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Instituto Tecnológico de Tapachula

Ing. En sistemas Computacionales

Matemáticas Discretas

Trabajo Final

Ing. Rosel Muñoz López

Presenta:

Diego Jesai Cortez Martínez

Tapachula, Chiapas a 10 de Junio de 2013


Índice Introducción ............................................................................................ 1 Unidad 1: Sistemas numéricos 1.1 Sistemas numéricos .................................................................. 2 1.2 Conversiones entre sistemas numéricos ..................................... 6 1.3 Operaciones básicas ................................................................24 1.4 Algoritmos de Booth ...............................................................38 1.5 Aplicación de los sistemas numéricos en la computación ..........42 Unidad 2: Conjuntos 2.1 Características de los conjuntos ...............................................43 2.1.1 Conjunto universo vacio .......................................................46 2.1.2 Números naturales enteros racionales reales e imaginarios ....47 2.1.3 Subconjuntos.........................................................................51 2.1.4 Conjunto potencia.................................................................51 2.2 Operaciones con conjuntos ......................................................52 2.3 Propiedades de los conjuntos ....................................................55 2.4 Aplicaciones de conjuntos ........................................................61 Unidad 3: Lógica matemática 3.1 Lógica proposicional ................................................................66 3.1.1 Concepto de proposición .......................................................67 3.1.2 Proposiciones compuestas ....................................................68 3.1.3 Tablas de verdad ...................................................................73 3.1.4 Tautologías ...........................................................................77 3.1.5 Equivalencias Lógicas ...........................................................79 3.1.6 Reglas de inferencia ..............................................................81 3.1.7 Argumentos validos y no validos ...........................................85 3.1.8 Demostración formal ............................................................86 3.2 Lógica de predicados ................................................................89 3.2.1 Cuantificadores .....................................................................90 3.2.2 Representación .....................................................................90 3.3 Algebra declarativa ..................................................................91 3.4 Inducción matemática ..............................................................93 3.5 Aplicación de la lógica matemática en la computación .............95 Unidad 4: Algebra Booleana 4.1 Teoremas y postulados Algebra booleana ............................... 102 4.2 Optimización de expresiones booleanas ................................. 104 4.3 Aplicación del algebra booleana Compuertas lógicas.............. 106 4.3.1 Mini y maxi términos .......................................................... 109 4.3.2 Representación de expresiones booleanas ........................... 112


Unidad 5: Relaciones 5.1 Conceptos básicos Relaciones ................................................ 113 5.1.1 Producto cartesiano ............................................................ 115 5.1.2 Relación binaria .................................................................. 116 5.1.3 Representación de relaciones .............................................. 117 5.2 Propiedades de las relaciones ................................................ 120 5.3 Relaciones de equivalencia .................................................... 124 5.4 Funciones Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva ....................... 127 5.5 Aplicaciones de las relaciones y las funciones ........................ 129 Unidad 6: Teoría de Grafos 6.1 Elementos y características de los grafos ................................ 131 6.1.1 Componentes de un grafo ................................................... 132 6.1.2 Tipos de grafos ................................................................... 133 6.2 Representación de los grafos .................................................. 133 6.2.1 Representación Matemática de los grafos ............................ 138 6.2.2 Representación Computacional de los grafos ...................... 140 6.3 Algoritmos de recorrido y búsqueda ...................................... 146 6.3.1 Algoritmos de recorrido y búsqueda El camino más corto ... 146 6.3.2 Algoritmos de recorrido y búsqueda A lo ancho .................. 146 6.3.3 Algoritmos de recorrido y búsqueda En profundidad ........... 147 6.4 Arboles .................................................................................. 148 6.4.1 Componentes raíz hoja padre hijo descendientes ancestros.. 149 6.4.2 Propiedades Arboles ........................................................... 149 6.4.3 Clasificación Arboles altura numero de nodos ..................... 150 6.4.4 Arboles con peso ................................................................. 150 6.4.5 Recorrido de un árbol .......................................................... 151 6.5 Redes teorema de flujo máximo teorema de flujo mínimo pareos y redes de Petri ............................................................................ 152 6.6 Aplicaciones de grafos y arboles ............................................. 155 Conclusión ........................................................................................... 156


Matemáticas Discretas Introducción Las matemáticas discretas son un área de las matemáticas encargadas del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables. En oposición a las matemáticas continuas, que se encargan del estudio de conceptos como la continuidad y el cambio continuo, la matemáticas discretas estudian estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente. Es decir, los procesos en matemáticas discretas son contables, como por ejemplo, los números enteros, grafos y sentencias de lógica. Mientras que el cálculo infinitesimal está fundado en los números reales que no son numerables, la matemática discreta es la base de todo lo relacionado con los números naturales o conjuntos numerables. Son fundamentales para la ciencia de la computación, porque sólo son computables las funciones de conjuntos numerables. La clave en matemáticas discretas es que no es posible manejar las ideas de proximidad o límite y suavidad en las curvas, como se puede en el cálculo. Por ejemplo, en matemáticas discretas una incógnita puede ser 2 ó 3, pero nunca se aproximará a 3 por la izquierda con 2.9, 2.99, 2.999, etc. Las gráficas en matemáticas discretas vienen dadas por un conjunto finito de puntos que se pueden contar por separado; es decir, sus variables son discretas o digitales, mientras que las gráficas en cálculo son trazos continuos de rectas o curvas; es decir, sus variables son continuas o analógicas. En este trabajo presentamos el temario completo de la materia matemáticas Discretas, en donde analizamos cada tema y subtema de este temario, complementando con ejemplos para una mayor comprensión.

Trabajo Final

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Matemáticas Discretas 1.1- Sistemas Numéricos Los computadores manipulan y almacenan los datos usando interruptores electrónicos que están ENCENDIDOS o APAGADOS. Los computadores sólo pueden entender y usar datos que están en este formato binario, o sea, de dos estados. Los unos y los ceros se usan para representar los dos estados posibles de un componente electrónico de un computador. Se denominan dígitos binarios o bits. Los 1 representan el estado ENCENDIDO, y los 0 representan el estado APAGADO.

Se llama sistema numérico al conjunto ordenado de símbolos o dígitos y a las reglas con que se combinan para representar cantidades numéricas. Existen diferentes sistemas numéricos, cada uno de ellos se identifica por su base. En la informática se usaron muchos sistemas de numeración como lo fue el sistema binario, decimal, octal y hexadecimal ya que fueron muy útil para la realización de varios programas pero la tecnología ha avanzado tanto que ya estos sistemas están si se puede decir obsoleto. Para la realización de estos programas se tenía que realizar algunas conversiones. Estos sistemas son: 

Decimal

Este sistema consta de diez símbolos que van desde el numero 0 hasta el numero 9, los cuales le dan la característica principal a este sistema conocido por todo el mundo. Estos símbolos numéricos también forman unidades numéricas compuestas, al tomarlos como exponentes de un número que se encargará de regular el procedimiento, este número es llamado base. El numero base va a ser 10, por tal motivo también es conocido como "sistema de numeración en base 10".Los sistemas numéricos están compuestos por símbolos y por las normas utilizadas para interpretar estos símbolos. El sistema numérico que se usa más a menudo es el sistema numérico decimal, o de Base 10. El sistema numérico de Base 10 usa diez. Estos símbolos se pueden combinar para representar todos los valores numéricos posibles. Ejemplo: Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

Binario

Los computadores reconocen y procesan datos utilizando el sistema numérico binario, o de Base 2. El sistema numérico binario usa sólo dos símbolos, 0 y 1, en lugar de los diez símbolos que se utilizan en el sistema numérico decimal. La posición, o el lugar, que ocupa cada dígito de derecha a izquierda en el sistema numérico binario representan 2, el número de base, elevado a una potencia o exponente, comenzando desde 0. Estos valores posicionales son, de derecha a izquierda, 2 potencia 0, 2 potencia 1, 2 potencia 2, 2 potencia 3, 2 potencia 4, 2 potencia 5, 2 potencia 6 y 2 potencia 7, o sea, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 y 128, respectivamente.

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas

La mayoría de los sistemas de numeración actuales son ponderados es decir, cada posición de una secuencia de dígitos tiene asociado un peso. El sistema binario es, de hecho, un sistema de numeración posicional ponderado. Sin embargo, algunos códigos binarios, como el código Gray no son ponderados es decir, no tienen un peso asociado a cada posición. Otros, como el mismo código binario natural o el BCD natural sí lo son. Ejemplo:

Binario - Decimal 0.....................0 1......................1 10....................2 11....................3 100..................4 101..................5 110..................6 111..................7 1000................8 1001................9

 Octal El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos

números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal. En el sistema octal, usa ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.Cada posición de columna de un valor, pasando de derecha a izquierda, se multiplica por el número 8, que es el número de base, elevado a una potencia, que es el exponente. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. Ejemplo: Binario – Decimal – Octal 0.................0…………..0 1.................1……………1 10................2……….…..2 11................3…..………3 100...............4…………...4 101...............5...………..5 110...............6….………..6 111..............7……..…….7 1000..............8…………..10 1001..............9……..……11

Hexadecimal

El sistema hexadecimal usa dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 16.

Sistemas Numéricos

Página 3


Matemáticas Discretas Otro modo de manejar números binarios es con el uso del sistema de numeración hexadecimal. Este sistema es de base 16, lo que significa que para cada columna es posible escoger uno de entre 16 dígitos. Para contar en el sistema hexadecimal se inicia en la primera columna a la izquierda del punto hexadecimal y se cuenta desde O hasta F. Una vez que se llena la primera columna, se pone en cero a ella y se suma uno a la segunda columna. Después del 18, 19, lA, 1B, 1C, 1D, lE, lF siguen el 20, 21, y así sucesivamente. Después del 9FFF sigue el A000, etc. Decimal – Hexadecimal 1…………….1 2…………….2 3…………….3 4……………..4 5……………..5 6……………..6 7……..………7 8……………..8 9…….…….…9 10…………….A 11…………….B 12…………….C

Ejemplo:

Tabla de valores en binario, octal, decimal, hexadecimal.

Dígitos sistema binario 0

Dígitos sistemas decimales 0000

Dígitos sistemas octales 0

Dígitos sistemas hexadecimales 0

1

0001

1

1

2

0010

2

2

3

0011

3

3

4

0100

4

4

5

0101

5

5

6

0110

6

6

7

0111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

11

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas

15

1111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11

18

10010

22

12

19

10011

23

13

20

10100

24

14

21

10101

25

15

22

10110

26

16

23

10111

27

17

24

11000

30

18

25

11001

31

19

26

11010

32

1A

27

11011

33

1B

28

11100

34

1C

29

11101

35

1D

30

11110

36

1E

31

11111

37

1F

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas 1.2- Conversiones entre sistemas numéricos. 

Decimal a Binario

Para esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo: Transformemos el número 42 a número binario 1. Dividimos el número 42 entre 2 2. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo procedimiento hasta que el cociente sea 1. 3. El numero binario lo formamos tomando el primer dígito el ultimo cociente, seguidos por los residuos obtenidos en cada división, seleccionándolos de derecha a izquierda, como se muestra en el siguiente esquema.

Figura 1: Conversión de decimal a binario. Ejemplos en Clase:

12310 = 11110112

3310 = 1000012

123

/2

33

/2

61

1

16

1

0

1

8

0

15

0

4

0

7

1

2

0

3

1

1

0

1

1

Sistemas Numéricos

Página 6


Matemáticas Discretas Ejemplos por el Equipo:

793110=11110111110112 7931

55010

/2

=

10000100102

550

/2

3965

1

275 132

0 1

1982

1

66

0

991

0

33 16

0 1

495

1

8

0

247

1

4

0

123

1

2 1

0 0

61

1

30

1

15

0

7

1

3

1

1

1

8310

Sistemas Numéricos

=

10100112

83

/2

41

1

20

1

10

0

5

0

2

1

1

0

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Matemáticas Discretas

61362910 = 00101011100111111012 100010= 11111010002 613629

/2

306814

1

153407

0

76703

1

38351

1

19175

1

9587

1

4793

1

2396

1000

/2

500

0

250

0

125

0

62

1

31

0

15

1

7

1

3

1

1

1

1

1198

0

599

0

299

1

149

1

74

1

37

0

18

1

9

0

4

1

2

0

1

0

Sistemas Numéricos

Página 8


Matemáticas Discretas 

De decimal fraccionario a un numero binario

Para transformar un número decimal fraccionario a un numero binario debemos seguir los pasos que mostramos en el siguiente ejemplo: transformemos el numero 42,375. 1. la parte entera se transforma de igual forma que el ejemplo anterior. 2. La parte fraccionaria de la siguiente manera: Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que ira formando el numero binario correspondiente Tomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte fraccionaria la multiplicamos sucesivamente por 2 hasta llegar a 0 Tomamos nuevamente la parte entera, y como la parte fraccionaria es 0, indica que se ha terminado el proceso. El numero binario correspondiente a la parte decimal será la unión de todas las partes enteras, tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso del proceso , en donde el primer dígito binario corresponde a la primera parte entera , el segundo dígito a la segunda parte entera , y así sucesivamente hasta llegar al ultimo . Luego tomamos el numero binario, correspondiente a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la parte fraccionaria y lo unimos en un solo numero binario correspondiente a el numero decimal.

Figura 2: Conversión de decimal fraccionario a binario.

De numero binario a un numero decimal

Para convertir un número binario a decimal, realizamos los siguientes pasos: 1. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamente unos 2. Sumamos los valores de posición para identificar el número decimal equivalente

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas

Figura 3: Conversión de binario a decimal. Ejemplos por el Equipo:

1112 = 710

101012 = 2110 * 2x

111

Resultado

10101 1

20

1

0

21

2

1

22

4

0

23

8

1

24

16

1

2o

1

1

21

2

1

22

4

*2x

11002 = 1210

1100 0 0 1 1

*2 2

0

2

1

2

2

2

3

x

Resultado

10110112 = 9110

Resultado 1 2 4 8

Sistemas Numéricos

1011011

2x

Resultado

1

20

1

1

21

2

0

22

4

1

23

8

1

24

16

0

25

32

1

26

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Matemáticas Discretas

11011011011012 = 702110

1101101101101 1 0

2

0

2

1

1

22

1

2

3

2

4

2

5

2

6

0 1 1 0

27

1

2

8

2

9

1

2

x

100000000001

2x

Resultado

Resultado 1

20

1

0

21

2

0

22

4

0

23

8

0

24

16

0

25

32

0

26

64

0

27

128

0

28

256

0

29

512

0

210

1024

1

211

2048

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

0

210

1

2

11

2048

1

212

4096

Sistemas Numéricos

1000000000012 = 204910

1024

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Matemáticas Discretas 

De decimal a octal

Para convertir un número en el sistema decimal al sistema de numeración Octal, debemos seguir los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo Convertir el número decimal 323.625 al sistema de numeración Octal 1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, para colocar entonces el numero 0 y pasar el dividendo a formar el primer dígito del numero equivalente en decimal 2. Se toma la parte fraccionaria del número decimal y la multiplicamos por 8 sucesivamente hasta que el producto no tenga números fraccionarios 3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dígito correspondiente 4. Al igual que los demás sistemas, el numero equivalente en el sistema decimal, esta formado por la unión del numero entero equivalente y el numero fraccionario equivalente.

Figura 4: Conversión de decimal a octal. Ejemplos por el Equipo:

847110 = 205478

6410 = 1008

8471

/8

64

/8

1058

7

8

0

133

4

1

0

16

5

2

0

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas

9719910 = 2756558 97199

/8

12149

5

1518

5

189

6

23

5

2

7

784510 = 172458

59310 = 11218

593

/8

74

1

9

2

1

1

99966633310 = 73453312358

7845

/8

999666333 /8

980

5

124958291 5

122

4

15619286

3

15

2

1952473

2

1

7

244059

1

30507

3

3813

3

476

5

59

4

7

3

Sistemas Numéricos

Página 13


Matemáticas Discretas

De Octal de Decimal

Para convertir un numero del sistema de numeracion octal a el sistema de numeracion decimal, tenemos que seguir ciertas reglas las cuales les presentamos con estos ejemplos: 1.-.tomamos los cada miembro del numero octal y lo multiplicamos por 8 elevando cada 8 a la potencia empezando por el cero (0) hasta aumentándole cada vez 1. 2.-sumamos todas las multiplicaciones, el resultado es el numero decimal.

3218 = 20910

2

3*8 +

2*8

3*64 + 192 +

1

7778 = 51110

+

1*8

2*8

+

1*1

16

+

1

0

7*82 +

7*81+

7*80

7*64 +

7*8 +

7*1

448

56 +

7

+

511

209 57368 = 303810 5*83+

7*82

5*512 + 7*64

+

1738 = 12310

3*81+

6*80

1*82 +

7*81

+

3*80 =

3*8 +

6*1

1*64 +

7*8

+

3*1 =

3038

123

De numero octal a binario

La ventaja principal del sistema de numeración Octal es la facilidad conque pueden realizarse la conversión entre un número binario y octal. A continuación mostraremos un ejercicio que ilustrará la teoría. Por medio de este tipo de conversiones, cualquier número Octal se convierte a binario de manera individual. En este ejemplo, mostramos claramente el equivalente 100 111 010 en binario de cada numero octal de forma individual.

Figura 5: Conversión de octal a binario.

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas 

De decimal a un numero hexadecimal

Convertir el número 250.25 a Hexadecimal 1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el número decimal 16 (base) hasta que el cociente sea 0 2. Los números enteros resultantes de los cocientes, pasarán a conformar el número hexadecimal correspondiente, teniendo en cuenta que el sistema de numeración hexadecimal posee solo 16 símbolos, donde los números del 10 hasta el 15 tienen símbolos alfabéticos que ya hemos explicado 3. La parte fraccionaria del número a convertir se multiplica por 16 (Base) sucesivamente hasta que el producto resultante no tenga parte fraccionaria 4. Al igual que en los sistemas anteriores, el numero equivalente se forma, de la unión de los dos números equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que establece la diferencia entre ellos.

Figura 6: Conversión de decimal a hexadecimal

Ejemplos por el Equipo:

55510 = 22B16

89510 = 37F16

555

/16

895

/16

34

B

55

F

2

2

3

7

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas

12141610 = 1DA48

121416

/16

7588

8

474

4

29

A

1

D

98765110 F120316 987651

/16

61728

3

3858

0

241

2

F

1

De hexadecimal a un numero decimal

Como en los ejemplos anteriores este también nos ayudará a entender mejor este procedimiento: Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su equivalente decimal. 1. Multiplicamos el valor de posición de cada columna por el dígito hexadecimal correspondiente. 2. El resultado del número decimal equivalente se obtiene, sumando todos los productos obtenidos en el paso anterior.

Figura 7: Conversión de hexadecimal a decimal Ejemplos por el Equipo:

22B16= 55510

2*16 + 2*256 +

2*16 + 2*16 +

B*16 = 11*1 =

512

32

11

+

+

=

555 Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas

1DA44816 =1942600

37F16 = 89510

3*16 3*256

7*16 7*16

F*16 15*1

768

112 895

15

F120316 = 98765110 3*160=

3*1

=

3

0 *161=

0*16

=

0

2*162=

2*256

=

512

1*163=

1*4096

=

4096

F*164=

15*65536= 983040

8*160 = 8*1

=

8

4*161 =

4*16

=

64

4*162 =

4*256

=

1024

A*163 =

10*4096 =

40960

D*164 =

13*65536 =

851968

1*165 =

1*1048576= 1048576 1942600

5F42A9616 =9988776610 6*160=

6*1=

6

9*161=

9*16=

144

A*162=

10*256=

2560

2*163=

2*4096=

8192

4*164=

4*65536=

262144

F*165=

15*1048576= 15728640

5*166=

5*16777216= 83886080

987651

99887766

Sistemas Numéricos

Página 17


Matemáticas Discretas 

Conversiones de un sistema de numeración binario a un sistema de numeración hexadecimal.

Para la conversión de un sistema de numeración octal al sistema de numeración hexadecimal. 1.- convertimos el número octal a decimal. 2.- convertimos el número decimal a hexadecimal. Ejemplo: 1238

= 5316

1238=8310 Paso 1:

3*80= 2*81= 1*82=

3*1= 2*8= 1*64=

3 16 64 83

3*160=

3*1=

3

5*161=

5*16=

80

8310=5316 Paso 2:

83

Ejemplos por el Equipo:

Ejemplo: 7618 =1F116 Paso 1: 7618 = 49710

1*80= 6*81= 7*82=

1*1= 6*8= 7*64=

Sistemas Numéricos

1 48 448 497

Página 18


Matemáticas Discretas

Paso 2: 49710=1F116

497 31 1

/16 1 F

Ejemplo: 458 = 2516 Paso 1: 458 = 3710 5*80= 1

4*8 =

5*1=

5

4*8=

32 37

Paso 2: 3710 =2516 37 2

/16 5

Ejemplo: 5468 =16616 Paso 1: 5468 = 35810

6*80= 4*81= 5*82=

6*1= 4*8= 5*64=

6 32 320 358

Paso 2: 35810 =16616 358 22 1

/16 6 6

Sistemas Numéricos

Página 19


Matemáticas Discretas

También podríamos convertir el número octal a número binario convertiríamos a número hexadecimal.

y luego lo

1.- el numero octal lo desagrupamos y de izquierda a derecha digito por digito lo convertimos en binario agrupándolo de 3 en 3. 2.- el número binario formado lo agrupamos de 4 en 4 empezando de derecha izquierda los números que obtendremos serán la formación del numero hexadecimal, tomándolo de izquierda a derecha.

Ejemplos por el Equipo:

1238 = 5316 1238 = 0010100112 =5316

5

1 = 001 2= 010

001010011 3

3= 011

Ejemplo: 7618 = 1F116 7618 = 1111100012=1F116 7= 111

F

6= 110

000111110001

1= 001

1

1

Ejemplo: 458 = 2516

458 =1001012 =2516 4= 100 5= 101

2

00100101 5

Sistemas Numéricos

Página 20


Matemáticas Discretas

Ejemplo: 5468 = 16616 546= 1011001102 = 16616

6

5= 101 4= 100

000101100110 1

6= 110

6

Ejemplo: 12518 = 2A916 12518 = 10101010012 = 2A916 1= 001 2=010 5=101

A

001010101001 2

9

1=001

Ejemplo: 13078=2C716 13078 =10110001112=2C716 1= 001

C

3= 011

001011000111

0= 000

2

7

7= 111

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas 

Conversión de hexadecimal al sistema de numeración octal.

Para convertir un numero del sistema hexadecimal a el sistema de numeración octal. 1.- convertimos el número hexadecimal a decimal. 2.- convertimos el número decimal a octal.

Ejemplo: ABC16 = 52748 Paso 1: ABC16 = 274810 C*160=

12*1=

12

B*161=

11*16=

176

A*162=

10*256= 2560 2748

Paso 2: 274810 =52748 2748

/8

343

4

42

7

5

2

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas Ejemplos por el Equipo:

1ED416 = 173248 Paso 1: 1ED416= 789210

4*160=

4*1=

4

D*161=

13*16=

208

E*162=

14*256=

3584

1*163=

1*4096=

4096

7892 Paso 2: 789210 =173248

7892 986 123 15 1

/8 4 2 3 7

66416 = 31518 Paso 1: 66416 = 163610

4*160=

4*1=

4

6*161=

6*16=

96

6*162=

6*256=

1536 1636

Paso 2: 163610= 31448

1636 204 25 3

/8 4 4 1

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas

1.3- Operaciones Básicas. 

Sistema Binario: Suma

Para sumar números binarios, seguimos las reglas utilizadas para la suma de números decimales. La única diferencia es que, como el sistema binario consta de dos caracteres. La reagrupación de los números es mas corta. Existen cuatro posibles combinaciones en la suma de Binarios:

*Esta suma conlleva reagrupación ya que ha alcanzado el primer punto de rompimiento. 1.- Si la Cantidad de unos es par el resultado es 0 y se lleva un 1. 2.- La cantidad de unos a llevar debe corresponder a los pares de unos sumados.

Ejemplos por el Equipo:

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Página 24


Matemáticas Discretas

Sistema Binario: Resta

Para la Resta de números binarios se tiene en cuenta la siguiente tabla:

Cuando se representa una resta 0-1, se presta del primer digito no-cero a la izquierda, donde cada cero interviene se convierte en 10, donde: 10-1= 1.

Ejemplos por el Equipo:

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Página 25


Matemáticas Discretas 

Sistema Binario: Multiplicación

1.- Se multiplica cada digito del multiplicador por el multiplicado. 2.- Luego se suma los resultados.

Ejemplos Vistos en Clase:

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas Ejemplos por el equipo:

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Página 27


Matemáticas Discretas

Sistema Binario: División

1.- Se resta el divisor de la misma cantidad de cifras del Dividendo. 2.- Por cada resta se adiciona un uno al cociente y se baja la siguiente cidra del dividendo. 3.- Si no es posible la resta se coloca un cero en el cociente y se baja la siguiente cifra en el Dividendo.

Ejemplos Vistos en Clase:

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Matemáticas Discretas Ejemplos Por el Equipo:

Sistemas Numéricos

Página 29


Matemáticas Discretas 

Sistema Octal: Suma.

En el sistema octal se puede trabajar con la cantidad de números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ejemplo:

Ejemplos Por el Equipo:

Sistemas Numéricos

Página 30


Matemáticas Discretas

Sistema Octal: Resta.

Ejemplos Por el Equipo:

Sistemas Numéricos

Página 31


Matemáticas Discretas 

Sistema Octal: Multiplicación

Ejemplos Por el Equipo:

Sistemas Numéricos

Página 32


Matemáticas Discretas 

Sistema Octal: División.

Ejemplos Por el Equipo:

Sistemas Numéricos

Página 33


Matemáticas Discretas

Sistema Hexadecimal.

Tabla de números en el sistema Hexadecimal.

Sistema Hexadecimal: Suma.

Debe de considerar la siguiente tabla para realizar una suma y Resta, enseguida se muestran unos ejemplos.

Ejemplo:

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Matemáticas Discretas Ejemplos Por el Equipo:

Sistemas Numéricos

Página 35


Matemáticas Discretas 

Sistema Hexadecimal: Resta.

Ejemplos Por el Equipo:

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Página 36


Matemáticas Discretas 

Sistema Hexadecimal: Multiplicación.

Para la realización de una multiplicación en el sistema Hexadecimal es necesario considerar las tablas de multiplicar en el sistema decimal.

Ejemplo:

Ejemplos Por el Equipo:

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Página 37


Matemáticas Discretas 1.4- Algoritmos de Booth para la multiplicación y división en binario. El algoritmo de Booth es un método rápido y sencillo para obtener el producto de dos números binarios con signo en notación complemento a dos. Debemos saber que un número binario está formado por bits de ceros y unos, y que se puede traducir a decimal fácilmente de la siguiente forma:

La manera en que se representan los números binarios negativos es mediante su complemento a dos. El complemento a uno consiste en invertir el valor de cada bit, esto es que si se tiene el número 5 binario b’00000101′ su complemento a uno sería b’11111010′. Ejemplo:

El complemento a 2 de un número binario se obtiene tomando el complemento a 1, y sumándole 1 al bit menos significativo (LSB).

Realizar una suma con dos números binarios es tarea fácil, pero la multiplicación resulta algo más complicada. Con el algoritmo de Booth, resulta mucho más sencillo de implementar. Partimos del ejemplo de la multiplicación 6·2=12:

Sistemas Numéricos

Página 38


Matemáticas Discretas Como se puede ver en la imagen superior, partiendo de los números binarios de la multiplicación 6·2 (multiplicando y multiplicador) creamos tres nuevos números binarios del doble de tamaño (16 en el ejemplo): A, S y P. Partiendo del número P (producto) comenzamos a comparar los últimos 2 bits de la derecha, siguiendo los casos base del recuadro: Se realizará esta comparación 8 veces en este ejemplo (número de bits de los operados) y al final de cada comparación, realizamos un desplazamiento de un bit hacia la derecha, manteniendo el último bit de la izquierda, y descartando el último bit del lado contrario. Si hacemos una traza paso a paso nos quedarían los siguientes resultados:

Finalmente obtenemos el número en binario resultante (12 en este ejemplo), descartando el bit extra que hemos añadido al principio del procedimiento y que se encuentra en el extremo a la derecha.

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas Ejemplos Por el Equipo:

A= 0 S= 1 P= 0 1 P= 0 S= 1 1 2 P= 0 A= 0 1 3 P= 0 4 P= 0 5 P= 0 6 P= 0 7 P= 0 8 P= 0

Sistemas Numéricos

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

Página 40


Matemáticas Discretas Algoritmo de Booth Extra:

EJERCICIO 1 1 0 1 X

1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1

0 1 1

0 1 1

A S P S

0 1 0 1 1 0 0 0 0

P1 P2 P3 P4 A P5 P6 P7 P8

0 1 1

1 0

1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1

1 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

Sistemas Numéricos

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1

1 1

0 1 0 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 1

0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 1 1 1 0 0

1 0

1 1 1 0 1 0

1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 0

1

0 0 1 1

1 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1

Página 41


Matemáticas Discretas 1.5-Aplicación de los sistemas numéricos en la computación. Existe una cantidad infinita de sistemas numéricos, sin embargo, para una computadora, únicamente existen 4, que son el Binario (con base 2), el octal (con base 8), el decimal (base 10) y hexadecimal (base 16). Detallaremos el uso década uno de ellos por la computadora. Sistema Binario: El Sistema Binario, por ser el sistema base de la computación y el único entendido de manera nativa por una computadora, es el sistema en el que está escrita toda instrucción, dato, etc. Está compuesto por dos únicos dígitos que 1 y 0 o como en realidad trabaja la computadora, “apagado” y “encendido” y se es como representa todos los datos con los que trabaja la computadora, desde sumas bajo nivel: el hardware. Estos dígitos son llamados bits Sistema Octal: Para trabajar la computadora agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales se denomina byte y es esta la razón por la que es tan importante el sistema octal, sin embargo una computadora no puede trabajar con el sistema octal como tal, sino que utiliza su conversión en sistema binario, usando tres bits para cada digito octal Sistema Hexadecimal: El sistema hexadecimal es empleado al indexar la memoria o al representar un byte debido a que al contener más dígitos es posible usar menos números para representar números más grandes, haciendo posible que un byte, conformado por 8 bits o términos binarios, se represente con solo dos términos hexadecimales, lo que es un ahorro de información. Sin embargo, la computadora tampoco reconoce el sistema hexadecimal como tal y, al igual que el sistema octal, lo representa con términos binarios, empleando conjuntos de cuatro bits, para cada término hexadecimal. Sin embargo al presentar información al usuario es más factible presentar A9 que 10101001

Sistema Decimal: Por último el sistema decimal únicamente se utiliza al interactuar con el usuario, debido a que un usuario común no está acostumbrado a tratar con diferentes sistemas numéricos.

Sistemas Numéricos

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Matemáticas Discretas Unidad 2: Conjuntos Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en él la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados. Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, este fue inventado por Georg Cantor hace 100 años. Sus conceptos han penetrado y transformado todas las teorías formales y todas las ramas de la matemática y de la lógica, así como la misma ontología. Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de él. A pesar de su sencillez este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos. Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año, etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año, respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos. Más detalladamente nos dice que un conjunto es una colección bien definida de objetos:     

Posible determinar pertenencia de elementos Denotados por letras mayúsculas Elementos denotados con letras minúsculas Definidos por comprensión o por extensión Orden de elementos irrelevante

Notación de un conjunto; se representa por letras mayúsculas latinas A, B, C, D…. Z, y sus elementos con letras minúsculas latinas a, b, c, d… z, separadas por comas y encerradas entre llaves { }. Ejemplo: a) A= {a, e, i, o, u} conjunto a cuyos elementos son las vocales. b) B= {0, 1, 2, 3} conjunto B cuyos elementos son los números naturales.

Conjunto de verdad es el que resulta de una proposición abierta. 1) Por extensión o enumeración.- Cuando se enumeran sus elementos uno a uno y se separan por comas y van entre llaves ({}).

Ejemplo: A= {ulises, georgina, lety} el conjunto tiene 3 elementos. B= {a, b, c, d, e, f,} el conjunto B tiene 6 elementos. C= {ajo, remolacha, zanahoria, coles, lechuga, nabos, cebollas, perejil, cebolla, guisantes, rábano} Conjunto C de verduras.

Trabajo Final

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Matemáticas Discretas

2) Por compresión o construcción.- Cuando se denota una cualidad o definición que caracteriza a cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: A= {x/x son las vocales} “/” significa “talque”, por lo tanto, A= {a, e, i, o, u}. B= {x/x es los meses del año}, por lo tanto, B= {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre} C= {x/x son marcas de automóviles} C= {chrysler, chevrolet, volkswagen, nissan, honda, bugatti, peugeot, dodge, audi, Cadillac} Nota: el orden en que se enumeren los elementos carecen de importancia, y los elementos se NO pueden repetir Para indicar que un elemento X pertenece o no pertenece a un conjunto, se representa de la siguiente manera. Ejemplo: A= {a, e, i, o, u} a ∈ A:a Pertenece o es elemento del conjunto A. ∈ significa, es elemento o pertenece al conjunto. B= {1, 2, 3, 4, 5} 1 ∈ B - 1 Pertenece al conjunto B. Para indicar lo contrario se utiliza el mismo signo pero cruzada por una diagonal (∉). Ejemplo: 1∉ A 1 no pertenece o no es elemento del conjunto A. a ∉ B a no pertenece o no es elemento del conjunto B. C= {águila, golondrina, guacamaya, búho, lechuza, flamenco, cisne, halcón} halcón ∈ C; halcón pertenece o es elemento del conjunto D 2.1 Características de los conjuntos Para que un conjunto este correctamente escrito o representado debe tener las siguientes características: 1.-Debe de ser explicito. 2.- No se repite. 2.- Se representa con letra mayúscula. 4.- Sus elementos se representan con minúscula.

Trabajo Final

Página 44


Matem谩ticas Discretas Debe de estar definido por: 1.- Comprensi贸n.

2.- Extensi贸n

3.- Diagrama de Venn

Trabajo Final

P谩gina 45


Matemáticas Discretas 2.1.1Conjunto Universo & Vacio Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U ó Ω. Si nos especificáramos un conjunto de elementos el cual nos limitamos para hallar elementos de otros conjuntos que interesen en la solución de problema o en la ejecución de operaciones, entonces ese conjunto se llama conjunto universal o el universo de nuestro problema. Todo conjunto utilizado en tales procesos debe ser subconjunto del conjunto universal, razón por la que a este conjunto se le llama superconjunto. En otras palabras, el conjunto universal se refiere al todo de todos los conjuntos, por ejemplo: U = {todos los árboles que existen} A ⊂ U= {roble, caoba, oyamel, mango, laurel, ceiba, encino, pino} Otro ejemplo seria: U = {Todos los países del mundo} A ⊂ U = {italia, méxico, argentina, china japón, brasil, canadá, estados unidos}

Es importante comprender que un conjunto universal debe estar basado en relación a los procesos que los subconjuntos llevaran ahí, por ejemplo no podemos poner U = {todas las manzanas que existen} A ⊂ U= {pera} B ⊂ U= {perros} Porque no tienen nada en común y por lo tanto no pueden formar parte de ese universo. Conjunto Vacio Un conjunto Vacío es aquel que no tiene elementos y se representa de dos maneras: A=Ø

ó

A={}

P = {los árboles que caminan} ∴P = { } D= {las estatuas que se mueven}∴ D = Ø G = {los tomates azules}

Trabajo Final

G= {}

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Matemáticas Discretas Un conjunto vacío también se puede presentar cuando en un conjunto A no hay elementos existentes, por ejemplo si hablamos del color de los ojos en un grupo determinando, puede que en ese grupo la mayoría tenga los ojos color café y verde, pero no los hay de color azul, entonces ese conjunto se considera nulo. 2.1.2 Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios. 

Numero Naturales.

Entendemos por número la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud. Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos. El conjunto de los números naturales se representa de la siguiente forma. N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 

}

Numero Enteros.

En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero. Ha sido necesario ampliar el conjunto de los números incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número natural un signo + o -. De esta manera han surgido los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno, pero permiten expresar valores positivos y también valores negativos. En la expresión escrita de un número entero consideramos dos partes: el signo y el valor absoluto. El conjunto de los números enteros le nombramos con la letra Z Z= {

... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...

}

"El conjunto de los números enteros es ilimitado en sentido de los negativos y en sentido de los positivos." Los números naturales están incluidos en los números enteros, son los enteros positivos. Es conveniente buscar la forma más simple de expresar un número, por eso, para escribir un número entero positivo es preferible no poner el signo + y dejarlo en forma de número natural. 

Numero Racionales.

Se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término “racional” alude a “ración” o “parte de un todo”, y no al pensamiento o actitud racional. Ejemplo:

3/4

Trabajo Final

Página 47


Matemáticas Discretas En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico del dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo:)  El número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4.  El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3. El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero). El conjunto de los números racionales se denota por Q, que significa “cociente” (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios. Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales. Esto de que entre cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos es muy cierto, si representáramos todos los números racionales e irracionales sobre la recta numérica, observaríamos que no quedan huecos libres entre número y número, es decir, los números reales llenan por completo la recta numérica. Por eso, a la recta numérica se le llama también recta real.

El conjunto de números racionales se representa así: 3

1

6

Q = {4 , 2 , 5 }

Trabajo Final

Página 48


Matemáticas Discretas 

Números Reales.

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo R, simbólicamente escribimos:

Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica). Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4,... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero. Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.

Ejemplo:

Represente en la recta numérica los números

y

Solución:

y Usando estos resultados, podemos representarlos en la recta numérica de la siguiente manera.

Ahora bien, para representar el conjunto de números reales los hacemos de la siguiente forma: R = {todos los números que existen}

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Matemáticas Discretas Tal como se representa en el siguiente cuadro, en conjunto de los números reales incluye a todos los demás conjuntos.

De otra manera también lo podemos representar mediante el diagrama de Venn.

Números Complejos O Imaginarios. La insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por C. Las raíces del

polinomio anterior son

y

, de manera que definimos el número para poder

trabajar con sus raíces solucionar este problema, de manera que: . Todos los números complejos (también se les llama imaginarios) tienen la forma: Donde y son números reales. Denominamos a parte real del complejo y a parte imaginaria. Cuando , z es un número real, y cuando , z es un número imaginario puro. De aquí deducimos que los números reales están incluidos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:

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Matemáticas Discretas 2.1.3 Subconjuntos Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo ⊂. A⊂BoB⊃A Es un conjunto de elementos que pertenecen a otro conjunto, es decir podemos escoger ciertas características de algunos elementos del conjunto original. POR EJEMPLO: Representación:  A={ Letras del alfabeto}  B= {vocales}  C= {consonantes}

Imagina que A es el conjunto de los animales que tienes en casa. A = {perro, gato, Loro, tortuga, hámster}. De esos animales que tienes en casa, ¿cuáles tienen cuatro patas? B = {perro, gato, tortuga, hámster}. Subconjuntos= P(n(“Nombre”)) = 2n(Números de Elementos del Conjunto) A= {1,2} P(n(A))= 22 = 4 A= {1} A= {2} A= {1,2} A= {∅} Subconjuntos= P(n(“Nombre”)) = 2n(Números de Elementos del Conjunto) B= {4,5,6} P(n(B))= 23 = 8 A= {4} A= {5} A= {6} A= {4,5} A= {4,6} A= {5,6} A= {4,5,6} A= {∅} 2.1.4 Conjunto Potencia

En matemáticas, dado un conjunto S, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se denota por P(S) o 2S) al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de S. En la teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia. Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces el conjunto potencia de S es P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

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Matemáticas Discretas El conjunto potencia de un conjunto S, junto con las operaciones de la unión, de la intersección y del complemento forman el ejemplo prototípico de álgebra de Boole. De hecho, uno puede demostrar que cualquier álgebra de Boole finita es isomorfa al álgebra booleana del conjunto potencia de un conjunto finito. Para las álgebras booleanas infinitas esto no es verdad, pero cada álgebra booleana infinita es subálgebra de una álgebra booleana de partes. También se refiere al conjunto de todos los conjuntos dentro de un conjunto ósea Subconjuntos. 2n(Números de Elementos del Conjunto) Ejemplo: Y= {a, b, c} 23 = 2 x 2 x 2 = 8 A= {a} A= {b} A= {c} A= {a, b} A= {a, c} A= {c, b} A= {a,b,c} A= {∅} 2.2 Operaciones con conjuntos Unión E Intersección. Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A o B ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A U B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto S denominado intersecciónde A y B, escrito A ∩ B. Si A y B no tienen ningún elemento en común, entonces no habrá intersección y siendo conveniente representar esta intersección como otro subconjunto, que sería conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo ø. Por ejemplo: A= {2, 4, 6}

B= {4, 6, 8, 10}

C= {10, 14, 16, 26}

AUB= {2, 4, 6, 8, 10} AUB= {2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 26} A∩ B= {2, 4} Ejemplo 2. A= {a, e, i, o, u} C= {a, n, d, r, e, a} D= {l, o, u, r, d, e, s}

Ejemplo 3.

A ∩ C= {ø}

AU C= {a, e, i, o, u, n, d, r} A ∩ C= {a, e} A U D= {a, e, i, o, u, l, r, d, s} A ∩ D= {e, o, u} C U D= {a, n, d, r, e, l, o, u, s} C ∩ D= {e, r}

A= {nike, adidas, reebok, prima, puma, converse, jordán} B= {fila, charly, lacosste, levi’s, adidas, nike, puma}

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AUB= {nike, fila, adidas, charly, reebok, levi’s, prima, puma, converse, jordan} A ∩ B= {nike, adidas, puma} Página 52


Matemáticas Discretas Diferencia Y Complementario. El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia o complemento relativo entre A y B, escrito A-B (y a veces A\B). Así siguiendo con el ejemplo anterior. A= {2, 4, 6}

B= {4, 6, 8, 10}

C= {10, 14, 16, 26}

A – B = {2} y B – A= {8, 10}. B – C = {4, 6, 8} y C – B = {14, 16, 26} A – C = {2, 4, 6} y C – A = {10, 14, 16, 26} Si A es un subconjunto de B el conjunto de los elementos que pertenecen a B pero no a A, es decir, B – A, se denomina conjunto complementariode A (con respecto a B), lo que se escribe B – A=A’, que también puede aparecer así Ā o ~A.

C= {osos de peluche} = {

}

Cc= {todos los demás peluches que no tiene forma de oso} = {

}

A= {a, e, i, o, u} Ac= {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} B= {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} Bc= { a, e, i, o, u } En este ejemplo el conjunto A son las vocales, el complemento de ese conjunto es la diferencia del conjunto B que serían las consonantes y viceversa. Producto Cartesiano.

Sean dos conjuntos de frutas realicemos las operaciones y representarlo en el diagrama de Venn. A= {manzana, pera, durazno, mango, mamey, naranja, mandarina, ciruela} B= {piña, uva, kiwi, melón, fresa, coco, manzana, mamey, mandarina}

A U B= {manzana, pera, durazno, mango, mamey, naranja, mandarina, ciruela, piña, uva, kiwi, melón, fresa, coco}; conjunto A unión conjunto B es igual a todos los elementos de los conjuntos de A y B sin repetir.

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Matemáticas Discretas

A ∩ B= {manzana, mamey, mandarina}; conjunto A intercepción conjunto B es igual a los elementos que se repiten en A y B.

A – B= {pera, durazno, mango, naranja, ciruela}; Conjunto A diferencia conjunto B es igual a todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B.

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Matemáticas Discretas B – A= {piña, uva, kiwi, melón, fresa, coco}; Conjunto B diferencia conjunto A es igual a todos los elementos del conjunto B que no pertenecen al conjunto A.

2.3 Propiedades de los Conjuntos. Las propiedades son las leyes de operaciones con conjuntos. Idempotencia O Igual Potencia:

1.2.Se lee: 1.- Conjunto A unión con el conjunto A es igual al conjunto A. 2.- Conjunto A intersección con el conjunto A es igual al conjunto A. Representación en diagrama de Venn:

U A

Asociativa: 1.2.-

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Matemáticas Discretas Se lee: 1.- La unión de los conjuntosA y B unión con el conjunto C es igual a el conjunto A unión con la unión delos conjuntosB y C, es igual a el conjunto A unión con B unión con C. 2.- La intersección de los conjuntos A y B intersección con el conjunto C es igual a el conjunto A intersección con la intersección delos conjuntosB y C, es igual al conjunto A intersección con el conjunto B intersección con el conjunto C. Representación en diagrama de Venn:

A

B

U

C Conmutativa: 1.2.Representación en diagrama de Venn:

1.- Se lee: Conjunto A unión con el conjunto B es igual al conjunto B unión con el conjunto A.

A

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U B

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Matemáticas Discretas 2.- Se lee: Conjunto A intersección con el conjunto B es igual a el conjunto B intersección con el conjunto A.

A

B

U

Distributiva:

1.2.Se lee: 1.- Conjunto A unión con la intersección delos conjuntosB y C es igual a la unión de los conjuntos A y B intersección con la unión de los conjuntosA y C. 2.- Conjunto A intersección con la unión de los conjuntosB y C es igual a la intersección de los conjuntosA y B unión con la intersección de los conjuntosA y C. Representación en diagrama de Venn:

Identidad:

1.2.3.Trabajo Final

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Matemáticas Discretas

4.Se lee: 1.- Conjunto A unión con el conjunto Vacío es igual al conjunto A. 2.- Conjunto A intersección con el conjunto Vacío es igual al conjunto Vacío. Representación en diagrama de Venn: 3.- Se lee: Conjunto A unión con el conjunto Universo es igual al conjunto Universo.

U A

4.- Se lee: Conjunto A intersección con el conjunto Universo es igual al conjunto A.

U A

Complementariedad: 1.2.-

3.4.-

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Matemáticas Discretas Representación en diagrama de Venn: 1.- Se lee. Conjunto A unión con complemento de A es igual al conjunto Universo.

U A

2.- Se lee: Conjunto A intersección con el complemento de A es igual al conjunto Vacío.

U A

3.- Se lee: Complemento del conjunto Universo es igual al conjunto Vacío.

U

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Matemáticas Discretas 4.- Se lee: Complemento del conjunto Vacío es igual al conjunto Universo.

Involutiva:

1.-

Se lee: Complemento del complemento del conjunto A es igual al conjunto A. Representación en diagrama de Venn:

U A

Ley de Morgan: 1.2.-

Se lee: 1.- Complemento del conjunto A unión con el conjunto B es igual al complemento del conjunto A intersección con el complemento del conjunto B. 2.- Complemento de la intersección delos conjuntos A y B es igual al complemento del conjunto A unión con el complemento del conjunto B.

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Matemáticas Discretas

Representación en diagrama de Venn:

A

B

Para Cualquier Conjunto A Y B 1.Se lee: Conjunto A es igual a la intersección delos conjuntosA y B unión con la intersección del conjunto A y el complemento del conjunto B.

U A B

2.4 Aplicaciones de los Conjuntos Aplicación Inyectiva Y No Sobreyectiva

*Todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

*El elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva. Trabajo Final

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Matemáticas Discretas

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen. En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una pre imagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B. En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos. Aplicación No Inyectiva Y Sobreyectiva

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A. Ejemplo En el diagrama de la figura: El elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva. Todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

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Matemáticas Discretas Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen. Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y. En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B. Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos: Ejemplo

Todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

Todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

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Matemáticas Discretas En el diagrama de la figura: Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:

Y por conjunto final el de los números naturales pares:

Podemos ver que la relación

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple: 1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y. 2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X. 3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen.

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Matemáticas Discretas Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre específico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés. En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.

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Matemáticas Discretas 3.0- Lógica Matemática La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

3.1- Lógica proposicional Definición: La lógica proposicional, también conocida como la lógica proposicional y la lógica de la declaración, es la rama de la lógica que estudia la manera de unirse y / o modificación de toda proposiciones, declaraciones o frases para formar proposiciones más complicado, declaraciones o frases, así como las relaciones lógicas y las propiedades que se derivan de estos métodos de combinar o modificar las declaraciones. La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples. Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.

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Matemáticas Discretas También se podría decir que es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza. La rama más importante de la lógica proposicional clásica, es verdad-funcional de la lógica proposicional, que estudia los operadores lógicos que se utilizan para producir los estados complejos cuyo valor de verdad depende por completo de los valores de verdad de las declaraciones más simples que la componen, y en el que todas las declaraciones se supone que es verdadera o falsa, y no tanto. Por ejemplo: "Cualquiera de Ricky Ponting es un buen jugador, o Ricky Ponting no es un buen jugador" es una declaración en la que parte sólo una parte puede ser cierto a la vez.

3.1.1- Concepto de Proposición. Una proposición es una aserción o enunciado expresado en lenguaje natural escrito o hablado, mediante una expresión declarativa; que puede ser cierta o falsa, pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. La proposición puede ser simple o compuesta y se denotan generalmente por las ultimas letras del alfabeto (p, q, r, s,…,z). Es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa.   

Expresión verbal que afirma o niega algo. Secuencia finita de signos con significado y sentido de ser calificado como verdadero o falso. Expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. hace referencia explicita a las oraciones aseverativas o enunciativas.

EJEMPLOS: CIERTOS La raíz cuadrada de 4 es 2. Los bebes lloran. Un cuadrado tiene 4 lados. FALSOS Todos los carros tienen 2 ruedas. 20 + 20 = 20. Ningún hombre sabe leer.

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Matemáticas Discretas 3.1.2- Proposiciones compuestas, disyunción, Conjunción, Negación, Condicional e Incondicional. 

Proposiciones simples

Una proposición es simple, cuando no puede dividirse en partes constitutivas que sean a su vez proposiciones. Como ejemplos de proposiciones simples podemos señalar, las siguientes:    

Está lloviendo Cometí una equivocación al matricular este curso Mañana es Lunes Siete es un número natural

Las proposiciones simples deben ser enunciados simples del español, pero debemos recordar que el español usual es un lenguaje informal, o sea que es un lenguaje cuya gramática está sujeta a modificación de estilo y la manera en la cual una verdad puede ser expresada correctamente en algo que depende en mucho de la opinión de cada quien. Debe tenerse cuidado de emplear ambigüedades de las que surgen en la conversación ordinaria y cuidarse del lenguaje ambiguo que se usa deliberadamente en los discursos políticos. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo. p: q: r: s: t: w:

La tierra es plana. -17 + 38 = 21 x > y-9 El Cruz Azul será campeón en la presente temporada de Futbol. Hola ¿como estas? Pásame el libro por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. El inciso r también es una proposición válida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también está perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de futbol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden. 

Proposiciones compuestas

Una proposición es compuesta si se puede partir en partes constitutivas que son a su vez proposiciones simples y están unidas por conectivos lógicos. Comenzamos por hacer abstracciones de ciertas propiedades del lenguaje informal. En particular hacemos abstracción de las propiedades lógicas de las conectivas con las cuales combinamos proposiciones simples para formar proposiciones compuestas. Tenemos que hacer reglas precisas sobre el modo como estas conectivas combinan proposiciones y,

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Matemáticas Discretas para construir un álgebra necesitamos tener una manera simbólica de representar las proposiciones simples y también las conectivas. Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:      

Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Conjunción Negación Condicional Bicondicional

Proposiciones disyunción

La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas. La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente. Ejemplo: a) Roberto es profesor o es estudiante. (Puede ser los dos) La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den conjuntamente. Ejemplo: b) Elena está viva o está muerta. (No puede ser los dos) Tabla de verdad:

p v q (se lee:” p o q”) EJEMPLOS: p =” El numero 2 es par” q =” la suma de 2 + 2 es 4″

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Matemáticas Discretas

Entonces: pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″ ______________________________________________________ p =” La raíz cuadrada del 4 es 2” q =” El numero 3 es par″ Entonces: pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”

Proposiciones de conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas. Tabla de verdad:

p ^ q (se lee:” p y q”) EJEMPLOS: p =” El numero 4 es par” q =”Siempre el residuo de los números pares es 2″ Entonces: p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″ ______________________________________________________________ p =” El numero mas grande es el 34” q =”El triangulo tiene 3 lados″ Entonces:

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Matemáticas Discretas p^q: “El numero más grande es el 34 y El triangulo tiene 3 lados” 

Proposiciones de Negación

La negación es un operador que se ejecuta. Sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Tabla de verdad:

EJEMPLOS p=”4 + 4 es igual a 9″ -p= “4 + 4 no es igual a 9″ ____________________________________________________________ p=”El 4 es un numero par” -p=“El 4 no es un numero par” •

Proposiciones de Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso. La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q Tabla de verdad:

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Matemáticas Discretas

EJEMPLOS p:”llueve” q: “hay nubes” p→q: “si llueve entonces hay nubes” _________________________________________________ p:”Hoy es miércoles” q: “Mañana será jueves” p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves” •

Proposiciones de Bicondicional

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

Tabla de verdad:

EJEMPLOS p: ”10 es un número impar” q: “6 es un número primo” p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo” p: ”3 + 2 = 7″ q: “4 + 4 = 8″

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Matemáticas Discretas p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″

3.1.3- Tablas de Verdad A partir de los conectores u operadores lógicos, es posible formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples y conectadas entre sí por los conectores lógicos), sin embargo los criterios de verdad resultantes de los operadores lógicos están regidos por determinadas reglas de la lógica booleana que señalaremos en forma posterior. 

Disyunción inclusiva (Or)

La disyunción inclusiva, llamada también alternación, es el operador correspondiente al término "o". Su símbolo es "", colocada entre dos proposiciones. Sin embargo, la "o" en este caso no tiene carácter de encrucijada o de dilema, y se puede interpretar como " o uno u otro o ambos". Por ciertas analogías con el álgebra se le llama también suma lógica. La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente: Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son. La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue: p V V F F

q V F V F

pq V V V F

Ejemplo. Sea el siguiente enunciado: “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase” Sean: p: Entra al cine. q: Compra su boleto. r: Obtiene un pase. La única manera en la que no puede ingresar al cine (p=F), es que no compre su boleto (q=F) y que no obtenga un pase (r=F).

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Matemáticas Discretas 

Disyunción exclusiva (Xor)

La disyunción exclusiva corresponde a la expresión " o uno u otro, pero no ambos a la vez". Ejemplos de expresiones afines a esta conectiva son " a menos que…" o "salvo que…". Su símbolo es "". La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente: Una disyunción exclusiva es verdadera cuando una de sus alternativas es verdadera; y será falsa si las dos alternativas son falsas o verdaderas. La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue: p V V F F

q V F V F

pq F V V F

En el lenguaje natural empleamos este sentido exclusivo de la disyunción cuando decimos que alguien es cristiano o musulmán. Si alguien es cristiano, si es consecuente con ello, no podrá ser musulmán, y viceversa. O cuando decimos que un examen se aprueba o se reprueba. 

Conjunción (And)

La conjunción es el operador correspondiente al término "y", se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es “” o en forma alternativa: “.” ó “&”. Se le conoce como la multiplicación lógica. La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la siguiente:  Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es verdadera  Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos, es falsa.  Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean. Lo expresado anteriormente se resume simbólicamente con la siguiente tabla de verdad: q V V F F

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r V F V F

qr V F F F

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Matemáticas Discretas Ejemplo. Sea el siguiente enunciado: “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”. Sean: p: El coche enciende. q: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p=qr De la tabla de verdad, si q = V significa que el tanque tiene gasolina, r = V significa que la batería tiene corriente y p = q  r = V significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen F implica que el auto no tiene gasolina ó la batería no tiene corriente y que por lo tanto no puede encender. La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará. 

Negación (Not)

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica este operador, se obtendrá su complemento o negación (falso). Se simboliza, generalmente por el signo "~". La negación corresponde a la expresión: "no es el caso que" o, más brevemente, "no". A partir de la teoría de conjuntos, establecimos si un elemento pertenece o no a un conjunto y se señaló que si no es elemento del conjunto, entonces es elemento del conjunto complemento. Por tanto la negación se refiere al conjunto complemento. Se establece el siguiente principio para la negación lógica: la negación de un enunciado verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso es verdadero. Lo que equivale a decir que la negación de la negación de una proposición verdadera es verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsa es falsa. p V F

~p F V

Ejemplo: Sea el siguiente enunciado “Está lloviendo en este momento”. Sea: p: Está lloviendo en este momento.

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Matemáticas Discretas La negación de está lloviendo en este momento (p=V), es no está lloviendo en este momento (~p=F). 

Condicional

La condicional, expresada por la frase "si… entonces…", se simboliza mediante el signo "" colocado entre las dos proposiciones. La primera proposición lleva el nombre de antecedente y la segunda proposición la de consecuente. La condicional, según veremos, es una conectiva para la cual importa el orden de las cláusulas, esto es, se trata de un conector no conmutativo. En este caso el antecedente es una condición suficiente respecto del consecuente y el consecuente es una condición necesaria respecto del antecedente. La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente: La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás caso será verdadera. La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue: p V V F F

q V F V F

pq V F V V

Ejemplo: El candidato dice “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Sean: p: Salió electo Presidente de la República. q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera. pq Se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p = V y q = V significa que salió electo y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p  q = V; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p = V y q = F significa que p  q = F; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p = F y q = V significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p  q = V. 

Bicondicional.

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Matemáticas Discretas La bicondicional, expresada por la frase "…si y solo sí…", denotada por el signo"", significa una relación bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan entre sí. La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente: La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas. Lo expresado anteriormente se resume simbólicamente con la siguiente tabla de verdad: p V V F F

q V F V F

pq V F F V

Ejemplo. El enunciado siguiente es una proposición bicondicional. “Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez” Donde: p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de diez.

3.1.4- Tautologías, Contradicción y Contingencia. • Tautología Son todas aquellas formulas que son ciertas para cualquier valoración de los símbolos proposicionales que contiene. Es una expresión lógica que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad. La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si una expresión cualquiera es una tautología o no. Ejemplo:

• Contradicción

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Matemáticas Discretas Son todas aquellas formulas que son falsas para cualquier valoración de los símbolos proposicionales que contiene. También Una proposición es una contradicción, si es falsa para todos sus valores de verdad. Ejemplo:

• Contingencia Son todas aquellas formulas cuyo valor de verdad o falsedad dependen de la valoración de los símbolos proposicionales que contiene. También podría decirse que Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Ejemplo:

Ejemplo del Tema: Demostrar que ϕ = (p → q) ∧ p ∧ ¬q es una contradicción. Reducción al absurdo: ➢ Supongamos que existe valoración V tal que V

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Matemáticas Discretas ➢ Entonces V p → q, V p, V ¬q ➢ Pero no es posible [p → q] V = 1 con V (p) = 1 y V (q) = 0

3.1.5- Equivalencia lógica. Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes. Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales. Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de la conjunción, la fórmula p(qr) es lógicamente equivalente a (pq)r. Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante. Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con “Vs” y “Fs” donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r. Si dos fórmulas lógicas son equivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautología. Leyes de la Lógica:

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Matem谩ticas Discretas

Ejemplos:

Ejercicios: Demostraci贸n de la equivalencia l贸gica:

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Matemáticas Discretas

Respuesta:

Identifica el Error de la siguiente demostración:

Respuesta:

3.1.6- Reglas de inferencia Indiferencia: Es deducir, y deducir es obtener conclusiones a partir de unas premisas. Tiene como finalidad facilitar el análisis de argumentos mediante el lenguaje simbólico y las “Reglas de la Inferencia”. Regla de inferencia es un esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserción llamada conclusión. Las reglas también se aplican a la lógica informal y a las discusiones, pero la formulación es mucho más difícil y polémica. Las reglas también se aplican a la lógica informal y a las discusiones, pero la formulación es mucho más difícil y polémica. Como se mencionó la aplicación de una regla de inferencia es un procedimiento puramente sintáctico. Sin embargo debe también ser el válido o mejor dicho preservar la validez. Para que el requisito de preservación de la validez tenga sentido es necesaria una cierta forma semántica para las aserciones de las reglas de inferencia y las reglas de inferencia en sí mismas.

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Matemáticas Discretas Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llaman reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. Ejemplo: ¿Es válido el siguiente argumento? Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico. Si se hace usted rico, entonces será feliz. \Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz. Sea: p:

Usted invierte en el mercado de valores.

q:

Se hará rico.

r:

Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera: p®q q®r \p®r A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración. a)

Reglas de Adición:

Con cualquier premisa o conclusión podemos formular una conclusión disyuntiva en la que uno de sus miembros sea esa premisa o conclusión. p ˆ pwq

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Matemáticas Discretas b)

Reglas de Simplificación:

La premisa o conclusiones conjuntivas pueden simplificarse en cualquiera de sus miembros. ˆ pwq p c)

Reglas de Silogismo Disyuntivo:

Siempre que se de una disyunción y dos enunciados condicionales cuyos antecedentes sean cada uno un miembro distinto de esa disyunción, se puede concluir con la disyunción de los consecuentes de los enunciados condicionales. pwq p‟ ˆp d)

Reglas de Silogismo Hipotético:

Siempre que se den dos condicionales, siendo el consecuente del primero el antecedente del segundo, se puede concluir con un condicional cuyo antecedente del primer condicional y cuyo consecuente sea el consecuente del segundo condicional. p÷q q÷r p÷r e)

Reglas de Conjunción:

Toda premisa o conclusión puede ser enlazada por una conjunción. p q pvr f)

Reglas de Ponendo Ponens:

En una proposición condicional, siempre que se afirme (Poniendo) el antecedente, podemos afirmar (Ponens) el consecuente. p÷q

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Matemáticas Discretas p q Reglas de Inferencia Deductiva

MODUS PONENDO PONENS (PP) p→q p

“Si llueve, entonces las calles se mojan” “Llueve”

(premisa) (premisa)

__________________________________________________ q

“Luego, las calles se mojan”

(conclusión)

El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla „ponendo ponens‟ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q). MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT) „Tollendo tollens‟ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar. p→q ¬q

“Si llueve, entonces las calles se mojan” “Las calles no se mojan”

__________________________________________________ ¬p

“Luego, no llueve”

Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse. Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que

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Matemáticas Discretas apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente.

3.1.7- Argumentos validos e inválidos En matemáticas y en lógica un argumento no es una disputa. Más bien, es una secuencia estructurada de afirmaciones que terminan en una conclusión. En esta sección veremos cómo determinar si un argumento es válido; es decir, cuándo la conclusión se deduce de los hechos que la preceden. Argumento: Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, o suposiciones o hipótesis. La declaración final se llamará conclusión. Ejemplo: Lo siguiente representa a un argumento: 1. Si Juan estudia adecuadamente, entonces Juan pasa el curso de Discretas. 2. Juan está estudiando adecuadamente. 3. Juan pasará el curso de Discretas.

Argumentos Válidos e Inválidos Definición: Diremos que un argumento es argumento válido si para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas, también la conclusión es verdadera. De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos 4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un Argumento válido ó 5. Detectar si existe un renglón crítico con conclusión falsa. En cuyo caso se dirá Argumento inválido

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Matemáticas Discretas Ejemplo 1: p→(q v ¬r), ¬q, p|= ¬r

P

2

3

C

5

P

q

p→

v

(q ^

¬r

¬r)

P

¬ p

q

r

¬q

r

V

V

V

F

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

V

V

V

3.1.8- Demostración formal Directa Por contradicción Un sistema matemático consta de axiomas, definiciones y términos no definidos. Se suponen verdaderos los axiomas. Las definiciones se utilizan para crear conceptos nuevos en términos de los existentes. Algunos términos no se definen en forma explícita, sino que se definen en forma implícita mediante los axiomas. Dentro de un sistema matemático es posible deducir teoremas. Un Teorema es una proposición cuya verdad se ha demostrado. Un argumento que establece la verdad de un teorema es una demostración. La lógica es una

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Matemáticas Discretas herramienta para el análisis de las demostraciones. En esta sección describiremos dos métodos generales de demostración: Directa y por contradicción. Si una fórmula tiene la forma A → B y es una tautología, en donde A y B pueden ser proposiciones compuestas, entonces decimos que B se desprende lógicamente de A y se representa por A |= B. También podemos considerar tautologías de la forma: (p1 p2 ^ … ^ pn)→ q Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1,p2,…,pn. Se escribe: p1 , p2 , … , pn |= q Significa que si se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,…, y pn también es verdadera, entonces estamos seguros que q es verdadera. Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo. Donde p1, p2, … son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. Demostrar el teorema, es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las p1, p2, … son verdaderas. Una demostración directa comienza con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión. A continuación veremos lo que es una prueba condicional. En este caso la conclusión es un enunciado de la forma A → B ; en este caso demostrar que la condicional se desprende de un conjunto de premisas P1, P2, … Pn es equivalente a probar que B de desprende de las premisas junto con A, la cual se llama premisa adicional. Esto lo podemos expresar en el siguiente teorema. P1, P2, … , Pn |= (A → B) es equivalente a P1, P2, … , Pn, A |= B. Ejemplo 1 Demuestre el argumento p → ¬q, q ∨ ¬r, s → r |= p → ¬s Demostración:

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Matemáticas Discretas 1. p → ¬q Premisa 2. q ∨ ¬r Premisa 3. s → r Premisa 4. p Premisa Adicional 5. ¬q MPP(1,4) 6. ¬r SD(2,5) 7. ¬s MTT(3,6) Demostración por contradicción: El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción. La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica

p → (q ^ r), (q ∨ s) → t, (p ∨ s) |= t Demostración: 1. p → (q ^ r) Premisa 2. (q ∨ s) → t Premisa 3. p ∨ s Premisa 4. ¬t Premisa Adicional 5. ¬ (q ∨ s) MPP (2,4) 6. ¬q ^ ¬s Ley de Morgan (5) 7. ¬q LS (6) 8. ¬s LS (6) 9. p SD(3,8) 10. q ^ r MPP(1,9)

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Matemáticas Discretas 11. q LS(10) 12. q ^ ¬q Conjunción (7,11) Pero esto último es una contradicción, por lo que queda demostrado el argumento. Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión como premisa adicional, paso 4. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados. La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.

3.2- Lógica de predicados La lógica de predicados es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden. La principal debilidad de la lógica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado cuando se las representa en lógica proposicional. Por esto se desarrolló una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lógica de predicados. Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro. La lógica de predicados está basada en la idea de las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro. Por ejemplo, el siguiente predicado es verdadero: Color (yerba, verde) El mismo predicado, pero con diferentes argumentos, puede no ser verdadero: Color (yerba, azul) o color (cielo, verde) Los predicados también pueden ser utilizados para asignar una cualidad abstracta a sus términos, o para representar acciones o relaciones de acción entre dos objetos. Por ejemplo:

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Matemáticas Discretas Mortal (Juan_Carlos) Clima (martes, lluvioso) Ave (gaviota) Ama (Roberto, Vanessa) Lee (Alex, novela) Mordió (boby, cartero) Al construir los predicados se asume que su veracidad está basada en su relación con el mundo real. La lógica de predicados, se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas.

3.2.1- Cuantificadores En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. El cuantificador universal indica que algo es cierto para todos los individuos. Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A. Cuantificador Existencial La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”. Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”, “hay al menos un x tal que…” o “para algún x…”.

EJEMPLOS: Todos los humanos respiran (∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado. ____________________________________________________________________ Todos los alumnos son estudiosos (∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.

3.2.2- Representación y evaluación de predicados La principal debilidad de la lógica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado

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Matemáticas Discretas cuando se las representa en lógica proposicional. Por esto se desarrolló una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lógica de predicados. Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro. La lógica de predicados, se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas. El cuantificador universal; “ indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo: “X.... Establece que “para todo X, es verdad que . . . “ El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo: $X.... Establece que “existe un X, tal que. . . “ Ejemplos de predicados cuantificados: “ X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)]. “ Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)]. $ Z, [cartro(Z) ^ mordió (boby, Z)].

3.3- Algebra declarativa Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos. Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es: Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:

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Matemáticas Discretas

(B) si p es una proposición lógica, es una fbf. (R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F). (R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔. Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

p

q

(p Ù ~

~(p Ù ~

~(p Ù ~ q)p

q)

q)

Þq

pÞq

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

V

¿Cómo simplificar en lógica? Hay que utilizar equivalencias lógicas. Por ejemplo, simplificar: ( p ^ q ) ^ ¬ q. Para esto utilizamos las siguientes equivalencias lógicas: ( A ^ B ) ^ C <=> A^(B ^C) A ^ ¬ A <=> F A ^ F <=> F ( p ^ q ) ^ ¬q <=> F

Se puede observar que no existe distinción entre la equivalencia lógica y el esquema que la genera.

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Matemáticas Discretas Ejemplo Demostrar que una vez que p ^ q esta establecida, se puede concluir q. Esta demostración se puede hacer de dos formas: A) Se demuestra que p ^ q → q es una tautológica, es decir p ^ q <=> q. Demostración ¬p V ¬q V q <=> V B) Se demuestra que ( p ^ q ) ^ ¬q <=> F lo que nos lleva a que ( p ^ q ) ^ ¬q → F debe ser una tautológica

3.4 Inducción Matemática En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento: Premisa mayor: El número entero tiene la propiedad. Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero tenga la propiedad implica que también la tiene. Conclusión: Todos los números enteros a partir de tienen la propiedad. La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N. EJEMPLO Demostraremos que: 1+2+3+…………+n = n(n+1), ” n perteneciente a los naturales (*) 2 1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*) 2 Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que: 1+2+3+………+k = k (k+1). (Hipótesis de inducción). 2

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Matemáticas Discretas Demostremos que k – 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que: 1+2+3+………+k+(k+1) = (k+1)(k+2). 2 Demostración: (1+2+3+…….+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1) 2 = k(k+1)+2(k+1) 2 = (k+1)(k+2) 2

Ejemplo: Demuestre usando inducción que: 2 + 4+ 6 + 8+……….+ 2n = n (n+1) N 2i = n (n+1) i =1 n=1 1 2*1 = 1(1+1) i =1

= 1*2 =2 Suponer valido para n = k

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Matemáticas Discretas k 2i = k (k+1) Esto es la hipótesis i =1 Demostrar para n = k+1 K+1 2i = (k+1) (k+2) i =1 k+1 k 2i = 2i + 2(k+1) i =1 i =1 = k (k+1) + 2(k+1) = (k+1) (k+2)

3.5 Aplicación de la lógica Matemática en la computación. LÓGICA COMPUTACIONAL Es la misma lógica matemática aplicada al contexto de las ciencias de la computación. Su uso es fundamental a varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programación lógica y en el análisis y optimización (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos. CIRCUITOS COMPUTACIONALES El nivel menos abstracto dentro de una computadora está constituido por circuitos electrónicos que responden a diferentes señales eléctricas, siguiendo los patrones de la lógica booleana; esto es, compuertas lógicas que devuelven un valor dependiendo de las entradas que se le dan al sistema. Existen ocho compuertas lógicas básicas con las cuales se pueden formar sistemas muy complejos: AND, OR, Inverter, Buffer, NAND, NOR, XOR y XNOR. Todas ellas son representadas mediante un símbolo y una tabla de valores de verdad, que es simplemente un cuadro donde se ubican todas las posibles entradas y los valores que devolvería la compuerta dados dichos valores. Todo sistema computacional, por muy complejo que sea, no está compuesto por más que circuitos electrónicos que únicamente entienden un lenguaje binario. La lógica computacional se encarga de modelar y optimizar tales sistemas a este nivel.

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Matemáticas Discretas • Algoritmos En matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo (del griego y latín, dixit algorithmus y éste a su vez del matemático persa Al Juarismi ) es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. La lógica de predicados, se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas. •El cuantificador universal; “indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo: “X. . . . Establece que “para todo X, es verdad que. . . “ •El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo: $ X. . . . Establece que “existe un X, tal que. . . “ El pseudocódigo es una herramienta algorítmica que permite escribir pseudoprogramas (una imitación de un programa real) utilizando un lenguaje de pseudoprogramación que es una imitación de los lenguajes de programación de alto nivel. Así, un pseudocódigo es una combinación de símbolos (+, -, *, /, %, >, >=, <, <=, !=, ==, y, o, no), términos(Leer, Imprimir, Abrir, Cerrar, Hacer…Mientras, Mientras…Hacer, Para…Mientras, etc.)y otras características comúnmente utilizadas en uno o más lenguajes de alto nivel. PROGRAMACIÓN LOGICA Programación lógica consiste en la aplicación del corpus de conocimiento sobre lógica para el diseño de lenguajes de programación. La programación lógica es un tipo de paradigmas de programación dentro del paradigma de programación declarativa. El resto de los subparadigmas de programación dentro de la programación declarativa son: programación funcional, programación basada en restricciones, programas DSL (de dominio específico) e híbridos. La programación lógica gira en torno al concepto de predicado, o relación entre elementos. La programación funcional se basa en el concepto de función (que no es más que una evolución de los predicados), de corte más matemático. La programación lógica encuentra su hábitat natural en aplicaciones de inteligencia artificial o relacionada: •Sistemas expertos, donde un sistema de información imita las recomendaciones de un experto sobre algún dominio de conocimiento. •Demostración automática de teoremas, donde un programa genera nuevos teoremas sobre una teoría existente.

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Matemáticas Discretas •Reconocimiento de lenguaje natural, donde un programa es capaz de comprender (con limitaciones) la información contenida en una expresión lingüística humana. •La programación lógica también se utiliza en aplicaciones más “mundanas” pero de manera muy limitada, ya que la programación tradicional es más adecuada a tareas de propósito general.

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Matemáticas Discretas 4.0 Algebra Booleana “A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE” El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. El álgebra booleana se define como: sea B un conjunto no vacío con dos operaciones binarias, se aplica en bits, es decir, el cero o el uno, (+ y *), una operación unaría („) y dos elemento distintos (0 y 1) que siguen los siguientes axiomas y donde a, b, y c son elementos arbitrarios en B.

Unaria es un ejercicio matemático en el que solo necesita el operador y un único operando, es decir, un razonamiento para que se pueda calcular un valor. · El símbolo * generalmente no se utiliza y se pone una yuxtaposición, por ejemplo: A*B= AB

Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iníciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

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Matemáticas Discretas POSTULADOS

DEFINICION

CERRADO

El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores se produce un solo resultado.

CONMUTATIVO

Se dice que un operador binario “º” es conmutativo si A º B = Bº A para todos los posibles valores A y B.

ASOCIATIVO

Se dice que un operador binario “º” es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, C.

DISTRIBUTIVO

Dos operadores binarios “º” y “%” son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, C.

IDENTIDAD

INVERSO

Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario “º” si A º I = A Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “º” si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores: - Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. - El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B. - El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B. - El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.

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Matemáticas Discretas

- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha. Utilizaremos además los siguientes postulados:      

P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y + son conmutativos. P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A. P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

TEOREMA

ECUACION

Teorema 1

A+A=A

Teorema 2

A*A=A

Teorema 3

A+0=A

Teorema 4

A*1=A

Teorema 5

A*0=0

Teorema 6

A+1=1

Teorema 7

(A + B)‟ = A‟ * B‟

Teorema 8

(A * B)‟ = A‟ + B‟

Teorema 9

A+A*B=A

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Matemáticas Discretas Teorema 10

A * (A + B) = A

Teorema 11

A + A‟B = A + B

Teorema 12

A‟ * (A + B‟) = A‟B‟

Teorema 13

AB + AB‟ = A

Teorema 14

(A‟ + B‟) * (A‟ + B) = A‟

Teorema 15

A + A‟ = 1

Teorema 16

A * A‟ = 0

Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole. Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0. Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0. Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones. El número posible de casos es 2n. Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:

VOTOS

RESULTADO

1111

1

1110

1

1101

1

1100

0

1011

1

1010

0

1001

0

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Matemáticas Discretas 1000

0

0111

0

0110

0

0101

0

0100

0

0011

0

0010

0

0001

0

0000

0

Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (min términos) iguales a 1. En nuestro ejemplo la función f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD

booleana

será:

Diagramas De Karnaugh Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas. Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que el número de 1 sea potencia de 2. En esta página tienes un programa para minimización de funciones booleanas mediante mapas de Karnaugh

4.1 Teoremas y postulados Algebra booleana 

Teoremas

Teorema 1: Multiplicación por cero (identidad) Es el factor neutro: Suma: a+1=!--------Producto: a0=0

Teorema 2: Absorción En la suma se identifica primero de forma aislada y luego multiplicando a otra expresión.

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Matemáticas Discretas Suma: A+(AB)=A----------Producto: A(A+B)=A

Teorema 3: Cancelación I Es cuando se encuentra una expresión sumada o multiplicada con su complemento: Suma:A+A'B=A+B-------Producto: A(A'+B)=AB

Teorema 4: Cancelación II Se identifica en 2 términos que comparten un factor común y otro que no es común, uno de ellos es el complemento de la otra: Suma: AB+A'B = B--------Producto:(A+B)(A'+B)=B

Teorema 5: Idempotencia Si se suma o multiplica el término n número de veces, dará por resultado el mismo. Suma: A+A+A=A---------Producto:(A)(A)(A)=A

Teorema 6: Consenso Se encuentran 2 términos que contengan una expresión en uno afirmada y en otro negada, anotar los términos con que se multiplica uno y otro, al final se busca otro elemento o termino que sea la multiplicación de estos 2 últimos, este ultimo se multiplica. Suma: AB+A'C+BC=AB+A'C---------------Producto: (A+B)(A'+C)(B+C)=(A+B)(A'+C)

Teorema 7: De Morgan Si hay suma complementada se puede hacer el producto de cada parte con su complemento. Suma: |A+B|=A'B'---------------Producto: |AB|=A'+B'

Teorema 8: Involución El complemento de un complemento es el termino sin complementos.----||A=A

Teorema 9: Complemento de neutros El complemento de la nada es el todo y el del todo es la nada.0'=1----1'=0

Postulados

Postulado 1: Definición En un sistema algebraico definido en un conjunto B, que contiene 2 o más elementos donde pueden darse solo 2 operaciones, la suma u operación "OR" y la multiplicación o multiplicación "AND"

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Matemáticas Discretas Postulado 2: Identidad (existencia de neutros)En B, el elemento neutro de la suma determinada "0" y en la multiplicación "!" donde X en B: a)n+0=X------------ b)X1=X

Postulado 3: Conmutatividad Para cada X, Y, Z en B: a)X+Y=Y+X-----b)XY=YX

Postulado 4: Asociatividad Para cada X,Y,Z en B: a)X+(Y+Z)=(X+Y)+Z---------b)X(YZ)=(XY)Z

Postulado 5: Distributividad Para cada X,Y,Z en B: a)X+(YZ)=(X+Y)(X+Z)-----------b)X(Y+Z)=(XY)+(XZ)

Postulado 6: Existencia de complemento Para cada X en B existe un elemento único denotado por X' complemento tal que: a)X+X'= 1-------b)XX'=0 Ejemplos: x+x=x x + x = (x + x) . 1 x + x = (x + x) (x + x‟) x + x = x + xx‟

x + xy = x x . 1 + xy = x x (1 + y) = x x (y + 1) = x

x+x=x+0

x (1) = x

x+x=x

x=x

4.2 Optimización de expresiones booleanas Las expresiones booleanas se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero o falso, y el resultado de su evaluación es un valor de verdad. Los operandos de una expresión booleana pueden ser cualquiera de los siguientes: Expresiones relacionales: que comparan dos valores y determinan si existe o no una cierta relación entre ellos (ver más adelante), tal como mfn<10; Funciones booleanas: tal como p (v24), que regresa un valor de verdad (estos se explican bajo "Funciones booleanas"). Las expresiones relacionales permiten determinar si una relación dada se verifica entre dos valores. La forma general de una expresión relacional es:

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Matemáticas Discretas Expresión-1 operador-de-relación expresión-2 Dónde: Expresión-1 es una expresión numérica o de cadena Operador-de-relación es uno de los siguientes: = Igual No igual (diferente de) < Menor que <= Menor o igual que Mayor que >= Mayor o igual que Contiene (puede ser usado sólo en expresiones de cadena) Expresión-2 es una expresión del mismo tipo que expresión-1, o sea, expresión- 1 y expresión-2 deben ser ambas expresiones numéricas o ambas expresiones de cadena. Los operadores de relación = <> < <= > >=tienen su significado convencional cuando se aplican a expresiones numéricas (dentro de los límites de precisión de los valores numéricos definidos bajo "Expresiones numéricas"). Cuando se comparan expresiones de cadena, se aplican las siguientes reglas: Excepto por el operador ":" (contiene), las cadenas se comparan exactamente en la forma en que ocurren, o sea, las letras mayúsculas y minúsculas se comparan de acuerdo con el código ASCII que les corresponde (p.ej. A será considerada menor que a); Dos expresiones de cadena no son consideradas iguales, a menos que tengan la misma longitud. Si dos expresiones generan cadenas de diferente longitud que son idénticas, carácter por carácter, hasta el total de la longitud de la más corta, entonces, la más corta será considerada menor que la más larga. El operador: (contiene), busca una cadena de caracteres (definida por expresión-2) en otra cadena (definida por expresión-1). Si el segundo operando existe en cualquier parte del segundo operando, el resultado es Verdadero (TRUE). Este operador es insensible al hecho de que los caracteres se hallen en mayúsculas o minúsculas: por lo que las letras minúsculas se consideran iguales a su letra mayúscula correspondiente. Por ejemplo, el resultado de: v10: 'química' Será Verdadero (True) si, y sólo si, el campo 10 contiene la cadena química en caso contrario, el resultado será Falso (False). Nótese que el segundo operando puede ser cualquier cadena o carácter, y no necesita ser una palabra como tal. Por lo tanto, en este ejemplo, el resultado será Verdadero no sólo si el

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Matemáticas Discretas campo 10 contiene la palabra química, sino también si contuviera bioquímica, fotoquímicas, químicamente, etc. Los operandos de una expresión booleana pueden combinarse con los operadores siguientes: NOT (NO) Este operador produce el valor Verdadero, si su operando es Falso; y el valor Falso, si su operando es Verdadero. El operador NOT sólo puede usarse como operador signo +, o sea, siempre se aplica a la expresión booleana que le sigue; AND (Y) Este operador produce el valor Verdadero si ambos operandos son Verdadero. Si cualquiera de los dos operandos es Falso, entonces el resultado será Falso; OR (O) Este operador realiza una operación O-inclusivo. El resultado es Verdadero si cualquiera de los dos operandos, o ambos son Verdadero. En caso contrario, es Falso. Al evaluar expresiones booleanas, y en ausencia de paréntesis, CDS/ISIS ejecutará las operaciones NOT en primer lugar, después las operaciones AND, y finalmente las OR. Las series de dos o más operadores del mismo nivel, se ejecutan de izquierda a derecha. Se pueden usar paréntesis para alterar el orden de evaluación: las expresiones dentro de paréntesis se evalúan antes, y las expresiones entre paréntesis internos a otros, son evaluadas antes que las expresiones externas a los paréntesis.

4.3 Aplicación del algebra booleana Compuertas lógicas Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicos mencionados en lo anterior y funcionan igual que una calculadora, de un lado ingresas los datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra el resultado.

Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la operación que realiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, veamos la primera. 

Compuerta NOT

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Matemáticas Discretas Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si pones su entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es s igual a a invertida.

Compuerta AND

Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es un producto entre ambas, no es un producto aritmético, aunque en este caso coincidan.*Observa que su salida será alta si sus dos entradas están a nivel alto* 

Compuerta OR

Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, será una suma entre ambas... Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 = 1, el tema es que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b*Es decir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea también 1*

Compuerta OR-EX o XOR

Es OR Exclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b.*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1*

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Matemáticas Discretas

Estas serían básicamente las compuertas más sencillas. Compuertas Lógicas Combinadas Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son y cuál es el símbolo que las representa... 

Compuerta NAND

Responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representación simbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la compuerta AND.

Compuerta NOR

El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversión de la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo agregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.

Buffer's

En realidad no realiza ninguna operación lógica, su finalidad es amplificar un poco la señal (o refrescarla si se puede decir). Como puedes ver en el siguiente gráfico la señal de salida es la misma que de entrada.

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Matemáticas Discretas 

Compuerta NOR-EX

Es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se pueden apreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notar la diferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico.

4.3.1 Mini y maxi términos “MINITÉRMINO: Término producto en el que aparecen todas las variables, ya sean complementadas o sin complementar. MAXITERMINO; Es una operación OR de “N” términos, cada uno de los cuales contiene solamente una de las variables dela función.” Un Mini termino es un producto en el que aparecen todas las variables, yas ean complementadas o sin complementar. 

FÓRMULA CANÓNICA DISYUNTIVA O DE MINITÉRMINOS

Suma de mini términos (Suma de Productos).Dada la lista completa de mintérminos y asignando 1's y 0's arbitrariamente a las variables, siempre hay un, y sólo un, minitérmino que toma el valor 1. Un mintérmino es un término producto que es 1 exactamente en una línea de la tabla de Verdad.La fórmula compuesta por todos los mintérminos será idénticamente 1. Cada fórmula de conmutación puede expresarse como suma de mintérminos. Y esa fórmula es única. Algunas veces es conveniente expresar la función booleana en la forma de suma de miniterminos. Si no puede hacerse en esta forma entonces puede realizarse primero por la expansión de la expresión en una suma de los términos AND. Después cada término se inspecciona para ver si contiene todas las variables, si se han perdido una o más variables, se aplica el operador AND con una expresión x+x‟ en donde x es una de las variables perdidas. NOTACIÓN: Un mintérmino se designa por "mi" siendo i el número decimal correspondiente de la tabla de verdad. Para el producto, el 0 se asocia a la variable complementada y el 1 a la variable sin complementar.

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Matemáticas Discretas EJEMPLO:C B A F(C,B,A) 0001 0010 0101 0111 1000 1010 1100 1111 F(C,B,A) = m0 + m2 + m3 +m7 = S m(0,2,3,7) F(C,B,A) = C'·B'·A' + C'·B·A' + C'·B·A + C·B·A O bien F(C,B,A) = C·B·A + C·B·A + C·B·A + C·B·A

Ejemplo: Expresar la función F = A+B‟C en una suma de miniterminos. F= A+B‟C F(A,B,C) A= A(B+B‟) = AB+AB‟ = AB(C+C‟) + AB‟(C+C‟) = ABC + ABC‟ + AB‟C +AB‟C‟

B‟C = B‟C (A+A‟) = AB‟C + A‟B‟C

F = ABC+ABC‟+AB‟C+AB‟C‟+AB‟C+A‟B‟C

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Matemáticas Discretas F = A‟B‟C+AB‟C‟ +AB‟C+ABC‟+ABC F = m1+ m4+m5+ m6+ m7 F(A,B,C)=SUM(1,4,5,6,7) La sumatoria representa al operador OR que opera en los términos y números siguientes son los minitérminos de la función. Las letras entre paréntesis que siguen a F forman una lista de las variables en el orden tomado cuando el minitérmino se convierte en un término AND. Un Maxi termino es aquel aparecen todas las variables, ya sean complementadas o sin complementar. 

FÓRMULA CANÓNICA CONJUNTIVA O DE MAXTÉRMINOS: producto de maxtérminos (Producto de sumas).

Dada la lista completa de maxtérminos y asignando 1¶s y 0¶s arbitrariamente a las variables, siempre hay un y sólo un maxtérmino que toma el valor 0. Un maxtérmino es un término suma que es 0 exactamente en una línea de la tabla de verdad. La fórmula compuesta por todos los maxtérminos será idénticamente 0. Cada fórmula puede expresarse como producto de maxtérminos. Y es única. NOTACIÓN: Un maxtérmino se designa por ³Mi´ siendo i el número decimal correspondiente de la tabla de verdad. En la suma, el 1 se asocia a la variable complementada y el 0 a la variable sin complementar. EJEMPLO:C B A F(C,B,A) 0001 0010 101 0111 1000 1010 1100 1111 F(C,B,A) = M1 · M4 · M5 · M6 = P M(1,4,5,6) F(C,B,A) = (C+B+A') · (C'+B+A) · (C'+B+A') · (C'+B'+A) O bien:

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Matemáticas Discretas F(C,B,A) = (C+B+A) · (C+B+A) · (C+B+A) · (C+B+A)

4.3.2 Representación de expresiones booleanas con circuitos lógicos Las siguientes son cuatro expresiones booleanas en las tres variables x, y, z: (x + y)(x + z).1.

x + y.

x‟z + x‟y + z‟.

z.

Es obvio que las expresiones del lado izquierdo involucran las tres variables, las del lado derecho dos y una variable respectivamente. Las expresiones booleanas 0 y 1 pueden verse como expresiones en cualquier número de variables. El número de variables de una expresión booleana es el número de letras distintas que aparezcan en la expresión, sin tener en cuenta si están o no complementadas. Forma normal disyuntiva. Una expresión booleana está en forma normal disyuntiva en n variables x1, x2,... xn, si la expresión es una suma de términos del tipo E1 (x1) x E2( x2) x ... x En(xn), donde Ei(xi) = xi o xi‟ para i = 1, 2,..., n, y ningún par de términos son idénticos. Además se dice que 0 y 1 están en F.N.D en una variable para todo n ³ 0. Toda expresión booleana que no contiene constantes es igual a una función en forma normal disyuntiva. La manera de realizar esa transformación la ilustra el siguiente ejemplo. Ejemplo 2 Escribir (xy‟ + xz)‟ + x' en F.N.D Solución: ( xy‟ + xz)‟ + x' = (xy‟)‟(xz)‟ + x' = (x‟ + y)(x‟ + z‟) + x‟ = (x‟ + y)x‟ + (x‟ + y)z‟ + x‟ = x‟ + x‟y + x‟z‟ + yz‟ + x‟ = x‟ + yz‟ = x‟(y + y‟)(z + z‟) + yz‟(x + x‟) = x‟ y z + x‟ y z‟ + x‟ y‟ z + x‟ y‟ z‟ + x y z‟ Cualquier expresión booleana puede colocarse en forma normal disyuntiva en más de una forma. Basta cambiar el número de variables.

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Matemáticas Discretas 5.1 Conceptos Básicos

Para definir la teoría de los conjuntos empezamos con 3 ideas o conceptos primarios: conjunto, elemento y pertenecía.

Conjunto: Es una colección de elementos de tal manera que es posible establecer si un elemento dado pertenece o no a un conjunto. Un conjunto se puede representar con un par de llaves { } escribiendo los elementos que contiene.

Ejemplo: A = { x, y, z, w } Vocales = { a, e, i, o , u } N = { 0, 1, 2, 3, 4, ...} Potencias = { 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} Un conjunto debe quedar perfectamente definido, que se pueda saber si un elemento dado pertenece o no al conjunto. Así por ejemplo: A = { x, y, z, w } Saben que x esta en A pero v no lo está. Cuando un elemento a esta en un conjunto A, se representa a ∈ A y si no esta escribir a ∉ A. En los casos anteriores queda así: x ∈ A,

v ∉ A

Igualdad de conjuntos

Definición: Dados dos conjuntos A y B, se dice que son iguales, (y lo denotamos por A=B) , si están formados por exactamente los mismos elementos. En símbolos: A = B ↔ ∀ x: x ∈ A → x ∈ B ∧ ∀ y: y ∈ B → y ∈ A

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Matemáticas Discretas

Se suele llamar también a la anterior definición, Principio de extensión. Ejemplo: Dado el conjunto A={1, 2, 3}, defina otros tres iguales al mismo.

Solución: B = {2, 3, 1, 1} C = {x/ x ∈ N ∧ x < 4} D = {x/ (x=1) ∨ (x=2) ∨ (x=3)}

Aquí, se han utilizado los conocidos conectivos lógicos ( en C y D ), para conformar la proposición que caracteriza a los elementos del conjunto y se han separado con paréntesis "innecesarios" las funciones proposicionales de pertenencia, para destacarlas como tal. Estrictamente hablando, cuando decimos que dos conjuntos son iguales, en realidad nos estamos refiriendo a dos representaciones o caracterizaciones del mismo conjunto; establecemos una relación entre dos nombres de una misma entidad. 

Operaciones con conjuntos

Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal U. Definimos las siguientes operaciones entre conjuntos: Unión: A ∪ B = { x∈U : x∈ A ó x∈ B } Intersección: A ∩ B = { x∈U : x∈ A y x∈ B }

Diferencia: A - B = { x∈U : x∈ A ^ x∉ B }

Complementario: A^c U \ A { x ∈ U : x ∉ A }

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Matemáticas Discretas 5.1.1 Producto Cartesiano En teoría de conjuntos, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto. Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A×B=

{(1, a),

(1, b),

(2, a),

(2, b),

(3, a),

(3, b),

(4, a),

(4, b)}

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto. Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento". Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos: El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:

Ejemplo 1:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:

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Matemáticas Discretas Ejemplo 2:

5.1.2 Relación Binaria En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B.

Las relaciones binarias se utilizan en muchos ramas de las matemáticas para modelar conceptos como "es mayor que", "es igual a", y "se divide" adentro aritmética, "a "adentro geometría, "está adyacente" a adentro teoría de gráfico, y muchos más. El concepto todo-importante de función se define como clase especial de relación binaria. Las relaciones binarias son también muy usadas adentro informática, especialmente dentro de modelo emparentado para bases de datos. Una relación binaria es el caso especial n = 2 de n- ary relación, es decir, un sistema de n- tuples donde jth componente de cada uno n- el tuple se toma de jth dominio Xj de la relación. n- la relación ary entre elementos de un solo sistema. Trabajo Final

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Matemáticas Discretas Representación gráfica de Relaciones Binarias. Las relaciones pueden representarse gráficamente de diversas maneras siendo las más comunes la representación cartesiana, la matricial y la sagitaria.

Mediante un gráfico cartesiano: En este caso se consideran como abscisas las primeras componentes y como ordenadas las segundas componentes. Mediante paralelas a los ejes trazados por los puntos de división se forma una cuadrícula cuyos elementos son los vértices de un producto cartesiano; de estos se señalan los que pertenecen a la relación R.

Representación Sagitaria: En ella se utilizan diagramas de Venn para representar los conjuntos departida y de llegada y se unen los pares ordenados mediante flechas. Esta es empleada para conjuntos finitos.

Representación Matricial: En ella se crea una matriz colocando los elementos del conjunto de partida cómo filas y los del conjunto de llegada como columnas. La matriz se llena colocando 1 en las posiciones donde los elementos se relacionan y 0 en caso contrario.

Ejemplo: 1.-

A={0, 1, 2, 3} B={0, 1, 2, 3, 4, 5}

R(A,B)={(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3),(2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}.

5.1.3 Representación de las relaciones. Los ejemplos de relaciones que más se presentan en el área de la computación son aquellas que están definidas sobre conjuntos finitos. En esta sección se trataran dos formas de representar dichas relaciones y su uso para poder identificar las propiedades vistas en la sección anterior. 

Representación de relaciones usando matrices

Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es utilizando matrices compuestas de ceros y unos.

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Sean A y B conjuntos finitos de la forma: A = {a1, a2, a3, .....,am} y B {b1, b2, b3, ..., bm} Si R es una relación de A en B. La relación R puede ser representada por la matriz MR = (rij) m x n. La matriz se denomina matriz de R. En otras palabras la matriz, de ceros y unos, de R tiene un 1 en la posición cuando está relacionado con , y un 1 en esta posición si no está relacionado con . Obsérvese en la definición anterior que los elementos de A y B han sido escritos en un orden particular pero arbitrario. Por lo tanto, la matriz que representa una relación depende de los órdenes usados para A y B. Cuando A = B usamos el mismo orden para A y B. Ejemplo: Sean A = {1,c} y B = {e,a,1} Consideremos la siguiente relación de A en B: R = { (1,e), (c,1), (1,1), (c,a) } Entonces la matriz de R es:

Representación de relaciones usando conjuntos.

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los número primos es:

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Matemáticas Discretas

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo: S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjunto. 

Representación de relaciones usando Grafos Un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binaria entre elementos de un conjunto. También un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas). Ejemplo: A={1,2,3,4} R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4) }

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Matemáticas Discretas 

Representación de relaciones usando Diagrama Sagital: Es un diagrama de flechas. Puede ser utilizado para representar una relación matemática. Por ejemplo si "a" se relaciona con "b" escribimos aRb o bien decimos que (a,b) pertenece a la Relación.

Propiedades de las relaciones Las relaciones se pueden clasificar de acuerdo al tipo de asociación que hay en sus elementos como: uno-a-uno 1–1, uno-a-mucho 1-M, muchos-a-uno M1 o muchos-a-muchos M-M. Recordemos que una relación es un conjunto de pares ordenados. Definición: Una relación R de A a B es:Muchos-a-uno, M-1 si existen dos pares con el mismo segundo elemento, esto es existen (x,y), (z,y) distintas en la relación, con símbolos (∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ A) ((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R ^ x ≠ z) Propiedades de las relaciones.Uno-a-muchos ‘1-M’ si existen dos pares con el mismo primer elemento, esto es existen (x,y), (x,z) distintas en la relación, con símbolos (∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ B) ((x,y) ∈ R ^ (x,z) ∈ R ^ y ≠ z) Propiedades de las relaciones.Muchos-a-muchos ‘M-M’ si es muchos-a-uno y uno-a-muchos. sea que hay al menos dos pares con el mismo primer elemento Trabajo Final

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Matemáticas Discretas y también hay dos pares con el mismo segundo elemento.O sea que cumple las dos definiciones anteriores. Propiedades de las relaciones.Uno-a-uno ‘1–1′ si no es muchos-a-uno ni uno-amuchos, o sea que no hay dos pares con el mismo primer elemento y no hay dos pares con el mismo segundo elemento.Esto significa que cumple las dos condiciones siguientes (∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ B)((x,y) ∈ R ^ (x,z) isin; R ⇒ y = z) (∀ x ∈ A)(∀ y ∈ B)(∀ z ∈ A)((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R ⇒ x = z) Dinámica grupal.Junto con el compañero de al lado ejemplifiquen en su cuaderno el cómo sería este tipo de relaciones en la vida real. Enfoque sobre todo en datos que un computador pudiera aceptar, como por ejemplo: los datos de un alumno en relación con un maestro, salón, etc. 

Relación Reflexiva y Irreflexiva

Teorema: Una relación R en un conjunto es reflexiva si y solo si la diagonal principal de la matriz asociada a la relación tiene únicamente unos. De la misma forma es Irreflexiva si tiene solamente ceros. Una relación A es: Reflexiva: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

Irreflexiva: Si ningún elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

Relación Simétrica, Asimetrica, Antisimetrica Y Transitiva

Teorema: Una relación R es simétrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales. Simetrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (x ,y) ∈ R ⇒ (y ,x) ∈ R Asimetrica: Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue qué R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a. Trabajo Final

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Matemáticas Discretas

Teorema: Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros. Antisimétrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos: ∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y) La antisimetría no es lo opuesto de la simetría. Transitiva: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento y el segundo esta relacionado con un tercero, entonces el primero esta relacionado con el tercero:

Ejemplo para todas las relaciones Cuando tenemos la matriz de una relación es muy fácil verificar si es reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica, Transitiva: Ejemplo.- Sea A = { a, b, c, d, e } R1 = { (a,a), (b,b), (a,c), (b,c), (c,a), (d,d) }

R2 = { (a,a), (a,d), (c,b), (d,a), (c,e), (e,e) }

R3 = { (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,c), (b,a) }

R4 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c), (b,e), (c,e), (b,d), (d,a), (e,e) }

R5 = { (a,c), (a,e), (e,c), (b,c) }

R6 = { ( (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,e), (b,c), (c,b), (e,a) }

R7 = { (a,b), (b,d), (c,a), (d,e), (e,c), (b,c), (b,a) }

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Matemáticas Discretas

Si observamos la figura podemos darnos cuenta que R3 y R6 son Reflexivas, y también podemos ver que R5 y R7 son Irreflexivas. De las relaciones anteriores R6 es simétrica, R3 y R5 son anti simétricas; R3, R4 y R5 son Transitivas.

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Matemáticas Discretas 5.3 Relaciones de Equivalencia Definición.- Una relación R en un conjunto A es de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Teorema.- Si R es una relación de equivalencia en un conjunto de A entonces R particiona al conjunto A en subconjuntos disjuntos llamados clases de equivalencia Una partición de un conjunto esta formada por subconjuntos disjuntos o sea ningún elemento aparece en dos conjuntos tal que la unión es igual al conjunto original. Una relación de equivalencia sobre un conjunto C es una relación R que cumple las siguientes propiedades: Reflexiva. ∀a ∈ C; a R a Simétrica. ∀a, b ∈ C; a R b ⇔ b R a Transitiva. ∀a, b, c ∈ C; (a R b) ∧ (b R c) ⇒ (a R c)

Cerradura En algunas ocasiones una relación no cumple alguna de las propiedades de equivalencia, pero hay relaciones que la incluyen y que si cumplen la propiedad. de todas las relaciones la menor posible se llama Cerradura. Definición.- Sea R una relación en un conjunto A. Una cerradura reflexiva ref(R) de R en A es la "menor" relación que la incluye y que es reflexiva, con símbolos: (≤R' reflexiva) (A ≤ R' ≤ ref(R)) ⇒ R' = ref(R)) Una cerradura simétrica sim(R) de R en A es la "menor" relación que la incluye y que es simétrica con símbolos: (∀R' reflexiva) (A ≤ R' ≤ ref(R)) ⇒ R' = sim(R)) Una cerradura transitiva trans(R) de R en A es la "menor" relación que la incluye y que es transitiva, con símbolos: (∀R' reflexiva) (A ≤ R' ≤ ref(R)) ⇒ R' = trans(R)) la cerradura transitiva reflexiva y la cerradura simétrica de una relación es muy simple de encontrar, solamente se le agregan los pares necesarios de una forma directa. Cuando conocemos la matriz asociada a la relación, la forma de encontrar las cerraduras anteriores es muy simple.

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Matemáticas Discretas

Teorema: Sea R una relación en A y MR su matriz asociada. La cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de R son únicas y pueden obtener mediante las matrices siguientes Mref(R) MRUIn, donde In es la matriz identidad de orden │A│. Msim(R) = [aij], donde aji = 1 si aji = 1 en MR La matriz identidad de orden n es:

Ósea que para lograr la cerradura reflexiva debemos agregar 1's en la diagonal, para la cerradura simétrica debemos agregar 1's en lugares simétricos a la diagonal principal donde existan 1's. Ejemplos: La cerradura reflexiva de R1 y la cerradura simétrica de R4 quedarían:

Clases de Equivalencia Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cada a ∈ A, llamaremos clase de equivalencia de a, al conjunto formado por todos los elementos de A que estén relacionados con el. La notaremos [a], es decir, [a] = {x ∈ A : xRa} Observese que la clase de equivalencia de un elemento a nunca es vacía, ya que la reflexividad de R implica que a ∈ [a].

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Matemáticas Discretas Al conjunto de los elementos del conjunto A que están relacionados con él se llama clase de equivalencia. Ejemplo 1: La relación a - b = 2.k (múltiplo de 2), siendo a y b números enteros es una relación de equivalencia porque cumple las propiedades: Reflexiva: a - a = 0 = 2.k (k = 0). Simétrica: a - b = b - a porque b - a = -(a - b). Si a - b es múltiplo de 2, -(a - b) también lo será. Transitiva: a - b = 2.k1 b - c = 2.k2 Sumando queda a - c = 2.k3 Entonces a - c es múltiplo de 2. En el ejemplo anterior, la clase de equivalencia del número cero (uno de los elementos del conjunto de los números enteros) C(0) = {... -4, -2, 0, 2, 4, ...}, pues 0 - (-4) es múltiplo de 2, 0 - (-2) es múltiplo de 2 ya sí sucesivamente. La clase de equivalencia del número 1 será C(1) = {... -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...} pues la diferencia entre 1 y los números indicados es múltiplo de 2. Del mismo modo podríamos calcular las clases de equivalencia de más números. El conjunto formado por las clases de equivalencia se llama conjunto cociente. En el ejemplo anterior el conjunto cociente Z / 2 es el conjunto formado por las clases de todos los elementos Z / 2 = {C(0), C(1), C(2), ... }. Ejemplo 2: Sea A = {a, b, c, d} y R el conjunto R = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(c, d),(d, c),(d, d)} Representar el dígrafo de R y calcular las clases de equivalencia. Solución:

[a] = {a, b} [b] = {a, b} [c] = {c, d} [d] = {c, d} Clases

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Matemáticas Discretas Particiones Sea X un conjunto. P es una partición de X si y sólo si: ø∉P UP = A Los conjuntos de P son disyuntos s2 ∈ P y s1 ≠ s2 entonces s1 ∩ s2 = ø

2

a

2,

es

decir,

si

s1,

Observe que si P es una partición de X, entonces todo elemento de X está en uno y sólo un elemento S ∈ P no y sólo un elemento e modo que parte a en conjuntos disyuntos. Por ejemplo, el conjunto de barriles propuesto al comienzo de la sección es una partición del conjunto de mangos. Otro ejemplo de una partición es de la división política de un país: El país (visto como un conjunto de personas) se parte en estados o departamentos no vacíos disyuntos entre sí. Ejemplo: Sea ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Entonces = {{1, 9}, {2, 8}, {3, 4, 5, 6, 7}} Es una partición de X en tres conjuntos: elementos externos (1,9), elementos semi-externos (2, 8) y elementos internos (3, 4, 5, 6, 7). Note que Q = {{1, 2, 9}, {2, 8}, {3, 4, 5, 6, 7}} no es partición de X (¿por qué?). Como lo habíamos insinuado, resulta que toda relación de equivalencia determina de manera natural una partición.

5.4 Funciones (Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva)

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Matemรกticas Discretas

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Matemáticas Discretas 5.5. aplicaciones de las relaciones y las funciones en la computación. Uno de los conceptos más importantes en Matemáticas es el de función, ya que se puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y determinar las relaciones que existen entre magnitudes tanto en Matemáticas, Físicas, Economía, etc., y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de las que depende. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A DISTINTAS ÁREAS: En cualquier área de las ciencias, existen leyes en las que se relacionan distintas magnitudes, temperatura-presión, masa-velocidad, intensidad del sonido-distancia, etc. Es decir, a partir de los valores de algunas magnitudes se obtienen los valores de otras de forma directa a través de fórmulas ya demostradas. Un punto de origen del concepto de función nace precisamente de las relaciones que mantienen diferentes magnitudes, así pues la función se puede representar algebraicamente o de forma gráfica en la que se relacionan varias magnitudes entre sí. Mediante la representación gráfica de estas relaciones entre diferentes magnitudes, se pudo dar de forma visual esa relación e interpretarla de forma rápida y sencilla. Una forma de representación es la que se hace mediante ejes cartesianos, en la que se la función se representa de forma general por la relación numérica de magnitudes en una gráfica. Así pues, la función la podremos representar tanto gráficamente como mediante una expresión algebraica o fórmula. Euler fue el primero en emplear la expresión f(x) para representar una función f asociada a un valor x. Es decir, con esta representación que es empleada hoy, se comienza la utilización del concepto de función tal y como hoy se entiende. Función en Dinámica: 

Cuando una partícula tiene una trayectoria curvilínea, está sometida a una aceleración perpendicular a la trayectoria y dirigida hacia el centro de la curva, llamada aceleración centrípeta y cuya expresión es , esta aceleración es producida por una fuerza cuya expresión es F = M ⋅ a = expresión que es una función cuadrática.

Representar por ejemplo la longitud que puede alcanzar un muelle desde el que se cuelga un peso viene dada por una función de tipo lineal del tipo y = ax + b que se representa por una recta. Trabajo Final

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Matemáticas Discretas

• Función en Energía: La energía cinética viene expresada por Ec = de tipo cuadrático. • Función de crecimiento ilimitado: Responde a la forma f ( x ) = a * bcx con a, c>0 y b>1. Es por ejemplo el crecimiento de la población Pt = (1 + r ') ⋅ P0 , donde Pt es el crecimiento de la población al cabo de t años, r ' es el crecimiento anual de la población de forma constante expresado en tanto por 1, P 0 es la población actual. • Función de decrecimiento limitado: Su ecuación viene dada por f ( x ) = a *bcx con a>0, b>1 y c>0. Es por ejemplo la desintegración radiactiva cuya fórmula Nt = N0e − λt , donde Nt es el número de átomos en el momento t, N0 es el número de átomos radiactivos iniciales, λ es la constante de desintegración, t es el tiempo. • Función de crecimiento limitado: Su ecuación es de la forma f ( x ) = a*( 1 − e –bx) con a>0. es por ejemplo las pruebas de memoria cuya fórmula viene dada por n = n (1 − e −0, 2 x ) donde n es el número de objetos que se pueden recordar y x es el número de minutos que se les muestran. • Función del sonido: La intensidad del sonido que podemos percibir desde un punto sonoro llamado foco dependerá de la distancia a la que se encuentre el receptor desde el punto emisor del sonido. Otras funciones importantes: • Función en la Ley de la gravitación universal de Newton y Ley de Coulomb. • Ley de la medida de la intensidad de una onda • Escala de Richter M = log10 P • Las funciones circulares: relacionadas con las vibraciones, propagación de ondas y movimiento pendular

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Grafo: Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas que pueden ser orientados o no. Una arista “e” en un grafo asociada a vértices “a” y “b”, se dice, que es incidente en “a” y “b” y viceversa, que “a” y “b” son incidentes en “e”. Y por lo tanto que “a” y “b” son vértices adyacentes en “e”. Si “G” es un grafo con vértices “V” y aristas “E”, entonces G = (V, E). Ejemplo de un grafo:

Observamos: V = {1, 2, 3, 4, 5} Vértices A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i } Aristas G = { (1, 2), (3, 2), (5, 3), (4, 5), (1, 4), (2, 4), (2, 5), (1, 3), (5, 1)} Grafo Trabajo Final

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Lazo: Es una arista incidente en un sólo vértice. Ejemplo: a6 = (V5, V5). AQUÍ ENCONTRAMOS ARISTAS PARALELLAS

AQUÍ ENCONTRAMOS UN LAZO

Aristas paralelas: Cuando dos o más aristas están asociadas con el mismo par de vértices. Ejemplo: las aristas a2 y a3 están asociadas al mismo par de vértices. Es decir: a2 = (V1, V3) y a3 = (V1, V3).

Grado o valencia:

de un vértice “v”. Es el número de aristas incidentes en “v”. Como ejemplo en la figura anterior tenemos que:

V1

V2

V3

V4

V5

3

3

5

1

3

Vértice aislado: El vértice que no es incidente en alguna arista. Ejemplo:

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Matemáticas Discretas

Subgrafos: Subgrafos son las partes en que se pueden dividir un grafo.

Ejemplo, algunos subgrafos de este grafo serían los siguientes:

Grafo dirigido: dígrafo tienen un conjunto (nodos) y un conjunto de lados), tal que cada arista ordenado de vértices.

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Llamado también de vértices V aristas E (arcos o se asocia a un par

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Grafo no dirigido: Tienen un conjunto de aristas E (arcos o lados), tal que cada arista se asocia a un par no ordenado de vértices. Ejemplo:

Grafo pesado, ponderado ó etiquetado: Un grafo es pesado cuando sus aristas contienen datos (etiquetas). Una etiqueta puede ser un nombre, costo ó un valor de cualquier tipo de dato. También a este grafo se le denomina red de actividades, y el número asociado al arco se le denomina factor de peso.

Ejemplo: Si A, B, C, D, E , F, G, H (los vértices ) fueran ciudades, entonces los números serían ponderaciones que podrían indicar los kilómetros que existen de una ciudad a otra o tal vez lo que cuesta un pasaje de una ciudad a otra. Por ejemplo de la ciudad A a la ciudad H hay 10 kilómetros de distancia.

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Grafo simple: Es un grafo que no tiene lazos ni aristas paralelas. Ejemplo:

Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común. Esta propiedad la podemos observar en las figuras anteriores, así como en las que se muestran a continuación.

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Matemáticas Discretas

Grafo nulo:

Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.

Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

Por ejemplo el grado de cada vértice en el siguiente grafo es dos por lo que se le llama 2 regular

Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto. Un grafo G es bipartito si puede expresarse como

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(Es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:  V1 y V2 son disjuntos y no vacíos.  Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2.  No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2. Ejemplo:

En la Figura anterior tenemos que se pueden formar dos conjuntos disjuntos que serían: X = {a, c, f} Y = {b, d, e}

Aquí podemos observar que en el conjunto “X”, el vértice “a” no es adyacente (no se encuentran unidos por una arista) al vértice “c” ni al vértice “f” y lo mismo sucede para el vértice “c” y “f” en relación con los demás vértices del conjunto. En “Y” sucede lo mismo como podemos constatarlo.

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Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Es decir desde cualquier vértice podemos encontrar un camino hacia otro vértice con solo recorrer una arista.

Grafos Platónicos: Son los Grafos formados por los vértices y aristas de sólidos regulares (Sólidos Platónicos), como el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro, el icosaedro, etc.

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Grafos conexos: Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vértice V pertenece al conjunto de vértices y es alcanzable por algún otro. Otra definición que dejaría esto más claro sería: “un grafo conexo es un grafo no dirigido de modo que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los une”

Un grafo completo es conexo.

Camino: Es un conjunto de vértices y aristas que parten de un vértice y llevan a otro vértice (una sucesión de vértices y aristas, una ruta).

Por ejemplo: en el siguiente grafo hay un camino del vértice “a” al vértice “e”, es decir, (a, d, e) o (e, d, a). (a, d, e) significa que del vértice “a” me voy al vértice “d” y del “d” avanzo hacia el “e”.

Longitud de camino: Es el número de arcos o aristas en ese camino. En el ejemplo anterior el camino es de longitud 2 porque pasa por dos aristas. Trabajo Final

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Camino simple: Es cuando todos sus vértices, excepto tal vez el primero y el último son distintos. En la figura anterior encontramos que un camino simple seria: (a,d,e,f,c,b)

Ciclo simple: Es un camino simple de longitud por lo menos de uno que empieza y termina en el mismo vértice. Basándonos en la figura anterior un ciclo simple seria: (a,d,e,f,c,a).

Grafo cíclico: Se dice que un grafo es cíclico cuando contiene por lo menos un ciclo.

Grafo acíclico: Se dice que un grafo es acíclico cuando no contiene ciclos. El grafo siguiente sería un grafo acíclico

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Matemáticas Discretas

Llamaremos camino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez. Teorema Sea G un grafo conexo G es euleriano ⇔ Todos los vértices de G tienen grado par.

También podemos encontrar grafos que contengan CICLOS EULERIANOS, los cuales se dan cuando al acabar el recorrido llegamos al punto de salida.

Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).

Grado de salida: El grado de salida de un nodo v de un grafo g, es el número de arcos o aristas que empiezan en v. Por ejemplo en la siguiente figura el grado de salida en cada vértice es:

a 2

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b 3

c 3

d 2

e 2

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Grado de entrada: El grado de entrada de un nodo v de un grafo g, es el número de aristas que terminan en v. Por ejemplo en la Figura el grado de entrada en cada vértice es:

a 2

b 3

c 3

d 2

E 2

En este caso coincide el número de entradas que de salidas, pero no siempre va a ser así.

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Secuencias. Estas estructuras son utilizadas en programación por lo que nos vamos a concentrar en esta área para estudiarlas. Secuencias. Es lo que realiza en ocasiones un programa en forma secuencial, por ejemplo: Si queremos que un programa solicite al usuario dos números, realice su suma y muestre luego su resultado; la secuencia de pasos que se tendrían que seguir se podrían describir mediante un grafo. Los diagramas de flujo por ejemplo serían un tipo de grafo para representar los pasos a seguir en un programa (el algoritmo).

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Selección (if-then-else) Dado que una condición produce un valor verdadero o falso, se necesita una sentencia de control que ejecute determinada sentencia si la condición es verdadera , y otra si es falsa. Esta alternativa se realiza con la sentencia IF-THEN-ELSE. A continuación se describe el diagrama de flujo y el formato de la sentencia.

Mientras (while) A la palabra reservada while le sigue una condición. El bloque de sentencias que le siguen se ejecuta siempre que la condición sea verdadera tal como se ve en la figura. La forma general que adopta la sentencia while es: while (condición) sentencia;

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Matemáticas Discretas

Repetir hasta que (repeat-until) La acción de repeat-until es repetir una serie de instrucciones hasta que se cumpla una determinada condición. Aquí las palabras repeat y until sirven también como delimitadores de bloque. Su diagrama de flujo es:

Reglas de funcionamiento: 1. La condición se evalúa al final del bucle, después de ejecutarse todas las sentencias. 2. Si la condición es falsa, se vuelve a repetir el bucle y se ejecutan todas sus instrucciones. 3. Si la condición es falsa, se sale del bucle y se ejecuta la siguiente instrucción a until. 4. La sintaxis no requiere begin y end. Analícense los diagramas de while-do y repeat-until, para comprender las diferencias entre ambas formas.

Selección múltiple (case) La sentencia de selección múltiple se utiliza para ejecutar distintas sentencias en función de los distintos valores que pueda tomar una expresión. El esquema de esta sentencia es: CASE Expresión OF listas de valores : acción| listas de valores : acción| Trabajo Final

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Matemáticas Discretas ELSE acción por defecto END Para ejecutar esta sentencia, se evalúa primero la expresión. A continuación, se inspeccionan las distintas listas de valores, hasta encontrar una con un valor que coincida con el resultado de la expresión. La acción correspondiente a ese valor es ejecutada. Si el resultado de la expresión no aparece en ninguna de las listas, se ejecuta la acción por defecto.

Las estrategias y los algoritmos de búsqueda desempañan un trabajo importante en la teoría de grafos particularmente esta ligada a la programación de objetos. Básicamente estos términos se aplican en áreas estratégicas en las matemáticas y desempeñan un juego muy importante tanto en los grafos como en los árboles. La estrategia se basa en seguir un método de pasos conforme se desarrolla el problema, siguiendo un camino en común donde se relacionen todos los componentes del problema, así como también buscar la manera más fácil o mejor planteada que lleve a la solución del mismo, siempre y cuando no se salga del esquema principal.

BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD (BEP) Trabajo Final

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Matemáticas Discretas Un recorrido en profundidad es un algoritmo que permite recorrer todos los nodos de un grafo o árbol de manera ordenada, pero no uniforme. Su manera de funcionar se basa en ir expandiendo cada una de los nodos que va localizando, de manera recursiva, recorriendo todos los nodos de un camino concreto. Cuando ya no quedan más nodos por visitar en este camino, regresa hacia atrás, de tal manera que comienza el mismo proceso con cada uno de los hermanos del nodo ya procesado. Recorrido en profundidad: el recorrido en profundidad trata de buscar los caminos que parten desde el nodo de salida hasta que ya no es posible avanzar más. Cuando ya no puede avanzarse más sobre el camino elegido, se vuelve atrás en busca de caminos alternativos, que no se estudiaron previamente.

BÚSQUEDA ANCHURA (BEA) En Ciencias de la computación, Búsqueda en anchura es un algoritmo para recorrer o buscar elementos en un grafo (usado frecuentemente sobre árboles). Intuitivamente, se comienza en la raíz (eligiendo algún nodo como elemento raíz en el caso de un grafo) y se exploran todos los vecinos de este nodo. A continuación para cada uno de los vecinos se exploran sus respectivos vecinos adyacentes, y así hasta que se recorra todo el árbol. Formalmente, BEA es un algoritmo de búsqueda sin información, que expande y examina todos los nodos de un árbol sistemáticamente para buscar una solución. Recorrido en anchura: El recorrido en anchura supone recorrer el grafo, a partir de un nodo dado, en niveles, es decir, primero los que están a una distancia de un arco del nodo de salida, después los que están a dos arcos de distancia, y así sucesivamente hasta alcanzar todos los nodos a los que se pudiese llegar desde el nodo salida.

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Matemáticas Discretas

Árbol General: Es un grafo no dirigido acíclico conexo. Un árbol es un grafo simple en el cual existe un único camino entre cada par de vértices. Sea G =(V,A) un grafo no dirigido. G se denomina ARBOL, si es conexo y no contiene ciclos. Un árbol con raíz, es un árbol que tiene un vértice particular designado como raíz. Trabajo Final

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Matemáticas Discretas En los arboles encontramos: RAIZ PRINCIPAL

HOJAS O NODOS EXTERNOS={e,f,g,k,m,i,j} NODOS INTERNOS={b,c,d,h,l} NODOS HERMANOS={(b,c,d),(e,f),(g,h,i),(k,l)

Son aquellos que nodos que no tienen hijos

Son los nodos que tienen hijos Son dos o mas nodos que son hijos de una misma raíz

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Matemáticas Discretas

Un árbol binario es uno con raíz en el cual cada vértice tiene un hijo a la derecha o un hijo a la izquierda, o viceversa, o bien ningún hijo Se dice que un árbol binario es completo si: Cada vértice tiene un hijo a la derecha y uno a la izquierda, o bien ningún hijo.

Teorema: Si T es un árbol binario completo con i vértices internos, entonces T tiene i + 1 vértices terminales y 2i + 1 vértices en total.

Es un árbol binario T donde se han asociado datos a los vértices. Estos datos se ingresaran de modo que: Trabajo Final

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Matemáticas Discretas El primer dato formara la raíz principal El siguiente dato se analizara si es que la raiz se ubicara hacia el lado izquierdo, sino lo es (es mayor) al lado derecho. El siguiente dato se analizara con la siguiente raiz de modo que cada raiz puede tener como maximo dos hijos. A continuación se ejemplifica la manera en que se ordenan datos en un árbol binario:

Hay tres maneras de recorrer un árbol: en preorden, orden, posorden. Cada una de ellas tiene una secuencia distinta para analizar el árbol como se puede ver a continuación:

PREORDEN Visitar la raíz. Recorrido el subarbol izquierdo Recorrido el subarbol derecho En el árbol anterior tenemos= 14,4,3,9,7,5,15,18,16,17,20

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Matemáticas Discretas

ORDEN Recorrer el subarbol izquierdo Visitar la raiz. Recorrer el subarbol derecho En el árbol anterior tenemos= 3,4,5,7,9,15,16,17,18,20

POSORDEN Recorrer el subarbol izquierdo. Recorrer el subarbol derecho . Examinar la raíz. En el árbol anterior tenemos= 3,9,5,7,4,17,16,20,18,15,14|

La maximización de flujos es un problema típico de la Investigación de Operaciones, el cual tiene muchas aplicaciones, por ejemplo el flujo vial en una ciudad, una red de aguas negras, una red informática, etc. El Modelo de Redes es un método o secuencia el cual nos ayuda a tomar una decisión acertada que podría ser mejorar o dar mayor aprovechamiento a los flujos a vías donde que tengan mas capacidad, creando nuevas vías o eliminando algunas antiguas. También nos ayuda a maximizar este flujo de manera eficiente de forma tal que se aprovechen al máximo los recursos.

MODELOS Una Red de Transporte es una grafica dirigida, simple, con pesos y que debe cumplir las siguientes características: • Poseer una fuente o vértice fijo que no tiene aristas de entrada. • •

Poseer un sumidero o vértice fijo que no tiene arista de salida

El peso Cij de la arista dirigida de i a j llamado capacidad de “ij” es un numero no negativo.

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Matemáticas Discretas

Este es un ejemplo de una red que parte de un punto a que es un Muelle y llega a un punto z que es una refinería.

Sea “G” una red y sea “Cij” la capacidad de la arista dirigida (ij) se dice que un flujo F en G asigna a cada arista dirigida (ij) un numero no negativo Fij tal que debe cumplir: Fij ≤ Cij

TEOREMA DE FLUJO MAXIMA Se puede considerar un grafo como una red de flujo. Donde un nodo fuente produce o introduce en la red cierta cantidad de algún tipo de material, y un nodo sumidero lo consume. Cada arco, por tanto, puede considerarse como un conducto que tiene cierta capacidad de flujo. De igual modo que en redes eléctricas la suma de flujos entrantes a un nodo, debe ser igual a la suma de los salientes (principio de conservación de energía), excepto para el nodo fuente y el nodo sumidero. Por tanto, el problema de flujo máximo se enuncia como:

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Matemáticas Discretas ¿Cuál es la tasa a la cual se puede transportar el material desde el nodo fuente al nodo sumidero, sin violar las restricciones de capacidad?.

Este algoritmo depende de tres conceptos principales:

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Matemáticas Discretas

Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería. Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd. Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos. La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes. Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciónes. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.

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Matemáticas Discretas Conclusión En este trabajo aprendimos de lo que se trata la materia de matemáticas discretas, en donde primero vimos los sistemas números que es una introducción a esta materia para poder entenderle a los demás temas, aprendimos el sistema binario ya que es fundamental y lo primordial que tenemos que hacer para seguir. Como segundo tema vimos los conjuntos, que son, tipos de conjuntos, etc. Para la tercera unidad vimos lógica matemática que en el cual nosotros desarrollamos nuestra forma de pensar para poder comprender los que nos plasman. Como cuarto tema vimos algebra booleana en donde aprendimos a hacer circuitos en protoboard's ya que esto nos servirá mas adelante en la carrera, en el cuarto tema que fue relaciones vimos como un complemento de lo que es conjuntos solo que aquí vimos las propiedades de las relaciones las funciones, relaciones de equivalencia y aplicaciones. Como último tema pudimos ver lo que son la teoría de grafos donde este tema es muy interesante para el desarrollo de arboles sus recorridos, etc.

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Matematicas discretas final  

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