Obtén la distancia recorrida por la partícula desde el tiempo t 0 seg hasta el tiempo t 4 seg. Solución:
Si consideramos que la partícula se mueve durante un intervalo infinitamente pequeño de tiempo, es decir un diferencial dt, a partir del tiempo t, en ese intervalo de tiempo se recorrerá una distancia infinitamente pequeña, un diferencial de distancia dx y como la velocidad es constante en intervalos infinitamente pequeños de tiempo se tiene:
Y( t )
distancia tiempo
dx dt
Por tanto, como sabemos, la velocidad es la razón de cambio de la posición. Para encontrar el cambio en la posición desde t 0 hasta t 4, que nos daría, en este caso, la distancia recorrida en ese tiempo, recurrimos a encontrar la integral de la velocidad desde t 0 hasta t 4. x( 4) x( 0)
°
4 0
Y( t ) dt
°
2 3t
4 0
( t 2 )2( t 1)
dt
Para calcular la integral se requiere separar la fracción 2 3t ( t 2 )2( t 1) en fracciones parciales. De acuerdo a las reglas establecidas en la consideración anterior la descomposición es de la forma: 2 3t 2
( t 2 ) ( t 1)
A B t 2 ( t 2 )2
C t 1
Multiplicando por ( t 2 )2( t 1) ambos lados de la igualdad para eliminar denominadores, realizando los productos en el lado derecho de la igualdad y sumando términos semejantes se obtiene 2 3 t A( t 2 ) ( t 1) B ( t 1) C( t 2 )2 2 3 t A t 2 3 A t 2 A B t B C t 2 4C t 4C 2 3 t ( A C )t 2 ( 3 A B 4C )t ( 2 A B 4C ) Igualando los coeficientes de las potencias iguales de t para que se satisfaga la igualdad entre los polinomios, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones 1. A C 0 2. 3 A B 4C 3 3. 2 A B 4C 2
Tema 3.5
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Método de fracciones parciales r
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