Índice UNIDAD I
conociendo el idioma de la matemática
Capítulo 1 Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje ........................................................................................................ 5 Capítulo 2 Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas............................................................................................. 12
UNIDAD II
MATEMÁTICA recreativa
Capítulo 1 Ruedas, figuras y palitos de fósforo ............... 18
Capítulo 3 Repaso I
Capítulo 2 Cuadros numéricos
Capítulo 4 Multiplicaciones abreviadas .......................... 41
UNIDAD III
................................... 28
.................................... 37
CONOCIENDO SITUACIONES ESPECIALES
Capítulo 1 Situaciones lógicas
.................................... 49
Capítulo 4 Ordenamiento lineal
Capítulo 2 Pensamiento lateral
................................... 55
Capítulo 5 Ordenamiento circular .................................... 72
Capítulo 3 Repaso II
.................................... 61
UNIDAD IV
.................................... 65
EXPLORANDO HABILIDADES MATEMÁTICAS: pSICOTÉcNICO
Capítulo 1 Razonamiento abstracto ................................. 79
Capítulo 3 Sucesiones especiales .....................................91
Capítulo 2 Repaso III
Capítulo 4 Relaciones numéricas .................................... 96
UNIDAD V
................................... 87
reconociendo situaciones especiales de conteo
Capítulo 1 Conteo de triángulos .................................. 103
Capítulo 3 Contar caminos
Capítulo 2 Repaso IV ................................. 109
Capítulo 4 Perímetros .................................. 118
.................................. 112
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO UNIDAD VI
interpretando las operaciones fundamentales
Capítulo 1 Criptogramas I
................................. 124
Capítulo 4 Operaciones combinadas II .......................... 140
Capítulo 2 Criptogramas II
................................. 129
Capítulo 5 Método de las operaciones inversas ............. 145
Capítulo 3 Operaciones combinadas I ............................ 135
Capítulo 6 Repaso V .................................. 151
UNIDAD VII
analizando los intervalos iguales
Capítulo 1 Intervalos de longitud .................................................................................................................................... 155 Capítulo 2 Intervalos de tiempo
UNIDAD VIII
.....................................................................................................................................161
analizando situaciones fraccionarias
Capítulo 1 Los números fraccionarios y sus aplicaciones ................................................................................................... 168 Capítulo 2 Situaciones básicas en las fracciones
UNIDAD IX
................................................................................................... 176
usando símbolos y gráficos en la matemática
Capítulo 1 Operaciones matemáticas arbitrarias ........... 184 Capítulo 2 Gráficos estadísticos ................................. 190
Capítulo 3 Repaso VI
.................................. 199
UNIDAD I
Conociendo el idioma de la Matemática
L
a Matemática nos ayuda a entender y explicar los hechos que ocurren en la naturaleza. Para ello se vale de expresiones donde hay letras, números y otros símbolos. Por ejemplo, son ecuaciones las expresiones: • E=mc2 mm • F=G 1 2 2 d • x+x+1+x+2=36
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Interpretar el significado de las expresiones simbólicas y numéricas en las diversas situaciones y operaciones. • Identificar cantidades conocidas y desconocidas. Resolución de problemas • Aplicar conocimientos básicos en la resolución de problemas con las ecuaciones lineales. • Realizar procesos y operaciones en el despeje de la variable. Razonamiento y demostración • Evaluar los datos disponibles y las estrategias de resolución. • Formular conclusiones de las expresiones simbólicas.
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje .
En este capítulo aprenderemos a: • •
Aplicar los diferentes conceptos matemáticos para resolver una ecuación. Identificar una variable y despejarla.
Encontrando la incógnita Resolver una ecuación significa aplicar los conocimientos conocidos, es decir, emplear las diferentes operaciones aritméticas y algebraicas con la finalidad de hallar el valor de una incógnita. Al reemplazar el valor hallado en la ecuación se debe cumplir una igualdad. Ejemplo: 2x+5=17 Resolución: x=6 → 2(6)+5=17 123 17 ¿Cómo se halló el valor: x=6?
Central: 619-8100
Unidad I
5
Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje
Conceptos básicos Ecuación
Es la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por ejemplo:
Es una expresión algebraica
5x+8
Coeficiente
Término independiente
Es otra expresión algebraica
3x+20
Variable
Luego, igualando las expresiones, se determina una ecuación: Términos
5x+8 = 3 x+20 123 123 Primer miembro
Segundo miembro
Solución de una ecuación Es el valor numérico que debe tomar la variable para que la igualdad sea cierta, así: En la ecuación: 5x+8=3x+20 La solución de la ecuación es cuando: x=6; porque al reemplazar se tiene: 5(6)+8=3(6)+20 30+8=18+20 38=38 ¡Se cumple la igualdad! Resolución de una ecuación En general, para resolver una ecuación hay que despejar la incógnita. Los pasos a seguir son: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos con la variable en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita.
Ejemplos
1. Resolver: x - 1 - x - 3 =- 1 6 2
Resolución
•
"Quitamos" denominadores y para ello hallamos el mcm: mcm(6;2)=6
Luego:
Colegios
6
TRILCE
(x - 1) - 3 (x - 3) =- 1 6 x - 1 - 3x+9= - 6 - 2x+8= - 6 - 2x= -6 - 8 - 2x = - 14
x=7
www.trilce.edu.pe
2. Resolver:
x+1= x+5 2 3
Resolución
•
Se multiplica en aspa:
3(x+1) = 2(x+5) 3x+3 = 2x+10
3x - 2x = 10 - 3
1
Ejemplo
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
x=7
•
Los términos que son sumados o restados pasan de un miembro a otro con solo cambiar de signo. Los que aparecen sumando pasarán restando y los que aparecen restando pasarán sumando.
•
Los términos que en un miembro aparecen multiplicando pasarán al otro lado dividiendo.
•
Los términos que aparecen dividiendo pasarán al otro lado multiplicando.
Ejemplo
Despejar una variable en una ecuación Despejar una variable significa dejar "sola" a la variable en uno de los miembros. Se debe tener presente lo siguiente:
Despejar "d" en: V f = Vo +2ad
Resolución
2
2
2
• "Vo " pasa al primer miembro: 2
2
V f - Vo =2ad
• "2a" pasa al primer miembro: 2
2
V f - Vo
2
V f = Vo +2ad
Ejemplo
2
2a
=d
• Luego, "d" queda despejada: 2
Central: 619-8100
d=
2
V f - Vo 2a
Unidad I
7
Ecuaciones lineales I: Resoluci贸n y despeje
S铆ntesis te贸rica Conceptos b谩sicos
es
forma
tiene
por
es
Colegios
8
TRILCE
en
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
10 x 5 50
1
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. x - 5 = x - 1 =13 2 3
4. Despeja "t" en: a= m t-n
2. - 3(x - 2)+6 = -(5 - 2x) =17 3. Despeja "m" en: b=c - 5m =c-b
5
123
5. Resolver: 4x+2y=22
5
7x - 2y=11
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
2. Despeja "K" en: A=K - L
I. Completa los espacios en blanco: 3. Despeja "Z" en: X=Y - Z
7x - 8 = 2(1 - x)
1. El primer miembro de la ecuación es
2. El coeficiente de la variable en el primer miembro de la ecuación es .
.
4. Despeja "Q" en. U=P - Q 5. Despeja "K" en: S=K.V2
3. El término independiente en el primer miembro de la ecuación es
.
II. Relaciona:
7. Despeja "S2" en: A=5.M.N.S2
Pregunta
Ecuación
4
A+B=C.D
B= D A.C
8. Despeja "Q" en: A=P.Q - S
5
C - D= A B
A= C.D B
9. Despeja "t2" en: L= V.t - 2K.t2
6
A.C= D B
D=A+B - C
7
D= B A C
C= A + B D
A-C=D-B
A= D B.C
8
Despeje
6. Despeja "K" en: L=A(K - S)
10. Despeja "B" en: S= A.B.C Resolución de problemas II 11. 5(x+8) = 50
9
A.B.C = D
B= A C-D
12. 2(x - 9)+4=30
10
A= B C.D
D= B A.C
13. 2(x - 5) + 3(x+5)=20
Resolución de problemas I
14. 2(x+3)=5(x - 1) - 7(x - 3)+2
1. Despeja "N" en: S=U.V - N
15. x - 3 - 2(6 - 2x)=2(2x - 5)
Central: 619-8100
Unidad I
9
Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje
123 123
16.
19. 6x - 3y=48 3x - 5y=31
3 (x - 8) =21 5
17. 3x+ 2x =77 3 •
20. 9y - 2x=11 4x+2y=38
Resolver los siguiente sistemas: 123
18. 4x+3y=23
7x - 5y= -11
Problema en el supermercado Frida realizará unas compras en un supermercado. Lo curioso fueron los precios de estos productos.
Leche (Unidad) x-1
Arroz (kg) x
Azúcar (kg) z-1
Aceite (L) 2z
Panetón 8z
Chocolate y
Pavo (kg) 8y
Champagne 6y
Responde: •
Si gastó S/. 29 comprando tres botellas de leche y 5 kg de arroz, halla el precio de cada uno de los productos.
•
Si gastó S/. 70, comprando 2 kg de azúcar, cuatro panetones y 1 L de aceite, halla el precio de cada uno de los productos.
•
Si gastó S/. 105, comprando cinco chocolates, 2 kg de pavo y tres botellas de champagne, hallar el precio de cada uno de los productos.
•
¿Cuánto gastaría Frida si logra comprar cinco botellas de leche, 4 kg de arroz, 6 kg de azúcar, un panetón, 2 L de aceite y 4 kg de pavo?
Colegios
10
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC •
Hallar "x" en cada una de las ecuaciones propuestas.
1. 30x - ( - x+6)+( -5x+4) = - (5x+6)+( - 8+3x) a) 3 4
b) 4 7
c) - 3 7
d) 1 2
e) 1 5
d) 1
e) 4
c) 1 4
d) 1 2
e) 1
c) 70
d) 120
e) 60
c) 5
d) 6
e) 7
2. 15x+(- 6x+5) - 2 - ( - x+3)= - (7x+23) - x+(3 - 2x)
a) - 1
b) 2
c) 1 2
3. 16x - [3x - (6 - 9x)]= 30x+[ - (3x+2) - (x+3)]
a) 2
b) 3 4
4. x + x + x + x = 77 2 3 4 5
a) 30
b) 40
5. x - 6 +2(x+8) - 3(x - 5)= x + 3 +24 9 7
a) 3
b) 4
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
Calcular "x" en:
1. 5(x+8)=50 2. 2(x - 9)+4=30 3. 4(x+1) - 20=28 4. 5x = 10 2 5.
3 (x - 8) = 21 5
6. 2(x - 5)+3(x+5)=20 7. 4(5x+2) - 7(3x+5)=x - 31 8. 3(x+2) - 2(x - 2)=10
Central: 619-8100
9. x - x = 2 3 5 10. x + 3 + 2x - 1 = 4 2 3 11. Si: MN - P = Q; hallar "M" 12. Si: abc - n = p+q; hallar "n" 13. Si: x +a=b ; hallar "y" y 14. Si: x =mn ; hallar "n" y 15. Si: x2 + ay=z ; hallar "y"
Unidad I
11
Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas
Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas .
En este capítulo aprenderemos a: • •
Identificar y representar simbólicamente situaciones problemáticas. Interpretar expresiones verbales como el doble, el triple, la tercera parte, etc.
Del enunciado verbal a la forma matemática Las diferentes situaciones donde hay cantidades conocidas y desconocidas, relacionadas con términos como doble, mitad, excede, etc., se expresan simbólicamente en una ecuación.
El doble de la suma de un número con cinco
Fuete:http://elpaiser.blogspot.com
2(x+5)
Colegios
12
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático
2
Conceptos básicos Traducir del lenguaje natural al lenguaje matemático Forma verbal
Forma simbólica
El triple de un número
3x
El cubo de un número
x3
La cuarta parte de un número
x 4
Un número aumentado en cinco
x+5
La suma del doble de un número con cinco
2x+5
El doble de la suma de un número con cinco
2(x+5)
La suma de dos números consecutivos
La diferencia de los cuadrados de dos números
Se representa como "2x"
x+(x+1) x y
El cociente de dos números La diferencia de dos números
¿Cómo se representa el doble de un número?
x-y x2 - y 2
Síntesis teórica
Forma
como
Resueltos
Central: 619-8100
Unidad I
13
Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Un número aumentado en 17 es 53. Halla el número. 2. La suma de dos números consecutivos es 91. Halla los números. 3. El doble de un número sumado con el triple del número es 65. Halla el número.
4. El exceso de un número respecto a 12 es igual al exceso de 18 respecto al número. Halla el número. 5. En un salón hay 42 alumnos. Si los hombres representan el doble que el número de mujeres, ¿cuántos hombres hay en el salón?
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática I. Completa: Forma simbólica
3x - 2
15
x x+1
16
2x3
Preg.
Forma verbal
1
La séptima parte de un número
17
6x - 10
2
La raíz cuadrada de un número
18
(x+2)(x+3)
3
Un número aumentado en su doble
19
2x+4x
4
El doble de un número aumentado en su triple
20
x2+2x
5
El producto de dos números consecutivos
Resolución de problemas
6
El cociente de número y su mitad
1. El doble de un número, aumentado en 23, es 75. Halla dicho número.
7
La diferencia del triple de un número y cinco
8
La edad de Javier hace doce años
9
El dinero que tendré si gano 20 soles
10
El producto números
de
un
dos
Preg.
Forma simbólica
11
8-x
12
10x
13
5 (x+3)
Colegios
TRILCE
a) 32 d) 25
b) 26 e) 30
c) 28
2. El cuádruple de un número, disminuido en 36, es 88. Halla dicho número.
a) 29 d) 30
b) 28 e) 31
c) 34
3. El triple de la suma de un número con 10 es 45. Halla dicho número.
II. Completa:
14
14
Forma verbal
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
4. El quíntuple de la diferencia de un número con 8 es 70. Halla dicho número.
a) 22 d) 25
b) 23 e) 26
c) 24
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático
5. La cuarta parte un número, disminuido en 6, es 17. ¿Cuál es el número?
a) 90 d) 93
b) 91 e) 94
c) 92
6. La cuarta parte de la diferencia entre un número con 6 es 24. ¿Cuál es el número?
a) 100 d) 112
b) 102 e) 108
c) 110
11. El exceso del triple de un número sobre 52 equivale al exceso de 240 sobre el número. ¿Cuál es el número?
a) 75 d) 70
b) 71 e) 73
c) 69
12. María reparte un dinero entre sus tres hijos: al primero le da el doble de lo que le dio al segundo, y al tercero, $ 2000 más que al segundo. Si su fortuna fue de $ 22 000, ¿cuánto le tocó al tercero?
7. Un número excede en 24 a 38. Halla dicho número.
13. El sapito de Vanesa da cuatro saltos, recorriendo en cada salto 3 cm más que en el anterior. Si el sapito recorrió un total de 74 cm, ¿cuánto recorrió en el segundo salto?
a) 64 d) 50
b) 66 e) 62
c) 60
8. ¿Cuál es el número que excede a 49 tanto como es excedido por 87?
a) 66 d) 69
b) 67 e) 70
c) 68
a) $ 8000 d) 7000
b) 6000 e) 9000
a) 6 cm d) 14
b) 8 e) 17
c) 5000
c) 11
9. Halla un número, tal que su doble exceda a 60 tanto como su triple excede a 96.
14. Blas reparte su dinero del modo siguiente: a Fernando le da la mitad, a Alfredo, la séptima parte y a Letty, los 2000 dólares restantes. ¿Cuál era el dinero de Blas?
a) 42 d) 36
b) 38 e) 34
c) 40
10. ¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 46 tanto como su doble excede a 18?
a) 17 d) 12
b) 14 e) 11
c) 15
2
a) $5600 d) 2800
b) 6000 e) 5800
c) 4200
15. Halla un número tal que, si lo elevamos al cuadrado, luego le agregamos 11 al resultado, y le sacamos la raíz cuadrada, para luego aumentar cuatro unidades al resultado, obtenemos 10.
a) 7 d) 4
b) 6 e) 8
c) 5
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Tres cestos contienen 575 manzana. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto?
a) 190
b) 188
c) 176
d) 197
e) 181
2. A cierto encuentro futbolístico, asistió cierto número de espectadores, pagando cada uno S/. 5 por entrada. En el encuentro de revancha asistió el triple de espectadores que la primera vez y cada uno pagó ahora S/. 8 por entrada. Si en la segunda recaudación se recibió S/. 380 000 más que en la primera, ¿cuántos espectadores asistieron al segundo encuentro?
a) 6000
b) 2000
c) 60 000
d) 4000
e) 4500
3. Hallar el número de pelotas que tiene Mathías, tal que si se multiplican por siete y luego se le agrega 20 resulta el quíntuple de ellas, aumentada en 60.
a) 10
Central: 619-8100
b) 18
c) 20
d) 25
e) 35
Unidad I
15
Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas
4. A la cantidad de soles que tiene Edú le agregamos S/. 8 para luego al resultado duplicarlo, y sumarle 9, a este último resultado se le divide entre 7 y se obtiene cinco unidades menos que la cantidad inicial. ¿Cuál es dicha cantidad?
a) S/. 10
b) 12
c) 13
d) 18
e) 20
5. El profesor Medrano recibió S/. 4 y tuvo entonces cuatro veces de lo que hubiera tenido si hubiera perdido S/. 2. ¿Cuánto tenía al principio?
a) S/. 2
b) 4
c) 6
d) 3
e) 5 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Halla la edad de Jackeline, si al duplicarla y aumentarle 36, nos da 64. 2. ¿Cuál es el número cuyo triple disminuido en 100, nos da el mismo número aumentado en 30? 3. El séxtuple de la diferencia de un número con 30, es tanto como el cuádruple de la suma del mismo número con 10. Halla dicho número. 4. Halla dos números consecutivos, tal que al sumarlos obtengamos 59. 5. La suma de tres números consecutivos es 72. ¿Cuál es el número intermedio? 6. Halla cuatro números consecutivos, sabiendo que la suma nos da 174. Indica el menor. 7. ¿Cuál es el número de cuadernos que hay en un aula, si el quíntuple de ellos disminuido en 20 resulta 80 más su triple?
9. Halla un número, de cuya suma de su doble y su triple, resulta dicho número aumentado en 80. 10. Halla un número de cuya suma de su mitad, tercera y cuarta parte, resulte 130. 11. La tercera parte de un número más la mitad del número resulta 35. Halla dicho número. 12. El cubo de la suma de un número con 8 resulta 1000. Halla dicho número. 13. El cuadrado de la diferencia de un número con 12, resulta 196. Halla dicho número. 14. ¿Qué edad tiene Christian, si sabemos que al cuadruplicarla y agregarle 44 años, obtendremos su séxtuplo disminuido en cuatro años? 15. El doble de la suma de un número con 5 es 20. Halla dicho número.
8. Halla la edad de Patty, si sabemos que al restarle 12 años obtendremos el triple de dicha edad disminuido en 62 años.
Colegios
16
TRILCE
www.trilce.edu.pe
UNIDAD II
A
Matemática Recreativa
unque no se puede definir rigurosamente a las matemáticas recreativas, estas proporcionan el mejor camino para captar el interés de los jóvenes durante la enseñanza de la matemática elemental. Un buen rompecabezas matemático, una paradoja o un truco de apariencia mágica, pueden excitar mucho más la imaginación de los niños que las aplicaciones "prácticas", sobre todo cuando estas aplicaciones se encuentran lejanas de las experiencias vividas por ellos. Y si el "juego" se elige y se prepara con cuidado, puede llevarle casi insensiblemente hasta ideas matemáticas de importancia..." Circo matemático Martín Garder
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Reconocer e identificar los diferentes juegos matemáticos. • Interpretar las reglas de los juegos matemáticos. Resolución de problemas • Aplicar estrategias y realizar las operaciones correspondientes. Razonamiento y demostración • Analizar las diferentes situaciones y formular estrategias de solución.
Ruedas, figuras y palitos de fósforo
Ruedas, figuras y palitos de fósforo En este capítulo aprenderemos a: • • •
Colegios
18
TRILCE
Identificar y relacionar formas geométricas usando palitos de fósforo. Identificar y aplicar el giro horario y antihorario en ruedas con ejes. Dividir y comparar figuras geométricas.
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
Conceptos básicos Palitos de fósforos
Sabías que...? Los problemas con palitos de fósforo deben cumplir las siguientes condiciones: • Todos deben tener la misma longitud, es decir, no deben cortarse ni doblarse. • En una solución deben intervenir todos los palitos y no quedar palitos sueltos. palito suelto
Quita dos palitos de fósforo para que quede solamente cuatro cuadrados iguales.
Resolución
Al quitar los palitos indicados
Queda solo cuatro cuadrados iguales
Ejemplo
Ejemplo
Por lo tanto, al formar dos cuadrados es incorrecto No es parte de dar como solución: los cuadrados
Ruedas y transmisiones •
Observa la figura y luego reconoce qué ruedas giran en sentido horario.
2 1
3
4
5
Central: 619-8100
Unidad II
19
Ruedas, figuras y palitos de fósforo
Sabías que...? xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Hay dos tipos de giro: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx Horario Antihorario Se presentan los siguientes casos: •
Ruedas en contacto
A
A
B
B
"A" y "B" giran en sentidos contrarios •
Ruedas con un mismo eje A B
"A" y "B" giran en el mismo sentido •
Ruedas unidas con una faja o banda que no se cruza faja o banda
A
•
Ruedas unidas con una faja o banda que se cruza
B
"A" y "B" giran en el mismo sentido
A
B
"A" y "B" giran en sentidos contrarios
Colegios
20
TRILCE
www.trilce.edu.pe
La rueda "A" gira en sentido horario. ¿En qué sentido giran las otras ruedas?
A
B
C
Resolución •
1
Ejemplo
Ejemplo
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
"A" y "B" están en contacto y giran en sentido contrario, entonces "B" gira en sentido antihorario.
A
C
B
•
"B" y "C" están unidas por una faja que se cruza y giran en sentido contrario, entonces "C" gira en sentido horario.
A
B
C
⇒ Luego la rueda "B" gira antihorario y "C" horario
División de figuras • Observa la figura y luego divídela en dos partes iguales (no cuadriláteros), usando las líneas del dibujo
Sabías que...? • •
Al dividir una figura en partes iguales, estas partes no deben superponerse, es decir, no debe estar una figura sobre la otra, total o parcialmente. Al dividir la siguiente figura en dos partes iguales, tenemos:
¡Incorrecto!
Central: 619-8100
Correcto
Unidad II
21
Ruedas, figuras y palitos de fósforo
Síntesis teórica
RUEDAS, FIGURAS Y PALITOS DE FÓSFORO
Palitos de fósforo
Mover
Quitar
Ruedas y fajas
Agregar
Horario
Antihorario
División de figuras
En partes iguales
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Quita dos palitos de fósforo para que quede dos cuadrados. Resolución
2. Agrega dos palitos para que la operación sea correcta. Resolución
Colegios
22
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
3. Si la rueda "D" está girando en sentido antihorario, indica en qué sentido giran "A", "B", "C", "E", "F" y "G"
A B
Responde aquí
D
C
E F
1
G
A: ...........................
E: ...........................
B: ...........................
F: ...........................
C:...........................
G: ..........................
4. En el siguiente diagrama, indica las ruedas que giran en el mismo sentido que la rueda "A". Responde aquí B
D
A
E
C
G
Mismo sentido que "A"
Sentido contrario que "A"
•
...........................
•
...........................
•
...........................
•
...........................
•
...........................
•
...........................
•
...........................
F
H
5. Divide la figura en tres partes iguales usando las líneas del dibujo. Dibuja aquí tu solución
Central: 619-8100
Unidad II
23
Ruedas, figuras y palitos de fósforo
Conceptos básicos Aprende más... 1. Mueve un palito de fósforo para que la operación sea correcta.
7. Divide la figura en tres partes iguales, usando las líneas del dibujo.
2. Agrega cuatro palitos de fósforo para formar cuatro triángulos equiláteros iguales.
8. Divide la figura en cuatro partes iguales, usando las líneas del dibujo. 3. Indica las ruedas que giran en sentido antihorario. B C D
E
F
G
H
A
4. Indica las ruedas que giran en sentido horario. D
A
B
C
E
F
9. ¿Cuántos palitos de fósforo hay que quitar como mínimo, para que no quede triángulos en la figura?
G
H
5. Divide la figura en tres partes iguales, usando las líneas del dibujo.
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
10. ¿Cuántos palitos de fósforo hay que quitar como mínimo, para que no quede cuadrados en la figura? 6. Divide la figura en tres partes iguales, usando las líneas del dibujo.
Colegios
24
TRILCE
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
11. ¿Cuántos segmentos hay que trazar como mínimo para dividir la figura en dos partes iguales? a) b) c) d) e)
1 2 3 4 5
12. ¿Cuántos segmentos hay que trazar como mínimo para dividir la figura en dos partes iguales? a) b) c) d) e)
1 2 3 4 5
13. En el siguiente esquema:
M: Número de ruedas que giran en sentido horario.
N: Número de ruedas que giran en sentido antihorario.
Hallar: M - 2N
1
a) 1 d) 2
b) - 1 e) 0
c) - 4
Aplicación cotidiana El gráfico muestra el esquema de un motor Subaru 1,8L - 2,2L modelo 1998 - 2001 en un taller de mecánica. Los mecánicos quieren determinar el sentido de giro de cada una de las ruedas indicadas con una letra, sabiendo que la rueda de la caja de cambios (J) gira en sentido antihorario. C B
D
E A
H
I J
F G
Caja de cambios
14. ¿Qué ruedas giran en sentido horario? ...................................................................................................................................................... 15. ¿Qué ruedas giran en sentido antihorario? ......................................................................................................................................................
Central: 619-8100
Unidad II
25
Ruedas, figuras y palitos de fósforo
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Divide la siguiente figura en dos, tres y cuatro partes iguales.
2. La balanza tiene más peso a la derecha que a la izquierda. Mover cinco palitos para que la balanza quede en equilibrio.
3. Divide la figura en cuatro partes iguales.
4. Mueve dos palitos para que la operación sea correcta.
5. Construye una máquina con cinco ruedas, donde tres de ellas giren en sentido horario y dos giren en sentido antihorario. Puedes usar fajas o bandas de transmisión.
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC •
En el siguiente esquema: 4 1
2
3
5
6
7 8
4. ¿Cuántos engranajes giran en sentido contrario a la flecha indicada?
1. Si la rueda 3 gira en sentido horario, indicar las ruedas que giran en sentido antihorario. 2. ¿Qué ruedas giran en el mismo sentido que la rueda 6? 3. Mover cuatro palitos de fósforo para formar cinco cuadrados.
Colegios
26
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
5. Indicar las ruedas que giran en el mismo sentido que gira "D". D
B C
A
1
E F
G H
I
6. ¿Cuántas ruedas giran en sentido antihorario? •
Sistema de entintado continuo de una máquina OFFSET
Tipos de rodillo
2,54 cm
A:
metal (S/.12)
B:
plástico (S/.18)
C:
caucho (S/.6)
paleta de limpieza
motor bandeja de tinta
7. En el sistema de rodillos mostrado hay "a" rodillos del tipo "A", "b" rodillos del tipo "B" y "c" rodillos del tipo "C". Calcula: a + b - c
12. Dividir la figura en tres partes iguales.
8. ¿Cuántos rodillos del tipo "A" giran en el mismo sentido que el motor? 9. Cada mes se cambian tres rodillos del tipo "A", cinco del tipo "B" y dos del tipo "C". ¿Cuánto se gasta en el cambio de estos rodillos? 10. Dividir la figura en tres partes iguales.
13. Dividir la figura anterior en cinco partes iguales. 14. ¿Cuántos segmentos como mínimo hay que trazar para dividir la figura en dos partes?
11. Divide la figura anterior en cuatro partes iguales.
Central: 619-8100
Unidad II
27
Cuadros numéricos
Cuadros numéricos .
En este capítulo aprenderemos a: • • • •
Reconocer las reglas de los diferentes juegos. Interpretar cada una de las reglas de juego, buscando la mejor estrategia. Organizar los elementos de un determinado juego. Realizar y verificar operaciones.
¿Sabes jugar Hidato, Sudoku, Ken Ken, Triángulos mágicos y Pirámides numéricas? Vamos a aprender jugando.
Colegios
28
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Conceptos básicos Hidato Este juego es muy fácil. Se trata de completar los espacios en blanco con los números consecutivos que faltan, de tal manera que se avance en forma horizontal, vertical o diagonal desde el primero hasta el último.
•
Juego 1
La solución al Hidato anterior es: 21 22 18
22 8
20
6
10
16
1
14
11
8
9
6
7
10
5
1
2
11
4
3
12
4
•
20
19
17
16
14
13
15
Juego 2: Ahora completa tú el Hidato siguiente:
1
21 8
25
18
20
5
17
66
15
11
7 12
9
2
No olvides usar lápiz y borrador
13
Sudoku
Es un juego muy conocido. Consiste en un cuadriculado de 6×6 casilleros, divididos en seis regiones y cada una con seis casilleros. Hay que colocar los números consecutivos del 1 al 6 en cada fila, columna y región, sin que se repitan. Inicialmente se dan algunos números y hay que completar el resto.
•
Juego 1
La solución al Sudoku anterior es:
6
2
5
1 2
6
1
6
2
5
3
4
1
5
1
3
4
2
6
5
2
5
6
1
3
4
4
1
3
5
2
6
5
6
2
4
1
3
3
4
1
6
5
2
5
4
4
Central: 619-8100
1
4
1
6
5
2
Unidad II
29
Cuadros numéricos
•
Juego 2: Ahora completa tú el Sudoku siguiente: 5
4 6
6
5 2
3
No olvides usar lápiz y borrador
5
2 2
3
6
2
1
5
5 4
Ken Ken
Con este juego te divertirás haciendo operaciones básicas. Hay que llenar los cuadros en blanco con números del 1 al 4 de tal manera que no se repitan en una fila o columna. Además el número y el signo colocado en la parte superior izquierda de cada región, indica el resultado de la operación de los números. •
Juego 1: 5+
6×
La solución al Ken Ken anterior es: 5+
6×
2
3
24×
12×
4
1
3
4
24×
7+
1-
1
2
12×
7+
1-
4
1
2
3
3
4
1
2
Triángulos mágicos
También es un juego divertido y fácil donde solo hay que hacer sumas. Se trata de colocar las cifras (sin repetir) en los círculos en blanco con la condición de que cada lado del triángulo sume igual. •
Juego 1: Colocar las cifras del 1 al 5 (sin repetir) • en los círculos de tal manera que la suma en cada lado sea 8.
La solución al Triángulo mágico es:
=
8
5
2
4
3 =8
=
1
0
8
Colegios
30
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Pirámides numéricas
2
Es un juego numérico donde cada casillero es la suma de los números de una pareja de casilleros vecinos, en el nivel inferior. •
Juego 1: Completa la pirámide numérica: 34 16
18 7 3
5
9
7 3
18
4
9 5
4
Síntesis teórica
Central: 619-8100
Unidad II
31
Cuadros numéricos
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Completa el siguiente Hidato.
46
20
4
4. Colocar en el Triángulo mágico las cifras del 0 al 5 tal que la suma de todos los lados sea 9.
48
38 6
2 1
13 30
35
34
22
41 27
40
20
11 16
5. Completar los números que faltan en los casilleros en blanco, de tal manera que la suma de los números de dos casilleros adyacentes de una fila, resulte el casillero inmediato superior.
19
23
17
2. Completar el siguiente Sudoku. 5 3
1
8
6
1
3
5
5 6
9
6
1
4 1
3
2 3
1
3 4
6
1
3. Completar el siguiente Ken Ken. 12×
3
2-
2÷
2÷
1-
4+
3-
Colegios
32
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Completa el siguiente Sudoku:
•
Con el siguiente Hidato, responda las preguntas 5; 6 y 7.
5
A
3
5 2
6
49 52
1
51
4
3
5
6
9
15
57
18
63
1 5
56
46
2
5 3
B
17
64
6
1
F
41
60
40
20
3
21
E
33
2. Completa el siguiente Ken Ken: 3-
37 C 27 D
2÷
1-
5. Hallar: A + B 24×
8+
a) 48 d) 92
b) 60 e) 86
c) 65
b) 15 e) 20
c) 4
b) 12 e) 66
c) 25
6. Hallar: C - D 1-
2÷
3. Disponer los números del 3 al 8 (sin repetir) los circulos del triángulo mágico, de manera que la suma en cada lado sea 18.
a) 10 d) 12
7. Hallar: F + E
a) 11 d) 80
•
Con el siguiente Sudoku, responda las preguntas 8 y 9.
3
8 35
38
6
17
8
18
3
9
Central: 619-8100
12
4
6
1
4
B
2
3
5
1
4
A
5
5
8. Hallar: A + B
20
4
3
24
36
5
1
27
5
1 2
29
3
1
4. Completa el siguiente Hidato:
42
6
16
a) 11 d) 6
b) 10 e) 9
c) 8
9. Hallar el número que ocupa el casillero en blanco de la esquina superior izquierda.
a) 1 d) 5
b) 2 e) 3
c) 4
Unidad II
33
Cuadros numéricos
•
Con el siguiente Ken Ken, responda las preguntas 10; 11 y 12. 24×
• Colocar las cifras del 1 al 7, una en cada círculo de tal manera que la suma en cada línea de tres círculos, sea 10. De acuerdo a ello, responde las preguntas 13; 14 y 15.
7+
9+
4÷
3÷
6×
13. ¿Cuál es el número central? 10. ¿Cuál es el producto de las cifras en la región cuya suma es 9?
14. ¿Qué números pueden ocupar los dos círculos superiores?
a) 28 d) 16
b) 20 e) 12
c) 24
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
11. ¿Cuál es la suma de las cifras en la región cuyo producto es 24?
15. ¿Qué números pueden ocupar los dos círculos inferiores?
a) 9 d) 15
b) 12 e) 11
c) 8
12. ¿Cuál es la diferencia de las cifras en la región cuyo cociente es 3?
a) 5 d) 2
b) 4 e) 3
a) 2 y 7 d) 5 y 2
b) 3 y 6 e) 4 y 1
a) 1 y 7 d) 2 y 6
b) 3 y 6 e) 6 y 1
c) 1 y 5
c) 5 y 4
c) 1
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Completa el siguiente Hidato: 51
62
54
60
21 59
8
32
34
20
25
6
27
38
28 12
39 41 43
Colegios
34
1
TRILCE
2
17
4
7
13
6
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2. Completar el siguiente Sudoku: 7
8
1 6
4. Disponer los números del 1 al 9 en los círculos del Triángulo mágico, de manera que la suma de cada lado sea 17. 5 1
4 4 7
8 3
6
5 4
1 7
3 6
9
2
5
2
7 9 4 2
4 5
8
2 6
5 1 8 9 3
9
3
2 6 7
5. Completar la siguiente Pirámide numérica:
3. Completar el siguiente Ken Ken: 12×
6+
11+ 2-
6×
1-
2÷
3+ 4-
8+
2÷
1-
8
-2
10
12
-6
-1
-4
11
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos • Completa el siguiente Hidato y responde las si-guientes preguntas: A
16
17
B
18
9
8
12
20
22
D
6
7
C
25
27
1. Hallar: A + B 2. Hallar: D - C 3. Hallar: E + F
Central: 619-8100
E
6
42
6 1
C
B
4
5 D
1
34 F
3
4
1
31 30
5
6
39 28
Completa el siguiente Sudoku y responde las siguientes preguntas: A
21 24
•
35
2 3
3
E
4
4
5
F 5
2
4. Hallar: C + F 5. Hallar: E - B 6. Hallar: A × D
Unidad II
35
Cuadros numéricos
•
Completa el siguiente Ken Ken y responde las siguientes preguntas:
12. Completa el siguiente Ken Ken:
4+
10+
4×
4+
2÷
1
7+ 8×
2÷
6×
12× 1
11+ 3-
2 3+
13. Completar el siguiente Ken Ken: 7. ¿Cuánto suman los números cuyo producto es 8?
2
8. ¿Cuál es el producto de los números cuya suma es 10?
3-
9. ¿Cuál es el producto de los números cuya suma es 11?
5
6 5
2-
3
2÷
2÷
14. Completar el siguiente Hidato: 1
3
1 3
12×
4+
10. Completa el siguiente Sudoku: 2
2÷
6
41 39
1
4
2
49 46
3
6
5
50 59 57
1
4
5
89
43
54 64 63 61
94 91
2
34 33
4
21
14 15
6
66 67 71
73
1 2
6 3
6
2
1
3
5 2
6
2
3
11
28 9
27
15. Usar los números del 1 al 6, y completa el siguiente Ken Ken: 2÷
3-
6×
20×
4
11+ 10+
2÷
5 6
29
10
80
74
4
1 3
31 23
11. Completar el siguiente Sudoku: 4
97 96
37 1
6
100
72×
12+ 10+
40×
5-
2÷ 9+
2÷
Colegios
36
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
3
Repaso I • • • • •
Ecuaciones lineales Palitos de fósforo Engranajes y transmisiones División de figuras Juegos con cuadros numéricos: Hidato, Sudoku, Ken Ken, Triángulos mágicos
Fuente:http://1.bp.blogspot.com
Y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente
Central: 619-8100
Unidad II
37
Repaso I
Conceptos básicos Aprende más... 2. Sudoku
• Palitos de fósforo
Mover tres palitos de fósforo para que el pez nade en dirección opuesta.
4
6
3
1
2
3
5 2
3
4
5
6
2
3
5
• Engranajes y transmisiones
1
2
4
2
3. Ken Ken C
B
E
A
F 3
D
G
3+
H
3+
2÷
1-
16×
9×
I
Indicar las ruedas que giran en sentido antihorario.
2
• División de figuras
Dividir la figura en tres partes iguales
•
Triángulo mágico
Colocar los números del 1 al 9, en los círculos en blanco de manera que la suma en cada lado sea 20.
•
Calcular "x" en:
• Juegos: Cuadros numéricos
1. Hidato 1 3 8
5 4
35 38 20 6
8
12 9
36
1. 2x+9=17 42 29 27
Colegios
38
TRILCE
3. 2x+9=49 4. 3x+18=x+42
18 16
2. 4x - 16= 48
24
5. 4x - 9+x=2x+8 - x+3
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
6. 3(x - 6)=27
12. El quíntuple de la diferencia de un número con 20 es 100. Halla el mencionado número.
7. 2x = 18 3
3
13. La suma de cinco números consecutivos es 145. ¿Cuál es el menor de ellos?
8. 4x + 2 = 7 6
14. Halla dos números consecutivos, tales que si al doble del menor le agregamos el triple del mayor, obtendremos 58.
9. 4(2x+3)+5(3x - 6)=5
15. Se tienen dos números consecutivos. Si al triple del mayor le disminuimos el doble del menor, obtendríamos 59. Halla el número mayor.
10. 3(4x - 7) - 2(x - 9)=37 11. El cuádruple de la suma de un número con 15 es 84. Halla dicho número.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. En la vida real Se ha desmontado la pieza mostrada, de una máquina, incluyendo su pequeño motor eléctrico que va en la parte de atrás de la placa que sostiene a los engranajes. Además, el eje del engranaje mayor es dentado y hueco pues ahí se entornilla otra pieza que evita que la pieza se sacuda con las altas revoluciones del motor. motor
Responder: •
•
Si el motor gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira el engranaje mayor? Si se cambia la polaridad, ¿en qué sentido gira el engranaje que está en contacto con el engranaje mayor?
Central: 619-8100
2. Escribe la expresión que corresponde en: Preg.
Forma verbal
1
La suma de un número con su mitad
2
El cuadrado del triple de un número
3
Un número aumentado en 15
4
La suma de dos números consecutivos es 18
5
17 disminuido en el doble de un número
Forma simbólica
6
4x2
7
18 - x
8
5 (7 - x)
9
x-3 5
10
(x+5) (y - 3)
Unidad II
39
Repaso I
3 Luego de resolver el siguiente Ken Ken, efectuar las operaciones indicadas: 2-
A
3+
B
C
4. Luego de resolver el siguiente Sudoku, efectúa las operaciones indicadas:
7+
D
7+
1-
E 6+
G 3-
• • •
F
F H
3
AB × DG 2 DA 99 × HGDDC
• • •
D
3
1
E
2
1 4
C
6
2
3
4
6 A
B
4
3
6
5
1
6 3
F
4
2
BDC × 999 C × ABDEE 2 EB
5. Escribe la expresión matemática que corresponde en: EXPRESIÓN VERBAL
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
Un número aumentado en ocho. La tercera parte de un número, disminuido en siete. El exceso de un número sobre 15. Dos números consecutivos suman 12. El doble de un número, disminuido en ocho. El doble de un número aumentado en 11. El cuadrado de un número aumentado en cinco. El cubo de un número, disminuido en 20. 6. Hallar el valor de "x" en la siguiente ecuación: 5+3x - 2x = 37+x 5
8. Hallar la suma de dos números consecutivos, si se sabe que al triple del menor le agregamos el doble del mayor obtendremos 52.
7. El triple de un número aumentado en 12 es igual a 42. Halla dicho número elevado al cuadrado.
Colegios
40
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
4
Multiplicaciones abreviadas .
En este capítulo aprenderemos a: • • •
Reconocer las diferentes reglas prácticas para multiplicar en forma abreviada. Aplicar reglas prácticas para multiplicar en forma abreviada. Realizar y verificar operaciones.
A
través de la historia, las diferentes culturas han desarrollado formas propias de efectuar las operaciones aritméticas básicas. Los chinos, los romanos, los mayas, entre otros, operaban con sus propios símbolos y algoritmos. Actualmente se emplea el sistema indoarábigo, basado en el sistema decimal y es de aplicación universal. Dentro de este sistema hay reglas que permiten abreviar ciertas multiplicaciones.
Pero profe... ¿Hay otra manera más breve de hacer esa multiplicación?
Central: 619-8100
8437× 999 75933 75933 75933 8428563
Vamos a multiplicar 8437 por 999... observen...
Unidad II
41
Multiplicaciones abreviadas
Conceptos básicos • Multiplicación abreviada por 5
• Multiplicación abreviada por 11
Por ejemplo multiplica: 8475 por 5
Por ejemplo multiplica: 7958 por 11
Primero se agrega un cero a la derecha del número y se convierte en: 84 750
La última cifra del resultado es igual a la última cifra del número que se multiplica por 11 Colegios
TRILCE
7 9 5 8 ×11= . . . . 8 Luego se saca la mitad de las cifras empezando desde la izquierda y siguiendo por la derecha
8
4
7
5
Luego se va sumando dos cifras adyacentes de derecha a izquierda y se va colocando la cifra de las unidades del resultado
0 +
mitad
mitad
mitad
mitad
mitad
4
2
3
7
5
Sobra 1 se junta con la siguiente cifra y se forma el 15.
Sobra 1 se junta con la siguiente cifra y se forma el 10.
7958 × 11 = ............ 38 8+5=13 se lleva 1 + 7958 × 11 = ..................538 5+9=14+1=15 +
se lleva 1
7958 × 11 = ..................7538 9+7=16+1=17 se lleva 1 7 958 × 11 = 87538 7+1= 8
Luego : 8475 × 5= 42 375
Colegios
42
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
• Multiplicación abreviada por 9 Por ejemplo multiplicar: 348 × 9
4
Primero se agrega un cero a la derecha del número y a continuación se resta el número original.
3480 348 3132
• Multiplicación abreviada por 99 Por ejemplo multiplicar: 685 × 99
Primero se agregan dos ceros a la derecha del número y a continuación se resta el número original. 68500 685 67815
• Multiplicación abreviada por 999 Por ejemplo multiplicar: 4796 × 999
Primero se agrega tres ceros a la derecha del número y a continuación se resta el número original. 4796000 4796 4791204
• Multiplicación abreviada de dos números con dos cifras cada uno Por ejemplo multiplica: 46 × 37
Entonces 6 × 7 = 42 se lleva
... paso 1 46 × 37 2
paso 1
paso 2
×
paso 3
×
×
... paso 2
... paso 3
4 × 7 + 123 6 × 3= 46 + 46 × 123 4 37 28 18 02 50
4 × 3 =12 + 5 = 17 46 × 37 1702
se lleva Luego: 46 × 37 = 1702
Central: 619-8100
Unidad II
43
Multiplicaciones abreviadas
• Cuadrado de un número de dos cifras Por ejemplo efectuar: 462
Primer paso: Se eleva al cuadrado la cifra de las unidades. 462 = .....6 62 = 3 6 Se lleva
Segundo paso: El doble producto de las cifras del número.
Tercer paso: Se eleva al cuadrado la cifra de las decenas.
462 = .....16
462 =
2×4×6=48+3= 5 1
2116 42=16+5=21
Se lleva
Síntesis teórica
Colegios
44
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
10 x 5 50
4
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC Efectúa las siguientes operaciones, aplicando las reglas prácticas estudiadas: •
466 × 5=
•
4872 × 99 =
•
3729 × 11 =
•
63 × 45 =
•
632 =
Conceptos básicos Aprende más... Resolución de problemas • Calcula el resultado operaciones: 1. 233 × 99 2. 233 × 999
5. 39 466 × 11 de
las
siguientes
6. 54 837 × 99 7. 54 837 × 999 8. 482
3. 322
9. Si: 272 = mnp hallar: mp # np
4. 8763 × 5
Central: 619-8100
a) 2291 d) 2241
b) 2147 e) 2317
c) 2217
Unidad II
45
Multiplicaciones abreviadas
2
10. Si: abc × 11 = a595 hallar: a + b + c
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
13. Si: xx = 4356 hallar: x + 3 c) 8
11. Si: 622 = abcc hallar: ab # cc
a) 1432 d) 1672
a) 78 d) 79
b) 6 e) 10
c) 7
Comunicación matemática b) 1632 e) 1542
c) 1581
• Colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso; según corresponda: 14. La cifra mayor del resultado de 375×11; es 5 .... ( )
12. Si: 17 × 13 = aab 19 × 31 = cde hallar: ab + cd
a) 5 d) 9
15. El producto de la suma de las cifras de los resultados de: 34×45 y 28×42; es 145 .... ( )
b) 82 e) 80
c) 89
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si: a8b6c4 # 11 = 10d6419e hallar: (a +b)2 - (c + d)2 +3e
a) 54
b) 76
c) 87
d) 99
e) 104
b) 64
c) 58
d) 47
e) 39
c) 216
d) 208
e) 222
c) 8
d) 7
e) 6
2
2. Si: a6 = 73bc hallar: 5a +4b - 2c
a) 75
3. Si se sabe que: P1 # P2 = 992 Q4 # Q7 = 3078 R9 # R3 = 2107
hallar: P4 + Q3 + R2
a) 199
b) 237
4. Si: REMA # 9999 = ...8766
hallar: R + E + M + A
a) 10
b) 9
5. Calcular la suma de las cifras del resultado de: 12 345 678 × 99 999 999
a) 70
Colegios
46
TRILCE
b) 71
c) 72
d) 73
e) 74
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 18:10:45
4
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Hallar "A + B", si: A = 36 × 11 y B = 47 × 5 2. Hallar "A - B", si: A = 24 × 12 y B = 12×13
10. Calcular: M + N - P
si: M = 56 × 48
N = 682 - 362
P = 18 × 99 + 34 × 99
2
3. Hallar "S - P", si: S = 23 × 11 +35 y
P = 72 × 5
4. Hallar "P + Q", si: P =352 + 38 × 11 y
Q = 21 × 34
5. Hallar "P + S", si: P = 82 × 11 y S = 352 × 99
11. Si: 17 × 13 = aab y 19 × 31 = cde ; hallar: ab + cd 12. Calcular la suma de cifras de "N", luego de efectuar: N = 22 × 4358 •
Colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso; según corresponda:
6. Hallar: Q = 3521 × 999 7. Hallar: P = 852 - 752 8. Hallar "M + N"
13. El doble de la suma de las cifras del resultado de (37 × 24) es 48.................................. ( ) 14. El producto de las cifras del resultado de 562 es 54 .......................................................( )
si: (MN)2 + 1 = 1226
9. Calcular: M + N
si: M = 37 × 48
N = 5384 × 5
Central: 619-8100
15. Un comerciante compró 11 camisas a 34 soles cada una. ¿Cuánto gastó en total?
Unidad II
47
UNIDAD III ¡Oh, no me gustan los animales!
A ¡No, gracias, ya tengo un perro!
¡No podría atenderlo, no lo quiero!º
B
C
No lo quiero, pues estos animales traen mala suerte...
D
¡No quiero gato en casa, que comen mucho y vale dinero
E
Conociendo situaciones especiales UN CASO FÁCIL DE RESOLVER
Un pintor tenía preparados trece cuadros para una exposición y en la víspera le robaron todos menos uno . Avisa a la policía y el investigador le dice : "Esto lo arreglo yo con un gato negro". Efectivamente, ofrece regalar el gato a cinco sospechosos y cada uno de ellos contesta como se lee en cada cuadro. Considerando estas respuestas, el investigador detiene a uno de ellos como culpable. ¿A quién?
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y ubicar elementos en el espacio. • Comparar y ordenar elementos en situaciones lógicas. Resolución de problemas • Analizar y aplicar la estrategia más adecuada para interpretar el significado de enunciados y situaciones gráficas. Razonamiento y demostración • Inferir resultados a partir de informaciones pre-liminares. • Justificar y generalizar procedimientos y estrategias.
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
Situaciones lógicas .
En este capítulo aprenderemos a: • • •
Reconocer e interpretar los términos que indican las relaciones familiares. Representar y organizar los sujetos de una familia en "árboles familiares". Reconocer y representar en la recta numérica los días de la semana en situaciones especiales.
Hoy aprenderemos ese tema
http://mariacardenasmontero.blogspot.com
Si hoy es lunes, ¿qué día fue el ayer de pasado mañana?
Central: 619-8100
Unidad III
49
Situaciones lógicas
Conceptos básicos •
Relaciones familiares
Sabías que...?
•
Una pareja de esposos se representa:
A
•
Esta pareja tiene tres hijos (Una mujer y dos hombres) que son hermanos. Se representa:
B A
B
• Uno de los hermanos tiene su esposa:
A
B •
Esta última pareja tiene dos hijos:
A
B
De acuerdo al "árbol familiar" anterior, se pueden establecer varias relaciones de parentesco. Aquí algunas de ellas: • • •
Colegios
50
"A" es padre de "C" "F" es nuera de "A" "C" es cuñada de "F"
TRILCE
• "E" es hijo de "B" • "H" es nieta de "B"
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Ejemplos
1
• Se tiene el siguiente "árbol familiar"
Carla
Gina
J
orge Jorge
Rosa
Luis
Simón
Pedro
Ana
Susana
Colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso, según corresponda en las siguientes afirmaciones: 1. Jorge es cuñado de Ana ....................................................................................................... ( V ) 2. Carla es sobrina de Rosa ..................................................................................................... ( F ) 3. Susana es nieta de Simón .....................................................................................................( V ) 4. Luis es sobrino de Susana .................................................................................................... ( F )
• Días de la semana
Sabías que...? xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx En la recta de los Además: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx números enteros, • Mañana : + 1 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx el "cero" es hoy • Pasado mañana: + 2 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx • Dentro de tres días: + 3 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx • Ayer: - 1 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx • Anteayer: - 2 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx -3 -2 -1 +1 +2 +3 0 • Hace cuatro días: - 4 Hoy
Central: 619-8100
Unidad III
51
Si pasado mañana será jueves, ¿qué día de la semana será el mañana del mañana de ayer? Resolución
Del dato:
... pasado mañana será jueves... 1442443 +2 = jueves
Ejemplo
Ejemplo
Situaciones lógicas
Ubicamos este dato en la recta de los números enteros: DOM
LUN
MAR
MIE
JUE
VIE
-2
-1
0
+1
+2
+3
Además, en la pregunta se tiene: ... el 123 mañana del mañana ayer... 123 de123 +1
+1
-1
Efectuamos: +1 + 1 - 1 = +1, en la recta, observamos que +1 corresponde a miércoles.
Síntesis teórica
Colegios
52
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
10 x 5 50
1
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. ¿Qué es de mí el hermano de mi padre?
4. Si hoy es jueves, ¿qué día será pasado mañana?
2. ¿Qué es de mí la esposa de mi hermano?
5. Si anteayer fue sábado, ¿qué día será dentro de cuatro días?
3. ¿Qué es de mí la hermana de mi tía que no es mi tía?
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática •
De acuerdo al siguiente "árbol familiar", contestar:
8. Si el anteayer del anteayer de mañana es viernes, ¿qué día de la semana será el pasado mañana del mañana de hace tres días?
a) martes d) miércoles
b) lunes e) viernes
c) jueves
9. Si anteayer de mañana fue lunes, ¿qué día de la semana será el mañana de anteayer? Paty
Carla
Raúl
Juan
Elena
Saúl
Celia
Jorge
a) lunes d) sábado
b) viernes e) martes
c) domingo
10. Si el anteayer del pasado mañana de anteayer fue viernes, ¿qué día es el ayer del pasado mañana de ayer?
a) domingo d) jueves
b) lunes e) sábado
c) martes
11. Si el anteayer de mañana de pasado mañana será viernes, ¿qué día fue ayer? Tino
Rosa
Pedro
1. Abuela de Pedro: ________________________
a) miércoles d) jueves
b) lunes e) martes
c) sábado
2. Cuñado de Carla: ________________________
12. ¿Qué parentesco tiene Miguel con el único nieto del abuelo del padre de Miguel?
3. Yerno de Paty: __________________________
4. Primo de Elena: _________________________
a) él mismo d) su papá
b) su nieto e) su abuelo
c) su hijo
5. Nieto de Raúl: __________________________
13. La mamá de Luisa es la hermana de mi padre. ¿Qué parentesco tengo con el abuelo materno de Luisa?
Resolución de problemas
6. El mañana de anteayer fue jueves. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hace tres días?
14. Pedro se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano. ¿Por qué?
a) lunes d) sábado
b) viernes e) domingo
c) martes
7. Si el ayer del pasado mañana es lunes, ¿qué día de la semana será el anteayer del ayer de mañana?
a) viernes d) miércoles
Central: 619-8100
b) lunes e) sábado
c) jueves
a) mi hermano b) mi sobrino c) mi tío d) mi abuelo e) mi hijo
a) es su abuela b) es su hija c) es su tía d) es su mamá e) es su hermana
15. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre?
a) es mi madre c) es mi nieta e) es mi suegra
b) es mi hija d) es mi sobrina
Unidad III
53
Situaciones lógicas
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi:
a) hija d) sobrina
b) madre e) prima
c) nieta
2. Se sabe que Jaime es sobrino de Pedro, quien a su vez es hermano de Juan, el que a su vez es padre de Víctor. Si Jaime no es hijo de Juan, ¿qué relación existe entre Jaime y Víctor?
a) Jaime es tío de Víctor b) Son hermanos c) Jaime es sobrino de Víctor d) Son primos e) Víctor es padre de Jaime
3. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único? 18:10:45
a) soy su hijo c) soy su esposo e) soy su nieto
b) soy su hermano d) soy su sobrino
4. Sabiendo que el mañana de anteayer del mañana de pasado mañana será jueves, ¿qué día fue el anteayer del ayer del mañana de hace dos días?
a) viernes d) jueves
b) lunes e) martes
c) domingo
5. Hace dos días se cumplía que el anteayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será, cuando a partir de hoy transcurran tantos días como los días que pasaron desde el ayer de anteayer hasta el día de hoy?
a) sábado d) jueves
b) lunes e) domingo
c) martes
soPractica cisáb soten peccasa noC •
De acuerdo al siguiente árbol familiar, contestar:
9. ¿Quién es el nieto de mi abuela que no es mi hermano? 10. Si el ayer del anteayer de mañana del pasado mañana de ayer de hace dos días fue lunes, ¿qué día será el mañana de hace tres días? 11. Gildder estaba mirando un retrato y alguien le preguntó: "¿De quién es esa fotografía?", a lo que él contestó: "Soy hijo único; pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre". ¿De quién era la fotografía que estaba mirando Gildder?
1. 2. 3. 4. 5.
Abuelo de José: _________________________ Cuñado de Rino: ________________________ Nieta de Sara: __________________________ Prima de Pedro: _________________________ Suegra de Miguel: _______________________
6. ¿Qué es respecto a mí, el abuelo materno del mellizo de Leonel, si la madre de Leonel es la hermana de mi hermano gemelo? 7. Luis es el único hijo del abuelo de Miguel y Ángel es el hijo de Luis. ¿Qué es Miguel de Ángel? 8. Si hoy es jueves, ¿qué día será el mañana del anteayer del mañana del pasado mañana de hace dos días?
Colegios
54
TRILCE
12. ¿Qué día será el mañana del anteayer del subsiguiente día del ayer, si el mañana del anteayer del ayer fue sábado? 13. El señor Lazo tiene dos hijos únicamente, estos a su vez son padres de Juan y Marco, respectivamente. ¿Qué parentesco tiene con el señor Lazo el único hijo del sobrino del padre del primo hermano del hijo del padre de Marco? 14. Mi tía Julia es la hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha? 15. Si el mañana del pasado mañana del ayer del mañana de hace tres días es miércoles, ¿qué día será el ayer del pasado mañana del mañana de pasado mañana?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Pensamiento lateral .
En este capítulo aprenderemos a: • • • • •
•
Identificar características particulares de una situación. Seleccionar elementos teniendo en cuenta ciertos criterios. Analizar las diferentes partes de un problema. Sacar conclusiones a partir de cierta información. Juzgar estrategias de solución determinando si son aplicables.
El pequeño nieto no deja tejer a la abuelita. ¿Qué se podría hacer para que la abuelita pueda tejer sin que el nieto la moleste?
Central: 619-8100
Unidad III
55
Pensamiento lateral
Conceptos básicos Pensamiento lateral
El pensamiento lateral es una técnica desarrollada por Edward De Bono que posee gran difusión en la actualidad y se enfoca en producir ideas que estén fuera del patrón de pensamiento habitual de la o las personas que la ejecutan, por el contrario de otras técnicas como lluvia de ideas o brainstorming. La idea es la siguiente: cuando evaluamos un problema siempre tendemos a seguir un patrón natural o habitual de pensamiento (las sillas son para sentarse, el suelo para caminar, un vaso para ser llenado con un líquido, etc.), lo cual nos limita. Con el pensamiento lateral rompemos este patrón, vemos a través del mismo logrando obtener ideas sumamente creativas e innovadoras. En particular la técnica se basa en que, mediante provocaciones del pensamiento, salimos del camino habitual, de nuestro patrón de pensamiento natural. http://es.wikipedia.org
Sabías que...? xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx En el caso de la abuelita y su nieto que no la deja tejer, hay varias posibles soluciones: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx • Colocar al nieto en el corralito. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx • Que la abuelita se meta al corralito. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx • Que la abuelita se retire del lugar. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx También hay otras sugerencias pero podrían calificarse de "cómicas" o "imaginativas" pues en la practica "no son aplicables".
• •
Que la abuelita amarre al nieto. Que la abuelita arroje al nieto por la ventana.
...
por lo tanto, debes entender que la solución no es única y pueden presentarse varias respuestas
Colegios
56
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Síntesis teórica
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Un hombre y su hijo tienen un accidente de auto. El padre muere instantáneamente y el hijo es llevado al hospital en graves condiciones. Una vez en el quirófano, quien debe operarlo para salvarle la vida dice: "No puedo operar a este niño, ¡es mi hijo!". ¿Cómo es posible, si el padre murió en el accidente? 2. Un hombre, vestido completamente de negro, incluyendo una máscara negra y lentes oscuros, va caminando por una calle cuyas luces están todas apagadas. Un auto negro viene de frente por la misma calle, también con las luces apagadas, pero logra esquivarlo. ¿Cómo vio al hombre? 3. En un corral hay dos patos con una pata cada uno. ¿Cuántos picos hay en el corral? 4. A un restaurante concurrieron dos padres y dos hijos. Cada uno pidió un plato de S/. 10 y sin embargo, la cuenta fue de S/. 30. ¿Cómo se explica esto? 5. Si tengo cuatro soles y compro dos soles de pan, ¿cuánto recibiré de vuelto?
Central: 619-8100
Unidad III
57
Pensamiento lateral
Conceptos básicos Aprende más... 1. Una canasta con huevos Hay seis huevos en una canasta. Seis personas se llevan un huevo cada una. Sin embargo, queda un huevo en la canasta. ¿Por qué?
puede dejar solos a la gallina y el maíz porque la gallina se lo comería. ¿Cómo podría esa persona resolver el problema con el bote de que dispone y sin ninguna otra ayuda externa?
2. El billete perdido El Sr. Fernández se acordó al llegar a su oficina, que había dejado, entre las páginas del libro que estaba leyendo, un billete de 200 soles. Preocupado, no fuese a extraviarse, llamó a su casa y le dijo a su empleada que le diese el libro que contenía el billete a su chofer, quien iría a recogerlo. Cuando el chofer regresó a la oficina el billete había desaparecido. Al tomar declaración al chofer y a la empleada, esta última dijo que comprobó personalmente que el billete estaba dentro del libro cuando se lo dio al chofer, precisamente entre las páginas 99 y 100. A su vez el chofer declaró que al recibir el libro de la empleada, él miró el reloj y vio que eran las 9:30 am, dirigiéndose a la oficina del Sr. Fernández, situada a 20 cuadras a donde llegó a las 9:40 am. ¿Quién miente de los dos?
7. Las etiquetas Sin acertar con ninguna de las tres, un empleado etiquetó erróneamente tres cajas que contenían caramelos, chocolates y galletas. Cuando alguien le comunica el error, dice: "No hay problema, con solo abrir una de las tres cajas y mirar su contenido, ya podré colocar las tres etiquetas correctamente". ¿Cómo lo hace?
5. Una mujer tiene dos hijos que dio a luz al mismo tiempo. Sin embargo, no son mellizos ni gemelos, ¿qué son?
Un hombre vive en el décimo piso de un edificio, y todas las mañanas, toma el ascensor, va hasta la planta baja y se va a trabajar. Pero cuando regresa toma el ascensor, va hasta el sétimo piso, se baja, y sube los tres pisos restantes por escalera. Él odia caminar, entonces, ¿por qué lo hace?
8. Un preso listo El alcaide de una prisión ofrece la libertad inmediata a uno de los diez presos que mantiene entre rejas. Para ello prepara una caja con diez bolas, nueve negras y una sola blanca y les dice que aquel que extraiga la bola blanca será el preso que quede libre. Pero el alcaide, solo hace esto para divertirse pues no tiene la verdadera intención de liberar a un reo; ha colocado, sin que nadie lo sepa, las diez 3. Salvarse del incendio bolas negras, para, de esta manera asegurarse Una pequeña isla tiene abundante vegetación que ninguno de sus diez presos vaya a quedar y está seca por el calor. Está rodeada, por un en libertad. El preso Andrés, que tiene fama de lado, con enormes acantilados y por otro lado listo, se enteró casualmente de la trampa que hay tiburones en sus aguas. En cierto momento iba a hacer el alcaide, e ideó una estratagema cae un rayo en un extremo de la isla y esta que le dio la libertad. ¿Cómo lo hizo Andrés? empieza a arder rápidamente. El viento sopla a favor del fuego y no hay donde refugiarse. Una 9. Componer la pulsera persona habita en esta isla y sin salir de ella A un experto joyero le llevan cuatro trozos de logra salvarse del fuego, ¿cómo lo hizo? cadena, de tres eslabones cada uno, para que los una formando una pulsera. "Para ello, dijo el 4. Un gran milagro joyero, tendré que cortar cuatro eslabones, uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar El reverendo Pedro Cipriani anunció que a continuación cada eslabón cortado. Tendré cierto día, a cierta hora, realizaría un gran en definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatro milagro: durante veinte minutos caminaría soldaduras". Pero la persona que le encarga el sobre la superficie del lago sin hundirse en sus trabajo dice: "No, no es necesario hacer cuatro aguas. Una gran muchedumbre se apiñó para empalmes. Puede formarse la pulsera con solo presenciar la hazaña. El reverendo Cipriani tres". ¿Cómo podría hacerse esto? realizó exactamente lo que afirmó que haría. ¿Cómo pudo lograrlo? 10. En un edificio
6. Pasar el río
Una persona dispone de un bote para atravesar un río desde una orilla a la otra. Tiene que pasar un lobo, una gallina y una bolsa de maíz. El problema es que en cada viaje solo puede pasar a uno de los tres y no puede dejar solos, en ninguna de las dos orillas, al lobo y a la gallina porque el lobo la mataría, y tampoco Colegios
58
TRILCE
11. Comportamiento raro Un hombre entra a un bar, y le pide al barman un vaso de agua, este saca un revólver verdadero de abajo de la barra y le apunta con él. El hombre dice: "Gracias" y se va. ¿Qué ocurrió? www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
12. Un apellido extraño Suena el teléfono en casa y se escucha la siguiente conversación: Mi esposa: Buenos días, dígame. Mi amigo: Buenos días. ¿Con quién tengo el gusto? Mi esposa: Con María, la esposa de Miguel Mi amigo: ¿Me podría comunicar con él? Mi esposa: Lo siento, ha salido a comprar. ¿Quién lo llama? Mi amigo: José Szcrych. Él tiene mi número de teléfono, ¿podría decirle que me llame por favor? Mi esposa: Ok. Pero no comprendí su apellido. ¿Podría deletreármelo? Mi amigo: Szcrych. S de sol, Z de zapato, C de cloro, R de ... Mi esposa: Perdón, C ¿de qué? Mi amigo: De cloro, R de razón, Y de yunta, CH de chaleco. Mi esposa: Gracias, señor. Sorprendido, mi hijo Carlos que escuchó el diálogo anterior, nos hizo notar que en la conversación había ocurrido algo totalmente ilógico. ¿Puede Ud. descubrir de qué se trataba? 13. El esclavo y los diamantes Cleopatra guarda sus diamantes en un joyero de tapa corrediza. Para disuadir a los ladrones, dentro de la caja hay una cobra viva cuya
mordedura es letal. Un día un esclavo se quedó solo durante unos pocos minutos en la estancia de las joyas, y fue capaz de robar unas cuantas gemas de enorme valor sin sacar la cobra de la caja, y sin tocar ni influir en la serpiente de ninguna forma. Tampoco tuvo que hacer nada para protegerse las manos. Empleó tan solo unos cuantos segundos en el robo. Cuando el esclavo salió de la habitación, el joyero y la serpiente se encontraban exactamente en el mismo estado que antes, salvo por las gemas robadas. ¿De qué ingenioso método se valió el esclavo?
2
14. El interruptor Hay tres interruptores afuera de un cuarto que está cerrado con llave. Adentro del cuarto hay tres lámparas. Usted puede encender y apagar los interruptores cuantas veces quiera, siempre y cuando la puerta del cuarto permanezca cerrada. Entonces, usted debe entrar una sola vez al cuarto y determinar cual interruptor le corresponde a cada lámpara. 15. Un libro difamador Cierto político terminó de leer un libro de 200 páginas y quedó muy molesto pues en él lo difamaban. En un arranque de cólera arrancó las páginas de numeración impar que eran las páginas en donde lo injuriaban. ¿Cuántas páginas quedaron en el libro?
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Siguió leyendo Martín tiene una increíble capacidad para escuchar la radio y mantener una conversación mientras lee un libro. Una noche Martín estaba leyendo un libro cuando de repente se fue la luz quedándose toda la casa en la más completa oscuridad. Sin embargo, siguió leyendo, incluso teniendo en cuenta que la habitación está a oscuras. ¿Cómo podría continuar leyendo? 2. Té con menta Una mujer va por la calle y lee el cartel de un establecimiento: "Té con menta especial. ¡Delicioso!". La mujer pide uno y justo cuando va a acercárselo a los labios, pide otro, ya que tiene un mosquito flotando. Al probar el nuevo té sabe que es el mismo de antes. ¿Cómo se dio cuenta que era el mismo té? 3. Darse cuenta Nos presentan dos esferas que tienen el mismo volumen, pero una de ellas pesa diez veces más que la otra. Si solo puedes coger una, ¿cómo sabrías cuál es la más pesada? Central: 619-8100
4. Una niña curiosa Una niña vive en su casa con sus padres. Estos siempre le dijeron que por ninguna razón abra la puerta del sótano, para que no vea algo que no tenía que ver. Cierto día, los padres salen y se olvidan de asegurar la puerta del sótano con llave. La niña, no pudiendo resistir la tentación, aprovecha la circunstancia, y abre la puerta del sótano. Lo que ve, la deja estupefacta, no puede creer el espectáculo que se cierne ante sus ojos. Un rato más tarde la policía arresta a sus padres y ponen a la niña en un lugar seguro. ¿Qué vio la niña? 5. Ingenio especial Un sordomudo entra en una tienda de artículos de escritorio. Para hacer entender al empleado que necesita un sacapuntas se coloca un dedo en la oreja izquierda y rota la otra mano alrededor de la oreja derecha. El siguiente cliente es un ciego, ¿cómo hace para hacer entender al empleado que desea unas tijeras?
Unidad III
59
Pensamiento lateral 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. El loro tartamudo Un vendedor de pájaros elogia a su loro ante un cliente: "En un par de días aprende todo lo que se le dice". El cliente compra el loro. Al cabo de cinco días lo devuelve porque el loro es tartamudo. ¿Qué cree usted que le contestó el cliente cuando el vendedor le preguntó por el motivo de la devolución? 2. Cumpleaños especial Un hombre dice: "Ayer yo tenía 33 años, y el año que viene cumpliré 35". ¿Cómo es posible esto? 3. Edad del griego Un griego nació el séptimo día del año 40 a. C., y murió el séptimo día del año 40 d. C. ¿Cuántos años vivió? 4. ¿Pesa menos? ¿De qué hay hay que llenar un cilindro abierto para que pese menos? 5. Las tapas cambiadas Se tienen tres cajones, de los cuales uno contiene dos bolas blancas, otro dos bolas negras y el tercero una bola blanca y otra negra. Las tapas están rotuladas acordemente con las letras BB, NN y BN. Cambiamos las tapas de modo que ninguno de los cajones tenga la que le corresponde. ¿Cómo determinaremos el color de las bolas de cada cajón, tomando solo una bola de uno de los cajones? 6. La moneda extraviada Tres amigos, luego de consumir en un restaurante, piden la cuenta, el mozo cobra S/. 30, sacando entonces cada uno S/. 10. Pero el cajero le dice al mozo que había una equivocación, pues el consumo solo ascendía a S/. 25; el mozo se da cuenta que devolver S/. 5 a tres personas en partes estrictamente iguales era molestoso así que decide quedarse con S/. 2 y devuelve S/. 1 a cada uno, por consiguiente, cada uno de los amigos habría gastado solo S/. 9. Pero al principio había S/. 30 y ahora hay: 9×3=27 soles más dos soles con los que se quedó el mozo entonces son S/. 29. ¿Qué pasó con el otro sol? 7. Pregunta curiosa TRILCITO intentando hacer razonar a Luchín le comenta: "Luchín, ¿cómo podrías demostrar que la mitad del número nueve es exactamente cuatro?". ¿Usted cómo lo haría?
Colegios
60
TRILCE
8. Pregunta discordante Dos personas van por un camino, el de adelante dice: "Me sigue mi hijo", pero el que está atrás dice: "Yo no sigo a mi padre". ¿Quién está adelante? 9. Persona caprichosa Una persona un tanto caprichosa, construyó una casa de base cuadrada, con una ventana en cada pared, de modo que las cuatro daban al sur. ¿Cómo se puede hacer esto? En otras palabras, ¿dónde se puede construir una casa de este tipo? 10. ¿Fue el mayordomo? "¿Dónde están esas valiosas monedas de la colección que dejé esta mañana sobre la mesa, Genaro? Las puse en formación cuadrada y ahora solo quedan dos. ¿No las tomó usted, verdad? ¡No Señor!, respondió el mayordomo. "Poco después de que usted saliera entraron tres ladrones. Se repartieron las monedas en partes iguales entre ellos, pero dejaron estas dos por que no podían repartírselas equitativamente". ¿Decía la verdad, o mentía el mayordomo? 11. La cuerda floja Tenemos dos postes de 12 metros de altura cada uno, en cuyos extremos superiores hay atada una cuerda que mide 20 metros. Dicha cuerda está colgando, de modo que el punto más bajo de ella dista dos metros del suelo. Se trata de hallar la distancia entre los dos postes. 12. Mantener separadas Hay dos jarras llenas de agua pura. ¿Cómo podrías poner toda el agua en un barril sin usar las jarras ni ningún otro recipiente o división, pero todavía mantener separadas el agua proveniente de cada jarra? 13. Fiesta familiar En una fiesta familiar dos hombres se encuentran: "Padre", dijo el primero; "Abuelo", replicó el segundo. Ninguno de los dos hombres se equivocaba. ¿Cómo puede ser? 14. Con una lupa Un ángulo de 10º es observado con una lupa de 10 aumentos. ¿Cuánto medirá el ángulo en la lupa?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
3
Repaso II . ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados durante el bimestre
• • • •
http://www.64bitprogramlar.com
• • • •
Palitos de fósforo. Engranajes y transmisiones. División de figuras. Juegos con cuadros numéricos: Hidato, Sudoku, Ken Ken, Triángulos mágicos y Pirámides numéricas Multiplicaciones abreviadas. Relaciones familiares. Días de la semana. Pensamiento lateral.
¿En qué sentido gira "P" ?
P
Central: 619-8100
Unidad III
61
Repaso II
Conceptos básicos Aprende más... Palitos de fósforo
Mover un palito de fósforo de tal manera que se siga manteniendo la igualdad:
Sudoku 2
3
6
5
4
6
3
5 2
3
4
2
3
Engranajes y trasmisiones
1
1
5 2
5
6
D
A
Ken Ken B
2÷
12×
C 3-
E I
Si la rueda "D" gira en sentido horario, ¿en qué sentido giran las otras ruedas?
División de figuras
Dividir la figura en tres partes iguales.
Juegos con cuadros numéricos Hidato 2 4
34 30 23 22 35 27
38
20 41 40 13
46
16
Colegios
62
Ana
Rosa
48
Pepe Jaime
César Raúl
• 1
TRILCE
2-
Relaciones familiares
Lila
17 11
2÷
4+
Samuel
19
3
F
G
H
1-
Óscar
Jeny
Betty
¿Cómo se llaman los nietos de Samuel?
Días de la semana 1. El ayer del anteayer fue miércoles. ¿Qué día de la semana será el pasado mañana del ayer de mañana de dentro de tres días? 2. Si anteayer fue lunes, ¿qué día de la semana será el mañana del mañana del pasado mañana de hace dos días?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Pensamiento lateral
Enunciado
1. Aviso a los navegantes Un barco, fondeado en el puerto, tiene desplegada una escalera para poder embarcar en los botes. La escalera que va desde cubierta al agua, tiene 22 escalones de 20 cm de altura cada uno. La marea sube a razón de 10 cm por hora. ¿Cuántos escalones cubrirá el agua al cabo de 10 horas?
• Si el anteayer de dentro de cuatro días es miércoles, relacionar:
2. Zapatero estafado Una señora compra unos zapatos y paga con un billete de 200 soles los 180 que valen. Como el zapatero se encuentra sin cambio, acude al bar de al lado a cambiar el billete de 200 soles, devuelve 20 soles a la señora y ambos quedan satisfechos. Al poco tiempo llega el dueño del bar alegando que el billete que le cambio es falso y que no quiere perder dinero. El zapatero entrega otro billete de 200 soles legal al dueño del bar. ¿Cuánto perdió en total el desventurado zapatero?
El mañana de hace dos días
Miércoles
2. El anteayer del mañana de pasado mañana
Viernes
3. El ayer del anteayer de hace dos días
Domingo
4. El ayer del pasado mañana de dentro de tres días
Lunes
5. El mañana del mañana de anteayer
Martes
•
Mi nombre es Samuel y mis padres Luisa y Carlos. Los padres de mi mamá son Luis y Rebeca. Además mi papá tiene un solo hermano llamado Julio.
Responder si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F):
Multiplicaciones abreviadas 1. 47 326 × 5 =
1.
2. 496 832 × 11 =
3
1. Samuel es tío de Julio........................... ( ) 3. 841 096 × 999 = 4. 34 × 72 = 5. 572 =
Central: 619-8100
2. Carlos es yerno de Luis......................... ( )
3. Rebeca es abuela de Samuel................ ( )
4. Luis es tío de Julio................................ ( )
5. La hija de Rebeca es cuñada de Julio..... ( )
Unidad III
63
Repaso II 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
El ayer de pasado mañana es miércoles, relaciona:
1.
El mañana de hace cuatro días
miércoles
2. El pasado mañana del ayer de mañana
viernes
3.
sábado
El anteayer de mañana
4. El ayer del ayer de dentro de cinco días
lunes
5.
jueves
El mañana de hoy
Enunciado • El hermano de Ana es Jaime y está casado con Betty con quien tienen dos hijos: Raúl e Inés. Inés está casada con Rafael y tienen una niña llamada Carmen, colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso; según corresponda:
6. Ana es cuñada de Betty...................... ( )
7. Jaime es tío de Rafael......................... ( ) 8. Carmen es abuela de Betty................. ( ) 9. Ana es tía de Raúl............................... ( ) 10. La señorita Janeth, al mirar el retrato de un hombre le dijo a su padre (quien es hijo único) lo siguiente: "La madre de ese hombre era la suegra de mi madre". ¿Qué parentesco hay entre la señorita Janeth y el hombre del cuadro?
12. Si el ayer de pasado mañana es lunes, ¿qué día de la semana será el ayer del ayer de dentro de cinco días?
a) jueves d) miércoles
b) lunes e) domingo
c) sábado
13. Si el mañana de dentro de tres días será domingo, ¿qué día de la semana fue el pasado mañana del pasado mañana de ayer?
a) lunes d) domingo
•
Relaciones familiares
Susana Susana
b) martes e) viernes
Carlos Carlos
c) sábado
Fabiola Fabiola
11. Indicar cuántas ruedas giran en sentido horario. Rubén Rubén
Rafael Rafael
Alberto Alberto
Inés Inés
Susy
Responder: 14. ¿Quién es la hermana del papá del cuñado de Inés? 15. ¿Qué parentesco tiene Rafael con Alberto?
Colegios
64
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
4
Ordenamiento lineal .
En este capítulo aprenderemos a: •
Identificar y ubicar elementos en el espacio: arriba - abajo, adelante - atrás, derecha - izquierda.
• • •
•
Ordenar elementos teniendo en cuenta determinadas condiciones.
•
Representar elementos en gráficos.
•
Inferir resultados a partir de cierta información.
¿Dónde está la mamá de la niña? ¿Quién está detrás a dos lugares de la señora del sombrero? ¿Cuántos lugares le faltan para que atiendan al señor de la corbata?
GRan UUULIS
"Mi mamá está dos lugares atrás de la señora que está inmediatamente adelante de la señora que está con sombrero"
Central: 619-8100
Unidad III
65
Ordenamiento lineal
Conceptos básicos • Mayor - menor
La representación de elementos, donde unos son mayores que otros, se hace en una vertical. mayor
menor Así por ejemplo: •
• Cecilia gana más que Luisa
Juan tiene más edad que Luis Juan
Cecilia
Luis
Luisa
• Derecha - izquierda
IZQUIERDA OESTE
Sandra
DERECHA ESTE
Inés
Sandra está a la izquierda de Inés •
Juan
César
A la derecha de Juan están César y Miguel
Adelante - Atrás
La representación de elementos que están en una fila donde unos están adelante de otros, se hace en una horizontal. ATRÁS
ADELANTE César
Nissan
Colegios
TRILCE
Miguel
Jorge
VW
El auto VW está delante del Nissan
66
Miguel
César está dos lugares atrás de Jorge
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
• Arriba - abajo
4
La representación de elementos donde unos están arriba de otros, se hace en una vertical. ARRIBA
NORTE
ABAJO
SUR
Sr. López Sr. Ruiz
Trujillo Chimbote Huacho
•
El Sr. López vive arriba del Sr. Ruiz.
• Chimbote está al norte de Huacho y al sur de Trujillo.
Síntesis teórica
Central: 619-8100
Unidad III
67
Ordenamiento lineal
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos •
En la foto Ud. observa nueve amigos, uno al lado del otro, de acuerdo a ello responda las siguientes preguntas:
1. ¿Quién está junto y a la izquierda del que está tres lugares a la derecha de Lucho? 2. ¿Adyacente a quiénes está Paty? 3. Manuel es menor que Julio y Ramón es mayor que Manuel, pero Julio es menor que Ramón. ¿Quién es el mayor?
•
Cuatro personas: Hugo, Félix, Irene y Karina viven en un edificio de cuatro pisos; cada uno en un piso diferente. Si se sabe que Irene vive un piso más arriba que Félix, Hugo vive arriba de Karina e Irene vive abajo de Karina, responder:
4. ¿En qué piso vive Félix? 5. ¿Quién vive adyacente a Hugo e Irene?
Conceptos básicos Aprende más... Enunciado I Se sabe que: • Alberto es mayor que Beatriz pero menor que Catherine. • Catherine es mayor que David pero menor que Elena. • David es mayor que Alberto.
Contestar: 3. ¿Cuál de las ciudades anteriormente descritas se encuentra al este de las demás? 4. ¿Cuántas soluciones hay? 5. ¿Qué ciudad está tercera, desde la izquierda?
Contestar: 1. ¿Quién es el mayor de todos?
Enunciado III
2. ¿Cuántas personas son mayores que Alberto?
Cuatro personas "P", "Q", "R" y "S" viven en un edificio de cuatro pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que "R" vive un piso más arriba que "P"; "Q" vive más arriba que "S" y "R" vive más abajo que "S". ¿En qué piso vive "R"?
Enunciado II Se tiene la siguiente información: • La ciudad "A" se encuentra al este de la ciudad "B". • La ciudad "C" se encuentra al oeste de la ciudad "D". • La ciudad "B" se encuentra al este de la ciudad "D".
Colegios
68
TRILCE
6. ¿En qué piso vive "R"? 7. ¿Quién vive en el tercer piso?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Enunciado IV • De acuerdo al siguiente gráfico, responder:
4
Padres de Mafalda
Felipe
Guille
Susanita
Manolito
Mafalda
Libertad
Miguelito
8. ¿Quién equidista de Felipe y Libertad? 9. Tres lugares a la derecha de Susanita está: 10. ¿Quién está junto y a la derecha del que está junto y a la derecha de la mamá de Mafalda? 11. ¿Cuántos lugares a la izquierda de Guille, está Libertad? Resolución de problemas 12. Angela, Brescia, Carolina y Diana viven en cuatro casas contiguas. Si Angela vive a la derecha de Carolina, Brescia no vive a la izquierda de Diana y Angela vive entre Diana y Carolina; podemos afirmar que:
a) Diana vive a la derecha de las demás. b) Angela vive a la izquierda de las demás. c) Carolina vive a la derecha de Diana. d) Angela vive a la derecha de Brescia. e) Carolina vive a la izquierda de las demás.
13. María es menor que José y Rosa es mayor que María pero José es menor que Rosa. De todos ellos, ¿quién es el mayor?
a) María d) Julio
Central: 619-8100
b) José c) Rosa e) Falta información
14. Se sabe que Juan es mayor que Carlos y Carlos es mayor que Enrique. ¿Quién es el menor de todos, si Pedro y Antonio son mayores que Juan? a) Juan b) Carlos c) Pedro d) Antonio e) Enrique 15. Cuatro amigas viven en la misma calle, si sabemos que: • Janisse vive a la izquierda de Úrsula. • La casa de Úrsula queda junto y a la derecha de la de Wendy. • Wendy vive a la izquierda de Noemí.
¿Quién vive a la izquierda de las demás?
a) Úrsula d) Wendy
b) Noemí c) Janisse e) Faltan datos
Unidad III
69
Ordenamiento lineal
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En una carrera entre siete autos se sabe que:
• • • • • •
El auto rojo llegó en tercer lugar. El auto verde llegó inmediatamente después del azul. El auto marrón llegó en cuarto lugar, tres lugares detrás del blanco. El auto negro no llegó después del marrón. El auto gris llegó último. No hubo dos o más autos que lleguen en el mismo lugar.
Indicar el orden de llegada de los autos.
2. Un edificio de cinco pisos, donde en cada piso hay dos departamentos, es ocupado por ocho amigos quienes viven cada uno en un departamento diferente. De ellos se sabe que:
• • • • • •
José vive a un piso de Rubén y a dos pisos de Daniel pero más abajo que Enrique y Pablo. Francisco vive más arriba que Daniel pero en el mismo piso que Armando. Rubén quiere mudarse porque su vecino de piso hace mucho ruido. Claudio vive en el primer piso y para ir a la casa de Daniel debe subir tres pisos. Rubén no vive en el primer piso. Pablo vive más abajo que Enrique.
De acuerdo a lo anterior colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso; según corresponda:
∗ Pablo vive en el tercer piso ..........................................................................................( ) ∗ José no vive en el segundo piso ..........................................................................................( ) ∗ Daniel vive más arriba que Francisco...................................................................................( ) ∗ Francisco vive en el quinto piso ..........................................................................................( )
3. Rosa, Lucy, Mayra y Sara están sentadas en una fila de cuatro sillas numeradas del 1 al 4. José las mira y les dice: "Lucy estás sentada al lado de Mayra" y luego agrega: "Rosa, estás entre Lucy y Mayra". Pero sucede que José miente y las dos afirmaciones hechas por él, son falsas. En realidad Lucy está en la silla Nº 3. ¿En qué orden están colocadas las cuatro niñas? 4. Las letras "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G", "H", "I" y "J" representan, no necesariamente en ese orden, números consecutivos desde el 1 hasta el 10. Si se sabe que:
• • • • • • •
"A" es mayor que "D" en tres unidades. "B" es el término central. "F" es menor que "B" y "C" es mayor que "D". "G" es mayor que "F". La diferencia entre "B" y "F" es igual a la diferencia entre "C" y "D". "E" ocupa el tercer lugar después de "C". "I" ocupa el penúltimo lugar adyacente a "H" y "J" quien está último.
Indicar, de menor a mayor, el orden de las letras.
5. Tres nigerianos: Nwanko, Obayako y Pelik participan en una carrera junto a tres norteamericanos: Kevin, Lewis y Michael. Si en dicha carrera no hubo empates y además se sabe que:
• • • • •
¿Quién llegó en segundo y quinto lugar respectivamente?
Colegios
70
Pelik llega tres puestos antes que Kevin. Nwanko llega junto a Pelik. Un nigeriano no es el ganador. Dos norteamericanos no llegan juntos. Lewis llega después que Michael.
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 18:10:45
4
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Se sabe que Juan es mayor que José, Julio es menor que Jesús y José no es menor que Jesús. ¿Quién es el menor de todos?
del Krakatoa y este último está ubicado al oeste del Sumatra. ¿Cuál es el volcán ubicado más al oeste?
2. Si "A" está a la derecha de "B"; "C" está al oeste de "D"; "B" está a la derecha de "D"; ¿quién está sentado a la derecha de las demás?
10. Se tiene un edificio de cuatro pisos y se sabe que en cada piso vive una familia. La familia Castro vive adyacente a la familia Machado y a la familia Tello y la familia Farfán vive más abajo que los Castro. Si la familia Machado no vive en el cuarto piso, entonces, ¿quién vive en dicho piso?
3. Según el problema anterior, ¿cuántas personas se sientan a la izquierda de "B"? 4.
Si se sabe que: • "A" es mayor que "B". • "C" es el mayor del grupo. • "D" es mayor que "A" • "E" es menor que "A" Si "E" no es el menor del grupo, ¿quién lo es?
5. En una carrera entre cinco amigas, María va en primer lugar y Lucía en el quinto puesto. Si Leticia va en el puesto intermedio entre ambas, Juana le sigue a Leticia e Irene está mejor ubicada que Juana, ¿quién ocupa el segundo lugar? 6. Se tiene la siguiente información: • La ciudad "P" se encuentra al oeste de la ciudad "S". • La ciudad "R" se encuentra al este de la ciudad "Q" pero al oeste de la ciudad "P" ¿Cuál de las ciudades mencionadas se encuentra más al oeste? 7. En una competencia de Fórmula 1 participan los autos "V", "W", "X", "Y" y "Z". • El auto "W" llegó antes que el auto "Y" pero después que el auto "Z" • El auto "X" ocupó el primer lugar. • El auto "V" llegó después que el auto "Y" ¿Qué auto ocupó el segundo y el quinto lugar respectivamente? 8. Se tiene un edificio de seis pisos en el cual viven seis personas "A", "B", "C", "D", "E" y "F", cada una en un piso diferente. Si se sabe que: • "E" vive adyacente a "C" y "B". • Para ir de la casa de "E" a la de "F" hay que bajar tres pisos. • "A" vive en el último piso. ¿Quién vive en el segundo piso? 9. El volcán Temboro está ubicado al este del volcán Sumatra. El volcán Etna está al oeste
Central: 619-8100
11. En una carrera participan cuatro amigas: Michelle, Rocío, Kelly y Verónica. Si el orden en que llegaron se conoce que: • Verónica y Kelly llegaron una detrás de la otra en orden alfabético. • Michelle aventajó a Rocío por tres puestos. ¿Quién ganó la carrera y quién llegó en tercer lugar respectivamente? 12. En una competencia automovilística el auto de Manuel va en primer lugar y el auto de Nestor en el quinto puesto. Si Lincoln va en el puesto intermedio entre ambos, Jorge le sigue a Lincoln y Ricardo está mejor ubicado que Jorge, ¿quién ocupa el segundo lugar? 13. De un grupo de personas se sabe lo siguiente: Eduardo tiene tres años más que Rubén, este tiene dos años más que Danny, Manuel cinco años más que Eduardo y John tiene cuatro años más que Manuel. ¿Quién es la persona que tiene más edad? 14. En una reunión un caballero comenta lo siguiente: "Mariela pesa 4 kg menos que Sofía, Vanessa pesa 3 kg más que Sofía, Roxana pesa 2 kg menos que Paola y esta pesa 1 kg menos que Mariela". ¿Quién es la señorita que pesa menos? 15. En un examen de Razonamiento Matemático se obtiene la siguiente información: Tiburcio obtuvo cinco puntos más que Florencio, quién a su vez obtuvo tres puntos menos que Clodomiro, Pancracio sacó seis puntos más que Eucalipta, esta sacó siete puntos menos que Tiburcio y Anacleta dos puntos más que Pancracio. ¿Quién obtuvo el segundo mejor puntaje?
Unidad III
71
Ordenamiento circular
Ordenamiento circular En este capítulo aprenderemos a: •
Ordenar información de elementos dispuestos en círculo.
•
Identificar la posición de un elemento respecto al otro.
•
Representar elementos con gráficos.
•
Inferir resultados a partir de cierta información.
• • •
¿Dónde está la ventana? ¿Quienes están frente a frente? ¿Quién está a la derecha de Mathías?
La ventana está a la derecha La ventana está atrás
La ventana está al frente
Christian
Carlos Mathías Edú La ventana está a la izquierda
Colegios
72
TRILCE
Edú
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
5
Conceptos básicos Ordenamiento circular
• Cuando seis elementos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F", están en línea: A
B
C
D
E
F
"C" está a la izquierda de "D" • Cuando seis elementos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" están en círculo: "C" está a la derecha de "D"
C
•
En general, debes tener presente el siguiente esquema: d : derecha i : izquierda i d
C
D
D
d
i
i B
B
E
E
d
i
i
A
d
A
F
d
i
F
Cinco amigos se sientan alrededor de una mesa, en forma simétrica (igual distancia uno de otro) Luis Se observa que:
Fernando Raúl
César
Central: 619-8100
Jorge
•
Junto y a la derecha de Luis está Fernando.
•
A la izquierda de Jorge están César y Fernando.
•
Adyacentes a Raúl se sentaron Jorge y Luis.
•
Dos lugares a la izquierda de César está Luis.
•
Frente a César nadie está sentado.
Ejemplo
Ejemplo
d
Unidad III
73
Ordenamiento circular
Síntesis teórica
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos Enunciado I • Cinco amigos se sientan alrededor de una mesa circular, en forma simétrica.
iana
• •
"F" está junto y a la izquierda de "C". "D" no está a la derecha de "F"
Responder: 3. ¿Quién está frente a "C"? 4. ¿Cuántas personas hay entre "F" y "D"?
na
Enunciado III • Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa circular, como se muestra en la figura.
Cristin
Ele
Anselmo
o
un
Br
D
a
Responder: 1. ¿Quién se sienta frente a Cristina? (Diametralmente opuesto) 2. ¿Quién está a la izquierda de Anselmo y derecha de Bruno? Enunciado II Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: • "A" se sienta junto y a la derecha de "E". • "B" se sienta frente a "D". • "C" no está frente a "E".
Colegios
74
TRILCE
Jorge
Eva
César
Dora
Responder: 5. ¿Quién está a la derecha del que está frente a César?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
5
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática Enunciado • Un grupo de siete niños juega a "la ronda". De acuerdo a ello, responder verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
10. ¿Quién está a la derecha de Jorge y a dos lugares de Walter? Resolución de problemas 11. En una mesa cuadrada están sentadas cuatro personas ("P", "Q", "R" y "S") una por lado, y se sabe que: • "P" está sentado a la izquierda de "S". • "R" está sentado frente a "P". ¿Quién se sienta frente a "S"?
1 2. 3. 4. 5. 6.
Dos lugares a la derecha de Goyo está Susy......................................................( ) Rino está a la izquierda de Susy...................( ) Carla está adyacente a Tino y Rita................( ) A la izquierda de Lalo está Rino...................( ) Tino está entre Rino y Rita...........................( ) Frente a Tino está Goyo...............................( )
Enunciado • En la figura se observa a nueve amigos sentados en forma simétrica alrededor de una mesa redonda. César
Jorge Miguel
Ricardo
Cecilia
Walter Teresa
Tomás Tomás
Alejandro
Responder: 7. ¿Quién está junto y a la izquierda de Tomás? 8. ¿Quién está frente al que está junto y a la derecha de Teresa? 9. ¿Quién(es) está(n) a la izquierda de Alejandro, pero a la derecha de Jorge?
Central: 619-8100
a) "P" d) "T"
b) "R" c) "Q" e) No se puede determinar
12. En una mesa cuadrada se sientan cuatro personas ("J", "K", "L" y "M"), una por lado y de ellos se sabe que: • "J" está frente a "L". • "K" está a la izquierda de "L". ¿Quién se sienta a la derecha de "M"?
a) "J" d) "N"
b) "L" c) "K" e) Falta información
13. En una mesa circular con cinco sillas distribuidas simétricamente se ubican cinco personas de tal manera que: • Fernando se encuentra adyacente a Inés y a Graciela . • Hamilton está junto y a la derecha de Inés. • Jennifer está contemplando a Fernando. ¿Entre quiénes se sienta Jennifer?
a) Inés y Fernando. b) Fernando y Graciela. c) Hamilton e Inés. d) Graciela y Hamilton. e) No se puede precisar.
Enunciado • En una mesa redonda con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan seis personas del modo siguiente: Tino se sienta junto y a la derecha de Lucas y frente a José; además José se sienta a la izquierda de Eduardo y junto a Mario. Si Luis es el más callado de los que están sentados en dicha mesa, responder: 14. ¿Frente a quién se sienta Luis?
a) Lucas d) José
b) Tino e) Mario
c) Eduardo
15. Tino se sienta adyacente a:
a) Lucas y José. c) José y Lucas. e) Eduardo y Luis.
b) Mario y Eduardo. d) Luis y Lucas.
Unidad III
75
Ordenamiento circular
¡Tú puedes!básicos Conceptos Enunciado I En una mesa circular simétricamente distribuida se encuentran sentados: Arenita, Bob Esponja, Calamardo, Chico Percebe, Don Cangrejo, Patricio, Plancton y Sirenoman. Respecto a ellos se sabe que: • Plancton no está a la derecha de Bob Esponja. • Chico Percebe está sentado frente a Sirenoman. • Calamardo no está a la izquierda de Don Cangrejo • Patricio está a la izquierda de Plancton. • Don Cangrejo está sentado frente a Arenita. • Arenita está sentada junto y a la derecha de Calamardo. • Bob Esponja está adyacente a Don Cangrejo y Sirenoman. De acuerdo a los datos anteriores, responder: 1. ¿Quiénes están sentados a la izquierda de Patricio?
a) Chico Percebe, Calamardo y Don Cangrejo. b) Calamardo, Bob Esponja y Chico Percebe. c) Plancton, Sirenoman y Arenita. d) Arenita, Calamardo y Sirenoman. e) Don Cangrejo, Plancton y Bob Esponja.
2. ¿Quiénes están adyacentes a Chico Percebe?
a) Sirenoman y Bob Esponja b) Plancton y Arenita c) Bob Esponja y Patricio d) Arenita y Calamardo e) Patricio y Plancton
3. ¿Quién se sienta frente a Calamardo?
a) Don Cangrejo c) Bob Esponja e) Arenita
b) Plancton d) Sirenoman
Enunciado II En mesa redonda con ocho sillas distribuidas simétricamente se encuentran sentados: Alfredo, Diego, Fiorella, Renzo, Sergio, Shirley, Wendy y Violeta. Además se sabe que: • Personas del mismo sexo no se sientan juntos. • Sergio se sienta junto a Fiorella. • Shirley se sienta a la derecha de Violeta pero a la izquierda de Wendy. • Diego no se sienta frente a Renzo. • Alfredo no se sienta frente a Sergio ni a su izquierda. • A la derecha de Diego se encuentra sentado Sergio. Respecto a lo anteriormente descrito, responder: 4. ¿Quiénes están adyacentes a Shirley?
a) Diego y Renzo. c) Sergio y Diego. e) Wendy y Violeta.
5.
Dadas las siguientes proposiciones: • Diego está frente a Alfredo. • Sergio está a la derecha de Shirley. • Wendy está a la derecha de Fiorella. • Violeta está junto y a la izquierda de Renzo. • Fiorella está adyacente a Alfredo. ¿Cuántas de ellas son ciertas?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
b) Alfredo y Sergio. d) Renzo y Alfredo.
c) 3
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos
Tin
úl Ra
o
a
Pat
An
y
Enunciado Seis amigos se sientan en forma simétrica alrededor de una mesa, como se muestra en la figura. José
Sara Responder: 1. ¿Quién está junto y a la derecha de Tino?
Colegios
76
TRILCE
2. ¿Adyacente a quiénes se sienta Sara? 3. ¿Quién(es) está(n) a la derecha de Raúl? Enunciado Eufrasia y Fátima se sientan en una mesa redonda con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: • Artemio se sienta junto y a la derecha de Brígida y frente a Carloncho. • Dionisio no se sienta junto a Brígida. • Eufrasia no se sienta junto a Carloncho.
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
4. ¿Dónde se sienta Fátima?
a) Entre Carloncho y Eufrasia. b) Frente a Dionisio. c) A la derecha de Artemio. d) A la izquierda de Carloncho. e) Entre Brígida y Carloncho.
5. ¿Quiénes se sientan a la izquierda de Eufrasia?
a) Carloncho y Dionisio. b) Brígida y Fátima. c) Artemio y Brígida. d) Fátima y Artemio. e) Dionisio y Brígida.
Enunciado En una mesa circular seis superhéroes: Batman, Robín, Supermán, Acuaman, Flash y la Mujer Mara-villa se ubican simétricamente y se sabe que: • Supermán está junto y a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a Acuaman. • Robín está frente a Batman y no está al lado de Acuaman. De acuerdo al ordenamiento del enunciado, responder: 6. ¿Quién se sienta junto y a la derecha de Supermán?
a) Robín d) Batman
b) Flash c) Acuaman e) Mujer Maravilla
7. ¿Quiénes se sientan a la izquierda de Flash?
a) Supermán y Robín. b) Batman y Acuaman. c) Mujer Maravilla y Supermán. d) Robín y Batman. e) Acuaman y Mujer Maravilla.
8 . En una mesa cuadrada están sentadas cuatro personas ("J", "K", "L" y "M"), una de cada lado, y se sabe que:
• "J" está sentado junto y a la izquierda de "M" • "L" está sentado frente a "J". ¿Quién se sienta frente a "M"?
9 . En una mesa cuadrada se sientan cuatro personas ("P", "Q", "R" y "S"), una en cada lado, y de ellos se sabe que:
Central: 619-8100
• "P" está frente a "R". • "Q" está a la izquierda de "R". ¿Quién se sienta a la derecha de "S"?
5
10. En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente se ubican cuatro personas de tal manera que: • Federico se encuentra adyacente a Indira y a Gianina. • Janeth está contemplando a Federico. ¿Entre quiénes se sienta Janeth? 11. De acuerdo al problema anterior, ¿cuál es el orden en que se sientan dichas personas empezando por Federico y siguiendo en sentido horario, sabiendo que Gianina está a la derecha de Federico? 12. En una mesa redonda se encuentran sentados simétricamente tres niños: Gabriel, César y Freddy. Si Freddy está a la izquierda de César, ¿cuál es el orden en que se sientan dichos niños empezando por Gabriel y siguiendo el sentido antihorario?
a) Gabriel, Freddy, César. b) Freddy, César, Gabriel. c) Gabriel, César, Freddy. d) César, Gabriel, Freddy. e) César, Freddy, Gabriel.
13. En el enunciado anterior, ¿quién se sienta a la derecha del que está junto y a la izquierda de César?
a) Gabriel d) Carlos
b) Freddy c) César e) No se sabe
14. En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente están sentadas cuatro personas de la siguiente manera: Andrea se sienta frente a Natalia y a la izquierda de Lady, además Elissa está conversando entretenidamente con Natalia. ¿Quién se sienta frente a Lady?
a) Andrea d) Janisse
b) Elissa c) Natalia e) No se puede precisar
15. ¿Quién se sienta a la derecha de Andrea?
a) Lady d) Melina
b) Elissa e) Miriam
c) Natalia
Unidad III
77
UNIDAD IV
Explorando habilidades matemáticas: Psicotécnico
L
os pilotos de combate de las diferentes fuerzas aéreas del mundo, son sometidos a rigurosos exámenes para medir sus capacidades y aptitudes físicas, intelectuales y emocionales. Los test psicotécnicos son el instrumento que usan los examinadores para medir esas capacidades. A continuación, cinco de los TEST más usuales.
Aptitud Relaciones espaciales Rapidez progresiva Razonamiento Orientación espacial Visualización
Test Psicotécnico Rotación de figuras macizas Formas idénticas PMAR DAT-AR Trayectorias curvas Coordenadas Recuento Rompecabezas impresos
AprendiZajes esperados
Comunicación matemática • Identificar detalles gráficos en figuras. • Comparar relaciones gráficas y numéricas. Resolución de problemas • Analizar y aplicar la estrategia más adecuada para resolver sucesiones gráficas y numéricas. Razonamiento y demostración • Determinar, deducir y generalizar las relaciones gráficas y numéricas en las sucesiones, analogías y distribuciones.
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
Razonamiento abstracto
En este capítulo aprenderemos a: • • •
Identificar la figura que sigue en una sucesión de figuras. Reconocer la figura discordante en un grupo de figuras. Relacionar elementos gráficos en una matriz de figuras.
Licencia de conducir Examen psicotécnico
Fuente:http://www.enplenitud.com/
Cuando una persona enfrenta un Examen Psicotécnico, está siendo evaluado en diferentes aspectos: el intelectual, el aptitudinal, la personalidad en lo laboral y en el área cognoscitiva, y específicamente en lo emocional.
Central: 619-8100
Unidad IV
79
Razonamiento abstracto
Conceptos básicos Sucesión de figuras
Ejemplo
Estas sucesiones evalúan la capacidad de abstracción que es base de todo proceso mental inteligente. Se trata de descubrir como cambian las figuras en una sucesión, y de esta manera se deduzca la figura que continúa.
¿Qué figura sigue en la sucesión?
? (a)
(b)
(d)
(c)
(e)
Resolución
Observa que el número de líneas rectas y curvas va cambiando
•
Cuando aumenta una línea recta, aumenta una curva.
Figura discordante
¿Qué figura es diferente a las demás?
(a)
(b)
(c)
Resolución Observa que cuatro de ellas son iguales al girar que son las figuras: "a" - "b" - "c" - "e"
(d)
(e)
Ejemplo
Ejemplo
En este tipo de situaciones de abstracción se tiene que averiguar qué figura es diferente de un grupo de cinco. Se tiene presente la forma, los detalles interiores, la orientación de la figura, etc. Las características comunes están en cuatro de las figuras, en la otra figura no debe haber las mismas características, por lo que la hace diferente.
∴ La figura discordante es "d" que está al revés Colegios
80
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Matrices con figuras
1
Ejemplo
En estas aplicaciones se trata de buscar una relación gráfica entre las filas y columnas de una matriz de figuras.
¿Qué figura falta?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Resolución Observa la disposición de las figuras.
→ La figura que falta es:
Síntesis teórica
?
Central: 619-8100
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
?
Unidad IV
81
Razonamiento abstracto
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar la figura que sigue.
2. Indicar la figura que sigue.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3. ¿Qué figura es diferente a las demás?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
4. Indique la figura que falta.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
5. Indique la figura que falta.
Colegios
82
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
sociAprende sáb sotpemás... cnoC •
En el siguiente grupo de figuras indique qué figura continúa (graficar):
8. ¿Qué figura no corresponde al grupo?
1.
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
9. ¿Qué figura no corresponde a los demás?
2.
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
10. ¿Qué figura no corresponde a las demás?
3.
? (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
4.
11. ¿Qué figura no corresponde al grupo?
5.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
12. Indicar la figura que falta:
?
6.
a)
b)
d)
e)
c)
13. ¿Qué figura falta en el círculo inferior? 7. ¿Qué figura no corresponde a las demás? ?
(a)
(b)
Central: 619-8100
(c)
(d)
(e)
a)
b)
d)
e)
c)
Unidad IV
83
Razonamiento abstracto
14. ¿Qué figura falta?
15. Indicar la figura que falta:
?
?
a)
b)
d)
e)
c)
a)
b)
d)
e)
c)
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. ¿Qué figura sigue en la siguiente sucesión?
?
a)
b)
c)
d)
e)
2. ¿Cuál de los siguientes sólidos no corresponde a los demás?
a)
b)
c)
d)
e)
3. ¿Qué figura no corresponde a las demás?
a)
b)
c)
d)
e)
4. ¿Qué figura falta?
a) Colegios
84
TRILCE
b)
c)
d)
e) www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
5. ¿Qué figura falta?
1
a)
b)
c)
d)
e) 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
Grafique la figura que continúa en cada grupo.
5.
1.
?
?
?
2.
?
6. Indicar la figura que no guarda relación con las otras:
3.
? ?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
7.
H I K T Z
4.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
8.
? ?
Central: 619-8100
Unidad IV
85
Razonamiento abstracto
13.
9.
% (a)
•
(b)
(c)
(d)
(e)
* $
%
* $
* $
%
* $
%
14.
Dibujar la figura que continúa en cada una de las secuencias gráficas:
10.
?
15.
11.
?
12.
Colegios
86
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Repaso III
... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente . • • •
Central: 619-8100
Ordenamiento lineal. Ordenamiento circular. Razonamiento abstracto.
Unidad IV
87
Repaso III
Conceptos básicos Aprende más... 1. El profesor de R.M. observa a seis alumnos durante un mes y llega a las siguientes conclusiones: • Juanito es más estudioso que Pochito. • Pepito es menos estudioso que Cachito. • Mafalda es menos estudiosa que Pepito pero más que Tadeito. • Juanito es igual de estudioso que Tadeito. ¿Quién es el menos estudioso? 2. Cinco fichas de diferente color son ordenadas en una fila. Se sabe que: • La ficha roja es adyacente a la verde y amarilla. • La ficha celeste está en el extremo derecho. • La ficha negra está junto y a la izquierda de la ficha verde. Indicar el ordenamiento de las fichas. 3. Cinco personas "A", "B", "C", "D" y "E" se sientan en una banca. Se sabe que: • "A" se sienta junto y a la derecha de "C" pero adyacente a "D" • "B" se sienta a la izquierda de "C" y "E" se sienta a la derecha de "D" ¿Quién se sienta al centro?
7. Indica la figura que falta:
a)
b)
d)
e)
c)
8. Indicar la figura que sigue:
a)
d)
b)
c)
e)
4. En una mesa redonda con cuatro sillas distribuidas simétricamente se encuentran sentados cuatro siniestros monstruos del siguiente modo: La Momia está a la izquierda del Hombre Lobo y a la derecha del Conde Drácula, además Frankenstein está durmiendo. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda del Conde Drácula?
9. Indicar la figura que no corresponde a las demás
5. Indicar la figura que sigue:
10. Indica la figura que falta:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
a)
b)
d)
e)
c)
?
a)
b)
c)
d) e) 6. Indicar la figura que no corresponde con los demás: 11. Indicar la figura que no corresponde con las demás:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) (a)
Colegios
88
TRILCE
(b)
(c)
(d)
(e)
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
•
La palabra ruleta proviene del término francés rueda pequeña. Se dice que los soldados romanos volteaban a sus carruajes de guerra para jugar con las ruedas y divertirse entre campaña y campaña. La ruleta se volvió muy conocida en Europa en los siglos XVIII y XIX especialmente en Francia. Actualmente, este juego se encuentra en muchos casinos del mundo y se caracteriza por ser de dos tipos, la americana y la francesa o europea.
A continuación se muestra dichos modelos de ruleta.
RULETA AMERICANA
2
RULETA FRANCESA
12. ¿En cuántas partes está dividida la ruleta americana y en cuántas partes la ruleta francesa? 13. ¿En cuál de ellas es posible que haya números exactamente frente a frente? 14. Sobre la ruleta americana, ¿qué número se encuentra siete lugares a la izquierda del número 11? 15. Sobre la ruleta francesa, ¿qué número se encuentra nueve lugares a la derecha del número 15?
Central: 619-8100
Unidad IV
89
Repaso III 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos • Los doce caballeros de la mesa redonda se
6. Dibuja la figura que sigue:
sientan de la siguiente manera:
* El caballero
9
está frente al caballero
12 y adyacente al
2
a su derecha y
7. Dibuja la figura que falta:
7 a su izquierda.
* A tres lugares, a la derecha de 8 está el 7 .
* El caballero 11 está junto y a la derecha
8. Dibuja la figura que falta:
del 8 y frente al 5 .
* Los caballeros 4 , 10 y 5
están en
asientos consecutivos, en ese orden.
Enunciado •
Un grupo de amigos están en una foto:
* El 3 está tres lugares a la izquierda del 6 que está frente al 10 .
9 9. ¿Quiénes están adyacentes a Raúl? 10. ¿Quién está en el extremo izquierdo? 11. ¿Cuántas personas están a la derecha de Jorge? 12. A la derecha de Ana e izquierda de Rosa, ¿quiénes están? 13. Junto y a la izquierda de Miguel, ¿quién está?
•
1. ¿Qué número está frente al número 9?
14.
2. ¿Entre qué números está el número 2? 3. Junto y a la izquierda de 4; ¿qué número está? 4. A la derecha de 3; ¿qué números están? 5. ¿Frente a que número está el número 10?
Colegios
90
TRILCE
Grafique la figura que continúa en cada grupo.
? 15.
?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
3
Sucesiones especiales .
En este capítulo aprenderemos a: • • •
Reconocer una sucesión notable. Aplicar las diferentes operaciones para determinar las relaciones que hay entre los números de una sucesión. Relacionar el lugar que ocupan las letras en el abecedario de una sucesión literal.
¿Qué número sigue?
PELE
? 0 V. PERSIE
20
J. FARFÁN
30
GUERRERO
40
RIQUELME
BECKHAN
50 ZIDANE
20
30 RIQUELME
0
Central: 619-8100
? 0
ROMARIO
? 0
MARADONA
15
BUFFON
CUBILLAS
? 0
KAKÁ
28
RIBÉRY
? 0
Unidad IV
91
Sucesiones especiales
Conceptos básicos Sucesión numérica
Es un conjunto de números ordenados en fila, que tienen cierta relación entre ellos. Por ejemplo, los números 3 ; 6 ; 12 forman una sucesión porque están ordenados en fila y la relación que cumplen es que el doble de un número es el siguiente número. Ahora debes conocer las siguientes sucesiones numéricas notables, que sirven para determinar otras sucesiones.
Números enteros positivos
1; 2; 3; 4; 5; . . .
Números pares positivos
2; 4; 6; 8; . . .
Números impares positivos
1; 3; 5; 7; . . .
Números cuadrados perfectos 1; 4; 9; 16; . . .
1; 8; 27; 64; . . .
Hallar el número que continúa en la siguiente sucesión: 8 ; 11 ; 15 ; 20 ; ...
Resolución
Se averigua cuál es la variación que hay entre dos números consecutivos y se determina que son números enteros consecutivos positivos. 8 ; 11 ; 15 ; 20 ; ...
+3 +4 +5 +6 144424443 Enteros consecutivos positivos
→ Luego, el número que sigue es: 20 + 6 = 26
Ejemplo
Ejemplo
Números cubos perfectos
Sucesión literal
Es un conjunto de letras ordenadas en fila, que tienen cierta relación de acuerdo al lugar que ocupan en el abecedario. En la siguiente tabla, observa el lugar que ocupa cada letra en el abecedario.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
K
L
M
N
Ñ
O
P
Q
R
S
11º 12º 13º 14º 15º 16º 17º 18º 19º 20º T
U
V
W
X
Y
Z
21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º
Sabías que...? No se consideran las letras dobles: CH - LL - RR
Colegios
92
TRILCE
www.trilce.edu.pe
3
Hallar la letra que continúa en la siguiente sucesión: A ; D ; G ; J ; ...
Ejemplo
Ejemplo
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Resolución
Se reemplaza cada letra por el lugar que ocupa en el abecedario y se forma una sucesión numérica. A ; D ; G ; J ; ... 1
4
+3
7 +3
10
+3
⇒ Luego, la letra que ocupa el lugar 13 es "M".
13
+3
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos •
¿Qué número continúa en cada una de las siguientes sucesiones numéricas?
•
¿Qué letra continúa en cada una de las siguientes sucesiones literales?
1. 3 ; 20 ; 35 ; 48 ; 59 ; ...
4. A ; C ; E ; G ; ...
2. 1 ; 3 ; 7 ; 14 ; 25 ; ...
5. D ; E ; G ; J ; N ; ...
3. 2 ; 5 ; 20 ; 45 ; 78 ; ...
Conceptos básicos Aprende más... •
Hallar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones numéricas:
5. 3; 6; 8; 16; 18; ...
1. 0; 1; 5; 14; 30; ...
2. 1; 2; 6; 16; 35; ...
6. 2; 2; 2; 4; 24; ...
•
Resolver los siguientes problemas:
3. 4; 5; 8; 13; 20; ...
a) 31 d) 29
a) 120 d) 98
Central: 619-8100
a) 600 d) 360
b) 40 e) 27
c) 24
b) 144 e) 480
c) 576
7. 2; 10; 6; 18; 16; ... b) 28 e) 27
c) 33
4. 5; 8; 20; 42; 75; ...
a) 32 d) 36
b) 144 e) 100
c) 92
a) 18 d) 20
b) 16 e) 21
•
Indicar qué sucesión no corresponde con los demás:
8. a) 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 c) 4 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 e) 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12
c) 19
b) 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 13 d) 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 13
Unidad IV
93
Sucesiones especiales
•
En cada caso, indique la letra que sigue:
9. A ; D ; E ; F ; I ; H ; ...
12. A ; D ; H ; K ; Ñ; ...
10. C ; E ; I ; Ñ ; ...
13. G ; K ; P ; X ; ... C E I Ñ
11. C ; E ; H ; J ; M ; .... 14. Los lavacarros
Rpta.: _________________
Dos "lavacarros" ganaron diariamente de una manera especial: el lavacarros "A" ganó 32 soles el primer día y a partir de entonces cada día ganó cuatro soles más que el día anterior. El lavacarros "B" ganó tres soles el primer día y a partir de entonces ganó el doble que el día anterior. ¿Después de cuántos días ambos ganarán lo mismo?
15. Los conejos de Fibonacci
El problema de Fibonacci (1202), pregunta cuántas parejas de conejos habrá en una granja luego de doce meses, si se coloca inicialmente una sola pareja y se parte de las siguientes premisas: Los conejos alcanzarán la madurez sexual a la edad de un mes. En cuanto alcazan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra. El periodo de gestación de los conejos es de un mes. Los conejos no mueren. La hembra siempre tiene como crías una pareja de conejos de sexos opuestos. Los conejos tienen un comportamiento que los hace actuar por instinto y se aparean entre parientes. El proceso de crecimiento de la población de conejos es descrito con la siguiente ilustración. Parejas
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
¿Cuántos conejos se tendrá en el sétimo mes? : Colegios
94
Mes
TRILCE
Rpta.: _________________
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
3
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Hallar "x"
2 ; 5 ; 9 ; 15 ; 24 ; x
a) 36 d) 32
2. Hallar "n"
4. Hallar "x" 1 ; 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 17 ; 31 ; x
b) 37 e) 39
c) 35
b) 32 e) 36
a) 60 d) 57
b) 61 e) 63
c) 59
5. Hallar "n" 5 ; 10 ; 5 ; 15 ; 10 ; n
4 ; 0 ; 0 ; 5 ; 16 ; n
a) 34 d) 28
c) 30
a) 10 d) 50
b) 20 e) 15
c) 40
3. Hallar el término siguiente: 2 ; 6 ; 4 ; 12 ; 10 ; 30 ; ...
a) 60 d) 25
b) 40 e) 42
c) 28 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
Hallar el número que sigue en cada sucesión:
1. 5 ; 10 ; 7 ; 14 ; 11 ; ... 2. 1 ; 11 ; 22 ; 34 ; ... 3. 2 ; 6 ; 3 , 9 ; 6 ; ... 4. 2 ; 4 ; 12 ; 48 ; ... 5. 342 ; 352 ; 362 ; 372 ; ... 6. 70 ; 60 ; 52 ; 46 ; 42 ; ... 7. 240 ; 48 ; 12 ; 4 ; ...
•
En cada caso, indicar la sucesión que no corresponde con las demás:
10. a) 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 b) 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24 c) 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 d) 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 e) 4 ; 7 ; 10 ; 16 ; 19 11. a) 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20 b) 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 c) 15 ; 17 ; 19 ; 21 ; 23 d) 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 e) 21 ; 23 ; 25 ; 27 ; 29 •
Indicar la letra que sigue en cada caso:
12. C ; F ; I ; L ; ... 13. Z ; V ; R ; Ñ ; ...
8. 360 ; 90 ; 88 ; 22 ; 20 ; 5 ; ... 9. 1 ; - 3 ; - 5 ; 15 ; 12 ; - 36 ; - 40 ; ...
Central: 619-8100
14. A ; C ; F ; J ; ... 15. B ; F ; K ; P ; ...
Unidad IV
95
Relaciones numéricas
Relaciones numéricas .
En este capítulo aprenderemos a: • •
Relacionar números para obtener otros empleando operaciones básicas. Aplicar las diferentes operaciones básicas para determinar el número que falta.
L
Fuente:http://programasdidacticos.ibercaja.es
a diferencia entre el sonido y el ruido es la vibración regular del primero, lo que produce una sensación agradable al oído. Los pitagóricos hicieron este descubrimiento en forma experimental. En su villa de Crotone, Calabria, Pitágoras hizo vibrar cuerdas tensadas hasta que consiguió establecer relaciones numéricas con sus sensaciones auditivas. Descubrió los armónicos. Una nota es una suma de uno o más armónicos.
Colegios
96
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
4
Conceptos básicos Analogía numérica
Hallar el número que falta en la siguiente analogía:
9
(15)
6
12 5
(20) ( )
8 10
En el ejemplo la suma de los extremos da como resultado el número central.
Resolución 9 + 6 = 15 (Primera fila) 12 + 8 = 20 (Segunda fila) Luego, en la tercera fila:
Ejemplo
Ejemplo
Procedimiento: 1º. Por tanteo se busca la operación u operaciones entre los números extremos de la primera fila, que dé como resultado el número central. 2º. Se aplica en la segunda fila, las operaciones halladas en la primera fila, en el mismo orden y se verifican que se obtenga el número central. 3º. Hecha la verificación anterior, se aplica las operaciones en la tercera fila, para hallar el número que falta.
5 + 10 = 15
Hallar el número que falta:
2 3 1 7
5 4 3 23 6 2 5
En el ejemplo, la relación es horizontal (fila): 2×3+1=7 (Primera fila) 5×4+3=23 (Segunda fila)
Central: 619-8100
∴ En la tercera fila:
6×2+5=17
Ejemplo
Ejemplo
Distribuciones numéricas
Unidad IV
97
Relaciones numéricas
Hallar el número que falta: 1
7
5
3
4
2
8 5
2
7
3
En el ejemplo, la relación es: 5×3 - 4×2=7 (Primera figura) 8×2 - 5×3=1 (Segunda figura)
5 4
8
→ Luego, en la tercera figura:
Ejemplo
Ejemplo
Distribuciones en gráficos
7×5 - 8×4=3
Síntesis teórica
Colegios
98
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
10 x 5 50
4
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC Encuentra el valor que falta, aplicando las reglas prácticas estudiadas: 1.
2.
3.
3
(15)
5
8 6
(16) ( )
2 7
5
(18)
3
8 12
(25) ( )
1 4
4.
2 3
3
4
4
2 5.
3 5
2 4 1 9 6
9
5
11
4
6
3
5
2
4
1
7
15
7
3
8
2
2
6
3
2
4
1
22
1 8 7
Conceptos básicos Aprende más... •
1.
Hallar el número que falta en las siguientes analogías:
5 7
(32)
2
(40) ( )
4 6
2. 18
(30)
5
24 36
(72) ( )
9 7
8
Hallar el número que falta en las siguientes distribuciones numéricas:
6.
3 4 7 5 6 11 8
6
7.
3 2 1 2 1 1 2 3 3 2 2
3. 3
(210)
7
8 6
(320) ( )
4 8
•
8.
3 5 6 9 2 4 5 2 15 11
9
4. 107
( 4 )
202
9. 3
229 308
( 8 ) ( )
122 161
5
9 14
12
8
5. 8
( 5 )
17
20 3
( 6 ) ( )
16 1
•
7 10
Hallar el número que falta en las siguientes distribuciones gráficas:
10. 3 2 4 1 4
3
1
5
8
6
6
Central: 619-8100
Unidad IV
99
Relaciones numéricas
11
2
5
14.
8
3 6
15
1 12.
3
2
3
4
6 7
6
5
2
9
9
4
5
3
6 5 7 23
2 10
2
x
8
4
15.
4
6
10
1 13.
x
14
3
1
7
31 3
5
2
6
5
6
9
2 1
4 2
8 3
11
26
x
x 5
1
8
12
8 7 9 x
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Hallar el valor de "x" en:
4. Hallar el valor de "x" en:
35
(31)
28
27 24
(22) ( x )
18 22
a) 14 d) 12
b) 18 e) 10
c) 15
a) 7 d) 8
b) 5 e) 12
5
3
5
b) 8 e) 7
2
7
4 3 7 3 3 2 4 x 36
2
a) 6 d) 5
8
3 4 2 5
14
4
8
3
c) 4
x
5. Hallar el valor de "x" en:
2. Hallar el valor de "x" en:
21
3
40
c) 40
6
a) 4 d) 5
7 4
9
3
6
3 5
2
8 2
b) 3 e) 6
9
7
8
x 3
3
c) 2
8 4
9 5
3. Hallar el valor de "x" en:
3
4
15 12
34 30
a) - 3 d) - 8
Colegios
100
TRILCE
b) - 2 e) - 4
x 2
6
c) - 5
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemรกtico Razonamiento Matemรกtico 18:10:45
4
soPractica cisรกb soten peccasa noC En cada caso hallar el valor de "x": 1.
1 5
(32)
6
4 11
(14) ( x )
3 2
2.
9.
(16)
2
6 7
(32) ( x )
5 9
3
1
16
2 x
4 3
36 64
2
x
13
11.
12.
7 19 4 4 8 5 5.
10
( 7 )
6
5 8
( 4 ) ( x )
2 4
24
( 7 )
4
12 16
( 3 ) ( x )
6 4
30
( 19 )
4
26 28
( 18 ) ( x )
5 6
6.
7.
13.
14.
15.
7
4
8
3
3
5
3
6
5
2
3
9 2
Central: 619-8100
2 16 4
2
2
4
28
3
1
7
8
( 6 )
10
15 18
(15) ( x )
30 15
10
(19)
3
20 15
(45) ( x )
5 7
6
3
5 4
2 10 20 3 x 22
3
3
2
6
x
4
4
8
2
20
9
5 7 8 2 7 5 x 4 1 3 5 2
8.
2
24
4.
8
10. 7
3.
x
10
6
10 4 12 x
x 5
Unidad IV
101
UNIDAD V
Reconociendo situaciones especiales de conteo Una buena estrategia
Por instrucciones del entrenador Sergio Markarián, el jugador Vargas debe dar "pase" a Pizarro, Guerrero o Farfán y el jugador que recibe el balón debe "centrar" para que cualquiera de los otros dos convierta el gol. ¿De cuántas maneras se puede realizar la jugada? AprendiZajes esperados
Comunicación matemática • Reconocer figuras geométricas. • Comparar esquemas y gráficos Resolución de problemas • Analizar y aplicar la estrategia más adecuada para resolver situaciones gráficas y procesos de conteo. Razonamiento y demostración • Determinar y deducir elementos en las situaciones gráficas y en el proceso de contar.
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
Conteo de triángulos .
En este capítulo aprenderemos a: • •
Reconocer triángulos de diferentes tamaños. Realizar los procedimientos de contar triángulos.
Fuente: http://www.elultimolibro.ne
¿Qué figuras geométricas observas? ¿Se podrán contar?
Central: 619-8100
Unidad V
103
Conteo de triángulos
Conceptos básicos Contar triángulos sin condición
En la siguiente figura, se tiene:
A = Número de triángulos con una letra B = Número de triángulos con dos letras C = Número de triángulos con tres letras
Hallar: B + C A
h a
Resolución
•
Se procede a contar los triángulos Triángulos determinados con una letra: ⇒ A=5 b , c , d ,f , h → 5
Triángulos determinados con dos letras: bc , cd , ah , ef , bg , dg → 6 ⇒ B=6
Triángulos determinados con tres letras: abc, bgf , cde , hgd → 4 ⇒ C=4
b
Ejemplo
Ejemplo
El método a emplear consiste en asignar una letra a cada una de las regiones en que se ha dividido la figura y luego contar los triángulos que se determinan con estas letras. Se debe contar en forma ordenada y sistemática pues de lo contrario se puede pasar por alto una figura o contar dos veces una misma figura.
f
g
d
c
e
Debes tener presente que en la figura hay más triángulos, pero no son necesarios.
• Luego: B + C = 6 + 4 = 2 A 5
Contar triángulos con condición (cruces)
¿Cuántos triángulos hay en la figura, que tengan únicamente una cruz en su interior?
x x
Colegios
104
TRILCE
x
Ejemplo
Ejemplo
Son problemas similares a los anteriores solo que se agrega una condición al conteo.
www.trilce.edu.pe
Resolución
•
Se coloca una letra en cada región en que está dividida la figura:
x
(b)
(a)
x
(f)
(e)
(c) (d)
x
•
Se procede a contar los triángulos que tienen una cruz en el interior:
Triángulos determinados con una letra: (a) 1
Triángulos determinados con dos letras: No hay
Triángulos determinados con tres letras: 2 (abc), (cde)
1
Ejemplo
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Debes tener presente que en la figura hay más triángulos, pero o no tienen cruz o tienen más de una cruz .
•
Luego, el total de triángulos: 1+2=3
Síntesis teórica
* *
Central: 619-8100
Unidad V
105
Conteo de triángulos
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
x x x 2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura, con una letra? c a
3. ¿Cuántos triángulos tienen una "x" en su interior?
b g
d f
e
5. ¿Cuántos triángulos hay en la figura anterior, con dos letras?
Conceptos básicos Aprende más... •
4. Si hay "m" triángulos de tres letras y "n" triángulos de cinco letras, hallar: m+n
En el gráfico:
5. ¿Cuántos triángulos que contengan la letra "g" se pueden determinar?
1. Si se coloca una letra en cada región, ¿cuántos triángulos con una letra resultan? 2. Un alumno demora 12 s en contar un triángulo de cuatro letras, ¿cuánto demora en contar todos los triángulos de cuatro letras? •
6. ¿Cuántos triángulos que contengan la letra "d" se pueden determinar? 7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura, que tengan solo un asterisco?
En el gráfico:
* *
c b a
e
d i
h
g
f
8. ¿Cuántos triángulos, en la figura anterior, tienen dos asteriscos?
3. A Jaimito le pagan S/. 2 por cada triángulo de dos letras que encuentre y a Pablito le pagan S/. 3 por cada triángulo de tres letras que encuentre. ¿Cuál es la diferencia de lo que reciben ambos?
Colegios
106
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
9. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
11. Hallar: A - B 12. En la figura anterior, hallar: •
*
b *c d a*
f
*e
13. ¿Cuántos triángulos con dos letras tienen un asterisco?
*
*
A B+C
En la siguiente figura:
10. ¿Cuántos triángulos en la figura, tienen un solo asterisco?
*
•
En la siguiente figura, se tiene que:
14. En la figura anterior, ¿cuántos triángulos con tres letras tienen un asterisco?
A=Número de triángulos con dos letras B=Número de triángulos con tres letras C=Número de triángulos con cuatro letras
15. ¿Cuántos triángulos hay en total?
a
f b
1
e
d c
¡Tú puedes!básicos Conceptos •
• En el siguiente gráfico:
*
b c a g
f
e
En el siguiente gráfico:
d h
1. ¿Cuántos triángulos con dos letras hay en la figura? 2. ¿Cuántos triángulos con más de tres letras que de cuatro letras hay?
*
*
* 4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? 5. ¿Cuántos triángulos tienen un asterisco en la figura?
3. ¿Cuántos triángulos tienen la letra "e" o "f"?
Central: 619-8100
Unidad V
107
Conteo de triángulos 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
Del gráfico:
Si se sumple:
M = Número de triángulos con una letra N = Número de triángulos con dos letras P = Número de triángulos con tres letras Q = Número de triángulos con cuatro letras
1. Si se coloca una letra en cada región, ¿cuántos 9. Calcular: M + N triángulos con una letra resultan? 10. Calcular: P + Q 2. En la figura anterior, ¿cuántos triángulos con dos letras se determinan? 11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? 3. En la figura anterior, ¿cuántos triángulos con tres letras se determinan? •
Del gráfico:
•
4. Si se coloca una letra en cada región, ¿cuántos triángulos con una letra resultan?
¿Cuántos triángulos hay en cada una de las siguientes figuras?
12.
5. En la figura anterior, ¿cuántos triángulos con dos letras se determinan? 6. En la figura anterior, ¿cuántos triángulos con tres letras se determinan? •
Del gráfico:
13.
•
7. Si se coloca una letra en cada región y se paga S/. 3 por cada triángulo determinado con dos 14. letras, ¿cuánto se recibirá? 8. En la figura anterior, un alumno demora 7 s en encontrar un triángulo con cuatro letras, ¿cuánto demora en encontrar todos los triángulos de cuatro letras? • En el gráfico: b
c
d
a
Colegios
108
* * 15.
*
e g
TRILCE
¿Cuántos triángulos que contengan un solo asterisco hay en las siguientes figuras?
f
*
*
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Repaso IV ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente
Central: 619-8100
2
. • • •
Sucesiones especiales Relaciones numéricas Conteo de triángulos
Unidad V
109
Repaso IV
Conceptos básicos Aprende más... 8. Halla la letra que sigue:
1. ¿Qué número sigue?
E ; H ; K ; N ; P ; ...
18 ; 15 ; 30 ; 27 ; 54 ; 51 ; ...
a) 140 d) 48
b) 150 e) 102
c) 46
2. ¿Qué letra sigue? H ; K ; Ñ ; Q ; U ; ...
a) Y d) V
b) X e) W
c) Z
3. ¿Qué número falta? 12 ( 18 )
3
18 22
4 7
(36) ( )
a) 77 d) 66
c) 82
4. ¿Qué número falta? 3 5 14 5
2
a) 17 d) 27
5. ¿Qué número falta? 2
4
7
5
a) 7 d) 5
7
3
3 6 5
b) 54 e) 48
a) 10 d) 8
c) 29
8
a) 42 d) 47
c) S
c) 41
b) 12 e) 16
c) 14
11. ¿Qué número falta?
b) 30 e) 32
10
b) R e) U
10. ¿Qué número falta? 2 5 3 6 7 9 6 8 3 2 4 5 15 8 12
7 11
a) Q d) T
9. ¿Qué número falta? 5 (28) 4 (22) ( ) 7
b) 45 e) 57
2
9
10
2
100
16
7 4 2
5 36 8
3 5 4
a) 45 d) 49
b) 55 e) 48
c) 58
a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
a) 12 d) 10
b) 6 e) 4
c) 8
12.
b) 8 e) 4
c) 6
6. ¿Qué número falta? 36
2
125 3
5
a) 72 d) 49
3 b) 64 e) 76
2
4
c) 100
13.
7. Hallar el número que sigue: 24 ; 12 ; 16 ; 8 ; 12 ; 6 ; ...
a) 10 d) 14
Colegios
110
TRILCE
b) 12 e) 16
c) 9
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
14.
15.
a) 12 d) 10
b) 6 e) 14
c) 8
a) 12 d) 10
b) 6 e) 4
2
c) 8
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
Hallar el número o letra que sigue:
11.
1. 3 ; 6 ; 8 ; 16 ; 18 ; ...
2
3
10
2
2. 2 ; 4 ;12 ; 48 ; ...
1
3. 14 ; 16 ; 8 ; 10 ; 5 ; 7 ; ...
5
9
10
4
5
6 x
8
3
12
12. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
4. 2 ; 8 ; 5 ; 20 ; 17 ; 68 ; 65 ; ... 5. Si: 2 ; 7 ; 4 ; 14 ; 6 ; 28 ; x ; y ; ... hallar "x+y" 6. Si: 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; x ; ... 2 5 8 11 y
hallar "x+y"
13. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
7. Hallar el número que falta: 5 (30) 5 6 3
(40) ( )
4 11
8. 15
(10)
5
8 17
(15) ( )
22 15
14. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
3 5 8 4 9. 2 3 5 10 6 •
4
15. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
En cada caso, hallar el valor de "x":
10.
3
1
2
5
8
6
15
x
3
Central: 619-8100
4
6
7
9
Unidad V
111
Contar caminos
Contar caminos .
En este capítulo aprenderemos a: • •
Representar rutas usando esquemas y gráficos. Reconocer los caminos que hay para trasladarse de un lugar a otro.
La Municipalidad del Callao, ante un eventual TSUNAMI, ha dispuesto rutas de evacuación que se muestran en el plano adjunto. Si una persona se encuentra en "C", ¿de cuántas maneras podría llegar a "G", sin pasar por "A" o "B"?
tsuNaMi
Rutas de Evacuación
H
C B
e D
Colegios
112
TRILCE
G fuente: www.geographos.com
a
F
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
3
Conceptos básicos Contar caminos
1. ¿De cuántas maneras se puede ir de "A" hacia "B", si en cada recorrido no se puede pasar dos veces por un mismo punto? C D A
E
Resolución
Los posibles recorridos son:
1. ACB 2. ACDB
En total, se cuentan seis maneras.
B
3. ACEB 4. AEB
Ejemplo
Ejemplos
Consiste en determinar y contar las diferentes maneras en que se puede ir de un punto a otro punto, sin pasar dos veces por un mismo lugar en cada recorrido.
5. AECB 6. AECDB
2. El jugador "A" debe entregar el balón a "B", "C" o "D" y el que recibe el balón debe dar el balón a cualquiera de los otros dos para que haga el gol". ¿De cuántas maneras se puede realizar la jugada?
D C
A
B Resolución
Las posibles jugadas son:
1. ADC 2. ADB
En total, se cuentan seis maneras.
Central: 619-8100
3. ACD 4. ACB
5. ABC 6. ABD
Unidad V
113
Contar caminos
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos Enunciado I • En cada caso, ¿de cuántas maneras se puede viajar de "A" hacia "B", si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto?
D C B
1.
A
B
B
A Cualquiera de los cuatro jugadores ("A","B","C","D") que tenga la pelota, dará "pase" a otro jugador para que haga el gol.
2.
3. Si "B" tiene la pelota, ¿de cuántas maneras se puede realizar la jugada?
A Enunciado II Un entrenador presenta a sus jugadores el siguiente esquema táctico:
4. Si "A" está caído y "B" tiene la pelota, ¿de cuántas maneras se puede realizar la jugada? 5. Si "D" está en posición adelantada y "C" tiene la pelota, ¿de cuántas maneras se puede realizar la jugada?
sociAprende sáb sotpemás... cnoC •
De acuerdo al siguiente gráfico: C
B
4. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "M" a "N", si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto? Q
D A
E
P
R
M
N
F
1. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "B" a "A", sin pasar dos veces por un mismo punto? 2. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "C" a "E", sin pasar dos veces por un mismo punto?
5. En el gráfico anterior, ¿de cuántas maneras se puede viajar de "M" a "N", sin pasar dos veces por un mismo punto y sin pasar por "R"?
3. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "D" a "E", sin pasar dos veces por un mismo punto?
Colegios
114
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
•
La Municipalidad del Callao, ante un eventual TSUNAMI, ha dispuesto rutas de evacuación como se muestra en el siguiente plano:
3
tsuNaMi
Rutas de Evacuación
H
C B
e D F
a
G
6. Si una persona se encuentra en "A", indicar las rutas posibles para ir a "E", sin pasar por "F", "G" o "H". 7. Si una persona se encuentra en "A", indicar las rutas posibles para ir a "E", sin pasar por "D" o "F". 8. Si una persona se encuentra en "C", de cuántas maneras podrá llegar a "G", sin pasar por "A" o "B". 9. Si una persona se encuentra en "C", de cuántas maneras podrá llegar a "G", sin pasar por "A" o "D". •
Un parque tiene sus jardines distribuidos de la manera indicada en el gráfico.
A
C
E
D
B
punto en cada recorrido?
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
• En el siguiente esquema, solo los jugadores que están unidos con una línea se pueden pasar el balón.
F
Messi
10. ¿De cuántas maneras una persona podrá entrar por "A" y salir por "B", sin pasar dos veces por un mismo punto en cada recorrido?
a) 6 d) 9
b) 8 e) 15
c) 10
c) 8
Kaká
Medrano Cristiano Ronaldo
Ronaldinho
11. ¿De cuántas maneras una persona podrá ir de 13. Si Cristiano Ronaldo tiene la pelota, ¿de cuántas maneras puede llegar la pelota a Ronaldinho? "A" a "B", sin pasar dos veces por un mismo punto en cada recorrido, y sin pasar por "C"? 14. Si Kaká tiene la pelota, ¿de cuántas maneras puede llegar el balón a Medrano? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 15. Si Messi tiene el balón, ¿de cuántas maneras 12. ¿De cuántas maneras una persona podrá ir de puede llegar la pelota a Medrano, sin que la "E" a "B", sin pasar dos veces por un mismo reciba Cristiano Ronaldo?
Central: 619-8100
Unidad V
115
Contar caminos 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos • 1.
Indicar los diferentes recorridos que se puedan Enunciado hacer para ir a "A" a "B", sin pasar dos veces • Una compañía europea de aviación tiene las por un mismo punto. rutas indicadas en el siguiente gráfico:
A
B C E
D 2.
I D
C
C
E
3.
A
B D
C E
F
G
H
E J
B
6. Indicar las rutas que se pueda hacer para viajar de Lisboa a Estocolmo, sin pasar por Varsovia.
D
H A
G
Nota: En los problemas 11 al 15, no se puede pasar dos veces por una misma ciudad en cada recorrido que se hace.
A C
F D
B
A
4.
H
B
7. Indicar las rutas que se pueden hacer para viajar de Roma a Oslo, sin pasar por Londres.
E
8. Indicar las rutas que se pueden hacer para viajar de París a Berna.
F
G
Enunciado • Un parque tiene sus jardines distribuidos de la manera indicada en el gráfico: 5. ¿De cuántas maneras se puede viajar a "A"hacia "B", si en cada viaje no se puede pasar dos veces 2 3 por un mismo punto? F
B C
E A
Colegios
116
TRILCE
1
4 6
5
D
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
3
9. Si una persona está en 6 y quiere ir a 3 , ¿de cuántas maneras puede hacerlo, si no debe pasar dos veces por un mismo punto? 10. Si una persona está en 1 y quiere ir a 4 , ¿de cuántas maneras lo puede hacer, sin pasar dos veces por un mismo punto? 11. Si una persona está en 1 y quiere ir a 5 , ¿de cuántas maneras lo puede hacer, sin pasar dos veces por un mismo punto? 12. En el gráfico anterior, ¿de cuántas maneras se puede viajar de "F" a "C", si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto? 13. En el gráfico anterior, ¿de cuántas maneras se puede viajar de "A" a "C", si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto? 14. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "E" a "B", sin pasar dos veces por un mismo punto?
B
A
F
G E
H
C
D 15. En el gráfico anterior, ¿de cuántas maneras se puede viajar de "A" a "C", sin pasar dos veces por un mismo punto?
Central: 619-8100
Unidad V
117
Perímetros
Perímetros .
En este capítulo aprenderemos a: • •
Identificar y reconocer figuras geométricas. Aplicar las fórmulas correspondientes para calcular perímetros.
Cercos perimétricos Se construirá un cerco de protección en el perímetro de la figura: • ¿Cómo se calcula dicho perímetro? • ¿Cómo se calcula el costo de dicho cerco?
Colegios
118
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
4
Conceptos básicos Perímetro
Es la longitud del contorno de una figura. Se calcula sumando los lados de la figura. ¡Presta atención para que aprendas como se calcula el perímetro!
•
Triángulo
• Rectángulo b
a
b
→
a
P = a+b+c
c
•
a
→
b
• Circunferencia
Cuadrado a a
P = a+b+a+b P = 2a+2b P = 2(a+b)
a
r
P = a+a+a+a →
→ P = 2πr
o
Recuerda que: π=3,14
P = 4a
a
Síntesis teórica
a
b
c P = a+b+c
Central: 619-8100
x x P = 4x
r
b a P = 2(a+b)
P = 2πr
Unidad V
119
Perímetros
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. El perímetro de un cuadrado es 56 cm, ¿cuánto mide su lado?
4. Hallar el perímetro de la región sombreada si todos son cuadrados de lado 3 cm. 3 cm
2. El perímetro de un triángulo isósceles es 32 m. Si los lados iguales miden 12 m cada uno,¿cuánto mide el lado diferente? 3. Hallar el perímetro de la región sombreada, si todos son cuadrados de lado 2 cm.
5. Hallar el perímetro de la región sombreada: 10 cm
2 cm 10 cm
10 cm
sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Hallar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 8 cm. 2. El perímetro de un triángulo isósceles es 35 cm. Los lados iguales miden el triple del lado diferente, ¿cuánto mide el lado que no es el triple del lado diferente? 3. En un rectángulo el lado mayor mide el doble del menor. Si el perímetro es 48 m, ¿cuánto mide el lado mayor? 4. La longitud de una circunferencia es 12π cm. ¿Cuánto mide el radio? 5. Hallar el perímetro de la figura formada por dos cuadrados. D C B
7. Hallar el perímetro de la figura formada por un cuadrado y dos triángulos equiláteros. E
F
D
A B
12m
8. Hallar el perímetro de la figura formada por un cuadrado y una semicunferencia. A B 12 cm D
5m A
F
C
C
9. Hallar el perímetro de la figura formada por dos cuadrados y una semicircunferencia.
E
6. Hallar el perímetro de la figura formada por un cuadrado y un triángulo equilátero. B
C 20cm E
8m A
Colegios
120
TRILCE
D
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
10. Hallar el perímetro de la figura formada por tres cuadrados y un triángulo equilátero.
13. Hallar el perímetro de la región sombreada. 8
4
8 8 8
18cm 11. Hallar el perímetro de la región sombreada. 4u 4u 4u 4u 4u 4u 4u 4u
a) 60 u d) 68
b) 64 e) 56
c) 72
12. Hallar el perímetro de la región sombreada.
a) 62,48 d) 60,48
b) 48,12 e) 62,36
c) 60,56
14. Hallar el perímetro de la región sombreada.
4cm
a) 36,24 cm d) 52,12
b) 48,16 e) 44,56
c) 47,12
15. Hallar el perímetro de la región sombreada.
5 8cm
a) 36,56 cm d) 52,5
5
b) 38,24 e) 28,36
c) 40,12
5 5 b) 10(π+2) e) 5(π+3)
a) 10(π+1) d) 5(π+1)
c) 5(π+2)
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Hallar el perímetro de la región sombreada. (r=3 cm) r
3. Halla el perímetro de la región sombreada. (r = 4cm) r
r
r r
2. Hallar el perímetro de la región sombreada (ABCD es un cuadrado; AED es un triángulo equilátero) D C 12 cm A
Central: 619-8100
4. El perímetro de un cuadrado es 24 cm. Hallar la longitud de la circunferencia inscrita. 5. Hallar la longitud de la línea formada por cuatro semicircunferencias, si: AB = 24 cm A
E
r
B
B
Unidad V
121
Perímetros 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Calcular el perímetro de un rectángulo donde dos de sus lados miden 15 y 12 m respectivamente.
11. Hallar el perímetro de la figura formada por tres cuadrados y un triángulo equilátero.
2. Hallar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 6 cm. 3. Hallar el perímetro de una circunferencia cuyo diámetro mide 20 m.
27cm
4. El perímetro de un triángulo equilatero es 51 m. ¿cuánto mide su lado? 5. El perímetro de un triángulo isósceles es 350 cm. Si los lados iguales miden el triple del lado diferente, ¿cuánto mide el lado diferente? 6. En un rectángulo el lado mayor mide el triple del menor. Si el perímetro es 48m, ¿cuánto mide el lado mayor? 7. La longitud de una circunferencia es 18π cm. ¿Cuánto mide el radio?
12. Hallar el sombreada.
perímetro 2
12 m
12 m
9. Hallar el perímetro de la figura formada por un cuadrado y dos triángulos equiláteros.
la
región
2
2
2
2
2
2
2
13. Hallar el perímetro de la región sombreada. 8cm
8. Hallar el perímetro de la figura formada por tres cuadrados. 12 m
de
14. Hallar el perímetro de la región sombreada.
8 8 8
8
15. Hallar el perímetro de la región sombreada. 18 m
6cm
10. Hallar el perímetro de la figura formada por dos cuadrados y una semicircunferencia.
6cm
24
Colegios
122
TRILCE
www.trilce.edu.pe
UNIDAD VI
Interpretando las operaciones fundamentales
E
n las diferentes actividades diarias, siempre están presentes las operaciones fundamentales. Los hombres de negocios suman y restan para saber sus ganancias, el médico divide para saber la dosis que debe recetar, el profesor suma y divide para sacar promedios, el granjero multiplica para saber la producción de su granja, etc. En todo momento hay sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Interpretar el significado de números enteros en las diversas situaciones y operaciones. Resolución de problemas • Aplicar conocimientos básicos en la solución de problemas. • Realizar procesos y operaciones. Razonamiento y demostración • Estimar resultados con números enteros. • Identificar cantidades conocidas y desconocidas.
Criptogramas I
Criptogramas I En este capítulo aprenderemos a: • • •
Reconstruir adiciones y sustracciones a partir de criptogramas. Emplear las propiedades de la adición y sustracción. Aplicar las propiedades de los números.
F.B.I En noviembre del 2007, la oficina federal de investigaciones (F.B.I., por sus siglas en inglés), publicó en su página web un mensaje encriptado, en inglés. De manera análoga se encriptan operaciones para luego tratar de desencriptarlas y averiguar cuáles son las cifras que forman las operaciones.
PIKODENHFENJIKM! YIH QELB GDISBK NQB PICB. OI NI AGJ.OIL/PICB.QNT MIWB SKIW,EKC UFBEMB PIKMJCBD E PEDBBD WJNQ NQB AGJ. Contact Us | About Us | Most Wanted | News | Stats & Services | Scams & Safety | Jobs | Fun & Games Resources for: Law Enforcement | Intel Partners | Researchers/Students | Communities | Parents | Victims | Businesses Follow Us On: Facebook | You Tube | Twitter | iTunes Accessibility | eRulemaking | Freedom of Information Act | Legal Notices | Legal Policies and Disclaimers | Links | Privacy Policy | USA.gov | White House FBI.gov is an official site of the U.S. Federal Government, U.S. Department of Justice
Colegios
124
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
Conceptos básicos Criptogramas
Es una operación matemática donde algunas o todas las cifras se ocultan con una letra o cualquier símbolo.
a)
b) A56 + BAB D194
c) ** × *3 *4* ** **81
_ _ _7 _ - 4 _ _ 2 - 1 1 -
_ _ _ _ 53_ _ _ _ 3 _ _ 8 - 7
Ejemplo
Ejemplos
En otros casos, al criptograma se le denomina criptoaritmética o también criptaritmo.
Sabías que...? xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1. Cada letra, asterisco o guión oculta una cifra que puede ser: 0; 1; 2; 3; ...; 9 excepto la xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx primera letra de la izquierda, que no puede ser "0" (cero). xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2. Las letras iguales ocultan cifras iguales, y letras diferentes ocultan cifras diferentes, a xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx menos que se especifique inicialmente cierta condición, como por ejemplo: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx • El número 376 se puede ocultar de la siguiente manera: ABC • El número 833 se puede ocultar de la siguiente manera: MNN • El número 7492 se puede ocultar de la siguiente manera: 7_ _ 2 • El número 5746 se puede ocultar de la siguiente manera: ***6 • Los guiones "_" y asteriscos "*" ocultan cifras que pueden ser iguales o diferentes.
En el presente capítulo los criptogramas serán de adiciones y sustracciones, y lo que se debe hacer es reconstruir la operación matemática.
Central: 619-8100
Unidad VI
125
Criptogramas I
Conceptos básicos
+
2 7
7
4
S A L + MA S A L L A
S S A M S A S E M M E S A
8 4 7 3 8 6
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos •
Reconstruye las siguientes operaciones:
1. B5 + 3A
A1
2. A7 + 5B 143
Colegios
126
TRILCE
3. MM+MM+MM=1N2 4. B01A − A47 CC6 5. ABC − C98 C65
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
sociAprende sáb sotpemás... cnoC I. Reconstruye las siguientes operaciones:
II. En cada caso, halla "A+B+C"
1. 7B + A9 = 153
11.
2. A7 − 1B = 84 3. 1AB + AB = 150
24A7 + B6D C 3 2 9
4. AB1 + AB = A44 5. AB1 + 1BA = 5A5 6.
9 3 6+ ABC 1449 7. ABC+ BC BC 3C5 8. A A + 0 : Cero BB CC AA0 9. ABC + BCA CAB 1443 10. 37A + 8B4 269 C4A9
a) 15 d) 20
b) 17 e) 21
c) 18
12.
AB9C − BAC9 1 A B 3
a) 22 d) 14
b) 16 e) 19
c) 18
13.
CCCC + CCC CC C A B 0 4
a) 12 d) 11
b) 14 e) 10
c) 17
14.
ABC + ABC C D E D
a) 9 d) 15
b) 11 e) 12
c) 13
15.
AB4 + 53A C 2 6 C
a) 12 d) 11
b) 14 e) 10
c) 9
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Reconstruye:
Central: 619-8100
2. Reconstruye: SAL+ MAS AL LA
MESA + ASEM S S A M S
Unidad VI
127
Criptogramas I
3. Reconstruye: a9c5 + b5d + a6b + c4 = da14 4. Si: L=6; M=8; R=1 hallar: D+I+A+R+I+O, en: OLIM+ PIA DA F I R M A
5. Si "TERNO" tiene cifras impares y C=4, halla "E+R" en: SACO+ PANT ALON T E R N O
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
En los siguientes problemas se proponen operaciones aritméticas elementales en las cuales se han ocultado cifras. Se trata de reconstruir las operaciones:
7.
+
8.
1.
A B 0 4 * 0 → Cero 2.
3.
4.
1 2 + 1 5 6 5 3 4 7 A + 1 B 2 3 A 5 B A 7 8+ B 2 B BOAA
* O → Cero 5.
6.
Colegios
128
TRILCE
6 8 A+ B 6 A 1 A 4 4 A 5 6+ B A B D 1 9 4
A B 4+ 5 3 A C 2 6 C
A B A 1 2 9.
10.
7+ 2 B 2
S+ A A S N N Q U E+ Q U E E S O S
* O → Cero 11.
437 + 1AB B6A
12.
4 B 1 8 + C 2 B A 8 4 1 13. B B A +
A 7 2 8 0 6
14. Si: M+A=12 calcula: MAMA + AMAM 15. Si: AA + BB + CC = ABC halla: A×B×C
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Criptogramas II
2
.
En este capítulo aprenderemos a: • • •
Reconstruir multiplicaciones y divisiones a partir de criptogramas. Emplear las propiedades de la multiplicación y división. Aplicar las propiedades de los números.
La máquina encriptadora alemana "Enigma"
E
nigma, el más conocido sistema de encriptamiento de mensajes de la historia, proveyó a Alemania de comunicaciones seguras, totalmente opacas a los intentos de descodificación. Al principio de la Segunda Guerra Mundial, esto trajo consecuencias terribles para los aliados. Enigma era la base sobre la que se sustentaba la "Blitzkrieg" alemana, la guerra relámpago. Esta nueva forma de guerra, basada en la coordinación rápida y segura de infantería, tropas mecanizadas, artillería, aviación y marina, dio muchas victorias en el campo de batalla a los alemanes. Era capaz de “mezclar” el texto de los mensajes de 200 quintillones de formas diferentes. Y con la clave correcta, volverlo a la normalidad. Se transformó rápidamente en el código secreto indescifrable de las Fuerzas Armadas. El 9 de mayo de 1941, el submarino alemán U - 110 fue capturado por la marina inglesa y dentro de él se encontró la máquina encriptadora Enigma. Como más adelante declaró Winston Churchill, esto fue determinante en el desarrollo posterior de la guerra, con el triunfo de los aliados.
Central: 619-8100
Unidad VI
129
Criptogramas II
Conceptos básicos Criptogramas II
En el capítulo anterior se trató de adiciones y sustracciones encriptadas; ahora trataremos de multiplicaciones y divisiones. Las multiplicaciones y divisiones encriptadas tienen las siguientes formas: _ _ × _ 3 _ 4 _ _ _
* * * * * 4 - 6 * * * - 4 * * * * 2
_ _ 8 1
3 * 2 2 *
Es importante, lo siguiente: 1. En las multiplicaciones encriptadas hay también adiciones encriptadas. 2 *× 4 * * 4 6 * 9 * *
Adición
2. Al desencriptar una multiplicación, siempre hay que tener presente las tablas de multiplicar. 3. En las divisiones encriptadas, hay también multiplicaciones y sustracciones encriptadas. 7 _ _ _ _ _ _ _ _ 5 3 _ _ _ - 4 _ 2 Multiplicación - 1 _ 1 _ - 3 _ _ 8 - 7
Colegios
130
TRILCE
Sustracción
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Síntesis teórica
A 4 B B × 8 6 B 8 1 6
3 * 1 * * 4 * 3
* × 6 2 *
8 B C 9 A - 8 4 7 A - 9
2 A B B
* * * * * * * * * * - - - * * * * - * * * * * * - - 1
* * * * 8 * *
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos • Reconstruye las siguientes operaciones: 1.
A 5 B× 8 2 8 C 8
Central: 619-8100
2.
7 A 3 B× 6 4 A B 8 6
Unidad VI
131
Criptogramas II
3.
4 M N 2× 7 3 2 N M 4
4. A A 4 8 1 8 1 D - D
5 C D 1
B 8 1 3
5.
_ 4 _ 8 9 _ _ 2 - - 2 4 _ _ - -
6 _ 1 _
_ 4 2 _ _
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática •
8.
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F):
1. El producto de dos cifras es un número de dos cifras ...................................... ( ) 2. El producto de dos cifras impares es un número impar .............................. ( )
9.
____ _4 - 6_ __ - 4_ __
3. Si el número abab se divide por ab el cociente es 11................................ ( ) 4. En una división exacta el residuo es cero.................................................... ( ) 5. Si: AB×8= _6; entonces: B=2 .......... ( )
10.
Resolución de problemas •
Reconstruye las siguientes operaciones:
6.
7.
ABA × 1A B6BA ABA 787A
4_ × _7 __3 __ _ _ _ _
Colegios
132
TRILCE
3* × *6 1*2 *4 *3*
3_ 22_
12 A852 36
36 B3A
B25 B08 - B72 BAA - 28
11. Halla la suma de los valores que toman todos los asteriscos. ** × *3 *4* ** **81
a) 26 d) 29
b) 27 e) 30
c) 28
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
12. Si:
14. Si:
1PROFE × 3
P R O F E 1
Halla: P+R+O+F+E
a) 21 d) 28
b) 24 e) 31
c) 26
13. Si:
6__ × _5 3___ __26 2 _ _ 7 0
Halla la suma de las cifras del multiplicando.
a) 12 d) 14
b) 13 e) 11
c) 10
7**** ** - 4* *2 - 1* 1* - 3* *8 -7
2
** 53**
Halla la suma de las cifras del dividendo.
a) 23 d) 26
b) 24 e) 27
c) 25
15. Si: TOC×TOC=ENTRE Halla: T+C+E
a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
¡Tú puedes!básicos Conceptos 4. Si: ab×ba = ...3
1. Reconstruye: _ _ 2 _ _ _ 9 _ 5 2 _ _ 6 _ _ 0 _ 5 _
_× 3 2
ab+ba = mnp
Halla: a+b+m+n+p
_ 5. Si: aba×a=1119
2. Reconstruye: 3____ ___
262 ___
aba×b=2611
__5_ __4_ - ____ ___6 - - - -
Halla: aba
2
3. Reconstruye: ******* *** - - - ** ** - *** *** - - 1
Central: 619-8100
** **8**
Unidad VI
133
Criptogramas II 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
Reconstruye las siguientes operaciones:
1. 9 * * 6 9 * * * * 2. 4 * * * * 5 * * *
3.
_ 6 4 _ _ _ 3 _ _ 2 4 _ 5 _
5
3 × * * 6
5.
6.
A B A A 4 - 14
10.
0
A B1 _ _ C _ _ _ _ _
5 B 17
- - 2 11. Hallar la suma de las cifras del dividendo:
_ × _ _
4 C 20
A B A× 1A B 6 B A A B A 7 8 7 A 6 8 A B 8 B 5 - C C -
7.
A
A B 37
A A -
3 A B × 7 2 A 1 B 8.
2**6 *3 *3 *** -** 7* -6* ** -1
Colegios
TRILCE
5*** *8 -*3 ** -3* *6 -2
** **3
13. Hallar la suma de las cifras del dividendo: * 7*** *4 -** ** - - ** 5* -1
** 2**3
14. Hallar: "a+b+c+d+e+f+g" 7 b 3 a * 0 → Cero
A A B B× 3 ; C=A+1 1C C 3 2
134
1_ 1_
3 6 _ × _ 2 _ 3 4 _ _ 0 8 _
12. Hallar la suma de las cifras del dividendo:
4.
* × 5 *
9.
c b c 2 - d 3 e f - g
a c 2 3
15. Hallar "M+N+P" si: M9NP × 6 = NM65P
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
3
Operaciones combinadas I .
En este capítulo aprenderemos a: • •
Relacionar números para obtener otros empleando operaciones básicas. Aplicar las diferentes operaciones básicas para determinar el número que falta.
Durante el día hubo muchos pedidos y en la caja no dejaron de sumar, restar, multiplicar y dividir, es decir, sacaban cuentas combinando las operaciones fundamentales.
Central: 619-8100
Unidad VI
135
Operaciones combinadas I
Conceptos básicos Operaciones combinadas
1. Carlos y Miguel ganan diariamente 60 y 80 soles, respectivamente. Después de trabajar juntos cierto número de días, han ganado 700 soles. ¿Cuántos días han trabajado?
Resolución
• Carlos y Miguel en un día ganan: 60 + 80 = 140 soles • Entonces, como han ganado 700 soles, trabajaron juntos: 700 ÷ 140 = 5 días
2. Se debe repartir 2500 kg de azúcar en tres mercados. En el primero se deja 960 kg, en el segundo 120 kg más que en el primero. ¿Cuántos kilogramos se dejaron en el tercer mercado?
Resolución
Ejemplo
Ejemplos
Se trata de resolver problemas sobre situaciones cotidianas, empleando las operaciones elementales.
• Primer mercado: 960 kg • Segundo mercado: 960 120 1080 kg
• Luego, en los dos primeros mercados se ha repartido: 960+1080=2040 kg • Como el total repartido es 2500 kg, entonces en el tercer mercado corresponde: 2500 - 2040 = 460 kg
Síntesis teórica
donde se
se resuelven
Colegios
136
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
10 x 5 50
3
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Mercedes gastó S/. 42 en una blusa, luego compró un pantalón y gastó S/.10 más que en la blusa. Si tenía S/.150, ¿cuánto le queda?
4. Vendí en S/. 445 los libros que había comprado en 885 soles, perdiendo de esta manera S/. 4 en cada libro. ¿Cuántos libros tenía?
2. Se reparten 240 paquetes de galletas entre seis familias compuestas de ocho personas cada una. ¿Cuántos paquetes de galletas recibe cada persona?
5. Repartí cierta cantidad de dinero entre 12 personas, recibiendo cada una S/. 24 y todavía me sobraron S/. 9. ¿Cuánto tenía antes del reparto?
3. Una frutera adquiere 500 manzanas a dos soles cada una y luego 6 docenas de naranjas a S/. 60 cada docena. Luego vende todo por S/.1932. ¿Cuánto gana?
Conceptos básicos Aprende más... Resolver los siguientes problemas:
Enunciado I
•
•
Un comerciante tiene para la venta, pantalones a S/.60 cada uno, camisas a S/.40 cada una y casacas a S/.120 cada una.
8. Carlos y Miguel tienen juntos 36 años. Carlos tiene seis años más que Miguel. ¿Cuántos años tiene cada uno?
1. Carlos compró dos pantalones, una camisa y una casaca. ¿Cuánto gastó?
9. Karina y Sofía pesan juntas 110 kg. Si Karina pesa 8 kg más que Sofía, ¿cuánto pesa cada una?
2. Julián quiere comprar un pantalón y una casaca pero le faltan S/.30. ¿Cuánto tiene?
10. Ana y Rita gastan diariamente S/.24 y S/.30, respectivamente. ¿Cuántos días han transcurrido si juntas han gastado S/.648?
3. Miguel compró una camisa y dos pantalones. Si pagó con un billete de S/.200, ¿cuánto recibió de vuelto? 4. Ricardo compró dos casacas, pero luego regresó y pidió que le cambien las casacas por pantalones. ¿Cuántos pantalones recibirá a cambio? 5. Si el comerciante hace una rebaja de S/.30 por la compra de: camisa+pantalón+casaca; en una compra, ¿cuánto más pagará una persona que compró las prendas por separado? Enunciado II •
Un depósito tiene 480 litros de gasolina. En cada hora se sacan 20 litros. Responder:
6. ¿Cuántas horas deben transcurrir para que queden 360 litros en el depósito? 7. ¿Cuántas horas deben transcurrir para que en el depósito quede la mitad?
Central: 619-8100
11. Compré un auto en $2600 y lo vendí en $3100. ¿Cuánto gané en el negocio? 12. Un auto se compró en S/.6800. ¿En cuánto se debe vender para ganar S/.1200? 13. Un comerciante compró una docena de pantalones en S/.240. ¿En cuánto debe vender cada pantalón, para que su ganancia sea de cinco soles en cada uno? 14. Un bodeguero vende un saco de azúcar en S/.120, ganando S/.25. ¿Cuánto le costó el saco? 15. Carlos y Diana tienen juntos S/.360. Carlos tiene S/.40 más que Diana. ¿Cuánto tiene Carlos? 16. En una reunión hay 120 personas. Si se cuentan 24 mujeres más que hombres, ¿cuántos hombres hay?
Unidad VI
137
Operaciones combinadas I
17. En un colegio hay dos salones de primer año, con un total de 72 alumnos. Si de un salón se pasan al otro cuatro alumnos, los dos salones quedarían con el mismo número de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada salón? 18. Un camión repartidor de gaseosas, deja en el mercado "A", cinco cajas más que en el mercado "C" y en el mercado "D" deja ocho cajas más que en "A". Si en el mercado "C" dejó 30 cajas, indicar cuántas cajas dejó en el mercado "D".
19. Raúl excede en dos años a Rosa, Silvia es excedida por Tomás en cuatro años y Rosa excede a Silvia en un año. Si Tomás tiene 15 años, ¿cuántos años tienen Silvia y Raúl juntos? 20. El profesor Medrano tiene ocho salones de 35 alumnos cada uno y aplica un examen de 10 preguntas a todos sus alumnos. ¿Cuántas preguntas tendrá que revisar el profesor?
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Un comerciante compró 11 triciclos a S/.330 cada uno. Si vendió cinco triciclos a S/.240 , ¿a cómo debe vender cada triciclo restante, para tener una ganancia total de S/.900?
a) S/. 750
b) 550
c) 650
d) 715
e) 555
2. La tarifa de un celular es de $30 al mes por 50 minutos libres y $1 por cada minuto adicional. ¿Cuánto se pagará por 65 minutos en llamadas?
a) $50
b) 45
c) 48
d) 52
e) 55
3. En una balanza tengo 38 esferas iguales de 25 g en el plato "A" y 77 de 10 g en el plato "B". ¿Cuánto debo pasar de "A" a "B" y de "B" a "A" para equilibrar la balanza sabiendo que el número de esferas extraídas de "A" es igual al número de esferas extraídas de "B"? a) 3 b) 5 c) 6 d) 12 e) No se puede determinar • Francisco tiene S/.2 más que Omar, Omar tiene S/.3 menos que Ana y Francisco tiene lo mismo que Omar. Si Ana tiene S/. 12, indicar: 4. ¿Cuánto tiene Omar?
a) S/. 12
b) 11
c) 13
d) 8
e) 9
c) 12
d) 10
e) 11
5. ¿Cuánto tiene Francisco?
a) S/. 13
Colegios
138
TRILCE
b) 9
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 18:10:45
3
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Rogelio pesa 62 kg y luego de una dieta rigurosa bajó 12 kg. ¿Cuánto pesa ahora?
9. Roberto nació en 1982 y Ricardo en 1986. Cuando Roberto tenga 26 años, ¿cuál será la suma de las edades de ambos?
2. En una ciudad hay 52 600 habitantes. Durante un año hubieron 5200 nacimientos y 2600 10. Rosario ganó S/.340 por cierto trabajo, pero muertes. ¿Cuántos son los habitantes de la Cecilia ganó S/.60 más por el mismo trabajo. ciudad al cabo del año? ¿Cuánto ganaron las dos juntas? 3. En un matrimonio se gastó $1200 en alquiler del local y $ 500 en el pago de la orquesta. ¿Cuánto se gastó en total?
11. Ángel tiene dos años más que Betty; Carlos, que tiene 18 años, tiene tres años menos que Betty. ¿Cuántos años tienen entre los tres?
4. Rosa ganó S/.120 el lunes, el martes ganó S/.20 más que el lunes y el miércoles ganó tanto como el lunes y el martes juntos. ¿Cuánto ganó el miércoles?
12. Un cajero de banco tiene 10 fajos de dinero de 20 billetes de S/.50 cada uno. ¿Cuánto dinero tiene en total?
5. Hugo tiene 12 años y cada uno de sus hermanos mayores le lleva dos años al que le sigue. Si en total son cuatro hermanos, ¿cuántos años tiene el mayor? 6. Jorge nació en 1954; a los 28 años fue padre y cuatro años después fue padre por segunda vez. ¿En qué año nació su segundo hijo? 7. La suma de dos números es 146 y la mitad del número menor es 30. ¿Cuál es el número mayor?
13. Se forma un batallón con 12 filas de 10 soldados cada fila. ¿Cuántos camiones se necesitan para transportarlos si en cada camión pueden viajar 15 soldados? 14. Una orquesta cobra $600 por hora. Si tuvo una presentación de cuatro horas y sus ocho integrantes cobran por igual, ¿cuánto recibió cada músico? 15. Se compran 24 cajas que contienen 50 pares de pañuelos cada una. Si son distribuidos entre 16 personas, ¿cuántos pares de pañuelos recibe cada una?
8. La diferencia de dos números es 12 y la mitad del número mayor es 20. ¿Cuál es el número menor?
Central: 619-8100
Unidad VI
139
Índice
Operaciones combinadas II
UNIDAD I .
conociendo el idioma de la matemática
CapítuloEn 1 este capítulo aprenderemos a: Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje ........................................................................................................ 5 Capítulo• 2 Relacionar números para obtener otros empleando operaciones básicas. Ecuaciones Situaciones problemáticas. ............................................................................................ 12 • lineales AplicarII:las diferentes operaciones básicas para determinar el número que
falta.
UNIDAD II
MATEMÁTICA recreativa
Capítulo 1 Ruedas, figuras y palitos de fósforo ............... 18
Capítulo 3 Repaso I
.................................... 37
Un depósito subterráneo tiene 480 litros de gasolina. EnCapítulo cada hora Capítulo 2 4 se sacan 20 litros con un surtidor. ¿Cuántas horas deben transcurrir para que queden 360 litros enabreviadas el depósito? Cuadros numéricos ................................... 28 Multiplicaciones .......................... 41
UNIDAD III
CONOCIENDO SITUACIONES ESPECIALES
Capítulo 1 Situaciones lógicas
.................................... 49
Capítulo 4 Ordenamiento lineal
Capítulo 2 Pensamiento lateral
................................... 55
Capítulo 5 Ordenamiento circular .................................... 72
Capítulo 3 Repaso II
.................................... 61
UNIDAD IV
.................................... 65
EXPLORANDO HABILIDADES MATEMÁTICAS: pSICOTÉcNICO
Capítulo 1 Razonamiento abstracto ................................. 79
Capítulo 3 Sucesiones especiales .....................................91
Capítulo 2 Repaso III
Capítulo 4 Relaciones numéricas .................................... 96
UNIDAD V
................................... 87
reconociendo situaciones especiales de conteo
Capítulo 1 Conteo de triángulos .................................. 103
Capítulo 3 Contar caminos
Capítulo 2 Repaso IV ................................. 109
Capítulo 4 Perímetros .................................. 118
.................................. 112
Conceptos básicos
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ...y ahora seguiremos resolviendo problemas combinando las operaciones fundamentales.
UNIDAD VI
interpretando las operaciones fundamentales
Ejemplo
Capítulo 4 Capítulo 1 1. Se compró un ..auto en $6800. La cuota inicial fue deOperaciones $2000 y elcombinadas resto en ocho letras iguales. ¿Qué II .......................... 140 Criptogramas I ............................... 124
valor tiene cada una de las letras?
Capítulo 2 Resolución Criptogramas II
Capítulo 5 Método de las operaciones inversas ............. 145
................................. 129
•3 Si se pagó $2000 de cuota inicial, entonces faltaCapítulo pagar: 6800 6 - 2000 = $ 4800 Capítulo RepasoelV . ................................. 151 Operaciones I ..pagarán .......................... • combinadas Los $4800 se en ocho 135 letras iguales, entonces valor de cada letra es: 4800 ÷ 8 = $600 2. Un comerciante compró once ternos a S/. 3300. Si vendió cinco ternos a S/. 240 cada uno, ¿en cuánto debe vender los ternos restantes para tener una ganancia total de S/. 900?
UNIDAD VII analizando los intervalos iguales Resolución
Capítulo 1 El costo de los ternos fue: S/. 3300 • Intervalos longitud .................................................................................................................................... 155 • de El comerciante desea tener una ganancia de S/. 900
• Capítulo 2 Debe vender los ternos en: 3300+900=S/. 4200 Intervalos tiempo cinco .....................................................................................................................................161 • de Vendió ternos y recibió: 5× 240= S/.1200
• •
Falta recibir en 11 - 5 = 6 ternos: 4200 - 1200 = S/. 3000 Luego, cada terno se debe vender en: 3000 ÷ 6 = S/. 500
UNIDAD VIII
analizando situaciones fraccionarias
Capítulo 1 Los números fraccionarios y sus aplicaciones ................................................................................................... 168
Síntesis teórica
Capítulo 2 Situaciones básicas en las fracciones
UNIDAD IX
................................................................................................... 176
usando símbolos y gráficos en la matemática
Capítulo 1 Operaciones matemáticas arbitrarias ........... 184 Capítulo 2 Gráficos estadísticos ................................. 190
Capítulo 3 Repaso VI
donde se
se resuelven
.................................. 199
Operaciones combinadas II
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. En una fiesta hay 50 personas. Si en un determinado momento todos bailan menos ocho mujeres, ¿cuántos hombres hay en la fiesta? 2. En una caja roja hay cinco cajas amarillas; en cada caja amarilla hay tres verdes y en cada caja verde hay tres azules. ¿Cuántas cajas hay en total? 3. Una mamá le da a su hijo S/.6 el lunes, el martes le da S/.3 más que el lunes y el miércoles le
da tanto como los dos días anteriores juntos. ¿Cuánto le dio en los tres días? 4. Un obrero gana S/. 40 diarios y gasta S/.32; el resto lo ahorra. ¿Después de cuántos días tendrá ahorrados S/. 80? 5. Un padre tiene 36 años y sus hijos ocho y seis años, respectivamente. ¿Cuál será la suma de las edades dentro de cinco años?
Conceptos básicos Aprende más... •
Un camión reparte 860 kg de arroz en tres mercados. En el primero deja 320 kg en el segundo deja 80 kg menos que en el primero y en el tercer mercado deja el resto.
6. En una granja hay ocho vacas y 12 gallinas. ¿Cuántas patas más que cabezas hay?
2. Si por cada kilogramo cobra S/.2,20 ¿cuánto recibió por el arroz que dejó en el segundo mercado? • Con una bolsa de alimento balanceado, puedo alimentar a tres perros o cinco gatos. Si tengo siete bolsas y ya alimenté a 20 gatos, entonces:
8. Por siete cajas de jabón se pagó en una bodega S/.91. ¿Cuánto se pagará en otra bodega, si cada caja cuesta S/.2 más?
3. ¿Cuántos perros puedo alimentar con las bolsas que quedan?
10. Una persona caritativa entrega limosna a 12 mendigos, recibiendo cada uno S/.9. Si le sobró S/.7, ¿cuánto habría sobrado si hubieran sido 13 mendigos?
1. ¿Cuántos kilogramos de arroz deja en el tercer mercado?
4. ¿Cuántas bolsas me faltan si quiero alimentar a 15 perros? •
Resolver los siguientes ejercicios:
5. La siguiente tabla es parte de una factura que tiene que pagar la señora Julia que compró en un supermercado.
Artículo
Cantidad
Precio Unit.
Aceite(L) Leche Azúcar(kg) Arroz(kg)
3 5 4 6
3,80 2,10 1,90 1,40
Total a pagar (S/.) ¿A cuánto asciende la factura?
Colegios
142
TRILCE
Total
7. Se repartieron 1473 hojas entre los alumnos del colegio TRILCE, recibiendo cada uno seis hojas. Si sobraron 183 hojas, ¿cuántos alumnos tiene el colegio?
9. Cuando Carmen nació, su papá tenía 31 años. Si actualmente las edades de ambos suman 43 años, ¿cuál es la edad de Carmen?
11. Entre ocho personas tienen que pagar por partes iguales S/. 400. Como algunas de ellas no pueden las restantes tienen que aportar S/. 30 más cada una. ¿Cuántas personas no pagaron?
a) 5 d) 4
b) 3 e) 6
c) 8
12. En un colegio se encuentran 63 alumnos, entre hombres y mujeres. En un determinado momento juegan en parejas (un hombre y una mujer), excepto 17 mujeres que se van a tomar aire. ¿Cuántos hombres habían en la reunión?
a) 23 d) 26
b) 24 e) 27
c) 25
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
13. Treinta alumnos decidieron ir de paseo. Como seis de ellos no tenían dinero, cada uno de los restantes pagó S/.15, cubriendo el costo total. ¿Cuánto más pagó uno de estos últimos?
a) S/. 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
14. Pedro necesita saber el peso total de cinco cajones, sabiendo que el primero pesa 713 kg, el segundo pesa 17 kg menos que el primero, el tercero 18 kg más que el primero y el segundo juntos, el cuarto 365 kg menos que el tercero, y el quinto pesa 2 kg menos que el cuarto.
a) 4890 kg d) 4898
b) 4958 e) 4500
c) 4897
15. Un comerciante compra la docena de lapiceros a S/.24 y por cada docena que compra, le obsequian 2. Si compró 15 docenas y vendió todos los lapiceros a S/.3 cada uno, ¿cuál será su ganancia?
a) S/. 270 d) 350
b) 280 e) 400
c) 300
16. Se sabe que 100 peras cuestan lo mismo que 20 naranjas y 40 manzanas. Si cada naranja cuesta S/. 3 y cada manzana S/ 2, ¿cuánto cuestan cinco peras?
a) S/. 5 d) 7
b) 9 e) 6
c) 8
17. En un negocio de electrodomésticos, uno de los vendedores gana S/. 100 por cada computadora que vende cuyo costo es de S/. 1900. Además, por cada TV a color de S/. 700, el vendedor gana S/. 40. Después de haber vendido 15 computadoras y 20 TV a color, ¿a cuánto asciende dicha venta?
a) S/. 50 000 d) 70 000
b) 44 800 e) 58 000
4
c) 60 000
18. Compré 95 entradas para el clásico ("U" vs "Alianza Lima") a S/.30 cada uno. ¿A cómo los debo vender para obtener una ganancia total de S/.380?
a) S/. 32 d) 35
b) 31 e) 36
c) 34
19. Un alambre de 24 m de longitud, se corta en dos partes de tal manera que un pedazo mide 2 m más que el otro. ¿Cuánto mide el pedazo mayor?
a) 11 m d) 13
b) 12 e) 14
c) 10
20. Betty tiene 36 años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de la edad que tuvo hace 16 años?
a) 3 d) 2
b) 4 e) 10
c) 6
a) 3 d) 31
b) 5 e) 33
c) 6
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Un comerciante compró 30 lapiceros por S/. 5400. Si en la venta de 12 lapiceros quiere ganar el precio de compra de seis lapiceros, ¿a cómo tendrá que vender cada uno de ellos?
a) S/. 250 d) 280
b) 260 e) 290
c) 270
2. En un matrimonio masivo, participaron 268 personas entre contrayentes y testigos (dos por pareja). Si entre los testigos había 68 mujeres, ¿cuántos hombres participaron en dicha ceremonia?
a) 134 d) 67
b) 100 e) 66
c) 133
3. En una balanza tengo 38 esferas iguales de 25g en el plato "A" y 77 de 10 g en el plato "B". ¿Cuánto debo pasar de "A" a "B" y de "B" a "A" para equilibrar la balanza sabiendo que el número de esferas extraídas de "A" es igual al número de esferas extraídas de "B"?
Central: 619-8100
4. Un ómnibus llega al paradero final con 53 pasajeros. Sabiendo que cada pasaje cuesta S/. 0,60 y que recaudó en total S/. 39 y que en cada paradero bajaba un pasajero pero subían tres, ¿cuántos pasajeros partieron del paradero inicial?
a) 25 d) 31
b) 27 e) 33
c) 29
5. Un comerciante compró 40 jarrones a S/.70 cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de S/.20 por jarrón, se le rompieron cinco. ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la ganancia total fue de S/.810?
a) S/.70 d) 72
b) 65 e) 110
c) 42
Unidad VI
143
Operaciones combinadas II 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Una caja de cartón cuesta S/.7. ¿Cuánto debo pagar por 17 cajas de cartón? 2. Un joyero compró 15 pulseras de plata a S/.120 cada una. Si obsequió tres pulseras, ¿a cuánto venderá cada una de las restantes para recuperar su dinero? 3. Un sastre confeccionó 11 ternos gastando S/.330 en cada uno. Si vendió cinco a S/.240 cada terno, ¿a cómo tiene que vender los restantes para ganar S/.900 en total? 4. En una orquesta se van a renovar los instrumentos. Se compró una guitarra en 860 dólares, vendiendo la antigua en 300 dólares; un teclado electrónico en 2500 dólares, vendiendo el anterior en 1600 dólares. ¿Cuánto se invirtió en total? 5. Una persona gana S/.80 semanales y gasta siete soles diarios. ¿Cuánto ahorra en cuatro semanas? 6. ¿A cómo tengo que vender cada uno de los libros que he comprado a $6, para ganar en 15 libros el precio de compra de cinco libros? 7. Un comerciante compró varias camisas a 12 por S/.240 y las vende a 10 por S/.250. ¿Cuánto gana en cada camisa? 8. Pedro tiene S/.30 más que Sergio y juntos tienen S/.390. ¿Cuánto dinero tiene Pedro?
Colegios
144
TRILCE
9. Paco y Facú tienen S/.130 y S/.220, respectivamente. ¿Cuánto dinero debe darle Facú a Paco para que ambos tengan la misma cantidad de dinero? 10. Silvia tiene S/.600. Primero regala la cuarta parte de su dinero a Sandro, luego presta la tercera parte del resto a Mónica y finalmente compra con la mitad del dinero sobrante una entrada para el concierto de La Ley. ¿Cuánto dinero le sobra al final? 11. Compré cierto número de libros por S/.600. Vendí 40 perdiendo S/.2 en cada uno y recibí S/.320. ¿A cómo tengo que vender cada uno de los restantes si quiero ganar S/.60 en total? 12. Vendí 60 sacos de azúcar por S/.480 ganando tres soles en cada uno. ¿Por cuántos sacos estaba integrado un pedido que compré al mismo precio y por el cual pagué S/.400? 13. Las entradas a un cine cuestan S/.8 los adultos y S/.5 los niños. ¿Cuántos niños fueron, si se recaudó S/.440 y fueron 30 adultos? 14. Luego de comprar 12 revistas, me quedan S/.10 y me faltan S/.2 si quiero comprar una revista más. ¿Cuánto cuesta cada revista y cuánto tenía antes de comprar? 15. Dos obreros trabajan juntos. Si uno de ellos gana diariamente S/.2 más que el otro y después de un número de días recibieron S/.240 y S/.210, respectivamente, ¿cuántos días trabajaron?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Método de las operaciones inversas
5
.
En este capítulo aprenderemos a: • •
Representar rutas usando esquemas y gráficos. Reconocer los caminos que hay para trasladarse de un lugar a otro.
Para avanzar hay que retroceder Aunque parezca contradictorio, el presente método consiste en resolver un problema de atrás hacia adelante, efectuando operaciones inversas a las indicadas en el problema. Por ejemplo, si a un número se le suma 12 y se obtiene 45, entonces el número se encuentra aplicando la inversa de la adición, que es la sustracción y se tendrá: +12 ?
H
45 - 12
El número será: 45 - 12 = 33
B
e D
a
Central: 619-8100
F
G
Unidad VI
145
Método de las operaciones inversas
Conceptos básicos Operaciones inversas Debes tener presente las inversas de las operaciones. ¡Presta atención!
Operación
Inversa
Adición
Sustracción
Sustracción
Adición
Multiplicación
División
División
Multiplicación
Potenciación
Radicación
Radicación
Potenciación
Lo anterior se aplica de la siguiente manera: +5 •
8
×2 13
26 ÷2
-5 -4 •
•
20
16 +4
( )2
÷5
+8
30
6 ×5
Colegios
146
TRILCE
4
14 - 8
www.trilce.edu.pe
Ejemplos
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
5
1. Darío tiene cierta cantidad de dinero y 2. Cada vez que Dora va al casino que está cerca a su casa, gana y le triplican el dinero gasta 12 soles; se encuentra con un amigo que tiene y de inmediato ella gasta 100 soles. que le debía y le duplican su dinero. Por Si un día fue al casino tres veces seguidas y último, gasta 9 soles y se queda con 7 al final se quedó con 860 soles, ¿cuánto tenía soles. ¿Cuánto tenía inicialmente Darío? inicialmente Dora?
Resolución - 12
×2
-9
Resolución ×3
×3
-100
×3
-100
7
• Se invierte operaciones: 20
y
se
aplican
16
8 +12
-100
÷2
860 las
7
•
Se invierte y se aplican las operaciones:
80
+9
240 ÷3
Darío tenía 20 soles.
140
+100
420 ÷3
320
+100
960 ÷3
860
+100
• Dora inicialmente tenía S/. 80.
Síntesis teórica
Son
Se
Central: 619-8100
-2=
×3=
+2
÷3
+6=
36
-6
Unidad VI
147
Método de las operaciones inversas
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Un número se aumenta en 5, al resultado se le multiplica por 2, el nuevo resultado se divide entre 4 y por último se resta 10 obteniéndose 5. ¿Cuál era el número inicial? 2. Le preguntan a Lucy por su edad y esta responde: "Si al doble de mi edad le restan cuatro años, al resultado se le divide entre 2 y por último se suma 5, se obtiene 15". Halla la edad de Lucy. 3. Un número aumenta en 4, el resultado se divide ente 8, el cociente obtenido se eleva al
cubo, al resultado se le resta 25 y por último el resultado se divide entre 5 y se obtiene 20. Halla el número. 4. Cada vez que sale al recreo, un niño gasta la mitad de su dinero. Si después de dos salidas tiene cinco soles, ¿cuánto tenía inicialmente? 5. En el problema anterior, ¿cuánto gastó en total el niño luego de los dos recreos?
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
•
3. ¿Cuántas personas llegaron en la primera hora?
Un camión cisterna se encarga de regar los jardines de un distrito. En la primera hora se extrajo 60 litros, en la segunda hora se extrajo la mitad del resto y en la tercera hora se extrajo 120 litros de tal manera que ahora en el depósito quedan 90 litros.
Responder:
4. ¿Cuántas personas habían luego de la segunda hora? 5. ¿Cuántas personas habían inicialmente? Resolución de problemas
Responder:
6. Se triplica un número, el resultado se incrementa en 4, el nuevo resultado se disminuye en 15, se eleva al cuadrado la diferencia obtenida resultando 100. Halla el número.
1. ¿Cuántos litros de agua quedan luego de la primera extracción?
2. ¿Cuántos litros de agua hay en el depósito, antes de la tercera extracción?
7. Un número se aumenta en 20, el resultado se divide entre 3, el cociente obtenido aumenta en 3, al resultado se le extrae la raíz cuadrada. El nuevo resultado se multiplica por 15 y luego el producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Halla el número inicial.
•
En una reunión hay cierto número de personas. En cada hora se van 15 personas pero de inmediato llegan más personas y se duplica la cantidad de personas que quedaron. Después de tres horas hay 110 personas.
a) 7 d) 10
a) 66 d) 40
b) 8 e) 11
b) 56 e) 60
c) 9
c) 46
8. Un número es aumentado en 4, el resultado se multiplica por 3, luego el resultado obtenido se le disminuye 2 y, por último, a este nuevo resultado se le extrae la raíz cuadrada obteniéndose 8. Halla el número.
Colegios
148
TRILCE
a) 16 d) 17
b) 20 e) 18
c) 15
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
9. Con un número se hacen las siguientes operaciones: primero se multiplica por 5, al producto se le suma 60, a dicha suma se le divide entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 4. Si luego de realizar las operaciones indicadas se obtiene 2, ¿cuál es el número?
a) 70 d) 60
b) 80 e) 50
c) 90
10. Ricardo le dice a Teresa: "Si a la cantidad de dinero que tengo le agregas S/.20, a ese resultado lo multiplicas por 6, luego le quitas S/.24, posteriormente le sacas la raíz cuadrada y por último lo divides entre 3, obtendrás S/.8". Indica la cantidad inicial que tenía Ricardo.
a) S/. 80 d) 95
b) 90 e) 85
c) 100
11. La edad de Isis se cuadruplica, el resultado se incrementa en 4, luego se extrae la raíz cuadrada, esta raíz se disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado, y por último, el resultado se divide entre 3 obteniéndose 12 de cociente. Halla la edad de Isis dentro de 8 años.
a) 15 años d) 28
b) 23 e) 29
c) 20
12. Cada día, de un reservorio de agua se consume la mitad del contenido más 20 litros. Si después de tres días consecutivos quedan 10 litros en el reservorio, ¿cuántos litros de agua se consumieron?
a) 350 d) 380
b) 360 e) 390
c) 370
5
13. De un recipiente lleno de agua, se extraen dos litros, luego se derrama la mitad del líquido, enseguida se le adicionan cuatro litros y finalmente se consume la mitad del agua, quedando ocho litros en el recipiente. Calcula la capacidad del recipiente.
a) 26 litros d) 28
b) 24 e) 29
c) 25
14. Juan se puso a jugar con el dinero que llevaba, logra duplicarlo e inmediatamente gasta 10 dólares; con lo que le queda juega por segunda vez, triplica su dinero y gasta 30 dólares; juega por tercera vez, pierde la mitad y luego gasta 80 dólares y se retira con 10 dólares. ¿Cuánto tenía inicialmente?
a) $40 d) 70
b) 50 e) 80
c) 60
15. Un número se divide entre 8, al cociente obtenido se le aumenta 5, se eleva al cuadrado esta suma, luego se divide entre 5 y al cociente se le resta 4, luego se extrae raíz cuadrada al resultado y se obtiene 4. ¿Cuál es el número inicial?
a) 50 d) 80
b) 40 e) 70
c) 60
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si a mi edad le añades 12 años y al resultado obtenido le sacas la raíz cuadrada, obtendrás la edad de Juanito. Si a la edad de Juanito le quitas tres años y luego el resultado obtenido lo elevas al cuadrado obtendrás 16. ¿Cuál es mi edad?
a) 24 años
b) 13
c) 37
d) 52
e) 45
2. Cada vez que me encuentro con mi tío me duplica el dinero que tengo, y yo, en agradecimiento, le doy un billete de S/.20. Si un día me encontré con mi tío cuatro veces, luego de los cuales tengo S/.500, ¿cuánto dinero tuve antes de encontrarme con mi tío por primera vez?
a) S/.40
b) 50
c) 25
d) 60
e) 45
3. De un recipiente lleno de agua se sacan dos litros. Más tarde se derrama la mitad del líquido. Enseguida se le adicionan cuatro litros. Finalmente, se gasta la mitad del agua quedando ocho litros en el recipiente. Calcula la capacidad del recipiente.
a) 18 litros
Central: 619-8100
b) 26
c) 24
d) 30
e) 16
Unidad VI
149
Método de las operaciones inversas
4. Un número es aumentado en 10, el resultado obtenido es multiplicado por 6, al valor obtenido se le quita 9, a la cantidad que se obtiene se le saca la raíz cuadrada obteniéndose al final 9. ¿Cuál era el número inicial?
a) 8
b) 5
c) 10
d) 12
e) 15
5. Edú duplicó un número, luego al resultado lo elevó al cuadrado, dividió entre 10, restó 2, extrajo la raíz cúbica, sumó 7, extrajo la raíz cuadrada y multiplicó por 4, obteniendo 12 de resultado. ¿Cuál era el número inicial?
a) 5
b) 7
c) 12
d) 10
e) 8
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Con un número se hacen las siguientes operaciones: primero se multiplica por 5, al producto se le suma 60, a dicha suma se le divide entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 2. Si luego de realizar las operaciones indicadas se obtiene 4, ¿cuál es el número? 2. Un número se incrementa en 40 unidades y luego se le extrae la raíz cuadrada. Si el último resultado es multiplicado por 8 y finalmente se le resta 9, indica cuál era el número si al final de todas las operaciones se obtiene 47. 3. La edad de Rocío se cuadruplica, el resultado se incrementa en 4, luego se extrae la raíz cuadrada, esta raíz se disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado y por último el resultado se divide entre 3 obteniéndose 12 de cociente. Halla la edad de Rocío dentro de ocho años. 4. Pedro se puso a jugar con el dinero que llevaba, logra duplicarlo e inmediatamente gasta $10; con lo que queda juega por segunda vez, triplica su dinero y gasta $30; juega por tercera vez, pierde la mitad, gasta $40 y se retira con $50. ¿Cuánto tenía al inicio? 5. Cada vez que hace un negocio, una persona duplica su dinero, pero de inmediato gasta S/. 10. Si luego de dos negocios sucesivos tiene S/. 290, ¿cuánto tenía inicialmente? 6. Cada vez que sale al recreo un alumno gasta la mitad de su dinero y S/. 3 más. Si luego del tercer recreo se quedó sin dinero, ¿cuánto tenía inicialmente? 7. Cada vez que salgo de mi casa decido gastar la mitad del dinero que tengo en ese instante. Si luego de salir cuatro veces me sobran S/.3, ¿cuánto dinero gasté en la segunda salida?
Colegios
150
TRILCE
8. Cada vez que me encuentro con Sergio, debo entregarle la mitad de mi dinero, y él, en agradecimiento, me regala S/.60. Si luego de tres encuentros tengo S/.110, ¿cuánto dinero tenía antes de encontrarme por primera vez con Sergio? 9. Según la pregunta anterior, ¿cuánto dinero gané en total luego de los tres encuentros con Sergio? 10. Un día decido ir de compras y compro una filmadora gastando la mitad de mi dinero, una cámara digital gastando $120, un DVD gastando la mitad del dinero restante. Si luego de realizar las compras me queda $ 150, ¿cuánto me costó la filmadora? 11. De un depósito se extraen 20 litros, luego se extrae la mitad, luego se agregan 10 litros al depósito y por último se extrae la mitad quedando 20 litros. ¿Cuántos litros habían inicialmente en el depósito? 12. En el problema anterior, ¿cuántos litros se extrajeron la segunda vez? 13. Cada vez que Mariano va a la casa de su tío, este le duplica el dinero a Mariano, y en agradecimiento este le compra una torta de S/. 20. Si en un día Mariano visitó a su tío tres veces y al final terminó con S/. 4, ¿cuánto dinero tenía Mariano antes de la primera visita a su tío? 14. Doña Dina acude al casino "ROYAL". En la primera partida logra duplicar su dinero, en la segunda partida pierde S/. 140, en la tercera nuevamente duplica su dinero y en la cuarta pierde S/. 920. Si luego de esta última partida sale deprimida porque se quedó sin dinero, ¿con cuánto dinero fue al casino? 15. Según el problema anterior, ¿cuánto dinero tenía luego de la segunda partida?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
6
Repaso V
Central: 619-8100
•
Criptogramas
•
Operaciones combinadas
•
Operaciones inversas
Unidad VI
151
Repaso V
Conceptos básicos Aprende más... 1. Se reparte una herencia entre tres hijos: José, Walter y Luis. A José le corresponde $1245; a Walter, el triple de lo que le toca a José más $58; a Luis, $76 menos que la suma de lo que le toca a José y Walter juntos. Si además se han separado $501 para gastos, ¿a cuánto ascendía la herencia? 2. Un número es aumentado en 5, el resultado se multiplica por 2, al producto obtenido se le resta 4, al resultado se lo divide entre 10. Por último, el cociente obtenido es elevado al cuadrado, obteniéndose 9. Halla el valor del número justo antes de realizar las operaciones. 3. Reconstruir la siguiente división. 4 _ _ _
3 _
_ 6
_ _ 7
10.
A
E D
C
B
11.
C
A
D
E
B
F G
12. Hallar el perímetro de la región sombreada.
- _ 7 _ _ _ 5 _ 2 _ _
- - 6
Parte II: Comunicación matemática
12cm 13. En el problema anterior, si el lado del cuadrado mide 24 cm, ¿cuál es el perímetro de la región sombreada?
Enunciado Responde verdadero (V) o falso (F): Promoción para fiestas patrias 4. En criptoaritmética, la letra "O" siempre equivale a cero ................................. ( ) • Polo S/.30 5. La suma de dos cifras no puede ser mayor que • Jean para fiestas S/.70 patrias Promoción 18 ................................. ( ) • Chompa S/.49 6. En el método de operaciones inversas, la • Casaca S/.150 cantidad inicial siempre es dato ............... ( ) • Buzo S/.60 • Pijama S/.35 7. La operación inversa de la potenciación es la • Blusa S/.51 multiplicación ................................. ( ) • Pantalón S/.75 8. En ejercicios de criptoaritmética, dos asteriscos pueden tener un mismo valor .................. ( ) 9. Si multiplicamos ab por 101, se obtiene abab . Responde: ................................. ( ) 14. ¿Cuánto dinero se necesitará para comprar cinco polos, dos jeans y tres chompas? • ¿De cuántas maneras se puede ir de "A" hacia "B", si en cada recorrido no se puede pasar dos 15. Si compro 20 polos y los vendo a S/.35 cada veces por un mismo punto? uno, ¿cuál es mi ganancia total?
Colegios
152
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 18:10:45
6
soPractica cisáb soten peccasa noC •
¿De cuántas maneras se puede ir de "A" hacia "B", si en cada recorrido no se puede pasar dos veces por un mismo punto?
8. Halla la suma de las cifras del multiplicando: _ _ _ _ ×7=8386 9. Halla la suma de las cifras del multiplicando:
1.
C
D
E
10. Halla "A+B" en:
F
B
A
MNN×6 = P528
A3 B B # 8 = 4BA76
11. Halla "M+N" en: 2. A
B
C
D
3.. El perímetro de un rectángulo es 160 m. Si el largo mide el triple del ancho, ¿cuánto mide el largo? 4. Hallar la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 2 cm. ≠ 5. Calcula "A+B+C" 9 C B+ C 6 2 A C A 6 6. Calcula "A − B" en: 2 A B+ B A 8 6 1 1 7. Calcula "A+B+C" en: A B B C+ C C A 2 C 3 5
Central: 619-8100
4MN2×7 = 32NM4
•
Enunciado
E
Promoción para fiestas patrias • • • • • • • •
Polo Jean Chompa Casaca Buzo Pijama Blusa Pantalón
S/.30 S/.70 S/.49 S/.150 S/.60 S/.35 S/.51 S/.75
12. Si tengo S/.600 y deseo comprar dos casacas, tres pantalones y cuatro blusas, ¿cuánto me falta o me sobra? 13. Si necesito cuatro prendas diferentes y solo tengo S/.210, ¿qué prendas tendría que elegir para gastar todo el dinero 14. Un número es aumentado en 4, el resultado se multiplica por 3, al resultado se le disminuye 2 y, por último, a este nuevo resultado se le extrae la raíz cuadrada obteniéndose 8. Halla dicho número. 15. Se triplica un número, el resultado se incrementa en 4, el resultado se disminuye en 15 y se eleva al cuadrado la diferencia obtenida resultando 100. Halla dicho número.
Unidad VI
153
UNIDAD VII
Analizando los intervalos iguales
U
n intervalo puede ser de longitud o de tiempo. El intervalo de longitud es la distancia que hay de un lugar a otro. En la figura superior se puede observar los intervalos de longitud que hay entre los árboles. El intervalo de tiempo es la duración que hay de un instante a otro. En la figura inferior, se pueden apreciar varias diapositivas de una presentación en POWER POINT y entre ellas hay un intervalo de tiempo para su presentación.
AprendiZajes esperados
Comunicación matemática • Reconocer los intervalos de longitud o de tiempo en las diferentes situaciones que se plantean. Resolución de problemas • Aplicar las diferentes relaciones que hay entre los elementos de los intervalos. Razonamiento y demostración • Elaborar procedimientos adecuados y elegir los que corresponden a cada caso.
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
Intervalos de longitud .
En este capítulo aprenderemos a: • • •
Reconocer los intervalos de longitud y su medida. Aplicar las fórmulas respectivas. Identificar elementos: cortes, longitud total, número de señales, etc.
Postes a igual distancia En una gran autopista de 1000 m de longitud, se colocan postes a 20 m, desde el inicio hasta el final. ¿Cuántos postes se necesitarán? ¡No! La respuesta no es 50.
Central: 619-8100
Unidad VII
155
Intervalos de longitud
Conceptos básicos ¡Presta atención a las siguientes explicaciones!
Si a una soga de cierta longitud se le da: se obtiene
1 corte
2 pedazos
2 cortes
3 pedazos
3 cortes
4 pedazos
En general:
Además, si los pedazos son iguales:
Nº cortes=Nº pedazos - 1 Nº cortes= También se usan intervalos en los siguientes casos
Nº partes Nº intervalos
Longitud total Longitud de un pedazo
2 postes
1 espacio
espacio
3 postes
2 espacios
espacio
espacio
4 postes
espacio
Colegios
156
TRILCE
3 espacios
espacio
espacio
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
En general:
Además, si los espacios son iguales:
Nº postes=Nº espacios+ 1 Nº espacios= Nº partes Nº intervalos
1
Longitud total Longitud de un espacio
Ten en cuenta que, en el caso de figuras cerradas se cumple lo siguiente:
Nº cortes=Nº postes=Nº espacios Si los espacios son iguales: Nº espacios=
Longitud total Longitud de un espacio
Síntesis teórica
es
entre
considerando
Central: 619-8100
Unidad VII
157
Intervalos de longitud
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. ¿Cuántos cortes se deben dar a una soga para dividirla en ocho partes? 2. ¿Cuántos cortes se deben dar a una vara para obtener 15 pedazos iguales?
4. Alrededor de una circunferencia de 60 cm de longitud se hacen marcas cada 5 cm. ¿Cuántas marcas se habrán hecho? 5. Una regla de 140 cm de longitud se cortó en pedazos de 10 cm. ¿Cuántos cortes se hicieron?
3. A lo largo de una avenida de 500 m se han colocado postes cada 50 m, desde el inicio hasta el final. ¿Cuántos postes se han empleado?
Conceptos básicos Aprende más... 1. Calcula el número de estacas que se requieren para plantarlas (desde el inicio hasta el final) a lo largo de una línea recta de 300 metros, si se sabe que entre cada estaca debe existir una longitud de 4 m.
a) 70 d) 78
b) 72 e) 74
c) 76
2. ¿Cuál es la longitud total de una regla de madera, a la que se aplicó 17 cortes, obteniéndose pequeñas reglitas de 15 cm cada una?
a) 2 m 40 cm c) 2 m 80 cm e) 2 m 70 cm
b) 2 m 60 cm d) 2 m 90 cm
a) 68 m d) 52
b) 60 e) 80
c) 56
4. Un joyero cobra S/. 15 por partir una barra de oro en dos pedazos. ¿Cuánto tendré que pagar si deseo partirla en ocho pedazos?
a) 105 d) 60
b) 120 e) 80
c) 100
5. Un electricista tiene un cable de 180 m y debe cortarlo en pedazos de 5 m. ¿Cuántos cortes debe dar? a) 36 b) 35 c) 34 d) 33 e) 37 6. Un carpintero para cortar una pieza de madera en dos partes cobra S/. 30. ¿Cuánto cobrará como mínimo para cortarla en siete partes?
Colegios
158
TRILCE
a) S/. 100 d) 210
b) 180 e) 190
c) 120
7. Una varilla de fierro ha sido seccionada en pedazos de 30 cm. Si para esto se hicieron 12 cortes, ¿cuál fue la longitud inicial de la varilla de fierro?
a) 390 d) 400
b) 330 e) 500
c) 360
8. Se desea efectuar cortes de ocho centímetros de longitud de arco en un aro de 120 centímetros de longitud de circunferencia. ¿Cuántos cortes podremos efectuar?
3. En una pista de salto con vallas, hay 15 de estas separadas por una distancia de 4 m. ¿Cuál es la longitud entre la primera y la última valla?
a) 15 d) 9
b) 18 e) 10
c) 14
9. Un sastre para cortar una cinta de tela de 80 metros de largo, cobra S/. 15 por cada corte que realiza. Si cada corte lo hace cada cinco metros, ¿cuánto cobrará por toda la cinta?
a) S/. 200 d) 280
b) 220 e) 120
c) 225
10. Se tiene una barra de aluminio de 8 m de longitud. Si se quiere tener (n+1) partes iguales, ¿cuántos cortes deben efectuarse?
a) 8(n+1) d) n
b) n+8 e) n+2
c) n+1
11. En una avenida de 320 metros de longitud se quiere colocar postes cada cuatro metros de distancia entre sí. ¿Cuántos postes serán necesarios para cubrir toda la avenida, si se les colocó desde el inicio hasta el final de la misma?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
a) 40 d) 84
b) 80 e) 79
c) 81
12. A un aro de 20 cm de longitud, se hacen 10 cortes para tener pedazos de 2 cm de largo. ¿Cuántos cortes deben hacerse si se tomara la mitad del largo del aro?
a) 6 d) 3
b) 5 e) 7
c) 4
13. Para cortar una pieza de madera en dos partes cobran "N" nuevos soles. ¿Cuánto cobrarán como mínimo para cortarlo en nueve partes?
a) S/.8 N d) 9 N
b) 5 N e) 9 + N
c) N
14. ¿Cuántos cortes deben darse a una soga de (N 2 - 1) metros de largo para tener pedazos de (N - 1) metros de largo?
a) N d) 2N
b) N -1 e) N+2
1
c) N+1
15. Un hojalatero para cortar una cinta metálica de (K2 - 1) metros de largo, cobra S/.(K+1) por cada corte que hace. Si cada corte lo hace cada ( K - 1) metros, ¿cuántos nuevos soles cobrará por toda la cinta?
a) K2(K - 1) d) K2- 1
b) K(K+1) e) K2+1
c) K2
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. ¿Cuántos cortes deben darse a una soga de (k2 - 1) metros de largo para tener pedazos de (k - 1) metros de largo?
a) k -2
b) k+1
c) k
d) k - 1
e) 2k
2. ¿Cuántos cortes deben darse a seis aros de L metros de longitud, para tener pedazos de 2 metros? 3
a) L
b) L - 1 6
c) 6L
d) L - 1 2
e) L + 2 3
3. A una soga de 60 metros se hacen 11 cortes para tener pedazos de 5 metros de largo. ¿Cuántos cortes deben hacerse si se tomara la mitad del largo de la soga?
a) 5,5
b) 5
c) 6
d) 11
e) 7
4. A un aro de 20 metros de longitud se hacen 10 cortes para tener pedazos de 2 metros de largo. ¿Cuántos cortes deben hacerse si se tomara la mitad del largo del aro?
a) 5
b) 6
c) 4
d) 3
e) 7
5. En un terreno rectangular se han colocado 80 estacas en todo su perímetro. Las estacas están distanciadas entre sí 6 metros cada una. ¿Cuál era el largo del terreno? (Ancho del terreno es de 90 metros).
a) 154 m
Central: 619-8100
b) 152
c) 148
d) 150
e) 120
Unidad VII
159
Intervalos de longitud 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. ¿Cuántos cortes se deben realizar a una varilla de fierro de 247 cm de longitud, si se desean obtener pedazos de 13 cm cada uno? 2. Se tienen cinco trozos de cadena con cuatro eslabones cada uno. Se desea formar una cadena continua de forma circular con esos trozos. ¿Cuál es el menor número de eslabones que hay que abrir y cerrar? 3. ¿Cuántas estacas se deben colocar en el borde de un rectángulo de 20 m de largo por 10 m de ancho, si entre estaca y estaca deben haber tres metros de distancia? 4. ¿Cuántos postes debemos colocar a lo largo de una calle de 60 m de largo, si entre uno y otro poste deben haber 4 m de distancia? 5. Se ha trozado lana en madeja, logrando pedazos de ocho metros cada uno. Si para esto fue necesario realizar 20 cortes, halla la longitud inicial de lana. 6. Se desea efectuar cortes de cinco metros de longitud de arco, en un aro de 45 metros de longitud de circunferencia. ¿Cuántos cortes se deben efectuar? 7. En una varilla de madera de 196 cm de longitud se colocaron 29 clavos desde el inicio hasta el final. ¿Cada cuántos centímetros se colocaron dichos clavos? 8. Un joyero cobra S/. 25 por partir una barra de oro en dos pedazos. ¿Cuánto se deberá pagar si se desea partirla en seis pedazos?
Colegios
160
TRILCE
9. Se tiene un terreno de forma cuadrada con 336 m por lado. Si deseamos cercar el terreno con estacas colocadas cada 8 m, ¿cuántas estacas necesitaremos? 10. El ancho de un terreno es de 40 m. Si en todo el perímetro se colocan 80 estacas cada 5 m, calcula el largo de dicho terreno. 11. Un terreno rectangular mide 40 m de largo por 14 m de ancho. Necesitamos cercarlo con postes cada 6 m. Si cada poste mide 2 m, ¿cuántos postes se necesitan? 12. Un carpintero para cortar una pieza de madera en dos partes cobra S/. 15. ¿Cuánto cobrará como mínimo para cortarlo en seis partes? 13. Una varilla se ha partido en "n" partes iguales y a un aro en "m" partes iguales. Entonces, el número de cortes que se ha hecho a la varilla menos el número de cortes que se ha hecho al aro es: 14. Se ha formado un triángulo donde en un lado hay seis personas, en el segundo lado hay ocho personas y en el tercer lado hay cinco personas. ¿Cuántas personas hay en total, si en cada vértice hay una persona? 15. Se va a electrificar una avenida de 3 km de largo, con la condición que en uno de sus lados los postes se colocarán a cada 30 m y en el otro lado 20 m. Si los postes se colocan desde que empieza la avenida, ¿cuántos postes se necesitan en total?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Intervalos de tiempo .
En este capítulo aprenderemos a: • • •
Reconocer los intervalos de tiempo y su duración. Aplicar las fórmulas respectivas. Identificar elementos: duración de un intervalo, tiempo en total, número de campanadas, de pastillas, etc.
Cuando tañen las campanas de una iglesia, no se escucha un único sonido prolongado constante y sostenido, se escuchan varios sonidos (Tan, Tan, Tan, Tan,...) a iguales intervalos de tiempo uno de otro. Igualmente, cuando un carpintero golpea con el martillo, los golpes que da se escuchan a iguales intervalos de tiempo; también en el traqueteo de una ametralladora están presentes los intervalos de tiempo, y en muchos otros casos más.
Central: 619-8100
Unidad VII
161
Intervalos de tiempo
Conceptos básicos ¡Presta atención a la siguiente explicación!
Cuando se escuchan dos golpes con el martillo:
1 intervalo de tiempo
Hay 1 intervalo de tiempo Cuando se escuchan tres golpes con el martillo:
1 intervalo de tiempo
1 intervalo de tiempo
Hay 2 intervalos de tiempo Cuando se escuchan cuatro golpes con el martillo:
1 intervalo de tiempo 1 intervalo de tiempo 1 intervalo de tiempo
Hay 3 intervalos de tiempo En general:
Nº de intervalos=Nº de golpes - 1
Nº de campanadas Nº de disparos Ejemplos
Nº de espacios=
Tiempo total Duración de un int ervalo
1. Un carpintero da cuatro golpes con su martillo en seis segundos. ¿Cuánto demora en golpear ocho veces?
Resolución
•
Se sabe que: Nº de intervalos=Nº de golpes - 1, entonces: 4 golpes - 1=3 intervalos → 6 segundos 8 golpes - 1=7 intervalos → "x" segundos
• Resolviendo la regla de tres simple:
x=
Colegios
162
Además, si los espacios son iguales:
TRILCE
(7) (6) =14 segundos 3
Ejemplo
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
También se usa intervalos de tiempo en los siguientes casos
2
1. Cecilia debe tomar una pastilla cada seis horas. ¿Cuántas pastillas tomará en tres días?
Resolución • En 3 días: 3×24 horas=72 horas • Además, como Cecilia debe tomar una pastilla cada seis horas, la duración de un intervalo de tiempo es seis horas, luego: Nº de intervalos= 72 =12 6 • Se sabe que: Nº de intervalos = Nº de pastillas - 1 De donde: Nº de pastillas = Nº de intervalos+1 Luego: Nº de pastillas = 12+1 = 13
Síntesis teórica
es
entre
considerando
Central: 619-8100
Unidad VII
163
Intervalos de tiempo
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Si un reloj da siete campanadas en ocho segundos, ¿en cuántos segundos dará cuatro campanadas? 2. Arturo tocó tres veces una puerta en tres segundos. Si tocara cinco veces, ¿qué tiempo se demoraría? 3. El campanario de una iglesia ha dado 31 campanadas en nueve minutos. ¿Cuántas campanadas ha dado en 180 segundos?
4. Giovanni toma una pastilla cada seis horas. En un día, ¿cuántas pastillas ha tomado, si las debe tomar desde el inicio hasta el final de su medicación? 5. Jorge toma dos píldoras cada cuatro horas. En una semana, ¿cuántas píldoras habrá tomado, si las debe tomar desde el inicio hasta el final de su medicación?
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática
4. Una ametralladora dispara 100 balas en 2 minutos. ¿Cuántas balas disparará en 6 minutos? 5. ¿Cuánto demora la ametralladora en disparar 500 balas?
Luchito está enfermo y el pediatra le ha dicho a su mamá que debe darle una cucharada de jarabe cada seis horas durante cinco días. 1. Entonces, la mamá en un día debe darle .......... cucharadas de jarabe a Luchito. 2. En los cinco días, en total debe darle .............. 6. Ricardo no puede dormir y se pone a contar cucharadas. ovejas. Si contó cuatro ovejas en seis segundos, ¿cuántas ovejas contará en un minuto? 3. Si el frasco tiene contenido suficiente para 24 cucharadas, entonces al final del tratamiento sobran ............ cucharadas. Resolución de problemas
7. Un boxeador golpea una pera de tal manera que da 10 golpes en tres segundos. ¿Cuánto demora en dar 25 golpes a la pera?
Colegios
164
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
8. ¿Cuántos golpes da el boxeador en 24 segundos?
9. El campanario de una iglesia da nueve campanadas en 12 segundos. ¿En cuántos segundos dará 15 campanadas?
13. Para tocar una puerta cuatro veces, Peter ha tardado cinco segundos. ¿Cuánto se tardará en tocar la misma puerta siete veces?
a) 20 d) 22
b) 19 e) 21
c) 18
10. Un reloj da 11 campanadas en cinco segundos. ¿Cuántas campanadas dará en ocho segundos?
a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
c) 17
11. Todos los domingos a las ocho de la noche el sacerdote de una catedral da cuatro campanadas en cuatro segundos. ¿En cuántos segundos dará 13 campanadas?
a) 16 d) 13
b) 17 e) 14
c) 15
12. Un gallo, al amanecer, canta cinco veces en dos minutos. ¿Cuántas veces cantará en siete minutos?
a) 15 d) 12
b) 14 e) 11
a) 11 s d) 7
c) 13
b) 8 e) 10
c) 9
2
14. Si Cristina tiene que darle una pastilla cada media hora a su hijita Valeria que está enferma, ¿cuántas pastillas le dará desde las 2:00 pm hasta las 8:00 pm?
a) 11 d) 10
b) 12 e) 14
c) 13
15. ¿Cuántas pastillas tomará Ángel (que está enfermo con gripe) durante una semana, si toma una cada cuatro horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culminó?
a) 41 d) 40
b) 42 e) 45
c) 43
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Carlos se despierta cuando son las 6:00 am. ¿Cuánto tiempo ha dormido desde el día anterior, si se durmió cuando el campanario de la iglesia sonó durante 10 s desde la primera hasta la última campanada en la noche? Se sabe que tres campanadas demoraron 2,5 s.
a) 6 horas
b) 9
c) 12
d) 10
e) 7
2. Rosaura compra un frasco cuyo contenido tiene cápsulas vitamínicas y tiene que tomarlas durante los tres días que va a hacer deportes, a razón de dos pastillas cada tres horas. Si empezó a tomarlas apenas empezó a realizar deportes, hasta que los culminó, ¿cuántas cápsulas contenía el frasco?
a) 50
b) 48
c) 52
d) 45
e) 49
3. Una campana suena dos veces en "m" segundos y cinco veces en "2m+8" segundos. ¿Cuál es el valor de "m"?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 2
4. Juan, Sandra y Alonso golpean una pared con el puño cada 5; 6 y 8 segundos. Luego de dos minutos, ¿cuántas veces habrán golpeado la pared entre los tres?
a) 57
b) 58
c) 59
d) 62
e) 61
5. Una campana suena "m" veces en "n" segundos y "m+1" veces en "n+4" segundos. ¿Cuántas veces sonará la campana en 40 segundos?
a) 9
Central: 619-8100
b) 11
c) 21
d) 41
e) 6
Unidad VII
165
Intervalos de tiempo 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Una campana en seis segundos da cuatro campanadas. ¿Cuánto demora en dar 12 campanadas? 2. En 20 segundos una campana da siete campanadas. ¿En qué tiempo dará 10 campanadas? 3. Un doctor receta a un paciente dos pastillas cada seis horas. ¿Cuántas pastillas deberá comprar el paciente para cinco días, si las debe tomar desde el instante en que fue recetado? 4. Un reloj da seis campanadas en cinco segundos. ¿En cuántos segundos dará doce campanadas? 5. Una campana tañe cinco veces en 12 segundos. ¿Cuánto demora en tañer 10 veces? 6. Un carpintero da cuatro golpes con el martillo en 10 segundos. ¿Cuántos golpes dará en 20 segundos? 7. Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada ocho horas. ¿Cuántas inyecciones aplicará en dos días, si ello ocurrirá desde el inicio hasta el final del mismo? 8. Cierto boxeador golpea sobre un saco con arena, tardando cinco segundos en dar quince golpes. ¿En cuántos segundos dará ocho golpes?
Colegios
166
TRILCE
9. Un gallo canta cinco veces en ocho segundos. ¿Qué tiempo demora en cantar siete veces? 10. Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada seis horas. Si debe aplicar seis inyecciones, indica el tiempo que debe transcurrir (en horas). 11. ¿Cuántas pastillas tomará un enfermo durante una semana que esté en cama, si toma una cada tres horas? 12. Un carpintero da cinco golpes con el martillo en cinco segundos. ¿En qué tiempo dará 13 golpes? 13. Julio tomó dos pastillas cada ocho horas durante cuatro días. ¿Cuántas pastillas tomó desde el inicio hasta el final de esos cuatro días? 14. Se escuchan ocho campanadas en cinco segundos. ¿Cuánto tiempo se demora en escuchar 15 campanadas? 15. Una ametralladora dispara cinco tiros por segundo. ¿Cuántos disparos hace en un minuto?
www.trilce.edu.pe
UNIDAD VIII
E
Analizando situaciones fraccionarias
n la vida diaria, por donde miremos, estamos rodeados por las fracciones: las diferentes medidas de las botellas de gaseosa: 1 litro, 1 1 litro, etc., las medidas en la respostería: 1 onza, 1 onza; etc., 2 4 8 16 3 1 las diferentes medidas de los tubos en una bicicleta: 1 pulgada, pulgada, etc., las incontables 4 16 piezas en un auto requieren de varias medidas distintas de pernos y tuercas, etc. Con los números enteros no es suficiente para expresar cantidades que muchas veces son muy pequeñas o simplemente no son enteras. Si repartes una pizza entre ocho amigos en partes iguales, ¿cómo representas lo que recibe uno de ellos?
AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar el significado de las fracciones en las diversas situaciones y operaciones. • Elaborar gráficos de fracciones. Resolución de problemas • Aplicar conocimientos básicos en la resolución de problemas. • Realizar procesos y operaciones con los números fraccionarios. Razonamiento y demostración • Estimar resultados con las fracciones. • Interpretar las operaciones realizadas con las fracciones.
Los números fraccionarios y sus aplicaciones
Los números fraccionarios y sus aplicaciones En este capítulo aprenderemos a: • • •
Reconocer la relación entre fracciones. Graficar las fracciones. Aplicar las diferentes reglas para efectuar los números fraccionarios.
Una deliciosa pizza
Esta pizza se ha dividido en ocho partes iguales y se están tomando tres partes, o sea: 3 8
Esta pizza se ha dividido en cinco partes iguales y se están tomando dos partes, o sea: 2 5
¿Cuál de las partes tomadas es mayor?
Colegios
168
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
1
Conceptos básicos Fracción
Es una o varias de las partes iguales en que se divide una unidad. Una unidad puede ser: una hora, una pizza, un grupo de alumnos, un depósito lleno de agua, etc. Ejemplo
Si un depósito lleno de agua se divide en cuatro partes iguales, cada una de las partes se representa: 1 4 123123123123
•
1 4 1 4 1 4 1 4
Elementos de una fracción a
Numerador Raya fraccionaria Denominador
b
El numerador indica las partes que se están considerando de la unidad dividida. El denominador indica el total de partes iguales en que se ha dividido la unidad.
5 8
La fracción 5 significa que se están considerando 5 8 de las 8 partes iguales en que se ha dividido la unidad.
Representación gráfica Consiste en dividir una figura en tantas partes iguales como lo indica el denominador y luego sombrear tantas partes como lo indica el numerador. Ejemplo
Numerador Denominador
123
Ejemplo
Representa gráficamente la fracción 3 en 8 la siguiente figura:
Se divide la figura en ocho partes iguales y se sombrean tres de ellas. Se puede hacer de varias maneras:
⇒
Central: 619-8100
⇒
3 8
⇒
3 8
⇒
3 8
Las partes sombreadas pueden estar juntas o separadas.
3 8
Unidad VIII
169
Los números fraccionarios y sus aplicaciones
Comparación de fracciones
Esta botella está llena hasta los 3 4
Esta botella está llena hasta los 5 7
¿Cuál de las dos tiene mayor contenido? Una forma práctica de comparar es: 21
3 × 4
×
5 7
20
⇒ 21 > 20
Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones: 15 11 ; 19 16 Resolución
Multiplicamos en aspa:
15 19
Luego:
11 16
240 > 209 15 11 > 19 16
Ejemplo
Ejemplo
Se multiplica en aspa y donde salga el mayor resultado se indicará la fracción mayor: 3 > 5 4 7
Operaciones con fracciones I.
Adición de fracciones Hay dos casos: • Fracciones que tienen el mismo denominador. • Fracciones que tienen distinto denominador.
Primer caso: La suma de dos o más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencillo, solo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo: 4 2 6 + = 5 5 5 Segundo caso: La suma de dos o más fracciones con distinto denominador es menos sencilla. Vamos paso a paso:
1º Se obtiene el mínimo común múltiplo de los dos denominadores. 2º Se procede como el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador).
Colegios
170
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
II.
Sustracción de fracciones Hay dos casos: • Fracciones que tienen el mismo denominador. • Fracciones que tienen distinto denominador.
1
Primer caso: La resta de dos o más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, solo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común. 7 2 5 = 9 9 9
Segundo caso: La resta de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso:
1º Se obtiene el mínimo común múltiplo de los dos denominadores. 2º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador).
III. Multiplicación de fracciones Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican "en línea". Esto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. Así por ejemplo:
21 3 7 3×7 × = = 8 2 4 2×4
IV. División de fracciones Para dividir dos o más fracciones, se multiplican "en cruz". Esto es, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (ya tenemos el numerador), y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador). Así por ejemplo: 12
4 ' 3 = 4×9 = 36 = 36 = 12 5 9 5 ×3 15 5 15 5
O también podemos aplicar el criterio de "producto de extremos entre producto de medios", de la siguiente manera: 4 5 3 9
12
36 #= 4 # 9 = = 12 5#3 5 15 5
Operaciones combinadas
Aquí hay que tener mucho cuidado al efectuar las operaciones y sustituir los resultados.
Central: 619-8100
Unidad VIII
171
Los números fraccionarios y sus aplicaciones
Ejemplo
2+1 6 3 Efectúar: 1+ 4 61- 1 4 Resolución: 5 6
2 1 + 3 6 1+ 4 61-
1 4
5 6
=1+ 3 4
6-
4 3 4
= 1+
5 6 6 - 16 3
2 3
=1+
5 6 2 3
=1+ 5 = 9 4 4
5 4
16 3
Síntesis teórica
es
Colegios
172
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
10 x 5 50
1
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Efectúa : 3 + 5 4 8 2. Efectúa : 8 - 5 3 4 3. Efectúa : 12 # 10 5 3
4. Efectúa : 12 5 4 5. Efectúa : 1+ 1 2 1 1 2
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática I. Relaciona la parte sombreada de la figura con la fracción respectiva:
1
a
2a
9.
a
Fracción
Figura a a a a a
3 5 5 8
2
3
III. Determina qué fracción de la figura está sombreada, en casa caso:
a
a
a
a
a 10.
a
a
a
a
a a
1 2
11.
2 9
4
II. Coloca en el espacio en blanco el símbolo: >; <; = ; según corresponda:
a
a a
a a
a
12. r r
r r
r
r
5.
3 4
5 8
6.
6 11
4 7
IV. Sombrea 1 de la figura en cada caso: 3
7.
4 12
6 18
13.
8. 12 18
6 9
Central: 619-8100
rr r
Unidad VIII
173
Los números fraccionarios y sus aplicaciones
14.
AB : Diámetro r
A
19. Efectúa las siguientes divisiones:
• 12 ' 5 5 8
3 4 5 9
B
15.
•
• 6 ' 4 7
20. Efectúa las siguientes operaciones:
Resolución de problemas 16. Efectúa las siguientes sumas:
• 5 + 3 8 4
• 12 + 8 5 5 • 8 - 4 3 5
• 3 - 1 4 8
• 12 × 7 3 5
• 24 # 15 5 4
1+
1 1+4 1
1+
c
1
1+ 1 2
2' 1 1- 1 mc m 3 2 3 6 21 2
•
1+ 1+ 1 1 1 1 3 7 5 • 2 3 3 + 5 2 3
• 6 - 1 7 2
• 15 # 8 4 3
1
18. Efectúa las siguientes multiplicaciones:
•
• 8 + 4 11 7
17. Efectúa las siguientes restas:
•
1+ 1 + 1 R 1 S 1 1 HS 1 - 1 • >1 3 4 5 S 1+ 1 S 2 T
V W W WW X
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Efectúa: 3+5- 1 1 7 2 6 18 5 8 # c + m ' 5 7 7 2+ 5 - 1- 3 +1 3 12 4 24 9 2. Efectúa: 3#4' 3 +2-1 5 10 9 6 8 #23 ' 1 6 + 1-1 2+ 4+ 7 4 3 c mc m 15 6 5 3 9 12
4. Efectúa:
5. Efectúa:
3. Efectúa:
1 25 + 1 - 5 3 2 1 3' 5 4 7 # 9 # 3 1 # 37 10 2 25 2 3 2+ + 1 1 2+ 3+ 2 3
Colegios
174
TRILCE
1 1 7 2 -c + 5 m 8 8 12 N J J N 1+ 1O K 5 O K 5 K1 + O' 1 + O 5 O KK K 1+ 1O 5P L P L
1 J N K O 24 K1 - 1 O + 1 K O 36 48 + 7 + 26 O 4 K c m 1 35 O 9 K 2 K O KK 3 OO 7 + 20 12 L P
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemรกtico Razonamiento Matemรกtico 18:10:45
1
soPractica cisรกb soten peccasa noC 1. 1 ' c 1 + 1 m 2 3 4 2. c 5 - 1mc 7 - 2m 3 2 3. c 3 + 1 m ' c 5 + 1 m 4 2 3 6
4.
5.
1+ 1 1- 1 mc m 2 3 5 10 11. 1-1 4 8 c
3 5 12. ' 3 2 5 2
3 5 1 2 3+ 1 2 4 5-1 6 3
3+1 2 6. 4 1 11- 1 2
7.
51+1 1 4 10. 2 2-1 3 6 2
5# 8 3' 2
4 5 1 4
5 -1 3 8. 2- 1
11+1 1 3
13.
4
11 8 1+
1
1+ 1 2
3-1 14. 4 2 ' 5 3+1 8 4 2
5 1 3+1 c mc m 3 15 5 3 15. 1 3 1 c1 + mc - m 2 2 3
1+ 1 2
9.
1 2 2 3 4
Central: 619-8100
Unidad VIII
175
Situaciones básicas en las fracciones
Situaciones básicas en las fracciones .
En este capítulo aprenderemos a : • • •
Calcular la fracción de una cantidad. Calcular qué parte o fracción de una cantidad es otra cantidad. Comparar dos fracciones para averiguar cuántas veces una fracción está contenida en otra fracción.
Mezclando con cantidades fraccionarias Mathías necesita 3 2 L de pisco para preparar un pisco sour y vacía 2 1 L y 1 1 L en una jarra. ¿Le 3 2 4 alcanzará? ¿Le faltará? ¿Cuánto?
Colegios
176
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Conceptos básicos
El depósito tiene una capacidad de 40 litros pero solo están llenos los 3 . ¿Qué parte está lleno del 5 depósito?
Resolución
Para hallar la fracción de una cantidad, basta multiplicar la fracción por la cantidad. Entonces, en el depósito hay: 3 ×40 L = 24 L 5
Ejemplo
Ejemplo
Fracción de una cantidad
Parte o fracción de una cantidad es otra cantidad
Tengo que viajar 36 km y ya recorrí 20 km. ¿Qué parte de 36 km es 20 km?
Para hallar qué parte o fracción de una cantidad "A" es otra cantidad "B", se forma la fracción: B A 20 km 5 Entonces se forma la fracción: = 36 km 9
Tenía 24 soles y gasté 18 soles, responder:
• •
Resolución
•
•
¿Qué parte de lo que tenía es lo que gasté? ¿Qué parte de lo que gasté es lo que no gasté?
18 Gasté 3 = = 24 Tenía 4 1 6 No gasté 24 - 18 = = = 18 18 3 Gasté
Central: 619-8100
Ejemplo
Resolución
Ejemplo
Unidad VIII
177
Situaciones básicas en las fracciones
Cuánto le sobra a una cantidad respecto a otra cantidad
¿Cuánto le sobra al tornillo "A" comparado con "B"?
B
A
2 1 pu lg 4
1 1 pu lg 8
Resolución Para hallar lo que le sobra a una cantidad respecto a otra cantidad, se restan las cantidades. Por lo tanto: 2 1 - 1 1 = 9 - 9 = 1 1 pu lg ada 8 4 8 8 4 Cuánto le falta a una cantidad respecto a otra cantidad
¿Cuánto le falta al matraz para llenarse?
Resolución:
1
1 L 2
14243
3L 4
Para hallar lo que falta a una cantidad respecto a otra, se restan las cantidades. Por lo tanto: 11- 3 = 3 - 3 = 3L 2 4 2 4 4
Cuántas veces una cantidad está contenida en otra cantidad
Se necesita 4 1 litros de leche, pero solo venden botellas de 1 litro. 2 2
¿Cuántas botellas se deben comprar?
Resolución
Para hallar cuántas veces una cantidad está contenida en otra, hay que dividir las cantidades. Por lo tanto: 9 41 2 = 2 = 9 botellas 1 1 2 2
Colegios
178
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Síntesis teórica
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. En un salón hay 22 hombres y 24 mujeres. ¿Qué parte del salón son las mujeres? 2. En una balanza se coloca, en un lado, una pesa de 2 1 kg, y en el otro una pesa de 3 kg. 4 4 ¿Cuánto falta para equilibrar la balanza?
4. ¿Qué parte del día ha transcurrido a las 3 pm? 5. Fernando estudia 1 del día. ¿Cuántas horas 8 estudia Fernando?
3. ¿Cuántos paquetes de 1 kg de mantequilla se 4 necesitan para tener 3 kg?
Central: 619-8100
Unidad VIII
179
Situaciones básicas en las fracciones
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática Completa: 1. Una señora compró .................... kg de arroz y preparó 3 kg. Todavía le quedan 2 1 kg. 4 2 5 2. En un depósito había 250 L de agua. Se extrajeron .................... y ahora quedan . 9 2 3. César tenía .................... soles, gastó los y todavía le quedan 60 soles. 5 2 4. Arranqué los de las hojas de un libro y luego arranqué 1 y todavía me queda .................... de las 3 9 hojas. 5. César tiene 18 años pero se aumenta la edad en 1 , entonces, dice tener .................... años. 3 Resolución de problemas I
tortas de igual tamaño, una de piña y otra de manjar. La de piña la dividió en 24 trozos iguales y la otra, en 12 trozos iguales. Don Juan comió tres pedazos de torta de piña y dos de manjar. ¿Comió lo mismo de ambas?
1. Andrea compró una docena de huevos en un almacén. Al llegar a su casa se cayó y solo quedaron cinco huevos enteros. ¿Qué fracción de los huevos no se quebró? 2. Un ciclista gira diariamente 30 vueltas a una pista. Ayer, mientras hacía su rutina, comenzó una gran lluvia y solo alcanzó a pedalear 13 vueltas. ¿Qué fracción de lo que normalmente recorre alcanzó a hacer? 3. Un micro realiza el mismo recorrido siete veces al día. Debido a la congestión vehicular hoy solo recorrió cinco veces su ruta. ¿Qué fracción de su recorrido habitual logró hacer? 4. En una competencia, Juan ganó 15 bolitas. Si regaló tres de ellas a su hermano menor, ¿qué fracción de las bolitas que había ganado, regaló? 5. En un almacén tenían 100 agendas para vender. Si vendieron solo 78 agendas, ¿qué fracción del total vendieron? 6. Francisca tomó una bebida de medio litro y María tomó dos bebidas de un cuarto de litro cada una. ¿Tomaron ambas la misma cantidad de líquido? 7. Dos ciclistas deben recorrer un circuito. Si el primero ha recorrido dos tercios de este y el segundo, cuatro sextos, ¿han recorrido hasta ahora la misma distancia? 8. En la especialidad de alimentación se preparan tortas para una recepción. Susana preparó dos
Colegios
180
TRILCE
9. Marcos y Luis deben llevar papas fritas para una fiesta. Marcos lleva 3 de kilo y Luis lleva 4 4 , ¿llevan ambos la misma cantidad? 5 10. Una porción de comida alcanza para alimentar a dos tigres, y una porción igual es suficiente para seis zorros. ¿Comen lo mismo un tigre y dos zorros? Resolución de problemas II 11. Si tengo $ 6000 y perdí $2000, ¿qué parte de lo que tenía perdí?
a) 2 3 d) 1 4
b) 1 3 e) 2 3
c) 1 2
12. ¿Cuánto es los 3 de 30 más los 2 de 200? 5 10
a) 58 d) 56
b) 57 e) 60
c) 59
13. De $1000 pierdo 1 , luego me roban $150. 5 ¿Cuánto me queda?
a) $650 d) 640
b) 660 e) 655
c) 670
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
14. ¿Cuánto le falta a 60 para ser igual a los 2 de 5 400?
a) 200 d) 100
b) 150 e) 80
c) 120
a) 600 d) 380
b) 500 e) 450
c) 550
16. Si tengo 1 de 3 de 8 de S/. 360, ¿cuánto me 4 2 6 falta para tener S/. 630?
a) S/. 400 d) 380
b) 500 e) 450
c) 550
17. Debo $3000 y pago 4 de $1000. ¿Cuánto me 5 falta pagar?
a) $2300 d) 2500
b) 2400 e) 2100
15. ¿Cuánto le sobra a 2000 respecto a los 5 de 3 los 3 de 600? 2
18. ¿Qué parte de 3600 son los 2 de 600? 3 a) 1 9 d) 5 9
b) 2 9 e) 4 9
2
c) 1 3
19. ¿Cuánto pierdo cuando vendo los 2 de los 9 5 10 de lo que me ha costado S/. 50 000?
a) S/. 32 000 d) 32 500
b) 33 000 e) 31 500
c) 31 000
20. Una persona tiene derecho a recibir los 7 de 20 $2000. Si cobra 1 de 1 de $2000, ¿cuánto le 2 4 deben?
a) $ 430 d) 455
b) 440 e) 450
c) 460
c) 2200
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Una propiedad es de dos hermanos: la parte del primero es 7/16 de la propiedad y el valor de la parte correspondiente al otro hermano es S/. 63 000. ¿Qué valor tiene la propiedad?
4. En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes?
a) S/. 120 000 c) 108 000 e) 140 000
b) 150 000 d) 112 000
2. Se extraen 400 l de un tanque que estaba lleno hasta sus 2/3, quedando hasta sus 3/5. ¿Cuántos litros faltan para llenar el tanque?
a) 3600 d) 2400
b) 6000 e) 2000
c) 1200
3. Un cartero dejó 1/5 de las cartas que lleva, en una oficina, y los 3/8 en un banco. Si aún le quedaban 34 cartas para distribuir, ¿cuántas cartas tenía inicialmente?
a) 60 d) 90
Central: 619-8100
b) 70 e) 100
a) 22 d) 20
b) 28 e) 4
c) 2
5. Se distribuyen 300 litros de leche entre tres depósitos, en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo, hasta los 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros?
a) 1 6 d) 1 3
b) 1 2 e) 3 4
c) 2 3
c) 80
Unidad VIII
181
Situaciones básicas en las fracciones 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Doña Juana quiere comprar un pote de mantequilla de 3 de kilo. Si en el mercado 4 solo encuentra potes de 1 de kilo, ¿cuántos 8 potes deberá comprar? 2. Manuel quiere comprar 1 kilo de jamón. Si en 2 el supermercado solo venden paquetes de 1 8 de kilo, ¿cuántos paquetes deberá comprar? 3. Catalina necesita 3 de litro de amoniaco. Si en 5 la farmacia solo venden frascos de 1 de litro, 10 ¿cuántos de estos deberá comprar? 4. Juan y Ramón trabajan en turnos consecutivos en una fábrica que funciona sin parar. Juan trabajó 1 del día; y Ramón 1 del día. ¿Qué 3 5 parte del día cubrieron entre ambos? 5. Paulina decidió atender a sus amigos haciendo sándwich con dos tipos de pasta, para lo cual compró dos panes de molde. La pasta de jamón solo le alcanzó para preparar 1 de un 8 pan de molde, en cambio, la pasta de queso le alcanzó para 1 del otro pan. ¿Cuánto pan de 6 molde ocupó en total? 6. Se instala un nuevo vertedero municipal que será rellenado con capas. Al cabo de un año, se ha rellando 1 de su capacidad. Por 50 motivos ecológicos, se hace una investigación y se determina que 1 de su capacidad está 75 ocupado por basura reciclable. ¿Qué fracción de la capacidad del vertedero se habría ocupado si solo se vertiera basura no reciclable? 7. Un tren de tres vagones lleva en cada uno de ellos 1 de su capacidad de pasajeros. Si 7 juntamos a todos los pasajeros en un solo carro, ¿qué parte de la capacidad del carro llenamos? 8. Ricardo pasa 1 del día en el colegio. De esa 3 parte, 5 está en la sala de clases, y el resto de 8 Colegios
182
TRILCE
tiempo está en recreo. ¿Qué fracción del día pasa Ricardo en la sala de clases?
9. Javier quiere ser concertista. Él permanece despierto 3 partes del día y dedica 2 partes 4 9 del tiempo que está despierto a practicar piano. ¿Qué fracción del día toca piano Javier? 10. Daniela demora 4 de hora en llegar al colegio. 5 De ese tiempo, 1 camina y 3 anda en bus. 4 4 ¿Qué fracción de hora camina Daniela desde su casa al colegio? 11. Pedro tiene que repartir 8 m3 de arena en sacos de 1 de m3. ¿Cuántos sacos alcanzará a llenar 5 Pedro? 12. En un restaurante deben repartir 3 de litro 8 de ají en envases de 1 de litro cada uno. 16 ¿Cuántos platitos lograrán llenar? 13. Tengo una botella de 2 1 litros llena de agua 2 mineral y quiero vaciarla en una botella vacía de 1 1 litro. ¿Cuánto quedará en la botella 4 luego de efectuar la operación? 14. Una empresa está a cargo de la pavimentación de un camino suburbano. La primera semana pavimenta 1 del camino, la segunda semana 3 pavimenta la mitad del camino, pero el trabajo no quedó bien hecho, por lo que la tercera semana debe demoler la tercera parte de lo que estaba pavimentado. ¿El pavimento de qué fracción del camino fue necesario demoler? 15. Un taxista gastó 1 1 del tanque de gasolina 2 entre el lunes y el jueves, el viernes tuvo que llevar a varios pasajeros al aeropuerto y ocupó 3 del tanque en esos viajes. Si ocupa otro 4 tanque más el fin de semana, ¿cuántos tanques de gasolina usó esta semana el taxista?
www.trilce.edu.pe
UNIDAD XI
Usando símbolos y gráficos en la Matemática
AprendiZajes esperados AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar el significado de los operadores en las diversas situaciones y operaciones matemáticas. • Elaborar gráficos estadísticos. Resolución de problemas • Aplicar conocimientos básicos en la resolución de problemas. • Realizar procesos y operaciones con los operadores matemáticos. Razonamiento y demostración • Estimar resultados con los gráficos estadísticos. • Interpretar las operaciones realizadas con los operadores matemáticos.
Operaciones matemáticas arbitrarias
Operaciones matemáticas arbitrarias .
En este capítulo aprenderemos a: • •
Utilizar fórmulas y tablas. Realizar cálculos operativos indicados en las fórmulas.
Los diferentes símbolos que hay en una calculadora se llaman operadores e indican operaciones matemáticas universales. Mediante procedimientos establecidos en la memoria interna de las calculadoras, se relacionan las cantidades introducidas con su resultado. ¿Puedes averiguar qué operación indica: ln ?
Potencia cúbica
Número combinatorio
Raíz cuadrada
Logaritmo vulgar
? Por Entre Más Menos
Colegios
184
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático
1
Conceptos básicos Operaciones arbitrarias
Operación matemática Es un procedimiento que asigna a una o más cantidades, otra cantidad llamada resultado, aplicando ciertas reglas establecidas. Ejemplo
se le asigna
25+13
o icand apl
ciertas re
glas
38
El símbolo que se emplea para indicar una operación se llama: operador matemático.
Sabías que...? Hay dos clases de operaciones.
Las operaciones pueden ser:
I. Operaciones universales Son aquellas donde el procedimiento seguido para hallar el resultado, es conocido por todos.
Ejemplo: Halla el resultado de la siguiente multiplicación: 38×42
Resolución El procedimiento es:
3 4 2×38 → 7 4×38 → 1 5 2 1 5 9
8× 2 6 6
Rpta.: 1596
Las operaciones universales son: Nombre Adición
+ (más)
Sustracción
- (menos)
Multiplicación
× (por)
División
÷ (entre)
Potenciación
No tiene
Radicación
Central: 619-8100
Operador
(raíz)
Unidad VIII
185
Operaciones matemáticas arbitrarias
Si: a#b = 2a+b2 123 Fórmula (regla de definición) Operador
Halla: 5 # 3
Resolución
•
Ejemplo
Ejemplo
II. Operaciones arbitrarias Son aquellas donde el procedimiento seguido para hallar el resultado, tiene que establecerse con una fórmula o una tabla. Los operadores que emplean estas operaciones, son símbolos arbritarios.
Reemplazamos: a=5 y b=3 a b ↓ ↓ 5 # 3 = 2×5+32 = 10+9 = 19
Síntesis teórica
son
definidas
como
Colegios
186
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático 10 x 5 50
1
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 3. Si: m∆n= (m+n)(n+2m) halla: 3∆2
1. Si: a = a2 - 9 halla: 4 -4
4. Si: x # y=xy - x y halla: 8 # 2
2. Si:
@ 1 2 3 4
1 2 3 4 1
2 3 4 1 2
3 4 1 2 3
4 1 2 3 4
5. Si: C D = 3C - 2D 3) -4 halla: (5
halla: (2@3)@(4@1)
Conceptos básicos Aprende más... 1. Calcula: 7*1, sabiendo que: m*n=5(m+n) - 5(m - n)
a) 11 d) 18
2. Si:
y
b) 16 e) 13
6. Se define el operador "#" en el conjunto: A={1;2;3;4} mediante la siguiente tabla: # 1 2 3 4
c) 10
=5y+1
Halla el valor de:
a) 17 d) 62
1
b) 16 e) 31
S=
2
Calcula el valor de: 1 + 2
a) 8 d) 15
b) 10 e) 9
c) 13
4. Sabiendo que: x =2x+7 Calcula:
1
a) 57 d) 55
a) 92 d) 114
Central: 619-8100
3 1 2 3 4
4 2 3 4 1
(2#4)#(3#1) (4#3)#2
a) 1 2 d) 1 3
b) 1 4 e) 2 y = x2+y2
7. Sabiendo que: x
Calcula: (5
a) 742 d) 845
c) 3
1)
( -3
2)
b) 901 e) 615
c) 118
8. Se define el operador "*" en el conjunto: A={1;2;3} mediante la siguiente tabla: b) 25 e) 47
c) 37
5. Si: a#b = (a+b)2 - (a - b)2 Halla: (2 #1) #3
2 4 1 2 3
El resultado de efectuar:
c) 18
3. Si se sabe que: z = z +z+1
1 3 4 1 2
b) 111 e) 120
c) 96
* 1 2 3
1 3 2 1
Halla: (3*2)*(2*1)
a) 1 d) 1 ó 2
2 1 3 2
b) 2 e) 2 ó 3
3 2 1 3 c) 3
Unidad VIII
187
Operaciones matemáticas arbitrarias
9. Si: m n= 5m - n Halla: (2 1) (- 2)
a) 47 d) 100
13. Calcula: 5 2, sabiendo que: x y= (x+y)2 + (x - y)2
b) 45 e) 104
c) 94
10. Si se sabe que: M ∆ N = MN - 1 Halla: (3 ∆ 2) ∆ 2
a) 64 d) 15
b) 24 e) 35
a) 12 d) 84
c) 63
b) 48 e) 81
a) 8 d) 12
b) 16 e) 70
b) 10 e) 0
Halla: (5*1) ∆ (2*1)
a) 26 d) 15
15. Si: p c) 62
12. Si: a # b=ab Halla: (1#0) # (2#1)
a) 51 d) 69
c) 58
14. Se sabe que: a*b=2a - b m∆n=(m+1) (n - 1)
11. Si se sabe que: a Y b=(a+1)(b+2) Halla: 5 Y (3Y1)
c) 3
b) 20 e) 10 q=
c) 12
p +2 q
Halla: (8
2)
(3
3)
a) 4 d) 2
b) 6 e) 1
c) 8
a) 25 d) 30
b) 35 e) 40
c) 45
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si: p =2p+3
halla:
1
4. Se define:
a) 62 d) 63
b) 60 e) 61 y= 4x - 7y
2. Se define: x
Halla "m" si: m
6=-2
a) 9 d) 7
b) 8 e) 6 a
x
21 =
5
188
Calcula: (2*1) * (1*2)
a) 25 d) 30
b) 32 e) 34
5. Se define:
b Halla el valor de "x" en:
Colegios
mθn=
=a+b b
TRILCE
c) 10
m2 - n2; si "m" es par m2+n2; si "m" es impar
Calcula: E=
a) 1
d) 1 2
c) 36
mn; si: m<n m+n; si: m≥n
123
3. Se sabe que:
c) 59
m*n=
123
(7 θ 5) θ (3 θ 4) (2 θ 3) θ (5 θ 1) b) 1 4
c) 4
e) 2
3
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático 18:10:45
1
soPractica cisáb soten peccasa noC 7. Se define el operador " " en el conjunto: A={2;5;8} mediante la siguiente tabla:
1. Si: L
R
S
=L + R + S L-R-S
Calcula el valor de: 9
2
5
y= x2 + y2
Halla la siguiente expresión:
(3
4)
12
3. Dos operaciones se definen de la siguiente manera: a * b=a - b m ∆ n= m +1 n
Calcula el valor de la expresión "P" en: P=(18*12) ∆ (23*20)
4. Dadas las siguientes operaciones definidas como: x y= 3x - 4y a b=2a+5b Según lo anterior, halla: (7 5) (9 6) 5. Se define la operación: a b=ab+b - a Halla "x" en: 5 x=(7 4) 10 6. En el conjunto: A={m; n; p; q} se define el operador " " mediante la siguiente tabla:
Calcula:
m
n
p
q
m n n p p q q m
p q m n
q m n p
m n p q
E=
Central: 619-8100
(m4n) 4 (q4p) (q4p) 4 (n4n)
2 5 8 8 5 2 5 2 8 2 8 5
Halla el valor de: L=
8. Si:
2. Se define: x
2 5 8
(2 5)+(8 2) [(8 5) 2]+(5 2) A
B
C = AB - C
Halla: 1
2
1 + 3
2
2
9. Si: A ∆ B = 3A - AB; calcular: [( - 2) ∆ ( - 5)] ∆ [( - 1) ∆ (+3)] 10. Siendo "#" una operación definida por: x # y = x2 - y3 Calcula: [( - 1) # ( - 2)] # [( +1) # (+2)] 11. Si: a ∆ b=5a - 3b Calcula: (5 ∆ 2) ∆ (3 ∆ 1) 12. Si: x * y= 3y - x; si: x ≤ y x * y= 3x - y; si: x>y Calcula de izquierda a derecha: 7*3*20*16 13. Si: x # y = x+y x * y = x+2y Halla: F=[(3#2)#7] * [(-3)*(-2)] 14. Sean las operaciones "∆" y "•" definidas en como: a ∆ b = 7a - 3ab+b2 a • b = a - b Calcula el valor de: [(-5) • (+3)] ∆ [(+3) ∆ (-2)] 15. Si: x%y=(x+y)(xy) Calcula el valor de: ( -1) % (-2)
Unidad VIII
189
Gráficos estadísticos
Gráficos estadísticos .
En este capítulo aprenderemos a: • • •
Interpretar datos numéricos presentados en los cuadros estadísticos. Relacionar los datos de un cuadro para sacar conclusiones. Aplicar operaciones al relacionar los datos de un cuadro estadístico.
¿Quién es, para ti, el superhéroe más poderoso? Se preguntó a un grupo de 133 personas por el superhéroe de su preferencia, es decir, a quién creen el más poderoso. Los resultados están al pie de cada imagen. ¿Cuál de los superhéroes resultó más popular y, supuestamente, es el más poderoso? En la imagen se observa que fue el CHAPULÍN COLORADO, con 48 votos. Los gráficos estadísticos permiten presentar de manera ordenada y atractiva la información obtenida en una recolección de datos. En el gráfico, el orden en que se presentan los personajes y su tamaño nos hace ver, de inmediato, que el CHAPULÍN COLORADO es el héroe más poderoso, aun sin ver el número de votos que tiene. ¿Quién es el superhéroe menos poderoso?
Los superhéroes
Gokú 2 votos
Colegios
190
TRILCE
Ben 10 21 votos
Spiderman 22 votos
Superman 34 votos
Chapulín colorado 48 votos
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Conceptos básicos Gráficos estadísticos
Los gráficos estadísticos son una manera visual de representar la información obtenida en una recolección de datos.
En el recreo En la cafetería del colegio TRILCE, durante el recreo, los alumnos hacen los siguientes pedidos:
• Sándwich de pollo..................... 28 • Sándwich de jamón................... 12 • Margarita ........................ 30
• Cua - Cua • Churro • Sublime
........................ 25 ........................ 16 ........................ 18
Empleando un gráfico estadístico, la presentación será:
Sándwich de pollo
Cua - Cua
25
28
30
Churro
16
Sublime
18
Central: 619-8100
Margarita
12 Sándwich de jamón
Unidad IX
191
Gráficos estadísticos
Clases de gráficos Gráfico de barras Es un conjunto de rectángulos colocados uno al lado del otro, donde su tamaño indica a la cantidad representada. Ejemplo
ASISTENCIA DURANTE LA SEMANA Nº Alumnos
176 164
Ejemplo
152 136 118
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Día
De acuerdo al gráfico, responde: 1. ¿Qué día de la semana se registró la mayor asistencia? 2. ¿Qué día de la semana se registró la menor asistencia? 3. ¿Cuál es la diferencia entre la mayor y menor distancia?
Respuestas: 1. El día de la semana en que se registró la mayor asistencia, fue miércoles, con 176 alumnos. 2. El día de la semana en que se registró la menor asistencia fue viernes, con 118 alumnos. 3. La diferencia entre la mayor y menor asistencia es: 176 - 118 = 58 alumnos Gráficos lineales Los gráficos lineales o poligonales, son aquellos que emplean líneas quebradas (poligonales) para hacer sus representaciones. Ejemplo
TEMPERATURAS DURANTE EL DÍA Temperatura (ºC)
30
Ejemplo
25
20
15
Colegios
192
0
3
6
9
12
15
18
21
24
Horas
De acuerdo con el gráfico, responde: 1. ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora fue? 2. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿A qué hora fue? 3. ¿Cuánto subió la temperatura desde las 9:00 hasta las 13:00?
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
Respuestas: 1. La temperatura máxima fue 29ºC y se registró a las 15:00. 2. La temperatura mínima fue 18ºC y se registró entre la 1:00 y las 2:00. 3. A las 9:00 la temperatura fue 21ºC y a las 13:00 fue 26ºC, entonces, la temperatura subió: 26ºC - 21ºC = 5ºC
AUTOS VENDIDOS - MES ABRIL
Nissan 21 VW 24 Hyundai 32
Toyota 34 Mercedes Benz 18 Ford 22
Otros 20
Ejemplo
Gráficos circulares Los gráficos circulares toman al círculo como la representación de la totalidad de las cantidades consideradas y cada parte en que está dividido representa a una de ellas. Ejemplo
De acuerdo con el gráfico, responde: 1. ¿Cuántos autos fueron vendidos durante el mes de abril? 2. ¿Qué parte de las ventas totales, corresponde a VW?
Respuestas 1. El total de autos vendidos es: 24+21+34+18+20+22+32=171 2. La parte correspondiente es: VW
Total
Central: 619-8100
24 8 = 171 57
Unidad IX
193
Gráficos estadísticos
Síntesis teórica GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
como
300
S/.
200
70 60
180
150
40
160
Wáfers 14%
50
150
Chiclets 7%
Chocolates 23%
140
Caramelos 6%
Cant. minutos
10
Ventas Marzo - Diciembre
Gomitas 18%
250
Galletas 32%
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos Gráfico 1
Gráfico 2 80
Alumnos 60 40
Temperatura (ºC)
70 50 50 30 20
1º
2º Aprobados
3º
4º
Bimestre
Desaprobados
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8am 9 10 11 12 1
2 3
4
5
6
Hora 7 8pm
1. De acuerdo con el gráfico, ¿en qué bimestre la 3. De acuerdo con el gráfico, ¿a qué hora la cantidad de alumnos aprobados y desaprobados temperatura se mantuvo constante? fue la misma? 2. ¿En qué bimestre se registró la mayor diferencia entre aprobados y desaprobados?
Colegios
194
TRILCE
4. ¿A qué hora se registró la temperatura más baja?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Gráfico 3
2
Un grupo de 100 alumnos ha escogido los siguientes deportes: Béisbol: 15
25:Fútbol
Atletismo: 10 Golf: 5 Tenis: 5
30:Básquet
Otros
5. ¿Cuántos alumnos prefieren fútbol, básquet o béisbol?
Conceptos básicos Aprende más... Gráfico I El siguiente gráfico muestra a las personas matriculadas en un curso de Matemática en los últimos tres años:
3. ¿Cuánto gastó en los tres primeros días? 4. ¿Cuánto gastó en la semana? 5. ¿Cuánto más gastó el martes que el lunes?
Personas matriculadas
6. ¿Qué día gastó más?
120 90 60
2008
2009
2010
Año
1. ¿Cuántos alumnos llevaron el curso en los últimos tres años? 2. ¿Cuál fue el aumento en las matrículas del año 2009 respecto al 2008? Gráfico 2 La gráfica muestra el gasto de un alumno en una semana: Gasto (S/.)
Gráfico 3 El gráfico siguiente muestra las notas mensuales de Luis y Elena en los meses de abril a noviembre, correspondientes al curso de Razonamiento Matemático. Nota 20 18 16 14 12 10 08
Elena Luis
A M
J
J
A
S
O N D
Mes
7. ¿Cuál fue la nota más baja obtenida por Elena?
20
8. ¿Cuál es el mes en el que obtuvieron la misma nota ambos estudiantes?
15 12 10
9. ¿Cuál fue la calificación obtenida por Elena el mes en que Luis obtuvo su mínima nota?
6
Día
s les ueves iernes Lunes Marte Miérco J V
Central: 619-8100
Unidad IX
195
Gráficos estadísticos
Gráfico 4 La relación entre la estatura de un hombre promedio y su edad es mostrada en el siguiente gráfico: Estatura (cm)
15. ¿Cuál fue la ciudad con mayor cantidad de turistas?
175 150 100 64 40
a) Cusco c) Ayacucho e) Arequipa
b) Iquitos d) Tumbes
16. ¿Cuántos turistas visitaron Cusco o Iquitos?
10. ¿Cuánto mide en promedio un hombre cuando nace?
a) 120 b) 160 c) 150 d) 180 e) 140 17. Si los que visitaron Ayacucho fueron tantos como los que visitaron Tumbes, ¿cuál es esta cantidad?
Edad (años) 3
9
14
a) 20 cm d) 50
b) 30 e) 80
19
c) 40
11. ¿Cuánto mide a los tres años?
a) 60 cm d) 58
d) 64 e) 70
a) 19 años d) 20
b) 16 e) 17
c) 56
a) 70 cm d) 84
b) 80 e) 90
TV 36
c) 100
a) 13 años d) 14
b) 12 e) 17
c) 10
Gráfico 5
TV 48
Equipo Sonido DVD 24 42 Home Theater 28
c) 15
14. Si un hombre promedio midiera 150 cm, ¿qué edad tendría?
c) 20
VENTA DE EQUIPOS ELECTRÓNICOS
13. ¿Cuántos centímetros mide a los nueve años?
b) 15 e) 30
Gráfico 6
12. ¿A partir de qué edad la estatura de una persona permanece constante?
a) 10 d) 25
ABRIL
Equipo Sonido DVD 66 44 Home Theater 68
MAYO
18. ¿Cuántos TV más se vendieron en mayo respecto al mes anterior? 19. ¿En qué mes la diferencia de DVD y TV vendidos fue mayor? 20. ¿Cuál es la diferencia entre los equipos de sonido vendidos en mayo y los TV vendidos en abril?
Visita de turistas Iquitos 60 Cusco 90
Ayacucho
Tumbes
Arequipa 50
Total: 240 personas
Colegios
196
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
2
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC Gráfico
Temperatura(ºC) 40
A
35
B
30 25
C
20 15 10 9am 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
Hora
Variación de la temperatura en tres ciudades
1. ¿Entre qué horas las ciudades "A" y "B" se mantienen con la misma temperatura?
4. Considerando las mínimas temperaturas para las ciudades "A", "B" y "C", determina la relación correcta entre las ellas.
a) Entre las 2 y las 3 pm b) Entre las 3 y las 4 pm c) Entre las 6 y las 7 pm d) Entre las 10 y las 11 am e) Entre las 9 y las 10 am
2. ¿A qué hora se registró la mayor temperatura de la ciudad "C"?
a) 3 pm d) 5 pm
b) 1 pm e) 11 am
c) 2 pm
3. Mientras que en la ciudad "A" se registra la mayor temperatura, la ciudad "C" registra también su máxima temperatura. En ese instante, ¿cuál es la diferencia de temperaturas en ambas ciudades?
a) 40 ºC d) 15 ºC
a) tA=tB < tC c) tA=tC>tB e) tA= tB= tC
b) 30 ºC e) 20 ºC
c) 10 ºC
b) tA<tC<tB d) tB>tA>tC
5. ¿A qué hora la diferencia entre las temperaturas de las ciudades "B" y "C" es nula por segunda vez?
a) 9 am d) 2 pm
b) 6 pm e) 12 m
c) 5 pm 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos
Temperatura (ºC)
Gráfico 1 • La gráfica corresponde a las temperaturas tomadas cada hora durante un día en una ciudad.
1. ¿Cuál fue la temperatura máxima?¿A qué hora fue?
30
2. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿A qué hora fue?
25
3. ¿Cuánto subió la temperatura desde las 6 am hasta las 11:00 am?
20
15
2
4
6 am
Central: 619-8100
8 10 12 2 Medio día
4
6 pm
8 10 12 Media noche
Unidad IX
197
Gráficos estadísticos
Gráfico 2 • El siguiente es un diagrama elaborado con las estaturas en centímetros de un grupo de estudiantes. Estudiantes
8. La producción del mes de abril representa la mitad de la producción del mes de: 9. ¿En cuál de los tres trimestres hay una mayor producción? Gráfico 4
6
HOSPITAL DE LA SOLIDARIDAD
5
Número de personas
4 3 2 1
cm 120 130
140
150 160
170 180
4. ¿Cuántos estudiantes tienen entre 140 y 150 cm? 5. ¿Cuántos estudiantes miden más de 150 cm?
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Gráfico 3 En la siguiente gráfica se muestra la producción de cierta industria durante los nueve primeros meses del año.
•
Febrero Mujeres
Marzo
Mes
Niños
De acuerdo con el gráfico, responde las siguientes preguntas:
10. ¿Cuántas mujeres enfermaron de cólera en febrero? 11. ¿En cuánto aumentaron los niños enfermos de cólera de enero a febrero?
Toneladas métricas
12. ¿Cuántos enfermos de cólera hubieron en enero?
Mes nero
E
reroMarzo Abril Mayo Junio JulioAgosto embre Feb Seti
7. ¿Entre qué meses se produjo el mayor decremento en la producción?
Colegios
198
Enero Hombres
6. ¿Cuántos estudiantes hay en total?
6000 5000 4000 3000 2000 1000
PACIENTES DE CÓLERA
TRILCE
13. ¿Cuántos hombres enfermaron de cólera en los tres meses? 14. ¿Cuántas mujeres más que niños enfermaron de cólera en febrero y marzo? 15. ¿Cuántas personas enfermaron de cólera en febrero y marzo?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático
Repaso VI • Intervalos de longitud • Intervalos de tiempo • Fracciones I • Fracciones II • Operaciones matemáticas arbitrarias • Gráficos estadísticos
Repasando lo aprendido
Central: 619-8100
Unidad IX
199
Repaso VI
Conceptos básicos Aprende más... •
Colocar "V" o "F" según corresponda:
1. 2 + 6 > 8 7 7 14
................................( )
a
10. Si:
2. Una fracción propia es mayor que la unidad ... • .................................( )
=a2+a+1
Halla:
1
+
2
¿Qué fracción representa el área sombreada en cada caso:
3. Una campana sonó cuatro veces en 3 segundos, entonces en 6 segundos sonó ocho veces..( )
11.
4. A una cuerda se le da cinco cortes, entonces se obtiene cuatro pedazos ............................( )
a
a
a a a
12. 5. Al cortar un aro se obtuvieron cinco pedazos, entonces se dieron cinco cortes ...............( ) 6. Para cortar una soga en "x" partes, se deben dar "x - 1" cortes ...............................( )
SOLDADO CON AMETRALLADORA
13. Efectúa: 2 # 10 + 1 6 3 5 1 5 6 ' 4 4 Gráfico El siguiente es el resultado de un examen de Matemática cuya nota mínima aprobatoria es 12. Número de alumnos Hombres Mujeres 20
Un soldado con una ametralladora dispara 12 balas en 3 segundos, entonces: 7. En 6 segundos disparó .................. balas.
25
10
20 25
25 10
4
8
12
20 16
10 5 20
Nota
8. Disparó 45 balas en ..................... segundos. 9. Disparó "x+9" balas en "x" segundos, entonces el valor de "x" es .............................
Colegios
200
TRILCE
14. ¿Cuántos alumnos han obtenido 16 de nota? 15. ¿Cuántos hombres aprobaron?
www.trilce.edu.pe
Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Un alambre debe ser dividido en trozos de 12 cm de longitud cada uno. Si la longitud del alambre inicialmente es de 1920 cm, ¿cuántos cortes se deben realizar? 3 2. Si me debían los de S/. 840 y me pagan los 8 3 de los 5 de S/. 840, ¿cuánto me deben? 4 14
10. Se tiene un terreno rectangular cuyo perímetro es 60 m. ¿Cuántos postes deberían colocarse cada 3 m, si cada uno de estos mide 2 m de longitud? •
Indica en cada caso, qué parte está sombreada: a
11.
a a
3. Si: 1
2
3
4
1
3
4
1
2
2
4
1
2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
Halla: (4 3)
(1
2)
4. Una pistola dispara 11 balas en dos minutos. ¿Cuántas balas disparará en cinco minutos? 5. Lionel Messi patea nueve penales en 20 segundos. En 15 segundos, ¿cuántos penales podrá patear? 6. Lincol toma una cápsula cada ocho horas. En cuatro días, ¿cuántas cápsulas ha tomado, si las debe tomar desde el inicio hasta el final de su medicación? 7. Un aro de 20 cm de longitud se cortó en pedazos de 4 cm cada uno. ¿Cuántos cortes se hicieron? 8. A un alambre de 552 cm se hacen tantos cortes como longitud tiene cada corte. ¿Cuántos cortes se han hecho? 9. Una varilla de oro de 96 cm de largo debe ser cortada en pedazos de 6 cm de longitud cada uno. Si al final se paga S/. 75 por todo, ¿cuánto cuesta cada corte?
Central: 619-8100
a
12.
a
a
a
a
13.
2a
a
a
2b b b
Gráfico El siguiente es el resultado de un examen de Matemática cuya nota mínima aprobatoria es 12. Número de alumnos Hombres Mujeres 20
25
10
20 25
25 10
4
8
12
20 16
10 5 20
Nota
14. ¿Cuántos hombres no aprobaron? 15. ¿Cuál es la diferencia de las mujeres que aprobaron con los hombres que desaprobaron?
Unidad IX
201