257
B.3 MĂŠtodos aproximados analĂticos
van der Pol.nb
1
Oscilador de van der Pol In[1]:= ec
É
x ' '#t' H x '#t' +x#t'2 1/ x#t' ;
Comprobamos que no sabe resolverla: In[2]:= DSolve#ec
0, x#t', t'
Out[2]= DSolve#x#t' H + 1 x#t'2 / xÂ… #t' xÂ…Â… #t'
É
SoluciĂłn aproximada:
In[3]:= ec1 Out[3]=
É
ec s. x :! Function#t, +A Cos#t I' H x1 #t'
O#H'2 /'
Eliminamos productos y potencias de funciones trigonomĂŠtricas: ec1 ss Normal ss TrigReduce ss Expand
Out[4]= A H Sin#t I'
1 3 1 cccc A H Sin#t I' cccc A3 H Sin#3 t 3 I' H x1 #t' H xÂ…Â… 1 #t' 4
4
Aunque no es necesario, resolvemos esta ecuaciĂłn para ver explĂcitamente los tĂŠrminos seculares:
In[5]:= Simplify# x1 #t'
DSolve# ec1
Out[5]=
É
+ A + 1 A2 Cos#t I'2 / Sin#t I' x1 #t' xÂ…Â…1 #t'/ H O#H'2
In[4]:= ec1
É
0, x#t', t'
s.
0, x1 #t', t'##1'''
cccc1ccc +32 C#2' Cos#t' 4 A + 4 A2 / t Cos#t I' 32
32 C#1' Sin#t' 8 A Sin#t I' 2 A3 Sin#t I' A3 Sin#3 +t I/'/
Ensayamos una amplitud dependiente del tiempo lento H t (A(H t) = A(0) + H t A'(0)) + ...):
In[6]:= ec1
Expand#TrigReduce#Normal#ec s. x :! Function#t, ++A#0' H t A '#0'/ Cos#t I' H x1 #t'
'''
Out[6]=
O#H'2 /'
1 H A#0' Sin#t I' cccc H A#0'3 Sin#t I' 4
1 cccc H A#0'3 Sin#3 t 3 I' H x1 #t' 2 H Sin#t I' AÂ… #0' H xÂ…Â…1 #t' 4
É
Eliminamos los tĂŠrminos resonantes con una elecciĂłn de A'(0):
In[7]:= ec1
Out[7]=
É
Simplify$ec1 s. A '#0'
!
A#0' L A#0'2 \ MMM1 cccccccc ]]( cccccccc ] 2 N 4 ^
ccccccccccccc
1 cccc H A#0'3 Sin#3 +t I/' H x1 #t' H xÂ…Â…1 #t' 4
Resolvemos la ecuaciĂłn para x1 :