Diseño3^k by Jesus Gamboa

Diseño factorial 3k Notación del diseño 3k El diseño factorial 3k es un arreglo factorial de k factores que tiene 3 niveles cada uno. Se usarán letras mayúsculas para denotar los factores y las interacciones de estos factores. Se hará referencia a los tres niveles de los factores como bajo, intermedio y alto (esta interpretación tiene más sentido cuando los factores son cuantitativos o al menos ordinales). Hay varias notaciones diferentes que se usan para representar estos niveles de los factores: una posibilidad es representar los niveles de los factores con los dígitos 0 (bajo), 1 (intermedio) y 2 (alto). Cada combinación de tratamientos del diseño 3k se denotara por k dígitos, donde el primer digito indica el nivel del factor A, el segundo digito indica el nivel del factor B,… , y el dígito k-ésimo indica el nivel del factor K. Este sistema de notación pudo haberse usado en los diseños 2 k presentados, anteriormente, utilizando 0 y 1 en lugar del 1 negativo y el 1 positivo, respectivamente, pero se prefirió la notación ±1 porque facilita la vista geométrica del diseño y porque puede aplicarse directamente al modelado de regresión, la separación en bloques y la construcción de factoriales fraccionados. En el sistema de los diseños 3 k , cuando los factores son cuantitativos, es común denotar los niveles bajo, intermedio y alto con -1,0 y +1, respectivamente. Con esto se facilita el ajuste de un modelo de regresión que relaciona la respuesta con los niveles de los factores. Por ejemplo, considere el diseño 3 2 donde x1 represente al factor A y que x 2 represente al factor B. un modelo de regresión que relaciona y con x1 y x 2 que se basa en este diseño es: y = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2 + β11 x12 + β 22 x 22 + ε (1) La adición de un tercer nivel de los factores permite que la relación entre la respuesta y los factores del diseño se modele como un modelo cuadrático.

El diseño 32 El diseño más simple del sistema 3k es el diseño 32, el cual tiene dos factores, A y B, cada uno con tres niveles. La notación a usarse es la digital (0, 1, 2). En un diseño 32, 00 denota la combinación de tratamientos correspondiente a A y B ambos en el nivel bajo, y 01 denota la combinación de tratamientos correspondiente a A en el nivel bajo y B en el nivel intermedio., etc. En la siguiente figura (9-1) se muestra la representación geométrica de un diseño 3².

Y la representación tabular, para una réplica, es la siguiente:

Factor B 0 1 2

0 00 10 20

Factor A 1 01 11 21

2 02 12 22

Puesto que están presentes 3²=9 combinaciones de tratamientos, los grados de libertad se distribuyen de la siguiente manera: • 8 grados de libertad entre estas combinaciones de tratamientos. o 2 grados de libertad para cada uno de los efectos principales (de A y de B). o 4 grados de libertad para la combinación de A y B 2 • 3 (n -1) grados de libertad del error. • 32n-1 grados de libertad totales. Donde n=número de réplicas Cada efecto principal puede representarse con un componente lineal y uno cuadrático, cada uno con un solo grado de libertad, como se observa en la ecuación (1). Desde luego, esto sólo tiene sentido si el factor es cuantitativo.

La partición de la interacción de dos factores AB puede hacerse de dos maneras: Primer método.Consiste en subdividir AB en los cuatro componentes con un solo grado de libertad que corresponden a ABL X L, ABL X Q, ABQ X L y ABQ X Q. esto puede hacerse ajustando los términos β12 x1 x 2 , β122 x1 x 22 y β1122 x12 x 22 respectivamente. Fuente de Variación A

Grados de Libertad 2

A1 A2 B

1 1 2

B1 B2 AB A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2 Error Total

1 1 4 1 1 1 1 32(n -1) 32n-1

Suma de Cuadrados

Cuadrados Medios

SC[A]

SC[ A] 2 SC[A1] SC[A2] SC[ B ] CMB = 2 SC[B1] SC[B2] SC[ AB ] CMAB = 4 SC[A1 B1] SC[A1 B2] SC[A2 B1] SC[A2 B2] SCError CMError = 3²( n − 1)

SC[A1] SC[A2] SC[B] SC[B1] SC[B2] SC[AB] SC[A1 B1] SC[A1 B2] SC[A2 B1] SC[A2 B2] SCError

CMA =

Fcalc

CMA/CMError SC[A1]/CMError SC[A2] /CMError CMB/CMError SC[B1] ]/CMError SC[B2] ]/CMError CMAB/CMError SC[A1 B1] /CMError SC[A1 B2] /CMError SC[A2 B1] /CMError SC[A2 B2] /CMError

SCTotal

* La descomposición de los factores en sus efectos lineales y cuadráticos sólo se realiza para factores cuantitativos Segundo método.El segundo método se basa en los cuadrados latinos ortogonales. Considere los totales de las combinaciones de los tratamientos para los datos del siguiente ejemplo: Se piensa que la vida efectiva de una herramienta de corte instalada en una máquina controlada numéricamente se afecta por la velocidad de corte y el ángulo de la herramienta. Se seleccionan tres velocidades y 3 ángulos, y se lleva a cabo un experimento factorial con 2 réplicas. Los datos se presentan a continuación:

Ángulo de la herramienta (grados) 15 20 25 y.j

Velocidad de corte (pulg/min) 125 150 175 -2 -3 2 -1 0 3 0 1 4 2 3 6 -1 5 0 0 6 -1 -2 12 14

yi. -1 16 9 y..=24

Los totales por cada combinación de tratamientos se muestran en la figura 9-3 como los números encerrados en círculos dentro de los cuadrados. Los dos factores A y B corresponden a los renglones y las columnas, respectivamente, de un cuadrado latino 3 x 3. Se muestran dos cuadrados latinos 3 x 3 particulares, superpuestos en los totales de las cedas.

Estos dos cuadrados latinos ortogonales; es decir, si uno de los cuadrados se superpone en el otro, cada letra del primer cuadrado aparecerá exactamente una vez con cada letra del segundo cuadrado. Los totales de las letras en el cuadrado a son Q=18, R=-2 y S=8, y la suma de cuadrados 18² + (−2)² + 8² 24² − = 33.34 , con dos grados de libertad. De manera entre estos totales es 3* 2 9* 2 similar, los totales de las letras en el cuadrado b son Q=0, R=6, y S=18, y la suma de 0² + 6² + 18² 24² − = 28 , con dos grados de libertad. cuadrados entre estos totales es 3* 2 9* 2 Observe que la suma de estos dos componentes es: 33.34+28=61.34=SS AB con 2+2= 4 grados de libertad. En general, a la suma de cuadrados calculada con el cuadrado a se le llama el componente AB de la interacción, y a la suma de cuadrados calculada con el b se le llama el componente AB² de la interacción. Cada uno con los componentes AB y AB² tiene dos grados de libertad. Se usa esta terminología porque si los niveles (0,1,2) de A y B se

denotan por x1 y x2, respectivamente, entonces se encuentra que las letras ocupan celdas de acuerdo al siguiente patrón: Cuadrado a Q:x1+x2=0 (mod 3) R:x1+x2=1 (mod 3) S:x1+x2=2 (mod 3) Cuadrado b Q:x1+2x2=0 (mod 3) R:x1+2x2=1 (mod 3) S:x1+2x2=2 (mod 3) Por ejemplo, en el cuadrado b se observa que la celda de en medio corresponde a x1 = 1 y x 2 = 1 ; por lo tanto x1 + 2 x 2 = 1 + ( 2)(1) = 3 = 0(mod 3) y Q ocuparía la celda de en medio. Cuando se consideran expresiones de la forma ApBp, se establece la convención de que el único exponente permitido en la primera letra es 1. si el exponente de la primera letra no es 1, la expresión completa se eleva al cuadrado y los exponentes se reducen al modulo 3. Por ejemplo, A²B es lo mismo que AB² porque: A²B=(A²B)²=A4B²=AB². Los componentes AB y AB² de la interacción AB no tienen significado real y por general no se incluyen en la tabla del análisis de varianza. Sin embargo, esta partición en gran medida arbitraria de la interacción AB en dos componentes ortogonales con dos grados de libertad es muy útil para construir diseños más complicados. Además, no hay relación entre los componentes AB y AB² de la interacción y las sumas de cuadrados de AB L x L, ABL x Q, ABQ x L, ABQ x Q. Los componentes AB y AB² de la interacción pueden calcularse de otra manera. Considere los totales de las combinaciones de los tratamientos en cualquiera de los cuadrados de la figura 9-3. Si se hace la suma de los datos en las diagonales hacia debajo de izquierda a derecha, se obtienen los totales -3+4-1=0 , -3+10-1=6 y 5+11+2 =18. La suma de cuadrados entre 0² + 6² + 18² 24² − = 28 (AB²). estos totales es 3* 2 9* 2 -3 -3 5 -3 -3 5 2 4 10 2 4 10 -1 11 -1 -1 11 -1 En forma similar, los totales de la diagonal hacia debajo de derecha a izquierda son 5+4-1=8, -3+2-1=-2 y -3+11+10=18. La suma de cuadrados entre estos totales es 18² + (−2)² + 8² 24² − = 33.34 (AB). 3* 2 9* 2 -3 -3 5 -3 -3 5 2 4 10 2 4 10 -1 11 -1 -1 11 -1 Yates llamo a estos componentes de la interacción los componentes I y J de la interacción, respectivamente. Se usaran aquí indistintamente las dos notaciones; es decir,

I(AB)=AB² J(AB)=AB Del Ejemplo 1: y ijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk i =1,2,3 j =1,2,3

Yijk: vida efectiva de una herramienta de corte cuando se aplica el i-ésimo nivel de la velocidad de corte y el j-ésimo nivel del ángulo de la herramienta μ: Efecto de la media General αi: Efecto del i-ésimo nivel de la velocidad de corte βj: Efecto del j-ésimo nivel del ángulo de la herramienta (αβ)ij: Efecto de la interacción del i-ésimo nivel de la velocidad de corte y el j-ésimo nivel del ángulo de la herramienta εijk: Error asociado a la observación en la que se aplicó el i-ésimo nivel de la velocidad de corte y el j-ésimo nivel del ángulo de la herramienta. Utilizando R para obtener los resultados: diseno32<-read.table("E:/diseno32.txt",header=TRUE) velocidad<-as.factor(diseno32[,1]) angulo<-as.factor(diseno32[,2]) vida<-diseno32[,3] modelo32<-lm(vida~velocidad+angulo+velocidad*angulo) Verificando que se cumplan los supuestos de normalidad de errores y homogeneidad de variancias par(mfrow=c(2,2)) plot(modelo33)

En los gráficos se puede apreciar que aparentemente se cumplen los supuestos de homogeneidad de variancias (porque en el primer gráfico no se observa ningún patrón de puntos) y el de normalidad parece no cumplirse (en el segundo gráfico los puntos están muy alejadas de la línea de probabilidad normal) shapiro.test(residuals(modelo32)) Shapiro-Wilk normality test data: residuals(modelo32) W = 0.9209, p-value = 0.1343 Ho: Los errores se distribuyen normalmente con media 0 y variancia común σ² Ha: Los errores no se distribuyen normalmente con media 0 y variancia común σ² α=0.05 p-valor=0.1343 A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que los errores se distribuyen normalmente con media cero y variancia común σ² bartlett.test(vida~velocidad+angulo+velocidad*angulo) Bartlett test of homogeneity of variances data:

vida by velocidad by angulo

Bartlett's K-squared = 3.2781, df = 2, p-value = 0.1942 H 0 : σ 002 = σ 012 = ... = σ 2

H 1 : Al menos un σ ij2 = σ 2 i=1,2,3 j=1,2,3

α=0.05 p-valor=0.1942 A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que las variancias son homogéneas Como los supuestos sí se cumplen, es factible realizar el Análisis de Variancia para probar las hipótesis summary(aov(modelo32)) Df Sum Sq Mean Sq velocidad 2 25.333 12.667 angulo 2 24.333 12.167 velocidad:angulo 4 61.333 15.333 Residuals 9 13.000 1.444 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 1

F value Pr(>F) 8.7692 0.007703 ** 8.4231 0.008676 ** 10.6154 0.001844 ** 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’

Hipótesis: H 0 : α1 = α 2 = α 3 = 0 H1 : Al menos un α i ≠ 0, i=1,2,3 A un nivel de significación 0.05, no existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos uno de las 3 velocidades de corte produce efectos diferentes sobre la vida efectiva de una herramienta de corte

H 0 : β1 = β 2 = β 3 = 0 H1 : Al menos un β j ≠ 0, j=1,2,3 A un nivel de significación 0.05, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos uno de los 3 ángulos de la herramienta produce efectos diferentes sobre la vida efectiva de una herramienta de corte

H 0 : (αβ )ij = 0, para todas las i,j H1 : Al menos un (αβ )ij ≠ 0; i,j=1,2,3 A un nivel de significación 0.05, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos una interacción entre las 3 velocidades de corte y los 3 ángulos de la herramienta produce efectos diferentes sobre la vida efectiva de una herramienta de corte. par(mfrow=c(1,2)) interaction.plot(velocidad,angulo,vida) interaction.plot(angulo,velocidad,vida)

5 2

150 125 175

-1

mean of vida

20 15 25

mean of vida

velocidad

angulo

125

150

175

velocidad

angulo

Si queremos que el promedio de vida efectiva de una herramienta de corte instalada en una máquina sea máxima se tiene que tener una velocidad de 150 pulg/min con un ángulo de 25 grados. Una velocidad de 175 pulg/min con 20º podría ser una segunda opción. > velocidad<-diseno32[,1] > angulo<-diseno32[,2] > vida<-diseno32[,3] > modelo31<-lm(vida~I(velocidad)+I(velocidad^2)+I(angulo) +I(angulo^2)+I(velocidad)*I(angulo)+I(velocidad^2)*I(angulo) +I(velocidad)*I(angulo^2)+I(velocidad^2)*I(angulo^2)) > summary(modelo31) Call: lm(formula = vida ~ I(velocidad) + I(velocidad^2) + I(angulo) + I(angulo^2) + I(velocidad) * I(angulo) + I(velocidad^2) * I(angulo) + I(velocidad) * I(angulo^2) + I(velocidad^2) * I(angulo^2)) Residuals: Min 1Q -1.500e+00 -5.000e-01

Median 1.760e-14

3Q 5.000e-01

Max 1.500e+00

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -1.068e+03 7.022e+02 -1.521 0.1626 I(velocidad) 1.448e+01 9.503e+00 1.524 0.1619 I(velocidad^2) -4.960e-02 3.164e-02 -1.568 0.1514 I(angulo) 1.363e+02 7.261e+01 1.877 0.0932 I(angulo^2) -4.080e+00 1.810e+00 -2.254 0.0507 I(velocidad):I(angulo) -1.864e+00 9.827e-01 -1.897 0.0903 I(velocidad^2):I(angulo) 6.400e-03 3.272e-03 1.956 0.0822 I(velocidad):I(angulo^2) 5.600e-02 2.450e-02 2.285 0.0481 I(velocidad^2):I(angulo^2) -1.920e-04 8.158e-05 -2.353 0.0431 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

. . . . * *

Residual standard error: 1.202 on 9 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8952, Adjusted R-squared: 0.802 F-statistic: 9.606 on 8 and 9 DF, p-value: 0.001337 > summary(aov(modelo31))

Df I(velocidad) 1 I(velocidad^2) 1 I(angulo) 1 I(angulo^2) 1 I(velocidad):I(angulo) 1 I(velocidad^2):I(angulo) 1 I(velocidad):I(angulo^2) 1 I(velocidad^2):I(angulo^2) 1 Residuals 9 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001

Sum Sq Mean Sq 21.333 21.333 4.000 4.000 8.333 8.333 16.000 16.000 8.000 8.000 42.667 42.667 2.667 2.667 8.000 8.000 13.000 1.444

F value 14.7692 2.7692 5.7692 11.0769 5.5385 29.5385 1.8462 5.5385

Pr(>F) 0.0039479 0.1304507 0.0397723 0.0088243 0.0430650 0.0004137 0.2073056 0.0430650

** * ** * *** *

‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

La ecuación del modelo es la siguiente: vida = −1068 + 14.48velocidad − 0.0496velocidad 2 + 136.3angulo − 4.08angulo 2 − 1.864velocidad * angulo +0.0064velocidad 2 * angulo + 0.056velocidad * angulo 2 − 0.000192velocidad 2 * angulo 2 La superficie de respuesta es la siguiente: library(MASS) library(spatial) > superf32<-surf.ls(2,velocidad,angulo,vida) > superf332<-trmat(superf32,125,175,15,25,100) > contour(superf332)

Para maximizar el tiempo de vida, debe llevarse a cabo el proceso a una velocidad de corte de aprox. 165 pulg/min y a 20º.

El diseño 33 En este caso hay tres factores bajo estudio (A, B y C) y cada uno de estos tiene 3 niveles dispuestos en un experimento factorial. Se trata de un diseño factorial 3 3. La disposición experimental y la notación de las combinaciones de los tratamientos (0,1,2) se presentan a continuación:

Y la representación tabular, para una réplica

Puesto que están presentes 33=27 combinaciones de tratamientos, los grados de libertad se distribuyen de la siguiente manera: • 2 grados de libertad para cada efecto principal (A, B, C) • 4 grados de libertad para cada interacción de 2 factores (AB, AC, BC) • 8 grados de libertad para la interacción de 3 factores (ABC) • 33(n-1) grados de libertad para el error. • 33n-1 grados de libertad totales Donde n: número de réplicas Las sumas de cuadrados pueden calcularse de manera usual; y si los factores son cuantitativos, los efectos principales pueden particionarse en un componente lineal (L) y uno cuadrático (Q), cada uno con un grado de libertad. Las interacciones de 2 factores pueden descomponerse en efectos L*L, L*Q, Q*L, Q*Q. Finalmente la interacción de 3 factores puede partirse en 8 componentes, cada uno con 1

grado de libertad: L*L*L, L*L*Q, L*Q*L, Q*L*L, Q*Q*L, Q*L*Q, L*Q*Q, Q*Q*Q. Sin embargo, esta última descomposición no es de mucha utilidad. Fuente de Variación A

Grados de Libertad 2

A1 A2 B

1 1 2

B1 B2 C

1 1 2

C1 C2 AB A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2 AC A1 C1 A1 C2 A2 C1 A2 C2 BC B1 C1 B1 C2 B2 C1 B2 C2 ABC

1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 8

Suma de Cuadrados SC[A] SC[A1] SC[A2] SC[B] SC[B1] SC[B2] SC[C] SC[C1] SC[C2] SC[AB] SC[A1 B1] SC[A1 B2] SC[A2 B1] SC[A2 B2] SC[AC] SC[A1 C1] SC[A1 C2] SC[A2 C1] SC[A2 C2] SC[BC] SC[B1 C1] SC[B1 C2] SC[B2 C1] SC[B2 C2] SC[ABC]

Error

33(n-1)

SCError

Total

33n-1

SCTotal

Cuadrados Medios

CMA =

SC[ A] 2 SC[A1] SC[A2]

CMB =

SC[ B ] 2 SC[B1] SC[B2]

CMC =

SC[C ] 2 SC[C1] SC[C2]

CMAB =

SC[ AB ] 4 SC[A1 B1] SC[A1 B2] SC[A2 B1] SC[A2 B2]

CMAC =

SC[ AC ] 4 SC[A1 C1] SC[A1 C2] SC[A2 C1] SC[A2 C2]

CMBC =

SC[ BC ] 4 SC[B1 C1] SC[B1 C2] SC[B2 C1] SC[B2 C2]

SC[ ABC ] 8 SCError CMError = 3³( n − 1) CMBC =

Fcalc CMA/CMError SC[A1]/CMError SC[A2] /CMError CMB/CMError SC[B1] ]/CMError SC[B2] ]/CMError CMC/CMError SC[C1] ]/CMError SC[C2] ]/CMError CMAB/CMError SC[A1 B1] /CMError SC[A1 B2] /CMError SC[A2 B1] /CMError SC[A2 B2] /CMError CMAC/CMError SC[A1 C1] /CMError SC[A1 C2] /CMError SC[A2 C1] /CMError SC[A2 C2] /CMError CMBC/CMError SC[B1 C1] /CMError SC[B1 C2] /CMError SC[B2 C1] /CMError SC[B2 C2] /CMError CMABC/CMError

La descomposición de la interacción ABC no es muy común por no ser de utilidad en la mayoría de los casos. La descomposición de los factores en sus efectos lineales y cuadráticos sólo se realiza para factores cuantitativos, de lo contrario el cuadro de ANVA sólo debe presentarse así:

Cuadro de Anva Fuente de Var. GL SC A 2 SC(A) B 2 SC(B) C 2 SC(C) AB 4 SC(AB) AC 4 SC(AC) BC 4 SC(BC) ABC 8 SC(ABC) Error 3³(n-1) SCError Total 3³n-1 SCTotal Donde n: número de réplicas

CM SC(A)/2 SC(B)/2 SC(C)/2 SC(AB)/4 SC(AC)/4 SC(BC)/4 SC(ABC)/8 SCError/(3³(n-1))

Fcalc CMA/CMError CMB/CMError CMC/CMError CMAB/CMError CMAC/CMError CMBC/CMError CMABC/CMError

Modelo Estadístico: Yijk = µ + α i + β j + γ k + ( αβ ) ij + ( αγ ) ik + ( βγ ) jk + ( αβγ ) ijk + ε ijk i = 1, 2,3 j = 1, 2,3 k = 1, 2,3 Yijk: Observación cuando se aplica el i-ésimo nivel del factor de A, el j-ésimo nivel del factor de B y el k-ésimo nivel del factor de C μ: Efecto de la media General αi: Efecto del i-ésimo nivel del factor A βj: Efecto del j-ésimo nivel del factor B γk: Efecto del k-ésimo nivel del factor C (αβ)ij: Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A y el j-ésimo nivel del factor B (αγ)ik: Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A y el k-ésimo nivel del factor C (βγ)jk: Efecto de la interacción del j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C εijk: Error asociado a la observación en la que se aplicó el i-ésimo nivel del factor de A, el jésimo nivel del factor de B y el k-ésimo nivel del factor de C

Hipótesis: H 0 : α1 = α 2 = α 3 = 0

H 0 : β1 = β 2 = β3 = 0

H0 : γ1 = γ 2 = γ 3 = 0

H1 : Al menos un α i ≠ 0, i=1,2,3 H1 : Al menos un β j ≠ 0, j=1,2,3 H1 : Al menos un γ k ≠ 0, k=1,2,3 H 0 : (αβ )ij = 0, para todas las i,j

H 0 : (αγ )ik = 0, para todas las i,k

H1 : Al menos un (αβ )ij ≠ 0; i,j=1,2,3

H1 : Al menos un (αγ )ik ≠ 0; i,k=1,2,3

H 0 : ( βγ ) jk = 0, para todas las j,k

H 0 : (αβγ )ijk = 0, para todas las i,j,k

H1 : Al menos un ( βγ ) jk ≠ 0; j,k=1,2,3

H1 : Al menos un (αβγ ) jk ≠ 0; i,j,k=1,2,3

También puede utilizarse el método de los cuadrados latinos ortogonales y particionar las interacciones de 2 factores en sus componentes I y J, y las de 3 factores en los componentes W, X, Y y Z. Así: I(AB)=AB² I(AC)=AC² I(BC)=BC² J(AB)=AB J(AC)=AC J(BC)=BC W(ABC)=AB²C² Y(ABC)=ABC²

X(ABC)=AB²C Z(ABC)=ABC

En ningún caso, la primera letra puede tener un exponente diferente a 1. En caso eso ocurra debe elevarse al cuadrado para corregir la situación, por ejemplo: A²BC  (A²BC)²=A4B²C²=AB²C² Ejemplo: Se usa una máquina para llenar contenedores metálicos de 5 galones con jarabe para una bebida gaseosa. La variable de interés es la cantidad de jarabe perdida debido al espumeo. Se piensa que 3 factores influyen en el espumeo: el diseño de la boquilla (A), la velocidad de llenado (B) y la presión de operación (C). Se seleccionan 3 boquillas, 3 velocidades de llenado y 3 presiones, y se corren 2 réplicas de un experimento factorial 3³. Los datos son los siguientes: Tipo de boquilla (A) 1 2 3 Velocidad (B) Presión (C) 100 120 140 100 120 140 100 120 140 10 -35 -45 -40 17 -65 20 -39 -55 15 -25 -60 15 24 -58 4 -35 -67 -30 15 110 -10 80 55 -55 110 90 -28 110 75 30 54 120 -44 44 113 -26 135 20 4 -40 31 -23 -64 -20 -30 -61 54 5 -30 36 -5 -62 -31 -55 -52 4 Modelo Estadístico: Yijk = µ + α i + β j + γ k + ( αβ ) ij + ( αγ ) ik + ( βγ ) jk + ( αβγ ) ijk + ε ijk i = 1, 2,3 j = 1, 2,3 k = 1, 2,3 Donde: Yijk: Cantidad de jarabe perdida cuando se aplica la i-ésima boquilla, la j-ésima velocidad de llenado y la k-ésima presión de operación μ: Efecto de la media General αi: Efecto de la i-ésima boquilla βj: Efecto de la j-ésima velocidad de llenado γk: Efecto de la k-ésima presión de operación (αβ)ij: Efecto de la interacción del i-ésimo nivel de la i-ésima boquilla y la j-ésima velocidad de llenado (αγ)ik: Efecto de la interacción del i-ésimo nivel de la i-ésima boquilla y la k-ésima presión de operación (βγ)jk: Efecto de la interacción del j-ésimo nivel de la j-ésima velocidad de llenado y la késima presión de operación εijk: Error asociado a la Cantidad de jarabe perdida cuando se aplica la i-ésima boquilla, la jésima velocidad de llenado y la k-ésima presión de operación Utilizando R para obtener los resultados: > diseno333<-read.table("E:/diseno33.txt",header=TRUE) > boquilla<-as.factor(diseno33[,1]) > velocidad<-(diseno33[,2]) > presion<-(diseno33[,3])

> jarabe<-diseno33[,4]

> modelo333<-lm(jarabe~boquilla+I(velocidad)+I(presion) +boquilla*I(velocidad)+boquilla*I(velocidad^2)+boquilla*I(presion) +boquilla*I(presion^2)+I(velocidad)*I(presion) +I(velocidad^2)*I(presion) +I(velocidad)*I(presion^2)+I(velocidad^2)*I(presion^2)+boquilla*I( velocidad)*I(presion)+boquilla*I(velocidad^2)*I(presion) +boquilla*I(velocidad)*I(presion^2)+boquilla*I(velocidad^2)*I(pres ion^2)

Verificando que se cumplan los supuestos de normalidad de errores y homogeneidad de variancias > par(mfrow=c(2,2)) > plot(modelo333) Normal Q-Q

1 -2

100

-2

-1

Theoretical Quantiles

Scale-Location

Constant Leverage: Residuals vs Factor Levels 34 2233

1 0 -1 -2

0.5

1.0

Standardized residuals

33 22

0.0

Standardized residuals

Fitted values

1.5

-50

Standardized residuals

20 0 -20

Residuals

-40

2233

-1

Residuals vs Fitted

-50

100

boquilla :

Fitted values

Factor Level Combinations

En los gráficos se puede apreciar que aparentemente no se cumplen los supuestos de homogeneidad de variancias (porque en el primer gráfico se observa un patrón de embudo abriéndose a la derecha) ni el de normalidad (en el segundo gráfico las colas están muy alejadas de la línea de probabilidad normal). Es necesario aplicar pruebas de hipótesis para confirmarlo: > shapiro.test(residuals(modelo33)) Shapiro-Wilk normality test data: residuals(modelo33) W = 0.9791, p-value = 0.462

Ho: Los errores se distribuyen normalmente con media 0 y variancia común σ² Ha: Los errores no se distribuyen normalmente con media 0 y variancia común σ² α=0.05 p-valor=0.462 A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que los errores se distribuyen normalmente con media cero y variancia común σ² bartlett.test(jarabe~boquilla+velocidad+presion+boquilla*velo cidad+boquilla*presion+velocidad*presion+boquilla*velocidad*p resion) Bartlett test of homogeneity of variances data: jarabe by boquilla by velocidad by presion Bartlett's K-squared = 1.6832, df = 2, p-value = 0.431 2 2 2 2 2 H 0 : σ 000 = σ 001 = σ 002 = σ 010 = ... = σ 222 =σ2 H1 : Al menos un σ ijk2 ≠ σ 2 i=1,2,3 j=1,2,3 k=1,2,3 α=0.05 p-valor=0.431 A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que las variancias son homogéneas Como los supuestos sí se cumplen, es factible realizar el Análisis de Variancia para probar las hipótesis > summary(aov(modelo333)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) boquilla 2 994 497 1.1650 0.32710 I(velocidad) 1 1406 1406 3.2972 0.08052 . I(presion) 1 400 400 0.9379 0.34142 I(velocidad^2) 1 59784 59784 140.1737 3.375e-12 *** I(presion^2) 1 68705 68705 161.0911 6.805e-13 *** boquilla:I(velocidad) 2 4012 2006 4.7036 0.01768 * boquilla:I(velocidad^2) 2 2289 1144 2.6831 0.08653 . boquilla:I(presion) 2 5022 2511 5.8877 0.00755 ** boquilla:I(presion^2) 2 2492 1246 2.9211 0.07105 . I(velocidad):I(presion) 1 425 425 0.9966 0.32700 I(presion):I(velocidad^2) 1 0 0 0.0003 0.98647 I(velocidad):I(presion^2) 1 1378 1378 3.2312 0.08344 . I(velocidad^2):I(presion^2) 1 11051 11051 25.9110 2.390e-05 *** boquilla:I(velocidad):I(presion) 2 528 264 0.6185 0.54621 boquilla:I(presion):I(velocidad^2) 2 1219 610 1.4292 0.25705 boquilla:I(velocidad):I(presion^2) 2 787 393 0.9221 0.40983 boquilla:I(velocidad^2):I(presion^2) 2 2096 1048 2.4567 0.10466 Residuals 27 11516 427 --Signif. codes:

0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

No es práctico trabajar con todas las descomposiciones de las interacciones, entonces:

> velocidad<-as.factor(diseno33[,2]) > presion<-as.factor(diseno33[,3]) > modelo33<lm(jarabe~boquilla+velocidad+presion+boquilla*velocidad+boquilla*presion+ velocidad*presion+boquilla*velocidad*presion)

> summary(aov(modelo33)) Df Sum Sq Mean Sq F value boquilla 2 994 497 1.1650 velocidad 2 61190 30595 71.7354 presion 2 69105 34553 81.0145 boquilla:velocidad 4 6301 1575 3.6934 boquilla:presion 4 7514 1878 4.4044 velocidad:presion 4 12854 3214 7.5348 boquilla:velocidad:presion 8 4629 579 1.3566 Residuals 27 11516 427 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’

Pr(>F) 0.3271016 1.571e-11 3.893e-12 0.0159498 0.0071866 0.0003269 0.2594959

*** *** * ** ***

0.1 ‘ ’ 1

Hipótesis: H 0 : α1 = α 2 = α 3 = 0 H1 : Al menos un α i ≠ 0, i=1,2,3 p-valor:0.32710 A un nivel de significación 0.05, no existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos uno de los tipos de boquilla produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida. H 0 : β1 = β 2 = β3 = 0 H1 : Al menos un β j ≠ 0, j=1,2,3

p-valor: 1.571*10-11 A un nivel de significación 0.05, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos una de las 3 velocidades produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida. H0 : γ1 = γ 2 = γ 3 = 0

-12

H1 : Al menos un γ k ≠ 0, k=1,2,3 p-valor: 3.893*10 A un nivel de significación 0.05, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos una de los 3 niveles de presión produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida. H 0 : (αβ )ij = 0, para todas las i,j H1 : Al menos un (αβ )ij ≠ 0; i,j=1,2,3

p-valor:0.0159

A un nivel de significación 0.05, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos una interacción entre los tipos de boquilla y las 3 velocidades produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida. H 0 : (αγ )ik = 0, para todas las i,j H1 : Al menos un (αβ )ij ≠ 0; i,k=1,2,3

p-valor:0.00718

A un nivel de significación 0.05, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos una interacción entre los tipos de boquilla y los 3 niveles de presión produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perd

H 0 : ( βγ ) jk = 0, para todas las j,k H1 : Al menos un ( βγ ) jk ≠ 0; j,k=1,2,3

p-valor:0.0003

A un nivel de significación 0.05, existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos una interacción entre las 3 velocidades y los 3 niveles de presión produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida. H 0 : (αβγ )ijk = 0, para todas las i,j,k H1 : Al menos un (αβγ ) jk ≠ 0; i,j,k=1,2,3

p-valor:0.2594

A un nivel de significación 0.05, no existe suficiente evidencia estadística para afirmar que al menos una interacción entre los tipos de boquilla, las 3 velocidades y los 3 niveles de presión produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida. par(mfrow=c(2,2)) interaction.plot(boquilla,velocidad,jarabe) interaction.plot(boquilla,presion,jarabe) interaction.plot(velocidad,presion,jarabe)

presion

15 20 10

-60

-20

mean of jarabe

20 0 -20 -40

mean of jarabe

140 100 120

velocidad

> > > >

boquilla

15 20 10

-50

mean of jarabe

presion

100

120

140

velocidad

Del gráfico de interacciones se puede observar que si se desea obtener una cantidad mínima promedio de jarabe perdido, el proceso debe desarrollarse a 120ºC, utilizar la boquilla 2 (aunque la boquilla 3 produce pérdidas muy parecidas a la boquilla 2) y a una presión de 20.

Para cada boquilla, se puede ajustar un modelo de regresión y graficar una superficie de respuesta (curva de nivel). No obstante, el diseño 3k no es la forma más eficiente de modelar una relación cuadrática. Boquilla 1:

> diseno33b1<-read.table("E:/diseno33b1.txt",header=TRUE) > diseno33b1 > velocidadb1<-diseno33b1[,2] > presionb1<-diseno33b1[,3] > jarabeb1<-diseno33b1[,4] > modelo11<lm(jarabeb1~I(velocidadb1)+I(velocidadb1^2)+I(presionb1)+I(presionb1^2)+I (velocidadb1)*I(presionb1)) > summary(modelo11) Call: lm(formula = jarabeb1 ~ I(velocidadb1) + I(velocidadb1^2) + I(presionb1) + I(presionb1^2) + I(velocidadb1) * I(presionb1)) Residuals: Min 1Q -32.056 -9.410

Median 3.111

3Q 7.559

Max 39.778

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 1217.30556 434.89009 2.799 0.016071 I(velocidadb1) -31.25625 6.86061 -4.556 0.000659 I(velocidadb1^2) 0.12917 0.02812 4.594 0.000618 I(presionb1) 86.01667 16.58082 5.188 0.000226 I(presionb1^2) -2.87333 0.44989 -6.387 3.47e-05 I(velocidadb1):I(presionb1) 0.02875 0.07953 0.362 0.724010 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

* *** *** *** ***

Residual standard error: 22.49 on 12 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8512, Adjusted R-squared: 0.7892 F-statistic: 13.73 on 5 and 12 DF, p-value: 0.0001298 > summary(aov(modelo11)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) I(velocidadb1) 1 147.0 147.0 0.2905 0.5997466 I(velocidadb1^2) 1 10677.8 10677.8 21.1026 0.0006176 *** I(presionb1) 1 3201.3 3201.3 6.3268 0.0271416 * I(presionb1^2) 1 20640.1 20640.1 40.7912 3.470e-05 *** I(velocidadb1):I(presionb1) 1 66.1 66.1 0.1307 0.7240096 Residuals 12 6071.9 506.0 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Para la boquilla 1:

jarabe _ perdido = 1217.306 − 31.256velocidad + 0.129velocidad ² + 86.017 presion − 2.873 presion ² + 0.03velocidad * presion

La superficie de respuesta es la siguiente: > superf1<-surf.ls(2,velocidadb1,presionb1, jarabeb1) > superf11<-trmat(superf1,100,140,10,20,100)

> contour(superf11) >title("boquilla1")

boquilla 1

-20

40 -20

-40

-60

100

110

120

130

140

Boquilla 2 > diseno33b2<-read.table("E:/diseno33b2.txt",header=TRUE) > velocidadb2<-diseno33b2[,2] > presionb2<-diseno33b2[,3] > jarabeb2<-diseno33b2[,4] > modelo22<lm(jarabeb2~I(velocidadb2)+I(velocidadb2^2)+I(presionb2)+I(presionb2^2)+I (velocidadb2)*I(presionb2))

> summary(modelo22) Call: lm(formula = jarabeb2 ~ I(velocidadb2) + I(velocidadb2^2) + I(presionb2) + I(presionb2^2) + I(velocidadb2) * I(presionb2)) Residuals: Min 1Q -37.167 -17.125

Median -5.250

3Q 7.354

Max 48.667

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 2526.66667 559.73997 4.514 0.000709 I(velocidadb2) -50.69167 8.83018 -5.741 9.30e-05 I(velocidadb2^2) 0.21063 0.03619 5.820 8.21e-05 I(presionb2) 70.75000 21.34090 3.315 0.006164 I(presionb2^2) -2.41000 0.57904 -4.162 0.001318 I(velocidadb2):I(presionb2) -0.00750 0.10236 -0.073 0.942798 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

*** *** *** ** **

Residual standard error: 28.95 on 12 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8174, Adjusted R-squared: 0.7413 F-statistic: 10.74 on 5 and 12 DF, p-value: 0.0004211 > summary(aov(modelo22)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) I(velocidadb2) 1 310.1 310.1 0.3699 0.554380 I(velocidadb2^2) 1 28392.3 28392.3 33.8720 8.213e-05 *** I(presionb2) 1 1800.8 1800.8 2.1483 0.168435 I(presionb2^2) 1 14520.2 14520.2 17.3227 0.001318 ** I(velocidadb2):I(presionb2) 1 4.5 4.5 0.0054 0.942798 Residuals 12 10058.7 838.2 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Para la boquilla 2:

jarabe _ perdido = 2526.7 − 50.692velocidad + 0.21velocidad ² + 70.75 presion − 2.41 presion² − 0.0075velocidad * presion

> > > >

superf2<-surf.ls(2,velocidadb2,presionb2,jarabeb2) superf22<-trmat(superf2,100,140,10,20,100) contour(superf22) title("boquilla 2")

boquilla 2

-80

-60

-40

-20

-40

10 100

Boquilla 3 > > > >

-60

110

120

130

diseno33b3<-read.table("E:/diseno33b3.txt",header=TRUE) velocidadb3<-diseno33b3[,2] presionb3<-diseno33b3[,3] jarabeb3<-diseno33b3[,4]

140

> modelo33<lm(jarabeb3~I(velocidadb3)+I(velocidadb3^2)+I(presionb3)+I(presionb3^2)+I (velocidadb3)*I(presionb3)) > summary(modelo33) Call: lm(formula = jarabeb3 ~ I(velocidadb3) + I(velocidadb3^2) + I(presionb3) + I(presionb3^2) + I(velocidadb3) * I(presionb3)) Residuals: Min 1Q -43.111 -24.403

Median 5.889

3Q 20.764

Max 42.389

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 1940.11111 609.21449 3.185 0.007854 I(velocidadb3) -46.05833 9.61067 -4.792 0.000439 I(velocidadb3^2) 0.18958 0.03939 4.813 0.000424 I(presionb3) 102.48333 23.22719 4.412 0.000847 I(presionb3^2) -3.79667 0.63022 -6.024 5.99e-05 I(velocidadb3):I(presionb3) 0.10500 0.11141 0.942 0.364536 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

** *** *** *** ***

Residual standard error: 31.51 on 12 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8457, Adjusted R-squared: 0.7814 F-statistic: 13.15 on 5 and 12 DF, p-value: 0.0001600 > summary(aov(modelo33))

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) I(velocidadb3) 1 4961 4961 4.9966 0.045178 * I(velocidadb3^2) 1 23003 23003 23.1661 0.000424 *** I(presionb3) 1 420 420 0.4231 0.527668 I(presionb3^2) 1 36037 36037 36.2926 5.989e-05 *** I(velocidadb3):I(presionb3) 1 882 882 0.8883 0.364536 Residuals 12 11915 993 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Para la boquilla 3:

jarabe _ perdido = 1940.11 − 46.058velocidad + 0.189velocidad ² + 102.483 presion − 3.797 presion² + 0.105velocidad * presion

> > > >

superf3<-surf.ls(2,velocidadb3,presionb3,jarabeb3) superf33<-trmat(superf3,100,140,10,20,100) contour(superf33) title("boquilla 3")

boquilla 3

-60

-40

-20

100

-20

-40

-60

-80

100

110

120

130

140

Las gráficas de contorno de las superficies de respuesta de la pérdida de jarabe constante, como una función de la velocidad y la presión para cada tipo de boquilla. Estas gráficas revelan información de considerable utilidad acerca del desempeño de este sistema de llenado. Puesto que el objetivo es minimizar la pérdida de jarabe, se preferiría la boquilla tipo 3, ya que los contornos observados más pequeños (-80) sólo aparecen en esta gráfica. Deberán usarse la velocidad de llenado cerca del nivel intermedio de 120 rpm y el nivel de presión bajo (10). Una conclusión algo similar se obtuvo con las gráficas de interacción de factores.

Por otro lado, trabajando con los componentes ortogonales… Es matemáticamente sencillo mostrar la partición numérica de la interacción ABC en sus 4 componentes ortogonales con 2 grados de libertad cada uno, utilizando los datos del ejemplo que se está trabajando.

C 10

B 100 120 140 100 120 140 100 120 140

1 -60 -105 -25 185 20 134 9 -70 67

A 2 41 -123 24 175 -99 154 -28 -126 -51

3 -74 -122 -15 203 -54 245 -85 -113 58

Totales I J -198 -222 -106 -79 -155 -158 331 238 255 440 377 285 -59 -144 -74 -40 -206 -155

Los datos en negrita son los totales por cada combinación de tratamiento. Por ejemplo -60=-35-25, -105=-45-60, etc. Luego, el total para I, en el nivel C=10, se obtiene repitiendo la tabla de datos a la derecha y sumando diagonalmente a la derecha: -60 41 -74 -60 41 -74 -105 -123 -122 -105 -123 -122 -25 24 -15 -25 24 -15 -198=-60-123-15 -106=41-122-25 -155=-74-105+24 Y los totales para J, en el nivel C=10, se obtiene repitiendo la tabla de datos a la izquierda y sumando diagonalmente a la izquierda -60 41 -74 -60 41 -74 -105 -123 -122 -105 -123 -122 -25 24 -15 -25 24 -15 -222=-74-123-105 -79=41-105-15 -158=-60-122+24 El procedimiento es el mismo para los totales I para los niveles C=15 y C=20. Después los totales I(AB) y J(AB) se arreglan en una tabla de 2 vías con el factor C, y se calculan los totales de las diagonales I y J de esta nueva disposición: C I(AB) Totales C J(AB) Totales I J I J 10 -198 -106 -155 -149 41 10 -222 -79 -158 63 138 15 331 255 377 212 19 15 238 440 285 62 4 20 -59 -74 -206 102 105 20 -144 -40 -155 40 23 Los totales de las diagonales I y J calculados arriba son en realidad los totales que representan las cantidades I[I(AB)*C]=AB²C², J[I(AB)*C]=AB²C, I[J(AB)*C]=ABC² J[J(AB)*C]=ABC. O los componentes W, X, Y y Z de ABC.

(−149)² + (212)² + (102)² 165² − = 3804.11 18 54 (41)² + (19)² + (105)² 165² J  I ( AB ) *C  = AB²C = X [ ABC ] = − = 221.77 18 54 (63)² + (62)² + (40)² 165² I  J ( AB ) *C  = ABC² = Y [ ABC ] = − = 18.77 18 54 (138)² + (4)² + (23)² 165² J  J ( AB ) *C  = ABC = Z [ ABC ] = − = 584.11 18 54 Luego 3804.11+221.77+18.77+584.11=4628.76 Que es muy similar a la SC obtenida por R: I  I ( AB ) *C  = AB²C² = W [ ABC ] =

> summary(aov(modelo33))

Df Sum Sq Mean Sq F value boquilla 2 994 497 1.1650 velocidad 2 61190 30595 71.7354 presion 2 69105 34553 81.0145 boquilla:velocidad 4 6301 1575 3.6934 boquilla:presion 4 7514 1878 4.4044 velocidad:presion 4 12854 3214 7.5348 boquilla:velocidad:presion 8 4629 579 1.3566 Residuals 27 11516 427 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’

El diseño 3k

Pr(>F) 0.3271016 1.571e-11 3.893e-12 0.0159498 0.0071866 0.0003269 0.2594959 0.1 ‘ ’ 1

*** *** * ** ***

Los conceptos utilizados en los diseño 32 y 33 pueden extenderse a k factores, cada uno con 3 niveles, es decir, a un diseño factorial 3k. Se mantiene la notación digital. Hay 3k combinaciones de tratamientos con 3k-1 grados de libertad entre ellas. Estas combinaciones de tratamientos permiten determinar la suma d cuadrados de k efectos k  principales cada uno con 2 grados de libertad,  ÷interacciones de dos factores cada una con 4  2 k  grados de libertad,  ÷ interacciones de tres factores cada una con 8 grados de libertad, …, y una  3 interacción de k factores con 2k grados de libertad. Los grados de libertad totales son 3 kn-1 y los grados de libertad para el error 3k(n-1) siendo n el número de réplicas. Se recomienda no descomponer las interacciones de 3 factores y órdenes superiores. Sin embargo, cualquier interacción de h factores con tiene 2 h-1 componentes ortogonales con 2 grados de libertad. Por ejemplo, si interactúan 4 factores ABCD hay 24-1=8 componentes ortogonales con 2 grados de libertad cada uno, denotados por ABCD², ABC²D, AB²CD, A²BCD, ABCD, ABC²D², AB²C²D, AB²CD² y AB²C²D². El exponente de la primera letra debe ser 1. Si no es 1, la expresión completa debe elevarse al cuadrado y reducir los exponentes al módulo 3. Por ejemplo: A²BCD=(A²BCD)²=A4B²C²D²=A B²C²D² Estos componentes de la interacción no tienen ninguna interpretación física, pero son útiles para construir diseños más complejos. El tamaño del diseño se incrementa rápidamente con k, por ello con frecuencia, sólo se considera una sola réplica para el diseño 3 k y las interacciones de órdenes superiores se combinan para proporcionar una estimación del error

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA

LA MOLINA DISEÑOS EXPERIMENTALES AVANZADOS DISEÑO FACTORIAL 3K

Alumnos: Gamboa Unsihuay, Jesús Eduardo Marcos Sánchez, Eduardo Angelo

Profesor: Víctor Maehara

Grupo: G

Facultad: Economía y Planificación

20070223 20070228

Junio 2010