Introducci´ on a las Matem´ aticas
Ecuaci´ on Cuadr´ atica
Parte 2: Soluci´ on de ecuaciones cuadr´aticas mediante f´ormula cuadr´atica. Hasta ahora las ecuaciones cuadr´aticas estudiadas se han resuelto v´ıa factorizaci´on, sin embargo, no siempre es f´acil aplicar la propiedad enunciada en la parte 1, ¿por qu´e? En esos casos se har´ a uso de la conocida f´ ormula cuadr´ atica * , cuyo resultado se enuncia a continuaci´on: 2
F´ormula Cuadr´ atica. Si a 6= 0, las soluciones de la ecuaci´ on ax + bx + c = 0 est´ an dadas por x =
−b ±
√ b2 − 4ac 2a
La simple sustituci´on de los valores de a, b y c en la expresi´on anterior, permite resolver cualquier ecuaci´ on de segundo grado. A partir de la f´ormula cuadr´atica, se afirma que b2 − 4ac
**
determina cu´ antas soluciones tiene la ecuaci´ on, as´ı:
Si b2 − 4ac es positivo, la ecuaci´ on tiene dos soluciones reales diferentes. Si b2 − 4ac es cero, la ecuaci´ on cuadr´atica tiene una soluci´on real. Si b2 − 4ac es negativo, la ecuaci´ on no tiene soluciones reales. Ejercicio 3. ¿Cu´antas soluciones tienen las siguientes ecuaciones cuadr´aticas? 3x2 − x = 10
−10x + 1 + 25x2 = 0
8x − 2x2 − 20 = −10
Ejercicio 4. Encuentre las soluciones de las ecuaciones cuadr´aticas del Ejercicio 3.
Parte 3: A practicar lo aprendido Ejercicio 5. Solucione los siguientes problemas: Dos n´ umeros naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cu´ales son esos n´ umeros?***
* Para consultar m´ as sobre ecuaciones cuadr´ aticas, y c´ omo obtener la f´ ormula cuadr´ atica visite: http://valle.fciencias.unam.mx/ lugo/bach2/Cuadratica/index.html ** Al n´ umero b2 − 4ac se le llama discriminante de la ecuaci´ on de segundo grado, puesto que indica el tipo de soluciones que tiene la ecuaci´ on. *** 16 y 18
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