114 Números Binomiais
Cap.4
4.3. Polinômio de Leibniz
Solução:
Números Binomiais
115
,I
P<idemosobter uma geiler-alixaqão da fórmula do bin6mio.
onde ai,n2,a:j são inteiros não-negativos tais que 0 1 +a2 +arj- 4. Abaixo temos tima tabela dos valores y ossíveis rle cri, n2, rr3 e os coresp ondentes termos do desenvolvimentri.
esteiiderido-se 0 soniatcii.ioa todos tis vaIores j i t~~ i r o 11Ro-negativos s dc?ciil,cr2, . . . , n p i;aisqrrenli c u 2 + . - . + n P = ? i .
Prova:
O terrno genérico c10 prodiitri é obtido escolheiido-se em cada parênteses iini x i e mi.~ltiplicando-st:os escolhidos. Ora, se em dos par~ntescs~scolhcimosxl, em f i z dos parênteses escolhermos 22 etc... olrtriernos :ryl 22' - ( n l ,nl, . . , n, inteiros não-iicgativos c ctl nz -t n p = 1 1 , ) . O termo ~(1'222. . . x OpP apai.er.e tantas vezes rliiantos são os modos de escolhermos nos ?i. pai,iinteses 0 1 deles 11~1-il.pegarmos o z J para fatcli-. nz dentre os que soI>raranlpara pttgw-mos o n;2 (:orno fatos ctc... . .Mas isso pode ser feito de
+ +
motlos. Logo, n::' x?
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+
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- . . xgr aparece no desenvolvimento L \
Somando c: reduzindo os termos semelhantes o\>temos vezes.
(n:2
+ sx - 114 =
1