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Capítulo P
P.1
Preparación para el cálculo
Gráficas y modelos Dibujar la gráfica de una ecuación. Encontrar las intersecciones de la gráfica. Probar la simetría de una gráfica respecto a un eje y al origen. Encontrar los puntos de intersección de dos gráficas. Interpretar los modelos matemáticos con los datos de la vida real.
Gráfica de una ecuación
RENÉ DESCARTES (1596−1650) Descartes hizo muchas contribuciones a la filosofía, la ciencia y las matemáticas. En su libro La Géométrie, publicado en 1637, describió la idea de representar puntos del plano por medio de pares de números reales y curvas en el plano mediante ecuaciones. Ver LarsonCalculus.com para leer más acerca de esta biografía.
y
En 1637, el matemático francés René Descartes revolucionó el estudio de las matemáticas mediante la combinación de sus dos principales campos: álgebra y geometría. Con el plano de coordenadas de Descartes, los conceptos geométricos se podrían formular analíticamente y los conceptos algebraicos se podrían ver de forma gráfica. El poder de este enfoque era tal, que a un siglo de su introducción, mucho del cálculo ya se había desarrollado. Se puede seguir el mismo método en su estudio del cálculo. Es decir, mediante la visualización de cálculo desde múltiples perspectivas, en forma gráfica, analítica y numérica, aumentará su comprensión de los conceptos fundamentales. Considere la ecuación 3x y 7. El punto (2, 1) es un punto solución de la ecuación, puesto que esta última se cumple (es cierto) cuando se sustituye x por 2 y y por 1. Esta ecuación tiene muchas otras soluciones, como 1, 4 y 0, 7 , para encontrarlas de manera sistemática despeje y de la ecuación inicial. y
7
3x
Método analítico
Ahora, se construye una tabla de valores dando valores de x. x
0
1
2
y
7
4
1
3
4 Método numérico
2
5
A partir de la tabla, se puede ver que (0, 7), (1, 4), (2, 1), (3, −2) y (4, −5) son soy luciones de la ecuación inicial 3x + y = 7. Al igual 8 que muchas ecuaciones, ésta tiene una cantidad infini(0, 7) 6 ta de soluciones. El conjunto de todos los puntos de so(1, 4) 4 lución constituye la gráfica de la ecuación, como se 3x + y = 7 2 ilustra en la figura P.1. Observe que aunque se refiera (2, 1) x al dibujo de la figura P.1 como la gráfica de 3x + y = 7, 2 4 6 8 −2 en realidad sólo representa una porción de la misma. La (3, − 2) −4 gráfica completa se extendería fuera de la página. (4, − 5) −6 En este curso se estudiarán varias técnicas para la representación gráfica. La más simple consiste en dibujar Método gráfico: 3x y 7 puntos hasta que la forma esencial de la gráfica sea eviFigura P.1 dente.
7
EJEMPLO 1
6
Dibujar una gráfica mediante el trazado de puntos
5
y = x2 − 2
4 3 2 1
x −4 −3 −2
2
3
Para dibujar la gráfica de y = x2 − 2, primero construya una tabla de valores. A continuación, dibuje los puntos dados en la tabla. Después, una los puntos con una curva suave, como se muestra en la figura P.2. Esta gráfica es una parábola. Es una de las cónicas que estudiará en el capítulo 10.
4
x La parábola y Figura P.2
x2
y
2 The Granger Collection, New York.
2 2
1 1
0 2
1 1
2
3
2
7