VIBRACIONES EN SOLIDOS
Universidad Pedagógica Nacional Departamento de Física Física estadística Por: Lady Johana Caballero fierro Jeisson Vargas Vanegas
VIBRACIONES DE LA RED Cuando los átomos se ordenan formando un cristal se colocan en la posición de mínima energía. Esto significa que cada átomo se encuentra en un mínimo del potencial creado por el resto de los átomos que constituyen el cristal. Por otro lado sabemos que en todo sistema físico, cuando éste se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, su movimiento puede aproximarse al de un oscilador lineal. Por ello, podemos imaginar el cristal como un conjunto de átomos unidos todos ellos mediante muelles ideales tal y como puede observarse en la figura. Por tanto, clásicamente se puede ver como un sistema de osciladores acoplados que poseerá modos normales de oscilación con frecuencias características y en el cual se producirá propagación de ondas. Desde el punto de vista cuántico estos modos normales dan lugar al concepto de fonones; los cuantos de energía vibracionales que extenderemos su concepto más adelante. La velocidad a la cual se propagan las ondas dependerá en general de la dirección en que lo hacen y también de si la vibración se produce en esa misma dirección (ondas longitudinales) o perpendicular (ondas transversales). Figura A. Modelo de un cristal en el que las interacciones entre átomos se sustituyen por muelles
Fonones. Clásicamente, vibraciones pueden interpretarse debidas a propagación onda elástica (“onda de sonido”) que va distorsionando nudos de la red. Cuánticamente: los osciladores están cuantizados (solo son posibles determinadas energías); es claro que la energía de la “onda de sonido” (que perturba esos osciladores) estará también cuantizada, el cuanto es el “fonon”. Similar a ondas electromagnéticas (modos de vibración del campo electromagnético) con su cuanto fotón. Incluso convendrá introducir eventualmente concepto dualidad onda– partícula (onda de sonido/fonón). Pero hay una diferencia notable:
mientras el de modos del campo electromagnético es indefinido, el de modos del campo de sonido es , fijado en un sólido por el de nudos de la red; por supuesto, el de fonones es también indefinido (pero fijado por el tamaño de la red). Esta diferencia ocasiona comportamientos termodinámicos distintos para campos de sonido y de radiación, respectivamente, diferencia que se minimiza a bajas , cuando los modos de frecuencia alta tienen poca probabilidad de estar ocupados. Salvando esta diferencia: Las vibraciones térmicas de un cristal pueden interpretarse como fonones térmicamente excitados, en analogía con fotones excitados de la radiación del cuerpo negro; Se consigue evidencia experimental clara de la cuantización de las ondas elásticas con dispersión inelástica de rayos X y neutrones por cristales, llegando a obtenerse las propiedades de los fonones, ej., su relación de dispersión. Al igual que los fotones son bosones.
Teoría de Debye El estudio del calor específico en sólidos fue uno de los primeros éxitos de la teoría cuántica aplicada a sistemas macroscópicos. Más en concreto, permitió explicar las desviaciones respecto a la ley de Dulong y Petit a bajas temperaturas que habían sido medidas experimentalmente. Para estudiar la teoría de Debye, debemos plantear el hamiltoniano de las partículas que componen el sólido, que consta de la parte cinética y de la parte de energía potencial:
Como estamos interesados en el estudio del sólido, supondremos que los átomos no se desvían mucho de sus posiciones de equilibrio creadas por el potencial de interacción de los otros átomos. Así, el potencial total que afecta al átomo ésimo es: , y la posición de equilibrio de dicho átomo es aquella que hace
Podemos desarrollar la energía de interacción en serie de Taylor alrededor de estas posiciones de equilibrio como:
desarrollo en el que no aparecen las primeras derivadas del potencial donde las derivadas están sustituidas en las posiciones de equilibrio . Esta energía de interacción tiene forma cuadrática como la de un oscilador armónico, y por ello se llama aproximación armónica. Por el hecho de ser cuadrática en las variables posición, existe una transformación a otra base en la que la energía de interacción es diagonal, llamando a los elementos diagonales :
A las coordenadas se les llama modos normales de vibración desde un punto de vista clásico o fonones desde el punto de vista cuántico. Esta transformación de las variables a las deja invariante la forma de la parte cinética del hamiltoniano. Así pues, el hamiltoniano en variables es:
que es el hamiltoniano de un conjunto de osciladores armónicos de frecuencias . Los niveles cuánticos de cada uno de los osciladores son:
El cálculo dela función de partición es ahora sencillo, dado que el hamiltoniano (1) se puede descomponer en una suma de osciladores independientes:
donde cada una de las funciones de partición es:
Podemos ahora calcular el logaritmo de la función de partición:
donde hemos pasado de la suma sobre una integral sobre las mismas. El factor nos da el número de modos en (1) con frecuencias entre y . Debye supuso que se podía calcular suponiendo que la relación de dispersión que relaciona (frecuencia) con (vector de ondas) está dada por , donde es la velocidad de propagación. Con esta hipótesis,
y la frecuencia máxima se obtiene imponiendo que el número total de modos coincida con el de grados de libertad :
La frecuencia máxima, se denomina frecuencia de Debye. Consecuentemente, tenemos que la función de partición es:
A partir de esta expresión podemos calcular el calor específico, derivando respecto a para obtener la energía y posteriormente respecto a para obtener el calor específico. Tras algunos cálculos obtenemos que:
Donde es la temperatura de Debye, definida a partir de la frecuencia de Debye como: . Es importante darse cuenta de que el calor específico depende de la temperatura a través del cociente Los límites de altas y bajas temperaturas respecto a calcular fácilmente, con el resultado:
de (2) se pueden
El valor de , independientemente de la temperatura, que se conoce como la ley de Dulong-Petit.
La curva de calor específica para el modelo de Debye de unos los sólidos con la medida señalada para el aluminio, el tonelero, la plata y el plomo. La escala contiene la temperatura Debye.
SISTEMA DE OSCILADORES INDEPENDIENTES CASO CUANTICO (Correcciones del modelo de Boltzman) Einstein (1907) resolvió este desacuerdo entre teoría y experimentos proponiendo usar aquí las ideas cuánticas ya introducidas por Planck y aplicadas por él mismo con éxito en la discusión del efecto fotoeléctrico. Sugiere lo siguiente: es importante que los niveles de energía de un oscilador de frecuencia ω están cuantizados (es decir, el campo de sonido está cuantizado en analogía con el campo de radiación); sólo son posibles valores: Se sigue la función de partición:
y, para
osciladores independientes:
La energía libre de Helmholtz es:
La entropía es:
La energía interna es
El calor especifico teniendo en cuanta que
es
Estos resultados son notables puesto que Difieren esencialmente del caso clásico y, en particular, ni la energía U ni los calores específicos satisfacen el T equipartición. En efecto, clásicamente, es igual a , mientras que cuánticamente, U es siempre superior a :
Tienden a coincidir si , cuando la energía térmica supera con creces la separación típica entre niveles:
Y se tiene para el calor específico (esquemático, veremos luego):
Es decir, depende de T, manteniéndose por debajo del valor clásico y tendiendo a éste cuando . Esto coincide globalmente con las observaciones experimentales
REFERENCIAS http://josemanuelbernalsanchez.files.wordpress.com/2008/12/gno seogenesis_101 WEB SITE Dpto. de Física de Materiales – Facultad de Ciencias Físicas