TURINYS Įsivertinimo žemėlapis
Kaip dirbti su vadovėliu
3 6
1 skyrius | Trigonometriniai
sąryšiai stačiajame trikampyje 8
Skyriaus uždaviniai Tyrimo užduotis Kilimo ir leidimosi kampai Pakartokite Sužinokite, išsiaiškinkite Smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas Išmokite 1. 30°, 45°, 60° kampų sinuso, kosinuso ir tangento tikslios skaitinės reikšmės 2. Smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento skaitinės reikšmės Taikykite 1. Stačiųjų trikampių sprendimo uždaviniai 2. Trigonometrinių sąryšių taikymas praktikoje Įsivertinkite Tyrimo apibendrinimas Kilimo ir leidimosi kampai Priimkite iššūkį Kartojimo uždaviniai Papildomos užduotys ir projektai Trigonometrinių sąryšių apibrėžimas remiantis vienetiniu apskritimu
2 skyrius | Sukiniai Skyriaus uždaviniai Tyrimo užduotis Kaip ir kuo kvėpuojame? Pakartokite Sužinokite, išsiaiškinkite Kaip gaunami sukiniai? Išmokite 1. Ritinio paviršiaus plotas ir tūris 2. Kūgio paviršiaus plotas ir tūris
4
8 9 10
12
15 20 23 28 32 34 35 36
37
38 38 39 40 44 48 51
3. Rutulio paviršiaus plotas ir tūris 4. Panašiųjų kūgių savybės Taikykite 1. Sudėtingesnių erdvinių kūnų tūriai ir paviršių plotai 2. Gyvenimiško turinio uždavinių sprendimas Įsivertinkite Tyrimo apibendrinimas Kaip ir kuo kvėpuojame? Priimkite iššūkį Kartojimo uždaviniai Papildomos užduotys ir projektai Apie sukinius ir vaizduotę
3 skyrius | Briaunainiai Skyriaus uždaviniai Tyrimo užduotis Įžymiosios piramidės Pakartokite Sužinokite, išsiaiškinkite 1. Prizmė 2. Piramidė Išmokite 1. Stačiosios prizmės paviršiaus plotas ir tūris 2. Taisyklingosios piramidės paviršiaus plotas ir tūris 3. Panašiųjų piramidžių savybės Taikykite Sudėtingesnių geometrinių kūnų tūriai ir paviršių plotai. Gyvenimiško turinio uždaviniai Įsivertinkite Tyrimo apibendrinimas Įžymiosios piramidės Priimkite iššūkį Kartojimo uždaviniai Papildomos užduotys ir projektai Briaunainiai gamtoje
55 57
59 62 67 69 70 72 73
74 74 75 76 80 83
4 skyrius | Laipsniai
Skyriaus uždaviniai Tyrimo užduotis Eksponentinis didėjimas Pakartokite Sužinokite, išsiaiškinkite Laipsnių su sveikuoju rodikliu savybės Išmokite 1. Kaip apskaičiuoti skaitinio reiškinio su laipsniais reikšmę? 2. Algebrinių reiškinių su laipsniais tapatieji pertvarkiai Taikykite Veiksmai su standartinės išraiškos skaičiais Įsivertinkite Tyrimo apibendrinimas Šachmatai, ryžiai ir kėlimas laipsniu Priimkite iššūkį Kartojimo uždaviniai Papildomos užduotys ir projektai Kokiu skaitmeniu baigiasi laipsnio reikšmė?
5 skyrius | Trupmeniniai
88 92 99
101 107 109 110 112 114
116
reiškiniai
Skyriaus uždaviniai Tyrimo užduotis Kaip greičiau? Pakartokite Sužinokite, išsiaiškinkite Trupmeninis reiškinys ir jo apibrėžimo sritis Išmokite 1. Trupmeninio reiškinio prastinimas 2. Trupmeninių reiškinių sudėtis ir atimtis 3. Trupmeninių reiškinių daugyba ir dalyba Taikykite 1. Sudėtingesnių trupmeninių reiškinių pertvarkymas 2. Reiškinių sudarymas 3. Formulės
116 117 118 121
Įsivertinkite Tyrimo apibendrinimas Kaip greičiau? Priimkite iššūkį Kartojimo uždaviniai Papildomos užduotys ir projektai Glaudžiamieji lęšiai
6 skyrius | Trupmeninės 124 127 130 134 135 136 137 139
140 140 141 142
144 147 150
lygtys
Skyriaus uždaviniai Tyrimo užduotis Kaip įrengti baseiną? Pakartokite Sužinokite, išsiaiškinkite Trupmeninė lygtis, jos apibrėžimo sritis ir sprendinys Išmokite 1. Paprasčiausių trupmeninių lygčių sprendimas 2. Sudėtingesnių trupmeninių lygčių sprendimas Taikykite 1. Judėjimo uždavinių sprendimas 2. Darbo uždavinių sprendimas 3. Įvairių žodinių uždavinių sprendimas Įsivertinkite Tyrimo apibendrinimas Kaip įrengti baseiną? Priimkite iššūkį Kartojimo uždaviniai Papildomos užduotys ir projektai Fotoefekto lygtis
Šaltiniai
163 164 165 166 167
168 168 169 170
174
177 179 181 184 187 190 191 192 193 195 196
154
156 158 161
QR kodu žymimi su tema susiję skaitmeniniai ištekliai. Įveskite trumpąją nuorodą į adresų juostą arba nuskenuokite kodą telefonu. moks.link/bbcz
5
Kaip dirbti su vadovėliu Šiame dviejų dalių vadovėlyje yra 12 skyrių, kurių medžiagą nagrinėdami: • gilinsite matematikos žinias ir supratimą, • tobulinsite matematinį mąstymą ir komunikavimą, • ugdysitės gebėjimus spręsti matematines problemas, bendradarbiauti, taikyti matematikos žinias per kitų dalykų pamokas ar gyvenimiškose situacijose.
Išsikeltam skyriaus tikslui ir suplanuotiems uždaviniams įgyvendinti padės tikslinga kiekvieno skyriaus veikla.
Ar mokate? PAKARTOKITE Ar žinote?
Kaip taikomos kvadratinių šaknų savybės, pertvarkant įvairius skaitinius reiškinius su šaknimis, apskaičiuojant jų reikšmes? Kaip panaikinti trupmenos vardiklio iracionalumą? Kaip apskaičiuoti nežinomą proporcijos narį? Kaip įrodyti, kad trikampiai yra panašūs?
❶ Suprastinkite:
Kvadrãtinių šakn savýbės: a = b, a
0, b 0, jei b2 = a; 0; a, kai a 0, a2 = |a| = –a, kai a < 0;
a) 112;
( a )2 = a, a a∙b= a b
=
b, a
a∙
a ,a b
Skyriaus pradžioje rasite „motyvatorių“ − tyrimo užduotį, padėsiančią suprasti naują teorinę medžiagą ir taikyti ją praktiškai. O skyriaus pabaigoje sugrįšite prie jos išsprendimo ir apibendrinimo.
3
Pagrindnė propòrcijos savýbė: kiekvienos proporcijos kraštinių narių sandauga lygi vidurinių narių sandaugai.
Viduriniai nariai
2
b) 75;
d) 21 · 28;
128 g) 16 ;
· h) 10 2 152 .
c) 162;
b) 28 ; 35
a) 15 ;
Dviejų santykių lygybė a : b = c : d, arba ab = dc , vadinama propòrcija.
→
f) (3 7) ;
45 ; c) 80
17 – 8
Šiuose skyreliuose dešinėje puslapio pusėje – kartojimo uždaviniai. Kairėje pusėje išdėstyti faktai, formulės, taisyklės reikiamoms žinioms prisiminti ir pagalba uždaviniams spręsti.
d) – (–4)2 · 3.
❸ Panaikinkite trupmenos vardiklio iracionalumą:
= a b , kai a 0, b 0, –a b , kai a < 0, b 0.
a:b=c:d
3
a) 36 · 7;
0, b > 0;
Kraštiniai nariai
2 3
e) 6 ∙ 18 ; 3
b) 24 ;
❷ Iškelkite daugiklį prieš kvadratinės šaknies ženklą:
0, b 0;
a2b = |a| b =
Kiekvieno skyriaus ĮVADINĖ ATLANKA padės susiplanuoti, ko ir kaip mokysitės, o ĮSIVERTINIMO TESTAS ir ĮSIVERTINIMO ŽEMĖLAPIS padės stebėti mokymosi eigą.
Ar mokate?
PAKARTOKITE
Šie skyreliai skirti žemesniųjų klasių matematikos žinioms pakartoti ir pasitikrinti, kaip jas taikote spręsdami uždavinius.
c)
❹ Kuri lygybė yra teisinga, jei 3 A
3 3 2
= 75 4 2
B
4 2 5 3
=
3 3 2
2 3
4 ; 2+ 6
= 75 ? 32
C 34 = 51
❺ SUŽINOKITE, IŠSIAIŠKINKITE ❻
Apskaičiuokite nežinomą proporcijos narį x: x = 7; x; b) 85 = 24 ; c) 23 = 18 a) 12 1,5 x
a ∙ d = b ∙ c ← ab = dc .
Trkampių panašùmo póžymiai
e) 1,2 = 4x ;
f) x +4 5 = 12 ;
Iš lygybių išreikškite z: ; a) x2 = y2 – 2yz; b) x = yz 2
g) xx +– 44 = 65 ;
c) a = az – 2a;
d) 8 2 . 6–3 8
Skyrelyje „Sužinokite, išsiaiš5 3 kinkite“ rasite apibrėžtas ir 8; d) 0,2 = 12 x paaiškintas visas pagrindih) 6 37 : 4,5 = 1 67 : x. nes naujos temos sąvokas, d) 2bz reikiamus = 1 –z 2b. žymenis. D 18 = 32 3
❼ Įrodykite, kad stačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, dalija trikampį į du panašius stačiuosius trikampius, kurių kiekvienas panašus į pradinį CDB ACB. trikampį: ADC
IŠMOKITE
Skyrelyje „Išmokite“ praplėsite naujos temos žinias, formuosite įgūdžius spręsdami tipinius temos uždavinius.
❽ Remdamiesi brėžinio duomenimis apskaičiuokite x, y ir z reikšmes: Jei ∠A = ∠A1 ir ∠B = ∠B1, A1B1C1. tai ABC Jei tai
AB A1B1
=
AC A1C1
ABC
a)
b)
ir ∠A = ∠A1,
c)
A1B1C1.
Jei BBC = AAC = AABB , C C
tai
1
1
ABC
1
1
1 1
A1B1C1.
TAIKYKITE
PRIIMKITE IŠŠŪKĮ Išėję skyrių apmąstykite savo veiklą, įsivertinkite rezultatus, priimkite sprendimus, kaip gerinsite savo pasiekimus ir pažangą.
Šiame skyrelyje naujas žinias 11 ir įgūdžius taikysite sudėtingesnėse situacijose, spręsite dar daugiau ir įvairesnių uždavinių.
Šio skyrelio uždaviniai leis išbandyti jėgas ir siekti dar aukštesnių matematikos žinių taikymo rezultatų.
Šių skyrelių pavyzdžiai pateikiami melsvame fone. Perskaitykite kairįjį stulpelį – pavyzdžio sprendimą. Dešiniajame stulpelyje rasite detalesnius paaiškinimus.
Briaunainiai gamtoje Piramidės ir prizmės formos erdviniai kūnai yra ne vien žmogaus kūriniai. Kartais tokias formas sukuria pati gamta.
2. Snaigės Apsnigti žiemos laukai ir miškai primena pasaką. O kas yra sniegas? Tai neapsakoma daugybė snaigių, kurios krinta iš debesų ir palengva leidžiasi ant žemės. Kaip susidaro snaigės? Debesyse sklando nesuskaičiuojama daugybė taisyklingų šešiakampės prizmės formos ledo kristalų (monokristalų). Jų dydis gali būti nuo 0,025 mm iki 0,25 mm. Dėl oro srovių šie kristalai juda į visas puses, susiduria, sukimba ir iš jų formuojasi nepaprasto grožio snaigės. Jos ima leistis žemyn. Kiekvienoje snaigėje yra nuo dviejų iki dviejų šimtų ledo kristalų.
1. Atomai ir molekulės Gamtoje kai kurios medžiagos, vadinamieji kristalai, yra taisyklingos geometrinės formos. Kartais ši forma matoma plika akimi, kartais – pro mikroskopą. Ją lemia tvarkingas medžiagos dalelių (molekulių, atomų arba jonų) išsidėstymas. Dalelės erdvėje tarsi sudaro geometrines figūras. Tokios medžiagos yra deimantas, valgomoji druska, kai kurie metalai ir kt. Piešinyje matote valgomosios druskos kristalą.
Užduotys ❶ Sniegas būna įvairus. Pasidomėkite, kokių rūšių būna
sniegas, dėl kokių priežasčių formuojasi skirtingas sniegas.
❷ Pasidomėkite, kokio vidutiniškai ilgio yra snaigės skersmuo. Tačiau taisyklingos formos gali būti ne tik kristalų dalelės. Antai tetraedro formos yra dujinių medžiagų metano ir amoniako molekulės. Šių medžiagų atomai yra išsidėstę įsivaizduojamo tetraedro viršūnėse.
KARTOJIMO UŽDAVINIAI
Atlikdami kartojimo užduotis pasitikrinsite ne tik naujai išeitos temos žinias, bet ir ankstesnių skyrių medžiagą.
1958 metais Bèlgijos sostinėje Briùselyje buvo pastatyta plieninė konstrukcija „Atomium“, kuri ir dabar žavi turistus iš viso pasaulio. Ji sveria 2400 tonų. Šis kūrinys vaizduoja 165 milijardus kartų padidintą geležies molekulę. Konstrukcija sudaryta iš devynių 18 m skersmens rutulių, juos jungia dvidešimt 23 m ilgio ir 3 m skersmens vamzdžių. Aštuoni rutuliai išdėstyti kubo viršūnėse, o devintasis yra kubo įstrižainių sankirtos taške. Tuščiaviduriuose rutuliuose rengiamos įvairios parodos, o patekti į juos galima eskalatoriais.
Užduotys
Kiek snaigė sveria? Kokiu greičiu snaigė leidžiasi ant žemės?
3. Bičių koriai Ar žinojote, kad bičių korių akutės yra taisyklingosios šešiakampės prizmės formos? Vaško koriuose bitės saugo medų. Vaško gamyba yra ilgas ir sunkus procesas. Jei korio akutės yra šešiakampio formos, tam pačiam kiekiui medaus saugoti sunaudojama mažiausiai vaško. Jei korio akutės būtų trikampės arba kvadratinės, tam pačiam kiekiui medaus saugoti reikėtų pagaminti daugiau vaško.
Užduotys
❶ Pasidomėkite,
❶ Pasidomėkite, koks apytiksliai yra vienos šešiakampės vaškinio
❷ Per chemijos pamokas pasiaiškinkite, kaip auginami kristalai.
❷ Apskaičiuokite, kiek kartų padidėtų vaško sąnaudos, jei koriai
kokios savybės būdingos kristalinėms medžiagoms. Kaip šios savybės taikomos (technikoje, inžinerijoje ir kt.)?
Pabandykite patys užsiauginti kristalą.
❸ Paieškokite literatūroje, kokių dar medžiagų molekulės yra
korio akutės plotas.
būtų sudaryti ne iš šešiakampių, o iš trikampių arba keturkampių prizmių.
piramidės ar prizmės formos.
❹ Pasidomėkite, kokiu tikslu buvo pastatyta konstrukcija „Atomium“. Ką ji simbolizuoja?
114
UŽDAVINIAI
Skyrelių uždaviniai išskirti rusva spalva, o sutartiniai ženklai nurodo užduoties tipą ar veiklos pobūdį.
115
Skyriaus pabaigoje siūloma papildomų sudėtingesnių naujos temos užduočių ir projektų.
Sutartiniai ženklai nurodys veiklą, užduoties tipą, jos atlikimo būdą. Sprendimo strategija (būdas) Darbas poromis Darbas grupėmis
6
Tarpdalykinės integracijos užduotis
Projektinė užduotis
Probleminė / tyrimo užduotis
Informacijos paieškos užduotis, nuoroda į kitą informacijos šaltinį
7
Kilimo ir leidimosi kampai
1 SKYRIUS
TRIGONOMETRINIAI SĄRYŠIAI STAČIAJAME TRIKAMPYJE ❶
PRISIMINSITE
kas yra trikampio (stačiojo trikampio) elementai; kam lygi trikampio kampų didumų suma; kam lygi stačiojo trikampio smailiųjų kampų didumų suma; kaip susiję stačiojo trikampio statinių ir įžambinės ilgiai (Pitagoro teorema); kaip taikomos kvadratinių šaknų savybės, pertvar kant įvairius skaitinius reiškinius su šaknimis, apskaičiuojant jų reikšmes; kaip panaikinti trupmenos vardiklio iracionalumą; kaip apskaičiuoti nežinomą proporcijos narį; kaip įrodyti, kad trikampiai yra panašūs.
❷
SUŽINOSITE, IŠSIAIŠKINSITE
kas vadinama smailiojo kampo sinusu, kosinusu ir tangentu.
Du draugai Darius ir Marius yra lėktuvų pilotai. Darius pilotuoja keleivinius orlaivius, o Marius – mažus lėktuvus, gabenančius krovinius. Prieš kylant ar leidžiantis lėktuvų pilotams reikia įvertinti lėktuvų greitį ir kilimo ar leidimosi kampo didumą.
❶ Darius prieš skrydį skaito piloto žurnalą, kuriame nurodyta, kad
jo lėktuvo kilimo trajektorija kerta kalną. Šio kalno įkalnė 20 %. Dar žinoma, kad aukščiausia kalno viršūnė iškyla virš taško, esan čio už 2 km nuo aerodromo tako galo. Nuo kilimo ir tūpimo tako galo kalno kryptimi Darius kelia savo valdomą lėktuvą. Šis kyla pastoviu greičiu tol, kol praskrenda kalno viršūnę. 1. Kokiame aukštyje aerodromo atžvilgiu yra aukščiausia kalno viršūnė? 2. Koks turėtų būti kilimo kampas 0,1° tikslumu, kad lėktuvas praskristų virš aukščiausios kalno viršūnės 50 m aukštyje?
❷ Mariaus pilotuojamo mažo lėktuvo, skrendančio 800 m aukštyje,
❸
8
IŠMOKSITE
susieti stačiojo lygiašonio trikampio kraštinių ilgius; susieti stačiojo trikampio, kurio smailiųjų kampų didumai 30° ir 60°, kraštinių ilgius; apskaičiuoti 30°, 45°, 60° kampų sinuso, kosinuso ir tangento tikslias skaitines reikšmes; skaičiuotuvu apskaičiuoti laipsniais išreikšto smailiojo kampo sinusą, kosinusą ir tangentą nurodytu tikslumu; skaičiuotuvu apskaičiuoti kampo didumą laipsniais, kai žinomas to kampo sinusas, kosinusas ar tangentas; apskaičiuoti stačiojo trikampio elementų dydžius (kraštinių ilgius ir kampų didumus), perimetrą ir plotą, kai žinomi dviejų to trikampio elementų dydžiai; taikyti sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžtis, spręs dami gyvenimiško turinio uždavinius.
borto kompiuteris tam tikru momentu apskaičiuoja nusileidimo tako, esančio proskynoje, ilgį. Remdamiesi paveiksle pateiktais duo menimis apskaičiuokite šio tako ilgį 1 m tikslumu.
9
1 skyrius
|
Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje |
Išmokite
UŽDAVINIAI
TAIKYKITE
Apskaičiuokite tikslias reiškinių reikšmes: a) 23 sin 60° – 12 cos 60°;
b) 2 sin 60° + cos 30° – tg 60°;
c) 12 sin 30° ∙ cos2 30° – 32 tg 30° ∙ tg 60°;
45° – sin 60°; d) cos cos 30° – sin 45°
e)
(sin 60° – cos 60°)2; tg2 60° – 4 sin2 30°
f)
Skaičiuotuvu apskaičiuokite 0,001 tikslumu: a) sin 32°; d) sin 78,45°;
b) cos 53°; e) cos 40,13°;
2 sin2 60° – 1 3 tg 45°
+
moks.link/bbdc
1 – tg2 30° . 3 sin 30°
c) tg 85°; f) tg 12,55°.
Nurodykite
smailiojo kampo A didumą 0,1°, o smailiojo kampo B didumą 1° tikslumu, kai: a) sin ∠A ≈ 0,2079; b) cos ∠A ≈ 0,9553; c) tg ∠A ≈ 2,6051; d) sin ∠B ≈ 0,9113; e) cos ∠B ≈ 0,2747; f) tg ∠B ≈ 0,3636.
Kas daugiau:
a) sin 27° ar cos 62°;
b) sin 29° ar tg 29°;
Uždaviniai, kuriuos sprendžiant reikia rasti visus nežinomus trikampių elementų dydžius (kraštinių ilgius ir kampų didumus), vadinami trkampių sprendmo uždavinias. Uždavinių, kuriuose naudojami trigonometriniai sąryšiai, atsakymai dažniausiai apvalinami nurodytu tikslumu. Nuo to, kiek kartų apvalinami tarpiniai rezultatai, ir nuo apvalinimo tikslumo priklauso, su kokia paklaida gaunamas atsakymas. Todėl atsakymai, skaičiuojant skirtingai, gali skirtis. Dažnai uždavinio sąlygoje nebūna nurodyta, kokiu tikslumu reikia pateikti atsakymą. Tada atsakymas užrašomas tokiu tikslumu, koks yra uždavinio sąlygoje pateiktų duomenų tikslumas, t. y. atsakyme po kablelio paliekama tiek skaitmenų, kiek jų turi skaičiai uždavinio sąlygoje. Įsidėmėkite: jei įmanoma, skaičiuodami imame duotas, o ne apskaičiuotas trikampio elementų dydžių skaitines reikšmes; trikampio elementų dydžių skaitines reikšmes skaičiuojame bent dviem skaitmenimis po kablelio didesniu tikslumu, negu nurodyta uždavinio sąlygoje; trigonometrinių santykių tarpines skaitines reikšmes dažniausiai apvaliname 0,0001 tikslumu; nurodytu tikslumu apvaliname TIK galutinį atsakymą.
c) cos 39° ar 0,777?
cos 73°; sin 40°; tg 45°; cos 26°; tg 73°; sin 45°.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Kaip apskaičiuoti stačiojo trikampio elementų dydžius (kraštinių ilgius ir kampų didumus), perimetrą ir plotą, kai žinomi dviejų to trikampio elementų dydžiai? Kaip taikyti sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžtis, sprendžiant praktinius uždavinius?
1. Stačiųjų trikampių sprendimo uždaviniai
Išdėstykite didėjimo tvarka:
Apskaičiuokite kampo K didumą 1° tikslumu:
Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje
Mokinys išsprendė mokytojo pateiktas užduotis. Patikrinkite mokinio sprendi mą ir raskite klaidas. Jei įmanoma, teisingai apskaičiuokite ieškomus dydžius.
a)
sin 28° =
x , 5 cm
b)
x = 5 cm ∙ sin 28°, x ≈ 2,35 cm; c) x = 4,7 cm ∙ tg 34°, x ≈ 3,17 cm;
22
cos α =
cos α ≈ 0,82, α ≈ 0,61°; d)
tg 34° = 4,7xcm,
Pavyzdžiai 9 cm , 11 cm
tg 27° = 42 xmm,
tg 27° , x = 42 mm
x ≈ 0,012 mm.
Duota: ∠C = 90°, ∠B = 42°, AB = 100. Reikia apskaičiuoti: AC, BC.
① Remdamiesi brėžinyje pateiktais duomenimis nežinomus stačiojo trikampio statinių ilgius apskaičiuokime 0,1 tikslumu.
Sprendimas
AC , sin ∠B = AB
Remdamiesi sinuso apibrėžtimi užrašome kampo B sinusą stačiojo trikampio kraštinių ilgių santykiu.
AC = AB ∙ sin ∠B = 100 ∙ sin 42° ≈ ≈ 100 ∙ 0,6691 = 66,91 ≈ 66,9;
Išreiškiame nežinomą kraštinės ilgį ir jį apskaičiuojame įrašę žinomas skaitines reikšmes.
23