229
9.6 Función de Green
b) Si fp = hφp , f i = 0, hay infinitas soluciones en la forma y=
fn φn + Cφp , n6=p λ − λn X
(9.81)
con C arbitrario. Como corolario se obtiene un caso particular del teorema de la alternativa de Fredholm6 , que asegura que o bien el problema inhomogéneo tiene una única solución o bien el problema homogéneo tiene al menos una solución no trivial (que en este caso es φp ). Este teorema se cumple en otros contextos, y el lector debería ser capaz de reconocer su validez para los sistemas de ecuaciones lineales algebraicas. Consideremos como ejemplo el problema y ′′ + λy = −x,
y(0) = y(ℓ) = 0.
(9.82)
Puestoqque los valores propios son λ = n2 ω 2 (con ω ≡ π/ℓ y n = 1, 2, . . .) y los vectores propios φn = 2/ℓ sin nωx, basta calcular los coeficientes de Fourier de la serie de senos. E JERCICIO 9.20 Compruebe que, si f = −x,
√ (−1)n 2ℓ3/2 hφn , f i = . nπ
(9.83)
Concluya que la solución es y=
∞ 2ℓ X (−1)n sin nωx . π n=1 n (λ − n2 ω 2 )
(9.84)
E JERCICIO 9.21 Resuelva el problema de contorno utilizando la solución general de la ecuación y compruebe que, cuando λ > 0, el resultado es √ ℓ sin λx x √ − . y= (9.85) λ sin λℓ λ ¿Coincide este resultado con el hallado anteriormente? ¿Qué pasa si λ < 0? ¿Qué pasa en ambos métodos cuando λ = 0?
9.6. Función de Green Se llama función de Green (o función de Green de dos puntos) de un problema inhomogéneo Lλ y = f (x), α1 y(a) + α2 y ′(a) = 0,
β1 y(b) + β2 y ′ (b) = 0,
(9.86) (9.87)
a la solución Gλ (x, s) correspondiente a un término inhomogéneo impulsivo: Lλ Gλ (x, s) = δ(x − s), 6
(9.88)
Erik Ivar Fredholm (7-04-1866, Estocolmo, Suecia; 17-08-1927, Estocolmo). Aunque escribió pocos trabajos, éstos eran de gran calidad y rigor. Además del famoso teorema de la alternativa, son muy recordadas sus contribuciones sobre ecuaciones integrales y teoría espectral.