Las soluciones: −6+2 x1 = = −2 2
y
x2 =
−6−2 = −4 2
En los ejemplos realizados, donde las soluciones han sido reales, los valores son enteros, pero no siempre es así, en muchas ocasiones las soluciones son fraccionarias.
ECUACIONES DE GRADO
n (n par)
ϕxn + µx
n
m
+ε = 0
A veces se pueden presentar ecuaciones de la forma ax + bx + c = 0 , donde m = n / 2, la idea es reducir el grado del trinomio hasta que n = 2. para resolverlo como un trinomio cuadrado. n
m
Algunos ejemplos nos aclaran el proceso. Ejemplo 1: Resolver: x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 Solución: Se hace un “cambio de variable” digamos u = x2 luego u2 = x4 Reemplazamos:
x 4 − 5x 2 + 4 = 0 ⇒⇒u 2 − 5u + 4 = 0 Ahora se puede resolver el último trinomio, se utiliza la factorización.
u 2 − 5u + 4 = 0 ⇒⇒(u − 4)(u − 1) = 0 Por la regla del producto nulo: u – 4 = 0, u = 4 u – 1 = 0, u = 1 Ahora se reemplaza el valor de u por x2 x2 = 4, x = +2 y -2 x2 = 1, x = +1 y -1 Se observa que se obtienen 4 soluciones, ya que la ecuación original es de grado cuarto. Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación y 10 + 6 y 5 − 16 = 0 Solución: Hacemos el “cambio de variable” w = y5, luego w2 = y10 entonces:
y10 + 6 y 5 − 16 = 0 ⇒⇒ w2 + 6w − 16 = 0 64