APORTACION DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO. ....................................................................... 4 OBJETIVO GENERAL DEL CURSO ..................................................................................................................... 4 COMPETECIAS PREVIAS.................................................................................................................................. 4 EXAMEN DIAGNOSTICO ............................................................................................................................... 5 UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS. .............................................................................................................. 6 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.................................................................................................. 9 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 10 CONJUGADOS DE UN NÚMERO COMPLEJO.............................................................................................................. 11 Actividad 2 .............................................................................................................................................. 11 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus conjugados. ........................................................................................................................................... 11 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS..................................................................................... 12 Actividad 3 .............................................................................................................................................. 12 El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos. ................. 12 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. .......................................................................................................... 13 Actividad 4 .............................................................................................................................................. 13 DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. ..................................................................................................................... 14 Actividad 5 .............................................................................................................................................. 15 POTENCIAS DE “ ” ............................................................................................................................................ 16 MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO. ....................................................................................... 16 Actividad 6 .............................................................................................................................................. 16 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO. ...................................................................................... 17 Actividad 7 .............................................................................................................................................. 17 CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO EN SU FORMA POLAR................................................................................... 18 Actividad 8 .............................................................................................................................................. 18 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar con sus conjugados. ............................................................................................................................ 18 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA POLAR. ............................................................... 19 Actividad 9 .............................................................................................................................................. 19 Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar. ...................................................... 19 TEOREMA DE MOIVRE. ...................................................................................................................................... 20 POTENCIAS DE UN NÚMERO COMPLEJO. ................................................................................................................ 20 Actividad 10 ............................................................................................................................................ 20 ECUACIONES POLINOMICAS................................................................................................................................. 21 RAÍCES DE UN POLINOMIO. ................................................................................................................................. 21 POLINOMIO COMPLEJO. ..................................................................................................................................... 22 Actividad 11 ............................................................................................................................................ 24 ACTIVIDAD FINAL DE NÚMEROS COMPLEJOS ............................................................................................ 25 UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES. ................................................................................................ 26 OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 26 DEFINICIÓN DE MATRIZ, NOTACIÓN Y ORDEN. ......................................................................................................... 27 OPERACIONES CON MATRICES. ............................................................................................................................ 28 Definición de suma. ................................................................................................................................. 28 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 28
1
Multiplicación por un escalar. ................................................................................................................. 29 Actividad 2: ............................................................................................................................................. 29 Multiplicación de matrices. ..................................................................................................................... 29 Actividad 3 .............................................................................................................................................. 30 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN.................................................................................................. 30 Escalonamiento de una matriz................................................................................................................ 30 Matriz escalonada reducida.................................................................................................................... 30 Actividad 3 .............................................................................................................................................. 31 Actividad 4 .............................................................................................................................................. 31 CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ. .............................................................................................................. 32 Actividad 5 .............................................................................................................................................. 33 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. ..................................................................................................... 34 actividad 6............................................................................................................................................... 34 Definición de menores y cofactores de una matriz. ................................................................................ 35 Actividad 7 .............................................................................................................................................. 36 -Definición del determinante de una matriz por factores. ...................................................................... 36 Actividad 8 .............................................................................................................................................. 37 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS DE LA ADJUNTA. ................................................................................. 38 Actividad 9 .............................................................................................................................................. 40 UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ...................................................................................... 41 ELIMINACIÓN GAUSSIANA. ................................................................................................................................. 41 ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN. ............................................................................................................................ 42 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 43 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE LA INVERSA............................................................................ 43 Actividad 2 .............................................................................................................................................. 44 Resuelva usando la inversa − 2 + 3 = 9 − + 3 = −4 2 − 5 + 5 = 17 ............................ 44 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR REGLA DE CRAMMER.......................................................................... 44 UNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES. .......................................................................................................... 47 OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 47 DEFINICIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL. ................................................................................................................ 48 DEFINICIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES.................................................................................. 49 COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL. ..................................................................................................... 50 DEFINICIÓN DE DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL. ................................................................................. 51 -Comprobación para la independencia y dependencia lineal. ................................................................ 51 CONJUNTO GENERADOR. .................................................................................................................................... 52 -Definición de un conjunto generador de un espacio vectorial. .............................................................. 52 BASE Y DIMENSIÓN............................................................................................................................................ 53 -Base de un espacio vectorial. ................................................................................................................. 53 -Base canónica. ....................................................................................................................................... 53 UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES. .............................................................................................. 54 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES. .............................................................................................. 55 TRANSFORMACIÓN LINEAL. ................................................................................................................................. 56 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 57
2
Actividad 2 .............................................................................................................................................. 57 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. ............................................................................................ 58 MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. ........................................................................................................... 58 APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN. ...................... 60 -Contracción y dilatación. ....................................................................................................................... 61 -Escalonamiento simultaneo................................................................................................................... 61 -Rotación. ................................................................................................................................................ 61
3
APORTACION DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO. El álgebra lineal aporta al ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de la naturaleza lineal y resolver problemas. Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una herramienta para resolver problemas de aplicación de la vida diaria y aplicaciones en la ingeniería.
OBJETIVO GENERAL DEL CURSO Resolver problemas de aplicación e interpretar soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas.
COMPETECIAS PREVIAS. • •
Manejar el concepto de los números reales y su representación gráfica Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.
•
Resolver ecuaciones cuadráticas =
• • • •
Emplear las funciones trigonométricas. Graficar rectas y planos. Obtener un modelo matemático de un enunciado. Utilizar software matemático.
&' ±√' * &+,.,
4
EXAMEN DIAGNOSTICO 1.- ¿Que son los números reales y cuál es su interpretación geométrica en / . / 0 ?
2.- ¿Qué es un vector y cuál es su interpretación geométrica en 2 y 3 dimensiones?
3.- ¿Cuál es la fórmula general para obtener las raíces de un polinomio de grado 2?
EJECICIO: Encuentre las raíces de los siguientes polinomios. 1.- . + 6 + 5 2.- 2 + 2 + 1 3.- 2 + + 10
5
UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS.
OBJETIVO DE LA UNIDAD Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.
Criterios de evaluación • • • • •
•
Investigación del tema 1.1 Investigación del tema 1.2 Investigación del tema 1.3 Cuadro sinóptico “números complejos y sus formas de representarse” Problemario de operaciones con números complejos Examen escrito (80% asistencia)
10% 10% 10% 10% 10% 50%
6
Rubricas: ACTIVIDAD 1 INVESTIGACION DEL TEMA 1.1 PUNTUACION MAXIMA 10% Definiciones Por qué la introducción de "i" quien o quienes propusieron los números complejos y en q tiempo entregado en tiempo y forma
ACTIVIDAD 2 INVESTIGACION DEL TEMA 1.2 PUNTUACION MAXIMA 10% sumas de 2 y más de 2 números complejos resta de 2 y más de 2 números complejos división de 2 números complejos multiplicación de 2 números complejos entregado en tiempo y forma
ACTIVIDAD 3 INVESTIGACION DEL TEMA 1.3 PUNTUACION MAXIMA 10% cuanto vale "i" cuanto vale cada potencia de "i" hasta la potencia 10 como calcular la magnitud de un numero complejo entregado en tiempo y forma
ACTIVIDAD 4 CUADRO SINOPTICO forma polar forma exponencial forma rectangular interpretacion grafica y algebraica (z=a+ib) de cada forma entregado en tiempo y forma
%
puntuación obtenida
2.50% 2.50% 2.50% 2.50% 10.00% %
puntuación obtenida
2.00% 2.00% 2.00% 2.00% 2.00% 10.00% %
puntuación obtenida
2.50% 2.50% 2.50% 2.50% 10.00% %
puntuación obtenida
1.00% 1.00% 1.00% 6.00% 1.00% 10.00%
7
ACTIVIDAD 5 SOLUCION DE PROBLEMARIO todos los problemas resueltos todos los problemas con graficas resultados correctos de los problemas entregado en tiempo y forma
EXAMEN EXAMEN ESCRITO
%
puntuaci贸n obtenida
1.00% 2.00% 5.00% 2.00% 10.00% puntuaci贸n obtenida
% 50%
8
Definición y origen de los números complejos.
Un número complejo es una expresión de la forma:
Donde a y b son números reales, “a” se denomina la parte real de Z y se denota por ReZ. Y “b” se denomina la parte imaginaria de Z y se denota por ImZ. En ocasiones la representación 3 = 4 + 5 recibe el nombre de formacartesiana o rectangular del número complejo Z. Un error muy común en los alumnos el confundir la parte imaginaria, ejemplo: cual es el valor de a y b en el siguiente número complejo: 6 = 7 + 89 La respuesta correcta es 4 = 7 : 5 = 8 El error común es 4 = 7 : 5 = 89
Es posible graficar un número complejo Z en el plano ; , = graficando ReZ en el eje X e ImZ en el eje Y. Entonces se puede pensar que cada número complejo es un punto en el plano ; , =. Con esta representación el plano (x, y) se denomina plano complejo. = > + ?@ /AB → DEB → B1 = 2 + 3? B2 = 2 ? B3 = 1 ? B4 = 2
9
Actividad 1
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos. El docente deberá revisar lo siguiente: • •
Que haya por lo menos un número en cada cuadrante Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados
10
Conjugados de un número complejo. Sea 3 = 4 5 entonces z̄ (se lee como z conjugada) es 3̄ = 4 5 que se obtiene reflejando a “z” con respecto al eje “x”
Ejemplo: = 2 3? ̄ 2 3?
̄
2 2
̄
4? 4?
Actividad 2
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus conjugados. El docente deberá revisar lo siguiente: • •
Que haya por lo menos un número en cada cuadrante Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados
11
Operaciones fundamentales con números complejos. Los números se pueden sumar y multiplicar utilizando las reglas normales del algebra, sea 3 = 4 5 un número complejo sea G = H 9I un número complejo también la suma queda definida como: 3 G = ;4 H= ;5 I= 3 − G = (4 − H) + (5 − I) Como puede observar se utiliza la letra a y b, mismos que son números reales, eh aquí el porqué, de no incluir la i en la letra b, como se explicó anterior mente Ejemplo: = 2 + 3? J =5+? + J = (2 + 3?) + (5 + ?) = 7 + 4? − J = (2 + 3?) − (5 + ?) = −3 + 2? K
K
3 + +J = L3(2 + 3?)M + N+(5 + ?)O K
Q
K
3 + +J = (6 + 9?) + P+ + +?R K
3 + +J =
.S +
+
0T ? +
Actividad 3
El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos. Sea: zK = 2 + ? z. = 5 + 3? z0 = −2 − ? z+ = 3? zK + z. + 7z0 + z+ = zK + 2z. = z0 − z+ = z+ + zK − z0 = 2zK − 7z0 + 2? =
12
Multiplicación de números complejos. Para la multiplicación de números complejos utilizamos la misma regla que para la multiplicación de 2 binomios, tomado en cuenta que V = √−1, esto se observa en el ejemplo siguiente: Sea = > + V@ J = W + VX calcule ∗ J ∗J ∗J ∗J ∗J
= (> + ?@)(W + ?X) = >W + ?>X + ?@W + ?@X = >W + ?(>X + @W) + (−1)@X = (>W − @X) + V(>X + @W)
? = √−1
?2 = ([−1) ?2 = −1
2
Ejemplo: Sea = 3 + 2? y J = 1 + ? ∗ J = (3 + 2?)(1 + ?) ∗ J = 3 + 3? + 2? + 2? . ∗ J = 3 + 5? + 2? .
∗ J = 3 + 5? + 2(−1) ∗ J = 3 + 5? − 2 ∗ J = 1 + 5?
Actividad 4
El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos Sea: zK = 1 ?
z. = 2 2?
wK = 1 ?
w. = 3?
Calcule: a) zK + z. + wK + w. = b) (zK ∗ z. ) + (wK + w. ) = c) L(zK ∗ wK ) − (w. ∗ z. )MzK = d) L(wK + zK + z. )2iM−5zK =
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División de números complejos. Para la división de números complejos, utilizaremos una de las propiedades de los conjugados la cual dice que ∗ ̅ = >. + @ . Y la forma de calcularlo es la siguiente: Sea = > + ?@ y J = W + ?X J J ∗ ̄ ;W ?X=;> ?@= = = ̄ ∗ ;> ?@=;> ?@= J J ∗ ̄ >W − ?@ + ?>X − ?2 @X = = ̄ ∗ >2 − ?>@ + ?>@ − ?2 @2 J J ∗ ̄ >W − ?(>X − @W) + @X = = ̄ ∗ > 2 + @2 J ∗ ̄ G (4H + 5I) + (4I − 5H) = = 48 + 5 8 ̄ ∗ 3
Ejemplo:
2+? 3 + 4? a=3
c=2
b=4
d=1
J ](3)(2) + (4)(1) + ?^(3)(1) − (4)(2)_` = 32 + 42 J L(6 + 4) + ?(3 − 8)M = 9 + 16 J 10 − 5? = 25 J 10 5 = − ? 25 25 J 2 1 = − ? = 0.4 − 0.2? 5 5
14
Actividad 5
El alumno realizara las siguientes divisiones de nĂşmeros complejos. El docente le explicara al alumnado que puede hacer el procediendo completo o en su defecto utilizar la formula 1.2.3.-
K
K&? .b? K&? .b? K&?
4.- N 5.- N
.b?
.&? Kb?
K&?
K&?
O
Kb? 0
?
.&? Kb?
.
?O
15
Potencias de “ ” ?0 = 1 1
? ?2 ?3 ?4 ?5
[ 1
1 1 ∗ ? ? ; 1=; 1= 1 1∗? ?
?6 ?7 ?8 ?9 ?10 ?11
?12 ?13 ?14 ?15
? ∗ ? 1 1 ∗ ? ? ? ∗ ? 1 1∗? ? ? ∗ ? 1 1 ∗ ? ?
? ∗ ? 1 1∗? ? ? ∗ ? 1 1 ∗ ? ?
Modulo o valor absoluto de un número complejo. Sea 3 4 5 magnitud de Z.
un número complejo, su modulo se denota por |z| que es La magnitud de 3
|3|
√48 58
El argumento de Z denotado por ArgZ se define como el ángulo entre la recta ΘZ y el lado positivo del eje X.
Actividad 6
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar (magnitud y argumento). El docente deberá revisar lo siguiente: • •
Que haya por lo menos un número en cada cuadrante Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados
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Forma polar y exponencial de un número complejo. Anterior mente realizamos operaciones fundamentales tales como la suma, la resta, la multiplicación y la división de número complejos en su forma rectangular o cartesiana, en el caso de la multiplicación y la división es más sencillo calcularlas si se conoce la forma polar del número complejo, para esto definiremos como está conformada la forma polar y exponencial de un número complejo. Sea 3 = 4 5. Su forma polar es: 3 = d;Hefg fhig= = d∟g = dH9fg. Donde d = |3| = √48 58 . Su forma exponencial es: 3 = dh g Ejemplo: k
Sea = 3 4? = k∟l = kA ?m k = ? l = ? POLAR
= 5;Wop53.13 ? pAq53.13=
[>. @ .
k [3. 4. k=5
5∟53.13
l l
l
> rs&K P R @ 4 rs&K t u 3 53.13
5WVp53.13
EXPONENCIAL
5A ?Q0.K0
Actividad 7
El alumno deberá convertir los siguiente números complejos a su forma polar y verificarlos realizando su interpretación gráfica. Tanto en polar como en rectangular a) z b) z c) z d) z e) z f) z g) z
3 4? 3 4? 3 4? 2? 7 4 4? 4 4?
17
Conjugado de un número complejo en su forma polar. Sea 3 = 4 5 y en su forma polar 3 = d∟g el conjugado del número z complejo queda definido como: 3̄ = 4 5. Y en su forma polar: 3̄ = d∟ g. Ejemplo: = 5∟30 ̄ = 5∟-30
Actividad 8
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar con sus conjugados. El docente deberá revisar lo siguiente: • •
Que haya por lo menos un número en cada cuadrante Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados
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Multiplicación y división de números complejos en su forma polar. Para la multiplicación y división de números complejos es muy útil la forma polar, porque facilita los cálculos. Sea 3v = dv ∟gv y sea 38 = d8 ∟g8 la multiplicación queda definida como la multiplicación de las magnitudes y da como resultado la magnitud y el ángulo como la suma de los ángulos de los números complejos.
MULTIPLICACION:
3v ∗ 38
dv ∗ d8 ∟gv g8 3v
DIVISION:
38
Ejemplo: Sea 3v k1
k2 l1 l2
[1 1 [4 4
45 45
FORMA 1 2
dv d8
∟gv g8 v y 38 = 8 8 . Calcule en forma polar 3v ∗ 38 y 1.41
-DIVISION
1 ? 2 2? 1 ? 2 2? 1 ? 2 2?
2.82
POLAR 1.41∟45 2.82∟45
3v 38
1.41 ∟45 45 2.82 1.41 ∟0 2.82
0.5∟0
-MULTIPLICACION
1 ∗ 2 1 ∗ 2
Actividad 9
;1.41=;2.82=∟45 45
3.97∟90
El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos en su forma polar Sea zK
4 6? y z.
2 5?.
Calcule zK ∗ z., z. ∗ zK, zK /z., z. /zK . Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar.
Sea z r∟θ la forma polar de un número complejo en su forma compacta. Recuerde que z r;cosθ ?senθ= también es u forma polar. y
z;{|}~ } ~= y = z{|}~ z} ~ a
b 19
Teorema De Moivre. El teorema de moivre es utilizado para encontrar las potencias y raíces de un número complejo
Potencias de un número complejo. Si B1 ∗ B2 ∗ B3 … Bq k1 ∗ k2 ∗ k3 … kq ∟l1 l2 l3 … lq y los números complejos B1 , B2 , B3 , … Bq son idénticos podemos decir que: Bq = kq ∟ql = kq (cos(ql) + ?pAq(ql)) Esto permite evaluar números complejos a potencias enteras: Ld(Hefg + ?fhig)Mi = di (Hefig) + ?fhi(ig) Ejemplo: (1 + ?)10 = ([2)
10
= ∟10(45)
Actividad 10
El alumno deberá calcular las siguientes potencias utilizando z = 1 i a) Z . = b) ZK = c) Z 0 = Si necesitamos calcular la raíz de un número complejo utilizaremos: Z K⁄ = r K⁄ ∟
θ + πk m
K= 0, 1, 2,…m-1 m≥1
20
Ecuaciones polinomicas. Llamamos polinomio a toda expresión de la forma: > + > &K &K + ⋯ >K + > . Donde “n” y > , > K, … >K, > son números reales denominados coeficientes. Si >q diferentes de cero, decimos que el polinomio tiene grado “n” y > es el coeficiente principal. El coeficiente > recibe el nombre de término independiente. 1
Ejemplo: 4 5 + 3 4 − 2 3 − 2 + 1 es un polinomio. 1.- ¿Cuáles son los coeficientes? 2.- ¿Cuál es el grado del polinomio? 3.- ¿Cuál es el coeficiente principal? 4.- ¿Cuál es el término independiente?
Raíces de un polinomio. Un número “a” es una raíz de un polinomio P(x) si el polinomio se anula para ese valor es decir “X = a” esa raíz de P(x) si y solo P(a) = 0. Ejemplo: = 1 Ap k>V ; = = Q 0 X=1 ; = = Q 0 ;1= = 1Q 10 ;1= = 0 Es raíz
;2= = 32 − 8 ;2= = 24
X = -1 ; 1= = ; 1=Q ; 1=0 ; 1= = 1 ; 1= ; 1= = 0 Es raíz X=2 ;2= = ;2=Q ;2=0 21
Denominamos ecuación polinomica a toda ecuación de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio. Resolver una ecuación polinomica es hallar los valores de “x” que anulan el polinomio, es decir equivalen a encontrar sus raíces.
Polinomio complejo. ; = = > > &K &K ⋯ >K K > Una raíz del polinomio P es un complejo Z que cumple con P(2) = 0 (esto es una ecuación polinomica compleja) un polinomio ;B= (de grado n) tiene exactamente “n” raíces complejas. B1 , B2 , B3 , … Bq Para determinar dichas raíces podemos utilizar el Teorema de Moivre. NOTA: Formula cuando requiere elevar a una fracción utilizaremos:
6
i⁄
i
= [(d)i ∟ g +
8 i
= 0,1 l>ksB
E−1 k = | |
Ejemplo: J2 + 25 = 0 J = √−25 = (−25)K⁄. = (−25 + 0?)K⁄. J = K⁄. = (−25 + 0?)K⁄. = −25 + 0? E=2 E−1=1 = 0,1 k = [(−25). + 0. k = 25 l = 180
Para B1 = 0 22
B1 = (25)
1⁄2
∟
B1 = 5∟90
180 + 2(180)(0) 2
Para B2 = 1
180 + 2(180)(1) 2 B2 = 5∟270 − 360 B2 = 5∟ − 90
B2 = (25)
1⁄2
∟
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Actividad 11
El alumno deberá encontrar las raíces de los siguientes polinomios complejos. a) w Q ^1 √3?_ = 0 b) w +⁄0 + 2? = 0
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Actividad final de números complejos I.
Realice Las siguientes operaciones con números complejos.
a) (1 + 2?) − (3 + 4?)(4 − 2?) Qb+? 0b.? b) − .&.? K&? 0b+? 0 c) N O &K&? d) ;1 2?=;3 + 4?) + (3 − 4?)(4 − 2?) e) (−2 − 3?)K⁄0 f) (−√3 + √2?). + √3 WVp115° Q√.b0√K? g) √0
II. Resuelva las siguientes operaciones. 1.- 2 ? = 1? 2.- 0⁄Q ? = √3 3.- − 2 0 + 2 = 0 4.- . + (1 − ?) − ? = 0
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UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES. OBJETIVO DE LA UNIDAD Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar, conceptos y problemas mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales, asi como en otras áreas de las matemáticas y la ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente.
Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia. Y el cálculo de la inversa de una matriz.
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