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APORTACION DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO. ....................................................................... 4 OBJETIVO GENERAL DEL CURSO ..................................................................................................................... 4 COMPETECIAS PREVIAS.................................................................................................................................. 4 EXAMEN DIAGNOSTICO ............................................................................................................................... 5 UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS. .............................................................................................................. 6 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.................................................................................................. 9 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 10 CONJUGADOS DE UN NÚMERO COMPLEJO.............................................................................................................. 11 Actividad 2 .............................................................................................................................................. 11 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus conjugados. ........................................................................................................................................... 11 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS..................................................................................... 12 Actividad 3 .............................................................................................................................................. 12 El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos. ................. 12 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. .......................................................................................................... 13 Actividad 4 .............................................................................................................................................. 13 DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. ..................................................................................................................... 14 Actividad 5 .............................................................................................................................................. 15 POTENCIAS DE “” ............................................................................................................................................ 16 MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO. ....................................................................................... 16 Actividad 6 .............................................................................................................................................. 16 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO. ...................................................................................... 17 Actividad 7 .............................................................................................................................................. 17 CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO EN SU FORMA POLAR................................................................................... 18 Actividad 8 .............................................................................................................................................. 18 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar con sus conjugados. ............................................................................................................................ 18 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA POLAR. ............................................................... 19 Actividad 9 .............................................................................................................................................. 19 Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar. ...................................................... 19 TEOREMA DE MOIVRE. ...................................................................................................................................... 20 POTENCIAS DE UN NÚMERO COMPLEJO. ................................................................................................................ 20 Actividad 10 ............................................................................................................................................ 20 ECUACIONES POLINOMICAS................................................................................................................................. 21 RAÍCES DE UN POLINOMIO. ................................................................................................................................. 21 POLINOMIO COMPLEJO. ..................................................................................................................................... 22 Actividad 11 ............................................................................................................................................ 24 ACTIVIDAD FINAL DE NÚMEROS COMPLEJOS ............................................................................................ 25 UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES. ................................................................................................ 26 OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 26 DEFINICIÓN DE MATRIZ, NOTACIÓN Y ORDEN. ......................................................................................................... 27 OPERACIONES CON MATRICES. ............................................................................................................................ 28 Definición de suma. ................................................................................................................................. 28 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 28

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Multiplicación por un escalar. ................................................................................................................. 29 Actividad 2: ............................................................................................................................................. 29 Multiplicación de matrices. ..................................................................................................................... 29 Actividad 3 .............................................................................................................................................. 30 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN.................................................................................................. 30 Escalonamiento de una matriz................................................................................................................ 30 Matriz escalonada reducida.................................................................................................................... 30 Actividad 3 .............................................................................................................................................. 31 Actividad 4 .............................................................................................................................................. 31 CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ. .............................................................................................................. 32 Actividad 5 .............................................................................................................................................. 33 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. ..................................................................................................... 34 actividad 6............................................................................................................................................... 34 Definición de menores y cofactores de una matriz. ................................................................................ 35 Actividad 7 .............................................................................................................................................. 36 -Definición del determinante de una matriz por factores. ...................................................................... 36 Actividad 8 .............................................................................................................................................. 37 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS DE LA ADJUNTA. ................................................................................. 38 Actividad 9 .............................................................................................................................................. 40 UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ...................................................................................... 41 ELIMINACIÓN GAUSSIANA. ................................................................................................................................. 41 ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN. ............................................................................................................................ 42 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 43 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE LA INVERSA............................................................................ 43 Actividad 2 .............................................................................................................................................. 44 Resuelva usando la inversa  − 2 + 3 = 9 −  + 3 = −4 2 − 5 + 5 = 17 ............................ 44 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR REGLA DE CRAMMER.......................................................................... 44 UNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES. .......................................................................................................... 47 OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 47 DEFINICIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL. ................................................................................................................ 48 DEFINICIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES.................................................................................. 49 COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL. ..................................................................................................... 50 DEFINICIÓN DE DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL. ................................................................................. 51 -Comprobación para la independencia y dependencia lineal. ................................................................ 51 CONJUNTO GENERADOR. .................................................................................................................................... 52 -Definición de un conjunto generador de un espacio vectorial. .............................................................. 52 BASE Y DIMENSIÓN............................................................................................................................................ 53 -Base de un espacio vectorial. ................................................................................................................. 53 -Base canónica. ....................................................................................................................................... 53 UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES. .............................................................................................. 54 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES. .............................................................................................. 55 TRANSFORMACIÓN LINEAL. ................................................................................................................................. 56 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 57

2


Actividad 2 .............................................................................................................................................. 57 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. ............................................................................................ 58 MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. ........................................................................................................... 58 APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN. ...................... 60 -Contracción y dilatación. ....................................................................................................................... 61 -Escalonamiento simultaneo................................................................................................................... 61 -Rotación. ................................................................................................................................................ 61

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APORTACION DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO. El álgebra lineal aporta al ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de la naturaleza lineal y resolver problemas. Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una herramienta para resolver problemas de aplicación de la vida diaria y aplicaciones en la ingeniería.

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO Resolver problemas de aplicación e interpretar soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas.

COMPETECIAS PREVIAS. • •

Manejar el concepto de los números reales y su representación gráfica Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.

Resolver ecuaciones cuadráticas  =

• • • •

Emplear las funciones trigonométricas. Graficar rectas y planos. Obtener un modelo matemático de un enunciado. Utilizar software matemático.

&' ±√' * &+,.,

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EXAMEN DIAGNOSTICO 1.- ¿Que son los números reales y cuál es su interpretación geométrica en / . / 0 ?

2.- ¿Qué es un vector y cuál es su interpretación geométrica en 2 y 3 dimensiones?

3.- ¿Cuál es la fórmula general para obtener las raíces de un polinomio de grado 2?

EJECICIO: Encuentre las raíces de los siguientes polinomios. 1.-  . + 6 + 5 2.- 2 + 2 + 1 3.- 2 +  + 10

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UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS.

OBJETIVO DE LA UNIDAD Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.

Criterios de evaluación • • • • •

Investigación del tema 1.1 Investigación del tema 1.2 Investigación del tema 1.3 Cuadro sinóptico “números complejos y sus formas de representarse” Problemario de operaciones con números complejos Examen escrito (80% asistencia)

10% 10% 10% 10% 10% 50%

6


Rubricas: ACTIVIDAD 1 INVESTIGACION DEL TEMA 1.1 PUNTUACION MAXIMA 10% Definiciones Por qué la introducción de "i" quien o quienes propusieron los números complejos y en q tiempo entregado en tiempo y forma

ACTIVIDAD 2 INVESTIGACION DEL TEMA 1.2 PUNTUACION MAXIMA 10% sumas de 2 y más de 2 números complejos resta de 2 y más de 2 números complejos división de 2 números complejos multiplicación de 2 números complejos entregado en tiempo y forma

ACTIVIDAD 3 INVESTIGACION DEL TEMA 1.3 PUNTUACION MAXIMA 10% cuanto vale "i" cuanto vale cada potencia de "i" hasta la potencia 10 como calcular la magnitud de un numero complejo entregado en tiempo y forma

ACTIVIDAD 4 CUADRO SINOPTICO forma polar forma exponencial forma rectangular interpretacion grafica y algebraica (z=a+ib) de cada forma entregado en tiempo y forma

%

puntuación obtenida

2.50% 2.50% 2.50% 2.50% 10.00% %

puntuación obtenida

2.00% 2.00% 2.00% 2.00% 2.00% 10.00% %

puntuación obtenida

2.50% 2.50% 2.50% 2.50% 10.00% %

puntuación obtenida

1.00% 1.00% 1.00% 6.00% 1.00% 10.00%

7


ACTIVIDAD 5 SOLUCION DE PROBLEMARIO todos los problemas resueltos todos los problemas con graficas resultados correctos de los problemas entregado en tiempo y forma

EXAMEN EXAMEN ESCRITO

%

puntuaci贸n obtenida

1.00% 2.00% 5.00% 2.00% 10.00% puntuaci贸n obtenida

% 50%

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Definición y origen de los números complejos.

Un número complejo es una expresión de la forma:

Donde a y b son números reales, “a” se denomina la parte real de Z y se denota por ReZ. Y “b” se denomina la parte imaginaria de Z y se denota por ImZ. En ocasiones la representación 3 = 4 + 5 recibe el nombre de formacartesiana o rectangular del número complejo Z. Un error muy común en los alumnos el confundir la parte imaginaria, ejemplo: cual es el valor de a y b en el siguiente número complejo: 6 = 7 + 89 La respuesta correcta es 4 = 7 : 5 = 8 El error común es 4 = 7 : 5 = 89

Es posible graficar un número complejo Z en el plano ;, = graficando ReZ en el eje X e ImZ en el eje Y. Entonces se puede pensar que cada número complejo es un punto en el plano ;, =. Con esta representación el plano (x, y) se denomina plano complejo.  = > + ?@ /AB →  DEB →  B1 = 2 + 3? B2 = 2  ? B3 = 1  ? B4 = 2

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Actividad 1

Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos. El docente deberá revisar lo siguiente: • •

Que haya por lo menos un número en cada cuadrante Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados

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Conjugados de un número complejo. Sea 3 = 4  5 entonces z̄ (se lee como z conjugada) es 3̄ = 4  5 que se obtiene reflejando a “z” con respecto al eje “x”

Ejemplo:  = 2  3? ̄ 2  3?

 ̄

2 2

 ̄

4? 4?

Actividad 2

Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus conjugados. El docente deberá revisar lo siguiente: • •

Que haya por lo menos un número en cada cuadrante Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados

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Operaciones fundamentales con números complejos. Los números se pueden sumar y multiplicar utilizando las reglas normales del algebra, sea 3 = 4  5 un número complejo sea G = H  9I un número complejo también la suma queda definida como: 3  G = ;4  H=  ;5  I= 3 − G = (4 − H) + (5 − I) Como puede observar se utiliza la letra a y b, mismos que son números reales, eh aquí el porqué, de no incluir la i en la letra b, como se explicó anterior mente Ejemplo:  = 2 + 3? J =5+?  + J = (2 + 3?) + (5 + ?) = 7 + 4?  − J = (2 + 3?) − (5 + ?) = −3 + 2? K

K

3 + +J = L3(2 + 3?)M + N+(5 + ?)O K

Q

K

3 + +J = (6 + 9?) + P+ + +?R K

3 + +J =

.S +

+

0T ? +

Actividad 3

El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos. Sea: zK = 2 + ? z. = 5 + 3? z0 = −2 − ? z+ = 3? zK + z. + 7z0 + z+ = zK + 2z. = z0 − z+ = z+ + zK − z0 = 2zK − 7z0 + 2? =

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Multiplicación de números complejos. Para la multiplicación de números complejos utilizamos la misma regla que para la multiplicación de 2 binomios, tomado en cuenta que V = √−1, esto se observa en el ejemplo siguiente: Sea  = > + V@  J = W + VX calcule  ∗ J ∗J ∗J ∗J ∗J

= (> + ?@)(W + ?X) = >W + ?>X + ?@W + ?@X = >W + ?(>X + @W) + (−1)@X = (>W − @X) + V(>X + @W)

? = √−1

?2 = ([−1) ?2 = −1

2

Ejemplo: Sea  = 3 + 2? y J = 1 + ?  ∗ J = (3 + 2?)(1 + ?)  ∗ J = 3 + 3? + 2? + 2? .  ∗ J = 3 + 5? + 2? .

 ∗ J = 3 + 5? + 2(−1)  ∗ J = 3 + 5? − 2  ∗ J = 1 + 5?

Actividad 4

El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos Sea: zK = 1  ?

z. = 2  2?

wK = 1  ?

w. = 3?

Calcule: a) zK + z. + wK + w. = b) (zK ∗ z. ) + (wK + w. ) = c) L(zK ∗ wK ) − (w. ∗ z. )MzK = d) L(wK + zK + z. )2iM−5zK =

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División de números complejos. Para la división de números complejos, utilizaremos una de las propiedades de los conjugados la cual dice que  ∗ ̅ = >. + @ . Y la forma de calcularlo es la siguiente: Sea  = > + ?@ y J = W + ?X J J ∗ ̄ ;W  ?X=;>  ?@= = =  ̄ ∗  ;>  ?@=;>  ?@= J J ∗ ̄ >W − ?@ + ?>X − ?2 @X = =  ̄ ∗  >2 − ?>@ + ?>@ − ?2 @2 J J ∗ ̄ >W − ?(>X − @W) + @X = =  ̄ ∗  > 2 + @2 J ∗ ̄ G (4H + 5I) + (4I − 5H) = = 48 + 5 8 ̄ ∗  3

Ejemplo:

2+? 3 + 4? a=3

c=2

b=4

d=1

J ](3)(2) + (4)(1) + ?^(3)(1) − (4)(2)_` =  32 + 42 J L(6 + 4) + ?(3 − 8)M =  9 + 16 J 10 − 5? =  25 J 10 5 = − ?  25 25 J 2 1 = − ? = 0.4 − 0.2?  5 5

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Actividad 5

El alumno realizara las siguientes divisiones de nĂşmeros complejos. El docente le explicara al alumnado que puede hacer el procediendo completo o en su defecto utilizar la formula 1.2.3.-

K

K&? .b? K&? .b? K&?

4.- N 5.- N



.b?

.&? Kb?

K&?



K&?

O

Kb? 0

?

.&? Kb?

.

 ?O

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Potencias de “” ?0 = 1 1

? ?2 ?3 ?4 ?5

[1

1 1 ∗ ? ? ;1=;1= 1 1∗? ?

?6 ?7 ?8 ?9 ?10 ?11

?12 ?13 ?14 ?15

? ∗ ? 1 1 ∗ ? ? ? ∗ ? 1 1∗? ? ? ∗ ? 1 1 ∗ ? ?

? ∗ ? 1 1∗? ? ? ∗ ? 1 1 ∗ ? ?

Modulo o valor absoluto de un número complejo. Sea 3 4  5 magnitud de Z.

un número complejo, su modulo se denota por |z| que es La magnitud de 3

|3|

√48  58

El argumento de Z denotado por ArgZ se define como el ángulo entre la recta ΘZ y el lado positivo del eje X.

Actividad 6

Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar (magnitud y argumento). El docente deberá revisar lo siguiente: • •

Que haya por lo menos un número en cada cuadrante Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados

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Forma polar y exponencial de un número complejo. Anterior mente realizamos operaciones fundamentales tales como la suma, la resta, la multiplicación y la división de número complejos en su forma rectangular o cartesiana, en el caso de la multiplicación y la división es más sencillo calcularlas si se conoce la forma polar del número complejo, para esto definiremos como está conformada la forma polar y exponencial de un número complejo. Sea 3 = 4  5. Su forma polar es: 3 = d;Hefg  fhig= = d∟g = dH9fg. Donde d = |3| = √48  58 . Su forma exponencial es: 3 = dhg Ejemplo: k

Sea  = 3  4?  = k∟l  = kA ?m k = ? l = ? POLAR

 = 5;Wop53.13  ? pAq53.13=

[>.  @ .

k [3.  4. k=5

5∟53.13

l l

l

> rs&K P R @ 4 rs&K t u 3 53.13

5WVp53.13

EXPONENCIAL



5A ?Q0.K0

Actividad 7

El alumno deberá convertir los siguiente números complejos a su forma polar y verificarlos realizando su interpretación gráfica. Tanto en polar como en rectangular a) z b) z c) z d) z e) z f) z g) z

3  4? 3  4? 3  4? 2? 7 4  4? 4  4?

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Conjugado de un número complejo en su forma polar. Sea 3 = 4  5 y en su forma polar 3 = d∟g el conjugado del número z complejo queda definido como: 3̄ = 4  5. Y en su forma polar: 3̄ = d∟  g. Ejemplo:  = 5∟30 ̄ = 5∟-30

Actividad 8

Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar con sus conjugados. El docente deberá revisar lo siguiente: • •

Que haya por lo menos un número en cada cuadrante Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados

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Multiplicación y división de números complejos en su forma polar. Para la multiplicación y división de números complejos es muy útil la forma polar, porque facilita los cálculos. Sea 3v = dv ∟gv y sea 38 = d8 ∟g8 la multiplicación queda definida como la multiplicación de las magnitudes y da como resultado la magnitud y el ángulo como la suma de los ángulos de los números complejos.

MULTIPLICACION:

3v ∗ 38

dv ∗ d8 ∟gv  g8 3v

DIVISION:

38

Ejemplo: Sea 3v k1

k2 l1 l2

[1  1 [4  4

45 45

FORMA 1 2

dv d8

∟gv  g8 v   y 38 = 8  8. Calcule en forma polar 3v ∗ 38 y 1.41

-DIVISION

1? 2  2? 1? 2  2? 1? 2  2?

2.82

POLAR 1.41∟45 2.82∟45

3v 38

1.41 ∟45  45 2.82 1.41 ∟0 2.82

0.5∟0

-MULTIPLICACION

1 ∗ 2 1 ∗ 2

Actividad 9

;1.41=;2.82=∟45  45

3.97∟90

El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos en su forma polar Sea zK

4  6? y z.

2  5?.

Calcule zK ∗ z., z. ∗ zK, zK /z., z. /zK . Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar.

Sea z r∟θ la forma polar de un número complejo en su forma compacta. Recuerde que z r;cosθ  ?senθ= también es u forma polar. y

z;{|}~  }€~= y = z{|}~  z}€~ a

b 19


Teorema De Moivre. El teorema de moivre es utilizado para encontrar las potencias y raíces de un número complejo

Potencias de un número complejo. Si B1 ∗ B2 ∗ B3 … Bq k1 ∗ k2 ∗ k3 … kq ∟l1  l2  l3 … lq y los números complejos B1 , B2 , B3 , … Bq son idénticos podemos decir que: Bq = kq ∟ql = kq (cos(ql) + ?pAq(ql)) Esto permite evaluar números complejos a potencias enteras: Ld(Hefg + ?fhig)Mi = di (Hefig) + ?fhi(ig) Ejemplo: (1 + ?)10 = ([2)

10

= ∟10(45)

Actividad 10

El alumno deberá calcular las siguientes potencias utilizando z = 1  i a) Z . = b) ZKƒ = c) Z 0ƒ = Si necesitamos calcular la raíz de un número complejo utilizaremos: Z K⁄„ = r K⁄„ ∟

θ + πk m

K= 0, 1, 2,…m-1 m≥1

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Ecuaciones polinomicas. Llamamos polinomio a toda expresión de la forma: >ˆ  ˆ + >ˆ&K  ˆ&K + ⋯ >K  + >ƒ . Donde “n” y >ˆ, >ˆK, … >K, >ƒ son números reales denominados coeficientes. Si >q diferentes de cero, decimos que el polinomio tiene grado “n” y >ˆ es el coeficiente principal. El coeficiente >ƒ recibe el nombre de término independiente. 1

Ejemplo: 45 + 34 − 23 − 2  + 1 es un polinomio. 1.- ¿Cuáles son los coeficientes? 2.- ¿Cuál es el grado del polinomio? 3.- ¿Cuál es el coeficiente principal? 4.- ¿Cuál es el término independiente?

Raíces de un polinomio. Un número “a” es una raíz de un polinomio P(x) si el polinomio se anula para ese valor es decir “X = a” esa raíz de P(x) si y solo P(a) = 0. Ejemplo:  = 1 Ap k>V Š;= =  Q   0 X=1 Š;= =  Q   0 Š;1= = 1Q  10 Š;1= = 0 Es raíz

Š;2= = 32 − 8 Š;2= = 24

X = -1 Š;1= = ;1=Q  ;1=0 Š;1= = 1  ;1= Š;1= = 0 Es raíz X=2 Š;2= = ;2=Q  ;2=0 21


Denominamos ecuación polinomica a toda ecuación de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio. Resolver una ecuación polinomica es hallar los valores de “x” que anulan el polinomio, es decir equivalen a encontrar sus raíces.

Polinomio complejo. Š;= = >ˆ  ˆ  >ˆ&K  ˆ&K  ⋯ >K K  >ƒ Una raíz del polinomio P es un complejo Z que cumple con P(2) = 0 (esto es una ecuación polinomica compleja) un polinomio Š;B=ˆ (de grado n) tiene exactamente “n” raíces complejas. B1 , B2 , B3 , … Bq Para determinar dichas raíces podemos utilizar el Teorema de Moivre. NOTA: Formula cuando requiere elevar a una fracción utilizaremos:

6

i⁄ Œ

Œ

i

= [(d)i ∟Œg +

8 Ži Œ

‹ = 0,1 l>ksB

E−1 k = ||

Ejemplo: J2 + 25 = 0 J = √−25 = (−25)K⁄. = (−25 + 0?)K⁄. J =  K⁄. = (−25 + 0?)K⁄.  = −25 + 0? E=2 E−1=1 ‹ = 0,1 k = [(−25). + 0. k = 25 l = 180

Para B1 = 0 22


B1 = (25)

1⁄2

B1 = 5∟90

180 + 2(180)(0) 2

Para B2 = 1

180 + 2(180)(1) 2 B2 = 5∟270 − 360 B2 = 5∟ − 90

B2 = (25)

1⁄2

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Actividad 11

El alumno deberá encontrar las raíces de los siguientes polinomios complejos. a) w Q  ^1  √3?_ = 0 b) w +⁄0 + 2? = 0

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Actividad final de números complejos I.

Realice Las siguientes operaciones con números complejos.

a) (1 + 2?) − (3 + 4?)(4 − 2?) Qb+? 0b.? b) − .&.? K&? 0b+? 0 c) N O &K&? d) ;1  2?=;3 + 4?) + (3 − 4?)(4 − 2?) e) (−2 − 3?)K⁄0 f) (−√3 + √2?). + √3 WVp115° Q√.b0√K? g) √0

II. Resuelva las siguientes operaciones. 1.- 2  ? = 1? 2.-  0⁄Q  ? = √3 3.-   − 2 0 + 2 = 0 4.-  . + (1 − ?) − ? = 0

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UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES. OBJETIVO DE LA UNIDAD Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar, conceptos y problemas mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales, asi como en otras áreas de las matemáticas y la ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente.

Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia. Y el cálculo de la inversa de una matriz.

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Unidad 1  

números complejos material y actividad

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