (x ) 3 + 4 7 = = ; а) lim 6 x → 2 4 f (x ) + 3 g (x ) 12 − 6
( x→2
б) lim
f (x ) + − ( g (x ))
)2 + (
f (x ) − − ( g (x ))
)2 =
= lim (2 f (x ) − 2 g (x )) = 6 + 4 = 10 . x→2
2.
а) lim
x →3
x 2 − 5x + 6 2
x + x − 12
= lim
x →3
(x − 3)(x − 2) = 1 (x + 4)(x − 3) 7
(
)
⎞ ⎛ x2 −9 ⎛ ( x + 3)( x − 3) x + 7 + 2 ⎞ б) lim ⎜ − 2 x 2 ⎟ = −42 . − 2 x 2 ⎟ = lim ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x → −3 x+3 ⎠ ⎠ x → −3⎝ ⎝ x+7 −2
С-25 1.
а) f (x ) =
1 2 x
(
−
б) g (x ) = 3 x − x 2
1 x
)
5
+ x101 ; f ' (x ) = −
3 3 4x 2
+
5 7 2x 2
x 3 ; g ' (x ) = (3 − 2 x ) x 3 +
+ 101x100 ;
(
)
3 x 3x − x 2 . 2
⎧⎪ x 3 , x ≥ 0 f (x ) − f (0) = x 2 x ; f ' (0) = lim f (x ) = ⎨ =0. 3 x → 0 x ⎪⎩− x , x < 0
2.
С-26 а)
(
)
f (x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x ; f ' (x ) = 6 x 2 + x − 2 = 0 ; при x = −2, x = 1 ; f ' (x ) > 0 при x < −2, x > 1 ; f ' (x ) < 0 при x ∈ (− 2;1) ;
б) f (x ) =
3 − x2 − 2x 2 − 4x − 3 + x 2 − x 2 − 4x − 3 ; f ' (x ) = ; = x+2 ( x + 2) 2 ( x + 2 )2
f ′( x) = 0 при x 2 + 4 x + 3 = 0 ; x = −3 , x = −1 ;
187
f ' (x ) > 0 при x ∈ (− 3;−2) ∪ (− 2 ; − 1); f ' (x ) < 0 , x ∈ (− ∞;−3) ∪ (− 1; ∞ ).
С-27
] [
(
⎧⎪ x 2 − 4 ≥ 0 ; ОДЗ: ⎨ ; 2 2 ⎪ 1 − − 4 > 0 x ⎩ x −4
1
а) f (x ) =
1.
1−
)
x ∈ − 5 ;−2 ∪ 2; 5 ; б) f (x ) =
x− x−
x ∈ [1; ∞ ) ∪ {0}.
f (x ) =
2.
⎧x ≥ 0 ⎧x ≥ 0 ⎪ ⎪ x ; ОДЗ: ⎨ x ≥ x ; ⎨ x ≤ −1, x ≥ 1 , значит, ⎪ ⎪ 2 ⎩x ≥ x − x ⎩x ≥ x − x
1 ; f ( f (x )) = 1− x
1 1−
1 1− x
f ( f ( f (x ))) = 1 − 1 + x = x ; f ( f ( f (x ))) =
=
1− x x −1 1 = =1− ; −x x x
1 ; 1− x
1 , n = 3 p − 2 ; f n (x ) = x , n = 3 p ; 1− x 1 f n (x ) = 1 − , n = 3 p − 1 ; x ОДЗ: для f ( x) : x ∈ (−∞;1) ∪ (1; 0) , для f n ( x) : x ∈ (−∞;0 ) ∪ (0 ; 1) ∪ (1; ∞) при n ≥ 2.
f n (x ) =
3.
а) f (x ) = 2 x 3 − 3 x 2 + 7 ;
f ' (x ) =
3x 2 − 3x 2 x 3 − 3x 2 + 7
( ) (x ) = 7(2 x + 7 )(x
б) f (x ) = x 2 + x 7 ;
;
7
f
188
'
2
)
6
+x 7 .
С-28 а)
f (x ) = cos 3 x cos 2 x − sin 3 x sin 2 x = cos 5 x ; f ' (x ) = −5 sin 5 x ;
б)
f (x ) =
в)
f (x ) =
1 − tg 2 (x + 1) −2 = ctg (2 x + 2 ) ; f ' (x ) = ; 2 2tg (x + 1) sin (2 x + 2 )
(
(
)
) (
)
1 cos 4 2 x 2 − 3 ; f ' (x ) = −2 cos 3 2 x 2 − 3 sin 2 x 2 − 3 (4 x ) . 2
С-29 1. lim x − > a
2.
x2 − a2 x− a
=
(
)
x + a (x + a ) ≥
27 9 27 ; a a≥ ; a≥ . 8 4 2
1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ 2 ⎠⎝ 3⎠ ⎝ ≥0; ≥ 0; а) 4 2 (x − 2)(x + 2) x − 2 x + 2 x − 6x + 8
6x 2 + x − 1
-2
- 2
(
)(
-1/2
1/3
)
2
2
х
1 ⎤ ⎡1 ⎞ ⎛ x ∈ (− ∞;−2 ) ∪ ⎜ − 2 ;− ⎥ ∪ ⎢ ; 2 ⎟ ∪ (2;+∞ ) . 2 3 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ б)
1 2 3 + > ; x−2 x−3 x−4 x 2 − 7 x + 12 + 2 x 2 − 12 x + 16 − 3 x 2 + 15 x − 18 > 0; (x − 2)(x − 3)(x − 4) −4 x + 10 > 0; (x − 2)(x − 3)(x − 4) 5⎞ ⎛ ⎜x− ⎟ 2⎠ ⎝ < 0; 2,5 2 ( x − 2)( x − 3)( x − 4)
3
4
х
189
С-30 y = x ; y' =
1.
1 2 x
=
1 3
; x=
3 , значит, искомая точка 4
⎛3 3⎞ ⎟. ⎜ ; ⎜4 2 ⎟ ⎠ ⎝ 2.
π⎞ π⎞ 3 ⎛ ⎛ ⎛ π⎞ ; y ' = −2 sin ⎜ 2 x + ⎟ ; y = cos⎜ 2 x + ⎟ ; f ⎜ − ⎟ = 3 3⎠ 12 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 π ⎛ π⎞ . −x− y ' ⎜ − ⎟ = −1 ; y kаа = 2 12 ⎝ 12 ⎠
С-31 1.
( 3,99992 −
1,00004 ≈ 1 − 0,0024 = 0,9976 .
)
60
cos 33 0 ≈ 0,8660 cos 3 0 −
2.
≈ (2 − 0,00002 − 1 − 0,00002 )60 ≈
1 sin 3 0 ≈ 0,8399. 2
С-32 1.
1 7 1 S (t ) = − t 2 + t 2 − t ; V (t ) = − t 2 + 7t − 1 ; a (t ) = −t + 7 ; 6 2 2 49 47 + 48 = м/с. а) 7с ; б) V (7 ) = − 2 2
2.
F=
190
S (t ) = 16m 0
(2t − 1)
3
−4 2 16 ; V (t ) = ; a (t ) = ; 2 2t − 1 (2t − 1)3 (2t − 1)
= 2m o S 3 (t ) .
С-33 f (x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x − 7 ; f ' (x ) = 3 x 2 − 6 x + 2 = 0 при
1.
x=
3± 3 ; 3
⎛ ⎞ 3− 3 ⎤ ⎡3+ 3 f (x ) возрастает при x ∈ ⎜ − ∞; ;+∞ ⎟ ; ⎥∪⎢ ⎜ ⎟ 3 3 ⎥⎦ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎡3− 3 3+ 3 ⎤ убывает при x ∈ ⎢ ; ⎥. 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 2. f (x ) = 8 sin 2 x + 2 cos 2 x + 2 = 6 − 2 cos 2 x ; f ′( x) = 16 sin x − 4 sin 2 x ; f ′( x) = 0
x max =
π + πn ; x min = πn. 2
С-34 см.рис.
(x − 5)(x + 3) ; ( x + 2 )2 (x + 3)(x + 2)2 + (x − 5)(x + 2)2 − 2(x + 2)(x + 5)(x + 3) = f ' (x ) = ( x + 2 )4 f (x ) =
=
x 2 + 5 x + 6 + x 2 − 3 x − 10 − 2 x 2 + 4 x + 30
(x + 2 )
3
=
6 x + 26
(x + 2)3
;
191
f (x ) возрастает при x < −
x max = −
13 ⎡ 13 ⎞ , и x > −2 ; убывает при x ∈ ⎢− ;−2 ⎟ 3 ⎣ 3 ⎠
13 ⎛ 13 ⎞ 44 ; x = −2 – не принадлежит ОДЗ; f ⎜ − ⎟ = . 2 ⎝ 3 ⎠ 361
С-35 1.
h(x ) = −8 x 2 − 2 x + 1 ; x в = −
1 ; 8
1 2 1 hв = − + + 1 = 1 ; 8 8 8 1⎤ ⎛ x ∈ R , h ( x ) ∈ ⎜ − ∞ ; 1 ⎥; 8⎦ ⎝ h(x) возрастает при x ≤ −
Нули: x = −
1 1 , x= . 4 2
2.
3x 2 − 6 x − 1 < 0 ; ⎛3−2 3 3+ 2 3 ⎞ ⎟. x∈⎜ ; ⎜ ⎟ 3 3 ⎝ ⎠
192
1 1 ; убывает при x ≥ − ; 8 8
3.
2 2 2 x − 2 x 2 + 2 x − < 0 ; x 3 − 3x 2 + 3x − 1 < 0 ; 3 3
(x − 1)(x 2 − 2 x + 1) < 0 ; (x − 1)3 < 0 ; верно при x < 1 . С-36
f (x ) = f ' (x ) =
3x 2
x + 4x + 4
=
3x
( x + 2 )2
;
3 x 2 + 12 x + 12 − 6 x 2 − 12 x
=
− 3x 2 + 12
=
(x + 2 ) (x + 2 ) ′ f ( x) = 0 при x max = 2 , x = −2 не входит в ОДЗ; 4
4
(
−3 x2 − 4
(x + 2 )
3
);
f (x) возрастает при x ∈ (−2;2] ; убывает при x < −2, x > 2 .
С-37 1.
f (x ) = 2 − x − x 2 ; ОДЗ: x ∈ [−2;1] f ' (x ) =
−1 − 2 x 2 2 − x − x2
; x max = −
1 ; 2
2.
Пусть больше осн. = 2 x ;
H = 400 − x 3 + 20 x − 100 = 300 + 20 x − x 2 ;
193
S = (x + 10 ) 300 + 20 x − x 2 ; (x + 10)(10 − x ) = 0 ; S ' (x ) = 300 + 20 x − x 2 + 300 + 20 x − x 2 300 + 20 x − x 2 − x 2 + 100 = 0 ; x 2 − 10 x − 200 = 0 ; x = 0 -не подходит ⇒ x = 40 см.
С-38 1.
3 4 4 , sin β = , tgα = ; 0 < α < π , α ∈ I четверти; 5 3 5 π 0 < β < ; 0 < γ < π , γ ∈ I четверти; 2 4 3 3 4 sin α = , cos β = ; sin γ = , cos γ = ; 5 5 5 5 cos(α + β + γ ) = cos α cos β cos γ − sin α sin β cos γ − 333 443 − sin α cos β sin γ − cos α sin β sin γ = − − 555 555 443 344 16 ⎛ 9 ⎞ 27 117 − − =− ⎜ ⎟+ =− . 555 555 25 ⎝ 5 ⎠ 125 125 cos α =
2.
sin 2 4α = 2 sin α sin 2α ; 2 cos α + cos 3α + cos 5α
sin 2 4α 4 sin 2 α cos 2 2α = = 2 sin α sin 2α . 2 cos 2α(cos α + cos 3α ) 4 cos 2 2α cos α 3.
а)
tg 23 0 − tg 8 0 0
1 + tg 8 tg 23
0
= tg15 0 =
sin 15 0 =
1− 3 / 2 = 2
cos 15 0 =
2+ 3 . 2
194
2− 3 2+ 3
2− 3 ; 2
;
С-39 а)
см.рис.
⎛ x π⎞ f (x ) = sin ⎜ − ⎟ , x ∈ R , ⎝2 8⎠ [ ] y ∈ − 1; 1 T = 4π возрастает: 5π ⎡ 3π ⎤ ⎢− 8 + 4πn; 8 + 4πn⎥ ⎣ ⎦ π 5 13π ⎡ ⎤ убывает: x ∈ ⎢ + 4πn; + 4πn⎥ 8 ⎣8 ⎦ max (π + 4πn;1) ; min (−π + 4πn; 1) 1 π⎞ ⎛ f (x ) = cos⎜ 2 x − ⎟ , x ∈ R , y ∈ [−1;1] ; T = π 2 ⎝ ⎠
б)
см.рис.
π ⎡ π ⎤ + πn; + πn ⎥ , 4 4 ⎣ ⎦ ⎛π ⎞ max : ⎜ + πn;1⎟ ⎝4 ⎠ π 3π ⎡ ⎤ убывает: ⎢ + πn; + πn⎥ , 4 ⎣4 ⎦ ⎛ 3π ⎞ min : ⎜ + πn;1⎟ 4 ⎝ ⎠ π⎞ ⎛1 в) y = tg ⎜ x + ⎟ ; 3 4⎠ ⎝ π⎞ 3π ⎛1 cos⎜ x + ⎟ ≠ 0 ; x ≠ + 3πn , 4⎠ 4 ⎝3 y∈R см.рис. возрастает на R 3π нули: x = − + 3πn 4 возрастает: ⎢−
195
С-40 1.
⎛ ⎝
2⎞ 8 17 = ⎟ =1− 5⎠ 25 25 1 π б) arctg 5 + arctg = arctg 5 + arcctg 5 = 2 5
а) cos⎜ 2 arcsin
2.
а) cos x cos 2 x cos 4 x = 1
⎧cos x = 1 ⎪ ⎨cos 4 x = 1 ⎪cos 2 x = 1 ⎩ ⎧cos x = −1 ⎪ ⎨cos 4 x = 1 ⎪cos 2 x = −1 ⎩
x = 2πn ;
⎧cos x = −1 ⎪ ⎨cos 4 x = −1 ⎪cos 2 x = 1 ⎩
∅;
∅;
⎧cos x = 1 ⎪ ⎨cos 4 x = 1 ⎪cos 2 x = −1 ⎩
∅;
б) 8 cos 6 x = 3 cos 4 x + cos 2 x + 4 ;
1 − cos 3 2 x + 3 cos 2 2 x − 3 cos 2 x = 6 cos 2 2 x + cos 2 x + 1 ;
(
)
cos 2 x + cos 2 2 x + 3 cos 2 x + 4 = 0 ; Д< 0; π πn . x= + 4 2 3.
⎛
а) cos x < sin x ; sin ⎜ x −
π⎞ ⎟ >0; 4⎠
⎝ ⎛π ⎞ π x ∈ ⎜ + πn; + πn ⎟ ⎜4 ⎟ 4 ⎝ ⎠ 1⎞ ⎛ б) cos x⎜ sin x + ⎟ ≥ 0 2⎠ ⎝ π 3π ⎡ π ⎤ ⎡ 7π ⎤ x ∈ ⎢− + 2πn; + 2πn ⎥ ∪ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎥ 2 2 ⎣ 6 ⎦ ⎣6 ⎦
196
С-42 1.
а) x 2 − 8 x + 12 ≤ 0 ; x ∈ [2;6] ; x ∈ [− 6;−2] ∪ [2;6] б) 1 +
15 x
2
>
8 ОДЗ: x ≠ 0 ; x 2 − 8 x + 15 > 0 ; x ∈ (−∞;3) ∪ (5;+∞ ) x
2.
x 2 + 2x + x 2 − 4 − 2x 2 + 4x 1 1 2 ; + ≤ ≤0 x−2 x x+2 x(x − 2 )(x + 2 ) 2 x− 3 ≤0 x(x − 2 )(x + 2)
а)
-2
2/3
0
2
⎡2 ⎤ x ∈ (− 2;0 ) ∪ ⎢ ; 2⎥ ⎣3 ⎦ (x − 1)(x − 2)(x − 3) < 1 ; б) (x + 1)(x + 2)(x + 3)
(x
2
) (x
(
)
− 3 x + 2 (x − 3) − x 2 + 3 x + 2 (x + 3) 2
)
+ 3x + 2 (x + 3)
х
< 0;
− 6x 2 − 6x 2 − 6 < 0; (x + 1)(x + 2)(x + 1)
x2 + 1 >0; (x + 1)(x + 2)(x + 3)
-3
-2
-1
х
x ∈ (−3;−2) ∪ (−1;+∞ )
197
С-43 1.
3 2 1 3 4 3 ; y' = − 2 + 3 − 4 − + x x2 x3 x x x ⎛1⎞ ⎜ ⎟ − x + 4x x 2 x ⎝x⎠ ' б) y = ; y = 2 4 1− x 1− x2 а) y =
(
(
)
)sin x + 2 x cos x y = 2 x sin x + (x − 2)cos x + 2 cos x − 2 x sin x = x г) y = (x − x ) ; y = 42(4 x − 3 x )(x − x ) в) y = − 2 + x
2
'
2
3 42
4
2.
'
3
2
4
2
cos x
3 41
2 2 ; g (x ) = x − x 3 ; f ' (x ) = − 2 ; g ' ( x ) = 1 − 3 x 2 x x 2 ' ' 2 f (x ) − g (x ) = − 2 − 1 + 3 x ≤ 0 x ОДЗ: x ≠ 0 ; 3 x 4 − x 2 − 2 ≤ 0 ; Д=1+24=25; x 2 ∈ (0;1] f (x ) =
x ∈ [− 1;0) ∪ (0;1]
С-44 f (x ) = x 2 − 2 x + 2 ; f ' (x ) = 2 x − 2
1.
y час = x 02 − 2 x 0 + 2 + (2 x 0 − 2)(x − x 0 )
1 = x 0 − 2 x 0 + 2 − 2(x 0 − 1)(x 0 + 1)
1 = − x 02 − 2 x 0 + 4 ; x 02 + 2 x 0 − 3 = 0 Д /4=4 x 0 = −3 , x 0 = 1 ; y = 1 , y = −8 x − 7 2.
( 16,000032 −
8,999982 ≈ 1 + 0,000007 ⋅ 200 = 1,0014
а)
б) tg 48 0 =
198
1 + tg 3 0 1 − tg 3 0
≈ 1,1047
)
200
≈ (4 + 0,000004 − 3 + 0,000003)200 ≈
3.
S (t ) = V (t ) =
2t 2
t +1
; V (t ) =
2 − 2t 2
(t
2
)
+1
Д /4=5
2
=
2
(
) = (t
+1
5 −2
) ( (t + 1)
2
2 − 2t 2
=
2
(t
)
2
+1
2
; V0 = 2
)
2
+ 1 ; t 2 + 4t − 1 = 0
)(
2
)=
− 4t t 2 + 1 + 4 t 2 + 1 t 2 − 1 4
2
4t 2 − 4 − 4t 3 − 4t
F=
(t
= 1 ; 2 − 2t 2
t 2 = −2 + 5 ; t = a(t ) =
2t 2 + 2 − 4t 2
(t + 1) ⎛ 8⎜ ( 5 − 2 )⎛⎜ ⎝ ⎝ 2
3
=
(
(t
)
3
+1
5 − 2 − 1⎞⎟ + ⎠ −
)
− 4 t3 − t2 + t +1
( 5 − 1)
3
⎞ 5 − 2 + 1⎟ ⎠
3
С-45 1) 3 корня 2) Пусть а- бок.стор, в- осн. H = a 2 −
⎧2 a + b = 2 p ⎪ ⎨ b2 ; S = 1 2 ⎪S = b a − 2 4 ⎩ 1 S ' (b ) = p 2 − pb + 2 4
b=
b2 4
1 b2 b2 1 b p2 + − pb − = b p 2 − pb 2 4 4 2 −bp 2
p − pb
= 0 ; 2 p 2 − 2 pb = bp
p 2p 2p ⇒ треугольник правильный ; a= p− = 3 3 3
199
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 1 В1 1.
4 3 , sin α = − 5 5 sin α – ордината угла α на единичной окр. cos α – абсцисса угла α на единичной окр. sin π = 0 , cos π = −1 ; sin − 630 0 = sin 90 0 = 1 ; cos − 630 0 = 0 cos α =
(
)
(
∪
AB =
)
10π 5π = 22 11
2.
L = 2πr = 10π ;
3.
sin α =
4.
(sin α + cos α )2 + (sin α − cos α )2 − 2 = 2 − 2 = 0
5.
1−
6.
cos 350 0 sin
7.
y = x 3 ; y = sin x ; y = tgx
8.
cos α = −
1 3 , cos α = ± 2 2
1 2
1 + tg α
=
1 2
1 + ctg α
; 1 − cos 2 α = sin 2 α
5π <0 4
3 3 ⎛π ⎞ ; cos(π − α ) = − cos α = ; sin⎜ − α ⎟ = cos α 2 4 4 ⎝ ⎠
⎛π ⎞ cos⎜ − α ⎟ = sin α ; sin (π − α ) = sin α ; cos(π − α ) = − cos α ⎝2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ sin ⎜ − α ⎟ = − cos α ; cos⎜ − α ⎟ = − sin α ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ cos α = 1 , sin α = 0 , sin 2α = 0
9.
sin 2α − sin 2β = 2 sin (α − β ) cos(α + β) α±β αmβ sin α ± sin β = 2 sin cos 2 2
10.
200
В-2 1.
3 4 4 3 sin α = − , cos α = − , tgα = , ctgα = 5 5 4 3 tgα – отношение ординаты точки к ее абсциссе ctgα – отношение абсциссы точки к ее ординате π π ctg = tg = 1 ; ctg − 450 0 = 0 ; tg 540 0 = 0 4 4
(
)
7π ⋅ 0,7 = 2,45 2π
2.
S = πr 2 = 7 π ; S =
3.
cos α =
4.
(sin α + cos α )2 − (cos α − sin α )2 + sin α cos α = = 2 sin 2α +
3 3 1 , sin α = ± , tgα = ± 3 2 2
1 5 sin 2α = sin 2α 2 2
1
5.
1 + ctg 2 α
(
)
+ cos 2α = 1 + tg 2 α cos 2 α
sin 2 α + cos 2 α = cos 2 α + sin α = 1 7π ctg 250 0 > 0 3
6.
sin
7.
y = x 2 , y = cos x , y = ctgx
8.
⎛ 3π ⎞ ctg ⎜ + α ⎟ = −tgα = 2,7 ⎝ 2 ⎠
9.
cos α = 10.
4 α 1− 4/5 1 , α ∈ IVч . ; sin = − =− 5 2 2 10
(cos 2β + cos 2α ) = 2 cos(α + β) cos(α − β)
cos α − cos β = −2 sin
α−β α+β sin 2 2
201
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 2 В-1 1
, x∈R x +1 ф-ция – зависимость у от х, где каждому х ставится в соответствие единственное значение у. обл. опр. ф-ции – мн-во значений которое может принимать х. обл. зн. ф-ции – мн-во значений которое может принимать у.
y=
1.
2
f (x ) = x 2 − 2 x + 1 = (x − 1)2 возрастает x ≥ 1 , убывает x ≤ 1 функция наз. возраст. на мн-ве Р, если для ∀ х, x 2 ∈ P , x1 > x 2 , f (x1 ) > f (x 2 )
2.
а) f (x ) = cos 2 x ; f (− x ) = cos(− 2 x ) = cos 2 x = f (x )
3.
б) f (x ) = sin 2 x ; f (− x ) = sin 2 (− x ) = sin 2 x = f (x )
(
) (
)
в) f (x ) = 2 x 4 − 3 x 2 ; f (− x ) = 2 − x 4 − 3 − x 4 = 2 x 4 − 3 x 2 = f (x ) 4.
f (x ) = x 3 + x см.рис. f (x ) = 0 , х = 0 – нули x ∈ R , y ∈ R , из рис. видно, что ф-ция возрастает на R. Схема: 1) Обл. опр., обл. зн 2) Нули 3) Промежуток возрастания (убывания) 4) Экстремумы (из них выбрать max и min ф-ции) 5. sin 2 , sin 4 , sin 6 Ответ: sin 4 , sin 6 , sin 2 6.
202
⎛ ⎝ ⎛ б) f (x ) = tg 2 ⎜ x − ⎝
а) f (x ) = sin ⎜ 3x +
π⎞ 2π ⎟; T = 7⎠ 3 π⎞ 2 ⎟ = ctg x ; T = π 2⎠
(
)
а) tg 2 + tg − 2 = 0
7.
22π 36π 22π 36π ctg ctg = tg =1 7 7 7 7 ⎛π ⎞ tg (α + π) = tgα ; tg ⎜ − α ⎟ = ctgα ; tg (α + 2π) = tgα 2 ⎝ ⎠ б) tg
3 π = 2 6 арккосинусом числа а наз. такое число ∈ [0;π ] cos, которого равен а arccos a , определен при a ∈ [−1;1] arccos(− 1) = π ; arccos
8.
3π πn π⎞ + ⎟ =1; x = 16 2 8⎠ π x 2π ⎛x ⎞ − 2 + 4πn б) 2 cos⎜ + 1⎟ = 1 ; + 1 = ± + 2πn ; x = ± 2 3 3 ⎝2 ⎠ ⎛ ⎝
а) tg ⎜ 2 x −
9.
sin x = a , a ≤ 1 ; x = (− 1)k arcsin a + πk 10.
11.
⎛ π πn π πn ⎞ + ; + ⎟ 2 4 2 ⎠ ⎝8 π б) sin x ≤ −1 ; x = − + 2πn 2 а) tg 2 x > 1 ; x ∈ ⎜
1 ⎧ ⎪cos(x + y ) = 2; ⎨ ⎪⎩sin (x − y ) = 1
π ⎧ ⎪⎪ x + y = ± 3 + 2πn ; ⎨ ⎪ x − y = π + 2πk ⎪⎩ 2
π π ⎧ ⎪⎪ x = 4 ± 6 + πn + πk ⎨ ⎪ y = ± π − π + πn − πk ⎪⎩ 6 4
В-2 1) см.рис. График ф-ции – мн-во точек на п-ти удовлетворяющих какому-либо ур-ю 2) допустим, что f (x ) = a имеет 2 корня., тогда f (x1 ) = f (x2 ) = a ,что не подходит под опр. возрастающей (убывающей) ф-ции.
203
а) f (x ) = sin
3.
x x −x ; f (− x ) = sin = − sin = − f (x ) 3 3 3
б) f (x ) = x 2 tgx ; f (− x ) = (− x ) tg (− x ) = − x 2 tgx = − f (x ) 2
в) f (x ) = x 7 − 5x 3 ; f (− x ) = (− x ) − 5(− x ) = 5 x 3 − x 7 = − f (x ) 7
3
4.
См.рис.
Ф-ия ни четная ни ничетная, т.к. промежуток убывания не делится прямой х=0 пополам и экстремум ф-ции не находится на этой прямой. 5.
6.
7.
π⎞ ⎛ ⎛ π ⎞ ⎛ 4π ⎞ y = cos⎜ 2 x + ⎟ ; max : ⎜ − + πn;1⎟ ; min : ⎜ + πn;−1⎟ 5⎠ ⎝ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ y = cosα , возрастает: [− π + 2πn; 2πn] ; убывает: [2πn; 2πn + π] x1 = 2πn − max , f (x1 ) = 1 ; x 2 = π + 2πn − min , f (x 2 ) = −1 ⎛ x π⎞ − ⎟ , T = 4π ; б) f (x ) = sin 2 x + tgx 2 4⎠ ⎝ 2 f 1 (x ) = sin x , T1 = π ; f 2 (x ) = tgx , T2 = π ⇒ T = π ф-ция наз. периодической ] f (x ) = f (x + T ) , где T -период, для ∀х. а) f (x ) = cos⎜
π 1 π ; arctg = 4 3 6 ⎛ π π⎞ arctga , определен при ∀ а, arctga ∈ ⎜ − ; ⎟ ⎝ 2 2⎠
204
arctg (− 1) = −
а) да ;
8.
3π ⎡ π π ⎤ ∉ − ; 2 ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ π π⎤ ; , sin которого равен а, a ≤ 1 2 2 ⎥⎦
б) нет, т.к.
⎡ arcsin a - такое число ⎢− ⎣
x π π ⎛x ⎞ − 2 ⎟ = 2 ; − 2 = (− 1)k + πk ; x = (− 1)k + 2πk + 4 2 6 3 ⎝2 ⎠ π πk б) tg 3 3 x = 3 ; tg 3x = ± 3 ; x = ± + ; cos x = a , a ≤ 1 9 3 x = ± arccos a + 2πn
9. а) 4 sin ⎜
π 1 ⎛ π ⎞ ; x ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ 3 2 ⎝ 3 ⎠ ⎛ π πk π πk ⎤ ; + б) tg 2 x ≤ 1 ; x ∈ ⎜ − + 2 8 2 ⎥⎦ ⎝ 4 а) cos x >
10.
⎧ ⎛ π⎞ π π ⎧ ⎧ sin ⎜ y + ⎟ = 1 ⎪ x = y − x + y = ⎪ ⎪ ⎪ 4⎠ 2 2 ; ⎨ ; ⎨ ⎝ ⎨ ⎪sin x + sin y = 2 ⎪sin y + cos y = 2 ⎪ x = π − y ⎩ ⎩ 2 ⎩⎪
11.
y=
π π + 2πn ; x = − 2πn 4 4
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 3 В-1 1.
а) 2 x 2 − 3 x + 1 ≥ 0 Д=9-8=1
(
х
1
1/2 1⎤ ⎛ x ∈ ⎜ − ∞; ⎥ ∪ [1;+∞ ) 2 ⎝ ⎦ ( (x − 1)(2 x + 3) < 0 x − 1)(2 x + 3) < 0; б) 2 (x − 2)(x − 4) x − 6x + 8
)
⎛ 3 ⎞ x ∈ ⎜ − ;1⎟ ∪ (2;4) ⎝ 2 ⎠
3/2
1
2
4
х 205
2.
3.
1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ; y⎜ − ⎟ = −2 ; y ' = − 2 , y ' ⎜ − ⎟ = −4 x x ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 1⎞ ⎛ y k = −2 − 4⎜ x + ⎟ = −4 x − 4 2⎠ ⎝ y=
y = 3 x 3 − 4,5 x 2 ; y ' = 9 x 2 − 9 x ; y = cos
x − sin 2 x 2
x 1 y ' = − sin − 2 cos 2 x 2 2 4)
скорость в точке х0
x(t ) = 3 x 4 − 2t 3 + 1
а) V (t ) = 12t 3 − 6t 2 ; a(t ) = 36t 2 − 12t б) V (2 ) = 72 ; a (2 ) = 120 5.
g (x ) = x x + 1 ; g ' (x ) = x + 1 +
x
2 x +1 3 ' g (3) = 2 + = 2,75 ; (g (x ) f (x )) = g ' (x ) f (x ) + g (x ) f ' (x ) 4 '
6.
⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ 17 ≈ ⎜⎜ 2⎜1 + 0,0625 ⋅ ⎟ ⎟⎟ ≈ 2,03 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 7.
f (x ) = x − 2 x ; f ' (x ) = 1 −
1 x
=0
х=1 убывает: x ∈ [0;1] ; возрастает: x ≥ 1 8.
x 1 1 ; y ' = 3x 2 − = 0 ; x = ± ; 3 3 3 2 ⎛1⎞ 1 1 ⎛ 1⎞ 2 y⎜ ⎟ = ; y⎜ − ⎟ = ; − =− 27 ⎝ 3 ⎠ 27 9 ⎝ 3 ⎠ 27 1 1 max : x = − ; min : x = . 3 3 y = x3 −
206
9.
f (x ) = x 3 − 3 x − 2 см.рис.
(
)
f ' (x ) = 3 x 2 − 1 = 0 ; x = ±1 возрастает: x ≤ 1 , x ≥ 1 ; убывает: x ∈ [−1;1] x = −1 : max ; f (− 1) = 0 ; f (1) = min = −4 10.
4 4 , x ∈ [1;3] ; f ' (x ) = 1 − 2 = 0 , x = ±2 x x 1 f (2) = 2 + 2 = 4 ; f (1) = 5 , f (3) = 4 3 max: f (1) = 5 ; min: f (2) = 4 f (x ) = x +
В-2 1.
а) 3x − 7 x 2 ≤ 0 ; x(7 x − 3) ≥ 0
0
3/7
х
⎡3 ⎞ x ∈ (− ∞;0] ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ ⎣7 ⎠
207
б)
(x − 6)(x + 1) > 0 x 2 − 5x − 6 >0; (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x + 3)
-3
-1
2
6
х
x ∈ (− ∞;−3) ∪ (− 1;2 ) ∪ (6;+∞ ) 2.
y = 2 x 2 − 1 ; y (3) = 17 ; y ' = 4 x ; y ' (3) = 12
y k = 17 + 12(x − 3) = 12 x − 19 3.
y = 2,5 x 2 − x 5 ; y ' = 5 x − 5 x 4 ; y = tg 2 x − 2ctg
2
y' =
x ; 2
1
+
; x 2 геометрич. смысл производной в т. х0 -tg угла наклона касательной. 4.
2
cos 2 x
sin 2
ω(t ) = 2t 4 − t ; а) ω ' (t ) = 8t 3 − 1 ; б) ω ' (2) = 63 1 ω(t ) = 0 , при t = 2
5.
x −1 x
f (x ) =
x
− x +1 −x+2 2 x −1 ; б) f ' (2) = 0 = 2 а) f (x ) = 2 x 2x x − 1 '
6.
(
)
f (x ) = 2 x 3 − 1
100
(
)
; f ' (x ) = 600 x 2 2 x 3 − 1
99
( f (g (x )))' = f ' (g (x )) ⋅ g ' (x ) 7.
y = x 3 + x ; y ' = 3 x 2 + 1 > 0 ⇒ возрастает на R
208
8.
g (x ) = x − x ; g ' (x ) =
1
−1= 0 2 x 1 1 ⎛1⎞ 1 x = ; x = -max f ⎜ ⎟ = 4 4 ⎝4⎠ 4 9.
x 2 + 2x + 2 ; x +1 см.рис. y=
1 1 ; y' =1− = 0 ; x = 0 x = −2 ; x +1 (x + 1)2 возрастает: x ≤ −2 , x ≥ 0 ; убывает: x ∈ [− 2;0] , x ≠ −1 ; x max = −2 , x min = 0 . y = x +1+
10.
⎧⎪a = 12 − b ⎪⎧12 = a + b ; ; y ' (x ) = 4b − 24 = 0 ; ⎨ 2 2 ⎨ ⎪⎩ y = a + b ⎪⎩ y = 2b 2 − 24b + 144 в=6 а = 6 ⇒ сумма квадратов max в=0 а = 12 ⇒ сумма квадратов min
209
Примерные контрольные работы КР № 1. В 1. 1.
3 3π 2 . ; б). cos . =− 2 4 2
а) sin 240° = − sin 60° = −
π 6
в) ctg (− ) = − 3.
2.
3. 4.
3 3π ; π<α< ; 5 2 4 а) cos α = − ; 5 π 1 б) cos( − α) = cos α + 3 2 2 2 sin α ⋅ ctgα = tg 2α. ; cos 2 α − sin 2 α sin α = −
3 4 3 3 4+3 3 sin α = − − =− . 2 10 10 10 sin 2α = tg 2α. cos 2α π sin x + cos x = m ; 2 (sin( x + )) = m ; 4 π m m ∈ [− 2 ; 2 ]. x = (−1) k arcsin − + πk . 2 4 m
2 x = ( −1) k 2 arcsin sin 2 x = sin(2 arcsin = 2⋅
2 m
−
π + 2πk ; 2
m π − ) = − cos(2 arcsin )= 2 2 2
m2 − 1 = m 2 − 1. 2
КР № 1. В 2. 1.
а) cos 240° = − cos 60° = −
2π 3 1 ; б) sin = ; 3 2 2
π 3
в) tg (− ) = − 3.
2.
210
cos α = −
15 ; 17
π < α < π; 2
а). sin α =
8 ; 17
π 3 1 15 3 8 8 − 15 3 + α) = cos α + sin α = − + = . 3 2 2 34 34 34 2 cos 2 α ⋅ tgα sin 2α = −tg 2α ; = −tg 2α. 2 2 − cos 2α sin α − cos α π n sin x − cos x = n ; sin( x − ) = ; n ∈ [− 2 ; 2 ] ; 4 2
б). sin(
3. 4.
1 − 2 sin x ⋅ cos x = n 2 ;
sin 2 x = 1 − n 2 .
КР № 1. В 3. 1.
а) tg 300° = −tg 60° = − 3 ;
7π π 2 5π 2 )= ; в) cos = cos = . 4 2 4 4 2 π 4 < α < π; sin α = ; 5 2 1 − tgα 7 3 π 3 4 = − ⋅ = −7. cos α = − ; tgα = − ; б) tg ( − α) = 4 1 + tgα 3 1 5 3 sin α ⋅ cos α sin 3α − sin α = tgα ; = tgα . cos 2α ⋅ cos α cos 3α + cos α πn x≠ . 2 б) sin(−
2. а)
3. 4.
211
КР № 1. В 4. 1.
2. а)
3. 4.
а) ctg 300° = −ctg 60° = −
1
; б) cos
4π 1 =− ; 3 2
3 7π 5π 1 в) sin(− ) = sin = . 6 6 2 3 3π ; cos α = − ; π < α < 5 2 4 4 1 + tgα 7 3 π sin α = − ; tgα = . б) tg ( + α) = = − ⋅ = −7. 4 1 − tgα 3 1 5 3 sin 3α ⋅ sin 2α cos α − cos 5α = tg 2α ; = tg 2α. sin 3α ⋅ cos 2α sin 5α + sin α πn x≠ . 2
КР № 2. В 1. x+2 ; x2 − 9
x ≥ −2. x ≠ ±3.
1.
y=
2.
sin( −750° ) + ctg 945° = − sin 30° + ctg 45° = −
3.
f ( x ) = 2 x 5 + 4tgx ;
ОДЗ:
x ∈ [ −2;3 ) ∪ ( 3;+∞ ). 1 1 +1 = . 2 2
f ( − x ) = 2( − x )5 + 4tg ( − x ) = −2 x 5 − 4tgx = − f ( x ) .
212
4.
y = 2 sin x. x ∈ R ; у возрастает на π π x ∈ [− + 2π; + 2π] ; 2 2 π max: ( + 2π; 2) ; 2 у убывает на x ∈ [−
min: (−
5.
y=
y ∈ [−2;2].
π 3π + 2π; + 2π] ; 2 2
π + 2π; − 2). 2
⎧ x≥0 2 x +3 5− x π π 3π 3π ⎪ ; ОДЗ: ⎨ x ≤ 5 ; x ∈ [0; ) ∪ ( ; ) ∪ ( ;5] . 2 cos x 2 2 2 ⎪cos x ≠ 0 ⎩
КР № 2. В 2. 1 ⎧ 1 ⎪x ≥ − . ОДЗ: ⎨ 2 x ∈ [− ;2) ∪ (2;+∞). 2 x2 − 4 ⎪⎩ x ≠ ±2. 2x + 1
1.
y=
2.
cos 1140° + tg (−495°) = cos 360° − tg135° =
3.
f ( x) =
4.
3 1 +1 = . 2 2
3(− x) 2 − 3 x 2 3x 2 ; f (− x ) = = = − f ( x). sin(− x) sin x sin x
y = 1,5 cos x
x∈R 3 3 y ∈ [− ; ]. 2 2 π нули: x = + πn. 2 у возрастает на x ∈ [ − π + 2πn;2πn]. убывает на x ∈ [2πn; π + 2πn]. 3 max: (2πn; ) min: (π + 2πn;−1). 2
213
y=
5.
⎧ x≤0 3 −x +2 x+4 ⎪ ; ОДЗ: ⎨ x ≥ −4 ; x ∈ [ −4;− π) ∪ ( − π;0). sin x ⎪sin x ≠ 0 ⎩
КР № 2. В 3. 1.
⎧x ≤1 ⎪ ; ОДЗ: ⎨ x ≠ 0 x ∈ (−∞;0) ∪ (0;1]. y= 2 x − 2x ⎪x ≠ 2 ⎩
2.
sin( −660°) + cos 810° = sin 60° + cos(−90°) =
1− x
3 . 2 h( x) = 3x 4 tgx h(− x) = 3( − x) 4 tg ( − x) = −3x 4 tgx = − h( x) .
3. 4.
1 x x ∈ R ; y ∈ [−1;1]. 2 нули: x = 2πn ; возрастает: x ∈ [−π + 4πn; π + 4πn]. убывает: x ∈ [ π + 4πn;3π + 4πn] y = sin
max: (π + 4πn;1) ; min: (− π + 4πn;−1). 5.
y = sin
214
1 x возрастает на x ∈ [πn; π + πn] . 2 2
КР № 2. В 4. 1.
⎧ x ≤ −1 ⎪ y= ОДЗ: ⎨ x ≠ 0 ; x ≤ −1 , x ≠ −3 ; x ∈ (−∞ ; − 3) ∪ (− 3; − 1]. x 2 + 3x ⎪ x ≠ −3 ⎩ − x −1
2.
cos 840° + tg (−585°) = cos 120° + tg135° = −
3.
ϕ( x) =
1 3 −1 = − . 2 2
5(− x) 3 5x 3 5x 3 = = ϕ( x). ϕ(− x) = sin( − x) sin x sin x
4.
x = 0 x = π + 2πn нули. 2 у возрастает на [−2π + 4πn; 4πn] max: ( 4πn;1). y = cos
у убывает на [4πn; 2π + 4πn]
min: (2π + 4πn; −1).
x ∈ R.
y ∈ [−1; 1].
5.
убывает на [0; π] ∪ [2π; 3π].
КР № 3. В 1. 1.
а) sin x = −1 ; x = −
π + 2πn ; 2
б) 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 ; cos x = 1 ; x = 2πn ;
cos x = −
1 π ; x = ±2 + 2πn. 2 3
215
в). sin 2 x + 3 sin x ⋅ cos x = 0. ;
2.
3.
4.
3 sin 2 x − cos 2 x = −1;
π 1 π π πk ; sin(2 x − ) = − ; x = (−1) k +1 + + 12 12 2 2 6 π 1 7π sin x ≥ − ; x ∈ [− + 2πn; + 2πn]. 2 6 6 ⎧ k +1 π ⎧ x = π− y + πn. x+ y =π ⎪ y = (−1) ⎧ ⎪ 4 ; ⎨ 2 ; ⎨ ⎨ . ⎪ x = π − (−1) k +1 π − πn. ⎩sin x + sin y = − 2 . ⎪sin y = − 2 ⎩ 4 ⎩ ⎧ sin x ≤ 1 ; x ∈ [2πn; π + 2πn]. 2 sin x − 1 ≤ 1 ; ⎨ ⎩sin x ≥ 0.
КР № 3. В 2. 1.
а) cos x = −1 ; x = π + 2πn ; б) 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 ;
π + 2πn ; 2 1 π sin x = − x = (−1) k +1 + πk . 2 6 π в) cos 2 x − 3 sin x ⋅ cos x = 0 ; cos x = 0 ; x = + πn. 2 π 1 cos x ≠ 0 ; ; x = + πk . tgx = 6 3 1 2π 4π cos x ≤ − ; x ∈ [ + 2πn; + 2πn]. 2 3 3 ⎧ x = π − y. x+ y =π ⎧ 3π ⎪ ; + 2πn. 2 ; y=± ⎨ ⎨ cos y = − . cos x − cos y = 2 . 4 ⎩ ⎪⎩ 2 ⎧ cos x ≤ 0 π 3π 2 cos x + 1 ≤ 1 ; ⎨ ; x ∈ [ + 2πn; + 2πn]. cos x ≥ − 1 . 2 2 ⎩
sin x = 1
2. 3.
4.
КР № 3. В 3. 1.
216
а). sin x =
π 2 ; x = (−1) k + πk . 2 4
x=
б) 2 sin 2 x = cos x + 1;
2 cos 2 x + cos x − 1 = 0 ;
1 π , x = ± + 2πn ; 3 2 2 2 в) sin x − 2 sin x ⋅ cos x = 3 cos x cos x ≠ 0 ; cos x = −1. x = π + 2πn. ; cos x =
tg 2 x − 2tgx − 3 = 0.
2.
3.
4.
tgx = 3 x = arctg 3 + πk . π tgx = −1 x = − + πk . 4 π π tgx ≥ −1 x ∈ [− + πn; + πn). 4 2 3π π ⎧ ⎧ π ⎧ ⎪ x = 2 − y. ⎪ y = − 4 + 2πn. x+ y = ⎪ ; ⎨ ; ⎨ 2 ⎨ π 5π ⎪⎩sin x + sin y = − 2 . ⎪sin( y + ) = −1. ⎪ x = − 2πn. 4 4 ⎩ ⎩ 1 2 sin 2 x + sin x − 1 ≤ 0. ]. sin x ∈ [− 1; 2 π 7π + 2πn; x ∈ [− + 2πn]. 6 6
КР № 3. В 4. 1.
2.
3.
2 π ; x = ± + 2πk . 2 4 2 б) 2 cos x − 1 = sin x ; 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 1 π π sin x = −1 ; x = − + 2πn ; sin x = ; x = (−1) k + πk . 2 2 6 в) sin 2 x + sin x ⋅ cos x = 2 cos 2 x , cos x ≠ 0. x = − arctg 2 + πk . tg 2 x + tgx − 2 = 0 tgx = −2 π tgx = 1 x = + πk . 4 π π tgx ≤ 3. x ∈ (− + πn; + πn]. 2 3 π ⎧ π π ⎧ ⎧ ⎪sin( y + 4 ) = 1. x− y = . x = + y. ⎪ ⎪ ; ⎨ ; ⎨ 2 2 ⎨ π ⎪⎩cos x − cos y = − 2 . ⎪⎩sin y + cos y = 2 . ⎪ x = + y. 2 ⎩ а) cos x =
217
π ⎧ ⎪ y = 4 + 2πn. ⎨ 3π ⎪x = + 2πn. 4 ⎩ 4.
2 cos 2 x − cos x − 1 ≤ 0
x ∈ [−
1 cos x ∈ [− ;1]. 2
2π 2π + 2πn; + 2πn]. 3 3
КР № 4. В 1. 1.
2.
∆y = x0 2 + 2 x0 ∆x + ( ∆x ) 2 − x0 2 = ( ∆x ) 2 + 2 x0 ∆x. ∆y = 0,36 + 1,2 = 1,56. x0 = 1 ∆x = 0,6 1 3 а) f ( x) > x + x 2 + 2 x f ' ( x) = x 2 + 2 x + 2. 3 6 2 б) ϕ( x) = 3 − x ϕ' ( x) = − 4 − 1 x x y = x2
в) g ( x) = 4 sin x g ' ( x) = 4 cos x г) h( x ) =
f ( x) =
3.
2π ) = −2. 3
−8 2 − 3x h' (−1) = −8. h' ( x ) = x+2 ( x + 2) 2
1 3 x − 4 x ; f ' ( x) = x 2 − 4 3
f ' ( x) = 2 x ( x 2 − 4) = 0 g ' ( x) 4.
g ' (−
x > 0 ⇒ x = 2. f ( x) = −0,5 x x
Да
x=0
g ( x) = x
g ' ( x) =
1 2 x
x = ±2 , но т.к.
f ' ( 0) = 0.
КР № 4. В 2. 1. у= 2.
1 2 х 2
∆ у= ∆ хх0+( ∆ х2)
2 3 2 2 х + 2 х − х f′(х)=-2х +4х-1. 3 4 8 б) f(х)= 2 + х f′(х)= − 3 + 1. а) f(х)= −
х
218
1 х0=1 ∆х = 0,8 .; ∆у = 0,8 + 0,32 = 1,12 . 2
х
в) g(х)=3cosx г) f (х)=
5 3 g′(- п )= . 6 2
g′(х)=-3sinx
3 + 2х −7 ; h′(х)= ; h′(1)= -7. х−2 (х − 2)2
2 3 1 ; х − 18 х ; f′(х)=2х2-18; g(х)=2 х ; g′(х)= 3 x
3.
f(х)=
4.
f ′( x) = 2 х ( х 2 − 9) х=0; х=±3, но х>0 ⇒ х=3. g ′( x) f(х)=2х|х|, да, f ′(0)=0.
КР № 4. В 3. 1.
2.
⎧8 = 2к + в. 3 3 ⎪ ⎛1⎞ 1 у=х f ⎜ ⎟ = ; f(х0+ ∆х) = 8 .; ⎨ 1 1 ; к = 6 . к=5,25. 8 ⎝2⎠ 8 ⎪ 8 = 2 к + в. 2 ⎩ 2 а) f(x)= х 3 − х 2 − 7 х ; f′(x)= 2 х 2 − 2 х − 7 . 3 1 1 б) ϕ(х)= 3 + 7 ; ϕ′(х)=- 4 . 2х 2х 3п в) g(x)=2tgx; g′(x)= 2/cos2x; g′()=4. 4 3
г) h(x)=
3.
4х + 1 11 ; h′(x)= ; h′(-2)=11. х+3 ( х + 3 )2
f(x)=x3-6x2 ; f′(x)=3(x2-4x); f′(x)g′(x)=
4.
х 2 − 4х 2 х
1 5х ; g′(x)= . 3 6 х
g(x)=
= 0 ; x=0 и х=4, но х>0 ⇒ х=4.
f(x)=x2+1; f(g(x))=g2(x)+1=x;
g(x)= х − 1 .
КР № 4. В 4. 1.
y=
1 3 х ; 2
y(0,6)=0,108;
⎧4 = 2 к + в ; ⎨ ⎩0,108 = 0,6к + в
y(2)=4.
1,4k = 3,892.
k = 2,78.
219
2.
1 3 х + 4 х 2 + 2 х . f′(x)= − х 2 + 8 х + 2 . 3 4 2 б) ϕ ( х ) = 2 − 10 ϕ ' ( х) = − 3 . х х 4 2п 16 в) g(х)=4 ctgx g′(x)= − ; ϕ' ( − )=− . 2 3 3 sin х а) f(x)= −
г) h(x)=
3.
3х + 4 ; х−3
4.
f(x)=x2-2;
−13 ; ( х − 3 )2
f′(x)=3(x2-2x);
f(x)= х 3 − 3х 2 ; f′(x)g′(x)=
h′(x)=
х 2 − 2х х
=0;
g(x2-2)=x;
h′(4)=-13.
g(x)=
2 х; 3
x=0 и x=2, но х>0
g′(x)=
⇒
1 3 х
.
х=2.
g(x)= х + 2 .
КР. № 5. В1. х2 − 9 <0; х−5 х ∈ (−∞;−3) ∪ (3;5) . -3 2. х(t)=t2+5; v(t)=2t; v(3)=6. 1 1 3. f(x)= 2 − ; f´(x)= 2 ; х х π f´(1)=1; α = . 1.
3
5
х
4
4.
220
f ( x) = x 2 + 1 ; yk=2+2(x-1)=2x.
f (1) = 2 ;
f ' ( x) = 2 x ;
f ' (1) = 2 ;
5.
x( x 2 + 4 x + 4) x 2 − 1 ≤ 0 ; x ∈ (− ∞; − 1] ∪ {1}.
-2
-1
0
1
х
КР. № 5 В2. x −4 >0; x+5 х ∈ ( −5;−2) ∪ (2;+∞) . 2. х(t)=3t3+2t+1; v(t)=9t2+2 v(2)=38. 4 4 ; 3. f(x)= 3 − ; f´(x)= х х2 4. f(x)=x2 – 1; 2
1.
f(-1)=0; 5.
f´(x)=2x;
-5 f´(2)=1;
-2 α=
2
х
π . 4
f´(-1)=-2;y=-2x-2.
x(x -2x+1) 25 − х 2 ≥ 0 ; x ( x − 1) 2 25 − х 2 ≥ 0 ; 2
-5
0
1
5
х
x ∈ {− 5} ∪ [0; 5]. .
221
КР. № 5 В3. 1.
( x − 1)(2 x + 3) ≤ 0; x−5
-3/2
3⎤ ⎛ x ∈ ⎜ − ∞; − ⎥ ∪ [1; 5). 2⎦ ⎝ 2.
x(t ) = 3t 3 + 2t + 1;
f ( x) = 1 −
3 ; x
f ' ( x) =
3
x
2
f ( x ) = x 2 − 2 x ; f (2) = 0 ; f ' (2) = 2. ; y кас = 2 x − 4.
222
х
v(t ) = 9t 2 + 2 ;
;
f ' ( −1) = 3 ;
4.
5.
5
a(2) = 36.
a (v) = 18t ; 3.
1
f ' ( x) = 2 x − 2 ;
α=
π . 3
КР. № 5 В4. 1.
( x − 2)(2 x + 7) ≥0; x−4
-7/2
⎡ 7 ⎤ x ∈ ⎢− ; 2⎥ ∪ (4; + ∞ ). ⎣ 2 ⎦
2
4
х
2.
x(t ) = 2t 3 + 3t + 1; v(t ) = 6t 2 + 3 ; a(t ) = 12t ; a (3) = 36 м/с2.
3.
f ( x) = 2 −
3 ; x
f ' ( x) =
3
x2
;
f ' (1) = 3 ;
α=
π . 3.
4.
f ( x) = x 2 + 2 x ; f ' ( x) = 2 x + 2 ; y = −2 x − 4.
f (−2) = 0 f ' (−2) = −2.
5.
223
КР. № 6 В1. 1.
f ( x) = x 3 − 3x 2 + 4 ; f ' ( x) = 3( x 2 − 2 x) = 0 ; x max = 0 ; x min = 2 ;
f (0) = 4
f (2) = 0 ;
возрастает x ∈ (− ∞; 0] ∪ [2; + ∞ ) убывает x ∈ [0; 2]. .
2.
⎧a + b = 12. ⎧ b = 12 − a. ;⎨ ⎨ 2 2 3 ⎩ 2a b = y. ⎩ y = 24a − 2a y ' = 6a(8 − a ) = 0 ⎧a=0 ⎪ ⎨b = 12. ; ⎪ y = 0. ⎩
3.
⎧ a =8 ⎪ ⎨ b=4 ⎪ y = 512. ⎩
8+4=12.
ϕ( x) = −4,3 x cos 2 x + sin x = −4,3x − cos 2 x. ϕ' ( x) = −4,3 + 2 sin 2 x < 0.
КР. № 6 В2. 1. f ( x) = − x 3 + 3x 2 − 4 f ' ( x) = −3x( x − 2) = 0.
x = 0 x = 2.
возрастает: x ∈ [0; 2]. . убывает: x ≤ 0, x ≥ 2 f (0) = min = −4 f (2) = max = 0. 2.
⎧ a+b =9 ; ⎨ 2 ⎩ y = a ⋅ 3b y ' = 9 a (6 − a ) ⎧ b =9−a ⎨ 2 3; 6 a = b = 3. 6 + 3 = 9 y 27 a 3 a = − ⎩
224
3.
⎛π ⎞ f ( x) = 2 sin x ⋅ sin ⎜ + x ⎟ + 3,2 x = sin 2 x + 3,2 x. ⎝2 ⎠ f ' ( x ) = 2 cos 2 x + 3,2 > 0 .
КР. № 6 В3. 1. 1 3 x − 4x − 3 ; 3 f ' ( x ) = x2 − 4 = 0 ; x = ±2.
f(x)=
7 25 ; min = f (2) = − ; 3 3 f ( x) убывает на x ∈ [− 2; 2]. возрастает на x ≤ −2 и x ≥ 2. y' = 4a 2 ( 6 − a ) ⎧a + b = 8. ⎧ b = 8 − a. ; ⎨ ; 2. ⎨ 3 3 4 ⎩ a b = y . ⎩ y = 8a − a a = 6 b = 2 6 + 2 = 8. 1 1 3. f ( x ) = с – одно решенье, тогда, c< − 8 , c> 2 . 3 3 1 1⎞ 1 1 ⎛ 2 решенья c = −8 , c = 2 . ; 3 решенья, тогда, с ∈ ⎜ − 8 ; 2 ⎟. 3 3⎠ 3 3 ⎝
max = f (−2) =
КР. № 6 В4. 1. 1 f ( x) = − x 3 + 4 x + 3 ; 3 f ' ( x) = − x 2 + 4 = 0 ;
7 x = ±2 min = f (−2) = − ; 3 25 ; 3 f ( x) возрастает на x ∈ [− 2; 2]
max = f (2) =
убывает на x ≤ −2, x ≥ 2 . 2.
⎧a + b = 12. ⎧ b = 12 − a. y ' = 8a 2 (9 − a ); 12 = 9 + 3. ⎨ 2 ;⎨ 3 4 ; a = 9 b = 3; ⎩ y = 2a b ⎩ y = 24a − 2a
225
1 1 f ( x ) = m - 1 решенье, тогда, m > 8 , m < −2 ; 3 3 1 1⎞ 1 1 ⎛ 2 корня m = 8 m = −2 ; 3 корня m ∈ ⎜ − 2 ; 8 ⎟. 3 3⎠ 3 3 ⎝
3.
КР. № 7 В1. 2 ; 2
а) 2 sin 2 − 1 = 0 ; sin x = ±
1.
x=
π πn + . 4 2
б) sin 2 x + 3 cos 2 x = 0 ; cos 2 x ≠ 0 ; tg 2 x = − 3 ; x = − f ( x) =
1.
4 2x − 3 cos x ; f ' (0) = −2. − 3 sin x ; f ' ( x) = 2+ x (2 + x) 2
а) 2 cos x − 2 > 0 ; cos x >
2.
π πn + . 6 2
2x − x 2 ≥0; x−4 x ( x − 2) ≤ 0 ; x ∈ (− ∞;0] ∪ [2;4 ) . x−4
⎛ π x ∈ ⎜ − + 2πn; ⎝ 4
2 ; 2
π ⎞ + 2πn ⎟. 4 ⎠
б)
0
2
4
4.
−1 ≤ x ≤ 3. 5.
(4 x 2 − 9)( x 2 + x + 1) < 0 ;
cos x > 0 ;
226
⎛ 3 x ∈⎜− ; ⎝ 2
3⎞ ⎟. ; 2⎠
π π 3 ⎛ π ⎞ x ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ , но > ⇒ 2 2 2 ⎝ 2 ⎠
х
⎛ 3 при x ∈ ⎜ − ; ⎝ 2
3⎞ ⎟; 2⎠
cos x > 0.
КР. № 7 В2. 1.
а) 2 cos 2 x − 1 = 0 ;
cos x = ±
б) 3 sin 2 x − 3 cos 2 x, cos 2 x ≠ 0 ;
2. 3.
f ( x) =
2 ; 2
x=
tg 2 x =
π πn + ; 4 2
3 π πk ; x= + . 12 2 3
9 3x − 7 sin x ; + 7 cos x ; f ' ( x) = x+3 ( x + 3) 2
а) 2 sin x − 3 > 0 ; sin x >
4x − x 2 x ( x − 4) ≤0; ≥ 0; x +1 x +1 x ∈ (−1; 0] ∪ [4; +∞ ) .
3 ; 2
⎛π x ∈ ⎜ + 2πn; ⎝3
f ' ( 0) = 1 . 2π ⎞ + 2πn ⎟ ; 3 ⎠
б)
-1
0
4
х
4.
f ( x) ∈ [−3; 0]. при x ∈ [− 1; 2]. 5.
( x 2 − 3 x)( x 2 − x + 1) < 0 ;
x ∈ (0; 3) ;
sin x > 0, при x ∈ (2πn; π + 2πn );
т.к. π > 3 , то sin x > 0 , при x ∈ (0; 3).
227
КР. № 7 В3. 1.
а) 4 sin 2 x − 3 = 0 ;
sin x = ±
π + πn. 3 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ б) sin ⎜ 2 x + ⎟ + cos⎜ 2 x + ⎟ = 0 ; 3 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ π⎞ 7π πn ⎛ + . tg ⎜ 2 x + ⎟ = −1; x = − 3⎠ 24 2 ⎝
3 ; 2
x = (−1) k
π + πk ; 3
x = ( −1) k +1
2.
3.
x2 +1 + 2 cos x ; x +1 f ' (0) = −1.
f ( x) =
f ' ( x) =
x ∈ (− 1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (3; + ∞ ).
5.
y = 2 x 3 − 3x 2 + 5 ;
(x
2
)(
-
0
1
3
y ≥ 0 при x ≥ −1.
)
+ 1 x 2 − 5x + 6 < 0 ;
x ∈ (2; 3);
x ∈ (4πn; 2π + 4πn ); т.к. 2 > 0, 2π > 3 ⇒ sin
228
7π ⎤ + 2πn ⎥. 4 ⎦
x 2 ( x 2 − 1) > 0; x−3
б)
4.
2x 2 + 2x − x 2 − 1 − 2 sin x ; x +1 ⎡π x ∈ ⎢ + 2πn; ⎣4
2 ; 2
а) 2 cos x + 2 ≤ 0 ; cos x ≤
π⎞ ⎛ cos⎜ 2 x + ⎟ ≠ 0 ⇒ 3⎠ ⎝
x 2>0
при
sin
x > 0; 2
x ∈ (2; 3).
х
КР. № 7 В4. 1.
2.
π 2π 3 ; x = ± + 2πn ; x = ± + 2πn ; 3 3 2 π⎞ π⎞ π πn ⎛ ⎛ π⎞ ⎛ б) sin ⎜ 2 x − ⎟ − cos⎜ 2 x ⎟ = 0 ; sin ⎜ 2 x − ⎟ = 0 ; x = + . 4 2 2⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ ⎝
а) 4 cos 2 x − 3 = 0 ; cos x = ±
f ( x) =
x2 + 2 − 2 sin x ; x+2
f ' ( 0) = −
3. б)
f ' ( x) =
2x 2 + 4x − x 2 − 2
( x + 2 )2
− 2 cos x ;
1 5 −2=− . 2 2
а) 2 sin x + 3 ≤ 0 ; sin x ≤ x 2 ( x 2 − 9) < 0; x +1
3 π ⎡ 2π ⎤ ; x ∈ ⎢− + 2πn; − + 2πn⎥. 2 3 3 ⎣ ⎦
x ∈ (− ∞; − 3) ∪ (− 1; 0 ) ∪ (0; 3).
-3
4.
-1
0
3
х
x>2. 5.
(x
)(
)
x < 0; 2 x x ∈ (π + 4πn; 3π + 4πn ) ; т.к. 4 > π , 6 < 3π , то cos < 0 ; 2 при x ∈ (4; 6). 2
+ 3 x 2 − 10 x + 24 < 0 ; x ∈ (4; 6) ;
cos
229
Материалы для итогового повторения В1. 2
1.
2 cos x + cos x = 0 ;
2.
f ( x) = x −2 +
3. 4.
1 sin 2 x ; 2
2
f ' ( x) = cos 2 x −
. x3 ⎧⎪ x 2 − 9 ≤ 0 ⎧⎪ x ∈ [− 3; 3] ⎧⎪ x ∈ [− 3; 3] 9 − x2 y= ; ОДЗ: ⎨ ; ⎨ . ; ⎨ π π sin x − 1 ⎪⎩ sin x ≠ 1 ⎪ x ≠ + 2πn ⎪ x ≠ 2 2 ⎩ ⎩ x( x + 2) ≤ 0; x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [0; 3). x−3
-2
5.
x 2 ( x − 3) = x − 3 ; x = 3 x = ±1. 3 точки пересечения.
230
π + πn ; 2 2π x=± + 2πn. 3 x=
cos x = 0 1; cos x = 2
0
3
х
В2. 1.
2 sin x − 1 < 0 ;
2.
x f ( x) = x −1 − 2 cos ; 2
3.
sin x <
1 ; 2
π ⎛ 7π ⎞ x ∈⎜− + 2πn; − + 2πn ⎟. 6 ⎝ 6 ⎠ x 1 f ' ( x) = sin − . 2 x2
x − 5 (sin 2 x − 3 sin x ) > 0 ;
⎧ x≥5 ⎪ ⎨ x=5 ⎪sin x = 0. ⎩
x = πn, n ≥ 2, x = 2. 4.
3− x ≥ 0; x( x + 5)
x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (0; 3]. 5.
y = x 3 − 3x + 3 ;
x = ±1 ;
y (1) = 1;
-5
0
3
х
y ' = 3( x 2 − 1) = 0 ;
⎛ 1 ⎞ 9 1 35 y⎜ − ⎟ = − = ; ⎝ 2⎠ 2 8 8
y (3) = 21;
max − f (3) = 21. min − f (1) = 1.
231
В3. ⎛π ⎞ f ( x) = 2 sin x ⋅ sin ⎜ − x ⎟ = sin 2 x ; ⎝2 ⎠ f ' ( π ) = 2.
1.
f ( x) =
2.
2x + 5 ; 3− x
f ' ( x) =
11 ( x − 3) 2
f ' ( x ) = 2 cos 2 x ;
> 0 при
x ≠ 3 , то есть при
x ∈ (−∞ ; 3) ∪ (3 ; ∞) . π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛4 ⎞ ⎛5 sin ⎜ π + x ⎟ − sin ⎜ π + x ⎟ = 2 sin cos⎜ + x ⎟ = sin x. 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝3 = y 1 ⎡ ⎢ 4. ( y − 1) x 2 − 3 x − 18 = 0 ; ⎢ x = 6 . ⎢⎣ x = −3
3.
(
)
5.
y = 4 x 2 ( x − 2) 2 = 4 x 4 − 16 x 3 + 16 x 2 ; y ' = 16 x ( x 2 − 3 x + 2) = 0 ;
x = 0, x = 2, x = 1; y max = y (1) = 4 ; y min = y (0) = y (2) = 0; нули: x = 0 x = 2.
убывает: x ≤ 0, x ∈ [1; 2].
возрастает: x ∈ [0; 1] ∪ x ≥ 2.
232
В4. 1. 2.
⎛π ⎛π⎞ ⎞ f ( x) = 2 cos x ⋅ cos⎜ − x ⎟ = sin 2 x ; f ' ( x) = 2 cos 2 x ; f ' ⎜ ⎟ = −2. ⎝2 ⎝2⎠ ⎠ x(t ) = 3 x 4 + 2t 3 + 6 ; v(t ) = 6t 2 ( 2t + 1) ; a ( f ) = 36t 2 + 12t.
v(2) = 120 a( 2) = 168. 3.
π ⎛ 4π ⎞ ⎛ 2π ⎞ + x ⎟ + cos⎜ + x ⎟ = 2 cos(π + x) cos = − cos x. cos⎜ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
4.
y=
1 1 2 x ( x − 4) 2 = x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 ; 4 4 y' = x 3 − 6x 2 + 8x = 0 ;
x = 0 x = 4 x = 2. y max = y (2) = 4 y min = y (0) = y (4) = 0.
возрастает: x ∈ [0; 2] ∪ x ≥ 4
убывает: x ≤ 0, x ∈ [2; 4]. 5.
π ⎧ x+ y = ⎪ ; 2 ⎨ ⎪⎩sin x − sin y = 2 π ⎧ 3π ⎧ y= −x ⎪ x = 4 + 2πn. ⎪⎪ 2 ;⎨ ⎨ ⎛ π⎞ π ⎪sin ⎜ x − ⎟ = 1. ⎪ y = − − 2πn. ⎪⎩ ⎝ 4⎠ 4 ⎩
В5. 1. 2.
sin 2α 2 sin α ⋅ cos α = = tgα . 1 + cos 2α 2 cos 2 α tgx = −4 tg 2 x + 3tgx − 4 = 0 ; ; tgx = 1
x = arctg (−4) + πn π . x = + πn 4 3.
f ( x) = (3 − 2 x) 6 ; f ' ( x) = −12(3 − 2 x) 5 ; f ' (1) = −12.
233
-8 5.
x ∈ (− 8; − 3) ∪ (3; + ∞ ).
x 2 − 9 ( x + 8) > 0 ;
4.
-3
3
х
y = ( x − 1) 2 ( 2 x + 4) ;
y ' = 2( x − 1)(2 x + 4) + 2( x − 1) 2 = = 2( x − 1)(2 x + 4 + x − 1) = = 2( x − 1)(3x + 3) = 0. x min = 1 x max = −1; y (1) = 0 ; y (−1) = 8 ; у возрастает на x ∈ ( −∞ ; − 1) ∪ (1; ∞) ; убывает на x ∈ [− 1; 1].
В6. 1.
sin α =
3 ; 2
sin(30° + α) = 2.
cos α =
0 < α < 90° ;
1 ; 2
1 3 1 3 cos α + sin α = + = 1. 2 2 4 4
y = 0,5 x 2 − 2 x ;
y ( 4) = 0 ;
y' = x − 2 ;
y ' ( 4) = 2 ;
y kac = 2( x − 4) = 2 x − 8. 3.
4.
3 3 − x 2 + 2x ≥ x; ≥ 0; x−2 x−2 x ∈ (− ∞ ; − 1] ∪ (2 ; 3].
1 − cos 2 x = sin 2 x ;
-1
x 2 − 2x − 3 ≤ 0; x−2
2
sin 2 x − 2 sin x ⋅ cos x − 3 cos 2 x = 0 , cos x ≠ 0. ;
234
3
х
tg 2 x − 2tgx − 3 = 0 ;
tgx = 3 ;
x = arctg 3 + πn; π tgx = −1; x = − + πn. 4
5. g ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 ; g ' ( x ) = 4 x( x 2 − 1) = 0 ;
x max = 0 x min = ±1. g (0) = 3 ; . g (±1) = 2 ; убывает на x ∈ (−∞ ; − 1) ∪ (0 ;1) ; возрастает на:
x ∈ [− 1; 0] ∪ [1; + ∞ ).
В7. 1.
3 cos α = − ; 5
π < α < π; 2
sin α =
4 ; 5
sin 2α = −
24 . 25
2.
3.
4.
5π ⎞ 5π ⎞ ⎛ ⎛ cos⎜ α + ⎟ − cos⎜ α − ⎟ − 2 sin α ⋅ sin 5π 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 4 = − 2 ⋅ 2 = −1. 2 2 sin(π + α) − 2 sin α 2
y=
x − 2,5
а) ОДЗ: x ≠ ±2 , значит, у непрерывна на x2 − 4 x ∈ (−∞ ; − 2) ∪ (2 ; ∞) ;
235
б) y =
x − 2,5 x2 − 4
x = 4 x = 1;
5.
;
y' =
x 2 − 4 − 2 x 2 + 5x ( x 2 − 4) 2
=
− x 2 + 5x − 4 ( x 2 − 4) 2
= 0;
возрастает на x ∈ (1; 2) ∪ (2 ; 4).
⎧a + b + c = 54 ⎧ c = 54 − 3b ⎪ ⎪ ; ⎨ y = 108b 2 − 6b 3 ; ⎨ a = 2b ⎪ y = abc. ⎪ a = 2b. ⎩ ⎩
y ' = 18b(12 − b) = 0 b = 12 a = 24 c = 18.
В 8. 1.
sin(−840°) + tg ( −855°) = − sin 120° − tg135° = −
2.
f ( x) = (2 x − 4)( x + 1) 2
3 2− 3 +1 = . 2 2
f ' ( x) = 2( x + 1)(2 x − 4) + 2( x + 1) 2 =
= 2( x + 1)(2 x − 4 + x + 1) = 2( x + 1)(3 x − 3) = 0 ; f (1) = max = −8 f ( −1) = min = 0.
возрастает x ≤ −1, x ≥ 1. 3.
2 sin 2 x − 1 = sin x. π sin x = 1 x = + 2πn 2
убывает: x ∈ [− 1; 1].
2 sin 2 x − sin x − 1 = 0. 1 π sin x = − x = (−1) k +1 + πk . 2 6
4.
⎧a + b + c = 48 ⎧ c = 48 − 2b ⎪ a=b ;⎨ 5. ⎨ 2 3 ; ⎩ y = 48b − 2b ⎪ y = abc. ⎩
236
x = ±1.
y ' = 6b (16 − b) = 0 ⎧b = 16. ⎪ ⎨ a = 16 ⎪c = 16. ⎩
Карточки-задания для проведения зачетов Зачет № 1 .
Карточка 1.
1. ф-ия – зависимость y от x, при котором для каждого допустимого x ставится в соответствие зн. y. обл. опр. ф-ции допустимые зн. x; обл. зн. ф-ции допустимые зн. у Схема исследования ф-ции: 1) обл. зн., обл. опр.; 2) нули; 3) экстремумы; 4) max, min; 5) промежутки возраст., убыв. 2.
а) sin(-1830°)=-sin30°= −
1 1 ; б) cos(-1140°)=cos60°= ; 2 2
в) tg(-585°)=tg135°=-1. 3.
f (x ) =
2 x2
возрастает на x<0; убывает на x>0
4.
237
5.
Карточка 2. Четная функция, когда f (− x ) = f (x ) ;
1.
например y = x 2 ; y = x 4 - график симметричен относительно ОУ; нечетная функция, когда f (− x ) = − f (x ) ; например: y=x, y=x3, график симметричен относ. О. f (x ) =
2. 3.
9 − x2 ⎪⎧9 − x 2 ≥ 0 ; ОДЗ: ⎨ ; x ∈ [− 3;−2 ) ∪ (− 2;3] . x+2 ⎪⎩ x ≠ −2 3
x > 0 ; sin > 0 ; x ∈ (4πn; 2π + 4πn ) ; x 2 sin 2 f (x ) < 0 x ∈ (2π + 4πn; 4π + 4πn ) . f (x ) =
4. а)
sinx=1 ; x =
π 2
+ 2πn ;
б)
sinx=-1; x = −
π 2
+ 2πn
в)
sinx=
238
1 π ; x = (− 1)k + πk 6 2
г) sinx>
1 ; 2
5π ⎛π ⎞ x ∈ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ . 6 6 ⎝ ⎠
5.
Карточка 3. 1.
Пусть функция является периодич. и Т - ее период то f (x ) = f (x + T ) ; sinx, cosx T=2π; tgx, ctgx T=π. f (x ) =
2.
2x 2 + 1 2(− x )2 + 1 2 x 2 + 1 ; f (− x ) = = = f (x ) ⇒ четная. 2 cos x cos(− x ) cos x
3. y = x 2 − 2 x ; min: (0;0); (2;0); max (1;1)
4.
y = 2 sin 2 x cos 2 x = sin 4 x ; T =
π . 2
5.
КАРТОЧКА 4. 1. y = sin x x ∈R y∈
239
[–1; 1] возрастает на π ⎤ ⎡ π ⎢ − 2 + 2 πn; 2 + 2 πn ⎥ ⎣ ⎦ 3π ⎡π ⎤ + 2 πn⎥ убывает на ⎢ + 2 πn; 2 ⎣2 ⎦ нули: x = πn; ⎛ π ⎞ min: ⎜ − + 2 πn; − 1⎟ ; ⎝ 2 ⎠ ⎛π ⎞ max: ⎜ + 2 πn; 1⎟ . ⎝2 ⎠ 2. f(x) =
2x − 1 2 x 2 − 3x − 5
5 ⎧ ⎪⎪ x ≠ 2 ⎨ ⎪x ≥ 1 ⎪⎩ 2
x ≠ −1
;
1 ⎧ ⎪x ≥ 2 ОДЗ: ⎨ ; ⎪2 x 2 − 3x − 5 ≠ 0 ⎩
⎡ 1 5⎞ ⎛ 5 ⎞ ; Итого: x ∈ ⎢ ; ⎟ ∪ ⎜ ; + ∞⎟ . ⎠ ⎣2 2⎠ ⎝ 2
3. f(x) = 3tg (2x – 4);
T=
π . 2
4.
f(x) = (x – 1)4 +
1 ; 2
1 ; 2 возрастает на x ∈ (1 ; ∞) ; убывает на x ∈ (− ∞ ; 1) .
xmin = 1;
240
f(1) =
5.
КАРТОЧКА 5. 1.
y = cos x ;
нули: x =
π + πk; 2
x ∈ R; y ∈ [–1; 1]; у возрастает на x ∈ [–π + 2πn; 2πn]; убывает на x ∈ [2πn; π + 2πn]; max: (2πn; 1); min: (–π + 2πn; –1). 2. f(x) = –2x2 + 3x + 4; f(–1) = –2 – 3+ 4= –1; f(x + 1) = –2x2 – 4x –2 + 3x + y = –2x2 – x + 5 = –1; 3 2x2 + x –6 = 0; x1 = –2, x2 = . 2 π⎞ π⎞ 5π πn ⎛ ⎛ 3. f(x) = tg ⎜ 2 x − ⎟ ; cos ⎜ 2 x − ⎟ ≠ 0; x≠ ; + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12 2 3 3 возрастает на области определения 1 4. f(x) = x −1 убывает: x ≠ 1
241
5.
КАРТОЧКА 6. 1.
y = tg x; y ∈ R;
x≠
π + πk; 2
возрастает на области определения; нули: x = πk 2.
возрастает на x ∈ ( −∞;−1) ∪ (0 ; ∞ ) ;
убывает на x ∈ [–1; 0] x = –1; f(–1) = 2; x = 0;
f(0) = 1.
⎧⎪ x 2 − 16 ≥ 0 x 2 − 16 ; ОДЗ: ⎨ ; x+4 ⎪⎩ x ≠ −4 x ∈ (–∞; –4) ∪ [4; +∞). 4. y = 2sin x + 3; π max: ( + 2πn; 5); 2 π min: (– + 2πn; 1). 2 3. y =
242
5.
ЗАЧЕТ № 2 КАРТОЧКА 1. ⎡ π π⎤ 1. arcsin числа a – такое число из ⎢ − ; ⎥ , sin которого равен a. ⎣ 2 2⎦ 2. а) 2cos2 x + 3cos x + 1 =0; 1 2π x = π + 2πn; cos x = – ; x=± + 2πn; cos x = –1; 2 3
б) sin2 x + 3 sin x cos x = 0;
sin x(sin x + 3 cos x) = 0; 3. tg 3x < –1;
x = πn;
x =–
π + πn. 3
π πn ⎞ ⎛ π πn x ∈ ⎜− + ;− + ⎟. ⎝ 6 3 12 3⎠
π ⎧ ⎧x − y = π ⎪ x + y = − + 2 πn 4. ⎨ ; ; ⎨ 2 ⎩sin( x + y ) = −1 ⎪ x − y = π ⎩
5. |2sin x + 4| ≤ 5;
1 ⎧ ⎪⎪sin x ≤ 2 ; ⎨ ⎪sin x ≥ − 9 ⎪⎩ 2
π ⎧ ⎪⎪ x = 4 + πn . ⎨ ⎪ y = − 3π + πn ⎪⎩ 4
π ⎡ 7π ⎤ x ∈ ⎢− + 2πn; + 2πn ⎥ . 6 ⎣ 6 ⎦
243
КАРТОЧКА 2. 1. arccos числа a – такое число из [0; 2π], cos которого равен a. π 2. tg x + ctg x = 2; tg x = 1; x = + πn. 4 3. 2sin2 x + 5sin x cos x – 7cos2 x = 0; cos x ≠ 0; 2tg2 x + 5tg x – 7 = 0; 7 7 π tg x =– ; x = –arctg + πn; tg x = 1; x = + πn. 2 2 4
3 3 ⎛π ⎞ 3. cos ⎜ + x⎟ < – ; sin x > ; ⎝2 ⎠ 2 2 π ⎧ ⎪x + y = ; 4. ⎨ 2 ⎪⎩cos x + sin y = −1 5. 2sin2x – |sin x| = 0;
π + πk 6 . π k +1 π x = − ( −1) − πk 2 6 1 π x = πn; sin x = ; x = (–1)k + πk. 2 6
π ⎧ ⎪⎪ x = 2 − y ; ⎨ ⎪sin y = − 1 ⎪⎩ 2 sin x = 0;
2π ⎛π ⎞ x ∈ ⎜ + 2 πn; + 2 πn⎟ . ⎝3 ⎠ 3 y = ( −1) k +1
КАРТОЧКА 3. ⎡ π π⎤ 1. arctg a – такое число из ⎢− ; ⎥ , tg которого равен a. ⎣ 2 2⎦ π ⎧ 2 ⎪ x ≠ − + πn ; 2. а) =2 – ctg x; ОДЗ: ⎨ 4 ctgx + 1 ⎪⎩ x ≠ πn π π + πn ; ctg x = 1; x = + πn; 2 4 б) 1 – 2sin 2x + 2cos2 x = 0, cos x ≠ 0; sin2 x – 4sin x cos x + 3cos2 x = 0; π tg2 x – 4tg x + 3 = 0; tg x = 3; x = arctg 3 + πn; tg x = 1; x = + πn. 4
ctg2 x – ctg x = 0; ctg x = 0; x =
3π ⎡ 3π ⎤ + πn; + πn⎥ . x ∈ ⎢− 8 ⎣ 8 ⎦ π ⎧ ⎧x = π − y ⎪⎪ y = 4 + ⎪ ⎪⎧ x + y = π ; ⎨ 4. ⎨ 2 2 ; ⎨ ⎪⎩sin x + sin2 y = 1 ⎪sin y = ± ⎪x = π − 2 ⎩ ⎪⎩ 4 3. cos 2x ≥ –
2 ; 2
5. 2sin2 x + sin x ≥ 0;
244
πn 2 . πn 2
1 3π π⎞ ⎛ ⎡ ⎤ ; x ∈ ⎢2 πn; sin ⎜ x − ⎟ ≥ – + 2 πn⎥ . ⎝ ⎠ 2 4 2 ⎣ ⎦
КАРТОЧКА 4 1. cos t = a ; |a| ≤ 1; t = ± arccos a + 2πn. 2. а) 1 + cos x = 2sin2 x ; cos 2x + cos x = 0; 3x x π 2 πn cos = 0; x= + ; x = π + 2πn; cos 2 2 3 3 π π б) sin 2x + 2 3 cos2 x = 0; cos x(sin x + 3 cos x) = 0; x = + πk; x = – + πk. 2 3
π⎞ 2 ⎛ 3. sin ⎜ x + ⎟ ≤ ; ⎝ 4⎠ 2
⎡ 3π ⎤ + 2 πn; 2 πn ⎥ . x ∈ ⎢− ⎣ 2 ⎦ π ⎧ π πn π ⎧ y= + ⎪⎪ x = 2 − y ⎪x + y = 4 2 . 2 4. ⎨ ; ⎨ ; π πn 2 ⎪sin2 x + cos2 y = 1 ⎪cos y = ± x= − ⎩ ⎪⎩ 4 2 2 π π 5. 2x − π (sin x – 1) = 0; ОДЗ: x ≥ ; sin x = 1; x = + 2πn; n = 0; 1; 2; 3. 2 2
КАРТОЧКА 5. 1. sin t = a; |a| ≤ 1; t = (–1)k arcsin a + πk. 2. а) 1 – cos 2x + sin x = 0; 2sin2 x + sin x = 0; 1 π sin x = 0; x = πn; sin x = – ; x = (–1)k+1 + πk; 2 6 x x x 2 x б) 5sin 2x – 6cos x = 6; 12cos – 10sin cos = 0 cos = 0; 2 2 2 2 x 6 x 6 x = 2arctg + 2πn. x = 2πn + π; sin = cos ; 2 5 2 5 ⎡ 2π ⎤ 3. tg 2x ≥ – 3 ; x ∈ ⎢− + 2 πn; π + 2 πn⎥ . 3 ⎣ ⎦ π ⎧ ⎧ x = π − y ⎪ y = ( −1) k + πk ⎧x + y = π ⎪ ⎪ 6 ; ⎨ 4. ⎨ 1 ; ⎨ ⎩sin x + sin y = −1 ⎪ x = π − ( −1) k π − πk ⎪⎩sin y = 2 ⎪⎩ 6 π 5. |x|sin x + x = 0, т.к. x > 0, то sin x = –1; x = – + 2πn; n ∈ N. 2
245
КАРТОЧКА 6. t = arctg a + πn. x 3x 2. а) cos 2x = cos x; sin sin = 0; 2 2 1. tg t = a ;
x=
2 πn ; 3
3 sin x + cos x = –1; x x x x 2cos2 + 2 3 sin cos = 0; cos = 0; x = π + 2πn; 2 2 2 2 x x π x = – + 2πn. cos + 3 sin = 0; 2 2 3 1 1 5π ⎛ 3π ⎞ ⎛π ⎞ 3. sin ⎜ + x⎟ > – ; cos x < ; x ∈ ⎜ + 2 πn; + 2 πn⎟ . ⎝ 2 ⎠ ⎝3 ⎠ 2 2 3 б)
π ⎧ ⎪x − y = 2 ; 4. ⎨ ⎪cos x − cos y = − 2 ⎩
π ⎧ ⎪⎪ x = 2 + y ; ⎨ ⎪cos y = 2 ⎪⎩ 2
π ⎧ ⎪⎪ y = ± 4 + 2 πn . ⎨ ⎪ x = π ± π + 2 πn ⎪⎩ 2 4
5. 2cos2 x + cos x – 1 ≤ 0; 5π 1 ⎡π ⎤ cos x ∈ [–1; ]; x ∈ ⎢ + 2 πn; + 2 πn⎥ . 3 2 ⎣3 ⎦
ЗАЧЕТ № 3. КАРТОЧКА 1. 1. Производной функции в точке x0 называется f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) lim ; ∆x → 0 ∆x
пример:
f(x) = x ;
∆x = 1. ∆x 3 2 f′(x) = 4x – 18x + 8;
∆f(x0) = ∆x ;
2. f(x) = x4 – 6x3 + 8x – 7; f′(–1) = –4 – 18 + 8 = –14. 6 6− x 6 3. ϕ(x) = = − 1; ϕ′(x) = – 2 ; x x x 4. h(x) = (6 + 5x)7 ; h′(x) = 35(6 + 5x)6;
lim
∆x → 0
ϕ′(x) < 0, x ≠ 0. h(–1) = 35.
5. f(x) = sin2 3x; f′(x) = 6sin 3x cos 3x = 3; sin 6x = 1;
246
x=
π πk . + 12 3
КАРТОЧКА 2. ⎛ ∆f ( x0 ) ∆g ( x0 ) ⎞ 1. (f(x) + g(x))′ = lim ⎜ + ⎟= ∆x → 0⎝ ∆x ∆x ⎠ ∆f ( x0 ) ∆g ( x0 ) + lim = f′(x) + g′(x); ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 1 1 f(x) = x7; g(x) = ; (f(x) + g(x))′ = 7x6 – 2 . x x 2. f(x) =x3 – 2x2 + x + 10; f′(x) = 3x2 – 4x + 1; f′(–2) = 12+ 8 + 1 =21; f′(x) ≤ 0; 3x2 – 4x +1 ≤ 0; ⎡1 ⎤ x ∈ ⎢ ; 1⎥ . ⎣3 ⎦
= lim
π⎞ π⎞ 3π πk ⎛ ⎛ 3. g(x) = sin ⎜ 2 x − ⎟ ; g′(x) = 2cos ⎜ 2 x − ⎟ = 0; x = + ; g′(π) = 2 . ⎝ ⎝ 4⎠ 4⎠ 8 2
4. f(x) = x x − 5 ;
f′(x) = x − 5 +
⎧⎪ | x| 5. f(x) = ⎨ 2 ⎪⎩− x + 3 а)
x ≥ −1 x < −1
x 2 x−5
;
f′(6) = 1 +
3 = 4. 1
;
б) x = –1; в) нет.
КАРТОЧКА 3. 1. (f(x) g(x))′ = f′(x)g(x) + g′(x)f(x); f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆f ( x0 ) =λ lim = λf′(x); (λf(x))′ = lim λ ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x y = 2x2; y′ = 4x; y = 7x5; y′ = 35x4. 2 2. f(x) = (2x – 3)(4x + 6x + 9); f′(x) = 8x2 + 12x + 18 + (2x – 3)(8x + 6); f′(–2) = 32 – 24 + 18 + 7 ⋅ 10 = 96. 3 ⎛ π⎞ 3. f(x) = tg 3x; f′(x) = ; f′ ⎜ − ⎟ = 6. 2 ⎝ 4⎠ cos x
247
4. f(x) =
g′(x) = 5. f(x) =
1 3 3 2 x – x – 4x; 3 2 1 x
; f′(x)g′(x) = x −1 2− 2−x
f′(x) = x2 – 3x – 4; g(x) = 2 x ;
x 2 − 3x − 4
;
x
= 0; x = 4; x = –1, но x > 0 ⇒ x = 4.
⎧ x > −2 ⎪⎧ x ≤ 2 ОДЗ: ⎨ . ; ⎨ ⎩⎪ 2 − x < 2 ⎩ x ≤ 2
КАРТОЧКА 4. ′ ⎛ f ( x ) ⎞ f ′( x ) g ( x) − g ′( x) f ( x) 6 x−2 ⎟ ⎜ 1. ⎜ ;y= ; y′ = . ⎟ = 2 x + 4 g ( x ) g ( x) ( x + 4) 2 ⎠ ⎝ 1 6 3 − 3; 2. f(x) = 2 x + 2 ; f′(1) = 1 – 6 = –5. f′(x) = x x x 3. h(x) = cos 2x;
–2sin 2x = 1; 4. f(x) =
2x + 7 ; x−4
5. f(x) = 1 – 2x;
h′(x) = –2sin 2x; 1 ; 2 −15
sin 2x = – f′(x) =
( x − 4) 2
;
⎛ π⎞ h′ ⎜ − ⎟ = 3 ; ⎝ 3⎠ π πk x = (–1)k+1 + . 12 2
f′(5) = –15; f′(x) < 0 при x≠ 4.
f(g(x)) = 1 – 2g(x) = x;
g(x) =
1 x − . 2 2
КАРТОЧКА 5. n
n–1
1. (f (x))′ = nf′(x) f (x); y = x100; y′ = 100x99;
y = (2x)100; y′ = 200(2x)99. −4 8 ⎛ π⎞ 2. f(x) = ctg 4x; f′(x) = ; f′ ⎜ − ⎟ = − . 3 sin 2 4 x ⎝ 6⎠ 3 2 2 3. f(x) = 2x + 3x – 12x; f′(x) = 6(x + x – 2) = –12; x = 0 и x = –1; f′(x) > 0, x ∈ (–2; 1). x −1 4. f(x) = (x – 1) x ; f′(x) = x + ; f′(1) = 1. 2 x 5. f(x) = x2 – 1; f(f(x)) = (x2 – 1)2 – 1 = x4 – 2x2 > 0; x ∈ (– 2 ; 0) ∪ (0; 2 ). x2(x2 – 2) > 0;
248
КАРТОЧКА 6. 1. y = sin x ; y′ = cos x. 2. f(x) = (3x2 – 2)(3x2 + 2) = 9x4 – 4; f′(x) = 36x3; f′(–1) = –36. 3. f(x) = cos 3x cos x – sin 3x sin x = cos 4x; f′(x) = –4sin 4x; ⎛ π⎞ f′ ⎜ − ⎟ = –2 3 . ⎝ 3⎠ 4. f(x) =
1 3 2 x –x; 3
g(x) = x2 − 2 x
g′(x) = x2 + 1; 5. f(x) =
2 ; 2−x
x2 + 1
2 2−
4 2− x
f′(x) = x2 – 2x;
≤ 0 ; x ∈ [0; 2].
2 4 − 2x ; = 1+ = 2 x 2 2x 2 − 2 − 2− 2− x 4 − 2x 2 = 1+ = 2− . − 2x x
f(f(x)) =
f(f(f(x))) = 1 +
1 3 x + x; 3
2
КАРТОЧКА 7. 1. y = cos x ; y′ = –sin x; y = tg x; y′ =
1
; y = ctg x; y′ = −
1
. cos x sin 2 x 2. f(x) = (2x2 – 5)(x2 – 4) = 2x4 – 13x2 + 20; f′(x) = 8x3 – 26x. 13 2x − 7 3. f(x) = ; f′(x) = ; f′(–2) = 13; f′(x) > 0; при x ≠ –3. x+3 ( x + 3) 2 1 ⎛ π⎞ f′ ⎜ − ⎟ = − . 2 ⎝ 3⎠ 7π 1 ⎛ π ⎞ + πn ⎟ . f′(x) = sin 2x > – ; x ∈ ⎜ − + πn; 12 2 ⎝ 12 ⎠
4. f(x) = sin x cos x + 1; 5. f(x) = sin2 x;
2
f′(x) = cos 2x;
ЗАЧЕТ № 4 КАРТОЧКА 1. 1. Геометрический смысл производной в точке x0 – tg угла наклона касательной в точке x0. y(x0) = f(x0) ⇒ y = f′(x0)x + b. Но нам нужно, чтобы f(x0) = f′(x0)x0 + b ⇒ b = –f′(x0)x0 + f(x0) ⇒ yкас = f′(x0)x + f(x0) – f′(x0)x0.
249
2. f(x) = 6x + 5cos x; f′(x) = 6 –5sin x > 0 ⇒ возрастает. b a + b = 15 = 15 −a y′ = 3a 2 − 3 = 0 ⎪⎧ ⎪⎧ 3. ⎨ 3 ; ⎨ ; ; 15 = 1 + 14. ⎪⎩a + 3b = y ⎪⎩ y = a 3 − 3a + 45 a = 1 b = 14 4. а)
1 2 3 x +x+ ; xв = 1; 2 2 1 3 f(1) = – + 1+ = 2; x ∈ R ; f ≤ 2. 2 2 f(x) убывает на x ≥ 1; возрастает на x ≤ 1; x max = 1 – 1 б) f(x) = x2(x – 5)3 ; 18 f(x) = –
x( x − 5)3 x 2 ( x − 5) 2 + = 0; 9 6 x(x – 5)2(2x – 10 + 3x) = 0; x = 0; x = 5; x = 2; f(0) = 0; 2 f(2) = – ⋅ 27 = –6; 9 f (x) возрастает на x < 0, x > 2 убывает на x ∈ (0; 2).
f′(x) =
КАРТОЧКА 2. 1. производная от перемещения – скорость. производная от скорости – ускорение. 2. f(x) = –sin x; f(0) = 0; f′(x) = –cos x; f′(0) = –1; yк = –x. 3. f(x) = –x3+ 2x2 – 8x + 1; x ∈ [–2; 1]; f′(x) = –3x2 + 4x – 8 = 0; D = 4 – 24 < 0 ⇒ убывает на R 4 max: f(–2) = 8 + 8 + 16 + 1 = 33 min: f(1) = –1 + 2 – 8 + 1 =–6 4. а) 1 f(x) = x3 – 3x 3
f′(x) = x2 – 3 = 0
x=± 3
max: f(– 3 ) = – 3 + 3 3 = 2 3
250
min: f( 3 ) = 3 – 3 3 = –2 3 ; f(x) возрастает на x < – 3 , убывает на б)
x> 3;
x ∈ [– 3 ; 3 ];
КАРТОЧКА 3. 1. возрастание: производная > 0.; убывание: производная < 0. 2. s(t) = 6t3 + 5t + 2 v(t) = 18t2 + 5 v(2) = 77 a(t) = 36t a(2) = 72 3. а) f(x) = –0,5x2 + 6 f′(x) = –x f′(1) = –1 б) По рисунку видно, что в точках x = ±2 3 производной не существует, а в точке x = 0 она равна нулю. 4. Пусть вершина прямоугольника, лежащая правее нуля, равна x0, тогда S = 2x0 ⋅ f(x0) = –x03 + 12x0 S′ = –3x02 + 12 = 0 x0 = ± 2, но x0 > 0 ⇒ длина = 4, высота = 4.
КАРТОЧКА 4. 1. Критические точки – точки, в которых производная равна нулю или не существует. Пусть в этой точке производная меняет знак с «больше» на «меньше», то это точка max. Если с «меньше» на «больше» ⇒ min.
251
2. f(x) = –0,5x2 + 2x ; f(0) = 0 ; f′(x) = –x + 2 ; f′(0) = 2; yкас = 2x. ⎡ π 7π ⎤ 3. f(x) = –7x – 6sin x ; ⎢− ; всегда ⎥ ; f′(x) = –7 – 6cos x < 0 ⎣ 6 6 ⎦
max:
⎛ π ⎞ 7π f⎜− ⎟ = + 3 ; min ⎝ 6⎠ 6
49π ⎛ 7π ⎞ f⎜ ⎟ = − +3. 6 ⎝ 6 ⎠
4. а) f(x) = 2x 3 − x
f′(x) = 2 3 − x –
x
3− x 6 – 2x = x x = 2 – max возрастает: x ≤ 2, убывает x ∈ [2; 3] б) 1 ≤ x ≤ 3
=0 f(2) = 4
КАРТОЧКА 5. 1. а) находим P(f) и E(f); б) нули; в) критические точки; г) max и min; д) промежутки возрастания, убывания Для квадратичной функции y = ax2 + bx + c находим вершину (y′(x0) = 0). Если a > 0, то x ≤ x0 убывает, x ≥ x0 возрастает, а x0 – min; если a < 0, то наоборот. 2. f(x) = 2sin x – x ; f′(x) = 2cos x –1; y = 2sin x0 – x0 + (2cos x0 – 1)(x – x0); π x0 = ± +2πn 2cosx0 – 1 = 0; 3 1 3 3. f(x) = x – 9x + 10; x ∈ [0; 6]; f′(x) = x2 – 9; 3 x = ±3; f(0) = 10; f (3) = min = –8; f(6) = max = 28.
252
4. а) f(x) = 10 f′(x) = =
x−2 x2 + 5
;
10 x 2 + 50 − 20 x 2 + 40 x ( x 2 + 5)2
=
− 10( x 2 − 4 x − 5)
=0; xmax = 5, xmin = –1; ( x 2 + 5)2 f (x) возрастает на x ∈ [–1; 5]; убывает на x < –1, x > 5; 30 −30 =1; f(–1) = = –5; f(5) = 30 6 б) из рисунка видно, что f(x) > –4 при x < –2,5, x > 0.
КАРТОЧКА 6. 1. находите экстремумы, смотрите значения в них и в концевых точках отрезка. Что больше, то max. Что меньше, то min. 1 2. f(x) = x5 – x3 – 4x + 1 f′(x) = x4 – 3x2 – 4 = 0; x2 = 4 x = ±2; 5 f (x) убывает: x ∈ (–2; 2) возрастает на x < –2, x > 2. b 24 2 a = − ⎧ y′ = 24 − 4a = 0 ⎧2a + b = 24 ⎪ ; 3. ⎨ ; ⎨ . 2 a = 6 b = 12 S = 72 ⎪⎩ y = 24a − a ⎩ab = y 4. а) f(x) =
4x2 − 8x 4 x2 − 8x + 5
= 1−
5 (4 x 2 − 8 x + 5)
;
5(8 x − 8)
= 0 ; x = 1; ( 4 x 2 − 8 x + 5) 2 f (x) возрастает: x > 1; убывает: x < 1; 4−8 = –4; f(1) = xmin = 1; −4+5
f′(x) =
б)
f(x) =
4 x2 − 8x 4x2 − 8x + 5
;
Из рисунка видно, что x = 1 – критическая точка; (1; 4) – max.
253