ARTHUR BENJAMIN, MICHAEL SHERMER
Iš anglų kalbos vertė Vytenis Bagdonas
Turinys
Billo Nye ( The Science Guy ®) pratarmė Jameso Randi pratarmė Michaelio Shermerio prologas Arthuro Benjamino įžanga
9 15 17 21
0 skyrius Greitieji triukai: nesudėtingi (ir įspūdingi) skaičiavimai
23
1 skyrius Truputėlis „duoti ir imti“: mintina sudėtis ir atimtis
33
2 skyrius Vėjais paleistos jaunystės rezultatai: daugybos pagrindai
51
3 skyrius Nauji ir geresni rezultatai: pereinamoji daugyba
75
4 skyrius Skaldyk ir valdyk: mintina dalyba
102
5 skyrius Tiks: spėjimo menas
130
6 skyrius Matematika raštu
153
6 ĮDOMIOJI MATEMATIKA
7 skyrius Įsimintinas skyrius: kaip įsiminti skaičius
173
8 skyrius Sudėtingi dalykai paprastai: daugyba pažengusiesiems
185
9 skyrius Matematikos magijos menas
221
∞ skyrius Michaelio Shermerio epilogas Kaip matematika mums padeda mąstyti apie keistus dalykus
244
255 233 295
Atsakymai Bibliografija Padėka
Įžanga
Nuo pat vaikystės mėgau žaisti su skaičiais, o šioje knygoje tikiuosi pasidalyti savo aistra su jumis. Mane skaičiai visada magiškai traukė, todėl aš praleidau begalę valandų pramogaudamas ir linksmindamas kitus gražiosiomis skaičių ypatybėmis. Paauglystėje rengiau magijos pasirodymus ir galiausiai sujungęs meilę matematikai ir magijai sukūriau pasirodymą, vadinamą „Matematikos magija“, kuriame aš parodau ir aiškinu greitojo mintino skaičiavimo paslaptis visų amžių žiūrovams. Įgijęs daktaro laipsnį dėsčiau matematiką Harvey’aus Muddo koledže ir vis dar mėgstu dalytis skaičių teikiamu malonumu su vaikais ir suaugusiaisiais visame pasaulyje. Šioje knygoje pasidalysiu visomis paslaptimis, kaip greitai ir lengvai spręsti matematines užduotis mintinai (suprantu, kad magai neturėtų atskleisti savo paslapčių, tačiau matematikos magai vadovaujasi kitu etikos kodeksu: matematika turi būti įkvepianti, ne paslaptinga). Ko ši knyga jus išmokys? Gebėsite mintinai atlikti matematinius veiksmus tokiu greičiu, kokio niekada neįsivaizdavote. Šiek tiek pasitreniravę galėsite atsiminti daug daugiau skaičių. Išmoksite proto triukų, kurie sužavės draugus, kolegas ir mokytojus. Svarbiausia, kad pažinsite matematiką kaip linksmą užsiėmimą.
20 ĮDOMIOJI MATEMATIKA
Matematikos dažnai mokoma kaip griežtų taisyklių rinkinio ir nepaliekama erdvės kūrybiniam mąstymui. Skaitydami Įdomiąją matematiką sužinosite, kad yra daugiau nei vienas būdas išspręsti uždavinį. Sudėtingi uždaviniai gali būti skaidomi į mažesnius, lengvesnius veiksmus. Mes ieškome ypatingų savybių, kurios padėtų juos išspręsti. Manau, kad tai yra vertinga gyvenimo pamoka, kurią galime naudoti spręsti įvairiems uždaviniams – tiek matematiniams, tiek ne. „Argi niekas neturi įgimto matematinio talento?“ – man dažnai užduodamas šis klausimas. Daug žmonių yra įsitikinę, kad žaibiškai skaičiuoti gali tik apsigimę genijai. Gali būti, kad aš gimiau smalsus, norintis sužinoti, kaip viskas veikia: ar tai būtų matematika, ar magijos triukas. Ilgus metus kaupdamas patirtį įsitikinau, kad greitasis skaičiavimas yra įgūdis ir to gali išmokti kiekvienas. Kaip ir kiekvienas įgūdis, jis reikalauja lavinimosi ir pasiaukojimo, jei norite tapti ekspertu. Norėdami efektyviai pasiekti šiuos rezultatus, privalote lavintis teisingai. Leiskite parodyti, kaip! Matemagiškai dr. Arthuras Benjaminas Klermontas, Kalifornija
0 skyrius
Greitieji triukai: nesudėtingi (ir įspūdingi) skaičiavimai
Skaitydami šios knygos puslapius išmoksite mintinai skai-
čiuoti tokiu greičiu, kokio negalėjote įsivaizduoti. Šiek tiek pasimokę naudoti šioje knygoje pateikiamus metodus patobulinsite savo gebėjimą dirbti su skaičiais. Jei mokysitės daugiau, daug skaičiavimų atliksite greičiau už žmones, naudojančius skaičiuotuvus. Vis dėlto mano tikslas yra šiame skyriuje išmokyti jus kelių lengvų ir įspūdingų skaičiavimų, kuriuos galite imti naudoti iš karto. Į rimtesnius dalykus kibsime vėliau. STAIGIOJI DAUGYBA
Pradėkime nuo vieno iš mano mėgstamiausių mintinų skaičiavimų – kaip mintinai padauginti bet kurį dviženklį skaičių iš vienuolikos. Tai atlikti labai lengva, kai žinote paslaptį. Štai uždavinys: 32 × 11
Jei norite jį išspręsti, tiesiog sudėkite skaitmenis, 3 + 2 = 5, įterpkite 5 tarp 3 ir 2. Štai jūsų atsakymas:
22 ĮDOMIOJI MATEMATIKA
352
Kas galėtų būti lengviau? Dabar pabandykite: 53 × 11
Kadangi 5 + 3 = 8, jūsų atsakymas yra: 583
Dar vienas uždavinys. Nežiūrėdami į atsakymą ir nieko neužsirašydami, atsakykite, kiek yra 81 × 11?
Gavote 891? Sveikinu! Na, nepradėkite per daug džiaugtis, nes aš parodžiau tik pusę to, ką jums reikia žinoti. Tarkime, veiksmas yra 85 × 11
Nors 8 + 5 = 13, atsakymas NE 8135! Kaip ir prieš tai, 3 įterpiame tarp skaičių, tačiau 1 turi būti pridėtas prie 8, kad gautume teisingą atsakymą – 935
Galvokite apie veiksmą šitaip: 100 835 935
Greitieji triukai: nesudėtingi (ir įspūdingi) skaičiavimai 23
Štai dar vienas pavyzdys. Pabandykite išspręsti 57 × 11. Kadangi 5 + 7 = 12, atsakymas yra 100 527 627
Gerai, dabar jūsų eilė. Kiek įmanoma greičiau atsakykite, kiek yra 77 × 11?
Jei jūsų atsakymas 847, paplekšnokite sau per petį – jūs žengiate pirmuosius matematikos mago žingsnius. Iš savo patirties žinau, kad pasakęs draugui ar mokytojui, jog gali padauginti bet kokį dviženklį skaičių iš vienuolikos, netrukus būsi paprašytas apskaičiuoti 99 × 11. Atlikime šį veiksmą dabar, kad būtume tam pasiruošę. Kadangi 9 + 9 = 18, atsakymas yra: 0100 0989 1089
Gerai, pasimokykite taikyti naująjį įgūdį keletą kartų ir pradėkite jį demonstruoti. Aplinkinių reakcija jus nustebins (atskleisti paslaptį ar ne – jūsų valia!). Sveiki sugrįžę. Matyt, turite keletą klausimų, pavyzdžiui: „Ar galima šiuo metodu dauginti triženklius (ar didesnius) skaičius iš vienuolikos?“
24 ĮDOMIOJI MATEMATIKA
Tikrai taip. Pavyzdžiui, uždavinio 314 × 11 atsakymas prasideda 3 ir baigiasi 4. Kadangi 3 + 1 = 4, o 1 + 4 = 5, todėl atsakymas yra 3454. Palikime panašius sudėtingus veiksmus vėlesniam laikui. Praktiškesnis klausimas, kurį veikiausiai užduosite: „Na, puiku dauginti iš vienuolikos, o kaip didesni skaičiai? Kaip dauginti skaičius iš dvylikos, trylikos ar trisdešimt šešių?“ Mano atsakymas – kantrybės! Visa likusi knyga yra apie kantrybę. 2, 3, 6 ir 8 skyriuose išmoksite metodų, kurie padės sudauginti beveik bet kokius du skaičius. Dar geriau – nereikės įsiminti jokių ypatingų taisyklių kiekvienam skaičiui. Greitai ir lengvai mintinai dauginti skaičius galima keliomis technikomis. KĖLIMAS KVADRATU IR DAUGIAU
Štai dar vienas greitas triukas. Veikiausiai žinote, kad skaičiaus kvadratas yra skaičius, padaugintas iš savęs. Pavyzdžiui, 7 kvadratu yra 7 × 7 = 49. Vėliau išmokysiu jus paprasto metodo, kuris leis lengvai apskaičiuoti bet kurio dviženklio ir triženklio (ar didesnio) skaičiaus kvadratą. Šį metodą taikyti yra labai paprasta, kai paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 5, todėl atliksime šį triuką dabar. Keliant kvadratu skaičių, kurio paskutinis skaitmuo yra 5, reikia atsiminti tik du dalykus. 1. Atsakymas prasideda tuo, ką gaunate padauginę pirmąjį skaitmenį iš vienetu didesnio skaitmens. 2. Atsakymas baigiasi 25.
Greitieji triukai: nesudėtingi (ir įspūdingi) skaičiavimai 25
Pavyzdžiui, jei norite kvadratu pakelti 35, tereikia padauginti pirmąjį skaitmenį (3) iš vienetu didesnio skaitmens (4) ir prirašyti 25. Kadangi 3 × 4 = 12, atsakymas yra 1 225. Taigi, 35 × 35 = 1 225. Sprendimą galima pavaizduoti šitaip: 00000000000035 00000000000× 35 003 × 4 = 12 00005 × 5 = 0025 Atsakymas: 1225
Pabandykime kvadratu pakelti 85? 8 × 9 = 72, todėl mes iš karto sužinome, kad 85 × 85 = 7 225. 00000000000085 00000000000× 85 008 × 9 = 72 00005 × 5 = 0025 Atsakymas: 7225
Galime naudoti panašų triuką daugindami du dviženklius skaičius, kurių pirmasis skaitmuo yra toks pats, o antrųjų skaitmenų suma lygi 10. Atsakymo pradžia yra tokia pati, kaip anksčiau (pirmasis skaitmuo padauginamas iš vienetu didesnio skaitmens), o pabaiga – antrųjų skaitmenų sandauga. Pavyzdžiui, pabandykime apskaičiuoti 83 × 87 (abu skaičiai prasideda 8, o antrųjų skaitmenų suma 3 + 7 = 10). Kadangi 8 × 9 = 72, o 3 × 7 = 21, atsakymas yra 7 221. 00000000000083 00000000000× 87 008 × 9 = 72 00003 × 7 = 0021 Atsakymas: 7221
26 ĮDOMIOJI MATEMATIKA
84 × 86 sandauga lygi 7 224. Dabar jūsų eilė. Pabandykite apskaičiuoti 26 × 24
Kokia yra atsakymo pradžia? 2 × 3 = 6. Kokia jo pabaiga? 6 × 4 = 24. Taigi, 26 × 24 = 624. Atsiminkite, kad naudoti šį metodą galima tada, kai pirmieji skaitmenys sutampa, o antrųjų skaitmenų suma lygi 10. Taigi, šiuo metodu galime žaibiškai apskaičiuoti, kad 31 32 33 34 35
× × × × ×
39 38 37 36 35
= = = = =
1209 1216 1221 1224 1225
Galbūt jums kilo klausimas: „Ką daryti, jei antrųjų skaitmenų suma nelygi dešimt? Ar galime naudoti šį metodą daugindami dvidešimt du ir dvidešimt tris?“ Kol kas negalime, tačiau 8 skyriuje aš nurodysiu jums, kaip lengvai atlikti tokius veiksmus šalia esančių skaičių metodu (jei norite sudauginti 22 × 23, reikia dauginti 20 × 25, pridėti 2 × 3 ir sudėti 500 + 6 = 506, tačiau tai aptarsime vėliau!). Jūs ne tik išmoksite naudoti šiuos metodus, bet ir suprasite, kaip jie veikia. „Ar yra triukų mintinai sudėti ir atimti?“ Žinoma, būtent apie tai bus visas kitas skyrius. Jei mane priverstų keturiais žodžiais apibūdinti visus metodus, pasakyčiau: „Iš kairės į dešinę.“ Štai išankstinė peržiūra.
Greitieji triukai: nesudėtingi (ir įspūdingi) skaičiavimai 27
Panagrinėkite šį atimties uždavinį: 01241 – 587
Dauguma žmonių nemėgsta spręsti tokių uždavinių mintinai (ar popieriuje!), bet mes galime jį supaprastinti. Vietoje 587 atimkime 600, kadangi 1200 – 600 = 600, gauname 1241 – 600 641
Atėmėme 13 per daug (1 skyriuje bus paaiškinta, kaip greitai nustatyti, kad tai yra 13). Taigi, skausmingai atrodantis atimties uždavinys tampa labai lengvu sudėties uždaviniu, 641 + 13 654
kurį nesunku apskaičiuoti mintinai (ypač iš kairės į dešinę). Taigi, 1241 – 587 = 654. Naudodami truputėlį matematinės magijos, apibūdintos 9 skyriuje, galėsite žaibiškai apskaičiuoti dešimties nurodytų skaičių sumą. 9 5 14 19 33 52 85 137 222 + 359 935
ĮSIGYKITE
KNYGĄ DABAR