Теория подобия
Основные положения теории подобия
Подобие и его виды Процессы будут подобны друг другу, если существует некоторое соответствие сходственных величин рассматриваемых систем: положения точек, геометрических размеров, параметров систем и параметров процессов. Обычно соотношение подобия имеет вид
где , Pi , R - i сходственные параметры процессов и элементов рассматриваемых систем; - коэффициент подобия, или масштаб, сходственных параметров.
Подобие и его виды Полное подобие - подобие протекания во времени и в пространстве основных процессов, т.е. тех процессов, которые достаточно полно (для целей данного исследования) определяют изучаемое явление. Здесь подчеркивается, что речь идет именно об основных, т.е. имеющих для данной конкретной задачи существенное значение, процессах. Неполное подобие - подобие протекания процессов только во времени или только в пространстве. Приближенное подобие – подобие которое может быть как полным, так и неполным, характеризуется упрощающими допущениями, заведомо приводящими к искажениям, заранее оцениваемым как допустимые на основании дополнительных аналитических или экспериментальных исследований.
Первая теорема подобия Явления, подобные в том или ином смысле (физически, математически, кибернетически и т. д.), имеют некоторые одинаковые сочетания параметров, называемые критериями подобия. Рассмотрим варианты и условия применения первой теоремы. Допустим, что изучаются два процесса, описываемые уравнениями, члены которых являются однородными функциями параметров или их производных: для первого процесса где
1 2 ... n j 0
для второго процесса где
n
(1)
1
j f ( P1 , P2, ...Pm ) n
(2)
1 2 ... n j 0
(3)
j f ( R1 , R2, ...Rm )
(4)
1
Первая теорема подобия Уравнения (1) и (3) можно привести к безразмерному виду делением:
1 2 1 n n 1 1 2 n n
n 1 n 1 j 1 0 n 1 n n 1 n 1 j 1 0 n 1 n
В уравнениях (2) и (4) P1 и R1 , P2 и R2 , … , Pm и Rm - сходственные параметры, причем поскольку процессы подобны, то
P1 m1R1
, P2 m2 R2
где m -коэффициент подобия.
, … ,
Pm mm Rm
Первая теорема подобия После подстановки этих соотношений можно вследствие однородности функции j вынести масштабы m1 , m2 , … , mm в соответствующих степенях за знак функции в виде общего множителя:
j f ( P1 ,..., Pm ) f (m1R1,..., mm Rm ) N j f ( R1,..., Rm ) N j j или
j N j j где
j 1, n
При подстановке в уравнение получим
1
N N1 1 N 2 2 ... n1 n1 0 Nn n Nn n Nn n
Напомним, что вследствие однородности общие множители N j для каждого члена j равны, т.е.
N1 N2 ... Nn
и
N N1 N 2 ... n 1 1 Nn Nn Nn
Первая теорема подобия
Это означает, что между соответствующими членами уравнений существуют соотношения:
1 1 , n n
2 2 n n
n 1 n 1 n n
, …. ,
Обобщая полученные результаты на
s
подобных процессов, получаем
(1) (2) (j s ) j j ... ( s ) idem , n(1) n(2) n
s 1, n
где idem означает: "соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов".
Критерии подобия
Выявленные выше отношения членов уравнения, представляющие собой безразмерные комбинации параметров, численно одинаковые для всех подобных процессов, называются критериями подобия. Обозначая критерии подобия буквой , можно дать краткую формулировку прямой, или первой, теоремы: у всех подобных явлений idem . Это достаточное условие, выявляющее существование подобия. Описанное нами ранее выявление критериев подобия, содержащие операции, называют нахождением критерия подобия путем анализа уравнений процесса.
Преобразование критериев подобия Практически важное свойство критерия подобия заключается в следующем: критерии подобия любого явления могут преобразовываться в критерии другой формы, получаемые за счет операций перемножения или деления критериев, возведения их в степень или умножения на любой постоянный коэффициент k . В самом деле, если какие-либо значения k idem , k 1 idem являются критериями, то в соответствии с определением подобия
k k j idem k idem k j
1
k
idem
k k idem
Подобие процессов, описываемых уравнениями, содержащими неоднородные функции
Для таких условий масштабный коэффициент нельзя вынести за знак функций и преобразование, аналогичное приведенному на предыдущем слайде, оказывается невозможным. Если при этом подобие процессов существует, то аргументы неоднородных функций должны быть равны и являться также критериями подобия. Например, для
j K sin axy
и
j K sin AXY
подобие процессов требует равенства
axy AXY idem
Подобие процессов, описываемых интегральными и дифференциальными уравнениями Соотношения пропорциональности, используемые при установлении подобия, справедливы на любых (малых и больших) участках изменения исследуемых функций. Поэтому, если в членах исходных уравнений содержатся символы дифференцирования и интегрирования, то (поскольку они не имеют размерности) при нахождении условий подобия их можно опустить:
d n (mx x) mx d n ( x) n d (mt t ) mtn dt или
m xdx m xdx
и
x
x
m xd (m y) m m xdy x
y
x
y
Отсюда появляется правило интегральных аналогов, согласно которому при установлении условий подобия в уравнениях, используемых для выявления dn 1 подобия, можно заменить на и n dx n x
xdy
на xy
Вторая теорема подобия ( - теорема) Эта теорема, известная также под названием -теоремы, гласит: всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т.е. уравнением, связывающим безразмерные величины, полученные из участвующих в процессе параметров. Теорема позволяет произвести своего рода замену переменных, сократив их число с размерных величин до безразмерных величин, и тем самым перейти к записи уравнений процессов в критериальной форме. При этом весьма упрощается обработка аналитических и экспериментальных исследований, так как связи между безразмерными -критериями подобия, как правило, выявляются проще, чем связи между обычными именованными величинами. Согласно выводам теоремы переход к безразмерным соотношениям (связывающим критерии) позволяет распространять результаты аналитического или экспериментального исследования, проведенного применительно к конкретному явлению, на целый ряд подобных явлений. При этом можно находить критериальные соотношения, не имея математического описания процесса в виде уравнения, а зная все участвующие в процессе величины и их размерности.
Вторая теорема подобия ( - теорема)
Пусть существующие связи между параметрами процесса и параметрами элементов системы, в которой этот процесс протекает, можно представить так: f ( P1 , P2 ,..., Pi ,..., Pk ,..., Ps ,..., Pm ) 0 (5) Для удобства последующих выкладок будем считать, что
1 i k , k 1 s m
.
Зависимость (5), до тех пор пока она учитывает все связи между входящими в нее величинами, т.е. является полной зависимостью, не может изменяться при любом изменении единиц измерения физических величин. Это очевидное правило нарушается, если уравнение отражает не все зависимости между переменными, а только некоторые частные зависимости, справедливые при определенных условиях.
Вторая теорема подобия ( - теорема)
Если часть величин в уравнении (5) считать постоянными, то, определив их величину применительно к какому-либо частному случаю, можно записать уравнение в виде:
f ( P1 , P2 , P3 , K ) 0 где
K const .
Это уравнение будет неполным, зависящим от системы единиц, но переходящим в полное, если раскрыть функциональную связь:
K f1 ( P4 ,..., Pm )
Вторая теорема подобия ( - теорема) В качестве простейшего примера можно привести известное уравнение Гей-Люссака, связывающее объем газа V и температуру :
V K Это уравнение будет неполным, зависящим от системы единиц, если под K понимать некоторую постоянную численную величину. Однако оно перейдет в полное уравнение, если, раскрыв зависимость K от давления p и универсальной газовой постоянной R , записать
R V ( ) p Не вдаваясь в подробности многочисленных дискуссий по этому вопросу, укажем, что любое неполное уравнение становится полным, если рассматривать коэффициент пропорциональности как величину, имеющую размерность и изменяющуюся при изменении единиц измерения. Все полные уравнения удовлетворяют принципу однородности, требующему, чтобы все члены j физического уравнения имели одинаковую размерность.
Вторая теорема подобия ( - теорема) -Теорема касается только процессов, отражаемых полными уравнениями
и записанных в определенной системе единиц. Уравнение (5) полное, а следовательно, и однородное, поэтому все входящие в него параметры можно выразить в относительный единицах, т.е. в долях от некоторых выбранных величин P01 , P02 , … , P0m , имеющих соответственно те же размерности, что и P1 , P2 , … , Pm . Тогда (5) можно записать следующим образом
Pi Pk Pk 1 Ps Pm P1 P2 f( , ,..., ,..., , ,..., ,..., )0 P01 P02 P0i P0 k P0 k 1 P0 s P0 m
(6)
Однако не все величины P01 , P02 , … , P0m можно выбирать произвольно. Например, выбрав величины, измеряющие ток и напряжение, уже нельзя произвольно выбрать величину, измеряющую сопротивление или мощность. Можно установить, какое количество независимых величин P01 , P02 , … , P0k выбирается из общего множества величин P01 , P02 , … , P0m и найти способ выбора остальных, рассмотрев формулы размерностей всех величин, входящих в соотношение (6).
Вторая теорема подобия ( - теорема) Каждую величину, входящую в уравнение (6), можно представить в виде произведения ее числового значения {P} на измерения [ p ] данной величины:
P {P}[ p]
Пусть в выбранной системе единиц имеется k q основных единиц измерения. Обозначая их через a, b, c,..., q, запишем выражения единиц измерения всех участвующих величин, т.е. их формулы размерностей:
[ p1 ] [a1 b1 ...q1 ] [ p01 ] [ p2 ] [a2 b2 ...q2 ] [ p02 ] [ pi ] [ai bi ...qi ] [ p0i ]
[ pk ] [ak bk ...qk ] [ p0k ]
[ ps ] [as bs ...qs ] [ p0 s ] [ pm ] [am bm ...qm ] [ p0m ]
где , ,..., - некие числа.
(7)
Вторая теорема подобия ( - теорема) Сделанное выше предположение, что единицы измерения [ p01 ],...,[ p0 m ] независимы, означает, что формула размерностей любой из этих единиц не может быть представлена как комбинация (полученная посредством умножения или деления) из формул размерностей остальных независимых единиц. При этом для независимости требуется неравенство нулю хотя бы одного определителя D составленного из показателей, степени основных (1,..., k ) единиц, входящих в (7). Порядок определителя D не превышает числа основных единиц (в нашем случае q ). Число независимых единиц k , с помощью которых измеряются величины [ P0i ], не может быть больше q . Однако возможны случаи, когда k q . При этом число независимых единиц можно найти, последовательно рассмотрев определители порядка (q 1) -го, (q 2) -го и т.д. Число независимых единиц равно порядку того определителя, который первым окажется не равным нулю. Дальнейшие рассуждения будем вести применительно к случаю, когда k q.
Вторая теорема подобия ( - теорема) Поскольку k единиц измерения величин P0 являются независимыми, то остальные m k единиц и соответственно величин [ P0 ] будут являться их функциями, т.е.
[ p0k 1 ] k 1 ([ p01 ],[ p02 ],...,[ p0i ],...,[ p0k ]) [ p0 s ] s ([ p01 ],[ p02 ],...,[ p0i ],...,[ p0k ])
(8)
[ p0m ] m ([ p01 ],[ p02 ],...,[ p0i ],...,[ p0k ])
Покажем, что это действительно так. Для этого прологарифмируем первые k уравнений (7), в результате чего получим систему k линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
ln[ p01 ] 1 ln[a] 1 ln[b] ... 1 ln[q] ln[ p02 ] 2 ln[a] 2 ln[b] ... 2 ln[q]
ln[ p0i ] i ln[a] i ln[b] ... i ln[q] ln[ p0k ] k ln[a] k ln[b] ... k ln[q]
(9)
Вторая теорема подобия ( - теорема) Решая эту систему относительно ln[a],ln[b],...,ln[q] и потенцируя полученные выражения, находим:
[a] [ p01 ]A11 D [ p02 ]A21 D ...[ p0i ]Ai1 D ...[ p0k ]Ak1 D
Здесь
[b] [ p01 ]A12 D [ p02 ]A22 D ...[ p0i ]Ai 2 D ...[ p0k ]Ak 2
D
[q] [ p01 ]A1k D [ p02 ]A2 k D ...[ p0i ]Aik D ...[ p0k ]Akk
D
1 2 D i k
1 2 i k
(10)
... 1
... 2 ... i ... k - определитель k -го порядка, составленный из коэффициентов системы (9); A11 , A21 … Ak 1 ; A12 , A22 … Ak 2 ; A1k , A2k … Akk - адъюнкты элементов определителя D (первый индекс соответствует номеру строки, второй номеру столбца).
Вторая теорема подобия ( - теорема) Подставив выражения (10) в последние m k уравнений системы (7) от (k 1) -го до m -го, получим m k выражений для величин, участвующих в процессе и представленных теперь через произвольно выбранные (ранее) величины p01 ,..., pok . Так, например, для pok 1 будем иметь k 1
[ pok 1 ] [ p01
A11 D
] ...[ p0 k
k 1
Ak 1 D
k 1
] [ p01
A12 D
] ...[ p0 k
k 1
]
Ak 2 D
k 1
...[ p01
A1k D
] ...[ p0 k
k 1
]
Akk D
Для любой величины от pok 1 до p0m , т.е. для p0s , где s k 1,..., m, можно записать соответствующие выражения. Далее после группировки в правых частях величин с одинаковыми нижними индексами на основании вышестоящего выражения запишем D1 s D
[ P0 s ] [ P01 ] [ P02 ]
D2 s D
Dis D
...[ P0i ] ...[ P0k ]
Dks D
(11)
Вторая теорема подобия ( - теорема) Легко видеть, что (11) имеет точно такую же структуру, что и (8), причем, например, для [ p0 s ]
s
D1s Dis Dks ;...; s ;...; s . D D D
Значения величин D js , где j 1,..., k , s k 1,..., m, могут быть легко найдены из определителя D после замены в нем j -й строки на строку, составленную из показателей степени s , s,..., s величин [ P0 s ]s k 1,...,m . Если среди m участвующих в уравнении (6) величин имеется k независимых ( P01 ,..., P0i ,..., P0k ) , выбираемых произвольно, то остальные m k величин ( P0k 1,..., P0s ,..., P0m ) являются согласно (8) произведениями выбранных независимых величин в соответствующих степенях s ,..., s , где s k 1,..., m .
Вторая теорема подобия ( - теорема) С учетом (8) можно переписать (6) в виде
f(
P P P P Pm P1 ,..., i ,..., k , k 1 kk11 k1 ,..., s ss ,..., )0 s m m m P01 P0i P0 k P01 P02 ...P0k P01 P02 ...P0k P01 P02 ...P0 k
Поскольку k независимых величин можно принять, что P01 P1 ; P 02
P0
выбираются произвольно, то
P2 ; P0k Pk
.
При этом (6) примет вид, отвечающий сформулированной выше второй теореме подобия
f1 (1,1,...,1, 1 , s k , mk ) 0 где значения 1 ,..., mk - критерии подобия:
1
Pk 1 Ps Pm ; ; s k m k P1 k 1 P2k1 ...Pkk1 P1 s P2s ...Pks P1 P2 ...Pk m
m
m
.
Вторая теорема подобия ( - теорема) Величины , ,..., показывают, какой показатель степени (критериальный показатель) имеет та или иная величина, входящая в критерий подобия. Единицы измерения числителей и знаменателей всех критериев равны, так как или
Ps s s s 1 P1 P2 ...Pk
Ps P1 P2 s
s
... Pk s
Подставляя в записанное равенство основные единицы измерений, получим as bs ...qs (a1 b1 ...q1 )s ...(a2 b2 ...q2 ) s ...(ak b k ...qk )s , откуда следует, что
s 1 s 2 s ks s 1 s 2 s k s
s 1 s 2 s ks
Вторая теорема подобия ( - теорема) Полученные выше k соотношений дают связь между известными показателями размерности основных единиц измерения (1 ,..., s ) и искомыми критериальными показателями ( ,..., ) . Очевидно, что можно найти их численные значения непосредственно из приведенной выше системы уравнений или, как было показано выше. Приведенный анализ показывает, что физический процесс математически отражается функцией m k безразмерных соотношений - критериев подобия . Всякое уравнение, дающее связь между m участвующими величинами, представленное в критериальной форме ( f1 (1,1,...,1, 1 , s k , mk ) 0 ), будучи разрешено относительно какого-либо критерия подобия (например, ), позволяет выразить его как функцию m k 1 критериев подобия:
1 ( 2 , 3 ,..., mk )
Вторая теорема подобия ( - теорема) Значения критериев являются одинаковыми для любого количества подобных процессов, протекающих в разных системах, сходственные параметры которых пропорциональны . В самом деле, исходное соотношение (6) не накладывает никаких ограничений на значения P1 , P10 , P2 , P20 и т.д. Следовательно, и для процесса, параметры которого R1 m1 P1 , R2 m2 P2 , … очевидно будут справедливы все выкладки и все соотношения от (6) и т.д., если только R10 m1P10 , R m P и т.д. 20
2 20
Критериальное уравнение. Соотношение вида
1 ( 2 , 3 ,..., mk )
представляющее собой математическую формулировку -теоремы, называется критериальным уравнением. Оно показывает, что один из m k критериев подобия является функцией остальных m k 1 критериев. Таким образом, число величин, определяющих характер процесса при критериальной форме записи, уменьшается на k 1. Независимых критериев оказывается m k 1 . В данном случае это 2 , 3 ,..., mk . 1 Зависимый критерий, при соблюдении независимых критериев выполняющийся автоматически.
Третья теорема подобия
Эта теорема формулирует условия, необходимые и достаточные для практической реализации подобия. Согласно формулировке, данной Кирпичевым - Гухманом, она утверждает: для подобия явлений должны быть соответственно одинаковыми определяющие критерии подобия и подобны условия однозначности. При этом под определяющими критериями поднимаются критерии, содержащие те параметры процессов и системы, которые в данной задаче можно считать независимыми (время, длина и т.д.); под условиями однозначности понимается группа параметров, значения которых, заданные в виде чисел или функциональных зависимостей, выделяют из всего возможного многообразия явлений данного вида конкретное явление.
Дополнительные положения теории подобия Первое дополнительное положение. О подобии сложных систем. Подобие ( ) сложных систем ( A B) , состоящих из нескольких подсистем, соответственно подобных в отдельности (a b, a b,...) , обеспечивается подобием всех сходственных элементов, являющихся общими для подсистем. Общая часть подсистем может при этом рассматриваться как самостоятельная система, число критериев подобия которой может определяться согласно -теореме, а условия создания подобия - согласно третьей теореме. Первое дополнительное положение иногда удобно сформулировать в следующей форме: две независимые системы (a, a) , по отдельности подобные двум другим (b, b) системам, будучи сходственно соединены друг с другом через третьи системы (c, d ) , образуют две новые, сложные системы ( A и B), которые будут подобны, если только соединяющие системы подобны друг другу ( c подобна d ). При этом в соединяющие системы входят как общие элементы соединяемых систем, так и элементы, относящиеся только к системам соединения.
Дополнительные положения теории подобия
Из приведенной формулировки следует, что если в какой-либо системемодели системе-модели присоединить натуральные устройства регуляторов, защитные и измерительные приборы и другую аппаратуру, то системамодель, включающая эти устройства, будет подобна системе-оригиналу при условии сохранения подобными условий их присоединения. Часто подобие условий присоединения выдерживается только приближенно, обеспечивая подобие потребляемой мощности и тех входных данных, которые являются наиболее существенными для конкретного изучаемого процесса. Следствие первого дополнительного положения. Подобные системы остаются подобными после любых упрощений, если только эти упрощения были проведены в системах ( A и B ) соответственно одинаково.
Дополнительные положения теории подобия
Второе дополнительное положение. О подобии нелинейных систем. Все теоремы и условия подобия, справедливые для систем различной сложности, могут быть распространены на линейные системы или системы с переменными параметрами, если выполняются условия совпадения относительных характеристик сходственных параметров, являющихся нелинейными или переменными. Пусть относительная характеристика имеет вид
P*í *0 ( P*i )
где величины со звездочкой - относительные значения, выраженные в долях от некоторого характерного - базисного - параметра ( Pá ) .
Дополнительные положения теории подобия Рассмотрим два процесса, которые в предположении о линейности характеризуются уравнениями
f1 ( P1 , P2 ,..., Pk ,..., Pm ) 0;
1 ( R1 , R2 ,..., Rk ,..., Rm ) 0. В критериальной форме процессы имеют выражение f (1 , 2 ,..., mk ) 0 . Для любого критерия справедливо соотношение:
mk
Rm Pm . m m m m m m R1 R2 ...Rk P1 P2 ...Pk
Предположим, что Rm и Pm не линейны, т.е. Rm ( Ri ) и Pm Преобразовав к безразмерному виду, имеем: R ( R ) R и Pm *0 ( P*i ) Pá . m
*0
*i
( Pi ) .
á
В силу наличия подобия характеристик Pá Pá Rm при *0 ( Ri ) *0 ( Pi ) подобие не нарушается.
Pm и, следовательно,
Дополнительные положения теории подобия
Третье дополнительное положение. О подобии анизотропных или неоднородных систем. Условия подобия, справедливые для изотропных систем, которые характеризуются одинаковостью физических свойств (электропроводность, теплопроводность, упругость и т.п.) по всем координатам ( x, y, z ) внутри данной системы, могут быть распространены и на анизотропные системы, имеющие неодинаковые свойства по различным направлениям. При этом относительные анизотропии в сравниваемых системах должны быть соответственно одинаковы. Условия подобия, справедливые для однородных систем, могут быть распространены и на неоднородные в том или ином смысле системы, если только относительная неоднородность в сравниваемых системах соответственно одинакова.
Дополнительные положения теории подобия
В свою очередь, однородные системы или их элементы обладают одинаковыми по величине физическими параметрами. Например, однородная линия электропередачи имеет по всей длине один и тот же диаметр проводов, одно и то же расстояние между проводами и т. д.; неоднородная линия имеет различные величины сходственных параметров. Если система обладает неоднородностью, зависящей от параметров процесса (или анизотропией), то ее можно рассматривать как нелинейную систему с параметрами, изменяющимися во времени и в пространстве или только в пространстве. Третье дополнительное положение в этом случае не является принципиально отличным от второго. Подход к установлению условий подобия систем, обладающих неоднородностью и анизотропией, остается в любом случае таким же, как и подход к нелинейным системам.
Дополнительные положения теории подобия
Четвертое дополнительное положение. О подобии физических явлений при отсутствии геометрического подобия. В системах, геометрически не подобных, но имеющих нелинейное подобие пространства (подобных, например, аффинно), процессы могут быть физически подобны, имея в сходственных пространства подобные изменения параметров процесса.