Tfm juan manuel rodriguez madueño

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Ciudad Real

MODELADO DEL COMPORTAMIENTO A FLEXIÓN DEL HORMIGÓN REFORZADO CON FIBRAS

Autor: Juan Manuel Rodriguez Madueño Tutor académico: Rocı́o Porras Soriano y Jacinto Ruı́z Carmona Tutor de empresa: Jacinto Ruı́z Carmona

Trabajo Fin de Máster Ciudad Real, 2018

Agradecimientos Tras seis años, pongo fin a mi etapa como estudiante de la E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos de Ciudad Real con este Trabajo Fin de Máster. En este momento, me acuerdo de todas esas personas que, durante todo este largo trayecto, me han ayudado. A todos ellos, me gustarı́a dedicarles unas lı́neas.

En primer lugar, me gustarı́a dar las gracias a Juan Rey Rey, Director de la empresa Mecanismo Ingenierı́a, por confiar en mı́ y darme la posibilidad de realizar las prácticas con ellos. Para mi ha sido un verdadero placer.

En segundo lugar, me gustarı́a dar las gracias a Jacinto Ruı́z Carmona, como mi tutor de empresa y tutor de Trabajo Fin de Máster. Desde el primer dı́a, fue un apoyo en la realización de mi trabajo. Sus consejos y enseñanzas han sido fundamentales para mı́.

También me gustarı́a hacer mención al trato recibido por todos y cada uno de los trabajadores de la empresa: Ángel, Mari Carmen, Flavia o Pablo entre otros. El buen ambiente y la constante ayuda son dos de los motivos por los que recomendarı́a a cualquier estudiante realizar prácticas allı́.

Me gustarı́a también agradecer de un modo especial a Rocı́o Porras Soriano, como tutora de mi Trabajo Fin de Máster también, la constante ayuda durante todos estos meses. El Trabajo Fin de Máster me ha supuesto un gran esfuerzo y, sin su atención y sus consejos, hubiera sido imposible conseguirlo.

Por otro lado, no se me puede olvidar el agradecimiento a todos mis amigos, muchos de ellos conocidos durante mi etapa en la carrera. Todos ellos me han ayudado y enseñado mucho más de lo que cualquiera imagina. Los buenos y malos momentos que hemos vividos juntos, es algo que siempre llevaré conmigo.

También me gustarı́a expresar mis agradecimientos a mi pareja Marı́a. Estos años de Universidad han sido muy bonitos, pero también muy duros. Ella ha estado ahı́ siempre, apoyándome en los momentos malos y disfrutando conmigo los buenos. Por todo ello, gracias.

Por último, aunque no por ello menos importante, quiero dedicar un especial agradecimiento a toda mi familia, a los que están hoy conmigo y a los que no. Ellos han sido el principal apoyo durante todos estos años y quiénes me han enseñado a luchar por mi sueño y no rendirme.

A todos ellos, mi mayor reconocimiento y gratitud.

III

IV

AGRADECIMIENTOS

Resumen La adición de fibras en el hormigón se presenta en la actualidad como una de las innovaciones más importantes en el campo de las estructuras en general, y de los hormigones especiales en particular. La importancia de dicha adición radica en la mejora de las propiedades mecánicas del material, tales como el aumento de la resistencia residual post-fisuración o el aumento de la ductilidad y la durabilidad.

En las últimas décadas, debido al creciente interés por parte de los investigadores, se han llevado a cabo numerosos estudios con el objetivo de proporcionar un conocimiento más profundo del material. A pesar de ello, la inclusión de las fibras en el diseño de estructuras ha sido bastante limitada como consecuencia de la lenta aparición de normativa que contemple dicha posibilidad. El punto de inflexión ha surgido gracias a la publicación de nuevas normativas y recomendaciones europeas que empiezan a considerar la posibilidad de incluir fibras en la composición de los hormigones. Esto nos permite considerar la sustitución parcial o total de las barras de refuerzo por fibras estructurales.

Es por todo esto que, en el diseño de estructuras con hormigón reforzado con fibras (HRF) se necesitan modelos sólidos y fiables que reproduzcan el comportamiento y permitan diseñar.

El presente Trabajo Fin de Máster surge ante dicha necesidad con el objetivo de proponer un modelo de cálculo que estime el comportamiento del hormigón reforzado con fibras ante esfuerzos de flexión. Basado en las hipótesis de fisura plana en la zona fisurada, modelo constitutivo con ablandamiento lineal y leyes elástico-plásticas de los materiales entre otras, esta herramienta se presenta con un fin fundamentalmente práctico. Una vez explicados los principios básicos en los que se fundamenta el modelo, se ha realizado una contrastación experimental con el objetivo de validarlo. Los resultados han sido satisfactorios, permitiéndonos concluir que el modelo es una herramienta útil para el diseño de elementos estructurales como losas o vigas. Para finalizar, se han expuesto algunas de las aplicaciones para las cuales el modelo es útil. Éstas aplicaciones son el diseño del gunitado dispuesto en balsas de almacenamiento o el diseño de losas.

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VI

RESUMEN

Abstract The addition of fibers in concrete, is currently presented as one of he most important innovations in the field of structures in general and special concretes in particular. The importance of this addition is found in the improvement of mechanical properties such as the increment of the residual post-cracking strength or the increment of the ductility and durability.

In recent decades, due to the growing interest on the part of researchers, a lot of studies have been carried out with the aim of providing a deeper knowledge of the material. Despite this, the inclusion of fibers in the design of structures has been limited as a consequence of the slow appearance of codes that take this possibility into account. The inflection point has emerged in recent years thanks to the publication of new European codes that begin to take into account the possibility of including fibers in the composition of concrete. This allows us to consider the partial or total replacement of reinforcing bars by structural fibers.

At this point, the design of structures with FRC requires solid and reliable models that reproduce the behavior and allow design.

The present Final Master Project arises from this neccesity with the aim of proposing a calculation model that estimates the behavior of reinforced concrete with fibers supporting bending stresses. Based on the hypothesis of a flat crack in the cracked area, linear softening and elastic-plastic laws of materials, among others, this tool is presented with a fundamentally practical purpose. Once the principles on which the model is based have been explained, an experimental comparison has been carried out in order to validate it.

The results have been satisfactory, allowing us to conclude that the model is a useful tool for the design of structural elements such as slabs or beams. Finally, some of the applications for which the model is useful have been exposed. These applications are the design of the gunite or the design of slabs.

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VIII

ABSTRACT

Índice general Agradecimientos

III

Resumen

V

1. Introducción 1.1. Objetivo y motivación del proyecto . . . . . . . .

1.2. El hormigón reforzado con fibras . . . . . . . . .

1.2.1. Componentes del hormigón con fibras . .

1.2.2. Comportamiento del hormigón con fibras 1.3. Modelos constitutivos . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Recomendaciones y normativas europeas .

1.3.2. Código Modelo fib 2010 . . . . . . . . . .

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1 1 3 3 7 13 16 19

2. Modelo de cálculo 2.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Hipótesis asumidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. Ecuaciones constitutivas de los materiales . .

2.2.2. Ecuaciones de compatibilidad . . . . . . . . .

2.3. Esquema de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Introducción de datos . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5. Planteamiento de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1. Incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2. Adimensionalización de variables . . . . . . .

2.5.3. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . .

2.6. Evaluación de la apertura de fisura . . . . . . . . . .

2.7. Criterios de fallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1. Fallo del hormigón . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.2. Fallo del acero . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8. Evaluación de la capacidad de rotación de la sección 2.9. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.1. Interpretación de los resultados . . . . . . . .

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23 23 23 24 25 27 30 31 31 31 32 53 54 54 55 56 57 63

3. Contrastación experimental 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Efecto del tamaño en el módulo de rotura del hormigón . .

3.3. Comparación de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1. Comparación de resultados para hormigón con fibras 3.3.2. Comparación de resultados para hormigón armado .

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69 69 69 73 73 79

IX

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X

ÍNDICE GENERAL

4. Casos Prácticos 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Sustitución de mallazo en balsa de almacenamiento de agua . . . . . . . .

4.3. Inclusión de fibras en losa de hormigón apoyada en todos sus lados . . . .

4.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2. Cálculo de la losa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.3. Armadura pasiva mı́nima necesaria para el control de la fisuración 4.3.4. Análisis de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Conclusiones

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87 87 87 90 90 91 93 94 97

Bibliografı́a

100

Anexo 1

105

IĚ ndice de figuras 1.1. Proporciones para el hormigoĚ n reforzado con fibras [1] . . . . . . . . . . .

1.2. Longitud de la fibra de acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. DiaĚ metro de la fibra en mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. SeccioĚ n transversal de la fibra de acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Comportamiento del hormigoĚ n en masa [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6. Comportamiento del hormigoĚ n armado [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7. Comportamiento del hormigoĚ n reforzado con fibras [2] . . . . . . . . . . .

1.8. Comportamiento a flexioĚ n del hormigoĚ n reforzado con fibras [3] . . . . . .

1.9. Modelos constitutivos propuestos [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10. Curvas Momento-curvatura para diferente dosificacioĚ n de fibras [3] . . . .

1.11. Ancho medio de fisura a lo largo del tiempo [4] . . . . . . . . . . . . . . .

1.12. RelacioĚ n ancho de fisura y carga [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.13. Modelo constitutivo (Ďƒ - ) del comportamiento a traccioĚ n del HRF [5] . .

1.14. Modelo constitutivo (Ďƒ - ) del comportamiento a traccioĚ n del HRF [6] . .

1.15. Modelo constitutivo (Ďƒ - ) del comportamiento a traccioĚ n del HRF [7] . .

1.16. Modelo constitutivo (Ďƒ - ) del comportamiento a traccioĚ n del HRF [8–11] 1.17. Modelo constitutivo (Ďƒ - ) de la respuesta a traccioĚ n del HRF [12] . . . .

1.18. Modelo constitutivo (Ďƒ - ) de la respuesta a traccioĚ n del HRF [13] . . . .

1.19. Modelos constitutivos propuestos por la normativa europea para el disenĚƒo de estructuras de HRF [14–17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.20. Modelos constitutivos propuestos por la normativa europea para el disenĚƒo de estructuras de HRF [14–18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.21. Comparativa de modelos constitutivos entre diferentes normativas europeas [14–18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.22. Leyes constitutivas simplificadas [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.23. Ensayo a flexioĚ n en tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.24. Curva P-w resultante del ensayo a flexioĚ n en tres puntos . . . . . . . . . .

1.25. ObtencioĚ n del paraĚ metro y para una seccioĚ n con y sin armadura . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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18 19 19 20 21

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

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24 24 25 26 27 30 32 35 37

Ley elasto-plaĚ stica del hormigoĚ n . . . . . .

HipoĚ tesis de ablandamiento lineal [16] . . .

Ley elasto-plaĚ stica del acero . . . . . . . . .

HipoĚ tesis de fisura plana [19, 20] . . . . . . .

HipoĚ tesis en zona fisurada y no fisurada [20] Dimensiones de la viga . . . . . . . . . . . .

Caso 1A0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Caso 1A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Caso 1A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

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3 6 6 7 8 8 8 9 10 10 11 12 13 14 14 15 15 16

. 16 . 17

XII

ÍNDICE DE FIGURAS

2.10. Caso 1B1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.11. Caso 1B2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.12. Caso 2A1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.13. Caso 2A2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.14. Caso 2B1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.15. Caso 2B2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.16. Sección fisurada . . . . . . . . . . . . . .

2.17. Fisura plana . . . . . . . . . . . . . . . .

2.18. Evaluación de la capacidad de rotación .

2.19. Curva P-ω obtenida de ensayo de flexión 2.20. Resultados sin criterios de fallo . . . . .

2.21. Resultados con criterios de fallo . . . . .

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3.1. Efecto del tamaño en el módulo de rotura (a)calculado para varias curvas de ablandamiento (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Efecto del tamaño en el módulo de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Efecto del tamaño en el módulo de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4. Evaluación de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5. Evaluación de la flecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6. Comparación del comportamiento de hormigones de alta y baja dosificación de fibras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

Caracterı́sticas de las fibras . . . . . . . . . . . . . .

Lı́neas de rotura de losa apoyada en sus cuatro lados Resultados en Estado Lı́mite Último . . . . . . . . .

Resultados en Estado Lı́mite de Servicio . . . . . . .

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[21] . . . . . .

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39 42 44 46 49 51 54 55 56 57 60 61

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71 72 73 74 75

. 78 . . . .

88 90 92 93

5.1. Ensayo de fatiga aplicando cargas cı́clicas [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2. Resultados de los ensayos de fatiga en diferentes hormigones según la frecuencia de carga aplicada [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3. Dosificación empleada para la fabricación del HRFA . . . . . . . . . . . . . 107 5.4. (a) Sección transversal y (b) sección longitudinal del ensayo de aplastamiento108 5.5. Curvas F-v de los tubos ensayados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.6. Valores medios experimentales y numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Índice de tablas 2.1. Dimensiones de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2. Caracterı́sticas del HRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3. Caracterı́sticas de la armadura pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1. Caracterı́sticas de las probetas de hormigón . . . . .

3.2. Caracterı́sticas de la armadura pasiva en los ensayos 3.3. Dimensiones probeta R1 . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4. Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R1 . . . .

3.5. Caracterı́sticas del acero de la probeta R1 . . . . . .

3.6. Dimensiones probeta R2 . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7. Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R2 . . . .

3.8. Caracterı́sticas del acero de la probeta R2 . . . . . .

3.9. Dimensiones probeta R2-2 . . . . . . . . . . . . . . .

3.10. Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R2-2 . . .

3.11. Caracterı́sticas del acero de la probeta R2-2 . . . . .

3.12. Dimensiones probeta R3 . . . . . . . . . . . . . . . .

3.13. Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R3 . . . .

3.14. Caracterı́sticas del acero de la probeta R3 . . . . . .

3.15. Dimensiones probeta R3-2 . . . . . . . . . . . . . . .

3.16. Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R3-2 . . .

3.17. Caracterı́sticas del acero de la probeta R3-2 . . . . .

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74 74 80 80 80 81 81 81 82 82 82 83 83 83 84 84 84

4.1. Caracterı́sticas de la losa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2. Tabla de acciones sobre la losa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

XIII

XIV

ÍNDICE DE TABLAS

Capı́tulo 1

Introducción 1.1.

Objetivo y motivación del proyecto

The aim of this thesis is to present a model that allows us to calculate the flexural behaviour of rectangular sections of Fibre Reinforced Concrete (FRC). In this way, the results of the work are presented as a practical interest document for the design of beams and slabs using FRC. The model will analyze the behaviour of the FRC providing us, for a specific section, the tensional state, the crack opening and the capacity of rotation throughout the process of the propagation of the crack. For the approach of the model we consider the following hypotheses: Elastic- plastic stress - strain law (σ - ε) both for steel and for concrete.

Stress - crack opening constitutive model (σ - ω) considering linear softening in the cracked area of the section.

Navier’s hypothesis in the non-cracked area Flat crack hypothesis considered by G.Ruiz and J. R. Carmona [19, 20]. In their article ”Modelo analı́tico para el análisis de la flexión y la fisuración en secciones de hormigón armado como alternativa al diagrama de pilotes” [20] propose this hypothesis in order to calculate the stress of the reinforcing bars. In this thesis, we extend this hypothesis to the whole softening area.

The document is organized in 4 chapters. In the first one, we carry out a brief description of the FRC and its behaviour, as well as its introduction in the current design codes.

In the second one, we explain the proposed model and the hypotheses assumend to obtain it. Once the model is explained, in the third chapter we carry out a results comparisong in order to validate the model. Finally, we expose some of the practical cases to which the proposed model can provide a solution such as the replacement of the reinforcing bars of a gunite by structural fibers or the design of a rectangular slab supported on its four sides including structural fibers in its composition.

1

2

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

El presente Trabajo Fin de Máster tiene como objetivo la presentación de un modelo que permita calcular el comportamiento a flexión de secciones rectangulares de hormigón reforzado con fibras (HRF). De esta manera, los resultados del trabajo se presentan como un documento de interés práctico para el diseño de vigas y losas de HRF. El modelo analizará el comportamiento del HRF proporcionándonos, para una sección determinada, el estado tensional, la apertura de fisuras y la capacidad de rotación durante todo el proceso de propagación de la fisura. Para el planteamiento del modelo consideramos las siguientes hipótesis: Ley tensión - deformación (σ - ε) elasto-plástica tanto para hormigón como para acero.

Modelo constitutivo tensión - apertura de fisuras (σ - ω) considerando ablandamiento lineal en la zona fisurada de la sección.

Hipótesis de Navier en la zona no fisurada de la sección.

Hipótesis de fisura plana considerada por G. Ruı́z y J. R. Carmona [19, 20]. En su artı́culo ”Modelo analı́tico para el análisis de la flexión y la fisuración en secciones de hormigón armado como alternativa al diagrama de pilotes” [20] plantean dicha hipótesis para el cálculo de la tensión de la armadura pasiva. En el presente trabajo se extiende esta hipótesis a toda la zona de ablandamiento.

El documento se organiza en 4 capı́tulos. En el primero de ellos, realizamos una breve descripción del HRF y su comportamiento, ası́ como de su inclusión en las normativas de diseño actuales. En el segundo, explicamos el modelo propuesto y las hipótesis asumidas para su obtención. Una vez explicado el modelo, en el tercer capı́tulo llevamos a cabo una contrastación de resultados para la validación del modelo. Finalmente, exponemos alguno de los casos prácticos a los que el modelo propuesto puede dar solución como pueden ser la sustitución del mallazo del gunitado de una balsa de almacenamiento por fibras estructurales o el diseño de una losa rectangular apoyada en sus cuatro lados incluyendo fibras estructurales en su composición.

3

1.2.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

El hormigón reforzado con fibras

El hormigón reforzado con fibras se define como aquel hormigón que incluye en su composición fibras cortas, discretas y aleatoriamente distribuidas en su masa, cuya misión es contribuir a la mejora de determinadas caracterı́sticas del hormigón.

1.2.1.

Componentes del hormigón con fibras

El hormigón reforzado con fibras tiene esencialmente la misma composición que el hormigón tradicional. Sin embargo, la principal diferencia entre ambos es la adición de fibras en su composición. Dicha adición altera el comportamiento del hormigón tanto en estado fresco como endurecido, por lo que existen diferencias en las exigencias para los componentes de cada tipo de hormigón [23].

En la siguiente tabla se muestra el rango de proporciones propuestas por el ACI Committee 544 1R-96 (2009) [1]

Figura 1.1: Proporciones para el hormigón reforzado con fibras [1] 1.2.1.1.

Cemento

El cemento es un componente importante en la docilidad del material en estado fresco, ası́ como, en las caracterı́sticas mecánicas del hormigón endurecido.

Cuanto mayor sea el contenido de fibras y menor el tamaño de árido, mayor será la cantidad de cemento que se necesitará con el objetivo de proporcionar una mayor cantidad de pasta [23].

1.2.1.2.

Agua

En lo que se refiere al uso de agua, la Instrucción EHE-08 [15] en su Anejo 14, establece que el aumento de consistencia debido a la adición de fibras deberá compensarse con la adición de reductores de agua, sin modificar la dosificación prevista de la misma.

1.2.1.3.

Áridos

Los áridos deberán tener unos tamaños, granulometrı́a y formas adecuadas para llevar a cabo la elaboración del HRF. Los áridos más adecuados son los áridos rodados debido a que con ellos la docilidad es mayor para una misma relación agua/cemento.Sin embargo, los machacados también pueden ser usados.

4

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Por otro lado, en cuanto a la cantidad de finos, es recomendable incorporar una mayor cantidad de finos cuando adicionan fibras de acero. Esto es debido a la reducción del riesgo de segregación, mejora de la cohesión y de la movilidad de las fibras .

La movilidad de las fibras depende de la proporción de árido grueso y del tamaño máximo del árido. La JSCE (Japan Society of Civil Engineers) plantea que el valor óptimo de tamaño máximo de árido sea inferior a la mitad de la longitud de la fibra [23].

1.2.1.4.

Aditivos

Según establece la EHE-08 [15] en su Anejo 14, la adición de fibras en altas proporciones, provoca una reducción de la docilidad. Es por ello que, con el fin de no adicionar agua, ni afectar a la resistencia y durabilidad, se aconseja el uso de superfluidificantes.

Si se pretende realizar hormigones muy fluidos con un volumen de fibras alto y no se controlar adecuadamente la distribución de fibras, se pueden producir apelotonamientos.

Cuando el HRF va a estar sometido a ciclos de hielo-deshielo, un aditivo aireante es una necesidad [23].

1.2.1.5.

Adiciones

Las adiciones empleadas en el HRF suelen ser materiales puzolánicos como pueden ser puzolanas naturales, cenizas volantes o humo de sı́lice. Estos materiales se adicionan con el objetivo mejorar la impermeabilización del hormigón, mejorar la durabilidad y cohesión, ası́ como la adherencia fibra-matriz, la retracción y el riesgo de segregación.

1.2.1.6.

Fibras

Tipos de fibra El comportamiento del hormigón depende del tipo de fibra utilizada para su refuerzo.

Es por ello, que resulta de interés conocer los diferentes tipos de fibra existentes. Tal y como recoge la Normativa EHE 08, el hormigón podrá ser reforzado con diferentes tipos de fibras en función de las propiedades del material que deban ser mejoradas. Por ello, podemos establecer diferentes clasificaciones en función de las caracterı́sticas estudiadas: Clasificación según su contribución al comportamiento del elemento Fibras estructurales: Pertenecen a este grupo todas aquellas cuya contribución en la respuesta estructural de la elemento de hormigón deba ser considerada. .

Fibras no estructurales: Aquellas que, sin ser consideradas en el cálculo estructural del elemento, suponen una mejora ante determinadas propiedades como el control de fisuración por retracción, el incremento de la resistencia al fuego, abrasión o impacto entre otras.

Clasificación según el material utilizado Fibras de acero: Son fibras fabricadas en acero estructurales que permitirán al hormigón mejorar su ductilidad y su resistencia a flexión, ası́ como al control de la fisuración.

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Estas fibras de acero se clasifican según la normativa EHE-08 [15] en función del proceso de fabricación en: • Trefiladas (Tipo I).

• Cortadas en láminas (Tipo II).

• Extraı́das por rascado en caliente (Tipo III).

• Otras (Por ejemplo fibras de acero fundidas) (Tipo IV).

Por otro lado, la forma de la fibra es otra de las caracterı́sticas que tienen una importante incidencia sobre adherencia que la fibra tendrá una vez incluida en el hormigón. Ésta puede ser muy variada: recta, ondulada, corrugada, conformada en extremos de distintas formas, etc. [15] La longitud de la fibra deberá ser como mı́nimo 2 veces el tamaño mayor del árido mayor, aunque normalmente suele ser 2.5 a 3 veces el tamaño máximo de árido. En lo que se refiere al bombeo durante el hormigonado, el diámetro de la tuberı́a de bombeo exige que la longitud de la fibra sea inferior a 2/3 del diámetro del tubo. Sin embargo, la longitud de la fibra debe ser suficiente para dar una adherencia necesaria a la matriz y evitar arrancamientos con demasiada facilidad. [15] Además, hay que tener en cuenta que fibras de menor diámetro hacen que aumente la densidad del entramado de fibras, el espaciamiento por tanto se reducirá y esto hará que aumente la eficiencia en la redistribución de cargas o esfuerzos. [15] La utilización de fibras de acero tiene ventajas tales como: • Reducción del número de juntas de retracción • Fácil integración en el hormigón.

• No requiere del uso de bomba aunque para altas dosificaciones sı́ que serı́a necesario.

• Permite utilizar extendedoras láser.

• Economı́a. En la realización de pavimentos de hormigón, supone un ahorro de materiales y de tiempo importante.

Fibras poliméricas: Son fibras sintéticas formadas por diferentes materiales poliméricos extrusionados y luego cortados tales como el polipropileno, polietileno de alta densidad, alcohol de polivinilo, aramida, poliamida o poliéster. Son fibras no estructurales que permiten controlar la fisuración debido a la retracción e incrementan la resistencia al fuego, a la abrasión y al impacto. Según su proceso de elaboración se clasifican en monofilamentos extruidos y láminas fibriladas.

Otras fibras inorgánicas.

6

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Clasificación según las dimensiones de la fibra Micro-fibras: Aquellas con un diámetro inferior a 0,30 mm.

Macro-fibras: Aquellas con un diámetro superior a 0,30 mm.

Propiedades mecánicas de las fibras Con el objetivo de que las fibras trabajen de manera efectiva, éstas deben presentar las siguientes propiedades mecánicas [2] Deben poseer una alta resistencia a la tracción (entre 345 y 3000 MPa).

Deberá existir una resistencia a la adherencia con la matriz del mismo orden o superior a la resistencia a tracción de dicha matriz.

El módulo elástico de la fibra debe ser al menos 3 veces mayor al de la matriz.

El coeficiente de poisson y de dilatación térmica es aconsejable que sea semejante el de la matriz.

Propiedades geométricas de las fibras Para la descripción geométrica de las fibras las convenciones empleadas son las siguientes [2] Lf : Longitud de la fibra en mm.

Ld: Longitud desarrollada de la fibra en mm.

Figura 1.2: Longitud de la fibra de acero d: Diámetro o diámetro equivalente de la fibra en mm.

Figura 1.3: Diámetro de la fibra en mm

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN λ: Esbeltez o relación de aspecto de la fibra (también denotada como L/d).

Af : Área de la sección transversal de la fibra en mm2 .

Figura 1.4: Sección transversal de la fibra de acero Teniendo en cuenta las anteriores caracterı́sticas geométricas de las fibras utilizadas, es importante conocer que: A mayor relación L/d (esbeltez), mayor rendimiento tienen las fibras.

Un aumento desmesurado de la esbeltez puede dar problemas de trabajabilidad.

1.2.2.

Comportamiento del hormigón con fibras

A pesar de la sensación de novedad existente entorno al concepto de hormigón reforzado con fibras, habrı́a que remontarse a 1874 para hablar del nacimiento de dicho concepto.

El americano A.Berard fue la primera persona en incluir acero granular procedente de desechos para el refuerzo de hormigón. Más tarde, en 1911 Graham utilizó por primera vez fibras que tendrı́an el objetivo de incrementar la resistencia y la estabilidad del hormigón armado convencional. Sin embargo,entre todas las aportaciones de esa época, hay que destacar la aportación de G.Martin en 1927, quién con su patente, describió la adición de alambres de acero rizado en el hormigón para el uso de tuberı́as [23].

Hoy en dı́a, podrı́amos llegar a asegurar que el hormigón reforzado con fibras es una de las innovaciones más importantes en el campo de las estructuras en general y en el campo de los hormigones especiales en particular [24].

Tanto es ası́ que, en las últimas décadas, se han llevado a cabo innumerables investigaciones relacionadas con este material con el único objetivo de conocer cada vez mejor asuntos tan importantes como pueden ser el comportamiento estructural ante esfuerzos externos, caracterı́sticas de las fisuras, ensayos de caracterización del HRF o la dosificación de fibras y su influencia sobre la trabajabilidad de dichos hormigones.

A pesar de todos los trabajos llevados a cabo en el estudio del HRF, tal y como explicaremos posteriormente, la falta de normativas a nivel internacional y de guı́as para el diseño de elementos estructurales de HRF, ha retrasado su expansión como una solución estructural competitiva.

Estas fibras introducen una serie de mejoras en el comportamiento del elemento de hormigón como son: El aumento de la resistencia residual tras la fisuración.

8

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN La reducción de la separación entre fisuras y del ancho de las mismas.

El aumento de la ductilidad y durabilidad.

Mayor capacidad de rotación de la sección de hormigón

Estos son algunos de los motivos por los que resulta de especial interés la inclusión de dichas fibras en los elementos de hormigón.

En las siguientes figuras observamos las diferencias en el comportamiento a flexión de diferentes elementos de hormigón con y sin refuerzo.

Figura 1.5: Comportamiento del hormigón en masa [2]

Figura 1.6: Comportamiento del hormigón armado [2]

Figura 1.7: Comportamiento del hormigón reforzado con fibras [2]

9

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Tanto en la figura1.5 como en la figura1.6, puede observarse como tras la fisuración, la zona de hormigón fisurado no aporta resistencia a la sección. Ésta es una importante diferencia con respecto al HRF tal y como se muestra en la siguiente figura 1.7.

En este caso, la introducción de fibras aumenta la resistencia residual de la sección de hormigón una vez producida la fisuración.Esto lo observamos en el esquema tensional de la zona fisurada en el cual, gracias a las fibras que cosen la sección, la resistencia del elemento estructural aún es mayor que 0.

De la misma forma, en la siguiente curva carga-flecha observamos el aumento en la ductilidad de la sección en caso de introducir fibras.

Figura 1.8: Comportamiento a flexión del hormigón reforzado con fibras [3] Tal y como comentamos anteriormente,la evolución del HRF ha venido de la mano de un creciente interés por parte de investigadores de todo el mundo, los cuales han visto un gran número de ventajas en este material frente a los hormigones convencionales.

Este hecho se puede constatar en trabajos como los llevados a cabo por el investigador Joaquim Barros, Doctor de la Universidad de Braga (Portugal) y uno de los investigadores de hormigón con fibras más importantes a escala mundial . Entre todos los estudios publicados por el Profesor Barros podemos destacar el titulado ”Flexural behavior of SFRC: testing and modelling” [3] Dicho artı́culo surge como consecuencia de la falta de información existente en lo referente a la modelización del hormigón reforzado con fibras de acero. El principal objetivo de J. Barros por tanto, era el de contribuir con su investigación a la obtención de un programa que combinase investigación experimental y modelización numérica.

Para ello, en su trabajo realizó ensayos de flexión en tres puntos en vigas con entallas de 5 mm de ancho a partir de los cuales obtuvo la energı́a de fractura (Gf ). Por otro lado, en lo que se refiere al modelo planteado, J.Barros propuso un modelo basado en leyes constitutivas procedentes ensayos experimentales.

10

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

De esta manera, el comportamiento a tracción post-fisuración del hormigón no influenciado por las barras de acero era simulado por una ley de ablandamiento bilineal, mientras que el comportamiento a tracción del hormigón cercano al refuerzo era simulado por una ley de ablandamiento multilineal.

(a) Modelo bilineal

(b) Modelo multilineal

Figura 1.9: Modelos constitutivos propuestos [3] Una vez planteado el modelo y obtenidas las caracterı́sticas del hormigón, dicho modelo fue evaluado a partir de la comparación entre resultados experimentales y resultados obtenidos con el modelo planteado. Para ello, aplicó el modelo a una losa teniendo en cuenta diferentes dosificaciones de fibras (0 kg/m3 , 30 kg/m3 , 45 kg/m3 y 60 kg/m3 ).

(a) Dosificación = 0 kg/m3

(b) Dosificación = 30 kg/m3

(c) Dosificación = 45 kg/m3

(d) Dosificación = 60 kg/m3

Figura 1.10: Curvas Momento-curvatura para diferente dosificación de fibras [3]

11

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

A partir de toda esta investigación, J.Barros pudo concluir que el incremento de la cuantı́a de fibras en un elemento de hormigón mejora considerablemente su capacidad portante y reduce la apertura de las fisuras y su espaciamiento. Esto se puede observar comparando los resultados obtenidos con 15 y 60 kg/m3 de fibras.

Con la idea de aportar un mayor conocimiento del hormigón con fibras, también podemos destacar trabajos como los realizados por Vasanelli et al. Todos ellos en su artı́culo ”Long term behavior of FRC flexural beams under sustained load” [4] estudian el comportamiento del hormigón reforzado con fibras a largo plazo y cómo la adición de las fibras mejoran las condiciones de durabilidad y de apertura de fisuras con respecto al hormigón sin fibras.

Este estudio surge ante los problemas sociales y económicos que causan las estructuas de hormigón armado en relación con su durabilidad y su vida en servicio. La introducción de fibras en el hormigón pretende mejorar la durabilidad de las nuevas estructuras aumentando ası́ su vida útil y mejorar el comportamiento de dichas estructuras cuando están expuestas a ambientes agresivos.

Para ello, estudian el comportamiento de vigas de hormigón con y sin fibras expuestas en la naturaleza bajo cargas de flexión permanentes en un perı́odo de 17 meses. Durante este tiempo, el desarrollo de las fisuras (ancho y longitud) era monitorizado.

Los tres tipos de hormigón utilizados en este estudio eran hormigón sin fibras (TQ), hormigón con un 0.6 % del volumen de fibras de acero (ST) y hormigón con fibras de polyester (POL). Estos hormigones fueron expuestos en Brindisi (Italia), en una zona industrial a una distancia de 600 m del mar. De esta manera la corrosión, la humedad y la presencia de cloruros en el aire formarı́an parte del clima.

Los resultados y conclusiones obtenidas a partir de dicho estudio fueron las siguientes: Los anchos de fisura observados en las vigas de hormigón con fibras son menores que los observados en vigas con hormigón sin fibras.

En el caso del hormigón sin fibras, el ancho de fisura no deja de crecer a lo largo de los 17 meses de estudio. Por el contrario, en el hormigón sin fibras, se puede observar que en el mes 10 comienza a estabilizarse. Esto lo observamos en la figura 1.11.

Figura 1.11: Ancho medio de fisura a lo largo del tiempo [4]

12

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Las fibras de acero y polyester tienen un efecto muy similar sobre el comportamiento a fisuración de las vigas. Este comportamiento lo observamos en la figura 1.12.

Figura 1.12: Relación ancho de fisura y carga [4]

Las vigas de hormigón reforzado con fibras eran considerablemente mas rı́gidas que las de hormigón sin fibras.

No obstante, a pesar de la evolución en el conocimiento del hormigón reforzado con fibras gracias a la gran cantidad de estudios llevados a cabo, la inclusión de fibras en el diseño de estructuras está siendo limitada debido a diferentes factores como la falta de normativa. El punto de inflexión en la utilización de este tipo de hormigones ha surgido en los últimos años gracias a la publicación de nuevas normativas y recomendaciones europeas tales como la EHE-08 [15], la DBV [17], el Código Modelo [16], la RILEM [18] o la CNR-DT-204 [14].

Toda la evolución en el conocimiento del HRF, ha creado también interés entre ingenieros civiles. Este cambio de mentalidad, puede observarse en el diseño de túneles. A pesar de que éstas estructuras ya eran diseñadas con fibras de acero, la contribución al comportamiento post-fisuración no era tenido en cuenta. Normativas como la EHE-08 [15] permiten incluir fibras y considerar su contribución permitiéndonos sustituir parcial o totalmente las barras de refuerzo por fibras estructurales. De esta manera, este tipo de soluciones se presentan como alternativas interesantes desde el punto de vista técnico y económico.

Llegados a este punto, en el diseño de estructuras con hormigón reforzado con fibras se necesitan modelos sólidos y fiables que reproduzcan su comportamiento. Actualmente, hay una gran variedad de modelos propuestos. sin embargo, el primer paso ha sido llevado a cabo por el “Grupo Técnico fib 8.3” “Fiber reinforced concrete” y 8.6 “Ultra high performance fiber reinforced concrete” en el nuevo Código Modelo [16].

13

CAPIĚ TULO 1. INTRODUCCIOĚ N

1.3.

Modelos constitutivos

Tal y como comentamos anteriormente, la expansioĚ n del concepto de hormigoĚ n con fibras ha traÄąĚ do consigo su inclusioĚ n en diferentes normativas europeas [14–18]y por tanto, la existencia de modelos con diferentes aproximaciones e hipoĚ tesis. No obstante, todos estos modelos constitutivos estaĚ n basados en:

Curvas tensioĚ n - deformacioĚ n (Ďƒ - )

Curvas tensioĚ n - apertura de fisuras (Ďƒ - ω)

La mayor parte de los modelos estaĚ n basados en aproximaciones indirectas, las cuales requieren la introduccioĚ n de paraĚ metros obtenidos experimentalmente. Sin embargo, aunque son menos comunes, existen modelos basados en aproximaciones directas las cuales usan propiedades baĚ sicas del material constituyente.

AproximacioĚ n indirecta Entre los diferentes modelos existentes que tienen en cuenta aproximaciones indirectas, una de las primeras propuestas utilizando la curva Ďƒ - fue propuesta por el Profesor Lim [5]. En ella, se consideraba que para un contenido bajo de fibras, la contribucioĚ n de estas fibras sobre el comportamiento post-fisuracioĚ n del hormigoĚ n podrÄąĚ a ser despreciado asumiendo una rama constante tras fisurar tal y como puede observarse en la figura 1.13.

Figura 1.13: Modelo constitutivo (Ďƒ - ) del comportamiento a traccioĚ n del HRF [5]

Otro modelo,propuesto por el profesor Lok [6], introduce relaciones no lineales durante la etapa de pre-fisuracioĚ n (cuando la deformacioĚ n se encuentra entre 0 y t0 ) . AdemaĚ s, con el objetivo de mejorar la estimacioĚ n de la contribucioĚ n de las fibras, introduce una curva previa a la rama constante final (cuando la deformacioĚ n se encuentra entre t1 y tu ) tal y como puede verse en la figura 1.14.

14

CAPIĚ TULO 1. INTRODUCCIOĚ N

Figura 1.14: Modelo constitutivo (Ďƒ - ) del comportamiento a traccioĚ n del HRF [6]

Por uĚ ltimo, tambieĚ n es de intereĚ s el modelo propuesto por Dupont y Vanderwalle [7], el cual proponÄąĚ a una curva Ďƒ - con dos niveles de tensioĚ n para deformaciones de 2 = 0.25 % y 3 = 1.5 % considerando asÄąĚ una etapa post-fisuracioĚ n independiente de la resistencia a traccioĚ n del hormigoĚ n. Esto puede observarse en la figura 1.15

Figura 1.15: Modelo constitutivo (Ďƒ - ) del comportamiento a traccioĚ n del HRF [7]

Por otro lado, existen numerosas propuestas en lo que a modelos constitutivos se refiere basadas en las curvas Ďƒ - ω. Entre todos ellos, podemos encontrar el modelo basado en una curva bilineal propuesto en [8], el modelo propuesto en [9] el cual consiste en una curva trilineal y un incremento en la resistencia residual para aperturas de fisuras hasta 2 milÄąĚ metros o la propuesta de di Prisco [10] en la que se consideraba un modelo bilineal con una primera etapa de ablandamiento debido a la fisura de la matriz y una segunda etapa en la cual se tenÄąĚ a en cuenta la contribucioĚ n de las fibras. Sin embargo, Dozio sentencioĚ que este modelo sobreestimaba la anchura de la fisura que en la interseccioĚ n entre la etapa 1 y 2 por lo que propuso un modelo bilineal alternativo [11].

15

CAPIĚ TULO 1. INTRODUCCIOĚ N

(a) Modelo bilineal [8]

(b) Modelo trilineal [9]

(c) Modelo bilineal alternativo [10, 11]

Figura 1.16: Modelo constitutivo (Ďƒ - ) del comportamiento a traccioĚ n del HRF [8–11]

AproximacioĚ n directa La aproximacioĚ n directa para simular el comportamiento uniaxial del material requiere la utilizacioĚ n de paraĚ metros definiendo una relacioĚ n constitutiva [13], la cual podrÄąĚ a determinarse experimentalmente o a partir de propiedades especÄąĚ ficas del material. Estos modelos estaĚ n basados en la estimacioĚ n de la contribucioĚ n de las fibras y de la matriz.

La importancia del estudio realizado por Li et al. [12] se encuentra en la consideracioĚ n de la mecaĚ nica fÄąĚ sica que gobierna la fisura del HRF, introduciendo conceptos tales como el ablandamiento del hormigoĚ n simple, el nuĚ mero de fibras que atraviesa una fisura, el comportamiento de la fibra asÄąĚ como su orientacioĚ n y distribucioĚ n (figura 1.17).

Figura 1.17: Modelo constitutivo (Ďƒ - ) de la respuesta a traccioĚ n del HRF [12]

Por otro lado, en el estudio llevado a cabo por Laranjeira [13], se propone un modelo constitutivo en el que se considera la suma de dos contribuciones principales: la resistencia del hormigoĚ n simple post-fisuracioĚ n y, sobretodo, la resistencia de las fibras de acero. Este modelo ademaĚ s tiene en cuenta las propiedades de los componentes del HRF y los procesos de produccioĚ n. Algunos de los paraĚ metros a introducir en el modelo son la resistencia caracterÄąĚ stica a compresioĚ n, el diaĚ metro, longitud y resistencia a traccioĚ n de las fibras asÄąĚ como el contenido volumeĚ trico de las mismas y su orientacioĚ n (figura 1.18).

16

CAPIĚ TULO 1. INTRODUCCIOĚ N

Figura 1.18: Modelo constitutivo (Ďƒ - ) de la respuesta a traccioĚ n del HRF [13]

1.3.1.

Recomendaciones y normativas europeas

Una vez estudiados los diferentes modelos constitutivos existentes actualmente, un paso importante en el disenĚƒo de estructura con HRF es la seleccioĚ n del mejor modelo para simular el comportamiento post-fisuracioĚ n. Desde hace anĚƒos, se han publicado numerosas guÄąĚ as teĚ cnicas con el objetivo principal de facilitar la labor de disenĚƒar estructuras [25, 26].

En la siguiente tabla, podemos observar algunos de los modelos propuestos por normativas europeas [14–18] agrupados en funcioĚ n de las hipoĚ tesis asumidas. AdemaĚ s se incluyen los principales paraĚ metros que definen cada uno de los modelos.

Figura 1.19: Modelos constitutivos propuestos por la normativa europea para el disenĚƒo de estructuras de HRF [14–17]

17

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Figura 1.20: Modelos constitutivos propuestos por la normativa europea para el diseño de estructuras de HRF [14–18] Además, en la siguiente tabla se presentan los criterios tomados en cada uno de los diferentes modelos constitutivos de la figura 1.19 y 1.20. Los modelos han sido clasificados en función del orden cronológico de publicación.

18

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Figura 1.21: Comparativa de modelos constitutivos entre diferentes normativas europeas [14–18] A pesar del gran esfuerzo de todas las normativas por proporcionar una herramienta para el diseño de estructuras de hormigón reforzado con fibras, existen diferencias sustanciales entre las más antiguas y las más recientes.

Una de las principales diferencias es la consideración de los diferentes tipos de fibras (estructurales y no estructurales) y la orientación de las mismas en el hormigón. Esto ocurre con el Código Modelo, el cual establece un parámetro que tiene en cuenta la orientación y cómo éste afecta al comportamiento del hormigón. Otra diferencia importante entre las diferentes normativas es el uso de una resistencia a flexotracción equivalente (feq ) o de una resisitencia a flexotracción residual (fR ). El parámetro feq está relacionado con la capacidad de absorber energı́a del material para una cierta flecha mientras que el parámetro fR corresponde a la tensión asociada a la fuerza para una determinada flecha.

Un estudio llevado a cabo por Barros et al. [27] revela que fR es más susceptible de sufrir irregularidades locales en la cuerva Fuerza - Desplazamiento. Sin embargo, la tendencia general de las normativas más recientes es la de usar éste parámetro.

El Código Modelo fib 2010 [16] es la normativa más reciente y por tanto, es actualmente la normativa de referencia para el diseño de estructuras con hormigón reforzado con fibras.

19

1.3.2.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Código Modelo fib 2010

El Código Modelo fib 2010 es la normativa que hasta el momento ha proporcionado un conocimiento más profundo sobre el diseño de estructuras con hormigón reforzado con fibras.

Dicho código proporciona dos modelos para estimar el comportamiento a tracción del HRF: uno de ellos supone un comportamiento rı́gido-plástico del material 1.22a y el otro un comportamiento elástico-lineal 2.2b. Estos modelos utilizan leyes constitutivas σ - ω simplificadas tal y como puede ver en la figura 1.22

(a) Comportamiento rı́gido-plástico

(b) Comportamiento elástico-lineal

Figura 1.22: Leyes constitutivas simplificadas [16]

En ambas curvas, los parámetros son obtenidos a partir de un ensayo de flexión en 3 puntos sobre una probeta prismática biapoyada con dimensiones normalizadas tal y como recoge la EN:14651:2005.

Figura 1.23: Ensayo a flexión en tres puntos

20

CAPIĚ TULO 1. INTRODUCCIOĚ N

Figura 1.24: Curva P-w resultante del ensayo a flexioĚ n en tres puntos El paraĚ metro fF ts de la figura 1.22 representa la resistencia residual post-fisuracioĚ n para aperturas de fisura en estado lÄąĚ mite de servicio (0.5 mm). Por otro lado, el paraĚ metro fF tu de la figura 1.22 es la resistencia residual uĚ ltima asociada con la apertura de fisura en estado lÄąĚ mite uĚ ltimo wu , la cual es la maĚ xima apertura permitida en disenĚƒo estructural.

Para el modelo rÄąĚ gido-plaĚ stico (figura 1.22a), la apertura uĚ ltima wu es 2.5 mm mientras que para el modelo elaĚ stico-lineal (figura 2.2b), esta restriccioĚ n dependeraĚ de la ductilidad requerida en el elementos estructural de hormigoĚ n.

Para el caĚ lculo de fF ts y fF tu en primer lugar tendremos que obtener las tensiones fR1k y fR3k a partir de la ecuacioĚ n que aparece en la figura 1.24 utilizando las cargas F1 y F3 obtenidas de la curvas P-w para las aperturas de fisura CM OD1 y CM OD3 respectivamente. Una vez calculadas ambas tensiones, el CoĚ digo Modelo [16] establece las siguientes expresiones para calcular fF ts y fF tu :

fF tu = fF ts −

fF ts = 0.45 ¡ fR1k

(1.1)

Wu = min(2.5mm, lcs ¡ ξf u )

(1.2)

Wu ¡ (fF ts − 0.5 ¡ fR3k + 0.2 ¡ fR1k ) ≼ 0 CM OD3 (= 2.5mm)

(1.3)

Para la definicioĚ n de las leyes constitutivas Ďƒ - , es fundamental hacer distincioĚ n entre materiales que sufren ablandamiento y materiales que sufren endurecimiento.

Un material sufre endurecimiento cuando exhibe tal comportamiento hasta una deformacioĚ n uĚ ltima de f u = 1 %. En caso contrario, es considerado como ablandamiento.

Para materiales con endurecimiento la ley constitutiva Ďƒ - se define a partir de la identificacioĚ n del ancho de fisura y de la longitud caracterÄąĚ stica (lcs ) del elemento estructural.

Por tanto, la deformacioĚ n seraĚ evaluada como: =

w lcs

lcs = min(Srm , y)

(1.4)

(1.5)

21

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Donde ”y” es la distancia entre la fibra neutra y la zona de tracción de la sección transversal del elemento estructural y ”Srm ” es el espaciamiento medio de fisuras (ver figura 1.25).

Figura 1.25: Obtención del parámetro y para una sección con y sin armadura En lo que se refiere a los ensayos para la determinación de parámetros, además del test de flexión EN 14651:2005, se aceptan otros diferentes siempre y cuando se pruebe la correlación con los parámetros del test EN 14651:2005.

Clasificación del hormigón reforzado con fibras según el Código Modelo Para clasificar la resistencia residual post-fisuración del hormigón reforzado con fibras tanto el Código Modelo como próximamente el Eurocódigo 2, tendrán en cuenta una nomenclatura similar. Para ello, asumen un comportamiento elástico-lineal considerando los valores de la resistencia caracterı́stica residual post-fisuración a flexión para Estado Lı́mite de Servicio fR1k y Estado Lı́mite Último fR3k .

La nomenclatura constará de dos parámetros. El primero de ellos es un número que se corresponde con el valor de fR1k . Para ello, se establecen los siguientes intervalos: 1.0 , 1.5 , 2.0 , 2.5 , 3.0 , 4.0 , 5.0 , 6.0 , 7.0 , 8.0...[M P a] El segundo parámetro es una letra (a, b, c, d ó e). Esta letra será seleccionada según el ratio fR3k /fR1k . a 0.5 fR3k /fR1k ≺ 0.7 b 0.7 fR3k /fR1k ≺ 0.9 c 0.9 fR3k /fR1k ≺ 1.1 d 1.1 fR3k /fR1k ≺ 1.3 e 1.3 fR3k /fR1k

22

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Por ejemplo, un material denotado como ”3b”tiene un valor de resistencia residual post-fisuración en Estado Lı́mite de Servicio fR1k en el intervalo de 3 y 4 MPa y un ratio fR3k /fR1k entre 0.7 y 0.9.

Hay que tener en cuenta que los diseñadores tendrán que especificar el ratio fR3k /fR1k además del tipo de fibra a utilizar.

Por otro lado, las fibras pueden sustituir parcialmente el refuerzo convencional en Estado Lı́mite Último si se cumplen las siguientes relaciones: fR1k /fLk 0.4 fR3k /fR1k 0.5

Por último, el Código Modelo fib 2010 [16], incluye factores de seguridad parciales para materiales y para tener en cuenta el factor de orientación (K) de las fibras. Este factor será 1 en caso de que la distribución de las fibras sea isótropa y menos o mayor que 1 si se verifican efectos favorables o desfavorables sobre la estructura. Además es el primer código que sugiere la ejecución de ensayos especiales con el objetivo de determinar la orientación de las fibras debido al importante efecto de dicha orientación sobre el futuro comportamiento del elementos estructural.

Los anteriores modelos han sido propuestos por las diferentes normativas con el objetivo sentar las bases para el diseño de estructuras con hormigón con fibras. Sin embargo, también es dichas normativas se incluye la clasificación de las distintas fibras que pueden ser utilizadas ası́ como sus propiedades geométricas y mecánicas.

Capı́tulo 2

Modelo de cálculo 2.1.

Concepto

Una vez realizada una introducción a los conceptos básicos del hormigón reforzado con fibras ası́ como una revisión bibliográfica de los modelos constitutivos existentes para el diseño de elementos estructurales, el presente Trabajo Fin de Máster se centrará en la explicación del modelo de cálculo para HRF propuesto, haciendo mención a las hipótesis asumidas para su obtención ası́ como a las ecuaciones utilizadas para tal objetivo.

El modelo de cálculo tiene como objetivo el modelado de secciones rectangulares (losas y vigas) de hormigón reforzado con fibras con armadura pasiva. Sin embargo, también es un modelo aplicable a secciones rectangulares de hormigón con fibras sin armadura pasiva, secciones rectangulares de hormigón armado y secciones de hormigón en masa.

Esto se puede conseguir con pequeñas variaciones en el planteamiento de las ecuaciones y del modelo constitutivo asumido.

2.2.

Hipótesis asumidas

La obtención del comportamiento real de un elemento de HRF se presenta como una tarea altamente complicada debido a que requiere de herramientas y conocimientos muy avanzados. Es por ello, que el objetivo de este Trabajo Fin de Máster, es la obtención de una herramienta sencilla que estime el comportamiento. Para tal objetivo, hemos considerado una serie de hipótesis que nos permitirán obtener una aproximación. Las hipótesis se pueden dividir entre ecuaciones constitutivas de los materiales y ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones son las siguientes:

23

24

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

2.2.1.

Ecuaciones constitutivas de los materiales

Ecuación constitutiva del hormigón a compresión: Asumimos para el hormigón en compresión una ley elasto-plástica. Dicha ley está formada por una rama elástica ascendente y una rama plástica constante una vez que la tensión a compresión en el hormigón ha superado un cierto valor fc

Figura 2.1: Ley elasto-plástica del hormigón Ecuación constitutiva del hormigón a tracción: Modelo constitutivo σ ω con ablandamiento lineal : Ésta hipótesis tiene la ventaja de ser comúnmente considerada en normativas para el diseño tales como el Código Modelo [16].

(a) Hormigón en masa (HM)

(b) Hormigón con fibras (HRF)

Figura 2.2: Hipótesis de ablandamiento lineal [16] Donde fF ts y fF tu son las resistencias a tracción del hormigón reforzado con fibras consideradas por el Código Modelo [16] y fct es la resistencia a tracción del hormigón en masa.

A partir de las anteriores leyes de ablandamiento, se obtiene la longitud caracterı́stica `ch del hormigón y `ch,f r del hormigón con fibras. Éste parámetro nos describe la fragilidad del hormigón. Tiene dimensiones de longitud y está relacionado, junto con las condiciones de contorno y la carga, con la longitud de la zona de fractura. Valores pequeños de `ch o `ch,f r indican fragilidad del material. Cuanto mayor sea el valor de dicho parámetro más dúctil es el material [28]. `ch =

Ec Gf 2 fct

(2.1)

25

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

`ch,f r =

Ec Gf r − fF2 tu

fF2 ts

(2.2)

El valor de la longitud caracterı́stica en el caso del hormigón con fibras será considerablemente mayor que en el caso del hormigón. Esto es importante debido a que nos permite afirmar que el HRF es más dúctil que el hormigón en masa convencional. Por otro lado, hay que tener en cuenta que dicha longitud caracterı́stica está relacionada directamente con el número de fragilidad de Hillerborg βH en el caso del hormigón y βH,f r en el caso del hormigón con fibras. βH =

βH,f r =

h `ch

(2.3)

h `ch,f r

(2.4)

A partir de las anteriores ecuaciones, deducimos que: βH βH,f r

(2.5)

Esta relación es importante, ya que las ecuaciones dependen directamente de esta variable.

Ecuación constitutiva del acero: De la misma forma que en el caso del hormigón, asumimos una ley elasto-plástica para el acero.

Figura 2.3: Ley elasto-plástica del acero

2.2.2.

Ecuaciones de compatibilidad

Fisura plana: Esta hipótesis asume que durante el proceso de propagación de la fisura, las caras de la fisura en todo momento se mantienen planas. Esta hipótesis fue utilizada por primera vez por G. Ruiz y J. R. Carmona en sus artı́culos “Modelo Analı́tico para el análisis de la flexión y la fisuración en secciones de HA como alternativa al diagrama de pivotes” y “Bond and size effects on the shear capacity of RC beams without stirrups” [19, 20] para conocer la tensión de la armadura pasiva situada a una profundidad (recubrimiento) igual a c. Nosotros además de utilizar

26

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO la expresión resultante para la tensión de la armadura pasiva, vamos a utilizar esta misma hipótesis extendiéndola a toda la zona de ablandamiento.

Figura 2.4: Hipótesis de fisura plana [19, 20] A partir de la figura 2.17, G. Ruiz y J. R. Carmona [20] establecı́an la siguiente ecuación: Wc = ∆Ls (2.6) 2 Esta ecuación permite compatibilizar el alargamiento de la armadura en la fisura con la apertura de la misma. De esta forma, el incremente de longitud de la barra de acero (∆Ls ) es igual a la mitad de la apertura de fisura (Wc ) en ese punto.

Si la ecuación anteriormente descrita la adimensionalizamos obtendremos la siguiente expresión: Wc ∆Ls W∗ = ⇒ c = ∆L∗s 2h h 2

(2.7)

El término correspondiente a la apertura de la fisura (Wc ) puede ser expresado a partir de la expresión definida por Tada [29]: Wc∗ fct = 12Mt∗ ξf (ξ) 2 Ec

|

ζ 1− ξ {z

f isuraplana

(2.8) }

Donde f (ξ) es igual a: f (ξ) = 0.76 − 2.28ξ + 3.87ξ 2 − 2.04ξ 3 +

0.66 (1 − ξ)2

(2.9)

El incremento de longitud de la barra es evaluado mediante la expresión: ∆L∗s =

2A ∆Ls σs2 As fct s = = (σs∗ )2 h 2τc Es pe h 2τc Es pe h

(2.10)

27

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO donde τc es la tensión rasante entre el acero y el hormigón y pe es la suma del perı́metro de las barras. Sustituyendo las ecuaciones 2.8 y 2.10 en la ecuación 2.7, la tensión en forma adimensional en las barras de acero se puede expresar como: (σs∗ )2

=

24Mt∗ η 2 βH ξf (ξ)

ζ 1− ξ

(2.11)

Donde σs∗ es la tensión adimensional de las barras de acero, Mt∗ es el momento adimensional, ξ es la profundidad de fisura adimensional, ζ es el recubrimiento adimensional de las barras de acero y η es un parámetro relacionado con la adherencia [30], definidor por: s η=

nE

τc pe lch fct As

(2.12)

Hipótesis de Navier: Asumimos la hipótesis de Navier en la zona no fisurada de la sección transversal.

Figura 2.5: Hipótesis en zona fisurada y no fisurada [20]

2.3.

Esquema de cálculo

El modelado consiste en el estudio de una sección rectangular (losa y viga) durante el proceso de fisuración. Con el objetivo de que el modelo reproduzca cualquier situación que pueda ocurrir durante la fisuración, se han tenido en cuenta 12 casos (situaciones) diferentes las cuales tendrán diferentes ecuaciones tal y como se observará posteriormente.

Cada caso será nombrado por tres caracteres, dos numéricos y uno alfabético (Ej. Caso 1B2).

PRIMER NÚMERO: Puede tomar los valores 1 o 2. El caso en cuestión tendrá el valor 1 si la sección de hormigón aún tiene tensión en la fibra inferior es mayor que el valor de fF tu , momento en el cual la fibra inferior pasará a tener una tensión nula y por tanto, el caso pasará a tener valor 2.

LETRA: El caso podrá tener dos letras, A ó B. En caso de tener la letra A, significará que la sección de hormigón no ha plastificado en su fibra superior, es decir, que la tensión en la fibra superior no ha superado la resistencia a compresión del hormigón.

En el caso de que la letra sea B, el hormigón habrá plastificado por compresión.

28

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO SEGUNDO NÚMERO: Puede tomar el valor 0, 1 ó 2. El valor 0 se utilizará en aquellos casos en los que la armadura no esté aun trabajando. El número 1 se utilizará en aquellos casos en los que la armadura esté trabajando, pero aún no haya llegado a su lı́mite elástico. Por el contrario, si el número es el 2, eso significará que la armadura ya ha plastificado.

CASO 1A0: Fase de la propagación de la fisura en la cual la profundidad de fisura es menor que el recubrimiento de la armadura pasiva de la sección de hormigón y por tanto, la tensión en la armadura aún es nula. Además, la sección no ha plastificado en la zona comprimida (No se alcanza la resistencia a compresión del hormigón) y la tensión en la fibra inferior aún es mayor que la resistencia última a tracción (fF tu ).

CASO 1B0: Fase de la propagación de la fisura en la cual la sección ha plastificado en la zona comprimida (Se alcanza la resistencia a compresión del hormigón) y la tensión en la fibra inferior aún es mayor que la resistencia última a tracción (fF tu ).

CASO 2A0: Fase de la propagación de la fisura en la cual la sección no ha plastificado en la zona comprimida (No se alcanza la resistencia a compresión del hormigón).

Sin embargo, la tensión en la fibra inferior es 0. En esta situación empieza a aparecer un tramo de fisura en la cual la tensión residual es 0.

CASO 2B0: Fase de la propagación de la fisura en la cual la sección ha plastificado en la zona comprimida (Se alcanza la resistencia a compresión del hormigón) y la tensión en la fibra inferior es 0. En esta situación empieza a aparecer un tramo de fisura en la cual la tensión residual es 0.

CASO 1A1: Fase de la propagación de la fisura en la cual la profundidad de fisura ha superado el recubrimiento de la armadura pasiva de la sección de hormigón y por tanto, la armadura pasiva ha comenzado a trabajar siendo la tensión mayor que 0.

De la misma manera que en el caso anterior, en esta nueva situación, la sección no

29

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO ha plastificado en la zona comprimida (No se alcanza la resistencia a compresión del hormigón) y la tensión en la fibra inferior aún es mayor que la resistencia última a tracción (fF tu ).

CASO 1A2: Fase de la propagación de la fisura en la cual la armadura pasiva ha llegado a su lı́mite elástico (fy ) y, por tanto, ha plastificado. De la misma manera que en el caso anterior, en esta nueva situación, la sección no ha plastificado en la zona comprimida (No se alcanza la resistencia a compresión del hormigón) y la tensión en la fibra inferior aún es mayor que la resistencia última a tracción (fF tu ).

CASO 1B1: Fase de la propagación de la fisura en la cual la profundidad de fisura ha superado el recubrimiento de la armadura pasiva de la sección de hormigón y por tanto, la armadura pasiva ha comenzado a trabajar siendo la tensión mayor que 0. En esta nueva situación, la sección ha plastificado en la zona comprimida (Se alcanza la resistencia a compresión del hormigón) y la tensión en la fibra inferior aún es mayor que la resistencia última a tracción (fF tu ).

CASO 1B2: Fase de la propagación de la fisura en la cual la armadura pasiva ha llegado a su lı́mite elástico (fy ) y, por tanto, ha plastificado. En esta situación, la sección también ha plastificado en la zona comprimida (Se alcanza la resistencia a compresión del hormigón) y la tensión en la fibra inferior aún es mayor que la resistencia última a tracción (fF tu ).

CASO 2A1: Fase de la propagación de la fisura en la cual la profundidad de fisura ha superado el recubrimiento de la armadura pasiva de la sección de hormigón y por tanto, la armadura pasiva ha comenzado a trabajar siendo la tensión mayor que 0.

En esta situación, la sección no ha plastificado en la zona comprimida (No se alcanza la resistencia a compresión del hormigón). Sin embargo, la tensión en la fibra inferior es 0. En esta situación empieza a aparecer un tramo de fisura en la cual la tensión residual es 0.

CASO 2A2: Fase de la propagación de la fisura en la cual la armadura pasiva ha llegado a su lı́mite elástico (fy ) y, por tanto, ha plastificado. En esta situación, la sección no ha plastificado en la zona comprimida (No se alcanza la resistencia a compresión del hormigón). Sin embargo, la tensión en la fibra inferior es 0. En esta situación empieza a aparecer un tramo de fisura en la cual la tensión residual es 0.

CASO 2B1: Fase de la propagación de la fisura en la cual la profundidad de fisura ha superado el recubrimiento de la armadura pasiva de la sección de hormigón y por tanto, la armadura pasiva ha comenzado a trabajar siendo la tensión mayor que 0.

En esta situación, la sección ha plastificado en la zona comprimida (Se alcanza la resistencia a compresión del hormigón) y la tensión en la fibra inferior es 0. En esta situación empieza a aparecer un tramo de fisura en la cual la tensión residual es 0.

CASO 2B2: Fase de la propagación de la fisura en la cual la armadura pasiva ha llegado a su lı́mite elástico (fy ) y, por tanto, ha plastificado. En esta situación, la sección ha plastificado en la zona comprimida (Se alcanza la resistencia a compresión del hormigón) y la tensión en la fibra inferior es 0. En esta situación empieza a aparecer un tramo de fisura en la cual la tensión residual es 0.

30

2.4.

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Introducción de datos

Para realizar el cálculo del comportamiento de la sección rectangular de HRF considerada, será necesario conocer los siguientes datos obtenidos algunos de ellos de manera experimental: Dimensiones de la sección • Canto de la sección (H): Canto en mm de la sección considerada.

• Ancho de la sección (B): Ancho en mm de la sección considerada.

• Longitud de la sección (L): Longitud en mm de la sección considerada.

Figura 2.6: Dimensiones de la viga

Caracterı́sticas del hormigón reforzado con fibras • fF ts : Representa la resistencia residual post-fisuración, en MPa, para aperturas de fisura en estado lı́mite de servicio obtenida a partir del valor fR1k .

• fF tu : Representa la resistencia residual última, en MPa, asociada con la apertura de fisura en estado lı́mite último wu , la cual es la máxima apertura permitida en diseño estructural. Se obtiene a partir de la formulación recogida en el Código Modelo [16] que relaciona este valor con los valores fR1k y fR3k .

Los valores de fR1k y fR3k son obtenidos a partir de un ensayo a flexión de una probeta de hormigón con fibras tal y como se explica en el apartado 1.3.1 • fc : Representa la resistencia a compresión, en MPa, del elemento de HRF considerado. Es un valor que tendrán que proporcionarnos a partir de ensayos a compresión llevados a cabo.

• Ec : Es el módulo elástico, en MPa, de la sección de HRF considerada, obtenido a partir del ensayo de probetas con este material.

• Wu : Apertura de fisura última, en mm, para la sección de HRF a partir de la cual el elemento colapsará.

31

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO Caracterı́sticas de la armadura • Número de barras de acero.

• Diámetro: Diámetro de las barras incluidas en mm.

• Recubrimiento: Recubrimiento de las barras en mm.

• Lı́mite elástico: Lı́mite elástico de las barras de acero en MPa. • Módulo elástico: Módulo elástico de las barras de acero en MPa.

2.5.

Planteamiento de ecuaciones

Tal y como se ha explicado al inicio del capı́tulo 2, el presente modelo realizará una estimación del comportamiento del HRF frente a esfuerzos de flexión durante el proceso de propagación de las fisuras. Para ello, tal y como se han descrito en el apartado apartado 1 del presente capı́tulo se utilizarán 12 casos diferentes ( 9 en el caso de HRF con armadura pasiva) que cubren todas las posibilidades que se pueden dar durante dicho proceso.

2.5.1.

Incógnitas

Cada caso estará formado por un total de 7 ecuaciones con 7 incógnitas. Estas incógnitas son:

σT :

Representa la tensión en la fibra superior de la sección de HRF.

γn :

Altura de la fibra neutra desde la fibra inferior de la sección de HRF.

σb :

Representa la tensión en la fibra inferior de la sección de HRF.

M

: Momento que resiste la sección de HRF.

α:

Profundidad de sección de HRF medida desde la fibra superior plastificada por compresión.

Z0 :

Profundidad de sección de HRF medida desde la fibra inferior en la cual la resistencia residual es 0.

σs : 2.5.2.

Tensión de la armadura pasiva colocada en la sección de HRF.

Adimensionalización de variables

Con el objetivo de simplificar las ecuaciones obtenidas a la hora de trabajar con ellas, hemos realizado una adimensionalización de variables de la siguiente manera: σT∗ =

σT fF ts

(2.13)

σb∗ =

σb fF ts

(2.14)

fF tu fF ts

(2.15)

∗ fR1 =

32

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

ζ=

γn =

Yn h

(2.16)

ξ=

z h

(2.17)

ξ0 =

z0 h

(2.18)

c(Recubrimiento) h

(2.19)

M bh2 fF ts

(2.20)

W Wu

(2.21)

α h

(2.22)

fy∗ =

fy fF ts

(2.23)

f∗ =

fcm fts

(2.24)

M∗ =

W∗ = α∗ =

2.5.3.

Sistemas de ecuaciones

Tal y como explicamos anteriormente, el modelo para HRF armado consta de 9 casos con sistemas diferentes formados por 7 ecuaciones. Cada caso se dará siempre y cuando se cumplan varios condicionantes que se detallarán a continuación. ∗ CASO 1A0 (σb∗ ≥ fR1 , σT∗ ≤ f ∗ , ξ < ζ , σS∗ = 0)

Figura 2.7: Caso 1A0

33

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Esta es la situación inicial y, por tanto, será el sistema de ecuaciones por el que siempre empezará a calcular nuestro modelo. Tal y como puede verse en la figura 2.7 este caso será valido hasta el momento en el que la fisura, aún muy pequeña, alcance la profundidad del recubrimiento de la armadura, momento en el que la armadura comenzará a trabajar.

Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

Dimensional⇒

X

FH

σT fF ts =0⇒ (H − Yn )B = (Yn − z)B + 2 2

X

Adimensional⇒

FH = 0 ⇒ σT∗ =

fF ts + σb 2

γn + σb∗ ξ 1 − γn

zB

(2.25)

(2.26)

Ecuación 2. Ecuación de compatibilidad en zona no fisurada (Hipótesis de Navier)

Dimensional⇒

εT εc = H − Yn Yn − z

Adimensional⇒

γn =

(2.27)

1 + σT∗ ξ 1 + σT∗

(2.28)

Ecuación 3. Ecuación de compatibilidad de fisura plana Esta ecuación establece la compatibilidad entre la formulación propuesta por Tada [29] y la obtenida a partir del modelo cohesivo utilizado.

Dimensional⇒

24M fF ts z zf = Wu BH 2 Ec H

fF ts − σb fF ts − fF tu

σb∗ = 1 − M ∗ βH,f r ξf3 (ξ)

Adimensional⇒

(2.29)

(2.30)

donde: f3 (ξ) = 12f (ξ)

βH,f r =

h `ch,f r

(2.31)

(2.32)

34

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuación 4. Sumatorio de momentos en la fibra neutra

Dimensional⇒

Adimensional⇒

1 1 σT (1 − Yn )2 B + fF ts (Yn − z)2 B + 3 3

1 1 fF ts + σb 3 fF ts + 6 σb + z Yn − z 1 2 2 (fF ts + σb )

M=

1 ∗ 1 σ (1 − γn )2 + (γn − ξ)2 + 3 T 3

1 + σb∗ 2 + σb∗ + ξ γn − ξ 2 3(1 + σb∗ )

(2.33)

M∗ =

(2.34)

Ecuación 5. Ecuación de compatibilidad para el cálculo de la tensión en el acero En este caso, debido a que la armadura aún no ha comenzado a trabajar, el valor será nulo. σS∗ = 0

(2.35)

Ecuaciones adicionales Debido al hecho de que la sección rectangular de HRF aún no ha plastificado en la zona de compresión ni su fisura se ha propagado tanto como para que la resistencia residual en la fibra inferior sea nula, tenemos en cuenta dos nuevas ecuaciones. α=0

(2.36)

ξ0 = 0

(2.37)

35

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

∗ , σT∗ ≤ f ∗ , ξ ≥ ζ , 0 ≤ σS∗ ≤ fy∗ ) CASO 1A1 (σb∗ ≥ fR1

Figura 2.8: Caso 1A1 Esta es la segunda situación que siempre tendrá en cuenta el modelo durante su proceso de cálculo. Se da cuando la profundidad de la fisura ha alcanzado el recubrimiento de la armadura y ésta comienza a trabajar. En esta situación, el hormigón aún no ha plastificado por compresión (σT∗ < f ∗ ) y la resistencia residual en la fibra inferior es mayor que la ∗ ) resistencia última de la sección ((σb∗ < fR1 Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

Dimensional⇒

X

FH = 0 ⇒

Dimensional⇒

X

σT fF ts (H − Yn )B = (Yn − z)B + 2 2

fF ts + σb zB + σS AS + 2

FH = 0 ⇒ σT∗ =

γn + σb∗ ξ + 2σs∗ ρ 1 − γn

(2.38)

(2.39)

donde: ρ es la cuantı́a de armadura en la sección de HRF. Ecuación 2. Ecuación de compatibilidad en zona no fisurada (Hipótesis de Navier) Dimensional⇒

εc εT = H − Yn Yn − z

(2.40)

36

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Adimensional⇒

γn =

1 + σT∗ ξ 1 + σT∗

(2.41)

Ecuación 3. Ecuación de compatibilidad para la apertura de fisura Esta ecuación establece la compatibilidad entre la formulación propuesta por Tada [29] y la obtenida a partir del modelo cohesivo utilizado.

24M fF ts z = Wu zf BH 2 Ec H

Dimensional⇒

fF ts − σb fF ts − fF tu

σb∗ = 1 − M ∗ βH,f r ξf3 (ξ)

Adimensional⇒

(2.42)

(2.43)

donde: f3 (ξ) = 12f (ξ)

(2.44)

h `ch,f r

(2.45)

βH,f r =

Ecuación 4. Sumatorio de momentos en la fibra neutra

1 1 σT (1 − Yn )2 B + fF ts (Yn − z)2 B + 3 3

1 1 fF ts + σb 3 fF ts + 6 σb + z Yn − z 1 + σS AS (Yn − c) 2 2 (fF ts + σb )

Dimensional⇒

M=

1 ∗ 1 σ (1 − γn )2 + (γn − ξ)2 + 3 T 3

1 + σb∗ 2 + σb∗ + ξ γn − ξ + σS∗ ρ(γn − ζ) 2 3(1 + σb∗ )

(2.46)

M∗ =

Adimensional⇒

(2.47)

Ecuación 5. Ecuación de compatibilidad para el cálculo de la tensión en el acero

2 (σS∗ )

=

2Mt∗ η 2 βH ξf3 (ξ)

ζ 1− ξ

(2.48)

37

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuaciones adicionales Debido al hecho de que la sección rectangular de HRF aún no ha plastificado en la zona de compresión ni su fisura se ha propagado tanto como para que la resistencia residual en la fibra inferior sea nula, tenemos en cuenta dos nuevas ecuaciones. α∗ = 0

(2.49)

ξ0 = 0

(2.50)

∗ , σT∗ ≤ f ∗ , ξ ≥ ζ , σS∗ = fy∗ ) CASO 1A2 (σb∗ ≥ fR1

Figura 2.9: Caso 1A2 Esta situación ocurre cuando la armadura pasiva plastifica (σS∗ ≥ fy∗ ) antes de que plastifique el hormigón por compresión y de que la resistencia residual en la fibra inferior sea menor que la resistencia última.

Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

Dimensional⇒

X

FH = 0 ⇒

Dimensional⇒

X

σT fF ts (H − Yn )B = (Yn − z)B + 2 2

fF ts + σb + zB + fy AS 2

FH = 0 ⇒ σT∗ =

γn + σb∗ ξ + 2fy∗ ρ 1 − γn

(2.51)

(2.52)

38

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

donde: ρ es la cuantı́a de armadura en la sección de HRF.

Ecuación 2. Ecuación de compatibilidad en zona no fisurada (Hipótesis de Navier)

Dimensional⇒

εT εc = H − Yn Yn − z

Adimensional⇒

γn =

(2.53)

1 + σT∗ ξ 1 + σT∗

(2.54)

Ecuación 3. Ecuación de compatibilidad para la apertura de fisura Esta ecuación establece la compatibilidad entre la formulación propuesta por Tada [29] y la obtenida a partir del modelo cohesivo utilizado.

24M fF ts z = Wu zf BH 2 Ec H

Dimensional⇒

fF ts − σb fF ts − fF tu

σb∗ = 1 − M ∗ βH,f r ξf3 (ξ)

Adimensional⇒

(2.55)

(2.56)

donde: f3 (ξ) = 12f (ξ)

βH,f r =

h `ch,f r

(2.57)

(2.58)

Ecuación 4. Sumatorio de momentos en la fibra neutra

1 1 σT (1 − Yn )2 B + fF ts (Yn − z)2 B + 3 3

1 fF ts + 16 σb fF ts + σb z Yn − z 13 + fy AS (Yn − c) + 2 2 (fF ts + σb )

Dimensional⇒

M=

(2.59)

39

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO 1 ∗ 1 σ (1 − γn )2 + (γn − ξ)2 + 3 T 3

2 + σb∗ 1 + σb∗ ξ γn − ξ + fy∗ ρ(γn − ζ) + 2 3(1 + σb∗ )

Adimensional⇒

M∗ =

(2.60)

Ecuación 5. Ecuación de compatibilidad para el cálculo de la tensión en el acero En este caso, el acero ya ha alcanzado su lı́mite elástico y, por tanto, ha plastificado. σS∗ = fy∗

(2.61)

Ecuaciones adicionales Debido al hecho de que la sección rectangular de HRF aún no ha plastificado en la zona de compresión ni su fisura se ha propagado tanto como para que la resistencia residual en la fibra inferior sea nula, tenemos en cuenta dos nuevas ecuaciones. α∗ = 0

(2.62)

ξ0 = 0

(2.63)

∗ , σT∗ = f ∗ , ξ ≥ ζ , σS∗ < fy∗ ) CASO 1B1 (σb∗ ≥ fR1

Figura 2.10: Caso 1B1 Esta situación ocurre cuando el hormigón plastifica por compresión (σT∗ ≥ f ∗ ) antes de que plastifique la armadura pasiva y de que la resistencia residual en la fibra inferior de la sección sea inferior que la resistencia última.

40

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

1 1 fc αB + fc (H − α − Yn )B = fF ts (Yn − z)B + 2 2

fF ts + σb + zB + σS AS 2

Dimensional⇒

Adimensional⇒

∗

α =

γn − ξ f∗

+

1 + σb∗ f∗

ξ − 1 + γn +

2σS∗ ρ f∗

(2.64)

(2.65)

Ecuación 2. Ecuación de compatibilidad en zona no fisurada (Hipótesis de Navier)

Dimensional⇒

Adimensional⇒

εcty εc = Yn − z H − Yn − α

γn =

(2.66)

1 + ξf ∗ − α∗ 1 + f∗

(2.67)

Ecuación 3. Ecuación de compatibilidad para la apertura de fisura Esta ecuación establece la compatibilidad entre la formulación propuesta por Tada [29] y la obtenida a partir del modelo cohesivo utilizado.

Dimensional⇒

24M fF ts z zf = Wu BH 2 Ec H

fF ts − σb fF ts − fF tu

σb∗ = 1 − M ∗ βH,f r ξf3 (ξ)

Adimensional⇒

(2.68)

(2.69)

donde: f3 (ξ) = 12f (ξ)

βH,f r =

h `ch,f r

(2.70)

(2.71)

41

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuación 4. Sumatorio de momentos en la fibra neutra

α 1 M = fc αB H − Yn − + fc (H − Yn − α)2 + 2 3

1 1 1 + σb∗ 1 2 3 fF ts + 6 σb ξ Yn − z 1 + σS AS (Yn − c) + (γn − ξ) + 3 2 2 (fF ts + σb )

Dimensional⇒

α∗ 1 M ∗ = f ∗ α ∗ 1 − γn − + f ∗ (1 − γn − α∗ )2 + 2 3

fF ts + σb 2 + σb∗ 1 z Yn − z + σS∗ ρ(γn − ζ) + fF ts B(Yn − z)2 + 3 2 3(1 + σb∗ )

(2.72)

Adimensional⇒

(2.73)

Ecuación 5. Ecuación de compatibilidad para el cálculo de la tensión en el acero

ζ 2 (σS∗ ) = 2Mt∗ η 2 βH ξf3 (ξ) 1 − ξ

(2.74)

Ecuaciones adicionales

Debido al hecho de que la sección rectangular de HRF ha plastificado en la zona de compresión y su fisura no se ha propagado tanto como para que la resistencia residual en la fibra inferior sea nula, tenemos en cuenta dos nuevas ecuaciones. σT∗ = f ∗

(2.75)

ξ0 = 0

(2.76)

42

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

∗ , σT∗ = f ∗ , ξ ≥ ζ , σS∗ = fy∗ ) CASO 1B2 (σb∗ ≥ fR1

Figura 2.11: Caso 1B2 Esta situación ocurre cuando una vez plastificado el hormigón (σT∗ ≥ f ∗ ), plastifica el acero (σS∗ ≥ fy∗ ) siendo aún la resistencia residual de la sección en la fibra inferior mayor que la resistencia última.

Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

1 1 fc αB + fc (H − α − Yn )B = fF ts (Yn − z)B + 2 2

fF ts + σb + zB + fy AS 2

Dimensional⇒

Adimensional⇒

α∗ =

γn − ξ f∗

+

1 + σb∗ f∗

ξ − 1 + γn +

2fy∗ ρ f∗

(2.77)

(2.78)

Ecuación 2. Ecuación de compatibilidad en zona no fisurada (Hipótesis de Navier)

Dimensional⇒

Adimensional⇒

εcty εc = Yn − z H − Yn − α

γn =

1 + ξf ∗ − α∗ 1 + f∗

(2.79)

(2.80)

43

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuación 3. Ecuación de compatibilidad para la apertura de fisura Esta ecuación establece la compatibilidad entre la formulación propuesta por Tada [29] y la obtenida a partir del modelo cohesivo utilizado.

Dimensional⇒

24M fF ts z = Wu zf BH 2 Ec H

fF ts − σb fF ts − fF tu

σb∗ = 1 − M ∗ βH,f r ξf3 (ξ)

Adimensional⇒

(2.81)

(2.82)

donde: f3 (ξ) = 12f (ξ)

(2.83)

h `ch,f r

(2.84)

βH,f r =

Ecuación 4. Sumatorio de momentos en la fibra neutra

α 1 M = fc αB H − Yn − + fc (H − Yn − α)2 + 2 3

1 fF ts + 16 σb 1 + σb∗ 1 ξ Yn − z 13 + (γn − ξ)2 + + fy AS (Yn − c) 3 2 2 (fF ts + σb )

Dimensional⇒

α∗ 1 M ∗ = f ∗ α ∗ 1 − γn − + f ∗ (1 − γn − α∗ )2 + 2 3

1 fF ts + σb 2 + σb∗ + fF ts B(Yn − z)2 + z Yn − z + fy∗ ρ(γn − ζ) 3 2 3(1 + σb∗ )

(2.85)

Adimensional⇒

(2.86)

Ecuación 5. Ecuación de compatibilidad para el cálculo de la tensión en el acero En este caso, el acero ya ha alcanzado su lı́mite elástico y, por tanto, ha plastificado. σS∗ = fy∗

(2.87)

44

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuaciones adicionales Debido al hecho de que la sección rectangular de HRF ha plastificado en la zona de compresión y su fisura no se ha propagado tanto como para que la resistencia residual en la fibra inferior sea nula, tenemos en cuenta dos nuevas ecuaciones. σT∗ = f ∗

(2.88)

ξ0 = 0

(2.89)

∗ CASO 2A1 (σb∗ = fR1 , σT∗ < f ∗ , ξ ≥ ζ , σS∗ < fy∗ )

Figura 2.12: Caso 2A1 Esta situación ocurre cuando la resistencia de la sección en la fibra inferior se hace ∗ ) sin haber plastificado ni el hormigón por menor que la resistencia última (σb∗ ≤ fR1 compresión ni la armadura pasiva. En esta situación, debido a la pérdida de la resistencia en la fibra inferior, existirá una profundidad marcada por ξ0 en la cual la sección no aporta resistencia.

Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

Adimensional⇒

1 1 σT (H − Yn )B = fF ts (Yn − z)B + 2 2

fF ts + fF tu + (z − z0 )B + σS AS 2

(2.90)

45

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

σT∗ =

Adimensional⇒

∗ γn − ξ0 + fR1 (ξ − ξ0 ) + 2σS∗ ρ 1 − γn

(2.91)

Ecuación 2. Ecuación de compatibilidad en zona no fisurada (Hipótesis de Navier) Dimensional⇒

εT εc = H − Yn Yn − z

Adimensional⇒

γn =

(2.92)

1 + σT∗ ξ 1 + σT∗

(2.93)

Ecuación 3. Ecuación de compatibilidad para la apertura de fisura en z0 Esta ecuación establece la compatibilidad entre la formulación propuesta por Tada [29] y la obtenida a partir del modelo cohesivo utilizado.

24M fF ts z z0 1 − = Wu zf BH 2 Ec H z

Dimensional⇒

Adimensional⇒

ξ0 = ξ −

fF ts − σb fF ts − fF tu

∗ 1 − fR1 βH,f r M ∗ f3 (ξ)

(2.94)

(2.95)

donde: f3 (ξ) = 12f (ξ) βH,f r =

h `ch,f r

(2.96) (2.97)

Ecuación 4. Sumatorio de momentos en la fibra neutra

Dimensional⇒

M=

1 1 σT (H − Yn )2 + fF ts (Yn − z)2 + fF tu (z − z0 ) · 3 3

1 1 1 ·(Yn − z + (z − z0 ) + (fF ts − fF tu )(z − z0 )(Yn − z + (z − z0 ) + σS AS (Yn − c) 2 2 3 Adimensional⇒

1 ∗ 1 1 ∗ σ (1 − γn )2 + (γn − ξ)2 + (1 + fR1 )(ξ − ξ0 ) · 3 T 3 2

∗ 2 + fR1 · γn − ξ0 + (ξ − ξ0 ) + σS∗ ρ(γn − ζ) ∗ 3(1 + fR1

(2.98)

M∗ =

(2.99)

46

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuación 5. Ecuación de compatibilidad para el cálculo de la tensión en el acero

ζ 2 (σS∗ ) = 2Mt∗ η 2 βH ξf3 (ξ) 1 − ξ

(2.100)

Ecuaciones adicionales Debido al hecho de que la sección rectangular de HRF no ha plastificado en la zona de compresión y la resistencia residual en la fibra inferior es nula, tenemos en cuenta dos nuevas ecuaciones. σb∗ = 0

(2.101)

α∗ = 0

(2.102)

∗ , σT∗ < f ∗ , ξ ≥ ζ , σS∗ = fy∗ ) CASO 2A2 (σb∗ = fR1

Figura 2.13: Caso 2A2 Esta situación ocurre cuando plastifica la armadura pasiva (σS∗ ≥ fy∗ ) una vez que la sección ya ha perdido su resistencia residual en la fibra inferior (consecuencia de la propagación de la fisura)

47

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

1 1 σT (H − Yn )B = fF ts (Yn − z)B + 2 2

fF ts + fF tu + (z − z0 )B + fy AS 2

Adimensional⇒

σT∗ =

Adimensional⇒

(2.103)

∗ γn − ξ0 + fR1 (ξ − ξ0 ) + 2fy∗ ρ 1 − γn

(2.104)

Ecuación 2. Ecuación de compatibilidad en zona no fisurada (Hipótesis de Navier)

Dimensional⇒

Adimensional⇒

εT εc = H − Yn Yn − z

γn =

(2.105)

1 + σT∗ ξ 1 + σT∗

(2.106)

Ecuación 3. Ecuación de compatibilidad para la apertura de fisura Esta ecuación establece la compatibilidad entre la formulación propuesta por Tada [29] y la obtenida a partir del modelo cohesivo utilizado.

Dimensional⇒

24M fF ts z z0 zf 1 − = Wu BH 2 Ec H z

Adimensional⇒

ξ0 = ξ −

fF ts − σb fF ts − fF tu

∗ 1 − fR1 βH,f r M ∗ f3 (ξ)

(2.107)

(2.108)

donde: f3 (ξ) = 12f (ξ)

(2.109)

h `ch,f r

(2.110)

βH,f r =

48

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuación 4. Sumatorio de momentos en la fibra neutra

Dimensional⇒

M=

1 1 σT (H − Yn )2 + fF ts (Yn − z)2 + fF tu (z − z0 ) · 3 3

1 1 1 ·(Yn − z + (z − z0 ) + (fF ts − fF tu )(z − z0 )(Yn − z + (z − z0 ) + fy AS (Yn − c) 2 2 3

Adimensional⇒

1 ∗ 1 1 ∗ σ (1 − γn )2 + (γn − ξ)2 + (1 + fR1 )(ξ − ξ0 ) · 3 T 3 2

∗ 2 + fR1 + fy∗ ρ(γn − ζ) · γn − ξ0 + (ξ − ξ0 ) ∗ 3(1 + fR1

(2.111)

M∗ =

(2.112)

Ecuación 5. Ecuación de compatibilidad para el cálculo de la tensión en el acero

En este caso, el acero ya ha alcanzado su lı́mite elástico y, por tanto, ha plastificado. σS∗ = fy∗

(2.113)

Ecuaciones adicionales

Debido al hecho de que la sección rectangular de HRF no ha plastificado en la zona de compresión y la resistencia residual en la fibra inferior es nula, tenemos en cuenta dos nuevas ecuaciones. σb∗ = 0

(2.114)

α∗ = 0

(2.115)

49

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

∗ , σT∗ = f ∗ , ξ ≥ ζ , σS∗ < fy∗ ) CASO 2B1 (σb∗ = fR1

Figura 2.14: Caso 2B1 Esta situación ocurre cuando ha plastificado el hormigón por compresión (σT∗ ≥ f ∗ ) y la sección ha agotado su resistencia residual en la fibra inferior.

Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

Dimensional⇒

Adimensional⇒

fc αB +

α∗ =

fc fF ts (H − Yn − α)B = B(Yn − z) + 2 2

fF ts − fF tu + (z − z0 )B + σS AS 2

γn − ξ f∗

+

∗ 1 − fR1 ∗ f

(ξ − ξ0 ) − 1 + γn +

2σS∗ ρ f∗

(2.116)

(2.117)

Ecuación 2. Ecuación de compatibilidad en zona no fisurada (Hipótesis de Navier)

Dimensional⇒

Adimensional⇒

εcty εc = Yn − z H − Yn − α

γn =

1 + ξf ∗ − α∗ 1 + f∗

Ecuación 3. Ecuación de compatibilidad para la apertura de fisura

(2.118)

(2.119)

50

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Esta ecuación establece la compatibilidad entre la formulación propuesta por Tada [29] y la obtenida a partir del modelo cohesivo utilizado.

24M fF ts z z0 1− = Wu zf 2 BH Ec H z

Dimensional⇒

ξ0 = ξ −

Adimensional⇒

fF ts − σb fF ts − fF tu

∗ 1 − fR1 βH,f r M ∗ f3 (ξ)

(2.120)

(2.121)

donde: f3 (ξ) = 12f (ξ)

βH,f r =

h `ch,f r

(2.122)

(2.123)

Ecuación 4. Sumatorio de momentos en la fibra neutra

Dimensional⇒

M = fc α(H − Yn −

α 1 1 ) + fc (H − Yn − α)2 + fF ts (Yn − z)2 + 2 3 3

1 1 +fF tu (z − z0 )(Yn − z + (z − z0 ) + (fF ts − fF tu )(z − z0 ) · 2 2 1 ·(Yn − z + (z − z0 ) + σS AS (Yn − c) (2.124) 3

α∗ 1 1 Adimensional⇒ M = f 1 − γn − + f ∗ (1 − γn − α∗ )2 + (γn − ξ)2 + 2 3 3

∗ 2 + fR1 1 ∗ + σS∗ ρ(γn − ζ) (2.125) + (1 + fR1 )(ξ − ξ0 ) γn − ξ0 + (ξ − ξ0 ) ∗ 2 3(1 + fR1 ∗

∗

Ecuación 5. Ecuación de compatibilidad para el cálculo de la tensión en el acero

ζ 2 (σS∗ ) = 2Mt∗ η 2 βH ξf3 (ξ) 1 − ξ

(2.126)

51

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuaciones adicionales Debido al hecho de que la sección rectangular de HRF ha plastificado en la zona de compresión y la resistencia residual en la fibra inferior es nula, tenemos en cuenta dos nuevas ecuaciones. σb∗ = 0

(2.127)

σT∗ = f ∗

(2.128)

∗ , σT∗ = f ∗ , ξ ≥ ζ , σS∗ = fy∗ ) CASO 2B2 (σb∗ = fR1

Figura 2.15: Caso 2B2 Esta es la última situación que se da en el proceso de cálculo. Es el momento en el que la armadura pasiva ya ha plastificado (σS∗ ≥ fy∗ ), el hormigón ha plastificado en la fibra superior (σT∗ ≥ f ∗ ) y la sección en su fibra inferior ha perdido la resistencia residual como consecuencia de la propagación de la fisura (σb∗ = 0) Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

Dimensional⇒

Adimensional⇒

fc αB +

∗

α =

fc fF ts (H − Yn − α)B = B(Yn − z) + 2 2

fF ts − fF tu + (z − z0 )B + fy AS 2

γn − ξ f∗

+

∗ 1 − fR1 f∗

(ξ − ξ0 ) − 1 + γn +

2fy∗ ρ f∗

(2.129)

(2.130)

52

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuación 2. Ecuación de compatibilidad en zona no fisurada (Hipótesis de Navier)

γn =

1 + ξf ∗ − α∗ 1 + f∗

(2.131)

Ecuación 3. Ecuación de compatibilidad para la apertura de fisura Esta ecuación establece la compatibilidad entre la formulación propuesta por Tada [29] y la obtenida a partir del modelo cohesivo utilizado.

Dimensional⇒

24M fF ts z z0 1 − = Wu zf BH 2 Ec H z

ξ0 = ξ −

Adimensional⇒

fF ts − σb fF ts − fF tu

∗ 1 − fR1 βH,f r M ∗ f3 (ξ)

(2.132)

(2.133)

donde: f3 (ξ) = 12f (ξ) βH,f r =

h `ch,f r

(2.134)

(2.135)

Ecuación 4. Sumatorio de momentos en la fibra neutra

Dimensional⇒

M = fc α(H − Yn −

1 1 α ) + fc (H − Yn − α)2 + fF ts (Yn − z)2 + 2 3 3

1 1 +fF tu (z − z0 )(Yn − z + (z − z0 ) + (fF ts − fF tu )(z − z0 ) · 2 2 1 ·(Yn − z + (z − z0 ) + fy AS (Yn − c) (2.136) 3

α∗ 1 1 M ∗ = f ∗ 1 − γn − + f ∗ (1 − γn − α∗ )2 + (γn − ξ)2 + 2 3 3

∗ 1 2 + fR1 ∗ + (1 + fR1 )(ξ − ξ0 ) γn − ξ0 + (ξ − ξ0 ) + fy∗ ρ(γn − ζ) (2.137) ∗ 2 3(1 + fR1

Adimensional⇒

53

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Ecuación 5. Ecuación de compatibilidad para el cálculo de la tensión en el acero En este caso, el acero ya ha alcanzado su lı́mite elástico y, por tanto, ha plastificado. σS∗ = fy∗

(2.138)

Ecuaciones adicionales Debido al hecho de que la sección rectangular de HRF ha plastificado en la zona de compresión y la resistencia residual en la fibra inferior es nula, tenemos en cuenta dos nuevas ecuaciones.

2.6.

σb∗ = 0

(2.139)

σT∗ = f ∗

(2.140)

Evaluación de la apertura de fisura

De manera paralela al cálculo del comportamiento a flexión de una sección determinada de HRF mediante la resolución de sistemas de 7 ecuaciones con 7 incógnitas, el modelo realiza el cálculo de la apertura de fisura durante el proceso de propagación de la fisura.

Para ello, teniendo en un cuenta cada una de las profundidades de fisura para las que el modelo resuelve los sistemas, realiza el cálculo de las aperturas de fisura de la siguiente manera: Casos en los que la sección tiene resistencia residual en la fibra inferior no nula Estos son los casos cuya nomenclatura comienza por un 1. En estos casos, la ecuación adimensional que nos proporciona la apertura de fisura es la siguiente: W ∗ = M ∗ ξf3 (ξ)βhrf

(2.141)

Casos en los que la sección tiene resistencia residual en la fibra inferior nula Estos son los casos cuya nomenclatura comienza por un 2. En estos casos, la ecuación adimensional que nos proporciona la apertura de fisura es la siguiente: W∗ =

ξ ξ − ξ0

(2.142)

54

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

2.7.

Criterios de fallo

Tal y como se ha explicado anteriormente, el presente modelo tiene como objetivo la estimación del comportamiento a flexión del HRF. Para llegar a tal objetivo, el modelo obtendrá dicho comportamiento mediante la variación del parámetro ξ (profundidad de fisura) desde el valor 0 a un valor igual al canto de la sección (H). Para cada valor diferente de profundidad de fisura, el modelo realiza el cálculo de los diferentes sistemas (casos) y en función de la situación en la que se encuentre el elemento en cada momento, seleccionará uno de los nueve conjuntos de soluciones obtenidos. Esta es la forma en la que el modelo simula la propagación de la fisura durante el ensayo de flexión en 3 puntos.

Sin embargo, hasta este punto, el fallo del hormigón por compresión o la plastificación del acero no habı́an sido unos factores tenidos en cuenta para el fallo del elemento de hormigón, sino que únicamente se han tenido en cuenta a la hora de seleccionar el caso (conjunto de ecuaciones) que actúa en ese momento. En consecuencia, el modelo inicialmente permite que tanto el hormigón como el acero se deformen libremente.

Es por ello, que es necesaria la introducción de criterios adicionales que limiten las deformaciones de manera que, en caso de superarse cualquiera de las dos, el proceso de cálculo se detenga simulando el fallo del elemento de HRF. La rotura de la sección se producirá bien porque se alcance un cierto valor de deformación en la barra de acero (εsu ) o bien porque se supere un valor máximo para la deformación del hormigón (εcu ) [20]

2.7.1.

Fallo del hormigón

Para el cálculo de la deformación del hormigón en la sección de HRF, se ha partido de una sección fisurada. En dicha sección, tal y como comentamos anteriormente, asumimos la hipótesis de Navier en la zona no fisurada.

Figura 2.16: Sección fisurada A partir de la nomenclatura establecida en el anterior croquis: fct

εt εc εt = ⇒ = Ec H − Yn Yn − z H − Yn Yn − z

(2.143)

55

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

A partir de la anterior ecuación, podemos conocer en todo momento durante el proceso de fisuración la deformación del hormigón (εt ) de forma que el fallo se producirá si: εt ≥ εsu

(2.144)

donde εsu toma el valor de 0.0035.

2.7.2.

Fallo del acero

Para la deformación del acero, se ha tenido en cuenta el crecimiento lineal del axil en la longitud de anclaje a partir de la siguiente expresión propuesta [20]: εs =

2∆Ls lb

(2.145)

donde el valor de lb y de ∆Ls son obtenidos a partir de la hipótesis de fisura plana anteriormente expuesta.

Figura 2.17: Fisura plana El valor de ∆Ls se obtiene a partir de la ecuación de compatibilidad 2.6 donde la apertura de fisuras a una profundidad igual al recubrimiento se calcula como:

c Wc = CM OD 1 − z

(2.146)

Teniendo todo esto en cuenta, el fallo del acero se producirá cuando: εs ≥ εsu donde εsu toma el valor de 0.01.

(2.147)

56

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

2.8.

Evaluación de la capacidad de rotación de la sección

De manera complementaria, el modelo nos permite evaluar la capacidad de rotación de la sección de HRF. La capacidad de rotación de la sección, tal y como se establece G. Ruiz y J. R. Carmona [20], se estimará a partir de la hipótesis de que la mitad del ángulo formado por la apertura de fisura es igual al ángulo de descenso de la probeta de HRF con respecto a la horizontal.

Figura 2.18: Evaluación de la capacidad de rotación

A partir de los croquis representados en la anterior imagen, se puede decir que la capacidad de rotación de la sección es:

tanθ =

W 2

z−c

'θ=

W 2

z−c

(2.148)

De manera adimensional la ecuación quedará como:

θ=

W∗ 2

ξ−ζ

(2.149)

De esta manera, para cada profundidad de fisura (z), el modelo realiza el cálculo de las diferentes incógnitas expuestas en el apartado 2.5.1, de la apertura de fisura y finalmente de la capacidad de rotación.

57

2.9.

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Resultados

Una vez explicado el modelo propuesto para el cálculo del comportamiento a flexión en tres puntos del HRF, en el presente apartado mostramos los resultados que se obtienen con la ejecución del modelo. Para ello, teniendo en cuenta una sección con las caracterı́sticas recogidas en las tablas 2.1,2.2 y 2.3, realizamos el cálculo teniendo en cuenta los criterios de fallo y sin tenerlos en cuenta.

Las caracterı́sticas de la sección de HRF y de los materiales se recogen en las siguientes tablas: H(mm) 400

B(mm) 200

L(mm) 1000

Tabla 2.1: Dimensiones de la sección

fF ts (MPa) 3.21

fF tu (MPa) 1.42

fc (MPa) 49.4

Ec (MPa) 23056

Tabla 2.2: Caracterı́sticas del HRF

fy (MPa) 500

Es (MPa) 200000

nbarras 2

diametro(mm) 16

recubrimiento(mm) 25

Tabla 2.3: Caracterı́sticas de la armadura pasiva

Obtención de fF ts y fF tu Para la obtención de los valores de la resistencia residual post-fisuración en servicio y última, hemos utilizado curvas Carga - apertura de fisuras obtenidas de ensayos de flexión en tres puntos como la que se muestra en la siguiente figura.

Figura 2.19: Curva P-ω obtenida de ensayo de flexión en tres puntos

58

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

En ella, se obtienen los valores de la carga F1 y F3 para las aperturas de fisura CM OD1 = 0.5mm y CM OD3 = 2.5mm respectivamente.

Una vez conocida las cargas, utilizamos la siguiente expresión para obtener la tensión: fR,j =

3Fj L 2bh2sp

Estos parámetros vienen detallados en la figura 1.24 del presente documento.

Los valores resultantes de la anterior expresión, serán fR1k en el caso del cálculo con F1 y fR3k en el caso del cálculo con F3 .

Finalmente, mediante el uso de las expresiones 1.1 y 1.3 obtenemos los valores de fF ts y fF tu .

Debido a que disponemos de 4 ensayos de flexión en tres puntos, el anterior cálculo ha sido realizado en 4 ocasiones, siendo el resultado final de los valores una media aritmética de los valores obtenidos en cada ensayo.

Resultados sin criterios de fallo En las siguientes curvas se representan los resultados obtenidos por el modelo sin tener en cuenta los criterios de fallo. Debido a la no consideración del fallo del acero o del hormigón, el proceso de cálculo acabará cuando la profundidad de fisura sea el 95 % del canto total o dicho de otro modo, cuando la profundidad de fisura sea de 380 mm. Este valor se establece previamente en el modelo. A la vista de los resultados obtenidos en las siguiente gráficas, observamos que: En la curva (a) observamos como el valor de la tensión en la fibra superior va aumentando durante todo el proceso de cálculo hasta llegar al valor de plastificación del hormigón. Esto sucede ası́ debido a que, a medida que se propaga la fisura y aumenta la apertura de fisura, el hormigón de la zona superior se ve cada vez más comprimido.

En la curva (b), de manera opuesta a la curva (a), la tensión en la fibra inferior va disminuyendo a medida que va aumentando la apertura de fisura. Esta tensión residual, llega un momento que se hace nula debido a que la apertura es tal que las fibras no son capaces de coser la fisura.

La curva (c), está estrechamente relacionada con la curva (b). La profundidad lı́mite la definimos como la profundidad de fisura en la cual la resistencia residual de la sección es nula. Inicialmente, esta profundidad es nula debido a que toda la sección resiste el esfuerzo aplicado. Sin embargo, llega un momento en el que la tensión en la fibra inferior se hace nula (ver curva (b)). En este momento, es cuando la profundidad lı́mite de la curva (c) comienza a aumentar.

En la curva (d), observamos que el momento que resiste la sección va aumentando a medida que aumenta la fisuración. Sin embargo, en el momento en el que la resistencia residual de la fibra inferior se hace nula, el momento que resiste comienza a decaer.

En la curva (e), observamos el comportamiento de la armadura pasiva. Inicialmente, no trabaja debido a que la fisura aún no ha alcanzado el recubrimiento de la armadura. En el momento en el que ésto ocurre, la tensión comienza a aumentar hasta

59

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO llegar a la plastificación. En ese momento, el valor se mantiene constante hasta el final del proceso de cálculo.

Por último, el comportamiento de las curvas (f), (g) y (h) es idéntico debido a que la carga es obtenida a partir del momento. Fijándonos únicamente en la curva (f), el momento que resiste la sección aumenta hasta que la tensión en la fibra inferior se hace nula. A partir de ese momento, el valor del momento que resiste decae.

60

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

a)

b) 3,5 Tension fibra inferior (MPa)

Tension fibra superior (MPa)

50 40 30 20 10

3 2,5 2 1,5 1 0,5

0

0 0

50

100

300

350

400

0

350

80

300

70

250 200 150 100

200

250

300

350

400

300

350

400

60 50 40 30

10 0

50

100

150

200

250

300

350

400

0

50

100

Profundidad de fisura (mm)

e)

150

200

250

Profundidad de fisura (mm)

f) 600

90

80

500

Momento (kNm)

Tension de armadura (MPa)

150

20

50

400 300 200 100 0

70 60 50 40 30 20

0

50

100

150

200

250

300

350

10

400

Profundidad de fisura (mm)

g)

0

4

h) 90

350

80

6

8

10

70 Momento (kNm)

250 200 150 100 50

2

Apertura de fisura (mm)

400

300 Carga (kN)

100

d) 90

0

50

Profundidad de fisura (mm)

400

Momento (kNm)

Profundidad limite (mm)

c)

150 200 250 Profundidad de fisura (mm)

60 50 40 30 20

0

2

4

6

8

10

10

0

0,005

flecha (mm)

0,01

0,015

Capacidad de rotacion

Figura 2.20: Resultados sin criterios de fallo

Resultados con criterios de fallo En las siguientes curvas se representan los resultados obtenidos por el modelo teniendo en cuenta los criterios de fallo. En este caso, el final del proceso de cálculo es variable. El modelo irá calculando el comportamiento de la sección teniendo en cuenta la deformación

0,02

61

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

en el acero y en el hormigón. En el momento en el que uno de los dos materiales supere un lı́mite previamente impuesto en el modelo, el proceso de cálculo se detendrá. El modelo nos informará de las causas de la detención (fallo del acero o fallo del hormigón).

El comportamiento, tal y como vemos en las curvas, es idéntico al anterior. Sin embargo, debido al fallo del acero, el proceso de cálculo se detiene cuando la profundidad de la fisura es de 260 mm aproximadamente. a)

b) 3,5 Tension fibra inferior (MPa)

Tension fibra superior (MPa)

50 40 30 20 10

3 2,5 2 1,5 1 0,5

0 0

50

100

c)

200

250

300

350

0

400

0

90

350

80

300

70

250 200 150 100 50 0

50

100

150

200

250

300

350

200

250

300

350

400

300

350

400

60 50 40 30

10

400

Profundidad de fisura (mm)

0

50

100

150

200

250

Profundidad de fisura (mm)

f) 90

600

80

500

70 Momento (kNm)

Tension de armadura (MPa)

150

20

e)

400 300 200 100 0

60 50 40 30 20

0

50

100

150

200

250

300

350

10

400

Profundidad de fisura (mm)

g)

0

90

350

80

300

70

250 200 150 100 0

4

6

8

10

Apertura de fisura (mm)

400

50

2

h)

Momento (kNm)

Carga (kN)

100

Profundidad de fisura (mm)

400

0

50

d)

Momento (kNm)

Profundidad limite (mm)

150

Profundidad de fisura (mm)

60 50 40 30 20

2

4

6

8

10

10

0

0,005

flecha (mm)

Figura 2.21: Resultados con criterios de fallo

0,01 Capacidad de rotacion

0,015

0,02

62

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Finalmente, el modelo nos permite conocer la siguiente información: La tensión σb última.

La tensión σS última.

La tensión σT última.

La apertura de fisuras última.

La profundidad de fisura última.

La capacidad de rotación de la sección.

El momento último de la sección.

La localización de la fibra neutra en el instante previo al fallo de la sección.

Causa del fallo de la sección: deformación excesiva del acero o del hormigón.

FALLA EL ACERO Rot a c io n = 0 . 0 0 7 3 Momento u l t i m o = 8 1 . 4 7 8 5 kNm Profundidad de f i s u r a u l t i m a = 2 5 6 . 8 0 0 0 mm Tension u l t i m a de l a armadura = 500 MPa Apertura de f i s u r a u l t i m a = 3 . 7 4 4 3 mm Deformacion d e l a c e r o a l f i n a l e l p r o c e s o = 0 . 0 1 0 0 Deformacion d e l hormigon a l f i n a l d e l p r o c e s o = 9 . 8 8 6 5 e −04 Tension u l t i m a en l a f i b r a i n f e r i o r = 0 MPa Tension u l t i m a en l a f i b r a s u p e r i o r = 2 2 . 7 9 4 4 MPa Profundidad en l a que ha p l a s t i f i c a d o e l hormigon = 0 mm Profundidad l i m i t e u l t i m a = 8 5 . 3 3 9 2 mm F i b r a n e u t r a a l f i n a l d e l p r o c e s o = 2 7 4 . 4 7 6 7 mm

63

2.9.1.

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Interpretación de los resultados

A continuación mostramos el ejemplo de cálculo anterior, especificando los casos de cálculo que actúan durante todo el proceso de propagación de la fisura. Además, mostramos los diagramas de tensión y deformación en cada uno de los casos. Todo esto, nos permite interpretar los resultados obtenidos y el proceso de cálculo seguido.

64

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Interpretación de resultados El cálculo comienza con el caso 1A0 en el cual la profunidad de fisura aún no ha alcanzado la profundidad a la que se encuentra la armadura pasiva (25 mm).

Paso 1. Caso 1A0

Tension fibra superior (MPa)

50 40 30 20 10 0 0

50

100

150

200

250

300

350

400

3,5

90

3

80

2,5

70 Momento (KNm)

Tension fibra inferior (MPa)

Profundidad de fisura (mm)

2 1,5 1 0,5

60 50 40 30 20

0 0

50

100

150

200

250

300

350

10

400

0

50

100

Profundidad de fisura (mm)

Tension de armadura (MPa)

Profundidad límite (mm)

350 300 250 200 150 100 50 0

200

250

300

350

400

350

400

600

400

0

150

Profundidad de fisura (mm)

50

100

150

200

250

300

Profundidad de fisura (mm)

350

400

500 400 300 200 100 0

0

50

100

150

200

250

300

Profundidad de fisura (mm)

65

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Interpretación de resultados Una vez que la fisura ha superado el recubrimiento de la armadura, ésta comienza a trabajar. En esta situación aún no ha plastificado el hormigón ni el acero.

Paso 2. Caso 1A1

Tension fibra superior (MPa)

50 40 30 20 10 0 0

50

100

150

200

250

300

350

400

3,5

90

3

80

2,5

70 Momento (KNm)

Tension fibra inferior (MPa)

Profundidad de fisura (mm)

2 1,5 1 0,5

60 50 40 30 20

0 0

50

100

150

200

250

300

350

10

400

0

50

100

Profundidad de fisura (mm)

Tension de armadura (MPa)

Profundidad límite (mm)

350 300 250 200 150 100 50 0

200

250

300

350

400

350

400

600

400

0

150

Profundidad de fisura (mm)

50

100

150

200

250

300

Profundidad de fisura (mm)

350

400

500 400 300 200 100 0

0

50

100

150

200

250

300

Profundidad de fisura (mm)

66

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Interpretación de resultados El proceso de propagación de la fisura continua. La tensión en la armadura pasiva ha ido aumentando hasta que alcanzar el límite plástico. En este caso, el 1A2, la armadura pasiva ya ha plastificado, sin embargo, aún no ha alcanzado su máxima deformación. Mientras tanto, debido al aumento de la fisura, la tensión en la fibra inferior continua cayendo y la tensión de compresión aumenta.

Paso 3. Caso 1A2

Tension fibra superior (MPa)

50 40 30 20 10 0 0

50

100

150

200

250

300

350

400

3,5

90

3

80

2,5

70 Momento (KNm)

Tension fibra inferior (MPa)

Profundidad de fisura (mm)

2 1,5 1 0,5

60 50 40 30 20

0 0

50

100

150

200

250

300

350

10

400

0

50

100

Profundidad de fisura (mm)

Tension de armadura (MPa)

Profundidad límite (mm)

350 300 250 200 150 100 50 0

200

250

300

350

400

350

400

600

400

0

150

Profundidad de fisura (mm)

50

100

150

200

250

300

Profundidad de fisura (mm)

350

400

500 400 300 200 100 0

0

50

100

150

200

250

300

Profundidad de fisura (mm)

67

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Interpretación de resultados En este caso, la fisuración en el hormigón es tan grande que la resistencia residual del hormigón en la fibra inferior comienza a ser nula. La zona de hormigón en la cual existe una resistencia residual nula comienza a aumentar debido al aumento en la fisura. En este punto, la armadura sigue deformándose hasta llegar a un valor límite de 0.01, momento en el cuál el proceso deja de calcular debido al fallo del acero. En este caso el hormigón no ha plastificado

Paso 4. Caso 2A2

Tension fibra superior (MPa)

50 40 30 20 10 0 0

50

100

150

200

250

300

350

400

3,5

90

3

80

2,5

70 Momento (KNm)

Tension fibra inferior (MPa)

Profundidad de fisura (mm)

2 1,5 1 0,5

60 50 40 30 20

0 0

50

100

150

200

250

300

350

10

400

0

50

100

Profundidad de fisura (mm)

Tension de armadura (MPa)

Profundidad límite (mm)

350 300 250 200 150 100 50 0

200

250

300

350

400

600

400

0

150

Profundidad de fisura (mm)

50

100

150

200

250

300

Profundidad de fisura (mm)

350

400

500

Fallo del acero

400 300 200 100 0

0

50

100

150

200

250

300

Profundidad de fisura (mm)

350

400

68

CAPÍTULO 2. MODELO DE CÁLCULO

Capı́tulo 3

Contrastación experimental 3.1.

Introducción

En este capı́tulo presentamos los resultados que hemos obtenido durante el estudio del HRF. Comenzamos realizando un breve análisis del efecto que tiene el tamaño sobre el módulo de rotura del hormigón. Para ello, apoyándonos en bibliografı́a existente, contrastamos los resultados que obtenemos utilizando el modelo propuesto. Una vez realizado dicho análisis, comenzamos la comparación de resultados obtenidos a partir de ensayos llevados a cabo con los resultados estimados por el modelo. Todo éste trabajo de comparación, nos permitirá validar el modelo.

3.2.

Efecto del tamaño en el módulo de rotura del hormigón

El módulo de rotura de un elemento nos da a conocer la resistencia de un material frágil o cuasi-frágil. Éste, en general, no coincide con la resistencia a tracción del material.

Según establece la normativa ACI, el módulo de rotura fr es, de media, un 25 % mayor 0 que la resistencia a tracción ft . Sin embargo, esta relación no se puede asumir como válida en cualquier situación [31].

Esto, se debe a la influencia del tamaño en el módulo de rotura. Esta dependencia ha sido demostrada en numerosas ocasiones por investigadores. Entre ellos, podemos destacar a Elices, Guinea y Planas [32].

Inicialmente, se asumı́a que el módulo de rotura de un material coincidı́a con su resistencia a tracción. Esto puede asumirse para materiales frágiles, los cuales se mantienen en la etapa elástica hasta que la tensión alcanza la resistencia a traccción, momento en el que el material falla repentinamente. Este fenómeno, no se cumple en el caso del hormigón, el cual a partir de ensayos a flexión en tres puntos se observó que el módulo de rotura era entorno a un 5 % mayor. De acuerdo con ese descubrimiento, Timoshenko estableció que: 0

fr = βft Donde β=

(3.1)

1 1 − 0.1773D/s

El parámetro β es calculado a partir del canto de la sección (D) y la luz del elemento (s).

69

70

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Módulo de rotura estimado por modelos cohesivos Los ensayos de flexión fueron una de las primeras aplicaciones de los modelos cohesivos (Hillerborg, Modéer y Peterson). Después de este trabajo inicial, se comenzaron a realizar trabajos con mayor complejidad computacional. Estos trabajos revelaron la influencia del tramo inicial de la curva de ablandamiento y del tamaño sobre el módulo de rotura del elemento de hormigón.

Gustaffson, analizó el módulo de rotura en detalle obteniendo dos expresiones asintóticas para flexión pura (β = 1 y grandes tamaños. fr 1 0 = 1 + b D/` ft 1 ch

(3.2)

1 fr 0 = 1 + 1 + b ft 1 D/`ch

(3.3)

Donde b1 es una constante adimensional que depende de la forma de la curva de ablandamiento y `ch es la longitud caracterı́stica de Hillerborg. Gustaffson en 1985 estableció b1 como 3.7.

Ya en 1992, Uchida, Rokugo y Koyanagi propueso la siguiente formulación: fr 1 0 = 1 + b2 + b1 D/`ch ft

(3.4)

Donde b2 y b1 son de nuevo constantes que dependen de la curva de ablandamiento.

Para curvs bilineales, Kougo et al. en 1989 establecieron para D > `ch , b2 = 0.85 y b1 = 4.5.

La dependencia de las anteriores ecuaciones de la forma de la curva de ablandamiento seleccionada era un inconveniente para alcanzar el objetivo de obtener ecuaciones generales. El camino hacia la independencia de las fórmulas comenzó con Alvaredo y Torrent en 1987 cuándo demostraron que el módulo de rotura sólo dependı́a de la parte inicial de la curva de ablandamiento bilineal. Elices y Planas [32] en 1992 extendieron este hecho a otras curvas de ablandamiento no lineal. Los resultados demostraron que la curva de ablandamiento afecta al módulo de rotura en la parte inicial pero que, en la mayorı́a de casos, puede ser aproximado por una lı́nea recta. Esto significada que con dos parámetros, 0 ft y ω1 , podemos estimar el comportamiento del material. fr 0 = H(D/`1 ) ft `1 =

(3.5)

Eω1 0 2ft

Donde H es una función adimensional implı́cita que depende del tipo de carga, del tipo de ensayo a flexión y del ratio canto-luz.

En 1995 Planas, Guinea y Elices, obtuvieron una expresión en la que aproximadamente para cualquier tamaño se satisfacı́a que: 0

fr = 3ft si D → 0 0

fr = βft si D → ∞

71

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Figura 3.1: Efecto del tamaño en el módulo de rotura (a)calculado para varias curvas de ablandamiento (b) La formulación general es:

1 fr 1+ 0 = β + c2 + c1 D/`ch ft

(3.6)

Donde para diferentes niveles de aproximacióm, las constantes toman los siguientes valores: LEVEL I: c2 = 0.00 c1 = 2.3 LEVEL II: c2 = 1.00 c1 = 2.3 LEVEL III: c2 = 0.85 c1 = 2.3 En el caso de la constante β, tomará el valor de 1.046 en caso de que el ratio canto-luz sea 4.

A partir de las formulaciones propuestas por Rokugo et al. y Planas et al., podemos 0 calcular el ratio fr /ft para cada tamaño βH . Este mismo calculo lo podemos realizar utilizando el modelo propuesto a fin de comparar los resultados obtenidos.

72

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Figura 3.2: Efecto del tamaño en el módulo de rotura

Como vemos en la anterior figura, a medida que el tamaño del elemento de hormigón decrece, su resistencia aumenta hasta llegar a un valor asintótico de 3 para el caso del modelo propuesto en el presente trabajo, de 2.20 aproximadamente para el caso de Rokugo et al. y de 2.30 en el caso de Planas et al.

Uno de conclusiones más importantes que podemos extraer del efecto del tamaño y su influencia sobre el módulo de rotura es la diferencia que existe entre los hormigones con fibras y los hormigones convencionales. El parámetro βH , denominado dimensión caracterı́stica del elemento, se calcula a partir de la siguiente expresión tal y como expusimos en el apartado 2.2.2:

βH =

βH,f r =

h `ch

(3.7)

h `ch,f r

(3.8)

Donde h es el canto de la sección y `ch o `ch,f r es la longitud caracterı́stica del elemento.

La longitud caracterı́stica, depende directamente de la energı́a de fractura tal y como vemos en las ecuaciones 2.1 y 2.2, parámetro obtenido como el área bajo la curva del modelo constutivo. De esta manera, tal y como observamos en la figura 2.2, la energı́a de fractura del hormigón con fibras es mayor debido a la mayor absorción de energı́a.

Esto provoca que la longitud caracterı́stica de los hormigones con fibras sea mayor y, en consecuencia, la dimensión caracterı́stica (βH ) sea del orden de 100 veces menor.

73

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Figura 3.3: Efecto del tamaño en el módulo de rotura

A partir de la figura 3.3 podemos observar que los hormigones con fibras al tener una dimensión caracterı́stica menor, tienen una mayor resistencia frente a esfuerzos de flexión.

3.3.

Comparación de resultados

Una vez propuesto el modelo de cálculo que nos permitirá estimar el comportamiento a flexión de una sección rectangular de hormigón con fibras, un paso importante para la implantación de este modelo es la comparación de sus estimaciones con resultados existentes extraı́dos de ensayos a flexión en tres puntos.

Para ello, hemos llevado a cabo la comparación con dos estudios experimentales diferentes. El primero de ellos, fue llevado a cabo por A.Carpinteri [33] de la Universidad de Turı́n, quién realizó numerosos ensayos de probetas de HRFA con diferentes dosificaciones de fibras y diferentes cuantı́as de armadura pasiva. El segundo fue llevado a cabo por el Profesor Jacinto Ruiz Carmona en su tesis ”Study of cracking processes in reinforced concrete elements” [34] en la cual realizaba ensayos en probetas con diferentes cuantı́as y adherencias en la armadura pasiva ası́ como diferente disposición con el objetivo de analizar el proceso de fisuración.

3.3.1.

Comparación de resultados para hormigón con fibras

El trabajo titulado ”Fiber-reinforced concrete in flexure: a cohesive/overlapping crack model application” [33] fue realizado por el Profesor A.Carpinteri con el objetivo de estudiar el comportamiento del HRFA frente a esfuerzos de flexión.

Los ensayos fueron realizados para dosificaciones de fibras de 0 kg/m3 , 10 kg/m3 , 20 kg/m3 y 40 kg/m3 .

Las dimensiones y caracterı́sticas de las probetas de hormigón con fibras ensayadas a flexión eran las siguientes:

74

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Fibras(kg/m3 ) 40 20 10

H (mm) 200 200 200

B (mm) 100 100 100

L (mm) 1200 1200 1200

fcm (MPa) 49.4 49.4 49.4

Ec (MPa) 33056 33056 33056

fts (MPa) 3.21 1.39 2.36

ftu (MPa) 1.42 0.16 0.42

Tabla 3.1: Caracterı́sticas de las probetas de hormigón

En lo que a la armadura pasiva se refiere, los ensayos se han realizado para diferentes cuantı́as. Las caracterı́sticas se han recogido en la siguiente tabla: no barras 0 1 2 2

Diámetro (mm) 0 8 8 12

Recubrimiento (mm) 0 15 15 15

cuantı́a 0 0.002513 0.005026 0.0113095

Es (MPa) 0 210000 210000 210000

fy (MPa) 0 519-550 519-550 519-550

Tabla 3.2: Caracterı́sticas de la armadura pasiva en los ensayos

A partir de las caracterı́sticas recogidas en las tablas 3.1 y 3.2, el trabajo realizado por Jacinto Ruiz Carmona recogı́a los resultados de los ensayos a dichas probetas en curvas P-δ (Carga (kN) - flecha (mm)).De esta manera, las curvas obtenidas por el modelo deberı́an ser también P-δ con el objetivo de poder realizar la contrastación de resultados.

Obtención de la carga P en kN Tal y como hemos explicado desde el inicio del trabajo, el modelo de cálculo estimará el comportamiento de una sección rectangular de hormigón con fibras sometida a flexión en tres puntos.

Figura 3.4: Evaluación de la carga A partir de este croquis, el momento que debe resistir una sección de HRF en el centro de la luz es: PL M= (3.9) 4 Donde el momento M se calcula en kNm, la carga P en kN y la longitud de la sección L en metros.

75

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Teniendo en cuenta que el modelo nos calcula el momento en kNm, podemos obtener fácilmente la carga P en KN despejandola de dicha ecuación 3.9.

Obtención de la flecha en mm La flecha será calculada a partir de la simplificación propuesta G. Ruiz y J. R. Carmona [20]:

Figura 3.5: Evaluación de la flecha Al igual que en el caso del momento M, en este caso, el modelo nos proporciona el valor de la rotación de la sección. De esta manera, la flecha será calculada como: tanθ =

δ L 2

'θ=

δ L 2

(3.10)

Conociendo el valor de la rotación y la longitud de la sección en milı́metros, podemos conocer la flecha únicamente despejando el valor de la ecuación 3.10.

Con todo ello, a continuación se muestran los resultados obtenidos de la contrastación del modelo con los resultados experimentales:

76

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Tal y como se puede observar, los resultados experimentales tienen cierta dispersión.

Esto es algo normal teniendo en cuenta que caracterı́sticas como la resistencia a compresión del hormigón, el módulo elástico o la distribución de las fibras en la sección varı́an afectando directamente al comportamiento del elemento de HRF. No obstante, el hecho de realizar varios ensayos permite observar una tendencia común en el comportamiento de la sección de HRF ensayada.

En lo que a la comparación de resultados se refiere, en las anteriores gráficas P - δ podemos observar como el modelo aproxima de manera adecuada el comportamiento a flexión de los elementos de HRF. No obstante, también podemos observar como a medida que se reduce la cuantı́a de armadura pasiva, existe una mayor diferencia entre el comportamiento estimado con el modelo y el comportamiento obtenido de manera experimental.

En cualquier caso, los resultados proporcionados por el modelo suelen estar del lado de la seguridad.

77

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

A la vista de los resultados experimentales para probetas con dosificaciones de 20 kg/m3 y a los resultados obtenidos por el modelo, observamos una tendencia similar al caso anterior. Los resultados son satisfactorios debido a la buena aproximación de los resultados obtenidos por el modelo. Sin embargo, también observamos como para cuantı́as bajas de armadura pasiva, los resultados presentan una mayor diferencia con respecto al comportamiento experimental.

78

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

La tendencia seguida por los anteriores ejemplos, se hace de nuevo patente en la comparación de los resultados para una dosificación de fibras de 10 kg/m3 . Para secciones con armadura pasiva, el modelo estima el comportamiento de manera adecuada. Sin embargo, para cuantı́as bajas de armadura pasiva, observamos de nuevo la diferencia en el comportamiento.

A partir del análisis de los resultados anteriormente expuestos, podemos decir que: El modelo realiza buenas estimaciones para secciones de HRF con armadura pasiva. Por lo tanto, podemos afirmar que los resultados obtenidos son satisfactorios permitiéndonos validar el modelo.

Para altas dosificaciones de fibra, el modelo estima el comportamiento de manera adecuada.

Para bajas dosificaciones, tal y como podemos ver en las imágenes expuestas anteriormente, el elemento de HRF tiene un comportamiento más cercano al hormigón en masa que al HRF. Esto se puede observar en los picos de carga que resiste el hormigón y a la baja carga residual del hormigón post-fisuración.

(a) Hormigón con baja dosificación de fibras

(b) Hormigón con alta dosificación de fibras

Figura 3.6: Comparación del comportamiento de hormigones de alta y baja dosificación de fibras

79

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL El modelo propuesto, tal y como hemos explicado en el capı́tulo 2, se basa en la aplicación del modelo de ablandamiento lineal propuesto por el Código Modelo [16].

Asumiendo dicha hipótesis, el modelo estima de manera correcta la resistencia residual de las secciones de HRF. Sin embargo, para bajas dosificaciones, el cálculo de las resistencias fF ts y fF tu hace que existan ciertos errores en la estimación del comportamiento.

De esta manera, podemos concluir que el Código Modelo establece unas ecuaciones para el cálculo del comportamiento de elementos de HRF que estiman mejor los resultados para altas dosificaciones de fibra. Una manera de mejorar dichas estimaciones serı́a a partir del uso de modelos constitutivos más complejos.

Este hecho podemos observarlo en la siguiente curva:

20-0 20 Modelo Test 1

15

Test2

P (KN)

Modelo HM

10

5

0 0

1

2

3

4

5

δ (mm)

Tal y como hemos explicado anteriormente, el modelo calcula de manera adecuada la carga residual resistida por la sección de HRF. Sin embargo, vemos como el pico de carga inicial, no lo calcula correctamente. Esto es debido a que ese pico es propio de los hormigones convencionales.

Para demostrarlo, hemos realizado el cálculo de la sección por un lado considerando fibras y por otro lado considerando que la sección es de hormigón en masa. En los resultados mostrados en la anterior figura se puede ver como en el cálculo de la sección con hormigón en masa, el pico de carga sı́ que lo considera.

No obstante, a efectos de diseño, los elementos formados por HRF nunca serán diseñados con la carga pico sino con la residual. Es por ello que podemos decir que el modelo es válido.

3.3.2.

Comparación de resultados para hormigón armado

El Doctor ingeniero de Caminos Jacinto Ruiz Carmona en su tesis ”Study of cracking processes in reinforced concrete elements” [34] llevó a cabo el análisis de los procesos de

80

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

fisuración del hormigón armado. Para ello, llevo a cabo ensayos de flexión sobre probetas en las que varı́a su sección transversal, la cuantı́a de armadura pasiva, la disposición de dicha armadura (horizontal o vertical) y la adherencia acero-hormigón.

(a) Probetas

(b) Dimensiones de la probeta

Para la comparación de resultados, únicamente utilizaremos los resultados de los ensayos de las probetas rectangulares debido a que el modelo propuesto únicamente es válido para dichas secciones. Además, utilizamos únicamente la disposición horizontal de las armaduras pasivas.

Los resultados de los ensayos y de la estimación del modelo se muestran a continuación: 3.3.2.1.

Probeta R1 H (mm) 150

B (mm) 50

L (mm) 600

Tabla 3.3: Dimensiones probeta R1

fc (MPa) 48.7

Ec (MPa) 25900

Gf (N/mm) 0.0749

Tabla 3.4: Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R1

no barras 1

Diámetro (mm) 2.5

Recubrimiento (mm) 22.5

fy (MPa) 810

Es (MPa) 212000

Tabla 3.5: Caracterı́sticas del acero de la probeta R1

τ (MPa) 0.5

81

3.3.2.2.

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Probeta R2 H (mm) 150

B (mm) 50

L (mm) 600

Tabla 3.6: Dimensiones probeta R2

fc (MPa) 48.7

Ec (MPa) 25900

Gf (N/mm) 0.0749

Tabla 3.7: Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R2

no barras 2

Diámetro (mm) 2.5

Recubrimiento (mm) 22.5

fy (MPa) 810

Es (MPa) 212000

Tabla 3.8: Caracterı́sticas del acero de la probeta R2

τ (MPa) 0.5

82

3.3.2.3.

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Probeta R2-2 H (mm) 150

B (mm) 50

L (mm) 600

Tabla 3.9: Dimensiones probeta R2-2

fc (MPa) 40.4

Ec (MPa) 26300

Gf (N/mm) 0.0665

Tabla 3.10: Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R2-2

no barras 2-3

Diámetro (mm) 2.5

Recubrimiento (mm) 22.5

fy (MPa) 730

Es (MPa) 194000

Tabla 3.11: Caracterı́sticas del acero de la probeta R2-2

τ (MPa) 5

83

3.3.2.4.

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Probeta R3 H (mm) 150

B (mm) 50

L (mm) 600

Tabla 3.12: Dimensiones probeta R3

fc (MPa) 48.7

Ec (MPa) 25900

Gf (N/mm) 0.0749

Tabla 3.13: Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R3

no barras 3

Diámetro (mm) 2.5

Recubrimiento (mm) 22.5

fy (MPa) 810

Es (MPa) 212000

Tabla 3.14: Caracterı́sticas del acero de la probeta R3

τ (MPa) 0.5

84

3.3.2.5.

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Probeta R3-2 H (mm) 150

B (mm) 50

L (mm) 600

Tabla 3.15: Dimensiones probeta R3-2

fc (MPa) 40.4

Ec (MPa) 26300

Gf (N/mm) 0.06665

Tabla 3.16: Caracterı́sticas del hormigón de la probeta R3-2

no barras 3

Diámetro (mm) 2.5

Recubrimiento (mm) 22.5

fy (MPa) 730

Es (MPa) 194000

Tabla 3.17: Caracterı́sticas del acero de la probeta R3-2

τ (MPa) 5

85

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Con el objetivo de poder realizar la contrastación de resultados, se han llevado a cabo modificaciones en los resultados obtenidos por el modelo de cálculo. Estas modificaciones son las siguientes: La modificación de la pendiente inicial de la curva obtenida por el modelo con el objetivo de hacer que ambas coincidan y ası́, poder realizar una mejor comparación de los resultados.

Para poder tener en cuenta el efecto retroceso en la curva P - δ que experimenta la probeta de hormigón, además de la flecha calculada por el modelo, se le ha añadido la flecha elástica. El valor de la flecha elástica en el centro de la viga ha sido calculado a partir de la siguiente expresión: felastica =

P L3 48EI

(3.11)

86

CAPÍTULO 3. CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL

Capı́tulo 4

Casos Prácticos 4.1.

Introducción

La expansión del concepto del hormigón reforzado con fibras y la mejora en las propiedades del elemento estructural no sólo han creado interés entre los investigadores, sino que de manera progresiva, está siendo introducido en el diseño de estructuras. En la actualidad, ya existen numerosas aplicaciones del HRF en estructuras tales como: Pavimentos Soleras Losas de hormigón Túneles A continuación, exponemos alguno de los casos en los que podemos aplicar el modelo propuesto.

4.2.

Sustitución de mallazo en balsa de almacenamiento de agua

El primer caso en el que hemos utilizado el modelo ha sido en una balsa de almacenamiento de agua. La construcción de dicha balsa estaba planteada inicialmente de la siguiente manera: Colocación de malla electrosoldada sobre los taludes con acero corrugado B 500 T de φ 6 mm en cuadrı́cula de 15 x 15, según EHE-08 y CTE-SE-A. Gunitado de 5 cm de espesor, con H/MP/35, proyectado en taludes.

Colocación de malla electrosoldada sobre los taludes con acero corrugado B 500 T de φ 6 mm en cuadrı́cula de 15 x 15, según EHE-08 y CTE-SE-A. Gunitado de 5 cm de espesor, con H/MP/35, proyectado en taludes.

87

88

CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS

El objetivo del trabajo era el de estudiar la posibilidad de sustituir el mallazo por fibras estructurales y analizar la posibilidad de optimizar el espesor del gunitado sin que ello comprometa la función para la que ha sido proyectado.

Para el estudio, utilizamos fibra FIBRECRETE ST900 de Fosroc. Las caracterı́sticas de esta fibra se muestra en la siguiente imagen:

Figura 4.1: Caracterı́sticas de las fibras A partir del Código Modelo [16] y de los valores de fR1k y fR3k aportados por Fosroc, los valores de la resistencia a tracción en servicio y última fF ts y fF tu son: fF ts = 1.52 M P a fF tu = 1.14 M P a Teniendo todo esto en cuenta, el comportamiento del gunitado con mallazo y del gunitado con 6 kg/m3 de fibras podemos apreciarlo en la siguiente gráfica M - ω:

89

CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS

Sin embargo, tal y como vemos en la anterior figura, la capacidad mecánica del gunitado con 6 kg/m3 de fibras es muy superior a la capacidad mecánica del gunitado con mallazo dispuesto en el proyecto. Por ello, el objetivo era analizar la posibilidad de reducir el espesor del gunitado en caso de que en éste se incluyan fibras. La solución propuesta tendrı́a que tener una capacidad mecánica parecida a la de la solución propuesta en proyecto.

Finalmente, se propuso la inclusión de 6 kg/m3 de fibras FIBRECRETE ST900 de Fosroc en un gunitado de 8 cm de espesor. En la siguiente figura, vemos el comportamiento de ambas soluciones:

Como se puede ver en la anterior figura, la resistencia residual de ambas soluciones serı́a similar. Sin embargo, en el caso de la solución con fibras, la apertura de fisuras que puede soportar es mayor. De esta forma, podemos concluir que la solución propuesta en ningún caso comprometerı́a la función para la que ha sido dispuesto el gunitado.

90

4.3.

4.3.1.

CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS

Inclusión de fibras en losa de hormigón apoyada en todos sus lados Introducción

El cálculo de losas de hormigón reforzado con fibras de acero (HRFA) es otra de las aplicaciones del modelo propuesto. En esta sección, explicamos los cálculos realizados para obtener la solución, ası́ como las hipótesis y teoremas en los que nos basamos.

La losa, al ser un caso simplificado, la tomamos como simplemente apoyada en todos sus lados.

Para el diseño de la losa en este ejemplo, vamos a despreciar el comportamiento en servicio de dicha losa ası́ como su evolución hasta rotura. Por tanto, únicamente nos interesa conocer el momento de rotura [35]. Para ello, realizamos un análisis plástico mediante la utilización del método de lı́neas de rotura y la implementación del método del Profesor Johansen para el cálculo de placas recogido por F. G. Monge [21].

El método de las lı́neas de rotura es válido para secciones armada con cuantı́a inferior a la cuantı́a lı́mite, de manera que se produzca una rotura dúctil al plastificar la armadura.

Éste método se basa en que para niveles elevados de carga, conforme ésta aumenta se plastifican sucesivamente las secciones situadas sobre unas lı́neas, denominadas lı́neas de rotura, que progresan, se unen y cruzan la losa, reduciéndola finalmente a un mecanismo libremente deformable, tal y como puede verse en la siguiente figura [21].

Figura 4.2: Lı́neas de rotura de losa apoyada en sus cuatro lados [21] El profesor Johansen, basándose en el método de lı́neas de rotura, desarrolló una teorı́a para el cálculo de placas.

En esta teorı́a, el profesor Johansen supone que al carga una placa hasta rotura, esta viene precedida por la aparición de fisuras que pueden idealizarse como lı́neas rectas y dirigidas en formas distintas según la forma de la placa, apoyo, carga, armadura, etc.

Para la aplicación de esta teorı́a, es necesario conocer la forma de rotura de la placa.

La situación de las lı́neas de rotura no es arbitraria, sino que responde a una serie de reglas y condiciones.

Las reglas son las siguientes:

91

CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS Al romperse la placa, en el perı́odo de rotura las deformaciones elásticas son despreciables al lado de las plásticas, lo que produce que las diversas partes en que se rompe la placa sean planas y la deformación del conjunto se haga en base del giro en cada una de dichas partes alrededor de un cierto eje de rotación.

En un nudo en que concurren lı́neas de rotura de distinto signo sólo puede haber lı́neas de rotura en tres direcciones diferentes.

La posición de las lı́neas de rotura será la que da el máximo valor para los momentos de rotura.

Estos son los fundamentos de la teorı́a del profesor Johansen. Esta teorı́a parece más racional que la teorı́a elástica en lo que a la determinación de la seguridad se refiere, obteniéndose por ella estructuras más económicas y ligeras que con los métodos clásicos [21].

4.3.2.

Cálculo de la losa

Teniendo en cuenta las bases en las que se sustenta el método del profesor Johansen, llevamos a cabo el diseño de la losa. El ejemplo consiste en el cálculo de los valores fF tu y fF ts necesarios para reforzar con fibras de acero una losa de 14 x 7 metros y un espesor de 25 centı́metros.

Según el profesor Johansen, para el caso de una losa simplemente apoyada en sus cuatro lado y con la misma cuantı́a de armadura en ambos sentidos, el momento de rotura será: " # √ 3λ2 + 2 − 2 1 + 3λ2 b2 p M= (4.1) λ2 24 Donde: λ es la relación entre las dimensiones a y b. λ=

a b

b es la dimensión menor de la losa. p es la carga distribuida en Estado Lı́mite Último.

Para el cálculo del momento, se han tenido en cuenta los siguientes datos:

Dimensión a (m) 14

Dimensión b (m) 7

espesor (m) 0.25

λ (a/b) 2

Tabla 4.1: Caracterı́sticas de la losa

fck (MPa) 35

Ec (MPa) 27779

92

CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS

Peso propio(kN/m) 6.25

Carga muerta (kN/m) 2.5

Sobrecarga de Uso (kN/m) 5

carga P (ELU) (kN/m) 19.32

Tabla 4.2: Tabla de acciones sobre la losa

A partir de estos datos, el momento de rotura es: Mrot = 66.92kN m/m Una vez que conocemos el momento de rotura, tenemos que obtener los valores fF tu y fF ts . Este par de valores los obtenemos mediante tanteos sucesivos de manera que, el elementos estructural, resista el momento anteriormente calculado. Los valores obtenidos para Estado Lı́mite Último son: fF ts = 3.1 M P a fF tu = 2 M P a

(a) Modelo constitutivo σ - ω

(b) Curva Momento - ω

Figura 4.3: Resultados en Estado Lı́mite Último Como vemos en la figura 4.4b, el momento máximo es superior al momento de rotura anteriormente calculado. Por tanto, si los valores de la resistencia a tracción en servicio y última son iguales o mayores a los obtenidos, la losa estará correctamente diseñada en ELU. Por otro lado, tenemos que tener en cuenta que los valores fF tu y fF ts han sido estimados para ELU. Estos valores, según establece el Código Modelo [16], han sido obtenidos dividiendo los valores en Estado Lı́mite de Servicio (ELS) por un factor de seguridad igual a 1.50. Los valores en ELS son: fF ts = 4.6 M P a fF tu = 3 M P a

93

CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS

(a) Modelo constitutivo σ - ω

(b) Curva Momento - ω

Figura 4.4: Resultados en Estado Lı́mite de Servicio Sin embargo, los valores fF tu y fF ts en ELS no son los valores que nos deben proporcionar los fabricantes de fibras. Como ya hemos explicado en el capı́tulo 1, los fabricantes deben proporcionarte los valores fR1k y fR3k obtenidos a partir de ensayos a flexión en tres puntos. Para este caso, los valores deben ser: fR1k = 10.25 M P a fR3k = 10.05 M P a

4.3.3.

Armadura pasiva mı́nima necesaria para el control de la fisuración

Una vez calculados los valores de la resistencia residual post-fisuración en servicio fF ts y la resistencia residual post-fisuración última fF tu necesarios para el diseño de una losa de 7 x 14 metros ante unas solicitaciones determinadas, comprobamos utilizando el Código Modelo y la EHE-08 la necesidad de armadura pasiva en la sección.

4.3.3.1.

Cálculo según el Código Modelo

Según establece el Código Modelo [16] en su apartado 7.7.4.3, la expresión que debemos utilizar es la siguiente: As,min = kc · k · (fctm − fF tsm )

Act σs

(4.2)

Donde: As,min es el área de armadura pasiva mı́nima necesaria. kc es un coeficiente que tiene en cuenta la distribución de tensiones. Para secciones rectangulares toma el valor 1. k es un coeficiente que tiene en cuenta la no uniformidad de la tensión. Su valor esta entre 1 y 0.65. Por simplicidad, tomaremos el valor 1. σs es la máxima tensión de tracción de la armadura pasiva. fctm es el valor medio de la resistencia a tracción de la matriz de hormigón. fF tsm es el valor medio de la resistencia residual del hormigón reforzado con fibras.

94

CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS Act es el área de la parte de sección transversal en tracción considerando el campo de tensiones en lı́mite elástico.

Teniendo todo esto en cuenta, el valor del área de armadura pasiva necesaria es:

125 ∗ 1000 = −840.36mm2 (4.3) 500 De esta forma, podemos concluir que, con el uso del Código Modelo, la sección no necesitará armadura pasiva. Únicamente con la adición de fibras hasta alcanzar los valores de fF tu y fF ts será suficiente.

As,min = 1 · 1 · (3.21 − 6.57)

4.3.3.2.

Cálculo según la normativa EHE-08

Según establece la EHE-08 [15] en su apartado 42.3.2, la expresión que debemos utilizar es la siguiente: As fyd + 0.4Ac fctR,d > 0.04Ac fcd

(4.4)

Donde: As es el área de armadura pasiva mı́nima necesaria. fyd es la resistencia de cálculo del acero en MPa. Éste valor es calculado como el valor caracterı́stico de la resistencia del acero (fyk ) dividido por un coeficiente de seguridad igual a 1.15.

Ac es el área de la sección en mm2 . fctR,d es la resistencia residual a tracción de cálculo considerada en el diagrama rectangular σ - ε. fcd es la resistencia a compresión de cálculo del hormigón. Es calculada como la resistencia a compresión caracterı́stica (fck ) dividida por un coeficiente de seguridad igual a 1.5.

Teniendo todo esto en cuenta, el valor del área de armadura pasiva necesaria es:

As,min ·

500 35 > 0.04 · 250000 · − 0.4 · 250000 · 0.33 · 10.22 = −222.33mm2 1.15 1.5

(4.5)

De esta forma, podemos concluir nuevamente que, con el uso de la EHE-08, la sección no necesitará armadura pasiva. Únicamente con la adición de fibras hasta alcanzar los valores de fF tu y fF ts será suficiente.

4.3.4.

Análisis de los resultados

Tal y como comenzamos explicando, el modelo que proponemos tiene la capacidad de realizar el cálculo para el diseño de elementos estructurales con sección rectangular de HRFA como pueden ser vigas o losas. En el caso del cálculo de losas a partir de solicitaciones previamente determinadas, el cálculo lo hemos realizado a partir del método de lı́neas de rotura y de las simplificaciones propuestas por el profesor Johansen.

95

CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS

Con todo esto, el resultado del cálculo son los valores de la resistencia a tracción en servicio fF ts y última fF tu que son necesarios para que la losa resista el momento de rotura.

Estos valores, transformados en fR1k y fR3k según establece el Código Modelo [16], son los que los fabricantes de fibras deberı́an proporcionarnos para el diseño de estructuras.

Sin embargo, llegados a este punto, es cuando surge un problema a tener en cuenta en lo que se refiere al diseño de estructuras con hormigón reforzado con fibras. El modelo, tal y como señalamos anteriormente, nos da a conocer los valores mı́nimos fF tu y fF ts para diseñar la estructura. Sin embargo, el modelo no nos puede proporcionar información acerca de la dosificación necesaria de fibras en Kg/m3 necesaria para alcanzar estos valores de resistencia a tracción del hormigón. Estos datos, deberı́an ser proporcionados por los propios fabricantes de fibras en colaboración con los fabricantes de hormigón. Actualmente, esta colaboración no se está llevando a cabo. Por tanto, este hecho está ocasionando la lenta evolución del hormigón reforzado con fibras y su empleo en el diseño de estructuras.

96

CAPÍTULO 4. CASOS PRÁCTICOS

Capı́tulo 5

Conclusiones Finally, we expose the conclusions of the current thesis: Finalmente exponemos las conclusiones que hemos obtenido a partir de la realización del presente Trabajo Fin de Máster: El modelo nos permite diseñar elementos estructurales de hormigón reforzado con fibras conociendo los parámetros mecánicos de los materiales como son la resistencia residual post-fisuración en servicio fF ts , la resistencia residual post-fisuración última fF tu , la resistencia a compresión del hormigón fc o el lı́mite elástico de la armadura pasiva fy .

The model allows us to design structural elements of fiber reinforced concrete knowing the mechanical parameters of the materials such as serviceability residual strength fF ts , ultimate residual strength fF tu , compressive strength of concrete fc or the elastic limit of reinforcing bars fy .

El grado de correlación entre el resultado experimental y el arrojado por el modelo podemos considerarlo satisfactorio. El modelo propone soluciones aproximadas del lado de la seguridad en la mayorı́a de casos. En consecuencia, el modelo se puede tomar como una herramienta de gran utilidad en el diseño de losas o vigas de HRF. The degree of correlation between the experimental result and that obtained by the model can be considered satisfactory. The model proposes approximate solutions on the security side in most cases. Consequently, the model can be taken as a very useful tool in the design of slabs or beams of FRC.

Los resultados son satisfactorios a pesar de la simplicidad tanto del planteamiento del modelo como de las hipótesis tomadas para su elaboración. Para mejorar la bondad de los resultados, deberı́an utilizarse modelos constitutivos σ - ω más complejos como el bilineal, trilineal,etc.

The results are satisfactory despite the simplicity of both the model and the hypotheses assumed for its preparation. To improve the results, more complex constitutive 97

98

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES models σ - ω such as bilinear or trilinear should be used.

Los resultados obtenidos por el modelo confirman la mejora en las propiedades mecánicas gracias a la adición de fibras. Observamos la mejora en la capacidad de rotación, el aumento en la resistencia residual post-fisuración y la capacidad para resistir aperturas de fisura mayores.

The results obtained by the model confirm the improvement in mechanical properties thanks to the addition of fibers. We observe the improvement in the capacity of rotation, the increase in post-cracking residual strength and the capacity to resist larger crack openings.

A partir de la contrastación de los resultados del modelo con los resultados experimentales obtenidos de ensayos de flexión en tres puntos, observamos que la estimación del modelo es mejor cuanto mayor es la dosificación de fibras y mayor es la cuantı́a de armadura pasiva del elementos estructural analizado.

From the comparison between the results of the model and the experimental results obtained from three-point bending tests, we observe that the estimation of the model is better the greater the dosage of fibers and the amount of reinforcing bars of the structural element analyzed.

A la vista de los resultados experimentales llevados a cabo, elementos de hormigón sin armadura pasiva reforzado con una baja dosificación de fibras, tienen un comportamiento más propio de un hormigón convencional que de un hormigón reforzado con fibras. Esto lo observamos ,en las curvas P - δ, en el alto pico inicial de carga que resiste y en la baja resistencia residual post- fisuración.

In view of the experimental results carried out, concrete elements without reinforcing bars with a low dosage of fibers, have a behaviour similar to that of a conventional concrete. This can be observed, in P - δ curves, in the high initial peak load that resists and in the low post-cracking residual strength.

En el cálculo de los valores fF ts y fF tu para el modelo constitutivo con ablandamiento lineal que contempla el Código Modelo, se tiene en cuenta curvas P - δ con una baja pérdida de resistencia post-fisuración. Este comportamiento es más propio de hormigones con altas dosificaciones de fibras, debido a que las fibras, a pesar de la fisuración, mantienen una cierta cohesión permitiendo a la sección resistir grandes esfuerzos. Este es el hecho por el que obtenemos mejores aproximaciones para altas dosificaciones que para bajas.

In the calculation of fF ts and fF tu values for the linear softening constitutive model that Model Code takes into account, P - δ curves are taken into account with a low loss of post-cracking residual strength. This behaviour is more common in concretes with high dosages of fibers, because the fibers, in spite of the cracking process,

99

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES maintain a certain cohesion allowing the section to resist great stresses. This is the fact that we obtain better approximations for high dosages than for low ones.

El principal parámetro que controla el comportamiento del elemento de hormigón es el número de fragilidad de Hillerborg βH en el caso del hormigón y βH,f r en el caso del hormigón con fibras. El valor βH,f r es considerablemente menor que el valor de βH . Teniendo esto en cuenta y a partir del análisis de la influencia del tamaño, concluimos que cuanto menor sea el número de fragilidad de Hillerborg, mayor será la resistencia del elementos estructural.

The main parameter that controls the behaviour of the concrete element is the number of fragility of Hillerborg, βH in case of concrete and βH,f r in case of fiber reinforced concrete. The value of βH,f r is considerably lower. Taking this into account and from the analysis of size effect, we conclude that the smaller the number of fragility of hillerborg is, the greater the strength of the structural element is.

El modelo estima correctamente la influencia de la cuantı́a de armadura pasiva en el comportamiento de la sección de HRF analizada previamente por G. Ruiz y J. R. Carmona [20]. Observamos que, para cuantı́as altas, se produce el fallo del hormigón por compresión antes de la plastificación de las barras de acero. Además la sección experimenta una disminución en la apertura de fisuras en el momento del fallo.

The model correctly estimates the influence of the amount of reinforcing bars on the behaviour of the FRC section analyzed previously by G. Ruiz and J. R. Carmona [20]. We observe that, for high amounts, the failure of concrete by compression occurs before the plasticization of the reinforcing bars. In addition, the section suffer a decrease of the crack opening at the time of failure.

100

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES

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BIBLIOGRAFÍA

Anexo 1 La evolución del hormigón con fibras también es apoyada por investigadores españoles.

Grupos de investigación como el de la Universidad de Castilla-La Mancha entre otras, llevan años trabajando en este tema con el objetivo de conocer cada vez mejor este material.

Entre todos estos grupos, podemos destacar el grupo de investigación de Mecánica de los materiales de Ciudad Real, encabezado por el Profesor G. Ruiz, quiénes en uno de sus múltiples trabajos relacionados con la inclusión de fibras en el hormigón, estudian su comportamiento ante cargas cı́clicas.

Con este artı́culo titulado “Effect of the loading frequency on the compressive fatigue behaviour of plain and fiber reinforced concrete” [22], tienen como objetivo el análisis del comportamiento del HRF y del hormigón sin fibras ante cargas cı́clicas.

En primer lugar, para la realización del estudio, se utilizaron tres tipos de hormigón diferentes procedentes de la misma matriz, usando cemento tipo I ASTM 52.5R, arena con un tamaño no mayor de 4 mm, grava silı́cea con un tamaño no superior a 12 mm y un superplastificante. Con todo ello, los tres tipos de hormigón llevado a cabo fueron los siguientes: Concrete 1 (C1): Hormigón sin fibras.

Concrete 2 (C2): Hormigón reforzado con fibras de polipropileno corrugado de 40 mm de longitud de sección rectangular (0.50 mm x 1.30 mm) y un volumen de fibras de 0.56 % (5 kg/m3 Concrete 3 (C3):Hormigón reforzado con fibras de acero de 35 mm de longitud, 0.55 mm de diámetro y un volumen de fibras de 0.64 % (50 kg/m3 En lo que se refiere a las caracterı́sticas de los ensayos llevados a cabo, se realizó el ensayo de fatiga de 123 probetas cúbicas (100 mm de lado) aplicando frecuencias de 4 Hz, 1 Hz, 1/4 Hz y 1/16 Hz. La máxima carga de compresión aplicada era del 85 % de la resistencia a compresión de la probeta y el ratio entre la máxima y mı́nima tensión aplicada era de 0.3.

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Anexo 1

(a) Ensayo de fatiga

(b) Señal sinusoidal de carga

Figura 5.1: Ensayo de fatiga aplicando cargas cı́clicas [22]

Los ensayos se realizaron en 12 series de 10 muestras cada una con los tres tipos de hormigón y las cuatro frecuencias de carga. Los resultados mostraron que para un tipo de hormigón, el número de ciclos necesarios hasta el fallo, era una variable que sufrı́a grandes variaciones (hasta de 3 órdenes de magnitud). Por ello, decidieron representar los resultados con una función de densidad para cada uno de los tipos de hormigón y cada una de las frecuencias.

(a) Hormigón sin fibras, C1

(b) Hormigón con fibras de polipropileno, C2

(c) Hormigón con fibras de acero, C3

(d) Comparación de resultados según la frecuencia de carga

Figura 5.2: Resultados de los ensayos de fatiga en diferentes hormigones según la frecuencia de carga aplicada [22]

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Anexo 1

A la vista de los resultados, se podı́a observar que a medida que la frecuencia de carga descendı́a el número de ciclos de carga necesarios para que fallara la probeta también descendı́a. Este hecho era especialmente notable en el hormigón sin fibras. Por el contrario, en el hormigón con fibras de acero el número de ciclos apenas sufrı́a variación. Teniendo en cuenta estos resultados, el grupo de investigación de la Universidad de Ciudad Real, concluyó que la tendencia observada en el hormigón con fibras de acero en comparación con el resto de los hormigones, podı́a ser atribuida al puenteo que llevaban a cabo las fibras en las fisuras existentes, las cuales provocaban que se redujera la prolongación de las fisuras durante el proceso de carga cı́clica.

Sin embargo, el grupo de investigación de mecánica de materiales de Ciudad Real no es el único involucrado a escala nacional en el estudio del HRF. La Escuela Politécnica de Cataluña, con profesores como Albert de la Fuente, también están llevando a cabo una labor encomiable en lo que al estudio del HRF y su comportamiento se refiere. Entre los múltiples artı́culo de Albert de la Fuente que tratan acerca del comportamiento del HRF aplicado en las estructuras, tomamos como ejemplo el titulado .Experimentación y simulación numérica de tubos de hormigón con fibras” [36]. En el, Albert de la Fuente et al. presentan resultados obtenidos de un estudio experimental y numérico realizado sobre el comportamiento de tubos de hormigón reforzado con fibras de acero (THFA). Dicho estudio se realiza sobre 18 tubos de 600 mm de diámetro con cuantı́as de 10, 20 y 40 kg/m3 de fibras. Por otro lado, desarrolla de manera paralela el modelo numérico MAP que permite simular el comportamiento resistente de THFA sometidos al ensayo de aplastamiento.

Este estudio surge ante las posibles mejoras técnicas y económicas que la adición de fibras introducirı́a en los tubos de hormigón.

En lo que se refiere a la fabricación de los tubos, éstos se han creado en dos series distintas, siendo un total de 18 THFA de 600 mm de diámetro y 72 mm de altura. Al ser tres cuantı́as diferentes, tendremos 3 tubos por cuantı́a y serie. Las fibras utilizadas eran DRAMIX RC-80/60-BN. En cuanto a la dosificación de materiales empleada, ésta viene recogida en la siguiente tabla resumen:

Figura 5.3: Dosificación empleada para la fabricación del HRFA Por otro lado, el ensayo de aplastamiento (ver figura 5.4) consiste en la aplicación de una carga longitudinal uniformemente distribuida sobre la generatriz superior del tubo, estando éste apoyando sobre dos aristas que forman un ángulo 2β. El procedimiento seguido es el siguiente: Resistir la carga Fc durante un minuto sin que aparezcan fisuras, o lo dicho de otra manera, sin que se alcance la carga Fcr , siendo Fc igual o superior al 67 % de la carga Fn .

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Anexo 1 Llevar al tubo hasta rotura, obteniéndose la carga Fu .

Cuando la carga desciende un 5 % de Fu , se descarga el tubo y se recarga verificándose que se alcanza una carga Fmin,pos no inferior al 67 % de Fn . Ésta debe mantenerse al menos un minuto.

Figura 5.4: (a) Sección transversal y (b) sección longitudinal del ensayo de aplastamiento

En la figura 5.5 se presentan los valores medios de las curvas F - v (Desplazamiento de la clave en mm) para cada cuantı́a de fibras y para cada una de las series. Los valores de v para los tubos de la primera serie únicamente la contabilizaron hasta 4 mm y en el caso de la segunda serie hasta 8 mm.

Figura 5.5: Curvas F-v de los tubos ensayados

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Anexo 1

Figura 5.6: Valores medios experimentales y numéricos A la vista de los resultados, se observa un patrón de comportamiento de reblandecimiento bien definido en los tubos con baja cuantı́a de fibras, es decir, los tubos perdı́an resistencia al aumentar v una vez alcanzada la carga Fu . Por el contrario, para los tubos con 40 kg/m3 de fibras, el patrón era de endurecimiento hasta alcanzar el punto de plastificación.

Finalmente, Albert de la Fuente et al. [36] concluyeron que: La fabricación de este tipo de elementos se puede llevar a cabo con los sistemas tradicionales modificando in situ, si es necesario, la humedad de la mezcla. La mano de obra y tiempos de producción se reducen considerablemente respecto a la solución con armadura tradicional.

La carga Fcr que se observa es similar independientemente de la cuantı́a de fibras.

La primera fisura apareció en todos los casos en la cara interna de la clave de la zona del macho.

Los tubos de 40 kg/m3 presentan endurecimiento de la curva F - v cuando se produce la fisuración global del tubo (clave y hastiales). Se desprende de este hecho que las fibras pueden desarrollar en estos elementos una tarea similar al de las barras tradicionales, incluso, con una respuesta frente a la fisuración mejor en régimen de servicio.