Page 1

Junio 2012 – Opción A Ejercicio 1.-

Sea :  →  la función definida por   2. (a) [1 punto] Calcula las asíntotas de 

(b) [1 punto] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de .

(c) [0’5 puntos] Determinan, si existen, los puntos de inflexión de la gråfica de f. Solución

(a)   2

 A.V.: ∄ porque el dominio de la funciĂłn es   A.H.:

    $ ∙  2%  ∙  ∞  ∞ ∙  ∞ →

→ 

∞∗ ⇒ ∄ A.H. en

  & 'Ăł     $ ∙  2%  ∙  ∞ 0 ∙  ∞  & ' →

→ →

 2



 ( )*  → → 



 & 'Ăł 1 > 

  0 ,′.ô0& → →

⇒

⇒ 1 2 es A.H. en ∞

Veamos la posiciĂłn de la grĂĄfica respecto de la asĂ­ntota:

   Ă­&4&: 0

5    100  

   Ăł: 

Como ∄ A.H. A.H. en

 A.O. en  

→

 

∞: " 



→

∞ ⇒ puede ∃ A.O. en



∙  2 

∞

∞∗  & 'Ăł

∙   2  ,′.Ă´0& → ∞ 1

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x201E; 8. :. ;<

Selectividad 2012: Junio â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A

â&#x2021;&#x2019; estĂĄ por debajo

â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2122; 1

â&#x2C6;&#x17E;

PĂĄgina 1 de 61

â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x17E;


(b)   2 â&#x2021;&#x2019;  ?   â&#x2C6;&#x2122;  2

â&#x2C6;&#x2122; 1  2

1  1

 ?  0 â&#x2021;&#x2019;  1 0 â&#x2021;&#x2019;  1 F4G

F4G &' 4 5 @44&4Ă­  â&#x2030;Ą B4  â&#x20AC;˛ C ? H4&    â&#x2C6;ś â&#x2C6;&#x201E;

(c) Los puntos de inflexiĂłn son puntos donde la funciĂłn cambia de curvatura:

 â&#x2C6;&#x2122;  1  ?   1 â&#x2021;&#x2019;  ?? 

â&#x2C6;&#x2122; 1  1

1 â&#x2C6;&#x2122; 

 ??  0 â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2122;  0 â&#x2021;&#x2019;  0 F4G F. .

5 D'E&'  â&#x2030;Ą @44&4Ă­  â&#x20AC;˛ â&#x2030;Ą B4  â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ C H4&    ?? â&#x2C6;ś â&#x2C6;&#x201E;

Selectividad 2012: Junio â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A

PĂĄgina 2 de 61


Ejercicio 2.-

Sea  una función continua en el intervalo $2,3% y J una función primitiva de  tal que J2 1 y J3 2.. Calcula: (a) [0’75 puntos] LN  M

 (b) [0’75 puntos] LN 5 7 M

(c) [1 punto] LN QJR  M

N

Si J es una función primitiva de Solución M

 ⇒ J ?  

a S  $J%MN J3 J2 2 1 1 N

M

M

M

b S 5 7 5 S  

S 7 5$J%MN $7%MN N

N

$ 3 J2% $7 ∙ 3 7 ∙ 2% 5$2 1% $21 14% 5 7 2 5$J3

c M

S QJR  N

N

N

D44 _`  ab 

TU VWX YWZ([\X] YWZ([\X] ZYcd cdZ(WeYX]

1 7 $2M 1M % 3 3

Selectividad 2012: Junio – Opción A

M M

QJR 1 M M  R QJ2R j f g hQJ3R 3 3 N

Página 3 de 61


0 0 1 Sea la matriz k l2 1 2n 1 m 1 (a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro m no existe la inversa de la matriz k? Justifica Ejercicio 3.-

(b) [1’5 puntos] Para m 0 resuelve la ecuación matricial r la respuesta

matriz identidad y kZ la matriz traspuesta de k

 ∙ k kZ , donde  denota la

Solución

(a) Una matriz k no tiene inversa ⇔ |k| 0

0 0 |k| p2 1 1 m

1 2p 0 1

0 1 0 0 2m 1 0 ⇔ m

2m

€  ∄ q€ ⇔ ⇔  ‚ 0 0 1 (b) k l2 1 2n y |k| 2m 2 1 1 ƒ 0 ⇒ ∃ k> 1 0 1

1 2

Multiplicando por la derecha por k> $r

 ∙ k kZ % ∙ k> ⇒ r

Se calcula k>

1 ky Z ∙ ky k |k|

k>>  1N ∙ „

r

 ∙  kZ ∙ k> ⇒ r

1 2 „ 1 0 1

| { { Z ky k { k>N  1M ∙ „2 1 { { } 2 zk>M  1 ∙ „1 k>

 ∙ k ∙ k> kZ ∙ k>

2 „ 0 1

 kZ ∙ k> ⇒ r kZ ∙ k> 

0 kN>  1M ∙ „ 0

1 „ 0 1

0 kNM  1… ∙ „ 1

0 „ 0 0

0 1 kNN  1} ∙ „ „ 1 1 1

1 „ 1 0

1 0 1

1 0 1 1 1 ∙ ky kZ ∙ ~ 0 1 2 † ~ 0 1 2† |k|

1

1 0 0 1 0 0

r k ∙ k Z

>

0 2

 ~0 1 1 2

1 0

1

0† ∙ ~ 0 1

2

 ~2 2

Selectividad 2012: Junio – Opción A

1

‚ 2

1 0

1

1

2† ~0

‡

0

‚ †

0

0 0

1 2

1 0† ~0 1 0 1

0 2

kM>  1} ∙ „

0 1 „ 1 1 2

kMN  1… ∙ „ kMM  1ˆ ∙ „

4

1 0

2† ~0 1

3

0 0

‹ Š Š 1 „ 2 Š 2 Š Š 0 „ 0 ‰ 1

0 2 0 2

0

0† 1

‚ ‡

Página 4 de 61


 1,0, De un paralelogramo kÂ&#x152;DH conocemos tres vĂŠrtices consecutivos: consecutivos k2,

Â&#x152; 2,1,0 y D0,1,2 Ejercicio 4.(a)

[1 punto ]

Calcula la ecuaciĂłn de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es

perpendicular al plano que lo contiene. Calcula el vĂŠrtice H

(b) [0â&#x20AC;&#x2122;75 puntos ] Halla el ĂĄrea de dicho paralelogramo. (c)

[0â&#x20AC;&#x2122;75 puntos ]

SoluciĂłn

(a)  En primer lugar se calcula el plano que contiene a los puntos y lo llamo Â?  F&4 Â&#x152; 2,1,0 Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 2, 1,0

 2,1,0 4, 2,0 â&#x2C6;Ľ 2, 1,05 Â? â&#x2030;Ą ' Ăł Â&#x152;k Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 0,1 ' Ăł Â&#x152;D 1,2  2,1,0 2,0,2 â&#x2C6;Ľ 1,0,1  2 Â?â&#x2030;Ąp 2 1

Â? â&#x2030;Ą  2"

" 1 Â

1 0p 0 â&#x2021;&#x2019; 0 1

Â? â&#x2030;Ą 

2 â&#x2C6;&#x2122;  1 " 1 â&#x2C6;&#x2122; 2

 0 â&#x2021;&#x2019; E &4' 4' Â&#x17D;Â?¢  1, 2,1

 â&#x2C6;&#x2122;1 0

 En segundo lugar se calcula ell centro del paralelogramo es el punto medio del segmento ²²²² kD @ 2 @ �

0 1 1 0 2 , , Â&#x2018; 1 , 0 , 1 2 2 2

La recta ' pedida cumple:

'â&#x2030;ĄÂ&#x2019;

@1 , 0 , 1 â&#x2C6;&#x2C6; '

5 ' Â&#x201D; 04 kÂ&#x152;D Â? â&#x2021;&#x2019; Â?\ Â&#x17D;Â?¢  1, 2,1 Â&#x2014; Â&#x20AC; Â&#x2DC;

Â&#x2022; â&#x2030;Ą Â&#x2013;1 Â&#x201A;Â&#x2DC; Â&#x201A;Â&#x2DC; 5 â&#x2C6;&#x20AC; Â&#x2DC; â&#x2C6;&#x2C6; ¤ Â&#x2122; Â&#x20AC;

Â&#x2DC;

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x153; Â&#x152;D Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x203A; (b) Ă '  0' 4'4 Â&#x203A;Â&#x152;k Â&#x17E;Â?

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x153; Â&#x152;D Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â?4 Â&#x152;k 2

Â&#x;Â?

2 0

mÂ&#x17D;Â?

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x153; Â&#x152;D Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x203A; | 4, 8,4| â&#x2C6;&#x161;16 

8,4 â&#x2021;&#x2019; Â&#x203A;Â&#x152;k 0Â?  4, 2

64

Ă Ă Â&#x2022;§Â&#x2DC; ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;Š§ŠªÂ&#x2022;Â&#x2DC;ÂŹÂŞ â&#x2C6;&#x161;­Ž ÂŻ. Â&#x2DC;.

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? (c) En el paralelogramo se cumple que: Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? kH Â&#x152;D Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? kH , ", Â  2, 1,0  2, "

1,   5 ° â&#x2021;&#x2019;  2, " Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x152;D 0,1,2  2,1,0 2,0 0,2 Âą Â&#x2021;, Â&#x20AC;, Â&#x201A;

Selectividad 2012: Junio â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A

16 â&#x2C6;&#x161;96

 2 2 â&#x2021;&#x2019;  4

 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013;" 1, Â  2,0,2 â&#x2021;&#x2019;

1 0 â&#x2021;&#x2019; " 15

 2

PĂĄgina 5 de 61


Junio 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B Ejercicio 1.- [2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos]

â&#x2C6;&#x2122;   

 â&#x2020;&#x2019;¡ 2

Sabiendo que lim

es finito, calcula el valor de

SoluciĂłn

 â&#x2C6;&#x2122;     0 IndeterminaciĂłn  â&#x2C6;&#x2122; cos 1 â&#x2C6;&#x2122; lim hh j lim Regla â&#x2020;&#x2019;¡ â&#x2020;&#x2019;¡ N 2 0 Regla Lâ&#x20AC;˛HĂ´pital  â&#x2C6;&#x2122; cos cos 1 â&#x2020;&#x2019;¡ 2

lim

 â&#x2C6;&#x2122; 5



y el de dicho lĂ­mite.

 â&#x2C6;&#x2122; 

? 0

0 IndeterminaciĂłn h j 0 Regla Lâ&#x20AC;˛HĂ´pital

F' Ă  ĂŠ& Ă­& â&#x2C6;&#x192; 44 

  44' &   0 â&#x2021;&#x2019;   '4'  '4'  G &  '  0 lim $ â&#x2C6;&#x2122; cos 1 â&#x2020;&#x2019;¡

 â&#x2C6;&#x2122; 5% 0 â&#x2021;&#x2019;  â&#x2C6;&#x2122; 1 1 â&#x2C6;&#x2122; ¡  1 0 â&#x2021;&#x2019;  1

Se calcula el lĂ­mite para Â&#x2DC; Â&#x20AC; cos 1 lim â&#x2020;&#x2019;¡ 2

 â&#x2C6;&#x2122; 5

sen 52 â&#x2020;&#x2019;¡ 2

lim

0 IndeterminaciĂłn

sen 1 â&#x2C6;&#x2122; hh Regla Lâ&#x20AC;˛HĂ´pital j lim â&#x2020;&#x2019;¡ 0 2

 â&#x2C6;&#x2122; 5

Selectividad 2012: Junio â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B

0 2 Â&#x20AC; 2

1

 â&#x2C6;&#x2122; 

PĂĄgina 6 de 61


Ejercicio 2.-

Sea  la funciĂłn definida por 

2 para  Â&#x192; 1 y  Â&#x192; 1 2 1

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;25 puntos] Halla una primitiva de 

(b) [1â&#x20AC;&#x2122;25 puntos] Calcula el valor de m para que el ĂĄrea del recinto limitado por el eje de abscisas y la grĂĄfica de  en el intervalo $2, m% sea ln 2 donde ln denota logaritmo neperiano.

SoluciĂłn (a) Es una integral racional: S  S

2  N 1

grado del nunerador Ă&#x2021; grado del denominador â&#x2021;&#x2019; se descompone factorialmente el denominador

 N 1  1 â&#x2C6;&#x2122; 

k  1

S



Â&#x152;

1

k

 â&#x2021;&#x2019; H 404Ăł  '4  0 : 1 â&#x2021;&#x2019;

k 1 Â&#x152; 1 2 N â&#x2021;&#x2019; k  1  1  1 1

Â&#x152; 1 2

 1 â&#x2021;&#x2019; 2k 2 â&#x2021;&#x2019; k 1 5  1 2 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2019; Â&#x152;  1 â&#x2021;&#x2019; 2Â&#x152; 2 â&#x2021;&#x2019; Â&#x152; Â&#x152; 1

Â&#x201A; 1 1 Ă&#x2C6;Â&#x2014; S Â?

Â&#x2018;  ln 1 ln Â&#x2014;Â&#x201A; Â&#x20AC;  1  1

(b) La funciĂłn 

1

2 k N 1  1

Â&#x2014; Â&#x20AC; 1 Ă&#x2039;< Â? Â&#x2018; Â&#x2014; Â&#x20AC;



Â&#x152;

1

Ă?

 '4' Â&#x192; 0 4 4'& y Ă?r 04'Ă   '4' 2 5 4 4  Ă&#x152; 2 Â&#x2019; 2 1 4 &  4&  0' 0'  Ă&#x152; 2

por tanto

]X bVWeY bVWeYĂłW (U  (W (UZ( YWZ(\Ă&#x17D;X]d Ă&#x160; 2 2  1 Ă&#x160; Ă '  Ă&#x2030;S N  Ă&#x2030; S N  Ă?ln Â? Â&#x2018;Ă&#x2018;  1 N N  1 N  1 Ă&#x160;

m 1 1 Â?ln Â? Â&#x2018;Â&#x2018; Â?Â?ln Â&#x2018; ln 2 m 1 3 m 1 1 ln Â? Â&#x2018; ln m 1 3

m 1 2 m 1 2 ln 2 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; ln Â? Â&#x2018; ln â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; 3m 3 2m m 1 3 m 1 3

Selectividad 2012: Junio â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B

2 â&#x2021;&#x2019; Â Ă&#x2019;

PĂĄgina 7 de 61


Ejercicio 3.Considera el sistema de ecuaciones 

Â&#x2013;

"

3

a) [1 punto] Resuelve para Ă&#x201C; 1

Â

3"

 Ă&#x201C; 1"

Â

Ă&#x201C;

2 Ă&#x201C; Ă&#x201C;

1

35

b) [1 punto] Halla los valores de Ă&#x201C; para los que el sistema tiene una Ăşnica soluciĂłn. c) [0â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] ÂżExiste algĂşn valor de Ă&#x201C; para el que el sistema admite la soluciĂłn SoluciĂłn

Previamente se discute el sistema

Matriz coeficientes 1

|k| Â?0 3



1 3

1

1

k ~0

2Â? 3

Ă&#x201C; 1 1

0

3

1 3

Ă&#x201C; 1

1

2Â&#x2020; 1

1

Matriz ampliada kâ&#x2C6;&#x2014; ~0

1 3

3 Ă&#x201C; 1

6 9 2Ă&#x201C; 1 0 2Ă&#x201C; 1 0 â&#x2021;&#x2019; Ă&#x201C; 1

1

Ă&#x161; N , 0 , NĂ&#x203A;? >

Ă&#x201C;

2 2Ă&#x201C; 1

>

Ă&#x201C;

1

3Â&#x2020;

Ă&#x201C; Â&#x192; 1 â&#x2021;&#x2019; |k| Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; 'k ' 'kâ&#x2C6;&#x2014;  3 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; B. D. H. 4Ăł Ăş H 1

 Ă&#x201C; 1 â&#x2021;&#x2019; Matrices asociadas: k ~0 3

1 1

3 2Â&#x2020; 0 1

0 |k| 0 â&#x2021;&#x2019; 'k 2 porque el menor Ă&#x2030; 3

3 0

1 1

kâ&#x2C6;&#x2014; ~0 3

Ă&#x2030;Â&#x192;0

3 0

1 2

2 5Â&#x2020; 1 1

Para calcular el 'kâ&#x2C6;&#x2014;  se orla el menor anterior en kâ&#x2C6;&#x2014; 0 orlados de Ă&#x2030; 3

3 0

Ă&#x2030;Â&#x192;0

Ă&#x2014; Ă&#x2022;

Ă?'4 Ă?'4 4 J > " DM : |k| 0 1 1 2

Ă&#x2013;Ă?'4 4 J Ă?'4 > " D} : Â?0 3 5Â? 3 Ă&#x2022; Ă&#x201D; 3 0 1

0

15 18 0 0 0

5

Por tanto 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  2 â&#x2021;&#x2019; B. D. . 0'ĂŠ&'4 & 44  44 

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& '4 '4 4Ăş 3 2 1

Selectividad 2012: Junio â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B

PĂĄgina 8 de 61


(a) Por lo anterior el sistema es compatible indeterminado uniparamĂŠtrico Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la l columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico: 1

~0 3

1 1 2

3 2 5Â&#x2020; 0 1 1

 

  Ăł

 E4' 0'Ê&'4 E4' &

 &

â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013;3" 5 2&5 â&#x2021;&#x2019; 3 1 &

Ă&#x2014; Â&#x2014; ĂĽ ĂĽ ĂŚ Â&#x20AC;

Â&#x20AC;

1 ĂĽ ĂĽ ĂŚ â&#x2C6;&#x20AC;ĂŚ â&#x2C6;&#x2C6; ¤ Ă&#x2013; Ă&#x201D; Â&#x2122; ĂŚ Ă&#x2019;

Â&#x201A;

(b) Por el estudio anterior realizado: Ă? Â&#x192; Â&#x20AC; â&#x2021;&#x2019; |k| Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  3 â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. Ă&#x;. Âą. à ªŠ¯åâóã úãâåÂ&#x2DC; ãâåÂ&#x2DC; 

"

(c) Â&#x2013; 3" 3

 Ă&#x201C; 1"

 Ă&#x201C;

2Â 2 Ă&#x201C;

1

35

 Ă&#x201C;

soluciĂłn

Ă&#x161; N , 0 , NĂ&#x203A; >

>

1 1 0 Ă&#x201C; 1 Ă&#x2014; 2 Ă&#x2022;2 0 Ă&#x201C; 1 Ă&#x2022; Ă&#x2014; Ă&#x2022; Ă&#x2022; 1 Ă? Â&#x20AC; â&#x;š 0 2 â&#x2C6;&#x2122; 2 Ă&#x201C; 35 â&#x2021;&#x2019; 1 2 Ă&#x201C; 35 (W ]XU Z\(U (eVXeYdW(U 2 Ă&#x2013; Ă&#x2013; Ă&#x2022; Ă&#x2022; Ă&#x201D; 1 Ă&#x201C; Ă&#x2022; 1 Ă&#x2022; 3 Ă&#x201D; 2 0 2 Ă&#x201C;

Selectividad 2012: Junio â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B

PĂĄgina 9 de 61

5


Ejercicio 4.Sean ' y  las rectas dadas por  " 6 5  ≡  1 " 1   '≡’

1 6 2  3 (a) [1’25 puntos ] Determina el punto de intersección de ambas rectas. rectas (b) [1’25 puntos ] Calcula la ecuación general del plano que las contiene. Solución Previamente se expresan ambas rectas en sus ecuaciones paramétricas '≡’





" 6   3

5 ⇒ 5ç

  3 

1 6 \  1,2,1 5 É ë5 ⇒  " 6 5 ⇒ – " 3 2 5 ∀ ∀  ∈  ⇒ C 1 3 F\ 3,3,0  3  

1 1 1 0

 1 G ' ó  U  1,6,2 5  1 " 1 ⇒ –" 1 6G ∀ G ∈ 5 ⇒ C  ≡

1 6 2 F&4 F FU 1, 1,0 2G

(a) El punto de intersección de ambas rectas tiene que cumplir las ecuaciones de las dos

rectas, por tanto es la solución del sistema que se obtiene igualando” , igualando” " , “ en ambas expresiones : 53

3  1 G

 2G &4  ’ 6Gè ⇒  

2 1

 2G

3 2G 1 G ⇒ G 2

3

4G 1

6G ⇒ G 2

Sustituyendo  en la recta ' (También puede ser: G en la recta )

5 ⇒  2G 4

El punto de intersección de ambas rectas es  €, €€, ‡

(b) Sea  el plano pedido, cumple:

4&  \  1,2,1 5 × ' ⊂  ⇒ C 4&   Õ 4& 

4&   0&4  ': F\ 3,3,0

 ×' ó \  1,2,1 ≡ ≡ ' ó  U  1,6,25 Ö Ö  4&  U  1,6,2 5 4&   Ô F&4 FU 1, 1,0 Õ ⊂  ⇒ C 4& 

4&   0&4  : FU 1, 1,0 Ô  1

 ≡  1

1

"

2 6

1

1 0 2

ê ≡ ‚—

Selectividad 2012: Junio – Opción B

ì(UX\\d]]XWíd cd\ ]dU XíîVWZdU í( ]X >ª bY]X

1 ‡™

 1 ∙  2 "

å 2

1 ∙  1

∙  4 0

Página 10 de 61


Junio nio EspecĂ­fico 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A Ejercicio 1.-

1

Sea la funciĂłn : 0, â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019;  definida por   logaritmo neperiano.

  donde ln denota la funciĂłn

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] Halla los extremos absolutos de  (abscisas donde se obtienen y valores que se 1

alcanzan) en el intervalo h , ej. e

(b) [07â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Determinan la ecuaciĂłn de la recta tangente a la grĂĄfica de  en el punto de abscisa  e .

SoluciĂłn (a) Se aplica el TÂŞ de Weierstrass que dice

 4&  $, G% â&#x2021;&#x2019;       &' 4 G4&4  ò4 & 'E4 & 'E4

",4 &' 4 G4&4 

  &' &' 4 &' 4 ' &E4 Ă 

Ă  &ĂĄ   & 'E4 o 4 &' 4   & 'E4 & 'E4"

1

La funciĂłn  es continua y derivable en su dominio por tanto continua en el intervalo he , ej 

1 

 ? 

  â&#x2021;&#x2019;  ?  > â&#x2021;&#x2019;  ?? 

> Ăą

1 N

1

1 0 â&#x2021;&#x2019; N  

1 1  0 â&#x2021;&#x2019; 1  N

 0 â&#x2021;&#x2019;  1

F4G &' 4

Ăł Ăą â&#x2021;&#x2019;  ?? 1 >Ăł >Ăą Ă&#x152; 0 â&#x2021;&#x2019;  1 Ă­4 ' &E4 1 N

>

N

>

1 1  Â? Â&#x2018; ln ln 1 ln 1 1? 718 "4' E4' Ăś Â&#x20AC;, Â&#x20AC; á

Ă&#x2022; áíã⏪ Â&#x2DC;øà ªŠ¯Ìª: 1 1 5   5 ln 1 1? 368 Â&#x2013; Â&#x20AC;

Ăľ áåÂ&#x2014;⏪ Â&#x2DC;øà ªŠ¯Ìª:  á , § Â&#x20AC; 1 § Ă&#x2022; 1 ln 1 1  4'  4' E4' Ă´ 1

(b) La ecuaciĂłn de la recta tangente en  es :

1  

"

1

  â&#x2021;&#x2019;

1 Ă&#x2014;   Ă&#x2014; 

Ă&#x2022;

ln

Ă&#x2013;

1 Ă&#x2022;  ?   N Ă&#x201D; 

1

1

1

1 â&#x2021;&#x2019;  ?   N 

e 1 1

 â&#x2021;&#x2019; " â&#x2C6;&#x2122;   N

Selectividad 2012: Junio EspecĂ­fico â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A

1

"    ?   â&#x2C6;&#x2122;   1 e 1 N

5

e 1 e 1 ; Â&#x20AC; â&#x2C6;&#x2122;  N â&#x2C6;&#x2122; â&#x2021;&#x2019; 1 Â&#x201A; â&#x2C6;&#x2122; Â&#x2014; N

§

Â&#x201A;

PĂĄgina 11 de 61


Ejercicio 2.-

Sean , :  â&#x2020;&#x2019;  las funcion nes definidas por  sen y  cos cos respectivamente a) [0â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] Realiza un esbozo de las grĂĄficas de  y  en el intervalo h0 ,

¢ N

j

b) [1â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] Calcula el ĂĄrea total de los recintos limitados por ambas grĂĄficas y las recta  0 y 

SoluciĂłn

Â? . 2

(a) El esbozo de las grĂĄficas es:

(b) Previamente de calcula la intersecciĂłn de ambas funciones

  â&#x2021;&#x201D;    cos ¢ }

Ă Â&#x2022;§Â&#x2DC; S ÚúÝ Â&#x2014; à §ãÂ&#x2014; à§ãÂ&#x2014;  ¡

$  hĂ&#x161;  ýç

â&#x2C6;&#x161;2 2

Â? 4

¢ß }

cos %%¡

Â&#x201A;Qâ&#x2C6;&#x161;Â&#x201A; Â&#x20AC;R ÂŻ. Â&#x2DC;.

¢ N

S à §ãÂ&#x2014; ĂĄÂŞĂ  Â&#x2014;  ¢ }

¢ß

$ cos   %¢ßN

Â? cos Ă&#x203A;  0 4

â&#x2C6;&#x161;2 ĂŤ 0 2

Â? Â?  h0. j 4 2

1Ăž

cos0j

}

Â? Â? Â? Â? hĂ&#x161; cos   Ă&#x203A; Ă&#x161; cos   Ă&#x203A;j 2 2 4 4

ý 0 1  ç

â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x161;2

ĂŤĂž â&#x2C6;&#x161;2 1 2 2

 1

â&#x2C6;&#x161;2

MĂĄs ĂĄs fĂĄcil si nos damos cuenta que: que

Â? Â? Â? Ă '  ' &4 & 'E4 hh0. j Ă '  ' &4 & 'E4 h , j â&#x2021;&#x2019; 4 4 2 ¢ }

â&#x2021;&#x2019; Ă Â&#x2022;§Â&#x2DC; 2 â&#x2C6;&#x2122; S ÚúÝ Â&#x2014; à §ãÂ&#x2014;  ¡

Selectividad 2012: Junio EspecĂ­fico â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A

PĂĄgina 12 de 61


1 2 0 0 1

1 2 0 Considera las matrices k l0 1 2n Â&#x152; Ă&#x161; Ă&#x203A; y D Ă&#x161; Ă&#x203A; 1 0 1 1 2 1 2 1 Determina, si existe, la matriz r que verifica krÂ&#x152; D Z , siendo D Z la matriz traspuesta de C Ejercicio 3.- [2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos]

SoluciĂłn

1 2 0

1

2 0

 k ~0 1 2Â&#x2020; â&#x2021;&#x2019; |k| Â?0 Â&#x152; ç

1 2 1

0 1 1 0

ĂŤ

1

0 â&#x2021;&#x2019; |Â&#x152;| Ă&#x2030; 1

1 0

kZ 1 2Â? 1 Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x192; k> || â&#x2C6;&#x2122; ky k >

2 1

Ă&#x2030; 1 Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x192; Â&#x152;> || â&#x2C6;&#x2122; ky Â&#x152;Z

 Para resolver la ecuaciĂłn krÂ&#x152; D

Z

>

se multiplica por Â&#x2019;

k> â&#x2C6;&#x2122; $krÂ&#x152; D Z % â&#x2C6;&#x2122; Â&#x152;> â&#x2021;&#x2019; k> â&#x2C6;&#x2122; krÂ&#x152; â&#x2C6;&#x2122; Â&#x152;> k> â&#x2C6;&#x2122; D Z â&#x2C6;&#x2122; Â&#x152;>  Se calculan las matrices inversas: k>>  1N â&#x2C6;&#x2122; Â&#x201E;

1 2 Â&#x201E; 3 2 1

| { { 0 Z ky k { k>N  1M â&#x2C6;&#x2122; Â&#x201E; 1 { { } 0 zk>M  1 â&#x2C6;&#x2122; Â&#x201E;1 qÂ&#x20AC;

ky Â&#x152;Z

2 Â&#x201E; 2 1

1 Â&#x201E; 1 2

 Â&#x152;>N  1M â&#x2C6;&#x2122; 1 1 Â&#x20AC;

  k

â&#x2C6;&#x2122;D â&#x2C6;&#x2122;Â&#x152; Z

>

1 kNN  1} â&#x2C6;&#x2122; Â&#x201E; 1

1 kNM  1Â&#x2026; â&#x2C6;&#x2122; Â&#x201E; 1

5   ' ò 04' 04' Â&#x152;>

â&#x2021;&#x2019;

 â&#x2C6;&#x2122; a â&#x2C6;&#x2122; a

0 Â&#x201E; 2 1 0 Â&#x201E; 1 1 2 Â&#x201E; 0 2

r k> â&#x2C6;&#x2122; D Z â&#x2C6;&#x2122; Â&#x152;>

2 kM>  1} â&#x2C6;&#x2122; Â&#x201E; 1

kMN  1Â&#x2026; â&#x2C6;&#x2122; Â&#x201E;

1

Â&#x152;NN

 1}

â&#x2C6;&#x2122;0 0

2 Â&#x20AC; 2 Â&#x20AC; Â&#x20AC; â&#x2C6;&#x2122; qĂ&#x2C6; ĂŚ â&#x2C6;&#x2122;ç ĂŤ ç ||

Â&#x20AC; Â&#x20AC; 2 Â&#x20AC;

3 2

~ 2

Â&#x152;N>  1M â&#x2C6;&#x2122; 1 1

1 0

4

1 0

1 kMM  1Â&#x2C6; â&#x2C6;&#x2122; Â&#x201E; 0

ĂĽ Â&#x201A; Â&#x2021;

ĂĽ Â&#x201A; Â&#x2021; Â&#x20AC; Â&#x20AC; ĂŚ  â&#x2C6;&#x2122; qĂ&#x2C6; q â&#x2C6;&#x2122;~ Â&#x201A; Â&#x20AC; Â&#x201A;Â&#x2020; ~ Â&#x201A; Â&#x20AC; Â&#x201A;Â&#x2020; |q| Â&#x20AC;

Â&#x20AC; 2 Â&#x20AC;

Â&#x20AC; 2 Â&#x20AC;

Â&#x152;>>  1N â&#x2C6;&#x2122; 0 0

>

2 kN>  1M â&#x2C6;&#x2122; Â&#x201E; 2

  à  '  à  ' 04' k>

Â&#x20AC; 2

0 Â&#x201E; 4 2

Â&#x2039; Â&#x160; Â&#x160; 0 Â&#x201E; 2Â&#x160; 2 Â&#x160; Â&#x160; 2 Â&#x201E; 1 Â&#x2030; 1

ĂŤ

1 3 ĂĽ Â&#x20AC;

1 1 0 1 0 1 ĂŤ ~ 0 1Â&#x2020; â&#x2C6;&#x2122; ç ĂŤ ~ Â&#x20AC; 2 Â&#x2020;

2Â&#x2020; â&#x2C6;&#x2122; l 2 1n â&#x2C6;&#x2122; ç 1 0 1 0 0 2 1 1 1 Â&#x20AC; Â&#x20AC;

Selectividad 2012: Junio EspecĂ­fico â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A

PĂĄgina 13 de 61


Ejercicio 4.El punto @1, 1,0

es el centro de un paralelogramo y k2,1, 1 y Â&#x152;0, 2,3 son dos

vĂŠrtices consecutivos del mismo. a)

[1 punto ]

Halla la ecuaciĂłn general del plano que contiene al paralelogramo.

b)

[1â&#x20AC;&#x2122;5 puntos ]

Determina uno de los otros dos vĂŠrtices y calcula el ĂĄrea de dicho paralelogramo. paralelogramo

SoluciĂłn (a) Observamos el siguiente dibujo

El plano pedido es

1 1,0 2,1, 1  1, 2,1 ' Ăł Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? k@ 1,

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 0, 2 Â? â&#x2030;Ą Â&#x2013;' Ăł kÂ&#x152; 2,3 2,1, 1  2, 3,4 5  0&4 @1, 1,0

 1

Â? â&#x2030;Ą Â? 1

2

"

1

2

3

Â

1Â? 0 4

â&#x;š

ĂŹ(UX\\d]]XWĂ­d cd\ ]dU XĂ­ĂŽVWZdU Ă­( ]X >ÂŞ bY]X

ĂŞ â&#x2030;Ą Ă&#x2019;Â&#x2014;

Â&#x201A;1 Â&#x2122;

(b) @ es el punto medio del segmento kD

 1 â&#x2C6;&#x2122;  5 "

 2

2

1 â&#x2C6;&#x2122;  2

 â&#x2C6;&#x2122;  1 0



1 â&#x2021;&#x2019; 2 1  2 â&#x2021;&#x2019;  0 2 k2,1, 1 2  1 " 1 Â 1 " 5 , , Â&#x2018; 1, 1,0 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; @ Â? 1 â&#x2021;&#x2019; 1

" 2 â&#x2021;&#x2019; " 3 5 2 2 2 D, ",   Ă&#x2013; 2 Ă&#x2022; 1   0 â&#x2021;&#x2019; 0

1  0 â&#x2021;&#x2019;   1 Ă&#x201D; 2 Ă&#x;2, ĂĽ, Â&#x20AC; Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D; Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Ă '  0' 4'4 Â&#x203A;Â&#x203A;Â&#x152;D Â&#x153; Â&#x152;kÂ&#x203A; Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 0, 3,1 0, 2,3 0, 0 1, 2 Â&#x152;D Â&#x17E;Â?

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x153; Â&#x152;k Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â?0 Â&#x152;D 2

Â&#x;Â?

Ă&#x2014; Ă&#x2022;

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 2,1, 1 0, 2,3 2,3, 2 4 Â&#x152;k

mÂ&#x17D;Â?

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x153; Â&#x152;k Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?Â&#x203A; |10,4,2| â&#x2C6;&#x161;100

1 2Â? 10,4,2 â&#x2021;&#x2019; Â&#x203A;Â&#x152;D 3

4

16

4 â&#x2C6;&#x161;120

Ă Â&#x2022;§Â&#x2DC; ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;Š§ŠªÂ&#x2022;Â&#x2DC;ÂŹÂŞ â&#x2C6;&#x161;Â&#x20AC;Â&#x201A;2 ÂŻ. Â&#x2DC;

Selectividad 2012: Junio EspecĂ­fico â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A

PĂĄgina 14 de 61


Junio nio EspecĂ­fico 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B Ejercicio 1.-

Sea  la funciĂłn definida por  

22 para  Â&#x192; 1 y  Â&#x192; 2 .  1 2

(a) [1 punto] Estudia y calcula alcula las asĂ­ntotas de la grĂĄfica de 

(b) [1 punto] Determina los os intervalos de crecimiento y decrecimiento de .

(c) [0â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Calcula, si existe, existe algĂşn punto de la grĂĄfica de  donde ĂŠsta corta a la asĂ­ntota horizontal.

SoluciĂłn

22 Q 1R 2  A.V.:  1 "  2 son posibles A.V.

(a) 

  

â&#x2020;&#x2019;>

â&#x2020;&#x2019;> 

  â&#x2020;&#x2019;N

â&#x2020;&#x2019;N 

2

1 :  â&#x2C6;&#x17E; 2 N 2 0 5 â&#x2021;&#x2019;  1  k. ? â&#x2C6;&#x17E; Â&#x2013;

. 2   2 0 1 

1 :  â&#x2C6;&#x17E; 0

8 2 :  â&#x2C6;&#x17E; 2 N 8 0 5 â&#x2021;&#x2019;  2  ? â&#x2C6;&#x17E; Â&#x2013;

 k. . 8 1 2 0  2 :  â&#x2C6;&#x17E; 0

 A.H.: " G es A.H. si   

â&#x2020;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; 

  G

â&#x2020;&#x2019;

2 N 2 N  N 2 â&#x2021;&#x2019; " 2  k. ..  2 â&#x2020;&#x2019;   2 1

Aunque no se pide la posiciĂłn de la funciĂłn respecto de la asĂ­ntota horizontal es:

   Ă­&4&: 2

5    100  20000

   Ăł: 1.98 10098

  Ă­&4& &4&: 2

5    100  20000

   Ăł: 2.02 9898

(b) 

â&#x20AC;˛

22 2 2 2 Q 1R 2 2  2

4 N  2 2 2 N 2 1

2 N 8

2 4 N N N N  1  2  1  2  1N  2N

 0 5 F4G  F4G  &' 4  4 5 @44&4Ă­  â&#x2030;Ą B4  â&#x20AC;˛ Ă&#x2013; Ă&#x2022; H4&    ? â&#x2C6;ś  15 " â&#x2C6;&#x201E; â&#x2C6;&#x201E;  1 " â&#x2C6;&#x201E;2 Ă&#x201D;  2 Ă&#x2014; ?  0 â&#x2021;&#x2019; 2 Ă&#x2022;

Selectividad 2012: Junio EspecĂ­fico â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B

4 â&#x2021;&#x2019; 

PĂĄgina 15 de 61


 ?  5  ?  2

B4  ? 



2 4 ? ∙ ? N N  1

2

  ?  0.5  ? 1

 ? 3

§à¯¬â§ãȪ ߕ§áâ§ãæ§:  ‡, € ∪  €, 2

±§á•§áâ§ãæ§:  ∞, ‡ ∪ 2, ‚ ∪ ‚, ∞ ÷á—⬪: 2, 2 2, 2

÷íã⬪: Q ‡,  ‡R  ‡,

€® ‘ ­

(c) Los cortes, de existir, con on la asíntota horizontal son las soluciones de la ecuación:

 5 " 2



2 N 1 2è ⇒ ⇒



2 N 2 ⇒ 2 N 2 1 2

4 0 ⇒  2

2

 2 ⇒ 2 N 2 N 2 4 1

Aunque no se pide la gráfica de la función es:

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción B

Página 16 de 61


Ejercicio 2.- [2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos]

Sea  la funciĂłn :  â&#x2020;&#x2019;   definida por   N â&#x2C6;&#x2122; cos . Determina la primitiva de  cuya grĂĄfica pasa por el punto Â? , 0 SoluciĂłn

Todas das las primitivas de la funciĂłn son: J S  N â&#x2C6;&#x2122; cos  Ă    & ' 04' 0'& : S E E S E  N 5

E cos 

â&#x2021;&#x2019;  2 

° â&#x2021;&#x2019; S  N â&#x2C6;&#x2122; cos   N â&#x2C6;&#x2122; sen S 2 â&#x2C6;&#x2122; sen  â&#x2021;&#x2019; E S cos cos   

La nueva integral tambiĂŠn se hace por partes:  2 2 â&#x2021;&#x2019;  2    E sen  â&#x2021;&#x2019; E S sen  cos 5   S 2 â&#x2C6;&#x2122; sen  2 â&#x2C6;&#x2122; cos S 2 â&#x2C6;&#x2122; cos  2 cos  

J S  N â&#x2C6;&#x2122; cos   N sen $ 2 cos  N sen

2 cos  2 sen

Se cumple que JÂ? 0 â&#x2021;&#x2019;

JÂ? Â? N senÂ?



2Â? cosÂ? Â? 2 senÂ?

2Â?

  Â&#x2014;Â&#x201A; Ăť;<Â&#x2014; Â&#x2014;

Selectividad 2012: Junio EspecĂ­fico â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B

2 sen%

 2Â? â&#x2C6;&#x2122;  1

 0 â&#x2021;&#x2019;  2Â?

 5   2 sen 

 0

Â&#x201A;Â&#x2014; ÚúÝÂ&#x2014; Â&#x201A; Ăť;<Â&#x2014;

Â&#x201A;ĂŞ

PĂĄgina 17 de 61


Ejercicio 3.m 2" 3 C  2m 1 5 3 " 7  m 1 (a) [1â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] Estudia el sistema para los distintos valores del parĂĄmetro m Dado el sistema de ecuaciones

(b) [0â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] ResuĂŠlvelo para m 1 SoluciĂłn

Matriz coeficientes m

(a) |k| Â? 1

3

2

0

m

k ~ 1 1 0

2m Â? 0

0

2m Â&#x2020;

0

3

1 7 0

1 7

 Â Â&#x192;  1 Â Â&#x192; Â&#x20AC;

2

m

Matriz ampliada kâ&#x2C6;&#x2014; ~ 1 1 3

12m 0 14 m N

2m N 2m N

6m 7 0 â&#x2021;&#x2019;

2

0

0

2m

1 Â&#x2020;

1 7 m

12m 14 2m N

3

1

6m 7 0

1

6  6N 4 â&#x2C6;&#x2122; 1 â&#x2C6;&#x2122;  7 6  8 Â&#x2019; 5 2â&#x2C6;&#x2122;1 2

7

â&#x2021;&#x2019; |k|| Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2022;q Â&#x2022;qâ&#x2C6;&#x2014;  ĂĽ ĂŁÂş âãåóãâÌÂ&#x2DC;à ãâÌÂ&#x2DC;Ă  â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. Ă&#x;. Âą.

7

 Â  â&#x2021;&#x2019; k ~ 1 3

2 0

1

0

14Â&#x2020;

7

7

kâ&#x2C6;&#x2014; ~ 1

7 2  'k 2 04'Ă  |k| 0 " Ă&#x2030; Ă&#x2030;Â&#x192;0

1 0

3

2 0

1

0

3

14 1Â&#x2020;

7

6

 Para calcular 'kâ&#x2C6;&#x2014;  se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2014; Ă&#x2022;

Ă?'4 4 JM " DM : |k| 0

7 2

7 2 3 5 â&#x2021;&#x2019; 'kâ&#x2C6;&#x2014;  3 Orlados de Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 en kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2013;Ă?'4 4 JM " D} : Â? 1 0 1Â? 8

Â&#x192;0

1 0 Ă&#x2022; Ă&#x201D; 3 1 6 Por tanto Â&#x2022;q Â&#x201A; Â&#x192; Â&#x2022;qâ&#x2C6;&#x2014;  ĂĽ â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. .

Selectividad 2012: Junio EspecĂ­fico â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B

PĂĄgina 18 de 61


1

 Â Â&#x20AC; â&#x2021;&#x2019; k ~ 1 3

2

0

0

2Â&#x2020;

1 7

1

k ~ 1 â&#x2C6;&#x2014;

3

1 2  'k 2 04'Ă  |k| 0 " Ă&#x2030; Ă&#x2030;Â&#x192;0

1 0

2

0

0

2

1 7

3

1Â&#x2020; 2

 Para calcular 'kâ&#x2C6;&#x2014;  se orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2014; Ă&#x2022;

Ă?'4 4 JM " DM : |k| 0 1 2

3 1 2 5 â&#x2021;&#x2019; 'kâ&#x2C6;&#x2014;  2 Orlados de Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 en kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2013;Ă?'4 4 JM " D} : Â? 1 0 1Â? 0

1 0 Ă&#x2022; Ă&#x201D; 3 1 2 Â&#x2022;q Â&#x2022;qâ&#x2C6;&#x2014;  Â&#x201A; Ă&#x2021; 3 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. Ă&#x;.  ¯ãâ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;ÂŹ ¯ãâ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;ÂŹĂŠĂŚÂ&#x2022;âåª

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& '4 4Ăş: 3 '4

2 1

(b) Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado y su soluciĂłn depende de

un parĂĄmetro. Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico:

1

~ 1 3

2

0

0

2

1 7

3

1Â&#x2020; 2

 E4' 0'Ê&'4   

  Ăł Â&#x2014; Â&#x20AC;

Â&#x201A;Â&#x2DC; Â&#x2013;1 Â&#x20AC; Â&#x2DC; 5 â&#x2C6;&#x20AC; Â&#x2DC; â&#x2C6;&#x2C6; ¤

 

â&#x2021;&#x2019; 

2" 3

 1 2

5 â&#x2021;&#x2019;

Â&#x2122; Â&#x2DC;

Selectividad 2012: Junio EspecĂ­fico â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B

PĂĄgina 19 de 61


Ejercicio 4.- [2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos]

Calcula de manera razonada la distancia del y Ă?r a la recta ' de ecuaciones 2 3" 4 5  2 3" Â 0

SoluciĂłn

1Âş Previamente se pasa la recta a sus ecuaciones paramĂŠtricas "   2 2 3" 4 5 5  1ÂŞ forma  â&#x2021;&#x2019; 2 4 3 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013;"  2 3"  0 2   3   4 3  3 Ă&#x2014; 2 2 5 Â? Â? , 1,0Â&#x2018; â&#x2C6;Ľ 3,2,05 'â&#x2030;Ą "  â&#x2021;&#x2019;  \ 2 Ă&#x2013; F\ 2,0,4 Ă&#x201D;  4

M  N

Â&#x17E;Â?

5 â&#x2C6;&#x20AC;  â&#x2C6;&#x2C6; 

Â&#x;Â?

 2ÂŞ forma:: La direcciĂłn se calcula: Â?\ 2, 3,0 Â&#x153; 2, 3, 1 Â?2 3

mÂ&#x17D;Â?

0 Â? 3,2,0

2

3 1 2 4 Un punto se calcula resolviendo el sistema por ejemplo para " 0 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; Â&#x2019; 5 â&#x2021;&#x2019; F\ 2,0,4 2  0 ' Ăł Â&#x17E;Â? 1,0 0,0 5  y Ă?r Â&#x2019; F&4 Ă? 0,0,0 Â?\ , Â&#x17E;Â? , Ă?F Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?\ Â&#x203A; 0 4'& 4'&  Â&#x203A; 5 1 Como Â?\ 3,2,0 â&#x2C6;Ś Â&#x17E;Â? 1,0,0 04'Ă  4 4 0'404'4  â&#x2021;&#x2019; C Â?\ , Â&#x17E;Â? , Ă?F Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?\ Â&#x203A; Â&#x192; 0 '  '   Â&#x203A; 3 2 0 Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?\ Â&#x203A; Â?1 0 0Â? 8 Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019;  ' &  '  4  y Ă?r Â&#x203A;Â?\ , Â&#x17E;Â? , Ă?F

2Âş Se e estudia la posiciĂłn de la recta y el eje

2 0 4  1ÂŞ forma: demostrando la siguiente fĂłrmula con el esquema

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?\ Â&#x203A; | 8| 8 Â&#x203A;Â?\ , Â&#x17E;Â? , Ă?F 5

Â&#x17E;Â?

Â?\ Â&#x153; Â&#x17E;Â? Â?3 1

Â&#x;Â?

2 0

mÂ&#x17D;Â?

En este caso en particular: Ăś Ă&#x2022;

Ăľ 0Â? 0,0, 2 â&#x2021;&#x2019; Â&#x203A;Â?\ Â&#x153; Â&#x17E;Â?Â&#x203A; 2Ă&#x2022; 0

Selectividad 2012: Junio EspecĂ­fico â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B

Ă´

â&#x2021;&#x2019; Ă&#x2C6;Â&#x2022;, § § "

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?\ Â&#x203A; 8 Â&#x203A;Â&#x203A;Â?\ , Â&#x17E;Â? , Ă?F Â&#x2021; ÂŻ. Š. 2 Â&#x203A;Â?\ Â&#x153; Â&#x17E;Â?Â&#x203A;

PĂĄgina 20 de 61


 2ª forma: siguiendo el siguiente esquema: Calculando los puntos F y # que cumplen: ŽŽŽŽŽ ” \ ⇒ F# ŽŽŽŽŽ ∙ \ 0 F# 5 ▪C  ŽŽŽŽŽ ŽŽŽŽŽ F# ” U ž ⇒ F# ∙ ž 0

▪ Se calculan por tanto los puntos F y # imponiendo la condición de pertenecer a las recta ' y y Ír respectivamente:

F ∈ ' ⇒ F2 3, 2 , 4 ŽŽŽŽŽ G, 0 , 0 2 5 ⇒ F# ’ # ∈  y Ír ⇒ #G, 0 , 0 0

 2 3 , 2 , 4 3, 2 , 4 G

▪ Hacemos los cálculos:

ŽŽŽŽŽ F# ∙ \ G 2 3 , 2  , 4 ∙ 3,2,0 3G 6 9 4 0 ⇒ 3G 13 6 ŽŽŽŽŽ F# ∙ ž G 2 3 , 2 , 4 ∙ 1,0,0 G 2 3 0 ⇒ G 3 2 Se resuelve por tanto el sistema: ’ F 2

3, 2 , 4 2,0 ,, 4

y

G 3 2

3G 13 6

5 ⇒

M$>MXaˆ }Xa·

⇒  0 ⇒ G 2

# G, 0 , 0 2,0 , 0 ⇒ ŽŽŽŽŽ F# 0 ,0 , 4

ŽŽŽŽŽ › |0 ,0 , 4| √0 ▪ È•, § § " ›F#

Otra forma de calcular los puntos & y ' ŽŽŽŽŽ es perpendicular a la recta ' y y Ír F#

0

16 ‡ ¯. ©.

ŽŽŽŽŽ ∥ \ œ ž ⇒ coord. Proporcionales ⇒ F#

ŽŽŽŽŽ F# G 2 3 , 2 , 4 ∥ \ œ ž 0,0, 2 ⇒ ’

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción B

M$%Xaˆ

G 2 3 0

2 0

⇒ ⇒ ’

 0 G 2

5 5

Página 21 de 61


Septiembre 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn continua :   â&#x2020;&#x2019;  definida por  m   * 0  Â&#x2013; Ăą 1 N

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;25 puntos] Calcula el valor de m

  Ă&#x152; 0

5

(b) [1â&#x20AC;&#x2122;25 puntos] Halla la ecuaciĂłn de la recta tangente a la grĂĄfica de la funciĂłn f en el punto de abscisa  1 .

SoluciĂłn

(a)  es continua en 

â&#x2021;&#x2019; continua en  0 â&#x2021;&#x2019; 0  )

0   â&#x2020;&#x2019;¡

) )

â&#x2020;&#x2019;¡

â&#x2020;&#x2019;¡

â&#x2020;&#x2019;¡

â&#x2020;&#x2019;¡

m m

â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;¡

1 ¡ 1 0 2 â&#x2C6;&#x2122; Ăą ? )  , .Ă´0&  ) ¡ 1 â&#x2020;&#x2019;¡) â&#x2020;&#x2019;¡ 0 2 N 0 Ăą

Ăą

Por tanto  Â&#x20AC;

(b) La r.t. a la grĂĄfica en  1 tiene de ecuaciĂłn: " 1  ? 1 â&#x2C6;&#x2122;  1 Ă&#x2014; Ă&#x2022;

1  â&#x2021;&#x2019; â&#x20AC;˛ 2 Ă&#x2013; 2

2 2  â&#x2C6;&#x2122; 

2 â&#x2C6;&#x2122; 2 2 â&#x2C6;&#x2122; Ă&#x161; 

4

Ă&#x2022; Ă&#x201D;1 1 â&#x20AC;˛1 2

1Ă&#x203A;

 â&#x2C6;&#x2122; l22 â&#x2C6;&#x2122; 2 Ă&#x161;  1Ă&#x203A;n 2

4

" 1  ? 1 â&#x2C6;&#x2122;  1 â&#x2021;&#x2019; "  1 2 â&#x2C6;&#x2122;  1 â&#x2021;&#x2019; 1 Â&#x201A;Â&#x2014;

Ejercicio 2.-

2

§ ü

22 â&#x2C6;&#x2122; 2  1 5 3 2

2

>

x  1 x 1 ¡

Sea  S

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] Expresa la integral  aplicando el cambio de variable & â&#x2C6;&#x161;1  (b) [0â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] Calcula el valor de 

& N 1 5 Ă&#x2014;) Ăł &'  E'G :: & â&#x2C6;&#x161;1  â&#x2021;&#x2019; Â&#x2019; Ă&#x2022;  1 &N 5 ) Ăł &'   '    '  : 2& &  Ă&#x2013;  0 â&#x2021;&#x2019; & â&#x2C6;&#x161;1 0 15 Ă&#x2022;,Ă­&   & 'Ăł: Â&#x2019; Ă&#x201D;  1 â&#x2021;&#x2019; & â&#x2C6;&#x161;1 1 0  1 & N 1 & â&#x2C6;&#x2122; 1 &  1 &  1 & â&#x2C6;&#x2122;  2&& 2& N 2&& 1 & 1 & 1 â&#x2C6;&#x161;1  1 â&#x2C6;&#x161;1  SoluciĂłn (a) y (b)

Â&#x20AC;

 S

2

Â&#x20AC;

Â&#x2014;

Â&#x201A;ĂŚĂĽ Â&#x201A; Â&#x20AC; Ă&#x2C6;Â&#x2014; S QQÂ&#x201A;ĂŚ Â&#x201A;ĂŚRĂ&#x2C6;ĂŚ Ă˝

ĂŚÂ&#x201A; Ăž 2 2 Â? Â&#x20AC;Â&#x2018; ĂĽ ĂĽ ĂĽ â&#x2C6;&#x161;Â&#x20AC; Â&#x2014; Â&#x20AC; Â&#x20AC; 2

Â&#x201A;

Selectividad 2012: Septiembre â&#x20AC;&#x201C; Opc pciĂłn A

2

PĂĄgina 22 de 61


m 2" 2 Considera el sistema de ecuaciones con dos incĂłgnitas C 2 m" m 5  " 1 Ejercicio 3.-

(a) [0â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parĂĄmetro m . (b) [1 punto] EspecĂ­fica para que valores del parĂĄmetro m es determinado o para cuales indeterminado.

(c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso. SoluciĂłn

m

2

k ~2

Matriz coeficientes

mÂ&#x2020;

1

1

m

Matriz ampliada kâ&#x2C6;&#x2014; ~2 1

2

2

mÂ&#x2020;

m

1 1

(a) Se comienza estudiando el determinante de la matriz cuadrada:

|kâ&#x2C6;&#x2014; |

m

Â?2 1

2

m

2

m

m Â? $J2 J2 J1 % Â?2 m

1 1 m 2

2 m â&#x2C6;&#x2122; Â?1 1

1

2

2

2

m 2 m 2Â?

1

1

1 1

Â? 0 04'Ă  J2 J3

1 1

Por tanto como |kâ&#x2C6;&#x2014; | 0 â&#x2C6;&#x20AC; m â&#x2021;&#x2019; 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  â&#x2021;&#x2019; B&  D40&G

D40&G

2

(b) y (c) Se considera el menor Ă&#x2030;

m

1 1

Ă&#x2030; 2 m 0 â&#x2021;&#x201D; m 2

m

  'kâ&#x2C6;&#x2014;  2 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; B. D. H. kâ&#x2C6;&#x2014; ~2  m Â&#x192; 2 â&#x2021;&#x2019; 'k â&#x2021;&#x2019; Â&#x2019;

2

m" m

 " 1

Ă  4 '  E4 04' D' ' 04'Ă  Ă&#x2030;

m m 2 Ă&#x2030; Ă&#x2030; Ă&#x2030; 0  1 1 0 " 1 2 m 2 Ă&#x160;+N

2 2 m Ă&#x2030; Ă&#x2030; Ă&#x2030; 1 1 1

2

 m 2 â&#x2021;&#x2019; k ~ 2

1

Â&#x192; Â&#x201A; Â&#x201A; 2

2 2Â&#x2020;

1 1

2

y kâ&#x2C6;&#x2014; ~ 2 1

2

m

2

m

1 1 1

1

2

m

2

mÂ&#x2020;

1 1

Ă&#x2030; 2 m Â&#x192; 05

Ă&#x2030;

1 1 Ă&#x17E;ªŠ¯åâó óã: 2, Â&#x20AC; ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;  m Ă&#x2030;

1 2

2 2Â&#x2020; Como las tres filas son proporcionales:

1 1

'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  1 Ă&#x2021; 2 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; B. D.  0'ĂŠ&'4 &'4

â&#x2021;&#x2019;  " 1 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2019;

 Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& '4 4 4Ăş: 2 1 1

Â&#x2014; Â&#x20AC; 1 Â&#x2DC;

Selectividad 2012: Septiembre â&#x20AC;&#x201C; Opc pciĂłn A

Â&#x2DC; â&#x2C6;&#x20AC; Â&#x2DC; â&#x2C6;&#x2C6; ¤5

PĂĄgina 23 de 61


Ejercicio 4.Sean los puntos k0,0,1 , Â&#x152; Â&#x152;1,0, 1 , D0,1, 2 y H1,2,0 (a)

[1 punto ]

Halla la ecuaciĂłn del plano Â? determinado por los puntos k , k Â&#x152; y D . Calcula la distancia del punto H al plano Â? .

(b) [0â&#x20AC;&#x2122;5 puntos ] Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. (c)

[1 punto ]

SoluciĂłn

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 1,0, 1 0,0,1 1,0, 2 ' Ăł: kÂ&#x152; '  2 Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 0,1, 2 0,0,1 0,1, 3 (a) El plano pedido es Â? â&#x2030;Ą Â&#x2013;' Ăł: kD '  3 5 

Â? â&#x2030;Ą Â?1 0

"

F&4 F&4 k0,0,1

 1

â&#x;š  â&#x2C6;&#x2122; 2 " â&#x2C6;&#x2122;  3

2 Â? 0 ĂŹ(UX\\d]]XWĂ­d cd\ ]dU ĂŹ(UX\\d]]XWĂ­d

0 1

3

 1 â&#x2C6;&#x2122; 1 0 â&#x2021;&#x2019; Â&#x201A;Â&#x2014;

XĂ­ĂŽVWZdU XĂ­ĂŽVWZdU Ă­( ]X >ÂŞ bY]X

ĂĽ1

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? , kD Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? , Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?Â? , kD Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? , Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? (b) k , Â&#x152; , D , H no no son coplanarios â&#x;ş coplanarios /kÂ&#x152; kH 0 4 . . â&#x;ş Â&#x203A;Â&#x203A;kÂ&#x152; kH Â&#x203A; Â&#x192; 0 Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? kH 1,2,0 0,0,1 1 1,2, 1

2

1 0

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? , kD Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? , Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? kH Â&#x203A; Â?0 1 Â&#x203A;kÂ&#x152;

Â? 1

3

1 2

0

1

0

2

Â&#x2122; Â&#x20AC; 2

6 0 7 Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; 4 0&4 4 4 40'4 4

(c) 1ÂŞ forma: utilizando la fĂłrmula

H, Â?

| &&"    44'   H  Â?| Ăł4     E &4' 4'

Ă&#x2C6;Âą, ĂŞ

|2 â&#x2C6;&#x2122; 1

â&#x2C6;&#x161;2N

2â&#x2C6;&#x2122;3

3N

0 1| 1N

7

â&#x2C6;&#x161;14

â&#x2C6;&#x161;Â&#x20AC;Â&#x2021; ÂŻ. Š. Â&#x201A;

2ÂŞ forma: utilizando el siguiente esquema

 Se calcula la recta & perpendicular al plano Â? que pasa por H :

 1 ' Ăł ' & & E &4' 4' 04 Â?: Â?Z Â&#x17D;Â?¢ 2,3,1 &â&#x2030;ĄÂ&#x2013; â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013;" 2 F&4   ' & H1,2,0  

 Se calcula el punto # que es la intersecciĂłn de & y Â? # â&#x2C6;&#x2C6; & â&#x2021;&#x2019; #1

2 , 2

3 , 

# â&#x2C6;&#x2C6; Â? â&#x2021;&#x2019; 0  

Ăł: 21 # Â?1

1 2 â&#x2C6;&#x2122; , 2 2

2

1 1 7 1 3 â&#x2C6;&#x2122; , Â&#x2018; Â?2 , , Â&#x2018; 2 2 2 2

, > M >  Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? H# Ă&#x161;2 , N , NĂ&#x203A; 1,2,0 Ă&#x161;1 , N , NĂ&#x203A;

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x203A; -1N Ă&#x2C6;Âą, ĂŞ Â&#x203A;H#

3N 2N

Selectividad 2012: Septiembre â&#x20AC;&#x201C; Opc pciĂłn A

1N -1 2N

9 4

32

3

2

3 â&#x2C6;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; 5

 1 0 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; 14 7 â&#x2021;&#x2019; 

1 2

1 14 â&#x2C6;&#x161;Â&#x20AC;Â&#x2021; - ÂŻ. Š. 4 4 Â&#x201A;

PĂĄgina 24 de 61


Septiembre 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn  definida por 

 para  Â&#x192; 1 1 

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;25 puntos] Estudia las asĂ­ntotas de la grĂĄfica de la funciĂłn  .

(b) [1â&#x20AC;&#x2122;25 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de .

SoluciĂłn

(a)  A.V.:  1 es una posible A.V.

Ă&#x2014; 



>> 0 lim  lim ? â&#x2C6;&#x17E; 4   & 4 â&#x2020;&#x2019;> â&#x2020;&#x2019;> 1  0 Ă&#x2013; Ă&#x201D;0   A.H.: " G  k. .. â&#x2021;&#x201D; lim  G â&#x2020;&#x2019; 

â&#x2C6;&#x17E; 

 1 â&#x2C6;&#x17E; 

 1

â&#x2021;&#x2019; Â&#x2014; Â&#x20AC; §à q. 3.5

 0 â&#x2C6;&#x17E;: 0 â&#x2021;&#x2019; 1 2 §à q. 2. §ã

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;

Ă&#x2014;  â&#x2C6;&#x17E; Ă&#x2022;

 5  â&#x2020;&#x2019;  1     Ă&#x2013;

â&#x2C6;&#x17E; 0

Ă&#x2022;  â&#x2C6;&#x17E;: 0 Ă? )  ,â&#x20AC;˛ .Ă´0&Ă&#x2018;   â&#x2C6;&#x17E; â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x201E; Ă&#x201D; â&#x2020;&#x2019;  1 â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; 0 1  A.O. en â&#x2C6;&#x17E;: 1 ÂŹÂ&#x2014; ĂŁ





â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; 0

 1

 â&#x20AC;˛    Â? Ă? )  , .Ă´0&Ă&#x2018;Â&#x2018;   â&#x2020;&#x2019;  â&#x2020;&#x2019;    N â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;  1 2 

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; 0

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;

0



 Â? Ă? )  ,â&#x20AC;˛ .Ă´0&Ă&#x2018;Â&#x2018;  â&#x2C6;&#x17E; â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x201E; k. Ă?.  â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019;  2 0 â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;

2

(b) 



 1 

 ?  â&#x2021;&#x2019;  1 2 1 

  1

 1

1 2

â&#x2C6;&#x2122;

1 2



 ?  0:  â&#x2C6;&#x2122;  0 â&#x2021;&#x2019;  0 04G &' 4

&' 4

5 H4&    ? : 1 N 0 â&#x2021;&#x2019;  1 " â&#x2C6;&#x201E;1 H4& 

(c) @44&4Ă­  â&#x2030;Ą B4 â&#x20AC;˛ Â&#x2019;

Ă&#x;Â&#x2022;§å§ã̧: 2, Â&#x20AC; â&#x2C6;Ş Â&#x20AC;, â&#x2C6;&#x17E;   ¹§åÂ&#x2022;§åâ§ã̧:  â&#x2C6;&#x17E;.  ¹§åÂ&#x2022;§åâ§ã̧ 2  §à ¯â§ãĂ&#x2C6;ÂŞ  áåÂ&#x2014;⏪: â&#x2C6;&#x201E;  â&#x2C6;&#x201E;   2 2 2, Â&#x20AC;  áíã⏪: 2,

No se pide pero un boceto de la grĂĄfica es:

Selectividad 2012: Septiembre â&#x20AC;&#x201C; Opc pciĂłn B

PĂĄgina 25 de 61


Ejercicio 2.-

Sea la funciĂłn continua :  â&#x;ś  definida por 

9 2 4

(a) [0â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] Halla la ecuaciĂłn de la recta tangente a la grĂĄfica de  en el punto de abscisa  1 .

(b) [1â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] Esboza el recinto limitado por la grĂĄfica de f , la recta  eje de abscisas. Calcula el ĂĄrea de dicho recinto.

2" 5 y el

SoluciĂłn

(a) La ecuaciĂłn es de la forma: " 1  ? 1 â&#x2C6;&#x2122;  1

1 1

1 9 N  ?  â&#x2C6;&#x2122;  2  â&#x2021;&#x2019;  ? 1 â&#x2021;&#x2019;  25 4 2 4   2 1

1

1 5 " 2 â&#x2C6;&#x2122;  1 â&#x2021;&#x2019; " "  â&#x2021;&#x2019; 2"  5 â&#x2021;&#x2019;  2" 5 2 2 2 (b) Por el apartado anterior se observa que la recta dada es la recta tangente a  en  1 9 9  N 1 N 9 ĂŠ'&

'& : 0,  5   0'åG4 4  ' ò Gy4  4 4 4 4 F 04' 1,2 , 3,0 

 5 9  1 k> S Ă˝Â? Â&#x2018; ç ĂŤĂž  S $ 2 2 4 4 > > M

N

Observando el dibujo: 1 M 10 9  N % S $ N 2 4 >

1 1 2 â&#x2C6;&#x2122; Ă?9 9 3 Â? 1 1Â&#x2018;Ă&#x2018; Â&#x2018;Ă&#x2018; . . 4 3 3 > 1 kN ĂĄ'    &'ĂĄ4 

 G 2 " &' 1 â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2122; 1 1 . . 2 Â&#x201A; Ă&#x2019; Ă Â&#x2022;§Â&#x2DC; qÂ&#x20AC; qÂ&#x201A; Â&#x20AC; ÂŻ. Â&#x2DC;. ĂĽ ĂĽ Otra forma:

1 1 M â&#x2C6;&#x2122; Ă?  N 4 3

M

M

Ă&#x2018;

1%

M N M G 4 5 S 9   1 â&#x2C6;&#x2122; 4 â&#x2C6;&#x2122; 2 1 ýý9  Ăž Ă Â&#x2022;§Â&#x2DC; ĂĄ'  &'ĂĄ4 Â&#x2019; 4 2 4 3 > &' 2 >

1 1 1 28 7 Ă&#x2019; 4 Ă?27 9 Â?9 Â&#x2018;Ă&#x2018; 4 â&#x2C6;&#x2122; 4 ÂŻ ÂŻ. Â&#x2DC;. 4 3 4 3 3 ĂĽ

Selectividad 2012: Septiembre â&#x20AC;&#x201C; Opc pciĂłn B

M

PĂĄgina 26 de 61


 " Ă&#x201C;

Ejercicio 3.-

Considera el sistema de ecuaciones Â&#x2013; 2Ă&#x201C;"

 "

Ă&#x201C;Â Ă&#x201C; 5

Ă&#x201C; Â 0

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;25 puntos] ClasifĂ­calo segĂşn los distintos valores del parĂĄmetro Ă&#x201C; (b) [1â&#x20AC;&#x2122;25 puntos] ResuĂŠlvelo para Ă&#x201C; 0 Ă&#x201C; 1 SoluciĂłn

1

k ~ 0

(a) Matriz coeficientes

1

2Ă&#x201C;

1 1

1

|k| Ă&#x201C; â&#x2C6;&#x2122; 2Ă&#x201C; Ă&#x201C;

Ă&#x201C; 0 5 2 0 â&#x;ş Â&#x2019; Ă&#x201C; 1

â&#x2C6;&#x2014;

1 0

B4 Ă&#x201C;Â? $B4 Ă&#x201C; &4' 4Ăş  D 3 % Ă&#x201C; â&#x2C6;&#x2122; Â? 0

Ă&#x201C;

1

Matriz ampliada k ~ 0

Ă&#x201C;Â&#x2020;

2Ă&#x201C;

1 1 Ă&#x201C;

1 0

|k| Â? 0

1 0

2Ă&#x201C;

1

1

Ă&#x201C; 1Â? Ă&#x201C; â&#x2C6;&#x2122; 2Ă&#x201C;

2Ă&#x201C;

1 0

1 1 1

0

Ă&#x201C;

Ă&#x201C;

Ă&#x201C;

Ă&#x201C;Â&#x2020;

0

1 0 0

1

 Ă? Â&#x192; Â&#x20AC; 1 Ă? Â&#x192; 2 â&#x2021;&#x2019; |k| Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  3 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. Ă&#x;. Âą. 1

 Ă? Â&#x20AC; â&#x2021;&#x2019; k ~ 0

1

0

2 1Â&#x2020;

1

k ~ 0 â&#x2C6;&#x2014;

1

0

1

2 1 1Â&#x2020;

1 1 1

1 1 1 0 1 0  'k 2 porque Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 " |k| 0 0 1

Ă?'4 4 JM " DN : |k|| 0 Ă&#x2014; 1 0 1 Ă&#x2022; 1 0 5 0  'kâ&#x2C6;&#x2014; : Se orla el menor Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 en kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2013;Ă?'4 4 JM " D} : Â? 0 1 1Â? 0 1 Ă&#x2022; Ă&#x201D;

1 1 1 0 â&#x2C6;&#x2014; 'k 'k 2 Ă&#x2021; 3 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. Ă&#x;.  ¯ãâ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;ÂŹĂŠĂŚÂ&#x2022;âåª 1

Ă? 2 â&#x2021;&#x2019; k ~ 0

1 0 0

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& '4 4Ăş: 3 '4

2 1

1

k ~ 0

0Â&#x2020;

â&#x2C6;&#x2014;

1 1 0

1 0 0 0

 Ă&#x2030; 0 0Â&#x2020; â&#x2021;&#x2019; JN    '4 "

1 1 0 0

Evidentemente 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  2 Ă&#x2021; 3 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. Ă&#x;.  ¯ãâ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;ÂŹ ¯ãâ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;ÂŹĂŠĂŚÂ&#x2022;âåª

1

1

1 1

Ă&#x2030;Â&#x192;0

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& '4 4Ăş: 3 '4

2 1

(b) Ă? Â&#x20AC; â&#x2021;&#x2019; Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado uniparamĂŠtrico

Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico:

1

kâ&#x2C6;&#x2014; ~ 0

1

0

1

2 1 1Â&#x2020;

1 1 1

0

" E4' 0'ĂŠ&'4 

   Ăł

Selectividad 2012: Septiembre â&#x20AC;&#x201C; Opc pciĂłn B

â&#x2021;&#x2019;

" 

1  1

 1



2

Â&#x2014; Â&#x20AC;

5 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013;1 ÂŹ

ÂŹ 5

Â&#x2122; Â&#x20AC; Â&#x201A;ÂŹ

PĂĄgina 27 de 61


 Ă? 2 â&#x2021;&#x2019; Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado uniparamĂŠtrico Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico:

1

kâ&#x2C6;&#x2014; ~ 0

1 0 0 0

0 0Â&#x2020;

1 1 0 0

 

Â&#x2013; " 0

 " 0

   Ăł

 E4' 0'Ê&'4 

5a¡  5a¡ â&#x;š N5a¡ â&#x;š

" 0 â&#x;š  0 â&#x;š 5

Selectividad 2012: Septiembre â&#x20AC;&#x201C; Opc pciĂłn B

Â&#x2014; 2

Â&#x2013;1 25 â&#x2C6;&#x20AC; Â&#x2DC; â&#x2C6;&#x2C6; ¤ Â&#x2122; Â&#x2DC;

PĂĄgina 28 de 61


Ejercicio 4.- [2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos]

 Â 0 5 Halla el punto simĂŠtrico de F2,1, F

5 respecto de la recta ' definida por   " 2 0 SoluciĂłn

En primer lugar se pasa la recta a sus ecuaciones paramĂŠtricas:

    0 5 â&#x2021;&#x2019; " 2 5 â&#x2C6;&#x20AC;  â&#x2C6;&#x2C6;  â&#x2021;&#x2019; Los puntos de ' son de la forma , 2 ,    " 2 0   

1ÂŞ forma de calcular el punto # siguiendo el siguiente esquema:

# â&#x2C6;&#x2C6; ' â&#x2021;&#x2019; , 2 ,  5 Se calcula el punto # que cumple Â&#x2019; Â? Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? #F Â&#x201D; \ 1, 1,1 Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 2,1, 5 , 2 ,,  2  , ܳܲ Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x201D; Â?\ â&#x2021;&#x201D; Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? #F #F â&#x2039;&#x2026; Â?\ 0 2  , 3

3

 , 5 

 , 5  â&#x2C6;&#x2122; 1, 1,1

2  3  5  3 6 â&#x2021;&#x2019;

3 6 0 â&#x2021;&#x2019;  2 , 2 ,   2,0, 2 Q

2ÂŞ forma de calcular el punto # siguiendo el siguiente esquema:

El punto # que cumple



Â&#x17D;Â? â&#x2C6;&#x2C6; 04 Â? C #

0 '0 ' 0 '0 '  ':  Â&#x17D;Â?¢ Â?\ 1, 1,1 â&#x2021;&#x2019; Â? â&#x2030;Ą  " 0 04' F F2,1, 5 â&#x2C6;ś 2 1 5

ĂŞâ&#x2030;ĄÂ&#x2014; 1

Â&#x2122;

Â&#x2021; 2



# â&#x2C6;&#x2C6; ' â&#x2021;&#x2019; Q , 2 ,   â&#x2021;&#x2019; 



Se calcula ahora el simĂŠtrico:

2





H 0 â&#x2021;&#x2019; H 4

Â

H 0 5

4 0 â&#x2021;&#x2019;  2

Q , 2 ,   Â&#x201A;, 2, Â&#x201A;

Fâ&#x20AC;˛ es el punto medio del segmento FFâ&#x20AC;˛

 2 2 â&#x2021;&#x2019;  6 Ă&#x2014; 2 Ă&#x2022; F2,1, 5 " 1 5  2,0, 2 â&#x2021;&#x2019; 0&4  4 #

0 â&#x2021;&#x2019; " 1 5 ? F , ",   Ă&#x2013; 2 Ă&#x2022;  5 Ă&#x201D; 2 2 â&#x2021;&#x2019;   1 &?  ÂŽ, Â&#x20AC;,

Â&#x20AC;

Selectividad 2012: Septiembre â&#x20AC;&#x201C; Opc pciĂłn B

PĂĄgina 29 de 61


Modelo 1 - 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn : $1, % â&#x;ś  definida por   N 8 ln  funciĂłn logaritmo neperiano.

donde ln denota la

(a) [0'75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de .

(b) [1 punto] Calcula los extremos absolutos y relativos de la funciĂłn f (abscisas donde se

obtienen y valores que se alcanzan).

(c) [0'75 puntos] Estudia los intervalos de concavidad y de convexidad.

SoluciĂłn

8   N 8 ln  â&#x;š  ?  2 â&#x;š  ??  2 

(a) y (b)

8 N

Nâ&#x2C6;&#x2030;$>,(% 8 8  ?  2 0 â&#x;ş 2 â&#x;ş 2 N 8 â&#x;ş  2 â&#x;š  2 5 @44&4Ă­  â&#x2030;Ą B4 â&#x20AC;˛    ? $ % H4&  H4&    : â&#x2C6;&#x201E;   & 'E4 $1,

D'  & : 2,    H '  & : 1,2  2  )  4  @ĂĄ4 ' &E4  ' &E4: â&#x2C6;&#x201E;   ' &E4: Q2, 2R 2 , 4 8 ln 2 @Ă­4 ' &E4 Para calcular los extremos absolutos 8ÂŞ 9§â§Â&#x2022;Ă ĂŚÂ&#x2022;Â&#x2DC;Ă Ă 

 4&  $1, % 5

   &' 4 G4&4  $1, % â&#x;š      'EG  1, 

&' 4 ' &E4 5 ,4 &' 4 G4&4   &'

 &' &' Â&#x2019;

&' 4   & 'E4

Selectividad 2012: Modelo 1 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn iĂłn A

PĂĄgina 30 de 61


2 4 8 ln 2 1.54

ย–1 1 8 ln 1 1

61   N 8 ln N 8 0.61

@รก4 4 G4&4 1,1 5 โŸน 4 8 ln 2 ร‡ 8 ร‡ 1 โŸน ย’ 5 @รญ4 G4&4 2 , 4 8 ln 2

8  ??  0: 2 0 โˆ„ soluciรณn soluciรณn 5 c D'E&'  โ‰ก @44&4รญ  โ€ฒ โ‰ก B4 โ€ฒโ€ฒ  N H4&  โ€ฒโ€ฒ: โˆ„  

 & 'E4 $1, %

DรณE: โˆ„

)  4 ;D4E : 1, 

<

F&4     รณ: โˆ„

Selectividad 2012: Modelo 1 โ€“ Opciรณn iรณn A

Pรกgina 31 de 61


Ejercicio 2.-

Sea :  ⟶  la función definida por   M 4

(a) [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de  en el punto de abscisa  1.

(b) [0'75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica d  y la recta "  2 , determinando los puntos de corte de ambas gráficas.

(c) [1 punto] Calcula el área del recinto anterior. Solución

(a) La ecuación de la recta tangente en  1 es " 1  ? 1 ∙  1

⟹  ?  3 N 4

  M 4 5

1 1 4 3



? 1

3 4 1

°5 ⟹ "

3  1 ⟹ 1 — ‚

(b) Por el apartado anterior la recta dada es la recta tangente a la función en  1

 Puntos de corte de ambas gráficas: "  M 4 5

"  2

  2 ⟹  M 3 =5 ⟹  M 4

Se que un punto es común es  1 . Por Ruffini: 1

1

1

0

3

1

1

2

1

1

1 1

1 2

1

2

2

2 0

2

⟹  M 3

⟹  N

0

Por tanto los puntos en común son:  M 3

2  1 ∙  N

2  1 ∙  N

 2  1 ∙ 

 2  1N  ∙ 

 Para dibujarlas:

2 0

 2

2

2 0 ⟹ ’

 1

 2

5

Ambas pasan asan por los puntos 1, 3 "  2,0

Además la función cumple: Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión A

Página 32 de 61


 0 M 5 ร—D4'&  y รr:  D4'&

4  N 4 0 โŸน ย’  2 ร• ร• ร•  ??  6 M 5 ร—   4 โŸน 2 ร• ?? ร– ? 2  ย ย‘ รญ4 5 N โŸน โˆš3 ร•  3 4 0 โŸน   โˆš3 ร– ร•

2 2 ร• ร• ?? ย ย‘ รก4 ร” ร” โˆš3

(c) Observando la grรกfica se deduce

>

>

>

ร'  S รณ ' & ' & S $ M 4    2% S  M 3 N

1 3 ร } N 4 2

>

2ร‘

N

1 3 ย

4 2

Selectividad 2012: Modelo 1 โ€“ Opciรณn iรณn A

N

2 ย‘ 4 6 4 8

N

5 27 . . 4 4

2

Pรกgina 33 de 61


Ejercicio 3.Considera el sistema de ecuaciones 

Â&#x2013;m 

m

"

1"

2"

2  

Â

1

2 m

1

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] ClasifĂ­calo segĂşn los distintos valores de m.

5

(b) [0'75 puntos] ResuĂŠlvelo para el caso m 2 . SoluciĂłn

(a) Las matrices asociadas al sistema son:

1

m

Matriz coeficientes k ~m 1

|k| Â?m

1



m

1

1

2

1

2

1

1

2

4 1 Â? 1 4m

m

1

1

2

Matriz ampliada kâ&#x2C6;&#x2014; ~m

1Â&#x2020;

1

1

1 2

2

mN

m m N 2m 0 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; Â&#x2019;

m

1

1

2

m 0 m 2

2

1

1

1 m

2 Â&#x2020; 1

5

 Â&#x192; 2 1  Â&#x192; Â&#x201A; â&#x2021;&#x2019; |k| Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  3 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. Ă&#x;. Âą. à ªŠ¯åâóã úãâåÂ&#x2DC; 1

 Â 2 â&#x2021;&#x2019; k ~0

1 1

1

2

y kâ&#x2C6;&#x2014; ~0

1Â&#x2020;

1 2 1

1  'k 2 04'Ă  |k| 0 " Ă&#x2030; 0

1 1

Ă&#x2030;Â&#x192;0

1

1 1

2 1

2 1

1

2Â&#x2020;

1

 Para calcular 'kâ&#x2C6;&#x2014;  se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2014; Ă&#x2022;

Ă?'4 4 JM " DM : |k| 0

1 1 1 Orlados de Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 en kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2013;Ă?'4 4 JM " D} : Â?0 0 1 Ă&#x2022; Ă&#x201D; 1

1 1

2

1

2 Â? 8Â&#x192;0

1

5 â&#x2021;&#x2019; 'kâ&#x2C6;&#x2014;  3

Por tanto Â&#x2022;q Â&#x201A; Â&#x192; Â&#x2022;qâ&#x2C6;&#x2014;  ĂĽ â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. ..

Selectividad 2012: Modelo 1 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn iĂłn A

PĂĄgina 34 de 61


1

 Â Â&#x201A; â&#x2021;&#x2019; k ~ 2 1

1 1

1

2

y kâ&#x2C6;&#x2014; ~ 2

1Â&#x2020;

2

1

1 1  'k 2 04'Ă  |k| 0 " Ă&#x2030; Ă&#x2030;Â&#x192;0

2 1

1

1 1

2

1

1

2Â&#x2020;

2 1 1

 Para calcular 'kâ&#x2C6;&#x2014;  se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz kâ&#x2C6;&#x2014; Ă?'4 4 JM " DM : |k| 0 Ă&#x2014; Ă&#x2022; 1 1 1

1 1 5 â&#x2021;&#x2019; 'kâ&#x2C6;&#x2014;  2 Orlados de Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 en kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2013;Ă?'4 4 JM " D} : Â? 2 1

2 1 2 Â? 0 Ă&#x2022; Ă&#x201D; 1 2 1

Por tanto Â&#x2022;q Â&#x201A; Â&#x2022;qâ&#x2C6;&#x2014;  Ă&#x2021; 3 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; Ă&#x17E;. Ă&#x;. . ¯ãâ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;ÂŹĂŠĂŚÂ&#x2022;âåª

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& '4 4 4Ăş: 3 2 1

(d) Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado y su soluciĂłn depende de

un parĂĄmetro. Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico:

1

~ 2 1

1 1

2

1

1

2Â&#x2020;

2 1 1

 E4' 0'Ê&'4 

 

1 25 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013; " 1

2

 

  Ăł

 " 1 2

2 " 2  â&#x2021;&#x2019;   1

 1 3

Â&#x2014; Â&#x20AC;

3 â&#x2021;&#x2019; " 

Â&#x2013;1 Ă&#x2019;ÂŹ Â&#x2122; ÂŹ

Selectividad 2012: Modelo 1 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn iĂłn A

ĂĽÂŹ

1

2 1

" 2  3 

1

2 5

5 â&#x2C6;&#x20AC; ÂŹ â&#x2C6;&#x2C6; ¤

PĂĄgina 35 de 61


Ejercicio 4.-

Dadas las rectas ' â&#x2030;Ą 6 4 4  3

" " 9

 8

y

 â&#x2030;Ą 3 2 2  3

" 9

 8

(a) [1 punto] Determina la posiciĂłn relativa de las rectas ' y  . (b) [1'5 puntos] Calcula la distancia entre ' y  . SoluciĂłn

Se expresan previamente las rectas en sus ecuaciones paramĂŠtricas

 3

3 Â?\  6,4,4 â&#x2C6;Ľ  3,2,25  3 " 9 Â 8 ' â&#x2030;Ą â&#x2021;&#x2019; C â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013;" 9 2 â&#x2C6;&#x20AC;  â&#x2C6;&#x2C6; 5

6 4 4 F\  3,9,8  8 2  3 3G Â?U 3, 2, 25  3 " 9   8  â&#x2030;Ą â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; C â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013;" 9 2G â&#x2C6;&#x20AC; G G â&#x2C6;&#x2C6; 5 3

2

2 FU 3,9,8 Â 8 2G (a) Se cumple que Â?\  3 3,2,2 â&#x2C6;Ľ Â?U 3, 2, 2 porque

M M

N

N

N N

' â&#x2C6;Ľ  5 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2019; ' 

Para ver si son iguales o paralelas se sustituye un punto de la recta  en la recta ' y se comprueba si se cumple la ecuaciĂłn: ?

FU 3,9,8 â&#x2C6;&#x2C6; ' â&#x2021;&#x2019;

3 3 ? 9 9 ? 8 8 â&#x2021;&#x2019; E &  & 1 Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2022; â&#x2C6;Ľ Ă

6 4 4

(b) Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas se observa:

 U , ' Por tanto basta calcular: ',  F

1ÂŞ forma

Utilizando la siguiente fĂłrmula: Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? F\ FU 3,9,8  3 3,9,8 6,0,0 Â&#x17E;Â?

Â&#x;Â?

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â?\ Â&#x153; F \ FU Â? 3 2 Ă&#x2C6;&Ă , Â&#x2022;

6

0

mÂ&#x17D;Â?

2Â? 0,12, 12 0

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D; Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x203A;Â?\ Â&#x153; F â&#x2C6;&#x161;144 144 Â&#x20AC;Â&#x201A;â&#x2C6;&#x161;Â&#x201A; \ FU Â&#x203A; ÂŻ. Š. â&#x2C6;&#x161;9 4 4 â&#x2C6;&#x161;Â&#x20AC; Â&#x203A;Â&#x203A;Â?\ Â&#x203A;

Selectividad 2012: Modelo 1 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn iĂłn A

PĂĄgina 36 de 61


De forma constructiva siguiendo el siguiente esquema:

2ÂŞ forma

1.Âş Â?â&#x2030;Ą

0 '0 '  r â&#x;š E &4' 4' Â? Â&#x17D;Â?¢ Â?\  3,2,2 â&#x;š 3

0 04' FU 3,9,8 8 â&#x;š 3 â&#x2C6;&#x2122; 3

2â&#x2C6;&#x2122;9

Â? â&#x2030;Ą 3

2.Âş # Â? â&#x2C6;Š ' â&#x;š

2â&#x2C6;&#x2122;8

2"

H 0 â&#x;š H 25

2"

# â&#x2C6;&#x2C6; ' â&#x;š #  3 3 , 9

Â&#x2019;

# â&#x2C6;&#x2C6; Â? â&#x;š 3 â&#x2C6;&#x2122;  3 3 â&#x2021;&#x201C;

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? FU # Â?

2  , 8

2 Â? 3 3 â&#x2C6;&#x2122;

3 117 100

48 36 36 , , Â&#x2018; 3,9,8 Â? , , Â&#x2018; 17 17 17 17 17 17

18 , 9 17

 48N

48

36 36 Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Ă&#x2C6;Â&#x2022;, Ă  FU , ' Â&#x203A;F # , , Â&#x2018;? Â&#x203A; ?Â? U 17 17 17

Selectividad 2012: Modelo 1 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn iĂłn A

5

2Â 25 0 2 , 8

2 â&#x2C6;&#x2122; 9

2

2

2 â&#x2C6;&#x2122; 8

2 25 0

>A %  %X   >A  }X  >Â&#x2C6;  } X NÂ&#x2026; a ¡ â&#x;š >,X a >A >A â&#x;š X a >,

#  3 3 , 9

H 0

2â&#x2C6;&#x2122;

18 , 8 17

 36N 17N

2â&#x2C6;&#x2122;

5

18 3 117 100 Â&#x2018; Â? , , Â&#x2018; 17 17 17 17

 36 36N

Â&#x20AC;Â&#x201A;â&#x2C6;&#x161;ĂĽÂ&#x2021; ÂŻ. Š. Â&#x20AC;

PĂĄgina 37 de 61


Modelo 1 - 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn :  â&#x;ś  definida por   N  (a) [0'75 puntos] Calcula

lim  y

â&#x2020;&#x2019;

lim 

â&#x2020;&#x2019;

1

(b) [1'25 puntos] Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores

que se alcanzan), determinando si son mĂĄximos o mĂ­nimos.

(c) [0'5 puntos] Determina las abscisas de los puntos de inflexiĂłn de la grĂĄfica de  .

SoluciĂłn

a Ă&#x2039;BC § QÂ&#x2014; Â&#x2014; Â&#x2014;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Â&#x2014;

Â&#x201A;

Â&#x20AC;R

â&#x2C6;&#x17E;

lim â&#x2020;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2122;  â&#x2C6;&#x17E; 0 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x17E;  & 'Ăł lim â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

 N  1 â&#x2C6;&#x17E;  & 'Ăł

 â&#x2C6;&#x17E; )  ,â&#x20AC;˛.Ă´0&

2 1 â&#x2C6;&#x17E;  & 'Ăł 2 2 2 )  ,â&#x20AC;˛.Ă´0& lim   2   â&#x2020;&#x2019;

â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x17E;

Por tanto esto significa que la recta " 0 es k. .. en â&#x2C6;&#x17E; Ă&#x2039;BC §Â&#x2014; QÂ&#x2014;Â&#x201A; Â&#x2014; Â&#x2014;â&#x2020;&#x2019;

Â&#x20AC;R

b   N 

â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2122;  â&#x2C6;&#x17E;

 â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2122;  â&#x2C6;&#x17E;

1 â&#x;š  ?   N 

â&#x2C6;&#x17E;

1

 ?  0 â&#x;š 2   @44&4Ă­  â&#x2030;Ą B4 â&#x20AC;˛  ? H4&  H4&    : â&#x2C6;&#x201E;

 2 1    2

1 0 â&#x;š Â&#x2019;

 0



04G  &' 455  1 1

Ă&#x;Â&#x2022;§å§ã̧:  â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;, Â&#x20AC; â&#x2C6;Ş 2, â&#x2C6;&#x17E;   ¹§åÂ&#x2022;§åâ§ã̧:  Â&#x20AC;, 2  §à ¯â§ãĂ&#x2C6;ÂŞ  ĂĽ  áåÂ&#x2014;⏪ Â&#x2022;§ŠÂ&#x2DC;ÌâEÂŞ Â&#x2022;§ŠÂ&#x2DC;ÌâEÂŞ:  Â&#x20AC;,  Â&#x20AC; Â? Â&#x20AC;, Â&#x2018; §   Â&#x2022;§ŠÂ&#x2DC;ÌâEÂŞ: 2, 2 2, Â&#x20AC; áíã⏪ Â&#x2022;§ŠÂ&#x2DC;ÌâEÂŞ 

Selectividad 2012: Modelo 1 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn iĂłn B

PĂĄgina 38 de 61


c Los posibles puntos de inflexiĂłn se encuentran entre las soluciones de la ecuaciĂłn â&#x20AC;˛?  0  ?   Q2

â&#x20AC;˛?  0 â&#x;š  N  ??   N 

R â&#x;š  ??    Q2 3 3

R

1  N

3

3 â&#x2C6;&#x161;5 Ă&#x2014; 0.38

3  â&#x2C6;&#x161;9 4 Ă&#x2022; 2 5 1 0 â&#x;š 2

3

â&#x2C6;&#x161;5 Ă&#x2013; 2.62 Ă&#x2022; 2 Ă&#x201D;

1 â&#x;š  ???   N

 ???  0.38 Â&#x192; 0 â&#x;š Â&#x2014;  ???  2.61 Â&#x192; 0 â&#x;š Â&#x2014;

 2

3

1

ĂĽâ&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161;Ă&#x2019; §à ¨¯ã̪ Ă&#x2C6;§ â㊧Â&#x2014;âóã Â&#x201A; 5 ĂĽ â&#x2C6;&#x161;Ă&#x2019; Â&#x201A; §à ¨¯ã̪ Ă&#x2C6;§ â㊧Â&#x2014;âóã

 2

1

3  N

5

4

Aunque no se pide la grĂĄfica de la funciĂłn serĂ­a:

Selectividad 2012: Modelo 1 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn iĂłn B

PĂĄgina 39 de 61


Ejercicio 2.-

   N Sean  , :  â&#x;ś  las funciones definidas por   N 2 y  respectivamente.

4

(a) [0'75 puntos] Halla los puntos de corte de sus grĂĄficas y realiza un esbozo del recinto

que limitan. (b) [1'75 puntos] Calcula el ĂĄrea de dicho recinto.

SoluciĂłn (a) Â&#x2019;

  N 2  

N

4

GrĂĄfica de  

â&#x;š 0&4 0&4  4'& :  N 2  N

ĂŠ'& : Ă&#x17D;

 0 5 4 â&#x;š 2  N 6 0 â&#x;š Â&#x2019;  3

0'åG4 ' ò ''G

$ NX

5 N N 1 "Ă&#x17D; 1 F 04'  0&4 0,0

0'åG4 ' ò Gy4

GrĂĄfica de   $ } ĂŠ'& : Ă&#x17D; N 2 "Ă&#x17D; 4 NX

5 F 04'  0&4 0 0,0

(b) Observamos el dibujo:

M

Ă Â&#x2022;§Â&#x2DC; S $  N ¡

 18

M

4  N 2% S  2 N

27 0 ­ ÂŻ. Â&#x2DC;.

Selectividad 2012: Modelo 1 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn iĂłn B

¡

6  Ă?

2 M  3

M

3 NĂ&#x2018; ¡

PĂĄgina 40 de 61


Ejercicio 3.- [2'5 puntos]

Encuentra la matriz r que que satisface la ecuación rk 0 0 1

k ~ 0 1 0† y 1 0 0

Solución

kM Πk , siendo

2

1

Π~ 0

0

2

1

0

2

 Veamos si la matriz k tiene inversa 0

|k| 0 rk

1

0 1

1 0 0 0 0

0

0 1 0 0 1 ƒ 0 ⟹ ∃ k>

k Œ k ⟹ rk k kM Œ M

⟹ r  kM Œk>

 Se calcula k>

1 ky Z ∙ ky k |k|

k>>  1N ∙ „

1 0 „ 0 0 0

| { { Z ky k { k>N  1M ∙ „0 1 { { } 0 zk>M  1 ∙ „1 k>

0 0

kŒk ~0 1 1 0

a

0 „ 0 0

0 kNN  1} ∙ „ 1

0 kNM  1… ∙ „ 1

1 „ 1 0

1

k> ∙ k ∙ k

2

1 1

1

0 0

0† ∙ ~ 0 0

1

  kŒk ~0 0

2

0

∙ a ∙a

0

0

1† ∙ ~0 2

2

1 0† ~ 1 0 1

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión B

0

k> rk ∙ k> k kM Œk

0 kN>  1M ∙ „ 0

0 0 1 0 0 1 ∙ ky kZ ~ 0 1 0 † ~0 1 |k|

1 0 0 1 0

 kM k ∙ k ∙ k



FV]ZYc]YeXWíd cd\ ]X YGíX.cd\ 

1

1

0† k

0 0

1

0 „ 0 0

0 1 „ 1 1 0

‹ Š Š 0 1 … kMN  1 ∙ „ „ 0 Š 0 0 Š Š 0 0 kMM  1ˆ ∙ „ „ 0‰ 0 1

0

1

1 0† ~ 0

2

1 „ 1 0

kM>  1} ∙ „

I ∙ A A ⟹ r  kM Œk Œ >  kŒk

0 1

0

1 „ 0 0

IVYZXWíd cX\éWZ(UYU 5 ∙ a

1

2

€

0 † ~ €

2

2

0

2

1

2

€ €

2

0

1† ∙ ~0 0

€

1

0 1

2

1 0† ~ 1 0 0

0

0

2

1

€

Página 41 de 61

1

2


Ejercicio 4.- [2'5 puntos]

 ,2 son vértices consecutivos de un rectángulo Los puntos k1,1,5 y Œ1,1, kŒDH . El vértice D,, consecutivo a Œ, está en la recta 

vértices D y H .

" 6 1 . Determina los

2 2

Solución

Sea ' la recta dada

  " 6 1  0 " 6    1 \ 1, 2,25 ' ≡  ⟹ ⟹ C ⟹ " 6 2 ∀ ∈ 5 1

2 2

2 2 F\ 0,6, 1 1 2 Tenemos el siguiente esquema

D ∈ ' ⟹ D , 6 2, 1

2

ŽŽŽŽŽ 1,1,5 1,1,2 0,0,3 Œk

ŽŽŽŽŽŽ ŒD , 6 2, 1

 1,5 2, 3 2 1,1,2 

ŽŽŽŽŽ ” ŒD ŽŽŽŽŽŽ ⟺ Œk ŽŽŽŽŽ ∙ ŒD ŽŽŽŽŽŽ 0 Œk ŽŽŽŽŽ ∙ ŒD ŽŽŽŽŽŽ 0,0,3 ∙  1,5 2, Œk 2 3 

9 3 ⟹ D , 6 2 , 1 6 2

2 9

6 0

3 3 2  , 6 2 ∙ , 1 2 2

Para determinar el vértice H se tiene en cuenta que:

2

å 3 2 ∙ ‘ ⟹ ß ß  , å , ‚‘ 2 ‚

ŽŽŽŽŽ kH , ",  1,1,5  1, " 1,   5 5 ° ⟹ 3 1 ŽŽŽŽŽŽ ŒD  ,3 ,2‘ 1,1,2  , 2,0‘ 2 2

1 3 × 1 ⟹  2 2 Õ å ŽŽŽŽŽ ŒD ŽŽŽŽŽŽŽ ⟹ ⟹ kH ŒD 5 ⟹ ±  , å , ґ "

1 2 ⟹ " 3 ‚ Ö Õ Ô 5 0 ⟹   5

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión B

Página 42 de 61


Modelo 2 - 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A Ejercicio 1.-

[2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos] Modelo5A

Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el rimero se forma un rectĂĄngulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las ĂĄreas del rectĂĄngulo y el cuadrado rado resultantes sea mĂ­nima. SoluciĂłn  RelaciĂłn entre las variables: perĂ­metro del rectĂĄngulo y del cuadrado

6

4" 2 â&#x2021;&#x2019; 3

2" 1 â&#x2021;&#x2019; "

1 3 2

 FunciĂłn a minimizar: suma de las ĂĄreas del rectĂĄngulo y del cuadrado B 2

N

1 3 2 " 2 Â? Â&#x2018; â&#x2021;&#x2019; B 2 N 2 N

N

1 17 N 3 1 3N   4 4 2

1 4

 Extremos relativos B ? 

17 3 3  0 â&#x2021;&#x2019;   2 2 17

Para ver que este valor es mĂ­nimo relativo se estudia el signo de Bâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ B ?? 

1 3

1 3 â&#x2021;&#x2019; B ?? Â? Â&#x2018; Ă&#x2021; 0 â&#x2021;&#x2019;  Ă­4 ' &E4 2 17 2 17

 Es mĂ­nimo absoluto porque la funciĂłn B es una parĂĄbola con las ramas hacia arriba por tanto el vĂŠrtice que es lo calculado es un mĂ­nimo absoluto

9 8 1 17 3 4 17  â&#x2021;&#x2019; " 17 2 2 17 Las dimensiones son:

3 Â&#x20AC;J  Â&#x2022;§åÌå㍯Šª: ÂŽÂ&#x2014; ÂŹ Â&#x20AC; 17 5 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013; 5 ,  4   4 &'4 4  4: Â&#x2013; 4 Â&#x20AC;ÂŽ " ĂĄÂŻÂ&#x2DC;Ă&#x2C6;Â&#x2022;Â&#x2DC;Ă&#x2C6;ÂŞ: Â&#x2021;1 ÂŹ 17 Â&#x20AC;

Selectividad 2012: Modelo 2 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn A

PĂĄgina 43 de 61


Ejercicio 2.Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas " 4 , " 8 4 y la curva " 2  N . (a) [0'5 puntos] Realiza un esbozo del recinto. (b) [2 puntos] Calcula su ĂĄrea. (a)

(b) Para calcular el ĂĄrea se considera:

à '  '  L¡ ' & 4' 0'åG4  >

>

S 4 2  N   ¡

>

S  N ¡

1 Ă?  M 3

2 >

 Ă&#x2018; N

¡

N

N

>

1 Ă?  M 3 N 3

1 Ă?Â? 1Â&#x2018; 0 0Ă&#x2018; 3 4 4 8 . . 3 3 3

N

S Q8 4 2  N R

S  N 6 >

' &

0'ĂĄG4 L> ' & E '

8  N

8Ă&#x2018;

8 Ă?Â? 12 3

>

1 16Â&#x2018;Â&#x2018; Â? 3 3

8Â&#x2018;Ă&#x2018;

Se podrĂ­a simplificar lo anterior observando regiĂłn azul = regiĂłn verde.. Otra forma serĂ­a:

=

-

N G 2 1 1 M N 4 8 N N 5 Ă '  ĂĄ'  &'ĂĄ4 Â&#x2019; S 2    â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2122; 4 Ă?  Ă&#x2018; 4 . . 2 3 3 3 ¡ &' 4 ¡

Selectividad 2012: Modelo 2 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn A

PĂĄgina 44 de 61


Aclaraciones:

1º Se calculan los puntos de corte de cada dos funciones: ’ ’ ’

" 4

" 8 4 " 4

⟹ 4 8 4 5 ⟹ 8 8 ⟹  1

" 2  N

" 8 4 " 2  N

⟹ 4 2  N 5 ⟹  N

2 0 ⟹  0 "   2

⟹ 8 4 2  N 5 ⟹  N 6

8 0 ⟹  4 "  2

2º El recinto que se pide es el sombreado en amarillo y verde porque es el que está en el 1er cuadrante

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción A

Página 45 de 61


Ejercicio 3.Â&#x2013;

Considera el sistema de ecuaciones

m

 

m"

2"

1

"

1

m

Â

3

2

m

5

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;25 puntos] Determina los valores de m para los que el sistema tiene mĂĄs de una soluciĂłn. soluciĂłn (b) [0'5 puntos]ÂżExiste algĂşn valor de m para el cual el sistema no tiene soluciĂłn (c) [0'75 puntos] Resuelve elve el sistema para m 0 . SoluciĂłn Previamente se discute el sistema: Las matrices asociadas al sistema son: 1 m 2 Matriz coeficientes k ~ 1 1

|k| Â? 1 m

1

K([]X LX\\VU

m

2

1

2

mÂ? 1

_Ăą a_Ăą _

m 2 â&#x2C6;&#x2122;  1

m

1

1

Â? 0

mN

m

m

1

1

Matriz ampliada kâ&#x2C6;&#x2014; ~ 1

mÂ&#x2020;

2

1

m

2 m

2m

1

1

2

m 2Â? 1

Ă&#x160;N bXeZd\ edMĂşW Ă­( _Ăą

2 1 m 2 â&#x2C6;&#x2122; m N

m

1

m

2

1

2

m

1

1

m 2 â&#x2C6;&#x2122; Â? 0 m

m

m

1

3m m 2 â&#x2C6;&#x2122; m â&#x2C6;&#x2122; m

1

3 Â&#x2020; m

2

2

1 1Â? 1

1

3 0 Â&#x2013;m 0 5

 m Â&#x192; 0 m Â&#x192; 2 m Â&#x192; 3 â&#x;š |k| Â&#x192; 0 â&#x;š 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  3 Âş Ăł& & â&#x2021;&#x2019; B. D. H. 1 2

 m 2 â&#x;š k ~1 2 3 1

2

1 2 2

kâ&#x2C6;&#x2014; ~1 2 2

2Â&#x2020; 1

3 1 1

m 2

m 3

3

3Â&#x2020; 4

1 2 Como J> JN y Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 â&#x;š 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  2 Ă&#x2021; 3 Âş Ăł& & â&#x2021;&#x2019; B. D.  0'ĂŠ&'4 3 1

 m 0

1

â&#x;š k ~1 1

0 2

1

k ~1

2 0Â&#x2020; 1 1

0  'k 2 04'Ă  |k| 0 " Ă&#x2030; 2

â&#x2C6;&#x2014;

2 0

1

Ă&#x2030;Â&#x192;0

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& & '4 4Ăş: 3 2 1

0 2 1

2 0 3Â&#x2020; 1 1 2

 Para calcular 'kâ&#x2C6;&#x2014;  se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2014; Ă&#x2022;

Ă?'4 4 JM " D> : |k| 0

0 2 0 Orlados de Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 en kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2013;Ă?'4 4 JM " D} : Â?2 2 0 Ă&#x2022; Ă&#x201D; 1 Selectividad 2012: Modelo 2 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn A

2 1

0 3Â? 0 1 2

5

â&#x2021;&#x2019; ''kâ&#x2C6;&#x2014;  2

PĂĄgina 46 de 61


&'4 Por tanto 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  2 Ă&#x2021; 3 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; B. D.  0'ĂŠ&'4  m 3

1

â&#x;š k ~ 1

2

3 2 1

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& & '4 4Ăş: 3 2 1

2

3Â&#x2020; 1

1  'k 2 04'Ă  |k| 0 " Ă&#x2030; 1

1

3 2

kâ&#x2C6;&#x2014; ~ 1

Ă&#x2030;Â&#x192;0

2

3 2

1

2

3 1

2

3Â&#x2020;

1

 Para calcular 'kâ&#x2C6;&#x2014;  se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2014; Ă&#x2022;

Ă?'4 4 JM " DM : |k| 0

1 3 1 3 2 5 Orlados de Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 en kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2013;Ă?'4 4 JM " D} : Â? 1 1 2 2 3 Â? 0 Ă&#x2022; Ă&#x201D;

2 1 1

â&#x2021;&#x2019; 'kâ&#x2C6;&#x2014;  2

Por tanto 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  2 Ă&#x2021; 3 Âş Ăł& â&#x2021;&#x2019; B. D.  0'ĂŠ&'4 &'4

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& & '4 4Ăş: 3 2 1

m 2

(a) Por lo anterior la respuesta es para Â&#x2013;m 0 5

m 3

(b) Por lo anterior la respuesta es â&#x2C6;&#x201E; m que haga el sistema incompatible (c) Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado y su soluciĂłn depende

de un parĂĄmetro. Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico: 1

~1 1

0 2 1

2 0 3Â&#x2020; 1 1 2

 E4' 0' 0'ĂŠ&'4   

  Ăł

Â&#x2014; ÂŹ Ă&#x2014; ĂĽ Â&#x20AC; Ă&#x2022;1 ÂŹ Â&#x201A; Â&#x201A; 5 â&#x2C6;&#x20AC; ÂŹ â&#x2C6;&#x2C6; ¤ Ă&#x2013; Â&#x20AC; Â&#x20AC; Ă&#x2022;Â&#x2122; ÂŹ Ă&#x201D; Â&#x201A; Â&#x201A;

Selectividad 2012: Modelo 2 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn A

 

â&#x2021;&#x2019; Â&#x2013;2Â 1  5 â&#x2021;&#x2019; 2" 3 

PĂĄgina 47 de 61


Ejercicio 4.-

Se consideran los vectores  Â&#x17D;Â? m , 1 , 1 , EÂ? 2 , 1 , 2 y N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 1 , 1 ,, m donde m es un nĂşmero real

(a) [0'75 puntos] Determina los valores de m para los que  Â&#x17D;Â? , EÂ? y linealmente dependientes.

(b) [1 punto] Determina los valores de m para los que  Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?

N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x17D; son

EÂ? y EÂ? N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? son ortogonales.

(c) [0'75 puntos] Para m 1 ,, determina aquellos vectores que son ortogonales a N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? y tienen mĂłdulo 1 .

EÂ? y

SoluciĂłn

P 4 . . â&#x;ş | (a) Se cumple que O Â&#x17D;Â? , EÂ? , N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? P Â&#x17D;Â? , EÂ? , N Â&#x17D;Â&#x17D;Â?| 0 m

| Â&#x17D;Â? , EÂ? , N Â&#x17D;Â&#x17D;Â?| Â?2 1

1

1

2Â?

1 1

m

K([]X K([]X LX\\VU

mN

2 2 1 2m

SoluciĂłn:  Â&#x20AC; Šªà E§å̪Â&#x2022;§à E§å̪Â&#x2022;§à Ă ÂŞĂŁ Š. Ă&#x2C6;.

(b)  Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?  5

EÂ? Â&#x201D; EÂ? N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? â&#x;ş  Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?Â? EÂ? m , 1 , 1

EÂ? â&#x2C6;&#x2122; EÂ? N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 0

2 , 1 , 2

m

2 , 2 , 1

= Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? N E Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 2 , 1 , 2 1 , 1 , 1 m 1 , 0 , 2 m  Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?

EÂ? â&#x2C6;&#x2122; EÂ? N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? m

â&#x;š  Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?

2 , 2 , 1 â&#x2039;&#x2026; 1 , 0 , 2 m m

 Â&#x201A;

(c) Sea Â? el vector pedido

Â? Â&#x201D; EÂ? 5

Â? Â&#x201D; N Â&#x17D;Â&#x17D;Â?

Â&#x17D;Â&#x17D;Â?Â? = â&#x;š Â? â&#x2C6;Ľ EÂ? Â&#x153; N

|EÂ? Â&#x153; N Â&#x17D;Â&#x17D;Â?| 1N

0

2m m N 1 0 â&#x;š m 1

2

EÂ? â&#x2C6;&#x2122; EÂ? N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? 0 0

2

m 0 â&#x;š 2m

4 0

Â&#x17D;Â?Â&#x203A; 1 Â&#x203A;Â&#x17D;

â&#x;š Â? Â&#x203A;Â&#x17D;EÂ&#x17D;Â?1 EÂ? Â&#x153; N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?Â&#x203A; Â&#x153;N Â&#x17E;Â?

Â&#x;Â?

EÂ? Â&#x153; N Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Â?2 1

1N â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x161;

1 1

mÂ&#x17D;Â?

1,0,1 1

2Â? ĂŹ(UX\\d]]XWĂ­d cd\ ]dU

1

XĂ­ĂŽVWZdU Ă­( ]X >ÂŞ bY]X

Â&#x20AC; Â&#x20AC; Â&#x20AC; Â&#x17D;Â?Â&#x20AC; Â&#x20AC;, 2, Â&#x20AC; Â? , 2 , Â&#x2018; Ă&#x2014;Â&#x2014; â&#x2C6;&#x161;Â&#x201A; â&#x2C6;&#x161;Â&#x201A; â&#x2C6;&#x161;Â&#x201A; Ă&#x2022; 5 Ă&#x2013;

Â&#x20AC;

Â&#x20AC;

Â&#x20AC; Ă&#x2022;Â&#x17D;Â&#x2014;Â?Â&#x201A; Â&#x20AC;, 2, Â&#x20AC; Â? , 2 , Â&#x2018; Ă&#x201D; â&#x2C6;&#x161;Â&#x201A; â&#x2C6;&#x161;Â&#x201A; â&#x2C6;&#x161;Â&#x201A;

Selectividad 2012: Modelo 2 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn A

PĂĄgina 48 de 61


Modelo 2 - 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn :  â&#x;ś  definida por  ln N funciĂłn logaritmo neperiano.

3

3  donde ln denota la

relativos de  (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). alcanzan).

(a) [1'5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos (b) [0'75 puntos] Determina la ecuaciĂłn de la recta normal a la grĂĄfica de  en el punto

de abscisa  2

SoluciĂłn

 ln N

3

3  â&#x;š  ? 

N

2

3

3

3

1

 N   N 3 3

 0 Ă&#x2014; ?  0 â&#x;š  N  0 â&#x;š Â&#x2019; 04G  &' 45 Ă&#x2022;  1 5 @44&4Ă­  â&#x2030;Ą B4 â&#x20AC;˛ Ă&#x2013; Mâ&#x2C6;&#x161;%>N Ă&#x2022; ? H4&  :  N 3 3 0 â&#x;š  â&#x2C6;&#x201E; Ă&#x201D;H4&    N

(a) Para calcular la monotonĂ­a se tiene en cuenta que:

¹§åÂ&#x2022;§åâ§ã̧  â&#x2C6;&#x17E;, Â&#x20AC; â&#x2C6;Ş 2, â&#x2C6;&#x17E; ¹§åÂ&#x2022;§åâ§ã̧:   Ă&#x;Â&#x2022;§å§ã̧:  Â&#x20AC;, 2   §à ¯â§ãĂ&#x2C6;ÂŞ  áåÂ&#x2014;⏪ Â&#x2022;§ŠÂ&#x2DC;Ìâ  Â&#x2022;§ŠÂ&#x2DC;ÌâEÂŞ: Q2, 2R 2, Ă&#x2039;< ĂĽ   Â&#x2022;§ŠÂ&#x2DC;ÌâEÂŞ: Q Â&#x20AC;,  Â&#x20AC;  Â&#x20AC;, Â&#x20AC;R áíã⏪ Â&#x2022;§ŠÂ&#x2DC;Ìâ

(b) La ecuaciĂłn de la recta normal a la grĂĄfica de  es:

" 

XaN

1

1 â&#x2C6;&#x2122;   â&#x;š "  2 â&#x2C6;&#x2122;  â&#x20AC;˛ â&#x20AC;˛ 2

 ln N

â&#x2021;&#x201C;

3

3 

 2 ln 1  2 2

Â&#x20AC; â&#x2C6;&#x2122; Â&#x2014; Â&#x201A;

Â&#x201A;

â&#x;š  ? 

Selectividad 2012: Modelo 2 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn B

 N   N 3 3 â&#x2021;&#x201C;

 ?  2

2 2 1

2

â&#x;š 1 Â&#x201A;

PĂĄgina 49 de 61


Ejercicio 2.- [2'5 puntos]

Calcula los valores de  y G sabiendo que la funciĂłn   N

: 0, â&#x2C6;&#x17E; â&#x;ś 

definida por

G ln  , donde ln denota la funciĂłn logaritmo neperiano, tiene un extremo

relativo en  1 y que

}

S  27 8 ln 4 >

SoluciĂłn

  N

  2 G ln  â&#x;š â&#x20AC;˛

G 

 tiene extremo en  1 â&#x;š  ? 1 0 â&#x;š 2 }

}

S  27 8 ln 4 â&#x;š S  N >

>

G 0

â&#x2C6;&#x2014;  G ln  h  M 3

}

G ln   j 27 8 ln 4 >

04' 0'&  "  0: S E E S E S ln     & ' 04'   S ln    ln  S   ln      â&#x2C6;&#x2014;   1    ln  â&#x;š        E  â&#x;š E S      h M 3

} 64 G ln  j Â?  3 >

1 G4 ln 4 4Â&#x2018; Â?  3

21 3G

Selectividad 2012: Modelo 2 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn B

64 1  3

4G ln 4 4G

G

21 3G 27 4G ln 4 27 8 ln 4 â&#x;š Â&#x2019; â&#x;š  15 4G 8 â&#x;š G 2

Por Ăşltimo se comprueba la 1ÂŞ ecuaciĂłn 2

G0 1Â&#x2018;

G 0: 2 â&#x2C6;&#x2122; 1

SoluciĂłn Â&#x2019;

Â&#x2DC; Â&#x20AC;

 2 0

ø Â&#x201A;

5

PĂĄgina 50 de 61


Ejercicio 3.-

Dada la matriz k ç

3 2 5

2 1 ĂŤ sea Â&#x152; la matriz que verifica que kÂ&#x152; ç ĂŤ , ĂŤ 1 7 3

(a) [1 punto] Comprueba que las matrices k y Â&#x152; poseen inversas. (b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuaciĂłn matricial k> r Â&#x152; Â&#x152;k

SoluciĂłn

(a) Q &'Â &  E ' â&#x;ş   & '&  4 4

|k| Ă&#x2030;

3 2 5

1

Ă&#x2030; 3

10 13 Â&#x192; 0 â&#x;š â&#x2C6;&#x192;qÂ&#x20AC;

Se utiliza la siguiente propiedad:

â&#x2C6;&#x2014;   & '&   0'4&4 0'4&4    0'4&4  4  & '&   & '& 

2 1 Ă&#x2030; Ă&#x2030;

2 1

2 1 â&#x2C6;&#x2014;

13 7 3 kÂ&#x152; ç Ă&#x2030; â&#x;š | Â&#x152;| 1 Â&#x192; 0 ĂŤ â&#x;š |kÂ&#x152;|| |k| â&#x2C6;&#x2122; |Â&#x152;| Ă&#x2030; |k| 13 7 3 7 3 Por tanto â&#x2C6;&#x192;Â&#x20AC;

(b) k> r Â&#x152; Â&#x152;k

â&#x;š r kÂ&#x152;k

â&#x;š

FV]ZYc]Yed YGĂ­X YGĂ­X cd\ 

kÂ&#x152; ç

2 2 1 7

3

ĂŤâ&#x2C6;&#x2122;k

A â&#x2C6;&#x2122; k> r Â&#x152; k â&#x2C6;&#x2122; Â&#x152;k â&#x;š r kÂ&#x152; kÂ&#x152;k â&#x;š

1 1 5 ç Í 36 11

2 1

2 1 3 2 ç ĂŤ ç ĂŤâ&#x2C6;&#x2122;ç ĂŤ 7 3 7 3 5 1 ç

2 1 7

ĂĽ ÂŽ  ç ĂŤ Â&#x2021;ĂĽ ­

Selectividad 2012: Modelo 2 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn B

3

Í ç

3 43

6

9

ĂŤ

2 1 ç Í 7 3

PĂĄgina 51 de 61


' â&#x2030;Ą 4 2  3 cuya distancia al plano 2  1 vale 4 unidades.

Ejercicio 4.- [2'5 puntos]

 1

Encuentra los puntos de la recta Â? â&#x2030;Ą  2"

2 "

SoluciĂłn Se estudia studia previamente la posiciĂłn del plano y la recta: ' â&#x2030;Ą

 1 2 "  1 " 2  3 ' Ăł ' & ' & Â?\ 4, 2,1 5   3 â&#x;š ' â&#x2030;Ą â&#x;š C 4 2 4

2 1 F&4   ' & ' & F 1,2,3

Â? â&#x2030;Ą  2"

\

2 1 â&#x;š E &4' E &4' 4'   04 Â&#x17D;Â?¢ 1, 2,2

Â&#x17D;Â?¢ â&#x2C6;&#x2122; Â?\ 1, 2,2 â&#x2C6;&#x2122; 4, 2,1 4

4

2 Â&#x192; 0 â&#x;š Â&#x17D;Â?¢ ĂŁÂŞ Â&#x201D; Â?\ â&#x;š  ' & ' & 4'&  04

Â&#x17D;Â?¢ 1, 2,2 â&#x2C6;Ś Â?\ 4, 2,1 â&#x2C6;ś } Â&#x192; N Â&#x192; > â&#x;š  ' & 4'&  04 4 4 0 '0 ' & >

N

N

Se observa que hay dos soluciones

Como los puntos son de la recta ' tienen la forma de su ecuaciĂłn paramĂŠtrica:

 1 4 4 Â?\ 4, 2,1 5 â&#x;š Â&#x2013;" 2 2 C 2 â&#x2C6;&#x20AC;  â&#x2C6;&#x2C6; 5 â&#x;š 0&4 Ă  '  "'" F\ 1,2,3 Â 3  La condiciĂłn que deben cumplir los puntos de ' es: k, Â? 4 k1

4 , 2 2 ,3  |1 5 â&#x;š k, Â? Â? â&#x2030;Ą  2" 2Â 1 |10 2| 4 â&#x;š |10 3 k1

4 , 2 2 ,3

10 2| 12 â&#x;š C 10

 â&#x;š

Ă&#x2014; Ă&#x2022;

4 22 2 â&#x2C6;&#x161;1

4

4

23

2 12 â&#x;š  1

75 2 12 â&#x;š  5

 1|

|10 2| 4 3

 1 â&#x;š qÂ&#x20AC; Ă&#x2019; , 2 , Â&#x2021;

5 Ă&#x2013;

7

Â&#x201A;ĂĽ Â&#x201A;Â&#x2021; J Ă&#x2022; â&#x;š qÂ&#x201A; Â? , , Â&#x2018; Ă&#x201D; 5 Ă&#x2019; Ă&#x2019; Ă&#x2019;

Selectividad 2012: Modelo 2 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn B

PĂĄgina 52 de 61


Modelo 3 - 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn A Ejercicio 1.- [2â&#x20AC;&#x2122;5 puntos]

Se considera la funciĂłn derivable :  â&#x;ś  definida por    2  G Ă&#x2013;   Ă&#x2022; â&#x2C6;&#x161; Ă&#x201D; Ă&#x2014;1 Ă&#x2022;

Calcula los valores de  y G

Ă&#x2021;1

R1

  4&   1 5 Como  es derivable en  â&#x2021;&#x2019; Â&#x2019;    'EG   1

5

SoluciĂłn

 Ă&#x2014;1  Ă&#x2022;  2  G Ă&#x2013;   Ă&#x2022; â&#x2C6;&#x161; Ă&#x201D;

 Ă&#x2014; 2N Ă&#x2021;1 Ă&#x2022;

G 5 â&#x2021;&#x2019;  Ă&#x2013; 2â&#x2C6;&#x161; M R1 Ă&#x2022; Ă&#x201D; â&#x2C6;&#x192;



Ă&#x2021;1



 1



Ă&#x152;1

  es continua en  1 â&#x2021;&#x2019; 1 â&#x2021;&#x2019;   ) â&#x2021;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;>

  es derivable en  1

Â&#x2DC;

 ? 1  ?  ) ?  â&#x2021;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;>

â&#x2020;&#x2019;>

 Se resuelve el sistema:

Selectividad 2012: Modelo 3 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn A

â&#x2020;&#x2019;>

ø Â&#x20AC; Â&#x2DC; â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019;

Ă&#x2014; Ă&#x2022;

5

1 

G

 ) Ă&#x161;  

Ă&#x2013; Ă&#x2022;    Ă&#x161;1   Ă&#x201D; â&#x2020;&#x2019;> â&#x2020;&#x2019;> â&#x2020;&#x2019;>)

â&#x2020;&#x2019;>

$

â&#x2C6;&#x161;

Ă&#x203A; 

X Ă&#x203A; N

G5

1 

  ?  ? 1 

Ă&#x2014; â&#x2020;&#x2019;> 1 2N

G â&#x2021;&#x2019;  5 â&#x2021;&#x2019; ø Â&#x201A;Â&#x2DC;

G 2 Ă&#x2013;    ? 1  2 Ă&#x201D; â&#x2020;&#x2019;¡>) 2â&#x2C6;&#x161;1M

G

Ă&#x2014;Â&#x2DC; Â&#x20AC; Ă&#x2022; 2 G 1 Â&#x2021;5 5 â&#x2021;&#x2019; 4 1 â&#x2021;&#x2019; Â&#x2019; Â&#x20AC; Ă&#x2013; G 2 Ă&#x2022;ø Â&#x201A; Ă&#x201D;

PĂĄgina 53 de 61


Ejercicio 2.- [2'5 puntos]

Sea la funciĂłn :  â&#x;ś 

definida por  1  N   .. Determina la primitiva

de  cuya grĂĄfica pasa por el punto  1,0 SoluciĂłn Todas las primitivas de la funciĂłn son:

J S1  N    Ă    & ' 04' 0'& : S E E S E S1  N    1  N   2 S    1  N   2 Â?Â?   â&#x2C6;&#x2014;

Ă˝ â&#x2C6;&#x2014;

 1 N

E  

1  N   J  N

2

â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;

â&#x;š  2 2 

 â&#x;š E L  



2  1 

 2   N

D

â&#x;š

_>a¡

2

1 

 1N

 Â&#x2014; Â&#x2014;Â&#x201A;

Selectividad 2012: Modelo 3 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn A

Ăž Ă˝ â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;

Â&#x201A;Â&#x2014;

D

2 1

S  Â&#x2018;

 

â&#x;š  

1 >

D 0 0 â&#x;š D 0

E  

Â&#x20AC;§Â&#x2014; Â&#x2014;

â&#x;š E L  



Â&#x20AC;Â&#x201A; â&#x2C6;&#x2122; §Â&#x2014;Â&#x2014;

PĂĄgina 54 de 61

Ăž


Ejercicio 3.-

Un estudiante ha gastado 57 '4 57 en una papelerĂ­a por la compra de un libro, una calculadora y

un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. (a) [1'25 puntos] ÂżEs posible determinar de forma Ăşnica el precio del libro?ÂżY el de la calculadora?. calcul (b) [1'25 puntos] Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50 % , un

Razona las respuestas.

20 % y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habrĂ­a pagado un total de 34 '4 .. Calcula el precio de cada artĂ­culo.

SoluciĂłn

 0' 4 G'4

â&#x2C6;&#x2014; B ò &4 47 '4 â&#x;š

"

4G 4' Â&#x2013;" 0' 4 4'5 Â&#x2013;â&#x2C6;&#x2014; 0' 4 G'4  0' 4 &ò

1 Sus matrices asociadas son k ç 1 1

2

&

&ò  â&#x;š

 â&#x;š  2" 2  0  

â&#x;š  2"

(a) El sistema resultante del enunciado del problema es: Â&#x2019;

1 Como Ă&#x2030; 1

 57

1

1

2 2



"

 57

 2" 2Â 0

ĂŤ y kâ&#x2C6;&#x2014; ç

1

1

1

5

57

1 2 2

0

5

ĂŤ

Ă&#x2030; Â&#x192; 0 â&#x;š 'k 'kâ&#x2C6;&#x2014;  2 Ă&#x2021; 3 Âş Ăł& â&#x;š B. D. D  0'ĂŠ&'4

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& '4 4Ăş: 3 '4

2 1

No es posible determinar de forma Ăşnica el precio del libro ni el de la calculadora porque el sistema resultante aunque es compatible es indeterminado luego existen infinitas soluciones. G'4   &4   50 % â&#x;š  0  & â&#x;š N  0.5 Ăś (b) 54'   &4   0.5   20 % â&#x;š  0  80 % â&#x;š 0.8 " â&#x;š 0 Ăľ

&ò   &4   25 % % â&#x;š  0  75 % â&#x;š 0.75  ô >

0.5

0.8"

â&#x;š 10

0.75Â 34 â&#x;š

16"

15Â 680

50  100



"

80 " 100

75 Â 34 â&#x;š 50 100

 57

5 como |k| Â? 1

Se resuelve el sistema Â&#x2013; 2" 2Â 0



Â&#x2026;,

� ¡

Â&#x2C6;A¡

>

>

N NÂ?

>Â&#x2C6; ||

SoluciĂłn:

>Â&#x2026;

10 10

38 "

16" >

Â?>

Â&#x2026;, ¡

15Â 680

>¡ Â&#x2C6;A¡ ||

ĂĽJ §¯Â&#x2022;ªà ¨Â&#x2022;§å⪠ŠâøÂ&#x2022;ÂŞ

>

NÂ? >Â&#x2026;

1

15 Â

5 ¨Â&#x2022;§å⪠Â&#x2013;Â&#x20AC;Ă&#x2019; §¯Â&#x2022;ªà ¨Â&#x2022;§åâª ĂĄÂ&#x2DC;Šå¯ŠÂ&#x2DC;Ă&#x2C6;ÂŞÂ&#x2022;Â&#x2DC;

10 >

Â?>

>¡

0.8"

80 80" 1

0.75Â 34

75Â 3400 1

2 2 2Â? 3 sistema Cramer 16

>

N

Â&#x2026;,

15

¡ �

>Â&#x2C6; Â&#x2C6;A¡ |||

4

Â&#x2021; §¯Â&#x2022;ªà ¨Â&#x2022;§å⪠§à̯åT§ ¨Â&#x2022;§åâª

Selectividad 2012: Modelo 3 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn A

PĂĄgina 55 de 61


Ejercicio 4.- [2'5 puntos]

Determina el punto F de la recta 3,2,1 coordenadas y del punto k3

' â&#x2030;Ą

 3 " 5 Â 4 que equidista del origen de 2 3 3

SoluciĂłn

En primer lugar se expresa la recta en sus ecuaciones paramĂŠtricas: ' â&#x2030;Ą



2

3

"

3

5

Â

' Ăł ' & Â?\ 2,3,3 5 â&#x;š C 3 F&4   ' & F\  3, 5, 4 4

,4 0&4   ' & 4    4'  3

2 , 5

1ÂŞ Forma

3 , 4

 â&#x2C6;&#x20AC;  â&#x2C6;&#x2C6;  3 â&#x2C6;&#x20AC;

Sea F el punto pedido que cumple:

1.Âş

²²²² " 4 4 F, k F, 4'  Ă? â&#x;š F F â&#x2C6;&#x2C6; 04  &'   &4 Ă?k 4 Â? 

0,0,0 3,2,1 â&#x;š 3 2"  ' Ăł 4' Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? Ă?k 3,2,1 Â?C ¡ ¡N ¡> M > M ²²²²² : Ă&#x161;Ă&#x161;¡M F 0&4  4 Ă?k , N , N Ă&#x203A; Ă&#x161;N , 1, NĂ&#x203A; â&#x;š 3â&#x2C6;&#x2122;N 2â&#x2C6;&#x2122;1 N Â? â&#x2030;Ą 3

F â&#x2C6;&#x2C6; ' â&#x;š El punto es de la forma F 3

2.Âş

F â&#x2C6;&#x2C6; Â? â&#x;š Cumple su ecuaciĂłn: 3 3 â&#x2C6;&#x2122;  3

9

2

6 10

&  3

2 â&#x2C6;&#x2122;  5

6 4

2 , 5

3 3 

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â? kF  3

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?  3 Ă?F

2 , 5

2 , 5

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?Â&#x203A; Â&#x203A;Ă?F Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?Â&#x203A; â&#x;š Â&#x203A;kF

36 24

 7 0

3 , 4

H 0

H 0 â&#x;š H 7

5

3 3

3 7 0

3  3

4 , 5

6 , 4

6 Â&#x20AC;, Â&#x20AC;, Â&#x20AC; Â&#x201A;

Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?Â&#x203A; Â&#x203A;Ă?F Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â&#x17D;Â?Â&#x203A; Se cumple: F, k F, Ă? â&#x;š Â&#x203A;kF

3 ,, 4

3 ,, 4

3 3,2,1  6

3 0,0,0  3

2 , 7

2 , 5

3 , 5

3 , 4

3

3

3 5N 2 3N 3 5N 3 4N â&#x2021;&#x201C; 2 6N 3 7 7 N 3 5N 2 3N 3 5N 3 4N â&#x2021;&#x201C; 9N 49 42 9 9 N 25 30 4N 9 12 9N 25 30 9N â&#x2021;&#x201C; 110 42 50 12 â&#x;š  2

2 6N

4N

 7 0

2 , 5

3 7 0 â&#x;š  2

3 , 4

2ÂŞ forma de calcular ÂŹ

 4

2"

2"

> N

3 7 7 N

Selectividad 2012: Modelo 3 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn A

16 24

PĂĄgina 56 de 61


Modelo 3 - 2012 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn B Ejercicio 1.- [2'5 puntos]

De entre todos los triĂĄngulos rectĂĄngulos de hipotenusa 10   ,, determina las dimensiones del de ĂĄrea mĂĄxima. SoluciĂłn  RelaciĂłn entre las variables: Teorema de PitĂĄgoras  N

" N 100 â&#x;š " N 100  N â&#x;š " 100  N

 FunciĂłn a minimizar: ĂĄrea triĂĄngulo rectĂĄngulo 1 1  N 100  N  B  â&#x2C6;&#x2122; "  â&#x2C6;&#x2122; 100  N 2 2 4 Se cumple que  N 100  N   N 100  N  @ ' @ ' â&#x2030;Ą @ ' 4 4 k

 N 100  N  1 100 N  }  100 4 4

 Extremos relativos

 0 4 EĂĄ 04'  '  4& 1 5 k?  200 4 M  0 0 C N  50 â&#x;š  â&#x2C6;&#x161;50 5â&#x2C6;&#x161;2 5 4 VĂĄ]YĂ­X ]X Ud]VeYĂłW W ¡

Para ver que este valor es mĂĄximo m relativo se estudia el signo de kâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛

1 1 k??  200 12 N  â&#x2021;&#x2019; k?? Qâ&#x2C6;&#x161;50R 200 12 â&#x2C6;&#x2122; 50 Ă&#x2021; 0 â&#x2021;&#x2019;  â&#x2C6;&#x161;50 â&#x2C6;&#x161; ĂĄ4 ' &E4 4 4

 Es mĂĄximo imo absoluto porque la funciĂłn k tiene de grĂĄfica:

Las dimensiones son:  â&#x2C6;&#x161;50 â&#x;š " 100  N â&#x2C6;&#x161;100 50 â&#x2C6;&#x161;50 Â&#x2019;

Â&#x2014; â&#x2C6;&#x161;Ă&#x2019;2 ÂŻ ÂŻ. Š. 5 §à ¯ã ĂŚÂ&#x2022;âå㍯Šª Â&#x2022;§åÌå㍯Šª âàóà姊§à à姊§à 1 â&#x2C6;&#x161;Ă&#x2019;2 ÂŻ ÂŻ. Š.

Selectividad 2012: Modelo 3 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn B

PĂĄgina 57 de 61


Ejercicio 2.-

  Sean las funciones :  ⟶  y : $0, ∞5 ⟶  definidas por 

ñ

}

 2√ respectivamente.

y

(a) [0'75 puntos] Halla los puntos de corte de las gráficas de  y  . Realiza ealiza un

esbozo del recinto que limitan.

(b) [1'75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Solución

Eé'& 0,0 5 (a) La función  es una parábola con lar ramas hacia arriba ’ 0&4 2,1  La función  es una parábola con lar ramas hacia la derecha ’ Puntos de corte:

N 2√ ⟹  N 8√ 4

(](ÎXWíd X] eVXí\Xíd

Eé'&

'& 0,0 5 0&4 1,2

 } 64 ⟹  } 64 0 ⟹ ’

 0

 64 ⟹  4 M

(b)

>

}

—‚  N> 1 M 4 M 1 M }  Á•§˜ S ç‚√— ë  X2 ∙

 Y Ï   Ñ 1 12 3 12 ‡ · · 1 2 · 4 16 €® ϐ ∙ 8 ‘ 0 0Ñ ¯. ˜. 3 3 å }

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción B

Página 58 de 61

5




Ejercicio 3.-

Considera el sistema de ecuaciones Â&#x2013;2

"

m"

"

1

15

m

(a) [1â&#x20AC;&#x2122;75 puntos] Clasifica el sistema segĂşn los valores del parĂĄmetro m. (b) [0'75 puntos] ResuĂŠlvelo para m 1 .

(c) [0'75 puntos] ResuĂŠlvelo para m 1 . 1

SoluciĂłn

(a) Matriz coeficientes k ~2

1

1

|k| Â?2 m 0



1

 Â&#x192;Â&#x20AC; â&#x;š

m

0Â? 2m 2

2m

0

1

m

1

m

0Â&#x2020; 2

1

Matriz ampliada kâ&#x2C6;&#x2014; ~2 0

0 0 0 4 4m 4 0 â&#x;š m 1

1

m

1

m

0

2

1

1Â&#x2020;

m

|k| Â&#x192; 0 â&#x2021;&#x2019; 'k ' 'kâ&#x2C6;&#x2014;  3 Âş Ăł& â&#x;š Ă&#x17E;. Ă&#x;. Âą. à ªŠ¯åâóã úãâåÂ&#x2DC; Âą 1 1

 Â Â&#x20AC; â&#x2021;&#x2019; k ~2 1 0 1

1

0Â&#x2020; 2

1

y kâ&#x2C6;&#x2014; ~2

2  'k 2 04'Ă  |k| 0 " Ă&#x2030; 0

0 2

0

Ă&#x2030;Â&#x192;0

1 1 1 0 1 2

1

1Â&#x2020; 1

 Para calcular 'kâ&#x2C6;&#x2014;  se orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2014; Ă&#x2022;

Ă?'4 4 J> " DN : |k| 0

2 0 1 1 Orlados de Ă&#x2030; Ă&#x2030; Â&#x192; 0 en kâ&#x2C6;&#x2014; Ă&#x2013;Ă?'4 4 J> " D} : Â?2 0 0 2 Ă&#x2022; Ă&#x201D; 0 2

1

1Â? 0 1

5 â&#x;š ''kâ&#x2C6;&#x2014;  2

Por tanto Â&#x2022;q Â&#x201A; Â&#x2022; Â&#x2022;qâ&#x2C6;&#x2014;  Ă&#x2021; 3 â&#x;š Ă&#x17E;. Ă&#x;. . ¯ãâ¨Â&#x2DC;Â&#x2022;Â&#x2DC;ÂŹĂŠĂŚÂ&#x2022;âåª

Âş 0'ĂĄ &'4 Âş Ăł& '4 4 4Ăş: 3 2 1

Selectividad 2012: Modelo 3 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn B

PĂĄgina 59 de 61


(b) Por el apartado anterior rior el sistema es compatible determinado y su soluciĂłn depende de un

parĂĄmetro. Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no Â&#x20AC; Â&#x20AC;

ÂŹ Ă&#x2014;Â&#x2014; "  1 1 1 Â&#x201A; Â&#x201A;  

  Ăł Ă&#x2022; 5 â&#x2C6;&#x20AC; ÂŹ â&#x2C6;&#x2C6; ¤ 1 0 1Â&#x2020; â&#x;š 2 1 5 â&#x;š 1 ÂŹ Ă&#x2013; Â&#x20AC; Â&#x20AC; 2 1  1 2 1 Ă&#x2022; Â&#x2122;

ÂŹ Ă&#x201D; " E4' 0'ĂŠ&'4 E4'  Â&#x201A; Â&#x201A;

forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico: paramĂŠtrico: 1

~2 0

(c) Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado (puesto que m 1 Â&#x192; 1

Se resuelve por Cramer: 1

k ~2 0



"

Â

1

1

Matriz ampliada k ~2

0Â&#x2020;

1 1

2

1

Â?1

1

1

|k | 1 1 |k|

8

1

1

1

1

1

1

0Â?

Â&#x203A;k5 Â&#x203A; 0 1 2 |k|

8

1 1

0

1

1

1 1

2

1Â&#x2020;

1

0 1 0 2 4 1

8

8 2

0 0 0 4 0

8

1 1 1

8

2

0 0 1

8

1Â?

0

1

2

2

1

0 Â? 4m 4 8

2

Â?2 1

|kG | 0 |k|

0

1

2 2 1

1 1

|k k| Â?2

0Â?

1

Â?2

1

â&#x2C6;&#x2014;

2

4

1

8 2

Â&#x20AC;

Â&#x20AC; Ă&#x17E;ªŠ¯åâóã: Â? , 2 , Â&#x2018; Â&#x201A; Â&#x201A;

Selectividad 2012: Modelo 3 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn B

PĂĄgina 60 de 61


Ejercicio 4.Considera el punto F1,0,2 y la recta ' dada por las ecuaciones Â&#x2019;

2 " 4 0 "

2Â 8 0

5

(a) [1 punto] Calcula la ecuaciĂłn del plano del plano que pasa por F y es perpendicular a ' . (b) [1'5 puntos] Calcula el punto simĂŠtrico de F respecto de ' . SoluciĂłn

Ecuaciones paramĂŠtricas de ' Â&#x2019;

2 " 4 0 "

2Â 8 0

" 2

5 â&#x;š Â&#x2013;2 4

 4 

Â? 1 , 2 , 1 15 5 â&#x;š C\ F\ 2,0,4

Â? Â&#x201D; ' â&#x;š E &4' 4' 4'  Â? Â&#x17D;Â?¢ Â?\ ' Ăł  ' 1 , 2 , 1 1 â&#x;š Â? â&#x2030;Ą  0 04' F1,0,2 â&#x;š Â? Â?â&#x2030;Ą1

 Se calcula el punto Â&#x2019;



25 â&#x;š Â&#x2013;" 2

2Â 8 2

 Sea Â? el plano pedido C

 2

# â&#x2C6;&#x2C6; ' â&#x;š # 2 # â&#x2C6;&#x2C6; Â? â&#x;š 2

# 2

2



0 2

Â? â&#x2030;Ą 2

, 2, 2 4 

2 â&#x2039;&#x2026; 2 4  â&#x2021;&#x201C; 4 4  1 0 â&#x2021;&#x201C; 6 1 â&#x2021;&#x201C; >  Â&#x2C6; 

, 2, 4  Â?Â?2

H 0 â&#x;š H 1 " Â

1 0

2" Â

1 0

5

1 2 1 13 2 23 , , 4 Â&#x2018; Â? , , Â&#x2018; 6 6 6 6 6 6

# 0&4  4   &4   &4 FF?

1  13 20 10 â&#x;š 6 6 26 â&#x;š  Ă&#x2014; 6 6 3 Ă&#x2022; 2 Ă&#x2022; Ă&#x2022; F1,0,2 0 " 2 4 2 5 5 â&#x;š â&#x;š 6" 4 â&#x;š " ? 6 6 3 F , ",   Ă&#x2013; 2 Ă&#x2022; Ă&#x2022; 34 17 Ă&#x2022;2   23 Ă&#x201D; 2 6 â&#x;š 12 6  46 â&#x;š   6 3

Selectividad 2012: Modelo 3 â&#x20AC;&#x201C; OpciĂłn ciĂłn B

Â&#x20AC;2 Â&#x201A; Â&#x20AC; &â&#x20AC;˛ Â? , , Â&#x2018; ĂĽ ĂĽ ĂĽ

PĂĄgina 61 de 61

H 0 5

Selectividad 2012  
Selectividad 2012  

Soluciones comentadas de los problemas propuestos en los diferentes modelos de pruebas elaborados

Advertisement