3.1 59. Potencia batería es
La fórmula para la salida de potencia P de una
P = VI – RI2 donde V es la fuerza electromotriz en volts, R es la resistencia en ohms e I es la corriente en amperes. Determine la corriente (medida en amperes) que corresponde a un valor máximo de P en una batería para la cual V = 12 volts y R = 0.5 ohms. Suponga que un fusible de 15 amperes enlaza la salida en el intervalo 0 I 15. ¿Podría aumentarse la salida de potencia sustituyendo el fusible de 15 amperes por uno de 20 amperes? Explique. 60. Aspersor giratorio para césped Un aspersor giratorio para césped se construye de manera tal que d dt es constante, donde varía entre 45° y 135° (vea la figura). La distancia que el agua recorre horizontalmente es x
v2 sen 2 , 32
45
135
y
θ = 75°
θ = 135°
θ = 45°
θ 2 −v 32
2 −v 64
x
v2 64
v2 32
Aspersor de agua: 45° ≤ θ ≤ 135° PARA INFORMACIÓN ADICIONAL Para mayor información acerca de “Calculus of lawn sprinklers,” consulte el artículo “Design of an Oscillating Sprinkler”, de Bart Braden, en Mathematics Magazine. Para ver este artículo, visite MathArticles.com.
61. Panal S
6hs
El área de la superficie de una celda de un panal es 3s 2 2
62. Diseño de una autopista Para construir una autopista, es necesario rellenar una parte de un valle donde los declives (pendientes) son de 9 y 6% (vea la figura). La pendiente superior de la región rellenada tendrá la forma de un arco parabólico que es tangente a las dos pendientes en los puntos A y B. La distancia horizontal desde el punto A hasta el eje y y desde el punto B hasta el eje y es de 500 pies en ambos casos.
y
500 pies A Pen dien te 9 %
500 pies
Autopista
B 6% iente Pend
x
No está dibujada a escala
donde v es la velocidad del agua. Encuentre dx dt y explique por qué este aspersor no riega de manera uniforme. ¿Qué parte del césped recibe la mayor cantidad de agua? θ = 105°
169
Extremos en un intervalo
3 cos sen
donde h y s son constantes positivas y es el ángulo al cual las caras superiores alcanzan la altura de la celda (ver la figura). 6 2 que minimiza el área Encuentre el ángulo superficial S. θ
(a) Determine las coordenadas de A y B. (b) Determine una función cuadrática y ax 2 bx c para 500 x 500 que describa la parte superior de la región rellenada. (c) Construya una tabla en la que se indiquen las profundida500, 400, 300, 200, 100, des del relleno x 0, 100, 200, 300, 400 y 500. (d) ¿Cuál será el punto más bajo de una autopista terminada? ¿Estará directamente sobre el punto donde se juntan los dos declives? ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 63 a 66, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que demuestre que es falso. 63. El máximo de una función que es continua en un intervalo cerrado puede ocurrir en dos valores diferentes en el intervalo. 64. Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces debe tener un mínimo en el intervalo. 65. Si x = c es un punto crítico de la función f, entonces también es un número crítico de la función g(x) = f(x) + k, donde k es una constante. 66. Si x = c es un punto crítico de la función f, entonces también es un número crítico de la función g(x) = f(x – k), donde k es una constante. 67. Funciones Sea la función f derivable en un intervalo I que contiene c. Si f tiene un valor máximo en x = c, demuestre que – f tiene un valor mínimo en x = c. 68. Números críticos Considere la función cúbica f x ax 3 bx2 cx d,, donde a ≠ 0. Demuestre que f puede tener uno, dos o ningún punto crítico y dé un ejemplo de cada caso.
h
DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM s PARA INFORMACIÓN ADICIONAL Para mayor información acerca de la estructura geométrica de una celda de un panal, consulte el artículo “The Design of Honeycombs”, de Anthony L. Paressini, en UMAP Módulo 502, publicado por COMAP, Inc., Suite 210, 57 Bedford Street, Lexington, MA.
69. Determine todos los números reales a > 0 para los que existe una función f(x) continua y no negativa definida sobre 0, a , (x, y ; 0 x a, con la propiedad de que la región R 0 y f x tiene perímetro k y área k2 para algún número real k. Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.