Matemáticas básicas con trigonometría, 2da edición ismael gutiérrez g freelibros org by Jordan LeParkourCrash

Matemáticas básicas con trigonometría Segunda edición

Ismael Gutiérrez García Jorge Robinson Evilla

Barranquilla

Colombia, 2011

Gutiérrez García, Ismael. Matemáticas básicas con trigonometría / Ismael Gutiérrez García, Jorge Robinson Evilla. -- 2a ed. Barranquilla : Editorial Universidad del Norte, 2011. xi, 212 p. : 28 cm. Incluye referencias bibliográficas (p. 209) e índice ISBN 978-958-741-181-2 (pasta blanda) 1. Matemáticas. 2. Trigonometría. I. Evilla, Jorge Robinson. II. Tít. 512.13 G984m --22 ed. (CO-BrUNB : 82185)

www.uninorte.edu.co Km 5, vía a Puerto Colombia, A.A. 1569 Barranquilla (Colombia)

Coordinación editorial Zoila Sotomayor O. Editor Humberto Llinás Solano Corrección de textos Henry Stein Procesos técnicos Munir Kharfan de los Reyes Diseño de portada Joaquín Camargo Valle

Hecho en Colombia Made in Colombia

Autores

Ismael Gutiérrez García Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad del Atlántico. Magíster en Matemáticas, convenio Universidad del Valle-Universidad del Norte. Doctor en Matemáticas (Dr. rer. nat) de la Universidad de Johannes Gutenberg de Mainz (Alemania) y miembro de la Sociedad Colombiana de Matemáticas. Desde 1993 es profesor de tiempo completo de la Universidad del Norte y actualmente es director del grupo de investigaciones en Álgebra de esta institución.

Jorge Robinson Evilla Licenciado en Ciencias de la Educación, énfasis en Matemáticas y Física, de la Universidad del Atlántico. Especialista en Matemáticas de la Universidad del Norte. Desde 1995 es profesor catedrático de la Universidad del Norte.

Indice general

Los Fundamentos

XIII

lo Los números reales

1 1 5 11 15 19 27 34

2. Exponentes racionales 2.1. Inducción matemática 2.2. Exponentes enteros . 2.3. Exponentes racionales y raíces 2.4. Aplicaciones.

43 43 49 59 70

3. Relaciones y funciones reales 3.1. Primeras definiciones . 3.2. Notación funcional alternativa. 3.3. Funciones polinómicas 3.4. Operaciones entre funciones

81 82 87 91 96

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

Introducción. Los axiomas de cuerpo Los axiomas de orden El principio de buen orden. N úmeros enteros y racionales El axioma del extremo superior El valor absoluto: propiedades.

4. Ecuaciones e inecuaciones 4.1. Los números complejos. 4.2. Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2 4.3. Teoremas del residuo y del factor 4.4. El teorema fundamental del álgebra VII

109 109 115 125 131

Gutiérrez-Robinson

VII'

4.5. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

141

Trigonometría

5. Trigonometría plana 5. 1. Preliminares . . . . 5.2. Fórmulas de reducción .. 5.3. Funciones t rigonométricas 5.4. Ecuaciones trigonométricas 5.5. Aplicaciones: solución de triángulos. 5.6. Funciones t rigonométricas inversas

143 144 151 155 164 175 184

Lista de símbolos

191

Alfabeto griego

193

Respuestas a los ejercicios

195

Bibliografía y referencias

205

íNDICE GENERAL

Prólogo En este texto, diseñado inicialmente para estudiantes de los primeros semestres de ingenierías, se destacan claramente tres ejes temáticos: los números reales como un cuerpo ordenado, las funciones reales de variable real y los primeros elementos de la trigonometría plana. La presentación de los números reales se hace axiomáticamente. En primer lugar presentamos los axiomas de cuerpo, y con base en ellos se demuestran propiedades de tipo algebraico, como la unicidad de los módulos y la unicidad de los inversos, entre otros. Además de los resultados matemáticos, en esta parte presentamos la demostración como herramienta principal del quehacer matemático, con el propósito que los estudiantes puedan tener una aproximación directa al método de construcción matemática. Esto permite que observen la coherencia y la importancia de obtener resultados sólo a partir de axiomas y definiciones, y por otro lado que observen en la demostración un ejercicio de pensamiento estrictamente necesario para un juicio matemático. El axioma del extremo superior, además de introducir una primera noción topológica de los números reales, nos permitirá caracterizar los números naturales, los enteros, teniendo como fundamento el principio de buen orden. Haremos énfasis especial en el uso de uno de los métodos de demostración más importantes de la matemática como es el principio de inducción matemática. Con éste demostraremos las propiedades de los exponentes enteros y racionales. El segundo tema de este libro lo constituyen las funciones reales de variable real. Sin duda, uno de los grandes temas de la matemática. Hacemos una presentación formal de éste, es decir, presentamos las funciones como conjuntos de parejas ordenadas que satisfacen propiedades específicas. Posteriormente presentamos una notación alternativa de la misma, con el propósito de sentar las bases para tratamientos posteriores IX

Gutiérrez-Robinson

de las funciones reales de variable real en cursos de cálculo diferencial, cálculo vectorial o álgebra lineal. En la parte correspondiente a la trigonometría se hace especial énfasis en el manejo de las funciones trigonométricas, y además de presentar la forma de determinar sus valores y sus gráficas, se exponen y demuestran sus propiedades. Las identidades trigonométricas se estudian como un caso particular de las ecuaciones trigonométricas y se discuten las aplicaciones comunes, tales como el teorema del seno y del coseno. Otro de los objetivos de este texto es que los estudiantes tengan la posibilidad de profundizar en algunos conceptos que no son habitualmente incluidos en los cursos regulares de álgebra y trigonometría pero que muchas veces resultan necesarios e interesantes. Además colocar las bases para un recorrido formal y claro por las principales líneas del pensamiento matemático. Tratamos entonces de evitar presentar resultados matemáticos sueltos e incrustados de manera incoherente o superficial. Esperamos los comentarios, correcciones y sugerencias de parte de toda la comunidad educativa, que sin lugar a dudas serán de gran valor y pertinencia en este arduo trabajo que es el aprendizaje en matemáticas. En este punto deseamos agradecer a los colegas y amigos Sebastián Castañeda, MSc., por su impulso para materializar la idea, a Carlos Vega, MSc., por la lectura cuidadosa del manuscrito y por sus valiosas sugerencias, a Ricardo Prato, MSc., por su ayuda en la edición del texto, y con igual aprecio a Guillermo Cervantes, MSc., por su apoyo desde la dirección del departamento de Matemáticas.

íNDICE GENERAL

Prólogo a la segunda edición En la presente edición se encontrarán algunas extensiones del material inicial, concretamente en lo referente a ejercicios propuestos y temas importantes de la trigonometría como lo son las funciones trigonométricas inversas. Otro elemento importante que hemos incorporado es una sección con las respuestas a un gran número de ejercicios. Nuevamente agradecemos a todos los colegas del departamento de Matemáticas de la Universidad del Norte por el apoyo, especialmente al Dr. Jairo Hernández por sus comentarios y sugerencias acertadas.

Parte I

Los Fundamentos

Capítulo 1 Los números reales Contenido 1.1. Introducción

......

1.2.

Los axiomas d e cuerpo

1.3.

Los axiomas de orden .

1.4.

El principio de buen orden.

1.5.

Números enteros y racionales

1.6.

El axioma del extremo superior .

1. 7.

El valor absoluto: propiedades . .

En este primer capít ulo presentamos los fundamentos del curso. P ara lograrlo estudiaremos en primer lugar la estructura de cuerpo ordenado de los números reales, además presentaremos las consecuencias más importantes de los axiomas asumidos.

1.1.

Introducción

Existen múltiples formas para int roducir el conjunto de los número reales. Una muy usual es postular la exist encia del conjunto de los números naturales N = {l , 2, 3,· .. } y construir ampliaciones sucesivas de éste, pasando por los enteros, los racionales y los irracionales hasta llegar a los número reales. Esta opción por lo gener al carece de rigurosidad . 1

Gutiérrez-Robinson

Nuestra propuesta metodológica con respecto al conjunto de los números reales no es constructiva, por el contrario, adoptaremos una descripción axiomática de éste. El método que utilizaremos es de tipo deductivo, es decir, se asume la noción de número real como concepto primitivo. Una vez aceptada la existencia de un conjunto cuyos elementos son los números reales, dotado con dos operaciones binarias, suma y multiplicación, el siguiente paso es aceptar un conjunto de axiomas o postulados, que describen entre otras las propiedades de las operaciones y con base en éstos deduciremos o demostraremos propiedades de los números reales. Cuando usamos el término primitivo, queremos indicar que la naturaleza de los elementos del conjunto de los números reales (notado con lR.) no jugará un papel central en el desarrollo de la teoría; lo importante será las propiedades que podamos deducir a partir de los postulados. Los axiomas que vamos a considerar estarán clasificados en tres grupos: los axiomas de cuerpo, los cuales hacen referencia a la componente algebraica del conjunto R Los axiomas de orden nos permitirán comparar dos números reales y de alguna manera estos inducen una geometría en lR.. El tercero es el axioma del extremo superior, el cual garantiza la existencia de un número real especial asociado a subconjuntos no vacíos de lR., que son acotados superiormente. Con éste tenemos los primeros aspectos topológicos de R Desde la Antigüedad se encuentran múltiples ejemplos de argumentaciones de tipo deductivo. Por ejemplo, Euclides de Alejandría 1 publicó múltiples obras, entre las que destacan los famosos Elementos, sin duda una de las grandes joyas de las matemáticas a lo largo de toda la historia. Estos están divididos en trece libros, los seis primeros están dedicados a la geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudox0 2 . Los libros séptimo al noveno tratan sobre teoría de números, el décimo comienza con cuatro definiciones en las que se explica lo que son los segmentos conmensurables e inconmensurables, es decir, racionales e lEuCLIDES(330 a.c. - 275 a.C.) , matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de él, p ese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. 2EuDOXO DE CNIDOS (400 a.c. - 350 a.c.), astrónomo y matemático griego nacido en Cnidos, actual Turquía. Estudió matemáticas con Arquites, filosofía en la escuela de Platón en Atenas y astronomía en Heliópolis. Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

irracionales, y los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio. Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes. La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto postulado, el de las paralelas. Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas "no euclidianas" , en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella. Isaac Newton3 con su obra más importante, Philosophiae naturalis principia mathematica, presenta en 1687 otro ejemplo de una teoría fundamentada en sistemas deductivos. En ella formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si sobre él no actúa ninguna fuerza; la segunda establece que la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, indica que por cada acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de sentido contrario. La mayoría de estas ideas formaban parte del ambiente científico de la época; pero fue Newton quien les dio el carácter sistemático de una teoría general, capaz de sustentar la concepción científica del Universo durante varios siglos. Suele considerarse a Newton uno de los protagonistas principales de la llamada "Revolución científica" del siglo XVII y en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna. 3 I SAAC NEWTON (1642 - 1727) , científico inglés educado en la Universidad de Cambridge, donde asimiló los conocimientos y principios científicos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon, Descartes y Kepler, entre otros. Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo infinitesimal, que contribuiría a una profunda renovación de las matemáticas. En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society de Londres.

1.1. Introducción

Gutiérrez-Robinson

Otro ejemplo lo encontramos en el matemático alemán David Hilbert 4 , quien fue un enconado defensor de la axiomática como enfoque principal de los problemas científicos. Teniendo como fundamento a Euclides, publicó en 1899 su obra Grundlagen der Geometrie, en la que, mediante un exhaustivo análisis y perfeccionamiento de las ideas euclidianas, formuló sus principios de axiomatización. En esta obra Hilbert realizó el primer esfuerzo sistemático y global para hacer extensivo a la geometría el carácter puramente formal que ya habían adquirido la aritmética y el análisis matemático. A partir de 1904 empezó a desarrollar un programa para dotar de una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos, con el objetivo último de axiomatizar toda la matemática. Aunque su propósito de demostrar la consistencia de la aritmética había de verse frustrado por los resultados posteriores (1931) obtenidos por el matemático austriaco Kurt Gode15 , el programa de formalización de Hilbert contribuyó al desarrollo de la llamada metamatemática, como método para establecer la consistencia de cualquier sistema formal. Kurt Godel, a los 24 años de edad, como estudiante de la universidad de Viena presenta su tesis doctoral sobre un conjunto de axiomas de lógica elemental, con los cuales se demuestra que es posible derivar todas y solamente las verdades de la lógica. La demostración del teorema de completitud para el cálculo de predicados trajo la falsa esperanza a los matemáticos que trabajaban en esa área de que el programa de axiomatización de Hilbert sería viable. No obstante, un año después, en 1931, el mismo Godel publicó en la revista alemana Monatshefte für Mathematik und Physik el extremadamente difícil y brillante articulo titulado "Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines) con el cual echaría por tierra el sueño hilbertiano. 4DAVID HILBERT (1862 - 1943) Matemático alemán. Estudió en Heidelberg, Berlín y Ki:inigsberg, donde se doctoró a finales de 1884. En el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París en 1900, Hilbert presentó una lista de 23 problemas que no habían sido resueltos todavía; a su juicio, las probables líneas de desarrollo que iba a seguir la matemática del siglo XX habrían de estar en buena medida vinculadas a la resolución de dichas cuestiones. 5KuRT GOOEL (1906 - 1978) Lógico austriaco , estudió en la universidad de Viena en una época de poco esplendor cultural. Obligado por la ocupación alemana de Austria viajó a los Estados Unidos en 1940. Fue miembro del Instituto para Estudios Avanzados de Princeton.

Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.2.

Los axiomas de cuerpo

Dado que el primer interés es abordar el estudio de la parte algebraica de los números reales, asumimos que sobre lR están definidas dos operaciones binarias, denominadas suma y mult iplicación , las cuales representaremos con " +" y "." respectivamente. Esto es, cada par de números reales x, y t iene asociado un único número real x + y (su suma) y de igual manera otro único número real x . y (su pro ducto). Escribiremos simplemente xy en lugar de x . y. Antes de considerar los axiomas de cuerpo intro ducimos las propied ades que satisface el símbolo de igualdad en R 11 Reflexividad. P ara to do x E lR, se verifica que x = x. 12 Simetría. P ara to do x, y E lR, si x

y y y

z, entonces

y , entonces x

+z = y +z

y , entonces y

13 Transitividad. P ara to do x, y , z E lR, si x

x = z.

14 Monotonía. Para to do x, y, z E lR, si x y xz = y z.

Los axiomas de cuerpo para lR son los siguientes: Para to do x, y, z E lR Cl Asociatividad. (x C2 Conmutatividad.

+ y ) + z = x + (y + z) y (x y )z = x( y z). x + y = y + x y x y = yx .

C3 Existencia de módulos. Existe un números real O (cero) y un número reall (uno) tal que para to do x E lR se verifica x + O = x y x l = x. C4 Existencia de inversos. Para to do x E lR existe y E lR tal que x+ y = O. Se denotará este y con - x. Además para to do O i= x E lR existe z E lR tal que xz = 1. La notación usual par a este z es x- 1 o lx . C5 Distributividad. x(y

+ z) = x y + xz .

En este punto podemos decir que el conjunto lR con las operaciones suma y mult iplicación adquiere la estructura algebraica de cuerpo (también usualmente denominada campo). Nota. Como consecuencia de Cl podemos escribir x + y + z para denotar (x + y ) + z o x + (y + z). De manera similar , la expresión x y z denota sin lugar a confusión (x y )z o x( y z). 1.2. Los axiomas de cuerpo

Gutiérrez-Robinson

Iniciamos ahora las deducciones de algunas resultados que son consecuencia inmediata de los axiomas de cuerpo y de la igualdad . 1.2.1 Teorema. (Propiedad cancelativa) Sean x, y E R 1. Si x

+ y = x + z,

2. Si x y = xz y x

entonces y = z

i= O, entonces y =

D EMOSTRACIÓN: 1. Sean x, y E R Entonces

O+ y

(( - x)+x)+ y - x+(x+ y ) - x+(x+z ) (( - x)+x)+z O+z z 2. Sean x, y E R Entonces y

ly (x- l x )y x- l (x y) x- 1(xz ) (x- l x)z

lz z

En el siguiente teorema se demuestra que los módulos para la suma y la multiplicación en lR. son únicos. 1.2.2 Teorema. (Unicidad de los módulos) Existen a lo más un módulo para la suma y un módulo para la mult iplicación en R D EMOSTRACIÓN: La existencia de los respectivos módulos está garant izada por el axioma C3. Demostramos ahora que estos son únicos. Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

Supongamos que existen dos números reales, O y 0' , que satisfacen C3 . Entonces para to do x E lR. se t iene que x + O = x y x + 0' = x. Por lo tanto, x + O = x + 0' . Aplicando el teorema 1.2.1(1) se sigue que O = 0' . De manera similar se demuestra que existe un único 1 E lR. que satisface el axioma C3 . D 1.2.3 Teorema. (Unicidad de los inversos) Todo número real x admite un único inverso adit ivo - x y to do número real no nulo x admite un único inverso mult iplicativo x-l. DEMOSTRACIÓN: Sea x E lR. Y supongamos que x t iene otro inverso adit ivo y . Esto es, existe y E lR. tal que x + y = O. Entonces x + y = O = x + (- x). Nuevamente del teorema 1.2.1(1) se sigue que y = - x y se t iene la unicidad . Denotemos con lR. x el conjunto lR. \ {O} . Sea ahora x E lR. x y supongamos que para x existe otro número real y tal que x y = 1. Entonces x y = 1 = xx- l . Si usamos ahora 1.2.1(2) se t iene que y = x- l . D 1.2.4 Teorema. Sean a, b E R Entonces 1. Existe un único número real x tal que a + x = b. Este número x es usualmente denotado con b - a. 2. Si a i= O, entonces existe un único número real y tal que ay = b. Este número y lo notaremos con ~. DEMOSTRACIÓN: 1. Existencia. Dado a E lR., siempre existe su inverso adit ivo - a E R Defín ase x := b + (- a). Entonces

a+x

x+a (b +( - a))+a b +(( - a)+a) b+ O b

U nicidad. Supongamos que existe x ' E lR. tal que a + x ' = b. Entonces a + x = a + x' y el resto se sigue del teorema 1.2.1(1). 1.2. Los axiomas de cuerpo

Gutiérrez-Robinson

2. Exist e ncia. Si a E a- lb. Entonces

]R x ,

entonces existe a- l E R Definamos y :=

a(a- I b)

(aa- l )b

lb b Unicidad. Supongamos que existen x, x ' E ]R tal que ax = b = ax' . Entonces ax = ax' . La conclusión se sigue de 1.2.1(2). D

E n el siguiente teorema se demuestran propiedades importantes del cero. El segundo resultado será de gran importancia para la resolución de ecuaciones cuadráticas. 1.2.5 Teorema. Sean x, y E R Entonces 1. x O = Ox 2. x y

= O si y sólo si x = O V

D EMOST RAC IÓN:

1. Sea x E R Entonces 0 + x O = x O = x(O + O) = x O + x O. Utilizando una vez más el teorema 1.2.1(1) se t iene la afirmación . 2. Si x = O o y = O, entonces de la parte 1 se sigue que x y = O. Recíprocamente, supongamos que x y = O Y x que y = O. En efecto Y

O. Demostramos

1y (x- I x) y x- l (xy) x-l O

Como consecuencia de los axiomas de cuerpo y de los teoremas anteriores, presentamos ahora algunas propiedades importantes de los inversos adit ivos y mult iplicativos de números reales.

Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.2.6 Teorema. Sean x, y, z E lR. Entonces

1. -(-x) = x 2. (-x)y

= -(xy) = x( -y)

3. (-x)( -y) 4. (-I)x

= xy

= -x

5. x(y - z) = xy - xz DEMOSTRACIÓN:

1. Dado que x E lR, existe -x E lR tal que x + (-x) = O. Entonces x es el inverso aditivo de -x. Es decir, -(-x) = x. 2. Por un lado se t iene que xy

+ (-(xy)) = O.

xy+(-x)y

Por otro lado,

+ (-x))y

Oy O

Dado que el inverso aditivo de un número real es único, se sigue que (-x)y = -(xy). De manera similar tenemos:

+ x( -y)

x(y

+ (-y))

xO O

Como antes, del teorema 1.2.3 se sigue que x( -y) = -(xy). Con la transitividad de la relación de igualdad se completa la prueba. 3. Sean x, y E R Entonces (-x)( -y) = -(x( -y)) = -( -(xy)) = xy. 4. Sea x E R Entonces (-I)x = -(Ix) = -x. 5. Sean x, y, z E lR. Entonces

x(y - z)

+ (-z)) xy + x( -z) xy + (-(xz)) x(y

xy - xz 1.2. Los axiomas de cuerpo

Gutiérrez-Robinson

1. 2.7 Teorema. Sean x, y, z E lR.. Entonces

1. Si x

i= O,

2. Si x, y

entonces (x- 1)-1 = x

i= O,

entonces (xy)-l = x-1y-1

DEMOSTRACIÓN :

1. De la definición de x- 1 se sigue que xx- 1 = 1. Entonces x es el inverso multiplicativo de x-l. Es decir, (x- 1)-1 = x. 2. De la definición de inverso multiplicativo (xy)(xy)-l = 1. Por otro lado se tiene que (xy) (y-1x-1) x(yy-1)x-1

(x1)x- 1 xx- 1 1

Del teorema 1.2.3 se sigue nuevamente la conclusión. 3. Del teorema 1.2.6 (3) se tiene que (_1)-1 = -1. Sea x E R Entonces ((-l)X)-l ( _1)-lx-1

( -1)x- 1 _(x-1) 1.2.8 Ejercicios Sean x, y, z E R Demuestre que

1. -O = O 2. 1- 1 =1

3. -(x + y) = (-x)

+ (-y) =

-x - y

4. -(x - y) = y - x 5. (x - y)

+ (y -

z) = x - z Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.3.

Los axiomas de orden

Intro duciremos ahora en el conjunto de los números reales una relación que nos permite comparar dos números reales dados. P artimos asumiendo que sobre lR. está definid a una relación "menor que". Si x, y E lR., entonces x < y se lee "x es menor que y" . También ut ilizaremos la notación y > x (se lee "y es mayor que x") como alternativa para x < y . Para nosotros no será importante cómo se define esta relación menor que, sino que lo realmente relevante es el hecho que se verifique las siguientes propiedades, denominadas axiomas de orden para los números reales. 01 Tricotomía. P ar a cada par de números reales x, y se verifica una y sólo una de las siguientes afirmaciones: x < y , x = y , V Y < x. 02 Transitividad. Si x < Y Y Y < z, entonces x < z. 03 Monotonía. Si x < y , entonces x xz < y z para to do z > O.

+z < y +z

par a to do z E lR. y

Antes de demostrar algunas consecuencias de los axiomas de orden int roduzcamos alguna notación que simplificará la escrit ura . El símbolo x ::; y (se lee "x es menor o igual que y" ) significa que x < y o x = y . De x < y se sigue naturalmente x ::; y , pero el recíproco en general es falso. Si x ::; Y Y x i= y , entonces x < y . La notación y :2: x es otra forma de escribir x ::; y . Por el axioma de t ricotomía se t iene que si x E lR., entonces x > O, x < O o x = O. Si x > O, entonces x se llamará positivo y si x < O se denominará negativo. El conjunto de to dos los números posit ivos lo notaremos con lR.+. Un número real x se llamará no negativo si se verifica que x :2: O. Si dos números reales x, y son posit ivos, escribiremos x, y > O Y si ambos son negativos, entonces lo notaremos con x, y < O. Si par a x, y , z E lR., se t iene simultáneamente x < y y y < z, entonces podemos resumirlo escribiendo x < y < z. De manera similar escribiremos cuando sea necesario x < y ::; z, x ::; y < z, x ::; y ::; z, x > y > z, etc. 1.3.1 Lema. Sean x, y E R Entonces x < y si y sólo si y - x > O. x

DEMOSTRACIÓN: P rimero demostraremos que si x < y , entonces y - x > O, entonces x < y .

> O y luego su recíproco, es decir, si y

1.3. Los axiomas de orden

Gutiérrez-Robinson

Supongamos inicialmente que x < y. Entonces del axioma 03 se sigue que O = x + (-x) < y + (-x) = y-x. Es decir, y - x > O. Recíprocamente, supongamos que y-x> O. Entonces (y-x)+x > O+x y se sigue que y > x. Es decir, x < y. D En el siguiente teorema demostramos que si un número es positivo, entonces su inverso adit ivo es negativo y si un número es negativo, entonces su inverso aditivo es positivo. 1.3.2 Teorema. Sean x, y E R Entonces 1. x

< O si y sólo si -x > O

2. x

> O si y sólo si -x < O

3. x < y si y sólo si -y < -x DEMOSTRACIÓN:

1. Si en el lema anterior tomamos y = O, entonces se tiene la afirmación. 2. Si en 1. cambiamos x por -x tenemos:

-x < O {:} -(-x) > O {:} x> O 3. Utilizando nuevamente el lema anterior se tiene:

x<y {:} y-x>O

{:} (-x) - (-y) > O {:}

-y < -x

El siguiente teorema establece una compatibilidad entre la suma y la relación de orden. La expresión compatibilidad se interpreta en el siguiente sentido: se pueden sumar miembro a miembro dos desigualdades del mismo tipo y ésta se mantiene. 1.3.3 Teorema. Sean x, y, Z, w E lR.. Si x < Y Y

x+Z < y+w. Capítulo 1. Los números reales

< w, entonces

Matemáticas básicas con trigonometría

DEMOSTRACIÓN: Usando 03 tenemos: x + z < y + z y y + z < y + w. De 02 se sigue que x + z < y + w. D El siguiente demuestra que el producto de dos números reales es positivo, si ambos números son posit ivos o ambos son negativos y también que el producto de dos números reales es negativo, si uno es posit ivo y el ot ro es negativo . 1.3.4 Teorema. Sean x, y , Z, w E lR.. 1. x y

> O si y sólo si x, y > O V x, y < O

2. x y < O si y sólo si x > O Y Y < O V x < O Y Y > O

DEMOSTRACIÓN: 1. Supongamos que x, y > O. Entonces de 03 se sigue que x y > Oy = O. Si x, y < O, entonces del teorema 1.3.2(1) se sigue que

- x, -y > O, Y por lo tanto x y = (- x )( -y ) > O.

Recíprocamente, supongamos ahora que x y > O. Entonces tanto x como y son distint os de cero . Supongamos además que la conclusión es falsa. Entonces uno de los factores sería negativo y el otro sería posit ivo. Esto es (x > O Y Y < O) o (x < O Y Y > O). Dado que las dos sit uaciones son similares, no se pierde generalidad si suponemos x > O Y Y < O. Usando nuevamente el teorema 1.3.2(1) se t endría que -y > O. Entonces - (x y ) = x( -y ) > O, Y con esto se tendría x y < O, lo cual cont radice la hipótesis. E n conclusión , nuestro supuesto es falso y se t iene la afirmación . 2. Se sigue inmediatamente de 1.

El siguiente teorema recoge múlt iples consecuencias de los axiomas de orden. 1.3.5 Teorema. Sean x, y , Z, w E lR..

1. Si x

i= O, entonces

xx > O. En particular 1 > O

2. Si x < Y Y Z < O, entonces xz > yz 3. Si O < x < y , ent onces O < y - l < x- 1 4. Si O < x < y y O <

< w, entonces O < xz < yw

1.3. Los axiomas de orden

Gutiérrez-Robinson

5. Si x ::; y y y ::; x, entonces x relación ::; es antisimétrica)

y (Se dice usualmente que la

DEMOSTRACIÓN:

1. Es una consecuencia inmediata del teorema anterior. 2. Si x < y, entonces y - x > O. Dado que z < O, se tiene que -z > O, Y consecuentemente (y - x) ( - z) > O, es decir, - ((y - x)z) > O, Y por lo tanto -(yz - xz) :2: O. Es decir, xz - yz > O, lo cual demuestra que xz > yz. 3. Para todo a E lR x se tienen que aa- l = 1. Entonces a y a- l t ienen siempre el mismo signo. Por hipótesis x, y > O. Entonces x-ly-l > O. Dado que x < y, se tiene que x(x-ly-l) < y(x-ly-l) y se sigue que y-l < x-l. 4. Por hipótesis O < x < y y 0< z < w. Entonces usando 03 se tiene xz < yz y yz < yw. Aplicando ahora 02 se sigue la conclusión. 5. Usando 01 se tiene que x < y o y < x o x = y, pero las dos primeras opciones contradicen la hipótesis. Por lo tanto sólo es posible x = y. D 1.3.6 Ejercicios Sean x, y, z E R 1. Demuestre que x ::; x.

2. Demuestre que, si x ::; Y Y Y ::; z, entonces x ::; z. (La relación ::; es transitiva) 3. Demuestre que, si x ::; y, y ::; z y x = z, entonces y = z. 4. Sea x E R Si O ::; x ::; E para todo E > O, entonces x = O. 5. Demuestre que el conjunto de los números reales positivos, el cual notaremos con lR+, satisface las siguientes propiedades: a) Si x, y E lR+, entonces x

lR+ Y xy E lR+.

b) Si x i= O, entonces x E lR+, -x ambas simultáneamente.

lR+, pero no pueden darse

e) O~lR+. Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.4.

El principio de buen orden

Nuestro enfoque axiomático de los números reales tiene una extraña consecuencia, nada sabemos sobre el subconjunto de los números naturales. La noción intuitiva de éstos está asociada a la determinación de la naturaleza finita de un conjunto. Es decir, con los números naturales podemos contar. Una alternativa formal para la construcción del conjunto de los números naturales tiene como fundamento los siguientes cinco axiomas introducidos por el matemático italiano Giuseppe Pean0 6 , los cuales referenciamos a manera de información. PI. 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío. P2. Si n es un número natural, entonces n + 1 también es un número natural. El número n + 1 es denominado el sucesor de n. P3. 1 no es sucesor de algún número natural. Esto es, 1 es el primer elemento del conjunto. P4. Si hay dos números naturales m y n tales que sus sucesores son diferentes, entonces m y n son números naturales diferentes. P5. Si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos, entonces contiene a todos los números naturales. Este postulado se conoce como Axioma de inducción.

Esta forma de construir los números naturales, por lo demás elegante, no la consideraremos. Por lo tanto necesitamos definirlos usando nuestro sistema axiomático. Esto es, como subconjunto de R El axioma de cuerpo C3 asegura la existencia del número real 1. Utilizando luego la adición definida sobre lR. se pueden obtener todos los números naturales. En efecto, 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1, Y así sucesivamente. La dificultad que presenta esta opción es que la expresión "así sucesivamente" carece de precisión matemática. 6 Cru SEPPE PEANO (1858 - 1932) , matemático italiano, estudió en la Universidad de Turín, ciudad a la que su familia se había trasladado en 1870. Sus aportes más recordadas son las referentes a la axiomática de las matemáticas. A ese respecto cabe destacar sus axiomas sobre el conjunto de los números naturales o sobre la estructura de un espacio vectorial, así como la definición del concepto de aplicación lineal.

1.4. El principio de buen orden

Gutiérrez-Robinson

1.4.1 D efinición. (Conjunto inductivo.) Un subconjunto J de lR. se llama inductivo si se verifican las siguientes propiedades: CIl. 1 E J .

CI2. Si n E J , entonces n

+ 1 E J.

Ejemplos de conjuntos inductivos son lR. y lR.+. 1.4.2 Definición. El conjunto de los números naturales (notado con N) se define como la intersección de to dos los sub conjuntos de lR. que son inductivos. Esto es, si definimos J := {J I J ~ lR., J es inductivo} , entonces N:= J.

l E :J

Este conjunto también es inductivo. En efecto, 1. 1 E J , para to do J E J. Por lo tanto 1 E N.

2. Si n E N, entonces por la definición de intersección se t iene que n E J , para to do J E J. Dado que cad a J es inductivo, se verifica que n + 1 E J , par a to do J E J , lo cual nos permite concluir que n+ 1 EN. Los elementos de N se llamarán números naturales. De la defini ción de conjunto inductivo se t iene que N = {1 , 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... } =: {1 , 2,3, ... } El siguiente teorema es conocido como principio de inducción matemática. Este es una herramienta fundamental para la demostración de la validez para to do n E N, de proposiciones que dependen de n. 1.4.3 Teorema. (Principio de inducción matemática) Sea J un sub conjunto de N. Si J es inductivo, entonces J = N.

D EMOSTRACIÓN: Si J es un conjunto inductivo, entonces de la definición de N se sigue que N ~ J . Por hipótesis J ~ N, entonces J = N. D

E l siguiente teorema asegura que si restringimos al conjunto N la suma

y la mult iplicación definida sobre lR., entonces se verifica que N es cerrado bajo estas operaciones. Es decir , la suma y mult iplicación de dos números

naturales son también números naturales.

Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.4.4 Teorema. Si x, y E N, entonces x

N Y xy E N.

DEMOSTRACIÓN: Sea m E N cualquiera y consideremos el conjunto J := {n E N I m

+ n E N}

Demostramos que J es inductivo: 1. Dado que N es inductivo y m E N, se tiene que m tanto 1 E J.

+ 1 E N.

Por lo

2. Sea n E J. Entonces m + n E N Y dado que N es inductivo , se t iene que (m + n) + 1 = m + (n + 1) E N. Es decir, n + 1 E J. Usando el principio de inducción se tiene que J = N. Por lo tanto, si x, y E N, entonces x + y E N. En forma similar se obtiene la cerradura con respecto a la multiplicación. D 1.4.5 Teorema. Todo número natural es positivo, O ~ N Y el inverso aditivo de cada número natural no es un número natural. DEMOSTRACIÓN: Consideremos el conjunto J = {n E N I n:2: 1}. Demostramos que J es inductivo: 1. Dado que 1 E N Y 1 :2: 1, se tiene que 1 E J . 2. Si n E J , entonces n :2: 1 Y por el teorema 1.3.3 se tiene que n + 1 :2: 1. Es decir, n + 1 E J . Por lo tanto J = N. Es decir, n :2: 1, para todo n E N. Dado que 1 > O (ver teorema 1.3.5(1)), se sigue que todo número natural es positivo y por lo tanto O y el inverso aditivo de cada número natural no pertenece aN. D 1.4.6 Ejercicios Sea No := N U {O}. Demuestre las siguientes afirmaciones: 1. h := {1} U {x E

lR l x :2: 2}

es inductivo . Por lo tanto h = N.

2. No existe m E N tal que 1 < m < 2. 3. h := {n E N I n - 1 E No } es inductivo. Por lo tanto h = N. 4. h := {n E N I no existe m E N tal que n < m < n inductivo . Por lo tanto h = N. 1.4. El principio de buen orden

+ 1}

Gutiérrez-Robinson

5. Si m y n son números naturales tal que m < n+ 1, entonces m ::; n. 1.4.7 Teorema. No existe m E N tal que n < m < n DEMOSTRACIÓN: Ver ejercicios anteriores.

+ 1.

Ahora deseamos establecer el principio de buen orden para el conjunto de los números naturales. Para ello presentamos las definiciones de elemento mínimo y elemento máximo de un conjunto A. 1.4.8 Definición. Sea A un subconjunto no vacío de R Diremos que m E 1R. es un elemento mínimo de A, notado m = mín(A), si se verifican: 1. m E A

2. m::; x, para todo x E A En el siguiente teorema demostramos que si A es un subconjunto no vacío de N, entonces existe mín(A). 1.4.9 Teorema. (Principio del buen orden.) Si A es un subconjunto no vacío de N, entonces A tiene un elemento mínimo. DEMOSTRACIÓN: Sea A un subconjunto no vacío de N y supongamos que A no admite un elemento mínimo. Entonces 1 ~ A, ya que de lo contrario éste sería su elemento mínimo. Entonces para todo m E A se verifica que m > 1. Definamos el conjunto J := {k E N I k < m, para todo m E A}. Por lo tanto 1 E J. Sea ahora k E J cualquiera. Entonces se verifica que k + 1 ::; m para todo m E A, ya que de lo contrario k + 1 > mo para algún mo E A y se tendría que k < mo < k + 1, lo cual por el teorema 1.4.7 sería imposible. Dado que A no tiene elemento mínimo, debe cumplirse que k + 1 < m para todo m E A. Esto significa que si k E J, entonces k + 1 E J y se tiene que J es inductivo y por el principio de inducción J = N. Por otro lado, como A no es vacío, tomemos m E A. Entonces m E J y se cumpliría la desigualdad m < m, la cual es un absurdo. Esta contradicción demuestra que la suposición inicial es falsa, y se tiene D entonces el principio de buen orden. Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.5.

Números enteros y racionales

Podemos ahora presentar una definición para el conjunto de los números enteros, el cual notaremos con Z (por influencia del término alemán Zahlen, que significa número). Dado n E N, el axioma de cuerpo C4 garant iza la existencia del número real - no Entonces definimos Z := N U {O} U { - n I n E N } ~ R

Esto es,

O" 1 2 ... } Z = {... , -2 , -1 "

Evidentemente, se t iene que N ~ No ~ Z. El conjunto Z puede expresarse como la unión disjunta de dos sub conjuntos especiales, el sub conjunto de los números pares (notado con 2Z) y su complemento (con respecto a Z), el subconjunto de los números impares , el cual notaremos con (2Z) '. 1.5.1 Definición. Sea x E Z. 1. x se denomina par , si existe k E Z tal que x

2. x se llamará impar , si existe m E Z tal que 2m

2k .

+ 1.

En notación de conjuntos tenemos: O '2 " 4 6 ... } 2Z = {... , - 6 , - 4 , -2 " 1" 3 5 ... } ( 2Z)' = {... , - 5 , - 3 , -1 " 1.5.2 Lema. Sea x E Z y definamos x2 := xx. 1. Si x es impar , entonces x2 es impar 2. x es par si y solo si x2 es par D EMOSTRAC IÓ N:

1. Si x es impar, entonces x = 2m + 1, par a algún m E Z. Entonces x2 = (2m + 1)(2m + 1) = 2(2m 2 + 2m ) + 1. Esto demuestra que x2 es impar.

2. Si x es par, entonces x = 2k para algún k E Z. Entonces x2 (2k )(2k ) = 2(2k 2). Dado que 2k 2 E Z, se t iene que x2 es par. E l recíproco de esta afir mación se sigue de 1. 1.5. Números enteros y racionales

Gutiérrez-Robinson

1.5.3 Ejercicios Sean m, n E Z, con m i= O. Diremos que m divide a n, notado con m n, si existe k E Z tal que n = km. Demuestre las siguientes afirmaciones: 1

1. 1 n, para todo n E Z. 1

2. Si m

i= O,

entonces m i O.

3. Si m n y n k, entonces m 1

4. Si m

11, entonces m =

±1.

5. Si m n y n m, entonces m = ±n. 1

Presentamos ahora otro subconjunto importante de los números reales, el conjunto de los números racionales. Este será notado con la letra Q (por influencia de la palabra inglesa Quotient) y lo definimos de la siguiente manera: Q = {xy -1 x, Y E Z, y 1

i= O}

Resulta de gran utilidad introducir la denominada notación de fracciones, la cual facilita operar números racionales. Para ello definimos !l2.

.= xy-1

y .

Por lo tanto podemos expresar en esta nueva notación el conjunto de los racionales de la siguiente manera Q={~ l x,yEZ,

Yi=O}

Note que si z E Z, entonces z = zl = zl- 1 E Q. Por lo tanto se tiene que Z ~ Q. Entonces Se deja como ejercicio verificar que Q con las restricciones de la suma

y multiplicación de reales, satisface todos los axiomas de cuerpo y de

orden.

1.5.4 Lema. Sean x, y, z E R Si y, z E DEMOSTRACIÓN:

xy-1 = Y X

]Rx,

entonces

xz = (xz)(yz)-l = (xz)(z-ly-1) = x(zz-l )y-1 yz

Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

Como una aplicación del lema anterior se tiene, por ejemplo, que en lugar de escribir § escribiremos Diremos que éstas son fracciones equivalentes. Esto nos permite usar solo fracciones cuyos numerador y denominador tengan como único divisor positivo al uno. En el siguiente teorema demostramos que Q es un conjunto cerrados con respecto a la restricción de la suma y la multiplicación definida sobre

:t.

1.5.5 Teorema. Sean x, y, z, w

1. Si y, w E entonces 2. Si Y , w

entonces ~ ± -!l; = X~!yz. En particular, si y E

]R x,

~ y

+ ~y =

E]Rx ,

E ]R.

x+z y

entonces

~ y

~ w

xz yw

DEMOSTRACIÓN:

1. Dado que y, w

i= 0,

existen y-l y w- 1 E R Entonces

z w

- +Y

xww-1y-l + zyy-1w- 1 xwy-1w- 1 + zyy-1w- 1

+ yz)y-1w- 1 (xw + yz)(yw)-l (xw

xw+yz yw Como caso particular del anterior tenemos ~+~

xy+yz yy xy+zy yy (x+z)y yy x+z y

2. Nuevamente es claro que existen y-l y w- 1 E x Z (xy-l )(zw- 1) Y W (xz)(y-1w- 1) (xz)(yw)-l xz D yw 1.5. Números enteros y racionales

]R.

Entonces

]R x ,

Gutiérrez-Robinson

En el teorema que presentamos a continuación, indicamos cómo obtener los inversos aditivo y multiplicativo de una fracción, además obtendremos una forma para simplificar "una fracción de fracciones" . 1.5.6 Teorema. Sean x, y, z, w E ]R. 1. Si Y E]Rx , entonces

2. Si x, Y

E ]Rx,

3 . S1· y , Z, w E

-x y

-y

entonces (~rl = ~

lT1lX ll'i>.

t ,en onces

(~) -- yz xw

(~)

DEMOSTRACIÓN:

1. Por un lado se tiene:

-(~)

Utilizando los mismos argumentos,

_(xy -l)

-(~)

x( _y - l) x((_y)-l) x -y

2. Usando el punto anterior se tiene que ~. ~

= xy =

La unicidad del inverso multiplicativo implica la afirmación. 3. Utilizando el punto anterior se tiene:

Presentamos ahora otras propiedades de las fracciones y la relación que existe entre dos números reales no nulos y sus inversos multiplicativos. Demostraremos además la desigualdad de la media aritmética. Ésta asegura que entre dos números reales siempre existe otro número real. Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.5.7 Teorema. Sean x,y,z E R

1. Sea y

i= O.

Entonces

> O si y sólo si x,y > O o

x,y

< O.

2. Si x < y y z > O, entonces ~ < ~. 3. Si O < x < y y z > O, entonces ~ < ~. En particular

t < ~.

4. Desigualdad de la media aritmética. Si x < y, entonces x < X!y < y.

DEMOSTRACIÓN:

1. En el teorema 1.3.5(3) se demostró que y y tienen el mismo signo. Además ~ = x· entonces la afirmación se sigue del teorema 1.3.4.

2. Por hipótesis z > O. Entonces ~ > O. Usando 03 se tiene que ~z

3. Supongamos que O < mente 03 tenemos:

= Iz x < Iy = z

'!L z

x < y. Entonces :y > O, Y usando nueva;!. -

y -

-- ; !x.

xy y

4. De x < y se sigue que 2x = x + x < x Multiplicando por ~ se tiene la conclusión.

+y <

2y.

De la desigualdad de la media aritmética se tiene que entre dos números racionales siempre se encuentra otro número racional. Es decir, no existe la no ción de sucesor para un número racional, contrario a lo que sucede en N. 1.5.8 Teorema. Si x, y E lR., entonces x2

+ y2 2': 2xy.

DEMOSTRACIÓN: Diferenciamos dos casos: Caso 1. Si x = y, entonces x2 la afirmación .

+ y2 =

2x2

2xy. Entonces se verifica

Caso 2. Supongamos que x i= y. Entonces x - y i= O Y (x - y)2 > O. Por lo tanto x2 - 2xy + y2 > O Y por el axioma de monotonía se D sigue x2 + y2 > 2xy. 1.5. Números enteros y racionales

Gutiérrez-Robinson

1.5.9 Ejercicios Sean x, y, z, w E R

1. Demuestre que a) x2

+ y2

:2: O

b) Si x,y > O, entonces ~ + ~ :2: 2 e) Si x > y, entonces x 3 > y3 d) Si

~ y

e) Si y, z

< y+w x+ z < ~ w > O, entonces ~ < ~ si y sólo si xw < ~ w'

entonces

~ y

Existe otro subconjunto importante de los números reales, el de los irracionales, el cual consideramos a continuación. 1.5.10 Definición. Todo número real que no sea racional lo llamaremos irracional. Es decir, el complemento de Q en lR., notado con Q', se denominará conjunto de los números irracionales.

Por el momento no tenemos información sobre el conjunto de los irracionales. Demostraremos más adelante que efectivamente Q' no es vacío. Probaremos en el siguiente teorema que no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2. Es decir, si x E lR. Y x2 = 2, entonces necesariamente x no es un número racional. Como consecuencia del axioma del extremo superior se tendrá que este número existe en lR. y, por lo tanto, usando la definición anterior se tendría que es irracional. Utilizando un lenguaje que justificaremos formalmente más adelante, demostraremos en el siguiente teorema que J2 no es un número racional. 1.5.11 Teorema. No existe x E Q tal que x2 = 2.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que si existe x E Q tal que x2 = 2. Entonces podemos expresar a x en la forma ~, donde m, n E Z, n i= O y sin perder generalidad, podemos suponer además m y n no tienen divisores comunes distintos de 1. Utilizando la hipótesis tenemos que 2

m -;:)7-

Es decir, m 2 = 2n 2 y por lo tanto m 2 es un número par. Utilizando el lema 1.5.2 (2) se tiene que m es también par, digamos m = 2k para algún k E Z. Entonces (2k)2 = 2n 2 y esto trae como consecuencia que n 2 = 2k 2 , lo cual significa que n 2 es par y por lo tanto n es par. Esto implica que m y n tienen por lo menos al 2 como divisor común, contradiciendo nuestro supuesto. D Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.5.12 Definición. Sea b E lR, b :2: O. Si existe x E lR tal que x2 = b, entonces llamaremos a x una raíz cuadrada de b. Observaciones

1. Del teorema 1.3.5 (1) se sigue que los números reales negativos no t ienen raíces cuadradas, ya que si x2 = b, entonces forzosamente b :2: O. 2. Si b = O, entonces O es la única raíz cuadrada de b. 3. Sea b > O. Si x2 = b, entonces x2 i= O y (_x)2 = b, es decir, x y -x son raíces cuadradas de b. Además se verifica que existe a lo más dos raíces cuadradas para b. Por ejemplo , 3 y -3 son raíces cuadradas de 9, ya que (_3)2 = (3)2 = 9. 4. Si b :2: O, denotaremos su raíz cuadrada no negativa con v1J o b~ (si existe). En el teorema 1.5.11 se demostró que J2 ~ Q.

Sistema de coordenadas unidimensional: la recta real Existe una forma de "graficar" los números reales. Para ello consideremos el conjunto de puntos de una recta J:.,. Una característica geométrica de J:., es el hecho que entre dos puntos cualesquiera de ésta siempre se encuentra otro punto. Esto nos permite asociar a cada punto de J:., un número real. Sobre una recta J:., elegimos cualquier punto O (que llamaremos origen), al cual le hacemos corresponder el cero. Luego escogemos una unidad de longitud, y partiendo de O medimos hacia la derecha una unidad, y a este punto le asignamos el 1. Repitiendo este procedimiento, se establece entonces una correspondencia entre puntos de J:., y los elementos de N. O

O Si partimos de O y efectuamos ahora el mismo procedimiento hacia la izquierda, podemos entonces asegurar la correspondencia entre puntos de J:., y los elementos de Z. 1.5. Números enteros y racionales

Gutiérrez-Robinson

-3

-2

-1

o Para establecer la correspondencia con los elementos de Q, iniciamos el proceso con racionales de la forma ~. Para ello dividimos en n partes la unidad tomada, y partiendo de O se mide hacia la derecha esta cantidad. Si m, n EN, entonces la correspondencia con elementos de la forma ~ se efectuará considerando los casos m > n o m < n.

1 n I

n I

O Más adelante presentaremos la correspondencia entre puntos de J:., y los números irracionales. Ésta naturalmente no es evidente. Sin embargo, asumiremos que ésta es posible. Es decir que, en definitiva, a cada número real x le corresponde un único punto P en la recta J:., y recíprocamente. Es usual denominar a J:., la recta real. En el siguiente gráfico ilustramos, por ejemplo, cómo asignarle a y'2 un punto en J:.,. El procedimiento consiste en construir un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud 1 y luego trazamos una circunferencia con centro en O y radio y'2:

x P

O 1

Nota. Sean x, y E lR. Y supongamos que P y Q son los puntos de la recta J:., asociados a x y y respectivamente. Algunas interpretaciones son las siguientes: 1. P está a la derecha del origen significa que x es positivo. 2.

Q está a la izquierda del origen significa que y es negativo. Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.6.

El axioma del extremo superior

La noción geométrica intro ducida sobre lR será de gran importancia para describir y entender conceptos abstractos como cotas superiores, inferiores, elementos máximos y extremos superior de un sub conjunto de lR. 1.6.1 Definición. Sea A un sub conjunto no vacío de R 1. Se dice que A está acotado superiormente si existe b E lR tal

que x::; b para to do x E A. Este número b se denomina una cota superior para A.

2. Si b E A Y b es una cota superior para A, entonces b se llamará un elemento máximo de A. Note que en la definición de cota superior se usó la expresión "una", ya que to do número mayor que b también es una cota superior para A. Es fácil verificar que si A es un sub conjunto no vacío de lR y t iene un elemento máximo, entonces éste es único. Usaremos la notación

b = máx(A) Un conjunto A que no admita una cota superior se llamará no acotado superiormente. Esto es, para to do b E lR existe x E A tal que b < x. De manera dual se definen los conceptos conjunto acotado inferiormente, cota inferior y conjunto no acotado inferiormente. Se deja como ejercicio la redacción. 1.6.2 Ejemplos. Sean a, b E lR con a < b.

= {x

lR l a::; x ::; b} está acotado superiormente por b y además éste es su elemento máximo. También A está acotado inferior mente p or a y éste es su elemento mínimo.

1. E l conjunto A

2. E l conjunto B = {x E lR I a < x < b} está acotado superiormente e inferior mente por b y a respectivamente, pero no t iene ni elemento máximo ni elemento mínimo.

3. Sea A = { ~ E N}, esto es, A = {1 , ~ ,~, ... }. Entonces A está acotado superiormente por 1 y éste es su elemento máximo. Por otro lado, A está acotado inferiormente p or 0, pero no t iene elemento mínimo. 1.6. El axioma del extremo superior

Gutiérrez-Robinson

4. Sea a E R El conjunto A = {x E lR. I x :2: a} está acotado inferiormente por a y éste es su elemento mínimo. Naturalmente, A no está acotado superiormente. 5. Sea b E R El conjunto B = {x E lR. I x::; b} está acotado superiormente por b y éste es su elemento máximo. Es claro que B no está acotado inferiormente. 6. Demostraremos más adelante que N no está acotado superiormente, y como consecuencia tampoco tiene un elemento máximo. No obstante, sí está acotado inferiormente y tiene como elemento mínimo al número 1. 1.6.3 Definición. Sea 0 i= A ~ R Un número real b se llama extremo superior o supremo de A si satisface las siguientes propiedades: 1. b es una cota superior para A.

2. Si c E lR. es también una cota superior para A, entonces b ::; c. Esto es, ningún número menor que b es cota superior para A, o también, b es la más pequeña cota superior de A. Usaremos la notación

b = sup(A) Note que si A tiene elemento máximo, entonces éste es su extremo superior. Pero también es posible que A no tenga elemento máximo y sin embargo tenga extremo superior. Consideremos nuevamente los ejemplos 1.6.2 (1) Y (2). Ilustramos gráficamente la diferencia entre máx(A) y sup(A): a

•

cotas superiores

máx(A)

cotas superiores

sup(A) Naturalmente, existe el concepto de extremo inferior o ínfimo para un subconjunto no vacío de R Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

1.6.4 D efinición. Sea 0 i= A ~ R Un número real c se llamará extremo inferior o ínfimo de A si satisface las siguientes propiedades: 1. c es una cota inferior para A. 2. Si d E lR. es también una cota inferior para A, entonces d ::; c. Esto es, ningún número mayor que c es cota inferior para A, o también , c es la más grande cota inferior de A. Usaremos la notación

b = ínf (A) Como en la sit uación anterior, si A t iene elemento mínimo, entonces éste es su extremo inferior. Pero también es posible que A no tenga elemento mínimo y sin embargo tenga extremo inferior . cotas inferiores

•1

•

mín(A) cotas inferiores

•

ínf(A) 1.6.5 Teorema. (Unicidad del supremo.) Sea A un sub conjunto no vacío de lR.. Si b y c son extremos superiores para A, entonces b = c. DEMOSTRACIÓN: De la defini ción de sup(A) se t iene que b ::; c y c ::; b. Del teorema 1.3.5 (5) se sigue que b = c D El teorema anterior nos permite asegurar que si un sub conjunto no vacío A de lR. admite un extremo superior , entonces éste es único. Es decir, t iene sent ido hablar de "el" extremo sup erior de A, en lugar de "un" extremo sup erior. Enunciamos ahora el axioma del extremos superior. Con base en éste puede demostrarse una afirmación similar para el extremo inferior. 1.6.6 Axioma del extremo superior. Todo sub conjunto no vacío A de lR. que está acotado superiormente posee extremo superior. Una consecuencia inmediata del axioma del extremo superior es la no existencia de una cota sup erior para el conjunto de los números naturales. 1.6. El axioma del extremo superior

Gutiérrez-Robinson

1.6.7 Teorema. El conjunto N no está acotado superiormente.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que la afirmación es falsa, es decir, N si está acotado superiormente. Como N no es vacío, del axioma del extremo superior se sigue que existe b := sup(N). Dado que b - 1 < b, se tiene que b - 1 no es una cota superior para N. Entonces existe n E N tal que b - 1 < n, por lo tanto b < n + l. Por otro lado, se tiene que n + 1 E N, lo cual contradice la condición de extremos superior de b. Entonces nuestro supuesto inicial es falso, es decir, N no está acotado superiormente. D 1.6.8 Teorema de Arquímedes. Para todo número real x existe n E N (que depende de x) tal que n > x .

DEMOSTRACIÓN: Si la afirmación fuese falsa, entonces se tendría que el conjunto N es acotado superiormente, lo cual no es posible. D El siguiente teorema es simplemente otra formulación del teorema de Arquímedes y resulta de vital importancia en el tratamiento de convergencia de algunas sucesiones, tratadas en el cálculo diferencial. 1.6.9 Teorema de Eudoxo. Para todo número real x > O existe m E N tal que ~ < x.

DEMOSTRACIÓN: Si en el teorema anterior cambiamos x por ~ se tiene el resultado. D Es importante anotar que los nombres de estos teoremas no obedecen a sus autores. De hecho, los griegos no conocieron los números reales. El teorema de Arquímedes puede interpretarse geométricamente de la siguiente manera: Cada segmento, independiente de su longitud , puede cubrirse con un número finito de segmentos de longitud positiva dada y estos segmentos pueden ser arbitrariamente pequeños. Arquímedes consideró este hecho como una propiedad fundamental de la recta y la asumió como postulado de su geometría. El siguiente teorema es de gran importancia teórica, ya que desde el punto de vista topológico afirma que Q es denso en R Entendiendo la densidad en el siguiente sentido: Dado cualquier x E lR., podemos encontrar r E Q tan cerca como querramos. 1.6.10 Teorema. Sea x E R Entonces para todo é > O existe un número racional r tal que x - é < r < x + é. Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

DEMOSTRACIÓN: Sea E > O. Entonces p or el teorema de E udoxos existe m E N tal que ~ < E. Demostramos ahora la existencia de un número racional r que satisface (1.1 )

x -l < r <x+ lm m

Para ello diferenciamos dos casos: Caso 1. Supongamos que x > O. E ntonces p or el teorema de Arquímedes exist e n E N tal que n > m x y del principio del buen orden el conjunto de t odos estos n t iene un elemento mínimo, digamos k. Por lo t anto se sigue que k - 1 ::; m x < k. Si tomamos r = ~, se verifica que

De la desigualdad izquierda se t iene que r < x + ~ y de la desigualdad derecha se sigue que x - ~ < r . En t otal se t iene (1.1). Caso 2. Si x < O, ent onces - x > O Y del caso 1. se sigue que existe un número racional r tal que - x - ~ < r < - x + ~. Por lo tanto

-x-

< r < - x +E

Mult iplicando p or -1 se t iene que x - E < - r < x + E. D Sea A es un sub conjunt o no vacío de R Abordamos ahora ot ra forma de caracterizar sup (A) e ínf(A) , sobre la base que estos existan. 1.6.11 Teorema. Sea A un sub conjunt o no vacío de lR., acotado superior e inferiormente. Entonces 1. b = sup (A) si y solo si para to do x> b - E .

> O existe x

E A

tal que

b- E o

x 1 sup (A) 2. e = ínf(A) si y solo si para to do x < C+E . X

C+E

> O existe x A o

ínf(A)

1.6. El axioma del extremo superior

A tal que

Gutiérrez-Robinson DEMOSTRACIÓN:

1. Sea b

= sup(A)

y supongamos que x ::; b -

para todo x E A. Entonces b - E sería una cota superior para A, menor que b, lo cual no es posible. Entonces debe existir por lo menos un x E A de tal manera que x> b - E. E,

La afirmación recíproca se deja como ejercicio . 2. Similar a la anterior. Otros resultados importantes sobre el supremo de un subconjunto no vacío de lR. son los siguientes. El primer teorema establece una monotonía del supremo y del ínfimo con respecto a la inclusión de conjuntos. 1.6.12 Teorema. Sean A y B subconjuntos no vacíos de lR., con A

1. Si B está acotado superiormente, entonces sup(A) ::; sup(B).

2. Si B está acotado inferiormente, entonces ínf(A) :2: ínf(B). DEMOSTRACIÓN:

1. Dado que A ~ B, se sigue que x ::; sup(B), para todo x E A. Entonces sup(B) es una cota superior para A. Como sup(A) es la menor de las cotas superiores, se t iene que sup(A) ::; sup(B).

2. De manera similar, se t iene que x :2: ínf(B), para todo x E A.

1.6.13 Definición. Sean A y B subconjuntos no vacíos de R Definimos 1. A

I x E A, Y E B}

2. AB:= {xy I x E A, Y E B}

3. kA:= {kx I x E A}, para k E R 1.6.14 Teorema. Sean A y B subconjuntos no vacíos de lR., acotados superiormente. Entonces 1. sup(A

+ B) = sup(A) + sup(B).

2. sup(AB) = sup(A) sup(B), si todos los elementos de A y de B son números no negativos. 3. sup(kA) = k sup(A), para todo k :2:

Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

DEMOSTRACIÓN: Sean a := sup(A), b := sup(B) y

> O cualquiera.

1. Para todo x E A Y todo y E B se verifica que x ::; a y y ::; b. Por lo tanto x + y ::; a + b. Esto asegura que a + b es una cota superior para A + B. Del teorema 1.6.11 (1) se tiene que para el número positivo ~ existen Xo E A Y Yo E B tal que Xo > a - ~ y Yo > b - ~. Entonces Xo + Yo > (a + b) - E, lo cual demuestra que a + b = sup(A + B). 2. Si a = O o b = O, entonces la demostración es inmediata. Supongamos entonces que a > O Y b > O. Nuevamente tenemos que para todo x E A Y todo Y E B se verifica que x ::; a y Y ::; b. Dado que x :2: O Y Y :2: O, se tiene que xy ::; abo Esto nos permite afirmar que ab es una cota superior para AB. Para > O existe Xo E A tal c que Xo > a - ;b y para 2a > O existe Yo E B tal que Yo > b - 2ca · Note que

ab + (xo - a)b + (Yo - b)xo

xoYo

> ab+(xo-a)b+(Yo-b)a > ab - ~b~a 2b 2a ab -

Entonces XoYo > ab -

lo cual demuestra que ab = sup(AB).

3. Si k = O, entonces la demostración es inmediata. Supongamos entonces que k > O. Es claro que kx ::; ka, para todo x E A. Es decir, ka es una cota superior para kA. Para ~ > O existe Xo E A tal que Xo > a - ~. Entonces kxo > ka - E Y con esto se tiene que ka = sup(kA). D 1.6.15 Ejercicios

1. Sean x, y, z E

]R..

Demuestre que

a) máx {x + z, Y + z} = máx{ x, y} + z b) mÍn {x + z, Y + z} = mÍn {x, y} + z 2. Demuestre la segunda parte del teorema 1.6.11. 3. Sean A y B subconjuntos no vacíos de Demuestre que

a) Ínf(A + B) = Ínf(A)

]R.,

acotados inferiormente.

+ Ínf(B).

1.6. El axioma del extremo superior

Gutiérrez-Robinson

b) ínf(AB) = ínf(A) ínf(B), si todos los elementos de A y de B son números no negativos.

e) ínf(kA) = k ínf(A), para todo k:2:

1. 7.

El valor absoluto: propiedades

A lo largo de este capítulo hemos considerados tres aspectos de los números reales: el algebraico, fundamentado en los axiomas de cuerpo y sus consecuencias, la estructura ordenada, sustentado en los axiomas de orden, y el axioma del extremo superior. Utilizaremos ahora lo desarrollado a partir de los axiomas de orden para presentar una métrica en los reales. Es decir, una forma de "medir la distancia entre dos números reales" . 1. 7.1 Definición. Sean x, y E R La distancia entre x e y, notada d(x, y), se define de la siguiente manera:

d(x, y) = máx{x, y} - mín{x, y} = { x - y

y-x

si, x :2: Y si, x < Y

Demostramos ahora algunas propiedades de esta distancia. El siguiente teorema afirma que la distancia entre dos puntos distintos de lR. siempre es positiva; el orden en el que se mida no juega un papel importante y por último, se tiene una "desigualdad triangular". 1. 7 . 2 Teorema. Sean x, y, z E lR.. Entonces

1. d(x, y) :2: O

2. d(x,y) =0 si y sólo si x=y 3. d(x, y) = d(y, x) 4. d(x, y) ::; d(x, z)

+ d(z, y)

DEMOSTRACIÓN: Las propiedades 1. 2. Y 3. son evidentes. Se siguen inmediatamente de la definición de distancia. Para demostrar 4. diferenciamos algunos caso: Caso 1. Supongamos que x ::; z ::; y. x

Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

E ntonces d(x, z)

+ d(z, y) =

(z - x)

+ (y -

z) = y - x = d(x, y).

Caso 2. Supongamos que x ::; y ::; z. y

x Entonces d(x, z)

+ d(z, y) > d (x, y).

Verifíquelo.

Caso 3. Si z ::; x ::; y , entonces la afir mación también se cumple. Se D deja como ejercicio. Demostramos ahora que la distancia es invariante bajo t raslaciones. 1.7.3 Teorema. Si x, y,z E lR., entonces d (x

+ z, y + z) = d(x, y ).

DEMOSTRACIÓN: Usando la defini ción de distancia tenemos: d (x

+ z, y + z } - mín {x + z, y + z } (máx{x, y} + z) - (mín{x, y} + z)

máx {x

+ z, y + z)

máx{ x, y} - mín { x, y} d(x, y)

1.7.4 Definición. Sea x E R El valor absoluto de x, notado Ix l, se define así: si, x :2: O Ix l := d (x, O) = - x si, x < O

Gráficamente

__--~_I_"'x

(

Una consecuencia inmediata del teorema 1. 7.3 es la siguiente: Si x, y E lR., entonces d(x, y ) = d (x - y,y - y) = d (x - y, O). Por lo tanto

d(x, y ) = Ix -

Demostramos ahora algunas propiedades del valor absoluto. Por ejemplo, el valor absoluto de un número real y su inverso adit ivo coinciden ; el valor absoluto de un número real es siempre un número no negativo. 1.7. El valor absoluto: propiedades

Gutiérrez-Robinson

1.7.5 Teorema. Sean x,y E R Entonces

1. Ix l :2: O, además Ix l = O si y sólo si x = O 2. 1- x l = Ix l 3. Ix - y l = Iy - x l 4. Desigualdad triangular. Ix + y l S Ix l + Iy l· DEMOSTRACIÓN:

1. Se sigue inmediatamente del teorema 1.7.2 (1) Y (2). 2. Ix l = d(x, O) = d(O, -x) = d( -x, O) = I - x l 3· lx-y l = I -(y-x) I = ly-x l· 4. Utilizamos ahora los teoremas 1.7.2 (4) Y 1.7.3. Ix + y l

d(x + y, O) d(x, -y)

< d(x,O) +d(O,-y) d(x, O) + d( -y, O) Ix l + I -y l Ix l + Iy l

1.7.6 Teorema. Sean x,y E R Entonces

1. Ixy l = Ix ll y l 2. Ix l2 = 3. Si Y 4.

i= O,

entonces ly-1 1 = Iy l-l

I ~y I = El Iyl

5. - Ix l S x S Ix l DEMOSTRACIÓN:

1. Consideramos todas las opciones posibles: Caso 1. Si xy = O, entonces x = O o y = O. Por lo tanto Ixy l = O = Ix ll y l Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

Caso 2. Si xy > O, entonces x,y > O o x, y < O • Si x, y > O, entonces se t iene que

Ixyl = xy = Ixllyl • Si x, y < O, entonces se t iene que

Ixyl = xy =

(- x)( -y ) =

Ixllyl

Caso 3. Si xy < O, entonces x > O Y Y < O o x < O Y Y > O • Si x > O Y Y < O, entonces se t iene que

Ixyl =

- (xy) = x( -y ) =

Ixllyl

• Si x < O Y Y > O, entonces la sit uación es similar a la anterior. 2. Si x = O, entonces el resultado es inmediato. Supongamos que x i= O. Entonces del teorema 1.3.5 (1) se sigue que x2 > O, por lo tanto 3. Sea y E lR. x. Entonces yy- l = 1. Del punto 1se sigue que lylly-11= lyy-11= 111= 1. Por lo tanto ly-11= Iyl-l. 4. Es consecuencia de 1 y 3 En efecto:

5. Demostramos inicialmente que x ::; Caso 1. Si x :2: O, entonces x = Caso 2. Si x < O, entonces

Ixl par a to do x

Ixl y

Ixl =

por lo tanto x ::;

Ixl.

- x > O Y se t iene que x < O <

Ixl· Demostramos ahora que

- Ixl ::; x

Caso 1. Si x :2: O, entonces Caso 2. Si x < O, entonces lo tanto - Ixl ::; x. D

par a to do x E R

- Ixl ::; O ::; x. Ixl = - x y se sigue que - Ixl = x.

1. 7.7 Teorema. Sean x, k E R Entonces 1.7. El valor absoluto: propiedades

Por

Gutiérrez-Robinson

Ixl =

k si y sólo si k:2: O Y x E { -k, k}

2. Ixl = Iyl

si y sólo si x = y o x = -y

DEMOSTRACIÓN: 1. Supongamos que k :2: O Y x E {-k, k}. Si x

x = k, Y si x = -k, entonces

= k, entonces Ixl

Ixl = -( -k) = k. Recíprocamente, supongamos ahora que Ixl = k. De la de valor absoluto se sigue que Ixl :2: O para todo x E R k :2: O Y x = k o x = -k.

definición Entonces

2. Consideraremos dos casos dependiendo del valor de y: Caso 1. Si y :2: O, entonces Caso 2. Si y < O, entonces

Ixl =

Iyl = y y el resultado se sigue de Iyl = -y y se tiene

-y {:} x = -( -y) V x = -y

{:} x = y V x = -y

1.7.8 Ejemplos. Halle en cada caso el conjunto indicado: 1. S

= {x

E lR

I 13x - 21= 1}

SOLUCIÓN: Utilizando el teorema 1.7.7 (1) tenemos:

13x - 21= 1 {:}

3x -

2= 1 V

3x -

2 = -1

{:} x=1 V x= 3

Entonces S = {1,

2. S = {x E lR

i}.

Ilx - 21= 11- xl}

SOLUCIÓN: Utilizando el teorema 1.7.7 (2) tenemos:

Ix - 21= 11- xl {:}

x -

2 = 1-

x V x -

2 = -(1 -

{:} 2x = 3 V x - 2 = x - 1 3 {:} x= - V x-2=x-l 2

Por lo tanto S = {~} U 0 = {~}. Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

3. S = {x E lR I

12x - 51= x -

SOLUCIÓN: Utilizando el teorema 1.7.7 (1) tenemos:

12x - 51= x -

4 {:}

{:}

{

x - 4:2: 0 y 2x - 5 = x - 4 V 2x - 5 = - (x - 4)

{

x:2:4 y x= l V x=3

Entonces S = [4, oo [n {l , 3} =

En el siguiente teorema presentaremos más propiedades del valor absoluto que ut ilizaremos en la solución de inecuaciones con valor absoluto. 1. 7.9 Teorema. Sean a, b, x E lR Y b :2: O. Entonces

Ixl ::; b si y

sólo si -b ::; x ::; b

Ixl :2: b si y

sólo si x ::; -b o x :2: b

Ix - al ::; b si y

sólo si a - b ::; x ::; a + b

Ix - al :2: b si y

sólo si x ::; a - b o x :2: a + b

DEMOSTRACIÓN: 1. Supongamos que Ixl ::; b. De 1. 7.6 (5) se t iene que x ::; Ixl. Entonces x ::; b. Dado que Ixl ::; b, se t iene que -b ::; - Ixl. De 1.7.6 (5) se t iene también que - Ixl ::; x, es decir, -b ::; x. Por lo tanto -b ::; x ::; b. Por otro lado, supongamos ahora que -b ::; x ::; b. Para demostrar que Ixl ::; b consideramos dos casos:

Ixl = x ::; b. Caso 2. x < O. Entonces Ixl = - x. Dado que - x ::; b. Por lo tanto Ixl ::; b. Caso 1. x :2: O. Entonces

que -b ::; x, se t iene

2. Supongamos inicialmente que Ixl :2: b. P ara demostrar que x :2: b o x ::; -b consideramos dos casos:

= Ixl :2: b. Caso 2. x < O. Entonces - x = Ixl :2: b. Entonces x ::; -b. Caso 1. x :2: O. Entonces x

1.7. El valor absoluto: propiedades

Gutiérrez-Robinson

Por otro lado, asumamos como hipótesis que x :2: b o x ::; -b. Si Ixl = x :2: b. (por hipótesis b :2: O). Si x ::; -b, entonces Ixl = -x :2: b.

x :2: b, entonces

3. Es una consecuencia de 1. 4. Es una consecuencia de 2.

con a < b. Definimos los siguientes conjuntos, usualmente denominados intervalos reales: 1. 7 .10 Definición. Sean a, b E

1. [a,b] := {x E

lR l a::;

x::; b} b

•

2. [a,b [:= {x

•

lR l a::; x < b} b

•

3. ]a,b] :={xElR l a<x::;b} b

•

4. ]a,b [:={xElR l a<x<b}

5. la, +00 [:= {x E

lR l x > a} a

6. [a, +00 [:= {x E

lR l x :2: a} a

•

7. ] - oo,b] := {x E

lR l x::;

b} b

• Capítulo 1. Los números reales

Matemáticas básicas con trigonometría

8. ] - 00, b[:= {x E lR I x

< b} b o

9. ] - 00, +00 [= lR Como aplicación de los teoremas anteriores consideremos ahora inecuaciones con valor absoluto. 1. 7.11 Ejemplos. Halle el conjunto indicado:

1. S = {x E lR I 13x I ::; 2} SOLUC IÓN:

Utilizando el teorema 1.7.9 (1) tenemos:

13x l ::; 2 {:} -2 ::; 3x ::; 2

{:} - ª-2 < - x < - ª2

E ntonces S = [- ~,~ ]

2. S =

{X E lR I I~ I > 5}

SOLUC IÓN:

Utilizando el teorema 1. 7.9 (2) tenemos:

I ~ I > 5 {:}

~ >5 V ~ < -5

{:} x > 10 V x < -10

Entonces S = ] - 00, -10 [ U ]10, +oo [

3. S = {x E lR Ilx SOLUC IÓN:

ti < n

Utilizando el teorema 1. 7.9 (3) tenemos:

IX- tl <i {:} - i<x - t<i {:} - i+t<x<i+t {:}

Por lo tanto S = ] - ~6 , ~6

[

_11 20

<x<

4. 15x - 412': 1 SOLUC IÓN:

Una aplicación del teorema 1.7.9 (4) nos da:

15x - 412': 1 {:} 5x - 42': 1 V 5x - 4::; -1 {:}

x 2': 1 V x::;~

Entonces el conjunto solución es ] - oo,~ ] U [1, +00 [. 1.7. El valor absoluto: propiedades

Gutiérrez-Robinson

1.7.12 Ejercicios

a) S = {x

= S = S= S = S =

b) S

e) 1)

{x {x

1. En cada caso halle el conjunto indicado:

112x - 31= O} E lR I Ix + 21= -1} E lR 115x + 21= 1 1- 3xl} E lR I Ix - 11= 3x - 2} E lR Ilxl = 2 - x} E lR I Ix - 61= I - 31 } E lR

2. Sean x, y E R

a) Demuestre que b) Demuestre que e) Sea E

Ilxl - Iyll ::; Ix - yl Ilxl - Iyll ::; Ix + yl

> O Y a i= O. Describa el siguiente conjunto y grafíquelo : A = {x E lR

I Iax + ,61::; E}

Capítulo 1. Los números reales

Capítulo 2 Exponentes racionales Contenido 2.1. Inducción matemática.

2.2. Exponentes enteros . .

2.3. Exponentes racionales y raíces

2.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . .

En este capít ulo nos ocuparemos de las potencias racionales de un número real y de sus propied ades. Es decir, estudiaremos expresiones de la forma x r , donde x E lR. Y r E Q . Iniciaremos analizando el comportamiento de ést as cuando r E N, luego lo extenderemos a r E Z, y por últ imo consideraremos el caso r E Q .

2.1.

Ind ucción matemática

Demostrar las propiedades más importantes de los exponentes racionales, usualmente requiere la utilización del mét odo de inducción matemática. Los fundamentos par a la implementación de este método se estudiaron en el teorema 1.4.3. 2.1.1 Principio de inducción matemática. Supóngase que est á dada una proposición que depende de n E N, digamos P (n) , y supóngase además que se pueden demostrar las siguientes afirmaciones:

Gutiérrez-Robinson

(IM1) P(l) es verdadera. (1M2) Para todo k E N, si P(k) es verdadera, entonces P(k+1) también es verdadera. Entonces para todo n E N la proposición P(n) es verdadera. DEMOSTRACIÓN: Sea K el conjunto de todos los números naturales para los cuales la proposición P(n) es verdadera. Esto es,

K = {n

E N I

P(n) es verdadera}

De (1M1) se sigue que 1 E K Y de (1M2) se sigue que si k E K, entonces k + 1 E K. Esto asegura que K es inductivo y por el teorema 1.4.3 se tiene que K = N. Es decir, P(n) es verdadera para todo E N D En esencia, el principio de inducción matemática consiste en lo siguiente: Una proposición P(n) es válida para todo número natural n si se verifican: (1) P(n) es válida para n = 1. (2) De la validez de P(n) para un número natural cualquiera n = k se sigue su validez para n = k + 1. Simbólicamente, el principio de inducción matemática se puede expresar de la siguiente manera:

[P(l)

(Vk)(P(k) =* P(k

+ 1))] =*

(Vn)P(n)

(2.1)

2.1.2 Ejemplos. Presentamos ahora algunas demostraciones usando ind ucción matemática. 1. Para todo n E N se cumple que 1 + 3 + 5 + ...

+ (2n -

1) = n 2 .

DEMOSTRACIÓN: En este ejemplo la proposición P(n) de la que habla el principio de inducción es 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 . Verificar que P(l) es verdadera es inmediato , ya que 1 = 12 . Supongamos ahora que la proposición se verifica para k E N. Es decir, (2.2) 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2 Demostramos ahora que P(k 1 + 3 + 5 + ...

+ (2k -

+ 1) es verdadera. + (2(k + 1) -

Capítulo 2. Exponentes racionales

Esto significa que

= (k + 1)2

(2.3)

Matemáticas básicas con trigonometría

Sumando a cada lado de la igualdad (2.2) el término 2(k se t iene: 1 + 3 + 5 + ...

+ (2k -

+ (2(k + 1) -

+ 1) -

k 2 +2(k+1)-1

+ 2k + 1 (k + 1)2 k

Dado que la proposición P(k+ 1) también es verdadera, el principio de inducción matemática asegura que la afirmación es válida para todo n E N. 2. La suma de los n primeros naturales está dada por la expresión n(n +1). Es decir, 2

+n =

n(n +1) 2

1(1;+-1),

se tiene que P(l) es ver-

1 + 2 + 3 + ... DEMOSTRACIÓN: Dado que 1 dadera.

Supongamos ahora que P(k) es verdadera. Esto es, 1 + 2 + 3 + ... Demostramos ahora que P(k 1 + 2 + 3 + ... Sumando (k

+ 1)

+ k --

(2.4)

k(k+1) 2

es verdadera. Es decir,

+ k + (k + 1) =

(k+1)[(~+1)+1]

(2.5)

a cada lado de la igualdad (2.4) se tiene:

1 + 2 + 3 + ...

1 k(ki )

+ k + (k + 1)

+ (k + 1)

k(k+1)+2(k+1) 2

(k+1)(k+2) 2

(k+1)[(k+1)+1] 2

La conclusión se sigue del principio de inducción matemática. 3. Para todo n E N se verifica que 12 + 22 + 32 + ... DEMOSTRACIÓN: Dado que 1 P (1) es verdadera.

+ n2 -_

n(n+1)(2n+1) 6

1(1+1¿(2+1),

2.1. Inducción matemática

se tiene entonces que

Gutiérrez-Robinson

Supongamos ahora que para k E N se verifica 12

+ 22 + 32 + ... + k 2 =

Demostramos ahora que P(k

+ 1)

k(k+1~2k+1)

(2.6)

es verdadera: k(k+1~(2k+1)

+ (k + 1)2

k(k+ 1)(2k+ 1)+6(k+ 1 )2 6

(k+ 1 )[k(2k+ 1)+6(k+ 1)] 6

(k+1)(2k 2 +7k+6) 6

(k+1)(k+2)(2k+3) 6

(k+ 1 )[(k+ 1)+ 1] [2(k+ 1)+ 1] 6

Usando el principio de inducción matemática se t iene que la afirmación es válida para todo n E N. 4. Para todo n E N se cumple que 2n :2: 2n. DEMOSTRACIÓN: Note que 21 = 2 :2: 2(1) = 2. Por lo tanto P(l) es verdadera. Supongamos ahora que

2 k :2: 2k

Demostremos que 2k+1 :2: 2(k

(2.7)

+ 1) .

Si en la desigualdad (2.7) multiplicamos a ambos lados por 2, se tiene que 22k:2: 2(2k). Entonces 2k+1 :2: 2k + 2k . Dado que k:2: 1, se tiene entonces que 2k :2: 2. Por lo tanto 2k + 2k :2: 2k + 2. En conclusión, se tiene que 2k+1 :2: 2( k + 1) . Entonces la afirmación se cumple para todo n E N. 5. Si n E N, entonces n(n

+ 1)

es divisible por 2.

DEMOSTRACIÓN: Si n = 1, entonces n(n 2. Entonces P(l) es verdadero.

+ 1) = 2 es divisible por

Supongamos que para k E N se verifica que k(k por 2. Demostramos que (k

+ l)(k + 2)

+ 1)

es divisible

es divisible por 2.

Note que (k+1)(k+2) = k(k+1)+2(k+1) Y además k(k+1) es, por hipótesis, divisible por 2. Por otro lado, 2(k + 1) también es es Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

divisible por 2 (ya que es un entero par ). Por lo tanto (k + 1) (k + 2) es divisible por 2. Entonces la afirmación es válida para to do n E N. 2.1.3 Teorema. (Desigualdad de Bernoulli) l P ara to do número natural n :2: 2 y para to do número real no nulo x > -1 se verifica que (1 +x)n > 1 +nx. D EMOSTRAC IÓN:

P rocedemos por inducción sobre n.

1. Si n = 2, entonces (1 +x)2 = 1 + 2x +x2 > 1 + 2x, ya que x2 > O. 2. Supongamos ahora que la afirmación para n :2: 2 es válida. Esto es (1 + x) n > 1 + nx. 3. Mult iplicando a ambos lados por (1 + x) se t iene:

(1 + x)n+ l

> (1 + x)( l + nx) 1 +nx+x +nx2

1 + (n

Lo cual demuestra la afir mación.

+ l )x

El siguiente teorema es una generalización de las propiedades descritas en los teoremas 1.3.3 y 1.3.5 (4). 2.1.4 Teorema. Sean Xj, Yj E lR. para to do j

= 1, 2,··· ,n.

1. Si Xj < Yj para to do j = 1, 2, · .. ,n, entonces Xl

+ X2 + ... + Xn < YI + Y2 + ... + Yn

2. Si Xj < Yj par a to do j = 1, 2,··· ,n y además Xj > O, entonces XIX2 . . . Xn < YIY2 ... Yn 1 J AKOB BERNOULLI (1654 - 1705), científico suizo nacid o en Basilea. Tras licenciarse en teología y haber estudiado matemáticas y astronomía entre 1677 y 1682 viajó a Francia, los P aíses Bajos e Inglaterra. De regreso, en Suiza, desde 1683 enseñó mecánica en Basilea. En 1687 se hizo cargo de la cátedra de matemáticas en la Universidad de Basilea. Con su hermano estudió los aportes de Leibniz al cálculo infinitesimal, el cu al aplicó al estudio de la catenaria y en 1690 introdujo el término de integral en su sentido moderno.

2.1. Inducción matemática

Gutiérrez-Robinson

DEMOSTRACIÓN: Demostramos las afirmaciones por inducción sobre n:

1. Si n = 1, entonces la afirmación es trivial. Supongamos que para k = n - 1 se verifica que la afirmación. Es decir, Xl + ... + Xn-l < YI + ... + Yn-l· Del teorema 1.3.3 se sigue que Xl

+ ... + Xn-l + X n

< <=

+ ... + Yn-l + X n Y1 + ... + Yn-l + Yn Y1

2. Si n = 1, nuevamente la afirmación es inmediata. Supongamos que XIX2··· Xn-l < Y1Y2··· Yn-l. Usando una vez más el teorema (1.3.5) 7. se sigue que Xl··· Xn-IX n < Y1 ... Yn-IXn

Y1 ... Yn-IYn·

2.1.5 Ejercicios Usando el principio de inducción matemática demuestre que para todo n E N se verifica que

+ 23 + 33 + ... + n 3 =

2. 23 + 43 + ...

n2(n4+ 1 )2

+ (2n)3 = 2n 2 (n + 1)2

3. 1 + 4 + 7 + ...

+ (3n -

2) = n(3~-I)

+ 2n = n 2 + n 14 + 24 + 34 + ... + n 4 = n(n+I)(6n~69n2+n-l)

4. 2 + 4 + ... 5.

6. n 3

n es divisible por 6

8. 2n > 2n+ 1, (n 2': 3) 9. Sea a E N dado. Demuestre que para todo n E N se verifica que

a) Si a 2': 2, entonces an > n

b) Si a 2': 3, entonces a n > n 2

e) 2n > n 2 10. Para todo n E N, la expresión x n - yn es divisible por Capítulo 2. Exponentes racionales

X -

Matemáticas básicas con trigonometría

2.2.

Exponentes enteros

2.2.1 D efinición. Sean x E ]R Y n E Z. Se define la n -ésima potencia de x, denotada con xn de la siguiente manera: x O .xn+l .xn

1, para X=f= O xnx, para n:2: 0

.- (x-n)- l , para x =f= O, n< O

El siguiente teorema nos suministra las primeras propiedades de los exponentes. En la prueba de éste jugará un papel importante el principio de inducción matemática. 2.2.2 Teorema. Sean x, y E

2. (xm)n

]R x

y m , n E Z. Entonces se cumplen

= xmn

3. (xy)n = xn yn 4.

( ~) n = ~:

~ ~ Fn-m x=

x rn -

si m = n si n> m si m > n

DEMOSTRACIÓN: 1. Demostramos la afirmación considerando to das las sit uaciones posibles. Inicialmente, el caso en que m y n son no negativos.

(a) Supongamos inicialmente que m , n E No Y demostramos la afir mación por inducción sobre n. Parte 1: Si n = O, entonces xmxO = x m 1 = xm = xm+O. Parte 2: Supongamos que la afirmación es válida para n :2: O. Entonces xm(xnx) (xmxn)x xm+nx xm+n+l 2.2. Exponentes enteros

Gutiérrez-Robinson

(b) Demostramos ahora la siguiente afirmación: Si k E N, entonces se verifica que x-kx = x-k+1. Dado que k - 1 :2: O, de (a) se sigue que xxk-1 = xk. Entonces X-k

(xk)- l (xxk-1 )- 1 x- 1(xk- 1)-1 x- 1x-(k- 1) x- 1x-k+ 1 x-k+1x- 1

Si mult iplicamos por x a ambos lados de la igualdad se t iene que x-kx = (x-k+ 1x- 1)x = x-k+ 1.

(e) De la defini ción 2.2.1 y de (b) se t iene que para to do m , n E Z se verifica: xm+nx = xm+n+1.

En efecto, si m + n :2: O la afirmación se sigue de la defini ción 2.2.1 y si m + n < O, entonces se sigue de (b). Similar como se realizó en (a), uno puede demostrar por inducción sobre n que xmxn = xm+n para to do m E Z y para to do n E No.

(d) Si demostramos que para m E Z y n > O se verifica que xmx- n = xm-n, entonces se t iene completa la demostración de l. Note que xm-nx n = x m- n+n = xm. Entonces si mult iplicamos a ambos lados por (xn)- l se t iene:

2. Procedemos como en la demostración anterior : (a) De la defini ción 2.2.1 se sigue que x-m = (xm)- l , para to do m :2: O. Sea m < O. Entonces:

Por lo tanto (xm)-l = x-m, par a to do m E Z .

(b) Demostramos ahora la siguiente afirmación: (xm)n = xmn para to do m E Z y para to do n E No. Procedemos por inducción sobre n: Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

Parte 1: Si n = O, entonces (xm)O = 1 = xO = xmO. Parte 2: Supongamos que la afirmación es válida para n :2: O. Entonces

(e) Sea ahora n :2: O. Entonces:

(xm)-n = ((xmt)-l = (xmn)-l = x- mn 3. Demostramos la afirmación por inducción sobre n: Parte 1: Si n = O, entonces (xy)O = 1 = xOyo. Parte 2: Supongamos que la afirmación es válida para n > O. Entonces

(xyt(xy) (xnyn) (xy) (xnx)(yny) xn+lyn+l Parte 3: Sea n < O. Entonces

((xy)-l)-n (x-ly-l)-n (x-l) -n (y-l )-n

4. Supongamos que y

i= O.

5. Se deja como ejercicio.

Entonces

2.2. Exponentes enteros

Gutiérrez-Robinson

Presentamos ahora algunas aplicaciones de los resultados anteriores. 2.2.3 Ejemplos. En cada caso, simplificar y expresar sin exponentes negativos (si es el caso). Suponga además que se descartan las situaciones en que las expresiones no tienen sentido. 1. (3 2x 3y 5z2)2

Solución: (3 2x 3y 5Z2)2 (3 2)2(x3)2(y5)2(z2)2 34x 6 y10z4 2.

(-;:::J!:3) ( 3~3~~~:4) Solución: 4

_z2 ) ( x ) ( 22 x 3y 3y2 z 6

-x 12 y 3 z 4 X- l_y - 3 ) -1 2+ y 1

3. ( x

Solución: Simplificamos inicialmente la base de la expresión: Y -3 x-2 + y-1 X

-1 -

x1 - 1131 1 1 X2" + Y y3_ x

----xy.r y+x 2 x2y

x2y(y3 - x) xy3(y + x2) x(y3 - x) y2(y + x2)

Entonces

( -1 + -3)-1 -y x-2 y-1 X

Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

2.2.4 Ej e rcicios Simplifique las expresiones dadas, expresándolas sin exponentes negativos 1. (x- n

+ xn + l )(x-n + xn -

2. (xm-2

+ x-m -

x-2m)(xm

+ x-m + 1)

7. (x- 1 + y - 1)(x+ y )- 1

8. (x- 1 + y - 1)- 1 9.

x2 - x y - 1 y - x- 1

10.

(x3 y )(xy 2) (x y )6

11 .

( -1+ -1) -1 x - y X- 1 y - 1

12.

(2 X- 1 _ y-2 ) -2 X- 2 - 2y- 1

13.

(xk+3)k (xk+5) (xk+2)4

14.

9233n 9n 3n (9 - 27n )

15.

2x- 1 + 3x- 2 - 4x- 3 5x- 4 + 6x- 5

Iniciamos ahora la construcción de los elementos teóricos que nos permit irán demostrar el teorema del binomio. Ent re éstos se encuentran los conceptos de factorial de un elemento de No Y coefi ciente binomial. 2.2. Exponentes enteros

Gutiérrez-Robinson

2.2.5 Definición. Sean n, k E No. 1. Definimos el factorial de n, notado n! de manera inductiva:

.- (n - 1)! . n, para n :2: 1

2. Si O ::; k ::; n, definimos el coeficiente binomial de n sobre k, notado (~) de la siguiente manera: ( n) k -

n! k!(n-k)!

2.2.6 Ejemplos. De la definición anterior se sigue inmediatamente que

n! = 1 ·2·3··· (n - 1) . n Entonces

(a) 1! = O! . 1 = 1 (b) 2! = 1! ·2 = 2 (e) 3! = 2! ·3 = 6 (d) 21! = 51090942171709440000

(e)

42! = 1405006117752879898543142606244511569936384000000000

Es importante anotar que este número crece muy rápido. (J)

(g)

(!) =

3!5!2!

= 10

4!46!

2.2.7 Ejercicios 1. Calcule en cada caso el coeficiente binomial

m e) @ d) m b)

2. Simplifique Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

a) b)

d on d e O < r < n

n! (n-r)!'

n! (n+l) (n-l)!

3. Sean n, k E N, con k < n. Demuestre que (~) 4. Sean n, k E N, con n 2': k. Demuestre que 5. Demuestre que

;h ::;

2nl_ l'

+ (k~l) =

'E.j=k (() =

(~~i)

para todo n E N.

2.2.8 Lema. Sean n, k E No, con k::; n. 1. (~)

= (~) =

2. (~)

= (n~k).

G) + (k~l) =

1 (nt )

DEMOSTRACIÓN:

1. Se sigue inmediatamente de la definición _ n! _ 1 _ n! _ (n) ( n) o - O!(n-O)! - n!(n-n)! n

2. Esta propiedad establece una simetría del coeficiente binomial n

(k)

= k!(n - k)! = (n - k)!(n - (n - k))! =

(n-k)

n! n! k!(n - k)! + (k - l)!(n - (k - 1))! n! n! k k! (n - k)! + k!(n - k)!(n - k + 1) n! (n-k+l)+n! k k!(n-k)!(n-k+l)

n!(n - k + 1 + k) k!((n + 1) - k)! n!(n + 1) k!((n + 1) - k)! (n + 1)! k!((n + 1) - k)! 1 (nt )

2.2. Exponentes enteros

Gutiérrez-Robinson

Nuestra meta inmediata es encontrar una expresión para (x + y) n , donde x, y E lR Y n E N. Usando la definición 2.2.1 y el axioma e5 se tiene que

(x (x (x (x

+ y)l + y)2 + y)3 + y) 4

x+y x2 + 2xy + y2 x 3 + 3x 2y + 3xy2 x 4 + 4x 3y

+ y3 + 6x2y2 + 4xy 3 + y4

Note que los exponentes de la variable x decrecen, mientras que los exponentes de la variable y crecen. Los coeficientes están determinados por el usualmente denominado triángulo de Pascal,2 cuyo fundamento está en el lema anterior. 1 1 1 1

1 1

2.2.9 Teorema del binomio. Sean x, y E lR Y n E N. Entonces

Si utilizamos el símbolo de sumatoria se tiene n

+ yt = L

(~)xn -k yk

k=O DEMOSTRACIÓN :

ces (x

Procedemos por inducción sobre n. Si n = O, entony la afirmación se cumple

+ y)O = 1 = xOyO

2BLAISE PASCAL (1623 - 1662) , filósofo y matemático francés nacido en ClermontFerrand. En 1640 publicó Essai Pour les coniques, en el que demuestra el llamado teorema del hexágono de Pascal, según el cual, los tres pares de lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica se cortan en puntos alineados. Su trabajo más famoso en filosofía es Pensées, una colección de pensamientos personales acerca del sufrimiento humano y la fe en Dios.

Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

Supongamos que la afirmación es válida para n :2: O. Entonces (x+yt(x+y) n

(2: (~)xn-kyk) (x + y) k=O n

(2: G)xn-kyk)x + (2: G)xn-kyk)y k=O

k=O

k=O n

k=O n-l

2: G)xCn+l)-kyk + xn+l + 2: G)xn-kyk+l + yn+l k=l xn+l

xn+l

k=O n

k=l

+ 2: (~)xCn+l)-kyk + 2: C~l)xn-Ck-l)yCk-l)+l + yn+l + 2: G)xCn+l)-kyk + 2: (k~l)xCn+l)-kyk + yn+l n

xn+l

+ 2: ((~) + C~l) ) xCn+l)-kyk + yn+l k=l n

xn+l

+ 2: (nt1)xCn+l)-kyk + yn+l k=l

n+l

2: (nt1)xCn+l)-kyk k=O

Para obtener la última igualdad hemos utilizado que

2.2.10 Ejemplos. Consideremos el desarrollo de las siguientes expresiones: 1. Sea x E R

(~)X5 x

+ 5x + lOx

(~)x3

+ mx2 + (~)x + (~) + lOx 2 + 5x + 1

2.2. Exponentes enteros

Gutiérrez-Robinson

2. Sea x E lR., con x

i= O. (~)X4 + (i)x 2 + x

@ + (j) x12 + (!) ;4

+ 4x2 + 6 + -!-x + ~

3. Sean x, y E R (2x - 3y)3

(~)(2X)3 - (i)(2x)2(3y) + (~)(2x)(3y)2 - (~)(3y)3 8x 3 - 3(4)(3)x2y + 3(2)(9) xy2 - (27)y3 8x 3 - 36x 2y

+ 54 xy 2 -

27y 3

4. Utilizando el teorema del binomio se tiene de manera inmediata que n

k=O

2.2.11 Ejercicios En cada caso (1-10) use el teorema del binomio para hallar la expansión de la expresión dada y simplifíquela. 1. (1-x)6 2. (x

+ 2)5

3. (2x

+ 1)6

4. (2x - 3y)1

5. (x

+ ~)5

6. (1

+ ~x)5

7. (1

+ ~x2)4

(~+ ~t

( ~y + 1L) x5 ' con

x , y E lR. x .

10. (x2 _ 2y2)4 11. Determine el cuarto término en la expansión de (1 _ y2)5 12. Determine el sexto término en la expansión de (x - 2y)10 Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

13. Simplifique (3x - 1)4 - (3 - x)4 14. Simplifique (x

+ 1)3 -

3(x

+ 1)2 + 3(x + 1) -

15. Simplifique (x

+ 1)4 -

4(x

+ 1)3 + 3(x + 1)2 -

2.3.

1 (x

+ 1) -

Exponentes racionales y raíces

A cont inuación abordamos el problema de encontrar un significado para expresiones de la forma x~, donde x E lR. Y m , n E Z y n i= O. Es decir, encontrar una defini ción para las potencias racionales de números reales.

2.3.1 Le ma. Sean x, y E lR.+ Y n E N. Entonces x xn < yn.

< y si

y sólo si

DEMOSTRACIÓN: Es una consecuencia inmediata del teorema 2.1.4. D

2.3.2 Teorema. Sea a :2: O Y n E N. Entonces existe un único x E lR., x :2: O tal que xn = a .

DEMOSTRACIÓN: Si a = O, entonces es obvio que tomando x = O se t iene la afirmación . También el caso n = 1 es trivial. Supongamos entonces que a > O Y n :2: 2. La unicidad planteada en el teorema es consecuencia del lema anterior . La existencia la demostramos ut ilizando el axioma del extremo superior. Definamos Dado que O E M, se t iene que M no es vacío. Demostramos ahora que M está acotado superiormente: Del teorema de Bernoulli 2.1.3 se t iene que para todo y E M se cumple: yn

< a < 1 + na <

(1 + at

Usando el lema 2.3.1 se t iene que y < 1 + a, y por lo tanto, el axioma del extremo superior garant iza la existencia de z := sup(M) . Demostramos ahora que zn = a. P ar a ello demostramos que las suposiciones zn < a y zn > a nos conducen a una cont r adicción . 2.3. Exponentes racionales y raíces

Gutiérrez-Robinson

1. Supongamos que zn

para todo m E N

+ ~r

< a. Del teorema del binomio se sigue que

zn +~, donde k

G)zn-l + G)zn-2 + ... + (~) > O

Para un m suficientemente grande se tiene que

En efecto, utilizando el teorema de Eudoxo podemos tomar este m de tal manera que se verifique n

1 a-z m<-k-

(Podemos hacerlo, ya que el lado derecho de la desigualdad es positivo). Para este m se cumple

Simultáneamente se verifica que

(z + ~r < a lo cual contradice el hecho que z = sup(M). 2. Supongamos ahora que zn > a. Usando una vez más el teorema de Bernoulli tenemos: Si - ~z > -1 es decir, si ~ < z, entonces (Z -

1 )n m = z n (1 -

1 mz

)n > z n ( 1 -

n mz

)

Con algunas transformaciones adicionales se demuestra que

zn (1 - ~) > a siempre que lm < mz'

z(zn_ a ) nzn

El teorema de Eudoxos garantiza la existencia de un k E N tal que

l< z k

Para tal k se verifican simultáneamente O < z a.

< z y (z -

i) n >

De la primera desigualdad se sigue que existe Yo E M tal que 1 Yo> z - /i.

Usando el lema 2.3.1 se tiene que Yo > (z y con la segunda se sigue que Yo > a, pero esto trae como consecuencia que Yo ~ M, lo cual contradice la elección de Yo. Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

Conclusión: la única op ción posible es zn = a. D N ota. En el lenguaje de la ecuaciones, el número z se llama una solución de la ecuación xn = a. 2.3.3 Definición. Sea a :2: O Y n E N. El único x E lR.+ tal que xn = a se notará con a ~ o \jO, y lo llamaremos raíz n -ésima de a. 2.3.4 Observaciones. Algunas observaciones importantes sobre la defini ción de raíz n -ésima son las siguientes: 1. \jO, está definida sólo para a :2: O Y siempre \jO,:2: O. En part icular Va :2: O. Por ejemplo, y'§ = 3, Y no es válido y'§ = - 3. Carecerá de

to do sent ido igualdades de la forma y'§ = ±3.

2. Consideremos nuevamente la igualdad xn = a y supongamos que un problema planteado es encontrar soluciones de ésta. Si a > O, entonces \jO, es una solución, además posit iva. Si n es par, digamos n = 2k para algún k E N, entonces - \jO, también es una solución (negativa), ya que (- \jO,)n = ( _1 )2k( \jO,)n = a. 3. Si a < O, entonces \jO, no está definid a, sin embargo, la ecuación xn = a puede tener soluciones reales. Por ejemplo, si n es impar , digamos n = 2k + 1 para algún k E N, entonces dado que - a> O existe Fa. Si definimos z := -

Fa, entonces se t iene zn

(_1 )2k+l (ycat

- ( - a) a

4. Siempre se verifica que ( \jO,)n = a, pero no siempre se cumple que \/Of! = a. Por ejemplo, J( -2)2 i= -2. La igualdad ( \jO,)n = a se verifica si a :2: O. Definimos ahora las potencias racionales (posit ivas) de un número real posit ivo x. 2.3.5 Definición. Sean r = ~, con m , n E N y x E lR.+. Definimos x T de la siguiente manera:

Es decir, x T es la m -ésima potencia de la raíz n-ésima de x. 2.3. Exponentes racionales y raíces

Gutiérrez-Robinson 1

Recordemos que otra notación para yra es a n . Entonces de la defini1 ción anterior se sigue que x r = (xn)m. En el siguiente lema establecemos algunas propiedades de los exponentes racionales positivas y las conexiones que existen con las raíces de orden superior. 2.3.6 Lema. Sean m,n E N, x,y E

== V nr:rn xm 1. X-;:;:

]R+.

Entonces

(xm)n

DEMOSTRACIÓN:

1. Note que

Esto demuestra que x'.f!: = 2. Note que

yrxm

ll)n= (l)n( Xn ynl)n = xy. (xnyn 1

Por lo tanto xnyn = f/XY = (Xy)n 3. Note que

x. 1

Entonces (Xn) = = Xn=

Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

El siguiente resultado puede verse como una extensión de las propiedades de los exponentes enteros, probadas en el teorema 2.2.2. La extensión consiste en que las mismas propiedades siguen siendo válida para exponentes racionales.

2.3.7 Teorema. r, t E Q+ Y x, Y E lR+. Entonces

5. ~: _{1

si r = t r-t

:Lr

si r > t si t > r

DEMOSTRACIÓN:

1. Supongamos que r

~ y

t = ~, con m, n,p, q x X

'!'.!'l n

rnq nq

xq np x nq

(x ;q )mq (x ;q )np --'--) mq+np ( xnq

mq+np nq

p 'm+ n

2.3. Exponentes racionales y raíces

N. Entonces

GutiĂŠrrez-Robinson

2. Supongamos nuevamente que r = ~ y t = ~. Entonces m

(xr)t

(xn) q

((X~)m)~ ((

(X~)m)

(( (x~)*)mr

((X~)

(X;q )m p mp

X nq x rt 3. Sea r =

Entonces

(xyr

(xy)~ 1

((xy)m)-;;: 1

(Xmym)-;;: (xm)~ (ym)~ !!l !!l xnyn

4. Similar como 2.2.2 (4). 5. Se deja como ejercicio.

Los casos con exponentes negativos se dejan como ejercicios. 2.3.8 Ejemplos. Simplificar las siguientes expresiones: 1.

(2X ~ y

3xoy"2"

para x, Y E lR. x .

CapĂtulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

Solución: 1. Sean x, y E lR X •

( , ')' ex:)" 2x~y~ 3X 6y2

3y6

(2x~ )6 1

(3y6)6 26x 2 36y 2. Sea x E lR x . 3

§.

((X'(::)')5 ),

((X':,')'), x 1 C:/) 3

§.

(::)~ (x2)~

x5 3. Sea x E lR X

•

(xl ((::)"rr

(xl ((x~ )')

(x~ (xf2r) 2

(X2X65r 3

(x~r x3 En el siguiente teorema expresamos las propiedades de los exponentes racionales en término de los radicales. 2.3. Exponentes racionales y raíces

Gutiérrez-Robinson

2.3.9 Teorema. Sean m, n E N Y x, Y E lR+. Entonces 1. \jXfj

= \IX ifY

_ o/X 2. ~ n;¡;_o/fi 3.

\1 yIX =

nyIX

DEMOSTRACIÓN:

Es inmediata y se deja como ejercicio.

2.3.10 Ejemplos. Simplificar las siguientes expresiones: 1. \!27 x 3y3

2. (5V6 + 15jI8 - 5V32)(5V2)-1 3.

{/32x 10 y 15

Escriba la fracción dada sin radicales en el denominador:

V3-V5 4. V3+V5 5. ~-Vx Solución: 1. \!27x 3y3 = {!3 3x 3y3 = \!(3xy)3

= V3xy

2. Usando el teorema anterior tenemos:

(5v8 + 15jI8 _ 5V32)(5v2)-1

5~ + 15~ - 5~

5 2 10v2 + 45v2 - 20v2 5v2 35V2 5V2

3. Usamos el teorema anterior parte (3) tenemos:

{/(2x2 y3)5

{/ {!(2x2 y 3)5 {/2x2 y 3 y?!2x2 Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

4. Mult iplicamos y dividimos la expresión p or una cant idad adecuada, denominada factor racionalizante.

v'3 - v'5 v'3 - v'5 v'3 + v'5 v'3 - v'5 (v'3 - v'5)2 3- 5

2yl5 - 8 2

yl5 - 4 5. Mult iplicamos y dividimos la expresión p or un factor racionalizante. y

y .Vx+Y+ jY Jx + y - jY Jx + y + jY y(Vx+Y+jY) (x+y) - y

~ (Jx+ y +JY) x

2.3.11 Ejercicios Simplificar cada una de las siguientes expresiones (1-15) 1. (

8y2z 5 ) 27x 6y-4z- 1

11111

3. (x"3y"3 - x'2y'2)(x"3y"3

+ x'2y'2)

4. (y2 _ x2)~ _ X ( ~(y2 - x2)-~( -2x) )

(y2 _ x2)~ - X ( i(y2 - x2)-~( -2x) ) 2

(y2 _ x2)"3

6. (yÍX + y'2="X)2 7. ij32 - ~ 2.3. Exponentes racionales y raíces

Gutiérrez-Robinson

3y'6 + 5jI8 - 2)32 y'2

10. (-2 ~315) (-2 -/15) 9.

11.

J:~~ J:~~ 3+2y'X 2- 5y'X

12.

(x + Vfj)2 x-Vfj

13.

k +xVfj k - xVfj

14.

3 - 2y'X ------'--=

2+5y'X (x - Vfj)2 x+Vfj k - xVfj k +xVfj

(-q + ~~2 4pr) (-q - ~~2 4pr) (-q + ~~2 4pr) + ( -q - ~~2 4pr) -

16. Escriba la fracción dada sin radicales en el numerador:

y3-y'2 a) y3 + y'2 ~-1

x - 1

x - y3y x

+ y3y

d) rx+Y+y'X y x - y'X2-=1 e) x + y'X2-=1 1) xVfj - yy'X

ay'X+yVfj g) x+y+~ x +y - Jx - y Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

17. Escriba la fracción dada sin radicales en el denominador:

a) b)

e) d)

1 ~-2

yÍX-yíy 2yÍX + 3yíy

y-x Jx

+ y + yÍX x-y

J~-ifY xyíy - yyÍX yÍX+yíy x3 x -

ifY k

+k-

yÍX

En los siguientes teoremas examinamos cómo cambia xr si aumentamos la base o el exponente. 2.3.12 Teorema. Sean r E Q y x, Y E lR.+. Entonces 1. x

< Y si

y solo si xr

< yr, siempre que r > O

2. x < Y si y solo si xr > yr, siempre que r < O DEMOSTRACIÓN:

Supongamos que r = ~, con m, n E N.

1. Usando el lema 2.3.1 se sigue inmediatamente: X

< Y {:} {:}

< yn m m xn < yn xn

2. Esta es consecuencia inmediata de la primera. Sugerencia. Si r < O, entonces -r > O. D 2.3.13 Teorema. Sean r, t E Q con r < t Y x E lR.+. Entonces 1. xr

< x t si y solo si x > 1

2. xr

> x t si y solo si x < 1 2.3. Exponentes racionales y raíces

Gutiérrez-Robinson

DEMOSTRACIÓN: Dado que t - r > O Y 1t-r = 1, se sigue de la primera parte del teorema anterior que x

1 {:} xt-r

1 Y x

1 {:} xt-r

Entonces t

x > 1 {:}

x xr

{:}

>1 > xr

2.4.

x < 1 {:}

x xr

{:}

<1 < xr

Aplicaciones

En esta sección aplicaremos los axiomas de igualdad y los axiomas de cuerpo sobre algunas expresiones cuya forma es muy usada en el álgebra. El objetivo es reconocer un t ipo particular de expresión, por ejemplo : Un cuadrado, una diferencia de cubos, etc. y de esa manera ahorrar algunos cálculos por ser ya conocidos. 2.4.1 Ejemplos. Productos notables y factorización. 1. Verificar que: (x

+ 5)(x + 3) = x2 + 8x + 15.

Solución: (x+5)(x+3)

2. Verificar que: (x

+ 3) + 5(x + 3) xx + x3 + 5x + 5 . 3 x2 + 3x + 5x + 15 x2 + (3 + 5)x + 15 x2 + 8x + 15 x(x

+ a)(x + b) = x2 + (a + b)x + abo

Solución: (x

+ a)(x + b)

x(x+b)+a(x+b)

+ xb + ax + ab x2 + bx + ax + ab x2 + (a + b)x + ab xx

Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

3. Verificar que: (ax

+ b)(cx + d) = acx 2 + (ad + bc)x + bd.

Solución:

(ax

+ b)(cx + d)

ax(cx + d) + b(cx + d) ax(cx) + axd + bcx + bd acx 2 + adx + bcx + bd acx 2 + (ad

4. Verificar que: (x - y)3 = x 3 - 3x 2y

+ bc)x + bd

+ 3xy2 _

y3.

Solución:

(x - y)(x _ y)2 (x - y)(x2 - 2xy + y2) x(x2 _ 2xy + y2) _ y(x2 _ 2xy + y2) xx2 + x( -2xy) + xy2 - yx 2 - y( -2xy) _ yy2 x 3 _ 2x2y + xy2 _ x2y + 2xy 2 _ y3 x 3 _ 3x 2y + 3xy2 _ y3. 5. Verificar que: (x

+ y)(x -

y) = x2 _ y2.

Solución:

x(x - y)

+ y(x - y) xy + yx - yy

(x +y)(x - y)

xx x2 _ y2 6. Verificar que: (x - y)(x2

+ xy + y2) = x 3 _

y3.

Solución:

+ xy + y2) _ y(x2 + xy + y2) xx2 + x(xy) + xy2 - yx 2 _ y(xy) _ x 3 + x2y + xy2 _ x2y _ xy2 _ y3 X(X2

yy2

x3 _ y3 7. Se deja como ejercicio verificar que: (x+y)(x2 - xy+y2) = x 3 +y3. En los ejemplos anteriores, se establecieron igualdades entre productos y sumas. Cuando expresamos una suma como un producto equivalente, decimos que la expresión está factorizada. 2.4. Aplicaciones

Gutiérrez-Robinson

8. Factorizar: x2 _ y 4. Solución: Del ejemplo 5 se sigue que X2 _ (y2)2 (x - y2)(x

9. Factorizar: x2 y 3

+ y2)

+ 5xy2 + y.

Solución: Por la propied ad distrib ut iva se t iene que

+ y(5xy) + y( l ) y(x2y2 + 5xy + 1)

Y(X2 y2)

10. Factorizar: x2 - 6x

+ 8.

Solución: Del ejemplo 2 se t iene que X2 - 6x

+ (- 4 -

2)x

+ (- 4)( -2)

(x - 4)(x - 2)

11 . Factorizar : x2

+ 10x -

11 .

Solución:

+ 10x -

12. Factorizar: 4x2

+ l1 )(x -

+ 6x + 2.

Solución: 4X2

13. Factorizar: 9x2

+ 6x + 2

+ 3(2x) + 2 (2x + 2)(2x + 1) 2(x + 1)(2x + 1) (2X)2

+ 5(3x) + 6.

Solución: 9X2

+ 5(3x) + 6

+ 5(3x) + 6 (3x + 3)(3x + 2) 3(x + 1)(3x + 2) (3X)2

Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

14. Factorizar: 25x 2 + 35x

+ 12.

Solución: 25x 2 + 35x

+ 12

+ 7(5x) + 12 (5x + 4)(5x + 3) (5X)2

15. Factorizar: 2x2 - 5x - 3. Solución: 2X2 - 5x - 3

2(2x 2 - 5x - 3) 2 (2x)2 - 5(2x) - 6 2 (2x - 6)(2x 2 ~(x - 3)(2x

~ (x - 3)(2x

16. Factorizar : 6x2

+ 1) + 1)

+ 1)

+ 7x + 2.

Solución: 6X2

+ 7x + 2

6(6x 2 + 7x + 2) 6 (6x)2 + 7(6x) + 12 6 (6x + 4)(6x + 3) 6 ~(3x + 2)$(2x + 1)

(3x

+ 2)(2x + 1)

2.4.2 Ejercicios Realice las operaciones indicadas y exprese los productos como sumas. 1. (2x

+ 1)2

2. (1 _ :&)2

3. (x

+ 2)3 2.4. Aplicaciones

Gutiérrez-Robinson

4. (1 - 2x)3 5. (x - 3y)2 6. 4(2x _ y)2

7. -2(x - x\)3 2.4.3 Ejercicios Factorice las siguientes expresiones: 1. x 3

2. x2

+ 6x

3x2

4. x(a+b) -y(a+b)

7. 2ax - 6bx

+ ay -

8. 2ay2 - axy

3by

+ 6xy -

3x2

9. 100 - x2 y 6 10. 4x2 - (x

+ y)2

12. 49alOn _ b~~x 13. 36(x

+ y)2 -

121(x _ y)2

14. (x - y)3 - 8 15. (x - 1)3 - (x 16. x2

17. x2

+ 3x + 2

+ 2)3

- 6

18. x2 - 5x - 36 19. x2

+ 7x -

18 Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

20. x2 - 9x

+ 20

2l. 2x2

+ 3x + 1

22. 2x2

+ 5x + 3

23. 5x2 - 13x 24. 6x2 25. x2

+ 7x + 2

+ 2xy + y2 _

26. 2x2

+ 3xy -

27. x2 - 2xy

2y 2

+ y2 + 6x -

28. x6 _ y6 29. x 4

+ x2 + 1

30. x 4

Fracciones 1. Simplificar

x3 1 -----:4 - -3 - =----x-x+x-1

Solución:

+ (x Pn

x 3 (x - 1)

(x-1)(~ 1

(x 2.

lmp

l"fi 1

car

2 +x33ax + 9ax _ 27

Solución: ax 3

+ 3ax 2 + 9ax

ax(~)

(x-3)(~

x3 -

(x - 3) 2.4. Aplicaciones

Gutiérrez-Robinson

Solución:

(x 3 - y3)(x3 + x2y + xy2 (x 3 + y3)(x + y) (x 3 + x2y + xy2 + y3) (x 3 + y3)(x + y)

+ y3)

X2(X + y) + y2(x + y) (x 3 + y3)(x + y) (x + y)(x2 + y2) (x 3 + y3 )lx-+11J lx-+11J( x2 + y2) (x3 + y3) (x2 + y2) (x + y)(x2 - xy + y2) (x2 + y2)

x 4. Simplificar - x +3

X x - 3

x2 x2 - 9

+ -- - --

Solución:

X x - 3

x2 x2 - 9

-- + ----x

x2 -x- + -X- - - - -x+3 x-3 (x+3)(x-3) x(x - 3) + x(x + 3) - x2 (x + 3)(x - 3) x2 - 3x + x2 + 3x - x2 (x + 3)(x - 3) x2 (x

+ 3)(x -

X2 - 5x + 6 6x 5. Simplificar -----,---3x - 15 x2 - x - 30

X2 - 25 2x - 4

Capítulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

Solución:

X2 - 25 X2 - 5x + 6 6x 3x - 15 x2 - x - 30 2x - 4

(x - 3)(x - 2)6x(x - 5)(x + 5) 3(x - 5)(x - 6)(x + 5)2(x - 2) f5x (x - 3 )i;r:---21~i;r:-+-51 f5~(x - 6)i;r:-+-51i;r:---21 x(x - 3) (x - 6)

1+-x-1 6. Simplificar ----=---=1---=-1+-x2 - 1 Solución: 1

1+--

x-1 1

1+-x2 - 1

x x-1 x2 x2 - 1 x1x---t)(x + 1) x21x---t) x+1 x

2.4.4 Ejercicios Simplificar las siguientes fracciones : l.

2x2 4x2 - 2ax

(x _ y)2 x2 _ y2

(x2 _ y2)(x2 + xy x3 _ y3

5. 6.

+ y2)

+ y)2 - (z - w)2 + z)2 - (y - w)2 3x2 + 5xy - 8y2 (x (x

x3 _ y3

(x2 - X - 2)(x 2 - 9) (x2 - 2x - 3)(x2 + X - 6) 2.4. Aplicaciones

GutiĂŠrrez-Robinson

x +5 + x2 + 2x + 1 2x x +1 1 3x2 + 11x + 6 + x2 - 9 + 3x + 2

1 7. x _ 5

5 9. x -1

x 4x - 5

+ x2 -

+ (x -1 )2

(x -

1)3

X2 + 4x + 3 3x2 - 2x 10 . 3x2 + X - 2 . 2x2 + 13x + 21 x 3 - 125 11 . X2 - 64 12.

13 .

x2 - 8x 2 X - 11 x x y

+ x -56 + 5x 2 + 25x

x2 x

x2 - 36 x2 - 4x - 5 2 ----=2--x - 1 x - x - 42

+7 + 30

y x y

1+-

x+ 3 x -1

x -1 x+ 3 2 (X + 3)

-----

14.

x -1--x+ 3 15. 35 x+5 - - x+ 3 1 x+ y +z 16. 1 x -y +z

x 17.

x2 + y2 1 X

Y 1

1 x -y +z 1 x+ y +z

x2 _ y2 x3

+ y3

2x y +1 x2 - x y + y2 ) 18. x 3 _ y3 (2 Y -- + 1 3 x + y3 X - Y ----=-------'----__=_

CapĂtulo 2. Exponentes racionales

Matemáticas básicas con trigonometría

6x + 12 x+ 1 - - - x+ 2 19. ll x - 22 x - 4+ - - x -2 x+ 7 X2 20 .

+ y2

- x

---

1 1 -x3 + -y3

x+ y_ x - y + 4y2 ) X+ y ( X- Y x +y y2 - x2 2y 21. x2 _ y2 X_ Y x2 + x y - 2y2 . X + Y 4X2 - 25 (1 1) 9x2 + 3x + 1 x a+b 22 . 6x 3 + 13x 2 - 5x 4X2 - 20x + 25 27 x 3 - 1 - 2ax + 5a + 5b - 2bx 1

23.

x -x2 1

x+ --2 x

24 .

25 .

~ + Y+z (1 + ~ __ 1_

x 26 .

2 y2 + z2 - X ) 2yz

y +z 1

1 + ---=3-2 + -----c4,-----

3+ -4+x

2.4. Aplicaciones

27.

GutiĂŠrrez-Robinson

x x -

------=~ z,------

w 1--w-a

CapĂtulo 2. Exponentes racionales

Capítulo 3 Relaciones y funciones reales Contenido 3.1. Primeras definiciones . . . . . .

3.2. Notación funcional alternativa.

3.3. Funciones polinómicas

3.4.

Operaciones entre funciones

En este capítulo introducimos uno de los conceptos fundamentales de la matemática, el concepto de función . Este jugará un papel central en el cálculo diferencial e integral. En efecto, en éstos se estudian conceptos como continuidad, diferenciabilidad o integrabilidad de funciones reales de variable real o funciones en varias variables. Existen diferentes formas de abordar el concepto. Intuitivamente podemos ver una función como un proceso para asignar elementos de un conjunto A a elementos de un conjunto B. En este texto presentaremos las funciones como subconjuntos del producto cartesiano 1 de A con B, que satisfacen una propiedad específica. lRENÉ DESCARTES (1596 - 1650) , filósofo y matemático francés. En 1637 publicó su famosa obra Discours de la méthode pour bien conduire sa mison, et chercher la vérité dans les sciences, presentado como prólogo a tres ensayos científicos. Descartes proponía una duda metódica, que sometiese a juicio todos los conocimientos de la época, aunque, a diferencia de los escépticos, la suya era una duda orientada a la búsqueda de principios últimos sobre los cuales cimentar sólidamente el saber.

Gutiérrez-Robinson

3.1.

Primeras definiciones

Iniciamos el camino hacia la defini ción formal del concepto de función . 3.1.1 Definición. Sean A y B dos conjuntos no vacíos. El producto cartesiano de A con B (notado A x B ) se define así:

Ax B := { (x, y ) I XEA, y E B} Es decir, los elementos de A x B son parejas ordenadas, donde la primera componente (x) pertenece al conjunto A y la segunda componente (y) pertenece al conjunto B . Por las características mismas del curso, evitamos defini ciones conjunt istas del concepto de pareja ordenada. Simplemente nos interesa el hecho que en general ordenada significa que (x, y) i= (y, x). Recuerde que a nivel de conjuntos no se hace diferencia ent re {x, y} y {y , x }. La igualdad ent re parejas ordenadas se define de la siguiente manera:

(x, y ) = (z,w) :{:} x = z A y = w 3.1.2 Ejemplos. Sean A = {O, 1} Y B = {1 , 2, 3}. Entonces 1. A x B

= {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 1),(1, 2),(1,3)}

2. B x A = {(1, 0),(1, 1),(2, 0),(2, 1),(3, 0),(3, 1)} Note que A x B i= B x A. Es decir, en general el pro ducto cartesiano de dos conjuntos no satisface la propiedad conmutativa. La igualdad se t iene si y sólo si A = 0 o B = 0 o A = B . 3.1.3 Ejercicios 1. Sean A = N Y B = Z. ¿Cuáles de las siguientes parejas ordenadas no pertenecen a A x B ?

a) (1, - 3) b) (2, -100)

e) (-2, -1 ) d) (O, O) e) (~, - 3) 2. Sean ahora A = lR. Y B = Q. ¿Cuáles de las siguientes parejas ordenadas no pertenecen a B x A? Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Matemáticas básicas con trigonometría

a) (O, íT) b) ( _14'31 )

e) (V2,V3) d) (O, O) 1

e) (23 ,0)

Sistema de coordenadas bidimensional En el primer capítulo se estableció una correspondencia biunívoca entre los elementos de JR y los puntos de una recta J:.,. De manera similar podemos extender la idea anterior y hacer corresponder a cada punto de un plano l' uno y solo un elemento del conjunto JR2:= JR x JR = { (x, y) I x, y E JR}.

Para simplificar , consideremos dos rectas (llamadas ejes del sistema de coordenadas) en el plano 1', las cuales son perpendiculares y se cortan en un punto 0 , el cual llamaremos origen. Una conveniencia adicional es considerar una recta horizontal (el eje x) y la otra vertical (el eje y). A cada punto P del plano le asignamos un elemento (a, b) E JR2, donde a denota la distancia perpendicular desde P hasta el eje y y b indica la distancia perpendicular desde P hasta el eje x. Estos números a y b son denominados las coordenadas de P con respecto a este sistema, usualmente denominado cartesiano. Eje y Cuadrante I

1----...,

Cuadrante II

P (a, b) b

° Cuadrante III

Eje x Cuadrante IV

3.1. Primeras definiciones

Gutiérrez-Robinson

Las cuatro regiones en las que los ejes dividen al plano se denominarán cuadrantes y de manera arbitraria los ordenamos como se muestra en la anterior figura. Esto es, Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

{(x, y) {(x, y) {(x, y) {(x, y)

JR2

Ix> O 1\ Ix < O 1\ Ix < O 1\ Ix> O 1\

y> O} y> O} Y < O} Y < O}

3.1.4 Ejercicios Ubicar en un sistema de coordenadas los puntos cuyas coordenadas se dan a continuación . 1. (-1,2)

2. (2, -3) 3. (-~,-1) 4. (-~,-~) 5. (O, -1) 6.

(V2, v'3)

7. (0,4)

8. (-3, O) 9. (2, O)

10. (-1,2) 3.1.5 Definición. Sean A y B dos conjuntos. 1. Una relación de A en B es cualquier subconjunto

2. Si A, B

JR, entonces llamaremos a

de A x B.

una relación real.

3. Sea f es una relación de A en B. Definimos el dominio de notado con Dom(J), de la siguiente manera:

Dom(J) = {x I ~y(y E B

(x,y)

f)}

Es decir, el dominio de f es el el conjunto formado por las primeras componentes de los elementos de f. Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Matemáticas básicas con trigonometría

4. La imagen de j , notada con Im(J), se define así: Im(J) = {y I ::3x(x E A

(x, y ) E j)}

Esto significa que la imagen de j es el conjunto formado por las segundas componentes de los elementos de j . La imagen de j es también denominada rango de j y usualmente se denota con Rang(J). Estas diferencias en los nombres están ligadas a los contextos matemáticos en los que se usan. Por ejemplo, en el álgebra lineal se estudian fun ciones especiales llamadas t ransformaciones lineales y existe una diferencia concept ual ent re los términos imagen y rango para tales funciones. 3.1.6 Definición. Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una relación j de A en B se denomina una función de A en B si se verifican las siguientes propiedades: F1. P ara to do x E A, existe y E B tal que (x, y ) E j . F2. Si (x, Y1 ) E j Y (x, Y2) E j , entonces Yl

= Y2·

En este punto podemos abordar la noción de correspondencia ent re los elementos de dos conjuntos, asociada al concepto de función . En efecto, la propiedad Fl de la defini ción anterior nos indica que to do x E A está relacionado con algún y E B . O también , que a cada x E A le corresp onde un y E B . Si (x, y ) E j , entonces decimos que y es la imagen de x bajo j y se escribirá y = j (x). También se dice que x es pre-imagen de y bajo j . Con esta simbología podemos afirmar que Im(J) = {j (x) I x E Dom (J )} La propiedad (F2) establece la unicidad del element o y E B asociado a x E A. Es decir, se t iene unicidad en la imagen . 3.1.7 Ejemplos. Sean A = {0, 1} Y B = {1 , 2,3}. Examinemos cuáles de las siguientes relaciones son funciones.

= {(O, 1), (1, 2)} es una función de A en B , con Dom(J ) = {O, 2} e Im(J) = {1 , 2} .

1. j

2. j = {(O, 2), (0,3), (1, 2), (1, 3)} es una relación de A en B , pero no es una función . En efecto, (0, 2), (0,3) E j Y sin embargo 2 i= 3. 3.1. Primeras definiciones

Gutiérrez-Robinson

3. j = {(O, O)} es una relación de A en B, pero no es una función, ya que ellE A y no t iene imagen bajo j. Sean ahora A = B = JR. 4. j={(x,y)E JR. 2 I x=1}

5. 9 = {(x, y) E JR.2 I y = 2}

6. h = {(x,y) E JR.2 1x2 +y2 = 9} Solamente 9 define una función real. ¿Por qué j y h no lo son? 3.1.8 Ejercicios Sean A = {O,l} Y B = {1,2,3}. 1. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de A x B son ejemplos de relaciones de A en B? Si alguna es una relación, halle su dominio y su imagen:

j = {(O,1),(1,2)}

b) j = {(1,O),(1,1),(2,O) ,(2,1) ,(3, O) ,(3, 1)} e) j = {(1,O),(1,1),(2,O),(2,1),(3,O),(3,1)}

d) j = {(1,1),(2,2),(3,3)} e) j={(O,O)} 2. Cada uno de los siguientes conjuntos son ejemplos de relaciones de JR. en R En un plano cartesiano grafique cada una de éstas, determine su dominio, su imagen y además cuáles de éstas son funciones.

a) j={(x,y)E JR. 2 I x=1} b) j = {(x , y) E JR.2 1Y = 2}

e) j={(x,y)E JR. 2 I x 2 +y2=9} d) j={(x , y)E JR. 2 I x=y} e) j = {(x,y) E JR.2 11 x l ::; 2}

J) j = {(x , y) E JR.2 11 x l ::; 2 y Iy l ::; l} g) j = {(x,y) E JR.2 11 y l 2': 2} h) j={(x , y)E JR. 2 I x=O} i) j = {(x,y) E JR.2 11 x l 2': 1 y Iy l 2': 2} Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Matemáticas básicas con trigonometría

3.2.

Notación funcional alternativa

Para obtener simplificación en la escritura, es usual abandonar la notación funcional como conjunto de parejas ordenadas y escribir simplemente la ecuación que la define. Esto es, supongamos que A, B ~ lR. Y se t iene la función real

f = {(x,y)

A x B I y = f(x)}

o equivalentemente

f = {(x,y)

A x B I y - f(x) = O}.

Entonces escribiremos simplemente y = f(x). 3.2.1 Ejemplo. Para denotar la función f = {(x,y) E lR.xlR. 1x+y-1 O} escribiremos simplemente y = 1 - x o f(x) = 1 - x.

Otras notaciones. Para denotar una función real f tal que Dom(J)

A e Im(J) ~ B escribiremos f : A ---) B, o también A B.

f(x)

3.2.2 Ejemplo. Sea f : A ---) lR. definida por f(x) = x 3 - 1. Dado que para todo número real x existe x 3 + 1, se t iene que Dom(J) = R Además 1. f(l) 2.

= 13

f (O) =

= O.

-1

3. f(J(l)) = f(O) = -1 4. f(J(J(O))) = f(J( -1)) = f( -2) = -9. 3.2.3 Ejercicios Sean f : A ---) lR. Y 9 : B ---) lR., definidas por las igualdades f(x) = x2 + 2x y g(x) = x - 1. Determine 1. Dom(J) y Dom(g)

2. g(J(J(l))) 3. f( -x) 4.

f(x+h)- f(x) h

3.2. Notación funcional alternativa

Gutiérrez-Robinson

f(x)- f(2) x-2

La siguiente definición nos permite obtener una importante clasificación de las funciones reales. 3.2.4 Definición. Sean A, B

lR., no vacíos y

f :A

-----+

1. Diremos que

f es inyectiva o uno a uno si y sólo si se verifica la siguiente propiedad:

2. La función f se llamará sobreyectiva o simplemente sobre si y sólo si Im(J) = B. 3. Se dice que f es una biyección o simplemente biyectiva si y sólo si f es inyectiva y sobre. Note que la inyectividad de manera:

puede expresarse también de la siguiente

o equivalentemente: Todas estas expresiones equivalentes indican que una función es inyect iva o uno a uno si a elementos distintos de su dominio corresponden imágenes distintas. Por otro lado, la sobreyectividad de f significa que

(Vy

B)(::3 x

A)(y = f(x))

o equivalentemente en la notación de parejas ordenadas ordenadas que (Vy

B)(::3x

A)((x,y)

Es decir, todo elemento y E B es imagen de algún x E A. 3.2.5 Ejemplo. Sean A = {l, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {7, 8, 9, O} Y consideremos las funciones f : A -----+ B Y 9 : A -----+ B definidas por

f 9

{(l, 7),(2, 7),(3,8),(4,9),(5,9),(6,O)} Y {(1,8),(2,8),(3, 7),(4,9),(5, 7),(6,9)}

U na ilustración de éstas se t iene en el siguiente diagrama. Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Matemáticas básicas con trigonometría

A _ _.:.... f -

.....

A --....;;g--. B

Note que f es una función sobre. Sin embargo, 9 no lo es. En efecto, O E B Y no existe x E A tal que g(x) = O. ¿ Qué puede decir de la inyectividad de f y g? Algunas funciones especiales. Presentamos ahora las fun ciones valor absoluto y parte entera. 1. La función valor absoluto. Sea f (x) = Ixl. Con base en la definición 1.7.4 esta función también puede expresarse así:

f (x) = {

x, si x:2: O - x, si x < O

Gráficamente :

f (x)

-3

-2

-1

Figura 3.1: Función valor absoluto Es claro que Dom (J) = lR., Im(J) = [O, +oo [ Y que f no es inyectiva. 2. Función parte entera. Si x E lR., entonces existe siempre n E Z tal que n ::; x < n + 1. Se define la parte entera de x, notad a lx J, como 3.2. Notación funcional alternativa

Gutiérrez-Robinson

el entero n que satisface la condición anterior. Es decir,

lxJ = n {:} (n E Z 1\ n

::; x < n

+ 1)

Es de gran importancia teórica en el cálculo integral el estudio de las denominadas funciones escalonadas. Un ejemplo de este tipo de funciones es f(x) = lxJ. Note que Dom(J) = lR., Im(J) = Z, f es sobre pero no es uno a uno. Su gráfico se ilustra a continuación:

f(x) 2

-3

-2

-1 O

-2

Figura 3.2: Función parte entera 3.2.6 Ejemplo. Sea f : Q ----) Q definida por f(x) = x2 + 1. Observe que f( -1) = f(l) = 2. Por lo tanto f no es una función uno a uno. Tampoco es sobre, ya que f(x) es positivo para todo x E Q. Esto implica que ningún número racional negativo será imagen de algún x E Q. Determine si f uno a uno o sobre en el caso en que f : Q ----) R 3.2.7 Ejercicios Sea

f : A ----) R

1. En cada caso grafique la función imagen:

a) f(x) =

y determine su dominio y su

x:+;t

12x - 11 = Ix + 21 = 1 - l3xJ = x - 3lxJ

b) f(x) =

e) f(x) d) f(x)

e) f(x)

Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Matemáticas básicas con trigonometría

lxJ

1) f(x) = x -

g) f(x) = {

-1 si x::=; 2 1 si x> 2

1- x si x::=; 1 f(x) = { x -1 si x> 1

°°

si x i= si x = 1 si x ::=; - 3 si - 3<x::=;4 { 2 si x>4

i) f (x) = {

° j) f (x) ~ ° k) f(x)

}4 - x2 x -2

si x ::=; -2 si -2 <x::=; 2 si x> 2

2. Sea f (x) = Ix - 11- Ixl + 1. Exprésela sin las barras del valor absoluto, cuando x está en cad a uno de los siguientes intervalos. Elabore además el gráfico de f .

a) ] - oo, O[ b) [0, 1]

e) ]l ,+oo [ 3. Con un placa metálica delgada rectangular de 20 cm por 30 cm se desea construir una caja (sin tapa) cortando cuadrados de igual lado en sus cuatro esquinas. Determine una fun ción que modele el volumen de dicha caja. 4. Una página impresa debe contener 140 cm 2 de área impresa, un margen de 3 cm arriba y abajo y de 1 cm a los lados.

a) Notemos con f (x) el area total de la página cuando cuando x cm es el ancho de la región impresa. Exprese una ecuación que defin a a f (x). b) Determine el dominio de la función f del punto anterior.

3.3.

Funciones polinómicas

Consideramos ahora un t ipo especial de funciones, las funciones polinómicas. En part icular analizaremos las fun ciones polinómicas de grado cero, uno y dos. Iniciamos con la defini ción de tales fun ciones. 3.3. Funciones polinómicas

Gutiérrez-Robinson

3.3.1 Definición. Sea B ~ lR, n E No. Una función f : lR ----) B se llama polinómica de grado n en la variable x si tiene la forma

xEA donde aj E lR para todo j = O, 1, 2, ... , n y a n

(3.1)

i= O

3.3.2 Ejemplos. ¿Cuáles de las siguiente funciones son polinómicas?

1. f (x) = 3x 3

2. f(x) = x 3. f(x) = ~ 4. f(y) = 1fy2 - 1fy + 1f

5. f(z) = 4z 4

+ 3z 3 + 2z 2 + z

6. f (x) = ~ x ~

+ 2x -

Note que en una función polinómica se presentan sumas y multiplicaciones de número reales. De allí podemos afirmar que Dom(J) = R Examinemos ahora el comportamiento de la función polinómica de grado n, para los casos en que n = O, 1, 2. Caso n = O. Note que la función polinómica toma la forma

f(x) = ao, '\Ix E lR Esta función se denominará función constante, ya que a cada elemento del dominio asigna la misma imagen. En notación de parejas ordenadas se tiene que f = {(x,ao) I x E lR}. Esta función no es inyectiva y además Im(J) = {ao}. Gráficamente las situación es la siguiente: Caso n = 1. Ahora la función polinómica adquiere la forma

f(x) = alX

+ ao,

'\Ix E lR

Sea y E R Entonces si definimos x := Y~;O se verifica que f(x) = y. Esto demuestra que Im(J) = R Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Matemáticas básicas con trigonometría

f(x)

Figura 3.3: Función constante Por otro lado, sean x,x' E lR tales que f(x) = f(x ' ). Entonces alX + ao = alx' + ao y se sigue inmediatamente que x = x'. Con esto se t iene que f es inyectiva. El gráfico de f es una línea recta que pasa por el punto (O, ao). El número al se denomina pendiente de la recta y mide el grado de inclinación de la recta con respecto al eje x. Note que si ao = O, entonces la recta pasa por el origen. Ilustramos en la siguiente figura los casos al > O Y al < O.

x Caso

Caso

Caso n = 2. La función polinómica tiene entonces la forma

f(x) = a2x2

+ alX + ao,

'\Ix E lR

Abordemos ahora dos problemas interesantes: caracterizar el gráfico de f y determinar explícitamente Im(f) . Sabemos que

f = {(x,y) E lR x Im(f) I y = a2x2

+ alx + ao,

a2 oj= O}.

Para simplificar la escritura, lo anterior podemos expresarlo así:

f={(x,y) ElRxlm(f) l y=ax 2 +bx+c, aoj=O} 3.3. Funciones polinómicas

Gutiérrez-Robinson

Note que y = ax 2 + bx

{:}

y - e = a (x2

{:} y {:} y _

+ ~x) e + ~: = a ( x2 + ~x + 2 4ac-b = a (x + ~)2 4a 2a

::2 ) (3.2)

Esto demuestra que el gráfico de f es una parábola cuyo eje es paralelo al eje y y cuyo vértice es el punto

Note que si x i= - 2~' entonces para cada y E Im(J) existen x, x' E Dom(J) con x i= x' para los cuales y = f(x) = f(x ' ). Esto demuestra que la función f no es inyectiva. El signo del lado derecho de la igualdad (3.2) queda completamente determinado por el signo de a. Por lo tanto 1. Si a

> 0, entonces la parábola abre hacia arriba y se verifica que

o equivalentemente Y

Esto es,

> -

4ac-b 2 4a .

Im(J) = [ 4a~~b2, +00 [ .

2. Si a < 0, entonces la parábola abre hacia abajo y se verifica de manera similar que Es decir,

Im(J) = ] -00, 4a~~b2]

3.3.3 Ejemplos. Consideramos ahora dos casos particulares de lo anterior. 1. Sea f(x)

2x2 - 2x -1. Note que a

= 2 > O. Entonces la parabola

abre hacia arriba, su vértice es el punto con coordenadas

Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Matemáticas básicas con trigonometría

y además

como puede observarse en el siguiente gráfico:

2 x

-2 -2

2. Sea f (x) = _x 2 + 2x + 1. Ahora a = -1 < O. Entonces la parabola abre hacia abajo, su vértice es el punto con coordenadas (1,2) Y además Im(J) = [-00,2 [. Ver el siguiente gráfico.

3 x

3.3.4 Ejercicios En cada caso determine la imagen de la función dada

y grafíquela.

1. f (x) = 1 - 2x - x2 2. f(x) = 1 + 2x - x2 3. f(x) = 2x2 -

4. f(x) = 2 - 3x 5. f(x) = 2 - x

+ x2

+ x2 3.3. Funciones polinómicas

Gutiérrez-Robinson

3.4.

Operaciones entre funciones

En el primer capítulo se introdujo la estructura de cuerpo para los números reales. Es decir, se consideró la terna (lR., +, .) y un conjunto de axiomas que definían tal estructura algebraica. Luego se demostraron algunas consecuencias de éstos. Ahora examinaremos cuáles de esas propiedades son válidas si los objetos de trabajo ya no son números sino funciones definidas sobre un mismo conjunto no vacío X. Teniendo como requisito que la imagen a través de j de x E X es un número real. Sea X un conjunto no vacío. Denotaremos con J(X, lR.) el conjunto de todas las funciones definidas desde X hasta R Es decir, J(X, lR.) = {j I j : X

------>

lR.}

3.4.1 Definición. Sean j, 9 E J(X, lR.). Entonces definimos 1. j

= 9 si y sólo si j(x) = g(x), '\Ix

2. (J ± g)(x) := j(x) ± g(x), '\Ix

E X.

3. (Jg)(x) = j(x)g(x), '\Ix E X.

4. (J /g)(x) = j(x)/g(x), '\Ix E X \ {x E X I g(x) -1= O}. 3.4.2 Ejemplos. 1. Sean X = ]0, +oo [ y j, 9 E J(X, lR.) definidas por j(x) = ~ y g(x) = x 3. Entonces

a) (J

+ g) (x) =

4 :

'\Ix

E X

b) (J - g) (x) = 17 , '\Ix E X e) (Jg)(x) = x 2, '\Ix E X 4

d) (J/g)(x) =

;4'

'\Ix

2. Sean j, 9 E J(lR., lR.) definidas por j(x) = x2 - X Y g(x) = x Entonces

a) (J

+ g)(x) = x2 + 1,

'\Ix E lR.

b) (J - g) (x) = x2 - 2x - 1, '\Ix E lR. e) (J 9 ) ( x) = x 3 - x, '\Ix E lR. d) (J /g)(x) =

2 x xx+1 ,

'\Ix E lR., con x -1= -1

Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

+ 1.

Matemáticas básicas con trigonometría

Ilustramos la suma de

con g.

f+g 9

f -2

-1

Demostramos ahora que (J (X , lR), +, .) satisface algunas propiedades que definían la estructura de cuerpo para R El siguiente teorema nos muestra alguna de éstas.

i= 0 y f , g, h E J (X , lR). Entonces + (g + h ) = (J + g) + h Y f (g h ) = (Jg) h.

3.4.3 Teorema. Sean X Asociatividad. f

Conmutatividad. f

+9 = 9 + f

y fg

Existencia de módulos. Existen O y

= gf ·

e E J (X , lR) tales que

f + O = 0 + f = f y f e = ef = Existencia de inversos aditivos. Existe -

J (X , lR) tal que

f + (- J) = (- J) + f = O. Distributividad. f (g + h ) = fg

+ fh .

DEMOSTRACIÓN: La asociatividad y la conmutatividad para funciones es una consecuencia de la asociatividad y la conmutatividad de la suma y la mult iplicación en R Para x E X definamos: O(x) := O y e(x):= 1. E ntonces

+ O)(x)

+ O(x) f (x) + O f (x)

f (x) 3.4. Operaciones entre funciones

Gutiérrez-Robinson

f (x)C(x) f (x) 1 f (x)

(fC)(x)

De la defini ción de igualdad entre funciones se sigue que f + O = f y f C = f · De manera similar se demuestran las otras igualdades. La función O se llamará función cero o función nula y la función C se denominará función idénticamente uno. Sea ahora x E X . Entonces

(f (g + h)) (x )

f (x )(( g + h)(x )) f (x)[g(x) + h(x) ] f (x) g(x) + f (x) h(x) (fg )(x) + (f h)(x) (fg + fh )(x)

Esto demuestra que f (g + h) = fg + fh . D P resentamos a cont inuación otra operación que puede definirse entre fun ciones. Esta es conocida como la composición de funciones . Si X es un conjunto no vacío, en general no podrá definirse la composición ent re dos elementos de J (X , lR). Será preciso considerar funciones en las que la imagen de la pr imera está contenida en el dominio de la segunda. Formalmente la sit uación es la siguiente: 3.4.4 Definición. Sean 9 : A que tales que Im (g) n Dom(f)

B Y f : e ------7 D dos fun ciones tales definimos

Dom(g) I g(x)

Dom(f)}

entonces podemos considerar la función

------7

i= 0. Si

::1

fog f--------7

f (g(x) ) E D

(3.3)

Esto es, (f o g)(x) := f (g(x)), par a to do x E X . Esta fun ción la llamaremos la función compuesta de f con g. Un caso part icular se t iene cuando Im(g) ~ Dom(f). En este caso se verifica que Dom(f o g) = Dom (g). Es importante anotar que la composición de funciones t iene sent ido si se consideran restricciones de las Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Matemáticas básicas con trigonometría

funciones que se componen. Gráficamente podemos ilustrar esta situación así:

A~B

fog ..

jf D

3.4.5 Ejemplos. Consideremos inicialmente funciones finitas.

= {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8} Y e = {O, 1,2, 9}. Consideremos las funciones 9 : A -----+ B Y 1 : B -----+ e definidas por

1. Sean A

{(1,5),(2,6),(3,7),(4,5)} Y

{(5,O),(6,O),(7,1),(8,9)}}

Note que Im(g)nDom(J) = {5, 6, 7} -1= A.

0 y Dom(Jog) = Dom(g) = B _ _.:.... 1__, e

A--.:;;...g--'B

Entonces 10g = {(1,O),(2,O),(3,1),(4,O)}. Se deja como ejercicio verificar que 9 o 1 = {(7, 5)}. Este ejemplo nos indica que la composición de funciones en general no es conmutativa. 2. Sean

x2 -

1y 9 X

+ 2.

funciones reales definida por 1(x) = x - 1 Y g(x) Entonces, Dom(J) = Dom(g) = R Además,

x .-

{x {x

E E

Dom(g) I g(x) lR I g(x) E lR}

Dom(J)}

lR 3.4. Operaciones entre funciones

100

Gutiérrez-Robinson

Entonces (J o g) : X ----) lR está dada por (J o g)(x)

.- f(g(x)) (x2 - X + 2) - 1 x2 - X + 1, '\1 x E X

Determinemos ahora (g o J). En este caso se tiene nuevamente que X = R Entonces para x E X, (g o J)(x) = x2 - 3x + 4. 3.4.6 Definición. Sea X un conjunto no vacío. La función idéntica sobre X, notada Idx, se define de la siguiente manera:

Idx(x) = x, '\Ix E X En notación de parejas ordenadas se tiene que Idx = {(x,x) I x E X}. Es claro que Idx es una biyección. El siguiente teorema nos indica que la composición de funciones es asociativa y además existen neutros laterales para ésta. 3.4.7 Teorema. Sean h : A ----) B, 9 : B ----) Entonces. 1. (J o g) o h

(g oh)

= IdD o f = f

2. f o Idc

Ilustración:

e - Idc e

.. ~... jf

f o(g oh) :

---¡- e

.---

DEMOSTRACIÓN:

1. Sea x E A. Entonces ((J o g) o h)(x)

(J o g)(h(x))

f(g(h(x))) f ((g oh) (x) ) (J o (g oh) ) (x) Es decir, (J o g) o h = f o (g oh). Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

e ----)

Matemáticas básicas con trigonometría

101

2. Sea x E C. Entonces

Idc)(x)

f(Idc(x)) f(x) IdD(J(x)) (IdD o J)(x)

Esto demuestra que f o Idc = IdD o f = f. 3.4.8 Ejercicios Sean

f y 9 funciones reales.

1. Si f : A ------7 B Y 9 : B ------7 C son sobreyectivas. Demuestre que 9 o f también es sobreyectiva.

2. Si f : A ------7 B Y 9 : B también es inyectiva.

------7

C son inyectivas. Demuestre que 9 o

3. Sean f(x) = x2 y g(x) = jX. Determine

a) Dom(J) b) Dom(g) e) Dom(J o g) d) Dom(g o J) e) (J

g)(x) J) (g o J)(x) g) (JoJ)(x) y h) (g o g)(x) 4. Sean f(x) = 2x - 1 Y g(x) = x + A. Determine, si existe, el valor de la constante A, para la cual (J o g)(x) = (g o J)(x), para todo x ER 5. Sea f(x) = (2x - 1)3. Determine, si existe, una función 9 tal que

(J o g)(x) = (g o J)(x).

6. Si f(x) = 1 + 2~· Halle (J o f o J)(x). 7. Sea X = {1, 2, 3}. Halle todos los elementos de J(X, X) y clasifíquelos como inyectivas, sobres y biyectivas. El conjunto de todas las biyecciones de X en X se denotará con Sym(X). ¿Cuántos elementos t iene Sym(X)? 3.4. Operaciones entre funciones

102

Gutiérrez-Robinson

8. ¿Es j (x) = x -

lxJ una función inyectiva?

Lo últ imo que consideraremos en el estudio de las propied ades del conjunto J (X , Y ), con X , Y sub conjuntos de lR., es la invert ibilidad de j , donde j E J (X , Y ). 3.4.9 Definición. Sean j : A ------+ B Y Y E B . Definimos y notamos la imagen inversa o pre-imagen de y bajo j de la siguiente manera:

j*(y ) := {x

A I j (x)

3.4.10 Ejemplos. Sean A = {l , 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8}. 1. Si j : A

B está definid a por j = {(1,5),(2, 6),(3, 7),(4,5 )} ,

------+

entonces

a) J*(5) = {l , 4}

b) J*( 6) = {2} Y e) J*(8) = 0. 2. Sea j : lR.

------+

lR. definida por j (x)

= x2 - 4x + 3. Entonces

a) J*( O) = {l , 3} b) J*( -2 ) = 0. Nótese que, dada j : A ------+ B , la pre-imagen de un elemento y E B puede ser un conjunto unitario, un conjunto con más de un elemento o el conjunto vacío. Sin embargo, si j es inyectiva, J* (y) toma una forma especial. 3.4.11 Lema. Sea j : A ------+ B . Entonces j es inyectiva si y sólo si para to do y E Im(J), el conjunto J*( y ) consta de un solo elemento. D EMOSTRACIÓN: Supongamos que j es inyectiva . Si y E Im(J ), entonces existe x E A tal que y = j (x). Sea a E J*( y ). Entonces j (a) = y, y dado que j es inyectiva, se t iene que x = a. Esto demuestra que J* (y) ~ { x } . La otra contenencia es inmediata y se verifica que J* (y) es un conjunto unitario. Recíprocamente, supongamos que J* (y) = { x } y demostremos que j es inyectiva. Si j (x) = j (a), entonces y = j (a) y se t iene que a E J*( y ). Por lo tanto a = x. Esto implica que j es inyectiva. D Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

103

Matemáticas básicas con trigonometría

Sea

f : A ----) B Y defini mos

1* := (( y ,1*(y ))

I y E Im(J )} .

Entonces tenemos que en general 1* es una relación de Im(J) en A . Si f es una función inyectiva, como consecuencia del lema anterior se t iene que 1* es una función, cuyo dominio es Im(J) y además a cada y E Im(J) le asigna el único x E A, par a el cual f(x) = y . Esto es, el único x E 1*(y ). En símbolos: f* Im(J) ::1 y f--------7 1* (y) = x E A La fun ción

la notaremos con f - 1 y la llamaremos la inversa de f .

3.4.12 Definición. Diremos que f - 1 es una función .

f : A ----) B es

invertible si y sólo si

Sea f : A ----) B invertible. Si usamos la notación de parejas ordenadas, entonces se verifica que (x,y) E f {:} (y,x) E f - 1.

o equivalentemente, y = f (x) {:} f - 1(y ) = x. El siguiente teorema establece condiciones necesarias y suficientes para la invertibilidad de una fun ción f . 3.4.13 Teorema. f : A ----) B es invert ible si y sólo si f es biyectiva . Además, si f es invert ible, entonces f - 1 : B ----) A es biyectiva.

DEMOSTRACIÓN: Si f es invert ible, entonces f - 1 : B ----) A es una función y se verifica que Dom(J - 1) = B e Im(J ) = B . Entonces f : A ----) B es sobreyectiva. Demostramos ahora que f es inyectiva: Si (X l , y ) E f y (X2, y ) E f , entonces (y , Xl ) E f - 1 Y (y , X2) E f - 1. Como f - 1 es una función , se cumple que Xl = X2. Recíprocamente, si f es biyectiva, entonces en part icular es inyectiva y el lema 3.4.11 garant iza la existencia de la función f - 1 y por lo tanto f es invert ible. Supongamos ahora que f es invertible. Entonces f - 1 es una función . El mismo argumento de arriba demuestra que f - 1 es sobre. 3.4. Operaciones entre funciones

104

Gutiérrez-Robinson

Sean (Y1,X) E f-1 Y (Y2,X) E f-1. Entonces (X,Y1) E f y (X,Y2) E f· Dado que f es una función, se cumple que Y1 = Y2, lo cual demuestra D que f-1 es inyectiva. Nota. Sea P un punto sobre el gráfico de f cuyas coordenadas son (x,f(x)). Entonces el punto T con coordenadas (J(x),x) está sobre el gráfico de f-1. Una ilustración es la siguiente:

f-1

Como puede apreciarse, estos puntos determinan un cuadrado cuyas diagonales son los segmentos PT y AB. Note que los puntos P y T son simétricos con respecto a la recta y = x. Por lo tanto, la gráfica de f-1 puede obtenerse por reflexión del gráfico de f con relación a la recta y =x. 3.4.14 Ejemplos. Consideramos algunos ejemplos de funciones invert ibles.

= 3x - 2. Dado que f es biyectiva, se tiene entonces que f es invertible. Sea y = f (x), para

1. Sea f : lR. ---) lR. definida por f(x)

x E R Entonces

y = f (x) = 3x - 2

y así x = f-1(y). De la ecuación (3.4) se sigue que x = lo tanto f-1 está definida por 2 f-1(x) =

Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

(3.4)

Y!2. Por

Matemáticas básicas con trigonometría

105

2. Sea f : lR. ----) lR. definida por f (x) = x 3 + 1. Se demuestra que f es una biyección. Entonces f es invertible. Procediendo de manera similar se tiene que

3. Sea f : lR. ----) [O, +oo[ definida por f(x) = x2. Dado que f(l) f( -1) = 1, se t iene que f no es inyectiva. Esto implica que f no es invertible. Sin embargo, si consideramos la restricción de f a algún A ~ lR. (la cual notaremos con f IA ), sobre el cual f sea inyectiva, entonces podremos calcular su inversa. Si tomamos A = [O, +00[, no es difícil ver que (J IA )-l(X) = jX. Una ilustración es la siguiente:

y=x

3 2

f-1

-1

Presentamos ahora otra caracterización de las funciones invertibles, en términos de la composición de funciones. 3.4.15 Teorema. Sea f : A ----) B invertible. Entonces f-1 o f = IdA Y fof-1 = IdB.

DEMOSTRACIÓN: Sean x E A Y Y := f(x). Entonces x = f-1(y) Y se verifica que (J-1 o J)(x) = f-1(J(x)) = f-1(y) = X = IdA (x). La otra igualdad se demuestra de manera similar. D 3.4.16 Teorema. Sean f : A ----) B Y 9 : B ----) A. Si 9 o f = IdA, entonces f es invertible y además 9 = f-1. 3.4. Operaciones entre funciones

9 = IdB Y

106

Gutiérrez-Robinson

D EMOSTRAC IÓ N: Se deja como ejercicio . D Int roducimos ahora algunas defini ciones que nos permit irán tener a la mano criterios adicionales que nos ayuden en la elaboración del gráfi co de una función f.

3.4.17 Definición. Sean A , B

lR. y

f : A ----) B .

1. f se denomina par si y sólo si f ( - x ) = f (x ), para to do x E A .

2. f se llama impar si y sólo si f ( - x) = - f (x ), para to do x E A . 3.

periódica si y sólo si existe t E lR.+ tal que para cada x E A se cumple que f (x + t ) = f (x). El menor número posit ivo t con tal propiedad se llamará el período de f .

f es

f es estrictamente decreciente en X

f se denomina

estrictamente creciente en X ~ A si y sólo si para to do x,x' E X con x < x' se verifica que f (x) < f (x ' ).

A si y sólo si para cada x, x' E X con x < x' se cumple que f (x ) > f (x ' ). ~

3.4.18 Ejemplos.

= ax, con a > O. Entonces f es una función impar y además estrictamente creciente en R

1. Sea f (x)

2. Sea f (x) = ax, con a < O. Entonces f es una función impar y además estrictamente decreciente en R 3. La función f (x) = Ix - 21es estrictamente decreciente en ] - 00, 2] y estrictamente creciente en [2, +00 [. 4. La función f (x ) = x - lx J es periódica con período 1, estrictamente creciente en cualquier intervalo de la forma [k, k + 1 [, con k E Z. 5. La función f (x ) = x 3 es impar y estrictamente creciente en R Los siguientes comentarios nos darán ot ros element os importantes para graficar funciones: 1. Si una función

f es periódica, entonces es suficiente conocer los valores de f en intervalo [O, t [ par a determinar el valor de f en cualquier punto. En efecto, la gráfi ca de f se obt iene a part ir de la gráfi ca en [O, t [ por copias sucesivas, hacia la derecha de t hacia la izquierda de O. Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Matemáticas básicas con trigonometría

107

2. Los puntos P y Q con respectivas coordenadas (x, y) y (-x, y) son simétricos con respecto al eje y. Es decir, ambos están en una recta paralela al eje x y a igual distancia del eje y. Por lo tanto, si una función j es par, entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Este se denominará eje de simetría. 3. Los puntos P y Q con respectivas coordenadas (x, y) y (-x, -y) son simétricos con respecto al origen. Es decir, ambos están en la recta que pasa por el origen del sistema y a igual distancia de éste. En consecuencia, si una función es impar, su gráfica es simétrica con respecto al origen, el cual llamaremos centro de simetría. 3.4.19 Ejercicios Sean j, g, h funciones reales. 1. ¿Se verifica en general que jo (g

+ h) =

jo 9 + j oh?

2. Para cada función halle su dominio, imagen, paridad, imparidad, periodicidad, crecimiento, decrecimiento:

a) j(x) = x 4 b) j (x) = 2x2 - 3

e) j(x) = x2 - lxJ d) j(x) = x 3

e) j(x) = ~ - x\ J) j (x) = 1 - l2x J 3. Considere un cuerpo que cae libremente. La altura h(t) con respecto al piso de éste depende del tiempo y está dada por

h(t) = 10 - 3t - 4,9t 2 Halle

a) Dom(h) b) Im(J) e) el gráfico de h. 4. Sea j una función periódica con periodo t. Demuestre que

j(x + nt) = j(x), para todo n E N. 3.4. Operaciones entre funciones

108

Gutiérrez-Robinson

5. Dadas las siguientes funciones, determine si son invertibles. Si no lo son, halle un subconjunto de su dominio donde sí lo sea y calcule su inversa. Grafique en un mismo sistema coordenado a 1 y 1-1

a) 1(x) = 2x + 1 b) 1(x) = x 3

e) 1(x) = x 4

d) 1(x) = Ix + 21 e) 1(x) = _2x2 + 3

J) 9)

1(x) = l3xJ 1(x) = 3lxJ

6. Determinar si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas . Si es verdadera, presente una prueba formal, y si es falsa muestre un contraejemplo:

a) Si

1y b) Si 1 y

9 son funciones pares, entonces 9 son funciones impares,

1 + 9 es par. entonces 1 + 9 es impar.

e) Si 1 y 9 son funciones pares, entonces 19 es par.

d) Si 1 y 9 son funciones impares, entonces 19 es impar. e) Si 1 y 9 son funciones pares, entonces 1/9 es par.

J) Si 1 y 9 son funciones impares, entonces 1/9 es impar. 9) Si 1 y 9 son funciones periódicas, entonces 1 + 9 es periódica.

h) Si 1 y 9 son funciones periódicas, entonces 19 es periódica. i) Si 1 y 9 son funciones estrictamente crecientes, entonces es estrictamente creciente.

1+ 9

j) Si 1 y 9 son funciones estrictamente decrecientes, entonces

1 + 9 es estrictamente

decreciente.

k) Si 1 y 9 son funciones estrictamente crecientes, entonces 19 es estrictamente creciente. l) Si 1 y 9 son funciones estrictamente decrecientes, entonces 19 es estrictamente decreciente.

Capítulo 3. Relaciones y funciones reales

Capítulo 4 Ecuaciones e inecuaciones Contenido 4.1. Los números complejos. . . . . . . . . .

109

4.2. Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2

115

4.3. Teoremas del residuo y del factor. .

125

4.4. El teorema fundamental del álgebra

131

4.5. Inecuaciones

135

............. .

En el teorema 1.3.5 (1) se demostró que si x E lR. x , entonces x2 > o. Este resultado elemental trae como consecuencia que no existe x E lR. para el cual se verifica que (4.1)

4.1.

Los números complejos

Presentamos a cont inuación un conjunto <C sobre el cual se definen dos operaciones y adquiere la estructura de cuerpo. Además en este conjunto encontraremos un número x para el cual se satisface la igualdad (4. 1). 4.1.1 Definición. El conjunto <C tiene como elementos parejas ordenadas de números reales. Esto es,

<C:= { (x,y) I x,y

109

E lR.}

110

Gutiérrez-Robinson

Las operaciones sobre <C se definen de la siguiente manera: Suma: (x, y)

+ (z, w)

:= (x

+ y, z + w).

Multiplicación: (x, y) . (z, w) := (xz - yw, xw

+ yz).

Si definimos O := (O, O) Y 1 := (1, O), se puede verificar (se deja como ejercicio) que este conjunto con estas operaciones satisface to dos los axiomas de cuerpo. Este nuevo ejemplo de dicha estructura se llamará cuerpo de los núme ros complejos. Los resultados obtenidos como consecuencia de los axiomas de cuerpo para los números reales se verifican también para los números complejos. Por ejemplo, la unicidad de los módulos, las leyes cancelativas, etc. 4.1.2 Nota. Supongamos que se t ienen dos complejos cuyas segundas componentes son nulas. Digamos Zl = (a, O) y Z2 = ({3, O). Entonces

Zl +Z2 = (a+{3, O) y

ZlZ2 = (a{3, O)

Es decir, la suma y mult iplicación de complejos con segunda componente nula coincide con la de los números reales. Si definimos A := { (a, O) I a E lR.}, como consecuencia del resultado anterior , se puede establecer una ident ificación ent re los elementos de A y los de R Esto es, desde el punto de vista estructural no hay diferencia ent re lR. y este subconjunto de <C. Esta ident ificación nos permite abusar de la notación y escribir simplemente a en lugar de (a, O), y entonces podemos ver a lR. como un sub conjunto de <C o mirar a <C como una extensión de R Si definimos i := (0, 1), entonces (O, a) = (a, O) . (0, 1) = a i. Este número lo denominaremos unidad imaginaria. Note que i2

(0, 1).(0, 1) (-1 , 0) - (1, O) -1

Además cada número complejo z = (a, {3) puede expresarse de la siguiente forma :

(a,{3)

(a, O) + (0,{3) (a, O) + ({3, O) . (0, 1) a

+ {3i

Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

111

Matemáticas básicas con trigonometría

En esta notación tenemos que

<C = {a + ,6i I a,,6

lR}

y las operaciones pueden efectuarse como si se consideraran números

reales, teniendo siempre en cuenta que i2 = -1. Esto es, si Zl = a l + ,6ú y Z2 = a2 + ,62 i, entonces

(a l + ,6Ú) + (a2 + ,62 i) (a l + (2 ) + (,61 + ,62) i y

Zl Z2

(a l + ,6ú) . (a2 + ,62 i) a 1(a2 + ,62 i ) + ,6ú (a2 + ,62 i ) a 1a 2 + a l (,62 i) + (,6ú )a2 + (,61i) (,62 i) a l a2 + a 1,62 i + a2,6ú + ,61,62 i2 (a1a 2 - ,61,62 ) + (a1,62 + a2,61)i

4.1.3 Ejemplo. Sean Zl = 2- 3i Y Z2 = -l + i. Evalúe 5z1z2+ 2z1 - Z2. 5(2 - 3i)( -1 + i) + 2(2 - 3i) - (-1 + i) 5( 1 + 5i) + (4 - 3i) + (1 - i) (5 + 25i) + (4 - 3i) + (1 - i) 10 + 21i 4.1.4 Definición. Sea z = a + ,6i E <c. 1. El número real a se denomina parte real de z y se notará con Re(z) y el real ,6 se denominará parte imaginaria de z y lo

notaremos con Img(z).

2. El conjugado de z, notado

z, se define de la siguiente manera:

z := a

- ,6i

Note que zZ = (a + ,6i)(a - ,6i) = a 2 +,62 E lR 3. El valor absoluto de z se nota y define así:

4.1. Los números complejos

112

Gutiérrez-Robinson

Con este resultado resulta fácil obtener la expresión para el inverso mult iplicativo de un número complejo no nulo z. En efecto, si z E <C Y definimos w := 1~2' entonces zw = wz = 1. Es decir, w = z-l. Si z = a + f3i, entonces a - f3i

+ 13 2

( a2 : 132 ) - ( a2

! 132)

Ahora podemos considerar la expresión ZZ2l , donde Z l Y Z2 son dos complejos cualesquiera. En efecto, si Z l = a l + f3ú y Z2 = a2 + f32 i, entonces

Dado que los números complejos se definieron inicialmente como parejas ordenadas de números reales, podemos usar un plano cartesiano para asignar a un complejo z = (x, y) un punto P en el plano cuyas coordenadas sean (x, y) . Img(z)

Re(z)

4.1.5 Ejercicios Exprese cad a número en la forma a 1 1. -

l + i 1- i Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

+ f3i:

Matemáticas básicas con trigonometría

3. 4. 5.

113

(1 + 3i)2

2 -i 1 - 2i

(2 + i)2

(~ ~ ~) 3

En el siguiente teorema presentamos algunas propied ades de la conjugación. 4.1.6 Teorema. Sean

Z l , Z2 E

C. Entonces

+ Z2 = Z l + Z2

ZlZ2

( ~~ ) = :~ ,

Z l Z2

# o.

D EMOSTRACIÓN:

1. Sea

= a l + ,6Ú. Entonces a l + ,6ú

a l - ,6ú a l +,6ú

(a l

+ (2) + (,61 + ,62) i

(a l

+ (2) - (,61 + ,62) i

Zl Z2

(a 1 a 2 (a l -

+ Z2

,61,62) -

(a 1,62

,6ú )(a2 - ,62) i

4.1. Los números complejos

+ a2,61)i

114

Gutiérrez-Robinson

4. Sugerencia: Demuestre primero que Z2 1 = (Z2)-1 y luego use la propiedad anterior. D 4.1. 7 Ejercicios

1. Demuestre que el conjunto <C con las operaciones definidas en 4.1.1 satisface los axiomas de cuerpo. 2. Exprese cada número en la forma a

a) (1 - i)(l

+ {3i:

+ 2i)

b) (1

+ 2i)(1 - 3i) (1 - i)(l + 2i)(1 - 3i) (1 + i) (l - 2i)(1 + 3i) (1 - i)(l + i) (l - 3i)(1 + 3i)

(1+2i)

(l-i)

g) (1 h)

+ (1 -

3·) 1

(1-2i)

+ 1 - (1+3i) l+i + 2+3i 3- i 7-i

3. Halle el inverso aditivo de z = (a, {3). 4. Halle una expresión (si es posible) para in, donde n E Z. 5. Sea z E <C. Demuestre que

a) Re(iz) = -Img(z) b) Re( z) = Img(iz) z e) Re( z) =

d) Img(z) =

z2iz

e) Si Img(z) > O, entonces Img(z- l) < O

1) z

E lR.

si y solo si z =

6. Sea f una función polinómica de grado n con coeficientes en lR. y sea z E <C. Demuestre que f( z ) = f(z). Sugerencia: Use inducción sobre el grado de Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

115

Matemáticas básicas con trigonometría

4.2.

Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2

Consideremos nuevamente una función polinómica j de grado n. Esto es, una función j definid a por xElR.

(4 .2)

donde aj E lR. par a to do j = O, 1, 2, ... , n y a n i= O En este capít ulo abordaremos el siguiente problema: Dad a una función polinómica j , encont rar sus ceros. Es decir, determinar el conjunto

s = {e E <C I j (c)

= O}

En el caso que e E lR., éstos pueden interpretarse como las coordenadas de los puntos de corte de la gráfi ca de j con el eje x. En general, la igualdad j (x) = O se denominará ecuación polinómica de grado n, el número e se llamará solución de la ecuación y S será el conjunto solución de la misma. Ecuación polinómica de grado 1. Sea ahora n = 1 Y determinemos los ceros de j (x) = alX + ao, con a l i= O. P ara simplificar , escribiremos j (x) = ax + b, con a i= O. Es decir, buscamos el conjunto solución de la ecuación de primer grado ax + b = O, con a i= O. Esta ecuación también es llamada ecuación lineal. 4.2.1 Teorema. La ecuación ax solución en R

+b =

O, con a

O, t iene una única

DEMOSTRACIÓN: Es inmediato que - ~ E S . Por lo tanto se t iene asegurad a la existencia de una solución. Demostramos ahora la unicidad : Supongamos que x, x ' E S . Entonces ax + b = O = ax' + b Y se t iene que x = x' . D 4.2.2 Ejemplo. E l conjunto solución de la ecuación 3x -1

= O es {D.

Ecuación polinómica de grado 2. Consideremos ahora el problema de determinar los ceros de una función polinómica de grado dos. Esto es, buscamos los elementos del conjunto

Simplificando la notación, S

= {x

<C I ax 2

+ bx + e = O,

i= O}

4.2. Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2

116

Gutiérrez-Robinson

Note que S es el conjunto solución de la ecuación de grado dos (o ecuación cuadrática) ax 2 + bx

+ e = O,

i= O

(4.3)

Como en el caso anterior, si los elementos de S son números reales, entonces éstos formarán parte de las coordenadas de los puntos en que el gráfico de f corta al eje x. 4.2.3 Teorema. La ecuación ax 2 + bx + e = O, con e, b, a E lR. Y a t iene a lo más dos soluciones distintas en <C.

i= O,

No se pierde generalidad si sup onemos a > O. Por defini ción x E S si y sólo si f (x) = O. E ntonces D EMOST RAC IÓN:

x E S

{:} {:}

+e = O x2 + Qx + .<;¿a = O a ax 2 + bx

E n este punt o definimos .6. := b2

4ae y diferenciamos varios casos:

Caso 1: Si.6. > O, entonces se t iene: xE S

{:}

Caso 2: Si.6. = O, entonces tenemos: xES

{:}

(x+;a ) 2= 0

{:} x = - 2~ Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

117

Matemáticas básicas con trigonometría

Caso 3: Si.6. < O, entonces afirmamos:

xES {:}

{:} x

2 + ~) 2 _ 4ac-b i 2 = O 2a ~

+~ = 2a

4ac-b 4a 2

v v

{:} x+ ~ =~ i 2a 2a

{:} x= -b+~i 2a

-b-vb 2 -4ac i ----'------'--"'2a------"=-=---O

4.2.4 Ej e mplo. Consideramos ahora ejemplos de ecuaciones reducibles a las estructuras consideradas anteriormente. ., 1. R eso1ver 1a ecuaClOn

1 2x-5 -

4 2x- 1 -

4x+4 4x2+8x-5 ·

Solución: 1 2x-5 -

4 2x- 1 -

{:}

4x+4 4x 2+8x-5

1 2x-5 -

4x+4 (2x+5)(2x- 1) -

4 2x- 1 -

{:}

(2x - 1) - 4( 2x + 5) - (4x + 4) (2x + 5)( 2x - 1) (2x - 1) - 4( 2x + 5) - (4x + 4)

{:}

2x - 1 - 8x - 20 - 4x - 4

{:}

-10x - 25

{:}

=O =O

- 10

-5

{:} x= T

Por lo tanto el conjunto solución es S = {-;} }. ., 2 . R eso1ver 1a ecuaclOn

3t 3t+4

+ "52 =

t 3t-4·

Solución: 3t 3t+4

+ "5 =

t 3t-4

{:} 3;!4 + ~ -

3t~4 = O

5(3t)(3t - 4)

+ 2(3t + 4)(3t 5(3t

{:}

{:} 48t

2 -

- 4) - 5t(3t

+ 4) = O

+ 2(9t 2 - 16) - 15t 2 - 20t = O 60t + 18t 2 - 32 - 15t 2 - 20t = O

15t (3t - 4)

{:} 45t 2 {:}

+ 4)(3t -

80t - 32 = O

5t - 2 = O

4.2. Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2

118

Gutiérrez-Robinson

Aplicando el teorema anterior tenemos 5±J25-4(3)(-2)

2(3)

5±y'49

5±7

- 6-

De allí tenemos que el conjunto solución es S = {2, - ~ } . 3. Resolver la ecuación J 2x

+ 5 + x = 5.

Solución:

J 2x

+ 5 + x = 5 {:} J 2x + 5 = 5 -

Podemos ahora elevar ambos lados al cuadrado y obtener una ecuación cuyo conjunto de solución cont iene al conjunto de solución de la ecuación original. Este procedimiento no representa problema alguno si verificamos cada elemento del conjunto solución de la nueva ecuación en la ecuación original y tomamos los que satisfacen la ecuación original. J 2x

+5 = 5 -

::::} {:} {:}

+ 5 = 25 - 10x + x2 x2 - 10x + 25 - 2x - 5 = O x2 - l2x + 20 = O 2x

{:} (x - 10)(x - 2) = O {:} x E {2, lO}

Ahora para x = 10 se t iene: J 20 + 5 + 10 = 15, lo que muestra que esta no es solución de la ecuación J 2x + 5 + x = 5. P ara x = 2 se t iene que J4+5 + 2 = 5 Y esta si es solución de J 2x + 5 + x = 5. Entonces el conjunto solución es S = {2} . 4.2.5 Ejercicios 1. En cada caso halle el conjunto solución . Las variables son x, y o z.

a) 5x - a - 2bx - 7 = O _ 5 b) x+7 l -x - 3" e) -2-x 2 -- -2x-3 3- - "5 3-- 5

Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

119

Matemáticas básicas con trigonometría

d) by - dy

e) aex - adx

+ d 2 = e2 + bdx -

1 x+ 1 -

3 _

_1_ _ _2_ _ _3_

3 x2+x

z+ l

bex

z+2

z+3

+ ---.L z+4

- O -

h) ax 2 + (b - ae)x - be = O i) px 2 - p2x - X + p = O

j) ), + x =

t +~

k) ),2x2 - x2

+ 2),2x +),2 = O

2. Halle los ceros de las siguientes funciones:

= = =

a) f (x) b) f (x)

e) f (x)

+1 6x2 - X + 1 x2 + 8x + 2 2x2 - 5x

d) f(x)=-x 2 +2x+1

= =

e) f(x)

1) f(x)

g) f(x) =

+1 ~x2 - ~x + 1 _x 4 + 8x2 + 1 Sugerencia:

-3x2 -

haga el cambio u

3. En cada caso halle el conjunto solución. a) x(x+1)+4=3Jx(x+1)+2 b) 2 (2x

+ ~) 2 -

+ ~) - 7 = O V3x 2 - 4x + 5

5 (2x

e) 3x2 - 4x = 1 -

d) ~x+4-~x+4=2

+ x- 1 -

e) x- 2

X3 -

g) (x2

6X3

+ x)2 - 18(x 2 + x) + 72 = O

h) vx+2=4

j) k) l)

v'x+3 _ v'x-3

v'x-3 v'x+3

JX+2 = 3 - JX V3x - 2 + V2x - 2 = 1 V3x - 6 + VX - 4 = VIO -

4.2. Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2

:= x2.

120

Gutiérrez-Robinson

m) V 13 + 3Vx + 5 - 4VX+l = 5 n) y'X~= 2 ñ)

VJ5x -

rx + 2y'X = 3

1- x

p) ij3x - 1 = x - 1 4. Una p ersona t iene $3400 en monedas de $50 y $100. Si t iene en total de 47 monedas. ¿ Cuántas moned as t iene de cada denominación? 5. E n una aleación de cobre y estaño cuya masa es de 28 Kg, un 40 % es cobre. ¿Cuántos kilos de cobre puro deb en agregarse p ara que la nueva aleación contenga 45 % de cobre? 6. Las dimensiones de un cuadro son 11 x 14 pulgadas. El área del marco ha de ser aproximadamente un tercio del área del cuadro. ¿Cuál es la anchura del marco? 7. Un lado de un rectángulo es 7 unidades mayor que el otro. E ncont rar el lado de un cuadrado cuya área equivalga a la del rectángulo, si el lado del cuadrado es 3 unidades mayor que el lado más corto del rectángulo. El siguiente análisis nos p ermite obtener información sobre la naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática, además nos da información sobre la función p olinómica asociada a ésta. Usualmente .6. es denominado el discriminante de la ecuación cuadrática. 1. Si .6. > O, entonces la ecuación (4.3) t iene dos soluciones reales distintas. E n este caso, la gráfi ca de f corta al eje x en dos puntos:

( -b-~ 2a ,O)y

( -b+~ O) 2a '

2. Si.6. < O, entonces la ecuación (4 .3) t iene dos soluciones complejas distintas (no reales), más aun , éstas son conjugadas. E n este caso, la gráfi ca de f no corta al eje x.

3. Si.6. = O, ent onces la ecuación (4 .3) t iene una solución real. Esto es, S = { - 2~ } . Lo cual puede interpretarse diciendo que la gráfi ca de f es tangente al eje x en el punto (- 2~ , O) . Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

121

Matemáticas básicas con trigonometría

4. Si a > O, entonces la función f (x) = ax 2 + bx + C es estrictamente decreciente en el intervalo ] - 00, - 2~ ] Y estrictamente creciente en

[ 2~' +00[.

5. Si a < O la función f (x) = ax 2+ bx + C es estrictamente creciente en y estrictamente decreciente en [+00 [. el intervalo ] - 00, -

;a ]

;a'

Examinemos ahora la relación que existe entre las soluciones de la ecuación cuadrática y los coefi cientes a, b, y c. Denotemos con Cl Y C2 las dos soluciones de la ecuación (4.3). Entonces Cl

-b-~

_-b+~ C2 2a

Por lo tanto su suma es

y su mult iplicación está dada por

Considerando la ecuación (4.3) se t iene: ax 2 + bx

+ C= O {:} a (x2 + ~x +

~) = O 2 {:} a [x - (Cl + C2)X + (Cl C2) ] = O {:} a(x - Cl )(X - C2) = O

4.2.6 Ejemplos. 1. Sin resolver la ecuación 2x2 - 3x + 5 = O halle la naturaleza de sus soluciones. Además halle su suma y su mult iplicación.

SOLUCIÓN: El discriminante de la ecuación es .6. = - 31 < O, por lo tanto las soluciones son imaginarias. Además Cl + C2 = ~ y _

Cl C2 -

"2 .

2. Halle el valor (o los valores) de A E lR para que los ceros de la función f (x) = AX2 + 4x + AX + 3 tengan el mismo valor absoluto. SOLUCIÓN : Sean la ecuación

Y C2 los ceros de AX2 + (A + 4)x

f . Es decir, las soluciones de +3=

4.2. Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2

122

Gutiérrez-Robinson

Necesitamos A de tal manera que se verifique ICl l = IC2 1. Pero Ic l l = Ic2 1 si y sólo si Cl = C2 o Cl = - C2· Es decir, si y sólo si Cl = C2 o Cl + C2 = O. La primera condición se verifica si y sólo si .6 = (A + 4)2 - 12A = O. Es decir, si y sólo si A2 - 4A + 16 = O. Las soluciones de esta ecuación no son reales, por lo t anto las descartamos. La segunda condición se verifica si y sólo si - ~ = = O. Es decir, si y sólo si A = - 4. Compruebe que los ceros

- At 4

f son

v: v:. y -

4.2.7 Ejercicios

1. En cada uno de los siguientes ejercicios halle el valor de la constante r¡, para la cual se verifica que: a) Una solución de 5x2

+ r¡,x

- 2r¡,

b) Una solución de 5r¡,x 2 - r¡,x otra.

+ 6 = O es cero.

+7-

= O se la negativa de la

+ 1 = O sea 2. Las soluciones de (r¡, - 1) x 2 + r¡,x + 10 = O sean iguales. Las soluciones de (r¡, - 13 )x 2 + 5r¡,x - 36(r¡, + 13) = O sean

c) Una solución de x2 - r¡,2x

d) e)

iguales.

J) Las soluciones de 3r¡,x 2 + 5x valor absolut o.

+ r¡,x + 2 =

O tengan el mismo

g) El producto de las soluciones de 3r¡,x 2 + r¡,x - 5 - 7x = O sea uno.

2. P ara la ecuación ax 2

+ bx + C = O, con a i= O, demuestre que

a) Si una solución es la inversa adit iva de la otra, ent onces b = O. b) Si la suma de las soluciones es igual a su producto, entonces b + C = O.

C) Si la diferencia de las soluciones es igual a su producto, entonces b2

c2 = 4ac.

d) Si una solución es la inversa mult iplicativa de la ot ra, entonces a

= c.

e ) Si una solución es el doble de la ot ra, entonces 2b 2 Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

9ac.

Matemáticas básicas con trigonometría

123

Un poco de historia. Encontrar los ceros de una función polinómica fue durante muchos siglos un problema que ocupó a grandes matemáticos. El punto de partida de este problema podríamos resumirlo en los siguientes interrogantes: Si 1 es una función polinómica de grado n con coeficientes en Q, ¿cuándo los ceros de 1 pertenecen a Q? o ¿se puede encontrar un cuerpo más grande que Q en el que 1 tenga sus ceros? o también ¿existe una fórmula para determinar los ceros de 1? Por ejemplo, si 1(x) = ax + b con a, b E Q y a i= 0, se demostró en el teorema 4.2.1 que existe un único cero para 1 y que en general éste pertenece a Q. Por otro lado, si 1(x) = ax 2+bx+c con a, b, e E Q y a i= 0, se demostró en el teorema 4.2.3 que existe una fórmula con radicales para determinar los ceros de 1 y que en general éstos pertenecen al cuerpo <C. La situación para funciones polinómicas de grado mayor que 2 es completamente diferente. En efecto, la ecuación de tercer grado ax 3 + bx2 + ex + d = requirió consideraciones muy profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la Antigüedad. Sólo hasta principios del siglo XVI se pudo resolver el problema, en la era del renacimiento italiano. Los centros de estudios de las universidades de Venecia y Bolonia marcaron el inicio de una nueva etapa del álgebra. El primer avance considerable lo dio Scipione del Ferro 1 , un catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia, donde encontró la solución general para todas las ecuaciones polinomiales de la forma

x 3 +mx = n Esta información fue celosamente guardada por Del Ferro y sólo apareció a la luz pública gracias a una de las muy comunes disputas científicas de la época. Para entonces, se daba publicidad a la agilidad mental sosteniendo justas donde los descubrimientos matemáticos eran las armas. Entre éstos se cuentan Tartaglia2 y Cardan03 , matemáticos muy lSCIPIONE DEL FERRO (1465 -1526) , matemático italiano nacido en Bolonia. Aunque no es un matemático muy conocido, su rol en la historia de las matemáticas tiene que ver con la resolución de la ecuación de tercer grado. 2NICCOLO FONTANA (1499 - 1557) , matemático italiano nacido en Brescia, conocido como Tartaglia, por su tartamudez. Estudió por sí solo griego, latín y matemática, disciplina con la cual pudo ganarse la vida enseñando en Verona. Ya adulto, se dedicó a la participación en concursos matemáticos. 3 CEROLAMO CARDANO (1501 - 1576) , matemático italiano graduado en la Universidad de Pavía. En 1539 publicó su primera obra en dicha materia, La práctica de matemáticas y mediciones individuales, en la que recogió el contenido de sus clases. Ese mismo año fue admitido en la facultad de medicina, de la que al poco fue nombrado rector.

4.2. Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2

124

Gutiérrez-Robinson

famosos que son considerados, junto con Del Ferro, como los principales protagonistas de esta fascinante novela de la soluciones de la ecuación polinómica de tercer grado. Los historiadores afirman que Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica. Aunque Cardano juró mantener secreta la solución, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado Ars Magna. Por esta publicación Cardano fue duramente criticado por Tartaglia. Con respecto a la ecuación polinómica de grado cuatro, después de muchos años el famoso matemático francés Lagrangé en su gran trabajo Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas, publicado en 1771, críticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones polinomiales de grado cinco y superiores por radicales, esto es, fórmulas similares con las que se habían resuelto las ecuaciones de segundo grado en la Antigüedad y a las encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grado. Lagrange avanzó en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época. Sin embargo, a pesar de sus esfuerzos, el problema permaneció sin solución. Con este panorama resultó una sorpresa enorme para todos los matemáticos el trabajo publicado en 1824 por el joven genio noruego Niels Abe1 5 , en el cual se demostró que los tres siglos de esfuerzos de los más grandes matemáticos de la época para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro por radicales fue infructuoso, por la sencilla razón de que este problema no tiene solución. Aunque a Abel se le debe la prueba de la imposibilidad de resolver 4 JOSEPH-LoUIS DE LAGRANGE (1736 - 1813) , matemático francés de origen italiano. La lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés por la matemáticas y tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Escribió numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas. 5NIELS HENRIK ABEL (1802 - 1829) nació en Noruega. En 1815 ingresó a la escuela catedral de Oslo, donde comenzó a estudiar las obras de Newton, Euler y Lagrange, y llegó a dominar obras muy difíciles como Disquisitiones Arithmetica de Causo En junio de 1822, cuando apenas tenía 19 años, completa sus exámenes preparatorios y se convierte en candidato a filósofo.

Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

125

Matemáticas básicas con trigonometría

por radicales ecuaciones polinómicas de grado cinco, la presentación de condiciones necesarias y suficientes para la solubilidad por radicales de tal ecuación fue obra del brillante matemático francés Évariste Galois6 , consignadas en un manuscrito de t reinta y un páginas t it ulado Me m oria so bre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales. Este monumental resultado estableció el germen para múlt iples ramas de las matemáticas, por ejemplo, la teoría de grupos finitos solubles y la teoría de cuerpos. En resumen, durante tres siglos se intentó resolver el problema de determinar p or radicales las soluciones de ecuaciones polinómicas de cualquier grado. Sin embargo, éste resultó ser más difícil y profundo de lo que se pensaba, lo cual dio origen nuevos conceptos, no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general.

4.3.

Teoremas del residuo y del factor

Presentamos ahora dos resultados importantes, el teorema del residuo y el teorema del factor. Estos jugarán un papel central en la búsqueda de los ceros complejos de una función polinómica f . Consideramos entonces algunos preliminares. 4.3.1 Algoritmo de la división (Euclides). Sean f y 9 son funciones polinómicas (llamad as respectivamente dividendo y divisor ), tales que 9 es no es la función idént icamente nula. Entonces existen funciones polinómicas únicas q y r (llamadas respectivamente cociente y residuo), tales que f = gq + r , donde r es la función idént icamente cero o su grado es menor que el grado de g. 4.3.2 Ejemplos.

= 3x 4 + 5x 3 + 2x - 1 Y g(x) q(x) = 3x2 + 2x + 1 Y r(x) = 3x

1. Si f (x)

1, entonces

6ÉVARISTE GALOIS (1811 - 1832) fu e educado p or sus p adres h asta los doce años, momento en el que ingresó en el College Royal de Louis-Le-Grand, donde most ró unas extraordinarias apt it udes para las matemáticas. Con sólo dieciséis años, interesado en hallar las condiciones necesarias p ara definir si una ecuación algebraica era susceptible de ser resuelta por el método de los radicales, empezó a esbozar lo que más adelante se conocería con el nombre genérico de Teoría de Galois. Miembro activo de la oposición antimonárquica, se vio implicad o en un duelo cuyas motivaciones aún hoy permanecen confusas. A los pocos días t uvo lugar el duelo y el matemático murió apenas cumplidos los veintiún años. 4.3. Teoremas del residuo y del factor

126

Gutiérrez-Robinson

Dadas f y g, el procedimiento para obtener q y r es similar al usado para determinar el cociente y el residuo al dividir dos números. Ilustremos el ejemplo anterior: 3X2

Divisor ---)

- 1)

3x 4 - 3x 4

+ 5x 3 -

+ 2x + 1

+----

Cociente

+ 2x -

+----

Dividendo

+----

Residuo

+ 3x2 2x 3 + 3x2 + 2x 2x 3 - 2x2 + 2x x2 + 4x - 1 - x2 - X + 1

3x 3

2. Si f(x) = 6x 5 + 15x 4 - 23x 3 - 27x 2 - 1l0x - 140 Y g(x) = 2x + 7, entonces q(x) = 3x 4 - 3x 3 - x2 - 10x - 20 Y r(x) = O 3x 4 -

3x 3 -

x2 - 10x - 20)

6x 5 -

6x 5

15x 4 4

+ 6x

21 x 4 - 21 x 4

23x 3 -

+ 2x 3 +

21 x 3 21 x 3

2x + 7 2 27x - 1l0x - 140 20x 2 + 40x

7x2 - 70x - 140 7x2 + 70x + 140

O Consideramos ahora un caso particular en la división de polinomios. 4.3.3 Algoritmo de la división sintética. Supongamos que se desea dividir la función polinómica f(x) = anx n + ... + a2x2 + alX + ao, de grado n, por una función de la forma g(x) = x-e, donde e E Q. Entonces por el algoritmo de Euclides se tiene: f(x)

= (x - e)q(x) + r

(4.4)

donde q es un polinomio de grado n - 1 Y r, naturalmente, es una constante. Supongamos que q t iene la forma

(4.5) el objetivo es determinar los coeficientes bn - 1,··· ,b 1, bo en término de los coeficientes de f. Reescribiendo la ecuación (4.4) se t iene: anx n + ... +a2x2 +alx+aO

= (x - e)(bn_1xn-l + ... +b 2x 2 +b1x+bo ) +r

Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

127

Matemáticas básicas con trigonometría

o equivalentemente: bn_lxn

+ bn_ 2x n- l + ... + bl x 2 + box

- cbn_ l x n - l - ... - cb2x 2 - cblx - cbo + r bn_lxn + (bn _ 2 - cbn_ l )X n- l + ... + (bl - cb2)X 2 + (bo - cbl )x + (r - cbo ) Dado que esta igualdad se verifica para to do x E lR., podemos comparar los coefi cientes respectivos en la igualdad anterior y se t iene: an

an- l

a2 al

bn - l bn_ 2 - cbn_ l bl

cb2 bo - cbl r - cbo -

Despejando los coeficientes de q obtenemos: bn_ l bn_ 2

bl bo r

an an- l

+ cbn_ l

+ cb2 a l + cbl ao + cbo a2

Note que lo anterior nos permite expresar los coeficientes de q y a r en términos de los coefi cientes de f y g. Para efectos de cálculo podemos organizar el algorit mo anterior en una tabla como se muestra en el siguiente gráfi co:

La últ ima línea de esta tabla nos suministra los coefi cientes de q y el residuo de la división . Este procedimiento es usualmente llamado división sintética. 4.3. Teoremas del residuo y del factor

128

Gutiérrez-Robinson

4.3.4 Ejemplos. Use la división sintética para dividir 1. f(x)

= x4

4x 3

+ 2x2 -

2. f(x) = 12x 3

2 -4 -2

O -1

-12 -12

Entonces q(x) = 12x2 - 12x

3x 2 2

Entonces q(x) = 2x 4

6 -10

entre g(x) = x

+ 11

+ x3 -

-1 -4 -5

2x2 - 2x - 5 Y el residuo es r = -4.

3. f (x) = 2x 5

entre g(x) = x - 2

-4 2 -2

Entonces q(x) = x 3

12 11

11 -11 O

-1

+ 11 Y el residuo es r = O.

entre g(x) = x - 1

O 1 2 2 2 3

O -3 3 3 3 O

+ 2x 3 + 3x2 + 3x y

2 1 O 2 el residuo es r = 2.

El siguiente teorema es de gran importancia teórica, establece una relación entre el residuo que se obtiene al dividir una función polinómica f entre x - e y el valor de f en e. 4.3.5 Teorema del residuo. Si una función polinómica f se divide entre x - e, donde e E lR., entonces el residuo de tal división es f (e). DEMOSTRACIÓN: Usando el algoritmo la división de Euclides se tiene que existen funciones polinómicas q y r tales que

f(x) = (x - e)q(x)

+ r(x)

para todo x E lR. Y además el grado de r es menor que el grado de q. Dado que q(x) = x - e, el grado de q es 1, por lo tanto el grado de r es cero, es decir, r es una constante, digamos r(x) = k para todo x E R Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

129

Matemáticas básicas con trigonometría

Entonces

f (x) = (x - c) q(x)

(4.6)

Como la igualdad (4.6) se verifica para to do x E lR., en part icular se cumple para x = c. Entonces se t iene que f (c) = k Y se t iene el resultado. D

4.3.6 Ejemplos. Halle el residuo que resulta al dividir do el teorema del residuo y la división sintética. 1. f (x)

= x 4 + 2x2 -

+ 4, 1

g(x) = x

O 2 -1 1 -1 3

Por otro lado, f ( -1 ) = (_1 )4

2. f(x) = 2x 5

+ x3 -

2 2 Note que f (l ) = 2(1)5

ent re g. Usan-

-1 - 3 -4

4 4 8

+ 2( _1 )2 -

-1

(-1 ) + 4 = 8

ent re g(x) = x - 1

O 1 2 2 2 3

+ (1)3 -

O - 3 3 3 3 O

2 1 O 2

3(1) + 2 = 2

4.3.7 Definición. Sea f una función polinómica con coefi cientes en R Si existen polinomios no constantes 9 y q (con coefi cientes en lR.) tales que f = gq , entonces diremos que f es factorizable o reducible en R En este caso 9 y q se denominan factores de f . Si no existen tales funciones, diremos entonces que f es irreducible en R

Ejemplo. La fun ción f (x) = ax 2 + bx + c , donde a, b, c E lR., a i= O es factorizable o reducible en lR. si y sólo si b2 - 4ac :2: O. Mientras que si b2 - 4ac < O, entonces f es irreducible en lR., pero reducible en ce. El siguiente teorema nos da condiciones necesarias y suficientes para que la función g(x) = x - c sea un factor de una función polinómica f . 4.3.8 Teorema del factor. Sea f una función polinómica. La función g(x) = x - c es un factor de f si y sólo si c es un cero de f . Es decir, si y sólo si f (c) = O. 4.3. Teoremas del residuo y del factor

Gutiérrez-Robinson

130

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que g(x) = x - e es un factor de f. Entonces por definición el residuo de dividir f entre 9 es cero. Usando el teorema del residuo se t iene que f(c) = O, lo cual demuestra que e es un cero de f. Recíprocamente, si f(c) = O, entonces el residuo de dividir a f entre 9 es cero. Por lo tanto, f(x) = (x - c)q(x) para todo x E R Entonces g(x) = x - e es un factor de f . D 4.3.9 Ejemplos. En cada caso diga si 9 es un factor de 1. f(x)

= x4

+ x2 -

12, g(x) = x - 2

Utilizando el teorema del factor es suficiente evaluar f(2). Note que f(2) = 24 - 23 + 22 - 12 = O. Por lo tanto 9 es un factor de f.

2. f(x)=x 4 +2x 3 -x+2, g(x)=x+2 Dado que f( -2) = 4

i= O,

se sigue que 9 no es un factor de f·

4.3.10 Ejercicios Teoremas del residuo y del factor. 1. Use el teorema del residuo para calcular el residuo que resulta de

dividir

entre g.

a) f(x) = 3x 3 b) f (x) = x

+ 4x2 -

X - 11 Y g(x) = x

+2 = x +3

2x 3 - x2 + 4 Y g( x) e) f(x) = x + 2x 2a 2 - 2xa3 + 2a4 y g(x) = x 4

d) f(x) = 3x

+ 2a

5x - 37x2 + 4x - 17 Y g(x) = x - 3 e) f(x)=x +2x 2 -x+4yg(x)=x+2 4

2. Use el teorema del factor para determinar si 9 es un factor de

a) f (x) = x 4 b) f (x)

e) f(x) d) f(x) e) f(x)

+ 4x + 4 Y g( x) = x + 2 = x 4 + 2x 3 - X - 2 Y g( x) = x + 2 = 2x 4 + 7x 3 - 12x - 9 Y g(x) = x + 3 = x 3 - 4x2 - 3x + 18 Y g(x) = x - 3 = 6x 5 + 15x4 - 23x 3 - 27x 2 -110x -140 y g(x) = 2x + 7 -

3x2

3. Halle el valor de la constante A para que g(x) de f(x) = 3x 3 + 5x2 + AX - 10.

= x+2 sea un factor

4. Halle el valor de la constante A para que g(x) de f(x) = 5x 3 + A2x2 + 2AX - 3.

= x+1 sea un factor

Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

Matemáticas básicas con trigonometría

131

5. Halle los valores que p uede tomar A par a que el residuo que se obt iene al dividir f (x) = 3x 3 +4AX2 + 6 ent re g(x) = x + 2 sea -2. 6. ¿Para qué valores de n se verifica que g(x) = x f (x) = xn - r¡,n?

r¡,

es un factor de

7. ¿Para qué valores de n se verifica que g(x) = x f (x) = xn - r¡,n?

+ r¡, es un factor de

8. ¿Para qué valores de n se verifica que g(x) = x f (x) = xn + r¡,n?

+ r¡, es un factor

4.4.

El teorema fundamental del álgebra

El siguiente teorema, el cual presentamos sin demostración, es conocido como teorema fundamental del álgebra. 4.4.1 Teorema fundamental del álgebra. Toda función polinómica f de grado n, digamos f (x) = anx n + an_ l Xn- l + ... + a2x2 + al X + ao, t iene por lo menos un cero real o complejo. Una consecuencia del teorema fund amental del álgebra y del teorema del factor es el siguiente resultado. 4.4.2 Teorema. Toda función polinómica

de grado n, digamos

puede ser factorizada de la siguiente manera:

donde

ce.

DEMOSTRACIÓN: Usando el teorema fund amental del álgebra podemos suponer que e l es un cero de f . Entonces, por el teorema (4.3.8) se t iene que x - e l es un factor de f . Es decir,

Donde ql es un polinomio de grado n - 1. Si n 2': 2, entonces podemos aplicar el teorema fund amental del álgebra a ql y suponer que e2 es un 4.4. El teorema fundamental del álgebra

132

Gutiérrez-Robinson

cero de qI, por lo tanto x - C2 es un factor de qI. De manera iterada se tiene que 1 puede expresarse así:

y se tiene la conclusión. D N ota. Puede suceder que no todos los ceros sean distintos. En cuyo caso 1 tendrá factores del tipo (x - Cj )mj, donde mj > 1. Entonces en forma general podemos expresar 1 de la siguiente manera:

donde cada mj > O Y mI + m2 cero de 1 con multiplicidad mj.

+ ... + mk =

n. Diremos que Cj es un

4.4.3 Teorema. Sean 1 y 9 funciones polinómicas de grado n. Si existen n + 1 números distintos XI,X2,··· ,Xn+I, tales que 1(xj) = g(Xj), para todo j E {l, 2,··· ,n + l}, entonces 1 = g.

DEMOSTRACIÓN: Es suficiente demostrar que la función 1/J := 1 - 9 es la función nula. Supongamos que 1/J tiene grado m i= O. Entonces debe cumplirse que O ::; m ::; n y 1/J es una función polinómica que tiene a lo más n ceros. Pero por hipótesis 1/J tiene n + 1 ceros, lo cual es una contradicción. Entonces 1/J es la función nula. D Como hemos notado, los ceros de una función polinómica pueden no ser reales. Si éste es el caso, demostraremos ahora que los ceros complejos se agrupan en parejas. 4.4.4 Teorema. Si los coeficientes de una función polinómica 1 son reales y si z = a + bi E <C (b i= O) es un cero de 1, entonces z también es un cero de 1.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que 1(x) = anx n + .. ·+a2x2+aIx+ao , donde cada aj E R Dado que z es un cero de 1, se verifica que 1(z) = O, lo cual implica que 1(z) = O, pero como los coeficientes de 1 son reales, del ejercicio 6 de (4.1.7) se sigue que 1(z) = 1(z) = O. Esto demuestra que z también es un cero de 1. D El siguiente teorema nos da una guía para encontrar ceros racionales de una función polinómica 1 (si existen). 4.4.5 Teorema. Si 1(x) = anXn+an_IXn-I+ .. ·+a2x2+aIx+ao tiene coeficientes enteros y si un número racional ~ es un cero de 1, entonces p es un factor de ao y q es un factor de an . Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

133

Matemáticas básicas con trigonometría

DEMOSTRACIÓN: Por hipótesis ~ es un cero de f. Es decir, f(~) = O. Entonces

Lo cual es equivalente a

Mult iplicando a ambos lados por qn se t iene:

o equivalentemente: p(anpn-l ,

+ an _lpn-2 q + ...__________________ + a2pqn-2 + alqn-l) = v~

-aoqn

E Z

Esto demuestra que p divide a aoqn, además por hipótesis p y q no t ienen factores comunes. Entonces p es un factor de ao. Retornando a la ecuación (4.8) se t iene que

D Usando el mismo argumento se concluye que q es un factor de ano U na consecuencia inmediata del anterior teorema es la siguiente: Si a n = 1 Y e es un cero racional de f, entonces e E Z y además es un factor de ao.

4.4.6 Ejemplos. Determine (si existen) los ceros racionales de las siguientes funciones: 1.

f (x) = 6x 4

5x2

SOLUCIÓN: Una aplicación del teorema (4.4.5) nos indica que si existen ceros racionales, éstos están entre los números ±f¡, ±~, ±~, ±1: 6 6

-1

6 5

-5 1 -1 1 5 O O 1 O

4.4. El teorema fundamental del álgebra

134

Gutiérrez-Robinson

Entonces f (x) = (x - 1) (6x 3 + 5x2 + 1). Si aplicamos nuevamente el teorema a la función determinada p or el segundo factor tenemos: 6

5 -6 -1

O 1 1

1-1 -1 O

Entonces f (x) = (x - l )(x + 1)(6x 2 - X + 1). Se puede verificar que la función cuadrática que queda t iene ceros complejos. 2. f (x) = 6x 3

+ x2 -

21 x - 10

Los posibles ceros racionales de f están entre los núme±~, ±~, ± 1 ros ± ~o, ±5, ± 10, ±~, ±i, ±~, ±~, ± 2, SOLUC IÓN:

±i,

6 6

-3 -2

-21 1

-20

-10 10 O

Entonces f (x) = (x + ~)(6x2 - 2x - 20). Se puede verificar que la función cuadrática t iene como ceros 2 y -

3. f (x) = 2x 6

+ x 5 + 3x 4 + 7x 3 -

3x2 - 4x - 6

SOLUC IÓ N: Los posibles ceros racionales de f están entre los números ±3, ± 6, ±~, ± 1, ± 2, ±~.

Se deja como ejercicio verificar que manera: f (x) = (x - 1) (x + ~ ) (2x 4

f se factoriza de la siguiente

+ 6x2 + 4x + 4).

4.4.7 Ejercicios Ceros racionales y ecuaciones. 1. Determine, si existen , los ceros racionales de las siguientes funcio-

nes:

a) f (x) = 4x 4

12x 3

7x2

+ 24x -

b) f (x) = 6x 5

e) f (x) d ) f (x) e) f (x)

J) f (x)

+ 5x 4 - 25x 3 - 10x 2 + 24x + 1 = x 4 + x 3 - x2 + X - 2 = 2x 6 + x 5 + 3x 4 + 7x 3 - 3x2 - 4x - 6 = 3x 3 - 8x2 + ll x - 10 = 2x 4 - 5x 3 + 6x2 - X - 14 Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

Matemáticas básicas con trigonometría

135

2. En cada caso halle el conjunto solución :

+ 16 = O x + 28x + 27 = O 5x 3 + 3x2 + 20x + 12 = O 2x 6 + x 5 + 3x 4 + 7x 3 - 3x2 - 4x 4x 4 - 12 x 3 - 7x2 + 24x - 8 = O

a) x 4

e) d) e)

4.5.

17x2

Inecuaciones

En este punto podemos int roducir dos nuevos elementos del lenguaje, las variables y las constantes. Int uit ivamente, una variable puede entenderse como un elemento no fij ado de un conjunto dado. En los ejemplos anteriores hemos abordado el problema de determinar los elementos del conjunto

s = {x

lR I <p(x )} ,

donde <p representa una propiedad . Entonces abordar el problema significa encont rar los elementos x E lR que satisfacen la propiedad <p. Nuestro especial interés es considerar propiedades que involucran los símbolos ::;, :2:, > o <. Las cuales usualmente son denominadas inecuaciones en una variable x. El conjunto S lo llamaremos conjunto solución de la inecuación respectiva y se expresará siempre en la notación de intervalos. Para simplificar , escribiremos simplemente la propiedad y la expresión "resolver una inecuación"significa determinar el conjunto S . 4.5.1 Ejemplos. En cad a caso halle el conjunto solución de la inecuación dad a y expréselo en notación de intervalos: 1. 2x - 3

~x - 5

SOLUC IÓ N:

2x - 3 > ~ x - 5 {:} 2x - ~ x > 3 - 5

{:}

> -2

{:} x> - 34 Entonces el conjunto solución es S = ] - ~,+oo[. 4.5. Inecuaciones

136

Gutiérrez-Robinson

< Ix +1 - 2

2. 13 (2x - 1)

SOLUC IÓN:

~(2x - 1) ::; ~x

{:} {:}

~x - ~ - ~x ::; 1 I6 x < 1 - 3

{:}

x::;8

Entonces el conjunto solución es S = ] - 00,8 [. 4.5.2 Ejercicios En cada caso halle el conjunto solución de la inecuación dada y expréselo en notación de intervalos: 1. 3x

+ 5 :2:

~x - 1

2. 2x - 1 ::; x 3. 2(x

+ 1) > 3(2x

- 7)

4. x(x

+ 1) < x2 + 3x + 2

5. x(2x - l )(x - 2)

2) ::; 6x(x - 5)

6 . 3( 2x

+ l )(x -

7. x2(x

+ 4) > O

8. (x

+ 2)2(x -

9. (x - 2)3(x 10 . (x

< x(x - 2)

3) :2: O

+ 7) :2: O

+ 2)(x -

2 )(x

+ 3)(x -

4) > O

11 . Ix - 71 ::; 2

12. Ix - 21> 1 13. 15x - 21 :2: ~ 14. l ~x -1 1 > 2 15. 0 < Ix l < 2 16. 1 < Ix - 61 ::; 4 17. O::; Ix - 11 < 2 Capítulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

´ ´ Matematicas basicas con trigonometr´ıa

137

18. 1 < |x − 1| ≤ 2 19.

9x2 − 6x + 1 ≤0 x3 − x2

x2 − 2x − 7 ≤ −1 2x − 1 Consideremos ahora inecuaciones que presentan un mayor grado de diﬁcultad. 20.

4.5.3 Ejemplos. En cada caso halle el conjunto soluci´ on de la inecuaci´on dada y expr´eselo en notaci´ on de intervalos: 2x − 1 >0 1. x−2 ´ n: Para obtener la soluci´ solucio on, es decir, para determinar d´ onde la fracci´ on es positiva, examinamos por separado el numerador y el denominador. Para ello utilizamos tres rectas reales, dos para la fracci´ on y una para el resultado de la divisi´ on: 1

2x − 1 2 − − − − − − − − − + + + + + + + + + + + + + + + ++ x−2 2 −−−−−−−−−−−−−++++++++++++ + + + + + + + + + − − − −−

+++++++++++

Entonces el conjunto soluci´ on es S = ] − ∞, 12 [ ∪ ]2, +∞[. 2. x2 − x − 6 ≤ 0 ´ n: Note que x2 − x − 6 ≤ 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) ≤ 0. Procesolucio demos como en el ejemplo anterior: −2 x+2 − − − − − − − − − + + + + + + + + + + + + + + + ++ 3 x−3 −−−−−−−−−−−−−++++++++++++ + + + + + + + + + − − − −−

+++++++++++

Entonces el conjunto soluci´ on es S = [−2, 3]. 4.5. Inecuaciones

138

´ Gutierrez-Robinson

1 1 < x+3 x−3 ´ solucion: Un error usual es afirmar que 1 1 < ⇔x−3<x+3 x+3 x−3 Dado que las expresiones dependen de los valores que toma x, no siempre será posible afirmar esta equivalencia. Una forma correcta es la siguiente: 1 1 < x+3 x−3

1 1 − <0 x+3 x−3 6 <0 ⇔ − (x − 3)(x + 3) 6 >0 ⇔ (x − 3)(x + 3) ⇔

Procedemos como en el ejemplo anterior: −3 x+3 − − − − − − − − − + + + + + + + + + + + + + + + ++ x−3 3 −−−−−−−−−−−−−++++++++++++ + + + + + + + + + − − − −−

+++++++++++

Entonces el conjunto soluci´ on es S = ] − ∞, −3[ ∪ ]3, +∞[. Aplicaciones al c´ alculo del dominio de ana funci´ on √ 1. Sean f y g funciones reales. Digamos f (x) = x + 2 y g(x) = x2 − 3x. Es claro que Dom(f ) = [−2, +∞[ y Dom(g) = R. Por deﬁnici´on x ∈ Dom(f ◦ g) ⇔ x ∈ R y g(x) ∈ [−2, +∞[ ⇔ x ∈ R y x2 − 3x ≥ −2 ⇔ x ∈ R y x2 − 3x + 2 ≥ 0 Resolviendo la u ´ltima desigualdad tiene que X := Dom(f ◦ g) =] − ∞, 1] ∪ [2, +∞[ Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

139

´ ´ Matematicas basicas con trigonometr´ıa

√ Entonces (f ◦ g)(x) = x2 − 3x + 2, para todo x ∈ X. Por otro lado, dado que [0, +∞[= Im(f ) ⊆ Dom(g) = R, se tiene que Dom(f ◦ g) = Dom(f ) = [−2, +∞[. 2. Determine el dominio de la funci´ on f (x) =

x2 −x−2 x+3 .

Soluci´ on: La expresi´on que est´a dentro del radical no puede se negativa. Entonces x ∈ Dom(f ) ⇔ ⇔

x2 − x − 2 ≥0 x+3 (x − 2)(x + 1) ≥0 x+3

Resolvemos la inecuación. −3 x+3 − − − − − − − − − + + + + + + + + + + + + + + + ++ x+1 −1 −−−−−−−−−−−−−++++++++++++ x−2 2 − − − − − − − − − − − − − − − − −− + + + + + + + + + La igualdad a cero se da si y solo si (x − 2)(x + 1) = 0. Es decir, si y solo si x = 2 o x = −1 y la fracci´ on es positiva si y solo si x ∈] − 3, −1[∪]2, +∞[. Entonces Dom(f ) =] − 3, −1] ∪ [2, +∞[. 4.5.4 Ejercicios En cada caso halle el conjunto soluci´ on de la inecuación dada y expréselo en notaci´ on de intervalos: ≤0

1 x

1 x2

1 x

1 x2

x(4x − 1) ≥0 x−3

≤0 >0 ≥0

4.5. Inecuaciones

140

´ Gutierrez-Robinson

(x − 1)(3x + 2) <0 x−7

1 − 2x ≤0 x(x + 5)

(2x + 1)(x − 5) >0 (x − 2)(x + 3)

9. 2x2 < 5(x + 1) 10. 3(2x + 1)(x − 2) ≤ 6x(x − 5) 11. 5x > 2 − 3x2 12. 2x2 + 1 ≥ 3x 13. 2x2 + 1 ≥ 3x 14. 5x > 2 − 3x2 15.

2 2 ≥ x+1 2x − 1

16.

1 x > 3 x+2

17.

1 x ≤ x+1 x+3

18.

1 x ≤ x−2 x+2

19.

2x 3x2 ≤ 4x − 3 4x − 3

20. 0 < |3x − 5| < 3 21. 2 < |x − 4| ≤ 8 1 <2 22. x + 2 1 ≥1 23. x − 1 x <1 24. x + 2

Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones

Parte II

TrigonometrĂa

Capítulo 5 Trigonometría plana Contenido 5.1. Pre liminares 5.2. Fórmulas de reducción 5.3. Funciones trigonométricas 5.4. Ecuaciones trigonométricas 5.5. Aplicaciones: solución de triángulos 5.6. Funciones trigonométricas inversas .

144 151 155 164 175 184

La t rigonometría es una parte de las matemáticas dedicada a estudiar relaciones ent re los lados y los ángulos de t riángulos, además considera las propiedades y aplicaciones de las funciones t rigonométricas. Etimológicamente, trigonometría significa medida de los elementos de un triángulo; esta palabra proviene del griego trigonos (triángulo) y m etría (medida). Existen dos subdivisiones fundamentales de la trigonometría, la t rigonometría plana y la esférica. En este texto nos ocuparemos de los fundament os de la primera, es decir, nos ocuparemos de figuras contenidas en un plano. Dent ro de las primeras aplicaciones de la t rigonometría podemos dest acar las realizadas en el campo de la astronomía, en la que el problema fund amental fue determinar la distancia ent re la t ierra y la luna. Ot ras aplicaciones de la trigonometría se encuent ran en ingenierías, por ejemplo, en topografía, o la física, especialmente en fenómenos oscilatorios como ondas electromagnéticas. 143

144

5.1.

Gutiérrez-Robinson

Preliminares

En el siglo II a.C. Hiparco de Nicea1 compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos; ésta daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. 5.1.1 Definición. Un ángulo es un par de semirrectas con extremo ------7 ------7 común. Si un ángulo está formado por las semirrectas GAy GB , entonces llamaremos a éstas lados del ángulo, y dicho ángulo será denotado con LAGB o LBGA. El extremo común se llamará vértice del ángulo. Gráficamente:

0'---------------+ B Figura 5.1 : Un ángulo En la siguiente definición presentamos una alternativa analítica de la definición anterior, la cual será fundamental a lo largo de esta parte del texto. 5.1.2 Definición. Diremos que un ángulo está en pOSlClon normal o regular con respecto a un sistema rectangular de coordenadas si su vértice está en el origen de dicho sistema y uno de sus lados coincide con el eje x (en dirección positiva). Al lado que coincide con el eje x lo lHIPARCO DE NICEA, astrónomo y geógrafo griego, nacido en Nicea. Llevó a cabo sus observaciones en Rodas, donde construyó un observatorio, yen Alejandría. El año 127 a.e. es citado habitualmente como la última fecha conocida de sus trabajos; sin embargo, el astrónomo francés Jean Delambre demostró que algunas de las observaciones de Hiparco sobre la estrella Eta Canis Majoris tuvieron que ser realizadas en una fecha posterior. Precisó el período del año solar en 365 días y 6 horas. Se sabe poco acerca de los instrumentos que utilizaba para sus observaciones, aunque Tolomeo le atribuye la invención de un teodolito que mejoró la medición de los ángulos. En el campo de la geografía destacan sus trabajos sobre trigonometría esférica, gracias a los cuales le fue posible precisar la localización de puntos en la superficie terrestre por medio de su latitud y longitud. Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

145

llamaremos lado inicial y el lado que no es el lado inicial lo llamaremos lado terminal. U na ilustración es la siguiente y

Figura 5. 2: Un ángulo en posición normal 5.1.3 Definición. La circunferencia con cent ro en el origen de un sistema rectangular de coordenadas y radio uno, se denominará circunferencia unitaria. Usaremos la letra caligráfi ca e para denotarla. Algebraicamente, e puede expresarse como el siguiente conjunt o:

e = {(x, y ) E lR. x lR. I x2 + y2 = 1} Estamos interesados en asignar a los ángulos en posición normal una medida . Esto lo conseguiremos ut ilizando la longitud del arco de la circunferencia unitaria intersectado por el ángulo. La longit ud del arco la empezamos a medir desde el punto (1, O) . Si la medida se hace acercándose al punto (0, 1), la longit ud del arco será posit iva . Si empezamos en (1, O) Y medimos acercándonos a (O, -1) , entonces la longit ud del arco se t omará negativa. Es usual utilizar letras del alfabeto griego para denot ar ángulos, contrario a lo usual en la geometría euclidiana, en la que se usa el símbolo L. 5.1.4 Definición. Sea a un ángulo en posición normal. La medida t de a en revoluciones (rev) es la longit ud S del arco de e intersect ado por

el ángulo, dividido por la longit ud de _

27r

e. Esto es,

rev

En el siguiente gráfi co ilustr amos la defini ción anterior. 5.1. Preliminares

146

Gutiérrez-Robinson

y 1

-1

5.1.5 Ejemplo. Si a es un ángulo en posición normal y el arco intersectado por a t iene longit ud 2, entonces la medida de a es

2 1 t = - = - rey 2 1f

5.1.6 Definición. Sea a es un ángulo en posición normal. 1. Diremos que a mide 1 grado, notado 1°, si su medida es 3~O rey.

2. Se dice que a t iene medida 1 radian si su medida es 2~ rey. Esto es, si un ángulo mide un radian , entonces el arco intersectado p or éste en e es de longit ud 1. 5.1. 7 Ejemplos. Sea a es un ángulo en posición normal.

1. Si a mide

11 2

rev, entonces su medida en radianes es ~.

2. Si un ángulo a mide 45°, entonces su medida en rey es ~. N ota. Si P Y Q son puntos en un plano cartesiano con coordenadas respectivas (X l , Y1 ) Y (X2, Y2), entonces escribiremos simplemente P (X1, Y1 ) y Q (X2, Y2) para indicarlo. 5.1.8 Teorema. Sea t la medida de un ángulo a en posición normal y sean P (X 1, Y1) y Q (X2, Y2) dos puntos sobre el lado terminal de a, tales que Y2 > Y1 > O. Si definimos

T1 := JXI + YI

T2:=

Jx~ + Y~,

entonces Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

YI -3 . Xl

Y2 X2'

X2'

2:L

Xl, X2 -i-¡-

X l , X2

147

-1 0

5. ~=~ si Y1 , Y2 -1 0 YI Y2 ' rl 6. YI

r2 Y2 '

YI,Y2

-1 0

DEMOSTRACIÓN: Diferenciamos dos casos:

Caso 1. El lado terminal del ángulo a no coincide con alguno de los ejes coordenados. Hacemos la prueba para a en el segundo cuadrante. Las otras sit uaciones son similares. y

Sean P y Q los puntos de intersección de las circunferencias con radios TI y T 2 con el lado terminal de a. Denotemos con P M Y Q N segmentos perpendiculares al eje X (ver figura arriba). Los t riángulos 6 0 M P Y 6 0 N Q son semejantes. Por lo tanto se t ienen las siguientes proporciones: 0MI _ 10NI l. 11 0PI - 10QI _ 2. IPMI 10PI IPMI _ 3. 1 0MI -

IQNI 10QI IQNI 10NI 5.1. Preliminares

Gutiérrez-Robinson

148

IOPI _ . IOMI IOMI _ 5. IPMI 6 IOPI _ . IPMI -

IOQI IONI IONI IQNI IOQI IQN I

Note que IOPI = rl , IOQI = r 2, IOMI = - X l , IONI = - X2, IPMI = YI Y IQNI = Y2· Por lo tanto, las igualdades del teorema se establecen haciendo las respectivas sustit uciones. Caso 2. Se deja como ejercicio.

5.1.9 Definición. Sean a un ángulo en pOSlClOn normal, P (x, y) un punto sobre su lado terminal, distinto del origen, y sea r := J x2 + y2. Definimos las seis razones trigonométricas de a de la siguiente manera :

1. sen a .= ·

'lL r

2. cosa:=

~ r

3. tan a :=

'lL x

i= O

4. cota·= ·

~ y

si Y

i= O

5. seca .= ·

:!:.

i= O

6. csca :=

:!:.

si y

i= O

Del teorema 5. 1.8 se sigue que el valor de las razones trigonométricas no depende del punto que se elij a sobre el lado terminal del a . Razones trigonométricas de ángulos especiales. Determinamos ahora las razones trigonométricas de algunos ángulos especiales: 1. a =

(90°). Elij amos sobre el lado terminal de a el punto P (O, 1).

a) sen ~2 -- 1l -- 1 b) cos ~2 -e) cot ~2 --

d) csc ~ =

º- O º- O l l -

e) tan ~ y sec ~ no están definidas Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

149

1 7r

2. ex = ¡ (45°). Formamos un triángulo rectángulo con hipotenusa de longit ud 1, como se muestra en la figura: y

o Un punto sobre el lado terminal de ex es P = (

f, f ). Entonces

sen ~4 = V2 2

b) cos¡ =

e) tan ¡ = 1 d) cot ¡ = 1 e) csc ¡ = y'2

1) sec ¡ = y'2

3. ex = (120°). Formamos nuevamente un t riángulo rectángulo con hipotenusa de longit ud 1 y ángulos interiores con medidas i y ~. Un punto sobre el lado terminal de ex es P = ( -~ ,

a) sen

27r

b) cos

27r

e) tan

= v3 2 = _12

2; = - V3 5.1. Preliminares

1). Entonces

Gutiérrez-Robinson

150

d) cot

27r 3

e) csc

27r 3

1) sec

= _ v3 3

= 2v3 3 = -2

Los resultados anteriores se obtienen del siguiente gráfi co.

5.1.10 Ejercicios 1. Considere una circunferencia con centro en el origen y radio 5.

Determine la longit ud S del arco de la circunferencia intersectado por un ángulo en posición regular cuya medida es ~ radianes.

2. Halle el valor de las razones trigonométricas del ángulo ción normal, si

a) (-2,5) está sobre el lado terminal de

en posi-

0;.

b) (-1 , -2) está sobre el lado terminal de e) (-1 , O) está sobre el lado terminal de

0;.

d) Para cualquier punto sobre el lado terminal de que y = - 3x. e) Para cualquier punto sobre el lado terminal de que 2y = 3x.

se verifica

3. Verificar los componentes de la siguiente tabla: Revoluciones Grados Radianes

30°

~ 45°

60°

90°

~ 120° ~

Capítulo 5. Trigonometría plana

~ 135° ~

150°

Matemáticas básicas con trigonometría

5.2.

151

Fórmulas de reducción

Hasta ahora hemos determinado la medida de ángulos en posición normal. P ara ello hemos ut ilizado la longitud del arco intersectado por el ángulo en la circunferencia unitaria. A menos que se indique lo cont rario , la medida de un ángulo se asumirá en radianes. En la mayoría de los casos, nos referiremos a un ángulo mencionando sólo su medida . Deseamos ahora demostrar que para cualquier ángulo a cuya medida t está en el intervalo ]~, 21f[, existe un ángulo e cuya medida ti E] O, ~[ tal que cad a razón t rigonométrica de a pueden expresarse en términos de alguna razón t rigonométrica de e. 5.2.1 Definición. Una ecuación que expresa una razón t rigonométrica de un ángulo a, cuyo lado terminal se encuent ra en alguno de los cuadrantes II, III o IV en términos de una razón t rigonométrica de de un ángulo e, cuya medida ti E] O, ~[se llamará fórmula de reducción. Fórmulas de reducción para a E]~, 1f [. Supongamos que a es un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante. y

Figura 5.3: Fórmulas de reducción para a

E] ~ ,

1f[

Sea Q (X l , Yl) el punto de intersección de la circunferencia unitaria e y el lado terminal de a y sea T el punto de intersección de e con la recta paralela al eje x que pasa por Q. Sea N el punto de intersección con el eje x de la recta par alela al eje y que pasa por T y sea R el punto de 5.2. Fórmulas de reducción

Gutiérrez-Robinson

152

corte con el eje x de la recta paralela al eje y que pasa por Q. Ver figura anterior . Los t riángulos OT N Y OQ R son congruentes. Por lo tanto se sigue que las coordenadas del punto T son (- Xl, Y1 ). Si () es el ángulo en posición normal cuyo lado terminal cont iene al punto T , entonces se t iene: 1. sen a = Yl = sen () r l 2. cos a =

Xl r l

= - cos ()

3. tan a =

= - tan ()

4. cot a =

~ Yl

= - cot ()

5. sec a =

2:L Xl

= - sec ()

r l

= csc ()

6. csca =

La congruencia de los triángulos trae como consecuencia que a+ () = 7r. Es decir, a = 7r - () . Entonces podemos concluir que sen(7r

() )

sen ()

cos( 7r

() )

- cos ()

tan(7r

() )

- tan ()

cot( 7r

() )

- cot ()

sec( 7r

() )

- sec ()

csc( 7r

() )

csc ()

Fórmulas de reducción para a E]7r, 3; [. Sea a un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante. Sea Q(X I , Y1 ) el punto de intesección de la circunferencia unitaria e y el lado terminal de a y sea T el otro punto (diferente de Q), en el +------7 --que la recta OQ intersecta a e. Consideremos los segmentos QR y T N, como se muestra en la siguiente figura (paralelos al eje y). Los t riángulos OT N Y OQ R son opuestos por el vértice, por lo tanto son congruentes. Entonces las coordenadas del punto T son (- Xl , -YI ). Si () es el ángulo en posición normal cuyo lado terminal cont iene al punto T , entonces se t iene:

1. sen a =

Yl r l

= - sen ()

2. cos a =

Xl rl

= - cos () Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

153

3. tan a = Xl YI = tan () 4. cot a =

= cot ()

5. sec a =

2:L

= - sec ()

6. csc a = ~ = - csc () YI La ilustración de lo anterior se t iene en el siguiente gráfi co. y

Figura 5.4: Fórmulas de reducción para a E]7r, 3; [ Podemos afirmar que a = 7r + () , entonces sen(() + 7r)

- sen ()

cos(() +7r)

tan(() + 7r)

tan ()

cot( () + 7r)

cot ()

sec(() + 7r)

- sec ()

csc(() +7r)

COS ()

CSC ()

Fórmulas de reducción para a E]3;, 27r[. Sea a un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal está en el cuarto cuadrante. Sea nuevamente Q(X l , Y1) el punto de intesección de la circunferencia unitaria e y el lado terminal de a. Denotemos una vez más con T el punto de intersección de e con la recta paralela al eje y que pasa por Q. +------7 Sea N el punto de intersección de la recta OQ con el eje X, como se muestra en la siguiente figura. Los t riángulos OTN y OQN son congruentes. Por lo tanto se sigue que las coordenadas del punto T son 5.2. Fórmulas de reducción

Gutiérrez-Robinson

154

F igura 5.5: Fórmulas de reducción para a E]

3; ,27r[

(Xl, - Y1). Si e es el ángulo en p osición normal cuyo lado terminal cont iene al punto T, entonces se t iene: 1. sen a =

Yl rl

= - sen e

~ rl

= cos e

3. tan a =

= - tan e

4. cot a =

= - cot e

5. sec a =

2:L Xl

= sec e

r l

= - csc e

2. cosa

6. csc a =

De la congruencia de los triángulos se sigue que a a = 27r - e. Entonces concluimos: sen(27r cos(27r tan (27r cot(27r sec(27r csc(27r -

e) e) e) e) e) e)

- sen e cos e - tan e - cot e sec e - csc e

Capítulo 5. Trigonometría plana

+ e = 27r.

Es decir,

Matemáticas básicas con trigonometría

5.3.

155

Funciones trigonométricas

En las secciones anteriores hemos definido las razones t rigonométricas y mostrado cómo determinar éstas para ángulos en posición normal. Ahora definimos las funciones t rigonométricas, pero ya no para un ángulo sino para cualquier número real, es decir, consideraremos fun ciones reales de variable real. 5.3.1 Definición. Sea h : lR ----) e la fun ción que asigna a cada a E lR el punto de intersección de la circunferencia unitaria e con el lado terminal del ángulo en posición normal cuya medida en radianes es a.

Gráficamente: y

5.3.2 Ejemplo. Completar la siguiente tabla:

Dado que a cada número real a le corresponde un ángulo en posición normal y, recíprocamente, a cad a ángulo en posición normal le corresponde un número real, se sigue que Dom(h) = lR e Im(h) = e. Ot ras propied ades de la fun ción h son las siguientes: 5.3.3 Teorema. Sea h la función definida en (5.3. 1).

1. h no es inyectiva 2. Si h(a ) = (x, y), entonces: 5.3. Funciones trigonométricas

156

Gutiérrez-Robinson

a) h( - a) = (x, -y ) b) h(a+íT) = (- x, - y) e)

h (~

- a) = (y,x)

d) h(2íT - a) = (x, - y) 3. h es periódica y su periodo es 2íT D EMOSTRAC IÓN: Se deja como ejercicio. D Las funciones que definimos a cont inuación serán de gran importancia para intro ducir las funciones t rigonométricas.

5.3.4 Definición. (Proye cciones) 1. La función JI : lR. x lR. ----) lR. definid a por JI (x, y)

= x, se denomi-

2. La función 12: lR. x lR. ----) lR. definid a por JI (x,y) nará proyección sobre el eje y .

= y, se denomi-

nará proyección sobre el eje x.

Note que la función JI asigna a cada pareja ordenada de números reales su primera componente, mient ras que 12 asigna la segunda. Podemos considerar restricciones de estas funciones a la circunferencia unitaria. Esto es, defin amos las fun ciones Pj := f j le, par a j = 1, 2. 5.3.5 Nota. Si (x, y) E e, entonces se verifica que Ixl ::; 1 Y Iyl ::; 1. Es decir, - 1 ::; P2 (x, y) ::; 1 -1 ::; PI (x, y) ::; 1 Y

Por lo tanto, se verifica que Im(PI ) = Im(P2) = [-1 , 1]. Algunas propied ades de las funciones PI y P2 son las siguientes: 5.3.6 Teorema. Sean PI y P2 las restricciones a 1. PI Y P2 no son inyectivas 2. PI (X, y )

= P2(y, x), para to do (x, y)

D EMOSTRAC IÓN:

Se deja como ejercicio.

e D

5.3.7 Ejercicios 1. Completar la siguiente tabla: Capítulo 5. Trigonometría plana

e de las proyecciones.

Matemáticas básicas con trigonometría

(x,y) PI (x, y) P2(X, y)

(-1,0)

157

(-'9, -~)

(~, ~8) O

-1

2. Describa geométricamente los siguientes conjuntos:

a) X = {(x,y) E lR x lR I h(x,y) = 1} b) Y = ((x,y) E lR x lR I h(x,y) = O}

3. Sea h la función definida en (5.3.1).

a) Describa geométricamente el conjunto X = {h(x) I O ::; x ::; íT} b) Sean O < a < f3 < íT. Demuestre que d(h(a), h(f3)) = d(h(f3 - a), h(O)) 5.3.8 Definición. Consideremos nuevamente las funciones h, PI Y P2·

1. La función PI oh: lR ----) lR se denominará función seno, y escribiremos sen (a) en lugar de (PI o h)(a). Esto es,

sen

... lpl ."

Si a E lR, entonces sen(a) = (PI o h)(a) = PI(h(a)) = PI(X, y) = y. 2. La función P2 oh: lR ----) lR se denominará función coseno, y escribiremos cos(a) en lugar de (p2 o h)(a). Esto es,

cas ..

lp2

Si a E lR, entonces cos(a) = (p2 o h)(a) = p2(h(a)) = P2(X, y) = x. 5.3. Funciones trigonométricas

Gutiérrez-Robinson

158

Gráficamente: y

sen (a)

cos(a)

En conclusión , para un punto (x, y) sobre la circunferencia unitaria se verifica que

(x, y) = (cos(a),sen (a)), para algún a

E R

En el siguiente teorema se presentan propiedades importantes de las funciones seno y coseno. 5.3.9 Teorema.

1. Dom (sen) = Dom (cos) = R 2. Im(sen) = Im(cos) = [-1 , 1]. 3. Las funciones seno y coseno no son uno a uno. 4. La función seno es impar y la función coseno es par. 5. Las funciones seno y coseno son periódicas, con periodo

2 11".

D EMOSTRACIÓN: Sea nuevamente h la función definida en 5.3. 1. 1. Se sigue inmediatamente de la definición de las funciones sen y coso 2. Se sigue de la definición se las proyecciones. 3. Note que sen(O) = sen(1f) = O Y cos(~) = cosnn = O Capítulo 5. Trigonometría plana

159

Matemáticas básicas con trigonometría

4. sen ( - o;) = (p2 o h)( - o;) = P2( h( - 0;)) = - y = - sen (o;). Por otro lado, cos( - o;) = (PI o h)( - o;) = PI (h( - 0;)) = x = cos(o;). 5. Se deja como ejercicio.

Las gráfi cas de las funciones seno y coseno se presentan a cont inuación:

~--4---4---4---~--4---4---4---~ 7r

-1

37r

f (x) = sen x Figura 5.6: Función seno

f (x) = cosx

4---4---~--4---4---4---~--4-----

-1

Figura 5. 7: Función coseno

Las otras funciones trigonométricas. Definimos ahora las restantes funciones trigonométricas: la función tangente, la fun ción cotangente, la función secante y la función cosecante. Estas serán definidas con base en las operaciones entre funciones y las funciones seno y coseno. 5.3.10 Definición. 1. La función tangente, notada tan , se define así:

tan (x) := ~~~~~~, '\Ix E lR con cos(x) -1= O 5.3. Funciones trigonométricas

160

Gutiérrez-Robinson

2. La función cotangente, notada cot, se define así: cot(x) := ~~~~~~ '\Ix E lR con sen (x) -1= O 3. La función secante, notada sec, se define de la siguiente manera:

sec(x)

:= cos (x)

'\Ix

lR con cos(x) -1= O

4. La fun ción cosecante, notada csc, se define de la siguiente manera:

csc(x)

:= se; (x )

'\Ix

lR con sen(x) -1= O

P ara las funciones trigonométricas simplificaremos la escrit ura. Eliminaremos los paréntesis en los argumentos de éstas, por ejemplo, en lugar de cos(x) escribiremos simplemente cosx. 5.3.11 Teorema. 1. Dom(tan)

= Dom (sec) = { x

lR I x -1= (2n

+ 1H,

con n E Z }

2. Dom (cot) = Dom (csc) = {x E lR I x -1= n'Tr, con n E Z} 3. lm(tan) = lm(cot) = lR 4. lm(sec) = lm(csc) = ] -

00,

-1 [ U ]1, oo [

D EMOST RAC IÓN:

1. De la definición de la función coseno se sigue que cos x = O si y sólo si x = (2n + 1H, para algún n E Z . Esto demuestra la afirmación sobre el dominio de la tangente y la secante. 2. Como en el caso anterior, sen x = O si y sólo si x = n'Tr, para algún n E Z. El resto se sigue de la defini ción de las fun ciones cotangente y cosecante. 3. Se deja como ejercicio. 4. Recordemos que si cos x -1= O, entonces I cos x l ::; 1. Por lo tanto

_1_1 > I secx l = -1cosx - 1 Es decir, sec x :2: 1 o sec x ::; -1. Lo cual demuestra que 1m (sec) = ] -

00,

-1 [ U ]1, 00 [

U n análisis similar demuestra la otra parte. Capítulo 5. Trigonometría plana

161

Matemáticas básicas con trigonometría

Los resultados anteriores podemos resumirlos en la siguiente tabla: Función sen cos tan cot sec csc

Dominio

Imagen

lR lR

[-1,1 ] [-1,1 ] lR lR

{x E lR I x -1= (2n + 1H, n E Z} {x E lR I x -1= mr, n E Z} {x E lR I x -1= (2n + 1H, n E Z} {x E lR I x -1= mr, n E Z}

] - oo,-l [ U ]l,oo [ ] - oo,-l [ U ]l,oo [

Otra información importante que se sigue de la definición de las funciones seno y coseno es el signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes del plano cartesiano: Cuadrante I II III

senx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

+ +

5.3.12 Ej e rcicios 1. Demuestre que la función tangente es impar, periódica, de periodo 7r y creciente en el intervalo ] - ~, ~ [.

2. ¿Son las funciones secante y cosecante periódicas? 3. Clasifique las funciones tangente, cotangente, secante y cose cante como pares o impares. 4. Graficar las siguientes funciones

a) f(x) = 2sen(7rx) b) f(x) =

cos(~

e) f(x) =

2cos(~x)

-x)

d) f(x) = 2 cos(7r + x) e) f(x) = 5 cos(7r - x) J) f(x) = sen(i - x) g) f (x) = 2 sen C¡

+ x)

5.3. Funciones trigonométricas

162

Gutiérrez-Robinson

f(x) = tanx 2 1

37r

-1

-2

Figura 5.8: Función tangente Las gráficas de las restantes funciones trigonométricas se presentan a continuación:

f(x) = cotx 2 1

-1

-2

Figura 5.9: Función cotangente

Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

163

2 1

3'1r

'Ir

-1

-2

Figura 5.10: Función secante

f(x) = cscx 2 1

'Ir

3'1r

-1

-2

Figura 5.11: Función cosecante 5.3.13 Ejercicios Graficar las siguientes funciones 1. f(x)

= 2tan(7fx)

2. f(x)

= sec(4x)

3. f(x) = 2 tan(~ - x) 5.3. Funciones trigonométricas

27f

164

Gutiérrez-Robinson

4. f( x ) = csc(7r

5.4.

+x)

Ecuaciones trigonométricas

En esta sección abordaremos el siguiente problema: Dada una función t rigonométrica f , determinar el conjunto

s = {x E Dom(J)

I f (x)

= O}

La igualdad f (x ) = O se denominará ecuación t rigonométrica y, como antes, S se llamará conjunto solución de la ecuación . Si el conjunt o solución de la ecuación t rigonométrica f (x ) = O es igual a Dom(J) , entonces la ecuación se denomina una ident idad t rigonométrica. Frecuentemente se desea determinar si una ecuación de la forma h (x) = 12 (x) es una ident idad , donde h y 12 son funciones t rigonométricas. Existen dos posibilidades para abordar el problema: 1. Si definimos la fun ción

de la siguiente manera:

f (x)

h (x) - 12 (x),

entonces podemos verificar que el conjunto solución de la ecuación f (x) = O es Dom(J ). 2. La ot ra alternativa es utilizar la teoría sobre los números reales para transformar sucesivamente h (x) hasta obtener 12 (x) . 5.4.1 Ejemplo. Demuestre que sen 2 CY + cos 2 CY

= 1 para t odo

D EMOSTRACIÓN: Sea CY E R Consideramos un ángulo en posición normal cuya medida en radianes es CY. Si P (x, y) es el punt o de intersección del lado terminal del ángulo CY y la circunferencia unitaria, entonces se verifica que cos CY = X Y sen CY = y . Por lo tanto

De las defini ciones de las seis fun ciones t rigonométricas básicas se sigue inmediatamente que las siguientes ecuaciones son ident idades: 1. sen CY csc CY

2. cos CY sec CY = 1 Capítulo 5. Trigonometría plana

165

´ ´ Matematicas basicas con trigonometr´ıa

3. tan α cot α = 1 5.4.2 Ejercicios Veriﬁcar que las siguientes ecuaciones son identidades: 1. 1 + tan2 α = sec2 α 2. 1 + cot2 α = csc2 αα 5.4.3 Ejemplos. Veriﬁcar que las siguientes ecuaciones son identidades: 1.

1 − tan2 α = cos2 α − sen2 α 1 + tan2 α Soluci´ on: 1 − tan2 α 1 + tan2 α

cos α = 1 − sen α Soluci´ on:

α 1 − sen cos2 α = sec2 α cos2 α − sen2 α = cos2 α sec2 α = cos2 α − sen2 α

1+sen α cos α

cos α 1 − sen α

= = = =

cos α 1 + sen α · 1 − sen α 1 + sen α cos α(1 + sen α) 1 − sen2 α cos α(1 + sen α) cos2 α 1 + sen α cos α

5.4.4 Ejercicios Veriﬁcar que las siguientes ecuaciones son identidades: 1. (1 + sen α)(1 − sen α) = 2.

1 + cot α = cot α 1 + tan α

sec2 t − 1 = sen2 t sec2 t

1 sec2 α

´ 5.4. Ecuaciones trigonometricas

166

Gutiérrez-Robinson

sen x 4. cosx +

tan x

cotx

sec X 1 + 2 cot X + cscx = cot 2 X

5. tan X + cot X = cot x sec 2 x sen a 6. - - - - - = 1 + cos a csc a - cot a 2

x)3 (csc x)2 = 1 cot x 3

7. (sen tan 4 x

8. sec 2 a+tan 2 a+ 1 = -2cos a 9.

cos () cos () + sen ()

cot () 1 + cot ()

10.

sen4 () - cos 4 () = sen4 () 1 - cot 4 ()

11.

cos 2 () cos 2 () + sen ()

12.

csc4 x - 1 = 2 + cot 2 x cot 2 x

13. 1-cosx=

cot () cot () + sec ()

senx cscx + cotx

14. cot 2 x - cos 2 X = cot 2 x cos 2 x Es natural pensar que no todas la ecuaciones trigonométricas sean identidades. Una forma de determinar si una ecuación trigonométrica f(x) = O no es una identidad, es encontrar por lo menos un x E Dom(J) para el cual la igualdad no se verifica. No existe una técnica específica para hallar el conjunto solución de una ecuación trigonométrica. Sin embargo, en algunos casos es conveniente expresar la ecuación sólo en términos de senos y cosenos, utilizando algunas identidades ya demostradas. 5.4.5 Ejemplos. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1. sen a tan a = sen a Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

167

Solución:

sen a tan a = sen a

sen a tan a - sen a = O

{:} {:} {:} {:}

sen a(tan a - 1) = O

sen a = O V tan a - 1 = O sen a = O V tan a = 1

Pero recordemos que sen a = O {:} a E { mI" I n E Z} tan a = 1 {:} a E

{¡ + n7r

I n E Z}

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es

s = {n7r I n

E Z} U {¡ + n7r I n E Z}

2. 4 cos x sen x + 2 sen x - 2 cos x - 1 = O Solución:

4 cos x sen x

+ 2 sen x -

2 cos x - 1 = O

{:} 2 sen x (2 cos x + 1) - (2 cos x + 1) = O {:}

(2 sen x - 1) (2 cos x

{:} 2 sen x - 1 = O V {:} sen x = ~

+ 1) = O 2 cos x + 1 = O

cosx = - "21

Note que

A:= y

{x E [O, 27rll

sen x =

B := { x E [O, 27rll cosx =

n = { ~, 5; }

-n = nr, ~ }

Dado que las funciones seno y coseno son periódicas, con periodo

27r, se t iene que el conjunto solución de la ecuación es

= { ~+ 2n7r l nEZ } U { 5;+ 2n7r l nEZ } U

{2; + 2n 7r

I n E Z} U { ~ + 2n 7r I n E Z}

Una forma compacta para expresar este conjunto es la siguiente:

{ ~ + 2n7r, 5; + 2n7r,

2; + 2n7r, ~ + 2n7r I n E Z}

5.4. Ecuaciones trigonométricas

168

Gutiérrez-Robinson

3. cos 2 X

+ 3sen 2 x = O

3senx

Solución: cos 2 X

3senx + 3sen 2 x = O

1 - sen 2 x - 3 sen x

{:}

{:} 2 sen 2 x - 3 sen x

+ 3 sen 2 x = O

+1 = O

(2 sen x - 2) (2 sen x - 1) = O

{:}

{:} sen x = 1 V sen x = ~ Procediendo como en el ejemplo anterior, se t iene que el conjunto solución de la ecuación es

+ 2mf, ~ + 2mf, 5; + 2mf I n

E Z}

5.4.6 Ejercicios En cada caso halle el conjunto solución: l. csc CY

= 1 + cot 2 cy

2. sen cy

+ cos cy = sec cy

3. sec t tan t - sen t = sen3 t 4. 4 sen 2 x tan x - tan x

5. 3 sen x cos x - sen x = O 6. 2 sen 2 cy

6=O

+ sen cy -

7. 1 - sen x

= y'3 cos x

8. cot () + tan () = csc () sec ()

9. 16 cos 4 cy - 9 = O 10. 2 cos x = tan x

+ sec x

Más identidades trigonométricas. Iniciamos esta sección construyendo la distancia euclidiana entre dos puntos distintos en un plano de coordenadas rectangulares. 5.4.7 Teorema. Sean P(Xl,Y1) Y Q(X2,Y2) dos puntos distintos un plano cartesiano. Entonces la distancia euclidiana entre P y Q, notada d(P, Q), es

Capítulo 5. Trigonometría plana

169

Matemáticas básicas con trigonometría DEMOSTRACIÓN:

Caso 1. Si P Y Q están sobre una recta paralela al eje x, entonces YI = Y2, Y como consecuencia se tiene que Y2 - YI = o. Por lo tanto

Caso 2. Si P Y Q están sobre una recta paralela al eje y, entonces Xl = X2 Y la situación es similar a la anterior. Caso 3. Si P Y Q no están sobre una recta paralela a alguno de los ejes coordenados, entonces el punto R(X2, YI) determina un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento PQ y cuyos catetos son PRy QR. y

Utilizando el el teorema de Pitágoras se t iene que

Es decir,

5.4.8 Teorema. Sean a,f3 E R Entonces se verifica que cos( a -

13) = cos a cos 13 + sen a sen 13

(5.1)

DEMOSTRACIÓN: Sean P = (cos a, sen a) y Q = (cosf3, sen 13) los puntos sobre la circunferencia unitaria determinados por a y 13 respectivamente y sea A(l, O). Sin perder generalidad podemos tomar a - 13 en el primer cuadrante.

5.4. Ecuaciones trigonométricas

170

´ Gutierrez-Robinson

y Q

R α−β O

Por un lado se tiene que d(P, Q)2 = (cos α − cos β)2 + (sen α − sen β)2 = (cos2 α − 2 cos α cos β + cos2 β) + (sen2 α − 2 sen α sen β + sen2 β) = (cos2 α + sen2 α) + (cos2 β + sen2 β) − 2(cos α cos β + sen α sen β) = 1 + 1 − 2(cos α cos β + sen α sen β) = 2 − 2(cos α cos β + sen α sen β) Por otro lado, d(A, R)2 = [cos(α − β) − 1]2 + [sen(α − β) − 0]2 = cos2 (α − β) − 2 cos(α − β) + 1 + sen2 (α − β) = [cos2 (α − β) + sen2 (α − β)] + 1 − 2 cos(α − β) = 1 + 1 − 2 cos(α − β) = 2 − 2 cos(α − β) Evidentemente, d(P, Q) = d(A, R). Entonces, igualando estas expresiones se tiene que 2 − 2(cos α cos β + sen α sen β) = 2 − 2 cos(α − β) Por lo tanto, cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β

5.4.9 Teorema. Sean α, β ∈ R. Entonces cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β Cap´ıtulo 5. Trigonometr´ıa plana

171

´ ´ Matematicas basicas con trigonometr´ıa

´ n: Sean α, β ∈ R. Utilizamos la ecuaci´on (5.1). Demostracio cos(α + β) = cos(α − (−β)) = cos α cos(−β) − sen α sen(−β) = cos α cos β + sen α sen β

5.4.10 Corolario. Sea β ∈ R. Entonces 1. cos( π2 − β) = sen β 2. sen( π2 − β) = cos β ´ n: Demostracio 1. Nuevamente se tiene: cos π2 − β = cos π2 cos β + sen π2 sen β = 0 cos β + 1 sen β = sen β 2. cos β = cos[ π2 − ( π2 − β)] = sen( π2 − β).

5.4.11 Teorema. Sean α, β ∈ R. Entonces 1. sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β 2. sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β ´ n: Sean α, β ∈ R. Demostracio 1. Aplicamos los resultados anteriores. sen(α + β) = cos[ π2 − (α + β)] = cos[( π2 − α) − β)] = cos( π2 − α) cos β + sen( π2 − α) sen β = sen α cos β + cos α sen β 2. Utilizamos el punto anterior. sen(α − β) = sen(α + (−β)) = sen α cos(−β) + cos α sen(−β) = sen α cos β − cos α sen β ´ 5.4. Ecuaciones trigonometricas

172

´ Gutierrez-Robinson

5.4.12 Teorema. Sean α, β ∈ R. Entonces 1. tan( π2 − β) = cot β 2. tan(α + β) =

tan α + tan β 1 − tan α tan β

3. tan(α − β) =

tan α − tan β 1 + tan α tan β

´ n: Sean α, β ∈ R. Demostracio 1. Si utilizamos los dos puntos anteriores se tiene: tan

π 2

−β

sen( π2 − β) cos π2 − β cos β = sen β = cot β =

2. y 3. tan(α ± β) = =

sen(α ± β) cos(α ± β) sen α cos β ± cos α sen β cos α cos β ∓ sen α sen β sen α cos β cos α sen β ± cos α cos β cos α cos β cos α cos β sen α sen β ∓ cos α cos β cos α cos β tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β

5.4.13 Teorema. (Identidades de ´ angulos dobles) . Sea α ∈ R. Entonces 1. sen 2α = 2 sen α cos α 2. cos 2α = cos2 α − sen2 α 3. cos 2α = 1 − 2 sen2 α 4. cos 2α = 2 cos2 α − 1 Cap´ıtulo 5. Trigonometr´ıa plana

173

´ ´ Matematicas basicas con trigonometr´ıa

5. tan 2α =

2 tan α 1 − tan2 α

´ n: Sean α, β ∈ R. Demostracio 1. Sea α ∈ R. Entonces sen 2α = sen(α + α) = sen α cos α + sen α cos α = 2 sen α cos α 2. Sea α ∈ R. Entonces cos 2α = cos(α + α) = cos α cos α − sen α sen α = cos2 α − sen2 α 3. Usando 2. tenemos cos 2α = cos2 α − sen2 α = (1 − sen2 α) − sen2 α = 1 − 2 sen2 α 4. Como en 3. tenemos cos 2α = cos2 α − sen2 α = cos2 α − (1 − cos2 α) = 2 cos2 α − 1 5. Usando el teorema anterior se tiene tan 2α = =

tan α + tan α 1 − tan α tan α 2 tan α 2 1 − tan2 α

5.4.14 Teorema. (Identidades de ´ angulos medios) . Sea θ ∈ R. Entonces θ 1 − cos θ 1. sen 2 = 2 ´ 5.4. Ecuaciones trigonometricas

174

2. cos 2θ =

´ Gutierrez-Robinson

1 + cos θ 2

1 − cos θ 3. tan θ2 = 1 + cos θ ´ n: Se deja como ejercicio. Demostracio

5.4.15 Teorema. Sean α, β ∈ R. Entonces 1. cos α cos β = 12 [cos(α + β) + cos(α − β)] 2. sen α sen β = 12 [cos(α − β) − cos(α + β)] 3. cos α sen β = 12 [sen(α + β) − sen(α − β)] ´ n: Se deja como ejercicio. Demostracio

5.4.16 Teorema. Sean α, β ∈ R. Entonces α−β 1. sen α + sen β = 2 sen( α+β 2 ) cos( 2 ) α−β 2. sen α − sen β = 2 cos( α+β 2 ) sen( 2 ) α−β 3. cos α + cos β = 2 cos( α+β 2 ) cos( 2 ) α−β 4. cos α − cos β = 2 sen( α+β 2 ) sen( 2 )

´ n: Se deja como ejercicio. Demostracio

5.4.17 Ejercicios Sean α, β, θ ∈ R. Demuestre que 1. cos(2π + α) = cos α 2. sen(2π + α) = sen α 3. tan(2π + α) = tan α 4. cot(2π + α) = cot α 5. sec(2π + α) = sec α 6. csc(2π + α) = csc α 7. sen(π − α) = − sen α 8. tan(π + α) = tan α Cap´ıtulo 5. Trigonometr´ıa plana

Matemáticas básicas con trigonometría

9. cos(7r

+ a) = -

175

cos a

10. cos 4a = 8 coé a - 8 cos 2 a

11 .

1 1 + sen ()

+ _1_ = 2 sec2 () l -senB

12.

1 () 1 + cos

1 2 + 1-cas B = 2 csc ()

13.

cos () 1 + sen ()

cas B +- = 2 sec () l -senB

14. csc 4 ()

cot 4 () = csc 2 ()

+ cot 2 ()

15. cos 4 ()

sen 4 () = cos 2 () - sen 2 ()

5.4.18 Ejercicios 1. Exprese sin la barras del valor absoluto.

a) 11 + cosx l b) 11 + 2 sen x cos x l e) 12 - 2 sen 2 x l 2. Resolver :

a) 1sen x l = cos x

b) 1sen x - ~ 1 ::; :t e) 1cos x - _1 v3 1 < - l10

5.5.

Aplicaciones: solución de triángulos

Denotaremos los vért ices de un triángulo con A, B Y e, las medidas de los lados opuestos con a, b y e respectivamente. Las medidas de los ángulos en estos vért ices serán denotados con a, f3 y 'Y respectivamente. De la geometría plana se sabe que a

+ f3 + 'Y = 180°

(5 .2)

U n triángulo en el cual uno de sus ángulos interiores mide 90° se denomina triángulo rectángulo. El objetivo ahora es resolver triángulos 5.5. Aplicaciones: solución de triángulos

176

Gutiérrez-Robinson

rectángulos, es decir, determinar las medidas de sus tres lados y sus tres ángulos a partir del conocimiento de algunos de ellos. Consideremos el triángulo t:.ABC, como se muestra en la siguiente figura:

¿Ja B

Hagamos coincidir el vértice A del triángulo con el origen de un sistema rectangular de coordenadas, de tal forma que a esté en posición normal. Entonces tenemos: y B(b, a)

Con referencia a este sistema de coordenadas, las componentes del punto B son (b, a). Tenemos entonces un punto sobre el lado terminal de a, lo cual nos permite hallar los valores de sus razones trigonométricas. Esto es, sena = ~

cosa = ~ tan a = % Si conocemos un ángulo agudo y la medida de uno de los lados del triángulo, tenemos suficiente información para resolver el triángulo. Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

177

5.5.1 Ej e mplo. Resuelva el triángulo rectángulo t:.ABC, para el cual se verifica que b = 14 Y CY = 30°.

c A ~a b = 14

SOLUCIÓN: Para determinar {3, es suficiente ut ilizar la ecuación (5 .2). Por lo tanto {3 = 180 - 30 - 90 = 60. Usando la defini ción de la tangente podemos determinar a. En efecto,

t an cy -y se sigue que a

= 14 tan 30° = ~

Para calcular e ut ilizamos la defini ción del coseno: cos cy = ~ Se sigue entonces que e

b cosa

= v3 28

5.5.2 Ejemplo. Determine la longit ud l de una escalera que forma un ángulo de 60° con respecto al piso y está apoyada sobre una pared a 4.5 m de alt ura .

Evidentemente, se verifica que sen 60° =

4.5 c

5.5. Aplicaciones: solución de triángulos

178

Gutiérrez-Robinson

por lo tanto, e

4.5 sen60 0

= 52 .

5.5.3 Ejercicios

1. Se da un triángulo rectángulo con lados a, b, e y ángulos opuestos a , f3 y 'Y respectivamente, donde 'Y = 90°. En cada caso resuelva el triángulo:

a) b) e) d)

a = 30° , e = 1.5

f3 = 45°, e = 2.7 f3 = 20°, e = 10 a = 2000, a = 25°

2. Desde lo alto de una torre de 50 m de altura, el ángulo de depresión de un objeto colocado en el plano horizontal de la base de la torre es de 25° .

a) ¿Qué tan lejos está el objeto del pie de la torre? b) ¿A qué distancia del observador está el objeto? 3. Determinar la longitud de uno de los lados de un pentágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio es 20 m. 4. Para alcanzar la cima de un muro de 8 m de altura se utiliza una escalera de 10 m de longitud. Si la escalera se extiende 0.5 m más allá del muro, determine su inclinación respecto a la horizontal. 5. Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va desde la punta del primero hasta el piso y cuya longitud es de 13.75 m. 6. Un alambre de 60 m de largo se dobla en forma de triángulo isósceles con ángulos de 98°, 41° Y 41° . Determine la longitud de cada lado del triángulo. 7. El ángulo de inclinación óptimo a de un velódromo circular de radio r está dado por la expresión tan a = ~g 2

donde v es la velocidad del ciclista y 9 es la aceleración de la gravedad. ¿Cuál es ángulo óptimo para un velódromo circular de radio 180 m y de velocidad promedio 55 km/ h? Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

179

8. En un cubo de 50 cm de arista, ¿cuál es la medida del ángulo que forma la diagonal de una cara con la diagonal del cubo del mismo vértice? 9. Para calcular la altura de un edificio se ha medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, y se obtiene un resultado de 34°. Al acercarnos 15 m hacia el edificio se obtiene un nuevo ángulo de 57°. ¿Cuál es la altura del edificio? 10. Se desea medir el ancho de un río ; para ello nos situamos justo en una de las orillas y dirigimos la visual a un árbol que está ubicado justamente al frente en la otra orilla, y se obtiene un ángulo de 53°. Al alejarnos de la orilla perpendicularmente una distancia de 30 m y mirar de nuevo el poste el ángulo es ahora de 30°. ¿ Cuál es el ancho del río? 5.5.4 Teorema del seno. Sean a, f3 y 'Y los ángulos de un triángulo y a, b y e los lados opuestos respectivamente. Entonces a

sena -

b sen{3 -

e sen,

(5.3)

DEMOSTRACIÓN: Demostramos inicialmente que se~a = se~{3. Usando una argumentación similar se demuestra que se~{3 consideramos tres casos posibles:

se~, Para ello

Caso 1. O < a < 90°. Trazamos un segmento desde la recta que contiene su lado opuesto:

e, perpendicular a

AL...----.L...-------..:.~B

D Usando la definición de las razones trigonométricas se tiene que sen a = bh Y sen f3 = tih Entonces

b sen a = h = a sen f3 5.5. Aplicaciones: solución de triángulos

180

Gutiérrez-Robinson

De donde se sigue que a

b sen {3 .

sen a -

Caso 2. 90° < a < 180° . Nuevamente trazamos un segmento desde perpendicular a la recta que contiene su lado opuesto:

'-------'---"'"B

De la figura se sigue inmediatamente que sen a = sen (1f - a) = % y sen f3 = ~. Entonces

b sen a = h = a sen f3

y se tiene nuevamente la conclusión.

aAb~h

Lj B

De la figura se sigue que sen a = sen 90° = 1 = % y sen f3 = ~ La conclusión es inmediata y se t iene la prueba completa. Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

181

5.5.5 T eore ma d el cose no. Sean a, f3 y "( los ángulos de un t riángulo y a, b y e los lados opuestos respectivamente. Entonces a

+ c2 2 2 a +c a 2 + b2 -

b c

2bccos a 2accos f3

2ab cos"(

DEMOSTRACIÓN : Sin perder generalidad , podemos colocar el t riángulo t:.AB C de manera que el ángulo a esté en posición normal y que el vértice B esté sobre la dirección posit iva del eje x: C (b cos a, bsen a)

B (c, O)

Entonces los puntos B y C t ienen respectivamente las coordenadas (c, O) y (bcosa, bsen a) . Usando la fórmula para la distancia euclidiana ent re dos puntos del plano obtenemos: a2

d(B , C)2

(bcos a - e) 2 - (bsen a - O)2 b2 cos 2 a - 2bccos a + c2 + b2 sen 2 a b2(sen2 a + cos 2 a) - 2bccos a + c2 b2 + c2 - 2bc cos a

Las otr as igualdades se demuestran de manera similar.

5.5.6 Ejemplo. Un poste vertical de 12 m de alt ura se encuent ra sobre la ladera de una colina que forma un ángulo de 20° con la horizontal. Determinar la longit ud del cable de retenida necesario para unir la parte superior del poste con un punto directamente abajo de la colina, a 21 m de la base del poste. 5.5. Aplicaciones: solución de triángulos

Gutiérrez-Robinson

182

Solución:

Deseamos encontrar la longitud del segmento AG. Note que se verifica

Aplicando el teorema del coseno se tiene: [2 = (12)2

+ (21)2 -

2(12)(21) cos 110° = 27.5 m

5.5.7 Ejemplo. Dos tensores de la parte superior de una torre están sujetos al piso, en el mismo plano y separados una distancia de 38 m. Los tensores forman ángulos de 20° y 36° con la horizontal de piso. Determine la altura de la torre. Solución:

A Evidentemente, () = 144° Y 'Y = 16°. Aplicando el teorema del seno al triángulo t:.ABG tenemos: 38 sen 16°

sen 20°

Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

183

De donde se sigue que l = 38 sen 20° = 47.15 m sen 16°

Considerando ahora el triángulo rectángulo con hipotenusa l podemos obtener el valor de h. En efecto: h

= l sen 36° = 27.71 m

5.5.8 Ejercicios

1. Las medidas de los lados de un paralelogramo son 30 y 70 cm respectivamente. Si uno sus ángulos mide 65°, halle las longitudes de sus diagonales. 2. Un poste eléctrico de 20 m de altura está localizado al inicio de una colina cuya pendiente es de 12° . Se sujetan al poste dos cables (en el mismo plano) uno está sujeto en la parte superior y asegurado en un punto sobre la pendiente a 10 m de su base, el otro se conecta a la mitad del poste y se asegura en un punto a 3 m de su base, en la región plana. Calcule la longitud de los cables. 3. Una antena de teléfonos móviles está colocada en la azotea de un edificio de 40 m de altura. Desde un punto en el mismo plano, los ángulos de elevación de los extremos inferior y superior de la antena son 56° y 70° respectivamente. Determine la altura de la antena. 4. Un árbol está situado sobre una ladera en un punto P y a 23 m cuesta abajo el ángulo que forma la visual desde P a la parte mas alta del árbol con la ladera es de 20°. Si la altura del árbol es de 30 m, determine la inclinación de la ladera. 5. Una rampa tiene una inclinación de 50° con respecto a la horizontal. Sobre esta rampa se apoya un trozo de madera, cuya longitud es de 10 m. Uno de los extremos del trozo de madera está sobre la horizontal, a 5 m de la base de la rampa. El otro extremo esta sobre un punto P. Determine la distancia del punto P a la base de la rampa. 5.5. Aplicaciones: solución de triángulos

184

5.6.

Gutiérrez-Robinson

Funciones trigonométricas inversas

Sean X, Y ~ R Del teorema 3.4.13 sabemos que f : X ----) Y es invertible, si y solo si es biyectiva y en el caso en que consideremos f : X ----) Im(J) es suficiente la inyectividad para la existencia de una única inversa. El objetivo es encontrar un procedimiento que nos permita hallar la función inversa para cada una de las seis funciones trigonométricas básicas. Función seno. Como vimos anteriormente, la función seno no es inyectiva al considerar su dominio R No obstante, si restringimos su dominio a algunos subconjuntos de lR., por ejemplo : [-~,~ ], [ ~, 3;], etc, se garantiza tal condición. Consideremos entonces la función seno, restringido su dominio al intervalo [ -~, ~ ].

f(x) = senx

Figura 5.12: Función seno En este intervalo , la función seno tiene inversa única, a la cual llamaremos arcoseno y la notaremos con arc sen. Esto es, arc sen : [- 1, 1] ----) [- ~, ~ ]. La función arcsen asigna a cada y E [-1,1] un y solo un x E tal manera que y = sen x. Es decir: y = sen x {:} x = arcsen(y). Del teorema 3.4.15 se sigue entonces que sen(arcsen(y)) = y,

Vy E [-1,1]

Capítulo 5. Trigonometría plana

[ -~,~ ]

Matemáticas básicas con trigonometría

185

arcsen(senx) = x,

'\Ix E

[ -~ ~ ] 2' 2

En la siguiente tabla se presentan algunos valores de ésta. x arcsenx

-1 7r

-2

--:l

-¡-

-ff

O O

¡-

-:l

1 7r

Figura 5.13: Función Arcoseno Función coseno. De manera similar, podemos considerar la función coseno restringida a el intervalo [0,1f]. En este intervalo la función es inyectiva.

-1

f(x) = cosx

Figura 5.14: Función coseno Por lo tanto en este intervalo la función coseno t iene una inversa única, a la cual llamaremos arco coseno y la notaremos arc coso Esto es, arccos: [-1,1]

------7

[0,1f].

5.6. Funciones trigonométricas inversas

186

Gutiérrez-Robinson

La función arccos asigna a cada y E [-1 , 1] un y solo un x E [0, 27r] tal que y = cos x. Es decir: y

= cos x {:} x = arc cos y .

Del teorema 3.4. 15 se sigue entonces que cos(arccos(y)) = y, y

arccos(cosx) = x,

'\Iy E [-1 , 1]

'\Ix E [0,7r]

1~! 1~ 1 11 11 1~ 1

x arccos x

-1

Figura 5. 15: Función Arcocoseno Función tangente. Ahora consideremos la función tangente restringida al intervalo ] - ~, ~ [ . En este intervalo la función tangente es inyect iva, por lo tanto existe una única función inversa, la cual llamaremos arcotangente y la notaremos con arctan . La función arcotangente está definida para to do x E R Esto es,

arctan : lR. -----7] -

~, ~ [.

Entonces la función arctan satisface y

= arctan x {:} x = tan y.

Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

187

Función cotangente. Para determinar la inversa de la función cotangente restringimos ésta al intervalo ]0, 1f [. Puede verificarse que en este intervalo la función es inyectiva y se puede garant izar su invertibilidad . A la inversa de la función cotangente la llamaremos arcocotangente y la notaremos con arccot . Entonces arccot : lR -----7]0, 1f[ y se verifica que

y = arccot x {::} x = cot y

Se deja como ejercicio la elaboración del gráfico de la función arccot .

'Ir

Figura 5. 16: Función tangente

-4

-3

Figura 5. 17: Función arcotangente 5.6. Funciones trigonométricas inversas

188

Gutiérrez-Robinson

Función secante. Esta función es inyectiva si restringimos su dominio a la unión [O, ~[ U ]~, íT]. Se deja como ejercicio la elaboración del gráfi co de la fun ción arcsec . A la inversa de la función secante la llamaremos arcosecante y la denotamos con arcsec . Entonces tenemos

arcsec : ] - 00, -1] U [1, +00[------7 [O, ~ [ U ]~, íT] y se verifica que

y = arcsec x {:} x = sec y

Función cosecante. La fun ción secante es inyectiva si restringimos su dominio al intervalo ]- ~ , ~ [. La imagen de esta fun ción es el intervalo ] - 00, -1] U [1, +00[. La invert ibilidad de ésta está gar antizada y la inversa de la función cosecante se llamará arcocosecante y la denotamos con arccsc . Entonces arccsc :] - 00, -1] U [1, +00[------7] - ~ , ~ [

y se verifica además que y

= arccsc x {:} x =

csc y

El gráfi co de la función cosecante se presenta a continuación y se deja como ejercicio el gráfi co de arccsc .

2 1

-1

-2

(

Figura 5.18: Función secante

Capítulo 5. Trigonometría plana

Matemáticas básicas con trigonometría

189

2 1

Figura 5.19: Función cosecante 5.6.1 Ejemplo. Resolver la ecuación arctan(2x - 1) = ¡ Solución:

arctan(2x - 1) = ¡

{::} tan (arctan(2x - 1)) = tan(¡) {::} 2x - 1 = 1

{::} x = 1. 5.6.2 Ejercicios 1. Si x = arctan(2), determine senx, cosx, cotx, secx y cscx

2. Demuestre que 2 arctan( ~) - arctan( - ~) = ¡ 3. Resolver para x en términos de y.

a) y = tan(2x - 3) b) Y = 2senx

e) y + 2 = sen(3x) d) y = cos(2x - 1)

e) y-7f=arcsen(x+2) 4. Graficar las siguiente funciones

f (x) = 2 arc sen x 5.6. Funciones trigonométricas inversas

Gutiérrez-Robinson

190

f (x) =

+ are eos x

e) f(x) = 2aresen (2x)

d) f(x) =

+ 7r

areeos(~)

e) f(x) = aretan (3x)

Capítulo 5. Trigonometría plana

Lista de símbolos

-x X- 1

b- a 12 a

x<y x>y x<O x>O x:2:0 x <5:. y x:2:y

Ixl lxJ

(x,y) A~B

AxB xEB x~B

Conjunto de los números naturales Nu {O} Conjunto de los números enteros Conjunto de los números enteros pares Conjunto de los números racionales Conjunto de los números irracionales Conjunto de los números reales lR \ {O} Conjunto de los números reales positivos Conjunto de los números complejos Inverso aditivo del número x Inverso multiplicativo del número x i= O Página 7 Página 7 x es menor que y x es mayor que y x es negativo x es positivo x es no negativo x es menor o igual que y x es mayor o igual que y Valor absoluto del número x, página 35 Parte entera del número x, página 90 Pareja ordenada A es subconjunto de B Producto cartesiano de A con B x pertenece al conjunto B x no pertenece al conjunto B 191

192

Gutiérrez-Robinson

mín(A) máx(A) sup(A) ínf(A)

n! (~) V ::3

1\ ::::} {:}

J(X,lR) 10 g O(x) C(x)

Dom(J) Im(x) Idx

J*(y) 1- 1

11A ----)

OA LAOB AB rev sen cos tan cot sec csc arcsen arc cos arctan arccot arcsec arccsc

Circunferencia unitaria Conjugado del número complejo z Página 18 Página 27 Página 28 Página 29 Factorial de n, página 54 Coeficiente binomial, página 54 Cuantificador universal (para todo) Cuantificador existencial (existe) o (disyunción) y (conj unción) Implicación Equivalencia Conjunto de todas las funciones 1 : X ------+ lR Composición de las funciones 1 y g, página 98 Función indénticamente nula, página 97 Función indénticamente uno, página 97 Dominio de la relación 1, página 84 Imagen de la relación 1, página 84 Función idéntica, página 100 Imagen inversa (o pre-imagen) de y bajo 1, página 102 Inversa de la función 1, página 103 Retricción de 1 al conjunto A, página 104 Semirrecta Ángulo Segmento de recta Revolución, unidad de medida angular Función seno Función coseno Función tangente Función cotangente Función secante Función cose cante Función arcoseno Función arco coseno Función arcotangente Función arco cotangente Función arcosecante Función arcocosecante Lista de símbolos

Alfabeto griego A B Γ Δ E Z E Θ I K Λ M N Ξ O Π P Σ T Υ Φ X Ψ Ω

α β γ δ ζ η θ ι κ λ μ ν ξ o π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda My Ny Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon Phi Ji Psi Omega

193

Respuestas a los ejercicios 1.7.12 a) S = { 32 }

b) S = ∅ c) S = {− 18 , − 11 2 } d) S = { 34 } e) S = {1} f ) S = {9, 3} 2.2.4 1.

1 x2n

+ x2n + 1

2. x2m−2 + xm−2 − 3.

1 x2

1 x2k−3

1 3

1 x

x2 +y 2 xy

1 xy

xy x+y

x2 y

10.

1 x3m

1 y

1 x2 y 3

195

196

11.

x+y y-x

12.

(y_2x2)2y2 (2y2-x)2x2

13.

Xk2-3 9

14.

1-33n

15.

x 2(2x 2+3x-4) 5x+6

2.3.11 l.

2y2z2 3X2 4

33X 4

2 3 y3

X 3 y3 - xy

(y2 _ X2) 2 y2 _ ~X2 4

(y2 _ X2) 3

6. 2( Jx(2

- x)

+ 1)

7. 301 - q'2 8. 3y'3 + 7

2y Jx2_y2

10.

41 - 49

11.

4(3+5x) 4-25x

12.

6x 2 y'y+2JY3 x2_y

13.

4kxy'y k2-x2y

14. p.r Respuestas a los ejercicios

Matemáticas básicas con trigonometría

15.

_fJ. r

16.

5+2V6

Vx"2+ ijX+l

x2_3y2 x 2+2V3y+3y2

1 d) Vx+y-..¡x 1 e) 2x 2+2xvx 2-1-1

xy(x-y) f) (a..¡x+y.jY) (x.jY+y..¡x) 2+2xy+y2-x+y g) x (x+y-v x _y)2

17.

Vx"2+2ijX+4

2x+3y-5y'Xy 4x-9y (y-x)( vx+y-..¡x) y

e) d)

x-s

JTx -

ifY ( ij;2 +

0iY + W )

xy'Xy-2xy+yy'Xy x-y 2 f)x +xifY+W

Jx+k+y'X

2.4.2 l. 4x2

+ 4x + 1

2. 1-:5-+A x x 3. x 3 + 6x2 + 12x + 8 4. 1 - 6x + 12x2 - 8x 3 5. x2 - 6xy

+ 9y2

7. -2(x 3 - 3 + ~

- -io)

2.4.3 Respuestas a los ejercicios

197

Gutiérrez-Robinson

198

1. x2(x - 3)

2. x(x

+ 6)

3. xy(xy2 - y3

+ x2)

4. (x - y)(a + b) 5. 3a 2 b(b - 2)

6. 3x2y2(y - 3x) 7. (a - 3b)(2x

+ y)

8. (2y - x)(ay

+ 3x)

9. (10

+ xy3)(10 -

10. (x - y)(3x

+ y)

11 . (º'6 _

12. (7 a 5n

)

(º'6

xy3)

)

b~X) (7 a5n

+ b~X)

13. (17x - 5y)(17y - 5x) 14. (x - y - 2)(x 2 - 2xy + y2 15. -9(x2 16. (x

+ 2x -

+ 4)

+ x + 1)

+ 3)(x -

17. (x+2)(x+1) 18. (x - 9)(x 19. (x

+ 4)

+ 9)(x -

20. (x - 5)(x - 4) 21. (x

+ 1)(2x + 1)

22. (2x

+ 3)(x + 1)

23. (x - 2)(5x - 3) 24. (3x

+ 2)(2x + 1) Respuestas a los ejercicios

Matemáticas básicas con trigonometría

25. (x

+ y + a) (x + y -

26. (x

+ 2y)(2x -

27. (x-y+4)(x-y+2)

+ y)(x -

28. (x

29. (x2

30.

+ X + 1) (x2

+ l)(x -

y)(x2

+ x2y2 + y4)

- X

+ 1)

2 1)(x - X

+ 1)

2.4.4 x l. 2x-a x-y 2. x+y

3. x+y 4. x+y-z+w x+z-y+w 5. x 23x+8y +xy+y2 6. 1 3(x2+x-8)

7. (x+l)2(x-5) (6x-7)(x+l)

8. (x-3)(x+3)(3x+2) 2-2x-6 9. 5x(x-l)3 x 10. 2x+7

11.

(x-5)(x-7) x(x-8)

12. 1 13. x-y y 14. 8(x+3)(x+l) x- l x+4 15. x+ lO

16. -1 Respuestas a los ejercicios

199

200

17. 1 18. 1

19 .

x2-3x- ll x+2

20 . x2 y

21.

2(x+2y) x- y

22 .

23 .

(x 2+x- l )(x 2-x+ l ) 2x+ l

x-a- b

24. x2 25 .

(X+ y+Z)2 2yz

26 .

44+9x 76+ 15x

27.

x(ay+zw-za) x(ay+zw-za)-ay

3.1.3 1. e) d) y e)

2. e) y e) 3.1.8 2.

a) Dom(J) = {1} , Im(J) = lR b) Dom(J)

e) Dom(J) d) Dom(J)

e) Dom(J)

1) Dom(J)

= = = = =

lR, Im(J) = {2} Im(J) = [-3 , 3] Im(J) = lR

[- 2, 2]' Im(J) = lR [-2, 2], Im(J) = [-1 , 1]

g) Dom(J) = lR, Im(J) = ] - 00, -2] U [2,00[ h) Dom(J)

= {O} , Im(J) = lR

i) Dom(J) = ] - 00, -1] U [1,00[, Im(J) = ] - 00, -2] U [2,00[ 3.2.3 1. Dom(J) = Im(J) = lR Respuestas a los ejercicios

Matemáticas básicas con trigonometría

2. 14

3. x2 - 2x 4. 2x

+2+h

5. x +4 4.1.5 1.

-1

5. 4.1.7 1. Verifique todos los axiomas 2.

a) 3+i b) 7 - i

e) 6 - Si d) 6 + Si e) 20 18· 1) "54 - 51 g) ~(l+ i)

110

(13

+ i)

4.2.5 1.

a) S = {;~;b} b) S={-2}

e) S = {i~} d) S = {b~d}

e) S = {~¡~} 1) S = {-3} Respuestas a los ejercicios

201

202

Gutiérrez-Robinson

g) S={O,-n h) s={-~,c} i) S = {p, ~}

j) S={-A,-5;} k) S={l~A'-l¡,J 2,

a) S = b) S

H ± vp}

= {-.L ± V23i} 12 12

e) S = {-4 ± jI4} d) S

= {1 ± V2}

e) S={-i±VP}

1) S={-~±~}

g) S = 3,

{J jI7 + 4, -J jI7 + 4, J jI7 + 4 i, -J jI7 + 4 i}

a) S = {-~ ± ~jI7, -~ ± ~v'5} b) S

= {_7±r, -l~V7i}

e) S = {1, d) S

= {60}

e) S={-~,D

1) S = {(3 + jI7)3}

g) S={2,3,-3,-4} h) S={14} i) S = {3V2}

j) S = k) S={I}

l) S = {4}

m) S = {35} n) S={2+2V2} ñ) S = {1, 2} o) S={I}

p) S = {3} Respuestas a los ejercicios

´ ´ Matematicas basicas con trigonometr´ıa

4. 21 monedas de $100 y 26 de $50 5. 2,54 6. 0,95 pulgadas 4.5.2 1. [− 94 , ∞[ 2. ] − ∞, 1] 3. ] − ∞, 23 4 [ 4. ] − 1, ∞[ 5. ] − ∞, 0[ ∪ ]1, 2[ 6. ] − ∞, 27 ] 7. ] − 4, 0[ ∪ ]0, ∞[ 8. [3, ∞[ ∪ {−2} 9. ] − ∞, −7] ∪ [2, ∞[ 10. ] − ∞, −3[ ∪ ] − 2, 2[ ∪ ]4, ∞[ 11. [5, 9] 12. ] − ∞, 1] ∪ [3, ∞[ 7 , ∞[ 13. ] − ∞, 13 ] ∪ [ 15

14. ] − ∞, −3] ∪ [9, ∞[ 15. [−2, 2] 16. [2, 5[ ∪ ]7, 10] 17. ] − 1, 3[ 18. [−1, 0[ ∪ ]2, 3] 19. ] − ∞, 0] ∪ ]0, −1] ∪ { 13 } √ √ 20. ] − ∞, −2 2] ∪ [ 12 , 2 2[ Respuestas a los ejercicios

203

204

´ Gutierrez-Robinson

5.4.6 1. S = { π2 + 2nπ | n ∈ Z} 2. S = {0, π, π4 , 5π 4 } 3. S = {0, π} 7π 11π 4. S = {0, π, π6 , 5π 6 , 6 , 6 }

5. S = {0, π} ∪ {x | cos x = 13 } 6. S = ∅ 11π 7. S = { π2 , 7π 6 , 6 }

8. S = R 7π 11π 9. S = { π6 , 5π 6 , 6 , 6 }

10. S = ∅ 5.5.3 1.

a) a = 0,75 b = 1,29 y β = 60◦

2. 107,22 y 118,3 3. 23,5 4. α = 57,35◦ 5. 57,32◦ 6. 17,14 y 25,72 7. α = 59,68◦ 8. 35,26◦ 9. x = 11,55 5.5.8 1. 87,03 y 20,41 2. 10,44 y 20,41 3. 34,25 4. 55◦ 5. 6,02 Respuestas a los ejercicios

Bibliografía [1] ApOSTOL, TOM, Calculus, volumen 1, Bogotá, Reverté, 1982. [2] COURANT, R. y HERBERT, R., ¿ Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales, México, Fondo de Cultura Económica, 2002.

[3] HEUSER, H ., Lehrbuch der Analysis Teill, Stuttgart, B. G. Taubner, 1990.

[4] SPITZBART, A . y BARDELL, R ., Álgebra y trigonometría plana, México, C.E.C.S.A., 1972. [5] TAYLOR, H. y WADE, T., Matemáticas básicas con vectores y matrices, Bogotá, Limusa, 1989.

[6] VANeE, E., Álgebra y trigonometría, México, Fondo Educativo Interamericano, 1973.

[7] http:j jwww.biografiasyvidas.com. Notas Biográficas.

205

Índice alfabético Ínfimo, 29 Algoritmo de Euclides, 125 de la divisi´ on, 125 de la divisi´ on sintética, 126 ángulo, 144 en posición normal, 145 en posición regular, 145 lado inicial, 145 lado terminal, 145 lados de un, 144 vértice de un, 144 Axioma del extremo superior, 27 Axiomas de cuerpo, 5 Axiomas de igualdad, 5 Axiomas de orden, 11 Monoton´ıa, 11 Transitividad, 11 Tricotom´ıa, 11 Axiomas de Peano, 15 Circunferencia unitaria, 145 longitud de arco, 145 Coeficiente binomial, 54 Conjunto acotado superiormente, 27 cota superior para un, 27 elemento máximo de un, 27 elemento m´ınimo de un, 18

extremo inferior para un, 28 extremo superior para un, 28 inductivo, 16 Cota inferior, 29 Cota superior, 28 Desigualdad de Bernoulli, 47 Desigualdad triangular, 36 Distancia, 34 Distancia euclidiana, 168 Ecuación cuadr´ atica, 116 discriminante, 120 de primer grado, 115 de segundo grado, 116 lineal, 115 polin´ omica de grado n, 115 trigonométrica, 164 Elemento máximo, 27 Elemento m´ınimo, 18 Exponentes cero, 49 enteros, 49 naturales, 49 racionales, 59 Factorial, 54 Factorización, 71 F´ ormulas de reducción, 151 Fracciones algebraicas, 75 206

207

´ ´ Matematicas basicas con trigonometr´ıa

Función, 85 arcocosecante, 188 arcocoseno, 185 arcocotangente, 187 arcosecante, 188 arcoseno, 184 arcotangente, 186 biyectiva, 88 cero, 98 compuesta, 99 constante, 92 cosecante, 160 coseno, 157 cotangente, 160 estrictamente creciente, 106 estrictamente decreciente, 106 factorizable, 129 idéntica, 100 idénticamente nula, 98 idénticamente uno, 98 impar, 106 invertible, 103 inyectiva, 88 irreducible, 129 par, 106 parte entera, 90 periódica, 106 polin´ omica, 91 cero de una, 115 grado de una, 91 reducible, 129 secante, 160 seno, 157 sobre, 88 sobreyectiva, 88 tangente, 160 uno a uno, 88 valor absoluto, 89 Funciones

composici´ on de, 99 igualdad, 96 producto de, 96 suma de, 96 trigonom´etricas, 160 inversas, 184 Identidad trigonom´etrica, 164 Imagen inversa, 102 Intervalos, 40 La recta real, 25 Medida angular grado, 146 radian, 146 N´ umero complejo conjugado de, 112 parte imaginaria de, 112 parte real de, 112 valor absoluto de, 112 N´ umero entero impar, 19 par, 19 N´ umero real negativo, 11 no negativo, 11 positivo, 11 N´ umeros complejos, 109 N´ umeros enteros, 19 N´ umeros naturales, 16 N´ umeros racionales, 20 N´ umeros reales, 2 Parejas ordenadas, 82 Potencias enteras, 49 Principio de inducci´ on, 16 Principio de inducci´ on matem´ atica, 43

´INDICE ALFABETICO ´

208

´ Gutierrez-Robinson

Principio del buen orden, 18 Producto Cartesiano, 82 Propiedad cancelativa, 6 Proyección sobre el eje x, 156 Proyección sobre el eje y, 156 Ra´ız n-ésima, 61 Razones trigonométricas, 148 Relación, 84 dominio, 84 imagen, 85 real, 84 Sistema coordenado bidimensional, 83 cuadrantes, 83 origen, 83 Sistema coordenado unidimensional, 25 origen, 25 Supremo, 28 Teorema de Arqu´ımedes, 30 Teorema de Eudoxo, 30 Teorema del binomio, 56 Teorema del coseno, 181 Teorema del factor, 129 Teorema del residuo, 128 Teorema del seno, 179 Teorema fundamental del álgebra, 131 Tri´ angulo de Pascal, 56 Trigonometr´ıa, 143 Unidad imaginaria, 110 Valor absoluto, 35

´INDICE ALFABETICO ´