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Cálculo Integral
Figura 2.61: Los conjuntos E y D del ejemplo 2.53 Descomponemos la corona circular D en cuatro regiones simples que no se solapan, según su intersección con cada cuadrante D1 = {(x, y) ∈ D : x ≥ 0, y ≥ 0} = T (E 1 ), donde E 1 = [1, 2] × [0, π/2] D2 = {(x, y) ∈ D : x ≤ 0, y ≥ 0} = T (E 2 ), donde E 2 = [1, 2] × [π/2, π] D3 = {(x, y) ∈ D : x ≤ 0, y ≤ 0} = T (E 3 ), donde E 3 = [1, 2] × [π, 3π/2] D4 = {(x, y) ∈ D : x ≥ 0, y ≤ 0} = T (E 4 ), donde E 4 = [1, 2] × [3π/2, 2π], y aplicamos la aditividad de la integral (teorema 2.28); ZZ
2 2
x y dx dy = D
4 ZZ X i=1
Di
2 2
x y dx dy =
4 ZZ X i=1
ZZ = E
r5 cos2 θ sin2 θ dr dθ =
Ei
2π 2 1 1 1 21 1 1 r5 sin2 2θ dr dθ = · r6 = π. 2θ − sin 4θ 4 4 6 2 8 14 0
2.7.11.
La gráfica de y = ϕ1 (x) es una curva simple
Lema 2.54 Si A y B son dos puntos distintos de una curva cerrada simple C, entonces C es la suma de dos curvas simples con extremos en A y en B Demostración: Tomemos una curva cerrada simple C, con parametrización c : [a, b] −→ Rn , y elijamos en ella dos puntos distintos, A = c(tA ), B = c(tB ). Sin pérdida de generalidad podemos suponer que a ≤ tA < tB ≤ b (82 ). Entonces la restricción de c al intervalo [tA , tB ] es parametrización de una curva simple C1 . Por otra parte, las restricciones de c a los intervalos [tB , b] y [a, tA ] son también dos caminos de clase C1 , que se pueden sumar. Llamemos C2 a su suma. C1 y C2 son dos curvas simples cuya suma es C y cuyos extremos son, en ambos casos, los puntos A y B.
Teorema 2.55 Si D es una región simple bidimensional en la dirección de las y, entonces el conjunto {(x, ϕ1 (x)) : a ≤ x ≤ b} ⊂ ∂D es una curva simple (notaciones como en la definición 2.18). 82
En caso de que el orden de recorrido de C mediante c fuera el contrario, cambiarı́amos c por la parametrización opuesta de c.