UNIDAD
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Relaciones trigonométricas fundamentales
Notación En lugar de (sen a)2 se suele poner sen 2 a. Del mismo modo:
Los valores de sen, cos y tg de un mismo ángulo no son independientes, sino que están relacionados, de tal modo que conociendo uno de ellos, podemos calcular los otros dos. Las relaciones que los ligan son las siguientes (se las suele llamar relaciones fundamentales):
(cos a)2 = cos 2 a y (tg a)2 = tg 2 a A pesar de la costumbre, y para evitar confusiones, utilizaremos durante este curso la expresión con paréntesis.
B
(sen a)2 + (cos a)2 = 1
sen a = tg a cos a
[I]
[II]
Estas igualdades son fáciles de demostrar:
( ) ( ) 2
[I] (sen a)2 + (cos a)2 = BC AB
+ AC AB
2
2 2 = BC + 2AC = 1 AB
pues por el teorema de Pitágoras se cumple que BC 2 + AC 2 = AB 2. [II] sen a = BC : AC = BC = tg a cos a AB AB AC A
a
C
En los siguientes ejercicios resueltos vemos cómo, conocida una razón trigonométrica de un ángulo, se pueden calcular las otras dos.
Ejercicios resueltos 1. Sabiendo que cos a = 0,63, calcular s = sen a y t = tg a. Mediante la igualdad I, conocido sen a obtenemos cos a, y viceversa. s 2 + 0,632 = 1 8 s 2 = 1 – 0,632 = 0,6031 8 s = √0,6031 = 0,777 (Solo tomamos la raíz positiva, porque sen a ha de ser positivo). t = 0,777 = 1,23 0,63
Solución: sen a = 0,777
tg a = 1,23
© GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.
2. Sabiendo que tg a = 2, calcular s = sen a y c = cos a. Mediante las igualdades I y II, conocida tg a se obtienen, resolviendo un sistema de ecuaciones, los valores de sen a y cos a: s =2 ° s = 2c § c ¢ 2 2 cc)2 + c 2 = 1 8 4c 2 + c 2 = 1 8 5c 2 = 1 s + c = 1 §£ (2c) solo tomamos racionalizando c 2 = 1 ÄÄÄÄ8 c = 1 ÄÄÄÄ8 c = √5 ; s = 2 √5 5 la raíz positiva 5 5 √5
Solución: sen a = 2 √5 = 0,894 5
cos a = √5 = 0,447 5
Actividades 1 sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y tg 37°.
2 tg 28° = 0,53. Calcula sen 28° y cos 28°.
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