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“ A mi esposa Diana Carolina y a mis hijos, María Antonia y Samuel, la razón de mi existir, a quienes prometo compensar el tiempo dedicado al desarrollo de este libro”.

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ACERCA DEL AUTOR: LEONARDO SAMPAYO NAZA, administrador y especialista en finanzas de la Universidad Externado de Colombia y master of art in economics de la UNED. Lleva en la sangre sus dos pasiones: las finanzas y la docencia. Se ha desempeñado como profesor de pregrado y posgrado en el área financiera por casi 20 años. Actualmente es dueño de la empresa Sam Supplier Consulting Group, dedicada a la capacitación empresarial, además de la empresa Camaleons, enfocada en el diseño, elaboración y administración de simuladores gerenciales. Ha escrito libros como: Manual de operaciones financieras, Taller de operaciones financieras, Matemáticas financieras para NIIF y Matemáticas financieras en 20 lecciones.

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AGRADECIMIENTOS Indudablemente, la realización de este libro no habría sido posible sin el apoyo y los ánimos de una serie de personas y amigos. Quisiera comenzar agradeciendo a la Facultad de Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales de la Universidad Externado de Colombia, en cabeza de nuestro decano, el doctor Roberto Hinestrosa Rey, y su equipo directivo: Clara Rey y Juan Pablo Mejía Calle, quienes constantemente manifestaron su apoyo para el desarrollo de este libro. Un agradecimiento muy especial a mis colaboradoras Laura Junca y Natalia Hernández, quienes con su trabajo, esfuerzo y dedicación fueron fundamentales en la revisión del texto. A mi maestro Luis Eduardo Mesa Guzmán por darme a conocer el maravilloso mundo de las finanzas. A los profesores Manuel De la Ossa, Diego Luengas, Esperanza Ardila, Fanny Hernández, Hernán Quintanilla, que a través de sus comentarios, opiniones, recomendaciones y estrategias me orientaron en todo momento. Gracias a mi amiga Elisa Priedrahita, que siempre me insistió en que debía plasmar mis métodos y estrategias de clase en un libro. A mis alumnos, que a lo largo de los años me han formado como docente y de quienes sigo aprendiendo cada día. Gracias a mi familia, a mi esposa e hijos; a mis padres y hermanos, tíos, primos y abuelas; pues ustedes me dan la fuerza, el apoyo, la comprensión y el amor necesario para seguir adelante. A todos de corazón mil y mil gracias…

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PRESENTACIÓN La presente obra se compone de dos partes: el “Manual de operaciones financieras” y el “Taller de operaciones financieras”. Por un lado, el “Manual de operaciones financieras” funciona como un texto guía, en el que se encontrarán los conceptos fundamentales y las explicaciones detalladas de cada tema, junto con el planteamiento, la explicación y el desarrollo, paso a paso, de sus respectivos ejemplos, a través del método manual, el uso de calculadoras programables, de la calculadora financiera y de la hoja de cálculo de Excel. Por otro lado, el “Taller de operaciones financieras” funciona como libro de trabajo, donde se encontrarán una gran cantidad de ejercicios que le permitirán al lector adquirir las habilidades necesarias para profundizar su aprendizaje. Esta parte contiene dos tipos de ejercicios: los asistidos y los de verificación; los ejercicios asistidos no solo contienen las respuestas sino también su respectivo planteamiento, permitiendo identificar los errores a la hora de desarrollar el ejercicio; mientras que los ejercicios de verificación se parecen a los asistidos, pero solo presentan las respuestas, con el objetivo de que el lector realice su propia evaluación. El “Manual de operaciones financieras” se compone de 4 capítulos: Capítulo 1: El interés simple. Capítulo 2: El interés compuesto. Capítulo 3: Las anualidades. Capítulo 4: Los gradientes. Cada capítulo se encuentra dividido en 3 niveles: Un nivel básico, conformado por los conceptos, las programaciones, las formulaciones y la solución de problemas esenciales. Un nivel intermedio que brinda las herramientas necesarias para la solución de problemas complejos, requiriendo el uso de las identidades financieras o ecuaciones de valor. Finalmente, un nivel avanzado, donde se pondrán a prueba todas las habilidades y destrezas adquiridas en los niveles anteriores, además de un alto grado de concentración. El objetivo es partir de lo sencillo y gradualmente llegar a lo complejo. A lo largo del libro se hará referencia al concepto de identidad financiera, que no es más que la clásica ecuación de valor. Sin embargo, con el objetivo de facilitar el aprendizaje, se optó por dividirla en niveles, de acuerdo con su grado de dificultad: Identidad financiera nivel 1: Donde se resolverán problemas complejos que involucran el concepto de interés simple. Identidad financiera nivel 2: Donde se resolverán problemas complejos que involucran el concepto de interés compuesto. Identidad financiera nivel 3: Donde se resolverán problemas complejos que involucran el concepto de anualidades clásicas.

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Identidad financiera nivel 4: Se resolverán problemas complejos que mezclan anualidades con diferentes periodicidades. Identidad financiera nivel 5: Se resolverán problemas complejos que mezclan anualidades con diferentes tasas de interés. Identidad financiera nivel 6: Se resolverán problemas complejos que mezclan anualidades con diferentes periodicidades y diferentes tasas de interés. Identidad financiera nivel 7: Se resolverán problemas complejos que involucran el concepto de gradientes clásicos. Identidad financiera nivel 8: Se resolverán problemas complejos que mezclan gradientes con diferentes periodicidades. Identidad financiera nivel 9: Se resolverán problemas complejos que mezclan gradientes con diferentes tasas de interés. Identidad financiera nivel 10: Se resolverán problemas complejos que mezclan gradientes con diferentes periodicidades y diferentes tasas de interés. El libro contiene una gran cantidad de ejercicios que manejan fechas, buscando acercarse de esta manera a la realidad. Adicionalmente, se resolverán los problemas manejando la memoria de la calculadora, con el objetivo de respetar los decimales y así obtener un resultado más exacto, sobre todo en la conversión de tasas. Muchos de los problemas son resueltos con una técnica inédita de flujo de caja que permitirá la solución de ejercicios de una forma rápida y eficiente, al minimizar las probabilidades de cometer errores en la solución de problemas complejos y extensos. El texto utiliza un lenguaje del día tras día, de fácil comprensión y libre de tecnicismos que agradan al oído, pero que perjudican la comprensión. Por esta razón, se buscó elaborar una herramienta que se adecúe a las necesidades del lector, el cual podrá administrar su ritmo de aprendizaje con completa autonomía, de acuerdo con sus capacidades y posibilidades, así como sus objetivos. Sus aportes son muy valiosos, todo comentario, sugerencia, recomendación, corrección o simplemente si desea interactuar con el autor, podrá escribir al correo:

manualdeoperacionesfinancieras@hotmail.com Bienvenido a esta aventura que, sin duda alguna, será la base para alcanzar la inteligencia financiera. LEONARDO SAMPAYO NAZA

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EL INTERÉS SIMPLE

1.1 NIVEL BÁSICO INTERÉS SIMPLE En el nivel básico estudiaremos el concepto de interés simple, la ecuación fundamental, su clasificación, el descuento real, el descuento comercial bancario y la tasa verdadera que se cobra en una operación de descuento simple.

1.1.1 Concepto de interés simple El interés simple es aquel que se calcula teniendo como base el valor inicial de la inversión; la base nunca cambia puesto que no existe la capitalización de intereses. Este tipo de interés tiene poca aplicación en la práctica, por tal razón se abordarán solo los conceptos básicos. Ejemplo 1.1: Una persona invierte 100 pesos a un plazo de 4 años y a una tasa de interés simple del 10% anual. Calcular el valor final de la inversión y la rentabilidad. Solución:

Valor inicial: $100

Año 1 2 3 4 Tasa 10% 10% 10% 10% Interés $ 10 $ 10 $ 10 $ 10 Acumulado $ 110 $ 120 $ 130 $ 140

Valor final: $140

La tasa de interés es del 10% durante los 4 años. Los intereses se calculan multiplicando el valor inicial de la inversión por la tasa de interés: $100 x 10% = $10. Obsérvese que durante los 4 años el interés es el mismo, ya que los intereses se calcularon teniendo como referencia el valor inicial de la inversión. El valor acumulado se calcula tomando para el primer año el valor inicial más los intereses ganados: $100 + $10 = $110. Para el segundo año se toma el valor acumulado más los nuevos intereses ganados en ese período: $110 + $10 = $120. Para el tercer año, se toma el valor acumulado más los

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nuevos intereses ganados en ese período: $120 + $10 = $130. Finalmente, para el cuarto año se toma el valor acumulado más los nuevos intereses ganados en ese período: $130 + $10 = $140. Respuesta: $ 140, es decir, que se obtuvo una rentabilidad del 40%.

1.1.2 Ecuación fundamental del interés simple El interés simple se calcula tomando el valor presente de la inversión, multiplicado por la tasa de interés y por el tiempo, es decir:

I = VP x N x i Donde: I: Interés simple. Corresponde a los intereses en pesos que se obtienen al realizar una inversión. VP: Valor presente. Cuando hablamos de una inversión, corresponde al valor que se invierte; por ejemplo, cuando hablamos de un crédito corresponde al préstamo que se solicita. N: Tiempo. Se refiere al tiempo durante el cual se realiza una inversión o el plazo de un préstamo. i: Tasa de interés. Corresponde al porcentaje ofrecido en una inversión o que se cobra en un préstamo. En el ejemplo 1.1 el valor de los intereses ganados en la inversión se pueden calcular utilizando la ecuación I = VP x N x i, de esta manera I = 100 x 4 x 0,1 = 40. Es decir, que se ganaron $40 de intereses. Cuando se realiza una inversión, no solo se reciben los intereses generados, sino también el valor de la inversión. Por tal razón VF = VP + I. Si remplazamos los intereses I = VP x N x i en la ecuación VF = VP + I, nos queda: VF = VP + (VP x N x i), luego sacamos factor común. De esta manera la ecuación básica del valor del dinero en el tiempo, cuando se habla de interés simple, es la siguiente:

VF = VP x (1+(N x i)) Donde: VF: Valor final o monto. Cuando hablamos de una inversión, corresponde al valor que retorna dicha inversión; cuando hablamos de un crédito, corresponde al valor por cancelar para pagar una obligación. VP: Valor presente. Cuando hablamos de una inversión, corresponde al valor que se invierte; cuando hablamos de un crédito corresponde al préstamo que se solicita.

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N: Tiempo. Corresponde al tiempo durante el cual se realiza una inversión o el plazo de un préstamo. i: Tasa de interés. Corresponde al porcentaje ofrecido en una inversión o que se cobra en un préstamo. En el ejemplo 1.1 el valor futuro de la inversión se pudo haber calculado utilizando la ecuación VF = VP x (1+(N x i)), de esta manera VF = 100 x (1 + (4 x 0,10)), es decir, que al final se reciben $140.

La fórmula puede ser programada en cualquier calculadora habilitada para dicha acción y, en ese caso, la fórmula se introduce de la siguiente manera:

VF = VP x (1+(N x (i÷100))) Si se programa la fórmula de esta manera, la tasa se introduce sin dividir entre 100. NOTA 1: PARA INGRESAR UNA FÓRMULA EN LA CALCULADORA FINANCIERA HEWLETT PACKARD SE INGRESA AL MENÚ RESOL O SOLVE, INGRESAMOS A NVO O NEW E INTRODUCIMOS LA FÓRMULA HACIENDO UN CORRECTO BALANCEO DE LOS PARÉNTESIS, GUARDAMOS LA FÓRMULA Y LE PREGUNTAMOS CALC. ASIGNAMOS VALORES A CADA UNA DE LAS VARIABLES Y AL FINAL LE PREGUNTAMOS LA INCÓGNITA.

NOTA 2: PARA UTILIZAR LA ECUACIÓN DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO DEL INTERÉS SIMPLE, DEBEMOS TENER PRESENTE QUE EL TIEMPO Y LA TASA DEBEN ESTAR EXPRESADAS EN LA MISMA UNIDAD DE MEDIDA. EN CASO DE QUE EL TIEMPO Y LA TASA DE INTERÉS NO MANEJEN LA MISMA PERIODICIDAD, EL PROBLEMA SE PUEDE RESOLVER MEDIANTE UNA REGLA DE 3, YA SEA CAMBIANDO EL TIEMPO, CAMBIANDO LA TASA O CAMBIANDO AMBOS. TENGA PRESENTE QUE LO ANTERIOR SOLO OCURRE PARA EL INTERÉS SIMPLE Y EL INTERÉS CONTINUO, Y NO PARA EL INTERÉS COMPUESTO.

1.1.3 Clasificación del interés simple La clasificación del interés simple está dada en la forma en cómo se utiliza la variable tiempo en la ecuación fundamental: Interés bancario: (Días reales/360). Se habla de interés bancario cuando en los cálculos se cuenta el número de días entre una fecha y otra utilizando un calendario, teniendo en cuenta inclusive los años que son bisiestos y se asume que todos los años tienen como base solo 360 días. Interés comercial: (30/360). Se habla de interés comercial cuando en los cálculos se cuenta el número de días entre una fecha y otra, asumiendo que todos los meses del año tienen 30 días y que todos los años tienen como base 360 días. MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS - LEONARDO SAMPAYO NAZA

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Interés exacto: (Días reales/365-366). Se habla de interés exacto cuando en los cálculos se cuenta el número de días entre una fecha y otra utilizando un calendario, teniendo en cuenta incluso los años que son bisiestos y que todos los años tienen como base 365 días, excepto cuando hay año bisiesto y se debe trabajar con 366 días. Interés base 365: (Días reales sin bisiesto/365). Se habla de interés base 365 cuando en los cálculos se cuenta el número de días entre una fecha y otra, utilizando un calendario sin tener en cuenta los años que son bisiestos y se asume que todos tienen como base 365 días. Ejemplo 1.2: El día 26 de enero de 2012 una persona invierte la suma de $35.000. Dicho dinero permanece en un fondo de inversión que ofrece una rentabilidad del 12% anual simple hasta el día 15 de junio de 2012, fecha en la cual retira los recursos invertidos con sus respectivos intereses. Calcular el valor final de una inversión suponiendo: A. B. C. D.

Interés bancario. Interés comercial. Interés exacto. Interés base 365.

Solución: Con el fin de facilitar los cálculos entre una fecha y otra, se recomienda utilizar cualquier calculadora que maneje un menú de fecha o de calendario, o también se puede utilizar una hoja de cálculo. A. Interés bancario Entre el 26 de enero de 2012 y el 15 de junio de 2012 hay un total de 141 días, ya que el 2012 es un año bisiesto. Operación entre fechas reales utilizando hoja de cálculo: Simplemente se realiza una resta entre la fecha final y la fecha inicial.

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A Fecha inicial Fecha final

B 26 de enero de 2012 15 de junio de 2012 DÍAS REALES

C 26/01/2012 15/06/2012 141,00 =C2-C1

Operación entre fechas utilizando calculadora financiera: Se debe ingresar al menú CALE y luego CALC, posterior a ello, un mensaje en la pantalla indicará las opciones DD.MMAAAA o MM.DDAAAA. Si se quiere ingresar el 26 de enero de 2012, se introduce 26.012012 o 01.262012 según el mensaje en FECH1 y se introduce el 15 de junio de 2012 así: 15.062012 o 06.152012, en FECH2.

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Como estamos calculando el número de días reales entre fecha y fecha, debemos preguntar la opción DÍAS, dando como resultado 141. De esta forma: VP = N= i= VF =

$35.000 141/360 años (Días reales/360 por ser interés bancario) 12% simple anual ???

VF = VP x (1 + (N x i)) VF = 35.000 x (1 + ((141/360) x 0,12)) VF = 36.645

B. Interés comercial Entre el 26 de enero de 2012 y el 15 de junio de 2012 hay un total de 139 días, asumiendo que todos los meses tienen 30 días. Operación entre fechas base 360 utilizando hoja de cálculo: Recuerde que en este sistema se asume que todos los meses tienen 30 días. Se calcula el número de días utilizando la función DÍAS360.

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A Fecha inicial Fecha final

B 26 de enero de 2012 15 de junio de 2012 DÍAS BASE 360

C 26/01/2012 15/06/2012 139,00 =DÍAS360 (C1;C2)

Operación entre fechas utilizando calculadora financiera: Se debe ingresar al menú CALE y luego CALC, posterior a ello, un mensaje en la pantalla indicará las opciones DD.MMAAAA o MM.DDAAAA. Si se quiere ingresar el 26 de enero de 2012 se introduce 26.012012 o 01.262012 según el mensaje en FECH1 y se introduce el 15 de junio de 2012 (15.062012 o 06.152012) en FECH2. Como estamos calculando el número de días base 360 entre fecha y fecha, debemos preguntar la opción 360D, dando como resultado 139. De esta forma: VP = $35.000 N= 139/360 años (30/360 por ser interés comercial) i= 12% simple anual VF = ??? VF = VP x (1 + (N x i)) MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS - LEONARDO SAMPAYO NAZA

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VF = 35.000 x (1 + ((139/360) x 0,12)) VF = 36.621,66

C. Interés exacto Entre el 26 de enero de 2012 y el 15 de junio de 2012 hay un total de 141 días, ya que el 2012 es un año bisiesto. Operación entre fechas reales utilizando hoja de cálculo: Simplemente se realiza una resta entre la fecha final y la fecha inicial.

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A Fecha inicial Fecha final

B 26 de enero de 2012 15 de junio de 2012 DÍAS REALES

C 26/01/2012 15/06/2012 141,00 =C2-C1

Operación entre fechas utilizando calculadora financiera: Se debe ingresar al menú CALE y luego CALC, posterior a ello, un mensaje en la pantalla indicará las opciones DD.MMAAAA o MM.DDAAAA. Si se quiere ingresar el 26 de enero de 2012 se introduce 26.012012 o 01.262012 según el mensaje en FECH1 y se introduce el 15 de junio de 2012 (15.062012 o 06.152012) en FECH2. Como estamos calculando el número de días reales entre fecha y fecha, debemos preguntar la opción DÍAS, dando como resultado 141. De esta forma: VP = N= i= VF =

$35.000 141/366 años (Días reales/365-366 por ser interés exacto) 12% simple anual ???

VF = VP x (1 + (N x i)) VF = 35.000 x (1 + ((141/366) x 0,12)) VF = 36.618,03 D. Interés base 365 Entre el 26 de enero de 2012 y el 15 de junio de 2012 hay un total de 140 días, ya que, aunque el 2012 es un año bisiesto, se asume como si fuese un año no bisiesto. Operación entre fechas reales utilizando hoja de cálculo:

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Simplemente se realiza una resta entre la fecha final y la fecha inicial sin introducir el año, o también se puede introducir un año impar, ya que siempre los años bisiestos serán pares.

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A Fecha inicial Fecha final

B 26 de enero de 2012 15 de junio de 2012 DÍAS BASE 365

C 26/01 15/06 140,00

=C2-C1

Operación entre fechas utilizando calculadora financiera: Se debe ingresar al menú CALE y luego CALC, posterior a ello, un mensaje en la pantalla indicará las opciones DD.MMAAAA o MM.DDAAAA. Si se quiere ingresar el 26 de enero de 2012 se introduce 26.012012 o 01.262012 según el mensaje en FECH1 y se introduce el 15 de junio de 2012 (15.062012 o 06.152012) en FECH2. Como estamos calculando el número de días base 365 entre fecha y fecha debemos preguntar la opción 365D, dando como resultado 140. De esta forma: VP = N= i= VF =

$35.000 140/365 años (Días reales sin bisiesto/365 por ser interés base 365) 12% simple anual ???

VF = VP x (1 + (N x i)) VF = 35.000 x (1 + ((140/365) x 0,12)) VF = 36.610,95 Respuesta: A. VF = 36.645 B. VF = 36.621,66 C. VF = 36.618,03 D. VF = 36.610,95

El libro completo podrá ser adquirido en la librería de la Universidad Externado de Colombia en la calle 12 # 1-17 Este Edificio A piso 1 Bogotá – Colombia Teléfono (57-1) 3420288 extensión 3152. Se pueden realizar envíos nacionales e internacionales escribiendo al correo: manualdeoperacionesfinancieras@hotmail.com dir.libreria@uexternado.edu.co MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS - LEONARDO SAMPAYO NAZA

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EL INTERÉS COMPUESTO

2.1 NIVEL BÁSICO INTERÉS COMPUESTO En el nivel básico estudiaremos el concepto de interés compuesto, la ecuación fundamental, la clasificación, la relación entre una tasa nominal y una efectiva, la relación entre una tasa vencida y una anticipada, la conversión de tasas de interés, las tasas exóticas, las tasas variables, el interés continuo, el valor del dinero en el tiempo, el manejo tributario de las inversiones y las inversiones en moneda extranjeras.

2.1.1 Concepto de interés compuesto Mientras que el interés simple se calcula teniendo como base el valor inicial de la inversión, en el interés compuesto la base cambia período tras período, ya que los intereses se van acumulando y forman parte de un nuevo capital; es decir, en el interés compuesto existe la capitalización de los intereses, mientras que en el interés simple no hay capitalización de los intereses. Ejemplo 2.1: Una persona invierte 100 pesos a un plazo de 4 años y a una tasa de interés compuesto del 10% anual, calcular el valor final de la inversión y la rentabilidad. Solución:

Valor inicial: $100

Año

1

2

3

4

Tasa

10%

10%

10%

10%

Interés

$ 10

$ 11

$ 12,10

$ 13,31

Acumulado

$ 110

$ 121

$ 133,10

$ 146,41

Valor final: $ 146,41

La tasa de interés es del 10% durante los 4 años, el interés se calcula multiplicando el valor inicial de la inversión por la tasa de interés: $100 x 10% = $10. El valor acumulado se calcula tomando para el primer año el valor inicial más los intereses ganados: $100 + $10 = $110. Para el segundo año se calcula el interés tomando como base $110, es decir, $110 x 10% = $11; tomamos el valor acumulado más los nuevos intereses ganados en ese período: $110 + $11 = $121; para el tercer año se calcula el interés tomando como base $121, es decir, $121 x 10% = $12,1; tomamos el valor acumulado más los nuevos intereses ganados en ese período: $121 + $12,1 = $133,1; para el cuarto año se calcula el interés tomando como base $133,1, es decir, $133,1 x 10% = $13,31; tomamos el valor acumulado más los nuevos intereses ganados en ese período: $133,1 + $13,31 = $146,41. MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS - LEONARDO SAMPAYO NAZA

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Si se invirtió la suma de $100 y al final se obtuvo $146,41 eso significa que se ganó $46,41 que equivale a haber obtenido una rentabilidad del 46,41%. Respuesta: $ 146,41, es decir, una rentabilidad del 46,41%. El sistema financiero funciona con la óptica del interés compuesto, sin embargo, las personas que no manejan adecuadamente los conceptos financieros terminan utilizando el interés simple. Al tener en cuenta el ejercicio anterior, al preguntarle a alguien: Si usted se gana una tasa del 10% en un período, entonces ¿en cuatro períodos cuánto se ganará? Lo más probable es que contesten 40% cuando realmente se estaría ganando el 46,41%. Lo cierto es que estamos tan acostumbrados a la regla de tres, que creemos que todo lo resolvemos de esa forma. La regla de tres es válida para el interés simple, pero como en el interés compuesto existe la capitalización de intereses, entonces queda rotundamente prohibido utilizar la regla de tres en una tasa de interés compuesto.

2.1.2 Clasificación del interés compuesto El interés compuesto en su clasificación debe tener un nombre, un primer apellido y un segundo apellido. Con respecto al nombre: La tasa puede ser nominal o efectiva. La tasa nominal es una tasa que toma como referencia todo el año, e indica la periodicidad en la que se van a capitalizar los intereses. La tasa nominal también se llama: convertible, capitalizable, compuesta o con causación. La tasa efectiva es la tasa que se paga en cada uno de los períodos en los que se capitaliza la tasa nominal. La tasa efectiva también se llama tasa periódica, en el léxico actual la tasa efectiva puede tener cualquier periodicidad: efectiva anual, efectiva mensual, efectiva trimestral, efectiva semestral, etc. Sin embargo, en el léxico antiguo la única tasa efectiva que puede existir es la efectiva anual y a cualquier otra periodicidad se le llama tasa periódica, es decir: efectiva anual, periódica mensual, periódica trimestral, periódica semestral, etc. Apodo: El apodo más común para el nombre de una tasa es utilizar la letra “E” para una tasa efectiva o periódica y la letra “N” o “C” para una tasa nominal, convertible, capitalizable o compuesta. Con respecto al primer apellido: El primer apellido de las tasas indica su periodicidad, es decir, que podría ser anual, mensual, trimestral, bimensual, bimestral, semestral o cualquier otro tipo de periodicidad. Apodo: El apodo en relación con el primer apellido está dado por la primera letra de su periodicidad, es decir, que utilizaremos “A” para una tasa anual, “M” para una tasa mensual, “T” para una tasa trimestral y “S” para una tasa semestral. Para cualquier período diferente a los anteriores es mejor no poner ningún apodo, ya que se pueden presentar confusiones, por ejemplo, una tasa del 2%Eb MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS - LEONARDO SAMPAYO NAZA

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podría ser interpretada como efectiva bimestral para unos y para otros como efectiva bimensual; bimestral significa cada dos meses, mientras que bimensual significa dos veces en el mes. Con respecto al segundo apellido: Las tasas pueden ser anticipadas o vencidas. En teoría, las tasas son anticipadas cuando los intereses se pagan al principio del período y las tasas son vencidas cuando se pagan al final del período. En la realidad las tasas anticipadas lucen más pequeñas que las tasas vencidas y es por eso que en algún momento las entidades financieras publicaban las tasas de forma anticipada cuando colocaban dinero y las publicaban vencidas cuando lo captaban. En la realidad siempre se trabaja con las tasas vencidas, pero por costumbre en el país (Colombia) existen las tasas anticipadas, así se trabaje con las vencidas. Apodo: En relación con el segundo apellido, cuando la tasa es anticipada se utiliza la letra “a” y cuando la tasa es vencida lo normal es que no se le coloque ningún apodo, aunque muchas personas utilizan la letra “v” de vencida.

Clasificación del interés compuesto NOMBRE

NOMINAL (N)(C)

PRIMER APELLIDO

SEGUNDO APELLIDO

MENSUAL (M) TRIMESTRAL (T) SEMESTRAL (S) …

ANTICIPADA (a) VENCIDA

MENSUAL (M) TRIMESTRAL (T) SEMESTRAL (S) …

ANTICIPADA (a) VENCIDA

INTERÉS COMPUESTO EFECTIVA (E) O PERIÓDICA

Las formas en las que las personas se refieren a una tasa de interés no se encuentran del todo estandarizadas, así que podemos encontrar diferentes versiones al momento de expresar una tasa. Una tasa del 20% cuyo nombre es nominal, el primer apellido es semestral y el segundo apellido es vencido puede ser expresada de la siguiente manera:

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20% nominal semestral 20% convertible semestral 20% convertible semestral vencido 20% nominal semestral 20% nominal semestre vencido 20% nominal capitalizable semestral 20% con causacion semestral 20% nominal anual semestre vencido 20% nominal anual convertible semestre vencido 20% anual compuesto semestral 20% anual semestre vencido

20% NS 20% CS 20% CSV 20% SV 20% NSV 20% NCS 20% CS 20% NASV 20% NACS 20%ACS 20% ASV

* *

* De esta manera representaremos las tasas en el texto Una tasa del 10% cuyo nombre es nominal, el primer apellido es trimestral y el segundo apellido es anticipado puede ser expresada de la siguiente manera:

10% nominal trimestral anticipada 10% convertible trimestral anticipada 10% nominal capitalizable trimestral anticipada 10% con causacion trimestral anticipada 10% nominal anual trimestre anticipado 10% nominal anual convertible trimestre anticipado

10% NTa * 10% CTa * 10% NCTa 10% CTa 10% NATa 10% NACTa

10% anual compuesto trimestre anticipado 10% anual trimestre anticipado

10% ACTa 10% ATa

* De esta manera representaremos las tasas en el texto Una tasa del 2% cuyo nombre es efectivo, el primer apellido es mensual y el segundo apellido es vencido puede ser expresada de la siguiente manera: 2% efectiva mensual 2% periodica mensual 2% mensual vencido 2% mensual

2%EM 2%PM 2%MV 2% mv

*

* De esta manera representaremos las tasas en el texto Una tasa del 5% cuyo nombre es efectivo, el primer apellido es semestral y el segundo apellido es anticipado puede ser expresada de la siguiente manera:

5% efectiva semestral anticipada 5% periodica semestral anticipada 5% semestral anticipada

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5%ESa 5%PSa 5% sa

*

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* De esta manera representaremos las tasas en el texto

2.1.3 Relación entre una tasa nominal y una efectiva Ejemplo 2.2: Explicar la relación existente entre una tasa efectiva o periódica, una tasa efectiva anual y una tasa del 20% CT. Solución: Las tasas nominales siempre toman como referencia todo el año, la barra ubicada debajo de la tasa toma como referencia todo un año desde el principio hasta el final.

20% CT (nominal trimestral)

Esta barra representa un año

La tasa del 20% se convierte, se capitaliza o se causa de manera trimestral, es decir, que se capitaliza 4 veces en el año, ya que hay 4 trimestres en un año. Tomamos la barra que representa un año y la dividimos en cuatro secciones.

20% CT (nominal trimestral)

Esta barra representa un año

Si la tasa fuese nominal mensual, la barra se divide en 12, si la tasa fuese nominal semestral se divide en 2, si la tasa fuese nominal bimestral se divide en 6 y si la tasa fuese nominal bimensual se divide en 24. Si el 20%, por ser una tasa nominal, toma como referencia todo el año y si la tasa se convierte de manera trimestral, es decir, 4 veces en el año ¿Qué valor debe ir en cada una de las secciones para que dé como resultado el 20%?

20% CT (nominal trimestral) 5%

5%

5%

5%

5% ET (efectiva o periodica trimestral)

Esta barra representa un año

En cada sección debe haber un 5% y ese 5% corresponde a la tasa efectiva trimestral o periódica trimestral, es decir, que una tasa efectiva o periódica se obtiene cuando tomamos la tasa nominal y la dividimos entre 4 porque hay 4 trimestres en el año, es decir: Tasa efectiva = Tasa nominal / Número de períodos en el año (20% / 4 = 5%).

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Si tenemos una tasa efectiva o periódica y queremos la tasa nominal, entonces: Tasa nominal = Tasa efectiva x Número de períodos en el año (5% x 4 = 20%). Ahora vamos a invertir $100 teniendo en cuenta que estamos hablando de interés compuesto. 20% CT (nominal trimestral)

100,00

5% 5,00 105,00

5% 5,25 110,25

5% 5,51 115,76

5% 5,79 121,55

5% ET (efectiva o periodica trimestral) 121,55 21,55% EA (efectiva anual)

Al final del año obtendremos la suma de $121,55; es decir que en un año nos ganaremos $21,55, lo que equivale al 21,55% y esta es la tasa más popular de todas, la cual recibe el nombre de efectiva anual. Si se tienen en cuenta los conceptos anteriores, ¿en dónde realizaría su inversión? ¿En un negocio que renta el 20% CT, en otro que renta el 5% ET o en otro que renta el 21,55% EA? Como se pueden dar cuenta, las tres tasas son exactamente iguales, es decir, que estas tasas son equivalentes. Resulta importante manejar el concepto de equivalencia de tasas, ya que si alguien no maneja las finanzas podría invertir a una tasa del 21,55% EA creyendo que en esa alternativa su dinero renta más, también alguien que necesite dinero podría endeudarse al 5% ET creyendo que esa alternativa es la más económica. El ejemplo anterior sirve para entender el concepto de una tasa nominal, una efectiva o periódica y una tasa efectiva anual, pero de ninguna manera es una herramienta que sirva para convertir tasas.

El libro completo podrá ser adquirido en la librería de la Universidad Externado de Colombia en la calle 12 # 1-17 Este Edificio A piso 1 Bogotá – Colombia Teléfono (57-1) 3420288 extensión 3152. Se pueden realizar envíos nacionales e internacionales escribiendo al correo: manualdeoperacionesfinancieras@hotmail.com dir.libreria@uexternado.edu.co

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LAS ANUALIDADES

3.1 NIVEL BĂ SICO ANUALIDADES En el nivel bĂĄsico de anualidades estudiaremos el concepto de valor presente y futuro de una anualidad, anualidades vencidas y anticipadas, anualidades perpetuas, tablas de amortizaciĂłn y tablas de capitalizaciĂłn.

3.1.1 Concepto de las anualidades TambiĂŠn llamadas series uniformes, las anualidades consisten en una serie de pagos idĂŠnticos, realizados en intervalos de tiempo iguales y a una misma tasa de interĂŠs. El concepto de anualidades es Ăştil para resolver todos aquellos ejercicios que presenten cuotas fijas, ya sean las cuotas de un crĂŠdito o las cuotas a ahorrar en un fondo de capitalizaciĂłn, etc.

3.1.2 El valor presente y el valor futuro de una anualidad vencida Valor presente: Con el concepto de valor presente se podrĂĄn resolver todos los ejercicios de operaciones crediticias, en donde se adquiera un prĂŠstamo hoy, a un valor presente, y el pago se realizarĂĄ a travĂŠs de cuotas iguales. Ejemplo: El cĂĄlculo de las cuotas de algunos crĂŠditos hipotecarios, crĂŠditos para la adquisiciĂłn de un vehĂ­culo, el pago de las cuotas de un crĂŠdito rotativo, etc. El valor presente de una anualidad estĂĄ dado por la siguiente ecuaciĂłn:

đ?&#x;?−(đ?&#x;?+đ??˘)−đ??? VP = P x đ??˘ Donde: VP: Valor presente de una anualidad. Corresponde al valor del prĂŠstamo, crĂŠdito u obligaciĂłn. P: Pago o cuota. Corresponde al valor de los pagos o de las cuotas iguales a pagar con el objetivo de cancelar una obligaciĂłn. N: NĂşmero de cuotas. La N en anualidades no hace referencia al tiempo sino al nĂşmero de cuotas efectuadas en un determinado lapso de tiempo. Por ejemplo, en un crĂŠdito de cuotas mensuales a

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un plazo de 2 aĂąos la N serĂĄ 24; en un crĂŠdito de cuotas semestrales a un plazo de 2 aĂąos la N serĂĄ 4; en un crĂŠdito de cuotas trimestrales a un plazo de 2 aĂąos la N serĂĄ 8. i: Tasa de interĂŠs. Es la tasa de interĂŠs cobrada por la entidad financiera. Sin embargo, no puede ser cualquier tasa de interĂŠs, ya que debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. La tasa debe ser siempre efectiva. Es decir, si la tasa estĂĄ expresada en tĂŠrminos nominales, obligatoriamente se debe convertir a efectiva o periĂłdica. 2. La tasa debe ser siempre vencida. Es decir, si la tasa estĂĄ expresada en tĂŠrminos anticipados, obligatoriamente se debe convertir a vencida. 3. La tasa debe estar en tĂŠrminos porcentuales. Es decir, si la tasa es del 10% se trabaja con 0,10 y no con 10. 4. La tasa y las cuotas deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo. Es decir, si las cuotas son mensuales, la tasa debe ser efectiva mensual; si las cuotas son trimestrales, la tasa debe ser efectiva trimestral; si las cuotas son semestrales, la tasa debe ser efectiva semestral.

La fĂłrmula puede ser programada en cualquier calculadora habilitada para dicha acciĂłn y se introduce de la siguiente manera:

VPANUA = P x (1- (1+(iá100)) ^-N) á ( iá100) Es importante tener en cuenta que en esta fórmula la tasa debe ser introducida sin dividir entre 100. Valor futuro: Con el concepto de valor futuro es posible resolver todos los ejercicios con operaciones de fondos de capitalización o fondos de ahorro programado, donde se desea reunir una cantidad de dinero en el futuro, y para lograr dicho objetivo se ahorran cuotas periódicas en un fondo. Ejemplo: La cuota a ahorrar para comprar un carro en el futuro, la cuota a ahorrar para pagar las próximas vacaciones en Europa, la cuota a ahorrar para garantizar los estudios de mi hijo cuando entre a la universidad, etc. El valor futuro de una anualidad estå dado por la siguiente ecuación:

VF = P x

(đ?&#x;?+đ??˘)đ???−đ?&#x;? đ??˘

Donde: VF: Valor futuro de una anualidad. Corresponde al valor a ahorrar o el valor a reunir en un fondo de ahorro programado o en un fondo de capitalizaciĂłn. P: Pago o cuota. Corresponde al valor de los pagos o de las cuotas a ahorrar para reunir una cantidad de dinero en el futuro.

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N: Número de cuotas. La N en anualidades no corresponde al tiempo, sino al número de cuotas o pagos que se ahorran en un fondo en un lapso de tiempo. i: Tasa de interés. Es la tasa que paga una entidad financiera o fondo de capitalización por ahorrar el dinero en dicho fondo. Sin embargo, no puede ser cualquier tasa de interés, ya que debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. La tasa debe ser siempre efectiva. Es decir, si la tasa está expresada en términos nominales obligatoriamente se debe convertir a efectiva o periódica. 2. La tasa debe ser siempre vencida. Es decir, si la tasa está expresada en términos anticipados, obligatoriamente se debe convertir a vencida. 3. La tasa debe estar en términos porcentuales. Es decir, si la tasa es del 10% se trabaja con 0,10 y no con 10. 4. La tasa y las cuotas deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo. Es decir, si las cuotas son mensuales, la tasa debe ser efectiva mensual; si las cuotas son trimestrales, la tasa debe ser efectiva trimestral; si las cuotas son semestrales, la tasa debe ser efectiva semestral. La fórmula puede ser programada en cualquier calculadora habilitada para dicha acción y se introduce de la siguiente manera:

VFANUA = P x (((1+ (i÷100)) ^N)-1) ÷ (i÷100) Es importante tener en cuenta que en esta fórmula la tasa debe ser introducida sin dividir entre 100.

ATENCIÓN: PARA UTILIZAR LA ECUACIÓN DEL VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD, DEBEMOS TENER EN CUENTA QUE LA PERIODICIDAD DE LAS CUOTAS Y LA TASA DEBEN ESTAR EXPRESADAS EN LA MISMA UNIDAD DE TIEMPO. EN CASO DE QUE LAS CUOTAS Y LA TASA DE INTERÉS NO MANEJEN LA MISMA PERIODICIDAD, EL PROBLEMA SE PUEDE RESOLVER ÚNICAMENTE CAMBIANDO LA TASA. LA PERIODICIDAD DE LAS CUOTAS SIEMPRE SE DEBE RESPETAR. TENGA PRESENTE QUE EN LAS OPERACIONES DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO, SE PODRÍA CAMBIAR EL TIEMPO O LA TASA, PERO EN LAS OPERACIONES CON ANUALIDADES SOLO SE PUEDE CAMBIAR LA TASA.

Ejemplo 3.1 Una persona paga cuotas mensuales de $1.280.000 a un plazo de 15 años. Calcular el valor del préstamo si la entidad cobra una tasa de interés del 20% CTa (nominal trimestre anticipado). MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS - LEONARDO SAMPAYO NAZA

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Solución: Primero debemos identificar si este ejercicio corresponde a valor presente o valor futuro de una anualidad. Como hablamos de un crédito, lo que debemos calcular es el valor presente de una anualidad. Como el plazo del crédito es de 15 años, pero la periodicidad de las cuotas es mensual, trabajaremos con un número de cuotas de 180. Debemos entonces convertir la tasa del 20% CTa (nominal trimestre anticipado) a una tasa EM (efectiva mensual vencida). Ya que las cuotas son mensuales, trabajaremos con una tasa del 1,72447681911%EM, como ya se mencionó, debemos utilizar todos los decimales y no podemos redondear la tasa. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula programada, la fórmula manual, el menú VDT de la calculadora financiera y la hoja de cálculo de Excel. Fórmula programada Luego de programar la fórmula, introducimos los valores de la siguiente manera: P= N= i= VPANUA = VPANUA =

$ 1.280.000 180 cuotas mensuales 1,72447681911%EM ??? $ 70.805.860,87

Fórmula manual VP = P x (1-(1+i)^-N)/ i VP = 1280000 x (1-(1+0,0172447681911)^-180)/ 0,0172447681911 VP = 1280000 x (1-0,046069799)/ 0,0172447681911 VP = 1280000 x 55,3170788052 VP = $70.805.860,87 Observe que en el planteamiento manual, la tasa debe ir dividida entre 100, además la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son mensuales y la tasa debe ser efectiva mensual. Menú VDT Ingresamos al menú VDT de la calculadora financiera y revisamos el mensaje “1 PGOS/AÑ: MODO FINAL” y nos aseguramos de oprimir CLEAR DATA, e introducimos los valores de la siguiente manera: PAGO = N= %IA=

-1.280.000 180 1,72447681911

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VA = VA =

??? $70.805.860,87

Observe que el pago se introduce con signo negativo para que la respuesta salga positiva y que la tasa de interés se introduce como 1,72447681911 y no como 1,72447681911% ni 0,0172447681911. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función VA e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo, la tasa sí debe ser 1,72447681911% o 0,0172447681911, pero de ninguna manera debe ser 1,72447681911. El pago va con signo negativo para que VA tenga signo positivo, en VF y en TIPO no va ningún dato.

Ejemplo 3.2 Al ingresar a una empresa, un empleado se afilia al fondo y decide ahorrar 250.000 pesos quincenales. Si el fondo renta en promedio un 9% CSa (nominal semestre anticipado), ¿cuánto podrá retirar después de transcurridos 5 años? Solución: Primero debemos identificar si este ejercicio corresponde a valor presente o valor futuro de una anualidad. Como hablamos de una persona que ahorra cuotas periódicas en un fondo de empleados, lo que debemos calcular es el valor futuro de una anualidad. El plazo del ahorro es de 5 años, pero la periodicidad de las cuotas es quincenal, razón por la cual trabajaremos con un número de cuotas de 120 (5x24). Seguidamente, debemos convertir la tasa del 9% CSa (nominal semestre anticipado) a una tasa efectiva bimensual, ya que las cuotas son quincenales, y al resolver la operación obtendremos una

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tasa del 0,3844365564% efectiva bimensual. Como se mencionó antes, debemos utilizar todos los decimales y no podemos redondear la tasa. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula programada, la fórmula manual, el menú VDT de la calculadora financiera y la hoja de cálculo de Excel. Fórmula programada Luego de programar la fórmula, introducimos los valores de la siguiente manera: P= N= i= VFANUA =

$ 250.000 120 cuotas quincenales 0,384436556% E bimensual ???

El valor del retiro es de $ 38.027.741,28 Fórmula manual VF = P x ((1+i)^ N) -1/ i VF = 250000 x ((1+0,003844365564)^ 120) -1/ 0,003844365564 VF = 250000 x (1,58477015553-1)/ 0,003844365564 VF = 250000 x (0,58477015553/ 0,003844365564) VF= $ 38.027.741,28 Observe que en el planteamiento manual, la tasa debe ir dividida entre 100, además la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso las cuotas son quincenales y la tasa debe ser efectiva bimensual. Menú VDT Ingresamos al menú VDT de la calculadora financiera y revisamos el mensaje “1 PGOS/AÑ: MODO FINAL” y nos aseguramos de oprimir CLEAR DATA e introducimos los valores de la siguiente manera: PAGO = N= %IA= VF =

-250.000 120 0,3844365564 ???

El valor del retiro es de $ 38.027.741,28 Observe que el pago se introduce con signo negativo para que la respuesta salga positiva y que la tasa de interés se introduce como 0,3844365564 y no como 0,3844365564% ni 0,003844365564. Hoja de cálculo

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En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx, y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función VF e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo la tasa sí debe ser 0,3844365564% o 0,003844365564, pero de ninguna manera debe ser 0,3844365564. El pago debe ir con signo negativo para que el VF quede positivo, en VA y en tipo no va ningún dato.

Ejemplo 3.3 Un carro tiene un valor de 45.000.000 de pesos y una entidad financiera está dispuesta a prestarle el 90% del valor del vehículo mediante el pago de cuotas mensuales iguales a una tasa de interés del 18% EA. Calcular el valor de la cuota a pagar a un plazo de: a. Un año. b. Dos años. c. Tres años. d. Cuatro años. e. Cinco años. Solución: Primero debemos identificar si este ejercicio corresponde a valor presente o valor futuro de una anualidad. Como hablamos de un crédito para adquirir un vehículo mediante el pago de cuotas iguales, lo que debemos calcular es el valor de la cuota del valor presente de una anualidad. Adicionalmente, como el plazo del crédito es de 1, 2, 3, 4 y 5 años, pero la periodicidad de las cuotas es mensual, trabajaremos con un número de cuotas de 12, 24, 36, 48 y 60 cuotas mensuales, respectivamente. Debemos entonces convertir la tasa del 18% EA (efectiva anual) a una tasa efectiva mensual, ya que las cuotas son mensuales, por lo que trabajaremos con una tasa del 1,38884303484% efectiva mensual. Como antes se mencionó, debemos utilizar todos los decimales y no podemos redondear la tasa. MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS - LEONARDO SAMPAYO NAZA

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El valor presente corresponde al 90% de $45.000.000, es decir, $40.500.000. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula programada, la fórmula manual, el menú VDT de la calculadora financiera y la hoja de cálculo de Excel. Fórmula programada. Luego de programar la fórmula, introducimos los valores de la siguiente manera: VPANUA = N= i= P=

$ 40.500.000 12 cuotas mensuales 1,38884303484% E mensual ???

El valor de la cuota mensual es de $ 3.687.378,25 a un plazo de 1 año. Con 24 cuotas mensuales, el pago es de $1.995.920,34. Con 36 cuotas mensuales, la cuota es de $1.437.214,61. Con 48 cuotas mensuales, la cuota es de $1.161.644,99. Con 60 cuotas mensuales, la cuota es de $999.272,76 Fórmula manual. VP = P x (1-(1+i)^-N)/ i 40500000 = P x (1-(1+0,0138884303484)^-12)/ 0,0138884303484 40500000 = P x (1-0,8474576271)/ 0,0138884303484 40500000 = P x 0,1525423729/ 0,0138884303484 40500000 = P x 10,983413465 P= 40500000/10,983413465 P=$ 3.687.378,25 El valor de la cuota mensual es de $3.687.378,25 a un plazo de 1 año. Con 24 cuotas mensuales, la cuota es de $1.995.920,34. Con 36 cuotas mensuales, la cuota es de $1.437.214,61. Con 48 cuotas mensuales, la cuota es de $1.161.644,99 y con 60 cuotas mensuales, la cuota es de $999.272,76 Observe que en el planteamiento manual, la tasa debe ir dividida entre 100, además la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son mensuales y la tasa debe ser efectiva mensual. Menú VDT Ingresamos al menú VDT de la calculadora financiera y revisamos el mensaje “1 PGOS/AÑ: MODO FINAL” y nos aseguramos de oprimir CLEAR DATA, e introducimos los valores de la siguiente manera: VA = N= %IA= PAGO =

-40.500.000 12 1,38884303484 ???

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El valor de la cuota mensual es de $ 3.687.378,25 a un plazo de 1 año. Con 24 cuotas mensuales, el valor del pago es de $1.995.920,34. Con 36 cuotas mensuales, el valor del pago es de $1.437.214,61. Con 48 cuotas mensuales, el valor del pago es de $1.161.644,99 y con 60 cuotas mensuales, la cuota es de $999.272,76. Observe que el valor presente se introduce con signo negativo para que el valor de la cuota salga positivo y que la tasa de interés se introduce como 1,38884303484 y no como 1,38884303484% ni 0,0138884303484. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función pago e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo, la tasa sí debe ser 1,38884303484% o 0,0138884303484, pero de ninguna manera debe ser 1,38884303484. El VA tiene signo negativo para que el pago sea positivo, en VF y en tipo no va ningún dato.

El libro completo podrá ser adquirido en la librería de la Universidad Externado de Colombia en la calle 12 # 1-17 Este Edificio A piso 1 Bogotá – Colombia Teléfono (57-1) 3420288 extensión 3152. Se pueden realizar envíos nacionales e internacionales escribiendo al correo: manualdeoperacionesfinancieras@hotmail.com dir.libreria@uexternado.edu.co

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LOS GRADIENTES

Los gradientes son una serie de valores que crecen o decrecen lineal o geométricamente, tienen intervalos de tiempo iguales y se manejan a una misma tasa de interés.

4.1 NIVEL BÁSICO DE GRADIENTES En el nivel básico de gradientes estudiaremos problemas sencillos de gradientes aritméticos y geométricos, crecientes, decrecientes y perpetuos; además, se programarán las fórmulas de gradientes en nuestras calculadoras.

4.1.1 Gradientes aritméticos o lineales Los gradientes aritméticos o lineales son una serie de valores que crecen o decrecen en un valor constante en pesos o cualquier valor monetario, en intervalos de tiempos iguales y a una misma tasa de interés.

4.1.1.1 Valor presente de un gradiente aritmético o lineal

Ejemplo 4.1 Calcular el valor presente del siguiente gradiente aritmético con una tasa de interés del 12%EA. $ 4.950 $ 4.500 $ 4.050 $ 3.600 $ 3.150 $ 2.700 0

1

2

3 i = 12%EA

4

5

6 AÑOS

Solución: Primero debemos identificar si este ejercicio corresponde a un gradiente aritmético o lineal, para ello tomamos cualquier valor y le restamos al inmediatamente anterior, a ese valor lo llamaremos L y corresponderá al lineal del gradiente. L = VALOR 2 – VALOR 1 MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS - LEONARDO SAMPAYO NAZA

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Es decir: L = 3.150 – 2.700 (Puede tomar los valores de cualquier otro período.) L = 450 (Los valores se incrementan en $450 todos los aùos.) El valor presente de un gradiente aritmÊtico se calcula mediante la siguiente ecuación:

đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ??˘)−đ??? đ??‹ đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ??˘)−đ??? đ??•đ???đ??†đ??€ = đ??? Âą [ − đ???(đ?&#x;? + đ??˘)−đ??? ] đ??˘ đ??˘ đ??˘ Donde: VPGA: Valor presente del gradiente aritmĂŠtico. P: Pago o cuota. Corresponde al valor de la primera cuota o el primer pago del gradiente. N: NĂşmero de cuotas o pagos del gradiente. L: Corresponde al lineal del gradiente valor 2 – valor 1. i: Tasa de interĂŠs, la cual debe ser siempre efectiva, vencida, en tĂŠrminos porcentuales y sin corto circuito, es decir, que debe tener la misma periodicidad de las cuotas o pagos del gradiente.

ATENCIÓN: AL IGUAL QUE CON LAS ANUALIDADES, EN LOS GRADIENTES LA PERIODICIDAD DE LAS CUOTAS Y LA TASA DEBEN ESTAR EXPRESADAS EN LA MISMA UNIDAD DE TIEMPO. EN CASO CONTRARIO, EL PROBLEMA SE DEBE RESOLVER ÚNICAMENTE CAMBIANDO LA TASA. LA PERIODICIDAD DE LAS CUOTAS SIEMPRE SE DEBE RESPETAR. LA FÓRMULA MANEJA UN SIGNO +/- .UTILIZAMOS + SI EL GRADIENTE ES CRECIENTE O – SI EL GRADIENTE ES DECRECIENTE.

MĂŠtodo manual Reemplazamos los valores en la ecuaciĂłn: đ?‘‰đ?‘ƒđ??şđ??´ = 2.700

1 − (1 + 0,12)−6 450 1 − (1 + 0,12)−6 [ + − 6(1 + 0,12)−6 ] 0,12 0,12 0,12

đ?‘‰đ?‘ƒđ??şđ??´ = 11.100,79 + 3750 [4,11140732352 − 3,03978672706 ] đ?‘‰đ?‘ƒđ??şđ??´ = 11.100,79 + 3.750Ă—1,07162059646 đ?‘‰đ?‘ƒđ??şđ??´ = 11.100,79 + 4.018,57 đ?‘‰đ?‘ƒđ??şđ??´ = 15.119,37

FĂłrmula programada

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¿Qué ocurre si la incógnita es la tasa o el número de cuotas? El despeje de estas variables tendría que realizarse mediante interpolación, sin embargo, la fórmula puede ser programada en cualquier calculadora habilitada para dicha acción y en ese caso la fórmula se introduce así:

VPGA = P x (((1-(1+(i÷100))^(-N ))÷ (i÷100)))+(L÷( i÷100))x(((1-(1+(i÷100))^(N))÷(i÷100))-N x ((1+(i÷100))^(-N))) Si se programa la fórmula de esta manera, la tasa se introduce sin dividir en 100, así que: P= i= N= L= VPGA = VPGA =

$ 2.700 12 efectiva anual 6 cuotas anuales $ 450 ??? $ 15.119,37

Planteamiento simplificado En vez de plantear el gradiente utilizando la fórmula podemos realizar el planteamiento simplificado y resolver la incógnita utilizando la fórmula programada en la calculadora. Para realizar el planteamiento simplificado, primero indicamos el nombre de la fórmula a utilizar y entre corchetes las variables que se van a utilizar y por último la incógnita que queremos despejar, así: VPGA [P=2.700; i=12; N=6; L=450; VPGA=?] VPGA = $ 15.119,37 Respuesta: El valor presente del gradiente corresponde a $ 15.119,37.

4.1.1.2 Valor futuro de un gradiente aritmético o lineal

Ejemplo 4.2 Calcular el valor futuro del siguiente gradiente aritmético con una tasa de interés del 20%CS. $ 6.000 $ 5.300 $ 4.600 $ 3.900 $ 3.200 $ 2.500 $ 1.800 $ 1.100 0

1

2

3 4 5 i = 20%CS es decir: 10%ES.

6

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7

8 SEMESTRES

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MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS

Solución: Primero debemos identificar si este ejercicio corresponde a un gradiente aritmÊtico o lineal, para ello tomamos cualquier valor y le restamos el inmediatamente anterior; a ese valor lo llamaremos L y corresponderå al lineal del gradiente. L = VALOR 2 – VALOR 1 Es decir: L = 3.200 – 3.900 (Puede tomar los valores de cualquier otro período.) L = -700 (Los valores disminuyen en $700 todos los semestres.) El valor presente de un gradiente aritmÊtico se calcula mediante la siguiente ecuación:

(đ?&#x;? + đ??˘)đ??? − đ?&#x;? đ??‹ (đ?&#x;? + đ??˘)đ??? − đ?&#x;? đ??•đ??…đ??†đ??€ = đ??? Âą [ −đ???] đ??˘ đ??˘ đ??˘ Donde: VFGA: Valor futuro del gradiente aritmĂŠtico. P: Pago o cuota. Corresponde al valor de la primera cuota o el primer pago del gradiente. N: NĂşmero de cuotas o pagos del gradiente. L: Corresponde al lineal del gradiente, valor 2 – valor 1. i: Tasa de interĂŠs, la cual debe ser siempre efectiva, vencida, en tĂŠrminos porcentuales y sin corto circuito, es decir, que debe tener la misma periodicidad de las cuotas o pagos del gradiente.

MĂŠtodo manual Reemplazamos los valores en la ecuaciĂłn: đ?‘‰đ??šđ??şđ??´ = 6.000

(1 + 0,10)8 − 1 700 (1 + 0,10)8 − 1 − [ −8] 0,10 0,10 0,10

đ?‘‰đ??šđ??şđ??´ = 68.615,32 − 7.000 [11,4358881 − 8 ] đ?‘‰đ??šđ??şđ??´ = 68.615,32 − 7.000Ă—3,4358881 đ?‘‰đ??šđ??şđ??´ = 68.615,32 − 24.051,21 đ?‘‰đ??šđ??şđ??´ = 44.564,11

FĂłrmula programada

VFGA = P x ((((1+(iá100))^N)-1)á(iá100))+((Lá(iá100)) x (((((1+(iá100))^N)1)á(iá100))-N)) MANUAL DE OPERACIONES FINANCIERAS - LEONARDO SAMPAYO NAZA

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Si se programa la fórmula de esta manera, la tasa se introduce sin dividir en 100, así que: P= i= N= L= VFGA = VFGA =

$ 6.000 10 efectiva semestral 8 cuotas semestrales $-700 ??? $ 44.564,11

Planteamiento simplificado VFGA [P=6.000; i=10; N=8; L=-700; VFGA=?] VFGA = $ 44.564,11 Respuesta: El valor futuro del gradiente corresponde a $44.564,11.

El libro completo podrá ser adquirido en la librería de la Universidad Externado de Colombia en la calle 12 # 1-17 Este Edificio A piso 1 Bogotá – Colombia Teléfono (57-1) 3420288 extensión 3152. Se pueden realizar envíos nacionales e internacionales escribiendo al correo: manualdeoperacionesfinancieras@hotmail.com dir.libreria@uexternado.edu.co

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Manual de operaciones financieras  
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