Señales y Sistemas - Roberts - Cap6 by Juan José Nova

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U T, o

Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas 6.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

•íf) í s

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•Víii'j:/^'.ri

•

•- : \ X ¡

H a s t a este p u n t o el m a t e r i a l h a sido m u y m a t e m á t i c o y abstracto. Se h a n visto e j e m p l o s del u s o de estas técnicas de anáUsis de señales y s i s t e m a s , p e r o n o se h a e x p l o r a d o r e a l m e n t e a profundidad su aplicación. E n este p u n t o se tienen suficientes h e r r a m i e n t a s analíticas p a r a abordar algunos tipos i m p o r t a n t e s de señales y sistemas y d e m o s t r a r p o r q u é los m é t o d o s de F o u r i e r son tan p o p u l a r e s y p o d e r o s o s . U n a v e z q u e se ha desarrollado u n a estructura real y u n a familiaridad c o n los m é t o d o s en el d o m i n i o de la frecuencia, se e n t e n d e r á p o r qué m u c h o s ingenieros profesionales d e d i c a n sus carreras "al d o m i n i o d e la frecuencia", c r e a n d o , d i s e ñ a n d o y a n a l i z a n d o s i s t e m a s c o n m é t o d o s de F o u r i e r y otros m é t o d o s de transformadas. ; Í - H;V C a d a s i s t e m a L I T tiene u n a r e s p u e s t a al i m p u l s o y, a través d e la t r a n s f o r m a d a de Fourier, t a m b i é n u n a respuesta en frecuencia. Se analizarán sistemas l l a m a d o s filtros q u e se diseñan p a r a tener cierta r e s p u e s t a en frecuencia. Se definirá el t é r m i n o filtro ideal, y se v e r á n f o r m a s d e a p r o x i m a r a filtros ideales en T C y T D . P u e s t o q u e la r e s p u e s t a en frecuencia es tan i m p o r t a n t e en el análisis de sistemas, se f o r m u l a r á n m é t o d o s eficientes p a r a d e t e r m i n a r las r e s p u e s t a s e n frecuencias de sistemas c o m p l i c a dos. L o s ú l t i m o s e j e m p l o s d e aplicación principal de los m é t o d o s d e F o u r i e r son los sistemas de c o m u nicación, los cuales utilizan filtros y otras técnicas en el d o m i n i o de la frecuencia. OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

1. 2,

D e m o s t r a r el u s o d e los m é t o d o s de F o u r i e r e n el análisis de u n a d i v e r s i d a d d e sistemas c o n importancia en la ingeniería práctica, tales c o m o los filtros y los enfocados en la c o m u n i c a c i ó n F o r m u l a r u n a a p r e c i a c i ó n del p o d e r del análisis de señales y sistemas efectuado d i r e c t a m e n t e en el d o m i n i o de la frecuencia

6.2 RESPUESTA EN FRECUENCIA El p o d e r real de la T F T C se p r e s e n t a en el análisis g e n e r a l i z a d o de señales y sistemas en el d o m i n i o de la frecuencia. U n sistema L I T se caracteriza p o r su respuesta al i m p u l s o y t a m b i é n p o r su función de transferencia o su respuesta en frecuencia, q u e es la T F T C de su respuesta al i m p u l s o (figura 6.1). C o m o se m u e s t r a e n el capítulo 5, c u a n d o dos sistemas se c o n e c t a n en cascada, la respuesta al i m p u l s o del sistema c o m p l e t o es la c o n v o l u c i ó n de las dos respuestas al i m p u l s o individuales. P u e s t o q u e la contraparte de la c o n v o l u c i ó n en el d o m i n i o de la frecuencia es la multiplicación, c u a n d o dos sistemas se c o n e c t a n en cascada, la función de transferencia c o m p l e t a es el p r o d u c t o de las dos funcio-

x(í)-

h(r)

. y(r) = h(í)*x(í)

X(/) -

H(/)

Y(/) = H(/)X(/)

F I G U R A 6.1 a) Diagrama del bloque de un sistema en el dominio del tiempo y b) diagrama de bloque de un sistema en el dominio de la frecuencia.

F I G U R A 6.2 Conexión en cascada de sistemas en el dominio de la frecuencia.

• X(/)H,(/) •

H,(/)

X(/)-

H,(/)H2(/) L

X(/)-

0.-...i-.-.L.'tLL,íl

H,(/)

Hií/)

Y(/) = X(/)Hi(/)H2(/)

Y(/)

X(/)H,(/) +i + )

X(/)-

^ Y(/) = X(/)H,(/) + X ( / ) H 2 ( / ) = X(/)[Hi(/) + H 2 ( / ) ]

F I G U R A 6.3 Conexión en paralelo de sistemas en el dominio de la frecuencia.

X(/)H,(/) Hi(/) + H,(/)

X(/)-

Y(/)

nes d e trasferencia individuales (figura 6.2). P u e s t o q u e la m u l t i p l i c a c i ó n d e funciones c o m p l e j a s es por lo general m á s fácil q u e la c o n v o l u c i ó n de funciones reales, el análisis de señales y sistemas es a m e n u d o m á s c o n v e n i e n t e e n el d o m i n i o d e la frecuencia. L a r e s p u e s t a al i m p u l s o del s i s t e m a c o m p l e t o de s i s t e m a s c o n e c t a d o s e n paralelo es la s u m a de las r e s p u e s t a s al i m p u l s o i n d i v i d u a l e s . P u e s t o q u e la T F T C d e u n a s u m a d e funciones e n el d o m i n i o del t i e m p o es la s u m a d e las T F T C d e las funciones individuales, la función de transferencia del s i s t e m a c o m p l e t o d e s i s t e m a s c o n e c t a d o s e n p a r a l e l o e s la s u m a d e sus funciones de transferencia (figura 6.3). H a s t a a h o r a se h a e s t a d o r e s o l v i e n d o la r e s p u e s t a d e u n sistema c o n o c i d o a u n a e x c i t a c i ó n c o n o c i da. E s m u y c o m ú n en el análisis d e s i s t e m a s no c o n o c e r el c o m p o r t a m i e n t o e x a c t o en el d o m i n i o d d i t i e m p o d e u n a señal de excitación, p e r o sí las características generales en el d o m i n i o d e la frecuencia. L a s figuras 6.4 a 6.6 ilustran varios tipos de señales y c ó m o sus p o t e n c i a s de señal varían con la frecuencia. Si la señal q u e se v a a p r o c e s a r es u n a fuente de un p r o g r a m a de r a d i o c o m o u n a n u n c i o o m ú s i c a . \i sea q u e la e x c i t a c i ó n n o se c o n o z c a ( p o r q u e es u n a t r a n s m i s i ó n e n vivo) o q u e sí se c o n o z c a (si la tran«- " m i s i ó n es u n m e n s a j e o m ú s i c a g r a b a d o s ) , su d e s c r i p c i ó n m a t e m á t i c a sería tan c o m p l i c a d a q u e el a n á l i s » r e s u l t a n a p r á c t i c a m e n t e i m p o s i b l e . Sin e m b a r g o , aun c u a n d o n o es p o s i b l e describir c o n exactitud b señal d e excitación, se s a b e algo a c e r c a d e ella. Se sabe q u e las v o c e s de las p e r s o n a s n o c r e a n u n a pótemela d e señal i m p o r t a n t e fuera del intervalo de 3 0 a 3 0 0 H z y los i n s t r u m e n t o s m u s i c a l e s n o la crean ¡ frecuencias fuera del intervalo d e 15 H z a 2 0 k H z . Si e s c u c h a p o r u n rato y m i d e la p o t e n c i a de la s e ñ d . p o d r í a describir q u é tanta p o t e n c i a d e señal se e s p e r a e n p r o m e d i o e n diversos intervalos d e frecuencia. Otro e j e m p l o de u n a e x c i t a c i ó n d e s c o n o c i d a sería u n a c a d e n a de datos binarios. L o s bits \ i e n e t i e » u n a s e c u e n c i a q u e es d e s c o n o c i d a p a r a el r e c e p t o r de la c a d e n a de datos, y, e n c o n s e c u e n c i a , t a m b i ó i

x(í)

Cadena de bits binarios de la banda base

Í((JLS) „> •

F I G U R A 6.4 Una cadena de bits binarios de la banda base y la variación de potencia de señal con la frecuencia.

100

120

Variación de la potencia de la señal con la frecuencia

my .r,¡.

OíT.o;' , . . i b nñmiUr/svj-i

iíff. /(MHz)

Señal en TD formada al muestrear la presión manométrica en un proceso industrial a 1 muestra por segundo 6.2 Respuesta frecuencia 20,

Variación de potencia de la señal con la frecuencia de tiempo discreto

F I G U R A 6.5 U n a señal en T D y su

iiiW '3b A ^

variación de potencia c o n la frecuencia en

—I-1

-1.5

-0.5

1.5

0.5

TD.

p o d r í a ser aleatoria. N o se c u e n t a con una descripción exacta de la señal. N o obstante, el receptor suele diseñarse con a l g ú n c o n o c i m i e n t o de las características de las señales; p o r lo c o m ú n , el t i e m p o o c u p a d o p o r u n bit y el m é t o d o utilizado para codificar los bits de transmisión. C o n este c o n o c i m i e n t o es p o s i b l e efectuar m u y b u e n a s e s t i m a c i o n e s de c ó m o varía la p o t e n c i a de las señales, en p r o m e d i o , c o n la frecuencia. C o n o c i e n d o eso es posible diseñar u n p r o c e s a d o r de señales a p r o p i a d o . U n e j e m p l o m á s sería u n sistema de i n s t r u m e n t a c i ó n q u e m i d a presión, temperatura, flujo, etc., en u n p r o c e s o industrial. N o se sabe e x a c t a m e n t e c ó m o varían los p a r á m e t r o s de estos p r o c e s o s . A pesar de eso, sus variaciones se e n c u e n t r a n n o r m a l m e n t e dentro de algún inter\'alo c o n o c i d o y es posible que n o varíen m á s q u e alguna velocidad m á x i m a d e b i d o a las limitaciones físicas del p r o c e s o . D e n u e v o , este c o n o c i m i e n t o p e r m i t e diseñar u n sistema de p r o c e s a m i e n t o a p r o p i a d o . C o m o u n p r o b l e m a de análisis e x a c t o , el e s t u d i o de estas señales, c u a n d o se modifican m e d i a n t e sistemas LIT, es u n a tarea i m p o s i b l e . Sin e m b a r g o , así son los p r o b l e m a s de ingeniería reales. Se suele diseñar sistemas p a r a p r o c e s a r u n cierto tipo de señal, n o u n a señal c o n o c i d a exacta. Sólo se necesita saber suficiente acerca de la señal p a r a diseñar el sistema q u e la p r o c e s e y que logre el objetivo d e s e a d o .

Cadena de bits binarios codificada mediante conmutación binaria por desplazamiento de fase

x(í)

l O l l l O l l l O l l l l

l í l | 0 ! 0 i l | l | 0

f-^

/ (ms)

V i 4

an ja m

Variación de la potencia de la señal con la frecuencia

F I G U R A 6.6 U n a cadena de bits binarios codificada por c o n m u t a c i ó n binaria por desplazamiento de fase binaria y su variación de potencia I -10

-8

-6

-4

-2

^ ^ 1 - — I — h 8 10

/(kHz)

de la señal c o n la frecuencia.

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

E s t e tipo de señales suelen tratarse c o m o si fueran aleatorias. Se p r e s e n t a la siguiente pregunta: analizar la r e s p u e s t a de u n s i s t e m a a u n a señal q u e es aleatoria? ¿ C ó m o diseñar sistemas para p r : señales q u e son aleatorias? A u n c u a n d o u n a señal p u e d e ser aleatoria, se suele c o n o c e r algo d e ella. A m e n u d o se C C E ; espectro de potencia a p r o x i m a d o . Se tiene u n a descripción a p r o x i m a d a d e la p o t e n c i a de la >rexcitación en el d o m i n i o de la frecuencia. E s natural en este p u n t o p r e g u n t a r c ó m o se p u e d e , e s p e c t r o d e la señal en vista de q u e n o se d i s p o n e de u n a d e s c r i p c i ó n m a t e m á t i c a de ella. Se: medirla. E x i s t e n m u c h a s m a n e r a s de m e d i r el e s p e c t r o de p o t e n c i a d e u n a señal. U n a f o r . través del u s o d e filtros. <

6.3 FILTROS IDEALES Ya se analizó u n circuito d e n o m i n a d o filtro pasabajas y se d e m o s t r ó p o r q u é tiene ese n o m b r e . E i general u n filtro es u n dispositivo p a r a separar algo d e s e a b l e de a l g o i n d e s e a b l e . U n filtro para aá-separa la b e b i d a d e s e a b l e de los g r a n o s de café i n d e s e a b l e s . E n el análisis d e señales y sistemas^ >: efectiía la m i s m a separación. L o q u e es d e s e a b l e y lo que es i n d e s e a b l e d e p e n d e de lo que >e e^.: tratando de lograr con las señales y los sistemas. L a parte d e s e a b l e d e u n a señal p o d r í a ser la p a n e o n : ocurre en cierto t i e m p o o tiemposTy^l^ parte q u e ocurre en otros t i e m p o s sería e n e s e c a s o indeseafcie U n filtro p o d r í a t a m b i é n definirse c o m o u n dispositivo p a r a separar v a l o r e s de la señal p o r e n c i m a > r»:r debajo de cierto nivel o dentro y fuera de ciertos intervalos de nivel. Sin e m b a r g o , u n filtro se d e ñ r e a : f o r m a c o n v e n c i o n a l en el análisis d e señales y sistemas c o m o u n dispositivo q u e separa la poteD.rii ár u n a señal en un intervalo de frecuencias de la p o t e n c i a en otro intervalo de frecuencias. A los dispaaa»v o s q u e realizan las otras funciones m e n c i o n a d a s se les a s i g n a n otros n o m b r e s .

DISTORSIÓN E l t é r m i n o / í / í r o pasabajas define a u n dispositivo q u e pasa la p o t e n c i a d e las bajas frecuencias d e I t señal y detiene la p o t e n c i a de las altas frecuencias d e la señal. U n filtro pasabajas ideal pasaría todas tm potencias de señal a frecuencias p o r debajo d e cierto m á x i m o , sin distorsionar en a b s o l u t o la seaa¡ em e s e intervalo, y e l i m i n a r í a o b l o q u e a r í a completamente todas las p o t e n c i a s d e la señal a frecuencias e n c i m a de ese m á x i m o . E s i m p o r t a n t e a q u í definir con precisión lo q u e se e n t i e n d e p o r distorsiór.. hi distorsión se c o n s t r u y e c o m ú n m e n t e en el análisis de señales y sistemas p a r a referirse a q u e la f o n t ^ j e la señal se ha alterado. E s t o n o quiere decir q u e si se c a m b i a la señal n e c e s a r i a m e n t e se distorsiona. I m multiplicación de la señal p o r u n a constante de ganancia o d e s p l a z a m i e n t o en el t i e m p o d e la señal am. c a m b i o s q u e n o se c o n s i d e r a n c o m o u n a distorsión. / - S u p o n g a q u e u n a señal x(í) e n T C y u n a señal x[n] en T D tienen las f o r m a s ilustradas en la p a r e Señal en TC original

superior de la figura 6.7. E n ese c a s o las señales en la p a r e inferior de la figura 6.7 son versiones n o d i s t o r s i o n a d a a e esas señales. L a figura 6.8 ilustra dos tipos d e distorsióa.

Señal en TD original x[«] 1 +

32 -1

Señal en TC desplazada en el tiempo x(f) 1-

\ -1 -

Señal en TD atenuada x[n] 1 + ..tTTtimt.

.til

L a r e s p u e s t a de u n filtro (y de cualquier sistema L I T es la c o n v o l u c i ó n de su excitación con su respuesta ai m p u l s o . C u a l q u i e r señal c o n v o l u c i o n a d a c o n u n i m p u l s o » tario en el origen p e r m a n e c e inalterada, x(í) * 8(r) = xi i'. Se el i m p u l s o tiene u n a i n t e n s i d a d diferente de u n o , la señai se m u l t i p l i c a p o r la i n t e n s i d a d p e r o la f o r m a se m a n t k a e inalterada, x(f) * A5(r) = Ax(f). Si el i m p u l s o se desplaza i partir del origen, la c o n v o l u c i ó n t a m b i é n lo h a c e , pero » c a m b i a r la forma, x(r) * A 5 ( í - íg) = Ax(t P o r lo tamm, la r e s p u e s t a al i m p u l s o d e u n filtro q u e n o distorsiona s e r á u n i m p u l s o , p o s i b l e m e n t e con u n a intensidad diferente a a a c y q u i z á d e s p l a z a d a en el t i e m p o . L a f o r m a m á s general d e u n a r e s p u e s t a al i m p u l s o d e u n sistema sin d i s t o r s i ó n ;

I I

-1 +

h(í) = A8(í -

ío)

p a r a s i s t e m a s en T C o

F I G U R A 6.7 D o s señales originales y sus versiones modificadas, pero n o '

distorsionadas.

- ,

, í-

í..

h[n] = A8[« -

no]

Señal en TC original

331

Señal en TD original 6.3 Filtros

Señal en TC "recortada"

ideales

Señal en TD amplificada logarítmicamente

x(í) -'IJ

1--

i-H

F I G U R A 6.8 D o s señales originales y sus versiones distorsionadas.

—n 32

p a r a sistemas e n T D . L a c o r r e s p o n d i e n t e función d e transferencia sería la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r de la r e s p u e s t a al i m p u l s o . '

•

" '

H(/) =

H(F)

(6.3)

Ae-^^''^'"

(6.4)

L a función d e transferencia p u e d e caracterizarse p o r su m a g i ü t u d y fase. |H(/)| = A y

r . -

'-^^r

(6.5)

|H(F)| = A

,'-

ZH(/) = - 2 T r / í o

¿H(í") = - 2 7 T f «0.

(6.6)

P o r lo tanto, u n s i s t e m a sin distorsión tiene u n a m a g n i t u d d e la función d e transferencia q u e es c o n s t a n t e c o n la frecuencia y u n a fase d e la función d e transferencia q u e es lineal c o n la frecuencia (figura 6.9). L a v a r i a c i ó n d e la m a g n i t u d y la fase de la función de transferencia d e u n s i s t e m a g r a n e a d a en función de la frecuencia / o F r e c i b e el n o m b r e d e respuesta

en frecuencia

del sistema. L a

m a g n i t u d d e la r e s p u e s t a e n frecuencia d e u n s i s t e m a sin dis-

|H(/)|

torsión es p l a n a (no es u n a función d e la frecuencia), y la r e s p u e s t a e n frecuencia d e la fase es lineal. E n el c a s o d e s i s t e m a s e n T C la fase es lineal p a r a el intervalo -

< / < oo, y e n el c a s o

d e sistemas en T D , la fase es lineal p a r a el i n t e r v a l o -\<F

/H(/)

y se repite p e r i ó d i c a m e n t e fuera d e él. C o m o «q es u n e n t e r o , se g a r a n t i z a q u e la fase -InFriQ

d e u n filtro sin distorsión en T D

se repita c a d a v e z q u e F c a m b i e por u n v a l o r d e u n o . D e b e n o t a r s e a q u í q u e u n a r e s p u e s t a al i m p u l s o o función

- ' - i .

d e transferencia sin distorsión es u n c o n c e p t o q u e n o p u e d e realizarse e n n i n g ú n s i s t e m a e n T C físico real. N i n g ú n s i s t e m a e n T C p u e d e tener u n a r e s p u e s t a e n frecuencia q u e sea c o n s -

-2TT -

tante e n t o d o m o m e n t o a u n a frecuencia infinita. P o r lo tanto, las r e s p u e s t a s e n frecuencia d e todos los s i s t e m a s e n T C físic o s reales d e b e n t e n d e r a c e r o c u a n d o la frecuencia t i e n d e a

F I G U R A 6.9

infinito.

Magnitud y fase de un sistema sin distorsión.

332

CLASIFICACIONES DE FILTROS

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

P a r a t o d o filtro, u n intervalo de frecuencias p a r a el c u a l el filtro deje p a s a r la p o t e n c i a de !.

el n o m b r e de pasabanda,

y u n i n t e r v a l o de frecuencia p a r a el c u a l b l o q u e e la p o t e n c i a úe _^ . .

c o n o c e c o m o supresorde

banda. P u e s t o q u e el p r o p ó s i t o de u n filtro es quitar la parte i n d e s e a b i j c

señal y dejar el resto, n i n g ú n filtro, ni siquiera u n o ideal, deja d e tener distorsión de'^ m a g n i t u d n o es c o n s t a n t e c o n la frecuencia. Sin e m b a r g o , u n filtro ideal carece de distor^i : su b a n d a de p a s o . E s t o e s , su m a g n i m d de la función de transferencia es c o n s t a n t e d e n t r o de L p a s o y su fase de la función de transferencia es lineal d e n t r o de la b a n d a de p a s o . P o r lo c o m ú n , h a y cuatro tipos de filtros: pasabajas, p a s a a l t a s , p a s a b a n d a y supresor de b . ^ - 1 _ filtros en T C , 1.

U n filtro pasabajas deja p a s a r la p o t e n c i a de la señal en u n intervalo de fi^ecuencias O < l.f] < e l i m i n a e n t o d a s las d e m á s .

U n filtro p a s a a l t a s e l i m i n a la p o t e n c i a de la señal en el i n t e r v a l o de frecuencias O < | / | <

jcs

p a s a r e n todas las d e m á s . 3.

U n filtro p a s a b a n d a deja p a s a r la p o t e n c i a de señal en u n intervalo de frecuencias O < f

< oo y la e l i m i n a e n las d e m á s . 4.

\ 3 n f ú l i o supiesoT de b a n d a e l i m í n a l a p o t e n c i a d e l a s e ñ a l e n u n i n t e r v a l o d e frecuencias O < f < ^2 <

y l a deja p a s a r e n t o d a s l a s d e m á s .

' •

L a s d e s c r i p c i o n e s de los filtros en T D i d e a l e s son s i m i l a r e s e n c o n c e p t o , a u n q u e : : e i c n m o d i f i c a r s e un p o c o d e b i d o al h e c h o de q u e todos los s i s t e m a s en T D t i e n e n funciones de t r a n í : ; p e r i ó d i c a s . P a r a filtros en T D , e n el i n t e r v a l o de frecuencia - 5 < F < i e n T D , 1.

U n filtro pasabajas deja p a s a r la p o t e n c i a de la señal en un intervalo de frecuencias O < iF <

U n filtro p a s a a l t a s e l i m i n a la p o t e n c i a de la señal e n u n intervalo de frecuencias O < F

y la e l i m i n a e n t o d a s las d e m á s . <i

< i y la deja p a s a r e n todas las d e m á s . 3.

U n filtro p a s a b a n d a deja p a s a r la p o t e n c i a d e la señal en u n i n t e r v a l o de frecuencias O < f

í*; . F2<\y\& 4.

e l i m i n a e n t o d a s las d e m á s .

U n filtro supresor de b a n d a e l i m i n a la p o t e n c i a de la señal en u n intervalo de frecuencias O < i |f| < F2 < i y la deja p a s a r e n t o d a s las d e m á s .

RESPUESTAS EN FRECUENCIA DEL FILTRO IDEAL E n las figuras 6.10 y 6.11 se p r e s e n t a n las r e s p u e s t a s e n frecuencia de m a g n i t u d y fase de lo* 1 tipos b á s i c o s de filtros ideales.

( O b s e r v e q u e las fases de estos filtros n o se i n d i c a n en la>

d o n d e las m a g n i t u d e s s o n cero. L a fase es la t a n g e n t e i n v e r s a del c o c i e n t e entre la parte i m a g i n a r i a j función de transferencia y la parte real. P u e s t o q u e a m b a s partes son c e r o , el cociente 0 0 mo definido y por ello es la fase de la función de transferencia. E s u n a práctica c o m ú n en alguna ] de análisis de señales indicar u n a fase de cero c u a n d o la m a g n i t u d es c e r o , a u n c u a n d o . habLir t é r m i n o s p r e c i s o s , ésta es indefinida.)

Filtro de pasabajas ideal |H(/)|

Filtro de pasaaltas ideal |H(/)|

|H(F)|

/H(/)

F I G U R A 6.10 Respuestas en frecuencia de magnitud y fase de filtros pasabajas y pasaaltas ideales.

|H(F)|

-1

-FjF, /H(f)

\...

X Filtro pasabanda ideal |H(/)|

|H(F)|

|H(/)|

ÍLÍH

-ÍH-ÍL

/H(/)

/H(F)

\ i -1

V 11

•:

|H(F)|

I - 1 -F,

• —1 -ÍH-ft

333

Filtro supresor de banda ideal

ÍLÍH

/H(f)

/H(/)

FIGURA6.il Respuestas en frecuencia de magnitud y fase de filtros ideales pasabanda y supresor de banda.

\ 1

1 V

ANCHO DE BANDA R e s u l t a a p r o p i a d o definir a q u í u n a p a l a b r a q u e se usa c o m ú n m e n t e e n el análisis de señales: ancho banda.

Este t é r m i n o se aplica t a n t o a señales c o m o a filtros. E n general significa un intervalo de fre-

c u e n c i a s , q u e p o d r í a n ser las p r e s e n t e s en u n a señal o las q u e u n filtro deja pasar. P o r r a z o n a s históricas, suele construirse p a r a dar a e n t e n d e r u n intervalo de frecuencias en el e s p a c i o de frecuencias p o s i t i \ o . P o r e j e m p l o , u n filtro pasabajas ideal c o n frecuencias de corte de ± / , „ , c o m o se ilustra e n la figura 6.10, se dice q u e tiene u n a n c h o de b a n d a de / „ , , a u n c u a n d o el a n c h o del filtro en la gráfica de la r e s p u e s t a de la m a g n i t u d es e v i d e n t e m e n t e 2/„,. El filtro p a s a b a n d a ideal tiene u n a n c h o de b a n d a de f[f-f¿,

q u e es

el a n c h o de la r e g i ó n en la frecuencia positiva en la q u e el filtro deja p a s a r u n a señal. H a y m u c h o s tipos diferentes de a n c h o s de b a n d a , entre los q u e se i n c l u y e n el a b s o l u t o , el de la p o t e n c i a m e d i a y el n u l o (figura 6.12). C a d a u n o de ellos se e n c u e n t r a en u n intervalo de frecuencias p e r o se define de m a n e r a diferente. P o r e j e m p l o , si u n a señal n o tiene p o t e n c i a p o r debajo de a l g u n a frecuencia p o s i t i v a m í n i m a y p o r arriba de a l g u n a frecuencia p o s i t i v a m á x i m a , su a n c h o de b a n d a a b s o l u t o es la diferencia entre esas d o s frecuencias. Si u n a señal tiene u n a n c h o de b a n d a absoluto finito, se d i c e q u e es e s t r i c t a m e n t e de b a n d a limitada o, m á s a m e n u d o , sólo de b a n d a limitada. L a m a y o r í a de las señales reales n o son de b a n d a limitada. É s t a es la r a z ó n p o r la q u e se necesitan otras definiciones del a n c h o de b a n d a .

;

. - - s ^ i ; ; ;>a

¡ÍJÍU-J^ÍÍÍK I.Í-ÍI,;.I.-

.a.nu),-

?^;!iíía.M».jí.j-níi:j . . 0 1 ^'Jym

RESPUESTAS AL IMPULSO Y CAUSALIDAD

Okil. -fí:?

C o m o los filtros ideales n o p a s a n todas las frecuencias, sus r e s p u e s t a s al i m p u l s o n o son i m p u l s o s . E x i s t e n las t r a n s f o r m a d a s inversas de las funciones de transferencia del filtro. El filtro pasabajas ideal

|H(/)|

Ancho de banda absoluto

|H(/)p

Ancho de banda de media potencia |H{/)|

i f -

~- iAncho de banda nulo

F I G U R A 6.12 Ejemplos de definiciones de ancho de banda.

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

tiene u n a función de transferencia q u e se describe m a t e m á t i c a m e n t e m e d i a n t e u n a función r e c t á n g í p a r a sistemas en T C o u n a función r e c t á n g u l o r e p e t i d a p e r i ó d i c a m e n t e p a r a sistemas e n T D ,

H ( / ) = A rect

H ( F ) = A rect

ítTI

2/.

* comb(F).

2F„

L a s r e s p u e s t a s al i m p u l s o c o r r e s p o n d i e n t e s son las funciones sinc en T C y T D , h ( 0 = 2 A / „ , s i n c ( 2 / „ , ( r - ro))

h [ n ] = 2AF;„ s i n c ( 2 F , „ ( n -

(6^

(6.101

no)).

Estas descripciones son generales en el sentido de que i m p l i c a n u n a c o n s t a n t e de g a n a n c i a arbitraria A y u n retraso de t i e m p o arbitrario /Q O «Q. , E l filtro pasaaltas ideal efectúa u n a o p e r a c i ó n oue es e x a c t a m e n t e la o p u e s t a del filtro pasabajas ideal. P o r lo tanto, su función de transferencia es u n a coiistante m e n o s u n r e c t á n g u l o o u n rectángulo repetido periódicamente, H(/) = A

1 - rect

.-J2-üft„

(6.11)

2/„

;v ti

H(F) =

1 — rect

2F„,

* comb(F)

(6.12)

L a s c o r r e s p o n d i e n t e s r e s p u e s t a s al i m p u l s o son c a d a u n a u n i m p u l s o en T C o T D m e n o s u n a función sinc e n T C o T D , h ( r ) = A 8 ( í - ío) - 2 A / , „ s i n c ( 2 / „ , ( í -

(6.13)

ÍQ))

h[n] = A 8 [ n - «ol - 2 A F „ , s i n c ( 2 F „ , ( n - n o ) ) .

(6.14)

O b s e r v e q u e el filtro pasaaltas en T C ideal tiene u n a r e s p u e s t a en frecuencia q u e se e x t i e n d e en t o d o m o m e n t o hacia infinito. E s t o es i m p o s i b l e en c u a l q u i e r s i s t e m a físico real. P o r c o n s i g u i e n t e , las aproxim a c i o n e s prácticas a los filtros pasaaltas en T C ideales b l o q u e a n las señales de baja frecuencia y p e r m i ten el p a s o d e las señales de m a y o r frecuencia, p e r o sólo hasta cierta frecuencia m u y alta, n o infinita. Muy alta, es u n t é r m i n o relativo y, c o m o u n a cuestión práctica, p o r lo c o m ú n significa m á s allá d e las frecuencias de c u a l e s q u i e r a señales que se e s p e r a ocurran en realidad en el sistema. E l filtro p a s a b a n d a ideal tiene u n a función de transferencia q u e p u e d e describirse de m a n e r a c o n v e n i e n t e e n d o s f o r m a s equivalentes. U n a es la diferencia entre d o s funciones r e c t á n g u l o n o d e s p l a z a d a s o dos funciones r e c t á n g u l o n o d e s p l a z a d a s q u e se repiten p e r i ó d i c a m e n t e ,

H(/) =

rect

H(F) -

rect

J _ 2fH

F 2F^

_f_

rect

-j2-ii/fo

(6.15)

2/L/J

— rect

e-J^"^""

*combiF),

(6.16)

donde / L o F¿ y

o Ffj son las frecuencias d e corte baja y alta, r e s p e c t i v a m e n t e . L a otra d e s c r i p c i ó n es

la s u m a d e d o s funciones r e c t á n g u l o d e s p l a z a d a s o la r e p e t i c i ó n p e r i ó d i c a d e d o s f u n c i o n e s r e c t á n g u l o desplazadas,

H(/) =

H(F) =

d o n d e Af

= fu

rect I

/ - / o

rect

- — I + rect

f +

rect

•

,-p--^f<a

(6.17)

(6.18)

.--'•2'''"» * c o m b ( F ) ,

— Fh — Fl

Fo =

L a r e s p u e s t a al i m p u l s o d e u n filtro p a s a b a n d a ideal es la t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d e la función d e transfer e n c i a y, p o r lo tanto, t a m b i é n p u e d e describirse e n d o s f o r m a s alternas, a u n q u e e q u i v a l e n t e s . h ( í ) = 2AfH

s i n c ( 2 / « ( í - fo)) - lAfi

s i n c ( 2 / i ( í - ÍQ))

(6.19)

h[«] = 2 A F H S Í n c ( 2 F H ( « - n o ) ) - 2 A Í £ S Í n c ( 2 F t . ( « - « o ) )

h ( 0 = 2 A Af

s i n c ( A / ( í - ÍQ)) cos(2Trfo(f -

ío))

sinc( A F ( n - h q ) ) COS(2TTFO(« -

h [ « ] = 2 A AF

- _ 'I

«o))-

(6.20)

(6.21)

(6.22)

El filtro supresor d e b a n d a ideal, al ser el o p u e s t o del filtro p a s a b a n d a ideal, t a m b i é n tiene u n a función d e transferencia q u e se d e s c r i b e en d o s f o r m a s e q u i v a l e n t e s . C a d a u n a de ellas es u n a c o n s t a n t e m e n o s la f o r m a p a s a b a n d a c o r r e s p o n d i e n t e . L a p r i m e r a es

H(/) = A

1 - rect (

+ rect ^

(6.23)

2fH •

H(F) =

donde

Ae-^^"""""

rect I

F 2Fh)

- rect

(

F — . , * comb(F) \ 2 F J \

(6.24)

s o n frecuencias d e corte baja y alta, r e s p e c t i v a m e n t e , y la s e g u n d a for-

m a es

H(/) = A

1 - rect I ^ V A/

rect

+ A/

,-j2T!fto

(6.25)

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

—

H(F) =

donde

á^-J-'^Fno

= ¡ H ÍH

Í L

AF = F^ -

F¿

Fo =

rect

ÍF-Fo V

+ rect

A F

^-'^^ -

ÍF

+ Fq

A F

. .^^j,

* comb(F)

(6.26)

= ' ^

, V

2. (6.27)

h ( f ) = A 8 ( r - ro) - 2 A / H s i n c ( 2 / H ( í - ?o)) + 2 A A s i n c ( 2 / ¿ ( f - Í Q ) )

h[7!] = A 8 [ n - no] - 2AFh

s i n c ( 2 F H ( « - no)) + 2 A F ¿ s i n c ( 2 F i ( n -

no))

(6.28)

h ( f ) = A 8 ( í - ro) - 2 A A / s i n c ( A / ( í - ro)) c o s ( 2 i 7 / „ ( r - ro))

(6.29)

h [ « ] = A 8 [ « - HQ] - 2 A A F sinc( A F ( ; ! - uq)) C O S ( 2 ' I T F o ( « - « o ) ) -

(6.30)

C o m o fue cierto p a r a el filtro pasaaltas e n T C . el filtro ideal supresor de b a n d a en T C tiene u n a r e s p u e s t a e n frecuencia q u e se e x t i e n d e t o d o el t i e m p o h a s t a infinito. P o r esa m i s m a r a z ó n , n i n g ú n s i s t e m a físico real p u e d e tener esa r e s p u e s t a en frecuencia. Su r e s p u e s t a en frecuencia debe tender a cero c u a n d o la frecuencia tiende a infinito. E n las figuras 6.13 y 6.14 se p r e s e n t a n a l g u n a s formas típicas de r e s p u e s t a s al i m p u l s o p a r a los c u a t r o tipos b á s i c o s de filtros ideales. El filtro pasabajas ideal realiza u n a transición q u e v a d e s d e p e r m i tir señales de frecuencia p o r debajo de su frecuencia de corte sin distorsión hasta b l o q u e a r c o m p l e t a m e n t e f r e c u e n c i a s p o r arriba de la de c o r t e . E s a t r a n s i c i ó n o c u r r e e n un i n t e r v a l o d e f r e c u e n c i a s infinitesimal a l r e d e d o r de la frecuencia de corte. P o d r í a p r e g u n t a r s e q u é le s u c e d e a u n a señal e n exactamente

la frecuencia de corte. D e s d e el p u n t o de vista práctico esta p r e g u n t a no es i m p o r t a n t e p o r q u e ,

c o m o se verá d e n t r o de p o c o , el filtro ideal n o p u e d e construirse. N i n g ú n filtro real p u e d e tener lados verticales e n su r e s p u e s t a e n frecuencia, p e r o es interesante d e s d e el p u n t o de vista teórico ver q u é

Pasabajas en TC ideal

Pasabajas en TD ideal

h(í)

h[«]

TIF Pasaalta en TC ideal

Pasaaltas en TD ideal

h(í)

h[»] 1 •

F I G U R A 6.13 Respuestas c o m u n e s al impulso de filtros pasabajas y pasaaltas.

•»V.

I -I

••'11 il»-

—>' n

• •

Pasabanda en TC ideal

Pasabanda en TD ideal

h(r)

h[/¡]

T I i

,^4^ í i > J il Supresor de banda en TC ideal

Supresor de banda en TD ideal

h(f)

h[;i]

<y F I G U R A 6.14 Respuestas al impulso c o m u n e s de filtros n ideales pasabanda y supresor de banda.

s u c e d e r í a si fuera p o s i b l e construirlo. E s factible analizar esta situación c o n v o l u c i o n a n d o la r e s p u e s t a al i m p u l s o de u n filtro pasabajas ideal c o n un c o s e n o y ver lo q u e ocurre c u a n d o se c a m b i a la frecuencia del c o s e n o . L a r e s p u e s t a d e u n filtro pasabajas ideal c o n d e s p l a z a m i e n t o d e fase c e r o y g a n a n c i a unitaria a u n a e x c i t a c i ó n d e c o s e n o unitaria es la c o n v o l u c i ó n d e su r e s p u e s t a al i m p u l s o con ese c o s e n o , y{t)

= 2f,„smc(2f,„t)*cos(2Ttfot).

U t i l i z a n d o l a definición integral d e la c o n v o l u c i ó n ,

(6.31)

. - . > jr-á

ílm^'i

.é%«I:jrL:TR.

y ( í ) = 2f,„

smc(2f^T)COS(2TT/O(Í

- T))

^^r-

.ii'í:

(6.32)

o, u s a n d o la definición de la función sinc.

y(0 =

f SIN(277/,„T) / j ITT

c o s ( 2 7 T / o ( r - T ) ) DT.

_ ; (6.33)

Se p u e d e u s a r u n a i d e n t i d a d t r i g o n o m é t r i c a p a r a el c o s e n o de u n á n g u l o d e diferencia y escribir

y(0 =

^^"(^"^-^"^^ [cos(2-TT/of) C O S ( 2 T T / O T ) + s e n ( 2 7 r /•oí)sen(27T/oT)] ( d-r.

(6.34)

L a integral d e esta s u m a es u n a s u m a de integrales, y la s e g u n d a d e ellas es cero p o r q u e es la integral d e u n a función i m p a r sobre límites simétricos. P o r c o n s i g u i e n t e .

y ( í ) = cos(2Tr/of)

/" sen(2TTÍ;,T) , , / cos(2Tr/OT) Í/T.

(6.35)

E n ese c a s o , si se utiliza u n a i d e n t i d a d t r i g o n o m é t r i c a para el p r o d u c t o de u n s e n o y u n c o s e n o ,

1 r sen(2-iTT( £ y(r) = -COS(2TT/OÍ) j ^

A h o r a , p a r a e v a l u a r la integral, c o n s i d e r e tres c a s o s .

/ o ) ) + sen(2-RTT(/;„ + TTT

/o))

di.

(6.36)

tf^ígfofíáí'tívv.íí,' » í K - , V ^ S M : í í í i : ' : 'u-.íi-':-

1 i

338

Casol

fo<f„.

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

= oo y(0

- COS(2TT/OÍ)

sen(2TTT(i;, - /o)) 2TTT(/,„ -

2(/,„-/o)

+ 2(/,„ + /o)

yit)

= - cos(2TT/or)

2(/„

/o)

-/o)

s i n ( 2 T r T ( / ^ -F- / o ) ) 2TTT(/„ +

/o)

s si i n c ( 2 T ( / , „ - / o ) ) <ÍT

oo + 2 ( ^+

sinc(2T(/;„ + /o))

E s p o s i b l e utilizar la T F T C p a r a d e t e r m i n a r el área bajo estas funciones sinc y el resultadc y(f)

COS(2TT/O/).

E n este c a s o , la e x c i t a c i ó n y las r e s p u e s t a s son idénticas.

Caso II

/ o = fm-

y(f) =

A q u í , sen(27tx(/„, - / g ) ) = O y, d e a c u e r d o c o n (6.37),

- C O S ( 2 T T / O Í ) X 2 ( / „ , + /o)

s e n ( 2 ' n - T ( j ^ -J- / o ) )

//'"^

2TTT(/„, + /o)

y -3C

-cos(2TT/or).

E n este c a s o la r e s p u e s t a es e x a c t a m e n t e la m i t a d d e la excitación.

Casoin

/o>/,„-

Ahora,

• OO 2(/„,

/o)

/ /

sen(2'TTT(X, -

2TTT(/„ -

/o))

/o)

c/T

- 2 ( / , „

/o)

sinc(2T(/„,

/o))

JT.

16.41*

—OO

las d o s integrales en (6.38) se c a n c e l a n e x a c t a m e n t e y y(í) =

(6.42»

E n este ú l t i m o c a s o la r e s p u e s t a es i d é n t i c a m e n t e c e r o . E s p o s i b l e v e r q u e p a r a el filtro pasabajas

idéa-

la definición d e la función r e c t á n g u l o e n c u a n t o a q u e vale la m i t a d e n su d i s c o n t i n u i d a d . c o i n c : ; e e x a c t a m e n t e c o n su r e s p u e s t a en frecuencia. C o m o se m e n c i o n ó a n t e s , u n a r a z ó n p o r la q u e los filtros ideales r e c i b e n e s e calificativo es q u e m> p u e d e n existir físicamente. L a r a z ó n n o es q u e los c o m p o n e n t e s del circuito perfecto c o n característicjt> ideales n o e x i s t a n ( a u n q u e sería suficiente). E s m á s f u n d a m e n t a l q u e e s o . C o n s i d e r e las respuestas

i m p u l s o descritas e n las figuras 6.13 y 6.14. Éstas son las r e s p u e s t a s d e los filtros al i m p u l s o u n i t a i o a p l i c a d o e n el t i e m p o í = O o « = 0. E s t o es lo q u e significa la respuesta

al impulso.

Observe que todas

las r e s p u e s t a s al i m p u l s o d e estos filtros ideales son distintas d e cero antes d e q u e el i m p u l s o se aplique e n el t i e m p o í = O o « = 0. D e h e c h o , todas e m p i e z a n e n u n t i e m p o infinito antes d e c e r o . D e b e d e s e r i n t u i t i v a m e n t e o b v i o q u e u n s i s t e m a real no p u e d e v e r el futuro y anticipar la aplicación d e la e x c i t a d o » y e m p e z a r a r e s p o n d e r antes d e q u e ésta ocurra. L o s filtros ideales son n o c a u s a l e s . C o m o se a n a l i z ó p r i m e r o e n el capítulo 3 , u n s i s t e m a c u y a r e s p u e s t a se inicia antes d e q u e o c u r r a b excitación se dice q u e viola el p r i n c i p i o d e c a u s a l i d a d y es d e n o m i n a d o u n sistema no causal. p a l a b r a s causalidad

y causal p r o v i e n e n del p r i n c i p i o d e c a u s a y efecto en el q u e , p a r a s i s t e m a s i

Las^

Pasabanda causal

Pasabajas causal |H(/)|

|H(F)|

h[«] 0.3 -

liiii 1 1""

„„:

-5 IT -

1 > f '

-0.3 ¡

]

-4

„

1 * 4

— IT -

F I G U R A 6.15

Respuestas al i m p u l s o y respuestas en frecuencia de filtros causales pasabajas y pasabanda.

•

,'"i ;,.;..:V.

n o p u e d e h a b e r efecto hasta que su c a u s a h a y a o c u r r i d o . Todos los sistemas físicos reales son c a u s a l e s . E s t o es, sus respuestas al i m p u l s o o c u r r e n sólo c u a n d o o d e s p u é s de que se aplica la excitación. E n las figuras 6.15 y 6.16 se p r e s e n t a n a l g u n o s e j e m p l o s d e respuestas al i m p u l s o y respuestas en frecuencia de algunos filtros causales n o ideales de los cuatro tipos de filtro c o m u n e s . El t é r m i n o causal t a m b i é n se aplica a señales. U n a señal c a u s a l es aquella que es cero p a r a t o d o t i e m p o í < O o n < 0. P o r lo tanto, p o d r í a ser la r e s p u e s t a al i m p u l s o de u n sistema causal. U n a señal anticausal es aquella q u e es c e r o p a r a t o d o t i e m p o f > O o « > 0. A l g u n o s efectos de u n filtro p u e d e n ilustrarse e x c i t á n d o l o c o n u n a señal estándar y o b s e r v a n d o la respuesta. L a señal e s t á n d a r p o d r í a ser u n e s c a l ó n unitario, u n a o n d a c u a d r a d a o incluso u n a señal aleatoria. O t r a m a n e r a de v e r los efectos de u n filtro es excitarlo c o n u n a s e c u e n c i a de senoides de diferentes frecuencias y o b s e r v a r las a m p l i t u d e s y fases de las respuestas. E n las figuras 6.17 y 6.18 se p r e s e n t a n a l g u n o s e j e m p l o s de las r e s p u e s t a s de algunos filtros causales a ciertos de estos tipos de excitaciones. U n a m a n e r a interesante de d e m o s t r a r lo q u e h a c e n los filtros consiste en filtrar u n a i m a g e n . U n a imagen es u n a señal b i d i m e n s i o n a l q u e p u e d e adquirirse de varias formas. U n a c á m a r a d e cine e x p o n e película sensible a la luz a u n a e s c e n a p o r m e d i o d e u n sistema de lentes que i m p r i m e n u n a i m a g e n

Pasaaltas causal

Supresor de banda causal |H(yft)|

h(í) h[n] 0.6 -

217

-2TT

-0.5

Fase de H ( / )

-5 -12

+• - 0 . 2

Fase de H ( ; í l )

«I > n 25

I T

+ -4

-2-ir

F I G U R A 6.16 Respuestas al i m p u l s o y respuestas en frecuencia de filtros causales pasaaltas y supresor de banda.

'irm..i-w-Af'

•

339

Excitación de un filtro pasaaltas causal

Excitación de un futro pasabajas causal x(í)

x(í) 1-

1 1

r(ms)

-1 Respuesta de un filtro pasabajas causal

Respuesta de un filtro pasaaltas causal

y(t)

y(í) 1-

n n n n U u u 1

1-/ (ms) -1

F I G U R A 6.17 Excitaciones y respuestas de filtros en TC pasabajas y pasaaltas.

•

' "'

Óptica sobre la película. L a fotografía p o d r í a ser a color o en b l a n c o y n e g r o ( m o n o c r o m á t i c a ) . E s t a e x p l i c a c i ó n se refiere sólo a i m á g e n e s m o n o c r o m á t i c a s . U n a c á m a r a digital adquiere u n a i m a g e n p r o y e c t a n d o la e s c e n a sobre un arreglo rectangular de detectores que c o n v i e r t e n la energía l u m i n o s a en c a r g a eléctrica. C a d a detector ve u n a parte m u y d i m i n u t a de la i m a g e n l l a m a d a pixel (abreviatura e n inglés p a r a picture element: e l e m e n t o de i m a g e n ) . L a i m a g e n adquirida p o r la c á m a r a digital consiste e n t o n c e s en u n arreglo de niimeros, u n o p a r a c a d a pixel q u e indica la intensidad l u m i n o s a en ese punto ( s u p o n i e n d o de n u e v o u n a i m a g e n m o n o c r o m á t i c a ) . U n a fotografía es u n a función del espacio c o n t i n u o de dos c o o r d e n a d a s espaciales llamadas de modo convencional x y U n a i m a g e n digital adquirida es u n a función del e s p a c i o discreto de dos c o o r d e n a d a s del e s p a c i o discreto y n,.. E n principio u n a fotografía p o d r í a filtrarse de m a n e r a d i r e c i i . D e h e c h o , hay técnicas ópticas q u e h a c e n eso e x a c t a m e n t e . Sin e m b a r g o , el tipo de filtrado de i m a g e n m á s comían se efectúa en forma digital, lo q u e quiere decir que la i m a g e n se filtra m e d i a n t e una c o m p u tadora utilizando m é t o d o s n u m é r i c o s .

" Excitación de un filtro pasabanda causal

Excitación de un filtro pasabajas causal

x[n]

-16

x[nl

255

-1 +

Respuesta de un filtro pasabajas causal

Respuesta de un filtro pasabanda causal y[n]

y["]

0.3 —

0.5 - -

>s tu. 256 -0.5 +

340

F I G U R A 6.18 Excitaciones y respuestas de filtros en TD pasabanda y pasabajas.

6.3 Filtros

ideales

Brillantez del renglón superior de la imagen b(A-) 1--

F I G U R A 6.19

F I G U R A 6.20

Una i m a g e n c o n una cruz blanca.

Brillantez del renglón superior de p i x e l e s en la i m a g e n c o n cruz blanca.

L a s técnicas q u e se utilizan p a r a filtrar i m á g e n e s son m u y similares a las q u e se e m p l e a n p a r a filtrar señales d e t i e m p o , salvo q u e aquéllas se efectúan e n d o s d i m e n s i o n e s . C o n s i d e r e la i m a g e n d e e j e m p l o e n la figura 6.19. U n a t é c n i c a p a r a filtrar u n a i m a g e n consiste e n t o m a r u n r e n g l ó n de pixeles c o m o u n a señal u n i d i m e n s i o n a l y filtrarla de igual m o d o q u e u n a señal e n t i e m p o discreto. L a figura 6.20 es u n a gráfica d e la brillantez d e los p i x e l e s en la fila superior de la i m a g e n e n función del e s p a c i o d i s c r e t o h o r i z o n t a l n Si la señal fuera en realidad u n a función del t i e m p o discreto y se le estuviera filtrando e n t i e m p o real (lo q u e significaría q u e n o se t e n d r í a n v a l o r e s futuros d i s p o n i b l e s d u r a n t e el p r o c e s o d e filtrado), la señal filtrada en u n d i s p o s i t i v o pasabajas p o d r í a v e r s e c o m o e n la figura 6 . 2 1 . D e s p u é s del filtrado p a s a b a j a s , t o d o s los r e n g l o n e s en la i m a g e n se m i r a r í a n d i s t o r s i o n a d o s e n la d i r e c c i ó n h o r i z o n t a l e inalterados en la vertical (figura 6.22). Si se h u b i e r a n filtrado las c o l u m n a s en vez de los r e n g l o n e s , el efecto se h a b r í a ilustrado c o m o e n la figura 6 . 2 3 .

' »'

U n a s p e c t o c o n v e n i e n t e relativo al filtrado de i m á g e n e s es q u e la c a u s a l i d a d n o es i m p o r t a n t e p a r a el p r o c e s o de filtrado. Por lo c o m ú n la i m a g e n c o m p l e t a se a d q u i e r e y l u e g o se p r o c e s a . S i g u i e n d o la a n a l o g í a entre el t i e m p o y el e s p a c i o , d u r a n t e el filtrado h o r i z o n t a l los v a l o r e s p a s a d o s d e la señal estarían a la izquierda y los valores futuros a la d e r e c h a . E n el filtrado en t i e m p o real de las señales d e t i e m p o n o es p o s i b l e utilizar valores futuros p o r q u e n o se c o n o c e a ú n cuáles s o n éstos. E n el filtrado d e i m á g e n e s se tiene la i m a g e n c o m p l e t a antes d e e m p e z a r a filtrarla y, e n c o n s e c u e n c i a , se d i s p o n e d e los v a l o r e s futuros. Si se filtra h o r i z o n t a l m e n t e el r e n g l ó n superior d e la i m a g e n c o n un filtro pasabajas n o causal, el efecto p o d r í a verse c o m o se ilustra e n la figura 6.24. Si se efectúa u n filtrado pasabajas h o r i z o n t a l m e n t e d e la i m a g e n c o m p l e t a c o n u n filtro pasabajas n o causal, el r e s u l t a d o sería c o m o lo q u e se o b s e r v a en la figura 6.25. El efecto total de este tipo d e filtrado p u e d e verse en la figura 6.26, d o n d e t a n t o los r e n g l o n e s c o m o las c o l u m n a s d e la i m a g e n se h a n filtrado m e d i a n t e un filtro pasabajas. D e s d e l u e g o , el filtro q u e se refiere c o m o n o causal es en realidad causal d e b i d o a q u e t o d o s los datos de la i m a g e n se a d q u i e r e n antes d e q u e se inicie el p r o c e s o de filtrado. S ó l o se le l l a m a n o causal en virtud d e q u e si se tuviera u n a c o o r d e n a d a espacial en v e z del t i e m p o , y si el p r o p ó s i t o fuera realizar filtrado e n t i e m p o real, el

filtrado

sería n o causal.

Brillantez futrada causaknente

b(x)

1 --

ITTTT», 99

F I G U R A 6.21

Imagen de la cruz blanca después de que

Brillantez del renglón superior de p i x e l e s después de pasar por un filtro pasabajas causal.

F I G U R A 6.22

« ..-.ÍM-,.,.,^

Í..

^.,ifu,j-^^>.

dv I f ^

í , í m í ¡ , . , . ¿ í , . M •••^^

•

K'''

sus renglones han pasado por un filtro

II .I

pasabajas causal.

Brillantez filtrada no causalmente

i 1—

lll

99 F I G U R A 6.23 Imagen de la cruz blanca después de que sus columnas han pasado por un fdtro pasabajas causal.

F I G U R A 6.24 Brillantez del renglón superior de pixeles después de filtrarlos por un pasabajas no causal.

EL ESPECTRO DE POTENCIA

1/0*

E l ú n i c o p r o p ó s i t o d e a b o r d a r la idea de u n filtro fue hallar u n a f o r m a d e d e t e m ü n a r el espectro d e p o t e n c i a de u n a señal al m e d i r l o . E s t o p o d r í a llevarse a c a b o p a r a señales en T C m e d i a n t e el sistema q u e se ilustra en la figura 6.27. L a señal de excitación se dirige h a c i a filtros múltiples p a s a b a n d a , c a d a u n o c o n el m i s m o a n c h o de b a n d a p e r o con diferentes frecuencias centrales. C a d a r e s p u e s t a del filtro es la parte d e la señal q u e se e n c u e n t r a en el intervalo de frecuencia del filtro. E n e s e c a s o la señal de salida d e c a d a filtro es la señal de e n t r a d a de u n elevador cuadrátíco y su señal d e salida es la señal de entrada d e u n promediador de tiempo. U n e l e v a d o r c u a d r á t i c o s i m p l e m e n t e t o m a el c u a d r a d o d e la señal. É s t a n o es u n a o p e r a c i ó n lineal, p o r lo q u e n o se trata de u n sistema lineal. L a señal de salida de cualquier e l e v a d o r c u a d r á t i c o es esa parte de la p o t e n c i a de la señal instantánea de la excitación original x(r) que se e n c u e n t r a en la b a n d a de p a s o del filtro p a s a b a n d a . E n t o n c e s el p r o m e d i a d o r de t i e m p o sólo forma la p o t e n c i a de la señal p r o m e d i a d a en el t i e m p o . C a d a respuesta de salida P^C/n) es u n a m e d i d a de la p o t e n c i a d e la señal de la e x c i t a c i ó n original x(í) en u n a b a n d a estrecha de frecuencias centradas en T o m a d a s en conjunto, las P c o n s t i m y e n u n a indicación de la variación de la p o t e n c i a de la señal con la frecuencia: el e s p e c t r o de potencia. N i n g ú n i n g e n i e r o en la actualidad construiría u n sistema c o m o éste p a r a m e d i r el espectro de pot e n c i a de u n a señal. U n a m e j o r f o r m a de m e d i r l o consiste en utilizar u n i n s t r u m e n t o d e n o m i n a d o analizador de espectros, q u e se p r e s e n t a r á en la sección 6.10. Sin e m b a r g o , esta ilustración es útil p o r q u e refuerza el c o n c e p t o de lo q u e u n filtro lleva a c a b o y de lo q u e sigrüfica el t é r m i n o e s p e c t r o de potencia. E n el capítulo 8 se estudiará u n a i d e a m á s e s t r e c h a m e n t e relacionada: la d e n s i d a d espectral de potencia.

F I G U R A 6.25 Imagen de la cruz blanca después de que sus renglones lian pasado por un filtro pasabajas no causal. ^^.,0..

FIGURA6.26 -MÍ• > ! ^,: m^«-^ Imagen de cruz blanca filtrada mediante un filtro pasabajas: a) causal, b) no«

H(/) .T Cuadrador .\-

Promediador de tiempo

• Pv(0)

A: Cuadrador x'

Promediador de tiempo

• P.(/i)

.V Cuadrador .r"

Promediador de tiempo

P.(/2)

X Cuadrador A-

Promediador de tiempo

P^(/^_i)

•2 A / :H

íií'l.i H(f)

H(/)

x(f)-

-A/

F I G U R A 6.27 Un sistema para medir el espectro de potencia de una señal.

ELIMINACIÓN DE RUIDO T o d a señal útil s i e m p r e tiene otra señal i n d e s e a b l e l l a m a d a ruido a g r e g a d a a ella. U n u s o m u y i m p o r t a n te d e los filtros es la e l i m i n a c i ó n del ruido de u n a señal. L a s fuentes de ruido son m u c h a s y variadas. M e d i a n t e u n d i s e ñ o c u i d a d o s o , es posible reducir el r u i d o hasta u n m í r ü m o p e r o n u n c a p u e d e e l i m i n a r s e por c o m p l e t o . C o m o u n e j e m p l o de filtrado, s u p o n g a q u e la p o t e n c i a de la señal está confinada a u n intervalo d e bajas frecuencias y que la p o t e n c i a del r u i d o se distribuye en u n intervalo m á s a n c h o de frecuencias. Se p u e d e filtrar la señal m á s el ruido c o n u n filtro pasabajas y reducir la p o t e n c i a de r u i d o sin tener m u c h o efecto sobre la p o t e n c i a de la señal (figura 6.28). E l cociente entre la p o t e n c i a de señal de la señal d e s e a d a y la p o t e n c i a de señal del r u i d o recibe el n o m b r e de razón señal a ruido ( R S R ) . Tal v e z la c o n s i d e r a c i ó n m á s f u n d a m e n t a l en el d i s e ñ o de u n sistema de c o m u n i c a c i o n e s consista en maxirrüzar la R S R , y el filtrado es u n a técnica m u y i m p o r t a n t e p a r a lograrlo. ^ \s v n ^ -- ( ' o ; : • |X(/) + N(/)|

|X(/)|

|H(/)|

J I V x(r)

*{+)-

h(f)

FPB

-y(í) |Y(/)|

n(t) 1N(/)|

F I G U R A 6.28 Eliminación parcial del ruido mediante un filtro pasabajas.

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

i(/)

R + o

V W —

-o

i«

v(r)

v(f)

v(í) = Ri(r)

v(r) = Li'{t)

V(í)

F I G U R A 6.29

i(t) =

Cv'{t)

F I G U R A 6.30

Filtro pasabajas RC práctico.

Definición de ecuaciones para resistores, inductores y capacitores.

6.4 FILTROS PASIVOS PRÁCTICOS EL FILTRO PASABAJAS RC

E s p o s i b l e realizar a p r o x i m a c i o n e s a los filtros p a s a b a j a s y p a s a b a n d a s ideales c o n ciertos tipos d e circuitos. L a a p r o x i m a c i ó n m á s s i m p l e al filtro pasabajas ideal es u n a q u e y a se h a a n a l i z a d o m á s d e una v e z : el d e n o m i n a d o filtro pasabajas RC de u n p o l o (figura 6.29). Se h a e n c o n t r a d o su r e s p u e s t a a u n e s c a l ó n y a u n a s e n o i d e . A c o n t i n u a c i ó n se le analizará de m a n e r a directa en el d o m i n i o d e la frecuencia. L a e c u a c i ó n diferencial q u e d e s c r i b e a este circuito es , irb->in iñi'_

. • X-^^

•'?Cv;,,(í) + V s „ ( í ) = V e n ( í ) .

A l realizar la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n a m b o s l a d o s ^

(6.431»

chjiv^^'^^xl r•

'^'•fi^''-'-- -

( j « C ) / ? V , a l ( / ) + V , a , ( / )

V e „ ( / ) .

E s p o s i b l e r e s o l v e r d i r e c t a m e n t e a h o r a p a r a la función d e transferencia,

H(;co)

Vsal(JM)

Ve„(jtó)

(jü)C)R

H(/)

V s a l ( / )

ij2jlfC)R-\

V e n ( / )

El m é t o d o m á s u s a d o en el análisis de circuitos e l e m e n t a l e s p a r a r e s o l v e r la función de tr¿nf:erea cia se b a s a en los c o n c e p t o s de fasor e i m p e d a n c i a . L a impedancia

es u n a generalización de k i á e í

resistencia q u e se aplica a i n d u c t o r e s y c a p a c i t o r e s . R e c u é r d e n s e las r e l a c i o n e s voltaje-corrienre ra resistores, capacitores e i n d u c t o r e s (figura 6.30). Si se aplica la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r a estas relj nes, se o b t i e n e V(7tó) = 7?I(jw),

V ( / )

V ( 7 u ) = jwLI(ycü),

Rl(f),

V ( / )=

72TTLI(/),

I(yw) =

!(/) =

juiCVijíüt

Í2TT/CV(/I

El c o n c e p t o de i m p e d a n c i a surge de la similitud q u e tienen las e c u a c i o n e s del inductor >• el i c o n la ley de O h m p a r a resistores. Si se f o r m a n los c o c i e n t e s entre el voltaje y la corriente, se i

V(JM)

I(jw)

V ( / ) ! ( / )

V(ico) I(jco)

jiúL,

7 2 T T / L .

V ( »

I(jco)

jwC

V(/) ^ I(/)

j27TfC

•

E n el caso de los resistores, este cociente se d e n o m i n a resistencia.

E n la g e n e r a l i z a c i ó n recibe el

n o m b r e de i m p e d a n c i a , q u e c o n v e n c i o n a l m e n t e se s i m b o l i z a m e d i a n t e Z . U t i l i z a n d o ese s í m b o l o .

Z k ( 7 W ) = R,

Ziijíú)

ZR{f)^R,

Ziif)

pasivos

jíúL,

(6.50) 4J

6.4 Filtros prácticos

jlitfL,

Zcif)

^5 <

(6.51)

E s t o p e r m i t e aplicar m u c h a s de las técnicas del análisis de circuitos resistivos a circuitos q u e c o n t i e n e n i n d u c t o r e s y capacitores y se analizan e n el d o m i n i o de la frecuencia. E n el c a s o del filtro pasabajas RC es p o s i b l e v e r l o c o m o u n divisor de voltaje (figura 6.31). E n t o n c e s es posible escribir la función de transferencia en el d o m i n i o de la frecuencia.

H(jco)

Zc(joi)

Vsal(jw)

1/jwC

V e „ ( ; w ) ~ Z , ( jcü) + Z ; ( »

H(/) =

jlTifRC

( 1 / j c ü C ) + R ~ JOÍRC

(6.52)

+ 1

(6.53)

+ l

se llega al m i s m o r e s u l t a d o q u e antes m i e n t r a s se i g n o r a b a n p o r c o m p l e t o las r e l a c i o n e s en el d o m i n i o del t i e m p o . L a m a g n i t u d y fase de la función de transferencia del filtro pasabajas RC se ilustran en la figura 6.32. L a r e s p u e s t a al i m p u l s o de u n filtro pasabajas de u n solo p o l o RC es la i n \ e r s a de la TFTC

de su

función de transferencia.

h(í)

-u(í)

(6.54)

c o m o se ilustra e n la figura 6.33. P a r a este filtro físicamente realizable la r e s p u e s t a al i m p u l s o es cero antes del t i e m p o f = 0. O sea, es causal. Pai^a este circuito la o p e r a c i ó n física p u e d e c o n s i d e r a r s e en el d o m i n i o de la frecuencia de la siguiente forma: a frecuencias m u y bajas (que t i e n d e n a cero) la i m p e d a n c i a del c a p a c i t o r es m u c h o 5ir'

;rfO y- \ \

I \^

: \ i RC

/H(JW)

V,al(»

o -

jTi.ono 1-45° -45°--90°

n C U R A 6.31 • e i w e s e n t a c i ó n del divisor de ír«haje de impedancia del n ü a h a j a s RC.

F I G U R A 6.32 filtro

. - „ -v

•

Respuestas en frecuencia de magnitud y fase de un filtro pasabajas

RC.

F I G U R A 6.33 Respuesta al i m p u l s o de un filtro pasabajas

RC.

m a y o r en m a g n i t u d q u e la i m p e d a n c i a del resistor y, p o r lo tanto, el CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

c o c i e n t e de la división d e voltaje se a p r o x i m a a u n o y la señal del voltaje d e salida y la señal del voltaje d e e n t r a d a s o n c a s i i g u a l e s . A ,t(0

;al(f)

frecuencias m u y altas la i m p e d a n c i a del c a p a c i t o r se v u e l v e m u c h o m á s p e q u e ñ a e n m a g n i t u d q u e la del resistor y el c o c i e n t e de la di^ isión d e voltaje t i e n d e a c e r o . D e ese m o d o , es p o s i b l e a f u m a r q u e las

F I G U R A 6.34

bajas frecuencias p a s a n y las altas se b l o q u e a n . E s t e análisis cualita-

Forma alterna de un filtro

tivo del circuito c o n c u e r d a c o n la f o r m a m a t e m á t i c a de la función de

pasabajas práctico.

ttansferencia.

H(/co) = — jiüRC

H(/) =

+ 1

A bajas frecuencias lím H(jcü) = 1 II)->-0

h ' m H ( / ) = 1,

(6.56»

Km H ( / ) = 0.

{6S-I

y a frecuencias altas Km H ( j w ) = 0

E l filtro pasabajas RC lo es sólo p o r q u e la e x c i t a c i ó n se define c o m o el voltaje e n la entrada, y k r e s p u e s t a c o m o el voltaje a la salida. Si l a r e s p u e s t a se h u b i e r a definido c o m o la corriente, la n a m r a l e z a del p r o c e s o d e filtrado c a m b i a r í a p o r c o m p l e t o . E n ese c a s o la función de transferencia se v o h ería

H O )

yen(7w) ~

Zr(JCO) + Z,(;ío)

(l/ycoC) + R

juiRC

+ 1

C o n esta definición d e la r e s p u e s t a , a bajas frecuencias la i m p e d a n c i a del capacitor es m u \ graisje., b l o q u e a n d o el ñ u j o d e corriente d e m a n e r a q u e la r e s p u e s t a t i e n d e a c e r o . A altas frecuencias la iiziied a n c i a del capacitor tiende a cero, p o r lo q u e el circuito r e s p o n d e c o m o si fuera u n cortocú-cuito > flujo d e corriente se c o n t r o l a p o r m e d i o d e la resistencia R. M a t e m á t i c a m e n t e la r e s p u e s t a tiende a c e r o a frecuencias bajas y t i e n d e a la c o n s t a n t e \IR a frecuencias altas. E s t o define a u n filtro

pasaabas-

1 límH(jw) = — j^cx) R

Km H ( ; Ü ) ) = O (Ú-!-0

( 6 ^

O b s e r v e q u e y a n o se está c o n s i d e r a n d o n i n g u n a r e s p u e s t a particular a n i n g u n a excitación p a n k » lar. E l v a l o r de la función d e transferencia es q u e r e l a c i o n a g e n e r a l m e n t e la r e s p u e s t a c o n la e x c i t a c i Ó B . L a función d e transferencia c a r a c t e r i z a al p r o p i o s i s t e m a n o a la e x c i t a c i ó n o a la r e s p u e s t a , y la mayoñ d e los d i s e ñ o s d e s i s t e m a s se realiza c o n o c i e n d o la n a t u r a l e z a general en el d o m i n i o d e la frecuencia de las e x c i t a c i o n e s e s p e r a d a s y de las r e s p u e s t a s d e s e a d a s , así c o m o d i s e ñ a n d o las funciones de tran>ferecc i a p a r a lograrlas. O t r a f o r m a ( m u c h o m e n o s c o m ú n ) de u n filtro pasabajas se ilustra e n la figura 6.34.

H ( »

Vsal(j«) Ven(jCd)

jwL

H(/)

Vsal(/)

Ven(/)

j27TfL

(6M

¿ M e d i a n t e las i d e a s d e i m p e d a n c i a y divisor de voltaje, el lector p u e d e explicar e n p a l a b r a s p o r q u é circuito es u n filtro p a s a b a j a s ?

EL FILTRO PASABANDA/?LC U n a d e las f o r m a s m á s s i m p l e s d e u n filtro p a s a b a n d a p r á c t i c o se ilustra e n la figura 6.35.

H ( »

Vsal(ÍM)

Ven(jCO) ~

j^/RC

( J W ) 2 + 7(CÜ/7?C) +

(1/LC)

léjil

H(/)

Vsai(/)

Ven(/)

j27rf/RC ( 7 2 ' I T / ) 2 + j{2Trf/RC)

(6.62)

{Í/LC)'

A u n c u a n d o p u e d e ser u n p o c o difícil i m a g i n a r la m a g n i m d de esta e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a , c o n s i d e r e el siguiente r a z o n a m i e n t o . A m u y bajas frecuencias, el c a p a c i t o r es u n circuito

Vsal(í)

F I G U R A 6.35 U n filtro pasabanda práctico RLC.

abierto ( t a m b i é n p o d r í a n o e n c o n t r a r s e ahí) y el i n d u c t o r es u n c o r t o c i r c u i t o (no existe voltaje entre sus e x t r e m o s ) . P o r lo tanto, a frecuencias m u y bajas la señal d e voltaje de salida es p r á c t i c a m e n t e c e r o . A frecuencias m u y altas, el i n d u c t o r es u n circuito abierto y el c a p a c i t o r es u n c o r t o c i r c u i t o , lo q u e d e n u e v o h a c e q u e la señal del voltaje d e salida sea c e r o . Sin e m b a r g o , a la frecuencia r e s o n a n t e del circuito t a n q u e LC e n p a r a l e l o , la i m p e d a n c i a de esa c o m b i n a c i ó n en p a r a l e l o del i n d u c t o r y el c a p a c i t o r v a a infinito y la señal del voltaje d e salida es la m i s m a q u e la d e entrada. E s t a frecuencia es el v a l o r d e co o / e n la cual la p a r t e real del d e n o m i n a d o r d e la función d e transferencia v a a cero,

;

1 Te

= o =4> ü) =

vTc

2TrvTc'

(6.63)

P o r c o n s i g u i e n t e , el c o m p o r t a m i e n t o c o m p l e t o del circuito es dejar p a s a r frecuencias c e r c a n a s a la frecuencia r e s o n a n t e y b l o q u e a r otras; en c o n s e c u e n c i a , es u n filtro p a s a b a n d a p r á c t i c o . U n a gráfica de la m a g n i t u d y d e la fase d e la función d e transferencia (figura 6.36) (para u n a e l e c c i ó n particular d e los v a l o r e s d e los c o m p o n e n t e s ) r e v e l a r á la n a t u r a l e z a p a s a b a n d a de la función de transferencia. L a r e s p u e s t a al i m p u l s o del filtro p a s a b a n d a RLC es

h(í) =

jiü/RC

-1

+ j{i^/RC)

h(r) = RC

h(í)

V(jw + (1/27?C))2 + (1/LC) -

jw +

-1 RC

(jo,

+ {\/2RC)Y

(6.64)

{l/LC)J

, (l/2/?C)2

{IjlRC) + (1/LC) -

(1/2^C)2 (6.66)

y(L/LC)-(L/2/?C)2 2 / ? C V ( l / L C ) - ( l / 2 i ? C ) 2 (7w + ( L / 2 / ? C ) ) 2 + ( 1 / L C ) -

,1 i .

F I G U R A 6.36 Respuestas e n frecuencia de magnitud y fase de un filtro pasabandas i?LC práctico.

(6.65)

(l/2i?C)2

348

D e a c u e r d o c o n las tablas d e t r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r en el a p é n d i c e E ,

CAPÍTULOS Análisis de la transfornnada de Fourier de señales y sistemas

e " " ' s e n ( c ^ í ) u(f)

e'"'

( j w + a)-

cos(cúor) u(r)

jíú + a

>!;• O'LÍR,

h(f) =

„-(f/2«C) / - - - - eos

1 LC

\ M

\2RC

sen{^{l/LC)-il/2RC)^t) u( r I

2RC^{\/LC)-{\/2RCy-

• 6.68*

h(í) =

e o s ( a ) o \ / l - i^t)

2íwoe--'

^ sen(ü)oVT^^í)

u(r)

donde •

(«.TU

(figura 6.37). O b s e r v e q u e la r e s p u e s t a al i m p u l s o de este filtro r e a l i z a b l e físicamente es causaL T o d o s los sistemas físicos son filtros e n el sentido de q u e t i e n e n u n a r e s p u e s t a a e x c i t a c i o n e s q u e g u a r d a u n a v a r i a c i ó n característica c o n la frecuencia. E s t o d a a u n i n s t r u m e n t o musical y a c a d a v o z h u m a n a su s o n i d o característico. P a r a ver q u é tan i m p o r t a n t e es lo anterior, i n t e r s e tocar sólo la b o q u i l l a de c u a l q u i e r i n s t r u m e n t o de v i e n t o . El s o n i d o es m u y d e s a g r a d a b l e basta q u e el i n s t r u m e n t o se d o m i n a , y e n t o n c e s se vuelve p l a c e n t e r o ( c u a n d o es ejecutado p o r un

b u

m ú s i c o ) . El Sol calienta p e r i ó d i c a m e n t e la Tierra c o n f o r m e ésta rota, y la Tierra actúa c o m o n a filtro pasabajas, s u a v i z a n d o las variaciones diarias y r e s p o n d i e n d o c o n u n a variación estacionai r e t r a s a d a d e la t e m p e r a m r a . C u a n d o u n c l a v a d i s t a se lanza d e s d e un trampolín, lo excita y d t r a m p o l í n r e s p o n d e c o n u n a vibración a su frecuencia r e s o n a n t e característica. L o s t a p o n e s de hule e s p u m a p a r a oídos se d i s e ñ a n para p e r m i t i r el p a s o d e frecuencias bajas, d e m a n e r a que la

F I G U R A 6.37 Respuesta de i m p u l s o de un

p e r s o n a q u e los lleva p u e d a conversar, p e r o b l o q u e a los i n t e n s o s s o n i d o s d e alta frecuencia q u e

filtro pasabanda RLC práctico.

p u e d e n d a ñ a r el o í d o . E n los tiempos prehistóricos la gente t e n d í a a vivir e n c u e v a s p o r q u e la m a s a t é r m i c a de la r o c a a k e d e d o r de ellas s u a v i s a b a la v a r i a c i ó n estacional d e la t e m p e r a t u r a 3 les p e r m i t í a estar m á s frescos en el v e r a n o y m á s calientes en el i n v i e r n o . L o q u e constituye OCRE

e j e m p l o del filtraje pasabajas. L a lista de e j e m p l o s d e s i s t e m a s q u e n o s son familiares en la vida diada y q u e efectúan o p e r a c i o n e s de filtrado es i n t e r m i n a b l e .

6.5 GRÁFICAS DE MAGNITUD LOGARÍTMICA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Y DIAGRAMAS DE BODE M u c h a s veces las gráficas lineales d e la r e s p u e s t a e n frecuencia, c o m o las figuras 6.32 y 6.36. a u a j o e son e x a c t a s , n o r e v e l a n u n c o m p o r t a m i e n t o i m p o r t a n t e del sistema. C o m o e j e m p l o , c o n s i d e r e las gráficas d e las r e s p u e s t a s en frecuencia d e d o s funciones de transferencia d e s i s t e m a s q u e tienen u n a s p e e » ^t.-j

b a s t a n t e diferente,

Hi(/)

1 J2TT/ +

H2(/) =

30 30 - 4 T r V - + ; 6 2 ' n - /

(figura 6.38). G r a n e a d a s d e esta m a n e r a , las d o s gráficas d e m a g n i t u d d e la r e s p u e s t a en fi-eci p a r e c e n i d é n t i c a s , a u n q u e se sabe q u e las funciones d e transferencia son distintas. L a s gráficas de

|Hi(/)|

349

|H2(/)I

1--

6.5 Gráficas de magnitud logarítmica de la respuesta en frecuencia y diagramas de Bode

-10

1 10

1 * 10 In | H , ( / ) |

/H2(/)

-10

/Hi(/)

-5

- 2.6802 - 1.5549 1 1

1 ^

-10

1 1

-10

-1.5549 -

-2.6802 -

F I G U R A 6.39 Gráficas de magnitud logarítmica de las dos respuestas en frecuencia.

F I G U R A 6.38 Comparación de las respuestas en frecuencia de dos funciones de transferencia aparentemente diferentes.

m u e s t r a n a l g u n a variación, p e r o n o es i n m e d i a t a m e n t e o b v i o q u é a s p e c t o s de los sistemas la o c a s i o n a n . U n a m a n e r a de o b s e r v a r diferencias sutiles entre r e s p u e s t a s en frecuencia es g r a n e a r el l o g a r i t m o de la m a g n i t u d d e la r e s p u e s t a e n vez de la m a g n i t u d m i s m a . U n l o g a r i t m o d i s i m u l a los valores g r a n d e s y s u b r a y a los v a l o r e s p e q u e ñ o s . E n t o n c e s las diferencias m í n i m a s entre las r e s p u e s t a s e n frecuencia p u e d e n o b s e r v a r s e c o n m a y o r facilidad (figura 6.39). E n las gráficas lineales el c o m p o r t a m i e n t o de la m a g n i t u d d e r e s p u e s t a e n frecuencia se o b s e r v a i d é n t i c a d e b i d o a q u e , a v a l o r e s m u y p e q u e ñ o s , las d o s gráficas p a r e c e n i g u a l e s . E n u n a gráfica de m a g n i t u d l o g a r í t m i c a la diferencia entre las d o s m a g n i t u d e s d e la r e s p u e s t a e n frecuencia a valores m u y p e q u e ñ o s es e v i d e n t e . Si b i e n las gráficas d e m a g n i t u d log ( a b r e v i a c i ó n d e l o g a r í t m i c a ) se utilizan de m a n e r a cotidiana, u n a f o r m a m á s c o m ú n de exhibir la r e s p u e s t a e n frecuencia es el diagrama

o gráfica

de Bode. A l igual

q u e la gráfica d e m a g n i t u d log, el d i a g r a m a d e B o d e r e v e l a p e q u e ñ a s diferencias entre r e s p u e s t a s e n frecuencia, a u n q u e es t a m b i é n u n a f o r m a s i s t e m á t i c a d e dibujar o e s t i m a r c o n r a p i d e z la r e s p u e s t a e n frecuencia c o m p l e t a d e u n s i s t e m a q u e p u e d e c o n t e n e r m ú l t i p l e s funciones de transferencia en c a s c a d a . U n a gráfica d e m a g n i t u d log es l o g a r í t m i c a en u n a d i m e n s i ó n ; un d i a g r a m a de B o d e es l o g a r í t m i c o en a m b a s d i m e n s i o n e s . U n d i a g r a m a de B o d e de la m a g n i t u d d e la r e s p u e s t a e n frecuencia es u n a gráfica del l o g a r i t m o de la m a g n i t u d de u n a r e s p u e s t a e n frecuencia c o n t r a la e s c a l a de frecuencia logarítmica. Puesto que la escala de frecuencia es ahora logarítmica, sólo es posible graficar frecuencias positivas. Ésta no es una pérdida de información, pues, para funciones de transferencia de sistemas reales, el valor de la respuesta en frecuencia para cualquier frecuencia negativa es el conjugado complejo del valor a la frecuencia positiva correspondiente.

E n u n d i a g r a m a de B o d e la m a g n i t u d de la r e s p u e s t a e n frecuencia se c o n \ i e r t e a u n a e s c a l a l o g a r í t m i c a u t i ü z a n d o u n a u n i d a d e s p e c i a l l l a m a d a decibel ( d B ) . Si la m a g n i m d de la función d e trans-

IH(/)|

Y(/) -

X(/)

(6.72)

e n t o n c e s la m a g n i t u d , e x p r e s a d a en d e c i b e l e s . es

| H d B ( / ) l = 2 0 1 o g i o | H ( / ) | = = 2 0 1 o g 10

3Í:

Y(/) X(/)

YdB(/)

XdB(/)

(6.73)

n'm,

350í CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

El nombre de la unidad decibel tiene su origen en la unidad original definida por los ingenieros de la Bel! Telephone, el bel (B), nombrada de esa manera en honor de Alexander Graham Bell, el inventor del teléfono. El bel se define como el logaritmo común (base 10) de un cociente de potencia. Por ejemplo, si la potencia de la señal de respuesta de un sistema es 100 y la potencia de la señal de excitación (expresada en las mismas unidades) es 20, la ganancia de potencia del sistema expresada en bels sena

^ 1 ^ ) ^ 0.699 B . 20 /

log,

Puesto que deci es el prefijo internacional estándar para un décimo, un decibel es un décimo de un bel. y ese mismo cociente de potencia sena 6.99 dB. De modo que la ganancia de potencia expresada en dB, sería

' • 10 log, Como la potencia de la señal es proporcional al cuadrado de la señal misma, el cociente de potencias, expresado directamente en términos de las señales, correspondería a

10 log,

10log,

10log.

= 201og,o(

En un sistema en el que los subsistemas múltiples se conectan en cascada, la función de transferencia completa es el producto de las funciones de transferencia individuales, pero la función de transferencia completa expresada en decibeles es la suma de las funciones de transferencia individuales expresada en decibeles debido a la definición logarítmica del decibel.

< ' V o l v i e n d o a h o r a a las d o s f u n c i o n e s d e transferencia diferentes del s i s t e m a 1 Hi(/) =

;2-IT/ +

H2(/) =

30 30-4-712/^ +

;62IT/'

(6.74)

si se h a c e un d i a g r a m a d e B o d e de c a d a una, su diferencia se v u e l v e m á s e v i d e n t e (figura 6.40). L a e s c a l a de d e c i b e l e s l o g a r í t m i c a h a c e q u e el c o m p o r t a m i e n t o d e la m a g n i m d d e las d o s r e s p u e s t a s d e frecuencia a frecuencias m á s altas sea distinguible. Al g r a n e a r l a s sobre la m i s m a e s c a l a se s u b r a y a la diferencia (figura 6.41).

10^1

F I G U R A 6.40 Diagramas de Bode de las dos respuestas en frecuencia de la función de transferencia de ejemplo.

10" Frecuencia/(Hz)

lO'i

10" Frecuencia/(Hz)

I IQ-i

10° Frecuencia/(Hz)

Frecuencia/(Hz)

IQi

10"

10'

10°

O -10 -20

=^*s;:^H,DB(/)l

-30 -40

F I G U R A 6.41 ' Diagramas de B o d e del ejemplo de dos respuestas e n frecuencia de magnitud de la función de transferencia sobre la misma escala para una mejor comparación.

Si b i e n e l h e c h o d e q u e las diferencias e n t r e d o s n i v e l e s d e la m a g n i t u d d e l a r e s p u e s t a e n frecuencia p u e d e o b s e r v a r s e m e j o r c o n u n d i a g r a m a d e B o d e e s u n a b u e n a r a z ó n p a r a u s a r l o , esto n o sigmfica q u e s e a el ú n i c o . T a m b i é n e l h e c h o d e q u e l a s g a n a n c i a s del s i s t e m a e n d e c i b e l e s se s u m e n e n v e z d e m u l t i p l i c a r s e c u a n d o l o s s i s t e m a s se c o n e c t a n e n c a s c a d a h a c e q u e la r á p i d a e s t i m a c i ó n gráfica d e l a s características d e g a n a n c i a del s i s t e m a c o m p l e t o s e a m á s sencilla. L o s s i s t e m a s L I T s e d e s c r i b e n m e d i a n t e e c u a c i o n e s diferenciales lineales c o n coeficientes c o n s t a n tes. L a f o r m a m á s g e n e r a l d e este tipo d e e c u a c i o n e s e s D

• (6.75)

ír=0

k=Q

d o n d e x(f) es la e x c i t a c i ó n y y(í) es la r e s p u e s t a . A l aplicar la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n a m b o s lados d e la e c u a c i ó n , s e o b t i e n e

r D

N fl,(j2iT/)^Y(/)

= J2 bk(j2T:f)'X(f)

(6.76)

J]flt(;co)*Y(jü)) = ^Z?,(7ü))*X(7co). k=0

k=0

L o anterior p u e d e r e a c o m o d a r s e e n la función d e transferencia N H(/)

X(/)

H(;w) =

Y(7ü))

^=0

X(yü,)

(6.77)

E akU27^f)' k=0

k=0

lo q u e d e m u e s t r a q u e las f u n c i o n e s d e transferencia d e los s i s t e m a s L I T e s t á n e n la f o r m a d e u n c o c i e n t e d e p o l i n o m i o s e n / o co. L a función d e ti-ansferencia p u e d e e x p r e s a r s e e n l a f o r m a

H(/) =

M J 2 T T / ) ^ - f bN-iU2TTfr-'

+ ••• + biij2Ttf) + bo

aDU2TTf)D

+ • • • + Gi(y2TT/) + bo

bNÜ'^)''

fla_,(;2Tr/)^-i

(6.78)

+ bM-iU<^)''~' + ••• + í ' i C j w ) + bo (6.79)

.;-toiíf!t-;ai

L o s p o l i n o m i o s del n u m e r a d o r y el d e n o m i n a d o r p u e d e n factorizarse (al m e n o s e n p r i n c i p i o ) , p o r ü e n d o la función d e transferencia e n la forma.

H(/) = A

(1-(72TT//Z,))(1-(72TT//Z2)) ( 1 - U2^f/Pimi

- ij27Tf/p2))

(1 - ( ; 2 T T / / Z ; V ) ) ••• ( ! -

U2ltf/PD))

(6.80)

6.5 Gráficas de magnitud logarítmica de la respuesta en frecuencia y diagramas de Bode

CAPÍTULO 6 J*^ Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

(1 - ( j a ) / Z l ) ) ( l - (J00/Z2)) • • • (1 -

H(ja)) = A (1

-(y«//'2))---(l

O/zw))

- O / p d ) ) '

(6.81)

( F o r m u l a d o de esta m a n e r a las u n i d a d e s de los /? y l o s ; s o n r a d i a n e s p o r s e g u n d o en v e z d e hertz. E s t o c o n c u e r d a c o n las c o n v e n c i o n e s a c e p t a d a s p a r a la t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e q u e se i n t r o d u c i r á d e s p u é s y es c o n s i s t e n t e c o n la n o t a c i ó n y c o n v e n c i o n e s en el área d e los s i s t e m a s d e control, d o n d e se u s a n m á s las gráficas d e B o d e . ) Éste es u n b u e n p u n t o p a r a definir d o s t é r m i n o s m u y c o m u n e s en el análisis de señales y s i s t e m a s : p o l o y c e r o . U n polo d e u n a función es u n valor d e su variable i n d e p e n d i e n t e e n el cual el v a l o r d e la función v a a infinito, y u n cero d e u n a función es u n v a l o r d e su variable i n d e p e n d i e n te e n el q u e la función v a a c e r o . E n (6.80) y (6.81) el ^ - é s i m o p o l o de H ocurre d o n d e jlnf

= p¡. o;Cú = p¡^. D e m o d o q u e l o s p n o s o n

las frecuencias / o co, a las c u a l e s la m a g n i t u d de la función d e transferencia v a a infinito sino m á s b i e n los v a l o r e s d e jlnf

o ja a los cuales l a m a g n i t u d de la función d e transferencia tiende a infinito. D e

m o d o q u e c u a n d o se h a c e referencia a los p c o m o p o l o s , se e n t i e n d e q u e se h a b l a d e los v a l o r e s d e ; 2 7 t / o j(i> a los cuales la función de transferencia v a a infinito. ( C u a n d o se l l e g u e a l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e m á s a d e l a n t e , estos p serán los v a l o r e s reales de la variable i n d e p e n d i e n t e s d e L a p l a c e a la cual u n a función d e l s i s t e m a v a a infinito.) L o m i s m o se c u m p l e p a r a los ceros d e la transferencia q u e o c u r r e e n j 2 7 c / = z^07CO = z^. P a r a sistemas r e a l e s los coeficientes a y ¿ e n la f o r m a general de u n a e c u a c i ó n diferencial lineal c o n coeficientes c o n s t a n t e s

j : < ^ k — j i r )

Y . b k — m

k=0

(6.82)

k=0

son t o d o s reales. P u e s t o q u e d i c h o s coeficientes lo s o n t a m b i é n p a r a la función d e transferencia e n la f o r m a d e c o c i e n t e de p o l i n o m i o s

H(/) =

¿ i ( ; 2 7 r / ) + ¿o

b^,{j27^fr + b^^iijii^f) aD(j2TTf)D

H(jcü) =

+ aD-i(j27if)D-^

• • • + a d j l i ; / )

+ bo

¿>,v(7a))-^ +

fc,v„i(;ü))^-'

+ • • • + ¿ 7 i ( » + bp

«d(7W)^ +

flD^iO)^-'

+ ••• + fli(jw) + bo

(6.83)

(6.84)

todos los p y z en las f o r m a s factorizadas (1 - ( ; 2 T r / / M ) ) ( l - ( ; 2 T 7 / / ; 2 ) ) • • • d -

i sím^ji^p:

(j2'nf/zN))

ií-U2TTf/púKl-{j27:f/p2))---il-U27Tf/pD))

n(jiü)

= A

(1 - ( j a ) / z i ) ) ( l

(1 - (j(a/pi))(l

- ( ; a ) / z 2 ) ) • • • (1 -

- (jiü/pi))

• • • (1 -

(J<^/zn))

ijíú/po))

(6.85)

(6.86)

d e b e n ser reales u ocurrir en pares de c o n j u g a d o s c o m p l e j o s , d e m o d o q u e c u a n d o el n u m e r a d o r y el d e n o m i n a d o r factorizado se m u l t i p l i c a n p a r a o b t e n e r la f o r m a de c o c i e n t e d e p o l i n o m i o s , todos los coeficientes d e las p o t e n c i a s d e j2Tzf o j ( ü s o n reales. A partir d e la f o r m a factorizada, l a función de transferencia del s i s t e m a p u e d e c o n s i d e r a r s e c o m o la c a s c a d a de m ú l t i p l e s s u b s i s t e m a s , c a d a u n o c o n u n a función de transferencia c o n u n p o l o o un c e r o (figura 6.42). C a d a s i s t e m a s i m p l e t e n d r á u n d i a g r a m a d e B o d e y, d e b i d o a q u e la m a g n i t u d de estos d i a g r a m a s se gráfica en d e c i b e l e s , q u e es u n a e s c a l a l o g a r í t m i c a , el d i a g r a m a d e la m a g n i t u d total será la s u m a d e los d i a g r a m a s d e B o d e d e la m a g n i t u d i n d i v i d u a l . L a fase se gráfica l i n e a l m e n t e c o m o antes

H(/) 6.5 Gráficas de magnitud logarítmica de la respuesta en frecuencia y diagramas de Bode Y(/)

X(iü))

F I G U R A 6.42 Función de transferencia de un sistema Y(ico)

representada c o m o una cascada de sistemas más simples.

(contra u n a e s c a l a de frecuencia l o g a r í t m i c a ) , y la gráfica de B o d e de la fase c o m p l e t a es la s u m a de t o d a s las fases q u e a p o r t a n los s u b s i s t e m a s .

DIAGRAMAS DE LOS COMPONENTES Sistemas de un polo real

C o n s i d e r e la r e s p u e s t a en frecuencia de u n s u b s i s t e m a c o n u n solo p o l o real

y sin ceros,

H(/)

1 1 -

{j2i^f/pú

H(;w)

= 1 -

iJM/pk)

(6.87)

E v i d e n t e m e n t e esto d e p e n d e del valor dep¡. q u e d e b e ser real o c o m p l e j o y, si es c o m p l e j o , d e b e tener u n c o m p a ñ e r o p q u e es su c o n j u g a d o c o m p l e j o . C o n s i d e r e p r i m e r o el caso e n el q u e p^ es real y n e g a t i v o . L a s m a g n i t u d e s y fases de H ( / ) = 1/(1 - (j2%f/pf.))

y H(/co) = 1/(1 - ijalp^,)) en función de la frecuencia

se grafican en la figura 6 . 4 3 . P a r a frecuencias Itif

= co <^ \p¡\,, la r e s p u e s t a de la m a g n i m d es a p r o x i m a d a m e n t e cero d B y la r e s -

p u e s t a de la fase es m á s o m e n o s O r a d i a n e s (rad). P a r a frecuencias liif

= &>

la r e s p u e s t a de la

m a g n i t u d t i e n d e a u n a p e n d i e n t e lineal de - 6 d B p o r o c t a v a o - 2 0 d B p o r d é c a d a y la r e s p u e s t a de la fase se a p r o x i m a a u n a c o n s t a n t e - ( 7 i / 2 ) rad. ( U n a o c t a v a es u n factor de c a m b i o de d o s e n frecuencia, y u n a

F I G U R A 6.43 La respuesta en frecuencia de magnitud y fase de un subsistema de un solo p o l o real.

Pendiente de 6 dB/octava o 20 dB/década

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de j p señales y sistemas ^.

^ — * - ü)

Asíntota ^

F I G U R A 6.44 La respuesta en fre-

;

cuencia de magnitud y fase de un subsistema

I 10|;t|

de u n s o l o cero real.

2Tt

d é c a d a es u n factor d e 10 e n frecuencia). Estos c o m p o r t a m i e n t o s límite p a r a frecuencias e x t r e m a s defin e n asíntotas d e m a g n i t u d y fase. L a intersección d e dos asíntotas d e m a g n i t u d o c u r r e e n 2 j t / = |f>¿-. o ta = \p^. E n e s e p u n t o el d i a g r a m a d e B o d e real está 3 d B p o r debajo d e l a e s q u i n a f o r m a d a p o r las asíntotas. É s t e e s el p u n t o d e m a y o r d e s v i a c i ó n del d i a g r a m a d e B o d e d e la m a g n i t u d c o n respecto a í j s asíntotas. E l d i a g r a m a d e B o d e d e la fase p a s a p o r -(7t/4) a la frecuencia d e corte y tiende a O rad por d e b a j o d e l a frecuencia d e corte y a -(7t/2) p o r arriba d e l a frecuencia d e corte.

Sistema de un cero real

U n análisis similar p r o d u c e las gráficas d e B o d e d e m a g n i t u d y fase p a n s a

s u b s i s t e m a c o n u n solo cero n e g a t i v o real y sin p o l o s c u y a función d e transferencia e s d e la forma H(jco) = 1 -

H(/) = 1 Zk

( 6 ^

(figura 6.44). L o s d i a g r a m a s son m u y p a r e c i d o s a los d e u n factor del n u m e r a d o r s i m p l e e x c e p t o e n q u e la asíntoa de l a m a g n i m d sobre la frecuencia d e corte tiene u n a p e n d i e n t e d e +6 d B p o r o c t a v a o + 2 0 d B por d é c a d a y la fase tiende a +(n/2) e n v e z d e -(7t/2) r a d . S e trata b á s i c a m e n t e d e los d i a g r a m a s d e B o d e de u n solo p o l o real invertidos v e r t i c a l m e n t e .

Integradores y diferenciadores

T a m b i é n se d e b e c o n s i d e r a r u n p o l o o u n c e r o a frecuencia <

(figuras 6.45 y 6.46). U n c o m p o n e n t e del sistema c o n u n solo p o l o en cero recibe el n o m b r e d e i n t e g n i n r

F I G U R A 6.45 La respuesta e n frecuencia d e magnitud y fase de un s o l o cero.

0.1

6.5 Gráficas de magnitud logarítmica de la respuesta en frecuencia y diagramas de Bode

F I G U R A 6.46 La respuesta en frecuencia de magnitud y fase de un solo Z/, en cero. r-t.

p u e s su función d e transferencia es H ( / ) = l/j2nf

o H(/co) = l/j'co. E l tipo d e c o m p o n e n t e del s i s t e m a de

la figura 6.46 se d e n o m i n a diferenciador p o r q u e su función d e transferencia es j2Kfo G a n a n c i a i n d e p e n d i e n t e de la f r e c u e n c i a

jco.

El ú n i c o tipo restante de c o m p o n e n t e d e s i s t e m a es u n o

c o n g a n a n c i a i n d e p e n d i e n t e de la frecuencia (figura 6.47). E n la figura, la constante d e g a n a n c i a A se s u p o n e q u e es positiva. É s t a es la r a z ó n p o r la q u e la fase es c e r o . Si A es negativa, la fase es ±7i rad. L a s asíntotas son útiles p a r a dibujar el d i a g r a m a de B o d e real, en especial al trazar el d i a g r a m a d e B o d e c o m p l e t o p a r a u n s i s t e m a m á s c o m p H c a d o . L a s asíntotas p u e d e n dibujarse d e i n m e d i a t o a partir del c o n o c i m i e n t o d e u n a s c u a n t a s reglas s i m p l e s y se s u m a n e n conjunto. E n ese c a s o el d i a g r a m a d e

i ) f R ' l l K i A •',

...'I

B o d e d e la m a g n i t u d p u e d e a p r o x i m a r s e d i b u j a n d o u n a c u r v a u i ü f o r m e q u e se a p r o x i m a a las asíntotas y se d e s v í a e n los cortes en u n a c a n t i d a d i g u a l a ± 3 d B .

EJEMPLO 6.1

Grafique el diagrama de Bode para la función de transferencia de voltaje del circuito de la figura 6.48, donde Cj = 1 F, Cj = 2 F, 7?, = 4 Í2, i?i = 2 Í2, 7?2 = 3 Í2. •

SOLUCIÓN

..>,n.^.í.-^

•

Mediante el concepto de impedancia se encuentra que la función de transferencia es

H(7-C0) = R 2

(6.89) i j ( ^ y - R i R 2 R s C i C 2

{ j ( ^ ^ ) Í R i R 2 ( C i

•- i»»

C 2 ) +

( R i C i

201og,o(A)

( R i +

R 2

+ R . ) '

~ ••

|A|

R 2 C 2 ) R . ]

20 log,o(A)

l A .

I/ -I-

o — V W

V¡(0

. R i

F I G U R A 6.47 La respuesta en frecuencia de magnitud y fase de una ganancia A independiente de

F I G U R A 6.48

la frecuencia.

Circuito.

i .aoirmnioini-urmn

^ c o o

aisn;.;.----;

-o

«1

-Í

'.-.ÍÍ-,<Í;I

y o i i )

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

Cero

•itñ nft :

Polo 1

Polo 2

F I G U R A 6.49 Diagramas asintótico ideal y asintótico total, así como diagramas de magnitud y fase de Bode exactos para la función de transferencia de voltaje del circuito.

Sustituyendo los valores numéricos correspondientes a los componentes,

H(jcü) = 3

2jco + 1 4 8 ( ; ü ) ) - -t- 50(;cü) -1- 9

= 0.125

H( JO)) = 0.333

jüi + 0.5 (jco + 0.2316)(;co-1-0.8104) '

)

(6.90)

jO|0.5Vt9.i5^HwU

(icü/(-0.5))

[1 - (7Cü/(-0.2316))][l - O / ( - 0 . 8 1 0 4 ) ) ]

i*i

* =

i-(;íü/Z,)

A-

(1 - ( j c o / p , ) ) ( l

-(7Ü)/P2))

(6.91)

dondeA = 0.333.;i = - 0 . 5 . p , = - 0 . 2 3 1 6 y p , = - 0 . 8 1 0 4 . " • _ ^.__„___. De modo que esta función de transferencia tiene dos polos, un cero y una ganancia independiente de la frecuencia. Se puede construir de inmediato un diagrama de Bode asintótico completo sumando los diagramas de Bode asintóticos para los cuatro componentes individuales de la función de transferencia completa (figura 6.49).

M A T L A B tiene u n a función

B o d e

p a r a graficar estos d i a g r a m a s de sistemas. L a sintaxis es

b o d e í s y s )

bode(sys,w)

d o n d e s y s es u n objeto del sistema de M A T L A B y w es u n vector de frecuencias en radianes. (Ha> t a m b i é n otra sintaxis. E s c r i b a h e I p

b o d e

p a r a m a y o r información.)

PARES D E POLOS Y CEROS

357

COMPLEJOS

C o n s i d e r e a h o r a el c a s o d e p o l o s y ceros c o m p l e j o s . P a r a funciones d e sistemas r e a l e s los p o l o s y ceros

6.5 Gráficas de

s i e m p r e o c u r r e n en p a r e s c o n i u a a d o s c o m p l e j o s . D e m o d o q u e u n p a r de p o l o s c o n j u g a d o s c o m p l e j o s t , c •' A A ^ 7 f o r m a r í a u n a función d e transferencia del s u b s i s t e m a de la f o r m a

magnitud iogantmica de ia respuesta en , ,. frecuencia y diagramas

'''' H(7ü)) = (1 - ( ; t ó / p i ) ) ^( l - ( j c ü / p 2 ) )

' " "

1 - j w ( ( l / p i ) + (l/p¡)} ^

de Bode

i(jcú)-/p^P*i)

(6.92)

1 - jü)(2Re(/7i)/i;7ip) + ( ( > ) 2 / Í P , P ) • d e a c u e r d o c o n la t a b l a de pares de Fourier, se e n c u e n t r a el p a r

e-'^'"'' sen ( « O Y T ^ r ) u ( r ) ^ — - " " ^ ^ ^ + j w ( 2 £ c o o ) + W5

(6.93) 3b j É h ; : Bicxi ifiii -f brjjiflflim

e n el d o m i n i o co, q u e p u e d e e x p r e s a r s e en la f o r m a .

ü)O

e"™'^' s e n ( c o o v ' l - V ,

u(r)

1 1 + ;co(2^(üo/ü)5) +

((jw)-/w5)

(6.94)

c u y o l a d o d e r e c h o es d e la m i s m a f o r m a funcional q u e

5; H ( j c o )

1 1 - jco(2Re(;>,)/b,|2) +

(6.95)

{{ji^y/lpil-}

É s t a es u n a f o r m a e s t á n d a r d e la r e s p u e s t a d e u n s i s t e m a s u b a m o r t i g u a d o de s e g u n d o o r d e n en el c u a l la frecuencia r e s o n a n t e s u b a m o r t i g u a d a e n r a d i a n e s es COQ y el factor d e a m o r t i g u a m i e n t o es í,. P o r lo tanto, para este tipo d e s u b s i s t e m a .

= Ipil

piP2

í =

Re(pi)

a b o q r t - v - ^ f

E l d i a g r a m a de B o d e p a r a este s u b s i s t e m a se ilustra e n la figura 6.50.

|HDBO

-ÍJÍJLKT} OiñO-J f-o^Üjt: / H ( »

F I G U R A 6.50 Diagrama de B o d e de magnitud y fase para un par de polos complejos de segundo orden.

358

|HdB(;»)l

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas \

í= 1 i = 0.5

í = 0.2 í = 0.1

Í = o.o5

- M , - - í M , i <

ívM:H:-;

/HQ)

F I G U R A 6.51 Diagrama de Bode de magnitud y fase para un par de ceros complejos de segundo orden.

\—>-

0.1 Ü)q ---!iW

U n p a r d e c e r o s c o m p l e j o s formaría u n a función de transferencia del s u b s i s t e m a de la f o r m a

H(ycü) =

1 -

7« Zl /

I-.

1 \

= 1 -

l -

Z2 /

+ -r ) +

\Zl

, 2Re(zi) ( ; w ) 22 = 1 - ; w — - r - -1IziP

ZlZi

(6.9T»

m>^^*

E n este tipo d e s u b s i s t e m a se p u e d e identificar la frecuencia r e s o n a n t e s u b a m o r t i g u a d a en radianes \ el factor de a m o r t i g u a m i e n t o c o m o , < -

Re(zi) í

:i + Z2

(6.981

E l d i a g r a m a de B o d e p a r a este s u b s i s t e m a se ilustra e n la figura 6.51

6.6 FILTROS PRÁCTICOS ACTIVOS T o d o s los filtros prácticos q u e se h a n e x a m i n a d o hasta a h o r a h a n sido p a s i v o s . Pasivos significa que n o c o n t i e n e n dispositivos c o n la c a p a c i d a d de tener u n a r e s p u e s t a c o n m á s p o t e n c i a real q u e la excitación. M u c h o s filtros m o d e r n o s s o n activos. E s t o es, c o n t i e n e n dispositivos activos c o m o transistores y •<> amplificadores o p e r a c i o n a l e s y r e q u i e r e n u n a fuente e x t e m a de p o t e n c i a p a r a o p e r a r en f o r m a apropiada. C o n el u s o de dispositivos activos la p o t e n c i a de la r e s p u e s t a real p u e d e ser m a y o r que la p o t e n c i a de la e x c i t a c i ó n real. E l t e m a de los filtros activos es a m p l i o y sólo las f o r m a s m á s simples d e filtros acti' se p r e s e n t a r á aquí.

En algunos circuitos pasivos existe ganancia de voltaje a ciertas frecuencias. Esto es, la señal de ' salida puede ser mayor que la de entrada. En consecuencia, la potencia de señal de la respuesta, c o a » se definió antes, sería mayor que la potencia de señal de la excitación. Sin embargo, ésta no es una ganancia de potencia real porque esa señal de voltaje de salida más alta está a través de una impedancia mayw.

AMPLIFICADORES

359

OPERACIONALES

H a y d o s f o r m a s d e circuitos d e a m p l i f i c a d o r o p e r a c i o n a l q u e se u s a n c o m i í n m e n t e : la d e a m p l i f i c a d o r i n v e r s o r y la d e n o i n v e r s o r (figura 6.52). E l análisis a q u í se centrará en el m o d e l o m á s s i m p l e p o s i b l e p a r a el a m p l i f i c a d o r o p e r a c i o n a l : el a m p l i f i c a d o r o p e r a c i o n a l ideal,

6.6 Filtros

prácticos

activos

el cual tiene u n a i m p e d a n c i a d e

e n t r a d a infinita, i m p e d a n c i a d e salida c e r o , g a n a n c i a infinita y a n c h o d e b a n d a infinito. P a r a c a d a tipo d e a m p l i f i c a d o r h a y d o s i m p e d a n c i a s Z-(/) y Zf{f)

q u e c o n t r o l a n la g a n a n c i a . L a

g a n a n c i a del i n v e r s o r p u e d e d e d u c i r s e o b s e r v a n d o q u e , p u e s t o q u e la i m p e d a n c i a d e e n t r a d a del a m p l i ficador o p e r a c i o n a l es infinita, el flujo d e c o r r i e n t e h a c i a c u a l q u i e r t e r m i n a l d e e n t r a d a es c e r o y, e n consecuencia.

(6.99) A d e m á s , p u e s t o q u e el voltaje d e salida es finito y la g a n a n c i a d e l a m p l i f i c a d o r o p e r a c i o n a l es infinita, la diferencia d e voltaje e n t r e las d o s t e r m i n a l e s d e e n t r a d a d e b e ser c e r o . P o r lo t a n t o .

(6.100)

Z,(/) j

I-

-«I

!/(/) =

V/(/)

•'

(6.101)

I g u a l a n d o ( 6 . 1 0 0 ) y ( 6 . 1 0 1 ) d e a c u e r d o c o n (6.99), y r e s o l v i e n d o p a r a la f u n c i ó n d e transferencia, ,

Zf(f)

V„(/)

V,(/)

Z,(/)

(6.102)

. ''í~i.-

M e d i a n t e u n análisis similar p u e d e d e m o s t r a r s e q u e la g a n a n c i a del amplificador n o i n v e r s o r es

(6.103)

Z,(/)

V,(/)

FILTROS P r o b a b l e m e n t e la f o r m a m á s c o m ú n y s i m p l e d e u n filtro a c t i v o es el i n t e g r a d o r a c t i v o (figura 6.53). U t i l i z a n d o la f ó r m u l a d e la g a n a n c i a del a m p l i f i c a d o r i n v e r s o r p a r a la función d e transferencia.

H(/)

Z/(/)

l/;2TR/C

Z,(/)

1 j27rfRC

(6.104)

L a a c c i ó n del i n t e g r a d o r es m á s fácil d e v e r si la función d e transferencia se r e a c o m o d a en la f o r m a

V<,(/) =

V,(/)

J2j¿

(6.105)

integral de V , ( / )

Amplificador inversor

Amplificador no inversor + o-

Z/(/)

V,(/)

I,(/)

+ 0-

V,(/)

Z;(/)

F I G U R A 6.52 V<,(/) O-

D o s formas c o m u n e s de amplificadores que utilizan amplificadores operacionales.

360

5 3 J '

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

i,(í)

iAr)

Íf(t) v,(f)

i,(f)

v,(f)

+ <:^*—AWV

-o

v,(r)

v<,(í)

-r

v<,(í)

F I G U R A 6.54 Filtro pasabajas RC acdvo.

F I G U R A 6.53 Integrador activo.

E s t o es, el i n t e g r a d o r i n c o r p o r a la señal p e r o , al m i s m o t i e m p o , la m u l t i p l i c a p o r -(l/RQ.

O b s e r v e que

n o se p r e s e n t a u n i n t e g r a d o r p a s i v o p r á c t i c o . El filtro pasabajas RC p a s i v o actúa d e m a n e r a mu>- similar a u n i n t e g r a d o r p a r a frecuencias b a s t a n t e arriba d e su frecuencia d e e s q u i n a , p e r o a u n a frecuencia lo suficientemente baja d e m o d o q u e su r e s p u e s t a n o es similar a la d e u n integrador. A s í q u e el dispositivo activo (el a m p l i f i c a d o r o p e r a c i o n a l e n este caso) le h a d a d o al d i s e ñ a d o r de filtros otro g r a d o d e h b e r t a d e n el d i s e ñ o . E l i n t e g r a d o r se t r a n s f o r m a f á c i l m e n t e e n u n filtro pasabajas m e d i a n t e la adición d e u n solo

resistor

(figura 6.54). P a r a este circuito.

VO(/)

V,(/)

Ri jlTífCRf

1 + 1

(6.106)

E s t a función d e transferencia tiene la n ü s m a f o r m a funcional q u e el filtro pasabajas d e RC p a s i v o p o r el factor -(Rf/R,).

salvo

P o r lo q u e es u n filtro c o n g a n a n c i a . E s t o es, filtra y amplifica s i m u l t á n e a m e n t e l a

señal. E n este c a s o la g a n a n c i a de voltaje es n e g a t i v a .

E J E M P L O 6.2 Grafique los diagramas de Bode de magnitud y fase para el filtro activo de dos etapas de la figura 6.55. •

SOLUCIÓN

1 La función de transferencia de esta primera etapa es

Z/i(/)

= etapa - es La función de transferencia de laH2(/) segunda Z„(/)

Rn = 160 n

F I G U R A 6.55 Filtro activo de dos etapas. ,.ÍÍIIÍ,..

Rn 1 +

jlirfCfiRfi

(6.107)

j27TfRf2C,2 \+j27rfRpCn

(6.108 >

|H(/)|,

361

Asíntotas -

6.6 Fütros activos

-5

•^.'^

íi

F I G U R A 6.56 Diagrama de Bode de l a r e s p u e s t a e n frec u e n c i a d e l filtro activo de dos etapas.

P u e s t o q u e la i m p e d a n c i a d e s a l i d a d e u n a m p l i f i c a d o r o p e r a c i o n a l i d e a l es c e r o , la s e g u n d a e t a p a n o c a r g a la p r i m e r a e t a p a y, e n c o n s e c u e n c i a , la función d e t r a n s f e r e n c i a c o m p l e t a es s i m p l e m e n t e el p r o d u c t o d e las d o s funciones de transferencia,

H(/)

Rfi Rn

jlirfRf^Cn { 1 + jliifCf,Rf,){\

S u s t i t u y e n d o los v a l o r e s d e l o s p a r á m e t r o s .

H ( / ) =

(6.109)

j2itfRf2Cf2)

• r: 71000/

(1 000 - h / j { ) ( l 000 + y / )

(6.110)

(figura 6.56). É s t e es e v i d e n t e m e n t e u n filtro p a s a b a n d a s p r á c t i c o .

D i s e ñ e u n filtro a c t i v o q u e atentíe señales a 6 0 H z y d e m e n o r f r e c u e n c i a e n m á s d e 4 0 d B y q u e a m p l i f i q u e s e ñ a l e s a 10 k H z y s u p e r i o r e s c o n u n a g a n a n c i a p o s i t i v a q u e se d e s v í e a partir d e 2 0 d B y n o m á s d e 2 d B . •

SOLUCIÓN

i í \ f : . =

™

H f t f ^ w -

í:

¿ .

E s t o e s p e c i f i c a a u n filtro p a s a a l t a s . L a g a n a n c i a d e b e ser p o s i t i v a . U n a g a n a n c i a p o s i t i v a y algo d e filtrado p a s a a l t a s p u e d e c o n s e g u i r s e m e d i a n t e u n a m p l i f i c a d o r n o i n v e r s o r S i n e m b a r g o , al o b s e r v a r la f ó r m u l a d e la g a n a n c i a p a r a el a m p l i f i c a d o r n o i n v e r s o r V„(/) V,-(/)

Zf(f)

Z,{f)

Z,(/)

(6.111)

se v e q u e las d o s i m p e d a n c i a s c o n s t a n ú n i c a m e n t e d e r e s i s t o r e s y c a p a c i t o r e s , l a g a n a n c i a d e l a m p l i f i c a d o r n u n c a es m e n o r q u e u n o y se n e c e s i t a a t e n u a c i ó n (o g a n a n c i a m e n o r q u e u n o ) a bajas f r e c u e n c i a s . [Si se u s a r a n i n d u c t o r e s y c a p a c i t o r e s , s e p o d r í a h a c e r q u e la m a g n i t u d d e la s u m a Z¡{f) + Z ¡ ( / ) s e a m e n o r q u e la m a g n i t u d d e Z , ( / ) a c i e r t a s frecuencias y a l c a n z a r u n a g a n a n c i a m e n o r q u e u n o . Sin e m b a r g o , n o se p o d r í a l o g r a r q u e e s o o c u r r i e r a p a r a t o d a s las f r e c u e n c i a s p o r d e b a j o d e 6 0 H z , y el u s o d e i n d u c t o r e s p o r l o g e n e r a l s e evita e n el d i s e ñ o p r á c t i c o a m e n o s q u e sea a b s o l u t a m e n t e n e c e s a r i o . H a y o t r a s d i f i c u l t a d e s p r á c t i c a s c o n e s t a i d e a c u a n d o se u s a n a m p l i f i c a d o r e s o p e r a c i o n a l e s r e a l e s , e n v e z d e ideales.] Si se u s a u n a m p l i f i c a d o r i n v e r s o r , se tiene g a n a n c i a n e g a t i v a . P e r o se le p o d r í a s e g u i r c o n otro a m p l i f i c a d o r i n s e r s o r h a c i e n d o p o s i t i v a a la g a n a n c i a total. L a g a n a n c i a e s el o p u e s t o d e la a t e n u a c i ó n . Si la a t e n u a c i ó n es d e 6 0 dB.

la g a n a n c i a es - 6 0 d B . S i la g a n a n c i a a 6 0 H z es - 4 0 d B y la r e s p u e s t a e s la d e u n filtro p a s a a l t a s d e u n s o l o p o l o ,

!a asíntota d e l d i a g r a m a d e B o d e s o b r e la m a g n i t u d d e la r e s p u e s t a e n f r e c u e n c i a p a s a r í a p o r - 2 0 d B d e g a n a n c i a a 6*30 H z , O d B d e g a n a n c i a a 6 k H z y 2 0 d B d e g a n a n c i a a 6 0 k H z . N o o b s t a n t e , se n e c e s i t a n 2 0 d B d e g a n a n c i a a 10 t H z . p o r l o q u e u n filtro d e u n solo p o l o es i n a d e c u a d o p a r a c u m p l i r c o n las e s p e c i f i c a c i o n e s . S e n e c e s i t a u n filtro pasaaltas d e d o s p o l o s . E s p o s i b l e l o g r a r e s o c o n u n a c a s c a d a d e d o s filtros p a s a a l t a s d e u n solo p o l o , c o n l o c u a l se s i ü s f a c e n s i m u l t á n e a m e n t e l o s r e q u e r i m i e n t o s p a r a l a a t e n u a c i ó n y la g a n a n c i a p o s i t i v a . E n e s a s c o n d i c i o n e s s e d e b e e l e g i r Z y ( / ) y Z , ( / ) p a r a c o n v e r t i r e l a m p l i f i c a d o r i n v e r s o r e n u n filtro p a s a a l t a s . La figura 6 . 5 4 ilustra u n filtro p a s a b a j a s a c t i v o . E s e filtro es p a s a b a j a s p o r q u e la g a n a n c i a - ( Z j ( / ) / Z ¡ ( / ) ) , Z¡{f) e s c o n s t a n t e y Z^if) t i e n e u n a m a g n i t u d m a y o r a b a j a s f r e c u e n c i a s q u e a altas. H a y m á s d e u n a f o r m a d e h a c e r u n filtro

prácticos

'W^

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

-o

o — V A

F I G U R A 6.57 Dos ideas para un filtro pasaaltas que utiliza sólo capacitores y resistores.

1(-

pasaaltas utilizando la misma configuración de amplificador inversor. Se puede hacer pequeña la magnitud de Z^f) a bajas frecuencias y más grande a altas. Eso requiere el uso de un inductor, pero, de nuevo por razones prácticas, los inductores deben evitarse a menos que realmente se necesiten. Puede hacerse Zj(/) constante y elegir la magnitud de Z;(/) grande a bajas frecuencias y pequeña a altas frecuencias. Ese objetivo general puede lograrse mediante una combinación en paralelo o en serie de un resistor y un capacitor (figura 6.57). Nada más con pensar en el comportamiento límite de estas dos ideas de diseño a frecuencias muy bajas y muy altas, de inmediato se ve que sólo una de ellas satisface las especificaciones de este diseño. El diseño de la figura 6.57a) tiene una ganancia finita a muy bajas frecuencias y una ganancia que aumenta con la frecuencia a frecuencias más altas, sin aproximarse nunca a una constante. El diseño de la figura 6.57b) tiene una ganancia que disminuye con la frecuencia a valores bajos de esta misma, aproximándose a cero a la frecuencia cero y a ima ganancia constante a frecuencias elevadas. Este líltimo diseño puede usarse para cumplir con nuestra especificación. De modo que en estas circunstancias el diseño es una cascada de dos amplificadores inversores (figura 6.581. En este punto se deben elegir los valores del resistor y el capacitor para satisfacer los requerimientos de a t e n u a c i Ó H y ganancia. Hay muchas formas de hacerlo. El diseño no es único, se puede empezar eligiendo los resistores que cumplan con el requerimiento de ganancia a alta frecuencia de 20 dB. Ésa es una ganancia total de alta frecuencia de 10 que es posible repartir entre los dos amplificadores de cualquier modo que se desee. Suponga que las dos etapas de ganancias sean aproximadamente iguales, entonces los cocientes de resistor en cada etapa se aproximarían a 3.16. Se deben elegir resistores grandes para no cargar las salidas de los amplificadores operacionaJes^ aunque lo bastante pequeños de manera que las capacitancias parásitas no provoquen problemas. Los resistores es: el intervalo de 500 Í2 a 50 kí2 suelen ser buenas elecciones. Sin embargo, a menos que esté dispuesto a pagar l a costo, no puede elegir un valor de resistor arbitrario. Los resistores vienen en valores estándar, por lo comíín eo siguiente secuencia: 1, 1.2, 1.5, 1.8, 2.2, 2.7, 3.3, 3.9, 4.7, 5.6, 6.8, 8.2 x 10" donde n fija la década 3.9 1.2

del valor de la resistencia. Algunos cocientes que son muy cercanos a 3.16 corresponde» «

= 3.25

4.7

= 3.13

5.6 1.8

6.8

= 3.11

2.2

= 3.09

8.2 2J

= 3.03.

Para fijar la ganancia total muy cerca de 10 se puede elegir que el primer cociente de la etapa sea 3.9/1.2 = ?-25 i que el segundo cociente de la etapa corresponda a 6.8/2.2 = 3.09 y lograr una ganancia de alta frecuencia totk , 10.043. De modo que se fija Rfi = 3.9 kí^

Rn = 1.2

Rf2

6.8 k Q

Rr^ = 2.2 k Q .

Después de esto se deben elegir los valores del capacitor para lograr la atenuación a 60 Hz y valores i así como la ganancia a 10 kHz y valores superiores. Para simplificar el diseño considere que se establecen la» i frecuencias de corte de las dos etapas en el mismo valor (o en uno casi igual). Con un desequilibrio de baja £recaeacia de dos polos a 40 dB por década y una ganancia de alta frecuencia de casi 20 dB, se obtiene una diferencia áett dB entre la magnitud de la función de transferencia a 60 Hz y 10 kHz. Si se hubiera fijado la ganancia a 60 Eiz « • el valor exacto de ^ 0 dB, entonces a 600 Hz se tendría una ganancia aproximada de O dB y a 6 kHz la gMsmdm sería de 40 dB y resultaría más alta a 10 kHz. Esto no cumple con la especificación. Puede empezarse en el extremo de alta frecuencia y fijar la ganancia a 10 kHz en un valor aproximado a N L K que significa que la esquina para el desequilibrio de baja fi-ecuencia debe estar bastante abajo de 10 kHz. Si «c p a m

F I G U R A 6.58 Cascada de dos filtros activos pasaaltas inversores.

^ii

en 1 kHz, la ganancia aproximada a 100 Hz con base en |H(/)| aproximaciones asintóticas será - 2 0 dB y a 10 Hz corresponderá a - 6 0 dB, y se necesitan - 4 0 dB a 60 Hz. Pero sólo se obtienen alrededor de - 2 9 dB a 60 Hz. De modo que se necesita poner la frecuencia de corte a un valor un poco mayor, por ejemplo, 3 kHz. Si se ubica la frecuencia de corte a 3 kHz, los valores calculados del capacitor serán C,-, 10 kHz 60 Hz = 46 nF y C¡2 = 24 nF. De nuevo no se puede elegir un \ alor Fase de H ( / ) de capacitor arbitrario. Los valores de capacitor estándar están por lo común en los mismos intervalos que los valores de los resistores estándar Existe cierto margen en la ubicación de la frecuencia de corte, de modo que quizá no se necesite un valor preciso de la capacitancia. Es posible elegir C,] = 47 nF y C,2 = 22 nF haciendo uno de los valores un poco más alto y el otro un poco más bajo. Esto separará ligeramente los polos pero seguirá creando el deseado desequilibrio de baja frecuencia de 40 dB por década. Esto parece un buen diseño, pero debe verificarse su desempeño dibujando un diagrama de Bode (figura 6.59). Es claro, de acuerdo con el diagrama, que la atenuación a 60 Hz es adecuada. El cálculo de la ganancia a 10 kHz produce alrededor de 19.2 dB, lo cual también satisface las especificaciones. Estos resultados se basan en valores exactos de resistores y capacitores. En realidad todos los resistores y capacitores se eligen por lo común con base en sus valores nominales, aunque quizá sus valores reales difieran del nominal por un pequeño porcentaje. De tal modo, cualquier buen diseño debe tener cierta tolerancia en las especificaciones para permitir pequeñas desviaciones de los valores de los componentes con respecto a los valores de diseño. •

363 6.6 Filtros activos

prácticos

F I G U R A 6.59 Diagrama de Bode para ei diseño de un filtro pasaaltas activo de dos etapas.

Ejemplo

6.4

Un diseño popular que puede encontrarse en muchos libros sobre filtros o electrónica es el filtro pasabanda de constante de una etapa y dos polos (figura 6.60). El símbolo del triángulo con la A" en el interior de la figura 6.60 representa un amplificador no inversor no ideal con una ganancia de voltaje finita una impedancia de entrada infinita, impedancia de salida cero y ancho de banda infinito (no un amplificador operacional). La función de transferencia completa del filtro pasabanda es

H O )

V . ( » V,(» ljo>(K/{l U<^y + jo>í{l/RiCi)

Km\/R,C2)

+ {l/R2C2)

+ {l/RiC2{l-K))]

{l/RiR2C,C2)

(6.113)

que es de la forma.

H(;o)) =

donde

ir'ib

j(i)A

Ho-

(6.114)

íi'WIJJ-^íi-oP'i!

A =

-4

1 (6.15)

(1 - K) « i C : '}í 1

(6.116)

R1 RiCi C2 RiCi

+ R2C2 + (R2Ci/(l

K)) (6.117)

^/RiR^CiCl

-o + v<,(r) -P

K)iiC2/Ci)

(Ri/R2))

(6.118)

F I G U R A 6.60 Piltro pasabanda de K constante.

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

El procedimiento de diseño recomendado es elegir la 2 y la frecuencia resonante/Q, para escoger algún valor conveniente, y después calcular 1

3(2-1 K = ^ 2Q - 1

^1 = ^ 2 = ^ ^

\Ho\ =

= CT = C como

3Q-l.

Además, se recomienda que Q sea menor que 10 en este diseño. Diseñe un filtro de este tipo con una (2 de 5 y una frecuencia central de 50 líHz. , i, • . - . « ^ n •

SOLUCIÓN

Pueden elegirse valores convenientes de capacitancia, por lo que considere C , = C , = C = 10 nP. En ese caso R ¡ = R2 = 3\?,n, K = 1.556 y \Hq\ = 14. Lo anterior determina la función de transferencia fifi Mi jí" • H{;co) =

; 8 . 7 9 2 X lO'ü)

9.86 X IQi" - co- + j 6 . 4 x lO'^co

(6.119)

o, escrita como una función de la frecuencia cíclica,

H(/) =

71.398 x 1 0 ' / 2.5 x 10» - f- + i 1.02 x l O V

(figura 6.61). Como en el ejemplo 6.3, no se puede elegir los valores de los componentes para que sean exactamente los calculados, aunque es posible acercarse bastante a ellos. Probablemente tendría que usar resistores de 300 Q nominales, y eso alteraría un poco la respuesta en frecuencia dependiendo de sus valores reales y de los valores reales de los capacitores. • L o s a m p l i f i c a d o r e s o p e r a c i o n a l e s se e m p l e a n a m e n u d o p a r a f o r m a r b l o q u e s funcionales q u e se i n t e r c o n e c t a n c o n el fin d e constituir s i s t e m a s m á s g r a n d e s c o n características de r e s p u e s t a e n frecuencia d e s e a d a s . E l b l o q u e funcional q u e se u s a m á s c o m ú n m e n t e es el integrador. Ya se vio e n el capítulo 3 el i n t e g r a d o r utilizado en la configuración d e la figura 6.62. Si la r e s p u e s t a del i n t e g r a d o r es y(r), la excitación del m i s m o es y'(í). L a e c u a c i ó n diferencial que describe a este s i s t e m a es y'(r) = x(í) -

y(0

(6.120)

y'(r) + y(í) = x(r).

(6.1211

L a T F T C d e e s t a e c u a c i ó n es 7ü)Y(jco) + Y O )

= X(7Co).

(6.1221

R e s o l v i e n d o (6.122) p a r a la función de transferencia. Y(jtó) H(jw) =

•¿-%-—~^¿Vi-¿%M:m . í»0

(6.123 >

É s t a es la función de transferencia d e u n s i s t e m a c o n u n a r e s p u e s t a de frecuencia pasabajas. U n s i s t e m a c o n u n a r e s p u e s t a en frecuencia pasaaltas puede formarse mediante una pequeña m o d i f i c a c i ó n del s i s t e m a de la figura 6.62 (figura 6.63). L a s c o n e x i o n e s e n p a r a l e l o y en c a s c a d a d e

F I G U R A 6.61 Diagrama de Bode para la respuesta en frecuencia del filtro pasabanda de K constante.

50 kHz

F I G U R A 6.62 Integrador utilizado para formar un sistema con una respuesta en frecuertcia pasabajas.

;

i- t(+)—^y(f) x(í)H

XL 10

F I G U R A 6.63 Sistema con respuesta en frecuencia pasaaltas que utiliza un integrador como bloque funcional.

r e s p u e s t a s en frecuencia pasabajas y pasaaltas p u e d e n p r o d u c i r r e s p u e s t a s e n frecuencia p a s a b a n d a y s u p r e s o r a de b a n d a .

6.7 FILTROS EN TIEMPO DISCRETO E n el capítulo 3 se p r e s e n t ó un e j e m p l o de u n filtro pasabajas e n t i e m p o discreto L I T (figura 6.64). S e e n c o n t r ó q u e su r e s p u e s t a de s e c u e n c i a unitaria c o r r e s p o n d í a a [5 - 4 ( 3 ) " ] u [ « ] (figura 6.65). L a r e s p u e s ta al i m p u l s o de c u a l q u i e r s i s t e m a e n T D es la p r i m e r a diferencia en atraso de su r e s p u e s t a de s e c u e n c i a unitaria. E n este c a s o , es

•

q u e se r e d u c e a . ^

•

5 - 4

u[« -

(6.124)

.••¡••:-»

••

...... . ~ •

hln]

/ 4 \ " u[ri]

(6.125)

(figura 6.66). L a función de transferencia es la T F T D de la r e s p u e s t a al i m p u l s o

U(F)

1 1 -

í^e-J-F

nü imnoM'Vfm:

(6.126)

(figura 6.67).

• t '• ¡ t i . •

h[«]

ÍITTTTT. -5

F I G U R A 6.66 Respuesta al impulso del filtro pasabajas en TD.

F I G U R A 6.65 Respuesta de secuencia unitaria del filtro pasabajas en TD.

F I G U R A 6.64 Filtro pasabajas en TD.

F I G U R A 6.67 Respuesta en frecuencia del filtro pasabajas en TD.

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

1-*

lili. -5

F I G U R A 6.68 Comparación de las respuestas al impulso de filtros pasabajas en TD y TC.

E s instructivo c o m p a r a r las respuestas al i m p u l s o y en frecuencia de este filtro pasabajas en T D > del filtro pasabajas de t i e m p o c o n t i n u o RC q u e se anafizó en la sección anterior. L a r e s p u e s t a de i m p u l so del filtro pasabajas en T D se ve c o m o la versión m u e s t r e a d a de la r e s p u e s t a al i m p u l s o del filtro pasabajas en T C (figura 6.68). Sus respuestas en frecuencia t a m b i é n tienen a l g u n a s similitudes (figura 6.69). Si se c o m p a r a n las formas de las m a g n i t u d e s y fases de estas funciones de transferencia p a r a el intervalo de frecuencia en T D - i < F < i , se o b s e r v a n m u y distintas (las m a g n i t u d e s m á s q u e las fases). Sin e m b a r g o , u n a r e s p u e s t a en frecuencia en T D s i e m p r e es p e r i ó d i c a y n u n c a p u e d e ser pasabajas en el m i s m o sentido q u e la r e s p u e s t a en frecuencia del filtro pasabajas en T C . El n o m b r e pasabajas se aplica al c o m p o r t a m i e n t o de la r e s p u e s t a I;n frecuencia en T D e n el intervalo - i < F < i , y es el ú n i c o sentido en q u e la d e s i g n a c i ó n pasabajas se u s a c o r r e c t a m e n t e en los sistemas en T D . O t r o tipo m u y c o m ú n de filtro pasabajas en T D q u e ilustrará a l g u n o s principios del diseño y análisis de filtros en T D es el filtro de p r o m e d i o m ó v i l (figura 6.70). L a e c u a c i ó n de diferencias q u e describe a este filtro es x[n] + x[n -

l] + x[n -2]-\

h x[n -

N + 1

(6.127)

y su respuesta al i m p u l s o es h[n] =

8 [ « ] -h 8[n -

8[« - 2] -h • • • -h 8[« -

A']

N + 1

(6.128)

(figura 6.71). Su r e s p u e s t a en frecuencia es

^ ( n

la cual p u e d e simplificarse en H(F)

F I G U R A 6.69 Respuestas en frecuencias del filtro pasabajas en TD y TC.

N + 1

N +

(6.129) m=0

,^ . >

sen(TTF)

= e-^'"^'^drcl(F, Af-Fl)

(6.130)

)

367

y[«]

N+ 1

6.7 Filtros en tiempo discreto

N F I G U R A 6.70 Un filtro de promedio móvil en TD.

F I G U R A 6.71 Respuesta al impulso de un filtro de promedio móvil.

(figura 6.72). E s t e filtro es e v i d e n t e m e n t e u n filtro pasabajas en el m i s m o sentido general q u e el filtro pasabajas en T D anterior, en el intervalo de frecuencia en T D -l < F < i.Y c u a n t o m a y o r es el t i e m p o de p r o m e d i a c i ó n , tanto m á s limitada es la respuesta en frecuencia del filtro. E l filtro de p r o m e d i o m ó v i l es m u y fácil de p o n e r en práctica p o r q u e s u m a los valores a c m a l p a s a d o s de la excitación p a r a formar la respuesta. Sin e m b a r g o , n o es el filtro pasabajas m á s d e s e a b l e . C a s i siempre interesa m á s u n filtro q u e se a p r o x i m e al filtro pasabajas ideal en el sentido de q u e deje p a s a r las frecuencias en a l g ú n intervalo c o n u n a m a g n i t u d constante y u n a respuesta en frecuencia de fase lineal y q u e s u p r i m a p o r c o m p l e t o las frecuencias fuera de ese intervalo. Si se identifica arbitrariamente la b a n d a de p a s o de este filtro c o m o el intervalo de frecuencias entre los dos p r i m e r o s valores n u l o s de la r e s p u e s t a de m a g n i t u d -(1/(N+ 1)) < F < (l/(N + 1)), e n t o n c e s ésta n o tiene u n a m a g n i m d constante en el intervalo y n o s u p r i m e p o r c o m p l e to las frecuencias fuera de ese intervalo. Sin e m b a r g o , c u e n t a c o n u n d e s p l a z a m i e n t o de fase lineal en la b a n d a de p a s o . Si se d e s e a a p r o x i m a r s e al d e s e m p e ñ o en el d o m i n i o de la frecuencia del filtro pasabajas ideal, se d e b e diseñar u n filtro en T D con u n a r e s p u e s t a al i m p u l s o que se a p r o x i m e m u c h o a la T F T D inversa de la r e s p u e s t a en frecuencia ideal. Se ha d e m o s t r a d o antes q u e el filtro pasabajas ideal es n o causal y n o p u e d e realizarse físicamente. Sin e m b a r g o , es p o s i b l e a p r o x i m a r s e bastante a él. L a r e s p u e s t a al i m p u l so del filtro pasabajas ideal se ilustra en la figura 6 . 7 3 .

N=9 |H(F)|

1--

mmá -1 Fase de H(F)

h[n]

,»TTt.

F I G U R A 6.72 Respuesta en frecuencia de un filtro de promedio móvil para dos tiempos de promediación diferentes. i .

F I G U R A 6.73 Respuesta ideal al impulso del filtro pasabajas enTD.

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

0.25 - -

VFR'

F I G U R A 6.74

F I G U R A 6.75

Respuesta al i m p u l s o casi ideal del filtro pasabajas en T D .

Respuesta en frecuencia casi ideal de filtro pasabajas de T D .

E l p r o b l e m a en la realización física de este filtro es la parte de la r e s p u e s t a al i m p u l s o q u e ocurre antes del t i e m p o n = 0. Si se retrasa la respuesta al i m p u l s o en u n a gran cantidad, e n t o n c e s la parte de la r e s p u e s t a al i m p u l s o q u e ocurre antes del t i e m p o = O se volverá m u y p e q u e ñ a y p u e d e t r u n c a r s e y a p r o x i m a r s e a la r e s p u e s t a en frecuencia ideal (figuras 6.74 y 6.75). L a r e s p u e s t a en m a g n i t u d en la b a n d a de supresión es t a n p e q u e ñ a q u e n o p u e d e verse su f o r m a c u a n d o se gráfica sobre u n a escala lineal c o m o en la figura 6.75. E n c a s o s c o m o éste u n a gráfica de m a g n i t u d logarítmica a y u d a a ver cuál es la a t e n u a c i ó n real en la b a n d a de supresión (figura 6.76). Este filtro tiene m u y b u e n a r e s p u e s t a en m a g n i t u d del filtro pasabajas, p e r o eso tiene u n costo; hay que esperar a que r e s p o n d a . C u a n t o m á s se acerca u n filtro al ideal, tanto m a y o r es el retraso del t i e m p o que h a y en la respuesta al i m p u l s o . L o anterior es p a t e n t e en el retraso del t i e m p o de la respuesta al i m p u l s o y el d e s p l a z a m i e n t o de fase de la r e s p u e s t a en frecuencia. E l h e c h o de q u e se r e q u i e r a u n largo retraso p a r a filtros que se a p r o x i m a n al ideal es cierto p a r a los filtros pasaaltas, p a s a b a n d a y de supresor de b a n d a , así c o m o p a r a los filtros tanto en T C c o m o en T D . E s u n principio general del d i s e ñ o de filtros que cualquier filtro que h a y a sido d i s e ñ a d o p a r a discriminar entre dos frecuencias m u y p r ó x i m a s y que deja p a s a r u n a m i e n t r a s e l i m i n a la otra debe observarlas durante largo t i e m p o p a r a ser c a p a z de distinguir u n a de otra. C u a n t o m á s c e r c a n a s son las frecuencias, tanto m á s g r a n d e es el t i e m p o q u e se requiere p a r a q u e el filtro las o b s e r v e y sea c a p a z de distinguirlas. L o anterior es la r a z ó n básica p a r a el requerim i e n t o de un largo retraso de t i e m p o en la respuesta de un filtro que se a p r o x i m a a un filtro ideal. E s posible p r e g u n t a r p o r qué interesa utilizar u n filtro en T D en lugar de un filtro de T C . H a y varias r a z o n e s . L o s filtros en T D se c o n s t r u y e n con tres e l e m e n t o s b á s i c o s , u n dispositivo de retraso, un m u l t i p l i c a d o r y u n s u m a d o r Estos p u e d e n p o n e r s e en práctica con dispositivos digitales. M i e n t r a s perm a n e z c a n dentro de los intervalos de o p e r a c i ó n c o n s i d e r a d o s , estos dispositivos s i e m p r e realizan lo m i s m o . E s o n o p u e d e afirmarse de otros tales c o m o los resistores y los capacitores q u e c o n f o r m a n a los filtros en T C . U n resistor de cierta resistencia n o m i n a l n u n c a es e x a c t a m e n t e de ese valor, ni siquiera en c o n d i c i o n e s ideales. E i n c l u s o si lo fuera durante algtrn t i e m p o , la t e m p e r a t u r a y otros efectos a m b i e n tales lo alterarían. L o m i s m o p u e d e afirmarse de los capacitores, i n d u c t o r e s , transistores, etc. D e m o d o q u e los filtros en T D son m á s estables y r e p r o d u c i b l e s que los filtros en T C . f ^ . .

|H(F)| en dB

F I G U R A 6.76

•'i

Respuesta en frecuencia casi ideal del filtro pasabajas en T D graficada sobre una escala de decibeles.

.gfjinnvjiii

| H ( / ) | o |H{F)|

6.8

Pasabanda

Especifícadones

de filtros y figuras de mérito

Pasabanda

F I G U R A 6.77 Especificación de la magnitud de un filtro ideal general.

Supresor de banda

foF

Supresor de banda

M u c h a s veces es diñ'cil i m p l e m e n t a r u n filtro en T C a m u y bajas frecuencias p o r q u e los t a m a ñ o s d e los c o m p o n e n t e s se v u e l v e n difíciles d e m a n e j a r ; p o r e j e m p l o , es p o s i b l e q u e se n e c e s i t e n v a l o r e s d e c a p a c i t o r m u y g r a n d e s . A d e m á s , a m u y bajas frecuencias los efectos d e d e r i v a t é r m i c a en los c o m p o n e n t e s se v u e l v e n un p r o b l e m a m u y g r a n d e d e b i d o a q u e son indistinguibles de los c a m b i o s en la señal e n el m i s m o i n t e r v a l o d e frecuencia. L o s filtros en T D n o p r e s e n t a n estos p r o b l e m a s . L o s filtros e n T D se i m p l e m e n t a n a m e n u d o c o n h a r d w a r e digital p r o g r a m a b l e . E s t o significa q u e este tipo d e filtro p u e d e r e p r o g r a m a r s e p a r a efectuar u n a función diferente sin c a m b i a r el h a r d w a r e . L o s filtros e n T C n o tienen esta

flexibilidad.

A d e m á s hay filtros e n T D q u e son tan c o m p l e j o s c o m p u t a c i o -

n a l m e n t e q u e sería i m p o s i b l e i m p l e m e n t a r l o s c o m o filtros e n T C . L a s señales de T D p u e d e n ser a l m a c e n a d a s d e m a n e r a confiable d u r a n t e t i e m p o s m u y largos sin n i n g u n a d e g r a d a c i ó n en disco o cinta m a g n é t i c a o e n el C D - R O M . L a s señales e n T C se a l m a c e n a n e n c i n t a m a g n é t i c a a n a l ó g i c a , a u n q u e c o n el t i e m p o los v a l o r e s e x a c t o s q u i z á se d e g r a d e n . L a s señales d e T D p u e d e n ser a l m a c e n a d a s d e m a n e r a confiable, un filtro e n T D p u e d e p r o c e s a r miíltiples s e ñ a l e s e n u n a f o r m a q u e p a r e c e ser s i m u l t á n e a . Y e f e c t i v a m e n t e lo es. L o s filtros e n T C n o p u e d e n h a c e r eso d e b i d o a q u e p a r a o p e r a r c o r r e c t a m e n t e r e q u i e r e n q u e la señal s i e m p r e esté p r e s e n t e .

6.8 ESPECIFICACIONES DE FILTROS Y FIGURAS DE MÉRITO L o s filtros p r á c t i c o s se especifican o c a r a c t e r i z a n a m e n u d o m e d i a n t e ciertos descriptores o figuras d e m é r i t o q u e cuantifican q u é t a n t o se a p r o x i m a n al c o m p o r t a m i e n t o del filtro ideal. S e h a n visto c u a t r o tipos d e filtros ideales, pasabajas, p a s a a h a s , p a s a b a n d a y supresor de b a n d a . N o o b s t a n t e , u n filtro q u i z á sea m á s c o m p l i c a d o q u e estos p r o t o t i p o s . U n filtro ideal g e n e r a l tal v e z t e n g a m ú l t i p l e s b a n d a s d e p a s o y b a n d a s d e s u p r e s i ó n . Tiene u n a m a g r ü t u d c o n s t a n t e y u n a fase lineal a lo largo d e sus b a n d a s de p a s o , así c o m o u n a r e s p u e s t a cero a b s o l u t a e n sus b a n d a s de supresión, y t o d a s las t r a n s i c i o n e s entre las b a n d a s d e p a s o y las de s u p r e s i ó n p o r lo c o m ú n tienen u n a n c h o cero (figura 6.77). N i n g ú n filtro p r á c t i c o p u e d e alcanzar el c o m p o r t a m i e n t o del filtro ideal, p o r lo q u e es i m p o r t a n t e tener la c a p a c i d a d d e describir de m a n e r a cuantitativa q u é t a n t o se a c e r c a u n filtro p r á c t i c o particular a u n o ideal e n d i v e r s a s f o r m a s . U n a e s p e c i f i c a c i ó n c o m ú n de u n filtro p r á c t i c o suele incluir varios e l e m e n t o s .

v-ísHr r - ; ; j í : |H(/)ldB

•

Bandas de transición

o !H(F)ldB

Una o más bandas de paso

U n a o m á s b a n d a s de s u p r e s i ó n

B a n d a s de transición entre b a n d a s de p a s o y b a n das d e supresión

U n rizo p e r m i s i b l e en las b a n d a s de p a s o

U n a a t e n u a c i ó n m í i ú m a r e q u e r i d a e n las b a n d a s de supresión

A l g u n a s v e c e s , a d e m á s , p u e d e h a b e r u n a especifica-

Rizo pasabanda permisible

Rizo pasabanda: permisible

foF

Niveles de ' atenuación mínima

ción en la r e s p u e s t a e n frecuencia de la fase en las b a n d a s de p a s o . U n a especificación c o m ú n d e la m a g n i m d del filtro p r á c t i c o p o d r í a verse c o m o en la figura 6.78.

Pasabanda Pasabanda Supresor Supresor de banda de banda

Se r e q u i e r e q u e la r e s p u e s t a en frecuencia de la m a g n i tud del filtro se e n c u e n t r e p o r c o m p l e t o entre las áreas s o m b r e a d a s . U n filtro q u e satisfaga esta especificación

F I G U R A 6.78

p o d r í a verse c o m o la figura 6.79.

Especificación c o m ú n de un filtro práctico.

, .

Supresor de banda

|H(/)|dB o |H(F)|<,B

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

| H ( / ) | o |H(F)|

foF Filtro ideal

|-«- Pasabanda

F I G U R A 6.79

^-.« n v v r

--"r,-^

Filtro que cumple las especificaciones de la figura 6.78.

•foF

F I G U R A 6.80 Definición de rizo.

C o m o se s e ñ a l ó a n t e s , el filtro ideal tiene u n a r e s p u e s t a en m a g n i t u d c o n s t a n t e a lo largo d e su b a n d a d e p a s o y a u n a r e s p u e s t a d e c e r o a b s o l u t o a lo largo d e su b a n d a d e s u p r e s i ó n . U n a m e d i d a d e c u á n t o se a c e r c a u n filtro al ideal, es su rizo de b a n d a d e p a s o . E l rizo suele definirse c o m o la v a r i a c i ó n m á x i m a d e p i c o a p i c o en la b a n d a d e p a s o , u s u a l m e n t e especificada e n d e c i b e l e s (figura 6.80). U n filtro ideal tiene u n a a t e n u a c i ó n infinita en su b a n d a d e supresión. N i n g ú n filtro p r á c t i c o p u e d e a l c a n z a r esa situación, de m o d o q u e u n a especificación i m p o r t a n t e es la a t e n u a c i ó n m í n i m a en la b a n d a d e s u p r e s i ó n (figura 6.81). O t r a característica c o m ú n m e n t e u s a d a p a r a describir el d e s e m p e ñ o d e u n filtro es la

atenuación

p r o g r e s i v a , la r a p i d e z c o n la q u e la m a g n i t u d d e r e s p u e s t a e n frecuencia d e l filtro c a e al m o v e r s e d e u n a b a n d a d e p a s o a u n a d e s u p r e s i ó n a través d e u n a b a n d a d e transición. E s t o , d e s d e l u e g o , v a a s o c i a d o c o n la especificación del a n c h o de la b a n d a d e transición. C u a n t o m á s e s t r e c h a sea ésta, la a t e n u a c i ó n p r o g r e s i v a d e b e ser m á s rápida. L a a t e n u a c i ó n p r o g r e s i v a se especifica c o m o cierto n ú m e r o d e d e c i b e l e s p o r o c t a v a o p o r d é c a d a . U n a o c t a v a es u n factor d e d o s e n frecuencia, y u n a d é c a d a es u n factor d e 10 e n frecuencia. EJEMPLO

6.5

Determine el rizo, la atenuación rm'nima de la banda de supresión y la atenuación progresiva de un filtro RC pasabajas de un polo con una frecuencia de corte de - 3 dB de 100 Hz, una banda de paso de O < / < 50 y una banda de supresión de / > 200. •

SOLUCIÓN

La función de transferencia de este filtto es H(/) =

100

1-Fj(//100)

100 - F J 7

(6.131)

La máxima respuesta en frecuencia de magnitud ocurre a / = O y |H(0)| = 1. La rm'nima respuesta en frecuencia de magnitud sucede en el borde de la banda de paso, / = 50 y |H(50)| = 0.8944. Por lo tanto, el rizo en este caso es la diferencia entre estos dos extremos, que es de 0.97 dB. La atenuación mínima de la señal en la banda de supresión ocurre en el borde de b a n d a / = 200 y es de casi 7 dB. La atenuación progresiva del filtro es la velocidad a la que la respuesta en magnitud del filtro disminuye en la banda de transición. Esta atenuación progresiva es una función de la frecuencia, y la mejor manera de comprenderlo es graficar la respuesta en magnitud como un diagrama de Bode (figura 6.82). La atenuación progresiva se aproxima asintóticamente a 20 dB por década. H

| H ( / ) | , B o |H(F)í<iB

Atenuación mínima en la banda de supresión

F I G U R A 6.81 Atenuación en la banda supresora.

^YVwywVYÍ l-<- Banda de supresión

;;;>orno-

|H(/)|c,B

Atenuación progresiva 100 / 1 000 H"

Rizo

Atenuación de - ^ T ñ F I G U R A 6.82 supresión de 'j,T Diagrama de Bode de banda mínima ~ 2 0 la respuesta en frecuencia de '" V^'" magnitud de un filtro % pasabajas RC.

Pasabanda

Banda de transición

" ¡ ' \ •

10 000 I

6.8 Especificaciones de filtros y figuras de mérito

Supresión de banda

EJEMPLO

6.6

Diseñe un filtro en TD pasabanda casi ideal con una banda de paso de 0.2 < f < 0.3 mediante el truncamiento de la respuesta al impulso de un filtro pasabanda ideal hasta 64 impulsos en TD distintos de cero y determine después su rizo pasabanda y la atenuación mínima en la banda de supresión. •

SOLUCIÓN

Un filtro pasabanda en TD ideal con una banda de paso de 0.2 < F < 0.3 tendría una función de transferencia

H(F)

1\\ 4//

rect I 10 I F -

• rect ( 10 I F +

* comb(F)

(6.132)

donde Hq aún debe determinarse. Empleando

sinc ( — ) <

) w rect(u)F) * c o m b ( F )

(6.133)

y las propiedades de desplazamiento en el tiempo y en la frecuencia de la TFTD, se encuentra que la respuesta de impulso de este filtro ideal es _ , . , 1 . f n-no\ Hn] = - sinc

eos

f TT^n -

no)

(6.134)

Dado que la longitud de la respuesta al impulso del filtro se especificó en 64, por simetría, sea Hq = 32 (figura 6.83). La respuesta en frecuencia del filtro de respuesta al impulso ideal truncada se ilustra en la figura 6.84. La figura 6.85 es una vista amplificada que muestra el rizo en la banda de paso de alrededor de 7 dB.

Respuesta ideal al impulso de filtro pasabanda k

0.2 —

_T-T-_T-

-0.2

•L..T...T»./.^.*»v\*-^A.FT > " 80

+ Respuesta truncada al impulso de filtro pasabanda ideal h[n]

0.2 +

_...T-_T. -10

..y

;

.fe -0.2 +

1 ^

•4 > « 80 -oülrr

F I G U R A 6.83 Respuestas al impulso ideal y truncada de un filtro en TD pasabanda ideal.

• • •

Respuesta en frecuencia de magnitud del filtro pasabanda con h[n] truncada

Respuesta en frecuencia de magnitud de filtro pasabanda con h[n] truncada

H(F)DB

H(í-)DB

0.15

0.35 '

Pasabanda

-10 -

F I G U R A 6.85 Rizo en la banda de paso de la respuesta al impulso truncada del filtro en TD pasabanda.

F I G U R A 6.84 Respuesta en frecuencia de magnitud del filtro pasabanda diseñado al truncar una respuesta al impulso del filtro ideal.

La atenuación mínima en las bandas de supresión depende de cómo se designa cada banda de supresión. El filtro ideal efecttía una transición instantánea de la banda de paso a la banda de supresión. Cualquier filtro real debe tener una banda de transición de ancho finito. Si se toma la banda de paso del filtro práctico para que sea igual a la banda de paso del filtro ideal, se debe elegir cierto ancho de banda de transición. Una simple elección sería dejar que la banda de supresión empiece en el primer mínimo local de la magnitud de la respuesta en frecuencia fuera de la banda de paso (figura 6.86). Mediante ese criterio la atenuación de la banda de supresión mínima para este diseño es alrededor de 22 dB. Este diseño puede modificarse para mejorar lo plano de la banda de paso y la atenuación mínima en la banda de supresión. Si se suavisa la respuesta al impulso truncada como se ilustra en la figura 6.87, se obtienen las respuestas de la frecuencia de la magnitud de las figuras 6.88 y 6.89. La respuesta de la banda de paso es bastante más uniforme y la atenuación de la banda de supresión es mayor que en el diseño previo, pero se ha perdido algo: la banda de transición (como se definió previamente) es ahora más ancha que antes. H El d i s e ñ o y análisis de filtros c o m o el del e j e m p l o 6.6 se a b o r d a r á en el capítulo 12. Respuesta en frecuencia de magnitud de filtro pasabanda con h[n] truncada

. . . •. ' Respuesta al impulso del filtro h[n] truncada y suavizada

•

hln]

H(F)DB

0.2 +

0.15

.T_-t•

-10

•

Banda de transición

F I G U R A 6.86 Atenuación en banda de supresión de la respuesta al impulso truncada del filtro.

Respuesta en frecuencia de magnitud del filtro pasabajas con h[;¡] truncada y suavizada

-0.2

F I G U R A 6.87 Respuesta al impulso truncada y suavizada.

Respuesta en frecuencia de la magnitud del filtro pasabanda con h[i2] truncada y suavizada

H(f)aR

H(F)d \

0.15

.35

0.35 Pasabanda -80-

-10

(

F I G U R A 6.88 Rizo en la banda de paso de la respuesta al impulso suavizada y truncada del filtro.

Banda de transición

F I G U R A 6.89 Atenuación de la banda de supresión de la respuesta al impulso truncada y suavizada del filtro.

6.9 Sistemas de comunicación Amplificador

Amplificador [-^^^BX^

Seattle

Miami

F I G U R A 6.90 Sistema de comunicación ingenuo y burdo. til aoijt::

6.9 SISTEMAS DE COMUNICACIÓN U n a d e las a p l i c a c i o n e s m á s i m p o r t a n t e s d e la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r se e n c u e n t r a e n el análisis y el d i s e ñ o d e sistemas d e c o m u n i c a c i ó n . Se a b o r d a r á este c o n c e p t o a n a l i z a n d o la o p e r a c i ó n d e u n t r a n s m i sor y r e c e p t o r d e r a d i o . ¿ P o r q u é existe el r a d i o ? P o r q u e r e s u e l v e el p r o b l e m a de la c o m u n i c a c i ó n entre las p e r s o n a s q u e están d e m a s i a d o alejadas p a r a p o n e r s e en c o n t a c t o d i r e c t a m e n t e c o n s o n i d o . Hay, d e s d e l u e g o , m u c h o s tipos de c o m u n i c a c i ó n a distancia. L a c o m u n i c a c i ó n p u e d e ser de u n a vía c o m o en el r a d i o y la televisión, o de d o s vías c o m o en el teléfono, la r a d i o de aficionados e internet. L a informac i ó n transferida p o d r í a ser v o z , d a t o s , i m á g e n e s , etc. L a c o m u n i c a c i ó n p o d r í a ser en t i e m p o real o retrasada. S u p o n g a q u e u n a p e r s o n a e n M i a m i y otra en Seattle d e s e a n conversar. L a v o z h u m a n a es d e m a s i a d o débil p a r a e s c u c h a r s e a esa distancia. E s p o s i b l e utilizar a m p l i f i c a d o r e s y a l t a v o c e s p a r a i n c r e m e n t a r la p o t e n c i a acústica d e la voz, p e r o d e b i d o a q u e d i c h a p o t e n c i a se a t e n ú a bastante r á p i d o c o n la distancia, se necesitaría u n s i s t e m a increiljlemente p o d e r o s o para e s c u c h a r s e a esa distancia (figura 6.90). Si u n a v o z en M i a m i p u d i e r a e s c u c h a r s e en Seattle y viceversa, c o n a m p l i f i c a c i ó n acústica, habría u n a s c u a n t a s m o l e s t i a s p a r a las p e r s o n a s en O r l a n d o y S p o k a n e c o n r e s p e c t o al r u i d o . ( N o h a b r í a n i n g u n a queja d e las p e r s o n a s e n M i a m i y Seattle p o r q u e todas h a b r í a n m u e r t o a c a u s a de la energía acústica.) A d e m á s , si la c o m u n i c a c i ó n es d e d o s vías, d a d a la v e l o c i d a d del s o n i d o en el aire, la p e r s o n a e n Seattle tendría q u e e s p e r a r m á s d e 8 h o r a s p a r a e s c u c h a r u n a r e s p u e s t a a u n a p r e g u n t a r e a l i z a d a p o r u n a p e r s o n a e n M i a m i . Si se a ñ a d e n los p r o b l e m a s d e m i l l o n e s de p e r s o n a s q u e h a b l a n s i m u l t á n e a m e n t e en E s t a d o s U n i d o s y se c o n s i d e r a la falta d e i n t i m i d a d de su c o m u n i c a c i ó n , es e v i d e n t e q u e sería u n sistema m u y insatisfactorio y

ridículo.

U n a b u e n a solución a m u c h o s de estos p r o b l e m a s es utilizar la p r o p a g a c i ó n de la e n e r g í a e l e c t r o m a g n é t i c a p a r a transmitir m e n s a j e s entre lugares r e m o t o s . Su v e l o c i d a d es m u c h o m a y o r q u e la del s o n i d o , p o r lo q u e el p r o b l e m a del retraso se resolvería. Sin e m b a r g o , a h o r a existen otros p r o b l e m a s p o r resolver. ¿ C ó m o se codifica u n m e n s a j e acúsfico e n u n a señal e l e c t r o m a g n é t i c a d e m a n e r a q u e éste se p r o p a g u e a la v e l o c i d a d de la o n d a e l e c t r o m a g n é t i c a (la v e l o c i d a d de la luz)? L a idea m á s sencilla es s i m p l e m e n t e utilizar u n m i c r ó f o n o p a r a convertir de m a n e r a directa la e n e r g í a a c ú s t i c a e n e n e r g í a e l e c t r o m a g n é t i c a (figura 6.91). D e s p u é s la e n e r g í a e l e c t r o m a g n é t i c a p o d r í a a c c i o n a r un a m p l i f i c a d o r q u e activaría u n a a n t e n a de t r a n s m i s i ó n . U n a a n t e n a d e r e c e p c i ó n e n el l u g a r

Transmisor

.(TCLÉ)

vií iUStíqgsi.-

( y j B B B H Amplificador

Transmisor [[-[Amplificador ^

Amplificador | - ^ ^ ^ ^ ^

Receptor

Miami

Seattle

F I G U R A 6.91 Sistema de comunicación utilizando la conversión directa acústica-electroms^BCtica y electromagnélica-acústica.

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

r e m o t o p o d r í a colectar parte d e la energía e l e c t r o m a g n é t i c a transmitida, y u n amplificador y u n altavoz tendrían la posibilidad d e convertir la energía e l e c t r o m a g n é t i c a en energía acústica. H a y dos p r o b l e m a s principales con este s i m p l e p r o c e d i m i e n t o . P r i m e r o , el espectro de frecuencia d e las c o m u n i c a c i o n e s p o r v o z se e n c u e n t r a p r i n c i p a l m e n t e entre 3 0 y 3 0 0 H z e incluso las fuentes de p r o g r a m a s m u s i c a l e s n o se e x t i e n d e n m á s allá de 10 k H z . U n a a n t e n a eficiente en este intervalo de frecuencia tendría q u e tener m u c h a s millas de largo. A d e m á s la variación de la frecuencia p a r a el interv a l o de 10:1 h a s t a q u i z á 1 0 0 0 : 1 en frecuencia significaría q u e la señal tendría q u e distorsionarse de m a n e r a c o n s i d e r a b l e p o r la variación de la eficiencia de la a n t e n a c o n la frecuencia. Q u i z á se p u e d a construir u n a antena m u y larga o vivir c o n u n a ineficiente. Sin e m b a r g o , el s e g u n d o p r o b l e m a es m á s i m p o r t a n t e . C o n la suposición de q u e m u c h a s p e r s o n a s desearían hablar en f o r m a s i m u l t á n e a ( u n a suposición a d e c u a d a ) , d e s p u é s de la c o n v e r s i ó n d e la energía de n u e v o a la f o r m a acústica, se e s c u c h a r í a a t o d o s h a b l a n d o a la v e z p o r q u e las t r a n s m i s i o n e s serían s i m u l t á n e a s . El sistema telefónico e s t á n d a r r e s u e l v e este p r o b l e m a c o n f i n a n d o la energía e l e c t r o m a g n é t i c a e n u n cable, de c o b r e o d e fibra óptica. E s t o es, las señales se separan espacialmente al tener u n a c o n e x i ó n directa d e d i c a d a entre las p a r t e s . P e r o c o n los m o d e r n o s teléfonos celulares i n a l á m b r i c o s esa solución n o funciona p o r q u e la energía e l e c t r o m a g n é t i c a n o está confinada en su trayectoria entre el aparato portátil y la antena de celular m á s cercana. O t r a solución consistiría en asignar a c a d a t r a n s m i s o r u n conjunto ú n i c o de intervalos d e t i e m p o en los cuales cualquier otro t r a n s m i s o r no transmitiría. E n ese caso, para recibir el mensaje correcto, el receptor tendría q u e sincroiúzarse c o n estos m i s m o s t i e m p o s ( t o m a n d o en c u e n t a los retrasos d e la p r o p a g a c i ó n ) . E s t a solución recibe el n o m b r e de multiplexaje en el tiempo. El multiplexaje en el t i e m p o se u s a a m p l i a m e n t e en los sistemas telefónicos en los q u e la señal está confinada en cables o en áreas celulares locales d o n d e la c o m p a ñ í a telefónica p u e d e controlar t o d a la t e m p o r i z a c i ó n y los intervalos p u e d e n h a c e r s e tan cortos q u e no son n o t a d o s p o r las p e r s o n a s q u e utilizan el sistema. Sin e m b a r g o , el multiplexaje en el tiempo tiene a l g u n o s p r o b l e m a s en otros sistemas de c o m u n i c a c i ó n . Si la p r o p a g a c i ó n de la energía e l e c t r o m a g n é t i c a es en el e s p a c i o libre, con múltiples t r a n s m i s o r e s y r e c e p t o r e s i n d e p e n d i e n t e s i m p l i c a d o s en u n s i s t e m a de c o m u n i c a c i o n e s nacional, el multiplexaje en el t i e m p o se v u e l v e i m p o s i b l e . E x i s t e u n a m e j o r solución, y e n t e n d e r l a r e q u i e r e la t r a n s f o r m a d a de Fourier. L a solución se c o n o c e c o m o multiplexaje en frecuencia y d e p e n d e del u s o de u n a técnica l l a m a d a modulación. MODULACIÓN

Modulación de doble banda lateral con portadora suprimida

Represente una señal que se v a a

transmitir m e d i a n t e x ( 0 . Si se fuera a multiplicar esta señal p o r u n a senoide c o m o se ilustra en la figura 6.92, se o b t e n d r í a u n a n u e v a señal y(í), q u e es el p r o d u c t o de la señal original y la senoide. E n el lenguaje de los sistemas de c o m u n i c a c i ó n la señal x(í) modula a la p o r t a d o r a eos {2nfj). E n este c a s o la m o d u l a c i ó n se d e n o m i n a modulación de amplitud p o r q u e la a m p l i t u d de la p o r t a d o r a es m o d i f i c a d a c o n s t a n t e m e n t e por el nivel de la señal de la m o d u l a c i ó n x(í) (figura 6.93). L a señal de r e s p u e s t a del m o d u l a d o r es y(í)

=x(í)cos(2'7r/,r).

(6.135)

A p l i c a n d o la t r a n s f o r m a d a de F o u r i e r en a m b o s l a d o s .

Y(/) = X ( / ) * ^ [ 8 ( / - /,) + 8 ( / + A)]

(6.136)

Y(/) = - [ X ( / - /,) + X ( / + /e)].

(6.137)

Multiplicador x(/)

>{x)

^ y(r)

cos(2Tr/,.f)

F I G U R A 6.92 Multiplicador analógico que actúa como modulador.

D e tal m o d o , a h o r a p u e d e verse q u e este tipo de m o d u l a c i ó n tiene el efecto d e d e s p l a z a r s i m p l e m e n t e el espectro d e la señal m o d u l a d o r a hacia arriba y hacia abajo p o r m e d i o d e la frecuencia p o r t a d o r a / ^ en el d o m i n i o de la frecuencia (figura 6.94). Así, a l g o q u e se ve c o m p l i c a d o en el d o n ú n i o del t i e m p o se o b s e r v a bastante simple en el d o n ü nio de la frecuencia. É s t a es u n a de las ventajas del análisis en el d o m i n i o de la frecuencia. E s t e tipo de m o d u l a c i ó n de a m p l i t u d se d e n o m i n a modulación de doble banda lateral con portadora suprimida ( M D B L P S ) , y es la q u e se describe m a t e m á t i c a m e n t e e n f o r m a m á s simple. El n o m b r e p r o v i e n e del h e c h o de q u e las dos b a n d a s laterales p o r e n c i m a y p o r debajo d e la frecuencia c e r o en el especti-o

Banda lateral inferior ^

^ Banda lateral superior

^ X(Í)COS(2IT/,0

|Y(/)!

Xí7

B anda lateral inferior

' fm

f c - f

B anda lateral superior

fc+fm

F I G U R A 6.93

F I G U R A 6.94

La m o d u l a c i ó n x(í) y la portadora modulada y(r) = xff)

La m o d u l a c i ó n y la portadora modulada e n el d o m i n i o de la

cos(27t/^f).

frecuencia.

-i

; .

- :

• ; -•;

d e x ( 0 se t r a s l a d a n u n a d i s t a n c i a / ^ h a c i a d o s b a n d a s laterales p o r e n c i m a y p o r debajo y n o h a y i m p u l s o en la frecuencia d e la p o r t a d o r a en el e s p e c t r o d e la señal m o d u l a d a . L a m o d u l a c i ó n M D B L P S n o se u s a m u c h o e n la práctica. Sin e m b a r g o , se r e q u i e r e su e n t e n d i m i e n to p a r a c o m p r e n d e r las formas d e m o d u l a c i ó n m á s u s a d a s , p o r lo q u e éste es u n b u e n l u g a r p a r a e m p e zar. A h o r a se h a l o g r a d o u n objetivo. El e s p e c t r o d e la señal original q u e se inició fuera del i n t e r v a l o d e bajas frecuencias se h a d e s p l a z a d o a u n o n u e v o q u e p u e d e u b i c a r s e d o n d e se desee eligiendo a p r o p i a d a m e n t e la frecuencia d e la p o r t a d o r a . L a señal original r e s i d e e n u n a n c h o d e b a n d a c e n t r a d o e n c e r o , y la n o m e n c l a t u r a c o n v e n c i o n a l d e la señal original está e n b a n d a b a s e . D e s p u é s d e la m o d u l a c i ó n , la inform a c i ó n d e la señal e s t á e n u n a b a n d a de frecuencia diferente. L a s o l u c i ó n al p r o b l e m a d e q u e t o d o s h a b l e n al m i s m o t i e m p o e n el m i s m o intervalo d e frecuencia c o n s i s t e en q u e c a d a u n o use u n i n t e r v a l o d e frecuencia diferente m e d i a n t e el e m p l e o d e u n a frecuencia p o r t a d o r a distinta. C o n s i d e r e el c a s o d e la t r a n s m i s i ó n d e r a d i o p o r m o d u l a c i ó n de a m p l i t u d ( A M ) . H a y m u c h a s e s t a c i o n e s t r a n s m i s o r a s e n c u a l q u i e r r e g i ó n geográfica d a d a t r a n s m i t i e n d o e n f o r m a simultánea. A c a d a estación se a s i g n a u n a b a n d a d e frecuencia p a r a transmitir. E s t a s b a n d a s de frecuencia t i e n e n u n a n c h o d e 10 k H z . D e tal m o d o , u n a e s t a c i ó n d e r a d i o m o d u l a u n a p o r t a d o r a c o n su señal d e fuente de p r o g r a m a (la señal d e la b a n d a b a s e ) . L a p o r t a d o r a está e n el c e n t r o d e su b a n d a de frecuencia a s i g n a d a . L a p o r t a d o r a m o d u l a d a a c c i o n a d e s p u é s el transmisor. Si la señal d e la b a n d a b a s e tiene u n a n c h o d e b a n d a de m e n o s d e 5 k H z , la señal d e t r a n s m i s i ó n de la estación se e n c o n t r a r á p o r c o m p l e t o d e n t r o d e su b a n d a d e frecuencia a s i g n a d a . U n r e c e p t o r tiene q u e elegir u n a e s t a c i ó n p a r a e s c u c h a r l a y r e c h a z a r las otras. S u a n t e n a r e c i b e e n e r g í a d e t o d a s las e s t a c i o n e s y las c o n v i e r t e e n u n voltaje e n sus t e r m i n a l e s . P o r lo tanto, el r e c e p t o r h a e l e g i d o h a s t a cierto p u n t o u n a b a n d a d e frecuencia p a r a e s c u c h a r y r e c h a z a r a las otras. E x i s t e m á s d e u n a m a n e r a d e s e l e c c i o n a r u n a e s t a c i ó n p a r a realizar la r e c e p c i ó n . Sin e m b a r g o , la f o r m a m á s c o m ú n consiste e n u s a r d e n u e v o la idea d e la m o d u l a c i ó n , p e r o esta vez la o p e r a c i ó n se d e n o m i n a demodulación.

S u p o n g a q u e la señal r e c i b i d a p o r la a n t e n a x / í ) es la s u m a d e señales d e v a r i a s

estaciones d e r a d i o e n el área y q u e el e s p e c t r o d e la señal d e la a n t e n a es c o m o se ilustra e n la figura 6.95. S u p o n g a q u e la e s t a c i ó n q u e d e s e a e s c u c h a r es la q u e se e n c u e n t r a c e n t r a d a e n / ^ , . S e m u l t i p l i c a la señal r e c i b i d a e n la a n t e n a p o r la s e n o i d e a e s a frecuencia c r e a n d o u n a señal d e m o d u l a d a y,.(f). y,(í)

= x , ( í ) COSÍZTT/CO = A [ x i ( f ) c o s ( 2 ' i r / c i í ) + X 2 ( í ) 008(2-77/^20

(6.138)

-I- • • • -h x / v ( f ) COS(2'TT/CAÍÍ)] c o s ( 2 ' n - / c 3 í )

!x.(/)|

F I G U R A 6.95 Espectro de la señal recibida por la antena del receptor.

...

-MU fcA

ÍA

fcl

fc\

iiu

fc2

fci

t . .

fc4

375

376

|Y,(/)i Desplazado hacia abajo

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

Desplazado hacia arriba

í l fc4

fci

fcl

fc2

fci

fc4

F I G U R A 6.96 Señal del receptor después de la demodulación.

y,(í) = A ^

Xkir)

cos(2-n-/rf?)

(6.139)

cosilit/dt).

k=i

fe a s t

E n el d o m i n i o d e la frecuencia,

Y , ( / ) = AJ2

* -[§(/ -

fck) + §(/

+ fck)] * - [ 8 ( / - fci)

+ 8 ( /+ /,3)]

(6.140)

A-=l

= ^E k=l

^r(f)

Yr(/) = T

^^(Z) * § ( / -

- /a) +

8 ( /

/ c 3 + fck) + 8 ( / + / r f +

/,3

/a)

fck)l

E -+ X,(/ -

(6.141)

/ , 3 + fck) fck) ++ XX, ,((/ / ++ / fe, a -+ fck)l fck)

(6.142)

Este r e s u l t a d o se v e c o m p l i c ^a d ok=i , p e r o n o lo e s . D e n u e v o sólo se d e s p l a z a la señal entrante p o r arriba y por abajo del e s p a c i o d e frecuencia y se s u m a c o m o se ilustra e n la figura 6.96. O b s e r v e q u e el e s p e c t r o d e i n f o r m a c i ó n q u e e s t a b a c e n t r a d o en/^3 se h a m o v i d o h a c i a arriba y hacia abajo y está c e n t r a d o e n cero (y t a m b i é n en ±2/^,3). A h o r a se p u e d e r e c u p e r a r la señal original q u e fue m o d u l a d a por el t r a n s m i s o r h a s t a / ^ j a p l i c a n d o u n filtro pasabajas a esta señal q u e deja p a s a r sólo la p o t e n c i a de señal c o n t e n i d a e n el a n c h o de b a n d a de la i n f o r m a c i ó n d e s e a d a q u e a h o r a está c e n t r a d a en c e r o . É s t a n o es la f o r m a e n q u e trabaja u n r e c e p t o r comían de A M , a u n q u e m u c h o s d e los m i s m o s p r o c e s o s se u s a n e n u n receptor d e este tipo, y la t é c n i c a funciona. U n p r o b l e m a con esta técnica es q u e la senoide a u n a frecuencia de/^3 q u e se usa en la d e m o d u l a c i ó n , el d e n o m i n a d o oscilador local e n el receptor, n o sólo d e b e estar en la frecuencia correcta/^.3, sino t a m b i é n en fase c o n la p o r t a d o r a c u a n d o se r e c i b e (o al m e n o s cerca) p a r a tener m e j o r e s r e s u l t a d o s . Si la frecuencia del o s c i l a d o r local se d e s p l a z a a p e n a s u n solo bit, el r e c e p t o r n o trabajará en f o r m a a d e c u a d a . U n m o l e s t o t o n o l l a m a d o frecuencia d e p u l s a c i ó n se e s c u c h a r á c u a n d o el oscilador local se d e s p l a c e d e esta frecuencia exacta. La frecuencia

de pulsación

es la diferencia entre la frecuencia p o r t a d o r a y la

frecuencia del oscilador local. C o m o resultado, p a r a q u e funcione esta técnica, la frecuencia del oscilador local y la fase d e b e n e n c a d e n a r s e a la fase de la p o r t a d o r a . E s t o se h a c e por lo c o m ú n c o n un d i s p o s i t i v o l l a m a d o lazo de sincronización

de fase. Este tipo de d e m o d u l a c i ó n se c o n o c e c o m o demodulación

síncrona

d e b i d o al r e q u e r i m i e n t o d e q u e la p o r t a d o r a y el o s c i l a d o r local e s t á n e n fase ( s i n c r o n i z a d o s ) . S e utiliza el t é r m i n o sintonizar

u n r e c e p t o r de r a d i o p a r a captar la estación d e s e a d a . C u a n d o se

sintoiüza u n a estación, s i m p l e m e n t e se c a m b i a la frecuencia del o s c i l a d o r local e n el r e c e p t o r p a r a p r o v o c a r q u e a p a r e z c a u n a señal d e e s t a c i ó n diferente c e n t r a d a en c e r o (en la b a n d a b a s e ) . E x i s t e n formas m á s s i m p l e s y m á s e c o n ó m i c a s de efectuar la d e m o d u l a c i ó n q u e se utilizan en la m a y o r í a d e los r e c e p t o r e s e s t á n d a r de A M . E n la r a d i o d e A M , la m o d u l a c i ó n es de d o b l e b a n d a lateral c o n p o r t a d o r a t r a n s m i t i d a . N o o b s t a n t e , se u s a n variantes de la m o d u l a c i ó n M D B L P S en m u c h o s tipos d e s i s t e m a s de c o m u n i c a c i ó n q u e u s a n la m o d u l a c i ó n .

Modulación de doble banda lateral con portadora

m x(r) • • y(í) transmitida C o m o se señaló antes, la m o d u l a c i ó n M D B L P S n o se u s a a m p l i a m e n t e . U n a técnica que sí se utiliza m u c h o es 1 Aj, cos(2Tr/,/) la d e doble b a n d a lateral c o n portadora transmitida ( M D B L P T ) . Ésta es u n a técnica utilizada p o r los transmisores de radio A M F I G U R A 6.97 c o m e r c i a l e s y p o r la m a y o r í a d e los transmisores d e o n d a corta Modulador de doble banda lateral c o n internacional. E s m u y similar a la M D B L P S , con l a única difeportadora transmitida. r e n c i a d e u n a c o n s t a n t e q u e se a d i c i o n a a la señal x(í) antes d e la m o d u l a c i ó n (figura 6.97). . ' P a r a simplificar el análisis, s u p o n g a q u e l a señal x(f) se n o r m a l i z a de m a n e r a q u e su e x c u r s i ó n negativa m á x i m a es - 1 (en algún sistema de u n i d a d e s a p r o p i a d o ) . E n t o n c e s e n esta i m p l e m e n t a c i ó n m se c o n o c e c o m o el índice de modulación. (Para la m a y o r í a d e las señales de m o d u l a c i ó n prácticas, si la excursión negativa m á x i m a es - 1 , la e x c u r s i ó n positiva m á x i m a c o r r e s p o n d e a p r o x i m a d a m e n t e a -i-l.) La respuesta del modulador es y(/) = [\+ mx{t)]Ac

(figura 6.98). A p l i c a n d o la t r a n s f o r m a d a de Fourier a (6.143), •

Y ( f )

• Y{f)

- [ 5 ( / ) + mXif)]

= y{[8(/ - f e )+ H f

(6.143)

cos(2'n-/cf) -jig^ni}

• ~b t - T a l

* ^ [ 8 ( / - A) + § ( /+ /,)]

+ f e ) ] +m[X(f

(6.144)

- /,) + X ( / + /,)]}

(6.145)

(figura 6.99). Si o b s e r v a el espectro p o d r á ver de d ó n d e p r o v i e n e el n o m b r e p o r t a d o r a transmitida. H a y u n i m p u l so en la frecuencia d e la p o r t a d o r a que n o e s t a b a presente e n la M D B L P S . E s natural p r e g u n t a r p o r q u é esta técnica d e m o d u l a c i ó n se u s a tanto, d a d o q u e requiere u n sistema u n p o c o m á s c o m p l i c a d o p a r a p o n e r s e e n práctica. L a r a z ó n es q u e , a u n c u a n d o l a m o d u l a c i ó n M D B L P T es u n p o c o m á s c o m p l i c a d a q u e la M D B L P S , la demodulación de M D B L P T es m u c h o m á s simple q u e la d e m o d u l a c i ó n M D B L P S . P a r a c a d a estación d e radio de A M c o m e r c i a l existe u n t r a n s m i s o r que m o d u l a la p o r t a d o r a c o n la señal de b a n d a b a s e y miles o incluso millones d e receptores q u e d e m o d u l a n la señal de la p o r t a d o r a m o d u l a da para recrear la señal d e la b a n d a base. L a d e m o d u l a c i ó n M D B L P T es m u y simple utilizando u n circuito q u e recibe el n o m b r e de detector de envolvente. S u o p e r a c i ó n se c o m p r e n d e mejor e n el d o m i n i o d e l t i e m p o . E n l a m o d u l a c i ó n M D B L P T , la p o r t a d o r a m o d u l a d a sigue l a f o r m a de la señal d e la b a n d a base c o n los picos positivos d e la oscilación de la p o r t a d o r a (figura 6.100).

|X(/)|

1 + x(í)

4f m

|Y(/)i

[1 + x(í)]A^cos(2iT/,,f)

-fe

-fc-fn

F I G U R A 6.98

f*sM>ail>,í"l

M D B L P T y portadora modulada c o n m = 1. \A>ÍM><% 'jfc Vj\'¡í-.:^yM

\ -fc+fm

fc-f„.

F I G U R A 6.99 Espectros de la señal de banda base y la señal M D B L P T .

f c + U

Señal moduladora

ijiíi;!;;;';^'

Portadora modulada

FIGURA 6.101 Circuito detector de envolvente.

FIGURA 6.100 Relación entre la señal de banda base y la portadora modulada.

E l d e t e c t o r d e e n v o l v e n t e es u n circuito q u e sigue los p i c o s d e la p o r t a d o r a m o d u l a d a , r e p r o d u c i e n d o a p r o x i m a d a m e n t e la señal d e la b a n d a b a s e (figura 6.101). E s t a r e p r o d u c c i ó n n o es m u y b u e n a , p e r o ilustra el c o n c e p t o d e la o p e r a c i ó n del detector de e n v o l v e n t e . E n la p r á c t i c a real la frecuencia d e la p o r t a d o r a sería m u c h o m á s alta q u e la r e p r e s e n t a d a e n esta figura y la r e p r o d u c c i ó n d e la señal d e la b a n d a b a s e sería m u c h o mejor. L a e x p l i c a c i ó n d e la o p e r a c i ó n del detector de e n v o l v e n t e se h i z o e n el d o m i n i o del t i e m p o . E s t o se d e b e a q u e el detector d e e n v o l v e n t e es un s i s t e m a n o lineal y, en c o n s e c u e n c i a , la teoría d e s i s t e m a s lineales n o se aplica. N o se r e q u i e r e ningiín o s c i l a d o r local o n i n g u n a s i n c r o n i z a c i ó n p a r a la d e t e c c i ó n d e e n v o l v e n t e , p o r lo q u e esta t é c n i c a d e d e m o d u l a c i ó n r e c i b e el n o m bre d e d e m o d u l a c i ó n

asincrona.

U n a señal M D B L P T p u e d e t a m b i é n d e m o d u l a r s e m e d i a n t e la m i s m a t é c n i c a d e d e m o d u l a c i ó n utilizada p a r a la señal M D B L P S e n la s e c c i ó n anterior, a u n q u e r e q u i e r e u n o s c i l a d o r local e n el r e c e p t o r q u e g e n e r a u n a s e n o i d e e n fase c o n la p o r t a d o r a recibida. El detector d e e n v o l v e n t e es m u c h o m á s simple y menos costoso. E n las figuras 6.98 a 6 . 1 0 0 el í n d i c e d e m o d u l a c i ó n fue m = 1. Si m > 1, 1 -i- mx(í) p u e d e v o l v e r s e n e g a t i v o , o c u r r e la s o b r e m o d u l a c i ó n y el d e t e c t o r d e e n v o l v e n t e n o p u e d e r e c u p e r a r la señal d e b a n d a b a s e original sin cierta distorsión (figura 6.102).

Modulación y demodulación de banda lateral única

El espectro de amplitud X ( / ) de cualquier

señal real x(r) tiene la c u a l i d a d d e q u e X(/) =

(6.146)

X ( - / ) .

P o r lo t a n t o , la i n f o r m a c i ó n e n X ( / ) , sólo p a r a / > O, b a s t a p a r a r e c o n s t r u i r e x a c t a m e n t e la señal. E s e h e c h o sustenta el c o n c e p t o d e la m o d u l a c i ó n d e b a n d a lateral ú n i c a c o n p o r t a d o r a s u p r i m i d a ( M B L U P S ) . E n la M D B L P S , el e s p e c t r o de a m p U m d c e n t r a d o e n la frecuencia d e la p o r t a d o r a (y en el n e g a t i v o de la frecuencia d e la p o r t a d o r a ) tiene i n f o r m a c i ó n d e X(/) s o b r e el intervalo d e frecuencia - / „ < / < / „ . P e r o sólo la m i t a d del e s p e c t r o d e a m p l i t u d necesita t r a n s m i t i r s e si el r e c e p t o r se d i s e ñ a c o r r e c t a m e n t e . L a ventaja d e transmitir sólo a la m i t a d del e s p e c t r o d e a m p l i t u d es q u e ú n i c a m e n t e se n e c e s i t a la m i t a d de tal a n c h o d e b a n d a , e n la M D B L P S . U n m o d u l a d o r d e M B L U P S es casi el m i s m o q u e u n o d e M D B L P S . L a diferencia es u n filtro q u e elimina la b a n d a lateral superior o inferior antes de transnútir (figura 6.103). L a respuesta del multiplicador es la m i s m a q u e en el c a s o d e M D B L anterior, YMDBLPSCO =

x ( 0 COS(2'IT/,Í) .

(6.147)

E n el d o m i n i o d e la frecuencia el e s p e c t r o d e a m p l i t u d d e la r e s p u e s t a del m u l t i p l i c a d o r es YMDBLPS(/) = ^ [ X ( / - / , )

+ X ( / +

(6.148)

/,)].

| H ( f)\

Multiplicador x(f)yMDBLPsC)

1 -fe

Sobremodulación

FIGURA 6.102 Sobremodulación.

C0S(2LT/^f)

FIGURA 6.103 Modulador de banda lateral única con portadora suprimida.

|YMDBLPS(/)I

-fc-fm

fc-L

-fc+fm

fc+fn,

|H(/)1 |Y(/)|

-fc-í

-fc+L

fc-fm

fc+fm

-fe |Y(/)|

|YDEMOD(/)l

-fc-fn,

n -

-fc+fm

-2/.

r\ 2/c

F I G U R A 6.105 Demodulación MBLUPS.

F I G U R A 6.104 ' Operación de un modulador MBLUPS.

E l filtro e n la figura 6.103 e l i m i n a la b a n d a lateral inferior y deja l a b a n d a lateral superior. E l espectro d e a m p l i t u d q u e resulta es 1 Y ( / ) = - [ X ( / - / ; ) + x ( / + fc)mn

(6.149)

(figura 6 . 1 0 4 ) . El p r o c e s o de d e m o d u l a c i ó n p a r a la M B L U P S es el m i s m o q u e la p r i m e r a técnica q u e se introdujo p a r a la M D B L P S , la multiplicación d e la señal recibida p o r u n oscilador local e n fase c o n la p o r t a d o r a (figura 6.105). Si esta señal se h a c e p a s a r a h o r a p o r u n filtro pasabajas, se r e c u p e r a el espectro original. L a señal original se r e c u p e r a p o r c o m p l e t o d e b i d o a q u e t o d a la i n f o r m a c i ó n está e n u n a b a n d a lateral tánica. E s t e tipo d e m o d u l a c i ó n es m u c h o m á s fácil d e e n t e n d e r si se utiUza el análisis en el d o m i n i o la frecuencia q u e e n el d e l t i e m p o .

Modulación de portadora en cuadratura

E s posible transmitir dos señales e n f o r m a s i m u l t á n e a e n el m i s m o a n c h o d e b a n d a y l u e g o separarlas c o n u n receptor. L a s d o s señales m o d u l a n d o s p o r t a d o r a s q u e están a la m i s m a frecuencia p e r o 9 0 ° fuera de fase, lo q u e las h a c e o r t o g o n a l e s (figura 6.106). El t é r m i n o modulador de portadora en cuadratura p r o v i e n e del h e c h o d e q u e las p o r t a d o r a s s e n o y c o s e n o están en cuadratura, l o q u e significa 9 0 ° fuera d e fase, u o r t o g o n a l e s . L a señal d e r e s p u e s t a del m o d u l a d o r e s y(í) - Xi(í) sen {lizfj)

Y(/)=Xi(/)*^[8(/

Y(/)

^ [ X i ( /

+ X 2 ( / ) * ^ [ 8 ( / - / , ) + 8(/

+ A ) - 8 ( / - / , ) ]

/,) -

X i ( /

/,)]

+ X2(í) e o s (Inf^t).

Í [ X 2 ( /

fe)

X 2 ( / +

fe)]

Su T F T C es

/ J

(6.150)

(6.151)

|YMDBLPS(/)1

fe fc-fn.

fc+fm

|H(/)| |Y(/)|

1 -fc-f

-fc+fm

nzzrn

fc~^

-/c

|Y(/)| íy-

, -

1 !

-fc+fm

-fc-fm

fc~^

' fm

ítí

|YDEMOD(/)l

. . z - ' m \ -2fc

rv.

-fe

F I G U R A 6.105 Demodulación MBLUPS.

F I G U R A 6.104 & Operación de un modulador MBLUPS.

E l filtro e n la figura 6.103 e l i m i n a la b a n d a lateral inferior y deja la b a n d a lateral superior. E l e s p e c t r o de a m p l i t u d q u e resulta es Y(/) =

J[X(/

-fe)

+ x i f +

/;)]H(/)

(6.149)

v,^]Ú

(figura 6 . 1 0 4 ) . El p r o c e s o de d e m o d u l a c i ó n p a r a la M B L U P S es el m i s m o q u e la p r i m e r a t é c n i c a q u e se introdujo p a r a la M D B L P S , la m u l t i p l i c a c i ó n de la señal r e c i b i d a p o r u n o s c i l a d o r local e n fase c o n la p o r t a d o r a (figura 6.105). Si e s t a señal se h a c e p a s a r a h o r a p o r u n filtro pasabajas, se r e c u p e r a el e s p e c t r o original. L a señal original se r e c u p e r a p o r c o m p l e t o d e b i d o a q u e t o d a la i n f o r m a c i ó n está e n u n a b a n d a lateral tínica. E s t e tipo d e m o d u l a c i ó n es m u c h o m á s fácil de e n t e n d e r si se utiHza el análisis en el d o m i n i o la frecuencia q u e e n el d e l

tiempo.

Modulación de portadora en cuadratura

Es posible transmitir dos señales en forma simultánea en

el m i s m o a n c h o d e b a n d a y l u e g o separarlas c o n u n receptor. L a s d o s s e ñ a l e s m o d u l a n d o s p o r t a d o r a s q u e están a la m i s m a frecuencia p e r o 9 0 ° fuera d e fase, lo q u e las h a c e o r t o g o n a l e s (figura 6.106). El t é r m i n o modulador

de portadora

están en cuadratura,

en cuadratura

p r o v i e n e del h e c h o de q u e las p o r t a d o r a s s e n o y c o s e n o

lo q u e significa 9 0 ° fuera de fase, u o r t o g o n a l e s .

L a señal de r e s p u e s t a del m o d u l a d o r es y(í) = Xi(í) sen (Inf^t)

Y(/)

= Xi(/) * ^[8(/ +

Y(/)

^[Xi(/ +

fe)

/,) -

8(/ -

Xi(/ -

+ X2(í) eos i2nf^t).

/,)] + X2(/) * i [ 8 ( /

fe)]

Í[X2(/

fe)

+ XjÍ/

+ 8(/ +

+ fe)]

•

Su T F T C es

/,)

(6.150)

(6.151)

2/c

380

xirfCO

xi(í) -

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

sen(2Ti/^í)

^X2<í(í)

) •

• Xy(í)

FPB

• X2f(í)

5611(217/^0

y{í)

cos(2-n-/,/)

FPB

cos(2-n/,í)

••

FIGURA 6.107 Demodulador de amplitud en cuadratura.

FIGURA 6.106 Modulador de portadora en cuadratura.

El p r o c e s o d e d e m o d u l a c i ó n m u l t i p l i c a la señal r e c i b i d a y(í) p o r los o s c i l a d o r e s locales q u e están en fase c o n las p o r t a d o r a s s e n o y c o s e n o (figura 6.107). L a s d o s r e s p u e s t a s a partir d e l d e m o d u l a d o r s o n

•-

x i d ( f ) = y ( r ) sen(2'rT/cf) = x i ( r ) s e n - ( 2 T T / e r ) + xiit)

senil-^fct)

cosil-nfct)

X2¿(0 = y ( í ) cos(2TT/,f) = x , ( 0 sen(2TT/,?) COS(2TT/,Í) + X2(í) C O S ' ( 2 T T / , Í ) L a s T F T C d e estas señales s o n

(6.152)

(6.153)

j _ ^ [ X l ( / + fe) - X , ( / - fe)] + ^ [ X 2 ( / - / , ) + X 2 ( / + / , ) ] (6.154) *^[8(/ +

XiÁf)

/ C ) - 8 ( / - / , ) ]

^ [ X l ( / + fe) - X i ( / - fe)] + ^ [ X 2 ( / - fe) + Xjif

fe)] (6.155)

* - [ 8 ( / - / . )

+ 8 ( /+ /,)]

Al efectuar las c o n v o l u c i o n e s y simplicar.

XiAf)

= ^Xi(/) -

X2d(f)

^Xdf

^ X i ( / + 2fe) + ^ X 2 ( / + - 2fe) -

^X2(/ -

= ^ X 2 ( / ) + ( X i ( / + 2fe) 2 4

2fe) (6.156)

2fe)

( X j ( / -

2fe)

(6.157)

+ - X 2 ( / - 2fe) + - X 2 ( / + 2fe). L a señal d e r e s p u e s t a superior Xij(f)

está c o m p u e s t a p o r la señal original X^j(f)

m á s a l g u n a s otras

señales q u e e s t á n c e n t r a d a s e n + 2 / ^ . . P o r lo tanto, el filtro pasabajas r e c u p e r a las señales originales. É s t e es u n m é t o d o d e d e m o d u l a c i ó n s í n c r o n a y d e p e n d e m u c h o d e c o n t a r c o n d o s osciladores locales a e x a c t a m e n t e la m i s m a frecuencia q u e la p o r t a d o r a y c o n e x a c t a m e n t e las fases c o r r e c t a s . Si las fases s o n incorrectas, existirá diafonía entre las señales de respuesta. Diafonía

significa q u e parte de la

p o t e n c i a d e u n a señal a p a r e c e r á e n la otra y viceversa. P o r lo tanto, a u n q u e d o s señales se c o m p r i m a n en el m i s m o a n c h o d e b a n d a y p u e d a n separarse teóricamente debido a q u e sus portadoras están e n cuadratura.

el p r o c e s o d e d e m o d u l a c i ó n requiere alta p r e c i s i ó n y es m u c h o m á s difícil d e i m p l e m e n t a r q u e u n detector d e e n v o l v e n t e .

RETRASO DE GRUPO Y DE FASE A h o r a q u e se h a n i n v e s t i g a d o los m é t o d o s d e m o d u l a c i ó n b á s i c o s , está listo p a r a c o n s i d e r a r otro fenóm e n o i m p o r t a n t e , el retraso de g r u p o . Se h a visto e n el análisis d e filtros ideales y e n la p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o e n el t i e m p o de la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r q u e u n retraso s i m p l e d e u n a señal e n el d o m i n i o d e l t i e m p o c o r t e s p o n d e a u n a v a r i a c i ó n lineal de fase c o n la frecuencia en el d o m i n i o de esta misma, I,,,,.

x ( í - ío) ^

X(7w)e-^"^

x[7j-«ol «

X(jí2)e-^"""

(6.158)

(Este análisis se r e a l i z a r á u t i l i z a n d o l a frecuencia e n r a d i a n e s p o r q u e la n o t a c i ó n e s u n p o c o m á s c o m pacta.) S i n e m b a r g o , la m a y o r í a d e las funciones de transferencia d e s i s t e m a s tienen u n a d e p e n d e n c i a n o lineal d e la fase c o n r e s p e c t o a la frecuencia. U n a c o n s i d e r a c i ó n f u n d a m e n t a l en el d i s e ñ o del sistema es c ó m o interpretar la i m p o r t a n c i a d e u n a v a r i a c i ó n d e fase n o lineal c o n la frecuencia. El análisis d e F o u r i e r c o n s i d e r a las señales c o m o c o m b i n a c i o n e s lineales de s e n o i d e s c o m p l e j a s . L a fase d e c a d a s e n o i d e c o m p l e j a de e x c i t a c i ó n a c u a l q u i e r frecuencia co se c a m b i a a la fase de la s e n o i d e c o m p l e j a d e l a r e s p u e s t a a la m i s m a frecuencia de a c u e r d o c o n el valor de la función d e transferencia a e s a frecuencia. Y ( »

(6.159)

= X(7ü))H(7co).

A s í q u e c a d a s e n o i d e c o m p l e j a está r e t r a s a d a en el t i e m p o e n u n a c a n t i d a d c o r t e s p o n d i e n t e al d e s p l a z a m i e n t o d e fase de li(j(ü).

E s t o p a r e c e s i m p l e h a s t a q u e se c o n s i d e r a q u e si la fase se d e s p l a z a m e d i o

ciclo Tí r a d i a n e s , n o q u e d a claro c o n la siinple o b s e r v a c i ó n si el d e s p l a z a m i e n t o es TI o -71 r a d o 7r ± 2m n r a d , d o n d e m es u n e n t e r o . J u n t o c o n la a m b i g ü e d a d d e la fase surge la c o r r e s p o n d i e n t e a m b i g ü e d a d del t i e m p o e n el d o m i n i o de este m i s m o . D e m á s i m p o r t a n c i a en el d i s e ñ o d e la m a y o r í a de l o s s i s t e m a s p r á c t i c o s es c ó m o se ve afectada la f o r m a d e u n a señal arbitraria q u e es u n a c o m b i n a c i ó n lineal d e s e n o i d e s c o m p l e j a s p o r la v a r i a c i ó n de d e s p l a z a m i e n t o d e l a fase c o n la frecuencia. P a r a ilustrar u n efecto p o c o e v i d e n t e del retraso d e fase n o lineal en u n a señal, s u p o n g a q u e la señal d e e x c i t a c i ó n x(r) es u n a p o r t a d o r a senoidal a u n a frecuencia co^, q u e es de M D B L P S m e d i a n t e u n a s e n o i d e d e m o d u l a c i ó n a u n a frecuencia C0„, y q u e co„,

co^.. E n t o n c e s la e x c i t a c i ó n p u e d e e x p r e s a r s e

como : •'?íW!oni>§rn b e f a í J i i a b ! í

x ( í ) = Acos(cLi„,r)cos(cOfí).

•^..-:.r>

(6.160)

L a T F T C d e la señal es

X O )

ATT

= ^ [ 8 ( 0 )

ü), -

«,„) +

8(00 -

co, +

4.--

'-^^¿^vas^

co,,,)

(6.161) 8 ( ü ) + tí>c ~ W m ) + 8(C0 +

+ w,„)].

' X ^

S u p o n g a q u e el s i s t e m a e x c i t a d o p o r esta señal tiene u n a función de transferencia c u y a m a g n i m d es u n a c o n s t a n t e , u n o , para el intervalo de frecuencia Cú,. - Cú„, < |ü)| < co, H- co^ y c u y a fase está d a d a p o r (|)((B) y q u e , c o m o s i e m p r e es cierto p a r a u n s i s t e m a real (j)(co) = - <j) (-co). L a r e s p u e s t a del s i s t e m a es !o .

^ -

ATT YOw)

•

-—[8(cü -

cüc -

co,„)-I-8(co -

•: + 8 ( t ü + c ü , - co,„) + 8 ( t o

o, u t i l i z a n d o la p r o p i e d a d d e e q u i v a l e n c i a d e l i m p u l s o , ATT ^

8(co -

co, -

c o , „ ) í ? ^ * ( " ' + " " ' + 8(co -

...'i.i.i^-

-b c ü , „ )

Y(jco)

(O, -F cü,„)]e^'*''"'. J

' / -

'-^

•

(6.162) . rteu;,,

c o , -f c o „ , ) e ^ * ( ' " ' - ' - - '

(6.163) + 8 ( c o + co, - cü,„)e^**^"^+""'' + 8 ( c o + c o , + c o „ , ) e ^ * < - " ' - " - ^

•

382

E s t a e x p r e s i ó n p u e d e escribirse t a m b i é n c o m o

CAPÍTULO 6 í Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

ATT + S(co - (ü, -F w,„)eJ"(<t>("<-"'")/(™--"-»

+ 8(cü +

o, u t i l i z a n d o (|)(co) = - (j)(-a)),

+ a)„)e->«t>(-».-»».)/(".c+«„))

(6.164)

v.,. 8((ü -

co„,)e^"**<™^+'"">/<'^^+"'"»

+ 8(cü + c ü , + co„,)e^™<*("'?n!)-> ^sif! 'YXia r y j í * ' n o i w T n e t i i

^ 8 ( ( j - Wc 4- o)„)e.''"("!'('"<--"'"V(wc-«)„)) (6.165)

J,ytó(é(ü)<-+cü„)/(íi)^-i-ü)„)) •

+ (8((o - cü, + (ü„,) + 8 ( 0 ) + 0 ) , -

cü„))e>(*(")/("»

(6.166)

L a T F T C i n v e r s a d e ( 6 . 1 6 6 ) es

y(t)

A -

eos ^(Cüc + W „

-I- e o s

y(0 = y[cos((we

(ü)c -

ctí,„)r -F c})(wc -F

f -t-

<Í)(u>c + W m )

í -I-

a),„)

(}?(cOc - ü ) m ) — ü)„,

J/ J

+ c o s ( ( c O c - co„,)? -F (t)(Wc - w , „ ) ) ] .

(6.167)

(6.168)

Si se utiliza la i d e n t i d a d t r i g o n o m é t r i c a

C O S ( J : ) COS(>0 = ^ [ C O S ( J : + 3') - j - COS(J: -

se p u e d e e x p r e s a r (6.168) c o m o

^y,^ ^ , ^, v .

y ( r ) = A e o s I co^í -I-

X eos

cü,„r -I-

y ( r ) = A eos

X eos

co,„

t +

y)],

(6.169)

Í.V

<Í)(cOc -f W „ , ) -I- ^{U)c - (x>m)

ct>(a)c -I- w„) - (t)(cúc - ü)„,)

(6.170)

4>(t^r + (^m) + <I>(MC - M ^ )

<i)(a)c -I- ü)m) - 4>(Wc - tOm) 2w„

(6.171)

Este r e s u l t a d o m u e s t r a c l a r a m e n t e q u e la p o r t a d o r a se d e s p l a z a e n el t i e m p o [(|)(co^ + co^) + ^{(o^. - co,,,)]/ 2ü)^ s e g u n d o s y q u e la m o d u l a c i ó n se d e s p l a z a en el t i e m p o [<^((£>^ + (o,,,) - ^(0)^ - (B^)]/2(B„ s e g u n d o s . L o q u e significan esos t i e m p o s d e p e n d e d e la n a t u r a l e z a d e la función d e d e s p l a z a m i e n t o d e fase (j)(co).

S u p o n g a p r i m e r o q u e (|)(a)) = - K(ü, d o n d e

es u n a c o n s t a n t e positiva. E n t o n c e s el d e s p l a z a m i e n t o d e la

p o r t a d o r a e n el t i e m p o es

-K,

(6.172)

/ A

el d e s p l a z a m i e n t o d e la m o d u l a c i ó n e n el t i e m p o es

-K.

(6.173)

L o s d o s d e s p l a z a m i e n t o s e n el t i e m p o s o n e x a c t a m e n t e i g u a l e s , c o m o d e b e ser p a r a u n s i s t e m a c o n u n d e s p l a z a m i e n t o d e fase lineal s i m p l e . [Tenga e n c u e n t a q u e d e b i d o al s i g n o m á s (6.171) e n los a r g u m e n tos d e los c o s e n o s , esos d e s p l a z a m i e n t o s están r e t r a s a d o s e n el t i e m p o . ] S u p o n g a a h o r a q u e el d e s p l a z a m i e n t o en la fase es

ct)(co) = - t a n " '

2 —

(6.174)

O),

(un d e s p l a z a m i e n t o d e fase comían de filtro pasabajas d e u n p o l o ) y sea co, = 10co„,. E n t o n c e s el retraso d e t i e m p o d e la p o r t a d o r a es 1.107/co,, y el retraso del t i e m p o d e la m o d u l a c i ó n c o r r e s p o n d e a 0.4/co,. L o s d o s retrasos d e t i e m p o difieren p o r u n factor d e c a s i 2 . 7 5 . E s t o s efectos se ilustran e n las

figuras

6.108 y 6.109 p a r a co, = 2?: x 1 0 0 0 y üO„ = 27r x 2 0 . A partir d e la vista a m p l i f i c a d a e n la figura 6.109 es p a t e n t e q u e la r e l a c i ó n d e t e m p o r i z a c i ó n e n t r e la p o r t a d o r a y la m o d u l a c i ó n h a c a m b i a d o d e b i d o al d e s p l a z a m i e n t o d e fase n o lineal d e la función d e transferencia del sistema. O b s e r v e q u e la e x p r e s i ó n p a r a el d e s p l a z a m i e n t o e n el t i e m p o de la m o d u l a c i ó n [(j)(co, + co„) - (j)(co, - co,„)]/2co„, se o b s e r v a b a s t a n t e similar a la definición d e u n a d e r i v a d a . D e h e c h o , e n el Límite c u a n d o co„ - > O, el d e s p l a z a m i e n t o e n el t i e m p o d e m o d u l a c i ó n es Kd/df){^((ii))]^f^.

E n ese m i s m o límite, el

d e s p l a z a m i e n t o d e la p o r t a d o r a e n el tiempo, [(t)(co, -i- co„,) -i- (j)(co, - co„,)]/2co,, es (j)(co,)/co,. D e m o d o q u e el d e s p l a z a m i e n t o e n el t i e m p o d e la p o r t a d o r a es p r o p o r c i o n a l al d e s p l a z a m i e n t o d e la fase y, p a r a la m o d u l a c i ó n d e b a n d a e s t r e c h a co„, < í co,, el d e s p l a z a m i e n t o e n el t i e m p o d e la m o d u l a c i ó n es p r o p o r c i o n a l a la d e r i v a d a c o n r e s p e c t o a la frecuencia d e l d e s p l a z a m i e n t o d e fase. E s t o resulta v á l i d o a p r o x i m a -

Excitación Portadora modulada Modulación

Excitación

Retraso de fase

Respuesta

FIGURA 6.108 « ^ " Excitación y respuesta de un sistema con un retraso de fase de

FIGURA 6.109 Vista aumentada alrededor del primer cruce en cero de la señal de modulación de excitación y respuesta de un sistema con un retraso de fase de <t>(w) = - t a n ^ ' ( T C ^ ) -

384

íf-o'if.aupv)'

<t)((ü)

m oqmart i

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

La pendiente es el negativo del retraso de fase s! 3 B t . .

F I G U R A 6.110 Relación entre el desplazamiento de fase, el retraso de fase y el retraso de grupo.

La pendiente es el negativo del retraso de g r u p o

.^^

j.-

d a m e n t e p a r a c u a l q u i e r m o d u l a c i ó n e n u n a b a n d a e s t r e c h a c e n t r a d a e n la frecuencia d e la p o r t a d o r a . E l retraso d e g r u p o se define c o m o

nhi:

\ ~ i ¡ T(CO) =

ity.iít'

-—(ct)(«)). ACÚ

(6.175)

(El signo n e g a t i v o a p a r e c e p o r q u e p a r a u n retraso de t i e m p o p o s i t i v o la c a n t i d a d {dld(S)){^{()>}) d e b e ser negativa.) U n a gráfica del d e s p l a z a m i e n t o de fase (j)((i)) = - tan-K2(a)/co^)) m u e s t r a la diferencia e n t r e el retraso d e fase y el retraso d e g r u p o (figura 6.110).

E J E M P L O 6.7 Un sistema tiene una función de transferencia ^ ( » ' - j^ilzir)

(yü)-zi)(;ü)-z;) •"^

" (ytü - p i ) ( ; a ) - p*,)

+ Izil^ • s i í a o j f , -

(jiü)^ + j t o ( 2 í coo) + co^ '-«übar,?!

;

(6.176)

donde COQ = | p ¡ P y l^cüg = - P i - p ' i = - 2pi,.. Determine y grafique su retraso de grupo en función de la frecuencia y su respuesta de impulso en función del tiempo para CJ = 1 -i- j l O y pj = - 1 -t- jlO. • SOLUCIÓN .i.tvj» Examine primero la magnitud de la función de transferencia. El cuadrado de la magnitud es

|H(yco)l ^

= H ( ; ( 0 ) H (jCü) =

; ( ; w - pi)(jcü -

—: ——: ( - J W - í>i)(-jcü - pi)

(6.177)

|H(;w)|- =

(6.178)

{(o, - PuV + PÍ.){(<^ + Pu)- + p Í )

donde los subíndices r e i indican las partes real e imaginaria, respectivamente. Puesto que, en este caso, Zi, = Pi, y ^ír = P'ir^ 1^ magnitud de esta función de transferencia es una constante,

••,fi

|H(7C0)i = 1. \^

(6.179)

Este tipo de fiínción de transferencia recibe el nombre de función pasatodas. Su magnitad es independiente de la frecuencia, aunque su fase no lo es. La fase es (6.180) que se reduce a 4)(ü)) = tan

" - Zii -Zw

+ tan

co + . ~Z\r

- tan"

>-tan-' -P\r

" -F Pii ^ ~P\r

(6.181)

Retraso de grupo T(CÜ)

-30

FIGURA 6.111

rvU

FIGURA 6.112

Retraso de grupo del sistema c o n la función de transferencia

Respuesta al i m p u l s o del sistema con la función de transferen-

TI/ • N _

cia m

(;M-L-JLO)(jn)-L + JIN)

Utilizando j : ( t a n

•

'(;)) =

T(CO)

—

(jM-I-JIO)fjM-I+;IO)

j : ^ el retraso de grupo es

l/zu-

l/Zlr

77 +

1 -f ( ( c ü - zii)/-zir)-

1 + ((w+

zii)/-zw)(6.182)

1 +

((W

P u ) / - P l r ) ^

1 +

((O)

Pli)/-PU-)-

O, sustituyendo los valores del parámetro,

T(CO) =

(figuraó.lU).

• '

•

Ll-F(w-10)2

(6.183)

1-Któ-M0)-J

•

L a respuesta al impulso es l a T F T C inversa de H(7'{fl),

h(0 =

eos

-tt>o£í

eos

cüoV 1 - t " r -I- tan"

u(í)

- «-""^'cüo sen l o o V 1 -

(6.184)

u(f)

ÍIOO

I-, |-

,E-'»''Í'SEN(COOV'L

h(/) = 8(r) +

u(0

t + TAN

ü)o

/ -1- tan"

í,d) (1)0 V i

- ¿ 2 ?

tan

u(/)

(6.185)

(figura 6.112). Observe que la parte oscilatoria de la respuesta de i m p u l s o tiene una v e l o c i d a d resonante característica de aproximadamente 1.6 H z (alrededor de 10 rad/s) que es la frecuencia del pico del retraso de grupo. E l i m p u l s o tiene componentes de frecuencia distribuidas de manera uniforme en todas las frecuencias. L a parte del i m p u l s o de excitación cerca de la f r e c u e n c i a , / = 1.6 H z , está retrasada más que el resto del i m p u l s o de excitación y esto es lo que ocurre en u n tiempo posterior.

FIGURA 6.114 TFTC de magnittid de señales de excitación y respuesta.

FIGURA 6.113 Tren de pulsos.

Modulación de amplitud de pulsos

L a m o d u l a c i ó n de a m p l i t u d de p u l s o s es u n a técnica q u e se utiliza en varios tipos de sistemas de c o m u n i c a c i ó n y control. T a m b i é n es i m p o r t a n t e p o r q u e constituye u n a b a s e c o n c e p t u a l p a r a el estudio del m u e s t r e o en el capítulo 7. E s similar a la M D B L P S e x c e p t o p o r el h e c h o de que la p o r t a d o r a n o es u n a senoide, sino u n tren d e p u l s o s p e r i ó d i c o s p(í), de p u l s o s d e a n c h o w, p e r i o d o f u n d a m e n t a l y altura u n o (figura 6.113). El tren d e p u l s o s p u e d e describirse m a t e m á t i c a m e n t e m e d i a n t e

p ( í ) = rect

—

(6.186)

* — comb I —

Si la excitación del m o d u l a d o r de a m p l i t u d de p u l s o es x(í), la r e s p u e s t a es

y ( í ) = x ( í ) p ( í ) = x(f)

f \ 1 rect I — I * — c o m b

11)d

(6.187)

L a T F T C de y(í) es

Y ( / ) = X ( / ) * w smc(wf)

donde

f [ ~ ] ,

comb

(6.188)

= l/T^ es la frecuencia d e repetición del p u l s o (frecuencia f u n d a m e n t a l del tren d e pulso) y

Y(/)

= X ( / ) *

wfs

sinciwkfs)

8(/ -

kf,)

(6.189)

A:=-oc

Y ( / ) = wfs

s^nciwkfj

X(/ -

kfs).

(6.190)

k=-x

L a T F T C Y(f) de la r e s p u e s t a es u n conjunto de réplicas de la T F T C de la señal de excitación x(í), repetida p e r i ó d i c a m e n t e a múltiplos enteros de la tasa de repetición de p u l s o s / ^ y t a m b i é n m u l t i p l i c a d a p o r el valor de la función sinc c u y o a n c h o está d e t e r m i n a d o p o r el a n c h o del p u l s o w (figura 6.114). L a s réplicas del e s p e c t r o de la señal de excitación ocurren múltiples veces en el e s p e c t r o de la señal de respuesta, c a d a u n a c e n t r a d a en un m ú l t i p l o entero de la tasa de repetición d e p u l s o s y multiplicadas p o r u n a constante diferente. L a señal de excitación p u e d e r e c u p e r a r s e a partir d e la señal de r e s p u e s ta m e d i a n t e u n filtro pasabajas, si el a n c h o de b a n d a de la señal de excitación es lo suficientemente p e q u e ñ o p a r a q u e las réplicas n o se traslapen. Se v o l v e r á de n u e v o a esta i d e a c o n m a y o r detalle en el capítulo 7.

Desplazamiento descendente

F I G U R A 6.115 Demodulación síncrona de una señal M A P (modulación de ampliuid de pulso) con una senoide a una frecuencia/, igual a la tasa de repetición del pulso.

387

Desplazamiento ascendente

Versión escalada del espectro de la señal original 4

L a señal d e e x c i t a c i ó n t a m b i é n p o d r í a r e c u p e r a r s e m e d i a n t e u n a t é c n i c a de d e m o d u l a c i ó n s í n c r o n a e n la q u e u n a réplica c e n t r a d a e n u n miíltiplo distinto de cero de la t a s a de r e p e t i c i ó n d e p u l s o s se d e s p l a z a c o n r e s p e c t o d e la b a n d a b a s e al multiplicar la señal d e m o d u l a c i ó n d e a m p l i m d d e p u l s o s p o r u n a s e n o i d e a ese m i s m o m ú l t i p l o de la tasa de repetición d e p u l s o s (figura 6.115). P o d r í a p r e g u n t a r s e por q u é m e t e r s e e n p r o b l e m a s c u a n d o la réplica d e la b a n d a b a s e del e s p e c t r o d e

Ti ilOi'JÜtil I!S tiU.)

excitación p u e d e r e c u p e r a r s e m e d i a n t e u n s i m p l e filtro pasabajas. L a r e s p u e s t a es q u e en a l g u n o s sistem a s la réplica d e la b a n d a b a s e p u e d e ser c o r r o m p i d a por el r u i d o o u n a señal de interferencia y las otras

.RIT

réplicas q u i z á sean m á s l i m p i a s .

Modulación de tiempo discreto

L a m o d u l a c i ó n t a m b i é n p u e d e utilizarse en s i s t e m a s e n T D de u n a

m a n e r a similar a la q u e se e m p l e a en los s i s t e m a s e n T C . L a f o r m a m á s simple de la m o d u l a c i ó n e n T D es la M D B L P S e n la q u e se m u l t i p l i c a u n a señal d e la p o r t a d o r a c[n] en T D p o r u n a señal d e m o d u l a c i ó n x[n] en T D . C o n s i d e r e q u e la p o r t a d o r a es u n a senoide en T D c[n] =

(6.191)

cos(2TTFon).

E n t o n c e s la r e s p u e s t a del m o d u l a d o r e n T D es yin]

= x[n]c[n]

= x [ « ] cos(2'n-Fo«)

(figura 6.116).

(6.192)

Z,,h^;j-i^:>:^im,i,i íí íiOhúabom a i j í s q u v í a s te.

L a c o n t r a p a r t e e n el d o m i n i o d e la frecuencia e n T D d e la m u l t i p l i c a c i ó n e n el d o m i n i o e n T D es la convolución periódica, Y{F)

1 = X ( F ) ®C(F) = X ( F ) ® ] -[8(F -

F Q ) + 8 ( F + FQ)] * c o m b ( F )

(6.193)

Modulación

••"ILLLLLP'"

..TTiíiiifnTTTT,,..^

Portadora

c[n]

,.n.,„.Tfí

Ílllíí!lTlTw..nTtlT^^

:; ,

.-. - :

.,.

^ í ; ^ . T.. V

Portadora modulada

tí,.

,.~.,„.TÍI.

11» *^

ijl

F I G U R A 6.116 Modulación, portadora y portadora modulada en un sistema MDBLPS en TD.

388

|X(F)|

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas F : -2

-1 |C(F)| 1

-2

-1

-Fn

|X(F)®C(F)|

F I G U R A 6.117 TFTD de modulación en TD, portadora en TD y portadora modulada en TD.

f l i U l -2

-1

Y(F)

= -[X(F

- FQ) + XiF

Fo)],

(6.194)

(figura 6.117), q u e es m u y similar al r e s u l t a d o a n á l o g o p a r a la M D B L P S en T C ,

Y(/)

- [ X ( / - / o ) + X ( / +

/o)].

(6.195)

Si este tipo d e m o d u l a c i ó n se va a utilizar p a r a c o n s e g u i r el multiplexaje en frecuencia, la s u m a de los a n c h o s de b a n d a en T D de todas las señales d e b e ser m e n o r que u n m e d i o . U n tipo simple e interesante de M D B L P S de t i e m p o discreto es utilizar u n a p o r t a d o r a c[«] = cos(7t«). É s t e es u n c o s e n o en T D f o r m a d o al m u e s t r e a r u n c o s e n o en T C a u n a tasa de m u e s t r e o q u e es exactam e n t e el d o b l e de su frecuencia. E s en particular simple p o r q u e es j u s t o la secuencia, ... 1, - 1 , 1, - 1 , 1, - 1 , . . . L a s T F T D q u e resultan c u a n d o se u s a esta p o r t a d o r a se ilustran en la figura 6.118.

|X(F)]

-2

-1 \C(f)\ 1 ,

-2

F I G U R A 6.118 TFTD de la modulación TD, portadora en

-1

—

•i* •

|X(F)C

i 1 1

I 2

1 1

1 2

TD c[n] = cos(7in) y portadora modulada enTD. • • Í.»^J.-

1 -2

1 -1

E s t a c l a s e d e m o d u l a c i ó n invierte el e s p e c t r o d e frecuencia d e u n a m o d u l a c i ó n e n T D . Si inicialmente es u n espectro pasabajas,

F I G U R A 6.119

Multiplicador xO)

. ^ ^ ' ' " ' ' * ^ ^ | ppg | FPB )

se c o n v i e r t e e n u n o p a s a a l t a s , y viceversa. E s t e es u n tipo d e m o -

^ y(,)

Los

componentes

e s e n c i a l e s de un analizador de espectro

d u l a c i ó n m u y fácil d e i m p l e m e n t a r p o r q u e consiste e n c a m b i a r e l

por

signo d e c u a l q u i e r otro valor d e la señal d e m o d u l a c i ó n e n T D . L a

COS(2-IT/^0

barrido de

frecuencia.

d e m o d u l a c i ó n p a r a r e c u p e r a r la señal original consiste e n realizar el m i s m o p r o c e s o otra vez, p o n i e n d o t o d o s l o s c o m p o n e n t e s d e frecuencia e n s u s p o s i c i o n e s originales. U n a a p l i c a c i ó n interesante d e este tipo d e m o d u l a c i ó n es convertir u n filtro e n T D pasabajas e n u n filtro e n T D pasaaltas. Si se m o d u l a este tipo d e p o r t a d o r a c o n u n a señal y l u e g o se p a s a p o r u n filtro pasabajas e n T D , las frecuencias q u e eran o r i g i n a l m e n t e bajas serán altas y n o p a s a r á n y las frecuencias q u e o r i g i n a l m e n t e eran altas serán bajas y p a s a r á n . L u e g o se p u e d e d e m o d u l a r l a salida del filtro m e diante el m i s m o tipo d e m o d u l a c i ó n , c o n v i r t i e n d o las frecuencias altas (las frecuencias bajas originales) d e n u e v o e n bajas frecuencias. U t i l i z a n d o esta técnica es p o s i b l e e m p l e a r u n tipo d e filtro e n T D p a r a el filtrado t a n t o pasabajas c o m o p a s a a l t a s .

6.10

ANÁLISIS ESPECTRAL

E n las s e c c i o n e s anteriores se e s t u d i ó la o p e r a c i ó n d e filtros y se sugirió u n s i s t e m a q u e p o d r í a u s a r s e p a r a m e d i r e l e s p e c t r o d e p o t e n c i a d e u n a señal. S i n e m b a r g o , resulta i m p r á c t i c o y c o m ú n m e n t e se e m p l e a otro s i s t e m a l l a m a d o analizado)-

de espectros.

C o m o u n a e x p l i c a c i ó n d e la f o r m a e n q u e trabaja

el a n a l i z a d o r d e e s p e c t r o s y c o m o otro e j e m p l o del análisis d e s i s t e m a s d i r e c t a m e n t e e n el d o m i n i o d e la frecuencia, se v a a analizar la o p e r a c i ó n b á s i c a d e u n a n a l i z a d o r d e e s p e c t r o s . U n d i a g r a m a d e b l o q u e s simplificado del c o r a z ó n d e u n a n a l i z a d o r d e e s p e c t r o s p o r b a r r i d o d e frecuencia c o m ú n se ilustra e n l a figura6.119.

'pr^>iiWm•(â.¡îJi^Bmt:.iî.ü!~íá^

Í::.---. . ^ ; - = » u ; ; A ¡ . r

U n a n a l i z a d o r d e e s p e c t r o s p o r b a r r i d o d e frecuencias multiplica u n a señal entrante p o r u n a senoide, n u e v a m e n t e d e m o d u l a c i ó n . E l p r o d u c t o se p r o c e s a d e s p u é s m e d i a n t e u n b l o q u e l l a m a d o F P B q u e s o n las siglas c o r r e s p o n d i e n t e s a filtro pasabajas. P a r a m a n t e n e r l a e x p l i c a c i ó n s i m p l e p o r ahora, p u e d e s u p o n e r s e q u e el filtro pasabajas es ideal c o m o se ilustra e n la figura 6 . 1 2 0 . L a o p e r a c i ó n d e multiplicar la e x c i t a c i ó n , x(í), p o r u n a s e n o i d e s e d e s c r i b e e n e l d o m i n i o del t i e m po mediante Uiní i-i ,^ ¡,í,u.:y^yi e r í v í m s ! .JD oúmr; rKi . ,;ÍÍ;:. i;;'i';n: v - ü 3 m j ; .ati SiSíiiqabo Xsh(í) = x ( r ) c o s ( 2 T r / , r ) .

Puede encontrarse la T F T C d e ambos lados.

Xst.(/) -

X(/) * ^[8(/ -

Xsh(/) = - [ X ( / - / , )

(6.196)

.rpí;,) -

(6.197)

fe) + 8 ( / + / , ) ]

(6.198)

+ X ( / + /,)].

S u p o n g a q u e la T F T C d e la señal d e e x c i t a c i ó n tiene la f o r m a q u e se ilustra e n l a figura 6 . 1 2 1 . L a frecuencia d e la s e n o i d e ±f^ se i n d i c a sobre la gráfica d e l e s p e c t r o de m a g n i t u d d e la excitación. T a m bién se i n d i c a n d o s límites, s u p e r i o r e inferior ± / ^ , a

+ / , „ d o n d e / , , es la frecuencia m á s alta q u e el

filtro pasabajas deja pasar. O b s e r v e q u e el e s p e c t r o d e m a g n i m d es u n a función par d e la frecuencia y q u e el e s p e c t r o d e fase es u n a función impar d e la frecuencia, c o m o se d e m o s t r ó antes e n el capítulo 5 . Los d o s e s p e c t r o s i n d i v i d u a l e s d e s p l a z a d o s X ( / - / ^ ) y X ( / + f^) a p a r e c e r í a n c o m o se ilustra e n la fis u r a 6.122.

s/vA'í-v*

••

!H(/)i

F I G U R A 6.120

;

•}••:'

^->:X'rñ^ív4c;^

/••

• 2/,„

Respuesta en magnitud idealizada de un filtro

pasabajas.

JÍ>Ú>'>J«p?'^!-sr«y Í!;Í>ÍJ

-f„,

f,„

389

"• .1.

ni'

í-**-

-1 A

!x(/-/,)|

^2f,

-/c

5 ü í'yítsif'

FIGURA 6.122 Espectro de la excitación desplazada hacia arriba y hacia abajo porL.

FIGURA 6.121 Espectro de la excitación.

L a s r e g i o n e s espectrales definidas p o r - /„, < |/| < + /,„ se m u e v e n hacia arriba y abajo en fi-ecuencia. L a r e g i ó n < + / „ , baja h a c i a la r e g i ó n - / „ , < / < /,„ y s u b e hacia la región 2 / ^ - / „ < / < 2 / , + / „ . La región - /„, < / < + /,„ sube h a c i a la r e g i ó n - / „ , <f< /,„ y baja hacia la r e g i ó n - 2 / , -f^<f< - 2 / , + / „ , . L a s u m a de los dos espectros d e s p l a z a d o s es el e s p e c t r o q u e se ilustra e n la figura 6 . 1 2 3 . ( N o d e b e esperarse q u e la m a g n i t u d de la s u m a de los dos espectros será la s u m a de las m a g n i t u d e s de c a d a u n o d e s p l a z a d o s . L a s u m a d e p e n d e t a m b i é n de la fase.) El filtro pasabajas e l i m i n a t o d a la p o t e n c i a de señal salvo la c o r r e s p o n d i e n t e a la r e g i ó n - / „ , < / < / „ , . R e c u e r d e q u e esta p o t e n c i a de señal p u e d e p r o v e n i r de las r e g i o n e s definidas p o r |/| < + /,„ en la señal de excitación original. Por lo tanto, la respuesta del analizador de espectros es u n a señal c u y a p o t e n c i a es p r o p o r c i o n a l a la p o t e n c i a de la señal original en e s o s intervalos de frecuencia. C u a n d o se d e s p l a z a h a c i a arriba y h a c i a abajo p o r m e d i o de la m i s m a f r e c u e n c i a / , , el traslape cerca de la frecuencia c e r o siempre es del e s p e c t r o original y su c o m p l e j o c o n j u g a d o en u n a región p a r a la cual | / | es c e r c a n a a | / , | . I m a g i n e a h o r a q u e / , se c a m b i a a un n u e v o valor. L a c a n t i d a d de d e s p l a z a m i e n t o en el d o m i n i o de la frecuencia c a m b i a r í a , y la p o t e n c i a de la señal de r e s p u e s t a del sistema sería p r o p o r c i o n a l a la potencia de la señal original en u n a r e g i ó n espectral diferente c e n t r a d a en la n u e v a ± / , c o n u n a n c h o de 2 / ^ . E n u n a n a l i z a d o r de e s p e c t r o real h a y un g e n e r a d o r senoidal de frecuencia variable, l l a m a d o g e n e r a d o r de barrido, el cual barre t o d o el intervalo de frecuencias. L a p o tencia de la señal de r e s p u e s t a del analizador de espectros indica la p o t e n c i a de la señal de excitación en u n p e q u e ñ o intervalo de frecuencias alrededor de la frecuencia de b a r r i d o . L a p o t e n c i a de la señal de r e s p u e s t a se gráfica sobre u n a pantalla c o m o u n a func i ó n d e la frecuencia d e b a r r i d o y la exhibición q u e resulta recibe el n o m b r e de espectro de potencia de la señal. (En el capítulo 8 se definirá la densidad espectral de potencia q u e se relaciona estrec h a m e n t e c o n el e s p e c t r o de potencia.)

|X(/ + /,)|

-2/c

/ X ( / + /,) + X ( / - / , ) / X ( / + /e)

\\\,

/ \ \

/x(/-/,)

FIGURA 6.123 Espectro de la excitación después de la multiplicación por una senoide e n / , .

U n u s o i m p o r t a n t e del analizador de e s p e c t r o es el análisis espectral del c o n t e n i d o de las señales. C o m o u n e j e m p l o considere las dos señales Xj(r) y X2(í) q u e se ilustran en la figura 6.124. Éstas se ven m u y similares. ¿ S o n idénticas? A partir de la inspección visual directa son claras algunas p e q u e ñ a s diferencias. Sin e m b a r g o , ¿ e x a c t a m e n t e cuál es la diferencia? E n la figura 6.125 se p r e s e n t a n gráficas de los espectros de p o t e n c i a de a m b a s señales X i ( / ) y X 2 ( / ) sobre la m i s m a escala. A h o r a u n valor del análisis espectral se vuelve claro. L a s gráficas de los espectros de p o t e n c i a de las señales h a c e n e v i d e n t e el h e c h o de q u e son defin i t i v a m e n t e diferentes y en q u é m e d i d a lo son. L a s e g u n d a señal tiene u n i n t e n s o c o m p o n e n t e senoidal q u e se p r e s e n t a c o m o d o s

•

o?fijqííii k

SU' i • *• • , - r - ! ;

iíisii ¡mo;-

|Xi(/)|

|X2(/)I

FIGURA 6.124 Dos señales en TC.

F I G U R A 6.125 Espectro de potencia de dos señales.

picos altos y e s t r e c h o s e n el e s p e c t r o de a m p l i t u d . L a s d o s señales x^it) y X2(í) son aleatorias. P o r lo tanto, s e n a i m p o s i b l e escribir u n a e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a p a r a transformarla. Sin e m b a r g o , u n analizador de e s p e c t r o p u e d e seguir e x h i b i e n d o los e s p e c t r o s de p o t e n c i a . L a i m p o r t a n c i a p l e n a de la t r a n s f o r m a d o r a de F o u r i e r sólo p u e d e e n t e n d e r s e d e s p u é s d e q u e se presenten otros c o n c e p t o s c o m o el m u e s t r e o p o r i m p u l s o s , la d e n s i d a d espectral de p o t e n c i a , la correlación y la e s t i m a c i ó n espectral, los cuales se derivan, a n a h z a n y p o n e n en p r á c t i c a a través de la transforniada de Fourier. A d e m á s , ésta es u n a p l a t a f o r m a natural p a r a otras t r a n s f o r m a d a s i m p o r t a n t e s c o m o la i e L a p l a c e y la t r a n s f o r m a d a z- T o d o s estos t e m a s se e s t u d i a r á n e n los siguientes c a p í t u l o s .

6.11 RESUMEN DE PUNTOS IMPORTANTES 1.

L a r e s p u e s t a e n frecuencia y la r e s p u e s t a al i m p u l s o d e sistemas L I T se r e l a c i o n a n m e d i a n t e la t r a n s f o r m a d a de Fourier. La c a r a c t e r i z a c i ó n de s i s t e m a s en el d o m i n i o de la frecuencia p e r m i t e p r o c e d i m i e n t o s de d i s e ñ o g e n e r a l i z a d o s p a r a s i s t e m a s q u e p r o c e s a n ciertos tipos d e señales.

U n filtro ideal n o p r e s e n t a distorsión d e n t r o de su b a n d a de p a s o .

Los filtros ideales n o p u e d e n construirse, a u n q u e es p o s i b l e , en a l g u n o s a s p e c t o s i m p o r t a n t e s , a p r o x i m a r l o s a u n g r a d o de p r e c i s i ó n arbitrario. Las t é c n i c a s de filtrado p u e d e n aplicarse a i m á g e n e s y a señales. Es p o s i b l e utilizar la técnica del d i a g r a m a de B o d e p a r a efectuar c o n r a p i d e z el análisis y d i s e ñ o de s i s t e m a s a p r o x i m a d o s . Los filtros de t i e m p o discreto tienen varias ventajas c o n r e s p e c t o a los filtros de t i e m p o c o n t i n u o . Los sistemas de c o m u n i c a c i ó n q u e u s a n multiplexaje e n frecuencia se analizan de m a n e r a c o n v e niente u t i l i z a n d o m é t o d o s d e Fourier. La m o d u l a c i ó n d e a m p l i t u d de p u l s o s crea múltiples réplicas en el d o m i n i o de la frecuencia de la ?eñal q u e se m o d u l ó . E s t e c o n c e p t o será m u y i m p o r t a n t e d e s p u é s e n el e s m d i o del m u e s t r e o . Todas las ideas q u e se aplican a los s i s t e m a s d e filtrado y m o d u l a c i ó n en T C se aplican d e m a n e r a similar a los s i s t e m a s de filtrado y m o d u l a c i ó n e n T D . El análisis espectral de señales p u e d e r e v e l a r m f o r m a c i ó n q u e es difícil de detectar u t i l i z a n d o m é t o d o s e n el d o m i n i o del t i e m p o .

LJERCICIOS CON RESPUESTAS L

Un s i s t e m a tiene u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o

hi(0 = 3e-'0'u(0

• ií -

391

392

y otro s i s t e m a tiene u n a r e s p u e s t a al i m p u l s o

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

•

h2(f) = 8 ( 0 - 3 e - ' 0 ' u ( 0 a)

Dibuje la m a g n i t u d y la fase de la función de transferencia de estos d o s s i s t e m a s e n u n a c o n e x i ó n e n paralelo.

Dibuje la m a g n i t u d y fase de la función de transferencia de estos d o s s i s t e m a s e n u n a c o nexión en cascada. -

Respuestas: SX\ : • |H,(ja))| 0.25-

1 y't A i-hK

• '

ÍH,(;M 1

•

- . 1

= —i

•

-40

]

1—*- ti) 40

1 )

1 -40

40 Fase de HP( jui)

Fase d e H , ( ; o ) )

TT 40 1 ,

—1

••v^^^^^^^^^^ — 1 >• (D

-40

1 f 40

—IT -

A c o n t i n u a c i ó n se p r e s e n t a n a l g u n o s p a r e s de señales, x(í) y y ( 0 . E n c a d a c a s o d e c i d a sí o n o y(í) es u n a versión d i s t o r s i o n a d a de x(r). a)

x(')

-2 + b)

x(t) 2Í

yit)

.... TJr =

-2 + C)

2Í

-2 + Y(0

x(/)

2Í

-2 + Y(F)

4—f

y(i) 24.

393

y(í)

Respuestas:

'''Hi. ^

: /

D o s sin distorsión y el resto d i s t o r s i o n a d a s 3.

Clasifique c a d a u n a de las siguientes funciones de transferencia i n d i c a n d o si su r e s p u e s t a e n frecuencia es pasabajas, p a s a a l t a s , p a s a b a n d a o de s u p r e s i ó n de b a n d a . r „ . i . - j ^ , ^ i'.

'fO

|H(F)| 1

|H(;Ü))|

C) 1'

-100

100

|Hlf)! it

Hm i -

Respuestas: " D o s pasabajas, dos p a s a b a n d a , u n a pasaaltas y u n a s u p r e s o r a de b a n d a . 4.

Clasifique c a d a u n a de las siguientes funciones de transferencia i n d i c a n d o si la r e s p u e s t a e n frec u e n c i a es pasabajas, pasaaltas, p a s a b a n d a o de s u p r e s i ó n de b a n d a . 100

H(/) = 1 -

H ( f ) = rect(lOF) * c o m b ( F )

H(yí2)

rect

l/l -

rect(20.r(í2 -

j + rect(20,r(Q +

Respuestas:

^ ^ ^ ^ * comb

1-'^-

P a s a b a n d a , pasabajas, s u p r e s i ó n de b a n d a . 5.

U n s i s t e m a tiene u n a r e s p u e s t a al i m p u l s o h ( r ) = 10 rect

t -

0.01

0.02

¿ C u á l es el a n c h o de b a n d a n u l o ?

Respuesta: >

50 6.

U n s i s t e m a tiene u n a r e s p u e s t a al i m p u l s o h[n] =

u[n].

¿ C u á l es el a n c h o de b a n d a de la frecuencia e n T D de m e d i a p o t e n c i a ?

2TT

394

Respuesta:

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

0.1337 r a d 7.

''f

D e t e r m i n e si los sistemas e n T C c o n estas funciones d e transferencia son o n o c a u s a l e s . a)

H(/) =

H(7'w) -

H(/) = A

sinc(/)

H(/) =

Respuesta:

«MÍH;

Dos causales, cuatro no causales

'Oí^'y¡'lí¡^

sinc(f)e~J^f

H ( 7 ( ü ) = rect(co)e-^™

rect(w)

AeJ^^'f

. ^ o m :

KL; ;.N;:*FIT?:, ÍSRISBITEQ ,>:FIÍÍSDI,>!IMI

D e t e r m i n e si los s i s t e m a s e n T D c o n estas funciones d e transferencia s o n o n o c a u s a l e s . a)

H(f) =

sen(7'!TF)

Ísen(TTf)

SENÍTRF) sen(3'7TF)

sen(iTF)

H ( F ) = rect(lOF) * comb(F)

Respuesta: U n o causal, tres n o c a u s a l e s 9.

D e t e r m i n e y dibuje la r e s p u e s t a en

frecuencia

d e c a d a u n o de los siguientes circuitos d a d a s la

excitación y respuesta indicadas. a)

E x c i t a c i ó n v,(í), r e s p u e s t a v¿(í) "

- ^

R= ion -AAAr-

C = l\íF - o -I-

L = 1 mH'

VL(0

: V''

E x c i t a c i ó n v,(í), r e s p u e s t a

i^it)

+ o

VV\—

v,(í)

C =

ic(0 1 (xF : Í :

DSl -

E x c i t a c i ó n v,(f), r e s p u e s t a v¡f(t)

« = 1 KN — V W -

0 ¡Ki m uq«3i ü.; -• ^ >

C = 1 |JLF =í=

v,(0

g L = 1 mH

E x c i t a c i ó n 1,(0, r e s p u e s t a v^(í) -o

i,(í) • ÍÍ = 100 N L = 1 mH • C = :ilt'

1 |XF :

• -

|H(»1

iH(»| 100

1 '

,4,

I^ü. - 1 0 0 0 000

1 000 000

- 5 0 000

Fase de H(yü>)

50 000

-1 500

1 500

F a s e de Hí joi)

- 1 5 0 000

150 0 0 0 F a s e de Hí^'w)

Fase de H(_/w)

- 1 500 H - 1 000 000

10.

1 000 000

- 5 0 0001

50 000

1500

- 1 5 0 000

Clasifique c a d a u n a d e las siguientes funciones de transferencia i n d i c a n d o si su r e s p u e s t a en frecuencia es pasabajas, p a s a a l t a s , p a s a b a n d a o de s u p r e s i ó n d e b a n d a . a)

H(/)

l + c)

H(/)

H(F)

jlOw

H(7co) =

1 0 0 - c ü 2 + jlOü) e)

HU^)

jf sen(3TTF) .V

SENÍTIF)

' C

= J[sen(í2) + sen(2í^)]

Respuestas: D o s pasabajas, d o s p a s a b a n d a , u n a pasaaltas 11.

G r a f i q u e las r e s p u e s t a s e n frecuencia d e la m a g n i t u d , t a n t o sobre u n a e s c a l a d e m a g n i t u d lineal c o m o sobre u n a e s c a l a d e m a g n i t u d log, d e los s i s t e m a s c o n las siguientes funciones d e transfer e n c i a , p a r a el i n t e r v a l o d e frecuencia especificado. a)

H(/)

2 0 - ÍTT'-P b)

H(7CÜ) =

• 100 < /

•

< 100

+ y42ir/ 2 X 10^

(100 + 7 w ) ( l 700 -

«2

-h ; 2 0 w )

- 5 0 0 < cü < 5 0 0

Respuestas: |H(»| |H(/)1

-100

2¡ í - - i b r.ffriJí?/; I h

100

-500

ln(|H(/)|) [

-100

12.

1 *" 100

-500

D i b u j e la m a g n i t u d asintótica y e x a c t a y los d i a g r a m a s d e B o d e d e fase p a r a las r e s p u e s t a s e n frecuencia d e los siguientes circuitos y s i s t e m a s .

Í ..

¡ . i

T a)

U n filtro pasabajas RC c o n « = 1 M Q y C = 0.1 |iF.

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

R = 10 n -o

C = 1 IJ.F 1( f—0

A/yv

t r

L = 1 mH

Respuestas: 20 O

-100

10'

10-

3.5

•

2.5

1.5

l í i

10^

: \

0.5

•'-

10-'

10-

í 1

10^

0 -20 -40 -60 s

10'

i i

10*'

—sn 6U

-100 -120 -140

10-

0 "a - 0 . 5 —1 - 1 X -1.5 —2 -2.5 -3 -3.5

10' . - *

13.

i - - '•'

-20 -40 -60

.'s X

10'

10-

10'

lo-*

10-'

10*

,.,n t •.

V ^

D e t e r m i n e las funciones de transferencia H ( / )

de los siguientes filtros activos e

yg{f)rV¡{f)

identifíquelos c o m o p a s a b a j a s . p a s a a l t a s . p a s a b a n d a o supresor de b a n d a . a)

+ v„(í)

-_5L

é ."{O.í h í i í Í 0 ^ n . 3 b fiifi3«31... C,

0£

^ — — i — V v V v„(r)

Respuestas: P a s a a l t a s y pasabajas 14.

D e m u e s t r e q u e el s i s t e m a de la figura E 1 4 tiene u n a r e s p u e s t a en frecuencia pasaaltas.

Respuesta: H(joo)

15.

Y(7a)) X(jw)

; w + l

D i b u j e el d i a g r a m a de b l o q u e s de u n s i s t e m a c o n u n a r e s p u e s t a e n frecuencia p a s a b a n d a utilizand o d o s i n t e g r a d o r e s c o m o b l o q u e s funcionales. D e s p u é s d e t e r m i n e la función d e transferencia > verifique q u e t e n g a u n a r e s p u e s t a en frecuencia p a s a b a n d a .

FIGURA E14

11',^«

1 'iH,i F'-

-*Y(F) x(í)-

16.

D e t e r m i n e la función d e transferencia HQÜ.) = Y(jQ.)/X(jQ.)

y dibuje la r e s p u e s t a en frecuencia d e

c a d a u n o de estos filtros e n T D p a r a el intervalo -4n < Q < 4n. a)

x[«] •

I D

y[n]

D d)

Respuestas: |H(jn)i

|H(jn)|

|H(yn)| 4

|H(7n)|

-2ti F a s e de

|H(;n)|

F a s e de

H(ja)

F a s e de

17 H

2 ^

1 "

1 1

1 1 1 ^

—IT 17.

lH(;n)|

-2ir

— TT -

Fase de

H(;n)

1 1 2Tr —TT -

D e t e r m i n e la a t e n u a c i ó n m í n i m a en la b a n d a d e s u p r e s i ó n d e u n filtro d e p r o m e d i o m ó v i l c o n A'' = 3. D e f i n a la b a n d a de s u p r e s i ó n c o m o la r e g i ó n de frecuencia F^. < F < \, d o n d e

es la frecuencia

e n T D del p r i m e r valor n u l o e n la r e s p u e s t a en frecuencia.

Respuesta: 11.35 d B de a t e n u a c i ó n 18.

•

„ '

E n el s i s t e m a d e la figura E 1 8 , x,(í) = sinc(r),

= 10, y la frecuencia d e c o r t e d e l filtro pasabajas

es 1 H z . G r a f i q u e las siguientes señales y m a g n i t u d e s y fases d e sus T F T C :

398 CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

y,(í) = x / í )

x,(í)-

cos(2Tr/,f)

. y/0 ) * LPF

y/(í)

COS(2IT/;Í);

FIGURA E18

x,(f)

y,{t)

Jdit)

y/f)

Respuestas: ÍY,(/)I o4

Portadora modulada

Modulacic

-10

10 FasedeY,(/) TT -

^ 1 0 — IT -

Portadora demodulada

|Y//)I

Portadora demodulada y

0.5-i

-20

filtrada

.í

|Xy(/)|

o.5r

20 F a s e de

Y//)

TT -

—1

—Tí •

19.

- 1 0

\ J -

....

E n el s i s t e m a de la figura E 1 9 , x,(í) = sinc(lOí) * c o m b ( í ) , m = 1,

—-rr

= 100, y la frecuencia de ;

del filtro pasabajas es 10 Hz. Grafique las siguientes señales, así c o m o las m a g n i t u d e s y fa¿e> sus T F T C : <

x,(0

-/^

y,(í)

y ¿i)

YXO

•

t-^r-:

^ y¿(í)

x,(f)^

F I G U R A E19

COS(2T7/,/)

FPB .7 \

y/(í) - •

|x,(/)L

Modulación

Portadora m o d u l a d a

|Y,(/)|

0.54 y,(') x,(í)

100

-5

Fase de X , ( / )

F a s e de Y,(/)

^ .

^JR

-0.5 +

- + * f

-5

|Y¿{/)|

Portadora d e m o d u l a d a

1 oó' ^

LYF(/)L

Portadora d e m o d u l a d a v nitrada

0.5Í

'i -200

1 ,

1 >

Y//)

Fase d

Y¿f)

Fase de

iiiii mu

200

IT -

4 . H

-200

200

" "

-1

•••••

— IT -

20.

U n filtro p a s a b a j a s / ? C c o n constante d e t i e m p o de 16 m s se excita p o r m e d i o d e u n a señal M D B L P S x ( r ) = sen(2'TRÍ)cos(20-rrí). D e t e r m i n e l o s retrasos d e fase y d e g r u p o e n la frecuencia d e la p o r t a d o r a .

Respuestas: 12.54 m s , 7.95 m s 21.

U n tre n d e p u l s o s p ( í ) = r e c t ( l O O r ) * 10 c o m b ( l O r ) se m o d u l a m e d i a n t e u n a señal

' x ( í ) = sen(4'7rO.

sf.^j-í/iE

Grafique a)

L a r e s p u e s t a del m o d u l a d o r y(?)

L a s T F T C d e la e x c i t a c i ó n y la r e s p u e s t a

Respuestas:

-jnmnn^ i b E x c i t a c i ó n del m o d u l a d o r M A P

R e s p u e s t a del m o d u l a d o r M A P

|X{/)|

|Y(/)|

x(») y y(l) 1-

-200 Fase de X { / )

200 F a s e de Y(/)

4 2

-I—/ -1

-200

200

(ts

400 CAPÍTULO 6

Multiplicador x(r)-

y(í)

FPB

)

•

Análisis de la transfor-

mada de Fourier de

COS(2T7/,f)

señales y sistemas

F I G U R A E22 . .^M

22.

E n el s i s t e m a d e la figura E 2 2 , sea la excitación ••

A" : '

x ( í ) = r e c t ( l OOOí) * 2 5 0 c o m b ( 2 5 0 r )

y c o n s i d e r e q u e el filtro es ideal, c o n g a n a n c i a p a s a b a n d a unitaria. Grafique la p o t e n c i a de la señal d e la r e s p u e s t a y(í) de este sistema en función de la frecuencia de b a r r i d o d a d o el intervalo O < / , < 2 0 0 0 p a r a los siguientes a n c h o s de b a n d a del F P B : a)

5Hz

50 H z

500 Hz

Respuesta: i

P o t e n c i a d e señal

0.1

i J

•

2 000 P o t e n c i a de señal

0.4

n 2 000 P o t e n c i a de señal

o.,4_ 2 000

EJERCICIOS SIN RESPUESTAS 23.

U n a señal x(r) se describe m e d i a n t e x ( f ) = 5 0 0 r e c t a OOOf) * c o m b ( 5 0 0 í ) a) b)

24.

¡iisibsm

Si x(í) es la e x c i t a c i ó n de un filtro pasabajas ideal con frecuencia d e corte d e 3 k H z , grafique la excitación x(f) y la r e s p u e s t a y(í) sobre la m i s m a escala y c o m p a r e . Si x ( 0 es la excitación de u n filtro p a s a b a n d a ideal con frecuencia de corte baja de 1 k H z > frecuencia de corte alta de 5 k H z , grafique la excitación x(r) y la r e s p u e s t a y(f) sobre la m i s m a escala y c o m p a r e .

D e t e r m i n e si los sistemas e n T C c o n las siguientes funciones de transferencia son causales o no. a)

H(7w)

H(7ü))

H(jw)

10 6 -j-

j4u¡ v-4-

4 25 — co- -h JOCO

H(jw)

25 — co- + yóco e)

H(;w) 25 -

co-

76C0'

25.

26.

H( 7 w ) =

H(7Co) =

45 — 0 ) 2 - 1 -

j6(ü

D e t e r m i n e si los sistemas en T D con las siguientes funciones de transferencia son causales o n o . a)

H ( F ) = [rect(lOF) *

H(F) = jsen(2TTF)

w(F)

H(7Í2) =

corah{F)]e~^-^''''

= 1 - g-^''"^

••

_5g-jfi

D e t e r m i n e y dibuje la r e s p u e s t a en frecuencia de c a d a u n o de los siguientes circuitos d a d a s la excitación y la r e s p u e s t a i n d i c a d a s . • -ix, . - _ (t> a)

E x c i t a c i ó n VJ(í), r e s p u e s t a v^^ír) « , = 1 kn VvAr-

+ 0

v,W

I?, = LOKH

—WV

f—0

Q = 0.1 | x F i

(iF :

Vc2(r)

E x c i t a c i ó n v,(f). r e s p u e s t a i(-,(r)

1 KO. v w

I?, = + 0

«3 =

10 KN

ici(f) v,(í)

Ci = 1 JJLF 4=

E x c i t a c i ó n \¡(t), respuesta v^^(?) Ci = +

|xF

1 fiF

v,(/)

íf)

C , = 0.1 JJLF

= 10kn<

R| = 1 0 k O >

v^jW

E x c i t a c i ó n i / í ) , r e s p u e s t a v^i(f) í:,

C, =

R, =

(iF

10 KN

— A A A —

+ R, = 1 0 k n ^ \ > i ( f )

: C, =

|xF

SI e)

E x c i t a c i ó n v¡{t), r e s p u e s t a v¿j¿(f)

I?, =

C, = v,(0

«,

|xF i o k n

10 KN

402 CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas

I/(Í)

«/

v,(f)

v<,(Í)

FIGURA E30

27.

D e t e r m i n e y dibuje en función d e la frecuencia, la m a g n i t u d y la fase d e la i m p e d a n c i a d e e n t r a d a ZG„(/a)) - V,(jco)/I,(/Cü) y la función d e transferencia H(/ca) = Vg(j(ú)ÍV¡(ja)

p a r a c a d a u n o d e los

siguientes filtros. a)

1 |xF

-o-lI kíl •

V;(/)

-o-

Mi b)

I.(Í)

100 N

50 mH

lOnP:

v,(f)

28.

L a señal x(f) d e l ejercicio 23 es la señal del voltaje d e e n t r a d a d e u n filtro pasabajas RC c o n R = 1 k Q y C = 0.3 |iF. D i b u j e las señales d e voltaje d e e n t r a d a y d e salida en función del tiempo sobre la m i s m a escala.

29.

D i b u j e los d i a g r a m a s d e B o d e asintótico y d e m a g n i t u d y fase e x a c t a s p a r a las r e s p u e s t a s en frecuencia d e los siguientes circuitos y s i s t e m a s .

+ o

-AAA/—

R-, = 10 kO — I V A — íi

v,(Í)

b) X( 7ü) ) -

c) 30.

Ci = 1 (iF

'^2 =

ja + 10

+ 10

Y(;co)

U n s i s t e m a c u y a función d e transferencia es H(7CÜ) =

Y20M 10 0 0 0 - t ú - + y 2 0 w '

E n c u e n t r e la función d e transferencia del circuito q u e se m u e s t r a e n la figura E 3 0 . ¿ Q u é función realiza?

31.

D i s e ñ e u n filtro pasaaltas activo u t i l i z a n d o u n a m p l i f i c a d o r o p e r a c i o n a l ideal, d o s resistores y un capacitor, y d e d u z c a su función d e transferencia p a r a verificar q u e es pasaaltas.

32.

D e t e r m i n e las funciones de transferencia H ( / ) = V^C/jA^^/) ^ e los siguientes filtros activos e identifíquelos c o m o p a s a b a j a s , p a s a a l t a s , p a s a b a n d a o d e s u p r e s i ó n d e b a n d a . a)

403

b) Ejercicios sin respuestas

+ o

33.

C u a n d o se g r a b a m ú s i c a sobre u n a cinta m a g n é t i c a a n a l ó g i c a y d e s p u é s se r e p r o d u c e , u n c o m p o n e n t e de r u i d o de alta frecuencia, l l a m a d o siseo, de la cinta, se a g r e g a a la m ú s i c a . P a r a fines de análisis s u p o n g a q u e el e s p e c t r o de la m ú s i c a es p l a n o a - 3 0 d B a través del e s p e c t r o d e a u d i o d e s d e 2 0 H z h a s t a 2 0 k H z . S u p o n g a t a m b i é n q u e el e s p e c t r o de la señal r e p r o d u c i d a sobre el a p a r a t o r e p r o d u c t o r d e cinta tiene u n c o m p o n e n t e a g r e g a d o q u e h a c e q u e la señal q u e se r e p r o d u z c a t e n g a u n d i a g r a m a de B o d e c o m o se ilustra e n la figura E 3 3 . El r u i d o de alta frecuencia adicional p o d r í a atenuarse m e d i a n t e u n filtro pasabajas, p e r o eso t a m b i é n atenuaría los c o m p o nentes de alta frecuencia de la m ú s i c a , r e d u c i e n d o su fidelidad. U n a s o l u c i ó n al p r o b l e m a es preenfatizar la parte de alta frecuencia d e la m ú s i c a d u r a n t e el p r o c e s o d e g r a b a c i ó n de m a n e r a q u e c u a n d o se aplique el filtro pasabajas a la m ú s i c a r e p r o d u c i d a el efecto n e t o de la m ú s i c a sea c e r o p e r o c o n el siseo a t e n u a d o . D i s e ñ e u n filtro activo q u e p o d r í a utilizarse d u r a n t e el p r o c e s o d e g r a b a c i ó n p a r a realizar la o p e r a c i ó n de preéirfasis.

34.

U n p r o b l e m a con los filtros en T C causales es q u e su r e s p u e s t a s i e m p r e está retrasada c o n r e s p e c to a la excitación. E s t e p r o b l e m a n o p u e d e eUminarse si la filtración se h a c e en t i e m p o real, p e r o si la señal se g r a b a p a r a u n filtrado fuera de línea posterior, u n a m a n e r a simple de eliminar el efecto de retraso consiste en filtrar la señal, grabar la r e s p u e s t a y l u e g o filtrar la r e s p u e s t a g r a b a d a c o n el m i s m o filtro p e r o r e p r o d u c i e n d o la señal en sentido inverso a través del sistema. S u p o n g a q u e el filtro es de u n p o l o con u n a función d e transferencia de la forma. ' sisnuo'i nii ef>

H(;co)

1 + ;(w/ü)c) d o n d e oo^ es la frecuencia d e corte (frecuencia de p o t e n c i a m e d i a ) del

filtro.

• -"

35. 36. 37.

¿ C u á l es la función d e transferencia efectiva del p r o c e s o c o m p l e t o de filtrar la señal hacia adelante y l u e g o h a c i a atrás? b) ¿ C u á l es la r e s p u e s t a al i m p u l s o efectiva? 5A\ R e p i t a el ejercicio 18 p e r o con el s e g u n d o cos(2ji/^í) sustituido p o r sen(27t/^f)E n el sistema de la figura E 3 6 , x,(í) - sinc(í), fe - 10, y la frecuencia de corte del filtro pasabajas es 1 H z . Grafique las señales x,(í), y,(í), y¿(í) y yj(f) y las m a g n i m d e s y fases de sus T F T C . U n m o d u l a d o r en c u a d r a t u r a m o d u l a u n a p o r t a d o r a s e n o sen(20rtf) c o n u n a señal Xi(r) = sinc(f) y u n a p o r t a d o r a c o s e n o cos(207ií) c o n u n a señal X2(f) = rect(f)- El d e m o d u l a d o r e n c u a d r a t u r a tiene

- 2 4 dB !H(/)|

-30dB

200

2+ kHz

+ 20 kHz

",(0

-fe

6 kHz 12 kHz

FIGURA E33 Diagrama de Bode de una señal reproducida.

»{x)—

y , « = "rW fn ^

y/0

cos{2Tr/^r)

FIGURA E36

FPB

y><í)

Pantalla de observación

Pantalla de difracción

5^0

Dirección de propagación -

Eje óptico Rendija

Frentes de onda cos(2-n-f,;i)

COS(2-7TF,;!)

F I G U R A E39

F I G U R A E41 Difracción unidimensional de luz a través de una rendija.

; IIÍ} SIIRT.

u n error d e fase q u e h a c e q u e sus o s c i l a d o r e s locales sean sen(207ií - (TT/Ó)) y cos(20jt? - (TT/Ó)). Grafique las señales d e m o d u l a d a y filtrada Xij(r) y 38.

Xjfit).

U n tren de p u l s o s 1 p ( r ) = — rect

ít

—

* 4 comb(4í)

se m o d u l a m e d i a n t e u n a señal

G r a f i q u e la r e s p u e s t a del m o d u l a d o r y(f) y las T F T C d e la e x c i t a c i ó n y la r e s p u e s t a p a r a tí) 39.

«;= lOms

u; = 1 m s

CÜÍÜÍT! s í s u ^ t : .

E n el s i s t e m a d e la figura E 3 9 , x,[«] = sinc(n/20),

= J, y la frecuencia en T D d e corte del filtro

pasabajas es ¿ . Grafique las señales x,[n], y,[«], y^ln] y yj[n] y las m a g n i t u d e s y fases d e sus TFTD. 40.

R e p i t a el ejercicio 22 p e r o c o n u n a e x c i t a c i ó n x ( f ) = rect(lOOOí) * 2 0 c o m b ( 2 0 f ) .

41.

L a difracción d e la luz p u e d e describirse d e m a n e r a a p r o x i m a d a m e d i a n t e el u s o d e la t r a n s f o r m a d a d e Fourier. C o n s i d e r e u n a p a n t a l l a o p a c a c o n u n a p e q u e ñ a rendija q u e se i l u m i n a d e s d e la i z q u i e r d a p o r m e d i o de u n a o n d a l u m i n o s a p l a n a q u e incide de m a n e r a u n i f o r m e e n d i r e c c i ó n n o r m a l (figura E 4 1 ) . Si z > nx]/X

es u n a b u e n a a p r o x i m a c i ó n p a r a c u a l q u i e r

e n la rendija,

e n t o n c e s la i n t e n s i d a d d e l c a m p o eléctrico d e la luz q u e incide sobre la pantalla d e o b s e r v a c i ó n p u e d e describirse con exactitud m e d i a n t e Si". j\z

d o n d e F , = intensidad del c a m p o en la pantalla difractora FQ = intensidad del c a m p o e n la p a n t a l l a de o b s e r v a c i ó n K = c o n s t a n t e de p r o p o r c i o n a l i d a d

¡íKun £

X = l o n g i m d de o n d a d e la luz L a integral es u n a t r a n s f o r m a d a de F o u r i e r c o n n o t a c i ó n diferente. L a i n t e n s i d a d d e c a m p o en la p a n t a l l a de o b s e r v a c i ó n p u e d e escribirse c o m o

Eo(xo) =

K-

•xal'Kz-

L a i n t e n s i d a d I(.\-o) de la luz en la pantalla de o b s e r v a c i ó n es el c u a d r a d o d e la m a g n i t u d d e la ^ i n t e n s i d a d de c a m p o

404

I(xo) = |Eo(.xo)| .

í-br,<tómíí9Tt«fií«^iim! obídírríi

175 4^

v„(í) \

0.05 v,(í)

-175 +

o —

a) F I G U R A E42

a) Rectificador de m e d i a onda c o n un filtro capacitivo para suavizar y b) voltajes de excitación y de respuesta.

Grafique la i n t e n s i d a d de la luz en la pantalla de o b s e r v a c i ó n si el a n c h o de la rendija es 1 m m , la longitud de o n d a de la luz c o r r e s p o n d e a 5 0 0 imi, la distancia z es igual a 100 m , la c o n s t a n t e de p r o p o r c i o n a l i d a d es 10"-^ y la i n t e n s i d a d del c a m p o eléctrico en la p a n t a l l a de difracción es igual 1 V / m .

Deje a h o r a q u e la rendija se sustituya p o r d o s rendijas de 0.1 m m de a n c h o , s e p a r a d a s p o r 1 m m (centro a centro) y centradas sobre el eje ó p t i c o . Grafique la i n t e n s i d a d de la luz e n la p a n t a l l a de o b s e r v a c i ó n si los d e m á s p a r á m e t r o s son los m i s m o s q u e en la parte a).

42.

L a figura E 4 2 a ) es u n d i a g r a m a de circuito de un rectificador de m e d i a o n d a s e g u i d o p o r u n c a p a c i t o r p a r a suavizar el voltaje de la respuesta. M o d e l e el d i o d o c o m o ideal y c o n s i d e r e q u e la señal del voltaje de e n t r a d a es u n c o s e n o a 6 0 H z c o n u n a a m p l i t u d de 1 2 0 V 2 V. S e a la c o n s t a n t e de t i e m p o RC igual a 0.1 s. E n t o n c e s la señal del voltaje de salida se ve c o m o se ilustra e n la figura E42b).

43.

E n c u e n t r e y grafique la m a g n i t u d de la T F T C de la señal del voltaje de salida.

C r e e u n a i m a g e n en el e s p a c i o discreto consistente en 9 6 por 9 6 p i x e l e s . C o n s i d e r e q u e la i m a g e n es similar a u n tablero de 8 p o r 8 c u a d r o s n e g r o s y b l a n c o s alternados. a)

Filtre la i m a g e n fila p o r fila y l u e g o c o l u m n a por c o l u m n a c o n un filtro en T D c u y a r e s p u e s t a al i m p u l s o es h[«] = 0.2(0.8)"u[n], y e x h i b a la i m a g e n sobre la pantalla u t i l i z a n d o el c o m a n d o i m a g e

en M A T L A B .

Filtre la i m a g e n fila p o r fila y l u e g o c o l u m n a p o r c o l u m n a c o n u n filtro en T D c u y a r e s p u e s t a al i m p u l s o es h [ « ] = S [ « ] - 0 . 2 ( 0 . 8 ) " u [ « ] , -ÍV^ y e x h i b a la i m a g e n sobre u n a p a n t a l l a u t i l i z a n d o el c o m a n d o i m a g e

44.

en M A T L A B .

E n el s i s t e m a de la figura E 4 4 sea la T F T C de la e x c i t a c i ó n X ( / ) = t r i ( / / / c ) . E s t e s i s t e m a a l g u n a s v e c e s recibe el n o m b r e de criptógrafo p o r q u e m u e v e los c o m p o n e n t e s de frecuencia de u n a señal a n u e v a s p o s i c i o n e s h a c i é n d o l a s ininteligibles. a) b)

U s a n d o sólo u n m u l t i p l i c a d o r a n a l ó g i c o y u n filtro ideal, d i s e ñ e u n descriptógrafo q u e recuperaría la señal original. D i b u j e el e s p e c t r o de la m a g n i t u d d e c a d a u n a de las s e ñ a l e s en el s i s t e m a c r i t ó g r a f o descriptógrafo.

45.

L o s amplificadores electrónicos q u e m a n e j a n señales de frecuencia m u y baja son difíciles de

Multiplicador

d i s e ñ a r p o r q u e las derivas t é r m i c a s de los voltajes de d e s v í o n o p u e d e n distinguirse de las s e ñ a l e s .

: X )

P o r esta r a z ó n u n a técnica p o p u l a r p a r a d i s e ñ a r amplificadores de baja frecuencia es el l l a m a d o amplificador e s t a b i l i z a d o p o r i n t e r r u p c i ó n p e r i ó d i c a (figura E 4 5 ) . U n amplificador estabilizado por interrupción p e r i ó d i c a " i n t e r r u m p e " la señal del voltaje de

cos(2-7r/^r)

e n t r a d a al c o n e c t a r l a y d e s c o n e c t a r l a p e r i ó d i c a m e n t e . E s t a a c c i ó n e q u i v a l e a u n a m o d u l a c i ó n de

F I G U R A E44

a m p l i t u d de p u l s o s e n la cual el tren q u e está s i e n d o m o d u l a d o m e d i a n t e la e x c i t a c i ó n es u n a o n d a

U n criptógrafo.

y(/)

406

Amplificador común

CAPÍTULO 6 Análisis de la transformada de Fourier de señales y sistemas Amplificador estabilizado por interrupción rotatoria

FIGURAE45

U n amplificador estabilizado por interrupción periódica.

c u a d r a d a c o n ciclo d e trabajo d e 5 0 p o r c i e n t o q u e se alterna entre c e r o y u n o . E n t o n c e s la

señi

i n t e r r u m p i d a p a s a p o r u n filtro p a s a b a n d a p a r a e l i m i n a r señales lentas d e d e r i v a t é r m i c a del p r i m e r amplificador. D e s p u é s la señal a m p l i f i c a d a se i n t e r r u m p e otra vez a la m i s m a tasa y e n

fase

c o n la señal de i n t e r r u p c i ó n u s a d a a la e n t r a d a del p r i m e r amplificador. L u e g o e s t a señal p u e d e ser a m p l i f i c a d a en f o r m a adicional. E n el líltimo p a s o se h a c e p a s a r la señal por u n filtro pasabajas a la salida del líltimo a m p l i f i c a d o r p a r a r e c u p e r a r u n a v e r s i ó n a m p l i f i c a d a d e la señal original. (Éste es u n m o d e l o simplificado, p e r o ilustra los r a s g o s esenciales del amplificador estabilizado por i n t e r r u p c i ó n periódica.) C o n s i d e r e los siguientes p a r á m e t r o s del a m p l i f i c a d o r e s t a b i l i z a d o p o r i n t e r r u p c i ó n periódica: Frecuencia de interrupción periódica = 500 H z G a n a n c i a del p r i m e r a m p l i f i c a d o r

= 100 V A '

Filtro p a s a b a n d a s

= g a n a n c i a unitaria, ideal, fase c e r o ; b a n d a d e p a s o d e 2 5 0

G a n a n c i a del s e g u n d o amplificador

= 10 VA^

Filtro pasabajas

= g a n a n c i a unitaria, ideal, fase c e r o ; a n c h o d e b a n d a de

<|/|<750

100 H z C o n s i d e r e q u e la señal del voltaje d e e n t r a d a tiene u n a n c h o d e b a n d a de 100 H z . ¿ C u á l es la g a n a n c i a d e C C efectiva de este a m p l i f i c a d o r e s t a b i l i z a d o p o r i n t e r r u p c i ó n p e r i ó d i c a ? 46.

U n p r o b l e m a c o m ú n e n u n a t r a n s m i s i ó n d e s e ñ a l e s d e t e l e v i s i ó n p o r a i r e es la d i s t o r s i ó n multitrayectoria

d e la señal r e c i b i d a d e b i d a al r e b o t e d e la señal t r a n s m i t i d a e n las e s t r u c t u r a s . Por

lo c o m ú n , u n a intensa señal p r i n c i p a l llega en cierto t i e m p o y u n a señal f a n t a s m a m á s débil arriba p o s t e r i o r m e n t e . A s í q u e si la señal t r a n s m i t i d a es x,(f), la señal r e c i b i d a es Xrit) donde

a) b)

>K^

y tg>t,„.

x,(t

r„) + KgX,(t

tg),

- . - M . . ™

¿ C u á l es la función d e transferencia d e este c a n a l d e c o m u i ü c a c i ó n ? ¿ C u á l sería la función d e transferencia d e u n s i s t e m a d e e c u a l i z a c i ó n q u e c o m p e n s e los efectos d e la m u l t i t r a y e c t o r i a ?

Pi?;