Complemento Ortogonal
´ MODULO 2 - AULA 16
Aula 16 – Complemento Ortogonal Objetivo Obter o complemento ortogonal de um subespa¸co. Esta aula ´e curta - nela completaremos a teoria iniciada na aula anterior. Destacaremos um subespa¸co especial, que ´e definido a partir de um outro subespa¸co, usando a no¸c˜ao de ortogonalidade. Recordaremos tamb´em o conceito de soma direta de subespa¸cos. Iniciamos com a principal defini¸c˜ao desta aula.
Pr´ e-requisitos: aulas 13 (Soma de subespa¸cos); 14 (Espa¸cos euclidianos) e 15 (Conjuntos ortonormais/proje¸c˜ ao ortogonal).
Complemento ortogonal Sejam V um espa¸co euclidiano e U ⊂ V um subespa¸co vetorial de V . Vamos representar por U ⊥ o subconjunto formado pelos vetores de V que s˜ao ortogonais a todo vetor de U, isto ´e: U ⊥ = {v ∈ V | < v, u >= 0, ∀u ∈ U} O subconjunto U ⊥ ´e chamado complemento ortogonal de U e ´e tamb´em um subespa¸co vetorial de V . De fato, (i) U ⊥ = ∅, pois < oV , u >= 0, ∀u ∈ V ; logo, oV ∈ U ⊥ . (ii) Sejam v1 , v2 ∈ U ⊥ , isto ´e, < v1 , u >= 0 e < v2 , u >= 0, ∀u ∈ U. Ent˜ao < v1 + v2 , u >=< v1 , u > + < v2 , u >= 0 + 0 = 0, ∀u ∈ U. Logo, v1 + v2 ∈ U ⊥ . (iii) Sejam α ∈ R e v ∈ U ⊥ , isto ´e, < v, u >= 0, ∀u ∈ U. Ent˜ao < αv, u >= α < v, u >= α.0 = 0, ∀u ∈ U. Logo, αv ∈ U ⊥ .
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