Explorando gráficamente a los polinomios de Taylor podemos apreciar que el polinomio de grado 8 de la función f(t) ya es una buena aproximación de la función en el intervalo ¨ª 0 , 1 ·¹ como se aprecia en la siguiente figura:
10 8
P8( t ) 3 2 t 2 t 4
t6 t8 3 12
6 4 f ( t ) V a( t ) 1 2 e t
2
2 2 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6 1.8 t
2
t6 t8 como una buena aproximación de f(t) en el 3 12 intervalo ¨ª 0 , 1 ·¹ esto es, integramos este polinomio de 0 a 1 para obtener que:
Utilizaremos al polinomio P8 t 3 2 t 2 t 4
1
1 2
° (1 2 e t dt z 0
° 0
1
¨ ¥ t6 t8 ´ 2 3 t5 t7 t9 · 2 4 t ¦ 3 2t t µ dt © 3 t ¸ 2 . 4 9 5 L. 5 2 1 1 0 8¹0 3 3 12¶ ª §
Finalmente, 1
1 2
V( 1) V(0) ° V a( t )dt 2 0 ° ( 1 2 e t )dt z 2 2 . 4 9 5 L. 0
0
Por lo que una buena aproximación del volumen acumulado hasta el minuto uno es:
V( 1) z 2 2 . 4 9 5 L .
2. Estimación numérica de una integral Usa los cuatro primeros sumandos de la serie de Taylor de la función: f(x) sen(x) para calcular un valor aproximado de la Integral que se muestra a continuación: 2
° 1
sen x x
dx
Solución: De la Consideración 3 sabemos que la serie de Taylor de la función f(x) sen(x) es: f ( x ) sen x x
326 r Unidad 4
x3 x5 x7 x9 ........ 3! 5 ! 7 ! 9!
d
( 1)n x 2 n 1 n 0 2n 1 !
¤
Aplicaciones
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