ISSN 1870-9095
Revista Electrónica Semestral de Física y Matemáticas www.tot.esfm.ipn.mx Volumen I
Numero 1
Septiembre 2014
Una publicación patrocinada por la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional
Revista Electrónica Semestral de Física y Matemáticas
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ISSN 1870-9095
EDITOR EN JEFE Adolfo Helmut Rudolf Navarro, Escuela Superior de Física y Matemáticas.
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Editorial
Es un placer presentar a ustedes la “Revista Electrónica Semestral de Física y Matemáticas: T’OT’” de la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional
que contribuye principalmente a los investigadores y
académicos de la ESFM, así como también a los autores de la comunicad científica del país y aquellos interesados en el desarrollo de las ciencias físico-matemáticas, un espacio donde se publique la difusión del conocimiento que se ha generado mediante la investigación, lo anterior por medio de diversos artículos que divulguen los resultados, hipótesis y teorías formuladas a partir de los estudios realizados. Por otro lado la revista se coloca como un medio donde se comparte e intercambian las opiniones de los investigadores con el público que la consulte, lo anterior siguiendo con el compromiso que tiene la ESFM de ir siempre a la vanguardia ahora haciendo uso de las nuevas tecnologías de la comunicación e información. Asimismo auxilia a los estudiantes de nivel licenciatura y posgrado de la institución que tengan la inquietud de publicar sus ideas y resultados de sus trabajos de investigación a fin de ponerlos al alcance de los demás miembros de su comunidad académica y social. ¡Les invitamos a sumarse a este esfuerzo!
Adolfo Helmut Rudolf Navarro Editor en Jefe
Simetrías en las RGE's para un modelo con dos dobletes de Higgs (2HDM) y sus efectos M. Ramírez G. Departamento de Física, CINVESTAV – IPN, México D.F., México E-mail: mramirez@fis.cinvestav.mx (Recibido el 2 de Febrero de 2014; aceptado el 17 de Marzo de 2014)
Resumen El exitoso Modelo Estándar, de las partículas elementales y sus interacciones, aún posee algunos problemas sin resolver. Gracias a la libertad, bajo el punto de vista teórico, para la formulación del sector escalar (sector de Higgs), al analizar las simetrías existentes en las ecuaciones del grupo de renormalización (RGE) de un modelo con dos dobletes de Higgs (2HDM) es posible proponer un potencial escalar con propiedades específicas de simetría. Se estudia especialmente el caso en que el potencial del 2HDM posee la simetría Z2xS2. Palabras clave: Simetrías y Leyes de Conservación, Partículas Elementales, Altas Energías, Ecuaciones de Grupo de Renormalización (RGE).
Abstract The successful Standard Model of elementary particles and their interactions still has unsolved problems. Thanks to the existence of a theoretical freedom to formulate the scalar field sector (Higgs sector), it is possible to propose a scalar potential with certain symmetry properties from the analysis of the symmetries in the renormalization group equations (RGE) of a model with two Higgs doublets (2HDM). Specially, the potential with the Z2xS2 symmetry is studied. Keywords: Symmetries and Conservation Laws, Elementary Particles, High Energies, Renormalization Group Equations (RGE). PACS: 01.30.Os, 01.40.–d, 45.20.d-, 01.40gb ISSN 1870-9095
El modelo describe las interacciones a través de lagrangianos covariantes, esto es para preservar la simetría ante transformaciones de Lorentz. Este modelo ha sido muy exitoso debido a su capacidad de conjuntar varias teorías que describen las fuerzas de la naturaleza, así como la predicción de más partículas que ya han sido confirmadas. Sin embargo, la existencia de muchos parámetros libres, la inclusión de neutrinos con masa, la asimetría materia-antimateria, el claro entendimiento del rompimiento de simetría electrodébil, la jerarquía de masas, entre otros pendientes, abren la posibilidad de una extensión al modelo. La extensión más simple al modelo estándar en el sector de Higgs se encuentra en el modelo con dos dobletes de Higgs (2HDM), el cuál considera un segundo doblete complejo de campos escalares y más parámetros libres, la violación de CP y la existencia de corrientes neutras con cambios de sabor, que no son vistas en la naturaleza. Frecuentemente se ha considerado la simetría Z2 (Φ1 → Φ1, Φ2 → ̶ Φ2) en el potencial 2HDM para eliminar efectos no deseados y para reducir el número de parámetros. La inclusión de un segundo doblete de Higgs permite la existencia de variantes del modelo. El tipo I acopla los fermiones a solo un doblete de Higgs, el tipo II acopla los fermiones del tipo up a un doblete y los del tipo down al otro doblete, y el tipo III el cual acopla los fermiones a ambos dobletes.
I. INTRODUCCIÓN Las leyes de conservación de la naturaleza guardan una estrecha relación con los principios de invariancia de la teoría que las describe. Las cantidades conservadas por las teorías se encuentran relacionadas con simetrías [1]. Como lo ha dicho Wigner [2], los principios de invariancia son usados en física en dos maneras distintas. Por un lado son usados como leyes que sigue la naturaleza, o como guías en la búsqueda de aún desconocidas leyes de la naturaleza. Y por el otro, son usados como herramientas para la obtención de propiedades de las soluciones que estas leyes proporcionan. El Modelo Estándar de las Partículas Elementales es una teoría cuántico relativista de campos que describe las interacciones entre las partículas que consideramos como fundamentales, quarks y leptones, a través del grupo de simetría SU(3)CxSU(2)LxU(1)Y. La simetría SU(3)C modela las interacciones fuertes mediante el intercambio de 8 bosones de norma conocidos como gluones y SU(2)LxU(1)Y las interacciones electro-débiles mediante, después de un rompimiento espontaneo de simetría por el mecanismo de Higgs, el intercambio de fotones y bosones con masa W´s y Z.
T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
1
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M. Ramírez G.
El modelo 2HDM contiene dos dobletes complejos de campos escalares de Higgs Φ1, Φ2, ambos de hipercarga Y=1. φ + iφ2 , Φ1 = 1 φ3 + iφ4
φ + iφ6 . Φ 2 = 5 φ7 + iφ8
8π 2
(1)
1 2
0 , ν 1
1 2
Φ2 =
0 . ν 2
ν 12 + ν 22 ≡ ν 2 = (246GeV )2 .
4
† 1
6
† 1
7
† 1
2
1
† 2
2
2
2
2
2
2
† 2
2
2
1
* 6
* 7
5
† 2
† 2
† 1
3
2
2
† 1
1
2
† 2
2
1
1
2
† 1
† 2
1
* 5
(
)
(9)
(
(
2
) (10)
) (11)
t está asociado a la escala de energías de la siguiente forma t ≡ ln (E/µ), g2 y g1 las constantes de acoplamiento de las interacciones de norma SU(2) y U(1), además de las gu y gd correspondientes a las de Yukawa para el sector up y down, respectivamente. Las RGE´s para λ´s con constantes de acoplamiento de Yukawa tipo up y down sólo existen para λi, i =1,…,5 [4], e incluyendo sólo a las de Yukawa tipo up para λi, i =1,…,7 [5]. Para introducir los términos con constante de acoplamiento de Yukawa tipo down en las RGE´s de λ6 y λ7, se hace uso de la simetría presente en las primeras cinco ecuaciones
1
(4)
(λ1 → λ 2 → λ1 ) ∪ (g u2 → g d2 → g u2 ) ∪ (λ 6 → λ 7 → λ 6 ).
(12)
Para una visualización más directa de las simetrías presentes en el potencial, hacemos uso de las funciones invariantes de norma, [6] y [7],
K 0 = Φ 1† Φ 1 + Φ †2 Φ 2 , K 1 = Φ 1† Φ 2 + Φ †2 Φ 1 , K 2 = iΦ †2 Φ 1 − iΦ 1† Φ 2 , K 3 = Φ 1† Φ 1 − Φ †2 Φ 2 .
II. SIMETRÍAS EN LAS RGE´S DEL 2HDM Las ecuaciones de grupo de renormalización (RGE´s) a un lazo para acoplamientos de dos dobletes de Higgs: dλ1 1 1 9 2 2 3 = 12λ12 + λ 32 + λ 3 λ 4 + λ 24 + λ 5 + 6 λ 6 − λ1 g 12 + g 22 2 2 2 dt 2 3 4 3 2 2 9 4 (5) + g 1 + g 1 g 2 + g 2 + 3g u2 2λ1 − g u2 . 16 8 16 dλ 1 1 9 2 2 3 8π 2 2 = 12λ 22 + λ 32 + λ 3 λ 4 + λ 24 + λ 5 + 6 λ 7 − λ 2 g 12 + g 22 dt 2 2 2 2 3 4 3 2 2 9 4 + g 1 + g 1 g 2 + g 2 + 3g d2 (2λ 2 − g d2 ). (6) 16 8 16 8π 2
(13)
Así se puede reescribir el potencial más general del 2HDM,
)
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(8)
dλ 8π 2 6 = 12λ1 λ 6 + 3λ 3 (λ 6 + λ 7 ) + λ 4 (4λ 6 + 2λ 7 ) + λ 5 5λ*6 + λ*7 dt 9 3 3 9 − λ 6 g 12 + g 22 + λ 6 g u2 + g d2 . 2 2 2 2 2 dλ 7 = 12λ 2 λ 7 + 3λ 3 (λ 6 + λ 7 ) + λ 4 (2λ 6 + 4λ 7 ) + λ 5 λ*6 + 5λ*7 8π dt 9 9 3 3 − λ 7 g 12 + g 22 + λ 7 g u2 + g d2 . 2 2 2 2
donde m12 , λ 5,6,7 son complejos y todos los demás parámetros son reales. La simetría Z 2 requiere m12 = λ 6,7 = 0. El modelo 2HDM ha sido largamente estudiado debido a que permite una explicación a la jerarquía de masas y porque el Modelo Mínimo Supersimétrico requiere de a lo menos dos dobletes de Higgs. En este artículo se reporta el análisis de las simetrías presentes en las ecuaciones de grupo de renormalización (RGE´s) del 2HDM tipo II a un loop con acoplamientos de Yukawa up y down, y el potencial más general renormalizable e invariante de norma.
(
]
+ 3λ5 gu2 + g d2 .
2
† 2
)
dλ 9 3 8π 2 5 = 2λ5 (λ1 + λ2 + 2λ3 + 3λ4 ) + 5λ26 + 5λ27 + 2λ6λ7 − λ5 g12 + g 22 dt 2 2
V = µ12 Φ 1† Φ 1 + µ 22 Φ †2 Φ 2 − m122 Φ 1† Φ 2 − m122∗ Φ †2 Φ 1 † 1
[ (
+ 3 λ 4 g u2 + g d2 + 2 g u2 g d2 .
(2)
Y el modelo predice la existencia de cinco partículas, tres neutras (A0, h0 y H0) y dos cargadas (H±). El potencial más general renormalizable e invariante de norma del 2HDM [3]:
1
)
(7) d λ 2 2 2 8π 2 4 = 2(λ1 + λ 2 )λ 4 + 4λ 3 λ 4 + 2λ 24 + 4 λ 5 + 5 λ 6 + 5 λ 7 + λ 6 λ*7 dt 9 3 3 + λ*6 λ 7 − λ 4 g 12 + g 22 + g 12 g 22 2 2 2
(3)
( ) ( ) ( ) ( ) + λ (Φ Φ ) + λ (Φ Φ ) + λ (Φ Φ )(Φ Φ ) 1 + λ (Φ Φ )(Φ Φ ) + [λ (Φ Φ ) + λ (Φ Φ ) ] 2 + [λ (Φ Φ ) + λ (Φ Φ ) ](Φ Φ ) + [λ (Φ Φ ) + λ (Φ Φ ) ](Φ Φ ).
(
+ 3λ 3 g u2 + g d2 − 6 g u2 g d2 .
Los valores de expectación del vacío (vev´s) de los campos se escogen al considerar el rompimiento de simetría neutral normal Φ1 =
dλ 3 2 2 2 = 2(λ1 + λ 2 )(3λ 3 + λ 4 ) + 2λ 32 + λ 24 + λ 5 + 2 λ 6 + 2 λ 7 dt 9 3 3 9 3 + 4λ 6 λ*7 + 4λ*6 λ 7 − λ 3 g 12 + g 22 + g 14 − g 12 g 22 + g 24 2 8 4 8 2
V = V2 + V4
con V2 = ξ α K α , V4 = K αη αβ K β .
(14)
Donde ξα es un 4-vector real y ηαβ una matriz simétrica 4×4 real:
2
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Simetrías en las RGE's para un modelo con dos dobletes de Higgs (2HDM) y sus efectos
ξα = y ηαβ
(
( )
( )
)
1 2 m11 + m 222 ,−2 Re m122 ,2 Im m122 , m112 − m 222 . 2
(15)
dη 13 3 9 = η 13 12η 00 + 12η 11 − 4η 22 + 12η 33 − g 12 − g 22 + 24η 01η 03 dt 2 2 3 (25) + 16η 12η 23 + 3η 13 g u2 + g d2 + η 01 g u2 − g d2 . 2 dη 3 9 8π 2 23 = η23 12η00 − 4η11 + 12η22 + 12η33 − g12 − g 22 + 24η02η03 dt 2 2 3 + 16η12η13 + 3η23 gu2 + g d2 + η02 gu2 − g d2 . (26) 2 Las RGE´s en términos de ηαβ, han sido reportadas por [7] sin considerar los acoplamientos de Yukawa gu y gd. Sin embargo presentan una diferencia extra con las Ecs. (1726), encontrándose que las RGE´s en términos de ηαβ de [7], presentan un error y deben ser corregidas. Las respectivas correcciones y su posterior generalización vienen dadas por las Ecs. (17-26). El análisis de simetrías simbióticas expuestas en ese trabajo no se ven afectadas por esta corrección. Las Ecs. (17-26), presentan la simetría 8π 2
λ1 − λ2 λ1 + λ2 + λ3 Re(λ6 + λ7 ) − Im(λ6 + λ7 ) Re(λ6 − λ7 ) − Im(λ5 ) 1 Re(λ6 + λ7 ) λ4 + Re(λ5 ) . = λ4 − Re(λ5 ) − Im(λ6 − λ7 ) 4 − Im(λ6 + λ7 ) − Im(λ5 ) λ −λ Re(λ6 − λ7 ) − Im(λ6 − λ7 ) λ1 + λ2 − λ3 1 2
Entonces reescribiendo las RGE´s de los acoplamientos λi, Ecs. (5-11), del potencial 2HDM en términos de los parámetros ηαβ, se tiene 8π 2
dη 00 = 16η 002 + 4η 00 (η11 + η 22 + η 33 ) + 4 η112 + η 222 + η 332 dt 9 3 + 24 η 012 + η 022 + η 032 + 8 η122 + η132 + η 232 − η 00 g 12 + g 22 2 2 3 4 9 4 + g 1 + g 2 + 3η 00 g u2 + g d2 + 3η 03 g u2 − g d2 16 16 2 3 2 (17) − g u + g d2 . 4 dη 01 3 9 = η 01 24η 00 − g 12 − g 22 + 24(η 01η11 + η 02η12 + η 03η 13 ) 2 2 dt 3 + 3η 01 (g u2 + g d2 ) + η 13 (g u2 − g d2 ). (18) 2 dη 02 3 9 = η 02 24η 00 − g 12 − g 22 + 24(η 01η 12 + η 02η 22 + η 03η 23 ) dt 2 2 3 (19) + 3η 02 (g u2 + g d2 ) + η 23 (g u2 − g d2 ). 2 dη 03 3 9 = η 03 24η 00 − g 12 − g 22 + 24(η 01η 13 + η 02η 23 + η 03η 33 ) dt 2 2 3 3 + 3η 03 (g u2 + g d2 ) + (η 00 + η 33 )(g u2 − g d2 ) − (g u4 − g d4 ). (20) 2 4 dη 11 3 2 9 2 3 2 2 = η 11 12η 00 + 12η 11 − 4η 22 − 4η 33 − g 1 − g 2 + g 1 g 2 dt 2 2 8
(
(
) (
)
(
(
8π 2
8π 2
8π 2
8π 2
dη 22 dt
8π 2
dη 33 dt
)
(
)
)
(
8π 2
)
)
(
( ).
+ 24η + 16 η + η
(
2 13
2 23
)+ 3η (g 33
)
(
+ g + 3η 03 g − g 2 d
2 u
2 d
)
(
)
)
Caso I II III IV V VI
η 01 0 0 0 0
η 02 η 01 0 0 0 0
η 03 -
η 12 0 0
η 13 0 0 0 0
η 23 η 13 0 0 0 0
η 11 -
η 22 η 11 η 11 η 11 -
η 33 -
El símbolo “-” denota que no hay condición de simetría sobre este parámetro.
)
Nótese que los Casos III-VI, poseen la condición η01 = η02 = η13 = η23 = 0 ,
(28)
que en términos de λ´s, se tiene que λ6 = λ7 = 0,
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(27)
TABLA I. VALORES SOBRE LOS PARÁMETROS ηαβ PRESERVANDO SIMETRÍA EN LAS RGE´S
2 3 2 (23) g u − g d2 4 dη 3 9 8π 2 12 = η12 12η 00 + 12η11 + 12η 22 − 4η 33 − g 12 − g 22 + 24η 01η 02 2 2 dt 2 2 + 16η 13η 23 + 3η 12 (g u + g d ). (24)
−
(
(
Que permite establecer ciertas condiciones, preservadas por las RGE´s, sobre los parámetros ηαβ, y que conllevan a simetrías en el potencial. La simetría de las RGE´s en términos de λ´s ante la transformación (12), no permite establecer condiciones sobre los parámetros sin afectar los términos de gu y gd. Tomando en cuenta que gu2 ≠ gd2, las condiciones sobre los parámetros ηαβ preservando la simetría (27) se presentan en la siguiente tabla
)
2 u
)
(η01 → η02 → η01 ) ∪ (η11 → η22 → η11 ) ∪ (η13 → η23 → η13 ).
3 + 24η 012 + 16 η 122 + η 132 + 3η 11 g u2 + g d2 + g u2 g d2 . (21) 2 3 9 3 = η 22 12η 00 − 4η 11 + 12η 22 − 4η 33 − g 12 − g 22 + g 12 g 22 2 2 8 3 + 24η 022 + 16 (η 122 + η 232 ) + 3η 22 (g u2 + g d2 ) + g u2 g d2 . (22) 2 3 2 9 2 3 2 2 = η 33 12η 00 − 4η 11 − 4η 22 + 12η 33 − g 1 − g 2 + g 1 g 2 2 2 8 2 03
(
3
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(29)
M. Ramírez G.
esto es, se cumple con la simetría Z 2 (Φ 1 → Φ 1 , Φ 2 → ̶ Φ 2 ) no necesariamente exacta, dado que no se ha establecido condición alguna sobre el valor de m 12 .
El Caso II presenta una simetría S 2 , en la parte cuártica, bajo la transformación
Por otro lado, la Tabla 1 contiene sólo dos de los casos expuestos en la Ref. [7]. La inclusión de las constantes de acoplamiento de Yukawa limita las simetrías existentes.
Extendiendo la simetría a la parte cuadrática (ξ 1 = ξ 2 ), se tiene el potencial
K1 → K 2 → K1 .
(
(34)
)
V = η 00 K 02 + η11 K 12 + K 22 + η 33 K 32 + 2η 12 K 1 K 2
+ 2η 13 (K 1 + K 2 )K 3 + 2η 01 K 0 (K 1 + K 2 ) + 2η 03 K 0 K 3
A. La condición gu = gd A diferencia del Modelo Estándar, la inclusión de un segundo doblete de campos escalares en el 2HDM permite la condición gu = g d .
+ ξ 0 K 0 + ξ 1 (K 1 + K 2 ) + ξ 3 K 3 . (35) La extensión de la simetría S 2 a la parte cuadrática del potencial condiciona al parámetro m 12 2 de la forma:
(30)
( )
η 01 0 0 0
η 02 η 01 - η 01 0 0 0
η 03 0 0 0 0 0
η 12 0 0
η 13 0 0 0
η 23 - η 13 η 13 0 0 0
η 11 -
η 22 η 11 η 11 η 11 η 11
ν 12 = ν 22 = 0 ,
(31)
esto es en términos de los parámetros λ λ1 = λ2 .
(32)
m 122 = 0 ,
III. POTENCIALES RESULTANTES En cada caso, tomando en cuenta las condiciones sobre los parámetros, el potencial (14) adquiere ciertas propiedades de simetría. Nótese que estas condiciones solo afectan a la parte cuártica del potencial, cualquier potencial que cumpla con estas condiciones presentan simetría en las RGE´s bajo la transformación (27). Por otro lado, los potenciales resultantes deben de cumplir con la condición de estabilidad del vacío ∂V = 0 , i = 1,...8. (33) ∂φi φ =ν 2 , φ =ν 2 3
1
7
(37)
lo cual no puede ser. Entonces el Caso II no cumple satisfactoriamente con la condición de estabilidad del vacío. El Caso III, como ya se ha mencionado, posee la simetría Z 2 no necesariamente exacta. Por otro lado, siendo una simplificación del caso anterior, la parte cuártica del potencial cumple con la simetría S 2 bajo la transformación (34), que es extendida a la parte cuadrática. Sin embargo este potencial tampoco cumple satisfactoriamente con la condición de estabilidad del vacío (33). El Caso IV también posee la simetría Z 2 no necesariamente exacta. Es una simplificación de los Casos II y III cumpliendo con la simetría S 2 bajo la transformación (34). Extendiendo la simetría S 2 a la parte cuadrática y sometiendo el potencial resultante a (33), se impone una condición extra sobre m 12 2, Re(m 12 2) = 0, así
η 33 -
Nótese que todos los casos poseen la condición η03 = 0 ,
(36)
Sin embargo, al someter el potencial a la condición de estabilidad del vacío (33), y al resolver el sistema de ecuaciones para ν 1 2 y ν 2 2, se tiene
TABLA II. ALGUNOS VALORES SOBRE LOS PARÁMETROS ηαβ PRESERVANDO SIMETRÍA EN LAS RGE´S BAJO LA CONDICIÓN gu = gd Caso A B C D E
( )
Re m122 = Im m122 .
Así, se permiten otras condiciones sobre los valores de los parámetros η αβ preservando la simetría.
(38)
haciendo que el potencial resultante cumpla con Z 2 exacta. Otro parámetro que se elimina es λ 5 debido a las condiciones η 11 = η 22 y η 12 = 0. Resolviendo el sistema de ecuaciones, resultado de la condición de estabilidad del vacío, se encuentran valores distintos de cero para ν 1 2 y ν 2 2, haciendo de interés este caso. El Caso V no posee directamente una simetría extra además de Z 2 no necesariamente exacta. La simetría Z 2 exacta es una posibilidad dado que el valor de m 12 2 no está condicionado, este caso se encuentra detallado en [9]. El Caso VI es una simplificación del Caso V, donde ahora λ 5 es real.
2
El Caso I no presenta condición sobre los parámetros η αβ . Es el potencial más general renormalizable del 2HDM y no muestra alguna simetría. No se ha estudiado en esta forma general debido a que presenta violación de CP y corrientes neutras con cambio de sabor. En [8] se considera que todos los términos son reales. T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
B. Bajo la condición gu = gd Los Casos A y B no presentan una simetría extra, permaneciendo así términos complejos. Los Casos C, D y E, son respectivamente los Casos VI, III y IV con la condición extra (32). El Caso D permanece 4
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Simetrías en las RGE's para un modelo con dos dobletes de Higgs (2HDM) y sus efectos
sin cumplir satisfactoriamente con la condición de estabilidad del vacío.
Al igual que si g u = g d , se tiene λ1 = λ 2 2λ 1+ λ 3+ λ 4 > 0
IV. EL POTENCIAL CON SIMETRÍAS S2 Y Z2 El potencial del Caso IV, cumpliendo con la condición de estabilidad del vacío
( ) ( ) ( ) ( + λ (Φ Φ )(Φ Φ ) + λ (Φ Φ )(Φ Φ ) ,
V = µ Φ Φ 1 + µ Φ Φ 2 + λ1 Φ Φ 1 + λ 2 Φ Φ 2 2 1
† 1
3
† 1
2 2
† 2
† 2
1
2
† 1
2
† 1
4
† 2
2
† 2
)
λ 1=
(39)
λ 2=
genera un sistema de ecuaciones que permite obtener los valores de expectación 2 (λ 3+ λ 4 )µ22 − 4λ 2 µ12 2 (λ 3+ λ 4 )µ12 − 4λ 1µ22 , ν 22 = . ν = 2 2 4λ 1λ 2− (λ 3+ λ 4 ) 4λ 1λ 2 − (λ 3+ λ 4 ) 2 1
M ij2 =
1 ∂ V 2 ∂φi ∂φ j
(40)
2 , φ7 =ν 2
M H2 0 = M h20
( 42)
]
)
M H2 0 , h 0 = λ 1ν 12 + λ 2ν 22 ± λ 1ν 12 − λ 2ν 22 1 + x 2 . , M G2 ± = 0,
λ4 2 ν , 2 = 0,.
M H2 ± = −
M G2 0 = 0,
M A2 0
(43) (44) (45)
donde 1
x2 + 1 − 1 2 , tanα = 2 x +1 +1 tanβ =
x=
(λ 3+ λ 4 )ν 1ν 2 , λ 1ν 12 − λ 2ν 22
ν2 . ν1
(46) (47)
La Ec. (44) permite establecer una condición sobre λ 4 . Se enlistan las restricciones sobre los parámetros λ y η. λ1 > 0 λ2 > 0 λ 3+ λ 4 < 0
, , ,
2 λ 1λ 2 + λ 3+ λ 4 > 0 ,
λ4 < 0
,
λ3 < λ4
,
η00 + η33 + 2η03 > 0 , η00 + η33 − 2η03 > 0 , η00 + η11 + η22 - η33 < 0 ,
(48) (49) (50)
(η00 + η33 )2 − 4η032 +η00 + η11 + η22 − η33 > 0 , (51) η11 + η22 < 0
o
,
(57)
(M
2ν 22
2 H0
)
− M h20 sin 2α 2ν 1ν 2
+
2M H2 ± , ν2
2M H2 ± . ν2
(58) (59)
cos 2α − tan 2 β sin 2 α ν 12 cos 2 α −ν 22 sin 2 α . = M h2 2 2 2 2 tan 2 β cos 2 α − sin 2 α ν 2 cos α −ν 1 sin α 0
(60)
Se estudiaron las simetrías presentes en las RGE´s de un modelo con dos dobletes de Higgs para obtener potenciales con simetrías definidas. Se estudió especialmente el caso en el que el potencial adopta la simetría Z 2 . Se consideraron las RGE´s del potencial más general renormalizable e invariante de norma del 2HDM, incluyendo todos los parámetros λ i , i =1,…7, las constantes de acoplamiento de norma SU(2) y U(1), y también los acoplamientos de Yukawa g u y g d . Para esto último, se empleó la simetría (12), existente en las primeras cinco ecuaciones, para proponer los términos faltantes en las ecuaciones de λ 6 y λ 7 . Se emplearon las funciones invariantes de norma para facilitar la búsqueda de simetrías en las RGE´s. Se encontró que las RGE´s de [7], en términos de η´s, deben ser corregidas. Sin embargo, no afecta al análisis de simetrías hechas en dicho trabajo. Se observó que la presencia de los acoplamientos de Yukawa limita las simetrías existentes en las RGE´s. donde la condición g u = g d , válida en este modelo, permite los casos en que λ 1 = λ 2 . Por último, el análisis de las simetrías en las RGE´s del 2HDM arroja un potencial con la simetría exacta Z 2 (Φ 1 →Φ 1 , Φ 2 → - Φ 2 ) y la simetría S 2 (K 1 →K 2 →K 1 ), donde se eliminan los parámetros complejos m 12 2, λ 6 , λ 7 y también λ 5 .
2
(
M H2 0 sin 2 α + M h20 cos 2 α
V. CONCLUSIONES
y tomando la notación de los estados de masa definida en [9], se tiene
[
(56)
Y si g u = g d ,
(41)
= 0 (i, j = 1,...8), φ3 =ν 1
,
2ν 12
λ 4= −
Haciendo uso de la matriz de masas 2
M H2 0 cos 2 α + M h20 sin 2 α
λ 3= ±
Así, con λ 1 > 0, λ 2 > 0 y considerando λ 3 + λ 4 < 0, se tiene una restricción sobre los parámetros λ 2 λ 1λ 2 + λ 3+ λ 4 > 0 .
(54) (55)
Por último, se escriben los parámetros en términos de las masas
2
1
η00 + η33 > 0 , 2η00 + η11 + η22 > 0 ,
, ,
η11 < −η22 ,
η00 − η33 < η11 + η22 ,
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(52)
(53)
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M. Ramírez G.
REFERENCIAS [1] D. B. Lichtenberg, “Unitary Symmetry and Elementary Particles”, Segunda edición,1978, Edit Academic Press, Pag. 3. [2] R. M. F. Houtappel, H. Van Dam, E. P. Wigner, Rev. Mod. Phys. 37, 4 (1965). [3] J. F. Gunion, H. E. Haber, G. L. Kane, S. Dawson, The Higgs hounter’s guide. [4] S.R. Juárez W., P. Kielanowski, D. Morales C., AIPConf. Proc. 1259 (2010) 119. [5] G.C. Branco, et al., Theory and phenomenology of two-Higgs-doublet models, Physics Reports (2012), doi:10.1016/j.physrep.2012.02.002. [6] C. C. Nishi, Phys. Rev. D 74 (2006) 036003, arXiv:hep-ph/0702098. C. C. Nishi, Phys. Rev. D 76 (2007) 119901, Erratum. [7] E. Ma, M. Manitis, Phys. Lett. B 683 (2010) 33-38. [8] J. F. Gunion and H. E: Haber, Phys. D 67 (2003) 075019. [9] D. Morales Cruz, “El modelo estándar: fundamentos e inovaciones”, Tesis de maestría, ESFM, IPN, marzo 2008.
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La Acción Completa para un Sistema de Partículas Cargadas en Relatividad Especial Adriana Ávalos-Vargas Departamento de Física, ESFM-IPN, México D.F., México E-mail: gonzalo@esfm.ipn.mx (Recibido el 2 de Febrero de 2014; aceptado el 17 de Marzo de 2014)
Resumen Una acción para un sistema de partículas cargadas en relatividad especial es propuesta. La acción tiene la particularidad de permitir realizar las derivadas funcionales de las trayectorias y los campos al mismo tiempo. Se obtienen las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de movimiento para cada una de las partículas incluyendo el frenado por radiación. El resultado es enriquecido al utilizar el método de Landau-Lifshitz para obtener ecuaciones de movimiento de segundo orden. Palabras clave: Acción, electrodinámica clásica, auto-fuerza
Abstract An Action for a system of charged particles in Special Relativity is proposed. The action possesses the particularity of allowing functional derivatives of the trajectories and the fields at the same time. Maxwell equations and the equation of motion with self-force for each particle are obtained. The result is enriched by using the Landau-Lifshitz method in order to obtain motion equations of second order.. Keywords: Action, Classical Electrodynamics, self-force. PACS: 01.30.Os, 01.40.–d, 45.20.d-, 01.40gb ISSN 1870-9095
las ecuaciones de movimiento, se debe calcular la autofuerza. En la sección III, se obtiene el término de radiación para cada una de las partículas y se desarrolla el método de Landau-Lifshitz para obtener el término de frenado por radiación para cada una de las partículas. Se realiza una discusión de los resultados en la sección IV. Finalmente en la conclusión, sección V, se describe la forma y dificultades para generalizar los resultados a relatividad general.
I. INTRODUCCIÓN La electrodinámica clásica representa una de las teorías aparentemente más consistentes de la física relativista. Sin embargo, varios problemas inherentes a la propia teoría no han sido resueltos; a saber: el problema de no interacción [1] que implica la no existencia de un hamiltoniano que describa covariantemente el movimiento de partículas que interactúan entre sí, la descripción de la fuerza de autofrenado [2] que se deduzca de una teoría general y no de una adición al propio modelo electrodinámico, y la existencia de una acción completa de un sistema de partículas cargadas [3] que describa al mismo tiempo la dinámica de las partículas y el comportamiento de los campos. El propósito de este artículo consistirá en proponer una acción completa para un sistema de partículas cargadas en relatividad especial que pueda variarse al mismo tiempo la trayectoria de las partículas y los campos a través de sus potenciales. Se obtendrán entonces las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones de movimiento para cada una de las partículas incluyendo el término de frenado por radiación. El trabajo se organiza de la siguiente manera: en la sección II, se propone la acción para un sistema de partículas cargadas en relatividad especial. Se realiza la variación simultánea de las trayectorias y los campos obteniéndose las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones de movimiento para cada una de las partículas cargadas. Se muestra que en T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
II. ACCIÓN PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS CARGADAS EN RELATIVIDAD ESPECIAL Es muy frecuente encontrar formulaciones lagrangianas para obtener la ecuación de movimiento de una partícula cargada y también para deducir las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, en todas ellas se propone una acción como la suma de la acción de las partículas libres, energía cinética, la acción debido a la interacción entre partículas y la propia acción de los campos. Para obtener las ecuaciones de movimiento se varía la trayectoria de las partículas y los potenciales se consideran dependientes de las trayectorias de las partículas. También se varían los potenciales considerándolos independientes de las trayectorias de las partículas para obtener las ecuaciones de Maxwell. Este tratamiento es incorrecto pues en una acción se deben proponer las funciones de variación en forma independiente. Demos un ejemplo de ello: sea una acción 7
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Adriana Ávalos-Vargas
∫ dx
con funciones x y y independientes. La acción puede ser descrita por
S=
S = ∫ L( x, y, t )dt.
∞ n 4 dp x z ( ) δ − ∑ i ∫ i=1 −∞ µ ν dz dzi − mi nµν i , dp dp µ dz α i + qi Aα ( x) g i µ ( x, zi ) dp 1 F αβ Fαβ − 16π
todo el 4−espacio
(1)
Al variarla obtenemos
∂L
∂L
δS = ∫ δx + δy dt. ∂y ∂x
(2)
Sin embargo, no podemos realizar la variación de la siguiente manera,
∂L
∂L ∂y
δS = ∫ δx + δx dt. ∂y ∂x ∂x
(3)
donde se ha tenido que introducir al bi-tensor propagador en paralelo g i para poder definir el producto entre la velocidad y el potencial para poder representar la densidad lagrangiana de interacción como un escalar, y el tensor Fαβ es igual a
En efecto, o se considera que y es función de t o de x, pero no podemos considerar los dos casos a la vez. Esto es equivalente a lo que se hace en electrodinámica clásica [3], [4]. Además el método no permite identificar o deducir la fuerza de frenado y por ello Hammond [2] ha indicado que la fuerza de frenado se pone de manera artificial. Por ello propondremos una acción en la que se pueda variar las trayectorias y los potenciales en forma simultánea.
F αβ =
ea
⇒
g
α
µ
α a a µ
=e e .
∀i y j ⇒
∫ dx
(7)
4
todo el 4−espacio ∞ n δ ( x − zi ) ∫−∞dp∑ i =1 dziµ dδzνi nµν dp dp − mi dziλ dziρ nλρ dp dp dδzνi α q A g x z ( , ) + + i α i ν i dp dzν + qi g iα ν ( x, zi ) i δAα dp ∞ n + dp δzν ∂ δ ( x − z ) i i −∫∞ ∑ ∂zνi i =1 µ λ − m n dzi dzi µλ i dp dp µ + q A g α ( x, z ) dzi i i α i µ dp 1 αβ F δFαβ − 8π
(4)
(5)
Hay que hacer notar que al aplicar el transportador en paralelo a un tensor en z i se obtiene el tensor en x transportado en paralelo. Con estas definiciones ya estamos en condiciones de expresar nuestra acción. B. La acción completa Se propone una acción que se varíen las trayectorias z i y los potenciales A i simultáneamente. Esto implica que no se puede expresar a los potenciales como función de las trayectorias y por ello se utiliza el propagador en paralelo. La acción propuesta es T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
(7)
∂ α g j a ( x, z j ) = 0. ∂zi δS =
Pero como vamos a tener que definir las tétradas para cada una de las partículas, nos conviene expresarlas como
g iα a = eiα a ( x)eia µ ( zi ) .
∂A β ∂Aα . − ∂xα ∂x β
Variación y ecuaciones Antes de realizar la variación de la acción, debemos resaltar ciertos resultados.
A. Tétradas y propagador en paralelo Para poder proponer una acción completa tendremos que definir ciertas herramientas matemáticas que nos permitirán obtener el resultado deseado. Consideremos entonces una tétrada, una base ortogonal, en la trayectoria de cada una de las partículas y transportémosla en paralelo hasta el punto x, de donde podemos definir el propagador en paralelo; es decir: α
4
8
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La Acción Completa para un Sistema de Partículas Cargadas en Relatividad Especial
III. AUTO-FUERZA Y MÉTODO DE LANDAULIFSHITZ
De los términos con variaciones de los potenciales, considerando una integral por partes, se obtienen las ecuaciones de Maxwell; es decir:
A. AUTO-FUERZA
αβ
∂F = 4π j α o ∆2 Aα = 4π j α , β ∂x
El anterior procedimiento nos permitió encontrar a las ecuaciones de Maxwell junto con las ecuaciones de movimiento para cada una de las partículas. Analicemos primero la fuerza de Lorentz regular debido a la acción de las demás partículas sobre la partícula considerada,
(11)
donde es el D’Alembertiano y jes el 4-vector de densidad de corriente representado por n
∞
i =1
−∞
j α = ∑ jiα y jiα =
α ∫ qi g i µ
dziµ δ ( x − zi )dp. (12) dp
n
f i µ = qi ∑ F jµν
Por otro lado si nos fijamos en la variación con respecto a las trayectorias obtenemos la ecuación de Lorentz para cada una de las partículas pero con la diferencia que la autofuerza aparece en uno de los términos; es decir:
mi
ν d 2 ziµ µ dz i . = q F ν i dτ i2 dτ i
j ≠i
Fi
n
(13)
= ∑ Fi
β
∂F α ⇒ i β = 4π jiα o ∆2 Aiα = 4π jiα . ∂x
αβ
i =1
(12) Es decir, 2
mi
µ
n
n
= qi ∑ F jµν j ≠i
•µ maiµ = qi f i µ + τ m a i + ai2 v µ ,
ν
d zi dz = qi ∑ F jµν i 2 dτ i dτ i j =1 dzνi dzν + qi Fi µν i . dτ i dτ i
(15)
Donde τ = (2/3)(e2/m) representa al tiempo característico de la carga q i .
(13)
B. Método de Landau-Lifshitz Finalmente, esta ecuación (15) presenta ciertas dificultades. El hecho que sea una ecuación de tercer orden representa un hecho inédito y acarrea una serie de inconvenientes físicos pues en mecánica clásica, incluyendo la parte relativista, las ecuaciones son de segundo orden y por ende en consistencia con la primera ley de Newton. Al ser de tercer orden aparecen las llamadas auto-aceleraciones y preaceleraciones. Para eliminar el carácter de ecuación de tercer orden de (15) debemos utilizar el método de LandauLifshitz que consiste en sustituir la aceleración de la partícula en el lado derecho de (15) por la fuerza aplicada debido a las demás partículas; es decir:
La primera sumatoria corresponde a la fuerza ejercida sobre la i-ésima partícula debido a las demás partículas cargadas. Pero el último término corresponde a la auto-fuerza. Finalmente podemos resaltar que al variar la acción descrita en (6) se obtienen las ecuaciones de Maxwell y de movimiento para cada una de las partículas incluyendo la auto-fuerza. La descripción de la auto-fuerza la daremos en la siguiente sección.
T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
(14)
Este término se calcula de manera regular; es decir por medio de los potenciales retrasados. Sin embargo, el término de auto-fuerza presenta una dificultad inherente. En primera instancia debido al término de tipo culómbico aparecerá una divergencia. Por ello hay que realizar una renormalización. El primero en realizarla fue Dirac [5] quien, en 1938, logró encontrar una ecuación de movimiento dado un campo externo para una partícula cargada. Su método consiste en calcular la energía-momentum cedida al espacio debido a la aceleración de la partícula cargada. Sin embargo se han realizado renormalizaciones que de alguna manera esconden el problema [6], pero que simplemente eliminan la divergencia. Un método más sofisticado, ha sido desarrollado por Detweiler y Whiting [7], [8] y consiste en proponer una función de Green, llamada regular, la cual no presenta tal divergencia. El resultado es:
En primera instancia uno podría pensar que se llegó a la ecuación de Lorentz para cada una de las partículas cargadas, sin embargo si se analiza al tensor F a fondo a partir de las ecuaciones de Maxwell, representadas en (9), podremos ver que el auto-campo está incluido. En efecto, por la linealidad de estas últimas podemos representar al tensor F de la siguiente manera: αβ
dzνi , dτ i
9
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•µ 1 maiµ = f i µ + τ f i + f i 2 v µ . m
de masa y que los errores debido a su estructura son despreciables carecen de sentido. Por lo tanto el estudio de una lagrangiana no de partículas puntuales sino de densidades de masa debe ser obtenido. La mejor manera de obtenerlo consiste en partir de nuestra lagrangiana y generalizarla a partículas con estructura. Sin embargo, se tiene que ligar la estructura de la masa con la de la carga. Desde el principio de la relatividad y el estudio del frenado por radiación se propusieron varios modelos que explicaran la estructura del electrón pero sin éxito. Un ejemplo típico fueron los tensores de Poincarré que no pudieron nunca presentarse en forma covariante y además nunca tuvieron una base experimental para poderlos aceptar. El tema de la estructura de las cargas sigue siendo un tema abierto en electrodinámica clásica y relatividad general.
(16)
IV. DISCUSIÓN Hemos podido encontrar una acción que cumple con los siguientes puntos: 1- Es completa en el sentido que se varían en forma simultánea tanto las trayectorias de las partículas como los potenciales. 2- Al mismo tiempo que se obtienen las ecuaciones de Maxwell, se deducen las ecuaciones de movimiento para cada una de las partículas cargadas. 3- Se obtiene de manera natural la auto-fuerza. Las consecuencias de este resultado son importantes pues se logró encontrar una forma consistente de la electrodinámica. Sin embargo, el cálculo de la auto-fuerza y la aplicación del método de Landau y Lifshitz [3], presentan todavía una serie de discusiones sobre su validez. Todo parece indicar que los resultados son válidos a orden 2 en un desarrollo con respecto a la carga de la partícula, pero también el carácter puntual de las partículas cargadas se pone en duda debido a los conceptos de la gravitación. Por otro lado, aún viendo a la ecuación (16) como una aproximación, esta última es válida para utilizarla en la física de plasmas. Sus implicaciones pueden ayudar bastante en el entendimiento de la estabilidad de las órbitas y por ello el resultado de Landau y Lifshitz es importante.
REFERENCIAS [1] D.G. Currie, T.F. Jordan and E.C.G. Sudarshan, Relativistic invariance and hamiltonian theories of interacting particles, Rev Mod Phys vol. 35, no. 2, pp. 350–375, 1963. [2] R.T. Hammond, Relativistic particle motion and radiation reaction in electrodynamics, EJTP vol. 7, no. 3, pp. 221–258, 2010. [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon, London, 1962) 2nd. edn., §76. [4] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity (John Wiley & Sons, New York, 1972) pp. 211-261. [5] P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London A vol. 167, pp. 148–169, 1938. [6] J.L. Synge, Ann. Math. Pura Appl. vol. 84, pp. 33, 1970. [7] S. Detweiler and B. F. Whiting, “Self-force via a Green’s function decomposition”, Phys. Rev. D, vol 67, pp. 024025, 2003. [8] E. Poisson, A. Pound and I. Vega, “The Motion of Point Particles in Curved Spacetime,” Living Rev. Relativity, vol. 14, no 7, pp. 1-190, 2011.
V. CONCLUSIONES Una vez que hemos encontrado la acción que cumple con todas las características de la sección de discusión, podemos llegar a las siguientes conclusiones. Dada la densidad lagrangiana podríamos obtener una densidad hamiltoniana y realizar un análisis con respecto al teorema de no interacción. Por otro lado se sentaron las bases para obtener una acción en relatividad general. Aunque la obtención de la auto-fuerza eléctrica y la gravitacional pueden obtenerse bajo ciertas condiciones con aproximaciones lineales, su deducción no es un trabajo aparentemente fácil pues se deberá incluir los términos electromagnéticos en el tensor de energía-momentum. Queremos hacer notar que el concepto de partícula puntual de la relatividad especial no puede ser generalizado en forma directa a relatividad general. En efecto, una partícula puntual será siempre un hoyo negro cuando la teoría de la gravitación se tiene en cuenta. Sin embargo, para este tipo de aproximaciones la consideración puntual representa un buen modelo mientras no se conozca la estructura de las cargas. El teorema de no interacción implica también la imposibilidad de encontrar un centro de masa de un sistema de partículas o de una densidad de masa. Por lo que el considerar que una partícula está representada por su centro T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
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La Acción Completa para un Sistema de Partículas Cargadas en Relatividad General Adriana Ávalos-Vargas Departamento de Física, ESFM-IPN, México D.F., México E-mail: gonzalo@esfm.ipn.mx (Recibido el 2 de Febrero de 2014; aceptado el 17 de Marzo de 2014)
Resumen Una acción para un sistema de partículas cargadas en relatividad general es propuesta. La acción tiene la particularidad de permitir realizar las derivadas funcionales de las trayectorias y los campos al mismo tiempo. Se obtienen las ecuaciones de Maxwell en relatividad general, Las ecuaciones de Einstein y la ecuación de movimiento para cada una de las partículas en relatividad general incluyendo el frenado por radiación y el frenado por auto-campo gravitatorio. El resultado es enriquecido al utilizar el método de Landau-Lifshitz para obtener ecuaciones de movimiento de segundo orden y la ecuación de MiSaTaQuWa para el auto-campo gravitacional. Palabras clave: Acción, auto-fuerza electromagnética, auto-fuerza gravitacional
Abstract An Action for a system of charged particles in General Relativity is proposed. The action possesses the particularity of allowing functional derivatives of the trajectories and the fields at the same time. Maxwell equations, Einstein equations and the equation of motion with self-forces, both electromagnetic and gravitacional, for each particle are obtained. The result is enriched by using the Landau-Lifshitz method in order to obtain motion equations of second order and the MiSaTaQuWa like equation for the gravitacional self-field. Keywords: Action, electromagnetic self-force, gravitational self-force. PACS: 01.30.Os, 01.40.–d, 45.20.d-, 01.40gb ISSN 1870-9095
campo gravitacional externo y de olvidarse de las cargas de las partículas. El propósito de este artículo consistirá en proponer una acción completa para un sistema de partículas cargadas en relatividad general que pueda variarse al mismo tiempo la trayectoria de las partículas, los campos electromagnéticos a través de sus potenciales y los campos gravitacionales. Se obtendrán entonces las ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones de Einstein y las ecuaciones de movimiento para cada una de las partículas incluyendo los términos de frenado por radiación y auto-fuerza gravitacional. Sin embargo, las auto-fuerzas sólo se especificarán en forma y no explícitamente debido a las dificultades mencionadas en su cálculo. El trabajo se organiza de la siguiente manera: en la sección II, se propone la acción para un sistema de partículas cargadas en relatividad general. Se realiza la variación simultánea de las trayectorias y los campos obteniéndose las ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones de Einstein y las ecuaciones de movimiento para cada una de las partículas cargadas. Se muestra que en las ecuaciones de movimiento, se debe calcular las auto-fuerzas, electromagnéticas y gravitacionales. En la sección III, se discute los métodos para poder obtener los términos de frenado, electromagnéticos y gravitacionales. Se realiza una discusión de los resultados en la sección IV. Finalmente en la conclusión, sección V, se describe el trabajo por realizar
I. INTRODUCCIÓN La teoría de gravitación desarrollada por Einstein en el primer cuarto del siglo XX es considerada como una teoría cerrada y consistente. Sin embargo, cuando se consideran los efectos por auto-frenado por gravitación o por radiación electromagnética, la teoría presenta dificultades. En efecto en ambas teorías las auto-fuerzas son añadidas al modelo en forma artificial y presentan contradicciones físicas fundamentales; a saber: las auto-aceleraciones y preaceleraciones, las divergencias en la deducción, o sea las renormalizaciones. Sin embargo, por medio del método de Landau-Lifshitz, las auto-aceleraciones y preaceleraciones desaparecen y además el método Detweiler y Whiting [1] es capaz de eliminar a las divergencias de manera natural. Sin embargo, varios problemas persisten. La no completes de la teoría pudiera ser resuelta de la misma manera que se realizó en un trabajo relacionado sólo con la relatividad especial [2]. La no linealidad de las ecuaciones de Einstein representa el problema mayor para poder calcar a relatividad general el procedimiento de la teoría de la relatividad especial. Además los términos de auto-fuerza, representados en ecuación de MiSataQuWa [3], se derivan de consideraciones muy fuertes como la posibilidad de linealizar [3] las ecuaciones de Einstein a partir de un T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
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Por otro lado, cuando nos refiramos a funcionalidades de x, utilizaremos los subíndices α, β, γ, ρ, κ, etc. Cuando nos refiramos a funcionalidades de z i , utilizaremos los subíndices µ, ν, σ, ρ, etc. Con estas definiciones ya estamos en condiciones de expresar nuestra acción.
para obtener la forma de las ecuaciones de movimiento para cada una de las partículas.
II. ACCIÓN PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS CARGADAS EN RELATIVIDAD GENERAL
B. La acción completa Se propone una acción que se varíen las trayectorias z i , αβ los potenciales A i y los campos gravitacionales g simultáneamente. Esto implica por ejemplo que no se pueden expresar a los potenciales como funciones de las trayectorias y por ello se utiliza el propagador en paralelo [3]. La acción propuesta es
Es muy frecuente encontrar formulaciones lagrangianas para obtener la ecuación de movimiento de una partícula cargada y también para deducir las ecuaciones de Maxwell [4], [5]. Sin embargo, en todas ellas se propone una acción como la suma de la acción de las partículas libres, energía cinética, la acción debido a la interacción entre partículas y la propia acción de los campos. Para obtener las ecuaciones de movimiento se varía la trayectoria de las partículas y los potenciales se consideran dependientes de las trayectorias de las partículas. También se varían los potenciales considerándolos independientes de las trayectorias de las partículas para obtener las ecuaciones de Maxwell. Este tratamiento es incorrecto pues en una acción se deben proponer las funciones de variación en forma independiente. De hecho en un trabajo de esta reunión [2] se resuelve el problema en relatividad especial para un sistema de partículas. Pero cuando la gravitación interviene el problema se complica mucho más debido a la no linealidad de las ecuaciones de Einstein y de la forma covariante que debe tener la acción.
S=
⇒
g α iµ = eiaα ( x)eiaµ ( zi ) .
∞ n δ 4 ( x − zi ) dp ∫−∞ ∑ −g i =1 µ ν dz dzi − mi − gαβ ( x) g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) i dp dp , dziµ α + qi Aα ( x) g µ ( x, zi ) dp 1 F αβ ( x) Fαβ ( x) − 16π + R( x)
(3) donde se ha tenido que introducir al bi-tensor transportador en paralelo gα µ para poder obtener cantidades escalares en la densidad lagrangiana de interacción, R representa al escalar de curvatura y el tensor Fαβ se expresa en función de los potenciales electromagnéticos A,
F αβ = A β;α − Aα;β =
(1)
El subíndice “i” se ha introducido para poder definir las tétradas para cada una de las partículas. Por otro lado ya indicamos que sólo podemos definir las tétradas en forma local para evitar la no unicidad de las geodésicas. Sin embargo, como veremos el uso de transportadores vendrá siempre acompañado de la Delta de Dirac y por lo tanto podemos utilizarlos sin caer en un error. Por otro lado, ya veremos que siempre que se varíe el tensor métrico se variará la tétrada. Sin embargo, al considerar la variación de la tétrada se podrá siempre expresar como proporcional a la variación del tensor métrico y no aparecerá la variación de la tétrada al final. Por lo que los subíndices “i” podrán omitirse y nos conviene expresarlas simplemente como
g α µ = eα a ( x )e a µ ( z i ) .
− g dx 4
V4
A. Tétradas y propagador en paralelo Para poder proponer una acción completa tendremos que definir ciertas herramientas matemáticas que nos permitirán obtener el resultado deseado. Consideremos entonces una tétrada, una base ortogonal, en la trayectoria de cada una de las partículas y transportémosla en paralelo hasta el punto x. El punto x debe estar suficientemente cercano a la trayectoria de la partícula para tener geodésicas únicas, de donde podemos definir el propagador en paralelo; es decir:
eiaα
∫
∂A β ∂Aα . − ∂xα ∂x β
(4)
C. Variaciones y ecuaciones Para obtener la variación de S, S, debemos variar S con respecto a g z i y A . Para ello realizaremos variaciones parciales de las distintas acciones de la acción total; es decir: SGg se referirá a la variación de la acción del campo gravitatorio con respecto al tensor métrico; SFA se referirá a la variación de la acción del campo electromagnético con respecto al potencial A, etc. Debemos señalar que por ahorro de escritura cuando estemos variando con respecto a una variable, no indicaremos en la variación la variable pues se obvia la indicación; es decir: en vez de poner z H, pondremos nada más Realicemos la variación de la acción de la gravedad con respecto al tensor métrico,
(2)
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12
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SG = −
Por otro lado, necesitamos tener
1 R − g dx 4 . 4 ∫ V 16πG
(7)
g 'αδ g 'δβ = δ αβ ,
La variación, con respecto al tensor métrico, es
δS Gg = −
{ (
)
Sin embargo de (13), tenemos
(
)
g 'αδ g 'δβ = g αδ + g αε g γδ δg εγ (g δβ + δg δβ )
}
− g + (δR ) − g dx 4 .
1 Rδ 16πG ∫V 4
(14)
α β
αδ
αε
(8)
= δ + g δg δβ + g δg εβ
Tenemos
+ g αε g γδ δg εγ δg δβ
(
αβ
R = g Rαβ ⇒ δR = δg ⇒
(
δ (R − g ) = R δ − g
((
)
αβ
)R
Lo cual no coincide con (14). La consecuencia de esto es clara: las variaciones contravariantes del tensor métrico no se obtienen de aplicar directamente el tensor métrico no variado directamente. Para obtener la forma covariante de la variación del tensor métrico, se usa la propiedad de la inversa; es decir:
αβ
+ g (δRαβ )
αβ
)
. (9)
+ − g δg αβ Rαβ + g αβ (δRαβ )
)
Rαβ = R
αδβ
(
)
g αδ g δβ = δ αβ ⇒ δ g αδ g δβ = 0
( )
⇒ δ g αδ g δβ + g αδ δ (g δβ ) = 0
Analicemos primero la variación de R αβ , δ
(15)
( ) δ (g )
( )
⇒ δg αε = δ εδ δ g αδ = g εβ g δβ δ g αδ
δ δ ∂Γαβ ∂Γαδ ε ε = − δ + Γαδ Γβεδ − Γαβ Γδεδ (10) ∂x β ∂x
= − g εβ g αδ
.
(16)
δβ
Queremos obtener la variación de R pero debemos analizar varios resultados para no cometer errores. Efectivamente, veamos primero que la variación de un vector derivado covariantemente no es lo mismo que la derivada covariante de una variación de un vector. Lo cual si sucede cuando se toma simplemente la derivada parcial.
Ya estamos entonces en condiciones de calcular la variación de las conexiones afines Tenemos
∂V α + Γεβα V ε ∂x β ∂ δV α α ⇒ δV ;β = + Γεβα δV ε β ∂x y en cambio
δ δΓαβ = δ (g δε )
δ Γαβ =
)
(
)
(
β
α εβ
+
. (11)
( ) ∂(∂δxV ) + Γ (δV ) + (δΓ )V
⇒ δ V;βα =
α
ε
α εβ
α
;β
( )
≠ δ V;βα .
ε
,
∂g εβ ∂g εα ∂gαβ + β − ε α ∂x ∂x ∂x
1 2
∂δg εβ ∂δg εα ∂δgαβ 1 + g δε + − α β 2 x x ∂ ∂ ∂x ε
∂g εβ ∂g εα ∂gαβ + β − ε α ∂x ∂x ∂x
δ κ δΓαβ = − g δγ δ (g γκ )Γαβ
∂δg εβ ∂δg εα ∂δgαβ 1 + g δε + − α 2 ∂x β ∂x ε ∂x
(13)
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(18
) Utilizando a la definición de la conexión afín, ecuación (17), se tiene
Veamos ahora la relación entre la variación de la métrica contravariante y la variación de la métrica covariante. Primero veamos que si se toma una métrica g’ αβ = g αβ + δg αβ , entonces para subir índices se tendría que αδ εβ aplicar el tensor g g ; es decir:
= g αβ + g αδ g εβ δg δε
(17)
δ δΓαβ = − g δγ g κε δ (g γκ )
(12)
g αδ g εβ g 'δε = g αδ g εβ ( g δε + δg δε )
1 δε ∂δg εβ ∂δg εα ∂δgαβ g + − α 2 ∂x β ∂x ε ∂x
.
Utilizando a (16), llegamos a
Lo cual implica que
(δV )
∂g εβ ∂g εα ∂gαβ + β − ε α ∂x ∂x ∂x
1 2
)
⇒
V α ;β =
(
1 δε ∂g εβ ∂g εα ∂gαβ g α + β − ε 2 ∂x ∂x ∂x
κ
. (19)
Podemos ver que δΓ αβ es un tensor. En efecto, 13
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Adriana Ávalos-Vargas δ αβ
δΓ
(
1 = g δε (δg εβ ;α + δg εα ;β − δgαβ ;ε ) . 2
(20)
δ
Lo que implica que δΓ αβ es un tensor. Por lo tanto, la variación de R αβ es δ δ ∂δΓαβ ∂δΓαδ ε ε δRαβ = − + δΓαδ Γβεδ + Γαδ δΓβεδ ∂x β ∂x δ ε ε . − δΓαβ Γδεδ − Γαβ δΓδεδ
(
( ) = (δΓ )
(
δ αδ ;β
)
(
)
δ − (δΓαβ ) ;δ
R αβ −
(21)
))
δ δ . − g g αβ δRαβ = − g g αβ δΓαδ − g αβ δΓαβ ;β ;δ
(22) Por otro lado, usando la identidad
(
)
α 1 ∂ − gV , ∂xα −g
V ;αα =
− g g δRαβ ∂ − δ ∂x
(
∂ = β ∂x αβ
δ αβ
− g g δΓ
(
αβ
δ αδ
− g g δΓ
)
SM =
)
δ (− g )
.
(28)
y δ ln − g = g µν δg µν
∞
n
−∞
i =1
− g dx 4 ∫ dp ∑ δ 4 ( x − zi )
dziµ dzνi β α − mi − gαβ ( x) g µ ( x, zi ) g ν ( x, zi ) dp dp
(24)
(− g ) ⇒ δ (− g ) = (− g )g µν δg µν
(29)
Si queremos variar con respecto al tensor métrico, nos encontraremos ahora con el problema de cómo variar a los transportadores en paralelo. En efecto, cuando variamos el tensor métrico, las tétradas que generan al transportador en paralelo también variarán pues las geodésicas a su vez lo harán. Tendríamos entonces que encontrar la dependencia entre la variación del tensor métrico, la variación del transportador en paralelo y la variación de las tétradas. Sin embargo, como veremos a continuación es más fácil expresar la variación del tensor métrico en función de la variación de la tétrada que al revés. En efecto,
.
(25) Por lo tanto
δ −g =
∫
V4
Este término se anula cuando se integra sobre todo el espacio. Regresando a (9), es claro que necesitamos 1/2 conocer δ((−g) ), para ello tendremos que analizar ciertas identidades.
δ ln − g =
1 αβ Rg = 0 . 2
Si regresamos a (3) y si nos fijamos simplemente en la acción de las partículas, tenemos
(23)
se obtiene αβ
)
Estas ecuaciones representan a las ecuaciones de Einstein en el vacío como era de esperar. Pero las tenemos que combinar dentro de una acción total y entonces aparecerán otros términos como el tensor de energía-momentum. El siguiente paso es analizar como es la variación de la acción de las partículas con respecto a la variación del tensor métrico.
Si regresamos a (9), el último término se escribe como
) (
(
(27) Si consideráramos el vacío entonces tendríamos
)
((
)
R δ − g 4 1 αβ δS Gg = − dx δ g R αβ 16πG ∫V 4 + − g + g αβ (δR ) αβ . R αβ 1 = − g 1 αβ δgαβ dx 4 4 ∫ 16πG V − Rg 2
gαβ eaα ebβ = nab
( ) ⇒ δ (g )e e = − g δ (e )e = − g (e δe + e δe )
1 1 (− g )− 2 δg = 1 − g g µν δg µν . 2 2
⇒ δ gαβ eaα ebβ = 0
(26) Utilizando (16) y (26), tenemos que (8) se transforma en
αβ
αβ
α
β
a
b
αβ
β
α
α
β
b
a
a
b
α
β
a
b
( )
− gαβ eaα δ ebβ
. (30)
Por otro lado,
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14
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La Acción Completa para un Sistema de Partículas Cargadas en Relatividad General α δ
β ε
a α b β δ a ε b
δg δε = δ δ δgαβ = e e e e δgαβ
(
= eδa eεb eaα ebβ δgαβ
(
)
= −eδa eεb gαβ ebβ δeaα + eaα δebβ
( ) ( = −(δ )g e δe − (δ )g = −(g e δe ) − (g )e δe = −(g e + g e )δe
= − eεb ebβ gαβ eδaδeaα − eδa eaα β ε
a
αβ δ
a
αε δ
α
α δ
a
α
a
δα ε
b
δβ
a
a
εα δ
ε
) )g
Sabemos como se varía el tensor métrico y simplemente tendremos que utilizar a (31) después de variar con respecto al tensor métrico. Sin embargo, el problema aparece cuando tenemos que variar a gpues tenemos que variar de la siguiente manera
e bδebβ . (31)
αβ ε
δg µα ( x, zi ) = (δeaα ( x) )eµa ( zi ) + eaα ( x)(δ eµa ( zi ) ) .
e bδebβ
αβ ε
La primera variación es natural y no representa ningún problema. Sin embargo, la segunda variación debe ser analizada desde un punto de vista conceptual. Si varío las tétradas estoy variando también la tétrada en la trayectoria de la partícula. Aunque la trayectoria no se varía cuando se varía la tétrada o el tensor métrico, la tétrada en la trayectoria sufre una variación pues esta última se construye a partir de considerar la velocidad con respecto al tiempo propio que depende del tensor métrico; es decir:
β
b
α
a
Finalmente, podemos expresar a la variación de la acción del campo gravitatorio en función de la variación de la tétrada; es decir
Rαβ 1 δS G = − g 1 αβ δgαβ dx 4 4 ∫ 16πG V − Rg 2 =−
=−
=−
1 16πG ∫V 4 1 16πG ∫V 4 1 8πG ∫V 4
δeµa ( zi ) = (δeµa ( x) )x= z
Rαβ − g 1 αβ gαδ eβa + g βδ eαa δeaδ dx 4 − Rg 2
(
)
R βδ eβa δeaδ + R αδ eαa δeaδ − g R β a δ R α a δ dx 4 − δ δ eβ δea − δ δ eα δea 2 2 1 − g R βδ − δ δβ R eβa δeaδ dx 4 2
(35) i
Sin embargo, como la variación está sujeta a una integral que incluye una Delta de Dirac, se puede considerar que el subíndice x = z i puede ser despreciado en (35), por lo que la variación de (33) es
δ (gαβ ( x) g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) ) =
δ (gαβ ( x) )g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi )
(
) ( x, z )δ (g
+ gαβ ( x)δ g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) + gαβ ( x) g αµ
i
β ν
( x, z i )
.
(36)
)
El primer término de (36) lo podemos calcular utilizando a (31), es decir
(32)
(
Aunque encontramos el mismo resultado que en (28), se está cometiendo un error básico pues la tétrada no está bien definida para cualquier x. En efecto, uno no puede asegurar globalmente que las geodésicas sean únicas y por lo tanto la representación del tensor métrico por medio de las tétradas sólo tiene sentido en la vecindad de la trayectoria de las partículas. Cabe hacer notar que en la acción de la gravedad no aparece ninguna Delta de Dirac, por lo que variar con respecto a la tétrada está mal definido en este caso. Lo que nos obliga a tener que expresar la variación de la acción de las partículas en función de la variación del tensor métrico. Sin embargo, en la acción de las partículas existe una Delta de Dirac, lo que permite utilizar el formalismo de las tétradas siempre y cuando al final podamos expresar la variación en función de la variación del tensor métrico para poder considerar una sola variación de la acción de la gravedad y de las partículas en función de la variación del tensor métrico. Ahora bien regresemos a la acción de las partículas, ecuación (29). Si analizamos (29), observamos que el término a variar cuando se varían las tétradas es
gαβ ( x) g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) .
)
− gαδ eβa + g βδ eαa δeaδ g µα gνβ .
(37)
Los segundo y tercer términos se anulan pues al variarlos sin considerar x = z i antes de la variación aparecen deltas de Kronecker que al variarlas se cancelan. Tenemos pues que
(33)
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(34)
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Adriana Ávalos-Vargas
δS Mg =
∫
V4
∞
n
− g dx 4 ∫ dp ∑
δ 4 ( x − zi )
i =1
−∞
−g
=
∫
− g dx
V4
∞
n
−∞
i =1
∫ dp∑
δ 4 ( x − zi ) −g
gαδ eβa + g βδ eαa δeaδ g µα gνβ − mi dziµ dzνi 2 − g µν ( x) dp dp
(
=
∫ V
)
− g dx
4
4
∞
n
−∞
i =1
∫ dp∑
SI =
δ 4 ( x − zi ) −g
SF =
αβ
=
−∞
−g .
F αβ Fαβ = g αδ g βε Fδε Fαβ .
(43)
Por lo que la variación es
(δF )F αβ
(39)
αβ
(
(
)
= − F ακ g βη δgηκ + F βπ g ακ δgηκ Fαβ η
κ
)
η
= − F ακ Fα − F βη Fβ δgηκ = −2 Fα F ακ δgηκ
4
( x, z i ) .
δS Fg = −
1 δ ∫ − g dx 4 16π V 4
F αβ ( x) Fαβ ( x) 1 =− 16π
(40)
∞
= ∑ δ 4 ( x, zi ) ∫ dτ i i =1
i =1
(44) Utilizando a la variación de g, ecuación (25), llegamos a
dz µ i dz µ i g µα ( x, zi ) gνβ ( x, zi ) dp dp mi µ dzi dzνi − g µν ( zi ) dp dp n
−∞
δ 4 ( x − zi )
Como hemos dicho la variación de gcon respecto a g es nula, por lo que la acción de interacción no juega un papel en la variación del tensor métrico. Por otro lado, el campo electromagnético se debe escribir como
n
i =1
n
∫ dp∑
(42) .
1 − g dx 4T αβ δgαβ , ∫ 2 V4
∫ dp∑ δ
∞
1 − g dx 4 − F αβ ( x) Fαβ ( x) 16π
∫
V4
donde
TM
4
dziµ α qi Aα ( x) g µ ( x, zi ) dp y
(38) Hemos logrado variar la acción de las partículas y expresarla por medio de la variación del tensor métrico. Finalmente, lo anterior lo podemos escribir de la siguiente manera
∞
∫
− g dx
V4
g µα gνβ mi δgαβ µ ν dz dz 2 − g ( x) i i µν dp dp
δS M =
(41)
Estas ecuaciones representan a las ecuaciones de Einstein sin cargas. Debemos hacer notar que el campo está provocado por todas las partículas con masa y no podemos aislar el campo de cada una por la no linealidad. Además, si queremos considerar las cargas tendremos que obtener el tensor total de energía-momentum. Para ello tendremos que calcular la variación de la interacción entre el campo y las partículas y la variación del término de campo; es decir variando:
dziµ dzνi α β − miδ − gαβ ( x) g µ ( x, zi ) g ν ( x, zi ) dp dp 4
1 αβ Rg + 8πGTMαβ = 0 . 2
R αβ −
∫
V4
. (45)
− ( Fα ε F ακ − g dx 1 αβ εκ δg εκ 2 F Fαβ g 4
Por lo que podemos escribir,
−∞
dz µ i dz µ i α β ( , ) ( , ) m g x z g x z i µ ν i i dτ i dτ i
δS Fg =
(46)
con
Hemos utilizado el tiempo propio de cada partícula. Finalmente si no hubiera carga, tendríamos
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1 − g dx 4TFαβ δgαβ , ∫ 2 V4
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TFαβ =
1 α δβ 1 αβ δε Fδ F − g Fδε F . 4π 4
∞
d
−∞
∞
Por lo que llegamos considerando a un sistema de partículas cargadas y con masa,
R αβ −
(
δS Mz = δ ∫ − g dx V4
n
−∞
i =1
∫ dp∑
∞
)
d − ∫ dxδ ( x − a) f ( x, a ) da −∞ ∞
d = dx(δ ( x − a) f ( x, a) ) da −∫∞ ∞
d − ∫ dxδ ( x − a) f ( x, a ) da −∞ ∂ d = f ( a, a ) − f ( x, a ) x = a ∂a da ∂ = f ( x, a ) x = a ∂x ∞ ∂ = − ∫ f ( x, a) δ ( x − a) dx . ∂x −∞
δ 4 ( x − zi ) −g
n
−∞
i =1
δS Iz = δ ∫ − g dx 4 ∫ dp ∑ V4
(50)
Por lo que la variación de S M con respecto a la Delta de Dirac, quedará como
dziµ dzνi α β − − m g x g x z g x z ( ) ( , ) ( , ) i αβ µ ν i i dp dp . y ∞
−∞
(48) Estas últimas ecuaciones representan a las ecuaciones de Einstein para un sistema de partículas con carga y masa. Ya realizamos la variación con respecto a la tétrada, aunque debido a la delta de Dirac se puede reducir simplemente a la variación con respecto al tensor métrico. Ahora nos falta variar con respecto a las trayectorias y a los potenciales electromagnéticos.------------------------------------------------Sigamos con la variación con respecto a las trayectorias. Si analizamos la acción descrita en (3), nos daremos cuenta que ni el término gravitacional, R, ni el término de campo electromagnético, FF deben ser variados pues no dependen de z i . Tenemos pues, ∞
d
∫ dx da (δ ( x − a) f ( x, a))
=
1 αβ αβ αβ Rg = −8πGT αβ = −8πG TM + TF . 2
4
∫ dx da δ ( x − a) f ( x, a)
(47)
∞
n
−∞
i =1
1 ∂δ ( x − zi ) λ − g ∂x
− g dx 4 ∫ dp ∑
∫
V4
dziµ dzνi λ α β mi − gαβ ( x) g µ ( x, zi ) g ν ( x, zi ) δzi dp dp
δ ( x − zi ) 4
−g
=
µ
dzi α qi Aα ( x) g i µ ( x, zi ) dp
∫ V
4
1 − mi 2
(49) Debemos hacer notar que la función Delta de Dirac se aplica a x o a z i . Pero como la integral es con respecto a p, un parámetro cualquiera que puede ser en cada integral el tiempo propio de las propias partículas, es mejor ver primero la integral en x. Para ello hay que hacer notar el siguiente resultado,
=
∫ V
4
∞
n
−∞
i =1
− g dx 4 ∫ dp ∑
δ ( x − zi ) −g
dz µ ∂ − gαβ ( x) g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) i dp λ ∂x dz µ − gαβ ( x) g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) i dp ∞
n
−∞
i =1
− g dx 4 ∫ dp ∑
λ δzi ν dzi dp
dzνi dp
δ ( x − zi ) −g
∂gαβ ( x) α dz µ dzνi g µ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) i 1 λ dp dp ∂x mi 2 dz µ dzνi − gαβ ( x) g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) i dp dp λ δzi ∂g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) dziµ dzνi 1 gαβ ( x) dp dp ∂x λ mi dziµ dzνi 2 α β g x g x z g x z ( ) ( , ) ( , ) − αβ µ ν i i dp dp Finalmente variando los demás términos tenemos, T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
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(51)
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δS Mz =
∫
V4
m i mi m i
1 2
1 2
n
−∞
i =1
− g dx 4 ∫ dp ∑
∂eaα ( x) a eµ ( z i ) gνβ λ ∂x β + g α ∂ea ( x) e a ( z ) µ ∂x λ ν i δ ( x − zi ) ∂e a ( z ) eaα ( x) µ λ i gνβ ∂z i a α β ∂eν ( z i ) g µ ea ( x ) ∂z iλ
δ ( x − zi ) −g
dziµ dzνi dp dp ∂x λ dziµ dzνi − g µν ( x) dp dp ∂g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) dziµ dzνi gαβ ( x) dp dp λ ∂x λ δzi dziµ dzνi − g µν ( x) dp dp ∂g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi ) dziµ dzνi gαβ ( x) dp dp ∂ziλ dz µ dzνi − g µν ( x) i dp dp ∂gαβ ( x)
1 2
∞
g αµ ( x, zi ) g βν ( x, zi )
gαβ ( x) g αµ ( x, zi ) g βλ ( x, zi ) mi − g µν ( x)
µ
∂eaα ( zi ) a eµ ( zi )δνβ λ ∂zi β α ∂ea ( zi ) a + δ µ ∂z λ eν ( zi ) i = δ ( x − zi ) a eα ( z ) ∂eµ ( zi ) δ β ν a i ∂ziλ a ∂e ( z ) δ µα eaβ ( zi ) ν λ i ∂zi ∂eaα ( zi )eµa ( zi ) β δν ∂ziλ = δ ( x − zi ) β a δ α ∂ea ( zi )eν ( zi ) µ ∂ziλ
λ
dzi dδzi dp dp
dziµ dzνi dp dp
.
(53)
∂δ µα β λ δν ∂z = δ ( x − zi ) i β = 0 δ α ∂δν µ ∂ziλ
(52) Hay que hacer notar que una vez realizada la variación, el transportador en paralelo puede utilizarse en los casos en que se pueda. En efecto, en la raíz no existe problema pero en las derivadas aún no se puede pues no son vectores. Finalmente, debido a la Delta de Dirac, los términos derivados en gse anulan pues se convierten en derivadas de la delta de Kronecker; es decir:
Además una vez hecha la variación, ya se puede aplicar la acción del transportador en paralelo. El resultado es
δS z = i
∫
V4
∞
n
−∞
i =1
− g dx 4 ∫ dp ∑
δ ( x − zi ) −g
1 ∂g µν ( x) dziµ dzνi λ δzi mi λ dτ i dτ i 2 ∂zi µ λ + m g dzi dδzi i µλ dτ i dzi
. (54)
Nótese que ya se cambió el parámetro p por el tiempo propio de cada partícula, . Por otro lado sabemos que
dziµ dδziλ d dziµ λ d 2 ziµ λ δzi − δzi . = 2 dτ i dτ i dτ i dτ i dτ i
(55)
Para integrar, debemos ver que T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
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La Acción Completa para un Sistema de Partículas Cargadas en Relatividad General µ
dzi d δziλ = dτ i dτ i ∂g dzνi dz µ − i δziλ µλ ν ∂zi dτ i dτ i g µλ
d dτ i
µ
dz g µλ i δziλ dτ i
Ahora bien si nos fijamos en la acción de interacción, tenemos . (56)
SI =
n
∫
−∞
V4
δ ( x − zi )
i =1
−g
mi
.
δS Iz =
(57)
1 ∂g µν ∂g λν dziµ dzνi − µ λ ∂x dτ i dτ i 2 ∂x 1 ∂g µν ∂g λν − µ µ ν ∂x dzi dzi 1 2 ∂x λ = 2 1 ∂g µν ∂g λµ dτ i dτ i + − ν . 2 ∂x λ ∂x
i
(58)
∞
n
−∞
i =1
− g dx 4 ∫ dp ∑
todo el 4−espacio
δ ( x − zi )
d 2zµ dz κ dzνi λ − g µλ 2i + Γκνµ i δzi d d d τ τ τ i i i
−g
mi
−g
∞
n
−∞
i =1
∫ dτ i ∑
δ 4 ( x − zi ) −g
(61)
(62)
∂eα ( z )e a ( z ) = δ ( x − z ) a λ µ ∂ z i
. (59)
∂δ µα = δ ( x − z ) λ ∂z i
De donde podemos decir que si no hubiera interacción llegaríamos a:
D µ vi = 0 . dτ
∫
− g dx
4
∂eaα ( x) a eµ ( z ) ∂x λ δ ( x − z ) a ∂e ( z ) eaα ( x) µ λ ∂zi ∂eaα ( z ) a eµ ( z ) λ ∂zi = δ ( x − z ) . a eα ( z ) ∂eµ ( z ) a ∂ziλ
dziµ dzνi dτ i dτ i
dziµ dzνi dτ i dτ i
∫
i =1
Ahora bien, debemos hacer una integral por partes del último término. Sin embargo, primero debemos ver que los términos intermedios se anulan. En efecto,
Por lo que la variación de la acción con respecto a la trayectoria, queda como
δS z =
i
δ 4 ( x − zi )
µ q ∂ A ( x ) g α ( x, z ) dzi i i ∂x λ α i µ dτ i ∂g iα µ ( x, zi ) dziµ λ δzi qi Aα ( x) λ dτ i ∂x . ∂g iα µ ( x, zi ) dziµ + qi Aα ( x) dτ i ∂z λ µ + q A ( x) g α ( x, z ) dδzi i µ i i α dτ i
Por otro lado, a partir de la relación
κ = − g kλ Γµν
∫ dτ ∑
−∞
todo el 4−espacio
d 2 ziµ 1 ∂g µν ( x) dziµ dzνi g − + µλ 2 ∂ziλ dτ i dτ i λ dτ i2 δzi µ ν − ∂g µλ dzi dzi ∂zνi dτ i dτ i
∂g ∂g 1 ∂g = µνλ − λνµ − λµ ∂x ∂xν 2 ∂x
− g dx
n
dziµ α qi Aα ( x ) g i µ ( x, zi ) dτ i ⇒
δS Mz = ∞
∫
todo el 4−espacio
Por lo que llegamos a
− g dx 4 ∫ dp ∑
∞ 4
=0
Finalmente, considerando que una vez hecha la variación, podemos utilizar al transportador en paralelo, llegamos a
(60)
Esta es la ecuación de la geodésica. T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
19
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Adriana Ávalos-Vargas
∫
δS I = zi
∞
n
−∞
i =1
− g dx 4 ∫ dτ i ∑
todo el 4−espacio
δS ( I + F ) A = ∫ dx 4
δ 4 ( x − zi ) −g
V4
n ∞ 4 ∑ ∫ δ ( x − z i ) dτ i i =1 −∞ . µ q g α ( x, z ) dzi δA ( x) i α i µ dτ i 1 ∂ − g F αβ ( x) δAα − ∂x β 4π
dziµ ∂ q A x ( ) i λ µ x = zi dτ i λ ∂x δzi µ − q ∂ ( A ( z ) ) dzi i ∂z µ λ i dτ i i
∫
=
∞
n
−∞
i =1
− g dx 4 ∫ dτ i ∑
todo el 4−espacio
δ 4 ( x − zi ) −g
Por lo que podemos concluir que
µ ∂ dzi q A z ( ) i λ µ i dτ i λ ∂z δz µ i dz ∂ − q A (z ) i i ∂ziµ λ i dτ i µ dz = qi Fλµ i δziλ dτ i
αβ 1 ∂ − gF = 4π j α β ∂x −g
dz µ δ 4 ( x − zi ) j α = 4π ∑ qi ∫ dτ i g µα ( x, zi ) i dτ i −g i −∞
,
∇ 2 Aα − R α β A β = −4π j α (67) 2 donde ∇ e es el D’Alembertiano y hemos considerado la α α norma de Lorentz, ∇ α Α = 0. Definimos a j i como el 4-vector de densidad de corriente de la i-ésima partícula representado por
(64)
Esto último representa la ecuación de movimiento de una partícula cargada. Sin embargo, en primera instancia uno podría decir que es la ecuación de Lorentz, pero si vemos que representa F veremos que la auto-fuerza aparecerá. Para ello tenemos que encontrar las ecuaciones de los potenciales. Variemos con respecto a los potenciales. El resultado incluye variación de la acción de interacción y la de los campos electromagnéticos. O sea:
∫
∞
n
µ
δS ( I + F ) A =
F αβ ;β = 4π j α
⇒
. (63) Comparando lo anterior, ecuación (63), con (59), llegamos a
Dv = qi F µν vν . dτ i
(66)
n
∞
i =1
−∞
j α = ∑ jiα y jiα =
α ∫ qi g µ
dziµ δ ( x − zi ) dτ i . ( 68 ) dτ i −g
Si nos fijamos en (64), en primera instancia uno podría pensar que se llegó a la ecuación de Lorentz para cada una de las partículas cargadas, sin embargo si se analiza al tensor F a fondo a partir de las ecuaciones de Maxwell, representadas en (67), podremos ver que el auto-campo está incluido. En efecto, por la linealidad de estas últimas podemos representar al tensor F de la siguiente manera:
− g dx 4
V4 ∞ n δ 4 ( x − zi ) dp ∫−∞ ∑ −g i =1 . α dziµ δAα ( x) qi g i µ ( x , z i ) dp δ A ∂ 1 αβ F ( x) αβ − 4π ∂x
n
Fiα = ∑ Fiα ⇒ Fiα β
β
i =1
(65)
α
β
β
;β
= 4π jiα
(69)
α
Ai = −4π ji .
Aunque hay que hacer notar que la solución de (12) implica el conocimiento del tensor métrico a través de las λ conexiones afines, , Γ αβ , o de la curvatura escalar, R . Si revisamos (47) y (48), veremos que el tensor métrico µν y no sólo del campo provocado dependerá a su vez de F por la propia partícula. Sin embargo, formalmente podemos escribir
Realizando una integral por partes, obtenemos
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α
o ∇ Ai − R 2
β
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La Acción Completa para un Sistema de Partículas Cargadas en Relatividad General µ
µν
ν
n
Dvi dz = qi ∑ F jµν i mi dτ i dτ i j =1 n
= qi ∑ F j
dzνi dzν + qi Fi µν i . dτ i dτ i
µ
j ≠i
ν
Donde F Cola es un término que depende de todo el pasado de la partícula hasta su tiempo retrasado. Esta ecuación (71), además de depender del pasado de la partícula, hereda las complicaciones de la ecuación de Lorentz-Dirac [7]. Por ello se aplica la técnica de LandauLifshitz [9], que ha sido justificada por muchos autores, pero es capaz de eliminar a las auto-aceleraciones y a las preaceleraciones.
(70)
Nótese que el último término se debe considerar como la auto-fuerza.
III. AUTO-FUERZA Y MÉTODO DE LANDAULIFSHITZ
B. Método de Landau-Lifshitz Finalmente, (71) puede ser modificada al sustituir la aceleración de la partícula por la fuerza externa aplicada. El resultado es:
A. Auto-fuerza Hasta ahora no hemos realizado ninguna aproximación (salvo el considerar que las partículas son puntuales). Se puede decir entonces que la ecuación (70) es exacta. Pero esta ecuación debe ser resuelta junto con que (47) y (69). Por otro lado, el término de auto-fuerza debe ser calculado por medio de aproximaciones en el sentido que se realiza un promedio y se podría obtener la ecuación de Hobbs [6] bajo ciertas aproximaciones. Consideremos ahora a la fuerza externa sobre la partícula n
f i = qi ∑ F j viν , µ
µν
2 •µ 1 ν λ mai = f i + q δ + v vν f i + Rλ v m 3 3 . µν + FCola vν µ
Este término se calcula de manera regular; es decir por medio de los potenciales retrasados. Sin embargo, el término de auto-fuerza presenta una dificultad inherente. En primera instancia debido al término de tipo culómbico aparecerá una divergencia. Por ello hay que realizar una renormalización. El primero en realizarla fue Dirac [7] quien, en 1938, logró encontrar una ecuación de movimiento dado un campo externo para una partícula cargada. Su método consiste en calcular la energía-momentum cedida al espacio debido a la aceleración de la partícula cargada. Sin embargo se han realizado renormalizaciones que de alguna manera esconden el problema [8], pero que simplemente eliminan la divergencia. Un método más sofisticado, ha sido desarrollado por Detweiler y Whiting [1], [3] y consiste en proponer una función de Green, llamada regular, la cual no presenta tal divergencia. El resultado es:
Dvi = aiµ dτ i µ
y µ
Dai dτ i
(
2 •ν 1 ν λ + v vν a i + R λ v 3 3
mai = qi f i + q δ
µ
ν
dτ i = g µν dziµ dzνi .
)
(73)
El tensor métrico debe ser solución de la ecuación (48) incluido el auto-campo gravitacional y por ello vale la pena hacer un análisis más profundo de (48). Sin embargo, esto último se escapa del alcance de este artículo.
IV. DISCUSIÓN
µ
Hemos podido encontrar una acción que cumple con los siguientes puntos: 1- Es completa en el sentido que se varían en forma simultánea las trayectorias de las partículas, el tensor métrico y los potenciales. 2- Al mismo tiempo que se obtienen las ecuaciones de Maxwell, se deducen las ecuaciones de movimiento para cada una de las partículas cargadas.
)
µν viν + qi FCola
,
µ
µ
ai = 2 i
(
µ ν
C. Auto-fuerza gravitacional Cuando se considera que una partícula con masa y sin carga está sometida a un campo gravitacional sin otras cargas, se pueden linealizar las ecuaciones y se obtiene el auto-campo gravitacional dando como resultado la famosa ecuación MiSaTaQuWa [3]. Sin embargo, cuando tenemos un sistema de partículas cargadas, el problema se complica pues aunque se considere que las partículas están muy alejadas, el papel que juega el campo electromagnético en el tensor de esfuerzos hace que la linealización no sea posible. La ecuación de movimiento (72) puede seguir considerándose como válida siempre y cuando se considere que el tiempo propio se define a partir de un tensor métrico que considere el auto-campo gravitacional; es decir:
(71)
•µ
2 i
(72) El término de cola es el mismo que en (71).
j ≠i
µ
µ
(71)
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3- Se obtiene de manera natural la auto-fuerza electromagnética como gravitacional Se muestra que la estructura permite linealizar al sistema para poder encontrar el tiempo propio para cada partícula, incluyendo el efecto del auto-campo gravitacional.
V. CONCLUSIONES Para poder cerrar el círculo completo entre la electrodinámica y la gravitación, falta poder generar un método que permita, aunque sólo formalmente, encontrar la forma de obtener el tensor métrico con auto-campo gravitacional. Es claro que las ecuaciones existen y el poder obtener por medio de promedios al tensor métrico, permitiría en principio encontrar la solución. Después todo se reducirá a desarrollar métodos computacionales para los distintos casos. Sin embargo, todavía quedan dos asuntos pendientes por resolver; a saber: el problema de la estructura de las cargas y el teorema de no interacción [], que como sabemos impide construir un hamiltoniano o lagrangiano para un sistema de partículas cargadas y por lo tanto resta valor al resultado obtenido.
REFERENCIAS [1] S. Detweiler and B. F. Whiting, “Self-force via a Green’s function decomposition”, Phys. Rev. D, vol 67, pp. 024025, 2003. [2] Adriana Ávalos-Vargas, Gonzalo Ares de Parga, Nancy Bermejo Martínez y Samuel DomínguezHernández, La Acción Completa para un Sistema de Partículas Cargadas en Relatividad Especial, por publicarse en las Memorias de la XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas, ESFM IPN (2013). [3] E. Poisson, A. Pound and I. Vega, “The Motion of Point Particles in Curved Spacetime,” Living Rev. Relativity, vol. 14, no 7, pp. 1-190, 2011. [4] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon, London, 1962) 2nd. edn., §76. [5] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity (John Wiley & Sons, New York, 1972) pp. 358-373. [6] Hobbs [7] P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London A vol. 167, pp. 148–169, 1938. [8] J.L. Synge, Ann. Math. Pura Appl. vol. 84, pp. 33, 1970. [9] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon, London, 1962) 2nd. edn., §76. [10] D.G. Currie, T.F. Jordan and E.C.G. Sudarshan, Relativistic invariance and hamiltonian theories of interacting particles, Rev Mod Phys vol. 35, no. 2, pp. 350–375, 1963.
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Observaciones respecto a posibles asignaturas equivalentes en el plan de estudios de la carrera de Licenciatura en Física y Matemáticas Miguel Cedeño Hernández Departamento de Matemáticas, ESFM-IPN, México D.F., México E-mail: hbreakerm@yahoo.com.mx (Recibido el 2 de Febrero de 2014; aceptado el 17 de Marzo de 2014)
Resumen Se realizan comparativas en determinadas asignaturas de la especialidad de Matemáticas Educativas y de la especialidad Matemáticas del plan de estudio de la carrera de Licenciatura en Física y Matemáticas que se imparten en la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), con el objetivo de poder identificar equivalencias entre asignaturas de ambas especialidades. Palabras clave: Errores conceptuales sobre fuerza, Física Educativa, enseñanza de la mecánica, métodos y strategias de aprendizaje.
Abstract They are carried out comparative in determined subjects of the specialty of Educational Mathematics and the speciality in Mathematics in the plan of studios in the career of Degree in Physics and Mathematics that are imparted in the Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), with the objective of being able to identify counter values among subjects of both specialties.. Keywords: Misconceptions in force, Physics Education, teaching of mechanics, methods and strategies of learning. PACS: 01.30.Os, 01.40.–d, 45.20.d-, 01.40gb ISSN 1870-9095
miembro, excluyendo un posible análisis de las asignaturas del Departamento de Física, así como de las correspondientes al Departamento de Ingeniería y Ciencias Sociales.
I. INTRODUCCIÓN Se analiza la situación que se vive dentro de la especialidad de Matemática Educativas perteneciente a la carrera de Licenciatura en Física y Matemáticas, pues como es bien conocido son constantes las críticas de los estudiantes interesados en esta especialidad de no tener cursos disponibles o “abiertos” semestre tras semestre. El autor ha identificado como parte de su experiencia profesional en impartir cursos dentro de la ESFM, posibles equivalencias de los cursos propios de esta especialidad con otros cursos que se imparten dentro de la escuela, y que se ofertan con mucha más regularidad, incluso en cada semestre.
II. DE LA ESPECIALIDAD EN MATEMATICADS EDUCATIVAS Una de las principales problemáticas de interés en varios estudiantes de la carrera de Licenciatura en Física y Matemáticas interesados en el área de Matemáticas Educativas, trata en que los cursos correspondientes a dicha área suelen abrirse cada 2 o más semestres teniendo que esperar en ocasiones más de 1 año, solo para poder tomar un curso. Esta situación merma su rendimiento y desempeño académico, pues es común que solo puedan inscribir en promedio 2 asignaturas en vez de 4 asignaturas como debería ocurrir en cada semestre. La repercusión académica que se presenta a largo plazo para dichos estudiantes, es terminar la carrera en un tiempo mayor al esperado.
El autor desea manifestar que el análisis y opiniones realizadas dentro de este trabajo intentan ser lo mas analíticas y objetivas posibles y que se presentan como parte de la experiencia que ha tenido dentro de la escuela (desde 2001 como estudiante y desde 2009 como docente) la cual también considera breve; pues este se trata de un tema que genera polémica dentro del Departamento de Matemáticas, pues existen las personas que tienen opiniones a favor, como también opiniones en contra.
En ocasiones la autoridad académica ha tratado al número de estudiantes de dicha especialidad como una cantidad que aunque no despreciable si como poco significativa.
Finalmente, el presente trabajo solo analiza la situación perteneciente al Departamento de Matemáticas, del cual es T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
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Miguel Cedeño Hernández
Los planes de estudio para estos semestres respecto a requisitos preliminares y número de créditos pueden consultarse dentro del Plan de Estudios vigente de la carrera
Una de las obligaciones de la ESFM y de cualquier escuela es brindar todas las facilidades para que el estudiante adquiera los conocimientos necesarios para poder desarrollarse profesionalmente, independientemente de la especialidad que haya seleccionado. Por ende, si la ESFM se encuentra ofreciendo la especialidad de Matemáticas Educativas dentro de la Licenciatura en Física y Matemáticas, debe procurar tener los cursos disponibles en todo semestre, independientemente de la cantidad de alumnos que puedan inscribirse. Financieramente, la situación que se presenta no es la mejor. Debido a la baja cantidad de estudiantes interesados, no siempre se garantiza tener alumnos inscritos en los cursos, y en caso de que esto ocurra, el coste promedio por estudiante invertido en un curso de estas características es mucho mayor que el coste promedio por estudiante en cursos con una mayor población.
A continuación las asignaturas de ambas especialidades que son potencialmente aptas para una equivalencia. Semestr e 6to
Un intento para solucionar este problema, sería promocionar la especialidad de Matemáticas Educativas entre los estudiantes del tronco común, como por ejemplo mediante pláticas informativas en las cuales el estudiante conozca de viva voz de sus profesores cual es el perfil y misión de cada una de las especialidades que se ofrecen en la carrera (Matemáticas, Física, Matemáticas Educativas e Ingeniería Nuclear). En general los estudiantes ampliarían su visión de cada una de las especialidades, a partir de sus aptitudes conocerían las ventajas de cada especialidad, y las desventajas de realizar una decisión equivocada con duración de al menos 5 semestres. En lo particular, una buena promoción podría incrementar el número de estudiantes interesados en la especialidad de Matemáticas Educativas, y en correspondencia la ESFM incrementar las posibilidades de ofertar estos cursos semestre tras semestre.
7mo
6to 7mo 8vo
Tópicos de Ecuaciones Diferenciales I Tópicos de Ecuaciones Diferenciales II Probabilidad y Estadística I Probabilidad y Estadística II Variable Compleja
Semestr e 7mo
Matemáticas
5to
Teoría de Ecuaciones Diferenciales I Teoría de Ecuaciones Diferenciales II Probabilidad I
7mo
Estadística I
6to
Int. Funciones de Variable Compleja
8vo
Veamos en primera instancia, el caso de las materias de la rama de Variable Compleja. A la izquierda se tienen las asignaturas de la opción de Matemáticas Educativas y en la columna derecha la asignatura correspondiente a la opción de Matemáticas, junto con el titulo de las unidades temáticas que cubren según el Plan de Estudios vigente.
En la actualidad muchos de los estudiantes del tronco común de la carrera interesados en está especialidad, suelen desistir a favor de alguna de las otras tres, al tener conocimiento de las complicaciones de poder inscribir cursos. Por tanto, la siguiente propuesta se basa en identificar asignaturas en
Variable Compleja I.
común entre las especialidades de Matemáticas Educativas y la especialidad de Matemáticas, a fin de encontrar otra posible solución a esta situación.
onceptos Básicos II. unciones Analíticas III.
En las imágenes (abajo) se presenta el plan de estudios de ambas especialidades para el 4to semestre de la carrera de Licenciatura en Física y Matemáticas. Como se aprecia, ambas especialidades tienen las mismas asignaturas en común, en este caso no hay ninguna propuesta, sin embargo esta particularidad de la carrera, nos sirve como referencia para la factibilidad de las propuestas a comentar en los párrafos siguientes respecto a los semestres posteriores. T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
M. Educativas
in nombre (Respecto a la formula integral de Cauchy)
Introducción a funciones de Variable Compleja I. opología del Plano Complejo II. unciones Complejas, Diferenciación. III. ntegración Compleja
IV. in nombre (Series de Laurent, Series de Fourier)
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Observaciones respecto a posibles asignaturas equivalentes en el plan de estudios de la carrera de Licenciatura en Física y Matemáticas
Probabilidad a partir del llamado Análisis Combinatorio o simplemente llamado Combinatoria.
Aunque el nombre de las unidades temáticas difieren en ambas asignaturas (en el caso de la asignatura de Variable Compleja, dos de las unidades no tienen título), este es el par de asignaturas con más facilidad de ser equivalentes. Corresponderá a la academia de Análisis realizar los ajustes que considere necesarios.
Una propuesta para los alumnos de Matemáticas Educativas es que tengan un curso formal de probabilidad y su segundo curso cubra los temas indispensables de la estadística matemática, como son inferencia estadística, estimación, pruebas de hipótesis. Estos temas se encuentran perfectamente localizados dentro de la asignatura de Estadística I de la opción de Matemáticas. En la actualidad el plan de estudios de Probabilidad y Estadística II cubre temas que son un poco más especializados y menos utilizados en el ejercicio profesional que su perfil demanda como son Muestreo y Análisis Multivariado.
Ventajas: El curso de Introducción a Funciones de Variable Compleja es un curso regular cada semestre, los pocos alumnos de Matemáticas Educativas con la necesidad de cursar la asignatura de Variable Compleja, tendrán esta asignatura abierta cada semestre. Veamos ahora el caso de las asignaturas de la rama de la Probabilidad y Estadística. Probabilidad y Estadística I I.
Ventajas: Los cursos de Probabilidad I y Estadística I son cursos regulares que se abren cada semestre en la ESFM. Los estudiantes de Matemáticas Educativas no tendrían que esperar 2 o 3 semestres para poder cursar cualquiera de los cursos de Probabilidad y Estadística.
Probabilidad I I.
onceptos Fundamentales de Probabilidad II.
esarrollo de la Probabilidad
Finalmente los cursos referentes al área de las Ecuaciones Diferenciales.
II. stadística Descriptiva
III.
spacios de Probabilidad III.
stimación de Parámetro y Pruebas de Hipótesis (También Análisis de Varianza)
nálisis Combinatorio IV. robabilidad Condicional e Independencia V. ariables Aleatorias VI. istribuciones Conjuntas VII. speranza y Momentos
Probabilidad y Estadística II I. iseño de Pruebas de Hipótesis
istribuciones muestrales y el Teorema del Limite Central
II. II.
stimación III.
III.
Teoría de Ecuaciones Diferenciales I I. onceptos Básicos II. eoremas de Existencia y unicidad III. istemas Lineales en el plano, clasificación de Puntos Críticos.
Tópicos en Ecuaciones Diferenciales II I. istemas Autónomos II. istemas Lineales III. istemas No Lineales
Teoría de Ecuaciones Diferenciales II I. eoría de Estabilidad II. étodos Cualitativos para analizar el comportamiento de Sistemas Autónomos III. ntroducción a la Teoría de Sistemas Dinámicos.
Estadística I I.
onfiabilidad de las Mediciones
Tópicos en Ecuaciones Diferenciales I I. cuaciones Diferenciales de Primer Orden II. cuaciones Diferenciales de Segundo Orden III. istemas de Ecuaciones Diferenciales
stimación por Intervalo
nálisis Multivariado IV.
rueba de Hipótesis V. juste de Curvas VI.
El curso de Tópicos de Ecuaciones Diferenciales I para los estudiantes de Matemáticas Educativas comienza con un repaso de los temas que se trataron en el curso de Ecuaciones Diferenciales de 2ndo semestre, ver [1], esto puede tener una parte positiva pues ya habrán transcurrido al menos dos años desde que los estudiantes de la especialidad tomaron esté curso. El agregado es la unidad temática referente a los sistemas de ecuaciones diferenciales el cual es un tema que suele no tratarse en el
egresión Lineal Simple Bondad de ajuste En la práctica, los estudiantes de cualquier curso de Estadística impartido en cualquier escuela superior (y también de media superior) reciben una introducción a la Probabilidad, que incluye los conceptos básicos de T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
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Miguel Cedeño Hernández
curso de segundo semestre. Mientras que para el temario del curso de Tópicos de Ecuaciones Diferenciales II se considera un análisis exclusivo de temas cualitativos de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, ya sea el sistema lineal ó no lineal.
por los problemas que van conociendo referentes a la poca apertura de cursos por parte de las autoridades de la ESFM. En párrafos anteriores se comenta que para incrementar la matrícula de estudiantes interesados en dicha especialidad, debe realizarse una adecuado promoción en los estudiantes del tronco común posiblemente del tercer semestre, justo antes de que realicen su elección de especialidad. Si se decidieron por la opción en Matemáticas Educativas, la escuela debe dar las facilidades para que puedan terminar su carrera en el tiempo adecuado (4 años). Por tanto una segunda propuesta es rediseñar el plan de estudios de la especialidad, encontrando similitudes y equivalencias entre distintos cursos, cuyas ventajas se ponen en manifiesto a favor de los estudiantes. Sin embargo el autor desea nuevamente enfatizar que esto solo corresponde a la percepción que en el se ha generado a partir de su experiencia dentro de la ESFM. Dando lugar al correspondiente y adecuado análisis, a las academias del Departamento de Matemáticas correspondientes.
Por otra parte el curso de Teoría de Ecuaciones Diferenciales I comienza con temas teóricos que requieren breve conocimiento de temas de Análisis Matemático I, sin embargo también es costumbre comenzar con un repaso de los temas vistos en el curso del 2ndo semestre; el resto de este curso así como el de Teoría de Ecuaciones Diferenciales II comparten los mismos temas que en la contraparte de Matemáticas Educativas. En este caso realizar una propuesta es un poco más complicado. Los cursos de Teoría de Ecuaciones Diferenciales I y II requieren ser actualizados, como se comenta en [2], para seguir las tendencias mundiales de la actualidad. El rigor matemático en la primer parte del primer curso referente a la demostración de los teoremas de Existencia y Unicidad de las E.D.O. puede traer complicaciones para los estudiantes de la opción de Matemáticas Educativas, que dependen en gran medida del tipo de curso llamado: Análisis, que hayan recibido en el 5to semestre. Por otra parte el único curso obligatorio de los 4, es el de Tópicos de Ecuaciones Diferenciales I, mientras que el curso de Tópicos en Ecuaciones Diferenciales II es un curso solamente optativo, aunque en años recientes se abre de forma regular (1 vez al año), convirtiéndose en un curso casi “obligatorio” para los estudiantes de está especialidad.
IV. MÁS ALLA, RESPECTO A LA INGENIERÍA MATEMATICA En una segunda parte se analizó el caso de tener asignaturas comunes en las dos carreras que oferta la escuela. Por cuestiones de tiempo, el autor no pudo agregarlas en este trabajo, sin embargo desea comentar que existen asignaturas que tienen un alto porcentaje de compatibilidad entre ambas carreras y que pueden tratarse también como asignaturas equivalentes; por poner un ejemplo, tenemos el curso de Programación Lineal de la Licenciatura en Física y Matemáticas, el cual suele ofertarse cada 2 o 3 semestres; si un estudiante quiere llevar este curso, puede tener la mala fortuna de que cuando llegue al sexto semestre este curso no se encuentre disponible, prefiriendo (como han fomentado las autoridades académicas hasta el momento) que mejor se inscriba a otro curso que si se oferte en ese semestre. La situación puede agravarse, si el alumno curso esta asignatura y la reprobó, pues si su deseo es recursar la asignatura, tendrá que esperar que transcurran 2 o 3 semestres para poder hacerlo.
La propuesta es la siguiente: El departamento de Matemáticas con el apoyo de la subdirección académica debe reunir a la planta docente con experiencia en el área para ver la viabilidad de crear un nuevo par de asignaturas referentes a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias que sean accesibles a los estudiantes de ambas especialidades. Ventajas: Los estudiantes de la especialidad en Matemáticas interesados en cubrir el área de las Ecuaciones Diferenciales, pueden sumarse a los estudiantes que actualmente cursando la especialidad de Matemáticas Educativas. Al ser en conjunto un número mayor o igual de estudiantes, los cursos para ellos serían más recurrentes. Inicialmente podría trabajarse con una relación de semestres par/impar para ambos cursos.
Caso contrario, es el que viven los estudiantes de la carrera de Licenciatura en Ingeniería Matemática, pues el curso llamado Optimización Lineal es un curso regular ofertado con 2 o 3 grupos durante cada semestre escolar. Hacer ambos cursos equivalentes tendría como ventaja que los estudiantes interesados en cursar Programación Lineal, puedan hacerlo mediante la asignatura de Optimización Lineal, que como se mencionó, se oferta cada semestre escolar.
III. CONCLUSIONES RESPECTO A LA EQUIVALENCIA DE ASIGNATURAS PARA EL ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS EDUCATIVAS
REFERENCIAS La falta de promoción de la especialidad, fomenta en los estudiantes del tronco común un gradual desinterés por cursar la opción en Matemáticas Educativas, incrementado T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
[1] http://www.esfm.ipn.mx/OfertaEducativa/Documents/Plan_de_Estudios_LFM_2008_ 20093.pdf 26
http://www.tot.esfm.ipn.mx
Análisis de las competencias de física que han desarrollado estudiantes de la ingeniería en comunicaciones y electrónica del IPN Juan Manuel Contreras Reyes Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Instituto Politécnico Nacional E-mail: yah_ely@yahoo.com.mx (Recibido el 2 de Febrero de 2014; aceptado el 17 de Marzo de 2014)
Resumen La enseñanza de la física en cualquier carrera de ingeniería es básica para la formación de un ingeniero. Es por ello que especial cuidado se debe poner en las competencias que deben alcanzarse en física como piedra angular en cualquier ingeniería. Particularmente, en la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto Politécnico Nacional, parte de los objetivos pretende que el alumno desarrolle ciertas competencias en física como parte de su formación en ingeniería. A partir de éstas y de cuestionarios aplicados a los estudiantes, el presente estudio permite investigar y analizar las competencias que los alumnos han desarrollado a partir de su formación básica en física. Palabras clave: Competencias en física, ingeniería, enseñanza de la física.
Abstract The teaching of physics in any engineering degree is essential for the formation of an engineer. And special attention should be placed on the competencies to be achieved in physics as a cornerstone in any engineering. Particularly, in the Communications and Electronics Engineering of National Polytechnic Institute in México, part of the objectives intended for students to develop certain skills on physics as part of their training in engineering. From these skills and questionnaires applied to students, this study allows us to investigate and analyze the skills in physics that students have developed from their basic training. Keywords: : skills in physics, engineering, teaching of physics PACS: 01.30.Os, 01.40.–d, 45.20.d-, 01.40gb ISSN 1870-9095
sociedad. Por lo tanto, la educación en la ingeniería debe anticiparse y adaptarse a esta variación. Ajustándose a las necesidades de nuestra sociedad local y global.
I. INTRODUCCIÓN Con el rápido desarrollo de la economía global, las competencias entre los continentes no consideran únicamente los talentos propios de los involucrados en las diferentes áreas de la educación y la investigación básica como tecnológica, sino a la reserva de los mismos. Las ingenierías resultan ser el soporte de las industrias, además de mantener y promover la estabilidad económica y el desarrollo de ésta. Como tal, la educación en la ingeniería juega un papel importante porque constituye la base para los futuros desarrollos e inmediatos resultados, donde la innovación científica impacta en los cambios de la estructura industrial. Existen esfuerzos por buscar la compatibilidad, comparabilidad y competitividad entre las profesiones y ésta es una de las ideas del proyecto Tunning Europa, ya que permite la movilidad de profesionistas entre diferentes países. En América Latina también existe este proyecto Tunning [1], el cual además de la movilidad, pone a la educación superior como un actor social con un rol protagónico ante los procesos que van construyéndose en la T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
De esta manera, la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (E.S.I.M.E.), ofrece una opción en el área formativa de las ingenierías en comunicaciones y electrónica con un perfil de egreso bien definido [2]. La enseñanza de la física es una piedra angular en esta ingeniería y muestra de ello es que aparece en el perfil de egreso, donde en algunos de sus puntos sugiere que el egresado poseerá conocimientos de fenómenos físicos fundamentales, técnicas matemáticas para el modelado y solución de problemas, métodos y técnicas para la investigación, trabajo en equipo multidisciplinarios, entre otros. Por otra parte, para el área de la enseñanza de la física en la ingeniería en comunicaciones, dentro de los objetivos que se plantean, es que el alumno explique y aplique conceptos y modelos físico-matemáticos básicos, en el análisis de fenómenos que ocurren en los sistemas físicos, estableciendo las bases de una actitud crítica y científica (de acuerdo al plan de estudios del año 2004.) [2]. 27
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Por ello y para mejorar la labor docente en física como parte de la ingeniería, es necesario conocer cuáles competencias en física se están alcanzando y hasta qué punto se están cumpliendo, lo que servirá para retroalimentar y orientar las unidades didácticas para alcanzar los objetivos planteados en el perfil de egreso. Como primer paso que es el objetivo del presente trabajo es importante conocer cuales competencias en física consideran los estudiantes que se están alcanzando, de la misma forma en segundo lugar, deberá cuestionarse a los profesores que imparten dichas asignaturas, y en tercero, tomando como fundamento los dos puntos anteriores y encuestas a egresados, deberá realizarse la revisión de las unidades didácticas y las modificaciones pertinentes aunque estos dos últimos pasos está en proceso y salen de los alcances del presente trabajo.
11. Estimar el orden de magnitud de cantidades mensurables para interpretar fenómenos diversos. 12. Demostrar destrezas experimentales y uso de métodos adecuados de trabajo en el laboratorio. 13. Participar en actividades profesionales relacionadas con tecnologías de alto nivel, sea en el laboratorio o en la industria. 14. Participar en asesorías y elaboración de propuestas en ciencia y tecnología en temas con impacto económico y social en el ámbito nacional. 15. Actuar con responsabilidad y ética profesional, manifestando conciencia social de solidaridad, justicia, y respeto por el ambiente. 16. Demostrar hábitos de trabajo necesarios para el desarrollo de la profesión tales como el trabajo en equipo, el rigor científico, el auto-aprendizaje y la persistencia. 17. Buscar, interpretar y utilizar información científica. 18. Comunicar conceptos y resultados científicos en lenguaje oral y escrito ante sus pares, y en situaciones de enseñanza y de divulgación. 19. Participar en la elaboración y desarrollo de proyectos de investigación en física o interdisciplinarios. 20. Demostrar disposición para enfrentar nuevos problemas en otros campos, utilizando sus habilidades y conocimientos específicos. 21. Conocer y comprender el desarrollo conceptual de la física en términos históricos y epistemológicos. 22. Conocer los aspectos relevantes del proceso de enseñanza-aprendizaje de la física, demostrando disposición para colaborar en la formación de científicos.
II. METODOLOGÍA Para contextualizar la presente investigación, se aplicará un cuestionario a un grupo de 21 estudiantes de la ingeniería en comunicaciones del tercer semestre que ha cursado las unidades didácticas de Mecánica clásica, electricidad y magnetismo, ondas mecánicas, circuitos de CA y CD, campos y ondas electromagnéticas, que son algunas unidades didácticas que pertenecen a las asignaturas básicas y de ciencias de la ingeniería. El cuestionario está basado en la recopilación de información sobre las actividades más importantes y más atendidas en sus cursos de física, para lo cual se presenta una lista de las competencias en física derivadas del Proyecto Tuning América Latina. A continuación se muestran estas competencias.
Al grupo muestra se le solicitó que respondiera cuál competencia consideraba que era más importante en física y cuál la más atendida en escala de 1 al 4 tomando como valor 1 la competencia más importante y el valor 4 como la menos importante.
1. Plantear, analizar y resolver problemas físicos, tanto teóricos como experimentales, mediante la utilización de métodos analíticos, experimentales o numéricos. 2. Construir modelos simplificados que describan una situación compleja, identificando sus elementos esenciales y efectuando las aproximaciones necesarias. 3. Utilizar o elaborar programas o sistemas de computación para el procesamiento de información, cálculo numérico, simulación de procesos físicos o control de experimentos. 4. Verificar y evaluar el ajuste de modelos a la realidad, identificando su dominio de validez. 5. Aplicar el conocimiento teórico de la física en la realización e interpretación de experimentos. 6. Demostrar una comprensión profunda de los conceptos y principios fundamentales, tanto de la física clásica como de la física moderna. 7. Describir y explicar fenómenos naturales y procesos tecnológicos en términos de conceptos, principios y teorías físicas. 8. Desarrollar argumentaciones válidas en el ámbito de la física, identificando hipótesis y conclusiones. 9. Sintetizar soluciones particulares, extendiéndolas hacia principios, leyes o teorías más generales. 10. Percibir las analogías entre situaciones aparentemente diversas, utilizando soluciones conocidas en la resolución de problemas nuevos. T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
III. RESULTADOS Y ANÁLISIS Los resultados obtenidos a partir de las encuestas se muestran en la gráfica 1 y corresponde a los alumnos que seleccionaron la competencia en su opción 1, es decir como muy importante. En la figura 1 se observa que las competencias 1 y 16, son consideradas como las más importantes ya que tuvieron mayor frecuencia, seguidas de las competencias 13 y 20. Como puede verse la competencia 1 está enfocada al planteamiento, análisis y resolución de problemas físicos, mientras que la competencia 16 fomenta los hábitos de trabajo. Por su parte, las competencias 13 y 20 marcan como las más importantes, puesto que consideran que la física les dará las herramientas necesarias para participar en actividades profesionales relacionadas con tecnologías de alto nivel y la disposición para enfrentar nuevos problemas en otros campos, lo cual es posible que sea resultado de la confianza que les da el conocer la física y las habilidades que desarrollan en esta disciplina, no obstante habrá que 28
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analizar que tanto se promueve el trabajo en equipo durante las unidades de aprendizaje de la física.
Gráfica 3. Porcentaje de alumnos que considera muy importante la competencia 16.
Gráfica 1. Frecuencia de las competencias más importantes elegidas como opción 1. En este caso las competencias sobresalientes son la 1, 16, 13 y 20.
En este punto surge la interrogante de cuáles competencias fueron elegidas mayormente en la opción 4, lo cual se muestra en el gráfico 4. En éste se puede ver que sobresalen las competencias 12, 13, 14, 17, 18 y 20. Particularmente, la competencia 13 resalta como la más elegida en la opción 1 y también en la opción 4, aunque en éste último, solo corresponde a un porcentaje relativamente bajo. No obstante, las demás competencias están relacionadas con el desarrollo profesional de la física, por lo que resalta que la visión de los alumnos es más aplicada a la ingeniería. Pero es importante evidenciar que también consideran que la competencia 20 que se refiere a la disposición de enfrentar nuevos problemas en otros campos resulta sin trascendencia para ellos, ya que es de gran importancia en la ingeniería como punta del desarrollo tecnológico, por lo que deberá atenderse esta competencia. Asimismo, la gráfica 5 corresponde a las competencias más atendidas seleccionada como opción 1, desde el punto de vista de los alumnos. En esta figura sobresalen las competencias 1 y 19, seguidas por las competencias 6 y 21. Podemos ver que al elegir la competencia 1 como más atendida, se ilustra que se está alcanzando en cierto grado el objetivo planteado dentro de los programas actuales de física. Asimismo, la competencia 19 destaca, dado que identifica la elaboración y desarrollo de proyectos; cabe mencionar que esta competencia consideramos que se está atendiendo en cierto grado mediante las actividades que se efectúan en estas unidades didácticas, ya que concluyen con la realización de una feria de la física donde se presentan prototipos y experimentos que desarrollan ideas y conceptos de la física, por lo que se debe seguir fomentando este tipo de actividades.
Analizando las competencias 1 y 16 respecto a la escala de elección (Figs. 2 y 3 respectivamente), en estas gráficas se ilustra el porcentaje de la muestra que consideran la competencia más importante de acuerdo a una escala de 1 a 4, donde 1 implica mayor grado de significancia y 4 el menor grado de significancia. Como puede verse en las gráficas 2 y 3, estas competencias fueron elegidas en las opciones 1, 2 y 3, y resalta que en el mayor porcentaje fue mediante la opción 1, pero ninguna de estas competencias fue elegida en la opción 4, lo que evidencia que para toda la muestra tienen una gran importancia las competencias 1 y 16.
Gráfica 2. Porcentaje de alumnos que considera muy importante la competencia 1.
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de física realizada por profesores de física [4], ya que en este caso las competencias coincidentes fueron 3, a saber, las competencias 1, 16 y 20.
Gráfica 4. Competencias mayor mente elegidas en la opción 4.
Respecto a las competencias 6 y 21, la primera versa sobre un conocimiento profundo de la física, por lo que la visión de los estudiantes es que tienen las herramientas necesarias a partir de las unidades didácticas que estudian. Mientras que la competencia 21 ilustra una percepción del desarrollo de la física de manera histórica, que particularmente muestra una debida atención durante los cursos.
Gráfica 6. Porcentaje de alumnos que considera muy atendida la competencia 1.
Gráfica 7. Porcentaje de alumnos que considera muy atendida la competencia 19.
Asimismo, al comparar nuestros resultados con aquellos derivados de Tuning America Latina (AL), encontramos que entre unas de las competencias más realizadas profesionalmente y además son clave pertenecen la 1, 16 y 6, lo que muestra el grado de importancia de las mismas y es un punto a favor que aparente mente se está atendiendo en esta ingeniería. Mientras que las restantes 13, 20, 19 y 21 fueron competencias consideradas como menos realizadas. Al compararlas por categoría resalta la competencia 1 como competencia sistémica metodológica, mientras que las 16, 13, 19 y 20 caen dentro de las competencias laborales y sociales y la 6 y 21 caen dentro de las competencias cognitivas.
Gráfica 5. Frecuencia de las competencias más atendidas elegidas como opción 1. En este caso las competencias sobresalientes son la 1, 6, 19, y 21.
Analizando las competencias 1 y 19 respecto a la escala de elección (Figs. 6 y 7 respectivamente), las gráficas ilustran el porcentaje de la muestra que consideran la competencia más importante de acuerdo a una escala de 1 a 4, donde 1 implica mayor grado de significancia y 4 el menor grado de significancia. Como puede verse en las gráficas 6 y 7, estas competencias fueron elegidas en las opciones 1 y 2 en un porcentaje mayor al 70%, lo que evidencia que la mayoría de la muestra considera muy atendidas estas competencias. Es importante notar que de los resultados obtenidos de estas encuestas resalta como crucial la competencia 1, que consideran es muy importante y que también está siendo atendida, lo cual está de acuerdo con una selección de competencias para un perfil genérico de un físico en el área experimental [3] como una de las competencias importantes, además los resultados de esta encuestan coinciden un poco mejor con una jerarquización de competencias para el área T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
Si comparamos con las competencias en ingeniería civil del proyecto Tuning AL solo se comenta la necesidad de materias básicas como la física, pero no queda explícito, únicamente en las competencias genéricas donde se puede evidenciar principalmente la competencia 1, 16, 13 y 20 como cruciales. No obstante esta coincidencia, una pregunta que sigue abierta es en qué grado o a qué nivel se están cumpliendo las competencias que los alumnos de ingeniería consideran se están atendiendo y cuales son 30
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angulares en esta ingeniería para el desarrollo de su actividad profesional, por lo que se requiere de un estudio más profundo donde tomará importancia las opiniones de los egresados de la ingeniería para una mejora educativa.
IV. CONCLUSIONES Del análisis de las encuestas realizadas a los estudiantes del tercer semestre en el área de la enseñanza de la física en la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica se encontró que la competencia 1, se considera una de las más importantes y una de las más atendidas. Asimismo las competencias laborales y sociales son muy importantes y deben atenderse probablemente de manera transversal desde diferentes unidades didácticas. Algo que también sobresalió en las competencias es la elaboración de proyectos que probablemente se fortalece por la elaboración de prototipos que se presentan al final de los cursos.
REFERENCIAS [1]. Beneitone, Pablo, “Reflexiones y perspectivas de la educación superior en América Latina, Informe Final Proyecto Tuning para América Latina 2004-2007”, Bilbao 2007, Publicaciones de la Universidad de Deusto. [2]. Plan de estudios en Física en la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, del año 2004. [3]. Rueda Gabriela L., Pérez Leonor, González Luz M., Méndez Arturo F., Miramontes Rafael C., Díaz Elvia, “Estrategia basada en competencias para la construcción natural del conocimiento en un curso de física experimental,” Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 7, No. 1, March, pág. 58-62, 2013. [4]. Pérez-Trejo Leonor, Méndez-Sánchez Arturo F., Ramírez Mario H., Olvera Aldana Miguel, González Guadalupe Á., memorias electrónicas de la XVII RNFM-ESFM, IPN, México, pág. 221-224, 2012.
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Líneas de espera; transposición y planeación didácticas Ramón Sebastián Salat Figols Departamento de Matemáticas, ESFM-IPN, México D.F., México E-mail: rsalat@esfm.ipn.mx (Recibido el 2 de Febrero de 2014; aceptado el 17 de Marzo de 2014)
Resumen Este trabajo presenta la planeación didáctica del tema de líneas de espera dentro del curso de simulación I, de la carrera de Ingeniería Matemática de la Escuela Superior de Física y Matemáticas, entendida como un proceso de transposición didáctica. Se analiza el conjunto de conocimientos del tema, su importancia y las posibilidades de presentación; las diferentes formas de representación de los conceptos involucrados y el uso de la tecnología. Se observará que la simulación de líneas de espera, involucra un proceso de modelación, el descubrimiento de un algoritmo con sus diferentes formas de representación: pseudocódigo, diagrama de flujo y código en diferentes lenguajes de programación. Finalmente, se hace una propuesta de secuencias de actividades para que realice el alumno dirigido por el profesor incluyendo el uso de la tecnología. Palabras clave: Líneas de espera, transposición didáctica, tecnología, registros de representación.
Abstract This paper presents educational planning theme queues within the course of simulation I of the Engineering Mathematics at the School of Physics and Mathematics, understood as a process of didactic transposition. We analyze the body of knowledge of the subject, its importance and possibilities of presentation, the different forms of representation of the concepts involved and the use of technology. Be seen that the simulation of queues, involves modeling process, the discovery of an algorithm with different forms of representation: pseudocode, flowchart and code in different programming languages. Finally, a proposal is made for sequences of activities done by students led by Professor including the use of technology Keywords: Waiting lines, didactic transposition, technology, representation registers. PACS: 01.30.Os, 01.40.–d, 45.20.d-, 01.40gb ISSN 1870-9095
actuales de didáctica y pedagogía. Por ejemplo, se considera importante que el alumno aprenda realizando actividades apropiadamente conducidas por el profesor. Se consideran también importantes, la diversidad de representaciones de los modelos y el uso de la tecnología.
I. INTRODUCCIÓN En este trabajo se hace una propuesta acerca de cómo llevar al aula el tema de líneas de espera con un solo servidor con distribuciones exponenciales entre los tiempos de llegada y en los tiempos de atención a los usuarios. En primer lugar, se analiza la bibliografía existente para extraer los contenidos más significativos. La bibliografía considerada es la que está en el propio programa de la materia, incluyendo un texto más moderno.
II. METODOLOGÍA Primero se investigó la bibliografía correspondiente al tema, considerando las referencias en el programa de la materia y agregando alguna más moderna. Segundo, se extrajeron los conocimientos y habilidades que el estudiante debería adquirir. Tercero, se hace una propuesta acerca de cómo llevar el tema al aula.
Los contenidos en la bibliografía, si bien tienen elementos comunes, difieren notablemente. Por ejemplo, unos hacen uso de la hoja de cálculo, otros, no; algunos consideran dos modelos, el de avance sobre el tiempo y avance sobre los usuarios, otros, solamente consideran uno de los dos; algunos emplean diagramas de flujo, otros, no. Y cada uno de los diferentes contenidos tiene su propia importancia. Posteriormente, se hará la propuesta, considerando algunos elementos que están presentes en el Modelo Educativo del IPN y que pertenecen a las corrientes T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
III. EL CAMPO DE CONOCIMIENTO DEL TEMA Existen varias formas de modelar el fenómeno. Una de ellas consiste en especificar las variables que definen el estado del sistema y una relación recursiva entre ellas. Otra, 32
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consiste en especificar las variables de estado del sistema y los eventos que modifican a éstas variables, durante el transcurso del tema.
Las fórmulas en la hoja de cálculo, representan a los pasos del algoritmo dado. En ésta, el avance del tiempo queda reflejado en el avance a través de la hoja por filas.
A. AVANCE SOBRE EL CONJUNTO DE LOS USUARIOS. Para explicar la primera considere que li , si , ci y f i representan el tiempo de llegada, la duración del servicio, el tiempo en el que inicia el servicio, y el tiempo de finalización para el cliente i . Asumiendo que el primer cliente que llega es el primero que sale, cuando llega un cliente, si el anterior todavía no ha terminado de ser atendido, el que acaba de llegar tendrá que esperar hasta que termine el servicio al anterior; si por el contrario, cuando llega un cliente, ya se ha terminado el servicio al anterior, entonces el que llega, será atendido inmediatamente. Se puede especificar esta condición con la fórmula ci = máximo(li , f i −1 ) para cualquier i = 1,2,3,... Las
Fig. 1. Hoja de cálculo correspondiente al algoritmo de avance sobre los usuarios
Inici l0 , c0 , i = 0 s0 = −
condiciones iniciales son l0 = 0, c0 = 0 y f 0 = s0 . Además, f i = ci + si para cualquier i = 0,1,2,3,... . Los li y los si están dados y hay que encontrar los ci y los f i . Con éstas relaciones, podemos encontrar los valores de todas las variables para todos los clientes. Si se considera que los tiempos entre llegadas consecutivas de clientes sigue una distribución exponencial con parámetro λl y que los tiempos de servicio siguen
1
λs
f 0 = s0 , suma = 0
i<n
n
l0 , c0 = 0, s0 = −
λs
li +1 = li − log(aleatorio()), f 0 = s0
si +1 = −
Para i desde 0 hasta n − 1 con paso 1 : 1 li +1 = li − log(aleatorio()) si +1 = −
λs
1
λl
1
λs
log(aleatorio())
log(aleatorio())
ci +1 = max(li +1 , f i )
λl
1
i = i +1
si
también una distribución exponencial con parámetro λs , el algoritmo para realizar los cálculos es el siguiente [4]:
1
log(aleatorio())
f i +1 = ci +1 + si +1
log(aleatorio())
ci +1 = max(li +1 , f i )
Fin
f i +1 = ci +1 + si +1 Fig. 2. Diagrama de flujo correspondiente al algoritmo de avance sobre los usuarios.
Es sencillo ampliar el algoritmo para obtener variables tales como el tiempo promedio de permanencia de los usuarios en el sistema. El algoritmo se puede programar en diferentes lenguajes y por su naturaleza, ni siquiera requiere del uso de arreglos; es decir, para números de clientes no muy grandes se puede utilizar sistemas con pocos recursos, por ejemplo, calculadoras programables. Y también se adapta muy bien al uso de la hoja de cálculo, Fig. 1. Para ello, es conveniente empezar por una representación tabular construida manualmente [1]. El diagrama de flujo de la Fig. 2, es otra representación del algoritmo, en la que se perciben de inmediato los ciclos y las estructuras condicionales. T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
Un programa para ejecutar el algoritmo en Python, puede ser el siguiente: from math import log from random import random,seed seed() l_s=2.0 l_t=1.0 n=10
l=0 33
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t=0 ts = ∞
c=0 s=-(1/l_s)*log(random()) f=s print l,c,f for i in range(n): l=l-(1/l_t)*log(random()) s=-(1/l_s)*log(random()) c=max(l,f) f=c+s print l,c,f
tl = −
1
λl
ln( random())
l =0 mientras t < T : t = min(tl , ts ) Si tl ≤ ts : l = l +1
Las gráficas de algunas de las variables importantes contra el tiempo, obtenidas por la simulación, ayudan entender mejor el fenómeno, Fig 3.
tl = t −
1
λl
ln( random())
Si tl > T : tl = ∞ Si l = 1 :
Es posible modificar algunas líneas del programa para que éste tome números aleatorios de una lista predeterminada para poder verificar manualmente que el programa efectivamente realiza los pasos del algoritmo, para fines de validación del mismo.
ts = t −
1 ln( random()) λs
Sino : l = l −1 Si l > 0 :
A. Avance sobre el tiempo.
ts = t −
El otro enfoque consiste en considerar a la llegada de un cliente, al inicio del servicio a un cliente y a la salida del cliente, como eventos que transcurren en el tiempo y a la cantidad de usuarios como la variable que caracteriza al estado del sistema. Con éste enfoque, el algoritmo consiste en avanzar el tiempo al siguiente evento repetidamente hasta terminar. Si T , t , ts, tl , l , λl y λs son el tiempo total de simulación, el tiempo actual, el próximo tiempo de salida de un cliente, el tiempo próximo de llegada de un cliente, el número de clientes en el sistema, el parámetro de llegadas y
1 ln( random()) λs
Sino : ts = ∞ Si bien con este enfoque el algoritmo es un tanto más complicado que el anterior, con éste, se facilita considerar el parámetro del número de usuarios en el sistema. Con respecto a este algoritmo, también se puede elaborar el diagrama de flujo y una hoja de cálculo; una traducción posible en términos de fórmulas de la hoja es la siguiente: A2:0.5 A3:1.5 B1:t C1:l D1:tl E1:ts B2:0.5 C2:0.00 D2:0.00 E2:=-(1/$A$2)*LN(ALEATORIO()) B3:=MIN(D2;E2) C3:=SI(B3=D2;C2+1;C2-1) D3:=SI(B3=D2;D2(1/$A$2)*LN(ALEATORIO());D2) E3:=SI(B3=D2;SI(C3=1;B3(1/$A$3)*LN(ALEATORIO());E2);SI(C3>0;B3-(1/ $A$3)*LN(ALEATORIO());1000000))
Fig. 3. Gráfica del número de usuarios en el sistema contra el tiempo. el de tiempo de servicio, respectivamente, el algoritmo puede escribirse como [4]: T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
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Algunas de estas habilidades se forman a largo plazo, durante el estudio de diferentes temas y materias.
Ésta traducción es más difícil que en el caso del algoritmo anterior, debido a que éste último es más complejo y requiere mayor destreza en el uso de las fórmulas de la hoja de cálculo. Al realizar la simulación de una línea de espera, estamos interesados en la obtención de varios parámetros tales como el tiempo promedio de permanencia de los usuarios en el sistema, el tiempo promedio de permanencia de los usuarios en la línea de espera y, el promedio del número de usuarios en la línea de espera y en el sistema. Los promedios de permanencia en el sistema y en la línea de espera se obtienen fácilmente con el primer algoritmo, mientras que los promedios del número de usuarios en el sistema y en la línea de espera, se obtienen más fácilmente con el segundo algoritmo. Algunos de estos parámetros son [4]:
V. ACTIVIDADES PROPUESTAS Es conveniente que los algoritmos se presenten después de una serie de actividades individuales y grupales alrededor de la realización del algoritmo manualmente; éstas actividades facilitarán la creación de significados en torno al algoritmo. Y además, servirán para verificar el buen funcionamiento de los programas que se utilicen, es decir, se podrá verificar que el programa en efecto ejecute el algoritmo. El uso de la hoja de cálculo proporciona otra representación del algoritmo. La hoja de cálculo para ejecutar un algoritmo recursivo tales como los dos mencionados, permite “materializar” la ejecución del mismo, al poder ver en una misma hoja los diversos valores que toman las variables en diferentes iteraciones sucesivas. El uso exclusivo de la hoja de cálculo, puede obstaculizar la comprensión en casos como el del segundo algoritmo, ya que es difícil justificar las fórmulas de la hoja en su propio contexto. En otros casos, como lo es el del primer algoritmo, las actividades en la propia hoja, pueden ayudar al descubrimiento del algoritmo. Los diagramas de flujo y el pseudocódigo son representaciones del algoritmo. En los diagramas de flujo, el algoritmo toma una representación que permite descubrir la estructura del mismo. Algunas de las clases del curso transcurren en el laboratorio de cómputo, en el que los estudiantes disponen de una computadora con los elementos necesarios para programar los algoritmos y para trabajar con hoja de cálculo. Otras clases se dan en un aula donde no hay computadoras. Puesto que la ejecución de programas y la ejecución manual de algoritmos se tienen que realizar cotidianamente, es conveniente que tales tareas se puedan realizar en equipos portátiles tales como calculadoras, teléfonos inteligentes y tabletas. Al respecto, es útil insistir en la necesidad de que los estudiantes sean capaces de traducir un algoritmo a diferentes lenguajes de programación; además, ésta tarea ayuda a la comprensión del algoritmo expresada en pseudocódigo. Los teléfonos inteligentes y las tabletas son capaces de ejecutar programas escritos en C, Basic, Python y Pascal, entre otros; y también pueden tener la facilidad del uso de la hoja de cálculo. Algunas calculadoras, se pueden programar en Basic y pueden tener hoja de cálculo. Es posible modificar el modelo para la línea de espera considerando por ejemplo, que el parámetro de tiempo de atención del usuario pueda disminuir su valor cuando en la línea de espera haya más usuarios que cierto valor. Éstas son situaciones que el estudiante puede explorar con actividades específicas. Considerando los elementos presentados, aceptando que el alumno aprende a través de la actividad y la importancia que tiene el uso de la tecnología, se proponen las siguientes actividades:
Si l (t ) es el número de usuarios en el sistema en el tiempo t , entonces el promedio en el mismo instante es: 1 t l = ∫ l ( s )ds t 0 b) Si q(t ) es el número de usuarios en la línea de espera al tiempo t , entonces el promedio es: 1 t q = ∫ q( s )ds t 0 c) Finalmente, si s (t ) es el número de usuarios en el tiempo t , entonces el promedio es: 1 t s = ∫ s (u )du t 0
a)
Existen otros parámetros de importancia tales como el tiempo promedio en el sistema por usuario. No es necesario determinar estos parámetros por simulación cuando los tiempos de servicio y entre llegadas consecutivas de clientes sigan una distribución exponencial y λl < λs , porque en tal caso, los parámetros se determinan analíticamente [5]. Sin embargo, si se introducen modificaciones en el modelo tales como la variación de los parámetros en el tiempo, la simulación es un recurso imprescindible para estudiar el comportamiento del sistema.
IV. CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES Como consecuencia de los contenidos del campo de conocimiento, el estudiante, respecto al tema, deberá ser capaz de: Simular una línea de espera con un servidor y obtener los parámetros de interés para fines prácticos y teóricos, utilizando un programa y una hoja de cálculo. Mejorar su habilidad para definir un algoritmo, escribirlo en pseudocódigo y programarlo. Resolver otros problemas acerca de sistemas de comportamiento similar, siguiendo las etapas de descripción del algoritmo en pseudocódigo, elaboración y ejecución de un programa y diseño de la hoja de cálculo. T’OT’ Rev. Electr. Sem. de Fís. y Mat.. Vol. 1, No. 1, Sept. 2014
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Ramón Sebastián Salat Figols
a)
Descripción en lenguaje natural del comportamiento de la línea de espera por parte del profesor. Los clientes llegan de tal manera que los tiempos entre dos llegadas consecutivas siguen una distribución exponencial con parámetro λl = 1.0 y los tiempos de atención a los clientes sigue una distribución también exponencial con parámetro λs = 0.5 . Cada cliente no puede ser atendido hasta que el servidor esté desocupado. b) Simulación manual (sin usar un programa en computadora) por parte del alumno de un ejemplo sencillo, utilizando una calculadora científica (que pueda generar números aleatorios y que tenga la función logaritmo natural. Ésta actividad tiene como propósito que los estudiantes creen el algoritmo sobre la marcha, imaginándose el comportamiento del sistema. Tabla 1. c) Repetir la actividad por parte del alumno utilizando una hoja de cálculo. d) Descripción del algoritmo en pseudocódigo por parte del alumno, con respecto a las dos modalidades: avance sobre los clientes y avance sobre el tiempo. e) Traducción del algoritmo en pseudocódigo a un programa en el lenguaje con el que esté familiarizado el estudiante. f) Actividad colectiva de modificación de los programas para calcular parámetros importantes, tales como, tiempo promedio de espera de los clientes en el sistema y valor medio de la longitud de la línea de espera. g) Discusión colectiva acerca de cómo resolver problemas tales como: cómo verificar en la práctica las hipótesis acerca de las distribuciones, cómo usar la técnica de “bootstrapping” para generar tiempos de llegada de los clientes y tiempos de servicio.
VI. DISCUSIÓN El estudio de las referencias permite tener una visión amplia del tema, evitando que se omitan aspectos importantes del mismo. Además, la revisión de las referencias es importante porque una visión limitada del tema puede tener consecuencias importantes de carácter cognitivo. Por ejemplo, en [2], solamente se ve el algoritmo con avance sobre el tiempo; aunque éste algoritmo es suficiente para cubrir cualquiera de las necesidades importantes que puede plantear la realización de una simulación, el disponer también de un algoritmo con avance sobre los usuarios, permite tener dos algoritmos que representan al mismo modelo, ayudando al alumno a conceptualizar mejor el modelo. Los diagramas de flujo ayudan a comprender el algoritmo, aclarando el funcionamiento de las estructuras repetitivas y condicionales; por tal razón, es conveniente recurrir a ellos siempre que sea necesario. En algunas de las referencias, por ejemplo [4], se hace énfasis en la descripción de los algoritmos en pseudocódigo; éste es un paso ineludible si esperamos que el alumno sea capaz de construir sus propios programas para realizar las simulaciones. En otra [3], se da incluso el código de muchos programas en C. En términos generales, las referencias dan más o menos importancia a determinados aspectos del tema. Si decidimos seguir una única referencia deberemos ser cuidadosos en analizar las consecuencias de carácter cognitivo de la propuesta hecha en la referencia. El tema, como es considerado en este artículo, está dentro de un curso de simulación y por lo tanto, es imprescindible el uso de la tecnología. Existen diferentes programas en diferentes plataformas que pueden ayudar. Pero dado que éstas tecnologías están en continuo progreso, es conveniente la flexibilidad en el uso de las mismas y fomentar el autoaprendizaje; en pocas palabras, usar diferentes programas en diferentes plataformas. Por ejemplo, podemos realizar simulaciones en calculadoras, en tabletas y en computadora con los mismos o diferentes programas. Los algoritmos descritos en este artículo pueden programarse en equipos con muy pocos recursos; si bien la velocidad y capacidad de procesamiento puede ser pequeña, el trabajo desde un punto de vista conceptual es el mismo, es decir, no se ve empobrecido. El uso del término transposición didáctica, en este artículo, se usó en el sentido del modo en que el tema puede llevarse al aula y la propuesta que se hace, tiene componentes de carácter social e institucional. De alguna manera han influido en ella diversos factores, tales como: el Modelo Educativo del Instituto Politécnico Nacional, el programa de estudios de la materia y por otros elementos que están presentes en las discusiones de carácter académico de los profesores que formamos parte de la academia respectiva.
TABLA I. SIMULACIÓN MANUAL Cliente
h)
Tiempo de llegada del cliente
Tiempo de inicio del servicio
Tiempo de salida del cliente
1
0.000
0.693
0.693
2
0.821
0.821
0.841
3
2.861
2.861
5.164
4
3.855
5.164
5.575
5.
3.950
5.575
7.531
6.
5.336
7.531
7.858
Que los estudiantes investiguen acerca de algún tópico y que lo presenten en clase.
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Líneas de espera; transposición y planeación didácticas
VII. CONCLUSIONES En este artículo se presentó una propuesta didáctica tan solo para un tema de varios que forman el programa de la materia, pretendiendo un acercamiento al asunto de la planeación didáctica. Ineludiblemente, tiene una componente personal, pero aun así, permite ver la importancia y la magnitud de la planeación del quehacer en el aula como una tarea de investigación didáctica aplicada. Entre algunos de los elementos importantes de la propuesta están el uso de algoritmos en pseudocódigo, diagramas de flujo y programas como tres elementos unificadores desde un punto de vista conceptual. El uso de los algoritmos basados en avance sobre los usuarios y avance sobre el tiempo como elementos complementarios. La realización de la simulación manual por parte del alumno como un elemento de validación y como una ayuda para que el alumno se apropie del modelo. La transferencia de los conocimientos y habilidades a modelos que sean nuevos para el estudiante. La continuación obligada de este trabajo es la evaluación en el aula de la propuesta.
REFERENCIAS [1] J.S. Banks, B.L. Carson, B.L. Nelson, D.M. Nicol, Discrete-event system simulation, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 2005, pp. 22-38. [2] S.M. Ross, Simulation, San Diego, CA, Elsevier, Academic Press, 2013, pp. 111-114. [3] A.M. Law, Simulation & Modeling Analysis. New York, MacGraw Hill Series in Industrial Engineering and Management Science, 2007. pp. 12-47. [4] L.M. Leemis, S.K. Park, Discrete-Event Simulation: A First Course, 2006, Pearson Prentice Hall. [5] S.M. Ross, Introduction to Probability Models, 2010, Elsevier, Academic Press.
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Revista Electrónica Semestral de Física y Matemáticas Volumen 1, Numero 1, Septiembre 2014 CONTENIDO Artículo Simetrías en las RGE's para un modelo con dos dobletes de Higgs (2HDM) y sus efectos, M. Ramírez G.
1-6
La Acción Completa para un Sistema de Partículas Cargadas en Relatividad Especial, Adriana Ávalos-Vargas
7 - 10
La Acción Completa para un Sistema de Partículas Cargadas en Relatividad General, Adriana Ávalos-Vargas
11 - 22
Observaciones respecto a posibles asignaturas equivalentes en el plan de estudios de la carrera de Licenciatura en Física y Matemáticas, Miguel Cedeño Hernández
23 - 26
Análisis de las competencias de física que han desarrollado estudiantes de la ingeniería en comunicaciones y electrónica del IPN, Miguel Cedeño Hernández
27 - 31
Líneas de espera; transposición y planeación didácticas, Ramón Sebastián Salat Figols
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Pr贸ximos congresos
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