Problemas de matematicas comunes by Jesús coronado

PROBLEMAS de Matemรกticas Comunes

j.r. vizmanos - m. anzola

P R O P IE D A D D E

LOS A U T O R E S

Q ueda h e c h o e í d e p ó s it o m a /ic a l a

ley.

Vep. L eg a l :

P e d td o i a J.R .

M - 30 847- 1976.

V IZ M A N O S

MEL IL L A

,1 2

M A D R ID

T ¿n o

266

279

IMPRESO E N O A R IC O P C / M A D ERA M A D R ID -

que

, 13

P ró lo g o "Ea co m p le x a m e n te u t ó p i c o e s p e s a n a pn en d en M a te m á tic a s , ya ¿ c a n e l e m e n t ó l a o s u p e s io n e s , s i n n e s o lv e n e j e n c i c i o A . Nunca in A iA tiA e m o A A l i c i e n t e

ó o ív t e e l h e c h o d e qu e n e s o lv e n un

e j e n d c i o n o c o n A iA te s o la m e n te en c o n v e n c e n s e , c o n ayuda d e un b o c e t o h ech o to d a p n is a , q u e Ae ha e n t e n d id o trúA o menoA l o t o d o p u d ie n a s e n a d m iA ib le pana I

qu e es l a

e j e n d c i o A de c á lc u lo

n u m én ico ,h a c e f a l t a

p on e l c o n t n a n io e s fo n z a n s e e n n e d a c ta n c o m p le ta m e n te l a A o lu c ló n d e I c ío a

rrós t e ó n i c o s , e n l o

A o lu c ló n .A u n q u e e A t e mé

e je n d

q u e h a y q u e c o n s t n u in vendadenas d e m o s tn a d o n e s .V e es

t a m enena, y ú n ic a m e n te d e e A ta im n e n a , poda d e l e s t u d ia n t e h ó c e n s e c o n u n t e n g u a je c lo n o y c o n n e c t o y u t i l i z a n I

té n m in o A t é c n i c o s e n

A e n t id o p n o p i o . l o

qu e e n M a te m á tic a s , e s é l A ig n o irá s c i e n t o d e c c m p n e n s ió n d e una m í e n l a " . IGODEMEHT- ALGEBRA) Loa e j e n c i c i o A а) NOS d e C . O . l i . б) lo s

pn op u e A to A e n e s t e t i b n o a b a n ca n :

Loó p n o p u e s to A en e l l i b i o

(E Z númeno a q u e c o n n e s p o n d e o e s t á óeiro ta d o e n ca d a e n u n c ia d o ). Loó p n o p u e s to A e n ta s doA ú lt im a s c o n o o c o l o n i a s

pnuebas d e SELECTTV1VAV c)

m ila n a I

d e MATEMATICAS C O M K S d e J . R BIZMA

( y a tg u n o A d e l a n t ig u o PREUNIVERSITARIO) Una A e l e c c i ó n d e e j e n c i c i o A

apantadoA a ) E A te l i b i o

(1 975, 1976) de

b ie n e le g id o A d e una d i f i c u l t a d

y b ).

c o n t i e n e t o t a l m e n t e n e s u e lt o A 325 pn oblerm A d is t n ib u id o A

en S c a p í t u l o s . L o s p n ob lem x s d e ca d a c a p i t u l o e s t á n c l a s i f i c a d o s en e l m istre on den d e l a s m í e n l a s qu e s e tn a t a n e n e l t i b n o d e TEORIA. La s o l u c i ó n d e l o s

pn oblem a s Ae ha h e c h o d e modo d e t a lla d o c o n

p n e te n A ió n d e qu e l o s m ismos a lum nos d e LETRAS puedan e n te n d e n lo s s i n d i f i c u l t a d .N o

o b s t a n t e , h a y a lg u n o s pn oblem a s q u e , p o n s u c o m p lic a c ió n o m í e n l a qu e

t n a t a n , s o n más p n o p io s pana l o s a lu m n os d e C IEN C IA S . Con e s t e t i b n o d e p n o b t e m x s . q u e a ba n ca d e fonma u n i t a n i a to d a s I m á te n la s d e l a MATEMATICA COMUN, hemos p n e te n d id o dos o b j e t i v o s

1) Que e l alum no l l e g u e a d om in a n l a s t é c n i c a s d e n e s o lu c ió n de e je n c ic io A

, y 2 ) Que e l a lu m n o l l e g u e a p n e s e n ta n l o s

c la n id a d y e le g a n c ia ,

e j e n e ld o s n e s u e lto s con

e x p lic a n d o d e fo n rm p i e c i s a y p n o g n e s iv a ca d a uno d e I

p a sos qu e e n tn a n en s u n e s o lu d ó n . P on ú l t i m o , c o n v i e n e s e ñ a la n qu e l a s s o l u d o n e s dadaA a q u í a lo s pn ob lem a s n o óo n ú n ic a s y qu e e l alum no pu ed e dan o tn a s t a l v e z más d a n o s y e le g a n t e s .P o n e s o , a n te s d e m inan l a

s o lu d ó n

h a y qu e tn a t a n d e n e s o lv e n e l

pn ob lem a p e A A on a lm e n te . LOS AUTORES

ALGEBRA DE P (U ) <¿Z qu e ó c dz& ctA hotlan ta& & ¿ g u ¿ z iitz ¿ m crfeA ttu

IDEA D E C O N J U N T O RELACION DE PERTENENCIA D I S T I N T A S F O R M A S D E R E P R E S E N T A R UN CONJUNTO R E L A C I O N DE

INCLUSION

IGUALDAD DE CONJUNTOS UNION DE CONJUNTOS I N T E R S E C C I O N DE C O N J U N T O S COMPLEMENTACION A L G E B R A DE C L A S E S

1 ."1 . tes

R ep resen ta r p o r e x te n s ió n

c o n ju n to s

C o n ju n to d e p r o v i n c i a s

C o n ju n to d e

lo s

c a e en fe ch a s c)

C o n ju n to d e 8 y

por

c o m p re n s ió n

lo s

s ig u ie n

m eses

e s p a ñ o la s q u e em p ie c e n del

año en

c o rre s p o n d ie n te s

lo s

que

n in gu n o

nom bre p o r de

sus

d ía s

otoñ o.

núm eros p a r e s d i v i s i b l e s

por

6 y

co m p ren d id o s e n t r e

25.

C o n ju n to

lo s

núm eros e n t e r o s

co m p ren d id o s

IJR V S O L O C I O M

en tre

a ) Designamos p or M e l c o n ju n to p e d i d o , ento nces 1 " ) p or e x t e n s i ó n ,

M - (M a d r i d , Mí l o g a , M urcia )

2“ ) p or c o a p r e n s ió n

M = ( x / x e s p r o v i n c i a e s p a ñ o l a cuyo nombre c o a i e n z a por H)

b ) Designados p or A e l c o n j u n t o p e d id o ,e n t o n c e s 1 * ) p or e x t e n s i ó n , A - ( E n e r o , F e b r e r o , M a r z o , A b r i l . M a y o , J u n i o , J u l i o , A g o s t o ) 2 o)

p or c o n p r e n s ió n , A - ( x / x e s un mes en e l que ninguno d e sus d i a s c a e en otoño)

c ) Designamos p or B e l c o n j u n t o p e d id o . en to n c e s I o)

p or e x t e n s i ó n ,

2 o) p o r cooprcnsiÓ n, »

- (1 2 ,1 8 ,2 4) - (x / x • 6

y 8 < x < 2 5 )

d ) F in a lm e n te ,d es ig n e m o s p o r C e l c o n ju n to p e d i d o , ento nces 1#) p or e x t e n s i ó n ,

C - (-1 ,0 ,1 ,2 )

2 * ) p o r com pre nsión, C = ( x / x € Z

y - ^ < x < | )

o o o O o o o -----

1.2 • D e f i n i r

por

to s:

e x te n s ió n

cada

uno d e

lo s

s ig u ie n te s

(1 ,2 ,3 ,5 ,7 ,1 1 ,1 3 ,1 7 ,1 9 )

(1 ,8 ,2 7 ,6 4 )

(0 ,1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,1 3 ,2 1 ,3 4 ) [ S t L E C n V lO A D -

S O L O C I O M

c o n ju n

1976)

A • (x

/ x e s un número primo menor que 20 )

B - (x

/ x e s cubo d e l o s números n a t u r a l e s 1 , 2 , 3 o 4)

C - (x

/ x = a

donde a

• 0 ,a, • 1 , a « a , + a , , a I n n-Z n- 1

< 35)

( x / x e s un elem ento d e l a s u c e s ió n de F ib o n a c c i menor que 35 ) Wó t t A e que cada ( O m i n o , e x c e p to I do a a n tv U o n e A .

doA p u m v to A &e o b tie n e n Aum ndo Loa

1.3.

D e fin ir

p or e x te n s ió n

lo s

s ig u ie n te s

{ a n/

aQ =

l , . n =

B -

( b n/

b „

S O L D C I O H a)

b j

* -

c o n ju n to s

30)

bn - b n . 2 . b ^ . b , < 30} (SE L E C T IV ID A D - 197*1

Véan os c u á l e s s on l o s e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o A : a

al "

al - l

*2 "

a 2 -l

*3 "

* 3-1

♦ 3 - a + 3 + 3

" al " *2

+ 3 -

l + 3 -

+ 3 - 4 + 3 -

+ 3 - 7 + 3 - 1 0

N ó t e s e que c ada t é r m i n o d e e s t a s u c e s i ó n de números s e o b t i e n e a ñ a d ie n d o al a n t e r i o r 3 . E s t a e s l a l e y d e f o r m a c ió n que s i g u e n . P or t a n t o , b)

A ,

{1 ,4 .7 ,1 0 ,1 3 .1 6 ,1 9 ,2 2 .2 5 ,2 8 }

Veamos c u á l e s son l o s e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o B : b

bl "

b2 ‘

b 2-2 + b 2 - l -

bD + b , - I + 2

-3

b 3 " b 3-2 + b 3 - l "

b l + b2 " 2 + 3

-5

N ó t e s e que cada t é r m in o d e e s t a s u c e s i ó n de números s e o b t i e n e añ ad ien d o lo s d o s a n t e r i o r e s . L o s d o s p r i m e r o s nos l o s d a n . E s t a e s l a

l e y de fo r m a c i ó n .

P or tanto, B - (1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,1 3 ,2 1 }

o o o O o o o -----

1.4. cen tro

Una c i r c u n f e r e n c i a

O y e l

S O L U C I O H

ra d io

r .D e fin irla

d e te rm in a d a

com o c o n j u n t o

en de

e l

p la n o

por

pu n tos.

S i designamos p o r C ( 0 , r ) C (0 ,r)

queda

- { X / X e s un

la circu n feren cia se tie n e :

punto d e l p l a n o cuya d i s t a n c i a a 0

- (X / d (X ,0 ) - r )

siend od ( X , 0 )

es r }

la d is ta n c ia

d e l punto X d e l

p la n o a l punto f i j o 0 , e l c e n t r o .

* 1 .5 .

Los

u tilíc e s e

s ig u ie n te s

a lg u n a

c o n ju n to s

p ro p ie d a d

que

A =

= {L a

= 1 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }

está n

lo s

d e fin a

d e fin id o s por

por

e x te n s ió n ,

c o m p re n s ió n .

{O c tu b r e ,N o v ie m b r e ,D ic ie m b r e ,E n e ro ,F e b re r o ,M a rz o ,A b ril, Hayo

= {2 ,4 ,6 ,8 ,1 0 ,1 2 }

= {1 ,3 ,5 ,7 ,9 }

S O L ü C a)

(J R U -I-2 )

1 0 H

A -

{ x / x e s un mes d e l c u r s o }

B -

{ x / x e s una p r o v i n c i a g a l l e g a }

C -

{ x / x e s un número n a t u r a l d e una s o l a c i f r a }

D -

íx / x G « , x - 2 , 1 < x

<13}

- { x / x e s un número n a t u r a l par c om p re n d ic o e n t r e e)

E -

,J u n io }

C o ru ñ a ,L u g o ,O re n s e ,P o n te v e d ra )

{ x / x e s un número n a t u r a l , i m p a r

1 y 13}

y d e una s o l a c i f r a }

■ { x / x e s un número impar d í g i t o } o o o O o o o -----

1 . 6 .

Los

d e fín a n s e

s ig u ie n te s

c o n ju n to s

d e fin id o s

por

c o m p re n s ió n ,

p or e x te n s ió n .

A =

/ x

a s ig n a tu ra

B =

/ x

m esd e

C =

/ x

£ H

D =

/ x

G Z

está n

com únd e COU}

v a c a c ió n 4 < -5

E = { x / x = 2 n + l

< y

veran o}

< 9}

0 <

3} n

10} { J R V -I-3 1

S O L U C I O N a)

A ■ { R e l i g i ú n , L e n g u a , I d i o m a , M a t e m á t i c a s c o m u n e s ,F .C .y S o c i a l }

B -

(J u lio ,A g o sto }

C -

{4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }

D - {-4 ,-3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2 }

E - {1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 1 ,1 3 ,1 5 ,1 7 ,1 9 ,2 1 }

NOTA:

p r o p ie d a d cana c t e n t s t i c a qu e d e te rm in a un c o n ju n t o no d e b e s e n a m bi -

gua. Pon e je m p lo , e n b )

" x e s meó d e v a c a c ió n d e v e n a n o " , s i es pana e s t u

d ia n t e s e s c lo n o qu e s e t n a t a de e s o s d o s , peno

pana nu ch a g e n te tam

b ié n es mes de v a c a c ió n d e venano J u n io y S e p tie jr b n e .

1 . 7 .

D íg a s e

s i

son c i e r t a s

E n ero € {D ía s

4 e

3 £ { x / x = 2 n + l

16 £

x es

-7

x € N

{x /

€

€ Z y

la -7

la s

s ig u ie n te s

e x p re s io n e s :

sem ana) <

x < ,

n € N )

núm ero y

p rim o )

2 <

x <

8) (J R V -I-4 )

S O L U C I O N

a ) F.s f a l s a p u e s t o que e l mes Enero no p e r t e n e c e a l c o n j u n t o d e l o s d í a s de la semana. b)

v e r d a d e r a ya aue 4 6 Z

r e l a c i ó n d ad a e n c )

y v e rific a

la rela ció n

e s c i e r t a p u e s t o que

-7 < 4 < 5

3 ■ 2.1

+ 1 y se v e r i f i c a

par a

n ■ 1. d)

número 16 e s un número compuesto ya que

d iv is o re s d is tin to s

16 = 8 . 2 = 4 . 4 , e s d e c i r ,

d e 16 y d e 1 y e n c o n s e c u e n c i a no e s

tie n e

un número p rim o.La

rela ció n d ) es fa ls a . c)

E s t a r e l a c i ó n e s f a l s a p u e s t o que - 7 no e s un número n a tu r a l. T a m p o c o v e r i f i ca l a segunda c o n d i c i ó n a l no e s t a r c om p re n d id o -7 e n t r e 2 y 8.

o o o O o o o -----

1 . 8

• Dado e l

tis fa c e n

c o n ju n to

s im u ltá n e a m e n te (a ,c 1 C X

S O L U C I O N a)

la s

{a ,b ,c ,d ,e ,f)

r e la c io n e s

¿qué

s ig u ie n te s

c o n ju n to s

X C A

P o r s e r { a . c ) s u b c o n j u n to d e X , e s t e c o n j u n t o d e b e t e n e r a l menos l o s e l e mentos a y c .

P o r s e r X un s u b c o n j u n to d e A , X p o s e e r á a l o más l o s e l e m e n t o s d e A , es d e c ir ,{a ,b ,c ,d ,e ,f).

Ten ien do en cu enta e s t a s dos c o n d ic io n e s se o b tie n e n l a s s i g u i e n t e s s o lu c io n e s : 1)

(a ,c )

{a .c .b j

{a ,c ,b ,d }

{a ,c ,b ,d ,e }

X -

(a ,c ,d )

, (a .c .b .e )

(a ,c ,e )

(a ,c ,f)

, (a ,c ,b ,f)

, (a .c .b .d .f)

, (a ,c ,d ,e )

, (a ,c ,b ,e ,f)

, (a .c .d .f)

, {a .c .e .f)

, (a ,c ,d ,e ,f)

(a ,b ,c ,d ,e ,f)

N ó t e s e tam bién que

X - { a , c ) U X'

, sien d o

X ' un s u b c o n j u n to d e ( b . d . e . f )

E l número de s o l u c i o n e s e s i g u a l a l número d e s u b c o n j u n t o s d e { b , d , e , f ) , d e cir

, 2* -

16.

1 . 9 . D *

C o n s id é re n o s

1 0 })

¿E stá

En c a s o

E -

b ie n

ju n to s

lo s

p id e

e n u n c ia d o e l

n e g a tiv o , son

A -

(0 )

B =

C -

(0 )

¡ p ro b le m a ? .

e n u n c ia rlo

ig u a le s

S O L U C I O N

c o n ju n to s

c u á le s

b ie n

in d ic a r

c u á le s

lo s

con

no.

a ) El e n u n c ia d o d e l pro b lem a e s t á n a l p u e s t o que

E = 0

no e s un c o n i u n t o .

b ) L o s r e s t a n t e s son c o n j u n t o s . E n t r e e s t o s c o n j u n t o s no hay n ig u n o i g u a l a l o s d e n i s . En e f e c t o : 1)

Ae s un c o n j u n t o

Be s e l c o n j u n t o v a c í o

u n i t a r i o cuyo e l e a e n t o

es 0

Ce s un c o n j u n t o

u n i t a r i o cuyo e le m e n t o

De s un c o n j u n t o

u n i t a r i o que t i e n e como e le m e n t o a o t r o c o n j u n t o cuyo

es 0

ún ico elem ento e s e l c on ju n to v a c ío .

o o o O o o o -----

1.10 . to s

del

Dado e l

c o n ju n to

O -

{ 1 , 2 , 3 ) , fo rm a r

to d o s

lo s

IJK IM -S )

S O L U C I O N

S u b c o n ju n tos

de 0 elem entos

S u b c o n ju n tos

d e 1 e le m e n t o

{1 )

S u b c o n ju n tos

de 2 elem entos

(1 ,2 )

S u b c o n ju n tos

de 3 elem entos

{1 ,2 ,3 }

E l número t o t a l d e s u b c o n j u n to s e s Por tan to.

s u b co n ju n

P (ü ) - { { 1 }

. {2 }

, {2 )

, {3 }

,{ 1 , 3 }

, {2 ,3 }

8 - 2^ ■ 2c a r d ^ .

, {3 }

, {1 ,2 }

, {1 ,3 }

, {2 ,3 }

, {1 ,2 ,3 }}

o o o O o o o -----

1.11. de

lo s

D ib u ja r

e l

d ia g ra m a

s u b c o n ju n to s d e l

S O L U C I O N S i ponemos :

e je rc ic io

in c lu s ió n a n te rio r.

A - {1 }

D - (1 ,2 )

B - {2 }

, E - {1 ,3 }

{3 }

s e t i e n e e l s i g u i e n t e dia gram a de Hasse

d ia g ra m a

Hasse

1.1

Dados

e s c rib ir,s i

lo s

c o n ju n to s A

/ xe s

unc u a d r a d o )

/ xo s

unr e c t á n g u l o )

■=

íx

/xe s

unc u a d r i l á t e r o )

e x is te n ,re la c io n e s

de in c lu s ió n

en tre

lo s

c o n ju n to s A,

B y C.

(J R V -J -5 )

S O L U C I O N

AC B

ya que t o d o cuadrado e s r e c t á n g u l o

AC C

ya que t o d o cuadrado e s c u a d r i l á t e r o

BC C

ya que t o d o r e c t á n g u l o e s c u a d r i l á t e r o .

En l a f i g u r a ad ju n ta s e ha r e p r e s e n t a d o e l diagrama d e Vcnn d e l a i n c l u s i ó n . o o o O o o o -----

1 . 1 3

d e c ir

. Dados

cuál de

lo s

c o n ju n to s

A -

(x/x G Z

x -

B -

íx/x € Z

x -

¿)

la s

s ig u ie n te s

A C B S O L U C I O N

e x p re s io n e s

c ie rta

B C A

(JRV-I-7)

Expresando p or e x t e n s i ó n l o s c on ju n to s A y B

( s ó l o algunos e l e m e n t o s ) s e t i e n e

A -

( 0 , 12 , ± 4 , 16 , 18 , 110 , 112 , ± 14, ± 16 , i 18 , 120 , 122 , 124 ,

B -

{0 , 16 , 112 , 118 . 124 ,

. ••>

...)

P or t a n t o , l o s e le m e n t o s d e l c o n j u n t o B son e le m e n t o s d e l c o n j u n t o A , l u e g o B C A.

N óte s e que t o d o e le m e n t o de A e s m ú l t i p l o de 2 y que to do e le m e n t o de B e s múl t i p l o d e 6 y que t o d o m ú l t i p l o de 6 l o en de 2, y por e s t o , B C A. o o o O o o o -----

1 . 1 4 .C a d a c o n ju n t o c o n ju n to

v a c ío ,q u e

p o s e e c o m o s u b c o n j u n t o s a 6 1 mí

lla m a n

¿Hay a lg ú n c o n j u n t o q u e p o s e a S O L U C I O N

s u b c o n ju n to s un ú n i c o

im p ro p io s .

s u b co n ju n to ? (J R V -I-9

Solamente e x i s t e un c o n j u n t o con un ú n ic o s u b conju nto : e s

0.En e f e c t o :

Sea X un c o n j u n t o c u a l q u i e r a , s i e s t e c o n j u n t o p osee un ú n ic o s u b c o n ju n t o ,l o s sub conju nto s im p r op io s deben c o i n c i d i r , es d e c i r ,

X a 0 .

1.15.

Form ar

Sean:

)

A =

, b ,

, d

, e}

B -

, d ,

, f

, g ).

C -

, g ,

, i}

;

b ) A U C

d ) A H B

A O

( A u B)

;

B U C

B n c

III

A U

A U C ■ (a ,b ,c ,d .e ,g ,h .i)

;

( B U C)

S O L U C I O N

n c

B - (a ,b ,c ,d ,e ,f,g )

B U C - (b .d .e .f.g .h .i)

(I)

A H

B ■ {b .d .e }

A O

C - { *}

b n c

A n (B U C)

• (c .g ) -

( A U B) n c

- (e .g )

(A U B )U C

- (a .b .c .d .e .f.g .h .i)

(b .d .e)

o o o O o o o -----

1 . 1 6 .

form a r

Dados

lo s

c o n ju n to s

s ig u ie n te s

c o n ju n to s

E ■

(1 ,2 ,3 ,4 }

F -

(2 ,4 ,6 ,8 }

T, -

(1,2)

E U F

E u F u G

E n G

( F n G)

(E u G)

(G n F)

S O L U C I O N

r\ F

(G u F )

(J R F -I

EUF

E U P U G - E U F

- (1 .2 ,3 ,4 ,6 .8 )

E n G

(F. u G) n F -

EO F

E n (G u F )

=■ ( 1 . 2 . 4 )

E n (F n C )

■ (2 )

E u (G n F )

■ (1 .2 ,3 ,4 }

•

(1 ,2 ,3 .4 .6 .8 }

- (1 ,2 ) ■

(2 .4 )

(E U G) n F -

EO F

(2 .4 )

(N fi t e s e que

C C E)

-III

1.17.

Sea A e l

lo s

18.

H a lla r

por

e x te n s ió n

H a lla r

por

e x te n s ió n

H a lla r

A n

d iv is o re s

¿Cuál

e l

c o n ju n to

m ayor de

lo s

d iv is o re s

12 y

B e l

c o n ju n to

p id e

e lem en to s d e

A O B?

¿Qué nom bre r e c i b e ? . S O L U C I O N a)

A - { x/ x e s un d i v i s o r d e 12) ■

)1 .2 ,3 ,4 .6 .1 2 }

B 3 { x / x e s un d i v i s o r de 18) =

(1 ,2 ,3 ,6 ,9 ,1 8 )

A ílB

El mayor número d e l c o n ju n to A f")

■ ( x / x e s un d i v i s o r d e 12 y d e 18) - ( l , 2 , 3 , 6 )

El número 6 r e c i b e e l nombre d e

tráxÁm) con Jn d iv iA o n de 12

o o o O o o o -----

1 . 1 8 . D em ostra r qu e b ié n

son

< *(A )

S O L U C I O N

s i

A y

B son

d os c o n ju n to s d ís ju n t o s

Haremos l a d e m o strac ió n por r e d u c c ió n a l absurdo.Supongamos que P ( A ) y no son d i s j u n t o s , en to n c e s e x i s t e un e le m e n t o X

G f*<A) O

X € <*(A) y

X G <*(B)

-existe u n x / x G A

*»

X j* 0

t a l que

X C A y X C B xGB

a n b i 0

c o n t r a d i c c i ó n con la h i p ó t e s i s d e que A y B son c o n ju n t o s d i s j u n t o s . oooOooo— 1 . 1 9 .

D e fin ir

c o ín c id e n te s

S O L U C I O N Sean r y

tam

f(B) .

recta s

p a ra le la s ,

p la n o

recta s

com o a p l i c a c i ó n

seca n tes

recta s

de c o n ju n to s .

s l a s r e c t a s d e l p la n o ,e n to n c e s

r esp a ra lela a s - r l s

r es

s e c a n t e con s

r es

c o i n c i d e n t e con s

«-•

“

r D s ■ (P ) «=»

r n s M , s i e n d o P un punto d e l p la n o

r n s - r ■ s

— o o o O o o o -----

<P(B)

1.20

, Dados

u n ió n

in te rs e c c ió n

A p lic a c ió n Aj

lo s

c o n ju n to s

cada

uno con de

cada

b a ra ja

A ^ ,A ^

A j,

d e fin ir

in te rs e c c ió n

uno con

e s p a ñ o la

u n ió n

cuando

■

c o n ju n to

la s

ca rta s

reyes

A2 -

c o n ju n to

la s

ca rta s

oros

c o n ju n to

la s

ca rta s

pares.

lo s

otros

dos

lo s

otros

dos.

(S E L E C T IV ID A D -1976)

S O L U C I O N 1)

Aj U

(A2 n A j)

A2 U

(A j n Aj)

Aj U

(Aj

n a 2)

X e Aj

x G (A2 n A j) )

B {x/

x € A2

x G

(Aj

n A j))

■ ( x/

G Aj

X G

(Aj

n a 2) )

Aj n ( a 2 u A j ) • <x/ x € A j

x G

(A2 u A j) )

{x/

? n (A j

U Aj)

<x/ x G A 2

x G (Aj

u A j))

A j n (Aj

U A2)

(x/

X e

U A 2) )

Aj u (A2 n A j)

- {x/

x es

• (x/

x es oro o re y )

APLICACION 1)

G Aj

(Aj

U (Aj

O Aj)

r ey u o r o par) t o que , p u e s to que

A j U ( A j D A? ) -

(x / x es c a r t a p a r)

Aj C A j

y resu lta

A j O A j ■ Aj

, puesto que e s

que

A j O A? ■ { R e y o r o s )

p a r , y en c o n secu en cia es

t á c o n t e n i d a en A j 2)

Aj A2

O ( A 2 U Aj ) - { x / x e s r e y ) O (Aj

U A j ) ■> { x / x

A j H (A j

oro par)

U A2 ) ■ ( x / x e s r e y u

o r o par) o o o O o o o -----

1. 21 . AB

ene l

Dar

una d e f i n i c i ó n

c o n ju n tis ta

m e d ia triz

d el

segm en to

p la n o .

S O L U C I O N

S i d esig na m o s p o r

d (P ,Q )

M e d ia triz

de AB •

la d is ta n c ia entre {

X / X punto

d e l p la n o

dos puntos d e l p la n o , en tonces: y

d (X ,A ) = d (X ,B ))

.D e m o stra r

C) u C)

la s

s ig u ie n te s

le y e s

(B H

= (A

H (A U C )

= (A n

S O L U C I O N

(A n

d is trib u tiv a s

{ m MJJ

Haremos l a d e m o s t r a c i 贸 n d e e s t a s d o s p r o p i e d a d e s p o r l a R e co rd e m os : S i

perten ece x

a l c o n j u n t o pondremos

no p e r t e n e c e

ta b la de p e rte n en c ia .

a l c o n j u n t o pondremos

d o n d e , d e l a s colu m n a s 3 y 5 s e o b t i e n e l a 4 , d e l a s columna s 11 y 13 s e o b t i e n e de la

1 y 4 res u lta

de la s 7 y 9 la 8 ,

12;

l a 2 ( p r i m e r m ie m bro )

d e l a 8 y 12 r e s u l t a

l a colum na 1 0 ( s e g u n d o m iem bro )

d e l a s columna s 2 y 10 s e o b t i e n e f i n a l m e n t e

l a colum na d e r e s u l t a d o s f禄.

1 1

0 1

. 12

La o b t e n c i 贸 n d e l a s u c e s i v a s columna s a p a r t i r d e l o s d a t o s s e h a c e d e una manera a n 谩 l o g a a l a p a r t a d o a n t e r i o r .

c o n ju n to s a)

S ie n d o

b ) B D A

{3}

B =

a) B ■ {1 }

,e n cada

N de

{1 ,3 }

en con tra r

dos

lo s s ig u ie n te s casos

{1 ).

{4 ,5 }

B U N = {1 ,2 ,3 }

(JR IM -1 7 )

, lu eg o

d c A O B - 0

A ■> { 2 , 3 , 4 , 5 } y

par a que v e r i f i q u e

l a s c o n d i c i o n e s dadas

A U B • M

A D B , entonces

A U B ■ A ,

luego A ■ { 4 , 5 }

ra de lo s s ig u ie n te s

con ju n tos : { 4 }

1 ° ) De

B UN -

N »

y uno

B ■

, A U B = {2 ,3 ,4 }

S O L U C I O N

, A U B -

A n B -

b) Si

{1 ,2 ,3 ,4 ,5 )

B no v a c ío s

A U B ■ M

M =

(1 ,3 } y

, y

B puede s e r c u a l q u i e

, {5 } , {4 ,5 }

{ 1 , 2 , 3 } s e s i g u e que B

puede s e r uno

cu al

q u ie r a de l o s s ig u ie n t e s con ju n tos : {2 } 2 * ) De

. {1 .2 }

{2 ,3 }

. {1 ,2 ,3 }

A n B = { 3 } s e s i g u e que B t i e n e que t e n e r e l e l e m e n t o 3 , l u e g o

de la s 4

p o s ib ilid a d e s de B {2 ,3 }

3 * ) F in alm en te, de

nos quedan ú n ica m ente :

la r e la c ió n

{1 ,2 ,3 }

A U B ■ { 2 , 3 , 4 } deducim os q u e B puede s e r

única m ente,{ 2 , 3 } 4 #) S i

B -

{2 ,3 }

ya que :

A O B ■ {3 } y

A U B - {2 ,3 ,4 }

entonces

2 no puede p e r t e n e c e r a A p u e s t o que l a

A • {3 ,4 }

in te rs e c c ió n s e ría

{2 ,3 } el 3

debe

p e r t e n e c e r a A p u e s t o que { 3 } «* A O B

el 4

debe

p e r t e n e c e r a A p u e s t o que p e r t e n e c e a l a únio n d e A

y B y n o p e r t e n e c e a B. Por tan to, A • { 3 , 4 }

B -

(2 ,3 ) o o o O o o o -----

1 . 2 4 .

D em ostra r

A C AU

B C AU

A O BC

s ie n d o

A y

todo

X € A

x € B

s ig u ie n te s

B d os c o n ju n to s

S O L O C I O M Para

la s

re la c io n e s ,

c u a le s q u ie ra .

(J R V -I-M )

•

x € A o

x € B

x €

€ A o

x G A U B

, lu eg o

AC A U B

x € A U B

, lu eg o

BC A U B

x E A O B

x € A

x € B

-•

x € A

, lu eg o

A O B C A

x G A O B

••

x € A

x € B

. lu eg o

A O B C B

1 . 2 5 . casos

Form ar

■ 0

- (1 )

- (1 ,2 )

- (1.2,3)

- (1 ,2 ,3 .4 )

lo s

s ig u ie n te s

(0 )

(I)

,{i})

Subconjun tos d e 0 e le m e n t o s Su bconjun tos d e 1 ele m ento

(1 )

Su bconjun tos d e 2 ele m entos

( 1 ,2 )

*<U )

- (0

. (2 )

.(0 .(2 ).(1 .2 ))

Su bconjun to s d e O e le m e n t o s Su bconju n to s d e 1 ele m ento

(1 )

Su bconju n to s d e 2 elem entos

(1 .2 )

Su bconju n to s de 3 elem entos

(1 .2 ,3 )

f(\ J ) e)

uno d e

Su bconjun to s d e 0 e l e m e n t o s : 0

cada

( J K V - 1- f á )

Su bconjun tos d e 1 ele m ento

Su bconjun to s d e 0 e l e m e n t o s : 0 *(U >

c o n ju n to f ( U )

S O L U C I O H a)

- (0 . (1 )

. (2 )

. (3 )

. (2 ) . (3 ) . (1 .3 )

. (1 ,2 )

, (2 .3 )

. (1 .2 )

. (2 .3 )

. (1 ,2 ,3 ))

Su bconjun to s de O e le m e n t o s : 0 Su bconju n to s de 1 ele m ento

(1 )

Su bconju n to s de 2 elem entos

(1 ,2 )

Su bconju n to s de 3 elem entos

( I . 2 .3 )

Su bconju n to s de 4 elem entos

( I , 2 .3 ,4 )

f(U )

, (2 )

, (3 )

. (1 .3 )

, (4 )

. (1 .4 )

, (1 .2 ,4 )

. (2 ,3 )

, (1 .3 ,4 )

, (2 .4 )

. (3 .4 )

, (2 ,3 ,4 )

- (0 ,(1 ),(2 ),(3 ).(4 ).(1 ,2 ),(1 .3 ).(1 .4 ),(2 .3 ).(2 ,4 ),(3 ,4 ). (1 ,2 ,3 ),(1 ,2 ,4 ),(1 ,3 ,4 ).(2 ,3 ,4 ).(1 .2 .3 .4 ))

o o o O o o o ----NOTA : En t í c a p U u t o 4 , a l e b tu d ia n t i c tv u U n a í d t un c o n ju n t o , d e m a ta a n e n v i t i i i g u i e n t t teo-te/m : " S ¿ un c o n ju n t o ( ¡ i n i t o t i e n e n e l e m e n t a , e n to n c e ó f i n i t o y tie n e

P|U) t i

tam b<ln

e le m e n to i " .

B ó te n e ó u tta d o ó e puede compxoban en t i e j e n c á U o a n t e n io * , cuando e l c o n jtu ü o t t e n e

O , 1 , 2 , 3 ,4

e le m e n t a .

1 . 2 6

del

.D a d o s

c o n ju n to

fo rm a r

lo s

c o n ju n to s

u n iv e rs a l

c o n ju n to s

{a ,b ,c ,d ,e }

B =

{b ,d ,e ,f,g }

C =

{e ,g ,h ,i}

U =

{a ,b ,c ,d ,e ,f,g ,h ,i}

s ig u ie n te s

B' U C'

( (A

f )

in d ic a n d o con

n C) •

e l

S O L D C I O H

c o n ju n to

(B U C ) ) * U B)

O C) '

n C n A) •

c o m p lem e n ta rio en U.

(J R V -I-I6 1

A ' - { í ,g . h , i }

B 'U C '

(B n C ) ' - { a , b , c , d , £,h, i }

( A O (B U C ) ) ' -

■

(B n C ) '

- {e ,g }'

- {a .b .c .d .f,h ,i) ( N ó t e s e que e s e l mismo c o n j u n t o que en b ) )

(A O { b , d , e , f , g , h , i ) ) 1

- (b ,d ,e )' - {a ,c ,f,g ,h ,i) e)

( ( A U B) n C ) ’ - ( { n . b . c . d . c . f . g } n C ) • - íc .g )' - {a ,b ,c ,d ,f,h ,i)

(B n C n A ) '

MOTA

- (e )'

- ía ,b ,c ,d ,f,g ,h ,i>

: La ig u a ld a d d e f o A c o n j u n t a d a d o i en a ) y bl

¿ e ve/U 6¿ca ¿ ie m p ie y ¿ e

c o n o c e como La l e y d e MORGAM. o o o O o o o -----

1 . 2 7 . H a lla r c o n ju n t o u n ió n n ió n

lo s

e l c o n ju n to

c o m p lem e n ta rio d e l a

d e l o s c o m p lem e n ta rio s

c o m p lem e n ta rio s

S O L P C I O H

de A

A y

in te rs e c c ió n

B con

y C.

e l

c o n ju n to

{S E L ÍC n v iO A D -

del u-

1976)

Tenemos que h a l l a r e l c o n ju n t o com p lem e nta rio o l o que e s l o mismo ( ( A ' U B' ) ( ( A ' U B ') O (A * U < : ') ) •

d e l c o n j u n t o : ( A U B) H ( Á U c )

O (A ' U C ' ) ) '. -

(A ' U B ' ) ' U (A ' U C ' ) '

. L e y d e Morgan

- ( ( A ' ) * n ( B ' ) ') U ( ( A ' ) ' O (C ’ ) ' ) - (A

n B) U ( A O C)

- A n (B U C)

, Ley in v o lu tiv a ,

Ley

d is trib u tiv a

1 . 2 8 . expresar to s

Sean

p o r m ed io d e

1 ,2 ,3

4 de

S O L U C I O N a)

A y

B dos la

s u b c o n ju n to s

in te r s e c c ió n

s ig u ie n te

fig u ra

de U

(c o n ju n to

A ,B ,A ',B '

lo s

u n iv e r s a l). s u b c o n ju n

La r e g i ó n que d e t e r m i n a e l s u b c o n ju n to 1 v i e n e dada p or : 1 ■ A - B ■ A O B'

E l s u b c o n ju n to 2

v i e n e dado p or :

2 ■ A n B

E l s u b c o n ju n to 3

v i e n e dado p o r :

3 - B - A - B H A '

E l s u b c o n ju n to 4

v i e n e dado p o r :

4 - (A U B ) ' - A ' H B'

• A' n B

, p or l a l e y de Morgan

o o o O o o o -----

1 . 2 9 . s íó n

R ep resen ta r en

un d i a g r a m a d e

Venn

s ig u ie n te

expre-

(A n B) n c S O L U C I O N ( A n B) n C

•

U -

: ((A flB ) HC)

, p or l a d e f i n i c i ó n d e c o n j u n t o complemen ta rio .

■

U - ((A n

- C)

, p or l a d e f i n i c i ó n d e d i f e r e n c i a

Las f i g u r a s s i g u i e n t e s muestran l o s c o n j u n t o s

( A H B) - C

rio : J l i P

v i)

;

su complementa

Sean A ,B m ed io

y C

s u b c o n ju n to s

in te r s e c c ió n

A , B , C , A ' , B ' #C '

p resar

por

ju n to s

1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8

S O L U C I O N 1

A -

i p or d e f i n i c i ó n d e -

A n (b' n c ’)

• p or

A n B'

• p or l a a s o c i a t i v i d a d

l e y d e Morgan de n

(A n B) - c

B -

b a

n c'

t p or

la d e fin ic ió n

de -

• p or

la a s o c ia t iv id a d de

( A U C)

n (a * n c ') * n B nc*

• p or l a d e f i n i c i ó n d e 9 por la t p or

l e y d e Morgan

la a s o c ia t iv id a d de

( A o C) - B ( a n C) n B* a

' n c

(B n C ) - A (b n a

• por la a s o c ia tiv id a d d e

' n

n a’

( A u B)

( A U B) •

n (a ' * n

b’ )

’ n c*

(A u b u c) • a ' n (B u C ) ' a

' n

1 por d e f i n i c i ó n d e t p or l a a s o c i a t i v i d a d d e

n c

• por d e f i n i c i ó n de -

n b n c

fig u ra

lo s

( B U C)

B n (A u c ) •

s ig u ie n te

A n (B U O *

u n iv e rs a l).

( A n B) n C '

(c o n ju n to

n c'

• por d e f i n i c i ó n de • por

l a l e y d e Morgan

• por

la a s o c ia tiv id a d de

(A U (B U C ) ) i - a ’ n ( B ' n c ')

, p o r l a s l e y e s d e Morgan . p o r l a a s o c i a t i v i d a d de

subcon—

1 . 3 1 . to s

Dados

lo s

c o n ju n to s A y

c o m p lem e n ta rio s A '

la s ig u a ld a d e s a)

A n B -

A U B °

B' C

A n

B y

sus

c o rre s p o n d ie n te s

dem u éstrese que

s i

A C

c o n ju n

s e cu m p len

A* U B = U

(U c o n j u n t o

u n iv e rs a l)

= 0

(J R V -I-2 5 - S e le c t iv id a d 1975)

S O L O C I O M : a)

A H B

( x / x G A

y x G

{ x / x G A

y x 6

B) A)

ya que

A CB

ya que

A CB

{ x / x G A } A

AUB

■ -

xGB)

{x / x G B

{ x / x G B)

{ x / x G A

Par a Codo x € B'

■»

x $

•

x £

=»

x G

ya que

A C B

l u e g o B ' C A' d)

A' UB

{ x / x G A '

x G B)

( x / x G A'

x G A)

{ x / x G U) ü

NOTA :

n B' -

( x / x G A

x G B' )

{ x / x G A

x G A’ )

Loa e / e n c i c i o i a )

, b)

, d) y

¿ e pueden

demeétaan pnobando l a d o

b le in c lu s ió n . L o hacemo¿ p a ta e l pnim eno : 1)

A n G

c A

pue&to que to d o e le m e n to de 1a i n t e l e c c i ó n petten e.ee pon d e f i n i c i ó n a l a

G A , eivíonce¿

y de a q u í lu e g o

x G

x e

An 8

A c A o B.

Ve I J y 2 ) ¿ e ¿ ig u e la ig u a ld a d a ) .

doó c o n ju n t o i x G 8

, p u e r to qu e

A c

1 . 3 2 en

.S im p lific a r

donde A '

S O L O C I

son

lo s

e x p re s ió n

co m p lem e n ta rio s

u B ')

B) n ( A A y

( A ' u B)

B res p e c tiv a m e n te . [ S E L E C T IV ID A D - 19761

P rim e r método : (A U B) O ( A U B ' ) O ( A ' U B )

■ ( ( A u B) O ( A u B ' ) ) O ( A ' u B)

, p. a s o c ia t.

- (A

U <BO B ’ ) ) O

, p. d is t r ib .

- (A

u 0 ) n (A * U B)

( A ' U B)

, p . d e cotspl.

- A n ( A ( U B)

, id en tid ad

- (a n a ') u (a n b )

, p. d is t r i b .

u (A n B)

, p . d e cooipl.

n B

, identidad

Segu ndo m étod o: S i expresam os p or 1 l a p e r t e n e n c i a de un e le m e n t o a l c o n ju n t o , y p or 0 l a no p e r t e n e n c i a

e n to n c e s s e puede c o n t r u i r l a s i g u i e n t e t a b l a de v e r i f i c a c i ó n

A U B

AUB'

A' U B

( A U B) n ( A U B ' ) n ( A' U B)

E l r es u lta d o ob te n id o es e q u iv a le n t e a l a ta b la de con ju nto ( A U B) O (A U B ' ) O ( A ’ U B) -

A O B , lu e g o

A O B

o o o O o o o -----

1 . 3 3

.S im p lific a r «A

s ie n d o A

y B lo s

S O L O C I O M ( ( A U B) n ( A U B ) )

s ig u ie n te

U B ) O ( A U B ))

c o m p lem e n ta rio s

e x p re s ió n

U ((A

B res p e c tiv a m e n te .

[S C LE C TÍV Í1 M ) U

((A

1976)

n B ) u (Á n B ) ) - (A U ( B n § ) ) u ( ( A U Á ) n B ) ) ,

- A

en ( 1 )

O B) U (Á O B »

de A y

- (A

d on de,

s e ha a p l i c a d o l a

u u

u (U n B )

p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a

[1) , [2 ) , 13)

en | 2 )

s e ha a p l i c a d o l a

p ro p ied ad d e complementaciÓn,

en | 3 )

s e ha a p l i c a d o l a

p ro p ie d a d d e l e le m e n t o n e u t r o .

1 . 3 4 . Se rep resen ta ten ecen

d e fin e

por B,

A -B

d ife r e n c ia

a l

dos lo s

c o n ju n to s

e le m e n to s

B =

(x / x

G A

( x/x

e B'}

de A

que

per

d e c ir, A -

= D em o stra r q u e

c o n ju n to

(B n

n b'

C) I J R V - I-?3 |

S O L U C I O N A

(B O C ) -

: A n (B O C ) '

según l a

d e fin ic ió n

■

A H (B ' U C ')

s e gú n l a

l e y d e Morgan

(A O B ') U (A O c ' )

p rop ied ad d i s t r i b u t i v a

( A - B) u ( A - C )

s e gú n l a

d e f i n i c i ó n de -

o o o O o o o ----1 . 3 5

. Dados

lo s

s ig u ie n te s

c o n ju n to s

e x p re s io n e s

la s

(1 ( B

- C)

O B) -

(A n C)

U (B

- C)

U B) -

(A U C)

B y

pru éb ese

s i

IS C LC C T 1 V 1 V A V

S O L U C I O N a)

( A n B> -

(A O C) =

( A n B) O ( A n C ) '

d e fin ic ió n

( A n B) O ( A ’ U C ' )

l e y e s d e Morga n.

(A O B n A ' ) U (A O B O C ' ) 0U ( A n B O C ' )

- A

, ley d is tr ib u tiv a ,

(B n c ' )

l e y d e c o m p lem e n ta eió n

. a s o c ia tiv id a d

*• A O (B - C)

, d e fin ic ió n

b ) C onsiderem os l o s s i g u i e n t e s c o n ju n to s

de -

A = {1 .2 .5 .6 .7 ) B - {4 ,5 ,6 ,8 ,1 0 } C - {3 .4 ,5 ,7 ,1 3 } B - C -

{6 ,8 ,1 0 }

Por ta n to y b)

A U (B - C ) -

A U B -

{1 ,2 ,4 ,5 .6 .7 ,8 ,1 0 }

)

A U C

íl.2 .3 .4 .5 .7 ,1 3 )

( A U B) -

De a )

1976)

de -

- A O B D C'

en ton ces

c u m p len

{1 ,2 ,5 .6 ,7 ,8 ,1 0 }

d c a" u í < "> te n e »o s

(A U C) - {8 , 1 0 }

, A U (B - C ) t

( A U B) -

( A U C)

s e s i g u e que l a s d o s r e l a c i o n e s d ad as s on v e r d a d e r a s .

1 . 3 6 to s

-D ados

dos

c o m p le m e n ta rio s

c o n ju n to s

B' -

B y

sus

c o rre s p o n d ie n te s

c o n ju n

d em u éstrese que

B -

A (SELECTIVIDAD - 1976)

S O L U C I O N a ) P r i m e r método : A ' - B' - { x / x G A ' y * (x / x

“ { x / x G B -

x £ B '}

por d e fin ic ió n de d ife r e n c ia

x G B)

por d e fin ic ió n de '

x ^ A }

►c o n m u t a t i v i d a d d e " y "

B - A

» por d e fin ic ió n de d ife r e n c ia

b ) Segundo método. Tendremos que d e m o s t ra r :

1 °)

B ' C B - A

1 °)

A' -

2“ )

B - A C A ’ - B1

«*

x G A'

x f B '

•

x $ A

x G B

■*

x G B

x $ A

xGB

x 6 B

x G A’

x í

x G A’

x G A'

x $ B '

Para todo x G A ' - B'

x G B - A

x GA'

lu eg o, A ' - B ' C B - A 2 o)

Par a t o d o x G B - A

lu ego, B - A

-B'

C A ’ - B'

De 1®) y 2 ° ) s e s i g u e e l e n u n c ia d o.

— — --- o o o O o o o —

1 . 3 7.

D em ostra r (A

S O L U C I O N

la B)

id e n tid a d

(A n

(JM -1-24)

( A - B) U (B - A ) -

O B’ ) n

U (B

A ')

p or l a d e f i n i c i ó n d e -

((A

( A u B) n (B U B ' ) O ( A U A ' ) n ( B ' U A ' )

( A U B)

(a u b ) n (b n A)'

, l e y d e Morgan

•

, por la d e fin ic ió n -

B ' ) U B)

U B) -

n«A

(B ' U A ')

n B)

n B ') U A ' )

le y d is trib u tiv a

le y d is trib u t.

, l e y d e c or a p le a e n ta c ió n

1 . 3 8 p ru ébese

. Dados s i

lo s

c o n ju n to s A y

s e cu m p len o

A -

B -

no l a s B'

(A U B ) '

en donde A '

son

tiv a m e n te y

(A u B ) '

lo s

s ig u ie n te s

= B'

n A' co m p lem e n ta rio s do A y

c o n ju n to com p lem e n ta rio de

■ I x / x 4 A' • ( x / x € B'

(x / x e

•

x £ B}

. p or d e f i n i c i ó n de d i f e r e n c i a

x e b 'J

, por d e f i n i c i ó n de complementario

y y y

x i A '}

. p or d e f i n i c i ó n de d i f e r e n c i a

x e a }

, p or d e f i n i c i ó n de complementario

x e

, conmutatividad de y

, con m utativid ad do y , p or d e f i n i c i ó n d e f i f e r e n c i n

/ x € B'

■ I x / x e í 1 -

A u B.

y y y

B ' - A1

■ {x

B respec

w u e m m » - im i

A ■ B • |x / x t

c o n j u n t o U,

iq u a ld a d c s :

s o Loc I o N = a)

en e l

= A O B'

c o n ju n to s

es e l

B in c lu id o s

b *}

, d e fin ic ió n de

E sta r e l a c i ó n e s en r e a l i d a d una de l a s l e y e s de Morgan. Veamos su demos tración . (A U B ) '

- (x / x Í

(A U B ))

- { x / x ^ A

■ ( x / x € A’ y -

x$B} x € B’ )

A'nB' o o o O o o o -----

1 . 3 9

. D em o stra r que

A U B = A u C

que D " C

A n B *

A O C im p lic a n

(S F U C 7 1 V 1 M D - 1976)

S O L U C I O N

Se t i e n e n l a s s i g u i e n t e s ig u a ld a d e s : B

B n (B U A)

•

B H ( C U A )

. p o r h ip ó tesi»

■

( B n c ) U (B n A )

, p ro p ie d ad d i s t r i b u t i v a

C) U (C n A )

pro piedad s i n p l i f i c a t i v a

. p o r hip ó tesis

•

(C n B )U (C ftA )

, pro piedad conmutativa

■

C n (B U A )

, pro piedad d i s t r i b u t i v a

■

Cn( AUC)

.p o r

■ [E iíti

dtm o& O ia iión u t d

, tomtda d t i t i b i o

AC-1

hip ó tesis

pro piedad s i m p l i f i c a t i v a . - P^umcna p a i t t * I - I )

1 . 4 0 . ( A - C)

u (C -

tie n e

S O L U C I O N (a -

q u e( A

D em ostra r que

¡SELEC T IV ID A D - 1976)

c ) u ( c - A ) - ( A n C ) U (C n Á )

I 1I

- r ) U ( B - A) ) ) u ( « A - B ) u ( B - A ) ) O X)

= (A n ( ( A

(A n ( ( A n B) u (b n X )» u ( « a n b) u (b n a ) ) n X) -

o ( ( A n B> n ( B n X ») u ( « a n B ) n X) u ( b n X)n X ) )

= ( a n ( ( X u b) n ( b u a » ) u ( 0 u ( b n X ) ) -

( ( a n (X u b ) ) n (b u a ) )

( ( ( a n X) u ( a

u ( b n X)

- ( ( A n B) o ( B u A ) ) U (B O X) -

(«a n b ) n b ) u « a n b)

))

|3 I m 151 U1

n ( b ua ) ) u ( b n X)

)

121

171 181

( b n X)

I 9 |

(a n

u (b n

I 10 1

( a n b) u ( X n

I II I

- (a u X) n

( 12)

(1 3 ) d o n d e ,e n l o s p a s o s : I 11 y

( 3 1 s e ha a p l i c a c i ó n l a d e f i n i c i ó n de

í 2 1 , Be ha s u s t i t u i d o C p or su v a l o r ( 6 1 y ( 5 1 , s e ha a p l i c a d o l a l e y de Morgan I A 1 , | 7 1 , ( 9 1, ( 121 s e ha a p l i c a d o l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a (61,

id en tid ad

I 8 1 y ( 121 , l a p ro p ie d a d de c o n p l e o e n t a c i ó n ( 11 J , l a p ro p ie d a d c o n m u t a tiv a . I 10 1 , l a p r o p i e d a d d e i d e n t i d a d

de la

i n t e s e c c i ó n con U y l a p r o p i e d a d idem-

potente. (5 j

, tam bién s e ha a p l i c a d o l a p r o p i e d a d id c m p o t e n t c .

C-idfa com ente :

C • A ¿ 8

A - C ■ A n 8

C - A - 8 - A

1.41. se

Se llama

d e s ig n a p o r

h en tos

d ife re n c ia

X A Y

que p e r te n e c e n

D em ostra r q u e ,p a r a se v e r ific a

que

, al a

s im é tric a

dos

c o n ju n to c o n s tr u id o

uno y

s o lo

c u a le s q u ie ra

uno de

que

sean

lo s lo s

c o n ju n to s

X e

r>or a q u e l l o s c o n ju n to s

X e

Y, e lc -

c o n j u n t o s A ,B y C,

: A A C

( A A B)

(B A C) (SELECTWPAP-1976)

S O L U C I O N

Consideremos l a s dos f i g u r a s s i g u i e n t e s que r ep re se n tan mediante un diagrama de Venn l o s con junto s

A A C

(A A B) U (B A C) :

A AC

(A A 8} U ( 8 A C)

Es e v i d e n t e que en e s t o s diagramas

A A C

C ( A A B) U (B A C)

Veamos l a dem ostra ció n ló g icam en te. Si

x £ A A

C »

x £ A- C x

£ A

6 C- A

x $ C ox G C

x $ A

De a q u í se pueden o b t e n e r l o s c u a t r o c a s o s s i g u i e n t e s : a)

x € A y

x f

x £ A

6 B

x G A A B =>

x x

x £ C

d ) x G C y x € B

«• ■» ■*

Loó cu a V io ca s os

x x x

€

~ y x £

G BA C €

C x € ( A A B) U ( B A C)

B A C

€ B

x E ( A A B) u ( B A C)

=»

x E ( A A B) U ( B A C)

x $ A

A A B

■» x E (A A B) U (B

A C)

x considenan. t e s hemos 6e.ña(ado en la Alguna I , con t a i

te ín a s a , b , c , d . NOTA : U s té e j e n e l d o "S e lla m x

¿ue pnopuesto en e l mismo examen qu e e l s ig u ie n t e :

d is t a n d o e n tn e dos c o n j u n t a

X e V , y a

n epnesenta pon < í ( X , / ) , a f

númeno de e le m e n to i de óu d lfie n e n d a s lm ítn lc a .V e m o s tn M que paAa cu a le s q u le n ii que ie a n t o i c o n ju n to s A, 8 y C

ó e v e n i^ lc a qu e :

d (A .C ) < dlA.B ) * d íB .C I" La d erro stn a d ó n d e l e j é t e t e l a a n te n io n es l a V ía s e l a d em o s tn a d ó n en 1 .4 6.

baóe pana demos(non í s t e .

1 . 4 2

. Pru ébese

s i

b) en

donde

e l

B )•

c o n ju n to

cu m p le n o

C =

(A -

B ) • = A 'U

e l

c o n ju n to

la s (B

s ig u ie n te s

ig u a ld a d e s :

co m p lem e n ta rio

A -

B ,

c o m p lem e n ta rio d e A . iSEtCCTIVIOAP - 1976

S O L U C I O N a)

: (a n c*)

( A - C ) - (B - C)

(A - B )'

d e f i n i c i ó n de -

- ( b n C ')

(A n C ' ) n (B O c ' ) '

d e f i n i c i ó n de -

( A n o

l e y e s d e Morgan

(A n c 'n B ')U (A n c 'n c )

(a n c 'n b ') u 0

(a n

(a - b) - c

- {x / x

n (B* U C )

le y d is trib u tiv a

n C ' n B' b

le y a s o cia tiva

') n c'

d e fin ic ió n

de -

(A - B ) }

(x / x $ A

x G BÍ

(x / x € A ' o

x G B)

O t r a d e m o s t r a c ió n : p or d e f i n i c i ó n de

( A - B ) ' - (A O B ' ) ' - A' U

p o r l a s l e y e s de Morgan

( B 1) '

p or la in v o lu c ió n de '

- A' U B

o o o O o o o -----

1 . 4 3 (A

s ie n d o

. D em ostra r n

U e l

U ( a n

usando

c o n ju n to

S O L U C I O N (A O B)

(á

c la s e s b

)

que

= u

u n iv e rs a l.

(á n

)

u B))

- ( a n o) u (Á -

á lg e b ra

(a n ( B

e l (Á

u (Á

n (B

)

En e l p rim e r paso s e ha a p l i c a d o l a p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a , e n e l segundo l a p ro p ie d a d d e com plementación para

, en e l t e r c e r o e l hecho d e que

c u a l q u i e r c o n j u n t o X, y en e l c u a r t o l a misma p ro p ie d a d

a n terio r.

X fi U ■ X

d e com plementación

'ji4 4 . a lg e b ra

D em ostra r de

la s

le y e s

M organ

a p lic a n d o

lo s

a x io m a s

del

c la s e s .

S O L U C I O N

Sea U un c o n j u n t o y A y B d o s s u b c o n ju n to s de U, e n t o n c e s s e t r a t a d e v e r : i)

B )'

A 'O

i i )

B )'

A ' U B '

D e m o s tra ció n de i ) Par a d e m o strar i )

(AUB)

hay que p ro b ar a ) ( A U B) n

(A '

b) ( A U B ) U

( A' f l B ' ) = U

n ( A' O B ' ) -

(A '

O B ') - 0

O B') n

U B)

( ( a 1n b ' ) n A) u

( ( A ' n b*) n b)

<<b' n a ' ) n A) u

' n

') n

- ( b ' n ( A ' n A ) ) u (a ' n ( b ' n - (b ' n

b) ( A U B) u ( A' n B ' )

u (a' n

)

U 0

( ( A u B) u A ' ) n ( ( A U B) U B ’)

■

(<B U A) U A ' ) O ( ( A U B) U B* )

(B U

•

( B U U) O (A U U)

( ( A U A ' ) n (A U ( B U B ' ) )

U u u

D e m o s tra ció n d e i i ) La d e m o s t r a c i ó n de e s t á segunda l e y de Morgan s e ha ce d e una manera a n á l o g a . B a s ta ca m b ia r

U por

( p r i n c i p i o de d u alid ad )

Se d e j a como e j e r c i c i o .

- — o o o O o o o -----

1 . 4 5 .

D em ostrar

i i )

0 ’

S O L U C I O N i)

U 'n

- U O

a p lic a n d o

lo s

a x io m a s d e l

á lg e b ra

: U U'

Por

d u a lid a d

ii)

U 0

U 0'

c la s e s

que

■f . 4 6 - S i m p l i f i c a r

usando e l

á lg e b ra

c la s e s

s ig u ie n te s

p re s ió n :

({A n B) S O L U C I O N

((a n

n c)

n C)

u ((a

n b)

u c ')) u (a' n

- ((a n

u) u

- <a

((A

n C ')

(A'

n b)

- ((a n

) n c')

<a' n

(a *n

) -

p. d is tr ib u tiv a

p . d e coraplementaciSn

p . d e U , e le m e n t o u n i v e r s a l

u ( a ' n b)

1) n

p. d is tr ib u t iv a

p . d e c o n p le m e n ta c iá n p.

d e U.

oooOooo-

1.47. la

S im p lific a r,u s a n d o

s ig u ie n te

la s

del

á lg e b ra

c la s e s ,

e x p re s ió n :

(A n

S O L U C I O N

n C*) ')

((A '

(A O ( B n C’ ) ' ) U ( ( A ' U B ' ) U C ) ' -

p ro p ie d a d e s

n c ’ >' ) u ( ( a '

(( A n (B

U C )'

■ = U B ')'

- (( a n ( B n c ' ) * ) u ( ( a n • ((a n (b

U B ')

l e y d e Morgan

n C )

n c')

l e y d e Morgan

n c ' ) ' ) u (a n (b n c ') )

p. a s o c ia t iv a

- a n ((b n C ) • u (b n c ') )

p. d is t r ib u t iv a

p . d e com plcmentación

n u

• A o o o O o o o -----

1 . 4 8 la

. S im p lific a r,u s a n d o

s ig u ie n te

A ,B

p ro p ie d a d e s

del

á lg e b ra

c la s e s ,

e x p re s ió n :

(A n s ie n d o

la s

(A '

U B ))

(B n

y C s u b c o n ju n to s d e

S O L U C I O N

(B u C ) )

u B

(A n (A' U B)> U (B n (B U C ) ) U B - ((A n A') U (A n B))

(B n (B

= 0 U (A O B) U (B n (B U O )

C)) u B

p .d is trib u tiv a p . d e compleraentacifin

(A n B) U (B n (B U O ) U B

p. d e 0

(A n B) U B U B

p. s im p lific a t iv a

(A n B) U B

p . id e m p o ten te p. s im p lific a t iv a

1.49.

D em ostra r usando

a n c

2»

A H B

- 0 »

á lg e b ra

de c la s e s

que

A n ( B U c ) = A n B A

= c

A U B = C ) 3)

A n

- C)

(A U B)

C *

S O L U C I O N 1)

(A n B)

- c

( A - C ) U (B

- C)

o ( B U c) - (A n B) U ( A O C)

p or U

A O B

2) C - B " C n

p or s e r

A H

- 0

p or

d e fin ic ió n -

- (A u

B) n B '

p or

ser

- (A n

B ' ) U (B O B ' )

p or l a p ro p ied ad

- A U 0 3) A

p ro p ie d ad d i s t r i b u t i v a ,

n ( B - C )

(A U B)

C - AU B d istrib u tiva

ya que A O B = 0

A O B ' - A

■ A n ( B n C )

p or d e f i n i c i ó n

- ( A n B) n c '

p or l a p ro p ied ad a s o c i a t i v a de

- ( A n B) - C

p or d e f i n i c i ó n de

- C ■ ( A u B) O C ' - (A n c ' )

de B - C

p or d e f i n i c i ó n de -

U (B n o

p or l a p ro p ie d ad d i s t r i b u t i v a

= ( A - C) U (B - C)

p or d e f i n i c i ó n de -

o o o O o o o -----

1 . 5 0 . can

la s

Sean A .B

s ig u ie n te s

y C tres

S O L U C I O N a)

B C C

C C A

= C

B C C - A C C )

P or l a p ro p ie d ad t r a n s i t i v a B C C

C C A

•

P or h i p ó t e s i s Por l a p ro p ie d ad t r a n s i t i v a ca-

A _ c

p. an cisin é tr ic a .

CC A )

P or h i p ó t e s i s

U que v e r i f i

P or l a pro piedad t r a n s i t i v a s e t i e n e : ACB

c o n ju n to

r e la c io n e s : A C B

D em o stra r que A =

su b o n ju n to s d e l

se tien e:

B C A

A _ fl

a n l i s i mg t r i ca

A C B ) de l a ig u a ld a d de c on ju n to s A■

de a) y b)

resul

1 . 5 1 .

Se d e f i n e

s ig u ie n te B -

A ♦

D em ostrar usando e l 1)

A ♦B -

(A ♦ B)

♦

B +

- (a

A ♦

A = 0

A ♦

0 = A

u (A*

♦ B)

- (A

S O L U C I O N

1) A ♦ B -

U <B - A)

2) ( A n

de c la s e s

c la s e s

que

n B) ♦ ( A n c )

(A n B)

( B ♦ C)

(B + c ) •-

á lg e b ra

o p e ra c ió n e n tr e B)

(A -

( A - B)

B) +( A n c )

♦

B ')

- ( B - A) U ( A - B) - B + A

- ( ( A n B ) - ( A n c>> u ( ( a n c ) - ( a n - ( ( A n B) n ( a

n c )')

- ( ( a n B) n (A* u c ’ ) u ( ( A n c ) n -

(a n

-a

(a * u

n c*) u

n c n b ’)

n ((B n C ) u

- B))

((A + o

- A)

n ((B - O

b»

u ( ( a n c ) n (a n

)')

*))

'))

'»

- an (b + o

3) ( A + B ) ' - ( ( A - B) u ( B - A ) ) ’ - ((A n B ' ) u (B n A ' ) ) ' - (A n B ' ) ’ n - (A * u - (a'

(B n A ' ) '

u A)

<B '

B*) u (A n B )

* ) A ♦( B + C ) • ( A •

( B ♦O ) U

- ( A n ( B ♦O ' )

+ O n A')

(A n < ( B ' n c ' ) u ( B n o »

(A n

(«a

n b’ ) u (b n a * ) ) n c ’ ) u

( ( ( A - B ) U (B - A ) ) n O

((a ♦

((A ♦ B) -

(A ♦ B) ♦ C

' n O

u (A n

) n c ’) u

n c) u ( b n c ' n

<c n

n ( ( a n b) u ( a ’

') n

n b’) ) ) b

’) ) )

U ( C - (A ♦ B »

+A =

- A) U ( A - A) - ( A n

6) A

+ 0 «*

( A - 0 ) U ( 0 - A) - ( A n 0 ’ ) U

La o p e r a c ió n Aunu M

u ( c n (A n B) u ( a ‘ n

(a ♦

5) A

N0TA :

u ((<b n c ’ ) u (c n

A’)

( A ' n A) -0 (0 n A ’ )

- AU

-A

aqu Á d e f i n i d a & e b ó r to o U z a tam b¿t.n pon A , y

&e & u e le tta m x n e n to n c e A d i f e r e n c i a s i m é t r i c a

I. 1)

o z . A +

B ■

Usando 0

•

A =

2 ) A U C - B U C

“

( A U C)

♦

«'

A C B C » B -

V O T A : K qu i

( BU | -

á lg e b ra d e

c la s e s ,

dem ostrar que

B A + B C C =

( A ♦ B) -

A - B - C

U t n e t i ü Q n i^ ic a d o de A , d iie \ e n c ia iim íV U c a .

S O L U C I O N

A + B ■ 0

(A - B) U

, entonces

( A - B) U ( B - A ) - 0

(B - A ) ■ 0. De a q u í s e s ig u e

«•

A - B • 0

B - A - 0

••

A n B* ■ 0

B O A' • 0

ACB

•

A - B

F.l r e c í p r o c o en inm ed ia to . 2) S i A U t ■ B U C , ento nces

+ B) u c ■ (A n B ') u ( B n A1) u c - ( A H B ' ) U « B U C)

( A' U C ) )

(A n B ' ) u ( ( A u C)

(A- U C ) )

• (A H B ' ) U C - (A U C )

n (B* U C )

n <b ' U C )

UC)

■ (B n B’ ) u c

-c El r e c í p r o c o e s inmediato.

3) ( A U C )

♦ ( B U C ) - ( ( A U C ) O <B U C ) ’ ) U « B U C)

O (A U C ) ')

- ((A u c ) n ( B ’n c ' ) ) u ( ( b u c ) n ( a ' n c ' ) ) - (A n

- ((A n

nc')

u (B n

') u

h a

' nc')

*) ) n c '

- (A + B ) n c* ■ ( A ♦ B) - C 4) S i

C ■ B - A

C-BnA* C' - A u

luego ,

- C ■

B' n C'

- B H (A U B' ) ■ (B -

■A

n A) u ( B n B ' ) a

, pues

A C

1 . 5 3 .

Los

esta d o

obreros

n a c io n a lid a d

raza

in v e s tig a d o r o

¿Cuál

(s o lte ro s

no e s p a ñ o l

lo s

S O L U C I O N

fá b ric a o

está n

c la s ific a d o s

por

casados)

e x tra n je ro s )

n egros) .

a v e rig u a

in v e s tig a d o r

e x tra n je ro

una

(e s p a ñ o le s

(b la n c o s o

"s o lte ro O tro

c iv il

que

un i n d i v i d u o

X que e s tá

buscando

b la n c o ".

a v e rig u a

que

ese

m ism o

in d iv id u o

m ás i n f o r m a c i ó n

X?.

s o lte ro

n egro ". dos

in v e s tig a d o r e s

S i d e s í g n a n o s p or

A * (s o lte ro s )

A ' ■ (casados)

B ■ (e s p a ñ o le s )

B' = (e x t r a n je r o s )

C = (b la n c o s)

=»

C’ ■ (n e g r o s )

a ) E l p r im e r i n v e s t i g a d o r d i c e : " s o l t e r o o no e s p a ñ o l b l a n c o " b ) E l segu ndo i n v e s t i g a d o r d i c e

A U (B O C ) '

A U B ' U C'

" o s o l t e r o o e x t r a n j e r o o n e g r o " <—» A U B ' U C' De a ) y b) s e dedu ce que l o s d o s i n v e s t i g a d o r e s d i c e n l o mismo de X.

oooOooo----

1 . 5 4

. D em ostrar

que

(A O B)

( B U C )

( A - B )

S O L U C I O N

v e rific a n

a p lic a n d o

la s

( A H B) U ( A - B )

( A - B) n ( A - C )

lo s

r e la c io n e s -

a x io m a s

del

á lg e b ra

c la s e s

s ig u ie n te s :

B) O ( A - C )

■

( A n B) U ( A n B' )

A O (B U B 1)

, propiedad d i s t r i b u t i v a

■

, d e f i n i c i ó n d e c om p le n e n ta c ión . , p r o p i e d a d d e U.

(A O B ') n (A n c ' )

p o r d e f i n c i ó n de A-B

, por d e fin ic ió n

A n (B ' n c ' )

, propiedad

■

A n (B

, l e y de Morgan

A - ( B U C)

U C )'

o o o O o o o -----

A-B

a s o c ia tiva

, d e f i n i c i ó n de

ALGEBRA DE PROPOSICIONES en eZ que óg d uanA ottan Za& ¿ZgiU ente* m x íe / tú w :

1. PROPOSICIONES 2. VALOR LOGICO DE UNA PROPOSICION 3. IMPLICACION LOGICA 4. EQUIVALENCIA LOGICA 5. DISYUNCION 6. CONJUNCION 7. TABLAS DE VERDAD 8. INFERENCIA LOGICA 9. RAZONAMIENTOS VALIDOS

2.1.

Poner

10 e j e m p l o s

de p ro p o s ic io n e s . [ JK V - U - D

S O L U C I O N

Madrid e s l a c a p i t a l d e España

P a r ís es l a c a p ita l de I t a l i a

La Luna e s una b o l a d e queso

Un t r i á n g u l o t i e n e t r e s la d o s

Los d í a s de l a semana son s i e t e

Los p e ce s son an im a le s mamíferos

Los g a t o s p a r d o s v u e la n d u r a n te l a noche

En e l P o l o N o r t e l a n i e v e e s negra

E l hombre e s un animal r a c i o n a l

10)

E l Manzanares e s un r í o que pasa p or Madrid o o o O o o o -----

2.2. c io n e s

C a lc u la r

del

e je rc ic io

S O L U C I O N

v a lo r

ló g ic o

a n te rio r.

la s

p ro p o s i

(JR V -IZ -2 )

a ) Las p r o p o s i c i o n e s su v a l o r

c o rre s p o n d ie n te

1 ),4 ),5 ),9 ),1 0 )

ló g ic o es

son p r o p o s i c i o n e s c i e r t a s , y por t a n t o ,

V o 1.

b ) Las pro posicion es

2 ),3 ),6 ),7 ),8 )

su v a l o r l ó g i c o e s

son p r o p o s i c i o n e s f a l s a s

, y por t a n t o ,

F o 0. o o o O o o o -----

2.3. y

De l a s

su v a l o r

s ig u ie n te s

ló g ic o lo s

fra se s

c u á le s

son p ro p o s ic io n e s

Todos

E s te año a p r o b a r é M a te m á tic a s

¿Qué

ta l

d e c ir

ga tos

son negros d e C .O .U

estás?

P irrie s

e s tu d ia n te

El Q u ijo te

llu e v e

la s

S O L U C I O N

fu e

s e m oja n

e s c rito

p or C ervan tes.

Son p r o p o s i c i o n e s : a )

, d)

No son p r o p o s i c i o n e s : El v a l o r l ó g i c o de

de C .O .U .

c a lle s

, e)

, f )

b ) , c) ,

e) , f)

El v a l o r l ó g i c o de d ) e s 0

e s 1, e s

d e c i r , v e rd a d e ro .

, es d e c ir ,f a l s o .

2 .

4 .

Dadas

la s

p ro p o s ic io n e s

p q

: :

"Ju an e s "P ed ro

expresar

s im b ó lica m e n te

la s

de P#^ y

l ° s c o n e c tiv o s

c o rre s p o n d ie n te s

e s tu d ia n te

Juan

Pedro no e s

m ú sico .

Pedro

m ú sico e n to n c e s

Juan e s

Tan c i e r t o

p ro p o s ic io n e s

Pedro

e s tu d ia n te es

S O L U C I O N

que

Juan e s

m ú sico

, fu n c ió n

e s tu d ia n te

m ú s ico com o q u e

Juan e s

e s tu d ia n te .

»)

E s t a p r o p o s i c i ó n s e pude e x p r e s a r a s í :

m ú s ic o "

s ig u ie n te s

m ú s ico

Pedro es

e s tu d ia n te

-* P

"Jua n no e s e s t u d i a n t e y P e d r o n o e s m ú s ic o " Se t i e n e p or t a n t o , P A e)

E sta p r o p o s i c i ó n s e puede e x p r e s a r a s í : " P e d r o e s m úsic o s i y s o l o s i Juan e s e s t u d i a n t e " Se tie n e por tanto, P *— q o o o O o o o -----

2 .

5 -

daderas

D adasla s

p ro p o s ic io n e s a)

p v

sf a l s a s ,

A <!• -

p * -* r

e l

v a lo r

ló g ic o

-*q

S O L U C I O N V (p V

* ')

: * V

V ( ( p A q) - * r )

V ((r

c a lc u la r

p , q ,r ,s ta le s que

p ro p o s ic io n e s

V s ) -*

V( p * - » r )

= 1 «-* 0

- (1 A

* ( O V O ) -

0 -

-*■ 1

-* 0

-0

de la s

s ig u ie n te s

2 .

6 -

D em ostrar que

p -

( ( p -* q )

P A ( q -♦ p ) )

-* ( p «—* q )

( ( p -* q )

A ( q -► r ) )

S 0

*3 M

( p -► r ) ( J R V -T f-6 )

U (:

—

0 ?

«P

•—*

P»

donde ,

de l a s columnas 1

y 3 resu lta 2 , 5

de l a s columnas 2

y 6 res u lta

y d o l a s columnas

4y 10 s e o b t i e n e

«p

y 7 r e s u l t a 6, d e 9 y I I

la 4

r))

fin a lm en te la 8 •»

r) -

donde e l c á l c u l o de l a s s u c e s i v a s columna s s e ha ce d e l a misma manera que en e l a p a r t a d o a n t e r i o r .

NOTA

ObóéAveAe

qu e l a * i n p l i c a c i o n e A

e q u iv a l e n c ia * l ó g i c a * . No A u cede l o miAmo e n c ) .

l ó g i c a * d e a ) y b ) t o n ta r b iln

2.71 S O L D C

Probar I O M

(p A

p'J'

una t a u t o l o g í a

IJ W M M O »

Una p r o p o s i c i ó n e s una t a u t o l o g í a cuando s ie m p r e toma e l v a l o r v e r d a d e r o . (p A p ')'

p Ap '

p or t a n t o , l a e x p r e s i ó n dada e s una t a u t o l o g í a ya que toma s ie m p r e e l v a l o r verdadero. o o o O o o o -----

2 . 8 . D em o stra r S 0 L

0 C: i

•

N :

■*

0 p u esto

que

q u e l a columna de r e s u lt a d o

e s una " i m p l i c a c i ó n l ó g i c a " o o o O o o o -----

2 .9 . E x p r e s i ó n

S O L

O C I

verbal

la s

s ig u ie n te s

ta b la s

a y

a A

a ) La p rim e ra t a b l a nos d i c e

;

d e d o s p r o p o s i c i o n e s a y b ca v e rd a d e ra cuando

d ad e ra a l menos una do l a s p r o p o s i c i o n e s ; en c a s o c o n t r a r i o e s f a l s a " . b ) Las segunda t a b l a nos d i c e : " L a c o n ju n c ió n

ISELEC JIV IV A V - ¡976)

"La disyun ción

de verdad

a/\ b

d e d o s p r o p o s i c i o n e s a y b e s v e r d a d e r a cuando son

v e r d a d e r a s ambas p r o p o s i c i o n e s ; e n cas o c o n t r a r i o e s f a l s a " .

ver

2 -"1 va

O -C o n s tr u ir la

d is y u n c ió n

la y

ta b la de

verdad

para

c o n ju n c ió n

p ro p ie d a d

p ro p o s ic io n e s . (JIf-II-M J

S O L U C I O N

—

1 0

a s o c ia ti

don de, de la s

columna s 3

y 5 s e o b t i e n e l a A , d e l a s columna s 7 y 9

de la s

c olu a n a»l

y A s e o b tie n e la 2 (p rim er a ie a b r o )

de la s

columna s 8

y 11 s e o b t i e n e l a 10 ( s e g u n d o a i e a b r o )

de l a »

columna s 2

y 10 r e s u l t a f i n a l m e n t e l a

la 8

colum na d e r e s u l t a d o s

S e t r a t a , p o r t n n t o . d e una e q u i v a l e n c i a l ó g i c a . b)

E l c á l c u l o d e l a s s u c e s i v a s columna s s e h a c e i g u a l que e l a ) . N ó t e s e que i o s d a t o s , columna s d a t o s , s o n

o o o O o o o -----

1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 1 .

a p a rta d o an te

2 . 11. D e m o s t r a r a)

P v

p «~» P

P A

P <=» P

idempotentes

tJRV »

S 0 L U C I

10 N

las prop i e d a d e s

donde , d e l a s columnas 1 y

3 s e o b t i e n e l a columna 2 ,

d e l a s columnas 2 y

5 s e o b t i e n e l a columna d e r e s u lt a d o s o o o O o o o -----

2.12

-D em ostra r

(p v

q) A

(p A

q) V

p —

la s

le y e s

s ím p lífic a tiv a s

S O L U C I O N

IJIW - U - t )

P 1

donde , de

l a s columnas

r e s u l t a la columna 2

de de

l a s columnas

r e s u l t a l a columna 4

l a s columnas

( n ó t e s e que son i g u a l e s ) s e o b t i e n e f i n a l m e n t e

l a co

lumna 6. P or t a n t o , l a s l e y e s dadas son e q u i v a l e n c i a s l ó g i c a s .

NOTA :

E n e l c a p i t u l o ¿ ¿ g u íe n t e vexem oó u n a d e f i n i c i ó n a b ¿ t x a c t a d e l A lg e b r a d e BOOLE.

A d m it ie n d o l o ¿ a x io m u d e l A lg e b r a d e B o o íe l a ¿ d e r á ¿

pxo-

p ie d a d e ¿ ¿ e p u e d e n d e m o ó tx a x ¿ i n n e c e s id a d d e x e c u x x ix a l a ¿ t a b la ¿ t a l como ¿ e h a h e ch o e n a lg u n o ¿ e j e x c i c i o á d e l c a p i t u l o

L a ¿ l e y e ¿ id e m p o t e n te ¿ u ¿ i m p t i f i c a t i o a ¿ ¿ e x á n t e o x e m u e n e l A lg e b r a d e B o o le .

JL.

1 *3.

Demostrar

P V

P A (q V

las

(q A r ) r)

siguientes

( P V <l) A Ă? P V <=Âť

(p A q ) V

leyes

distributivas

r> A r> (J K V -II-7 )

S O L U C I O N

0 0 1

donde , de la s

c o lim a s

3 y 5 s e o b tie n e 4

l a s colu m n a s 11

y 13 s e o b t i e n e

l a s colu m n a s

1 y 4 res u lta

l a s c o lu m n a s

8 y 12 r e s u l t a

l a s colu m n a s

2 y 10 s e o b t i e n e

, de l a s

7 y 9 s e o b t i e n e 8 y de

12. 2 ( p r i m e r m iem bro) 10 ( s e g u n d o m i e m b r o ) fin a lm e n te l a

c o lu m n a d e

res u lta d o s 6

0 '

La o b te n c iĂł n de l a s

s u c e s i v a s colu m n a s

, se re a liz a

1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 1 ,1 3

, a p a r tir de

l a s colu m n a s

d e una m a n e r a a n ĂĄ l o g a a l

o o o O o o o ------

ap artad o

d atos a ).

2 . 1 4 .

D em o stra r que

S O L O C I O N

(p V

una t a u t o l o g í a .

Una p r o p o s i c i ó n e s una t a u t o l o g í a cuando s ie m p r e to na e l v a l o r v e r d a d e r o . (P

p o r t a n t o , l a e x p r e s i ó n dada e s una t a u t o l o g í a p uesto que par a c u a l q u i e r v a l o r de p y q

e s siempre c i e r t a . o o o O o o o -----

2.1

D em o stra r que

|p A q ) “

una t a u t o l o g í a . IJ R IM M 3 I

S O L O C I O N Una p r o p o s i c i ó n e s una t a u t o l o g í a cuando s i e n p r e toma e l v a l o r v e rd a d e ro . Veamos c uál e s l a t a b l a de v erd ad d e e s t a e x p r e s i ó n :

p o r t a n t o , l a fórm u la dada e s una t a u t o l o g í a p uesto que par a c u a l q u i e r v a l o r de p y q e s s ie m p r e c i e r t a . o o o O o o o -----

2 . 1 6

• D em ostra r

S O L O C I O N La

que

( p ‘ ) * *” * p

(J R V -II-5

t a b l a d e v e rd a d e s l a s i g u i e n t e : ( P 1)

i?')'

l u e g o , l a r e l a c i ó n dada e s c i e r t a .

2 . 1 7 .

D e te rm in a r

s i

(p A es

una

im p lic a c ió n

S O L D C I O N Una

im p lic a c ió n

Veamos c u á l e s

ló g ic a .

e s un a p r o p o s i c i ó n

ta b la de verdad

c o n d i c i o n a l q u e e s una t a u t o l o g í a .

de e s ta

p ro p o s ició n :

Según s e v e en l a se

p ro p o s ic ió n

ló g ic a la

s ig u ie n te

trata

d e un a

Por ta n to ,

p a

c olu m na c o r r e s p o n d i e n t e

(P A

v a lo r

q) “* <P A

ló g ic o de

la p ro p o s ició n

ta u to lo g ía .

e x p r e s i ó n d a d a e s un a

im p lica ció n

( P A <l>

•

ló g ic a

y s e puede e s c r i b i r

a s í:

( P A ^

0 0 0 O 0 0 0 ----------

2 - 1

- D e te rm in a r

n o una

-* q ) *_ * ( q

e q u iv a le n c ia

S O L D C I O N

Una e q u i v a l e n c i a

ló g ic a

Veamos c u á l e s

s ig u ie n te

ló g ic a .

e s una p r o p o s i c i ó n

ta b la

p ro p o s ic ió n

-* p )

b i c o n d i c i o n a l q u e e s un a t a u t o l o g í a .

de v e r d a d d e e s t a p r o p o s i c i ó n :

p -* q

Según s e v e en l a dada,

s i

q -

c olu m n a c o r r e s p o n d i e n t e a l

v a lo r

( p _» q )

4— ( q

ló g ic o de

p ro p o s ició n

s e t r a t a d e un a t a u t o l o g í a .

Por ta n to ,

esta

e x p r e s ió n e s una e q u i v a l e n c i a ( p -• q )

*“ * ( q - * p )

ló g ic a

y se puede e s c r i b i r a s í :

9 .

Demostrar

que

las proposiciones q

P V son

P A

e q u iv a le n te s .

S O L U C I O N

S e t r a c a d e d e m o s t r a r que : (p

—

ILW

1 2

MORGAN)

miembro d e l a e q u i v a l e n c i a . 3 ) N e g a c i ó n de l a colum na 7 e s l a colum na 6 , n e g a c i ó n d e l a colum na 10 e s l a columna 9 4 ) De l a s columna s 6 y 9 r e s u l t a l a colum na 8 que e s e l

r e s u l t a d o d e l segu ndo

miembro. 5 ) De l a s columna s I y 8 s e o b t i e n e l a colum na 5 , l o que no s d i c e que l a s p r o p o s i c i o n e s d ad as s on e q u i v a l e n t e s . o o o O o o o ----.D e m o stra r S O L U C I O N

que

la s ig u ie n te

(P 0

q> —

(p V

La t a b la de verdad e s

(p a

1 1

1 0

q) 1

: « =>

0 1

P 1

V 0

1 0

e v v E

M 0 R

L o s d a t o s v i e n e n d a d o s e n l a s columna s 2 , 4 , 7 , 1 0

A M

2 .21. S i m p l i f i c a r

s ig u ie n te

( p -* q ) v

e x p re s ió n

[SELECTIV1VA0 -Í 9 7 6 ) S O L U C I O N

P rim e r Método : Haremos uso de l a s t a b l a s d e v erd ad p

P -* 9

-» q

P A 9

( p -* q ) V ( P A 9 )

1 0

l De e s t a

t a b la s e deduce que :

( p -* q ) V

(p A q)

S eg u n do M é t o d o :

( p -• q ) V

(p A q)

• - * Cp V q ) V ( p A q)

ya que

*■* ( p A q ) V ( p A q)

l e y de Morgan

le y d is trib u tiv a

(p V p) A q

a -* b « - • a V b

T ta u to lo gía

« T A q

, T ■ p V P

id en tid ad

o o o O o o o -----

2.22 y de

• Form ar

ta b la

verdad

p ro p o s ic ió n

q A

\SELECTJVWW -I975J

n e g a c ió n .

S O L U C I O N

Las t a b l a s de v e rd a d de l a p r o p o s i c i ó n dada y d e su n e g a c ió n son l a s s i g u i e n t e s : A

q) A

P A

2 .2 3

Demostrar

la (p

una t a u t o l o g í a

da.

Hágase

S O L O C I O M

ta b la

siguiente A

proposición

( (p V q )

una c o n t r a d i c c i ó n

V q)

una e x p r e s i ó n

in d e te rm in a

c o rre s p o n d ie n te .

La t a b l a de v e rd a d e s l a s i g u i e n t e :

donde, l a s columnas

1 ,3 ,5 ,7 ,9

son l o s d a t o s ,

de l a s

columnas 1 y 3 r e s u l t a l a columna 2,

de l a s

columnas 5 y 7 r e s u l t a l a columna 6,

de l a s

columnas 6 y 9 r e s u l t a l a columna 8

de l a s

columnas 2 y 8 r e s u l t a l a columna 4 , que

e s l a columna d e l o s r e s u l t a -

dos. Como t o d o s l o s v a l o r e s d e l a columna 4 son l

, s e t i e n e que l a e x p r e s i ó n dada

e s una t a u t o l o g í a o o o O o o o -----

2 . 2 4 .

D e te rm in a r

s i

( ( p -* q ) es

una t a u t o l o g í a , u n a

S O L U C I O N

s ig u ie n te

A p i

p ro p o s ic ió n

—* q

c o n tra d ic c ió n

una e x p r e s ió n

in d e te rm in a d a .

La e x p r e s i ó n dada puede tomar v a l o r e s v e r d a d e r o s o f a l s o s según l o s v a l o r e s que toman l a s p r o p o s i c i o n e s p y q , p o r t a n t o , s e t r a t a d e una e x p r e s i ó n i n d e te rmin ad a.

. D e te rm in a r

s i

"(p es

una

ta u to lo g ía ,

S O L U C I O N

s ig u ie n te

p ro p o s ic ió n

q )"

una c o n t r a d i c c i ó n

una e x p r e s i ó n

in d e te rm in a d a .

P a r a v e r s i s e t r a t a de una t a u t o l o g í a , d e una c o n t r a d i c c i ó n o d e una e x p r e s i ó n in d eterm in ad a, h a llarem os l a t a b la de verdad o fa ls e d a d :

La p r o p o s i c i ó n d ad a e s una c o n t r a d i c c i ó n p u e s t o que s i e m p r e e s f a l s a s e a c u a l f u e r e e l v a l o r d e p y q. 0 0 0 O0 0 0 ------

. La s ic io n e s que

v ie n e

p ro p o s ic ió n

"la

n e g a c ió n

d e fin id a

"N i

* e l

s ím b o lo

S O L U C I O N

lla m a la

«=, p

n e g a c ió n

verdad

c o n ju n ta .

P V

<=»

T e n ie n d o e n c u e n t a t a & t e y e & d e M o a g a n

Po't t a n t o

ta b la

á lg e b ra

[ 1J

p + q

L a t a b l a d e v e r d a d de ( l ) v i e n e d e f i n i d a p or

NOTA :

c o n ju n ta ".H a lla r

a sí

p * s ie n d o

p V

q <->

"n i p n i q "

p A

p V

t>e t i e n e

et> e q u iv a l e n t e a

" n o p y no q "

p ropo

s a b ie n d o

2 . 2 7 . tes

y r

D em ostrar que s i una p r o p o s i c i ó n

p o s ic io n e s ( p -*

r ) — (q

-* r )

( r -*

p ) —» ( r

(p A

(p v

son d o s p r o p o s i c i o n e s e q u i v a l e n c a d a una d e l a s

s ig u ie n te s

pro

e s una t a u t o l o g í a :

p y q

c u a lq u ie ra ,

r) « ( q r)

A r)

- I q v

S O L U C I O N

Dos p r o p o s i c i o n e s e q u i v a l e n t e s tooan e l ais&c

va lo r lS g ic o , es d e c ir ,

l a s dos

son v e rd a d e ra s o f a l s a s a l a v e z . Vei

>s l a s t a b l a s d e l a s p r o p o s i c i o n e s dadas

-♦

En l o s c u a t r o casos se t r a t a de una t a u t o l o g í a , p uesto que la columna d e l o s r e s u lt a d o s e s t o d a d e unos.

o o o O o o o -----

2 . 2 8 a

"1 5

Dadas

la s

es m ú ltip lo

b =

"T od o s

c =

"M a d rid e s

d =

"C a rlo s

C a lc u la r

lo s

p ro p o s ic io n e s

a lu m n o s

c a p ita l

fu e

e l

C .O .U .

e s tu d ia n

F ilo s o fía "

d e F ra n c ia "

padre de

F e lip e

II"

I o)

V (a )

2o)

a V

V (b )

3 °)

a A

4 °)

(a V

A c V c

5 °)

(a A

6 °)

a' A

7 °)

(a 1A

8o )

V c)

A a ’

9o )

A b)

b ')

V (d )

c *

(J R V -II-3 ) :

1°)

V (a ) -

2 °)

15 e s

m ú l t i p l o de 5 o t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a

3 o)

15 e s

m ú l t i p l o de 5 y t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a

15 e s

m ú l t i p l o de 5 o t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a ,

4 °)

S O L U C I O N 1

V (c )

V (b ) = 0

, V (c) - 0

V (d ) -

M ad rid e s l a c a p i t a l d e F r a n c i a . 5 o)

15 e s m ú l t i p l o de 5 y t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a , o Madrid e s l a c a p i t a l de F r a n c i a .

6°)

15 no

e s m ú l t i p l o d e 5 y no t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a .

7°)

15 no

e s m ú l t i p l o d e 5 y no t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a

y M ad rid no e s l a c a p i t a l de F r a n c i a . 8 °)

C arlos I

fu e e l p a d re d e F e l i p e I I o M ad rid e s l a c a p i t a l d e F r a n c i a , y

15 no e s m ú l t i p l o d e 5. 9 *)

C a r l o s I f u e e l p a d re de F e l i p e I I

y t o d o s l o s alumnos de C .O .U . e s tu d ia n

F i l o s o f í a , o no t o d o s l o s alumnos d e C .O . U . e s t u d i a n F i l o s o f í a . o o o O o o o -----

2 . 2 9 "E s

fa ls o

.E x p resa r que

S O L U C I O N Sean (p

fu n c ió n

P ed ro ha

del

operador v

a p ro b a d o M a te m á tic a s

p ro p o s ic ió n

F ís ic a "

p - " P e d r o ha aprob ad o M a te m á tic a s " y

* q)

(p v q ) «-*

p v

q -

"h a aprobado F í s i c a " , lu e g o

, d e donde l a p r o p o s i c i ó n dada

es :

" P e d r o ha aprob ad o M atem áticas o P e d r o ha aprobad o F í s i c a "

2 .3 0

. Expresar

"ser

"n i

c h ic h a

"n i

son

s im b ó lic a m e n te

la s

e x p re s io n e s

no s e r " ni

lim o n a d a "

todos

Llamemos

lo s

que

están

está n

todos

lo s

que

son"

(« U C n W O A ®

.9 7 6 )

a l a p rop osición " t a l cosa e x i s t e " e q u iv a le n t e a la p rop osi

c i ó n " s e r " . E n to n c e s , " s e r o no s e r " b)

Llamemos p a l a p r o p o s i c i ó n

p y

: " e s t o es ch ich a "

q a l a p ro p osición

. y

: " e s t o e s lim ona da ".

Ento nces ,

" n i c h ic h a n i l im o n a d a " = " n o e s c h i c h a y no e s

lim ona da " s p A q

Sean l a s p r o p o s i c i o n e s , p :" s o n t o d o s l o s que

están"

q :

" e s t á n t o d o s i o s que s o n " ,

entonces , " n i s on t o d o s

l o s que e s t á n n i e s t á n t o d o s

" n o son t o d o s

l o s que e s t á n y no e s t á n t o d o s l o s que s on "

l o s que s o n "

“

p A i

0 0 0 O 0 0 0 -----

2 . 3 1

h a lla r 1°)

e l

Dadas

v a lo r

la s

ló g ic o

la s

P A q

4o)

2 °)

p V q

5 °)

3 °)

p V q

S O L D C I O N

5 .

7 + 3

8 - 5

p ro p o s ic io n e s p

s ig u ie n te s p _

( (p V

v r)

p ro p o s ic io n e s

q) A p)

L o s v a l o r e s l ó g i c o s de l a s p r o p o s i c i o n e s d ad as son : V ( p ) V (r) 1°)

- 1 V (p A q ) -

- 0

2 o)

V (p V q ) -

3 o)

V (p V q ) ■ 1 V

- 1

4o)

V (p -» ( r V q ) ) - 1 •* (1

5°)

V (((P v r )

A p)

-* r )

V 1) - i

- ((1

-» 1

1) A

- (1 A

0) 1

■

-* 1

1 ,V (q ) - 0

2.3 2 - D e t e r m i n a r ción

verdadera

falsa

proposi

"E s f a l s o

que

M a d rid e s

S O L D C

I O H

Sean

Luna e s

c a p ita l

un q u e s o y q u e

n ie v e

es n e g ra ,o

que

d e E spaña".

p ■ " l a Luna e s un q u e s o " q - " l a n ie v e e s negra" r = "M a d r id e s l a c a p i t a l d e E spaña"

e n t o n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada s e e x p r e s a d e l a s i g u i e n t e form a : (P A

q) V

L a t a b l a d e v e rd a d p a r a l o s v a l o r e s l ó g i c o s d e l a s p r o p o s i c i o n e s dadas e s l a sigu ien te

: t

(P A q ) V

(p A q)

1 p or t a n t o ,

l a p r o p o s i c i ó n dada e s f a l s a .

o o o O o o o -----

2 .3 3 c ió n "E s

s i

verd ad era

fa ls a

s ig u ie n te

p ro p o s i

: fa ls o

paña,

que

S O L D C Sean

. D e te rm in a r

Luna

n ie v e

es es

un q u e s o y

que

M a d rid e s

c a p ita l

n egra ".

I O N

p ■

" L a lu n a e s un q u e s o "

q =

"M a d r id e s l a c a p i t a l d e E spaña"

r -

"La n ie v e e s n egra "

e n t o n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada s e e x p r e a a d e l a s i g u i e n t e fo rm a : (p A

L a t a b l a d e v e r d a d par a l o s v a l o r e s l ó g i c o s d e l a s p r o p o s i c i o n e s dadas e s : p

p A

(p A

p o r t a n t o , l a p r o p o s i c i ó n dada e s v e r d a d e r a .

o o o O o o o -----

q) 1

2 .3 4 "S i

¿. C u á l

llu e v e

la s

S O L O C I O N Sean

n e g a c ió n

c a lle s

p ro p o s ic ió n

s e m o ja n "? .

p - "llu e ve "

q - " l a s c a l l e s s e mojan" en to n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada e s : p _» q. La n e g a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n s e r á : p - q

«= »

«-»

p A

• Po r , a l e y de Morgan

«"»

p A

. Po r l fl l e y de d o b l e n e g ac ió n

p or t a n t o , l a p r o p o s i c i ó n p e did a e s : " l l u e v e y l a s c a l l e s no s e mojan" NOTA : O b t O iv a e que l a n e g a c ió n d e l a p n o p o A ld ó n dada no t e : " S I no l l u e v e e n tó n e te I o a c a t i t e ¡ x i t e t o que

p -* q

no ¿ e m ojan"

n o t e e q u iv a le n t e a

Es e v id e n te que I oa c a t i t e 6 e pueden m ojan A ln que llu e v a .T o d o A heno, v l& to como n ie g a n L oa banaendenoA en la ¿ c lu d a d te .

o o o O o o o -----

2 . 3 5 . D e te rm in a r c ió n

verdadera o

fa ls a

s ig u ie n te

p ro p o s i

“ S i M a d rid e s

c a p ita l

F ra n c ia ,

e n to n c e s N a p o le ó n

fu e

rey

España" S O L U C I O N Sean

"Madrid e s l a c a p i t a l de F r a n c i a "

■

"N ap ole ón f u e r e y de España" ,

en to n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada e s :

p _* q .

La t a b l a de v erd ad e s :

Sie ndo l a p r o p o s i c i ó n

p fa lsa

, s e s ig u e que l a p r o p o s i c i ó n

d e ra como s e v e observ an do l o s dos ú l t im o s c a s o s de l a t a b l a .

p -» q

e s v e rd a

2 .3 6 "P ed ro

. ¿Cuál e s

n e g a c ió n

p ro p o s ic ió n

ha a p r o b a d o M a t e m á t i c a s y J u a n h a a p r o b a d o F í s i c a " ? .

S O L U C I O N Sean

p -

" P e d r o ha aprob ad o M a t e m á t i c a s "

q ■

"Jua n

ha aprob ad o F í s i c a "

e n t o n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada e s :

p/\ q

La negación de e s t a p r o p o s ic ió n s e r á

(p A

q )' «

(p ' V

q ')

t e n i e n d o en c u e n ta l a s l e y e s d e M o r g a n .P o r t a n t o , l a n e g a c i ó n d e l a p r o p o s i c i ó n p edid a e s : " P e d r o no ha aprob ad o M a te m á tic a s NOTA : O b s é rv e s e qu e l a

Juan no ha aprob ad o F í s i c a "

n e g a c i ó n no e s :

"P e c h o no ha a p ro b a d o N a t m l t i c a s y Juan no ha a p ro b a d o F í s i c a "

— 0 0 0 O 0 0 0 -----

, ¿Cuál e s

n eg a ció n

p ro p o s ic ió n

" P e d r o ha a p r o b a d o M a t e m á t ic a s o Juan ha a p r o b a d o F í s i c a " ? . S O L U C I O N Sean

" P e d r o ha a p r o b a d o M a t e m á t i c a s "

"Jua n

ha aprob ad o F í s i c a "

e n t o n c e s l a p r o p o s i c i ó n d ad a e s

p Vq

La n e g a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n s e r á :

(p V < l)'

***

(p 'A

<T)

t e n i e n d o e n c u e n ta l a s l e y e s de Morga n. P or t a n t o , l a n e g a c i ó n d e l a p r o p o s i c i ó n pedida es : " P e d r o no ha a p r o b a d o M ate raáticas_£_Juan no ha aprob ad o F í s i c a " NOTA : O b s é rv e s e qu e l a n e g a c i ó n no es : "P e c h o n o ha a p rob a d o M a te m ttic a s o Juan no ha a p ro b a d o F í s i c a " . 0 0 0 O 0 0 0 -----

3 8 . S e

En e f e c t o

lla m a

"ley

de t e r c io

e x c lu s o "

P V

p v

p '.

D em ostrar

2 . 3 9 . C om probar

lid o :

APLIC A C IO N

E s tu d ia r "S i

ra zo n a m ien to s ig u ie n t e

P j:

P2 :

c :

S O L O C I O N

la s

s ig u ie n te

c a lle s

no ha

in vá

ra zo n a m ien to :

s e m oja n .

la s

c a lle s .

llo v id o ".

Veamos que e l ra zo n a m ie n to e s v á l i d o ,

-»

del

han m o ja d o

Luego,

v a lid e z

llu e v e

No se

es v á lid o

e s d e c i r , q u e s e t r a t a d e una t a u t o l o g í a .

-»

E sta t a u t o l o g í a r e c i b e en L ó g i c a e l nombre de " L e y d e modus t o l l e n d o t o l l e n s " A P L I C A C I O N

E l ra zo n a m ie n to dado e s v á l i d o . En e l e j e m p l o :

"llu e v e "

" l a s c a l l e s s e mojan" 0 0 0 O 0 0 0 ----------

2 . 4 0 te

D em ostrar p o r

ra zo n a m ie n to

S O L U C I O N

re d u c c ió n p

•

p -> *

absurdo

v a lid e z

del

s ig u ie n

Un ra zo n a m ie n to e s v á l i d o cuando l a c o n c l u s i ó n e s v e r d a d e r a . Supongamos que l a c o n c l u s i ó n e s f a l s a , V (q ) - 0

V (p - * q) - 1 s e s i g u e que

P or o t r a p a r t e ,

codo

e s d e c i r , que q e s

f a l s a . E n t o n c e s de

V (p ) - 0 .

p e s una p rem is a e s v e r d a d e r a ; l u e g o

que l a c o n c l u s i ó n e s f a l s a nos l l e v a a una c o n t r a d i c c i ó n . P or t a n t o , q e s v e r d a d e r a y e l ra zo n a m ie n to v á l i d o .

e l hecho de suponer

2.41

E s tu d ia r "S i

S O L O C I O H Sean

v a lid e z

del

E stán

m o ja d a s

Luego

s ig u ie n te

c a lle s la s

ra zo n a m ie n to :

m o ja n .

c a lle s .

llo v id o ".

- "llu e ve "

en ton ces

"la s

llu e v e -la s

c a lle s

s e m o ja n "

a rg u m en ta c ión a n t e r i o r

se e s c rib e

p -

P2 1

a s f:

Como l a s p r e m i s a s P j y P^ s e c o n s i d e r a n s i e m p r e v e r d a d e r a s , s e t i e n e V (q ) * De

, e s d e c i r , q e s verdadera.

V (q ) ■ 1

P or t a n t o ,

V (p

-* q ) ■ 1

s e s i g u e que

V (p ) -

o b ien

V ( p ) ■ 0.

l a c o n c l u s i ó n p puede s e r v e r d a d e r a o f a l s a .

N ó t e s e , p o r t a n t o , que e l e s t a r l a s c a l l e s m ojad as no i m p l i c a que haya l l o v i d o , p u e s to que l a s han p o d i d o r e g a r l o s b a r r e n d e r o s . o o o O o o o -----

2.42

. E s tu d ia r

"S i

la s

g a v io ta s

v a lid e z está n

del

s ig u ie n te p la y a

ra z o n a m ie n to que

yendo. Las g a v io ta s Luego,

S O L U C I O N Sean

está n

tard e

está

p la y a .

p ■ " l a s g a v io ta s están en q - "la

cayen d o".

la p la y a "

t a r d e e s t á cayendo"

e n t o n c e s e l r a z o n a m i e n t o d ad o s e s i m b o l i z a p or :

L a p r e m is a

p -* q

P^ e s v e r d a d e r a , p or t a n t o p e s v e r d a d e r a .

De p v e r d a d e r a y

p -♦ q

v e r d a d e r a s e s i g u e que q e s v e r d a d e r a .

La c o n c lu s ió n e s v e rd a d e ra , lu e g o e l razon aoien do es v á l i d o .

tard e

: está

2. 43. Estudiar

Poner

del

P j

razonamiento:

un e j e m p l o .

S O L U C I O N 1)

validez

Se t r a t a de v e r que l a p r o p o s i c i ó n (<P V q ) A

(q -* r ) A

r) ^

e s una t a u t o l o g í a . P u e d e h a c e r s e l a t a b l a d e v e rd a d y c o n p r o b a r que a s í e s . A h ora b i e n , c o n o e n un r a z o n a m i e n to suponemos que l a s p re m is a s s on c i e r t a s , vamos a) V (r)

a d e d u c i r d e e s t e hecho que p e s v e r d a d e r a . -

1, l u e g o

V (r)

- 0

b ) De V ( r ) ■=

V ( q -* r ) = 1

, s e sigu e que

V (q ) - 0

c ) De V ( q ) -

V (p V

, se sigu e que

V (p ) - 1

Por tan to la

p ro p osición

Veamos a h o r a

un e j e m p l o d e l r a z o n a m i e n t o dado:

q) - 1

p e s c i e r t a y e l r a z o n a m ie n t o v e r d a d e r o .

"Pedro e s e s tu d ia n te o a lb a ñ il . S i e s a l b a ñ i l e s t á en e l

rano de l a

con stru cción .

No e s t á e n e l ramo d e l a

con stru cción ,

lu e g o , es e s tu d ia n te". o o o O o o o -----

2 . 4 4 .

E s tu d ia r

v a lid e z

del

lo s

e s p a ñ o le s

Todos

lo s

europeos

Luego

to d o s

S O L U C I O N Sean

"T o d o s

lo s

s ig u ie n te son son

ra z o n a m ie n to

europeos. m o rta le s .

e s p a ñ o le s

son m o r ta le s ".

p - " s e r e s p a ñ o l" .

q ■ " s e r europeo" ,

r -

"s e r m ortal ,

e n t o n c e s e l r a z o n a m i e n t o dado s e e x p r e s a s i m b ó l i c a m e n t e a s í : Pj

P -* q

P2 :

p -* r

E s t e r a z o n a m i e n t o e s v á l i d o p u e s to que s e t r a t a de l a p r o p i e d a d t r a n s i t i v a de l a i m p l i c a c i ó n , que e s una t a u t o l o g í a , (< p

-* q )

es d e c i r

-* r ) )

-* ( p

: -* r )

2 . 4 5 g u ie n te

- D em o stra r,p o r ra zo n a m ien to

S O L O C I O M

r e d u c c ió n

absurdo,

v a lid e z

d el

s i

: P j

p «-*

P3 :

q r

Un r a z o n a m ie n to e s v á l i d o cuando l a c o n e l u s i 6 n e s v e r d a d e r a . Supongamos que l a ^ c o n c l u s i 6 n e s f a l s a , e s d e c i r , V ( r ) - 0. 1)

V (? )

- 1

D« V ( p ■* r )

y de

De V ( p * - * q ) - 1

P o r o t r a p a r t e , como

1) se sigu e que

V (p ) -

y de V ( p ) ■ 1 s e s i g u e que V ( q )

P o r t a n t o , a l s u p on er

e s p r e m is a

que r

V (q ) -

1, l u e g o

V (q )

e s f a l s a hemos l l e g a d o a l a b s u r d o de que

q es v e r

dadera y f a l s a a l a v e z . En c o n s e c u e n c i a , r e s v e r d a d e r a y e l r a z o n a m ie n to v á l i d o . o o o O o o o -----

2 . 4 6

. E s tu d ia r

lid o :

Poner

s i

e l

ra z o n a m ie n to

p V

p A q

s ig u ie n te

v á lid o

in v á

V r

e je m p lo .

S O L D C I Q H

La l e y d e modus t o l l o n d o pon eos e s : S i sustitu im os

a p or a

p V q (p V

(a V b)

(((p

A 5■*

b .

. entonces "

P A q

p o r l a l e y d e Morgan ,

L u e g o , n o s qu eda e l r a z o n a m i e n to s i g u i e n t e q) V f )

que s e r á , p o r t a n t o , una t a u t o l o g í a .

q>)

S e t i e n e , p u e s que

v á lid o . EJEMPLO :

"P ed ro canta , b a i l a o ju e g a . P e d r o no c a n t a y no b a i l a . Luego, P ed ro ju e g a " .

e l r a z o n a m i e n to dado e s

2.47.

Sí

p -* q ,

rem a r e c í p r o c o ,

e l

rep resen ta

e l

c o n tra rio y

E je m p lo y e q u iv a le n c ia

la s

e l

teorem a d ir e c t o ,e x p r e s a r

e l

teo

c o n tra re c íp ro c o .

p ro p o s ic io n e s

p *♦ q

Vq-

(fflF C rm iM P

- J975J

S O L O C I O I i d i r e c t o donde p e s l a h i p ó t e s i s y q l a t e s i s

P ■* q

, teo

q -♦ p

, teo

recíp roco

P -

, teo

c on tra rio

q -

, teo

c on tra rrecíp roco

N0TA : Reco\dono6 qu e ¡ t e o t e m d iA tc X o t e e x e m c o n tA a jú o La d trv t,V ia cÁ 6 n u

—

U o i e r a co n V u iK xe cíp A o co

«-»

t e o e o r a le u lp A o c o

im n e d ia ía p o * l a * t a b la t, d e veAdad.

Veamos ah ora l a segunda p a r t e d e l e j e r c i c i o . Las p r o p o s i c i o n e s

p -* q

p' V

son e q u i v a l e n t e s s i y s o l o s i

- p ' V q

e s una t a u t o l o g í a .

—

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 1 0

1 l I 1

0 0 1 1

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 1 0

P u e s to que l a columna d e r e s u l t a d o s e s t o d o u n o s . s e t r a t a d e una t a u t o l o g í a . EJEMPLO : S i

Pedro c a t u d i a , en to n c e s a p r o b a r á e l exáacn de Mate m áticas.

En e s t e c a s o :

p -

Pedro e s t u d i a

P e d r o ap r o b a r á e l examen d e Mate m áticas.

P o r t a n t o , l a p r o p o s i c i ó n e q u i v a l e n t e a l a dada e s : " P e d r o no e s t u d i a o Pedro ap r o b a r á e l oxámen de M ate m áticas" Teorema r e c í p r o c o : S í P e d r o ha aprobado e l examen d e M a te m á tic a s , en to n c e s ha e s t u d i a d o . Teorema c o n t r a r i o : S i Pedro no e s t u d i a . e n t o n c e s no ap r o b a r á e l examen d e Ma te m á t ic a s . Teorema c o n t r a r r e c í p r o c o : S i P e d r o no ha aprobad o e l examen d e M ate m átic as , en to n c e s no ha e s tu d i a d o .

2 . 4 8 g u ie n te

■ La

sum a d e

fó rm u la

lo s

p rim e ro s

núm eros v i e n e

1 + 2 + 3 + . . . + n = D e m o s tra rla

S O L D C

por

I O N

dada

por

s i

e l

m étodo

- .nl g t 1)

in d u c c ió n .

a ) L a f ó r m u la s e v e r i f i c a

para n - 1 . E n

> 4 i± > >

e fecto , .

b ) Supongamos que l a f ó r m u la e s v á l i d a p a r a n ■ h , e s d e c i r 1 + 2 +

3 +

...

+ h

h-(-iy

{ 11

c ) S e t r a t a ah ora d e d e m o s t r a r que l a f ó r m u l a s i g u e s i e n d o v á l i d a

p a r a n - h+1

Sumando a l o s d o s t é r m i n o s d e l a e c u a c i ó n I 1 ] , h + 1 , s e t i e n e : 1+

2+ 3 +

—

+ h+

(h +

h- ' h2+

1 +

2+ 3 +

...

+ h + (h +

M f r - t .1* * 2 <h + l )

—

1 +

2+ 3 +

...

+ h + (h +

que e s l a

f ó r m u la dada p a r a

+ ( h + 1)

- J h jL iK h -L iL

n = h + 1 , l u e g o l a e c u a c i ó n d ad a e s c i e r t a .

0 0 0 O 0 0 0 ---

2 » 4 9 la

«L a

sum a d e

lo s

s ig u ie n te

fó rm u la

1 + D e m o s tra rla

por

S O L O C I O N

3 +

n p rim e ro s

5 +

7 +

...

im p a re s

(2 n

v ie n e

dada

por

in d u c c ió n . :

a ) Es e v i d e n t e que s e v e r i f i c a p a r a n b)

núm eros

(C om pruébese p a r a n - 2 , 3 )

Supongamos que l a f ó r m u la e s v á l i d a p a r a n - h 1 + 3 +

5 + 7 +

...

(2 h -

, es d e cir,

1) - h2

{ 11

c ) S e t r a t a a h o r a d e d e m o s t ra r que l a f ó r m u la s i g u e s i e n d o v á l i d a p a r a n • h+1 Sumando a l o s d o s miembros d e l a e c u a c i ó n ( 1 1 , 2h + 1 , s e t i e n e 1 + 3 + 5 + 7 +

. . . +

(2 h -l) +

( 2 h + l ) = h2 + ( 2 h + l )

1 + 3 + 5 + 7 + . . . +

(2 h -l) +

(2 h + l) -

que e s l a f ó r m u la d ad a p a r a

(h + l ) 2

n - h + 1.

P o r t a n t o l a e c u a c i ó n dada e s v á l i d a p a r a t o d o n G H.

•**

ALGEBRA DE BOO LE e n eZ q u e ¿ e d u o M o t í a n tcu> 6 ¿ g u Z e n te ¿ m a Z e'u a ó :

AXIOMATICA DE UN ALGEBRA DE BOOLE

PROPIEDADES

A P L I C A C I O N D E L A L G E B R A D E B O O L E A LOS CIRCUITOS LOGICOS

CIRCUITOS EQUIVALENTES

TABLAS DE RESPUESTAS

SISTEMA BINARIO

3 . 1. c io n e s gebra

Se d ic e

d e fin id a s de

BOOLE

que

en A s i

que

v e rific a n

P ro p ie d a d e s

c o n m u ta tiv a s .

A2 :

P ro p ie d a d e s

d is trib u tiv a s .

b +

;

(a . b)

E le m e n to s c e r o A tie n e

a . b

p ro p ie d a d e s a

todo

e le m e n to a +

P a rtie n d o

estos

+ (a

. b)

. (a

+ b)

S O L 1)

a x io m a s

por

con

+ y

dos

s ig u ie n te s

opera

un a l

b . a

(a . c )

;

a + (b .c )

(a + b )

(a + c)

que

se d e s ig n a n

por

0 y

1 con

la s

s i

: =

;

C om p lem en ta ció n . Para

ju n ta m e n te

u n id a d

d o s e le m e n to s

g u ie n te s

lo s

s im b o liz a re m o s

A1 :

+ b =

un c o n j u n t o

de A e x is te a'

a x io m a s ,d e m o s tr a r

otro .

lo s

e le m e n to =

ta l

que

s ig u ie n te s

teorem a s

O C I

NOTA. :

vez de

0 y 1

lot> 6<ité)olo6

¿ e empíea t a n é i í n

C y 1.

O a . a -

(a . a)

, p o r A3

(a . a)

+ (a

. p or A4

- a + (a . a ')

a . (a

+ a ')

. p or A2

■ a + 0

a. 1

(a + a) a + a -- 0

. 1

- (a + a)

. (a + a ')

. P or A^ , p o r A3

(a . 0) + 0

, p o r A3

0 +

. p or A j

- (a + a ')

. ( a + 1)

a 4- ( a -

. 1)

a + a'

a . a'

, p o r A3

, p o r A,

a + 1 - (a + 1 ). -

I . (a +

( a . 0) . a ' ) + (a

a . (a*

6) a . (a + b) - (a + 0 ) .(a + b )

5) .

(1 + b)

. 1 •

, p or A4 . p or A2

, p o r A3

« a + <0 . b)

, p or A2

- a + 0

, p or * ) . p or A ,

3 - 2 -

Sea A

un á l g e b r a d e B o o l e , d e m o s t r a r q u e

.. a

b =

0 im p lic a

a .

b =

0. i m p l i c a

a .

= c

im p lic a

3 )a . b = 0

a + b

S O L D C I O N

( a .b ) + ( a . c )

. (b + c ) = a

a . c

+ c) =

. c

= c

a .b'

, p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a

. c)

, a . b ■ 0

a ■ a . 1

, p ro p ie d a d d e l e le m e n t o

a a . (b + b ')

, b y b ' c o n j u n t o s c om p lem e n ta rio s,

- (a . b) +

, propiedad d i s t r i b u t i v a

■ 3)

c .

+ (a

(a . b ' ) . b’ )

, a . b - 0

a . b’ b' -

(a + b)

. b'

. b ')

+ (b

. b ')

+ 0

, ya que . b ')

a + b «■ c

, p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a , , ya que b y b ' son

c om p le m e n ta rio s.

a a . b' , p or 2)

o o o O o o o -----

3 . 3 . d ia d o tos

Poner

este

cero

lo s

curso

con

e je m p lo s la s

A lg e b ra s

o p e ra c io n e s

d e B o o le

u n id a d .

S O L U C I O N

que

c o rre s p o n d ie n te s

s e han y

lo s

estu ciern en

[SELECTIVIDAD -1 9 7 6 )

1) A l g e b r a de B o o l e d e l a s p a r t e s d e un c o n j u n t o . O p e r a c io n e s : Unión , I n t e r s e c c i ó n Elementos c e r o y unidad :

, c o m p le o e n t a c i ó n .

2) A l g e b r a de B o o l e d e l a s p r o p o s i c i o n e s . O p e r a c io n e s : D is yu n c ió n , c o n j u n c ió n , n e g a c ió n Elementos c e r o y unidad : L a c o n t r a d i c c i ó n y t a u t o l o g í a 3 ) A l g e b r a de B o o le d e l o s c i r c u i t o s . O p e r a c io n e s : suma ( a s o c i a c i ó n en p a r a l e l o )

.produ cto ( s e r i e )

, c on tra rio

Elementos c e r o y unidad : C i r c u i t o s ie m p r e c e r r a d o , c i r c u i t o s ie m p r e a b i e r t o . 4 ) A l g e b r a de B o o le d e l o s s u c e s o s . O p e r a c io n e s : Unión , i n t e r s e c c i ó n

, co n tra rio .

Elementos c e r o y unidad : Suceso i m p o s i b l e , s u c e s o c i e r t o .

3. 4.

Sea A2 e l

no. Se d e fin e n Suma

c o n ju n t o form a d o p o r t o d o s

él

dos o p e ra c io n e s dadas

: P + Q = p u n t o más

P rod u cto Si

P es

a le ja d o d e l

: P . Q = p u n t o más

un p u n t o , P '

por

lo s

o rig e n

cercan o a l o r ig e n

se d e fin e

c om o e l

pu ntos d e l p la

: en tre en tre

punto s i m é t r i c o

P y

P y 0

resp ecto

del

o rig e n . ¿Es A2 c on e s t a s S O L O C I O N

o p e r a c i o n e s un A l g e b r a

de B o o le ? .

A2 con e s t a s op e r a c io n e s no e s un á l g e b r a de B o o l e . En e f e c t o , s i f u e s e un á l gebra de Boole l a o p e r a c iá n pro ducto d e c i r , t e n d r í a que e x i s t i r un punto rific a ría

te n d r í a que te n e r elemento unidad, es X t a l que para to do punto P d e l p lan o s e ve

que P.X - P . E s to i m p l ic a que : Todo punto d e l p lan o e s t á más

p ró x i

mo a l o r i g e n que e l punto X". E s te punto no e x i s t e evidentemente. o o o O o o o -----

Se c o n s i d e r a e l D =

en e l

que

Suma

Prod u cto

S i a es ¿Es e l

c o n ju n to

{1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,1 0 ,1 2 ,1 5 ,2 0 ,3 0 ,6 0 }

se d e fin e n

la s

s ig u ie n te s

o p e ra c io n e s

a + b

= m í n i m o c om ún m ú l t i p l o d e

= m áxim o c om ún d i v i s o r

de a

núm ero t a l qu e

un n ú m e r o c o n ju n to D

S O L D C I Q H

se d e fin e

con e s ta s

a ' c om o e l

a y b y b a .a '

•

o p e r a c i o n e s un á l g e b r a d e B o o l e ? .

Los elementos de D son l o s d i v i s o r e s de 60. Evidentemente la s op e r a c io n e s suma y pro ducto d e f i n i d a s son i n t e r n a s . a)

M .C .D (a .b ) - M . C . D (b .a )

M . C . M .(a .b ) - M . C . M .(b . a ) , l u e g o s e cumplen

Se comprueba también f á c il m e n t e que se v e r i f i c a n l a s propiedad es d i s t r i b u

E l elemento c e ro d e l A l g e b r a de Boole es 1; e l elemento unidad 60.

Veamos que no s e v e r i f i c a n l a s l e y e s de complementación.

l a s pro piedad es conmutativas.

tivas.

En e f e c t o : E l complementario d e 6 e s

10. Entonces s e v e r i f i c a r í a :

o + a ' - 60

y en n u e s tr o caso

M . C . M . ( 6 , I 0 ) ■ 30

a . a' - 1

y en n u e s tr o caso

M.C.D.C6.10) ■ 2

P or t a n t o , D con l a s

op e r a c io n e s dadas no e s un á l g e b r a de BOOLE.

3 * 6 a r io

D e m o s t r a r q u e en un á l g e b r a un e l e m e n t o e s ú n i c o .

S O L U C I O N

B o o le

A ,e l

c o m p le m e n ta

;

Sean + , . , ' la s o p e ra c io n e s Se a x un e le m e n t o d e A y se an x ' y x "

y c o m p l o a e n t a c i ó n d e f i n i d a s en A. d o s c o m p le m e n ta r i o s d e x , e n t o n c e s ,

x "

-1 .x *

1 .x "

- <x' + x ) - (x + x " )

. x "

(x '.x " )

(x .x ")

. x'

(x .x ') + ( x " . x ' )

- (x '.x " )

+ 0 - x'

- 0 + (x "

. x ')

. x "

- x - '.x 1

De la B d o s r e l a c i o n e s a n t e r i o r e s y de l a c o n m u t a t i v i d a d d e l a s o p e r a c i o n e s de un á l g e b r a d e B o o l e , s e s i g u e : x'

- x "

. X*

x "

oooOooo

( x *)* » x d e B o o le .

D e m o s t r a r q u e e n un á l g e b r a d e B o o le s e v e r i f i c a que s ie n d o ' l a c o m p le m e n ta c ió n d e f i n i d a en e l á lg e b r a

S O L U C I O N

x +

x 1 ■

De x dado que gue que

11 J 0 I

< x ')'

♦

- 1 1

(x')'

c o m p lem e n ta rio

<x'>'

un -

a lg e b ra

0 f B o o le

ú n ic o ,s e

s i

oooO ooo-—

3.8.

D e m o s tra r

b -

b =

a .

la s

r e la c io n e s

s ig u ie n t e s

S O L U C I O N a) -

que

b) b- a . ( a + b )

p or h i p á t c s i s

- a b) -

a +

b- ( a - b

y a que

a + b - b

p or l a propiedad s i a p l i f i c a t i v a

. b)

p o r h i p á t e s i a ya que

a . b ■ a

p or la propiedad s i m p l i f i c a t i v a .

son

e q u iv a le n t e s

3 .

9 .

fin id a s

¿Es

por

Sea

la s

un á l g e b r a

e l

c o n ju n to

s ig u ie n te s

S O L D C I O M

B o o le

(a ,b )

ta b la s

con

la s

(A ,+ ,.)? .

a ) L a suma e s c o n m u t a t iv a como s e puede c om p ro b a r e n l a b ) Veamos s i

o p e ra c io n e s

se v e r i f i c a

l a propiedad

a .(b + c )

L a s p o s i b i l i d a d e s s on l a s s i g u i e n t e s 1)

a .(b + a ) - a .b + a .a

a.(b + fc) - a . b + a.b

b . (b + a ) - a . b + b .a

b .(b + b ) - b .b + b .b

«-*

.b -

«=*

- a . b + a.b

a + a

*-*

a - a

+ a

«-*

a - a

b.b -

a + a

«-*

a - a

b.a -

b + b

«-*

a - a

a .a - a

C ab la .

a .a - a + a * - *

a - a

b. a - a + a * - *

a - a

a .(a + a ) ■ a .a + a.a

b .(a + a ) ■ b.a + b.a

a . (a + b ) - a . a + a.b

e s e l mismo

b .(a + b ) - b .a + b .b

p o r l a c o n m u t a t i v i d a d s e r e d u c e a l c a s o 3)

«-*

Veamos a h o r a s i s e v e r i f i c a

c a s o que 1) p o r l a c o n m u t a t i v i d a d .

la p rop ied ad

Las p o s i b i l i d a d e s son l a s s i g u i e n t e s

a + (b .c )

(a + b ).(a + c )

a + ( b . a ) • ( a + b ) . ( a + a ) «*•*

a + a - b.a

a + (b .b )- (a + b ).(a + b )

«-•

a + b - b .b

*■*

a - a b - b

b + (b .a )- (b + b ).(a + a )

*4*

b + a - b.a

*4 »

b i

l u e g o l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a no s e v e r i f i c a p a r a e s t e c a s o y e n c o n s e cu en cia

, + , . ) no e s un á l g e b r a d e B o o l e . o o o O o o o ------

3 . 1 0 . tes

D em ostra r a)

a .b '

S O L D C I O M a)

s ig u ie n te s

c o n d ic io n e s

son

e q u iv a le n

; b ) a + b = b

;

(a + b ).l -

(a + b ). (b + b ’ ) -

(b + a ) . ( b + b ' )

- b + (a .b ')

■* c )

a* + b - a* + (a + b ) c)

la s

a + b b)

que

(a' + a) + b -

1 + b -

a' + b -

(a ' + b )'

. b' -

-»

a . b’ -

- b + 0 - 0

3 .1 1 .

Sea A

un á l g e b r a

e x p re s ió n : S

L U

♦

B o o le .

(((a .b ).c )

I O

(((a.b ).c)

S im p lific a r

(< a .b ).c '))+

s ig u ie n te

(a '.b )

((a .b ).c '))

♦

(a '.b )

(¿}

((a.b ).(c

♦ e '))

( 2> ( ( a . b ) . l )

donde en ( 1 ) y (/,) s e a p l i c a

♦

<- )

(a.b)

<¿>

(a ♦ a ' ) . b

<-*>

l.b

<S>

(a'.b)

(a '.b )

l a p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a

dad d e l e l e m e n t o 1 ; en ( 2 ) y ( 5 )

♦

; en ( 3 ) y ( 6 )

la p ro p ie

l a p r o p i e d a d d e com plcmcntacifin.

o o o O o o o -----

3 .1 2

■

S ea

un á lg e b r a

d e B o o le .D e m o s tra r

la s

s ig u ie n te s

re la c io n e s : a)

(a .b )

♦

(a .b ')

♦

(a '.b )

(a '. b ')

(a .b )

(a .b *)

(a '.b )

(a '.b * )

S O L U C I O N a)

(a .b )+ (a .b ')+ (a \ b )+ (a '.b ')

((a .b )+ (a .b ')) ♦ ( ( a '. b ) + ( a '. b ') ) ( 2} (3 ) -

(a .(b + b ')) + (a '.(b (a + a ' ) . (b ♦ b ') 1 . 1 - 1

donde e n ( 1 ) , ( 2 ) y ( 3 ) He ha a p l i c a d o l a p ro p ie d a d b)

Para es 0.

d e m o s t ra r

b) basta v e r

d is trib u tiva .

que e l

producto de

dos fa c t o r e s cu a les

(a .b ).(a .b * ) -

a .(b .a ).b '

a .(a .b ).b '

, p o r l a p ro p ie d a d c o n s m t a t i v a

(a .a ).(b .b ')

p o r la propiedad a s o c ia t iv a

p o r l a id e m p o t e n c ia y c o a p l c a e n t a c i ó n

♦ b ')

, p o r l a propiedad a s o c i a t i v a

a . 0

P e una m ne/ia a n á lo g a ¿ e pu ed e d ex n a tfu u i paaa d o6 p a o d u c to t c u a te A q iu e A a . En l a te o a X a d e c o n j u n t a

p * o d u c to ¿ &on c o n ju n t o a d it, j u n t a

d oó. H á g a e una ¿ n te A p -ie X a c ió n

e n un diagaarra d e l/enn

de a )

u b)

do¿ a

3.13.

Sea

un á l g e b r a

B o o le .

S im p lific a r

s ig u ie n te

e x p r e s ió n -: (a .b ) In terp reta r e l

re s u lta d o

e l

(a *.b )

á lq e b ra

(a .b * )

B o o le

(a *.b *)

la s

p a rtes

un c o n j u n t o

a n te rio r.

S O L D C I O M 1)

(a .b ) + (a '.b )

♦ (a .b ') + (a *.b ,) ( i ) ((a .b )+ (a '.b )) ♦ ( ( a . b ') + ( a '. b ') ) ( 2) ( ( a+ a ' ) . b ) + ( a + a ' ) . b ' ) l.b + l.b * <¿> b ♦ b ' < S>

d on de en ( 1 ) s e a p l i c a l a p ro p ie d a d a s o c i a t i v a ; (3 )

( 2 ) p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a

p ro p ied ad de l a c o m p le c e n t a c i ó n , l o mismo que en ( 5 )

; y en ( * )

;

la pro

p ie da d d e l ele m ento 1. 2)

En l a s i g u i e n t e

f i g u r a s e d i b u j a n l o s c o n ju n t o s

A Í1 B ,

p a r te rayada***

A 'íl B ,

parce rayada^*-

A 0 B' ,

p arte r a y a d a ^

A' fl B' ,

p a r t e ra y a d a Hl|

Es e v i d e n t e que l a unión de e s t o s c o n j u n t o s e s e l c o n j u n t o u n i v e r s a l E.

3.14.

Sea

un á l g e b r a

B o o le .S im p lific a r

s iq u ie n te

e x p re s ió n : (a . < b .c ') ')

+ ( ( (a '+ b * ) + c) ')

S O L B C I O W : (a .(b .c ')')

( ( ( a ' + b ' ) + c ) , ) <" ) ( a . ( b ' * c ) )

((a '+ b '> *

( 2 ) ( a. (b '+ c ))

((a .b ).c ')

(3 ) ( a . ( b ’ + c ) )

(a .(b .c ’ ))

a . ( <b*+c) ( 2) a . ( ( b . c ') '

. c' )

(b .c ') +

(b .c '))

< § > a .l ( z>. donde (4 )

en ( 1 ) , ( 2 ) , ( 5 )

s e a p l i c a n l a s l e y e s d e Morgan;

, p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a

l a p ro p ie d a d d e l e le m e n t o 1 .

( 3 ) propiedad a s o c ia t iv a

; ( 6 ) p ro p ie d a d de l a com plementación ; y ( 7 )

3 . 1 5 .

E n un á l g e b r a a

D em ostrar qu e

(b +

+ +

c - b

S O L O C I O N 1)

A b

B o o le

d e fin e

b ')

A b)

e q u iv a le n te

s ig u ie n te

o p e ra c ió n

a ')

. c' a

A b í

(a + c ) A (b + c ) ■

((a + c)

. (b ' + c ') + « b

(b + c ) ' ) + <(b + c ) + c)

. b' . c ’ ) + (c

. b'

. c’> +

(a . b ' . c ' ) + (b

.a'

. c ')

((a

. b’ > + (b

+ c )')

.( a ' + c ' ) (b .

a ' . c ’ ) + (c

. a ')) . c'

- (a A b) . c ' J u A t i f í q u u e cada uno d e to & paAo& en e ¿ a ca tea d a d e ig u a id a d e & . 2)

Supónganos (a

c • b + c

A b) + c

. b ’ ) + (b . a ’ ) + c

. b * ) + C(b + c )

(a ' + c ))

. b ') + ((a + c)

(a ' + c ))

(a . b ') + ( ( a

, por h ip ó tesis

. a’ ) + c)

(a . b ') + c (a + c )

. (b * + c)

, p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a

(b + c)

, p or h i p ó t e s i s

(b ' + c )

(b . b ’ ) + c c e n to n c e s

a A

R ecíp rocam ente luego

c a

A b í

. c ’ ■» 0

( a A b)

e n to n c e s

(a A b) . c ' í

. A p lica n d o e s t o en

a + c - b + c

&e H o rra d i f e r e n c i a t i m l V U c a . Re c u tn d e t e t a d e f i n i c i ó n

i n t u i t i v a d e t a t e o n i a d e c o n ju n t o t en un d ia g u a m d e Venn. o o o O o o o ----3 . 1 6 . a)

D em ostrar

A b = b A a

S O L O C I O N

c . c ’ = 0.

1) s e o b t i e n e :

de donde s e o b t i e n e que

(a + c ) A (b + c ) - 0 La o p e r a c ió n

la s ,

s ig u ie n te s

A a

e c u a c io n e s ,

A 0 =

a A b - ( a . b 1) +

(b .a ')

(b .a ’ ) +

a A a - (a .a ') + (a .a ')

0 + 0 - 0

a A 0 - (a .O 'í + (0 .a ’ ) - a + 0 - a

(a .b ’ )

b A a

: a

.c ’ )

3 . 1 7 . , con

la s

Se c o n s id e ra s ig u ie n te s 0

+ 0 1 y

d e fin e

D em ostrar

o p e ra c ió n

A b de

a A (b

d o s e le m e n to s .J o

1 ° I 0

•

1 0

(a .b *)

esta

A c)

(b .a ')

o p e ra c ió n

se v e r if ic a

que

B o o le

ta b la

a H a lla r

á lg e b ra

* 0

e l

ta b la s

lla m a d a

p ro p ie d a d

A b)

" ¿ ¿ m ito te a

a s o c ia tiv a ,

A c {S E L E c n m

S O L

0 C I

a ) T a b la de

() R

a A b

es l a s ig u ie n te

corso puede com p ro ba rse según l a d e fin ic ió n .

1 0

L o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s e n c ada miembro son i g u a l e s .

o o o O o o o -----

3 . 1 8 . B o o le

D em ostra r

la s

a +

(á + b ) = a

. b

(a . b ) *

+ b

S O L O C I O M a)

e c u a c io n e s

del

A lg e b ra

a . (a + b) - (a

s ig u ie n te s

a +

(á

.b) -

á) +

( a . b)

(a . b)

, l e y d e c om p lem e nta ció n

a . b (a +

, propiedad d e l c e ro ¡)

a + b

, propiedad d i s t r i b u t i v a

( a+

+ b)

, propiedad d i s t r i b u t i v a , l e y d e com ple m enta ción , p r o p i e d a d d e l uno.

del

3 .1 9 c irc u ito s

.D e t e r m i n a r

la e x p r e s i ó n

representada

(a .

O ■

. (a + b )

rx s .b

. a'

b ' . (a +

b ) ) + ( b .. c ' )

e t « c o v i t t p o n d e a l o t ¿ n t e s o iu p ío t e t

Wó t e t e q u e

siguientes

F íg . a

los

- < S O L Q C

pos

e n p á s t a t e lo

. c o n s ie tp o n d e a t o 6 ¿ n te s is m p to n e * e n 6 e / U e .

o o o O o o o ----3 - 2

0 - C o n s tru ir

e x p re s io n e s

e l

c irc u ito

c o rre s p o n d ie n te

la s

s ig u ie n te s

1 -)

b) .

2o)

(a ' +

(c '

a ))

b ))

I J RV - I I I - J 2 I S O L ü C I O M

3 . 2 1 . c u ito

E s c rib ir

e x p re s ió n

rep resen tad a

por

SOLDCI OM : La

e x p re s ió n

dada

por e l c i r c u i t o es l a s ig u ie n te ((a

. b * ) + c*>

. c

e l

s ig u ie n te

c ir-

3 . 2 2 g u ie n t e

. R e p re s e n ta r e x p r e s ió n

e l

c ir c u it o

d e fin id o

por

s i

: (a

S O L U C I O N

g r á f ic a m e n t e

b *)

((a '

b')

+ c)

El c i r c u i t o que d e t e r m in a g r á f i c a m e n t e e s t a e x p r e s i ó n e s : a

b* •

o o o O o o o ----

3 . 2 3

. Un

p r e s io n a d o se

e n c ie n d a

ju r a d o b o tó n .

una

b o m b illa

v o te n

s í.

(R a z o n a r

O L

e s tá

c o m p u e sto

D ib u ja r

cuando

ú n ic a m e n te

por

esquem a a l

con

tre s de

m enos lo s

dos

m ie m b r o s .C a d a c ir c u it o m ie m b r o s

en d el

e l

uno

v o ta

que

ju ra d o

c ir c u it o s )

b b b'

b L a e x p r e s i ó n de e s t e c i r c u i t o e s l a s i g u i e n t e

(a .b .c ) + (a .b .c ') + (a .b '.c ) + (a '.b .c ) Veamos que e s t e c i r c u i t o cumple l a s c o n d i c i o n e s d e l enu ncia do. a ) S i l o s t r e s v o ta n que s í l a c o r r i e n t e p asa p or e l h i l o 1 b ) S i a y b v o t a n que s í l a c o r r i e n t e pasa p or e l h i l o 2 , p u e s t o . q u e a l v o t a r c no , c ' e s s í . c ) S i a y c v o t a n que s í l a c o r r i e n t e p asa p or e l h i l o 3 , p u e s to que a l v o t a r b no , b ' e s s í . d) S i b y c v o t a n que s í l a c o r r i e n t e p asa p or e l h i l o 4 , p u e s to que a l v o t a r a no , a ' e s s í . e ) Cuando dos c u a l e s q u i e r a v o t a n que no l a c o r r i e n t e no pasa n i por 1

ya que hay d o s i n t e r r u p t o r e s a b i e r t o s , n i p o r l o s h i l o s r e s t a n t e s , por

l a misma r azón . f ) S i no v o t a ninguno de l o s t r e s que s í e s e v i d e n t e que no pasa c o r r i e n t e por nin gu no d e l o s h i l o s .

3 . 2 4

.D e m o s tra r

c ia

lo s

+ b)

+ a

m e d ia n te

s ig u ie n t e s

una

c ir c u it o s

ta b la

re s p u e s ta

e q u iv a le n

Las columnas d a to s son : 1 , 3 , 5 , 7 - de

l a s columnas 1 y 3 s e

ob tien e la

- de

l a s columnas 2 y 5 s e

ob tien e la

4 (resu ltad o del

- de

l a s columnas 4 y 7 s e

obtien e la

6 (resu ltad o f i n a l ) .

P or t a n t o , s e t i e n e una

p r i m e r miembro)

equivalen cia en tre c i r c u i t o s . o o o O o o o -----

3 . 2 5 .

re ú n e n

lo s

re p re s e n ta n te s

r a ,F r a n c ia ,B ó lq ic a ,H o la n d a cho

a l

que

lo s

s ió n e l

v e to ,lo tre s

que

m is m o q u e

re s ta n te s to m e e s

e n c ie n d a

S O L U C I O N

E s ta d o s

D in a m a r c a .E s ta d o s

In g la t e r r a

ju n to s .

v á lid a . una

D ib u ja r

b o m b illa

a l

lo s un

F r a n c ia

ju n to s

dem ás c a s o s esquem a

to m a r

una

U n id o s ,In g la t e r

U n id o s

t ie n e y

m is m o

c u a lq u ie r un

d e re

d e c i

c ir c u it o

d e c is ió n .

a ) E s tad os Unidos t i e n e d e re c h o a l v e t o , l u e g o e l c i r c u i t o s e rá

b ) F r a n c i a o I n g l a t e r r a t i e n e n d e re c h o a l v e t o , p e ro ju n ta m en te , no c od a uno de e l l o s , l u e g o e s t a r á n en p a r a l e l o

y e l c i r c u i t o a n t e r i o r s e com pletará

• asf:

c ) B é lg ic a .D in a m a r c a y Holanda también t i e n e n d erecho a l v e t o p e ro j u n t a s . n o separadam ente, l u e g o ha de e s t a r e n p a r a l e l o y e l c i r c u i t o f i n a l s e r á :

3 .2 6 . Construir

una

tabla de

respuesta

para

las

quivalencias de circuitos

c )

+ c )

+ b)

•

S O L U C I O N a)

•

1 '

+ c

siguientes

l a o b t e n c ió n d e (a & & uce& ¿va& c o lu m a t , ¿e h a c e como h e rró , v l ¿ t o e n t a i t a b la * d e l ó g i c a .

L a s columnas 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 son l a s columnas d e d a to s . De l a s columnas 3 y 5 se o b t i e n e l a 4 ,

de l a 4 y 1 l a columna 2 que e s e l r e s u l t a d o d e l p r im e r miembro De l a s columnas 7 y 9 se o b t i e n e l a 8 , y de l a 8 y

l a columna 1 0 que e s e l r e s u l t a d o d e l segundo miembro.

De l a s columnas 2 y 10 ( q u e son i g u a l e s ) se o b t i e n e f i n a l m e n t e l a columna b que demuestra l a e q u i v a l e n c i a de l o s c i r c u i t o s . o o o O o o o -----

3 . 27. C o n s t r u i r valencia de

la t a b l a d e

circuitos

respuesta para

la s i g u i e n t e

equi

: (a

b )* =

b' (J R V - U I - i

S O L

0 C I

a +

b )'

a’ .b’

+ b )*

■

a ’ .b ’

t r a t a d e una e q u i v a l e n c i a d e c i r c u i t o s p u e s t o qu e l a c olu m n a d e r e s u l t a d o s

e s to d a de unos. 0 0 0 O0 0 0 -----

3. S 0 L

2 8 . U C I

D em o stra r q u e 0 N

( a 1) '

■ a

a’

( a 1) ’

<a’ ) '

o o o O o o o -----

3 . 2 9 v a le n c ia

.C o n s tru ir de

una t a b l a

resp u esta

para

s ig u ie n te

e q u i

c irc u ito s : a

S O L U C I O N

. c)

HOTA : E&ta p r o p ie d a d u l a p ro p ie d a d dual, a .

+ c) U B M II-H »

l a d ú t A l b u t i v a . Ve una m n e n a a n d lo g a ¿ e d e m u V i a de t i l a : (b ♦ c )

( a . 6) ♦ ( a . c )

3 . 3 0

.U n a m áqu in a i n d i c a d o r a d e m a y o r í a d e v o t o s

in te rru p to re s ,x ,y ,z , s e o b tie n e n

y una

lá m p a ra .L a

d o s o m ás v o t o s

lá m p ara

fa v o ra b le s .D ib ú je s e

t a m á q u in a , h a c ie n d o p r e v ia m e n t e

ta b la

com prende t r e s

s e e n c ie n d e cuando el

c irc u ito de es

d e resp u estas.

S O L U C I O N : La s i g u i e n t e

ta bla

i n d i c a o m u e s tr a l a s d i f e r e n t e s p o s i b i l i d a d e ; X

1 0

lámpara - I.

x.y.z

1 1

x .y'.z

x.y.z'

x '.y .z

f u n c i ó n b o o l e a n a v i e n e dad a p o r :

L -

x . y . z •* x . y . z ' + x . y ' . z + x * . y . z

Y e l c ir c u ito es e l sigu ien te -

—

: -

ti y

—

--------- o o o O o o o —

3 . 3 1 s ig u ie n te

. C o n s t r u y e un c i r c u i t o dado en

fig u ra

e q u iv a le n te

U W -III-M ) X ------- y

S O L U C I O N La

fu n c ió n del

B •

x .y ♦ x .y '

: c i r c u i t o es :

♦ x '.y '

x .(y

x .1 ♦ x ' . y '

(x ♦ x ' ) . ( x

♦ y ')

♦ x\y'

x ----

x '—

Ü 9-*

♦ x '.y '

I . (*

♦ y*)

♦ y’ j

♦ y*

E l c i r c u i t o s i n p l i f i c a d o e s t á d ad o en l a

6 < 9 .b f i g u r a b.

3 . 3 2 . to r .S e

e n c ie n d e

p e lig r o ,

s e g u ir

puede

lo s

S O L D C

I O N

se tie n e

una

hay

lu z

e n c ie n d e

D ib ú je n s e

S i x ,y ,z

c o h e te

tre s

r o ja una

h o m b re s

cuando

lu z

ve rd e

uno

cada

uno

con

c u a lq u ie r a

cuando

lo s

tre s

e llo s s e ñ a la n

s e ñ a la que

c ir c u it o s .

son l o s in te r r u p to r e s y

R la lu z r o ja y V la lu z verde

, entonces

l a s i g u i e n t e t a b l a e n l a q u e s e m u e stra n l a s d i f e r e n t e s p o s i b i l i d a d e s

: p e Z ig x o

0 : a d e la n te

R •

)

ro ja )

( x ' . y ' . i t’ ) *

■

x + y + z

La f u n c i ó n b o o l c a n a d e V ( l u z v e r d e )

que te u

v i e n e d ad a p o r :

x . y . z + x . y . x ' + x . y ' . z + x ' . y . z ♦ x . y \ .z ' ♦

•

V -

L a f u n c i S n b o o l e n n a de R ( l u z

H 6t u e

in te r r u p

m a n io b r a .

y sus r e s u lt a d o s .

v i e n e d ad a p o r :

x'.y'.z'

d a d a * p o n R y V son c o * p ¿ e n * e n t a u a ¿ .

iu n iio n u

E l c i r c u i t o de l a fu n ció n

E E l c i r c u i t o de l a fu n c i6 n

X -

y z -

es : y-

0 0 0 O 0 0 0 -----

3 3 -

E s c r ib ir

lo s

núm eros

12,

57,

423

e l

s is te m a

b in a rio .

(J R V -III-I) S

6 /

3 /

12/_2_ 0

Por ta n to ,

12 -

l 1 0 0

57¿_2_ 1

14 0

Por tan to

423

, 57 -

1 1 1 0 0 1

211

105

2 26 0

13 1

P o r t a n t o , 423 -

110100111

o o o O o o o ------

3 - 3 4 . en

e l

L 0

Dados

s is te m a O 0

1 0

O 1

lo s

núm eros

b in a r io ,p a s a r lo s N

1 0 0 0 1( 2 - 1. 2

0 a l

s is te m a

e s c rito s

d e c im a l.

1.26 + 1 .2 2 + 1 - 6 4 + 4 + 1 - 6 9

+ 1 - 1 6 + 1

Tam bién s e puede a p l i c a r l a r e g l a de R u f f i n í . V e a m o s cémo s e ha ce p a r a e l p r i mer número :

2 1 1

1 68

34 /69

3 . 3

5 .

E fe c tu a r

la s

s ig u ie n t e s

sum as e n

e l

s is te m a

1 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1

1 1 1 1 1 0 1

+ 1 1 1 0 1 1

b in a r io :

( J R V - II I - 3 1 S O L O C I O H

: 1 0

1 0 0 0 1

1 1 0

1 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 1 1 1 0

1 0 0 1 0 0 0

o o o O o o o ----

3 . 3 6

, E fe c tu a r

o p e r a c ió n

1 1 0

1 1 1 1

s ig u ie n t e

o p e r a c ió n

base

dos

1 1 0 0 0 1 S O L O C I O N

: 1 1 0

1 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 0

—

3 . 3

E fe c tu a r

e l

o o o O o o o ----

s ig u ie n t e

1 1 0

p ro d u c to

: 1 1 0 x

1 1 0 1 1 0

1 0

1 1 0 1 1 0

1 0

e l

s is te m a

b in a r io :

1 1

x 1 1 0 1 ------------------------S O L O C I O H

1 11

1 1 0 11

1 1 1 1 1

oooO ooo--

(J R V - I I 1 - 5 )

3 . 3 8 tie n e

.D e te rm ín e s e c in c o

e l

m áxim o n ú m ero c u y a

re p re s e n ta c ió n

d e base

c ifra s . I S íL E C T W m

S O L U C I O N

- 1975 - J W - I 1 M

L a s c i f r a s en e l s is te m a b i n a r i o o de base d o s son : 0,1 E l número mayor d e c i n c o c i f r a s en b a s e dos s e r á e n to n c e s : 11111

Se t r a t a de e x p r e s a r e s t e número e n base 10. ! l ! l l (2

- 1.2A + 1.23 ♦ 1 . 2 2 + 1 . 2 * + 1 . 2 ° -

2 + 1

o o o O o o o -----

3 . 3 9 que con de

1 a

in d ic a r

, Se e lla s

desea ob ten er s e pueda

1 5 .H a lla r c u á le s

S O L U C I O N

e l

una c o l e c c i ó n

pesar

c u a lq u ie r

pesas d is t in t a s

c a n tid a d

exacta

ta le s

k ilo s

nú m ero m ín im o d e p e s a s q u e d e b e n a d q u i r i s e

son. :

Como l a s p esa s han d e s e r d i s t i n t a s , b a s t a e x p r e s a r e l número 15 en sis te ma b i n a rio . 15

I I 11(2

P or t a n t o , s e n e c e s i t a una pesa de 8 k i l o s , o t r a d e 4 . o t r a d e 2 y o t r a de 1 E l número de p esa s par a cada uno d e l o s k i l o s d e 1 a 15 v i e n e e x p r e s a d o en e l s i g u i e n t e cuadro: PESAS DE & kg

4 kg

2 kg

APLICACIONES en e l que 6e d i& a v io lla n l o 贸驴 i g u i e n t e 贸 rntU eM as:

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T I P O S DE A P L I C A C I O N E S

C A R D I N A L DE U N

C A R D I N A L E S DE C O N J U N T O S F I N I T O S

C A R D I N A L DE L A U N I O N DE C O N J U N T O S

CONJUNTO

4 . 1 .

C o n s id e re m o s e l

g u ín e o s ,e s lo s

d e c ir,

d is tin to s

gru pos

S O L U C I O N Los d i s t i n t o s c a rtes ia n o

M =

c o n ju n to

{A ,B ,0 ,A B }, de

sangre que

H fo rm a d o p o r sea

N =

lo s

{R h + ,R h ” ) .

pueden

gru pos

san

C a lc u la r

form a r.

(J M M IM I

grupos d e s a n g re v ie n e n dados p or l o s e le m e n to s d e l produ cto

M xN

. E l s i g u i e n t e d ia gra m a en á r b o l nos d a l o s d i f e r e n t e s gru p os

d e s a n g r e y su número :

Hxn

■ Rh4

(A ,R h + )

Rh'

(A , R h ~ )

RhH

(B,Rh+ )

Rh'

(B . R h " )

RhH

(0 ,R h + )

Rh'

(0 , R h ~ ) (AB,Rh+ ) (A B .R h ")

E l número d e g r u p o s d e s a n g r e e s 8 . OOOOOOO-----

4 . 2 . te s ia n o

R ep resen tar del

e je rc ic io

S O L U C I O N

g rá fic a m e n te

a n te rio r

lo s

e lem en to s

del

p ro d u cto c a r (J R V-IV -5 1

Rh (A .R h ‘ 1 ( B . R h ' l i

JO.Rh')

(AB.Rh

Rh' (A,R h j i

(B.Rh J (0 . i

Los pu n tos d e l d iagra m a c a r t e s i a n o v ie n e n dados p o r l a

i n t e r s e c c i ó n de

- r e c t a s p a r a l e l a s p o r l o s puncos d e l c o n ju n t o M tie n e

rectas

a la

r e c t a qu e con

lo s puntos d e l c o n ju n to N

p a r a l e l a s p o r l o s p u n t o s d e l c o n j u n t o N a l a r e c t a qu e c o n t i e n e l o s p u n t o s d e l c o n j u n t o M.

. 3

.D em o stra r

re la c ió n

A* x

S O L U C I O N a)

e q u iv a le n te

A 'x

B es

son

dos

c o n ju n to s

A 'C

nov a c ío s ,la

C B

La r e la c ió n (a , b )

Por ta n to b)

que s i A ' C

A 'C A

B ' *»

a G A'

b £ B '

•

a £ A

b G B

=»

(a .b ) G

B' C

por e s t a r

A 'C A

y B’ C B

A x B

im p lica que

A ' x B'

A x B

R ecíp rocam en te: 1)

Sea

un e l e m e n t o d e A ' , p u e s t o q u e B '

e lem e n to y G B ’

t a l que

y p or c o n s ig u ie n te 2)

Sea un

x G A lo

y un e l e m e n t o d e x

G A'

t a l que

c on s ig u ie n te

(x .y )

B’

A' x

d e donde

que dem u estra que

A 'C

(x ,y ) G

A x B

, p u e s t o q u e A' e s un c o n j u n t o no v a c í o , e x i s t e

(x .y )

y G B

e s un c o n j u n t o n o v a c í o , e x i s t e un

A' x

que dem u estra que

donde B'

( x ,y ) G A x B

y por

C B

o o o O o o o ------

4 .

. D em ostrar B =

e fe c to ,

lu ego

A i

la 0

B j* 0

R ecíp roca m en te,la

B =

e q u iv a le n te

z G A

x B

x G A y x G B

A x B i

s e r l a s p ro p o sion es "A x

B i

mis mo s u c e d e c o n l a

im p lica que

p r^z)

G A

pr2(z )

G B,

re la c ió n

y p or c o n s ig u ie n te Al

re la c ió n

re la c ió n y

S O L U C I O N En

que

n eg a ción d e ó s t a s

im p lica

A i

re la c ió n

B i

, de d on d e s e s ig u e

(x .y )

G A x B,

e q u iv a le n te s,

e l en u n cia do.

o o o O o o o -----4 . s ia n o

5 * de

R ep resen ta r A

S O L U C I O N A x B «

{1 ,2 ,3 }

por

d ia g ra m a B =

fle c h a s

e l

p rod u cto

{a ,b ,c }

{ ( 1 ,a ) ,(1 ,b ) , ( l, c ) , (2 , a ) , (2 ,b ) , ( 2 , c ) , (3 , a ) , (3 ,b ) , (3 ,c )}

y su d i a g r a m a d e f l e c h a s

: A

c a rte

6 s ia n o

D em o stra r

la s

s ig u ie n te s

p ro p ie d a d e s d e l

p ro d u cto c a r t e

A x

(B U C)

■

(A x B)

U (A x C)

A x

(B O C )

(A x B)

n (A x C )

S O L D C I Q H

(J W -IV -3 )

a ) P a r a d e o o s t r a r e s t a ig u a ld a d tendremos que v e r que s e cumple l a d o b l e i n c l u sifin . 1 ) Veamos que

A x (B U C) C (A x B) U (A X

( a . b ) G A x (B U C)

2) Veamos ah ora que (a .b )

G( A

aG A

yb G ( B U C )

a G A

( b G Bo

•

( aGA

b G B) o

( a , b ) G Ax B

( a , b ) G ( A x B) U (A x C)

(A x B) U ( A x x B)

C) C

U (A x C) -

b G C) ( a G A y b G C)

(a ,b )

G A x C

(B U C)

(a .b ) G A

x B o (a .b ) €

( aGA

a G A

( a . b ) G A x (B U C)

y b G B) o ( a G A y

C bGC)

b G B U C

Lue go de l a s d o s i n c l u s i o n e s de 1) y 2 ) se dedu ce l a p ro p ie d ad

b ) L a d e m o s t ra c ió n de e s t a p ro p ied ad e s a n á lo g a a l a a n t e r i o r . 1) Veamos que

A x (B n C )

C ( A x B) O ( A x C)

( a . b ) G A x ( B n C) -

-» ->

aG A

b G B n C

a G A

(b G B

(aGA

y b G B)

(a .b ) G A x B

y y

bGC) (aGA y

y (a .b ) G A

bGC)

x C

( a . b ) G (A x B) n ( A x C) 2 ) Veamos ah ora l a o t r a i n c l u s i 6 n . e s d e c i r , ( A x B) O (A x C) (a .b )

C A x (B H c )

G ( A x B) n ( A x C ) •

(a .b )

G Ax B y

(aGA

■*

a G A

y (b G B

a G A

(a .b ) G A x C

b G B ) y ( a G A y b G C ) y

bGC)

b G B O C

( a . b ) G A x (B O C)

P or t a n t o , de l a s i n c l u s i o n e s demostradas en l o s a p a r ta d o s 1) y 2 ) s e t i e n e l a ig u a ld a d de l o s c o n ju n t o s dados en

b ).

o o o O o o o ----

4 . 7.

Dados

lo s

c o n ju n to s

p a la b ra s

s ig u ie n te s

A =

{T o rm e n ta ,c o c h e ,b a rc o ,c ru s tá c e o ,In g la te rra ,in s e c to ,p é n d u lo )

B =

(R u e d a ,a n c la ,re lo j.re lá m p a g o ,L o n d re s ,m o s q u ito ,c e n to llo ),

se p id e de

A y

e s ta b le c e r lo s

una c o r r e s p o n d e n c ia

ló g ic a

en tre

lo s

S O L U C I O N

e le m e n to s (J R f-IV -9 )

La c o r r e s p o n d e n c i a n a t u r a l e n t r e l o s c o n j u n t o s A y B v i e n e dada p or : A ------------------ f -----------------► B Tormenta

----------------------- ► Relámpago

Coche Barco

Rueda

An cla

—

C ru s tá c e o

--------------------- ►

C en tollo

I n g l a t e r r a --------------------- ►

Lon dres

Insecto

-------------------------►

Mosquito

P éndulo

-------------------------►

R eloj

oooOooo---4, 8.

D e fín a s e

c o rre s p o n d e n c ia

re c íp ro c a

del

e je rc ic io

te rio r.

an-

(J R V -IIM 0 I

S O L U C I O N : S i f e s l a c o r r e s p o n d e n c i a de A en B , e n to n c e s l a c o r r e s p o n d e n c i a r e c í p r o c a f

* v i e n e dada p or : ,-1 A Relámpago

Tormenta

Rueda

Coche

An cla

Barco

C en tollo

--------------------- ►

L on d res

NOTA:

»•

C ru s tá c e o In g la terra

M osquit o

Insecto

R eloj

Péndulo

T a n to ¿a c o v i u p o n d e n d a í como l a c o K A U p c n d e n d a ¿ 1 a l K p U c a d o n tA b| K p l i c a d o n u

¿ n y ic tiv a &

e l K p l i c a d o n u A u p n a y id iv c u d]

A p lic a d o m

b iy c d iv a A .

, y poa ta n to

¿on

4. f

que a s ig n a

Sean

M ■ N =

a cada

e le m e n to

{1 ,2 ,3 ,4 ,5 ).

In (f)

4» )

lm (f)

2o)

F in (f)

5o)

¿Es

3o)

O r(f)

6o)

¿Es

f _1

I o)

su s ig u ie n t e .

d e fin e

C a lc u la r

c o rre s p o n d e n c ia

una a p l i c a c i ó n ? una a p l i c a c i ó n ? . IJ R V -IV -I3 )

S O L U C I O N

, p uesto que e l número 5 no t i e n e imagen e n N

3 o)

O r(f) -

4°)

Im (f)

(1 ,2 ,3 ,4 }

5“ >

f no e s una a p l i c a c i ó n , p u e s to que

6#)

, p u e s to que e l número 1 no t i e n e o r i g i n a l en M

- {2 ,3 ,4 .5 }

tampoco e s a p l i c a c i ó n

O r(f)

In (f)

, ya que e l número 1 € N

no t i e n e imagen en M.

o o o O o o o -----

4 . 1 0 . Sea e l p o n d e n cia m ero

en tre

im p a r

c o n ju n to e l

c o n ju n to

I o)

O rC f) lm (f)

3o )

¿Es

{ 2 ,3 ,4 ,5 , 6 , 7 } .

A y

s i

hacem os c o r r e s p o n d e r

2o)

A =

su m ita d .

c o rre s p o n d e n c ia

S O L O C I O N

m ism o, e l

d e m anera

m ism o y

C a lc u la r

D e fin im o s

cada

que

una c o r r e s a c a d a nú

núm ero p a r

una a p l i c a c i ó n

(J W -IIM 5 I

2 *) Im (f) - {2 ,3 ,5 .7 } 3®) La c o r r e s p o n d e n c i a f no e s una a p l i c a c i ó n ya que que e l número 2 no t i e n e imagen.

O r(f)

I n ( f ) . N óte s e

| |. S e a

{1 ,2 ,3 ,4 ,5 )

{ ( l , a ) , ( l , c ) , (2 ,b ), (3 ,b ), (3 ,c ))

1*)

s ig u ie n te

B = {a ,b ,c ,d ).

res p o n d en c ia

C a lc u la r

y form a

Se d e fin e

cor

In (f)

5 °)

f(l)

2•)

P ín (f)

6 °)

f (5 )

3*)

O r(f)

7o )

f ” 1 (a )

4 °)

Im (f)

8o) ff‘ l { d ) 9o ) . S e

S O L U C I O N

v e rific a

1 f

2 f

i j w

l ( i , l ( e , 2 f b , 3 f b , 3 f c también,

f(l)

- a . f(l)

- c , f<2 ) - b . f (3 ) - b , f ( 3 ) • c

In(f) - A F in (f) • B O r ( f ) ■ { 1 , 2 , 3 ) . N óte s e que e l

1 no t i e n e ninguna imagen

I m ( f ) •* ( a . b . c ) . N óte s e que d no t i e n e o r i g i n a l . f(l)

f(5 )

■

la , c ) 0

, p uesto que e l 3 no t i e n e ninguna imagen.

f ' ‘ (a ) - { ! ) f _ I (d ) -

l í a

e s c i e r t a p uesto que e l 1 e s t á r e l a c i o n a d o con la a

2 f a

en f a l s a p uesto que e l

2 no e s t á r e l a c i o n a d o con l a a. o o o O o o o -----

4 . 1 2 en e l

.D ib u ja

e je rc ic io

un d i a g r a m a c a r t e s i a n o

a n te rio r.

c o r r e s p o n d e n c ia dada

4 . 1 3

.P o n e r

un e j e m p l o

a p lic a c ió n

que

sea

in y e c tiv a

s u p ra y e c tiv a

\JKV-1V-17)

S O L O C I O M a)

p ero

La a p l i c a c i ó n r e p r e s e n t a d a e n e l s i g u i e n t e dia gram a d e Vcnn e s una a p l i c a c i ó n i n y e c t i v a p e r o no s u p r a y e c t i v a . Los números 5 y 7

tien en o r i g i n a l . f

A =

(a ,b ,c ,d ,e )

B =

(1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 1

La s i g u i e n t e a p lic a c ió n

e s i n y e c t i v a p e r o no s u p r a y e c t i v a . S o l a m e n t e l o s cuad rad os p e r f e c t o s t i e n e n o rig in a l. o o o O o o o -----

4 . 1 4 . no

P o n e r un e j e m p l o

de a p lic a c ió n

que

sea

s u p ra y e c tiv a

pero

in y e c tiv a . I J K V - 7 V - 1S)

S O L O C I O M a)

La a p l i c a c i ó n r e p r e s e n t a d a en e l s i g u i e n t e diag rama de Venn e s una a p l i c a c i ó n s u p r a y e c t i v a p e r o no e s i n y e c t i v a , p u e s t o que d y e t i e n e n l a misma ima ge n en B , e l número 4. A

La a p l i c a c i ó n

f: k

n A =

{a ,b ,c ,d ,e l

B =

(1 ,2 ,3 ,4 1

► R+

x ---------- ►

f(x ) -

e s una a p l i c a c i ó n s u p r a y e c t i v a p e ro no e s i n y e c t i v a , p u e s to que f (2 ) - f (-2 )

- 4 o o o O o o o -----

4 . 1 5 .

D e f in im o s

n u m é r ic o s ,ta l es

d e c ir

A v e r ig u a r c la s e

que

f(x ) en

■

cu a l

cada

3x2 de

c o r r e s p o n d e n c ia

e le m e n t o

hacem os

c o n ju n to s

co rre sp o n d e r

3x2-

lo s

s ig u ie n t e s

casos

e s

a p lic a c ió n

qué

: N ---- — ► N

2 °)

3 °)

1 °)

una

Z --- —

: 0

---

4 °)

;

5»)

: N

;

6o)

R \JKV-IV-16)

S O

I o)

L O

I O

L a c o r r e s p o n d e n c i a f no e s una a p l i c a c i ó n p u e s t o que l o s números no t i e n e n im agen e n N . En e f e c t o f(0 )

2 o)

f <1) « - A y

0 y l

l o s nú meros - 7 y - 4 no s on n a t u r a l e s .

L a c o r r e s p o n d e n c i a f e3 una a p l i c a c i ó n ( s i m p l e m e n t e ) . a)

L a im agen d e un número e n t e r o e s un número e n t e r o y además ú n i c o .

b ) E s t a a p l i c a c i ó n no e s i n y e c t i v a f (-1 ) c)

í(l)

, y a que

- -4

No e s s u p r a y c c t i v a . Supongamos q u e e l número 0 f u e s e imagen d e a lg ú n número, e n t o n c e s 3x2 - 7 - 0 y

3o )

7 ^

—

3x2 ■ 7

x2 -

\ '

no e s c u a d r a d o d e n in g ú n número e n t e r o .

La c o r r e s p o n d e n c i a f e s una a p l i c a c i ó n a ) No e s i n y e c t i v a b)

ya que

Tampoco e s s u p r a y c c t i v a un número t a l que

f(l)

(-1 )

, p u e s t o que

x2 - ^

( V e r 2o)

e l o rig in a l ,c ))

del

y x en e s t e

cero sería c a s o tampoco es

un número r a c i o n a l . 4 ®)

La c o rre s p o n d e n c ia

f no e s a p l i c a c i ó n ya que

f(0 )

• - 7 , número que no p e r

tenece a l o s n a tu ra les. 5 °)

A q u í l a c o r r e s p o n d e n c i a e s una a p l i c a c i ó n . E s t a a p l i c a c i ó n e s i n y e c t i v a p e r o no s u p r a y e c t i v a . D e m u é s t r e s e .

6 *)

f es a p lic a c ió n . a ) No e s i n y e c t i v a p o r l a s misma r a z ó n q u e e n 2 " ) . b ) Tampoco e s s u p r a y e c t i v a

, p u e s t o q u e , p o r e j e m p l o e l n ú m e r o -3 4 n o t i e

n e o r i g i n a l e n R. En e f e c t o , 3x2 -

7 - -34

—

3x2 - -

y - 9 no t i e n e r a í z c u a d r a d a e n R .

—

x2 - -9

1 6.

b le c e r

En e l

c o n ju n to

s ig u ie n te "A

cada

¿Es

a p lic a c ió n ? .

¿De

qué

todos

lo s

seres

humanos v a m o s a

c o rre s p o n d e n cia :

ser

humano s e

hace

corresp on der

su m adre"

{JM -1V-22)

c la s e ? .

S O L O C I O H

esta

E s t a c o r r e s p o n d e n c i a e s una a p l i c a c i ó n , p u e s t o que t o d o s e r t i e n e una nadro y s o la m e n te una, y e s t a e s l a c o n d i c i ó n d e a p l i c a c i ó n . a ) E s t a a p l i c a c i ó n NO e s i n y e c t i v a y a que v a r i o s 3 e r e s humanos pueden t e n e r l a misma madre como s u cede r e a l m e n t e . b ) E s t a a p l i c a c i ó n tampoco e s s u p r a y e c t i v a , p u e s t o que l o s hombres ( y m u je r e s no mad res) no t i e n e n o r i g i n a l e n e s t a a p l i c a c i ó n . c ) De a ) y b ) s e s i g u e que tampoco e s b i y e c t i v a . o o o O o o o -----

4.17. fo rm a r

to d a s

Dados la s

S O L O C I O N

e l

c o n ju n to

a p lic a c io n e s

X -

(1 ,2 )

p o s ib le s

e l

c o n ju n to

A -

ír ,s ,t)

X en A.

Las d i s t i n t a s a p l i c a c i o n e s v i e n e n e x p r e s a d a s e n l o s s i g u i e n t e s d ia g ram as de Venn.

4 . 1 8 .S e d e fin e ros te

en teros form a

p id e

e l

c o rre s p o n d e n c ia

c o n ju n to

c a lc u la r

lo s

d el

núm eros

f : Z

-----------►

►

c o n ju n to

n a tu ra le s

lo s

núme

s ig u ie n

n f(x )

I o)

In (f)

4o)

Im (f)

2o)

F in (f)

5o)

¿Es

3o )

O r(f)

6o)

¿Es

f -1

una a p l i c a c i ó n ? una a p l i c a c i ó n ? .

S O L U C I O N : I o)

E l c o n j u n t o i n i c i a l de f e s Z , e s d e c i r ,

2 o)

E l c on ju n to f i n a l de f es N

ln (f)

• Z

3 o)

E l c o n j u n t o o r i g i n a l d e í e s e l c o n j u n t o d e l o s e l e m e n t o s d e Z t a l e s que

, es d e c ir , F in (f) = N

t i e n e n imagen en N. a)

La imagen d e un número n e g a t i v o s e r á n e g a t i v a , y a que

y - (-4 )x

- -4x

P o r t a n t o , l o s números n e g a t i v o s d e Z no t i e n e n imagen e n N. b ) L a imagen d e un número p o s i t i v o e s p o s i t i v o , O r(f) e s d e c i r , e l c on ju n to de 4 ')

f (0 )

■= 0 , f ( l )

luego

- Z+ lo s en teros p o s itiv o s .

- 4 , f (2 ) - 8 , f (3 ) -

12 ,

...

L u e g o , e l c o n j u n t o imagen e s : Im (f)

- {0 ,4 .8 ,1 2 ,1 6 ,2 0 ,2 4 ,2 8 ,...) {x

5 o)

f no e s una a p l i c a c i ó n

6 o)

1 no e s a p l i c a c i ó n

/ x e s p o s i t i v o y m ú ltip lo de 4) p u e s t o que

In (f)

, p u e s t o que

F in (f)

i O r(f) i

Im (f) , y la

i g u a l d a d e s una con

d ic ió n n ecesa ria . o o o O o o o -----

4 . 1 9 . g u ie n te

Sobre

e l

c o n ju n to

c o rre s p o n d e n c ia

lo s

núm eros

: Z X

¿Es

en teros

►

f(x ) =

una a p l i c a c i ó n ? .

S O L U C I O N

d e fin e

1 [JM-1V-27)

f no e s una a p l i c a c i ó n

. p u e s t o que

f(0 )

/ 0 - 7 - / -7

0 no t i e n e imagen e n Z . P or t a n t o , f no cumple l a c o n d i c i ó n d e s e r a p l i c a c i ó n .

£ Z ,cs d e c ir, e l

4 . 2 0

. A

m u n ic ip io s

cada

que

I o)

D e c ir

s i

e s ta

2o )

D e c ir

s i

3o)

C a lc u la r f

p r o v in c ia

E s p a ñ a ,s e

hacen

c o rre sp o n d e r

lo s

in te g r a n . c o r r e s p o n d e n c ia e s

c o r r e s p o n d e n c ia

f " 1 (E lc h e )

c o r r e s p o n d e n c ia

una

a p lic a c ió n .

r e c ip r o c a

f ” 1 (C a rta g e n a )

una

a p lic a c ió n .

f _ I (A v ilé s )

s ie n d o

dada.

[J R l f - 1 1 / - 2 I S O L U C I O N Sean

I o) f

P ■

{x / x

una p r o v i n c i a d e España) ,

M-

{x / x

e s un m u n i c i p i o )

f :

P ------------- ► M

la correspon den cia

no e s una a p l i c a c i ó n , y a que a l t e n e r l a

d ad a. p r o v i n c i a v a r i o s m u n ic ip io s f no

cumple l a c o n d i c i ó n d e a p l i c a c i ó n . 2o) La c o r r e s p o n d e n c ia r e c í p r o c a s í e s a p l i c a c i ó n , p u e s to que a cada m u n i c i p i o l e c o r r e s p o n d e un p r o v i n c i a y s olam e n te una. 3 ")

f - '(E lc h e )

- A l i c a n t e . f " 1 ( C a r t a g e n a ) - M u r c ia .

f _1( A v ilé s )

- A s tu ria s .

se d e fin e

o o o O o o o -----

4 . 2 1

. Sobre e l

c o rre s p o n d e n c ia

c o n ju n to

lo s

núm eros

• R _-_________ ► R x

------------ ►

f(x )

j- 2

-y

¿ES una a p l i c a c i ó n ? . S O L U C I O N f

s ig u ie n te

(J R IM V -2 4 )

e s una a p l i c a c i ó n , p u e s to que no t o d o e le m e n t o d e R t i e n e imagen.

Par a x - 1 l a c o r r e s p o n d e n c i a f no e s t á d e f i n i d a , e s d e c i r ,

e l 1 no t i e n e ima

ge n en R. o o o O o o o -----

4 . 2 2 c ic io

.H a lla r

g rá fic a

c o rre s p o n d e n c ia

dada

en e l

e je r

a n te rio r. | J R V - I V - f 5)

S O L U C I O N

La g r á f i c a de e s t a c o r r e s p o n d e n c i a v i e n e dada e n l a f i g u r a s iigguui ci ón t e : En e l e j e OX s e toman l o s v a l o r e s de x. En e l e j e OY s e toman l o s v a l o r e s de f ( x ) .

El gra fo e s : G - {(x ,f(x )/

f(x ) -

)

4. y

2 3 E(x)

tu ra l

ta l

A n a líc e s e s i

que E (x)

c o rre s p o n d e n c ia

un n ú m e r o

real

E(x).

1 <

x <

d e fin id a

p o s itiv o

por

y E(x)

e x p re s ió n

un núm ero n a

(S E L E C n V IV A D - 1 975- J R V - 1 V - 3 I ) S O L D C I O N

C onsid erem os l o s s i g u i e n t e s segm ento s d e l a r e c t a 0 <

x < 1

entonces

y ■ E (x )

- 1

1 <

x < 2

entonces

y ■ E (x )

■2

2 <

x < 3

entonces

y - E (x )

- 3

3 <

x < 4

entonces

y - E (x )

- 4

n < x < n+1 , e n t o n c e s

y ■ E ( x ) - n+1

P or t a n t o , a ) A c ada número r e a l d e c i m a l y p o s i t i v o

c o r r e s p o n d e l a p a r c e e n t e r a más 1

b ) A c ada número n a t u r a l l e c o r r e s p o n d e e l mismo. Se t r a t a , p u e s , d e una a p l i c a c i ó n

s im p le m e n te , p u e s to que no e s i n y e c t i v a n i su

p ra yectiva . La rep re se n ta c ió n de e s ta a p lic a c ió n es la s ig u ie n t e

4 . 2 4 ¿Es

-S e

c o n s id e ra

una a p l i c a c i ó n

¿Cuál

s ig u ie n te

a p lic a c ió n

de R en R

b iy e c tiv a ?

a p lic a c ió n

S O L D C I O N

re c íp ro c a ? .

Es una a p l i c a c i ó n b i y e c t i v a ya que

a ) Es i n y e c t i v a b)

, f(x)

- f(x ')

2x ■ 2 x '

x - x' Es s u p r a y e c t i v a , dado y ••

E x is t e , por ta n to , a p lic a c ió n re c íp ro c a y es :

x a y /2.

x - ^

4.25.Sean a)

D e fin ir

C o n s tru ir

lo s

(a ,b ,c ,d }y

una a p lic a c ió n

a p lic a c ió n g ra fo s

e x is te ,re s p e c to

B -

A en

B que

re c íp ro c a f

(m ,n ,p ,q )

b is e c triz

sea

b iy e c tiv a .

y observar del

s im e tría

p rim e r c u a d ra n te ,

am bas a p l i c a c i o n e s . S

La a p l i c a c i ó n

que

en tre

|Jf*-IV-3l

dada p or

: f(a )

■ n , f(b )

P . f (c ) - q , f(d )

■

e s e v id e n t e m e n t e una a p l i c a c i ó n b i y e c t i v a . b)

La a p lic a c ió n b i y e c t i v a r e c íp r o c a e s : r l (.)

V«

d , r l (o)

b . f

a . Í ‘ ‘ (P )

■1. (q ) - c

>s a h o r a c u á l e s s on l a s g r á f i c a s d e e s t a s a p l i c a c i o n e s .

S i con sid e ram o s s u p e rp u e s ta s l a s f i g u r a s s e t i e n e l a s i m e t r í a p e d id a :

4 . 2 6 . Se d ic e e x is te

que dos c o n ju n to s A y B son e q u ip o te n te s ,c u a n d o

unaa p l i c a c i ó n

b iy e c tiv a

P ru éb ese que e l c o n ju n to al

que tr a n s fo r m a

un c o n j u n t o e n

l o s núm eros n a t u r a l e s

e s e q u íp o te n te

de sus cuadrados p e r f e c t o s .

S O L U C I O N Sean

otro.

(JRV-IV- 2 0 )

N ■ (0,1,2,3,4,5.6.,

n , ...)

C - { 0 , 1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 5 , 3 6 , . . . , n2 , . . . } S e d e f i n e una a p l i c a c i ó n f d e N en C d e l a s i g u i e n t e manera: : N -----------► C

f ( x ) - X2

X ----------------- ►

a ) f e s una a p l i c a c i ó n f(x )

i n y e c t i v a . En e f e c t o

f(y)

x2 - y 2

■»

x - y

p or s e r números n a t u r a l e s .

b ) f e s s u p r a y e c t i v a . Es e v i d e n t e que t o d o e l e m e n t o d e C t i e n e un o r i g i n a l en N

que e s su r a í z cuadrada.

De a ) y b ) s e s i g u e que N y C s on c o n j u n t o s b i y e c t i v o s y p or t a n t o , e q u i p o t e n tes.

MOTA : Loó c o n ju n to * zqiU p oten teA a N o una pastfe de N ó e lla m a n con/untoó NUMERABLES.

— o o o O o o o ----

4 . 2 7 . Se lla m a c o n ju n to en s i E s c rib ir

la s

m is m o .

Las a p lic a c io n e s ►

b iy e c tiv a s A ------- ►

de A en s i

3 -------

co n ju n to

d a cuando conocem os

(1 ,2 ,3 ) o

tam biü n

123

2 in ic ia l la s

132

d e un

(1,2,3)

son

la s ►

2 ---------3

m ism o

s ig u ie n te s ,

3 --- * 1 , cada

► A

d ife re n te s

, (2 ,1 ,3 )

213

. (2 .3 ,1 ) a

231

23 —

así

, (3 ,2 ,1 )

312

► A

pueden e s c r i b i r

co n fu s ió n

12 ------- * 2

s u s titu c ió n

, (3 ,1 ,2 )

321

queda d e te rm in a

im ágen es d e ca d a a p l i c a c i ó n .

, cuando no hay lu g a r

s ie m p re e l

s u s titu c io n e s

, (1 ,3 ,2 )

m ism o

► A

2 —

la s

b iy e c tiv a

(JRV-1V-19)

2 --------- * 3

tan to,

a p lic a c ió n

Por

toda

de c o n ju n to A -

2 ------

S ien d o e l

(Ta m bién ó e lla m a n p v t m i t a c l o n u )

s u s titu c io n e s

S O L U C I O N

s u s titu c ió n

4 . 2 8 .H a lla r e l en á r b o l, de

p r o d u c t o c a r t e s i a n o , p o r m e d i o d e un d i a g r a m a

lo s co n ju n to s

A = {1,2,3,4}

B =

{p ,q ,r ).

¿C uántos e le m e n t o s t i e n e ? . O L

U C X O N A x8

E l diagram a en á r b o l e s e l s i g u i e n t e :

11. P)

d .q ) (1 . r) 12. p ) 12. q ) 12. r) 13. p) (3 . q) (3 . r) Í4 .p ) ( 4 .q ) 14. 0

E l número d e e le m e n t o s e s :

C a r d ( A x B ) = C a r d ( A ) .C a r d ( B ) ■ 4 . 3 - 12

o o o O o o o ----4 . 2 9 . Ha l l a r en á r b o l,

de lo s

c o n ju n to s

¿C uántos e le m e n to s S O L O C I O H

p r o d u c t o c a r t e s i a n o , p o r m e d i o d e un d i a q r a n a

tie n e e l

A =

{p,q,r)

B «* { 1 , 2 }

, C =

produ cto?.

E l diagram a e n á r b o l e s e l s i g u i e n t e :

{x,y,z}

A x B x C

X V * -X V z X

v z

(P. 1 . >) (P. i. y) (p . 1 . *)

(P. 2. i) ÍP. 2. y) (p . 2 . z) ( q . 1. «O ( q . i . y) (q . i . Z )

(q . 2. x ) (q . 2 . y) (q . 2 . z)

(r.

(r. 1. y) ( r . 1 . z)

* V

1 , x)

( r . 2 . x) Cr. 2. y)

( r . 2 . z)

E l número d e e le m e n t o s e s : Card(AxBxC) = C a r d ( A ) C a r d ( B ) C a r d ( C ) - 4 . 2 . 3 - 24

3 0 .

Dados

d e te rm ín e s e e l ro

lo s

c o n ju n to s

p rod u cto c a r te s ia n o

de e le m e n to s d e e s t e

e le m e n to s

e x is te n te s

A -

(a ,b ,c),

AxBxC

c o n ju n to e s e l

B =

{1 ,2 ),

com pruébese

prod u cto de

lo s

C - ( 1 , 3 , 5,6) sí

núme

núm eros de

cada c o n ju n to .

(S E IE C T M M P -

Par a d e te rm in a r e l p rod ucto c a r t e s i a n o A * B » C

E1 número de elementos d e l c o n ju n to

A »B *C

Í9 7 6 I

, vamos a d i b u j a r un diagrama

4 , cono se deduce d e l d i a g r a -

ma. P or t a n t o . s e t i e n e C ard (A » B * C ) - C a rd (A ) * C a r d ( B ) * C a r d ( C ) - 3 . 2 . 4 - 24

o o o O o o o ----

4 . 3 1 . A v e r i g u a r d e c u á n ta s form a s d i s t i n t a s s e puede v e s t i r un c a b a l l e r o y

que

tie n e

su a r m a r io

4 ch aq u etas

3 p a n ta lo n es

2 pares de zap atos.

(J R V - It '- I)

S O L D C I O N

{ C j ,C2 ,C^,CÍ(}

e s e l conju nto de l a s chaq uetas,

es e l

.P ^ .P j }

co n ju n to de pan talo n es

es e l c o n ju n to de l o s za p atos , en to n c e s e l pro ducto c a r t e s ia n o de i o s t r e s con ju nto s nos da l a s d i f e r e n t e s te r n a s que puede l l e v a r y que son d i s t i n t a s . P or t a n to , Maneras de v e s t i r • { C j . C ^ C y C j * { P t . P j . P j ) * ( Z , , Z 2> N ú m e ro d e m a n e r a s d e v e s t i r

C a r d í t C j . ( ^ . ( ^ . ( ^ D c a r d í C P j , P ? , P 3 ) ) C a r d ( { Z 1 , Z 2»

4 . 3 . 2

=24

o o o O o o o -----

4 . 3 2 . S i C a rd (A )

■ n

y C a rd (B )

= m , c a lc u la r

a que

C a rd (A x B ). S O L D C I O N Sean

A -

ig u a l

U R V -IIM )

: . . . . a^)

B ■ ( b j. b ^ , . . . .b ^ í

dos

co n ju n to s A y B cuyo c a r

d in a l e s n y m resp ec tiv a m e n te . E n ton ces,

A x B ■ { (a ^ ,b j), (a j,b ^ )

...

(a ^ .b ^ )

►

( a j . b j J . í a j . b j ) ............... ( a 2 ,bJ

••• (a y su c a r d i n a l

n elem en tos

m elementos

•••

,b ) , ( a

n i

, C a r d ( A x B) =

,b ,)

. . . . .

m+ m + ? }. + a

,b ) }

►

n o

elem en tos

, ya que hay n f i l a s

y cada

f i l a t i e n e a elementos.

o o o O o o o -----

4 .

3 3 . D em ostrar que

C a rd (A n )

= C a rd (A ) .C a rd ( A ) =

S O L D C I O N Es c o n se cu e n c ia d e l C a rd (A °)

C a rd (A )

(C a rd (A )) n

: e je rc ic io

= C ard (A x A > . . . « A )

a n te rio r •

, y a que

C ad r(A ) . C a r d (A ).

...

C ard (A )

(C a rd (A ))n

4 . 3 4 .S e a n m in a r

= {a ,b ,c }

= {1 ,2 ,3 ,4 }

c o n ju n to s .D e te r

¿C u á n ta s

a p lic a c io n e s

hay

¿C u á n ta s

a p lic a c io n e s

in y e c t iv a s

S O L O C I O H a)

dos

hay

B ?.

Una a p l i c a c i ó n f de A e n P e ro

B ?.

B queda d ete rm in ada p or l a te r n a ( f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) }

{ f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) } € B*B*B , l u e g o habra t a n t a s a p l i c a c i o n e s cuantos

e le m e n t o s te n g a e l c o n j u n t o

B*B*B.

P or o t r a p a r t e , C ard (B*B *B ) ■ C a r d ( B ) . C a r d ( B ) . C a r d ( B ) * 4 . 4 . 4 - 64 Luego e l número de a p l i c a c i o n e s e s 64. b)

Veamos ahora e l número de a p l i c a c i o n e s i n y e c t i v a s d e A en B. 1) L a imagen d e a , f ( a )

, puede s e r c u a l q u i e r a d e l o s e le m e n t o 1 , 2 , 3 , 4

L uego, t i e n e 4 p o s i b i l i d a d e s . 2) La imagen de b , f ( b )

, puede s e r c u a l q u i e r a d e l o s e le m e n t o s 1 , 2 , 3 , 4

con l a c o n d i c i ó n d e que f ( a ) Luego, f ( b )

f(b )

, p or s e r f

in y e c tiv a .

tie n e t r e s p o s ib ilid a d es

3) F i n a l m e n t e , e l e g i d a s l a s imágenes f ( a )

y f(b ),

f(c )

, t i e n e únicamente

d o s p o s i b i l i d a d e s , p uesto que f e s i n y e c t i v a . P or t a n t o , e l número de a p l i c a c i o n e s i n y e c t i v a s e s : 4 . 3 . 2 ■ 24

o o o O o o o ----

4 .

3 5 . D e m o s tra r q u e s i lo s

n e le m e n to s

r e s p e c tiv a m e n te ,

e n to n c e s

e l

fin ito s n ú m e ro

t ie n e n

a p lic a c io n e s

m y de

d e c ir , C a r d íA

S O L U C I O N

c o n ju n to s

----►

(JRV-IU-29)

Una a p l i c a c i ó n a p l i c a c i ó n f d e A en B queda d ete rm in ada p or m -pla

( f ( a j ) , f ( a 2) , f ( a 3) , . . . siendo Pero

A ■

{a j.a 2 .a j,

...

( f ( a j ) , f ( a 2) , f ( a 3) ,

, aB > ...

, f ( a m) )

B . B x B x ? ! . xB , l u e g o habra ta n ta s

a p l i c a c i o n e s c u an tos e le m e n t o s te n g a e l c o n j u n t o Por otra*p arte, de donde ,

, fíaj)

Card (B x B x

x .**

B xB xB x

x B) = ( c a r d ( B ) ) “ -

C ard íA — ^ B )

o o o O o o o ----

xB n"

4 -

Sea

c o n ju n to

e le m e n t o s .D e te r m in a r f in ir

A - W

c o n ju n to so

* B*

B "

n de

L a im a g e n d e a ( s e p u e d e e l e g i r

E le g id a

im agen d e 3 j

d i f e r e n t e s y a que

( b , , b 2 > . . . , b n) .

es in y e c t iv a entonces

E le gid a s la s

d e

pueden

N ó t e s e q u e s i una a p l i c a c i ó n

ín y e c t ív a s

[JW -1 V -2 9 ]

.A j

m e le m e n to s

a p lic a c io n e s

S O L O C I O N Sean

c u á n ta s

m <

d e n m aneras d i s t i n t a s .

, l a im a g e n d e a 2 s e p u e d e e l e g i r d e ( n - 1 ) m aneras

f(a t) i

im á g e n e s d e

f ( a 2>

s ien d o

0 j,a 2, la

la a p lic a c ió n

im a g e n d e a ^ s e puede e l e g i r

de (n -2 )

m aneras d i f e r e n t e s .

• ••

•••

P r o c e d i e n d o d e l a misma m anera p a r a l o s r e s t a n t e s e l e m e n t o s d e A , s e fin a lm e n te n)

im á g e n e s d e a j , a 2

(n - m +

P o r canto

tie n e

E le g id a s la s de

•••

aR l

l a im a g e n d e aR s e p u e d e

to m a r

m aneras d i s t i n t a s .

Número d e a p l i c a c i o n e s i n y c c t i v a s d e A e n B - n ( n - l ) ( n - 2 ) .

...

(n-nr+1)

o o o O o o o ----

4 . 3 7 . m io s

¿D e

d is tin to s

n in g u n o

S O

L O

c u á n to s

e n tre

e llo s

I O

m odos

d if e r e n t e s

A b e la r d o ,B a s ilio

r e c ib a

lo s

dos

pueden

.C a r m e lo

r e p a r tir

D a v id

m odo

p re

que

p r e m io s ? .

E l p r o b le m a q u e d a r á r e s u e l t o s i c a l c u l a m o s e l número d e a p l i c a c i o n e s d e l c o n ju n to de prem ios o o s s eñ alad o

dos

P ■ J p j’ P jí

en e* c o n ju n t o

la s p erson as con la s i n i c i a l e s

E l d iagram a en á r b o l e s

in y c c tiv a s

Q ■ | A , B , C , d | , d o n d e he

d e l o s no m b res.

Húnvw d i M p a x to b • 12 B -A

4 . 3 8 . c a rd in a l

Sea de

rf'(U)

S O L D C I Q H

co n ju n to

f in it o

c a rd in a l

D em ostrar

que

e l

= 2n .

La dem ostra ció n de e s t e teorema s e puede ha ce r p or v a r i o s cam in os .A qu í s e demues t r a p or t r e s métodos muy c o n o c id o s . 1) METODO DE RECURRENCIA S i c a r d ( U ) - 0 , en to n c e s

U * 0

Í>(U) - { 0 } . P or ta n to c a r d ( f ( U > ) - 2° -

S i c a r d ( U ) • 1, en to n c e s

U ■ (0 } y

Í’ (U) ■ { 0 , ü }

c a r d ^ í U ) ) ■ 2* -

Supongamos que s i c a r d ( U )

" n-1

c o n ju n to U de c a r d ( U ) • n

, x 6 U, I T e l com ple m enta rio d e { x ) y A c ü.

en to n c e s c a r d ( P ( U ) ) ■ 2n * . Sea ahora un

A no c o n t i e n e a { x } , e n to n c e s

A y A ' son dos p a r t e s de U c on te n ie n d o a { x } t a l e s que

ces

A e s una p a r t e de U'

c o n t i e n e a ( x ) , A - { x ) e s una p a r t e de U

A - {x } i

A i A'

, e n to n

A ' - fx ).

De a q u í s e deduce que , c a r d í ^ O » ) - 2 .ca rd ( (ü * )) - 2 .2 "-1

•

- 2n 2 ) METODO DE LA FUNCION CARACTERISTICA Se t r a t a de d e f i n i r una b i y e c c i ó n d e l c o n ju n to f ( U )

£ (U ;{ 0 . i })

de la s

a p l i c a c i o n e s de U en { 0 , 1 } . Loa a p tic a c io n e ¿ d e U en

{ 0 , 1 ) ¿ e H orra n (¡u n c io n e t c a A a c t e A l& t ia u .

Es tas fu n c io n e s s e d e f i n e n a s í : A to d a p a r t e A de U s e l e a s o c i a l a fu n c ió n

f ^ de

£ (U ; { 0 , 1 } )

( s e llama

en to n c e s (¡u n ción ceu ta cX eA ÍA tica de A ) d e f i n i d a p o r :

La a p l i c a c i ó n

f de

par a t o d o elem ento

fA(x ) - 1

x € A

f A (x > " 0

x f A

f * ( U ) en e l c o n ju n to A

<P(U)

£ (U ; { 0 , I } )

es una b i y e c c i ó n .

d e f i n i d a p or

f ( A ) - f.

(Hágase)

Se t i e n e , c a r d ( f ( l » ) - card( £ ( U ; { 0 , 1 ) ) ) ya que é s t e e l número de a p l i c a c i o n e s de

- 2°

U en { 0 , 1 } .

3 ) METODO DE NEWON Los subcon ju nto s de U de 0 elem entos

son :

0 . Su número es

El número d e subcon ju nto s de 1 elem ento e s : ...

,de

n-1

s e r á ( n° , j y f i n a l m e n t e de

( ; ) ♦ ? ; ) P or t a n t o ,

♦ (;)♦■••♦

c a r d ( f ( 0 ) ) - 2n

;

de do9 ele m entos : ^ " J

será£“ ) .

(„:.)♦ (:)- * •

4 . 3 9 . fe re n c ia

c o n s id e ra n

U fin ito .

B y

C se

re la c ió n

v e rific a

C a rd (B )

[ 1 ] d em ostrar

s on s u b c o n j u n t o s Por o t r a p a rte

que

C a rd (A

para

tres

(1 ]

s u b c o n ju n to s

C a rd (A )

C a rd (A

n B)

C a rd (B )

C a rd (A

O B O

C a rd (C )-

C a rd (A n C )

C a rd (B n C )

12 1

A y B d e U sabemos que A - B , A n B , B - A

se t ie n e : -

B) U ( A

B ) U (B - A)

A -

( A - B) U ( A

B - (B

- A ) U (A

d e d o n d e , s i c o n s id e r a m o s s u s c a r d i n a l e s , r e s u l t a

C a r d ( A u B)

- C ard (A -

B) + C a r d ( A D B ) + C a r d (B

C ard (A)

- C ard (A -

B ) + C a r d ( A n B)

C ard (B )

.- C ard(B -

A ) + C a r d ( A O B)

S u s t itu y e n d o en ( 5 1

C a r d ( A U B)

[3 1 lo s v a lo r e s de res u lta

- A)

(

3 J

[4 1 I

C ard (A -

5 1

y C a rd (B

- A ) ob ten id o s

- C a r d ( A ) - C a r d ( A n B) + C a r d ( A

B) + C a r d ( B ) - C a r d ( A n B)

- C a r d ( A ) + C a r d ( B ) - C a r d ( A O B) b ) D em ostra ción de l a C ard (A U B U C )

fórm u la 12 1

- C a r d ( ( A U B) U C) - C a r d ( A U B) + C a r d ( C ) - C a r d ( ( A U - C ard (A )

C ard (C )

B) n C)

C a r d ( B ) - C a r d ( A O B) +

- C a rd ((A

- C ard (A )

H C ) U (B D C ) )

C a r d ( B ) + C a r d ( C ) - C a r d ( A n B)

- Card ( A n C) - C a r d (B H C )

C a r d ( A n B O C)

- - - o o o O o o o ------

tra r

De m a n e ra

que

C a rd (A

para

cu atro

u B u C u D)

C a rd (A O B )

d i s j u n t o s como s e v e ta m b ié n e n e l d ia g r a m a d e Venn.

A U B - (A

NOTA :

fórm u la ( 1 |

Dados l o s s u b c o n j u n t o s

c o n ju n to

D em ostración de l a

de (4 1

B del

r e la c ió n

u B u C>

C a rd (A

S O L U C I O N

s u b c o n ju n to s que

u B) = C a rd (A )

C a rd (A A p lic a n d o

lo s

D em o stra r

a n á lo g a

= C a rd (A )

C a rd (A n c )

C a rd (C

n D)

C a rd (A

n C n D)

C a rd (A +

a l

e je rc ic io

s u b c o n ju n to s

+ C a rd (B )

C a rd (A n o ) b n

C a rd (B

n C O

)

A ,B ,C

se D

+ C a rd (C ) C a rd (B

C a rd (A b

e n te rio r

n b

C a rd (A

dem os—

c u m p le

+ C a rd (D )-

n C) n D)

puede se

C a rd (B

n B O C O D ).

n d)

4 .4 0 .E n llo s

F ilo s o fía , y

una U n iv e r s id a d

2300 m a tr ic u la d o s 1200

F ilo s o fía ,

tu ra s .L o s

en M a te m á tic a s

300

a lu m n o s

vez,

Para

c o n fe c c io n a r

saber

de o tra s

E c o n o m ía

pueden

la s

supone que

E c o n o m ía ,

F ilo s o fía

d is tin ta s

fic h a s

la s

hay

4000

1700 e n

m a tric u la r

a s ig n a tu ra s

de de

715 en

50 e n

la s

v a ria s la s

a lu m n o s .D e e -

E co n o m ía

1850 en

M a te m á tic a s tres

a s iq n a -

a s ig n a tu ra s

c ita d a s .

d is tin ta s

a s iq n a tu ra s

desea

C u án tas

hay

que

C u án tas

son

n e c e s a ria s

C u á n to s a lu m n o s tas

en M a te m á tic a s ,

encargar

en tre

para

M a te m á tic a s

la s

hay que

le s

hay qu e

s o lo

tres

E c o n o m ía .

a s ig n a tu ra s .

corresp on da

n in g u n a

fic h a

de é s

a s ig n a tu ra s .

C u á n to s a lu m n o s

C u ántos

S O L O C

tie n e n

. O»

una

ten ga n

s o la

fic h a

a s ig n a tu ra

d e M a te m á tic a s . de

la s

c ita d a s .

IJM M -III

C onsid erem os e l d ia g ra m a a d j u n t o . M •

{ x / x e s t á m a t r i c u l a d o en M a t e m á t ic a s )

E -

{ x / x e s t á m a t r i c u l a d o e n Economía)

P ■

{x / x e s t á m a tricu la d o en F i l o s o f í a )

U -

{x / x e s t á m a tr ic u la d o en la U n ivcr sid a d )

A n tes de c o n te s t a r a la s preguntas va mos a c a l c u l a r e l c a r d i n a l d e c ada uno d e l o s s u b c o n j u n to s e n que M,E y F d i v i d e n a U. En l a f i g u r a e s t á n s e ñ a la d a s l a s 8 r e g i o n e s que i n d i c a n e s t o s sub con ju n tos d is ju n t o s . 1)

R e g ió n 1 : Son l o s alumnos m a t r i c u l a d o s e n l a s t r e s a s i g n a t u r a s y s e t i e n e CardíM n

n F) -

R e g i ó n 2 : Alumnos m a t r i c u l a d o s s o l a m e n te en M a te m á tic a s y Economía , 1200 - 50 - 1150

R e g i ó n 3 : Alumnos m a t r i c u l a d o s s o l a m e n te e n M a te m á tic a s y F i l o s o f í a

R e g i ó n 4 : Alumnos o a t r i c u l a d o s s o l a m e n te e n Economía y F i l o s o f í a

715

300 5)

- 50 -

- 50 ■

665

250

R e g i ó n 5 : Alumnos n a t r i c u l a d o s s o l a m e n te e n M a te m á tic a s , 2300 - 665 - 1150 - 50

•

435

R e g i ó n 6 : Alumnos m a t r i c u l a d o s s o l a m e n te e n Economía , 1700 -

1150 - 50 - 250

250

Región 7 : Alumnos m a t r i c u l a d o s s olam e n te en F i l o s o f í a

R e g ió n 8 : Alumnos m a t r i c u l a d o s e n a s i g n a t u r a s d i s t i n t a s a l a s dadas ,

1850 - 665 -

50 - 250 - 885

4000 - 435 - 1150 - 50 - 665 - 250 - 250 - 885 - 315 Con e s t o s d a t o s l a c o n t e s t a c i ó n a l a s p re g u n t a s e s in m e d ia ta : a ) Número de alumnos e n t r e M atem átic as y Economía : 435 ♦ 1150 + 50 + 665 + 250 + 250 - 2800 b)

Número d e alumnos m a t r i c u l a d o s en 2800 +

885 - 3685

(2800 m a t r i c u l a d o s en M atemáticas y Economía)

Número de alumnos no m a t r i c u l a d o s 315

l a s t r e s a s ig n a t u r a s :

e n e s t a s a s ig n a t u r a s :

(v ía s e 8 ))

d ) Número d e alumnos m a t r i c u l a d o s s olam e n te en M ate m átic as : 435 c)

(v ía s e 5 ))

Número de alumnos m a t r i c u l a d o s s olam e n te e n una de l a s a s i g n a t u r a s dad as: 435 + 250 + 885 - 1570

(véase

, 6) y 7 ) )

o o o O o o o -----

4.41. tic a s

En una e s c u e l a

271,

F ís ic a

204,

M a te m á tic a s y

F ís ic a

hay

m á tic a s

y Q u ím ica

¿ C u á n t o s a lu m n o s

Card(M

en F ís ic a

519 a lu m n o s , sabe

y Q u ím ic a

e n M atem á

ta m b ién q u e hay

95 y e n M a te

168. a

vez

en M a te m á tic a s ,

F ís ic a

(J R V -l-ff)

- (x/

e s t u d i a M a te m á tic a s )

F■

(x/ x estu dia F í s i c a )

0■

í x / x e s t u d i a Quím ic a)

P or o t r a

319.

S O L O C I O N

55,

Q u ím ic a

hay m a tric u la d o s

y Q u ím ic a ? .

Sean :

s e han m a t r ic u la d o

p a r t e , e n e l e j e r c i c i o 1.

s e ha v i s t o que

U F U Q ) = Card(M ) + C a r d ( F ) + C ard(Q) Card(M O F) - Card(M H

_ C a rd (F H q ) +

Card(M O F O Q) y s u s t i t u y e n d o en e s t a fórm u la l o s d a t o s d e l pro blema r e s u l t a 519

- 271 + 204 + 314 - 55 -

168 - 95 + Card(M D F n q )

= 769 - 318 + Card(M O F O Q) «* 471 + Card(M O F H Q) d e donde ,

Card(H O F O Q)

■ 519 - 471 »

P or t a n t o , hay 48 alumnos m a t r i c u l a d o s a l a v e z en M ate m ática, F í s i c a y Ouímica.

4 . 4 2

que

beben

que

hom bres

que

una

hom bres

que

beben

re u n ió n

n i

por el

lo s

que

m ás

co n ju n to

lo s

fo rm a d o

q u e no beb en ,

hom bres

que

fig u ra

y el

en t o t a l

lo s

ju n to s.

A s f.p o r es e l

Se tie n e

por

c a rd (l) ♦

que

fu m an

hay

del

m enos

m u je re s no

beben

m u je re s

fu m a n .

co n ju n to

que beben e s d is ju n t o

co n ju n to

l o s q u e no

fo rm ad o p o r

I0 9 que

del

fo rm a d o

por

l a s mu

c o n j u n t o fo rm a d o

fum an e s d i s j u n t o

con

fu m an . lo s

co n ju n to s a n te r io r e s

sus in

8 co n ju n to s d is ju n to s .

s e h a numerado l a s

man,

m u je re s ,m á s

que

beben

hom bres e s d i s j u n t o por

HOMBRES

■En l a

m u je re s

fu m a n .D e m o s tra r

s i g u i e n t e d ia g r a m a d e Venn s e m u e stra n

te rs e c c io n e s ;

que

(OLIMPIADA MATEMATICA)

c o n ju n t o fo rm ad o p o r

En e l

n i

hom bres

E l c o n ju n t o fo rm ad o p or el

m ás

fu m a n ,y

beben

fu m an

S O L U C I O N

jere s;

que

hay

e je m p lo ,

co n ju n to de

r e g io n e s que

in d ica lo s

MUJERES

r e p r e s e n t a n en d n uno d e

co n ju n to de

lo s

8 con

hom bres que beben y no

hom bres que no beben n i

fu m a n ,

etc.

tan to,

c a rd (II)

♦ c a rd (Ill)

c a rd (lV )> c a rd (V )

ca rd (V )

c a rd (V l)> c a rd (lll)

ca rd (V I)

♦ c a rd (V II)

4 c a rd (V IIl) ca rd (IV )

c a rd (V Il) > c a r d (ll) Sumando e s t a s d e s i g u a l d a d e s m i e m b r o a m i e m b r o y s i m p l i f i c a n d o c a rd (I) donde

V III

, como a o ha d i c h o

es e l

se tie n e

c a rd (V IH )

, c o n j u n t o d e h om b re s q u e b e b e n y n o fuman y

c o n ju n to d e m u je res n i beben n i

fu m an .

o o o O o o o ------

4 . 4 3 ram o

-E n la

p in te ro s ; 4

c o n s tru c c ió n .

fo n ta n e ro s p id e

a )

¿C u án tos ¿A

de 13

c o lo c a c ió n son

o fre c e n

a l b a ñ i l e s , 13

ó s to s

tie n e n

c a rp in te ro s

que

se r

a lb a ñ ile s

p u esto s

fo n ta n e ro s a lb a ñ ile s

d e l ca r

fo n ta n e ro s ,

c a rp in te ro s .

: tie n e n

cu á n ta s

puede

o fic in a

adem ás,

una

que

s e r

la s

person as

que

s o lo

o fr e c e r

e m p le o ?

tr e s

cosas

ten ga n

e l

vez?

o f ic io

a lb a ñ il

le s

¿ C u ín ta s pero

p erson as

r e q u ie re n

que

sean c a r p in t e r o s

a lb a ñ ile s

fo n ta n e ro s ?

S O L O C I O B Sea

A - (a lb a ñ ile s ) F - {fon ta n eros) C - (c a rp in te ro s )

C a r d ( A n F n C ) - 29 ; C a r d (A n F ) - 6

;

C a r d ( A ) - 13

C ard (F n C) - 4

; C a r d ( F ) - 13 ; ;

C a r d (C ) - 15

C a r d (A n C ) - 5

P o r o t r a p a r t e s e sabe que : C a r d (A U P U C) - C ard ( A ) + C a r d ( B ) + C a r d ( C ) C a r d ( A n F ) - C a r d ( A O C) - C a rd (C n P> + C ard (A n P f l O S u s t it u y e n d o s e t i e n e : 2 9 - 1 3 + 1 3 + 1 5 - 6 - 4 - 5

+ C a r d (A n p f l c )

Card ( A n p n c ) ii)

Sea

X -

d e donde ,

• 3

(s o lo a lb a ñ iles )

C a r d ( X ) - Card ( A ) - C a r d ( A O F ) - C a r d (A n C) + C a r d ( A n p n c )

iii)

Sea

1 3 - 6 - 5 + 3

Y -

( c a r p i n t e r o s y a l b a ñ i l e s p e r o no f o n t a n e r o s )

C a r d ( Y ) - C a r d ( A O C) -

5 -3

C a r d ( A n F O C)

o o o O o o o -----

4 . 4 4 que

•E n un g r u p o d e

e s tu d ia n

m a te m á tic a s ,

tu d ia n m a te m á tic a s y Se a) b) c)

q u ím ic a , p id e

200 a lu m n o s d e

120

fís ic a

90 q u í m i c a ;

f í s i c a , 30 m a t e m á t i c a s

fin a lm e n te

la s

tres

s e le c tiv o

hay

adem ás

q u ím ic a ,

70 a lu m n o s 50 e s fís ic a

a s ig n a tu ra s .

¿Es c o r r e c t a

l a in fo rm a c ió n

s i

to d o s

e s tu d ia n

¿ C u á n to s a lu m n o s e s t u d i a n m a t e m á t ic a s o ¿C u án tos

a lu m n o s

no e s t u d ia n

n in gu n a

¿C u án tos

a lu m n o s e s t u d i a n a l

¿ C u a fito s

a lu m n o s e s t u d i a n f í s i c a

S O L O C I O W

fís ic a ? .

a s ig n a tu ra

a lu m n o s e s t u d i a n m a t e m á t ic a s o m enos

a l g u n a de la s tre s?

la s

dadas?

q u ím ic a ?

a lg u n a

la s

tres?

q u ím ic a ?

E l s i g u i e n t e diag rama de Venn

m uestra l a s 8 r e g i o n e s en que t r e s c o n j u n t o s

d i v i d e n a l c o n j u n t o u n i v e r s a l U < - c o n j u n t o d e alumnos d e s e l e c t i v o ) a)

S i to d o s l o s e s t u d ia n t e s cursan s o l o es asign atu ras

l a i n f o r m a c i ó n e s f a l s a ya

C a r d (M a t e m á t ic a s U F í s i c a U Q u ím ic a ) ■ - 70 + 120 + 9 0 - 5 0 - 3 0 - 4 0 + 2 0 -

180

que no e s e l número t o t a l de alumnos. S i no imponemos e s t a c o n d i c i ó n hay 20 a no s que no e s t u d i a n e s t a s a s i g n a t u r a s . b)

C ard (M U F ) - Card(M ) + C a r d ( P )

Lo hemos v i s t o y a : 20 alumnos

Card(M U Q) - Card(M ) + C a rd (Q )

La c o n t e s t a c i ó n v i e n e dada en

C a r d ( F U Q) - C a r d ( F ) + C a r d (Q )

- Card(M n F )

- 70 + 120

- 50 - 140

- C ard (M O Q)

- 70 + 90

- 30 - 140

: 180 alumnos - C a r d ( F n Q)

- 120 + 90

- 40 - 170

o o o O o o o ----. En e l m enores

que

c o n ju n to d e c ir

1000

S O L O C I O H

A n B

to d o s

núm eros

lo s

hay que

; B ■ {m ú ltip lo s de 5)

- {m ú ltip lo s

núm eros no son

de 3 y 5 }

;

- { m ú l t i p l o s de

m ú ltip lo s

15}

■ (m ú ltip lo s

de 3 y 7}

■ {m ú ltip lo s de

21}

Bn C

* {m ú ltip lo s

de 5 y 7}

■ (m ú ltip lo s de

35}

A n Bn C

■ {m ú ltip lo s

de 2 ,5 y

7} ■ { m ú l t i p l o s de 105}

C ard (A)

n a tu ra le s

C - { m ú l t i p l o s d e 7}

AD C

( A U B U C)1 * a)

cu án tos

por

Sean A = { m ú l t i p l o s d e 3 Í entonces

fo rm a d o

( n o m ú l t i p l o s de 3 n i d e 5 n i d e 7 . }

999/3 - 333

ya que 999 e s e l Ú lt im o m ú l t i p l o d e

1000

C ard(B ) -

995/5 - 199

ya que 995 e s e l ú l t i m o m ú l t i p l o d e

1000

C ard(C ) =

994/7 - 142

y a que 994 e s e l ú l t i m o m ú l t i p l o d e

1000

De una manera a n á l o g a s e c a l c u l a n l o s c a r d i n a l e s s i g u i e n t e s : C a r d (A O B) = 66

;

C a r d ( A n C) - 47

;

C a rd (B O C)

=28

C a r d (A H B H C ) = 9 b)

E l c a r d i n a l d e l a unió n d e l o s t r e s c o n j u n t o s e s : C ard (A U B U C )

■

333 +

199 + 142 - 66 - 47 - 28 + 9 - 542

E l c a r d i n a l d e c o n j u n t o c o m p le m e n ta r io que no s da e l número d e números no m ú l t i p l o s d e 3 n i d e 5 n i d e 7 C a rd ((A U B U C ) ' )

es :

■ 999 - C a r d (A U B U C) - 999 - 542 - 457

4 . 4 6 se

.S e

lla m a

rep resen ta

d is ta n c ia

por d ( X , Y ) ,

en tre

dos

c o n ju n to s

n llm ero d e

fin ito s

e lem en to s d e

X e

su d ife r e n c ia

s im é tric a . D em o stra r que v e rific a

que

para

c u a le s q u ie ra

que

sean

lo s

c o n ju n to s

A ,B

y C,

: d (A ,C )

d (A ,B )

+ d (B ,C ) (S E LE C T1 V W M -1976)

S O L U C I O H

d ( X , Y ) = número de e le m e n t o s d e su d i f e r e n c i a s i m é t r i c a

P or o t r a p a r t e , s e

= C ard(X

ha demostrado en e l e j e r c i c i o 1 . 4 1 . l a A A C

A Y)

s ig u ie n te rela ciú n

C ( A A B) U (B A C)

p ar a c u a l e s q u i e r a c o n ju n t o s A,B y C. De a ) y b ) s e s i g u e que : C a r d ( A A C ) < C a r d ( ( A A B) Ü ( B A C ) ) - C ard (A A B) + Card (B A C) - C a r d ( ( A A B) O (B

A C)

< C ard íA A B) + Card (B A C) es d e c i r ,

d (A ,C ) < d (A ,B ) +

n in g u n o d e to ta l,d e

lo s

B ,1 a

d é cim a

c o n ju n to s

c u a le s

tercera p arte

S O L O C I O B

B y C s a b ie n d o que

tercera

p arte lo a

d (B ,C )

p a rte

C ,la

hay

p erten ecen

q u in ta

p arte

a A ,la

a cada

tres.

N e le m e n to s

par

tercera de

en par

e llo s

IS IirC n irtW » -

19761

Sabemos que s e v e r i f i c a

la sigu ien te rela ciú n :

C ard íA U B U C )

C a rd (A ) + C a r d (B ) + C a r d (C ) C ard (A O B) - C ard (A n C) - Card (B f t C) + C ard íA n B n C)

su stitu yen do se t i e n e : Card(AUBUC)

- *

+ |

+ f

un - 5 3 -- H(1 P or t a n t o , sien d o

„ C ard íA U B U C ) ' N - Í

C ardíA U B U C )

+ +

1 iq

■

s -j-

n ( t2

+r 1 \ . - 735N - - — N + e>

e l número d e e le m e n t o s que no p e r t e n e c e n n i a A , n i

4 . 4 8 está tín

. En

un c u r s o

m a tric u la d o

, G rie g o y

33 a lu m n o s , ¿C u á n tos

a lu m n o s

m en te?. ¿P o r

S O L U C I O N

d o s ,y

hay

s o lo

40 en

a lu m n o s ,c a d a dos,

la s

uno de

lo s

a s ig n a tu ra s

c u a le s de

A ra b e ,s e sab equ e

enL a tín hay

queenG r ie g o h a y

m a t r i c u l a d o s e n t o t a l 33a lu m n o s .

hay

qué?.

donde

m a tric u la d o s

Hacer

un d i a g r a m a

L a tín de

m a tric u la d o s en t o t a l

G rie g o

s im u ltá n e a

Venn.

(S E lE e n W W ® I975-M

aMd)

1 ) C o n s id e r e m o s p r i m e r o e l d ia g ra m a d e Venn d e l a f i g u r a a d j u n t a . L d esig n a

c o n j u n t o d e lofe

alum nos m a t r i c u l a d o s en L a t í n

C d esig n a

c on ju n tode l o s

alum nos m a t r i c u l a d o s e n G r i e g o y

A d esig n a

c on ju n tode l o s

alum nos m a t r i c u l a d o s e n A r a b e ,

- c a rd (L O

= c a rd (L H

- card (G H

L o s demás s u b c o n j u n t o s s e ñ a l a d o s e n e l d ia g ra m a d e Venn s on v a c í o s s e gú n l a s c o n d i c i o n e s d e l p r o - j b lem a. 2 ) Se t i e n e p o r t a n t o e l

s ig u ie n t e sistem a de ecu acion es

x + y + z ■ x + y x

- 33 + z -

R e s o lv ie n d o e l sistem a se o b tie n e x - 26

y D 7

: z = 7

3 ) E l número d e alum nos m a t r i c u l a d o s s i m u l t á n e a m e n t e e n G r i e g o y e l L a t í n e s 26.

o o o O o o o -----

COMBINATORIA en

t í que ó e d t& a n n o tla n la & 6 ¿g iU trU t6 rrateA ieu '•

VARIACIONES SIN REPETICION

FACTORIALES

PERMUTACIONES SIN REPETICION

C O M B I N A C I O N E S SIN R E P E T I C I O N

NUMEROS COMBINATORIOS

V A R I A C I O N E S CON R E P E T I C I O N

PERMUTACIONES CON REPETICION

COMBINACIONES CON REPETICION

5*"1-

Hallar x

la s i g u i e n t e e c u a c i ó n

Vx , 4 =

2 0 ’ Vx , 2

<* >

: 3) ( JRV-1/-6:

S O L O C I V

. x , **

son l a s v a r i a c i o n e s d e x e le m e n t o s tomados d e 4 en 4.

V x, 2

son l a s v a r i a c i o n e s de x e le m e n t o s tomados d e 2 en 2

E nto nces :

. x,4

x ( x - l ) (x -2 ) (x -3 ) ~

„ x,2

■= 20. x ( x - 1)

(x -2 )(x -3 )

*■*

20. V

, s i m p l i f i c a n d o p or

- 20

x 2 - 5x + 6

•

x 2 - 5x - 14

, h a cie n d o o p e r a c io n e s

» 0

, r e s t a n d o 20

Y r e s o l v i e n d o l a e c u a c ió n d e segundo g r a d o , r e s u l t a x

5 i / IT T IT -----------------------

x (x -l)

5 ± /8T

5 i 9 -

- x ’

De l a s dos s o l u c i o n e s s o l o e s v á l i d a

: , 7 .x

- -2 2

x ■ 7 , ya que x e s e l c a r d i n a l d e un con

ju n to. o o o O o o o -----

5 . 2 .

R e s o lv e r

Vx ,3

s ig u ie n te =

e c u a c ió n

2 4 *C x - 2 , 2

: 3)

> 3 >

I J KV-V-2 S O L U C I O N -

x, 3

son l a s v a r i a c i o n e s d e x e le m e n t o s tomados de 3 en 3.

Cx _ 2 ^ son l a s com bin aciones de x - 2 elem entos tomados de 2 en 2 .

— — — «-*

,(, - I X , x(x

Vx . 3

• “ •Cx - 2 . 2

-2)

»24

- 1 2 ( x - 3)

- x = 12x - 36

x2 - 13x + 36 • 0

Y r e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n d e segundo g r a d o , r e s u l t a : 13 * / 169 - 144 ---------------- 2------------l u e g o l a s r a f e e s son :

x^ * 9

= U

P or t a n t o , x puede tomar l o s v a l o r e s 9 y 4.

13 i 5 ~

5. 3. y

5 en

H a lla r

la s

c u a le s

den r e l a t i v o

núm ero d e

la s

tres

p e rm u ta c io n e s d e

p rim e ra s

c ifra s

1 ,2 ,3 .

S O L O C I O H

la s

c ifra s

conserven

1 ,2 ,3 ,4

s ie m p re e l

(PRFtfflVreSITARIO)

S i l a s c i f r a s 1 , 2 , 3 han de c o n s e r v a r e s t e o r d e n , l a s dos c i f r a s r e s t a n t e s 4 y 5 pueden i n t e r c a l a r s e e n t r e e l l a s de to das l a s maneras p o s i b l e s . a ) Las c i f r a s 4 y 5 van

s e g u id a s :

Los c a s o s p o s i b l e s son : CC123

, ICC23 , 12CC3 .123CC

donde C puede s e r 4 o 5 , l u e g o e l número

de c a s o s e s 8 b ) Las c i f r a s 4 y 5 s e c o l o c a n a lt e r n a t i v a m e n t e : La c o l o c a c i ó n p o s i b l e e s :

C 1 C 2 C 3 C

donde C puede s e r 4 o 5.

I n f l u y e n d o e l o r d e n e n que se toman l a s c i f r a s y e l lu g a r donde se c o lo c a n , l o s números d i f e r e n t e s s e o b t i e n e n h a lla n d o l a s v a r i a c i o n e s de 4 elementos tomados de dos e n d o s . Por ta n to Número de c a s o s p o s i b l e s e n b ) -

v 4 2 “ 4,3

De a ) y b ) s e s i g u e que : Número d e perm utac iones - 8 + 1 2 - 2 0 o o o O o o o ----5 . form ar

4 .

s é x tu p lo

con m o b je t o s

r ia c io n e s

que

H a lla r

v a lo r

S O L O C I O H

del

tom ados d e

pueden de

núm ero d e c o m b in a c io n e s

form a r

3 en

ig u a l

c o n m -1 o b j e t o s

m, m > 4 .

q u e s e pueden al

núm ero d e v a

tom ados d e

4 en

( PREUNIVERSITARIO)

La e c u ac ión deducida d e l enunciado e s l a s i g u i e n t e :

‘ ■C. , 3

V l . «

(“ - * ) ( « " -

—

m(°

2 )(m - 3 )(m - 4)

«—

m - (m

- 3 ) ( m - 4)

—*

m - m2

7m + 12

«= »

8m + 12

- m2

R e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n de segundo grad o m=

8 i ■■/64 - 48 — 2

Como m > 4 , se s ig u e que

m - 6.

■

, resu lta :

8 ± 4

-----------2

«•

m -o

m r ¿

5.5.

««s o lv e r

s ig u ie n te

e c u a c ió n

( « ♦ * ) .

5 .(x

♦ i jrv -v -1 5:

S O L U C I O N

3. , i

2) (x

l)x

. ------------------------------------------------

1. 2 + 2

— El

v a lo r

por

canco —

5 .

6 . Se

m aneras e s

tie n e n

p o s ib le

S O L U C I O N

l)x

—

1 . 2 . 3 —

♦

17 b o l a s c o lo c a r

,3 . o o o O o o o -----

d ife re n te s

8 b o la s

y dos c o fre s .¿ D e

uno de

e llo s

cu án tas

9 en

e l

otro?.

A cada com binac ión d e 8 b o l a s d e n c ro de un c o f r e l e c o r re s p o n d e o c r a d e 9 b o l a s en e l o c r o . E s c a s d i f e r c n C e s oa n e ra s e s i g u a l a l s i g u i c n c e núnero c o m b i n a t o r io : _ 1 7 ,S '

1 7 ,9 '

1 7 .1 6 . 1 5 . 1 4 . 1 3 . 1 2 .1 1 . 1 0 ---------é . 7 '.' 6 . 5 . S . 3 . S . ' Í-------

_ ’

‘

, lrt 24 310

o o o O o o o -----

5.7.

H a lla r

S O L U C I O N

todos

lo s

núm eros c a p i c ú a s d e c i n c o

c ifra s . IJ K IM M )

L o s núaeros c a p i c ú a s d e c i n c o c i f r a s son de l a f o r a a

: a b c b a

con a . b y c

c ifra s . 1*)

El lu g a r d e l a c i f r a " a " l o pueden ocupar codas l a s c i f r a s nonos e l 0. P or c anc o , e l núnero de p o s i b i l i d a d e s de e l e c c i ó n de " a " e s 9.

2 °)

E l lu g a r d e l a c i f r a " b " l o pueden ocupar cod as l a s c i f r a s .

3“)

F in alm ente , e l l u g a r

P or canco, e l número de de

P or c anc o , e l número de

p o s i b i l i d a d e s de e l e c c i ó n de " b " e s 10 l a c i f r a " c " l o pueden ocupar to d a s l a s c i f r a s . p o s i b i l i d a d e s de e l e c c i ó n de " c " e s 10.

En c on se c u e n c ia : Número d e c a p ic ú a s ■ e l e c c i o n e s de a « e l e c c i o n e s de b « e l e c c i o n e s de c - 9 . 10 . 10 - 900

5 . 8 .

D e un t o t a l

un c o m i t é pueden

con

dos

Puede

2 °)

3o )

Dos

fra n c e s e s tres

s ig u ie n te s al

c o m ité

fra n c é s al

form a

form a s

in g lé s .

c o m ité en

e l

c o m ité .

E l número de

e l e c c i o n e s d i s t i n t a s de

El número d e

e l e c c i o n e s d i s t i n t a s de t r e s i n g l e s e s

dos fra n ceses es

Número de c o m i t é s d i s t i n t o s a)

in g le s e s

cu án tas

pueden e s t a r

P or t a n t o ,

2*)

s ie te

p erten ecer

d e te rm in a d o s

in g le s e s .D e

casos

c u a lq u ie r

d e te rm in a d o d eb e

fra n c e s e s

S O L O C I O H 1*)

lo s

p erten ecer

in g lé s

c in c o

fra n c e s e s

a gru p a r en

1 °)

! ( 2) : ( 3)

✓s w 7 \ ( 2 J C 3J ” l 0 * 33 "

El número d e e l e c c i o n e s d i s t i n t a s de d o s f r a n c e s e s e s

350

1 0 , según hemos

v i s t o a rrib a . b ) El número d e e l e c c i o n e s d i s t i n t a s d e d o s i n g l e s e s , a l com ité , e s

ya que uno p e r t e n e c e

: ( 2)

P or t a n t o , Número d e c o m i t é s d i s t i n t o s 3*)

E l número de

e le cc io n e s d is t in ta s de

( 9X

10,1S “

dos fra n ceses es

150

: ( 2)

• PUPSl°

que d o s f r a n c e s e s d e te r m i n a d o s no pueden e s t a r en e l c o m i t é , b ) El número de e l e c c i o n e s d i s t i n t a s de t r e s i n g l e s e s e s 35 . ( V e r P or t a n t o , Número d e c o m i t é s d i s t i n t o s

e \ \ r 7\ ' - ( 3 J “ 3 - 3S “

1* ) .

105

o o o O o o o -----

5 .

Un i n t e r r u p t o r

En un c u a d r o 4 do

e llo s

con

tie n e

dos

in te rru p to re s ,

p o s ic io n e s ¿decu á n ta s

A p ertu ra

form a s

cerrados?.

S O L U C I O N

Considerem os e l s i g u i e n t e esquema que m uestra l o s 6 i n t e r r u p t o r e s :

puedene s ta r

( JRV- V- 70)

c ie rre .

Una fo rm a de e s t a r 4 i n t e r r u p t o r e s c e r r a d o s puede s e r l a s i g u i e n t e

S e t r a t a , p u e s , de c o m b i n a c io n e s d e 6 e l e m e n t o s tomados d e 4 e n 4. Por tan to. Número d e p o s i c i o n e s d i f e r e n t e s

•

Q ) “

5 .

1 O .U n

e s tu d ia n te

tie n e

que

co n testa r

8 de

pregu n tas

un e x a m e n . I o)

¿C u á n tas

fo rm a s d i f e r e n t e s

co n testa r

tie n e ?

2o)

¿C u á n tas

fo rm a s d i f e r e n t e s

co n testa r

tie n e

s i

la s

tie n e

s i

m eras 3o )

p regu n tas fo rm a s

p rim e ra s

p regu n tas

S O L U C I O N I o)

trata

le m e n to s

s ie te

Núm ero d e 3 o)

Veam os a)

tres

la s

E n ton ces

la s

otras

Por

4?.

por

tan to,

son

de co n testar

- (

co m b in a cio n e s d e

C D

o b lig a to ria s .d e b e

co n testar

s ig u ie n te s

“ ( 5)

f ~ ' ?

10 e -

e le g ir

la s

otras

c in c o

la s

resta n tes.

la s

puede e l e g i r

de co n testar

■ ( 3)

4 de

" ( 2)

fo rm a s d i f e r e n t e s la s

tres

núm ero d e

c in c o

p rim e ra s .

Ü H ! ) i i )

p rim e ra s p re g u n ta s

C on testa

10 p r e g u n t a s

dos p o s ib ilid a d e s

C on testa

con testa r

la s

en 8.

form as d i f e r e n t e s

la s

con testa r

resta n tes.

N úm ero d e b)

form as d i f e r e n t e s

la s

e le g ir

S ie n d o

p ri

o b lig a to ria s ? .

d ife re n te s

tom ad os d e 8

N úm ero d e 2°)

son

¿C u á n tas

tres

" ( 2)

p rim e ra s .

p o s ib ilid a d e s

de co n testar

la s

p rim e ra s e s

de co n testar

4 de

la s

5 ú ltim a s

núm ero d e

p o s ib ilid a d e s

«)-(?)•

tan to,

e le g ir

puede

la s

pregu n tas

en e s t e

caso d e

5 .3

a 25

fo r

m as d i f e r e n t e s . De a )

Núm ero d e

sig u e

que

fo rm a s d i f e r e n t e s

- 1 0 + 2 5 - 3 5

co n testar

o o o O o o o -----

5 . 1 1 que se

son con

. Para 28

fic h a s ,

in flu y e n d o

tom ad os de N um ero

a l

h a lla r

d o m in ó

cu án tos

7 fic h a s ju e g o s

hacen

un j u e g o . S a b i e n d o

d ife re n te s

e lla s .

7 en

d e ju e g o s

pueden

hacer

IJRV-1/-9)

S O L U C I O N No

ju g a r

: orden

la s

Por tan to

d ife re n te s

fic h a s .s e

trata

d e co m b in a cio n e s

d e 28

ele m en to s

(28^ \ j J

580

2 8 .2 7 .2 6 .2 5 .2 4 .2 3 .2 2 3 — 4~~ 3 — 6 — /

= ~ — J—

V .iJ .a .o .n

5,12. hay

tres

recta s

Dados n p u n tos en

que

lín e a ,

re s u lta n

del

e s p a c io ,d e

cu atro

u n irlo s

en dos

(ca d a

recta

por dos

I o)

H a lla r

e l núm ero d e

recta s

que

d e te rm in a n l o s

n pu n tos.

2o)

Hallar

e l núm ero d e

p la n o s que

d e te rm in a n l o s

n pu ntos.

H a l l a r e l núm ero n ,

se ordenan

ú ltim o

con con

líq o n o ,c u y o s

que e l

n pu n tos,

tercero , p rim e ro

la d o s

lo s

núm ero d e

H a lla r

n para que

e l

p id e

núm ero d e p l a n o s

lo s

unen e l

tercero

r e s u lta

son

unen

H a lla r

una

con

segm en tos

lla m a n

e l

fig u ra

p rim e ro

c o n s id e :

íq u a l

con e l

cu a rto, oue

etc.

podem os

a n te rio re s ;lo s

segun ,

lla m a r dem ás

seg

d ia g o n a le s .

éstas. núm ero d e d i a g o n a l e s

sea

la d o s .

e l

d o b le

que e l

(PREUNIVERSITARIO)

S O L U C I O N 1" )

lo s

e l

m en tos q u e

para

se o b tie n en

un p l a n o ) .

de r e c ta .

d o ,é s te

5o)

p u n tos d e te rm in a n

la s

queda

tre s (tre s

Sí

p la n o s que

su p on e q u e no c o n s id e ra n

cada

4’ )

lo s

rar

núm ero

de dos

que

p la n o .S e

te rm in a d a

3o )

pu ntos)

lo s

un n i s m o

E l número d e r e c t a s ( y a que dos puncos dete rm inan una r e c t a y s o l o una) v i e n e dado p or e l número d e c om b in s c io n e s de n e le m e n t o s tomados d e dos en «lo s . P or t a n t o . N ú m e r o d«* r e c t a s

G )

n (n - 1) 5—

2o) E l número d e p l a n o s ( y a que t r e s puntos d e te rm in a n un p la n o y s o l o uno) v i e n e dado p or e l número de com binaciones de n e le m e n t o s tomados de t r e s en tres.

P or t o n t o ,

„(„-l)(n -2 )

-(3J .)

~ 2>

« e don de

4 * ) De cada v é r t i c e d e l p o l í g o n o s a l e n o p a r t e n

^ n - 5 n - 3 diagon a les

, ya que e s t e

forma d i a g o n a l e s con t o d o s l o s r e s t a n t e s menos con l o s dos a d y a c e n te s y e l nÍBm0,

n (n - 3) Número de d i a g o n a l e s ■ — - - ^

p u e s to que dos v é r t i c e s

d e te rm in a n una d i a g o n a l y a l c o n s i d e r a r l o s dos

v é r t i c e s l a contamos d o s v e c e s . 5 * ) L a c o n d i c i ó n d e l en u n c iad o s e tr a d u c e e n : " (n- j - -

*-»

—

n - 7

5 . 1 3

.E l

c o n ju n to

¿C u á n tos e le m e n t o s S O L O C I O N Sea

tie n e

x - C a rd (U )

, es d e c ir ,

\ X

R esolvien do

0?.

e l número d e e l e n e n t o s de U, e n to n c e s e l número de

su b c o n ju n to s de d o s e l e m e n t o s e s ( 2) "

28 s u b c o n j u n t o s d e d o s e l e m e n t o s

* (X '

esta

( * ) • P or t a n t o , "

ecuación s e

x (x

tie n e

- 1) -

56=»x2 - x -

- 0

x - 8 . L u e g o , C a r d (O ) = 8

o o o O o o o -----

5 . 1 4 a) b)

.U n

c o n ju n to

Número d e e l e m e n t o s

tie n e

64 s u b c o n j u n t o s .

p id e

de O

Núm ero d e s u b c o n ju n t o s d e

0 ,l,2 ,...,n

e le m e n to s ,

s ie n d o

n el

núm ero d e e le m e n t o s d e U S O L O C I O N

Hemos v i s t o en e l c a p í t u l o a n t e r i o r que s i un c o n j u n t o t i e n e n e l e m e n t o s . e n to n c e s e l número de s u b c o n ju n to s e s a)

2°

- 64

■*

2n . P or t a n t o :

2 ° - 26

n ■> 6

L u e g o , C a rd (U ) - 6 b)

Su bconju n to s Su bconju n to s d e

de 0 e le m e n t o s : 1 1 e le m e n t o

( e l sub conju nto 0)

Su bconju n to s d e 2 e le m e n t o s : (

“ 77T~ "

Su bconju n to s d e

3e l e m e n t o s : ( 3 ) a

Su bconju n to s d e

4e le m e n t o s = ( 4 ) ’ ( 2 ) "

Su bconju n to s de

5e le m e n t o s : ( 5 ) “

Su bconju n to s d e

6 e le m e n t o s :

75 '

"* ^

1 o o o O o o o -----

5 . 1 5

, Un c o n j u n t o U

¿ C u á n tos e le m e n to s S O L U C I O N Se a x ■ C a rd (U )

PO tC * nt0'

tie n e

s u b c o n ju n to s d e

3 e le m en to s .

U?.

, e n to n c e s e l número de sub conju nto s d e 3 e l e m e n t o s es

( » ) -

- f r - i l f ó - P

x ( x - l , ( x - 2 ) - 60

Como x d e be s e r un número n a t u r a l e l ú n ic o que cumple e s t a e c u a c i ó n e s Luego, C a rd (D ) - 5

x - 5.

5 . 1 6 5 fic h a s

. Se

modo q u e e n

s o la

¿De

cada

cu á n ta s

tin g u ib le s b)

¿Y

s i

tie n e

son

c o lu m n a . m aneras

en tre

ta b le ro

cada Se

fi l a p id e

dam as

haya

una

s o la

5 por fic h a

5 y

c o lo c a n

ta m b ié n

pueden c o lo c a r s e

s ie n d o

la s

fic h a s

in d is

s í? .

d is tin g u ib le s ? .

S O L O C I O H C o n s id e r e m o s e l

t a b l e r o de l a f i g u r a ad ju n ta.

Como d e b e h a b e r una f i c h a e n c a d a f i l a

y en

cada colu m na ,p o de m os c o l o c a r d e s d e e l p r i n c i p i o una f i c h a e n c a d a colum na y l u e g o permu ta r a)

l a s f i c h a s s e gú n l a s f i l a s . P or t a n t o . Número d e maneras d e c o l o c a c i ó n d e f i c h a s

b ) S i s on d i s t i n g u i b l e s 5* •

1. 2 . 3 . A . 5 -

- 5 ! *■ 1 . 2 . 3 . 4 . 5 -

120

l a s f i c h a s c a d a una d e l a s f o r m a s d e a ) d a l u g a r a

120

form a s d i s t i n t a s .

P o r tan to. Número d e maneras d e c o l o c a c i ó n d e f i c h a s - 5 ! .

5! -

120.1 2 0 -

14400

o o o O o o o -----

¿C u á n tos

p ro d u ctos

p ro d u cto

en tre

S O L O C I O H

a 12

a 13

a 14

a 21

a 22

a 23

a 24

a 31

3 32

a 33

a 34

a 41

a 42

a43

a 44

d is tin to s

un n ú m ero

pueden

cada

fi l a

fo rm a r y

uno d e

modo q u e

cada

c o lu m n a ? .

Cada p r o d u c t o t i e n e c i n c o fila

all

f a c t o r e s y c ada uno d e l o s f a c t o r e s p e r t e n e c e a una

y a una colum na .

Son p r o d u c t o s d i s t i n t o s , p o r e j e m p l o , T e n i e n d o e n c u e n t a que s e v e r i f i c a

a n a 22a 33a44 * a l l a 24a 33a42 *

* **

l a p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a , e s t a m o s en e l p r i

mer c a s o d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r . Por tan to. Número d e f a c t o r e s d i s t i n t o s - 4 ! - 1 . 2 . 3 . 4 - 24

5.18.Resolver S O L

O C I

ecuación

: Pn

8 *p n _ i (JRV-V-i)

son l a s p e rm u tac io n e s d e n e le m e n t o s . Pn_ j son l a s p e rm u tac io n e s d e n-1 e le m e n t o s . E n to n c e s :

8 - Pn - l

O B SE R V AC IO N

«-»

n !

«=**

I u & u e l a o b ótA va cÁ ó n )

8 . (n -1 )!

. Por t a n to ,la solu ció n e s

1 . 2 . 3 . 4 . 5 ..................( n - 3 ) ( n - 2 ) ( n - 1 ) n

(n -1 )!

1 . 2 . 3 . 4 . 5 ................. ( n - 3 ) ( n - 2 ) ( n - 1 )

n ■ 8

o o o O o o o ----

5 . 1 9 d ia n te s

•E n e l

un t o r n e o

de b a lo n c e s to

J u ven tu d d e

p a rtic ip a n

e l

M a d rid ,e l

B a d a lo n a .¿ D e c u á n ta s m aneras

E stu

pueden c l a s i

(JRV-I/-3)

fic a rs e ? . S O L U C I O N

E l número de c l a s i f i c a c i o n e s d i s t i n t a s v i e n e d ad o p or e l número de p e rm u ta c io nes d e l c o n j u n t o P or t a n t o :

( M a d r id , E s t u d i a n t e s , J u v e n t u d ) .

N(¡mero d e c l a s i f i c a c i o n e s - P 3 - 3 ! “ 6

S i designamos l o s e q u i p o s p or sus i n i c i a l e s , l a s d i s t i n t a s maneras de c l a s i f i c a r s e v i e n e n dadas en e l s i g u i e n t e diagram a en á r b o l : J

M- E - J

M- J - E

E - M - J

E - J - M

J - M - E

J - E - M

o o o O o o o -----

5 . 2 0 . co

¿De

cu á n ta s

fo rm a s

pueden c o l o c a r s e

4 a lu m n o s

un b a n

?. (J R V -V -U

S O L U C I O N

Se t r a t a d e p e rm u ta c io n e s de 4 e l e m e n t o s . P o r t a n t o , Número d e form a s d e c o l o c a r s e ■ P¿ -

4! = 1 .2 .3 .4

- 24

5 . 2 1 . guna

¿ C u á n to s e lla s ,

C a lc u la r

n ú m e ro s

pueden

c in c o

fo rm a r

con

c if r a s la s

que

s in

r e p it a

n in

0, 1 , 2,3,4?.

c if r a s

su m a.

S O L U C I O N

(JffV-V-lfl

a ) C á l c u l o d e l número d e números que s e pueden f o r m a r . Con l a s c i f r a s

0 , 1 , 2 , 3 , A s e pueden f o r m a r

*» 5 ! -

120 números, e s d e c i r ,

l o s números que s e o b t i e n e n perm utan do l a s c i n c o c i f r a s . De e s t o s

120 n ú m e ros , no t o d o s t i e n e n 5 c i f r a s , p u e s t o que l o s números que

com ie nzan p o r l a c i f r a 0 t i e n e n e n r e a l i d a d A c i f r a s . 1 ° ) Números que c o m ie n z a n p o r 0

120 : 5 - 2A 2 ° ) Números d e c i n c o c i f r a s 120 -

24 - 96

b ) C á l c u l o d e l e suma d e e s t o s 96 números d e c i n c o c i f r a s . 1")

Suma d e l a s u n i d a d e s : 2 4 .0 +

1 8 .1 +

1 8 .2 +

1 8 .3 +

18.A -

18(1 + 2 + 3 + 4 )

N ó t e s e que a l q u i t a r 2A números que e m p ie za n e n 0 , hemos q u i t a d o 2A números que t e r m i n a n : 6 e n 1 , 6 e n 2 , 6 e n 3 y 6 e n A 2o )

Suma

de la s decenas :

2A.0 + 3 *)

18.1 +

Suma

1 8 .2 +

1 8 .3 +

1 8 (1 + 2 + 3 + 4 )

18(1 + 2 + 3 + 4 )

•

1 8 (1 + 2 + 3 + 4 )

de la s centenas :

2 4 .0 ♦

18.1 ♦ 1 8 . 2 + 1 8 . 3 ♦

Suma

de lo s m illa r e s

4*)

18.A

2 4 . 0 ♦ 1 8 .1 ♦ 1 8 . 2 + 1 8 . 3 ♦

1 8 .4 : 1 8 .4

5 * ) Suma d e l a s d e c e n a s d e m i l l a r 2 4 .1 + 2 4 . 2 + 2 4 . 3 + 2 4 . 4 -

: 24(1 + 2 + 3 + 4 )

N ó t e s e que nin gú n número c o m ie n z a p or 0 2A p or 2 , 2A p o r 3

y h a y 2A que c om ie nzan p o r 1,

y 2A p o r A.

Sumando l o s números de l o s a p a r t a d o s u n t e r i o r e s s e t i e n e SUMA

1 8 (1

+2 +

3 + 4 ). 1

1 8 (1 +

2 + 3 ♦ 4 ) . 10

1 8 (1 ♦

2 +

+ +

1 8 (1 + 2 + 3 + 4 ) .

1000

2 4(1 + 2 + 3 + 4 ) .

10000

1 0 (1 8 ♦ 180 +

3 + 4 ) . 100

+ 2 + 3 + 4 )(1 8 .1 ♦

2 599 980

1800 ♦

♦

1 8 .1 0 ♦ 1 8 .1 0 0 +

18000 ♦ 240000)

18.1 0 0 0 ♦ 2 4 .1 0 0 0 0 )

5 . 2 2

.C o n s id e re m o s

m u ta c io n e s

p o s ib le s

¿Qué

p e rm u ta c ió n

¿Qué

lu g a r

e s c rita s

la s

ocupa

ocupará

le tra s e l

orden

A ,B ,C ,D

lu g a r

a lfa b é tic o

to d a s

la s

per

73?.

p e rm u ta c ió n

CDABE?

JRV-V-14 S O L O C I O H a)

Perm u tacion es que

em piezan p o r

A ,

A - - - -

( p u e s t o q u e d e t r i s d e A s e pueden c o l o c a r ,

: 24

perm u tá n d ola s,

la s cu atro le tr a s

re s ta n te s ). P e r m u t a c i o n e s que

em piezan p o r B ,

- - -

Perm u tacion es que

em piezan p o r C ,

- - -

L u ego,p or A .B y C

e m p i e z a n : 24

+ 24

L a p e r m u t a c i ó n 73 e m p e z a r á , p o r t a n t o ,

• 24 : 24

+ 24 «

por la l e t r a

D y será

D A B C E PPeerrm muuttaacciioonneess q u e eem mppiieezzaann p or or

- - - -

: 24

P e r m u t a c i o n e s q u e e m p ie z a n p or

B ,

B ------

P e r m u t a c i o n e s q u e e m p ie z a n p or

C A,

C A ---------

P e r m u t a c i o n e s que e m p ie z a n p or

CB,

. C D A B E

La p e rm u ta c ió n s i g u i e n t e es

Por tan to,

l a p e r m u t a c i ó n CDABE ocupa e l

lu g a r

: 61

o o o O o o o ------

5 . 2 3 AB C D E F G por

.C o lo c a d a s ,

desea

saber

orden e l

a lfa b é tic o

lu g a r

que

ocupa

"C G A D B E F ".

S O L U C I O N

to d a s la

la s

p e rm u ta c io n e s

p e rm u ta c ió n

dada

( PREUNIVERSITARIO] :

Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p o r A

> A --------------

Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie z a n p o r B

♦ B -------------- ■ -

■

720

6 ! ■

720

B 120

Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie z a n p or CA

Número d e p e r m u t a c i o n e s q u e e m p ie za n p or CB

* C B -------- ---- -

120

Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p or CD

> C D -------- -- ■ -

120

Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p or CE

C E -------- -- - -

** 120

Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p or CF

9 C F -------- --. _ 9 C G A B - -

3 ! ■

Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p or CGAB

120

T ota l La s i g u i e n t e p erm u tació n e s p re c is a m e n te ocupará , por ta n to

, el

lu g a r

2047.

la p ed id a , e s d e c i r ,

2046

C G A D B E F ,

5 . 2 4 . das

la s

¿C u á n tas o r d e n a c io n e s d i f e r e n t e s

le tr a s

p a la b ra

pueden

fo rm a rs e con

PERM UTACIO N?.

¿ C u á n ta s e m p ie za n p o r P ? . ¿C u á n tas

e m p ie za n

S O L U C I O N a)

p o r PER?.

(J R IM M 3 )

Las o rd e n a cio n e s d i f e r e n t e s p a l a b r a PERMUTACION

que s e pueden fo rm a r con t o d a s

son la s

p e r m u t a c io n e s de e s t a s

N ú m e ro d e o r d e n a c i o n e s d i f e r e n t e s -

P ^

1 1 1 -

la s

letra s .

letra s Por

tanto

la ,

1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .1 0 .1 1

. 39916800 b ) ¿Cuántas empiezan p or P?. L a s p a la b r a s que com ien zan p o r P son d e

y se o b tie n en

perm utando l a s

le tra s

fo rm a

resta n tes

(in d ica d a s por

Num ero d e o r d e n a c i o n e s q u e c o m ie n z a p o r P ■ P j q

tra zo s ).

10 !

- 1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .1 0 . 3628800 c)

¿Cuántas empiezan por PER?. Las p a l a b r a s que comienzan p or PER son d e l forma PER

- -

y s e o b t ie n e n permutando l a s l e t r a s r e s t a n t e s ( i n d i c a d a s por t r a z o s ) . N ú m e ro d e o r d e n a c i o n e s q u e c o m i e n z a n p o r PER «

Pg -

8 !

1. 2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .

= 40320

con

la s

c ifra s

re p e tir

núm eros d e 2,3,4,5

c in c o

y 6 que

c ifra s

d is tin to s

sean m enores

pueden

65000,

n o p u d ié

(SELECT1V1VAV - f 976]

n in gu n o ? .

S O L U C I O N

form a

l»1

dose

¿C u á n tos

o o o O o o o -----

5 . 2 5 .

Es e v i d e n t e que s e t r a t a de perm utac iones de 5 e l e m e n t o s , p u e s to que solamente hay c i n c o c i f r a s y deben e n t r a r en l a formación d e l número l a s c i n c o ya que no se rep iten . a)

Núm eros d i f e r e n t e s

De e s t o s

que s e pueden

120 n ú m e r o s n o c u m p l e n

fo rm a r ■ la

co n d ic ió n

Núm eros q u e e m p i e z a n p o r 6 5 : 6 5 p u e s to q u e en

lo s

tres

trazos

■

---------

■

Núm eros m e n o re s q u e 65000

1 .2 .3 .4 .5

lo s ’ que

3 1 -1 .2 .3

120

114.

120

son m a y o r e s q u e 65000. “

podemos c o l o c a r l o s nú m eros 2 , 3

n eras d ife r e n te s . c)

5* ■

y 4 de

6 ma

5 . 2 6 lo s

. U s a n d o un d i a g r a m a d e á r b o l h a l l a r

e le m e n to s

con

s in

m ,n ,p ,q

re p e tic ió n

la s

v a ria c io n e s

de dos en dos:

re p e tic ió n .

S O L O C I O B a)

tom ados

(J W -V -5 1

V a r ia c io n e s con rep e

ic ió n .

V a ria cio n es s in

re p e tic ió n

■- P m-q n-B n-n n-p n-q

P '-° p-n P-P p-q

q -«

q-n

nS»ero d e va ria c io n e s

q- p

4Í3 -

sin

rep etició n

q-q E l número d e v a r i a c i o n e s c ió n es 4 .4

= 42 -

con r e p e t i

16.

o o o O o o o -----

5.2 7. c ifra s te

¿ C u á n to s núm eros d e 9 c i f r a s

1 ,2 ,4 ,6

s a b ie n d o qu e e l

2 se

s e pueden e s c r i b i r

re p ite

3 veces

4 veces?.

lo s

cu a le s e l

Por

tanto,

con

6 se

la s repí

: p ed id os s e r á d e l a

Es e v id e n t e que s e t r a t a lo s

(J R R -V -19 )

S O L U C I O » Un n ú m e r o d e

2 se re p ite

la s

fo rm a s i g u i e n t e :

1 2 2 2 4 6 6 6 6

p e rm u tacion es c o n r e p e t i c i ó n

3 veces y

se r e p i t e

............................................................................ 9 ! Nu m e ro d e n ú m e r o s d i f e r e n t e s - - y ^ T

d e 9 e le m e n t o s de

4 veces. 1 . 2 .3 . 4 . 5 . 6 .7 .8 .9

1 7 7 X 0 7 5 7 5--------

2520

5 . 2 8 fo rm a rs e

.¿ C u á n t o s con

lo s

n ú m e ro s

S in

r e p e tic ió n

Con

r e p e tic ió n .

S O L D C I Q H

p ro d u c to s

d if e r e n t e s

c u a tro

fa c to re s

pueden

3 ,5 ,7 ,9 ? .

(JtP - IM O )

a ) Con l o s números 3 , 5 , 7 y 9

sola m ente s e puede form a r e l p rod ucto 3 . 5 . 7 . 9

p uesto que l o s que s e o b t i e n e n permutando e s t o s

números son i g u a l e s por

l a p ro p ie d ad con mutativa d e l p ro d uc to. b) E l número de pro d u c tos d i f e r e n t e s que s e pueden formar con l o s números 3 , 5 , 7 , 9 . r e p i t i é n d o l o s , e s i g u a l a l número de com binac iones c on r e p e t i c i ó n d e A elem entos tomados de A en 4 . P or t a n t o : número d e pro d u c tos d i f e r e n t e s • CR¿ ¿

¿ + ¿

( ! )

* ( j ) *

OTIO METODO; 1)

Pro d u c tos d i f e r e n t e s r e p i t i e n d o A v e c e s cada número : 3 .3.3 .3

;

5 .5 .5 .5

;

Número de pro ductos 2)

7 .7.7 .7

; 9.9.9.9

- A

Pro ductos d i f e r e n t e s r e p i t i e n d o 3 v e c e s cada número : 3 3 i 5 7 ; 7 .7 .7 . J 5 ; 9 .9 .9 . { 3.3.3. j 7 ; 5.5.5. 9 9 ( 9 f

3 5 7

Número de pro d u c tos ■ A . 3 = 12 3)

Pro d u c tos d i f e r e n t e s r e p i t i e n d o 2 v e c e s cada número. Consideremos que s e r e p i t e n l o s dos p rim e ro s f a c t o r e s , en to n c e s l o s dos ú lt im o s s e pueden e l e g i r de l o s t r e s números r e s t a n t e s y e l número de po s ib ilid a d e s es

Cj j

Números d e pro d u c tos ■ A . 3 ■ 12 A)

Pro d u c tos d i f e r e n t e s r e p i t i e n d o l o s dos p rim e ro s f a c t o r e s 3 .3 .5 .5

; 3 .3.7 .7

;

3 .3.9 .9

; 5 .5.7 .7

;

Número d e pro ductos - 6 5)

Pro ductos d i f e r e n t e s s in r e p e t i r ningún f a c t o r . Número de pro d u c tos ■ 1

Sumando se t i e n e :

(E s e l ap artad o

A + 12 + 12 + 6 + 1 - 35

o o o O o o o -----

a ))

y l o s dos ú ltim o s .

5 . 5 . 9 . 9 ;7 . 7 . 9 . 9

5 . 2 9 -

con

la s

c ifra s

1 *)

¿C u á n tos

2 °)

H a lla r

suma d e t o d o s

e llo s

3 °)

H a lla r

sum a d e

lo s

O L

I*)

núm eros d e

6 ,7 ,8

6 c ifra s

to d o s

pueden

que

fo rm a rs e ? .

te rm in a n

H :

(PREUNIVERSITARIO!

A - (6 ,7 ,8 ,9 }

elem en tos de

e n t o n c e s l o s números de 6 c i f r a s v i e n e n d a d o s p o r l o s

A «A > A«A < A"A.

Su número e s :

4 « 4

4»4

■ 4096

E s te número e s tam b ié n e l d e v a r i a c i o n e s c on r e p e t i c i ó n d e c u a t r o e le m e n t o s tomados d e s e i s e n s e i s . 2*)

En e s t o s 4096 números e n t r a r á n i g u a l número d e v e c e s c ada c i f r a , el

tan to *

l u g a r de l a u n id a d e s , como d e l a d e c e n a s , c e n t e n a s o m i l l a r e s .

t a n t o , hay

SUMA -

4096 : 4 = 1024

números q u e

te r m in a n e n 6

1024

números q u e

te r m in a n e n 7

1024

números q u e

te r m in a n e n 8

1024

números q u e

te r m in a n e n 9

1 0 24(6 + 7 + 8 + 9 ) . 1

, suma d e u n id a d e s

♦

1024(6 + 7 + 8 + 9 ) . 1 0

, suma de d ecen as

1024(6 + 7 + 8 + 9 ) . 1 0 0

, suma de c e n te n a s

1 0 2 4 (6 + 7 + 8 + 9 ) . 1 0 0 0

, suma de m i l l a r e s

10 24(6 + 7 + 8 + 9 ) . 1 0 0 0 0

, suma de d e c e n a s d e m i l l a r , suma d e c e n t e n a s d e m i l l a r

10 24(6 + 7 + 8 + 9 ). 1 0 0 0 0 0 -

1 0 24(6 + 7 + 8 + 9 ) ( I ♦

1024 . 30 .

P or

10 ♦

100 ♦ 1000 + 10000 + 100000)

lililí

- 3 413 329 920 3*)

Hemos v i s t o que l o s números que te r m in a n en 6 s on 1024. En l o s

lu g a res de l a decen as, c e n te n o s , e t c

6 , 7 , 8 y 9 . Su número e s

SUMA -

la s c i f r a s

: 1024 : 4 - 256

1024.6

2 5 6 (6 +

+8+

9 ).1 0

2 5 6 (6 +

+8+

9 ).1 0 0

2 5 6 (6 +

♦ 8+

9 ).10 0 0

256(6 +

+8+

9).10 0 0 0

256(6 +

+ 8+

9 ). 1 0 0 0 0 0

suma de l a s u n id a d e s

- 256(6 +

+ 8♦

- 2 5 6. 30 .111110 - 853 330 944

en trarán por ig u a l

suma de l a s d e c e n a s ♦

suma de l a s c e n t e n a s ♦

suma de l o s m i l l a r e s ♦

suma de l a s d e c e n a s d e m i l l a r suma d e l a s c e n t e n a s d e m i l l a r

9 ) ( 1 0 + 1 0 0 * 1000 ♦ 10000 + 1 0 0 0 0 0 ) + + 1024.6

1024.6

5 . 3 0 . m ero a

P erm u tan d o d e

111223

form a n

to d o s

lo s

d is tin to s

m odos

p o s ib le s

núm eros q u e

la s

c ifra s

ordenarem os

del

m enor

m ayor.

I o)

¿C u á n tos

2o)

¿Qué

S O L I o)

núm eros

re s u lta n ?

núm ero o cu p a

D C I

O N

e l

lu g a r

50 e n

esa

o rd e n a c ió n ? .

(PREUNIVERSITARIO)

L o s números d i s t i n t o s que s e pueden f o r m a r s on l o s p e r m u t a c io n e s c on r e p e t i c i ó n d e 6 e l e m e n t o s d e l o s c u a l e s uno s e r e p i t e 3 v e c e s y o t r o d o s v e c e í Por ta n to , Números d i f e r e n t e s

2 o)

«3 ,2 .1 P6

61 3i.2l.li

1 .2 .3 .4 .5 .6 1 .2 .3 .l\ ? .l

a ) Números que em piezan p o r 1 F ija

l a p r i m e r a c i f r a , quedan :

t e s q u e s e pueden f o r m a r e s : „2 ,2 5! 5

5TT5T

11223

y e l número de números d i f e r e n

1 .2 .3 .A .5 n

_ 30

Números que e m p ie za n p o r 2. F i j a en e l prim er l u g a r l a c i f r a

2 , quedan : 11123 y e l número d e núme

r o s d i f e r e n t e s que s e pueden f o r m a r e s :

p3, l f I

4 ? "

" 20

P or t a n t o , e l número que ocupa e l l u g a r 50 ros.

es d e cir

e s e l ú l t i m o d e e s t o s 20 núme

, 232111 o o o O o o o -----

5 . 3 1

.E n

s e s .S a le n ¿De

cu án tas

lo s

hay uno

d is tin ta s

cu atro

4 c o n e jo s en

pueden

c o n e jo s

b la n c o s

cu atro

c o n e jo s

g r i

uno. h a c e r lo ? .

b la n c o s

lo s

(S e

c o n s id e ra n

cu atro

c o n e jo s

in g ri-

S O L O C I O N

S i to do s l o s c o n ejo s se ría 8! es

ja u la

m aneras

d is tin g u ib le s 0

una

f u e r a n d i s t i n t o s e l número d e form a s d e s a l i r de l a j a u l a

. Como h a y A c o n e j o s b l a n c o s y c u a t r o c o n e j o s g r i s e s i n d i s t i n g u i b l e s ,

e v i d e n t e que s e t r a t a d e p e r m u t a c i o n e s con r e p e t i c i ó n d e 8 e l e m e n t o s de l o s

c u a l e s s e r e p i t e n A y A. Por tan to

, 8!

1 .2 .3 .A . 5 .6 .7 .8

5 .

3 2 .

s ig n a n

por

que van pueden la s

Las c a lle s

1 ,2 ,3 ,—

la s

W a

s e g u irs e

c a lle s

una c i u d a d que

¿cu á n tos

para

van de

ca m in o s

del

fo rm a n una c u a d r i c u l a . S i

cru ce

N a

S y por

d is tin to s de

la s

c a lle s

lo n g itu d A- -1 a l

D -7?.

S O L O C I O H

la s

m ín im a

cru ce

: D-7

A • -* i 0 -*

hay que r e c o r r e r :

t r e s manzanas de W a E , y

s e i s manzanas de N a S.

i 3

E l número t o t a l de cam in os e s , p o r t a n t o ,

-» -*

l 5

S i formamos l a s p e rm u tac io n e s c on r e p e t i 6

t r o s 3 i g u a l e s también e n t r e s £ , en to n c e s

s e g u i r d e A - l a D-7. -

suponemos que 6 s on i g u a l e s e n t r e s i y 0 -

cada perm uta ción no s i n d i c a un camino

e l e m e n t o s , d e l o s c u a le s

8 0

C -•

i 0

-»

-» 1 O -• i 0 i 0

-»

* O -* i 0 -♦ 1 0 -* 1 O -* 1 0 -* 1 0 -*

6 + 3 = 9

(J R I7 -V -I i

Para pasar d e l cru ce A - l a l cru ce

ció n

A,B,C,...

-»

i O i

1 0

i O l

1 •

Un c a m i n o . p o r e j e m p l o , e s : -*

o b ien , P or t a n t o . Número de caminos d i s t i n t o s ■

91 6 s. 3 j

1. 2 .3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 .9

1.2.3.4.5'.T7Í.T.T

o o o O o o o -----

5 . 3 3 con

la s

.¿ C u á n to s c ifra s

nú m eros m a y o re s q u e un m i l l ó n

pueden e s c r i b i r s e

0,2,2,3,3,3,47. (PREUNIVERSITARIO)

S O L O C I O H

a ) Los números d i s t i n t o s que s e pueden f o r m a r s e o b t i e n e n h a l l a n d o l a s permuta c i o n e s con r e p e t i c i ó n de 7 e le m e n t o s d e l o s c u a l e s uno s e r e p i t e 2 v e c e s y o tro tres. Número d e números d i f e r e n t e s

p j ’ 2’ 3' 1

"2! ]j!

1 \

- 420

b ) L o s números que comienzan p o r l a c i f r a 0 son menores que un m i l l ó n , p or ta n t o no s e deben c o n s i d e r a r . E l número d e números que comienzan p or 0

es :

420 : 7 - 60

De a ) y b ) s e s i g u e que : Números d i f e r e n t e s m ayores que un m i l l ó n ■ 420 - 60 ■ 360

5 . 3 4 . I o)

2 o)

D em ostrar

sum a

r ia s

sum a

n a ria s

lo s

q u e ,d a d a s núm eros

m ú ltip lo de con

lo s

tre s

c if r a s

a ,b ,c

o b te n id o s

fo rm á n d o la s

o b te n id o s

fo rm a n d o

v a ria c io n e s

b in a

22.

núm eros

re p e tic ió n

m ú ltip lo

d e

la s

v a ria c io n e s

te r

37.

{PREUNIVERSITARIO) S O L U C I O N I o)

Las v a r i a c i o n e s b i n a r i a s d e t r e s e l e m e n t o s son :

^ = 3.2 * 6

También s e pueden o b t e n e r d i r e c t a m e n t e y son : ab

, a c

b a , c a , b c , c b

L a suma d e e s t o s números e s : SUMA -

+ b+

c ).2

(a +

b + c ) .2 .1 0

, suma d e l a s un id ades ,

+ b+

c ) ( 2 + 20)

+ b+

c ) .2 2

suma d e l a s d ecen as

l u e g o , l a suma e s un m ú l t i p l o de 22. 2o )

Las v a r i a c i o n e s t e r n a r i a s de t r e s e l e m e n t o s tomados d e t r e s en t r e s s on : VR. _ B 3 . 3 . 3 - 27 JfJ En e s t o s 27 números . l a s c i f r a s a , b , c s e r e p i t e n en e l

l u g a r d e l a s u n i d a d e s , como de

SUMA

- 9 (a + b + c ) . l

, suma +

9 (a + b + c ).1 0 0 -

9 (a + b + c ) ( l

+ 10 +

■ 999(a + b + c )

v eces tan to

la decenas y cen ten a s.

9 ( a + b + c ) .10

27 : 3 - 9

de l a s

un idades

, suma d e l a s

d ecen as

, suma

c e ntena s

de l a s

100)

37 . 2 7 ( a

b +

•*

37 d i v i d e a l a SUMA.

o o o O o o o ------

5 . 3 5 . modo dos

que

Con e l

ve ce s.

la s se

re p ita

H a lla r

S O L U C I O N

c if r a s

1 ,2 3

cu án tos

5 fo rm a m o s

ve ce s,

e l

núm eros

núm eros re p ita

9 c ifra s

veces

y e l

de c in c o

1RV-V-I7)

hay.

Es e v i d e n t e que s e t r a t a de p e rm u ta c io n e s con r e p e t i c i ó n d e 9 e l e m e n t o s e n t r e l o s que hay uno que s e r e p i t e t r e s v e c e s

, o t r o que s e r e p i t e 4 v e c e s y un t e r

c e r o que s e r e p i t e d o s v e c e s . Por tan to : -3 ,4,2

‘ j T . i 'r a i '

1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 _

“

1 .2 .3 .1 .2 .3 .4 .1 .2

L u e g o , s e pueden f o r m a r 1260 números d i f e r e n t e s .

1260

5 . 3 6 c iu d a d la s

.H a lla r

p ara

m ism a s

28)

que

núm ero

sea

m ín im o

in e v ita b le

in ic ia le s

que

nom bre

h a b ita n te s

a l y

m enos

dos

que

debe

te n e r

h a b ita n te s

a p e llid o s

(con

una

tengan a lfa b e to

[SELECTÍV1VAD

S O L O C I O H Sean

e l

1976)

X . Y , 7. l a s i n i c i a l e s d e l nombre y d o s a p e l l i d o s d e un h a b i t a n t e c u a l q u i e r a .

Vamos a

c a l c u l a r e l número d e t e r n a s p o s i b l e s c on l a s 28 l e t r a s d e l a l f a b e t o ,

r e p e t i d a s o no. Se t r a t a , p o r t a n t o , d e l a s v a r i a c i o n e s c on r e p e t i c i ó n d e 28 e l e m e n t o s tomados de t r e s en t r e s .

Su número e s : .

VR28 3

2 8 . 2 8 . 2 8 - 283 - 21 952

S i a s oc iam os a c ada t e m a una s o l a p e r s o n a , e s t a r e m o s s e g u r o s q u e nin gu no d e o lío s

r e p i t e n l a s mismas i n i c i a l e s de su nombre y d o s a p e l l i d o s . L u e g o , s i a ñ a d i

mos o t r a p e r s o n a , t e n d r á n e c e s a r i a m e n t e que c o i n c i d i r d i c h a s i n i c i a l e s c on a l guna d e l a s t e r n a s . P o r t a n t o , e l número mínimo d e i n d i v i d u o s s e r á n

21 952 ♦ 1 • 21 953

o o o O o o o -----

5 . 3 7 . den

p asar

tom an sa r

En tre s

p a rte

lo s

coches

c in c o

coches

c ir c u it o ,e n

p o r

v e z,

c o c h e s .¿ D e e l

e l

c ita d o

que se

p o r

d e te rm in a d o

c e le b ra

cu án tas

una

m aneras

pun to

c a rre ra

d is t in t a s

s o lo

podrán

pue

que pa

p un to?.

( PREUNIVERSITARIO)

S O L O C I O H

Cono e l núnero máximo d e c o c h e s que pueden p a s a r p o r un d e te r m in a d o p u n to e s 3, é s t o s pueden h a c e r l o d e uno e n uno , d e d o s e n dos y d e t r e s e n t r e s . a ) S i pasan de uno d e uno s e t i e n e que : Número d e form a s d i s t i n t a s * ( j )

= 5

b ) S i pasan de d o s e n d o s s e t i e n e que : Número de form a s d i s t i n t a s c)

“

S i pasan de t r e s e n t r e s s e t i e n e que : Número d e form a s d i s t i n t a s ■

Por tan to. Número t o t a l d e forma s d i f e r e n t e s - 5 +

10 + 10 »

ALGEBRA DE SUCESOS en e l q u e ¿ e d u a A A o lla rx ¿ a ¿ ¿ i g i U e n l t ó m t e A l a ¿ :

1. E X P E R I M E N T O A L E A T O R I O 2. S U C E S O S 3. O P E R A C I O N E S C O N S U C E S O S l\. S U C E S O S C O N T R A R I O S 5. A L G E B R A DE B O O L E DE L O S S U C E S O S

6.1. de S

lo s O

E n ú n c ie s e

s ig u ie n t e s O

e x p e r im e n to

cam pos

a le a t o r io

a s o c ia d o

cada

uno

S o c io lo g ía ,in g e n ie r ía ,t r á fic o .

.(J R V -V I -Í )

a) S o cio lo g ía : E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e e n p r e g u n t a r en c l a s e a c ada uno d e l o s alumnos p o r su c a n t a n t e p r e f e r i d o . b)

In g en ie ría : El e x p e r i m e n t o c o n s i s t e e n a n o t a r l a r e s i s t e n c i a d e 10 v i g u e t a s d e hormigón e l e g i d a s en 10 c a s a s en c o n s t r u c c i ó n .

c ) T rá fic o

E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e en a n o t a r e l número d e a c c i d e n t e s m o r t a l e s cada semana d u r a n t e un año. o o o O o o o ----

6. de S

lo s O

E n ú n c ie s e

s ig u ie n t e s O

cam pos

un :

e x p e r im e n to E c o n o m ía

a le a t o r io m e d ic in a

a s o c ia d o ,

cada

uno

p e d a g o g ía .

U W - W - t l

a) Economía : E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e e n a n o t a r l a s v a r i a c i o n e s d e l a b o l s a d u r a n t e un mes Es e v i d e n t e que e s t e e x p e r i m e n t o e s a l e a t o r i o . b ) M e d ic i n a : E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e e n e s t u d i a r e l c o m p o r ta m ien to d e una m e d i c i n a e n 100 e n fe rm o s . c)

Pedagogía : Un e x p e r i m e n t o a l e a t o r i o e s e l que c o n s i s t e en v e r l a s n o t a s de una c l a s e e n l a a s i g n a t u r a d e M atem áticas d u r a n t e un año.

o o o O o o o ----

6 . 3 .

¿ S a b ría s

e n u n c ia r

a lg ú n

t ip o

e x p e rim e n to

a le a to rio ? . S

que

fu e se

(JR I/-I/I-3) O

No s on e x p e r im e n t o s a l e a t o r i o s , p o r e j e m p l o , l o s s i g u i e n t e s

a) E l c á l c u l o d e l a v e l o c i d a d d e c a í d a de un c u e rp o e n e l v a c í o c ada segundo. b ) La r e a c c i ó n d e l á c i d o s u l f ú r i c o c on e l h i e r r o c)

E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e n t e en l a n z a r una moneda de dos c a r a 9 i g u a l e s y ano t a r su r e s u l t a d o .

d ) Tampoco e s a l e a t o r i o e l dar una l l a v e d e l u z y v e r e l r e s u l t a d o .

0. 4. neda

c o n s id e ra

an otar

cara

e l

s u p e rio r.

E l e s p a c io

m u e s tra l.

e s p a c io

e x p e rim e n to Se

c o n s is te n te

p id e

la n z a r

u n a mo

sucesos.

S O L O C I O H

a ) S i E d esign a e l e s p a c io m u e s tra l,s e t i e n e

E - ÍC .X )

, indican do p o r

cara y por X cru z. b) S i S d e s i g n a e l e s p a c i o d e s u c e s o s , s e t i e n e : S »

. {c },(x j,{c ,x }}

o o o O o o o -----

0 . 5 do

p id e

. Se c o n s id e ra

q u in ie la s

a ire

e l

e x p e rim e n to

y an otar

e l

c o n s is te n te

re s u lta d o

en la

la n z a r cara

un da

s u p e rio r.

E s p a c io

m u estral

E s p a c io

sucesos

S O L O C I O H

a ) S i E design a e l e s p a c io m uestral , s e t i e n e

b ) S i S d e s i g n a e l e s p a c i o de s u c e s o s , s e t i e n e

E - (l

, X , 2)

S - (0 , ( 1 } , ( X ) , { 2 ) , { 1 , l ) , ( l , 2 ) , { X , 2 ) , { l , X , 2 } }

o o o O o o o -----

0 . 0 .

y an otar

E s p a c io

b) c) d) S

c o n s id e ra e l

e l

núm ero q u e

e x p e rim e n to aparece

m u e stra ld e l

e x p e rim e n to

Elsuceso

" s a c a r un

núm ero p a r " .

E l suceso

" s a c a r un

núm ero p r im o "

E l suceso

" s a c a r un m ú l t i p l o

c o n s is te n te la

cara

la n z a r

s u p e rio r.

un d a

p id e

3 ".

d e sig n a e l e s p a c io m uestral s e t i e n e

ese l suceso

"sacar

número

par"

ese l suceso

"sacar

número

p r i m o " , e n to n c e s B ■ ( 2 , 3 , 5 }

ese l suceso

"sacar

número

m ú l t i p l o d e 3 " ,e n t o n c e s

o o o O o o o -----

: E ■ O ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ) , e n to n c e s A ■ { 2 , 4 , 6 }

C ■ {3 ,6

6 . a l

a ir e

c o n s id e r a a n o ta r

p id e

E l

e s p a c io

m u e s tr a l,

E l

e s p a c io

lo s

e x p e r im e n to

r e s u lt a d o s

sucesos

la s

dos

caras

la n z a r

d o s mo

s u p e r io r e s .

n ú m e ro .

L o s r e s u l t a d o s p o s i b l e s s on :

Cara y Cara

que indic aremos por CC

Cara y Cruz

que

por CX

Cruz y Cara

que indicaremos por XC

Cruz y Cruz

que indicaremos por XX

en to n c e s e l e s p a c i o n u e s t r a l e s : b)

c o n s is t e n t e

S O L U C I O N

e l

E s 1n

nedas

E - (CC,CX,XC,XX)

S i designamos p or S e l e s p a c i o d e sucesos , s e t i e n e :

s = { 0 ,{cc},{cx),{xc),(xx}, {cc,cx},{cc,cx},{cc,xx},{cx,xc),{cx,xx},{xctxx} {cc,cx,xc},{cc,cx,xx},f c c . x c . x x ) ,fcx,xc,xx} {cc,cx,xc,xx}} 4 E l número de sucesos e s 2

16. o o o O o o o ----

6 . 8 . dados rá n

C o n s id e r e m o s ve r

lo s

c o m p u e s to s

e l

e x p e r im e n to

p u n to s .D e c ir lo s

sucesos p u n to s)

(s u m a r 10

(s u m a r 6 p u n t o s )

(s u m a r 11 p u n t o s )

S O L O C I O M

por

que

c u á n to s

s ig u ie n t e s

c o n s is te sucesos

la n z a r

e le m e n ta le s

dos e s ta

(JR V - V I- 5 )

E l e s p a c i o m u e stral v i e n e dado p or 36 r e s u l t a d o s p o s i b l e s : E - ( 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 ............. ind ican do p or

11, 12, . . .

etc

e l segundo, 1 en e l p rim e ro

6 1 ,6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 , 6 6 )

e l r e s u l t a d o de s a c a r 1 en e l p rim e r y 2 e n e l segundo , . . .

dado y 1 en

etc.

Los sucesos e le m e n t a le s s on l o s e le m e n t o s d e l e s p a c i o m u e s t r a l. Los sucesos A, B y C son sucesos compuestos.Veamos d e quf? sucesos e l e m e n t a l e s . a)

A - (6 4 , 55 , 4 6 )

y a que l a suma de l o s puntos o b t e n id o s por l o s dados

B•

(51

, 42 , 33 , 24, 15 )

C■

(6 5

, 56)

e s 10 , l a suma,en e s t e c a s o . d e l o s puntos e s 6

, l a suma d e be s e r a q u í 11.

6 - 9 . a rro ja r s ia n o

In terp réten se dos

dos

dados

a l

lo s

a z a r,a

re s u lta d o s

que

p a r t ir

con cepto

d e l

pueden

produ cto

[SELECTIVIDAD

co n ju n to s.

S O L O C I O B

o rig in a r

a l

c a rte -

1976)

L o s r e s u l t a d o s de t i r a r d o s dados s on : E - {

, 12 , 13

, 14

, 15 , 16

, 22 , 23

, 24

, 25 , 26

. 32 , 33

, 34

, 35 , 36

, 42 , 43

, 44

, 45 , 46

. 52 , 53

. 54

, 55 , 56

, 62 . 63

, 64

, 65 , 66 }

d o n d e , l a p r i n e r a c i f r a i n d i c a e l r e s u l t a d o d e l p rim e r dado y l a segunda e l r e s u l t a d o d e l segundo dado. Sie ndo

U - { l , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , e l e s p a c i o m u e s t r a l E s e puede c o n s i d e r a r como

e l p ro d u c to c a r t e s i a n o de U p or U , e s d e c i r , E - Ü X U -

{l,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }x {l,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } { (1 ,0

, (1 ,2 )

, (1 ,3 )

(1 ,4 )

, (1 ,5 )

(1 ,6 )

(2 .1 )

, (2 ,2 )

, (2 ,3 )

, (2 ,4 )

. (2 .5 )

(2 .6)

(3 .1 )

, (3 ,2 )

, (3 ,3 )

, (3 ,5 )

(3 ,6 )

(4 .1 )

, (4 ,2 )

, (4 ,3 )

, (4 ,4 )

, (4 .5 )

(4 ,6)

(5 .1 )

, (5 ,2 )

, (5 ,3)

, (5 .4 )

, (5 ,5)

(5 ,6)

(6 ,6 ))

(6 .1 )* ,

(6 .2 )

(6 .3 )

(3 ,4 )

(6 .4 )

(6 .5 )

s i quitamos l o s p a r é n t e s i s y l a coma de cada par r e s u l t a l a e s c r i t u r a c l á s i c a de arrib a. N ó t e s e que E v i e n e dado p or l a s v a r i a c i o n e s con r e p e t i c i ó n de 6 ele m entos toma dos d e d o s en dos. o o o O o o o -----

6 .10.

C o n s id e re m o s

dos

an otar

sum a.

e l

e x p e rim e n to

Form ar

e l

que

e s p a c io

c o n s is te

en la n z a r

dos

m u e s tra l.

(J R I/ -V I-4 ) S O L O C I O M

L o s r e s u l t a d o s p o s i b l e s son : 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , l u e g o e l e s p a c i o m u e stral d e l e xp e rim e n to a l e a t o r i o dado e s : E - {2 .3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 ,1 2 }

o o o O o o o -----

0 . 1 1 . S e c o n s id e r a dos

a l a ir e

a n o ta r

e l

lo s

e x p e rim e n to p an tos de

p id e

E l e s p a c io

■ C im ero d e

E le m e n t o s d e l

suceso

"sa ca r a l

E le m e n t o s

suceso

"sa ca r dos

a le a to rio

la s

caras

tir a r

tres

da—

s u p e rio re s .

t m u e s tra l su cesos

del

S O L O C I O H

d e l e s p a c io

sucesos

m enos d o s doses

S. c in c o s " un t r e s "

In d icarem os p or " a b e " uno c u a l q u i e r a d e l o s r e s u l t a d o s d e t i r a r t r e s dados siendo a , b , y c

números que v a r í a d e l 1 a l 6.

P o r ta n to , e l espa cio n u e s tra l es : E - {1 1 1 , 1 1 2 , 1 1 3 . 1 1 4 , 1 1 5 ,1 1 6 , 1 2 1 , 1 2 2 , 1 2 3 , 1 2 4 ,1 2 5 , 1 2 6 ................. ................. 6 5 1,6 5 2 .6 5 3 ,6 5 4 ,6 5 5 ,6 5 6 ,6 6 1 ,6 6 2 ,6 6 3 ,6 6 4 ,6 6 5 ,6 6 6 ) E l nónero de ele m entos d e E e s : C a r d ( E ) 13

p o s i b i l i d a d e s d e l p r im e r dado

p o s i b i l i d a d e s d e l segundo dado . p o s i b i l i d a d e s d e l t e r c e r dado -

6 . 6 . 6

- 216

Se t r a t a también d e v a r i a c i o n e s con r c p c t i c i S n de 6 ele m entos ( l o s r e s u l t a dos d e l d a d o ) tomados d e 3 en 3. VR, , = 63 -■ 216 6,3 b)

E l número de sucesos d e l e s p a c i o de s u c e s o s e s : C a r d (S ) »

Sea A e l s u c e s o " s a c a r a l menos d o s c i n c o s " , e n to n c e s :

,2 1 6

A - {5 5 1 ,5 5 2 ,5 5 3 ,5 5 4 ,5 5 5 ,5 5 6 ,5 1 5 ,5 2 5 ,5 3 5 ,5 4 5 ,5 6 5 ,1 5 5 ,2 5 5 ,3 5 5 ,4 5 5 ,6 5 5 } Sea B e l suceso " s a c a r dos d o s e s y un t r e s "

B -

, en to n c e s

{ 2 2 3 .2 3 2 ,3 2 2 } o o o O o o o -----

6.12

.H a lla r

e l

e s p a c io

la n z a r s im u ltá n ea m en te c u a t r o S

m u estral

a s o c ia d o

a l e x p e rim e n to de

m onedas.

I n d i c a r e m o s p o r " a b e d " uno c u a l q u i e r a d e l o s r e s u l t a d o s de l a n z a r l a s c u a t r o las, p u d i e n d o

tomar a,b,c y d

c u a l q u i e r a de l o s v a l o r e s c a r a ( C ) o c r u z (X)

P or t a n t o , e l e s p a c i o m u e stral e s : E - { C C C C , CCCX, CCXC. CCXX. CXCC, CXCX, C X X C , CXXX , XCCC, I C C X , XCXC, XCX X, XXCC, XXC X, XXXC, XXXX}

6 . 1 3 m ayor o caras

.¿ C u á le s ig u a l a

son

17"

s u p e rio re s

S O L D C I O .

lo s si

e lem en to s d e l d ic h o s

tres

dados

puntos

suceso son

a rro ja d o s

lo s

"sum a d e

lo s

puntos

que aparecen en

azar y

la s

s im u ltá n e a m e n te ?

U t lt c n m * - .974)

a) Loa e le m e n t o s d e l e s p a c i o m u e stral que s e o b t i e n e a l t i r a r t r e a dados e s : E - (1 1 1 ,1 1 2 ,1 1 3 ,1 1 4 ,1 1 5 ,1 1 6 ,

...

,6 61 ,6 6 2.6 6 3 ,6 6 4 ,6 6 5 ,6 6 6 }

en t o t a l 2 1 6 ele m e ntos . b) Véanos c u á l e s son l o s e le m e n t o s d e l suc eso dado. 1*)

La suma v a l e 18 puntos :

Se o b t i e n e d e

666

2*)

La suma v a l e 17 puntos :

Se o b t i e n e d e

566 , 656 , 665

P o r t a n t o , e l suc eso "suma de l o s puntos mayor o i g u a l a 17" = {6 6 6 ,5 6 6 , 6 5 6 , 6 6 5 } o o o O o o o -----

6 . 1 4 tra l

e l

uno d e

e le m e n ta le s d e l

lo s

s ig u ie n te s

e s p a c io

m ues

e x p e rim e n to s

aza r de dos

b o la s

b la n c a s

y dos b o la s

n e g r a s .{ E t iA o c c c ó n ¿ucea-ó/a)

d ía

s o l u c i o h a)

sucesos

a le a

e x tra c c ió n b o la s

lo s

d e te rm in a d o p o r cad a

to rio s a)

.D e te rm ín e n s e

d e una u r n a q u e c o n t i e n e

semana e n q u e o c u r r e

S i indicamos p or

un a c c i d e n t e

[Selectividad B s a c a r b o l a b lan c a y

tres

trá fic o .

.975 - . « r - M - n i

N s a c a r b o l a negra , en to n c e s e l '

capacio m uestral es : E b)

• ÍBB , BN , NB , ÑU}

O c u rrie n d o a c c i d e n t e s de t r á f i c o c u a l q u i e r d í a de l a semana , e l e s p a c io m u e stral d e e s t e exp erim ento e s : E • (L un es , M a r t e s , M ié rc o le s , J u e v e s . V ie r n e s , S á b a d o , D o m i n g o )

—

6.15.En

cu atro

núm ero en

cada

fic h a s

azar.

S O L D C

1 Q E

S i designamos p or siendo a y b

fic h a s

oooOooo—

hem os e s c r i t o

fic h a ).H a lla r

e l

lo s

núm eros

ex p e rim e n to de

1 ,1 ,2 ,2

tom ar a

vez

(un dos

: " a b " e l r e s u l t a d o de l a e x t r a c c i ó n a l a v e z de dos f i c h a s ,

l e t r a s que pueden tomar c u a l q u i e r a d e l o s v a l o r e s 1 y 2 , s e t i e n e

p or t a n t o , e l e s p a c i o m u e stral : E - (II

, 2 2 , 12)

6.16 p a rtid o s

โ ข L o s de

e q u ip o s

modo

que

d e

A rg e n tin a

p ro c la m a

B r a s il

cam peรณn

e l

d is p u ta n

p rim e ro

que

una

s e r ie

gane

t r e s

v e c e s . H a lla r S

e l C

e s p a c io I

D esign a rem os p o r

m u e stra l

d e

lo s

re s u lta d o s

p o s ib le s .

A A rge n tin a y p or B B ra s il

E l d ia g ra m a en รก r b o l de l o s r e s u l t a d o s p o s i b l e s e s e l s i g u i e n t e

Ganado* PARTIDOS

Ganadon

Ganado*

RESULTADOS

E l e s p a c io m uestral c o n s ta , campeรณn A r g e n t i n a y e n o t r o s

como s e v e , d e 20 e l e m e n t o s . 10 c a s o s B r a s i l .

o o o O o o o ------

En 10 c a s o s a p a r e c e

6 . 1 7 .

C o n s id e re m o s

t o r n illo s

una

c a ja

e l y

e x p e rim e n to

ve r

c u á le s

p id e

E l

E le m e n to s

d e l

su ceso

" e l

ú ltim o

E le m e n to s

d e l

suceso

"a l

menos

e x tra e r

buenos.

d e fe ctu o so s

tre s

e s p a c io

rau estral

S O L D C I O M a)

c o n s is te n te

son

e l

núm ero

e le m e n to s

t o r n illo dos

que

con sta.

d e fectu o so "

t o r n illo s

son

d e fe ctu o so s".

S i designamos p or

" a b e " e l r e s u l t a d o d e una e x t r a c c i á n , a i e n d o a . b , y e

l e t r a » que pueden tomar l o s v a l o r e s

B - bueno

y D ■ d efectu o so

, en to n c e s

e l e s p a c i o m uentr al e s : P. - (BBB , BBD , BDB , BDD , DBB , DBD , DDB , DDD> b ) Sea A e l s u c e s o " e l

d ltim o t o r n i l l o es d e fe c tu o s o "

y Card(F.) - 8

, e n to n c e s :

A ■ (BBD , BDD , DBD ,DDD) c)

Sea B e l

suc eso " a l menos d o s t o r n i l l o s son d e f e c t u o s o s " , e n to n c e s B - (BDD , DBD , DDB , DDD) o o o O o o o -----

G . l 8 . * n t o n í o n is .G a n a

e l

n o s .H a lla r

torn eo e l

S O L D C I O M Indicarem os p o r por

B a s ilio q u ie n

e s p a c io

son

gane

m u estral

lo s

dos d e

f in a lis t a s

ju e g o s lo s

s e g u id o s

re s u lta d o s

to rn eo o

t r e s

a lt e r

p o s ib le s .

: A e l s u c e s o "g a n a r A n t o n i o " y B e l s u c e s o "g a n a r B a s i l i o "

"p e rd e r A n ton io"

E l s i g u i e n t e dia gram a e n á r b o l m uestra l o s d i f e r e n t e s r e s u l t a d o s p o s i b l e s A-A A:

P o r t a n t o , e l e s p a c io m uestral es : E - <AA, ABAA, ABABA, ABABB, ABB, BAA, BABAA, BABAB, BABB.BBÍ

0 . 1 9 . b o la s

Una u r n a c o n t i e n e

m ayor qu e

Se p id e

3 ).

b o la s

negras

b la n c a s tres

(e l

b o la s

núm ero de de

urna.

E le m e n to s

del

suceso "sacar

a l

E le m e n to s

del

suceso "sacar

la s

e s p a c io

m u estral

S O L O C I O H a)

sacan s u c e siv a m e n te

E del

e x p e rim e n to .

re s u lta d o

s ie n d o a . b . c

lo s

cu a lq u ie ra

e s p a c io m u estral

E b)

S i A es e l

{NN N

suceso A •

B es

, NNB

tres

ÍNNN

, NNB

(NNN

b o la s

negra"

del

m ism o

c o lo r".

re a liza c ifin b o la

negro

del

(N )

e x p erim en to ,

b o la

b la n c a

(B ),

: , NBB

, BNN

m enos u na

, NB N , la s

re s u lta d o s

, NBN

"sacar

suceso "sa ca r B •

una b o la

S i d e sígn a n o s p o r " a b e "

en ton ces e l

m enos

NBB

tres

b o la ,

BNN

b o la s

BNB ,

n egra" ,

del

BNB

BBN

BBB)

.en ton ces , B BN}

mism o c o l o r "

en ton ces

BBB)

o o o O o o o -----

0 . lo

2 0 -U n

hom bre

su m o.C a da

p eseta s

apu esta

y d e ja rá

300 p e s e t a s .

H a lla r

S O L P C I O H El

s ig u ie n te

es de

tie m p o p a ra 100

ju g a r

p e s e ta s .E l

ju g a r cuando p ie r d a

la s

e l

e s p a c io

m u estral

ru le ta

hom bree m p ie za 100

lo s

p eseta s

5 veces con o

ro s u lta d o s

100

gane p o s ib le s .

d ia g ra m a en

E M P I E Z A CON

tie n e

1A . j u g a d a

árbol

m uestra

lo s

2* . ju ga d a

re s u lta d o s

4a .

p o s ib le s

del

5a .

ju eg o :

RESULTADOS 1-0 1- 2 - 1 - 0

1 -2 -1 -2 - 1-0 1 -2 -1 -2 - 1-2

1 -2 -I-2 -3 -4 V• £ • • í -fl 1-7 f « 7 - \-7- í - 7 I - 2 - 3 - 2 - 3-4 1 -2 -3 -4 donde seta s. E -

1 ,2 ,3 ,4

Por tan to,

expresan e l el

d in e ro

e s p a c io m u estral

que es

tie n e

c a d a m om ento en

c ie n to s

{1 0 ,1 2 1 0 ,1 2 1 2 1 0 ,1 2 1 2 1 2 ,1 2 1 2 3 2 ,1 2 1 2 3 4 ,1 2 3 2 1 0 ,1 2 3 2 1 2 ,1 2 3 2 3 2 ,1 2 3 2 3 4 ,1 2 3 4 }

d e pe

6. do

2 1 .S e

y a n o t a r e l n ú m e ro

Sean

lo s sucesos

¿So n S

c o n s id e r a

c o m p a tib le s

e l de

e x p e r im e n t o la

cara

c o n s is te n te

" s a c a r un m ú l t i p l o

" s a c a r un nú m ero

p rim o "

" s a c a r un

n ú m e ro

p a r".

sucesos

la n z a r

s u p e r io r .

lo s

o B y C ? .

Veamos cómo s e e x p r e s a n l o s s u c e s o s d a d o s e n f u n c i ó n d e l o s e l e m e n t o s d e l e s p a c i o m u estral. A - " s a c a r un m ú l t i p l o d e 3 " - Í 3 , 6 ) B - " s a c a r un número p r i m o " C - " s a c a r un número p a r "

- (2 ,3 ,5 ) »

(2 ,4 ,6 )

A O B-

(3 )

, lu eg o

y B son

com p atib les.

A O C-

(6 )

, luego

y C Hon c o m p a t i b l e s .

B O C-

(2 )

, lu eg o

y C s on

com p atib les. o o o O o o o ------

6.22 y

S i

•Un e x p e r i m e n t o

c o n s is te

la n z a m ie n to

una m oneda

un d a d o . A

e x p lic a r 1#)

2°)

3°)

e l e l e l

suceso

"ca ra

suceso

"o b ten er

s ig n ific a d o

e l 3 o

lo s 4°)

n B

la n z a m ie n to 6 en

e l

s ig u ie n te s A O

dado"

m oneda"

sucesos

5°)

A U

6°)

Á O

{JR V -V I-9) S

1")

e s e l su ceso "n o sa c a r c a ra en e l

2 *)

e s e l s u c e s o " n o s a c a r n i 3 n i 6 en e l d a d o " .

3 o)

A n B

ea e l s u c e s o " s a c a r c a r a

l a n z a m i e n t o d e l a moneda".

en e l l a n z a m i e n t o de l a moneda y o b t e n e r

3 o 6 en e l d a d o " . 4 °)

A HB

e s e l s u c e s o " s a c a r c a r a c on l a moneda y no s a c a r n i 3 n i 6 con e l dado".

5 o)

A U B

e s e l s u c e s o "n o s a c a r c a r a e n e l l a n z a m i e n t o d e l a moneda o no sa c a r n i 3 n i 6 en e l dado"

6°)

Á O B

e s e l s u c e s o "n o s a c a r c a r a e n e l l a n z a m i e n t o d e l a moneda y no sa c a r n i 3 n i 6 en e l d a d o ".

o o o O o o o -----

6 . 2 3 . cesos

H a lla r

que

u n ió n

o b tie n e n

a l

in te rs e c c ió n

la n za r

A =

{s a c a r

núm ero

B =

{s a c a r

núm ero no

un d a d o

lo s

s ig u ie n te s

par} in fe r io r

cu a tro)

( S o lz it iv id a d

- 1975 - JRV - V I -

S O L O C I O H

Los sucesos A y B

se exp resa n en fu n c ió n de l o s su ceso s e le m e n t a le s

12)

, de la

s i g u i e n t e fo rm a : A -

{ s a c a r número p a r }

■ (2 ,4 ,6 )

B • { s a c a r número no i n f e r i o r a c u a t r o ) a)

{4 ,5 ,6 }

L a u n ió n d e l o s s u c e s o s e s : AU B

- {2 ,4 ,6 }U {4 , 5 , 6 } - {2 ,4 ,5 ,6 }

La i n t e r s e c c i ó n d e l o s s u c e s o s e s : A O B

{2 ,4 ,6 } n {4 , 5 , 6 ) - {4 ,6 }

o o o O o o o -----

6 . 2 4 S .S e

.C o n s id e re m o s

p id e

expresar

c o m p lem e n ta rio s a)

lo s

fu n c ió n

B y

re a liz a n A

C pero

r e a liz a

re a liz a n

No s e

a l

re a liz a

S O L O C I O H

m enos

su ceso s A ,B

uno d e

m enos

p ero

dos

lo s

sucesos

s ig u ie n te s

e s p a c io

A ,B

de de

sucesos sus

sucesos :

no B lo s

tres

sucesos

n in g u n o d e ,

lo s

y C del

lo s

tres

re a liz a

lo s

dados

sucesos B y

( A n B) - B

- ( A n B) n B

E s t e s u c e s o s e r e a l i z a cuando s e r e a l i z a e l s u c e s o A , o e l s u c e s o B , o e l suceso C , por ta n to

, por

, será e l

l a d e f i n i c i ó n de -

suceso :

A U B U C c)

( A n B ) u ( a n c ) u (B n c ) U ( A n

E s t e s u c e s o e s c o m p l e m e n t a r io d e l s u c e s o dado en b ) , p o r t a n t o ,

E l sucesos es :

a u b u c

A - ( B U C ) -

n ( bU

n c)

Á n (b n c ) >

C (F u e )

p or l a

Á n S n c

d e f i n i c i ó n de -

A O (B O C)

p o r l a l e y d e Morgan

p or l a

O B O C

a s o c i a t i v i d a d de

6 . 2 5 do

.S e

a ire

e s p a c io un

Dar

H a lla r

Com probar p le to

c o n s id e ra

an otar

e l

e x p e rim e n to

núm ero

c o n s is te n te

cara

s u p e rio r.S e

la n za r

p id e

un d a

m u estral

s is te m a lo s

e l

c o m p le to

sucesos s i

lo s

sucesos

c o n tra rio

sucesos

lo s

o b te n id o s

del

s is te m a

en c )

a n te rio r

form a n

s is te m a

com

sucesos.

S O L U C I O N

El esp a cio

m uestral e s :

E ■ { 1 , 2 , 3 , A ,5 ,6 )

Un s i s t e m a

com p leto e s :

A ■ (1 ,3 ,5 )

Á - b

L o s s u c e s o s o b t e n i d o s e n c ) forman uns i s t e m a

, B « ( 2 , A ,6)

y B - A

Veamos que e s t o no s ie m p r e e s c i e r t o sistem a

A - {1 }

Sea a h o r a e l

L o s s u c e s o s c o n t r a r i o s s on : Á - ( 2 , 3 , A , 5 , 6 }

d ) L o s s u c e s o s A,B y C

com p leto de sucesos.

B - (2 )

, C = (3 ,A ,5 ,6 } , B • {l,3 ,A ,5 ,6 )

, C = (1 ,2 )

no form an un s i s t e m a p u e s t o que no s on i n c o m p a t i b l e s

dos a dos. o o o O o o o -----

6 . 2 6 extra en A C E E e l

•D e

una u rn a

que

s im u ltá n e a m e n te d o s s i

e s p a c io

e l

suceso

"h a b er

2 b o la s

¿ c u á le s

e x tra íd o

ro ja s

son

lo s

m enos

m u e s tra l? .

S O L U C I O N

tres

a z u le s

e le m e n to s una b o l a

a z ú l"

(SElECTIl/IPAP -1 9 7 6 )

El e s p a c io m uestral E e s N ó t e s e que

c o n tie n e

b o la s ,

E ■ ( ( r o j a , r o j a ) , ( r o j a ,a z u l ) , ( a z u l . a z u l ) )

( a z u l , r o j a ) . e s l a misma e x t r a c c i ó n que ( r o j a , a z u l )

por ser

la ex

t r a c c i ó n s im u l t á n e a . Por tan to, A * " h a b e r e x t r a í d o a l menos una b o l a a z u l " ■ { ( a z u l , r o j a ) . ( a z u l , a z u l ) } o o o O o o o -----

6 . 2 7 . to rio m oneda

de de

H a lla r sacar

e l vez

5 p ta s ,o tra

S O L U C I O N

e s p a c io

m u estral

d o s m onedas 25 p t a s

y otra

a s o c ia d o una b o l s a de

E - ((5 ,2 5 )

: , (5 ,5 0 )

que

p ta s.

El e s p a c io m uestral E e s e l s ig u ie n t e

a l

, (2 5 ,5 0 ))

e x p e rim e n to c o n tie n e

a le a

una

6 . 2 8

. Se c o n s i d e r a e l e x p e r im e n t o c o n s i s t e n t e en l a n z a r t r e s

monedas a l Se p id e

a ire

y an otar e l

r e s u lta d o de la

cara

s u p e rio r.

E l e s p a c io m u es tra l y e l

E lem en to s d e l

s u c e s o " s a c a r a l menos d o s c a r a s " ,

E lem en to s d e l

su ceso " s a c a r so la m en te d os c r u c e s "

S O L O C I O N

a) S i d esig na m o s p o r sien d o a , b , y c

número d e e l e m e n t o s d e l m ism o.

" a b e " e l r e s u l t a d o d e l a r e a l i z a c i ú n de un e x p e r i m e n t o , c u a l q u i e r a de l o s r e s u l t a d o s C a ra ( C ) o Cruz ( X ) ,

e l e s p a c io m uestral e s

e n to n c e s

E - {CCC , CCX , CXC , CXX , XCC , XCX , XXC , XXX) E l núm ero de

e le m e n to s e s

e v id e n te m e n te 8.

b ) Sea A e l s u c e s o " s a c a r a l menos d o s c a r a s "

, entonces

A - {CCC , CCX , CXC , XCC} c)

Sea B e l s u c e s o " s a c a r

s o la m e n t e d o s c r u c e s " , e n t o n c e s

B - {CXX , XCX , XXC}

o o o O o o o ----6 . 2 9 . Se c o n s i d e r a " s a c a r una f i g u r a "

en l a

suceso

A " s a c a r un r e y "

e x tra c c ió n

y B el

suceso

d e una c a r t a d e una b a r a j a

e sp a ñ o la .¿ C u á l d e l a s dos s ig u ie n t e s e x p r e s io n e s e s c i e r t a

C B

B C A

Razonar l a

c o n te s ta c ió n .

S O L O C I O N a ) Es c i e r t a

l a prim era r e l a c i á n , e s d e c i r

- s e r r e y im p lica s e r f ig u r a , o

, A C B , p u e s t o que ,

tam bién

- e l s u b c o n j u n t o d e l o s r e y e s e s t á c o n t e n i d o e n e l s u b c o n j u n t o de l a s figu ra s .

o o o O o o o ----6 . 3 0

.S e

re a liz a

ex p e rie n c ia

y s e d i c e q u e s e ha r e a l i z a d o A 4 s i

: " E l e g i r una f i c h a d e d o m in ó " suma t o t a l d e p u n t o s e s

¿Cuál e s e l e s p a c io m u e s tra l? . S O L U C I O N

El e sp a cio m uestral es

E - {0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 ,1 2 }

d e l o s puntos v a r í a de 0 a 1 2 .

p u e s t o que l a suma

6 . 3 1 de

una

■Un

b a ra ja

Sean

e x p e rim e n to

e l

B e l C e l E x p lic a r

c o n s is te

suceso"sacar

r e y en

e x tra c c ió n

suceso

"sacar rey

en la

segunda e x t r a c c ió n " ,

suceso

"sa ca r rey

en la

te rc e ra e x tra c c ió n ".

e l

s ig n ific a d o

lo s

s ig u ie n te s

ca rta s

n b

4o)

U B

5o)

( Á U B )

3° )

U B

6o)

B U C

S O L U C I O N

casos

n § n c

2o)

A n B

t r e s

l a p rim e ra e x t r a c c ió n " ,

I o)

1°)

e s p a ñ o la .

ílC

e s e l su ceso " s a c a r r e y en l a p rim era e x t r a c c i ó n

y no s a c a r r e y

e n l a segunda e x t r a c c i ó n " . 2o )

AU B

e s e l s u c e s o " s a c a r r e y e n l a p r i m e r a e x t r a c c i ó n o s a c a r r e y en

segunda e x t r a c c i ó n " . 3 o)

Á U B

4 C)

Á n B H C

e l s u c e s o " n o s a c a r r e y e n l a p r i m e r a e x t r a c c i ó n o no s a c a r r e y en l a segunda e x t r a c c i ó n " . e s e l su ceso "n o sa c a r r e y en l a p rim era e x t r a c i ó n n i en l a se gunda n i e n l a

5o)

(ÁUB)

6°)

B U C

n C

tercera".

e s e l s u c e s o " n o s a c a r r e y e n l a p r i m e r a o en l a segunda e x t r a c c i ó n y no s a c a r en l a t e r c e r a " .

e s e l s u c e s o " s a c a r r e y en l a segunda e x t r a c c i ó n o no s a c a r r e y la

tercera e xtra cción ". o o o O o o o -----

6 . 3 2

. S im p lifíq u e s e

( A U B ) donde

son

S O L O C I O H (AUB)

lo s

su cesos

s ig u ie n te O

e x p re s ió n

U B)

c o n tra rio s

n de

(Á

su ceso s

re s p e c tiv a m e n te .

ISELECrlVWAP -1916)

n ( A U B) n ( Á U B) ■ ( ( A U B )

n ( A U B ) ) O ( Á U B)

, p. a s o c ia t iv a

■

( A U ( B n B ) ) n ( Á U B)

p. d is t r ib u t iv a

( Au 0) ' ' ( Á U B )

p . d e compleraenta c iÓ n

= A O (Á U B) ■

( A n Á) U ( A n B) í U (A

H B)

id en tid a d

p. d is t r ib u t iv a

p . d e complemen-

id en tid ad

tación -

A O B

0 . 3 3«

C o n s id e re m o s

e l

e x p e rim e n to

c a r t a de

la b a ra ja

e s p a ñ o la .

Sean

e l suceso

"ex tra e r

un a s " ,

e l suceso

"ex tra e r

un o ro "

e l suceso

"ex tra e r

e l as

E x p lic a r

e l

s ig n ific a d o

cada

de uno

c o n s is te n te

ex tra er

y copas". de

lo s

s ig u ie n te s

sucesos:

I o)

5 o) A n B

9 o)

ñB

2°Í

6 o) A U B

1 0° )

O C

3 o)

7") A n c

11°)

aTTb

A U B

8") A n c

1 2° )

una

OB ? T c

I o)

Á es

e l suc eso "no e x t r a e r un a s "

2o)

B es

e l suc eso " n o e x t r a e r un o r o "

3 o)

C es

e l suc eso " n o e x t r a e r e l a s d e c o p a s "

4°)

AUB

e s e l s u c e s o " e x t r a e r un as o

un o r o "

5o)

An B

e s e l suc eso " e x t r a e r un as y

e x t r a e r un o r o " ■ " e x t r a e r e l as de o -

ros" 6 o)

A U B *

A n B

e s e l suc eso "n o e x t r a e r e l as d e o r o s "

7°)

A n C es e l suceso " e x t r a e r

un o r o y e x t r a e r un as de c o p a s "

* 0 ,

e s , p o r t a n t o , e l suc eso i n p o s i b l e . 8o)

A O C e s e l suc eso " e x t r a e r un o r o y no e x t r a e r un as de c o p a s " ■ " e x t r a e r un o r o " N ó t e s e que

9 o)

A n B n C

C C

e s e l suc eso " e x t r a e r un o r o

y un a s y as de c o p a s "

■ 0 - "su

ceso im posible" 10°)

A n BO

11°)

AUB

C es e l suceso im po sible

nc*

c i e r t o p u e s to que e s e l com plem enta rio d e l suceso

( V e r 9 8) )

Á n B n C = 0

A D B O C p u e s to que

"n o e x t r a e r un a s " y e x t r a e r un

as d e c o p a s " son sucesos in c o m p a t i b l e s . 1 2 °)

A n Bn

* A n 0 •

A O E

■

, ya que B y C son s u c e s o s in c o m p a t ib le s ,

donde E e s e l suc eso c i e r t o

e s e l suc eso " e x t r a e r un a s " .

o o o O o o o -----

6 . 3 4

• Se

fa m ilia s

tre s

Sean

e l

suceso

" e l

e l

suceso

" lo s

¿ C u á le s

son

lo s

S O L D C I O . S i designaDOS p or mayor a menor A =

observado

d is trib u c ió n

por

sexo

lo s

h ijo s

h ijo s . h ij o m ayor dos h ijo s

e le m e n to s

unv a ró n "

pequeños de

son

y varon es".

B?.

{ S U t c t í x i d t i -H75-JKV-VH-HI

V e l h i j o v a r á n y p or H h i j o heabra , y l o s nonbraoos de

, se tie n e : {VW

, VHV , VHH)

( y a que en c ada uno d e e s t o s sucesos e l e m e n t a l e s e l h i j o mayor e s v arón ) B -

{VW

, HW)

( y a que en c ada uno d e e s t o s s u c e s o s e l e m e n t a l e s l o s d o s h i j o s menores son v a r o nes) . o o o O o o o ------

PROBABILIDAD en

e£

que

¿e

d u a v io t t a n t a ¿ 6 ¿ g u ¿ e n te ¿ m citz rU a ¿:

1. F R E C U E N C I A S A B S O L U T A S Y R E L A T I V A S 2. D E F I N I C I O N C L A S I C A D E P R O B A B I L I D A D 3. D E F I N I C I O N A X I O M A T I C A D E P R O B A B I L I D A D 4.

PROBABILIDAD CONDICIONADA

5. P R O B A B I L I D A D E S T O T A L E S Y C O M P U E S T A S 6. S U C E S O S D E P E N D I E N T E S E I N D E P E N D I E N T E S

7. 1.

L a n z a r una m oneda

100 v e c e s

y an otar

lo s

res u lta d o s

te n id o s . a)

¿Cuál

será

¿Y

fre c u e n c ia

Hemos r e a l i z a d o

ex p erim en to y

suceso

"ca ra "?.

Número d e c o r a s

Núm ero d e c r u c e s q u e h an

Con e s t o s

del

re la tiv a ? .

S O L U C I O N el

a b s o lu ta

s e han o b t e n id o s l o s

que han s a l i d o

res u lta d o s

s ig u ie n te s

resv

ios

s a lid o *

se tie n e

(J W -V II-n

fre c u e n c ia

a b so lu ta

d e l suceso "c a r a "

fre c u e n c ia

re la tiv a

d e l suceso

•

"cara"

48 48/100

o o o O o o o -----

7.2.

E x trá ig a s e

deran do e s t e y

an óten se

m ontón

lo s

n id o lo s

50 e x t r a c c i o n e s

todos

con

lo s

oros.

C o n s i

ree m p la za m ie n to IJ K V -I/ Il-Z ]

e x p erim en to ,p ro c u ra n d o b a r a ja r b ie n

s ig u ie n tc o

As d e

háganse

e s p a ñ o la

res u lta d o s .

S O L U C I O N H em o s r e a l i z a d o

d e una b a r a j a

oros

res u lta d o s

cu a tro de oros

dos

oros

tres

oros

la s

ca rta s,y

s e han o b te

s ie te

de o r o s

de oros

sota

oros

s e is de oros

c a b a llo

oros

de o r o s

c in c o

rey

NtTTA : O b i f a v e i t que t a i ¿aecu en cúiA t ie n d e n a e s t a b i l í z a m e en t o m e a l 5. o o o O o o o -----

7. 3 . de

lo s

¿C u án to v a le n

sucesos

S O L O C X O N Los

sucesos

sucesos, De o t r o

modo :

a) b)

sum a d e de

to d a s

la s

fre c u e n c ia s

U W -W M ) un e x p e r i m e n t o a l e a t o r i o

e s una p a r t i c i ó n Dos s u c e s o s la

suma d e

re la tiv a s

un e x p e r i m e n t o a l e a t o r i o ?

ele m en ta le s de d e c ir,

e le m e n ta le s

c u a lesq u iera

u n ió n de

E n ton ces

Sea

E •

( a | , « 2 , . . . , a Q)

c ia s

a b so lu ta s a l

d e l es p a cio

todos

fre c u e n c ia s

1«6

e l

re a liza r

es p a cio el

lo s

son in c o m p a tib le s

sucesos es e l

re la tiv a s

m u estral

un s i s t e m a

c o m p l e t o de

m u e stra l.

v a le y

e x p erim en to n v e c e s .S e

suceso c ie r to .

l.E n

efec to

n j . O j , . . . ^ tie n e

: la s

en ton ces

frecu en ,

7. que e l

Un e x p e r i m e n t o

c o n tie n e

una b o l a

c o rre s p o n d ie n te

del

c o n ju n to

Se d e fin e

p(0)

p (E )

¿Es

una ,

a z u l,

e s p a c io

E ,e s S

extra er

b la n c a s y

m u estral

una b o l a

3 ro ja s .S e a

y S e l

una u rn a

E =( a , b , r )

c o n ju n to

de la s

p a rtes

d e c ir,

= (0

,(a ),{ b } ,{ r} ,{ a ,b ),{ a ,r), ( b ,r ) ,

fu n c ió n

p ({a ))

c o n s is te

sobre p ( { b ))

p ({a ,b ))

S de =

p ((a ,r l)

la s ig u ie n te ,

p ((r })

*» \

m anera ^

p ((b ,r ))

p una p r o b a b i l i d a d ? . (S E L E c n i n v w -

S O L U C I O N

19701

P a r a que l a f u n c i ó n p d e f i n i d a s o b r e S , e s p a c i o d e s u c e s o s , s e a una p r o b a b i l i d a d , d e be v e r i f i c a r l o s ax io m as s i g u i e n t e s : Ax-1

p (0 ) - 0

Ax-2

: p (E ) - 1

A x - 3 : S i A,B G S s on t a l e s que A H B ■ 0 , e n t o n c e s p ( A U B) = p ( A ) + p (B ) Veuoo s s i s e v e r i f i c a n

e s t o s axiomas.

Ax-1

: p (0 ) = 0

, p or d e f i n i c i ó n d e p

A x -2

: p (E ) = 1

. p o r d e fin ic ió n de p

A x -3

: I o) Sear. A -

(a)

, B ■ { b } , s on

t a l e s que

p ( {a )) ♦ p ({b )>

A H B - 0

p ((*.b ))

, y

c o b o

ía .b ) - A U B

e s t o s s u c e s o s v e r i f i c a n e l a x i o n a 3. 2°)

Sean

A "

(a )

p ((a }) + p (ír }) " g

■

+ 5 = g " 5

{ r } , s on t a l e s que

^ B ■ 0

P ((«.r ))

( a . r ) - AU

. y como

e s t o s s u c e s o s v e r i f i c a n e l ax iom a 3 3")

Sean

A *> ( b )

p (íb }) + p (ír }) "

B 5

■

+ 5

| "

{ r } , e s t o s s u c e s o s son P Í(b .r))

t a l e s que

, y con o { b , r } ■ A U b

e s t o s s u c e s o s tam bién v e r i f i c a n e l axioma 3. De l o a n t e r i o r s e s i g u e que l a

f u n c i ó n p e s una p r o b a b i l i d a d en S y ( E . S . p ) un

espa cio p r o b a b ilís t ic o . W0TA s Una ¿ u n c ió n cíe p io b a b ilid a d queda t a m b it n deXenminada c o n o c ie n d o t a i i m íg e n e i d e t o i i u c e i o ó e l e m e n t ó l a . L a

iu c t io i

e le m e n t a l a

¿ow m

u n a b a ie d e l A lg e b r a d e i u c t i o i .

o o o O o o o -----

B• 0

7. 5 .

Sea

s ig u ie n t e s

¿ C u á le s

S O

L O

(a l f a 2 ,a 3/a 4)

f u n c io n e s

e s ta s

I O

suqb

f u n c io n e s

e s p a c io

(n ú m e r o s

d e fin e n

una

m u e s tr a l.

r e a le s )

d e fin e n

E ?.

la s

p r o b a b ilid a d

p U j)

, p ( a 2> , p ( a ^ )

, p ía ^ )

e s mayor que 1 , l u e g o p no

d e f i n e una p r o b a b i l i d a d . 2 ) P ( a 2)

• - j

que c e r o

, y como l a p r o b a b i l i d a d d e un s u c e s o e s s i e m p r e mayor o i g u a l

, s e s i g u e que p no d e f i n e a q u í una p r o b a b i l i d a d .

3 ) L a f u n c i d n p d e f i n e a q u í una p r o b a b i l i d a d es 1

p u e s t o que l a suma d e l o s v a l o r e s

y s on no n e g a t i v o s .

4 ) L o s v a l o r e s s on no n e g a t i v o s

, y su suma e s 1 , l u e g o d e f i n e n una p r o b a b i l i

dad s o b r e E 5 ) p tam b ié n e s a q u í una p r o b a b i l i d a d , p u e s t o que l o s v a l o r e s que toman l o s su c e s o s e l e m e n t a l e s s on no n e g a t i v o s y su suma e s

o o o O o o o ----

S O

L O

I O

S i s e la n z a n d o s monedas a l a i r e

lo s casos p o s ib le s

o r e s u l t a d o s p o s i b l e s s on :

CC , CX , XC , XX ind ican do p or C c a ra y p or X cru z. E l ú n ico c a s o f a v o r a b le e s

: CC.

P or t a n t o , l a p r o b a b i l i d a d e s :

p (C C ) -

OTRO METODO :

Sea

A B CC

e l su ceso " s a c a r c a r a en l a p rim e ra

moneda" y

e l s u c e s o " s a c a r c a r a e n l a segunda moneda" ,

e n to n c e s e l suceso

" s a c a r c a r a e n l a p r i m e r a y e n l a segunda moneda" e s l a i n t e r s c c c i ú n de

l o s s u c e s o s A y B. P o r s e r s u c e s o s

in d e p e n d ie n te s se t i e n e

p (C C ) - p ( A O B )

- p (A ).p (B )

- 5 . \ - l

7 .

a p a r tir

C o n s id e r e m o s d el

p u n to

la s

d ir e c c io n e s

por

la s

par

o b tie n e n

según o

a l

s ig u ie n t e

ju e g o .U n a

f ic h a

puede

avanzar

in d ic a d a s

fle c h a s

r e s u lt a d o s

e l

n e g ro

lo s

im p a r q u e

t ir a r

un d a

do. Se

p id e

¿C u á n to s

c a m in o s

to s

puede

s e g u ir

cha

h a s ta

e l

¿C u ál de

cada

¿C u á l de

uno

f i

e llo s ? .

p r o b a b ilid a d

f ic h a de

s u p e r io r e s

f in a l? p r o b a b ilid a d

uno

que

cada

d is t in

lo s

lle g u e

c ir c u io s

después

ju g a d a s ? . S O L O C I O H

a ) L o s caminos a s e g u i r ha sta l l e g a r a c ada uno d e l o s c i r c u i o s son : 1

4 1

6 3

4 3

4a f i l a de c i r c u i o s 3a f i l a de c í r c u l o s 2a f i l a de c í r c u l o s

I a f i l a de c í r c u l o s

0 Cuando s e term in a e l j u e g o e l número de caminos p o s i b l e s e s : 1 + 4 + 6 + 4

+ 1

-16

b ) Tod os l o s caminos t i e n e n l a misma p r o b a b i l i d a d , l u e g o su v a l o r e s

c ) La p r o b a b i l i d a d d e l l e g a r a c ada c í r c u l o depende d e l número de caminos p o s i b le s.

En a ) s e ha s e ñ alad o l o s caminos p o s i b l e s . P o r t a n t o ,

p r o b a b i l i d a d de

l l e g a r a A - 1/16

p r o b a b i l i d a d de

l l e g a r a B - 4/16

p r o b a b i l i d a d de

l l e g a r a C - 6/16

p rob ab ilida d de

l l e g a r a D = 4/16

p r o b a b i l i d a d de

l l e g a r a E = 1/16

NOTA : Pe una im n e ra a n d lo g a ¿ e c a lc u la ( a p r o b a b ilid a d d e l l e g a r a cada uno d e lo & c ir c u lo t > .

—

o o o O o o o -----

7 . ta rse

8 , en

Sean un

dos

e x p e r im e n t o

in d e p e n d ie n t e s , y

lo s

p o s ib le s

sucesos

a le a t o r io .P r o b a r

e n to n c e s

t a m b ié n

que

son

sus

s i

que A

sucesos

pueden B

son

p re se n

sucesos

c o n t r a r io s

(SELECTIVIDAD

S O L O C I O H

A F976)

Sabemos que dos sucesos son in d e p e n d i e n t e s s i

p (A 0 8 ) - p (A ).p (B ) Se t r a c a , p o r t a n t o , d e d e m o strar que ,

p(A n i ) ■ p (Á ). p(B) En e f e c t o ,

______ p ( A n B) - p « A U B)

l e y d e Morgan

■ l - p ( A U B ) - 1 - p ( A ) - P ( B ) + p ( A O B) -

1 - p íA ) - p íB ) + p íA )p (B )

Í1 - p í A ) ) Í 1

A y B in d e p e n d i e n t e s

- píB ))

- p íX ).p íB ) l u e g o , l o s sucesos

A y

son s u c e s o s i n d e p e n d ie n t e s .

o o o O o o o ----

7. 9.

S e a n S un e s p a c i o

na m ed id a d e Se

p ro b a b ilid a d

sabe qu e p (A )

C a lc u la r

p (A

U B)

S O L O C I O H

0 .6

p (A

sucesos,

A y

B e lem en to s d e

S y p u

p (B )

0 .7

p (A u B)

n B ).

p (A n

[SELECTIVIDAD

=0 .3 . -

1976)

Sabemos que dados d o s s u c e s o s de S , A y B , s e v e r i f i c a

la sigu ien te rela ció n :

P Í A U B) - p í A ) + p í B ) - p í A n B) % «= *

p í A U B) + p (A O B) -

p í A ) + p íB )

De e s t a d l t i m a fórm u la y de l a r e l a c i ó n dada en e l e n u n c i a d o . s e o b t i e n e e l g u i e n t e s is te m a :

p íA U B )

+ P Í A n B) - 0 . 6 + 0 . 7 - 1.3

P Í A U B) - p í A n B) - 0 . 3 I o) Sumando l a s dos e c u a c io n e s , r e s u l t a 2 p íA U B )

1.6

-»

: p íA U B )

a 0.8

2 o) R e stan d o l a s d o s e c u a c i o n e s , r e s u l t a : 2píA O B) - 1

p í A f l B) - 0 . 5

s i

7 .

1®

la n z a m ie n t o s

c o n s e c u t iv o s

S O L O C I O » Sean

p r o b a b ilid a d de

una

sacar

a l

m enos

una

cara

m oneda.

- 197S - J W - W M 9 J

1* * * * * * * *

e l s u c e s o " s a c a r a l aenos una c a r a e n n l a n z a a i e n t o s de una e on ed a"

XXX . . .

e l suc eso

e n to n c e s l o s s u c e s o s p ( A ) - 1 - p(XXX . . .

A y

" s a c a r n c ru c e s e n n la n z a a i e n t o s de una ao n e d a "; X X X ...X

son s u c e s o s c o n t r a r i o s . P or t a n t o :

- 1 - p ( X ) . p ( X ) . p ( X ) ..............p(X) .

2°

" 1 ■ 2 • 5 * 5 ..........2 " ‘

- 1

o o o O o o o ----

7 . 1 1 ta i 1) 2)

, Sean

que p (A

p (A ) U

3/8

dos

sucesos

p (B )

= 1/2

p (B )

e s p a c io

p (A

g ♦

1/4

p íA

O B)

p (A

O B I

, 7

)

p (Á U

p (B

p id e

p ( A U B)

p (Á )

p (A )

- |

- l

p (B )

1 -

p (B )

- i

- 5

P < Á O B)

- p (X T T b )

- p (A

U B)

- 1 -

p (Á U B)

- p ( A O B)

■ 1

- p (A

n B)

■ 1 •

■ j

p ( A O B)

p( A)

p(A

♦

p (B )

p (A O B)

p(A -

ÍA H

B))

‘ p íB

H A ) -

p íB

ÍA

H B ))

’ 8)

p ( A A B)

S O L O C I O M

sucesos

p (X )

6) 8)

p íA

A B)

p ííA

P ÍA n

O g) B)

U ÍB n Á ) ) + p <B

Á)

á’

* 8

5• l

píA - 1

p íB )

p í A O B) - 1

, p or d e f i n i c i A n d e d i f e r e n c i a , p or s e r A O B y B O A in c o m p a ti b le s.

-¡♦i-i

píA)

7 . 1 2, traen c ir

Una u r n a c o n t i e n e

sim u ltá n e a m e n te d os

u rn a ;p o s te rio rm e n te se

s im u ltá n e a m e n te ). H a ll a r que

lo s

36,

y que

36 b o l a s

de d ic h a s

núm eros que adem ás,

da e x tra c c ió n

saca

p rod u cto de

no s e a

lo s

otro

p ro b a b ilid a d

se o b tie n en

e l

num eradas d e l b o la s

a l

se v u e lv e n p a r de

del

36. a

b o la s

Se ex

in tro d u (ta m b ié n

suceso c o n s is te n te

p rim e ra

e x tra c c ió n

n o sumen

núm eros o b t e n i d o s e n

según

36. (SELECTIVIDAD -1976)

S O L D C I O B Sean

" l o s d o s números o b t e n id o s en l a . p r i m e r a e x t r a c c i ó n no suman 36"

" l o s dos números o b t e n id o s en l a segunda e x t r a c c i ó n t i e n e n un produc t o d i s t i n t o de 36"

Los sucesos A y B son ev ide n te m e n te in d e p e n d i e n t e s , p or ta n to p (A n B) - p ( A ) . p (B ) a)

C á l c u l o de l a p r o b a b i l i d a d de A. A p lic a r e m o s l a r e g l a de L a p la c e : I o) Casos p o s i b l e s

de e x t r a e r dos b o l a s :

"j "

2o) Casos f a v o r a b l e s ; La p rim era

bola es e l

1 : Las p a r e j a s que cumplen l a c o n d ic ió n v a r í a n e n to n c e s d e l 1-2

a l 1-34, en

total

: 33

La p rim era b o la

e s e l 2 : V arían d e l 2-3 a l 2-33

tota l

: 31

La p rim era b o la

e s e l 3 : V arían d e l 3-4 a l 3-32

, en

total

: 29

La p rim era b o la

e s e l 4 : V arían d e l 4-5 a l 4-31

tota l

: 27

total

;

La p rim era b o la e s e l 16 : V aría n d e l 16-17 a l

16-19,

La p rim era b o l a e s e l 17 : La ún ic a p a r e j a es l a 16-17 ,

3 1

P or t a n t o , e l número t o t a l de p a r e j a s v i e n e dado por : 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 27 + 29 + 31 + 33 “ 289

b) C á l c u lo de l a p r o b a b i l i d a d de B. 1 * ) Casos p o s i b l e s - 630

( l o s mismos que e n a ) - l ® ) )

2®) Casos f a v o r a b l e s ■ 630 - 5 ■ 625 6 -6

, p u e s to que

1-36 ,18-2 ,1 2 - 3 ,9 -4 y

son l o s c a s o s d e s f a v o r a b l e s d e l suc eso B

De a) y b) s e s i g u e que :

p (A n B) = p ( A ) . p ( B ) =

o o o O o o o -----

•

0.455

7 . 1 3 . H a l l a r l a p r o b a b ilid a d d e o b t e n e r dos c a r a s al

cruces

l a n z a r 6 m onedas s o b r e una mesa. ¡SELECTIVIDAD - 1976)

S O L O C I O H En e l

l a n z a m i e n t o d e una moneda l o s r e s u l t a d o s s o n d o s : Cara ( C ) y Cruz ( X ) .

Su p r o b a b i l i d a d e s s on : P (C ) - p (X ) - i I Vanos a c a l c u l a r l a p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o p e d i d o p o r l a " r e g l a de L a p l a c e " . a ) Casos p o s i b l e s . Cada moneda t i e n e d o s p o s i b i l i d a d e s , c on l a s 6 e s Número

l u e g o e l número d e r e s u l t a d o s p o s i b l e s

de c a s o s p o s i b l e s = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

- 26 - 64

b ) Caso f a v o r a b l e s . Un r e s u l t a d o f a v o r a b l e e s

o tam bién

Es e v i d e n t e que

lo s casosp o s ib le s

r c p e t i c i S n de 6

elem en tosde l o s c u a le s

v i e n e n d a d o s p or l a s uno

„ 4 ,2

6! , 2¡

Numero d e c a s o s f a v o r a b l e s : De a ) y b )

se sigu e que la p ro b a b ilid a d e s

ser e p it e "

p e r m u t a c i o n e s con

2 v e c e s y o t r o 4.

1 .2 .3 .4 .5 .6 1 2 3 4 1 2 “

P r o b a b i l i d a d d e o b t e n e r 2 c a r a s y 4 c r u c e s - -g|- • o o o O o o o -----

7 . 1 4 la s

. H a lla r

caras

v is ib le s

p ro b a b ilid a d de

un d a d o

que

la n z ó

suma d e al

de 5. S O L

p u n tos

sea

m ú ltip lo

( SELECTIVIDAD - 1976)

ü C

L a s sumas q u e s e

azar,

lo s

pueden o b t e n e r son

1 no e s v i s i b l e

2 + 3 + 4 + 5 + 6

-20

2 no e 3 v i s i b l e

1 + 3 + 4 + 5

3 no e s v i s i b l e

1 + 2 + 4 + 5 + 6

=18 A

4 no e s v i s i b l e

1 + 2 4 3

-1 7

5 no e s v i s i b l e

1 + 2 + 3 + 4

+ 6

-1 6

j»

6 no e s v i s i b l e

1 + 2 + 3 + 4

+ 5

-1 5

Por tan to

casos fa v o r a b le s - 2

casos p o s ib le s

+ 6

-1 9

+ 5

+ 6

- 6

p r o b a b ilid a d d e que l a

suma s e a m ú l t i p l o d e 5, -

g -

7. 15. de

H a lla r

suc u a d r a d o

tra rio

la y la

ig u a l a

S O L O C I O H Sea A e l s u c e s o

p ro b a b ilid a d del

d e un

s u c e s o .s a b ie n d o quel a

cu ad rad o de la

p ro b a b ilid a d

suma

d e l s u c e s o con

ISELECTJVIVAD -1976)

: y

x su p r o b a b i l i d a d

Ento nces e l s u c e s o c o n t r a r i o

, e s d e c ir , p (A ) = x .

, A , tie n e por p rob ab ilida d

p (A ) - 1 - p (A ) - 1 - x El enunciado d e l pro blema s e tr a d u c e e n l a s i g u i e n t e e c u a c ió n : x 2 + (1 - x ) 2 - l

x 2 + 1 - 2 x + x2 ■ | 18x2 -

18x + 9

- 5

18x2 -

18 x + 4

- 0

9x2 -

9x + 2

“ “ «=*

Y r e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n d e segundo g r a d o r e s u l t a n t e , s e t i e n e :

6 x 2 " 18 '

Por t a n t o ,

1 3 2 r

p (A ) •

, o tam bién

1 p (A ) ■ - .

o o o O o o o -----

7■ 1 6 .

H a lla r

la n za m ie n to s

p ro b a b ilid a d

de ob ten er

d e un d a d o .

m enos

un 3 ”

Sean

A e l suc eso

" s a c a r un 3 e n e l p r im e r d a d o "

B e l suc eso

" s a c a r un 3 e n e l segundo d a d o "

y , e n to n c e s e l suceso

" o b t e n e r a l menos un 3 e n dos l a n z a m ie n to s de un dado" e s l a unión de

l o s s u c e s o s A y B , e s d e c i r , C = A U B. P or t a n t o , p (C ) - p (A U B) - p ( A ) + p ( B ) -

( A H

■g + g - ; ^ ”

Veamos ah ora como s e r e s u e l v e e s t e pro blema p or l a " r e g l a d e L a p l a c e " . a) Los r e s u l t a d o p o s i b l e s b)

a l t i r a r d o s dados son 36.

Los r e s u l t a d o s f a v o r a b l e s a l s u c e s o C son : 31,32,33,34,35,36

Ueg0’

en dos

\ J R V -V 1 1 - 1 1 )

S O L U C I O N

”a l

p(C ) .

■£

, 1 3 ,2 3 ,

4 3 ,5 3 ,6 3

7 . 1 7. dos

¿Cuál

p ro b a b ilid a d

ob ten er

9 o

dados?

con

iS E L E C T J V lM ) -1976)

S O L O C I O H Sean

10 p u n t o s

e l suceso "s a c a r

9 puntos c on d o s d a d o s "

e l suceso "s a c a r

10 p u n t o s c on d o s d a d o s "

, l o s s u c e s o s A y B s e pue

den e x p r e s a r e n t o n c e s a s í : A

- {6 3

, 54

, 45 .

- {6 4

, 55

, 46}

Siendo 1' a)

36}

“ ado p o s i b l e s , a l

Prot

t i r a r dos dados,

36 , s e t i e n e

d e l suceso A :

p (A ) •

P ro b a b ilid a d d e l suceso B :

p(B ) ■

Como l o s s u c e s o s A y B s on s u c e s o s i n c o m p a t i b l e s 3 e rá

que

^ - ■— , la pro b ab ilida d

p e did a

p (A

- p (A ) + p(B ) - - j g +

HOJA: N ó te A e que , A o B

{ 6 3 , 54 , 45 , 36 , 64 , 55 , 4 6 }

y a p lic a n d o l a

" a e g t a d e L a p la c e " o b te n e n o A

e l A e A u lta d o a n t e ó l o * .

o o o O o o o -----

7 . 1 8 dad

¿Cuál

.S e

o b ten er es

ha cara

una m oneda

trip le

p ro b a b ilid a d

S O L O C I O H Sean

tru ca d o

que

cada

ta l

form a

p ro b a b ilid a d

suceso

"ca ra "

que de

p ro b a b ili

o b ten er

cru z.

"cru z"?.

e l suceso

"obtener cara"

e l suceso

"obtener c ru z",

C O X ■ 0

p ( C ) - 3 p (X )

p (C U X) - P ( C ) + p ( X ) -

C U X - E

De e s t a s

y entonces se t i e n e :

, e s d e c i r , C y X s on s u c e s o s i n c o m p a t i b l e s .

p(C n X)

, s ie n d o E e l suceso c i e r t o .

rela cio n e s

se s igu e :

l - P ( E ) - p (C U X) - p(C> + p ( X ) - p ( C n X) - p (C ) + p(X ) -

3 p (X ) + p (X )

- 4 p (X )

d e don de

p (X ) - ¿

, y por tan to.

7 . 1 9 la n za r

.H a lla r

tres

p ro b a b ilid a d

de que

lo s

p u n tos

o b te n id o s

dados,

sum en 3

sum en un m ú l t i p l o

3. ISFLECTIl/IPAP -

S O L U C I O N

1975)

a ) Sea A e l s u c e s o "suma de l o s p u n t o s d e l o s t r e s dados e s 3 " , e n t o n c e s A ■ {1 1 1 } p(A ) - p ( l l l )

, es d e c i r ,

en l o s t r e s d a d o s s e d e be o b t e n e r 1.

- p (l).p (l).p (l)

. I

. i - -L

N ó t e s e que l o s c a s o s f a v o r a b l e s s on I y l o s c a s o s p o s i b l e s son 216. b ) Sea B e l s u c e s o "6uma d e l o s puncos d e l o s t r e s d a d o s m ú l t i p l o de 3 " , c n t o ces 1) 2)

resu ltad os

cuya suma es 3

resu ltad os

cuya suma es 6

111 114 • 141

. 411

123 • 132 , 213 , 231 , 312 , 321 3)

resu ltad os

cuya suma es

12 :

651

» 615 , 516 . 562 . 156 ,

165

642 • 624 , 426 , 462 . 246 . 264 633 • 363 , 336 552 t 525 . 255 543 • 534 . 435 , 453 , 354 , 345 444 4)

resu ltad os

cuya suma es

Por ta n to , casos fa v o ra b le s

18 :

666

: 36

casos p o s i b l e s

P (B ^

:216

216

o o o O o o o -----

7 . 2 0 la n z a r

.¿ C u á l

tres

A el

p ro b a b ilid a d

sacar

tres

dados?

S O L U C I O N Sean

(tre s

\ J R V -V U - 7 }

suceso" s a c a r

e n e l p r im e r d a d o "

s u c e s o " s a c a r a s en

e l segu ndo dado"

su ceso" s a c a r a s en

e l tercer

suceso i n t e r s e c c i ó n

ases

"A y B y C"

P Í A y B y C) = p ( A ) . p ( B ) . p ( C )

dado" , entonces l a p ro b a b ilid a d del

: -

g . g . g -

ya que l o s s u c e s o s A,B y C s on i n d e p e n d i e n t e s . Tam bién s e puede a p l i c a r l a " r e g l a d e L a p l a c e " .En número d e c a s o s f a v o r a b l e s es 1

y e l número de c a s o s p o s i b l e s e s 2 1 6 y su c o c i e n t e 1/216 e s l a p r o b a b i l i

dad d e l s u c e s o A O B n C.

7. ner

2 1 las

.Un

dado

está

distintas

trucado

caras

modo

proporcional

pide

Probabilidad

cada

Probabilidad

sacar

número

Probabilidad

sacar

múltiplo

la los

probabilidad números

obte

estas.

S O L U C I O N a)

que

una

las

caras par de

Sea x l a p r o b a b i l i d a d de s a c a r 1 , e s d e c i r

,p ( 1 )

p ( 2 ) - 2x , p ( 3 ) - 3x . p<4) - 4x , p<5) - 5x ,

■ x , entonces

p<6) -

P or s e r 1 , 2 , 3 , 4 , S , 6 elem entos d e l e s p a c io m u e stra l, dades e s 1 , e s d e c i r

6 x ).

l a suma d e l a s p r o b a b i l i

p ( l ) + p ( 2 ) ♦ p ( 3) ♦ p ( 4 ) ♦ p ( 5 ) + p ( 6 )

- x ♦ 2 x ♦ 3x ♦ 4x ♦ 5x ♦ 6x -

21x

Luego . * • Por tan to,

p< 1) - -yj-

, p (2 ) -

, p (3 ) -

, p (4 ) -

, p (5 ) = ~

P<6) - - j r

b) p C ' s a c a r p a r " ) - p ( { 2 , 4 , 6 ) ) - p ( 2 ) + p < 4 ) + p ( 6 ) c)

p C 's a c a r m lílc ip lo de 3 " ) - p < {3 ,6 > ) = p ( 3 ) + p ( 6 )

- -j f

o o o O o o o ----

7 . 2 2 haga zar

.L a

b la n c o e l

p r o b a b ilid a d en

e l

o b je tiv o ,

S O L U C I O N E l suceso

o b je tiv o s i

que

t ir a n

una

bom ba

1/3. H a l l a r tre s

bom bas

la n z a d a la

B-

"h acer

b l u n c o en

e l o b je tiv o

c on

l a segunda bomba",

C-

"h acer

b la n c o en

e l o b je tiv o

c on l a

t e r c e r a bomba",

entonces , i -

a le a n

e s e l s u c e s o c o m p le m e n ta r io d e 5 ,

= " h a c e r b la n c o en e l o b j e t i v o c on l a p r i m e r a bomba",

p (D ) •

a v ió n de

D ■ "h a c e r b la n c o en e l o b j e t i v o "

s e g u id a s .

D ■ "n o h a c e r b l a n c o e n e l o b j e t i v o " Sean

por

p r o b a b ilid a d

p (D ) •

i -

p (Á n

•

l -

p(X).p(B).p(C)

. 1

• T

n c)

’ T

1 -

8 - 19

2 3 .

En u n a l o t e r í a

m en te

desde e l

p rim e r

e l

fra s

0000

lo s

b ille te s

9999.C a lc u la r

p re m io a lg u n o d e

d is tin ta s ,ta le s

com o

lo s

está n la

num erados

p ro b a b ilid a d

núm eros

que

s o lo

ten g a n

tres

c i

0 0 9 4 ,0 2 1 0 ,8 5 5 0 ,9 6 7 6 ,3 2 8 3 ,...

s o l ü c i o h

c o n s e c u tiv a de que ob ten

t im

Aplicarem os l a r e g l a de Laplace. a ) Casos p o s i b l e s : 10000 b) Casos f a v o r a b l e s

I o) Las p o s i b i l i d a d e s d e e l e g i r t r e s c i f r a s d i s t i n t a s e s : -

120

2o) Cobo s e ha de r e p e t i r una d e l a s c i f r a s d e c ada grup o , c ada uno d e e s t o s 120 no s d a t r e s nu evas p o s i b i l i d a d e s , 120.3

y tendremos e n to n c e s

- 360

3o) Cada uno de e s t o s 360 g ru p o s e s d e l a

forma

aab e , a b b c . a b c c . S i permuta

mos l a s l e t r a s obtendremos f i n a l m e n t e t o d o s l o s números p o s i b l e s . A s í e l grup o

aabe da l u g a r a

12 números

pl "

" 12

P or t a n t o , e l número de b i l l e t e s

fa v o ra b le s e s

P r o b a b i l i d a d d e o b t e n e r e l p r i m e r p rem io -

, p u e s to que

360.12 = 4320.

- 0 '4 3 2 1 0000

o o o O o o o -----

7. 2 4 .

Los

p e n d ie n te s

H a lla r rra

sucesos A tie n e n

p ro b a b ilid a d

uno d e

lo s

dos

S O L O C I O N C on sid erem o s l a lo s

un e x p e r i m e n t o

que

p (A )

re a liz a r

e l

a le a to rio p y

p (B )

son =

e x p e rim e n to

in d e

q. s o lo

ocu

fig u ra

tie n e

B de

p ro b a b ilid a d

sucesos.

a d ju n to .

s u c e s o s co m p lem en ta rio s

tiv a m e n te ,

por

que

S i A y B son

de A y B re s p e c su cesos p e d id o

A A B - (A O B) U (X n B) Por tan to : p ( (A n § ) U ( A n B »

“

p ( A O B)

p (A

O B)

p (A )p (B )

, y a que l o s s u c e s o s A f l B

y ADB

son i n c o m p a t i b l e s , , ya que l o s s u c e s o s A y B , A y B son in d e p e n d ie n t e s »

p (l-q )

(l-p )q

, ya que p ( A ) -

I - p

p (B ) -

1 - q

7 . 2 5 . ga

por

¿Cuál e s

suma

b ie n

p ro b a b ilid a d 3

, o

b ie n

de que a l

, o

b ie n

la n z a r d os

5?.

S O L O C I O M : Sean

A el

d a d o s ,s a l

IJ K V -V 1 1 -6 )

suc eso

"sacar

puntos

con

dos

B e l suceso

" s a c a r 4 puntos con d o s d a d o s " y

C e l suceso

" s a c a r 5 puntos con dos

dados" ,

dados"

en to n c e s l o s sucesos

A.B y

C s e pueden e x p r e s a r también a s í : A

- (2 1 , 12}

- (31

. 22 . 13}

- (41

. 32 , 23 . 14}

Recordemos que e l número de c a s o s p o s i b l e s a l t i r a r dos dados e s 3 6 . Por t a n t o . PÍA o 1 o O

■ P Í A ) + P ÍB ) * P ÍC ) -

—

7 . 2 6 Se

, Una u r n a c o n t i e n e

extrae

una a l

azar.

4 -

o o o O o o o -----

8 b o la s

D e te rm in a r

Sea r o ja

♦

ro ja s ,

No s e a

Sea a m a r illa

Sea

Sea v e rd e

No sea

5 a m a rilla s

p ro b a b ilid a d

que

verdes. :

ro ja

verde

verde. ( J R V - V I I - I 3)

S O L U C I O N Sean

e l suc eso

"s a c a r bola

e l suc eso

"s a c a r bola a m a r illa " y

ro ja "

e l suc eso

"s a c a r bola ve rd e ".

8 P <A) " « T T T T T

p (B ) -

P ÍC ) - - 1 -

El suc eso " s a c a r b o l a NO r o j a " e s e l suc eso c o n t r a r i o d e l A. P or t a n t o ,

‘

8 2 20 = 5

p í í s a c a r b o l a no r o j a } ) e)

3 ■ 5

E l suc eso " s a c a r b o l a r o j a o v e r d e " e s e l suc eso unió n de p (A U B) = p ( A ) + p íB ) -

2 ■ 1 - p (A ) = 1 - 5

A y B. Por t a n t o ,

-1

E l suc eso " s a c a r b o l a NO v e r d e " e s e l s u c e s o c o n t r a r i o d e l C. P or ta n to , p í í s a c a r b o l a no v e r d e } ) - 1 - p ( C ) = 1 -

2 7 .

v iv a n

La p r o b a b ilid a d

50 m ás e s

0 .6

0 .7

que

un h o m b re

P ro b a b ilid a d de que v iv a n

P ro b a b ilid a d de que v iv a

s o lo

e l

P ro b a b ilid a d de que v iv a

s o lo

P ro b a b ilid a d de que v iv a

P ro b a b ilid a d de que no v iv a

Sean

una

re s p e c tiv a m e n te .S e

S O L U C I O N

después

m u je r

c a s a n .S e

18 a ñ o s

p id e

50 a ñ o s

hom bre m u je r

m enos

uno d e

n in g u n o

lo s

dos

dos.

B e l suceso " l a

m u je r v i v e

A e l s u c e s o " e l hombre v i v e

50 a ñ o s más"

50 a ñ o s m ás"

A y B lo s sucesos c o n t r a r io s de A y B resp e c tiv a m e n te . E n to n c e s : a)

p ( " v i v a n d e s p u é s de 50 a ñ o s " ) ■ p ( A H B) • p ( A ) . p ( B )

p ( " v i v a s o l o e l h o m b r e ") ■ p ( A n B ) - p ( A ) . p ( B )

■ 0 .6 x 0 .7 -

0.42

p C 'v iv a s o lo la m u jer")

p C ' v i v a a l menos uno de l o s d o s " ) - p ( A U B) ■ p ( A ) + p ( B ) - p ( A H B)

■ 0 . 6 x 0 . 3 ■ 0 .18

=> p ( A n B ) - p ( A ) . p ( B ) - 0 . A x 0 . 7 - 0 . 2 8

- 0 .6 + 0 .7 - 0.42 -

0.88

E l s u c e s o " n o v i v a n in g u n o d e l o s d o s " e s e l s u c e s o c o n t r a r i o de " v i v a a l menos uno d e l o s d o s " por tan to, p ( " n o v i v a n in g u n o d e l o s d o s " ) • -

l - p C ' v i v a a l menos uno d e l o s d o s " ) 1 - 0 . 8 8 - 0 .12

o o o O o o o -----

7 . 2 8 na

urna

. ¿Cuál que

p la za m ie n to

c o n tie n e y

s in

p ro b a b ilid a d 14

b o la s

b la n c a s

sacar y

dos b o la s

16 b o l a s

b la n c a s

n egras,

é l? .

con

reem

[J K V - V lI - í )

S O L U C I O N

Sean

A e l suceso

" s a c a r b la n c a en l a p rim era e x t r a c c i ó n "

B e l suceso

" s a c a r b l a n c a e n l a segunda e x t r a c c i ó n " .

Veamos c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d en c ada uno d e l o s c a s o s

a ) Con r e e m p l a z a m ie n t o .

. -1^- -

p (A y B ) - p(A O B ) ■ p ( A ) . p ( B ) -

- yy . - jy

b ) S i n r e e m p l a z a m ie n t o . 14

7 . 2 9 . n

tira d a s

H a lla r

dados.

dos

p ro b a b ilid a d

ob ten er

a l

m enos

6 d o b le

(SELEC TIVID AD - 1976) S O L U C I O N Sean

suceso

"s a c a r 6 d o b le en

ln p rim era

tira d a ".

Ay e l

suceso

" s a c a r 6 d o b l e en

l a segunda

tira d a ",

suceso

"s a c a r 6 d o b le en

la tercera

• ••

•••

suceso

e l

p ro b a b ilid a d

P Í A )

••• ♦••

•••

será

U A 2

- p (A . U A . U A . Ü

■

- p í Á j

■

. . .

n -é s im a

e l

tira d a ",

suceso dado

U A n )

•••

...

U A

. . .

)

Á n )

p í Á J) p í Á 2 ) p í Á 3 )

_ 1

s ie n d o

p ( A j

1 -

•••

" s a c a r 6 d o b l e en

p e d id a

tira d a "

p íA n> ,

que

lo s

sucesos

son

in d e -

p en d ien tes, . ya y a <lue q u e t o d o s l o s s u c e s o s t i e n e n l a misma p r o b a b i lid a d ,

*1u c ¿ e

l° s

dados s o lo Aj

e l

co m p lem en ta rio

e l

p ro b a b ilid a d

ca so s que es

re s u lta n

fa v o ra b le

tira r

por

tan to

dos como

será

o o o O o o o -----

7 la

. 3

.D e

una

p ro b a b ilid a d

S O L O C I O H

b a ra ja de

que

40 c a r t a s

sean

dos

sacan

dos

a l

a z a r.H a lla r

reyes.

(S E L E C T m m

.9 ,6 ,

P r i m e r m étod o : a)

núm ero d e

p o s ib ilid a d e s

e le c c ió n

dos ca rta s

núm ero d e

p o s ib ilid a d e s

de e le c c ió n

dos

A p lica n d o

re g la

de L a p la c e

p ro b a b ilid a d Segundo m étodo Sean

A B

p e d id o azar Por

v ie n e

de dos tan to

tie n e

:( 2 ) '

T ~ T "^

sacar dos

reyes

-y jQ

e l suceso el

reyes

suceso

"sa ca r

rey

p rim e ra

e x tra c c ió n "

"sacar

rey

segunda

e x tra c c ió n "

d a d o como ca rta s p (A

es n

in te r s e c c ió n

e q u iv a le n te _

p (A )> p (B / A )

A y

p u estoque

e x tra c c ió n „

en ton ces

e x tra c c ió n

s u c e s iv a s in re e m p la za m ie n to . . _ í_

„

e l su

7 . 3 1

e s p a ñ o la

H a lla r

rey

un a s

2 o)

rey

un a s

dos

e x tra c c io n e s

p rim e ra

s u c e s iv a s ,d e v o lv ie n d o

e x tra c c ió n .

S O L U C I O N el

ob ten er

a za r.d e

una b a r a j a

reyes

Sean R

I o)

3®)

p ro b a b ilid a d

ca rta

iS tttc U v id a d -

b a ra ja

después

1975 - J W - V U - t O )

suceso " s a c a r

e l suceso " s a c a r

R* e l suceso " s a c a r

un r e y

en l a

p rim era e x t r a c c ió n "

un as e n l a se gu n d a e x t r a c c i ó n " un r e y

en l a

, y

segunda e x t r a c c i ó n " .

1 * ) E l s u c e s o " s a c a r un r e y y un a s " e s e l s u c e s o i n t e r s e c c i ó n d e R y A , y a d e más s on s u c e s o s i n d e p e n d i e n t e s . P o r t a n t o p C ' s a c a r un r e y

y un a s " ) - p ( R n A )

- p (R ).p (A )

2 ° ) E l s u c e s o " s a c a r un r e y o un a s " e s e l s u c o s o unió n d e R y A , y además son i n c o m p a t i b l e s . P o r t a n t o

p C ' s a c a r un r e y o un a s " ) - p ( R U A ) - p ( R ) ♦ p ( A ) - A

- A

• ^

3 #) E l s u c e s o " s a c a r d o s r e y e s " e s e l s u c e s o i n t e r s e c c i ó n d e l o s s u c e s o s R y R*

, además s on i n d e p e n d i e n t e s . P o r t a n t o

p C 's a c a r dos r e y e s " ) - p(R O R * ) - p ( R ) . p ( R * )

. A

„ ^

o o o O o o o -----

7 . 3 2 .

Una u rn a c o n t i e n e

c o n tie n e

cu atro

¿Cuál

S O L U C I O N

urna.

b o la s la

tres

b la n c a s

b o la s

b la n c a s

s ie te

5 n e g r a s . E xtraem os

p ro b a b ilid a d

que

la s

dos

n e g ra s.O tra

una b o la

sean

negras?. U K if-m -in

Sean

A e l suceso

"s a c a r b o la

negra de la

B e l suceso

"s a c a r b o la

n e g r a d e l a segunda u r n a " , e n t o n c e s e l s u c e s o

prim era

" s a c a r b o l a n e g ra en l a p rim e ra urna

secció n de lo s sucesos A y B , e s d e c ir

La p r o b a b ilid a d d e l suceso A e s

: p (A )

La p r o b a b ilid a d d e l suceso B e s

: p(B )

S ie n d o l o s sucesos A y B in d e p e n d ie n te s P (C ) • p (A n B) - p ( A ) . p(B ) -

, res u lta . -|- •

en l a segun da"

, C - A O B

urna"

: ■

-J g

es la in te r

7 . 3 3 la

• H a lla r

e x tra c c ió n

p ro b a b ilid a d

s im u ltá n e a

azar

sacar

de dos

un r e y

ca rta s

ñ o la .

un c a b a l l o una b a r a j a

ISELECTIVW AD -

S O L U C I O M

en espa 1976)

P rim er m étodo: La ex tra c c ió n

sim u ltá n e a de d o s

re e m p la za m ie n to .

en ton ces e l lo s

sucesos

ca rta s

e q u iv a le

ex tra c c ió n

su ce siv a

sim

suceso

suceso "sa ca r RC y C R .

P (RC U CR )

"sacarrey

"sa ca rc a b a llo "

rey

Por

y ca b a llo

s im u ltá n e a m en te " e q u i v a l e

u n ió n de

tan to,

- p(RC ) + p(C R) ■ p (R )p (C / R ) + p (C )p (R /C ) _

" T O - T T

390

Secundo m étod o: Veam os cómo ce"

se o b tie n e

I o)

Casos p o s ib le s

2o)

Casos

1®)

fa v o ra b le s

tin g u ib le s De

p ro b a b ilid a d

del

su c e s o p e d id o

por

"re g la

La p la

C4 0

ser

2 -

ex tra c c ió n

* ya

390

<,UÜ * o s

caso

CR °

*nd' s “

sim u ltá n e a .

2®) s e s i g u e q u e l a p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o p e d i d o e s p C 're y

son

y c a b a llo ")

o o o O o o o ----7 .3 4 .¿ C u á l m en te ,d o s

ca rta s

S O L U C I O M Sean

n u m e ra c ió n

una

B -

una c a r t a

e n to n c e s ,e l

ca rta

p (A O B)

b a ra ja

la a

azar

s u c e s iv a

e n una b a r a ja

p rim era v e z "

dado p o r

es p a ñ o la ?

■

p (B / A )

ya que es ryy

a n te rio r

y segunda v e z "

A n B.

p (A )

p (A ).p (B / A )

" p u e s to que

extra er

c o n s e c u tiv a

co n se cu tiv a

su ceso p e d id o v ie n e

P o rta n te,

A ■ "sacar "sacar

p ro b a b ilid a d

* el

suceso c ie r to ,

ya que hay 8 c a r ta s cada p a lo

co n s e c u tiv a s

a n te rio r

una d a d a , d o s d e

s ig u ie n te .

7 . 3 5 neda

• C a lc u la r

ob ten gam os

p ro b a b ilid a d

n caras.

de que

a l

la n z a r

•

Sean

" s a c a r c a ra en e l p rim e r la n z a m ie n to " ,

C e l suceso

" s a c a r c a r a en e l

CCC e l s u c e s o

u n a mo

(J R V -V II-1 5 )

S O L U C I O N

CC e l s u c e s o

n veces

p r i m e r o y en e l s e g u n d o " ,

" s a c a r c a r a en e l

p r i m e r o , en e l

segu ndo y en e l

tercero"

•• • CCC . . . C

e l s u c e s o " s a c a r c a r a e n c a d a uno d e l o s n l a n z a m i e n t o s "

Se t i e n e entonces : CC • C n C

ccc - c n c n c ccc...c»cnc n c n . . . n c s i e n d o además t o d o s l o s s u c e s o s i n d e p e n d i e n t e s . P or t a n t o : p(CCC . . .

C) - p (C ).p (C ).p (C )

...

p(C ) = 1 . 1 . 1

.............

-i-

o o o O o o o -----

7 . 3 6 que

. En

una b a r a j a

un g r u p o d e

c in c o

ca rta s

40 c a r t a s

con ten ga

¿cuál

exacta m en te

p ro b a b ilid a d

dos

ases?.

[ S i t i c t i v i d a d - 1975 - J M - V U - 1 7 ) S O L U C I O N

Vamos a a p l i c a r l a " r e g l a d e L a p l a c e " . a ) Número d e c a s o s p o s i b l e s . L o s g r u p o s d i s t i n t o s de c i n c o c a r t a s que s e pueden f o r m a r son p r e c i s a m e n t e l a s c o m b in a c io n e s de l a s 40 c a r t a s tomadas d e 5 en 5 , e s d e c i r

número d e c a s o s p o s i b l e s * b ) C as os f a v o r a b l e s . C on s id e re m os que e l e g i m o s p r i m e r o l o s d o s a s e s . b l e s es

Él número d e e l e c c i o n e s p o s i

(í)

E l e g i d o s l o s d o s a s e s , h a y que e l e g i r l a s t r e s c a r t a s r e s t a n t e s . E l número e le c c io n e s para e s ta s t r e s c a r t a s es

p u e s t o que l o s a s e s no e n t r a n .

Por tan to, número d e c a s o s f a v o r a b l e s " De a ) y b ) s e s i g u e

( 2

) ( ^ )

, s i e n d o A e l s u c e s o d ad o ,

... "

M W

I Í

(3 6 3 l 3J T

4 .3 1.2 ' "

3 6 .3 5 . 3 4 1. 2 . 3

4 0 . 39. 3 ¿ .

3) . 3¿

t : sva. c

119 “

■■

—

18 278

7 . 3 7 . s e g u id o

C a lc u la r

un r e y

la y

p ro b a b ilid a d

este

sacar

re y ,s e g u id o de

s e g u i d o d e un c a b a l l o ,

un a s ,

una b a r a j a

p a ñ o la . a)

Con r e e m p la z a m ie n t o

S in

ree m p la za m ie n to .

(J K V

S O L U C I O N

Sean

A e l suc eso

" s a c a r r e y e n l a p rim era e x t r a c c i ó n " ,

B e l suc eso

" s a c a r as en l a segunda e x t r a c c i ó n " ,

C e l suc eso

" s a c a r r e y en la t e r c e r a e x t r a c c i ó n " y

D el

" s a c a r c a b a l l o en l a c u a r ta e x t r a c c i ó n " .

suc eso

VJJ

Veamos c uál e s la p r o b a b i l i d a d en cada uno de l o s d o s casos. a ) Con reeraplaznmiento. En e s t e cas o l o s c u a t r o sucesos A,B,C y D son in d e p e n d ie n te s y cada uno t i e n e de

pro b ab ilida d

P (A n B n C n D) -

p (a )

1/40 . P or t a n to , . p ( b) . p ( c) . p ( d ) -

b) S i n reemplazamiento. En e s t e cas o l o s s u c e s o s no son in d e p e n d i e n t e s . c a d a suc eso e s t á c o n d i c i o n a do a lo s a n te rio re s . p(a

n c n

- p (A ).p (B / A ).p (c/ A n 4

•

4 .4 .3 .4

s i

S O L P C I O N

•

— . H a lla r

p ( d /a

~TT

5 .1 3 . 1 9 .3 7

45695

oooOooo—

p ro b a b ilid a d

I T

4 0 .3 9 .3 8 .3 7

7 . 3 8

" 4 0 - 1 9 -

p e n d ie n te s

g a n a r dos

de ganar

c u a lq u ie ra

tres

ju e g o s

de e l l o s

in d e 0 ,0 1 .

IS F IE C T IW M D -19751

S i designamos p or G ganar un p a r t i d o y p or P p e r d e r l o , en to n c e s l o s c a s o s f a vora b lea s o „ :

GCP

, CPG , PGG

Por t a n t o , p C'ganar dos j u e g o s de t r e s " ) - p(GGP U GPG U PGG) - p(CCP) + p(GPG) + p(PGG) - p (G )p (C )p (P )+ p (G )p (P )p (G )+ p (P )p (G )p (C ) - 3 . p ( G ) p ( G ) p ( P ) - 3 . 0 , 012 . 0 ,99 - 0,000297

7. 3 9 . Se

extrae

tie n e

una b o l a

u rn a ,ex tra em o s Se p id e a) b)

con

4 b o la s

a za r,a n o ta m o s

b la n c a s c o lo r,y

p ro b a b ilid a d

d e v o lv e rla

cada

uno de

lo s

su cesos e le m e n ta le s

del

espa

m u e s tra l. :

re s u lta d o s p o s ib le s

es p a cio

En l a la s

s in

n egras.

b o la .

son

B la n ca -B la n c o B la n ca -N e g ra N eg ra -B la n ca N egra -N egra

tres

m u e s tra l.

S O L U C I O N

y el

e s p a c io

Los

una s e g u n d a

c ió

una u r n a

m u estral es

fig u ra

b o la s .

s e ha

S ie n d o

se ñ a la d o

E la s

(V éa se l a

fig u ra )

(B B ,B N ,N B ,N N ) p ro b a b ilid a d e s

sucesos d e p e n d ie n te s

de e x tra cció n

tie n e

d e c a d a una d e

p (8 8 )• p {8 lp (S / 8 )

» y

p lB N )• p(8|p|N/8]

. |

2 p(W B }- p (V ]p (B / N ) ■ y

p ( N N ) . p(N)p(W/W) • \

o o o O o o o -----

7 . 4 0 . En una c a j a ro ja s .E x tra y e n d o dos de ob ten er

una b o la

R ep o n ie n d o

S in

ten em os b o la s

negra

dos b o la s

b la n c a s ,

s u c e s iv a m e n te ,¿ c u á l s e g u id a

una n e g r a

s ie te

una b l a n c a ? .

b o la IJ R V -V 1 1 -1 6 )

re p o n e rla .

S O L U C I O N

Sea

" s a c a r una b o l a

negra" b la n c a "

e l suceso

" s a c a r una b o la

e l suceso

" s a c a r una b o l a b l a n c a s e g u i d a d e una n e g r a "

Veamosa h o r a c u á l e s

p ro b a b ilid a d

en cada

unod e l o s

casos

p e d id os.

a ) R e p o n ie n d o l a b o la . p(NB) - p(N O B) ■ p ( N ) . p ( B )

• iV b)

, ya que l o s s u c e s o » son

• -n r

“

independientes

j ó

S in r e p o n e r l o b o l a . P (NB) - p(N O B) - p ( N ) . p(B/N) 1

■nr • —

15o o o O o o o ----

. 4

1 . A

D e e l l o s , 80 de

que

dos

co n g re so

h a b la n

fra n c é s

c o n g r e s is t a s

c ie n t íf ic o s

e le g id o s

in g le s . a l

azar

in té r p r e te ? . S

Sean

a s is te n ¿C u ál no

100 la

puedan

c o n g r e s is ta s . p r o b a b ilid a d

e n te n d e rs e

s in

(P R E U N IV E R S IT A R IO ) H

■ { » / x es

un c o n g r e s i s t a que h a b la f r a n c é s }

- { x / x es

un c o n g r e s i s t a que h a b l a i n R l é n }

entonces , C ard(P U I ) es d e c i r , de don de ,

100 C ard (P O I )

P or c a n c o , a ) Número b ) Número c) 2)

- C a r d ( F ) + C a r d ( l ) - C a r d (F O I )

Vamos a h a l l a r

- C a r d ( F n 1)

20.

d e c o n g r e s i s t a s que habla n s o l o f r a n c é s

= 60

d e c o n g r e s i s t a s que h a b la n s o l o i n g l é s

Número d e c o n g r e s i s t a s que hablan f r a n c é s c i n g l é s ■ 20 l a p r o b a b i l i d a d a p l i c a n d o l a " r e g l a de L a p l a c e " .

a ) Número de c a s o s f a v o r a b l e s . Cono hay 60 c o n g r e s i s t a s que no saben i n g l é s y 20 no saben f r a n c é s , e l número d e p a r e j a s que no s e e n t i e n d e n e s : 20 . 60

1200

b) Número d e c a s o s p o s i b l e s . E l número de p a r e j a s que s e pueden form a r c on Ion 100 c o n g r e s i s t a s e s (,0 0 ).

100.99

2J Por tan to,

4 950

l a p r o b a b i l i d a d p e d id a , p , es 1 200

T W

o o o O o o o -----

4 2 .

g u ie n te s

D e te rm in a r

sucesos

p ro b a b ilid a d

A p a ric ió n

o b te n c ió n

d e 6 pu n tos

a p a ric ió n

do ca ra

un nú m ero p a r

la n za m ien to s

S O L D O a ) Sea A e l

p para

cada

uno de

lo s

s i

100

una s o l a

e l

p re v io s

una t i r a d a

tira d a

la n z a m ie n to

a p a re c ie ro n

un d a d o e q u i l i b r a d o . d e un p a r

de dados.

d e una m o n e d a ,s i

caras.

1 0 .

IJW-»II-«|

s u c c h o

" s a c a r par a l t i r a r un d a d o " . e n t o n c e s

e s p a c io eq u ip rob a b le s e t i e n e p (A ) ■ p ( ( 2 , 4 , 6 } )

■

{ 2 . 4 , 6 )

.S ien d o e l

- p < {2 })

+ p ({4 })

+ p( { 6 } )

■ g + g + g

■ g ■ ^

También s e puede a p l i c a r l a " r e g l a de L a p l a c c " ... P (A ) ' b ) Sea

ces

cosos fa vo ra b les c a s is p o s ib le s

3 "

1 "

s u c e s o " o b t e n e r 6 puntos en una s o l a t i r a d a de d o s d a d o s " , e n to n

B - (5 1 ,4 2 ,3 3 ,2 4 ,1 5 }

. Sien do e l

e s p a c io equ ip rob ab le r e s u lt a

P ÍB ) - p < (5 1 ,4 2 .3 3 .2 4 ,5 1 )) - p ( { 5 l ) )

+ P( { 4 2 ) ) ♦ p < {3 3 )> ♦ P < (2 4 )) ♦ p< (5 1 })

' 5 y a que l a p r o b a b i l i d a d d e l un s u c e s o e l e m e n t a l e s

—— 3b

A p l i c a d o l a " r e g l a de L a p l a c e " s e o b t i e n e e l mismo r e s u l t a d o p u e s to que l o s c a s o s f a v o r a b l e s son 5 y l o s c a s o s p o s i b l e s 36. c)

S i l a moneda f u e s e e q u i l i b r a d o l a p r o b a b i l i d a d de s a c a r c a r a o c r u z s e r í a j , a q u í , s i n embargo,debemos c o n s i d e r a r l a p r o b a b i l i d a d e m p í r i c a d e d u c id a de l a s e r i e d e l o a 100 p ri m e r o s l a n z a m i e n t o s . P or t a n t o , l a p r o b a b i l i d a d de s a c a r c a r a e s

o o o O o o o -----

7 . 4 3 0 .7 5

.S e

tira n

tie n e 1000

p ro b a b lem e n te

s a ld rá

S O L U C

I O

una m oneda

la n z a m ie n to s .

cuya

H a lla r

e l

p ro b a b ilid a d núm ero d e

veces

cara que

cara.

A plican do l a r e g la de Laplace se t ie n e

ta ra d a

. c s s o i ^ r s ^ r.i M e s casos p o s i b l e s

entonces ’

o 75 .

, >. pl)r e , „ t 0 1000

Número de v e c e s que s a l d r á p ro b a b le m e n te c a r a - n ' - 0 .75 x 1000 - 750

7 . 4 4 y

.U n e x p e r i m e n t o c o n s i s t e

e x tra c c ió n

Sean

d e una c a r t a

e l

suceso

"s a lir

suceso

"extra er

C a lc u la r

e l

la n za m ie n to d e

d e una b a r a ja

cru z

tira r

un o r o

m oneda"

b a ra ja ".

: a)

p (A )

p ( A n B)

p (Á )

p ( A n B)

p (B)

p ( Á n B)

p (B )

p ( A U B)

S O L U C I O N

IJ K V -V U -W

p(A)

p(Á) = 1 - p(A) - 1 - ¿

P (B ) -

p (B ) - 1 - p(B)

Los sucesos A y B son i n d e p e n d ie n t e s , p or t a n t o :

>0 -jó '

I 4

1 1 2 • 4

P (A O B ) ■ p ( A ) . p(B) f)

una m oneda

e s p a ñ o la .

Los sucesos A y B son también in d e p e n d i e n te s , p or t a n t o : 1 3 2 • 4

p ( A O B) - p ( A ) . p ( B ) g)

También son in d e p e n d ie n te s l o s sucesos A y B , p or t a n t o :

p ( A n B) = p ( Á ) . p ( B ) “

5 • ¿

S ie n d o

in c o m p a t ib l e s , s e v e r i f i c a que :

A y B

sucesos

p ( A V B) » p ( A ) + p (B ) "

1 Z

3 4

o o o O o o o -----

7 . 4 5 p (A

n B)

■Sean •

lo s

sucesos

. H a lla r

S O L U C I O N

A y

B con

p (A / B )

p ( A n B) pTH

. 1 . 1 4 • 3 '

3 4

Ü )

p ( B /A )

p ( A n B) p (A )

1 . 1 4 • 2 "

1 2

íi)

p (A )

p (B / A ).

# p (B )

7 .

c o n tie n e S i

. Una

urna c o n t ie n e

8 b o la s

extra e

neqras

una

b o la

Sean

am bas

n egras

Sean

am bas

ro ja s

Sean

una r o j a

S O L O C I O N Sea

N el

urna,

h a lla r

su ceso "s a c a rb o la

negra

segunda

u rn a"

R el

su ceso "s a c a r b o la

ro ja

p rim era u rn a "

R* e l

suceso "s a c a r b o la

ro ja

segunda u rn a "

;

por

tan to

p (N N *)

tan to,

P (R R *)

son

que

suceso ya

que

dos

-|-

NR*

una

RN*.

ambas b o l a s

p (N R * U R N *)

otra

p (N R *)

♦

p (R N *)

p (R *)

■

-jg-

n e g r a s " , en ton ces re s u lta

ro ja s "

in d ep e n d ie n tes

NN*

N O N*

e n t o n c e s RR* re s u lta

• R H R*

p rim era d e b e s e r

en ton ces

- jj-

“

ro ja NR* o

negra" es tá

p ro b a b ilid a d

dados.

in d ep e n d ie n tes,

p o s ib ilid a d e s

ro ja La

;

sucesos

-y g-

sucesos

ambas b o l a s

"sacar son

lo s

sucesos

s ig u ie n te s

suceso "sea

cesos

"sa ca r

p (R )

p (R ) . p ( R * ) - - J - . - } *

la s

;

suceso

Ya que no s e d ic e ten

•

- p (N ). p (N *) “

S e a RR* por

p (N *)

p ro b a b ilid a d

que:

: urn a"

NN* e l

1J R V - V I I - 1 4 |

p rim era

ahora la

p ro b a b ilid a d

n egra.

Sea

ro ja s .O tra

•

otra

3 b o la s

r o ja s .

cada

Veam os

negra

pCN) -

negras

su ceso "s a c a rb o la

6 b o la s

(n e g ra ) RN*

Por

fo rm a d o p o r

segunda

tan to la

.e x is

u n ió n d e

lo s

p (N ).p (R *)

’

♦

10 * T8

p (R ).p (N *)

.3 + T

„

o o o O o o o -----

7 . 4 P (A U S

7 . Sean B) U

lo s

sucesos

H a lla r

con y

p (A )

i i )

,p (B )

p (B / A )

T e n i e n d o en c u e n t a

que

p (A f l B )

pí a n b) ■ i,

A y

P (A / B )

P ÍA / B ) -

P<B>

i : | 8 8

■ p ( A ) +• d ( B ) - p ( A U B)

| * | - | - | 3

, r e s u l t a que :

S i ) P ÍB / A ) .

. p (A )

j : 3 8 8

. 2 3

7. 4 8 . sucesos a)

H a lla r

p ro b a b ilid a d

cada

uno

lo s

s iq u ie n te s

E x tra e r re c id o

un 7

E x tra e r

c e rro jo

d e fe ctu o so

s i

500

e x a m in a d o s

han

apa

d efe ctu o so s. de

una

b a ra ja

c a rta s ,

re y

a s

so ta

una

sum a

s o la

e x tra c c ió n . c)

a p a ric ió n

una

s o la

tira d a

dos

dados

11.

(J K V -V U -S ) S O L U C I O N a)

Sea A e l suc eso " s a c a r un c e r r o j o NO d e f e c t u o s o "

B e l s u c e s o " s a c a r un c e r r o j o d e f e c t u o s o " . P a r a h a l l a r l a p r o b a b i l i d a d de l o s s u c e s o s A y B tendremos en c u e n ta l a p r o b a b i l i d a d e m p ír ic a de l o s 500 examinados p r e v i a m e n t e . P or t a n t o , a)

P (B ) - ¿

p (A ) - 1 - P(B ) =

491

1 - 5ÓÓ

“

5ÓÓ

ya que l o s s u c e s o s A y B son s u c e s o s c o n t r a r i o s . b)

Sea C e l s u c e s o de

" e x t r a e r r e y , a s o s o t a d e una b a r a j a de 40 c a r t a s " ,

e n to n c e s , p (C ) = p ( í r e y , a s , s o t a } ) - p ( { r e y } ) + p ( { a s > ) + p ( {s o t a }> _ _ 4 40 c)

4 40

_ "

Sea A e l suc eso " s a c a r 8 puntos a l t i r a r dos d a d o s " B el

suceso " s a c a r U

A y B se

puntos a l t i r a r

pueden e x p r e s a r también

12 40

2 10

dos dados "

, en to n c e s

así :

A - { 6 2 , 53 , 44 , 35 , 2 6 } B a { 6 5 , 56} Por tan to,

p (A o B) ■

p (A ) + p (B ) -

o o o O o o o -----

7 . 4 9 .

la n za

un d a d o . S i

e l

núm ero q u e

ha s a l i d o

im pa r /

¿cuál

p ro b a b ilid a d

S O L U C I O N Sea

de que

sea

p rim o ? .

A e l suceso

" e l número que ha s a l i d o e s i m p a r "

(1 ,3 ,5 }

B e l suceso

" e l número que ha s a l i d o e s p r im o "

{3 ,5 }

e n to n c e s ,

l a p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o B y a que s e ha r e a l i z a d o A e s : p ( B ) • ^

7 . 5 0 . se

e x tra e n

una

u rn a

que

c o n t ie n e

s im u lt á n e a m e n t e ' d o s

E s c r ib ir e l

e s p a c io

c a lc u la r la

p ro b a b ilid a d

S O L U C I O N a)

tre s

b o la s

ro ja s

c in c o

b o la s .

m u e s tra l

de que

la s

dos b o la s

sean

a z u le s .

tSELECTMMO

b ■ b o l a bla n ca y a *

a z u le s

b o la a z u l,

- ,9761

tenem os l a urna l l e n a d e l a s i g u i e n t e

form a : C • { b 1, b 2 , b 3 , a I , a 2 , a 3 , a 4 , a s } Como e x t r a e m o s s im u ltá n e a m e n te d o s b o l a s , e l E = {b b

p o s ib le s e s p a c io m uestral e s

, ba , a a }

NOTA : 0b*¿>we*e que ¿ a e W u tc U ó n e* S1UULTANEA . S i ( a ext/tacción ¿ u e a e &uce* iv a , entonce* e l e* p ació im e&tAal * e n la : E * { 5 6 , ba , a b , a a ) c)

Sea

A e l suceso B el

suceso

"sacar

l a p rim era b o la a z u l "

" s a c a r l a segunda b o l a a z u l " .

Tenemos que c a l c u l a r l a p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o p e n d ien tes , se t ie n e

ADB.

Coao s on s u c e s o s de

P ÍA H B ) ® p (A ).p (B / A ) - g .

También s e puede r e s o l v e r e s t a segunda p a r t e p o r l a " r e g l a d e L a p l a c e " . I o)

C as os p o s i b l e s

Es e v i d e n t e que s e t r a t a d e c o m b i n a c i o n e s d e 8 e l e m e n t o s tomados d e 2 e n 2. Número d e c a s o p o s i b l e s = ( 2 ) “

"P T

= 28

2 o) C as os f a v o r a b l e s . Se t r a t a de e l e g i r de 5 b o la s a z u le s d o s , s o n ,p o r t a n t o , com bin acion es de 5 e l e m e n t o s tomados de d o s e n d o s . Número d e c a s o s f a v o r a b l e s ' ( 2 ) " De I o) y 2o)

T T

s e s i g u e que l a p r o b a b i l i d a d p e d i d a e s :

p ía

n n

- ij-

o o o O o o o -----

ESTADISTICA DESCRIPTIVA e/t t i que 多 e d tia w io lL a n t a i 多 I g i U z n t t i m a fe 'u a i:

MUESTRA Y POBLACION

VARIABLES ESTADISTICAS

DISTRIBUCIONES ESTADISTICAS

REPRESENTACIONES GRAFICAS

M E D I D A S DE C E N T R A L I Z A C I O N

M E D I D A S DE D I S P E R S I O N

8.1 . ron

Las c a lific a c io n e s

8 7 ,6 4 ,9 2 ,8 6 ,6 9 ,7 1 .

H a lla r

m ed ia

S O L O C I O N C o n s id ere m o s

un e s t u d i a n t e

s e is

p ru ebas

fu e

d e s v ia c ió n

típ ic a .

ta b la

s ig u ie n te

x .-5

•

v *>2

8 '8 4

7 8 ' 14

- 1 4 '1 6

2 0 0 '5 0

13*84

191*54

7 ' 84

61 '4 6

- 9 ' 16

8 3 '9 0

- 7 ' 16

5 1 ' 26 6 6 6 '8 0

46 9 a)

C o n o c id o e s t e

p r im e r a co lu m n a s e o b t i e n e v a lo r

co lu m n a s e

tercera

típica.

puede

m ed ia

ca lc u la r

o b tie n e

7 8 '1 6

s e g u n d a co lu m n a

fin a lm e n te

va ria n za

y la

tercera.

d e s v ia c ió n

6 6 6 ’ 80

ii)

S -

1 0 '5 4

o o o O o o o ----8 y

uno

. 2

. Un a l u m n o d e C . O . U .

fin a l.C a d a

exam en

a n te rio r

e l

8 n otas

6 ,7 ,5

exam en

S O L U C I O N Se

trata

no v a le

trim e s tra l

fin a l

una

a ritm é tic a

nota

exám enes

d o b le

im p o rta n c ia ¿Cuál

tie n e

pon derada,

trim e s tra le s

im p o rta n c ia

tr ip le . es

fin a l

p u esto

que

Un a l u m n o

n o ta

fin a l? .

q u e c a d a un3 d e

.p u es, Pt

tan to,

tie n e

r e s p e c tiv a m e n te .

Por

tres

una m ed ia

m ism o.S e

r e a liz a

es :

(p e s o )

V i

136

19 •

7 '1 5

la s

n otas

E n un e x á m e n b i o l ó g i c o

o b tu v ie ro n ,e n 8 '5 H a lla r

m ile s

m ed ía

S O L U C I O N

9 '5 y

le u c o c ito s ,la s 12

11*5

v a ría n z a

sangre de

c a n tid a d e s

1 4 *5 ,1 0

d e s v ia c ió n

unos e n fe rm o s

17*5

13*5

típ ic a . U M -V 1 U -7 )

X. - X i

( x i - x)

8*5

-3 *6 2

13*10

9*5

-2*62

6*86

-0*12

O'OI

11*5

-0*62

0*38

2*38

5*66

14*5

-2 *1 2

4*49

17*5

5*38

28'94

13*5

1*38

1*90

s ig u ie n te s :

Consideremos l a t a b l a s i g u i e n t e

61'34

De l a p rim era columna s e o b t i e n e l a media :

97 * ** —

12*12

b ) Conocido e l v a l o r de l a media se c a l c u l a n l o s v a l o r e s de l a segunda y t e r c e ra columnas. c ) De ln t e r c e r a columna s e o b t i e n e f i n a l m e n t e l o s v a l o r e s de l a v a r in n z n y des v ia c ió n típ ic a . i)

ii)

V ar ia n z a

S* -

61¡ 3 —

7'66

D e s v ia c i ó n t í p i c a S - /7'66

= 2'76

oooOooo—

8 . 4 y otras sos

. En un g r u p o d e que

es de

pesan

8 0 k g s .¿S e

50 p e r s o n a s

hay a lg u n a s

puede a f ir m a r que

que

m ed ía d e

pesan lo s

70 kqs pe

75 k g s ? . ¿ P o r q u é ? .

S O L U C I O N

a ) S i hay 25 p ersonas que pesan 70 y 25 que pesan 80 e n to n c e s s í , e s d e c i r ,

media en c 6 t c cas o e s 75 como puede comprobarse inmediatamente. b ) En c u a l q u i e r o t r o c a s o l a media no

75. P or e j e m p l o , s i hay 40 con 70 kgs

y 10 con 8 0 kgs , en to n c e s l a media e s : 4 0 .7 0 ♦ 10.80

72.

O . de

lo s

ta b la

s a la rio s

a d ju n ta

d ia rio s

m u estra

d e - 70 e m p le a d o s

S A L A R I O S EN P T A S

C a lc u la r

una d is t r i b u c i ó n de

una e m p re s a

400-449

450-499

500-549

550-599

600-649

650-699

700-749

L ím ite

in fe r io r

sexta

L ím ite

s u p e rio r

cu a rta

M arca

L ím ite s

R e c o rrid o

M e d ia

M e d ia n a

M od a

D e s v ia c ió n

tercera

re a le s o

S O L O C I O H

c la s e c la s e

c la s e

q u in ta

c la s e

rango

típ ic a

y v a ria n z a .

(JRI/-1/III-3J

C on s id e re m os e l s i g u i e n t e c u a d r o :

I . RE A L ES

MARCA

h u¿

399'5-449'5

424'5

-2

-1 6

449'5-499'5

474' 5

-1

-12

499'5-549'5

524'5

549'5-599'5

574' 5

599'5-649'5

624'5

649'5-699'5

674'5

699'5-749'5

724 ' 5

180

NUMERO DE EMPLEADOS

CLASf

fre c u e n c ia s

L a m edia v i e n e d ad a p o r :

x B x o

+cu

= x o

Z f.u . --- ^— N

L í m i t e i n f e r i o r de l a s e x t a c l a s e ■ 650

L í m i t e s u p e r i o r de l a c u a r t a c l a s e ■ 599

Marca d e l a t e r c e r a c l a s e

: 499’ 5 + 549' 5

524*5

d ) - L ím ite s r e a l e s de la q u i n ta c l a s e : L í m i t e i n f e r i o r - 599'5 L í m i t e s u p e r i o r = 6 4 9 '5 e ) Rango o r e c o r r i d o g)

- 749*5 - 3 9 9 ' 5 a 350

La mediana v i e n e dada por la t e r c e r a c l a s e , e s d e c i r , p u e s to que e s donde s e a l c a n z a l a mitad de l o s

l a mediana e s 524'5

ind ivid u os.

S i queremos un v a l o r más p r e c i s o podemos a p l i c a r l a s i g u i e n t e fórm u la :

L a c l a s e modal e s l a t e r c e r a . P or t a n t o , l a moda e s 524 ' 5 S i queremos un v a l o r m is r e a l podemos a p l i c a r l a s i g u i e n t e fórm u la :

- 431*14

Veamos ahora c u á l e s e l v a l o r de l a v a r i a n z a y d e s v i a c i ó n t í p i c a .

5906'12

D e s v i a c ió n t í p i c a :

/ 7

= ✓ 5096'12

- 76'85

8 - 0 g u ie n te

E1 núm ero d e !

h ijo s

5 , 2 ,

C o n s tru ir

H a lla r

m ed ia

H a lla r

d e s v ia c ió n

fa m ilia s

s e le c c io n a d a s

es e l

0 * 6 , 3

d ia g ra m a

b arras.

a ritm é tic a típ ic a . ( J W - V I U -4 )

S O L U C

O H

Consideremos e l s i g u i e n t e cuadro: recu en to

X. X

16 23 36

6 27

105

a ) El dia gram a de b a r r a s v i e n e dado en l a s i g u i e n t e f i g u r a

h ijo 6

27 7ó

2 '7

L a v a r i a n z a v i e n e dada p or : 2

« V

i - a 2 N

I f i*i

103 10 La d e s v ia c ió n t í p i c a = s *

-2

1 '79

2 ,7

10*5 - 7*29

- 3 '21

8 . 7 . co

núm ero d e m u e r t e s

una p o b l a c i ó n

8 , a)

R ep resen tar

lo 3 ,

la rg o 5 ,

H a lla r

m ed ia

H a lla r

m ed ia n a

H a lla r

v a ria n za

2 ,

d is trib u c ió n

p ro d u c id a s una

por

a c c id e n te s

semana h a

s id o

tr á fi

7 , 1 , 9

m ed ia n te

y d e s v ia c ió n

un d ia g r a m a .

típ ic a . IJW - V JJJ- S i

S O L U C I O N a)

R epresen ta m os l a d i s t r i b u c i ó n m e d i a n t e e l s i g u i e n t e d ia g ra m a p o l i g o n a l : A c c m m is 9 8 7

6 5 4 3 2 1 N c)

Ordenados es

tie n e

: 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9

, l u e g o l a mediana

C on s id e re m os ah ora l a s i g u i e n t e t a b l a : Dias

Lunes M arte s

Ju e v e s Viern es Sabado Domingo

b) d)

La m edia d e l a d i s t r i b u c i ó n d ad a e s :

x -

“

De l a c u a r t a columna s e o b t i e n e e l v a l o r de l a v a r i a n z a y d e l a d e s v i a c i ó n típ ic a .

A la derecha d e l cuadro e s t á n e s t o s v a l o r e s .

8. L a

m éd ic o e s K ilo s

Núm ero d e

d is trib u c ió n

s ig u ie n te

peso

p a c ie n te s

50 -60

R e p r e s e n ta r m a d ía n te H a lla r

la s

pesos

60 p a c i e n t e s

un c e n t r o

to d a s

por

60-70

7 0 -80

un h i s t o g r a m a

m ed id a s d e

8 0 -90 1 90-100

100-110

d is trib u c ió n .

d is p e rs ió n

e s tu d ia d a s . (J R V - V H 1 - 6 )

S O L O C I O H

a ) E l h is to g r a m a de l a d i s t r i b u c i ó n v i e n e dado e n l a s i g u i e n t e f i g u r a : 20 n 16 14 12 10 8 6 4 2

50 Mtwtuu

60 55

90 85

100 95

110 105

f. i

x .f.

• X. - X i

|x. - x|

\ * i ~ x| *f.

(x.-

XI ro

Consideremos ahora l a s i g u i e n t e t a b l a :

165

-2 1 *1 6

21*16

6 3 '4 8

447'7 4

1343'22

975

- 1 1 ' 16

11*16

167'40

124*54

1868'10

1500

- 1*16

1*16

2 3 '2 0

1'34

2 6 '8 0

1445

8 '84

150'2 8

78' 14

1328'38

380

18'84

74 '36

359'9 4

1419*76

105

28’ 84

28'84

831'7 4

8 3 1 ' 74

4570

iv )

; 110 - 50 - 60

D e s v i a c i ó n media

D-

Varianza

S2 - 6818

D esviación t í p i c a

S -

- 507'56

: 60 - 8 ' 4 6 63

iii)

Rango o r e c o r r i d o

ii)

507'5 6

10'65

6818 '0 0

« u

- i B

- 76'16

O . tes

d ía s

tem p era tu ra

sem ana ha s i d o

D I A S

ha m arcad o e l

term óm etro

lo s

d ife re n

M IN IM A

Lunes

H a lla r

que

MAXIMA

M artes

-2

M ié rc o le s

-3

Jueves

V ie rn e s

Sábado

D om ingo

t e m p e r a t u r a m e d ia m ínim a

t e m p e r a t u r a m e d i a m á x im a

m ed ia d e

la s

S O L O C I O N

o s c ila c io n e s

extrem a s d ia r ia s .

(J R V -V I7 I-7 }

Consideremos e l s i g u i e n t e cuadro : DIAS

MINIMA

MAXIMA

OSCILACIONES

Martes

-2

M iércoles

Lunes

-3

Jueves

Viern es

Sábado

Domingo

119

112

a) La temperatura media mínima e s

b ) La temperatura media máxima e s

xM “ 119 ; 7 = 17

= 7 : 7

c ) La media de l a s o s c i l a c i o n e s extremas d i a r i a s e s : x

NOTA

La ¿

o 6 c ita c io n e ¿

te m p e ra tu ra

v ie n e n

dadai

por

m á x im a y m ín im a .

o o o O o o o -----

= 112 : 7 = 16

d ife r e n c ia

e n tre

8 . 1 0 . L a s

d e c la ra c io n e s

fu n c io n a rio s

son

la s

s ig u ie n te s

Número de h ij o s

Núm ero d e

fu n c io n a rio s la

R ep resen tar

H a lla r

m ed ia

H a lla r

v a ria n z a

S O L O C I O H a)

d e Ayuda F a m ilia r

fo rm u la d a s

por

100

1 18

d is trib u c ió n

m e d i a n t e un d ia g r a m a

b arras.

a ritm é tic a . y

d e s v ia c ió n

típ ic a .

f jg V -V J U -S |

e n barras vi e n e dado e n la siguiente figura :

E l d iag rí n 24 21 16 15 12

9 6

Consideremos ahora la siguiente tabla

V i

X. i

x * f.

1 2

104

153

144

100

108

1 0

100

211

x ■ =

2 1 1 :1 0 0

2 ' 11

; c) S2 -

81 757

(757:100)

- 2*112 - 3*12

;

s -

1'76

y a)

8 . 1 1 .

Los

razón

v a lo r

S O L D C a)

X j , x 2 ,

de e s to s

núm eros

lo s

t é r m in o s d e una

L a m ed ia a r i t m é t i c a re la c io n e s

lo s

+ x_ +

-i

...

lo s

+ x

núm eros

xl *

I.J

S ien d o

cu ál es

|xj

|<x,

l“

d >

(i- l)d )

(« ,

n -

1) |

|2 i - ( n

a) 2i

(n +

1| ■

|2 i

en teros

(n + - 0

1)|

—

por tan to,

g re s ió n .

x, + x

m e d ia .S e

•

«-* 1

*-*

-1

h ,

la s

trata,

por

tan to,

>) d | .

|i .

>|d

0 o

12i

(n +

n +

(n +

i) -

l) -

(n n +

i -

h +

= n

<-»

h +

2h +

1) | -

d e donde n es

im p a r,n =

2h+l

2i -

cuando

sea

cen tral

■

c ie rto

2h +

h +

1) |

será

*-»

m ínim a cu a n d o

térm in o

1) | ■ 1

(n +

en cu en ta

— (n + esto

<=» 2i

S .n

< H z i> ± )| .| < i

[ 1 1 será

—

e s ,te n ie n d o

e x p res ió n

ta n to ,i

másp r ó x i m o a

2*)

—

por

m ín im o.

12i

|2 i - ( n

tér

(n -l)d

- 2“ ~ ‘ l d 0

a ritm é tic a

e l v a lo r

t r a t á n d o s e de núm eros

I a)

p rim e r

- Xj + ( n - l ) d

x, + x

_2_ -

|2 i y

del

a )y b ):

(n -l)d =

Veam os a h o r a hacer

fu n c ió n

x ^ .x ^ .-.-.x ^

a ritm é tic a

apartados

p ro g re s ió n

x i + x„

p id e

m ed ia .

El t é r m i n o g e n e r a l d e l a p r o g r e s i ó n e s

¿ - -i

O .S e

O M :

L a su m a d e

razón .

m ás p r ó x i m o

están

p ro g re s ió n

m ed ia a r i t m é t i c a

m in o y b)

n(S iseros esta

p ro g re s ió n . 1

o 2i

d edonde n

+ 1)

espar,

n -

-1 2h

2 1

son

lo s

de donde n es

térm in o s

par,

c e n tra le s

n =

pro

8.12 yecto

•H a lla r

d 1* d 2 ,

s i

v e lo c id a d

m ed ia c o n

que s e

ha r e c o r r i d o

re c o rrió

con

v e lo c id a d

d2 se

re c o rrió

con

v e lo c id a d

v 2> ••

tra

S fL B C T m V M ) -

S O L U C I O N

e l

1976)

Recordemos que l a fórm u la de l a media a r i t m é t i c a e s : s « i'i - T 7 ¡ -

* S i hacemos :

x ¿ - v^ - v e l o c i d a d e s en l o s d i s t i n t o s t r a y e c t o s ■ t j ■ tiem po t a r d a d o en cada t r a y e c t o

e n to n c e s l a fórm u la s e tran s form a en :

2 V i ~

.—

¿ rc

*V B * v e l o c i d a d media)

■ v=

y p a r t i c u l a r i z a n d o par a n u e s tr o c a s o , cenemos :

V i

+ v2 c 2

t 1 + c2 Pon ien do

t j • d j/ vj

, t 2 - d 2^v 2

< 1 ,

y s u s C Ítu y endo • r e H u l t a :

d2 »

dl + d2

3 T 7 3 v,

dl *

j i + di

divi * V i

d l + d2 ■

- r ’ 2

o o o O o o o -----

. * 1 3 . H a lla r la

tra yecto y

lo s

km s i

10 km ú l t i m o s

S O L U C I O N

v e lo c id a d lo s

m ed ia c o n q u e

p rim e ro s

s e han r e c o r r i d o

se a

han

ha r e c o r r i d o

re c o rrid o a

un km/h

80 k m / h .

T eniendo e n cu enta l a fórm u la que da l a v e l o c i d a d media par a dos t r a y e c t o s (v é a se e j e r c i c i o a n te rio r)

, se tie n e :

v. - ibi S4-!g.6-ó • 60 • 80 - /h - 6 8 '5 6 km/h

o o o O o o o -----

8 .14. R e p r e s e n t a c i o n e s

gráficas en una distribución estadísti

ca. Aplicación de S

las O

10 D

una

distribución

primeras I

Considerem os l a s

palabras

del

frecuencia presente

del

nfimero

letras

enunciado.

( S E L E C r m W S

10 p r i m e r a s p a l a b r a s d e l e n u n c i a d o

19761

"REPRESENTACIONES GRAFICAS EN UNA DISTRIBUCION EST ADISTICA, APLICACIO N A L A DISTRIBUCION" R e p r e s e n t a m o s e n una t a b l a l a d i s t r i b u c i ó n d e l a s l e t r a s X

f .*

En t o t a l h a y 16 l e t r a s d i s t i n t a s .

Pod em o s r e p r e s e n t a r e s t a d i s t r i b u c i ó n m e d i a n

t e e l d iagram a d e b a r r a s s i g u i e n t e .

NOTA : S í i uiónoó lo& vaío M t*

ío& punto&

Ia , 10 )

I b, 2 ) , . . . , (u ,3 )

con

to ¿ obtinturof> una p o lig o n a l , y t í diagram a a e c íb t t í nombAt d i "diagnarra p o lig o n a l"

"p o líg o n o d i fritcu en cM U " .

o o o O o o o -----

ótgmin-

8 . 1 5 lo s

-C a lc u la r

p rim e ro s

d rados

lo s

m ed ia

núm eros

a ritm é tic a

n a t u r a le s , s a b ie n d o

n p rim e ro s

núm eros

d e s v ia c ió n

que

n a tu ra le s

típ ic a

suma d e

lo s

| (n (n + l)(2 n

cua 1 ).

(SELECTIVIDAD -1 9 75 ) S O L U C I O N

a ) C a lc u l e m o s p r i m e r o l a m e d ia a r i t m é t i c a .

1 + 2 + 3 + ñ

... + n

1 + "

n 2--

b ) C o n s id e r e m o s a h o r a e l s i g u i e n t e c u a d r o :

T e n i e n d o e n c u e n t a l o s v a l o r e s d e l a ú l t i m a columna s e t i e n e : s2 - i(i +

... +

l ( nl n_ L D . Í 2 n

n2 +

(n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

. +

(n_+ l ) ( . 2n + 1) 6

(1 + n )(4 n + 2 -

3n -

+ n )(n -

n(iyí)2 _

—

( i ? ) 2

+ n) ------------

( 1 + n ) _ 4

l +

4 + 6 +

+ 2 n ))

)

+ n) 5------

( i ] , ( n ó t e s e que

- ; 2)

n2 -

NOTA: A l mi&mo r e A u t t a d o ¡>e l l e g a t e n ie n d o e n c u e n t a qu e :

y por ta n to , i e p o d ría haber e& cAito d irectam ente

&2 =

Z (x .-í)2 = l X x 2 i n < .

2xJ Zx. n x

* - X x2 n i

2 « 11 1

8 . 16. ria n z a de

H a lla r

una

E s tu d ia r

y e l

e x p re s ió n

v a ria b le

v a r ia n z a

caso

= es

ax s

la b

m e d ia

a ritm é tic a

cuando

sabe

que

m ed ia

va-

p a rtic u la r

x --

x lS t L E C n t n t M P - l 9 7 S 1

, p o r d e f i n i c i ó n d e m e d ia a r i t m é t i c a £ ( a x . ♦ b) , su stitu y en d o y . a I

po su v a l o r

ax. + b

x . + nb n

, p u e s t o que £ x 7 n - x

r <y¡ -

ax + b

y )2

-----------------

. p o r l a d e f i n i c i ó n d e media

£ (a x ¿ + b -

(ax + b ) )

^ s u s t i t u y e n d o y . e y p o r su v a l o r

£ (a x l - a x )2 h a cien do

op era cion es.

a2 £ ( x i - i ) 2 sacando f u e r a a

CASO PARTICULA* :

p u e s to que £ (x^ - x )

y - —

~ ¿

• l u e &°

•

/n ■ s x

y b " " s

OTRAS PUB LICACIONES DE LOS AUTORES

M A TE M A TIC A S

COM U N E S

C .O .U .

p o r J .R .V Ízm a n o s

I N D I C E : J . - C o n j u K t o 6 : 1-1 I n t r o d u c c i ó n . 1 . 2 R e l a c i ó n d e p e r t e n e n c i a 1 . 3 D i s t i n t a s f o r m a s d e r e p r e s e n t a r un c o n j u n t o . 1 . 4 R e l a c i ó n d e i n c l u s i ó n . 1 .5 P r o p ie d a d e s d e l a r e l a c i ó n d e i n c l u s i ó n . 1 .6 Id e n t id a d d e c o n j u n t o s . 1 .8 D iagra m as d e c o n j u n t o s . 1 -9 O p e r a c i o n e s c o n c o n j u n t o s . 1 . 1 0 A l g e b r a d e p a r t e s d e un c o n j u n t o . E J E R C IC IO S . 2 . -P A O p O & icÁ O H tA : 2 . 1 P r o p o s i c i ó n . 2 . 2 V a l o r l ó g i c o d e u n a p r o p o s i c ió n . 2 .3 O p era cio n es con p r o p o s ic io n e s . 2 .4 Im p lic a c ió n l ó g i c a . 2 .5 E q u iv a le n c ia l ó g i c a . 2 .6 T a b la s de v e rd a d . 2 .7 A lg e b r a de p r o p o s ic io n o s . E J E R C IC IO S . 3 . - C ¿ A c iU t O & ¿ Ó Q ¿ C 0 ¿ : 3 . 1 S i s t e m a s d e n u m e r a c i ó n . 3 . 2 S i s t e m a b i n a r i o . 3 .3 A lg e b ra b in a r ia . 3 .4 C ir c u it o s l ó g i c o s . 3 .5 C om b in acion es con c i r c u i t o s . 3 .6 C i r c u i t o s e q u i v a l e n t e s . 3 .7 T a b la s d e r e s p u e s ta . 3 . 8 A l g e b r a d e B o o l e . E J E R C IC IO S . A . - A p í l c n t U o n e i '- 4 . 1 P r o d u c t o d e c o n j u n t o s . 4 . 2 R e p r e s e n t a c i ó n del pro d u cto de c o n ju n to s . 4 .3 P ro p ied a d e s d e l p ro d u cto de c o n ju n to s . 4 .4 C o rres p o n d e n c ia s . 4 .5 A p lic a c io n e s . 4 .6 C la s e s de a p lic a c io n e s . 4 .7 C om p o sició n d e a p l i c a c i o n e s . 4 . 8 R e p r e s e n ta c io n e s g r á f i c a s . 4 .9 N o c i ó n d e g r a f o . E J E R C IC IO S . 5 . - V a jU a t U o n t 6 , p V a m U a c Á D M A y c t m ix in a x ú o n t l, : 5 . 1 V a r i a c i o n e s sin r e p e t i c i ó n . 5 . 2 F a c t o r i a l e s . 5 . 3 P e r m u t a c io n e s s i n r e p e t i c i ó n . 5.4 N ú m e r os c o m b i n a t o r i o s . P r o p i e d a d e s . 5 . 6 V a r i a c i o n e s c o n r e p e t i c i ó n . 5 . 7 P e r m u t a c i o n e s c o n r e p e t i c i ó n . E J E R C IC IO S . 6 . -A lg e b r a d e ¿ u c e ¿ 0 ¿ : 6 .1 E x p e rim e n to a l e a t o r i o . 6 .2 S u c e s o s . 6 .3 O p e r a c io n e s con s u c e s o s . 6 . 4 A l g e b r a d e B o o le d e l o s s u c e s o s a l e a t o r i o s . E J E R C IC IO S . 7 . - P x o b a i x ¿ t ¿ d a d e & y ¿4££U£JUU04; 7 . 1 F r e c u e n c i a s a b s o l u t a s y r e l a t i _ v a s . 7 .2 P ro p ie d a d e s de la s fr e c u e n c ia s . 7 .3 D e fin ic ió n c l á s i c a de p r o b a b ilid a d . 7 .4 D e fin ic ió n a x io m á tic a de p r o b a b ilid a d . 7 .5 P roba b i l i d a d c o n d ic io n a d a . 7 .6 P r o b a b ilid a d e s t o t a l e s y com puestas. 7 .7 S u c e s o s d e p e n d i e n t e s e i n d e p e n d i e n t e s . E J E R C IC IO S . $ . - E ó t a d í á t c c a d tA C J L Íp t c v a : 8 . 1 M u e s t r a y p o b l a c i ó n . 8 . 2 I n f e r e n c i a e s t a d í s t i c a . 8 .3 C a ra c te re s e s t a d í s t i c o s . 8 .4 V a r ia b le s e s t a d í s t i cas d i s c r e t a s . 8 .5 V a r ia b le s e s t a d ís t ic a s c o n tin u a s. 8 .6 D i s t r i b u c i o n e s e s t a d í s t i c a s d e un c a r á c t e r . 8 . 7 R e p r e s e n t a c i o n e s g r á f i c a s . 8 . 8 T r a t a m i e n t o d e l a i n f o r m a c i ó n . 8 . 9 M ed id a s d e c e n t r a l i z a c i ó n . 8 . 1 0 M e d i d a s d e d i s p e r s i ó n . E JE R C IC IO S . * * * * * * * * *

PROBLEMAS

ALGEBRA T o - o .l

p or.M . A n z o la y J .

Caroncho

IN D I C E : J e o f U a de. C O n jiu it o & : 1 . C o n j u n t o s - A l g e b r a d e c l a s e s . 2 . C o rrc s p o n d e n c ia s - A p lic a c io n e s . 3 .R e la c io n e s de e q u iv a le c ia . 4 .C o n ju n to s ord en ad os. 5 .A lg e b r a d e B o o le . 6 .C a r d in a le s . 7 .C o m b in a to ria . T e o 'ú a d e g e u p o * : 1 . O p e r a c i o n e s . 2 . E s t r u c t u r a d e g r u p o . 3 . G r u p o s cí_ c l i c o s . 4 . Grupos f i n i t o s . 5 . Grupos a b e l i a n o s . 6 . Grupos l i b r e s . A n l t t o i y CJieApOA! I . L a P on fjm m ío e v un m u A* .. * *

estru ctu ra de a n illo .

* * * * * * *

2 .Id e a le s .

3 .C uerpos.

PROBLEMAS DE ALGEBRA L IN E A L IN D IC E : 1 . M ó d u lo s : E s p a cio v e c t o r i a l : m os.

estru ctu ra . estru ctu ra .

6 . D e term in a n tes

e c u a c io n es

8 .V a lo re s *

Jomo , , ^

2 . A n i l l o s y n o d u lo s n o e t h e r i a n o s . 3. 4 . M a tr ic e s . 5 .M a tr ic e s y en d o m o rfis -

a p lic a c io n e s y vectores

H A n Io la y J C3njncho

m u ltilin e a le s .

Por J .R .V ia w n o s y

-----------------------------------------------------------------------------------d e & C / U p t iv a :

CURSO Y E J E R C IC IO S D E B IO E S T A D IS T IC A I NDICE: U t a d i& t i c a

7 .S is te m a s de

p ro p io s .

R .A s en s io

1. G e n e r a l i d a d e s .

2 .D is trib u c io n e s

e s t a d í s t i c a s d e un c a r á c t e r . 3 . M e d i d a s d e c e n t r a l i z a c i ó n . d e d i s p e r s i ó n . 5 . M e d i d a s d e f o r m a . PROBLEMAS RESUELT OS.

4 . M edid as

P n o b a b ¿ L ¿ d a d t& : 1 . A l g e b r a d e s u c e s o s . 2 . F r e c u e n c i a y p r o b a b i l i d a d . 3 . P r o b a b i l i d a d c o n d i c i o n a d a . PROBLEMAS RESUELTOS. V ¿ 6 ÍX ib u e Á / )H t& d i Á C A e t a * : 3 .D is tr ib u c ió n

1. G e n e r a l i d a d e s .

h ip e rg e o m é tric a .

2 .D is trib u c ió n

4.D is trib u c ió n

b in o m ia l

d e P o is s o n .

PROBLE

MAS RESUELTOS. V ¿ ¿ ft¿ b a c ¿ o n t6 c o n tin u a * : 1 . G e n e r a lid a d e s . 2 . D i s t r ib u c i ó n n o rm a l. 3 . D i s t r i b u c i ó n X2 d e P e a r s o n . 4 . D i s t r i b u c i ó n t d e S t u d e n t . 5 . D is trib u c ió n R tty it* ¿ 6 n c ió n .

F d e F i s h e r - S n e d c c o r . PROBLEMAS RESUELTOS. y c o X A e la c Á ó n : 1 . G e n e r a l i d a d e s . 2 . R e g r e s i ó n .

3 .C o r re la

PROBLEMAS RESUELTOS.

E A tú m c X ó n d t p a x h m X h o * : 1 . I n t r o d u c c i ó n . 2 . D e f i n i c i o n e s . 3 . E stim a d o r e s p o r p u n t o mas u s u a l e s . 4 . D i s t r i b u c i ó n e n e l m u e s t r e o d e e s to s e s tim a d o re s . 5 .D is tr ib u c io n e s a s o c ia d a s a l e s tu d io de d os pol a c i o n e s n o rm a le s e i n d e p e n d ie n t e s . 6 . C o n s tr u c c ió n d e i n t e r v a l o s de c o n fia n za .

PROBLEMAS RESUELTOS.

C o n tA a A te d e k i p 6 t t * ¿ á :

1.In tro d u c c ió n .

2 .D e fin ic io n e s .

para lo s c o n tra s te s . 4 .A n a lo g ia s e n tr e c o n tra s te s i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a . PROBLEMAS RESUELTOS. X2 : A p t ic o c d x m e A d e l a t r ib u c ió n ex p e rim e n ta l y in d e p e n d e n c ia e n t r e n eid a d d e v a r ia s A jtí l i é Í Á

de la

1. I n t r o d u c c i ó n . una t e ó r i c a .

caracteres

m u estras.

V O A ám za:

3 . F órm u la s

de h ip ó te s is

2 .C o n fo rm id a d d e

3 .R e la c ió n

c u a lita tiv o s .

una d i s

d e d e p e n d e n c ia

ca.

PROBLEMAS RESUELTOS.

1.In tro d u c c ió n .

1 .C o n c e p to .

3 .M étodos d e e s t u d io

4 . C o n t r a s t e d e homoge

2 .A n á lis is

v a ria n za

c o n un f a c t o r d e v a r i a c i ó n . 3 . A n á l i s i s d e l a v a r i a n z a c o n d o s t o r e s i n d e p e n d i e n t e s d e v a r i a c i ó n . PROBLEMAS RESUELTOS. S e tU z 4 c A x m o ló g íe J U :

2 .A n á lis is

d e una s e r i e

te n d e n c ia s e c u la r .

fa c

c ro n o ló g _i

E s tu d io d e

la s

v a r ia c io n e s e s t a c io n a le s . S .D e s e s ta c io n a liz a c ió n . 6 .E s tu d io d e la s flu c tu a c io n e s c í c l i c a s . 7 E s tu d io de l a s v a r ia c io n e s a c c id e n t a le s . 8.

P re d ic c ió n .

PROBLEMA RESUELTO.

& ¿ t x t ¿ o g x a l¿ a . A p é n d ic e ; T a b l a I : D i s t r i b u c i ó n b i n o m i a l . T a b l a I I : D i s t r i b u c i ó n P o is s o n . T a b la I I I : D i s t r ib u c i ó n n o rm a l. T a b la I V : D i s t r i b u c i ó n d e P earson. de

T a b la V:

D is tr ib u c ió n

S tu d en t.

F is h e r-S n e d e c o r .

* * * * * * * * *

V I:

D is tr ib u c ió n

x2 F