Page 1


C-VAJE Zapi5i ena6bo, s pomo6jo katere bo5 ugotovil, kakSen delei celote zavzema x, in jo re5i. b)

c)

Katero Steviloje re5itev ena6be? b) a)

10x

1O. Zapi5i ena6bo, s pomodjo katere bo5 ugotovil velikost oznadenih kotov na sliki, in jo re5i. b) a) 13. Ena6bo smo reSevali s posku5anjem in ob tem izpolnili razpredelnico, Ugotovi, med katerima vrednostmazax bi lahko bila re5itev ena6be. 11. Na tehtnici so enako teZke kroglice z maso x, enako teZke vre6ke z maso y in uteZi z znano maso. Dolo6i maso kroglice in maso vre6ke. Zapi5i ustrezno ena6bo in jo reSi.

Dolo6i mnoiico re6itev ena6be pri dani osnovni mnoiici, kot je prikazano v razpredelnici.

12.lzrabunaj vrednosti leve in desne strani ena6be, dane v razpredelnici, za vsa Stevila iz osnovne mnoZice U = {-5, ..4r 4, -2r -1, O, 11 21 3r 41 5l,


C-UAJE 15, Re5i ena6bo in zapi5i mno2ico re5itev. Upo5tevaj, da je produkt ni6, 6e je vsaj eden od faktoriev ni6. a )x ( x + 2 ) = 0 b ) ( x - 3 ) ( 5 x +1 ) = 0 c)2x(x-1)=0 6)(x+3)(2x+1)=0 16. ReSi ena6bo. a. ) :Xr = 1 2 b)-42=6x c)x+5=-3

d)+=5

d)4x=6

17. ReSiena6bo. a)3x=-5 c; x21x2 + 2) = 0 d)x2+9=0 fl yz - 16 = 0

d)6x+6=0

d)14=-12

e)x2=49

1'

^

b)2x=-3

d ) 2 * - * 5= z i n 2 x * 5 = I .t

- . 2

c )4 x - 1 3 = 4 7 e)5x=0

c)6x=-4

) 36inx-9=I c )4 ( x - 9 =

c)

19. Ugotovi, katere enaeie imajo za reSitev Stevilo 4.

a)x+d=0

b)x+4=3x+14in4=14+ I l

23. PokaZi, da sta enadbi ekvivalentni, in pojasni, na osnovi katerega pravila to vemo. a ) x + 9 = 2 x - 1 i nx - 2 x + 9 = - 1 b ) 6 x + 2 = x - 1 2i n6 x= x - 1 4 c) 0,2x+ 1,5 = 2,4 in 2x + 15 = 24

b)(x-7)(x+7)=0 d)5(x-2)=5x-10 e )x ' 0 = x + 1 g)x3=-a

18, Na pamet re5i ena6bo. a ) 1 1+ x = 3 0 b ) 3 6 = x - 2 9

22. lzpolni ozna6eno mesto tako, da bosta ena6bi ekvivalentni. a )6 x + 7 = x - 3 i n 6 x = * - f l

3

e ) f + x = oo ) - f = z r ) + = + 20. Zapi5i mnoiico re5itev danih ena6b in ugotovi, katere so identidne ena6be. a)2x+3=2x b )0 ' x = x c )0 ' x = 0 d )x = l x l e )x = - x

d*) = +

f ) ( x - 3 ) ( x + 3= )x 2 - 9 g )x - ( 7 - x )= 2 x - 7 h )x 2 - ' 1= ( x + 1 ) ( x - 1 ) 21. Ugotovi,ali sta ena6biekvivalentni,in utemelji odgovor. a)2x+1=27 inTx-30=61 b ) 6 x - 4 = X * 6 i n 1 2 x- 1 0 = 1 4 c)4x=32 i n x ( x - B=) 0 i n x 2= x 2 c)0'x = O

1

fx+1=10in4x+10=1 24, Ugotovi, ali sta dani ena6bi ekvivalentni. a) (x - 2)(x + 2) = 0 in x -2 = 0 b ) x 2 - 1 = 0 i n x - ' l= 0 c) x2= 4inlxl=2 c )x 2 - 2 = Oi n ( x - 2 ) 2 = 0 25. Reii enadbo in naredi preizkus.

a )x + 2 = 2 x - 7

b)3x+5=x-11

c )- 1 6 - 6 x = 2 + 3 x

c)5x-7=21-2x d ) 5 x + 0 , 4 = 6 x +1 , 1 e )3 x - 7 = 5 x + 2 0 , 2 = f) 1,6x 5 , 2 x +4 , 3 g ) 1 2 x - 4 = 2 x + 8 26. ReSi ena6bo in naredi preizkus. a)4x-7=3x-'10

b)2y+5=4y-5 c )- 5 y + 3 = - Y - 1 c )3 z - 2 = 6 - z d ) 7 + ( x + 5 )= 6 - ( x - 2 ) e )4 + ( x - 3 )= 9 - ( x + 4 ) f ) ( 3 x - 3 ) - ( a x + 5=) v . " 2 g) x - (5x+ 2) = 7 - (3x- 1)


c-ll 27, ReSiena6bo in naredi preizkus. ReSitveso cela Stevila. a) 1 + (-6x + 2) - (x-3) = -4x + 3 b ) 5 x - ( ( 5 x - 3 )- ( 2 x - 7 ) )= 1 0 c) 12 = 6x - (Bx- (4x- (3x- 4))) c) 2x-(x - (-1 + (x - 6)))= 3 28. ReSiena6bo in naredi preizkus. a) 3 - (2-x) - (4- (x- 6))= -2 b) 3x - (8 - (s - 3x))= e - (2x- a) c) 5x - (4x- 2- (3x- 5))= 3 - 2x 6) x - (-3x + (-x - (2x- 1)))= 2 - ( -x) 29. ReSienadbo in naredi preizkus. a )5 ( 5 x - 2 ) = 2 ( 6 x - 1 ) + 5 b) 7(5+ 3x)= 11(2x+ 2) c ) 6 ( 1 1 x - 3=) 1 5 - 2 ( x + 8 ) 6 ) ( 1 2- x ) ' 4 + 6 x = - 9 ( 2 x+ 8 ) 3O. Deli obe strani enadbe s skupnim deliteljem in re5i ena6bo, Napravi preizkus. a) 10x= 15(x- 30) b) 20(x- 5) = 30x+ 40 c) 6(22+ 3) = 1Bz 24 c) 15(7- 3z)= 20(z+ 2) 31. ReSiena6boin naredi preizkus, a) (9 - x)(7+ x) = 76 + (7 - x)(9+ x) b) (m + 1)(2m- 25)= (m- 5)(2m- 8) c ) ( y + 4 X y - 3 ) = ( y+ 1 X y - 1 ) c ) ( b + g x b - 7 )= ( b + 1 0 ) ( b - 5+)5 32. ReSienadbo in naredi preizkus. a) (a- 5)(a+ 5) = (a -3)2 + 2 b ) ( a+ 4 ) ( a - 2 )= ( a - 1 ) ( a+ 1 ) c) (3x+ 2)2+ @x- 3)2= (1 - 5x)2 d) (x - 3)2- (2x+ 1)2=(x + 3)2- (2x+ 5)2 33. ReSienadbo in preveri reSitev. a)0,75x+9=1,5x-0,6x b) 6,7x- 8,3- 2,6x+ 3,7= 3,6x+ 1,9 c) 0,03x- 0,5= 0,18+ 0,07x x 1 , 5 )= ( x + 5 , 2 ) ( x -1 )- 0 , 5 d ) ( x - 1 , 2 ) (+

34. ReSienadbo in naredi preizkus.

a)$=-tz

'r*.-+=+ d )x =o

olt*- f, =s

6)+-qu-=?-r-

â‚Ź.1)

e )6 x + + - ( . n + z=xs)x + ] r) x- (*.o) =o-(2,.f) 35, ReSi ena6bo in naredi preizkus.

a' ) 3 x 4, 6 = ?3 - x X*'l = 2x+B n v Jnz T 5 3

-^ ' 3' x -29 -2 x 3- 4 =5 x4+ 3 - 4 x - 2 6 - 1x +' 4 _ 3x + 1 2= 3 - 6* _ x + 31 36, ReSi ena6bo in naredi preizkus.

a)x-+-"#**;t=t

-+) o) +("+)-+8+)=+("

.)i*-a#=aqfa 3x: 1 d) 3x +'' - . rXr - 5 " ' 2

-

= 2 ( x+ 1 ) . l g ' a

x-1 x-3 x-4 g = 4 - 3

=2-+ "t**tttil-Iqlr r) x+t{s -z*rl=frO-x)(x +2) s)g#.1e#d=(x_1;z


37. Za katero vrednost spremenljivke x ima izraz x+8_x-5 6 3

Ir

a) vrednostnic? b) vrednost-2? c) vrednost3? 38. ReSi ena6bo, a)x2=64 b)\t=5 c)4x2-30=6 6 ) 5 \/; -s=7

e )z V S x * t - 1 = 7

O lf , 6 x - + = O

39. lz ena6be izrazi neznanko x. a)3x-a=0 b) 4x - 15a= 21a

c ) 0 , 5 x= 1 , 5- 0 , 5 b

d);*$=o

d? ) ="

e )x + a = 4 x - c

40, lz ena6be izrazi y.

a' ) m l L =t , m , o m

b )y * + = * + o . , d * o c)3Y-aY=9-a2 6 )2 - n + f - n - 2 - ! J , n * o

'

n

44. fz ena6be izrazi ozna6eno koli6ino.

'

t

41. Za katero vrednost spremenljivke a imata ena6bi4=3x-a+ I in2x- a=Senaki re5itvi? 42. Pri kateri vrednosti za a ie re5itev enadbe

pozitivno Stevilo? a) 4(3x- 6a)= g

b f) i = r ^

c )a - x = 3

d )( a - 5 ) x = 0

43. ReSi ena6bo (x + a)2 - (x + 612= 6z - 62,

a) p = U, izrazir b) P = 2nr(r+ v),izraziv c) p = <*'- r2),izrazir c), v = +,3 izrazia d) p =

"f

v,izrazic

e) P = nr(r+ s),izrazis

45. fz ena6be izrazi imenovanokoli6ino,

a ) P = a 2+ 2 a v , , i z r a z' i vb, ) #

u2

= p,i7r^rig, t12

1 1 c- ,) 1 = 1 * L .i -z.r- a- ,zJ i t d" ') = F a b, R *. ,, 1

d)

|nv2

.

, = mgh, izraziv

1 izraziR *,

^m,m^

e) Fs = G[+t,izrazi

46. lzobrazca za povr5ino kvadra izrazl stranski rob c. Nato izrazi 5e robova a in b. Primeriaj zapise in poi56i podobnosti.

m,


G-VAJE BESEDIINE NALOGE Nalogo reSi tako, da napise5 enaGbo in jo re5iS,

f . izberemoza neznanko najprimernejSo koli6ino 2. neznanko in znane kolidine poveiemo v Stevilske izraze, kot zahteva besedilo naloge 3. sestavimo ena6bo in jo reiimo 4. naredimo preizkus po besedilu

NALOGE OSTTVIUIT 47. ee nekemu Stevilu pristejeS 6 in dobljeno vsoto deli5 s 4, dobi5 prav toliko, kot 6e polovici tega Stevila pri5tejei 1. Katero Stevilo je to? 48. Vsota treh Stevil je 128. Drugo Stevilo je trikrat ve6ie od prvega, tretje pa Stirikrat ve6je od drugega Stevila. Katera Stevila so to? 49. Vsota treh zaporednih sodih naravnih itevil ie 72. Katera Stevila so to? 5O. Vsota treh zaporednih lihih naravnih Stevil ie 327. Katera Stevila so to? 51. Kvadrat vsote treh zaporednih naravnih Stevil ie 81. Poi56i ta Stevita. 52. Getrtina nekega Stevila ie za 20 manjia od polovice tega Stevila, Katero Stevilo je to? 53. Dolo6i Stiri zaporedna naravna Stevila, 6e vei, da je produkt prvega in drugega za 26 manjsi od produkta tretjega in Getrtega.

NALOGE OSTAROSTIH 54. Mati je trikrat starejsa od h6ere, pred i O leti pa je bila sedemkrat starejia od h6ere. Koliko je mati stara danes? 55. O6e je star 53 let, h6i pa 20. d,ez koliko tet bo o6e dvakrat starej5i od nje?

56. Trije bratje so skupaj stari 40 let. Najstarei5i je trikrat starejSi od najmlajsega,srednji je 2 leti mlaj5i od najstarej5ega.Kotiko je star vsak od bratov? 57. Brat je danes dvakrat starejsi od svoje sestre, pred 4 leti pa je bit trikrat starejsi od nje. Koliko sta stara danes? 58. Pia je 5 let starejsa od Neje. 6ez 9 let bo pia petkrat starej5a, kot je bila Neja pred dvema letoma. Koliko sta stari pia in Neja sedaj?

GEOMETRIJSKE NALOGE 59, V enakokrakem trikotniku je kot ob osnovnici Stirikrat ve6ji od kota ob vrhu. Koliko merijo posamezni koti tega trikotnika? 60. V pravokotniku meri ena stranicaZr2 cm, razlika med doliino diagonale in druge stranice pa ie 3,2 cm. Koliko meri plo5dina pravokotnika? 61. 6e stranico kvadrata podalisamo za 7 cm, se mu plo5dina poveda za 245 cm2. Koliko meri stranica tega kvadrata? 62, V pravokotnem trikotniku meri ena kateta 20 cm, hipotenuza ie za 10 cm daljsa od druge katete. Kolik5na je plo5dina in kolik5en je obseg tega pravokotnega trikotnika? 63. Dokaiin da je trikotnik s stranicami 2x, x2 + 1 in x2 - 1 pravokoten, 6e je vrednost itevila x poljubno liho naravno Stevilo. 64. lzra6unaj kraj5o diagonalo romba, 6e meri vi5ina romba 24 cm, obseg pa iOO cm. 65. Dan je pravokotni trikotnik s katetama 6O cm in 8O cm. To6ka T leii v trikotniku in je iO cm oddaljena od vsake od katet. lzradunaj razdaljo to6ke T od hipotenuze.


C-VAJE ZIVLJENJA IZ VSAKDANJEGA NALOGE 66. Sedemsto hlebcev razdeli med Stiri liudi. Dve tretjini nekega Stevila iih dai pntemu, eno polovico drugemu, eno tretiino tretiemu in eno detrtino 6etrtemu. Kako iih bo5 razdelil? (zgodovinska naloga) 67. Na Soli je v Stirih oddelkih vi5ie stopnie 95 u6encev, V prvem oddelku ie 5 udencev ve6 kot v drugem, v tretiem sta 2 uienca ve6 kot v prvem, v detrtem pa so 4 u6enci mani kot v tretjem. Koliko udencev ie v vsakem oddelku? 68. V treh stanovanjskih blokih Zivi skupai 450 stanovalcev. V prvem ie trikrat ve6 stanovalcev kot v drugem, v tretiem pa dvakrat mani kot v drugem. Koliko liudi iivi v posameznem bloku? 69, Taida ima denaria za 20 zvezkov. 6e kupi zvezke, ki so za 20 SIT dra2il, iih bo dobiia za isti denar 5 manj. Koliko denaria ima? 7O. Pri zunanjem preverianiu znania ie v 9. razredu med 2O in udencev dosegta 3O todk, $ f pisali preveriania, mani kot 3O to6kami, 3 niso 2O to6k ie doseglo $ u6encev. Koliko u6encev je v tem razredu? 71. 6e bi Jan zasluZil 5e 4OOOSlT, bi imel Stirikrat ve6 denaria, kot 6e bi zapravil 2OOOSIT' Koliko denaria ima Jan? 72. Druiina ie od5la na izlet z avtom. Ko so prevozili in 5e 20 km, so bili na polovici freoti poti. Koliko kilometrov imaio 5e do cilia? 73. DruZina Bitenc ie svoie druiinske prihodke razporedila takole: $ za hrano in vrtec, f za tekode stanovanisko vzdrievanie' + za obiske kulturnih in Sportnih prireditev, za var6evanie iim ie ostalo 450OO SlT. Koliko denaria so namenili Posameznim Podro6iem?

74. Solsko zemlii56eie sestavlieno iz J otro5kega igri56a, $ ie stavOnegazemlii56a,.1ie parkiriS6, zeleniceherijo 4Oarov. Kako veliko ie Solsko zemljiS6e? 75. Ko ie Manca porabila f svoiega denaria in nato 5e $ ostanka, ii ie v denarnici ostalo 5e 9OOSlT. Koliko denaria ie imela?

NALOGE O GIBANJU 76. Motorista se odpravita na pot drug za drugim. Prvi vozi s povpre6no hitrostio 45 km/h. Drugi, ki vozi s povpre6no hitrostio 5O km/h, se odpravi s lS-minutno zamudo, 6ez koliko 6asa in po kolik5ni prevoieni poti bo drugi motorist dohitel prvega? 77. Dva teka6a teGeta po progi in kreneta isto6asno' Prvi te6e s povpre6no hitrostio 300 m/min, drugi s povpre6no hitrostio 24O mlmin Prui pride na cilj 3 minute prei kot drugi. Kako dolga ie teka5ka steza? 78. 6oln prevozi po reki navzdol 36 km s povpredno

hitrostio12 km/h,zavrnitevporabi] ureveG.

S kolikino hitrostio ie vozil proti toku? 79. Ob 9. uri odpelie avto in vozi s povpredno hitrostjo 45 km/h. Ob 9,45 odpelie za niim motorist. S kak5no povpre6nohitrostio mora voziti motorist, da dohiti avto ob 12. uri? 80. Sre6koje tekel na avtobusnopostaio s hitrostio 9 km/h in pri5el 2 minuti pred odhodom avtobusa.6e pa bi hodil s hitrostio 4 kmlh, bi priSel3 minute prepozno.Kakodaled ima do postaie? 81. Avtomobilista, ki sta oddaliena 40 kmnse odpeljeta drug proti drugemu in se sre6ata 6ez 15 minut. 6e bi peliala v isto smer, bi en avtomobilist dohitel drugega 6ez 4O minut. Kolik5ni

sta povpredni hitrosti

avtomobilistov?


C-PARI Vsakemu osendenemupolju poi56i ustrezno neosen6enopolje. Eno polie ie brez para, 1 . Par sestavljata ena6ba in njena re5itev.

2.

Par sestavljata enadba in njena re5itev.


LIKOZNAM? ReSi enadbo in naredi preizkus. a)4x+6=7x-g b) 2x- (3 + 6x) = -6x + (x - 4) c) 0 = 2(3(4(5x- 4) - 3) - 3) c) (x - s)2 - (zx + 1)2= (x + 3)2- (2x + 5)2

lzpolni ozna6eno mesto tako, da bo ena6ba 2x + [ = 4 - xekvivatentna z ena6bo 7x-4=5+4x. Zapi5i ena6bo, s pomo6io katere bo5 ugotovil: a) kolik5endeleZcelote zavzemax, in jo re5i.

- , 6 x + 7 - o^=

sj

,

5x-3 g

- l2! +' 1 . 1 3 ( x + 1 )_ 2 ( 2 x + 3 \_ 2 3 Jan ie star 25 let in je 6 let starej5i od Jasne. Pred koliko leti je bil trikrat starej5i od nie? Koliko je bila tedaj stara Jasna?

b) kolikostopinjzavzemax, in jo re5i.Velikostikotov so podanezizraziv kotnihstopinjah.

3.

Kraja sta med seboi oddaljena l5O km. Avtobus odpelje iz prvega kraja in vozi s povpre6no hitrostio 65 km/h, isto6asno pa iz drugega kraja odpelie avtobus, ki vozi s povpre6no hitrostjo 55 km/h. 6ez koliko 6asa bosta drug od drugega oddaljena 5e 3O km?

Dolo6i mnoZico reSitev ena6be.

Nasvet .

ee si uspe6nore5iltri ali Stirinaloge,je tvojeznanie zgledein ponoviti dobro,vendarposkusipregledati nekajvaj.

V katerih primerih sta enaGbiekvivalentni? a) x(x+ 4) = x2 + 4x in 0' x = 0 b ) 0 , 4 x+ 3 = 1 , 2 x i n2 x + 1 5= 6 x in4x-7=9 c )x ( x - 4 ) = 0

x . Ce Zevelikozna5. si re5ilpetaliSestnalog, z zglediin Potrudi se in svojeznanje5erazSiri

o?+1=x

.

in2x+3=3x

vajami. tudi de si resilvsehsedemnalog,odlidnoobvlada5 zahtevnej5e naloge.


ITINE VAJE 1.3x-2=4,

1 1- 4 x = 3 x - 3 ,

je Stevilo 2. Re5itev enacbe fi-. 3. a)x2* liZxl* 3g= (x + G)2 c )3 x . @ = o 4, a ) x = - 3 b)x=6 5. a ) x + 3 = 2 x ; x = 3

5+2x=3+3x

b)(x-5Xx+@;=x2-zs d )2 x - 4= @ - t c)x=-B

je medSteviloma 13. ReSitev enadbe 1 in 4. Razlika medvrednostmi leve in desnestranise zmanjiuje, boljko gremoprotivrednosti zex = 1. Prix = 4 paje razlikamedvrednostma obehizrazovzopetvedja. 14.

i)x=-2

b)2x+4=3x+1;x=3

c ) 4 x + 4 = x + 7x ;= 1 6. a)Ox-3=5x+2 c ) - 2 x + 7= 4 - 5 x 7,

b)-x+9=3x+1 5+2x=4x-7

Vrednostilevein desnestranienadbev nobenemprimerunistaenaki. Za vsakovrednostneznankeje razlikamed vrednostma3. Enadba nimare5ifueoziromaje njenamnoZicaresitevpraznamnoZica.

8. a)(4x+9)'3=15;x=-1 c)fx+1=4;x=18

e .a ) 6 x . + .=31 ; x = +

b)(x-7)'6=9;x=8,5

e)(s t] . x)2+ 1 =50;x =+.ft b)3x+|=1;x=+

c)10x+f,=t;x=f 1 O . a )3 x + 1 5 + 2 x + 7 0 = 1 8 0 ;x = 1 9 " b)40+x-2+x=90:x=26' 1 1 , a )1 5 9 b) 7,5 g 12.a) b)

x=-1

15.a)R = {0,-2} b) R = {3,-l 16.a)R={} b)R=t-7}c)R={-45} d)R=t} 1 7 . a )R = { l a } b ) R = { - 7 ,+ 7 } d) R = { }e) R = {-1} 1 8 . a ) x = 1 9b ) x = 6 5 c ) x = 1 5

c ) R = { 0 , 1 } d)R={-3,-;} c) R = {-B} e)R={7,-7} c)R=i0] d)R=n f ) R = { + a , - a } s) R = {-2}

c)x=-1 d)x=-7 e)x=0 19. Re5itevustrezaenacbamv primerihc. c in e. 2 O . a )R = { } b ) R = { 0 } c ) R = l R , i d e n t i c n a e n a d b a d ) R = l R + d)R={-1,+1} e) R = {0} f) R = lR,identicnaenadba h) R = tR,identidnaenadba 9) R = lR,identidnaenadba 21.a) Ker imata isto mno2icore5itevR = {19}, sta ekvivalentni. b) Ker imata isto mnoZicore5itevR = {2}, sta ekvivalentni. c) Prvi enacbiustrezaStevilo8, drugi pa Stevilig in 0, zato enadbi nista ekvivalentni. d) Enadbiimata isto mnoZicore5itevR = lRin sta ekvivalentni. 22.a)6x=x-10 b)4=14+2x c)x-9=9 d)2x+5=6 23. a) Obe enadbiimatareSitevx = 10, obemastranemasmo pristeli-2x. b) Obe enadbiimata reSitev* = -r+, obema stranemasmo pristeli-2. c) Obe enadbiimata reSitevx = 4,5, obe stranismo pomnoiili z 10. d) Obe enadbiimatare5itevx = -2,25, obe stranismo pomnoZiliz 10. 24.Enadbi sta ekvivalentniv primeruc. 25.a)x=9,(11) b) x = -8, (-19) c) x = -2, pa1 c)x=a,(13) d) x = -s,7, 1-3,11 e) x = -+,5,1-2s,5;

x=0

t ) x = - 1 , 2 5(, - 2 , 2 ) s ) x = 1 , 2 (, 1 0 , 4 ) 26. a) x = -3, (*19) b)y=5,(15) c ) y = 1 ,( - 2 ) t;)z=2,9) d)x=-2,11s; e)x=2,(3) f)x=-5,(-3) s)x=-10,(38) 2 7 . a ) x= 1 ,( - 1 ) b )x = 7 , ( 1 0 ) c ) x = - 9 , 1 1 2 ; d ) x = 5 , ( 3 ) 2 8 . a ) x = 3 , 5 ,( - 2 ) b ) x = 8 , ( - 3 ) c ) x = 1 , ( 1 ) d)r = -*, (-*) 2 e . a ) x = 1 (, 1 5 ) b ) x = r s , ( 3 o Bc) ) e)x=-o,tsoi "=I,?r*) 3O. a) x = 90, (900) b)x=-14,(-s80) c)z=7,(102) c)z=1,16s;


G.RESITVE 3 l . a ) x = 1 9 ,( - 2 6 0 ) c ) y = 1 1 ,( 1 2 0 ) 32. a) a = 6, (11) c) x = 6, (841) 33. a) x = 60, (54) c) x = -17, (-1,01) 3 4 . a ) x = - 3 6 , ( - 1 2 )b ) x = 7 , ( 5 )

b) m = -13, (612) d)b =-6, (-39) b) a = 3,5, (11,25) d) x = -6, (-40) b) x = 13, (48,7) d)x = 1, (-0,5) c)x=6, (l-jJ d)x= 1;, (-q,

o x=;, (o) e)x=-1+,(-ol

n* =a],(-s*)

35.a)x = 18,(12) b)x = -1, (2) c)x = 5,(1) ( 7, ) b ) * = * , t 3 r J (t{) 36.a)x=10 "lx=2,

e)x = -2, (tfl d ) x = 2 (, 6 )

o ) x = r(ss, ) e ) x = r , ( r enJ' = f , ( r f 5 )s ) " = - +( 1 ' #)

37.a)x=18 3 8 . a ) x .=' - 8 , x 2 = + 8 c)x=4

3s.a)x=$ d)x=-?

b)y=25 d)x=8 b)x=9a

c)x=0 c)x,=-3,xz=+3 e )x = 5 c)x=3-b

4r=+

e)x=q#

b)x=30

4O.a)Y=nz b) de je a * +1 je Y = a + 1, de je a = 1,je y poljubnoStevilo c) de je a + 3 je y = a + 3, deie a = 3, je y poljubnoStevilo 6) de je n * +2 je y = 2n, d,eje n = 2, je y poljubnoStevilo 41. Enadbiimataenako re5itev,de je a = -9. b)x=-40a,pria<0 4 2 . a ) x = 2 a , par > i 0 d) Tako Sievilone obstaja. c)x=a-3,pria>3 de je a = b 43. Enadbaima re5itevx=0,de je a * b, in x je poljubnoStevilo,

44.dt=+

d)"=lry 4 5 . a ) v=,# O) ' R = =Bil3

f11+ H2 P-2ah ^

ilv=Pttur2

c)r=ff

d)c=f;-a

9' ) S f = r -f - r

u)uz=*

^ t h -

o)v =r.4gh

e ) m-2 = ; =

4 6 . c = z ; # , ^ = fPf- i2,boc =, .E ;PE- 2 2 , c 4 7 . ( x + A ) : a = | +1 ; x = 2 To Steviloje 2. 4 8 . x + 3 x+ 1 2 x = 1 2 8 ; x = 8 Ta Stevilaso B, 24 in 96. 49.2x+ 2x + 2 + 2x + 4 = 72;x = 11 Ta Stevilaso 22,24 in 26. 50,2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 = 327; x = 53 Ta Stevilaso 107, 109 in 111.

.

5 1 . ( x + x+ 1 + x + 2 ) 2= 8 1 ; x = 2 Ta Stevilaso 2, 3 in 4. s2.|+20=|;x=80 To Steviloje 80. 5 3 . ( x + 1 ) ( x+ 2 ) + 2 6 = ( x + 3 ) ( x+ 4 ) ; x = 4 To so Stevila5. 6. 7 in 8. 5 4 . 3 x - 1 0 = 7 ( x- 1 0 ) ;x = 1 5 l e t Mati je stara45 let. 55. 53 + x = 2(20 + x); x = 13 let Cez 13 let bo ode (66 let) dvakratstarej5iod hdere(33 let)' 5 6 . 3 x + 3 x - 2 + x = 4 0 ;x = 6 l e t Bratjeso stari 1B let, 16 let in 6 let. 5 7 . 2 x - 4 = 3 ( x- 4 ) ; x = B l e t Bratje star 16 let, sestrapa 8 let. 58.x + 5 + 9 = 5(x-2);x = 6 lei Pia je stara 11 let, Neja pa 6 let. 59. 4cr+ 4cr+ o, = 180; o = 20" Koti merijo20', 80" in 80'. 6O,(b + 3,2\2=7,22 + b2;b = 6,5 cm, p = 46,80cm2 61. (a + 7)2 = a2 + 245: a = 14 cm Stranicakvadratameri 14 cm. 62. (b + 1o)z- ro' *o' b = 1 5 c m , p = 1 5 0c m 2 ;o = 6 0 c m 63. (x2 + 1)2= V2 - 1)2+ (2x)2 Za dolline stranic velja Pitagorov izrek, zalo je trikotnik pravokoten. a=25cm 6 4 . D a C y2=252-242 x=7cm y=18cm 12=242*1gz f=30cm

P

- '

B A x a y KrajSadiagonalameri 30 cm.

x2= 2600 Y2= 5000 c=100cm

\.llll1

B

t2=2600-m2 t2=5000-n2 2600-m2=5000-n2 2600- (1oo - n)2= 5000- n2 n=62cm m=38cm C10

b

A

t=34cm

To6ka T je od hipotenuze oddaliena 34 cm.


C-RESITVE Oo.?.x+

. * 1ox= zoo;x = 400 +t "\ htebca, Prvidobi2663 drugi200htebcev, tretji133+htebcain detrti100hledcev. 67.(5 + x) + x + (x + 7) + (x + 3) = 95;x = 20 je 25 udencev, V prvemoddelku v drugem20,v tretjem27 in v aetrtem23 udencev. 68.3x+**;=450;x=1OO V prvemblokuZivi300ljudi,v drugem100ljudiin v tretjemS0ljudi. 69. (x + 20)' 15 = 20x;x = 60 SIT Ima1200SlT.

zo.1y+|+3+ &*=*,r=ro

V razreduje 24 udencev. 71.x + 4000 = 4(x - 2000);x = 4000 StT Jan ima 4000 SlT.

zz.$x+zo=!x;x=240km

PARI 1.

14-1D 3A-3D

1B-5C 38-2C

2A- 2D 3C-2C

4A-4D

4 8- 1 C

28-4C 3C-4C

5A_5D

5 8- 1 C

1A-5D 3A-4C 4A-2D

1B-5C 38-5C

2A_ 4D 3C-3D 5A-2C

3()-1C

4B-2C

28-4C 58-1C

KOLIKO ZNAM? 1. 2x + (-5) = 4 - x; x = 3

2.a)x2 + x+ f * l = t ; x = f r 3x + 12 + 2x = 72:x = 12,karje celote I b )x + 2 x+ 1 + x + 3 = 1 8 0x; = 4 4 o 3.

Do ciljaimajo5e 120 km.

za.9y +

#.

#

+ 45000= x; x = 337500 StT

Dru2inaje stro5kerazdelilatakole:202500 SIT za hrano in vrtec, 56250 SIT za stanovanje,33 750 SIT za kulturoin Sport. Z+.I.rx.+qux+ 40 = xi x = 320 arov # Solskozemlji5demeri 320 arov ali S ha 20 a.

75.1x+3

= = 6-) + e00 x; x 6750Str

Mancaje imela 6750 SlT. 76.45t=so(t-);t=2,5h

Drugi motoristbo dohitelprvegadez 2,5 ure, ko bosta prevozila 112,5km. 77.3001= 240(t- 3);t = 12 minut Steza meri 3600 metrov.

78.1=+ = 3,36= v2(3+ Cr;ve= e,6km/h Protitoku je vozil s povprednohitrostjo9,6 km/h. 79.s=45.3,s=135km v=135:z!,v=60km/h Motoristmora vozitis povprednohitrostjo60 km/h, da dohitiavto.

80.e(x-# = o("* $); x =

= f, ure 6 minut

s=600m Do postajeje 600 m. 8 1 . v , t + v z I = 4 0 ,v 1 + v 2 = 1 6 0 , ?J, = Z^r, + 40,v., = ve + 60, J J ' v r = 1 1 0k m / h , v r= 5 0 k m / h Povprednihitrostista 110 km/h in 50 km/h.

4. Enadbista si ekvivalentniv primeriha, b in d. 5. a ) x = 5 , ( 2 6 ) b )x = - 1 , 1 1 1 c )x = l , 1 9 ;

d) x = -6, 1-ae;

d) x = 7, @)

e ) x = - + , 5 ,1 - 1 , 2 5 ;

6. 25 - x = 3(19- x), x = 16 let To je bilo pred 16 leti.Jasnaje bila tedaj stara 3 leta. 7, 65x + 55x = 120,x= t h iez eno uro bosta oddaljenamed seboj Se 30 km,


POSTTUHH KHZEM lzradunaj. a) (2x - 3y)2 c) (-x - 5y)2

orâ&#x201A;Ź". *o),

o ('"-lf

nl(r,u- ?.),

2.

3.

(-.-?)' "r(r3" - 3bf

sl D (1*.-?)'

Zapi5i izrazkot kvadrat dvo6lenika. b) a2 + 4ab + 4b2 a)a2+2ab+b2 ' c) (2x)2+ 2' 2x (-y) * (-y)2 c) p2 * 8p + 16 d)bz-1ob+25 Poenostavi zapis.

lzrazl obseg in ploS6ino kvadrata, 6e niegovo stranico, ki meri y cm: a) pomanj5amoza2 cm b) povecamoza2 cm c) dvakratpovedamo lzraz tudi poenostavi. 9. Dana je kocka z robom (x + 3) cm.lzrazi= a) vsoto dolZinvseh robov b) plo5dinoene mejneploskve c) njenopovr5ino 6) njenoprostornino lzraz tudi poenostavi. 10. Kvader je dolg (2x + 1) cm, Sirok (x - 2) cm in visok x cm. lzra6unai: a) vsoto dolZinvseh njegovihrobov b) povr5inokvadra c) prostorninokvadra 11, Za koliko se razlikuieta obsega in za koliko plo56ini narisanih kvadratov?

8, b) (-3x + 4y)2 6) (0,2m- 0,3n)2

")*v'-2y+e

- 1za-3b;z b) (2a- 3U' + (2a- 3b)2 a) (2a-so1z * c) (2a 3b)2 (2a+ 3b)2 6) (3a- {z1z - pa + tz12 d) (3a -rE)' - (3a+ fi)Pa-t/zl Poenostavi zapise. a)(2a*1)2-2(2a+1)+1 b) (-2a + b)2- 4a2-b2 c) x2- (0,5x+ y)2- x(x + y) d )( x 2 + l 1 z - 2 1 * z + 1 ) + 2 d) (3x- 4)2+ B(3x- 4) - 10 e) (2x + y)2 - (x - 2y)2 Poenostavi izraz in izraiunai niegovo vrednost Z??=4. a) (a + 4)2- a(a- 5) + (a - 5)(a+ 4)

- (-a - 4X-3+ a) b) (-a - 4)2+ (-3 + a12 Koliko dobimo, 6e od kvadrata dvo6lenika 5x - I od5tejemo dvakratno vrednost iztaza

4x- 3? Za koliko je obseg oziroma plo56ina kvadrata s stranico (2x - 1) cm ve6ii(-a)od obsega oziroma plo56ine pravokotnikaz doliino (x + 4) em in Sirino (x + 2) cm?

12.lzrahunai produkt vsote in razlike eno6lenikov. b) (3y+ 5bX3y- 5b) a) (2x + y)(2x - y) c) (10a- 3bX10a+ 3b) c) (9c 2d)(ec + 2d) '13. Zapi5i kot produkt. a) x2 -y2 c) 25x2- 16y2 d) 0,16x2y2-2,2522

b) (3a)2- (2b)2 t) 25xz4y' I

d xa-r+


KRIZEMPOSTEVILIH 14. Poenostavizapis. a) (x - y)2- (y - x)2+ (x - y)2- (y - x)(y+ x; b) 2(x- 2)2- (3x- 1)(3x+ 1) + (2x- t1z- 6 c) 2a(a- 1)2- Za(a- 4)(a+ 4) + 2a3 15. lzraz {-x + 2yl2 - (x - 2y)2- (x - 2vl! + 2vl poenostavi in izradunaj njegovo vrednost, 6e je: a)x=-2,y=1 1

. 1

b)x=i,y=.; c)x=-0,5,y=2,5 16. lzraz (a + 2bl2- (a - 3b - (a - b))2 + (2a - bl2 poenostavi in izra6unaj njegovo vrednost za a=-2rb=3. 17, Poenoslaviizraz (2x + yl(2x - y) + (2x + yl2 - (2x - yl2 in izradunai vrednost 2e x = in y = -L. | 18. lzpostavi skupni faktor. a) 6xy - 4xz b) 1Ba5- 6a3 + 9a2 c) 36a3b4-27a2b3 - 54a4b2 gas . 2a4 ,^ri 3a2 _ . 10 5 15 19, Dolodi mnoiico re5itev enadbe pri dani osnovni mnoiici, kot je prikazano v razpredelnici. OSnOVna mnoiica U

x+9=3

IN

7Z

:ritxr**A::i:::,riiii:il

reF6I:

Z 7Z A

7x=-5:

O

l I

mnoZiga : re$itevR :

20, Reii ena6bo in napravi preizkus. a)7y-(12-5y)=3y-12 b ) 1 3 = ( 3 3- y ) - ( 1 2- 5 y )

c) 25- (7- 4y)= 3y + (-3 - 20y) q 24- (10- 12y)- (14y+ 2) = y 21, Re5i enadbo in naredi preizkus. a ) 3 ( 2 x - 1 )- 2 ( - x + 6 ) = - ( x - 1 ) + 2 b) 7 - 3(x - 1) = 4(-x + 2(x + 3)) c)5(Y+3)-y=2(y+B) d) 4(x + a) - 5(x + 1) = 2(2x+ 7) 22. ReSi ena6bo in naredi preizkus. a) (6 - axa - 2) - I = (6 + a)(6 - a) b) (2a + 5)2 + 3a = (a - 8)2 + 3a2 c) (4x + 3)(ax - 1) - 4 = (3 - 4x)2 d ) ( x + 2 ) 2- ( x + 1 ) 2= 1 1 - ( x - a ) 23. ReSi ena6bo in preveri re5itev.

^ rt 5 v * *^= 5u - * 1 ! o 3

. )# - t = , . i

b " /){6+- !* !T- p = I 5

d)1++ r{x =*-. r*

24. ReSi ena6bo in naredi preizkus. a)IJZq=3 c p 1 3 x + 5 * * - 1= 0 A . A -2x _2x-11 1 7 c') 2 x _ 3 3 6 1x + ' l _ x + 4 = 1 0 1 * _ 2 * 3 2 4 25. Reii ena6bon raz5iri na skupni imenovalec in naredi preizkus.

-+)=-+ a)1,3x(o,r* b )- 1 , 2- x+ = * ^

c )x + f - + ( + + 1 0 ) = o x' ' r X r 5 15

5 x + 4- x 10

,'

-2 25 x 4


KRIZEM POSTEVILIH 26. ReSi ena6bo in naredi preizkus. 3_x-1 i_8-x 4 = x -- - - Z =3*-

z

27. Za katero vrednost Stevila a, sta ena6bi 5x - 16 = a in x - 2 =8 ekvivalentni? 28. 6e pove6a5 neko Stevilo za njegovo petino, dobiS 12. Katero Stevilo ie to? 29, Vsota treh zaporednih naravnih Stevil je 99. Katera Stevila so to? 30. Ge se5tejemo 6etftino prvega Stevila, petino drugega in polovico tretjega, je dobljena vsota enaka prvemu Stevilu. Katera tri zaporedna naravna Stevila so to? 31. Za katera Stevila velja, da je njegov 7-kratnik za 8 manjsi od njegovega S-kratnika? 32. 6e nekemu Stevilu pri5tejemo 9 in dobljeno vsoto delimo s 4, dobimo enako, kot 6e bi petini tega Stevila pri5teli 7. Katero Stevilo ie to? 33. Vsota dveh Stevil je -8,1. Prvo Stevilo je

34. 35.

36. 37,

38.

ln7-krat ve6je od drugega. lzra6unai neznani Stevili. Katero Stevilo mora5 odSteti od razlike Stevil 4,8 in 2f,, aa dobi5 petkrat mani od Stevila 16? Od 3-kratne vrednosti Stevila -8,5 od5tej neznano Sievilo in dobi5 t!. Katero Stevf;lo 8 od5teje5? Ana bo imela Eez 7 let dvakrat toliko let, kot jih je imela pred 3 leti. Koliko je stara sedai? Dedek bo 6ez 7 let sedemkrat starej5i od svojega vnuka. Koliko sta stara sedaj, 6e bo dedek EezT let dopolnil 63 let? Brat je star 22let, sestra pa 12let. Pred koliko leti je bil trikrat starej5i od svoje sestre?

39. Ben je trikrat mlaiSi od o6eta in trikrat starej5i od sestre. O6e in sestra imata skupaj 40 let. Koliko je star Ben? 4O.Zigaje petkrat mlajsi od dedka in petkrat starej5i od svoje sestre Vide. Dedek in Vida imata skupaj 52 let. Koliko je star vsak izmed njih? 41, Tri sestre imaio skupaj 4O let. Naistarej5a je

42.

43,

44.

45.

dvakrat starejsa od najmlaj5e, srednja ie 5 let mlajsa od najstarei6e. Koliko je stara vsaka od sester? Obseg enakokrakega trikotnika ie 84 cm. Osnovnica meri p kraka. Koliko merita stranici tega trikXtnika? Pravokotnik ima dolZino trikrat ve6jo od njegove Sirine, Njegova plo5dina meri 243 cm2. Koliko merita stranici in kolik5en je obseg tega pravokotnika? V trikotniku je kot a za 45" veGji od kota B in za 3O" mani5i od kota ^y,lzra6unaj vse tri notranje kote. Osmo5olci so se odpravili na izlet s kolesi. Vozili so v skupini s povpredno hitrostjo 16 km/h. lvo, ki je dober kolesar, se je odpravil za njimi pol ure pozneje. Vozil je s povpre6no hitrostjo 24 kmth.6ez koliko 6asa ie dohitel sosolce?


POSTCUHH KRIZEM

s

RE ITVE

b) 9x2 - 24xy + 16y2 c) x2 + 10xy + 25y2 0,04m2- 0,12mn+ 0,09n2 Ol + + laO tOz *",

1 . a) 4 x 2 - 12xy + 9y2

+ 9b2 d c2* loc +ftnz f) 9x2- zry* !v2 o)ffa2- 10ab h)6,25- 2x* ,!ux2 i) 8", - zcd+ Sd2 2. a) (a + b)2

d)(p+ 4)2 3. a) 0

e)t2at4.

b) (a + zb)2

c) (2x - y)2

o)(n- s)z

e)(lv - sl2

b)Ba2-24ab+18b2

4. a) 4a2 b) -4ab c) -0,25x2 -2xy -y2 d)xa+1 d)9x2-26 e)3x2+8xy-3y2 izraz a2 + 12a - 4 ima vrednost-31 . 5. a) Poenostavljeni izraz 3a2+ 3a + 13 ima vrednost31. b) Poenostavljeni 6. Dobimo25xz - 1Bx+ 7. 7 . Obsegse spremeniza (4x- 16) cm, plo56inapa za (3x2- 10x - 7) cm2. 8. a) o = (4y - 8) cm, p = (y2- 4y + 4) cmz b) o = ( y + 8) cm, p = (y2 + 4y + 4) cm2 c)o=8ycm,p=4y2cm2 b) (x2+ 6x + 9) cm2 9. a) (12x + 36) cm d) (x3 + 9x2 + 27x + 27) cm3 c) (6x2+ 36x + 54) cmz b) (10x2- Bx- 4) cm2 c) (2x3- 3x2- 2x) cm3 1o. a) (16x - 4) cm za (4x+ 12)cm, plo5cinipa za (3x2+ 12x + 9) cm2. 1 1 . Obsegase razlikujeta b) gyz -25b2 c) B1c2- 462 d) 100a2- 9b2 12.a) 4x2-y2 b) (3a + 2b)(3a-2b) 13. a) (x + yxx - y)

d) (5x* c) (5x- 4y)(5x+ 4y) ]vXsx ]v) d) (0,4xy+ 1,52)(0,4xy1,52) e) (x2+ y2)(x+ y)(x- y) 14.a) 2x2- 2xy

b) -3x2 - 12x + 4

c) 2a3 - 4a2+ 34a

^t a^2s2r t^u2 - .L - a^2t c1 9a2b214ab23b 6a2)

t9,

7x+9=-5

( x + 9 ')5 = 3

x\ a'lr o - a^ t^2t a) +(1 I 9a + 4a2) JU

c ) y = - 1 ,( 1 4 )

b ) x = - 2 , ( 1 6 ) cly=|,1tt1

b ) x = - + , (co) x) = 1 , ( - 3 )

2 4 . a ) x= - 5 , ( 3 ) 3

c)-24ab

b) y = -2, (13)

d)y=4,(4) c)x = -9, (i 1+)

22.a) a = 7, (-13) b ) a = 1 , ( 5 2 ) c y x = ] , ( r ) c ) x : a , ( 1 1 ) ,, 6 r^1Or 23.a)y-t,(5; o)y=to,(s c )lx-=)- 2 0 , ( - 4 )c 1 x = i , \ z a i ) 2 5 . a' )x = - 1 . f\ - f )

d)-6a' \/i + a = -2(3a16-zl

se glasi-x2+ 4y2. 15. Poenostavljeniizraz je: a) 0 b) 83 d z+-30 Njegovavrednost 29. izraz5a2+ b2imavrednost 16. Poenostavlieni izraz4x2+ 8xy- y2 imavrednost--L. 17. Poenostavljeni - z" *tusj b) 3a2(6a3 1e.Q zx(3y- 2z)

20. a) y = 0, (-12) 2 1 .a ) x = 2 , ( 1 )

l{Ji

c)x=8,(0) o)-=-?,r#

d )x : 2 , ( - 2 ) c)x=10,(-1)

26.x=5,(4) 27,a=34

28.x+f=12;x=10 To Steviloje 10. 29.x + (x + 1) + (x + 2) = 99; x = 32 Ta Stevilaso 32, 33 in 34. 3 O .I + x + ' 1+ x 1 2 = x . , x = 2 4 4

5

2

Ta Stevilaso 4, 5 in 6. 31.7x+8=5x;x=-4 To Steviloje - 4. 32.(x+9):4=f;+7;x=95 To Steviloje 95. 3 3 .1 , 7 x + x = - 8 , 1 ; x = - 3 Ti dve Stevilista -3 in -5, 1. - 21\ -x = f ; x = -1,35 34. (4,6 ' 4'

5',

To $teviloje -1 ,35. 3 5 . 3 ' ( - 8 . 5-) x' = t' 8g ;' x = --2-682 uoslejem slevilo-zo;. 36.x + 7 = 2(x - 3); x = 13 let Ana je stara 13 let. 37.63 = 7(x + 7); x = 2 leti Dedekje sedaj star 56 let, vnuk pa 2 leti. 38,22 - x = 3(12- x); x = 7 let Pred 7 leti. S O . f + 3 x = 4 0 :x = 1 2 l e t Ben je star 12 let. 4O.5x+i=Srtx=10let Ziga ie star 10 let, Vida 2 leti, dedek 50 let. 41.2x + (2x - 5) + x = 40; x = 9 let Sestreso stare I let, 13 let in 18 let. 42.b+b*lo=a+:b=35cm Osnovni6aenakokrakegatrikotnikameri 14 cm, kraka pa po :15cm.


KHZEM PoSruuLlH t.,=

..'..

43,3x'x=243;x=9cm Stranicipravokotnikamerita9 cm in 27 cm, obseg pa 72 cm. 44.s = p + 45, y = a + 30 p + 45 + B + p + 75 = 180;0 = 20' Koti trikotnikamerijo20". 65' in 95". 4 5 . 1 6 x = 2 4 ( x - 0 , 5 ) ;x = 1 , 5h So6olceje dohiteldez 1,5 ure.


ZGLEDI V kofik5nem merilu ie narisan zemljevid, d;e sta kraja v naravi oddaljena 1 km, na zemlievidu pa 2 cm? Pojasnito: de hocemoprimerjatidve kolicinimed seboj,racunamonjunorazmerjeoziromaizradunamonjun kolicnik.Pazitimoramo,da obe vrednostikolidineizrazimoz isto enoto.

2 cm -

2 cm = 1| . so = vvv u\rooo loo ooourrr 50 006-

ft;*'..*\ |. . ,b

f

krajemav naravitlu in razdaliamed Razdaljamedkrajemana zemljevidu " :TT"l, na zemljevidu ustrezarazdalia 50 000cm, pomeni, To da enemucentimetru , ]kar?O 9:: je 500m v naravi.

â&#x201A;Ź* \;t

J

"T,, ,-,

lt-l

Prijateljiso na pikniku pripravlialinapitke.Ga5perin Miha sta 2 litra gostegasoka razreddilaz 1Olitri vode, Ana in Kaja sta 5 dl gostegasoka zame5aliv 2,5 litra vode. Ga5perin Spela pa sta razredden? f; litra gostega soka zlila v ef; litra vode. Kateri od napitkov ie boli gostegasokain pripadajoco poi5cemo kolicino razmerjemed na6ritka razredcenosti Pri Pojasnilo: ugotavljanju plenostauito,karpomeni, oOefrtoiicinizrazimozistoenotoin razmerje kotiei"no voOe.Vrednosti istapravilakotpri razmerjaveljajo ulomka.Pripoenostavljanju u oblikiokrajSanega 1"..n".r"1'a".To Stevil. deljenju

f,=r:s

=*#iiliffi='|=r,s =tril+P

= +3= i ' +=='rsf

f ritra i

+*

beremo a proti b

Foenostavlieno razmerJezaprsemoz okrajsanimulomkom

gostegasokain vodevidimo,da so razmerja v vsehtrehnapitkih enaka. Po primerjavi kolicine Vsi napitkiso enakorazreddeni.


3.

lzrailunat neznani 6len sorazmeriax : ib = 2 : 3. Pojasnilo:Nalogolahkore5imona dvanadina:

Lnac*

zu'omkom:

Il:::0"" N e z n a n i d l esno r a z m e r jxa : 1 5 = 2 : 3 j e 1 0 . H i t r ov i d i m od, a o b a d l e n ar a z m e r j a1 0 : 1 5 lahkookraj5amos pet in dobimo2 : 3. Neznanidlendanegasorazmerja x: 15 = 2:3izracunamo po pravilu,ki pravi,da je produktzunanjihclenovsorazmerja, 3 ' x, enak produktunotranjihclenovsorazmerja,15 . 2.

3 ' x =1 5 ' 2 / : 3

ltr

sora!merje

;:;I;:

Kerje vrednost neznanega dlena10,zapisemo sorazmerje 10 : 15= 2 :5.


ZGLEDI

P'iasn'': ff ;: :";"::ffi;il}ill*r5 ",. *:;::":i: ::r:::::.

V otro5kem pevskem zboru poje 6O otrok, Razmerie dedkov proti deklicam je 1 : 5. Koliko deGkov in koliko deklic poie v pevskem zboru? redbonove neznankein s sorazmerjem.

ffi*ff[il:**'.j:;:* n:'av m. *ffi :5:u r"r:ffi'ffi

vpevske m,,",,,., ::l# J:


5. 3 m3 zraka tehta 3,6 kg. Koliko tehta 1 m3, 1,5 m3, 2 m3 in 2,5 mo zraka? a) Naredirazpredelnico in zapisiena6bo. b) V kak5nemodnosusta prostornina (x) in masa(y) zraka? c) Nari5igrafodnosamedprostornino in ruro .ruku. Poiasnilo:a) Najprejnaredimo razpredelnico. Za vrednosti neodvisne spremenljivke x vzamemo danevrednosti prostornine zraka'Natoizracunamo vrednostiodvisnespremenljivke y (masozraka).Kersta kolicinipremosorazmerni, sklepamo: de se prvakolicina(prostornina) trikratzmanj5a, se tudi drugakolicin",r"::, rrikratzmanj5a.

3

:l

3,6

1,2

Irc

2

1,9

2,4

2,5,

3

:31 m3 zrakatehta 1,Z kg, 1,5 m3 zrakatehta 1,g kg, 2 m3 zrakatehta2,4 kg in 2,5 m3 zraka tehta 3 kg. lz razpredelnice vidimo,da je koeficientpremegasorazmerjak enak kolidniku3,6 : 3 enacbotegapremegasoraime4azapi5emoy-=lz* b) Prostornina(x) in masa (y) zraka stapremosorazmerni, sajiz razpredelnice vidimo: zrakatnkralzmanj5a,se tudimasa zrakatrikratzmanjSa. "::.:':"

c) Grafpremegasorazmerja y = 1,2xnarisemo tako, da urejenepare(x, y) iz razpredelnice vnesemo v koordinatni sistemin narisemo poltrakz izhodi5dem v koordinatnem izhodi5cu.

masa . (hg)'+


Zanimajo nas pravokotniki s plo56ino 12 crn2. Med niimi ie tudi pravokotnik, dolg I cm in Sirok 12 cm' vrednostiSirine celo5tevilcne vrednostidolZinepravokotnikain izracunajpripadajo6e a) PrikaZicelo$tevilcne MoZneizbireprikaZiv razpredelnici. tega pravokotnika. (y) pravokotnika z njegovoplo5dino? b) V kaksnemodnosusta do12ina(x) in Siriner c) Zapiilikoeficientin enacbo obratnegasorazmerja. c) Nari5igraf. a 12 cmz.Ce Zelimovelikostplo5dine12 cm2 Pojasnifo: lz podatkovvidimo,da meri plo5dinapravokotnik o h r a n i t i , p o t e m j e 2 c m ( 3 c m , 4 c n r , 6 c m , 1 2 c m ) d o l g p r a v o k o t n i k S i r o k 6 c m ( 4 c m1 ,c3mc )m. , 2 c se Sirinazmanj5a Sestkratin dvanajstkrat, Vidimo:ce se dolZinapovedadvakrat,trikrat,Stirikrat, je sorazmerje. to obratno da Ugotovimo, irr dvanajstkrat. Sestkrat dvakrat,trikrat,Stirikrat,

Siriniy 1cm)

I

2

3

4

o

12

12

o

4

e

z

i

12

12

lz

12

12

I

12

vidimo:ce se dolZina sorazmerju, saj Zeiz razpredelnice (x)in Sirina(y)stav obratnem b) DolZina pomanjSa' pravokotnika dvakrat dvakratpoveca,se Sirina

enadbaobratnega sorazmeria . x . y = K + y : -- k x

x in Y, c) Odnosmedkolicinama ju lahko razpredelnica, ki prikazuje sistemu. predstavimo v koordinatnem (x, y) pare Za posamezne nariSemo todkev iz razpredelnice sistemin jih poveZemo. koordinatni Pravimo krivuljo. Dobimozanimivo ji grafobratnega sorazmerja.

Sirina (cm)

12 Y = x

1 2 3 4 5 6 7 B 910111213 dol2ina(cm)


ZGLEDI Avtomobilist, ki vozi s povpre6no hitrostio 5o km/h, se pripelje iz Ljubljane v pulj v Stirih urah. a)Vkak5nemodnosustacas(x)inhitrost(y)inzakaj? b) V koliksnem dasu,biprispel-na cilj,de bi vozils povpredno hitrostjo 4o kmth,in koliksna bi bilapovpredna hitrost,de bi pri5elna cilj v 2,.5ure?Naredirazpredelnico in zapisienadbooono* r"J;;;il;;fi;"j" in dasompotovan c) Nari5igrafodnosameddasomin hitrostjo. e) Z grutaodcitaj,v kolikSnem casubi avtomobilist prispelv Pulj,ce bi vozils povprecno hitrostio 100km/h. d) Z gralaodditaj, s koliksno povprecno hitrostjo pulj bi moralvozitiavtomobilist, da bi prispelv v 3,5 ure. Poiasnilo: in.hitrost sta obratnosorazmerni kolicini, keriklepamo:ce bo avtomobilist vozil z vedjo :1.C":

iiiJff

manjdasadociljainobratno: debovozilz manjso hitrosrjo, boporabitved ir""poraoit

b) Pripravimo razpredelnico in izradunamo neznanekolicine. Pritem upoitevamo, da je produkt dasa(x) in hitrosti(y)stalenoziromada je prevo2ena potvesdassialna.

0e bi avtomobilist vozils povpre6no hitrostjo 40 km/h,bi priselna ciljv petihurah. ce bi Zelelpritina ciljv 2,5ure,bi moralvozitis povpredno hitrostjo B0km/h. Kerstadasin hitrostobratnosorazmerni kolidini, veljaenadbay

200


ZGLEDI c) Odnos med kolidinamax in y, ki ga prikazuje lahkopredstavimov razpredelnica, sistemu.Oblikovaneurejene koordinatnem pareiz razpredelnice upodobimokot tocke sistemu.Ce poveZemo v koordinatnem todkemed seboj,dobimokrivuljo,kiji pravimohiperbola. E) lz gratalahko razberemo,da bi prispelna cilj v dveh urah, avtomobilist 6e bi vozils povprednohitrostjo100 km/h. d) lz grafa lahko razberemo,da bi morala biti povprecnahitrostpribliZno57 kmlh, ce bi Zelelpriti na cilj v 3,5 ure.

tn,X,nl 110 t::

;,

io

;;

u .(n)


ZGLEDI 8.

Dani sta sorazmerii xt2= y:8 in x= 4= 5: y. Ugotovinkatero od sorazmerij je premo in katero obratno, in odgovor vsakokrat utemelii. Poiasnilo: V vsakemod danihsorazmerijpomnoZimozunanjaclenamed sebojin notranjaclena med seboj,

natopaiz enadbe, ki takonastane, y. izrazimo spremenljivko *'2=y:B x'B=2'y Bx=2y Y=4x

produktzunanjih izracunamo in produktnotranjih clenov iz enacbeizrazimo y spremenljivko

Poljubni vrednosti za x ustrezaStirikrat vecjavrednoslza y, zatoje x:2 = y : 8 premo. sorazmerje 9,

x:4=5:y x'Y=4'5 x'Y=20 .y .= - 2 0 -

X

je stalen(x 'y = Z0), Produktspremenljivk zalojesorazmerje x : 4 =5 : y obratno.

Dani sta 3n6 cm dolga daljica AB in 6 em dolga daljica OD, ZapiSi razmerie doliin daljic AB in GD. Pojasnilo: Ce imamodve daljiciin poznamonjunidolZinilABl = a in lCDl = b, potemimenujemokolidnik dolZina : b razmerjedolZindaljicAB in CD. T o r a z m e r j e l a h k o z a p i 5 e m o k o t :l A l CBDl l = a : b a U f f i = f ; ' n p r e b e r e m o d o l Z i n a d a l j i c e A B p r o t i dolZinidaljiceCD je a protib. FlazmerjedanihdaljiczapiSe*o kot ulomek,ki ga krajSamo,kolikorje mogoce.V na5emprimerudaljicaAB meri3,6 cm, daljicaCD pa 6 cm. RazmerjenjunihdolZin zapiSemo:

m3 * 6 c m = ! Q - r n= m+ 4 = 9 = 3- : s- . l A B:ll c D = l 3,6cm:6c= 6 c m 6 0 m m 5 .E ) Z r w n :. 1 5 Vidimo,da je razmerje neimenovano Stevilo, saj smoenoteokraj$ali. DolZini daljiceAB in CD stav razmerju 3 : 5.


lO. Daliici AB in GD skupaj merita 9 cm. Koliko meri vsaka izmed njiju, 6e sta njuni dolZini v razmerju 2 =3? Poiasnilo: Ce je dano le razmerjedol2indveh daljic,iz tega ne moremo razbralinjunihdejanskihdolZin. Dol2inista neki neznanivedkratnilitega razmerja,ki ga oznacimos t. S pomodjote uvedenenove spremenljivke lahkozapi5emodol:Zini danihdaljic,in sicerveljalABl = 2t in lCDl = 3t. Ce oznadimo dol2inodaljiceABzain dolZinodaljiceCD z b. potemveljaa = 2t in b = 3t. S pomocjopodatka,da obe daljiciskupajmerita9 cm, lahl<ozapi5emoenadboin jo re5imo.

2t+3t=9 5t=9 T a k ol a h k oz a p i S e mao = 2 . t = 2 . 1 , 8c m = 3 , 6 c m t=9:5 t=1,8cm b=3't=3'1,8cm=5,4cm DaljicaAB meri 3,6 cm, daljicaCD pa 5,4 cm. 11. Dana ie 4 cm dolga daljica AB. Razdeli daljico na pet enakih delov in na njej ozna6i to6ko T, ki deli daljico v razmeriu 2 : 3. Poiasnilo: lz kraji5daA daljiceAB nari5emoproljuben poltrak.Nanj petkratzapovrstjonanesemoizbranoenoto. Todko5 poveZemos kraji5demB in tej daljiciskozipresedi5da nanosovna poltrakunari5emo vzporednepremice.Te premicese'kajodaljicoAB v tockah,ki jo razdelijona pei enakihdelov.

CeZelimo,dabodaljicaABrazdeljenastockoTvrazmerju2:3,kraji5ceBpoveZemostocko5 skozitodko2 nari5emovzporednico. Ta vzporednicabo sekaladaljicoAB v todkiT, ki deli daljico ABvrazmerju2:3.


ZGLEDI 12. TrikotnikABC (c = 6 cm, a = 6Oo,b = 4 cm) pomanj5aj v razmeriu 4 : 3. Poiasnilo: NariSemo trikotnikABCzdanimipodatki.lz ogli5daA nari5emopoltrak

pomanj5ativ in nanjnanesemo Stirienake dele.KerZelimo trikotnik razmerju 4 : 3, todko4 poveZemo z ogliSdem B injiskozito6ko3 nari5emo vzporednico. Kjerta vzporednica sekastranico c, oznadimob todkoB'.SkozitodkoB' nari5emo stranici Kjerta a vzporednico. vzporednica sekastranico b, oznadimo tockoC'.Tretjeogli5de A' pomanj5anega trikotnika sovpada z ogli5cem A. A,

Lika sta podobna, 6e sta enakomerrno raztegnjena v rrse smeri. Lika sta pociobna, kadar je eden pove6ava ali pomanlSavadrugega.

13. Dan je paralelogram ABGD s stranicamd a = 5 cm in b = 4 cm in kotom a Nari5i podoben paralelogram A'B'C'D' s stranico a, = 7rli cm. Pojasnilo: Nari5emoparalelogram z danimipodatki. pomocjo S Sestilananesemona nosilko stranicea 7,5 cm (dolZinastranicea') in oznacimoogli5ceB'. Skozi ogli5ceB' nari5emovzporednico nosilkistraniceb. Kjer poltrak,ki b, ima izhodi5cev ogli5duA in poteka skozi ogliSceC, seka

je ogliSde vzporednico, C'. Vzporednica stranicia' skozi ogli5ceC' sekanosilko AD v todkiD'. ki stranice A'J je iskanocetrtoogli5ce A paralelograma A'B'C'D'.

b


14. Nari5i trikotnik ABC s podatki lABl = 6 crm, lBCl = 4 cm in lACl = 5 cm. a ) N a r i 5 i t r i k o t n i k A l B l C l t a k o , d a b o v e l j a:lloAl ,ABB, l = 2 ' . 1 , l B C l: l B 1 C 1=l 2 ' . 1 i n l A C l : l A , C 1 l = 2 : 1 . b ) N a r i s i t r i k o t n i k A z 3 2 ) 2 t a k o , d a b o v e l j a: llAo rl A BB r l l= 1 : 2 , l B C l : l B r C r l = 1 : 2 i n l A C l : t A r C r t = 1 ' . 2 . V obeh primerih v novih trikotnikih izmeri doliine stranic in velikosti notranjih kotov, primerjaj dolZine stranic in velikosti notranjih kotov med seboj zapi5i ugotovitev, Poiasnilo: Ko nari5emopoljubenostrokotnitrikotnikin 5e druga dva tako,da ustrezazapisanimnavodilom,ter izmerimoustreznekolidine,vidimo,da so sivsitrije med seboj podobni.lmajo isto obliko,razlikujejo pa se v velikosti,sajje drugitrikotnikpol manjii od originala,tretjipa dvakratvedjiod njega. Opazimo,da so stranice b in c prvotnegatrikotnikavzporedneenakole2nimstranicama.,,b., in c., 1 pomanj5anega trikotnika.Pravtak,oso stranicea, b in c vzporedneenakoleZnim stranicamar, brin c2 povedanegatrikotnika.V pomanjSanem trikotnikuso vse tri stranicemanj5eza polovico,kar pomeni,da je podobnostnikoeficient in veljaza vsa razmerjaenakoleZnih stranic.V povedanem I trikotnikuso vse tri stranicedvakratpovedane,kar pomeni,da je podobnostnikoeficient2 in velja za vsa tri razmerjamed prvotnimiin povecanimistranicami.

Meritve: l A 1 B 1=l 3 c m l A B :t t A| . ,{B:. l6 c m : 3 . r n = I 9 ! = ?' l : z , I 3cm lBiCll=2cm R o

l B C:l l B . , C=, 4l c m ' . 2 c m = # = l = z , t r A , c . ,=l 2 , 5c m

l A C: ll A , C=, t5 c m: 2 , 5c m=

dfk

= t = 2 ,t


,

:


ZGLEDI tU.

.* dolg in 2 em Sirok pravokotnik ter niemu podoben pravokotnik z dvakrat dali5imi 1:_i1=:11-: stranicami. in ju primerjajmed seboj. v obeh pravokotnikih a) Zapi5irazmerjemed enakoleZnimastranicama ju zapi5irazmerjemed njimain primerjajmed seboj. b) lzratunl obsegaobeh pravokotnikov, *c) lzradunajplo5diniobeh pravokotnikov, zapi5irazmerjemed njimain ju primerjajmed seboj. (5 cm : 10 cm)je enako 1 :2. Ko zapi5emorazmerje Pojasnilo: a) RazmerjedolZinv podobnihpravokotnikih (2 cm:4 cm),vidimo,da je razmerjeponovno1 :2.Ker so stranice Sirinv podobnihpravokotnikih podobnegapravokotnika dvakratdalj5e,je podobnostnikoeficientk = 2. koeficientu. stranicv podobnihlikihenakopodobnostnemu Torejje razmerjeenakoleZnih

primeru velja: V na5em ol.eiujeio. b) obses,'n? j" ":"llsotidolZin.strlic,kltyt< = 2 ' = = = 7 c m 1 4 i n ( 5 2 c m cm+ crn) o 2 ( a +b ) 2 ' o ' =2 ( a '+ b ' ) = 2 . ( 1 0c m + 4 c m ) = 2 ' 1 4 c m = 2 8 c m (o :o' = 1 :2),vidimo,da se ujema de razmerjeobsegovo lo'= 14 cm : 28 cm poenostavimo z razmerjemenakoleZnihstranic.

dobimo: zapisati sploSno, Ko obsegaposkusimo

?=, = 2 (:a(+' :b,'-)=?^ 2,(,lk,n '-a + k ' b )= 2 ( a + b :) k o

v splo5niobliki: obsegov Zapisrazmerja

2 (ba) +' kb=) f f i + o : o ' = 2 ( a: +

- 1 - t . u K

koeficientu. likovje enakopodobnostnemu Razmerje obsegovpodobnih -c) PloSdinapravokotnika je enakaproduktusosednjihstranic,torej meri plo56inaoriginala ' 2 c m = 1 0 c m 2 ,p l o 5 d i npao d o b n e gpar a v o k o t n i kpaa p = a'b = 5 cm ' 4 ' b ' = cm= 40 cm2. 1 0c m F'= a' p : p'= 10 cm2 :40 cmzin to razmerje Ko zapi5emorazmerjeplo5cinobeh pravokotnikov =' poenostavimo, dobimoP : P' 1 : 4.

rlobimo: plo5dini zapisati splo5no, Ko posku5amo P=a'bin p ' = a ' . b ' = ( k . a. () k ' b )= ( a ' b )' 1 2

v splo5niobliki ZapisrazmerjaploSdin p : p'= (a . b) : (a ' b) ' k2 lahkopoenostavimo indobimop:p'=1:k2.

podobnostnega koeficienta. plo5cinpodobnih likovje enakokvadratu Razmerje


l6.Stranicetrikotnikameriioa=7cm,b=gcminc=l4cm.Kolikomerijostranicepodobnega trikotnika z obsegom45 cm? Poiasnilo:Najprejizracunamo obsegdanegatrikotnika, natolahkonalogoresimona dvanacina. o=?+b+c=7+9+14=30cm 1. nacin:Kerse razmerje enakoleZnih stranicv podcbnih trikotnikih ujemaz razmerlemnjihovih obsegov, zapi5emo tri sorazmerja in izracunamo dolZinoneznane stranice. d i d ' = O : O ' b:b'=o:o' CiC'=O:O' 7:a'=30:45 9 : b ' = 3 0: 4 5 14:c'=30:45 7'45=a" 30 14'45=c'.30 9:45=b''30 3 1 5= a ' ' 3 0 405=b''30 675 = c" 30 a = 1 0 , 5c m b , = 1 3 , 5c m c'= 25cm 2. nadin Vemo,da je razmerjeobsegovpodobnihlikovenako podobnostnemu koeficientu, ga zato lahkoizracunamo,z njim pa tudi dolZinestranicpodobnegatrikotnika. '; ' _ o ' _ 4 5 c m _ 3 _ r t r o 30cm a ' = ? . k = 7 . 1 , 5= 1 0 , 5 cm

b ' = b . k = 9 . 1 , 5= ' 13 , 5 c m

c'=c'k=14'1,5=25cm

Stranicepodobnega trikotnika merijo10,5cm, 13,5cm in 25 cm. 17, 1r5 m dolga palica me6e 1r2 m dolgo senco, Kako visoko je drevo, ki istoEasno me6e 8 m dolgo senco? Poiasnilo: Pri resevanjunalogesi pomagamos podobnimatrit:otnikoma in ruzmerjienakoleZnih stranic.

Odseka na eni premici sta enaka razmerju odsekov na drugi premici.


ZGLEDI

:;j::x"fr1flffi1"ff::::t";1il"'" a :',i:15::,"*;l',Xffi:il:ffiI I

::il?;i[,ii',"J,?ilTfi',Xll'l;*, |1

'.:"1 ; 1,, :ffill" :Jr: *::"j1,":: Neznanidetrtidlen pomo.jozapisa "f;J:tt"na

in njenere5itve [=

=10m.

dobimos

l.'*


A.VAJE RAZMERJE 1. Zapi5i razmerie z okrajsanim ulomkom, a) 12:36 b ) 1 0m : 1 0 0 m 2 7: 1 5 24kg :60 kg 28:14 7 m 2 ' . 2 gm 2 2. Poenostavirazmerie.

b )t : 1 = y : 8 t'#=y:1 8.

y ' S= t , L

} - 8= # , ,

Poi5ii par Stevil a in bn da bo veljalo: b) a : b = 1 : 13 a+b=56 ^\20 1875 k \)a ^ .: Lb = b 1 0 : 2 5 c ) a : b = 1 8 : 7 "/ 30,fi,fi x : Y = 1 6: 4 8 a-b=99 uiv=36:32 9. Desko raziagamo na tri kose v razmerju 3. Roditeljskega sestanka se je udeleiilo 1 : 3 : 4. Koliko merita druga dva kosa, 18 mam in 6 o6etov. 6e najkraj5i meri .tb cm? a) Zapi5i razmerjemed Stevilommam in ocetov. 10, Doliino parcele s pomodjo mejnikov razdelimo b) Zapi5i razmerjemed Stevilomodetovin mam. na tri dele v razmeriu 2 : 3 : 4. Koliko merita c) Zapi5i razmerjemed Stevilommam in vseh star5ev. druga dva dela, 6e najdaljsi del parcele meri 4. Dolo6i razmerie doliin rdeGega in modrega 48 m? traku, 6e je rde6 trak dolg O,4 m, moder pa 11, Daljici a in b sta v razmeriu 2: 3. Vsota njunih 8O cm. dolZin je 4b cm. Kako dotgi sta datjici? 5. Daljici AB in GD sta v razmeriu 2 : O, vsota 12. lzra6unaj doliine stranic trikotnika, 6e velja: njunih doliin pa je 3 m, lzradunaj dotiino a) straniceso v razmerju4 :7 : 5, obsegpa meri posamezne daljice. 1 2 8c m 6. Zapi5i razmerje med: b) straniceso v razmerjuO : 4: 5, obsegpa meri a) kroZnimlokom,ki pripadakotu 60o,in kro2nim 36 cm. lokom,ki pripadakotu 1. 13. Notranji koti trikotnika so v razmerju 3 : Z : g. b) dolZinokroZnicein dolZinokroZnegaloka,ki v tej Koliko merijo? kroZnicipripadasredisdnemukotu 1" 14. Doliini poti, ki sta ju pretekla Marian in c) premeromin polmeromkroga Jernej, sta v razmeriu 4 : 5, Kako dolgo pot je d) obsegom in stranicokvadrata pretekel Marjan, 6e je Jernej pretekel 3O km? . d) stranicoin obsegomenakostranicnega 15. Koliko meri dotZina in koliko meri Sirina hi5e, ki trikotnika jo v nadrtu ponazaria 6 cm dolg in 4 cm Sirok SORAZMERJE pravokotnik, de je na6rt narisan v merilu 1 = 2OO? 7. lzra6unaj neznani 6len sorazmeria. 16, DolZini poti, ki sta ju prevozila kolesaria, sta a)3:x=4:B x:7=9:3 v razmerju 5 : 4. Koliko je prevozil prvi 5:20=x:4 8:40=2'.x kofesar, 6e je drugi prevozil 112 km?

a) a a+b=25


A,VAJE 17. Stirie priiatelii si nagrado360000 SIT razdeliiov razmeriu 4 =5 t 7 : 8. Koliko denaria dobi vsak?

SORAZMERJE PREMO 18. Kolesar prevozi v eni minuti 600 m. prevozikolesarpri enakihitrosti a) Kolikokilometrov v sedmihminutah? dasupri enakihitrostiprevozi18 km? b) V kolik5nem 19. Zapi5i koeficient premega sorazmeria. a)Y=6x

o)y=6*

c)y=-4x

6 )y = - x

OY=-+*

e )y = x

2O. Zapi5i ena6bo premega sorazmeria. a )k = 7 c) k = -0,4

b)k=-1 6 )k = 1

21. Narisanie graf premega sorazmeria.Zapi5i enadbo premega sorazmeria in dopolni

' 1 0 30 35

5

Pri peki kruha porabiio 2dag soli na 1'5 kg moke. Koliko soli ie treba za 6 kg moke? Nalogo reSi s sorazmeriem. Spremenljivki x in y sta med seboi odvisni realni Stevili. Zapi5i s funkciiskim zapisom. x y ie za 12veqa od spremenljivke a) spremenljivka je b) spremenljivkay petkratvedja od spremenljivkex x y ie za 3 manj5aod spremenljivke c) spremenljivka je od c) spremenljivkay Stirikratmanj5a x spremenljivke lz enega litra sirupa napravimo Sest litrov sadnega soka. in nari5igraf. a) Dopolnirazpredelnico b) Zapi5ienacbo,ki ustrezagrafupremegasorazmerja.

razpredelnico.

Od6itai vrednost koordinate x oziroma y, da bo to6ka A(x, 2) le*ala na premici a, to6ka B(1' Y) na premici b in to6ka G(0' D na premici c.


A-VAJE OBRATNO SORAZMERJE 26. Knjiga ima 216 strani (V),na vsaki strani je 36 vrstic (x). a) Kolikostranibi imelaknjiga,ce bi imetapo 24 vrsticna vsakistrani? b) Kolikovrsticbi bilona vsakistrani,de bi imela knjiga243 strani? 27. Spremenliivkix in y sta obratno sorazmerni kolidini, koeficient obratnega sorazmerjaje 4. a) Zapi5ienadboobratnegasorazmerja. b) Dopolnirazpredelnico. c) Nari5igraf.

28. Z grafa od6itaj vrednost koordinate x oziroma y tako, da bodo to6ke A{u.,2l, B(2, yl, C(4, V), D(x, -4), E(x, -2) in F(-2, y) leiale na grafu obratnega sorazmeria.

PODOBNOST 29. 6im bolj natandno izmeri doliini narisanih daljic in zapiii njuno razmerie.

a)n

b ) E

c) M

3O. Dolo6i razmerje daljic, 6e pozna5 lABl = 3 cm, lCDl=4cminlEFl=6cm. a ) l A B l: l C D t b ) t A B t: t E F t c ) t C D t: t E F l 31. Poenostavi razmerie doliin.

a )4 c m : 2 4 c m

b ) 1 4d m : 4 9 d m

c ) 1 2m : 1 m

d) 18 cm : 3,6 dm

o )| m : f ; m

e)zlm:rlm

32. Daljica AB meri 1Ob cm, datjica GD pa 45 cm. Zapi5i razmerje njunih doliin in ga poenostavi. 33. 18 cm dolga daljica a ie z daljico b v razmerju 2:3. Koliko meri daljica b?


A-W&Jffi ,,i-=' 34. Pravokotnika ABGD in EFGH sta si podobna' Poimenui pare istoleinih stranic.

. . : E

35. Na sliki so narisani pravokotniki. Poi56i tri pare podobnih pravokotnikov. ZapiSi te pare in si pri tem pomagai z merieniem.

A

EE

36. 8 dm dolg in 3 dm Sirok pravokotnik ie podoben 6 dm dolgemu pravokotniku. Kako Sirok ie ta Pravokotnik? 37. Prvi pravokotnik ie 6 cm dolg in 4 cm Sirok' Drugi pravokotnik ie dolg 3,6 m in Sirok 2 m' Ali sta si podobna? Odgovor utemelii' 38. Aliie pravokotnik s stranicama 5 cm in 8 cm podoben pravokotniku s stranicami 12'5 cm in 2O cm? Odgovor utemelii. 39. Ali ie pravokotnik s stranicama 6 cm in 8 cm podoben pravokotniku s stranicama 15 cm in 21 cm? Odgovor utemelii. 40, Z ra6unaniem ugotovi, ali sta si trikotnika

podobna. a)


A-VAJE 6cm

b)

50. Trikotniku ABG nadrtaj podoben trikotnik APR. a)

,.r\

3cm

b) 41. Ali je trikotnik z notranjima kotoma 30" in 60" podoben trikotniku z notranjima kotoma 60o in 9Oo?Odgovor utemelji. 42. A,i je trikotnik z notranjima kotoma O5o in 7So podoben trikotniku z notranjima kotoma ZOo in 45o? Odgovor utemelji. 43. Nari5i dva podobna pravokotnika v razmeriu 2 t 1. 44. Poljubnemu trikotniku nariSi podobnega v razmetiu 1 = 2, 45. Poljubnemu pravokotniku nari5i podobnega. Razmerie enakoleinih stranic naj bo 3 : 2. 46. Nari5i poljuben kvadrat in njemu podobnega z dvakrat dalj5o diagonalo. 47. Koliko merijo stranice trikotnika z obsegom 37,5 cm, 6e je razmerie med njimi 1O = 7 :8? 48. Koliko merijo stranice Stirikotnika z obsegom 1OOcm, 6e je razmerje med njimi 7 : 5 : 3 : 5? 49, Trikotnika na sliki sta podobna. Zapi5i pare I enakoleinih stranic, E

A

51. Na6rtaj pravokotni trikotnik s katetama 3 cm in 4 cm in njemu podobnega s krajso kateto 5 cm. 52. Trikotnika na sliki sta si podobna. Zapi5i razmerii a ! al in b : b.' in ju poenostavi. c b/// -/ A

, /

c1

\ b 1

\

c=ecm

s

-

, / \ n1-;=25;;-Br

53. V trikotniku ABC meri {A = 4Oo.Koliko meri {Ar v podobnem trikotniku aAiBlCl, ki ima dvakrat dalj5e stranice? 54. Nadrtaj tri 5 cm dolge daljice AB in jih razdeli na: a) Stirienakedele b) tri enakedele c) sedemenakihdelov


A.VAJE 55. Dana je 6 cm dolga daljica AB. Poi56i to6ko C tako, da bo veljalo: a ) l A C l : l C B l= 1 : 4 b ) l A C l : l A B l= 2 : 5 c ) l A B :l l C B = l 5:3 c ) l A B :l l A C =l 5 : 6 56, Poljubni trikotnik pove6ai v razmeriu 2 = 3. 57, Na6rtaj trikotnik ABC (c = 4 cm, b = 5 cm in a = 6 cm) in ga pove6,ayv razmeriu 4 : 5. 58. Trikotnik ABC (a = 6 cm, I = 9oor ^y= 45") pomanj5aj v razmerju 4 : 3. 59. Na6rtaj trikotnik ABC (b = 5 cm, a = 45o in 1 = 6Oo)in njemu podobnega v razmeriu 3:2. 6O, Trikotnikove stranice merijo 8 cm, 1O cm in 12 cm. lzra6unaj stranice podobnega trikotnika, v katerem: a) najkraj5astranicameri 6 cm b) najdalj5astranicameri 18 cm 61. 1,5 m dolga palica me6e 1 m dolgo senco. Kako visoko je drevo, ki isto6asno me6e 8 m dolgo senco?


A.VPRASANJA 1 . Katero od zapisanih razmerij ima enako vrednost kot razmerie 15 : 45? a )3 : 1 b )1 : 3 c )5 : 1 5

2. Katerood zapisanihrazmerijnimaenake vrednostikot razmerje16 : 32? 3.

a )1 : 2 b)1kg:2kg c)2:1 V klubu je 15 deklet (a) in 60 dedkov (b). Kateri zapisi sorazmerja so pravilni? a)a b = 1 : 4

b) a c) a c)a d)a 4.

5.

b=5:30 b = 4 : 1

b=3 :12 b=5:20

Kateri izjavi sta pravilni? a) Obsegenakostrani6nega trikotnikaje premo sorazmerenz dolZinostranicetrikotnika. b) Masa telesaje premosorazmernas prostornino telesa. c) Plo5dinakvadrataje obratnosorazmernas stranicokvadrata. Odgovori na vpra5anja, a) Dve kepicisladoledastaneta320 SlT. Koliko stane ena kepicaenakegasladoleda? b) Katjapretedev eni uri 11 km. V kolik5nemcasu bi pretekla44 km, de bi teklaenakomerno? c) Miha prevozi180 km dolgo pot v treh urah.Koliko kilometrovbi prevozilv Stirihurah,de bi ves das vozil enako hitro? d) Hitrost zvokaje 330 m na sekundo.Kako dalec od nas je po6ilo,ce smo sli5alizvok po treh sekundah?

Odgovori na vpra5anja. a) Desetzidarjevnaredifasado na hi5iv '14dneh. V kolikodnehbi bilafasadanarejena, de bi pet delalo zidarjevin ce bi vsi delalienako udinkovito? z enakomerno b) 0e vozimotorist hitrostjo 60 km/h, prevozirazdaljomeddvemakrajemav 2 urah. S kolik5no enakomerno hitrostjo bi moralvoziti, da bi prevozil to razdaljo v 1 uri? c) 40 Studentov bi za prevozz avtobusom pladalo vsakpo 1000SlT.Kolikobi pladalvsakza enako voZnjo, ce bijih bilole 20? 7 . Kateri graf ponazarjapremo sorazmerni kolidini? Odgovorutemelji.

6.

Preoblikuj razmerji 2 : 3 in 3 ; 2 v koli6nika in ugotovi, ali je razmerie 2: 3 enako razmeriu 3:2. 9. 20 cm dolga daljica aie z daljico b v razmeriu 2:3. Kolikomeri daljicab? 8.


A-VPRASANJA 10. Kaj pomeni, da je na6rt narisan v merilu 1 =2OO? 11. Na zemljevidu med razdalja med Kranjem in Stotio Loko 17 cm. Kolik5na je njuna zraEna razdalia v resnici, 6e ie zemljevid narisan v merilu 1 :5OOOO? 12. Katere tri izmed zapisanih iziav so pravilne? a) Trikotnikasta si podobnasamo takrat, kadar se ujematav dolZinivseh stranic. b) Trikotnikasta si podobnasamo takrat, ko sta skladna. c) Trikotnikasta si podobna,ko je razmerje enakoleZnih stranicenako. c) Podobnasi trikotnikase vedno ujematav vseh treh kotih. d) Trikotnikasta si podobna,6e se ujemata v velikostidveh notranjihkotov. 13. Opi5i razliko med skladnima likoma in podobnima si likoma. 14. Ali sta si pravokotnika med seboj podobna? Odgovor utemelji. je Sirok3 cm in 8 cm dolg a) 6 cm dolg pravokotnik je Sirok4 cm. pravokotnik je Sirok4 cm in 8 cm dolg b) 6 cm dolg pravokotnik je Sirok6 cm. pravokotnik podobnih 15. Poi56i Poi56i pare enakoleinih enakoleinih stranic stranic podobnih

16. Dana sta dva enakokraka trikotnika, v katerih poznamo dolZini osnovnic in njuni vi5ini. V katerem primeru si bosta podobna? 17. Opi5i zakonitost, ki velja med 6leni v vsakem sorazmerju. 18. Katera od zapisanih sorazmerii so pravilna? a)2:3=6m:8m b )3 : 4 = 6 m : 9 m c)5:7=2,5dm:3,5dm c)15cm:12cm=5:4 d )2 0 m m : ' 1 5 m m = B : 6 e )1 5 : 2 0 = 4 5 m : 5 0 m


A.PARI Vsakemu osendenemupolju poi56i ustrezno neosen6enopolje. Eno polje je brez para. l.

4. Dani izjavi poi56i ustrezen obrazec.

Danemu razmeriu poi56i okraj5ani ulomek.

5.

2.

Ena6bi premega sorazmeria poi5di koeficient.

Danemu razmeriu poi56i neznani 6len.

Ena6bi obratnega sorazmerja poi56i koeficient,

3.

Danemu razmeriu poi56i neznani 6len.

7.

Poi56i enaki razmeni.


&*p&ffi& ii

,.

DolZine daljic so lMNl = 5 cm, lOPl = 15 cm in lRSf = 2O cm. Dolo6i razmeria, i;',::lll ,;.:t,.i::,.t.

1 ,

3.,

l M N l: l O P l l M N l: l R S l l R S l: l M N l

A , + -

1 l

l O P l: l R S l l . e

c .

1 1. Trikotniku z danimi stranicami na obarvanih poliih poi56i podobnega s stranicami na neobarvanih poljih.

1 : 4

3 : 1 3:4

a=3cm b=4cm c=5cm

a=4cm b=4cm c=6cm

a=3cm b=3cm c=6cm

a=6cm b=6cm c=9cm €_.-, a = 4 c m ,:.'1':| b = 4 c m c=3cm

a=7 cm b=5cm c=10cm a=12cm b = 12cm c=9cm

a=6cm b=8cm c = 1 0c m a=3,5cm b=2,5cm c=5cm

1

9. Poi56i sliko, ki ustreza razmeriu.

t::. :lilii:

A A

T

.{:ri

:.-f.

..

tAT|=+rrBl

.'.:;;:r:'

:]:t2 .:i:.i:,

12. Liku na obarvanem poliu poi56i podobnega na neobarvanem poliu.

B

.l;.|.4:lr:i

rBt =SAB|

l A B:ll A T l = 5 : 3t A T l . l T B l = 2 : 3

2',

a=8cm b=4cm

a=2cm

a=4cm

:lr]-€

b=6cm

b=2cm

a=3cm b=4,5cm

a=3cm b=1cm

a=6cm b=3cm

:'1'.:.

- a

.::2i: .

o) ::? :i

lo lro-

|t-cl'

1 0 . Pravokotniku s stranicami na obarvanih poliih poi56i podobnega s stranicami na neobarvanih poliih.

a=6cm b=9cm

. C I I

::lr,.il::r:

a=4cm b=2cm

,

F't

:::i:ia:A:ri ,::lL:.,li]::l

B a=9cm b=3cm

.

a.::i",..1

C\i

Ei


A.KOLIKO ZNAM? lzraiunaj po zapisanem navoditu. a) Poenostavi razmerja 18 :24,1 m : 1,5m .

. t ni1n : za n .

Nasvet .

zadovoliivo. Svetujem ti,daponovno pregledas

b) lzracunaj neznani clensorazmerja2 | 3 = 0,5: z in sorazmerje tudizapi5i. Ostra kota pravokotnega trikotnika sta v razmerju 2 : 3. Koliko merita? Stroj izdela v 4f,ure i35 igra6. Kotiko igra6 izdela isti stroj v Sestih urah? pomagaj si s sorazmerjem. 4.

Na 5 cm dolgi daljici AB s pomodjo Sestila in ravnila poi56i to6ko G tako, da bo veljalo lABl : l B G l= 3 : 2 , Dan je trikotnik ABG s podatki b = 4 cm, a = 45o in ^y= 6O', Nari5i podobnega, ki ima stranico a.' dolgo 6 cm. Stranice trikotnika merijo 23 cm, 17 cm in 35 cm. Najkraj5a stranica podobnega trikotnika meri 34 mm. Koliko merita drugi dve?

7.

Stolp je visok 13 m. Kako dolga je senca stolpa, 6e ima istodasno 2 m dolga palica 3 m dolgo senco?

de si pravilnoresiltri ali Stirinaloge,je tvoje znanje zgledein naredi55e nekajvaj.

.

de si uspe5no re5ilpetali Sestnalog,Zezna5.

.

0e si uspe5no resilvsehsedemnalog,obvlada5 osnovnevsebine.Poskusire5itiSekak5novajoiz zahtevnej5e skupine.


A.RESITVE VAJE 1 .d + , 3 , ? 2 . .a ) 2 : 3 , 6 : 7 , 3 : 1 3. 4. 5. 6. 7.

b)+,?,+

1 : 3 ,u : v = 9 : 8 b )a : b = 2 ' . 5 , x ' . Y = c)3:4 a)3:1 b)1:3 DofZinirdedegain modregatraku sta v rczmeriu1 :2. Daljicimerita1,2 m in 1,8 m. d)1:3 a)60:1 b)360:1c)2'.1 6)4:1 a ) x = 6 , x = 2,1x = 1 , x = 1 0 b)y=;,y=;,y=10,y=1

c)a=162,b=63 8 . a )a = 1 0 , b = 1 5 b)a=4,b=52 9. Drugadva kosa deske merita45 cm in 60 cm. 1O,Drugadva dela parcelemerita36 m in 24 m. 11. Daljicista dolgi18 cm in 27 cm. 12. a) Njegovestraniceso dolge 32 cm, 56 cm in 40 cm. b) Stranicemerijo9 cm, 12 cm in 15 cm. 13. Koti merijo30', 70" in 80". 14. Marjanje pretekel24 km dolgo pot. 15. HiSaje dolga12 m in Siroka8 m. 16. Drugi kolesarje prevozil140 km. 17. Prvidobi 60000 SlT, drugi75000 SlT, tretji105000SIT in detrti 120000 stT. 18. a) V prvihsedmih minutahkolesarprevozi4,2 km. b) 18 km prevoziv 30 minutah. le.a)k=6 b)k=* c)k=-4 d)k=-1 d)k=-+ e)k=1 2O.a)y='/Y

c)y=-0,+x

b)y=-x

10 20 22. Potrebujemo8 dag soli. 23.a)y=x+12 b)y=Sx

30 60

17,5 35

c )Y = x - 3

b)Y=ox 2 5 . A ( 1 ,2 ) , 8 ( 1 ,- 1 ) , C ( 0 , 2 ) 26. a) Knjigabi imela324 strani. b) Na vsaki stranibi bilo 32 vrstic.

z z . a ) =y !

d)y=x 2r5 1 2 3 4 5 6 7 4

e)y=i

28.A(1,2), B(2,1), c(+,*), 2 9 , a4) c m: 6 c m= 2 : 3

D(-+,-4),

b )4 , 5 c m : 7 , 5 c m = 3 : 5 c)6cm:3,6cm=5:3 S O , a )l A B l: l C D l= 3 : 4 b ) l A B l' l E F l= 1 : 2 c)12:1 d)1:2 3 l . a )1 : 6 b)2:7 3 2 . l A B l: l C D l= 7 : 3

E(-1,-2), F(-2,-1)

c ) l C D l: l E F l= 2 : 3 e)2:1 d )2 : 3

33. Daljicab meri 27 cm. 34. AB in CD sta enakoldZnistranicamaEH in FG. AD in BC sta enakoleZnistranicamaEF in HG. 35. Pari so A in 0, B in D ter C in E.


A.RESITVE je Sirok2+dm. 36. Ta pravokotnik 37. Ne,kerje razmerje enakoleZnih stranicrazlidno. 38. Da,sajstarazmerji 5 cm : 12,5cm in g cm : 20 cm enaki razmerju 1 :2,5. 39. Ne,kerrazmerji 6 cm : 15 cm in g cm : 21 cm nistaenakimed seboj. 4O.a)da b) ne 41. Da,kerse trikotnika ujematav velikosti notranjih kotov. 42. Ne,kerse trikotnika ne ujematav velikosti notraniih koiov. 43.

45. D u1

46.

D1

A1

47. Stranicemerijo15 cm, 10,5cm in 12 cm. 48. Stranicemerijo35 cm, 25 cm, 15 cm in 25 cm. 49. Pari enakoleZnihstranicso AE in CD, AB in DB ter EB in CB. 5O. a)


A.RESITVE 55.a) t

A

5 2 . a ' .a l = 2 | 1 i n b : b 1= 2 ' 1 53. Kot z vrhom v 41 tudi meri 40o. 54,a) A


B.VAJE c) Nari5igraf.

3

2 0,9 5 , 4

32. lz 15 kg (x) sladkorne pese dobimo 2,4 kg (V) sladkoria. a) lzra6unajkoeficientdanega razmerja. b) Z enacboopi5iodnos med spremenljivkama. c) Kolikokilogramovsladkornepese potrebujemo za 1000 kg sladkorja? c) Kolikokilogramovsladkorjadobimoiz 156,25kg sladkornepese?

36. Kolos premeror 6+ dm se na dolodenipoti zavrtl dvajsetkrat.Kolikokratse zavrti na isti poti kolo s premeromifr dm?

PODOBNOST 37. 6im bolj natan6no izmeri dol2ine narisanih daljic in zapi5i razmerie: a ) l A B l: l C D l b ) l A B l: l E F l c ) l C D l: l E F l A

OBRATNO SORAZMERJE

^

33. lzrazi spremenljivko y s spremenljivko x in ugotovi vrsto sorazmeria.

E

a )y : x = 3 : 2 c)8:x=-24:y

b )x ' y = 4 0 c) 15 : (-y) = x : 1

34. Razpredelnigi prikazujeta odnos med dvema obratno sorazmernima kolidinama, lzpolni prazna polja, zapiSi koeficient k in enadbo obratnega sorazmeria. a)

b)

35. Spremenljivki x in y sta obratno sorazmerni koli6ini, koeficient obratnega sorazmeria pa ie 5,4. a) Dopolnirazpredelnico. b) Zapi5ienadboobratnegasorazmerja. c) Nari5igraf.

V

B h

U

38, Poenostavi razmerie dolZin, kolikor je mogo6e.

a ) 1 2m m : 2 7 m m

b ) 1 3 5 :B l

c)3,5m:5m

d) 6,3cm : 41cm

d) 10,5dm : 45 cm

",

,,,rr ,Sftt

39. Pravokotnik je dolg 12 cm in Sirok 5 cm, Dolo6i razmerie: a) Sirinein dolZinepravokotnika b) dolZinein diagonalepravokotnika c) dolZinein obsega pravokotnika 40. V kolik5nem merilu je narisan zemljevid, 6e sta 125 km oddaljena kraja na zemljevidu oddaljena 25 cm? 41. V prvem enakokrakem trikotniku meri osnovnica 1O cm, viSina nanjo pa 12 cm. V drugem enakokrakem trikotniku, ki je visok 24 cm, pa krak meri 26 cm. Ali sta trikotnika podobna? Odgovor utemelji.


B.VAJE 42, Nari5i poljuben pravokotnik in njemu podobnega, ki bo dvakrat manj5i. 43. Romb z diagonalama 6 cm in 8 cm je podoben rombu z 9 cm dolgo krajSo diagonalo. lzra6unaj doliino dalj5e diagonale podobnega romba. 44, Ali ie trikotnik s stranicami 3 cm, 4 cm in 5 cm podoben trikotniku s stranicami 10,5 cm, 14 cm ln 1715cm? Odgovor utemelji. 45. Ali ie trikotnik s stranicami 5 cm, l2 cm in 13 cm podoben trikotniku s stranicami ll cm, 26 cm in 28 cm? Odgovor utemelji. 46. Ali sta si trikotnika ABG in BED podobna?

52. Na6rtaj poljuben enakostrani6ni trikotnik in njemu podobnega, ki bo imel dvakrat krai5o viSino, 53. Poi56i podobne si trikotnike in zapi5i istoleine stranice. N

N t \

g\ t

h

A

r KNr = r M N l

A

\

\

A \

B

/ l-'\

K

L

M

Odgovor utemelji,

A

47. Na6rtaj tri 6 cm dolge daliice AB in iih razdeli na: a) tri enakedele b) Stirienakedele c) sedemenakihdelov 48. Dana je 7 cm dolga daljica AB. Poi56i to6ko T tako, da bo veljalo:

a ) l A T:ll T B=l 3 : 2

b ) l A T:ll A B=l 4 : 5

c ) l A B l: l T B l- 5 : 4

d ) l A B l: l T B l= 6 : ' l

d) lABl: lATl=

= e)tATt ftrat

f;

49. Na6rtaj podobna trikotnika. Koeficient podobnosti naj bo 2. 5O, Poliubnemurombu nadrtaj podobnega. Koeficient podobnosti naj bo O,25. 51. Na6rtajtrikotnik in ga pove6aiv razmeriu 2 : 3.

54. Na6rtaj enakostrani6ni trikotnik z osnovnico 7 cm in njemu podobnega z vi5ino 5 cm, 55, Dan je enakostranidni trikotnik s stranico 3 cm. Za koliko se razlikujejo velikosti notraniih kotov v enakostrani6nem trikotniku, ki ima trikrat dalj5e stranice? 56. V rombu ABCD meri < B = 12O". Koliko meri < B' podobnega romba AlBlClD' ki ima dvakrat kraj5e stranice?

57. PoliubnemuStirikotniku nari5i podobnega vrazmeriuS=2. 58. Enakokrakitrikotnik ABC (c = 3 cm, a = 2,5 cm) povedajvrazmeriu2:3. 59. Romb ABCD (a = 4 cm, e = 7 cm) pomanj5ai vrazmerju5:4. 6O. Trikotniku ABC (a = 5 Ghr T = 80oyc = 7 cm) nari5i podobnega,6e ie podobnostnikoeficient f.


B-VAJE 61. Na6rtaj trikotnik ABC s podatki os= 12Oo, b = 4 cm, v6 = 3 cm. Nari5i podobni trikotnik s stranico c'= 4r5 cm. 62. Na6ftaj trikotnik ABG s podatki cr = 120o, b = 4 cm, vo = 3 cm. Pomani5aj ga v razmeriu 3:2, 63. Trikotnikove stranice merijo 12 dm,8 dm in 16 dm. lzra6unaj stranice podobnega trikotnika, v katerem: a) najkraj5ameri 3,2 dm b) najdalj5ameri 10,5 m 64. Trikotnik ima stranice dolge 15 cm, 2O cm in 3O cm. Podoben trikotnik ima najkrajSo stranico dolgo 19,5 cm, Koliko merita drugi dve? 65. Kateti pravokotnega trikotnika sta v razmerju 3 = 4.lzrai,unaj obseg tega trikotnika, 6e meri hipotenuza 4O cm. 66. Pravokotnik je dolg 6 cm in Sirok 8 cm. Koliko merita stranici podobnega pravokotnika s pfo56ino 1O8 cm2? 67. Kolik5na ie razdalja med krajema A in B na razli6nih bregovih reke, 6e ie lBCl = 12O m, lGDl = 4O m in lDEl = 5O m? (AB ll DE)

68. Upo5tevajpodatke s slike in izra6unaj Sirino

iezera.

69. lzradunaj dolZini daljic: a) AE in AD, de merijo:lABl = 12 cm,lACl = 9 cm, l B C= l 3 c m i n l D E =l 2 c m . c BCIIDE

b) TC in BC,de merijo: lTAl= 6 m, lTBl= 10 m,

l A D=l 4 m i n l T D=l 5 m .


B.VPRASANJA Oglej si sliko in povej, kateri iziavi sta pravilni. a) Na premicir leZijotodke,ki imajoordinato2. b) Na premicir leZijotocke,ki imajoabsciso2. c) Todke leZijov prvem in drugem kvadrantu. d) Premicar je mnoZicatock, za katerevelja

lzrazi v obliki razmeria dveh celih Stevil,

a) 3

b)+

c) 0,5 6) 1?

d) 75"/"

V kolik5nem razmeriu sta: a) meterprotidecimetru b) literprotihektolitru c) sekundaprotiminuti c) hektarprotiaru protikilometru d) decimeter proti kubidnemu e) liter decimetru Dolodi razmerie med notranjim in zunaniim kotom pravilnega: a) trikotnika b) Stirikotnika c) Sestkotnika Katere enakosti veliaio? a )3 : 4 = 7 5 :1 0 0 b) 1 :2 = 30':60' c)2:3=4'.9 6 ) 1 2 : 3 2= 1 5 : 4 0 d)20:28=24:42 Katera i4ava je pravilna? 1 :4. a) Obsegin stranicakvadrata stav razmerju premo Povrdina in rob kocke sorazmerni b) sta koli6ini. z danoplo5cino sta in Sirinapravokotnika c) DolZina premosorazmerni kolicini. d) Obsegin premerkrogastapremosorazmerni kolicini. Kje v koordinatni ravnini leZijo to6ke, za katere velja: a ) Y= 7 b)x=-3

c)Y=o c)x=0

e n a d bxa = 2 .

8.

v4

lr,

Ugotovi vrsto sorazmerja.

b )1 0 :y = x : 7 a )x : 3 = y : 1 c) 6:x=B:y c )x : 2 = 5 : y d)4:y=5:x Katera grafa ponazariata premo sorazmerni koli6ini? Odgovor utemelii.

a)


B.VPRASANJA 10. Ali ie razmerie 3 : 4 enako razmerju 4 =3? Odgovor utemelji. 11. Doliina in Sirinapravokotnikasta v razmerju 5 : 3, Kako dolg je 15 cm Sirok pravokotnik? 12. Daliica AB je dolga 12 cm. Kako dolga je

13. 14.

15. 16.

17.

18.

daljica CD, da velja: a ) l A B :l l C D =l 2 : 1 b ) l A B :l l C D =l 3 : 4 l 5:2 c ) l C D :l l A B = d ) l C D :l l A B =l 1 : 6 d ) l A B :l l C D =l 1 : ' l Kaj pomeni, da ie zemlievid narisan v merilu I :25OOOO? 2,5 cm dolg in 2 cm Sirok pravokotnik v na6rtu predstavlja sobo, Kako velika ie ta soba v resnici, 6e je na6rt narisan v merilu 1 = 2OO? Kdai sta si dva trikotnika podobna? Predstavljaj si poliubna lika in povej, kdai sta: a) si podobna b) med sebojskladna Ali sta si trikotnika z danimi podatki podobna? Odgovor utemelji. a) Straniceenegatrikotnikamerijo6 cm, 4 cm in B cm, stranicedrugegapa 6 cm, 9 cm in 12 cm. b) Straniceenegatrikotnikamerijo7 cm, 5 cm in 8 cm, stranicedrugegapa 3 cm, 2,5 cm in 4 cm. Opazuj sliko in povej, kateri dve izmed stranic podobnih si trikotnikov sta enakoleZni. A

B

a) AB in AC b) CD in DE c) AB in BD c) AB in AE d) BC in CE e) AB in DE g) AC in CE f) AC in AB h) BC in DC 19. Dana sta dva kvadrata in dva pravokotna trikotnika. Odgovori in odgovora utemelji. a) Ali sta si kvadratavednopodobna? b) Ali sta si pravokotna trikotnikavednopodobna? 20, Kateri od zapisanih sorazmerij sta pravilni? m a )3 : 5 = 1 2 m : 1 6 b )6 : 5 = l B c m : 1 5 c m c ) ' 1 6 d :m2 5 d m = 81: 0 c ) 1 5: 2 0 = 6 m: B m d )4 : 3 = 2 0 c m : 1 2 c me )7 : 6 = 3 , 5 m : 2 , 5 m 21. OpiSizakonitost, ki velja med 6leni v vsakem sorazmeriu. 22. Opazuisliko in dopolni razmerje.

a)AB:4Q=ll:AE

b ) A E : A D = A C :Il

c) AB : AD = l_l :AE

c) AE :AC = AD : l-l

23, Opazul sliko v nalogi 22 in dopolni razmerje.

a) AB :4Q = l_l : CE

b) AE:AD= EC: l_l

c)AB:BD=[l:CE

d )A E : E C = A D : I


B.PARI Vsakemu osen6enemu poliu poi56i ustrezno neosen6eno polje. L

4.

Danemu obrazcu poi56i ustrezno izjavo.

Danemu razmeriu poi56i poenostavljeno razmerie.

Danemu razmerju poi56i poenostavljeno razmerie.

Ena6bi premega oziroma obratnega sorazmeria poi56i ustrezen koeficient. 3.

Danemu sorazmerju poi56i neznani 6len,


B-PARI Maja je visoka 12O cm, Spela 8O cm, Nina 60 cm in Bor 1OOcm. V kolikSnem razmeriu so Maiina (M), Spelina 15;, Ninina (N) in Borova (B) vi5ina?

7.

8.

Dolo6i koeficient podobnosti.

Poi56i sliko, ki ustreza razmeriu.

Trikotniku s podatki na obarvanem polju poi56i podobnega s podatki na nepobarvanem polju,


B.PARI ' . 1 - ' . . " . , . - i. j. , - .

{:F-=i,=

1O. Podatkom na obarvanih poliih poi56i podatke na belih poljih v istem razmeriu.

1 1. Liku na obarvanem polju poi56i podobnega na nepobarvanem polju.


B.KOLIKO ZNAM? lzradunaj po zapisanem navodilu. ? a) Poenostavirazmerja1,5 m : 3,5 m, 1* C t tn = J f, o 36min:6h.

Nasvet .

0e si uspe5noreSiltri ali Stirinaloge,je tvojeznanje dobro. Svetujemti, da ponoviSin re5i55e kaksen zgled.

.

0e si uspe$nore5ilpet ali Sestnalog,2e zelo dobro zna5,vendarbi gotovohotelre5evati5e bolje,zatoponoviin re5i5e nekajvaj.

.

ee si reSilvsehsedemnalog,obvladaStemeljno snov.PoskusireSiti5e kak5novaloiz zahtevnej6e gotovoti bo uspelo. skupine;

b) lzracunajvrednostspremenljivkeu iz sorazmerja (u + 2) : 3 = 20 : 12 in to sorazmerjetudi zapi5i. 2,1 m dolg trak bi radi razrezall v razmerju 5 : 7. Kako dolga bosta posamezna dela?

3. Avtomobil pripelje v 60 km oddaljen kraj v 45 min. Kolik5no pot prevozi v lf h, 6e vozi z enakomerno hitrostjo? Nalogo re5i s sorazmeriem. Razdalja na zemljevidu med krajema Pregarje in Prem meri 9r5 cm, v resnici pa sta kraja oddaljena 4 km in 750 m, V kolik5nem merilu je narisan zemljevid? Na6rtaj trikotnik ABC (a = 6 cm, B = 6Ooin 1= 75') in njemu podobnega, 6e meri stranica cr=5cm. Kateti pravokotnega trikotnika merita 5 cm in 12 cm. Koliko merita kateti podobnega trikotnika s hipotenuzo 1,3 m? 7.

lzraGunaj doliino daljice AD, 6e merijo lAEl = 49 m, lABl = 12 m in lACl = 35 m.

B D I IC E


B.RESITVE VAJE

=frx r<=t,v

1 . a )1 : 4 , 8 : 1 , 5 : 2 , 6 : 2 5 b ) 1 : 9 ,1 : 1 5 , 4 ' . 31 ,i 2 c ) 2 : 1 , 4 : 1 5 , 1 : 7 , 1 : 1 d ) 1 : 3 , 1 0 0 :1 , I : t / i , S 2. Razmeriemed zadetnoin kondnovi5inoie 5 : 6. 3 . a )l : 2 b )3 : 2 c )1 : 2 : 3 4. Stevilodedkovin dekletje v razmerju4 : 5. 5 . B C : D E= 5 : 7 6. Daljicimerita1 m in 2,2 m. 7. Daljicimerita12,5cm in 10 cm. d )1 : V 2 8. a)3:1 b )6 : 1 c )3 : 1 t)1:2

9 . a )2 : \ / 3

31, a)

b)v = o,ox

b )2 : \ / 3

lO.a)o, = 16m, or=20 6, pr = 16m2,pr=25m2 b)4:5 c )4 : 5 d)Pr:Pe=16:25 11. Delovnaprispevkasta v razmerju3 : 7. 12. Hitrostista v razmerju1 : 5. 13. Dol2inidelovjamborasta v razmerju1 : 3. 1 4 . a ) x = 3 , x = 1 3 ,x = 4 , x = - 4 0 b ) y = 1 + ,y = - 1 ] ' y = 2 1 , y = 8 , 4 1 5 . a )a = 8 , b = 1 6 , c = 2 4 b ) a = 1 2 0 ,b = 8 8 ,c = 6 4 c)a=80,b=48,c=32 16. Nekaj mo2nihdvojic: a ) ( 5 , 6 ) ,( 1 0 ,1 2 ) ,( 1 5 ,1 B ) b ) ( - 1 , 4 ) , ( 3 ,- 1 2 ) , ( - 4 , 1 6 ) c ) ( 1 , 4 5 ) ,( 3 , 1 5 ) ,( 5 ,e )

21, 49 in 70. I 7, Stevilo140 smorazdlenili na se5tevance 18.Drugidvepalicimerita1,2m in 2 m. 19.Stranicemerijo18 cm,24 cm in 30 cm. 20. Drugidvestranici merita7,5m in 11,25m, 2l . Stranicemerijo15 cm,25 cm,35 cm in 25 cm. 22.KaIetimerita6 cm in B cm. pa 12 cm2. 23. Obsegirikotnika meri2(5* VtS; cm,plo5dina 24. Katetistadolgi15 cm in 20 cm. merita14cm in 21 cm. 25. Stranici 26.Stranice merijo5 cm,12,5cm,10cm,17,5cm in 20 cm. 27.Stranice merijo4,5cm,6 cm,7,5cm,3cm in 9 cm. 28.a) Pritede 105hl vode. b) 40 hl vodebi priteklo v 64 urah. 29,24s:6h=168:x Zobnikse bo v Sestihurah zavrtel151200-krat.

k=5,y=5x

3 2 . a )k = 0 , 1 6 b )y = 0 , 1 6 x pese 6250kg sladkorne c) Potrebujemo d) Dobimo25 kg sladkorja. 33. a) y = tx; premosorazmerje O)V = *; obratnosorazmerje c) }/ = -3x; Premosorazmerje e) V = -f;; obratnosorazmerje 3,4.a) k=60 AN

V=ii

k = -648 - -â&#x201A;Ź49 ,, t X


B.RESITVE

c) A

48. a)

36. Kolo z manj5impremeromse na isti poti zavrtistokrat. 3 7 . a ) l A B l: l C D l= 1 2 : 5 b ) l A B l: l E F l= 4 : 3 c ) I C D :I l E F l= 5 : 9 b )5 : 3 c ) 7 : 1 0 d )3 : 2 d )7 : 3 e )8 : 9 3 a . a )4 : 9 b )1 2 : 1 3 c )6 : 1 7 3 9 . a5 ) :12 4O. Zemljevidje narisanv razmerju1 : 500000. 41.V prvem enakokrakemtrikotnikumeri krak t/52 + 122= 13 cm. Trikotnikasta podobna,saj je razmerjeenakoleZnihskanic 1 : 2.

c ) A

D1

A1

A B r 43, Dalj5adiagonalameri 12 cm. 44.Da, saj so razmerja3 cm : 10,5cm,4 cm : 14 cm in 5 cm : 17,5cm enakarazmerjul:3,5. 45, Ne, saj razmerja5 cm : 11 cm, 12 cm : 26 cm in 13 cm : 28 cm med seboj niso enaka. 46.Da, ker se ujematav dveh kotih (velikost{ C je enaka velikosti {Din{Bstasovr5na). 47.a) A

49.


B.RESITVE

A

A

T

B

l

55. Velikostinotranjihkotov se ohranijo. 56. Velikostkotov se ohrani,zato meri { B = 120'. 57.

53. Podobni trikotniki so AABC,A LKN,A LMN,A RTPin A RTS. EnakoleZne stranice so AC.LN.RP in RS. EnakoleZne stranice so AB,LK in RT. EnakoleZne stranice so BC.KN.MN.TP in TS.

B


B.RESITVE

63. a) Stranicemeriio3,2 dm, 4,8 dm in 6,4 dm. b)Stranicemerijo7,875m,5,25 m in 10,5m. 64. Drugidve merita26 cm in 39 cm. 65. Obsegtega trikotnikameri 96 cm. 66. Stranicipodobnegapravokotnikamerita9 cm in 12 cm. 67.Kraja sta oddaljena150 m. 68, Jezeroje Siroko80 m. 69. a) lAEl = 6 cm in lADl = I cm b) lTcl = 8{ m in lBcl = 6$ m

VPRASANJA d )3 : 4 1. a) 3 : 1 b ) 1 : 7 c ) 1 : 2 d )5 : 3 c)1:60 2. a)10: 1 b)1:100 e)1 :1 d)1 :10000 6 )1 0 0 : 1 b )1 : 1 c)2:1 3. a ) 1 : 2 4. Enakaso razmerjav primeriha, b in c. 5. Pravilnaje izjavav primerud. 6. a) na premici,ki gre skozi v f . in 2. kvadrant b) na premici,ki gre skozi v 2. in 3. kvadrant c) na abscisniosi d) na ordinatniosi 7. Pravilniizjavista b in d. b) obratnosorazmerje 8. a) premo sorazmerje e) premosorazmerje c) obratnosorazmerje d) premo sorazmerje


B.RESITVE 9. Grafa v primerihc in d ponazarjatapremo sorazmernikolidini. Graf ponazarjapremo sorazmernikolidini,de premicapotekaskozi koordinatnoizhodi5deali pa ima polirakizhodi5dev koordinatnem izhodiSdu. 1O. Razmerjinistaenaki,ker ulomek ni enak ulomku f; f. je dolg25 cm. I l. Pravokotnik 12.a)6cm b)16cm c)30cm d)2cm d)12cm 13. Pomeni,da je razdalja1 mm na zemljeviduv naravi250000 mm, to je 250 m. 14. Sobaje v resnicidolga5 m in Siroka4 m. 15. Dva trikotnikasta si podobna,de imata enako razmerjeenakoleZnih stranicali pa se ujematav velikostidveh notranjihkotov. 16. a) Podobnasta si, kadar imata enako razmerjeenakoleZnihstranic oziromase ujematav velikostikotov. b) Skladnasta, kadarse ujematav velikostistranicin velikosti kotov.Skladnalika se natankoorekrivata. 17, a) Trikotnikasia si podobna,saj so razmerjaenakoleZnihstranic 4 c m : 6 c m , 6 c m : 9 c m i n B c m : 1 2 c m v r a z m e r j2u : 3 . b) Trikotnikasi nista podobna,saj sta l zmerjienakoleZnihstranic 8 cm : 4 cm in 5 cm : 2,5 cm enaki razmerju2 : 1. Razmerje zadnjihdveh enakole2nihstranic7 cm : 3 cm pa se ne ujema z razmeriem2". 1. 18. EnakoleZnista straniciv primerihe, g in h. 19. a) Kvadratasta si vedno podobna. b) Pravokotnatrikotnikasta si podobna,kadar: - se ujemata5e v enem notranjemkotu - se ujematav razmerjukatet - se ujematav razmerjumed eno katetoin hipotenuzo 2O. Pravilnista sorazmerjiv primerihb in d. 21. V vsakemsorazmerjuje produktzunanjihdlenovenak produktu notraniihclenov.

22.a) AD 23.a) BD

b) AB b) DB

c)AC c)AC

e)AB d)DB

PARI 1.

1A-3C

3A-1C 1A-28

2C-24

1B-4C 38-4C

2A-2C 4A-3C 1C-4C 3C-48

1B-38 2C-44 1B-3C 28-3C

4.

1A-4C 3A-4C

18-2C

1C-3A 2C-38 2A-3C

38-3C

4A-1C

5.

1A-38

lU

3.

1A-4A

2A- 48

3A-18 1A-3C 2A_48

1 A -2 C

7.

3C-1C

10.

3C-28 1B-4A 28-3A 2A- 1C

zv-+v

2C-38 3A-4C

zv-5v

2C-48

3A-4C

38-1C

1A_44

48-1C

2 8- 2 C

4C-2C

zt\ - 5w

38-2C

IU-4U

2C-4C

4A- 48 1C-3C

4A-38 1B-44

1A-44 28-3C 1A-28

3C-3A

2A-1C

Jt/

1A-2C

2C-3e 11.

-

28-1Q 48-2C lC-4C

48-18

IU-+U

ID-JA

3C-1C 1C-2C 3C-18 24.48 4C-18

zw-5r5

1C-4C 3A-48

1C-3A 3C-2C

4C-28 28-4C

3C- 1C 2A- 2C 4C-48

2A_38 28-3C z+tJ -

| tr

Ce si uspe5nooblikovalpare, se loti parov zahtevnejSeravni.

KOLIKO ZNAM? 1 . a )3 : 7 , 2 : 1 , 3 : 5

b )u = 3 ,s o r a z m e r j e z a p 5i 5: 3 e= m2o0 : 1 2

2. Delatrakubostadolga8,75dm in 12,25dm. 3.60:x=45:90 Avtomobilprevozi120 km dolgo pot.

je narisan 4. Zemljevid vmerilul:50000. b

6. Katetipodobnegatrikotnikamerita5 dm in 1,2 m. 7 . DaljicaAD meri 16,8m.


C-VAJE RAZMERJE

6.

1. Poenostavirazmerie. ^r 75 62 180 144 o/ ITT' 91' 24' 964 b ) 0 , 0 1: 0 , 0 0 ;1 3 , 6: 6 , 4 ; c )9 m : 4 5 m ; 7,5m :75 km; c )9 a : 3 3a ;

7 . 4 9 . ' 5 .' tn52 12' 60', " 4 2 0g : 7 2g ; 12 cm3 : 0,4 dm3

&2 & 2 ' ,

nr2'.1onr2; 4 8 m 3: 2 f 3 m 3 2. Nika je stara tri leta, Marko pa pet let, Koliko bo star vsak izmed njiju, ko bo razmerie njune starosti3:4? 3. Notranji kot ob osnovnici enakokrakega trikotnika meri 5Oo.V kolik5nem razmerju stal a) notranjikot ob vrhuin zunanjikot ob vrhu b) notranjikot ob osnovniciin notranjikot ob vrhu c) zunanjikotob osnovnici in zunanjikotob vrhu 4. Rob bele kocke meri 4 cm, modre pa 6 cm. a) V kolik5nem razmerjusta njunarobova? b) V kolik5nem razmerju sta njunipovrSini? c) V kolik5nem razmerju sta njuniprostornini? c) V kolik5nem razmerjusta robova,povr5iniin prostornini kock,ce njunarobovapovecamo za2 cm? 5. Zapi5i razmerie med: a) obsegomkrogain kro2nim lokom,ki pripada sredi5dnemu kotu72" b) kroZnima lokoma,ki pripadata sredi5dnima kotoma144"in 36' c) stranicoin vi5inoenakostranicnega trikotnika d) stranicoin obsegompravilnega petkotnika d) povr5inoin pla5cemkocke

V enakokrakem trapezu merita osnovnici i6 cm in 6 cm, kraka pa 13 cm. V rombu pa merita diagonali 24 cm in 18 cm. Dolodi razmerie:

a) njunih obsegov

ploSdin b) njunih

SORAZMERJE 7. lzradunaj neznani 6len sorazmeria. a)2:5=x:125 b)(y+1):2=(y-1):3 1 8 : 3 6 x:4= y:(2y+7)=4'5 = 2 4 : x 0,8:(-9) ( 2 3 - y ): 6 = 3 y : 5 3 . , _ 5 . 5 (3y-25):(y+1)=4:1 4'^-2'3 72:x=-18 (y + 300): 13 = = ( 3 + 1 0 y ): 1 9 Poi56i Stevila xt yt Zs da bo veljalo: a )x : y : z = 6 ' . 7 : 8 x+y+z= 105 b ) x : y : z = 2 4 : 1 1: 7 x-y- z=1,8 c)x:y:z=1:2:4 x.l.z=64 9. Zmes je zlitina bakra in cinka, zme5ana v razmeriu 7 : 3. Koliko kilogramov vsake sestavine vzamemo, da bo masa zmesi 50 kg? 1O. Stevilo 2O8 razEleni na tri se5tevance tako, da bodo v razmerju 2 : 5 : 9. 11, Skupina delavcev si je glede na opravljene ure razdelila 288OOOSIT v razmeiu 2: O : 5 : 8. Koliko tolarjev je dobil vsak? 12, Stro5ki prevoza zatri razliLne vrste blaga so 702OOSIT in se deliio v razmerju +=Z=8. Kolik5na je cena prevoza za posamezno blago? 13. Pravokotnik je dolg 15 cm. Doliina in Sirina sta v razmeriu 2: 3. lzraGunaj niegovo Sirino. 14, DolZini daljic GD in EF sta v razmerju 7 z 20, vsota njunih dolZin pa meri 13r5 m. lzraGunaj dolZino posamezne daljice. 8.


C-UAJE 15, DolZinidaljic AB in GD sta v razmeriu5 : 7' razlika njunih dolZin pa ie 3 m. lzraGunaj dolZino posameznedaljice, 16. Kako dolgi sta daljici a in b, 6e ie razmerie njunih doliin 5 =4, razlika njunih doliin pa 6 cm? 17. lzra6unaj doliine stranic trikotnika, 6e velia: 5 : 12'. 13, a) stranice trikotnika so v razmerju njegovobsegpa meri15 cm 2 : 4 : 5, njegov b) stranice trikotnika so v razmerju obsegpa meri13,2dm I : nlegov so v razmerju c) stranice trikotnika |: ], obsegpa meri253cm 18. Primerjaj zapisana razmeriain zapiSiugotovitev. pravokotniku a) V 4 cm dolgemin 3 cm Sirokem med in zapi5irazmerje izracunaj diagonalo in Sirinoter dolZinoin diagonalo. dolZino pravokotniku b) V B cm dolgemin 6 cm Sirokem med in zapi5irazmerje izracunaj diagonalo in diagonalo. in Sirino dolZino terdolZino 19, Kateti pravokotnegatrikotnika sta v razmeriu 5 = 12, hipotenuza pa meri 26 cm. lzradunai plo56inotega trikotnika. 2O. DolZinain Sirina pravokotnikasta v razmeriu 8 : 15, plo56inapa meri 1O,8dm2. Koliko meri obseg pravokotnika?

pravokotnega trikotnika 21. Katetain hipotenuza sta v razmerju 3 : 5. Dolo6i dolZine stranic tega trikotnika, 6e je njegova plo56ina 384 dm2. 22. V kolik5nem razmeriu so kroZni loki, ki v krogu pripadajo sredi56nim kotom 60o, 12Ooin 18O"?

PREMO SORAZMERJE 23.lz 93 kg grozdja pridelajo 62 litrov vina. Koliko kilogramov grozdja bi potrebovalin da bi pridelali 4OO litrov vina? Nalogo reSi s sorazmeriem. 24. Elektri6ni grelnik vode porabi v eni uri in 1O minut 1,5 kilovata elektridne energije, Koliko elektri6ne energije bi porabil v petih urah in 20 minutah? 25. Dve zobati kolesi se medsebojno poganiata. Prvo kolo ima 3O zobn drugo pa 8 zob. a) Kolikokratse zavrti prvo oziromadrugo kolo, da se srecata ista zoba kolesa? b) Kolikokratse zavrti prvo kolo, de se drugo zavrti 't35-krat? c) Kolikokratse zavrti drugo kolo, ce se prvo zavrti 48-krat? 26. Spremenljivki x in y sta premo sorazmerni koli6ini.

premegasorazmerja. a) Zapi5ikoeficient b) Zapi5ienacbopremegasorazmerja. c) lzpolnirazpredelnico. 6) Nari5igraf.


G.VAJE 27. Narisanim grafom premega sorazmeria dolo6i koeficient in zapi5i enadbo premega sorazmeria.

PODOBNOST 32. Poenostavirazmerie doliin. a ) 1 2 c m : 1 6c m b )6 , 3 c m : 9 c m

c)sf;m:af;m

e)sf; r<m : o{ r<m

d) 3,5dm : s] dm

e) 2,5km: 3f, km

f ) 2 , 1m : 0 , 1 4m

gro3',,It*'

33. Daljica GD meri 32 m, daljica EF pa 2,4 m. Zapi5i razmerie med njima, 34. O6e je prekolesaril 168 km dolgo pot, sin pa 28. Zapi5i ena6bo premega sorazmeria, 6e njegov 1O,5 km dolgo pot. V kolik5nem razmeriu sta graf poteka skozi izhodi5de in dano to6ko, ter dolZini prevoZenih poti? graf tudi nari5i. 35. Nadrtaj daljici AB in GD v razmerju I : 5, 6e a) A(3,3) b) B(1,-4) c) C(-2, -1) kraj5a meri 8 mm. Nalogo re5i tudi radunsko. 36. Na6rtaj daljiciAB in GD v razmeriu 1 : 5, 6e OBRATNO SORAZMERJE dalj5a meri 6 cm. Nalogo re5i tudi ra6unsko. 29.lzrazi spremenljivko y s spremenljivko x 37. Nadrtaj enakostrani6ni trikotnik z doliino in dolo6i vrsto sorazmeria. stranice 1,5 cm in podoben trikotnik, ki je a)25:50=x:y b )y : x = 7 : B trikrat ve6ji. c)x'y =-33 d)6:x=-5:y 38. V kolik5nem razmeriu je narisan zemljevidn d ) 4 x : ( - 7 )= 8 : 1 4 y e ) ( x - 2 ) : 1 = ( y + 2 :) ( - 1 ) 6e je razdalja med krajema 375 km, na 30. Razpredelnica prikazuje odnos med dvema zemljevidu pa l15 cm? obratno sorazmernima koli6inama. lzpolni 39. Alije 12 em dolg in 5 cm Sirok pravokotnik prazna polja, zapi5i koeficient k in ena6bo podoben pravokotniku, ki je Sirok 1O cm in obratnega sorazmerja. Nari5i graf. ima 26 cm dolgo diagonalo? Odgovor utemelji. 40. Poi5di vse trikotnike, ki so podobni trikotniku PRS. 31. Zapi5i enadbo obratnega sorazmeria, 6e pozna5 koeficient obratnega sorazmeria k in neodvisno spremenljivko x iz dane mnoiice. Naredi razpredelnico in nari5i graf.

k=2

xâ&#x201A;Ź {-4,-2,-1,-+,+, 1,2, 4}


41. Poi56i podobne trikotnike v spodnii sliki'

42. Na6rtajtri 6,4 cm dolge daljice AB in iih razdeli: a) na tri enakedele b) na Sestenakihdelov c) na osemenakihdelov 43. Na 7 cm dolgi daljici AB poi56i to6ko T tako' da bo veljalo: a ) l A B l: l A T l= 6 : 5

= c) tABt f;rrar d)lrBt=frnsr

b)rAr=$rnar e ) l A T :l l T B =l 1 : 2

e)tTBt=ftnrt

44. Na6rtaj podobna enakokraka trikotnika' 6e ie koeficient podobnosti 2. 45. Poljubnemu trapezu na6rtaj podobnegan 6e ie koeficient podobnosti f,. 46. Poljubnemu deltoidu nadrtaj podobnega z razmeriem enakoleZnih stranic 3 : 5.

47. Nairtai poliuben pravokotnitrikotnik in niemu podobnega,ki bo imel dvakrat dali5o hipotenuzo' 48. Ali sta si pravokotnika na sliki podobna? Odgovorutemelji.

t

l | - l N 5

49. Poljubnemu petkotniku nariSi podobnega vrazmeriu5:3. 5O. Trikotniku ABG (c = 4 cm, cu= 6ooy p = 45') nari5i podobnega v razmeriu 4 : 5. 51. Trikotnik ABC (cr = 45", c = 6 cm, v. = 4 em) pomanjSaj v razmeriu 3 = 2, 52. TrapezABCD (a = 6 cm, ct = 60", c = 3 cm' v" = 3 cm) pomani6ai v razmeriu 4 : 3. 53. Na6rtaj trikotnik ABC (f = 120"7 a = 4,5 cmn b = 4 cm) in njemu podobnega s podobnostnim koeficientom t. 54. Nadrtaj trikotnik ABC s podatki c = 5 cm' vo = 3 cm in v" = 4 cm in niemu podobnega s stranico c' = 4 cm. 55. Na6rtaj trikotnik ABG s podatki c = 5 cm' v6 = 3 cm in v" = 4 cm ter ga pomani5ai v razmeriu 5 : 3. 56. Na6rtaj trikotnik ABC s podatki a = 5 cm, c = 6 cm in t" = 5 cm ter niemu podobnega s stranico b'= 7 cm. 57. Na6rtaj trikotnikABC s podatki a = 5 cm, c = 6 cm in t. = 5 cm ter ga pomani5ai v razmeriu 4 : 3. 58. Ali je trikotnik z dolZinami stranic 18 cm, 16 cm in l7 cm podoben trikotniku z dol2inami stranic 2512 cmr 2214 cm in 23,8 cm? Odgovor utemelii.

59. Danasta 15 cm dolg in 12 cm Sirokpravokotnik in njemu podoben pravokotnik v razmeriu 3 : 5. V kolik5nem razmeriu sta plo5dini obeh likov? 6O. Daljico z dolZino 14 cm razdeli v razmeriu 4 : 3. Dobljena dela sta diagonali romba. lzra6unai obseg in plo56ino r2mba.


G-VAJE 61. Razmerie enakoleZnih stranic dveh podobnih trikotnikov ie 5 : 7. Stranice drugega trikotnika so zaporedoma za 3r5 cm, 4 cm in 4r5 cm daliSe od enakoleinih stranic prvega trikotnika. Koliko merijo stranice trikotn ikov? 62. 1rg m visok zid me6e 2,28 m dolgo senco. Kako visok je stolp, ki isto6asno me6e 4115 m dolgo senco? 63. lzra6unaj doliini daljic AG in DE, 6e merijo: fADl = 8 cm, lABl = 12 cm,lAEl = 6 cm in lBCl = 5 cm.


ffi-p&mK Vsakemu osendenemu poliu poi56i ustrezno neosen6eno polie. Eno polje je brez para. 1.

Danemu razmeriu poi56i poenostavlieno razmerie. a I

25: 100

55:11 20:100 1 6: 2 0 49:28

.::5

2,

B 2 5: 2 0 2 5: 5 0 30:42 1 0 0: 2 5

c

]

c,

: ii:

4:5

'.::r.:.ri i,::,

1 " 2

1 : 4

1 0: 3

1 : 4

2"5

49:35 5:7

40:16 4 : 1

6 . 1

28:49

D 7 : 5 5'.4 1 : 5 5 : 2 7 : 4

4 : 7

:

Danemu razmerju poi56i poenostavlieno razmerie.

cl 1 2m ' . 0 , 4m

1

.,...?,

z 5g : 1 \ k s

4 : 1

2uri:2min

q - 2L "r '.t8p-,

1:20

t ha:25a

75 dm2: 3 rn2

'1 m i n: ' 1 8s e k

7 5m : 1 , 5k m

,' 14 '' 1' g 2

60:1

3:10

50:1

1:50

30:1

2 0: 1

6'.x=3'.7

x=12

22:2s

3.

{

l

r;. z

{

r

A

A

lBmin:1uri

3:2 1 : 2

Danemu sorazmerju poi56i neznani 6len.

B i:1

2 . 5 m : 5 m = x : 20 , 4 d m : f r d m = x : 1

:e,-

.t::;

it;3

,

2 1 c m : 1 0 5c m= x : 3 5 x : 5 0 = 2 : x

x=2

x:6=3:2

x=14

x=1

X= 1 0

X=3

x=7

]:{=x:r

x=5

x=9

x=21

x=20

0 , 6 k m : 4 , 2 k m = 3 : x : B= 1 8: x

X = 0,75 x= 15 2 ' . x =0 , 4m : ' t m

x:9=25:x


C-PARI 4. Danemu sorazmeriu poi56i neznani 6len.

5.

Poi56i sliko, ki ustreza sorazmerju.


C-PARI Sliki ali zapisu dolZin doloGi koeficient podobnosti.


ZNAM? G.KOLIKO 1 . lzra6unaj po zapisanem navodilu. a) Na oznadenamesta vstavi ustrezneStevilke. je dolg 12 cm in Sirok5 cm. Pravokotnik je Razmerjemed Sirinoin dolZinopravokotnika Razmerjemed dolZinopravokotnika in [ ,I je I diagonalopravokotnika : [. Razmerje med dolZinopravokotnika in polmerom pravokotnikuodrtanekroZnicei" [ ' f . b) lzradunajvrednostspremenljivkex iz sorazmerja . s = (zx + : + in to sorazmerjetudi Pf 4: [) zapiSi. Doliini katet pravokotnega trikotnika sta v razmeriu 3 t 2.lzra6unaj obseg tega trikotnika do centimetra natan6no, 6e meri plo5dina 675 cm2. Hitrost zvoka je 33O m/s. a) Kako dale6od nas je pocilo,6e smo sli5alizvok po osmihsekundah? b) Cez kolikominutbomo zasli5ali4,95 km oddaljen zvok? Nalogo re5i s sorazmeriem, 4,

Na nosilki 7 cm dolge daljice AB s pomo6jo Sestila in ravnila poi56i to6ko C tako, da bo velialo lBGl = 3lABl. Trikotniku ABC s podatki b = 6 cm, c = 4 cm in p = 75" nari5i podoben trikotnik v razmerju 8=2. Stranice trikotnika merijo 24 cm,2 dm in 16 cm. Koliko merijo stranice podobnega trikotnika z obsegom 21 dm?

Nasvet .

je tvojeznanje ie si uspe5no resiltriali Stirinaloge, dobro, vendarposkusipregledati zgledein ponoviti nekajvaj.

.

de si resilpetaliSestnalog,Zeveliko zna5.Potrudi se in svojeznanje5e raz5iriz zglediin vajami.

.

de si re5ilvsehsedemnalog,odlidnoobvlada5 tudi zahtevnejSe naloge.


It

C.RESITVE VAJE 1 . a )3 : 4 , b )1 0 : 1 , c )1 : 5 , d)3:11,

, . 1 a . 1 A

5:18,

t4,16;

15:2, 5:7, 1:10000, 1:10,

1:6 3:4 3:100 +:tE

2. (3+ x) :(5 + x)= 3 :4 Nika bo stara Sestlet, Markopa B let. c )1 3 : 1 0 3 . a )4 : 5 b )5 : 8 4 . a )2 : 3 b )4 : 9 c ) 8 : 2 7 d )3 : 4 , 9 : 1 6 , 2 7 : 6 4 5. a)5:1 b)4:1 c)2:\4 d)1:5 d)3:2 6 . a )4 : 5 b ) 1 1: 1 8 x=4 7, a)x=50, x=-2, x=270, x = | , -

^l

b ) y = - s ,y = - e t . y = 5 . 8. a)x=30,y=35,2=40

y=-29, y=51 b ) x = 7 , 2 1=Y3 , 3 ; z = 2 , 1

c)x=2,Y=4,2=8 9. Vzamemo35 kg bakra in 15 kg cinka. lO. Stevilo208 smo razdlenilina sesievance26, 65 in 117. 1 1. Prvi delavecje dobil 32 000 SlT, drugi 48 000 SlT, tretji 80 000 SIT in detrti128000 SIT. 12. Stro5kiprevozaso 15 120 SlT, 38 880 SIT in 16200 SlT. 13. Pravokotnikje Sirok22,5 cm. 14. Daljicimerita3,5 m in 10 m. 15. Daljicimerita7,5 m in 10,5m. 16. Daljicista dolgi 30 cm in 24 cm. 17. a) Straniceso dolge2,5 cm, 6 cm in 6,5 cm. b) Stranicemerijo24 cm, 48 cm in 6 dm. c) Stranicemerijo 138 cm, 69 cm in 46 cm. 18. a) Razmerjemed dolZinoin Sirinoje 4 :3, med dolZinoin diagonalo P a4 : 5 . b) Razmerjemed dolZinoin Sirinoje 4 :3, med dol2inoin diagonalo oa4:5. V obeh likihse je razmerjeohranilo. 19. Plo5dinameri 120 cmz. 20. Obsegmeri 13,8dm. 21. DolZinestranictrikotnikaso 24 dm, 32 dm in 40 dm. 22.Kro1ni loki so v razmerju1 '.2 :3. 23. Potrebovalibi 600 kg grozdja. 24. Elektridnigrelnikvode porabio$ kilovatovelektridneenergije. 25.a) Prvo kolo se zavrtiStirikrat,drugo pa 1s-krat. b) Prvo kolo se zavrti36-krat. c) Drugo kolo se zavrti 18O-krat. 26.a)k=2,5 b) y = 2,5x

27. a) k, '= 2 , y , = 2 x 2 8 . a ) k =1 , y = *

b ) k 2 = - r , y z = - | xc ) q = - 1 , y 3 = - x b)k=-4,y=-4x

c 1 x = ! r=, v!

29.a) y = 2x;premosorazmerje b) V = 6*; premosorazmerje c) V = -T; obratnosorazmerje el V = -qox;premosorazmerje 4 V = -1; obratnosorazmerje e) y = -x; premosorazmerje


C.RESITVE v=+:Y=*

38. Zemljevidje narisanv merilu1 : 2500000. 39. Diagonalaprvotnegapravokotnikameri ltTZ\ S2 = 1g cm. Podobenpravokotnikima Sirinoin diagonalodvakratdaljSokot prvotnipravokotnik,zato sta si lika podobna. 4O, TrikotnikuPRS so podobnitrikotnikiPSE, RSE, ERF in SEF. 41. Podobniso si trikotnikiCHJ.CED in CBF.

3 1 . y= ?

b)A

t)

3 2 . a )3 : 4 d)2:3

b )7 : 1 0 a \ l n ' 1 e

33. lCDl : lEFl = 40 : 3 34. Dol2inipotista v razmerju16 : 1. 35. A B

c)3:7 f)15:1

d )6 : 1 1 g )2 : 1

43. a) A D

DaljicaCD meri 4 cm.

36. A DaljicaCD meri 1,2 cm.

R

B C

D


C.RESITVT

47.

^)

A1 A

Sirin 48. Ne,kerrazmerje dolZina : 3a = 1 : 3 ni enakorazmerju 49.

$a:2a=3:10.


G.RESITVE

/

tr

H


C.RESITVE PARI 1.

5A-5D

28-5C 3C-4D 58 - 1C

2A- 4C

28_5D

3A-1C

1B-2D 38-4C 48-4C 1B-5C 38-1C

4A- 2C

q6-

5A-3D

1A_38 28-58

18-24 2C-4C 4C -2D

1A-2C

3A_3D 44-1C 1A-5C

3C-1D 1A-1C

34-4C 4A-5C 1A- 2C 3A-4C

zv

1B-5D 38-1D 48 -2C

1 C- s B 38-5D

3D-48 1A-5C

28-2D

38-2A

3C-58 4C-1D

+u-

tv

2A-5C 3C-1D

JI,J

_

IU

rc-4c 58-2D

1C-48

1C-3A

2C-44 4D-5A 2A-1C 3C-2D 5A-2C

3c-5c

1D-5C

zv-+u

3C-2A 5A-2D 2C-3D

3C-4A 5C-18

3C - lC

48-5C

5A-3A

5D-4A

5D-3D 28-5C 3C-4D 5tt - z+(r

ze-4D

KOLIKO ZNAM? 1. a) Pravokotnikje dolg 12 cm in Sirok5 cm. Razmerjemed Sirinoin je 5 : 12. Razmerjemed dolZinoin diagonalo dolZinopravokotnika pravokotnikaje 12 : 13. Razmerjemed dolZinopravokotnikain polmerompravokotnikuodrtanekroZniceie 24 : 13.

zapi5emo a{ : 3 = sf, : a b) x = zl,sorazmerje 2. Obsegtrikotnika meri129cm. 3. a) 1 : B = 330: s; smo2640m daled 1 ,i n b o m o b ) 1 : t = 3 3 0 : 4 9 5 0c;e z - m zvok zasli5ali

58. Da, saj je trikotnikpovedanv razmerju5 '.7. 59. Ploicini sta v razmerju9 : 25. 60.o = 20 cm, p = 24 cmz 61. Stranicemanj5egatrikotnikamerijo8,75 cm, 10 cm in 11,25 cm. Stranicevedjegatrikotnikapa merijo 12,25 cm, 14 cm in 15,75cm.

jevisok 62.Stolp so+^.. 63. lACl = 9 cm, lDEl = 3* cm

6. Stranicemerijo8,4 dm, 7 dm i n 5 , 6d m . 7 . NeznanadolZinamerio| m.


'l'

I

t

I

I

'l I

€€€R flrcs


:

.-j.

-3,

-2

4..

-1q,

-t - oA..

1

-2'

2

'

2

a :


4.

Anja za prve tri minute pogovora po telefonu plada 150 SIT' za vsako nadalinio minuto pogovora pa po 30 SlT. Koliko je pla6ala zd pollovrDr,6e se ie pogovariala 12 minut? poiasnilo: Anja je za vsako minuto, razenza.prvetri minute,placala30 SlT, torej se je pogovarjaladevet minut, zakatereje pla6alaI . 30 SIT = 270 SlT, in tri minute,za katereje placala150 SlT. Odvisnostje zapisala f(x) = 30x + 150 f ( x )= 3 9 ' 9 + 1 5 0 f(x) = 270 + 150 t(x) = 420

f(x)=rk.x+n "^"rni/ koeficient

=}.,n" vrednost

pogovoraje Anja pladala420 SlT. Za vseh 12 minuttelefonskega

5, Danaie linearnafunkciia f(x) = 6x - 5. 1 funkcijePrix = vrednost danelinearne a) lzracunaj ;' dine funkcijeenaka25? x je vrednost spremenljivke b) Prikaterivrednosti f(x)privrednosti je ernaka pojasnilo: a) Vrednost vrednosti odvisnespremenljivke funkcije linearne x= sPremenljivke L' f ( x )= 6 Y - 5

::_"u-u llxi l(x\=-2 f(x)= 6x - 5 enaka-2' funkcije Prix = ie ureOnost ] tak x, da bo veljala funkcijeenaka25, moramopoiskati danelinearne b) Kernajbo vrednost enacba25=6'x-5. - 6 x= - 5 - 2 5

*X

=-30/:(-6)

X = 5' spremenljivke funkcijef(x)= 6v - 5 je 25,ce je vrednostneodvisne Vrednost


ZGLEDI 6'

Za linearno funkcijo f(x) = -2x + 7 zapi5i smerni koeficient l< in zaGetno vrednost n.

Poiasnilo: r(x) kx+ n. lz enadbe r(x)= -2x+ 7 tahkorazberemo, daje smerni 111j_".le ; -2, Koerrcrent enak zacetna vrednost -2in pa7, kar = zapisenro k "=::*:]:l:::t n =7.

7'

Zapi5i erta6bo linearne funkcije, 6e pozna5 smerni koeficiernt k in za6etno vrednost n.

a) n=i,n=-i

b) k=0,n=0,6

c) k__1,n_rJ

Poiasnilo: Ustreznoenaibo linearnefunkcijedobimo,de vrednostsmernega koeficientak in zacetnevrednosti n vstavimov enadbof(x) = t1x., 6.

a)f(x)=+--3 8'

b) f(x= ) 0'x+0,6 f(x) = 9,6

c ) f ( x )= - 1 ' x + 0 f(x) = -x

Ena6bo linearne funkciie 3x - 2y - 6 = O zapisi v razviti (eksplicitni) obliki, nerazvita oblika ena6be ax+by-c=O

Poiasnilo: Enadbolinearnefunkcije,kije zapisanav nerazviticrbliki, zapisemov razvitioblikitako, da iz ena6be tzrazimoy. To lahkostorimos preoblikovanjem.

3 x - 2 y- 6 = 0 i + 6 3x-2y=6/-3x -2y=6-3xt:(-2)

y=-s+$x n

obemastranemaenaibe pristejemo6 obemastranemaenadbeod5tejemodlen 3x obe stranienacbedelimoz (-2) uredimoclene

z

v= ! x - s rerzvita oblika ena6be y=kx+n

Nerazvito oblikoenadbolinearne funkcije3x - 2y - 6 = 0 zapiserno v razvitioblikiz enadboV =

Z^


0

:

:: .

-:l:


rinearne funkcije zavrednosti xâ&#x201A;Ź {-1, 0, 1}, nari5i grafe in opi5i njihovolego. ena6ba premice

'

y=kx+n

ilol:3*le

Pojasnilo:Funkcije tabeliramo tako,da izberemo vrednosti neodvisne spremenljivke x (v naSemprimeruso to -1, 0 in 1),jih vstavimo v funkcijski zapister izracunamo vrednost funkcije. Podatkein izradune zberemov razpredelnici. a) Y = 3 x - 2

x

rtE _:3:: Pu5dice kaZejo, da se vrednost neodvisne spremenljivke x za 1 poveduje, vrednost odvisne y pa se pritem spremenljivke poveduje za 3.

Kerje smernikoeficient 3, torejje k > 0, premicanaraica.

b) Y=-3x+2

+1 +1

j

,tu l)-g ,2 4 -1 )-t

Pu5dice kaZejo, da se vrednostneodvisne spremenljivk e x za 1 povecuje, vrednost odvisne y pa se pritemza 3 zmanj5uje spremenljivke -3, torejje k < 0, Kerje smernikoeficient premicapada.


c) Y=3 X

'g

*1c -1. . 3 ) * o *1c : a ) * o U

<

l

Pu5dice kaZejo, da se vrednostneodvisne vrednost x za 1 poveduje, odvisne spremenljivke y pa se pritem ne spreminja. spremenljivke

Kerie smernikoeficient 0, torejjek = O,je premicavzporedna z abscisno osjo(konstanta).

11. ZupoStevanjemkoeficienta k in za6etne vrednosti n nari5i graf linearne funkcije y = -2x + 3, ozna6imo z N(0,3). Smerni sekaos y. To preseci5ce Pojasnilo:Zadetna vrednost n pove,v kateritodkipremica povedamo za k. pove:de poljubno za 1, se vrednost funkcijespremeni izbranovrednostx koeficient -2, za dveenotinavzdol. Dobimodrugo se premaknemo V todkiN povecamo x za 1, in kerje k = -2x* = graf lahko funkcije. premici y nari5emo linearne S. S"Oul tocko,ki leZina


12. Dane so enaibe linearnih funkcij. Nari5i-grafe. Prese6i66e premice z ordinatno osjo v posameznem

:iil:';I'j"n"i

='Til'j

lfi

usotovis? c)y=2x+2

Pojasnilo:lz slikeVidimo, da premicay = 2x + 2 sekaordinatno y = 2x potekaskozi os v tocki(0,2). Premica (0,0). Premica koordinatno izhodisce y = 2x - 2 sekaordinatno os v tocki(0, -2).S primerjavo presedi5ca in enadbeugotovimo, preseci5ca premicez ordinatno da je drugakoordinata osjozacetna vrednostn linearne funkcije.

za6etna wednost fun-kcije

v:-.1i' N(o,v)

Premice,k imajo enak smernikoeficient,so med sebojvzporedne. 13. Zapi5i enadbo linearne funkcije, narisane v koordinatnem sistemu. Poiasnilo: Zabelnavrednostn nam pove,v kateritodkipremicaseka ordinatnoos. Ker jo seka v todkiN(0, 1), je zacetnavrednostte funkcijeenaka 1, kar zapiserTro n = 1. Smernikoeficientnam pove,za koliko

primeru sevrednost runkcije zmanjsa ::;:ffiil ff:H|Jil:lfi'J;JT::?T:,-x]"'J::T

-ai.

je f(x)= -2x+ 1. Enacbalinearne funkcije


ZGLEDI 14. Nari5i graf premega sorazmeriay = -x in odditaj neznani koordinati to6t A(t, y) in e{*,3J s tesa grafa. Ali to6ki M(2, -21in N(-1,-1) leiita na premici? pripadajode vrednosti odvisne Pojasnilo:Najprejizberemo neodvisne spremenljivke x in izradunamo tri vrednosti y ter urejeneparezapi5emo kottodkein jih ponazorimo v koordinatnem sistemu. spremenljivke

Neznano tako.da skozil na ordinato tockeA dolodimo z vzporednicoordinatno osjol abscisni osi nari5emo je Presedi5de vzporednice in grafapremegasorazmerja abscisni osiskozitockoA. todkaA. Nari5emo 5e vzoorednico -+ Vidimo,da privrednosti sekaordinatno os,zatoje iskana

# :t"fJl, ::X[1H i3l"':m il'itl;Jll 9:fLr'e ",. vzporednice in grafa vzporednico z abscisno osjo.Preseci5ce

naabscisni odcitamo osiindobimo absciso i:#:T6t-tiyno v koordinatni TockiM in N nari5emo sistemin vidimo,da y =-x, tockaN(-1,-1)pa ne leZi tockaM(2,-.2)lelinagrafu preverili Enadbi na temgrafu.To bi lahko tudira6unsko. premegasorazmerja y = -x todkaM ustreza(koordinati sta

paneveljazakoordinati ra lastnost si stevili). ;1TJ"J:


"-rn1, b), ,t ,..

.il;:"

."

kvsravimo v enadbo v =kx+ 12, "ienta

lz enadbe daje smerni koeficient n vrednost n V= -!^+ n je razvidno, """1,l"4nt""cetno lL"* = ,T': ,, v enacbo n vstavimo koordina

r"

,

.

+:::"

+=-i.t".' jI,k-i = b+ ninzapisemo =, vstav y=-*** .l mo venacbo,

::: .,r:-


16. ZapiSi ena6bo linearne funkcije, ki grerskozi to6ki T1(O,6) in T2(-3, 1). Pojasnilo: Ker je enacbapremicey = kx +.n, moramoizradunatismernikoeficientk in zacetnovrednostn. na dva nacina. To lahkoizracunamo 1. na6in:V enadbov = kx + n vstavimokoordinatiobeh todk (najprejvzamemotodko,ki ima eno od koordinatenakoO). Ker tockaT1(0,6) leZina grafufunkcijey = kx + n, je 6 = k' 0 + n - n = 6; n vstavimov drugoenacbo. Ker todkaT2(-3, 1) leZina grafufunkcijey = kx + n, je

I

= n^,(-3i+ n

,l=;'j,.'

1=i'" 3k=5/:3

-Enadba , : premice - . , - . - ^: je : - .y. = 5 . .+ ^6. fx *2. nadin:Najprejpoi5demosmernikoeficientk, in sicertako, da koordinatiobeh tock vstavimo

T1(x1,Y),T2(x2rY2l

:=;=*;%

___j/_ -

Y

-3-3

k =Yz'Yr x2-xl

= da enaizmeddanihtock,na primerf ,,b1i na premiciV Upo5tevamo,

Torej velja: 6 = 3' 0 + n * n = 6 je y = Enacbapremice

fx

+ 6.

$x

* n.


17. Dan_a ie premicay = -$x + 1. a) Grafidno in racunsko dolocipreseci5ci premices koordinatnimerosema. plo5cino b) lzracunaj trikotnika, omejenega s premicoin koordinatnima osema. 1

=-t*+ 1 in vkoordinatnerm Poiasnilo:a) NarisemopremicoV s;istemu oznacimotocki M in N,vkaterih premicasekakoordinatniosi. z:rdetna vrednost funkcije

N(0,v)

ni6la funkcije M(x, O) To6kaN leZina ordinatniosi, torejje njenaabs,:isaenaka0. 0e vrednostx = 0 vstavimov enadboy = -** r- 1, izracunamoordinaiotodkeN.

y = - + . 0 + 1 - y = i ; N 1( 0) , TodkaM (nidlafunkcije)leZina abscisniosi, torejje,njenaordinataenaka0. V tej tockije vrednostfunkcijeenaka0 (od tod ime nidlafunkcije).ie vrednosty = 0 vstavimov enacbo y = -t" + 1, izracunamo abscisotodkeM, to je niclafunkcije O=-**+1-x=3; M(3,0) 3^-' premicez ordinatnoosjo je tocka N(0, 1), preseciSce Presedi5de premicez abscisnoosjo pa todkaM(3,0). b) Trikotnik,ki ga premicatvori s koordinatnima je vedno pravokoten,zato je njegova os;emia, plo5cinaenakapolovicnivrednostiproduktaobeh katettrikotnika.Ena katetatrikotnikaje razdaliaod koordinatnega izhodi5cado tocke M, v na5emprimeruje enaka3 enote. Drugakatetatrikotnikapa je enaka razdaljiod koor,Jinatnega izhodi5cado tocke N, v na5emprimeruje enaka '1enoti.


ZGLEDI prosdiho namo trikotnika: ;=f.,.

',lfi#fi

oratenona,oso :*t;rJ;l":;,*:rsee

x in y, da bo Y = x - 3 tak5nivrednosti KertockaP leZinaobehpremicahhkrali,moramopoiskati i n h k r a tyi : - 2 x . Desnistraniobeh

-1:i ::;,

;l;

roor.o nuti,-.J;;',emic

v enood danihenacbin dobimoy: x vstavimo

P(1,-2). sta1in-2, karzapi5emo


A-VAJE 1. Na realni osi upodobi to6ke A(2), B(-3), C(_1,S), D(rl)in E(4,s). 0

b) BlaZimadvakratvec denarjakot AnZe. 500 2300 BBOO

1

2. Dolodi koordinati to6k A, B, C, D, E, F in G.

c) Steviloy je sedminaStevila x. -7

U

21

c) V kampuje 15 prikolicveckotSotorov.

Kate re vred nosti lahko zavzarnejo s p rem en Ijivke: a) tockev redovalnicipri matematiki b) Stevilopik na kockiza igro "dlovek,ne jezi se* Na sliki je graf funkcije, Dolodi absciso oziroma ordinato urejenega para tako, da bodo to6ke M(xp o), N(x2, 3), O(4, ys), p(x4, -r) in R(6, yr) leZale na grafu. V koordinatni ravnini nariii to6ke: T{9,2), T2F2, -3), T3(-4, 11,T4F2, o), T5(0, 3) in Tu(i, -3). V koordinatni sistem narisi to6ko A(i, 3) ter to6ko A', ki je zrcalna slika to6ke A glede na koordinatno izhodi56e. Zapi5i koordinati to6ke A'. Katere izmed funkcij so linearne? a) f(x) = x b) f(x)= 1 c) f(x)= t d)f(x)=-3x-2 d)f(x)=x2

7.

!.

e ) f ( x )= 7 - x

Dana je funkcija f(x) = -8x + 5. lzra6unai t(-2), f(o), f(3), f(o,s) in f(j[). lzpolni razpredelnico in zapiSi zvezo med koli6inama. a) Mojca je tri leta mlajdaod Borisa.

10. Dolodi smerni koeficient k in zadetno vrednost

n dane funkcije. a ) y = 3 x + 5 b ) y = - B x + 4 c )Y = x - 1 d)y=-x-2 d)y=5x e )y = - 3 x f) y = 10 g )y = ' 1 , 3 x - 1 , h 3 )v = - x


A-UAJE 11. Dana sta smerni koeficient in zadetna vrednost linearne funkciie. Zapi5i ena6bo linearne funkciie, a)k=6,n=3

b) k=-2,n=1

c )k = 6 , t = - t

c) k=0,n=4

d)k=1,n=-1

e) k=-1,n=0

13. Narisane linearne funkciie imaio razlidne smerne koeficiente in enake zadetne vrednosti. Katera premica ie naiboli strma in katera naiboli poloina?

12. d,ez dan smo merili temperaturo zraka ob razli6nih 6asih, kot kaie razpredelnica.

zrakaeez tempe"alure a) Nari5igrafspreminjanja dan. zrakaob 3' uri,9. uri, b) Z grataodiitajtemperaturo 1 3 .u r ii n 2 1 .u r i . c) Z gralaodditaj,ob kateriurije bilatemperatura zraka-1"C,-2 oC,+3 oCin +1 oC. in nara5dala d) Z grafaodcitaj,kdajje temperatura kdajpadala. Z d) grafaodditaj,ob kateriurije bilatemperatura zrakanajvi5jaoziromana1nilja.

14. Dana je razpredelnica'

ravnini' a) Nari5ito6keT(x,y) v koordinatni premici? todkena b) Ali leZijonarisane razpredelnica? prikazuje funkcijo linearno c) Katero 15. Dana je razpredelnica.

ravnini. T(x,y) v koordinatni a) Nari5itodke tockena premici? b) Ali leZijonarisane


A.VAJE 1 6 . Dopolni razpredelnicoin nari5i graf linearne funkcije.

17, Tabeliraj linearno funkcijo za vrednosti x € {-1, O, 1} in jo nari5i. a)y=x+1 b)y=-2x+3 c)y=3x-1 d)y=4x 18. Tabeliraj linearno funkcijo za vrednosti x e l-2, O, 2l in nari5i premice v isti koordinatni sistem. ,

'

1

a)y=2x+2 .

1

c)y=-Zx-2

24. Dolobi koordinato x, 6e veS, da leii to6ka V(x, -6) na premici y =7x+ 1. 25. Naredi razpredelnico in nari5i druiino premic y = kx - 1; k € {- 1, 0, l}ter zapisi enaGbe premic. Kako potekajo premice? 26. Nari5i druiino premic y = x + n; n € {- 1, O, 1} in zapi5i ena6be premic. Kako potekajo premice? 27. Od6itai -z grafa koordinati to6k M in N, v katerih funkcija f(x) seka koordinatni osi. a)

1

b)y=-)x+2 q y = ) 1x - 2

^

19. Spodnje linearne funkcije se razlikujejo v smernih koeficientih, njihove zadetne vrednosti pa so enake. Nari5i niihove grafe v isti koordinatni sistem. Kaj opazis? a)yt=4x-1 b)yr=2x-1 c )y s = x - 1 6)yo=-x-l d)ys=-2x-1 2O. Nari5i grafe linearnih funkcij v isti koordinatni sistem. Kaj opaziS? a)Yt=2x b)yr=2x-1 c )y s = 2 x + 1 21, Graf katere od spodnjih tinearnih funkcij je vzporeden premici z ena6bo y = -3x + I in zal<aj?

a)Y=-3x

b)y=3x+1

c)y=3x-1

22. Tabelirai funkcijo f(x) = 2x - O za vrednosti x € {-1i -O,5i O; O,5; 1; i,S; 2}. Katere od to6k TlFl, -61,T2(2' 1), T3(O,3), T4(1, -1) in T5FO,S; -a) leiiio na na grafu? 23. Dolo6i koordinato y, 6e veS, da leii to6ka T(8, y) na premici y = 4x - 3.

28. Grafidno ugotovi, ali je to6ka P(1,21 prese6i56e premic v1 = 2x ln y, =x + 1. 29. Grafi6no ugotovi, ali je todka T(O, i) prese6i56e premic v1 = 3x - 3 in Vz = -x +1. 6e ni, od6itaj presedi56e danih premic. 30. Nari5i premici y1= -2x + 3 in y2= -x + 2 ter grafidno dolo6i njuno prese6i56e.


A-VPRASANJA ii:i;i.*E= Oglej si sliko in ugotovi, kateri iziavi sta pravilni. a) Na premicit leZijotocke,ki imajoabsciso1. b) Na premicit leZijotocke,ki imajoabscisoenako ordinati. c) Na premicit leZijotodke,ki imajoabsciso nasprotnoenakoordinati. 6) TodkeleZijona simetraliprvegain tretjega kvadranta.

7 . V katerih primerih ie smerni koeficient k pozitiven oziroma negativen?

8,

Dana sta smerni koeficient in za6etna vrednost linearne funkciie. Povei nieno ena6bo, b)k=-14,n=25 a)k=5,n=3

c)k=fr,n=o

c)k=0,n=-3

9. Kai velia za premice, ki imaio: a) enaksmernikoeficient? b) enakozadetnovrednost? e)Y=-3x+10 d)y=8x d )v = g X 1O. Kateri premici sta si vzporedni? h ) fl v=? v = 3 o ) v = f l c)Y=3x-t a)y=-2x+5 b)Y=x*S X -1O) e)y=-2x d)y=x-5 6)y=-3x in C(1, 4l le2i Katera od to6k A(-1, 8), B(2, Kateri zapis pomeni ena6bo linearne funkciie? b)y=2x-x3 c)Y=5x+4 a)y=x2+1

na grafu finearne funkciie y = 6lx'2? Dana je linearna funkciia f(x) = 2x - 1' Katere enakosti so pravilne?

a) f(0)= 1 5.

b)f(-1)= -3

Preberi smerni koeficient linearne funkciie.

a)y=20x-10 c )Y = 2 o x 6,

cl t(])= o

b)y=-10 c) y = -20x

Preberi za6etno vrednost linearne funkciie. b)Y=6x a)Y=6x+9

c )Y = - 9

6 )Y = - 6 x + 9

1 1. Katera para premic se sekata v isti to6ki na ordinatni osi? b )y = - x - 7 a)Y=x+7

c )y = x - 7 12, Dolo6i koordinato A(2, Vl na premici 13, Dolo6i koordinato B(x, O) na premici

c )} , = z y, 6e veS, da leii to6ka y = x - 8. xn 6e ve5, da leii todka y = 6x + 12.


&-ff&ffix i:'

-.':i -

Vsakemu osen6enemupolju poi56i ustrezno neosen6enopolje. Eno polje je brez para, l.

2 3

A A(-1,-3)

c ( - 1 ,3 ) F(-3, 5)

.A

6.

c ( 1 ,3 ) E(5,0) H(3,-5)

Y=-5x+1

Y=5x+1 V=5,5x-1

k=-5

k=5,5

e

k = -5,5

k=0

k=5

Y=x-6

r.2., Y = 4 x - 1

Y=-x+6 Y=-x-6

Y=-4x-1

.::3

Y=x+6

y=6

Y=-4x+1

3 7.

Y=4x+1

Poi5i;i pare premic, ki sekajo ordinatno os v isti todki. f(x) = 3v .. 5 2 , f(x)=5x-3

c

B Y=5

2

f ( x )= - 5 x - 3

B . f(x)=3x-5

f(x) = 5x

f(x)=5x13 f(x)=2x-5 f(x) 3x f ( x )= 2 x + 5

Premici priredi ustrezno ena6bo.

A

c

:

Linearnim funkcijam poi56i zaGetno vrednost,

A' I

2 3, 4.

1

Linearnim funkcijam poi56i smerni koeficient. 1

3.

B B(3,5) D(-5,0) G ( 1 -, 3 )

Poi5i;i pare vzporednih si premic.

c

Poi56itodki, ki sta simetri6niglede na ordinatno os. a I

2.

5.

y = 1,5x y=2x+22 fi=0

B Y=-x+2 o = 2 n=-22

y= 2

Y=0

c y=x-2 1 1= - 2

n=22

Y= - 2

2

Smernemu koeficientu in zadetni vrednosti poi56i ustrezno enaEbo linearne funkcije.

A '

't

8,,

k=2,n=-5 k=|,n=5

t:.e',:,

y=2x-5

2

Y=5x-Z

k=0,n=|

Y= - 4 x - 1

e

. , = 12

k=-4,n=-1

y=;x+5

v

1

-

. l:.i ".5' , . :'

x=2

x= -2


A-PARI Premici priredi ustrezno ena6bo.


A.KOLIKO ZNAM? 1. Nari5i: premicitoekeA(og)r a) na Stevilski 8(-0,25),

c(-+)inD(1,5)

Dolo6i koordinati x ali y, 6e veS,da: a) tockaA(1,y) leZina premiciy = 6x - 5 b) tockaB(-4,y) leZina premiciy = 2x + 3 c) todkaC(0,y) leZina premiciy = -9x -4 c) tockaC1x,O1leZina premici y =7x-7 -3) d) tockaD(x, leZina premiciy = -x + 2 e) todkaE(x,10)leZina premiciy = 5x

-

b) v koordinatni ravninitodke A(3,-2), B ( 04, ) ,C ( - 4 -1 , ) i n D (-1 0, ) 2.

Za opisano zvezo med x in y izpolni razpredelnici in urejene pare (x, y) ponazori s to6kami v koordinatnem sistemu. Zapi5i zvezo med x in y. a) Steviloy je za Stirimanj5eod Stevilax.

b) Steviloy je dvakratnikStevilax.

Nari5i premici y1 = 3x + 1 in V2 = *x - 3. Grafi6no dolodi prese6i56epremic ter zapiii koordinati presedi5da.

Nasvet .

Dolo6i smerni koeficient in za6etno vrednost funkcije, a)y=9x+2 b)y=-3x+4 c)y=9*-r

de si pravilnore5iltri ali Stirinaloge,je tvojeznanje zadovoljivo.Svetujemti, da ponovnopregleda5 zgledein naredi55e nekajvaj.

.

Ce si uspe5no re5ilpetali Sestnalog,2e zna5..

c)y=Bx

.

de si uspe5no re5ilvsehsedemnalog,obvlada5 osnovnevsebine.Poskusire5iti5e kak5novajoiz zahtevnejSe skupine.

b

d)y=3

e)y=-4x-5

Zapi5i enaEbo linearne funkcije, 6e sta dana smerni koefieient in zaGetna vrednost.

5.

a )k = 7 , n = - 7

b)k=0,n=-1

c )k = 6 , n = 0

c)k=-L.,n=t

d )k = - 0 , 5 , n = 1 , 5

e )k = 4 , n = 2

Premice V1 = 2x + 2, yz = 2x - 3 in ya = 2x nari5i v istem koordinatnem sistemu. Kaj opazi5? Zapi5i ugotovitev. Premice nari5i s pomo6jo razpredelnice; za x vzemi vrednosti -1, -2 in -3,


A-RESITI'E 12, a;

VAJE 1.

temoem1951 5

B

C

D

A

E

4

-3 -1,5 o+1 2 A ( 1 ,1 ) ,B ( 2 , 0 )c, ( 0 , 0 ) ,D ( 0 ; 2 , 5E) ( - 1 , 5 ; 1 , 5F)(,- 1 -, 2 ) , G ( 2 , 5 ; - 1 , 5 )

3 2 1 0 -1

10 12 14 16 la 20

-2

b ) - 0 , 5 ' C , + 0 , 5o C ,+ 4 , 5 ' C , + 0 , 5 ' C c) -1 'Cje bilaob 4. uri,8. uri in 23. uri -2 "C je bila ob 5. uri, 7. uri in 24. uri +3 'C je bilaob 1 l. uri in 16. uri +1 'C je bilaob 1. uri in 20. uri d) Temperaiurailaka je nara5dalaod 6. ure do 14. ure, padalapa od polnodido 6. ure in od 14. ure do polnodi. d) Temperaturaje bila najvi5jaob 14. uri, najniZjapa ob 6. uri. 13. Najboljstrmaje premicay.,,najboljpoloZnapa premicayr. 14.a)

a,c,6ine 't(-2)= 21, (0) = 5,

= 1, (+) = 3 (3) = -1e,f(0,5)

1000 4600 17600 500 2300 8800 ' 1 0 28 o 45 21 43 60 25 0 3 8 . a ) 1 ,2 , 3 ,4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 9 , 10 b ) 1 ,2 , 3 ,4 , 5 , 6 e. M(-3,0),N(0,3),O(4,3), P(5,-1) in R(6,5) c)k=1,n=-1 l o . a )k = 3 , n = 5 b )k = - 8 , n = 4 e)k=-f,n=0 d)k=-1,n=-2 d)k=5,n=0 g ) k = 1 , 3n, = - 1 , 3 h ) k = - 1 , n = 0 f ) k = 0 ,n = 1 0 ll.a) y = 6x+ 3 c)y=6*-* b)y=-2x+1 e)y=-x d)v=4 d)y=x-1 a)

5

B

2

7

b)

10

b) da c)Y=x+2

I

15. a)


v

A.RESITVE 0

I

-3

17.a)

- l

0

1

i

0

1

1

I

5

I

-1

4

0

-4

4

0

/

z

1 1

0 0

1 4

Vse premicese sekajo v isti todki N(0, -1), ker imajo enake zadetne vrednosti.

-2 'I

-2

0 2 0 -2

-z

I

2 -3

d)

-z

-3

0

z

2

1

0

z

-z

Vse tri premiceso vzporedne,ker imajoenake smernekoeficiente.


A.RESITVE 21. Vzporednapremicaje y = -3x, ker ima enak smerni koeficientkot dana oremica.

Y r= x - 1 , Y r = x , Y s = x + 1 Premice so si vzporedne. 27.a) M(2,0), N(0,;)

b) M(-5, 0), N(0;-1,5)

Na grafu leZijotodkeTr, To in Tu.

23.y = 29 24.x = -1 25.a)

-1

0

0 0

b) - l

c)

1

Y=-x-l

1

Y=-1 y=x-1

-z

- l

- l

0

1

-z

I

0

TodkaP je presediSde danihpremic

premicje todka premic.Presedi$de TodkaT(0,1) ni presedi5de P ( 1 0, ) . Premicese sekajov istitodki.


A-RESITVE Vz\

KOLIKO ZNAM?

Yr

1 , a ,) 1

C

b)

VPRASANJA 1. 2. 3, 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Pravilnista izjavib in d. c,d,e,g inh todka C Pravilnista enakostib in c. a)k=20 b)k=o c)k=20 d)k=-20 a)n=9 b)n=0 c)n=-g d)n=9 k> 0 v primerih a inc, k< 0 pav primerih b inc a)y=5x+3 b ) y = - 1 4 +x 2 5 Q y = l x d)y=-8 a) Premiceso si vzporedne. b) Premicese sekajov isti todki na ordinatniosi. lO.aineterbind 11. V isti tocki se sekatapara premicv primeriha in d ter b in c. 12. A(2, -6) 13. B(-2, 0)

2. a)y=v-4

b) y =2x

PARI Itt

-

Jf\

1A-3C

1A - 3A 1A-1C 1A-38

1A-3C 1B-3A 1B-3C

A

0 ' r

r

Todka P(1, 1) je presedi6depremic

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

B

2A-1C

2C-28

1B_38 ' 1B - 2 8

1C-28 1C-2C

1B-3C

28_3A

1B_28 18-2C

1C-38

38-1A 2A_2C

2A-3C 38-2C 2C-34 2A-3A 38-1A

2C*3C 2A_3A 2C -28 .rfJ - tu pare,se lotiparovzahtevnej5e oblikoval Ce si uspe5no ravni.

D


A.RESITVE a)k=9,n=2 d)k=8,n=0 a ) Y= 7 x - 7

b)k=-3,n=4 d)k=0,n=3 b)y=-1 d)y=-0,5x+1,5

d)y=-;"*3

c)k=f;,n=-1 e)k=-4,n=-5 c)y=6x e)y=4x+2

5. mA --1T-2 T5--l ffi o T-, T-41 - l

-2 -7 -2

-z

-3 -9 -J

-o

kerimajoenakesmernekoeficiente. Vsetri premice so si vzporedne, c) c(0, -4) b) B(-4,-5) -3) e) E(2,10) d)e(1,o) d) D(5,

6 . a ) A ( 1 ,1 ) 7.


B.VAJE 1 . Dane so to6ke na realni osi. A B C

2,

3.

4,

5.

D

E

a) Dolodikoordinatotock A, B, C, D in E. b) DolocidolZinedaljiclABt,tACt,tBEtin tCDt. c) Dolocikoordinatotocke T, kije razpolovisce daljiceAD. Dopolni, da boS dobil skico kocke ABCDEFGH v po5evni projekciji, in zapisi koordinati ogli56.

Dane so todke A(1, O), B(On-i), C(9, -1) D(9, 4) in E(4, 6). NariSi petkotnik ABCDE in izradunaj njegovo plo56ino. V koordinatni ravnini nari5i premici y = 2,5 in x = -3. Koliko enot meri plo5dina lika, ki ga omejujeta dani premici in koordinatni osi? V koordinatni ravnini nari6i mnoiico to6k, ki ustrezajo pogoju: a)y>-3 b)y.1 c)x.2 d )x > 0

6. Katera funkcija ni linearna: a)f(x)=-5x-1

b )f ( x= ) 2y+3

c ) f ( x )= ] - r

c ) f(x)= -x

X

7. Danim linearnim funkcijam izraGunajvrednosti f(-3), f(0) in f(1,5). a) f(x) = -x b) f(x) = 12x- 5

e) t(x)= 1rx

c ) f ( x )= - 2 x - 4 8.

lzrazi z matematidnimi znaki zvezo med koli6inama x in y. a) Steviloy je za pet vecje od trikratnikaStevilax. b) Steviloy je zax manj5eod Stevita11. c) Steviloy je enako nasprotnivrednostiStevilax. d) Steviloy je enako obratnivrednostidvakratnika Stevilax. 9. Tabeliraj funkcije iz prejsnje naloge za vsa cela Stevila od -2 do 2. 10. ZapiSi zvezo med: a) premeromkrogain njegovimobsegom b) polmeromkrogain njegovoplo5cino c) plo5dinokroZnegaizseka,kroZnimlokomin polmeromkroga 11. Od6itaj smerni koeficient k in zadetno vrednost n linearne funkcije. a )y = 1 8 x + 1

b)y=-4x+5

c )y = * ^ - ,

c)y=-3x-1

d)y=x*Z

e)y=lx-0,2

f)y=1,5x

o)v=-t

h )y = o

12, Zapi5i enadbo linearne funkcije, 6e sta dana smerni koeficient k in zadetna vrednost n. a)k=4,n=0

b )k = - 2 , 4 , n = - 1

c)k=O,n=f

c) k = 1,n = 1

d ) k = - ' l, n = 0

e )k = 0 , n = - 7

13. Zapi5i linearno funkcijo s smernim koeficientom 10, 6e je njena za6etna to6ka N(O,-2).


B.VAJE

=i=

*:â&#x201A;Ź =

14. Dolo6i smerni koeficient in za6etno vrednost linearne funkcije, 6e so v razpredelnici dane vrednosti x in y. a) b) 15. Zapi5i ena6bo linearne funkciie' ki ie dana z razpredelnico. -1 1 0 -13 -4 5 1 6 , Preoblikuj ena6bo linearne funkciie iz nerazvite (implicitne) oblike v raanito (eksplicitno) obliko'

a)2x+y-4=0 b)-7x-y+5=0 c )x - Y = g c ) - 3 x+ 2 y - 1 = 0

nerazvita (implicitna) oblika enaEbe ax+by-c=O

2O. Razpredelnica predstavlia linearno funkciio.

a) NariSigraffunkcije. funkcije. b) lz gratadolodienacbolinearne c t-2, '1, O, 1,21 x vrednosti za funkciie Tabelirai 21, in nariSi grafe linearne funkciie v isti koordinatni sistem. b)yz=-x+1 a)y,=x d )Y a = 3 x - 1 c) Yg= -2x 22. Z upoStevaniem smernega koeficienta k in zadetne vrednosti n nariSi grafe linearnih funkcij v isti koordinatni sistem. b)y=-2x-1 c)Y=3 a)y=x+1 23. Z upo5tevaniem smernega koeficienta k in zaGetne vrednosti n nari5i grafe linearnih funkcij v isti koordinatni sistem.

a)yt=b

c)Ys=LN.L 17. Dolo6i smerni koeficient in za6etno vrednost linearne funkciie -4x + 2Y - 1 = O 18. Kilogramiabolk stane 2OOSIT' zapisomodnosmed a) Zapi5is funkcijskim vrednostjo(y) in maso(x)jabolk. b) Nari5igraf. c) Zgrafaodcitaj,kolikostane2 kg 500g, 4 kg 250g in 3,75kg jabolk. jabolklahko d) Zgrataodcitaj,kolikokilogramov kupimo2a700SlT,1100SITin 900SlT. 19. Tabelirai funkciio f(x) = x2 - 1 za vrednosti x e {-1, -2, O, 112} in nari5i graf.

o)vz=-b

c)ya=-r,'- tr

24. Danaje linearna funkciia y = 4x - 1. Nari5i graf in poi56i tisto vrednost spremenliivkex' za katero velia y = 3. Nalogo re5i tudi radunsko. 25. Dana je tinearna funkciia y = -O,Sx + 2. Nari5i graf in od6itai vrednost funkciie y pri x = 4' Nalogo re5i tudi radunsko. 26, V isti koordinatni sistem narisi grafe linearnih funkcij, ki imaio razliEnesmerne koeficiente in enake zaEetnevrednosti. Kai opaziS? a)yr=-x+1

b)Yz=x+1

c)ys=|x+t

c )y + =- b * ,

d)ys=2x+1

e)yo=-2x+1


B.VAJE 27.V isti koordinatnisistem narisi premice,ki imajo enake smerne koeficiente in razlidne za6etne vrednosti. Kaj opazis?

a)Yr=-x+2 b)Yz=-x

3O, Zapi5i smerne koeficiente narisanih premic y' V2rY3 in Yo.

Y

z

Y

c) Y s= *x-2

28. Katera od spodnjih premic je najbolj strma in katera najbolj poloZna? a) Yt = 12x b) yr=-12x c)Ys=11x+1 6 ) Y + =- 1 1 x+ 1 2

d)ys= lx+zo

e)Y6=13x-15

29. V vseh treh primerih dolo6i zadetno vrednost n in smerni koeficient k ter zapiii enaEbo premice. 31. ZapiSi ena6be narisanih linearnih funkcij V1y2, Y3In Yo.

32. Ra6unsko ugotovi, ali katera od zapisanih to6k leii na premici: a) A, (-1 , 8), A2F2, -7) na premiciy = -Sx + 3 b ) 8 1 ( 1, 2 ) , 8 2 F 2 , - 1 3 ) n a p r e m i cyi = 5 x - 3

"l

cr (-3, s),cr1-t, 1)napremici y = 3x+ 5

e)c'(1,-L),er(r,-rfi)napremici n=-3* * d ) D j ( 1, - 2 ) , D 2 e 1 , 2 ) n a p r e m2i cx i+ y = e

*


B.VAJE 33. Tabeliraj funkciio f(x) = 3x - 2, Ee -1, O, lr2lrter nariSi graf. Katera od xell, to6k A(1, -51, B(2,4), C(-1, -6) in 6(9, z) tezi na grafu funkcije? 34. Grafi6no in raEunsko ugotovi, katere od to6k A(0,2), B(-1, l), C(3, 1), D(-3,5), E(2, O) in F(-4, -21leZiio na grafu funkciie y ='x + 2' 35. Grafi6no in ra6unsko preveri, ali leZi to6ka na grafu izbrane linearne funkciie.

a) A(3,2);f(x)= -X + 5

b) ,6,L)t\x) = 2x-|

=3-. + c1c(-r,{);t1xl 36. Med premicami y =7x + n poi56i tisto' ki gre skozi to6ko T(l' -1)' 37, Med premicami y = F - ft Roi56i tisto,

ki sre skozito6k" T(+'-l).

38, Poi56i pare vzporednih si premic' b)y=-10x-1 c)y=x a)Y=x+7 e)y=-10x d)y=-x+10 c)Y=-x

39. Afi sta grafa funkcii -8x + 2y + 4 = O in -4x + y - 5 = O vzPoredniPremici? 40. Grafa funkcii v1 = 3nx+ 3 in Y2 = kx - 1 sta vzporednici. Zapi5i enadbo druge premice. 41. Zapi5i ena6bopremice, ki gre skozi todko A(3' 4) in ie vzporedna premici y = a3*,ter iu nari5i. 42. Zapiili enaEbopremice, ki ie vzporedna premici y = 2x - 5 in gre skozi koordinatno izhodiS6e.Premicitudi nari5i. 43. Zapi5i ena6bo premice, ki gre skozi to6ki A(-3, 1) in B(0, 4). Premico tudi nari5i' 44. ZapiSi enadbo premice, ki gre skozi to6ki Tt(3, -2) ln Tr(o, -l$. eremico tudi nariSi. 45, Premica seka os x v to6ki Tt(-3n 0), os y pa v to6ki T2(O,4). Napi5i enadbo premice, ki

poteka skozi dani to6ki, ter izra6unai ploS6ino in obseg trikotnika, ki ga omeiuie premica s koordinatnima osema. 46. Dana je linearna funkciia y = -4x + 4. Grafi6no in ra6unsko dolo6i koordinati todke N (za6etna to6ka), v kateri funkciia seka ordinatno os. 47. Danaje linearna funkciia f(x) = -6x + 3. Grafi6no in ra6unsko dolo6i todko M (ni6la funkciie), v kateri funkciia seka abscisno os. 48. lzra6unaj ni6lo linearne funkciie. b ) Y = - 9 x + 1 c )Y = 6 x - 6 a)y=9^-7

e )v = t "

d)y=2

e )Y = - 0 , 5 x - 1

49, Grafidno in ra6unsko dolo6i to6ki M in N' ki sta prese6i56i grafa linearne funkciie f(x) = |x + 1 s koordinatnima osema. 50. Grafi6no ugotovi, ali ie to6ka P(2,11 prese6i56e premic V1 = x- I in Y2 = -x + 3. 51. Nari5i premici Y1 = -X - 5 in Y2 = $x - 1 ter grafiEno in radunsko dolo6i niuno prese6i56e. 52. Grafi6no in raGunsko dolo6i prese6i56e premic. a) Yr= 2xinYr=-4 b ) y r= - x + 4 i n Y z = 2 x + 1 53. Dana je linearna funkciia f(x) = -3x + 1. a) Nari5injen graf. b) Zapi5ismernikoeficientin zadetnovrednost.

c) Dolocif(0),f(0,5),t t(-e) x je vrednost c) Pri katerivrednostispremenljivke te funkcije7? preseci5ca tegagrafa d) lzracunajkoordinati osema. s koordinatnima ki je vzporedna funkcije, linearne Zapi6i enadbo e) danifunkcijiin greskozitockoT(2,-3)' ploScino ki ga omejujedana trikotnika, D lzradunaj osema. funkcijas koordinatnima linearna


B.VPRASANJA =:===

=t:i:

i::

1 . V koordinatni ravnini leZijo to6ke A(1, 3), B(2, 51,C(ln -3), D(-2, -5) in E(-1, 3). Kateri dve to6ki leiita simetri6no glede na:

a) abscisno os b) ordinatno os

"lv=Lf

Katera od obeh razpredelnic ponazarja premo sorazmerie? Odgovor utemelji. a)

Dana ie linearna funkciia y = -Jx + 2, Dolo6i f(-3), f(O)in f(3). 9. Kai ie graf linearne funkcije y = kx + n?

8.

Q

a)y=frx+9

A

O)y=3x

c, ) y ="- f r xR- e c- ) y = R- 6

c) koordinatnoizhodi5de 2. Kaj je zna6ilno za to6ke, ki leZijo na abscisni osi? 3. Kaj je znadilno za to6ken ki leiijo na ordinatni osi? 4. Kai ie zna6ilno za to6ke, ki leiijo v drugem kvadrantu? 5. Povej zvezo med koli6inama x in y na matemati6ni na6in. a) Steviloy je trikratvecje od Stevilax. b) Steviloy je za tri manj5eod Stevilax. c) Steviloy je za tri vedje od Stevilax. c) Steviloy je trikratmanj5eod Stevilax. d) Steviloy je za Stevilox manj5eod Stevila-3. 6. Kateri zapisi pomenijo enadbo linearne funkcije? a)Y=5x b)y=? c)Y=-x+1 d)Y=x2 d)y=7 7.

10. Dolo6i smerni koeficient in za6etno vrednost linearnim funkcijam.

1 1. Katera od to6k A{2, -171, B(-2, 171, C(2, 171 in D(-2, -171lei'i na premici y = 7x - 3? 12. Kai imajo skupnega zapisi enadb treh premic, ki so si vzporedne? 13. Kaj imajo skupnega zapisi enadb treh premic, ki se sekajo v isti to6ki na ordinatni osi? 14, Kai imajo skupnega ena6be treh premic, ki gredo skozi koordinatno izhodi56e? 15. Opi5i odnos med grafi zapisanih linearnih funkcij. a )y = 3 x + 8 i n y = 3 x b )y = 3 x + 8 i n y = - 2 1 a 9 t6, S katero koordinatno osjo sta premici y = -2 iny=Ovzporedni? 17, S katero koordinatno osjo sta premici x = -2 inx=Ovzporedni? 18. Kateri premici sta si vzporedni? a)Y=18x+3 b)y=8x-3 c )Y = 8 x + 3 d) y = -18x e)Y=1Bx-3 d)y=-18x-3 19, Kateri premici se sekata v isti to6ki na ordinatni osi? a)y=-18x-3 b) y = -1Bx d )y = - B x + 3 c )Y = 8 x + 3 e)Y=1Bx-3 d)y=18x je 20. Kai ni6la funkcije? 21. Dolo6i nidlo v naslednjih primerih: b )y = x + z a)Y=-x+5

c)y=-L^.L

d )y =b * ,


B-VPRASANJA 22. Nerazviti ena6bi premice poi56i ustrezno razvito obliko enadbe.

a )3 x + y - ' l = 0 c)-x+y-3=0 d )x + y + 3 = 0

b )Y = x * g c)Y=-3x+1 e)Y=-x-3

23. Narisanim premicam zapi5i ena6be.

24, Narisanim premicam zapi5i ena6be.


B.PARI Vsakemu osenEenemupolju poi56i ustrezno neosenGenopolje. 1. Poi56ito6ki, ki sta simetridniglede na koordinatnoizhodiSde, A(3,5) D(4,0)

H ( 7 ,1 ) L(4,-B)

-

.

l

l

B{-t,-a;- '

E(0,5) l(-7,0)

l

M(-3,5) l

,

c(-7,- t J

c( - 4,0 )

l

F(-4, 8) J(-3, -5) N(0,-5)

K(3,-5)

l \

G(7,0)

o( 1,B)

2.

Dani linearni funkciji poi56i vrednost, ki ji ustreza.

3.

Linearnim funkcijam poi56i smerni koeficient.

4.

Poi56i enadbo linearne funkcije, ki pripada ustreznemu smernemu koeficientu in zadetni vrednosti.


B.PARI

6.

Poi56i pare premic, ki sekajo ordinatno os v isti to6ki.

7.

Poi56i pare vzporednih premic.

8.

Poi56i ena6bi, ki pripadata isti premici.


B.PARI 9. Premici priredi ustreznoenadbo.


B.KOLIKO ZNAM? Dana je to6ka T(-5, 6), ZapiSi koordinati to6ke, ki je simetri6na glede na: a) abscisnoos b) ordinatnoos c) koordinatnoizhodi56e Matemati6no zapi5i zvezo med koli6inama xiny. a) Steviloy je petkratnikStevilax. b) Steviloy je za Stevilox manj5eod 3,5. c) Steviloy je enakoobratnivrednostiStevilax. d) Steviloy je za sedemvedjeod nasprotne vrednostiStevilax. Dana je funkcija y = 1 - x2. a) Tabelirajfunkcijoza vrednosti x e l-2, -1, 0, 1, 2) in nari5igraf. b) lz grafaodcitajin zapi5ikoordinatitock, v katerihfunkcijaseka abscisnoos. Dana je ena6ba linearne funkcije f(x) = 3x - 6. a) Nari5igraf linearnefunkcije.

f(2,5), f(0)'r t(+). b) lzracunaj nagrafu. injo oznaci niclofunkcije c) lzracunaj Premica v1, ki gre skozi todko T(2, -1), ie vzporedna premici y2 = [x - O,2. a) Zapi5ienacbopremicey1. b) Radunskougotovi,kateraod tock A(2, 1), B(-4, 4) ali C(6, 1) leZina premiciy.,. Grafi6no in ra6unsko dolodi presedi5ie premic -4x+y-3=Oinx+y+2=0.

lzraGunajplo56inotrikotnika,ki ga omeiuie premica y = ?zx+ 6 s koordinatnima osema.

Nasvet .

0e si uspe5nore5iltri ali Stirinaloge,je tvoje znanie dobro. Svetujemti, da ponovi5in re5i55e kak5en zgled.

.

ie si uspe5nore5ilpet ali Sestnalog,2e zelo dobro znaS, vendar bi gotovo hotel re5evati5e bolje, zato ponovi in reSi5e nekaj vaj.

.

Ce si re5ilvsehsedem nalog,obvlada5 temeljno snov. Poskusire5iti5e kak5novajoiz zahtevnej5e skupine;gotovoti bo uspelo.


B.RESITVE :.==

i-:+

.:

VAJE r. a)A(-20),B(-5),c(2,5),D(l5)inE(20) b ) l A B l= 1 5 e , l A C l= 2 2 , 5e , l B E l= 2 5 e , l C D l= 1 2 , 5e

c) T(-2,5) 2.

A(-2 -2\ B(3,-2)

c(6,0) D ( 10, ) E(-2,3) F(3,3) G(6,5) H ( 1s, )

6. Funkcija v primeru c ni linearna. 7. a) f(-3)= 3, (0) = 0, f(1,5)= -1,5 b) f(-3)= -41, (0) = -5, f(1,5)= 13 = -7 c) f(-3)= 2, f(0)= -4,'t(1,5) c) (-3) = -3, ttol = 0, f(1,s)= 0,75 8. a ) y = 3 x + 5

b)y=11-x

c)y=-x

c) y=z*a

9.

3,

b)

c) d)

P = 4 1e 2 4,

n - 7 4 a 2

5. a)

10,a) o = 2xr b )P = n r 2 1 1 . a )k = 1 8 ,n = 1 b)k=-4,n=5 d)k=-3,n=-1 d )k = 1 , n = 2 g)k=o,n=-$ f)k=1,5,n=0 12.a) y = lv b ) y= - 2 , 4 x - 1 d )Y = x * 1 d)v=-x 1 3 . f ( x )= 1 0 x - 2 14.a)k=2,n=2 b)k=-1,n=s 15.y=9x-4 16,a)y=-2x+4 b)y=-7x+5 c)y=x l7.k=2,n=! 18.a)y=lQgx

qp=+ l -

c)K=i,n=-/ e ) k = - 1, n = - 0 , 2 h)k=s,n=9

c)v=9 e)Y=-/

e ) y= | x + l

Y b ) m( k s ) + 6

1200 znesek(SlT)


It

B.RESITVE - 1 ,- ' . t . i . : ' . . c) 500slT. 850slT. 750slT

e) Za 700SITlahkokupimo3,5kg,za 1100SIT5,5kg in za 900SIT 4,5kg jabolk. 19.

b) f ( x ) = x - 3 21.a) b) c) d)


B-RESITVE v

1

Y=0

Na grafu leZitodka B.

Vse premicese sekajov isti todki na y osi, ker imajo enako zadetno vrednost.

Na premicileZijotodke A,DinE.

Vse tri premiceso vzporedne,ker imajo enak smernikoeficient. 28. Najboljstrmaje premicay6, najboljpoloZnapa premicayu. 29.a)n=0,k=-1,y=-x b) n = 1,k = 3, y = 3x + 1

c)n=-2,k=-2,y=-2x-2 kc=-2, 30. k1= 1, k"=0, yr= $x - 2, ye= -3, 3 1 .y ' = - x , 32. a) A, d) e1 in e2 33.

b) B, in B. d) D' in D'

c) Cr

kr=3 V,=3x+1


B.RESITVE

-*J v' = -?^x v

36.y=7v-g

3 z . y= x - ] 33.ainc,bine,dind 39. da

v' = 5* x + 4

40.y=Cl-1

s=12e

n - A a 2 v - v "

v=lx+z

N(0,4)

tG1'o) y =2x

Y=x+4

d M( 3,0)

b)M(+,0)

d) M(0,o)

d) funkcijanimanidle e) M(-2, 0)

c )M ( 1 , 0 )

M(-2,0), N(0,1)


B.RE$ITVE

Todka P je preseii5depremicy., in yr.

c)x=-2

= -0,5,f (-A = 3 c)f(o)= 1,f(0,5) d)M(+,0), N(0,1)

e)Y=-3x+3

0o=fe2

b)k=-3,n=t

P(-3, -2)

VPRASANJA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

P(-2, -4) 8. 9.

a ) t o d kA i in C b ) t o d k iA i n E c ) t o d kC i in EterBin D Njihovaordinataje enaka 0. Njihovaabscisaje enaka 0. Njihovaabscisaje negaiivna,ordinatapa pozitivna. a)y=3x b)y=x-3 c)y=x+3 d)y=6 d)y=-3-x a,c,dine Premosorazmerjeponazarjadruga razpredelnica. Za premo sorazmernikolidinivelja:ce se vrednostene kolidinedvakrat, trikrat ... poveda,se tudi druga kolidinadvakrat,trikrat... poveda. Vidimo,da v prvi razpredelnici to ne velja. (-3) = 3, (0) =2,t(3) = 1 Graf linearnefunkcijey = kx + n je premica.

t 9 . 1 ] k = 3 , n : bt ) k = $ , n = co ) k = - $ , n = e - e) k = o , n = - $

P ( 1 ,3 )

11. Na premicileZitodkaD. 12, Enadbeimajo enak smernikoeficient. 13. Enadbeimajo enako zadetnovrednost. 14,Zatetna vrednosttakih enadbje 0. 15. a) Premicista si vzporedni. b) Premicise sekatav isti to6ki na ordinatniosi. 16. Premicisia vzporedniz abscisnoosjo. 17. Premicista vzporedniz ordinatnoosio. lS.aine,bincterdind


B.RESITVE 19. a in e, b in d ter c in c 2O. Nidlafunkcijeje iodka,v kateripremicaseka abscisnoos. 21. a) M(5,0), b) M(-2, 0), c) M(1,0), d) M(-4, 0) 22.ain d, b in c ter d in e

23.y, = -3x-2 24.y,=2va2

yz= -3x Y2=2

Ys=-3x+2 Ys=-x+2

PARI 1A-3C

1.

2A-1C

zo-qv

48-3C

1B_44

4A- 2C 1C-3C

28-3A

zv-4w

2c-38

2A- 1C

28- 1C 48-3C

|E -r+(r

3A- 1C 1A-3C

38-2C

2A- 48 1A-2C 3A-4C

ID-JU JfJ -

IU - Jt'

3A-1C 1A_38

3C-1B 1B-3C 28-3C

2A-4B. 1A-4C 3A-1C

IU -

4A- 2C 2A-28 4A- 4C 1C-44 2C-34

+U

1A-48

4V-ZV

lU - +t/

2c-48 4C-28

4A-3C 28-1C 48-3C 28-4C

IU-JU

2 C- 3 8 4C-44

48-24 28-1C

3C-18 tv-zf\

3A_18

2c-3c

JD

3C-18

1 A -2 C 3A_18 1A-38 3A-2C 1A-38

3C-4A

z+tr -

|t

zw-Iw

46-ZV

0e si uspe6nooblikovalpare, se loti parovzahtevnej5eravni

KOLIKO ZNAM? 1. a) T1(-5,-6) 2. a)Y=5x

b) T2(5,6) b)Y=3,5-x

= 1,5;f(0)= -o; t(J) = -s c) M(2,o) b) f(2,5_) b )t o d k a C a)y=lx-z

P ( - 1 ,- 1 )

c) T1(5,-o) .

1

c)y=+

d)Y=-x+7

3. a) b)

I

\e p=12e2 A ( - 1 ,0 ) , B ( 1 ,0 )


, G-VAJE 1 . Na realni osi nari5i todki T, in T2, ki sta od to6ke f(-rJ oOOalieni za 2,5 enote, in zapiSi njuni koordinati, Kolik5na je razdalja med toikama T., in Tr?

2. To6ki A(-3, -2) in B(2, -2) sta sosednji ogli56i kocke ABCDEFGH. To6ka c(5, 5) pa je kraji56e telesne diagonale AG. Nari5i sliko kocke in dolodi koordinati ostalih ogli56 kocke, 3. Nari5i vse to6ke (x, y) v koordinatni ravnini, za katere velja:

a)Y=o 6 )x = 3

b)v=4

c) Y = -2,5

d)x=-1 V koordinatni ravnini nari5i mnoiico to6k, ki ustrezaio pogoiu: b)x>-3 a)y =2 c)y>-1 = 2 d) lxl c)x< 1 e) lyl =$ 3 < x < 2 2 < x < 2 i n y =2 g) f) 1 = y < 3 i n x = 0 h) i) -3<y<0 5. Katere pogoie morajo izpolnjevati koordinate todk, ki pripadajo: T1(-3,3) in T2(3,3) a) daljicis kraji56ema kraji56ema daljici s T1(-3,2) in T2(-3,-1) b) 6. Katere izmed funkcij so linearne funkciie? a)Y=x3 b )Y = x c)Y=-x+1 4.

d )y = + _ 1 d )v = L # 7. lzra6unaj. a) f(-5), de je f(x) = -5x - 1

b)f(0),dejef(x)= 3* * I

6ejef(x)=-n^- + .) fL3), c) f(-2,5),6e je f(x) = -2,5x - 6,25

e )v = - * ;

8.

Zapi5i s funkcijskim zapisom odvisnost kolidin xiny. a) f(x)je petinadvakratnikaStevilax b) f(x) ie zatri vedji od nasprotnevrednostiStevilax c) f(x) je za polovicoStevilax manj5iod ] d) f(x) je za eno vedji od Stirikratnikaobratne vrednostiStevilax d) f(x) je trikratvedji od razlikeStevilx in 6 e) f(x) je dvakrat manj5iod petine Stevilax 9, Tabeliraj funkcije iz 8. naloge za vsa cela Stevifa od -2 do 2. 1O. Tja5a ima Sest sli6ic. Vsak dan bo kupila 5e dve. Zapi5i odvisnost med Stevilom sliEic (y) in Stevilom dni (x) nakupovanja. Koliko slidic bo imela 6ez en teden (x) in koliko 6ez 30 dni? 11. Od6itaj smerni koeficient k in zadetno vrednost n linearne funkcije. a)y=17x-1

b)y=-x+5

d )y = - 1 , 5 x - 3d )y = 9 , 5 x

c)y=4

e )y = 3 - . ' +

12.*Po obrazcu izra6unaj smerni koeficient premice, ki poteka skozi todki: a) A(-5,5;-3) in B(1,5;4) b) c(1 , -2) in D(-4, 5)

r(-t;o,s) cye(t;-o,s)in 13. Zapi5i ena6bo linearne funkcije, 6e sta dana smerni koeficient k in zadetna vrednost n, a ) k = 1 0 , n = 8b ) k = 0 , n = 1 c ) k = - 1 , n = 0 14. Dolo6i smerni koeficient in za6etno vrednost linearne funkcijen 6e so v razpredelnici dane vrednosti x in y. a)


C-VAJE b) 15. Preoblikuj ena6bo linearne funkcije iz nerazvite (implicitne) v razvito (eksplicitno) obliko. a)3x+y-2=O b)8x-y+1=0 x + 5 y 4 = 0 c) c)6x-2y-3=O 16. Ena6be preoblikui iz implicitne v eksplicitno obliko, nato z upo5tevanjem smernega koeficienta k in zaGetne vrednosti n nari5i grafe linearnih funkcij. a )x + y - 3 = 0 b )- 4 x+ 2 y + 2 = 0

c )x + 2 y - 2 = 0 17. Pred segrevanjemje imela voda v posodi temperaturo 8 oG.Pri segrevaniuse temperaturavode vsako minuto dvigne za 2"C. a) S funkcijskim zapisomzapi5iodvisnost (x). temperature vode(y) od 6asasegrevanja b) Sestavirazpredelnico vrednostitemperature vode za casod enedo desetminut. c) Nari5igrafspreminjanja vodev temperature odvisnosti od spremembe casasegrevanja. c) Z grafaodcitajtemperaluro vodepo 4,5 minute. d) Po kolik5nem casubo imelavoda20 "C oziroma preveriz radunom. 25 "C? Rezultat 18. Pe5ec hodi z enakomernohitrostio 4 km/h. a) ZapiSiobrazec,ki dolocapot (s),ki jo pe5ec prehodiv danemdasu(t). (s)zat = 0, 1,2... 10ur. razpredelnico b) Sestavi vrednosti potipe5cav odvisnosti c) NariSigrafspreminjanja od dasagibanja. v kolik5nem 6) Zgrataodcitaj, casunaredipe5ec 1 0k m , 5k mo z i r o m a l Tk md o l g op o t . 19. Tabefirai funkciio f{x) = -x2 + 2x +1 za vrednosti x â&#x201A;Ź {-1, O, 1, 2, 3} in nari5i nien graf.

20. Dana je razpredelnica.

a) Nari5itodkeT(x, y) v koordinatniravniniin jih poveZi. b) Ali leZijonarisanetocke na premici? c) Katero linearnofunkcijoprikazujerazpredelnica? 21. Tabeliraj funkcije za vrednosti x â&#x201A;Ź {-1, O, 1} in nariSi grafe v isti koordinatni sistem, a ) Y 1= - 2 x - 2

b)yz=b.?

c) yg= -b*,

c ) y += 2 " - i

22, Zapi5i ena6be linearnih funkcij, 6e velia, da ie smerni koeficient k â&#x201A;Ź {-1, -}, O, }, f } in za6etna vrednost n = 2. Nari5i vse grafe v isti koordinatni sistem in zapiSi ugotovitev, 23. Za6etna vrednost linearne funkcije y = 2x + n ie re5itev ena6be 3l+12 - "it = 4n - 3. ZapiSi ena6bo premice. 24. Katera premica je najbolj strma in katera najbolj poloina? Odgovor utemelji. a)yr=-Bx b)yz=-x c)Y3=6x+5

c ) Y + = - 6 x +1 0 d ) Y s = 5 x + 6 e ) Y e = - 5 x - 5 25. Zapi5iena6belinearnihfunkcii s smernim koeficientom-1 in zaietno vrednostjo n, 6e velja n e l-2, -1, O, 1, 21,ler funkcije z upoStevanjem smernegakoeficienta k in za6etnevrednosti n narisiv isti koordinatnisistem.Kai opazi5? 26. Nari5i grafe linearnih funkcii v isti koordinatni sistem, zapiSivrednost smernega koeficienta in dolodi, ali funkcija nara56aoziroma pada. Kaj si ugotovil?

a )Y ,= x - f ;

b )y z = - b * ,

c) vs= -3+*

6)yq=2x-3


C.VAJE 27. Narisanim premicam zapiSi smerne koeficiente.

29. V koordinatnem sistemu so narisane premice Vpy2 in y.. Od6itai smerni koeficient k in zapi5i ustrezno enadbo grafom.

28. Narisanim premicam zapi5i ena6be. 30. Grafi6no in radunsko ugotovi, katere od todk A(2, 11,B(1,21, C(-1, 7) in 6(S, O) teZijo na grafu funkcije y = -2x + 5. 31. Ra6unsko ugotovi, katera od todk: a) A1(1, 8), 42e2, 1) leZina premiciy = 3x + 5 b) 81(-1, -2), Bz(0,-5) leZi na premiciy = -3x - 5 c) C1(-5, 1), CzF7, 2) leli na premicix + 2y + 3 = 0

el c, (5,-s]), cr1z,-6) lezinapremici 5x+ 3y = 15 d) D1(-2, 6), D2(-3, 7) leZina premici3x + 2y - 6 = 0 32. Poi56i pare vzporednih premic.

a ) Y r= 5 x + 2

c) ys= tut-z

b) Yz= -5x + 2 d) Ya= -5x

o vs=*x

e)Yo=5x

Dolodi Stevilo m tako, da bosta premici y1 = -215x + 2 in v2 = (m + 0,5)x - 1 vzporedni. Katera od danih premic je vzporedna premici -6x+2y+4=O? a )y = - 3 x - 2

b )y = 3 x + 2

c)y=6x-4


G.UAJE 35. Ali sta grafa funkcij 3x + 5y - 4 = O in y = -q# -fr vzporedni premici? Odgovor utemelji. 36. Zapi5i ena6bo premice, ki gre skozi to6ko A(O, -3) in je vzporedna premici 2x - 3y + 11 = O. 37. Dolo6i Stevilo a tako, da bosta premici ax- 2y + I = O in 3x + y + 5 = O med seboj vzporedni. 38. Dana ie linearna funkcija y = zsx- 1. NariSi graf in poi56i tisto vrednost spremenljivke x, za katero velia y = f. trtalogo reSi tudi ra6unsko. 39. Dana ie linearna funkcija y = -s1lx+ t. Nari$i graf in od6itaj vrednost funkcije y pri x = -1. Nalogo re5i tudi ra6unsko. 4O. Zapi5i ena6bo premice, ki gre skozi to6ko T(-2, 1l in je vzporedna premici y' = -x + 3. Premici tudi nari5i. 41. Med premicami y = 4x + n poi56i tisto, ki gre skozi todko T(-1, 6). 42. ZapiSi enadbo premicen ki gre skozi to6ko A(1, 2) in seka os y pri -3. 43. Med premicami y = -kx - 2 poi56i tiston ki gre skozi to6ko B(3, -8). 44. NapiSi ena6bo linearne funkcije s smernim koeficientom 5, ki poteka skozi to6ko A(3, 4). 45. Premica poteka skozi to6ki A(3, 2) in B(0, -4),

Zapi5inienoena6bo. 46. Napi5i ena6bo premice, ki seka abscisno os 4 enote levo od izhodi56a, ordinatno os pa 6 enot nad izhodi56em, 47. ZaplSi enadbo premice, ki gre skozi to6ki: a) A(3,4) in B(0, 1)

oy ol c(+|,o)ino1o,

c) E(0, 3) in F(a, 0)

c) G(-1,0) in H(4,-3)

48. V koordinatnem sistemu nari5i to6ke A(O, O), 8(6, O), C(6, 4) in D(O, 4), ki so ogli5da pravokotnika ABGD. Nari5i pravokotnik in zapiSi enadbo premic, ki so nosilke stranic in diagonal pravokotnika, 49, Prese6i56e diagonal kvadrata ABGD ie koordinatno izhodi5de. Ogli56e A ima koordinati (-3, O). a) Nari5ikvadrat. b) Zapi5ikoordinatiostalihogli5c. c) Napi5ienacbepremic,kiso nosilkestranickvadrata. d) Napi5ienacbipremic,ki sta nosilkidiagonal kvadrata. 5O. lzra6unaj ni6lo M linearnim funkcijam. a)Y=2x+1

c)y=-3r-.+

b )y = - t A - + 6 )Y = o , s x - f ;

51. Nari5i graf funkcije f(x) = -L* + 1 in doloGi prese6i56e premice s koordinatnima osema. Nalogo re5i grafiGno in ra6unsko, 52. lzradunaj ploS6ino in obseg trikotnika, ki ga omejujejo premica y = 3* + 6 in koordinatni osi. Nari5i graf. 53. Ali je to6ka P(1,21prese6i56e premic V1= 2x in y, = -x + 3? Nalogo re5i grafi6no in

ra6unsko. premic: 54. Grafi6noin ra6unskodolo6iprese6i56e a ) y 1= x i n y r = - x b )y r = - 2 x + 1 i n y r = - 3 55. Nari5ipremici y1= 2x + 4 in V2= -!x + 2, izraGunajnjuno prese6iS6eter plo5dino trikotnika, omejenegas premicamain abscisno osjo. Nalogo re5i grafidno in radunsko.


, G-VAJE 56. lzra6unaj koordinati prese6i56premic: a ) 3 x- 2 y - 8 = 0 i n 2 x - 3 y + 3 = 0

- 1= 0 in0,1xrLV- 1,5= 0 b)*t -0,25y c) y = 15x- 5 in -15x + y - 5 = 0

57, Stranice trikotnika ABC leiijo na premicah -91 + 11, Zapi5i y1 = |x + 1,y2= !x + 3 in y" = koordinate ogli56 tega trikotnika. Nalogo re5i radunsko in grafidno. 58. Dana je linearna funkcija f(x) = -x + 2. a) NariSigraf funkcije. b) Zapi5ismernikoeficientin zadetnovrednost funkcije. c) Dolocivrednostfunkcije:f(O),f f(1,5). e, d) Pri katerivrednostispremenljivkex je vrednost funkcije4? d) Zapi5ienadbolinearnefunkcije,kije dani funkciji vzporednain gre skozito6koT(-1, 1). e) lzradunajplo5dinoin obsegtrikotnika,omejenega z grafomdane funkcijein koordinatnima osema.


s-pARx Vsakemu osendenemu polju poi56i ustrezno neosen6eno polje, Eno polje je brez para. 1. To6ki poi56i drugo to6ko, ki je simetri6na glede na abscisno oziroma ordinatno os. A(2,7) E(2,-7)

B B(-2,2) F(-2, -2)

J ( 0 ,2 )

K(-2,0)

:.: ar:

? '

4':.

2.

o{7,2)

P(-7,7)

T(7, -2)

u(-7, -7)

w\2, -t )

c(-7, -7)

G(0,-7)

H(2,2) M(0,7)

L(-7, 0)

R ( 2 ,0 ) v(7, -2)

D D ( 0 -/ , | t ( 7 ,7 ) N(7,0)

s(2,7)

s(7,2 )

z(7,-7)

z(2,-2)

Danemu smernemu koeficientu in dani za6etni vrednosti poi56i ena6bo linearne funkciie. .ir-,,..:::tl:..:'.lAll

B

:

:,:::ril::

'..c'.

p

u=3*

Y=-3x

a:*t

k=3,n=8

k=0,n=8

v' = 3 x +6 9

'::rrr, iltiel

k=-3,n=0

k=-3,n=8

, =3*-3

v' = - 69 x + 8

v=-6"-5

k=3,n=-B

k=-3,fi=-B

k=$,n=o

X=O,n=-3

Y=3x-8

n=t,n=$

k=-$,n=8

Y=-3x+8

y=8

v- = - *o x

Y=3x+8

Y=-3x-B

y=-6

::.:..:rit:.

i-:l :i.:l:

n=3,n=-3 -x = - eE , nR= - 5

i 3.

e,

:

?

R

Ena6bi linearne funkciie poi56i to6ko, ki leii na nienem grafu.

$

A

c

i

D,

;:1

Y= 4 x - 2

Y=5x

t(3,,)

T ( 1 5, )

T(-4,4)

Ai

Y=-6x

Y=-2x+6

T(1 -6)

'G,o)

T(5,6)

x + y - 1 = 0

3x-4y=Q

- 2 x + 7 y+ 7 = 0

5 x - 4 y - 1= 0

T(4,3)

,='?*tr

T(-5,6)

T ( - 1 ,0 )

T(-2,3)

Y=-2,2x-5

r(0,- 1 )

re,2)

r(,2)

irlil,l:

y=? ' 5 l:

Y=-0,5x+2


s-pAmx 4'

Nerazviti obliki enadbe linearne funkcije pois6i razvito obliko,

B 1

?,:: .,3:,,

2 x + y= g

x-y+2=0

x-y-2=0 -x+y+1=0

2x+y-1=0 -x y+1=0

.:.:4..:.'. x + y + 1 = 0

- 2 x + y+ 2 = 0 5.

' l.

2x-y=g -2x-y-2=0

c

e

Y=X-1

Y= x - 2

Y=x

Y=-x-t

Y =-2x

-x-Y=o

Y=-x+1 Y= 2 x - Z

Y= - 2 x - 2 Y=x+1

Y=-2x+1

-x+y-1=0

Y=2x Y=X+2

,

Y=-x

Premici priredi ustrezno ena6bo.

6 {.::: 1:r:r

premicaskoziiodki T ( 0 ,0 ) i n A ( 1 ,4 )

y=]x+3

Y=-x+1

x=0

Y=-0,5x-1

.ii:.::

2,

1

V==X-3

:;ir.1l]

..3':

Y=2x

,i,: ,.

'4:

y=0

,.?,

X=3

premica skozitocki A(0,-2) in B(5,0)

Y= - 2

Y=-2x

v=_1y+s


ZNAM? C-KOLIKO V koordinatni ravnini nariSi mnoiico to6k, ki ustrezajo pogoju: c )- 4 < x < 1 i n Y = 2 b )x < 3 a)y=-2 Dana ie funkcija f(x) = x2 - 2x + 1. / {\

f(-3),f(+)inf(2,5). a) lzracunaj b) Nari5igraf funkcije.

Napi5i enaGbe premic y1v2 in y.' od katerih ena poteka skozi to6ko (O, 3), druga skozi to6ko (-3, O)nobe pa sta vzporedni s premico y3r ki gre skozi to6ko (â&#x201A;Ź, 3) in koordinatno izhodi56e. Nalogo re5i ra6unsko in grafi6no. ZapiSi enaGbo premice, ki je: a) vzporednaz abscisnoosjo in gre skozi todko

r(-1, 8) z ordinatnoosjoin gre skozito6ko b) vzporedna -5) T(-4, c) potekaskozitockiT1(9,12)in T2(0,6). Narisaniso grafi linearnihfunkcii Y.uY2rYs in y+. funkcij. linearnih a) ZapiSienadbenarisanih b) Nari5iin zapi5ienacbopremicey5,ki greskozi premic presedi5de premicyt in y qterpresedi5de YsinYz. c) Kateriod funkcijsta nara5cajodi?

6. Ra6unskodolodi prese6i56epremic 3x - 2V = 5 in 3x + 4y = -1. Preveri grafidno. 7. Dana je linearna funkciia f(x) = O,5x- 2' funkcije. a) Nari5igraflinearne in graficno dolodiniclofunkcije. b) Radunsko ki ga graf plo5cino ter obsegtrikotnika, lzradunaj c) oklepaz obemaosema.

Nasvet . 0e si uspe5no je tvojeznanje reSiltri ali Stirinaloge, zgledein ponoviti dobro, vendarposkusipregledati nekajvaj. . 0e si re5ilpetali Sestnalog,Zeveliko zna5.Potrudi se in svojeznanje5e raz5iriz zglediin vajami. . de si re5ilvsehsedemnalog,odli6noobvlada5 tudi naloge. zahtevnejSe


G-NESITlIE VAJE i.

T1

T

0 Tr(-3), Tz(2);lT,Trl = 5 e

T

z

1

c(5,0) D(0,0) tr/-a e\ F(2,3) H(0,5)

5. a ) - 3 = x . 3 i n y = 3 6. b , c , d 7 . a) i(-5) = 24 b) f(0) = I

b ) - 1= y < 2 i n x = - 3

/^\ c)t\f/ = -t{ i) f(-2,5)= 0 x + 3 b) f(x)= c)f(x)=1-I 5

8. a) f(x)=?

5

c)f(x)=4+1

"

d ) f ( y \ -3 ( x - 6 )

2

2

e)f(x)=6,2=*


G-RESITVE r cc)

9. a)

30 28

b)

zo z+

22

c)

20 18 16 14 12

d)

10 8

e)

o A

lO,y=2x..6 dez en teden bo imela 20 slicic,dez 30 dni pa 66. c)k=0,n=4 ll.a)k=17,n=-1 b)k=-1,n=5 e)x=f,n=f d)k=-1,5,n=-3 d)k=9,5,n=0 c)k=I1 12.a)k=1 b)k=-6 c)Y=-x 13.a)Y=10x+8 b)Y=1 b)k=-5,n=3 1 4 . a )k = 7 , n = - 2

l s . a ) y = - 3 x + 2b ) y = B x + 1 c ) y = f * * 1 6 .a )

17'a)Y=8+2x b)

b)

d)y=sx-!

2 2

4

6

I

1012

d )1 7 ' C vode20 "C, dez8,5minut d) OezSestminutbo temperatura pa 25 'C. 18.a)s=v't b)


G-RESITVE , s (km) c) 40 38 JO

34 JZ

30 28 zo 24

22 20 18 '16 14 12 10 8

b) oa c) f ( x ) = v a 2 21.a)

b) U

-2.

I

-4 1 'i

V2=-|x+2

0

d) -2

2 22.y.,=-ya2

0 t;

ys=2

_l

Y+=1;*2

2

1 ^1

1 . l t;

ys=x+2

b

4 2

d) 10 km prehodipe5ecv 2,5 h, 5 km prehodiv t] rrin 17 km dolgo pot prehodiv +] h.

Vse premicese sekajov isti tocki na ordinatniosi, ker imajo enako zacetnovrednost. 23.y=2va1 24. Najboljstrmaje premicay1, ker je absolutnavrednostsmernega koeficientanajvedja.NajboljpoloZnaje premlcay2, ker je absolutna vrednostsmernegakoeficientanajmanjSa.


C-RESITVE 25,y,=-y-2

yz=-x- 1

y.=-*

Y + = - x +t

Y s= - x + 2

Premiceso si vzporedne,ker imajo enak smernikoeficient.

a) kt = 1, nara5da c)k =-f;,pada

d) Dr d) Cr c) C, in C, 3l.a) A., b) B, in B, 32.aine,bind,cind 33.m=-3 34. b 35. Premicista vzporedni,ker imata enak smernikoeficient. 3 6 ., v = 3? x - 3

b) k, = -], pada d) k4 = 2, nara5da

funkcija, ki imak > 0, in pada Ugotovm, da narascatistalinearna tisia,ki imak < 0. ks=-6 kq=i, kz=0, ks=-1, 27.\=3, ya=-4 yz=lrx+t 28.y,=-2x+3 Vr=f* 2 9 . k 1= 3 , ks=1,

yt=3x-2,

kz=2,

y2=2x-2,

Ys=x-2

Y=2


C.RESITVE := 4O,y=-x-1

v

T

I

v 41.y=4va19 42.y=5v-3 4 3 . y= 2 y - 2 44.y=5v-11 45.y=2y-4 a6.y=3rx+6 47.a)y=x+1 b)y=0

v

b) B(0,-3), c(3, 0),D(0,3) c) Yr = -x -3,Y2= x - 3, y3= -x + 3, ya= x + 3 d )y . . = 0 , x = 0

c)y=-fx+3

d ) v = -c9 x -c 9

so.aytu(-], o)

b) M(-8,o)

clw(J,o)

d) M(;,0/

5r. M(20 ,) N(0,1)

5 2 . p = 1 5s e

s = 1 r r+ \ 6 i ) e : 1 8 , 8e1

Yr=0 xt=6 xz=0 t

Ye=5x v ^ = -J? ^ x + 4 Todka P z danimakoordinatamaje presedisdedanih grafov.


G-RESITI'E

P(0,0)

b)k=-.1,n72.

= 0,5 c)f(o)= 2,1\-2)=r]. t1t.5) 6)x=-2 d)y=-x e ) p = 2 e 2 , o = ( 4 + 2 t 4 1e

P(2,-3) 1A-1C

3C-3D

4A-5C

4B-2D

5A_4D

4A-1C Y

"t

"

b)P(5,2) 56. a) P(6, 5) c) Premicinimatapresedi5da,ker sta vzporedni.

c(2,B)

zv

JtJ-+U

1A-5C 3A-3D

-

t6-

3 A _1 D

Iu-4U

38-5C 4B-2C 1B-1C

28-5D 3C-2C

Jr\ - zw

58-5C 28-4C 3C-4D 58-2D

2A- 1D Jt/

-

lt;

2A-2C

28-5C

JD-JU

3c-5c

5V-ZU

44-1C

46-ZW

5A-1D

58-4c

1A-2C 3A-1C 4A- 2C 1A-3D

1B-5C

14-5D 3A-4D

28-4D

3C-5D

48-4C

3C-5C 5A-3D

JA_3U

19-2C 38-1D

JU - 3t/

JU-

4A-2C

48-5D

5A-4C

58-4D

38-2D

58-4C 28- 1C I\/


G.RESITVE

=z,zs 2. a)r(-3)= 16,f(+)=f,,r1z,s1

Ys=3x-1 c)

NaraScajoce so funkcijeyr, y3 in yu. 1 ) P(1,

3 . Y r= - x + 3 , y r = - x - 3 , y . = * x

4.

a)Y=s

b)x=-4

5. a ) y 1 = L x , y z = - 2 x - 1 ,

V " = L . ; .1* '

c)y=?y+6 Yq=-2x+1

b) M(4,0) c ) p = 4 e 2 , o = ( 6+ Z t / S 1 e


KRIZEM POSTEVILIH 1.

2,

3.

Poenostavi razmeria. b)26m:65m a)5 :40 48 kg :32 kg 1 4: 4 9 55 hl : 121hl 72:44 Meta zasluii na mesec 28OOOOSlTn Boian pa 15OOOOSlT. V kolik5nem razmeriu sta niuna zasluika? lzradunaj neznani 6len sorazmerja.

a )B : x = 4 ' . 1 5x : 12= 2 :24 6 : (-7) = -2x :84

b' )r * :26 = 34 f : x 8 , 4 : 2 x = 3 , 5: ( - 1 ) Zfx. : O,t = -5 :2

V razredu z 21 u6enci ie razmerie deklic frn dedkov enako 4 : 3, Koliko ie v tem razredu deklic in koliko je de6kov? 5. Avto prepelje v eni uri 72 km, Sportnik par prete6e v eni minuti 150 m. Zapi5i razmerie hitrosti avtomobila in Sportnika. 6. V razredu s 25 u6enci ie 15 de6kov. ZapiSi razmerje med Stevilom deGkov in deklic v tem razredu, 7. 15 cm dolg pravokotnik ima 48 cm dolg obseg. ZapiSi razmerie med doliino in obsegom in razmerie med Sirino in obseglom tega pravokotnika. 8. Notranji koti trikotnika so v razmeriu 4 : 5 I 3.

4,

Kolikomeriio? Ostra kota pravokotnega trikotnika sta v razmerju 2 : 3. Koliko merita? lO. Trak smo razrezali na dva dela v razmeriu 11 :4' Koliko meri vsak kosn 6e ie razlika niunih dolZin 42 cm? Kako dolg trak smo razrezali? i 1. Stranice trikotnika so v razmeriu 2 t 3 : 5. Koliko merita drugi dve, 6e naikrai5a meri 19 cm?

9.

12. Stranice trikotnika so v razmeriu 3 : 4 : 5. Koliko merijon 6e je razlika med naidali5o in najkrai5o 1O cm? 13. Koliko meri plo56ina pravokotnega trikotnika s hipotenuzo 65 cm, 6e sta kateti v razmerju 4 t 3? 14. Diagonali romba sta v razmeriu 12: 5n razlika njunih dolZin je 14 cm, lzradunai plo56ino in obseg romba. 15, Kateti pravokotnega trikotnika sta v razmeriu 20 = 21, hipotenuza meri 145 cm. lzra6unai kateti. 16, lzradunaj hipotenuzo pravokotnega trikotnika s plo56ino 1734 cm2, 6e sta kateti v razmeriu 4=3. 17. Stevilo 180 zapi5i kot razliko dveh Stevil, ki stavrazmerjug:5. 18. Tri metre cevi tehta 4,5 kg. a) lzradunajkoeficientrazmerjamed dolZinocevi (x) in njenomaso (y). b) Zapi5ienadbodanegasorazmerja. c) Kolikometrovcevi tehta 13,5 kg? 19. lzra6unaj vrednosti odvisne spremenliivke y in nari5i graf premega sorazmeriay = 2x' Pri tabeliranju izberi za neodvisno spremenljivko x cela Stevila od -2 do +2,

20, NariSigrafe premegasorazmeriav isti koordinatni sistem. Kai ugotovi5 o nagibu narisanih premic? c) ys= 4x o)vz=? a)y,=2x


KRIZEM POSreuuH ::=::=

21. Razpredelnicaprikazuje premo sorazmerni koli6ini s sorazmernostnimkoeficientom-3. a) Dopolnirazpredelnico. b) ZapiSienadbopremegasorazmerja. c) Nari5igraf.

Lika na sliki sta podobna, lzradunaj, koliko merijo neznane stranice podobnega lika.

2.5m

22. lzrazi spremenljivko y s spremenljivko x in dolo6i vrsto sorazmeria. a )x : y = 7 ' . 8 c) x : 12= (-3):y 23. Spremenljivki x in y sta obratno sorazmerni kolidini, koeficient obratnega sorazmeria pa je -2, a) lzpolnirazpredelnico. b) Zapi5ienacboobratnegasorazmerja. c) Nari5igraf.

4,5m

24, Trikotnika na sliki sta si podobna. lzradunaj doliino stranice x.

26. Ali sta si pravokotnika na sliki podobna? Ordgovor utemelji.

27.lzraEunaj doliini stranic a' in c,, 6e vei, da sta si trikotnika podobna.


POSTEVILIH KRIZEM b) KrajaA in C sta oddaljena7500 m. KolikSnaje razdaljamed njima na tem zemljevidu? 36. Doliini dveh palic sta v razmeriu 3 : 5. Koliko meri prva, 6e je druga dolga 6 m? 37, Trak smo razrezali v razmeriu 2 z 3. Koliko meri prvi del, 6e je drugi dolg 24 m? 38. V enem trikotniku merita kota 32" in 62o, B 2 m C A 4m v drugem pa 86" in 62'. Ali sta si trikotnika 29. lzraEunaj dolZini daliic AB in TD. podobna? Odgovor utemelii' 2dm C A BI I D C D 39, En ostri kot pravokotnega trikotnika meri 35o, en ostri kot drugega pravokotnega trikotnika pa 65o' Ali sta sitrikotnika podobna? Odgovor utemelii' 4O, Stranice enega trikotnika meriio 5 cm, 6 cm in 8 cmn stranice drugega trikotnika 11 dm, 13,2 dm in 17,6 dm, stranice tretiega trikotnika pa 32,5 cm' A B 39 cm in 53 cm. Ali sta si katera dva izmed teh 3O. Nadrtaj 7 cm dolgo daliico AB in io s todko G trikotnikov podobna? Odgovor utemelii' razdeli tako, da bo veljalo: ' l B C l 41. Stranice trikotnika meriio 5 cm, 6 cm in 1 dm. =2:3 b)lACl a ) l A B :l l A C =l 6 : 5 Naidaljsa stranica podobnega trikotnika meri = = rAcr c) c) rBCr ]tcal ]rncr l5 cm. Koliko merita drugi dve? = = IACI e) IAct d) 42, Stranice trikotnika meriio 4 cmn 5 cm in 6 cm. *tner ltnal ' z . t ^y Dve stranici drugega trikotnika merita 1O cm 31, Nadrtaj trlkotnik ABC (c = 5 cm, a = 4 cm, = 60o) in 14 cm, Ali sta si ta dva trikotnika lahko in njemu podobnega s stranico b' = 7 cm. = podobna? Odgovor utemelii. 32. Na6ftaj trikotnik ABC (b = 6 cm, a= 45", c 5 cm) 43. Stranice trikotnika meriio 11 cm, 14 cm in in njemu podobnega v razmeriu 4 : 5' 15 cm, obseg podobnega trikotnika pa meri Kako senco. 3i3, 2r5 m visok zid me6e 1,5 m dolgo 48 cm. Koliko meriio niegove stranice? visoka ie palica, ki istoGasno me6e 6 dm dolgo 44. Pravokotnik ie dolg 2,4 dm in Sirok 1,5 dm. senco? Dalj5a stranica podobnega pravokotnika meri 34. Dana sta 9 cm dolg in 15 cm Sirok pravokotnik 9,6 cm. Koliko meri ploS6ina podobnega pravokotnik, podoben ki ie narisan v in njemu

28.lzrabunaj dolZini daliic x in y.

razmerju 3 : 4. V kolik5nem razmeriu sta obsegaobeh likov? 35. Na mizi je zemljevid,narisanv merilu 1 : 100000. je 3,5cm. a) MedkrajemA in B na zemljevidu je v resnicirazdalja mednjima? Kolik5na

pravokotnika? 45, lzradunaj neznani doliini x in y.


KRIZEMPOSTEVILIH i:i=i 46. Matematidnozapi5i odvisnost med koli6inama. a) Steviloy je za osemmanj5eod Stevlla x. b) Steviloy je enakonasprotni vrednosti. , x . c) Steviloy je za sedemvedjeod dvakratnika Stevila x. je d) Steviloy enakoobratnivrednosti Stevila x. 47. Tabeliraj funkcijo f(x) = -x2 + 1 za vrednosti x e l-2, -1, O, 1, 2l in nari5i njen graf. 48. Katere od funkcij so linearne? a)Y=-x o l v =x 5 c)y=11-3x d )Y = x 2 d)x+y-3=0e)y=0 49. Gratidno in radunsko ugotovi, kateri od to6k A(2, -3), B(-1, 1), C(O,O), 6(-O,S;2) in D(1, -2) feiita na grafu linearne funkcije y = -2x + 1. 50. Zapi5i enadbo linearne funkcijen 6e je: a )k = 7 , n = 3 b)k=-8,n=0 c)k=0,n=-1 d)k=-3,n=-5 51, Katera od premic y = 4xry = 5x, y = 3x, y = Xr y = g4xin y = 5r5x ima najbolj strm in katera najbolj poloien graf? Utemelji odgovor. 52. Nari5i premice y1 = 6x - 3, vz = -x - 3y ys = 2x- 3 v isti koordinatni sistem. Kaj opazi5? ZapiSi ugotovitev, 53, Nari5i premice y1 = 2x + 1, yz = 2x, ys = 2x - 1 v isti koordinatni sistem. Kaj opaziS? Zapi5i ugotovitev. 54, Dana je linearna funkcija y = +x 4. NariSi graf in od6itaj vrednost funkcije pri x = 2. Vrednost preveri tudi radunsko. 55. Dana je linearna funkcija y = 4x - 2. Nari5i premico in izradunaj ter oznadi ni6lo funkcije. 56. Dolo6i prese6iS6e grafa y = -1,5x + 3 s koordinatnima osema. Nalogo reSi ra6unsko in grafiGno.

57. Grafi6no in radunsko dolodi presecisce premic x 2iny2=-x+4. Vl =1z+ 58. lzra6unaj koordinati prese6i56premic,

a )y = 2 x - 1 0i n y = - t l x + ! b )Y =ad " * 1 1 r n y = -? l x +1f " 6 c )x - y - 2 = 0 i n x + y - B = 0 59. Zapi5i ena6bo premice, ki: a) gre skozitodkoT(1,3) in je vzporednapremici Y=-x-1' b) potekaskozitodkiT1(0,-1) in Tr(-3, 5) c) seka abscisnoos pri 2 in ordinatnoos pri-B 6O. Dana je linearna funkcija f{x} = x - 5. a) Nari5igraf funkcije. b) Zapi5ismernikoeficientin zacetnovrednost. c) Dolocit(-2,5),f(0) in f(5). c) Pri katerivrednostispremenljivke x je vrednost funkcije20? d) Zapi5ienadbolinearnefunkcije,ki je danifunkciji vzporednain gre skozitocko T(-.1,-2). e) lzracunajnidlofunkcije. f) lzracunajplosdinotrikotnika,omejenegaz grafom dane funkcijein koordinatnima osema.


KRIZEM POSTEVILIH *-1r1

l

..

i.: . .

RESIWE 1. 2. 3. 4. 5.

b )2 : 5 , 3 : 2 , 5 : 1 1 a)1:B,2:7,18:11 NjunazasluZkasta v razmerju28 : 15

a)x=2,x=|,x=36

:.i1.;

.:

(V3= +x;.ru4not1 koeficientom 20. Najboljstrmaje premicaz najvedjim je premicaz najmanj5im (v= 1r-) poloZna koeficientom

b)x=15,x=-1,2,x=-t

Deklicje 12, dedkovpa 9. RazmerjehitrostizapiSemokot B : 1, kar pomeni,da je avto osemkrathitrej5iod Sportnika. 6. Razmerjemed Slevilomdedkovin deklicje 3 : 2. 7, Razmerjemed dolZinoin obsegomje enako 15 cm : 48 cm = 5 : 16. Razmerjemed Sirinoin obsegomje enako9 cm : 48 cm = 3 : 16. 8. Notranjikoti trikotnikamerijo60', 75" in 45". 9. 2t+3t=90'.t=18' Ostra kota merita36" in 54". lO. En kos meri 66 cm, drugi pa24 cm. Razrezalismo gO cm dolg trak. I L Drugidve merita28,5 cm in 47,5 cm. 12.Stranicemerijo15 cm,20 cm in 25 cm. 13.(402 + (3t)2= 652,t = 13 cm, a = 52 cm, b = 39 cm, p = 1014cm2 1 4 . 1 2 1 -5 1= 1 4 ,l = 2 c m , s = 2 4 c m ,f = 1 0 c m ,a = 1 3 c m , o = 52 cm, p = 120 cm2 15. (201)2+ Q1r)2= 1452,t = 5 cm Kateii merita100 cm in 105 cm. 1 6 . 4 t : 3 t= f i 5 4 , t = 1 7 c m Hipotenuzameri 85 cm. 17.9t-5t=1BO,t=45

21.a)

'lB0je enakorazliki 405in225. Stevilo Stevil

t8,a)k=1,5 19.

b)y= 1,5x

c)9mcevitehta13,5kg.

b) Y = - 3 x c)


KRIZEMPOSTEVILIH 22. a) premosorazmerje c) obratnosorazmerje 23.a)

b)

/2

24.x = 6 cm 25. lB'C'l= 3,75 m, lC'D'l= 2,25 m, lD'E'l= 1,875m, tE'F't= 3 i n l F ' A ' l= 1 , 8 7 5m 26. Ne, ker razmerjedolZinni enako razmerjuSirin. 27, c,'= 33 cm in a' = 47,3 cm 2 a . y = 3 m i n x = 1 , 5m 29, lABl = 7 dm in lTDl = 19 dm 30. a)

33. Palicaje visoka 1 m. 34. Obsegasia v razmerju3 : 4


POSTEVILIH KRIZEM

,i

.'.

-, =.:.!

::."

t: i.

-::

i;

==

35. a) Kraja A in B sta v resnicioddaljena3,5 km. b) Med krajemaA in C je na zemljevidu7,5 cm. 36. Drugapalicameri3,6 m. 37. Drugidel meri 16 m. 38, Treiji kot prvegatrikotnikameri 86', tretji kot drugegatrikotnikapa 32". Trikotnikasta si podobna,ker se ujematav vseh treh notranjihkotih. 39. Drugiostri kot prvegapravokotnegatrikotnikameri 55', drugi ostri kot drugegapravokotnegatrikotnikapa meri 25'. To pomeni,da se trikotnikane ujematav notranjihkotih in si nista podobna. 4O. Podobnasta si prvi in drugi trikotnik,saj je vsaka stranicadrugega trikotnika2,2-kratdalj5aod enakoleZnestraniceprvegatrikotnika. 41. Drugidve merita7,5 cm in 9 cm. 42, Ne, ker 2e dana dva para stranicv podobnihtrikotnikihnistav enakemrazmerju. 43. Stranicemerijo13,2cm, 16,8cm in 18 cm. 44.Ker meri druga stranicapodobnegapravokotnika6 cm, meri nln{iina y,vvvr'

'q

c)Y=-3x-5 s0.a)y=7x+3 b)y=-Bx c)y=-1 51. Najboljstrmaie premica,ki ji pripadaenadbay = 5,5x, ker je absolutnavrednostsmernegakoeficientanajvedjeStevilo.Najbolj poloZnaje premicaz enadboy = x, ker je absolutnavrednost smernegakoeficientanajmanjSeStevilo. 52,

Vse iri premicesekajoordinatno os v istitodki,(0. -3), ker imajo enako zadetnovrednostn = -3.

F7 A am?

45.x = 4,8 cm in y = 13,5cm 46.a)y=x-g b)y=-x

c)y=2x+7

e)v=1

Premiceso si vzporedne,ker imajoenak smernikoeficient2

48. Linearnefunkcijeso zapisiv primeriha, c, d in e. 49.

Vrednost funkcijepri x = 2 je -3. Na grafu leZitatodkiA in C.


KRfZEM Po SrevlltH :.::t '.-i

'.'

;:

iri

t=ii={: -t

. ==;:

. .'.

60. a)

b ) k = 1 ,n = - S c) t(-2,5) = -7,5, d)x=25 d)y=x-1 e) M(5,0) t)p=12,5e2

premicje toem e(r$, z$). Presedisde

-4) 58.a)P(3, 59.a)y=-x+4

ol t(1,8)

c) P(5,3) b)y=-zx-t c)y=+x-8

1(0)= -5,

f(5) = 0


skrivnosti števil in oblik 9. I.del  

zbirka vaj

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you