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x = a1 cos θ1 + a 2 cos(θ1 + θ 2 ) y = a1 sen θ1 + a 2 sen(θ1 + θ 2 ) y y a2 sen(θ1+θ2) r a1 senθ1 J1
a2
θ2 θ1
J2 a1 a1 cosθ1
θ1
x x a2 cos(θ1+θ2)
Fig. 4.3 – Geometria do manipulador RR As equações da cinemática inversa podem ser obtidas de:
r 2 = x 2 + y 2 = a12 + a 22 + 2 a1 a 2 [cos θ1 cos(θ1 + θ 2 ) + sen θ1 sen(θ1 + θ 2 )] , ou:
x 2 + y 2 = a12 + a 22 + 2 a1 a 2 cos θ 2 , de onde tira-se:
x 2 + y 2 − a12 − a22 cos θ2 = 2 a1 a2
x 2 + y 2 − a12 − a22 θ2 = ± arccos , 2 a a 1 2 Pode-se igualmente obter a expressão acima pela aplicação da lei dos co-senos ao triângulo formado pelo centro da junta 1, centro da junta 2 e ponto P na extremidade da garra. Neste caso, o ângulo conhecido é o ângulo entre os elos, que é igual a 180o – θ2. Nota-se que a inversão do co-seno fornece dois valores possíveis para o ângulo θ2, que correspondem a duas situações nas quais existe uma solução para o problema. Na primeira delas com θ2 > 0, tem-se a solução normal, com cotovelo para baixo, como mostra a figura 4.4. Na segunda solução, igualmente válida, a junta 2 situa-se acima tal que o ângulo θ2 é negativo. Nota-se também que o valor de θ1 é diferente nas duas situações.