Matemáticas básica by Jorge David

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTADE DE INGENIERIA CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICA

CURSO DE NIVELACIÓN DE CARRERA.

CARRERA: INGENIERÍA INFORMÁTICA.

CUADERNO DE MATEMATICAS

AUTOR: JORGE VARGAS

QUITO, MAYO DEL 2013

CAPITULO I Lógica Matemática Lógica simbólica: CONSEBIDA POR EL MATEMATICO Gottfried Leibniz (1646-1716), George Boole (1815-1864) Cristaliza sueños de Leibniz 1.- Proposiciones: 1) ¿Quién viene? 2) Pase al frente 3) El aire es pesado 4) 3 es un número par 5) Juan conoce a Pedro 6) Pedro es conocido por Juan Proposiciones: Oración declarativa a la que se pueda dar una variación de verdad (V) o falsedad (F). La meta: 1º Traducir las proposiciones del lenguaje ordinario al lenguaje simbólico. 2º Simplificar de forma simbólica. 3º Traducir la forma simplificada al lenguaje ordinario. 2. NOTACIÓN.- Las proposiciones se notan con letras: p, q, r…… 2.1. PROPOSICIONES SIMPLES.- El valor de verdad de las proposiciones compuestos va a depender del valor de verdad de las proposiciones simples de la que la componen. 2.2 CONECTIVOS LÓGICOS.- Son elementos que relacionan una proposición con otra para formar proposiciones compuestas. SIMBOLO ˄ ˅ ˅ ˜

OPERACÍON ASOCIADA Conjunción o Producto Lógico Disyunción o suma Lógica Diferencial Simétrica o Exclusivo Negación

SIGNIFICADO “Y” “PERO” “SIN ENVARGO” “ANQUE”……. “O” (en este sentido incluyente) “O” (sentido Excluyente) “NO” NO ES CIERTO”

→

Condicional Simple

↔

Condicional Doble

“ES FALSO QUE” “IMPLICA”, “SI…. ENTONCES” “LUEGO” “………..SI SOLO SI………….”

1. CONJUCIÓN De las proposiciones p y q es “p dada con el conectivo .

q” que se obtienen uniéndolas en orden

Tabla de Verdad Establece el valor de verdad de una proposición compuesta en base a los valores de verdad de sus proposiciones simples. Ejemplo: Dadas las proposiciones: p: Juan canta q: Juan baila p

q: Juan canta y Baila p

V V F F

V F V F

q V F F F

2. DISYUNCIÓN De las proposiciones p y q es la proposición compuesta “p q”, donde se establece el valor de verdad de la proposición compuesta, valor de verdad de la proposición compuesta, en base de los valores de verdad de las proposiciones simples. Ejemplo: Dadas las proposiciones: p: Juan canta q: Juan baila p q: Juan canta o baila

V V F F

V F V F

q V V V F

3. DIFERENCIA SIMÉTRICA (o exclusiva) De las proposiciones p y q es la proposición compuesta “p q”, donde se establece el valor de verdad de la proposición compuesta en base de los valores de verdad son proposiciones simples. El conectivo “o” tiene el sentido excluyente y establece que si uno de los sucesos se realiza el otro queda excluido. Ejemplo: Dadas las proposiciones: p: Juan está en Rusia q: Juan está en España p q: Juan está en Rusia o en España Tabla de Verdad p

V V F F

V F V F

q F V V F

4. NEGACIÓN La negación de una proposición p es la proposición anteponiendo el “no” o la primera proposición. Tabla de Verdad p V F

p F V

p (no p) obtenida

Ejemplo: Tengo un billete de 10 $ y uno de 50 $ en mi bolsillo p q Negación (p q) p: Tengo un billete de 10 $ en mi bolsillo q: Tengo un billete de 50 $ en mi bolsillo (p q) No es cierto que tengo un billete de 10 $ y uno de 50 $ en mi bolsillo. NOTA: La negación no se forma negando cada uno de las proposiciones. Al negar una proposición no se debe alterar la misma. b: El carro de Juan es azul V c: El carro de Juan es rojo F Hay que tener cuidado cuando se niega proposiciones que contienen palabras como todos, ninguno o alguno. Proposición Todos Algunos Algunos no Ningún

Negación Algunos…no Ninguno Todos Algunos

Ejemplo: Negar las siguientes proposiciones: a. Todas las personas tienen compasión. b. Algunos animales son serios. c. Ningún estudiante es entusiasta. NEGACIÓN: a. Algunas personas no tienen compasión. b. Ningún animal es sucio. c. Algunos estudiantes son entusiastas. Traducción y combinación de conectivos Ejemplo: Bertha y Claudia son atractivas. Se puede traducir a: Bertha es atractiva b: Claudia es atractiva a

b: Bertha es atractiva y Claudia es atractiva

Ejemplo:

Traducir a la forma simbólica  O Bertha es atractiva o Claudia es atractiva El conectivo o…………. o………… se traduce como excluyente. La oración se puede escribir como: Bertha es atractiva o Claudia es atractiva pero no ambas.

[a V V F F a

[ (a

b) ]

V V F V F V V V V F F F

F V V V V V F F V F F V V F F F

b=[a

[ (a

b) ]

Ejemplo: Supongamos que: p: Como espinacas q: Estoy fuerte Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje a. p q = Como espinacas y estoy fuerte b. p = No como espinacas c. (p q) = No es cierto que como espinacas o estoy fuerte) d. p q = No como espinacas o estoy fuerte e. ( q) = No es cierto que no estoy fuerte f. q q = Estoy fuerte y no estoy fuerte

5. CONDICIONAL (Si….. entonces) La proposición “si p entonces q” se llama condicional. Se simboliza p q p: Hipótesis o antecedente q: Conclusión o consecuente Ejemplo:

p: Gana el concurso q: Te dará 100 $ La promesa se simboliza con el condicional p q p q = Si gana el concurso entonces te dará 100 $ p V V F F

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

q V F V F

p Gana el concurso, dará 100 $ Gana el concurso, no dará 100 $ No gana el concurso, dará 100 $ No ganará el concurso, no dará 100$

q V F V V

Resumiendo: p

V V F F

V F V F

q V F V V

Ejemplo: Dadas las proposiciones: p: a y b son números pares q: La suma entre a y b es un número par p q par.

Si a y b son números pares, entonces la suma entre a y b es un valor

Simbólicamente (p

V F V V

[p V V F F

[ F V F F

F V F V

q) es F

] ] V F V F

No es necesario enunciar primero la parte si de un condicional, todas las posiciones siguientes tienen el mismo significado. 1. Que gane el concurso implica que dará 100 $. 2. Dará 100 $ pero si gana el concurso.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

Gana el concurso solo si dará 100 $. Para que de 100 $, es suficiente que gane el concurso. Que gane el concurso hace necesario que de 100 $. Dará 100 $ cuando gane el concurso. Dara 100 $ cuando gane el concurso. Dará 100 $ siempre que gane el concurso. REPRESENTACIÓN 1. p q 2. q si p 3. p solo si q 4. q es suficiente para p 5. p es necesario q 6. q con la condición p 7. q cuando p 8. q siempre que p

Ejemplo: Traducir al lenguaje simbólico: Si no se especifica deducciones en la lista A y tiene donativos deducibles, entonces complete la hoja de trabajo de la pág. 14 y declare la partida autorizada en el renglón 34b. p: Se especifica deducciones en la lista A q: Tiene donativos deducibles r: Complete la hoja de trabajo de la pág. 14 s: Declare la partida autorizada en el renglón 34 b. ( p

Representamos con la letra p la proposición “Bertha es atractiva” y con la letra q la proposición “Claudia es atractiva”. Traduzca cada una de las proposiciones de los siguientes problemas a la forma simbólica (Suponga que feo y atractivo son opuestos; esto es “ser no feo”, es lo mismo que ser atractivo). 1. Tanto Bertha como Claudia son feas ( p q) 2. Tanto Bertha como Claudia son atractivas p q

3. No es verdad que tanto Bertha como Claudia son atractivas (p q) 4. Bertha es atractiva o Claudia es fea (p q) 5. O Bertha es atractiva o Claudia es atractiva pero no ambas (p q)

{

p V V V V F F F F

[ V V F F V V F F

q V V F F V V F F

( V V F F V V V V

p F F F F V V V V

) ] }

V V V V F F F F

r V V V F V F V F

V F V F V F V F

Si p es V y s es V ¿Es verdadera la proposición siguiente?

p V

v v V

s V

v v

p V

v V

Recíproca, Inversa y Contra recíproca Variaciones de la condicional Dadas la condicional p q se definen 1. La recíproca q p 2. La inversa r q

s F F

3. La contra recíproca

Ejemplo: p: Este animal es un ave q: Este animal tiene alas Dada p q, escribir su recíproca, inversa y la contra recíproca Proposición: Si este animal es un ave este animal tiene alas. Recíproca: Si este animal tiene alas entonces es un ave. Inversa: Si este animal no es un ave entonces no tiene alas. Contra recíproca: Si este animal no tiene alas entonces no es un ave.

Tabla de verdad: p

V V F F

V F V F

p F F V V

F V F V

q V F V V

p V V F V

V V F V

q= q

p V F V V

LEY DE LA CONTRARECÍPROCA Una proposición puede ser remplazada por su contra recíproca sin que afecte su valor de verdad. Ejemplo: Sean p: Juan obedece la ley q: Juan va a la cárcel Proposición: Si Juan obedece la ley entonces no va a la cárcel.

q=q

q p: Si la cárcel obedece la

p p

V V F F

V F V F

V F V V

q) (q p)

V V F V

V F F V

Juan va a entonces no ley.

BICONDICIONAL p q y q p No tenían el mismo valor de verdad. Sin embargo puede suceder que p se escribe:

q y también q

p cuando esto sucede

p q El conectivo se llama bicondicional. Para sacar el valor de verdad del bicondicional debemos obtener la tabla de verdad de: p q El conectivo se llama bicondicional. Para sacar el valor de verdad del bicondicional debemos obtener la tabla de verdad de

Por lo tanto: p

V V F F

V F V F

p : Equivalente Traducciones del Bicondicional 1. p si solo si q 2. q si solo si p

q V F F V

3. 4. 5. 6.

Si p entonces q, y recíprocamente Si q entonces p, y recíprocamente p es una condición necesaria y suficiente para q q es una condición necesaria y suficiente para p

Ejemplo: Expresar lo siguiente en una sola oración: 1. Si un polígono tiene tres lados, entonces es un triángulo. 2. Si un polígono es un triángulo, entonces tienen tres lados. 3. Un polígono es un triángulo si y solo si tiene tres lados. CONJUNCIÓN NEGATIVA La conjunción negativa solamente es cierta si son falsos los dos términos que la constituyen. Se la traduce como: Ni p ni tampoco q

q p

V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

q F F F V

Por lo tanto: p

V V F F

V F V F

q V F F V

Ejemplo: Escriba cada una de las oraciones en forma simbólica donde: p: Este problema se puede resolver q: A Rogelio le agradó este problema 1. No es cierto que este problema se puede resolver y a Rogelio le agradó este problema.

2. Si este problema se puede resolver entonces a Rogelio le agradó este problema y este problema se puede resolver; por lo tanto a Rogelio le agrado este problema. [p

p)]

TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIÓN Tautología Es una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. p p p

V F

F V

p V V

Contradicción Es la negación de la tautología, por lo tanto una proposición es falsa para cualquier valor de sus componentes.

p p

V F

F V

p p

p F F

Implicación Si un condicional es una tautología entonces se llama implicación y se simboliza “ “ P (p, q, r) Q (p, q, r) Ejemplo: (p V q)

( q

¿Es una tautología? ( p

V q )

(

)

V V F F

V V V F

V F V F

V V V V

F V V F F V V F

V V V F

V V F F

Tautología (p V q)

( q

EQUIVALENCIA LÓGICA Una proposición bicondicional “p llama equivalencia y se escribe p equivalente a q”.

q” que es también una tautología se q y se lee “p es lógicamente

Ejemplo: Demostrar que:

(

F V V V

V V F F

q )

V F F F

V F V F

(

V V V V

F F V V

F V V V

F V F V

)

LEYES DE ALGEBRA DE PROPOSICIONES 1. Idempotencia pVp p p

p p

2. Conmutativa pVq p q

qVp q p

3. Distributivas p V (q r) p (q V r)

(p V q) (p V r) (p q) V (p V r)

4. Identidad

pvV p V pvF p F

V p p F

5. Complemento pv p V p p F p) P

Cuantificadores Son simbolos que permiten ontener proposiciones de expresiones abiertas como

Hay de 2 tipos de cuantificadores 1. Universal ( Se lee “para todo (s)”, “para cada uno”, “todos” todos y cada uno de los x deben cumplir con p(x) 2. Se lee “exiten(n) algún(os)“ Por lo menos un x cumple p(x) Se puede determianr el valo de verdad de una proposición precedido de un cuantificador

Ejemplo 1. 2. 3. 4.

≥3, es verdadero ; pero, ≥3, falso │x│>0, es verdadero, │x│<0, es falso 2 2 =≠-1, es verdadero

Observaciones Dada una expresi tal que p(x)”

exactamente 1 elemento

Ley de Morgan

1. ῀[ 2. ῀[

]≡

῀p(x)

]≡

῀p(x) Métodos de demostración

Las proposiciones de una teoría matematica se clasifican en dos tipos axiomas y definiciones que son aceptadas sin demostración y los teoremas que son de la deducción. La demostración de un teorema es un procedimiento en el que se enlazan 2 o mas proposiciones utilizando reglas lógicas. El enunciado es un teorema incluye las proposiciones de partida que constituyen la hipótesis del teorema, si partiendo de la hipótesis del teorema, si partiendo de la hipótesis se puede llegar a otra proposición llamada tesis se debe verificar la proposición H→T es verdadera H→T H= hipótesis T= tesis 1. Método directo Para demostrar que H→T es verdadera, es suficiente demostrar que si la prposicion H es verdadera, entonces T es verdadera Ejemplo Demostrar que si n es un numero entero impar, entonces n2 es impar Demostrar Si n es impar → n=2m+1 para algún m n2= (2m+1)2 n2=4m2+4m+1 n2= 2(2m2+2m)+1 Sea

H→T

p=2m2+2m

;

pЄz , es par

n2=2p+1

;

nЄz

n2= es impar

;

῀T→῀H el controreciproco es otra formade demostración directa y se basa p→q ↔ ῀q→῀p se parte de la tesis negada y se llega a la negación de la hipótesis es decir ῀T→῀H Fote tipo de demostración es conocida como “ supongamos que no” 2. Reducción al absurdo Este método supone que la estrutura de razonamiento p→q es una tautología De acuerdo a la tabla de valores de la implicación para demostrar que p→q es verdadera, es suficiente deducir de la hipótesis p es verdadera y q es falsa que es un resultado imposible, pues son dos proposiciones contradictorias. Ejemplo Demostrar que 1/0 no es un real Demostración Se supone que 1/0 es un real → 1/0 =a aЄ R →1=A.0 →1=0 →← CONTRADICCION … se concluye que 1/0 no es real 3. principio de inducción permite poner resultados con números naturales generalizando situaciones particulares se lo enuncia de la siguiente manera. Sean p(n) una proposición definida 4. contra ejemplo 5. consiste en dar un ejemplo que nos cumpla con la tesis demostrando así que la tesis es falsa dicho ejemplo recibe el nombre de contraejemplo. El contraejemplo pon e en evidencia que almenos existe un caso en el cual la proposición es falsa

Ejemplo:

Determinar si es verdadero o falso que :

La proposición es falsa Contra ejemplo Sea x=2 → 2+5=11 F Ejemplo inferencias Si no ocurre que si un objeto flota en el agua entonces es menos densa que el agua, entonces se puede caminar sobre el agua. Si un objeto es menos denso que el agua entonces puede desplazar una cantidad de agua igual a su propio peso. Si puede desplazar una cantidad de agua igual a su propio peso, entonces el objeto flotara en el agua por tanto un objeto flotara en el agua si y solo si es menos denso que el agua p: un objeto que flota en el agua q: es menos denso q el agua r: se puede caminar sobre el agua s: se puede desplazar una cantidad de agua igual a su propio peso p1: ῀(p→q)→r p2: ῀r p3: q→s p4: (s→p) … p↔q

≡ (p→q)^(q→p)

Desarrollo P1: ῀(p→q)→r

p3:q→s

P2:῀r

p4:s→p

C1. (p→q) C2: (q→p) C3: (p→q)^(q→r) adicción

Funciona con palabras las siguientes proposiciones escribe el conjunto o extensión 1. A= {x/x2=4} A= {2,-2} 2. B= {x/x-2=5} B= {7}

comprensión extensión compresión extensión

3. D= {x/x es una letra de la palabra correcto} D= {c, o, r, e, c, t, }

compresión

extensión

Enunciar los siguientes conjuntos por el método de compresión 1. B= {2, 4, 6, 8….} B= {x/x es par ^ x } 2. {El conjunto C de todos los países de estados unidos} C= {x/x es pais ^ x } 3. D= {3} D= {x/x = 3}

Considere los conjuntos ∉ no pertenece ⊈ No es subconjunto Є relación entre elementos y conjuntos C. ⊆ relación entre conjuntos A= {1}, B={1, 3}, C={1, 5, 9}, D={1, 2, 3, 4, 5}, E={1, 3, 7, 5, 9}, U={1, 2……….8, 9} A) B) C) D) E) F) G)

Ø⊂A A⊂C B⊄C B⊂E C⊂E D⊄E D⊂U

Ejemplo Usando los conjuntos dados, contesta si o no a las preguntas

A= {1, 4, 2, 6, 8, 10}, B={1, 4, 6, 10}, C={6, 4, 1, 10}, D={6, 4, 1}, U={1, 2……….8, 9} 1. A=D? 2. D⊆A? 3. B=C? 4. B⊆A? 5. A⊆B? 6. A≠B? 7. B⊈A? 8. Ø⊆D? 9. Ø=B? 10. B⊆U?

NO SI SI SI NO SI SI SI NO SI

A⊄B V B⊂D A= {5,{6, 7}, 8, 9} A= {6, 7} es elemento del conjunto Ejemplo A= {a, e, i} B= {a, b, c} U= {x/x es una lera del alfabeto} Ejemplo Si un hombre se orienta siempre por su sentido del deber tiene que renunciar al goce de muchos placeres y si se guía siempre por su deseo del placer, a menudo olvidara su deber lo bien un hombre se guía siempre por su sentido del deber lo bien siempre se orienta por su deseo del placer si un hombre se guía siempre por su sentido del deber no descuidara a menudo su deber y si siempre se guía por su sentido del placer no renunciara al goce de muchos placeres y si solo si no descuida a menudo su deber. p: un hombre se orienta siempre por su sentido del deber q: renuncia al goce de muchos placeres r: se guía siempre por su deseo del placer s: a menudo olvidara su deber p1: (p→q)^(r→s) p2: p^r

p3: (p→῀s)^(r→῀q) c1: q↔῀s Demostración p1: (p→q)^(r→s) p2: p^r c2: (q v s)

p3: (p→῀s)^(r→῀q) p2: p^r c2: (῀s v ῀q) c2: (῀q v ῀s) ↔ q→῀s

ley condicional

c1: ῀s ↔ q c2: q →῀ s c3: (q→῀s) ^ (῀s→q) c3: q→῀s Determine la validez de la siguiente deducción si la maquina es barata o consume mucha energía entonces no es productivo si la maquina es baja entonces es productiva pero la maquina es barata por lo tanto la maquina no es roja p: la maquina es barata q: consume mucha energía r: es productiva s: la maquina es roja p1: (p v q)→῀r p2: s→r p3: p c: ῀s Demostración

Diagrama de ven euler Ejemplo A= {2, 3, 5, 7} B= {2, 3,4, 5, 6} U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A 7

B 4 6

Diagramas lineales Ejemplo A= {1, 2, 3} B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c= {5, 6, 7, 8} B

Conjuntos numéricos Tenemos los siguientes N: conjunto de los números naturales N: {1, 2, 3, 4,…..} Z: Conjunto de números enteros Z: {…..-2, -1, 0, 1, 2….}

Q: conjunto de los racionales Q: {a/b Є ℤ, bЄℤ^b ≠0} ΙΙ: conjunto de los números irracionales Ι: {x/x tienen presentación decimal infinita no periódico} Л: 3.14159265 √2: 1.4142136 √3: 1.7320508 … los números reales contienen todo R: conjunto de los números reales

Es la unión de lso conjuntos de números racionales e irracionales

ΙΙ

I Z N Ejercicios de conjuntos 1. Sea: A={x/x <s ^ xЄN } ¿Cuántos subconjuntos podemos construir a partir de A?

n(P(A))= 16

A={1, 2, 3, 4}

n(a)= 4 2. Dado A=={t, a, d} Construya el conjunto partes de A (potencial de A) p(A):{{t}{a}{d}{t, a}{t, d}{a, d}{t, a, d}} n(Pa)=8 3. Dados H= {xЄℤ/ x-2=0} I= {xЄℤ/ 2x-6=0} J= {xЄℤ/ 2≦x≦3}

H= {2} I= {3} J= {2,3}

Entonces es verdadero que: Ι) la cardinalidad de He I es la misma ΙΙ)HUI = J ΙΙΙ) H ∩ I= J

(v) (v) (F)

4. Dados los conjuntos unitarios A= {3a, 1, 7} B= {3, b+c} C= {2, bc} Donde: b>c Calcular: a-2b+3c 2-2(2)+3(1) 2-4+3 =1 5. Si los conjuntos “A” y “B” son iguales: A= {3a+5 7} B= {b/3-2; 5} Calcular b-a a) 26 b) 27 c) 18 d) 16 e) 28

3a+5=5

a=0

6. si A U B= {5, 7, 5, 8, 7, 6, 10} B={x/x Є A ^ √n Є N} Halle: n(A) a) 0 b) 4 c) 7 d) 5 e) 6 7. Dados A,B,C definidos en los naturales: A= {n/n es un número impar} A= {1, 3, 5……} B= {m/m es un numero que termina en cifra mayor que 6} c= {p/p esta comprendido entre 50 y 99} Calcule n (A∩B∩C) B= {7, 8, 17, 18, 19, 27, 28, 29…} C= {50, 51, 52, 53, 54, 55, 56…99} N (A∩B∩C)= {57, 59, 67, 69, 77, 79, 87, 89, 97, 99}

a) 5 b) 10 c) 14 d) 15 e) 9

8. AUB= {1, 2, 3, 4…., 30}

n(AUB)0 30 elementos

A∩B= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} Calcule n(A∩B) A-B= {x:(xЄA) ^ (xЄB)} AB=AUB - A∩B =30-8 =22 9. Si n(A) representa la cantidad de elementos diferentes del conjunto AyB : n(A∩B)= 7 : n(B∩C)= 2 : A∩B= {} : n(B)= ab Halle: n[(AUC)∩ B]

a) ab-c b) ab+a c) 9+a d) 9 e) 10b+a

n[(A∩C)U (B∩C)]= 9 n[(A∩B)]= 7 n [(B∩C)]= 2

distributiva

10. si AyB son subconjuntos de Z además A= {n/n2+3≥8 ^ √n ≦4} B= {xЄA /x+2=5} Calcule cuantos elementos tiene el conjunto m= (AUC)-(A∩B)= 13 A=[(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16)]= 14 B=3 m=[(AUB)]= 14 m=[(A∩B)]= 1

Diagrama de Lewis carioll Se utilizan para representar conjuntos disjuntos Hombre

mujeres

Se hizo una encuesta a los secretarios; de ellos 40 limeños, 50 arequipeños, y 90 dominaban el idioma ingles, de estos últimos no son limeños y 60 no son arequipeños ¿Cuántos secretarios no son limeños ni arequipeños si dominan el idioma ingles?

Dominio ciudad

Domina ingles

No domina ingles 15

Total

Limeños

90-65=25

Arequipeños 90-60=30

Ni limeños ni

110

arequipeños

total

110

200

No son limeños=160 No son limeños ni arequipeños ni dominan ingles =75 Complemento A=A`=Ã Demostrar 1. (BUC)c = Ac∩Bc Sea xЄU entonces xЄ(AUB)c ↔ xЄAc∩Bc

xЄ (AUB)c

→ x∉(AUB)

→ ῀[xЄ(AUB)] → ῀[xЄA v xЄB] → ῀[xЄA ] ῀[xЄB] → xЄAc ^ xЄBc → xЄ (Ac ∩ Bc) … (AUB)c= Ac^ Bc (AUB)c= AU B

Demostrar A-B = A∩Bc Sea xЄU (sea x elementoarbitrario del universal xЄ(A-B)= xЄA ^ x∉B xЄA ^ x∉Bc

xЄ (A^B2) … A-B=A∩Bc Demostrar A∩ (AUB)= A Sea xЄ xЄ(A∩(AUB)) → xЄA ^ xЄ(AUB) def. de intersección → xЄA ^ [xЄA v xЄB] def. de union → xЄA l absorción …A∩ (AUB)=A Demostrar A∩ (B-A)=Ø Sea xЄU xЄ(A∩(B-A)) → xЄA ^ xЄ (B-A) intersección → xЄA ^ (xЄB ^ x∉A) def. diferencias → xЄA ^ (xЄB ^ xЄAc) complemento → 0 ^ xЄB complemento →

identidad

Demostrar A-(BUC) = (A-B) ∩ (A-C) A^(BUC)c= (A∩Bc) ∩ (A^Cc)

def diferencia

= (A∩Bc) ∩ (A^Cc)

intersección

= A ^ (Bc^Cc)

asociativa

= A ^ (B v C )c Demostrar AU (Ac∩B)= AUB

(AUAc)∩ (AUB)

distributiva

U ^ (AvB)

identidad

AUB A∩ (AcUB)= A∩B (A∩Ac) v (A^B)= A∩B

distributiva

Ø v (A^B) (A^B)

identidad

Usando el algebra de conjuntos simplifique: 1. [BcU(A-B)c] ∩ B 2. [A∩[(AUB)c U (BcUA)c]] [BcU(A-B)c] ∩ B [Bc(A∩Bc)c] ∩ B (Bc(AcUB)] ∩ B [(BcvB)U Ac] ∩ B [U v Ac] ∩ B U∩B

Def. Diferencias L. morgan Asociativa Complemento Identidad

+(k+1)

=+(k+1) = = Ejemplo Demostrar: p(n): 1+3+5+….+(2n-1)=n2 Demostración P(1) (2.1-1)=12

1=1 P(k): 1+3+5…..+(2k-1)= k2 P(k+1): 1+3+5+….+(2(k+1)-1)= (k+1)2 1+3+5+…+(2k-1)=k2 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)= k2+(2k+1) = k2+2k+1 =(k+1)2 A. 1+2+3+….+15= B. 3+4+5+…+15= C. 1+ + +…+ = D. + + +….+ =

El numero de sumandos y de términos de una sumatoria es igual al límite de superior menos el límite inferior más uno. # Términos (

) = (n-a+1)

Propiedades =

; m≦p≦n

= = a11+a12+..+a1m Ejercicio Demostrar 1)

1+4++9+16++…+n2= 2)

1+8+27++64+….

Demostración del 1

P(1)= 12= 1= 1= 1=1 P(k)= 1+4+9+….k2= P(k+1)= 1+4+9+16+….+2k2+2k+1 Calcular =? =

= 0+

Recibe el nombre de Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia. Pueden ser reemplazados por los números combinatorios:

El teorema de binomio

puede ser expresado:

El número inferior de cada término determina el lugar que ocupa cada término. Podemos obtener el término que ocupa el lugar k del desarrollo de

, Tk:

Ejemplo: ¿Cuál es el desarrollo de

Ejercicios: A) Del desarrollo de es?

solo interesa el quinto término, ¿cuál

B) Escribir directamente el cuarto tĂŠrmino del desarrollo de el quinto del desarrollo de

Calcule el valor del siguiente sumatorio 1.

* Calcule el valor del siguiente sumatorio:

-4 Calcule el valor del siguiente sumatorio:

a1=

Si i=1 -> ao=

ai-1 =

Si i=n -> an =

ECUACIONES LINEALES Son una parte de las matemáticas: 3 + 5 + 2 = 10 Igualdad numérica Igualdad algebraica o literal

IGUALDAD ALGEBRAICA

Identidad

Ecuación

Se verifica para cualquier valor de sus letras.

Se verifica para algunos valores dados de sus letras.

Ejemplo:

a(m -

2y – 3 = x + 5

Las letras que aparezcan en la ecuación se llaman incógnitas.

Las soluciones de las ecuaciones son el conjunto de números que remplazados por las incógnitas hacen que se cumplan una igualdad. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO Son igualdades algebraicas con incógnitas de exponente 1 Ejemplo:

De las siguientes cuales son ecuaciones lineales: 2x + 3 = 5  Si  No X+5=5 X + y = 24

 Si  Si

Cosx = 1

 No

16 =

 No

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 1. 2x = 5 -3 2x = 2 x=1 Tienen solución única 2. x + y = 24 y= 24 – x Si x = 23 Entonces  y = 1 Si x = -5 Entonces  y = 29 Si x = 24 Entonces  y = 0 La ecuación tiene infinitas soluciones 3. 3x – x = 2x 2x= 2x 2x – 2x = 0 La ecuación tiene infinitas soluciones 4. x + 5 = x x–x+5 =0 5=0 No tiene solución

RESOLVER

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Ejemplo: (a +8) =

Verificaci贸n: (a +8) = (5 +8) = = = = = =

De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto y aún queda 1500 litros. Calcule la capacidad del depósito.

Verificando:

En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco, piensa un número:  Súmale 15 al número pensado  Multiplica por 3 el resultado  Al resultado réstale 9  Divide por 3  Resta 8  Diga cuál es el resultado obtenido El espectador dice 32: ¿Cómo lo hizo? *(-8) = 32 *(-8) = 32

Un hombre repartió su herencia del siguiente modo: A su hijo mayor le dejo la mitad al segundo la tercera parte del resto y al 3ro la 6ta parte del resto y al 4to 1 millón. ¿Cuál era el valor de la herencia?

Un jardín tiene la forma de un trapecio, su área es de 2161 . Calcula la longitud de sus bases sabiendo que la base mayor mide 15m más que la pequeña y que la altura mide 42m. b

B B= Base mayor (B+15b)

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Supongamos que en la fábrica de confecciones “La hilacha” ha estallado un conflicto laboral y sus, cincuenta operarios solicitan un aumento en el salario integral diario sopena de paraliza la fábrica el gerente propietario recoge la información respecto a la variable salario diario de sus cincuenta operarios y los relaciona en la tabla uno. SALARIO DIARIO DE 50 OPERARIOS (Datos en miles de pesos) Obrero $/día Obrero $/día Obrero $/día # # #

Obrero $/día #

SALARIO DE EMPLEADOS DE LA FÁBRICA HILACHA (DATOS EN MILES DE PESOS)

$/día

Distribución de Frecuencias de Salario de 50 Operarios $/día

Conteo

Repetición

III

IIIII

IIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIII

IIIII

III

SUMA

Simbología r: El tamaño de la muestra, es el número de observaciones que hacemos x1: La variable c/u de los diferentes valores que se han observado. La variable xi toma los valores x1, x2, x3,… xn fi: la frecuencia absoluta o simplemente frecuencia, es el número de veces que se repite xi Si x1 = 50 x6 =55

f1 = 1 f6 =10

fa: La frecuencia acumulada, se obtiene acumulando la frecuencia absoluta f1: 12+9+5+3+1= 30 ganan menos de 50 fr: Frecuencia relativa; es el resultado de dividir c/u de las frecuencias absolutas por el tamaño de la muestra. Para sacar Porcentajes El 1 de 50

fra: La frecuencia relativa acumulada se obtiene dividiendo la frecuencia acumulada entre el tamaño de la muestra.

fa/50 y se representa como porcentajes. Distribución teórica de frecuencias y observaciones Variable Xi

Frecuencia fi

Frecuencia acumulada fa

Frecuencia relativa fr

X1 X2

f1 f2

f1 f1+ f2

f1/n f2/n

Frecuencia relativa acumulada fra f1/n (f1+ f2)/n

f1+ f2+ fi

fi/n

(f1+ f2+ fi)/n

f1+ f2+ fm

fm/n

(f1+ f2+ fn)/m

Distribución de frecuencias del salario diario de sus Obreros #/día

fra

50 51 52 53 54 55 56 57 58

1 3 5 9 12 10 5 3 2

1 4 9 18 30 40 45 48 50

1/50 = 0,02 4/50 = 0,08 9/50 = 0,18 18/50 = 0,36 30/50 = 0,60 40/50 = 0,80 45/50 = 0,90 48/50 = 0,96 50/50 = 1,00

SUMA

1/50 = 0,02 3/50 = 0,06 5/50 = 0,10 9/50 = 0,18 12/50 = 0,24 10/50 = 0,2 5/50 = 0,1 3/50 = 0,06 2/50 = 0,04 1,00

REGLAS INTERVALOS

EMPÍRICAS

PARA

CONSTRUCCIÓN

1. Determinar los datos de mayor y menor valor, Xmax. Xmin. 2. Calcular el rango o recorrido: R= Xmax - Xmin. 3. Determinar el número de intervalos (m) y la amplitud de la clase (A).

4. Calcular el rango ampliado: Ra= mA 5. Establecer la diferencia: a= Ra – R; es decir la cantidad que ha sido alterada, el recorrido el cual no debe ser superada a la amplitud. 6. Distribuir adecuadamente “a” de la siguiente manera:

7. Construir los intervalos y calcular los puntos medios o marcos de clases y hacer el agrupamiento de frecuencias.

DISTRIBUCIÓN TEÓRICA DE FRECUENCIAS POR INTERVALOS DE n OBSERVACIONES Intervalos

Marcos de clase Xi

LIPI – LIPI+A LIPI – LIPI+2A ' ' ' ' ' ' ' ' LIPI+(m-1)A – LSUI SUMA N n= número de observaciones LIPI= Límite inferior del 1er. intervalo. LSUI= Límite superior del último intervalo. Xi= Punto medio del intervalo o marco de clase. Ejemplo: 1. Xmax = 780 Xmin = 122 2. R = Xmax – Xmin R = 780 – 122 = 658 3. m = 7,6 Aproximemos a m = 7

Fra

' '

1,00

Sea A= 100 4. Ra = mA = 5. a = Ra – R = 700 – 658 = 42 6.

7. CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS PARA LA RESISTENCIA DE BALDOSAS. Intervalos

Marco de clase x 150 250 350 450 550 650 750

100 – 200 200 – 300 300 – 400 400 – 500 500 – 600 600 – 700 700 – 800

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS POR INTERVALOS DE RESISTENCIA DE BALDOSAS x

100 a 200

150

201 a 300

250

301 a 400

350

401 a 500

450

501 a 600

550

601 a 700

650

701 a 800

750

100

SUMA

100

fr 4 / 100 = 0,04 10 / 100 = 0,10 21/100 = 0,21 33/100 = 0,33 18/100 = 0,18 9 / 100 = 0,09 5 / 100 = 0,05 1,00

fra 4 / 100 = 0,04 14/100 = 0,14 35/100 = 0,35 68/100 = 0,68 86/100 = 0,86 95/100 = 0,95 100/100= 1

MUESTRAS Y POBLACIONES. Si un conjunto de datos consta de todas las observaciones concebiblemente (o hipotéticamente) posibles de cierto fenómeno, se denomina población; si un conjunto de datos consta solamente de una parte de estas observaciones, se conoce como muestra. POBLACIÓN.Llamado también universo o colectivo es el conjunto de todos los elementos que tienen una característica común. Una población puede ser finita o infinita. Población finita: Es cuando está delimitada y conocemos el número que la integra, así por ejemplo: estudiantes del curso de nivelación de la facultad de ingeniería en la Universidad Central del Ecuador. Población infinita: es cuando a pesar de estar delimitada en el espacio no se conoce el número de elementos que la integra, por ejemplo: todos los profesionales médicos que están su carrera. FÓRMULA PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA

n= Tamaño de la muestra N= Tamaño de la población = Desviación estándar de la población Si no se tiene el valor

= 0,5

Z= Nivel de confianza, Es un valor etc. Si no se tiene su valor se toma en relación a: 99% confianza Z= 2,58 95% confianza Z= 2,58 E: Limite acoptable del error muestral Si no se tiene su valor suele utilizarse un error que viene entre: 1% (0,001)

y 9% (0,09)

CALCULO DEL TAMAÑO DE UNA MUESTRA DE POBLACIÓN INFINITA n= Demostración n=

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. Media Aritmética 2. Mediana 3. Moda Las medidas de tendencia central son llamadas así, porque suelen ubicarse en el centro de la información

Media Aritmética

n : Media aritmética de la variable X Xi: Valores de la variable X n: Número de observaciones Ejemplo: Cantidad de cigarrillos que consume una persona en una semana Lunes: 18 Martes: 21 Miércoles: 22 Jueves: 21 Viernes: 20 Sábado: 19 Domingo: 19

Ejemplo: Cantidad de cigarrillos que consume un fumador en una semana:

Cantidad Xi 18 19 20 21 22

fi 1 2 1 2 1 7

MEDIA ARITMETICA PONDERADA La medida aritmética ponderada tiene en cuenta la importancia relativa de cada uno de los datos para la cual se la define por:

= Media aritmética ponderada = Valor de la variable = Ponderación de ítem xi Ejemplo. Las calificaciones de un estudiante están conformadas por los siguientes factores: Un examen cuyo valor es el 40% en el cual tuvo una nota de 4,5; un trabajo de consulta con ponderación del 10% y calificación de 1, una exposición equivalente al 15%, con nota de 2 y por ultimo una investigación con valor de 35% calificada por 3,5 calcule la nota definitiva

= = 3,43

LA MEDIANA La mediana es la posición central que ocupa en el orden de su manitud, dividiendo la información en dos partes iguales. La mediana de n valores requiere que se acomoden los datos según el tamaño. 

La mediana de n valores requiere que se acomoden los datos según el tamaño. Cuando n es impar, la mediana es el valor del elemento que está en la mitad. Cuando n es par, la mediana es la media de los elementos que están próximos a la mitad.

 

Ejemplo: 31 36 me= 5,3 Ejemplo: 3 7

12,5 Me= Me= Me= Me= LA MODA Es el valor que aparece con más alta frecuencia.

Unimodal

Bimodal

Xi 18 19 20 21 22

Mo1= 19 Mo2= 21

fi 1 2 1 2 1

MEDIDAS DE DISPERSIÓN 1. Valores: 5, 50, 95

5 2. Valores: 49,50,51

x = 50 Me= 50

95 x=50 Me = 50

49 50 51

MEDIDA DE DISPERSIÓN 1. 2. 3. 4.

Rango o recorrido Desviación media Varianza o desviación típica Coeficiente de variabilidad RANGO O RECORRIDO Solo considera los valores extremos de una colección de datos

DESVIACIÓN MEDIA Mide la distancia absoluta promedio entre cada uno de los datos, y el parámetro que caracteriza la información. Usualmente se caracteriza la desviación media con respecto a la media aritmética.

Dm= N

VARIANZA Numéricamente se define la varianza, como la desviación cuadrática media de los datos con respecto a la media aritmética. S2 = N DESVIACIÓN ESTANDAR (S ó

9) 5=

5= Definición: La probabilidad es un suceso, es un número comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se hace un experimento Experimento determinista Son los experimentos de los cuales podemos predecir, los resultados antes de que se realice el experimento. Experimento Aleatorio Son aquellos en donde no se pueden predecir el resultado ya que este depende del azar TEORIA DE POSIBILIDADES La teoría de posibilidades se ocupa de asignar cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar los dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Suceso: cada uno de los resultados posibles de una experiencia ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria se la representa con “ € “ ó “Ω” Espacio muestral de una moneda T= {c, x Espacio muestral de un dado

T= {1, 2, 3, 4,5, 6

Suceso Aleatorio Un suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral: Ejemplo: Al tirar un dado un suceso sería que saliera par Otro, obtener múltiplos de 3 Otro, sacar 5 Ejemplo: 1. Una bolsa tiene bolas blancas y negras, se extraen sucesivamente 3 bolas, calcular el espacio muestral? E={(b,b,b),(b,b,n),(b,n,b),(b,n,n),(n,b,b),(n,b,n),(n,n,b),(n,n,n)} 2. El suceso A= {Extraen tres bolas del mismo color} A={(b,b,b), (n,n,n)} 3. El suceso B={Extraer al menos una bola blanca} B={(b,b,b),(b,b,n),(b,n,b),(b,n,n),(n,b,b),(n,b,n),(n,n,b)} 4. El suceso C:{Extraer una sola bola negra} C={(b,b,n),(b,n,b),(n,b,b)} TIPOS DE SUCESOS Suceso Elemental Es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Suceso compuesto Cualquier subconjunto del espacio muestral Dado Que salga por A= {2, 4,6 Suceso seguro Está formado por todos los posibles resultados, es decir por el espacio muestral

Ejemplo Al tirar un dado obtener más puntuación que sea menor que 7 A= {Al lanzar el dado puntuación 27 A= { 1,2,3,4,5,6 A= E Suceso Imposibleᶲ Es el que no tiene ningún elemento Ejemplo: Al lanzar un dado obtener una puntuación de 7 Sucesos Compatibles Dos sucesos A Y B son compatibles cuando tienen algún suceso elemental en común Ejemplo A= {Sacar puntuación para tirar un dado B= {Obtener un múltiplo de 3 al tirar un dado A= {2, 4,6} B= {2, 6} Sucesos Incompatibles Los sucesos A y B son incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Cuando la intersección en los dos conjuntos es vacío. Ejemplo: A= {50 car, puntuación por tirar un dado} B= {Obtener múltiplo de 5 al tirar un dado} Sucesos Independientes Dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se vea afectada porque haya sucedido B. Sucesos Dependientes Dos sucesos A y B son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se vea afectada porque haya sucedido B

Ejemplo: Cuando sacas una carta de un paquete de barajas y no las vuelves a poner. Suceso Contrario: El suceso contrario de a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A ESPACIOS DE SUCESOS (S) Es el conjunto de todos los sucesos aleatorios Ejemplo: Si tiramos una moneda el espacio de sucesos está formado por: 5= {0, {C},{X},{X}} E= {C,X}

Unión de sucesos La unión de sucesos A U B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B A U B se lee A o B Intersección de Sucesos La intersección de sucesos: A B, es el suceso formado por todos los elementos que son a la vez de A y B A B se lee “A y B” Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A-B es el suceso formado, por todos los elementos de A que no son de B A-B se lee “A menos B” Sucesos Contrarios El suceso = A

= €- A se llama suceso contrario o complemento de A

Morgan = = PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD Axiomas de Probabilidad 1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1 0 ≤ p(a) ≤ 1 2. La probabilidad de un seguro es 1 p (t) = 1 3. Si A y B son incompatibles, es decir A B = 0 P (A B) = P(A) + P(B) Propiedades: 1. P(A) = 1 – P(A) 2. P(0) = 0 3. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) 4. Si A⊆B -> P(A) ⊆ P(B) 5. Si A1, A2……….Ax son incompatibles dos a dos entonces. P(A1 A2……. Ax) = P(A1)+ P(A2)+…..+ p(Ax) 6. Si el espacio muestral E es infinito y un suceso es 5={x1,x2,+…..+xn} P(5)=p(x1)+p(x2)+p(x5)+……….+p(xn) Ejemplo La probabilidad de sacar un numero par al lanzar un dado. REGLA DE LAPLACE Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay “n” sucesos elementales equiprobables (todos igualmente probables), entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el proceso A es:

Ejemplo: Hallar la probabilidad que al lanzar dos monedas al aire salgan 2 caras.

Número de casos posibles = 4 Casos favorables = c.c.

Número de casos favorables = 1

Ejemplo: En una baraja de 40 cartas, hallar la probabilidad de ases y la probabilidad de corazones. Número de casos posibles = 40 Para los ases casos favorables= 4

Para los corazones Número de casos posibles = 10

PROBABILIDAD DE UNIÓN DE SUCESOS INCOMPATIBLES  

Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un 2 o un 5 al lanzar un dado.

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS COMPATIBLES   Ejemplo: calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de dos o un 6 al lanzar un dado. Múltiplo de 2 =

PROBABILIDAD CONDICIONAL Sean A y B sucesos de un mismo espacio muestral. Se llama probabilidad del suceso B, condicional a A y se representa

a la probabilidad del suceso B

una vez ocurrido A. Ejemplo: calcular la probabilidad de obtener un 6 al lanzar un dado sabiendo que ha salido par.



SUCESOS INDEPENDIENTES: dos sucesos son independientes sí.



SUCESOS DEPENDIENTES: dos sucesos son dependientes sí.

Ctg A =

Csc A =

tg45 =

Csc A=

Ctg45 =

Csc A=

Funciones trigonométrica del ángulo de 60º

Sen60º =

tag 60º =

Sec 60º=

Sen60º =

tag 60º =

Sec 60º = 2

Cos 60º =

Csc 60º =

Ctg 60º =

Cos 60º =

Csc 60º =

Ctg 60º =

Sen 30º =

Csc 30º = 2

Sen 30º =

Sec 30º =

Tag 30º =

Ctg 30º =

En un triángulo rectángulo la longitud de la hipotenusa es veces la longitud de la hipotenusa es veces la longitud de uno de sus catetos. Cuáles son los ángulos agudos del triángulo.

A =? 45º

Sen A=

B =?

Sen A=

45º Demostrar que el cos 60 es igual a 2 cos^2 30+1 Cos 60= 2 cos^2 30 – 1 =2

-1

= =

= -1

Expresar = c/u de las siguientes funciones como otra función del angulo complementario. tg 30º =

ctg60º

cos 20º = sen70º sec 81º = csc 19º Para que ángulo x es tag (30º – x) = ctg (30º+ 3x) Tg (A) = ctg ÁNGULOS TRIGONOMETRICO 1. 2. 3. 4.

Sen (x+4) = Sen x.Cos y + Cos x.Sen y Sen (x- 4) = Sen x.Cos y - Cos x.Sen y Cos (x+4) = Cos x.Cos y - Sen x.Sen y Cos (x- y) = Cos x.Cos y + Sen x.Sen y

 Ejemplo: Demostrar: Sea (x+y) = Sen x.cos y + Cos x.Sen y Sea: y=-y Sen(x-y) = Sen x.Cos (-y) + Cos x.Sen (-y) Sen(x-y) = Sen x.Cos y – Cos x.Sen y Demostrar: Cos (x-y) = Cos x.Cos y + Sen x.Sen y Cos (x+y) = Cos x.Cos y – Sen x. sen y

Sea : y=-y Cos(x-y)=Cos x Cos(-y) – Sen x Sen y Cos (x-y) = cos x cos y + sen x sen y

Hallar el coseno de 15 usando las formulas del ángulo de 30 y 45 Cos (45-30) = Cos45. Cos30 + Sen45. Sen30 Cos 15 =

-½=

Demostrar Sen(60º+x) – sen(60º-x) = Sen(x) Sen 60º.Cos x + Cos60º .Senx-(sen 60º .Cos(-x) – cos60º .sen(-x) = Sen(x) Sen 60º. Cosx + Cos60º. Senx – Sen60º .Con(x) + Cos60º .Sen(x) 2cos60º .sen x = sen x 2 ½ senx = senx Sen x = senx tg (x+y) = tg (x+y) = = Dividimos para: Cosx Cosy tg(x+y) = tg (x+y) = 2. tag (x-y) ctg (x+y)= ctg (x+y) = cos (x+y)/sen (x+y)

= dividido para: senx seny ctg (x+y) = ctg (x+y) = FUNCIÓNES TRIGONOMETRICAS Sen XOB =

ctg XOB =

Cos XOB =

Sec XOB =

tag XOB =

csc XOB =

Signos algebraicos de las funciones trigonométricas Función Sen Csc Cos Sec Tag Ctg

Cuadrante I +

Cuadrante II +

Cuadrante IV -

Calcule las seis funciones trigonométricas Ctg x=

Cuadrante III -

= Sen x = ± Cos x =± Tag x =± Ctg x = ± Sec x= ± Csc x =±

Expresar en función de la tangente cada una de las otras 5 funciones trigonométricas de A Tag A= Desde dos puntos A y B localizados en tierra y en línea recta con un edificio, los ángulos de elevación a la parte más alta del edificio sen 15 y 22 respectivamente. si la distancia entre A y B es de 70 metros ¿hallar la altura del edificio? Tag 22º = → h= xtg 22º Tag 15º =

→ h= (x+70) tag 15º

Función Tangencial Sabiendo que: Sen x =

r= ±

Cos x =

Csc A = ± Sec A= ± Ctg A=

Función Trigonométrica de ángulos de 0º, 90º , 180º, 270º 0 para Po → x= 1^ y=0

90 para P1 → x=0 ^ y=1 P2

180para P2→ x=-1^ y=0 270para P3 →x=0 ^ y=-1

Angulos 0º 90º 180º 270º

Sen 0 1 0 -1

Cos 1 0 -1 0

Tag 0 Ώ 0 Ώ

Ctg Ώ 0 Ώ 0

Sec 1 Ώ -1 Ώ

Csc Ώ 1 Ώ -1

Medidas de ángulos: Medida en grados Medida en radianes Medidas en grados: Unidad= grado 1grado = ángulos centrales que subtiende un arco cuya longitud es igual a 1 de longitud es a 1/360 de longitud de la circunferencia 1º= 60´ = 60 minutos segundos

es grados 15 minutos 36

1´= 60¨ =60 segundos

63º 15´36¨

a) 1 minuto  60 seg x

36 seg

x= 0.25

1 grado  60 min x

x= 0.6min

x= x= 0.25 36 seg 1 min 60 seg

15 min

1 grado 60 min

0.01grados

1º 60 min

63º 15´35¨= 63.26º Medidor Circular

0.6

0.25º

Unidad = Radian 1radian: es un ángulo correspondiente a un arco cuya longitud es igual a la longitud del radio de círculo.

Angulo central de la circunferencia= 360º 2 rad = 360º rad = 180º 1 rad = 180º/ Relaciones Fundamentales Lamemos A algunos ángulos XBO entonces 1. Sen A= 2. Cos A= 3. Tag A= 4. Ctg A= 5. Sec A= 6. Csc A= Teorema Las funciones Trigonométricas del ángulo A satisfacen las relaciones 7. Sen A.Csc A 8. Cos A.Sen A 9. Tag A.Ctg A

10. Tag A= 11. Ctg A= 12. 13. 14. Corolario 15. Sen A= 16. Sen A= ± 17. Cos A= 18. Csc A= ±

Demostrar que Sec A – TagA.senA = Cos A Sec A – TagA.SenA = = = = Cos A Demostrar ( ( = = =1

GRAFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Grafica Sen(X)

Grafica Cos(X)

Grafica Tag(X) =

Grafica Sec(X)

RESOLUCION DE TRIANGUKOS OBLICUANGULOS Propiedades comunes a todos los triángulos: 1. La suma de los tres ángulos es igual a 180º 2. El lado mayor se opone al ángulo mayor y recíprocamente Ley de Senos Es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

. Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresiรณn anterior se obtiene un nuevo teorema:

LEYES DE COSENOS En un triangulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las otras 2 monos el doble producto de estos dos lados por el coseno del รกngulo que forman.

En โ ฒabc

1- 2 pero DB = C- AD

Datos: A=65ยบ B=40ยบ a=45 Resolver el triangulo 180ยบ= a+b+c c= 180ยบ-a-b c=180ยบ-65ยบ-40ยบ b= 31.92

c=75ยบ

Dos navíos salen de un puerto al mismo tiempo, Uno navega en dirección 62º, 15 al este del norte a la velocidad de 24 millas/ h, el otro navega en la dirección de 18º20´ al oeste del sur a una velocidad de 20 millas/h a qué distancia están los navíos después de 2 horas. 15

1 60

62º15´ 18 20´

62,25º 18,33º b^2=a^2+c^2-ac Cos b

b= 31.66

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO SUPLEMENTARIO

sen ( 180° - α ) = sen α cos( 180° - α ) = - cos α tan ( 180° - α ) = - tan α ctg( 180º - α ) = - tan α sec ( 180° - α ) = -sec α csc( 180° - α ) = - csc α

Ley de tangentes La suma de dos lados de un triangulo es a su diferencia como la tangente de la mitad de la suma es a la tangente de la mitad de la diferencia 

Dados los ángulos



Reemplazando por las identidades antes mencionadas:



Dividiendo al numerador y al denominador por



Separando la suma y la resta:



Simplificando cada fracción:



Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente, se obtiene:

FUNCION TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS DOBLES Para hallar Sen (2x) Seno(x+y9 = Senx.Coy +Seny.Cosx Sea y=x Sea(x+x) = Senx Cosx + Sen. Cosx Sen(2x = Sex.Cosx

Para hallar Cos (2x) Cos (x+y) = Cosx.Cosy – Senx.SenY Sea y=x Cos(x+x) = cos x2 – senx2 Cos (2x) = Cos2 x – Sen2 x

1= sen2 x + cos2 x cos2 x = 1 – sen2 x y Sen2 x= 1- cos2 x Cos (2x)= 1-2sen2 x Cos (2x) = 2cos2 x - 1

GEOMETRÍA PLANA Ángulos Angulo.- Es la apertura formada por 2 rayos divergentes que tienen extremo común que se denomina vértice.

CLACIFICACION SEGÚN LA MEDIDA Angulo convexo

0º< β< 180º

Angulo agudo

0º< β< 90º

Angulo recto

Angulo obtso 90º< β< 180º

ángulo concavo

ÁNGULO CLASIFICACION SEGUN LA SUMA

Angulo suplementario

ANGULOS CLASIFICACION SEGUN SU POSICION

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.

ANGULOS DETERMINADOS POR SU TRANSVERSAL Las recta r corta a las rectas paralelas m y n:

Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres: Interiores o internos:

En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas. Ángulos exteriores o externos:

Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas. Ángulos correspondientes: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas. Los ángulos del mismo color son correspondientes: El ángulo a se corresponde con el ángulo a’ El ángulo b se corresponde con el ángulo b’ El ángulo c se corresponde con el ángulo c’ El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

Ángulos alternos internos Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:

Los ángulos internos son d’, c, b y a’. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b, y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí. Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:

Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c’, y por otro, los ángulos b’ y d. Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí. PROPIEDADES

CORRECION DE LA PRUEBA 1) Resolver:

3x - 6 = 2x + 2 x=8 2) Calcular:

512 =

9 = 5y y = 9/5 3) Resolver:

(x + 4) (x - 2) = 0 x1 = -4 x2 = 2 4) Calcular Dg:

1- x  0 x1

4+x0 x  -4

Dg: [-4, +[ - {1} 5) Calcular Df:

x-2 x2 1x-2 3x Df = [2, 3[ 6) Dado el triángulo, halle la distancia:

Sen 74 = 24 /25 Sen 37 = 3 /5 d=? 180° - 69° - 74° = 37°  = 37°

d = 54 . 8 d = 432 m 7) En el triángulo ABC se cumple que: a2 = b2 + c2 -bc Calcular el ángulo A a2 = b2 + c2 -bc Cos A

b2 + c2 -bc = b2 + c2 -bc Cos A 1 = 2Cos A Cos A = 1/2 A = ď °/3 8) Simplificar

= -1