physique des plasmas -- CLAN9 livre electronique by Jedi Jedi

NRG9200-Description (Obligatoire à la maîtrise et option au doctorat) Ce cours couvre les sujets suivants : la physique atomique dans les plasmas, les collisions atomiques, les orbites des particules, la fonction de distribution, les équations des deux fluides (diffusion, mobilité), les équations MHD, les ondes de plasmas, les équations cinétiques, les collisions coulombiennes, les sources de plasmas dans la nature et dans le laboratoire.

PHYSIQUE DES PLASMAS

QU’EST-CE QUE C’EST UN PLASMA?

Figure 1 Température du plasma en fonction de la pression de travail ___________________4 Figure 2 Types de plasmas en fonction du régime densité-température ___________________5 Table 1 Applications des plasmas..................................................................................................3 Table 2 Tableau de la couleur des décharges dans les gaz...........................................................5

_________________________________________________________________________ INTRODUCTION 1

PHYSIQUE DES PLASMAS Qu’est-ce que c’est un plasma? On peut dire qu’un plasma est une collection de particules chargées, localisées dans l’espace, avec (généralement) la densité des charges positives à peu près égale à la densité des charges négatives. Mais il existe des plasmas dits “non-neutre” composés presque exclusivement d’électrons ou d’ions (e. g. faisceau d’électrons) qui démontrent les propriétés collectives d’un plasma. Les charges positives sont généralement des ions, des atomes ou des molécules d’où on a enlevé un ou plusieurs électrons. Les charges négatives sont généralement des électrons, mais dans certains milieux avec des espèces électronégatives, on peut avoir la formation d’ions négatifs. Des exemples sont F-, Cl-, O-. Normalement, on considère cette collection de particules chargées un plasma si la dimension de cet “objet” est plus grande qu’une distance de “blindage” - une distance sur laquelle l’effet d’influences externes (e. g. des plaques chargées) est réduit ou éliminé par une redistribution interne des charges. Le plasma “s’isole” du monde extérieur. Le mouvement des particules chargées peut être dominé par des collisions avec d’autres particules chargées (si le plasma est “fortement ionisé”) ou par collision avec des neutres (un plasma “faiblement ionisé”). Historiquement, des plasmas ont été observés sans comprendre leur nature ou composition. Des exemples de plasmas “naturels” sont le soleil, les aurores boréales, les flammes et la foudre (En connaissez-vous d'autres?). Ce n’est qu’à la suite d’expériences qu’il a été démontré que les nuages sont chargés électriquement pendant les orages et que la foudre est un transfert de charge important, que les flammes peuvent être influencées par des objets chargés, démontrant ainsi la nature électrique des ces phénomènes. En général, les plasmas sont de bons conducteurs d’électricité. Avec cette connaissance, les scientifiques étaient capable de produire des plasmas par des décharges électriques, de telle sorte que le début du 20ième siècle a vu des travaux significatifs sur les décharges à haute pression (les arcs) et à basse pression (les décharges luminescentes). Depuis ces jours, notre compréhension des plasmas a progressé énormément, grâce aux multiples applications des plasmas et du besoin d’en comprendre les propriétés physiques et chimiques. Après la deuxième guerre mondiale, les scientifiques ont réalisé qu’il y a peut être des moyens de contrôler les réactions de fusion pour produire “l’énergie du soleil” - la solution ultime pour la production de l’énergie. Ceci a donné une grande poussée à la recherche en plasmas avec des retombés importantes dans plusieurs domaines. Le tableau ci-dessous en donne quelques exemples.

_________________________________________________________________________ INTRODUCTION 2

Table 1 Applications des plasmas APPLICATIONS/EXAMPLES: la fusion thermonucléaire confinement magnétique confinement inertiel l’éclairage

lampes fluorescentes lampes haute pression lampes halogènes sources spectroscopiques

la microélectronique

gravure déposition (e. g pulvérisation) implantation ionique

sources d’ions

faisceaux d’ions (e. g. accélérateurs) Implantation d’ions par plasma

arcs

soudure découpage disjoncteurs

torches à plasma

déposition de matériaux couches protectrices

CONNAISSANCES FONDAMENTALES: l’atmosphère

la foudre

l’ionosphère

propagation des ondes

le soleil

photosphère... le vent solaire

objets astrophysiques Le nom “plasma” a été donné par Irving Langmuir, à cause de la similarité avec le plasma du sang. Normalement, nous pensons au plasma composé de gaz ionisés, et c’est le seul milieu que nous allons considérer. Il faut cependant souligner que plusieurs solides (e. g. métaux) et quelques liquides (e. g. le mercure) ont des électrons libres, sont donc de très bons conducteurs d’électricité, et démontrent des propriétés similaires à celles des plasmas. Les plasmas gazeux peuvent fonctionner _________________________________________________________________________ INTRODUCTION 3

à basse pression ou à haute pression, et sont généralement produits par des sources électriques d’une forme ou d’une autre. (On pourrait aussi considérer des plasmas crées par une impulsion laser, une onde de choc ou par rayonnement.) Les champs électriques donnent leur énergie principalement aux électrons, qui vont “s'échauffer”; leur énergie est ensuite transférée aux ions, et aux autres particules lourdes par collisions. À basse pression, la densité du plasma est généralement basse, et donc aussi le taux de collision. Même si le taux de collision est suffisant pour maintenir une distribution thermique entre les électrons, ils seront dit être découplés des particules lourdes. Mais ceci dépend du taux de transfert d’énergie par collision et du “temps de confinement” des particules. Si les électrons et les ions sont bien confinés (e. g. dans une machine à fusion) on peut avoir Ti = Te. Sans un tel confinement, on a normalement Ti « Te à basse pression, tandis que Ti → Te à haute pression.

Figure 1 Température du plasma en fonction de la pression de travail

Si les électrons sont chauds et les ions froids, on l’appelle un plasma “froid”, et si les ions/atomes sont chauds, on l’appelle un plasma “chaud” même si la température électronique est plus faible que pour un plasma froid. Les plasmas sont généralement caractérisés par leur densité et leur température - le produit nT (densité multipliée par la température) dépend de la puissance injectée et du confinement.

_________________________________________________________________________ INTRODUCTION 4

Figure 2 Types de plasmas en fonction du régime densité-température On note une très grande variation de la densité (20 ordres de grandeur) et de la température (6 ordres grandeur) entre les diverses sources plasma. Les plasmas sont lumineux, et ce rayonnement est sous forme de raies (ou bandes) et d’un continuum. Les raies sont caractéristiques des atomes, molécules et ions dans les plasmas, et par spectroscopie on peut identifier les espèces comprenant le plasma. La couleur d’une tube à décharge est déterminée par le gaz utilisé (e. g. néon - voir tableau). Table 2 Tableau de la couleur des décharges dans les gaz Gaz Air Hydrogène Azote

Couche cathodique Rose Rouge brunâtre Rose

Luminescence Bleu Bleu pâle Bleu

Colonne positive

Rose Rouge Jaune pâle avec un Oxygène Rouge Blanc jaunâtre centre rose Hélium Rouge Vert Rouge à violet _________________________________________________________________________ INTRODUCTION 5

Gaz Argon Néon Krypton Xénon Brome Chlore Iode Lithium Sodium Potassium Rubidium Césium Mercure Calcium Magnésium Aluminium Thallium Cadmium Arsenic Argent Plomb Zinc CCl4 HCl NO NO2 NH3

Couche cathodique Rose Jaune

Rouge Rose à orange Vert Rose Rose Vert Violet bleu Violet bleu

Rouge violet

Luminescence Bleu foncé Orange Vert Vert olive Vert jaunâtre Vert jaunâtre Bleu Roule pâle Blanchâtre Bleu pâle Bleu Vert laiteux Vert Violet rouge Vert Violet bleu Vert Rouge Bleuâtre Rose Rouge jaunâtre Bleu à violet Vert pâle Vert Blanc bleuté Blanc bleuté Vert jaunâtre

Colonne positive Rouge foncé Rouge brique Rougeâtre Vert blanchâtre Bleu rougeâtre Jaune Vert Rouge rosé Brun jaunâtre Verdâtre Vert Bleu blanchâtre Vert bleuâtre Verdâtre Vert bleuâtre Violet Rouge Vert blanchâtre Rose

_________________________________________________________________________ INTRODUCTION 6

Physique des Plasmas - Chapitre I .............................................................................................. 5 Physique atomique - Collisions ............................................................................................................5 La Section efficace ............................................................................................................................................ 5 (A) Réactions thermonucléaires........................................................................................................................ 9 (B) Réactions avec les électrons ..................................................................................................................... 15 (i) Collisions élastiques e-neutre................................................................................................................ 15 (ii) Collisions inélastiques e-neutre............................................................................................................. 15 (C) Réactions avec les ions............................................................................................................................. 22 (D) Diffusion élastique - collisions binaires ................................................................................................... 26 (E) Interactions avec une surface..................................................................................................................... 45 Émission secondaire ................................................................................................................................... 47 Pulvérisation ............................................................................................................................................... 48 Rétrodiffusion ............................................................................................................................................. 52 La déposition de l’énergie chimique ........................................................................................................... 53

_________________________________________________________________________ 1 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Liste des figures Figure 1 Schéma pour le calcul de la section efficace ................................................................................................ 5 Figure 2 La section efficace ........................................................................................................................................ 7 Figure 3 Schéma d’une collision................................................................................................................................. 8 Figure 4 Section efficace pour la réaction T(d,n)He4 ............................................................................................... 10 Figure 5 Section efficace pour la réaction He3(d,p)He4............................................................................................ 11 Figure 6 Section efficace pour la réaction D(d,p)T .................................................................................................. 12 Figure 7 Section efficace pour la réaction D(d,n)He3 ............................................................................................... 13 Figure 8 Génération du Tritium à partir du Lithium. ............................................................................................... 14 Figure 9 Probabilité de collision élastique des électrons dans l’hélium en fonction de leur énergie....................... 16 Figure 10 Collisions entre électrons et molécules. ................................................................................................... 18 Figure 11 Recombinaison ......................................................................................................................................... 21 Figure 12 Section efficace d’échange de charge. ..................................................................................................... 25 Figure 13 Schéma d’une collision binaire. ............................................................................................................... 26 Figure 14 Illustration graphique de VAB = UAB ......................................................................................................... 30 Figure 15 Collision binaire dans le référentiel du centre de masse.......................................................................... 31 Figure 16 Représentation équivalente d’une collision binaire élastique. ................................................................. 33 Figure 17 Potentiel coulombien. ............................................................................................................................... 35 Figure 18 Potentiel de polarisation. ......................................................................................................................... 36 Figure 19 Angle de déflection. .................................................................................................................................. 39 Figure 20 Diffusion ................................................................................................................................................... 40 Figure 21 Angle de diffusion..................................................................................................................................... 41 Figure 22 Sommaire des interactions plasma-paroi. ................................................................................................ 46 Figure 23 Coefficient d’émission secondaire électronique à incidence normale sur un métal typique. ................... 47 Figure 24 Coefficient d’émission secondaire pour le bombardement ionique de divers métaux. ............................. 48 Figure 25 Taux de pulvérisation. .............................................................................................................................. 50 Figure 26 Parcours de particules incidentes sur une surface dans le matériau. ...................................................... 51 Figure 27 Coefficient de réflexion des particules et de l’énergie. ............................................................................ 52

_________________________________________________________________________ 2 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Liste des tableaux Table 1 Section efficace différentielle ....................................................................................................................... 22 Table 2 Section efficace totale .................................................................................................................................. 23 Table 3 Valeurs maximales du coefficient d'émission secondaire et les énergies auxquelles les valeurs se produisent .................................................................................................................................................................................. 47 Table 4 Fonction de travail f, constante d’émission A et densité de courant pour différents émetteurs. (Tiré de Ionized Gases de Von Engel) .................................................................................................................................... 48

_________________________________________________________________________ 3 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Problèmes Problème 1. 1 ............................................................................................................................................................ 29

_________________________________________________________________________ 4 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Physique des Plasmas - Chapitre I Physique atomique - Collisions La Section efficace Considérons un faisceau de particules incident sur une plaque dans le milieu d'intérêt:

Figure 1 Schéma pour le calcul de la section efficace Il y a dn réactions/sec dans la boite. Si la densité de particules (atomes, molécules, noyaux) dans le volume d'épaisseur dx est nc, et si chaque particule présente une surface σ pour la réaction considérée, il y a une aire effective de (ncAdx)σ qui peut intercepter le faisceau. Si à chaque collision il y a une réaction qui engendre un changement d'une propriété, on voit que le nombre de ces réactions est donné par: A dxσ dn = n n c = n n c σ dx 1. 1 A 1 dn = nc σ 1. 2 n dx si on considère l'atténuation du faisceau. Si on considère le flux de particules (le nombre de particules par m2 par seconde), on a: _________________________________________________________________________ 5 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

d Γ = − Γ n c σ dx

1. 3

qui admet comme solution: x

Γ (x) = Γo e− λ

1. 4

où: λ=

1 nc σ

1. 5

est le "libre parcours moyen" pour l'interaction considérée. Si le faisceau est incident avec une vitesse v, on a x = vt: vt

Γ (t) = Γo e − λ

1. 6

si on suit le faisceau, c’est-à-dire que le temps moyen entre les collisions est donné par: τ=

λ 1 = v nc σ v

1. 7

et la fréquence de collisions ν est l’inverse du temps moyen entre les collisions donc: ν=

1 = nc σ v . τ

1. 8

La discussion qui précède introduit de façon intuitive le concept de libre parcours moyen. Peut-on définir ce concept de façon plus rigoureuse en se servant de la définition statistique du terme "moyenne"? Dans la figure 2, le nombre de particules qui survit jusqu'à x est: n (x) = n o e− x nc σ

1. 9

Le nombre de collisions dans l'intervalle (x, x + dx) est: dn = n n c σ dx = n o e− x nc σ n c σ dx

_________________________________________________________________________ 6 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

1. 10

Figure 2 La section efficace

On peut considérer n o e− x nc σ n c σ comme une probabilité de collision dans (x, x + dx), ∞

∞

<l>=

−x σ ∫ x no e nc nc σ dx 0

∞

∫n

− x nc σ

n c σ dx

∫xe

− nc σ x

1. 11

∞

∫e

− nc σ x

1 nc σ

1. 12

où les intégrales ci-haut sont la définition de moyenne. Le nombre de particules qui survit pour un temps t = n o e− x nc σ , où x = vt. n(t) = n o e− nc σ vt _________________________________________________________________________ 7 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

1. 13

Le nombre de collisions entre t et t + dt est: 1. 14

dn = n n c σ dx = n n c σ v dt ∞

<t>=

σ vt ∫ t no e−nc nc σ v dt 0

∫n

− n c σ vt

n c σ v dt

∫e

− n c σ vt

t dt

0 ∞

∫e

1. 15 − n c σ vt

1 nc σ v

1. 16

le temps moyen <t> entre les collisions est

1 , et alors la fréquence des collisions pour un nc σ v

faisceau est: ν=

1 = nc σ v <t>

1. 17

Il faut noter que si les particules dans la plaque ont leur propre vitesse, il faut considérer le mouvement de la cible:

Figure 3 Schéma d’une collision

_________________________________________________________________________ 8 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Considérons maintenant les sections efficaces pour des différents processus importants dans un plasma:

(A) Réactions thermonucléaires

En général, ces réactions sont importantes pour les énergies élevées (voir les graphiques). Le système le plus réactif est T(d,n) He4, ayant un maximum ~ 4 barns ( 1 barn ~ 10-24 cm2 où 10-28 m2 ) à une énergie de 105 eV. Cette section efficace est relativement grande sur une échelle nucléaire, mais est très faible sur une échelle atomique, où la distance typique est ~ 10-10 m, donnant une section efficace ~10-20 m2. Ceci a des répercussions importantes pour l'approche au problème d'un réacteur à fusion: - l'interaction d'un noyau avec un autre est certainement exclue pour les particules de basse énergie. Par contre, dans un réacteur à fusion les neutrons entrent facilement dans les noyaux. - les interactions atomiques (e.g. ionisation) sont beaucoup plus fréquentes que les réactions nucléaires, et (couplées avec la haute énergie) assurent que les particules vont être complètement ionisées. Il faut confiner ces particules ionisées, sinon on perdra trop d'énergie en injectant et en chauffant le combustible. A part du groupe MIGMA qui étudie le principe de "self-colliding orbits", tout le monde a rejeté l'approche de faisceau de D,T (qui bombardent une cible, par exemple).

Exemple: Considérons l’injection d’un atome de deutérium (D) ou de tritium (T). La section efficace pour l’ionisation est de l’ordre de 10 -20 m2, celle pour la réaction thermonucléaire est de l’ordre de10 -28 m2. L’énergie nécessaire pour ioniser un atome est de l’ordre de 20 eV tandis que l’énergie libérée dans une réaction nucléaire est de l’ordre de10 MeV. L’énergie nécessaire pour ioniser est donc le produit de la section efficace d’ionisation multipliée par l’énergie nécessaire par ionisation donc de l’ordre de 20x 10 -20 = 2x 10 –19 eV*m2 . De l’autre côté, l’énergie produite est de la même façon, le produit de la section efficace de réaction de fusion avec l’énergie libérée par chaque réaction, c’est-à-dire 10 7 x 10 -28 = 10 –21 eV*m2, 200 fois inférieure à l’énergie requise à l’ionisation.

_________________________________________________________________________ 9 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 4 Section efficace pour la réaction T(d,n)He4

_________________________________________________________________________ 10 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 5 Section efficace pour la réaction He3(d,p)He4

_________________________________________________________________________ 11 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 6 Section efficace pour la réaction D(d,p)T

_________________________________________________________________________ 12 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 7 Section efficace pour la réaction D(d,n)He3

- on voit qu'il faut considérer le milieu comme un "gaz" de particules chargées, avec une énergie de 104-105 eV par particule. Ce plasma doit être confiné dans le vide, parce que l'interaction entre le plasma et la paroi refroidit trop le plasma - par conduction et par l'introduction d'impuretés dans le _________________________________________________________________________ 13 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

plasma. - la réaction D-T est de loin la plus rapide, et donc il faut produire le Tritium qui n'est pas une ressource naturelle: T → He3 + e (T½ ~ 12 ans) La réaction favorisée pour la production de T est: Li6 + n → T + He4 + 4.8 MeV [Li6 (n,α)T] qui va être produite dans une couverture autour de la source de neutrons (Figure 8)

Figure 8 Génération du Tritium à partir du Lithium.

Il est évident qu'il y aura des interactions entre les particules chargées dans le plasma (électrons/ions) avec les particules neutres qui pénètrent de l'extérieur. Ces réactions sont très importantes dans les plasmas froids, les sources d'ions, et sur les surfaces des plasmas chauds.

_________________________________________________________________________ 14 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

(B) Réactions avec les électrons (i) Collisions élastiques e-neutre

Pour les collions élastiques, l'énergie interne des particules n'est pas changée - il y a simplement un changement de direction des particules, avec une redistribution des énergies de translation entre les deux. Quand un électron rencontre un atome (ou molécule), la force de l'interaction est le résultat de l'interaction coulombienne avec le noyau, et l'interaction avec le nuage électronique. Ce nuage est redistribué par cette interaction, et une polarisation est induite dans l'atome. En examinant la figure 9 on voit: - pour E ≥ 10 eV la section efficace décroît avec l'énergie (~ 1/v ). - la section efficace varie avec la polarisabilité de l'atome ou molécule, et peut atteindre des valeurs relativement grandes (≥ 10 x 10-16 cm2 pour A, par exemple, pour E ~ 10 eV). - la section efficace diminue à basse énergie pour la plupart des atomes et molécules. Ceci s'appelle l'effet Ramsauer et est dû à des effets quantiques. A basse énergie la longueur d'onde de l'électron approche le diamètre de l'atome, et il y a une réfraction de l'onde autour de l'obstacle (ii) Collisions inélastiques e-neutre

Une collision inélastique implique une perte (ou un gain) d’énergie par l’électron dans la collision. Ceci implique un transfert de l’énergie de translation de l’électron en une énergie potentiel d’un atome ou une molécule. Excitation Atomes Si l'électron est injecté dans un gaz, on voit l'émission de raies caractéristiques des atomes si l'énergie de l'électron est plus grande qu'une certaine valeur. Pour un atome c'est relativement simple à visualiser l'électron qui transfère une certaine quantité de l'énergie aux électrons atomiques, qui sont excités à un niveau plus élevé. Quand il y a une désexcitation on voit la lumière émise. Le seuil est simplement l'énergie entre l'état normal et le premier niveau excité. En plus de produire du rayonnement par l’excitation de niveaux “radiatifs”, l’impact des électrons produit des atomes (et des ions) dans des niveaux métastables. Ces niveaux ne peuvent pas rayonner pour atteindre un niveau plus bas - les atomes restent “piégés” jusqu’à une collision électronique arrive pour le “détruire”. Ces niveaux métastables sont importants dans un plasma, parce qu’ils peuvent stocker de l’énergie “interne” dans le plasma, et la livrer à une autre espèce dans le plasma (exemple: le laser HeNe) ou à une surface.

_________________________________________________________________________ 15 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 9 Probabilité de collision élastique des électrons dans l’hélium en fonction de leur énergie.

Molécules Dans le cas d'une molécule, on a une situation semblable, sauf qu'on peut avoir différentes formes d'excitation: rotation, vibration ou électronique. L'excitation d'un mode rotationnel implique le transfert de très peu d'énergie et un changement considérable de la quantité de mouvement angulaire de l'électron.(Pour H2, ∆Erot ≈ 0.015 eV) Ceci implique un paramètre d'impact relativement grand. Donc, on attend d'avoir une section efficace non-négligeable à basse énergie (~ 0.1 eV) pour l'excitation d'un mode purement rotationnel. La section efficace est plus grande pour les molécules avec un moment dipolaire

_________________________________________________________________________ 16 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

permanent, et pour les molécules homonucléaires (H2, O2) l'interaction se fait par le moment quadripolaire. L'excitation d'un mode vibrationnel implique le transfert de l'énergie de l'électron au mouvement des noyaux - encore peu d'énergie (0.54 eV pour H2). Expérimentalement, la section efficace est beaucoup plus importante qu'attendue des estimés théoriques. Il semble que les processus impliquent la formation d'un ion négatif - un "excimer" qui dissocie en laissant une molécule excitée. Les sections efficaces pour l'excitation d'un mode purement vibrationnel sont importantes pour Ei ≤ 3 eV. Pour les électrons plus énergétiques, on trouve le spectre correspondant aux excitations électroniques. Pour les molécules, le principe "Franck-Condon" entre en jeu pour déterminer la probabilité de certaines transitions: Les noyaux ne bougent pas pendant la transition - la ligne est verticale- parce qu'on considère seulement la configuration électronique. Par cette règle on peut estimer la distribution dans les niveaux vibrationnels dans l'état excité. Dans certains cas l'état excité corresponde à un état répulsif, qui donnera une dissociation de la molécule en deux atomes.

_________________________________________________________________________ 17 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 10 Collisions entre électrons et molécules.

_________________________________________________________________________ 18 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Ionisation Atomes Si on augmente l'énergie des électrons, on commence à produire des électrons secondaires le niveau supérieur est dans le continuum. On voit que pour H, par exemple, la section efficace est 10-16 cm2 (10-20 m2 ) pour une énergie de 50 eV. Il y a un seuil de ~ 13.6 eV, l'énergie d'ionisation de l'atome, et la section efficace tombe de ~ 1/v pour les hautes énergies. Molécules Pour la plupart des gaz l'état normal est moléculaire [H2 ,D2, N2, O2] et le chemin pour arriver à un ion est plus compliqué. On voit sur le graphique (Figure 10) le système de H2, avec V vs. r. La probabilité de production de H2+ est beaucoup plus grande que celle de production de H+ + H+. La production d'ions H+ est le résultat d'une série d'excitations. Si le H2 est incident sur un plasma, il va être dissocié à H + H, ou il va être excité à un état de H2+ - la probabilité est ~ 200 fois plus grande d'arriver dans 2Σg, un état lié. La molécule H2+ est ensuite ionisée en passant à 2Σu(III) par une collision (en produisant H + H+) ou à (IV) H+ + H+ par collision. Les particules (H, H+) auront la différence d'énergie en translation:

III −

28−18 = 5 eV / particule 2

IV −

47 − 35 = 6 eV / particule 2

Par ce processus on produit des ions et des atomes a relativement haut énergie (~ 5 eV). On les appelle les particules "Franck-Condon" et elles sont importantes parce qu'elles pénètrent beaucoup plus loin dans le plasma qu'un atome de ~ 300 K. Ionisation Dissociative

On peut aussi avoir un cas où l’impact de l’électron provoque une dissociation d’une molécule, où une des particules résultantes est en forme ionique: e + AB → A + B+ + 2e Ce processus demande plus d’énergie qu’une simple dissociation (voir graphique pour H2), et l’atome et l’ion formés ont aussi une énergie “Franck-Condon”. Recombinaison Quand un électron rencontre un ion dans le plasma, il y a une probabilité que l’électron soit capturé par l’ion, surtout si l’énergie de l’électron est relativement faible, ainsi produisant une particule _________________________________________________________________________ 19 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

neutre. Il y a différents types de réactions qui peuvent donner lieu à cette “disparition de charges”, et celle qui domine dépend de la température électronique et de la densité électronique. (a) Recombinaison radiative

RR est une réaction à deux corps, où l’électron est “capturé” par l’ion. Pour conserver l’énergie et la quantité de mouvement il faut avoir l’émission d’un photon: e + A+ → A* + hν A* → A + hν’ On voit que l’énergie du premier photon a une valeur minimale, dépendant du niveau atomique dans lequel l’électron se trouve. Une fois l’électron “capturé”, il y a une “cascade” vers les niveaux plus bas, avec l’émission de raies discrètes. (b) Recombinaison à 3 corps

A haute densité la recombinaison à 3 corps domine; dans ce cas la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement est assurée par la présence d’un troisième corps (B), normalement un électron: e + A+ + B → A* + B L’énergie libérée dans le processus de recombinaison est portée par l’électron - et cette énergie peut être considérable. (c) Recombinaison assistée par molécules

Dans certains cas, la présence de molécules excitées peut augmenter énormément le taux de recombinaison. Un exemple est l’hydrogène. Dans ce cas, la présence de H2*(v) peut “catalyser” les réactions d' attachement dissociatif: e + H2* → H- + H et H+ + H- → H + H*

_________________________________________________________________________ 20 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 11 Recombinaison

_________________________________________________________________________ 21 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Et de conversion d’ions: H+ + H2* → H + H2+ e + H2+ → H + H* Le résultat de l’ensemble de ces réactions est un taux de recombinaison qui excède de beaucoup le taux de recombinaison radiatif pour des températures électroniques en bas de ~ 5 eV (voir graphique). Ce processus est possiblement très important pour les plasmas “froid” dans le déflecteur d’un tokamak. Attachement Dans certains gaz, les atomes ou les molécules ont une affinité pour les électrons, et forment des ions négatifs. Ce processus est important pour O2, Cl, F..., et est important parce qu’il modifie le transport dans le plasma (les porteurs de charge négatifs sont maintenant plus lourds).

(i) Collisions élastiques i-neutre La collisions d'un ion avec un atome est semblable à celle entre un électron et un atome surtout pour H+. Dans le cas des ions plus complexes la redistribution de charge dans l'ion affecte aussi la mécanique de la collision. Pour le cas de H+ on trouve que σ tombe à peu près comme 1/v. En comparaison avec la diffusion des électrons la déviation angulaire est très faible, un fait qui rend la mesure de σel très difficile. Aussi, à cause du fait que la longueur d'onde de Broglie λ = h/p diminue avec la masse, les effets de diffraction (mécanique-quantique) sont négligeables sauf pour les énergies et les angles de diffusion très faibles. Les tableaux ci-dessous donnent les sections efficaces totale et différentielle calculées pour le diffusion des protons par l'argon et l'hélium. (i) Section efficace différentielle en unités de πa2 Table 1 Section efficace différentielle

Angle de diffusion (coordonnées relatives)

0°

Argon (protons 72 eV) Champ autoChamp Coulomb consistent non-écranté 4 5.1 x 10 ∞

Hélium (protons 110 eV) Champ auto- Champ Coulomb consistent non-écranté 2 2.87 x 10 ∞

_________________________________________________________________________ 22 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

12° 28° 34° 57° 80° 114° 137° 167° (ii)

7.0 2.29 0.88 0.30 0.15 0.05 0.025 0.015

5.04 x 103 246 116.5 16.3 4.8 1.69 1.12 0.83

3.5 0.64 0.23 0.07 0.03 0.01 -..

29.6 1.94 0.91 0.13 0.04 0.01 0.01 0.005

Section efficace totale

Table 2 Section efficace totale

Gaz He Ar

énergie des protons (eV) 90 800 73 650

section efficace (en unités de πa2) 3.75 2.0 16.4 10.7

section efficace gazcinétique (unités de πa2 ) 2.6 -7.3 --

Pour certains gaz, la section efficace tend vers une constante pour les hautes énergies (voir figures). Ceci est une signature d’une collision type “boule à billard”, où la section présentée par l’atome est à peu près constante. (ii) Collisions inélastiques i-neutre L'impact d'un ion sur un atome peut produit plusieurs réactions, dépendant du fait que l'ion peut accepter un électron pour produire un atome. (a) A+ + B → A + B+ échange de charge S'il y a des atomes neutres dans le plasma, un ion rapide peut enlever l'électron dans une collision et devenir un atome énergétique. On voit que ce processus est important à basse énergie - surtout pour le cas de H+ + H → H + H+. Cette réaction est résonante: les particules avant et après la réaction sont identiques. Pour la réaction H+ + H2 → H + H2+ les particules après la réaction sont différentes de celles avant, et σ tombe à basse énergie. Ceci démontre la règle de pouce que la fréquence υ ~ v/d devrait correspondre à une résonance dans le système: ∆E = hυ ~ hv/d

où ∆Ε est le changement de l'énergie interne, v la vitesse de la particule et d la longueur de l'interaction. Pour le cas d'une réaction "résonante", ∆E = 0 et donc σ a un maximum à v = 0. _________________________________________________________________________ 23 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

En fait, à basse énergie les réactions d'échange de charge sont dominantes, et dans un tube à décharge elles assurent un bon couplage entre les atomes et les ions. Si, par exemple, on a un plasma à basse température, même si les ions sont bien confinés, il y a un bon couplage avec les atomes, et la perte de chaleur des ions peut être déterminée par la conduction thermique des atomes. ionization et (b) A+ + B → A+ + B+ + e + + * (c) A + B → A + B excitation (d) ) A+ + B → A++ + B + e "stripping" Dans une collision entre un ion rapide A+ et un atome ou molécule B, un (ou plusieurs) électron peut être excité à un niveau supérieur - ou même enlevé complètement de l'atome. Pour le cas des électrons on voit que pour H + e → H+ + 2e la section efficace σie a un maximum vers 50 eV, et que la valeur au maximum est de l'ordre de 10-16 cm2 à une énergie de ~ 50 keV. Ceci est plus ou moins en accord avec notre règle de pouce parce que l'énergie de la particule incidente varie avec la masse: 1 1  d ∆E  E inc = mv 2 ~ m  2 2  h 

(e) A* + B → A + B* échange d’énergie + “Penning ionization” (f) A* + B → A + B + e Quand un atome (ou un ion) A* dans un état excité (normalement un niveau métastable) rencontre une autre molécule, l’énergie peut être transférée à l’autre “partenaire” B, et ce dernier peut être excité ou même ionisé pendant la collision. Ces processus sont importants dans des décharges avec des gaz rares. Exemple: transfert dans un laser HeNe.

_________________________________________________________________________ 24 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 12 Section efficace d’échange de charge.

_________________________________________________________________________ 25 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

(D) Diffusion élastique - collisions binaires

Pour les collisions élastiques, l'énergie interne des particules n'est pas changé - il y a simplement un changement de vitesse des particules. Un exemple d'intérêt particulier pour le cas d'un plasma est l'interaction électron-ion. Considérons le cas où la particule A (mA, vA) rencontre la particule B (mB,vB):

Figure 13 Schéma d’une collision binaire.

on définit: MA ≡

mA mA + mB

MB ≡

mB avec M A + M B = 1 mA + mB

1. 18

Et: r r les vitesses avant la collision: VA , VB r r les vitesses après la collision: U A , U B r r r r la vitesse relative avant: VAB = VA − VB = − VBA r r r r la vitesse relative après: U AB = U A − U B = − U BA La conservation de la quantité de mouvement s'écrit:

r r r r m A VA + m B VB = m A U A + m B U B

1. 19

_________________________________________________________________________ 26 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

et la conservation de l'énergie: 1 1 1 1 m A VA2 + m B VB2 = m A U 2A + m B U 2B 2 2 2 2

1. 20

La position du centre de masse dans le laboratoire est donnée par:

(m A + m B )rr = m A rrA + m B rrB

1. 21

et sa vitesse dans le référentiel du labo par:

(m A + m B )rr ′ = m A rrA′ + m B rrB′ r r r (m A + m B )V = m A VA + m B VB

1. 22

d’où r r r r V = (M A + M B )VA - M B VA - VB r r = VA - M B VAB

(

)

1. 23

Donc r r r V A = V + M B VAB

1. 24

r r r V B = V + M A VBA

1. 25

et de la même façon

En utilisant la conservation de la quantité de mouvement 1.19 et 1.22 on peut écrire: r

(m A + m B )V = m A VA +

r r r m B VB = m A U A + m B U B

1. 26

mais on peut écrire dans le centre de masse : r

(m A + m B )U = m A U A + m B U B

1. 27

r r V=U

1. 28

Donc on obtient

La vitesse du centre de masse après la collision est la même que la vitesse du centre de masse _________________________________________________________________________ 27 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

avant la collision.

Avec r r r U A = U + M B U AB

1. 29

l’équivalent dans le centre de masse de 1.24 on obtient en utilisant 1.28: r r r U A = V + M B U AB

1. 30

r r r U B = V + M A U BA

1. 31

et de la même façon

Si on substitue ces relations dans l'équation de la conservation de l'énergie 1.20 avec r r 2 VA = VA • VA r r r r = V + M B VAB • V + M B VAB r r 2 = V 2 + 2M B V . VAB + M 2B VAB

)

1. 32

r r 2 VB = VB • VB r r r r = V + M A VBA • V + M A VBA r r 2 = V 2 + 2M A V . VBA + M 2A VBA

)

1. 33

(

)(

(

)(

et de la même façon dans le centre de masse : r r 2 UA = UA • UA r r r r = V + M B U AB • V + M B U AB r r = V 2 + 2M B V . U AB + M 2B U 2AB

(

)(

)

1. 34

et : _________________________________________________________________________ 28 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

r r 2 UB = UB • UB r r r r = V + M A U BA • V + M A U BA r r = V 2 + 2M A V . U BA + M 2A U 2BA

(

)(

)

1. 35

r r r r En tenant compte du fait que VAB = − VBA et U AB = − U BA et en définissant: MBmA = MAmB ≡ µ la masse réduite on obtient pour l'équation de conservation de l'énergie:

1 1 1 2 (m A + m B )V 2 + 1 µVAB = (m A + m B )V 2 + µU 2AB 2 2 2 2

1. 36

qui implique que VAB = UAB. La vitesse relative (module) entre les particules A et B est la même après et avant la collision.

Problème 1. 1

Nous avons vu que lors d'une collision entre deux masses A et B, le vecteur vitesse du centre de masse avant et après la collision reste inchangé à cause de la conservation de la quantité de mouvement (Équation 1.28). Pour les fins de cette discussion, nous avons considéré que les deux masses restaient inchangées avant et après la collision. Supposons maintenant que lors de la collision une partie de la masse de la particule A reste "attachée" à la particule B dont la vitesse était nulle avant la collision. Est-ce que dans ce cas, le vecteur vitesse du centre de masse reste toujours inchangé par la collision?

On peut représenter ce résultat graphiquement dans la figure 14. De ce diagramme on note que l'angle de déflexion χ est la même pour la particule A et la particule B dans le référentiel du centre de masse. r r r r r r | ∆ vA | | ∆ vB | On note que, avec ∆VA ≡ U A - VA et ∆VB ≡ U B - VB , on obtient: = MB MA On note aussi que le mouvement des deux particules est dans un plan déterminé par les r r vecteurs vitesse VA et VB . Du diagramme on peut calculer le changement de l'énergie cinétique de la particule A avant et après la collision: ∆EA = ½ mAUA2 - ½ mAVA2 1. 37 _________________________________________________________________________ 29 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

qui devient: ∆EA = ½ mA[2MBVABV { cos (ξ + χ) - cosξ} + MB2VAB2 { cos2(ξ + χ) - cos2ξ} + MB2VAB2 { sin2(ξ + χ) - sin2ξ} ]

1. 38

Figure 14 Illustration graphique de VAB = UAB

∆EA = µVABV { cos(ξ + χ) - cos ξ } d'où:

∆E A 2µ VAB V {cos(ξ + χ ) − cosξ} = EA m A VA2

1. 39

Si VB = 0 (la particule B est au repos dans le référentiel du labo) on obtient: _________________________________________________________________________ 30 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

∆E A 2µ = { cosχ − 1} EA (mA + mB )

1. 40

On voit que le changement d'énergie est maximum pour une collision frontale sur la particule B au repos (maximum pour χ = π ), ce qui est appelé rétrodiffusion (backscatter en anglais) exemple: si mA = me et mB = mp (µ ≅ me) ∆E 2 me 1. 41 ≅ { cosχ − 1 } << 1 E mp pour la collision d'un électron sur un proton au repos. Du diagramme, il est aussi évident que si on situe notre système de coordonnées avec le r centre de masse (ie le système se déplace avec la vitesse V ), l'angle de déflection χ ne sera pas la même que celle vue dans le référentiel du laboratoire, où la déviation ψ dépend de la vitesse du centre de masse. Dans le référentiel du centre de masse, l'énergie des deux particules est conservée indépendamment. Pour ces raisons le calcul de collisions binaires est normalement fait dans le référentiel du centre de masse tel qu'illustré à la figure 15 ci-dessous.

Figure 15 Collision binaire dans le référentiel du centre de masse.

Dans ce cas,

r r r r r r & = V −V X A = rA − r ⇒ X A A

1. 42

_________________________________________________________________________ 31 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

r r r r r r & = V −V X B = rB − r ⇒ X B B

et on a

r | XA |

r | | = XB mA

r | XA | =

1. 43

mB | r | X AB mA + mB

1. 44

L'énergie totale dans le référentiel du labo (½mAVA2 + ½mBVB2 ) est donc donnée par: =

(

)

(

1 & 2 + 2X & • V + V2 + 1 m X & 2 + 2X & • V + V2 mA X A A B B B 2 2

)

1. 45

r r r (m A + m B ) r = m A rA + m B rB r r r r rAB = rA - rB = X AB

Rappel et

r XA

= =

r r rA - r

mA r - mB r rA rB mA + mB mA + mB mB mB r (rrA − rrB ) = r AB m A + mB mA + mB =

r rA -

1. 46 1. 47

et de la même façon r XB =

mA ( r - r ) = - mA rr rB rA AB mA + mB mA + mB

& + m X & mAX A B B Énergie totale = =

E cm =

µ(r&AB - r&AB )

1. 48 0

1. 49

1 &2 + 1m X & 2 1 V 2 (m + m ) mAX A B B+ A B 2 2 2

1. 50

1 1 2 µ r&AB + (m A + m B )V 2 2 2

1. 51

1 2 µ r&AB 2

 1 & 2  = µ X AB   2 

1. 52

La structure de l'équation ci-haut montre que le système à deux particules est équivalent à un système à une particule qui se déplace dans un plan autour d'un centre de force qui peut être

_________________________________________________________________________ 32 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

illustré par le diagramme 16 ci-dessous et permet le traitement en coordonnées cylindriques.

Figure 16 Représentation équivalente d’une collision binaire élastique.

( XAB )1 = r cosθ

( XAB )2 = r sinθ

Avec ce changement de coordonnées, l'expression pour l'énergie du centre de masse devient: 1 & 2 ∴ E cm = µ X AB 2 1 1. 53 = µ [ r& 2 cos 2θ + r 2sin 2θ θ& 2 + r& 2sin 2θ + r 2 cos 2θ θ& 2 ] 2 1 = µ [ r& 2 + r 2 θ& 2 ] 2 Moment angulaire: µ r2θ = Pθ Energie potentielle: φ(r) Pour t → −∞, on a Ecm → ½ µ g2 où g est la vitesse relative (avant la collision). Aussi Pθ → µ b g

[

]

1 2 1 2 µg = µ r& + r 2θ& 2 + φ(r ) décrit la conservation de l'énergie et µ r 2θ& = µ b g 2 2 conservation du moment cinétique ou b est le paramètre d’impact.

décrit la

_________________________________________________________________________ 33 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

 b2  1 1 1 µ g 2 = µ r& 2 + µ g 2  2  + ϕ (r) 2 2 2 r  1 = µ r& 2 + Φ(r) 2

1. 54

c'est-à-dire que le mouvement de la particule est tel qu'on peut l'envisager comme un mouvement radial, dans un potentiel fictif Φ(r):

1 2  b2  Φ(r ) = µg  2  + ϕ (r) 2 r 

1. 55

Le minimum de r se trouve à rmin = R, (la distance minimale d'approche) où  b2  1 1 µ g 2 = Φ(R) = µ g 2  2  + ϕ (R) 2 2 R 

1. 56

L’équation 1.56 découle de l’application de la conservation de l’énergie. r  EXEMPLE: Pour ϕ (r) = ϕ 0  0  r on obtient:

(i) pour n = 1 (eg une force coulombienne)

_________________________________________________________________________ 34 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 17 Potentiel coulombien.

Posons ϕ (r ) =

qA qB . L’équation 1.56 devient: 4π ε o r q q 1 2 2 2 µ g (R − b ) = A B R 2 2 4π ε o R

1. 57

au point correspondant à la distance minimale d'approche. C'est-à-dire :  2 qA qB  2  R − b2 = 0 R −  2   µ g 4 π εo 

1. 58

Quand b → 0, on obtient de 1.57  q q  R → = 2  2A B  ≡ 2 bc ( + si q A = q B , - si q A = - q B )  µ g 4π εo 

1. 59

mais de façon plus générale il faut résoudre l'équation R2 - 2 bcR - b2 = 0 R = bc + bc2 + b2 → b2 + bc2 + bc ( R > 0 )

1. 60

NOTE: bc peut être positif ou négatif. mettons bc/b = K alors 1.59 devient : _________________________________________________________________________ 35 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

R = 1 + K2 + K b (ii)

1. 61

pour n > 2 (eg n = 4 pour la force de polarisation) 4

Pour le cas d'un potentiel de polarisation on peut écrire φ = - φ o

ro 1 , où φ o ro4 = α e 2 , 4 r 2

et α est la polarisabilité de l'atome. L’équation 1.56 donne 2

1 1 r4 b µ g 2 = µ g 2   − φ 0 04 2 2 R R

1. 62

Figure 18 Potentiel de polarisation.

De telle sorte que 4

2 φo r o4 =0 R −b R + µ g2

1. 63

4 b -

8 φo r o4 ≥0 µ g2

1. 64

Donc, il faut avoir

c'est-à-dire _________________________________________________________________________ 36 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

b min

 8φ r 4  4 =  0 20   µg 

1. 65

Si on prend σ = πbmin2 on obtient: 1 2

 8φ r  4α e  σ = π  = π 2   µg   µg  4 0 0 2

qui se comporte comme

1 2

1. 66

α et l'inverse de g, la vitesse avant la collision.

Calcul de l'angle de déflection. bg bg À la distance r = R, on a θ& = 2 = 2 r R Φ Avec 1.54 on a r& 2 = g 2 - 2  on obtient: µ 1

 b 2 2ϕ  2  2Φ  2 r& = ± g 1 − 2  = ± g 1 − 2 − 2  µg   µg   r

1. 67 1

dr dr / dt r2 = =± dθ dθ / dt b

 b 2 2ϕ  2 1 − 2 − 2  µg   r

1. 68

Il est à remarquer que dr/dθ est négatif jusqu'à la distance minimale d'approche (r = R) et positif après. θm

dr = −∫ θ m = ∫ dθ = − ∫ dr/dθ 0 ∞ ∞

b dr  b 2ϕ (r )  r 2 1 − 2 − µ g 2   r 2

1 2

1. 69

et _________________________________________________________________________ 37 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

χ = π - 2θ m = π + 2b ∫ ∞

dr  b 2ϕ (r )  r 2 1 − 2 − µ g 2   r 2

1. 70

1 2

où χ = l'angle de déflection en utilisant que χ + 2 θ m = π de part la géométrie de la collision (Figure 16) Pour une collision coulombienne le potentiel prend la forme ϕ ( r ) = ∞

χ = π − 2b ∫ R

dr  b 2q A q B  r 2 1 − 2 − 4 πε 0 rµ g 2   r

1 effectuons les changements de variable: u = , r l'intégrale 1.70 devient: 1/R

χ = π−2 b

∫ 0

qA qB donc 4π ε o r

du=-

1 r

1. 71

1 2

d r et bc =

qA qB 2 4 π εo µ g

du 2

[ 1 - 2 bc u - b u ]

1. 72

1 2

Il faut se rappeler qu'au minimum (r = R) on a: R2 - 2bcR - b2 = 0 ⇒ 1 - 2bc(1/R) - b2 (1/R)2 = 0 En utilisant: ∫

a + b x + c x2 l'intégrale devient:

 -2cx −b  1 −1 sin   −c  b2 − 4 a c 

1 −1 sin b

 2 b2 u + 2 bc  R 1  -1  b2 + bc R   bc  = sin  - sin -1      2 2 2 2 2 2  4 bc + 4 b  0 b   R b + bc   b + bc 

  

1. 73

Avec b2 = R2 - 2bcR on obtient: 2 R ( R - bc ) R - bc R = =1 R R 2 - 2 bc R + bc2 R ( R - bc )

1. 74

et sin-1(1) = π/2 _________________________________________________________________________ 38 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

l'intégrale devient alors: =

1 b

 π  bc  -1  - sin  2 2   2  b + bc 

  

et  π  bc  χ = π - 2  - sin -1   2 2  2  b + bc    bc   = 2 sin -1   2 2   b + bc  

  

1. 75

c'est-à-dire

sin (

χ bc )= 2 2 2 b + bc

χ b tan ( ) = c 2 b

1. 76

Donc, bc est le paramètre d'impact qui produit une déflection de 90°:

Figure 19 Angle de déflection.

On note que χ devient de plus en plus faible à mesure que b augmente. En générale, la quantité qui nous intéresse est la probabilité qu'une particule incidente subira une déflection χ. On considère un flux de particules (uniforme) incident sur notre particule cible (figure 20). On mesure le nombre (dN/dt) de particules qui sont diffusés à chaque seconde dans l'angle solide dΩ, à l'angle χ. Soit I l'intensité du faisceau, mesuré par le nombre de particules par cm2 qui passent une surface par seconde.

_________________________________________________________________________ 39 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Le nombre de particules diffusé est donné par:  dN    = Iσ ( χ, ψ ) dΩ  dt  dΩ

où

1. 77

dΩ = sinχdχdψ est l'angle solide et σ(χ,ψ) est la section efficace différentielle pour la diffusion élastique.

Figure 20 Diffusion

S'il n'y a pas de dépendance azimutale, on peut calculer le nombre de particules dans l'anneau:  dN  = 2 π sinχ d χ σ(χ ) I    dt  anneau

1. 78

On note qu'il y a une correspondance directe entre le paramètre d'impact et l'angle de diffusion:

_________________________________________________________________________ 40 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 21 Angle de diffusion  dN  = I 2 π b d b = 2 π sin χ d χ σ ( χ) I    dt  anneau

1. 79

Donc la section efficace microscopique est donnée par: σ (χ ) =

b db b db = sin χdχ sin χ dχ

1. 80

Pour une interaction coulombienne on a trouvé: χ tan  2

qA qB  bc ) qui après dérivation par rapport à χ donne :  = , où ( bc = 2 µ g 4 π εo  b

2 2 db b + bc = dχ 2 bc

 cos  bc  = bc Avec b = χ    tan   sin  2   

χ 2 χ 2

   on obtient:   

db = dχ

bc  χ  2 sin 2    2

1. 81

utilisons sin(χ) = 2 sin(χ/2) cos(χ/2) _________________________________________________________________________ 41 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

χ cos    2 bc χ sin    2 σ(χ)= χ χ 2 sin   cos    2  2

    bc     χ   2  2 sin     2 

bc χ 4 sin 4    2

1. 82

bc [1 - cos χ ]2

La diffusion décrite par cette formule s'appelle diffusion de Rutherford. La section efficace totale est donnée par: π

σT = ∫ σ (χ ) 2 π sin χ dχ = 2 π b 0

Si on met Y = 1 - cos(χ) on obtient σT = 2 π bc2 ∫

2 c

sin χ d χ

∫ [1 - cos χ ]

1. 83

et c'est évident que l'intégrale diverge à Y → 0. 2 Y Le problème provient des collisions à grand b qui produisent χ → 0. 0

Une autre section efficace importante est celle pour le transfert de la quantité de mouvement. La quantité de mouvement de la particule incidente (dans une direction) est µg, et après la collision la quantité de mouvement dans la même direction est µg cosχ, donc la particule a transféré une quantité µg [1- cosχ] au centre de diffusion. Donc, le transfert total est donné par: π

∫ µ g [1 - cos χ ] I σ ( χ ) 2 π sin χ dχ 0

et on définit la section efficace pour le transfert de la quantité de mouvement: π

σ m = ∫ [1 - cos χ ] σ ( χ ) 2 π sin χ dχ

1. 84

_________________________________________________________________________ 42 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Avec σ ( χ ) =

bc on obtient: [1 - cos χ ]2 π

sin χ d χ 1 - cos χ 0

2 σ m = 2 π bc ∫

De nouveau, si on substitue Y = 1 - cosχ on obtient: σ m = 2 π b

2 c

∫ 0

dY et, encore une fois, l'intégrale Y

explose pour χ → 0, ou b → ∞. Dans un plasma, il est évident qu'on ne peut pas considérer une collision binaire si b devient comparable à la longueur d'interaction des forces coulombiennes. Donc, il y a un angle minimum, ou un paramètre maximum pour la collision:  χ  b  χ  bmax tan  min  = c → cos  min  = 2 2  2  bmax  2  bmax + bc

∴ cos ( χ min ) = 2

∴ σT = 2 π b

2 c

∫

Ymin

2 2 2 bc2 bmax - bc = → Y min 2 2 2 2 bmax + bc bmax + bc

 1 1 = 2 π bc2  -  Y  Y min 2 

1. 85

1. 86

dY 2

 1  ≅ 2 πb    Y min 

1. 87

2 C

La section efficace pour le transfert de la quantité de mouvement est normalement celle qui nous intéresse: 2

2 σ m = 2 π bc

dY  2  = 2 π bc2 ln   Y  Y min  Ymin

∫

1. 88

On verra dans le chapitre 2 que la distance de "coupure" est de l’ordre de λD - la longueur de Debye. Avec bmax = λD on obtient: qA qB χ  b tan  min  = c où bc = 2 µ g 4 π εo  2  λD  χ  ∴ Y min = 1 − cos ( χ min ) = 2 sin 2  min   2 

_________________________________________________________________________ 43 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Pour

bc < < 1 , on peut écrire λD  λ  2  2 D ≅ 2 π ln σm bc     bc  

1. 89

Normalement, dans un plasma on met: µg2 ≅ 3kT dans le logarithme. 3  2 2 2  4 π ε o 3 k Te  ( ( qA qB ) qA qB ) 12π k   ε T ln  1  o 2 e   Æ ln  ∴ σm ≅ λ D 2 2 2 2   e   µ g 4 π ε o2 µ g 4 π ε o2   qA qB  n e2 

(

)

(

)

( q A q B )2 σm = ln[ Λ] ( µ g 2 )2 4 π ε o2

1. 90

On note que notre méthode de calcul laisse un peu à désirer - nous avons pris λD comme une limite d'intégration. Pourquoi pas 2λD ou...? En principe on aurait dû calculer la diffusion d'une particule dans un plasma, en tenant compte des autres charges autour de la cible, c'est-à-dire utiliser un potentiel blindé ("screened Coulomb potential"). Les calculs ont été faits en utilisant ce modèle, et le résultat est à peu près identique à notre résultat. En plus de ceci, il y a un autre problème - la définition d'une collision. Quand b = bc il y a une forte déflexion, mais quand b → ∞ la déviation devient de plus en plus faible. [Dans Rose et Clark ils donnent l'exemple qu'à Te = 10 keV et ne = 1020 m-3, l'angle de déviation moyenne est ~ 7.4 x 10-8 degrés.] Donc, il y a un compromis à faire entre la force électrique et les collisions. La distinction est un peu arbitraire, mais normalement on prend la limite qu'on a pris ici: b < λD = collision binaire. En plus, le fait que la déviation est tellement faible nous permet de mettre θT = Σ θi et de considérer même les collisions au même moment d'être les collisions consécutives.

_________________________________________________________________________ 44 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

(E) Interactions avec une surface

La présence de surfaces près du plasma est inévitable - dans un tube à décharge il y a des électrodes pour maintenir la décharge, et des parois (normalement un isolant) qui déterminent la frontière du plasma. Même dans une décharge "confinée" comme dans un Tokamak il y a une surface quelque part qui détermine la configuration du plasma. Dans un tube à décharge, la présence des électrodes est essentielle, et les processus de "surface" déterminent en grande partie les caractéristiques de la décharge. "On peut éliminer la colonne positive, mais il faut avoir une gaine cathodique". Dans les plasmas utilisés pour le traitement de matériaux, on veut “utiliser” ces interactions pour produire un résultat. Dans le cas d'un Tokamak, par contre, on veut minimiser les mauvais effets de l'interaction plasma-paroi.

_________________________________________________________________________ 45 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 22 Sommaire des interactions plasma-paroi.

_________________________________________________________________________ 46 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Émission secondaire

Le bombardement des surfaces par les électrons, ions, et atomes (rapides) du plasma peut causer l'émission d'électrons (l'émission secondaire), la désorption d'impuretés collées sur la surface ("ion or electron-induced desorption") ou l'émission d'atomes métalliques de la surface (la pulvérisation ou "sputtering"). Un électron incident sur une surface peut transférer son énergie à un autre électron dans le solide, et causer l'émission de ce dernier. (L'électron incident peut être aussi réfléchi, avec à peu près sa pleine énergie). Si on regarde le nombre d'électrons produit par l'électron incident (δ), on voit que δ dépend de l'énergie de l'électron et de la surface:

Figure 23 Coefficient d’émission secondaire électronique à incidence normale sur un métal typique. Table 3 Valeurs maximales du coefficient d'émission secondaire et les énergies auxquelles les valeurs se produisent

Valeur maximale du Energie à laquelle le coefficient d'émission maximum se produit (eV) secondaire δmax Al 1.0 300 Au 1.46 800 Ba 0.83 400 C 1.0 300 Cu 1.3 600 Li 0.5 85 Mo 1.25 375 Nb 1.2 375 W 1.4 600 Verre Pyrex 2.3 400 NaCl 6 600 _________________________________________________________________________ 47 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS Matériau

Mélange BaO-SrO oxide

≈ 1200

5-12

On note que la forme des courbes est semblable pour les métaux et les isolants. En général, le taux d'émission pour les isolants est plus élevé que pour les métaux. (Cet effet peut causer un avalanche, et les électrons peuvent percer un trou dans le "verre"). En plus, la valeur de δ dépend des conditions de la surface - δ est augmenté s'il y a une couche de gaz L'émission secondaire peut aussi être produite par l'impact d'ions, et en général l'énergie des ions doit être beaucoup plus élevée que celle des électrons pour libérer un électron. Encore une fois, δi - le nombre d'électrons par ion - varie avec l'énergie, et peut atteindre des valeurs élevées à quelque keV:

Figure 24 Coefficient d’émission secondaire pour le bombardement ionique de divers métaux. Pulvérisation

Le transfert d'énergie d'un ion (ou atome) incident sur une surface peut aussi causer l'émission d'un atome. Dans le cas de la pulvérisation, l'énergie transférée doit être suffisante pour briser le lien entre les "ions" dans le métal. On trouve que l'efficacité de ce transfert dépend de la masse de l'ion incident et de la surface: Table 4 Fonction de travail f, constante d’émission A et densité de courant pour différents émetteurs. (Tiré de Ionized Gases de Von Engel)

Cathode W W-O-Ba Oxyde de Ba Oxyde de Th Carbure de Th C

Φ(V) 4.5 1.3 1.7 3.1 3.5 4.4

A 70 ~3 ~40 ~3 550 48

J (A/cm2) 0.27 10 0.5 2 4 0.15

T (0K) 2500 1000 1000 1900 2000 2400

_________________________________________________________________________ 48 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

_________________________________________________________________________ 49 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 25 Taux de pulvérisation.

_________________________________________________________________________ 50 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Figure 26 Parcours de particules incidentes sur une surface dans le matĂŠriau. _________________________________________________________________________ 51 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Rétrodiffusion

Un atome ou un ion peut être réfléchi" d'une surface - la même chose qui arrive pour la pulvérisation, mais l'atome qui sort est l'atome qui a pénétré la surface. A basse énergie, étant donné que l'atome ne pénètre pas loin dans le "métal", le coefficient de réflexion RN est très élevé. A plus haute énergie, l'atome pénètre plus loin et les chances de revenir sont plus faibles. En général, l'atome perd un peu d'énergie par collision, ce qui donne un "coefficient de réflexion de l'énergie" RE. RN =

nombre d′atomes réfléchis nombre atomes incidents

RE =

énergie réfléchie No. d′atomes réfl. X énergie moyenne = énergie incidente No. d′atomes incid. x énergie

On note que le résultat est à peu près le même pour les ions et pour les atomes, mais qu'en général, l'ion incident sort comme un atome, ayant recombiné avec un électron du solide.

Figure 27 Coefficient de réflexion des particules et de l’énergie. _________________________________________________________________________ 52 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

La déposition de l’énergie chimique

Quand les ions tombent sur une surface, ils se recombinent avec des électrons. Ce processus est l’inverse du processus d’ionisation, et donc va libérer de l’énergie (l’énergie d’ionisation). En plus, si les atomes qui se déplacent sur la surface se recombinent pour produire une molécule, l’énergie de dissociation est aussi libérée. La majorité de cette énergie est livrée à la surface, et la chauffe. Pour le cas de l’hydrogène, chaque ion incident va libérer 13.6 + 4.5 eV. Cette énergie est plus élevée que l’énergie livrée par “l’impact” si la température électronique est plus que 5 eV.

_________________________________________________________________________ 53 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

APPENDICE P7 ∞

h(n)=

∫

x e

a x2

1 h(0)= 2

h(2)=

1 4

h(4)=

3 8

π a

1 h(1)= 2a

h(3)=

h(5)=

erf ( x ) =

∫

e t dt

1 2 a2 1

_________________________________________________________________________ 54 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

A dxσ = n n c σ dx dn = n n c A 1 dn = nc σ n dx d Γ = − Γ n c σ dx Γ (x) = Γo e 1 λ= nc σ

1. 1 ....................................................................... 5 1. 2..................................................................................... 5 1. 3........................................................................... 6

x − λ

1. 4................................................................................... 6 1. 5......................................................................................... 6

Γ (t) = Γo e − λ λ 1 τ= = v nc σ v 1 ν = = nc σ v . τ n (x) = n o e− x nc σ dn = n n c σ dx = n o e− x nc σ n c σ dx ∞

<l>=

∫xn

− x nc σ

n c σ dx =

∫n

− x nc σ

1. 7..................................................................................... 6 1. 8 ..................................................................................... 6 1. 9................................................................................... 6 1. 10................................................................... 6

∞

1. 6 .................................................................................. 6

∫xe

1. 11 ..................................................... 7

∞

∫e

n c σ dx

− nc σ x

1 nc σ n(t) = n o e− nc σ vt dn = n n c σ dx = n n c σ v dt =

1. 12 ........................................................................ 7 1. 13 ................................................................................... 7 1. 14..................................................................... 8 ∞

<t>=

∫tn

e− nc

σ vt

n c σ v dt

∫n 0

− n c σ vt

n c σ v dt

∫e

− n c σ vt

t dt

0 ∞

∫e

1. 15 ................................................... 8 − n c σ vt

1 1. 16..................................................................... 8 nc σ v 1 ν= = nc σ v 1. 17................................................................................... 8 <t> mB mA avec M A + M B = 1 1. 18..................... 26 MB ≡ MA ≡ mA + mB mA + mB r r r r m A VA + m B VB = m A U A + m B U B 1. 19...................................................... 26 =

_________________________________________________________________________ 55 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

1 1 1 1 m A VA2 + m B VB2 = m A U 2A + m B U 2B 1. 20........................................................ 27 2 2 2 2 (m A + m B )rr = m A rrA + m B rrB 1. 21....................................................................... 27 r r r (m A + m B )r ′ = m A rA′ + m B rB′ r r r 1. 22................................................................. 27 (m A + m B )V = m A VA + m B VB r r r r V = (M A + M B )VA - M B VA - VB 1. 23 ....................................................... 27 r r = VA - M B VAB r r r V A = V + M B VAB 1. 24 ....................................................................... 27 r r r V B = V + M A VBA 1. 25 ........................................................................ 27 r r r r r (m A + m B )V = m A VA + m B VB = m A U A + m B U B 1. 26.......................................... 27 r r r (m A + m B )U = m A U A + m B U B 1. 27 ............................................................ 27

(

)

r r V =r U r r

1. 28............................................................................... 27

U A = U + M B U AB 1. 29 ................................................................. 28 r r r U A = V + M B U AB 1. 30 ...................................................................... 28 r r r U B = V + M A U BA 1. 31 ...................................................................... 28 r r 2 VA = VA • VA r r r r = V + M B VAB • V + M B VAB 1. 32...................................................... 28 r r 2 = V 2 + 2M B V . VAB + M 2B VAB r r 2 VB = VB • VB r r r r = V + M A VBA • V + M A VBA 1. 33 .................................................... 28 r r 2 = V 2 + 2M A V . VBA + M 2A VBA r r 2 UA = UA • UA r r r r = V + M B U AB • V + M B U AB 1. 34................................................ 28 r r = V 2 + 2M B V . U AB + M 2B U 2AB r r 2 UB = UB • UB r r r r = V + M A U BA • V + M A U BA 1. 35 ....................................................... 29 r r = V 2 + 2M A V . U BA + M 2A U 2BA 1 1 1 2 (m A + m B )V 2 + 1 µVAB = (m A + m B )V 2 + µU 2AB 1. 36.......................................... 29 2 2 2 2

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

∆EA = ½ mAUA2 - ½ mAVA2 + MB2VAB2 { sin2(ξ + χ) - sin2ξ} ]

1. 37 .............................................................................. 29 1. 38............................................. 30

_________________________________________________________________________ 56 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

∆E A 2µ VAB V {cos(ξ + χ ) − cosξ} = 1. 39 ................................................................... 30 EA m A VA2 ∆E A 2µ = { cosχ − 1} 1. 40 ...................................................................... 31 EA (mA + mB ) ∆E 2 me 1. 41....................................................................... 31 ≅ { cosχ − 1 } << 1 E mp r r r r r r & = V −V X A = rA − r ⇒ X 1. 42 ................................................................. 31 A A r r r r r r & = V −V 1. 43 ................................................................. 32 X B = rB − r ⇒ X B B r r | XA | | XB | r r 1. 44........................................................ 32 = et | X A | = mB | X AB | mA + mB mB mA 1 & 2 + 2X & • V + V2 + 1 m X & 2 + 2X & • V + V2 = mA X 1. 45 ........................... 32 A A B B B 2 2 r r r r mA r - mB r 1. 46 ...................................... 32 rB rA XA = r A - r = r A mA + mB mA + mB mB mB r (rrA − rrB ) = 1. 47 ..................................................... 32 = r AB m A + mB mA + mB r mA ( r - r ) = - mA rr 1. 48.............................................................. 32 rB rA XB = AB mA + mB mA + mB & + m X & mAX = µ(r&AB - r&AB ) = 0 1. 49 ........................................................... 32 A B B 1 &2 + 1m X & 2 1 V 2 (m + m ) Énergie totale = mAX 1. 50 ...................................... 32 A B B+ A B 2 2 2 1 1 2 = µ r&AB + (m A + m B )V 2 1. 51 ..................................................................... 32 2 2 1  1 & 2 2 E cm = µ r&AB  = µ X 1. 52 ................................................................ 32 AB  2  2  1 & 2 ∴ E cm = µ X AB 2 1 = µ [ r& 2 cos 2θ + r 2sin 2θ θ& 2 + r& 2sin 2θ + r 2 cos 2θ θ& 2 ] 1. 53 .................................................... 33 2 1 = µ [ r& 2 + r 2 θ& 2 ] 2  b2  1 1 1 µ g 2 = µ r& 2 + µ g 2  2  + ϕ (r) 2 2 2 r 

(

1 = µ r& 2 + Φ(r) 2

)

(

)

1. 54 ................................................. 34

_________________________________________________________________________ 57 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Φ(r ) =

1 2  b2  µg  2  + ϕ (r) 2 r 

1. 55................................................................ 34

2 1 1 2 2  b   µ g = Φ(R) = µ g  2  + ϕ (R) 2 2 R 

1. 56 ........................................................ 34

q q 1 2 2 2 µ g (R − b ) = A B R 2 1. 57 ..................................................................... 35 2 4π ε o R  2 qA qB  2  R − b2 = 0 1. 58 .............................................................. 35 R −  2   µ g 4 π εo   q q  1. 59 ......................................... 35 R → = 2  2A B  ≡ 2 bc ( + si q A = q B , - si q A = - q B )  µ g 4π εo  R = bc + bc2 + b2 → b2 + bc2 + bc ( R > 0 ) R = 1 + K2 + K b

1. 60 ................................................. 35 1. 61 ............................................................................ 36

1 1 r4 b µ g 2 = µ g 2   − φ 0 04 2 2 R R 4 2 φo r o 2 4 2 =0 R −b R + µ g2 4 4 8 φo r o ≥0 b µ g2

1. 62 ............................................................. 36 1. 63............................................................................... 36

1. 64..................................................................................... 36

b min

 8φ 0 r04  4 = 2   µg 

1. 65.................................................................................... 37

 8φ r 4  2  4 α e2  2 σ = π  0 20  = π  2   µg   µg 

1. 66 ................................................................ 37 1

 b 2 2ϕ  2  2Φ  2 r& = ± g 1 − 2  = ± g 1 − 2 − 2  µg   µg   r

1. 67............................................... 37

dr dr / dt r2 = =± dθ dθ / dt b θm

 b 2 2ϕ  2 1 − 2 − 2  µg   r R

dr = −∫ θ m = ∫ dθ = − ∫ dr/dθ ∞ ∞ 0

1. 68 ........................................................... 37

b dr  b 2ϕ (r )  r 2 1 − 2 − µ g 2   r 2

1 2

1. 69........................................... 37

_________________________________________________________________________ 58 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

χ = π - 2θ m = π + 2b ∫ ∞

∞

χ = π − 2b ∫

 b 2ϕ (r )  r 2 1 − 2 − µ g 2   r dr 2

 b 2q A q B  r 2 1 − 2 − 4 πε 0 rµ g 2   r 1/R du R

χ = π−2 b

∫ 0

1 2

1. 70 ..................................................... 38

1. 71 .............................................................. 38

1. 72 ........................................................... 38

[ 1 - 2 bc u - b 2 u 2 ] 2 1

 2 b2 u + 2 bc  R 1  -1 1 −1  = sin sin  2 2 b 4 + 4 b  0 b   bc 2 R ( R - bc ) R - bc R = =1 R R 2 - 2 bc R + bc2 R ( R - bc )

 π  bc  χ = π - 2  - sin -1   2 2  2  b + bc    bc   = 2 sin -1   2 2   b + bc   χ bc sin ( ) = ou 2 2 2 b + bc

 b 2 + bc R   bc  - sin -1     2 2 2 2  R b + bc   b + bc 

  

1. 73 ....................... 38

1. 74........................................................ 38

1. 75 ............................................................ 39

χ b tan ( ) = c 2 b

 dN    = Iσ ( χ, ψ ) dΩ  dt  dΩ  dN  = 2 π sinχ d χ σ(χ ) I    dt  anneau  dN  = I 2 π b d b = 2 π sin χ d χ σ ( χ) I    dt  anneau b db b db σ (χ ) = = sin χdχ sin χ dχ db bc = dχ  χ  2 sin 2    2

1. 76...................................... 39

1. 77 .............................................................. 40 1. 78 ........................................................... 40 1. 79 .............................................. 41 1. 80 ............................................................. 41 1. 81 ........................................................................ 41

_________________________________________________________________________ 59 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

χ cos    2 bc χ sin    2 σ(χ)= χ χ 2 sin   cos    2  2

    bc     2χ  2 sin     2 

bc χ 4 sin 4    2

1. 82............................................... 42

bc [1 - cos χ ]2

σT = ∫ σ (χ ) 2 π sin χ dχ = 2 π b 0

2 c

sin χ d χ

∫ [1 - cos χ ]

1. 83................................................ 42

σ m = ∫ [1 - cos χ ] σ ( χ ) 2 π sin χ dχ

1. 84 ........................................................ 42

 χ  b  χ  bmax tan  min  = c → cos  min  = 2 2  2  bmax  2  bmax + bc 2 2 2 b2 b -b ∴ cos ( χ min ) = 2max c2 → Y min = 2 c 2 bmax + bc bmax + bc 2

∴ σT = 2 π bc2

∫

Ymin

 1 1 = 2 π bc2  -  Y  Y min 2 

1. 85............................................... 43

1. 86 .................................................. 43

dY 2

 1  ≅ 2 π bC2    Y min 

1. 87 .............................................. 43

σ m = 2 π bc

dY  2  = 2 π bc2 ln   Y  Y min  Ymin

∫

 λ  2  D σ m ≅ 2 π b ln     bc   2 c

( q A q B )2 σm = ln[ Λ] ( µ g 2 )2 4 π ε o2

1. 88 ................................................... 43

1. 89.................................................................. 44

1. 90 ............................................................... 44

_________________________________________________________________________ 60 PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS

Table des matières 1.-Champ Magnétique ( uniforme dans l’espace et dans le temps )............................................... 4 2- Champ Electrique et Champ Magnétique ................................................................................... 8 3.-Champ Magnétique Inhomogène .............................................................................................. 15 ( a ) Lignes de champs droites mais fonction de la position ..................................................... 15 ( b ) Lignes du champ magnétique courbées :........................................................................... 17 4.-Constantes du Mouvement ........................................................................................................ 20 Les équations ................................................................................................................................. 35

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.1

Liste des figures Figure 1 Charge dans un champ magnétique constant : géométrie du problème ............................ 4 Figure 2 Trajectoire des charges dans un champ magnétique constant........................................... 7 Figure 3 Charge dans un champ magnétique et un champ électrique constant : géométrie du problème ................................................................................................................................... 8 Figure 4 Trajectoire des charges dans un champ magnétique et électrique constant. v⊥ > vd en haut, v⊥ = vd au milieu, v⊥ < vd en bas (Par Frédéric Larouche sur MATLAB, Automne 2001) ................................................................................................................................................. 12 Figure 5 Trajectoire dans l’analyseur de particule ........................................................................ 14 Figure 6 Champ magnétique courbé.............................................................................................. 19 Figure 7 Trajectoire dans le champ magnétique terrestre.............................................................. 20 Figure 8 Dérive autour de la terre.................................................................................................. 20 Figure 9 Mouvement de particules dans un champ magnétique à symétrie axiale: (a) particule hors axe, (b) potentiel effectif pour les particules hors axe, (c) particules qui encerclent l'axe, (d) puit de potentiel effectif, (e) lignes de ψ constant pour les particules hors axe, (f) lignes de ψ constant pour les particules qui encerclent l'axe de symétrie. ........................................ 23 Figure 10 Particule confinée dans une vallée de potentiel ............................................................ 25 Figure 11 Géométrie cuspidée....................................................................................................... 26 Figure 12 Variation spatiale du champ magnétique ...................................................................... 28 Figure 13 Géométrie miroir........................................................................................................... 30 Figure 14 Vitesse au centre du miroir ........................................................................................... 30 Figure 15 Cône de perte du mirroir ............................................................................................... 31 Figure 16 Géométrie toroïdale....................................................................................................... 32 Figure 17 Orbites bananes ............................................................................................................. 33

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.2

Problèmes Problème 2. 1................................................................................................................................. 10

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.3

Physique des plasmas - Orbites des particules •

Important pour certaines machines – comme les machines miroirs – qui dépendent de l’existence de certaines constantes de mouvement pour le confinement du plasma.

•

Important pour d’autres machines qui sont affectées par les orbites qui causent une séparation de charge ( stellerator ou tokamak ) , une diffusion anormale ou le transport d’impuretés.

•

Une autre application est l’étude des analyseurs de particules – un diagnostic pour un plasma chaud.

En général, l’approche est applicable seulement quand on peut considérer les champs électriques et magnétiques comme donnés. Si les effets du courrant dans les plasma – ou les champs électriques self-consistent – sont importants, il faut utiliser la théorie cinétique ou fluide. 1.-Champ Magnétique ( uniforme dans l’espace et dans le temps )

[

]

r r r r r r m v& = q E + v × B → q v × B

2. 1

r où B est constant dans le temps.

r B = (0,0, B)

2. 2

r v = (v x , v y , v z )

2. 3

r r v × B = (y& B,− x& B,0)

2. 4

= (x& , y& ,z& )

Figure 1 Charge dans un champ magnétique constant : géométrie du problème

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.4

m &x& = q y& B m&y& = − q x& B m&z& = 0

2. 5

De la troisième équation, la vitesse parallèle au champ magnétique est constante. z(t ) = z 0 + v // t

z& = v //

2. 6

Ce résultat implique que dans un champ magnétique, le mouvement dans la direction du champ magnétique n’est pas affecté par le champ. r En posant r = (x, y,0 ) et en faisant le produit scalaire avec l'équation de force on obtient:

(

)

r r r r r m&r& • r& = q r& × B • r& = 0

2. 7

qui donne le résultat:

(

)

d m r& 2 = 0 dt où W⊥ est constant dans le temps.

m r& 2 = W⊥ 2

⇒

2. 8

Donc, l’énergie cinétique W// associée au mouvement parallèle au champ magnétique est constante de même que l'énergie cinétique W⊥ associée au mouvement perpendiculaire.

r B qB et eˆ B = les équations du mouvement dans le plan (x,y) deviennent: Avec ωc = m B &x& = ωc y&

&y& = − ωc x&

2. 9

En dérivant (2.9) on peut séparer x et y pour obtenir: &x&& = − ωc 2 x&

&y&& = − ωc 2 y&

2. 10

L'équation (2.10) peut être écrite en utilisant les vitesses, c'est-à-dire: &v& x + ωc2 v x = 0

&v& y + ωc2 v y = 0

2. 11

qui admettent comme solution:

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.5

v x = v ⊥ cos(ωc t + α x ) = x& v y = v ⊥ cos(ωc t + α y ) = y&

(i ) (ii )

2. 12

ou nous avons utilisé αx,y comme constantes d'intégration. En choisissant αx = 0 et en intégrant 2.12(i) on peut écrire : x=

v⊥ sin ωc t + x 0 ωc

2. 13

Mais de 2.9 on a y& =

v& x ωc

2. 14

= − v ⊥ sinωc t qui donne après intégration : y=

v⊥ cos ωc t + y 0 ωc

2. 15

Les équations du mouvement s’écrivent donc x (t ) =

v⊥ sinωc t + x 0 ωc

y(t ) =

v⊥ cos ωc t + y 0 ωc

2. 16

z(t ) = z 0 + v // t

On peut écrire l'équation de la trajectoire de la particule dans le plan (x,y) à partir de (2.16) de la forme: 2

  (x − x 0 ) + (y − y 0 ) =  v ⊥   ωc  qui n'est rien d'autre que l'équation d'un cercle dont le rayon est donné par : 2

rL =

2. 17

v⊥ ωc

2. 18

qui est appelé rayon de Larmor ou rayon de giration. Avec v⊥ exprimer en m/s et ωc en s-1, rL est en m. La trajectoire de la particule de charge q dans un champ magnétique B constant et _________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.6

uniforme est donc une orbite hélicoïdale autour de la ligne de champ. Le centre guide (x0,y0) de la trajectoire se déplace le long de la ligne de champ avec une position donnée par: r rg = (x 0 , y 0 , z 0 + v // t )

2. 19

Figure 2 Trajectoire des charges dans un champ magnétique constant

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.7

Le champ B sort de la feuille (colinéaire avec l'axe z) dans le diagramme ci-haut. Le sens de rotation est donné par le signe de ωc dont le signe est donné par le signe de la charge. On voit que chaque particule a une rotation dans le sens qui lui permet de générer un champ magnétique qui s'oppose au champ magnétique appliqué. 2- Champ Electrique et Champ Magnétique

Soit : r B = (0,0,B)

2. 20

r E = (0,E ⊥ ,E // )

2. 21

avec ωc =

qB m

2. 22

Figure 3 Charge dans un champ magnétique et un champ électrique constant : géométrie du problème

L'équation de force devient: r r r r m&r& = q E + r& ×B r r r r&& q E ⇒r= + ωc r& ×e B m r qE = + (ωc y& ,−ωc x& ,0) m

(

)

(

)

2. 23

Dans l’équation 2.23 nous avons utilisé le vecteur unitaire dans la direction du champ magnétique r r r B B eB = r = B B L'équation de force vectorielle (2.20) donne les composantes:

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.8

&x& = ωc y&

(i)

qE⊥ − ωc x& m q E // &z& = m

&y& =

2. 24

(ii) (iii)

En multipliant ( iii) par la vitesse on peut écrire : &z& z& =

q E // d z& 2 z& ≡ m dt

2. 25

Écrivons maintenant le champ électrique parallèle sous la forme d'un gradient de potentiel le long ∂φ ). Notez que la dérivée partielle est utilisée parce que le potentiel peut être de l'axe z ( E // = − ∂z fonction des trois coordonnées. L'équation (2.25) devient alors: q ∂φ dz d 1 2  z&  = − m ∂z dt dt  2 

2. 26

qui devient, après intégration: 1 2 m z& + q φ = 2 ou l'énergie dans la direction parallèle

2. 27

est constante dans le temps.

On a donc la conservation de l’énergie parallèle à z dans le cas ou le champ électrique parallèle est constant dans le temps. L'énergie parallèle est constituée de deux contributions, une partie cinétique attribuable à la vitesse selon z et une partie potentielle reliée au potentiel électrique dans lequel se trouve la particule de charge q. Si E// est constant, une intégration directe nous donne : z& (t ) = v // +

q E // t m

2. 28

où v// représente la vitesse initiale. Que pouvons nous conclure au sujet du mouvement dans le plan (x,y)? Effectuons le changement de variable x * = x + K t qui implique que:

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.9

x& * = x& + K

2. 29

&x& *= &x&

de l'équation 2.24( i ) on obtient :

&x&* = ωc y&

2. 30

et 2.24( ii ) donne

(

)

qE⊥ − ωc x& * − K m   qE = − ωc x& * +  ⊥ + ωc K    m

&y& =

2. 31

= − ωc x& *

si on met K = - E⊥ / B. Nous obtenons donc des équations qui ont la même structure que celles obtenues dans pour le cas sans champ électrique. Les solutions s'écrivent donc:

x (t ) =

v⊥ E sin (ωc t + α ) + x 0 + ⊥ t ωc B

2. 32

v y(t ) = ⊥ cos(ωc t + α ) + y 0 ωc

Dans le cas d'un champ magnétique et électrique statique, le mouvement de la particule consiste en deux composantes : ( 1 ) une rotation avec un rayon de v⊥ / ωc autour du centre guide et ( 2 ) le centre guide rg qui se déplace dans la direction + x avec une vitesse constante donnée par: r r r E⊥ r E×B 2. 33 vd = ex = 2 B B Cette vitesse est constante et est la même pour toutes les particules puisse qu'elle ne dépend que de l'intensité des champs, donc indépendante de la charge et de la masse.

Problème 2. 1

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.10

Nous avons démontré qu'en présence d'un champ électrique et d’un champ magnétique, tous deux statiques et uniformes, il en résulte une vitesse de dérive du centre guide donnée par l’équation 2.33. Démontrez que la force électrique peut-être remplacée par une force quelconque et que la dérive prend la forme:

r r r 1 F×B vd = q B2

La projection de l’orbite sur un plan (x,y) peut-être représentée graphiquement :

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.11

Figure 4 Trajectoire des charges dans un champ magnétique et électrique constant. v⊥ > vd en haut, v⊥ = vd au milieu, v⊥ < vd en bas (Par Frédéric Larouche sur MATLAB, Automne 2001) _________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.12

Exemple : Analyseur de particule Soit E⊥ = 0 et E// = constante Nous avons les équations du mouvement: x (t ) =

v⊥ sin (ωc t + α x ) + x 0 ωc

y (t ) =

v⊥ cos(ωc t + α y ) + y 0 ωc

z (t ) =

qE // t 2 m 2

2. 34

pour lesquelles nous avons utilisé vz(0) = 0 et z(0) = 0 En prenant x(0) = y(0) et vx(0) et vy(0) =v0 on obtient : α = 3π / 2 , x0 = v0 / ωc et v⊥ = v0 Les équations du mouvement deviennent donc: x (t ) =

v0 [1 − cos(ωc t )] ωc

2. 35

v y(t ) = 0 sin (ωc t ) ωc

dans le plan (x,y). Pour restreindre le mouvement dans le plan (x,z), c'est-à-dire y(t) = 0 ∀t, il faut avoir sin(ωct) = 0 ce qui implique que ωct = 0, π, 2π, 3π, … Donc au temps t = π / wc la position d'une particule de charge q, de masse m dans un champ statique B et champ électrique statique E// est donnée par:

2v0 ωc

q E // 1  π    z= m 2  ωc 

2. 36

avec 1 mv 02 = qV 2

2. 37

on obtient:

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.13

π 2 E // 2 z= x 16V

2. 38

Il en résulte donc une parabole dont la forme dépend de l'énergie incidente de la particule et du champ électrique utilisé. Ceci est la "Parabole de Thomson" utilisée dans les analyseurs de particules.

Figure 5 Trajectoire dans l’analyseur de particule

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.14

3.-Champ Magnétique Inhomogène

Ce calcul est, en général, très difficile et c’est seulement dans le cas où δB / B est petit qu’on peut décrire des résultats généraux. ( δB est le changement de B dans une distance rL ) dB B Avec δ B = rL = rL on a : dr L δB << 1 B

rL << 1 L

2. 39

( a ) Lignes de champs droites mais fonction de la position Supposons B = ( 0,0,B(y)) – c'est-à-dire que le champ magnétique est toujours dans la direction z, mais est une fonction de y. r En l'absence de champ électrique E = 0 on obtient :

&x& = ωc (y ) y& &y& = − ωc (y ) x&

2. 40

&z& = 0 en prenant la dérivée on obtient:

& c y& &x&& = ωc &y& + ω 2 & c y& = −ωc x& + ω 2 = −ωc x& + y& 2

2. 41

dωc dy

& c x& &y&& = − ωc2 y& − ω = − ωc2 y& − x& y&

2. 42

dωc dy

Utilisons une expansion en série et écrivons:

 dω  ω c (y ) = ω c (y 0 ) + (y − y 0 )  c  + • • •  d y  y0 ′ = ωco + (y − y 0 ) ωco

2. 43

de telle sorte que (2.41) et (2.42) deviennent:

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.15

2 &x&& + ωco x& ≅ − 2ωco ω′co (y − y o )x& + ω′co y& 2

2. 44

2 &y&& + ωco y& ≅ − 2ωco ω′co (y − y o )y& − ω′co x& y&

Si on utilise les résultats pour un champ homogène, on peut écrire le côté droit des équations en utilisant: y − y0 =

v⊥ cos(ωco t + α ) ωco

x& = v ⊥ cos(ωco t + α ) y& = − v ⊥ sin (ωco t + α )

2. 45

L’équation (2.44) nous permet d'écrire les termes de droite sous la forme: 2ωco ω′co (y − y 0 ) x& = 2ωco ω′co

v 2⊥ cos 2 (ωco t + α ) = 2ω′co v ⊥2 cos 2 (ωco t + α ) ωco

2. 46

ω′co y& 2 = ω′co v ⊥2 sin 2 (ωco t + α )

En utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques ci-dessous: sin 2 (A ) + cos 2 (A ) = 1

cos(2A ) = 2cos 2 (A ) − 1

2. 47

sin (2A ) = 2sin (A )cos(A )

(2.44) devient:

[

]

2 &x&& + ωco x& ≅ ω′co v ⊥2 sin 2 (ωco t + α ) − 2cos 2 (ωco t + α )

ω′co v ⊥2 [1 + 3cos{2(ωco t + α )}] 2 2 &y&& + ωco y& ≅ ω′co v 2⊥ 3sin (ωco t + α )cos(ωco t + α ) ≅−

2. 48

3 ≅ ω′co v 2⊥ sin[2(ωco t + α )] 2

Les équations de mouvements en (2.45) admettent comme solution:

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.16

1 ω′ {cos[2(ωco t + α )] − 1} x& = v ⊥ cos(ωco t + α ) + v ⊥2 co 2 2 ωco 1 ω′ y& = − v ⊥sin (ωco t + α ) − v ⊥2 co sin[2(ωco t + α )] 2 2 ωco

2. 49

On note qu’il y a des oscillations à 2ωco et à ωco . Si on considère la vitesse du centre guide, on obtient :  r r  1 ω′ v g = v =  − v 2⊥ co , 0, v //  2   2 ωco

2. 50

ou ω′co ≡

d ωco q d B q r = → ∇B dy m dy m

2. 51

q 2 B2 ω = m2 2 co

c'est-à-dire qu'il y a une dérive dans la direction r –x r causée par le gradient de B. B×∇ B et l'expression vectorielle pour cette dérive La direction de cette dérive est donnée par B2 prend la forme:

r v ∇B =

r r B×∇ B q B B2

⊥

2. 52

appelé « GRADIENT DRIFT » ou « GRAD B DRIFT ». La direction de la vitesse de dérive est une fonction de la charge q , tandis que la dérive E x B est indépendante de la charge

NOTE : On ne peut pas conclure qu’il y aura un courant, parce qu’on a négligé le champ électrique, et une tendance à séparer les charges peut créer un tel champ pour rendre j zéro. ( b ) Lignes du champ magnétique courbées : r B = (0, B y (z ), Bz )

2. 53

Et on suppose que By << Bz et dBy / dz << Bz / rL Dans cette géométrie on obtient: _________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.17

r r v×B = (y& Bz − z& B y , − x& Bz , x& B y )

2. 54

Les équations du mouvement deviennent: &x& = ωcz y& - ωcy z& &y& = − ωcz x& &z& = ωcy x&

avec ωcz =

2. 55

qBy q Bz et ωcy = m m

On suppose ωcz constant dans le temps et &z& ≅ 0

⇒

z& ≅ v// pour obtenir:

2 &x&& + ωcz x& ≅ − ω′cy v 2//

2. 56

2 &y&& + ωcz y& ≅ ωcz ωcy v //

Les solutions de ces équations sont: x& = v ⊥ cos(ωcz t + α ) −

v 2// ω′cy

y& = − v ⊥ sin (ωcz t + α ) +

2 ωcz

2. 57

v // ωcy ωcz

de nouveau, la structure de ces équations montre l'existence d'une vitesse de dérive donnée par: 2  r  v // ω′cy v // vc ≅ − 2 , , v //   ω  ωcz cz   dBy By   2 , v // , v //  ≅  − //2 Bz   q Bz d z

2. 58

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.18

Figure 6 Champ magnétique courbé

en forme vectorielle on peut l’écrire :

ε[ (

) ]

r 2 // r r r r vc = B× B • ∇ B q B4 qui est appelé la dérive de courbure (curvature drift).

2. 59

On peut constater que la vitesse moyenne en y, c'est-à-dire vcy est donnée par:  ωcy  B   = v //  y  y& = v cy = v //   Bz   ωcz  B  = z&  y   Bz  c'est-à-dire que

2. 60

B y& = y qui implique que la particule suit la ligne de champ magnétique. z& Bz

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.19

Figure 7 Trajectoire dans le champ magnétique terrestre

La figure ci-dessus illustre le mouvement de particules chargées dans le champ magnétique terrestre. La vitesse longitudinale de dérive due au gradient et à la courbure du champ magnétique engendre un courant qui circule d'est en ouest autour de la terre (ring current).

Figure 8 Dérive autour de la terre

La figure ci-dessus représente schématiquement la dérive longitudinale des particules chargées autour de la terre.

4.-Constantes du Mouvement

( a ) S’il y a une symétrie dans le problème, on peut déterminer d’autres constantes de mouvement ( autre que l’énergie qui est toujours conservée ) :

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.20

& −L=T+V H = ∑ Pi Q i

2. 61

H = Hamiltonien T = Énergie Cinétique

L = Lagrangien V = Énergie Potentielle

Les équations de Hamilton s'écrivent: ∂H P& i = − ∂ Qi

2. 62

& = ∂H Q i ∂ Pi

ou Pi et Qi sont la quantité de mouvement et la « position » respectivement. Par exemple, pour une particule dans un champ magnétique on peut écrire pour le cas relativiste:

H= et

(cPr − qAr ) + m c 2

+ qφ

2. 63

r 2 1 r P − q A + qφ 2m

(

)

2. 64

dans le cas non-relativiste. Si H est indépendant d’une des coordonnées Qα du système, on peut voir que: ∂H P& α = − =0 ∂Qα

2. 65

qui implique que la quantité de mouvement par rapport à la coordonnée α est constante dans le temps (est conservée). Par exemple, plusieurs systèmes ont un axe de symétrie ( machine miroir simple, cuspidée ou ∂H = 0 qui implique que le moment cinétique Pθ est constant. toroïdale )et dans ce cas, ∂θ ∂L On trouve Pi = & , et pour une particule dans un champ magnétique la fonction de Lagrange ∂Qi est donnée par: r r 1 L = m v 2 − q φ + q v• A 2 2. 66 2 1 2 2 & & = m r& + r θ + z& − q φ + q r& A r + r θ A θ + z& A z 2

[

( )

]

[

]

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.21

mais le moment cinétique est donné par ∂L Pθ = & = m r 2 θ& + q r A θ ∂θ

2. 67

donc la quantité de mouvement devient P − qr Aθ p θ = m r θ& = θ r

2. 68

1 2 1 2 1 2 pr + pθ + pz + qϕ 2m 2m 2m

2. 69

Le hamiltonien est donné par: H= où p r = m r& , p θ = m r θ& , p z = m z& Mais à cause de la symétrie azimutale, on peut écrire: H=

1 2 1 2 pr + pz + ψ 2m 2m

2. 70

où ψ est un potentiel qui est une fonction de l’espace seulement, et non pas du temps: ψ(r ,z ) =

1  Pθ − q r A θ (r,z )   + q φ(r ,z ) 2m  r  2

2. 71

Pour qu'il y ait confinement de la particule, il faut que ce potentiel ψ ait un minimum, ce qui implique que ψ doit respecter la condition:  P − q r A θ   Pθ q∂ A θ  dψ = 0 = − θ   2 + ∂r  dr  mr  r

2. 72

c'est-à-dire qu'il y a deux conditions de confinement ou deux classes de particules données par: Pθ − q r A θ = 0

(i)

Pθ ∂A +q θ =0 2 r ∂r

(ii)

2. 73

Étant donné l'équation (2.68) , on voit que pour le premier cas le minimum se trouve où θ& = 0 c'est-à-dire les particules hors axe (off axis) dont la trajectoire n'encercle pas l'axe de symétrie.

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.22

Figure 9 Mouvement de particules dans un champ magnétique à symétrie axiale: (a) particule hors axe, (b) potentiel effectif pour les particules hors axe, (c) particules qui encerclent l'axe, (d) puit de potentiel effectif, (e) lignes de ψ constant pour les particules hors axe, (f) lignes de ψ constant pour les particules qui encerclent l'axe de symétrie.

Pour la deuxième classe, on voit qu’en général ψ est non nul au minimum et on obtient en utilisant la condition (ii): _________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.23

ψ min =

q 2  ∂A θ  + Aθ  r  2m  ∂r 

2. 74

Nous pouvons analyser des géométries spécifiques de champ magnétique en spécifiant le potentiel vecteur A À titre d'exemple : - champ cuspidé Aθ = arz ou a est une constante de proportionnalité, on obtient dans ce cas: ψ min =

2q 2 2 2 2 a r z m

2. 75

q 2 B2z 2 r 2m

2. 76

ou encore un champ uniforme Aθ = Bzr/2 ψ min = À partir de l'équation (2.68) P − qrAθ p θ = m r θ& = θ = m vθ r

2. 77

on obtient au minimum de ψ : m vθ = − q r

 ∂Aθ Aθ  ∂Aθ  − q A θ = − q r  + ∂r r   ∂r

2. 78

Mais r r r  ∂Aθ  1 ∂ (r A θ ) B = ∇×A =  − ,0, r ∂r   ∂z

2. 79

qui nous donne: Bz =

1 ∂ (r A θ ) = A θ + ∂ A θ r ∂r r ∂r

2. 80

qui nous permet d'écrire en combinant (2.80) et (2.78):  ∂Aθ Aθ   = − q r Bz m v θ = − q r  + r r ∂  

⇒

r = rL

2. 81

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.24

c'est-à-dire que le minimum correspond à un rayon Larmor. Points à souligner : • pour le premier cas ( particules hors axe), le minimum de ψ est défini par Pθ − q r Aθ = 0 . Mais comme Pθ est constant, et étant donné que rAθ = constante définit une ligne du champ magnétique, ceci implique que le minimum suit une ligne de champ magnétique. • pour le premier cas, le minimum est toujours à ψ = 0 et donc il n’y a pas de confinement parallèle aux lignes de champ magnétique dû à la constance de Pθ . Par contre pour le deuxième cas ( particules qui encerclent l'axe ) le minimum du puits est non nul et ne suit pas les lignes du champ magnétique ( nécessairement ) ; si Bz est plus fort aux extrémités ( par exemple une machine miroir ) , ψmin peut monter et former une barrière contre les pertes axiales (voir figure cidessous).

Figure 10 Particule confinée dans une vallée de potentiel

d r Br = , on peut d z Bz montrer que dans les deux cas, le minimum suit les lignes du champ magnétique dans la géométrie cuspidé (Aθ = arz). Pour les particules hors axe Pθ / qa est constant tandis que pour les particules qui encerclent l'axe on a - Pθ / qa est constant

En utilisant la discussion plus haut et qu'une ligne de champ est définie par

Donc les deux classes de particules peuvent être distinguées par un potentiel où le minimum suit une ligne de champ magnétique. Pour une particule donnée (Pθ et q donné) et un champ magnétique donné (a donné) on voit que la particule change de classe en voyageant de z < 0 à z > 0

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.25

Figure 11 Géométrie cuspidée

( b ) Si le champ magnétique varie ( lentement ) avec le temps, dans ce cas il y a un champ électrique associé avec la dérivée temporelle du champ magnétique: r r r & ∇× E = − B

2. 82

NOTE : Lorsque le champ électrique est perpendiculaire au champ magnétique, la vitesse r parallèle au champ magnétique ( v // ) est constante Considérons l'équation de force:

[

r r r r m&r& = q E + r& × B

]

2. 83

r et en prenant le produit scalaire avec la vitesse perpendiculaire au champ magnétique ( v ⊥ ) devient:

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.26

[

r r r r r r m v ⊥ •&r& = q v ⊥ • E + r& × B

]

2. 84

mais r r r r r r r d (v ⊥ + v // ) 1 d v 2⊥ v ⊥ • &r& = v ⊥ • v& = v ⊥ • = dt 2 dt r r r v⊥ • v × B ≡ 0

[

(i )

]

2. 85

(ii )

L'équation (2.84) devient donc r r d  m v ⊥2    = q v⊥ • E dt  2 

2. 86

Après que la particule ait effectuée une orbite on a : r r r r r  mv2  δ  ⊥  = q ∫ E • d r = q ∫ ∇ × E • dS  2  S

(

)

2. 87

r où dS est l'élément de surface unitaire de la surface délimitée par une orbite.

NOTE : ce résultat est seulement une approximation parce qu’il faut supposer que le contour est fermé, ce qui n'est pas le cas. On obtient donc, en substituant (2.82) dans (2.87): r  m v ⊥2  ∂B r δ • dS  = −q ∫ ∂t  2  S

2. 88

r ∂B est lent comparé au temps requis à la particule pour effectuer une orbite on peut écrire: Si ∂t r ∂B r ∂ r r & π r2 −q ∫ • dS ≅ − q ∫ B • dS = q B L ∂ t ∂ t S S

( )

2. 89

Pour obtenir (2.89) nous avons tenu compte que : (1) dans l'intégrale de surface l'élément de r surface dS est normal à la surface qui est déterminée par la trajectoire de la charge q, donc r r circulaire avec un rayon rL, (2) q et B • dS sont toujours de signe opposé étant donné que le signe du champ magnétique (donc sa direction par rapport à la normale de la surface circulaire

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.27

déterminée par la trajectoire circulaire de la charge ) change de signe pour avec le signe de la 1 charge q. En utilisant ⊥ = m v 2⊥ on obtient: 2

⊥

& ≅ q π rL2 B

2. 90

& ≅ δ B , δ t ≅ 2 π rL et r = m v ⊥ l'équation (2.90) devient: en utilisant B L v⊥ δt qB

Ce résultat peut-être écrit sous la forme:

ε ≅ε ⊥

⊥

δB B

2. 91

  δ ⊥  = 0  B 

c'est-à-dire que la quantité:

µ ≡ εB

⊥

2. 92

est approximativement une constante du mouvement et est appelé le MOMENT MAGNGÉTIQUE qui est un exemple d'un INVARIANT ADIABATIQUE, c’est-à-dire une constante qui caractérise un mouvement durant lequel la température reste constante. ( c ) Si le champ magnétique varie ( lentement ) dans l’espace :

Figure 12 Variation spatiale du champ magnétique

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.28

r r De ∇ • B = 0 on obtient en posant Bθ = 0:

1 ∂ (r Br ) + ∂ Bz = 0 r ∂r ∂z

r Br = − ∫ r

⇒

On suppose que

2. 93

∂ Bz dr ∂z

2. 94

∂ Bz ∂ Bz (r = 0) = pour toute les valeurs de r. Donc (2.94) devient: ∂z ∂z r Br ≅ −

∂ Bz ∂z

∫ r dr = −

∂ Bz r 2 ∂z 2

2. 95

Pour une orbite circulaire, r ≅ rL et on obtient de(2.95) rL ∂ Bz 2 ∂z

2. 96

d v // ∂B ≅ q v ⊥ Br ≅ − µ z dt ∂z

2. 97

Br ≅ − En utilisant l'équation de force on peut écrire: m

ou µ est le moment magnétique défini plus haut. L'équation (2.97) peut être écrite, en multipliant chaque côté par v//: d 1 d 2   m v //  = dt  2  dt

mais

= − µ v //

∂B ∂z

2. 98

d ∂ dz ∂ = = v // donc (2.98) devient: dt ∂z dt ∂z d dt

=−µ

dB dt

2. 99

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.29

On a aussi d dt

⊥

d (µ B) dt

2. 100

en dérivant l'équation qui défini le moment magnétique. En additionnant (2.99) et (2.100) et en tenant compte de la conservation de l'énergie on obtient: d (µ B) − µ d B = 0 = B dµ dt dt dt

2. 101

C'est- à-dire que le moment magnétique est aussi une constante pour une variation spatiale du champ magnétique Exemple : Supposons qu’il y a une variation du champ magnétique en forme « miroir » :

Figure 13 Géométrie miroir

On décrit le mouvement des particules près du centre par le paramètre v⊥(0) / v//(0) Avec la conservation de l'énergie:

ε = 12 m v

2 ⊥

(0) + 1 m v 2// (0)

2. 102

et la conservation du moment magnétique: 1 m v 2⊥ (0 ) = ⊥ =2 B B0

µ ε

2. 103

Figure 14 Vitesse au centre du miroir

mais v⊥ = v sinθ et la conservation du moment magnétique on peut écrire: _________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.30

µ = m2 v

sin 2θ B(z )

2. 104

et est constant le long de l'axe z de telle sorte que la quantité sin2θ / B(z) est constante. En se déplacant le long de z à partir de l'origine, B augmente de B0 à Bm ce qui implique que l'angle θ augmente à partir de sa valeur initiale de θ0. On voit donc que si la situation initiale est telle que θ atteint π / 2 avant ou au point ou B devient Bm, la particule sera réfléchie. Si sin2θ0 > B0 / Bm la particule est piégée. Et si sin2θ0 < B0 / Bm la particule échappe du miroir sin2θ0 = B0 / Bm définit le « CONE DE PERTE » : * Avec R = B0 / Bm « Rapport Miroir » ou « Mirror Ratio » on a:

sinθ c =

1 R

⇒ cosθ c =

R −1 R

2. 105

Figure 15 Cône de perte du mirroir

( d ) Orbites dans un système toroïdal On suppose une symétrie toroïdale, avec un système de coordonnées toroïdales : La figure de gauche illustre le système de coordonnées toroïdales (r,θ,φ) Un aspect important du mouvement est déterminé par la constance de Pφ . On prend une forme simplifiée pour Aφ (et Bθ) : r

R Aφ = − b(r ) d r R + r cosθ ∫0 R Bθ = b(r ) R + r cosθ

2. 106

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.31

Figure 16 Géométrie toroïdale

r r r r r r [ On peut vérifier que cette forme donne B = ∇ × A mais pas nécessairement ∇ × B = µ 0 j . ]

En posant ρ = R + r cosθ on obtient pour la quantité de mouvement canonique : Pφ = mρ 2 φ& + qρ A φ r

2 = m (R + r cos θ ) φ& − q R ∫ b(r ) d r

2. 107

0 r

= m v // (R + r cos θ ) − q R ∫ b(r ) d r 0

ou nous avons aussi utilisé ρ φ& = v // Étant donné que Pφ est constant pour une particule, on voit que v// > 0 ou v// < 0 donne des résultats légèrement différents. Si on regarde au point θ = 0 par exemple, on trouve 2 valeurs de r. Si r<<R , et si ∆r ( la différence entre les deux orbites ) est faible on a :

[

]

∆ ∫ b(r ) d r ≅ Bθ ∆ r

2. 108

c'est-à-dire: r+

r−

m v // R − q R ∫ b(r ) d r = − m v // R − q R ∫ b(r ) d r

2. 109

qui donne

[

]

2. 110

∆r ≅

2m v // 2 v // = q Bθ ωcθ

2. 111

2m v // R ≅ q R ∆ ∫ b(r ) d r ≅ q R Bθ ∆ r d'ou

ou nous avons introduit la quantité wcθ = q Bθ / m , la fréquence cyclotron associée au champ magnétique poloidal. Donc le déplacement des orbites ( θ = 0 ) est de l’ordre du rayon larmor dans le champ poloïdal : Si le vecteur vitesse tombe dans le « cone de perte », les particules font le tour de la machine (passing particules ) . Si non, les particules sont « piégées », et dans ce cas l’orbite (projetée sur un plan ) a la forme d’une « banane ».

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.32

Figure 17 Orbites bananes

La Figure 17 illustre les trajectoires des particules projetées sur une coupe poloïdale. Les surfaces magnétiques sont indiquées par la ligne continue et les orbites de particules par le ligne pointillée. En a) on voit la trajectoire des ions libres qui se déplacent dans le sens de B; en b) la trajectoire des ions libres qui se déplacent dans le sens opposé à B et en c) les ions piégés. On a :

ε = 12 m v avec Bφ =

2 //

1 + µ B ≅ m v 2// + µ Bφ 2. 112 2

B0 R on obtient: R + r cosθ

ε = 12 m v

2 //

µ B0 R R + r cosθ

2. 113

Il y a une position angulaire θ = θ0 pour laquelle les particules piégées ont une vitesse parallèle nulle (v// = 0 aux bouts de la « banane » ) . En utilisant la conservation de l’énergie, la vitesse à θ = 0 est donnée par :

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.33

 2 r (1 − cosθ 0 ) 2 v // = ±   R+r  m

2. 114

De l’équation 2.111 et du fait que ∆r sera maximum pour θ0 Æ π on obtient : 3

(∆ r )max

2 2  2ε  2  r  2 ≅     ωcθ  m   R 

2. 115

c'est-à-dire approximativement la racine carré du rapport d'aspect du tokamak qui multiplie le rayon de Larmor dans le champ poloidal .

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.34

Les équations

[

]

r r r r r r m v = q E + v× B → q v× B 2. 1 ................................................................4 r B = (0,0, B) 2. 2 ..............................................................................................................................4 r v = (v x , v y , v z )

2. 3 ............................................................................................................................4

= (x& , y& ,z& ) r r v × B = (y& B,− x& B,0) m &x& = q y& B m&y& = − q x& B m&z& = 0 z& = v // z(t ) = z 0 + v // t r&& r& r& r r& mr • r = q r ×B • r = 0

(

2. 4 ..........................................................................................................................4 2. 5.........................................................................................5 2. 6 ..............................................................................5

)

2. 7 ..............................................................................5 2

d m r& ( m r& 2 ) = 0 ⇒ = W⊥ 2 dt &x& = ωc y& &y& = − ωc x& 2

&x&& = − ωc x&

&y&& = − ωc y&

2 c

&v& y + ω v y = 0 v x = v ⊥ cos(ωc t + α x ) = x& (i ) v y = v ⊥ cos(ωc t + α y ) = y& (ii )

v⊥ sin ωc t + x 0 ωc v& y& = x ωc

2. 11......................................................................5 2. 12...................................................................6 2. 13......................................................................................6

2. 14..........................................................................................6

= − v ⊥ sinωc t v y = ⊥ cos ωc t + y 0 ωc v x (t ) = ⊥ sinωc t + x 0 ωc y(t ) =

2. 9 .............................................................................5 2. 10 ........................................................................5

2 c

&v& x + ω v x = 0

2. 8....................................................................5

2. 15 .....................................................................................6

v⊥ cos ωc t + y 0 ωc

2. 16..............................................................................6

z(t ) = z 0 + v // t

(x − x 0 )

rL =

+ (y − y 0 )

v  =  ⊥   ωc 

v⊥ ωc

2. 17 ........................................................................6 2. 18.................................................................................................6

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.35

r rg = (x 0 , y 0 , z 0 + v // t ) 2. 19 ..................................................................................7 r B = (0,0,B) 2. 20 ............................................................................................................................................8 r E = (0,E ⊥ ,E // ) 2. 21.........................................................................................................................................8 qB ωc = 2. 22 .............................................................................................................................................8 m r r r r m&r& = q E + r& ×B r r&& q E r r ⇒r= 2. 23 ..................................................................................8 + ωc r& ×e B m r qE = + (ωc y& ,−ωc x& ,0) m &x& = ωc y& (i)

(

)

(

)

qE⊥ (ii) − ωc x& m q E // &z& = (iii) m q E // d z& 2 &z& z& = z& ≡ m dt &y& =

d 1 2 q ∂φ dz  z&  = − dt  2  m ∂z dt 1 2 m z& + q φ = // 2 q E // z& (t ) = v // + t m x& * = x& + K

&x& *= &x& &x&* = ωc y& qE⊥ &y& = − ωc x& * − K m  qE  = − ωc x& * +  ⊥ + ωc K   m 

(

2. 24.................................................................................9

2. 25 ......................................................................................9 2. 26................................................................................9 2. 27 ............................................................................................9 2. 28......................................................................................9 2. 29.........................................................................................10 2. 30 ................................................................................................10

)

= − ωc x& * v E x (t ) = ⊥ sin (ωc t + α ) + x 0 + ⊥ t ωc B

v y(t ) = ⊥ cos(ωc t + α ) + y 0 ωc r r r E×B E⊥ r ex = 2 vd = B B

2. 31 ...............................................................................10

2. 32....................................................................10

2. 33 ....................................................................10

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.36

x (t ) =

v⊥ sin (ωc t + α x ) + x 0 ωc

y (t ) =

v⊥ cos(ωc t + α y ) + y 0 ωc

2. 34................................................................................13

qE // t 2 m 2 v x (t ) = 0 [1 − cos(ωc t )] ωc

z (t ) =

2. 35 .............................................................................................13

v y(t ) = 0 sin (ωc t ) ωc 2v x= 0 ωc q E // 1  π    z= m 2  ωc  1 mv 02 = qV 2 π 2 E // 2 z= x 16V δB << 1 ou B &x& = ωc (y ) y&

2. 36..............................................................................................13

2. 37 ................................................................................................13 2. 38.................................................................................................14

rL << 1 L

&y& = − ωc (y ) x& &z& = 0 & c y& &x&& = ωc &y& + ω

2. 39 ...............................................................................15

2. 40 ................................................................................................15

2 & c y& = −ωc x& + ω 2 = −ωc x& + y& 2

2. 41.........................................................................................15

d ωc dy

& c x& &y&& = − ωc2 y& − ω

= − ωc2 y& − x& y&

d ωc dy

 dω  ω c (y ) = ω c (y 0 ) + (y − y 0 )  c  + • • •  d y  y0 ′ = ωco + (y − y 0 ) ωco

2 &x&& + ωco x& ≅ − 2ωco ω′co (y − y o )x& + ω′co y& 2

2 &y&& + ωco y& ≅ − 2ωco ω′co (y − y o )y& − ω′co x& y&

2. 42 ......................................................................................15

2. 43 ...............................................................15

2. 44...............................................................16

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.37

y − y0 =

v⊥ cos(ωco t + α ) ωco

x& = v ⊥ cos(ωco t + α ) y& = − v ⊥ sin (ωco t + α )

2. 45 .......................................................................16

2ωco ω′co (y − y 0 ) x& = 2ωco ω′co

v 2⊥ cos 2 (ωco t + α ) = 2ω′co v 2⊥ cos 2 (ωco t + α ) ωco

2. 46 ............................16

ω′co y& = ω′co v sin (ωco t + α ) 2

sin 2 (A ) + cos 2 (A ) = 1

2 ⊥

cos(2A ) = 2cos 2 (A ) − 1

2. 47.........................................................................16

sin (2A ) = 2sin (A )cos(A ) &x&& + ω x& ≅ ω′co v 2⊥ sin 2 (ωco t + α ) − 2cos 2 (ωco t + α )

[

2 co

]

ω′co v 2⊥ [1 + 3cos{2(ωco t + α )}] 2 2 &y&& + ωco y& ≅ ω′co v 2⊥ 3sin (ωco t + α )cos(ωco t + α ) ≅−

2. 48 ....................................................16

3 ≅ ω′co v ⊥2 sin[2(ωco t + α )] 2 1 ω′ {cos[2(ωco t + α )] − 1} x& = v ⊥ cos(ωco t + α ) + v 2⊥ co 2 2 ωco 1 ω′ y& = − v ⊥sin (ωco t + α ) − v ⊥2 co sin[2(ωco t + α )] 2 2 ωco  r r  1 ω′ v g = v =  − v 2⊥ co , 0, v //  2  2 ωco  r d ωco q d B q ω′co ≡ = → ∇B dy m dy m q 2 B2 2 ωco = m2 r r r B×∇ B v ∇B = ⊥ q B B2 r B = (0, B y (z ), Bz ) r r v×B = (y& Bz − z& B y , − x& Bz , x& B y ) &x& = ωcz y& - ωcy z&

&y& = − ωcz x& &z& = ωcy x& 2 &x&& + ωcz x& ≅ − ω′cy v 2// 2 &y&& + ωcz y& ≅ ωcz ωcy v //

2. 49 ......................................................17

2. 50 ..........................................................................17

2. 51 .......................................................................17

2. 52.........................................................................................17 2. 53 ....................................................................................17 2. 54 ......................................................................18

2. 55.........................................................................................18

2. 56.............................................................................18

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.38

x& = v ⊥ cos(ωcz t + α ) −

v 2// ω′cy 2 ωcz

y& = − v ⊥ sin (ωcz t + α ) +

2. 57......................................................................18

v // ωcy ωcz

2  r  v // ω′cy v // , v //  vc ≅ − 2 ,  ω  ωcz cz   By dBy  2  ≅  − //2 , v //  , v // Bz  q Bz d z  r r r r r 2 // vc = B× B • ∇ B q B4

2. 58 ...................................................................18

ε[ (

) ]

2. 59...................................................................................19

 ωcy  B   = v //  y  y& = v cy = v //   Bz   ωcz  B  = z&  y   Bz  & −L=T+V H = ∑ Pi Q i

2. 60 .....................................................................19

2. 61 ..............................................................................21

∂H P& i = − ∂ Qi

2. 62.............................................................................................21

& = ∂H Q i ∂ Pi r r H = cP − q A + m 2 c 4 + qφ 2. 63 ...........................................................................21 r 2 1 r H= P − q A + qφ 2. 64 ....................................................................................21 2m ∂H P& α = − =0 2. 65 ................................................................................................21 ∂Qα r r 1 L = m v 2 − q φ + q v• A 2 2. 66 ...............................................21 2 1 2 2 & & = m r& + r θ + z& − q φ + q r& A r + r θ A θ + z& A z 2 ∂L Pθ = & = m r 2 θ& + q r A θ 2. 67 ..................................................................................22 ∂θ P − qr Aθ p θ = m r θ& = θ 2. 68 ..........................................................................................22 r 1 2 1 2 1 2 H= pr + pθ + pz + qϕ 2. 69..........................................................................22 2m 2m 2m 1 2 1 2 H= pr + pz + ψ 2. 70 .....................................................................................22 2m 2m

(

[

)

( )

]

[

]

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.39

1  Pθ − q r A θ (r,z )  ψ(r ,z ) =  + q φ(r ,z ) 2m  r  2

2. 71 ....................................................................22

 P − q r A θ   Pθ q∂ A θ  dψ = 0 = − θ  2 +  dr ∂r   mr  r

Pθ − q r A θ = 0

(i)

∂A Pθ +q θ =0 2 r ∂r

(ii)

ψ min

q 2  ∂A θ  = + Aθ  r  2m  ∂r 

2. 72.......................................................................22

2. 73 ....................................................................................22 2

2. 74.........................................................................24

2q 2 2 2 2 a r z 2. 75 ....................................................................................24 m q 2 B2z 2 ψ min = r 2. 76 ...........................................................................................24 2m P − qrAθ p θ = m r θ& = θ = m vθ 2. 77 ..............................................................................24 r  ∂Aθ Aθ  ∂Aθ  2. 78 ...........................................................24 + m vθ = − q r − q A θ = − q r  ∂r r   ∂r ψ min =

r r r  ∂Aθ  1 ∂ (r A θ ) B = ∇×A =  − ,0, r ∂r  ∂z  1 ∂ (r A θ ) = A θ + ∂ A θ Bz = r ∂r r ∂r  ∂Aθ Aθ   = − q r Bz m v θ = − q r  + ⇒ r   ∂r r r r & ∇× E = − B r r r r m&r& = q E + r& × B r r r r r r m v ⊥ •&r& = q v ⊥ • E + r& × B r r r r r r r d (v ⊥ + v // ) 1 d v ⊥2 & & v ⊥ • r = v ⊥ • v& = v ⊥ • = dt 2 dt r r r v⊥ • v × B ≡ 0 r r d  m v ⊥2  = q v ⊥ •E   dt  2  r r r r r  mv2  δ  ⊥  = q ∫ E • d r = q ∫ ∇ × E • dS  2  S r 2 r  mv  ∂B δ ⊥  = −q ∫ • dS ∂t  2  S

[

]

[

(

]

)

2. 79 ......................................................................24 2. 80 ...............................................................................24

r = rL

2. 81.........................................................24

2. 82......................................................................................26 2. 83 ...................................................................................26 2. 84...........................................................................27

(i )

2. 85 ................................................27

(ii ) 2. 86 ...............................................................................27

2. 87................................................................27

2. 88.................................................................................27

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.40

r ∂ r r ∂B r & π r2 −q ∫ • dS ≅ − q ∫ B • dS = q B L ∂t ∂t S S & δ ≅ q πr 2 B

( )

ε δε ≅ ε µ≡ε ⊥

⊥

δB B

2. 89 .............................................................27 2. 90 ....................................................................................28 2. 91 ........................................................................................28

⊥

2. 92 .........................................................................................28

1 ∂ (r Br ) + ∂ Bz = 0 r ∂r ∂z

2. 93 .....................................................................................29

r Br = − ∫ r

⇒

∂ Bz dr ∂z

2. 94 .............................................29

∂ Bz ∂ Bz r 2 r d r = − 2. 95 ........................................................................29 ∂z ∫ ∂z 2 r ∂ Bz 2. 96.......................................................................................29 Br ≅ − L 2 ∂z dv ∂B m // ≅ q v ⊥ Br ≅ − µ z 2. 97 ............................................................................29 dt ∂z d 1 d ∂B 2  2. 98 ..................................................................29  m v //  = // = − µ v // dt  2 ∂z  dt d dB 2. 99............................................................................................29 // = − µ dt dt d d (µ B) 2. 100...........................................................................................30 ⊥ = dt dt d (µ B) − µ d B = 0 = B dµ 2. 101............................................................................30 dt dt dt 1 1 = m v ⊥2 (0) + m v 2// (0) 2. 102 ...............................................................................................................30 2 2 1 m v ⊥2 (0 ) = ⊥ =2 2. 103...............................................................................................................30 B B0 r Br ≅ −

ε ε

µ ε

µ = m2 v sinθ c =

sin 2θ B(z )

1 R

2. 104 .........................................................................................31

⇒ cosθ c =

R −1 R

2. 105......................................................................31

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.41

R Aφ = − b(r ) d r R + r cosθ ∫0 R Bθ = b(r ) R + r cosθ Pφ = mρ 2 φ& + qρ A φ

2. 106 ........................................................................................................................31

2 = m (R + r cos θ ) φ& − q R ∫ b(r ) d r

2. 107.....................................................................32

0 r

[

= m v // (R + r cos θ ) − q R ∫ b(r ) d r 0

]

∆ ∫ b(r ) d r ≅ Bθ ∆ r

2. 108 .......................................................................................32

r−

m v // R − q R ∫ b(r ) d r = − m v // R − q R ∫ b(r ) d r 0

[

2. 109 ......................................................32

]

2m v // R ≅ q R ∆ ∫ b(r ) d r ≅ q R Bθ ∆ r

2. 110 ..............................................................32

2m v // 2 v // = 2. 111........................................................................................32 q Bθ ωcθ 1 1 = m v 2// + µ B ≅ m v 2// + µ Bφ 2. 112 ............................................................................................................33 2 2 µ B 1 0 R 2. 113 ............................................................................33 = m v 2// + 2 R + r cosθ

∆r ≅

ε ε

 2 r (1 − cosθ 0 ) 2 v // = ±   R+r  m 3

(∆ r )max

2. 114 ........................................................................34

2 2  2ε  2  r  2 ≅     ωcθ  m   R 

2. 115........................................................................34

_________________________________________________________________________________________________________________

Orbites des particules

2.42

Table des matières Table des matières........................................................................................................................... 1 Liste des figures .............................................................................................................................. 2 Physique des plasmas - La fonction de distribution ................................................................ 4 La distribution Maxwell-Boltzmann ........................................................................................... 8 Applications de la fonction Maxwell-Boltzmann ..................................................................... 12 La vitesse (module) la plus probable..................................................................................... 12 La vitesse (module) moyenne ............................................................................................... 12 La vitesse RMS (Root Mean Square).................................................................................... 13 L'énergie la plus probable ..................................................................................................... 13 L'énergie moyenne ................................................................................................................ 13 La distribution Maxwellienne dans un champ de force conservatrice ...................................... 13 La longueur de Debye ........................................................................................................... 15 La gaine près d'une surface ................................................................................................... 19 Le taux de réaction .................................................................................................................... 23 Le flux diffusif .......................................................................................................................... 31 Équilibre thermique et la relation de Saha ................................................................................ 33 Appendices ................................................................................................................................ 36 Appendice A.......................................................................................................................... 36 Appendice B.......................................................................................................................... 37 Appendice C : Note sur le terme pour les collisions:............................................................ 38 Liste des équations ........................................................................................................................ 39

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Liste des figures Figure 1 Illustration du calcul de la densité à partir de la fonction de distribution......................... 6 Figure 2 Illustration de la gaine devant une surface...................................................................... 20 Figure 3 Schéma de la géométrie utilisée pour le calcul du taux de réaction ............................... 24 Figure 4 Densité de puissance totale pour les réactions de fusion D-T et D-D ............................ 27 Figure 5 Valeurs des taux de réaction <σv> pour les réactions D-T, D-D et D-He3 en supposant des distributions Maxwelliennes. .......................................................................................... 28 Figure 6 Section efficace d’ionisation par impact électronique de l’He ....................................... 29 Figure 7 Taux de réactions pour l’ionisation de l’He par impact électronique en supposant une distribution Maxwellienne..................................................................................................... 30 Figure 8 Géométrie utilisée pour estimer le flux diffusif.............................................................. 31

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Liste des problèmes Problème 3. 1................................................................................................................................. 11 Problème 3. 2................................................................................................................................. 11 Problème 3. 3................................................................................................................................. 13 Problème 3. 4................................................................................................................................. 31

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Physique des plasmas - La fonction de distribution La base de la théorie de la physique des plasmas est la théorie cinétique. Dans cette théorie r r r r r r on définit une fonction f ( r , v, t ) telle que f (r , v, t ) d r d v est le nombre probable de particules (d'une r r r r espèce donnée) dans le petit élément de volume d r d v autour du point (r , v ) dans l’espace de phase r r au temps t ou r = (x , y,z ) est le vecteur position et v = (v x , v y , v z ) le vecteur vitesse. Il faut noter que

la fonction f est continue - on sait bien que les électrons et les protons dans le plasma sont des particules discrètes et que si on pouvait regarder avec un microscope on verrait une distribution de r r points dans d r d v . r r On considère donc que d r d v est assez grand pour que l’on puisse définir une fonction r moyenne. Par exemple, l'élément de volume d r doit être plus grand que la distance inter-particule dans le plasma, mais aussi plus petit qu'une distance "caractéristique" dans le plasma. On voit qu'il y a probablement des situations dans lesquelles la théorie cinétique n'est pas valide, mais la plupart des problèmes sont faisables avec la théorie cinétique. r Si nous sommes intéressés par le nombre de particules dans l'élément de volume d r , r r indépendamment de leur vitesse, à un temps t, on peut le calculer à partir de f ( r , v, t ) : r r r r r d n ( r , t) = ∫rf ( r , v , t ) d r d v

3. 1

r r r r n ( r , t ) = ∫rf ( r , v , t )d v

3. 2

et la densité peut être écrite:

où on intègre sur toutes les vitesses (vx,vy,vz) de - ∞ à ∞. Très souvent, il est intéressant de calculer la moyenne de certaines quantités - on ne veut pas savoir tous les détails de toutes les particules, mais plutôt la densité, la vitesse moyenne, etc. à la r r r position r dans le plasma à un temps t. Si la quantité qui nous intéresse est g ( r , v, t ) - qui peut être r r r r un scalaire, un vecteur ou autre - on a un nombre f (r , v, t ) d r d v de particules avec cette valeur de g. r r r r r r f ( r , v, t ) d r d v Donc, une fraction r r r r de toutes les particules dans d r d v ont cette valeur. La d r ∫ f ( r , v, t ) d v

moyenne de g est donc donné par:

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

r r r r r r d r ∫ g ( r , v, t ) f ( r , v, t ) d v r g(r , t ) = r r r r d r ∫ f ( r , v, t ) d v r r r r r g ( r , v, t ) f ( r , v, t ) d v ∫ = r r r ∫ f (r, v, t )d v

3. 3

rr r r rr r n (r , t ) g(r , t ) = ∫ g(r , v, t ) f (r , v, t ) d v

3. 4

qui devient:

Exemples r r v r (i) Considérons g ( r , v, t ) = v(r , t ) alors la vitesse moyenne est donnée par:

r rr r r r r r n ( r , t ) v( r , t ) = ∫ v ( r , t ) f ( r , v, t ) d v r r r 1 (ii) Ou encore considérons g ( r , v, t ) = m v 2 ( r , t ) = 2 donnée par:

r n (r, t )

3. 5

ε(rr, t ) alors l'énergie cinétique moyenne est

ε(rr, t ) = ∫ 12 mv

(rr , t ) f (rr , vr , t ) d vr

3. 6

La fonction de distribution peut être une fonction du temps, et il faut développer une équation qui décrit l'évolution temporelle de f. L'équation que nous allons développer est une équation de conservation de particules et est appelée en général l'équation de Boltzmann. r r Considérons un élément de volume δ r δ v dans "l'espace de phase". Les forces sur les particules les déplacent d'un élément de volume à l'autre. Ce changement est donné par l'équation cinétique qui décrit le flux au travers des surfaces de ce petit élément de volume. 1) dans l'espace tridimensionnel la quantité totale N de particules dans le volume est donné par

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Figure 1 Illustration du calcul de la densité à partir de la fonction de distribution

r r r r N = ∫ d r ∫ d v f ( r , v, t ) δr

3. 7

δv

et le changement de ce nombre dans le temps par:

r r r ∂N = ∫ d v ∫ f v • n r d Sr 3. 8 ∂t δv Sr r r où nr est le vecteur perpendiculaire à la surface Sr. Le terme v • n r représente la vitesse dirigée vers l'extérieur du volume.

(2) dans l'espace des vitesses: r r r ∂N = ∫ d r ∫ f a • n v d Sv ∂t δr Sv

3. 9

r r où a est l'accélération des particules à la surface Sv, avec le normal n v .

(3) S'il y a des collisions qui prennent une particule de ce petit volume à un autre ou qui prennent r r une particule d'ailleurs et le mettent dans le volume δ r δ v on a: r r  δf  ∆N = ∫ d r ∫ dv   ∆ t δr δv  δ t  c

3. 10

Le changement du nombre de particules dans le petit volume est:

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

r r r ∂N = − ∫ dv ∫ f v • n r d Sr ∂t δv Sr

r r r d r f a ∫ ∫ • n v d Sv +

δr

r rδf  d ∫δR r δv∫ dv  δ t  c

3. 11

r r r r Si nous utilisons le théorème de la divergence ∫ F • n dS = ∫ ∇ • F d V ou V est le volume déterminé S

par la surface fermée S on obtient: r r r r r • ∇ f v d = S n r r ∫ ∫ r • ( f v ) dr δr

et r r

∫ f a•n

r r d Sv = ∫ ∇ v • ( f a ) dv δv

r r et avec N = ∫ d r ∫ dv f on obtient: δr

δv

r r rr r rv r r r r r  δf  ∂ d r ∫ d v f = - ∫ d r ∫ dv ∇r • ( fv ) − ∫ d r ∫ dv ∇ v • ( fa ) + ∫ d r ∫ d v   ∫ ∂t δr δv  δt  c δr δv δr δv δr δv r r comme le volume δ r δ v est arbitraire on obtient:

r r r ∂f r  δf  + ∇r • ( f v ) + ∇v • ( f a ) =   ∂t  δt  c

3. 12

r r Il est important de noter que r et v sont des variables indépendantes de telle sorte que: r r r ∂f ∇r • ( f v ) = v • r ∂r

3. 13

r r r F Notons aussi que a = , et si on suppose que F n'est pas une fonction de vitesse, ou est donné par m r r q v×B de telle sorte que: r r r F ∂f ∇v • ( f a ) = • r m ∂v

3. 14

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

r r [ Dans le cas F = qv × B

∂ r r r • v×B = 0] ∂v Dans un plasma, les collisions entre les particules chargées peuvent être importantes même si la distance entre les particules est assez grande. L'interaction entre les particules est déterminée par le champ électrique self-consistent. Ce champ est déterminé par la fonction f et est calculé par la charge nette dans le plasma: r r r r r r r ρ ( r, t ) 1 ∇ • E ( r, t ) = = ρ i ∫ f i ( r , v, t ) d v 3. 15 ∑ εo εo i

(

)

ou ρ est la densité de charge donnée par nq . Ce champ électrique est normalement inclus avec la r r r r r force F , d'une façon "self-consistente" telle que F = q E + v × B  ∂f  Le terme   tient compte des collisions entre les particules - les collisions qui sont traitées  ∂t  c comme des collisions binaires.

(

)

On peut maintenant substituer dans l'équation 3.12 et on obtient ainsi pour l'équation qui décrit le changement de la fonction f:

r ∂f r ∂f F ∂f  ∂f  +v• r + • r =  ∂r m ∂v  ∂t c ∂t

3. 16

La distribution Maxwell-Boltzmann Un cas très important est la fonction de distribution pour une collection de particules qui sont en équilibre thermique. Cette situation peut être le résultat de particules bien confinées dans une certaine région de l'espace et qui, par échange d'énergie par des collisions, arrivent à une distribution f qui ne varie pas avec le temps. Dans ce cas, l'échange d'énergie est un processus de marche aléatoire. Le résultat est que la distribution de ces particules être décrite par la fonction de distribution normale de probabilité qui a une forme Gaussienne:

(

r r r f ( r , v, t ) = A( r , t ) exp − β 2 v2

)

3. 17

Ici, on permet une variation spatiale de la densité. De 3.17, il est aussi évident que la distribution en vitesse est isotrope. Dans ce cas on trouve pour la densité:

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

(

)

r r r n ( r , t ) = ∫ A ( r , t ) exp − β2 v2 d v

3. 18

r avec l’élément de volume dans l’espace des vitesses d v = 4π v2 dv à cause de l'isotropie on obtient: r r ∞ 2 n ( r , t ) = A ( r , t ) ∫ 4 π v2 exp − β v2 dv

(

)

3. 19

r π = 4π A(r , t ) 3 4β

r 3 r 4 β n( r , t ) de telle sorte que la fonction de distribution Nous pouvons donc écrire A( r , t ) = 4 π3/2 Maxwellienne s'écrit donc: 3 r r β 2 f ( r , v, t ) = 3/2 n ( r , t ) exp − β v2 π

(

)

3. 20

Étant donné que la fonction de vitesse est isotrope, on voit que le nombre de particules dans une r r r r r intervalle d v , indépendamment de la direction de v , est donné par 4 π v2 f ( r , v, t ) dv Considérons la vitesse dans la direction x. On peut calculer la vitesse moyenne: 3

β = 3/2 π

∫ v exp (− β

∞

−∞

)

2 2 dvr = 0 v

3. 21

L'énergie cinétique moyenne dans la direction x n'est cependant pas nulle:

1 m v2x 2

(

)

(

)

(

3. 22

)

∞ 3 ∞ ∞  1 β  2 2 2 2 2 = m 3/2  ∫ v x exp − β v x d v x   ∫ exp − β v y d v y   ∫ exp − β 2 v2z d vz  2 π − ∞  − ∞  − ∞ 

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

1 β3/2  2 π   4 π  m m   = 2 π3/2  4 β3   4 β 2  4 β 2

3. 23

1 Dans un système en équilibre, on associe avec chaque degré de liberté une énergie de k T , (où k = 2 constante de Boltzmann et T la température) donc:

m 1 = kT 4 β2 2

ε =ε =ε

Il est à noter que

⇒

1 k T donc 2

m 2kT

β=

ε=ε +ε +ε x

3. 24

3 kT 2

D'où on obtient finalement: 3

 m v2   m 2 r r r   n ( r , t ) exp − f ( r , v, t ) =  2 k T  2π k T   

3. 25

On peut aussi définir une fonction de l'énergie comme le nombre de particules dans l'intervalle d'énergie dε: F(

ε ) dε = 4π v

r f ( r , v, t) dv où

qui implique que d = m v dv

ε = 12 m v

dv =

qui donne

ε ) = 4 π  2mε  f ( v ) 



1 3

(kT )2

1 2

1 2m

d 2m

3. 26

r 4  −   π  n ( r , t ) exp kT     

NOTE: On écrit écrit F( ), écrite en terme de l'énergie, parce que la forme fonctionnelle est différente de celle pour la fonction de vitesse f(v) qui est écrite en terme de la vitesse.

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Problème 3. 1

Soit la fonction de distribution isotrope à deux dimensions

f (v ) = Ae

−

(

m v 2x + v 2y

)

(1)

2kT

a) Calculez A de telle sorte que l'intégrale de f sur l'espace des vitesses donne ∞

∞

∫ dv x ∫ dv yf (v x , v y ) = 1

−∞

(2)

−∞

b) Donnez l'expression des lignes de niveau de f dans le plan (vx, vy) en faire le schéma (Une ligne de niveau est donnée par f(vx,vy) = F une constante entre 0 et A). c) Modifiez f pour exprimer la présence d'une dérive vDx dans la direction x et faire le schéma des lignes de niveau dans ce cas.

Problème 3. 2

Supposons que l'isotropie est brisée par des températures différentes dans les directions x et y. a) Quelle forme prend l'équation (1) du problème 3.1 et que devient le coefficient de normalisation A b) Dans ce cas aussi, donnez l'expression des lignes de niveau de f dans le plan (vx, vy) et en faire le schéma.

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Applications de la fonction Maxwell-Boltzmann La vitesse (module) la plus probable Calculons la vitesse pour laquelle 4πv2f(v) est maximum. Celui-ci se trouve à la valeur de la vitesse pour laquelle la dérivée est nulle: 3 3  2  2 2    m v2       d  m m v m m v3   = 4 π   2 v −  n exp −  n exp − 4 π v 2   dv  kT   2 π kT   2 π kT   2 k T   2 kT     =0

3. 27

qui est donnée par:

v PP =

2 kT m

3. 28

La vitesse (module) moyenne ∞

r v = ∫ v f (v ) d v 0

∞

 mv2   m 2  d v  exp − = ∫ 4 π v 3  2 π k T 2 k T     0 3 2

 m  1  2 kT    = 4 π   2 π k T   2 m 

3. 29

et on obtient finalement: 1

 8 kT  2 r  v =  πm

3. 30

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

La vitesse RMS (Root Mean Square) 1

v RMS =

 3 kT  2 =   m 

3. 31

Problème 3. 3

Calculez la vitesse RMS pour arriver à l’équation 3.31

L'énergie la plus probable Comme pour la vitesse, l'énergie la plus probable est calculée en prenant la dérivée mais ici comme on veut obtenir l'énergie, on utilise les expressions écrites en terme de l'énergie. d  1 d  (k T )32 

4 n π

 ε exp − kεT  = 1 2





(k T )

3 2

    4  1  −  = 0 3. 32 n exp − exp − π 2  kT  kT  k T 

D'où on obtient finalement que l'énergie la plus probable est donnée par:

1 kT 2

3. 33

3 kT 2

3. 34

L'énergie moyenne

La distribution Maxwellienne dans un champ de force conservatrice On suppose qu'il y a une force dans le plasma qu'on peut représenter par le gradient d'un potentiel: ________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

r r F = − ∇ φ(r )

3. 35

Cette force réduira le nombre de particules d'une espèce dans une région de l'espace. On suppose qu'il n'y a pas de changement avec le temps et on écrit:

r r ∂f F ∂f v• r + • r =0 ∂ r m ∂v

r r f ≡ f ( r , v,t )

3. 36

r r r r ∂f 1 ∂f r ∂φ ( r ) avec r = v à cause de l'isotropie de f, et avec F = − ∇φ( r ) = − r ∂v v ∂v ∂r on obtient:

r ∂f 1 ∂f r ∂φ v• r − v• r =0 ∂ r mv ∂v ∂r r r Si on écrit f ( r ) = f [φ ( r )] on a

∂f ∂f ∂φ r= r ∂ r ∂φ ∂ r

r ∂φ v• r ∂r

3. 37

et l'équation 3.37 devient:

 ∂f 1 ∂f   ∂φ − mv ∂v  = 0  

3. 38

Un petit rappel:

r  ∂ r ∂ r  ∂ v ∂ f (v ), f (v ), f (v ) r f (v ) =  ∂v ∂ vy ∂ vz   ∂ vx avec

∂f ∂f ∂f = = ∂ vx ∂ v y ∂ vz

∂f ∂f ∂v v x ∂f = = on obtient: ∂ vx ∂v ∂ v x v ∂v ∂f 1 ∂f r v r= ∂v v ∂v

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

En supposant que f = g (v ) h (ϕ ) on a de l'équation 3.38 g ou

dh 1 dg =0 h − dφ mv dv

1 1 dg 1 dh =K = h dφ mv g dv

 m v2  on peut vérifier que g = A1 exp  −  est une solution possible.  2kT   φ  1   d’ou h = A 2 exp − kT  et K=−    kT  

On trouve aussi

3 2

 m v2   m   φ(r )   exp −    f = n0  exp −  2 π k T 2 k T k T      

3. 39

et donc:  φ (r)  n (r) = n o exp −   kT 

3. 40

NOTE: Cette formule est valide seulement pour une force retardatrice. Si la force attire les r particules, f (v ) n'est plus isotrope et on ne peut pas faire le calcul comme on l'a fait ici. r r r r NOTE: normalement on écrit φ ( r ) = q V( r ) , où V(r ) est le potentiel électrique au point r .

La longueur de Debye Considérons un mélange d'ions et d'électrons, avec les ions immobiles avec une densité no m3 mais avec les électrons mobiles. Mettons un point de charge dans le plasma et calculons la densité φ (r) des électrons autour de la source (mais assez loin pour que << 1 , où Te est la température des k Te q q électrons). Dans ce cas on a φ (r) = A B s'il n'y a pas de blindage. Donc, il faut supposer que le 4π ε o r signe de qA est le même que celui de qB. La charge qB (l'électron dans ce cas) subit une force

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

r r r r r F F = − ∇φ(r ) qu'on peut représenter par un champ électrique E = . Par la suite, le champ q r r Br électrique peut être trouvé à partir d'un potentiel électrique: E = − ∇ V( r ) . r r r r r − ∇ φ ( r ) = q B E = − q B ∇V ( r )

3. 41

On suppose que q B = − e , e la charge élémentaire, et que la distribution des électrons est donnée par: r  φ   eV   = n o exp  n e ( r ) = n o exp −  k Te   k Te 

3. 42

NOTE: n e (r) → n o pour r → ∞ ou φ → 0 . Donc la charge nette est donnée par:

r  eV  ρ ( r ) = n i qi + n e qe = en o − e n o exp   k Te 

3. 43

 r  eV  ρ(r ) = e n o 1 − exp   kTe  

3. 44

Considérons l'équation de Poisson: r r ρ ρ ∇•E= qui s'écrit aussi ∇ 2 V = − εo εo Avec

eV kTe

3. 45

<< 1 on peut écrire:

∇2V ≅ -

e no   eV  e2 n o V 1 1 − +   =   εo   kT e  ε o k Te

3. 46

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Écrivons V (r) =

qA γ (r) 4π ε o r

3. 47

où γ (r) → 1 pour r → 0 et → 0 pour r → ∞ . En coordonnées sphériques on a: 2 ∇ V=

1 ∂  2 ∂V  r  2 r ∂r  ∂r 

En dérivant 3.47 on obtient: q 1 ∂γ γ  ∂V = A  − ∂r 4π ε o  r ∂r r 2  En multipliant par r2 et en dérivant de nouveau on obtient: q  ∂ 2 γ ∂γ ∂γ  ∂  2 ∂V  − r  = A r 2 + ∂r  ∂r  4π ε o  ∂ r ∂r ∂r  Et finalement on obtient ∇2V =

qA 1 ∂ 2 γ 1 ∂  2 ∂V  = r  2 2 r ∂r  ∂r  4π ε o r ∂ r

3. 48

Mais en combinant 3.46 et 3.47 on a:

∇2V =

2 2 e n o V  e n o  q A  γ =    ε o k Te  ε o k Te  4πε 0  r

3. 49

qui, en égalant 3.48 et 3.49 se traduit par:

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

2 2  r  ∂ γ e no   − = γ γ (r) = exp → ∂ r 2 ε o kTe λ D  

3. 50

où nous avons posé 1

 ε kT  2 λ D =  0 2e   n 0e 

3. 51

Le potentiel à une distance r de la charge devient donc:  q 1  r   V(r ) =  A  exp −  λD   4πε 0  r

Debye:

3. 52

Donc, l'effet de la charge est blindé dans une distance λD, qu'on appelle la longueur de

λ D = 7.43 x 10

Te ( eV ) m 3 n o (m )

3. 53

Un autre paramètre d'intérêt est le nombre de particules dans une sphère de rayon λD (Sphère de Debye): (a) le nombre de charges N autour de la charge qA est donné par: ∞

∞

N = ∫ n (r) 4π r 2 dr − ∫ n o 4π r 2 dr = ∫ ∆ n 4π r 2 dr 0

où ∆ n ≅

e no

V pour »1 kTe kTe  q 1  r   V(r ) =  A  exp −  λD   4πε 0  r ∞

en q N = o A 4π ∫ r e − r/ λD dr k Te 4π ε o 0 ∞

r e − r/ λ D − r/ λ D r dr = e ∫0 ( - 1/ λ D )

∞

−∫ 0

− r/

∞

e λD dr = λ D ∫ e -r/ λD dr = λ 2D ( - 1/ λ D ) 0

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

q q e ∴ N = n o A 4π λ 2D = A k Te 4π ε o e ε avec λ 2D = o kT2e . no e ND =

3/2 4 3 e ( eV ) π λ D n o = 1.72 x 1012 T1/2 3 3 no ( m )

3. 54

Il faut que cette quantité soit >> 1 pour que notre dérivation reste valide.

La gaine près d'une surface Si le plasma touche une surface - ou si une surface est insérée dans le plasma, comme une sonde électrostatique - les ions et les électrons viennent frapper cette surface et se recombinent sur celle-ci. S'il n'y a pas de champ magnétique, les électrons sont perdus plus rapidement que les ions, avec le résultat que le plasma se charge légèrement positif (ou la paroi se charge légèrement négative si elle est en verre, par exemple). La différence de potentiel se trouve sur une couche qui se développe entre la surface et le plasma, avec une épaisseur ~ λD. Cette couche s'appelle la gaine, et a comme fonction la formation d'une barrière contre l'espèce la plus mobile. La hauteur de cette barrière s'ajuste pour égaliser les pertes des deux espèces. A l'intérieur du plasma, on suppose qu'il n'y a pas de champ électrique et que le plasma est “neutre”: ni = ne. Près de la surface, la gaine se forme et on trouve une variation de potentiel illustrée à la Figure 2. On suppose que les ions sortent du plasma et sont incidents sur la gaine avec une vitesse vo. On suppose aussi que Ti = 0, et donc tous les ions ont la même vitesse. En plus, on suppose que φ(x) est une fonction monotone. La vitesse des ions à une position x est donnée par: 1 1 2 2 mi v + eV (x) = mi vo 2 2 ∴ v (x) = vo2 -

2eV

3. 55

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Figure 2 Illustration de la gaine devant une surface

Le courant est constant donc: no 2eV 1− 2 mi v o Les électrons suivent la relation de Boltzmann parce qu'ils sont dans un champ retardataire: n o vo = n i (x) v (x)

⇒

n i (x) =

 eV   n e (x) = n o exp  k Te 

3. 56

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

L'équation de Poisson devient: 2 ρ e(n e − n i ) d V =− = 2 dx εo εo 1 −   n 0 e   eV   2e V  2     − 1 − = exp ε 0   kTe   m i v 02    

On simplifie le calcul en mettant: χ = −

eV k Te

ξ =

x λD

3. 57

mi vo de telle sorte que 3.57 2 M = k Te

devient: 2χ  d 2χ  = 1 + 2  2 M  dξ 

Si on multiplie par

−

1 2

− exp(− χ )

3. 58

dχ et on intègre de 0 ( la frontière entre le plasma et la gaine) à ξ:on obtient: dξ 2  1  dχ   dχ   − 2  dξ   dξ 

   0

1    2 2 χ      2  = M 1 + 2  − 1 + exp(− χ ) − 1 M    

NOTE: si le champ électrique est zéro à la frontière,

3. 59

dχ |0 = 0. dξ

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Pour obtenir 3.57 examinons les trois termes à intégrer. ξ d2 χ d χ l1 = ∫ 2 dξ l dξ dξ 0 dχ   =   dξ 

2 ξ

d2 χ d χ dξ l dξ 2 dξ 0

−∫ 0

2  d χ   d χ  − =   dξ   dξ

  −l 1  0

qui donne finalement: 2  1  d χ   d χ  − l1 =  2  d ξ   d ξ  

Avec dχ l =

   0

   

dχ dξ dξ 1 −

dχ  2χ  2 l 2 = ∫ 1 + 2  dξ l dξ  M  0 −

2χ  2  = ∫ d χ l 1 + 2   M  0 2χ 2 Effectuons la substitution 1 + 2 = Y ⇒ dχ = dY 2 M M

l2 = M 2

2χ M2

∫ 1

−

1 2

1 1 dY = M Y2 2 (1/2) 1 2

2χ M2

1   2 2 χ    = M 1 + 2  − 1   M    2

et finalement: ξ

l3 = ∫ 0

dχ exp(− χ ) d ξ1 = ∫ dχ 1 exp(− χ ) = 1 − exp(− χ (ξ )) dξ 0

Si on considère la région près de la frontière on a χ » 1 donc on écrit:

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

1 2

2χ  χ 1 χ   1 + M 2  ≅ 1 + M 2 − 2  M 2      2 χ exp(− χ ) ≅ 1 − χ + 2 On obtient pour le côté droit de l'équation: 1   2 2 2 2χ 2  1 χ χ χ  −χ+ = M 1 + 2  − 1 + exp(− χ ) − 1 ≅ χ − M  2 M2 2 2   2

1   1 − 2   M 

Étant donné que le côté gauche est nécessairement positif, il faut que: 1 2 1− 2 > 0 ⇒ M >1 M Ici M est en fait le nombre de Mach. Cette condition se traduit par un critère important en physique des plasmas.

vo >

k Te mi

≡ cs

3. 60

Cette condition s'appelle le critère de Bohm, et il impose une limite inférieure pour la vitesse des ions incidents sur la gaine.

NOTE: l'hypothèse que

dχ dξ

= 0 ne peut pas être exactement valide car il faut un faible champ 0

électrique dans le plasma pour accélérer les ions vers la gaine. Malgré ceci, le critère de Bohm reste valide.

Le taux de réaction On veut calculer l'effet du mouvement des particules cibles sur le taux de réaction des ________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

particules. L'interaction des deux particules dépend seulement de la vitesse relative au moment de l'interaction:

Figure 3 Schéma de la géométrie utilisée pour le calcul du taux de réaction

dN1 = f1(v1) dv1 dN2 = f2(v2) dv2 Le taux de réaction entre ces deux groupes est: r r dR = f 1 d v1 f 2 d v2 vrel σ( vrel ) r r r ou vrel = v2 − v1 est la vitesse relative. Le taux de réaction R est donc donné par: r r r r R = ∫ d v1 ∫ d v2 f 1 (v1 ) f 2 (v 2 ) vrel σ( vrel ) On définit le paramètre < σv > : R ∫ d v1 ∫ d v2 f 1 f 2 | vrel | σ ( | vrel | ) σv ≡ = n1 n 2 ∫ d v1 ∫ d v2 f 1 f 2 Si f1 et f2 sont isotropes ( eg Maxwellienne) on peut simplifier le calcul: m2 m1 v1 = v + vrel v2 = v − vrel m1 + m2 m1 + m2 aussi l’élément de volume d v1 d v2 = dv d vrel . Prenons

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

3 2

 m1 v12   m1  r   exp − f1 (v1 ) = n1  2 π kT 2 kT    

3. 61

3 2

 m v2   m2  r  exp − 2 2  f 2 (v 2 ) = n 2   2 π kT   2 kT  de telle sorte que: 3

 m1  2  f1 f 2 = n1 n 2   2 π kT 

(

 M v 2 + µ v 2rel  m2  2   exp − 2 kT  2 π kT  

)

3. 62

 

µ = m1 m2 m1 + m2 Mais on a R = ∫ dv ∫ d vrel f 1 f 2 vrel σ ( vrel ) . Si on suppose que les limites de v et vrel sont de - ∞ à ∞ où M = m1 + m2

∞

∫

et on écrit:

−∞

∞

dv = 4π ∫ v2 dv on obtient: 0

∞

 µ v2rel  (4π )2 (m1 m2 ) 2 M v2 2 3 ( ) σv = dv exp ( ) d σ exp   v vrel vrel vrel 2kT ∫0 (2π kT )3 ∫0  2kT 

3. 63

3 3  ∞  (4π )2 (   µ v2rel   2 kT  2  m1 m2 ) 2   1  3 π =    ∫ d vrel vrel σ (vrel ) exp  (2π kT )3   4 2kT   M  0    

Normalement l'intégral sur la vitesse relative est considérée en terme de résultats expérimentaux, 1   qui donne σ  E = m1 v2rel  , la section efficace comme étant une fonction de l’énergie relative entre 2   les particules en considérant la particule 2 comme étant stationnaire. On a 1 2 m1 vrel = 2

2 rel

   µ v2rel  µ  d = d et exp  −  = exp − m1 vrel vrel  2kT   m1 KT 

On obtient:

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

σv =

4 2 π m1

 µ    m kT  1 

3 2 ∞



  d kT 1 

∫ ε σ(ε )exp − m

3. 64

L'intégral est calculé numériquement, et on trouve que pour les réactions thermonucléaires DT < σv > a un maximum de ~ 9 x 10-22 m3 sec-1 pour T ~ 70 keV. A cette température on trouve une densité de puissance dans le plasma: P = n1 n 2 < σv > W n où W n = 17.6 MeV est l'énergie produite par réaction de fusion. Pour n1 = n2 = 1020 m-3 on obtient: P ~ 25.3 MW/m3.

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Figure 4 DensitĂŠ de puissance totale pour les rĂŠactions de fusion D-T et D-D

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Figure 5 Valeurs des taux de rﾃｩaction <ﾏプ> pour les rﾃｩactions D-T, D-D et D-He3 en supposant des distributions Maxwelliennes.

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Figure 6 Section efficace d’ionisation par impact électronique de l’He

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Figure 7 Taux de réactions pour l’ionisation de l’He par impact électronique en supposant une distribution Maxwellienne

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Problème 3. 4

Nous avons vu que le taux de réaction R = <σv> d'une réaction est calculé à partir de la connaissance de la dépendance de la section efficace sur l'énergie des particules qui interagissent (équation 3.64). Considérons la réaction de fusion entre le deutérium (D) et le tritium (T) avec D incident sur T au repos. La section efficace est donnée par la relation en figure 4 du chapitre 1 ( ou encore par l'équation au bas de la page 44 du NRL plasma formulary). Calculez numériquement (algorithme simple) R pour une température de 70 keV (Hint: Un calcul approximatif en utilisant un tableur comme MS Excel devrait donner une réponse assez proche ( entre 5x10 -16 et 5x10 -15 cm3/s ). ATTENTION AUX UNITÉS)

Le flux diffusif Calculons le nombre de particules qui frappent une surface (m-2 sec-1).

Figure 8 Géométrie utilisée pour estimer le flux diffusif ________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Considérons les "atomes" qui frappent la surface dS dans l'intervalle de temps dt. r Considérons d'abord ceux qui ont leur vitesse près de v . Ils sont dans le cylindre avec base dS et r hauteur vdt (parallèle à v ). On suppose que vdt << λ pour qu'il n'y a pas de collisions "avant d'arriver à la surface ". Le volume de ce cylindre est vzdtdS. Le nombre de molécules (par m3) avec r r leur vitesse près de v (dans v et v + dv et dans l'angle solide dΩ autour de la direction de v ) est:

r r r f (v ) dv = f (v ) v2 sinθ dθ dφ dv r = f (v ) v2 dΩ dv

3. 65

Le nombre de particules avec leur vitesse entre v et v + dv - indépendamment de la direction - est donc:

r F (v) dv = ∫ ∫ f (v ) d Ω v2 dv d'où φ θ

F (v) = ∫ ∫ v2 f (v) d Ω

3. 66

φ θ

r r r Si f ( v ) est indépendant de la direction de v , on a f ( v ) → f (v) et donc: 2π

F (v) = ∫ d φ ∫ v2 f (v )sinθ d θ

3. 67

= 4 π v 2 f (v ) 3

 mv 2   m 2  on  n exp − par exemple pour la fonction de distribution Maxwellienne f (v ) =   2 π kT   2 kT  obtient: 3

 mv 2   m 2   n exp − F(v ) = 4 π v   2 π kT   2 kT  2

3. 68

r Le nombre de particules dans ( v, v + dv ) et dans l'angle solide d Ω autour de la direction de v est r dΩ F (v) dv si f ( v ) est isotrope. Nous avons donc que le nombre de particules qui frappent la 4π dΩ surface dS dans un temps dt est donné par F (v) dv vz dt dS où vz = v cos θ et dΩ = sin θ d θ dφ . 4π ________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Le nombre de particules qui frappent l'unité de surface ( 1 m2) par seconde, indépendamment de la direction, est: 1 F (v) v dv ∫ ∫ sin θ cos θ dθ dφ mais on a 4π θ φ

2π

π/2

∫ dφ

∫ sin θ cosθ dθ = 2π • 2 = π

1 Il y a donc F (v) v dv collisions ( par m2, par seconde) sur une surface par des particules ayant leur 4 vitesse entre (v, v + dv). Le nombre de collisions par m2 par second est donc donné par: ∞

dN 1 1 = ∫ F (v) v dv = n < v > dt 4 0 4 où <v> = la vitesse moyenne. Pour une distribution Maxwellienne, on a < v > =

3. 69 8kT de πm

l’équation 3.30

Équilibre thermique et la relation de Saha Dans un plasma composé d'atomes, d'ions et d'électrons, la population des niveaux excités est déterminée par les processus de collision ( excitation, désexcitation, ionisation) et de rayonnement (émission spontanée). C'est un problème très compliqué en générale; dans la limite d'équilibre thermique il est cependant relativement simple. Dans le cas de l'ÉQUILIBRE THERMIQUE, les processus collisionnels dominent sur tous les processus radiatifs. Dans ce cas, la population Ni du niveau i de l'atome est donné par  E  N i = g i exp − i   kT  Avec

∑ N = N on a U = ∑ g e i

3. 70

-Ei / kT

Avec les ions on a une généralisation de la loi de Boltzmann:

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

d No+ (u) No

1   χ I + me v 2 g 2 = exp − kT go   

     

3. 71

où dNo+ (u) est le nombre des ions dans l'état fondamental avec l'électron associé ayant une vitesse entre v, v + dv. No est le nombre des atomes dans l'état fondamental et χI est l'énergie d'ionisation. Le poids statistiques g = go+ge où go+ est celui de l'ion et ge celui de l'électron: ge =

2 d x1 d x 2 d x 3 d p1 d p2 d p3 3

h le facteur 2: les deux directions du "spin". 1 étant donné qu'on considère un seul électron. dx1dx 2 dx 3 = Ne d p1 d p2 d p3 = m3e 4π v2 dv 3 2 + 8π m e v dv g = go 3 h Ne d'où d No+ (u) No

1   +  χ I + me v 2  go 8π m 3e v2 dv 2  = exp − 3 kT go   h Ne    

3. 72

g 8π m  χ I  2 kT  2 2 N  ∫ x exp − x 2 = ∫ dN 0+ (u ) = exp −  3 g o h Ne No  kT  m e  + o

où x ≡

+ o

3 e

(

)

3. 73

m v 2kT

L'intégration de 3.73 nous permet d'écrire finalement: 3

N 0+ N e  2 π m e kT  2 2g 0+  χ  exp − I  =  2 N0 h  kT    g0

3. 74

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Si on considère les niveaux excités des ions et des atomes on a: N i g i Ei = e kT No go + i + o

+ i + o

g N = e kT g N Ei+

⇒

N = ∑ Ni = i

⇒

No U go

+ + N = ∑ Ni = i

No + + U go

ce qui permet d'écrire: 3

+ g 0+ N + N e  χ   2 π m e kT  2 2g 0 exp − I  =  2 + g0 N  U h  kT   g0 U

3. 75

qui donne finalement:

 χ j, j+1  N+ Ne U +  2 π m e kT  2  =2   exp − 2 N U  h   kT 

3. 76

L'équation 3.76 peut être généralisée et prend alors la forme: N j+1 N e Nj

U j+1  2 π m e kT  2  χ j, j+1   =2   exp − 2 Uj  h   kT 

3. 77

________________________________________________________________________________________________________________

Fonction de distribution

Appendices Appendice A ∂ 1 ∂ ∂ψ [ ∫ ψfdv ] + • ∫ ψ fv dv ∫ dv f Ξ • ∂t m ∂r ∂v ∂f = ∫ dv ψ | c ∂t avec ψ = mv on obtient: ∂ ∂ ∂ ∂ (v) + ˆj + kˆ (v) ] r mv = m [ ˆi ∂v ∂ vx ∂ vy ∂ vz

Fonction de distribution

Appendice B ∆ • A B = aˆ i ∆ j A j Bi ∂ ∂ ∂ = aˆ1 [ ( A1 B1 ) + ( A 2 B1 ) + ( A3 B1 ) ] ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ ∂ ∂ + aˆ 2 [ ( A1 B2 ) + ( A 2 B2 ) + ( A3 B2 ) ] ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ ∂ ∂ + aˆ 3 [ ( A1 B3 ) + ( A 2 B3 ) + ( A3 B3 ) ]. ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3

∂ ∂ ∂ = aˆ1 [ B1 A1 + B1 A 2 + B1 A3 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ ∂ ∂ + A1 B1 + A 2 B1 + A3 B1 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 = aˆ i Bi

∂ Aj ∂ + aˆ i Bi A j ∂ xj ∂ xj

=(∆•A)B+(A•∆)B ∴ ∆ • [ mnuu ] = ( ∆ • u ) mnu + ( u • ∆ ) mnu qui donne: ∂ ( mnu ) + ( u • ∆ ) mnu + ( ∆ • u ) mnu ∂t d = ( mnu ) + ( ∆ • u ) mnu dt aussi ∆ • [ mnuu ] = ( ∆ • mnu) u + ( mnu • ∆ ) u = m ( nu • ∆ ) u + m [ ∆ • (nu) ] u

Fonction de distribution

Appendice C : Note sur le terme pour les collisions: ∂fα ∂ ∂ _ αi + ( vi f α ) + ( f α ) = Cα ∂t ∂ x i ∂ vi m α où Fα = q α (E + v x B ) Cα = ∑ Cαβ (f α , f β ) β

Cαβ tient compte des changements dans fα dûs aux collisions avec les particules de l'espèce β. Si on néglige les collisions qui convertissent une particule à une autre (ionisation, dissociation, etc.) on a en général: ∫ Cαβ dv = 0 ∫ mα v Cαα dv = 0 2

v ∫ mα Cαα dv = 0 2 ∫ mα v Cαβ dv + ∫ mβ v Cβα dv = 0 2

2 m v v ∫ mα Cαβ dv + ∫ β Cβα dv = 0 2 2

Fonction de distribution

Liste des équations r r r r r d n ( r , t) = ∫rf ( r , v , t ) d r d v v r r r r n ( r , t ) = ∫rf ( r , v , t )d v v r r r r r r d r ∫ g ( r , v, t ) f ( r , v, t ) d v r g(r , t ) = r r r r d r ∫ f ( r , v, t ) d v r r r r r g ( r , v, t ) f ( r , v, t ) d v ∫ = r r r ∫ f (r, v, t )d v r r rr rr r n (r , t ) g(r , t ) = ∫ g(r , v, t ) f (r , v, t ) d v r r r rr r r r n ( r , t ) v( r , t ) = ∫ v ( r , t ) f ( r , v, t ) d v

r n (r , t )

ε(rr, t ) = ∫ 12 m v

3. 1........................................................ 4 3. 2........................................................ 4

3. 3.................................................... 5

3. 4 ..................................................... 5 3. 5 ...................................................... 5

(rr , t ) f (rr , vr , t ) d vr

3. 6.................................................. 5

r r r r N = ∫ d r ∫ d v f ( r , v, t )

3. 7........................................................ 6

r r r ∂N = ∫ d v ∫ f v • n r d Sr ∂t δv Sr

3. 8 ........................................................ 6

r r r ∂N = ∫ d r ∫ f a • n v d Sv ∂t δr Sv

3. 9.................................................... 6

δr

δv

r r  δf  ∆N = ∫ d r ∫ dv   ∆ t δr δv  δ t  c

3. 10 ...................................................... 6

r r r ∂N = − ∫ dv ∫ f v • n r d Sr ∂t δv Sr

r r

∫ dr ∫ f a • n

δr

d Sv +

r r r ∂f r  δf  + ∇r • ( f v ) + ∇v • ( f a ) =   ∂t  δt  c r r r ∂f ∇r • ( f v ) = v • r r ∂r r r F ∂f ∇v • ( f a ) = • r m ∂v r r r r ρ ( r, t ) 1 = ∇ • E ( r, t ) = εo εo

Fonction de distribution

rδf 

∫ d r ∫ dv  δ t 

δR

3. 11 ........................... 7

δv

3. 12 ................................................ 7 3. 13 ................................................... 7 3. 14................................................... 7

∑ρ ∫ f i

r r r ( r , v, t ) d v

3. 15................................... 8

r ∂f r ∂f F ∂f  ∂f  +v• r + • r =  ∂r m ∂v  ∂t c ∂t

3. 16................................................... 8

( (

) ) r r n ( r , t ) = A ( r , t ) ∫ 4 π v exp(− β v ) dv

r r r f ( r , v, t ) = A( r , t ) exp − β 2 v2 r r r n ( r , t ) = ∫ A ( r , t ) exp − β2 v2 d v ∞

3. 17................................................. 8 3. 18................................................. 9

3. 19 ....................................... 9

r π = 4π A(r , t ) 3 4β 3 r r β 2 f ( r , v, t ) = 3/2 n ( r , t ) exp − β v2 π

(

3. 20............................................. 9

)

(

∞

)

r β 3. 21.............................................. 9 v x = 3/2 ∫ v x exp − β 2 v 2 dv = 0 π −∞ 1 m v2x x = 2 3. 22....... 9 ∞ 3 ∞ ∞  1 β  2 2 2 2 2 2 2 = m 3/2  ∫ v x exp − β v x d v x   ∫ exp − β v y d v y   ∫ exp − β vz d vz  2 π − ∞  − ∞  − ∞  3/2 1 β 2 π  4 π  m m 3. 23....... 10   = x = 2 π3/2  4 β3   4 β 2  4 β 2

(

)

⇒

β=

(

)

(

)

ε ε

m 1 = kT 4 β2 2

m 2kT

3. 24 ........................... 10

 m v2   m 2 r r r   n ( r , t ) exp − f ( r , v, t ) =   2π k T   2 kT  1 2  F( )=4 π f (v) 2m  m 

1 3

(kT )2

1 2

r 4  −   π  n ( r , t ) exp kT     

3. 25.................................... 10

3. 26................................ 10

3 3  2  2 2    m v2       d  m m v m m v3   = 4 π   2 v −  n exp −  n exp − 4 π v 2   dv  kT   2 π kT   2 π kT   2 k T   2 kT     =0

Fonction de distribution

3. 27...... 12

2 kT m

v PP =

3. 28..................................................... 12

∞

r v = ∫ v f (v ) d v 0

∞

 mv2   m 2  d v  exp − = ∫ 4 π v   2π kT   2 kT  0 3

 m  2 1  2 kT    = 4 π    2π kT  2  m 

3. 29 ............................. 12

 8 kT  2 r  v =  πm

3. 30..................................................... 12 1

v RMS =

 3 kT  2 =   m 

3. 31.............................................. 13

1   d  1 4 1 2   = n exp − 3 3  d  (k T )2 π  k T  (k T )2  1 kT PP = 2 3 = kT 2 r r F = − ∇ φ(r ) r r r r ∂f F ∂f v• r + • r = 0 f ≡ f ( r , v,t ) ∂ r m ∂v r ∂f 1 ∂f r ∂φ v• r − v• r =0 ∂ r mv ∂v ∂r r ∂φ  ∂f 1 ∂f  v• r  − =0 ∂ r  ∂φ mv ∂v 

3 2

 m v2   m   φ(r )   exp −  exp −  f = n 0   2 π kT   kT   2 kT   φ (r)  n (r) = n o exp −   kT  r r r r r − ∇ φ ( r ) = q B E = − q B ∇V ( r )

r  φ   eV   = n o exp  n e ( r ) = n o exp −  k Te   k Te  Fonction de distribution

    4  1  −  = 0 3. 3213 n exp − exp − π 2  kT  kT  k T 

3. 33 ........................................................ 13 3. 34 ........................................................ 13 3. 35 ........................................................ 14 3. 36............................................... 14 3. 37................................................ 14 3. 38 ........................................... 14 3. 39......................... 15 3. 40............................................ 15 3. 41 .............................................. 16 3. 42 .......................................... 16

r  eV  ρ ( r ) = n i qi + n e qe = en o − e n o exp   k Te   r  eV  ρ(r ) = e n o 1 − exp   kTe   r r ρ ρ ∇•E= qui s'écrit aussi ∇ 2 V = − εo εo en   eV  e2 n o V ∇ 2 V ≅ - o 1 − 1 +  = εo   kTe  ε o k Te

qA γ (r) 4π ε o r q 1 ∂2 γ 1 ∂  ∂V  ∇ 2V = 2  r2 = A 2 r ∂r  ∂r  4π ε o r ∂ r 2 2 e n o V  e n o  q A  γ ∇2V = =    ε o k Te  ε o k Te  4πε 0  r V (r) =

2 2  r  ∂ γ e no  = γ → γ (r) = exp − 2 ∂r ε o kTe  λD 

3. 43................................. 16 3. 44 ......................................................... 16 3. 45................................. 16 3. 46........................................ 16 3. 47 ........................................................ 17 3. 48............................................ 17 3. 49 ................................... 17 3. 50.................................. 18

 ε kT  2 λ D =  0 2e   n 0e   q 1  r   V(r ) =  A  exp − 4π ε r λ 0  D   

Te ( eV ) m 3 n o (m ) 3/2 4 3 12 T e ( eV ) N D = π λ D n o = 1.72 x 10 1/2 3 3 no ( m ) 2eV ∴ v (x) = vo2 mi  eV   n e (x) = n o exp  k Te  2 ρ e( − ) d V = − = ne ni 2 dx εo εo 3

λ D = 7.43 x 10

1 −   n e   eV   2e V  2     − 1 − = 0 exp ε 0   kTe   m i v 02    

Fonction de distribution

3. 51 ........................................................ 18 3. 52........................................... 18 3. 53........................................... 18 3. 54 .......................................... 19 3. 55 .................................................... 19 3. 56....................................................... 20

3. 57 ...................................... 21

d 2χ  2χ  = 1 + 2  2 dξ M   2  1  dχ   dχ   − 2  dξ   dξ  vo >

k Te mi

−

1 2

− exp(− χ )

   0

3. 58 .......................................... 21

1    2χ 2   2   = M 1 + 2  − 1 + exp(− χ ) − 1 M    

≡ cs

3. 59.................................. 21

3. 60........................................................... 23 3 2

 m1 v12   m1  r   f1 (v1 ) = n1   exp − 2 kT  2 π kT    

3. 61 ................................. 25

3 2

 m v2   m2  r  exp − 2 2  f 2 (v 2 ) = n 2   2 π kT   2 kT  3

 m1  2  f1 f 2 = n1 n 2   2 π kT 

(

 M v 2 + µ v 2rel  m2  2   exp − 2 kT  2 π kT   3

∞

)  

3. 62............................... 25

∞

 µ v2rel  (4π )2 (m1 m2 ) 2 M v2 2 3 ( ) σv = dv exp ( ) d σ exp   v vrel vrel vrel 2kT ∫0 (2π kT )3 ∫0  2kT  3 3  ∞  (4π )2 (   µ v2rel   2 kT  2  m1 m2 ) 2   1  3 ( ) = π d σ exp      ∫ vrel vrel vrel  (2π kT )3   4 2kT   M  0     3

 µ 2 ∞  µ  4   ∫ σ( )exp −  d σv = 2 π m1  m1 kT  0  m1 kT  r r r f (v ) dv = f (v ) v2 sinθ dθ dφ dv r = f (v ) v2 dΩ dv

ε ε

F (v) = ∫ ∫ v2 f (v) d Ω

3. 63............ 25

3. 64 .......................... 26 3. 65............................................. 32 3. 66 .................................................. 32

φ θ

2π

F (v) = ∫ d φ ∫ v2 f (v )sinθ d θ 0

3. 67................................................... 32

= 4 π v f (v ) 2

 mv 2   m 2   n exp − F(v ) = 4 π v 2   2 π kT   2 kT 

3. 68.................................... 32

∞

dN 1 1 = ∫ F (v) v dv = n < v > dt 4 0 4

Fonction de distribution

3. 69 ............................................. 33

 E  N i = g i exp − i   kT  1   + me v 2  χ  + I d No (u) g 2  = exp − kT go   No     1   +  χ I + me v 2  d No+ (u) go 8π m 3e v2 dv 2  exp − = 3 kT g   No h Ne o    

3. 70 ................................................ 33

3. 71 ......................................... 34

3. 72 ................................. 34

+ g 8π m 3  χ  2 kT  2 2 N  ∫ x exp − x 2 = ∫ dN 0+ (u ) = o 3 e exp − I  g o h Ne No  kT  m e  + o

(

)

3. 73...................... 34

N 0+ N e  2 π m e kT  2 2g 0+  χ  exp − I  =  2 N0 h  kT    g0

3. 74 ........................................ 34

+ g 0+ N + N e  2 π m e kT  2 2g 0  χ  exp − I  =   + 2 g N U h 0  kT    g0 U

3. 75................................ 35

 χ j, j+1  N+ Ne U +  2 π m e kT  2  =2   exp − 2 N U  h   kT  N j+1 N e Nj

U j+1  2 π m e kT  2  χ j, j+1   −  exp =2   Uj  h2   kT 

Fonction de distribution

3. 76.................................... 35 3. 77 ................................. 35

Table des matières Équations fluides - 2 espèces.................................................................................................. 4 L’équation de conservation de particules ......................................................................... 7 L’équation de la conservation de la quantité de mouvement ......................................... 7 La pression ........................................................................................................................... 9 L’équation de conservation de l'énergie.......................................................................... 13 Conservation de la quantité de mouvement ........................................................................... 17 Conservation de l’énergie ......................................................................................................... 17 ∂f ...................................................................................................................... 17 Calcul de ∂t coll Collisions où la particule A sort de dvA ........................................................................... 18 Collisions où la particule entre dans dvA ......................................................................... 18 Le terme de collision pour l'équation fluide ................................................................... 20 Liste des équations ................................................................................................................ 23

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.1

Liste des figures Figure 1 Éléments de volumes pour le calcul de la pression cinétique ................................ 10 Figure 2 Forces de pression dans le plan X ............................................................................ 11 Figure 3 b est le paramètre d’impact et g la vitesse relative avant la collision (voir chapitre 1) ......................................................................................................................................... 18 Figure 4 Collision binaire ......................................................................................................... 21

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.2

Problèmes

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.3

PHYSIQUE DES PLASMAS Le plasma comme un fluide Quand on regarde l'équation cinétique, on voit qu'il faut savoir une fonction de distribution qui dépend de la vitesse - quelque chose qui est assez souvent difficile à savoir, et d'autre fois ce n'est pas nécessaire de savoir la forme de cette fonction. Tout ce qui nous intéresse est la densité du plasma, la vitesse moyenne, etc. Dans ce cas on essaie d'utiliser une théorie fluide - basée sur l'idée d'un plasma comme un fluide qui est un conducteur d'électricité.

Équations fluides - 2 espèces r r On commence avec la fonction de distribution pour chaque espèce: f α ( r , v , t ) Où r r r r n α ( r , t ) = ∫ dv f α ( r , v , t )

4. 1

r r Pour une fonction de vitesse gα ( r , v , t ) , nous avons vu que la moyenne est donnée par: r r r r r dv g α ( r , v , t ) f α ( r , v , t ) r r ∫ g(r , v , t ) α = r n α (r , t )

4. 2

Définitions: pour chaque espèce on écrit: la densité: r r r n (r , t ) = ∫ dv f ( r , v, t )

4. 3

la vitesse de dérive: r r 1 rr r r u ≡ v = ∫ dv v f ( r , v, t ) n

4. 4

la vitesse thermique:

r r r w≡v−u

4. 5

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.4

le tenseur de pression: t r r r r r P = m ∫ dv w ⊗ w f (r , v , t )

4. 6

où r Pij = m ∫ w ijfdv

∫ (v − u )(v − u )fdv = mn (v − u )(v − u )

4. 7

l'énergie interne par unité de volume:

ε = 12 m ∫ dvr w

r r f ( r , v, t )

4. 8

le flux de chaleur: r 1 r r r r q = m ∫ dv w 2 w f ( r , v, t ) 2

4. 9

On développera les équations de conservation par l'intégration de l'équation de Boltzmann: r ∂f r ∂f F ∂f ∂f + v• r + • r = ∂t ∂ r m ∂v ∂t

4. 10 coll

r Pour ce faire, multiplions (4.10) par une fonction ψ (v ) et intégrons sur la vitesse:

Terme #1:

∫ ψ(v) ∂t dv = ∂t [∫ ψ f dv] r ∂f r

∂

∂ = [n ψ ∂t

]

4. 11

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.5

Terme #2: r r ∂f r

∂

r r

∫ ψ (v) v • ∂rr dv = ∂rr • ∫ ψ (v) f v dv r ∂ = r [n ψ v ∂r

]

4. 12

Terme #3: Ce terme prend la forme: 1 r r r ∂f dv ψ(v ) F • r m∫ ∂v

4. 13

Pour le calculer, on utilise l'expansion:

[

]

r ∂f r ∂ψ ∂ ∂ r v r r • ψ(v ) F f = ψ F • r + ψ f r • F + f F • r ∂v ∂v ∂v ∂v

4. 14

r r r r r ∂ r on suppose que r • F = 0 ce qui est le cas pour F = qE et F = qv × B ∂v r r r r ∞ ∂ aussi ∫ r • ψ F f dv = ψ(v ) F f − ∞ mais il faut noter que f → 0 quand v → ± ∞ plus rapidement ∂v 2 que v, v .... Donc nous pouvons écrire:

[

]

∫ ∂vr • [ψ F f ] dv = 0 r

∂

4. 15

Donc on écrit finalement le résultat: r r ∂f r r ∂ψ 1 1 d v f F• r = − d v ψ F • r ∂v m∫ ∂v m∫ n r ∂ψ F• r =− m ∂v

4. 16

Terme #4: r

r ∂f

∫ dv ψ(v ) ∂t

4. 17 coll

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.6

pour obtenir finalement : r ∂ [n ψ ] + ∂r [n ψ vr ] − n F • ∂ψr = ∫ dvr ψ(vr ) ∂f ∂t ∂r m ∂v ∂t

4. 18 coll

L’équation de conservation de particules r r r r Dans un premier temps, considérons ψ (v ) = 1 c'est-à-dire ψ = 1 mais aussi ψ v = v ≡ u

∂ψ et r = 0 qui implique que le terme #3 disparaît et l'équation 4.18 donne ∂v r r ∂f ∂n ∂ + r • (n u ) = ∫ dv ∂t ∂t ∂ r

4. 19 coll

Si on néglige la recombinaison et l'ionisation on ne change pas le nombre de particules par les collisions élastiques et on a: . r ∂n ∂ + r • (nu ) = 0 ∂t ∂r

4. 20

r r r r r r NOTE: ∇ • f A = f ∇ • A + A • ∇f et donc on peut réécrire l'équation (4.20) sous la forme:

( )

r r r r ∂n + n∇ • u + u • ∇n = 0 ∂t

4. 21

L’équation de la conservation de la quantité de mouvement r r r Utilisons maintenant ψ = mv de telle sorte que ψ = m v ≡ mu . De plus: r rr ψv = m v v r r r r = m (w + u )(w + u ) r r rr rr rv = m[ w w + w u + u w + u u

]

4. 22

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.7

t r r rr t r r r r Mais w u = u w = 0 et u u = u est un tenseur avec nm w w ≡ P . On obtient donc: t r t P ψ v = mu + n

4. 23

et l'équation 4.18 donne maintenant: t r  r ∂   P ∂ (mnu ) + r • n  + mut   − n mF = ∫ dvr mvr ∂f ∂t ∂ r   n ∂t   m

4. 24 coll

r r r v si on a la force de Lorentz F = q E + v × B on a:

(

)

(

) (

r r r r r r r F = q E + v × B = q E + u × B0

)

4. 25

de telle sorte que 4.24 devient

[

]

[

]

t r r ∂ (mnur ) + ∂r • P + mnut − nq E + ur × B0 = ∫ dvr mvr ∂f ∂t ∂r ∂t

4. 26 coll

mais on peut écrire: r r r r r r r t ∂ r ∂  ∂u r ∂n m (n u ) + m v • (n u ) = m n +u + n u • ∇ u + ∇ • (n u ) u  ∂t ∂r ∂t  ∂t 

(

mais avec l'équation de conservation de particule

) [

]

r ∂n r + ∇ • (n u ) = 0 l'équation (4.27) devient: ∂t

r r r r ∂u  ∂ r rr mn + mn u • ∇ u = mn  + u • ∇  u ∂t  ∂t 

(

L'opérateur

4. 27

)

4. 28

∂ r r + u • ∇ est connu sous le nom de dérivée convective ∂t

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.8

Et l'équation pour la conservation de la quantité de mouvement devient:

[

]

r r r r r ∂f  ∂ r r r r t mn  + u • ∇  u + ∇ • P − nq E + u × B 0 = ∫ dv mv ∂t  ∂t 

4. 29 coll

On note que les équations développées donnent une description "multi-fluide" (normalement 2 fluides) parce qu'une équation existe pour chaque espèce dans le plasma, électrons et ions. Cette description est utile quand les fluides sont "découplés" - par exemple, les collisions ne sont pas assez fréquentes pour assurer un bon couplage entre les électrons et les ions. On note que chaque fluide a sa propre vitesse de dérive, et que la pression est calculée dans un système de coordonnées propre à cette vitesse. Si le tenseur de pression peut être réduit à un scalaire on peut calculer la température cinétique: pα ou k est la constante de Boltzmann. Tα = nα k

La pression On définit le tenseur de pression: t r r r r r P ≡ m ∫ dv w ⊗ w f ( r , v, t )

4. 30

t où les composants de P sont données par: r r r Pij = m ∫ dv w i w j f ( r , v, t )

4. 31

Et la divergence de ce tenseur est un vecteur dont les composantes sont données par:

(∇ • P ) = ∑ ∂∂Px r t

4. 32

Est-ce que cette définition colle avec nos idées d'une pression? Considérons la situation illustrée par la Figure 1 plus bas. Le nombre de particules qui traversent la surface ∆Y∆Z par seconde avec une vitesse dans l'intervalle v x → vx + d vx est: dN = d v x ∫∫ f d v y d vz vx (∆Y ∆Z)

4. 33

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.9

La quantité de mouvement transportée par la particule est mvx, donc le taux de transport de la quantité de mouvement est: dΓ p = dN(mv x ) = (∆Y ∆Z) m v2x d vx ∫∫ f d v y d vz

∆Y∆Z

4. 34

x0 + dx x0 z x0 -dx

y Figure 1 Éléments de volumes pour le calcul de la pression cinétique Pour toutes les vitesses possibles nous avons donc, en intégrant sur vx: Γ p = (∆Y ∆Z) ∫∫∫ m v2x f d vx d v y d vz

4. 35

NOTE: S'il y a une vraie surface, la moitié des particules frappent, mais elles transfèrent une quantité 2mvx. Donc, la pression est le transfert de la quantité de mouvement par seconde par unité de surface:

P = ∫∫∫ m v2x f d vx d vy d vz

4. 36

Si f est isotrope ( eg Maxwellienne) on a:

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.10

1 1 m v2x = kT 2 2

⇒

P = n m v2x = nkT

4. 37

On peut montrer que si f est isotrope, le tenseur de pression est diagonal. S'il n'y a pas de champ magnétique et si f est isotrope, on a m v2x = m v2y = m v2z qui implique que la pression P est un t scalaire. Mais si f n'est pas isotrope, on peut avoir P qui n'est pas scalaire et possiblement pas diagonal. Par exemple, dans un champ magnétique on a une direction (dans la direction du champ magnétique) qui est différente des autres. Dans ce cas on écrit souvent:  P⊥ 0 0    P =  0 P⊥ 0   0 0 P  //  

4. 38

où B est dans la direction z. Posons-nous maintenant la question: Quelle est la force sur la petite boite située à xo (dans la direction x)? D'en bas ( de la boite en x0 - ∆x) on a un transfert d'une quantité de mouvement (dans la direction de x): Fx 0 − ∆x =

1 m v2x f x 0 − ∆x d vx d v y d vz (∆Z ∆Y ) ∫∫∫ 2

Fx0 + dx

Fx0

Fx0 - dx

4. 39

x0 + dx

x0 - dx

Figure 2 Forces de pression dans le plan X __________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.11

En bas on a une "perte" de:

Fx 0 =

1 m v2x f xo d vx d v y d vz (∆Z ∆Y ) 2 ∫∫∫

4. 40

Par la suite, en haut on gagne (dans la direction -x): Fx 0 + ∆x =

1 m v2x f x 0 +∆x d v x d v y d vz (∆Y ∆Z) 2 ∫∫∫

4. 41

et on perd de nouveau Fx 0 . Donc, le changement net dans la direction X dans le volume dXdYdZ est:

x 0 − ∆x

) (

− Fx 0 + Fx 0 − Fx 0 + ∆x = Fx 0 −∆x − Fx 0 + ∆x =

En utilisant f x 0 + ∆x = f x 0 +

)

1 m v2x d vx d v y d vz [f x 0 −∆x − f x 0 +∆x ] (∆Z ∆Y ) 2 ∫∫∫

4. 42

∂f ∂f ∂f ∆X on obtient f x 0 + ∆x − f x 0 − ∆x = − 2 ∆X ∆X et f x 0 − ∆x = f x 0 − ∂x ∂x ∂x

∆P 1 ∂f   = ∫∫∫ m v2x d vx d v y d vz  − 2 ∆X  (∆Y ∆Z) ∆t 2 ∂X   Qui donne finalement: Et ainsi

∂ (mn vx )(∆X ∆Y ∆Z) = − ∫∫∫ m v2x ∂f d vx d vy d vz (∆X ∆Y ∆Z) ∂t ∂x c'est-à-dire: ∂ (mnvx ) = − ∫∫∫ m v2x ∂f d vx d vy d vz ∂t ∂x

4. 43

Puisque v et x sont des paramètres indépendants on peut écrire:

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.12

[

]

∂ ∂ m v2x f d v x d v y d vz = nm v2x ∫∫∫ ∂x ∂X ∂ [nkT] = ∂P = ∂X ∂x

4. 44

On a considéré seulement le transfert de la quantité de mouvement mvx, mais on peut aussi calculer le transfert de mvy ou mvz à l'interface des "boites". Ceci donne le "shear stress" dans un fluide qui est anisotrope, et le résultat est un tenseur de pression qui a des éléments non-diagonal.

L’équation de conservation de l'énergie Terme #1 Utilisons maintenant ψ =

1 m v2 . 2 ∂ [n ψ ] = ∂  nm v2  = 1 m ∂ ∂t ∂t  2  2 ∂t

[∫ v f dvr ] 2

4. 45

r r r r r r r r r r r r r r r 2 2 v = v • v et on a v = w + u de telle sorte que v = (w + u ) • (w + u ) = w • w + 2 w • u + u • u r r r 1 m ∫ w • w f dv = (l'énergie interne) 2

r r

∫ w • u f dv = 0 ∫ u • u f dv

r r = u • u n = n u2

et on obtient pour 4.46: ∂ [n ψ ] = ∂  + 1 mn u 2 ∂t ∂t  2 

4. 46

NOTE: si f est isotrope, P est scalaire, et donc: r r Pij = m ∫ w i w j f dv = p δij c'est-à-dire p = m ∫ w i w i f dv

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.13

Rappel : Nous utilisons ici le « delta de Dirac » :

1 si i = j  δij =   0 si i ≠ j r

∑ m ∫ w w f dv = m ∫ ∑ w w f d v i

r r r = m ∫ w • w f dv

De plus:

Mais avec f isotrope on a:

∑ m ∫ w w f dv i

C'est-à-dire 2 = 3p

⇒

r = 3m ∫ w i w i f dv

ε = 32 nkT

et finalement on obtient pour le premier terme: ∂ 3 1 1   ∂ 3 p + nm u 2  =  nkT + nm u 2   ∂t  2 2 2  ∂t  2 

4. 47

Très souvent on simplifie la forme du tenseur de pression: Pij = p δij + Πij = nm w i w j

1 où Π ij = nm wi w j − w2 δ ij 3

qu'on peut aussi écrire:

 2 1 2  wx − 3 w  t Π = nm  w x w y    wxwz 

w yw x 1 w 2y − w 2 3 w ywz

   wzw y    1 w 2z − w 2  3  wzw x

4. 48

Πij tient compte du manque de symétrie (viscosité) et s'appelle "viscous stress tensor". Terme#2 __________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.14

r r ∂ 1 Nous devons évaluer le terme r • ∫ m v2 f v dv ∂r 2 Mais de nouveau on a r r r r r r r r r r r r r r r 2 2 v = v • v et on a v = w + u de telle sorte que v = (w + u ) • (w + u ) = w • w + 2 w • u + u • u i)

r v 1 r 1 m ∫ u 2 u f dv = mn u 2 u 2 2

ii)

r r 1 r2 r 3 r 3 1 m ∫ w 2 u f dv = mu = pu = nkT u si f est isotrope. m 2 2 2 2

r r r r r r iii) m ∫ u • w w f dv = m ∫ ∑ (u α w α )w f dv α

la composante j de l'équation qui précède s'écrit:

r m ∫ ∑ (u α w α ) w j f dv = m ∑ u α ∫ w α w j f dv α

= ∑ u α Pαj = ∑ u α (p δαj + Παj ) α

= pu j + ∑ Π α j u α α

NOTE: Παj = Π jα

r r r r Le vecteur m ∫ u • w w f dv est donc donné par: t r r t r P • u = pu + Π • u où p = nkT iv)

r r r 1 m ∫ w 2 w f dv = q par la définition même de la densité de flux de chaleur. 2

On peut montrer que les autres termes = 0 à savoir: r r r r r r r r m ∫ u • w u f dv = mu ∫ u • w f dv = 0

r r 1 m u 2 ∫ w f dv = 0 2 On obtient finalement:

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.15

r t r r 3 r ∂ 1 ∂ 1 2 r r 2 r r ∫ mv fvdv = r •  mn u u + pu + pu + Π • u + q  2 ∂r 2 ∂r  2  r 5 r t r r 1 =  mn u 2 u + pu + Π • u + q  2 2 

4. 49

Terme #3

[

]

r r r r r ∂ 1  avec F = q E + v × B on a r  m v2  = mv donc le produit scalaire de ces deux vecteurs ∂v  2  donne: r ∂ 1 r r r r r r r  F • r  m v2  = qE • mv = mq E • v car v × B • v = 0 ∂v  2 

(

)

On obtient finalement pour ce terme: −

r r n 1 r mq E • v ≡ − ∫ dv f mq E • v m m r r r = − qE • ∫ v f dv r r = − nq E • u

4. 50

Terme #4 r1 ∂f Avec le quatrième terme ∫ dv mv 2 2 ∂t

coll

L'équation pour la conservation de l'énergie devient finalement: 5 r t r r ∂  1 ∂ 1 2 2 r + mn + • u + pu + Π • u + q  u mnu r  ∂ r  2 2 2 ∂t   r r r1 ∂f = nqE • u + ∫ dv mv 2 2 ∂t c

mais on rencontre cette équation le plus souvent écrite en termes de nkT:

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.16

r t r r 3 5 ∂ 1  ∂ 1 2 2 r nkT u + Π • u + q mn nkT u + + • + u mnu r  ∂ r  2 2 2 ∂t  2  r r r1 ∂f = nqE • u + ∫ dv mv 2 2 ∂t coll

4. 51

Finalement, nous avons donc les équations MHD L’équation de continuité (conservation de particules) r ∂n ∂ + r • (nu ) = 0 ∂t ∂r

Conservation de la quantité de mouvement

[

]

r r r r r ∂f  ∂ r r r r t mn  + u • ∇  u + ∇ • P − nq E + u × B 0 = ∫ dv mv ∂t  ∂t 

coll

Conservation de l’énergie ∂ ∂t

r r r t r r r1 3 5 1  ∂ 1 2 ∂f 2 2 r  2 mn u + 2 nkT  + ∂rr •  2 mnu u + 2 nkTu + Π • u + q  = nqE • u + ∫ dv 2 mv ∂t    

Calcul de

∂f ∂t

coll

Considérons les molécules de type A. Dans l'intervalle de vitesse dvA autour de la vitesse vA avant la collision on a un nombre fA(vA)dvA de particules par unité de volume. On suppose que la particule A subit une collision avec une particule B, et qu'après la collision elle a une vitesse vA'. [Plus exactement elle se trouve dans un élément de volume dvA' autour de vA'.] Entre temps, la particule B est aussi déviée du volume dvB autour de vB à dvB' autour de vB'.

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.17

Collisions où la particule A sort de dvA

Figure 3 b est le paramètre d’impact et g la vitesse relative avant la collision (voir chapitre 1) Le nombre de collisions avec une particule A dans l'intervalle dt est le nombre de particules B dans le volume bdbdΦgdt: r r N B = f B (vB ) d vB b db dΦ gdt

4. 52

Le nombre total de collisions entre les particules B et les particules A dans dvA est fA(vA)dvANB r r r r r r f A (v A )dv A N B = f B (vB ) f A (v A )dv A d vB b db dΦ gdt

4. 53

Ce qui nous intéresse est le nombre de collisions, indépendamment de la vitesse vB, du paramètre d’impact b et de l’angle Φ.: r r dN c,out = d vA dt ∫∫∫ f f B g b db dΦ d vB A

4. 54

Collisions où la particule entre dans dvA Une particule qui était dans dvA' est frappée dans dvA par la collision; la particules B est changée de dvB' à dvB.

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.18

r r N′B = f B (v′B ) dv′B b db dΦ g′ dt

4. 55

où g' = g pour les collisions inverses. On a que le nombre de collisions avec les particules dans dvA' est: r r r r r r f A (v′A )dv′A N B = f B (v′B ) f A (v′A )dv′A d v′B b db dΦ gdt

4. 56

de telle sorte que le nombre de collision devient

r r dN c,in = d v′A dt ∫∫∫ f ′ f ′B g b db dΦ d v′B A

4. 57

on a aussi dv′A dv′B = dv A dv B donc le changement net est donné par:

(dN

c,in

− dN c,out ) =

∂f A ∂t

coll

r dv A dt = dv A dt ∫∫∫ [f A′ f B′ − f A f B ]gb db dΦ dv B

4. 58

NOTE: normalement on met vA → v et fA → f: ∂f ∂t

coll

r = ∫∫∫ [f ′f B′ − ff B ]g b db dΦ dv B

4. 59

Dans le chapitre sur les collisions nous avons obtenu:  dN   = lσ(χ , Φ )dΩ = lb db dΦ   dt  dΩ où on a σ (χ , Φ) dΩ = b db dΦ . En intégrant sur l’angle Φ de 0 à 2π on obtient pour l'anneau de rayon b et de largeur db: 2π

 dN  = l ∫ b db dΦ    dt  anneau Φ =0 2π

∫

4. 60

σ (χ , Φ) dΩ = l ∫ σ sin χ dχ dΦ

Φ =0

Si σ est indépendant de l’angle Φ on peut écrire :

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.19

∫ b db dΦ = ∫ σ (χ , Φ) sin χ dχ dΦ = 2π σ (χ ) sin χ dχ

4. 61

La discussion ci-haut nous permet donc d'écrire: ∂f ∂t

r = ∫ ∫[f ′ f ′B − f f B] g σ (χ, Φ )dΩ dv B coll

r = ∫ ∫[f ′ f ′B − f f B] g 2π σ (χ ) sinχ dχ dv B

4. 62

Le terme de collision pour l'équation fluide En utilisant σ indépendant de l’angle Φ le terme de collision devient : r r r r  ∂f  ∫ ψ  dv = ∫ ∫ ∫ ψ(v )[f ′ f B′ − f f B]g 2π σ(χ )sinχ dχ dv B dv  ∂t  coll

4. 63

NOTE: on peut toujours interchanger la collision pour la collision inverse:

r r r r ∫ ∫ ∫ ψ f ′ f B′ g 2π σ(χ )d Ω d vB dv = ∫ ∫ ∫ ψ′ f f B g′ 2π σ(χ )sinχ dχ d vB dv′

4. 64

r r r r mais on a: g′ = g et d vB dv = d vB dv′ de telle sorte que le membre de droite de 4.64 peut s’écrire r r ∫ ∫ ∫ ψ′ f f B g 2π σ (χ )sinχ dχ d v B dv . D’ou r  ∂f  r r ∫ ψ   dv = ∫ ∫ ∫[ψ′ − ψ] f f B g 2π σ(χ )sinχ dχ d vB dv  ∂t  coll

4. 65

r r r r Pour ψ (v ) = mv on a ψ′ − ψ = m(v′ − v )

Quand on intègre sur dΩ, on trouve qu'en moyenne le changement perpendiculaire à v est nul ce qui nous laisse avec un changement parallèle à v seulement - une force de friction.

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.20

Figure 4 Collision binaire

(vr ′ − vr ) // = v′cos(χ ) − v r ψ′ − ψ = ∆(mv ) = m

mB ( − v )(1 − cos χ ) vB m + mB

4. 66

4. 67

On définit: ν cm B = 2π ∫ n B g (1 − cosχ )σ (χ )sinχ dχ comme la fréquence de collision ! Avec particule A = les électrons et particule B = les neutres, on a: cm ν en = 2π ∫ n n g (1 − cosχ )σ (χ )sinχ dχ

4. 68

pour la fréquence de collision, dans le centre de la masse. Dans ce cas s est la section efficace pour les collisions e-n. Dans le laboratoire avec mn ≅ 1 pour e-n. on peut écrire : m + mn ν en ≅ ν en = 2π ∫ n n g (1 − cosχ )σ(χ )sinχ dχ cm

 ∂f  r r r ν ∫ ψ  dv = me ∫ ∫ (vn − ve ) en f e f n d vn d ve  ∂t  c nn

4. 69

4. 70

Si on suppose que νen est indépendant des vitesses, on peut écrire: me n e νen [ vn − ve ] ≅ − me n e νen ve

4. 71

NOTE: Pour les collisions e-n la section efficace varie ~1/v, sauf pour l'effet Ramsauer a basse __________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.21

vitesse. Donc ν ~ σv ~ constant est une (relativement) bonne hypothèse. r  ∂f  NOTE: Dans l'équation fluide ∫ ψ   dv décrit le changement dans la quantité de mouvement  ∂t  coll d'espèce A dû à des collisions avec d'autres espèces (B,C,...). Les collisions entre les particules A ne causent aucun changement de la quantité de mouvement total, à cause de la conservation de la quantité de mouvement total dans une collision binaire.

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.22

Liste des équations r r r r n α ( r , t ) = ∫ dv f α ( r , v , t ) r r r r r ( ) ( d v g r , v , t r , v , t) f α r r α ∫ g(r , v , t ) α = r n α (r , t ) r r r n (r , t ) = ∫ dv f ( r , v, t ) r r 1 rr r r u ≡ v = ∫ dv v f ( r , v, t ) n r r r w≡v−u t r r r r r P = m ∫ dv w ⊗ w f (r , v , t ) r Pij = m ∫ w ijfdv r = m ∫ (vi − u i )(v j − u j)fdv

= mn (vi − u i )(v j − u j) r r r 1 = m ∫ dv w 2 f ( r , v, t ) 2 r 1 r r r r q = m ∫ dv w 2 w f ( r , v, t ) 2 r ∂f r ∂f F ∂f ∂f + v• r + • r = ∂t ∂ r m ∂v ∂t coll r ∂f r ∂ r ∫ ψ(v) ∂t dv = ∂t ∫ ψ f dv ∂ = [n ψ ] ∂t r r ∂f r ∂ r r r ∫ ψ (v) v • ∂rr dv = ∂rr • ∫ ψ (v) f v dv r ∂ = r [n ψ v ] ∂r r 1 r r ∂f dv ψ(v ) F • r ∫ m ∂v r r ∂f r ∂ψ ∂ ∂ r v r • ψ(v ) F f = ψ F • r + ψ f r • F + f F • r ∂v ∂v ∂v ∂v r r ∂ ∫ ∂vr • ψ F f dv = 0

[

]

[

]

4. 1................................................... 4 4. 2 ................................... 4 4. 3.................................................... 4 4. 4.................................................. 4 4. 5 ............................................................. 4 4. 6................................................ 5

4. 7................................................... 5

4. 8 .................................................. 5 4. 9................................................. 5 4. 10.............................................. 5

4. 11................................................. 5

4. 12........................................ 6

4. 13 ................................................ 6 4. 14.................................. 6 4. 15 ........................................................ 6

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.23

r r ∂f r r ∂ψ 1 1 dv ψ F • r = − ∫ dv f F • r ∫ m m ∂v ∂v 4. 16........................................ 6 r ∂ψ n F• r =− m ∂v r r ∂f 4. 17........................................................... 6 ∫ dv ψ(v ) ∂t coll r ∂ [n ψ ] + ∂r [n ψ vr ] − n F • ∂ψr = ∫ dvr ψ(vr ) ∂f 4. 18.............................. 7 ∂t ∂r m ∂v ∂t coll r r ∂f ∂n ∂ 4. 19 ............................................... 7 + r • (n u ) = ∫ dv ∂t ∂ r ∂t coll r ∂n ∂ 4. 20...................................................... 7 + r • (nu ) = 0 ∂t ∂r r r r r ∂n + n∇ • u + u • ∇n = 0 4. 21 ................................................... 7 ∂t r rr ψv = m v v r r r r = m (w + u )(w + u ) 4. 22................................... 7 r r rr rr rv = m[ w w + w u + u w + u u ] t r t P ψ v = mu + 4. 23 ..................................................... 8 n t r  r ∂ ∂   P 4. 24 ......................... 8 (mnu ) + r • n  + mut   − n mF = ∫ dvr mvr ∂f m ∂ t ∂t ∂ r   n  coll  r r r r r r r F = q E + v × B = q E + u × B0 4. 25......................................... 8

(

) (

[

]

)

]

t r r ∂ (mnur ) + ∂r • P + mnut − nq E + ur × B0 = ∫ dvr mvr ∂f 4. 26 ........................ 8 ∂t ∂r ∂t coll r t r r r r r r ∂ r ∂  ∂u r ∂n m (n u ) + m v • (n u ) = m n +u + n u • ∇ u + ∇ • (n u ) u  4. 27 .................. 8 ∂t ∂r ∂t  ∂t  r r r r ∂u  ∂ r rr mn + mn u • ∇ u = mn  + u • ∇  u 4. 28............................................. 8 ∂t  ∂t  r r r r r ∂f  ∂ r r r r t 4. 29 ................... 9 mn  + u • ∇  u + ∇ • P − nq E + u × B0 = ∫ dv mv ∂t coll  ∂t  t r r r r r P ≡ m ∫ dv w ⊗ w f ( r , v, t ) 4. 30.............................................. 9 r r r 4. 31............................................. 9 Pij = m ∫ dv w i w j f ( r , v, t )

(

(∇ • P ) = ∑ ∂∂Px

]

)

[

r t

) [

]

4. 32......................................................... 9

dN = d v x ∫∫ f d v y d vz vx (∆Y ∆Z)

4. 33 ......................................... 9

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.24

dΓ p = dN(mv x ) = (∆Y ∆Z) m v2x d vx ∫∫ f d v y d vz

4. 34 ............ 10

Γ p = (∆Y ∆Z) ∫∫∫ m v2x f d vx d v y d vz

4. 35...................................... 10

P = ∫∫∫ m v2x f d vx d vy d vz 1 1 m v 2x = kT 2 2  P⊥ 0 0    P =  0 P⊥ 0   0 0 P  //  

Fx 0 − ∆x =

⇒

4. 36 ............................................. 10 4. 37............................... 11

P = n m v 2x = nkT

4. 38................................................. 11

1 m v2x f x 0 − ∆x d vx d v y d vz (∆Z ∆Y ) ∫∫∫ 2

4. 39 ............................... 11

1 m v2x f xo d vx d v y d vz (∆Z ∆Y ) 2 ∫∫∫ 1 Fx 0 + ∆x = ∫∫∫ m v2x f x 0 +∆x d v x d v y d vz (∆Y ∆Z) 2 Fx 0 −∆x − Fx 0 + Fx 0 − Fx 0 + ∆x = Fx 0 −∆x − Fx 0 + ∆x

4. 40..................................... 12

Fx 0 =

(

) (

) ( =

4. 41.............................. 12

)

1 m v2x d vx d v y d vz [f x 0 −∆x − f x 0 +∆x ] (∆Z ∆Y ) 2 ∫∫∫

∂ (mnv x ) = − ∫∫∫ m v2x ∂f d vx d v y d vz ∂t ∂x ∂ ∂ m v2x f d v x d v y d vz = nm v2x ∫∫∫ ∂x ∂X ∂ [nkT ] = ∂P = ∂X ∂x ∂ [n ψ ] = ∂  nm v2  = 1 m ∂ ∫ v2f dvr ∂t ∂t  2  2 ∂t ∂ [n ψ ] = ∂  + 1 mn u 2 2 ∂t ∂t   ∂ 3 1 1  ∂ 3  p + nm u 2  =  nkT + nm u 2   ∂t  2 2 2   ∂t  2  2 1 2 w yw x wzw x  wx − 3 w  t 1 Π = nm  w x w y w 2y − w 2 wzw y  3  1  wxwz w ywz w 2z − w 2 3 

[

4. 43.................................. 12

]

[

4. 42.......... 12

4. 44............................. 13

]

4. 45...................................... 13

4. 46.................................................. 13 4. 47............................... 14        

4. 48............... 14

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.25

r t r r ∂ 1 ∂ 1 3 r 2 r r 2 r r ∫ mv fvdv = r •  mn u u + pu + pu + Π • u + q  ∂r 2 ∂r  2 2  r 5 r t r r 1 =  mn u 2 u + pu + Π • u + q  2 2 

4. 49...................... 16

r r n 1 r mq E • v ≡ − ∫ dv f mq E • v m m r r r 4. 50..................................... 16 = − qE • ∫ v f dv r r = − nq E • u r t r r ∂ 1 5 3  ∂ 1 2 2 r + + • nkT u + Π • u + q mn nkT u + r u mnu  ∂r  2 ∂t  2 2 2    4. 51......................... 17 r r r1 2 ∂f = nqE • u + ∫ dv mv 2 ∂t coll r r N B = f B (vB ) d vB b db dΦ gdt 4. 52 ................................................ 18 r r r r r r 4. 53....................................... 18 f A (v A )dv A N B = f B (vB ) f A (v A )dv A d vB b db dΦ gdt r r dN c,out = d vA dt ∫∫∫ f f B g b db dΦ d vB 4. 54 ........................................... 18 A r r N′B = f B (v′B ) dv′B b db dΦ g′ dt 4. 55................................................ 19 r r r r r r 4. 56 ................................................ 19 f A (v′A )dv′A N B = f B (v′B ) f A (v′A )dv′A d v′B b db dΦ gdt r r dN c,in = d v′A dt ∫∫∫ f ′ f ′B g b db dΦ d v′B 4. 57 ................................................ 19 A −

(dN ∂f ∂t

c,in

coll

− dN c,out ) =

∂f A ∂t

coll

r dv A dt = dv A dt ∫∫∫ [f A′ f B′ − f A f B ]gb db dΦ dv B

r = ∫∫∫ [f ′f B′ − ff B ]g b db dΦ dv B

4. 58 .......... 19

4. 59 .................................................... 19

2π

 dN  = l ∫ b db dΦ    dt  anneau Φ =0

4. 60............................. 19

2π

∫

σ (χ , Φ) dΩ = l ∫ σ sin χ dχ dΦ

Φ =0

∫ b db dΦ = ∫ σ (χ , Φ) sin χ dχ dΦ = 2π σ (χ ) sin χ dχ r ∂f = ∫ ∫[f ′ f ′B − f f B] g σ (χ, Φ )dΩ dv B ∂t coll

4. 61 .................................... 20

r = ∫ ∫[f ′ f ′B − f f B] g 2π σ (χ ) sinχ dχ dv B r r r r  ∂f  ∫ ψ  dv = ∫ ∫ ∫ ψ(v )[f ′ f B′ − f f B]g 2π σ(χ )sinχ dχ dv B dv  ∂t  coll r r r r ∫ ∫ ∫ ψ f ′ f B′ g 2π σ(χ )d Ω d vB dv = ∫ ∫ ∫ ψ′ f f B g′ 2π σ(χ )sinχ dχ d vB dv′

4. 62 ............................... 20

4. 63 ...................... 20 4. 64............ 20

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.26

r  ∂f  r r ∫ ψ   dv = ∫ ∫ ∫[ψ′ − ψ] f f B g 2π σ(χ )sinχ dχ d vB dv  ∂t  coll r r (v′ − v ) // = v′cos(χ ) − v

r ψ′ − ψ = ∆(mv ) = m

mB ( − v )(1 − cos χ ) vB m + mB cm ν en = 2π ∫ n n g (1 − cosχ )σ (χ )sinχ dχ

ν en ≅ ν = 2π ∫ n n g (1 − cosχ )σ(χ )sinχ dχ cm en

 ∂f  r r r ν ∫ ψ  dv = me ∫ ∫ (vn − ve ) en f e f n d vn d ve  ∂t  c nn me n e νen [ vn − ve ] ≅ − me n e νen ve

4. 65 ............................. 20 4. 66......................................... 21 4. 67 ........................... 21 4. 68 ........................................... 21 4. 69..................................... 21 4. 70 ......................................... 21 4. 71........................................... 21

__________________________________________________________________________________________________________________

Équations fluides

4.27

Table des matières Applications des équations de 2 fluides .......................................................................................... 4 Diffusion et mobilité dans un plasma faiblement ionisé .............................................................. 4 ( A ) Champ électrique et magnétique nuls .............................................................................. 5 ( B ) Avec champ électrique mais sans champ magnétique...................................................... 5 ( C ) Avec champ électrique et magnétique.............................................................................. 8 ( D ) La diffusion ambipolaire ................................................................................................ 12 ( E ) Applications de l’équation de diffusion.......................................................................... 15 État stationnaire avec source ...................................................................................................... 18 L’équilibre de la colonne électronique....................................................................................... 23 La « pré-gaine ».......................................................................................................................... 29 Liste des équations......................................................................................................................... 36

Équations 2 fluides

5.1

Liste des figures Figure 1 Géométrie du problème..................................................................................................... 9 Figure 2 Dérive diamagnétique ..................................................................................................... 11 Figure 3 Illustration physique de la dérive diamagnétique............................................................ 11 Figure 4 Dans la colonne cylindrique, le gradient de densité et le champ électrique sont de sens opposé ..................................................................................................................................... 14 Figure 5 Comparaison entre la fonction de Bessel et une parabole............................................... 17 Figure 6 Géométrie du problème................................................................................................... 19 Figure 7 Profil de densité............................................................................................................... 21 Figure 8 Profil de densité avec un terme source au bord de la colonne ........................................ 22 Figure 9 Géométrie cylindrique..................................................................................................... 24 Figure 10 Limite de Brillouin........................................................................................................ 28 Figure 11 Trajectoire trochoïdale .................................................................................................. 29 Figure 12 Plasma en contact avec une plaque ............................................................................... 30 Figure 13 Le profil du nombre de Mach (tirets), de la densité(ligne continue) et du potentiel (ligne pointillée) dans la pré-gaine (la surface de la gaine commence à droite du graphe).... 33

Équations 2 fluides

5.2

Problèmes Problème 5. 1................................................................................................................................... 7 Problème 5. 2................................................................................................................................. 23 Problème 5. 3................................................................................................................................. 28 Problème 5. 4................................................................................................................................. 31

Équations 2 fluides

5.3

Applications des équations de 2 fluides Diffusion et mobilité dans un plasma faiblement ionisé Le flux de particules est une quantité importante dans le calcul du transfert du transport dans un plasma, et peut être écrit :

r r r r r Γ = ∫ v f (v ) dv = n u

5. 1

r La variation de Γ est déterminée par les équations fluides : r ∂n r + ∇ • (n u ) = 0 ∂t

5. 2

[

]

r r r r  ∂ r r r r t mn  + u • ∇  u + ∇ • P − nq E + u × B0 = − mnν αn u  ∂t 

5. 3

NOTE : on a une paire d’équations pour chaque espèce de particule dans le plasma. On a supposé que les collisions les plus importantes sont celles avec le gaz de fond : ν αn . Traitons tout d'abord du problème avec les hypothèses suivantes: •

À l’état stationnaire il n’y a pas de variation dans le temps : ∂ ≡0 ∂t

•

5. 4

r La vitesse u reste petite et on peut négliger le terme d'inertie r t r r r m n u • ∇ u << ∇ • P r r r << nq E + u × B0

(

)

[

]

5. 5

il n’y a pas d’effet de viscosité et P est scalaire.

Dans ce cas on a

r r ∇ • (nu ) = 0

Équations 2 fluides

5. 6

5.4

r r c'est à dire que le flux Γ = nu est constant dans l'espace dans le cas ou il n'y a pas de sources (ionisation, recombinaison, …) dans l'équation de conservation de particules 5.2. De plus on a de l'équation 5.3

[

]

r t r r r r ∇ • P − nq E + u × B0 = − mnν αn u

5. 7

( A ) Champ électrique et magnétique nuls r r r Supposons E = B = 0 . On a vu que P = nkT et si on prend T constant dans l'espace ( ∇T = 0 ) on peut écrire: r t r r ∇ • P = kT∇n = − mnν αn u

5. 8

et le flux de particule devient: r r r kT∇n Γ=− = − D∇n mν αn

5. 9

On voit donc qu'il y a un flux de particules proportionnel au gradient de la densité. Le coefficient de proportionnalité est appelé coefficient de diffusion D ( en m2/s)donné par: D=

kT mν αn

5. 10

et la relation 5.9 est appelé la loi de Fick. Dans le cas ou il y a aussi un gradient de température, le flux de particule est la somme des flux causés par les deux gradients mais on considère le plus souvent un gradient de température nul. ( B ) Avec champ électrique mais sans champ magnétique

r r B = 0 mais E ≠ 0 . De nouveau avec P = nkT avec n et T r indépendant de la position ( donc ∇P = 0 ) on obtient: Supposons maintenant que

r r − nqE = − mnν αn u

Équations 2 fluides

5. 11 5.5

et le flux de particule devient:

r r nqE r Γ= = nµ E mν αn

5. 12

On voit maintenant un flux de particule causé par le champ électrique. La direction de ce flux est donnée par le signe de la charge q et est directement proportionnelle au champ avec la constante de proportionnalité: µ=

q mν αn

5. 13

Cette quantité est la mobilité de l'espèce α ( en m2/Vs)sous l'effet du champ électrique avec un signe qui dépend de celui de la charge de la particule. Nous utilisons le même symbole pour la mobilité et le moment magnétique, à ne pas confondre. La densité de courant électrique total du à ces flux d'ions et d'électrons peut être écrit comme la r r somme du courant ionique et du courant électronique ( jα = q α Γ α ): r r j = (n i eµ i − n e eµ e )E r ≅ − n e eµ e E r = σE

5. 14

On voit que la mobilité des électrons est beaucoup plus grande que celle des ions. Donc, le transport des électrons domine le courant. Ici nous avons introduit la quantité: σ=

n ee2 m e ν en

5. 15

la conductivité électrique du plasma ( en (Ωm)-1). On note que le coefficient de diffusion et la mobilité dépendent tous deux de la fréquence de collision entre les particules (ion ou électron) et les “atomes”, mais on trouve pour le rapport des deux : Équations 2 fluides

5.6

D  kT  mν αn  kT  = = µ  mν αn  q  q

5. 16

la relation dite d'Einstein Dans un état stationnaire on trouve, de façon générale qu’il y a un flux (courant) causé par des gradients de pression et des champs électriques ( gradients de potentiel ) : r r r Γ = − D∇n + nµ E r r = − D∇n − nµ ∇φ

5. 17

r r où nous avons utilisé E = − ∇φ Problème 5. 1 Considérons un plasma sans champ magnétique à une pression p de 1 Torr. La section efficace σen de collision entre les électrons et les neutres est donnée approximativement par 6 π a02 ou a0 = 0.53 10-8 cm est le rayon de la première orbite de Bohr. Le plasma est maintenu avec une température électronique Te = 2 eV. a) Calculez le taux de collisions e-n Ren = < σen v > en cm3/s ou la moyenne est prise en terme de la fonction de distribution des électrons.

La fréquence de collision entre les électrons et les neutres est donnée par

νen = nn Ren ou nn est la densité de neutre à la pression de 1 Torr à la température de la pièce. b) Calculez la fréquence de collision. c) Calculez le coefficient de diffusion d) Si la densité de courant est de 200 mA/cm2 et la densité du plasma de 1010 cm-3, calculez le champ électrique.

Équations 2 fluides

5.7

( C ) Avec champ électrique et magnétique S’il y a un champ magnétique, il ne peut pas affecter le mouvement des particules parallèles à B, mais il peut affecter le mouvement perpendiculaire à B. Considérons donc, le mouvement perpendiculaire à B avec les même hypothèses que précédemment (éq 5.4 et 5.5) et avec r r r u = u ⊥ + u // : r r r r r nq E + u ⊥ × B − kT∇n − mnν u ⊥ = 0

(

)

5. 18

Considérons un champ magnétique dans la direction z de telle sorte que le vecteur vitesse dans le plan perpendiculaire est donné par: r u ⊥ = (u x , u y , 0)

5. 19

r r u ⊥ × B = (u y B, − u x B, 0)

5. 20

de telle sorte que

et les projections selon les axes x et y de l'équation 5.18 s'écrivent:

Équations 2 fluides

nqE x + nqu y B − kT

∂n − mnν u x = 0 ∂x

5. 21

nqE y − nqu x B − kT

∂n − mnν u y = 0 ∂y

5. 22

5.8

Figure 1 Géométrie du problème

À partir de l'équation 5.22 on peut écrire:

nu y =

1  ∂n  nqE y − nqu x B − kT   mν  ∂y 

5. 23

ce qui, après substitution de 5.23 dans 5.21, permet d'écrire: Ey

D ∂n ωc2 τ 2 kT ∂n 1 + ω τ ux = µ Ex + ω τ − − B n ∂x n qB ∂y

[

2 c

]

2 c

5. 24

qB 1 la fréquence cyclotron et τ = le temps entre les collisions donc m ν l'inverse de la fréquence de collision.

où nous avons utilisé ωc =

De la même manière, dans la direction y on a :

[1 + ω τ ]u 2 c

= µ E y + ω c2 τ 2

E x D ∂n ω c2 τ 2 kT ∂n − − B n ∂y n qB ∂x

5. 25

On peut définir la mobilité et le coefficient de diffusion perpendiculaire à B :

Équations 2 fluides

5.9

µ⊥ =

µ 1 + ωc2 τ 2

5. 26

D⊥ =

D 1 + ω c2 τ 2

5. 27

de telle sorte que les expressions pour les composantes de la vitesse deviennent: ux = µ⊥ Ex −

D ⊥ ∂n ω c2 τ 2 E y ω c2 τ 2 + − n ∂x 1 + ω c2 τ 2 B 1 + ω c2 τ 2

]

 1  kT ∂n    nq  B ∂y

5. 28

uy = µ⊥ Ey −

ωc2 τ 2 E x ωc2 τ 2 D ⊥ ∂n + + n ∂y 1 + ωc2 τ 2 B 1 + ωc2 τ 2

 1  kT ∂n    nq  B ∂x

5. 29

[

]

[

]

[

]

Définissons la dérive ExB r r r E×B vE = 2 B

5. 30

r r  1  ∇P × B r v D = −   2  nq  B

5. 31

et la dérive diamagnétique

ou P est la pression cinétique. On note qu'en présence d’un champ magnétique, les courants sont modifiés. Si le champ magnétique est fort, la mobilité et le coefficient de diffusion sont réduits par un facteur important. Le champ magnétique sert à « confiner » le plasma, en freinant la kT réponse au gradient perpendiculaire à B. On note aussi que dans un plasma, D ≈ parallèle au mν champ magnétique c'est -à-dire que les collisions empêchent la diffusion, tendis que dans un kTν champ magnétique intense D ⊥ ≈ les collisions augmentent la diffusion. mωc2 On a aussi des vitesses de dérive causées par le champ magnétique. La première (5.30) est la vitesse ExB qu’on trouve pour le mouvement des particules individuelles. La deuxième (5.31) Équations 2 fluides

5.10

est une vitesse de dérive causée par la présence du plasma. On note que la direction de cette dérive est une fonction de la charge q :

Figure 2 Dérive diamagnétique

Figure 3 Illustration physique de la dérive diamagnétique La Figure 3 illustre la raison physique pourquoi on n’obtient pas cette vitesse de dérive avec les équations de mouvement pour les particules. Le centre guide de chaque particule est stationnaire, mais à travers un volume quelconque, il y a plus d’ions qui se déplacent vers le bas qu’il n’y en a qui se déplacent vers le haut à cause du gradient de densité. Il en résulte donc un flux net perpendiculaire au gradient de densité et au champ magnétique même si les centres guide des trajectoires sont stationnaires.

Équations 2 fluides

5.11

( D ) La diffusion ambipolaire Considérons le cas de B=0 , et l’état stationnaire. Dans ce cas, si le potentiel du plasma ne change pas il faut avoir Γe = Γi , c’est-à-dire que le courant électrique total est nul . On suppose aussi que ne = ni (neutralité du plasma). Donc r r r Γ i = − D i ∇n i + n i µ i E

5. 32

et r r r Γ e = − D e ∇n e + n e µ e E

5. 33

L'égalité des flux et des densités nous permet d'écrire: r r ∇n (D e − Di ) E= n (µ e − µ i )

5. 34

de telle sorte que le flux est donné par r r r ∇n (D e − D i ) Γ = − D e∇n + nµ e n (µ e − µ i ) r µ D − µ i De = − ∇n e i µe − µi v ≡ − D a ∇n

5. 35

Da s’appelle le coefficient de diffusion ambipolaire. Physiquement, le champ électrique dans le plasma est le résultat d’une perte d’une espèce. S’il n’y a pas de champ magnétique les électrons diffusent plus rapidement à cause de leur petite masse (D est inversement proportionnel à m et la fréquence de collision est comparable pour les électrons et les ions): Avec Te de l'ordre de Ti nous avons De >> Di . Avec la perte des électrons, une charge d’espace positive est crée, qui essaie de retenir les électrons et d'éloigner les ions. Avec la relation d'Einstein (5.16) et qe = -e et qi = e on obtient:

Équations 2 fluides

5.12

 T  Di 1 + e  Ti  Da =  T D 1+ e i Ti D e

5. 36

 T  ≅ Di 1 + e   Ti 

Dans le cas ou les températures sont égales pour les ions et les électrons (Te = Ti), le coefficient de diffusion ambipolaire devient égal au double du coefficient de diffusion des ions. Donc le champ électrique cause une augmentation de la perte ionique. Si Te >> Ti on pourra écrire 5.36 sous la forme : Da ≅ Di

Te Ti

5. 37

Le champ électrique de 5.34 prend donc la forme

r r ∇n (De − Di ) E= n (µ e − µ i ) r ∇n (De − Di ) = n q e De − q i Di kTe kTi r ∇n (De − Di ) =− n eDe + eDi kTe kTi

5. 38

et, dans le cas ou les températures sont égales (Te = Ti = T) avec Di << De ( car me << mi) on a: r r ∇n E=− n r ∇n ≅− n

(De − Di ) kT (D e + Di ) e

5. 39

kT e

c'est à dire que le champ électrique est dans la direction opposée au gradient de densité

Équations 2 fluides

5.13

Figure 4 Dans la colonne cylindrique, le gradient de densité et le champ électrique sont de sens opposé On note qu'en présence d’un champ magnétique, les pertes de particules perpendiculaire à B sont réduites par un facteur important. Dans le cas ωcτ >>1 on a : kTe kT et D e ⊥ ≅ 2 e2 m e ν en m e ν en eB kT kTi et D i ⊥ ≅ 2 i2 m i ν in Di = eB m i ν in De =

Dans le cas ou les fréquences de collisions sont comparables de même que les températures on obtient Di ⊥ >> De ⊥ et de la même façon que l'équation 5.36 on obtient dans ce cas :

Da ⊥

 e e  + D e⊥ Di⊥    kTe kTi  = e e D e⊥ + Di⊥ kTe kTi

5. 40

 T ≅ D e ⊥ 1 + i   Te 

Dans le cas ou les températures sont égales, le coefficient de diffusion ambipolaire perpendiculaire devient égal au double du coefficient pour les électrons. Le coefficient de diffusion est donc déterminé par l’espèce qui diffuse le moins rapidement. Dans ce cas le champ électrique est dans la même direction que le gradient de densité

r r ∇n kTi E≅ n e

Équations 2 fluides

5. 41

5.14

NOTE : ce raisonnement n'est valide que pour un problème à une dimension. En général, il faut r r satisfaire ∇ • (nu ) = 0 pour chaque espèce et très souvent on peut avoir la majorité des électrons perdus par un processus différent de celui qui gère les ions. ( E ) Applications de l’équation de diffusion Dans le cas d’une décharge cylindrique (colonne), le champ électrique peut être inclus dans le coefficient de diffusion et on considère l’équation 5.35: r r Γ = − D a ∇n

5. 42

L’équation de continuité nous donne : r ∂n r r ∂n r + ∇•Γ = 0 = − ∇ • D a ∇n ∂t ∂t

(

Avec qui a la forme D a ∝

)

5. 43

kT , on conclu que si T est constant et si ν est constant dans l’espace mν

on peut écrire : ∂n = Da ∇ 2n ∂t

5. 44

Ceci est l’équation à résoudre pour la densité de particule d’une post-décharge luminescente lorsque la perte de particule du plasma est déterminée par la diffusion ambipolaire. Posons la séparation de variable: n(r,t) = R(r)T(t)- L'équation (5.44) devient alors en supposant ∂ ∂ ≡ 0 ≡ 0 ): la symétrie cylindrique ( ∂θ ∂z R

dT 1 d  dR  = Da T r  dt r dr  dr 

5. 45

1 dT D a 1 d  dR  1 = r =− T dt R r dr  dr  τ

5. 46

qui s'écrit :

ou τ est constante. Équations 2 fluides

5.15

On obtient alors pour T(t) 1 1 dT =− τ T dt

5. 47

qui admet comme solution:  t T(t) = T0 exp −   τ

5. 48

Pour la partie radiale, nous devons solutionner l'équation: D a 1 d  dR  1 r + =0 R r dr  dr  τ

5. 49

qui a la forme: d 2 R 1 dR R + + =0 2 dr r dr D a τ

5. 50

1 ) on obtient une équation de la forme de τD a l’équation de Bessel décrite dans l’encadré et la solution prend la forme (avec ν = 0) :

En multipliant 5.50 par r2 et en posant z = λr ( λ 2 =

 r   R (r ) = J 0   τD  a  

Équations 2 fluides

5. 51

5.16

Équation de Bessel L’équation suivante

dW d2W +z + z2 − ν2 W = 0 2 dz dz

(

)

est appelée équation de Bessel et est bien connue en physique. Lorsque ν est une constante quelconque la solution de cette équation s’écrit : ν + 2k k ( − 1) z W (z ) = J ν (z ) = ∑   k = 0 k! Γ(ν + k + 1) 2  ∞

ou Γ(ν+k+1) est la fonction Gamma et les fonctions Jν(z) sont appelées fonctions de Bessel du premier type d’ordre ν. Lorsque ν n’est pas entier, J-ν(z) est aussi une solution. Pour plus de détails, voici quelques références : K.S. Miller, Engineering mathematics, Rinehart & Company, N.Y. A. Bronwell, Advanced Mathematics in Physics and Engineering, McGraw-Hill

Figure 5 Comparaison entre la fonction de Bessel et une parabole

Équations 2 fluides

5.17

Les zéros de la fonction de Bessel d'ordre zéro sont à z = 2.4, 5.5, 8.6, 11.8, … Conditions de frontière : J0(kr) = 0 quand r = a où a est le rayon de la colonne de plasma.. On a: ka ≅ 2.4

⇒

1 2.4 = a τD a

donc a2 τ= 5.8 D a

5. 52

NOTE : on a des zéros de J0 pour d’autres valeurs de ka , mais le temps de relaxation de ces autres modes est beaucoup plus court : τ≅

a2 5.8 D a

a2 30.3 D a

a2 74.0 D a

a2 139.2 D a

, ...

5. 53

En principe on peut avoir une distribution qui est une combinaison de tous les modes : R (r ) = ∑ a i J 0 (k i r )

5. 54

Une distribution « non idéale » peut être maintenue s’il y a des sources, mais dans la post luminescence, la distribution approche le mode fondamental.

État stationnaire avec source Considérons un plasma cylindrique avec rayon b. Au milieu de la colonne il y a une source ( de rayon a ) qui est constante(Figure 6). Déterminons le profil de la densité en supposant T constant, à l’état stationnaire et en posant la symétrie cylindrique.

Équations 2 fluides

5.18

Figure 6 Géométrie du problème

Dans la région I on a: − Da ∇ 2 n = S

5. 55

qui s'écrit en coordonnées cylindriques: 1 ∂  ∂n  S r  = − r ∂r  ∂r  Da

5. 56

après une première intégration on obtient: r

∂n S r2 r =− ∂r 0 Da 2

5. 57

d'ou ∂n S =− r ∂r 2D a

5. 58

en intégrant une deuxième fois on obtient: Équations 2 fluides

5.19

S r2 n0 =− 2D a 2

5. 59

qui donne finalement

n (r ) = n (0) −

Sr 2 4Da

5. 60

qui décrit la densité pour la région I (r U a ) avec comme condition frontière: n (a ) = n (0) −

Sa 2 4D a

5. 61

Pour la région II, comme il n'y a pas de source, nous devons solutionner: − Da ∇ 2 n = 0 =

∂n =K ∂r

1 ∂  ∂n  r  r ∂r  ∂r 

5. 62

r r n a = Kln  a

5. 63

r n (r ) = n (a ) + Kln  a

5. 64

⇒

qui donne:

mais comme n(b) = 0 on peut déterminer K et obtenir: K=−

Équations 2 fluides

n (a ) b ln  a

5. 65

5.20

Le profil complet de la densité est donc donné par:

Sr 2 n (r ) = n (0) − 4D a

0<r<a

  r  ln     Sa   a  = n (0) −  1 − 4D a   b  ln     a   2

5. 66

a<r<b

Figure 7 Profil de densité Exemple :

Calculons le profil de la densité quand la source est plus forte à l’extérieur. Considérons un plasma cylindrique avec transport diffusif. Écrivons le terme source comme Krm − D∇ 2 n = −

Équations 2 fluides

D ∂  ∂n  m  r  = Kr r ∂r  ∂r 

5. 67

1 ∂  ∂n  K m r  = − r r ∂r  ∂r  D

5. 68

K m +1 ∂  ∂n  r  = − r D ∂r  ∂r 

5. 69 5.21

K r m+ 2  ∂n  r  = − D m+2  ∂r 

5. 70

∂n K r m +1 =− ∂r D m+2

5. 71

K r m+2 n (r ) = n 0 − D (m + 2 )2

5. 72

À titre d'exemple, considérons une source de forme parabolique ( m = 2 ). On obtient alors:

Kr n (r ) = n 0 −

5. 73

D 16

Si on suppose que n(a) = 0 (la densité devient nulle au bord, la ou le terme source est`maximal) K a4 et le profil de densité est donné par: on obtient n 0 = D 16   r 4  n (r ) = n 0 1 −      a  

5. 74

Figure 8 Profil de densité avec un terme source au bord de la colonne

Équations 2 fluides

5.22

C'est-à-dire que même avec une source hors-axe, à cause de la diffusion, la densité est maximale sur l’axe. Problème 5. 2 Un plasma faiblement ionisé a, dans la géométrie cartésienne, un profil de densité: π x  n( x ) = n0 cos −L≤ x≤L   2L  ou n0 est typiquement de 1010 cm-3. À la fermeture du réacteur, le plasma se dissipe à cause de la diffusion et de la recombinaison. Si le taux de diminution de la densité du à la recombinaison est donné par:

∂n = − Rn 2 ∂t

ou R est le taux de recombinaison de 10-9 cm3/s. a) Calculez la densité à laquelle le taux de diminution dû à la diffusion est égal à celui dû à la recombinaison si L = π cm et D = 4000 cm2/s. b) Étant donné cette valeur de la densité, que pouvez-vous conclure du rôle de la recombinaison dans cette situation?

L’équilibre de la colonne électronique

Équations 2 fluides

5.23

Figure 9 Géométrie cylindrique On suppose qu’il y a un faisceau qui se propage dans la direction z. En plus on suppose : que le problème est indépendant du temps et qu'il n'y a pas de dépendance sur z et θ n = n (r )

r r u = u (r )

∂n =0 ∂z

r ∂u =0 ∂z

r À l’équilibre u = (0, u θ (r ), u z (r )) et il n'y a pas de composante radiale de la vitesse. La r r conservation de particules : ∇ • (nu ) = 0 est satisfait automatiquement. On suppose que le r champ électrique E = (E r , 0, 0) est déterminé par l’équation de Poisson dont la forme générale est:

1∂ (rE r ) = ∑ q α n α (r ) r ∂r ε0 α

5. 75

une première intégration donne: rE r = ∑ α

qα rn α (r ) dr ε 0 ∫0

5. 76

qui donne:

Équations 2 fluides

5.24

q 1 E r = ∑ α ∫ rn α (r ) dr r α ε0 0

5. 77

Pour les électrons dans le vide, on considère 5.77 seulement pour les électrons donc: r

e Er = − rn e (r ) dr ε 0 r ∫0

5. 78

r On suppose que B = (0, 0, Bz ) un champ magnétique externe et on ne tient pas compte du champ magnétique qui pourrait être généré de façon interne par le déplacement des charges considérées dans le problème. La conservation de la quantité de mouvement s'écrit (on néglige les collisions)

[

]

r r r r r r r t mn u • ∇ u + ∇ • P − nq E + u × B = 0

(

)

5. 79

On suppose un plasma froid, c'est-à-dire P = 0. De plus,

(ur • ∇ )ur =  − ur r

2 θ



 , 0, 0  

5. 80

Rappel

En coordonnées cylindriques, nous avons la relation : r

(A • ∇r )Br = rˆ A 

 + θˆ  A r   + zˆ A r 

1 ∂B r ∂B r ∂B r 1  + Aθ + Az − A θ Bθ  r ∂θ ∂r ∂z r  ∂Bθ ∂B 1 ∂Bθ 1  + Aθ + A z θ + A θ Br  r ∂θ r ∂r ∂z  1 ∂B z ∂B z ∂B z  + Aθ + Az  r ∂θ ∂r ∂z 

de telle sorte que 5.79 devient: −

Équations 2 fluides

mnu θ2 − nq[E r + u θ Bz ] = 0 r

5. 81

5.25

qui donne une équation quadratique pour la vitesse: qBz qE ru θ + r r = 0 m m

5. 82

qBz r q 2 B2z r 2 qE r r ± − 2m 4m 2 m

5. 83

u θ2 + qui admet comme solution

uθ = −

À titre d'illustration, considérons le profil de densité: n(r) = n0 0<r<a =0 a<r l’équation 5.78 donne pour le champ électrique: r

ne e rn 0 dr = − 0 r ∫ ε 0r 0 2ε 0

5. 84

eBz r e 2 B2z r 2 e 2 n 0 r 2 uθ = + ± − 2m 4m 2 2mε 0

5. 85

Er = −

pour 0<r<a et 5.83 pour la vitesse:

Dans 5.85 il faut avoir le terme sous la racine carré positif ce qui implique: e 2 B2z r 2 e 2 n 0 r 2 ≥ 4m 2 2mε 0

5. 86

c'est-à-dire ε 0 B2z n0 ≤ 2m e

5. 87

cette condition s'appelle la limite de Brillouin. On peut écrire la condition 5.86 en terme du paramètre Q

Équations 2 fluides

5.26

Q≡

ω 2pe ω

2 ce

n 0me ε 0 B2z

5. 88

ou ωce est la fréquence cyclotron électronique et ωpe la fréquence plasma électronique.

ω2pe ≡

n 0e2 ε 0 me

5. 89

1 2

5. 90

La limite de Brillouin s'écrit alors: Q≤

On peut écrire la vitesse sous la forme d'une vitesse de rotation à partir de 5.85 avec

ωθ =

u θ eBz e 2 B2z e 2 n 0 = ± − r 2m 4m 2 2mε 0

5. 91

on voit qu’il y a deux solutions : une rotation rapide ω+ et une rotation lente ω- . La fréquence de rotation est indépendante de r - la colonne tourne comme un corps rigide à la fréquence de rotation: ωθ =

Équations 2 fluides

[

ωce 1 ± 1 − 2Q 2

]

5. 92

5.27

Figure 10 Limite de Brillouin On note qu’à faible densité Q << 1 on a pour les deux solutions: ω + ≈ ωce ω− ≈

Q ωce 2

5. 93

Problème 5. 3 Faire l’expansion en série de Taylor de 5.92 pour obtenir 5.93 La première solution (ω+) correspond à la rotation rapide des particules individuelles qui suivent des orbites hélicoïdales autour des lignes du champ magnétique. La deuxième solution (ω)correspond à la rotation de la colonne à la vitesse ExB r r r E×B vE = 2 B  1  n e = 2  − 0 r, 0, 0  × (0, 0, Bz ) Bz  2ε 0 

5. 94

  ne =  0, 0 r, 0   2ε 0 B z  Il en résulte donc une rotation Équations 2 fluides

5.28

ωθ =

(vr E )θ r

n 0e 2ε 0 Bz 2

1 n 0 e 2 m e 1 ω pe = = 2 ε 0 m e eBz 2 ωce =

5. 95

1 Qωce 2

On peut démontrer que cette situation correspond à une trajectoire trochoïdale de l’électron dans le champ électrique (Figure 11)

Figure 11 Trajectoire trochoïdale

La « pré-gaine » Nous avons vu, en analysant les équations pour la gaine, que la présence d’une gaine stable (c'està-dire un potentiel qui varie de façon monotone ) impose une limite inférieure sur la vitesse avec laquelle les particules les moins mobiles entrent dans la gaine :

v ≥ cs ≡

kTe mi

5. 96

On veut maintenant regarder de l’autre coté : Le mouvement du fluide ( plasma ) dans la prégaine où le plasma est quasineutre. On suppose un plasma semi-infini en contact avec une plaque de nouveau dans l’état stationnaire :

Équations 2 fluides

5.29

Figure 12 Plasma en contact avec une plaque À cause du fait qu’il y a une perte de particules à la plaque, il faut supposer une source de particules. On prend cette source comme uniforme dans l’espace. On suppose que la vitesse d’écoulement du plasma vers la plaque est nulle très loin de la plaque et que le plasma est quasineutre (ne = ni) partout. On suppose aussi que le champ électrique dans le plasma sert à repousser les électrons et accélérer les ions. Les équations fluides peuvent être écrites : r r r ∂n r + ∇ • (nu ) = ∇ • (nu ) = S ∂t

[ [

5. 97

]

r r r  ∂ r r r r t mn  + u • ∇  u + ∇ • P − nq E + u × B =  ∂t  r r r r r r r t r mn u • ∇ u + ∇ • P − nq E + u × B = − muS

]

[

5. 98

]

t Dans une dimension, avec P = P = nkT on obtient:

∂ (nu ) = S ∂x

mnu

Équations 2 fluides

∂u ∂P + − nqE = − muS ∂x ∂x

5. 99

5. 100 5.30

où on a pris la direction x parallèle à B. NOTE : on a une paire d’équations pour chaque espèce (ions et électrons) dans le plasma. On suppose ni = ne = n , et relie n et E ( ou V ) par une relation de Boltzmann :  eV(x )  n (x ) = n 0 exp −   kTe 

5. 101

où n0 est la densité à l’infini . On peut maintenant écrire pour le champ électrique:

E=−

∂V ∂  kTe  n  =− ln   ∂x ∂x  e  n 0  kT 1 ∂n =− e e n ∂x

5. 102

Problème 5. 4 Déduire l’équation 5.101. Pour ce faire, considérez l’équation de quantité de mouvement selon l’axe x et faites l’approximation que la masse des électrons est nulle. Utilisez le fait que le r champ électrique soit donné par le gradient du potentiel ( E = − ∇φ ) et une pression scalaire P = nkT avec T indépendant de x Cette relation signifie physiquement que les électrons étant très mobiles et seraient donc accélérés à de très hautes énergies s’ils étaient soumis à une force nette. Il doit donc y avoir une balance entre la force électrostatique et la force de gradient de pression et cette condition donne lieu à la relation de Boltzmann.

On peut considérer l’écoulement des ions comme étant isothermique ( Ti = constante ) ou adiabatique. Pour tenir compte de ces différentes possibilités on écrit : ∂P ∂n = γ i kTi ∂x ∂x

5. 103

où γi = 1 ( isothermique ) ou 5/3 ( adiabatique ) . Cette hypothèse remplace l’équation de l’énergie. Pour les ions, on obtient donc l'ensemble d'équations: u

Équations 2 fluides

∂n ∂u +n =S ∂x ∂x

5. 104 5.31

m i nu

kT 1 ∂n ∂u ∂n = − γ i kTi − nZe e − muS ∂x ∂x e n ∂x

5. 105

Ou la charge des ions est donnée par qi = Ze avec Z le degré d'ionisation. En introduisant la vitesse ionosonore (ion sound speed) γ i kTi + ZkTe mi

5. 106

c 2 ∂n uS ∂u =− s − ∂x n ∂x n

5. 107

c s2 ≡

l'équation 5.105 devient

Écrivons 5.106 en terme du nombre de Mach M =

u cs

cs2 ∂n cs MS ∂M =− cM − ∂x n ∂x n 2 s

5. 108

mais l'équation de continuité (5.103) s'écrit cs M

∂n ∂M = S − ncs ∂x ∂x

5. 109

On peut isoler la dérivé de la densité dans 5.108 et substituer dans 5.107 pour obtenir une équation différentielle pour M: cs M

∂M 1  ∂M  MS − =− S − ncs  ∂x nM  ∂x  n

5. 110

d'ou ∂M  cs  S 1  c M − = − + M s    ∂x  M n M 

Équations 2 fluides

5. 111

5.32

qui s'écrit finalement

∂M S 1 + M2 = ∂x ncs 1 − M 2

5. 112

avec la condition de frontière M(-∞) = 0

Figure 13 Le profil du nombre de Mach (tirets), de la densité(ligne continue) et du potentiel (ligne pointillée) dans la pré-gaine (la surface de la gaine commence à droite du graphe) On voit que la dérivé spatiale de M est positive et donc M augmente vers la plaque. On ne peut pas, cependant, permettre M = 1 , parce que dans ce cas la dérivée devient infinie. Ce point est évidemment la surface de la gaine, où l’hypothèse de neutralité (ne = ni) ne tient plus. Donc, du point de vue du plasma il faut avoir M < 1. Du point de vue de la gaine, il faut avoir M > 1. La solution à la surface de la gaine est donc : M = 1 Cette conclusion importante s'appelle le critère de Bohm Calculons maintenant la densité en fonction de M. L'équation de continuité peut s'écrire à partir de 5.109:

Équations 2 fluides

5.33

cs M

∂n ∂M ∂M = S − ncs ∂M ∂x ∂x

5. 113

et en substituant (5.111) ∂n  S 1 + M2  S 1 + M2 c M = S − nc s  s  ∂M  nc s 1 − M 2  nc s 1 − M 2

∂n  SM 1 + M 2  2M 2 = − S   ∂M  n 1 − M 2  1 − M2 qui devient 1 ∂n 2M =− n ∂M 1 + M2

5. 114

Posons Y = 1 + M2 de telle sorte que 2M dM = dY. Et 5.114 devient ∂n ∂Y =− n Y

⇒

n Y0 1 = = n0 Y 1 + M2

5. 115

Donc, à la surface de la gaine, où M = 1 , on a que nsg = n0/2 . L’accélération des ions a réduit leur densité par un facteur 2 ! On peut aussi calculer la variation du potentiel dans la « prégaine » : kTe  n(x)   ln e  n 0 

5. 116

kTe  1   ln e  1 + M 2 

5. 117

V(x ) =

ou V(M ) =

À la surface de la gaine, M = 1 et donc

kT  1  kT Vsg = ln  e = − 0.69 e e  2 e

Équations 2 fluides

5. 118 5.34

Pour calculer la forme précise de M(x) , n(x) et V(x) il faut proposer un modèle pour S(x) , mais les résultats pour la surface de la gaine sont généraux. Le comportement général est illustré à la Figure 13 en posant une dépendance exponentielle pour M.

Équations 2 fluides

5.35

Liste des équations r r r r r Γ = ∫ v f (v ) dv = n u

5. 1........................................................ 4 r r ∂n + ∇ • (n u ) = 0 5. 2 ................................................... 4 ∂t r r r r  ∂ r r r r t mn  + u • ∇  u + ∇ • P − nq E + u × B0 = − mnν αn u 5. 3 ............................... 4  ∂t  ∂ 5. 4 ................................................................. 4 ≡0 ∂t r t r r r m n u • ∇ u << ∇ • P 5. 5............................................ 4 r r r << nq E + u × B0 r r ∇ • (nu ) = 0 5. 6............................................................ 4 r t r r r r ∇ • P − nq E + u × B0 = − mnν αn u 5. 7 ........................................ 5 r t r r ∇ • P = kT∇n = − mnν αn u 5. 8............................................ 5 r r r kT∇n Γ=− = − D∇n 5. 9..................................................... 5 mν αn kT D= 5. 10 .............................................................. 5 mν αn r r − nqE = − mnν αn u 5. 11....................................................... 5 r r nqE r Γ= = nµ E 5. 12 ............................................................ 6 mν αn q µ= 5. 13 ................................................................... 6 mν αn r r j = (n i eµ i − n e eµ e )E r ≅ − n e eµ e E 5. 14..................................................... 6 r = σE

[

(

)

[

σ=

]

n ee2 m e ν en

5. 15............................................................. 6

D  kT  mν αn  kT  = = µ  mν αn  q  q r r r Γ = − D∇n + nµ E r r = − D∇n − nµ ∇φ r r r r r nq E + u ⊥ × B − kT∇n − mnν u ⊥ = 0 r u ⊥ = (u x , u y , 0) r r u ⊥ × B = (u y B, − u x B, 0)

(

]

)

Équations 2 fluides

5. 16 .......................................................... 7 5. 17................................................... 7 5. 18 ..................................... 8 5. 19........................................................ 8 5. 20 ................................................. 8

5.36

∂n 5. 21............................................ 8 − mnν u x = 0 ∂x ∂n nqE y − nqu x B − kT − mnν u y = 0 5. 22........................................... 8 ∂y 1  ∂n  nu y = nqE y − nqu x B − kT  5. 23........................................... 9  mν  ∂y  E y D ∂n ωc2 τ 2 kT ∂n 2 2 2 2 5. 24.......................... 9 1 + ωc τ u x = µ E x + ωc τ − − B n ∂x n qB ∂y E D ∂n ω c2 τ 2 kT ∂n 5. 25............................ 9 1 + ω c2 τ 2 u y = µ E y + ω c2 τ 2 x − − B n ∂y n qB ∂x µ µ⊥ = 5. 26........................................................... 10 1 + ωc2 τ 2 D 5. 27 .......................................................... 10 D⊥ = 1 + ωc2 τ 2 D ∂n ω c2 τ 2 E y ω c2 τ 2  1  kT ∂n   5. 28........... 10 + − ux = µ⊥ Ex − ⊥ n ∂x 1 + ω c2 τ 2 B 1 + ω c2 τ 2  nq  B ∂y nqE x + nqu y B − kT

[

]

[

]

[

uy = µ⊥ Ey −

]

[

ωc2 τ 2 E x ωc2 τ 2 D ⊥ ∂n + + n ∂y 1 + ωc2 τ 2 B 1 + ωc2 τ 2

[

r r r E×B vE = 2 B r r  1  ∇P × B r v D = −   2  nq  B r r r Γ i = − D i ∇n i + n i µ i E r r r Γ e = − D e ∇n e + n e µ e E r r ∇n (D e − D i ) E= n (µ e − µ i ) r r r ∇n (D e − D i ) Γ = − D e∇n + nµ e n (µ e − µ i ) r µ e Di − µ i De = − ∇n µe − µi v ≡ − D a ∇n

Équations 2 fluides

]

[

]

 1  kT ∂n    nq  B ∂x

5. 29.......... 10

5. 30............................................................ 10 5. 31............................................ 10 5. 32 ................................................... 12 5. 33 ................................................... 12 5. 34.................................................... 12

5. 35.......................................... 12

5.37

 T  D i 1 + e  Ti  Da =  T D 1+ e i Ti D e

5. 36 ................................................. 13

 T  ≅ D i 1 + e   Ti  T Da ≅ Di e Ti r r ∇n (De − Di ) E= n (µ e − µ i ) r ∇n (De − Di ) = n q e De − q i Di kTe kTi r ∇n (De − Di ) =− n eDe + eDi kTe kTi r r ∇n (D e − D i ) kT E=− n (D e + D i ) e r ∇n kT ≅− n e  e e  D e⊥ Di⊥  + kTe kTi   Da ⊥ = e e Di⊥ D e⊥ + kTi kTe  T ≅ D e ⊥ 1 + i   Te  r r ∇n kTi E≅ n e r r Γ = − D a ∇n r ∂n r r ∂n r + ∇•Γ = 0 = − ∇ • D a ∇n ∂t ∂t ∂n = Da ∇ 2 n ∂t dT 1 d  dR  R = Da T r  dt r dr  dr  1 dT D a 1 d  dR  1 = r =− T dt R r dr  dr  τ

(

Équations 2 fluides

5. 37 ................................................................ 13

5. 38.................................................... 13

5. 39...................................................... 13

5. 40 ........................................... 14

5. 41 ............................................................. 14 5. 42 .............................................................. 15

)

5. 43 ................................................. 15 5. 44 ............................................................. 15 5. 45................................................ 15 5. 46 .................................................. 15

5.38

1 1 dT =− τ T dt

5. 47............................................................... 16

 t T(t) = T0 exp −   τ D a 1 d  dR  1 r + =0 R r dr  dr  τ

5. 48 ............................................................ 16 5. 49......................................................... 16

d 2 R 1 dR R + + =0 2 dr r dr D a τ

5. 50...................................................... 16

 r   R (r ) = J 0   τD  a   2 a τ= 5.8 D a a2 τ≅ 5.8 D a

5. 51..................................................... 16 5. 52.................................................................. 18

a2 , 30.3 D a

R (r ) = ∑ a i J 0 (k i r )

a2 , 74.0 D a

a2 , 139.2 D a

, ...

5. 53 ............................... 18 5. 54........................................................ 18

− Da ∇ 2 n = S

5. 55........................................................... 19

1 ∂  ∂n  S r  = − r ∂r  ∂r  Da

5. 56.......................................................... 19

∂n S r2 =− ∂r 0 Da 2 ∂n S =− r ∂r 2D a

5. 57............................................................ 19

S r2 n0 =− 2D a 2

5. 58................................................................. 19

5. 59................................................................ 20 0 2

n (r ) = n (0) −

Sr 4Da

5. 60 ................................................................ 20

n (a ) = n (0) −

Sa 2 4D a

5. 61................................................................ 20

− Da ∇ 2 n = 0 = r

∂n =K ∂r

1 ∂  ∂n  r  r ∂r  ∂r 

⇒

r r n a = Kln  a

r n (r ) = n (a ) + Kln  a

Équations 2 fluides

5. 62 ............................................. 20 5. 63....................................... 20 5. 64............................................................ 20

5.39

K=−

n (a ) b ln  a

5. 65.................................................................. 20

Sr 2 n (r ) = n (0) − 4D a

0<r<a

  r  ln     Sa   a  = n (0) −  1 − 4D a   b  ln     a   D ∂  ∂n  m − D∇ 2 n = −  r  = Kr r ∂r  ∂r  1 ∂  ∂n  K m r  = − r r ∂r  ∂r  D K m +1 ∂  ∂n  r  = − r D ∂r  ∂r  K r m+2  ∂n  r  = − D m+2  ∂r  ∂n K r m +1 =− ∂r D m+2 K r m+2 n (r ) = n 0 − D (m + 2 )2

5. 66..................................... 21

n (r ) = n 0 −

a<r<b

5. 67........................................... 21 5. 68 ....................................................... 21 5. 69....................................................... 21 5. 70..................................................... 22 5. 71............................................................ 22 5. 72 ................................................... 22

K r4 D 16

5. 73........................................................ 22

  r 4  n (r ) = n 0 1 −      a   1∂ (rE r ) = ∑ q α n α (r ) r ∂r ε0 α

5. 74 .................................................. 22 5. 75..................................................... 24

q rE r = ∑ α ∫ rn α (r ) dr α ε0 0

5. 76..................................................... 24

Er =

qα 1 rn α (r ) dr ∑ r α ε 0 ∫0

5. 77......................................................... 25

e Er = − rn e (r ) dr ε 0 r ∫0 r r r r r r r t mn u • ∇ u + ∇ • P − nq E + u × B = 0  r r r  u2 u • ∇ u =  − θ , 0, 0   r 

(

)

Équations 2 fluides

[

]

5. 78 ........................................................ 25 5. 79 ........................................ 25 5. 80.................................................. 25

5.40

mnu θ2 − nq[E r + u θ Bz ] = 0 r qBz qE u θ2 + ru θ + r r = 0 m m qB r q 2 B2z r 2 qE r r − uθ = − z ± 2m 4m 2 m

−

5. 81 ............................................... 25 5. 82.................................................. 26 5. 83 ........................................... 26

ne e Er = − rn 0 dr = − 0 r ∫ ε 0r 0 2ε 0

eBz r e 2 B2z r 2 e 2 n 0 r 2 uθ = + ± − 2m 4m 2 2mε 0 e 2 B2z r 2 e 2 n 0 r 2 ≥ 4m 2 2mε 0

Q≡

ω 2pe ω

ω2pe ≡ Q≤

2 ce

5. 87................................................................... 26 n 0me ε 0 B2z

5. 88........................................................... 27

n 0e2 ε 0 me

5. 89............................................................... 27

1 2

5. 90................................................................... 27

u θ eBz e 2 B2z e 2 n 0 ωθ = = ± − r 2m 4m 2 2mε 0

[

ωce 1 ± 1 − 2Q 2 ω + ≈ ωce ωθ =

5. 85 ..................................... 26 5. 86.............................................. 26

ε 0 B2z 2m e

n0 ≤

5. 84............................................ 26

]

Q ωce 2 r r r E×B vE = 2 B  1  n e = 2  − 0 r, 0, 0  × (0, 0, Bz ) Bz  2ε 0 

ω− ≈

5. 91........................................... 27 5. 92 ..................................................... 27 5. 93........................................................... 28

5. 94............................................... 28

  ne =  0, 0 r, 0   2ε 0 B z 

Équations 2 fluides

5.41

ωθ =

(vr E )θ r

n 0e 2ε 0 Bz 2

1 n 0 e 2 m e 1 ω pe = = 2 ε 0 m e eBz 2 ωce

5. 95................................................. 29

1 Qωce 2 kTe 5. 96 ............................................................ 29 v ≥ cs ≡ mi r r r ∂n r + ∇ • (nu ) = ∇ • (nu ) = S 5. 97.............................................. 30 ∂t r r r  ∂ r r r r t mn  + u • ∇  u + ∇ • P − nq E + u × B = 5. 98........ 30  ∂t  r r r r r r r t r mn u • ∇ u + ∇ • P − nq E + u × B = − muS ∂ (nu ) = S 5. 99 .................................................................. 30 ∂x ∂u ∂P 5. 100......................................... 30 + mnu − nqE = − muS ∂x ∂x  eV(x )  5. 101 ................................................. 31 n (x ) = n 0 exp −   kTe  =

[ [

]

∂V ∂  kTe  n  =− ln   ∂x ∂x  e  n 0  kT 1 ∂n =− e e n ∂x ∂P ∂n = γ i kTi ∂x ∂x ∂n ∂u +n u =S ∂x ∂x kT 1 ∂n ∂u ∂n m i nu = − γ i kTi − nZe e − muS ∂x ∂x e n ∂x γ kT + ZkTe c s2 ≡ i i mi

[

]

E=−

c 2 ∂n uS ∂u =− s − ∂x n ∂x n cs2 ∂n cs MS ∂M 2 =− cs M − ∂x n ∂x n ∂n ∂M cs M = S − ncs ∂x ∂x u

Équations 2 fluides

5. 102............................................ 31

5. 103.......................................................... 31 5. 104 ....................................................... 31 5. 105........................ 32 5. 106 ....................................................... 32 5. 107......................................................... 32 5. 108......................................... 32 5. 109 ............................................. 32

5.42

∂M 1  ∂M  MS − =− S − ncs  ∂x nM  ∂x  n ∂M  c  S 1  cs M − s  = −  + M   ∂x  M n M  2 ∂M S 1+ M = ∂x ncs 1 − M 2 ∂n ∂M ∂M cs M = S − ncs ∂M ∂x ∂x 1 ∂n 2M =− n ∂M 1 + M2 n Y0 1 ∂n ∂Y = = =− ⇒ n Y n0 Y 1 + M2 cs M

kTe  n(x)   ln e  n 0  kT  1   V(M ) = e ln e  1 + M 2  V(x ) =

kT  1  kT Vsg = ln  e = − 0.69 e e  2 e

Équations 2 fluides

5. 110..................................... 32 5. 111.......................................... 32 5. 112 ....................................................... 33 5. 113............................................... 34 5. 114........................................................ 34 5. 115 ................................ 34 5. 116 .................................................... 34 5. 117............................................... 34 5. 118............................................ 34

5.43

Table des matières Considérations générales..................................................................................................................4 Plasma comme conducteur...............................................................................................................6 Plasma comme diélectrique..............................................................................................................9 La relation de dispersion .............................................................................................................11 La constante diélectrique ............................................................................................................14 Ondes longitudinales (B0 = 0).....................................................................................................17 Ondes transversales (B0 = 0).......................................................................................................17 Le tenseur diélectrique d’un Magnétoplasma froid........................................................................20 Coupures et résonances...............................................................................................................24 Polarisation des ondes ....................................................................................................................26 Propagation parallèle au champ magnétique..................................................................................32 ( A ) Haute fréquence ( ω >> ωci ) et l'effet Faraday) ................................................................36 ( B ) Basse fréquence (ω << ωci << ωce) l'onde d'Alfven...........................................................39 Ondulation de B dans l’onde Alfven .......................................................................................40 ( C ) Cas intermédiaire (0 < ω < ωce) onde Siffleur (Whistler wave).........................................43 Propagation perpendiculaire au champ magnétique.......................................................................46 Le mode ordinaire (O).................................................................................................................46 Le mode Extraordinaire (X)........................................................................................................48 Limite ω Æ 0, Onde Magnétosonore..........................................................................................48 Propagation oblique - Le diagramme CMA ...................................................................................56 Liste des équations .........................................................................................................................62

Ondes dans les plasmas

6.1

Liste des figures Figure 1 Schéma illustrant la géométrie des champs de l’onde .....................................................11 Figure 2 Géométrie de la propagation de l’onde. L’angle q est celui entre la direction de propagation et le champ magnétostatique................................................................................12 Figure 3 Différentes façons de représenter la relation de dispersion .............................................18 Figure 4 Réflexion d’une onde RF sur l’ionosphère. La densité diminue avec la hauteur h. .......19 Figure 5 Diagramme de Brillouin de l’onde sonde ........................................................................19 Figure 6 Vecteur fréquence gyromagnétique ionique et électronique............................................20 Figure 7 Polarisation au voisinage de la résonance. L’onde est longitudinale..............................30 Figure 8 Comportement à la coupure et à la résonance .................................................................31 Figure 9 Champ électrique de l’onde polarisée circulairement (DROITE) ...................................33 Figure 10 Onde polarisée circulairement (GAUCHE) ...................................................................33 Figure 11 Dispersion des modes GAUCHE et DROIT..................................................................34 Figure 12 Solutions de l’équation de dispersion pour les modes G et D .......................................35 Figure 13 Diagramme de Brillouin pour les modes G et D (Basse densité) ..................................35 Figure 14 Diagramme de Brillouin pour les modes G et D (Haute densité) ..................................36 Figure 15 Rotation de Faraday .......................................................................................................39 Figure 16 Ondulation du champ magnétique en présence de l’onde Alfven .................................41 Figure 17 Dispersion de l’onde Siffleur .........................................................................................43 Figure 18 Fréquence intermédiaire, mode D..................................................................................44 Figure 19 Fréquence intermédiaire, mode G..................................................................................45 Figure 20 Propriétés des ondes siffleuses.......................................................................................46 Figure 21 Déplacement des ions et des électrons dans le champ de l’onde Alfven.......................50 Figure 22 Compression et raréfaction des lignes de champs magnétique dans l’onde de compression d’Alfven..............................................................................................................51 Figure 23 Dispersion de l’onde de compression d’Alfven.............................................................52 Figure 24 Mode hybride. L'onde hybride supérieure est donnée par la lignes continues et l'hybride inférieure par les lignes pointillées ..........................................................................................53 Figure 25 Coupures pour les modes G et D ..................................................................................54 Figure 26 Mode extraordinaire (X) à basse densité .......................................................................55 Figure 27 Mode extraordinaire (X) à haute densité .......................................................................55 Figure 28 Modes de propagation pour le cas mi Æ ∞ ( ωci Æ 0 ) avec ωce / ω = 0.5 ....................57 Figure 29 Surfaces d'indice et de vitesse de phase dans la région I de la Figure 28 ......................57 Figure 30 Propriétés de la propagation dans la région II de la Figure 28 ......................................58 Figure 31 Surfaces d'indice et de vitesse de phase dans la région II de la Figure 28.....................58 Figure 32 Surfaces d'indice et de vitesse de phase pour la région III de la Figure 28 ...................59 Figure 33 Surfaces d'indice et de vitesse de phase pour la région IV de la Figure 28 ...................59 Figure 34 Diagramme CMA...........................................................................................................61

Ondes dans les plasmas

6.2

Problèmes Problème 6. 1..................................................................................................................................39 Problème 6. 2..................................................................................................................................47

Ondes dans les plasmas

6.3

Application des équations de 2 fluides – ondes dans les plasmas On suppose qu’il y a des petites perturbations dans le plasma, et que ces perturbations peuvent être décrites comme des ondes planes. Le plasma est homogène, stationnaire et illimité. Chaque composante ou mode est décrit par son amplitude, sa fréquence f = ω/2π et sa longueur d’onde λ = 2π/k . En général, on peut dire que le milieu possède un indice de réfraction n(k,ω) ; ce phénomène s’appelle “dispersion”. Considérations générales On suppose que les solutions pour les quantités perturbées peuvent être écrites comme des ondes planes :

( )

r r r r G ( r , t ) = G k, ω e i (k • r − ω t )

6. 1

r où k est le vecteur de propagation et ω la fréquence. r r Ces solutions représentent des ondes planes: les surfaces équiphases sont définies par Φ = k • r − ω t = constante. Avec le temps, une surface de Φ constante se déplace ( parallèle elle-même ) ; on peut décrire ce déplacement en écrivant:

(

)

r r dΦ d r r = k• r − ωt = k•v − ω = 0 dt dt

6. 2

c'est-à-dire kv φ − ω = 0

⇒

vφ =

ω k

6. 3

r où vφ est la vitesse de phase de l’onde ( et est toujours dans la direction de k ) . On peut caractériser le milieu par son “indice de réfraction”: n=

c kc = vφ ω

6. 4

où c est la vitesse de la lumière dans le vide. En général, ces solutions en forme d’ondes planes ne sont des solutions du système d’équations r de Maxwell que lorsque certaines conditions entre ω et k sont satisfaites. Ces conditions

Ondes dans les plasmas

6.4

s’appellentr la relation de dispersion, et on la représente comme suit: ω = ω(k) ou k = k(ω) ou encore D k , ω = 0 comme nous le verrons plus loin. Par exemple: on traite la propagation d’ondes dans le vide. Il faut satisfaire les équations de Maxwell :

( )

r r r ∂B ∇×E = − ∂t r r r ∂D ∇×H = − ∂t r r ∇•D = 0 r r ∇•B = 0

(i ) (ii )

6. 5

(iii ) (iv )

r r r r La réponse du milieu est incluse en mettant D = ε 0 E et B = µ 0 H . On a aussi ε 0 µ 0 c 2 = 1 . En prenant le rotationnel de la première équation 6.5(i) on obtient :

r r r r r ∂B ∇× ∇×E = −∇× ∂t ∂ r r = − µ0 ∇×H ∂t r ∂ 2D = − µ0 2 ∂t r ∂ 2E = − µ 0ε 0 2 ∂t

(

)

(

) 6. 6

)

r r r r r r r En utilisant l'identité vectorielle ∇ 2 A = ∇ ∇ • A − ∇ × ∇ × A et l'équation 6.5(iii) l'équation 6.6 devient l équation d onde dans le vide: r r 1 ∂ 2E ∇ E− 2 2 =0 c ∂t 2

6. 7

On peut voir que les solutions de cette équation sont des ondes planes :

( ( (e (

) ) ))= − ω e (

r rr r rr ∇ e i (k • r − ω t ) = ikei (k • r − ω t ) r r r r ∇ 2 e i (k • r − ω t ) = − k 2 e i (k • r − ω t )

∂ ∂t 2 2

Ondes dans les plasmas

r r i k•r − ω t

r r 2 i k•r − ω t

6. 8

)

6.5

de telle sorte que l'équation 6.7 devient:

(

)

r − ω2 r − k2 E − E=0 c2

6. 9

On note que cette onde est une onde transversale, à cause du fait que r r r r r r ∇ • D = ε 0∇ • E = iε 0 k • E = 0 . La vitesse de phase de cette onde plane est constante: vφ = ω/k = c et n = 1 La propagation de l’onde dans un milieu quelconque cause le mouvement de charges et elle est affectée par celui-ci. Dans le cas d’un diélectrique, ce mouvement se traduit par la séparation entre les noyaux(ions) et le nuage d’électrons – le milieu est “polarisé”. Dans le cas d’un plasma ce mouvement se traduit par une séparation entre les électrons et les ions. Ceci donne lieu à un courant dans le plasma dû à cette vitesse relative. D’un autre côté, cette séparation peut être vue comme une sorte de polarisation du plasma comme pour un diélectrique. Le plasma peut être analysé comme un diélectrique ou un conducteur. On verra que les caractérisations du plasma par une constante diélectrique ou par une conductivité électrique sont équivalentes. Plasma comme conducteur

On se sert des équations de Maxwell “microscopiques” c est-a-dire que le plasma est tenu en r compte en incluant la densité°de charge ρ et la densité de courant J r r ρ ∇•E = ε0 r r ∇•B = 0 r r r ∂B ∇×E = − ∂t r r r ∂E r ∇ × H = ε0 +J ∂t

(i ) (ii ) (iii )

6. 10

(iv )

L’analyse de ces équations se fait plus facilement si on prend la transformée de Fourier ; on utilise 6.8 de telle sorte que les équations 6.10 s'écrivent: r ~r ~ ρ ik • E = ε0 r ~r ik • B = 0 r r ~r ~ ik × E = iω B r r r ~r ~ ~ ik × H = − iω ε 0 E + J

Ondes dans les plasmas

(i ) (ii ) (iii ) (iv )

6. 11

6.6

r ou les quantité oscillantes sont des fonction du nombre d’onde k et de la fréquence ω. On a aussi une équation semblable à celle pour la conservation des particules, qui peut être obtenue directement des équations de Maxwell:

∂ρ r r + ∇•J = 0 ∂t

6. 12

r ~r − iω ~ ρ + ik • J = 0

6. 13

une équation de “continuité” qui devient

r r ~ ~ NOTE: pour souligner que les champs sont reliés à l’onde, nous avons écrit E , B etc.. A partir des équations on obtient: r ~r r ~r ~ ρ k• J ik • E = = ε 0 ε 0ω

6. 14

qui devient r t ~r  ~  r r r  ~r iJ ~ iσ • E  = ik •  E + =0 ik •  E + ε 0ω  ε 0ω      

6. 15

r r t ~ t ~ où σ est le tenseur de conductivité du plasma et nous avons écrit J = σ • E . On a donc finalement r  t iσt  ~r k • I + •E = 0 ε 0ω  

6. 16

Rappel

1 0 0  t  Nous avons utilise le tenseur identité I = 0 1 0 0 0 1

Ondes dans les plasmas

6.7

Pour l’équation d’onde on utilise : r r r ~r ~ ~ ik × E = iω B = iω µ 0 H

6. 17

r r r ~r ~ t ~ k × H = − ω ε 0 E − iσ • E t t iσ  ~r •E = − ω ε 0  I + ω ε 0  

6. 18

En prenant le produit vectoriel de 6.17 avec le vecteur d'onde et en combinant avec 6.18 on obtient: r r ~r r ~r k ×  k × E  = ω µ 0 k × H  

t  t iσ  ~r •E = − ε 0 µ 0 ω  I + ωε 0  

6. 19

t On voit que les courants induits ( tel qu’exprimés par la conductivité σ ) modifient la propagation. La vitesse de propagation dans un milieu isotrope devient : r  iσ  ~r ~ •E − k 2 E = − ε 0 µ 0 ω 2 1 + ωε 0  

6. 20

ω2  iσ  1 +  2  k  ωε 0 

6. 21

d'ou

1 = ε0 µ0

qui donne comme vitesse de phase: vφ =

Ondes dans les plasmas

ω = k

c iσ 1+ ωε 0

6. 22

6.8

La présence du facteur imaginaire réduit l'utilité de l'expression. l’approche “diélectrique”.

Nous utiliserons donc

Plasma comme diélectrique.

Dans cette description nous utiliserons les équations de Maxwell “macroscopique” c est-à-dire en absence de charges et de courants mais avec la contribution de la polarisation du milieu pour éventuellement obtenir une permittivité spécifique au milieu qui sera écrite en fonction de ε0, la permittivité du vide, µ0 la perméabilité du vide et les paramètres du plasma:

r r ∇•D = 0 r r ∇•B = 0 r r r ∂B ∇×E = − ∂t r r r ∂D ∇×H = − ∂t

(i ) (ii ) (iii )

6. 23

(iv )

avec r r r D = ε0E + P

6. 24

r ou P est la polarisation. La relation la plus générale entre la polarisation et le champ électrique peut être écrite (Landau et Lifshitz) :

r r r t r P( r , t ) = ∫∫ φ(r − r′, t − t ′) • E(r′, t ′)d r ′dt ′

6. 25

ceci tient compte de la dispersion spatiale et temporelle du milieu. Ici on considère la dispersion temporelle, et en prenant la transformation de Fourier on obtient:

r r t P(k, ω) = φ(k, ω) • E(k, ω) mais de 6.24 on a:

Ondes dans les plasmas

r r r t ~r ~ ~ ~ D = ε 0 E + P = [ε 0 + φ]• E t ~r ≡ ε0Κ • E

6. 26

6. 27

6.9

t où Κ est le tenseur diélectrique ( réduit ) du plasma. On obtient des équations de Maxwell: r ~r r t ~r ik • D = iε 0 k • Κ • E  = 0  

6. 28

En comparaison avec le modèle du plasma comme conducteur on obtient en comparant avec l’équation 6.15: r t ~ r  ~r  t iσ  ~r iJ  ~  = ε0  I + D = ε 0 E + •E ε 0ω  ε 0ω     t ~r = ε0Κ • E

6. 29

on a donc

t t iσt Κ=I+ ε 0ω

6. 30

L'équation 6.30 détermine l’équivalence des deux modèles. Dans l’équation de l’onde on obtient: r r r ~r ~ ~ k × E = ω B = µ0 ω H r ~r t ~r k × H = − ω ε0 Κ • E

6. 31

qui donne : r r ~r r ~r t ~r k ×  k × E  = µ 0 ω k × H = − ε 0 µ 0 ω 2 Κ • E  

⇒

r r ~r t ~r 2   k ×  k × E + k0 Κ • E = 0  

6. 32

6. 33

avec k0 = ω/c la constante de propagation dans le vide. Directement des équations de Maxwell on obtient des relations intéressantes:

Ondes dans les plasmas

6.10

r r ~r r ~ k • D = 0 implique que k et D sont perpendiculaires. De la même façon: r r r r r r r ~r ~ r ~ ~ ~ ~ ~ ⇒ B•E = 0 k • B = 0 , D • B = 0 et B ×  k × E  = 0   La signification de ces relations peut être plus facilement montrée graphiquement (Figure 1).

Figure 1 Schéma illustrant la géométrie des champs de l’onde ~ ~ E L est la composante longitudinale du champ électrique de l'onde, E T est la ~ transversale, B est le champ magnétique associé à l’onde. Il faut noter que r nécessairement perpendiculaire à k on peut avoir des ondes longitudinales.

composante r ~ E n’est pas

La relation de dispersion L’équation d’onde peut-donc être écrite:

r r ~r t ~r k ×  k × E  + k 02 Κ • E = 0  

6. 34

Étant donné que le tenseur diélectrique est une fonction du nombre d'onde et de la fréquence w (le milieu est dispersif), la solution de cette équation est en général une relation entre w et qui r r cr k constitue la relation de dispersion. Si on définit le vecteur d’indice n ≡ k = on peut réécrire ω k0 l’équation d’onde sous la forme:

Ondes dans les plasmas

6.11

r  r ~r  t ~r n ×n × E + Κ • E = 0  

6. 35

qui est de la forme :

( )

r r t D ω, k • E = 0

6. 36

( )

r t r ou D ω , k est le tenseur de dispersion. Pour que 6.36 ait des solutions non triviales ( E ≠ 0 ) il faut avoir :

( )

r r t D ω, k = D ω, k = 0

6. 37

c’est-à-dire que le déterminant de la matrice D doit être nul, c’est ce qui détermine ce qui est appelé l équation de dispersion. Par conséquent, le système de trois équations 6.35 (ou 6.36), une pour chaque composante du champ électrique, peut être solutionné en mettant le déterminant de r la matrice des coefficients égale à zéro. On suppose que le champ magnétique B0 du plasma (pas le champ magnétique de l'onde ) est dans la direction z, avec le vecteur d'onde (ou le vecteur indice) dans le plan (x,z)

Figure 2 Géométrie de la propagation de l’onde. L’angle q est celui entre la direction de propagation et le champ magnétostatique L’équation 6.34 devient :  k 02 Κ xx − k 2 cos 2θ k 02 Κ xy  k 02 Κ yx k 02 Κ yy − k 2  k 02 Κ zx + k 2sinθ cosθ k 02 Κ zy 

Ondes dans les plasmas

k 02 Κ xz + k 2sinθ cosθ   E x     k 02 Κ yz  •  Ey  = 0 2 2 2 k 0 Κ zz − k sin θ   E z 

6. 38

6.12

qui peut s'écrire aussi, en appliquant la définition du tenseur de dispersion et en écrivant en terme de l'indice n:

 Κ xx − n 2 cos 2θ Κ xy t  D= Κ yx Κ yy − n 2 Κ zx + n 2sinθ cosθ Κ zy 

Κ xz + n 2sinθ cosθ   Κ yz  Κ zz − n 2sin 2θ 

6. 39

Pour un plasma sans champ magnétique par exemple, le plasma est isotrope et le tenseur diélectrique est diagonal et peut s'écrire: Κ 0 0  t   Κ =0 Κ 0  0 0 Κ  

6. 40

Prenons donc θ = 0 dans 6.38 et posons le déterminant égal à 0: k 02 Κ − k 2

0 0

k Κ−k 0 2 0

0 2

0 =0 k Κ

6. 41

2 0

qui donne comme équation de dispersion : k 02 Κ (k 02 Κ − k 2 ) = 0 2

6. 42

qui, en terme de l’indice de réfraction peut s'écrire: Κ (Κ − n 2 ) = 0 2

6. 43

NOTE: de façon générale on a Kxy = - Kyx ; Kyz = -Kzy ; Kzx = - Kxz La solution de ces équations donne une relation entre ω, n et θ. Pour une fréquence donnée et une direction de propagation θ cette relation (6.43) peut-être écrite : n = n(ω,θ).

Ondes dans les plasmas

6.13

Chaque solution nous permet de calculer les valeurs des composantes du champ électrique (Ex, Ey, Ez) de l'onde à un facteur multiplicatif près. Donc, de ces solutions on peut calculer la polarisation de l’onde ( le rapport Ex / Ey, par exemple ). Il est clair que si (ω, n, θ) est une solution, (ω, n, -θ) est aussi une solution des équations. Dans le cas d’un plasma sans champ magnétique. Dans ce cas, le tenseur diélectrique devient un scalaire K, et la relation de dispersion est celle que nous avons calculée plus haut:

(

k 02 Κ k 02 Κ − k 2

)

6. 44

Ceci donne deux solutions : (1)

Κ=

k 2 k 2c 2 = 2 k 02 ω

6. 45

r ~r Il y a deux modes (à cause de la forme quadratique), avec k • E = 0 . Cette relation de dispersion est valide pour les ondes dites transversales (le produit scalaire entre le champ électrique et la direction de propagation est nul donc ils sont perpendiculaires). (2)

Κ=0

r ~r Il y a un mode, avec k × E = 0 . longitudinales.

6. 46 Cette relation de dispersion est valide pour les ondes

La constante diélectrique Pour aller plus loin, il faut calculer la constante diélectrique pour un plasma donné. Ici, nous allons utiliser le modèle fluide du plasma comme. Considérons, pour l'espèce α, électrons ou ions, l'équation de conservation des particules sans sources: r ∂n α r + ∇ • [n α u α ] = 0 ∂t

6. 47

et l'équation de la conservation de la quantité de mouvement:

(

)

r r r r r  ∂ r r r m α n α  + u α • ∇  u α + ∇P = n α q α E + u α × B − m α n α ν α u α  ∂t 

6. 48

Comme première approximation, on met la pression P = 0 ( c'est-à-dire la limite du plasma froid ), et on met aussi να = 0 ( pas de collisions ). Les champs électriques et magnétiques sont Ondes dans les plasmas

6.14

perturbés par des courants dans le plasma. Ces courants sont reliés aux variations dans la densité et la vitesse moyenne du plasma. On suppose qu’on peut linéariser les équations, en écrivant: r r n α ( r , t ) = n α0 + ~ n α (r , t ) r r r r u α (r , t ) = 0 + ~ u α (r , t ) r r r ~r E(r , t ) = 0 + E(r , t ) r r r r ~r B( r , t ) = B0 + B( r , t )

6. 49

On obtient alors pour les équations 6.47 et 6.48:

r r r r ∂ [n α0 + ~n α ] + ∇ • (n α0 + ~n ) ~u α ≅ ∂ ~n α + ∇ • n α0 ~u α = 0 ∂t ∂t

[

( )]

[

]

6. 50

r ~ r r   ∂ r r  ~r m α (n α0 + ~ n α ) + ~ u α • ∇  u α = n α0 q α  E + ~ u α × B0     ∂t 

6. 51

c'est- à-dire: r ∂ ~r ~ ~r r   m α n α0 u α = n α0 q α  E + u α × B0    ∂t

6. 52

en retenant seulement les termes du premier ordre, c'est-à- dire que nous négligeons les termes qui résultent du produit de quantités perturbées. Pour le cas spécial du plasma sans champ magnétique, on obtient:

r ∂ ~r ~ m α n α0 u α = n α0 q α E ∂t

6. 53

En supposant des solutions en forme d’ondes planes, c’est-à-dire: r ~ n α = n α e i (k • r − ω t ) r r r r ~ u α = u α e i (k • r − ω t ) r ~ r rr E = E e i (k • r − ω t ) r

6. 54

Les équations fluides deviennent donc:

Ondes dans les plasmas

6.15

r r − iω n α + n α0ik • u α = 0

r r − m α n α0iω u α = n α0 q α E

6. 55

6. 56

de 6.56 on obtient pour la vitesse: r r qαE uα = − m α iω

6. 57

Si on considérait le plasma comme un conducteur, comme le courant est le produit de la densité, de la charge et de la vitesse on obtient. r r n α0 q α2 E Jα = − m α iω

6. 58

r r r r r n e0 e 2 E n i0 e 2 E − J = Je + Ji = − im e ω im i ω

6. 59

Le courant total est donc donné par:

En supposant la neutralité au premier ordre, c'est-à-dire ni0 = ne0 = n0 et en utilisant l'expression n e2 le courant devient: pour la fréquence plasma ω2pα ≡ 0 ε 0mα

[

]

r iε 0 2 r J= ωpe + ω2pi E ω

6. 60

Comme on peut écrire le courant comme étant le produit de la conductivité avec le champ électrique, on obtient pour la conductivité: σ=

[

]

iε 0 2 iε ω pe + ω 2pi ≡ 0 ω 2p ω ω

6. 61

ou nous avons définit ω2p = ω2pe + ω2pi

Ondes dans les plasmas

6. 62 6.16

En comparant avec l'équation 6.30 on obtient finalement pour la constante diélectrique d'un plasma sans champ magnétique:

Κ =1−

ω 2p ω2

6. 63

Ondes longitudinales (B0 = 0) La relation de dispersion pour les ondes longitudinales est écrite K = 0 (6.46). Donc ceci donne : Κ =1−

ω 2p ω2

6. 64

c'est-à-dire:  m  ω 2 = ω 2p = ω 2pe 1 + e   mi 

6. 65

Ceci signifie physiquement que le plasma fluctue à une fréquence donnée, indépendamment de la longueur d’onde. Ceci est vrai jusqu’à un certain point, parce qu’il faut que la longueur d’onde soit plus grande que la longueur de Debye. Numériquement : f pe = 8.98 n e ou la fréquence est en Hz pour une densité en m-3. Donc, pour un plasma avec ne = 1020 m-3 on obtient fpe = 8.98x1010 Hz ou 89.8 GHz, c'est-à-dire une fréquence plasma dans la gamme des ondes millimétriques ( micro-onde ). Ondes transversales (B0 = 0) La relation de dispersion pour les ondes transversales est écrite (6.45): Κ =

k 2c2 qui, combiné à ω2

l'expression pour la constante diélectrique donnée par 6.63, donne: 1−

ω 2p ω2

k 2c 2 ω2

6. 66

d'ou Ondes dans les plasmas

6.17

ω 2 = ω 2p + k 2 c 2

6. 67

On note qu’il n’y a pas de propagation pour ω < ωp. Pour ω > ωp, cette onde transversale propage dans un milieu dispersif avec un indice: ω 2p kc n= = 1− 2 ω ω

6. 68

ε 0me 2 ω . e2 À ce point, on note qu’il y a plusieurs façons de représenter ces relations de dispersions graphiquement (Figure 3).

Il est a noter que ω = ωp définit une densité critique: n c =

Figure 3 Différentes façons de représenter la relation de dispersion Pour ω < ωp , on trouve que ω2 <0 ou k2 <0, dépendant de la situation du problème. Ceci implique que l’onde est amortie. Considérons, par exemple, le cas d’une onde de fréquence ω incidente sur un plasma de haute densité (ω < ωp ) Dans ce cas on considère k imaginaire:

Ondes dans les plasmas

6.18

k =i

ω 2p − ω 2

6. 69

Par conséquent, le champ électrique de l'onde devient:  ω2 − ω2  p r   c2 

r v r i (kr • rr − ω t ) r −  E( r , t ) = Ee = Ee

e − iω t

6. 70

Cette diminution de l’amplitude avec la distance se traduit en une réflexion de l’onde à la couche critique, où ω = ωp. Ce phénomène est utilisé pour sonder l’ionosphère par radar (Figure 4).

Figure 4 Réflexion d’une onde RF sur l’ionosphère. La densité diminue avec la hauteur h. n ( h ) déterminé par le temps de vol ( ≅ 2h / c ) Le diagramme de Brillouin peut être utilisé pour obtenir la vitesse de phase vφ et la vitesse de groupe vg (Figure 5)

Figure 5 Diagramme de Brillouin de l’onde sonde

Ondes dans les plasmas

6.19

La longueur d’onde λ =

2π 2π c = et donc λ → ∞ quand ω Æ ωp, et λ Æ 0 quand ω Æ ∞. k ω 2 − ω 2p

Dans cette limite, vφ Æ c. La vitesse de groupe peut être calculée par: vg =

∂ω kc 2 = ∂k ω

6. 71

de telle sorte que vφ vg = c2 Le tenseur diélectrique d’un Magnétoplasma froid

S’il y a un champ magnétique (B0 ≠ 0), il faut retenir le terme qui contient le champ magnétique r B0 dans l’équation pour la quantité de mouvement 6.52: m α n α0

r ∂ ~r ~ r r  u α = n α0 q α  E + ~ u α × B0    ∂t r ~ m r r  u α × Ω cα  = n α0 q α  E − α ~ qα  

6. 72

r r r q B q α B0 , dont le module Ω cα ≡ ωcα = α 0 est la fréquence où on a introduit le vecteur Ω cα = − mα mα gyromagnétique où la fréquence cyclotronique de la particule (Figure 6). L’avantage de cette notion est qu’elle montre directement la direction de giration des particules autour des lignes du champ magnétique:

Figure 6 Vecteur fréquence gyromagnétique ionique et électronique

Ondes dans les plasmas

6.20

L'équation de la quantité de mouvement devient: r m r r  r m α n α0 (− iω)u α = n α0 q α  E − α u α × Ω cα  qα  

6. 73

qui peut s'écrire: r r r q r iω u α − u α × Ω cα = − α E mα

6. 74

le produit vectoriel a des composantes telles que l’équation de mouvement peut être écrite:  iω   − Ω cα  0 

0 r q r 0 u α = − α E mα iω 

Ω cα iω 0

6. 75

On obtient la solution en inversant la matrice des coefficients pour obtenir:  iω  2 2  Ω cα − ω r  Ω u α =  2 cα 2 Ω −ω  cα  0  

Ω cα Ω − ω2 iω 2 Ω cα − ω 2

−

2 cα

 0   q r 0   − α E  mα   1  iω 

6. 76

r r t r En utilisant l'expression pour le courant: J α = n α0 q ε u α = σ α • E , on déduit pour le tenseur de conductivité:

 iω  2 Ω cα − ω 2  t n q2  Ω σ α = − α0 α  2 cα 2 m α Ω cα − ω   0  

Ω cα Ω − ω2 iω 2 Ω cα − ω 2

−

2 cα

 0   0  1  iω 

6. 77

En utilisant la relation entre la constante diélectrique et la conductivité on obtient pour le tenseur diélectrique: Ondes dans les plasmas

6.21

  ω2 iω 2pα Ω cα  1 − 2 pα 2 −  0 2 ω (ω 2 − Ω cα )  ω − Ω cα  2 2   t iω pα Ω cα ω pα  1 0 Κα =  − 2 2 ω 2 − Ω cα )  ω (ω 2 − Ω cα  2   ω  0 0 1 − pα2   ω  

6. 78

Pour un plasma composé de plusieurs espèces: t t σ = ∑ σα

t t t i Κ=I+ σα ∑ ε 0ω α

⇒

6. 79

On peut donc écrire dans ce cas le tenseur diélectrique sous la forme: − iΚ X

Κ t  ⊥ Κ =  iΚ X  0 

0   0  Κ // 

Κ⊥ 0

6. 80

avec Κ⊥ = 1 − ∑ α

ΚX = ∑ α

ω 2pα 2 ω 2 − Ω cα

ω 2pα Ω cα

(

2 ω ω 2 − Ω cα

Κ // = 1 − ∑ α

ω 2pα ω2

6. 81

)

=1−

ω 2p ω2

La relation de dispersion 6.37 devient donc:

Ondes dans les plasmas

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ

− iΚ X

iΚ X 2 n sinθ cosθ

Κ⊥ − n2 0

n 2sinθ cosθ 0 =0 2 2 Κ // − n sin θ

6. 82

6.22

t NOTE: les éléments de Κ ne sont pas des fonctions de k (6.81); c'est-à-dire qu'il n’y a pas de dispersion spatiale pour un plasma froid. La solution de la relation de dispersion peut être écrite: An 4 − Bn 2 + C = 0

6. 83

où: A = Κ ⊥sin 2θ + Κ // cos 2θ

(

)

(

B = Κ 2⊥ − Κ 2X sin 2θ + Κ ⊥ Κ // 1 + cos 2θ

(

C = Κ // Κ − Κ 2 ⊥

2 X

)

6. 84

On obtient finalement n2 =

1 (B ± ∆ ) 2A

6. 85

ou ∆ est donné par:

[(

)

(

∆ 2 = Κ 2⊥ − Κ 2X sin 2θ + Κ ⊥ Κ // 1 + cos 2θ

)]

(

)(

− 4Κ // Κ 2⊥ − Κ 2X Κ // cos 2θ + Κ ⊥ sin 2θ

)

6. 86

On peut démontrer que le discriminant ∆2 est toujours positif ou nul: c'est-à-dire que les modes sont purement “réels” ou évanescents. On voit qu’il y a en général 2 solutions pour n pour chaque valeur de ( ω,θ ). Une autre façon d’écrire la solution de la relation est:

[(

)

]

Κ // n 2 − Κ ⊥ − Κ 2X tan θ = − Κ ⊥ n 2 − Κ ⊥2 + Κ 2X n 2 − Κ // 2

(

)(

)

6. 87

Cette formulation est très utile si on veut calculer la relation de dispersion pour les “ondes principales”, c'est-à-dire celles qui se propagent à θ = 0 ou θ = π / 2. Pour les ondes principales parallèles au champ magnétique on a:

tan 2θ = 0

Ondes dans les plasmas

 Κ =0  ⇒  2 //  n = Κ ⊥ ± Κ X 

6. 88

6.23

et pour les ondes principales perpendiculaires au champ magnétique on a:

 n 2 = Κ //    ⇒  2 Κ ⊥2 − Κ 2X  n = Κ  ⊥  

tan 2θ → ∞

6. 89

Coupures et résonances On définit deux conditions spéciales: une coupure quand n Æ 0 “CUT OFF “ une résonance quand n Æ ∞ “RESONANCE” Avec n =

c ck , on voit que vφ Æ ∞ à une coupure, et vφ Æ 0 à une résonance dans un = vφ ω

plasma froid. À cause du fait que l’onde peut interagir avec les particules du plasma quand vφ ≅ vth , on trouve que la résonance correspond à l’absorption de l’onde et que la coupure correspond à la réflexion de l’onde (dans le cas d’un plasma légèrement inhomogène, par exemple ). UNE COUPURE est définie par n Æ 0, et donc elle est définie par C = 0 dans l'équation 6.79: Κ // = 0   (a ) C = Κ // Κ 2⊥ − Κ 2X = 0 ⇒   2 2 (b ) Κ ⊥ − Κ X = 0

(

)

6. 90

Donc ces conditions sont indépendantes de la direction de propagation θ. Pour les cas du plasma froid on a: (a)

Κ // = 0 = 1 −

ω 2p

6. 91

Donc la première coupure correspond à la condition ω = ωp ( b ) Dans ce cas il y a deux solutions possibles: Posons Κ G = Κ ⊥ − Κ X et Κ D = Κ ⊥ + Κ X , les deux solutions de 6.90(b) deviennent donc KD = 0 et KG = 0. Pour un plasma avec les électrons et une espèce d’ions ( qi = +e ) on obtient: Κ⊥ = 1 − ΚX = −

Ondes dans les plasmas

ω 2pe 2 ω 2 − ωce

ω 2pe ωce

(

2 ω ω 2 − ωce

−

ω 2pi ω 2 − ωci2 ω 2pi ωci

) + ω(ω

− ωci2

6. 92

) 6.24

On obtient alors en terme de KD et KG: ΚG = 1 − ΚD = 1 −

ω 2p

(ω + ωce )(ω − ωci )

6. 93

ω 2p

(ω − ωce )(ω + ωci )

KG = 0 donne une solution ωG et la relation KD = 0 donne une solution ωD . Il y a une relation: ωD - ωG = ωce - ωci ≅ ωce 1 2 1 ωG ≅ 2 ωD ≅

[ω [ω

2 ce

+ 4ω2p + ωce

2 ce

+ 4ω − ωce 2 p

] ]

6. 94

c'est-à-dire que la coupure est modifiée par l’effet Zeeman UNE RÉSONNANCE est définie par n Æ ∞ , et donc on a A = 0 dans 6.83 ou encore: tan 2θ = −

Κ // Κ⊥

6. 95

c'est-à-dire qu'il y a des “cônes de résonance”, et la résonance est une fonction de l’angle de propagation. Pour la propagation parallèle au champ magnétique, on a : Κ // = 1 −

ω 2p ω2

6. 96

ceci est une solution “dégénérée” à cause du fait que A=B=C=0 pour θ = 0 si K// = 0 . Donc, on trouve que ω = ωp peut aussi bien être une résonance qu’une coupure. En général les détails prennent un calcul plus complet. On peut aussi bien prendre K⊥ Æ ∞ , ce qui arrive quand ω 2 → Ω ci2 . On les appelle les résonances gyromagnétiques: ω = ωce ω = ωci

Ondes dans les plasmas

6. 97

6.25

Pour la propagation perpendiculaire: il faut K⊥ = 0 c'est-à-dire, en utilisant 6.88: 1−

ω 2pe 2 ω 2 − ωce

−

ω 2pi ω 2 − ωci2

6. 98

qui devient:

(

)

(

)

2 ω 4 − ω 2 ωce + ωci2 + ω 2p + ωce ωci ω 2p + ωce ωci = 0

6. 99

Il y a deux solutions à cette équation, l’une à haute fréquence et l’autre à basse fréquence: HAUTE FRÉQUENCE: la résonance HYBRIDE SUPÉRIEURE

2 ω 2HS ≅ ωce + ω 2p

6. 100

BASSE FRÉQUENCE: la résonance HYBRIDE INFÉRIEURE

ω ≅ 2 HI

ω 2p + ωce ωci 2 ω 2p + ωce

ωce ωci

≅ ωce ωci

pour plasma dense

≅ω

pour champ magnétique élevé

2 ci

6. 101

Polarisation des ondes

Dans cette section, nous allons regarder la polarisation des différents modes de propagation, c’est-à-dire déterminer la direction du champ électrique de l’onde par rapport à sa direction de propagation. La relation de dispersion 6.82 provient de l’équation d’onde 6.37 dans la mesure ou Ondes dans les plasmas

6.26

c’est le déterminant de la matrice des coefficients qui détermine le champ électrique. Effectuons un calcul de perturbation, c’est-à-dire q’il y a un terme source qui perturbe le milieu et regardons le résultat lorsque cette source tend vers 0. Écrivons donc :

( )

r r r t D ω, k • E = S

6. 102

r S = (S , 0 , 0)

6. 103

Dans ce cas l’équation 6.102 donne :  Κ ⊥ − n 2 cos 2θ − iΚ X  iΚ X Κ⊥ − n2   2 0  n sinθ cosθ

n 2sinθ cosθ   E x   S      0   E y  =  0 2 2  Κ // − n sin θ   E z   0 

6. 104

Pour trouver les solutions Ex, Ey et Ez de 6.104 , utilisons la règle de Cramer qui nous permet d’écrire : S − iΚ X 1 Ex = 0 Κ⊥ − n2 ∆ 0 0

n 2sinθ cosθ 0 Κ // − n 2sin 2θ

(i )

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ S n 2sinθ cosθ 1 Ey = iΚ X 0 0 ∆ 2 n sinθ cosθ 0 Κ // − n 2sin 2θ

(ii )

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ − iΚ X 1 Ez = iΚ X Κ⊥ − n2 ∆ n 2sinθ cosθ 0

(iii)

S 0 0

6. 105

ou ∆ est le déterminant de la matrice des coefficients dans 6.104. De 6.105 (i) et (ii) on peut calculer le rapport entre Ex et Ey :

Ondes dans les plasmas

6.27

− iΚ X

n 2sinθ cosθ

0 Κ⊥ − n2

0 0 Κ // − n 2sin 2θ Ex = Ey Κ ⊥ − n 2 cos 2θ S n 2sinθ cosθ iΚ X

0 Κ // − n 2sin 2θ

n 2sinθ cosθ =

(Κ

)(

− n 2 Κ // − n 2sin 2θ − iΚ X Κ // − n 2sin 2θ ⊥

(

6. 106

)

qui devient indépendant de S. On peut faire le même exercice pour le rapport entre Ex et Ez de telle sorte qu’on puisse finalement écrire :

Ey Ex Ez = = 2 2 2 2 2 Κ ⊥ − n Κ // − n sin θ − iΚ X Κ // − n sin θ − n sinθ cosθ Κ ⊥ − n 2

(

)(

)

(

)

(

)

6. 107

Pour les ondes principales parallèles au champ magnétique (θ = 0) on obtient en utilisant la relation 6.88: Ex Κ − n2 =i ⊥ Ey ΚX =i

Κ ⊥ − [Κ ⊥ ± Κ X ] ΚX

6. 108

= mi c'est-à-dire que les ondes sont polarisées circulairement, c'est-à-dire que la norme du vecteur reste constante et qu'il tourne autour de l'axe z, l'axe du champ magnétique, Ex = -iEy correspond à la polarisation droite (D) et Ex = iEy à la polarisation gauche (G). Avec φ = kz - ωt on décrit le champ électrique de l'onde par (Ex = iEy ou Ey = -iEx):

(

~ E x = Re E x eiφ

)

= E x cosφ ~ E y = Re E y eiφ = Re − iE x eiφ

(

)

= E x Re − ie iφ

)

(

)

6. 109

= + E x sinφ

Ondes dans les plasmas

6.28

~ ~ donc on a E 2x + E 2y = E 2x cos2ϕ + E 2x sin 2ϕ = E 2x (une constante) et la direction du vecteur donnée par ~  Ey   + sinφ   tan  ~  = tan −1  E  cosφ    x = +φ −1

6. 110

et tourne donc, dans ce cas, dans la direction trigonométrique, c'est-à-dire à gauche (sens antihoraire).

Pour les ondes principales perpendiculaires au champ magnétique (θ = π / 2) on obtient en utilisant les deux possibilités données à la relation 6.89: Ex Κ − n2 =i ⊥ Ey ΚX    =  i  Κ X

Κ ⊥ − Κ //   ΚX  2 2  Κ⊥ − ΚX  Κ X   = −i  Κ ⊥ − Κ ⊥  Κ ⊥   i

6. 111

pour ces ondes, la polarisation est une fonction de ω, et est en général elliptique. On a aussi, en utilisant le premier et le dernier membre de 6.107: Κ − n 2sin 2θ Ex = − //2 Ez n sinθ cosθ

6. 112

on voit que pour les ondes principales on obtient: Κ // = 0

(θ = 0)

⇒

Ex n 2sin 2θ = 2 E z n sinθ cosθ

6. 113

= tanθ = 0 et

Ondes dans les plasmas

6.29

n 2 = Κ //

π  θ =  ⇒ 2 

Κ − Κ // sin 2θ Ex = − // Ez Κ // sinθ cosθ

6. 114

= cotθ = 0 Au voisinage d’une résonance ( n Æ ∞ ) on a: Ey Ex

ΚX →0 n − Κ⊥ 2

E x n 2sin 2θ − Κ // sinθ = 2 → = tanθ Ez n sinθ cosθ cosθ

6. 115

c'est-à-dire que l'onde est longitudinale. Comme l'illustre la Figure 7, l'angle entre les composantes du champ électrique est le même que la direction du vecteur d'onde.

Figure 7 Polarisation au voisinage de la résonance. L’onde est longitudinale. Au voisinage d’une coupure ( n Æ 0 ) on a:

Ey Ex

= −i

ΚX Κ → −i X 2 Κ⊥ − n Κ⊥

Ez n 2sinθ cosθ =− →0 Ex Κ // − n 2sin 2θ

6. 116

À partir des équations de Maxwell on a:

Ondes dans les plasmas

6.30

r r ~r ~ ik × E = iω B ⇒ kE T = ω B

6. 117

ce qui implique que ω E = vφ = T k B

6. 118

Nous avons donc qu'à la résonance (n Æ ∞ ou vφ Æ 0) il faut que ET Æ 0. Il faut aussi que r r r ~r ~ ~ ik × H = − iω ε 0 E + J ⇒

ikH T = − iω ε 0 E T + J T

6. 119

Donc à la résonance la vitesse de phase devient nulle et le champ électrique transverse est aussi nul c'est-à-dire que le champ électrique est longitudinal. Un courant important est induit dans le plasma ce qui, règle générale, correspond à une forte absorption de l'onde.

Figure 8 Comportement à la coupure et à la résonance

Ondes dans les plasmas

6.31

Propagation parallèle au champ magnétique

( a ) La première solution (Voir 6.88) est donnée par: Κ // = 1 −

ω 2p ω2

6. 120

cette onde plasma ne se propage pas dans la limite du plasma froid, mais si on tient compte des vitesses thermiques des particules, on trouve que les ondes se propagent avec une vitesse reliée à la vitesse thermique. C’est une onde longitudinale, c'est-à-dire que le champ électrique de l'onde est dans la même direction que le vecteur d'onde. ( b ) La deuxième solution est donnée par: n2 = Κ⊥ ± ΚX

6. 121

ces ondes sont polarisées circulairement. L’onde transversale sans champ magnétique est modifiée et devient deux ondes avec polarisation circulaire: le plasma est biréfringent et les deux solutions s'écrivent:  ω 2p 1 − = ΚD  ( ω − ωce )(ω + ωci )  2 n = ω 2p 1 − = ΚG  (ω + ωce )(ω − ωci )



(i ) 

  (ii ) 

6. 122

ΚX ΚX =i = i qui représente une onde circulaire (Κ ⊥ + Κ X ) − Κ ⊥ Ex ΚD − Κ⊥ droite tel qu'illustré ci-dessous (Figure 9).

i ) Pour ce cas on a

Ondes dans les plasmas

6.32

Figure 9 Champ électrique de l’onde polarisée circulairement (DROITE) Ceci est une onde DROITE; le vecteur du champ électrique tourne dans la direction de rotation des électrons ii)Pour ce deuxième cas on obtient

Ey Ex

ΚX ΚX =i = −i (Κ ⊥ − Κ X ) − Κ ⊥ ΚG − Κ⊥

La Figure 10 représente une onde GAUCHE

Figure 10 Onde polarisée circulairement (GAUCHE)

Ondes dans les plasmas

6.33

On peut écrire les relations de dispersion:

n =1− 2 D

n G2 = 1 −

ω 2p

(ω − ωce )(ω + ωci ) ω 2p

(ω + ωce )(ω − ωci )

= ΚD 6. 123 = ΚG

On voit que ces ondes résonnent avec les particules qui tournent dans le même sens que l’onde. Ceci peut donner lieu à une absorption efficace de l’énergie de l’onde dans les particules: “l’amortissement cyclotronique”. On voit que nD Æ ∞ quand ω Æ ωce et que nG Æ ∞ quand ω Æ ωci. Le graphique ci-dessous (Figure 11) illustre la situation.

Figure 11 Dispersion des modes GAUCHE et DROIT

Nous avons déjà calculé les fréquences de coupure pour ces modes (6.90) en tenant compte que la fréquence cyclotron ionique est beaucoup plus petite que la fréquence cyclotron électronique:

Ondes dans les plasmas

6.34

1 2 1 ωG ≅ 2

ωD ≅

[ω [ω

2 ce

+ 4ω 2p + ωce

2 ce

+ 4ω − ωce 2 p

] ]

6. 124

La ligne hachurée (Figure 11) indique la région où il n’y a pas de propagation de l’onde. Les résonances et les coupures délimitent les zones de propagation. Les fréquences de coupure ωG et ωD varient avec la densité du plasma ( ωp ) :

Figure 12 Solutions de l’équation de dispersion pour les modes G et D À partir de ces courbes, on peut reconstruire le diagramme de Brillouin Dans le cas de basse densité ωG < ωce (Figure 13)

Figure 13 Diagramme de Brillouin pour les modes G et D (Basse densité)

Ondes dans les plasmas

6.35

et dans le cas de haute densité ωG > ωce (Figure 14)

Figure 14 Diagramme de Brillouin pour les modes G et D (Haute densité)

Exemple ( A ) Haute fréquence ( ω >> ωci ) et l'effet Faraday) Dans ce cas, les indices deviennent:

n =1− 2 D

n G2 = 1 −

ω 2p

ω (ω − ωce ) ω 2p

6. 125

ω (ω + ωce )

NOTE: Dans un plasma de basse densité, il est possible d’avoir une onde qui se propage avec ωG < ω <ωce. Dans ce cas, on trouve nG < 1 et nD > 1 . La vitesse de phase de l’onde Gauche est donc plus grande que c, tandis que la vitesse de phase de l’onde Droite est plus petite que c.

Ondes dans les plasmas

6.36

Pour ω > ωD les deux ondes ont un indice n < 1, qui implique une vitesse de phase plus grande que c. Avec nG > nD, on voit que l’onde Droite se propage plus vite que l’onde Gauche, ce qui donne lieu à la “Rotation de Faraday”. Dans le cas où ω >> ωce on peut faire l’approximation:  ωp  n ≅ 1 −    ω

 ωp  n G2 ≅ 1 −    ω

2 D

 ωce  1 + ω   

6. 126

 ωce  1 − ω   

L’effet FARADAY: la direction de la polarisation d’une onde, polarisée linéairement, change avec la position dans le plasma. En effet, pour les deux types d'onde, Gauche et Droite, on peut écrire:

r E ~ E  E =  Re e i (kz −ω t ) , Re m ie i (kz −ω t ) ,0  2 2 

[

]

[

]

6. 127

au plan (x,y) on a z = 0 et le champ oscillant est donné par: r r r ~ ~ ~ E = EG + ED

[

]

[

]

[

]

[

]

E E E  E  =  Re e i (k G z − ω t ) , Re − ie i (k G z − ω t ) ,0  +  Re e i (k D z − ω t ) , Re ie i (k D z − ω t ) ,0  2 2 2  2  = (Ecos(ω t ),0,0)

6. 128

au plan (x',y') à une distance l du plan (x,y) on a: r r r ~ ~ ~ E = EG + ED

[

]

[

]

[

]

[

]

E E E  E  =  Re e i (k G z − ω t ) , Re − ie i (k G z − ω t ) ,0  +  Re ei (k D z − ω t ) , Re ie i (k D z − ω t ) ,0  2 2 2  2  E E E  E  6. 129 =  cos(k G l − ω t ), sin (k G l − ω t ),0  +  cos(k D l − ω t ),− sin (k D l − ω t ),0  2 2 2  2  E E  =  {cos(k G l − ω t ) + cos(k D l − ω t )}, {sin (k G l − ω t ) − sin (k D l − ω t )},0  2 2  en utilisant les relations

Ondes dans les plasmas

6.37

cos(A ± B) = cosA cosB m sinA sinB sin (A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB on obtient:   (k  E cos  G   r  ~  (k E =  E cos  G   0   

+ k D )l   (k − k D )l   − ω t  cos  G ,  2 2    + k D )l   (k − k D )l   − ω t  sin  G ,  2 2       

6. 130

Le résultat peut être interprété comme une onde qui se propage avec un nombre d'onde moyen k = (kG + kD) / 2 et que le plan de polarisation tourne avec la position et prend la valeur β après la distance l de telle sorte que: tanβ = tan

Ey Ex

 (k − k D )l  = tan  G  2  

6. 131

c'est-à-dire β=

Ondes dans les plasmas

(k G − k D )l 2

6. 132

6.38

Figure 15 Rotation de Faraday À haute fréquence nG > nD et donc l’onde gauche se propage plus lentement que l’onde droite. Après avoir parcouru la distance l, l’onde gauche (G) a donc tourné un peu plus et il en résulte une rotation β de la polarisation. Problème 6. 1 On envoie une onde polarisée verticalement de 4 GHz dans un plasma d'une longueur de 8 cm, parallèle à un champ magnétostatique de 1 kG. Étant donné les propriétés de propagation des modes gauche (G) et droit (D), il y aura rotation du plan de polarisation( effet Faraday). Tracez l'angle de rotation en fonction de la densité ( 2x1015m-3< n < 8x1016m-3) en supposant la densité uniforme le long du plasma. Expliquez le résultat en terme des propriétés de propagation.

( B ) Basse fréquence (ω << ωci << ωce) l'onde d'Alfven Dans ce cas, l’indice de réfraction des deux ondes est à peu près la même: n2 ≅ 1 +

Donc il n’y a pas de dispersion puisque

Ondes dans les plasmas

ω 2p ωce ωci

6. 133

ω ∂ω = est constant. Si on met k ∂k

6.39

A≡

ω 2p ωce ωci

nm i ρ = 2 ε0B ε 0 B2

6. 134

On a pour la relation de dispersion: kc = 1+ A ω

⇒ vφ =

ω c = k 1+ A

6. 135

n avec n en m-3 et B en Tesla dans B2 l'hydrogène. .Pour la plupart des plasma magnétisés, A >> 1 . Si, par eaxemple, B = 0.1 T et n = 1016m-3 on a A=189. Pour le cas d’un plasma chaud , B = 3 T et n = 1020m-3 on a A = 2.1x103. Dans ces cas ( plasma dense ) on peut écrire: Le paramètre A est donné numériquement par 1.89 × 10 −16

vg ≅ vφ ≅

c = A

c B = mi n µ 0 mi n 2 ε0 B

6. 136

On définit la vitesse d’Alfven:

VA =

B µ 0ρ

6. 137

ou ρ = mn est la densité de masse du plasma

Ondulation de B dans l’onde Alfven D'une part, l'onde est une oscillation d'un champ électrique et d'un champ magnétique. Ce champ magnétique oscillant est superposé au champ magnétostatique et la somme des deux est un champ magnétique modulé. D'autre part, ces champs oscillants exercent une force sur le fluide et la vitesse de celui-ci sera aussi modulée. Comparons ces deux modulations.

Ondes dans les plasmas

6.40

Figure 16 Ondulation du champ magnétique en présence de l’onde Alfven Par l’équation de Maxwell on a : r r r ∂B ∇×E = − ∂t r r r ⇒ ik × E = −(− iω )B ⇒ kE x = ω B y

6. 138

r r ou nous avons utilisé E = (E x , 0 , 0) et k = (0 , 0 , k ) . L'équation 6.138 associe un petit champ magnétique oscillant avec le champ électrique de l’onde. La ligne du champ magnétique dont la position est donnée par yB est perturbée par l’onde: dy B BT = dz BL avec BT = B y =

6. 139

k E x ei (kz − ω t ) l'équation 6.139 devient: ω dy B k E x i (kz − ω t ) = e dz ω BL 1 E x i (kz − ω t ) ⇒ y B (z ) = e iω BL

6. 140

et en prenant la partie réelle de 6.140 on obtient finalement:

Ondes dans les plasmas

6.41

y B (z ) =

Ex sin(kz) ω BL

6. 141

Pour le fluide, on dispose des équations fluides pour calculer la vitesse. On a la solution pour la vitesse pour l'espèce α à partir de l'équation de la quantité de mouvement en 6.72 :  iω  2 2  u αx   Ω cα − ω    Ω cα  u αy  =  2 2  u   Ω cα − ω  αz   0  

Ω cα Ω − ω2 iω 2 Ω cα − ω 2

−

2 cα

 0   Ex    qα      E y  0   − m α  E    z 1  iω 

6. 142

qα E x m α Ω cα

6. 143

qui donne pour ω << Ωcα pour la composante en y: uαy ≅ −

Les électrons ont donc la vitesse uey ≅ −

e Ex E =− x m e ωce B

6. 144

e Ex E =− x m i ωci B

6. 145

et pour les ions uiy ≅ −

Les ions et les électrons acquièrent donc la même vitesse dans le champ de l'onde et celle-ci est donnée par: uy = ⇒

Ondes dans les plasmas

dy F E = − x e i (kz − ω t ) dt BL

E x i (kz − ω t ) y F (z ) = e iω BL

6. 146

6.42

ou yF est la position du fluide. L’équation 6.145 devient, en prenant la partie réelle: y F (z ) =

Ex sin(kz) ω BL

6. 147

Donc l’ondulation du fluide suit celle des lignes du champ magnétique puisque yB et yF ont la même dépendance. LES LIGNES DE CHAMP MAGNÉTIQUE SONT DONC GELÉES DANS LE PLASMA ( C ) Cas intermédiaire (0 < ω < ωce) onde Siffleur (Whistler wave) Si on regarde plus en détail, on peut démontrer que le mode D donne une variation de n2 avec ω telle qu'illustrée à la figure ci-dessous (Figure 17).

Figure 17 Dispersion de l’onde Siffleur pour ω 〈

ωce − ωci on utilise 2

( )

∂ n2 ∂  k 2c 2  k 2 c 2  ω ∂k   2  = 2 3  − 1 = ∂ω ∂ω  ω  ω  k ∂ω 

6. 148

qui a comme implication que la pente négative veut dire que la vitesse de phase est plus petite que la vitesse de groupe.

( )

∂ n2 〈0 ⇒ ∂ω Ondes dans les plasmas

ω ∂k 〈 1 ⇒ vφ 〈 vg k ∂ω

6. 149

6.43

au minimum, à ω min =

ωce − ωci on a vφ = vg 2

Figure 18 Fréquence intermédiaire, mode D dans le graphe plus haut on a pour ωmin: c

VA = 1+

2 p

ωce ωci

vφ = 1+

4ω 2p

6. 150

(ωce + ωci )2

Le mode G prend la forme :

Ondes dans les plasmas

6.44

Figure 19 Fréquence intermédiaire, mode G quand ω Æ ωci on trouve que vφ et vg Æ 0; il y a une forte absorption de l’onde. Le champ électrique tourne dans le même sens que les ions, et peut transférer beaucoup d’énergie à ceux-ci. Pour le mode D, quand ωci < ω << ωce , on peut écrire la relation de dispersion sous la forme: n 2D ≅ 1 +

ω 2p

ωce (ω + ωci )

6. 151

Si le plasma est dense, et si on a ω >> ωci, on peut l’écrire: n 2D =

ω 2p k 2c 2 ≅ ω2 ωce ω

6. 152

ωce c 2 2 k ω 2p

6. 153

d'ou ω≅ et

Ondes dans les plasmas

6.45

vφ =

ω c ω ωce = k ωp

∂ω 2c vg = ω ωce = ∂k ω p

6. 154

Figure 20 Propriétés des ondes siffleuses

- il y a une forte réfraction - on les appelle ces modes les “ondes siffleuses”, et elles peuvent propager à un angle rasant par rapport au champ magnétique. Ces ondes ont été observées pendant des études de l’ionosphère et elles sont dans la gamme de fréquence audible. On observe un “chirp” de la fréquence – un glissement des hautes fréquences vers les basses fréquences. Propagation perpendiculaire au champ magnétique

Le mode ordinaire (O) La première solution 6.85 est donnée par: n 2 = Κ // = 1 −

ω 2p ω2

6. 155

Ceci est la même relation de dispersion que nous avons obtenu pour l'onde transversale dans un plasma sans champ magnétique 6.62. Pour cette onde, en utilisant la même technique que r précedemment mais avec un terme source S = (0 , 0 , S) l’équation 6.104 devient :

Ondes dans les plasmas

6.46

 Κ ⊥ − n 2 cos 2θ − iΚ X  iΚ X Κ⊥ − n2   n 2sinθ cosθ 0 

n 2sinθ cosθ   E x   0      0   E y  =  0 2 2  Κ // − n sin θ   E z   S 

6. 156

qui donne les solutions : 0 − iΚ X 1 Ex = 0 Κ⊥ − n2 ∆ S 0

n 2sinθ cosθ 0 Κ // − n 2sin 2θ

(i )

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ 0 n 2sinθ cosθ 1 Ey = iΚ X 0 0 ∆ 2 n sinθ cosθ S Κ // − n 2sin 2θ

(ii )

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ − iΚ X 1 Ez = iΚ X Κ⊥ − n2 ∆ n 2sinθ cosθ 0

(iii)

d’ou

(

0 0 S

)

Ex n 2sinθ cosθ Κ ⊥ − n 2 =− Ez Κ ⊥ − n 2 cos 2θ Κ ⊥ − n 2 − Κ 2X

(

)(

)

Κ X n sinθ cosθ =i 2 Ez Κ ⊥ − n cos 2θ Κ ⊥ − n 2 − Κ 2X

(

)(

6. 157

6. 158

)

Dans le cas de la propagation perpendiculaire au champ magnétique (θ = π / 2) ces deux relations deviennent nulles ( Ex = Ey = 0 ) c'est-à-dire que nous avons à faire à une onde transversale dont le champ électrique est dans la même direction que le champ magnétostatique. Dans ce cas, le mouvement des particules dû au champ électrique n'est pas affecté et l'onde se propage comme s'il n'y avait pas de champ magnétique. Problème 6. 2 On dispose, de chaque coté d'une tranche ("slab") de plasma d'une épaisseur de 8 cm, de cornets micro-ondes; un émetteur et un récepteur à la longueur d’onde de 8 mm. a) quelle est la densité critique à pour cette onde? b) Dans le cas ou il n'y a pas de champ magnétique et que la densité est constante, tracez la différence de phase entre une onde qui arrive au récepteur en l'absence de plasma et une en

Ondes dans les plasmas

6.47

présence du plasma en terme de la densité exprimée en unités de la densité critique nc. c) Supposons maintenant que nous ajoutions un champ magnétique dans le sens de la tranche (perpendiculaire à la propagation de l'onde) et qu'il en résulte un profil de densité en cosinus: π x n (x ) = n 0 cos   2L 

−L ≤ x ≤ L

Faire le même calcul qu'en b mais en terme de la densité centrale (On considère le mode Ordinaire). Le mode Extraordinaire (X) La deuxième solution est donnée par: n2 =

Κ 2⊥ − Κ 2X Κ D Κ G = Κ⊥ Κ⊥

6. 159

Pour cette onde, Ez = 0 et le champ électrique est dans le plan (x,y):

(

)(

Κ − n 2 Κ // − n 2 Ex =i ⊥ Ey Κ X Κ // − n 2

(

Κ⊥ − n2 =i ΚX =i

)

) 6. 160

ΚX Κ⊥

En général, KX ≠ K⊥ et par conséquent l'onde a une polarisation "mixte" ou "elliptique". À la E limite n2 = 0 (coupure) on obtient x = ± i , c'est-à-dire une onde polarisée circulairement. À Ey l'autre limite, n2 Æ ∞ (résonance) on obtient

Ey Ex

= 0 , donc une onde à polarisation longitudinale.

Limite ω Æ 0, Onde Magnétosonore Pour ω Æ 0 on obtient:

Ondes dans les plasmas

6.48

n2 =

Κ DΚ G Κ⊥

   ω 2p ω 2p 1 −  1 −   (ω − ωce )(ω + ωci )   (ω + ωce )(ω − ωci )   = ω 2pe ω 2pi − 2 1− 2 2 ω − ωce ω − ωci2

6. 161

 ω 2p  + 1    ωce ωci  ω → →0 ω2 ω 2pi + 1 + pe 2 ωce ωci2

en utilisant

ω 2pe ω

2 ce

ω 2pi ωce ωci

ω 2pi ω

2 ci

ω 2pe ωce ωci

et ω 2p = ω 2pe + ω 2pi on obtient

n ω → 1 + →0 2

ω 2p

6. 162

ωce ωci

c'est-à-dire la même limite que dans le cas de la propagation parallèle au champ magnétique. Dans le cas présent par contre la direction de propagation est perpendiculaire à B0 et c'est une onde transversale. On l'appelle l'onde Magnétosonore ou Compressional Alfven wave. Dans la limite ω Æ 0 on obtient Ex / Ey Æ 0 donc l'onde est transversale. Cependant, dans le sens r mécanique, l'onde a une structure longitudinale. En effet, si on met E = (0, E y ,0) on peut calculer le mouvement des électrons et des ions:

(

r r r r m e u& e = q E + u e × B0

)

6. 163

d'où on obtient pour la vitesse Ey

2 ωce u ex = − 2 B0 ω 2 − ωce

2 (− iω) 2 ωce 2 u ey = − B0 ω − ωce

6. 164

dans la limite ω Æ 0 on obtient alors

Ondes dans les plasmas

6.49

 r  Ey u e ≅  ,0,0   B0 

6. 165

 r  Ey u i ≅  ,0,0   B0 

6. 166

de la même façon

c'est-à-dire que les électrons et les ions se déplacent ensemble dans la direction de propagation de l'onde, comme pour une onde sonore. Le champ magnétostatique couplé au champ électrique donne lieu à un mouvement dans la direction de la propagation (Figure 21).

Figure 21 Déplacement des ions et des électrons dans le champ de l’onde Alfven Comme les deux espèces de particules se déplacent dans la même direction, on peut d'écrire le déplacement du fluide par: ~ Ey Ey ~ ux = = cos(kx − ω t ) B0 B0

6. 167

Ce mouvement du fluide donne lieu à une modification de la densité locale du plasma que l'on peut calculer à partir des équations fluides. En particulier, considérons l'équation de conservation des particules en posant n = n0 + n~ et u = u~ pour écrire: ∂~ n ∂ (n 0 ~u ) = − iω ~n + n 0ik~u = 0 + ∂t ∂x

6. 168

qui donne

Ondes dans les plasmas

6.50

n k~ u ~ n= 0 ω n 0 kE y = cos(kx − ω t ) ω B0

6. 169

D'autre part, le champ magnétique de l'onde, comme dans le cas de la propagation parallèle, donne lieu à une variation du champ magnétique total. En effet:

⇒ ⇒ ⇒

r ~ r ~r ∂B ∇×E = − ∂t r r ~r ~ ~ ik × E = i(k,0,0 )× 0, E y ,0 = iω B ~ ~ kE y = ω B z ~ kE y k ~ Bz = = E y cos(kx − ω t ) ω ω

(

)

6. 170

Il y a donc, comme dans le cas de la propagation parallèle, une modulation du champ magnétique qui a la même forme que la modulation dans le fluide: ~ Bz kE y = cos(kx − ω t ) B0 ω B0 ~ kE y n = cos(kx − ω t ) n 0 ω B0

6. 171

Comme dans le cas de la propagation parallèle, les lignes de champ magnétique sont "gelées" dans le plasma. Cependant, dans le cas de la propagation perpendiculaire (au champ magnétique) r ~ le champ total étant B = 0,0, B0 + Bz , l'onde s'apparente plus à une onde de compression (Figure 22).

(

)

Figure 22 Compression et raréfaction des lignes de champs magnétique dans l’onde de compression d’Alfven

Ondes dans les plasmas

6.51

De façon générale, l'indice n(ω) peut être illustré par la figure Figure 23 ci-dessous.

Figure 23 Dispersion de l’onde de compression d’Alfven Les résonances sont données par 6.96 et 6.97 2 + ω 2p ω 2HS ≅ ωce

ω 2HI ≅

ω 2p + ωce ωci 2 + ω 2p ωce

ωce ωci

6. 172

L'abaque de la Figure 24 donne le comportement de la fréquence des ondes hybrides en fonction de la densité et du champ magnétique. Les coupures (n = 0 ) sont données par 6.90 1 2 1 ωD ≅ 2

ωG ≅

Ondes dans les plasmas

[ω [ω

2 ce

+ 4ω 2p − ωce

2 ce

+ 4ω + ωce 2 p

] ]

6. 173

6.52

Rappelons que les coupures sont indépendantes de la direction du vecteur d'onde par rapport au champ magnétique. Il n'est donc pas surprenant qu'on obtienne les mêmes fréquences que pour la propagation parallèle. L'abaque à la Figure 25 donne le comportement des coupures G et D.

Figure 24 Mode hybride. L'onde hybride supérieure est donnée par la lignes continues et l'hybride inférieure par les lignes pointillées

Ondes dans les plasmas

6.53

Figure 25 Coupures pour les modes G et D Notez que ωD = ωG + ωce À partir de ces courbes on peut déterminer le diagramme de Brillouin:

Ondes dans les plasmas

6.54

Figure 26 Mode extraordinaire (X) à basse densité Diagramme (Figure 26) dans le cas de la basse densité ou ωHI Æ ωci , ωG Æ ωci , ωHS Æ ωce et ωD Æ ωce

Figure 27 Mode extraordinaire (X) à haute densité

Ondes dans les plasmas

6.55

Diagramme (Figure 27) dans le cas de la haute densité ou ωHI Æ (ωceωci)1/2 , ωG Æ ωp - ωce / 2 , ωHS Æ ωp et ωD Æ ωce / 2 Ces diagrammes illustrent le comportement du mode qui est connu sous le nom d'onde extraordinaire. Propagation oblique - Le diagramme CMA

Quand on considère la propagation à un angle θ quelconque par rapport au champ magnétostatique, l'indice n est une fonction de θ pour un plasma donné. En particulier, les résonances sont des fonction de l'angle de propagation. La façon la plus claire pour décrire la propagation est par une représentation graphique qui donne une idée qualitative de la variation de n ou de vφ avec l'angle θ. On peut décrire une surface définie par la longueur d'un vecteur en fonction de l'angle θ (diagramme polaire). Les vecteurs choisis sont: 1) l'indice de réfraction n(θ) 2) la vitesse de phase vφ(θ) = c / n(θ) Dans le premier cas, la surface s'appelle la surface des indices ( slowness surface ) et dans le deuxième cas on a la surface des vitesses de phase ( phase velocity surface ).ou la surface des vitesses normales ( wave normal surface ). La représentation utilisée la plus souvent est celle des vitesses de phase. On veut donc déterminer la forme de cette surface pour un plasma donné, c'est-à-dire pour une combinaison de densité (ωp) et de champ magnétique (ωc). Les paramètres utilisés normalement sont: ω  X ≡  p   ω

6. 174

et Y2 ≡

ωce ωci ω2

6. 175

Nous avons vu que la propagation des modes est déterminée par les résonances et les coupures. Elles séparent les régions de propagation et de "non-propagation". Elles déterminent aussi des frontières où il y a un changement de mode de propagation. Donc les coupures et les résonances divise l'espace des paramètres du plasma en régions où la propagation est semblable. Quand on passe d'une région à l'autre, il y a donc un changement dans la forme de la surface des vitesses de phase. À titre d'exemple, considérons le cas mi Æ ∞ ( ωci Æ 0 ) avec ωce / ω = 0.5 . On obtient alors la Figure 28

Ondes dans les plasmas

6.56

Figure 28 Modes de propagation pour le cas mi Æ ∞ ( ωci Æ 0 ) avec ωce / ω = 0.5 Dans la région I, nous avons les deux modes (D,X) et (G,O). La limite de cette région est déterminée par la coupure de l'onde D et la coupure de l'onde X (à X = 0.5) et les surfaces d'indice et de vitesse de phase ont la forme illustrée dans la Figure 29

Figure 29 Surfaces d'indice et de vitesse de phase dans la région I de la Figure 28

Ondes dans les plasmas

6.57

Dans la région II, seulement le mode (G,O) se propage. La frontière de cette région est déterminée par le résonance hybride (nX Æ ∞). En général cette limite est une fonction de θ :

Figure 30 Propriétés de la propagation dans la région II de la Figure 28 et les surfaces d'indice et de vitesse de phase ont la forme illustrées dans la Figure 31

Figure 31 Surfaces d'indice et de vitesse de phase dans la région II de la Figure 28

Ondes dans les plasmas

6.58

Dans la région III, les deux modes se propagent mais l'indice de réfraction pour le mode (G,X) Æ ∞ pour les angles petits. Très près de la frontière ω = ωpe (X = 1), n Æ 0 pour le mode (G,O). La limite supérieure de cette région est la coupure à X = 1. Les diagrammes polaires pour l'indice et la vitesse de phase ont la forme:

Figure 32 Surfaces d'indice et de vitesse de phase pour la région III de la Figure 28 Dans la région IV on a seulement l'onde X ( et l'onde G seulement pour θ = 0 ) qui se propage. La limite de cette région est déterminée par la coupure de l'onde X (et G ) à X = 1.5 et les surfaces d'indice et de vitesse de phase prennent la forme:

Figure 33 Surfaces d'indice et de vitesse de phase pour la région IV de la Figure 28 Finalement, dans région V il n'y a pas de propagation.

Ondes dans les plasmas

6.59

À mesure qu'on avance d'une région à l'autre en augmentant la densité, les surfaces d'indice et de vitesse de phase changent `mais en général, il y a un type de surface associé avec chaque région. Si on change le champ magnétique, de nouvelles régions apparaissent. Si on inclus l'effet des ions on trouve qu'il y a en fait 13 régions dans l'espace X,Y séparées par les coupures et les résonances. Dans chacune de ces régions, la forme des surfaces est unique. Le diagramme CMA (Clemmow-Mullaly-Allis) a été développé pour représenter la vitesse de phase pour les différents régimes du plasma.

Ondes dans les plasmas

6.60

Figure 34 Diagramme CMA

Ondes dans les plasmas

6.61

Liste des équations

( )

r r r r G ( r , t ) = G k, ω e i (k • r − ω t ) r r dΦ d r r = k• r − ωt = k•v − ω = 0 dt dt ω kv φ − ω = 0 vφ = ⇒ k c kc n= = vφ ω r r r ∂B (i ) ∇×E = − ∂t r r r ∂D (ii ) ∇×H = − ∂t r r (iii ) ∇•D = 0 r r (iv ) ∇•B = 0 r r r r r ∂B ∇× ∇×E = −∇× ∂t ∂ r r = − µ0 ∇×H ∂t r ∂ 2D = − µ0 2 ∂t r ∂ 2E = − µ 0ε 0 2 ∂t r 2 r 1 ∂ E ∇ 2E − 2 2 = 0 c ∂t r rr r i (kr • rr − ω t ) ∇e = ikei (k • r − ω t )

(

)

( ∇ (e ( ∂ ( e( ∂t 2

6. 2............................................4 6. 3..............................................4 6. 4 ................................................................4

6. 5..................................................5

)

(

6. 1 ..........................................................4

r r i k•r − ω t r r i k•r − ω t

) ))= − k e ( ))= − ω e (

)

r r 2 i k• r − ω t

)

r r 2 i k•r − ω t

r (− ω 2 ) r − k2 E − E=0 c2

Ondes dans les plasmas

6. 6.........................................................5

6. 7 .........................................................5 6. 8......................................................5

)

6. 9...........................................................6

6.62

r r ρ (i ) ∇•E = ε0 r r (ii ) ∇•B = 0 r r r ∂B (iii ) ∇×E = − ∂t r r r ∂E r (iv ) ∇ × H = ε0 +J ∂t r ~r ~ ρ (i ) ik • E = ε0 r ~r (ii ) ik • B = 0 r r ~r ~ (iii ) ik × E = iω B r r r ~r ~ ~ ik × H = − iω ε 0 E + J (iv ) ∂ρ r r + ∇•J = 0 ∂t r ~r ~ − iω ρ + ik • J = 0 r ~r r ~r ~ ρ k• J ik • E = = ε 0 ε 0ω r t ~r ~ r  ~r i J  r  ~r iσ • E   = ik •  E + =0 ik •  E + ε 0ω  ε 0ω       r  t iσt  ~r k • I + •E = 0 ε 0ω   r r r ~r ~ ~ ik × E = iω B = iω µ 0 H r r r ~r ~ t ~ k × H = − ω ε 0 E − iσ • E t t iσ  ~r •E = − ω ε 0  I + ω ε 0   r r ~r r ~r   k ×  k × E  = ω µ0 k × H   t  t iσ  ~r  • E = − ε 0 µ 0 ω 2  I + ωε 0   r r  iσ  ~ ~ •E − k 2 E = − ε 0 µ 0 ω 2 1 + ωε 0   iσ  ω2   1 = ε 0 µ 0 2 1 + ωε 0  k 

Ondes dans les plasmas

6. 10 .......................................................6

6. 11.........................................................6

6. 12...............................................................7 6. 13 ............................................................7 6. 14.........................................................7 6. 15..............................................7 6. 16 .........................................................7 6. 17 .......................................................8 6. 18...................................................8

6. 19 ............................................8

6. 20........................................................8 6. 21........................................................8

6.63

vφ =

ω = k

c iσ 1+ ωε 0

r r (i ) ∇•D = 0 r r (ii ) ∇•B = 0 r r r ∂B (iii ) ∇×E = − ∂t r r r ∂D (iv ) ∇×H = − ∂t r r r D = ε0E + P r r r t r P( r , t ) = ∫∫ φ(r − r′, t − t ′) • E(r′, t ′)d r ′dt ′ r r t P(k, ω) = φ(k, ω) • E(k, ω) r r r t ~r ~ ~ ~ D = ε 0 E + P = [ε 0 + φ]• E t ~r ≡ ε0Κ • E r ~r r t ~r ik • D = iε 0 k • Κ • E  = 0   r t ~ r  ~r  t iσ  ~r iJ  ~  = ε0  I + D = ε 0 E + •E ε 0ω  ε 0ω     t ~r = ε0Κ • E t t iσt Κ=I+ ε 0ω r r r ~r ~ ~ k × E = ω B = µ0 ω H r ~r t ~r k × H = − ω ε0 Κ • E r r ~r r ~r t ~r k ×  k × E  = µ 0 ω k × H = − ε 0 µ 0 ω 2 Κ • E   r r ~r t ~r 2   ⇒ k ×  k × E + k0 Κ • E = 0   r r r ~r t ~ 2   k ×  k × E + k0 Κ • E = 0   r t ~r r r ~ n ×  n × E  + Κ • E = 0   r r t D ω, k • E = 0 r r t D ω, k = D ω, k = 0

( ) ( )

( )

Ondes dans les plasmas

6. 22..........................................................8

6. 23 ..................................................9

6. 24...............................................................9 6. 25............................................9 6. 26 .......................................................9 6. 27 ...................................................9

6. 28 ................................................10 6. 29 ..........................................10

6. 30 .................................................................10 6. 31.......................................................10

6. 32........................................10 6. 33 ................................................10 6. 34 .........................................................11 6. 35 .............................................................12 6. 36................................................................12 6. 37 ...........................................................12

6.64

k 02 Κ xz + k 2sinθ cosθ   E x     k 02 Κ yz  •  Ey  = 0 2 2 2 k 0 Κ zz − k sin θ   E z 

 k 02 Κ xx − k 2 cos 2θ k 02 Κ xy  k 02 Κ yx k 02 Κ yy − k 2  k 02 Κ zx + k 2sinθ cosθ k 02 Κ zy   Κ xx − n 2 cos 2θ Κ xy t  D= Κ yx Κ yy − n 2 Κ zx + n 2sinθ cosθ Κ zy  Κ 0 0  t   Κ =0 Κ 0  0 0 Κ   2 2 k0Κ − k 0

(

Κ Κ−n

(

k Κ−k 0

k 02 Κ k 02 Κ − k 2

)

2 2

)

0 =0 k Κ

6. 41 .....................................................13

2 0

6. 42 ..............................................................13

k 02 Κ k 02 Κ − k

)

2 2

6. 39....................................13

6. 40 ..........................................................13

2 0

0 0

Κ xz + n 2sinθ cosθ   Κ yz  Κ zz − n 2sin 2θ 

6. 38...................12

6. 43 ...............................................................13 =0

6. 44 .....................................................14

k 2 k 2c 2 = 2 6. 45..........14 k 02 ω (2) Κ=0 6. 46 .......14 r r ∂n α + ∇ • [n α u α ] = 0 6. 47 .....................................................14 ∂t r r r r r  ∂ r r r m α n α  + u α • ∇  u α + ∇P = n α q α E + u α × B − m α n α ν α u α 6. 48.......................14  ∂t  r r n α (r , t ) n α ( r , t ) = n α0 + ~ r r r r u α (r , t ) = 0 + ~ u α (r , t ) r 6. 49.................................................15 r r ~r E(r , t ) = 0 + E(r , t ) r r r r ~r B( r , t ) = B0 + B( r , t ) r r r r ∂ [n α0 + ~n α ] + ∇ • (n α0 + ~n ) ~u α ≅ ∂ ~n α + ∇ • n α0 ~u α = 0 6. 50 ...........................15 ∂t ∂t r ~ r r   ∂ r r  ~r 6. 51 ................................15 m α (n α0 + ~ n α ) + ~ u α • ∇  u α = n α0 q α  E + ~ u α × B0     ∂t  r ∂ r ~ r r  6. 52 ................................................15 m α n α0 ~ u α = n α0 q α  E + ~ u α × B0    ∂t r ∂ r ~ m α n α0 ~ u α = n α0 q α E 6. 53........................................................15 ∂t (1)

Κ=

(

[

Ondes dans les plasmas

( )]

)

[

]

6.65

r ~ n α = n α e i (k • r − ω t ) r r r r ~ u α = u α e i (k • r − ω t ) r ~ r rr E = E e i (k • r − ω t ) r r − iω n α + n α0ik • u α = 0 r r − m α n α0iω u α = n α0 q α E r r qαE uα = − m α iω r r n α0 q α2 E Jα = − m αiω r r r r r n e0e 2 E n i0 e 2 E J = Je + Ji = − − im e ω im i ω r iε 0 2 r J= ωpe + ω2pi E ω iε iε σ = 0 ω 2pe + ω 2pi ≡ 0 ω 2p ω ω r

[

]

[

]

ω =ω +ω 2 p

2 pe

Κ =1− Κ =1−

6. 54 ...........................................................15 6. 55.......................................................16 6. 56 .........................................................16 6. 57 ...........................................................16 6. 58..................................................................16 6. 59 ....................................................16 6. 60 ...............................................................16 6. 61 .....................................................16 6. 62 ...............................................................16

2 pi

ω 2p ω2 ω 2p ω2

6. 63 ...................................................................17 =0

6. 64 ......................................................17

 m  ω 2 = ω 2p = ω 2pe 1 + e   mi  ω 2p k 2 c 2 1− 2 = 2 ω ω 2 2 ω = ωp + k 2c 2

6. 65 .....................................................17 6. 66..............................................................17 6. 67 .................................................................18

ω 2p kc n= = 1− 2 ω ω k =i

6. 68..........................................................18

ω 2p − ω 2

6. 69 .........................................................19

c2  ω2 − ω2 p  c2

r v r i (kr • rr − ω t ) r −  E( r , t ) = Ee = Ee vg =

∂ω kc = ω ∂k

 r  

e − iω t

6. 70.........................................19

Ondes dans les plasmas

6. 71 ...........................................................20

6.66

r ∂ ~r ~ r r  u α = n α0 q α  E + ~ u α × B0    ∂t r ~ m r r  = n α0 q α  E − α ~ u α × Ω cα  q α   r r   r m r m α n α0 (− iω)u α = n α0 q α  E − α u α × Ω cα  qα   r r r r q iω u α − u α × Ω cα = − α E mα

m α n α0

 iω   − Ω cα  0 

Ω cα iω 0

0 r q r 0 u α = − α E mα iω 

(

Κ t  ⊥ Κ =  iΚ X  0 

)

− iΚ X Κ⊥ 0

0   0  Κ // 

Ondes dans les plasmas

6. 73 ......................................21 6. 74 ......................................................21

6. 75.....................................................21

Ω   iω − 2 cα 2 0   2 2 Ω cα − ω   Ω cα − ω r Ω iω  q r  cα 0   − α E  uα =  2 2 2 2 mα  Ω −ω Ω cα − ω   cα 1   0 0   iω   Ω   iω − 2 cα 2 0   2 2 Ω cα − ω   Ω cα − ω t n α0 q α2  Ω cα iω  0 σα = − 2 2 2 2  Ω cα − ω m α Ω cα − ω   1  0 0   iω     ω2 iω 2pα Ω cα  1 − 2 pα 2 − 0  2 2 ω ω − Ω cα   ω − Ω cα 2   iω 2 Ω t ω pα pα cα  Κα =  1 0 − 2 2 ω 2 − Ω cα   ω ω 2 − Ω cα 2   ω  0 0 1 − pα2   ω   t t t t t i σ = ∑ σα ⇒ Κ=I+ σα ∑ ε 0ω α α

(

6. 72.................................20

6. 76 ....................................21

6. 77................................21

)

6. 78 ...............................22

6. 79 ............................................22

6. 80.......................................................22

6.67

ω 2pα

Κ⊥ = 1 − ∑

2 ω 2 − Ω cα

ΚX = ∑ α

ω 2pα Ω cα

(

2 ω ω 2 − Ω cα

Κ // = 1 − ∑ α

ω 2pα ω2

6. 81 ........................................................22

)

=1−

ω 2p ω2

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ

− iΚ X

iΚ X 2 n sinθ cosθ

Κ⊥ − n2 0

n 2sinθ cosθ 0 =0 2 2 Κ // − n sin θ

6. 82 ........................................22

An 4 − Bn 2 + C = 0

6. 83......................................................23

A = Κ ⊥sin θ + Κ // cos θ 2

(

)

(

B = Κ ⊥2 − Κ 2X sin 2θ + Κ ⊥ Κ // 1 + cos 2θ

(

C = Κ // Κ ⊥2 − Κ 2X 1 (B ± ∆ ) n2 = 2A

[(

)

6. 85 ...........................................................23

(

∆ 2 = Κ 2⊥ − Κ 2X sin 2θ + Κ ⊥ Κ // 1 + cos 2θ

[(

)

]

Κ // n 2 − Κ ⊥ − Κ 2X tan θ = − Κ ⊥ n 2 − Κ ⊥2 + Κ 2X n 2 − Κ // 2

(

6. 84 ..........................................23

)(

)]

)

 Κ =0  ⇒  2 //  n = Κ ⊥ ± Κ X   n 2 = Κ //    ⇒  2 Κ ⊥2 − Κ 2X  tan 2θ → ∞ = n  Κ ⊥   Κ // = 0   (a ) C = Κ // (Κ ⊥2 − Κ 2X ) = 0 ⇒   2 2 (b ) Κ ⊥ − Κ X = 0 tan 2θ = 0

Κ // = 0 = 1 −

(a) Κ⊥ = 1 − ΚX = −

ω 2pe 2 ω 2 − ωce

ω 2pe ωce

(

2 ω ω 2 − ωce

−

ω 2p ω

(

)(

− 4Κ // Κ 2⊥ − Κ 2X Κ // cos 2θ + Κ ⊥ sin 2θ

)

6. 86 .........23

6. 87...........................................23 6. 88 .............................................23

6. 89 ......................................24

6. 90 ...............................24 6. 91..24

ω 2pi ω 2 − ωci2 ω 2pi ωci

) + ω(ω

Ondes dans les plasmas

− ωci2

6. 92 ...................................................24

)

6.68

ΚG = 1 − ΚD = 1 − 1 2 1 ωG ≅ 2 ωD ≅

ω 2p

(ω + ωce )(ω − ωci ) (ω − ωce )(ω + ωci )

[ω [ω

ω = ωce

2 ce

+ 4ω2p + ωce

2 ce

+ 4ω − ωce 2 p

] ]

6. 94 .......................................................25

Κ // Κ⊥

tan 2θ = − Κ // = 1 −

6. 93.............................................25

ω 2p

ω 2p ω2

6. 95 ...............................................................25

6. 96 ...............................................................25 6. 97 ...............................................................25

ω = ωci 1−

ω 2pe 2 ω 2 − ωce

−

(

ω 2pi ω 2 − ωci2

6. 98...................................................26

)

(

)

2 ω 4 − ω 2 ωce + ωci2 + ω 2p + ωce ωci ω 2p + ωce ωci = 0

6. 99 ...............................26

2 ω 2HS ≅ ωce + ω 2p

ω ≅ 2 HI

ω 2p + ωce ωci 2 ω 2p + ωce

6. 100 .................................................26

ωce ωci

≅ ωce ωci

pour plasma dense

≅ω

pour champ magnétique élevé

( )

2 ci

r r r t D ω, k • E = S r S = (S , 0 , 0)

 Κ ⊥ − n 2 cos 2θ − iΚ X  iΚ X Κ⊥ − n2   n 2sinθ cosθ 0 

Ondes dans les plasmas

6. 101 .....................26 6. 102.............................................................27 6. 103 .............................................................27

n 2sinθ cosθ   E x   S      0   E y  =  0 2 2  Κ // − n sin θ   E z   0 

6. 104 .............................27

6.69

S − iΚ X 1 Ex = 0 Κ⊥ − n2 ∆ 0 0

n 2sinθ cosθ 0 Κ // − n 2sin 2θ

(i )

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ S n 2sinθ cosθ 1 Ey = iΚ X 0 0 ∆ 2 n sinθ cosθ 0 Κ // − n 2sin 2θ

(ii )

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ − iΚ X 1 Ez = iΚ X Κ⊥ − n2 ∆ n 2sinθ cosθ 0

(iii)

− iΚ X

S 0 0

6. 105 .................................27

n 2sinθ cosθ

0 Κ⊥ − n2

0 0 Κ // − n 2sin 2θ Ex = Ey Κ ⊥ − n 2 cos 2θ S n 2sinθ cosθ iΚ X

0 Κ // − n 2sin 2θ

n 2sinθ cosθ =

(Κ

)(

− n 2 Κ // − n 2sin 2θ − iΚ X Κ // − n 2sin 2θ ⊥

(

6. 106 ...........................28

)

Ey Ex Ez = = 2 2 2 2 2 Κ ⊥ − n Κ // − n sin θ − iΚ X Κ // − n sin θ − n sinθ cosθ Κ ⊥ − n 2

(

)(

)

(

)

(

)

6. 107.................28

Ex Κ − n2 =i ⊥ Ey ΚX =i

Κ ⊥ − [Κ ⊥ ± Κ X ] ΚX

= mi ~ E x = Re E x eiφ

(

= E x cosφ

(

) )

(

~ E y = Re E y eiφ = Re − iE x e iφ

(

6. 108...........................................................28

= E x Re − ie iφ

)

= + E x sinφ ~  Ey   + sinφ  −1   tan ~  = tan −1  E   cosφ   x

)

6. 109 ......................................................28

6. 110....................................................29

= +φ

Ondes dans les plasmas

6.70

Ex Κ − n2 =i ⊥ Ey ΚX Κ − Κ //   i ⊥   ΚX   =  2 2    i  Κ⊥ − Κ⊥ − ΚX  = − i ΚX  Κ ⊥  Κ ⊥   Κ X  Κ − n 2sin 2θ Ex = − //2 Ez n sinθ cosθ

(θ = 0)

Κ // = 0

⇒

6. 111 ...........................................29

6. 112 ..............................................................29

Ex n 2sin 2θ = 2 E z n sinθ cosθ

6. 113.......................................29

= tanθ = 0 π  θ =  ⇒ 2 

n 2 = Κ //

Κ − Κ // sin 2θ Ex = − // Ez Κ // sinθ cosθ

6. 114 ...................................30

= cotθ = 0 Ey Ex

ΚX →0 n − Κ⊥ 2

6. 115 .................................................30

E x n 2sin 2θ − Κ // sinθ = 2 → = tanθ Ez n sinθ cosθ cosθ Ey ΚX Κ = −i → −i X 2 Ex Κ⊥ − n Κ⊥

6. 116 ................................................30

Ez n 2sinθ cosθ =− →0 Ex Κ // − n 2sin 2θ r r ~r ~ ik × E = iω B ⇒ kE T = ω B ω E = vφ = T k B r r r ~r ~ ~ ik × H = − iω ε 0 E + J ⇒

6. 117.....................................................31 6. 118 ....................................................................31 6. 119..................................................31

ikH T = − iω ε 0 E T + J T

Κ // = 1 −

ω 2p

=0 ω2 n2 = Κ⊥ ± ΚX  ω 2p − = ΚD 1  ( ω − ωce )(ω + ωci )  2 n = ω 2p 1 − = ΚG  (ω + ωce )(ω − ωci )

Ondes dans les plasmas

6. 120 ................................................................32 6. 121 ................................................................32 

(i ) 

  (ii ) 

6. 122 ....................................32

6.71

n =1− 2 D

n G2 = 1 − 1 2 1 ωG ≅ 2

ωD ≅

ω 2p

(ω − ωce )(ω + ωci ) ω 2p

(ω + ωce )(ω − ωci )

[ω [ω

n =1− 2 D

n G2 = 1 −

2 ce

+ 4ω 2p + ωce

2 ce

+ 4ω − ωce 2 p

= ΚD 6. 123 ............................................34 = ΚG

] ]

6. 124 ......................................................35

ω 2p

ω (ω − ωce )

6. 125 ........................................................36

ω 2p

ω (ω + ωce )

 ωp  n ≅ 1 −    ω

2 D

 ωce  1 + ω   

6. 126 .......................................................37

 ωp   ω  n G2 ≅ 1 −   1 − ce  ω   ω  r E ~ E  E =  Re e i (kz −ω t ) , Re m ie i (kz −ω t ) ,0  2 2  r r r ~ ~ ~ E = EG + ED

[

]

[

]

6. 127.............................................37

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

E E E  E  =  Re e i (k G z − ω t ) , Re − ie i (k G z − ω t ) ,0  +  Re e i (k D z − ω t ) , Re ie i (k D z − ω t ) ,0  2 2 2  2  = (Ecos(ω t ),0,0) r r r ~ ~ ~ E = EG + ED

6. 128 ...........37

E E E  E  =  Re e i (k G z − ω t ) , Re − ie i (k G z − ω t ) ,0  +  Re ei (k D z − ω t ) , Re ie i (k D z − ω t ) ,0  2 2 2  2  E E E  E  6. 129.........37 =  cos(k G l − ω t ), sin (k G l − ω t ),0  +  cos(k D l − ω t ),− sin (k D l − ω t ),0  2 2 2  2  E E  =  {cos(k G l − ω t ) + cos(k D l − ω t )}, {sin (k G l − ω t ) − sin (k D l − ω t )},0  2 2    (k + k D )l   (k − k D )l   − ω t  cos  G  E cos  G ,  2 2      r  ~  (k + k D )l   (k − k D )l   6. 130.............................38 E =  E cos  G − ω t  sin  G ,  2 2       0       Ondes dans les plasmas

6.72

tanβ = tan

Ey Ex

6. 131..............................................................38

 (k − k D )l  = tan  G  2   (k − k D )l β= G 2 ω 2p n2 ≅ 1 + ωce ωci ω 2p

6. 132 ...............................................................38 6. 133...........................................................39

nm i ρ = 2 ωce ωci ε 0 B ε 0 B2 kc ω c = 1 + A ⇒ vφ = = ω k 1+ A B c c vg ≅ vφ ≅ = = µ 0 mi n A mi n 2 ε0 B

A≡

VA =

6. 134..................................................40 6. 135 ............................................40 6. 136 ......................................................40

B µ 0ρ

r r r ∂B ∇×E = − ∂t r r r ⇒ ik × E = −(− iω )B ⇒ kE x = ω B y dy B BT = dz BL dy B k E x i (kz − ω t ) = e dz ω BL 1 E x i (kz − ω t ) ⇒ y B (z ) = e iω BL E y B (z ) = x sin(kz) ω BL Ω  iω − 2 cα 2  2 2 Ω cα − ω  u αx   Ω cα − ω    Ω cα iω  u αy  =  2 2 2 Ω cα − ω 2  u   Ω cα − ω  αz   0 0  

Ondes dans les plasmas

6. 137 .....................................................40

6. 138 ...........................................................41

6. 139.................................................................41

6. 140 ..................................................41

6. 141 .........................................................42  0   Ex    qα      Ey  0   − m α       Ez  1  iω 

6. 142........................42

6.73

qα E x m α Ω cα e Ex E uey ≅ − =− x m e ωce B e Ex E uiy ≅ − =− x m i ωci B dy E u y = F = − x e i (kz − ω t ) dt BL

uαy ≅ −

6. 143...................................................................42 6. 144............................................................42 6. 145..............................................................42

6. 146 ......................................................42

E x i (kz − ω t ) ⇒ y F (z ) = e iω BL E y F (z ) = x sin(kz) ω BL

6. 147 ...............................................................43

( )

∂ n2 ∂  k 2c 2  k 2 c 2  ω ∂k   2  = 2 3  = − 1 ∂ω ∂ω  ω  ω  k ∂ω  ∂ n2 ω ∂k 〈0 ⇒ 〈 1 ⇒ vφ 〈 vg ∂ω k ∂ω c c VA = vφ = ω 2p 4ω 2p 1+ 1+ ωce ωci (ωce + ωci )2

6. 148 ...................................43

( )

n ≅1+ 2 D

n 2D = ω≅

ω 2p

ωce (ω + ωci )

ω 2p k 2c 2 ≅ ω2 ωce ω

ωce c 2 2 k ω 2p

vφ =

ω c ω ωce = k ωp

n = Κ // = 1 −

6. 150....................................44

6. 151 .........................................................45 6. 152 ................................................................45 6. 153 ...................................................................45

∂ω 2c vg = ω ωce = ∂k ω p 2

6. 149 .........................................43

ω 2p

ω2  Κ ⊥ − n 2 cos 2θ − iΚ X  iΚ X Κ⊥ − n2   n 2sinθ cosθ 0 

Ondes dans les plasmas

6. 154..................................................................46

6. 155 .................................................................46 n 2sinθ cosθ   E x   0      0   E y  =  0 2 2  Κ // − n sin θ   E z   S 

6. 156 ..........................................47

6.74

0 − iΚ X 1 Ex = 0 Κ⊥ − n2 ∆ S 0

n 2sinθ cosθ 0 Κ // − n 2sin 2θ

(i )

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ 0 n 2sinθ cosθ 1 Ey = iΚ X 0 0 ∆ 2 n sinθ cosθ S Κ // − n 2sin 2θ

(ii )

Κ ⊥ − n 2 cos 2θ − iΚ X 1 Ez = iΚ X Κ⊥ − n2 ∆ n 2sinθ cosθ 0

(iii)

(

)

0 0 S

6. 157 ........................................47

Ex n 2sinθ cosθ Κ ⊥ − n 2 =− Ez Κ ⊥ − n 2 cos 2θ Κ ⊥ − n 2 − Κ 2X

(

)(

)

6. 158......................................47

Κ X n 2sinθ cosθ =i Ez Κ ⊥ − n 2 cos 2θ Κ ⊥ − n 2 − Κ 2X

(

n2 =

)(

Κ 2⊥ − Κ 2X Κ D Κ G = Κ⊥ Κ⊥

(

)(

Κ − n 2 Κ // − n 2 Ex =i ⊥ Ey Κ X Κ // − n 2

(

Κ⊥ − n2 ΚX

ΚX Κ⊥

n2 =

)

6. 159...........................................................48

) 6. 160 ..........................................................48

Κ DΚ G Κ⊥

   ω 2p ω 2p − 1 1 −     (ω − ωce )(ω + ωci )   (ω + ωce )(ω − ωci )  = ω 2pe ω 2pi − 2 1− 2 2 ω − ωce ω − ωci2

6. 161.........................49

 ω 2p  1 +   ωce ωci   ω → →0 ω2 ω 2pi + 1 + pe 2 ωce ωci2

n 2 ω → 1 + →0

ω 2p

ωce ωci r r r r& m e u e = q E + u e × B0

(

)

Ondes dans les plasmas

6. 162 ..............................................................49 6. 163 ................................................................49

6.75

u ex = −

2 ωce 2 B0 ω 2 − ωce

6. 164 .................................................................49

2 (− iω) 2 ωce 2 u ey = − B0 ω − ωce

 r  Ey u e ≅  ,0,0   B0   r  Ey u i ≅  ,0,0   B0  ~ Ey Ey ~ ux = = cos(kx − ω t ) B0 B0 ∂~ n ∂ (n 0 ~u ) = − iω ~n + n 0ik~u = 0 + ∂t ∂x n k~ u ~ n= 0 ω n 0 kE y = cos(kx − ω t ) ω B0 r ~ r ~r ∂B ∇×E = − ∂t r r ~r ~ ~ ⇒ ik × E = i(k,0,0 )× 0, E y ,0 = iω B ~ ~ ⇒ kE y = ω B z ~ kE y k ~ ⇒ Bz = = E y cos(kx − ω t ) ω ω ~ kE Bz y = cos(kx − ω t ) B0 ω B0 ~ kE y n = cos(kx − ω t ) n 0 ω B0

(

)

6. 165..............................................................50 6. 166 ..............................................................50 6. 167...........................................................50 6. 168 .....................................................50

6. 169 .....................................................51

6. 170 ....................................51

6. 171 ............................................................51

2 + ω 2p ω 2HS ≅ ωce

ω 2HI ≅

ω 2p + ωce ωci ω +ω

[ [

2 ce

2 p

1 2 ωce + 4ω 2p − ωce 2 1 2 ωD ≅ ωce + 4ω 2p + ωce 2 2  ωp  X ≡    ω

ωG ≅

6. 172................................................................52

ωce ωci

] ]

Ondes dans les plasmas

6. 173 ............................................................52

6. 174.....................................................................56

6.76

Y2 ≡

ωce ωci ω2

Ondes dans les plasmas

6. 175.....................................................................56

6.77

Table des Matières INTRODUCTION......................................................................................................................... 5 7.1

LE SOLEIL ....................................................................................................................... 5

7.2

L’IONOSPHÈRE............................................................................................................ 13 7.2.1 “Chapman Layer” ....................................................................................................... 15 7.2.2 La Couche E................................................................................................................. 16 7.2.3 La Couche F1............................................................................................................... 17 7.2.4 La Couche F2............................................................................................................... 17 7.2.5 La Couche D ................................................................................................................ 17

7.3

LE CLAQUAGE ............................................................................................................. 18 7.3.1 L’ionisation dans un gaz sous l’influence d’un champ électrique............................... 18 7.3.2 Le claquage entre deux électrodes............................................................................... 21 7.3.3 La loi de Paschen......................................................................................................... 22

7.4

LA DÉCHARGE CORONALE..................................................................................... 24 7.4.1 Description................................................................................................................... 24 7.4.2 Applications ................................................................................................................. 27

7.5

L’ARC ÉLECTRIQUE .................................................................................................. 27 7.5.1 Description................................................................................................................... 27 7.5.2 Processus à la Cathode................................................................................................ 28 7.5.3 Applications ................................................................................................................. 33

7.6

LA DÉCHARGE LUMINESCENTE DC..................................................................... 36 7.6.1 Description................................................................................................................... 36 7.6.2 Près de la Cathode....................................................................................................... 36 7.6.3 La Lueur Négative........................................................................................................ 39 7.6.4 Le magnétron plan ....................................................................................................... 40 7.6.5 Applications ................................................................................................................. 41

7.7

LES DÉCHARGES RF .................................................................................................. 41 7.7.1 Décharges capacitives ................................................................................................. 42 7.7.2 Décharges inductives ................................................................................................... 46 7.7.3 Adaptation « Matching Network »............................................................................... 49

7.8 DÉCHARGES MICRO-ONDE ET RCE (RÉSONANCE CYCLOTRON ÉLECTRONIQUE)..................................................................................................................... 50 REFERENCES............................................................................................................................ 52 LISTE DES ÉQUATIONS ......................................................................................................... 53

Sources et réacteurs de plasmas

7.1

Liste des figures Figure 1: Le soleil vu en lumière Hα.............................................................................................. 6 Figure 2: Structure du soleil............................................................................................................ 8 Figure 3 Distribution spectrale de la radiation photosphérique comparée au spectre d’un corps noir à différentes températures.............................................................................................. 10 Figure 4 Supergranualions à la surface du soleil .......................................................................... 11 Figure 5 Prominences solaires ...................................................................................................... 12 Figure 6 Couronne solaire............................................................................................................. 13 Figure 7 Structure de l’atmosphère terrestre................................................................................. 14 Figure 8 Section efficace pour la production d'électrons.............................................................. 18 Figure 9 Production d’électrons secondaires en fonction de la tension........................................ 20 Figure 10 Courant produit en fonction de la distance entre les électrodes pour différentes tensions ............................................................................................................................................... 21 Figure 11 Courbe de Paschen pour différents gaz ........................................................................ 23 Figure 12 Arc électrique ............................................................................................................... 27 Figure 13 Arc au carbone dans l’air. (200 Amp). (a) Photo (b) Température ............................. 29 Figure 14 : Caractéristique courant-tension d'un arc au carbone dans l'air .................................. 30 Figure 15: Taches cathodiques...................................................................................................... 32 Figure 16: Composantes d'un arc électrique ................................................................................. 33 Figure 17: Jet de plasma ............................................................................................................... 34 Figure 18: Disjoncteur .................................................................................................................. 35 Figure 19: Arc unipolaire ............................................................................................................ 35 Figure 20: La décharge luminescente. Distribution spatiale des zones noires et lumineuses, du champ électrique, des charges positives et négatives et des densités de courant.................. 37 Figure 21 Distribution de la densité d’électrons lents dans la luminescence négative et l’espace de Faraday dans la décharge luminescente. Décharge dans l’hélium à 1.5 mTorr. ............. 39 Figure 22: Décharges DC utilisées pour la pulvérisation: (a) une décharge luminescente (b) décharge magnétron plan ...................................................................................................... 40 Figure 23: Principe de la décharge capacitive........................................................................... 42 Figure 24: Variation de la densité et de l'énergie moyenne des électrons à (a) 10 mTorr et (b)100 mTorr .................................................................................................................................... 45 Sources et réacteurs de plasmas

7.2

Figure 25: Puissance absorbée et tension RF en fonction du courant RF pour (a) 10 mTorr et (b) 100 mTorr ............................................................................................................................. 46 Figure 26: Source inductive cylindrique....................................................................................... 47 Figure 27: Source inductive planaire ............................................................................................ 47 Figure 28: Source hélicon ............................................................................................................. 49 Figure 29: Circuit équivalent pour adapter un transmetteur (VT, RT) à une source de plasma (Ls,Rs).................................................................................................................................... 50 Figure 30: Principe de la source ECR. Le champ magnétique et la fréquence de travail sont choisis de telle sorte qu'elles sont égales dans une zone à l'intérieur du réacteur................. 51

Sources et réacteurs de plasmas

7.3

Liste des tableaux Table 1 .......................................................................................................................................... 30 Table 2: Chute de tension cathodique (V) .................................................................................... 38 Table 3: Épaisseur de la couche cathodique en (cm-Torr) à la température de la pièce............... 38

Sources et réacteurs de plasmas

7.4

Chapitre 7 Sources et réacteurs de Plasmas Introduction Presque toute la matière de l’univers est dans sous forme de plasma – dans les étoiles et les régions interstellaires. On dit que le plasma est le quatrième état de la matière : les solides, les liquides, les gaz, et les plasmas. Étant donné que plus que 99% de l’univers est en forme de plasma, on devrait peut être appeler un plasma le premier état de la matière! Sur la terre, il existe des plasmas naturels, tels que l’ionosphere et les éclairs, en plus des plasmas créés dans le laboratoire (décharges luminescentes, arcs, machines à fusion). Dans ce chapitre, on va faire une brève introduction à quelques plasmas, intéressants ou utiles, en appliquant les principes que nous a vus dans les chapitres précédants : 1. Le soleil 2. L’ionosphère 3. Le claquage 4. La décharge coronale 5. Les éclairs 6. L’arc électrique 7. Les décharges luminescentes DC 8. Les décharges RF – capacitives et inductives 9. Les décharges micro-ondes, ECR 10. Les plasmas pour la fusion 11. Les plasmas créés par laser 7.1

Le Soleil

Le plasma le plus important pour nous est le soleil – la source de notre vie ici sur terre. Le soleil était vu comme une “boule de feu”, et était considéré un “dieu” dans plusieures civilisations. On sait maintenant (mais seulement dans les 50 dernières années) que le feu est produit par des réactions nucléaires de fusion. Le rayon du soleil Rs est 696,000 km, et la distance moyenne entre le soleil et la terre (1 AU “astronomical unit”) est 149,597,870 km. La masse du soleil est 1.989x1030 kg. (Comme comparaison, le rayon de la terre est 6371 km, et sa masse est 5.97x1024 kg.) Au coeur du soleil, il y a un plasma chaud et dense:

n ≅ 1031 m −3

Te = 1.5x107 K ≅ 1500eV

7. 1

À ces densités et températures, et surtout à cause du volume du plasma, il y a beaucoup de réactions thermonucléaires par seconde, même si le taux de réaction est relativement faible.

Sources et réacteurs de plasmas

7.5

La puissance générée par ces réactions dans le soleil est ultimement rayonnée de la surface, produisant une “luminosité” de 3.9x1026 Watts, et une densité de puissance à la surface du soleil de 6.4x107 Watts/m 2.

Figure 1: Le soleil vu en lumière Hα

p + p → d + e+ + ν e + + e − → 2γ p + d→3 He + γ 3

He+ 4 He→7 Be + γ

p + 7 Be→8 B + γ 8

7. 2

B→8 Be + e + + ν

e + + e − → 2γ 8

Be →2 4 He

Les réactions thermonucléaires sont concentrées dans le cœur du soleil, où la densité est très élevée, et la température est maximale. À un rayon de 0.5 Rs, par exemple, la densité est de l’ordre de 6x1023 m–3, et à la surface n ≅ 1020 m-3. Étant donné que le taux de réaction dépend de Sources et réacteurs de plasmas

7.6

la densité au carré, on voit que « l’activité » est concentrée au coeur du soleil (voir profils sur la page suivante). Dans le soleil, on pense que la production d’énergie est via le cycle “protonique”, qui est dominant quand la température centrale est en bas de 15,000,000 K: Le résultat de l’ensemble de ces réactions est: 4p + 2e − → 4 He + 2ν + 7γ

7. 3

avec la libération de 26.7 MeV d’énergie.

Sources et réacteurs de plasmas

7.7

Figure 2: Structure du soleil Pour les étoiles plus chaudes que le soleil, la majorité de l’énergie est produite par le cycle “carbonique”:

Sources et réacteurs de plasmas

7.8

p+12 C→13 N + γ 13

N→13 C + e + + ν

e + + e − → 2γ p+13 C→14 N + γ p+14 N→15 O 15

7. 4

O→15 N + e + + ν

e + + e − → 2γ p+15 N→12 C+ 4 He + γ On voit que le carbone agit comme un “catalyseur”, et est régénéré à la fin. Le résultat de cette chaîne de réactions est le même que le cycle protonique: 4p + 2e − → 4 He + 2ν + 7γ

7. 5

Le taux de réaction pour ces réactions est très faible, avec le résultat que la production d’énergie est relativement basse, seulement 2x10–7 Watt/gm. Ce taux de production est beaucoup plus faible que l’énergie qu’on obtient en brûlant du charbon! À cause du fait que la densité du plasma et sa température sont maximales au centre, et diminuent rapidement avec le rayon, la majorité de l’énergie est produite dans le cœur, où r/R≤0.2. Malgré le faible taux de production de l’énergie, à cause du volume du cœur, le soleil produit 3.9x1026 Watts. Du cœur, l’énergie est transportée vers la surface par une combinaison de radiation et convection. La conduction joue un rôle mineur dans le processus. Dans le cœur, les rayons γ perdent leur énergie par collision avec les électrons, chauffant le plasma. Les photons diffusent vers la surface. À un point autour de r/R∼0.7, la température a descendu au point où il y a quelques ions (surtout les quelques ions d’éléments plus lourds) qui ne sont pas complètement ionisés. L’absorption des photons devient très élevée dans cette région, avec une réduction du transfert d’énergie par rayonnement. À cause de cette absorption localisée, dans les régions extérieures du soleil, l’énergie est transportée par la convection (voir Figure). L’opacité des régions extérieures est relativement élevée, mais vers la surface, la question des processus en jeu était ouverte. Il est accepté aujourd’hui que la forte absorption du rayonnement est dominée par la photoionisation d’ions négatifs d’hydrogène: e + H → H− hν + H − → H + e

7. 6

La photosphère est la région extérieure du soleil où l’opacité chute rapidement, et qui détermine l’objet visible qu’on voit, et qui détermine la température, telle que déterminée par les observations visuelles. Au fond de la photosphère, l’opacité est élevée, et la température est à peu près 6400 K. À cause d’une diminution de la densité et de la température, les régions plus Sources et réacteurs de plasmas

7.9

hautes dans la photosphère sont plus transparentes. La température en haut de la photosphère est 4400 K. La température “effective” est 5778 K. L’épaisseur de la photosphère est seulement de l’ordre de 200 km, et la densité du plasma est à peu près 1020 m –3. Les raies spectroscopiques “d’absorption” qu’on voit dans le spectre du soleil sont formées dans cette région, à cause de la basse température.

Figure 3 Distribution spectrale de la radiation photosphérique comparée au spectre d’un corps noir à différentes températures. Les images de la photosphère montrent une surface “granuleuse” (qu’on appelle les “granulations” ), ayant une dimension typique de l’ordre de 1000 km, et une vie de l’ordre de 8 minutes. (Cette dimension est beaucoup plus petite que la taille des cellules de convection qui existent en bas de la surface.) Il y a aussi un motif de cellules de convection plus grandes, appelé “supergranulations” (Figure 4), avec dimensions de l’ordre de 30,000 km, et qui durent plus qu’une heure. La présence de champs magnétiques à la surface est mise en évidence par les taches solaires. Ces zones « froids » tournent avec le soleil, et sont caractérisés par une champ magnétique relativement fort. Ceci a été vérifié en mesurant l’effet Zeeman, qui donne un champ magnétique de l’ordre de 500-4,000 Gauss, avec un maximum au centre. La réduction de la temperature dans la tache peut être causée par une réduction du transport de l’énergie de l’intérieur due au champ magnétique. Les taches solaires sont associées aux zones actives où se trouvent aussi les « arches magnétiques » et les « solar flares ». Ces zones sont responsables pour l’éjection de particules de haute énergie, qui causent du bruit électromagnétique sur terre, généré par les particules chargées qui influencent l’ionosphère.

Sources et réacteurs de plasmas

7.10

Figure 4 Supergranualions à la surface du soleil La température atteint un minimum à la surface de la photosphère, où elle commence à remonter ensuite. Cette région au-dessus de la photosphère, de température croissante, mais densité décroissante, s’appelle la “chromosphère. La température monte rapidement à travers cette région mince (épaisseur 2000 km), et atteint de l’ordre de 30,000 K juste avant la “transition” qui paraît près de la surface de la chromosphère. À travers cette transition, la température monte à presque 1,000,000 K, où la chromosphère rejoint la couronne. Tout le long, la densité diminue de 1018 m-3, à 10 16 m –3 en haut de la chromosphère. La chromosphère est un milieu avec beaucoup d’activité, notamment les « spicules » - les jets qui montent de la surface. Elle est aussi la source de raies ioniques d’éléments comme calcium et titane. Un problème qui reste non-résolu est celui du mécanisme du chauffage qui produit l’augmentation de la température à travers la chromosphère. Une idée est qu’il y a des ondes sonores qui sont générées dans la zone turbulente de convection et qui montent à travers la chromosphère, formant des ondes de choc qui chauffent le gaz. Malheureusement, les observations ne montrent pas d’évidence pour ces ondes de choc. D’autres idées invoquent des ondes MHD, ou le chauffage ohmique dû à des courants très élevés qui circulent dans la chromosphère.

Sources et réacteurs de plasmas

7.11

Figure 5 Prominences solaires En haut de la chromosphère se trouve la couronne, la région extérieure de l’atmosphère du soleil, formée d’un plasma de haute température et basse densité. Les températures peuvent excéder 2x106 K, mais la densité du plasma est en bas de 1011 m–3. Encore ici, le mécanisme du chauffage de la couronne n’est pas bien compris. La luminosité de la couronne est très faible, mais on peut l’observer en “masquant” le soleil. La chromosphère et la couronne sont l’origine des raies “d’émission” qu’on observe dans le spectre du soleil. Le comportement du plasma dans la couronne est fortement affecté par le champ magnétique du soleil. Les champs magnétiques fermés (ceux qui ne s’étendent pas plus loin que l’atmosphère du soleil) peuvent piéger le plasma de la couronne, et donc maintenir une densité plus élevée. Un exemple visuel de ceci est l’apparition de prominences, qui ont la forme de “boucles”. Les lignes de champ magnétique “ouvertes” (les lignes qui s’étendent à la région interplanétaire) permettent au plasma de la couronne de s’échapper du soleil. Ces régions de basse densité sont appelées les “trous coronaux”.

Sources et réacteurs de plasmas

7.12

Figure 6 Couronne solaire

7.2

L’ionosphère

Au début du siècle, après la démonstration de la propagation d’ondes radio à longue distance par Marconi, Kennelly et Heaviside ont postulé la présence d’une couche ionisée de l’atmosphère, qui réfléchissait le rayonnement. En 1926, Breit et Tuve ont développé la technique pour sonder l’ionosphère par la réflexion d’ondes radio. L’ionosphère est produite par la photoionisation des molécules dans l’atmosphère par le rayonnement solaire. Le taux d’ionisation est relativement faible, donc le plasma reste partiellement ionisé. La perte des ions et des électrons est dominée par la recombinaison, qui est diminuée par la faible densité de gaz à ces altitudes. En générale, la limite de l’ionosphère se trouve à 50-70 km, et la limite supérieure est considérée être à 2000 km. On note que ces distances sont plus faible que le rayon de la terre (6400 km). On reconnaît que la structure de l’ionosphère varie beaucoup selon la latitude, et on y distingue 3 régions où la structure est très différente : à basse latitude, qui est très sensible à des instabilités du plasma, et des changement dans le magnétosphère; à haute latitude, où l’ionosphère est couplée à la magnétosphère par les lignes de champ magnétique; à moyenne latitude, où on trouve la ionosphère classique. En plus de la variation avec la latitude, il y a des variations importantes pendant le jour/nuit, avec les saisons, avec l’activité au soleil. La structure de l’ionosphère peut être divisée en plusieurs souscouches, nommées les couches D, E, F1.

Sources et réacteurs de plasmas

7.13

Figure 7 Structure de l’atmosphère terrestre En haut de la couche F2, la densité décroît avec la hauteur (jusqu’à plusieurs rayons terrestres). Pendant la nuit, il y une décroissance de la densité, mais en plus les couches D et F1 disparaissent. On note que la densité électronique maximale de l’ionosphère est de l’ordre de 1012 m–3, avec des variations entre le jour et la nuit. Si on examine les fréquences des différentes ondes utilisées pour le radio, TV, on trouve : Radio AM

550-1600 kHz

Sources et réacteurs de plasmas

7.14

Radio FM TV VHF

88-108 MHz 30-300 MHz

Si on calcule la fréquence critique correspondante à la densité maximale qu’on trouve dans l’ionosphère, on trouve : densité : 1012 m-3 fréquence critique : 8.98 MHz Donc, les ondes AM seront réfléchies de l’ionosphère, mais pas les ondes FM ou TV. Ceci explique pourquoi les ondes AM peuvent se propager sur de longue distance (comme Marconi). Pour la TV, par exemple, il faut utiliser des satellites pour retransmettre le signal. De l’autre côté, les ondes venant de l’espace en bas de cette fréquence critique ne peuvent pas être reçues par un récepteur à la surface de la terre. Les différentes couches sont le résultat de: (1) les photons du soleil sont absorbés à des hauteurs différentes, dépendant de la présence de molécules qui peuvent les absorber, (2) la physique de la recombinaison dépend de la nature du gaz, et la densité du gaz, qui sont des fonctions de la hauteur dans l’atmosphère. La structure de l’atmosphère varie en composition et en température en fonction de la hauteur (voir Figure). 7.2.1 “Chapman Layer”

Le rayonnement solaire est absorbé par les différents composants de l’atmosphère :   s I νs = I ν0 exp− ∫ k ν ρ ds    0

7. 7

où Iνs est l’intensité à une position s dans l’atmosphère, Iν0 est l’intensité venant du soleil, kν est le coefficient d’absorption, et ρ est la densité locale. On note que, en général, le coefficient d’absorption est la somme des coefficients pour chaque espèce. La densité varie approximativement comme :

 z ρ = ρ 0 exp −   H

7. 8

où H = kT/mg. Avec m le poids moléculaire et g l'accélération due à la gravité. Si on inclut cette relation, on peut intégrer l’équation pour obtenir le flux de rayonnement à une hauteur z (pour un angle de 0 degrés - midi):   z  I ν = I ∞ exp− k ν ρ 0 Hexp −   H  

Sources et réacteurs de plasmas

7. 9

7.15

On peut ensuite calculer le taux de production d’ions par l’absorption de photons :  z  z  q ν = K ν N 0 F∞ exp−   − k ν ρ 0 Hexp −   H   H

7. 10

où N0 est la densité à z=0, et F est le flux photonique. On voit que la forme de cette courbe (le “Chapman Layer”) donne un taux de production qui est maximum à une position: z m = Hln(k ν ρ 0 H )

7. 11

La production d’électrons est balancée par la perte volumique, qui est normalement par recombinaison:

dN e 2 = q ν − α eff N e dt

7. 12

où αeff est le coefficient de recombinaison effectif. La densité électronique est donc déterminée par une balance entre la photoionisation et la recombinaison. 7.2.2 La Couche E

Dans la couche E, la densité ionique est dominée par les ions d’oxygène et d’azote: O 2 + hν → O +2 + e N 2 + hν → N 2+ + e N 2+ + O → N + NO +

7. 13

N 2+ + O 2 → N 2 + O +2 La première réaction demande des photons avec une longueur d’onde plus courte que 102.7 nm, et la deuxième une longueur d’onde plus courte que 79.6 nm. La production d’ions est balancée principalement par la recombinaison dissociative: O +2 + e → O + O NO + + e → N + O

Sources et réacteurs de plasmas

7. 14

7.16

7.2.3 La Couche F1

Dans cette couche, l’ion principal est O+, produit par photoionisation: O + hν → O + + e

7. 15

Cette réaction demande des photons avec des longueurs d’onde plus courtes que 91.1 nm. Il y a aussi une (plus petite) contribution de l’azote: N 2 + hν → N +2 + e

7. 16

La destruction des ions atomiques passe par une réaction moléculaire, parce que la recombinaison radiative est très lente: O + + O 2 → O 2+ + O O + + N 2 → NO + + N

7. 17

À ce point les réactions de recombinaison dissociative entrent en jeu. 7.2.4 La Couche F2

La partie inférieure de cette couche est dominée par les mêmes processus que pour la couche F1, mais à des altitudes plus élevées, la densité de molécules est trop faible pour assurer que la recombinaison puisse dominer. Étant donné que le coefficient de diffusion varie comme l’inverse de la fréquence de collision (et donc la densité), on trouve que le transport en haut de la couche F2 est dominé par une diffusion verticale (générée par un gradient de densité). Le profil a donc un profil à peu près exponentiel, et s’étend à des altitudes élevées (plus que 1000 km). 7.2.5 La Couche D

La couche D est dominée par la chimie, à cause de la densité de gaz relativement élevée. La chose qui distingue la couche est la dominance d’ions négatifs d’oxygène: O 2 + e + O 2 → O −2 + O 2

7. 18

La destruction de ces ions négatifs est dominée par deux processus:

Sources et réacteurs de plasmas

7.17

O 2− + hν → O 2 + e O 2− + O 2 → O 2 + e + O 2

7. 19

Les ions positifs et les électrons sont crées par la photoionisation de N2 et O2 par les rayons-X du soleil ou la photoionisation de NO par les photons L-α. Les ions positifs sont perdus par recombinaison avec les ions négatifs, et les électrons par une recombinaison dissociative. L’histoire de la couche D est encore plus compliquée que ceci, et il semble les ions NO2– et NO3peuvent jouer un rôle important.

7.3

Le Claquage

7.3.1 L’ionisation dans un gaz sous l’influence d’un champ électrique

Un électron avec une énergie plus grande que le potentiel d’ionisation peut créer des électrons secondaires dans un gaz par des collisions avec les atomes ou les molécules du gaz. Le nombre d’électrons créés par l’électron primaire dans une longueur de 1 cm est une fonction de l’énergie de l’électron

Figure 8 Section efficace pour la production d'électrons

Sources et réacteurs de plasmas

7.18

On voit que la section efficace est une fonction qui augmente rapidement avec l’énergie à basse énergie, atteint un maximum pour des énergies de l’ordre de 50-200 eV et décroît lentement à plus haute énergie. A faible énergie, la forme de la courbe peut être représentée par: Se = ap(ε − ε i )

7. 20

où εi représente le seuil d'ionisation. Quand un électron dans un gaz est exposé à un champ électrique E, il est accéléré dans la direction du champ. Quand l’électron subit une collision, il peut être simplement dévié de sa direction originale (collision élastique), ou il peut perdre de l’énergie (collision inélastique). Cette énergie peut être perdue en excitant ou en ionisant l’atome ou la molécule. Si on suppose que l’électron gagne de l’énergie entre les collisions, et la perd complètement à chaque collision on a:

ε ≅ 0.5 e E L e

7. 21

où Le est la distance parcouru entre les collisions (le libre parcours moyen). Le libre parcours moyen est plus long si la densité du gaz est plus faible; on peut donc exprimer cette relation comme:

ε≈

E p

7. 22

Le nombre d’électrons secondaires que cette électron primaire peut créer dans une distance de 1 cm dans le gaz est donné par un coefficient α. Etant donné que le nombre de collisions « effectives » est une fonction de l’énergie de l’électron et de la pression, on a:

E α = p f   p E α = f   p p

7. 23

où α est le premier coefficient de Townsend

Sources et réacteurs de plasmas

7.19

Figure 9 Production d’électrons secondaires en fonction de la tension Si on injecte un électron d’une électrode (la cathode) on trouve que la multiplication d’électrons dans le gaz peut donc être exprimée par l'équation: n(x) = n 0 e α x

7. 24

où n(x) est la densité d’électrons à la position x, et n0 est la densité à la position x = 0. ou encore:

i(x) = i0 eα x

7. 25

où i(x) est le courant à la position x. Cette relation décrit bien les résultats expérimentaux, tant qu’on n’approche pas le point de « claquage ».

Sources et réacteurs de plasmas

7.20

Figure 10 Courant produit en fonction de la distance entre les électrodes pour différentes tensions On voit que le l'électron primaire peut créer une « multiplication » dans un champ électrique, dépendant du champ électrique, de la pression et de la distance entre les électrodes. Ce comportement est utilisé dans les « compteurs proportionnels » et les compteurs « GeigerMuller ». 7.3.2 Le claquage entre deux électrodes

On voit qu’il y a une augmentation rapide du courant électronique avec la distance dans un champ électrique. Cette augmentation est accompagnée de la génération d’un courant ionique. Sous l’influence du champ électrique, ces ions sont dirigés dans la direction du champ (et les électrons dans la direction opposée). Si on place une paire d’électrodes séparée d’une distance d dans une chambre remplie de gaz et applique une tension entre elles, chaque électron dans le volume va créer une « avalanche » d’électrons et d’ions secondaires. S’il existe un mécanisme de « rétroaction » on peut arriver à une situation où le courant augmente « sans limite ». Il existe plusieurs mécanismes pour régénérer des électrons à la surface de la cathode [Figure 10]. Le

Sources et réacteurs de plasmas

7.21

mécanismes le plus important est en général la production d’électrons secondaires par impact ionique. Si on considère un électron libéré de la cathode, il peut créer une avalanche d’électrons secondaires, et simultanément des ions secondaires:

αd

électrons 7. 26

αd e - 1 ions

Ces ions sont dirigés vers la cathode, et s’il n’y a pas de pertes tous ces ions bombardent la surface de la cathode. Si on suppose que chaque ion a une probabilité γ de générer un électron secondaire de la surface, on obtient un nombre d’électrons et d’ions de la « 2ième génération »: γ ( eα d - 1 ) eα d

électrons 7. 27

γ ( eα d - 1 )

ions

Ces électrons peuvent par la suite créer d’autres ions secondaires et d’autres électrons par bombardement de la surface. Le résultat pour toutes les générations peut être écrit:

αd

e i= 1 - γγeα d - 1)

7. 28

On voit que quand le bombardement ionique remplace l’électron original, le courant augmente « sans limite » et on a un claquage [Figure 10]. 7.3.3 La loi de Paschen

La condition de claquage peut être écrite:

γ ( eα d - 1 ) = 1

Sources et réacteurs de plasmas

7. 29

7.22

Étant donné que le paramètre α/p est en générale une fonction de E/p, on peut écrire cette relation:

α 1+ γ   αd =   (pd ) = ln  p  γ   1 1+ γ  α V E   = = f   = f  ln pd p p pd γ      V = g(pd )

7. 30

Figure 11 Courbe de Paschen pour différents gaz c'est-à-dire que la tension de claquage est une fonction du produit pd et du matériau de la cathode. Cette relation s’appelle « la loi de Paschen » [Figure 11]. Cette relation suppose que le produit pd n’est pas très élevé – on traite la décharge entre deux électrodes. Dans le cas où on a des grandes distances et des tensions très élevées, le mécanisme de propagation de la décharge est très différent – celui d’un « streamer » comme la foudre.

Sources et réacteurs de plasmas

7.23

7.4

La Décharge Coronale

7.4.1 Description

Si on applique une tension entre deux électrodes dans une géométrie qui donne un champ électrique non-uniforme, on peut obtenir une décharge qui est localisée dans la région du champ élevé. Ce type de décharge est souvent trouvé autour des lignes hautes tension, et peut causer des pertes anormales. Pour un système coaxial, avec un fil central de rayon a entouré par un tube cylindrique de rayon b, s’il n’y a pas de charge d’espace, la distribution du potentiel et du champ électrique peut être écrite:

Er =

∆V b r ln   a

r ln   a V (r ) = V a + ∆V   b ln   a

7. 31

Si on a deux fils parallèles de rayon a, séparés d’une distance d, le maximum du champ électrique est :

E max =

∆V d 2a ln  a

7. 32

et si nous avons un fil de rayon a à une distance h d’un plan on a un champ maximum: E max =

2∆ V  2h  a ln   a 

7. 33

Si la tension appliquée est moins que la « tension d’amorçage », il n’y a qu’un faible courant produit par l’ionisation dans le voisinage du fil crée par les rayons cosmiques et la radioactivité naturelle.

Sources et réacteurs de plasmas

7.24

Quand le champ électrique excède le champ critique pour créer une décharge, il y a un plasma crée autour du fil central : une augmentation importante du courant, et une lueur soutenue. Les ions et les électrons créés dans le plasma dérivent vers les électrodes. Leur mouvement est réglé par leur mobilité dans le gaz sous l’effet du champ. Comme exemple, si on considère un fil central avec une tension négative (ou « négative corona »), il y a une avalanche avec l’émission d’électrons secondaires de la cathode et de la photoionisation dans la région du fil central ; La situation est semblable au « claquage Townsend ». Étant donné que ces processus ont lieu à haute pression, il faut tenir compte de l’attachement. L’épaisseur de la couche « coronale » est déterminée par la dominance de l’ionisation sur l’attachement, et la production d’électrons secondaires :

∫ [α(x) − a(x)]dx = ln(1 + γ

−1

)

7. 34

où x1 est le point où α (le coefficient d’ionisation) = a (le coefficient d’attachement), où α = 0 (dans le cas où il n’y a pas de formation d’ions négatifs). Dans le cas où le fil central est à une tension positive (ou « positive corona »), le champ électrique à la cathode est trop faible pour produire beaucoup d’électrons secondaires. La multiplication d’électrons est fournie par des processus de photoionisation dans le gaz près du fil. En pratique, il y a peu de différence dans le champ critique entre une décharge négative et une décharge positive (Vc pour une décharge coronale négative est généralement un peu plus faible), parce que le paramètre critique est le champ électrique à cause de la variation rapide de α-a en fonction de E. La géométrie est très importante. Des formules empiriques ont été développées pour le champ critique par Peek (1929) : dans l’air entre deux cylindres :  0.308  E c = 31δ1 +  δa  

7. 35

où δ est le rapport de la densité du gaz par rapport à 250C, 760 Torr et a est le rayon de l’électrode centrale en cm (entre 0.01 et 1 cm) Cette relation est valide sur une gamme de pression de 0.1-10 atmosphères Pour deux fils parallèles, la formule de Peek peut être écrite :

Sources et réacteurs de plasmas

7.25

 0.301  E c = 29.8 δ1 +  δa  

7. 36

mais, aujourd’hui la formule utilisée plus souvent est :

[

E c = 24.5 δ 1 + 0.65 (δa )

−0.38

]

7. 37

Ici, les valeurs du champ critique sont en kV par cm À l’extérieur de la zone d’ionisation les charges dérivent sous l’effet du champ électrique (i.e. leur mobilité). Dans le cas d’un « negative corona », les électrons ou les ions négatifs dérivent vers le tube extérieur ; dans le cas d’un « positive corona », les ions positifs dérivent vers la cathode. Dans l’air, les électrons sont captés rapidement par des molécules d’oxygène et forment des ions négatifs. Ces ions continuent de voyager vers l’anode et sont neutralisés sur la surface. Dans cette zone de dérive, il n’y a pas de multiplication du courant (le champ électrique est trop faible), et le courant est limité par la charge d’espace. La densité de courant est constante (pas de sources), peut être écrite : i(r ) = 2π r e n (r )µ R

7. 38

Si les effets de la charge d’espace ne sont pas très grands, on peut utiliser comme première approximation le champ électrique « du vide » : i = 2π e n(r) µ

∆V b ln  a

7. 39

Si on substitue pour n(r) dans l’équation de Poisson, on peut calculer le profil du potentiel. Il y a une constante d’intégration qui est déterminé par la condition i = 0 pour ∆V=Vc , la tension « critique ». La solution nous donne :

i = ∆ V(∆ V − Vc )

8π ε 0 µ b b 2 ln( ) a

7. 40

Cette formule est en relativement bon accord avec les résultats expérimentaux, et nous permet de calculer les pertes sur les lignes à haute tension, à partir de ce courant multiplié par la tension ; dans certains cas, cette perte domine les pertes ohmiques dans le fil.

Sources et réacteurs de plasmas

7.26

7.4.2 Applications

La décharge coronale peut être un problème pour les lignes à haute tension, comme mentionné en haut, mais d'un l’autre côté il y a beaucoup d’applications de ce phénomène: i) « electrostatic precipitator » Dans ce cas, les ions négatifs d’oxygène se collent sur les « flocons » qui passent à travers la cheminée, ainsi formant une particule chargée. Ces particules collent sur l’intérieur de la cheminée, d’où elles peuvent être collectées. ii) « electrostatic paint sprayers » iii) « Xerography » 7.5

L’Arc Électrique

7.5.1 Description

Quand la densité de courant dans la décharge devient très élevée, il y a une transition à un arc.

Figure 12 Arc électrique Sources et réacteurs de plasmas

7.27

Cette décharge est normalement dans un volume plus petit que celui de la décharge luminescente, mais elle est beaucoup plus brillante. On peut résumer les caractéristiques qui distinguent un arc : •

L’arc porte un courant élevé, de 1 à 100,000 ampères

•

Le voltage est relativement faible, de 20 à 60V, typiquement – de l’ordre de l’énergie d’excitation ou d’ionisation des atomes ou molécules

•

Normalement (mais pas toujours) la caractéristique V-I est décroissante

•

La densité de courant est très élevée, variant de 102 à 104 A cm-2 dans certains cas, jusqu’à 104 à 107 A cm-2 dans d’autres. Ceci résulte en une densité de puissance très élevée, et une tache de très haute température.

•

Les mécanismes d’émission de courant fournissent un courant élevé à basse tension.

•

Les électrodes sont généralement fortement érodés et le matériau des électrodes est vaporisé.

•

Le spectre d’émission près de la cathode (et des fois près de l’anode) est caractéristique du matériau de l’électrode, et pas le gaz.

•

Le cœur de l’arc peut être en LTE, si on travail à haute pression.

On peut avoir dans des arcs de différents types qui marchent sous différentes conditions et pour des fins différents: i) ii) iii) iv) v)

arcs « transférés » entre deux électrodes ; la cathode peut être chaude (thermionique), ou chauffée « indirectement », ou être « froide » avec des taches cathodiques. arcs « confinés » avec un « jet de plasma » arcs à haute pression arcs sous « vide » arcs « unipolaires » où il n’y a pas d’anode évident

7.5.2 Processus à la Cathode

Dans le cas de la décharge luminescente, la cathode est couverte par le plasma et l’émission vient de toute la surface ; l’émission d’électrons est déterminée par le taux de production d’électrons secondaires. Dans la région de la cathode d’un arc, par contre, il faut créer les conditions pour livrer une densité de puissance suffisamment élevée pour maintenir la température nécessaire pour l’émission des électrons. Dans le cas d’une décharge luminescente, le courant à la cathode est dominé par le courant ionique. Dans un arc, on passe un courant de plusieurs ampères mais la tension est de l’ordre de 20 V seulement. Le courant à la cathode est presque uniquement un courant électronique. Il est estimé que les électrons portent entre 0.7 et 0.9 du courant total dans la région de la cathode. De ceci, on peut déduire que le rapport entre le courant électronique et le courant ionique est de 2 à 9. Clairement, les processus de production des électrons de la cathode sont différents dans le cas d’un arc. Même aujourd’hui, après une centaine d’années, les processus sont mal compris. En général, on pense qu’une combinaison d’émission thermionique avec l’effet du champ électrique intense à la surface de la cathode est responsable pour l’émission.

Sources et réacteurs de plasmas

7.28

Cathode Thermionique

Un cas classique d’un arc où la température des électrodes peut monter à des températures assez élevées celui de l’arc en carbone. Dans ce cas, les taches cathodiques et anodiques peuvent monter à des températures suffisamment élevées pour qu’une bonne fraction de la surface participe dans l’émission d’électrons.

Figure 13 Arc au carbone dans l’air. (200 Amp). (a) Photo (b) Température On voit la caractéristique typique où V diminue quand le courant augmente. La température de la cathode se trouve autour de 3500K, et celle de l’anode autour de 4200K.

Sources et réacteurs de plasmas

7.29

Figure 14 : Caractéristique courant-tension d'un arc au carbone dans l'air À un courant seuil, la tension de l’arc diminue et entre dans le régime de « sifflement », où il y a une « condensation » de la tache anodique et une vaporisation intense de l’anode. À bas courant, la densité de courant à la cathode est de l’ordre de 470 A cm-2, mais à haut courant (400A) la densité peut monter à 5000 A cm-2. Le bombardement de la surface par les ions livre de l’énergie à la surface : l’énergie « chimique » de l’ion (l’énergie d'ionisation, de l’ordre de 10-15 eV) et l’énergie gagnée par l’ion dans la gaine près de la surface. La chute de tension à travers la gaine aide aussi à l’émission électronique par l’effet Schottky. En plus de l’émission d’électrons, il y a une forte émission de vapeur de la tache cathodique (et de la tache anodique). Ceci est souvent spécifié par le taux « d’érosion spécifique » : la masse perdue par coulomb qui passe à travers l’arc. Ce paramètre dépend du matériau et des conditions de l’arc. Par exemple, pour des électrodes en Tungstène (W) dans un arc portant un courant de quelque centaines d’ampères, on produit de l’ordre de 60 µg par Coulomb (voir tableau).

Table 1 Taux d'érosion

Element

Atomes / électrons

(mg / C)

Cadmium

620-655

0.53-0.56

Zinc

215-320

0.31-0.47

Aluminium

120

0.43

Cuivre

115-130

0.17-0.19

Nickel

100

0.16

Carbone

0.14

Argent

140-150

0.12-0.13

Sources et réacteurs de plasmas

7.30

Fer

0.12

Titane

0.10

Chrome

0.074

Molybdène

0.05

Tungstène

0.32

Dans un arc portant un courant de 200A, on perdrait 0.012 gm par s. Par contre, si la température de la tache anodique monte à 4200 K, le taux de vaporisation est donné par : q = 2.63x10 24

P(T) Tµ

7. 41

où q est le taux de vaporisation en molécules par m2 par s, P est la pression de vapeur et µ la masse atomique. Pour le carbone à 4200K, on obtient un taux de vaporisation de l’ordre de 1.17x1027 atomes ou 23.5 kg par m2 par s ; avec une tache de 0.2 cm2, on vaporise de l’ordre de 0.47 g par s !.

Taches Cathodiques Pour un arc sous vide, ou quand le matériau de la cathode ne peut pas supporter une température très élevée, on voit qu’il y a beaucoup de petits points d’émission-les « taches cathodiques ». [Figure 15] La densité de courant dans ces taches est très élevée, ce qui est déterminé par le besoin de fournir le courant, mais aussi de maintenir une cathode qui est globalement plus « froide ». Ces taches sont en mouvement continuel. Il y a eu beaucoup de travail pour simplement mesurer la densité de courant à la surface. Pour arriver à expliquer la densité de courant, il faut supposer que la surface est liquide et en ébullition dans la tache cathodique.

Quand un arc sous vide est dans un champ magnétique, l’arc bouge dans la direction ExB, donc la direction opposée au mouvement d’un arc à haute pression ! Il n’y a aucun modèle pour expliquer ces résultats.

Sources et réacteurs de plasmas

7.31

Figure 15: Taches cathodiques En plus de l’émission d’électrons, il y a émission d’ions et de gouttelettes de ces taches cathodiques. Les gouttelettes sont éjectées à des grands angles (par rapport à la normale), et elles sont probablement la source de la vapeur qui est générée. Il y a des ions multiplement chargés

Sources et réacteurs de plasmas

7.32

qui sont éjectés perpendiculaire à la surface de la cathode avec des énergies relativement élevées (de 20-80 eV). Les processus de création et d'accélération de ces ions ne sont pas bien compris. Les énergies peuvent excéder la tension à travers l’arc! 7.5.3 Applications

Les arcs transférés sont utilisés comme source d’éclairage,(e.g. VORTEK), pour faire de la soudure (e.g. TIG) et pour traiter des minerais (e.g Fer et Titane).

Figure 16: Composantes d'un arc électrique Les jets de plasma sont utilisés pour couper du métal (et d’autres choses) et pour déposer des matériaux réfractaires sur des substrats (e.g pour des turbines d’avion). Dans ce cas, la poudre est mélangée avec le gaz injecté dans l’arc.

Sources et réacteurs de plasmas

7.33

Figure 17: Jet de plasma Les disjoncteurs sous vide génère un arc, et l’extinction de cet arc coupe le courant. Il y a eu beaucoup de travail consacré au développement de ces disjoncteurs, qui a demandé une assez bonne compréhension des processus dans les arcs.

Sources et réacteurs de plasmas

7.34

Figure 18: Disjoncteur Les arcs unipolaires sont observés très souvent dans les machines à fusion; les surfaces intérieures montrent beaucoup de traces d’arcs.

Figure 19: Arc unipolaire

Sources et réacteurs de plasmas

7.35

7.6

La Décharge Luminescente DC

7.6.1 Description

Si les électrodes sont scellées dans un tube et la pression du gaz est relativement faible, on trouve qu’une tension de l’ordre de 1000 V crée une décharge luminescente dans le tube. La structure la plus évidente est la longue, brillante colonne émissive. Si on regarde plus soigneusement, on trouve une structure-surtout près de la cathode [voir fig.20]. Si on varie la distance entre les électrodes, cette structure devant la cathode ne change pas, mais la longueur de la colonne positive change. 7.6.2 Près de la Cathode

On a vu précédemment que pour maintenir la décharge il faut un mécanisme de multiplication d’électrons (ionisation) et un mécanisme de « rétroaction » pour maintenir la population originale. Dans le cas de la décharge luminescente, ce processus est fourni par la génération électrons secondaires par bombardement de la cathode par des ions venant de la décharge. La chute de tension de la décharge se trouve principalement dans une zone mince juste devant la cathode. Cette chute de potentiel et le champ électrique élevé sert à : (1) accélérer les ions vers la surface, pour qu’ils puissent frapper la cathode avec suffisamment d’énergie pour libérer des électrons secondaires. (2) accélère les électrons secondaires vers le plasma, pour qu’ils puissent créer de l’ionisation et augmenter le courant électronique.

Sources et réacteurs de plasmas

7.36

Figure 20: La décharge luminescente. Distribution spatiale des zones noires et lumineuses, du champ électrique, des charges positives et négatives et des densités de courant. Près de la cathode, le courant est presque totalement ionique : ji = γ i ≅ 10 − 2 je

Sources et réacteurs de plasmas

7. 42

7.37

Dans la décharge elle-même, le courant est presque totalement électronique. Donc, la multiplication du courant électronique doit être très élevée, de l’ordre de 10,000. Ceci demande un champ électrique (plutôt E/P) élevé. Ceci demande que αd≅9. En fait, on trouve que la chute de potentiel (« cathode fall ») est dépendante du gaz et du matériau de la cathode, à peu près indépendant du courant et la pression (voir tableau)

Table 2: Chute de tension cathodique (V) Air

CO2

229

100

140

170

245

120

180

311

280

130

162

216

318

150

233

285

130

165

247

158

233

272

136

137

140

210

240

475

526

370

130

177

214

447

220

208

484

460

269

165

150

250

298

150

215

290

142

340

226

180

170

484

460

234

119

125

153

188

310

200

185

178

226

131

158

211

275

140

197

207

124

177

223

172

210

277

131

165

276

340

152

216

364

490

475

305

125

277

119

143

184

354

480

410

216

L’épaisseur de la zone cathodique varie à peu près comme 1/P .

Table 3: Épaisseur de la couche cathodique en (cm-Torr) à la température de la pièce

Al C

Air

0.25 -

0.29 -

1.32 -

0.72 0.90

0.33 0.69

0.64 -

0.31 -

0.24 -

Sources et réacteurs de plasmas

7.38

Cu Fe Mg Hg Ni Pb Pt Zn

0.23 0.52 -

0.33 -

1.30 1.45 -

0.80 0.90 0.61 0.90 0.90 0.84 1.00 0.80

0.60 0.34 -

0.72 -

0.42 0.35 -

0.31 0.25 -

L'accélération des électrons leur permet d’exciter le gaz, donnant lieu à la formation de la lueur cathodique. L’ionisation est produite plutôt dans la région « sombre » (« Cathode dark space »), et à l'entrée de la lueur négative. 7.6.3 La Lueur Négative

Il y a une zone brillante juste en avant de la cathode. Dans cette zone il existe des électrons rapides venant directement de la cathode et accélérés dans la chute cathodique. Quand ces électrons entrent dans la zone de la lueur négative, ils commencent à créer des électrons secondaires à basse énergie et à exciter le gaz. Des calculs Monte Carlo indiquent le changement de la fonction de distribution électronique à travers cette couche. Près de la cathode il existe surtout des électrons rapides, mais plus loin on voit l’apparition d’électrons secondaires (ayant des températures de l’ordre de 10-20 eV) et des « tertiaires » ayant des températures de 1-2 eV. Le « moteur » pour le maintien de ce plasma est la présence des électrons rapides. Dans la lueur négative, le champ électrique est faible – les électrons dérivent – mais le rayonnement est intense. À mesure que les électrons perdent de l’énergie, ils produisent de moins en moins d’ionisation ; la longueur de la lueur négative est reliée à la longueur de pénétration de ces électrons rapides.

Figure 21 Distribution de la densité d’électrons lents dans la luminescence négative et l’espace de Faraday dans la décharge luminescente. Décharge dans l’hélium à 1.5 mTorr.

Sources et réacteurs de plasmas

7.39

Si on utilise une cathode cylindrique, la décharge peut se maintenir à l’intérieur de ce tube, et le plasma est en générale la lueur négative. Il est maintenu par des électrons qui circule à l’intérieur de la cathode. Ces plasmas sont utiles comme source de lumière. 7.6.4 Le magnétron plan

Les décharges luminescentes DC sont utilisées depuis longtemps à titre de source de pulvérisation. La figure 22a illustre un tel réacteur à l'argon alimenté par une source de tension DC. L'électrode du haut en aluminium est la cathode qui sert de cible aux atomes et ions qui viennent pulvériser la surface et produire des atomes d'aluminium. Les substrats sur lesquels on veut déposer l'aluminium sont placés sur l'électrode du bas, l'anode. La distance entre les électrodes est typiquement de 5 cm et presque toute la tension se retrouve à la chute de tension cathodique. Des densités de courant élevées ( > 1 mA / cm2 ) sont requises pour obtenir des taux de déposition relativement modestes ( ≈ 35 nm/min ).

Figure 22: Décharges DC utilisées pour la pulvérisation: (a) une décharge luminescente (b) décharge magnétron plan La décharge est donc maintenue avec des tensions élevées ( 2 - 5 kV ). La décharge est maintenue par les électrons secondaires en provenance de la cathode qui ionisent le gaz de travail pour maintenir la décharge. Cependant, ce fonctionnement exige une pression relativement élevée ( p > 30 mTorr) pour que ces électrons ne soient pas perdus à l'anode ou aux parois du

Sources et réacteurs de plasmas

7.40

réacteur. À ces pressions, la diffusion des atomes pulvérisées sur les atomes et ions du plasma d'argon limite le taux de déposition. Il y a donc avantage à opérer le réacteur à des densités de courant plus élevées, à des tensions et des pressions plus faibles. Ceci a conduit à l'utilisation d'un champ magnétique DC (fig 22b). Avec une tension de travail de l'ordre de -200 V est appliqué sur la cathode, un anneau de plasma dense avec une luminosité élevée. Il y a pulvérisation de la cathode en forme d'anneau. Les électrons secondaires sont maintenant confinés près de la cathode par le champ magnétique mais subissent un nombre suffisant de collisions ionisantes pour maintenir le plasma. Les caractéristiques de ce type de réacteur sont:

B ≈ 200 G P ≈ 2-5 mTorr Ar J ≈ 20 mA / cm2 VDC ≈ 800 V Taux de déposition ≈ 200 nm / min 7.6.5 Applications

La décharge luminescente apparaît dans beaucoup d’applications qu’on connait: i) Les lampes « néon » pour l’éclairage ii) les tubes pour les lasers HeNe, Ar... 7.7

Les Décharges RF

Les décharges RF sont beaucoup utilisées pour les applications diverses en traitement de matériaux. Avantages : • en générale, plus efficace que les décharges DC • peut traiter des matériaux isolants • sources relativement bon marché • capable de produire des plasmas de grands volumes de géométrie plane, cylindrique Désavantages : • -la polarisation de la cible est une fonction de la puissance et les paramètres du plasma : pas de contrôle indépendant • -faut du blindage contre le rayonnement RF

Originalement, les décharges étaient crées par un couplage capacitif via des électrodes, mais récemment les décharges avec couplage inductif plan sont devenues de plus en plus populaires pour le traitement de matériaux. (Les décharges « hélcoidales » sont utilisées depuis de nombreuses années. ) On parle de « Décharges E » et « Décharges H ».

Sources et réacteurs de plasmas

7.41

7.7.1 Décharges capacitives

La figure 23 illustre le principe d'une décharge capacitive. Une tension oscillante est appliquée entre les plaques a et b. Il en résulte un courant oscillant qui circule dans le plasma compris entre les gaines qui se forment aux plaques. L'épaisseur de ces gaines varie dans le temps mais l'épaisseur des gaines est petite devant la distance entre les plaques.

Figure 23: Principe de la décharge capacitive La fréquence « typique » de la gaine :

La gaine a une épaisseur de l’ordre de la longueur de Debye : λD =

ε 0 kTe ne 2

7. 43

les ions entrent dans la gaine avec la vitesse du son :

Sources et réacteurs de plasmas

7.42

cs =

kTe mi

7. 44

Donc, on peut voir qu’une fréquence « typique » sera de l’ordre de : cs ne 2 = = ω pi λD ε 0 mi

ω=

7. 45

Pour un plasma d'argon ayant une densité de l’ordre de 1011 cm-3, la fréquence fpi est à peu près 10MHz, mais on voit que ça dépend de la masse de l’ion. L'admittance du plasma est donné par: Yp = iω C 0 +

1 iω L p + R p

7. 46

ou C0 = ε0A/d (A et d l'aire des plaques et la distance entre elles respectivement), Lp = ωpe-2C0-1 est l'inductance du plasma et Rp = νenLp la résistance du plasma. Cette forme pour l'admittance représente l'impédance de l'inductance Lp en série avec la résistance Rp, en parallèle avec la capacitance C0. Si on est dans la situation ou les électrons répondent instantanément au potentiel appliqué et portent le courant RF, ce qui est le cas si 2   ν en  ω >> ω 1 + 2  ω   2 pe

7. 47

Alors le courant de déplacement qui circule dans C0 est beaucoup plus petit que celui qui circule dans Lp et Rp. Le courant RF

(

)

~ I RF (t ) = Re IRF e iω t = I1cos(ω t )

7. 48

qui circule dans le plasma produit une chute de tension

(

~ Vp (t ) = Re Vp e iω t

)

7. 49

~ I ~ ou Vp = RF . Yp Sources et réacteurs de plasmas

7.43

Si on calcule le mouvement d’un électron dans un champ oscillant, on voit que l’énergie et le déplacement dépendent de la fréquence et de la masse. Les ions ne gagnent pas d’énergie du champ. Avec un champ électrique de 10 V/cm à 13.56 MHz, on trouve que l’électron gagne 11.3 eV et bouge de l’ordre de 2.4 cm. Donc, l’électron peut gagner suffisamment d’énergie pour ioniser un atome sans faire une grande excursion. La puissance moyenne par unité de surface déposée dans le plasma est donnée par Wohm =

1 2 mν en d J1 2 2 en

7. 50

ou J1 = I1/A et est due aux collisions entre les électrons et les neutres. Il y a aussi du chauffage stochastique du au fait que l'épaisseur des gaines varient dans le temps. Les électrons sont réfléchis par les champs importants des gaines. Étant donné que l’épaisseur de la gaine varie avec la tension, la gaine oscille avec la fréquence de la source. Les électrons sont réfléchis de ce « mur », et ils peuvent gagner ou perdre de l’énergie : un électron incident sur la gaine avec une vitesse Ve sort de la « collision » avec une vitesse Ve+2Vs, où Vs est la vitesse de la gaine. On obtient pour une gaine: Wstoc =

1 2 mv e J 2 1 e2n

7. 51

La puissance totale qui est donc donnée au plasma (électrons) est donnée par la somme de 7.50 et 2 fois 7.51 (il y a 2 gaines): W = Wohm + 2Wstoc =

7. 52

1 2 m (ν en d + 2v e ) J1 2 e2n

ε )et cinétiques (ε

Cette puissance est balancée par des pertes collisionnelles (

ε +ε )

We = 2e n cs (

= 2Te) 7. 53

de telle sorte que la densité est donnée par: n=

Sources et réacteurs de plasmas

1  m(ν en d + 2v e )  J1   2  e 3c s ( c + e ) 

ε ε

7. 54

7.44

La Figure 24 illustre le comportement de la densité et de l'énergie des électrons pour une décharge dans l'argon à une fréquence de 13.56 MHz. La longueur de la décharge et son diamètre était de 6.7 cm et 14.3 cm respectivement pour approximer une configuration uniforme parallèle. À 10 mTorr, ou le chauffage ohmique est faible, la densité augmente plus vite que linéairement comme prévu à l'équation 7.54 . De plus, il y a une chute significative de l'énergie moyenne en fonction du courant RF.

Figure 24: Variation de la densité et de l'énergie moyenne des électrons à (a) 10 mTorr et (b)100 mTorr La Figure 25 donne la variation de la puissance absorbée par le plasma et la tension RF entre les plaques pour la même expérience.

Sources et réacteurs de plasmas

7.45

Figure 25: Puissance absorbée et tension RF en fonction du courant RF pour (a) 10 mTorr et (b) 100 mTorr

7.7.2 Décharges inductives

Ces sources sont généralement utilisée dans un régime de fonctionnement à haute densité. Ces sources sont communément excitées à 13.56 MHz. Il n'y a rien de magique à cette fréquence, la raison est "administrative". C'est une fréquence allouée par les autorités responsable de la gestion des communications. Bien que l'alimentation RF soit à une fréquence permise, ceci

Sources et réacteurs de plasmas

7.46

n'aide pas la technologie des réacteurs parce que les phénomènes plasmas étant non-linéaire, beaucoup d'harmoniques sont générées dans des bandes électromagnétiques non- permises.

Figure 26: Source inductive cylindrique Il y a deux types de base de géométrie: la géométrie cylindrique (Figure 26) pour laquelle une bobine entoure le plasma cylindrique ou la géométrie planaire ou la bobine est un enroulement plat.

Figure 27: Source inductive planaire Dans ce type de décharge, le champ électrique interne qui génère le courant est produit par un champ magnétique oscillant; la relation entre les deux est déterminée par les équations de Maxwell. Pour cette raison ces décharges sont appellées « Inductively Coupled Discharges (ICD) ou Inductively Coupled Plasmas (ICP) ». Pour le cas d’une bobine qui entoure un plasma cylindrique, l’analyse de ce système a été faite par plusieurs auteurs, et on obtient des profils pour les champs, la densité et le courant de façon self-consistent. On note qu’en générale, la fréquence est plus faible que la fréquence du plasma, et donc les « ondes » sont en principe réfléchies du plasma; ils réussissent à pénétrer une distance appelée « l’épaisseur de peau » δ qui est donnée par:

Sources et réacteurs de plasmas

7.47

c δ≡  ω

1  1 Im Κ 2   

7. 55

ou K est la constante diélectrique du plasma. Sans champ magnétique: Κ =1− ≈−

ω 2pe

ω (ω − iν en ) 7. 56

ω 2pe ν   ω 2 1 − i en  ω  

On peut distinguer deux régimes en terme de collisionnalité: a) Dans le cas ou νen << ω c'est-à-dire le régime non-collisionnel on a: Κ≈− 1

⇒

Κ2 ≈ i

⇒

δ≈

ω 2pe ω2 ω pe

7. 57

c ≡ δp ω pe

b) Dans le cas νen >> ω c'est-à-dire le régime collisionnel on a: Κ≈i

ω 2pe ων en 1

⇒

ω pe  ω  2   Κ ≈ i ω  ν en 

⇒

c  ν en  2 δ≈ 2   ≡ δc ω pe  ω 

1 2

7. 58

À 13.56 MHz dans l'argon, on trouve que νen = ω pour une pression de l'ordre de 25 mTorr. Nous sommes intéressés aux régimes de basse pression, c'est-à-dire à des pressions plus petites que 25 mTorr. Pour chaque régime de pression, il y a deux régimes de densité: haute densité ou

Sources et réacteurs de plasmas

7.48

δ est beaucoup plus petit que les dimensions du réacteur et un régime de basse densité avec δ de l'ordre de ou plus grand que les dimensions du réacteur. Dans des décharges inductives typique de basse densité, on a que la fréquence de travail est plus grand que la fréquence de collision, c'est-à-dire avec une épaisseur de peau donnée par δp . Pour des dimensions typique de plasmas de l'ordre de 10 cm, nous sommes dans le régime de haute densité, régime usuel d'utilisation des décharges inductives. Récemment, une modification du design hélicoïdale a été développée pour le traitement de semiconducteurs : « Planar ICP ». voir la Figure 28. Ce design est très efficace, et est l’outil qui va être développé pour la prochaine génération de réacteurs pour le traitement de semi-conducteurs de grande surface par plasma « haute densité ».

Figure 28: Source hélicon Dans ce réacteur, les dimensions de l'hélice sont choisies de telle sorte que l'ensemble héliceplasma soit à la résonance à la fréquence de travail qui est généralement de 1 à 50 MHz. 7.7.3 Adaptation « Matching Network »

Normalement, on utilise un circuit d'adaptation pour assurer que le générateur voit une impédance égale à son impédance de sortie (généralement 50 Ω). Dans ce cas, le transfert de puissance au plasma est maximisé. La Figure 29 illustra la situation dans le cas d'une source inductive.

Sources et réacteurs de plasmas

7.49

Figure 29: Circuit équivalent pour adapter un transmetteur (VT, RT) à une source de plasma (Ls,Rs) L'admittance à droite de A-A' est donnée par:

YA ≡ G A + iBA =

1 R s + i(X1 + X s )

7. 59

ou la conductance GA et la susceptance BA sont donnés par: GA =

Rs 2 R + (X1 + X s ) 2 s

X + Xs BA = 2 1 2 R s + (X1 + X s )

7. 60

La charge est adaptée lorsque la conductance GA = 1 / RT ( ou RT est généralement 50 Ω) et la susceptance associée au condensateur C2 annule BA, c'est-à-dire ωC2 = -BA. Nous aurons alors que la puissance absorbée sera donnée par: Pabs =

1 2 IT R T 2

7. 61

avec VT = 2I T R T

7.8

7. 62

Décharges Micro-onde et RCE (Résonance Cyclotron Électronique)

Une décharge micro-onde est maintenue par un champ électrique à une fréquence plus élevée qu’une décharge RF. Normalement on travail à une fréquence de 2.45 GHz (fréquence d’un four à micro-onde) à cause de la disponibilité de sources, mais d’autres fréquences de chauffage industriel sont aussi utilisées ( 915 MHz par exemple ). Sources et réacteurs de plasmas

7.50

À haute fréquence, l’énergie d’oscillation que l’électron peut gagner est beaucoup plus faible qu’à 13.56 MHz, et est donc insuffisante pour ioniser un atome pour des champs raisonnables. Dans ce cas, la seule façon que l’électron a de gagner de l’énergie est par le biais des collisions! Sans collisions, l’électron oscille avec sa vitesse hors de phase de celle du champ électrique, et il n’y a pas d’absorption d’énergie. Si un électron subit une collision au bon moment, il peut continuer à gagner de l’énergie, jusqu’à ce qu’il la perde en ionisant une molécule. La meilleure façon d’exprimer cette physique est par la puissance absorbée par l’électron qui est donnée par: e 2 E 2  ν 2m    P = eµ E = mν m  ν 2m + ω 2  2

7. 63

Ici, νm est la fréquence de collision, et ω est la fréquence du champ électrique. Donc, à cause des collisions, les électrons peuvent gagner de l’énergie et donner lieu à la création d’un plasma. L’énergie absorbée du champ doit compenser pour l’énergie perdue quand les électrons diffusent à la paroi et donnent leur énergie à la surface. Ceci peut être calculé en solutionnant l’équation de transport des électrons (comme on a fait pour la colonne positive), en sachant qu’il y a une énergie de l’ordre de 2Te perdue pour chaque électron perdu En plus de ces sources « volumiques », il y a des sources qui fonctionnent sur le principe de l’absorption d’une onde qui propage en surface, entre le plasma et le tube ou plaque de verre/quartz qui l’entoure. Ces sources sont très efficaces, et existent en forme cylindrique et plane.

Figure 30: Principe de la source ECR. Le champ magnétique et la fréquence de travail sont choisis de telle sorte qu'elles sont égales dans une zone à l'intérieur du réacteur.

Sources et réacteurs de plasmas

7.51

Quand on applique un champ magnétique on voit qu’il demande un champ électrique nettement plus bas pour amorcer la formation d’un plasma si la fréquence de la source est à peu près égale à la fréquence cyclotronique des électrons. Ceci est dû au fait que quand le champ est en résonance avec le mouvement des électrons, l’absorption de l’énergie de l’onde est beaucoup plus efficace. Cette amélioration est prononcée à basse pression, mais on perd cet effet à plus haute pression parce que les collisions détruisent l’orbite de l’électron. Parmi les outils pour la production de plasmas de « haute densité », les sources ECR sont très intéressantes, parce qu’elles travaillent à basse pression, ce qui donne la meilleure « directionalité » aux ions. Les sources ECR sont typiquement du type « champ divergeant », possiblement avec un champ de confinement pour améliorer l’uniformité (figure 30).

REFERENCES

J.D. COBINE, "Gaseous Conductors" J.M. Lafferty, "Vacuum Arcs-Theory and Application" A.Von Engel, "Ionized gases" M. A. Lieberman et A.J. Lichtenberg, "Principles of Plasma Discharges and Materials Processing"

Sources et réacteurs de plasmas

7.52

Liste des équations

n ≅ 1031 m −3

Te = 1.5x107 K ≅ 1500eV

7. 1 ................ 5

p + p → d + e+ + ν e + + e − → 2γ p + d →3 He + γ 3

He+ 4 He→7 Be + γ

p+ 7 Be→8 B + γ 8

7. 2 .......................................................... 6

B→8 Be + e + + ν

e + + e − → 2γ 8

Be →2 4 He

4p + 2e − → 4 He + 2ν + 7γ

7. 3................................................... 7

p+12 C→13 N + γ 13

N→13 C + e + + ν

e + + e − → 2γ p+13 C→14 N + γ p+14 N→15 O 15

7. 4........................................................... 9

O→15 N + e + + ν

e + + e − → 2γ p+15 N→12 C+ 4 He + γ 4p + 2e − → 4 He + 2ν + 7γ e + H → H− hν + H − → H + e   s I νs = I ν0 exp− ∫ k ν ρ ds    0  z ρ = ρ 0 exp −   H   z  I ν = I ∞ exp− k ν ρ 0 Hexp −   H  

Sources et réacteurs de plasmas

7. 5................................................... 9 7. 6........................................................ 9

7. 7................................................ 15

7. 8..................................................... 15 7. 9.............................................. 15

7.53

 z  z  q ν = K ν N 0 F∞ exp−   − k ν ρ 0 Hexp −   H   H z m = Hln(k ν ρ 0 H ) dN e 2 = q ν − α eff N e dt

7. 10..................................... 16 7. 11 ..................................................... 16 7. 12........................................................ 16

O 2 + hν → O +2 + e N 2 + hν → N 2+ + e N 2+ + O → N + NO +

7. 13......................................................... 16

N 2+ + O 2 → N 2 + O +2 O +2 + e → O + O NO + + e → N + O O + hν → O + + e N 2 + hν → N +2 + e O + + O 2 → O +2 + O O + + N 2 → NO + + N

O 2 + e + O 2 → O 2− + O 2 O −2 + hν → O 2 + e O −2 + O 2 → O 2 + e + O 2

Se = ap(ε − ε i ) ε ≅ 0.5 e E L e

ε≈

E p

E α = p f   p E α = f   p p

n(x) = n 0 e α x i(x) = i0 eα x

Sources et réacteurs de plasmas

7. 14.............................................................. 16 7. 15 .................................................................... 17 7. 16....................................................... 17 7. 17...................................................... 17 7. 18................................................... 17 7. 19......................................................... 18 7. 20..................................................... 19 7. 21................................................................ 19 7. 22....................................................................... 19

7. 23...................................................... 19

7. 24 ....................................................... 20 7. 25 ............................................................ 20

7.54

αd

électrons 7. 26.................................................... 22

αd e - 1 ions

γ ( eα d - 1 ) eα d

électrons 7. 27........................................................... 22

γ ( eα d - 1 ) i=

ions

αd

e 1 - γγeα d - 1)

7. 28 ............................................................... 22

γ ( eα d - 1 ) = 1

7. 29 ..................................................... 22

α 1+ γ   αd =   (pd ) = ln  γ p      1 1+ γ  α V E   = = f   = f  ln γ pd pd p p    V = g(pd ) Er =

7. 30 ........................................ 23

∆V b r ln   a

7. 31 ....................................................... 24

r ln   a V (r ) = V a + ∆V   b ln   a

E max =

∆V d 2a ln  a

7. 32 ............................................................. 24

2∆ V  2h  a ln   a 

∫ [α(x) − a(x)]dx = ln(1 + γ

7. 33.............................................................. 24

−1

)

7. 34 ........................................................ 25

 0.308  E c = 31δ1 +  δa    0.301  E c = 29.8 δ1 +  δa   Sources et réacteurs de plasmas

7. 35 .............................................................. 25 7. 36........................................................... 26

7.55

[

E c = 24.5 δ 1 + 0.65 (δa )

−0.38

]

i(r ) = 2π r e n (r )µ R

∆V b ln  a

i = 2π e n(r) µ

i = ∆ V(∆ V − Vc )

q = 2.63x10 24

8π ε 0 µ b b 2 ln( ) a

P(T) Tµ

ji = γ i ≅ 10 − 2 je λD =

ε 0 kTe ne 2

cs =

kTe mi

7. 39........................................................... 26

7. 40 ......................................................... 26

7. 41 .................................................... 31

7. 43 .................................................... 42 7. 44............................................................ 43

1 iω L p + R p

 ν2  ω 2pe >> ω 2 1 + en2  ω   ~ I RF (t ) = Re IRF e iω t = I1cos(ω t )

( ) ~ V (t ) = Re (V e ) iω t

7. 38 ......................................................... 26

7. 42 ....................................................... 37

cs ne 2 ω= = = ω pi λD ε 0 mi Yp = iω C 0 +

7. 37.................................................... 26

Wohm =

1 2 mν en d J1 2 2 en

Wstoc =

1 2 mv e J 2 1 e2n

7. 45......................................................... 43 7. 46..................................................... 43

7. 47................................................ 43 7. 48........................................... 43 7. 49.................................................... 43 7. 50.......................................................... 44 7. 51.................................................. 44

W = Wohm + 2Wstoc =

1 2 m (ν en d + 2v e ) J1 2 e2n

Sources et réacteurs de plasmas

7. 52.................................................. 44

7.56

ε +ε )

We = 2e n cs ( n=

7. 53...................................................... 44

1  m(ν en d + 2v e )  J1   2  e 3c s ( c + e ) 

7. 54.............................................. 44

ε ε

c δ≡  ω

Κ =1− ≈−

1  12  Im Κ   

7. 55................................................. 48

ω 2pe

ω (ω − iν en ) 7. 56................................................ 48

ω 2pe ν   ω 2 1 − i en  ω   ω 2pe

Κ≈− 1 2

⇒

Κ ≈i

⇒

δ≈

ω2 ω pe

7. 57.................................................. 48

c ≡ δp ω pe

Κ≈i

ω 2pe ων en 1

⇒

ω pe  ω  2   Κ ≈ i ω  ν en 

⇒

c  ν en  2 δ≈ 2   ≡ δc ω pe  ω 

1 2

7. 58 ........................................... 48

YA ≡ G A + iBA =

1 R s + i(X1 + X s )

GA =

Rs 2 R + (X1 + X s ) 2 s

X + Xs BA = 2 1 2 R s + (X1 + X s ) Pabs =

1 2 IT R T 2

Sources et réacteurs de plasmas

7. 59........................................................ 50

7. 60.................................................... 50

7. 61......................................................... 50

7.57

VT = 2I T R T P = eµ E 2 =

7. 62........................................................ 50 e 2 E 2  ν 2m    mν m  ν 2m + ω 2 

Sources et réacteurs de plasmas

7. 63.......................................... 51

7.58